( PDF ) Livros didáticos de Algacyr Munhoz Maeder sob um olhar da educação matemática

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ADILSON LONGEN

LIVROS DIDÁTICOS DE ALGACYR MUNHOZ MAEDER SOB UM OLHAR

DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Trabalho de Tese de Doutorado apresentado na

Universidade Federal do Paraná, no Setor de

Educação, linha de pesquisa em Educação

Matemática.

Orientador: Dr. Carlos Roberto Vianna

CURITIBA

2007

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Dedico esta pesquisa a três personagens

importantes da minha história de vida: NAIA,

JOÃO VICTOR e LAÍS. Sem vocês não teria

nem a motivação e tão pouco objetivo

necessários para contar a história da produção

intelectual de Maeder. Com vocês muitas

outras poderei contar.

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES.....................................................................................v

LISTA DE TABELAS...............................................................................................viii

LISTA DE QUADROS..............................................................................................ix

LISTA DE GRÁFICOS ............................................................................................x

RESUMO....................................................................................................................xi

ABSTRACT ...............................................................................................................xii

RESUMEN .................................................................................................................xiii

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................1

1.1 MOTIVOS E DÚVIDAS............................................................................2

1.2 DO COMPÊNDIO AO LIVRO DIDÁTICO? ...........................................7

1.3 TRÊS ENSAIOS A PARTIR DE LIVROS DE MATEMÁTICA.............19

2 UMA LEITURA DOS LIVROS ESCRITOS POR MAEDER ..........................26

2.1 PRELIMINARES DE UMA LEITURA ....................................................27

2.2 ÁLGEBRA ELEMENTAR........................................................................35

2.2.l Álgebra elementar – 2ª. parte ........................................................36

2.2.2 Álgebra elementar – 1ª. parte .......................................................50

2.2.3 Álgebra elementar – 3ª. edição.....................................................58

2.3 LIÇÕES DE MATEMÁTICA....................................................................65

2.3.1 Lições de Matemática – 1º. ano (1ª. série)....................................68

2.3.2 Lições de Matemática – 2º. ano (2ª. série)....................................79

2.3.3 Lições de Matemática – 3º. ano (3ª. série)....................................90

2.3.4 Lições de Matemática – 4º. ano (4ª. série)....................................101

2.3.5 Lições de Matemática – 5º. ano (5ª. série)....................................113

2.4 CURSO DE MATEMÁTICA – CURSO GINASIAL...............................121

2.4.1 Curso de Matemática – 1ª. série – ginásio....................................124

2.4.2 Curso de Matemática – 2ª. série – ginásio....................................138

2.4.3 Curso de Matemática – 3ª. série – ginásio....................................148

2.4.4 Curso de Matemática – 4ª. série – ginásio....................................156

2.5 CURSO DE MATEMÁTICA – CICLO COLEGIAL ...............................171

2.5.1 Curso de Matemática – 1º. livro – colégio ...................................172

2.5.2 Curso de Matemática – 2º. livro – colégio ...................................183

2.5.3 Curso de Matemática – 3º. livro – colégio ...................................193

2.6 MATEMÁTICA – CURSO COMERCIAL BÁSICO ...............................207

2.6.1 Matemática – 1ª. série – ensino comercial ...................................209

2.6.2 Matemática – 2ª. série – ensino comercial ...................................216

2.6.3 Matemática – 3ª. série – ensino comercial ...................................221

2.6.4 Matemática – 4ª. série – ensino comercial ...................................226

2.7 CONCLUSÕES DE UMA LEITURA .......................................................234

3 TRIBUNAS DE EDUCADORES .........................................................................237

3.1 TRIBUNA 1: REVISTA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA .................241

3.2 TRIBUNA 2: GAZETA DO POVO...........................................................248

3.2.1 Pobre Matemática! – 16/07/1933 .................................................248

3.2.2 Pobre Matemática! – 21/07/1933 .................................................254

3.2.3 Pobre Matemática! – 29/07/1933 .................................................259

3.2.4 Pobre Matemática! – 06/08/1933 .................................................263

3.2.5 Pobre Matemática! – 20/08/1933 .................................................268

3.2.6 Conterrâneos na tribuna................................................................271

3.3 TRIBUNA 3: COMPANHIA EDITORA NACIONAL ............................288

3.4 SEREBRENICK VERSUS MAEDER........................................................289

3.5 CONCLUSÕES DE DISCUSSÕES EM TRIBUNAS ..............................304

4 ILUSTRAÇÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA..................307

4.1 ILUSTRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 1ª. SÉRIE ..............315

4.2 ILUSTRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 2ª. SÉRIE ..............330

4.3 ILUSTRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 3ª. SÉRIE ..............339

4.4 ILUSTRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 4ª. SÉRIE ..............347

4.5 ILUSTRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 5ª. SÉRIE ..............356

4.6 CONCLUSÕES SOBRE O USO DE ILUSTRAÇÕES.............................363

iii

5 LIVROS DIDÁTICOS DE ALGACYR MUNHOZ MAEDER SOB UM

OLHAR DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA..........................................................367

REFERÊNCIAS ........................................................................................................379

ANEXO I – CURRICULUM VITAE DE MAEDER FORNECIDO PELA FAMÍLIA

E ELABORADO POR ALGACYR MUNHOZ MAEDER EM 1969 .......................388

ANEXO II – LIVROS DE MATEMÁTICA QUE ESTÃO NO ACERVO DA

FAMÍLIA E QUE PERTENCERAM ALGACYR MUNHOZ MAEDER. ...............392

ANEXO III – LOCALIZAÇÃO DAS ILUSTRAÇÕES NA COLEÇÃO LIÇÕES

DE MATEMÁTICA....................................................................................................395

ANEXO IV – INFORMAÇÕES SOBRE OS LIVROS DE MAEDER QUE FORAM

FORNECIDAS PELA EDIÇÕES MELHORAMENTOS..........................................400

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIGURA 1 – FOTOGRAFIAS DE MAEDER EM CINCO MOMENTOS ...................................... 4

FIGURA 2 – CAPAS DOS LIVROS ESCRITOS POR MAEDER .................................................. 11

FIGURA 3 – ESQUEMA EMISSOR-RECEPTOR........................................................................... 16

FIGURA 4 – ESQUEMA CIRCULAR ............................................................................................. 17

FIGURA 5 – ÁLGEBRA ELEMENTAR – 3ª. EDIÇÃO.................................................................. 21

FIGURA 6 – COLEÇÃO LIÇÕES DE MATEMÁTICA.................................................................. 23

FIGURA 7 – TESE CONFORME ESCOLHA.................................................................................. 29

FIGURA 8 – TESE CONFORME SORTEIO ................................................................................... 30

FIGURA 9 – REFERÊNCIAS NA TESE DE MAEDER.................................................................. 32

FIGURA 10 – ANOTAÇÕES DE MAEDER.................................................................................... 34

FIGURA 11 – CAPAS DOS LIVROS ÁLGEBRA ELEMENTAR.................................................. 35

FIGURA 12 – CAPA DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR - 2ª. PARTE ................................... 37

FIGURA 13 – PÁGINA INICIAL DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 2ª. PARTE .............. 38

FIGURA 14 – PARECER PUBLICADO EM JORNAL................................................................... 39

FIGURA 15 – FÓRMULAS PARA PROGRESSÃO ARITMÉTICA .............................................. 48

FIGURA 16 – CAPA DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 1ª. PARTE................................... 51

FIGURA 17 – PÁGINA INICIAL DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 1ª. PARTE .............. 52

FIGURA 18 – MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS ................................................................... 57

FIGURA 19 – EXEMPLOS DE SÉRIES .......................................................................................... 57

FIGURA 20 – APRESENTAÇÃO DA 3ª. EDIÇÃO DE ÁLGEBRA ELEMENTAR ..................... 58

FIGURA 21 – CAPA DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 3ª. EDIÇÃO ................................ 59

FIGURA 22 – PÁGINA INICIAL DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 3ª. EDIÇÃO ............ 60

FIGURA 23 – RECORTE DO DIÁRIO DE SÃO PAULO .............................................................. 65

FIGURA 24 – COLEÇÃO LIÇÕES DE MATEMÁTICA E DATAS .............................................. 66

FIGURA 25 – CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 1º. ANO................................................ 70

FIGURA 26 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 1º. ANO............................ 71

FIGURA 27 – NOTA SOBRE ILUSTRAÇÃO................................................................................. 79

FIGURA 28 – CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 2º. ANO................................................ 82

FIGURA 29 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 2º. ANO............................ 83

FIGURA 30 – MOEDAS ................................................................................................................... 88

FIGURA 31 – UMA DEMONSTRAÇÃO ........................................................................................ 89

FIGURA 32 – CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 3º. ANO................................................ 91

FIGURA 33 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 3º. ANO ........................... 92

FIGURA 34 – REGRA DE RADICIAÇÃO ...................................................................................... 100

FIGURA 35 – CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 4º. ANO................................................ 102

FIGURA 36 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 4º. ANO............................ 103

FIGURA 37 – TEOREMA DE PITÁGORAS................................................................................... 109

FIGURA 38 – GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS.......................................... 110

FIGURA 39 –

CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 5º. ANO................................................ 113

FIGURA 40 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 5º. ANO........................... 114

FIGURA 41 – PRODUTO DE BINÔMIOS ...................................................................................... 119

FIGURA 42 – COLEÇÃO PARA O GINÁSIO ................................................................................ 122

FIGURA 43 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962 .............................................. 124

FIGURA 44 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962 .......................... 125

FIGURA 45 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1943 .............................................. 126

FIGURA 46 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1943 .......................... 127

FIGURA 47 – O METRO .................................................................................................................. 133

FIGURA 48 – MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO ..................................................... 134

FIGURA 49 – MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO QUILOGRAMA........................................ 135

FIGURA 50 – DIVISORES ............................................................................................................... 136

FIGURA 51 – ALGORITMO DE EUCLIDES ................................................................................. 136

FIGURA 52 – UNIDADE DE VELOCIDADE................................................................................. 137

FIGURA 53 – CAPA DA 2ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1952 .............................................. 138

FIGURA 54 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1952 .......................... 139

FIGURA 55 – CAPA DA 2ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1961 .............................................. 140

FIGURA 56 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1961 .......................... 141

FIGURA 57 – REGRA PARA RAIZ QUADRADA......................................................................... 146

FIGURA 58 – CUBO DE BINÔMIO................................................................................................ 147

FIGURA 59 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962 .............................................. 148

FIGURA 60 – PÁGINA INICIAL DA 3ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962 .......................... 149

FIGURA 61 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1944 .............................................. 150

FIGURA 62 – PÁGINA INICIAL DA 3ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1944 .......................... 151

FIGURA 63 – CAPA DA 4ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962 .............................................. 156

FIGURA 64 – PÁGINA INICIAL DA 4ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962 .......................... 157

FIGURA 65 – CAPA DA 4ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1945 .............................................. 158

FIGURA 66 – PÁGINA INICIAL DA 4ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1945 .......................... 159

FIGURA 67 – TEOREMA DE PITOT .............................................................................................. 162

FIGURA 68 – CÁLCULO DO

..................................................................................................... 163

FIGURA 69 – PRIMEIRA COLEÇÃO PARA O GINÁSIO ............................................................ 166

FIGURA 70 – SEGUNDA COLEÇÃO PARA O GINÁSIO ............................................................ 169

FIGURA 71 – COLEÇÃO PARA O COLÉGIO ............................................................................... 171

FIGURA 72 – REGRA PARA APROXIMAÇÕES .......................................................................... 175

FIGURA 73 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1961 ............................................. 177

FIGURA 74 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1961 ......................... 178

FIGURA 75 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1946 ............................................. 179

FIGURA 76 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1946 ......................... 180

FIGURA 77 – CAPA DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1951 ............................................. 183

FIGURA 78 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1951 ......................... 184

FIGURA 79 – CAPA 2ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1955 .................................................... 185

FIGURA 80 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1955 ......................... 186

FIGURA 81 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1948 ............................................. 193

FIGURA 82 – PÁGINA INICIAL DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1948 ......................... 194

FIGURA 83 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1959 ............................................. 195

FIGURA 84 – PÁGINA INICIAL DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1959 ......................... 196

FIGURA 85 – GRÁFICO DE FUNÇÃO LOGARÍTMICA.............................................................. 202

FIGURA 86 – RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS............................................................................. 203

FIGURA 87 – LIMITE TRIGONOMÉTRICO.................................................................................. 203

FIGURA 88 – DUAS COLEÇÕES PARA O COLÉGIO ................................................................. 205

FIGURA 89 – COLEÇÃO PARA O CURSO COMERCIAL BÁSICO ........................................... 207

FIGURA 90 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO .................................... 211

FIGURA 91 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO................ 212

FIGURA 92 – ENCAMINHAMENTO DE FRAÇÕES ................................................................... 214

FIGURA 93 – POTÊNCIA DE UMA SOMA .................................................................................. 215

FIGURA 94 – CAPA 2ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO........................................... 216

FIGURA 95 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO................ 217

FIGURA 96 – CORPOS REDONDOS.............................................................................................. 219

FIGURA 97 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO .................................... 221

FIGURA 98 – PÁGINA INICIAL DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO................ 222

FIGURA 99 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA........................................................................ 224

FIGURA 100 – CAPA 4ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO......................................... 226

FIGURA 101 – PÁGINA INICIAL DA 4ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO.............. 227

FIGURA 102 – ENCAMINHAMENTO DE PROPORÇÃO ............................................................ 229

FIGURA 103 – EIXO DE SIMETRIA NUMA CONCHA ............................................................... 231

FIGURA 104 – ÁLGEBRA ELEMENTAR DE MAEDER.............................................................. 239

FIGURA 105 – CONTRA CAPA DA REVISTA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA................... 242

FIGURA 106 – ALGUNS ANUNCIANTES DA REVISTA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA . 243

FIGURA 107 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (1): 16/07/1933 .......................................... 252

FIGURA 108 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (2): 21/07/1933 .......................................... 257

FIGURA 109 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (3): 29/07/1933 .......................................... 261

FIGURA 110 – CAPA DO LIVRO DE CECIL THIRÉ E MELLO E SOUZA................................ 264

FIGURA 111 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (4): 06/08/1933 .......................................... 266

FIGURA 112 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (5): 20/08/1933 .......................................... 270

FIGURA 113 – ARTIGO DE COBBE (1): 25/07/1933 .................................................................... 273

FIGURA 114 – ARTIGO DE COBBE (2): 02/08/1933 .................................................................... 277

FIGURA 115 – ARTIGO DE COBBE (3): 10/08/1933 .................................................................... 281

FIGURA 116 – ARTIGO DE PIMPÃO (1): 28/07/1933................................................................... 284

FIGURA 117 – ARTIGO DE PIMPÃO (2): 04/08/1933................................................................... 286

FIGURA 118 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 1................................................. 311

FIGURA 119 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 2................................................. 312

FIGURA 120 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 3................................................. 312

FIGURA 121 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 4................................................. 313

FIGURA 122 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 5................................................. 313

FIGURA 123 – ADIÇÃO DE NÚMEROS........................................................................................ 317

FIGURA 124 – DIVISORES DE UM NÚMERO ............................................................................. 317

FIGURA 125 – EXTRAÇÃO DA RAIZ QUADRADA ................................................................... 318

FIGURA 126 – DIVISÃO DE NÚMEROS....................................................................................... 318

FIGURA 127 – MEDIDAS DE SUPERFÍCIE .................................................................................. 319

FIGURA 128 – MEDIDAS DE COMPRIMENTO........................................................................... 319

FIGURA 129 – O METRO EM PLATINA IRIDIADA.................................................................... 320

FIGURA 130 – RÉGUA .................................................................................................................... 321

FIGURA 131 – O METRO NA CONSTRUÇÃO ............................................................................. 321

FIGURA 132 – CORRENTES DE MEDIR ...................................................................................... 321

FIGURA 133 – TRENA..................................................................................................................... 321

FIGURA 134 – MEDIDA DE LENHA ............................................................................................. 322

FIGURA 135 – BALANÇA............................................................................................................... 322

FIGURA 136 – TIPOS DE PESOS UTILIZADOS PARA MEDIR ................................................. 323

FIGURA 137 – FIGURAS GEOMÉTRIACAS VERSUS TEXTO ................................................... 324

FIGURA 138 – QUADRADO NO PLANO CARTESIANO ........................................................... 325

FIGURA 139 – GRÁFICO EXPORTAÇÃO BRASILEIRA ............................................................ 326

FIGURA 140 – FRANCO FRANCÊS VERSUS RÉIS...................................................................... 326

FIGURA 141 – SAFRA DE CAFÉ 1933-1934 ................................................................................. 327

FIGURA 142 – GRÁFICO DE BARRAS E A ERVA-MATE ......................................................... 328

FIGURA 143 – A EXTENSÃO DA REDE FERROVIÁRIA ........................................................... 328

FIGURA 144 – RECENSEAMENTO DE CAFEEIROS DE 1929................................................... 329

FIGURA 145 – EXEMPLOS DE DESENHOS DE CONSTRUÇÃO .............................................. 332

FIGURA 146 – GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO ........................................................ 332

FIGURA 147 – CRISTO REDENTOR E ESCALA.......................................................................... 333

FIGURA 148 – A CAPITAL BRASILEIRA E TRIÂNGULOS....................................................... 334

FIGURA 149 – TRIGONOMETRIA E PINHEIRO.......................................................................... 335

FIGURA 150 – O TRANSFERIDOR................................................................................................ 336

FIGURA 151 – TRAÇANDO UMA PERPENDICULAR................................................................ 336

FIGURA 152 – RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS ........................................................................ 337

FIGURA 153 – MOEDAS ESTRANGEIRAS .................................................................................. 337

FIGURA 154 – GRÁFICO DE FUNÇÃO......................................................................................... 339

FIGURA 155 – PROBLEMAS CLÁSSICOS ................................................................................... 341

vii

FIGURA 156 – TRANSLAÇÃO ....................................................................................................... 342

FIGURA 157 – ROTAÇÃO............................................................................................................... 342

FIGURA 158 – ROTAÇÃO EM TORNO DE UM CENTRO .......................................................... 343

FIGURA 159 – SIMETRIA NO PLANO.......................................................................................... 343

FIGURA 160 – HIPÉRBOLE............................................................................................................ 344

FIGURA 161 – DEMONSTRAÇÃO NO TRIÂNGULO.................................................................. 345

FIGURA 162 – FUNÇÃO CÚBICA ................................................................................................. 345

FIGURA 163 – PARÁBOLA E FUNÇÃO........................................................................................ 346

FIGURA 164 – COMPASSO ESFÉRICO......................................................................................... 349

FIGURA 165 – POLÍGONO ESTRELADO ..................................................................................... 349

FIGURA 166 – CONSTRUÇÕES DE ENEÁGONOS ..................................................................... 350

FIGURA 167 – PROBLEMA GEOMÉTRICO ................................................................................. 350

FIGURA 168 – TRIÂNGULO E HEXÁGONO................................................................................ 351

FIGURA 169 – LÚNULAS DE HIPÓCRATES ............................................................................... 351

FIGURA 170 – ICOSAEDRO ........................................................................................................... 352

FIGURA 171 – ESFERA INSCRITA NO HEXAEDRO.................................................................. 352

FIGURA 172 – TABUA DE LOGARITMOS................................................................................... 353

FIGURA 173 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................... 354

FIGURA 174 – PROBLEMA DAS LUZES...................................................................................... 355

FIGURA 175 – FUNÇÃO SENO ...................................................................................................... 355

FIGURA 176 – INTERPRETAÇÃO DE DERIVADAS................................................................... 357

FIGURA 177 – INTEGRAL DEFINIDA .......................................................................................... 358

FIGURA 178 – LUGAR GEOMÉTRICO......................................................................................... 358

FIGURA 179 – FAROL..................................................................................................................... 359

FIGURA 180 – SECÇÕES CÔNICAS.............................................................................................. 360

FIGURA 181 – EQUIVALÊNCIA DE PIRÂMIDES ....................................................................... 361

FIGURA 182 – TÁBUA REPRODUZIDA DA F.T.D...................................................................... 362

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 – EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 1º. ANO............................................. 74

TABELA 2 – EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 2º. ANO............................................. 80

TABELA 3 –

EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 3º. ANO ............................................ 93

TABELA 4 –

EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 4º. ANO ............................................ 101

TABELA 5 – FÓRMULAS PARA RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................ 112

TABELA 6 –

EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 5º. ANO ............................................ 115

TABELA 7

– EDIÇÕES DO 1º. ANO GINASIAL .......................................................................... 128

TABELA 8 – EDIÇÕES DO 2º. ANO GINASIAL........................................................................... 142

TABELA 9 – EDIÇÕES DO 3º. ANO GINASIAL........................................................................... 153

TABELA 10 – EDIÇÕES DO 4º. ANO GINASIAL......................................................................... 160

TABELA 11 – EDIÇÕES DO 1º. ANO COLEGIAL........................................................................ 172

TABELA 12 – EDIÇÕES DO 2º. ANO COLEGIAL........................................................................ 188

TABELA 13

– EDIÇÕES DO 3º. ANO COLEGIAL ....................................................................... 197

TABELA 14 – EDIÇÕES DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO............................. 210

TABELA 15

– EDIÇÕES DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO............................. 220

TABELA 16

– EDIÇÕES DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO............................. 223

TABELA 17 – EDIÇÕES DA 4ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO............................. 231

TABELA 18 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 1ª. SÉRIE ............................ 315

viii

TABELA 19 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 2ª. SÉRIE ............................ 330

TABELA 20 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 3ª. SÉRIE ............................ 339

TABELA 21 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 4ª. SÉRIE ............................ 347

TABELA 22 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 5ª. SÉRIE ............................ 356

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 – LISTA DOS LIVROS ESCRITOS POR MAEDER.................................................. 10

QUADRO 2 – ESQUEMA SUBDIVISÕES DA MATEMÁTICA................................................... 32

QUADRO 3 – ASSUNTOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR – 2ª. PARTE ...................................... 40

QUADRO 4 – ASSUNTOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR – 2ª. PARTE – 2ª. EDIÇÃO .............. 44

QUADRO 5 – FÓRMULAS DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA ................................................... 48

QUADRO 6 – ASSUNTOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR – 1ª. PARTE – 1ª. EDIÇÃO .............. 50

QUADRO 7 – ASSUNTOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR – 3ª. EDIÇÃO.................................... 62

QUADRO 8 – PROGRAMAS PARA O 1º. ANO ............................................................................ 75

QUADRO 9 –

PROGRAMAS PARA O 2º. ANO ............................................................................ 84

QUADRO 10 – PROGRAMAS PARA O 3º. ANO .......................................................................... 95

QUADRO 11 – PROGRAMAS PARA O 4º. ANO .......................................................................... 104

QUADRO 12 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...................................................................... 111

QUADRO 13 –

PROGRAMAS PARA O 5º. ANO .......................................................................... 115

QUADRO 14 – COMPARAÇÃO ENTRE EDIÇÕES: 1ª. SÉRIE DO GINÁSIO .......................... 131

QUADRO 15 – COMPARAÇÃO ENTRE EDIÇÕES: 2ª. SÉRIE DO GINÁSIO ........................... 143

QUADRO 16 – COMPARAÇÃO ENTRE EDIÇÕES: 3ª. SÉRIE DO GINÁSIO ........................... 154

QUADRO 17 – COMPARAÇÃO ENTRE EDIÇÕES: 4ª. SÉRIE DO GINÁSIO ........................... 165

QUADRO 18 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1942 – 1ª. SÉRIE ........................... 166

QUADRO 19 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1942 – 2ª. SÉRIE ........................... 166

QUADRO 20 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1942 – 3ª. SÉRIE ........................... 167

QUADRO 21 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1942 – 4ª. SÉRIE ........................... 167

QUADRO 22 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1951 ............................................... 170

QUADRO 23 – COMPARAÇÃO ENTRE ÍNDICES DA 1ª. SÉRIE (1946 E 1961) ....................... 176

QUADRO 24 – PROGRAMA OFICIAL PARA O COLÉGIO – 1ª. SÉRIE: 1946 .......................... 181

QUADRO 25 – PROGRAMA OFICIAL PARA O COLÉGIO – 1ª. SÉRIE: 1951 .......................... 182

QUADRO 26 – COMPARAÇÃO ENTRE INDICES DA 2ª. SÉRIE (1951 E 1955) ....................... 187

QUADRO 27 – 2ª. SÉRIE – 1951 – CLÁSSICO E CIENTÍFICO.................................................... 190

QUADRO 28 – COMPARAÇÃO ENTRE ÍNDICES DA 3ª. SÉRIE (1948 E 1959) ....................... 200

QUADRO 29 – PROGRAMA OFICIAL – 3ª. SÉRIE: 1942 ............................................................ 201

QUADRO 30 – PROGRAMA OFICIAL – 3ª. SÉRIE: 1951 ............................................................ 202

QUADRO 31 – CAPÍTULOS DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO....................... 218

QUADRO 32 – ELEMENTOS DE UMA DISCUSSÃO .................................................................. 240

QUADRO 33 – FORMATO DOS QUADROS SEREBRENICK VERSUS MAEDER.................... 290

QUADRO 34 – SOBRE A UTILIZAÇÃO DE LETRAS REPETIDAS........................................... 291

QUADRO 35 – SOBRE A ORDEM NA SOMA DE NÚMEROS ALGÉBRICOS.......................... 292

QUADRO 36 – SOBRE A DEFINIÇÃO DE EXPOENTE............................................................... 293

QUADRO 37 – SOBRE A EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES......................................................... 294

QUADRO 38 – SOBRE EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS...................................... 295

QUADRO 39 – SOBRE POTENCIAÇÃO........................................................................................ 296

QUADRO 40 – SOBRE VALOR NUMÉRICO DE EXPRESSÃO ALGÉBRICA.......................... 297

QUADRO 41 – SOBRE A FÓRMULA DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA ................................. 298

QUADRO 42 – SOBRE A UTILIZAÇÃO DE LETRAS ................................................................. 299

QUADRO 43 – SOBRE POTÊNCIA PAR E POTÊNCIA ÍMPAR.................................................. 300

QUADRO 44 – SOBRE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA............................................................... 301

QUADRO 45 – SOBRE EQUAÇÕES BIQUADRADAS................................................................. 301

QUADRO 46 – SOBRE DISCUSSÕES DE EQUAÇÕES DO 2º. GRAU ....................................... 302

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1 – SOBRE A QUANTIDADE DE IMPRESSÕES – 1ª. SÉRIE.................................... 173

GRÁFICO 2 – SOBRE A QUANTIDADE DE IMPRESSÕES – 2ª. SÉRIE.................................... 189

GRÁFICO 3 – SOBRE A QUANTIDADE DE IMPRESSÕES – 3ª. SÉRIE.................................... 197

GRÁFICO 4 – SOBRE IMPRESSÕES – 1ª. SÉRIE – COMERCIAL ............................................. 210

GRÁFICO 5 – SOBRE IMPRESSÕES – 2ª. SÉRIE – COMERCIAL.............................................. 220

GRÁFICO 6 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 1ª. SÉRIE..................................... 316

GRÁFICO 7 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 2ª. SÉRIE..................................... 331

GRÁFICO 8 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 3ª. SÉRIE..................................... 340

GRÁFICO 9 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 4ª. SÉRIE..................................... 348

GRÁFICO 10 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 5ª. SÉRIE................................... 357

GRÁFICO 11 – ILUSTRAÇÕES CONFORME CATEGORIAS E SÉRIES ................................... 363

GRÁFICO 12 – UTILIZAÇÃO DE ILUSTRAÇÕES – CATEGORIA 3......................................... 365

RESUMO

Algacyr Munhoz Maeder foi autor de 28 livros de Matemática para o ensino escolar

brasileiro. Iniciando em 1928, ainda na época dos compêndios, publicou quatro

coleções voltadas ao ensino dessa disciplina que foram editadas até o ano de 1962.

Esses livros testemunham a transição entre compêndio e livro didático, além de serem

registros do nascimento da disciplina de Matemática como unificação de seus ramos.

Foram escritos em meio a reformas, decretos e portarias de ensino ocorridas no Brasil

e, nesse sentido, são documentos de como o ensino de Matemática sofreu alterações ao

longo de algumas décadas. Este trabalho, na área da História da Educação Matemática,

recupera a história da produção didática desse autor na forma de três ensaios: 1) Uma

leitura dos livros escritos por Maeder – buscando observar os saberes escolares

presentes e como esses livros foram elaborados em meio a referências decorrentes de

reformas educacionais; 2) Tribunas de educadores – evidenciando a presença do autor

Maeder numa discussão ocorrida em 1933 pela crítica de um de seus livros em uma

revista dirigida a professores de Matemática; 3) Ilustrações em livros didáticos de

Matemática – que, por meio de categorias elaboradas nesse estudo, aborda a utilização

desse importante componente didático numa coleção escrita ainda na primeira metade

do século XX.

Palavras-chaves:

Educação Matemática – Livro didático – Ilustrações – História da Educação

Matemática – Saberes escolares

A B S T R A C T

Algacyr Munhoz Maeder was the author of 28 Mathematics books for Brazilian

schools. He started in 1928, still a compendium time, and published four collections

which were edited until 1962, all aimed at the teaching of that subject.

These books represent the transition between a compendium and a didactic book,

besides registering the birth of Mathematics as a unification of its branches.

They were written among teaching amendments, decrees and regulations which

occurred in Brazil, and being so, their meaning is that of documents that show the

changes which Mathematics has been through along the last decades. This work, in

the History area of Mathematics Education, brings back the history of the didactic

production of the author in three essays: 1) a reading of Maeder´s books trying to

observe the current school knowledge and how these books were elaborated among

references resulting from educational reformulations; 2) Educators Gallery: -

showing Maeder´s presence in a discussion occurred in 1933, because of the criticism

about one of his books, in a magazine specially aimed at Mathematics teachers; 3)

Illustrations in Mathematics didactic books - which through elaborated categories in

this study, approach the utilization of this very important didactic component in a

collection already written in the first half of the twentieth century.

Key-words:

Mathematics Teaching – Didactic Book – Illustrations – Mathematics History – School

Book

xii

RESUMEN

Algacyr Munhoz Maeder fue autor de 28 libros de matemáticas para la enseñanza

escolar brasileña. Su trabajo empezó en 1928, todavía en la época de los compendios,

publicó cuatro colecciones relacionadas a la enseñanza de esta asignatura, que fueron

editadas hasta el año 1962. Estos libros son el testigo de la transición entre compendio

y libro didáctico, además, son el registro del nacimiento de la asignatura de

Matemáticas como unificación de sus partes. Los mismos fueron escritos en medio a

reformas, decretos y porterías de enseñanza ocurridos en Brasil y, en este sentido, son

documentos de cómo la enseñanza de Matemáticas sufrió alteraciones a lo largo de

algunas décadas.

Este trabajo, en el área de Historia en Educación Matemática, recupera la historia de la

producción didáctica de este autor en forma de tres ensayos: 1) Una lectura de los

libros escritos por Maeder – buscando observar los saberes escolares presentes y cómo

esos libros fueron elaborados en medio a referencias decurrentes de reformas

educacionales; 2) Tribunas de educadores - evidenciando la presencia del autor

Maeder en una discusión ocurrida en 1933 por la crítica de uno de sus libros en una

revista dirigida a profesores de Matemáticas; 3) Ilustraciones en libros didácticos de

Matemáticas – que, por medio de categorías elaboradas en este estudio plantea la

utilización de este importante componente didáctico en una colección escrita todavía

en la primera mitad del siglo XX.

Palabras-clave:

Educación Matemática – Libro didáctico – Ilustración – Historia en Educación

Matemática – Saberes Escolares

xiii

PREFÁCIO

Uma tese de doutorado não tem “prefácio”.

Um pouco por acaso, e muito por determinação de alguns amigos, tive a

felicidade de contar com hospedagem, apoio, desafios e propostas de trabalho em um

período um tanto conturbado para mim. Nessa ocasião tive que abandonar, quase ao

final de percurso, três turmas de alunos do Curso de Matemática; e passei

sucessivamente por Rio Claro, Bauru e Campinas. Foi quando tivemos a primeira

reunião do GHOEM, Grupo de Pesquisa em História Oral e Educação Matemática; e,

também foi quando fiz, junto aos programas de Educação Matemática ou alunos dos

meus colegas professores, uma série de aulas experimentais que tinham como título

geral “como preparo minhas aulas”.

Um dos segmentos daquela aula remetia a uma imagem cuja impressão, para

mim, ainda é muito forte, e que descrevo em seguida. Trata-se de uma cena do filme

“parque dos dinossauros”, uma cena em que um Tiranossauro Rex espreita um

automóvel parado e com pessoas dentro. Um dos personagens havia deixado claro para

os demais que o T. Rex não conseguiria visualizá-los, a não ser que se colocassem em

movimento. A imagem é a do predador praticamente encostando-se ao carro, enquanto

que as pessoas dentro dele, apavoradas, lutavam para se manter imóveis, apesar do

pânico. Essa imagem motivou-me a tentar escrever um artigo, jamais concluído,

intitulado: “A educação matemática sob o olhar do tiranossauro”. O que seria, então,

esse artigo? Nele, a Educação Matemática invadia as fronteiras, adentrava em

territórios demarcados, e punha-se – apavoradamente – na condição de ficar paralisada

ou correr; e os tiranossauros seriam as normas acadêmicas, os guardiões dos sistemas

de avaliação, das demarcações disciplinares, e todas essas coisas que embora não

sejam tiranossauros “reais”, constituem-se, a meu ver, como predadores das condições

de possibilidade da instituição de novas práticas e olhares.

Todo esse preâmbulo é para chegarmos ao título desta tese, que coloca “sob o

olhar da Educação Matemática” livros didáticos produzidos por certo professor do

Estado do Paraná. Agora, então, a imagem parece se inverter, e a Educação

Matemática alça-se, por analogia, à condição de predadora, e a vítima é alguém que

em dado momento ousou se movimentar através de campos cujas demarcações ele

parecia não conhecer previamente. Ora, sabemos que este professor do Estado do

Paraná não era um “educador matemático” e que chamar os seus livros de “didáticos”

pode atiçar o paladar de outros tipos de predador no interior da floresta acadêmica...

Mas, e se cogitarmos que o título foi escolhido exatamente por essa razão?

Este trabalho é uma tese de doutorado, e desde o seu título ela especifica uma

condição: olha-se um determinado objeto desde certa perspectiva, ou desde certo

lugar. Situa-se este lugar como sendo a “educação matemática”, mas não se diz

exatamente o que ela é... Um exercício para o leitor consiste em situar o movimento:

xiv

um autor, um orientador, um programa de pós-graduação em educação; e uma tese

produzida dentro desse programa. Um dos exercícios, para o autor da tese, foi o de

situar uma obra, a autoria daquela obra e o lugar de sua produção, bem como algumas

das formas como ela foi recebida.

Uma vez que uma tese de doutorado não pode ter um prefácio, isso não é um

prefácio; e eu não me ponho a falar do que está feito mais adiante. Falo da condição de

orientador de um trabalho que poderia ter sido outro, ou infinitos outros... e de como,

em algum momento dos nossos encontros de orientação acabamos concordando em

seguir por esse caminho... e como pude observar, ao longo do tempo, a crescente

empolgação de Adilson com o que estava por fazer, ainda que ambos nos perdêssemos

ante o leque das possibilidades. Devo registrar o meu agradecimento aos professores

que compuseram a banca de qualificação; e que nos ajudaram de modo decisivo a

escolher uma configuração que permitiu chegarmos ao material apresentado hoje para

a avaliação.

Agora o trabalho está pronto. A tese realiza apenas uma das configurações que

vislumbramos, e – acredito - abre perspectivas para infindáveis outros trabalhos. A

tese convida à leitura, e a leitura convida à crítica, às sugestões e à abertura de novos

territórios.

Carlos Roberto Vianna

Curitiba, julho de 2007.

1 INTRODUÇÃO

Para uma sociedade que está cheia de confusão em relação

ao presente e perdeu a fé no futuro, a história do passado

parecerá uma mistura sem sentido de acontecimentos sem

relação. Se nossa sociedade recuperar seu domínio do

presente e sua visão do futuro, ela também, em virtude do

mesmo processo, renovará sua compreensão do passado.

Edward Hallet Carr

As recomendações para escrita de um trabalho científico, conforme

normalmente se divulgam, orientam o autor para a utilização da forma impessoal dos

verbos. Também, conforme essas mesmas “normas” há ainda a possibilidade da

utilização da forma pessoal na escrita de teses e dissertações que são apresentadas à

Academia. Nessas, a primeira pessoa do singular se apresenta no sentido de assumir a

produção científica correspondente. Ao lermos trabalhos apresentados com essa

conjugação verbal, podemos ter mais clareza dos posicionamentos dos pesquisadores,

observando-se ainda de forma direta o debate entre quem produz o texto e as fontes

que são utilizadas. Enfim, o autor se apresenta dando ao trabalho o tom pessoal,

assumindo de forma decisiva suas posições, suas verdades, mesmo sabendo que

possam ser transitórias. Não importa se suas verdades não são irrefutáveis. O que

interessa é o seu posicionamento, pois é a sua pesquisa.

A partir desse ponto, utilizo no presente trabalho a primeira pessoa do singular.

Acredito que, ao proceder dessa maneira, assumo responsabilidades ainda maiores

perante a comunidade acadêmica quanto ao posicionamento que faço como

pesquisador na elaboração deste texto. Uma justificativa de tal posicionamento refere-

se à ligação existente entre a minha atual ocupação profissional

e o objeto de minha

pesquisa: sou autor de livros didáticos de Matemática e falarei de livros didáticos de

Matemática, daí a utilização da primeira pessoa ao “ouvir as vozes do passado”,

descrevendo, comentando, posicionando e questionando uma parte da história do livro

didático de Matemática produzido no Brasil ao longo de aproximadamente quatro

Não acredito que a ocupação profissional seja relevante para que a pesquisa seja mais bem

considerada. Considero que tal ocupação tenha sido um dos fatores que motivaram o presente trabalho

e, sendo assim, compartilho com o leitor.

décadas do século XX. Essa fração de nossa história tem início em finais dos anos

1920, vê passar toda a era Getúlio Vargas e termina às portas do golpe de 1964.

No presente capítulo, pondero sobre os motivos que me conduziram a esta

pesquisa, além de evidenciar o tema deste trabalho, o objeto do trabalho, as fontes que

utilizarei para compor o estudo, as minhas hipóteses e questões que coloco como

principais motivadoras, bem como as dificuldades observadas que vão desde a escolha

do tema até a elaboração do trabalho como um todo.

1.1 MOTIVOS E DÚVIDAS

A escolha de um tema de pesquisa e sua justificação, como indicam CARDOSO

e BRIGNOLI (2002)

, pode ter diversos critérios, entre os quais o interesse pessoal

pelo tema, a importância do tema, a originalidade e a presença de uma documentação

disponível a ser utilizada como fonte para o desenvolvimento da pesquisa. Acredito

que, quando um pesquisador decide qual será o seu tema, certamente há, inicialmente,

uma motivação pessoal. Com o avançar da pesquisa, outras motivações acabam

surgindo. A necessidade de delimitação do problema, as diversas leituras que são feitas

a respeito do tema, o contato com as fontes e o estudo a respeito do objeto da pesquisa

acabam conduzindo o pesquisador a outras motivações e, muitas vezes, alterando o

caminho antes esboçado.

A escolha do tema desta pesquisa surgiu em uma conversa com o meu

orientador Carlos Roberto Vianna: “Já que você é um autor de livros de Matemática,

por que não pesquisar sobre eles? Há um autor paranaense de livros didáticos de

Matemática chamado Algacyr Munhoz Maeder, você conhece?” Essas teriam sido

algumas perguntas que acabaram me conduzindo à investigação sobre quais seriam

esses livros didáticos de Matemática e quem de fato teria sido esse autor paranaense.

Assim, após algumas incursões em bibliotecas e sebos existentes, descobri que já

Autores do livro Os métodos da história – introdução aos problemas, métodos e técnicas da história

demográfica, econômica e social, editora Graal, 2002.

estava envolvido com o tema, mesmo que ainda não tivesse clareza sobre o que

exatamente pesquisar.

O conhecimento a respeito de Maeder

que acabei tendo, conforme a

necessidade de pesquisar sobre os seus livros, conduziu-me a uma grande curiosidade

sobre a sua história de vida. É um personagem intrigante pela capacidade de gerenciar

diversas atividades quase que simultaneamente e pelo interesse que teve em sua vida

com relação a conhecimentos diversos (assim como escrevia livros de Matemática,

proferia palestras sobre a Teoria da Relatividade, conforme arquivos pessoais da

família). Além de participações em congressos, exerceu diversas funções, entre as

quais destaco: diretor do Gymnasio Paranaense (atual Colégio Estadual do Paraná) de

1928 a 1930, prefeito de Curitiba

em 1946 (ficou aproximadamente um ano no

cargo), reitor da Universidade Federal do Paraná de 1971 a 1972 e membro

Conselho Federal de Educação.

Considero que o fato de conhecer um pouco mais sobre a trajetória

de Maeder

acabou motivando muito o presente trabalho, além de proporcionar um emaranhado de

dúvidas a respeito do que, de fato, seria a minha pesquisa. Em determinado momento,

confesso, a motivação pessoal pela pesquisa sobre o livro didático produzido por

Maeder cedeu lugar a uma curiosidade em querer contar a história do autor,

principalmente pela quantidade de funções que exerceu, títulos conquistados e

palestras proferidas não apenas sobre Matemática, mas sobre Física e Educação, de um

Passo a designar como Maeder o autor Algacyr Munhoz Mäder. Observo que, na certidão de

nascimento há trema na escrita de seu sobrenome. Nos livros didáticos escritos por ele pela Tipografia

João Haupt e Cia., de Curitiba, o nome completo aparece conforme a certidão de nascimento. Já nos

livros produzidos pela Edições Melhoramentos, de São Paulo, o sobrenome aparece como Maeder. Ao

questionar a filha de Maeder sobre esse fato, ela diz se tratar de um erro cometido pela editora em São

Paulo e que, como saiu dessa forma nos primeiros volumes, preferiram (autor e editora) não alterar em

livros posteriores.

Durante seu mandato de prefeito houve a doação de uma grande área, por parte da prefeitura de

Curitiba, para a construção do atual Centro Politécnico da Universidade Federal do Paraná. Conforme

decreto-lei número 134 de 21/06/1946: “Fica a Prefeitura Municipal de Curitiba autorizada a doar um

terreno com a área de 500.000 (quinhentos mil) metros quadrados, no Cajuru, a Universidade Federal

do Paraná”.

Maeder estava em Brasília, exercendo a sua função de conselheiro no Conselho Federal de Educação,

quando não passou bem de saúde. Foi transportado para Curitiba, aonde veio a falecer no dia 29 de

dezembro de 1975.

A família de Maeder forneceu uma cópia do currículum vitae do “Prof. Algacyr Munhoz Maeder”,

que faço constar do ANEXO I desta pesquisa.

modo geral. O foco da pesquisa começou a ficar difuso. Comento isso, pois assim

como Bloch

, acredito que todo o pesquisador em História deva ter uma preocupação

em falar de suas fraquezas, suas dificuldades e suas dúvidas quando na construção do

texto de sua pesquisa.

FIGURA 1 – FOTOGRAFIAS DE MAEDER EM CINCO MOMENTOS

Idade: 10 anos Idade: 14 anos Idade: 22 anos

Idade: 43 anos Idade: 68 anos

Marc Bloch é autor de Apologia da história ou o ofício de historiador. É desse livro que tiro a

seguinte lição:

Todo livro de história digno desse nome deveria incluir um capítulo ou, caso se prefira, inserir

nos pontos de reviravolta do desenvolvimento, uma seqüência de parágrafos que se intitularia

algo como: ‘Como posso saber o que vou dizer?’. Estou convencido de que, ao tomar

conhecimento dessas confissões, mesmo os leitores que não são do ramo sentiriam um

verdadeiro prazer intelectual. O espetáculo da busca, com seus sucessos e reveses, raramente

entedia. É o tudo pronto que espalha o gelo e o tédio. (BLOCH, 2001, p. 83).

Um outro ponto que considero como fator de motivação para o presente

trabalho foi a busca dos livros didáticos produzidos por Maeder. Como um garimpeiro

em busca de suas preciosidades, encontrar os livros desse autor representou uma

ocupação que alternava momentos de otimismos com outros de pessimismos. Por mais

que existam pessoas exemplarmente preocupadas com a preservação da memória,

particularmente aquelas que trabalham em bibliotecas, isso não me parece ser

suficiente. Encontrar páginas de livros do início do século passado, rasuradas e

cortadas, é algo comum e, em minha opinião, só não é pior do que observar que

páginas inteiras foram arrancadas. Esses são os momentos em que o pessimismo

aparece na pesquisa. Já o otimismo surge quando nos deparamos com pessoas que não

só auxiliam na busca de nossas fontes e objetos, como também consideram ser

relevante o estudo a respeito da história da produção intelectual brasileira, a nossa

história cultural.

Hoje, quando lembro das várias etapas de na construção do presente trabalho,

observo que a maior dificuldade sempre esteve presente: saber o que exatamente

pesquisar diante de tantas opções que se mostraram. A delimitação do que vem a ser o

objeto da pesquisa, o que olhar neste objeto, e como olhar, representam, no meu ponto

de vista, os grandes obstáculos a serem enfrentados em um trabalho que pretende dar

alguma contribuição à comunidade acadêmica. Ao contrário de considerar tudo isso

como fatores negativos, acredito serem pontos que acabam motivando e conduzindo o

pesquisador a mergulhar cada vez mais em suas fontes. Aí tem início, internamente,

um verdadeiro debate de idéias que acabam exigindo dele amadurecimento, definição

do que é sua busca e, tão importante quanto, exigem dele a tão difícil, mas necessária e

aguardada delimitação do seu problema de pesquisa.

Aqueles que elaboram estudos em História possam talvez compartilhar de um

momento extremamente importante para o pesquisador: encontrar o objeto de sua

pesquisa. Na minha, era um objeto físico: o livro didático de Matemática de Maeder.

Após visitar diversas bibliotecas e casas de livros usados, acabei encontrando alguns

volumes desse autor, porém, na maioria das vezes, em “estado crítico”.

Numa dessas incursões me ocorreu verificar a existência de parentes próximos e

a possibilidade de alguém ter guardado mais alguns dos livros do autor paranaense.

Maeder teve um filho de nome Jordão Maeder Filho, porém falecido. Quem me disse

isso foi Cláudio Mäder, primo de Maeder. Alguns dias depois recebi um telefonema de

uma senhora de nome Clotilde, isto é, Clotilde Francisca Guimarães Mäder.

Apresentou-se como filha de Algacyr Munhoz Maeder e, sabendo de minha pesquisa

por intermédio de um encontro que acabou tendo com Cláudio, colocava-se, a partir

daquele momento, inteiramente à disposição. Ela havia guardado em sua residência

parte do acervo do pai: uma estante repleta de vários livros, entre os quais os de sua

autoria. Tinha em mãos uma boa parte do objeto de pesquisa e indícios sobre suas

prováveis influências como autor (os demais livros de seu acervo particular, ou o que

sobrou deles).

Além dos livros de sua autoria, também encontrei diversas outras obras.

Aquelas voltadas à Matemática menciono no ANEXO II. Essas obras, de alguma

maneira, representaram possíveis influências na formação de Algacyr Munhoz

Maeder, não apenas como autor, mas também em seus estudos de Engenharia.

Ainda em relação às justificativas e motivações para essa pesquisa, devo

observar a relevância do tema. As práticas educativas brasileiras estão fortemente

atreladas ao livro texto

, ou, como também é conhecido, livro didático. Freitag (1993)

comenta, utilizando apenas o ponto de vista de utilização do livro didático, que

existem três categorias de usuários. A primeira refere-se ao Estado, que gerencia a

compra e a distribuição do livro. A segunda categoria pertence ao professor que,

conforme sua preferência e critérios geralmente pessoais, escolhe e utiliza o livro

didático como um de seus principais instrumentos de trabalho. Quanto à terceira

categoria de usuários, encontra-se o aluno. Esse “tem no livro o material considerado

indispensável para seu aprendizado nesta ou naquela área do conhecimento, num ou

noutro nível e formação”.

Mais adiante, neste trabalho, discuto o que são os livros didáticos, compêndios, manuais, livros

textos.

Assim, voltando àquilo que é interesse nesta pesquisa, entendo que observar

como os livros didáticos são produzidos, como os conteúdos são abordados e contar a

história de sua evolução constituem temas de pesquisas que são relevantes. Para

SILVA (2000, p. 109) o papel do livro didático na Educação Matemática “é merecedor

de uma análise cuidadosa”, embora, acrescente a seguir, “há poucos estudos

sistemáticos sobre a história do livro didático” em nosso país.

Situo a presente pesquisa, conforme tema e delimitação a seguir, numa área

conhecida como História da Educação Matemática. Justifico tal localização

apropriando-me de palavras daqueles pesquisadores que a um bom tempo têm aberto

trilhas imensas nesse campo, deixando caminhos fecundos para novas produções e

pesquisas. Miguel e Miorim em História na Educação Matemática – propostas e

desafios destacam três campos de investigação a partir da História da Matemática:

Entretanto, o movimento em torno da História da Matemática já é tão amplo e diversificado

que poderíamos acusar a constituição, em seu interior, de vários campos de pesquisa

autônomos, que, no entanto, mantêm, em comum, a preocupação de natureza histórica

incidindo em uma das múltiplas relações que poderiam ser estabelecidas entre a História, a

Matemática, a Educação. Dentre tais campos de investigação, três deles se destacam: o da

História da Matemática propriamente dita, o da História da Educação Matemática e o da

História na Educação Matemática. (MIGUEL; MIORIN, 2004, p. 11).

Para esses autores, pesquisas que tomam, entre outros, os livros de Matemática

“que são destinados ao ensino em qualquer nível e época” como objeto de investigação

estão situados no campo da História da Educação Matemática. É nesse campo que o

presente trabalho procura dar a sua contribuição.

1.2 DO COMPÊNDIO AO LIVRO DIDÁTICO?

Neste tópico, procuro caracterizar a minha investigação, levantando o tema a

ser abordado, o objeto da pesquisa, as hipóteses e questões que conduzem o presente

trabalho e as fontes que utilizo.

Como apontei anteriormente, esta é uma pesquisa que deve ser situada no

campo da investigação denominado História da Educação Matemática. Assim,

considero necessário explicitar as fontes históricas e a historiografia a serem utilizadas.

Concordo com D’AMBRÓSIO (2000, p. 242):

Uma vez identificados os objetos do estudo, a relação de fatos, datas e nomes depende de

registros, que podem ser de natureza muito diversa: memórias, práticas, monumentos e

artefatos, escritos e documentos. Essas são as chamadas fontes históricas.

A interpretação das chamadas fontes históricas depende muito de uma ideologia e de uma

metodologia de análise dessas fontes. O conjunto dessas metodologias, não só na análise mas

também na identificação das fontes, é o que se chama historiografia.

Embora esse autor refira-se a História da Matemática, entendo que tais

preocupações devam ser estendidas para as pesquisas em História da Educação

Matemática, uma vez que essa pode ser considerada como um campo de investigação

daquela.

O título em forma de questão para a presente seção representa um amontoado

de dúvidas que existiram desde o primeiro instante da decisão tomada sobre a história

dos livros didáticos de Maeder. São dúvidas que serviram de condutores da minha

pesquisa e que considero, como apontou o historiador Bloch, importante compartilhar

com o leitor:

• O que devo dizer do personagem Algacyr Munhoz Maeder?

• Devo observar os livros didáticos sem levar em conta o autor?

• É necessário entrar na discussão da concepção do livro didático?

• Preciso discutir as diferenças e as semelhanças entre as diversas

concepções dos livros didáticos e os nomes dados a eles ao longo da

História da Educação em nosso país? O que é um compêndio? O que é

um livro didático?

• Nesta pesquisa, os livros didáticos de Maeder são objetos, fontes ou

podem ser considerados como fontes e/ou objetos?

Essas são apenas algumas dúvidas que me acompanharam no processo de

definição de objetivos e, confesso, até mesmo em boa parte da escrita deste trabalho.

Não acredito ser possível responder a todas de forma convincente, porém as utilizo

como referências para conduzir a delimitação deste estudo. Assim, por exemplo, as

duas primeiras questões me conduziram à decisão de discorrer, sempre que possível,

sobre o personagem Maeder, porém deixando claro que esse não é o objeto de

pesquisa e sim os livros didáticos de sua autoria. Isso não elimina a necessidade de

discorrer, mesmo que sucintamente, sobre parte de sua vida, de sua trajetória. Optei

por não destinar capítulo específico para tal, mas fornecer dados que julguei

necessários no sentido de informar o leitor sobre o contexto de vida do autor cuja

produção didática é o foco principal aqui. Faço isso, por exemplo, a seguir.

Algacyr Munhoz Maeder nasceu em Curitiba, capital do Paraná, no dia 22 de

abril de 1903. Seus primeiros anos escolares foram nessa cidade, passando, alguns

anos depois, a estudar no Colégio São Bento, na capital de São Paulo. Voltando a

Curitiba, terminou os ciclos secundários para então ingressar na Faculdade de

Engenharia da Universidade Federal do Paraná, formando-se Engenheiro Civil.

Observo que, de um modo geral, os professores e autores de livros didáticos de

Matemática, nas primeiras décadas do século XX, eram formados em Engenharia.

Maeder foi autor de livros didáticos de Matemática editados por duas editoras:

Typ. João Haupt e Cia. (em Curitiba - PR) e Edições Melhoramentos (em São Paulo -

SP). Essas obras têm publicações que vão desde o ano de 1928 até o ano de 1962

(observar QUADRO 1). Nesse quadro, relaciono os títulos dos livros de Maeder com

as correspondentes datas de suas publicações em primeira edição

, editora e local de

publicação.

São 19 livros

de autoria de Maeder publicados

em duas editoras, que

compreendem o período de 1928 até 1962 (observar FIGURA 2 contendo as capas

desses livros). Esses livros de Matemática, além de objetos materiais, são objetos

culturais e entendidos aqui como fontes privilegiadas para a presente pesquisa,

Como detalharei mais adiante, ao descrever cada um desses livros, as datas de publicações de alguns

deles não aparecem nas páginas iniciais. Para chegar a essas datas consultei os arquivos existentes na

Edições Melhoramentos em São Paulo. Mesmo assim, os dados não são completos. Também

encontrei uma referência do Museu Paranaense publicado pela Imprensa Oficial do Estado (em

Curitiba) de autoria de Júlio Estrella Moreira. Nessa publicação de Moreira há referência aos trabalhos

publicados no Paraná, trabalhos de autores paranaenses e trabalhos relativos ao Paraná.

Ao final de um dos ensaios que compõem a presente pesquisa, evidenciarei que Maeder escreveu

um número maior de livros.

Maeder publicou também um livro contendo tabelas de logaritmos pela Edições Melhoramentos em

1937, com uma nova edição em 1943: Tábua de logaritmos e formulário de Matemática. Tal

publicação, acredito, destinava-se a ser utilizada como complemento da coleção Lições de

Matemática.

conforme estudos que explicitarei mais adiante. Além disso, em determinado momento

esses mesmos livros também serão abordados como fontes de consulta. Compreendo

que um livro didático, em qualquer disciplina escolar, muito além de ser um suporte

material utilizado para o ensino, pode também ser considerado como um objeto

cultural. Da mesma forma, ele também representa uma fonte privilegiada de pesquisas

que pretendem buscar a compreensão de componentes de currículos escolares.

QUADRO 1 – LISTA DOS LIVROS ESCRITOS POR MAEDER

1. Álgebra elementar – 2ª. parte

1928 - Editora: Typ. João Haupt e Cia.; Curitiba – PR

2. Álgebra elementar – 1ª. parte

1931 - Editora: Typ. João Haupt e Cia.; Curitiba – PR

3. Álgebra elementar – 3ª. edição

1933 - Editora: Typ. João Haupt e Cia.; Curitiba – PR

4. Lições de Matemática – 1º. ano (1ª. série)

1934 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

5. Lições de Matemática – 2º. ano (2ª. série)

1935 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

6. Lições de Matemática – 3º. ano (3ª. série)

1936 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

7. Lições de Matemática – 4ª . ano (4ª. série)

1937 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

8. Lições de Matemática – 5º. ano (5ª. série)

1938 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

9. Curso de Matemática – 1ª. série – curso ginasial

1943 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

10. Curso de Matemática – 2ª. série – curso ginasial

1943 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

11. Curso de Matemática – 3ª. série – curso ginasial

1944 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

12. Curso de Matemática – 4ª. série – curso ginasial

1945 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

13. Curso de Matemática – 1ª. série – ciclo colegial

1946 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

14. Curso de Matemática – 2ª. série – ciclo colegial

1947 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

15. Curso de Matemática – 3ª. série – ciclo colegial

1948 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

16. Matemática – 1ª. série – curso comercial básico

1952 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

17. Matemática – 2ª. série – curso comercial básico

1954 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

18. Matemática – 3ª. série – curso comercial básico

1958 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

19. Matemática – 4ª. série – curso comercial básico

1960 - Editora: Edições Melhoramentos; São Paulo – SP

FIGURA 2 – CAPAS DOS LIVROS ESCRITOS POR MAEDER

Neste ponto, senti a necessidade de examinar um pouco mais a respeito das

concepções existentes sobre o livro didático, buscando assim uma melhor

compreensão a respeito do objeto desta pesquisa.

CHOPPIN (2007, p.4) assim se posiciona em relação à definição de livro

didático:

Se hoje consideramos o livro didático como um objeto banal, um objeto tão familiar que

parece inútil tentar defini-lo, o historiador que se interessa pela evolução dos livros escolares

se depara, logo de início, com um problema de definição. A natureza da literatura escolar é

complexa porque ela se situa no cruzamento de três gêneros que participam, cada um em seu

próprio meio, do processo educativo: de início, a literatura religiosa de onde se origina a

literatura escolar, da qual são exemplos, no Ocidente cristão, os livros escolares laicos “por

pergunta e resposta”, que retomam o método e a estrutura familiar aos catecismos; em seguida,

a literatura didática, técnica ou profissional que se apossou progressivamente da instituição

escolar, em épocas variadas – entre os anos 1760 e 1830, na Europa -, de acordo com o lugar e

o tipo de ensino; enfim, a literatura de “lazer”, tanto a de caráter moral quanto a de recreação

ou de vulgarização, que inicialmente se manteve separada do universo escolar, mas à qual os

livros didáticos mais recentes e em vários países incorporam seu dinamismo e características

essenciais.

Para esse mesmo pesquisador, o estudo histórico a respeito dos livros didáticos

evidencia que eles exercem quatro funções consideradas essenciais: função referencial

(quando da existência de programas de ensino os livros didáticos representam a “fiel

tradução do programa”); função instrumental (“põem em prática métodos de

aprendizagem”); função ideológica e cultural; função documental (os livros didáticos

podem fornecer um conjunto de documentos “textuais ou icônicos”).

Mas o que é um livro didático? Na tentativa de elaborar uma resposta objetiva

para essa questão deparei-me com uma outra necessidade relacionada ao campo

histórico do livro didático. A denominação “livro didático”, conforme é atualmente

conhecida, sofreu alterações que passam, pelo menos, por seis outras: compêndio,

compêndio escolar, manual

, livro escolar, livro de classe e livro texto. Uma outra

dificuldade é apontada por trabalhos produzidos dentro dessa área do conhecimento:

“No Brasil existem poucos estudos sobre a história do livro didático. Em alguns casos

aparecem como introduções para outros temas ou surgem como fonte para estudos da

evolução de conceitos em trabalhos sobre a história de uma determinada disciplina”.

Fraçois-Marie Gerard e Xavier Roegiers utilizam também a denominação manual escolar no livro

escrito por eles, Conceber e avaliar manuais escolares, publicado em 1998 pela Porto Editora Ltda.

(BITTENCOURT, 1993, p. 4). Compartilho com Bittencourt, quando me coloco como

pesquisador, essa dificuldade apontada em sua tese de doutoramento. Também

concordo com essa autora na importância de existirem pesquisas sobre o livro didático

que auxiliariam a compreensão da história do saber escolar em qualquer das

disciplinas escolares.

Voltando à questão sobre o que compreendo como livro didático e suas diversas

denominações, que vão desde o compêndio até o livro didático como atualmente

referenciamos, postulo a existência de eventuais e significativas diferenças quanto a

algumas dessas denominações. Da mesma forma, me parece claro que algumas delas,

pelo uso, são apenas sinônimas. Um exemplo disso constatei no trabalho de

Bittencourt mencionado acima. “Livro didático”, “livro escolar” e até mesmo “manual

escolar” são empregados pela autora como denominações sem aparentes distinções.

Embora não tenha como objetivo analisar cada uma dessas denominações,

apenas como exemplo, já na criação de um órgão responsável pela análise do livro

didático, na época em que Algacyr Munhoz Maeder escrevia seus livros, percebe-se

uma diferença entre alguns desses termos. Assim, no decreto-lei n

. 1006 de

30/12/1938, em que é criada a Comissão Nacional do Livro Didático (CNLD), é

possível observar uma qualificação para o termo livro didático:

1º. - Compêndios são livros que exponham total ou parcialmente a matéria das disciplinas

constantes dos programas escolares;

2º. - Livros de leitura de classe são os livros usados para leitura dos alunos em aula; tais livros

também são chamados de livros de texto, livro-texto, compêndio escolar, livro escolar, livro de

classe, manual, livro didático.

No decreto mencionado, há uma diferença nas concepções de “compêndios” e

“livro didático”, que também é apontado como “compêndio escolar”. Essa diferença

interpreto como estando ligada, por um lado, à utilização, isto é, enquanto

“compêndio” expõe total ou parcialmente os conteúdos das disciplinas conforme os

correspondentes programas (talvez como consulta ou utilização de referência por parte

do professor), o “livro didático” é dirigido ao aluno (para seu uso em sala e/ou

consulta). Por outro lado, acredito que há uma separação entre o livro que contém “o

conhecimento científico” (compêndio) e aquele outro livro que é responsável por

difundir “o conhecimento escolar” (compêndio escolar ou livro didático)

Entre todos os termos citados aqui, entendo que existem mais semelhanças

(digo mais, sou favorável até a aceitar como sinônimos) entre “livro-texto”, “livro

didático”, “manual escolar” (ou simplesmente “manual”), “livro escolar”, “livro de

classe” do que qualquer um desses termos quando comparados com “compêndio”. Aí

as semelhanças parecem estar ligadas apenas à utilização em sala de aula. As

diferenças aparecem principalmente na forma (considero a linguagem) como os textos

e os conteúdos são elaborados e apresentados. Enquanto os compêndios representam

resumos de conteúdos numa linguagem que está voltada às definições, os demais

procuram externar, mesmo que muitas vezes de forma tímida, preocupações voltadas

principalmente a exemplificar e a esclarecer até mesmo o leigo. Para resumir essas

minhas considerações, que acredito estarem sujeitas as críticas, faço a leitura de que o

termo “compêndio” parece, em algum momento da história, ceder seu lugar ao livro

didático ou a outra denominação correspondente. Também acredito que houve

inicialmente um compêndio não utilizado pelo professor em sala de aula, mas que

passou a ser a sua referência e, num momento mais adiante, tornou-se um instrumento

auxiliar durante suas exposições para alunos passivos, onde as “lições” eram ditadas. É

aí que surge o compêndio escolar, que foi designado simplesmente como

“compêndio”.

Mas a preocupação, por ora, está ligada à compreensão e a uma possível

qualificação do que se pode entender como livro didático, principal objeto desta

investigação.

SILVA (2000, p. 110), além de citar o decreto-lei mencionado anteriormente,

expõe a posição defendida por SCHUBRING (2003), em que o livro-texto,

particularmente o de Matemática, pode ser compreendido como uma “materialização”

da Matemática Escolar e, ainda, conclui dizendo que “uma das características dos

livros-textos é fornecer um conjunto de conhecimentos sistematizados de uma

SCHUBRING (2003, p. 12) levanta uma questão voltada ao que denomina de “status” do livro

texto. “Um problema se refere ao status epistemológico dos livros-texto: são eles talvez apenas uma

versão expurgada, uma mera caricatura da ciência?”.

determinada época bem precisa, numa linguagem simples, sem um rigor excessivo e

de fácil compreensão ao estudante”. Acredito que outra característica dos livros-textos,

que chamarei de livro didático

, refere-se ao direcionamento que acaba conduzindo o

trabalho do professor no desenvolvimento do saber escolar. Nesse sentido, sou

favorável a aceitar que além de ser considerada uma referência, o livro didático

condiciona e até, em algumas vezes, limita a geração de novos conhecimentos.

Bittencourt, além de observar as características do livro didático, também

aponta concepções relacionadas, por exemplo, à produção, isto é, “o livro didático é,

antes de tudo, uma mercadoria, um produto do mundo da edição que obedece à

evolução das técnicas de fabricação e comercialização pertencentes à lógica do

mercado” (2005, p. 71). Menciona também a sua função como veículo de transmissão

de conteúdos:

Mas o livro didático é também um depositário dos conteúdos escolares, suporte básico e

sistematizador privilegiado dos conteúdos elencados pelas propostas curriculares; é por seu

intermédio que são passados os conhecimentos e técnicas considerados fundamentais de uma

sociedade em determinada época. O livro didático realiza uma transposição do saber

acadêmico para o saber escolar no processo de explicitação curricular. Nesse processo, ele cria

padrões lingüísticos e formas de comunicação específicas ao elaborar textos com vocabulário

próprio, ordenando capítulos e conceitos, selecionando ilustrações, fazendo resumos etc.

(BITTENCOURT, 2005, p. 72).

Como “instrumento pedagógico”, o livro didático atual (contendo o manual do

professor ou, como foi dito anteriormente, o também conhecido livro do professor)

acaba elaborando condições e também estruturas do ensino para que o professor

desenvolva a sua função, isto é, apresenta “não apenas os conteúdos das disciplinas,

mas como esse conteúdo deve ser ensinado”. Um outro ponto abordado por

Bittencourt refere-se ao livro didático com um “veículo portador de um sistema de

Atualmente o termo livro didático é o mais utilizado. Além disso, é importante observar que o termo

“manual”, apontado do decreto de 30/12/1938, sofreu transformações. Hoje quando as editoras e os

autores falam em livro didático, é possível perceber a existência do livro do aluno e do livro do

professor. Esse, além de conter tudo o que há no livro do aluno, aborda questões metodológicas,

sugestões de leituras para o professor, respostas das atividades que são propostas e possíveis

encaminhamentos de conteúdos (é o chamado manual do professor). Utilizo nesta pesquisa a

denominação livro didático, compreendendo que, na época de Maeder, tal denominação não era tão

abrangente como a atual. Basta, por exemplo, observar que naquela época não existia fisicamente o

manual do professor.

valores, de uma ideologia, de uma cultura”. Há também um outro elemento importante

a ser observado sobre a utilização do livro didático. Se por um lado ele é portador de

uma cultura, ao difundir ideologia, também se constituiu, ao longo de sua história, um

instrumento de “controle estatal sobre o ensino e aprendizado dos diferentes níveis

escolares”. (BITTENCOURT, 1993, p. 17).

GÉRARD e ROEGIERS (1998, p. 19), ao elaborarem uma definição para livro

didático, utilizam a denominação “manual escolar”. Além disso, apontam suas

principais características que estão diretamente ligadas à sua utilização:

Um manual escolar pode ser definido como um instrumento

impresso, intencionalmente

estruturado para se inscrever num processo de aprendizagem, com o fim de lhe melhorar a

eficácia.

Um manual escolar possui várias características:

- pode preencher diferentes funções associadas à aprendizagem;

- pode incidir em diferentes objetos de aprendizagem;

- pode propor diferentes tipos de atividades suscetíveis de favorecer essa mesma aprendizagem.

Mesmo que se possa fornecer uma definição de livro didático (manual escolar)

ela não será completa enquanto for incapaz de envolver todos os atores envolvidos na

elaboração, na confecção, na divulgação, na escolha, na orientação e na utilização.

Assim, por exemplo, Gerard e Roegiers, ao descreverem o processo de elaboração do

livro didático, o fazem por meio de um esquema, que reproduzo a seguir:

FIGURA 3 – ESQUEMA EMISSOR-RECEPTOR

CHOPPIN (in BITTENCOURT, 2005) afirma que o livro didático não é apenas um instrumento

pedagógico, isto é: “Os livros didáticos não são apenas instrumentos pedagógicos: são também

produtos de grupos sociais que procuram, por intermédio deles, perpetuar suas identidades, seus

valores, suas tradições, suas culturas”.

Mesmo que esse esquema clássico emissor-receptor se refira a alguns atores do

processo de elaboração-utilização, em que o “manual escolar é o meio pelo qual um

autor transmite uma informação aos seus utilizadores, os alunos e os professores”, ele

não contempla outros personagens que certamente estão envolvidos em todas as etapas

da elaboração-produção-divulgação-avaliação-utilização. Aqui compreendo “avaliação”

não apenas no sentido da etapa que antecede a escolha do livro didático (como

atualmente se dá no Brasil), como também no “retorno” após a utilização em sala de

aula como um instrumento auxiliar de aprendizagem. É aí que o outro esquema

elaborado por Gérard e Roegiers me parece mais completo, considerando que o termo

“edição”, por eles utilizados, se refira às etapas intermediárias existentes na editora, que

também geralmente se responsabiliza pela divulgação.

FIGURA 4 – ESQUEMA CIRCULAR

Esses autores afirmam que “a função de edição está situada no disco central do

esquema, uma vez que não só assegura a articulação entre as outras funções, como é,

paralelamente, responsável pelo sucesso técnico e financeiro do projeto de manual”

(GÉRARD; ROEGIERS, 1998, p. 22). Como se sabe, cabe ao editor assumir não

apenas o fabrico do livro, como também seu financiamento e a outra etapa denominada

divulgação.

Manguel, em seu livro Uma história da leitura

, mesmo não se referindo ao

livro didático em particular, mas ao livro de um modo geral, menciona um aspecto

para a reflexão sobre a existência de uma etapa importante – a geração de um livro –

ao dizer que “cada livro foi gerado por uma longa sucessão de outros livros cujas

capas talvez jamais tenhamos visto e cujos autores talvez jamais conheçamos, mas que

ressoa naquele que temos em mãos” (MANGUEL, 2006, p. 299). São as referências

diretas ou indiretas que um autor utiliza ao elaborar um livro.

Não adoto nenhuma definição em particular de livro didático e nem acredito, na

visão autor de livros didáticos que me coloco, ser possível elaborar uma definição que

contemple satisfatoriamente, na sua totalidade, o que é uma obra didática. Prefiro,

assim como os pesquisadores aqui citados dizer que é um “instrumento pedagógico”,

um “veículo transmissor de saberes transmitido”, um “veículo portador de valores e

ideologias” e, acima de tudo, emprestando as palavras de CHERVEL (1990, p. 202),

um dos diversos componentes de uma disciplina escolar:

Dos diversos componentes de uma disciplina escolar, o primeiro na ordem cronológica, senão

na ordem de importância, é a exposição pelo professor ou pelo manual de um conteúdo de

conhecimentos. É esse componente que chama prioritariamente a atenção, pois é ele que a

distingue de todas as modalidades não escolares de aprendizagem, as da família ou da

sociedade. Para cada uma das disciplinas, o peso específico desse conteúdo explícito constitui

uma variável histórica cujo estudo deve ter um papel privilegiado na história das disciplinas

escolares. É uma variável que, em geral, põe em evidência algumas grandes tendências:

evolução que vai do curso ditado para a lição aprendida no livro, da formulação estrita, até

mesmo lapidar, para as exposições mais flexíveis, da recitação para a impregnação, da

exaustividade para a seleção das linhas principais.

É uma parte da história brasileira de livros didáticos que pretendo contar. É uma

parte daquela história que tem pouco mais de 500 anos

que aqui será abordada. Ela

Uma história da leitura é um livro escrito pelo argentino Alberto Manguel. A tradução brasileira é

feita por Pedro Maia Soares. São Paulo: Companhia das Letras, 2006.

Refiro-me ao que disse Schubring, conforme abordei no início deste tópico, sobre a existência do

livro impresso, que teria cerca de 500 anos de existência.

contempla particularmente a disciplina

de Matemática e, mais especificamente, os

livros de autoria de Maeder. A razão de ter procurado, nas páginas anteriores, uma

compreensão do que é um livro didático, iniciando até com os chamados compêndios,

é pelos indícios que me influenciam a postular que esse autor não apenas foi autor de

livros didáticos de Matemática, como também postulo ter sido no início de sua

produção cultural, autor de compêndios escolares. Isso ocorreu em finais dos anos

1920 e início dos anos 1930 com três obras de Álgebra elementar, conforme mais

adiante pretendo observar e analisar.

1.3 TRÊS ENSAIOS A PARTIR DE LIVROS DE MATEMÁTICA

Os livros didáticos de Matemática escritos por Maeder, como já foi dito

anteriormente, se fizeram presentes no cenário educacional brasileiro num período que

vai de 1928 até 1962, isto é, atravessaram momentos diferentes de reformas

educacionais promovidas por mudanças sociais no Brasil. Compartilharam também

momentos importantes de criação e desenvolvimento do segmento editorial de livros

didáticos. Além de tudo isso, considerando a disciplina de Matemática, são

documentos históricos de como e que tipo de conhecimento matemático foi

“transmitido”. Alguns desses livros são contemporâneos do nascimento da disciplina

de Matemática, contendo elementos que permitem entender como isso ocorreu, isto é,

como alguns ramos da Matemática (conforme atualmente se concebe) foram fundidos.

Compreendendo que o foco da presente pesquisa são os livros de Matemática

escritos por Maeder, a decisão de como abordar a história dessa produção recaiu sobre

três perspectivas diferentes que passo a denominar de ensaios. Cada um desses ensaios

foi construído tendo como linha condutora questões elaboradas a partir de uma leitura

do trabalho escrito por esse autor paranaense. Essa leitura de todos os livros de Maeder

Um estudo interessante sobre o que é disciplina pode ser encontrado no trabalho de André Chervel,

História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa. Esse trabalho foi publicado

em 1990 pelo periódico Teoria & Educação.

é feita paralelamente ao primeiro ensaio. As questões norteadoras desses ensaios e

também a forma como eles serão elaborados aqui observo a seguir.

• Primeiro ensaio: Uma leitura dos livros escritos por Maeder

Os livros escritos por Maeder contêm saberes escolares que foram elaborados

utilizando referências. É possível determinar, a partir das obras de Maeder, quais são

essas referências? Os conteúdos presentes nesses livros didáticos estavam de acordo

com os programas oficiais definidos na época? Há diferenças?

A minha hipótese, nesse ensaio, é a de que Maeder, ao elaborar os chamados

programas de Matemática constantes em seus livros, estava de acordo com os

programas oficiais ditados pelas reformas do ensino. Embora essa minha hipótese de

estudo já tenha sido observada

, esse ensaio permitirá, é o que acredito, verificar em

que medida isso ocorreu. Considerando, então, que isso é verificável e que

corresponde à verdade, esses livros representam documentos que foram produzidos

como resultados de reformas pelas quais o ensino dessa disciplina passou durante a

nossa história recente. A obra de Maeder pode, então, ser considerada como um

veículo transmissor dessas mudanças.

Neste ensaio, considero necessário um exame dos conteúdos matemáticos

existentes na obra de Maeder à luz dos programas de ensino de Matemática da época.

Dessa forma, descrevo os livros didáticos de Maeder e examino como fonte de

pesquisa os correspondentes programas elaborados a partir das reformas existentes.

Faço assim uma comparação entre os conteúdos presentes nos livros de autoria de

Maeder e aqueles “sugeridos” pelos órgãos oficiais. Também pontuo quais as

possíveis referências utilizadas por Maeder a partir da análise de seus livros.

No capítulo 2 do livro Euclides Roxo e a modernização do ensino de Matemática no Brasil,

Pitombeira de Carvalho afirma que as coleções de livros didáticos de matemática, ao longo de três

décadas do século XX, eram semelhantes e seguiam os programas oficiais:

A comparação das várias coleções das décadas de 30, 40 e 50 do século XX mostra a grande

uniformidade dos livros-texto de Matemática para a escola secundária. Malgrado diferenças de

qualidade e de metodologia, seguem eles o mesmo padrão fixado nas reformas instituídas por

Campos e Capanema. A comparação das coleções, escritas por Munhoz Maeder, Stavale,

Manuel Jairo Bezerra, entre outros, respeitam todas elas os programas oficiais. (CARVALHO,

2003, p. 151).

• Segundo ensaio: Tribunas de educadores

O livro Álgebra elementar – 3ª. edição, escrito por Maeder, em 1933, e

publicado pela Typ. João Haupt e Cia., foi objeto de uma acalorada discussão via

jornais e periódicos. Quais as razões de tais discussões? Quais os personagens

envolvidos? Quais as críticas que são levantadas? Que possíveis interesses estavam

endossando as críticas do trabalho de Maeder?

A minha hipótese sobre a razão de tais discussões está ligada à preocupação

existente na época com a correção de conceitos, com as formas de encaminhamentos e

abordagens dos conteúdos de Matemática presentes no livro Álgebra elementar – 3ª.

edição (ver capa na FIGURA 5). Porém, acredito numa outra preocupação que vai

além dos conteúdos e formas de abordá-los e não pode deixar de ser observada: a

questão de ocupação de mercado editorial.

FIGURA 5 – ÁLGEBRA ELEMENTAR – 3ª. EDIÇÃO

Neste segundo ensaio, utilizo como fonte de pesquisa alguns artigos de jornais

produzidos por Maeder, dois conterrâneos seus, uma editora de São Paulo, além de

uma publicação da Revista Brasileira de Matemática que teria sido o estopim de tal

polêmica. Todas as referências aqui utilizadas foram produzidas durante o ano de 1933

e evidenciam um cenário em que os veículos de comunicação eram utilizados como

locais de debates sobre questões voltadas também à educação brasileira.

Observo, ainda, que algumas polêmicas entre autores de livros didáticos e entre

educadores, de um modo geral, já foram motivo de outras pesquisas. As páginas dos

jornais representavam as tribunas dos educadores, isto é, locais em que as principais

questões sobre educação eram discutidas. Um exemplo, na Matemática, desse tipo de

polêmica é levantada por Carvalho

a respeito da modernização do ensino da

Matemática. Tal discussão teve alguns personagens, entre os quais, de lados opostos,

Euclides Roxo e Almeida Lisboa. Também Valente (2004) observa a existência de

uma controvérsia acalorada no início dos anos 1930 entre Malba Tahan e Jacomo

Stávale, dois autores de livros didáticos de Matemática.

Entendo que o fato de Maeder e seu livro serem alvos de críticas representa que

autor e obra marcaram participação ativa em uma comunidade de educadores que

fizeram dos jornais e revistas suas tribunas, em que idéias voltadas às questões

educacionais eram discutidas (como pretendo evidenciar neste ensaio). É nesse sentido

que postulo estarem Maeder e sua obra inseridos numa tradição discursiva de uma

época.

• Terceiro ensaio: Ilustrações em livros didáticos de Matemática

Na obra de Maeder em parceria com a Edições Melhoramentos, assim como

em tantas outras obras didáticas contemporâneas, é possível perceber preocupações

de editoras e autores em relação à utilização e ao tratamento dado às ilustrações.

Como as ilustrações marcam presença nos livros de Maeder? São meras ilustrações

ou foram produzidas com finalidades pedagógicas? É possível perceber alguma

evolução técnica e quantitativa do emprego dessas ilustrações? Quais os tipos de

ilustrações que eram empregadas para o encaminhamento de conteúdos de

Matemática?

Tenho como hipótese que, no trabalho de Maeder, as ilustrações, de um modo

geral, tinham a finalidade pedagógica, isto é, não eram produzidas sem haver alguma

Ver artigo Euclides Roxo e as polêmicas sobre a modernização do ensino de Matemática, escrito

por João Bosco Pitombeira de Carvalho no livro Euclides Roxo e a modernização do ensino de

Matemática no Brasil, organizado por VALENTE (2003).

conotação didática. Havia, sim, alguma relação direta com os conteúdos em que eram

inseridas: não eram meras ilustrações decorativas.

Nesta investigação, examino a forma de utilização das ilustrações em uma de

suas coleções publicadas pela Edições Melhoramentos. Por ser a mais antiga em

parceria com essa editora, optei pela coleção Lições de Matemática, composta de cinco

livros (ver FIGURA 6). À luz de cinco categorias de ilustrações, procuro evidenciar

parte da história da utilização desse recurso em livros didáticos de Matemática. Assim,

examino os cinco livros produzidos por Maeder nessa coleção cuja escrita teve início

em meados dos anos 1930. Embora não faça confrontos com outros livros didáticos, o

ensaio permite descrever e analisar a utilização de ilustrações em livros de Matemática

de um mesmo autor e de uma mesma editora.

FIGURA 6 – COLEÇÃO LIÇÕES DE MATEMÁTICA

Observo, ainda, que essa coleção de livros possui, segundo uma leitura que faço

da obra completa desse autor, um trabalho cuidadoso com as ilustrações. Isso talvez se

deva ao fato de haver um profissional (às vezes até mais de um) responsável por essa

parte editorial, conforme apontarei neste ensaio. Seria talvez o início de uma

preocupação das editoras da época com o tratamento das imagens presentes em um

livro didático? Acredito que também outras editoras, e até mesmo outras obras

anteriores a essa época (início dos anos 1930), tinham essa preocupação e,

provavelmente, algum profissional responsável por essa parte importante da

elaboração de um livro. O que chama atenção aqui, no caso do autor paranaense e da

editora de São Paulo, é que o profissional (ou os profissionais) encarregado das

ilustrações é apresentado como professor. Deixo, assim, um caminho aberto para

outras pesquisas relacionadas ao trabalho com as ilustrações em livros didáticos de

Matemática.

Esses são os três ensaios, aqui apenas apresentados, que constituem a minha

contribuição para a História na Educação Matemática. Acredito que o termo

“ensaio” que utilizei para denominar essas três perspectivas de “olhar” a produção

cultural de Algacyr Munhoz Maeder poderia ser substituído por “estudo”. Porém,

compreendo que o termo “estudo” está mais fortemente ligado ao ato de aplicar

para adquirir um conhecimento previamente determinado, conforme certas normas

rígidas e formais. Por outro lado, o termo “ensaio”, mesmo tendo, na minha forma

de ver, muito daquilo que está relacionado com “estudo”, está mais próximo da

apreciação e da interpretação de um determinado assunto. Assumo essa forma de

“olhar” o trabalho escrito por Maeder.

Ainda nesta introdução, considero oportuno observar que as figuras estão

colocadas em um número que pode ser considerado excessivo ou, às vezes, até

repetidas excessivamente num trabalho que pretende contar a história dos livros

escritos por um determinado autor. Assim, procedo no sentido de facilitar futuras

leituras. Outra justificativa desse procedimento se deve à dificuldade existente em

encontrar esses livros escritos no século passado. São documentos que, mesmo

sendo parcialmente reproduzidos digitalmente, terão mais chance de sobreviver ao

tempo constando também do presente trabalho. Algumas vezes, ao longo dos

ensaios a seguir, procuro até reproduzir as capas e páginas de apresentação desses

livros em tamanhos originais (sempre que possível), o que representa uma

dimensão física de tais livros.

As citações tiradas dos livros de Maeder são aqui destacadas em “negrito” e

transcritas sem alterações, a menos daquelas que considerei necessárias, devida à

mudança na forma de escrita. Palavras como “these” passaram a ser escrita como

“tese”. São capas, imagens e detalhes visuais que acredito acabam enriquecendo os

trabalhos voltados à nossa história, valorizando a memória da produção cultural.

2 UMA LEITURA DOS LIVROS ESCRITOS POR MAEDER

Jamais voltamos ao mesmo livro e nem à mesma página,

porque na luz vária nós mudamos e o livro muda, e nossas

lembranças ficam claras e vagas e de novo claras, e jamais

sabemos exatamente o que aprendemos e esquecemos, e o que

lembramos. O que é certo é que o ato de ler, que resgata

tantas vozes do passado, preserva-as às vezes muito adiante

no futuro, onde talvez possamos usá-las de forma corajosa e

inesperada.

Alberto Manguel

Manguel

parece concordar com Heráclito, segundo o qual não ser possível

banhar-se duas vezes na mesma água de um rio. A primeira leitura de uma obra não é

igual a uma nova leitura da mesma obra efetuada pelo mesmo leitor. Interpretações

outras são feitas, tendo como base um novo olhar. Nesse sentido, a leitura de uma obra

produzida numa outra época não pode ser pretensiosa o suficiente para querer

descrever sem equívocos a produção intelectual de um autor, seu contexto, sua

objetividade. O que se pode, de fato, fazer é uma leitura com interpretações que

certamente estão carregadas da fragilidade do tempo e contaminadas pelo contexto em

que o leitor está inserido:

Assim, nem todos os poderes do leitor são iluminadores. O mesmo ato que pode dar vida ao

texto, extrair suas revelações, multiplicar seus significados, espelhar nele o passado, o presente

e as possibilidades do futuro pode também destruir ou tentar destruir a página viva. Todo leitor

inventa leituras, o que não é a mesma coisa que mentir; mas todo leitor também pode mentir,

declarando obstinadamente que o texto serve a uma doutrina, a uma lei arbitrária, a uma

vantagem particular, aos direitos dos donos de escravos ou à autoridade de tiranos.

(MANGUEL, 2006, p. 323).

Pretendo efetuar uma leitura do trabalho didático de Matemática escrito por

Maeder sem querer “destruí-lo”, como nas palavras de Manguel. Almejo antes “ouvir

as vozes do passado”, minimizando, no que for possível, a contaminação de meu

contexto como leitor da obra de Maeder.

Manguel é o autor do livro Uma história da leitura, traduzido por Pedro Maia Soares e publicado

pela Companhia das Letras, em 2006. Utilizo o trabalho de Manguel nesta tese não como uma

referência direta, mas como um importante trabalho que auxilia na forma de efetuar uma leitura.

Dois são os objetivos que pretendo alcançar no presente capítulo: 1) descrever

os livros didáticos escritos por Maeder (datas de publicações, edições, séries da

escolarização a que se destinaram e conteúdos contemplados); 2) observar possíveis

referências utilizadas por Maeder na elaboração de seus livros didáticos (programas de

Matemática, métodos utilizados no desenvolvimento dos conteúdos e outros autores).

Justifico a existência deste capítulo como o resultado da pesquisa feita no sentido de

buscar uma descrição mais fiel possível dos livros produzidos por Maeder. Talvez

somente os que já trilharam os caminhos de uma pesquisa em História sabem que as

fontes e os objetos nem sempre estão guardados numa mesma estante de uma única

biblioteca, numa única cidade. Embora os livros produzidos por Maeder sejam de

algumas décadas do século XX, o trabalho com a memória dos acervos culturais

referentes a esse autor (e provavelmente tantos outros) não mereceu o cuidado devido.

Assim, o curto espaço dessas décadas produziu um emaranhado de peças que pretendo

juntar, mesmo com possíveis enganos, no presente capítulo.

2.1 PRELIMINARES DE UMA LEITURA

Alguns dos livros de Maeder tiveram mais de uma dezena de edições, algumas

das quais não foi possível encontrar. Essas edições, por sua vez, nem sempre foram

apenas tiragens: algumas foram verdadeiras reformulações, isto é, praticamente novos

livros. Outras representaram pequenos ajustes. Como saber tudo isso? Aí entra a

montagem de um quebra-cabeça com inferências diversas, mas necessárias. Acredito

ser também essa a função de todo aquele que pretende, de alguma forma, “contar” um

pedaço da história daqueles que nos antecederam

, ou melhor, do que, nesse caso,

produziram.

As observações a respeito dos conteúdos que fazem parte de cada um desses livros, o contexto em

que eles foram elaborados, representam o ponto de partida para que se possa esboçar a história dos

livros didáticos de Matemática de autoria de um autor que, postulo, pode também ser considerado,

assim como tantos outros autores, referência de estudo sobre o desenvolvimento dos saberes escolares

no Brasil.

A obra didática de Maeder é dividida, neste estudo, em cinco partes distintas,

das quais as quatro últimas referem-se a coleções. São elas: Álgebra elementar, Lições

de Matemática, Curso de Matemática – curso ginasial, Curso de Matemática – curso

colegial; e Matemática – curso comercial básico.

Após o contato e o manuseio desses livros escritos pelo autor paranaense, foi

possível observar que, mesmo antes de Maeder ter iniciado a sua carreira de autor de

Matemática, houve um momento a partir do qual, provavelmente, ele foi atraído para a

escrita em Aritmética e Álgebra. Ao se submeter ao concurso como “lente catedrático”

de Aritmética e Álgebra no Externato do Ginásio Paranaense, em Curitiba, Maeder

teve de elaborar, como exigência, dois trabalhos. Um, por conta do regimento do

Ginásio Paranaense, era de livre escolha do candidato, enquanto o outro era decorrente

de sorteio realizado. Tais conclusões retiro das apresentações feitas pelo próprio

Algacyr Munhoz Maeder em 1927:

Tenho a honra de apresentar á egregia Congregração do Gymnasio o presente trabalho

“O Conceito do Numero”, que constitue a these de minha escolha ao concurso para lente

cathedratico de Arithmetica e Algebra.

Curityba, Outubro de 1927.

Algacyr Munhoz Mäder.

Tenho a honra de submetter á apreciação da douta Congregação do Gymnasio

Paranaense o presente trabalho “RESOLUÇÃO E DISCUSSÃO DAS EQUAÇÕES DOS

PRIMEIRO E SEGUNDO GRÁOS A UMA INCOGNITA”, correspondente ao ponto

n.21, sorteado, de accordo com as disposições regulamentares, em 23 de Abril de 1927,

commum e obrigatório a todos os candidatos ao concurso para lente cathedratico de

Arithmetica e Algebra.

Curityba, Outubro de 1927.

Algacyr Munhoz Mäder

O primeiro desses dois trabalhos (ver FIGURA 7), O conceito do número, é

composto de 31 páginas em que Maeder discute a posição da Matemática perante as

Ciências e da Aritmética perante a Matemática. Aborda a “origem do número” e a

“introdução do número no campo matemático”. Além disso, nessas páginas podem-se

observar as referências utilizadas em tal estudo. Gauss, Felix Klein, Kant, Emile

Picard, Henri Poincaré, Augusto Baillot, Jules Tannery, E. Mach, Ferdinand Hoefer,

A. Comte, Edmond Bouty, e W. Ostwald são personagens e trabalhos citados por

Maeder. É possível também observar certo conhecimento a respeito dos movimentos

internacionais sobre as questões do ensino de Matemática:

Reconhecida a preponderância do seu papel, diversos estudos tem sido feitos nos últimos

tempos no sentido de aperfeiçoá-lo, indicando-lhe a norma que deve seguir para que seja

diminuída a descontinuidade atual entre o ensino da Matemática Elementar e o da

Superior. Haja vista os resultados a que se chegou nos trabalhos do Congresso de

Naturalistas, reunido em Dresde, em 1907 e aos do Congresso de filólogos e professores

alemães realizado, proximamente na mesma época, em Basiléia, nos quais o professor

Felix Klein apresentou importantíssimas comunicações sobre as necessidades da reforma

no ensino da Matemática, tendo publicado, sobre a palpitante questão, trabalhos de

grande valor, dedicados aos professores, onde o ilustre cientista alemão expõe o

verdadeiro método para o ensino da ciência básica dos conhecimentos humanos.

(MAEDER, 1927, p. 7).

FIGURA 7 – TESE CONFORME ESCOLHA

Presente no texto de Maeder, já nas últimas páginas, há uma evidência sobre o

contexto da época a respeito da teoria dos números, da lógica e da utilização da teoria

dos conjuntos como meio de compreender o número. Neste ponto, Cantor também é

referenciado:

Outros matemáticos, impulsionados pelas novas tendências, de ordem lógica, pretendem

fundamentar a teoria dos números finitos nos números cardinais transfinitos de Cantor.

O ilustre filósofo de Halle procura introduzir na Matemática o infinito atual, quantidade

que supõe, não só suscetível de ultrapassar a todos os limites, como já os tendo

ultrapassado, destinando-se, a presente ampliação, a servir de base à sua teoria dos

conjuntos. (MAEDER, 1927, p. 30)

Um pouco mais adiante, Maeder conclui seu trabalho posicionando-se como

contrário à introdução puramente formal do número. Coloca-se favorável a Bouty

concordando que “as Matemáticas procedem essencialmente por abstração, a partir de

realidades concretas”.

Quanto ao trabalho Resolução e discussão das equações dos primeiro e

segundo graus a uma incógnita (ver FIGURA 8), já é possível observar que o autor

utiliza-se de um encaminhamento dos conteúdos que seguem de forma similar aos

livros didáticos de Matemática da época.

FIGURA 8 – TESE CONFORME SORTEIO

Maeder, no trabalho aqui citado, não menciona uma bibliografia. Quanto a Bouty, faz apenas uma

nota de rodapé dizendo: “Edmond Bouty – La Verité Scientifique (pág. 125)”.

Esse trabalho foi produzido em 110 páginas mais outras três páginas com

bibliografia e índice. O assunto abordado está dividido da seguinte forma:

• Introdução

• Equações

• Princípios gerais que presidem à resolução das equações

• Equações do primeiro grau a uma incógnita

• Equações do segundo grau a uma incógnita e problemas.

Na introdução, Maeder aborda a discussão, como fez no trabalho anterior, da

Matemática perante a Ciência. Busca classificações das ciências citando Bacon (1605),

modificada por d’Alembert, de Hobbes (1651), de Locke (1690), de Bentham (1816),

de Comte (1830), de Ampére (1834), de Spencer (1854), de Cournot (1861) e de

Wundt (1889). Entretanto, parece inclinado a aceitar a posição de Comte:

Embora sendo trabalhos de valor, todas perdem sua importância em comparação com a

de Comte e de Spencer, principalmente com a do primeiro que é universalmente

consagrada.

Comte, em sua classificação, contrariamente a opinião posterior de Spencer, dispôs as

ciências em ordem seriaria, segundo a generalidade decrescente e complexidade crescente

dos fenômenos considerados, da seguinte forma: Matemática, Astronomia, Física,

Química, Biologia, Sociologia e Moral.

A Matemática, compreendendo os fenômenos numéricos, geométricos e mecânicos, é a

mais geral e menos complexa, pois que todos os corpos lhes são sujeitos, ajustando-se,

perfeitamente, no ponto inicial da disposição hierárquica do ilustre filósofo. (MAEDER,

1927, p. 8)

Maeder aponta esse como critério semelhante ao analisar a Matemática e suas

subdivisões. Reproduz um esquema extraído da Geometria algébrica, de autoria de

Samuel de Oliveira e Liberato Bittencourt, editado em 1896. Neste esquema (ver

QUADRO 2), é possível observar as subdivisões da Matemática.

Observo, neste trabalho de Maeder, não apenas posições que assume em relação

ao ensino de Matemática, como também da Matemática como ciência, suas

subdivisões. Mais adiante descrevo os livros didáticos de Matemática escritos por esse

autor e observo indícios que apontam claramente para as influências que ele sofreu na

elaboração de suas obras. Tais indícios estão presentes no segundo trabalho

apresentado ao então Ginásio Paranaense (Resolução e discussão das equações dos

primeiro e segundo graus a uma incógnita). Dois pontos são importantes destacar

aqui. O primeiro diz respeito à bibliografia apontada no fim do trabalho, conforme

reprodução a seguir (ver FIGURA 9).

QUADRO 2 – ESQUEMA SUBDIVISÕES DA MATEMÁTICA

































mecânica

geometria

concreta

ntetranscendecálculo

elementarebraá

funçõesdascálculo

valoresdoscálculo

abstrata

Matemática

FIGURA 9 – REFERÊNCIAS NA TESE DE MAEDER

Sobre essa bibliografia, observo que esses livros (em sua maioria) fazem

parte do acervo particular de Clotilde Munhoz Valente Maeder. Conforme a

própria filha conta, ele fez várias viagens à França, Itália, Espanha, Argentina,

Uruguai e Alemanha, onde provavelmente teria adquirido alguns desses livros.

(ver ANEXO II)

Embora essas duas teses não representem aquilo que havia definido como

objeto de estudo, os comentários colocados até aqui são importantes não apenas

por observar referências utilizadas pelo autor paranaense, como também por

revelarem um fato que considero interessante abordar: são indícios de que esses

dois trabalhos publicados por Maeder teriam sido utilizados para a escrita dos três

livros didáticos de Matemática, denominados Matemática elementar, que

descrevo mais adiante. Além de reproduzir grande parte de seu trabalho

apresentado no Ginásio Paranaense, como constatei, também há anotações

diversas feitas a lápis no trabalho Resolução e discussão das equações dos

primeiro e segundo graus a uma incógnita. Tais anotações, feitas por Maeder

são correções e ampliações que aparecem no livro Álgebra elementar, em 3ª.

edição de 1933. Um exemplo disso é a página 21 reproduzida logo a seguir (ver

FIGURA 10).

As anotações feitas por Maeder, além de representarem alterações e

correções a respeito da resolução de equações e dos princípios matemáticos

utilizados para tanto, também evidenciam estudos a respeito de concepções de

pensadores. Assim, por exemplo, na página da introdução ao trabalho de Maeder

foram feitas anotações diversas sobre Hobes, Locke, Comte, Bacon, Bentham e

Ampére.

Há uma dedicatória na apresentação desta Resolução e discussão das equações dos primeiro e

segundo graus a uma incógnita dirigida a filha de Maeder e assinada por ele. Comparando essas

anotações com a dedicatória, não tenho dúvidas quanto à autoria de tais observações.

FIGURA 10 – ANOTAÇÕES DE MAEDER

2.2 ÁLGEBRA ELEMENTAR

Com a denominação Álgebra elementar, três livros foram escritos por Maeder e

publicados pela Typ. João Haupt e Cia., na cidade de Curitiba. As informações a

respeito de tiragens, edições e até mesmo de algumas das datas de publicação são

imprecisas. Além disso, as denominações “edições” e “tiragens”, na época em que

Maeder escreveu seus livros, às vezes podem ser consideradas como sinônimos.

Quando, atualmente, utiliza-se a expressão uma “nova edição” de um livro, entende-se

que houve uma reformulação, possíveis correções e até mesmo mudanças mais amplas

no sentido de “melhorar” o livro. Da mesma forma a expressão “tiragem” parece estar

mais próxima ao aspecto da editora responsável pela publicação efetuar graficamente a

reprodução, sem nenhuma alteração, do livro. Tal reprodução, nesse sentido, é ligada

ao aspecto comercial devido, por exemplo, às solicitações de aquisição do livro.

Assim, voltando aos livros do autor paranaense faço, sempre que necessário, a

explicação do significado de “edição”, isto é, se o termo está sendo empregado no

sentido de reformulação (com possíveis alterações) ou simplesmente como reprodução

(ligado à tiragem). Nos três tópicos a seguir, passo a fazer uma leitura dos três livros

de Álgebra elementar.

FIGURA 11 – CAPAS DOS LIVROS ALGEBRA ELEMENTAR

2.2.l Álgebra elementar – 2ª. parte

Publicado em sua primeira edição no ano 1928, o livro Álgebra elementar –

2ª. parte: equações e problemas algébricos contém 182 páginas e foi editado pela

Typ. João Haupt e Cia. O prefácio foi assinado por Arnaldo I. Beckert

, conforme

abaixo:

As dificuldades de toda a ordem que se apresentam às publicações que abordam

assuntos científicos, principalmente no domínio matemático, justificam o reduzido

número em que aparecem as obras desse gênero.

Por esse motivo, grande foi a satisfação que senti ao ler o trabalho: Álgebra

Elementar: Equações e problemas algébricos, de autoria do ilustre colega e particular

amigo Dr. Algacyr Munhoz Mäder, a ser divulgado por estes dias.

A obra citada virá facilitar eficazmente o estudo da Álgebra aos alunos ginasiais, por

conter grande parte dos pontos exigidos pelos programas oficiais e também a teoria

dos determinantes e sua aplicação à resolução dos sistemas de equações, que a

maioria dos livros desse gênero deixa de trazer.

Sob o ponto de vista, didático apresenta ainda outras vantagens, como sejam: a

profusão de exemplos de equações simultâneas, cuidadosamente escolhidos e

resolvidos pelos diferentes processos empregados; os exemplos de sistemas de

equações resolvidos por artifícios de cálculo, mostrando a vantagem que acarreta sua

aplicação à resolução dos sistemas em que podem ser empregados; a série de

problemas resolvidos; a discussão dos problemas clássicos dos trens e das luzes, com

um desenvolvimento invejável.

Na introdução ao estudo das equações, define-as com todo rigor, mostrando bem

claramente a única que satisfaz plenamente. Na demonstração dos teoremas em que se

baseia a resolução das equações, que alguns autores dão como axiomas, emprega a

representação simbólica, em vez da convenção F(x,y,...)=0, sempre usada,

procurando, assim, talvez facilitar a compreensão da demonstração dada, aos alunos

que não poderão ainda estar familiarizados com esse meio de representação.

Não é apenas sob o ponto de vista didático que o trabalho do Dr. Mäder apresenta

valor e interesse, como também em geral a todos que se dedicam ao estudo da

Matemática, trazendo na parte relativa à resolução das equações do 2º grau, não só os

processos dos Árabes e de Viète, como também o de Dühring, o trigonométrico e

outros pouco divulgados em tratados elementares de Álgebra.

Em resumo, é uma obra de real valor, que vem, ainda mais, enriquecer a bibliografia

nacional neste ramo.

Curitiba, Setembro de 1928

A FIGURA 12, a seguir, representa uma reprodução eletrônica da capa desse livro.

Observo que Maeder se apresenta como engenheiro civil, catedrático e diretor do

Ginásio Paranaense. A FIGURA 13 refere-se à página inicial desse mesmo livro.

Ele assina como: Lente catedrático da Faculdade de Engenharia do Paraná.

FIGURA 12 – CAPA DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 2ª. PARTE

FIGURA 13 – PÁGINA INICIAL DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 2ª. PARTE

Já no século XIX, muitos livros-texto apresentam, logo após a folha de rosto,

pareceres no sentido de dar mais legitimidade à obra (SILVA, 2000, p. 129). No livro

de Maeder, o “parecer” (ver citação anterior) é dado por um amigo e catedrático de

Engenharia. Nesse parecer, é possível perceber algumas preocupações em relação aos

métodos escolhidos, aos conteúdos abordados e também ao cuidado de estar adequado

ao aluno que irá utilizar. Além desse parecer, observo ainda a existência de um outro,

publicado em 2 de novembro de 1928 no jornal Gazeta do Povo, assinado por F. Z.

, escrito em 25 de outubro de 1928 conforme reprodução abaixo:

FIGURA 14 – PARECER PUBLICADO EM JORNAL

As iniciais F.Z.F. são do autor de tal artigo. Embora uma cópia desse artigo tenha sido encontrada

em meio aos acervos da família de Maeder, a autoria é desconhecida, mas acredito ser de alguém do

círculo de amizades de Algacyr.

Aqui, neste artigo, é importante observar que o livro de Maeder é chamado de

“compêndio” e, nas palavras do autor do artigo, é destinado ao estudante como algo

“indispensável”. Essa observação me chamou a atenção pelo fato de, até aqui,

interpretar a utilização de um compêndio mais restrita ao professor. Isso parece ser

ampliado para aluno, conforme as palavras presentes no artigo. Seria já a transição de

compêndio para compêndio escolar?

Voltando ao livro Álgebra elementar – 2ª. parte: equações e problemas

algébricos, não há sumário ou índice. Entretanto, é possível perceber uma divisão em

oito assuntos, conforme quadro a seguir.

QUADRO 3 – ASSUNTOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR – 2ª. PARTE

• Introdução (páginas: 5 a 13)

• Equações (páginas: 14 a 19)

• Princípios gerais que presidem à resolução das equações (páginas: 20 a 28)

• Equações do primeiro grau a uma incógnita (páginas: 29 a 41)

• Sistemas de equações (páginas: 42 a 99)

• Determinantes (páginas: 100 a 108)

• Equações do segundo grau a uma incógnita (páginas: 109 a 149)

• Problemas (páginas: 150 a 182)

Desses oito tópicos, apenas dois não estão presentes no trabalho Resolução e

discussão das equações dos primeiro e segundo graus a uma incógnita de Maeder.

São eles: “Sistemas de equações e determinantes”. Em relação aos demais tópicos,

posso afirmar que foram extraídos com mínimas alterações desse trabalho apresentado

no Ginásio Paranaense, como já tinha sido observado anteriormente. Assim,

menciono a seguir algumas alterações que foram feitas no trabalho publicado em

1927

e no livro que descrevemos neste tópico, publicado em 1928.

No tópico “Introdução”, de 1927, página 8, há uma nota de rodapé que não

aparece no livro de 1928: “O presente esquema foi extraído da Geometria Algébrica,

redigida segundo o plano de ensino das Escolas Militares, por Samuel de Oliveira e

Refiro-me ao trabalho Resolução e discussão das equações dos primeiro e segundo graus a uma

incógnita, apresentado por Maeder em 1927 para o concurso de lente catedrático de Aritmética e

Álgebra no Ginásio Paranaense, citado anteriormente.

Liberato Bittencourt, bacharéis formados pela Escola Militar do Rio. Ed. em 1896”.

Um pouco mais adiante, há uma diferença em relação ao conceito de função.

Restringindo a definição geral de função ao caso das funções algébricas, podemos defini-

las nestes termos:

Chama-se função de uma ou mais quantidades variáveis, toda expressão algébrica na

qual estas quantidades entram de um modo qualquer, combinadas ou não com outras

quantidades constantes. Tal é, um pouco modificada, a definição de Lagrange

(MAEDER, 1927, p. 10)

Quanto ao livro de 1928, uma outra forma de abordar o conceito de função é

encaminhada por Maeder, isto é:

As funções constituem, pois, a expressão de dependência entre quantidades, podendo ser

representadas, simbolicamente, da maneira seguinte:

)(xfy

Para a sua constituição, costuma-se representar as quantidades pelas letras do alfabeto,

adotando-se as primeiras para as conhecidas e as últimas para as desconhecidas e

exprimindo-se as relações entre elas pelos sinais seguintes:

.,,,,,,,, ≠<>=÷×−+

(MAEDER, 1928, p. 10).

O assunto “função”, historicamente, representou no início do século XX o

tópico por meio do qual seria possível a unificação dos vários ramos da Matemática.

Era a idéia de que o conceito de função

poderia estar presente nas várias partes do

currículo de Matemática.

Quanto ao segundo tópico (Equações), as seis páginas que compõe o livro de

1928 são exatamente iguais às seis páginas do trabalho de 1927. No tópico seguinte,

Maeder escreve uma nota de rodapé observando referência utilizada para dar tal conceito. Observo

ainda que essa citação não aparece no livro de 1928: “Teoria elementar das funções para servir de

introdução ao estudo da Álgebra por Licinio Athanasio Cardoso, engenheiro militar, professor

adjunto do curso preparatório, da Escola Militar, Ed. em 1885. Rio de Janeiro”.

Euclides de Medeiros Guimarães Roxo iria evidenciar a importância da noção de função, no ano de

1937, em seu trabalho A matemática e o curso secundário. Esse trabalho de Roxo foi reproduzido pela

Sociedade Brasileira de Matemática em 2003. Nele, Roxo explica como Félix Klein encontrou a

solução para utilizar a noção de função como elemento unificador na Matemática. Diz ROXO:

A noção de função deve, na sua opinião, ser adotada como idéia axial no ensino da matemática,

capaz de estabelecer o elo unificador dos vários assuntos tratados na escola secundária de

modo a ser a alma do corpo em que se organiza a matéria.

Além da aptidão para ligar todos os assuntos em um todo, a educação do pensamento funcional

merece ser feita na escola secundária, não só tendo em vista as exigências práticas e culturais

da vida moderna, como pela sua aptidão para constituir um meio altamente educativo do

pensamento lógico e um verdadeiro método de estudo.

A idéia de função vem ainda dar ao ensino da matemática secundária mais vida e mais

interesse, permitindo não só tratar de questões de maior realidade para o aluno, como

estabelecer conexões a outras matérias mais concretas. (ROXO in VALENTE, 2003, p. 180).

“Princípios gerais que presidem à resolução das equações”, apenas uma citação feita

na publicação de 1927 foi suprimida para compor o livro de 1928. Tal citação, no

rodapé da página 25, é uma referência utilizada por Maeder: “Curso elementar de

Matemática – Álgebra (cálculo das formações diretas) 1º. vol. Álgebra fundamental,

pelo Dr. Aarão Reis, professor da Escola Politécnica do Rio de Janeiro. Ed. 1902.”

No tópico “Equações do primeiro grau a uma incógnita”, do livro de 1928,

houve um acréscimo de oito exercícios resolvidos e de outros 32 propostos. Além

disso, observo a supressão de duas referências feitas em rodapé no trabalho de

1927, uma na página 34 e outra na página 35: “Álgebra Elementar, por Francisco

Sebastião Alves, professor do Colégio Militar. Ed. no Rio de Janeiro em 1914”,

e, “Élements d’Algèbre, par M. Bourdon, inspecteur général émérite de

l’Université, ancien examinateur d’admission a l’Ecole Polytechnique. Ed. em

1907 em Paris”. Embora tenham sido retirados para a elaboração do livro de 1928,

são indicativos diretos de referências utilizadas por Maeder, como autor de livros

didáticos de Matemática. Ainda no mesmo tópico, é possível constatar pequenas

alterações de frases que não mudam o desenvolvimento do encaminhamento do

assunto abordado.

Como foi dito anteriormente, dois novos tópicos foram acrescentados no livro de

1928: “Sistemas de equações” e “Determinantes”. O primeiro tópico apresenta quatro

processos de resolução de sistemas de equações do primeiro grau a duas incógnitas.

Maeder denomina esses procedimentos de “processos de eliminação”, isto é:

• Eliminação por redução ao mesmo coeficiente

• Eliminação por substituição

• Eliminação por comparação

• Eliminação pelos fatores indeterminados (Bezout

)

Passa, então, a discutir cada um desses processos para a resolução de sistemas

de equações do primeiro grau com duas incógnitas. Somente mais ao final do tópico

aborda sistemas de equações com mais de duas incógnitas. Maeder cita então a

O processo de eliminação atribuído a Bezout, isto é, a Étienne Bezout, matemático francês do século

XVIII.

conhecida “Regra de Cramer” para a resolução de sistema, sem, no entanto falar de

“Determinantes”. Deixa tal assunto para o próximo tópico. Quanto ao assunto

“Determinantes”, Maeder o apresenta direcionado à resolução de sistemas de equações

com duas e com três incógnitas: é a conhecida “regra de Sarrus

”.

Os dois últimos tópicos em que o livro de 1928 foi dividido foram reproduções

do trabalho de 1927, com pequenas alterações. Entre as alterações é possível observar

a supressão de três notas de rodapé com indicações de referências utilizadas por

Maeder no trabalho de 1927: “Lições de Álgebra por André Perez y Marin, lente

cathedratico de Arithmetica e Álgebra do Gymnasio do Estado em Campinas.

Editado em São Paulo em 1918” (MAEDER, 1927, p. 71); “Nociones de Álgebra

Elemental (1ª. parte) por Fidencio de Alzáa, professor de Matemáticas y Física en

el Instituto Nacional Del Profesorado Secundário y en el Colégio Nacional ‘Bmé-

Mitre’ de Buenos Aires. Edição de 1926” (MAEDER, 1927, p. 79); “Lecciones de

Matemáticas-Aritmética y Álgebra (2º vol.) por Eduardo Monteverde, catedrático

de esas asignaturas en la Universidad. (Uruguay). Ed. de 1924 (Montevidéo)”

(MAEDER, 1927, p. 81).

Há também um acréscimo de um problema relacionado aos ponteiros de um

relógio. Tal problema consiste em determinar a hora em que os dois ponteiros de um

relógio devem coincidir pela primeira vez após as doze horas. Esse problema é

resolvido por meio de uma equação do primeiro grau. O autor discute tal resolução em

cinco páginas.

Por fim, observo que a importante referência bibliográfica

apontada no

trabalho de 1927 foi totalmente excluída no livro publicado por Maeder em 1928.

Para descrever o trabalho de Maeder, considero relevante a observação da

existência da 2ª edição de Álgebra elementar – 2ª. parte, publicada também pela

Typ. João Haupt e Cia., no ano 1931. São 217 páginas nessa 2ª. edição “revista e

Comenta que Sarrus foi professor da Universidade de Strassburgo. Ele teria sido o responsável pelo

estabelecimento de “uma regra prática” para o desenvolvimento dos determinantes, conforme cita

Maeder, de “3º grau”.

Essa bibliografia foi apresentada anteriormente.

ampliada”, que apresenta um índice cujos tópicos principais podem ser observados

no quadro a seguir.

QUADRO 4 – ASSUNTOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR – 2ª. PARTE – 2ª. EDIÇÃO

• Prefácio

• Parecer da Congregação

• Equações

• Equações do 1º. grau a uma incógnita

• Sistemas de equações

• Sistemas do 1º. grau a duas incógnitas

• Sistemas do 1º. grau a várias incógnitas

• Sistemas que se resolvem por artifícios

• Determinantes

• Equações do 2º. grau

• Problemas

• Séries elementares

• Logaritmos

Uma comparação simples a partir dos títulos das partes que compõem o livro da

2ª. edição com o da 1ª. edição, comprova-se que houve uma ampliação e uma

reformulação

. Ampliação pelo acréscimo de assuntos antes não abordados e

reformulação pelo fato de alguns encaminhamentos de conteúdos terem sido alterados

em relação à edição anterior. Algo que é importante observar está no prefácio que,

além de repetir aquele escrito para a 1ª. edição (assinado por Arnaldo I. Beckert

também há um de autoria de Maeder destinado, pelo menos a princípio, a falar sobre a

2ª. edição:

Uma dificuldade, aliás bem séria, se apresenta em prejuízo da boa divulgação das teorias

científicas, especialmente em relação as do domínio matemático.

É que os autores, em sua maioria, escrevendo para o grande público, onde se encontram

culturas de todos os graus e a mais completa diversidade de inteligências, preocupam-se

em tornar o assunto que explanam francamente acessível, pecando, quase sempre, por

certa prolixidade e por um elementarismo de exagero nocivo.

Sob esse particular, especializando para a Matemática, que é de entre todas as ciências a

de maior importância e que mais de perto nos interessa, parece não haver dúvida que a

Álgebra tem sido a parte mais prejudicada.

Entendo por reformulação a simples não reprodução, isto é, denomino aqui reformulação a

observação de que houve alguma alteração, mesmo que pequena. Caso não haja alteração, denomino o

trabalho como uma nova tiragem.

Ver o que foi comentado na 1ª. edição.

Os livros de que geralmente dispomos, onde se procura insinuar os reflexos do caráter

prático da tendência moderna, preconizado por Klein, são prodigamente reproduzidos,

distinguindo-se pelo excessivo desenvolvimento da parte consagrada aos exercícios, em

flagrante prejuízo das impensáveis noções teóricas comumente exploradas com visível

imperfeição.

Essa forma de encarar a questão por parte dos tratadistas, defeituosa sob todos os pontos

de vista, é de completa desvantagem para os iniciandos, que se vêm prejudicados pela

falta de orientação em que são desenvolvidos os seus estudos, trazendo geralmente, como

resultado, a aquisição de idéias bem falhas da Ciência a que se dedicam.

Em campo bem diverso, outros compêndios aparecem, em número mais reduzido, onde

as diferentes teorias encontram amplo desenvolvimento, encaradas com maior rigor, por

uma face mais elevada.

A sua exposição, todavia, feita em linguagem científica, a que não estão habituados os

interessados, é dificilmente acessível.

Esse o principal obstáculo que se antepõe ao estudo da Matemática Elementar, que exige

por parte dos professores e alunos um trabalho insano de escolha, entre os estilos opostos

dos compêndios vulgares, do indispensável meio termo, onde se encontre, ao lado da

exposição teórica, simples e rigorosa, aplicações práticas cuidadosamente graduadas.

Essa circunstância é precisamente o meu estímulo na publicação deste meu livro, em que

pretendo ter conseguido expor a matéria de maneira completa e simples.

Algacyr Munhoz Mäder

Curitiba, 1931.

Maeder não comenta a sua proposta em relação à 2ª. edição. O que observo é

uma crítica severa a outros “compêndios”, ao tratamento simplista e sem rigor,

segundo ele, dado à Álgebra. Comenta ainda a existência de livros que são

reproduzidos seguindo uma tendência moderna, defendida por Félix Klein, porém com

um exagero em relação aos exercícios. Nesse sentido, Maeder considera que há um

desequilíbrio, ocasionando uma imperfeição nas noções teóricas que são desenvolvidas

nesses livros. Além desse prefácio escrito por Maeder, há um “Parecer da Comissão de

Ensino do Ginásio Paranaense” recomendando a adoção do livro Álgebra elementar,

2ª. parte – equações e problemas algébricos, 1ª. edição

de autoria do Dr. Algacyr Munhoz Mäder, professor catedrático de Álgebra e Aritmética

e, atualmente, Diretor deste Estabelecimento, tendo procedido a uma análise atenta sob

os pontos de vista didático e matemático concordou, por unanimidade de votos, com a

redação final do presente.

A obra “Álgebra Elementar”, parte correspondente às equações e problemas algébricos,

tendo por autor Dr. Algacyr Munhoz Mäder, é um trabalho que se recomenda pelo seu

caráter especialmente didático – exigência esta indispensável e de todo necessária nos

livros que se destinam a ser manuseados por principiantes.

De fato, exposição metódica, dedução rigorosa, ambas em uma linguagem clara são os

três degraus que elevam bem alto o trabalho do esforçado e ilustre catedrático.

Observo que esse é um parecer datado de 9 de novembro de 1929 sobre a 1ª. edição. Esse parecer

foi assinado por Guido Straube, Jeronymo G. Mazzarotto e Francisco José Gomes Ribeiro. Essa era a

comissão do Ginásio Paranaense.

Disposição material do assunto perfeitamente pedagógica, a impressão nítida e

caprichosa vem ainda realçar mais o valor didático da obra em apreço.

Há mais. – Na resolução das equações, além dos processos clássicos, o autor não descura

os modernos.

É raro encontrarem-se, entre outros, os problemas dos correios e das luzes tão

claramente explanados e completamente solucionados bem como a teoria dos

determinantes aplicada à resolução das equações – questão, geralmente, esquecida ou

demasiado sumária na maioria dos autores.

Este trabalho com a sua copiosa intercalação de exercícios vários e perfeitamente

enquadrada na orientação do programa de Matemática oficial é uma eloqüente

recomendação do seu autor que, com real aproveitamento de seus alunos, o vem

adotando em sua classe.

Ademais, o veredictum dos especialistas, o lisonjeiro acolhimento por parte da imprensa e

a sua franca aceitação em geral já consagraram o mérito de seu autor.

Nestas condições esta Comissão é de parecer que a obra em apreço não só satisfaz

cabalmente as exigências estabelecidas pela Congregação deste Estabelecimento de

Ensino Secundário como ainda vem contribuir, eficazmente, para consolidar o alto

conceito deste Ginásio e proclamar o renome o que faz jus o emérito professor.

No sentido de legitimar a obra, esses pareceres constavam nas páginas iniciais

dos livros didáticos e tinham a força de uma avaliação da obra apresentada. Em

particular, o parecer acima estava restrito ao Ginásio Paranaense, em que Maeder era

então diretor e, além disso, a comissão era formada por catedráticos na própria

instituição.

Comparando a 1ª. edição de 1928 com essa 2ª. edição de 1931, faço a seguir

algumas observações com o objetivo de descrever o trabalho de Maeder.

Na 1ª. edição, havia um tópico denominado “Introdução” que, na 2ª. edição, foi

totalmente excluído. Esse tópico procurava situar o leitor em relação a concepções

sobre ciência e suas classificações. Em relação à Matemática e suas subdivisões (ver

QUADRO 2), mencionado na 1ª. edição, Maeder repete na 2ª. edição.

Quanto ao item “Equações”, houve uma alteração já no início. Além da

retirada de duas referências presentes na 1ª. edição, houve uma troca. Maeder

substitui a frase

A hipótese da equação (1) ter uma raiz é perfeitamente legítima. Com efeito, sabido que a

equação de um fenômeno é a expressão algébrica da relação invariável entre a

quantidade desconhecida e as quantidades conhecidas que esse fenômeno apresenta,

nenhuma dúvida podemos ter sobre a existência de uma valor (raiz), próprio a satisfazer

a equação.

(Cel. Roberto Trompowsky Leitão de Almeida – Álgebra Superior)

pelas três frases seguintes, que me levam a observar uma simplificação de linguagem

do conceito de equação, isto é, Maeder externa uma preocupação em esclarecer o leitor

aluno sobre o que vem a ser uma equação:

Para resolvermos algebricamente uma questão qualquer, representamos os dados e as

incógnitas por meio dos símbolos algébricos e procuramos distinguir as relações

existentes entre eles.

Conhecidas as relações, devemos representá-las abreviadamente pelos sinais indicativos

das operações.

Dessa apresentação simbólica dos enunciados das questões, originam-se as equações.

(MAEDER, 1931, p. 14).

Procedendo com uma comparação das duas edições, da página 15 até a página

182 (até a numeração das páginas é a mesma) nenhuma alteração foi por mim

observada, o que me leva a afirmar que, graficamente, foi utilizada a mesma “matriz”

para essas páginas.

A ampliação é por conta dos conteúdos acrescentados nas páginas 183 a 217.

São dois tópicos: “Séries elementares” (especificamente Progressão aritmética e

Progressão geométrica) e “Logaritmos”.

Ao abordar o assunto “Progressão aritmética”, Maeder define e classifica uma

progressão aritmética (crescente ou decrescente, mas não fala em constante), trata da

representação e dos elementos de tal seqüência, realiza o cálculo de um termo qualquer

(é o termo geral de uma progressão aritmética), o cálculo da razão, o cálculo do

número de termos, o cálculo do 1º. termo, a soma dos termos de uma progressão

aritmética e, finalmente, interpolação diferencial (interpolação aritmética). Trata cada

um desses itens como problemas a serem resolvidos ou “pontos

” a serem estudados.

Isso pode ser observado no quadro a seguir, presente na página 190 dessa 2ª. edição,

quando Maeder apresenta 20 fórmulas que são derivadas de duas fórmulas que

atualmente um aluno do Ensino Médio utiliza ao estudar progressão aritmética:

Entendo aqui o termo “simplificação de linguagem”, feita no conceito de equação, como uma

alteração visando um esclarecimento em palavras mais simples da frase atribuída ao Cel. Roberto

Trompowsky Leitão de Almeida, citado por Maeder na 1ª. edição. Tal alteração também exclui os

termos hipótese e fenômeno.

A idéia de “pontos” a serem estudados está ligada à questão muito comum, na época, de que numa

avaliação caberia por sorteio um determinado tema que o aluno deveria descrever, responder quer

numa prova escrita ou oral.

QUADRO 5 – FÓRMULAS DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

a rna

⋅

−

+= )1(

e n

⋅













FIGURA 15 – FÓRMULAS PARA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Note que, ao todo, são sempre cinco elementos que aparecem nessas fórmulas

em relação ao estudo de progressão aritmética: o primeiro termo (a), o último termo

(l), o número de termos (n), a razão da progressão (r) e a soma dos termos (S). A

tabela, então, indica a existência dos problemas que podem ser resolvidos por meio das

fórmulas. Assim, dados três dos cinco elementos, para calcular os outros dois

elementos desconhecidos duas fórmulas são fornecidas.

Quanto ao assunto “Progressão geométrica”, Maeder procede da mesma forma que

“Progressão aritmética”, isto é, divide-o em “pontos” e busca, para cada um deles,

encaminhar procedimentos de como calcular um termo qualquer, o 1º. termo, a razão, o

produto dos termos e a soma dos termos. Não menciona o cálculo do limite da soma dos

termos de uma progressão geométrica decrescente com infinitos termos. Faz uma

observação, ao final do tópico “Séries elementares”, dando uma justificativa para essa

ausência: “Com as fórmulas obtidas, poderemos sempre calcular, entre os elementos

a, l, q, n, S e P, três deles, sendo conhecidos os outros três. Entretanto, alguns

problemas que se podem apresentar nesse sentido exigem conhecimentos superiores,

motivo pelo qual deixamos de resolvê-los aqui.”(MAEDER, 1931, p. 197)

Acredito que tal ausência deva-se aos assuntos “Limites” e “Derivadas” que

eram então estudados apenas em Curso Superior. Esses dois assuntos, na mesma

época, começam a fazer parte da disciplina de Matemática, no Colégio Pedro II.

O último tópico que compõe o livro em sua 2ª. edição é o estudo de

“Logaritmos”. Maeder apresenta tal assunto mencionando que logaritmo tem duas

origens distintas, isto é, uma ligada à Aritmética (origem aritmética) e a outra a

Álgebra (origem algébrica):

É que eles podem resultar da comparação de duas progressões, uma aritmética e outra

geométrica (origem aritmética) ou da função exponencial que é a inversa à função

logarítmica (origem algébrica).

Historicamente a primeira precede à segunda.

Consideremos uma progressão aritmética iniciada por 0 e outra geométrica iniciada por

....5.4.3.2..0

...::::::1

5432

rrrrr

qqqqq

A progressão geométrica contém todas as potências da razão e a aritmética todos os

múltiplos da razão. Os expoentes dos termos da progressão geométrica correspondem,

respectivamente, aos coeficientes da progressão aritmética. Da comparação dessas duas

progressões resulta a definição seguinte:

Logaritmos são os termos de uma progressão aritmética que correspondem aos termos de

uma progressão geométrica, consideradas ambas indefinidas. (MAEDER, 1931, p. 198)

Utiliza ainda no estudo de logaritmos a denominação “logaritmos vulgares” ou

“sistema de Briggs” para “logaritmos decimais”. Embora Maeder faça observações

sobre a utilização de tabelas para calcular logaritmos na base dez (trabalho com

característica e mantissa de logaritmos decimais), não apresenta nenhuma tabela ao

final do livro. Também aborda os logaritmos neperianos referindo-se a eles como

“sistema de logaritmos hiperbólicos”.

2.2.2 Álgebra elementar – 1ª. parte

Embora tenha reunido todas as edições de Álgebra elementar, tanto da 2ª. parte

como também da 1ª. parte, não consegui responder à questão: Qual o motivo de

Maeder ter publicado a Álgebra elementar – 2ª. parte antes de publicar Álgebra

elementar – 1ª. parte? Acredito que esse procedimento resultou da separação, e

conseqüente denominação, da Álgebra em dois níveis distintos de escolarização. A 1ª.

edição de Álgebra elementar – 1ª. parte é de 1931 e foi publicada pela Typ. João

Haupt e Cia. São 129 páginas e outras duas contendo o índice que indica a seguinte

divisão de seus tópicos principais, conforme o quadro a seguir:

QUADRO 6 – ASSUNTOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR – 1ª. PARTE – 1ª. EDIÇÃO

• Introdução (objeto da Álgebra, funções algébricas, símbolos e sinais algébricos).

• Números algébricos (noções gerais, segmentos, adição, subtração, soma

algébrica, multiplicação, potências, raízes, divisão, frações).

• Expressões algébricas (definição, classificação, valor numérico, elementos de

um monômio, termos semelhantes, polinômios ordenados).

• Operações sobre as expressões algébricas (adição, subtração, multiplicação,

produtos notáveis, divisão, expoente zero, expoente negativo, fatores em

evidência, divisão inexata, divisão por

, fatoração, máximo divisor comum,

mínimo múltiplo comum).

• Frações (definição, simplificação, redução ao mesmo denominador, adição,

subtração, multiplicação, divisão, cálculo de expressões fracionárias).

FIGURA 16 – CAPA DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 1ª. PARTE

FIGURA 17 – PÁGINA INICIAL DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 1ª. PARTE

Com relação a esse livro, faço aqui algumas observações para melhor descrevê-lo.

Constato já na capa a existência da menção “rigorosamente adaptada aos programas

oficiais dos cursos secundários”. Além disso, há uma frase

na capa e na primeira página

sobre a adoção do livro pelo Ginásio Paranaense. O prefácio (MAEDER, 1931, p. 3) foi

elaborado por Waldemiro Teixeira de Freitas

e está datado de 11 de maio de 1931:

Uma primeira leitura da presente obra, de autoria do prezado e distinto colega Dr.

Algacyr Munhoz Mäder, convenceu-me de que o esforço despendido na sua elaboração

não foi improficuo. O competente catedrático do tradicional Ginásio Paranaense

produziu um trabalho que, ao meu ver, prestará reais serviços a nossa mocidade

estudiosa.

É um erro muito generalizado o pensar-se que poucos são os indivíduos propensos ao

estudo da Matemática. Não passa tal opinião de enganadora aparência, originada, por via

de regra, de um iniciação tardia e descuidada na ciência da quantidade. Uma boa parte

da culpa por semelhante estado de coisas deve ser atribuída a deficiência de muitos

compêndios em uso nos nossos estabelecimentos de ensino. Dentre os principais defeitos

que se observam nesses manuais das ciências exatas, mormente nos de Álgebra, julgo

oportuno apontar aqui os que se seguem.

Numerosos autores, aliás donos incontestes de elevada cultura Matemática, não sabem

baixar ao nível intelectual dos jovens principiantes. Outros, não menos ilustres, cometem

a lamentável incúria de omitir, no início, o desenvolvimento de certas noções geométricas,

absolutamente necessárias. Querem, desde logo, apresentar as demonstrações

Matemáticas, quando a imaginativa Matemática do aluno ainda se encontra no seu

estado embrionário, só evoluindo lentamente, com o poderoso concurso das noções

geométricas a que vimos de aludir. Em certos compêndios ressalta ainda uma tal ou qual

negligência nas definições, o que constitui sério inconveniente, porquanto, como sabemos,

a definição Matemática é formulada, não mediante a pura observação, como nas ciências

naturais, mas por construção, indicando-se a origem do objeto ideado que se trata de

estudar. Daí se infere que, sendo o objeto definido uma forma construída pelo espírito

sobre os dados da experiência, e da qual se derivam, como conseqüências, por via de

análise, as propriedades que possui, deve a respectiva definição ser dada em termos de

máxima clareza. Não menos dificultante do estudo da Matemática é a linguagem

inadequada a mentalidade juvenil de que se servem em suas obras alguns autores.

Ora, parece-me que o distinto colega Dr. Algacyr soube habilmente evitar os escolhos a

que vimos de fazer referência. Em seu belo trabalho não se nota a preocupação em

mostrar conhecimentos que o aluno ainda não está em condições de assimilar. O Capítulo

intitulado “Números Algébricos” revela nitidamente que o A. mui sabiamente recorreu às

noções geométricas aptas a desenvolver a faculdade imaginativa do aluno. As definições e

a linguagem sóbria, em que está vasado

o livro, merecedor de ser classificado entre os

melhores no gênero, recomendam-se por si mesmos. Ainda merece especial menção os

exercícios criteriosamente escolhidos e graduados.

A frase que menciono não está impressa no livro. Ela foi colocada por meio de um carimbo na capa

e também na primeira página interna: “Officialmente adoptado pela Congregação do Gymnasio

Paranense para o corrente ano”.

Waldemiro Teixeira de Freitas era Catedrático da Faculdade de Engenharia do Paraná e também

catedrático do então Ginásio Paranaense.

A palavra “vasado” parece ter sido colocada no lugar da palavra “embasado”. Trata-se de um

provável erro de impressão.

Em conclusão, recomendo com empenho o ótimo volume de 130 páginas, otimamente

impressas, aos estudiosos paranaenses, que só terão a lucrar no seu manuseio.

Ao bondoso colega deixo consignado o meu vivo agradecimento pela honrosa

incumbência me conferida de professor o valioso trabalho, certamente digno dos

melhores encômios.

Esse prefácio fornece indícios (é assim que interpreto) sobre a adoção restrita ao

ensino de Matemática no estado do Paraná. Também é possível observar uma

preocupação externada por Waldemiro Teixeira de Freitas em relação à linguagem a

ser utilizada em um compêndio, no sentido de estar ou não adequada ao aluno. Outro

ponto que extraio de tal prefácio diz respeito à recomendação do método a seguir no

ensino de Matemática. Segundo Waldemiro, a construção dos conceitos deve substituir

as apresentações de demonstrações matemáticas que não levam em consideração o

estado embrionário em que se encontra o aluno em relação ao entendimento de tais

conceitos. Nesse prefácio, a “recomendação” ou “parecer” é claramente feita por um

amigo. Um elemento forte das idéias modernizadoras defendidas mundialmente por

Félix Klein se faz presente nesse prefácio: a construção do conhecimento a partir da

intuição.

Maeder extrai do seu livro Álgebra elementar – 2ª. parte, na sua primeira

edição de 1928, o tópico “Introdução” que aborda a classificação das Ciências, a

divisão da Matemática, a definição da Matemática, o objeto da Álgebra, as idéias

referentes às funções, a concepção de equação e os símbolos algébricos

Apenas para esclarecer sobre os tópicos em que os livros estão divididos, é

possível observar que os conteúdos abordam alguns assuntos que atualmente podem

ser encontrados em alguns livros didáticos de Matemática da 6ª. e da 7ª. séries do

Ensino Fundamental. O tópico “Números algébricos” corresponde ao estudo dos

números inteiros e é apresentado por Maeder como uma ampliação dos números

naturais:

Os números negativos são introduzidos na Matemática como primeira ampliação do

campo numérico, designando oposição de sentido.

E essa ampliação é necessária, por isso que há grandezas suscetíveis de avaliação em dois

sentidos opostos.

Ao abordar o livro Álgebra elementar – 2ª. parte, no presente trabalho, já foi comentado o texto

correspondente de Maeder.

Para as grandezas dessa natureza, tomadas em seu conceito geral nas questões

pertencentes ao domínio algébrico, os números naturais que exprimem a sua medida, são

insuficientes para determiná-las.

Por esse motivo tais números devem ser completados com a indicação do sentido em que

são tomados. (MAEDER, 1931, p. 14).

Temperaturas medidas em termômetros, abaixo ou acima de zero, são exemplos

empregados para utilização de números negativos. Também as transações comerciais

(lucros e perdas), intervalos de tempo (positivos os posteriores a um determinado

acontecimento e negativos os anteriores) e as coordenadas geográficas (às orientais

contados à direita do meridiano são positivas e às ocidentais, contadas à esquerda, são

negativas).

Maeder fez uma opção de desenvolver os números inteiros associados às

medidas e também à idéia de segmento orientado. Para explicar a multiplicação entre

dois números inteiros, positivos e/ou negativos, divide em quatro casos, em que utiliza

um exemplo de movimento. “1º. caso: Admitamos que um móvel percorra 3 metros

no sentido direto (da esquerda para a direita) em 1 segundo e vejamos onde se

encontrará no fim de 4 segundos.”(MAEDER, 1931, p. 28). Explica que a

velocidade é de + 3 e o tempo gasto no percurso é + 4. Assim, o percurso total será,

aritmeticamente, igual a (+ 3) x (+4) = (+12). Já no “2º. caso: Consideremos o

móvel percorrendo 3 metros em 1 segundo, da esquerda para a direita e vejamos

onde se encontrará no fim de 4 segundos”. Nesse caso, a velocidade é (-3) e o tempo

(+4), o que resulta no espaço percorrido igual a (-3) x (+4) = - 12. No 3º. caso,

Maeder comenta que o primeiro fator será positivo e o segundo fator negativo, o que

resulta (+3) x (-4) = -12. No “4º. caso: Sendo negativos ambos os fatores,

enunciaremos o 4º. caso como segue: O móvel, que se encontra atualmente na

origem (O), tendo percorrido 3 metros por segundo da direita para a esquerda, a

que distância desse ponto estaria a 4 segundos?” (MAEDER, 1931, p. 30). Nesse

caso, conclui que (-3) x (-4) = (+12). Ao colocar esse exemplo de encaminhamento de

conteúdo feito por Maeder, a idéia é observar que há uma preocupação em dar

significado, para o aluno, das regras de sinais explicadas na multiplicação de números

inteiros. Maeder fez uma opção pelo contexto de movimentos ao longo de uma reta

orientada.

“Expressões algébricas”, tópico seguinte do livro, é desenvolvido inicialmente

com base na idéia do que vem a ser uma expressão algébrica, a classificação existente

(expressões algébricas racionais, irracionais, inteiras e fracionárias), valor numérico de

uma expressão algébrica e prossegue com a apresentação do índice. Há, entretanto,

uma observação de rodapé de página feita por Maeder ao discutir exemplos de

coeficientes associados a monômios:

Muitos autores, nas definições que adotam sobre os elementos dos monômios, incidem em

erros grosseiros, generalizando em falso definições particularíssimas. É Assim que

chegam a dizer que o coeficiente indica o número de vezes que a parte literal de um

monômio deve ser repetida como parcela...

É preciso ter-se uma noção muito acanhada das expressões algébricas para assim definir

o coeficiente.

Com efeito, quando os coeficientes são fracionários ou irracionais, absolutamente não

representam repetição de parcelas iguais à parte literal.

Então nesse caso, por exemplo, os monômios

. Os coeficientes

poderão indicar repetição de parcelas iguais? Certo que não!

Sebastião Alves, em seu ótimo livro “Algebra Elementar”, expende brilhante

argumentação a respeito das definições de expoente e coeficiente, indicando as únicas

verdadeiras.

As definições aceitas pelo eminente patrício são precisamente as que adotamos.

(MAEDER, 1931, p. 46)

Observo, aqui, uma possível referência utilizada por Maeder para elaboração de

seus livros didáticos de Matemática e, também, uma discussão crítica a respeito de

uma definição do que vem a ser um coeficiente numérico associado a uma expressão

algébrica.

O tópico “Expressões algébricas” contém um procedimento curioso da

disposição de dois polinômios para a multiplicação. Maeder chama tal procedimento

de “Indicação prática: A fim de facilitar a multiplicação de polinômios, deve-se

sempre ordená-los previamente segundo as potências crescentes ou decrescentes

de uma mesma letra e dispor a operação na ordem seguinte:” (MAEDER, 1931, p.

68). Observe os três exemplos na FIGURA 18.

No texto, Maeder aborda a seguir a divisão envolvendo polinômios. Divide tal

assunto em divisão de monômios, divisão de um polinômio por um monômio, divisão

de polinômios e divisão de um monômio por um polinômio. Neste caso, utiliza dois

exemplos e, dá um passo importante (embora nada comente) para observar a

construção de algumas séries de potências que, atualmente são estudadas somente nos

curso de graduação na disciplina “Cálculo”. Observo, a seguir, um exemplo da divisão

seguido pelo desenvolvimento de quatro séries (FIGURA 19).

FIG

URA 18 – MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

FIGURA 19 – EXEMPLOS DE SÉRIES

Quanto ao tópico “Casos especiais da divisão”, o livro contém o teorema do

esto da divisão de um polinômio X por um binômio da forma R

desenvolvido no sentido de simplificação de frações algébricas, observando

casos especiais de fatoração.

2.2.3 Álgebra elementar – 3ª.

Maeder

presenta o teorema e, após enunciá-lo, procede com a demonstração. O restante do

livro é

edição

Se os livros anteriores publicados por Maeder estavam restritos à utilização no

tras escolas paranaenses, isso não ocorre com o

lgebra elementar – 3ª. edição, publicado pela Typ. João Haupt e Cia., no ano de

1933.

Ginásio Paranaense e em algumas ou

Este foi um livro de projeção nacional, conforme a própria apresentação feita

por Maeder em suas 337 páginas mais uma dezena delas com tábuas de logaritmos e

razões trigonométricas:

FIGURA 20 – APRESENTAÇÃO DA 3ª. EDIÇÃO DE ÁLGEBRA ELEMENTAR

FIGURA 21 – CAPA DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 3ª. EDIÇÃO

FIGURA 22 – PÁGINA INICAL DO LIVRO ÁLGEBRA ELEMENTAR – 3ª. EDIÇÃO

Na segunda folha depois da capa

é possível observar uma consonância com os

programas oficiais: “Curso completo, contendo toda a matéria de álgebra das diversas

séries do curso Secundário, de acordo com os novos programas oficiais, com

numerosos exercícios e uma tábua de logaritmos a 5 decimais dos 10000 primeiros

números e uma de linhas trigonométricas naturais.” Além disso, Maeder se apresenta

como “Engenheiro Civil, Catedrático e Ex-Diretor do Ginásio Paranaense,

Corre stério da Educação e Saúde Pública no Estado do Paraná”.

livro apresenta, já nas páginas inicias, um índice dos assuntos abordados.

Assim Maeder elabora o seu trabalho didático Álgebra elementar dividindo-o em

tópicos, conforme QUADRO 7.

s dois livros anteriores de Maeder tiveram, cada um deles, duas edições.

Álgebra elementar – 2ª. parte foi publicado em 1928 (1ª. edição) e em 1931 (2ª.

edição). Quanto a Álgebra elementar – 1ª. parte, as publicações foram em 1931 (1ª.

edição) e em 1932 (2ª. edição

). Ao fazer esse comentário a respeito dos dois livros

anteriores busco justificar que o livro Álgebra elementar de 1933 é denominado como

de 3ª. edição no sentido de ser uma junção, com alguns acréscimos, dos dois livros

anteriores, cada um deles com duas edições. Maeder, partindo dos dois livros

anteriores com vários ajustes publica esse livro que, na época, foi motivo de uma

verdadeira pendenga entre catedráticos dos anos 30. De um lado a Revista Brasileira

de Matemática, cujos diretores eram J. C. Mello e Souza (o Malba Tahan) e Salomão

Serebrenick; de outro lado Algacyr Munhoz Maeder, auxiliado por Jacomo Stávale, e

spondente do Mini

Não poderia deixar de observar que, neste livro, é visível a melhoria do trabalho gráfico feito pela

Typ. João Haupt e Cia., não apenas em relação à capa do livro, como também parece claro o

investimento dessa tipografia no ramo editorial. Um exemplo disso está na própria produção da capa

do livro de Maeder elaborada pelo professor Hermes Cardoso, isto é, há um profissional responsável

pela criação da capa. No verso da capa, no fim do livro, há menção de outras “Edições da Casa”. São

elas: Te grafia, Noções Práticas por Livio G. Moreira (2ª. edição); Patologia Geral do Dr. Nilo Cairo

(3ª. edição) e Anatomia e Fisiologia Humanas – Sinopse da História Natural por Guido Straube (2ª.

edição) mente os dados existentes sobre a Typ. João Haupt e Cia. não são suficientes para

descrev etória dessa iniciativa de uma editora do Estado do Paraná. Por essa época existiam

pelo Brasil diversas tipografias. Algumas, pelo crescimento editorial, passaram a se constituir como

editoras. Outras não conseguiram o devido espaço e desapareceram do mercado editorial. A Typ. João

Haupt e Cia., dividiu-se em papelaria e tipografia. Atualmente ainda existe a papelaria em Curitiba.

Não consegui encontrar nenhum volume deste livro publicado em 2ª. edição. O fato de ter

mencionado a existência dessa edição está baseado no Dicionário Bibliográfico do Paraná, de autoria

de Júlio Moreira. Nele, há a referência dessa 2ª. edição.

. Infeliz

er a traj

dois outros personagens paranaenses. A discussão pode ter sido motivada por uma

disputa no mercado editorial brasileiro e representa, no presente trabalho de pesquisa,

o capítulo 3 que denomino Tribunas de Educadores.

QUADRO 7 – ASSUNTOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR – 3ª. EDIÇÃO

• Introdução (objeto da Álgebra, Funções elementares, Símbolos e sinais algébricos)

• Números algébricos (noções gerais, segmentos, adição, subtração, soma algébrica,

multiplicação, potências, raízes, divisão, frações)

• Expressões algébricas (definição, classificação, valor numérico, elementos de um monômio,

termos semelhantes, polinômios ordenados)

• Operações sobre as expressões algébricas (adição, subtração, multiplicação, produtos

notáveis, divisão, expoente zero, expoente negativo, fatores em evidência, divisão inexata,

divisão por

, fatoração, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum)

• Frações (definição, simplificação, redução ao mesmo denominador, adição, subtração,

multiplicação, divisão, cálculo de expressões fracionárias)

• Potências e raízes (definição, princípios gerais, regra dos sinais, quadrado de polinômios,

cubo de polinômios, raízes, princípios gerais, regra dos sinais, raiz quadrada de polinômios,

raiz cúbica de polinômios)

• Radicais (definição, princípio fundamental, simplificação de radicais, redução de radicais ao

raízes de radicais)

• Equações (definição, número de raízes, classificação, princípios gerais)

• Equações do 1º. grau a uma incógnita (resolução, discussão)

• Problemas do 1º. grau a uma incógnita (definição, classificação, resolução de problemas

diversos)

• Sistemas de equações (definição, classificação, princípios gerais, sistemas do 1º. grau a duas

incógnitas, processos de resolução, redução ao mesmo coeficiente, substituição, comparação,

método de Bezout, discussão, sistemas do 1º. grau a várias incógnitas, Regra de Cramer,

sistemas que se resolvem por artifícios de cálculo)

• Problemas do 1º. grau a várias incógnitas (exemplos)

mesmo índice, adição e subtração de radicais, multiplicação e divisão de radicais, potências e

gerais, problema das idades, problema dos correios, problema das tangentes, problemas

• Determinantes (generalidades, regra de Sarrus, resolução dos sistemas de duas incógnitas,

resolução dos sistemas de três incógnitas)

• Equações do 2º. grau (generalidades, equações incompletas, número de raízes, processos para

a resolução da equação completa, árabes, árabes modificado, Viéte, processo brasileiro,

Dühring, fórmula simétrica, fórmula fracionária, fórmula trigonométrica, discussão,

propriedades das raízes)

• Problemas do 2º. grau (resolução de problemas gerais, problemas das luzes, resolução de

problemas particulares)

• Equações biquadradas (generalidades, resolução)

• Séries elementares (progressões aritméticas, progressões geométricas)

• Logaritmos (generalidades, propriedades, logaritmos vulgares, logaritmos negativos,

cologaritmo, logaritmos neperianos, tábuas de logaritmos, operações sobre logaritmos,

questões diversas)

• Juros compostos e anuidades (generalidades, problema fundamental, capitalização não anual,

anuidades, capitalização, amortização)

• Tábuas de logaritmos a cinco decimais dos 10000 primeiros números.

Ao afirmar anteriormente que o livro de 1933 foi compilado por uma junção

dos dois anteriores, justifico tal afirmação por uma comparação entre as publicações.

Nessa comparação observo, por exemplo, que os tópicos da publicação de Álgebra

elementar – 2ª. parte estão presentes no livro Álgebra elementar – 3ª. edição. Os

assuntos são: Equações, Equações do primeiro grau a uma incógnita

, Problemas

Sistemas de equações

, Determinantes

, Equações do 2º. grau a uma incógnita

Pro e

Ele n

elemen , Expressões algébricas, Operações sobre

expres

div r

relação

ele n

novos es: Potências e raízes (páginas: 108 a 131), Radicais (páginas:

132 240 a 246), Juros

com

trigono (são 22 páginas).

outros

bl mas do 2º. grau a uma incógnita

. Quanto aos tópicos presentes em Álgebra

me tar-1ª. parte, verifiquei que todos estão também presentes no livro Álgebra

tar – 3ª. edição: Números algébricos

sões algébricas

, Casos especiais da divisão, Fatoração de polinômios, Máximo

iso comum e mínimo múltiplo comum e, por último, Frações

Além do acréscimo de exercícios e de pequenas alterações mencionadas em

aos tópicos constantes nos dois livros anteriores, o que torna o Álgebra

me tar – 3ª edição diferente em relação à junção dos outros dois é a inclusão de

assuntos. São el

a 152), Problemas do 1º. grau a várias incógnitas (páginas:

postos e anuidades (páginas: 329 a 337), Tábuas de logaritmos e de linhas

métricas

O livro denominado Álgebra elementar – 3ª. edição, resultado da junção dos

dois com alguns acréscimos, acabou tendo uma projeção além da cidade do

In r

element

M d

incógni

Acres

Acres relação a resposta de um exercício resolvido, conforme página 253

dest ª

Este ado de “Equações do 2º. grau”. Além da mudança de nome, outras

alte õ das propriedades entre as raízes de uma

equ o centados.

O p

do 2º. g

respeito de “resolução de problemas particulares”, conforme constatei na página 298.

Há u

quando ros 27, 47 e 60, o que foi devidamente corrigido na

pub ç

Mudou a ordem dos exercícios e a quantidade desses.

se iu, na página 163 do livro de 1933, um exemplo de equação que não havia no livro Álgebra

ar – 2ª. parte.

u ou o título do tópico, passando a ser identificado como “Problemas do 1º. grau a uma

ta” e acrescentou diversos problemas que não haviam no volume anterior.

centou novos exercícios, mantendo toda a teoria em relação ao volume anterior.

centou uma conclusão em

a 3 . edição.

tópico passou a ser cham

raç es podem ser percebidas. Uma delas é a inclusão

açã do 2º. grau e os coeficientes dessa equação. Novos exercícios são acres

tó ico fazia parte de “Problemas”. Nesta 3ª. edição, ele passa a ser designado como “Problemas

rau”. Todo o assunto é mantido com o acréscimo de novos exercícios e uma introdução a

ma pequena diferença: na publicação da Álgebra elementar – 1ª. parte estavam faltando,

da numeração, os exercícios de núme

lica ão de Álgebra elementar – 3ª. edição.

autor.

pansão do ensino.

a unificação de seus vários ramos. Os compêndios,

que at

não apenas estava mudando de tipografia para editora, mas também iniciava a sua

r de livros

sciplina de Matemática.

Comento isso não apenas pelo fato de ter sido citado na Revista Brasileira de

Matemática de 1933, como também para observar sua existência em diversas

bibliotecas espalhadas pelo território nacional

. Mas a parceria com a Typ. João

Haupt e Cia., em Curitiba, encerrou com esse livro, que não teve outras edições. Os

anos 30, como aponta ROMANELLI (2005, p. 60), foram marcados por uma

revolução, “resultado de uma crise que vinha longe destruindo o monopólio do poder

pelas velhas oligarquias, favorecendo a criação de algumas condições básicas para a

implantação definitiva do capitalismo industrial no Brasil, acabou, portanto, criando

também condições para que se modificassem o horizonte cultural e o nível de

aspirações de parte da população brasileira”. É nesse contexto que a demanda social de

educação tem um crescimento levando a uma necessidade pela ex

Reformas na educação surgem e Maeder recebe um convite para escrever uma coleção

de livros didáticos de Matemática pela Edições Melhoramentos em São Paulo. É o

autor paranaense fazendo parte de uma editora que se lança na publicação de livros

didáticos.

Os três livros Álgebra elementar foram escritos numa época de transição

daquilo que era ensinado no país a respeito de Matemática. A disciplina Matemática

está sendo construída no Brasil pel

é então representavam a grande referência de professores e alunos, aos poucos

foram cedendo o lugar para os livros-texto (os livros didáticos). Maeder, como autor,

participação ativa em um grupo formado por poucos autores que iriam iniciar a escrita

a disciplina de Matemática. Começava para Maeder o tempo das Lições de

Matemática. De autor de compêndios, passa a ser aqui considerado auto

didáticos da di

Fiz uma pesquisa, via internet, em bibliotecas públicas e particulares sobre os livros de Maeder.

Queria com isso ter uma idéia sobre a abrangência de sua obra. Para surpresa, em diversos lugares

havia ainda em arquivos o livro de 1933. Esses dados representam indícios dessa abrangência, porém

não utilizo essas informações aqui.

2.3 LIÇÕES DE MATEMÁTICA

No jornal Diário de São Paulo, mês de abril de 1934, uma nota encontrada no

arquivo da família de Maeder, conforme abaixo, indica o início de uma parceria desse

autor com a Edições Melhoramentos. É a divulgação via imprensa do lançamento de

uma coleção composta de cinco livros de Matemática cujo título é Lições de

Matemática. As publicações desses livros com edições (e/ou tiragens) compreenderam

o período que vai de 1934 a 1942, conforme dados que levantei com a própria editora

e detalharei mais adiante (ver ANEXO IV).

FIGURA 23 – RECORTE DO DIÁRIO DE SÃO PAULO

Observo que esses cinco volumes de Lições de Matemática foram escritos para

erem utilizados no ensino de Matemática no então denominado ginásio, composto de

cinco anos. O contexto educacional da época é observado por VALENTE (2004, p. 15):

encontrada na década de 1930, quando se organiza o sistema nacional de ensino. Com a

. A figura a seguir contém as capas desses

inco livros e também o ano referente a 1ª. edição de cada um deles.

A referência histórica primeira, para o estudo da constituição desse nível escolar, pode ser

Reforma “Francisco Campos”, o ensino secundário ficou dividido em dois: um curso

fundamental, de cinco anos; e, um curso complementar, de dois. O primeiro, comum a todos os

alunos; o segundo, dividido em três ramos que contemplavam os candidatos às carreiras

universitárias das áreas médicas, exatas e humanas.

É para o ensino da disciplina de Matemática correspondente à primeira dessas

duas partes que Maeder escreve sua coleção

FIGURA 24 – COLEÇÃO LIÇÕES DE MATEMÁTICA E DATAS

2º. ano – 1935

4º. ano – 1937 5º. ano – 1938

1º. ano – 1934 3º. ano – 1936

Nesses livros, observo a referência, já na página seguinte à capa, ao programa

elaborado: “De acordo com o programa oficial do Colégio Pedro II”. Esse colégio do

Rio de Janeiro era o responsável por ditar o programa de Matemática da época seguido

omo referência para o resto do país. O personagem principal era Euclides Roxo, que,

como

pelo e

fazer p

projeto de reforma do ensino brasileiro. Era a chamada Reforma Francisco Campos

ser mais recente

uando comparada com a de autor pela Typ. João Haupt e Cia.), permite um estudo

mais detalhado no que diz respeito a edições (tiragens) dos livros. Em duas visitas

feitas a essa editora, a primeira em julho de 2005 e a segunda em julho de 2006, foi

possível levantar alguns dados a respeito das publicações. Embora existam lacunas a

serem preenchidas, é possível descrever de forma mais organizada não só as datas de

publicações, como também, em alguns volumes publicados, a quantidade de livros em

cada tiragem. As edições com alterações só podem ser observadas fazendo-se

comparações livro a livro, edição a edição.

diretor do Colégio Pedro II (tomou posse em dezembro de 1930), foi convidado

ntão Ministro Francisco Campos (Ministro da Educação e Saúde Pública) para

arte de um grupo de pessoas que ficaram incumbidas da elaboração de um

Euclides Roxo, a partir de idéias vindas de seu trabalho no Colégio Pedro II, teria

elaborado o programa

de Matemática a ser implantado a seguir em todo o país.

A fase de autor da Edições Melhoramentos

, talvez por

“Em 1931, a reforma Campos, promulgada pelo Decreto Lei n. 19890, de 18 de abril de 1931, fixou

a duração de sete anos para o ensino secundário, cinco dos quais constituíam o ciclo fundamental e os

dois últimos o complementar, de preparação para os cursos superiores, com 3 subdivisões, de acordo

com a futura área profissional do aluno (decreto 19890 de 18/04/1931).” (CARVALHO, 2003, p. 123)

Examino, a seguir, série por série, se os programas utilizados em Lições de Matemática seguiam

aqueles adotados no Colégio Pedro II e que foram propostos na Reforma Campos.

Antonio Prost Rodovalho cria em 1890 a Companhia de Melhoramentos de São Paulo. Em 1905

nasce também em São Paulo a sociedade Weiszflog Irmãos – Estabelecimento Gráfico. Por sugestão

de Arnaldo de Oliveira Barreto essa sociedade passa à editora. O marco é o ano de 1915 com o livro O

patinho feio de Hans Christian Andersen (conhecido como o primeiro livro editado a quatro cores).

Em 1920, os irmãos Weiszflog compram a s. Nasce assim a Edições Melhoramentos

d ra não está mais

Melhoramento

itoque mais tarde passou a se denominar Editora Melhoramentos. Atualmente, essa e

no ramo de produção editorial de livros didáticos.

2.3.1 L

De acordo com o que mais recentemente se há publicado sobre o assunto e sempre em

resolução dos respectivos problemas.

adquiridas pelo estudante em outras disciplinas do curso, especialmente na de Ciências

Em tratando de quocientes aproximados, é que surge a primeira noção de aproximação

no cálculo, noção essa devidamente desenvolvida ao diante, quando se considera a divisão

dos números decimais e a raiz quadrada dos inteiros e fracionários.

Em harmonia com o critério adotado, a par das noções teóricas, que julgamos por bem

não abandonar de todo, encontra-se farta e original exemplificação nos demais capítulos

referentes à parte do programa dedicada à aritmética, com que procuramos despertar a

atenção do aluno para as vantagens das aplicações concretas da matéria, mas dentro do

ições de Matemática – 1º. ano (1ª. série)

O livro Lições de Matemática – 1º. ano (1ª. série) teve ao todo 10 edições, ou

melhor, 10 tiragens

, compreendendo o período que vai de 1934 a 1942. Entre essas

10 tiragens pude observar duas alterações importantes: a primeira refere-se à mudança

de ortografia a partir da 5ª. edição

e, a segunda, ocorrida na 7ª. edição, refere-se de

fato a uma nova edição com alterações, correções e ampliações. O que ocorre após a

7ª. edição desse livro representa apenas tiragens sem qualquer alteração de conteúd .

Observo, a seguir, o prefácio apresentado por Maeder na 7ª. edição e que é repetido até

a última edição no ano de 1942:

Com as nossas sinceras homenagens aos colegas do curso secundário que nos vêm

honrando com o seu estímulo, voltamos a público para oferecer a sétima edição das

nossas “Lições de Matemática”, 1ª série.

obediência ao atual programa do Colégio “Pedro II”, procuramos expor a matéria com

clareza e sem o exagerado formalismo que a pedagogia condena como absolutamente

inócuo no curso elementar de Matemática para alunos da primeira série.

Mereceram-nos especial cuidado as operações fundamentais, desde a noção concreta

inicial até à sua prática e interpretação geométrica, e assim procuramos desenvolver

minuciosamente a parte concernente ao cálculo mental, aos processos de abreviação e à

Quanto aos problemas, tivemos a preocupação de relacioná-los a certas noções

Físicas e Naturais.

tolerável limite de simplicidade que deve caracterizar as exposições didáticas. É isso, a

nosso ver, coisa interessante e indispensável, de que se colhem excelentes frutos.

Usando de linguagem adaptada à compreensão do aluno, pusemos ainda todo o cuidado

nas modificações que sofreu o sistema métrico decimal, não só definindo os padrões, as

A conclusão sobre o total de tiragens é baseada no Dicionário Bibliográfico do Paraná escrito por

Júlio Moreira. Os dados da editora Edições Melhoramentos em relação a esse livro são incompletos,

pois referem-se apenas a algumas edições.

Em setembro de 2006 fui pesquisar os livros de autoria de Maeder existentes na Biblioteca Nacional

no Rio de Janeiro. Pude observar que até a 4ª. edição ainda estava vigorando a grafia antiga com a

denominação de Lições de Mathematica. Somente a partir da 5ª. edição houve a mudança para Lições

de Matemática, agora com a nova ortografia.

unidades principais e secundárias, senão também empregando a grafia e as abreviaturas

adotadas pela recente publicação do Ministério do Trabalho, Indústria e Comércio.

onforme as exigências da orientação metodológica moderna, só se vão calculando áreas

e volumes de formas geométricas adrede definidas em capítulos anteriores, sempre que se

sistema de pesos e medidas.

noção de equação.

plificação com que fechamos este capítulo que nos permite

s principais transformações empregadas na resolução dos

tipos simples.

por nós considerados e todos atinentes ao nosso

o, deve o ensino

envolva o senso de estimativa das grandezas e de

a do discípulo em si mesmo”. (MAEDER, prefácio da 7ª. edição)

ver, uma distância

muito

preocu

nessa

estava

disso

desenvolvimento intuitivo “no espírito do estudante” das primeiras noções de funções.

chamada Matemática, conforme já observei

ondente a 7ª. edição.

nos depara a oportunidade de exercitar o aluno em operações com as unidades do nosso

Justificando objetivamente, como ampliação do campo numérico, a introdução dos

números algébricos ou qualificados, demoramo-nos bastante nas operações fundamentais

que com eles se podem efetuar, todas referidas, é claro, às construções gráficas

correspondentes.

A essa altura, não é ocioso advertirmos que depois de estudar as expressões algébricas,

sua classificação, valor numérico, adição e subtração, dedicamos um capítulo especial à

A nós, mas aos nossos brilhantes colegas, não nos cabe ajuizar do mérito do nosso

trabalho, mas verá o leitor que, empregando exemplos simplicíssimos, procuramos fazer

surgir automaticamente a idéia de equação como tradução algébrica do enunciado de um

problema. E ampla é a exem

considerar elementarmente a

No capítulo seguinte, além de estudarmos elementarmente os eixos coordenados,

desenvolvemos a representação gráfica das variações sucessivas de grandeza dos dados

geográficos, estatísticos e meteorológicos

País, procurando assim formar intuitivamente no espírito do estudante a noção primeira de

função.

Pensamos assim, que as nossas “Lições de Matemática” – 1ª. série – satisfazem ao espírito

do programa do Colégio “Pedro II”, em cuja introdução se lê: “A princípi

de Matemática acostumar o aluno à prática dos cálculos mentais, tornando-o seguro e

desembaraçado nas operações numéricas. É, pois, necessário que ele compreenda bem o

alcance e a natureza das operações elementares e adquira habilidade crescente no modo

de aplicá-las. Convém ainda que des

apreciação do grau de exatidão dos cálculos sobre valores aproximados. Enfim, pela

prática freqüente das verificações dos exercícios numéricos, cumpre ao professor

estimular a confianç

O prefácio apresentado para a 7ª. edição representa, a meu

grande em relação aos trabalhos anteriores de Maeder. Observo maiores

pações em relação ao encaminhamento de conteúdos, à linguagem adotada

escrita e a consonância com o movimento de reforma que, de alguma forma

“influenciado” a elaboração dos livros didáticos de Matemática. Um exemplo

pode ser constatado acima, quando Maeder destaca a preocupação com o

É a idéia de “função” como articuladora de Aritmética, de Geometria e de Álgebra

para formar uma única disciplina

anteriormente. As duas figuras seguintes são cópias reproduzidas eletronicamente da

capa e da página inicial do livro corresp

FIGURA 25 – CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 1º. ANO

FIGURA 26 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 1º. ANO

Um outro ponto a observar está relacionado ao que o autor paranaense chama de

“obediência” do programa ditado pelo Colégio Pedro II. O autor não apenas se posiciona

favoravelmente a essa obediência no que se refere ao programa, como também parece

concordar com a necessidade, defendida pelos autores desse programa, de não haver no

ensino de Matemática um exagero na utilização do formalismo para os alunos do 1º. ano.

Quanto aos conteúdos da disciplina Matemática, considero que estão seguindo a

tendência preconizada por Félix Klein no sentido de enfocar Aritmética, Álgebra e

Geometria juntas, na mesma série. De fato, no livro de Maeder esses ramos da

Matemática estão juntos, porém em capítulos bem delimitados.

Nos capítulos destinados à Aritmética, há um outro elemento que situa o trabalho

do autor paranaense em consonância com as idéias modernizadoras que começam a ser

difundida nas escolas Brasil afora: a valorização do cálculo mental

diante de operações

aritméticas. Maeder, já no sumário desse livro, falava a esse respeito.

Falando em operações aritméticas, há um ponto de interesse para a história dos

saberes escolares, particularmente aqueles que o tempo encarregou de transformar,

chegando praticamente a desaparecer: a prova dos nove

. Esse procedimento, presente

no livro de Maeder, atualmente não é encaminhado em livros didáticos com o status

método de verificação das operações aritméticas. Quando muito se faz presente em

livros paradidáticos como uma “curiosidade Matemática”. Outro procedimento que

também desapareceu dos livros didáticos de Matemática é o cálculo da raiz quadrada

de números naturais. Maeder não apenas detalha como calcular a raiz quadrada, como

também exemplifica com aproximações de até três casas decimais.

Lições de Matemática – 1ª. série registra como conteúdo o tema “Sistema inglês

de pesos e medidas”. São três páginas com várias tabelas de transformações de unidades

e sem quaisquer aplicações ou exercícios. A justificativa dada para esse tratamento ou

mesmo o fato de constar de seu livro tal tema é dado por MAEDER (1942, p. 242):

No livro de Maeder (10ª. edição) as referências para levar o aluno ao procedimento do cálculo

mental podem ser encontradas nas páginas 22, 23, 24 (adição de números), 37, 38, 49, 40 (subtração

de números), 62, 63, 64, 65 (multiplicação de números), 83, 84 e 85 (divisão de números).

A chamada prova dos nove é desenvolvida por Maeder no correspondente livro em praticamente três

páginas: 112, 113 e 114.

A situação econômica que a Inglaterra e os Estados Unidos ocupam em face do Mundo,

exige dos estudantes o conhecimento do sistema inglês de pesos e medidas, o qual é assaz

bases dessas medidas.

como sejam, peças de maquinaria, óleos, combustíveis líquidos, etc., são referidos às

Historicamente, temos que a utilização do sistema inglês de medidas era de

alguma forma “imposta” pela relação comercial existente entre o Brasil e a

Inglaterra

, além também da relação entre Brasil e Estados Unidos.

Outras unidades de medidas que aparecem neste livro, a título de exemplo,

mas sem muita ênfase, também acabaram praticamente perecendo e atualmente não

constam de livros didáticos de Matemática. Como exemplo apenas, observo as

seguintes unidades de medidas: ário e centiário (are e centiare – relativos a hectare),

estério, duplo-decilitro e duplo-litro.

Quanto às referências a outras obras, apenas uma foi encontrada neste volume

de Maeder. Trata-se do livro Álgebra elementar, de Sebastião Alves. Essa referência

aparece no rodapé quando da explicação dada por Maeder em relação aos conceitos

dados de expoente e coeficiente de expressões algébricas.

Se, por um lado, alguns tópicos de Matemática aparecem no livro Lições de

Matemática – 1º. ano e o tempo e as circunstâncias fizeram com que fossem

deixados ao largo da escola, por outro lado um tema aparece de forma tímida nesse

mesmo livro e, atualmente, com o surgimento dos Parâmetros Curriculares

Nacionais, toma não apenas o status de conteúdo, como também de bloco de

conteúdos: é o que hoje se denomina tratamento da informação. Evidentemente não

com essa denominação. Maeder destina uma dezena de páginas para falar de gráficos

empíricos. São os atuais gráficos presentes em Estatística. Disse acima que esse tema

aparece de forma tímida, pois, apesar de utilizar uma dezena de exemplos e

usado. Adotam-no, além das nações industriais já citadas, as colônias e os protetorados

do Império Britânico, a China e a minúscula república Dominicana.

O comércio internacional, em que predomina hoje a língua inglesa, se faz, em regra, sob

Assim é que, mesmo em países, onde se adotou o sistema métrico decimal, muitos artigos,

unidades inglesas de pesos e medidas

Uma referência sobre as relações comerciais entre o Brasil e Inglaterra ou Brasil e Estados Unidos é

a obra História Econômica do Brasil de autoria de Caio Prado Júnior, Editora Brasiliense.

explicações sobre a utilização de tipos diferentes de gráficos

, nenhuma atividade ou

proposta de construção de gráfico é encaminhada.

que as

IÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 1º. ANO

As dez edições/tiragens desse livro podem ser observadas na tabela a seguir, em

datas de publicações aparecem com algumas imprecisões:

TABELA 1 – ED

Edição/tiragem Data de publicação

1ª. 1934

2ª. 1935

3ª. 19--

4ª. 19--

5ª. 1938

6ª. 19--

7ª. 19--

8ª. 19--

9ª. 1940

10ª. 1942

O Lições de Matemática – 1º. ano (1ª. série), em sua 10ª. edição, contém 362

páginas e está dividido em 24 capítulos

que são numerados com algarismos romanos

um ae pêndice contendo tabelas de números primos compreendidos entre 1 e 10 000,

além da tabela referente às raízes quadradas de 1 a 1 000. Uma comparação entre os

títulos dos capítulos do livro de Maeder e o programa de ensino de Matemática para o

ano de 1931 (inicia-se nessa data e vai até a reforma de 1942), conforme artigo 10 do

Decreto número 19890 de 18 de abril de 1931, permite afirmar que de fato o presente

livro de Maeder segue os programas oficiais. Apenas para uma possível comparação,

elaborei o seguinte quadro com duas colunas. Na primeira coluna, reproduzo o

Os gráficos utilizados como exemplos são apresentados a partir de situações reais de comércio, de

produção de café, e outros. Essas ilustrações fazem parte do ensaio Ilustrações em livros didáticos de

Matemática, capítulo 4 desta pesquisa.

Os livros publicados por Maeder pela Typ. João Haupt e Cia., anteriormente observados aqui, não

tinham a divisão em “capítulos”, pelo menos não essa denominação.

sumário do livro de Maeder e, na segunda coluna, o programa

para o ensino de

Matemática a partir do ano 1931 no Colégio Pedro II:

QUADRO 8 – PROGRAMAS PARA O 1º. ANO

o público Lições de Matemática – 1º. ano Programas para o ensin

Capítulo I: Numeração (n eros e

comparação de coleções, os, símbolos

sinais de relação, representação gráfica, números concretos e

abstratos, numeração falada, num o escrita, numeração

romana, exercícios);

Capítulo II: Adição (noção de adição e definição, princípios

relativos à adição, prática da operação, indicações práticas,

interpretação geometria – prova, cálculo abreviado e exercícios de

cálculo mental, resolução de problem ercícios);

Capítulo III: Subtração (noção btração e definição,

princípios relativos à subtração, prática da operação, interpretação

geométrica – prova, princípios relativos às somas e diferenças,

cálculo abreviado e exercícios de cálculo mental, complemento

aritmético dos números, resolução de problemas, exercícios)

Capítulo IV: Multiplicação (noção ltiplicação e definição,

produto de dois fatores, prática da operação, interpretação

geométrica, produto de vários fatores, princípios relativos às

somas, diferenças e produtos, cálculo abreviado e exercícios de

cálculo mental, resolução de problem ercícios)

Capítulo V: Divisão (noção de divisão exata e de divisão inexata,

definição, divisor de um número, pr divisão, interpretação

geométrica – prova, princípios relativos à divisão, cálculo

abreviado e exercícios de cálculo mental, resolução de problemas,

exercícios)

Capítulo VI: Exercícios de recapitulação (resolvidos, propostos)

pítulo VII: Potenciação (noção de potência e definição,

adrado e cubo de um número, interpretação geométrica,

ncípios

pítulo

oção de grandeza, noção de núm

série natural dos númer

I – Iniciação geométrica

eraçã

as, ex

de su

de mu

as, ex

ática da

reas do

iângulo e

olumes

risma tr

etos). Fó

itmética

ivisibilid

ecompos

rações or

pri relativos às potências)

Ca VIII: Divisibilidade (noção de múltiplo e divisor,

princípios fundamentais, caracteres de divisibilidade, exercícios,

prova das operações fundamentais)

princípios relativos ao m.d.c. de dois números, exercícios sobre o

cálculo mental do m.d.c., exercícios sobre o m.d.c. de vários

Capítulo X: Números primos (noção – definição e princípios

• Principais noções sobre as formas geométricas.

• Á quadrado, retângulo, paralelogramo,

tr trapézio; circunferência e área do círculo.

• V do paralelepípedo retângulo, do cubo, do

p iangular, do cilindro e do cone circular

(r rmulas.

II – Ar

• Prática das operações fundamentais. Cálculo

abreviado. Exercício de cálculo mental.

• Noção de múltiplo e de divisor. Caracteres de

d ade.

• D ição em fatores primos; aplicação ao

m.d.c. e ao m.m.c.

• F dinárias e decimais. Operações com as

frações. Explicação objetiva pelo fracionamento de

objetos ou de grandezas geométricas

decimais; aproximação no cálculo da raiz.

Capítulo IX: Máximo divisor comum (noção – definição e

abreviatura, pesquisa do m.d.c. de dois números, simplificações,

m.d.c. de dois números, pesquisa do m.d.c. de vários números,

números)

gerais, tábua de números primos, reconhecimento dos números

primos, propriedades dos números primos, decomposição em

fatores primos, decomposição abreviada, divisores de um número,

determinação do m.d.c., exercícios)

Capítulo XI: Mínimo múltiplo comum (noção – definição e

abreviatura, pesquisa do m.m.c. de vários números, pesquisa do

m.m.c. com auxílio do m.d.c., propriedades do m.m.c., cálculo

mental m.m.c., exercícios)

• Sistema métrico decimal. Prática das medidas de

comprimento, superfície, volume e peso.

• Operações com os números complexos: unidades de

tempo e de ângulo.

• Sistema inglês de pesos e medidas.

• Quadrado e raiz quadrada de números inteiros e

• Traçado de gráficos.

III – Álgebra

• Símbolos algébricos; fórmulas; noção de expoente.

• Números relativos ou qualificados. Operações.

evantamento de fontes históricas. Tal trabalho é apresentado a

Esse programa foi extraído do livro Programa de Ensino da Escola Secundária Brasileira: 1850-

1951, organizado por Ariclê Vechia e Karl Michael Lorenz. Esses dois professores editaram esse livro

a partir do resultado de um trabalho de l

partir da coletânea dos programas do Colégio Pedro II que, como esses próprios autores mencionam,

“por muito tempo, foi colégio padrão no Brasil”.

QUADRO 8 – PROGRAMAS PARA O 1º. ANO

definição, comparação de uma fração com a unidade, propriedade

fundamental, simplificação, redução ao mesmo denominador,

• Cálcul

Capítulo XII: Frações ordinárias (noção de número fracionário e

mparação, números mistos, divisões inexatas, adição, subtração,

ultiplicação, elevação à potenci

fracionárias, exercícios e problem

apítulo XIII: Frações decimais – números decimais (fração

ecimal, número decimal, propriedades, adição, subtração,

multiplicaçã versão de

frações ordinárias em número decimais, frações geratrizes das

nferência e círculo, prisma, paralelepípedo,

a do tempo,

idas,

rias, medidas

área dos polígonos irregulares, área dos polígonos

polinômios, indicação prática, subtração de monômios,

Capítulo XXIII: Multiplicação algébrica (prática da operação,

indicação prática, quadrado de um binômio, cubo de um binômio,

• Explicação objetiva das regras dos sinais.

o do valor numérico de monômios e

polinômios. Redução de termos semelhantes; adição

• Multiplicação de monômios e polinômios, em casos

si o de

áreas.

Potências de monômios. Quadrado de um binômio.

nita;

(VECHIA e LORENZ, 1998, p. 336)

m a, divisão, cálculo de expressões

as)

e subtração.

o, divisão, quocientes aproximados, con

dízimas periódicas, exercícios)

Capítulo XIV: Noções sobre as principais formas geométricas

(preliminares, pontos-linhas-superfícies, segmentos, retas entre si,

retas e planos, planos entre si, polígonos, triângulos, quadriláteros,

paralelogramos, circu

pirâmide-tronco de pirâmide, cilindro, cone e tronco de cone,

esfera)

Capítulo XV: Números complexos. Sistema inglês de pesos e

medidas (números complexos e incomplexos, medid

medida dos arcos e dos ângulos, moeda inglesa, redução de

complexo a incomplexo, redução de incomplexo a complexo,

exercícios, adição, exercícios e problemas, subtração, exercícios e

problemas, multiplicação, exercícios e problemas, divisão,

exercícios e problemas, sistema inglês de pesos e med

medidas de comprimento, medidas de superfície, medidas de

volume, medidas de capacidade, medidas de peso)

Capítulo XVI: Sistema métrico decimal (preliminares e histórico,

unidades principais e secundárias, medidas efetivas, medidas de

comprimento, medidas de superfície, medidas agrá

de volume, medidas de massa, medidas de capacidade, densidade)

Capítulo XVII: Determinação de áreas e volumes (noção de

medida indireta, medidas de circunferência, área do retângulo,

área do quadrado, área do paralelogramo, área do triângulo, área

do trapézio,

regulares, área do círculo, volume do paralelepípedo retângulo

volume do cubo, volume do prisma reto, volume da pirâmide,

volume do cilindro reto, volume do cone reto, volume da esfera,

exercícios)

Capítulo XVIII: Números relativos ou qualificados (noções gerais,

segmentos, adição, subtração, soma algébrica, multiplicação,

potências, raízes, divisão, frações)

Capítulo XIX: Expressões algébricas (símbolos algébricos e

fórmulas, classificação das expressões algébricas, valor numérico

de monômios e polinômios, exercícios, elementos de monômio –

noção de expoente, redução de termos semelhantes, exercícios)

Capítulo XX: Adição e subtração algébrica (adição de monômios,

adição de

subtração de polinômios, indicação prática, exercícios)

Capítulo XXI: Equações do 1º. grau (primeira noção de equação

com uma incógnita, equações equivalentes, resolução de equações

do 1º. grau de uma incógnita, exercícios, resolução de problemas

numéricos simples, problemas)

Capítulo XXII: Eixos coordenados – representação gráfica

(preliminares, coordenadas de um ponto, determinação de um

ponto, exercícios, espécies de gráficos, gráficos empíricos,

gráficos matemáticos)

mples. Explicação objetiva pela consideraçã

•

• Primeira noção de equação com uma incóg

resolução de problemas numéricos simples.

exercícios)

Capítulo XXIV: Raiz quadrada (noção e definição de raiz, raiz

quadrada, raízes quadradas inteiras, prática da operação, raízes

quadradas fracionárias, extração de raízes aproximadas, radiciação

de frações ordinárias, radiciação de números decimais, exercícios)

Ao observar c deste livro do autor

n ia

I a X

oficial denominada “Aritmética”. Já os

ciaç

X, XXI e XXIII contemplam nteúdo de “Álgebra” previsto no

e e

ma Geometria,

ética e Álgebra), o livro de Maeder acaba apresentando e encaminhando os assuntos

metria”, voltando a “Aritmética” (quando

tá no bloco de “Aritmética”), retorna a

ritmética” e termina na “Álgebra”.

ulos dos capítulos e de suas correspondentes divisões

relação ao novo ensino de Matemática

os internacionalmente, nos primeiros anos

ática numa única disciplina, chamada de

ivro de Maeder, como já foi dito aqui.

o observados em Lições de Matemática –

rem. Um exemplo diz respeito às

assuntos diversos. O termo “prova” aparece algumas vezes. O

a resposta é dada:

a operação que se faz para verificar a exatidão

uma operação não nos pode dar a segurança

as apenas uma probabilidade de que assim

z que, tanto na operação direta como na prova, podem ser cometidos erros

ara verificação de resultado em operações

m resultado de uma adição (e vice-versa),

vice-versa).

om certo cuidado os títulos dos capítulos

paranaense, é possível constatar a correspondê

proposto para o ensino público. Os capítulos de

c de assuntos com o programa oficial

III mais os capítulos XV, XVI, XXII

e XXIV correspondem à parte do programa

capítulos XIV e XVII constituem o tópico “Ini

isto é, XVIII, XXIX, X

ão geométrica”. Os demais capítulos,

o co

programa oficial. O que constato de difer

apresentação dos conteúdos. Enquanto o progra

Aritm

nt nessa comparação diz respeito à

oficial divide em blocos (

iniciando pela “Aritmética”, passando pela “Geo

aborda os chamados “Números complexos” que es

“Geometria”, passa pela “Álgebra”, volta para “A

Um olhar mais atento aos tít

evidencia uma mudança muita acentuada em

defendido pela tão discutida reforma, pelo men

do século XX. A junção dos ramos de Matem

Matemática, já pode ser observada no presente l

Nesse mesmo olhar para os temas que sã

1º. ano (1ª. série), possibilidades de pesquisas se ab

denominações dadas aos

que será que Maeder concebia como prova? Um

Denominamos prova de uma operação a outr

do resultado obtido na operação já efetuada.

Devemos notar, entretanto, que a prova de

completa da exatidão da operação efetuada, m

aconteça, uma ve

que se compensem. (MAEDER, 1942, p. 22)

Assim, Maeder utiliza o termo “prova” p

aritméticas. Utiliza a subtração para verificar u

uma multiplicação para verificar uma divisão (e

Outro exemplo está no capítulo XVI, no estudo de sistema métrico decimal, no qual

há um tópico denominado “medidas efetivas”. Esse tópico é apenas uma frase colocada com

o intuito de esclarecer o leitor sobre a utilização na prática de certas medidas: “Empregam-se

no comércio várias medidas, denominadas reais ou efetivas, construídas de ferro,

chumbo, madeira, ou qualquer outra matéria, medidas essas de formas reguladas por

lei e sujeitas às verificações pelo Governo”. (MAEDER, 1942, p. 247)

“Números complexos” e “números incomplexos” também são denominações

utilizadas por Maeder e que chamam a atenção. Para ele, os números concretos (aí está

outra denominação não muito comum, cujo significado não é dado pelo autor) podem

ser complexos ou incomplexos. Explica a seguir que os chamados números incomplexos

são aqueles utilizados para representar uma única unidade concreta. Cita o exemplo do

número 15 para designar 15 dias. Os números complexos, por sua vez, são aqueles

utilizad

ão

dec a

Quando apresenta seu prefácio no início do livro, Maeder evidencia que em seu

trabalh o”. Era um posicionamento do autor em

relação

acentu

aeder faz uma opção de apresentar inicialmente algumas noções sobre entes

rimiti

e nenhuma demonstração

Matemática é utilizada para justificar fórmulas que são apresentadas após exemplos

os para representar duas ou mais unidades da mesma espécie, porém não com a

utilização de relações decimais. Como exemplo utiliza “6 meses 7 dias 4 horas” e indica

que o emprego desses chamados números complexos podem ser observados na medida

de algumas grandezas, como tempo, arcos e ângulos, isto é, Maeder utiliza a

denominação de “números complexos” no sentido da utilização de medidas n

im is, entre elas o que atualmente é empregado no estudo das medidas sexagesimais.

A denominação “números complexos”, com o passar dos anos, sofreu modificações na

disciplina de Matemática. Assim, atualmente utilizam-se “números complexos” para

designar números que não são reais (imaginários) ou que são reais

o não haverá um “exagerado formalism

ao movimento que havia para não exigir dos estudantes um formalismo

ado e prematuro. Observando os capítulos XIV e XVI, é possível entender que

p vos da Geometria, sobre as formas planas e não planas (capítulo XIV) para

então abordar o lado prático do cálculo de áreas e volumes (capítulo XVI). Nenhum

teorema é abordado, nenhum postulado é encaminhado

numér

da capa e também

das div

Observo que a figura na capa do livro também está no seu interior, precisamente

na página 326. Mais adiante, abordarei as ilustrações na obra de Maeder, observando

como esse autor utiliza-se de tal recurso ao escrever seus livros.

icos. Será que isso ocorre apenas no livro de Maeder ou é uma opção da época e

dos autores contemporâneos que estavam em consonância com a defesa de um ensino

de Matemática sem “exageros” de quaisquer formalismos?

Uma observação que não poderia deixar de fazer em relação ao livro de

Maeder, destinado a 1ª. série do secundário, diz respeito à existência de uma nota, logo

após o índice, mencionando a responsabilidade quanto à elaboração

ersas ilustrações.

FIGURA 27 – NOTA SOBRE ILUSTRAÇÃO

2.3.2 Lições de Matemática – 2º. ano (2ª. série)

A coleção Lições de Matemática foi escrita para ser adotada gradativamente,

isto é, a cada ano Maeder e a Edições Melhoramentos lançavam a série seguinte. A

primeira edição da 2ª. série, que passo a descrever, foi escrita em 1935. Ao todo, foram

nove edições/tiragens, conforme quadro a seguir, que, da mesma forma como ocorreu

no livro do 1º. ano, contém imprecisões quanto às datas de publicações. Essas

imprecisões não representam apenas falta desses dados nos livros, mas algumas vezes

são decorrentes do fato de eu não ter encontrado tais obras.

TABELA 2 – EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 2º ANO

Edição/tiragem Data de publicação

1ª. 1935

2ª. 19--

3ª. 19--

4ª. 19--

5ª. 19--

6ª. 19--

7ª. 19--

8ª. 1942

9ª. 1942

O Lições de Matemática – 2º. ano (2ª. série), correspondente a 9ª. edição

, é

composto de 356 páginas e um apêndice sobre as linhas trigonométricas naturais

abela com os valores das razões trigonométricas seno, co-seno, tangente e co-

tangente dos arcos dados em graus de 30 em 30 minutos, começando em zero e

terminando em 90 graus). Maeder inicia com o seguinte prefácio:

justado à disposição técnica do programa da 2ª. série do curso secundário, acomoda-se

ste livro perfeitamente às necessidades atuais dos estudantes que a freqüentam.

estudiosos possam colher, na sua linguagem simples e na clara sistematização da matéria, o

Ao prepararmo-lo, interessou-nos, sobretudo, o seu aspecto didático, de modo que todos os

conjunto de noções necessárias.

Cumpre-nos advertir não serem estas “Lições de Matemática” fruto de mal orientada

compilação, haurida em fontes antiquadas ou duvidosas, mas o resultado não só do que tem

sido apurado pelos melhores especialistas, como também das nossas observações pessoais.

Na capa do livro há uma indicação que esse seria correspondente a 9ª. edição, porém, internamente,

já nas páginas iniciais a referência existente indica ser a 8ª. edição.

Julgamos dever incutir no espírito do aluno, logo de começo, as primeiras noções e

geometria dedutiva, a que terá de aplicar-se mais tarde.

principais propriedades dos tipos geométricos elementares, predispondo-o para o estudo da

o tocante à álgebra, não nos limitamos às respectivas operações e transformações, senão

inda tocamos ao de leve nas funções simples. Estamos que, assim, ficará o aluno

bseqüentes. Como

as noções de medida indireta das distâncias constituem seguros elementos para melhor

rientar os iniciados nas finalidades da matéria, esforçamo-nos por deixar bem claro o

assunto. Nas suas aplicações incidimos já no domínio da semelhança de triângulos, e das

relações entr étricas n

Mereceram-nos, outrossim, especial cuidado os capítulos atinentes à parte fundamental

da aritmética e que stam do programa. Assi e demos amplo desenvolvimento

ao estudo das razões e proporções, conservando a necessária correlação entre os

pontos de vista aritmético, algébrico e geométr este respeito aduzimos muitos

exercícios, entre os quais não poucos se relacionam com o programa de outras

disciplinas da mesma série.

No expor os pontos vitais da matéria, máxime os que se não repetem em séries

posteriores, não pu os deixar de incluir alg noções teóricas indispensáveis.

Usamos até de certo rigor nas definições e nas demonstrações mais importantes,

convencidos de que são sobremaneira prejudiciais as noções incompletas ou falsas,

dadas a título provi . É o que nô-lo ensina a experiência.

Outros pontos, além s exigidos pelo program al, nós os incluímos neste livro,

por julgarmos não s ortunos como úteis aos estudiosos da Matemática elementar.

Quanto aos demais pontos, ampliamos algun mpanhamos de exemplos mais

outros, de modo ao estudante se oferecerão realmente muitos frutos das

investigações nossas, colhidos na prática do magistério.

iferentemente do livro destinado a 1ª. série, aqui Maeder é favorável à

utilização de um “certo rigor nas definições e nas demonstrações” que ele

consid

que se refere à

rigon

real ob

Sã

destin

progra

Maeder segue rigorosamente aquilo que foi proposto para o ensino de Matemática

no decreto n

. 19890 em abril de 1931. O QUADRO 9 pode confirmar esse fato.

habilitado a continuar o estudo deste ramo da Matemática nas séries su

e as linhas trigonom aturais.

con m é qu

sempre

ico. A

dem umas

sório

do a ofici

ó op

s; aco

que

era mais importantes. Justifica tal procedimento de acordo com a sua

“experiência” da prática do magistério. Neste prefácio, aborda o aspecto dedutivo

do ensino da Geometria como necessário “incutir no espírito do aluno”, além de

comentar também o tratamento dado ao ensino da Álgebra no sentido de construir

as primeiras noções a respeito do estudo de funções. No

T ometria, externa a concepção, ligada ao cálculo de medidas indiretas, do

jetivo dessa parte da Matemática.

o ao todo 28 capítulos nos quais Maeder desenvolve os conteúdos

ados ao 2º. ano. Assim como no livro anterior, pela comparação entre os

mas de seu livro e o utilizado no Colégio Pedro II, posso afirmar que

FIGURA 28 – CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 2º. ANO

FIGURA 29 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 2º. ANO

QUADRO 9 – PROGRAMAS PARA O 2º. ANO

Lições de Matemática – 2º. ano

Programas propostos para o ensino público

Capítulo I: Ângulos e rotações (definição e notação – ângulos

iguais, ângulos adjacentes, ângulo reto, ângulos salientes e

reentrantes, adição e subtração de ângulos, multiplicação e

divisão de ângulo por número natural, bissetrizes – unidade

angular, ângulos complementares e suplementares, ângulos

opostos pelo vértice, rotações, medida dos ângulos e

transferidores, problemas e exercícios)

Capítulo II: Perpendiculares e oblíquas (retas - semi retas e

segmentos perpendiculares, perpendiculares a uma reta,

perpendiculares e oblíquas, oblíquas iguais e oblíquas desiguais,

mediatrizes – noções de simetria, emprego dos esquadros –

problemas)

Capítulo III: Retas paralelas (Retas – semi retas e segmentos

paralelos, paralelas a uma reta, ângulos formados por duas retas

cortadas por uma terceira, retas paralelas cortadas por

transversal, problemas e exercícios)

Capítulo IV: Triângulos (definição – notação e classificação,

alturas – medianas e bissetrizes, perímetros e relação entre os

lados do triângulo, soma dos ângulos de um triângulo,

propriedade dos triângulos isósceles, problemas e exercícios)

Capítulo V: Quadriláteros convexos (definição e notação,

quadriláteros planos e reversos, quadriláteros côncavos e

convexos, relação entre os lados de um quadrilátero, soma dos

ângulos internos – classificação, paralelogramos e trapézios,

propriedades dos paralelogramos, problemas e exercícios)

Capítulo VI: Razões e proporções (medida das grandezas,

grandezas comensuráveis e incomensuráveis, razão de duas

grandezas, razão de dois números, operações sobre razões,

propriedades das razões iguais, exercícios, proporções –

propriedade fundamental, aplicações da propriedade

fundamental, propriedades das proporções, exercícios)

Capitulo VII: Médias (média aritmética, média aritmética

ponderada, média geométrica, média harmônica, exercícios)

Capítulo VIII: Grandezas e números proporcionais (grandezas

diretamente proporcionais, grandezas inversamente

proporcionais, números proporcionais, coeficiente de

proporcionalidade, números inversamente proporcionais,

exercícios).

Capítulo IX: Regra de três (definição, regra de três simples e

direta, método das proporções e da redução à unidade, regra de

três simples e inversa, método das proporções e da redução à

unidade, regra de três composta, método das proporções e da

redução à unidade, método prático, exercícios)

Capítulo X: Regra conjunta (definição, resolução pela regra de

três, método prático, exercícios)

Capítulo XI: Percentagem (definição, determinação da

percentagem, determinação da taxa de percentagem,

determinação do principal, exercícios)

Capítulo XII: Juros simples (noção de juro – definições,

problema geral, tempo expresso em anos, determinação de j – de

c – de i e de t, tempo expresso em meses, determinação de j – de

c – de i e de t, tempo expresso em dias, determinação de j – de c

– de i e de t, capital reunido ao juro, determinação de C – de c –

de i e de t, método dos divisores fixos, tabela dos divisores fixos,

exercícios)

Capítulo XIII: Desconto (preliminares e definições, desconto

comercial, determinação de D – de N – de d e de i, valor

I – Iniciação geométrica

• Noção de ângulo e de rotação; ângulos adjacente

complementares, suplementares, opostos pelo

vértice.

• Medida dos ângulos. Uso do transferidor.

• Paralelas e perpendiculares; problemas gráfic

sobre seu traçado.

• Triângulos: alturas, medianas, e bissetrizes; som

dos ângulos internos e externos.

• Estudo sucinto dos quadriláteros.

• Noções sobre figuras semelhantes; escala.

• Medida indireta das distâncias.

• Razões entre lados de um triângulo retângu

Seno, co-seno e tangente de ângulo agudo. Uso de

tabelas de senos, co-senos e tangentes naturais.

II – Aritmética e Álgebra

• Noção de função de uma variável independente.

Representação gráfica.

• Estudo das funções

axy =

y =

exemplos.

• Proporções e suas principais propriedades.

• Resolução de problema sobre grandezas

proporcionais. Porcentagens, juros, desconto

(comercial), divisão proporcional, câmbio.

• Equações do 1º grau com uma incógnita.

Problemas.

• Representação gráfica da função linear de uma

variável. Resolução gráfica de um sistema de du

equações com duas incógnitas.

• Divisão algébrica. Expoente zero. Expoente

negativo.

• Decomposição em fatores.

• Frações algébricas. Simplificações. (VECHIA &

LORENZ, 1998, p. 336)

nominal deduzido do valor atual, valor atual deduzido do valor

nominal, desconto racional, determinação de D – de N – de t e

i, valor atual deduzido do valor nominal, valor nominal

lo.

;

QUADRO 9 – PROGRAMAS PARA O 2º. ANO

deduzido do valor atual, relação entre os descontos, vencimento

médio e com

apítulo XIV: Divisão proporcional (preliminares e definição,

um, exercícios)

divisão em partes diretamente proporcionais, divisão em partes

inversamente proporcionais, regra de sociedade, exercícios)

Capítulo XV: Mistura e liga (misturas, problema direto –

problema inverso, ligas, título de uma liga, problema direto –

problema inverso, exercícios)

Capítulo XVI: Câmbio (moedas, moeda-papel e papel-moeda,

câmbio, determinação do câmbio ao par, câmbio entre o Brasil e

a Inglaterra, câmbio entre o Brasil e outros países, câmbio

indireto, exercícios)

Capítulo XVII: Figuras semelhantes e escalas (noção de

semelhança – definições, triângulos semelhantes, escalas,

escalas de redução e de ampliação)

Capítulo XVIII: Funções trigonométricas (seno de um ângulo,

cosseno de um ângulo, tangente de um ângulo, tábua das linhas

trigonométricas naturais, aplicações, resolução de triângulos

retângulos, exercícios)

Capítulo XIX: Medida indireta das distâncias (medida indireta,

aplicação da semelhança de triângulos, aplicação das razões

trigonométricas, exercícios)

Capítulo XX: Divisão algébrica (divisão de monômios, expoente

0, expoente negativo, divisão de polinômio por monômio,

divisão de polinômios, caso geral, divisão de monômio por

polinômio, exercícios)

Capítulo XXI: Casos especiais da divisão (Divisão por

determinação do quociente – regra de Ruffini, determinação do

resto, divisão de

ax ±

por

, exercícios)

Capítulo XXII: Fatoração de expressões algébricas (fator

comum, decomposição em grupos, trinômio quadrado perfeito,

trinômio do 2º. grau, diferença de quadrados, soma ou diferença

de cubos, soma ou diferença de potências do mesmo grau,

exercícios)

Capítulo XXIV: Expressões algébricas fracionárias (definições

– propriedade fundamental, simplificação de frações, redução de

ma geral, resolução das equações do 1º. grau de 1

s, métodos de

o, exercícios)

funções crescentes e

frações ao mesmo denominador, redução de frações ao mínimo

denominador comum, operações, exercícios sobre operações

combinadas, simplificação de expressões fracionárias)

Capítulo XXV: Equações do 1º. grau (Equações numéricas e

literais – for

incógnita, exercícios)

Capítulo XXVI: (definição e resolução, generalização de

problemas, interpretação de soluções, exercícios)

Capítulo XXVII: Sistemas de equações do 1º grau (noção de

sistema de equações, sistemas equivalente

eliminação, eliminação por substituição, eliminação por

comparação, eliminação por adiçã

Capítulo XXVIII: Representação gráfica de funções (constantes

e variáveis, variáveis dependentes e independentes, constantes

arbitrárias e absolutas, funções,

decrescentes, função linear, coordenadas cartesianas ortogonais,

representação gráfica da função linear, gráfico da função

= , gráfico da função

y =

, representação gráfica de

equações do 1º. grau de duas incógnitas, resolução gráfica de um

sistema de duas equações do 1º. grau de duas incógnitas)

Não posso deixar de observar que Maeder tinha uma preocupação muito grande

estudados em cada um dos

ito extenso. Logo após o índice, há uma

smos responsáveis pelas ilustrações do

e ficaram encarregados da elaboração da capa e também dos

não são profissionais específicos como

nte compõem o quadro de uma editora, são professores provavelmente

o da 1ª. série dessa coleção, considero

var se, de fato, o livro da 2ª. série segue o programa oficial. Enquanto

stá dividido em dois blocos (“Iniciação

ica e Álgebra”) o livro de Maeder não

étrica” do programa oficial, existe oito

XVII a X. E ao bloco “Aritmética e Álgebra” são nove itens

s demais capítulos do livro de Maeder,

XX a XXVIII. Assim, é possível afirmar

nstituição, o programa de Matemática

deste livro

, em alguns momentos, há

ão de levar o aluno ao trabalho com instrumentos geométricos e

or exemplo, já no capítulo I há uma explicação do

como utilizá-lo (o livro contém uma

ticamente nos servimos a fim de medir os

ua medida.

celulóide, apresenta o transferidor a forma

de um círculo, graduado de 0 a 360º, ou de um semicírculo, graduado de 0 a 180º.

em relação a descrever de forma detalhada os itens a serem

capítulos. Desde modo, o índice do livro é mu

nota a respeito dos profissionais (são os me

livro da 1ª. série) qu

desenhos que aparecem no livro. Observo que

os que atualme

contratados com esse objetivo.

Novamente, como havia feito no livr

necessário obser

o programa proposto para o ensino público e

geométrica”

e, o segundo bloco, “Aritmét

segue essa ordem. No bloco “Iniciação geom

itens que aparecem no livro de Maeder distribuídos nos capítulos de I a V mais os

capítulos de XI m relação

no programa oficial que estão distribuídos no

isto é, os capítulos VI a XVI mais o capítulos

que este livro de Maeder segue, em sua co

elaborado para o ensino público.

É interessante observar que, ao longo

uma preocupaç

instrumentos de medida. Assim, p

que é um transferidor, além de instruções de

figura ilustrativa

que auxilia essas instruções

O transferidor é o instrumento de que pra

ângulos ou para os traçar quando é dada a s

Construído geralmente de madeira, metal ou

Curiosamente o programa de Matemática para esta 2ª

geométrica” o estudo de assuntos que atualment

. série considera dentro do bloco “Iniciação

e consideramos como pertencentes à trigonometria.

O livro que analiso corresponde a 9ª. edição (na capa) e 8ª. edição (já na primeira página de

resen ção do livro) datada de 1942.

No ensaio sobre a utilização das ilustrações nos livros didáticos, ainda na presente pesquisa,

reproduzo essa figura.

Para medir ângulo com transferidor circular, de que damos na página seguinte a figura,

centro com o vértice.

Em seguida, lê-se, na graduação da circunferência externa do transferidor, o número de

graus que coincide com o outro lado do ângulo. (MAEDER, 1942, p. 24)

Um pouco mais adiante (MAEDER, 1942, p. 37-38), os instrumentos descritos

no livro são os esquadros. Além de descrevê-los procura também conduzir o leitor à

construção de um ângulo reto:

Esquadro é um instrumento construído geralmente de madeira, metal ou celulóide, de

que praticamente nos servim

colocamos este sobre aquele de modo que coincida o diâmetro com um dos lados e o

os para o traçado de perpendiculares e paralelas.

Apresentam os esquadros a forma de triângulos retângulos isósceles ou escalenos.

esquadro com a reta, de maneira que o vértice do ângulo reto caia sobre o ponto

a a atenção particular o trabalho com assuntos que

atualm

do cotidiano, além de fornecer dados

sobre

disso e

lina equivale a 20 chelins, e o chelim a 12 dinheiros (ou

Nos esquadros isósceles, figura abaixo, são iguais os catetos e os ângulos agudos, medindo

cada um destes 45º.

Nos esquadros escalenos, figura da página 38, são desiguais os catetos e os ângulos

agudos, medindo o menor destes 30º e o maior 60º.

Dada uma reta e sobre ela um ponto, se deste quisermos levantar àquela uma semi-reta

perpendicular, com auxílio do esquadro, deve-se fazer coincidir um dos catetos do

considerado, e fazer deslizar depois o lápis ao longo do outro cateto.

Nesse ponto, também há uma preocupação em ilustrar não apenas os esquadros,

como também o procedimento (ou um indicativo) de como o aluno poderá traçar um

ângulo reto. Em outros momentos deste mesmo livro, é possível perceber

encaminhamentos feitos no sentido de uma valorização de construções geométricas

com instrumentos de desenho geométrico.

Quanto aos conteúdos, cham

ente estão inseridos em Matemática Comercial e/ou Matemática Financeira. São

destinados seis longos capítulos a esse tema: capítulo XI – Percentagem; capítulo XII –

Juros simples; capítulo XIII – Desconto; capítulo XIV – Divisão proporcional; capítulo

XV – Mistura e liga; capítulo XVI – Câmbio. Esses conteúdos eram abordados com o

cuidado de evidenciar as aplicações em situações

o contexto social-histórico relacionado ao comércio, às moedas. Um exemplo

stá na forma de abordar o câmbio entre Brasil e a Inglaterra:

Como vimos, no câmbio entre o Brasil e a Inglaterra, esta dá o incerto e o nosso país o

certo. Diz-se, por exemplo, que o câmbio sobre Londres está a 6 quando o nosso mil ré

vale 6 dinheiros, a 7 quando vale 7 dinheiros etc.

Recordando que a libra ester

pense), isto é,... (MAEDER, 1942, p. 204)

moedas de alguns países com os correspondentes valores na nossa moeda (o nosso

mil ré

s práticos. Assim, por exemplo, ele pede para que

seja determinado “o preço médio da mistura feita com 15 litros de vinho a 1$800

o litr diz que

“fund

restan

ostra do que disse,

go após enunciar que “Duas retas paralelas e cortadas por transversal formam ângulos

alterno

Apresenta ainda, nessa mesma página, um quadro com os nomes das

is), que reproduzo a seguir (FIGURA 30).

O Capítulo XV – Mistura e liga não é um assunto que consta no programa

oficial, como afirma MAEDER (1942, p. 191) em nota de rodapé. Desenvolve o

assunto abordando problema

o, 20 litros a 1$500 e 25 litros a $900”. Outro exemplo, ele

iram-se 128 gramas de ouro com 8 de cobre. Qual é o título da liga

te?”. (MAEDER, 1942, p. 197)

FIGURA 30 – MOEDAS

Mesmo que o autor procure deixar para a série seguinte o tratamento mais formal

que dará à Geometria, não deixa de fazer no livro da 2ª. série uma abordagem axiomática

em alguns momentos, porém tomando o cuidado com o encaminhamento que dá para

certas demonstrações

, por exemplo. Assim, apenas como uma am

s internos iguais”, procede com a seguinte demonstração:

O ter

signific do que esse termo utilizado pelo autor paranaense

em seus livros está mais próximo de “justificativa” ou de “verificação”.

mo “demonstração” utilizado pelo autor Maeder não deve ser interpretado rigorosamente como

ando uma demonstração matemática. Enten

FIGURA 31 – UMA DEMONSTRAÇÃO

Embor o núm

ão feitas com cla de desenhos ou

squemas. Além tico, com

listas de teorem aeder ser

refere ao term ivro da

ático no

encam hame

em ios do

rimeiro grau da forma

a ero de demonstrações presentes neste livro seja reduzido, elas

reza e, na maioria das vezes, com o auxílio

disso, não há um exagero do formalismo do método axiomá

as, postulados e definições. A propósito, a única vez que M

o “postulado” é quando enuncia o postulado de Euclides. Já no l

série seguinte a esta, o autor discute e, aí sim, aborda o método axiom

nto de sua Geometria.

assunto que é desenvolvido de uma forma bem diferente como se apresenta

livros didáticos atuais é o relacionado à divisão de polinômios por binôm

. Se hoje há o trabalho com o que é denominado

Para se obter o quociente da divisão de certo polinômio inteiro em x por um binômio

“Dispositivo prático de Briot-Ruffini”, no livro de MAEDER (1942, p. 256) é visto

apenas com a denominação de “Regra de Ruffini” assim enunciada:

do tipo

+ , forma-se outro polinômio de grau menor de uma unidade que o

dividendo, em que o coeficiente do primeiro termo é igual ao do primeiro do

dividendo e o coeficiente do outro termo qualquer é igual à soma algébrica do

coeficiente de mesma ordem do dividendo com o produto

anterior do quociente por

, com o sinal trocado. O re

do coeficiente do termo

sto da divisão se obtém

somando, ao mo termo do dividendo, o produto do último coeficiente do quociente últi

por

, com o sinal trocado.

Novamente apare ser ar na obra desse

utor para

i dito aq

ários ram ao ensino. O último

apítulo d

Represent

as idéias ode ser constatada

ela utiliz

e funçõe

endo utili plos que indicam,

elo menos de forma tímida ainda, a preocupação de encaminhar o assunto

nçõe

e-clara, na qual a Edições Melhoramentos reproduz um

plano cartesiano com uma parábola (ver FIGURA 32).

O livro Lições de Matemática – 3º. ano (3ª. série), que passo a observar,

refere-se a 7ª. edição, publicada em 1942 pela Edições Melhoramentos. O livro

tem ao todo 341 páginas e é apresentada como uma edição “cuidadosamente

revista”. Ao todo, esse livro destinado a 3ª. série teve sete edições, conforme

TABELA 3. Embora as datas dessas não sejam totalmente conhecidas, pode-se

afirmar que houve, praticamente, uma edição por ano no intervalo de 1936 a 1942.

ce um elemento importante para ob v

a naense, isto é, constatar que seus livros foram veículos portadores de

idéias resultantes da busca pela modernização no ensino de Matemática. Como já

ui, o assunto funções representava papel importante na unificação dos

os da Matemática em uma só disciplina destinada

e Lições de Matemática – 2º. ano é inteiramente dedicado à

ação gráfica de funções”. A afirmação de que esse livro é um portador

defendidas por Félix Klein e outros personagens p

ação de exemplos de funções com elementos da Geometria, exemplos

s contendo partes de Aritmética, tópicos de Matemática Comercial

zados como aplicação de funções. Esses são exem

“

fu s como um elo entre os ramos da Matemática.

2.3.3 Lições de Matemática – 3º. ano (3ª. série)

As capas dos livros da coleção Lições de Matemática são todas coloridas. A

da Nesta 3ª. série é verd

FIGURA 32 – CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 3º. ANO

FIGURA 33 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 3º. ANO

TABELA 3 – EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 3º. ANO

Edição/Tiragem Data de Publicação

1ª. 1936

2ª. 1937

3ª. 19--

4ª. 19--

5ª. 19--

6ª. 1940

7ª. 1942

No prefácio, Maeder expõe algumas idéias gerais sobre o programa de

Matemática destinado a 3ª. série, além de se posicionar em relação a autores ditos

“modernos” e à metodologia que utiliza:

Pertence este livro à série das nossas “Lições de Matemática” destinadas ao curso

secundário.

Como os que o precederam, adapta-se rigorosamente ao programa oficial do Colégio

Pedro II, contendo toda a matéria que se deve ministrar na terceira série, exposta em

linguagem adequada ao desenvolvimento mental do estudante, e convenientemente

orientada, segundo as novas diretrizes didáticas dessa disciplina, e as nossas observações

pessoais colhidas no exercício do magistério.

Acentuemos, que, conjugando sempre as partes da Matemática, demos a cada capítulo

um desenvolvimento correspondente à sua importância, e que o ilustramos, quando se fez

mister, de longa e cuidadosa exemplificação original.

A primeira parte do livro, dedicada ao estudo da Álgebra, mereceu-nos todo o cuidado,

assim no tocante ao complemento de noções dadas anteriormente, como na exposição de

questões ainda não ventiladas nas séries anteriores.

Passamos, depois, ao estudo da Geometria dedutiva.

Desde logo, vários fatores ponderáveis se nos apresentam à consideração, e entre eles

avulta a condição didática do livro e o seu valor pedagógico.

A nosso ver, aos primeiros contatos de estudantes inexperientes com as deduções

geométricas, não se deve adotar, em sua disposição científica e sistemática, a exposição

puramente formal. Seria ministrar-lhes prematuramente o alimento indigesto de que nos

fala Severi, e aguardar as funestas conseqüências que dele decorreriam.

Preferimos, pois, evitar os excessos formalísticos que, exercendo tanta influência em

autores modernos, não enquadram todavia em um livro como este, destinado a alunos da

terceira série dos cursos secundários.

Mas, nem por isso, deixamos à margem o rigor indispensável com que devem ser tratados

os elementos da Geometria dedutiva. Dedicamos um capítulo às proposições

fundamentais, onde se procura incutir no espírito dos estudantes noções exatas sobre os

fundamentos da Geometria, dando-lhe a significação legítima dos métodos dedutivos e o

conceito em que, no campo matemático, são tomados os axiomas, postulados, definições e

teoremas.

Passamos, em seguida, a estudar a simetria axial e central, os deslocamentos elementares

no plano, completando o preâmbulo indispensável ao estudo dos pontos atinentes à

Geometria dedutiva, constantes do programa.

Sem insistir demasiadamente na função puramente lógica dos postulados fundamentais

das demonstrações, julgamos mais acertado fazer que o aluno os adquira intuitivamente,

pela observação.

Aliás, não é outro o espírito do programa oficial, uma vez que se dedicam, nas duas séries

anteriores do curso, muitas páginas a essas observações intuitivas.

Assim preparado o espírito do estudante, iniciamos as nossas demonstrações, partindo

das propriedades dos triângulos. Em todas elas, tivemos preocupação de seguir um

raciocínio claro e sucinto, de molde que revelasse a justeza do método dedutivo e

conduzisse com firmeza o pensamento do leitor, desde o enunciado claramente proposto à

tese bem definida das proposições.

Estabelecidas as proposições, cuidamos, ainda, das suas aplicações imediatas e mediatas,

com o que se deixam entrever as finalidades práticas do estudo teórico realizado.

Na esperança de termos oferecido um livro útil aos estudantes que freqüentam a terceira

série do curso secundário, confiamos no generoso acolhimento com que nos têm

desvanecido eminentes colegas. (MAEDER, 1942, p. III)

Vários pontos chamam a atenção neste prefácio. No movimento modernizador

dos anos 30, que foi implementado no Brasil pelas reformas do ensino, a idéia de

utilizar e valorizar a intuição do aluno por meio da descoberta e da observação é aqui

confirmada por Maeder. Ao citar Severi em seu prefácio, o autor paranaense dá

indícios de estar bem informado acerca do desenvolvimento da Matemática de sua

época. Francesco Severi

(1879-1961) foi um matemático italiano que se tornou uma

das figuras-chave da Matemática italiana entre as duas guerras mundiais. Além disso,

ao dizer que procura “evitar os excessos formalísticos” se posiciona contrário aos

autores que, conforme retiro do texto, defendiam o rigor do ensino da Matemática que

levava ao formalismo “exagerado”.

Se no livro destinado à 2ª. série Maeder prioriza um pouco mais a intuição no

encaminhamento de tópicos da Geometria (como observei anteriormente), nesta série

ele retoma tais tópicos, mas inicia um trabalho que visa ao desenvolvimento do

método axiomático, como observo um pouco mais adiante neste texto.

Quanto aos temas abordados nesta série do ensino secundário, o livro de

Maeder está divido em 28 capítulos e, por uma comparação com o correspondente

Em 1904, Fra or que seja, de

uma circunferência e seu centro, a fim de levar a termo todas as construções euclidianas com régua

apenas”. (EVES, 1997, p. 588)

ncesco Severi mostrou “que tudo de que se precisa é um arco, por men

programa de ensin decreto n 31, posso afirmar

que Lições de Matemática – 3º. ano também está em nância com a Matemática

trabalhada no Colégio Pedro II.

QUADRO 10 – PROGRAMAS PARA ANO

Lições de Matemática para o 3º. ano

Programas propostos para o ensino público

o difundido pelo . 19890 de abril de 19

conso

O 3º.

Capítulo I: Equações (igualdades – identidades, equações –

classificação, resolução de equações)

Capítulo II: Equações de 1º. grau de uma incógnita (resolução,

exercícios, discussão, exercícios)

Capítulo III: Problemas do 1º. grau de uma incógnita (definição,

problemas particulares e gerais, resolução de problemas gerais,

re lução de problemas particulares, exercícios)

C ítulo I

si emas d

sistemas)

duas equações, métodos de eliminação, eliminação por substituição,

e cícios,

discussão, sistemas de três equações, eliminação por substituição,

eliminação

Cramer, ex s de cálculo, exercícios)

Capítulo

(preliminar

Capítulo V

propriedad

inequações

Capítulo V

sistemas d

exercícios)

Capítulo IX

sinais, pote

radiciação,

quadradas d

Capítulo X

ap V: Sistemas de equações (Equações indeterminadas,

st e equações, sistemas equivalentes – resolução de

apítulo V: Sistemas do 1º. grau de várias incógnitas (sistemas de

liminação por comparação, eliminação por adição, exer

• Estudos das funções

my =

por comparação, eliminação por adição, regra de

ercícios, artifício

• Cálculo com radicais. Expoentes fracionários.

VI: Problemas do 1º. grau de várias incógnitas

es, resolução, exercícios)

II: Desigualdades (definições, sentido das desigualdades,

es das desigualdades, desigualdades condicionais,

, classificação – resolução)

III: Inequações do 1º. grau (resolução, exercícios,

• Equação do 2º. grau. Resolução gráfica; resolução

analítica. Discussão: propriedades das raízes.

• Desigualdade do 2º. grau.

e inequações, exercícios, inequações incompatíveis,

: Potências e raízes (potências, potenciação, regra dos

nciação de monômios, quadrado de polinômios, raízes,

II – Geometria

• Conju

regra dos sinais, radiciação de monômios, raízes

e polinômios, exercícios)

: Estudo de algumas funções (função

xy = , função

de base à Geometria dedutiva. Noções sobre

deslocamentos elementares no plano; translação e

xy = ,

função

y =

Vxy

; representação

• Trinômio do 2º. grau.

nto de proposições fundamentais que servem

ão de figuras. Simetria.

lígonos; soma dos ângulos internos e

os e cordas. Tangente

• Relações métricas no círculo. Média proporcional.

gráfica.

função xy = , função

, função

y =

• Estudo de triângulos.

• Estudo dos po

1 1

rotaç

, função

xy =

)

I: Radicais (Definições, simplificação de radicais,

de fatores sob radical, radicais de forma fracionária,

redução de radicais ao mesmo índice, exercícios, adição

externos.

• Noção e exemplos de lugar geométrico.

• Círculo; propriedades dos arc

Capítulo X

introdução

exercícios,

e subtraçã

exercícios,

Capítulo rações,

expoentes f

Capítulo X

resolução

incompleta

aplicações,

da equaçã

exercícios)

Capítulo XIV: Trinômio do 2º. grau (definição, raízes do trinômio,

decomposi

trinômio, e

gráfica)

I – Aritmética e Álgebra

• Equações e problemas de 1º. grau com uma ou

mais incógnitas.

• Desigualdade do 1º. grau.

• Potencias e raízes.

o de radicais, multiplicação e divisão de radicais,

potências e raízes de radicais, exercícios)

XII: Expoente fracionário (convenção, ope

e normal.

• Medidas dos ângulos.

racionários negativos, exercícios)

III: Equações do 2º. grau de uma incógnita (definições,

das equações incompletas, resolução da equação

, método dos árabes, aplicações, método de Viéte,

propriedades das raízes, aplicações, discussão das raízes

o completa, aplicações, exercícios, resolução gráfica,

• Linhas proporcionais; linhas proporcionais no

triângulo.

• Semelhança; homotetia.

• Relações métricas no triângulo.

ção do trinômio, exercícios, variações de sinais do

xercícios, variações de valor do trinômio, representação

(VECHIA & LORENZ, 1998, p. 337)

QUADRO 10 – PROGRAMAS PARA O 3º. ANO

V: Inequações do 2ºCapítulo X . grau (definição, forma geral,

resolução,

Capítulo X

(preliminare

tese, hipóte

proposições

Capítulo X

invariáveis

retilínea, ro

Capítulo X ia central,

figuras sim

figura, sim

figura simé

simétrica d

iguais)

Capítulo

externos, alturas-medianas e bissetrizes – perímetro, soma dos

ângulos de um triângulo, grandeza relativa dos lados, triângulos

iguais, igualdade de triângulos, igualdade de triângulos retângulos,

a cações,

re ectivam

–

Capítulo XXI: Quadriláteros convexos (definições – propriedades,

propriedades do retângulo, propriedades do losango, propriedades

Capítulo XXII: Lugares geométricos (noções preliminares –

e o, tangente e

n ormal a uma

curva, tangentes à circunferência, normal à circunferência, distância

de um po

circunferências, circunferências secantes e tangentes, posições

Capítulo XXIV: Medida de ângulos (definições – ângulos no

C tulo X

g dezas,

semelhança, triângulos semelhantes, semelhança de triângulos,

noções preliminares, homotetia direta e inversa, simetria e

homotetia, semelhança e homotetia)

Capítulo XXVII: Relações métricas no triângulo (projeção, relações

métricas nos triângulos retângulos, teorema de Pitágoras, aplicações,

exercícios, relações métricas nos triângulos quaisquer, exercícios)

exercícios)

VI: Proposições fundamentais da geometria dedutiva

s, axiomas – postulados, definições – teoremas, hipótese e

ses simultâneas – corolários, proposições recíprocas –

contrárias, dependência de proposições, métodos)

VII: Deslocamentos elementares no plano (figuras

, deslocamentos, deslocamentos elementares, translação

tação em torno de um ponto)

VIII: Simetria plana (simetria plana-simetr

étricas em relação a um ponto, centro de simetria de uma

etria axial, figuras simétricas em relação a uma reta,

trica de uma reta, figura simétrica de um ângulo, figura

e um polígono, eixo de simetria de uma figura, figuras

XIX: Triângulos (definições, classificação, ângulos

pli comparação de triângulos com dois lados

sp ente iguais, teorema recíproco, propriedades das alturas

medianas – bissetrizes e mediatrizes)

apítulo XX: Polígonos (linhas poligonais, classificação das linhas

oligonais, polígonos – classificação dos polígonos, classificação

os polígonos simples, polígonos regulares, soma dos ângulos

ternos, soma dos ângulos externos, número de diagonais de um

olígono, exercícios)

lassificação, paralelogramos, propriedades dos paralelogramos,

o quadrado, trapézios – definições – classificação)

efinição, exemplos, a mediatriz como lugar geométrico, a bissetriz

omo lugar geométrico)

apítulo XXIII: Circunferência e círculo (Definições,

ircunferências iguais – arcos iguais – arcos desiguais, arcos

onsecutivos – soma e diferença de arcos, determinação da

ircunferência por três pontos, propriedades do diâmetro, relações

ntre arcos e cordas, distância de cordas ao centr

ormal – tangente a uma curva, curvas tangentes – n

nto à circunferência, posições relativas de retas e

lativas de duas circunferências)

írculo, ângulos centrais, medida do ângulo central, medida do

ngulo inscrito, medida do ângulo de segmento, medida do ângulo

xcêntrico interior, medida do ângulo excêntrico exterior, segmento

apaz de um ângulo dado, quadriláteros inscritos)

apí XV: Linhas proporcionais (preliminares, razão entre duas

ran razões positivas e negativas, segmentos proporcionais,

ivisão harmônica, exercícios, linhas proporcionais no triângulo)

apítulo XXVI: Semelhança e Homotetia (definições, condições de

melhança de polígonos, feixe de concorrentes, Homotetia –

apítulo XXVIII: Relações métricas no círculo (proposições

ndamentais, potência de um ponto em relação a um círculo,

xercícios)

Assim, conforme esse quadro, enquanto o programa proposto para o ensino

público é apresentado em dois grandes blocos (“Aritmética e Álgebra” e “Geometria”),

o livro está d pondem ao primeiro

desses blocos, enquanto os capítulos de XVI a XXVIII são destinados ao bloco

“Geometria”. Uma diferença em relação a essa correspondência entre livro e programa

s duas séries anteriores, é que o autor aqui segue (de forma

m dos assuntos listados no programa: primeiro “Aritmética e

ma no de Matemática na

em se prefáci

lo XVI – P mentais da

im o

enas em relação ao método dedutivo,

to d s

a 3ª. série):

os geométricos elementares e

tes à Geometria.

v d

m o auxílio de exemplificação concreta que se chegou, além de

a e cie,

proposições geométricas.

entidades não foram definidas e forma demonstradas.

Estudou-se, portanto, apenas a parte funda

intui

Cumpre-nos iniciar, agora, o estudo da Geometria a. (MAEDER, 1942, p. 202)

intuitiva, tais como ponto, linha e superfície, e

grupo de proposi e

ividido em capítulos. Os capítulos de I a XV corres

oficial, não observada na

muito próxima) a orde

Álgebra” e, após, “Geometria”.

Pela própria discussão a respeito do for lismo no ensi

época em que Maeder escreve seus livros (com

faço algumas observações a respeito do Capítu

geometria dedutiva. Ao iniciar o capítulo (Pr

o ele mesmo aponta u o)

roposições funda

el inares) é interessante observar

posicionamento assumido por esse autor não ap

como também em relação ao desenvolvimen

(1ª. série, 2ª. série e este, d

ado ao longo de seus três livro

Nas séries anteriores do nosso curso, estudamos alguns tip

enunciamos certo número de proposições atin

Esse estudo, entretanto, foi de caráter intuiti

observações experimentais.

Efetivamente, foi co

o, e vez que se fundou exclusivamente em

e se conceberam abstratamente certas outras, às noções de ponto, linh superfí

Essas , porém,

tivo.

, n m as proposições

mental da Geometria, sob o seu aspecto

dedutiv

A seguir, Maeder explica o que conceb

com noções adquiridas de forma

e c mo Geometria dedutiva: iniciando

considerando um determinado çõ s aceitas como verdadeiras, “pode-

O autor paranaense utiliza ao longo dos cinco liv

expediente de fazer diversos comentários com o auxílio

ros que compõem Lições de Matemática um

no livro

rmin terminada

m questão ou de série

or) para uma retomada de um conceito. Também utiliza tais notas para informar que determinado

assunto será a o, utiliza nota para às

vezes justificar a ausência de uma determinada demonstração.

de notas de rodapé. Por exemplo, só

da 3ª. série são aproximadamente trinta notas de roda

(professor e aluno) no sentido não apenas sobre um dete

referência (raramente), mas de remeter esse leitor a um outro capítulo (da série e

anteri

pé. sses comentários são dirigidos ao leitor

ado conceito, ou ainda, uma de

inda aprofundado. No caso do estudo de Geometria, por exempl

se chegar, por meio de um encadeamento lógico do nosso raciocínio, ao

rocesso de raciocínio utilizado para o

, o fato de demonstrar uma proposição,

edutivo”. Ao falar das proposições

stinção, por exemplo, entre axioma e

emonstrável que se impõe por si

uela proposição que afirma que duas

iguais entre si, já os “postulados são

e servem de ponto de partida para a

plo de postulado cita, entre outros dois

reta”. (MAEDER, 1942, p. 203) Além

e denominações pertinentes ao método

der utiliza todo o capítulo XVI para esclarecer, além dos elementos que

teoremas

, hipótese e tese, hipóteses

, proposições contrárias, dependência

métodos.

se deve seguir para a demonstração

lassifica esses métodos em “gerais” e

io sobre o que considera métodos

sobre os “gerais”, dividindo-os em

onto de partida a proposição que se quer demonstrar,

posições, até chegar-se a uma conhecida.

escolhidas de tal maneira que, cada uma,

o. Parte-se de uma proposição conhecida,

posições, até chegar-se à que se quer

ão tomadas em ordem inversa à que se

estabelecimento de novas proposições”. Ao p

estabelecimento de uma nova proposição, isto é

é considerado por Maeder como “método d

fundamentais, o autor paranaense faz uma di

postulado: “Axioma é uma proposição ind

mesma”. Cita como exemplo de axioma aq

quantidades iguais a uma terceira também são

proposições admitidas sem demonstração qu

dedução de novas proposições”. Como exem

exemplos, que “dois pontos determinam uma

disso, outras explicações são dadas a respeito d

dedutivo. Mae

já mencionei acima, os seguintes: definições,

simultâneas, corolários, proposições recíprocas

de proposições e

Com relação a “métodos”, já no final do capítulo citado, Maeder expõe s

concepção quanto à utilização “na marcha que

dos teoremas” (MAEDER, 1942, p. 209). C

“particulares”. Sem fazer qualquer comentár

“particulares”, escreve da seguinte maneira

“análise” e “síntese”:

Na análise, toma-se como p

estabelecendo-se uma série de outras pro

Essas proposições intermediárias devem ser

decorra da que se lhe segue.

A síntese segue exatamente o caminho opost

estabelecendo-se uma série de outras pro

demonstrar. As proposições intermediárias s

adota na síntese.

Uma curiosidade é a utilização de um teorema no encam

fracionár

inhamento no estudo de expoentes

ios. O teorema utilizado por MAEDER (1942, p. 150) tem o seguinte enunciado: “As

operações com quantidades afectas de expoentes fracionários efetuam-se segundo as mesmas

regras estabelecidas para as que têm expoentes inteiros”.

Novamente é possível perceber em MAEDER (1942, p. 203) um autor

preocupado com os rumos da Matemática e seu ensino. Ao falar das deduções de

novas proposições, faz uma menção importante sobre um matemático brasileiro e sua

obra de 1929 (contemporâneo seu). É uma nota explicativa que fornece ao leitor sobre

um conceito utilizado por Amoroso Costa

“A condição de evidência deve desaparecer por completo do processo dedutivo. Dizendo

tem a ver com a teoria a construir. Pouco importa que os postulados apresentem aspecto

artificial, obscuro ou mesm

Matemática, 1929, página 37)

que um certo postulado é evidente ou não-evidente emitiremos uma afirmação que nada

o paradoxal”. (Amoroso Costa, As idéias fundamentais da

esclarecer a utilização de corolário a partir de

teorem

a defin

Em Amoroso Costa, mais uma evidência das influências que, de certa forma,

auxiliaram nas concepções de Maeder com relação aos conteúdos e métodos presentes

em sua obra. Além desse matemático brasileiro, quatro outros matemáticos, esses

estrangeiros, aparecem ao longo deste livro de Maeder. Pierre F. Pécaut e seu livro

Elementos de Filosofia científica (tradução de Benedito Costa) são citados para

diferenciar axioma de postulado. Francesco Severi e sua obra Elementos de Geometri

(tradução de T. Martin Escobar) para

a. P. Filipe e M. Froumenty e a obra Comp. de Geometrie como referência para

ição que Maeder fornece sobre figuras homotéticas.

Man

matemá

D’AMBROSIO (1999, Saber y Tiempo, vol. 2, n°. 8, Julio-Deciembre 1999; pp. 7-37):

Otto de Alencar preocupou-se com questões de Análise Matemática. Particularmente

século XX no Brasil [23]. Seu discípulo Manuel de Amoroso Costa fez alguns trabalhos sobre

Ciências, que em 1921 se transforma na Academia Brasileira de Ciências. Em

1922, Émile Borel visitou o Brasil como membro da delegação francesa que

uel de Amoroso Costa (1885-1928) e Otto de Alencar Silva (1874-1928) foram dois

ticos brasileiros de destaque no final do século XIX e início do século XX, conforme

importante foi sua crítica à matemática de Auguste Comte, que ainda dominava o início do

astronomia, fundamentos e convergência de séries [24].

Em 1916, Amoroso Costa fundou, no Rio de Janeiro, a Sociedade Brasileira de

participou das comemorações do centenário da independência. Nessa

oportunidade, pronunciou uma conferência na Academia Brasileira de Ciências.

Seu principal interlocutor foi Amoroso Costa, que inclusive publicou uma nota

científica sobre o trabalho de Borel [25]. Possivelmente por indicação do próprio

Borel, ele visitou Paris em 1928, onde ministrou quatro conferencias na Sorbonne

sobre "Les géométries non archimédiennes" [26].

Não poderia deixar de comentar aqui uma curiosa regra que Maeder utiliza para

a extração da raiz quadrada de um polinômio. Esse “processo” está presente no

Capítulo IX –

Potências e raízes. O autor trabalha tanto potenciação quanto radiciação

mesclando Aritmética com Álgebra. A curiosa regra (FIGURA 34) é apresentada após

alguns exemplos. Além disso, ao final do capítulo o autor fornece 12 polinômios para

que os alunos extraiam as raízes quadradas.

Quanto aos métodos abordados pelo autor paranaense no desenvolvimento de

um assunto, observo que ele procura (às vezes de forma exagerada) encaminhar não

apenas um. Exemplo disso pode ser encontrado da apresentação da fórmula resolutiva

de uma equação do 2º. grau. Apresenta três métodos: “método dos árabes” (atualmente

nos livros didáticos aparece como “fórmula de Báskara”), “método de Viéte” (esse

método consiste em reduzir uma equação completa do 2º. grau a uma incompleta) e

um outro método sem qualquer denominação que é encaminhado como uma

observação (esse método consiste em tornar unitário o coeficiente do termo em

proceder a seguir completando o trinômio até chegar a um trinômio quadrado

perfeito).

FIGURA 34 – REGRA DE RADICIAÇÃO

100

Ainda em relação ao trinômio do 2º. grau, ao discutir sobre a existência ou não de

raízes reais, Maeder não utiliza a denominação “discriminante” ou mesmo o símbolo “

∆

”,

como atualmente aparecem nos livros didáticos de Matemática, simplesmente menciona

acb 4

−

. Observo que somente no início da chamada Matemática Moderna (anos 1960 em

diante) essas denominações começam a aparecer nos didáticos. Além disso, ao discu o tir

caso em

utiliza

que

acb 4

−

é negativo, já fala em raízes imaginárias. Para unidade imaginária,

simplesmente

1−

sem mencionar, como nos dias atuais, a letra i.

2.3.4 Lições de Matemática – 4º. ano (4ª. série)

Ao contrário dos três livros anteriores da coleção Lições de Matemática, neste,

destinado a 4ª. série (ou 4º. ano), Maeder não apresenta o livro. Não há prefácio do autor.

Também não há no livro destinado a 4ª. edição (a partir do qual faço a presente “leitura”) o

ano dessa publicação. São 344 páginas, e o correspondente livro teve um total de cinco

edições:

TABELA 4 – EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 4º. ANO

Edição/tiragem

Data de publicação

2ª. 19--

nte no presente livr

1ª. 1937

3ª. 19--

4ª. 19--

5ª. 1942

ário é apresentado nessas páginas iniciais e divide o conteúdo de

ara a 4ª. série em 20 capítulos. Maeder mostra-se fiel ao programa de

laborado no Colégio Pedro II, conforme é possível observar a seguir

1), confrontando o programa oficial e o consta

O su

Matemática

(QUADRO 1 o. A única

101

observação refere-se ao item “Régua logarítmica”, presente no programa oficial e ausente

no livro de Maeder, sem qualquer comentário do autor.

FIGURA 35 - CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 4º. ANO

102

GURA 36 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 4º. ANO

103

QUADRO 11 – PROGRAMAS PARA O 4º. ANO

Lições de Matemática – 4º. ano

Program

as propostos para o ensino público

Capítulo I: Equações biquadradas (definição – resolução,

discussão, decomposição do trinômio biquadrado, composição da

equação biquadrada, exercícios)

Capítulo II: Equações irracionais (definição – resolução,

exercícios)

Capítulo III: Problemas do 2º. grau (definição, resolução de

problemas particulares, problemas gerais – discussão, exercícios)

Capítulo IV: Progressões aritméticas (definições, relações entre os

elementos da progressão, propriedade, cálculo da soma dos termos,

interpolação aritmética, os dez problemas, exercícios)

Capítulo V: Progressões geométricas (definições, relações entre os

elementos da progressão, propriedade, cálculo do produto dos

termos, cálculo da soma dos termos, progressões decrescentes

ilimitadas, interpolação geométrica, problemas, exercícios)

Capítulo VI: Função exponencial (definição – natureza do expoente,

princípios fundamentais, propriedades, representação gráfica,

variações da função)

Capítulo VII: Logaritmos (definições, logaritmos vulgares e

neperianos, propriedades, logaritmos decimais, cologaritmos, tábuas

de logaritmos, operações com logaritmos, aplicações, resolução das

equações exponenciais, exercícios)

Capítulo VIII: Juros compostos – Anuidades (definições –

capitalização anual, determinação do montante, determinação do

capital inicial, determinação do tempo, determinação da taxa,

capitalização não anual, anuidades – capitalização, amortização,

exercícios)

Capítulo IX: Polígonos inscritos e circunscritos à circunferência

(definições, triângulos inscritos e circunscritos, quadriláteros

inscritos – teorema de Ptolomeu, quadriláteros circunscritos)

Capítulo X: Polígonos regulares (definições, polígonos inscritos e

circunscritos, elementos dos polígonos regulares, polígonos

regulares semelhantes, polígonos regulares estrelados, relações

métricas nos polígonos regulares, expressão do lado do quadrado

inscrito, apótema do quadrado inscrito, lado do hexágono regular

inscrito, lado do triângulo regular inscrito, apótema do triângulo

regular inscrito, apótema do hexágono regular inscrito, apótema dos

polígonos regulares, lados dos polígonos regulares de 2n lados, lado

do octógono regular convexo, lado do dodecágono regular convexo,

lado do decágono regular convexo, lado do pentágono regular

convexo, problemas, exercícios)

Capítulo XI: Medida da circunferência (preliminares – definição,

razão de duas circunferências, o número

, cálculo de

- método

dos perímetros, natureza do número

, comprimento d um arco

de circunferência, o radiano, arcos semelhantes)

Capítulo XII: Áreas – Comparação de áreas (definições, área do

retângulo, área do quadrado, área do paralelogramo, área do

triângulo, área do triângulo eqüilátero, área do triângulo em função

do perímetro e do raio do círculo inscrito, área do triângulo em

função dos lados, área do trapézio, área de um polígono qualquer,

área dos polígonos regulares convexos, exercícios, área do círculo,

área do setor circular, área do segmento circular, área da coroa

circular, comparação de áreas, teorema de Pitágoras, lúnulas de

Hipócrates, exercícios)

Capítulo XIII: Retas e planos no espaço (definições, determinação

do plano, geração do plano, posições relativas de uma reta e um

plano, posições relativas de duas retas, posições relativas de dois

planos, retas e planos perpendiculares, retas e planos paralelos,

ângulos diedros, propriedades dos diedros, planos perpendiculares,

projeções)

I – Aritmética e Álgebra

• Equações biquadradas e equações irracionais.

• Problemas do 2º. grau; discussão.

• Progressão aritmética. Propriedades. Interpolação.

• Progressão geométrica. Propriedades. Interpolação.

• Estudo da função exponencial.

• Logaritmos; propriedades. Uso das tábuas.

• Régua logarítmica.

• Juros compostos; anuidades.

II – Geometria

• Polígonos regulares; relações métricas nos polígonos

regulares.

• Medida da circunferência; cálculo de pi (método dos

perímetros).

• Áreas equivalentes; relação entre áreas de figuras

semelhantes.

• Retas e planos no espaço.

• Ângulos poliedros. Triedros suplementares.

• Prisma e pirâmides.

• Cilindro e cone.

• Esfera. Secções planas. Pólos; plano tangente; cone e

cilindro circunscritos.

• Noção sobre geração e classificação das superfícies;

superfícies regradas, de revolução, desenvolvíveis.

• As funções circulares; relações entre essas funções.

Gráficos.

• Expressões da tangente, cotangente, secante e co-secante

em função do seno e co-seno. Seno, co-seno e tangente da

soma de dois ângulos, do dobro de um ângulo, da metade

de um ângulo. (VECHIA & LORENZ, 1998, p. 337)

104

Capítulo

faces de

QUADRO 11 – PROGRAMAS PARA O 4º. ANO

XIV: Ângulos poliédricos (definições, relações entre as

um triedro, soma das faces de um ângulo poliédrico,

ângulos poliédricos iguais, ângulos poliédricos simétricos,

igualdade de triedro, triedros suplementares, propriedades)

Capítulo XV: Poliedros – Prismas – Pirâmides (definições, prisma,

paralelepípedo, propriedades do paralelepípedo, área lateral do

prisma, área total do prisma, área total do paralelepípedo retângulo,

pirâmide, propriedade, área lateral da pirâmide regular, área total da

pirâmide regular, poliedros regulares, relações entre os elementos de

um poliedro convexo, elementos dos poliedros regulares, áreas dos

poliedros regulares, exercícios)

Capítulo XVI: Geração e classificação das superfícies (geração das

superfícies, superfícies geométricas, classificação das superfícies,

superfícies desenvolvíveis, superfícies de revolução)

Capítulo XVII: Cilindro e cone (definições, propriedades do

cilindro, área lateral do cilindro, área total do cilindro, tronco do

cilindro, cone, propriedades do cone, área lateral do cone, área total

do cone, tronco de cone, exercícios)

Capítulo XVIII: Esfera (definições, secções planas da esfera,

posições relativas de retas e esferas, posições relativas de planos e

esferas, planos tangentes à esfera, posições relativas de duas esferas,

pólos de um círculo da esfera, traçados sobre a esfera, cilindro

circunscrito à esfera, cone circunscrito à esfera, área da zona, área

da calota esférica, área da esfera, área do fuso esférico, exercícios)

Capítulo XIX – Linhas trigonométricas (definições, plano orientado,

origem dos arcos, disposição e sentido das linhas trigonométricas,

quadrantes, sinais das linhas dos quadrantes, arcos maiores que 360º

, linhas trigonométricas dos arcos congruentes, variação das linhas

trigonométricas, redução ao primeiro quadrante, arcos de uma linha

trigonométrica dada)

Capítulo XX – Funções circulares (linhas trigonométricas de um

ângulo, relações entre as funções circulares, determinação de uma

linha trigonométrica em função das demais, aplicações, soma e

diferença de arcos, linhas dos arcos duplos, aplicações, linhas dos

arcos submúltiplos, exercícios)

Observando o quadro anterior com os programas para o 4º. ano, novamente

constato a divisão do programa oficial em dois blocos: “Aritmética e Álgebra” e

“Geometria”. Enquanto o primeiro desses blocos está dividido em oito itens, no livro de

Maeder eles correspondem aos capítulos de I a VIII, seguindo a mesma ordem presente no

programa oficial (exceção por conta da ausência de “régua logarítmica”). Os capítulos de

IX a XX correspondem aos 11 itens do programa oficial, na mesma ordem. Novamente os

tópicos relativos à trigonometria, conforme se observa atualmente nos livros didáticos de

Matemática, estão contidos no programa oficial no bloco “Geometria”.

Nesta leitura do livro de Maeder observo mais uma vez orientações explícitas

desse autor no sentido de esclarecer, localizar e alertar o leitor (aluno e professor)

quanto ao desenvolvimento de conteúdos. Assim, por exemplo, em relação à resoluçã

e equações irracionais, capítulo II, encontra-se as seguintes orientações: d

105

Para resolver uma equação irracional, é preciso transformá-la em outra racional, entre

ação das equações, cujo

estudo não cabe neste curso, cuidemos, apenas, do que diz respeito à eliminação dos

pelos seus respectivos índices.

sformação, e que o

ntra aplicação vantajosa em certos casos

los laboriosos ou inexeqüíveis, em que a

eliminação de um radical dá lugar ao aparec e

o ações

a e a ndo.

emas relacionados à

m cada um, ao final, faz comentários no

evidas precauções com relação aos

s, pois, segundo ele, “podem figurar

uação dada”.

ob no início do capítulo III,

d ses que

l ma: “estabelecimento da equação,

dessas fases, em cada exemplo que

essa das.

eme o método difundido como

emas”, que tem em Geo e

apr

ropostas e disc ssões a respeito dos assuntos ligados

cenário mundial.

cujas raízes se encontrem as que convêm à equação dada.

Deixando à margem o processo geral empregado na racionaliz

radicais pela elevação sucessiva de ambos os membros da equação às potências indicadas

Devemos, porém, advertir que nem semp

processo de que nos iremos ocupar só en

re é possível essa tran

particulares, pois pode conduzir-nos a cálcu

im nto de outros.

Trataremos, por isso, somente da resolu

irracionais, que se reduzem facilmente

çã de alguns tipos simples de equ

qu ções de grau não superior ao segu

(MAEDER, 19--, p. 10)

A seguir, Maeder apresenta e discute três casos de probl

resolução de equações irracionais. E

sentido de levar o aluno leitor a tomar as d

resultados obtidos, que devem ser verificado

raízes estranhas à eq

Um outro exemplo da preocupação

desenvolvimento de um conteúdo pode ser

d autor paranaense em relação ao

servado

quando do estudo de “Problemas do segun o grau”. Ele enuncia três fa

fazem parte da resolução de qualquer prob

resolução desta e discussão” (MAEDER, 1

concebe exatamente como sendo cada uma

utiliza para desenvolver o presente capítulo,

Além disso, é possível observar aqui el

“resolução de probl

9- p. 22). Embora não discuta o que

s fases aparecem bem demarca

ntos d

rg Polya

, conhecido como o grande

endizagem de Matemática. Maeder defensor desse procedimento para o ensino e

dá indícios de estar atento às p u

ao ensino e aprendizagem da Matemática no

George Polya foi professor da Universidade de Stanf

a new aspect of m

ord e em 1944 publicou o livro How to Solve it:

athematical method, traduzido como a Arte de resolver problemas: um novo aspecto

Interciência Ltda. Já nas páginas iniciais desse

esolução de um problema: a compreensão

blema e a incógnita, a execução de um plano de

do método matemático, no Rio de Janeiro pela Editora

trabalho de Polya, é possível observar as quatros etapas da r

do problema, a busca da conexão entre os dados do pro

resolução e o exame da solução obtida.

106

Mais uma vez observo que o aspecto intuitivo no enca inhamento dos assuntos

exemplo disso pode ser

ida do comprimento da circunferência,

o de comprimento de arco, diz-se que o

ite comum para o qual tendem os perímetros

scritos e circunscritos, quando o número de

to de uma circunferência é maior que o

nela inscrito, e menor que o de qualquer

MAEDER, 19--, p. 157)

lecer o comprimento da circunferência

o número

que compõem o trabalho de Maeder é valorizado. Um

observado quando do estabelecimento da med

capítulo XI:

Estendendo, à circunferência, a definiçã

comprimento de uma circunferência é o lim

dos polígonos regulares convexos, a ela in

lados aumenta indefinidamente.

Acrescentemos, ainda, que o comprimen

perímetro de qualquer polígono convexo

polígono regular circunscrito. (

Um pouco mais adiante, após estabe

como o produto da medida de seu diâmetro pel

Assim, o cálculo de

, pelo método de

comprimento da semi-circunferência de raio

Conforme a definição de comprimento

que nos ocupamos, reduz-se ao cálculo do

igual à unidade.

de uma circunferência, os perímetros dos

s são valores aproximados de C, os primeiros

ção essa que aumenta à medida que cresce o

olígono regular inscrito na circunferência, os

licando sucessivamente o número de lados do

a vez mais aproximados para C, e,

polígonos regulares inscritos e circunscrito

por falta e os últimos por excesso, aproxima

número de lados dos polígonos considerado

Portanto, se calcularmos, a partir de um p

perímetros dos polígonos que se obtém, dup

interior, iremos obtendo valores cad

conseqüentemente, para

Ademais, notemos que, em cada caso, o

semiperímetros dos polígonos regulares

, complementa:

valor de

estará compreendido entre os

inscrito e circunscrito à circunferência.

(MAEDER, 19--, p. 159)

Outro aspecto a observar aqui está relacionado à demonstração. Em diversos

momentos as demonstrações de teoremas e do estabelecimento de fórmulas resolutivas se

fazem presentes no livro de Maeder. Assim, por exemplo, é possível observar a obtenção

da fórmula que fornece a soma dos termos de uma progressão aritmética em função do

primeiro termo, do último termo e do número de termos. Também a relação Matemática

que permite calcular a área de um triângulo qualquer em função das medidas de seus

lados

. Outras fórmulas e relações Matemáticas são apresentadas e demonstradas.

ula atribuída a Herão de Alexandria, que teria vivido, segundo estimativas, entre 150 a.C. e

250 d.C. “Seus trabalhos sobre matemática e física são tão numerosos e variados que é costume

com formação grega. De qualquer maneira, seus escritos, que com tanta freqüência enfatizam mais as

aplicações práticas do que o acabamento teórico, mostram uma fusão curiosa do

oriental.” (EVES, 1997, p. 205)

Fórm

apresentá-lo como um razões para se supor que Herão era um egípcio

grego com o

enciclopedista destas áreas. Há

107

obras.

das tá

primei

F.I.C.

está re

. 244 eio de uma nota de rodapé, para um estudo mais completo,

os q

do correspondente livro a que se refere, isto é,

ágina

nometria retilínea é a

obra citada em sua 2ª. edição, porém sem datar o ano correspondente a essa edição.

Nesse livro, são observadas também algumas referências a outros autores e suas

Ao desenvolver o assunto “logaritmos”, particularmente ao abordar a utilização

buas de logaritmos, Maeder menciona que Schrön e Callet foram autores das

ras de tábuas logarítmicas. Também menciona as tábuas feitas por Dupuis, por

, por Hoüell e também por A.L.C.M. Observa, finalmente, que, em seu livro,

produzindo uma das páginas da tábua de F.I.C.

Quando do desenvolvimento do assunto “Poliedros Regulares” (MAEDER, 19--,

), remete o leitor, por mp

“a ue quiserem”, a obra Elementos de Geometria. Essa obra tem dois volumes e foi

escrita por Francesco Severi com a tradução espanhola da 2ª. edição, feita por T. Martín

Escobar, editora Labor, no ano de 1931. Essa é uma referência utilizada por Maeder.

A obra Elementos de Geometria Descritiva, escrita por F.I.C. (não encontrei

nenhum dado a mais além da página

p 158), é mencionada também em nota de rodapé. Entretanto, o autor menciona

essa obra apenas para explicar que dela foi extraído um exemplo sobre a obtenção de

um plano por meio da geração de uma reta, deslocando-se paralelamente sobre si

mesma e “constantemente apoiada numa reta fixa dada” (MAEDER, 19--, p. 250).

Observo que essa obra aparece mais algumas vezes em citações feitas ao longo do

estudo de Geometria. Outra referência também é empregada, logo a seguir, ainda no

assunto sobre a obtenção de sólidos geométricos por meio de rotações. Agora é a obra

Tratado metódico de matemáticas elementares, de autoria do alemão G. Holzmueller.

Essa obra, traduzida para o espanhol por E. Latzina, é de 1926, da editora Labor.

A última menção a outra obra é feita no capítulo que estabelece as relações

trigonométricas para um mesmo ângulo, numa circunferência. É o livro dos autores

André Perez y Marin e Carlos F. de Paula. Elementos de Trigo

A fórmula mencionada é

))()(( cpbpappS −−−=

, em que p representa o semi-perímetro do

triângulo de lados com medidas a, b e c. S é a área do correspondente triângulo.

F.I.C. são as iniciais das escolas da Congregação dos Frères de l’Instruction Chrétienne.

108

Ao desenvolver o assunto “Comparação de Áreas”, precisamente no que se

refere ao conhecido Teorema de Pitágoras, encaminha uma demonstração clássica que

é atribuída a Euclides

. Nessa demonstração, Maeder (19--, p. 188) emprega o mesmo

diagrama (FIGURA 37) que teria origem na obra de Euclides de Alexandria.

áreas,

equiva

assunto

até na denominação que se dá ao assunto em meio ao qual é enunciado o Teorema de

Pitágoras, isto é, relações métricas num triângulo retângulo. Como interpreto, isso

evidencia um conteúdo de Matemática que, com o tempo, sofreu transformações,

passan

medida

Além disso, observo também uma preocupação de Maeder em generalizar esse

teorema, não apenas para os “quadrados” construídos a partir dos três lados, mas também

Ainda a respeito desse teorema, o enunciado é feito utilizando-se a equivalência de

isto é: “O quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo é

lente à soma dos quadrados construídos sobre os catetos”. Atualmente, esse

não é desenvolvido no contexto sobre o estudo de áreas. Isso pode ser observado

do do contexto do estudo de áreas de figuras planas para o de relações entre

s de comprimento dos lados de um retângulo.

FIGURA 37 – TEOREMA DE PITÁGORAS

para polígonos semelhantes (FIGURA 38, reproduzida do livro de Maeder, p. 204).

A demonstração atribuída a Euclides é a partir de um diagrama. Ver Introdução à História da

Matemática, de Howard Eves, editora da Unicamp, 2ª. edição, 1997, p. 182.

109

FIGURA 38 – GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

O teorema é apresentado como corolário e tem o seguinte enunciado: “Se

construirmos, sobre os lados de um triângulo retângulo, três polígonos

semelhantes, a área do polígono construído sobre a hipotenusa é equivalente

à soma das áreas dos polígonos construídos sobre os catetos”. Após fazer a

demonstração desse corolário, Maeder avança um pouco mais, agora se referindo

a respeito das “Lúnulas de Hipócrates”, que são construídas também a partir dos

catetos de um triângulo retângulo. Novamente há um tratamento de equivalência

sobre áreas que normalmente não estão presentes nos atuais livros didáticos de

Matemática.

Os capítulos XIII e XIV – “Retas e Planos no Espaço” e “Ângulos

Poliedros” – ocupam, ao todo, 35 páginas com definições, teoremas, corolários,

e refeitas em sala de aula? Algumas demonstrações dos teoremas ou dos

corolários são omitidas. Em nota, Maeder (19--, p. 203) justifica tal ausência:

prejuízo da feição didática deste livro, examinar todas as

demonstrações, propriedades e algo que chama a atenção, nenhum exemplo ou

atividade. Daí é possível observar que o tratamento dado para tal assunto é

informativo. Cabem as questões: Como era elaborada a avaliação de tal

conhecimento? O aluno deveria memorizar? E as demonstrações, eram discutid

“Não é possível, sem

110

propo

exemplo

que c

sições relativas às retas e planos no espaço, bem como imprimir às

demonstrações correspondentes rigor excessivo”.

Ainda observando o encaminhamento dado a determinados conteúdos de

Matemática, o capítulo XX, destinado às “Funções Circulares”, dá um

onsidero importante destacar. No estudo de trigonometria, como é visto

atualmente no Ensino Médio, as relações trigonométricas para um mesmo arco

são demonstradas. Assim, dado, por exemplo, o valor do seno de um arco, pede-se

uma outra razão trigonométrica entre co-seno, tangente, secante, co-secante e co-

tangente. Assim, normalmente, são obtidas sete relações (conforme QUADRO

12), isto é:

QUADRO 12 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

aga

atga

sena

tgasena

aasen

cot1seccos

1sec

seccos

cos

sec

1cos

cot

cos

1cos

sena

tga

No livro de Maeder, essas relações trigonométricas estão presentes.

ntretanto, um quadro sugere a utilização de fórmulas, decorrentes dessas sete,

aluno

consultar a tabela da página 327 desse livro, olhar para a primeira coluna e efetuar

porém apresentadas como receitas [grifo meu] a serem seguidas (ver TABELA 5

reproduzida do livro de Maeder). Por exemplo, se é conhecido o valor do seno de

um arco

para obter as outras cinco razões trigonométricas, bastaria o

as correspondentes substituições para o valor do seno desse arco.

111

RICAS

TABELA 5 – FÓRMULAS PARA RAZÕES TRIGONOMÉT

112

2.3.5 Lições de Matemática – 5º. ano (5ª. série)

FIGURA 39 - CAPA DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 5º. ANO

113

FIGURA 40 – PÁGINA INICIAL DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 5º. ANO

114

O último livro dessa coleção de Maeder, Lições de Matemática – 5.º ano (5ª.

série) da Edições Melhoramentos, conforme 4ª. edição, de 1942, tem, ao todo, 315

pá TABELA 6), e

da mesma forma que o da 4ª. série dessa coleção, não contém qualquer apresentação

ou prefácio do autor. Essa série contém vários capítulos, que são destinados a tópicos

do que atualmente é desenvolvido geralmente em cursos superiores na disciplina de

Cálculo Diferencial e Integral.

TABELA 6 – EDIÇÕES DE LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 5º. ANO

Edição/tiragem Data de publicação

ginas, divididas em 22 capítulos. Esse livro teve quatro edições (ver

1ª. 1938

2ª. 19--

3ª. 19--

4ª. 1942

No QUADRO 13 há um comparativo que contém o sumário do livro de Maeder

para a 5ª. série e o programa oficial (Colégio Pedro II) para o ensino de Matemática.

Nele, é possível perceber que, de fato, o autor paranaense seguia o programa elaborado

pelos seus contemporâneos cariocas. Aqui observo que o programa para o ensino

público é apresentado por meio de 12 tópicos, num único bloco denominado

“Aritmética, Álgebra e Geometria”. Esses tópicos estão relacionados com os 22

capítulos em que o livro está dividido.

QUADRO 13 – PROGRAMAS PARA O 5º. ANO

Lições de Matemática – 5ª. série

Programas propostos para o ensino público

Capítulo I: Logaritmos das funções trigonométricas (tábuas de

logaritmos, descrição das tábuas, uso das tábuas, problema direto,

partes proporcionais, caso especial, problema inverso, exercícios)

Capítulo II: Resolução de triângulos (resolução de triângulos,

relação entre os elementos dos triângulos retângulos, resumo, casos

clássicos – 1º caso, 2º caso, 3º caso, 4º caso, exercícios, triângulos

obliquângulos, teorema dos senos, teorema dos cossenos, teorema

das tangentes, casos clássicos – 1º caso, 2º caso, 3º caso, 4º caso,

discussão do 4º caso, resumo da discussão, aplicações, exercícios)

Capítulo III: Análise combinatória (coordenações, arranjos simples,

cálculo de número de arranjos, permutações simples, cálculo do

número de permutações, combinações simples, cálculo do número

de combinações, exercícios)

Aritmética, Álgebra e Geometria

• Resolução de triângulos retângulos, prática das

tábuas de logaritmos.

• Casos simples de resolução de triângulos

obliquângulos.

• Noções de análise combinatória.

• Binômio de Newton (caso de expoente inteiro e

positivo).

• Derivada de um polinômio inteiro em x.

• Noção de limite. Derivada de

x . Derivada

de seno de x, co-seno de x, tangente de x e

cotangente de x.

115

QUADRO 13 – PROGRAMAS PARA O 5º. ANO

Capítulo IV: Binômio de Newton (potenciação de binômios, produto de

binômios com um termo comum, desenvolvimento do binômio de

Newton, análise da fórmula, termo geral, termos eqüidistantes dos

extremos, desenvolvimento de

ax )( − , propriedade dos

coeficientes, triângulo de Pascal, potenciação de polinômios, exercícios)

Capítulo V: Noções de limite (noção de limite – exemplos,

observações, infinitamente pequenos, infinitamente grandes,

proposições relativas aos limites, passagem ao limite,

indeterminações aparentes, cálculo de alguns limites, exercícios)

Capítulo VI: Continuidade de uma função (funções unívocas e

plurívocas, funções definidas num intervalo dado, acréscimo de

uma função, representação gráfica, funções crescentes e

decrescentes, continuidade de uma função)

Capítulo VII: Derivadas – Interpretação geométrica da noção de

derivada (noção de derivada, definição, exemplos, interpretação

geométrica, exemplo)

Capítulo VIII: Derivadas das funções elementares (derivada de uma

função – regra de derivação, derivada de uma soma, derivada de um

produto de duas funções, derivada de um produto de várias funções,

derivada da função

xy = , derivada de um quociente, derivada

de um polinômio inteiro em x, derivada de uma função de função,

derivada de uma potência, derivada de

x , derivada de uma raiz,

diferencial, diferenciação, exercícios)

Capítulo IX: Derivadas das funções trigonométricas (derivada de

senx

, derivada do seno de uma função de x, derivada de

xcos

derivada do cosseno de uma função de x, derivada de

tgx

derivada da tangente de uma função de x, derivada de

gxcot ,

derivada da cotangente de uma função de x, derivada de

xsec

derivada da secante de uma função de x, derivada de

xseccos

derivada da cossecante de uma função de x, exercícios)

Capítulo X: Derivadas sucessivas (definição – notações, exemplos,

exercícios)

Capítulo XI: Aplicação das derivadas ao estudo da variação de

algumas funções simples (variação de uma função, máximo e mínimo,

exemplo, determinação de máximos e mínimos, aplicações, problemas,

estudo das variações de uma função, exercícios)

Capítulo XII: Noções sobre séries (definições, termo geral da série,

séries positivas e alternadas, séries uniformes, soma da série, séries

convergentes, séries divergentes, séries indeterminadas, condição de

convergência, série harmônica, séries de comparação, séries hiper-

harmônicas, critério de d’Alembert, critério de Cauchy,

convergência nas séries alternadas, resto de uma série, exercícios)

Capítulo XIII: Processos elementares de desenvolvimento em série

(desenvolvimento em série, desenvolvimento pela divisão, desenvolvimento

pela radiciação, desenvolvimento pela lei binomial, método dos coeficientes

a determinar, aplicações, desenvolvimento das funções circulares,

desenvolvimento da função

enx

= , desenvolvimento da função

y cos=

, desenvolvimento da função

tgxy =

, exercícios)

Capítulo XIV: Diferenciação de funções (definição, notação de

Leibniz, significação geométrica da diferencial, diferenciação de

funções, exercícios, diferenciais de algumas funções)

Capítulo XV: Problema inverso da derivação (funções primitivas,

integrais indefinidas, diferenciação e integração, constante de

integração, primitivas imediatas, propriedades, exercícios,

significação geométrica da constante de integração, exercícios)

Capítulo XVI: Integral defi – aplicação ao cálculo de certas

• Interpretação geométrica da noção de derivada.

Aplicação da noção de derivada ao estudo da

variação de algumas funções simples.

• Processos elementares de desenvolvimento em

série; convergência de uma série.

• Desenvolvimento em série do seno, co-seno e

tangente.

• Problema inverso da derivação. Primitivas

imediatas. Aplicação ao cálculo de certas áreas.

• Volumes do prisma e do cilindro; da pirâmide,

do cone e dos respectivos troncos. Volume da

esfera e suas partes.

• Estudo sucinto das secções cônicas.(VECHIA

& LORENZ, 1998, p. 337-338)

nida

s (diferencial de uma área, integral definida, cálculo da integral área

definida, exercícios, integral definida como limite de soma,

aplicação ao cálculo de certas áreas, exercícios)

116

QUADRO 13 – PROGRAMAS PARA O 5º. ANO

Capítulo XVII: Volume do prisma (medida dos volumes, volume do

paralelepípedo retângulo, volume do cubo, volume do

paralelepípedo reto, volume do paralelepípedo oblíquo, volume do

prisma, exercícios)

pirâmide, volume do tronco de pirâmide, exercícios)

volume do tetraedro regular, volume do hexaedro regular, volume

icosaedro regular, exercícios)

Capítulo XX: Volumes do cilindro e cone (volume do cilindro,

volume do cone, volume do tronco de cone, ex

Capítulo XXI: Volume da esfera (proposições

Capítulo XVIII: Volume da pirâmide (preliminares, volume da

Capítulo XIX: Volumes dos poliedros regulares (preliminares,

do octaedro regular, volume do dodecaedro regular, volume do

ercícios)

fundamentais, volume

do setor esférico, v

volume do anel es

volumes de duas esferas, ex

Capítulo XXII: Estudo s as (secçõe

cônicas, curvas do 2º grau, elipses – eixos e centro, relação entre os

eixos e a distância focal, excentricid culos da elipse, valores

dos raios vetores, equação da elipse, área da elipse, hipérbole, eixos

e centro da hipérbole, relação entre os eixos e a distância focal,

hipérbole eqüilátera, valores dos raios res, equação da hipérbole

assíntotas da hipérbole, parábola, arábola,

subtangente e subnormal, equação da la)

olume da esfera, volume da cunha esférica,

férico, segmento esférico, relação entre os

ercícios)

ucinto das secções cônic s

ade, cír

veto

eixo e vértice da p

parábo

O conteúdo de Matemática do presente livro destinado ao 5º. ano, excetuando-

se os c

em nosso país nos anos de 1930. O maior

defensor da inclusão das noções referentes ao cálculo infinitesimal é Euclides Roxo

(do Colégio Pedro I a argumentos de

Jules Ta que pod

equ o

am in temática secundária.

a u s de cálculo

d q

ra oc e, diz

histórico a fim de mostrar quanto eram

s ã

apítulos II, III, IV, XVII, XVIII, XIX, XX e XXI, tinha a conotação do que seria

atualmente estudo do primeiro ano da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral,

como já mencionei anteriormente. O livro é dividido em 24 capítulos, e cerca de 2/3

destinados a esse assunto. Esses 16 capítulos destinados ao estudo de “limites”,

“derivadas” e “noções de integrais” representam um elemento importante para situar

Maeder e sua coleção Lições de Matemática em consonância com os movimentos da

renovação do ensino de Matemática

I, da época). Nas palavras de Roxo, citando aind

nnery, para responder àqueles iam dizer que esse assunto seria de

grande dificuldade para os alunos naquele estágio

Ora, desde que sejam apresentadas de modo ad

da escolarização:

ad e sem a excessiva preocupação de rigor

e formalismo, as noções de cálculo infinitesimal

do que muitos outros pontos que sempre se achar

JULES TANNERY demonstra, com brilhante

infinitesimal são mais fáceis e mais simples

elementar, para a determinação de volumes,

sã mais fáceis de compreender e assimilar

cluídos na Ma

rg mentação, que os processo

o ue os artifícios usados, em geometria

ci ínios muito engenhosos mas qu

TANNERY, “convém guardar em um museu

inteligentes nossos antepassados; o lugar dele

VALENTE, 2003, p. 181)

n o é no ensino elementar”. (ROXO in

117

stro objeto

te e funções

bjet cipal dado em torno de dois

” que, conhecido

lo correspondente. O motivo do

lares poderia, conforme observado no

ação? Nenhuma é mencionada no livro.

de logaritmos de F.I.C.

(também havia

roduz a tábua de F.T.D.

que contém as

reendidos entre 0

e 3º e entre 87º e 90º.

ais podem ser observadas no livro

bra Elemental, segunda parte, em sua 5ª.

da pela editora A. García Santos, Buenos Aires, é

da em nota de rodapé (MAEDER, 1942, p. 66). Essa obra é mencionada em um

is adiante, no mesmo assunto, o nome

ndo o autor da notação m! (indicação do produto dos m

da unidade). EVES (1997, p. 365), em

foi introduzido em 1808 por Christian

aeder, de personagens da História da

vezes ao longo dos cinco livros que compõem Lições de Matemática

emplo). Em relação a Newton, há um

Considerando a história dos saberes esco

capítulo I desse livro de Maeder representa um regi

de estudo nas aulas de Matemática e que atualmen

lar s da disciplina de Matemática, o

de determinado tema que era

não é mais: logaritmos d

trigonométricas. São, ao todo, 20 páginas com o o

problemas. O chamado “problema direto” consiste

ivo prin

calcular, como o auxílio de tábuas

trigonométricas, o logaritmo de uma razão trigon

denominado “problema inverso

étrica de um ângulo. O segundo é

o valor do logaritmo de uma razão

trigonométrica, deve-se obter o valor do ângu

desaparecimento desse assunto dos bancos esco

próprio livro de Maeder, estar ligado à falta de aplic

Nesse capítulo, Maeder faz menção à tábua

mencionado no livro do 4º. ano) como também rep

funções trigonométricas naturais dos ângulos comp

Além da referência à tábua de logaritmos, outras m

de Maeder destinado ao 5º. ano: Nociones de Álge

edição, escrita por F. de Alzáa, e publica

menciona

exemplo de análise combinatória. Um pouco ma

Kramp aparece no texto como se

primeiros números naturais consecutivos a partir

uma nota de rodapé, menciona que o símbolo m!

Kramp (1760-1820).

Em relação à utilização, por parte de M

Matemática, poucas

passaram de citação de nomes (Pitágoras, por ex

pequeno trecho:

“No final do século XIX, surge no Brasil uma literatura didática, marcada sempre pela sigla FIC.

s de Geometria por F.I.C. etc.” (VALENTE,

ra de livros didáticos foi fundada no Brasil

em 1902 pelos irmãos Andrônico e Isidoro Dumont.

São os Elementos de Arithmetica por F.I.C., os Elemento

1999, p. 176).

F.T.D. é a sigla de Frère Théophane Durant. Essa edito

118

Coube a Newto lei que preside a

e lei cuja aplicação permite, como adiante se

binômio, sem as passagens sucessivas pelas

a demonstração de Newton, a lei teve outras demonstrações. Cuidaremos, entretanto,

ombinatória. (MAEDER, 1942, p. 75)

do binômio de Newton, não poderia

m “procedimento” (talvez a denominação pudesse ser “dispositivo”)

ios com um termo em comum”, isto é,

41 reproduzida do livro de MAEDER,

n, o grande matemático inglês do século XVII, estabelecer a

composição das potências de um binômio qualqu

verá, formar diretamente qualquer potência de um

potências anteriores.

Depois d

apenas da demonstração que se funda na análise c

No capítulo destinado ao desenvolvimento

deixar de mencionar u

para a obtenção dos termos do produto de “binôm

))...()()()(( lxdxcxbxax +++++

. (ver FIGURA

1942, p. 77). É a partir desse procedimento, fazen

autor apresenta o desenvolvimento do binômio de N

FIGURA 41 – PRODUTO

ldcba =

...

wton para

ax )( + .

, que, a seguir, o

DE BINÔMIOS

119

e Calcule integral facile et attrayant é a obra citada por Maeder no capítulo

sobre aplicações de derivadas ao estudo da variação de algumas funções. O autor é

Gustave Bessière e a editora Dunod de Paris. Não há referência à data dessa

publicação. Aparentemente, essa citação (também em nota de rodapé) é utilizada para

mencionar o problema do raio luminoso refratado de Fermat. “Entre os problemas

mais interessantes que se podem citar a respeito de máximos e mínimos destaca-

se, seguramente, o resolvido por Fermat para explicar a lei de refração,

estabelecida por Descartes”. (MAEDER, 1942, p. 167)

Outra obra citada é Lezioni di analisi algebrica e infinitesimale, de Tonolo. A

citação dessa obra é incompleta. Está também inserida como nota de rodapé e é

utilizada para referenciar a notação dada por Leibniz para indicar a derivada da função

y em relação a x, isto é,

Outro autor utilizado por Maeder, pelo menos citado, é mais conhecido no

Brasil.

apresenta e justifica (demonstra) as fórmulas para o cálculo dos

volum

respectivamente,

Trata-se de Granville, autor de livros de cálculo. A obra em questão é Elements

de Calcule Differentiel et Integral. A citação dessa obra está no capítulo XV, quando

do desenvolvimento do assunto “Problema inverso da derivação”. Aparentemente, o

autor paranaense a utiliza para falar do significado geométrico que se dá à constante de

integração quando do cálculo de uma integral indefinida.

No estudo de Geometria, também observo que algumas “fórmulas” presentes

em Lições de Matemática – 5º. ano não são mais motivo de preocupação dos

estudantes do Ensino Médio. Como exemplo, Maeder, no capítulo sobre “Volumes dos

poliedros regulares”,

es do dodecaedro regular e do icosaedro regular. As fórmulas são,

A leitura

5210470 += aV )53( += aV

e .

dos cinco livros que formam a coleção Lições de Matemática, mesmo

deslocada do contexto histórico do autor, da obra e de quem a empregou de alguma forma

e a disciplina de matemática estava sendo constituída representava uma

para a aprendizagem de matemática, traz lições. Escrever uma coleção de livros numa

época em qu

dificuldade muito grande. Elaborar, encaminhar e distribuir os assuntos seguindo um

120

progra

detalhe

seguiu

e ma s, por

emp

autor paranaense valoriza esse asp

idáticos de Matemática, deu uma

importante contribuição ao trabalho editorial, extremamente cuidadoso, observável nos

detalhes de diagramação. Parceria com a Edições Melhoramentos que, após as

“lições”, parte para os “cursos”. São os tempos do “colégio” e do “ginásio”. Novas

coleções estão por vir.

2.4 CURS

Após

livros destinada ao c . Com a

denominação

todo, 22 edições.

Na FIG

prim

pequeno in bas

foram

nistério

número

ma de matemática ditado por tópicos presentes nos programas oficiais, porém sem

s maiores, representou também obstáculos a serem superados. Maeder não apenas

os programas oficiais, como também mostrou estar atento às mudanças do ensino

temática conforme se evidencia no trabalho destinado ao ensino de funçõed

ex lo, que representa o elo que acabou unificando vários ramos para constituir a

disciplina de Matemática. Por outro lado, um outro elemento que contribuiu para essa

minha hipótese foi a “valorização” da intuição. Em diversos momentos em seus livros, o

ecto importante no ensino de Matemática.

Maeder, saindo dos compêndios para os d

O DE MATEMÁTICA – CURSO GINASIAL

Lições de Matemática, Maeder escreveu uma coleção composta de quatro

urso ginasial criado a partir da Reforma Capanema

Curso de Matemática, essa coleção repetiu a parceria com a Edições

Melhoramentos. O que chama a atenção nessa coleção é a quantidade de

edições/tiragens feitas; o livro destinado a 1ª. série do ginásio, por exemplo, teve, ao

URA 42, que traz as capas dos quatro livros e as respectivas datas das

eiras edições de cada um deles, é possível perceber outro fato interessante: o

tervalo de tempo entre a publicação da 1ª. série e da 2ª. série, isto é, am

editadas no mesmo ano de 1943.

Em todos os volumes do Curso de Matemática há referência ao então Mi

da Educação e Cultura, autorizando o uso, conforme consta nas capas dos livros: “Us

autorizado pelo Ministério da Educação e Cultura”. Após essa “inscrição”, há um

121

que indica o correspondente registro. Seria interessante observar como essa autorização

era concedida, pois não havia, como atualmente, a avaliação dos livros didáticos. Como

hipótese, acredito que a editora solicitava essa autorização ao Ministério da Educação e

Cultura, o qual, após constatar que de fato se tratava de um livro escolar, fazia algum

registro e autorizava a comercialização e o uso.

FIGURA 42 – COLEÇÃO PARA O GINÁSIO

1ª. série – mar./1943 2ª. série – out./1943

3ª. série – fev./1944 4ª. série – jan./1945

Essa coleção de Maeder destinada ao curso ginasial, além dos eventuais ajustes

e correções, também teve edições novas com mudanças mais profundas, conseqüência

122

de reformas educacionais. Enquanto algumas edições seguiam o programa ditado pela

portaria ministerial n

.170 de 11 de julho de 1942, outras acabaram sendo baseadas na

portaria ministerial n

. 996 de 2 de outubro de 1951. É o que pode ser observado em

cada livro a seguir, onde faço constar alguns quadros comparativos que permitem

observar como os conteúdos de Matemática sofreram mudanças nos níveis de

escolarização ao longo de nossa história.

Antes, porém, considero importante situar essa obra no contexto educacional da

época. Enquanto a coleção Lições de Matemática foi elaborada em consonância com

as idéi

Paraná. Nesse trabalho, o autor propõe um levantamento

órico dos 147 anos (de 1846 a 1993) de atividade do estabelecimento de ensino que

mbém foi denominado de Ginásio Paranaense, época em que Maeder era catedrático

a Maeder, o trabalho de

Straube, educador paranaense, assim se posiciona em relação à Reforma Capanema:

pelo Decreto-Lei n

4244, de 9 de abril de 1942, modificou o ensino, cuja reforma ficou sendo

Científico e o Clássico.

rio só admitia duas designações para os

as presentes na Reforma Francisco Campos, a coleção Curso de Matemática foi

destinada ao ginásio e escrita com base nas propostas e resultados da chamada

Reforma Capanema, como já citado anteriormente.

Ernani Costa Straube publicou no ano de 1993 o livro Do Licêo de Coritiba ao

Colégio Estadual do

hist

e seu diretor. No sentido de dar um contexto mais próxim

Apesar das angústias provocadas pela guerra, que atingiu todos os setores, o Governo Federal,

conhecida como Reforma Capanema (Gustavo Capanema – Ministro da Educação e Saúde),

complementado pelo Decreto-Lei n

4245, da mesma data. A referida reforma foi

caracterizada por ser impositiva e altamente centralizadora. Tudo era feito, resolvido e

determinado pelo Governo Federal através dos órgãos do Ministério da Educação. O antigo

Curso Fundamental de 5 anos passou para 4, com a denominação de Curso Ginasial, e o Curso

Complementar, de 2 anos para 3 anos, chamado de Curso Colegial, compreendendo o

A referida Lei Orgânica do Ensino Secundá

estabelecimentos: a de Ginásio, oferecendo apenas o curso de primeiro ciclo ginasial e o de

Colégio, destinado a ministrar, além do Curso Ginasial, o de segundo ciclo-colegial.

(STRAUBE, 1993, p. 95)

Na época em que Maeder era diretor do en

corpo docente (de 1932 a 1937 Guido Straub

tão Ginásio Paranaense, Guido Straube fazia parte do

e também foi diretor do Ginásio Paranaense). Era o

respons

Straube que no período de 1966 a 1969 foi diretor do Colégio Estadual do Paraná, antigo Ginásio

10 de julho de 1942, quando, em virtude do Decreto Estadual n

. 614, foi denominado Colégio

Estadual do Paraná, continuando equiparado ao Colégio Pedro II”.

ável pela cadeira de História Natural. Nessa mesma época (ano de 1929) nascia Ernani Costa

Paranaense. MARTINS (1984, p. 182) menciona que o “Ginásio Paranaense conservou esse nome até

Paranaense. No ano seguinte, no dia 25 de março, pelo Decreto n

. 1859, passou a chamar-se Colégio

123

2.4.1 Curso de Matemática – 1ª. série – ginásio

FIGURA 43 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962

124

FIGURA 44 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962

125

FIGURA 45 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1943

126

FIG

URA 46 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1943

127

O grande número de tiragens acentua também a dificuldade de obter todas as

o de edições para observar alterações de uma para outra edição. As 22 edições do Curs

Matemática – 1ª. série, destinada ao curso ginasial estão divididas conforme TABELA 7.

TABELA 7 – EDIÇÕES DO 1º. ANO GINASIAL

Edição/tiragem Data de publicação

1ª. Mar./1943

2ª. Fev./1944

3ª. Jun./1944

4ª. Mar./1945

5ª. Fev./1946

6ª. Dez./1946

7ª. Fev./1948

8ª. Dez./1949

9ª. Dez./1949

10ª. Out./1950

11ª. Mar./1952

12ª. Dez./1952

13ª. Abr./1953

14ª. Fev./1954

15ª. Jan./1955

16ª. Jan./1956

17ª. Fev./1957

18ª. Nov./1957

19ª. Fev./1959

20ª. Fev./1960

21ª. Nov./1960

22ª. Jan./1962

128

s edições

m a

ue a

róxi

nte à

de São Pa

obra, um

a de

Matem

o prim posto de

listados:

400). Q , temos

os m

outro

isto é:

dos

2. Adição. Propriedades. Prova. Complemento aritmético de um número.

3. Subtração. Propriedades. Processos de abreviação. Prova. Potência de um número.

Produto e quociente de potências da mesma base.

Embora não tenha sido possível obter todos os volumes, algumas dessa

tê s datas de publicação informadas pela Edições Melhoramentos. A observação de

lgumas dessas edições foram feitas, conforme a tabela anterior, em datas muito

mas, reforça a idéia de tiragem no lugar de edição.

As observações que apresento a seguir referem-se ao volume corresponde

ulo, Indústria de Papel”. Quanto aos conteúdos desenvolvidos na presente

a observação que considero relevante nessa “leitura” do trabalho de Maeder

está na existência de dois tópicos, apresentados antes mesmo do índice: “Program

ática” e “Plano de desenvolvimento do programa mínimo”. Observo ainda que

eiro desses tópicos refere-se ao que seria o programa mínimo, com

quatro linhas em que os tópicos correspondentes aos conteúdos são simplesment

PROGRAMA DE MATEMÁTICA

1ª. Série – Curso Ginasial

Números inteiros; operações fundamentais; números relativos.

Divisibilidade aritmética; números primos.

Números fracionários.

Sistema legal de unidades de medir; unidades e medidas usuais.

(MAEDER, 1962, p. 3)

Esse “Programa de Matemática” é uma cópia fiel do programa presente na

Portaria Ministerial n

. 996 de 2 de outubro de 1951 (VECHIA e LORENZ, 1998, p.

uanto ao tópico sobre o plano de desenvolvimento do programa mínimo

esmos quatro tópicos apontados no programa acima, porém subdivididos em

s itens, em que o autor procura detalhar o programa para o 1º. ano do Ginásio,

PLANO DE DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA MÍNIMO

I – Números inteiros; operações fundamentais; números relativos.

1. Noção de número natural, grandeza, unidade, medida. Numeração; numeraçã

falada; numeração escrita. Sistema decimal. Valor absoluto e valor relativo

algarismos.

129

4. Multiplicação. Propriedades. Processos de abreviação. Prova. Potência de um número.

5. Divisão. Divisão aproximada. Propriedades. Processos de abreviação. Prova.

6. Números relativos; interpretações. Adição, subtração, multiplicação, divisão e

potenciação dos números relativos; regras práticas.

Produto e quociente de potências da mesma base.

– Divisibilidade aritmética; números primos.

. Múltipl ais. Caracteres de

divisibilida por 3 e 9; por 11.

Propriedades elementares dos restos. Provas das operações por um divisor.

2. Números primos e números compostos; números primos entre si. Crivo de

Eratóstenes. Reconhecimento de um número prim ição de um número em

fatores primos. Cálculo dos divisores de um número. Número divisível por dois ou mais

primos entre si dois a do licação à divisibilidade

3. Máximo divisor comu lgoritmo de Euclides; s . Propriedades. Máximo

divisor comum pela deco sição em fatores primo

4. Mínimo múltiplo comum. Relação entre o máximo um e o mínimo múltiplo

comum. Propriedades.

III – Números fracionári

1. Frações. Fração ordinária e fração decimal. Comparação de frações; simplificação;

redução ao mesmo deno m fra ias.

2. Frações decimais; números decimais. Propriedades dos números decimais; operações.

Conversão de fração ordinária em número deci ersa. Número decimal

periódico.

IV – Sistema legal de uni de medir; unidades e m s.

1. Unidade legal de com ento; múltiplos e submúltiplos usuais. Área; unidade de

área; unidade legal; múltiplos e submúltiplos usuais. Área do retângulo, do

paralelogramo, do triâ o trapézio e do círculo; fórmulas. Volume; unidade de

volume; unidades legais; múltiplos e submúltiplos usuais. Volume do paralelepípedo, do

prisma, da pirâmide, d ro, do cone e da esfe Peso e massa; unidade

legal; múltiplos e submúltiplos usuais. Densidade; aplicações.

2. Unidade de ângulo e po. Unidades inglesas e norte-americanas mais conhecidas

no Brasil. Números com ; operações; conversõ

3. Unidade de velocidade. Velocidade angular.

(MAEDER, 1962, p. 5)

Optei por apresentar aqui esse “plano de desenvolvimento do programa

mínimo” por considerá-lo u rencial em relação ivros publicados pelo

autor paranaense. A prop oro aqui la comparativa dos

programas presente no livro aeder (como fiz em atemática) e aquele

ditado pela Portaria, pois são idênticos. Uma pergun e: Havia de fato uma

orientação do Ministério da ação sobre um prog uir, ou um programa

considerado mínimo no cas isciplina de Matemática? Ao que tudo indica, com

base no livro de Maeder, é autoria do chamado “Plano de desenvolvimento do

programa mínimo” não parece ser do autor paranaense, uma vez que logo após a

apresentação desse “plano” há um extenso índice que reproduz o tal “plano”,

1 os e divisores. Divisibilidade. Princípios fundament

de por 10 e suas potências; por 2, 4 e 8; por 5 e 25;

o. Decompos

is; ap .

m. A

mpo

implificações

divisor com

os.

minador. Operações co ções ordinár

mal e vice-v

dades edidas usuai

prim

ngulo, d

o cilind ra; fórmulas.

de tem

plexos es.

m dife aos outros l

ósito, não elab uma tabe

de M Lições de M

ta me ocorr

Educ rama a seg

o da d

que a

130

detalhando-o ainda mais. Ora, apresentar um “programa”, um “plano de

desenvolvimento mínimo” e ainda um extenso índice não seria econômico em termos

de gasto editorial por causa do acréscimo de páginas. Lembro que o índice contém o

“Plano de desenvolvimento mínimo”, porém mais detalhado.

ograma da 1ª. edição: 1943

Programa da 22ª. edição: 1962

Como havia observado, esse livro e seu programa podem ser divididos em duas

etapas: a primeira, que compreende as 10 primeiras edições (de mar./1943 a out./1950)

e a segunda que contém as 12 últimas edições (de mar./1952 a jan./1962). Houve

mudanças profundas nos programas dessas duas fases? Que mudanças foram essas?

Ora, essas questões podem ser respondidas fazendo-se uma comparação entre os

programas presentes no livro de Maeder.

QUADRO 14 – COMPARAÇÃO ENTRE EDIÇÕES: 1ª. SÉRIE DO GINÁSIO

C I: Sólidos geométricos, superfícies, linhas,

Capítulo I: Noção de número

apítulo

medi

Capít

onto.

Capítulo II: Plano, reta, semi-reta, segmento

apítuloC III: Ângulos.

etas e planos;

decimal.

Capítulo III: Adição de núme

C IV: Posições relativas de r

; perpendiculares e oblíqua

apítulo

aralelas s.

apítulo V: Polígonos; triângulos e quadriláteros.

pítuloCa VI: Círculo.

Ca VII: Poliedros; corpos redondos.pítulo

Capítulo VIII: Noção de número, grandeza,

unidade, medida.

Capítulo IX: Numeração.

Capítulo X: Adição de inteiros.

Capítulo XI: Subtração de inteiros.

Capítulo XII: Multiplicação de inteiros.

Capítulo XIII: Divisão de inteiros.

Capítulo XIV: Múltiplos e divisores.

Capítulo X

fatores pri

potências.

Capítulo VI: Divisão de números inteiros.

Capítulo VII: Números relativos.

Capítulo VIII: Múltiplos e divisores; divisibilidade.

Capítulo IX: Números primos e números compostos.

Capítulo X: Máximo divisor comum.

Capítulo XI: Mínimo múltiplo comum.

Capítulo XII: Frações ordinárias: comparação,

simplificação, redução ao mesmo denominador.

Capítulo XIII: Operações fundamentais com frações

V: Números primos; decomposição em

mos.

apítulo XVI: Parte alíquota de duas grandezas;

.d.c. e m.m.c.

Capítulo

ângulo e

de comp

Capítulo es com os números

complex

Capítulo

Apêndic

10 000.

natural, grandeza, unidade,

da.

ulo II: Numeração falada e escrita; sistema

ros inteiros.

Capítulo IV: Subtração de números inteiros.

Capítulo V: Multiplicação de números inteiros;

ordinárias.

Capítulo XIV: Problemas sobre frações.

Capítulo XV: Frações decimais: noção de fração e de

número decimal; operações fundamentais.

ões ordinárias em

Unidades inglesas e norte-americanas.

XVII: Frações ordinárias.

Capítulo XVI: Conversão de fraç

XVIII: Números complexos: unidades de

decimais e vice-versa.

de tempo. Moeda inglesa e unidades usuais

rimento.

XIX: Operaçõ

Capítulo XVII: Sistema legal de unidades de medir.

Capítulo XVIII: Unidade de ângulo e de tempo.

os.

Capítulo XIX: Números complexos: operações,

XX: Frações decimais.

e: números primos compreendidos entre 1 e

conversões.

Capítulo XX: Unidade de velocidade. Velocidade

angular.

131

Comparando os dois programas

, constato imediatamente que a mudança maior

se refe de 1943

que nã sentido, uma simplificação no

progra

conteú

1962 f

um ca

Interpr

edição o de 1962.

ases as alterações tenham sido efetuadas mais em relação

aos co

edição

de 194

mática – 1ª. série

(do gin

de con

por M

conteú ial. O capítulo XVII, por exemplo,

a Legal de Unidades de Medir”. Menciona o sistema legal de

unidad

re aos conteúdos de Geometria. São sete capítulos inteiros da edição

o aparecem na edição de 1962. Houve, nesse

ma destinado a 1ª série. Essa simplificação foi efetuada pela diminuição de

dos. Embora as duas edições contenham 20 capítulos cada uma, na edição de

oi retirado o conteúdo de Geometria, presente da edição de 1943, e acrescentado

pítulo destinado aos assuntos unidades de velocidade e velocidade angular.

eto que, para deixar o mesmo número de capítulos, Maeder reestruturou a

de 1943, dividindo-a em 19 capítulos para a ediçã

Embora nessas duas f

nteúdos voltados à Geometria, considero que a mudança foi acentuada, pois a

de 1962 ficou restrita ao estudo de conteúdos de Aritmética, enquanto à edição

3 há um equilíbrio entre Geometria e Aritmética.

Após essa comparação entre as duas fases do Curso de Mate

ásio), retomo as observações diversas sobre procedimentos no desenvolvimento

teúdos, elementos do contexto histórico e outras possíveis referências utilizadas

aeder. A “leitura” que faço é da edição de 1962.

Observo a existência de alguns elementos do contexto histórico presentes nos

dos abordados na presente série do coleg

refere-se ao “Sistem

es de medir “atualmente em uso no Brasil” que fora instituído pelo “Decreto-

Lei 4259 de 16 de junho de 1939”. Maeder cita que “todas as definições do presente

capítulo, bem como a nomenclatura das unidades e a respectiva grafia foram

tiradas do Regulamento aprovado pelo referido Decreto-Lei”. (MAEDER, 1962, p.

179). Observo ainda que há uma definição da unidade legal de comprimento, isto é, o

metro: “O metro é a distância, à temperatura de zero graus centígrados, dos eixos

dos dois traços médios gravados sobre a barra de platina iridiada depositada na

Repartição Internacional de Pesos e Medidas e considerada como protótipo do

retirados ou incluídos. Já os demais assuntos permaneceram com alterações na distribuição em mais

Observe que no QUADRO 14 os assuntos que estão sublinhados representam conteúdos que foram

capítulos para a edição de 1962.

132

metro”. (MAEDER, 1962, p. 180). A seguir, ilustração do que seria esse “protótipo”

do metro, acompanhada de uma explicação:

FIGURA 47 – O METRO

”,

itando como exemplos: decímetro e duplo decímetro, metro e duplo metro, decâmetro e

duplo decâmetro. Quanto ao metro e ao duplo metro, comenta que são utilizadas como

orma de “réguas rijas” ou sob a form de “réguas articuladas”. Em relação ao

etro e duplo decâmetro, o autor diz que seu uso prático é feito pelos agrimensores

renos. Além disso, menciona que os instrumentos usados para tais

metálicas o as hastes

por anéis”). Há uma imagem a esse respeito que observo no ensaio

o autor

apítulo, a respeito de de

”. É, como o p metro cúbico

da lenha. Ex cebe a

a olo “st” e admite como submúltiplo

ima o

pondente a 10

o das

almente “legal

to às unidades d e área,

al de

Ainda em relação ao metro, Maeder fala do que seriam “medidas efetivas

f a

decâm

na medição de ter

medições são as trenas (“fitas u de pano”) e as correntes (“pequen

metálicas ligadas

destinado as ilustrações dos livros d paranaense.

O presente c medidas, guarda uma curiosa unidade

medida de “volume de lenha róprio autor diz, a utilização do

para a medição “aparente” plica que tal unidade de medida re

denominação de “estéreo”, é representad pelo símb

o “decistéreo” (correspondente à déc parte do metro cúbico) e como múltiplo

“decastéreo” (medida corres metros cúbicos).

Ainda em relação a medidas, duas utras unidades de medidas são encaminha

de uma forma diferente do que atu se apresentam: uma se refere à unidade

de área”, outra diz respei e “peso e massa”. Quanto à medida d

MAEDER (1962, p. 183) apresenta o metro quadrado como sendo a unidade leg

133

medid

Observo que as medidas “hectare, are e centiare” são apresentadas como

múltiplos do metro quadrado e não como atualmente aparecem nos livros didáticos de

Matemática fazendo parte de medidas de grandes superfícies rurais. Quando comento

isso, refiro-me particularmente ao “hectare”, pois as outras duas

– “are” e “centiare” –

nem são citadas atualmente.

Quanto a “peso e massa”, há uma preocupação do autor em fazer constar do

livro uma diferença entre essas duas medidas, conforme seu texto:

O peso de um corpo não é o mesmo em dois lugares diferentes, variando do equador ao

nos livros do Ensino Fundamental, quando o termo “peso” é utilizado, muitas vezes,

a de área. A seguir, apresenta um quadro dos múltiplos e submúltiplos usuais do

metro quadrado (FIGURA 48).

FIGURA 48 – MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO

A massa de um corpo é a quantidade de matéria nele contida; é sempre a mesma seja

qual for o lugar da Terra em que se encontre o corpo.

O peso de um corpo é a resultante das ações da força que o atrai para o centro da Terra

sobre as suas moléculas; depende não só do corpo como também do lugar da Terra em

que se encontra.

A força que atrai os corpos para o centro da Terra chama-se gravidade.

pólo, do nível do mar às grandes altitudes. (MAEDER, 1962, p. 196)

Não é comum encontrar em livros didáticos de Matemática a preocupação de

diferenciar “peso” de “massa”, pelo menos não como atualmente é possível observar

ara designar o que deveria ser “massa”. Embora não esteja aqui comparando o livro

134

de Maeder com os atuais livros didáticos, evidencio que a forma de encaminhar dado

conteúdo, com o passar dos anos, modificou-se. Apenas para reforçar essa idéia, já na

página seguinte a essa citada, o autor paranaense faz constar um quadro (FIGURA 49)

de múltiplos e submúltiplos da unidade legal de massa (o quilograma).

ceram dos bancos escolares, ou

números compostos”, um

proced

FIGURA 49 – MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO QUILOGRAMA

O que há de diferente nesse quadro apresentado por Maeder? A unidade

“quilate” não é encaminhada apenas como uma curiosidade, mas como um

submúltiplo do quilograma.

Em se tratando de encaminhamentos de conteúdos que hoje podem ser

considerados como aqueles que praticamente desapare

que perderam seu status no ensino e aprendizagem de Matemática, ou ainda que

sofreram modificações na forma de abordagem (alguns pontos podem ser encontrados

no livro da 1ª. série do curso colegial). O capítulo VIII sobre “Múltiplos e divisores;

divisibilidade”, traz critérios de divisibilidade de um número natural por 2, por 3, por

5, por 4, por 25, por 8, por 9 e por 11, além de evidenciar as “propriedades elementares

dos restos”. No capítulo seguinte, “Números primos e

imento (poderia ser também chamado de dispositivo) para a obtenção dos

divisores de um número natural (ver FIGURA 50). Os divisores de 180, por exemplo,

eram os números que estavam à direita do último traço vertical do dispositivo. Esses

eram obtidos por meio da divisão do número 180 pelos seus fatores primos os quais

135

eram sucessivamente multiplicados, a partir do número 1, pelos números que estavam

à direita dos fatores primos e acima deles.

uclide

ispos

m.d.c. de dois números divide-se o maior pelo menor; se o resto

s; se não o for,

al a zero. O último

divisor, neste caso, é o m.d.c. procurado. (MAEDER, 1962, p. 111)

FIGURA 50 – DIVISORES

Já no capítulo X sobre “Máximo divisor comum”, Maeder cita o “Algoritmo d

s” para a obtenção do máximo divisor comum entre dois números naturais. Esse

d itivo consiste de divisões sucessivas até se chegar ao resto zero (ver exemplo do

cálculo do máximo divisor comum dos números 180 e 30 na FIGURA 51).

FIGURA 51 – ALGORITMO DE EUCLIDES

Esse processo é explicitado por meio de uma regra:

Para obter-se o

encontrado for zero, o menor dos números dados é o m.d.c. de ambo

divide-se o divisor pelo resto, procedendo-se nessa divisão como na primeira. Continua-

se a operação, do mesmo modo, até que se chegue a um resto igu

Um conteúdo que certamente migrou da Matemática (pelo menos não

aparece nos atuais livros didáticos de Matemática) para a atual disciplina de Física

pode ser observado no capítulo que encerra o presente livro: “Unidade de

velocidade” e “velocidade angular”. Embora o capítulo seja bem curto, em

136

comparação com outros (são apenas sete páginas) dois pontos do próprio autor

(além da presença do conteúdo em Matemática), merecem destaque para a história

dos saberes escolares dessa disciplina. O primeiro diz respeito ao quadro (ver

FIGURA 52) sobre os submúltiplos do “metro por segundo”, considerado aqui

omo a unidade legal de velocidades. Nesse quadro, além de apresentar metro por

segund hora, há a

medida da

velocidade de em internacional” por

idade angular” para

no. As outras duas

unidades de m

o, metro por minuto, centímetro por segundo e quilômetro por

presença da unidade inglesa “nó”. Essa unidade é apresentada como

barcações. Corresponde a “uma milha marítima

hora. O outro ponto é o contexto utilizado do estudo de “veloc

abordar “a terceira unidade legal” da medida de ângulo: o radia

edida de ângulo são o grau e o grado. Atualmente, esse assunto da

Matemática é abordado no Ensino Médio, e a unidade “grado” não é utilizada.

FIGURA 52 – UNIDADE DE VELOCIDADE

137

2.4.2 Curso de Matemática – 2ª. série – ginásio

FIGURA 53 – CAPA DA 2ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1952

138

FIGURA 54 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1952

139

FIGURA 55 – CAPA DA 2ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1961

140

FIGURA 56 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1961

141

O livro Curso de Matemática – 2ª. série, destinado ao curso ginasial, de acordo com

as ilustrações anteriores (FIGURAS 53 e 55) correspondem, respectivamente, a 10ª. e 20ª.

edições, publicadas conforme datas mencionadas. Da 1ª. até a 10ª. edição o livro

destinado a 2ª. série do então curso ginasial seguia um programa (ver QUADRO 15)

base o na Portaria Ministerial n

. 170 de 11 de julho de 1942. A partir da 11ª. edição até

a 21ª. (última edição), a referência foi à Portaria Ministerial n

. 996 de 2 de outubro de

1951. Embora não tenha sido possível reunir todas as edições do livro referente ao 1º. ano

ginasial, informações fornecidas pela Edições Melhoramentos dão conta de que foram, ao

todo, 21 edições (conforme TABELA 8).

TABELA 8 – EDIÇÕES DO 2º. ANO GINASIAL

Edição/tiragem

Data de publicação

1ª. Out./1943

2ª. Abr./1944

3ª. Mar./1945

4ª. Abr./1946

5ª. Dez./1946

6ª. Abr./1948

7ª. Abr./1949

8ª. Mar./1950

9ª. Fev./1951

10ª. Fev./1952

11ª. Jan./1953

12ª. Mar./1953

13ª. Fev./1954

14ª. Jan./1955

15ª. Mar./1956

16ª. Jan./1957

17ª. Jan./1958

18ª. Jan./1959

19ª. Fev./1960

20ª. Dez./1960

21ª. Jan./1962

A data fornecida pela editora é de dezembro/1960, porém no respectivo livro a edição é do ano

1961.

142

Com

livro .

ente alterados

raízes

s capítulos da

Uma observação, no que diz respeito à comercialização, pode ser encontrada já

na primeira página da 20ª. edição do livro: a Edições Melhoramentos estava utilizando a

anhia Editora Nacional como empresa responsável pela distribuição dos seus

Uma comparação entre os conteúdos, a partir dos índices dos livros de Maeder

(ver QUADRO 15), permite observar alterações profundas nos conteúdos dessas duas

edições. Os conteúdos presentes na edição de 1952 foram substancialm

para a edição de 1961. A exceção está nos capítulos sobre potências e

(sublinhados no quadro a seguir), que permaneceram nas duas edições (doi

edição de 1952 e três capítulos na edição de 1961).

QUADRO 15 – COMPARAÇÃO ENTRE EDIÇÕES: 2ª. SÉRIE DO GINÁSIO

Programa da 10ª. edição: 1952

Programa da 20ª. edição: 1961

reas

Volumes

Sistema métrico

Capítulo IV: Problemas e exercícios sobre o

a métrico

otências

Raízes

Capítulo VII: Razões e proporções

Capítulo VIII: Médias

Grandezas proporcionais

Divisão proporcional

Regra de três

Capítulo XII: Percentagem

Capítulo XIII: Juros simples

Capítulo XIV: Juros simples

Quadrados e raízes quadradas dos números 1

a 1 000

e raízes cúbicas dos números de 1 a

Capítulo I: Potências

Capítulo II: Raiz quadrada

Capítulo III: Raiz cúbica

Capítulo IV: Números irracionais;

expoentes fracionários

Capítulo V: Expressões algébricas

Capítulo VI: Adição e subtração de mo

polinômios

Capítulo VII: Multiplicação de monôm

polinômios

Capítulo VIII: Divisão de monômios; di

polinômios com uma variável

Capítulo IX: Casos simples de fatoração

Capítulo X: Frações algébricas

Capítulo XI: Equações

Capítulo XII: Resolução e discussão de u

equação com uma variável

Capítulo XIII: Desigualdades

Capítulo XIV: Inequações

Capítulo XV: Equações do primeiro

duas incógnitas

Capítulo I: Á

Capítulo II:

Capítulo III:

sistem

Capítulo V: P

Capítulo VI:

Capítulo IX:

Capítulo X:

Capítulo XI:

Apêndice:

•

• Cubos

1 000.

radicais,

nômios e

ios e

visão de

grau com

Capítulo XVI: Problemas do primeiro grau

143

Observo uma alteração profunda de blocos de conhecimento matemático:

ca.

II – Cálculo literal; polinômios.

1. Expressão algébrica. Valor numérico. Classificação das expressões algébricas.

Monômios e polinômios; ordenação.

2. Adição. Redução de termos semelhantes. Adição e subtração de polinômios.

3. Multiplicação de monômios e polinômios. Produtos notáveis.

4. Divisão de monômios; divisão de polinômios com uma variável.

assuntos geométricos e aritméticos da edição de 1952 cedem lugar à concentração

algébrica na edição de 1961. Por isso interpreto que são duas fases completamente

diferentes do ensino da matemática ginasial para a 2ª. série.

Considero, como hipótese dessa minha “leitura” do Curso de Matemática

para o ginásio, que os mesmos conteúdos foram abordados ao longo dos quatro

anos nas duas fases, porém com remanejamentos de séries.

Procedo agora com observações que visam evidenciar o trabalho de Maeder.

Assim, todos os comentários que se seguem referem-se a 20ª. edição do livro

publicado no ano de 1961.

Quanto aos conteúdos que figuravam no livro, além do índice dividido em 16

capítulos (conforme QUADRO 15), Maeder também faz constar o seu “Plano de

desenvolvimento do programa mínimo”, como ocorreu também na 1ª. série dessa

coleção. Esse “plano” estava assim dividido:

PLANO DE DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA MÍNIMO

I – Potências e raízes; expressões irracionais.

1. Potência de um número; quadrado e cubo. Operações com potências de mesma

base e potências semelhantes. Expoente zero; expoente negativo. Potência das fraçõe

Potência de um número decimal.

2. Expressão do quadrado da soma indicada de dois números e do produto da soma

indicada pela diferença indicada de dois números; interpretação geométri

Diferença entre os quadrados de dois números inteiros consecutivos.

3. Raiz quadrada. Regra prática para a extração da raiz quadrada dos números

inteiros. Limite do resto na extração da raiz quadrada. Prova. Raiz quadrada de um

produto. Aproximação decimal no cálculo da raiz quadrada. Raiz quadrada dos

números decimais. Raiz quadrada dos números decimais. Raiz quadrada das frações.

4. Raiz cúbica. Regra prática para a extração da raiz cúbica dos números inteiros

Prova. Raiz cúbica de um produto. Aproximação decimal no cálculo da raiz cúbica

Raiz cúbica dos números decimais. Raiz cúbica das frações.

5. Grandezas comensuráveis e grandezas incomensuráveis. Números racionais e

números irracionais. Radicais. Valor aritmético de um radical. Transformação do

índice e do expoente; redução de radicais ao mesmo índice; comparação de radicais;

redução de um radical à expressão mais simples. Operações com radicais

Potenciação e radiciação de potências; expoentes fracionários. Exemplos simples d

racionalização de denominadores.

144

5. Casos simples de fatoração; identidades.

6. Frações literais; propriedades; operações fundamentais.

es.

is.

des;

ante m

vari

part

o “ po,

pres da

e 15 a

processo da extração da raiz quadrada de número inteiro a partir de uma regra

(MAEDER, 1961, p. 20), conforme a seguir:

III – Binômio linear; equações e inequações do 1º. grau com uma incógnita; sistem

lineares com duas incógnitas.

1. Igualdade, identidade, equação, classificação das equações. Equações equivalent

Resolução de uma equação do primeiro grau com uma incógnita; equações litera

Discussão de uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Binômio linea

decomposição em fatores; variação do sinal e do valor.

2. Desigualdade. Comparação de números relativos. Propriedades das desigualda

operações. Inequação. Resolução das inequações do primeiro grau com um

incógnita.

3. Equações do primeiro grau com duas incógnitas; sistemas de equaçõ

simultâneas. Resolução de um sistema linear com duas incógnitas pelos métodos d

eliminação por substituição, por adição e por comparação. Discussão de um sistema

linear de duas equações com incógnitas.

4. Problemas do primeiro grau com uma e com duas incógnitas; generalizaçã

discussão. (MAEDER, 1961, p. 3)

No capítulo XVI sobre problemas do 1º. grau, assim como ocorreu no livro

rior, também existe uma preocupação em encaminhar problemas diversos co

ados contextos. Maeder faz, por exemplo, uma breve discussão sobre o que é um

problema em Matemática, o que significa a solução de um problema, quais são as

fases da resolução de um problema, além de falar da existência de problem

iculares e gerais. Ao desenvolver a resolução de alguns problemas, apresenta um

problema ainda presente nos livros de Matemática do Ensino Médio atual, quando da

obtenção de ângulo entre os ponteiros de um relógio (MAEDER, 1961, p. 210). Um

pouco mais adiante, o autor discorre sobre outro problema clássico, conhecido com

problema dos correios”, para o qual faz observações sobre velocidade, tem

além de discutir sobre soluções indeterminadas, soluções impossíveis. Não poderia

deixar de observar também a presença do problema das idades, que ainda se faz

ente em livros didáticos de Matemática do século XXI: “Eu tenho o dobro

idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens; quando tiveres a idade

que eu tenho, a soma das nossas idades será 45 anos. Quais são as idades? R. 20

”. (MAEDER, 1961, p. 228).

No capítulo II, “Raiz Quadrada”, pode-se observar a valorização dada ao

145

FIGURA 57 – REGRA PARA RAIZ QUADRADA

Os exemplos apresen s não ficam apenas no cálculo de raízes exatas. Um

pouco mais adiante é dado o plo do cálculo da r a do número 17, com

a aproximação de um milés Atualmente, nos livr de Matemática, esse

procedimento de obtenção da raiz quadrada não é ma omo saber escolar.

Tal fato se deve muito provavelmente à utilização da calculadora. O curioso é que

além desse procedimento d lculo, Maeder encam m a extração da raiz

cúbica no capítulo III.

No capítulo VII, ao desenvolver a “Multiplicação de monômios e polinômios”,

há um procedimento (um esquema) diferente do que é empregado atualmente para a

obtenção do cubo de um bin . Posso afirmar que representa algo que também ficou

para a história (ver FIGURA 58). Esse é um procedim mbém é adotado para

o desenvolvimento do quadrado de um binômio.

tado

exem aiz quadrad

imo. os didáticos

is encontrado c

e cá inha també

ômio

ento que ta

146

FIGURA 58 – CUBO DE BINÔMIO

Ainda em relação aos conteúdos e seus desenvolvimentos, observo que, ao

ropor a resolução de sistemas com duas eq . grau e com duas incógnitas,

AEDER (1961, p. 201) utiliza como “procedimento” o que atualmente seria a

er”. Entretanto, o autor p ona tal regra, apenas

mas para, a partir d

p uações do 1º

“Regra de Cram aranaense não menci

com equivalência de siste o sistema

= 'cy

= c

chegar à solução, isto é:

baab

caac

−

. Aproveita, então, esse

procedimento para discutir a existência de s eterminação ou

olução de um sistema e a d

indeterminação.







'' bxa

byax

baab

bccb

−

147

2. urso de Matemática – 3ª. série – ginásio

FIGURA 59 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962

4.3 C

148

E DO CURSO GINASIAL: 1962

FIGURA 60 – PÁGINA INICIAL DA 3ª. SÉRI

149

: 1944

FIGURA 61 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL

150

FIGURA 62 SO GINASIAL: 1944

– PÁGINA INICIAL DA 3ª. SÉRIE DO CUR

151

Uma pequena alteração, quando comparado aos dois livros anteriores dessa coleção,

diz respeito à apresentação do programa. Não há menção à denominação de programa

mínimo 3ª. série –

Curso Ginas

;

sal;

dos

e dos

sendo dado o seno, o co-seno ou a tangente.

, porém Maeder menciona o “Programa para o curso de Matemática,

ial” (conforme edição de 1962), assim apresentado:

I – Razões e proporções; aplicações aritméticas.

. Razão de dois segmentos; razão de duas grandezas. Propriedades das razões. Razões iguais;

ropriedade.

Proporção. Propriedade fundamental; recíproca. Transformações. Quarta proporcional.

álculo de um termo qualquer de uma proporção. Proporção contínua; média proporcional;

terceira proporcional. Propriedades mais empregadas das proporções. Idéia geral da média

édia geométrica e média harmônica. Média ponderada.

úmeros proporcionais; propriedades. Divisão em partes diretamente proporcionais e

partes inversamente proporcionais.

3. Regra de três. Resolução de problemas de regra de três simples e composta.

4. Porcentagem; problemas. Taxa milesimal.

5. Juros simples; problemas.

II – Figuras geométricas planas; retas e círculo.

1. Figuras geométricas; ponto, linha superfície, reta e plano. Congruência.

2. Ângulos; definições; classificação e propriedades.

3. Linha poligonal; classificação. Número de diagonais de um polígono.

4. Triângulos; definições, classificação. Grandeza relativa dos lados. Triângulo isósceles;

propriedades. Casos clássicos de congruência de triângulos. Correspondência, na desigualdade,

entre os lados e os ângulos. Comparação entre linhas de mesmas extremidades.

5. Perpendiculares e oblíquas. Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos.

6. Paralelas. Ângulos formados por duas retas quando cortadas por uma transver

propriedades. Propriedades de duas retas perpendiculares a uma terceira. Postulados de

Euclides; conseqüências. Propriedades de ângulos de lados paralelos ou de la

perpendiculares.

7. Soma dos ângulos internos de um triângulo, conseqüências. Soma dos ângulos internos

ângulos externos de um polígono.

8. Quadriláteros; classificação dos quadriláteros convexos: classificação dos paralelogramos e

dos trapézios. Propriedades do paralelogramo e do trapézio. Translação. Retas concorrentes

no triângulo.

9. Circunferência e círculo; definições. Propriedades do diâmetro. Arcos e cordas;

propriedades. Distância de um ponto a uma circunferência. Tangente e normal. Posições

relativas de dois círculos. Rotação.

10. Correspondência de arcos e ângulos. Medida do ângulo central, do ângulo inscrito, do

ângulo de segmento, do ângulo excêntrico interior, do ângulo excêntrico exterior. Segmen

capaz de um ângulo dado.

III – Linhas proporcionais: semelhança de polígonos.

1. Pontos que dividem um segmento numa razão dada. Divisão harmônica; proporção

harmônica.

2. Segmentos determinados sobre transversais por um feixe de paralelas.

3. Linhas proporcionais no triângulo; propriedades das bissetrizes de um triângulo; lugar

geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é constante.

4. Semelhança de triângulos; casos clássicos. Semelhança de polígonos.

IV – Relações trigonométricas no triângulo retângulo. Tábuas naturais.

1. Definição do seno, do co-seno e da tangente de um ângulo dado. Construção de um ângulo

média aritmética, m

2. N

152

2. Uso das tábuas naturais. Cálculo dos lados de um triângulo retângulo; projeção de um

segmento. (MAEDER, 1962, p. V).

tos, 18

edição. Tal

divisã nte neste

estudo.

O índice desse volume é apresentado em 22 capítulos.

Ao todo, foram, de acordo com dados fornecidos pela Edições Melhoramen

edições que compreendem o período de 1944 até 1962 (conforme TABELA 9). Essas

edições podem ser divididas, quanto aos conteúdos presentes, em duas partes. A primeira,

que vai da 1ª. até a 8ª. edição, e a segunda que se inicia na 9ª. e termina na 18ª.

o se refere à mudança de programa conforme já apontado anteriorme

TABELA 9 – EDIÇÕES DO 3º. ANO GINASIAL

Edições/tiragens

Data de publicação

1ª. Fev./1944

2ª. Ago./1944

3ª. Mar./1946

4ª. Mar./1947

5ª. Fev./1949

6ª. Jan./1950

7ª. Set./1950

8ª. Jan./1952

9ª. Jan./1953

10ª. Abr./1953

11ª. Fev./1954

12ª. Out./1954

13ª. Nov./1955

14ª. Mar./1957

15ª. Fev./1958

16ª. Fev./1959

17ª. Dez./1960

18ª. Jan./1962

153

Faço, a seguir, uma comparação entre os índices de cada uma dessas partes. Observo

que as m

é, núm

udanças efetuadas de um para outro foram acentuadas. Enquanto na edição de 1944

os conteúdos eram distribuídos em dois grandes blocos de conhecimentos de matemática,

Álgebra e Geometria (a exceção é o primeiro capítulo destinado ao estudo de Aritmética, isto

eros relativos), na edição de 1962 foram distribuídos em Aritmética e Geometria. A

edição de 1962 apresenta, no último capítulo, o estudo da Trigonometria no triângulo

retângulo, e, ao final, uma tabela de razões trigonométricas de ângulos de zero a 90º.

QUADRO 16 – COMPARAÇÃO ENTRE EDIÇÕES: 3ª. SÉRIE DO GINÁSIO

Programa da 1ª. edição: 1944

Programa da 18ª. edição: 1962

ítulo I: Números relativos.

ítulo II: Expressões algébricas.

ítulo III: Adição e subtração de monômios e

mios.

ítulo IV: Multiplicação de monômios e

mios.

ítulo V: Divisão de monômios e polinômios

onômios.

ítulo VI: Casos simples de fatoração.

pítulo VII: Frações algébricas.

ítulo VIII: Equações do 1º. grau.

ítulo IX: Resolução e discussão de uma

equação com uma incógnita.

ítulo X: Introdução à Geometria dedutiva.

ítulo XI: Ângulos.

ítulo XII: Triângulos; igualdade de triângulos.

ítulo XIII: Perpendiculares e oblíquas

ulo XIV: Teoria das paralelas.

ítulo XV: Soma dos ângulos de um triângulo e

polígono convexo.

ítulo XVI: Quadriláteros.

ulo XVII: Construções geométricas.

ítulo XVIII: O círculo.

ítulo XIX: Correspondência entre arcos e

ítulo XX: Construções geométricas.

Capítulo I: Razões e proporções.

Capítulo II: Médias.

Capítulo III: Números proporcionais.

Capítulo IV: Divisão em partes proporcionais.

Capítulo V: Regra de três.

Capítulo VI: Percentagem.

Capítulo VII: Juros simples.

Capítulo VIII: Figuras geométricas.

Capítulo IX: Ângulos.

Capítulo X: Linha poligonal; polígonos.

Capítulo XI: Triângulos; propriedades;

congruência.

Capítulo XII: Perpendiculares e oblíquas.

Capítulo XIII: Paralelas.

Capítulo XIV: Soma dos ângulos de um triângu

de um polígono.

Capítulo XV: Quadriláteros.

Capítulo XVI: Translação – retas concorrentes

triângulo.

Capítulo XVII: Circunferência e círculo.

Capítulo XVIII: Correspondência de arcos e

ângulos.

Capítulo XIX: Linhas proporcionais.

Capítulo XX: Linhas proporcionais no triângul

Capítulo XXI: Semelhança de triângulos e de

polígonos.

Capítulo XXII: Relações trigonométricas no

triângulo retângulo – tábuas naturais.

Cap

polinô

Cap

polinô

Cap

por m

Cap

lo e

Cap

Capít

Cap

de um

Cap

Capít

Cap

ângulo

Cap

Novamente observo, assim como nos dois livros anteriores da coleção Curso de

atemática para o Ginásio, a existência de duas fases diferentes do ensino de Matemática M

154

para o iste em

omu

aed

ate

nca

ginásio (no QUADRO 16 os capítulos sublinhados representam o que ex

c m nesses programas)

A seguir, alguns comentários relacionados aos conteúdos que estão no livro

er em sua 18ª. edição.

Uma referência dá indícios da transformação de notações empregadas em

mática. MAEDER (1962, p. 7) utiliza uma nota de rodapé para falar de uma notação

minhada para representar uma proporção da forma

: “Caiu em desuso

ção antiga

dcba ::::

, mas ela é que justifica assim os nomes de meios

mos

),( da

, antecedentes

),( ca

e conseqüentes

),( db

, como os de primeiro

do, terceiro e quarto termos, todos ainda hoje de uso geral”.

Observando que a 3ª. série do antigo ginásio corresponde ao que seria atualmente a

rie do Ensino Fundamental, não poderia deixar de chamar a atenção para o formalismo

uado que pode ser constatado no encaminhamento dado aos tópicos de Geometria

(assuntos: figuras geométricas, ângulos, linha poligonal-polígonos, triângulos-

iedades-congruência, perpendiculares e oblíquas, paralelas, soma dos ângulos

ulo e de um polígono, quadriláteros, translação-retas concorrentes no triângul

nferência e círculo, correspondência de arcos e ângulos, linhas proporcionais, linhas

rcionais no triângulo, semelhança de triângulos e de polígonos). Esses assuntos estão

buídos em 14 extensos capítulos. Justifico esse formalismo pelo fato de que em

nas dessa 2ª. série (o livro, ao todo, tem 267 páginas) encontro, além de postulados,

ções, propriedades, corolários e, apenas para exemplificar, 86 teoremas. Além disso,

s atividades são encaminhadas no sentido de levar o aluno a trabalhar com mai

plos ou mesmo aplicações da Geometria Plana. A questão que não posso deixar de

, e que distante do contexto dos livros de Maeder não tenho uma resposta, é a

nte: Que procedimento era adotado pelo professor (e também pelo aluno) quanto

o (e a aprendizagem, respectivamente) desses conteúdos? Uma hipótese que tenho é

durante as aulas o professor simplesmente comentava cada uma dessas definições,

ota

xtre ,

gun

ª. sé

cent

lana

ropr de um

iâng o,

ircu

ropo

istri 166

ági

efini

ouca s

xem

xpor

gui ao

nsin de

iscutia um ou outro postulado, e provavelmente efetuava algumas demonstrações. Ao

luno era, segundo essa hipótese, deixado o papel de observador ou leitor passivo.

),c

155

2.4.4 C

SIAL: 1962

urso de Matemática – 4ª. série – ginásio

FIGURA 63 – CAPA DA 4ª. SÉRIE DO CURSO GINA

156

FIGURA 64 – PÁGINA INICIAL DA 4ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1962

157

FIGURA 65 – CAPA DA 4ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1945

158

FIGURA 66 – PÁGINA INICIAL

DA 4ª. SÉRIE DO CURSO GINASIAL: 1945

Aqui, nesta ilustração, um exemplo das péssimas condições em que alguns dos livros de Maeder

foram encontrados em bibliotecas. A página em questão foi recortada e amassada.

159

O livro, conforme FIGURA 63, refere-se a 14ª. edição de 1962 e contém, ao

do, 233 páginas. No total, foram 14 edições, que compreendem o período de 1945

até o ano de 1962, conforme datas abaixo:

TABELA 10 – EDIÇÕES DO 4º. ANO GINASIAL

Edição/tiragem

Data de publicação

1ª. Jan./1945

2ª. Mar./1946

3ª. Mar./1947

4ª. Ago./1948

5ª. Fev./1950

6ª. Fev./1951

7ª. Abr./1953

8ª. Abr./1954

9ª. Fev./1955

10ª. Jan./1956

11ª. Fev./1957

12ª. Jan./1958

13ª. Fev./1959

14ª. Fev./1962

Em relação ao volume destinado a 3ª. série, o livro correspondente a 4ª. série

representa uma continuação do estudo de Geometria Plana. É possível observar uma

upação do autor no sentido de valorizar o trabalho com as construções

geométricas. Ele destina o último capítulo do livro para “Construções geométricas –

problemas de equivalência”. Há um trabalho muito acentuado a respeito de tópicos de

etria Plana, o que pode ser constatado pela quantidade de capítulos destinada a

esse assunto. Dos 18 capítulos existentes no livro, 11 são voltados ao assunt

Geometria Plana. Os demais capítulos são destinados ao estudo de “Equações do

preoc

Geom

160

segund mação de

o grau”, “Equações biquadradas”, “Equações irracionais” e “Transfor

expressões” envolvendo radicais.

O “Programa de Matemática” presente no livro é assim apresentado:

I – Trinômio do segundo grau: equações e inequações do segundo grau com uma incógnita:

1. Equações do segundo grau. Resolução das equações incompletas; resolução d

equação completa; estabelecimento da fórmula de resolução por um dos métod

clássicos; fórmulas simplificadas. Discussão das raízes; casos de raízes diferentes, de

raízes iguais e de não existência de raízes. Relações entre os coeficientes e as raízes.

Composição da equação dadas as raízes.

2. Trinômio do segundo grau; decomposição em fatores; sinais do trinômio; forma

canônica. Variação em sinal e em valor. Posição de um número em relação às raízes do

trinômio. Valor máximo ou mínimo do trinômio do segundo grau. Inequações do

segundo grau; tipos. Resolução de inequações do segundo grau: equações biquadradas;

equações irracionais. Transformação das expressões da forma:

BA ± .

II – Relações métricas nos polígonos e no círculo; cálculo de

1. Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras, triângul

pitagóricos.

2. Relações métricas num triângulo qualquer; relação dos co-senos.

3. Cálculo das medianas, das alturas e das bissetrizes de um triângulo.

4. Relações métricas no círculo. Corda e diâmetro que partem de um mesmo pont

Ordenada de um ponto da circunferência. Cordas que se cortam. Potência de um ponto

em relação a um círculo; expressões da potência. Construções geométricas elementares.

5. Polígonos inscritíveis e circunscritíveis. Teorema de Hiparco. Teorema de Pitot.

6. Polígonos regulares; propriedades.

7. Construção e cálculo do lado do quadrado, do hexágono regular, do triângu

eqüilátero e do decágono regular convexos. Cálculo dos apótemas.

8. Lado do polígono regular convexo de 2n lados em função do de n lados.

9. Medição da circunferência. Comprimento de um arco de curva. Razão

circunferência para o diâmetro. Expressões do comprimento da circunferência e de

arco qualquer.

10. Cálculo de

pelo método dos perímetros.

III – Áreas das figuras planas:

1. Medição das áreas das principais figuras planas. Área do triângulo eqüilátero

função do lado; área de um triângulo em função dos três lados, em função do raio do

círculo circunscrito e em função do raio do círculo inscrito.

2. Relações métricas entre áreas; áreas dos polígonos semelhantes; teorema de Pitágor

Construções geométricas. Problemas de equivalências. (MAEDER, 1962, p. III)

Outro ponto a destacar, como já disse em relação aos outros volumes, o

programa mescla Geometria e Álgebra, embora apresente primeiro a Álgebra e depois

a Geometria. Não há, nesse sentido, alternâncias, apesar de em vários problem

geométricos Maeder propor situações em que os cálculos de medidas exigem

as.

conhecimento de fatos algébricos como a resolução de equações do 2º. grau. Os

oremas apresentados são demonstrados logo após seus enunciados. Um exemplo te

161

disso is e dos lados

é o Teorema de Pitot sobre a relação entre as medidas das diagona

de um quadrilátero inscritível numa circunferência: “Em todo quadrilátero

inscritível a razão das diagonais é igual à razão das somas dos produtos dos lados

que partem de suas extremidades” (MAEDER, 1962, p. 150). A demonstração desse

teorema é exposta em meio a comentários explicativos do autor e com uma ilustração

que auxilia a compreensão (FIGURA 67). Ao final da demonstração a relação métrica

apresentada é

ADABCDBC

⋅

+⋅

⋅

+⋅

FIGURA 67 – TEOREMA DE PITOT

Não poderia deixar de observar, sem querer fazer comparação entre o atual

programa de Matemática presente nos livros didáticos e aqueles da época de Maeder,

que determinados tópicos antes estudados não são mais abordados nas salas de aula.

Apenas para esclarecer essa afirmação, o livro do 4º. ano do ginásio corresponde ao

seria atualmente a 8ª. série do Ensino Fundamental. Assim, “Teorema de Pitot”,

exemplo, não é motivo de estudo na atual escolarização. Quando muito é

inhado como observação no estudo da Geometria do atual Ensino Mé

o exemplo de conteúdos de Matemática que também não são mais objetos

ensino de Matemática pode ser encontrado no capítulo X do livro de Maeder. É o

que

por

encam dio. Um

outr do

Cálculo das medianas, das alturas e das bissetrizes de um triângulo”. São 13 páginas

om teoremas, demonstrações e exercícios que buscam calcular, a partir das medidas

os lados de um triângulo, as medidas da mediana, da altura e da bissetriz do

“

162

corresp ometria

Plana em Maeder, que o tempo, as reformas e os autores de livros de Matemática

acabaram deixando de lado, é o cálculo do “lado do polígono regular de

lados” em

função da medida do raio da circunferência circunscrita ao polígono.

FIGURA 68 – CÁLCULO DO

ondente triângulo. Uma outra relação métrica presente no estudo de Ge

No capítulo XIV, Maeder apresenta um teorema sobre a medição da

circunferência, referente aos comprimentos de duas circunferências e de seus raios,

sem, no entanto, considerar o número

, isto é: “Teorema – A razão de duas

circunferências é igual à dos seus raio . Ele demonstra esse teorema utilizando

como definição de circunferência “o limite comum para o qual tendem os

perímetros dos polígonos regulares convexos, a ela inscritos e circunscritos,

quando o número de lados aumenta indefinidamente”. (MAEDER, 1962, p.

184-185). Observo aqui fortes indícios da utilização da intuição Matemática

presente no desenvolvimento étricas. Isso fica muito mais

evidente logo a seguir, quando o autor, após dizer que a razão entre o comprimento

s”

de questões geom

e o diâmetro da circunferência pode ser representada “pela letra grega

” (e o

163

comprimento da circunferência é igual ao produto do diâmetro pelo número

chama a atenção para uma forma de se obter o número irracional

. O

procedimento é o cálculo dos perímetros dos polígonos regulares inscritos e

circunscritos na circunferência de raio unitário. Esses polígonos são obtidos

duplicando-se sucessivamente o número de lados (ver FIGURA 68). Assim, o valor

para o número irracional

estará compreendido entre os semi-perím

polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência.

Mantendo-se coerente com esse procedimento intuitivo de encaminhar fatos

geométricos, no capítulo XVI, referente a áreas das figuras circulares, o autor

paranaense apresenta a área do círculo como “o limite para o qual tende a área de

um polígono regular convexo nele inscrito cujo número de lados aumenta

indefinidamente”. (MAEDER, 1962, p. 213)

O livro da 4ª. série termina com construções geométricas de figuras planas

equivalentes que são apresentadas em oito problemas de construção. Como

exemplo, o problema II refere-se à construção de um quadrado equivalente à soma

de dois outros iguais. Duas questões a respeito desse último capítulo

época a disciplina étrico? Desde quando a disciplina Matemática

preocupa-se com as c étricas?

Assim como ocorreu nos três livros anteriores dessa coleção para

esse 4º. livro de Maeder pode ser dividido em duas partes: da 1ª. a 6ª. edição

corresponde à primeira fase, enquanto da 7ª. a 14ª. edição a segunda fase. São dois

programas diferentes que evidenciam mudanças estruturais em relação aos

conteúdos de Matemática ensinados no ginásio. No quadro a seguir, podem se

observar tais mudanças. Apenas seis capítulos (dos 15 capítulos) da edição de 1945

foram mantidos na edição de 1962 (eles aparecem sublinhados no QUADRO 17).

Embora essas duas edições apresentem a mesma concentração de conteúdos, em

dois blocos de conhecimentos matemáticos (Álgebra e Geometria), uma análise dos

títulos dos capítulos perm me dizer que são edições com diferenças acentuadas.

etros dos

: Existia na

o ginásio,

desenho geom

onstruções geom

ite-

164

AÇÃO ENTRE EDIÇÕES: 4ª. SÉRIE DO GINÁSIO

a da 1ª. edição: 1945

Programa da 14ª. edição: 1962

QUADRO 17 – COMPAR

Program

Capítulo I: Coordenadas cartesianas no plano;

representações gráficas.

Capítulo II: Resolução e discussão de um

sistem de duas equações com duas

incógnitas.

Capítulo III: Resolução de desigualdades do

1º. grau com uma ou duas incógnitas.

Capítulo IV: Problemas do 1º. grau.

Capítulo V: Números irracionais – radicais –

frações irracionais.

Capítulo VI: Equações do 2º. grau.

Capítulo VII: Problemas do 2º. grau.

Capítulo VIII: Linhas proporcionais.

Capítulo IX: Semelhança de triângulos e de

polígonos.

Capítulo X: Relações métricas nos triângulos.

Capítulo XI: Relações métricas no círculo.

Capítulo XII: Polígonos regulares.

Capítulo XIII: Medição da circunferência.

Capítulo XIV: Áreas planas.

Capítulo I: Equações do 2º. grau.

Capítulo II: Trinômio do segundo grau.

Capítulo III: Inequações do segundo grau.

Capítulo IV: Problemas do segundo grau.

Capítulo V: Equações redutíveis ao segundo grau;

equações biquadradas.

Capítulo VI: Equações irracionais.

Capítulo VII: Transformação das expressões da

forma

BA ± .

Capítulo VIII: Relações métricas no triângulo

retângulo.

Capítulo IX: Relações métricas no triângulo

qualquer.

Capítulo X: Cálculo das medianas, das alturas e das

bissetrizes de um triângulo.

Capítulo XI: Relações métricas no círculo.

Capítulo XII: Polígonos inscritíveis e

circunscritíveis.

Capítulo XIII: Polígonos regulares.

Capítulo XIV: Medição da circunferência.

Capítulo XV: Medição das áreas das principais

figuras planas.

Capítulo XVI: Áreas das figuras circulares.

Capítulo XVII: Relações métricas entre áreas.

Capítulo XVIII: Construções geométricas –

problemas de equivalência.

Após essa leitura da coleção Curso de Matemática, escrita para o curso ginasial,

algum

capítulos nos livros de Maeder, nas duas

fases m ncionadas para o ensino de Matemática no ginásio, e confrontando-os com os

programas oficiais, conforme estudo de Vechia e Lorenz.

Maeder não escr coleção p duas coleções

completamente diferentes. A primeira (ver FIGURA 69) tem duração aproximada a do

as conclusões posso extrair para o presente ensaio. Os livros do autor paranaense

seguem o programa oficial. Afirmo isso com base na observação dos quadros

comparativos dos conteúdos divididos por

eveu apenas uma ara o ginásio. Foram

165

tempo em que vigorou a portaria ministerial n

. 170 pub 1 de julho de 1942,

isto é, até a outra portaria n

. 996 de 2 de outubro d a coleção segue o

programa oficial, conforme qua s 18, 19, 20 e 21.

FIGURA 69 – PRIMEIRA COLEÇÃO PARA O GINÁSIO

. SÉRIE

Geometria intuitiva

Unidade I – Noções fundamentais reta, semi-reta, segmento. 3.

Ângulos. 4. Posições relativas de

Unidade II – Figuras geométricas Poliedros; corpos redondos.

Aritmética prática

Unidade III – Operações fundamentais edida. 2. Numeração. 3. Adição,

subtração, multiplicação e divisão de int

Unidade IV – Múltiplos e divisores tores primos. 2. Parte alíquota de duas

grandezas; m.d.c. e m.m.c.

Unidade V – Frações ordinárias: 1. Frações de grandezas; noção de fração. 2. Comparação, simplificação ao mesmo

denominador. 3. Operações fundamentais. 4. Problemas sobre as frações de grandezas.

Unidade VI – Números complexos: 1. Unidades de ângulo e de tempo. 2. Moeda inglesa e unidades inglesas usuais de

comprimento. 3. Operações com os números complexos.

Unidade VII – Frações decimais: 1. Noção de fração e de número decimal. 2. Operações fundamentais. 3. Conversão de

fração ordinária em decimal e vice-versa. (VECHIA e LORENZ, 1998, p. 355)

licada em 1

e 1951. Ess

dro

QUADRO 18 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1942 – 1ª

: 1. Sólidos geométricos, superfícies, linhas, ponto. 2. Plano,

retas e planos; paralelas; perpendiculares e oblíquas.

: 1. Polígonos; triângulos e quadriláteros. 2. Círculo. 3.

: 1. Noção de número inteiro; grandeza; unidade; m

eiros. 4. Cálculo mental e cálculo abreviado.

: 1. Números primos; decomposição em fa

e área. 2. As unidades legais brasileiras e as inglesas mais usuais. 3.

mais usuais.

Aritméti

Unidade

unidades

velocidad

Unidade

Potências

obtenção

Unidade 2. Proporções; médias. 3. Grandezas proporcionais.

Unidade

simples.

QUADRO 19 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1942 – 2ª. SÉRIE

Geometria intuitiva

Unidade I – Áreas: Área de uma figura plana; unidade d

Áreas das principais figuras planas; fórmulas.

Unidade II – Volumes: 1. Noção de volume; unidade de volume. 2. As unidades legais brasileiras e as inglesas

3. Volumes dos principais sólidos geométricos; fórmulas.

ca prática

III – Sistema métrico: 1. Diferentes espécies de grandeza; medição direta e indireta. 2. Grandezas elementares;

fundamentais; noção de grandeza composta. 3. Unidades legais de comprimento, área, volume, ângulo, tempo,

e, massa, densidade; múltiplos e submúltiplos.

IV – Potências e raízes: 1. Definições. 2. Operações com potências. 3. Quadrado da soma de dois números. 4.

das frações. 5. Regra prática para extração da raiz quadrada; aproximação no cálculo da raiz. 6. Uso de tábuas para

do quadrado, do cubo, da raiz quadrada e da raiz cúbica dos números inteiros e decimais.

V – Razões e proporções: 1. Razão de duas grandezas.

VI – Problemas sobre grandezas proporcionais: 1. Divisão proporcional. 2. Regra de três. 3. Porcentagem. 4. Juros

(VECHIA e LORENZ, 1998, p. 355-356)

166

QUADRO 20 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1942 – 3ª. SÉRIE

Álgebra

Unidade es

Unidade

polinômi dução de termos semelhantes.

Unidade odutos notáveis; potência

inteira de

Unidade

denomina

Unidade

com uma

Geometr

Unidade Ponto,

linha, sup

Unidade

como lug convexo.

Quadrilát

Unidade

posições

Deslocam

capaz; quadrilátero inscritível.

I – Números relativos: 1. Noções concretas; segmentos orientados. 2. Operaçõ .

II – Expressões algébricas: 1. Valor numérico e classificação das expressões algébricas. 2. Monômios e

os; ordenação e re

III – Operações algébricas: 1. Adição, subtração e multiplicação de polinômios. 2. Pr

um monômio. 3. Divisão por um monômio. 4. Casos simples de fatoração.

IV – Frações algébricas: Definição, propriedades. 2. Frações racionais: simplificação, redução ao mesmo

dor, operações fundamentais.

V – Equações do 1º grau: 1. Equação: identidade; equações equivalentes. 2. Resolução e discussão de uma equação

incógnita.

ia Dedutiva

ições geométricas; hipótese, conclusão; demonstração. 2. VI – Introdução à geometria dedutiva: 1. Propos

erfície, reta, plano. 3. Figuras geométricas; lugares geométricos.

de um polígono

6. Construções geométricas. (VECHIA & LORENZ, 1998, p. 356)

esigualdades do 1º grau: Coordenadas cartesianas no plano; representações gráficas

sistema de duas equações com duas incógnitas. 3. Resolução gráfica de um sistema de duas equ

tação gráfica da discussão. 4. Resolução de desigualdades do 1º. grau com um

VII – A reta: 1. Ângulos. 2. Triângulos; igualdade de triângulos. 3. Perpendiculares e oblíquas; mediatriz e bissetriz

ares geométricos. 4. Teoria das paralelas. 5. Soma dos ângulos de um triângulo e

eros; propriedades do paralelogramo, translação; trapézio. 7. Construções geométricas.

VIII – O círculo: 1. Determinação do círculo; posições relativas de uma reta e um círculo. 2. Diâmetros do círculo;

relativas de uma reta e um círculo. 2. Diâmetros e cordas. 3. Tangentes: posição relativa de dois círculos. 4.

entos no plano. 5. Correspondência entre arcos e ângulos; ângulos inscritos, interiores e exteriores; segmento

Álgebra

nidade I – Equações e d . 2. Resolução

discussão de um ações com

as incógnitas; interpre a ou duas incógnitas.

5. Proble

Unidade

2º. grau.

Unidade IV – Linhas proporcionais; semelhança: 1. Pontos que dividem um segmento numa razão dada; definição de

no triângulo; propriedades das bissetrizes de um triângulo; lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois

mprimento de um arco de círculo. 2. Razão da circunferência para o

Unidade IX – Áreas planas: 1. Medição das áreas das principais figuras planas. 2. Relações métricas entre as áreas; áreas de

QUADRO 21 – PROGRAMA OFICIAL PARA O GINÁSIO: 1942 – 4ª. SÉRIE

mas do 1º. grau: fases da resolução de um problema; generalização: discussão das soluções.

II – Números irracionais: 1. Grandezas incomensuráveis; noção de número irracional; operações. 2. Raiz m-ésima

de um número; radicais; valor aritmético de um radical. 3. Cálculo aritmético dos radicais. 4. Frações irracionais; casos

simples de racionalização de denominadores.

Unidade III – Equações do 2º. grau: 1. Existência das raízes no campo real; resolução. 2. Relações entre os coeficientes e as

raízes; sinal das raízes. 3. Composição da equação dada às raízes; aplicação a sistemas simples do 2º. grau. 4. Problemas do

Geometria Dedutiva

divisão harmônica. 2. Segmentos determinados sobre transversais por um feixe de retas paralelas. 3. Linhas proporcionais

pontos fixos é constante. 4. Semelhança de triângulos; semelhança de polígonos. 5. Construções geométricas.

Unidade V – Relações métricas nos triângulos: 1.Relações métricas no triângulo retângulo. 2. Altura de um triângulo

eqüilátero e diagonal do quadrado.

Unidade VI – Relações métricas no círculo: 1. Linhas proporcionais no círculo. 2. Construções geométricas.

Unidade VII – Polígonos regulares: 1. Propriedades dos polígonos regulares; expressão do ângulo interno. 2. Construção e

cálculo do lado do quadrado, do hexágono regular, do triângulo eqüilátero e do decágono regular convexo. 3. Cálculo dos

apótemas dos mesmos polígonos. 4. Lado do polígono de 2n lados em função do de n lados. 5. Semelhança dos polígonos

regulares. 6. Construções geométricas.

Unidade VIII – Medição da circunferência: 1. Co

diâmetro. 3. Expressões do comprimento da circunferência e de um arco; o radiano.

polígonos semelhantes. Teorema de Pitágoras. (VECHIA & LORENZ, 1998, p. 356)

Ministro da Ed ha

Essa primeira coleção corresponde à fase que tem Gustavo Capanema como

ucação. É a época das c madas Leis Orgânicas, dos decretos-lei; como

167

diz MARCÍLIO (2005, p. 82) “reformavam-se alguns ramos do ensino abrangendo o

ensino primário e s r nos adolescentes uma

sólida cultura geral, a consciência patrióti

respeito ao ensino da Matemática, o prefác

fornece o

contexto de tal reforma:

As diretrizes ada pela nova lei orgânica do Ensino Secundário, no que dizem

respeito às ci cias ificam sensivelmente os pr pios pedagógicos em que

sempre se apoiou o Matemática nos ginásios

Com efeito, na expo o da matéria atinente as duas pri séries, determinam os

respectivos program abandono do método dedut ra se ministrarem, de

modo elementar, ntos intuitivos e práticos.

A dedução, co o é outros tipos de

raciocínio, estabelecendo-se as proposições mediante rigoroso encadeamento lógico, a

partir de anteriores, já demonstrados ou admitidas por postulados.

O novo rumo a seguir exige cuidados especiais. Não se deve perder de vista a

orientação que se deve dar ao ensino da Matemática no primeiro ciclo do Curso

“Ao estudo das ciências, num e noutro caso, orientará sempre o princípio de que

verdade, a compreensão da utilidade dos conhecimentos científicos e a

Está claro que será mais difícil a tarefa de ensinar desse modo as ciências”.

“Reforma”, e satisfazem perfeitamente às exigências de um bom e proveitoso ensino

ão programas que, de fato, podem ser cumpridos integralmente com a desejada

ficiência. Todos os que labutam no ensino o reconhecem.

ecundário, este com a função de forma

ca e a consciência humanística”. No que diz

io apresentado por Maeder

incí

do país.

meiras

ivo pa

firm

ên

, mod

ensino de

siçã

as o

ensiname

m sabido, se faz por silogismos e de ordo com

No ensino prático, a orientação a seguir é bem diversa: enunciam-se definições,

propriedades, regras, procurando-se aplicá-las de modo conveniente.

Mas não é só.

necessidade de estimular o adolescente em seu desejo natural de bem interpretar as

proposições que lhe são dadas a conhecer.

Não basta enunciar uma regra; deve-se explicar, elementarmente é claro, a sua razão

de ser.

Aliás, o Sr. Ministro da Educação, na brilhante exposição de motivos que apresentou

ao Exmo. Sr. Presidente da República, traça, com toda precisão e justeza, a

Secundário:

não é papel do ensino secundário formar extensos conhecimentos, de leis e

hipóteses, de nomenclaturas e classificações, ou ficar na superficialidade, na

mera memorização de regras, teorias e denominações, mas cumpre-lhe

essencialmente formar o espírito científico, isto é, a curiosidade e o desejo da

capacidade da aquisição desses conhecimentos.

Temos para nós que proceder de outro modo seria comprometer a eficiência do

ensino, seria contribuir para que falhasse irremediavelmente uma das finalidades

precípuas da Matemática nos primeiros anos: a da preparação ao estudo do método

dedutivo que se faz mais tarde.

Os programas expedidos e postos em execução pela Portaria ministerial n. 170, de 11

de julho de 1942, a nosso ver, foram elaborados com critério, dentro espírito da

da Matemática.

Reproduzo na íntegra o pr da coleção. Entendo

que o autor fo apenas as diretrizes de como seu livro foi escrito, mas também subsídios de

como a Reform ma interferiu no ensino de Matemática.

rnece não

a Capane

efácio de Maeder do livro destinado à primeira série

168

Nessa afirmativa, estamos com aqueles que opinam por experiência p mas que

não menosprezam, antes acatam, os frutos da teoria e da experiência al

eves comentários explicam o critério que seguimos na organi ção do nosso

“Curso de Matemática”, integralmente moldado dentro dos princípi tabelecidos

pela nova lei e rigorosamente de acordo com o programa oficial.

Destina-se este volume à primeira série do curso ginasial, abrangen duas partes:

Geometria intuitiva e Aritmética prática.

Na primeira parte, estudam-se intuitivamente noções fundamen figuras

geométricas; na segunda parte, estudam-se praticamente operaçõe mentais da

Aritmética, múltiplos e divisores, frações ordinárias, números compl s e frações

decimais, tudo acompanhado de exercícios cuidadosamente escolhidos

Com as nossas homenagens, oferecemos este “Curso de Matemátic ” a todos os

colegas que nos honraram pela atenção dispensada à série anterior ções de

Matemática”.

Algacyr Mu z Maeder.

Embora esse prefácio tenha sido elaborado para o livro da 1ª. série, ele serve

como registro da forma como o autor recebeu as modificações no ensino da

tor deixa claro que

s mudanças são benéficas e os programas elaborados “podem ser cumpridos”.

rópria,

heia.

os es

tais e

s funda

exo

das “Li

nho

Estes br

Matemática “ditadas” pela portaria ministerial correspondente. O au

Quanto à segunda coleção (ver FIGURA 70), ela é escrita a partir da portaria

editada em 1951 e tem a duração de praticamente uma década. Uma comparação

entre os programas existentes nesses livros e os programas oficiais constata que

Maeder é fiel a eles (ver QUADRO 22). Observo que o programa oficial, conforme

Vechia e Lorenz é apresentado de forma muito resumida, diferentemente do

programa constante da portaria de 1942.

FIGURA 70 – SEGUNDA COLEÇÃO PARA O GINÁSIO

169

QUADRO 22 – PROGRAMA OFICIAL

PARA O GINÁSIO: 1951

Primeira Série

Números inteiros; operações fundamentais; números relativos.

Números fracionários.

Divisibilidade aritmética; números primos.

Sistema legal de unidades de medir; unidades e medidas usuais.

Segunda Série

Potências e raízes; expressões irracionais.

Cálculo literal; polinômios.

Binômio linear: equações e inequações do 1º. grau com uma incógnita; sistemas

lineares com duas incógnitas.

Terceira Série

Razões e proporções; aplicações aritméticas.

Figuras geométricas planas; reta e círculo.

Linhas proporcionais; semelhança de polígonos.

Relações trigonométricas no triângulo retângulo. Tábuas naturais.

Quarta Série

Trinômio do 2º. grau; equações e inequações do 2º. grau com uma incógnita.

Relações métricas nos polígonos e no círculo; cálculo de

Áreas das figuras planas.

Já mencionei anteriormente o número de edições que, se comparadas com a

coleção anterior de Maeder, Lições de Matemática, é elevado. Além disso, ou melhor, se

apenas isso não representasse indícios suficientes para destacar o alcance dessa obra,

foram 20 anos de existência da coleção. São duas décadas da história dos conhecimentos

scolares, particularmente dos saberes escolares de Matemática, sendo difundidos e

ocumentados. Seus livros podem ser considerados registros desses saberes no então

hamado ginásio. Mas, quase paralelamente a essa coleção, Maeder também produziu,

colégio.

ovos documentos foram então produzidos por Algacyr Munhoz Maeder, iniciados em

1 46 e 2.

com a mesma editora paulista, o Curso de Matemática para as três séries do

9 perdurando até o ano de 196

Este quadro foi elaborado a partir do trabalho

de VECHIA e LORENZ (1998, p. 400).

170

2 EMÁTICA – CICLO

istério ura”. A frase pode ser

o am clo

C or Maeder, inicialment inal da quarta década do século XX.

C e seguem s de

1 ont ndem

à d

q o: d ado no

c o na

FIGURA 71 – COLEÇÃ

.5 CURSO DE MAT COLEGIAL

“Uso autorizado pelo Min da Educação e Cult

bservada nos três volumes que form

olegial, escrita p

a coleção Curso de Matemática – Ci

e, no f

omo observo nas páginas que s , os três volumes tiveram várias ediçõe

946 até 1962. De modo geral, os c eúdos abordados na coleção correspo

queles atualmente presentes nos livros idáticos de Matemática do Ensino Médio, o

ue me motiva a fazer uma observaçã écadas se passaram e pouco foi mud

onteúdo de Matemática a ser ensinad s escolas brasileiras.

O PARA O COLÉGIO

Essa coleção destinada ao ensino de Matemática no “colégio”, ao longo de suas

ediçõe

1943”, que expedia então os

“programas de Matemática dos cursos clássico e científico do ensino secundário”

(VECHIA e LORENZ, 1998, p. 365). Essa referência foi alterada em 1951, obrigando

s/tiragens, pode ser também dividida em duas partes, da mesma forma que

ocorreu para o “ginásio”, como havia comentado anteriormente. Poderia até afirmar

que Maeder acabou escrevendo duas coleções distintas para o ciclo colegial. No caso

da Matemática para o colégio a coleção Curso de Matemática tem como referência a

“Portaria Ministerial n

. 177, de 16 de março de

171

Maeder e a Edições M

temática conform

ei a comentar, s

de Matemática pa

elho r a

e Ma e

. 996 de 2 de outubr 1951. Um

oltar érie s m

nsino

2.5.1 C rso de Matemática – 1º. livro – colégio

As observações que faço aqui se referem ao livro publicado no ano de 1961 pela

ramentos a elabo

Portaria n

por série, essa

ra o “colegial”.

arem uma nova coleç

o de

odificações no pr

ão. Era o program

pouco adiante

ograma destinado ao

Edições Melhoramentos, correspondente a 14ª. edição. São 280 páginas e, conforme

destacado já na abertura do livro, está “de acordo com os programas oficiais”.

TABELA 11 – EDIÇÕES DO 1º. ANO COLEGIAL

Edição Data da publicação Quantidade

1ª. Mai./1946 3 000

2ª. Mar./1947 5 000

3ª. Mar./1948 5 000

4ª. Mar./1949 6 000

5ª. Mar./1950 10 000

6ª. Mar./1951 10 000

7ª. Mar./1953 10 000

8ª. Dez./1953 10 000

9ª. Jul./1954 12 000

10ª. Jan./1954 6 000

11ª. Dez./1956 12 000

12ª. Jan./1958 12 000

13ª. Mar./1959 10 000

14ª. Nov./1960

5 000

15ª. Fev./1962 4 000

Essa edição aparece com a data de 1961.

172

A partir dos dados fornecidos pela Edições Melhoramentos, elaborei o quadro

livro teve, ao todo, 15 edições, no período de 1946 a 1962.

es dados, foi possível acrescentar à tabela (ver TABELA 11) uma coluna

itora em cada uma das edições.

antiveram, em um patamar que pode ser considerado elevado para a época. O gráfico de

olunas (ver GRÁFICO 1) ilustra esse “desempenho” quanto à quantidade de tiragens

desse livro ao longo de todas as suas edições

anterior, observando que esse

Em relação a ess

contendo a quantidade de tiragens feitas pela ed

Observando na tabela o período que vai da 4ª. edição (Mar./1949) até a 13ª. edição

(Mar./1959), os números que correspondem às tiragens dão indícios da aceitação da obra

de Maeder. Foram 10 anos em que as tiragens feitas pela editora praticamente se

GRÁFICO 1 – SOBRE A QUANTIDADE DE IMPRESSÕES: 1ª. SÉRIE

1ª. 2ª. 3ª.

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

4ª. 5ª. 6ª. 7ª. 8ª. 9ª. 10ª. 11ª. 12ª. 13ª. 14ª. 15ª.

Conforme pode ser observado no programa que transcrevo mais adiante, os assuntos

abordados se referem aos conteúdos que atualmente estão presentes no Ensino Médio,

alguns da 1ª. série, outros da 2ª. série e ainda o caso das cônicas que, normalmente, são

estudadas ao longo da 3ª. série, com uma pequena diferença dada ao tratamento geométrico

no livro de Maeder. Nos livros atuais, a abordagem para cônicas é via Geometria Analítica,

em que o destaque é dado às equações dessas curvas em um plano cartesiano.

173

Algo que chama a atenção na leitura que faço do programa do primeiro livro

(utilizo como referência a 14ª. edição de 1961) é a ênfase dada à Geometria. Isso também

pode ser constatado pelo número de páginas destinadas ao estudo dela: são 186 páginas ao

todo. O

conteú

tratam

estes d

ditado Matemática, de

um mo

ade é o nome do teorema que se refere à secção determinada numa

superfí

revolu

uma h

quand

presente no livro de Maeder que não é normalmente encontrado em

livros didático

o primeiro ca

aproximações

com as opera rros pode ser encontrado nos

livros

da disc

“divisã

aritmé

de algarismos do quociente; toma-se no divisor, a partir do primeiro

garismos tal que contenha o

do divisor

aluno, ao entrar na 1ª. série do curso colegial da época, deparava-se com um

do fortemente ligado à Geometria na disciplina de Matemática. Com isso, havia um

ento acentuadamente axiomático, em que definições eram seguidas de postulados e

e teoremas e suas demonstrações. Observo apenas que esse era um procedimento

pelo programa de Matemática. Atualmente os livros didáticos de

do geral, procuram deixar o estudo da Geometria para a 2ª. série do Ensino Médio.

Uma curiosid

cie cônica de duas folhas: Teorema de Dandelin

. “A seção de um cone de

ção por um plano é uma elipse, quando o plano corta todas as geratrizes; é

ipérbole, quando o plano corta as duas folhas da superfície; é uma parábola,

o o plano secante é paralelo a uma geratriz.” (MAEDER, 1961, p. 267)

Um assunto

s de Matemática no Ensino Médio, nos dias atuais, refere-se ao que compõe

pítulo: noções sobre o cálculo aritmético aproximado. É um estudo sobre

e erros. Esse assunto também aparece no capítulo seguinte, relacionado

ções. Observo que o conteúdo referente a e

atuais de Física, no Ensino Médio, o que indica uma migração ocorrida de assunto

iplina de Matemática para a disciplina de Física. O autor paranaense, ao falar de

o abreviada” relacionada à aproximação, enuncia uma regra para essa operação

tica:

Procura-se o número

algarismo significativo à esquerda, tantos algarismos quantos são o do quociente, mais dois;

toma-se no dividendo e na mesma ordem, um número de al

divisor modificado pelo menos uma vez e menos de dez vezes.

Efetuam-se as divisões parciais, suprimindo-se sucessivamente o último algarismo

em vez de se considerar um algarismo do dividendo à direita de cada resto; assim prossegue-

se, até que se obtenham todos os algarismos que deve ter o quociente. (MAEDER, 1961, p. 27)

EVES (1997, p. 218) menciona que esse teorema na verdade tem dois autores, Adolphe Quetelet

(1796-1874) e Germinal Dandelin (1794-1847).

174

FIGUR

ação extraio do

vro de Maeder. Se atualmente nos livros didáticos a opção na ordem desses assuntos

normalmente é iniciar com equações exponenciais e só então abordar o assunto

logaritmos, o livro da 1ª. série do ciclo colegial segue exatamente o inverso. Somente

após o estudo de logaritmos é que o autor propõe o desenvolvimento de procedimentos

de resolução de equações exponenciais. Isso evidencia, em relação à história dos

saberes escolares, uma mudança que suscita questões como, por exemplo: qual

encaminhamento é mais adequado?, ou aind que se deve essa dança?

Assim como ocorreu com as quatro séries do ciclo ginasial, Maeder também

ve de escrever duas diferentes coleções de matemática para o ensino colegial. O

QUAD udanças

acentuadas no programa.

Para, talvez, esclarecer tal “regra”, Maeder apresenta um exemplo (ver

A 72).

FIGURA 72 – REGRA PARA APROXIMAÇÕES

Ao tratar dos assuntos logaritmos e exponenciais, outra observ

a, a mu

RO 23, elaborado a partir de duas edições da 1ª. série, evidenciam m

175

QUADRO 23 – COMPARAÇÃO ENTRE ÍNDICES DA 1ª. SÉRIE (1946 E 1961)

Programa: 1ª. edição – 1946

Programa: 14ª. edição – 1961

Aritmética Te

Capítulo I: Ad

Capítulo II: Su

Capítulo III: Multiplicação de números inteiros.

Capítulo IV: Divisão de números inteiros.

Capítulo V: Potenciação de números inteiros.

Capítulo VI: Radiciação de números inteiros.

Capítulo VII: Sistemas de numeração.

Capítulo VIII:

Capítulo IX: M

Capítulo X: M

Capítulo XI: N

Capítulo XII: Os números fracionários.

Capítulo XIII: Números decimais.

Capítulo XIV: Noções sobre cálculo numérico

aproximado.

Álgebra - Uni

Capítulo XV:

algébricas sob

Capítulo XVI:

Capítulo XVII: Identidade de polinômios.

Capítulo XVIII: Divisão por

órica - Unidade I

ição de números inteiros

btração de números inteiros.

A divisibilidade numérica.

áximo divisor comum.

ínimo múltiplo comum.

úmeros primos.

dade II

Os polinômios – operações

re polinômios

Divisão de polinômios.

O trinômio do 2º. grau –

em fatores – sinais.

Inequações do 2º. grau.

Capítulo I: Noções sobre o cálculo aritmético

aproximado.

números aproximados.

Capítulo III: Progressões aritméticas.

Capítulo IV: Progressões geométricas.

ogaritmos.

Capítulo VI: Equações exponenciais simples.

Capítulo VII: Reta e plano.

Capítulo II: Operações com

Capítulo V: L

Capítu

Capítulo X: Prismas.

geral.

Capítulo XIII:

Capítulo

Capítu

Capítulo X

Capítulo XVIII: Parábola.

Unidade III

Capítulo XIX:

decomposição

Capítulo XX:

Capítulo XXI: oção de variável e de função.

Capítulo XXII: Variação do trinômio do 2º. grau;

representação gráfica.

Capít

contin

ulo XXIII: Noções elementares sobre

uidade e sobre máximos e mínimos.

Geometria - Unidade IV

Capítulo XXIV: O plano e a reta no espaço.

Capítulo XXV: Diedros. Planos perpendiculares

entre si.

Capítulo XXVI: Ângulos poliédricos.

Capítulo XXVII: Os poliedros.

Capítulo XXVIII: Volumes dos poliedros.

Capítulo XXIX: Poliedros regulares.

Enquanto na edição de 1946 os conteúdos eram distribuídos em três blocos de

conhecimentos matemáticos (Aritmética, Álgebra e Geometria), a edição de 1961

distribui seus temas em Álgebra e Geometria, propondo ainda o estudo de Geometria

Analítica. Apenas alguns capítulos s

lo VIII: Diedros e triedros. Ângulos sólidos.

Capítulo IX: Os poliedros.

Capítulo XI: Pirâmides.

Capítulo XII: Estudo sucinto das superfícies em

Cilindros.

Capítulo XIV: Cones.

XV: Esfera.

lo XVI: Elipse.

VII: Hipérbole.

Capítulo XIX: As seções cônicas.

ão comuns nessas duas edições (ver capítulos

, XXVI e XVII da edição de

1946 (ver capa do livro na FIGURA 75) são apresentados nos capítulos VII, VIII e IX

da edição de 1961 (ver capa do livro na FIGURA 73).

sublinhados no QUADRO 23): os capítulos XXIV, XXV

176

FIGURA 73 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1961

177

FIGURA 74 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1961

178

FIGURA 75 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1946

179

FIGURA 76 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1946

180

tica para a 1ª. série do

iclo colegial,

artir da com autor paranaense

UADRO 2

echia e Lore

Nesses dois momentos distintos do ensino de Matemá

Maeder se mantém fiel ao programa oficial. Isso pode ser constatado a

paração entre os programas existentes nos livros do

3) e os presentes no QUADRO 24, elaborados a partir do trabalho de

nz (1998).

ADRO 24 – PROGRAMA OFICIAL PARA O COLÉGIO – 1ª. SÉRIE: 1946

Curso Clássico

Curso Científico

tica Teórica

divisibilidade numérica: 1. Teoremas

ivisibilidade. 2. Caracteres de

. Teorias do m.m.c. e m.d.c. 4.

os; aplicações.

– Os polinômios: 1. Operações

e polinômios. 2. Teoria da divisão de

Divisão de um polinômio inteiro em

Aritmética Teórica

Unidade I – As operações aritmétic

1. Teoria da adição, da subtração, da m

da divisão, da potenciação e da ra

2. Sistemas de numeração.

Unidade II – A divisibilidade numérica

gerais sobre divisibilidade. 2.

divisibilidade. 3. Teorias do m.d.c. e

Teoria dos números primos: aplicações.

Aritmé

Unidade I – A

gerais sobre d

divisi ade. 3

Teoria dos números prim

Álgebr

Unidade II

algébricas sobr

polinômios. 3.

x por

bilid

;

regra e dispositivo prático de Briot-

Ruffini.

Unid

Decomposição em fatores de 1º. grau; sinal do

variável e de função; variação do trinômio do 2º.

Geometria

tronc

as fundamentais:

ultiplicação,

diciação de inteiros.

ade III - O trinômio do 2º. grau: 1.

trinômio; desigualdade do 2º. grau. 2. Noção de

grau; representação gráfica.

Unidade IV – O plano e a reta no espaço: 1.

Determinação de um plano. 2. Intersecção de planos

e retas. 3. Paralelismo de retas e planos. 4. Reta e

plano perpendiculares. 5. Perpendiculares e oblíquas

de um ponto a um plano. 6. Diedros; planos

perpendiculares entre si. 7. Noções sobre ângulos

poliedros.

Unidade V – Os poliedros: 1. Noções gerais. 2.

Estudo dos prismas e pirâmides e respectivos

2. Noções sobre cálculo numérico aproximado. Erros.

Álgebra

algébricas sobre polinômios. 2. Teoria da divisão de

dos coeficientes a determinar identidades clássicas. 4.

Divisão de um polinômio inteiro em x por ;

regra e dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Unidade V – O trinômio do 2º. grau: 1.

Decomposição em fatores do 1º. grau; sinais do

trinômio, inequações do 2º. grau. 2. Noção de

variável e de função; variação do trinômio do 2º.

grau; representação gráfica. 3. Noções elementares

sobre continuidade e sobre máximos e mí

: 1. Teoremas

Caracteres de

do m.m.c. 4.

Unidade III – Os números fracionários: 1. Teoria

das operações aritméticas sobre números fracionários.

Operações, abreviaturas.

Unidade IV – Os polinômios: 1. Operações

polinômios. 3. Identidade de polinômios; métodos

os; áreas e volumes desses sólidos.

Geometria

Unidade VI – O plano e a reta no espaço: 1.

Determinação de um plano. 2. Intersecção de planos e

retas. 3. Paralelismo de retas e planos. 4. Reta e plano

perpendiculares. 5. Perpendiculares e oblíquas de um

ponto a um plano. 6. Diedros; planos perpendiculares

nimos.

entre si. 7. Ângulos poliedros; estudo especial dos

triedros.

Unidade VII – Os poliedros: 1. Noções gerais. 2.

Estudos dos prismas e pirâmides e respectivos

Teorema troncos; áreas e volumes desses sólidos. 3.

de Euler; noções sobre os poliedros regulares.

181

a escrita havia ainda uma preocupação maior por parte do

au ão do livro. A Portaria Ministerial de 1946 previa

do ensino de Matemática: o clássico e o científico.

C ra o programa do clássico adicionando-se alguns

tó or em, que a parte sublinhada traz os tópicos do

pr não estavam no programa do clássico), Maeder

simplesmente escrevia de acordo com a modalidade do curso científico. Assim seu

liv odalidades

. Faço tal afirmação com base na

comparação entre os conteúdos que estão no livro de Maeder e aqueles que estão

in ficial.

OGR MA OFICIAL PARA O COLÉGIO – 1ª. SÉRIE: 1951

aritmético aproximado; erros.

ros em geral; corpos redondos usuais;

es.

s; definições e propriedades fundamentais.

Na primeira fase dess

tor paranaense quando da elaboraç

is programas diferentes para o

omo o programa para o científico e

picos (observar o quadro anteri

ograma do científico que

ro poderia ser utilizado nas duas m

dicados no programa o

QUADRO 25 – PR A

Noções sobre cálculo

Progressões.

Logaritmos.

Retas e planos; superfícies e polied

definições

e propriedades; áreas e volum

Seções cônica

Já na segunda fase

resenta-se de forma sucinta o

da 1ª. série para o colégio conforme portaria de 1951,

ap programa para o ensino de Matemática (ver QUADRO

25). Assim como ocorreu na primeira fase do colégio, Maeder também segue o

programa, embora a comparação fique um pouco prejudicada pelo fato do programa

oficial ser muito resumido. Observo, no entanto, que nessa última fase do colégio não

há qualquer menção de programas para o clássico e o científico.

Para diferenciar as duas modalidades de ensino no mesmo livro, Maeder destacava, no índice, em

negrito, os assuntos de Matemática que eram destinados somente para o curso científico.

182

2.5.2 Curso de Matemática – 2º. livro – colégio

FIGURA 77 – CAPA DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1951

183

FIGURA 78 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1951

184

FIGURA 79 – CAPA DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1955

185

FIGURA 80 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1955

186

As duas capas dos livros destinados à segunda série (ver FIGURAS 77 e 79)

representam não apenas duas edições (4ª. edição de 1951 e 6ª. edição de 1955,

respectivamente) que são diferentes apenas no tom de azul. São dois livros diferentes

no que se refere aos conteúdos de Matemática que eram encaminhados para a 2ª. série

do ensino colegial.

2ª. série – 1ª. a 4ª. edição

0ª. edição

lo I: Progressões aritméticas

lo II cas

I T

X: Ap

uações lineares

lo X

lo XXIII: Resolução de triângulos retângulos

lo XXIV: Resolução de triângulos

ngulos

lo XXV: Aplicações imediatas à topografia

Capítulo I: Análise combinatória simples

Capítulo

ométricas dos arcos

métricas

Assuntos que antes eram destinados

QUADRO 26 – COMPARAÇÃO ENTRE INDICES DA 2ª. SÉRIE (1951 E 1955)

2ª. série – 5ª. a 1

: Progressões geométri

pítulo III: Noção de função exponencial e de sua

ção inversa

pítulo IV: Teoria dos logaritmos

pítulo V: Resolução de algumas equaçõe

ponenciais

pítulo VI: Noções sobre análise combinatória

pítulo VII: Binômio de Newton

pítulo VII : eoria dos determinantes

pítulo I licação dos determinantes aos

temas de eq

pítulo X: Noções sobre frações contínuas

pítulo XI: Noções sobre geração e classificação

s superfícies

pítulo XII: Estudo do cilindro e do cone

pítulo XIII: Estudo da esfera

IV: Vetores

pítulo XV: Projeções

pítulo XVI: Generalização das noções de arco e de

gulo

pítulo XVII: Funções circulares ou trigonométricas

pítulo XVIII: Redução ao primeiro quadrante

pítulo XIX: Relações entre as funções circulares de

mesmo arc

pítulo XX: Transformações trigonométricas

pítulo XXI: Uso das tábuas trigonométricas

pítulo XXII: Equações trigonométricas

II: Binômio de Newton

apítulo III: Determinantes

apítulo IV: Sistemas de equações lineares

apítulo V: Noções sobre vetores

apítulo VI: Projeções

apítulo VII: Generalização dos conceitos de arco e

e ângulo

apítulo VIII: Linhas e funções trigonométricas

iretas

apítulo IX: Relações entre as linhas trigonométricas

e um mesmo arco

apítulo X: Redução ao primeiro quadrante

apítulo XI: Linhas trigon

Capítulo XII: Transformações trigono

apítulo XIII: Disposição e uso das tábuas

rigonométricas

apítulo XIV: Equações trigonométricas simples

apítulo XV: Resolução de triângulos retângulo

apítulo XVI: Resolução de triângulos quaisque

ao ensino de Matemática na 2ª. série,

utra série. Exemplo disso pode ser

Capítu

fun

sis

Capítu

ân

Ca ítu

Capítu

obliquâ

Capítu

conforme edição de 1951, migraram para o visto

comparando-se os títulos dos capítulos nessas duas edições. Assim, desapareceram

dessa série os assuntos “progressões aritméticas”, “progressões geométricas”, “noção

187

sobre função exponencial e sua inversa”, “teoria dos logaritmos”, “resolução de

algumas equações exponenciais”, “estudo do cilindro e do cone”, “estudo da esfera” e

“aplicações imediatas à topografia” (ver capítulos sublinhados no QUADRO 26).

Nenhum outro assunto que antes estava em outras séries migrou para a nova 2ª. série

do ciclo colegial. Observando o quadro anterior, é possível concluir que todos os

assuntos que estão na edição de 1955 também estão na edição de 1951. Houve, nesse

sentido, uma simplificação, melhor dizendo, uma redução de conteúdos. Fisicamente,

as duas fases produziram livros também diferentes no tocante ao número de páginas.

Enquanto o da 4ª. edição tem 413 páginas, o da 6ª. edição tem apenas 245 páginas.

Os dados abaixo (ver TABELA 12 e GRÁFICO 2) mostram a extensã

trabalho de Maeder, principalmente no período que vai de 1949 até 1959, conf

d iv

em duas partes. A primeira compreende as quatro primeiras edições e estão em

ormida rtaria Ministerial n

. 177 de 16 de março de 1943, que expedia

ogram ecundá

segunda pa dições e seguiam o programa de Mate

orme P

TABELA 12 – EDIÇÕES DO 2º. ANO COLEGIAL

6ª. Fev./1955 10 000

7ª. Nov./1956 8 000

8ª. Jan./1958 10 000

o do

orme já

observa ididas

conf

os pr rio. A

mática

conf

o anteriormente no livro da 1ª. série. São dez edições que podem ser d

de com a Po

as de Matemática dos cursos clássico e científico do ensino s

rte compreende as demais e

ortaria n

. 996 de 2 de outubro de 1951.

Edição Data de publicação Tiragem

1ª. Abr./1947 5 000

2ª. Mai./1948 5 000

3ª. Jun./1949 10 000

4ª. Mar./1951 10 000

5ª. Dez./1953 10 00

9ª. Fev./1959 8 000

10ª. Fev./1962 3 000

188

GRÁFICO 2 – SOBRE A QUANTIDADE DE IMPRESSÕES – 2ª. SÉRIE

2ª. série colegial

5000

10000

15000

1ª. 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª. 7ª. 8ª. 9ª. 10ª.

A partir da obra de Maeder, postulo ser possível compreender como eram os

conteúdos de Matemática da 2ª. série, no tocante às duas modalidades de colégio existentes

na época: os chamados “curso clássico” e o “curso científico”. Como disse anteriormente,

foram duas fases. A partir de uma transcrição do livro correspondente a 4ª. edição desses

programas apresentados por Maeder já nas páginas iniciais, podem-se observar diferenças e

semelhanças no quadro comparativo (ver QUADRO 27).

Esses dois programas são transcrições fiéis dos programas de Matemática para essas

duas modalidades do ciclo colegial conforme comparação com o que diz o trabalho de

VECHIA e LORENZ (1998, p. 365-367). Isso evidencia que o livro de Maeder segue o

programa oficial.

A comparação entre esses dois programas permite observar diferenças e

semelhanças. De modo geral, o programa destinado ao ensino clássico está presente naquele

que corresponde ao ensino científico, com ampliações. Em relação ao que concerne à

“Álgebra”, as diferenças são constatadas no aumento de conteúdos para o “curso científico”.

Há o acréscimo de duas unidades, isto é, de “determinantes” e “frações contínuas”. Além

disso, um tópico é acrescentado na “unidade I”, ou seja, “noção de função exponencial”.

Em “Geometria”, os dois programas não mostram qualquer diferença. Já no que diz respeito

Quantidade de Impressões

189

a “Tr de duas

uni

igonometria”, duas grandes alterações são constatadas pelo acréscimo

dades inteiras: “transformações trigonométricas” e “equações trigonométricas”.

QUADRO 27 – 2ª SÉRIE – 1951 – CLÁSSICO E CIENTÍFICO

Curso Clássico Curso Científico

EBRA

I: Progressões e logaritmos – 1.Estudo das

ssões aritméticas e geométricas. 2. Teoria dos

os; uso das tábuas; aplicações. 3. Resolução

mas equações exponenciais simples.

II: O binômio de Newton – 1. Noções sobre

combinatória. 2. Binômio de Newton.

GEOMETRIA

III: Os corpos redondos – 1. Noções sobre

o e classificação das superfícies. 2. Estudo do

o e do cone; áreas e volumes desses sólidos. 3.

da esfera; área da esfera, da zona e do fuso

os; volume da esfera.

ONOMETRIA

IV: Vetor – 1.Grandezas escalares e vetoriais.

ção de vetor. 3. Resultante ou soma geométrica

res. 4. Vetores deslizantes sobre um eixo;

da algébrica; teorema de Chasles.

V: Projeções – 1. Projeção ortogonal de um

obre um eixo. 2. Teorema de Carnot. 3. Valor

eção de um vetor.

VI: Funções circulares – 1.Generalização

noções de arco e de ângulo; arcos côngruos; arcos

ma origem e extremidades associadas. 2.

s circulares ou trigonométricas: definições,

o, redução ao 1º. quadrante. 3. Relações entre

ões circulares de um mesmo arco. 4. Cálculo

nções circulares dos arcos de 30º , 45º e 60º .

VII: Resolução de triângulos – 1.Relações

os elementos de um triângulo. 2. Uso das tábuas

métricas. 3. Resolução de triângulos

os.

ÁLGEBRA

Unidade I: A função exponencial – 1.Estudo das

progressões aritméticas e geométricas. 2.Noção

função exponencial e de sua função inversa. 3.Te

dos logaritmos; uso das tábuas; aplicações.

4.Resolução de algumas equações exponenciais.

Unidade II: O binômio de Newton – 1.Noções so

análise combinatória. 2.Binômio de Newton.

Unidade III: Determinantes – 1.Teoria dos

determinantes. 2. Aplicação aos sistemas de equaç

lineares; regras de Cramer; teorema de Rouché.

Unidade IV: Frações contínuas – Noções sobre

frações contínuas.

GEOMETRIA

Unidade V: Os corpos redondos – 1.Noções sob

geração e classificação das superfícies. 2.Estudo

cilindro e do cone; áreas e volumes desses sólid

3.Estudo da esfera, área da esfera, da zona e do f

esférico; volume da esfera.

TRIGONOMETRIA

Unidade VI: Vetor – 1.Grandezas escalares e

2.Noção de vetor; eqüipolência. 3. Resultante ou

geométrica de vetores. 4.Vetores deslizantes sob

eixo; medida algébrica; teorema de Chasles.

Unidade VII: Projeções – 1.Projeção ortogonal

vetor sobre um eixo. 2.Teorema de Carnot. 3. Val

projeção de um vetor.

Unidade VIII: Funções circulares – 1.Generalização

das noções de arco e de ângulo; arcos côngruos;

de mesma origem e extremidades associadas.

2.Funções circulares ou trigonométricas: defini

variação, redução ao primeiro quadrante. 3.Relações

entre as funções circulares de um mesmo arco.

4.Cálculo das funções circulares dos arcos

Unidade IX: Transformações trigonométricas –

1.Fórmulas de adição, subtração, multiplicação e

divisão de arcos: aplicações. 2.Transformação de

somas em produtos; aplicação ao cálculo numérico.

Uso das tábuas trigonométricas.

Unidade X: Equações trigonométricas – Resolu

discussão de algumas equações trigonométricas

simples.

Unidade XI: Resolução de triângulos - 1.Relações

nidade

rogre

logaritm

e algu

Unidade

álise

nidade

geraçã

lindr

Estudo

féric

RIG

nidade

. No

e veto

edi

nidade

etor s

a proj

nidade

e mes

unçõe

ariaçã

funç

as fu

nidade

tre

igono

tângul

de p

oria

bre

ões

os.

uso

vetoriais.

soma

re um

de um

or da

arcos

ções,

ção e

entre os elementos de um triângulo. 2.Resolução de

triângulos retângulos. 3.Resolução de triângulos

obliquângulos. 4.Aplicações imediatas à topografia.

190

A portaria n

. 996 de 2 de outubro de 1951, que só seria encampada na

programação de Matemática dos livros de Maeder a partir da 5ª. edição, em 1954

(dez./1953), nada menciona sobre a existência do curso clássico ou do curso científico.

Simplesmente passa a ser considerado curso colegial.

Os conteúdos presentes nos livros de Maeder estão de acordo com os chamados

programas oficiais, evidenciam diversas mudanças. Essas mudanças, às vezes, podem

representar simplesmente a exclusão de determinados assuntos, outras, acréscimos.

Observo, por exemplo, a partir do programa para o ensino clássico (ver QUADRO 27),

a subordinação do assunto “vetor” ao tema “trigonometria”. Outro exemplo de

subordinação é o estudo das “progressões aritméticas e geométricas” em relação à

“função exponencial”. A propósito, não deixa de ser interessante observar, com um

olhar nos dias atuais, que o assunto “vetor” não aparece em Matemática até o final do

Ensino Médio. Esse é um conteúdo que, devido provavelmente às aplicações, migrou

para a disciplina de Física. Em que momento da história da disciplina de Matemática

isso ocorreu?

Um outro ponto, ainda observando a atualidade, diz respeito também ao assunto

“vetor”. Publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática, em fevereiro de 2001, o

livro Exame de textos: análise de livros de Matemática para o Ensino Médio

apresenta em seu posfácio uma observação sobre alguns aspectos do encaminhamento

em livros didáticos a respeito dos temas matrizes, sistemas lineares e determinantes,

isto é:

Álgebra Linear. Enquadramos sob esta epígrafe os capítulos matrizes, determinantes e sistemas

lineares. O tratamento deste tópico no livro genérico

é provavelmente o mais anacrônico e

mal concebido de todo o programa de Matemática do Ensino Médio. A noção de vetor que,

como já dissemos acima, seria o elemento unificador, esclarecedor e simplificador, não é

mencionada, embora esteja presente nas linhas e colunas das matrizes e nas soluções dos

sistemas.

Os conceitos de combinação e dependência linear também não são mencionados, embora sejam

indispensáveis para explicar os fatos e enunciar as conclusões. Com efeito, uma matriz é

invertível se, e somente se, nenhuma de suas linhas (ou colunas) é combinação linear das

Este livro foi organizado por Elon Lages Lima.

A denominação dada é referente ao livro, de um modo geral, utilizado no Ensino Médio, mais

precisamente em relação aos livros que foram analisados por uma comissão formada por: Augusto

César Morgado, Edson Durão Júdice, Eduardo Wagner, João Bosco Pitombeira de Carvalho, José

Paulo Quinhões Carneiro, Maria Laura Magalhães Gomes, Paulo Cezar Pinto Carvalho e Elon Lages

Lima.

191

outras. Um sistema linear possui solução se, e somente se, a coluna dos termos independentes é

ombinação linear das colunas da matriz do sistema. Um determinante se anula quando, e

somente quando, uma de suas linhas (ou colunas) é combinação linear das demais. Esta

injustificável omissão evidência a falta de preparo de nossos autores. (LIMA, 2001, p. 465)

Embora possa haver uma discordância, ainda que, em relação à crítica sobre

ausência do assunto “vetores” nos livros didáticos de Matemática (atuais) do

nsino Médio, não deixa de ser importante e pertinente a observação na citação

cima. Compartilho aqui da minha surpresa (devido ao desconhecimento do

ssunto) ao encontrar no livro de Maeder dois capítulos destinados ao estudo de

lgumas noções sobre vetores. Mesmo que o autor não tenha aproveitado tal

ssunto para o encaminhamento de matrizes, determinantes e sistemas lineares, é

portuno observar que, em uma época do ensino de Matemática, houve na

scolarização básica o estudo de vetores. Cabe então a questão: Como ele

esapareceu dos livros didáticos de Matemática? Como hipótese, observo que a

isciplina de Física, em determinado momento de sua história, incluiu em seu

rograma o estudo de vetores. Acredito que isso tenha ocorrido pela utilização

uito mais acentuada nessa disciplina do que na Matemática. Assim, com o passar

o tempo, “vetores” migrou para a disciplina de Física.

Ainda em relação a conteúdos que ao longo da história do saber escolar

ram eliminados no ensino de Matemática, temos presente no livro de Maeder o

eorema de Rouché sobre a discussão de soluções de um sistema de equações

neares, via determinantes. Como hipótese, ouso dizer que a resolução de sistemas

e equações lineares mostrou-se mais simples e prática, sem exageros de regras,

elo método do escalonamento. Dessa forma, o teorema de Rouché desapareceu dos

vros escolares de Matemática.

192

2.5.3 C

urso de Matemática – 3º. livro – colégio

FIGURA 81 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1948

193

FIGURA 82 – PÁGINA INICAL DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1948

194

FIGURA 83 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1959

195

FIGURA 84 – PÁGINA INICAL DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COLEGIAL: 1959

196

“De acordo com os programas oficiais”, o livro correspondente a 3ª. série do

ciclo colegial teve sua primeira edição em agosto de 1948 (ver FIGURA 81), conforme

dados apresentados pela Edições Melhoramentos, resumidos a seguir (ver TABELA

13). Ao todo, esse volume teve oito edições. Assim como ocorreu nos livros dessa

Edição Data de publicação Tiragem

1ª. Ago./1948 5 000

4ª. Abr./1954 8 000

GRÁFICO 3 – SOBRE A QUANTIDADE DE IMPRESSÕES – 3ª. SÉRIE

6000

000

mes coleção para as duas séries anteriores, também na 3ª. série as edições podem

ser divididas em dois momentos: da 1ª. a 3ª. edição as publicações seguiam a Portaria

Ministerial n

. 177, de 16 de março de 1943 e, a partir da 4ª. edição, a referência para o

programa, Portaria n

. 996 de 2 de outubro de 1951.

TABELA 13 – EDIÇÕES DO 3º. ANO COLEGIAL

2ª. Abr./1949 6 000

3ª. Fev./1951 6 000

5ª. Abr./1955 10 500

6ª. Abr./1957 6 000

7ª. Mar./1959 8 000

8ª. Fev./1962 3 000

Quantidade de Impressões

3ª. série colegial

8000

10000

4000

2000

1ª. 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª. 7ª. 8ª.

197

relacio

bordados no Ensino Médio, noções de limites, noções também de derivadas, de

convergência.

o de uma função num ponto;

nação da tangente.

Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto. Descontinuidade

5. A equação geral do 2º. grau com duas variáveis e a circunferência de círculo em

Intersecção de retas e circunferências.

rimitivas; interpretações; aplicações.

1. Definição da derivada em um ponto; notações; derivada infinita. Interpretação

geométrica e cinemática da derivada. Diferença e diferencial; interpretação geométrica.

Funções derivadas. Derivada sucessiva.

2. Regras de derivação; derivada de uma constante; de uma função de função; de

funções inversas; da soma, do produto, e do quociente de funções. Aplicação à derivação

de funções elementares.

3. Aplicação da teoria das derivadas ao estudo da variação de uma função. Funções

crescentes e funções decrescentes; máximos e mínimos relativos; interpretação

geométrica.

4. Funções primitivas; integral indefinida; constante de integração. Primitivas imediatas;

regras simples de integração.

Maeder elaborou um livro didático de Matemática formado pelos conteúdos

nados ao estudo de funções, tópicos de Geometria Analítica, que atualmente são

integrais, além de conter o estudo de equações algébricas e polinômios. Há uma

novidade em relação à apresentação dos conteúdos. Antes do índice, o autor indica o

que ele chama de “Plano de desenvolvimento dos programas mínimos do ensino

secundário”, conforme discriminado a seguir. Uma outra observação que julgo

interessante para a história dos saberes escolares é a referência aos conteúdos

destinados, por um lado, ao “curso clássico” e, por outro, ao denominado “científico”,

conforme a seguir:

3ª Série – Ciclo Colegial

I – Conceito de função; representação cartesiana; reta e círculo; noção intuitiva de limite e

de continuidade.

1. Conceito elementar de variável e de função. Variável progressiva e variável contínua;

intervalos. Noção intuitiva de limite de uma sucessão; exemplos clássicos elementares;

2. Funções elementares; classificação. Representação cartesiana de uma função e

equação de uma curva. Curvas geométricas e curvas empíricas; noção intuitiva de

continuidade. Representação gráfica de funções usuais; função exponencial, função

logarítmica e funções trigonométricas diretas. Acréscim

funções crescentes e funções decrescentes. Tangente; incli

3. Limite de variáveis e de funções; limites infinitos. Propriedades fundamentais.

das funções racionais fracionárias.

4. A função linear e a linha reta em coordenadas cartesianas. Parâmetro angular e

parâmetro linear. Formas diversas da equação da linha reta. Representação

paramétrica; área de um triângulo em função das coordenadas dos vértices. Os

problemas clássicos de inclinação, intersecção, passagem e distância, relativos à linha

reta.

coordenadas cartesianas. Formas diversas da equação da circunferência de círculo.

II – Noções sobre derivadas e p

198

5. Integral definida. Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos elementares.

III – Introdução à teoria das equações; polinômios; propriedades; divisibilidade por

;

roblemas de composição, transformação e pesquisa de raízes; equações de tipos especiais.

coeficientes a

1. Polinômios de uma variável; identidade. Aplicação ao método dos

eterminar. Divisibilidade de um polinômio inteiro em x por

± ; regr

a e dispositivo

rático de Ruffini. Fórmula de Taylor para os polinômios; algoritmo de Ruffini-Horner.

. Polinômios e equações algébricas em geral; raízes ou zeros. Conceito elementar de

número complexo; forma binomial; complexos conjugados; módulo; representação

eométrica. Operações racionais. Decomposição de um polinômio em fatores binômios;

número de raízes de uma equação; raízes múltiplas e raízes nulas. Raízes complexas

onjugadas. Indicação sobre o número de raízes reais contidas em um dado intervalo;

orema de Bolzano; conseqüências.

. Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação; aplicação à composição das

quações. Propriedades das raízes racionais inteiras e fracionárias.

. Transformação das equações, transformações de primeira ordem; aditivas,

ultiplicativas e recíprocas.

5. Equações recíprocas; classificação; forma normal; abaixamento do grau.

. Cálculo das raízes inteiras. Determinação das cotas pelo método de Laguerre-Tibault.

egras de exclusão de Newton. Algoritmo de Peletarius.

bservação – Os parágrafos em negrito destinam-se somente ao curso científico; os

emais são comuns ao curso clássico e ao científico. (MAEDER, 1959, p. 4-6)

observação feita ao final da citação evidencia o procedimento de Maeder e

sua editora de fazer um mesmo livro para ser utilizado tanto no “curso clássico”

quanto no “curso científico” para o ciclo colegial. A diferença entre essas duas

modalidades está (é o que posso inferir a partir da programação acima) na existência

de mais conteúdos para o “científico”.

ssim como foi feito para o livro da 2ª. série, procedo com um quadro

comparativo entre os conteúdos, observando os índices de duas edições: 1ª. e 7ª. (ver

QUADRO 28); como já afirmei edições pertencentes a dois diferentes momentos da

escolarização de nosso país na disciplina de Matemática.

essas duas edições, algumas alterações são quase imperceptíveis. Um exemplo

disso é o tratamento dado ao assunto “limites”, que foi mudado da 1ª. para a 7ª. edição

(conforme QUADRO 28) no sentido de evidenciar esse estudo na última dessas

edições, situando-o mais em funções do que em séries. Também pode ser observada

uma valorização no estudo de funções, como pode ser visto na preocupação de Maeder

em destinar os cinco primeiros capítulos da 7ª. edição para abordar “funções” e “limite

de fun eiros capítulos eram destinados ao estudo de

séries e limites de “séries” e, somente no terceiro capítulo que se aborda “funções”.

ções”. Já na 1ª. edição, os dois prim

199

Nesse havia sido capítulo é que Maeder aborda, após uma retomada de “funções” (já

estudada na 1ª. série do colegial), “limites de funções”.

QUADRO 28 – COMPARAÇÃO ENTRE ÍNDICES DA 3ª. SÉRIE (1948 E 1959)

1ª. edição – 1948 7ª. edição – 1959

ítulo I: Sucessões: cálculo aritmético dos limites.

Capítulo II: Séries numéricas

pítulo III: Função de uma variável real

ítulo IV: Derivadas: interpretação geométrica e

cinemática

pítulo V: Cálculo das derivadas

pítulo VI: Derivação das funções elementares

pítulo VII: Derivadas sucessivas

Capítulo VIII: Aplicação das derivadas ao estudo da

ação de algumas funções simples

ítulo IX: Números complexos

ítulo X: Operações sobre números complexos

ítulo XI: Representação trigonométrica e

exponencial dos números complexos. Aplicação

ítulo XII: Propriedades gerais dos polinômios.

Equações algébricas

ítulo XIII: Noções sobre transformações das

equações

ítulo XIV: Equações recíprocas

ítulo XV: Equações de raízes iguais

ítulo XVI: Relações métricas

pítulo XVII: Potência de um ponto; eixos radicais;

anos radicais

Capítulo XVIII: Deslocamentos; translação; rotação;

metria

ítulo XIX: Homotetia e semelhança

pítulo XX: Inversão pelos raios vetores recíprocos

ítulo XXI: Curvas usuais

ítulo XXII: As seções cônicas

pítulo XXIII: Definição e propriedades

fundamentais da hélice cilíndrica

ítulo XXIV: Noções fundamentais de Geometria

alítica

pítulo XXV: Distância de dois pontos. Ponto que

divide um segmento numa razão dada

Capítulo XXVI: Determinação de uma direção.

ngulo de duas direções

pítulo XXVII: Lugares geométricos. Equação dada

ítulo XXVIII: Equação do círculo

pítulo XXIX: Equações reduzidas da elipse, da

pérbole e da parábola.

Capítulo I: Conceito elementar de variável e de

– Limite de uma sucessão

Capítulo II: Funções elementares – representação

cartesiana

Capítulo III: Representação gráfica de funções us

Capítulo IV: Acréscimo de uma função – funções

crescentes e funções decrescentes

Capítulo V: Limite de variáveis e de funções

Capítulo VI: A função linear a linha reta em

coordenadas cartesianas

Capítulo VII: Representação paramétrica – área de um

triângulo em função das coordenadas dos vértices

Capítulo VIII: Problemas relativos à linha reta

Capítulo IX: A equação geral do 2º. grau com dua

variáveis e a circunferência de círculo

Capítulo X: Noções sobre derivadas

Capítulo XI: Regras de derivação

Capítulo XII: Derivação das funções elementares

Capítulo XIII: Aplicações da teoria das derivadas

estudo da variação de uma função

Capítulo XIV: Funções primitivas; integral indefi

Capítulo XV: Integral definida; aplicação ao cálculo

de área e volumes

Capítulo XVI: Polinômios de uma variável

Capítulo XVII: Divisibilidade de um polinômio in

em x por x+a

Capítulo XVIII: Propriedades dos polinômios;

fórmula de Taylor; Algoritmo de Ruffini-Horner

Capítulo XIX: Polinômios e equações em geral;

números complexos

Capítulo XX: Decomposição de um polinômio;

de uma equação

Capítulo XXI: Relações entre os coeficientes e as

raízes de uma equação

Capítulo XXII: Transformação das equações

Capítulo XXIII: Equações recíprocas

Capítulo XXIV: Cálculo das raízes inteiras

Algumas mudanças são significativas (no QUADRO 28 os capít

Cap

vari

Cap

função

uais

ida

tesi

Cap

iro

raízes

los

ublinhados representam assuntos não comuns a essas duas edições). Uma delas diz

speito ao assunto “cônicas”. Enquanto na 1ª. edição o autor destina os capítulos XXI

200

e XX ado. Outra

mudança, também da 1ª. para a 7ª. edição é a exclusão de outros capítulos inteiros.

Nesse caso, desaparecem os seguintes: capítulo XVI - Relações métricas; capítulo

XVII - Potência de um ponto; eixos radicais; planos radicais; capítulo XVIII -

Deslocamentos; translação; rotação; simetria; capítulo XIX-Homotetia e semelhança;

capítulo XX - Inversão pelos raios vetores recíprocos. Alguns assuntos, embora com

títulos diferentes no quadro anterior, sofreram pequenas transformações. Um exemplo

disso pode ser observado no tratamento dado ao estudo de “limites”, outro exemplo é a

forma como foi encaminhado nos dois livros o assunto “números complexos”:

enquanto na edição de 1948 são destinados três capítulos inteiros ao assunto, na edição

de 1959 o mesmo assunto aparece subordinado ao estudo de “polinômios” e “equações

algébricas”, em um único capítulo.

Quanto ao programa oficial, será que os livros de Maeder seguem fielmente?

Nos dois momentos (ver os dois próximos quadros elaborados com base no trabalho de

VECHIA e LORENZ, 1998), o autor paranaense escreve conforme os programas

oficiais, mesmo não fazendo as mesmas divisões “ditadas” por eles.

QUADRO 29 – PROGRAMA OFICIAL – 3ª. SÉRIE : 1942

Curso Clássico

Curso Científico

IX (ao todo são 38 páginas), na 7ª. edição esse assunto não é abord

Álgebra

Unidade I – Funções: 1. Noção de função de variável

real. 2. Representação cartesiana. 3. Noção de limite e

de continuidade.

Unidade II – Derivadas: 1. Definição: interpretação

geométrica e cinemática. 2. Cálculo das derivadas. 3.

Derivação das funções elementares. 4. Aplicação à

determinação dos máximos e mínimos e ao estudo da

variação de algumas funções simples.

Geometria

Unidade III – Curvas usuais: 1. Definição e

propriedades fundamentais da elipse, da hipérbole e da

parábola. 2. As seções cônicas. 3. Definição e

propriedades fundamentais da hélice cilíndrica.

Geometria Analítica

Unidade IV – Noções fundamentais: 1. Concepção de

Descarte 2. Coordenadas: abscissas sobre a reta;

coorden as retilíneas no plano. 3. Distância de dois

pontos; nto que divide um segmento numa razão

dada. 4. Determinação de uma direção; ângulos de

uas direções.

Álgebra

Unidade I – Séries: 1. Sucessões. 2. Cálculo

aritmético dos limites. 3. Séries numéricas. 4.

Principais caracteres de convergências.

Unidade II – Funções: 1. Função de uma variável real.

2. Representação cartesiana. 3. Continuidade; pontos

de descontinuidade de uma função racional.

Unidade III – Derivadas: 1. Definição; interpretação

geométrica e cinemática. 2. Cálculo das derivadas. 3.

Derivação das funções elementares. 4. Aplicação à

determinação dos máximos e mínimos e ao estudo da

variação de algumas funções simples.

Unidade IV – Números complexos: Definição;

operações fundamentais. 2. Representação

trigonométrica e exponencial. 3. Aplicação à

resolução das equações binômias.

Unidade V – Equações algébricas: 1. Propriedades

gerais dos polinômios. 2. Relações entre os

coeficientes e as raízes de uma equação algébrica;

aplicação à composição das equações. 3.

Noções sobre transformações das equações recíprocas;

equações de raízes iguais.

201

QUADRO 29 – PROGRAMA OFICIAL – 3ª. SÉRIE : 1942

Unidade V – Lugares geométricos: 1. Equação natural

de um lugar geométrico; sua interpretação. 2.

Passagem da equação natural para a equação retilínea

retangular. 3. Equação da reta. 4. Equação do círculo.

5. Equações reduzidas da elipse, da hipérbole e da

parábola.

QUADRO 30 - PROGRAMA OFICIAL – 3ª SÉRIE: 1951

Conceito de função; representação cartesiana; reta e círculo; noção intuitiva de limite e de continuidade.

Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações; aplicações.

Introdução à teoria das equações; polinômios; propriedades; divisibilidade por

± ; problemas de

composição, transformação e pesquisa de raízes; equações de tipos especiais.

Após observar, de forma descritiva, esses dois momentos do livro de Maeder em

suas duas edições e efetuar uma comparação entre os programas, a seguir faço alguns

comentários da “leitura” do livro correspondente a 7ª. edição, publicada em 1959.

São, ao todo, 362 páginas de um programa muito extenso conforme pode ser

observado no QUADRO 28, onde detalho o índice desse livro. O programa pode ser

entendido como uma iniciação ao que hoje denominamos cálculo diferencial e integral. O

trabalho com funções é iniciado com seqüências numéricas, mas objetiva o trabalho com

crescimento e decrescimento de funções, de observações gráficas, uma preparação para as

noções de “continuidade” e de “limites”. Isto pode ser constatado, por exemplo, na

representação gráfica da função logarítmica definida por

log

, conforme gráfico

(ver FIGURA 85) extraído do livro de MAEDER (1959, p. 50).

FIGURA 85 – GRÁFICO DE FUNÇÃO LOGARÍTMICA

202

Após apresentar a função logarítmica, o autor prossegue fornecendo “um

quadro de valores correspondentes das variáveis x e y e a imagem gráfica da função”.

O quadro de valores (ver FIGURA 86) relaciona essas duas variáveis.

FIGURA 86 – RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS

Quando Maeder trabalha com no capítulo V, há um cuidado em

apresentar os limite ndo os re exemplo dis ratamento dado ao

limite trigonométri

“limites”,

s justifica sultados. Um so é o t

os, p ilmente lev efeito,

co de circu raio

da da

enx

te pr

, quando x tende a zero. (MAEDER, 1959, p. 82-83): “À

primeira vista, o limi ocurado se apresenta sob a forma de indeterminação

idad

etri

, a

qual, como verem oderá ser fac antada. Com representan a

variável o comprimento de um ar nferência de igual à un e,

podemos estabelecer a dupla desigualdade, já conheci Trigonom a,

203

tgx

senx pp

, de onde se deduz”:

FIGURA 87 – LIMITE TRIGONOMÉTRICO

Um outro aspecto que observo é o tratamento dado ao estudo de números

complexos que é apresentado com um propósito bem definido: resolução de equações

algébricas. Não é considerado um capítulo à parte como nos atuais livros didáticos de

Matemática do Ensino Médio.

Uma pesquisa que pretende contar parte da história dos livros didáticos de

Matemática busca, entre outras coisas, encontrar elementos que permitam situar o

objeto de pesquisa em relação a fatos históricos, documentos que foram produzidos,

programas das disciplinas que evidenciem e indiquem possíveis alterações que são

perceptíveis. Às vezes, os elementos encontrados são pequenas notas de rodapé.

Outras representam alterações mais profundas e saltam aos olhos do leitor, como

xclusões ou inclusões de assuntos inteiros. O que dizer, então, de encontrar algo que

não se procura e que, certamente, da história da disciplina de

Matemática (ou outra disciplina), passou a constituir elemento constante nos livros

didátic

observ

destina

escola

chama

Engen

Univer

São Pa

Engen Escola Politécnica da Pontifícia Universidade Católica do Rio

de Jan

São Pa ivros tais questões?

Seria a

preparo dos alunos que desejavam ingressar nessas instituições? Outras questões

poderi

em to

Matem

em algum momento

os? Pois bem, o elemento encontrado na edição sobre a qual estou aqui fazendo

ações está no final de quatro capítulos, mais precisamente na lista de exercícios

dos aos alunos: questões referenciadas como pertencentes ao ingresso nas

s de Engenharia. Maeder propõe 12 dessas questões que atualmente são

das questões de vestibular. Entre elas aparecem questões da Escola de

haria da Universidade do Paraná (de 1958), Escola de Minas e Metalurgia da

sidade do Brasil – Ouro Preto (de 1955), Escola Politécnica da Universidade de

ulo (de 1955), Escola Nacional de Engenharia (de 1958), Escola Fluminense de

haria (de 1958),

eiro (de 1958) e Faculdade de Engenharia Industrial da Universidade Católica de

ulo (de 1958). Qual o motivo de Maeder incluir em seus l

preocupação de tornar seu livro atraente a tal ponto de ser escolhido para o

am ser levantadas, além da objetividade do autor. Questões que poderiam girar

rno da mudança ou não na forma como um autor conduz os conteúdos de

ática pela inclusão de questões de escolas superiores.

204

elabor

(direta e

modifi

Minist

conteú

para a

mudan

colegia

1951. a disciplina

nas es utor escreveu duas coleções

didátic

s gráficos e tabelas apresentados anteriormente dão conta da extensão do

alcance dos livros escritos por Maeder, não apenas em relação às diversas edições,

como também aos números de volumes de cada tiragem. Para se ter uma idéia, basta

calcular a soma das quantidades apresentadas. São 120 000 exemplares da 1ª. série,

79 000 da 2ª. série e 52 500 da 3ª. série; ao todo 251 500 livros apenas dessa coleção.

FIGURA 88 – DUAS COLEÇÕES PARA O COLÉGIO

Dessa “leitura” da coleção Curso de Matemática para o ciclo colegial, poss

ar algumas conclusões. Além de as comparações feitas entre programas

mente dos índices dos livros, por exemplo) evid nciarem profundas

cações ocasionadas pelas alterações “ditadas” por meio das Portarias

eriais, é possível também observar historicamente o desaparecimento de

dos de Matemática como saber escolar, ou até mesmo a migração de conteúdos

disciplina de Física. Os livros de Maeder são documentos que comprovam

ças acentuadas nos conteúdos de Matemática ao longo das três séries do curso

l, principalmente a partir da Portaria Ministerial n

. 996 de 2 de outubro de

Essas mudanças mostram dois momentos diferentes do ensino dess

colas brasileiras, o que me leva a afirmar que o a

as diferentes para o colégio, como também já havia feito para o ginásio.

1ª. COLEÇÃO PARA O COLÉGIO

205

FIGURA 88 – DUAS COLEÇÕES PARA O COLÉGIO

2ª. COLEÇÃO PARA O COLÉGIO

Após escrever para o “colégi aeder e a editora de São

Melhoramentos) produzem um eção de livros de Matemática. Agora,

objetivo era uma nova modalida omercial básico.

o” M Paulo (Edições

a nova col o

de: ensino c

206

2.6 MATEMÁTICA – CURSO COMERCIAL BÁSICO

Quase dois anos após a edição do decreto n . 4244 sobre o ensino secundário é a

vez do decreto n

. 6141, que cria o ensino comercial no Brasil. Maeder e a Edições

Melhoramentos publicam, a partir de 1952, uma coleção visando a essa nova

modalidade de ensino. Ver capas dessa nova coleção:

FIGURA 89 – COLEÇÃO PARA O CURSO COMERCIAL BÁSICO

O ensino comercial foi criado

Capanema.

governo de Getúlio Vargas, na Refor

943 é baixado o decreto-lei n

6141,

no ma

Em 28 de dezembro de 1

207

regula ial, no capítulo I

, iz:

ganização e de regime do ensino comercial, que é o

o às seguintes finalidades:

ício de atividades específicas no comércio e bem assim

funções auxiliares de caráter administrativo nos negócios públicos e privados.

2. Dar a candidatos ao exercício das mais simples ou correntes atividades no comércio e na

administração uma sumária preparação profissional.

3. Aperfeiçoar os conhecimentos e capacidades técnicas de profissionais diplomados na forma

desta lei. (Decreto-Lei n

6141, 28/12/1943)

Já no capítulo II dessa lei era mencionado que o ensino comercial seria

conduzido em dois ciclos, desdobrando-se em três categorias: cursos de formação,

cursos de continuação e cursos de aperfeiçoamento. O chamado Curso Comercial

Básico estava situado na primeira das três categorias. Configurava-se como o único

curso de formação e teria a duração de quatro anos, destinando-se a “ministrar os

elementos gerais e fundamentais do ensino comercial”, conforme o próprio decreto-lei.

Importante observar que esse curso estava articulado com o então “ensino primário”.

A coleção do autor paranaense para essa modalidade de ensino recebe o título

de Curso Comercial Básico e está dividida em quatro volumes, da 1ª. série a 4ª. série.

Lançada pela Edições Melhoramentos, é a última coleção escrita por Maeder. A 1ª.

série foi publicada, conforme dados da própria editora, em abril de 1952 (1ª. edição)

enquanto a 4ª. série apenas em março de 1959, esse também em sua 1ª. edição.

No volume correspondente a 1ª. série, observei a existência de uma

apresentação a respeito da coleção. Nessa apresentação, o autor procura evidenciar os

objetivos da coleção, o que aparece indicado por “Instruções Metodológicas”. Maeder

divide essas instruções em eiro, fala sobre o ensino de

Matemática e seus doi ial, enquanto no

segundo procura situar eiras séries, observando

como será o desenvolvim as operações elementares e também da

Geometria dedutiva:

I – O ensino de Matemáti

a) atender ao interes es domínios da vida prática,

em particular Curso atinja a finalidade

profissional da formação de auxiliares de escritório;

mentando o ensino comercial. A lei orgânica do ensino comerc

sobre as “finalidades do ensino comercial”

Art. 1º Esta lei estabelece as bases de or

ramo de ensino de segundo grau, destinad

1. Formar profissionais aptos ao exerc

dois tópicos. No prim

s objetivos para a modalidade do curso comerc

esse ensino ao longo das duas prim

ento das chamad

ca no Curso Comercial Básico terá dois objetivos:

se imediato de sua aplicação nos diferent

aos atinentes à atividade comercial, para que o

208

b) como disciplina da cultura geral, atender ao desenvolvimento espiritual do aluno,

linguagem concisa e precisa.

II – Primeira e segunda séries:

Considerando o grau de desenvolvimento mental do aluno, o ensino na

habituando-o ao rigor do raciocínio dedutivo e à explicação clara do pensamento em

s duas primeiras

ries dará preferência às exigências pedagógicas, sem desprezar, no entanto, os

rincípios lógic desperte em seu espírito a

curiosidade da aplicadas e adquira a

o do alcance e natureza das

operações el

Na segunda lhe os conhecimentos

necessários o, o estudo e medida das

grandezas ge o da geometria dedutiva.

(MAEDER, 1962,

e da coleção,

mos aqui uma preocupação do autor em se dirigir aos alunos e professores sobre as

ece ser o grande objetivo da coleção como um todo: o ensino da

Matemática com a finalidade prática e profissional (“auxiliar de escritório”). Mais uma

vez também observo a preocupação com o ensino da geometria via intuição visando a

um estudo posterior da Geometria dedutiva.

2.6.1 Matemática – 1ª. série – ensino comercial

O livro destinado a teve, ao todo, sete

dos fornecidos pela

os em cada tiragem

manteve-se numa m RÁFICO 4), o que

pode denotar um

sé

p os. Assim é que, nessas séries, far-se-á com que

justificação lógica dos princípios e regras

mobilidade do cálculo abreviado e mental pela compreensã

ementares.

série, o ensino da geometria intuitiva terá por fim dar-

para que possa compreender, no sistema métric

ométricas, bem como sirva de base ao futuro estud

p. 1)

Embora essas “instruções” apareçam apenas no prim eiro volum

finalidades da coleção para o Curso Comercial Básico. Também é importante observar

o posicionamento do autor em relação às questões de cunho pragmático da

Matemática, o que par

1ª. série do Curso Comercial Básico

edições (ver TABELA 14) no período de 1952 a 1962, conforme da

Edições Melhoramentos. Nessas sete edições, o número de livr

édia muito próxima de 4 500 livros (observe G

a regularidade na vendagem desse volume.

209

GRÁFICO 4 – SOBRE IMPRESSÕES – 1ª SÉRIE – COMERCIAL

Quantida de Impressões 1

. série

Ensino Comercial

6000

5000

1000

2000

3000

4000

1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a

Edição

Data de publicação

Tiragem

3ª. Fev./1957 5 000

4ª. Abr./1958 5 000

5ª. Jun./1959 5 000

6ª. Dez./1960 5 000

7ª. Fev./1962 4 000

Aparentemente

, as sete edições da 1ª. série referem-se a tiragens, isto é, não

sofreram alterações nos conteúdos. Faço essa afirmação pela observação de algumas

edições (encontrei as seguintes edições: 1ª., 3ª., 6ª. e 7ª.) com as quais fiz uma

confrontação entre os conteúdos.

As observações a seguir correspondem a 7ª. edição de 1962 que, como disse

anteriormente, apresenta uma breve “instrução metodológica”. São 190 páginas divididas

em 18 capítulos. Ao final do livro, Maeder apresenta uma “tábua” de valores de dos

quadrados dos números naturais de 1 a 1 000 e das raízes quadradas dos números naturais

Faço uso do termo “aparentemente” porque as comparações feitas p

TABELA 14

- EDIÇÕES DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

1ª. Abr./1952 3 000

2ª. Fev./1954 4 000

or mim nessas edições dizem

respeito à observação dos conteúdos, quantidades de exercícios, número de páginas de cada edição.

Com isso, não descarto a possibilidade de Maeder ter feito eventuais correções de termos, frases,

respostas que, somente numa confrontação mais rigorosa seria possível detectar.

210

de 1 a 1 000 também, com aproximação de quatro casas decimais. Além disso, apresenta

também os cubos desses números naturais, bem como as raízes cúbicas, com aproximação

de quatro casas decimais.

FIGURA 90 – CAPA DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

211

FIGURA 91 – PÁGINA INICIAL DA 1ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

212

Há, além do índice detalhado dos conteúdos, um “Programa de Matemática” o

ual não faz referência a programas oficiais. O programa é o seguinte:

. 2. Números primos; decomposição

em fatores primos. 3. Maior divisor comum. 4. Menor múltiplo comum.

Unidade IV – Frações ordinárias: 1. Fração de grandeza; noção de fração. 2.

Com 3. Operações

fund

Unidade V – Frações decimais: 1. Noção de número decimal e de fração decimal. 2.

Operações fundamentais. 3. Conversão de frações ordinárias em decimais e vice-versa.

Unidade VI – Potências e raízes: 1. Definições. 2. Operações com potências. 3. Quadrado

da soma de dois números. 4. Potências das frações. 5. Regra prática para extração da

raiz quadrada; aproximação no cálculo da raiz. 6. Uso das tábuas para obtenção do

quadrado, do cubo, da raiz quadrada e da raiz cúbica dos números inteiros e decimais.

(MAEDER, 1962, p. 3)

No capítulo III, observo a preocupação do autor em posicionar o leitor

historicamente em relação a um determinado conteúdo. Já que o capítulo se refere

à moeda, um texto de meia página é construído nesse sentido:

Os povos primitivos praticavam usualmente a troca de objetos de natureza distinta, a fim

overem suas necessidades ess o alimentação e vestiário.

Com efeito, o meio que dispunham para obter determinada mercadoria era a entrega de

outra que já possuíam, seja por produção própria ou aquisição anterior.

Entretanto, como é fácil imaginar, esse gênero de transações apresentava sérias

dificuldades, pois nem sempre coincidiam as conveniências dos interessados.

Para evitar tais embaraços, prejudiciais ao desenvolvimento natural do comércio,

procurou-se adotar uma só espécie de mercadoria que, sendo aceita indistintamente por

todos, viesse facilitar as trocas das demais. Assim surgiu a moeda. (MAEDER, 1962, p. 20)

Considerando que o ensino de Matemática aqui visa ao Curso Comercial

Básico, temos nesse pequeno esboço da história da moeda uma diferenciação

entre o ensino da correspondente Matemática para o curso ginasial. Na seqüência,

Maeder explica o que é preço de um objeto e passa a falar da moeda brasileira da

ruzeiro) citando até o dec e n

. 4791 de 5 de outubro de 1942,

uando da criação do cruzeiro.

Primeira Série: Parte única – aritmética prática

Unidade I – 1. Noção de número inteiro; grandeza; unidade; medida. 2. Numeração

falada e escrita. 3. Numeração romana. 4. Moeda: cruzeiro e sua subdivisão: símbolos.

Unidade II – Operações fundamentais: 1. Adição. 2. Subtração. 3. Multiplicação. 4.

Símbolo das potências. 5. Divisão. 6. Cálculo mental e cálculo abreviado.

Unidade III – Múltiplos e divisores: 1. Divisibilidade

paração, simplificação, redução ao mesmo denominador.

amentais. 4. Problema sobre frações.

de pr enciais, com

época (o c reto-lei d

De um modo geral, posso afirmar que o livro de Maeder cumpre com a proposta

de buscar preparar o aluno para atividades profissionais. Suas explicações são voltadas

213

à utilização da Matemática do comércio, da vida prática. Os “exercícios” apresentam

esse encaminhamento. Algo que chama a atenção é a preocupação em estimular o

cálculo

o curs

inteiro

trata d

divisor autor propõe momentos específicos que

consid

o duas

FIGURA 92 – ENCAMINHAMENTO DE FRAÇÕES

mental (o que também já havia observado na “leitura” do livro de Maeder para

o ginasial): assim, por exemplo, no capítulo IV, referente à adição de números

s, no capítulo V, sobre a subtração de números inteiros, no capítulo VII, que

a divisão de números inteiros, e também no capítulo X, a respeito de maior

comum e menor múltiplo comum, o

tratam do cálculo mental.

As frações são apresentadas inicialmente a partir de medidas. “Consideremos a

régua de madeira vista na figura a seguir (observe a FIGURA 92). Imaginando-a

cortada em duas, em três, em quatro, ... partes iguais, poderemos dar a cada uma

delas denominação especial, metade, um terço, um quarto, etc.” (MAEDER, 1962,

p. 87). Esse tratamento dado às frações é utilizado também para comparar frações nas

situações apresentadas pelo autor. Por exemplo, para comparar 4/5 com 4/7, ele

era um segmento unitário que é dividido em cinco partes e a partir dele constrói

um outro segmento correspondente a quatro dessas cinco partes. Logo a seguir, ele

divide o mesmo segmento unitário em sete partes e constrói um outro correspondente a

quatro dessas sete partes. Os dois segmentos são comparados, visualmente, para levar

o leitor a perceber que 4/5 é maior que 4/7. Conclui dizendo que “quand

frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem o menor denominador”.

(MAEDER, 1962, p. 95)

214

No capítulo XVI, que trata do assunto potências, há uma interessante ilustração

xilia na compreensão do quque au adrado da soma de dois números. É a relação entre o

estudo

Geome

medin

dois re unidades por 3 unidades. Nesse item, o autor utiliza o

cálculo

dois n

primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo” (MAEDER, 1962, p. 147).

Essa conclusão vem após esse trabalho com a área.

FIGURA 93 – POTÊNCIA DE UMA SOMA

de potência (situado no assunto “aritmética”) e cálculo de área (estudo de

tria). A ilustração (ver FIGURA 93) é formada por um quadrado de lado

do 9 unidades, dividida em dois quadrados de lados 6 unidades e 3 unidades e

tângulos de lados 6

de área de retângulo e quadrados para concluir que “o quadrado da soma de

úmeros é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do

215

2.6.2 Matem

FIGURA 94 – CAPA DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

ática – 2ª. série – ensino comercial

216

FIGURA 95 – PÁGINA INICIAL DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

217

Maeder escreve o livro da 2ª. série sem fazer menção ao programa, como, por

exemplo, fez na 1ª. série. O volume, sobre o qual passo agora a fazer alguns

comentários, corresponde a 6ª. edição, de 1962, com 210 páginas ao todo. Apesar de

não ter o programa, entendo que acaba cumprindo com os objetivos apontados no livro

da 1ª. série. Faço essa observação considerando que os assuntos presentes no livro da

2ª. série estão voltados à Matemática comercial. Sendo assim, o livro é destinado a

preparar os alunos para o mercado do trabalho, conforme a apresentação do próprio

autor no livro da 1ª. série. É claro que além desses assuntos também estão presentes

nessa série os assuntos voltados à Geometria e também ao sistema métrico, conforme

quadro a seguir, formado com base no índice da 2ª. série.

QUADRO 31 – CAPÍTULOS DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

Capítulo I: Sólidos geométricos, superfície, linha, ponto.

Capítulo II: Plano, reta, semi-reta, segmento.

Capítulo III: Ângulos.

Capítulo IV: Posições relativas de retas e planos; paralelas; perpendiculares e

oblíquas.

Capítulo V: Polígonos; triângulos e quadriláteros.

Capítulo VI: Círculo.

Capítulo VII: Poliedros; corpos redondos.

Capítulo VIII: Sistema métrico.

Capítulo IX: Problemas e exercícios sobre o sistema métrico.

Capítulo X: Números complexos: unidades de ângulo e de tempo. Sistema inglês de

pesos e medidas. Moeda inglesa.

Capítulo XI: Operações com números complexos.

Capítulo XII: Razões e proporções

Capítulo XIII: Médias.

Capítulo XIV: Grandezas proporcionais.

Capítulo XV: Divisão proporcional.

218

Capítulo XVI: Regra de três.

Capítulo XVII: Percentagem.

Capítulo XVIII: Juro simples.

Um olhar mais atento para o índice (ou o resumo desse índice, conforme

UADRO 31) é suficiente para perceber que vários dos termos que são utilizados por

aeder não são mais utilizados nos livros didáticos de Matemática de nossos dias.

ssim, por exemplo, a denominação “números complexos” para representar medidas

exagesimais como o tempo e o ângulo não são mais designados dessa forma. Um

outro exemplo é o estudo das unidades inglesas de medidas que também não é mais

abordado como um conteúdo específico.

este volume, o assunto inicial é o trabalho com tópicos da Geometria espacial,

seguid Geometria de posição (planos, retas e posições relativas), passando para a

Geometria plana e, antes de entrar no sistema métrico, retorna ao estudo de Geometria

espacial. Só então Maeder desenvolve os tópicos referentes a proporções, porcentagem

e juro simples. Em relação ao encaminhamento dado à Geometria espacial, o autor

destina um capítulo inteiro (capítulo VII) para descrever os poliedros e os corpos

redondos e seus elementos (ver FIGURA 96). No capítulo seguinte, destinado ao

assunto “Sistema métrico”, o autor apresenta, por exemplo, sem justificar, as fórmulas

que permitem obter o volume de alguns desses sólidos.

FIGURA 96 – CORPOS REDONDOS

a de

219

Ao todo, o livro destinado a 2ª. série do Curso Comercial Básico teve seis

edições, a primeira em 1954 e a última edição em 1962 (ver TABELA 15). Assim

o ocorreu no volume destinado a 1ª. série, uma regularidade no número de tiragens

dá indícios da aceitação e utilização da obra de Maeder. Essa regularidade pode ser

ais bem observada a partir de um gráfico de colunas (ver GRÁFICO 5) em que o

ero de tiragens ao longo dessas edições está muito próximo de 4 000 por edição.

TABELA 15 - EDIÇÕES DA 2ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

Edição Data de publicação Tiragem

1ª. Dez./1954 3 000

2ª. Mar./1957 5 000

3ª. Out./1958 5 000

4ª. Nov./1959 5 000

5ª. Dez./1960 4 000

6ª. Fev./1962 3 000

GRÁFICO 5 – SOBRE IMPRESSÕES – 2ª. SÉRIE – COMERCIAL

Quantidade de Impressões

2ª. série Ensino Comercial

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1ª. 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª.

com

núm

220

2.6.3 M

atemática – 3ª. série – ensino comercial

FIGURA 97 – CAPA DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

221

FIGURA 98 – PÁGINA INICIAL DA 3ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

222

A 3ª. série do Curso Comercial Básico, diferente dos dois volumes anteriores,

não apresenta diretamente conteúdos de Matemática comercial ou Matemática

financeira, como atualmente concebemos. Observo que os conteúdos presentes nesse

livro correspondem àqueles tópicos que hoje são normalmente estudados, em sua

maioria, na 7ª. série e na 8ª. série do Ensino Fundamental. Uma exceção apenas são os

“números relativos” que, geralmente, é abordado na 6ª. série.

Conforme dados fornecidos pela editora, o livro destinado a 3ª. série do Curso

Comercial Básico teve, ao todo, três edições:

TABELA 16 – AL BÁSICO

Edição

EDIÇÕES DA 3ª. SÉRIE DO CURS

Data de publicação

Dez./1958

Nov./1959

3ª. Fev./1962

O livro que investiguei corresponde a

ão 252 página

O COMERCI

Tiragem

5 000

1ª.

2ª.

3 000

3ª. edição, publicada pela Edições

Melhoramentos no ano de 1962. S s e contém já em seu início (diferente

do volume anterior) o “programa de Matemática” para a 3ª. série é assim dividido:

Parte única – Álgebra

nidade I – Números relativos: 1. Noções concretas; 2. Operações.

nidade II – Expressões algébricas: 1. Classificação e valor numérico das expressões

algébricas; 2. Monômios e polinômios; 3. Ordenação e redução de termos semelhantes.

nidade III – Operações algébricas: 1. Adição, subtração e multiplicação de polinômios;

2. Potência inteira de um monômio; produtos notáveis; 3. Divisão por um monômio; 4.

asos simples de fatoração. Aplicações.

nidade IV – Frações algébricas: 1. Definição; propriedades; 2. Frações racionais;

mplificação, redução ao mesmo denominador, operações fundamentais.

nidade V – Equações do primeiro grau: 1. Equação, identidade; equações equivalentes;

2. Resolução e discussão de uma equação com uma incógnita; 3. Resolução e discussão de

m sistema de duas equações com duas incógnitas; 4. Resolução de sistema de três

equações com três incógnitas; 5. Problemas do primeiro grau.

Coordenadas cartesianas no plano; 2.

primeiro grau com duas incógnitas; 3.

Resolução gráfica de um sistema de duas equações com duas incógnitas; interpretação

gráfica da discussão.

Unidade VI – Representações gráficas: 1.

Representação gráfica de uma equação do

223

224

Com o pretexto de dar uma representação gráfica da solução (ver FIGURA 99),

ou das possibilidades de solução, de um sistema formado por duas equações do 1º.

grau nas incógnitas x e y, o autor fornece uma noção do conceito de função no capítulo

Unidade VII – Desigualdades do primeiro grau: 1. Resolução de desigualdades do

primeiro grau com uma incógnita; 2. Sistemas de desigualdades com uma ou duas

cógnitas.

nidade VIII – Números irracionais: 1. Grandezas incomensuráveis; noção de númer

racional; 2. Raiz enésima de um número; radicais; valor aritmético de um radical;

álculo aritmético dos radicais; 4. Frações irracionais; casos simples de racionalização

e denominadores.

nidade IX – Equações do segundo grau: 1. Resolução; 2. Discussão; existência das

raízes no campo real; 3. Relações entre as raízes e os coeficientes; aplicações simples;

omposição da equação do segundo grau; 5. Resolução de sistemas simples do segundo

grau; 6. Problemas do segundo grau. (MAEDER, 1962, p. 3)

o programa, o autor deixa claro que nesta série o estudo de Matemática fica

restrito ao estudo da “Álgebra”, embora o primeiro capítulo aborde os números

inteiros, positivos e negativos. O índice é extenso e detalhado, mantendo-se coerente

com os anteriores nesse aspecto.

FIGURA 99 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA

XIII. que

Assim, apenas como exemplo, afirma que “toda expressão algébrica

contém uma ou diversas variáveis é função dessa ou dessas variáveis” (MAEDE

1962, p. 171). Em nota de rodapé, o autor acrescenta que “a noção aqui dada é muito

elementar”: para exemplificar tal noção, comenta que “o salário de um operário é

função da duração do seu trabalho”, provavelmente porque no contexto da época

havia uma relação direta do salário com o número de horas trabalhadas. Isso é possível

observar pelo comentário que o autor faz logo após, ao generalizar a situação de um

operário que recebe 15 cruzeiros por hora de trabalho; sendo assim, se trabalhar

horas, receberá um salário s correspondente a 15.t, isto é, s = 15t.

No capítulo XV, sobre números irracionais e radicais, há uma discussão sobre

grandezas comensuráveis e grandezas incomensuráveis sob o pretexto de uma

ampliação de noções de medição de grandezas. Maeder cita três possibilidades quanto

a duas grandezas quaisquer que ele representa pelas letras A e B. Na primeira

possibilidade, a grandeza B está contida em A n vezes, resultando que

sendo que n é um número natural. Já no segundo caso, “pode suceder que A nã

contenha um número exato de vezes B, mas sim certo número de partes em que se

pode dividir a grandeza B”. Neste caso, a medida A será, segundo o autor, expressa

por um número fracionário, ou seja,

Nesses dois casos, em que as grandezas admitem medida comum, elas são

apresentadas como grandezas comensuráveis. O terceiro caso, citando ainda as

grandezas representadas por A e B, o autor observa que “pode suceder ainda que

uma delas não contenha um número exato de vezes a outra, nem as partes em que

esta se divida”, sendo então grandezas que não admitem medida comum, isto é,

grandezas incomensuráveis. (MAEDER, 1962, p. 199)

225

2.6.4 M

FIGURA 100 – CAPA DA 4ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

atemática – 4ª. série – ensino comercial

226

227

FIGURA 101 – PÁGINA INICIAL DA 4ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

A coleção Curso Comercial Básico, de Maeder, editado pela Edições

Melhoramentos, finaliza com o volume destinado a 4ª. série. São 296 páginas

divididas, no programa, em duas partes. Na primeira parte o autor trabalha com o

assunto denominado “Aritmética comercial”, enquanto na outra parte, aborda os

conteúdos tradicionalmente conhecidos como propedêuticos.

O índice é muito detalhado, pois são apresentados os assuntos abordados ao

longo de praticamente dez páginas. O volume sobre o qual passo agora a fazer

algumas ob é assim

apresentado nas p e 4:

PRIMEIRA PARTE

ARITMÉTICA COMERCIAL

Unidade I: 1 oporções – 2 proporcionais Divisão em partes

proporcionais. Regra de Sociedade. – 4. Percentagem.

Unidade II: Operações sobre me 1. Preço de venda. – 2. Lucro e

prejuízo. – 3. Problemas de deter usto, venda, l a de percentagem. –

4. Abatimentos sucessivos.

SEGUNDA PARTE

GEOMETRIA IVA

Unidade 1: Conceito de geometria dedutiva. – 1. Proposições, definições, teoremas – 2.

Noções primárias; postulados. – e, tese, demonstração. – 4. Métodos de

emonstração.

nidade II: Ângulos e triângulos. – 1. Definições. – 2. Propriedades dos ângulos. – 3.

efinições sobre

triângulos. – 5. Propriedades do triângulo isósceles. – 6. Igualdade de triângulos. – 7.

Aplicações.

Unidade III: Perpendiculares e oblíquas. – 1. Definições. – 2. Teoremas. – 3. Aplicações:

lugares geométricos; igualdade de triângulos retângulos. – 4. Simetria axial e central.

Unidade IV: Paralelas. – 1. Definições. – 2. Teoremas. – 3. Aplicações aos ângulos e

triângulos.

Unidade V: Polígonos. – 1. Decomposição em triângulos. – 2. Soma dos ângulos internos e

externos. – 3. Diagonais. – 4. Estudo especial dos quadriláteros.

Unidade VI: Círculo. – 1. Determinação do círculo. – 2. O ponto em relação ao círculo;

distância de um ponto a uma circunferência. – 3. A reta em relação ao círculo; tangentes

e secantes; propriedades das tangentes, dos diâmetros e das cordas. – 4. O ângulo em

relação ao círculo: correspondência entre arcos e ângulos. – 5. Posições relativas de duas

circunferências.

Unidade VII: Linhas proporcionais. Semelhança. – 1. Segmentos determinados sobre

transversais por um feixe de paralelas. – 2. Linhas proporcionais no triângulo;

propriedades das bissetrizes de um triângulo. – 3. Divisão harmônica. – 4. Semelhança de

gulos; semelhança de polígonos. – 5. Aplicações: Construções geométricas

ade VIII: Relações métricas. – 1. Definições. – 2. Relações métricas no triângulo

retângulo. – 3. Relações métricas nos triângulos obliquângulos. – 4. Cálculo da altura de

um triângulo. – 5. Relações métricas no círculo. – 6. Divisão em média e extrema razão. –

7. Construções geométricas.

Unidade IX: Polígonos regulares convexos. – 1. Definições. – 2. Propriedades. – 3.

Construção e cálculo do lado do quadrado, do hexágono regular, do triângulo eqüilátero

servações é o da 2ª. edição, de 1962, cujo programa de Matemática

áginas 3

. Pr . Números . – 3.

rcadorias. –

minação de c

custo e

ucro, tax

DEDUT

3. Hipótes

Aplicações; medida dos ângulos, unidade. Sistemas de medida. – 4. D

triân .

Unid

228

e do decágono regular. – 4. Cálculo dos apótemas dos mesmos polígonos. – 5. Lado do

polígono de 2n lados em função de n lados. – 6. Semelhança dos polígonos regulares.

Unidade X: Medição da circunferência. – 1. Definições. – 2. Razão da circunferência para

o diâmetro; cálculo de

. – 3. Expressões de comprimento da circunferência e de um

arco; o radiano.

ras planas.

“ s

obser

ropr

transform

Unidade XI: Áreas planas – 1. Definições. – 2. Medição das áreas das principais figu

– 3. Relações métricas entre áreas. – 4. Teorema de Pitágoras. (MAEDER, 1962, p.3-4)

No capítulo I, a respeito do estudo das proporções (conforme FIGURA 102) há

item sobre as transformações de uma proporção. Nele, o autor escreve que,

trocando convenientemente a posição dos termos de uma proporção, podemo

escrevê-la de oito maneiras diferentes” (MAEDER, 1962, p. 19). As mudanças

v das pelo autor são de “alternar” os meios ou os extremos da proporção,

“inverter” os termos considerados meios com os extremos e “transpor”, isto é, mudar a

“colocação das razões”. Apesar de parecer, num primeiro olhar, um item

desnecessário, observo que a idéia do autor é chamar a atenção do leitor para as

possíveis transformações de uma mesma proporção. Comento isso devido ao cuidado

tal assunto é apresentado nas páginas seguintes, quando da discussão das

iedades diversas de uma proporção. Não são apresentadas como formulário, isto

é, como algo a ser memorizado. Ao contrário, são devidamente justificadas a partir de

ações que não alteram a veracidade de uma dada igualdade.

FIGURA 102 – ENCAMINHAMENTO DE PROPORÇÃO

com que

229

Não poderia deixar de observar um tópico abordado no capítulo III sobre

nto do

ciedade

(prim eles

pótese”,

etria

Como o raciocínio logicamente desenvolvido não pode conduzir de uma premissa

verdadeira a uma conclusão falsa, concluímos que a negativa da tese é falsa, e portanto,

que a tese é verdadeira. (MAEDER, 1962, p. 80)

divisão em partes proporcionais e regra de sociedade. Ao discorrer sobre a regra de

sociedade, o autor, antes de dar uma definição, escreve que “os lucros ou prejuíz

que se podem verificar nos empreendimentos comerciais devem ser distribuídos

aos que dele participam segundo um critério determinado”. (MAEDER, 1962, p.

46) Ele acrescenta tal critério, de um modo geral, levando em conta dois aspectos:

capital investido e o tempo de participação na sociedade. Menciono isso por considerar

a preocupação do autor em apresentar um contexto para o encaminhame

conteúdo. Ele considera como “regra de sociedade simples” aquela em que os sócios

participam com capitais diferentes, mas permanecem o mesmo tempo na so

eiro caso), ou aquela em que os capitais dos sócios são iguais, porém

permanecem tempos diferentes na sociedade (segundo caso); denomina “regra de

sociedade composta” aquela em que os sócios permanecem tempos diferentes com

capitais diferentes.

Quanto à segunda parte do programa de Matemática do volume destinado a 4ª.

série do Curso Comercial Básico, é possível constatar a preocupação de Maeder

quanto à explicação dos termos utilizados na “Geometria dedutiva”, o que também já

havia ocorrido nas outras obras, já comentadas anteriormente nessa “leitura”. Assim,

nas páginas 78, 79 e 80 termos como “proposição”, “proposições fundamentais”,

“proposições deduzidas”, “teoremas”, “entes abstratos”, “postulados”, “hi

“tese”, “demonstração” e até “corolários” são explicados pelo autor. Ele chama a

atenção para um item sobre os métodos de demonstração existentes na Geom

dedutiva:

Os métodos de demonstração mais usuais em Geometria são os seguintes:

a) Demonstração direta, segundo a qual, partindo da hipótese, mediante raciocínio

rigoroso chega-se à conclusão de que é verdadeiro o que afirma a tese.

b) Demonstração indireta ou pela redução ao absurdo, a qual consiste em se provar que o

contrário do que afirma a tese é absurdo.

Para isto, admite-se inicialmente a negativa da tese; depois, partindo dessa hipótese,

deduzem-se outras afirmações, até chegar-se a uma que seja falsa.

230

Uma outra observação sobre este livro do autor paranaense é a presença do

conceito de simetria. Embora no livro tenham sido destinados apenas três páginas a

esse assunto e haja a preocupação voltada a figuras geométricas que são simétricas,

Maeder finaliza o assunto dando um exemplo de simetria presente na natureza. “Entre

a variedade enorme de figuras simétricas que nos oferece a natureza, damos um

exemplo na figura abaixo”, isto é, exibe uma ilustração (FIGURA 103) que representa

uma co

FIGURA 103 – EIXO DE SIMETRIA NUMA CONCHA

O livro correspondente a 4ª. série do Curso Comercial Básico teve apenas duas

ediçõe quanto a 2ª. edição

ocorre

Maede

ncha.

s (ver TABELA 17). A 1ª. edição é de dezembro/1960, en

u em fevereiro/1962. Esse livro é o último livro de Matemática escrito por

TABELA 17 – EDIÇÕES DA 4ª. SÉRIE DO CURSO COMERCIAL BÁSICO

Edição Data de publicação Tiragem

1ª. Dez./1960 5 000

2ª. Fev./1962 3 000

231

Não acredito que esse número reduzido de edições possa dar indicativos do

insucesso dessa obra. Antes, prefiro aceitar que simplesmente houve a interrupção

dessas

Será q

ensino

ublicação dos livros de Maeder resolveu simplesmente deixar de lado essa

odal

ue o movimento gerado em torno da chamada

atemática Moderna também influenciou na extinção, pelo menos em parte,

dessa modal

s acima me conduziu inicialmente a

rocurar entender um

ARTINS (1984 niversidade

ederal do Paran

gressei como e

ue aconteceu em no estado do Paraná, ao longo de

lgumas décadas crita de Maeder. Assim, foi possível

ompreender que, qua o secundário (pela

eforma Capane rso ginasial, podia

gressar no segu a das modalidades do

enominado “ensi

s opções? Essas modalidades

stavam divi ial, agrícola, normal e o

ecundário. Apen is o que era esse Ensino

ecundário originado a partir do decreto-lei n

. 4244 de 9 de abril de 1942,

tiragens por conta da extinção dessa modalidade de ensino em nosso país.

ue a reforma do ensino que ocorreu alguns anos após o decreto que criara o

comercial viria para encerrá-lo? Quais foram os reais motivos do fim do

comercial nas escolas brasileiras? Será que a editora responsável pela

m idade de ensino por não representar um mercado comercial lucrativo? O

fato é que a última edição do Curso Comercial Básico, de Maeder, ocorreu na

mesma época das demais edições tanto para o ginásio quanto para o colégio;

assim, tenho como hipótese q

idade de ensino.

A busca de respostas para as questõe

pouco mais a estrutura do ensino brasileiro da época.

) foi um dos primeiros trabalhos produzidos na U

á, no setor de Educação, com o qual tive contato quando

studante. Sua leitura me proporcionou traçar um panorama do

nosso país, em particular

que abrangem toda a es

ndo o estudante terminava o primeiro cicl

ma), isto é, concluía os quatro anos do cu

ndo ciclo secundário, em qualquer um

no médio

”. Mas quais eram essa

didas em cursos: comercial, industr

as para compreender um pouco ma

232

acredito que assim pode ser interpretado:

Esta denominação de “ensino médio” pode ser encontrada no trabalho de MARTINS (1984, p. 175).

Ensino Secundário

→









→→

→

Científico Curso

Colegial Cursoanos) (3 ciclo 2º

Ginasial Curso anos) (4 ciclo 1º

Maeder escreveu livros, como já mostrado aqui, para os dois ciclos do Ensino

Secundário (Curso de Matemática para o ginásio e Curso de









Clássico Curso

Matemática para o

documento: “o

primeiro ciclo do ensino comercial compreenderá um só curso de formação: o curso

comercial básico”. Dessa forma, pode-se concluir que ou o estudante ia para o ginásio

(duração de quatro anos) ou optava pelo ensino comercial (também de duração de

quatro anos).

Essa foi a última obra editada pela Edições Melhoramentos tendo como autor o

paranaense Algacyr Munhoz Maeder.

colégio). E o chamado Curso Comercial Básico, onde se enquadrava?

Segundo a Lei Orgânica do Ensino Comercial, apresentada sob o decreto-lei n

6141de 28 de dezembro de 1943 em seu Artigo 2º., esclarece que essa modalidade de

ensino “será ministrada em dois ciclos”. É no primeiro desses ciclos que se enquadra a

coleção escrita por Maeder, conforme o Artigo 4º. desse mesmo

233

2.7 CONCLUSÕES DE UMA LEITURA

lexão sobre a

a área de

arães

tor de

s idéias

história.

to. Digo

a parte

dática

A “leitura” da obra produzida por Maeder me permitiu uma ref

difusão, nos meios acadêmicos, de alguns personagens em detrimento de tantos outros.

Isso é muito mais forte quando se está diante de um artigo, de uma publicação a

respeito da nossa história.

Em se tratando da história daquilo que hoje é reconhecido como um

estudo denominada Educação Matemática, isso também se faz presente.

Evidentemente que alguns estudiosos se notabilizaram por suas realizações, suas

produções e posicionamentos, tomados de forma corajosa diante de propostas que

acenavam por mudanças radicais no ensino da Matemática, muitas vezes tomando

posições contrárias àquelas desejadas pela elite dominante, outras vezes simplesmente

aceitando que as mudanças eram necessárias.

Temos, entre alguns personagens, o nome Euclides de Medeiros Guim

Roxo, que teve papel importantíssimo nas reformas promovidas no nosso país na

época em que Maeder era autor. É inegável também o papel de Roxo como au

livros didáticos de Matemática. É extraordinário saber, por exemplo, que “dua

defendidas por Euclides Roxo perduram até hoje: o estudo simultâneo – e

preferencialmente integrado – das várias áreas da Matemática elementar, e a presença

da Matemática em todas as séries do currículo” (CARVALHO, 2003, p. 150).

Agora, essa “leitura” sobre o trabalho produzido por Maeder como autor m

leva a tomar um cuidado maior em não ser levado a querer idolatrar esse ou aquele

personagem de forma isolada, sem considerar que estou diante de parte da

Muitos outros ajudaram a construir a nossa história e continuam no anonima

isso, porque, ao me envolver numa pesquisa de cunho histórico e que aborda um

da produção cultural de nosso país, fiquei, de certa forma, “envolvido” com

capacidade de Maeder como autor. Num primeiro momento, Maeder incitou-me a

querer colocá-lo como “o grande personagem” da história recente da produção di

de nosso país. Talvez isso se deva ao fato de não ter sido dado o destaque que julgue

necessário ao trabalho desse autor.

234

a de

eram ou

com

e Matemática foi encaminhado nas escolas brasileiras desde o início dos anos de

940 até o início dos anos de 1960. Além disso, esclarecem como as mudanças

Postulo, nessa parte da história aqui contada sobre os livros de Matemátic

autores brasileiros, que Maeder teve sua contribuição. As referências observadas em

seus livros, os métodos utilizados nos encaminhamentos de diversos conteúdos e os

programas propostos para o desenvolvimento da disciplina de Matemática, me levam a

considerá-lo um personagem de relevância para todos aqueles que desejam conhecer a

história da Matemática a partir da produção de livros de Matemática. Seus livros foram

publicados em uma época de intensa discussão sobre a modernização do ensino da

Matemática. Acompanharam também reformas importantes de nosso ensino, a

começar por aquelas da Era Getúlio Vargas. Seus livros ainda estavam sendo

utilizados nos bancos escolares (pelo menos como fontes de consulta por parte de

professores e alunos) quando nas ruas brasileiras os exércitos conduziam pessoas para

o exílio durante o Golpe de 1964.

Os livros de Maeder podem ser considerados documentos da história dos

saberes escolares, não apenas por mostrarem os saberes ensinados ou o modo como

ensinados, mas porque são registros de diversos conteúdos que desapareceram

perderam importância na disciplina de Matemática.

Em relação à coleção Lições de Matemática, esse “documento” registra, assim

o outros livros didáticos contemporâneos, como se formou a disciplina de

Matemática unificada pela junção de ramos como Aritmética, Álgebra e Geometria.

Essa coleção evidencia que as idéias de Félix Klein, defendidas pelo brasileiro

Euclides Roxo, rebatida por diversos personagens brasileiros, foram implantadas no

ensino de Matemática. Certamente não na amplitude que inicialmente foi preconizada,

mas com idéias que melhoraram o aprendizado. A idéia de função permeando os

diversos ramos, servindo, mesmo que timidamente, como um elo unificador. A

intuição apareceu como um procedimento que, aos poucos, se fez presente no ensino

da Matemática, derrubando boa parte do formalismo exagerado que havia.

Observando os Cursos de Matemática, escritos por Maeder, tanto para o ginási

o para o colégio, observo nesses livros documentos que evidenciam como o ensino

235

ocorre

para a formação dos

é assim que interpreto) da escola brasileira em preparar

a juventude para o in de trabalho.

ram a partir de reformas e documentados por meio de Portarias que emergiram

durante todo esse período. Representam documentos também porque detalham os

conteúdos que num momento eram objetos de estudo e em outro simplesmente

desapareciam da disciplina de Matemática, chegando até a migrar para outra disciplina

ou mesmo deixar de ser considerados como necessários

estudantes.

E o que dizer da modalidade voltada ao ensino comercial básico? Apesar da

curta existência, conforme edições, Maeder e a Edições Melhoramentos deram a sua

contribuição numa “tentativa” (

gresso no mercado

236

3 TRIBUNAS DE EDUCADORES

(...), mas não devia renunciar àquilo a que Alfonso Reyes na

Homilia por la cultura chamou a “profissão do homem”, isto

é, o sentimento do humano, os estudos desinteressados e o

culto pelas idéias gerais, que são o que há de

verdadeiramente humano em nós e são em nós o que há de

verdadeiramente social.

Fernando de Azevedo

Fernando de Azevedo escreve a frase acima em seu livro A cultura brasileira.

Ele chama a atenção para aquilo que considera fundamental no aspecto humano e

social. Também nessa mesma obra é possível se ter uma idéia da atmosfera existente

no Brasil durante a década de 1920, onde os movimentos em prol de uma educação

cada vez melhor são descritos não por alguém distante, como um ator coadjuvante.

Fernando de Azevedo é um personagem da época que se fez presente de forma ativa.

Como redator do jornal O Estado de São Paulo, em 1926, o próprio AZEVEDO

(1971, p. 655) assim se refere ao seu trabalho:

“organizou e dirigiu, nesse grande diário o maior inquérito que se promoveu entre

professores, sobre o ensino de todos os graus, orientando os debates nos seus artigos de

introdução e nos seus questionários, comentando os depoimentos nos seus artigos finais,

levantando as questões educacionais de maior interesse e encarando-as, como o fizeram alguns

professores interrogados, não somente de ponto de vista pedagógico, mas ainda sob seus

aspectos filosóficos e sociais”. (AZEVEDO, 1971, p. 655)

É um período de verdadeira ebulição de idéias relacionadas às questões

educacionais situado em um movimento renovador análogo ao que ocorreu um pouco

depois com a arte e a literatura na denominada Semana da Arte Moderna.

A Associação Brasileira de Educação

desempenhou um papel muito

importante para a discussão de idéias, congregando inicialmente os educadores do Rio

A Associação Brasileira de Educação foi fundada em 1924 por Heitor Lira. A esse respeito, o

próprio Azevedo diz se tratar de uma sociedade de educadores. Sendo a “primeira que se instituiu no

Brasil, com caráter nacional, foi, sem dúvida, um dos instrumentos mais eficazes de difusão do

pensamento pedagógico europeu e norte-americano, e um dos mais importantes, se não o maior centro

de coordenação e de debates para o estudo e solução dos problemas educacionais, ventilados por todas

as formas, em inquéritos, em comunicados à imprensa, em cursos de férias e nos congressos que

promoveu nas capitais dos Estados”. (AZEVEDO, 1971, p. 655).

237

de Janeiro para, a seguir, colocá-los em contato com outros pelo país por meio da

convocação de congressos ou conferências de educação. Como conta Azevedo, três

desses congressos foram realizados “antes do advento da Revolução”: 1927 (em

Curitiba); 1928 (em Belo Horizonte) e 1929 (em São Paulo).

Em artigos de jornais da época, a partir dos chamados inquéritos promovidos

por Azevedo, esses veículos de comunicação passaram a ser considerados como

verdadeiras tribunas dos educadores. Mas, muitas vezes, o que se viu não foram

apenas discussões a respeito de programas educacionais, mas entusiasmados debates

que acabaram sendo desviados, algumas vezes, para questões pessoais. Exemplo disso

é citado por CARVALHO (in VALENTE, 2003, p. 114) quando da “violenta polêmica

travada” entre Almeida Lisboa e Euclides Roxo. Tal polêmica, que envolveu dois

professores de Matemática do Colégio Pedro II, teve como tribuna o Jornal do

Commercio do Rio de Janeiro e, como objeto principal (ou inicial) de discussão, um

livro didático de Matemática de Euclides Roxo: O Curso de Matemática Elementar.

Algacyr Munhoz Maeder, em 1933, lança em Curitiba o seu livro Álgebra elementar

– 3ª. edição, publicado pela Typ. João Haupt e Cia., conforme citado (ver FIGURA 104).

Seria esse o primeiro livro de Maeder que alcançaria outras fronteiras além do Estado do

Paraná e também o início de uma polêmica que envolveria alguns personagens e veículos

de comunicação. Entre as personalidades principais dessa discussão

estão, de um lado,

Salomão Serebrenick e, de outro, Algacyr Munhoz Maeder; outra personalidade envolvida

é J. C. Mello e Souza (o Malba Tahan). A chamada tribuna do educador é dividida em duas

publicações de destaque: a Revista Brasileira de Matemática e o jornal Gazeta do Povo, de

Curitiba. Uma terceira tribuna é utilizada em defesa do autor paranaense e ataque à Revista

Brasileira de Matemática: um “folheto” publicado em maio de 1933 pelo professor Jacomo

Stávale, em São Paulo, pela Companhia Editora Nacional. O jornal Gazeta do Povo

também foi novamente palco, assim que vou considerar aqui, de uma tribuna formada por

conterrâneos e amigos de Maeder que vieram em sua defesa, levantando questões que vão

No QUADRO 32 – ELEMENTOS DE UMA DISCUSSÃO (um pouco mais adiante) procuro, por

meio de uma ilustração, evidenciar os elementos que fizeram parte de toda essa discussão.

238

muito além de uma discussão sobre eventuais erros em um livro didático de Matemática.

Foram dois conterrâneos de Maeder que escreveram ao todo cinco artigos.

FIGURA 104 – ÁLGEBRA ELEMENTAR DE MAEDER

VALENTE

(2004) cita a Revista Brasileira de Matemática sendo utilizada por

Júlio César de Mello e Souza como porta-voz das críticas aos livros didáticos de

Matemática que foram lançados na época da Reforma Francisco Campos. Entre os

didáticos criticados estão os de autoria de Miguel Milano, Jácomo Stávale e de

Algacyr Munhoz Maeder.

O fato de a obra didática de Maeder ser também pivô de discussões permite-me

considerá-la como um elemento inserido numa comunidade formada por livros

didáticos de Matemática que, de alguma forma, tiveram que passar pelo crivo dos

diretores da Revista Brasileira de Matemática da época. Esse crivo naturalmente foi

contestado pelos autores, que se consideraram vítimas de outros interesses advindos da

capital do Brasil, além daqueles externados pelos diretores (considerados pelos autores

criticados como algozes).

239

VALENTE é autor do artigo Malba Tahan e a crítica dos livros didáticos para a disciplina

matemática: conteúdos e contexto.

QUADRO 32 – ELEMENTOS DE UMA DISCUSSÃO

versus

GAZETA DO POVO:

Artigo de 16/07/1933 – Algacyr Munhoz Maeder

Artigo de 21/07/1933 – Algacyr Munhoz Maeder

Artigo de 25/07/1933 – Léo Cobbe

Artigo de 28/07/1933 – Hirosê Pimpão

Artigo de 29/07/1933 – Algacyr Munhoz Maeder

Artigo de 02/08/1933 – Léo Cobbe

Artigo de 04/08/1933 – Hirosê Pimpão

Artigo de 06/08/1933 – Algacyr Munhoz Maeder

Artigo de 10/08/1933 – Léo Cobbe

Artigo de 20/08/1933 – Algacyr Munhoz Maeder

240

3.1 TRIBUNA 1: REVISTA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Clóvis Pereira da Silva publica, em 2001, um artigo a respeito das diversas

sociedades e revistas que foram fundadas num período de 100 anos, a começar por

1889. Nele, é possível observar a origem da Revista Brasileira de Matemática, que

ganhou essa denominação somente em 1930, pois, inicialmente, foi fundada como

Revista Brasileira de Matemática Elementar:

No período de 1929 a 1934, foi editada a “Revista Brasileira de Matemática Elementar”, uma

publicação mensal dedicada à Matemática elementar, cujo diretor foi Salomão Serebrenick,

graduado em engenharia em 1930, pela Escola Politécnica da Bahia. Inicialmente, essa revista

foi editada em Salvador. A partir de 1931 ela passou a ser editada na cidade do Rio de Janeiro,

pois seu diretor, docente da Escola Politécnica da Bahia, transferiu-se em 1931 para a cidade

do Rio de Janeiro para trabalhar no Instituto de Metereologia. (SILVA, 2001, p. 4)

Já no Rio de Janeiro a Revista Brasileira de Matemática, conforme dados da

publicação de 1933, tem como editor Calvino Filho e como endereço a Rua Senador

Dantas, n

. 48 (ver FIGURA 105). Na edição de abril-junho do ano 1933, a revista

traz, em sua contra capa, os títulos dos principais artigos publicados nos três primeiros

anos de sua existência. Não foi possível observar, apenas analisando os títulos desses

artigos, se essa revista publicou nesses três anos artigos destinados às críticas de livros

didáticos. No número mencionado acima há uma seção denominada Livros e Revistas,

que contém três artigos voltados exclusivamente, segundo minha leitura, a pulverizar,

de forma dura e irônica, três publicações de livros didáticos. No primeiro artigo, Erros

de Matemática, assinado por J. C. Mello e Souza, a vítima é o livro Curso de

Matemática, do professor Miguel Milano, o segundo é escrito por Salomão

Serebrenick tendo como réu o livro Álgebra elementar, de Algacyr Munhoz Maeder. O

título desse artigo é Pobre Matemática. Mello e Souza também é autor do terceiro

artigo. Agora o foco das atenções tem a denominação Álgebra sem dívidas..., de

autoria do professor Jacomo Stávale. Tanto Mello e Souza como Salomão Serebrenick

são não apenas responsáveis por esses artigos como também os diretores da Revista

Brasileira de Matemática.

241

FIGURA 105 – CONTRA CAPA DA REVISTA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Embora a intenção aqui seja analisar o artigo que critica o trabalho publicado

por Maeder, não posso deixar de mencionar, mesmo que distante do tempo e do

contexto da publicação da revista, algumas características que saltam aos olhos.

Considerando capa e contracapa, o livro tem, ao todo, 92 páginas, das quais 80 são de

artigos, três estão preenchidas com dados da revista, como capa e sumário. As demais

páginas podem ser consideradas destinadas aos patrocinadores (ver FIGURA 106).

Evidentemente, isso não seria nada extraordinário se cinco dessas páginas inteiras e

ainda outra meia página não fossem destinadas a destacar obras escritas apenas por

242

Mello e Souza (um dos dois diretores da revista) ou em parceria ora com Cecil Thiré,

ora com Cecil Thiré e Euclides Roxo e, num outro momento, com Nicanor Lemgurber

e também novamente com Cecil Thiré.

FIGURA 106 – ALGUNS ANUNCIANTES DA REVISTA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Valente assim se refere a esses artigos destinados a comentários sobre livros

didáticos de Matemática:

A crítica aos livros didáticos de Matemática feita por Mello e Souza e Serebrenick seguia

a mesma estrutura para diferentes obras. Depois de um preâmbulo, que continha elementos

irônicos e ofensivos, os críticos separavam trechos das obras em que os autores não teriam

243

sido precisos, rigorosos ou que tivessem cometido gafes Matemáticas ou, ainda, não

tivessem levado em conta as novas orientações para o ensino de Matemática. Por fim, a

conclusão da avaliação retomava o preâmbulo pedindo ao leitor que descartasse a obra.

(VALENTE, 2004, p.?).

A interpretação imediata do expediente utilizado pelos diretores da Revista

Brasileira de Matemática é o de, ao mesmo tempo, divulgar determinadas obras

didáticas, recomendando claramente sua adoção, e, por outro lado, utilizando-se de

pesadas críticas, sugerir ao professor leitor que as outras obras não eram adequadas e

deveriam ser abandonadas.

Mesmo que essa interpretação que faço possa ser considerada bem próxima da

real intenção dos autores desses artigos (que aqui não cabe julgar), as críticas

apresentadas na época também podem representar procedimentos que, de alguma

forma (talvez não recomendável pelo tom agressivo e irônico com que desmereceram

o trabalho de um autor), contribuíram para o desenvolvimento da disciplina de

Matemática. Principalmente observando que essa tribuna do educador deflagrou outras

tribunas, com críticas diversas e tons nada fraternos, conforme mencionarei um pouco

mais adiante. Por ora, passo a observar as críticas levantadas por Salomão Serebrenick

em seu artigo Pobre Matemática a respeito do livro de Maeder Álgebra elementar – 3ª.

edição, 1933.

Assumindo ter utilizado tom irônico, Serebrenick inicia assim as nove páginas

de seu artigo:

Diziam-no os sábios hebreus:

“Não olhe para o vaso, senão para o que há no seu interior. Há vasos novos cheios de

vinho velho, como também há, por outro lado, vasos velhos que nem vinho novo

contém”.

O curso de Álgebra do Prof. Mäder constitui uma terceira categoria a ser acrescentada a

essa classificação incompleta dos hebreus. É um verdadeiro vaso novo, tal o acabamento

de sua capa. No seu interior, porém, nem vinho velho, nem novo; e sim – vinho ruim.

O tom irônico, em que parecem vasadas estas linhas introdutivas, é antes o reflexo

sincero, e uma séria preocupação que constantemente nos persegue indignando: a

arbitrariedade criminosa com que entre nós se “fabricam” livros literários e científicos

(?) em geral, e didáticos – em particular.

Os resultados de tal arbitrariedade são os mais nefastos: péssima educação científica de

nossa mocidade; impossibilidade de formação de cientistas e técnicos sérios, merecedores

deste qualificativo; desprestigio, perante o exterior, de nossa produção científica

incipiente. (SEREBRENICK, 1933, p. 67)

244

O ponto de interrogação colocado entre parênteses parece indicar que a obra de

Maeder está longe, segundo Serebrenick, de ser considerada como científica e em nada

contribui para a educação científica da mocidade. Porém não há qualquer outra frase

que mencione ou dê algum indicativo do que possa ser a concepção de “científico”

para Serebrenick. As próximas palavras indicam a posição que a Revista Brasileira de

Matemática assume em relação à produção não apenas dos livros de Matemática:

Já que não possuímos organizações oficiais destinadas à extirpação desse mal, a

repressão deverá ser feita particularmente, por todos aqueles que têm consciência de seu

próprio mérito e da relevância do serviço assim prestado. A “Revista Brasileira de

Matemática” conta, entre seus propósitos, o de controlar zelosamente toda a produção

científica, em especial Matemática, do país.

É, realmente, uma necessidade encarecer-se aos editores, ou pelo menos aos autores, a

responsabilidade inerente à publicação de livros errados. Não basta que o livro se venda.

O fato de um professor conseguir tornar-se dono de uma cadeira e, desse modo, obter

um “eleitorado” garantido (como são considerados os alunos) não justifica que esse

professor publique maus compêndios, envenenando, assim, gerações de moços com

conhecimentos negativos.

Essa verdade constitui um problema sério e a sua resolução é dever de patriotismo, dos

mais elevados. (SEREBRENICK, 1933, p. 66)

Aqui Serebrenick levanta um ponto importante a ser considerado no contexto da

época. De fato, não havia nenhum órgão oficial

responsável pela análise da produção

dos chamados compêndios. Embora considere os termos utilizados por ele como

autoritários e repressivos, é importante entender que a atmosfera da época em questão

estava carregada de movimentos que exigiam mudanças sociais e políticas, como

evidencia Fernando de Azevedo em A Cultura Brasileira. Nessa introdução,

Serebrenick situa a Revista Brasileira de Matemática em relação não apenas aos livros

didáticos (compêndios) produzidos, como também evidencia uma necessidade, devido

provavelmente a um crescimento do mercado editorial, que haja “certa avaliação”

desses materiais didáticos a serem utilizados, como ele mesmo diz, na “formação de

cientistas e técnicos sérios”.

Logo a seguir, o objeto de crítica é o livro de Maeder:

O livro do Prof. Mäder, que faz jus a um dos primeiros lugares entre os piores livros já

publicados entre nós, apresenta a agravante de se destinar, como é pretensão do autor,

No ano de 1938, foi criada no Brasil, a Comissão Nacional do Livro Didático. Essa comissão ficou

responsável pela avaliação oficial dos livros didáticos que seriam adotados nas escolas brasileiras.

245

aos que desejem “especializar-se no estudo da Matemática Elementar”. Declara, ainda, o

autor que “seu curso é completo e em perfeita harmonia com os processos modernos de

exposição”. Finalmente, que “acredita haver contribuído para o desenvolvimento da

cultura Matemática do país – sua finalidade única”.

O ridículo dessas declarações, agravado com a rubrica do autor “reservando todos os

direitos” sobre essa obra, ficará patente pela breve “apreciação” que dela passamos a

fazer.

O curso do Prof. Mäder é feito segundo os métodos antigos, é sobremodo anti-didático e

muito incompleto, já para os alunos do curso secundário, quanto mais para os que

desejam “especializar-se”. Para dedução de uma fórmula trivial, o autor apresenta três

ou quatro processos diferentes acompanhados de longas exemplificações desnecessárias

(v. equações do 2º g.). Em compensação (triste “compensação”), deixa de dar capítulos

dos mais importantes da Álgebra. O autor enche as trezentas páginas de seu livro de

muitas coisas completamente inúteis (raiz cúbica de polinômios, regra de Cramer,

método de Dühring, método de Viéte, exemplificações das deduções das fórmulas

relativas às equações do 2º grau etc.), e não faz a menor referência a inúmeros assuntos,

alguns de importância capital, como: Números imaginários, números complexos, formas

indeterminadas, frações irracionais, análise indeterminada, desigualdades, variação das

funções, equações irracionais, máxima e mínima, progressões ilimitadas, trinômio do 2º

grau, trinômio biquadrado, binômio de Newton, radicais de índices fracionários e

negativos, e muitos assuntos outros.

O mais triste é que o pouco de que o Prof. Mäder trata (contrastando com a

voluminosidade do livro), fá-lo com uma deficiência flagrante, tanto no que se refere à

forma, como à exposição, como principalmente à exatidão.

Os poucos exemplos que vamos citar confirmarão nossas asserções precedentes.

(SEREBRENICK, 1933, p. 68)

Deixando de lado a classificação, ou melhor, a desclassificação dada ao livro de

Maeder, pode-se observar na crítica de Serebrenick alguns elementos importantes

ligados aos conteúdos e métodos empregados. Considerando a história das disciplinas

escolares, precisamente a de Matemática

, os dizeres de Serebrenick evidenciam uma

concepção de Matemática ligada à escola positivista. Isso pode ser observado nos

termos ligados ao ensino voltado à especialização e também no que ele se refere a

exatidão necessária. Outro elemento importante se refere aos (alguns) conteúdos de

Matemática, ainda presentes no livro do autor paranaense, mas que devido às reformas

no ensino que estavam sendo elaboradas e vieram a ser consolidada nos anos que se

sucederam, desapareceram ou sofreram modificações dos livros didáticos de

É importante observar que o livro de Maeder foi escrito numa época de transição, isto é, a disciplina

de Matemática estava sendo construída como fusão de Aritmética, Álgebra e Geometria. Mesmo após

a criação da disciplina de Matemática, durante algum tempo os professores de Matemática utilizavam-

se em suas aulas de compêndios de Aritmética, de compêndios de Álgebra, ocorrendo o mesmo com

os de Geometria e Trigonometria. Eles retiravam os conteúdos desses compêndios para as aulas de

Matemática. Um exemplo disso pode ser observado em Martins (1984) em Estudo da evolução do

ensino secundário no Brasil e no Estado do Paraná com ênfase na disciplina de Matemática, p. 168.

246

Matemática. Um exemplo disso é, como bem aponta Serebrenick, raiz cúbica de

polinômios, ou ainda, o método de Dühring.

Serebrenick, em sua crítica, enumera então algumas páginas dos livros de

Maeder que contêm “erros”. Ao todo, 15 páginas são citadas. O procedimento adotado

por ele é reproduzir o que Maeder escreve (frases ou sentenças Matemáticas) e, a

seguir, fazer o comentário apontando o que, em sua opinião, não está correto. Um

pouco mais adiante, ainda neste capítulo, passo a citar tais críticas confrontando-as

com o que Maeder responde via jornal.

Ao terminar o artigo, Serebrenick dá a sentença a respeito de Álgebra

Elementar – 3ª. edição, mas sem também deixar de se referir ao autor Algacyr

Munhoz Maeder:

Com esses comentários ao livro do Prof. Mäder, não visamos naturalmente a sua

pessoa nem tampouco é nosso intuito desanimar ou diminuir o valor de quem se

dedique a estudos de Matemática. Muito ao contrário, é nossa principal finalidade

estimular o interesse por tais estudos. Mas, justamente porque achamos o livro do

Prof. Mäder nocivo para a boa disseminação da Matemática entre nós, é que

insistimos em mostrar a sua enorme deficiência sob todos os pontos de vista. Tanto

assim que, se o Prof. Mäder procurar retificar os erros de seu livro, para o que terá

de refundir todo o trabalho, a nova edição merecerá por certo nossas melhores

referências. (SEREBRENICK, 1933, p. 75)

Dizer que a principal função é “estimular” e não “desanimar ou diminuir o

valor” de um autor e sua obra parece-me (pelo menos é essa leitura que faço das

palavras de Serebrenick) entrar em choque com o veredicto “achamos o livro do Prof.

Maeder nocivo”. Maeder não aceita as críticas de Serebrenick e muito menos

reformula seu livro. Ao contrário, passa a escrever artigos no jornal Gazeta do Povo,

de Curitiba, ora se defendendo, ora atacando Serebrenick, Mello e Souza e também a

Revista Brasileira de Matemática. É a “Tribuna 2: Gazeta do Povo”, a seguir.

247

3.2 TRIBUNA 2: GAZETA DO POVO

O jornal Gazeta do Povo, com sede em Curitiba/Paraná, foi fundado em 03 de

fevereiro de 1919 por Benjamin Lins. No ano de 1933, foi porta-voz de Algacyr

Munhoz Maeder e alguns outros personagens que publicaram artigos, ora rebatendo as

críticas de Salomão Serebrenick ao livro de Maeder, ora mencionando a existência de

um “complô” contra tudo aquilo que não era feito na capital brasileira, então situada

no Rio de Janeiro, sede da Revista Brasileira de Matemática. Essa é a Tribuna 2.

No acervo da família de Maeder foi possível encontrar esse número da revista.

Além disso, foi também em meio aos documentos guardados que me deparei com

vários recortes de jornais

, entre eles os cinco do jornal Gazeta do Povo, escritos por

Maeder no mesmo ano da publicação anteriormente assinalada da Revista Brasileira

de Matemática. Todos esses artigos recebem a mesma denominação: Pobre

Matemática!

O tom irônico de Serebrenick ao criticar o livro aparece também nas palavras de

Maeder.

3.2.1 Pobre Matemática! – 16/07/1933

O título dado a essa série de artigos escritos por Maeder é justificado pelo autor,

quando situa Salomão Serebrenick como o orientador daquilo que será ensinado ao

país em termos de Matemática:

Já dizia o grande Rui, repetindo Sêneca: a pior espécie de ignorância é cuidar uma

pessoa que sabe o que não sabe.

Que profunda verdade encerra esse conceito genial.

Quanta comiseração infunde o ridículo papel dos falsos-sábios...

Pobre Matemática, cujos destinos no nosso País pretende orientar o Sr. Salomão

Serebrenick.

Esses artigos, encontrados no acervo da família de Maeder, me remeteram a uma busca na Biblioteca

Pública do Paraná e também no jornal Gazeta do Povo (de Curitiba) a fim de obter cópias. Após

conseguir tais cópias de microfilmes, procedi a digitalização eletrônica e também as montagens

necessárias para fazer constar aqui, conforme ilustrações que apresento nas páginas seguintes.

248

Sim, pasmem todos. O homem que sabe de cor a taboada e que dirige sem saber porque

a Revista de Matemática resolveu abandonar o seu papel apagado de diferencial de

segunda ordem para lançar-se pelo mundo afora, com a sofreguidão de D. Quixote, a fim

de combater todas as obras – boas e más – que apareçam no Brasil e que não sejam de

autoria dos seus patrões.

Poderá o Sr. Serebrenick medir o ridículo dessa pretensão?

O autor da humorística “Relatividade do rigor científico” e habilíssimo adivinhador de

perturbações meteorológicas já teria esquecido as asneiras que escreve e que escreveram

os seus mandatários, os homens que puseram Arquimedes no Egito e Salomão no

hospício?... (MAEDER, 1933, p. 6)

MATTEDI DIAS

(2000, p. 37) comenta sobre as ocupações profissionais de

Serebrenick e também sobre sua formação: “Salomão Serebrenick também foi

professor em instituições de ensino superior. Lecionou Hidrologia e Meteorologia na

Universidade Rural do Rio de Janeiro; Matemática Superior na Escola Livre de

Engenharia do Rio de Janeiro e Literatura Judaica na Universidade Federal do Rio de

Janeiro”. Quando Maeder se refere a ele como “habilíssimo adivinhador de

perturbações meteorológicas” o faz no sentido, possivelmente, de desqualificar a

posição de crítico de livros de Matemática alguém que ocupe essa função. Quanto

aos “seus mandatários”, interpreto como os anunciantes, no caso os editores dos

livros que aparecem no espaço destinado às divulgações. Mas, aparentemente, esse

comentário de Maeder acaba indo em direção de outro diretor da Revista Brasileira

de Matemática, isto é, J. C. Mello e Souza, quando cita “os homens que puseram

Arquimedes no Egito”. Há no livro Mathematica – 1º. anno

, escrito por Cecil Thiré

em parceria com J. C. Mello e Souza, um texto sobre Arquimedes (autoria de J. C.

Mello e Souza) onde se encontra referência a uma viagem de Arquimedes

ao Egito.

Nos outros artigos que analiso a seguir os comentários feitos por Maeder são mais

diretos, com claras denominações a quem se destinam. Ainda sobre a frase em que

Maeder menciona o autor de “Relatividade do rigor científico”, ele está se referindo

ao primeiro artigo deste número da Revista Brasileira de Matemática, assinado por

André Luís Mattedi Dias escreveu o artigo A Revista Brasileira de Mathematica (1929-193?) na

revista Episteme, Porto Alegre, n.11, p.37-56, jul./dez. 2000.

Para futuras outras pesquisas feitas a respeito de livros didáticos e, sabendo da grande dificuldade de

localizá-los, menciono que possuo esse livro de Mello e Souza em parceria com Cecil Thiré.

Ver página 278-279 de Mathematica – 1

anno publicado pela Livraria Francisco Alves, 4

. edição,

1933.

249

Salomão Serebrenick, que acaba mencionando a “Geometria de Euclides e

Mecânica de Newton – às Geometrias não-euclidianas e Mecânica moderna”

(Serebrenick, p. 1, 1933).

Nesse artigo, Maeder acaba levantando e, pondo em xeque, a existência de

outros interesses que estão muito além de uma crítica qualquer a conceitos

matemáticos:

Surja de onde surgir, da aldeia ou da cidade, que a cultura das ciências abstratas não é

privilégio de ninguém, mas venha de gente séria, venha de gente especializada, venha de

quem não traga, em caso algum e sob disfarce algum, a intenção inconfessável do interesse

comercial.

E eu me proponho a atirar as primeiras pedras nos ídolos de barro.

Outros me seguirão naturalmente, até a destruição completa da panelinha de fundo gasto e

muito conhecida no País inteiro.

Não é vingança, mas defesa.

Defesa leal, não de meus interesses materiais, eu que não vivo do comércio do livro, mas da

mentalidade juvenil de minha Terra, que não pode mais continuar a mercê da orientação

venenosa de autores sem escrúpulos.

Pois é isso mesmo, Sr. Serebrenick, essas palavras que acabo de escrever constituem o início

da série de artigos que divulgarei na imprensa brasileira, revelando, aos que acaso ainda não

saibam o que valem os livros da quadra de azes de que participa e que de nada valem os

reclames de estilo cinematográfico que imprime sua revista. (MAEDER, p. 6, 1933)

Considero relevantes dois pontos já no primeiro parágrafo de Maeder. O

primeiro se refere à busca de valorização não apenas daquilo que, em termos

editoriais, é produzido na capital brasileira da época, mas também de outras “aldeias

ou cidades”. O segundo ponto diz respeito ao interesse comercial. MATTEDI DIAS

(2000, p. 51), ao abordar pontos da historiografia da Revista Brasileira de Matemática,

acaba fazendo um alerta sobre a cultura de valorização de determinados centros de

nosso país quando diz:

De fato, a historiografia nas ciências no Brasil contemporâneo ainda está, por várias razões,

centrada nas coisas, acontecimentos, narrativas e interpretações que emanam dessas

metrópoles. Muito pouco é dito sobre as coisas e acontecimentos de outros locais, segundo a

perspectiva que lhes é própria. Todavia, direi o óbvio, vida havia em outras cidades, e havendo

vida também haviam pessoas pensantes, intelectuais, que, além de viver, também produziam

cultura, inclusive cultura científica!

Quanto à existência do velado “interesse comercial” por trás das críticas feitas

às produções didáticas que emanavam do Rio de Janeiro, outras discussões nesse

250

mesmo sentido já foram motivo de estudo

. Uma delas também tem origem na mesma

Revista Brasileira de Matemática, no mesmo número em que o livro de Maeder é

criticado. Os pólos dessa discussão são J. C. Mello e Souza e o autor Jacomo Stávale.

Voltando ao artigo de Maeder, um pouco mais adiante, observo que as palavras

acabam por enfatizar ainda mais a existência de uma crítica não apenas ao livro, mas à

produção feita em um Estado que não a Capital Brasileira. O tom utilizado parece

levar o leitor paranaense a aceitar a existência de um sentimento em defesa e

valorização daquilo que é produzido no Paraná, ao mesmo tempo em que desqualifica

a crítica de Serebrenick.

O primeiro da série, que é precisamente este, em homenagem a cultura do meu Estado,

que consagrou unanimemente o meu livro não posso deixar de empregá-lo na refutação

das ingenuidades do Sr. Serebrenick, embora a sua opinião seja para mim, como para

qualquer analfabeto, absolutamente indiferente.

(...)

No Paraná, Sr. Serebrenick vive uma plêiade de matemáticos puros, comparável a de

maior renome no Brasil, que conhece os autores clássicos e modernos, que possui o

espírito da mais simples e menos complexa ciência de Comte, que discute Klein e

Poincaré, Lobachewski, Rieman e Minkowski, que lê Trompowsky, Amoroso Costa e

Eulálio, que interpreta Einstein e sabe o que sejam a lógica formal e a intuição pura.

E quando o que acima afirmo não bastasse, senhor das chuvas, para mostrar a

significação da mentalidade paranaense, eu diria ainda que meus alunos do Ginásio

colaboram assiduamente em sua revista (consulte-se números atrasados).

Enfim, o Paraná não é terra de cegos, Sr. Salomão. (MAEDER, 1933, p. 6)

Aqui é possível observar, além da discussão comercial, indícios sobre possíveis

influências de Maeder em seu trabalho. O positivismo de Comte, aos poucos, parece

ceder lugar para as discussões propostas por Klein. É a época dos movimentos em prol

de mudanças sócio-educacionais no Brasil, conforme já aqui citado por Fernando de

Azevedo. Além disso, temos a valorização de matemáticos brasileiros como Amoroso

Costa.

Ainda nesse artigo publicado no jornal Gazeta do Povo, Maeder começa a

rebater de forma pontual (no que se refere aos conteúdos de Matemática) as críticas

feitas por Serebrenick, conforme será ainda abordado.

Ver Valente (2003) no artigo Controvérsias sobre educação matemática no Brasil: Malba Tahan

versus Jacomo Stávale.

251

FIGURA 107 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (1): 16/07/1933

252

FIGURA 107 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (1): 16/07/1933

253

3.2.2 Pobre Matemática! – 21/07/1933

Cinco dias após o primeiro artigo, Maeder repete o procedimento de rebater

a Revista Brasileira de Matemática, em particular Salomão Serebrenick. Nesse

retorno à tribuna, Maeder inicia com um tom mais ameno em relação àquele

utilizado anteriormente levantando questões sobre o prosseguimento em escrever

artigos para rebater as críticas que sofreu. Mas isso foi apenas o início de uma

clara “repugnância” à suposta intenção velada do crítico da revista em questão.

Assim começa o artigo:

Devo confessar, por um dever de lealdade, que, em aqui chegado, hesitei um

momento.

Receei, mesmo, ser arrastado ao abismo de ridículo onde se encontra o meu

agressor.

Valeria a pena continuar, ocupando preciosas colunas da Imprensa, nesta hora

palpitante da vida nacional, e abusando da paciência do próximo, naturalmente

limitada, eu, um professor de Matemática que se presa a examinar os absurdos que

afirma enfaticamente um anormal?

Respondam-me os leitores que me honram com a sua atenção: pode merecer

consideração quem entende que a ordem das parcelas altera a soma? (página 69 da

Revista, citada em meu artigo anterior).

Poderá ser levado a sério quem escreve sobre rigor matemático e desconhece a

significação do termo “absurdo”?

Por outro lado, custa-me tanto dominar a minha repugnância pela má fé do Sr.

Serebrenick...

Mas tenho que prosseguir, uma vez que não viso a personalidade do meu agressor

anão e sim uma tarefa de expurgo de ordem intelectual.

Sem receio algum das conseqüências, eu direi tudo, aconteça o que acontecer, custe

o que custar, porque lutarei, estimulado pelo amor que tenho pela verdade

científica, até atingir, em golpe profundo e mortal, o coração da hidra estrábica,

que é essa panelinha de impostores que pretende monopolizar uma ciência para

comerciar.

A minha repugnância pela má fé do Sr. Serebrenick é mesmo muito grande.

(MAEDER, 1933, p.6)

Maeder confirma o que aqui foi dito anteriormente sobre o contexto da

época em que escreveu. Era o ar da atmosfera da Revolução de 30 que se

respirava. Ele enfatizou também, como já havia feito no outro artigo, a suposta

existência de intenções comerciais por parte dos diretores da revista. Porém, desta

vez, Maeder vai um pouco mais além e menciona diretamente Thiré e Mello e

Souza, utilizando as seguintes palavras:

254

Imaginem os leitores que o homem que acha o compêndio de Matemática do 1º ano

dos professores Thiré e Mello e Souza um “livro perfeito”, “admirável”, “que

excede em clareza e precisão aos melhores compêndios americanos e alemães” (sic),

tem a suprema malícia e a criminosa audácia de criticar algumas definições minhas,

que são as “mesmíssimas” que trazem os livros dos autores citados (refiro-me as

definições certas, que constituem dolorosa exceção nesses compêndios)

Não é preciso ser matemático, Senhor reformador-mirim do Mundo, para chegar às

conclusões a que conduzem as premissas acima.

Ou o livro do professor Mader é um compêndio “admirável”, etc, etc, ou os livros

dos professores Thiré e Souza não “nocivos”, etc. etc.

E não pensem que seja blague essa minha afirmativa, pois ela decorre das próprias

páginas da Revista infeliz. (MAEDER, 1933, p. 6)

É importante observar que nas páginas introdutórias da Revista Brasileira

de Matemática o espaço destinado ao “patrocinador” para divulgar os livros já

mencionados há as seguintes frases: “São os livros mais interessantes publicados

até hoje. Excedem em clareza e precisão aos melhores compêndios americanos e

alemães” – “É um livro perfeito, no qual a clareza de linguagem aparece aliada à

precisão dos conceitos” – “É um dos livros didáticos mais completos e mais bem

feitos até hoje publicados”. Maeder, observando tais frases, usa de um tom irônico

para, mais uma vez, desqualificar as críticas da revista.

Maeder utiliza-se então de um outro personagem, melhor dizendo, um outro

autor de compêndios que também foi vítima das críticas da revista, para continuar

o seu texto:

É que o Sr. Mello e Souza, também dirigente da Revista, criticando a definição

dada pelo prof. Jacomo Stávale para a multiplicação (página 79) apresenta uma

emenda. Pois bem, lendo a definição e a emenda, ter-se-á a minha definição, sim a

minha definição acremente criticada à página 71...

Ora, isso é sério, Senhores da Revista de Matemática?

Teria enlouquecido o homem dos “conceitos antagônicos”?

Conhece o Sr. Serebrenick a Salomé de Wilde?

Não leve assim tão longe, Sr. Salomão, o seu malfadado “brotneid”.

E não é esse o único exemplo que se pode citar para demonstrar à evidência as

incoerências da Revista de Matemática e as verdadeiras intenções de suas críticas.

Ela procura criticar, às cegas é verdade – porque às cegas andam os medíocres – a

tudo que esteja certo ou errado, muito embora a maioria de suas críticas venham

recair diretamente nos seus próprios signatários, pelas afirmações contidas em

artigos insertos no mesmo número da mesma Revista.

255

Neste artigo, que me foi cedido pela família de Maeder, ao citar Jacomo

Stávale, escrito a lápis pelo autor paranaense, há duas setas que são puxadas do

nome Stávale. Na ponta de uma delas, pode-se ler “eminente” enquanto na outra

“um dos padrões de glória do magistério nacional”. Como citarei mais adiante

(ver Tribuna 3) também Stávale utiliza as críticas feitas a Maeder para se defender

das críticas que a revista, na mesma edição, também dirige a ele e a sua obra.

O restante do artigo de Maeder trata de questões pontuais sobre os

conteúdos que foram criticados por Serebrenick, que aqui ainda serão abordadas.

256

FIGURA 108 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (2): 21/07/1933

257

FIGURA 108 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (2): 21/07/1933

258

3.2.3 Pobre Matemática! – 29/07/1933

Maeder, como havia prometido no primeiro artigo, continua a comentar as

críticas à sua obra. O tom do discurso é o mesmo e assim começa:

A calúnia é uma arma deselegante, Sr. Serebrenick.

Pena é que, antes de usá-la não tivesse lido a sentença do nosso grande Rui:

“O caluniai, caluniai continua a ter adeptos; mas o seu comércio é cada vez mais

desprestigiado, mais ignóbil e mais inofensivo”.

Sem ter a pretensão de estender esse pensamento, eu direi que a calúnia é uma

arma que já saiu da moda.

Nos nossos dias, não basta alguém afirmar alguma coisa para que se acredite de

mão beijada.

O povo culto quer ver, quer verificar pessoalmente se o autor disse ou não disse o

que se afirma ter ele dito.

E é só isso que eu desejo, Sr. Salomão...

Após fazer várias observações a respeito de alguns conteúdos existentes no

livro, os quais foram criticados, Maeder enfatiza novamente o real motivo do

procedimento da Revista Brasileira de Matemática:

Reduzida, assim, ao seu verdadeiro valor, a crítica “Caipora”, como disse alguém,

do Sr. Serebrenick, resta-me responder a interrogativa que imagino pairar nos

espíritos de alguns leitores menos versados em questões de concorrência comercial.

Quais foram os motivos determinantes da traiçoeira agressão do crítico de revista?

A resposta é muito simples e posso resumi-la em poucas palavras.

É que a aceitação que o meu livro vem alcançando nos centros grandes do país,

inclusive o Rio de Janeiro, vai perturbando “o negócio” que vem fazendo certos

autores muito conhecidos do Sr. Salomão...

Mas, posso afirmar, sem falsa modéstia, que eu levo alguma vantagem sobre esses

autores uma vez que não faço – porque não preciso e não quero fazer – o comércio

da literatura didática.

E a prova disso é que o meu livro não se restringe, apenas, ao desenvolvimento dos

pontos dos programas da duração das rosas de Malherbe, que se adotam

presentemente.

O seu texto é mais amplo e a sua finalidade é mais nobre.

É um livro que representa um esforço maior do que qualquer vantagem material

que me possa trazer.

E, por isso mesmo, é um livro exato. Escrito com longa meditação, não tem os erros

que constituem, por assim dizer, a regra geral de certos compêndios atuais, escritos

e impressos em 24 horas.

Os meus exercícios, aliás em grande número, são todos de minha autoria pessoal e

exclusiva. Não os copiei de ninguém, como faz muita gente boa...

Repetindo a opinião de todos que conhecem o meu livro, posso dizer ainda que ele

representa a maior negação do “livro comercial”.

259

E o Sr. Salomão sabe disso muito bem, porque sabe como se fazem os livros

didáticos comerciais.

Deveria ter observado a apresentação luxuosa da minha “Álgebra Elementar”, o

exímio trabalho tipográfico dos meus editores, que honram as artes gráficas

nacionais, para depois falar em interesses comerciais...

Fortes palavras são aqui dirigidas e envolvem não apenas as questões

ligadas ao comércio editorial como também apontam a prática, por parte de alguns

autores, da apropriação de textos. Em relação a isso, Maeder não diz de forma

direta a quem se refere ou se pode comprovar esse tipo de expediente, mas o

“endereço do destinatário aparece nas entrelinhas”. Observo nesta parte do texto

que Maeder aproveita a oportunidade para valorizar seu próprio trabalho ao falar

da boa aceitação de seu livro nos grandes centros do país.

Finalizando o presente artigo publicado na Gazeta do Povo, Maeder

promete continuar, porém parece estar disposto a usar uma outra maneira de

conduzir sua defesa:

Mas já que falou, apresentou-me a oportunidade de falar eu também, o que farei

com grande minúcia e toda a franqueza nesse assunto melindroso para muita gente.

E o resultado fatal da minha crítica será o que todos já prevêm, será a dissecação

dos erros imperdoáveis que se encontram nos “livros expressos”, onde as definições

se deveriam chamar, estendendo o conceito do termo de semi-definições, dada a

pressa formidável com que foram redigidas.

E depois é tão fácil verificar, folheando os próprios livros que serão alvejados, uma

vez que os erros que mostrarei estão à altura da mentalidade infantil dos iniciandos

no estudo da Matemática.

Serão, por exemplo, como estes:

“V significa 5000”

“XII V significa 12005”

(Matemática do 1º ano de Cecil Thiré e Mello e Souza, 4ª edição, página 42).

(Continua)

A observação final relacionada a algarismos romanos que Maeder atribuiu a

esses dois autores do Rio de Janeiro pode ser encontrada no correspondente livro,

porém à página 24 e não na 42, como escrito no jornal.

260

FIGURA 109 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (3): 29/07/1933

261

FIGURA 109 – POBRE MATEMÁTICA – MADER (3): 29/07/1933

262

3.2.4 Pobre Matemática! – 06/08/1933

O mês de julho de 1933 termina, mas os artigos escritos por Maeder parecem

não ter fim. O fato de Maeder ser conhecido na cidade de Curitiba na época em

questão pode ter colaborado para incentivá-lo a dar prosseguimento à “sua defesa”.

Acredito nisso pelo fato de ter me deparado com outros artigos

também publicados

no mesmo jornal, mas com outras autorias.

Segue a defesa de Maeder:

Lendo, dias passados, o “Pássaro Azul” de Maeterlink, afim de distrair pouco, se acaso

possível fosse, o meu espírito, fatigado e irritadíssimo, da leitura de trinta páginas de

Matemática do 1º ano de Cecil Thiré e Mello e Souza, demorei-me por um momento,

meditando um pouco, na página maravilhosa de observação, em que o criador imortal da

inteligência das flores lança os personagens mais bizarros do seu livro: “O GOZO DE

NÃO SABER NADA” e o “GOZO DE NÃO COMPREENDER NADA”.

Personagens bizarros mas humanos, profundamente humanos personagens em que as

dimensões dos estômagos gigantescos ultrapassam assustadoramente a dos demais

órgãos, de nobreza maior ou menor, que constituem, no indivíduo normal, o conjunto

maravilhoso que impulsiona os seres animais.

Estômago maior que a cabeça!

Estômago maior que o coração!

E lembrei-me, então, do Sr. Serebrenick.

Como esse manejador banal do pluviômetro e especialista em classificação de vinhos

encarna com perfeição absoluta, na comédia estupenda do escritor extraordinário, o

duplo papel desses “GOZOS GROTESCOS DA TERRA”!

Como és grande, Maeterlink!

Como és ridículo, Salomão!

Nesse texto, Maeder acena uma leve mudança no rumo de seus discursos nessa

tribuna, mas mantém a idéia de desqualificar Salomão Serebrenick e sua crítica

utilizando a ocupação desse em relação ao trabalho voltado à meteorologia. Quanto à

citação sobre o conhecimento de vinhos a que se refere Maeder é uma ironia ao que

disse Serebrenick no começo de sua crítica. A mudança de foco que observo no artigo

de Maeder vai para o livro Matemática do 1º. ano, dos autores Cecil Thiré e Mello e

Souza (ver FIGURA 110).

Maeder continua na sua defesa/ataque:

Esses outros artigos foram escritos também durante os meses de julho e agosto de 1933, conforme já

citei anteriormente e abordarei um pouco mais adiante.

263

E, como gosto muito de ser franco, passo a justificar a irritação que sofreu o meu espírito

pela leitura da obra em apreço.

Os professores de Matemática do Colégio Pedro 2º assumem uma responsabilidade

muito grande na publicação dos seus compêndios, decorrente da natureza mesma dos

cargos que desempenham e que mais ainda se avoluma quando dizem, com uma

arrogância inédita, serem “perfeitos” os seus livros.

O emprego do termo “perfeito” pelo matemático, no rigorismo atual da escola moderna,

é bastante grave.

E lamentavelmente Cecil Thiré e Mello e Souza não refletiram bem quando – juízes em

causa própria – afirmam categoricamente no prefácio da sua Matemática do 2º ano: “E é

evidente, porém, que num livro perfeito os conceitos devem ser apresentados com rigor,

impecáveis as definições e as teorias desenvolvidas com a máxima precisão e clareza”.

Ora, verifica-se facilmente, como aliás já demonstraram vários críticos eminentes, que os

citados compêndios constituem a mais completa negação dessas qualidades que

apregoam os autores possuir.

Como blague, a piada dos professores Thiré e Souza é finíssima não há dúvida...

FIGURA 110 – CAPA DO LIVRO DE CECIL THIRÉ E MELLO E SOUZA

264

Como já disse anteriormente, o contexto em que esses artigos escritos por

Maeder e as críticas veiculadas pela Revista Brasileira de Matemática era o das

tribunas, onde as discussões visavam também a melhorias na educação brasileira,

conforme aborda Azevedo. Ao citar o Colégio Pedro II e os professores Cecil Thiré e

Mello e Souza, acredito que Maeder estava externalizando o fato de essa instituição e

seus professores terem sido referência no ensino brasileiro durante muito tempo.

MIORIM (1998, p. 87) aborda essa referência em Matemática ao dizer que em “todas

as várias reformas pelas quais passariam os planos de estudo do Colégio Pedro II,

durante o período imperial, ora predominando o ensino clássico, ora o científico, as

Matemáticas – com a inclusão da trigonometria – estiveram sempre presentes,

variando apenas a quantidade de horas destinadas ao seu ensino e, em alguns

momentos, a profundidade de seus conteúdos”.

O que vem a seguir neste artigo de Maeder e, também no próximo, pouco tem

com Salomão Serebrenick, pois o livro de Cecil Thiré e Mello e Souza são os alvos

das críticas do autor paranaense. Embora não tenha como objeto o estudo dessas

críticas, menciono apenas parcialmente. Continua Maeder:

Mas, como eu não aceito nem ninguém tão pouco aceita a hipótese da blague, por ser

inócua na literatura didática da Matemática Elementar, é preciso que se diga que é

muito grande mesmo a deficiência e maior ainda a imperfeição de tais compêndios.

Com efeito, redigidos que são em péssima linguagem, com erros grosseiros de português,

alguns até de concordância, encerrando contradições monstruosas, definições erradas,

conceitos absurdos, afirmações ridículas, sem nenhuma clareza na exposição, sem a

menor precisão no desenvolvimento das teorias, os compêndios de Thiré e Souza não

seriam toleráveis, como já se escreveu, ainda que se tivesse apresentado com modéstia...

Senão, vejamos.

De fato, o que Maeder faz a seguir é levantar, como ele mesmo diz,

imperfeições e termina o artigo apontando alguns pontos dos livros desses autores e

prometendo continuar.

265

FIGURA 111 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (4): 06/08/1933

266

FIGURA 111 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (4): 06/08/1933

267

3.2.5 Pobre Matemática! – 20/08/1933

A “Pobre Matemática” agora inicia com uma frase a respeito de número,

atribuída a Tannery: “A noção do número foi tirada da idéia de coleção de objetos

distintos”. Jules Tannery é autor do livro Leçons d’Arithmétique théorique et pratique,

publicado na França em 1894. Valente (2003, p. 67) fala da importância do livro de

Tannery considerando como “ponto de vista do ensino de Matemática, o cálculo

aproximado, o cálculo dos erros”. Em relação a isso, Tannery, isto é, sua obra, “traz

para o ensino de aritmética destaque ao raciocínio indutivo, uma das bandeiras da

modernização da Matemática escolar”. O conhecimento do autor paranaense a respeito

de Tannery não pode evidentemente ser dimensionado, mas é possível observar

indícios disso.

Assim tem início o artigo de Maeder:

As definições desempenham, como se sabe, um papel preponderante em toda a ciência,

por serem um dos processos do conhecimento.

E por isso mesmo, a maiêutica de Sócrates marca época na história da Filosofia.

É que, por meio desse processo de perguntas e respostas, o filósofo definia e pela

definição revelava aos discípulos a essência das coisas.

Em Matemática, tratando-se de noções ideais, é o espírito que deve criá-las e o faz por

intermédio da definição.

Se as definições em geral são cópias, as da Matemática são modelos, aos quais os objetos

estão necessariamente conformes.

Daí a qualificação de CONSTRUTIVAS que se soe dar as definições da Matemática,

porque elas indicam como se origina o objeto ideal que se trata de estudar.

Sim, as definições da Matemática são construtivas.

Meditava eu em tudo isto e tinha diante da vista esse colosso (12):

Neste artigo, Maeder elabora um texto introdutório observando idéias a respeito

do que considera ser uma definição em Matemática e de sua importância. Assim,

prepara o terreno para fazer críticas (continuação do artigo anterior) ao livro

Matemática – 1º. ano de Thiré e Mello e Souza. O número 12 entre parênteses,

conforme acima, indica que é a 12ª. crítica que faz sobre o livro dos dois autores do

Rio de Janeiro. Ao todo, juntando os artigos publicados no jornal Gazeta do Povo em

06/08/1933 e 20/08/1933, são 14 críticas, as quais não apresento aqui. Maeder encerra

seu artigo, após observar todas essas críticas, da seguinte forma:

268

14 erros nas 13 primeiras páginas é realmente uma boa média para um “livro perfeito”,

“que excede em clareza e precisão aos melhores compêndios americanos e alemães” e

cuja edição deveria ser incinerada a bem da nossa cultura

. (a parte assinalada da

sentença é dos próprios autores e a final grifada é de todos os que leram a Matemática do

1º ano de Cecil Thiré e Mello e Souza).

E eu, então, fico no meu canto a cismar no triste papel dos alto-falantes ridículos, nos

probres-diabos serebreniques, que vivem a cantar ingenuamente a glória negativa de

inteligências fracassadas.

(segue)

Algacyr Munhoz Maeder

Maeder encerra associando Serebrenick a um alto-falante. Apesar da palavra

“segue”, não foi possível encontrar qualquer outro artigo sobre essa continuação. Nos

arquivos da Biblioteca Pública do Paraná, onde esses artigos escritos por Maeder

podem ser encontrados, vasculhei todos os jornais da Gazeta do Povo, de 20/08/1933

até o início do ano de 1934, e nada encontrei. No acervo particular da família, somente

os cinco artigos que acima citei foram guardados.

269

FIGURA 112 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (5): 20/08/1933

270

FIGURA 112 – POBRE MATEMÁTICA – MAEDER (5): 20/08/1933

3.2.6 Conterrâneos na tribuna

Em 1933, Maeder era um personagem de destaque na cidade de Curitiba, pois já

havia sido diretor do Ginásio Paranaense e, no final de 1931, foi um dos

representantes (delegados) do Estado do Paraná na IV Conferência Nacional da

Educação

realizada no Rio de Janeiro. O fato de ter sido criticado pela Revista

Brasileira de Matemática certamente foi conhecido por boa parte da população da

capital paranaense, pois se tratava de um “ilustre paranaense” sendo “atacado” por

A respeito da IV Conferência Nacional da Educação, no jornal Correio da Manhã de 24/12/1931 do

Rio de Janeiro, Maeder concede uma entrevista. Essa mesma entrevista é reproduzida nos jornais do

Paraná.

271

uma revista do Rio de Janeiro; além do mais, houve uma divulgação desse fato

principalmente a partir dos artigos escritos por Maeder no jornal Gazeta do Povo.

Assim, o que aconteceu a seguir foi a publicação de outros artigos, no mesmo jornal,

de autoria de conhecidos de Maeder, que vieram em seu apoio. Ao todo, encontrei

cinco artigos de autoria de dois autores que, conforme a filha de Algacyr Munhoz

Maeder diz, foram amigos do autor paranaense: Léo Cobbe (escreveu em 25/07/1933,

em 02/08/1933 e em 10/08/1933) e Hirosê Pimpão (escreveu em 28/07/1933 e

04/08/1933).

A seguir, passo a observar o teor dos artigos publicados por esses dois

personagens contemporâneos e conterrâneos de Maeder, provavelmente amigos

conhecidos do autor paranaense. As palavras presentes ao longo desses textos oscilam

entre alguns pontos principais: a falta de valorização de tudo aquilo que é produzido

fora da Capital Brasileira da época; o desconhecimento do Estado do Paraná no

cenário brasileiro de então; o desprezo dado à produção cultural paranaense (exemplo

disso: o livro de Maeder) e a crítica ao que foi produzido na capital brasileira dos anos

de 1930.

Embora os nomes desses personagens sejam do conhecimento da filha de Maeder, não foi possível

precisar informações mais específicas do relacionamento deles com o autor paranaense.

272

FIGURA 113 – ARTIGO DE COBBE (1): 25/07/1933

273

FIGURA 113 – ARTIGO DE COBBE (1): 25/07/1933

274

Em seu primeiro artigo, que recebe o nome de Má fé ou ignorância?, Cobbe

mostra ter conhecimento de matemáticos famosos, preparando o terreno para, logo em

seguida, desferir ataques. Ele começa assim:

Depois de, sobre os fundamentos lançados por Abel e Cauchy, uma plêiade de cérebros

imensos e elegantes que, partindo de Riemann, culminou com Amoroso Costa –

construiu esse maravilhoso edifício chamado Matemática Moderna, uma anciã incontida

de rigores formais tem tomado conta de muitos cérebros de matemáticos. E na altura das

lucubrações de Lobatchevski, Cantor, Poincaré... têm sonhado pairar também as,

puramente fisiológicas, atividades cerebrais de mentalidades infra-cretinianas.

Daí essa série de livros, conferências, artigos de revista e artigos de jornais que,

abordando assuntos os mais meta-cósmicos e abordados por inteligências de décima

oitava categoria, por inteligências que a custa de imensos esforços conseguiram aprender

a resolverem suas equaçõesinhas, por inteligências que favorecidas por essa excessiva e

injustificada democracia intelectual conseguiram freqüentar uma ou outra reunião nos

salões de Wierstrass, Beltrami... só duas coisas conseguem:

1º: - Poluir aquele maravilhoso edifício;

2º: - Tornarem ridículos seus autores, aos olhos daqueles que vieram, de longe e com o

devido respeito, as brilhantes quão fecundas páginas da Matemática Moderna.

Mas além das produções obscenas acima citas, outra espécie de produções, ainda

obscenas, resulta da ância incontida de rigores formais:

Cobbe acaba falando de uma “Matemática Moderna” referindo-se aos

movimentos surgidos na época e não ao Movimento Matemática Moderna da década

de 1960. Ele defende esse “edifício” e considera obsceno o que vai contra. Mais, o

artigo escrito por Cobbe acrescenta um personagem às críticas feitas por Maeder a

Thiré, Mello e Souza e Serebrenick: Euclides Roxo. Assim, Cobbe elabora um

“tetrálogo de 5 pessoas” utilizando-se de um tom também irônico para tentar explicar

ao leitor do jornal paranaense como teria sido engendrado um plano para desqualificar

o trabalho publicado por Maeder:

Tetrálogo de 5 pessoas

- Roxo: - O livro do professor Mader está entrando no mercado...

- Thiré: - É verdade. Precisamos por um paradeiro nisso...

- Souza : - O dividendo deste mês será fraquíssimo...

- O senhor Salomão (dando um pulo ao ouvir falar em dividendo fraquíssimo): - Deixa-o

comigo. Eu tenho consciência do meu próprio mérito. Nada mais fácil, para mim, do que

achar erros no tal livro. Ontem jantei com Pash.

- Tartarin de Taracon: - Eu também cantei hoje o “Roberto Diabo”, em casa dos

Bezilquet.

E foi assim que o Senhor Salomão, brandindo um bacamarte poli-euclidianíssimo e

invocando a décima irmã de Euterpe (os trinta por cento, e desprezando a observação de

275

Tartarin) entrou pelas páginas da álgebra do professor Mader, a caçar ausências de

rigores formais.

Neste ponto, sob o título “Das diversas maneiras de ser caipora”, vem o ataque

direto a Serebrenick e os três autores do Rio de Janeiro:

Imaginem um amigo de peito de Ivan, o terrível, que saísse repentinamente pelos

caminhos a pregar as doutrinas de Tolstoi sem ter, previamente e logicamente, rompido

com o tal Ivan. Seriam, é obvio, desastrosas as conseqüências.

Pois o senhor Salomão, não somente não rompeu com a Souza, Thiré e Roxo, como,

ainda por cima, a tem como aliada.

Ora, os livros de Souza, Thiré and Roxo são o que se pode chamar de verdadeiro telhado

de vidro para quem, morando-lhe por baixo, queira atirar pedras formas nas obras

alheias. E o desastre é mais completo quando o próprio crítico comete, durante sua

crítica, erros de rigores formais e o desastre é mais completo ainda quando a “obras

alheias” é um livro honestíssimo e, por várias qualidades, capaz de honrar a didática

algébrica como o é o do professor Mäder; e o desastre é mais completíssimo ainda

quando se notar que muitas das coisas criticadas pelo senhor peso-pesado Salomão são

adotadas pela maioria dos mestres imortais da didática Matemática e, também, pelos

ultra-mortalíssimos ana-mestres seus sócios.

Aqui o senhor Salomão gritará:

Mas eu não cometi, durante a minha crítica, erros de rigores formais. Mostre-os se for

capaz!

Eu que sou muito calmo e que não gosto de gritos responder-lhe-ei, a mezza você:

276

FIGURA 114 – ARTIGO DE COBBE (2): 02/08/1933

277

FIGURA 114 – ARTIGO DE COBBE (2): 02/08/1933

278

FIGURA 114 – ARTIGO DE COBBE (2): 02/08/1933

279

Em 02/08/1933, Cobbe volta a utilizar o jornal Gazeta do Povo para continuar

sua defesa ao ilustre paranaense que havia sido alvo de crítica pela Revista Brasileira

de Matemática. Ele inicia seu segundo artigo com o mesmo título: Má fé ou

ignorância?. O alvo são os autores Souza, Thiré e Roxo, referindo-se a eles como

sócios de uma empresa. Com uma linguagem rebuscada, Cobbe escreve a história de

um rei, um boneco e o ouro sobre azul e de uma determinada trama. Na verdade, o que

se observa no texto é uma forma de levar o leitor a conhecer uma “firma” que ele

denomina “Souza, Thiré and Roxo”.

Estavam os sócios nessa busca de novas atividades quando, um belo dia, entra-lhes pelos

escritórios a dentro o senhor Salomão a fazer uma proposta.

- Meus queridos senhores. Uma longa prática das coisas do comércio aliada à falta, no

momento, de capital me faz trazer minha presença diante de vossas augustas presenças.

Conheço-vos a obra a fundo pois foi nela que hauri a minha alta capacidade super-

Beltramica e não-Lorentziana. Sobram por este mundo livros eivados do mais puro e

crasso erro. Sei que pretendeis ampliar vossos negócios invadindo novos ramos de

indústria. Vim portanto trazer à apreciação de vossas eminentes apreciabilidades a

minha idéia.

A IDÉIA

- Sois o rei do mercado do livro, mas não sois o único: tendes concorrentes.

Ora cada um dos vossos concorrentes, sosinhamente considerado seria uma gota d’água

diante de vossa oceânica obra. Mas é que eles são inúmeros e somados, igualam-vos, em

quantidade é claro. Porque pois não tentar o trust do livro?

- Já pensamos nisso, mas você compreende que, conquanto imensos, nossos capitais

enfraqueceriam se fôssemos comprar todos os concorrentes...

- Duas são, meus nobres fidalgos, as maneiras principais de trustificar uma indústria:

Uma, a geralmente usada pelos que não dispõem de grandes recursos de inteligência, é a

que pretendíeis adotar... Outr. ...

(Aqui ia havendo um incidente que quase põem a perder os futuros entendimentos e

talvez com isso eu, o Boileau-sinho, não tivesse vindo a este mundo de perfídias. É que os

senhores sócios ficaram melindrados com a gafe do senhor Salomão ao afirmar que eles

não tinham grandes recursos de inteligência. Mas o senhor Salomão explicou que não era

bem isso que ele queria dizer, que se referia unicamente a inteligência comercial a qual,

como ilustríssimos senhores sabiam, não era unívoca nem distributiva nem comutativa e

sim unicamente apenas somente privativa. E os ânimos se acomodaram.)

Com esse de texto, o autor insinua a existência de um verdadeiro complô para

desqualificar o trabalho de autoria de Maeder. Segundo Cobbe, o crítico Salomão

Serebrenick teria inventado uma máquina, mas não uma máquina qualquer. Teria

criado uma “máquina de atirar pedras no telhado do vizinho”. Refere-se, dessa forma,

à Revista Brasileira de Matemática. A empresa Souza, Thiré and Roxo teria agora no

senhor Salomão um sócio-gerente.

280

FIGURA 115 – ARTIGO DE COBBE (3): 10/08/1933

281

FIGURA 115 – ARTIGO DE COBBE (3): 10/08/1933

282

Alguns dias depois desse segundo artigo, Cobbe publica um novo artigo com o título

Má fé ou ignorância. O jornal Gazeta do Povo de 10/08/1933 novamente é a tribuna

utilizada por Cobbe para desqualificar quaisquer críticas feitas ao livro de Maeder, ao

mesmo tempo em que também procura pulverizar a obra de outros concorrentes. Cobbe

inicia assim o terceiro artigo:

Expliquei, na aula passada, as razões que trouxeram a este mundo, e, em seguida, os motivos

de minha tragédia subjetiva que findou com o eu me dedicar, de molas e alma, ao alçamento

dos erros contidos no LIVRO PERFEITO. E entraria hoje na exposição dos ditos erros, sem

mais preâmbulos, se contingências psico-didáticas não exigissem mais um detalhe.

É que a prata que colabora na minha anatomia tem também a sua – curta porém – história, e

essa mui concorrerá para os esclareceres do assunto.

Denominando de A história da prata, Cobbe cria um texto para mostrar, segundo

ele, o que teria levado Salomão Serebrenick a ser o crítico de Maeder. Para Cobbe, são três

os motivos. No primeiro deles, insinua que Serebrenick jamais havia produzido qualquer

obra. O segundo Serebrenick sabia que não tinha capacidade para tanto. O terceiro conta

que esse crítico já havia encontrado erros em todas as obras que lera. Sendo assim, não teria

problemas também para encontrá-los no trabalho de Maeder.

Nesse terceiro artigo, Cobbe prossegue fazendo comentários que procuram

desqualificar os supostos erros apontados por Serebrenick e termina o artigo prometendo

uma continuação:

Na próxima aula, ainda presidido pela noção de rigorismos formais, continuaremos, se esta

micelânea ainda interessar aos alunos, a traduzir – já em prosa já em verso já em música, as

perturbações que sente um boneco de prata e de mola quando guiado pela má fé, se põem cheio

de intransigências a ler um livro que auto-ego-sui-a si mesmo se intitulou PERFEITO, como o

fez o 1º ano de Matemática de Cecil Thiré e Mello e Souza.

Ironicamente, assina essa publicação como Léo Cobbe, “especialista em moléstias

de crianças”. A continuação prometida, porém, parece não ter ocorrido, pelo menos não foi

possível encontrar nos arquivos da Biblioteca Pública do Paraná qualquer outro artigo de

Léo Cobbe. Mas Maeder não teve apenas o apoio escrito de Léo Cobbe. Outros dois artigos

foram publicados por outro autor, também paranaense. Nos dois artigos, o título utilizado

foi Um grande paranaense atacado por um seu colega do Rio de Janeiro. O autor de tais

artigos é Hirosê Pimpão.

283

FIGURA 116 – ARTIGO DE PIMPÃO (1): 28/07/1933

284

O primeiro artigo, publicado na Gazeta do Povo em 28/07/1933, procura mais

observar “a injustiça” desse ataque injustificável a um personagem muito importante

do Estado do Paraná. Observo que as palavras de Pimpão não são agressivas, mas

buscam levar o leitor ao estranhamento e incompreensão dessas críticas.

Os diversos artigos publicados ultimamente em defesa da “Álgebra Elementar” do

professor Mäder, despertaram em mim o desejo de saber a causa de tão simpático quão

justo efeito.

Recorri as fontes necessárias, e lá me inteirei do assunto que me faz escrever, para

externar a minha revolta íntima.

Trata-se, como o leitor já sabe do improcedente ataque do sr. Serebrenick ao mais digno,

ao mais merecedor e ao mais esperançoso dos moços do Paraná.

Não são elogios que eu estou a fazer, porque aos brios e à dignidade de um estudante

repudiam tão baixos sentimentos quais sejam os bajulo. É apenas a verdade visível por

todo aquele que, em comunhão com a consciência da inveja ao ver no dr. Mäder aquelas

verdades que expus.

Pois bem. Provada como já está a ambição do comércio do livro que animou o sr.

Serebrenick a mostrar ao culto público brasileiro a sua, ou ignorância, ou má fé com que

agiu na questão eu vou dizer o que me vai no coração.

Embora o autor do artigo acima não utilize em momento algum os nomes de

Thiré, Mello e Souza ou ainda de Roxo, parece acreditar que o motivo da crítica ao

livro de Maeder tenha origem na disputa do mercado editorial e também na vontade de

Serebrenick de divulgar seu nome. E continua Pimpão:

Eu tenho para mim que, em virtude do sr. Serebrenick ser um nome muito desconhecido

no Brasil, e como o inclito mestre dr. Mader é, apesar da sua pouca idade, um vulto de

projeção nos meios intelectuais brasileiros, o sr. Serebrenick começou de pensar: - esse

dr. Mader é um professor lá no Paraná, estado quase sem influência. E concluiu: - eu vou

criticar a “Álgebra Elementar”, e como ela está tendo entrada em todos os estados do

Brasil, o rumor será grande, e o meu nome ficará conhecido de todos. Veja o leitor

amigo, se não foi mesmo a ambição da publicidade e o medo da concorrência e que

levaram o sr. Salomão a dar tão cabal, quanto triste amostra do mal-agourado plano por

ele arquitetado. Veja o que pode acontecer a um triste ambicioso.

O tal Paraná que o sr. Salomão julgou sem influência, é a terra daqueles que sabem

discernir o bom do ruim, que sabem fazer justiça aos que a merecem, que sabem não

admitir que um seu conterrâneo tão útil, seja o alvo das risíveis e tristes brincadeiras de

um sr., que pelo simples gosto de sentir as cócegas da popularidade, se apega a pequenos

descuidos da tipografia que comete os chamados “erros de imprensa”.

É a prova sr. Serebrenick, de que o Paraná sabe ter amor aos filhos que merecem, aí

tem-na o sr. nos vibrantes artigos de matemáticos e jornalistas nossos.

É importante observar que Pimpão fala da existência, no livro de Maeder, dos

chamados “erros de imprensa”, o que não ocorre nos artigos publicados por Cobbe,

conforme abordados anteriormente.

285

FIGURA 117 – ARTIGO DE PIMPÃO (2): 04/08/1933

286

No segundo artigo, publicado em 04/08/1933, Pimpão inicia comentando que

Serebrenick não tem capacidade na “mais positiva das ciências” para ter a posição de

crítico do livro em questão. Porém, nesse artigo há menção a Thiré e Mello e Souza:

Coitado. Teve ele capacidade para se julgar crítico justo da Álgebra Elementar, mas a sua

capacidade não lhe permitiu calcular, nem por uma progressão aritmética, em que águas

se ia banhar.

E hoje, eis o pobre do sr. Salomão a correr da casa de Thiré para de Souza, em busca do

refrigério para o mal por ele procurado. Mas agora que o sr. Serebrenick se acha em

meio a sua queda, não há uma consciência, mesmo corrompida como a dos seus sócios

que lhe queira dar a mão. E o pobre do sr. Salomão acocorado ao canto do

arrependimento, espezinhado pelas verdades que tem recebido dos paranaenses, em

cujas veias corre o sangue, primeiro da fraternidade e depois o da amizade, há de se ter

persignado mil vezes para se livrar do demônio da tentação, que o tentou a ambicionar o

ápice da glória, que lhe havia de vir, criticando o que está certo.

Um pouco mais adiante, Pimpão levanta a hipótese da existência de um complô

montado por Thiré, Mello e Souza e Roxo. Tal complô teria novamente, como já foi

aqui apontada, uma finalidade comercial.

É nos permitido fazer a hipótese de que, os lucros que a trindade perfeita reunida na

sociedade de Souza, Thiré e Roxo, sendo bem apetitosos, chamaram a eles a cobiça do Sr.

Serebrenick. Este após dizer publicamente que o melhor livro de Matemática era o

daquela trindade, foi admitido a tomar parte na repartição dos mesmos lucros. Mas,

como há certos indivíduos perseguidos pelo infortúnio, apenas o Sr. Salomão entrou para

a sociedade, apareceu a Álgebra Elementar, que, pela perfeita interpretação dos

programas do curso secundário, e pelo valor da matéria que encerra, como pelos

exemplos felizes feitos pelo próprio autor, foi aceita por todos os estabelecimentos

ginasiais do Brasil e mais pelo Colégio Militar, causando assim um forte abalo nos lucros

daqueles comerciantes srs. Então o Sr. Salomão mais atrevido que os outros, e fazendo

uma idéia de que o povo não fosse verificar o que ele ia fazer, escreveu a já tão

comentada crítica.

Foi só a cobiça da popularidade e mais a do dinheiro que levaram o Sr. Salomão a dar

derradeiro passo para o precipício.

Infelizmente, não foi possível determinar o alcance da obra de Maeder. Os

dados a esse respeito são inexistentes embora haja indícios que apontem para certa

projeção nacional do nome de Maeder. Saber onde a Álgebra elementar – 3ª. edição

foi adotada não me foi possível pela precariedade dos dados existentes em arquivos,

pasmem, até de bibliotecas públicas espalhadas pelo Brasil. Embora tenha,

eletronicamente, observado o acervo de algumas bibliotecas brasileiras e constatado

que em algumas delas havia o livro de Maeder, não considerei tal pesquisa conclusiva.

287

Assim não é possível confirmar a afirmação anterior de que teria sido adotada por

todos os estabelecimentos ginasiais existentes no Brasil, na época.

3.3 TRIBUNA 3: COMPANHIA EDITORA NACIONAL

Como já foi dito aqui anteriormente, a Revista Brasileira de Matemática, no

número já mencionado, não teve como foco de críticas apenas o trabalho publicado

pelo autor paranaense. Jacomo Stávale e seu livro destinado ao primeiro ano também

foram duramente criticados. O autor das críticas foi J. C. Mello e Souza.

Apoiado pela editora em que Stávale publica suas obras, a Companhia Editora

Nacional, com sede na cidade de São Paulo, um “folheto” (em forma de revista, assim

como a Revista Brasileira de Matemática) com 32 páginas foi publicado e, de alguma

forma, chegou às mãos

de Algacyr Munhoz Maeder. O título do folheto é Coisas da

Matemática... – Resposta ao Professor Júlio Cesar Mello e Souza...

Encontra-se o “folheto” dividido, após uma advertência escrita por Stávale, em

três partes. Na primeira, publicou-se o artigo escrito pelo Professor de Matemática

André Rocha da cidade de Corumbá, que explica os motivos de terem adotado o

compêndio de Stávale. Além disso, procura rebater as críticas levantadas por Mello e

Souza. Para a segunda parte, o próprio Stávale escreve um artigo de título Aos

professores e estudantes do Brasil, no qual pondera e rebate os “erros” apontados por

Mello e Souza. A terceira parte também é assinada por Stávale, sob o título Revista

Brasileira de Mathematica. Assim como Maeder, também Stávale pondera sobre a

existência de uma intenção clara de utilizar tal revista para os interesses comerciais

dos autores do Colégio Pedro II. “Porque, não há negar, a R.B.M. reapareceu sob a

direção do fulgurante binômio Mello e Souza – Salomão, exclusivamente para arrasar

todos os compêndios de Matemática que se destinam ao curso secundário”. É nessa

Tal afirmação que faço baseia-se no simples fato de ter encontrado esse “folheto” em meio aos

diversos documentos de Maeder pertencentes à sua família.

288

parte que se encontra um trecho em que Stávale fala do trabalho publicado por

Maeder.

E continua a ronda sinistra. Agora é o cadáver do professor Algacyr Munhoz Mäder,

catedrático do Ginásio Paranaense, que passa completamente estraçalhado pela crítica

fulgurante e implacável do prof. Salomão Serebrenick, ajudante de ordens do prof. J. C.

Mello e Souza na arrancada alucinante de pulverizar todos os compêndios de

Matemática que não sejam aqueles que excedem em clareza e precisão aos melhores

compêndios americanos e alemães. Que troça!

A seguir, Stávale cita e desqualifica dois comentários de Serebrenick sobre a

obra de Maeder, termina dizendo que deixará para o prof. Maeder “a tarefa de rebater

todas as absurdezas do seu ilustre crítico”. Embora não tenha sido possível verificar se

Maeder e Stávale, por ocasião das críticas às suas publicações, mantiveram algum

diálogo, estabelecendo possíveis estratégias de procedimentos em relação aos seus

críticos; é possível observar que existiram idéias comuns como a de desqualificar a

revista em questão, associar às críticas interesses comerciais editoriais e, de certa

forma, também criticar os livros de autoria de Mello e Souza. São Paulo e Paraná

estavam, assim interpreto com base nas palavras de Maeder e Stávale, tirando do Rio

de Janeiro o lugar de destaque na produção de obras de Matemática.

3.4 SEREBRENICK versus MAEDER

Pretendo, neste tópico pontuar os conteúdos na obra de Maeder que Salomão

Serebrenick criticou, utilizando como tribuna a Revista Brasileira de Matemática. Por

outro lado, observo o que Maeder teria dito em sua defesa nos artigos que publicou no

jornal paranaense Gazeta do Povo. Não cabe aqui o juízo de verdade, mas o de fazer

uma leitura crítica do que esses dois personagens disseram, considerando o contexto

da época.

Para que essas idéias possam ser mais bem observadas e confrontadas,

coloquei-as em forma quadros que contemplam o texto do livro Álgebra elementar –

289

3ª. edição, a correspondente crítica na Revista Brasileira de Matemática e a defesa

publicada no jornal Gazeta do Povo. Cada um dos quadros que apresento a seguir é

composto, sempre que possível

, de três informações. Na parte superior do quadro

retiro do livro Álgebra elementar – 3ª. edição a parte do texto que foi comentado por

Serebrenick na Revista Brasileira de Matemática. Numa segunda parte do quadro,

abaixo e à esquerda, observo o que disse exatamente Serebrenick, isto é, a crítica em

si. Na parte inferior do quadro e à direita, transcrevo a defesa de Maeder presente nos

artigos publicados no jornal Gazeta do Povo:

QUADRO 33 – FORMATO DOS QUADROS SEREBRENICK VERSUS MAEDER

Álgebra elementar – 3ª. edição, 1933.

Texto, ou parte do texto, do livro de Maeder que foi criticado.

Revista Brasileira de Matemática

Crítica extraída da Revista Brasileira de

Matemática cuja autoria é de Salomão

Serebrenick.

Gazeta do Povo

Defesa extraída de artigo publicado no jornal

Gazeta do Povo e escrita por Algacyr

Munhoz Maeder.

A primeira rusga observada tem início já na introdução do livro de Maeder. Ao

posicionar o leitor sobre, entre outras coisas, a Matemática (sua classificação em

abstrata e concreta, conforme já foi anteriormente observado), Maeder procura ater-se

a Álgebra, fazendo observações diversas sobre funções, equações e símbolos

algébricos. É exatamente em relação à utilização dos símbolos algébricos (ver

QUADRO 34) que Serebrenick faz a primeira crítica pontual, chegando até a apontar

uma contradição no que escreve Maeder.

Nem todas as críticas feitas por Serebrenick, em relação aos conteúdos próprios da Matemática,

foram comentadas ou mesmo rebatidas por Maeder. Observando que no último artigo escrito por

Maeder (no jornal Gazeta do Povo) ele havia dito que continuaria, presumo que pudesse ter deixado

tais críticas para um outro momento. O que não ocorreu, conforme já disse anteriormente.

290

QUADRO 34 – SOBRE A UTILIZAÇÃO DE LETRAS REPETIDAS

Muitas vezes, nas expressões em que aparece grande número de letras, temos necessidade

de repetir uma ou mais dentre elas, o que nos obriga acentuá-las com uma, duas ou mais

linhas para a indispensável distinção.

É muito comum encontrar-se, nos cálculos, as letras, assim assinaladas:

a’, b’, c’...a”, b”, c”...x’, y’, z’...x”, y”, z”...” (MAEDER, 1933, p. 5)

Não é verdade. Empregam-se letras

idênticas diversamente acentuadas, não

porque faltem letras no alfabeto, senão por

uma questão de conveniência devida a

alguma analogia que apresentam as

quantidades por elas representadas. Aliás, é

o próprio autor quem se desmente: os

inúmeros exemplos de letras acentuadas

contidos no seu livro são devidos a analogias.

Assim, tirando, ao acaso, o sistema

apresentado à pág. 214:

,''' cybxa

cbyax

será o prof. Maeder capaz de afirmar que

acentuou as letras a, b e c da segunda

equação porque verificasse falta de outras

letras? (SEREBRENICK, 1933, p. 69)

A primeira afirmativa do crítico de oferta,

que se refere ao emprego das letras

acentuadas no cálculo (página 5 do meu

livro), é digna de uma imensa gargalhada de

Aretino.

É que o Sr. Serebrenick entende que as

letras do alfabeto bastam para representar

todos os elementos que possam interessar

uma questão complexa qualquer.

Já teria o Sr. Serebrenick ouvido falar, por

exemplo, na equação de uma super-esfera a

28 dimensões?

(MAEDER, Gazeta do Povo, 16 jul. 1933, p. 6)

Maeder, por sua vez, aproveita para chamar Salomão de “crítico de oferta” e,

além de se defender, procura mostrar um conhecimento matemático a respeito da

super-esfera, com 28 dimensões. Com isso, ele pretendia dizer que somente as letras

de nosso alfabeto são insuficientes para representar, por exemplo, cada uma das

dimensões, reforçando a notação de letras com um ou dois tracinhos.

No capítulo destinado ao estudo dos “Números Algébricos” do livro de Maeder

surge a segunda crítica presente na Revista Brasileira de Matemática. Nesta,

Serebrenick toma apenas a frase final de uma observação, isto é, “pode-se, pois, alterar

a ordem dos termos de uma soma de números algébricos sem alterar o seu valor

absoluto”. No QUADRO 35, faço constar que tal frase faz parte de uma observação

feita após um exemplo numérico.

291

QUADRO 35 – SOBRE A ORDEM NA SOMA DE NÚMEROS ALGÉBRICOS

Observação: É evidente que o resultado a que acima chegamos será o mesmo se o móvel

percorrer os mesmos segmentos, mas em ordem diversa.

Assim:

(+6) + (-8) + (-3) + (+7) = +2

(+6) + (+7) + (-8) + (-3) = +2

Pode-se, pois, alterar a ordem dos termos de uma soma de números algébricos sem alterar o seu

valor absoluto. (MAEDER, 1933, p. 13)

Afirmação absurda. E o valor relativo de

uma soma de números algébricos fica

alterado quando se altera a ordem de seus

termos? (SEREBRENICK, 1933, p. 69)

Mesmo admitindo “ab-infinito” o axioma da

ignorância absoluta do Sr. Salomão, custa-

me a crer que uma revista de Matemática

pudesse inserir a barbaridade que

representa a sua segunda observação sobre o

meu livro.

Será possível que alguém ignore neste

mundo de Deus, mesmo sendo candidato a

exame de admissão ou diretor de revista,

que “pode-se, pois, alterar a ordem dos

termos algébricos sem alterar o seu valor

absoluto”? (textual do meu livro, página 13).

Pois bem, muita coragem leitores, o Sr.

Serebrenick, transcrevendo, a página 69 de

sua revista, essa minha afirmativa, acha-a

absurda... (Sem comentários).

Será possível que a ignorância do Sr.

Serebrenick seja patológica. (MAEDER,

Gazeta do Povo, 16 jul. 1933, p. 6)

Sobre a ordem na soma de números algébricos, a crítica parece estar assentada

exclusivamente numa frase, sem tomar conhecimento de que se referia a um exemplo,

isto é, a um contexto. Maeder, por sua vez, não perdoa e conclama os leitores a ter

coragem de ler a crítica de Serebrenick e, questiona sobre uma possível ignorância do

crítico da Revista Brasileira de Matemática, mas como decorrente de uma doença.

292

QUADRO 36 – SOBRE A DEFINIÇÃO DE EXPOENTE

Em relação ao expoente, encontram-se freqüentemente definições muito falhas, como o é a que

diz ser o expoente uma indicação de produto de fatores iguais. Tal definição só é aceitável no

caso particularíssimo dos expoentes inteiros e positivos. (MAEDER, 1933, p. 33)

Ridículo e errado. Ridículo, porque o autor

acha particularíssimo o caso dos expoentes

inteiros e positivos, e em todo o seu livro de

mais de 300 páginas não se encontra um só

caso (ao menos um só) de expoentes que não

sejam inteiros e positivos. Errado, porque o

número 1 é inteiro e positivo, e, no entanto,

sendo expoente, não indica, absolutamente,

um produto de fatores iguais, como deveria

ser segundo o prof. Maeder. É inconcebível

um produto de um único fator.

(SEREBRENICK, 1933, p. 69)

A definição a que me refiro, transcrita à

página 71 da Revista: “Considerando o

expoente inteiro e positivo, pode-se definir a

potência como um produto de fatores iguais à

base. O expoente indica, nesse caso, o número

de vezes que a base deve ser repetida como

fator” (meu livro, página 109) está

absolutamente certa, Sr. Serebrenick.

Aliás, devo dizer que ela não foi inventada por

mim. Encontro-a em 47 autores, que poderia

citar, se não bastasse o grande Sebastião

Alves, meu insigne mestre. Leia-se o que diz

esse eminente professor em sua “Álgebra

Elementar”, que é, sem favor algum, um dos

livros mais exatos que se conhece: “... como

uma potência inteira e positiva de uma

quantidade qualquer é o produto de tantos

fatores iguais a essa quantidade quantas forem

as unidades do expoente da potência

considerada...” (página 69).

Ousará o Sr. Serebrenick atribuir ao

professor Sebastião Alves os qualificativos que

me oferece gratuitamente?... (MAEDER,

Gazeta do Povo, 21 jul. 1933)

O QUADRO 36 apresenta a outra crítica. Essa diz respeito ao significado dado

ao expoente. Novamente, Serebrenick limita a sua observação a uma frase isolada, sem

levar em conta o que vem imediatamente antes e depois. Por exemplo, um pouco mais

adiante, mas ainda na mesma página do livro de Maeder, existem exemplos de

expoentes que não são inteiros (

c e

d ). Ao comentar a crítica feita por Serebrenick,

o autor paranaense cita como referência a obra de Sebastião Alves e menciona que

existem outros 47 autores que também utilizam tal procedimento de definir o expoente

de uma potência.

293

QUADRO 37 – SOBRE A EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES

Princípio fundamental: Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos de uma fração por uma

mesma expressão algébrica, forma-se uma fração equivalente. (MAEDER, 1933, p. 88)

Princípio falso. Há certas expressões

algébricas pelas quais não podemos

multiplicar ou dividir ambos os termos de

uma fração, sem perder a equivalência.

Servindo-se do próprio exemplo do autor

−

(1)

multipliquemos ambos os termos por

−

;

obteremos a fração

483

232

−

−−

(2)

Calculemos, agora, o valor numérico de cada

uma das frações (1) e (2), para

, como

faz o autor. Obteremos, respectivamente, os

valores

. Bela equivalência!

(SEREBRENICK, 1933, p. 70)

A próxima crítica observada por Salomão Serebrenick na Revista Brasileira de

Matemática diz respeito à equivalência de frações algébricas (ver QUADRO 37). No

livro de Maeder, a fração exemplificada

−

tem o numerador e o denominador

multiplicados pela expressão

−

a , resultando na fração

253

−

−−

. Maeder calcula,

então, o valor numérico de cada uma das frações, substituindo a letra

pelo número 2

obtendo em cada uma o mesmo valor numérico. Já Serebrenick utiliza o artifício de

multiplicar a fração dada por

−

e substituir

pelo número 2, isto é, multiplica e

divide a fração dada por zero, obtendo, assim,

. Ora, se, por um lado, o autor

paranaense não foi rigoroso a ponto de fazer comentários sobre a restrição de não

substituir por valores que anulassem os termos da fração, Serebrenick poderia

294

perfeitamente ter observado que havia apenas esse senão em relação à restrição.

Maeder simplesmente não responde a essa crítica na Gazeta do Povo.

QUADRO 38 – SOBRE EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS

Completas, quando contêm todas as potências da variável, desde a mais elevada, que caracteriza

a equação, até zero, no termo independente.

Incompletas, quando falta algum termo de grau intermediário entre aqueles extremos.

(MAEDER, 1933, p. 155)

Esta última definição está errada. Segundo

ela, uma equação do 2º. grau, p.ex., só seria

incompleta quando faltasse o termo de grau

intermediário entre os graus extremos: 2 e 0;

i.é, quando faltasse o termo contendo a

variável no grau 1. Isto não é verdade, porque

a equação

=+ bxax

não falta o termo do 1º. grau e, contudo, essa

equação é incompleta.

Além disso, parece, pela definição do autor,

que nas equações incompletas só pode faltar

um termo (“algum termo”), quando o certo é

que podem faltar um ou mais termos – e

quaisquer (não somente “intermediários”;

claro está que não pode faltar o termo do grau

mais elevado). (SEREBRENICK, 1933, p.70)

A crítica agora é a respeito da definição de equação completa ou incompleta do

2º. grau ser completa. Em seu livro, Maeder encaminha as duas definições (ver

QUADRO 38). A definição a respeito de equações incompletas é criticada e, de fato,

penso que a crítica procede. Observo que o autor paranaense não faz em nenhum de

seus artigos comentários a esse respeito. Faz comentários diversos sobre as equações

do 2º. grau, mas nada com relação a essa crítica pontual presente na Revista Brasileira

de Matemática.

O assunto potenciação é motivo de nova crítica (ver QUADRO 39).

Novamente observo que se, por um lado, há um descuido na utilização de uma palavra

(no caso, “repetida”), por outro, não posso deixar de constatar o que pode ser

considerado “excesso de rigor”. Serebrenick não reproduz na íntegra o que está no

295

livro de Maeder (ver o que está no livro de Maeder, início do QUADRO 39). Salomão

“reproduz” do livro: “Considerando o expoente inteiro e positivo, pode-se definir a

potência como um produto de fatores iguais à base. O expoente indica, nesse caso, o

número de vezes que a base deve ser repetida como fator”.

QUADRO 39 – SOBRE POTENCIAÇÃO

Considerando m inteiro e positivo, pode-se definir a potência como um produto de fatores

iguais à base. Assim:

)...(

2222

mvezesaxaxaxa

bxbxbxbxb

O expoente indica, nesse caso, o número de vezes que a base deve ser repetida como fator.

(MAEDER, 1933, p. 108)

Afirmações erradas. Já vimos que a primeira é

falha porque o número 1 é inteiro e positivo e,

todavia, sendo expoente, não indica um

produto de fatores. A segunda é falsa,

porquanto, o que o expoente indica, não é o

número de vezes que a base dever ser repetida

como fator e sim – esse número de vezes mais

um.

Assim, na potência

, a base

só se

repete uma vez e não duas; na potência

, repete-se duas vezes e não três.

(SEREBRENICK, 1933, p. 71)

aaa ⋅=

aaaa ⋅⋅=

A defesa de Maeder a respeito dessa crítica já foi comentada, quando menciono

uma outra crítica do texto do livro Álgebra elementar (ver QUADRO 36). O

comentário que Maeder faz lá também inclui a crítica aqui mencionada. Acredito que

essa crítica é pertinente e poderia ser superada trocando-se “a base deve ser repetida”

por “número de vezes em que a base aparece”.

O QUADRO 40 contém uma nova crítica feita por Serebrenick, ou seja, uma

“definição defeituosa”. Agora a questão levantada diz respeito ao valor numérico que

uma expressão algébrica assume. Aqui o crítico da Revista Brasileira de Matemática

desconsidera totalmente o contexto numérico em que o autor paranaense dá à

296

definição. Além disso, no rodapé da página mencionada do livro de Maeder, há uma

nota deixando claro que o campo numérico considerado é conjunto dos números

racionais. Ao colocar

2−

, como um contra-exemplo, Serebrenick deixa de

considerar a restrição feita por Maeder.

QUADRO 40 – SOBRE VALOR NUMÉRICO DE EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Valor numérico de uma expressão algébrica é o número algébrico que se obtém substituindo as

letras que nela figuram pelos números que representam e efetuando as operações indicadas

pelos respectivos sinais. (MAEDER, 1933, p. 27)

Definição defeituosa. Seja, efetivamente, a

expressão

3 . Determinemos o seu valor

numérico para

1−

, ; isto é,

vejamos o número que se obtém substituindo

na expressão dada as letras

e pelos

valores

e respectivamente e efetuando

as operações. Teremos:

2−=b

a b

1 2−−

.232132)1(3

−=−⋅⋅=−⋅−⋅

Ora,

23 −

não é o valor numérico

procurado; é impossível efetuar a operação

.2−

O autor deveria ter completado sua definição

acrescentando que se supõe sempre que as

letras a serem substituídas só representam

números que permitam as operações, i. é tais

que os denominadores sejam diferentes de

zero e as quantidades debaixo do radical

sejam positivas. (SEREBRENICK, 1933, p. 71)

Não foi possível encontrar qualquer comentário de Maeder sobre essa última

crítica feita por Salomão Serebrenick. Também não encontrei qualquer comentário

sobre a crítica observada no QUADRO 41. Maeder, em seu livro, menciona duas

fórmulas para obter o termo geral de uma progressão aritmética a partir do primeiro

termo, da razão da progressão e da ordem do termo na correspondente seqüência.

Observando as palavras de Serebrenick, não há o que contestar (bastaria, sem

anacronismos, considerar, por exemplo, a forma como atualmente se procede no

Ensino Médio quando no encaminhamento de tal assunto). Teria sentido a existência

297

dessa segunda fórmula (para a progressão aritmética decrescente) se Maeder

comentasse que a razão r da progressão aritmética seria tomada sempre em valor

absoluto. Isso, entretanto, não aparece no correspondente livro.

QUADRO 41 – SOBRE A FÓRMULA DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Generalizando, diremos que um termo qualquer de uma progressão se obtém somando

algebricamente ao primeiro tantas vezes a razão quantos forem os termos que o precedem.

O valor de um termo qualquer será, portanto, dado pela seguinte fórmula:

l .)1( rna −+=

A progressão sendo decrescente, a fórmula acima passará a ser:

(MAEDER, 1933, p. 305)

.)1( rna −−=

Estudando a relação entre os elementos de

uma progressão aritmética, o autor obtém

duas fórmulas (que absurdo!) para cálculo de

um termo qualquer

rnal )1( −+=

,)1( rnal −

−

a primeira para as progressões crescentes, a

segunda para as decrescentes.

Dessas duas fórmulas podemos tirar outras

duas dando o valor da razão para cada um dos

casos. Teremos, respectivamente:

1−

−

(cresc.) e

−

(descresc.).

Apliquemos esta última à progressão

decrescente

.46810 ⋅⋅

⋅

Teremos:

104

−

Ora, não é isso um absurdo? A razão da

progressão dada é

e não .

2− 2+

(SEREBRENICK, 1933, p. 71)

As críticas continuam, mas são repetitivas. No QUADRO 42 novamente, como

já ocorrera anteriormente, o crítico da Revista Brasileira de Matemática retoma a

utilização de letras na representação, porém agora de termos de uma progressão

aritmética. Aqui são abordados dois pontos: um diz respeito à ordem alfabética das

298

letras que são colocadas (observe que as letras p e l utilizadas por Maeder para

representar os termos da progressão aritmética estão completamente fora de ordem), e

o outro ponto diz respeito às reticências colocadas pelo autor paranaense após a letra z.

Serebrenick, conforme o quadro, não perdoa. Maeder, por sua vez, nada responde.

Apenas menciona que, quando as letras são insuficientes para a representação de

termos desconhecidos, utiliza-se um tracinho ou dois tracinhos acima das letras do

nosso alfabeto.

QUADRO 42 – SOBRE A UTILIZAÇÃO DE LETRAS

Em geral, costuma-se representar os elementos conhecidos pelas primeiras letras, enquanto os

desconhecidos o são pelas últimas.

Assim:

a, b, c, d, ... A, B, C, D,... representam quantidades conhecidas, enquanto:

v, x, y, z,... V, X, Y, Z,... representam incógnitas. (MAEDER, 1933, p. 5)

Consideremos a progressão:

::a.b.c.d.........m.n.p.l (MAEDER, 1933, p. 306)

É deveras interessante a representação que o

autor faz das progressões aritméticas:

lpnmdcba

⋅

⋅⋅⋅⋅÷ .....

Que transtorno da ordem alfabética!

Chocante e ilógico.

Aliás, logo no início do livro, o autor mostra

desconhecer o alfabeto. Na pág. 5 encontramos

realmente:

“a, b, c, d, ... A, B, C, D, ... representam

quantidades conhecidas, enquanto:

v, x, y, z,... V, X, Y, Z,... representam

incógnitas”.

Quais são as letras, para designação de

incógnitas, que se seguem a letra z,

representadas pela reticência?

(SEREBRENICK, 1933, p. 72)

O QUADRO 43 contém mais uma crítica. Agora, o ponto levantado enfoca a

questão da utilização dos termos “potência” e “expoente”. Observando o que está

escrito no livro de Maeder, conforme o quadro mencionado, o autor paranaense utiliza

o termo “potência” de forma indevida quando deveria ser “expoente”. Na mesma

299

página, há uma frase em que o termo “potência” está sendo utilizado para designar

corretamente o que seria o resultado de uma potenciação: “Considerando a potência

como um produto de fatores iguais, vemos que o sinal de uma potência será positivo se

a base o for ou se a base for negativa e o índice for par”. Maeder, porém, nada

comenta a esse respeito em seus cinco artigos publicados no jornal Gazeta do Povo.

QUADRO 43 – SOBRE POTÊNCIA PAR E POTÊNCIA ÍMPAR

Toda a potência de um número positivo é positiva. Exemplo:

, ( e ( . 9)3(

+=+ 125)5

+=+ 59049)9

Toda a potência par de um número negativo é positiva e toda a potência ímpar de um número

negativo é negativa.

. (MAEDER, 1933, p. 22) ,9)3(

+=− 8)2(

−=−

No parágrafo 68, o autor mostra não ter noção

do que seja potência par e potência ímpar. Diz

ele:

Toda a potência par de um número negativo é

positiva e toda a potência ímpar de um número

negativo é negativa. Exs:

,9)3(

+=− . 8)2(

−=−

Exatamente o contrário. Para o autor,

é potência par, quando, na verdade,

é ímpar; e

é potência ímpar,

quando, de fato, é par. (SEREBRENICK, 1933,

p. 72)

)3(9 −=

)2(8 −=−

A crítica de Serebrenick a respeito do que diz Maeder sobre progressão

geométrica decrescente (ver QUADRO 44) é pertinente, porém, ao mesmo tempo,

considerando o argumento utilizado, errada. Vou considerar como exemplo, a

progressão geométrica (-16, - 8, - 4, - 2, - 1). A razão da progressão é

, portanto menor

que a unidade, mas a progressão geométrica é crescente. O exemplo utilizado pelo

crítico da Revista Brasileira de Matemática não é uma progressão geométrica crescente,

mas oscilante. Se, por um lado, Maeder foi incompleto na classificação de progressão

geométrica decrescente, Serebrenick utilizou-se de um exemplo completamente

equivocado em seu argumento.

300

QUADRO 44 – SOBRE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Progressões geométricas: Denominamos progressão geométrica a uma série de números tais que

em cada um se forma pelo produto do anterior com uma quantidade constante, denominada

razão.

A razão sendo maior que a unidade, a progressão é crescente. Assim:

:: 1:2:4:8:16:32:64:..

é uma progressão geométrica crescente cuja razão é 2.

A razão sendo menor do que a unidade a progressão é decrescente. Assim:

::9:3:1:

é uma progressão geométrica decrescente cuja razão é

. (MAEDER, 1993, p. 309)

Errado.

A progressão

...,168421

−

⋅

+⋅−⋅+⋅

−

⋅

tem

para razão

, portanto menor que a

unidade, e, no entanto, é crescente.

(SEREBRENICK, 1933, p. 73)

2−

(...) o criador do maior monstrengo do século –

a sua progressão geométrica de termos

negativos – atirada, como um escárnio, à

página 73 de sua revista.

A sua progressão geométrica, Sr. Salomão, é o

seu próprio atestado de óbito e deverá

também ser o seu epitáfio, em doloroso

contraste com o epitáfio de Newton.

(MAEDER, Gazeta do Povo, 21 jul. 1933, p.6)

QUADRO 45 – SOBRE EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Equações biquadradas: Damos a denominação de biquadradas às equações incompletas do 4º

grau, que só contém as potências pares da incógnita.

A sua forma geral é a seguinte:

ax . (MAEDER, 1933, p. 301) 0

=++ cbx

Uma das inovações mais interessantes do

Prof. Maeder é que as equações biquadradas

constituem um problema (!) do 2º grau.

Veja-se o capítulo em que o assunto é

estudado: Problemas do 2º grau (pág. 191).

(SEREBRENICK, 1933, p. 73)

Onde descobriu, em meu livro, “a inovação

interessante” que me atribui de serem as

equações biquadradas um problema do 2º

grau?

Isso é calúnia, senhor Serebrenick.

(MAEDER, Gazeta do Povo, 21 jul.1933, p. 6)

301

QUADRO 46 – SOBRE DISCUSSÕES DE EQUAÇÕES DO 2º. GRAU

2º caso: - Supondo

, as raízes serão ambas reais; tomando valores diversos, conforme

se tenha:

positivo ou

negativo.

ac4

Evidentemente, para

positivo, a expressão

acb 4

−

será nula, resultando, para ambas,

valores iguais, pois teremos:

' −=

+−

" −=

−

Supondo, agora, que c seja negativo, concluiremos que as raízes são incomensuráveis.

Com efeito, teremos:

222

bbb

−−=

−−

+−−

+−=

+−

++−

(MAEDER, 1933, p. 280)

Maior ofensa à verdade Matemática é

impossível. Repare-se bem: o autor supõe

, ou , e diz logo em

seguida que

só será nulo para c

positivo. Como qualquer valor de c (tanto

que o considera sucessivamente positivo e

negativo), essa hipótese deixe de se verificar

para c negativo?

acb 4

= 04

=− acb

acb 4

−

Mas isso é pouco. A própria consideração de

c poder ser positivo ou negativo é

eminentemente absurda, sobretudo em face

da declaração inicial do autor: “Supondo

, as raízes serão ambas reais...”

acb 4

Efetivamente, se c é negativo, a igualdade da

hipótese

mostra que

é também

negativo (

é sempre positivo) e, por

conseguinte, também deverá ser negativo o

primeiro membro

. Assim sendo,

será

imaginário!

ac4

E as duas raízes a que o autor chega no final

do trecho acima citado (por meio de

igualdades incompreensíveis) também serão

necessariamente imaginárias. O autor

afirmara, no entanto, que as raízes eram

ambas reais... (SEREBRENICK, 1933, p. 73)

Passando agora à discussão das equações do

2º grau, digo simplesmente que o meu

agressor deverá matricular-se em um curso

qualquer de Matemática para estudar o

assunto e depois dirigir a sua crítica a todos

os autores de compêndios de Álgebra

Elementar que existem no Mundo, uma vez

que a minha discussão é a de todos, é a

clássica e é a única exata que se conhece.

Eu não tenho a honra de ter inventado essa

matéria e de nada valem as objeções do Sr.

Salomão a respeito, por que são ridículas,

erradas, absurdas, monstruosas e sobretudo

ingênuas.

A discussão das equações do 2º grau, como

todas as discussões de assuntos matemáticos,

não é questão de gramática, Sr. Salomão.

Não é possível haver duas opiniões diversas

a respeito: ou b ao quadrado é igual a 4ac ou

não é; se for, e b não for nulo, c não poderá

ser nulo, nem que o novo Salomão queira e

nem que minha cozinheira também queira...

(o meu agressor gratuito nega esse meu

conceito, dado à página 280 do meu livro, à

página 73 da sua Revista). (MAEDER,

Gazeta do Povo, 29 jul. 1933, p. 3)

302

O comentário feito por Serebrenick quanto ao fato de Maeder considerar que

uma equação biquadrada constitui um problema do 2º. grau está baseado na

constatação de que, em meio ao assunto destinado à resolução de problemas que

recaiam em equações do 2º. grau (ao final do assunto), o autor paranaense apenas

aproveitou o tema para dizer que, em outras palavras, as equações biquadradas, por

meio de uma substituição (

por ) recairiam em equações do 2º. grau.

x y

Certamente a última crítica sobre conteúdos de Matemática feita por Salomão

Serebrenick na Revista Brasileira de Matemática pela “análise” do livro de Maeder é a

mais longa e, assim considero como leitor distante no tempo, a mais confusa. (ver

QUADRO 46)

Essa crítica sobre o encaminhamento dado por Maeder a respeito de equações

do 2º. grau continua por mais uma página na Revista Brasileira de Matemática.

Reproduzo a seguir apenas um comentário um pouco mais geral (além daquilo que

apresento no QUADRO 46) feito por Serebrenick:

Se os erros até agora apontados mostram bastante a deficiência do livro do Prof.

Maeder, estes outros, com que vamos concluir os nossos comentários, e dos quais se acha

eivado o capítulo referente à discussão das equações do 2º grau, constituem uma

verdadeira monstruosidade.

Passaremos em silêncio as falhas de menor gravidade, como o que encontramos à pág.

279, onde o autor diz que, ‘as raízes serão comensuráveis ou incomensuráveis, conforme

acb 4

−

for ou não quadrado’, ou à pág. 280, onde diz que ‘o caso

não

comporta a hipótese

’.

ac4

0=c

Insistiremos, sim, nos erros de maior monta, imperdoáveis até a um aluno do primeiro

ano. (SEREBRENICK, 1933, p. 73-74)

Uma leitura um pouco detalhada da crítica feita por Serebrenick, conforme

colocado acima, concluirá que a crítica procede, isto é, essa discussão quanto à

existência ou não de raízes reais, além de dizer comensuráveis ou não, é confusa no

livro de Maeder. Mas também se mostra confusa a argumentação do crítico da Revista

Brasileira de Matemática.

Esses foram os pontos do livro Álgebra elementar – 3ª. edição de 1933,

publicado pela Typ. João Haupt e Cia., alvos das críticas apresentadas por Salomão

Serebrenick na Revista Brasileira de Matemática, também de 1933. Sem fazer o juízo

303

do lado para o qual pende a balança da verdade, posso dizer que os dois lados tiveram

momentos de acertos e de erros. Algumas questões criticadas por Serebrenick,

conforme quadros anteriores parecem ser pertinentes, assim como algumas das

observações feitas por Maeder. A leitura que faço dessa discussão, totalmente afastado

do tempo e do contexto em que ela ocorreu, é a grande polêmica em virtude da forma e

da linguagem com que se dirigiram um ao outro. O “tom” beira à agressividade, que

por sua vez remete a outras questões até de cunho geográfico.

3.5 CONCLUSÕES DE DISCUSSÕES EM TRIBUNAS

Como já afirmei anteriormente, não cabe aqui o veredicto de uma verdade

como resultado de uma discussão acalorada situada num contexto de época em que

os jornais e as revistas foram utilizados por diversos educadores brasileiros como

tribunas para gerar polêmicas e se posicionar sobre questões educacionais. Não é o

julgamento de Salomão Serebrenick pelas suas críticas, algumas podendo ser

interpretadas como irônicas e infundadas e outras como corretas, porém grosseiras

na forma de serem ditas. Também não é o local e o momento adequados, cerca de

75 anos depois, de questionar o papel da Revista Brasileira de Matemática. Será

que esse veículo de comunicação que chegou às mãos de tantos professores de

Matemática foi utilizado como instrumento principal de propaganda de uma

determinada obra em detrimento de outras? Mesmo que os indícios aqui observados

possam evidenciar isso, qualquer julgamento mostra-se inócuo e deslocado no

tempo. Da mesma forma, a defesa ferrenha e agressiva de Maeder tendo como

tribuna o jornal de sua cidade parece ter sido moldada, na maioria das vezes,

também com ironia e ataques que foram direcionados à revista, ao autor da crítica

e, por vezes, J. C. Mello e Souza e os livros didáticos que tiveram sua assinatura.

É possível, então, tirar alguma conclusão dessas discussões em tribunas? Em

que sentido tais tribunas podem ser utilizadas nos estudos voltados a contar parte da

304

história dos livros didáticos de Matemática produzidos em nosso país? Inserida a

presente pesquisa numa área denominada História da Educação Matemática, que

possíveis conclusões podem ser tiradas? São algumas questões que coloco para

reflexão na presente pesquisa. Talvez não possa dar respostas específicas a cada

uma delas, mas são questões que naturalmente apareceram e podem admitir

respostas variadas.

Acredito que a maior conclusão que posso tirar de toda essa polêmica está

ligada à divulgação de uma parte da história da disciplina de Matemática, contada a

partir de uma produção didática. Numa época em que não havia ainda qualquer

órgão governamental responsável pela análise crítica dos livros a serem utilizados

nas escolas, uma revista toma essa iniciativa, mesmo correndo o risco de ser

considerada como que assumindo um papel que não era o seu, conforme autores

que se consideraram “algozes” dela assim puderam considerar. Por trás disso, havia

evidentemente um enorme interesse ditado pelo crescimento do mercado editorial.

Essa parte da história é contada também por meio de debates em torno do

conhecimento matemático presente nos chamados compêndios, mas acabam sendo

desviadas e envolvendo questões políticas, pessoais, financeiras e também

geográficas.

Por um lado, observo Salomão Serebrenick alertando e até conclamando os

leitores da Revista Brasileira de Matemática a uma real necessidade de sua época

com relação aos livros didáticos que começam a ser publicados em diversos lugares

de nosso território: a necessidade da criação de um órgão responsável pela

verificação da produção cultural (ele, morando então na capital brasileira, pólo de

onde emanavam as grandes decisões em relação ao modo como o ensino se daria

por todo o território nacional). De outro, encontro Algacyr Munhoz Maeder no

início de uma carreira como autor de livros para o ensino de Matemática, morando

mais ao sul do país. Ao defender-se, questiona também a hegemonia do mercado

editorial. Ao insistir em manter-se como autor, apesar das duras críticas, participa

de um momento histórico da educação Matemática brasileira. Ambos acabam

contribuindo de forma significativa, não apenas pelas funções que exerceram

305

(diretor de uma revista de Matemática e autor de livro escolar, respectivamente),

mas pela participação do debate em torno também das questões relacionadas ao

ensino de Matemática, à aprendizagem e aos movimentos da época que exigiam

mudanças em favor de uma política educacional. Ambos participaram de tribunas

de educadores. Se as contribuições de Salomão Serebrenick já foram objetos de

estudo por outros pesquisadores, Maeder precisa ser relacionado também como

personagem ativo da história do saber escolar, particularmente da construção da

disciplina de Matemática. Sendo assim, Maeder e sua obra podem, é o que postulo,

serem considerados como referência, pois esse personagem paranaense também se

posicionou não apenas na defesa de suas definições e concepções de conteúdos de

Matemática, presentes em seu livro, como também em relação à necessidade de

rever essa centralização das decisões tomadas na capital brasileira sobre o ensino

de Matemática.

306

4 ILUSTRAÇÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA

Por um lado, as crianças de nossa geração vivem em um meio

de imagens coloridas: revistas, publicidade, cinema,

televisão; meios tão familiares e tão impositivos, que

dificilmente aceitariam “regressar” na escola, ao aceno de

um meio desprovido destes signos ilustrados. Por outro lado,

subsistem sólidos argumentos psicológicos e pedagógicos em

favor da imagem.

François Richaudeau

RICHAUDEAU

(1981, p. 88-90), ao abordar a utilização de ilustrações

elaboração de livros didáticos, pondera a respeito de nove preceitos operacionais desse

recurso. Entre esses preceitos, que não abordarei na totalidade aqui, ele menciona, por

exemplo, a escolha de uma ilustração que fará parte do livro. Para esse autor, a escolha

de cada uma das ilustrações que farão parte de um livro didático deve estar vinculada à

existência anterior de um projeto pedagógico. Assim, descarta nesse preceito a

utilização de uma imagem somente pela sua estética ou outra qualidade própria dessa

mesma imagem. É fundamental considerar que a escolha da imagem jamais poderá ser

gratuita. A imagem deve possuir uma relação direta com o assunto em que está

inserida no texto. Richaudeau, nesse ponto, defende a existência do par “texto-

imagem” no sentido de unidade. A seguir, entre outros aspectos a respeito das

ilustrações, esse autor chama a atenção sobre a força de atração (impacto no leitor)

presente numa ilustração. Para ele, essa força é “proporcional” às dimensões e ao

número de cores empregadas na ilustração. Mas alerta também sobre um cuidado em

relação à sobriedade visual, talvez no sentido de, por exemplo, não levar ao pé da letra

a proporcionalidade da quantidade de cores. Confirma ainda que o autor de livro

didático, sem qualquer dúvida, deve utilizar a ilustração, porém com sensatez e

moderação. Um aumento abusivo do número de ilustrações não aumenta

François Richaudeau autor do livro Concepción y producción de manuales escolares: guia práctico

publicado pela Unesco, 1981. Esse guia, como sugere o próprio título, foi elaborado para auxiliar a

criação, a elaboração e também a avaliação de manuais escolares (os livros didáticos).

No presente trabalho, considero o termo ilustração como sinônimo de imagem. Faço tal opção pelo

fato de ter esse estudo voltado à presença das ilustrações (ou imagens) presentes nos livros didáticos

de Matemática escritos por Maeder.

307

necessariamente a eficácia do livro, além de, como alerta Richaudeau, seguramente

aumentar o seu custo.

No capítulo destinado especificamente a detalhar sobre a utilização de

ilustração, Richaudeau aborda a evolução desse recurso em livros didáticos (manuais

escolares)

Entre todos los factores que han concurrido desde hace unas tres décadas a la evolución del

libro escolar, el más importante há sido – incuestionablemente – la utilización intensiva de la

ilustración y el color. La comparación entre obras salidas de dos “generaciones” editoriales, es

impresionante. Los productos de la nueva generación nos parecen muchísimo más seductores y

más eficaces; más aptos para despertar el interes del joven lector y suscitar un mejor

aprendizaje. (RICHAUDEAU, 1981, p. 157)

Não tenho dúvidas que um leitor sentirá maior atração por uma página de um

livro que contenha ilustrações pertinentes do que outra sem. Quando falo pertinentes,

penso que a ilustração deva também levar o leitor a produzir uma leitura, uma

interpretação em consonância com o texto onde está inserida.

Em 1998, o Ministério da Educação e do Desporto (MEC), após a avaliação dos

livros didáticos destinados ao Ensino Fundamental (5ª a 8ª série), lançou o chamado

Guia de Livros Didáticos, contendo os livros aprovados para serem utilizados nas

escolas brasileiras. Nesse guia, é possível observar a existência de diversos critérios

utilizados para a avaliação dos livros didáticos. Em relação às ilustrações, dizia:

As ilustrações são elementos da maior importância, auxiliando na compreensão e

enriquecendo a leitura do texto. Principalmente, não poderão expressar, induzir ou reforçar

preconceitos e estereótipos. Devem ser adequadas à finalidade para as quais foram elaboradas

e, dependendo do objetivo, claras, precisas, de fácil compreensão; mas, podem também

intrigar, problematizar, convidar a pensar, despertar a curiosidade.

É importante que o livro recorra a diferentes linguagens visuais; que as ilustrações de caráter

científico indiquem a proporção dos objetos ou seres representados; que os mapas tragam

legenda dentro das convenções cartográficas, indiquem orientação e escala e apresentem

limites definidos. (MEC, 1998, p. 17)

Esses critérios apresentados referem-se a critérios comuns a todas as disciplinas

escolares. Observo que tais critérios parecem deixar clara a preocupação da utilização

das ilustrações como recurso auxiliar vinculado ao conteúdo a ser desenvolvido, e não

como algo totalmente distante da proposta. Em relação à disciplina de Matemática, o

mesmo guia apresentava, no item Critérios classificatórios, uma orientação aos

chamados Aspectos visuais:

308

As ilustrações devem contribuir para a compreensão dos conceitos matemáticos e explicitar

articulações destes com o mundo cotidiano. Especial cuidado deve ser tomado com a realidade

de formas e tamanhos, na ilustração de unidades de medida, e, se possível, deve ser explicitada

a escala.

É interessante que o livro cuide da apresentação da dimensão real das unidades, em especial as

réguas graduadas, e use referenciais que possam dar idéia da dimensão real de objetos, quando

se fala na medida de certas grandezas – associar, por exemplo, comprimentos a pessoas, torres,

casas térreas ou prédios; e pesos a objetos de uso cotidiano. (MEC, 1998, p. 242)

Três pontos chamam a atenção quando o critério apresentado refere-se à

disciplina de Matemática: o primeiro, no sentido da utilização das ilustrações como

auxiliar na compreensão dos conceitos matemáticos em meio aos quais estão

inseridas; o segundo aspecto, que interpreto, diz respeito a um objetivo da

utilização das ilustrações como um recurso articulador dos conceitos matemáticos

com o mundo, com a realidade; em relação ao terceiro ponto, observo a questão da

escala utilizada na produção da ilustração. A ilustração deve ser utilizada no livro

didático com a preocupação da dimensão real daquilo que representa.

Dalcin (2002), em sua pesquisa, organizou as ilustrações “a partir da

articulação que elas estabelecem com a simbologia matemática, a linguagem verbal

escrita ou mesmo com ambas”, dividindo-as nas seguintes categorias: as ilustrações

imbricadas (nessa categoria a autora considera aquelas ilustrações que estão

totalmente articuladas não apenas com a simbologia matemática, como também

com o que denomina texto em linguagem verbal escrita); as ilustrações ornamentais

(aqui considera aquelas ilustrações que estariam “totalmente desarticuladas em

relação ao texto escrito ou à simbologia matemática”); as ilustrações de

visualização (são aquelas que teriam alguma articulação com a simbologia e as

representações matemáticas); as ilustrações de contextualização (são aquelas

ilustrações que teriam alguma articulação direta com o texto escrito, mas no sentido

de complementá-lo).

Embora esse trabalho de Dalcin esteja voltado aos considerados livros

paradidáticos de Matemática, particularmente ao emprego das ilustrações nesses

livros, ele representa uma referência para pesquisas nessa área. Evidente que se

deve observar que as categorias observadas nesse estudo foram para a análise dos

309

paradidáticos e procuram analisar, sob essa ótica, o modo como as ilustrações

aparecem articuladas com o texto escrito.

O presente estudo segue um outro caminho, embora em alguns momentos

acabe também analisando o emprego das ilustrações, mas por meio de outras

categorias de análise. Assim, o objetivo aqui é observar criticamente a utilização de

ilustrações nos livros didáticos produzidos por Maeder. Dessa forma, acredito estar

também contando uma parte da história das ilustrações dos livros didáticos de

Matemática, além de contar parte da produção de Maeder por meio das ilustrações

presentes. Escolhi uma das coleções

desse autor paranaense, a mais antiga

produzida pela Edições Melhoramentos. A principal motivação para esse estudo foi

o trabalho de Bittencourt (2005) Livros didáticos entre textos e imagens. Embora

tenha sido produzido para o estudo na disciplina de História, a sua referência chama

a atenção sobre alguns aspectos que são comuns a outras disciplinas:

Questões como essas precisam ser levantadas considerando que pouco se conhece sobre as

formas de leitura de imagens utilizadas em sala de aula, independentemente do suporte didático

em que elas são apresentadas.

No sentido de refletir sobre parte dessas questões, este texto apresenta algumas considerações

sobre o conjunto de imagens mais comuns no cotidiano escolar e as de mais fácil acesso por

alunos e professores: as ilustrações dos livros didáticos.

A reflexão sobre as diversas ilustrações dos livros didáticos impõe-se como uma questão

importante no ensino das disciplinas escolares pelo papel que elas têm desempenhado no

processo pedagógico, surgindo indagações constantes quando se aprofundam as análises

educacionais. Como são realizadas as leituras de imagens nos livros didáticos? As imagens

complementam os textos dos livros ou servem apenas como ilustrações que visam tornar as

páginas mais atrativas para os jovens leitores? (BITTENCOURT, 2005, p. 70)

Considerando o livro didático de Matemática para buscar respostas às questões

levantadas acima, torna-se necessário antes discutir a concepção de ilustração,

concepção essa referente à disciplina de Matemática, pois possui algumas

A coleção de Maeder escolhida para o estudo das ilustrações é Lições de Matemática. Observo que

essa escolha se deve à constatação de que várias ilustrações presentes nessa coleção foram repetidas

nas outras coleções escritas posteriormente por Maeder. Por esse motivo acredito que essa coleção,

formada por cinco livros, dará uma boa abrangência da forma como as ilustrações eram abordadas por

esse autor.

310

características próprias. Nesse sentido, entendo ilustração

como abrangendo

fotografias, desenhos que interpretam o real, desenhos que representam abstrações,

os esquemas e, por último, os gráficos. Assim, estou no presente estudo considerando

cinco categorias de ilustrações, conforme cada especificidade que procuro abordar a

seguir:

• Categoria 1: Fotografias

Incluo nessa categoria não apenas as fotografias de pessoas, fotografias de

objetos quaisquer, de instrumentos, de animais ou paisagens quaisquer, mas também

fotografias de desenhos ou mesmo de esquema.

FIGURA 118 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 1

• Categoria 2: Desenhos que interpretam o real

Entendo como ilustrações pertencentes a essa categoria aquelas que são

desenhos feitos no sentido de representar algo que é real. Assim, por exemplo, incluo

O próprio Richaudeau, em seu trabalho produzido para a Unesco, cita que um autor de livros

didáticos pode escolher entre três tipos de ilustrações: 1) Fotografias; 2) Dibujos, producidos com afán

de realismo; 3) Dibujos com alto grado de abstracción, del tipo esquema. No presente estudo sobre as

ilustrações em livros didáticos de Matemática, optei por modificar um pouco essa tipologia e

acrescentar dois tipos diferentes à classificação do pesquisador francês.

311

aqui o desenho de uma ponte, de um rio, o desenho de uma pessoa, o desenho de um

objeto qualquer, o desenho de um instrumento de medida.

FIGURA 119 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 2

• Categoria 3: Desenhos que representam abstrações

Todos os desenhos geométricos planos ou não planos estão incluídos na

presente categoria. Assim, um quadrado, um retângulo, um cubo, um cilindro são

exemplos de desenhos que representam formas geométricas abstratas.

FIGURA 120 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 3

• Categoria 4: Esquemas

Incluo nesta categoria as representações esquemáticas que auxiliam a

explicação de um procedimento matemático de cunho aritmético, algébrico ou até

mesmo geométrico, e também quadros ou tabelas com valores diversos.

312

FIGURA 121 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 4

• Categoria 5: Gráficos

A essa categoria de ilustrações pertencem os gráficos estatísticos, os gráficos

produzidos no plano cartesiano presente em geometria analítica ou no estudo de

funções.

FIGURA 122 – EXEMPLO DE ILUSTRAÇÃO – CATEGORIA 5

Considero aqui algumas observações necessárias. Uma delas é a subjetividade

existente em destinar uma ilustração para uma ou outra categoria. Assim, apenas como

exemplo disso, a ilustração utilizada para exemplificar a categoria 4 poderia estar na

categoria 3, formada por desenhos geométricos. Entretanto, observo que essa

ilustração é feita de dois triângulos e esquematiza um movimento, isto é, ela está sendo

empregada com o objetivo de explicar como é o movimento de translação de um

triângulo. Optei por classificá-la como ilustração do tipo “esquemas”. Uma segunda

313

observação diz respeito a incluir, também nessa categoria de “esquemas”, as tabelas.

Entendo que uma tabela contendo dados poderia ser perfeitamente interpretada como

fazendo parte da categoria 5, formada por ilustrações do tipo “gráfico”. Entretanto,

interpreto aqui as tabelas como esquemas que são utilizados para, de um modo geral,

dispor de forma organizada dados numéricos.

Utilizo essas categorias nesse estudo a respeito das ilustrações

presentes nos

livros didáticos de Matemática de autoria de Maeder. É por meio delas que pretendo

também contar um pouco da história do livro de Matemática brasileira.

Bittencourt (1993) chama a atenção de que o “mundo das imagens” presente em

livros didáticos não tem sido muito enfocado em trabalhos científicos. Comenta, entre

outros pontos, que até o final do século XIX os livros didáticos utilizados no Brasil

tinham suas ilustrações em preto e branco. Existiam exceções protagonizadas por

obras que eram publicadas fora do país. Dentro de concepções de aprendizado, as

ilustrações presentes nos manuais escolares tornaram-se uma “forma do aluno ter

contato com situações mais concretas”. Ainda nesse sentido, Bittencourt afirma que,

“com a divulgação dos métodos intuitivos, os livros foram se transformando

visualmente, buscando, autores e editores, através de uma linguagem mais adequada e,

principalmente, pelas imagens, aproximar-se dos alunos e motivá-los no domínio da

cultura escrita”. É nesse sentido que justifico aqui o estudo das ilustrações presentes

nos livros didáticos de Matemática, em especial parte da produção didática de Maeder.

Optei por analisar as ilustrações da coleção Lições de Matemática sob o olhar

das categorias observadas anteriormente para este ensaio, considerando, ainda, que a

coleção foi escrita inicialmente no fim dos anos 1930 e início dos anos 1940. A editora

que produziu a coleção encarregou quatro personagens da época (professores) para a

elaboração dessas ilustrações: Orlando de Freitas, Murat Guimarães, Hermes Cardoso

e David Azambuja – conforme nota presente logo após o índice de cada um desses

cinco componentes da coleção. Observo, ainda, que nem todos esses professores

Elaborei essas categorias para observar as ilustrações independentemente dos livros de Algacyr

Munhoz Maeder. Faço essa observação, pois, como será possível verificar mais adiante, em nenhum

livro produzido pelo autor paranaense há a utilização da categoria referente a “fotografias”. Esse tipo

de ilustração em livros didáticos de Matemática ainda era pouco empregado, provavelmente pelo

pouco desenvolvimento, na época, da tecnologia gráfica.

314

aparecem como responsáveis pelas ilustrações nos cinco livros. Alguns têm seus

nomes em dois deles, outros em um apenas, conforme observo a seguir ao abordar

separadamente cada um desses volumes.

Passo a examinar as ilustrações dessa coleção separando-as por livro. Em cada

livro, tabulo pela observação e contagem direta as ilustrações de acordo com as

categorias elaboradas anteriormente. Esse procedimento que adoto objetiva traçar um

panorama da utilização das ilustrações e, também, fazer uma outra “leitura” dessa obra

de Maeder, sob ponto de vista “visual”.

4.1 ILUSTRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 1ª SÉRIE

A 1ª. série de Lições de Matemática que analisei corresponde a 10ª. edição de

1942. Observando as edições anteriores (as que consegui encontrar) e as posteriores a

essa, as ilustrações não foram alteradas. Uma característica geral das ilustrações

presentes nesse livro de Maeder diz respeito à forma como são inseridas nas páginas:

geralmente dentro de um retângulo, com algumas exceções.

O professor Hermes Cardoso desenha a capa, enquanto os professores Murat

Guimarães e David Azambuja se encarregam das “figuras do texto”. Essas figuras

compõem as ilustrações presentes no livro destinado a 1ª. série.

Analisando essas “figuras do texto” deparei-me com um total de 208 ilustrações

distribuídas em torno de quatro categorias, conforme TABELA 18 a seguir.

TABELA 18 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 1ª SÉRIE

Categoria Especificação Quantidade

2 Desenhos que interpretam o real 10

3 Desenhos que representam abstrações 68

4 Esquemas 110

5 Gráficos 20

315

Um primeiro olhar para essa distribuição pode chamar a atenção particular para

a ausência da categoria referente a fotografias, conforme já havia comentado.

Observando livros de Matemática contemporâneos aos de Maeder, constata-se que

esse recurso de ilustração não era utilizado ou, quando era utilizado (em reduzido

número), limitava-se a fotografias de locais ou de personagens

, que de alguma

maneira estavam relacionados à história da Matemática.

A partir da tabela, é possível construir um gráfico que permite observar de

forma visual a distribuição quanto à utilização das ilustrações conforme suas

categorias, isto é, da categoria 2 até a categoria 6 (ver GRÁFICO 6). É imediata a

constatação da utilização muito mais acentuada nas categorias 3 e 4.

GRÁFICO 6 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 1ª. SÉRIE

Distribuição das Ilustrações por Categoria:

série

Categoria 4:

52%

Categoria 3:

33%

Categoria 5:

10%

Categoria2:

Quanto ao número acentuado de ilustrações que enquadrei na categoria 4,

referente aos esquemas, interpreto como sendo um recurso auxiliar às explicações de

No livro de Cecil Thiré & Mello e Souza (Mathematica – 1

. ano, em sua 4ª. edição, de 1933,

publicado pela Livraria Francisco Alves, Rio de Janeiro), há nas 394 páginas exatamente 3 fotografias.

Essas fotografias foram colocadas nas páginas 234 e 235 em meio a um texto elaborado sobre a

determinação do metro. Uma fotografia é de Méchain, outra de Delambre e a terceira fotografia é do

Pavilhão de Breteuil (situado em Sévres, local onde em 1875 tinha sido criado e instalado a Bureau

Internacional de Pesos e Medidas)

316

procedimentos existentes no encaminhamento dos conteúdos. Esses procedimentos

variam de uma interpretação geométrica da adição de três números, por exemplo, (ver

FIGURA 123), como também pode referir-se à determinação dos divisores de um

número (ver FIGURA 124). No caso da interpretação geométrica feita para a adição

dos números 3, 4 e 5, Maeder conduz o leitor a observar a figura em meio ao seu texto.

Nesse sentido, a visualização da adição é imediata quando associa a cada número uma

medida de comprimento em uma reta.

FIGURA 123 – ADIÇÃO DE NÚMEROS

FIGURA 124 – DIVISORES DE UM NÚMERO

Também no caso da utilização do “esquema” presente na obtenção dos

divisores naturais do número 180 (ver FIGURA 124) o leitor é remetido ao quadro

antes mesmo da observação do procedimento em si, isto é: “Decompõe-se o número

dado em seus fatores primos, tirando-se um traço vertical à direita desses fatores.

À direita desse traço, escrevem-se os divisores, a partir de 1 que se coloca um

pouco acima do primeiro fator primo. Sob o divisor 1, escrevem-se as potências

sucessivas do 1º. fator (2), obtendo-se, desse modo, o 1º. grupo de divisores 1, 2,

4.” (MAEDER, 1942, p. 135)

317

FIGURA 125 – EXTRAÇÃO DA RAIZ QUADRADA

O procedimento utilizado para extração da raiz quadrada de números é o

mencionado a partir de uma regra (passo a passo) e exemplificado com a utilização de

esquemas (ver FIGURA 125). Nesse caso, o autor utiliza essa categoria de ilustração

como um recurso necessário à compreensão da regra que enuncia. A própria divisão de

dois números naturais (ver na FIGURA 126 a divisão do número 24281 por 43) é

ilustrada por um esquema presente em meio a um texto:

FIGURA 126 – DIVISÃO DE NÚMEROS

Afim de melhor compreender a série de operações efetuadas para a procura do

quociente, dispusemos a divisão da maneira indicada no quadro ao lado, por onde se

pode observar que o primeiro dividendo considerado (242) é constituído de tantos

algarismos quantos os necessários, separados da esquerda para a direita do dividendo

completo (24281), para formarem um número que possa conter o divisor (43) pelo menos

uma vez; e por tudo se vê que o segundo dividendo parcial considerado é o resto

proveniente da subtração do produto do divisor (43) pelas centenas do quociente (5) do

dividendo anterior, etc. (MAEDER, 1942, p. 77)

318

Ainda nessa mesma categoria de ilustração, diversas tabelas são utilizadas. Assim,

por exemplo, ao abordar as medidas de superfície (ver FIGURA 127) após observar as

unidades de área relacionadas ao metro quadrado, Maeder menciona as chamadas

medidas agrárias: hectário, ário e centiário. Essas mesmas medidas sofreram alterações na

escrita de seus nomes passando a ser escritas como hectare, are e centiare.

FIGURA 127 – MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

FIGURA 128 – MEDIDAS DE COMPRIMENTO

Um outro exemplo da utilização de tabelas refere-se às medidas de comprimento

(ver FIGURA 128). Além de conter uma coluna destinada à conversão para metros, essa

tabela também menciona os correspondentes nomes na língua inglesa. Nesses dois

exemplos que citei sobre a utilização de tabelas, o texto presente no livro de Maeder remete

o leitor diretamente às tabelas sem nenhum comentário, por exemplo, no sentido de como as

medidas se relacionam, pois as tabelas acabam proporcionando tais interpretações pelo

319

quadro de valores que contém. Não poderia deixar de observar que, no capítulo destinado às

medidas de comprimento o autor paranaense coloca uma explicação, na forma de nota de

rodapé, que evidencia a referência utilizada para tal capítulo:

Todas as definições do presente capítulo, bem como a nomenclatura das diversas

unidades adotadas em nosso País, a grafia respectiva, etc. foram tiradas do “Projeto de

decreto que amplia a execução da lei n. 1157, de 26 de junho de 1862, cria o Instituto

Nacional de Padrões e dá outras providências”, publicado pelo Ministério do Trabalho,

Indústria e Comércio, em o Diário Oficial de 12 de dezembro de 1933. (MAEDER, 1942,

p. 248)

A categoria 2 de ilustrações (desenhos que interpretam o real) no presente livro do

autor paranaense é pouco utilizada. São desenhos construídos com detalhes, o que interpreto

como sendo o desenho substituindo uma fotografia. Aí pode ter entrado a questão do custo

editorial da época, isto é, a produção envolvendo um desenho para ser colocado nas páginas

de um livro tinha o preço mais reduzido do que aquele que teria a de uma fotografia. O

número de ilustrações dessa categoria é reduzido no livro Lições de Matemática – 1ª. série,

tendo, entretanto, todas elas um objetivo em comum: foram produzidas para ilustrar

instrumentos de medidas (ou referências de medidas) utilizados na época.

A ilustração referente ao metro, isto é, a barra de platina iridiada (FIGURA

129), está colocada no livro de Maeder em meio a um texto de cunho histórico:

FIGURA 129 – O METRO EM PLATINA IRIDIADA

Depois de muito hesitar, a comissão encarregada pela Academia, da qual faziam parte

Borda, Lagrange, Laplace, Monge e Condorcet, decidiu adotar, como unidade

fundamental, uma fração do comprimento do meridiano terrestre.

Logo depois, Delambre e Mechain mediram, em toesas, o arco do meridiano

compreendido entre Barcelona e Dunquerque. Do resultado obtido, deduziram o

comprimento do quadrante do meridiano, encontrando 5.130.740 toesas. À décima-

milionésima parte desse comprimento chamou-se metro, unidade fundamental do novo

sistema de medidas.

320

Fixado o valor do metro, construiu-se um tipo padrão em platina iridiada, com a forma

da figura ao lado, e outro padrão também da mesma liga para a unidade de massa,

denominado quilograma, correspondente ao peso dum decímetro cúbico de água

destilada no seu máximo de densidade, no vácuo. (MAEDER, 1942, p. 246)

A partir da explicação de como teria surgido o metro, Maeder passa a abordar

as unidades de medida relacionadas ao metro. Depois aborda instrumentos utilizados

para medir. Menciona a existência de réguas (FIGURA 130) feitas de metal ou de

madeira geralmente utilizadas por estudantes e desenhistas. Tais réguas, como diz, são

“geralmente graduadas em milímetros”.

FIGURA 130 – RÉGUA FIGURA 131 – O METRO NA CONSTRUÇÃO

Outro tipo de instrumento de medida de comprimento citado por Maeder são as

réguas articuladas (FIGURA 131) utilizadas na construção por operários. Já os

“agrimensores” utilizam uma espécie de corrente que é formada “de pequenas hastes

metálicas (FIGURA 132) ligadas por anéis”. (MAEDER, 1942, p. 250)

FIGURA 132 – CORRENTES DE MEDIR FIGURA 133 – TRENA

321

O desenho utilizado para representar a forma como era medida a lenha (ver

FIGURA 134), além dos detalhes a respeito dos pedaços de madeira empilhados,

contém também a armação, feita em madeira, com a qual se obtinha a medida chamada

“estéreo” que correspondia ao volume de lenha equivalente a um metro cúbico.

FIGURA 134 – MEDIDA DE LENHA

FIGURA 135 – BALANÇA

O desenho correspondente à FIGURA 135 é de uma balança. Numa

extremidade da figura (extremidade superior) há uma argola de uma corrente que

sugere um possível local para fixação, enquanto na extremidade oposta existe um

peso. Um pouco mais adiante, referindo-se ainda a medidas de massa, uma

ilustração representa três tipos diferentes de pesos utilizados (conforme FIGURA

136). MAEDER (1942, p. 256) menciona a existência de três grupos diferentes de

“medidas efetivas” utilizadas para avaliar massas:

322

FIGURA 136 – TIPOS DE PESOS UTILIZADOS PARA MEDIR

O 1º grupo, destinado às grandes pesadas, consta de 10 pesos fundidos, providos de anéis,

que vão de 50 quilogramas a 50 gramas. Os dois primeiros do grupo têm a forma de

tronco de pirâmide de base hexagonal.

O 2º grupo, empregado nas pesadas médias, consta de 13 pesos de cobre ou latão,

distribuídos de 10 quilogramas a 1 grama. Todos eles têm a forma cilíndrica, de altura

igual ao diâmetro, e são providos de botões de altura igual à metade da do corpo.

O 3º grupo, usado geralmente nos laboratórios, para pesadas de precisão, consta de 9

pesos, em lâminas de cobre ou alumínio, que vão de 0,5 gramas até o miligrama.

Em relação a essa categoria de ilustrações (desenhos que interpretam o

real), existe ainda no livro de Maeder o desenho de dois recipientes em forma de

cilindro que se referem às medidas de capacidade.

O assunto Geometria, presente ao longo do livro de Maeder, justifica o

acentuado número de ilustrações que aqui situo na categoria 3 (formada por

desenhos que representam abstrações). Essas ilustrações foram produzidas para a

exemplificação das formas geométricas planas e não-planas. Um aspecto que

considero relevante observar, na utilização dessa categoria de ilustração, é o

tamanho de cada um desses desenhos: são pequenos, quando comparados com

outras ilustrações. Um exemplo do que estou dizendo pode ser encontrado ao

observar que o retângulo correspondente a uma página do livro de Maeder tem 14

cm por 20 cm. Considerando apenas o retângulo (também conhecido atualmente

com “mancha” onde o texto é inserido) em que o texto é diagramado, essas

medidas são 10,3 cm por 16,3 cm (ver FIGURA 137, que representa uma

reprodução eletrônica em tamanho real da página 228). Assim, por exemplo,

numa mesma página são colocados seis desenhos que representam figuras

geométricas não-planas. Mesmo com esse tamanho reduzido, constato a

323

preocupação do desenhista em dar o efeito de três dimensões, o que pode ser

observado com as sombras e o plano representado abaixo de cada uma dessas

figuras.

FIGURA 137 – FIGURAS GEOMÉTRIACAS VERSUS TEXTO

324

Quanto à categoria 5 de ilustrações, denominada aqui de gráficos, são, ao todo,

20 desenhos, dos quais 11 referem-se ao plano cartesiano, à localização de pontos

nesse plano e até mesmo de formas geométricas planas construídas a partir de

coordenadas de pontos. Um exemplo disso é a FIGURA 138, em que o autor

paranaense observa a construção de um quadrado com base nas coordenadas de seus

vértices.

FIGURA 138 – QUADRADO NO PLANO CARTESIANO

As demais ilustrações que completam essa categoria são os chamados gráficos

estatísticos. É o “tratamento da informação”, conforme atualmente presente nos livros

didáticos de Matemática. Esses gráficos revelam, historicamente, situações relacionadas à

exportação, importação, relação de moedas entre Brasil e França, produção de café e outros

elementos situados no contexto em que Maeder escreveu seus livros. Assim, considero

oportuno observar alguns desses gráficos. Inicio com o gráfico que aparece não só

internamente no livro (ver FIGURA 139) como também na capa

. Esse gráfico é

apresentado como um exemplo diferente da utilização de tal recurso. Nas palavras do autor:

Outro tipo de gráfico, de interessante efeito, é o que segue, no qual se representa o valor

da exportação brasileira em milhões de contos de réis. A unidade tomada é de meio

milhão de contos. Faz-se a variação segundo o raio dos círculos concêntricos,

aumentando-se o raio dos círculos de meia unidade, que é o segmento correspondente a

meio milhão de contos.

Cada uma das cinco capas dos livros de Maeder que compõem a coleção Lições de Matemática

contém uma ilustração que também aparece internamente. Isso pode ser observado no primeiro estudo

desta pesquisa, quando eletronicamente fiz constar essas capas.

325

E conhecidos os dados numéricos, obtém-se o valor da exportação por ano servindo-se da

marcação feita sobre os raios correspondentes aos anos e relativa ao segmento

equivalente ao valor numérico da exportação atinente aquele espaço de tempo.

(MAEDER, 1942, p. 326)

FIGURA 139 – GRÁFICO EXPORTAÇÃO BRASILEIRA

O que segue a essa apresentação do gráfico é uma análise das informações presentes

nele. O autor paranaense, em nove tópicos, interpreta o que ocorreu com as nossas

exportações no período de 1906 a 1929. Assim, por exemplo, comenta que “nos 24 anos

considerados, em 1909 atingimos pela primeira vez à cifra de um milhão de contos”,

“de 1915 a 1919 manteve-se acima de um milhão, tendo ultrapassado dois milhões em

1919” (MAEDER, 1942, p. 327). O presente gráfico indica que, nos períodos de 1924 a

1925 e de 1928 a 1929, houve um acentuado crescimento nas exportações brasileiras.

FIGURA 140 – FRANCO FRANCÊS X RÉIS

326

Maeder denomina de empíricos esses gráficos estatísticos. Ao iniciar tal

assunto, o primeiro exemplo dado de gráfico, ou de como construir um gráfico

refere-se ao “valor médio anual de um franco francês em réis, papel” (ver

FIGURA 140). Nesse exemplo utilizado (ano a ano), de 1913 a 1932 é possível

observar a relação entre a moeda brasileira e a francesa. Ao dar um exemplo de

gráfico de barras (vertical), menciona uma estimativa (ver FIGURA 141) da

produção de café no Brasil para 1933-1934. Uma leitura dos dados presentes no

gráfico evidencia a produção de café brasileira, com destaque (mesmo sendo uma

estimativa) à produção do estado de São Paulo.

FIGURA 141 – SAFRA DE CAFÉ 1933-1934

O gráfico de barras (horizontal) é exemplificado neste livro de Maeder pelo

consumo mundial da erva mate no ano de 1932 (ver FIGURA 142). Situa, no texto,

que a erva-mate

é a principal produção do Estado do Paraná.

A família de Algacyr Munhoz Maeder, já na década de 1920, estava relacionada com a produção e a

comercialização da erva-mate. O próprio Algacyr ocupou um cargo importante nas negociações que

eram feitas entre Brasil e os outros países da América do Sul, conforme arquivos de recortes de jornais

da família de Maeder.

327

FIGURA 142 – GRÁFICO DE BARRAS E A ERVA-MATE

FIGURA 143 – A EXTENSÃO DA REDE FERROVIÁRIA

Um exemplo do que atualmente pode ser chamado de gráfico pictórico é

apresentado por Maeder como gráfico “com figuras”. O exemplo utilizado (ver

FIGURA 143) dá um esboço da situação histórica da época em relação à extensão da

rede ferroviária brasileira. Esse gráfico vem ao lado do seguinte texto:

Os gráficos com figuras, como já dissemos, são os mais diversos. Em relação à extensão

quilométrica da rede ferroviária, nos quatro Estados brasileiros em que há maior

quilometragem, o gráfico com figuras de locomotivas dá uma idéia clara desse

desenvolvimento. Ele indica, para o ano de 1932, os totais de 7.946 km para Minas

328

Gerais; 7.144 km para São Paulo; 3.138 km para o Rio Grande do Sul; e 2.723 km para o

Estado do Rio de Janeiro.

No conjunto de suas proporções, as figuras representam, segundo a unidade gráfica

adotada, a quilometragem correspondente a cada um dos Estados considerados, segundo

é fácil verificar. (MAEDER, 1942, p. 325)

No exemplo a seguir, é possível também situar historicamente a produção de

café no ano de 1929 no Brasil. Por meio de um recenseamento feito em 1929 sobre a

quantidade de cafeeiros existentes no Brasil, Maeder dá um exemplo da utilização do

chamado gráfico de setores. Mas o gráfico não aparece isolado como um exemplo

simples do tratamento de informações. O autor procura não apenas explicar como

obter o gráfico, como também faz análise dos dados presentes:

FIGURA 144 – RECENSEAMENTO DE CAFEEIROS DE 1929

Um gráfico de forma circular, como o que segue, poderá permitir, a um simples lance de

vista, a compreensão nítida da situação da lavoura de café, quanto ao número de

cafeeiros existentes no Brasil em 1929.

Uma tabela de convenções, correspondendo ao nome de cada Estado produtor, indica a

quantidade gráfica que a este corresponde como setor no círculo.

A análise do gráfico mostra-nos que São Paulo tem mais de metade do número total de

pés de café do Brasil, Minas tem mais de um sexto e assim por diante. As áreas dos

setores revelam de modo claro, a diferença existente entre as lavouras consideradas.

(MAEDER, 1942, p. 326)

O autor paranaense faz uma diferenciação entre gráficos. Em seu livro,

onsidera dois tipos de gráficos: os empíricos e os matemáticos. Os empíricos são

aquele

anterio

s relacionados de alguma forma aos trabalhos estatísticos, como os apresentados

rmente. Já os chamados gráficos matemáticos estão inseridos no estudo de

329

funçõe

gráfico

ILU

Assim como ocorreu no livro da 1ª. série, o professor Hermes Cardoso desenha

São ao todo 171 ilustrações existentes no livro Lições de Matemática – 2ª.

série

(ou também chamado de 2º. ano) com um acentuado número para a categoria 3

A distribuição dos

assuntos de “Geometria plana”, de “Trigonometria” (estudo particular dos triângulos

ria Especificação Quantidade

s. Embora dê apenas um exemplo desse tipo, encerra o capítulo dizendo que tais

s serão estudados oportunamente.

4.2 STRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 2ª. SÉRIE

a capa, enquanto os professores Murat Guimarães e Orlando de Freitas se encarregam

das “figuras do texto”. Essas figuras compõem as ilustrações presentes no livro

destinado a 2ª série.

(ver TABELA 19), ou seja, desenhos que representam abstrações.

retângulos) e de “construções” ligadas ao “desenho geométrico” neste acaba, de certa

forma, justificando a quantidade de ilustrações dessa categoria.

TABELA 19 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 2ª SÉRIE

Catego

2 Desenhos que interpretam o real 13

3 Desenhos que representam abstrações 119

4 Esquemas 30

5 Gráficos 9

Para melhor observar essa distribuição quanto à utilização das ilustrações

onforme as ra os

desenhos que representam abstrações é evidente em comparação co tra

categoria de ilustr o. Ne vidente o reduzido número

dos demais tipos de ilus fere às orias 2

c quatro últimas categorias, inseri o gráfico a seguir. A supremacia pa

m qualquer ou

açã sse mesmo gráfico também fica e

trações, principalmente no que se re categ

O livro que utilizei aqui neste ensaio corresponde a 8ª. Edição, de 1942.

330

(desenhos que int retam 5 (gráficos). Esse desequilíbrio é justificado (é

assim que interpreto) pela distribuição dos conteúdos, conforme comentado

anteriormente.

GRÁFICO 7 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 2ª. SÉRIE

Assim ométricos

plo, com

os de outra orra,

são claras e precisas

-se a

problema

“ dado

sobre uma reta, levantar perpendicular a essa reta” e “por um ponto tomado fora

de uma reta, baixar perpendicular a essa reta” (MAEDER, 1942, p. 38-39).

Observo ainda que tais construções são acompanhadas de instruções passo a passo.

erp o real) e

como ocorreu no livro da 1ª. série, aqui os desenhos ge

existentes no livro são de tamanhos reduzidos quando comparados, por exem

categoria ou observando a diagramação das páginas. Embora isso oc

posso afirmar que as ilustrações (ver exemplo na FIGURA 145)

no que diz respeito aos objetivos a que estão relacionados.

Os três desenhos geométricos (ilustrados na FIGURA 145) referem

s de construções com régua e compasso que são propostos por Maeder:

levantar perpendicular ao meio de um segmento dado”, “por um ponto

Categoria 3:

69%

Distribuição

série

18%

das Ilustrações por Categoria:

Categoria 5:

Categoria 2:

Categoria 4:

331

iâng étricas para falar d

iâng

onstr

FIGURA 145 – EXEMPLOS DE DESENHOS DE CONSTRUÇÃO

FIGURA 146 – GEOMÉTRICO GEOMETRIA E DESENHO

Um pouco mais adiante, no capítulo seguinte, que se refere ao estudo de

tr ulos, Maeder utiliza construções ge

ulo (ver FIGURA 146). Pr

ução de um triângul

dida de um

opõe seis construç

o eqüilátero até a construção

lado e de dois de seus ângulos.

as propriedades do

ões geométricas que vão desde a

de um triângulo, conhecendo-se

332

As ilustrações que se referem aos desenhos que interpretam o real (categoria 2)

epresentam abstrações, porém considero como ilustrações atraentes ao leitor. Inserida

são em número reduzido quando comparadas, por exemplo, aos desenhos que

em io ao estudo de escala (ver FIGURA 147) está a imagem conhecida do Cristo

Redentor.

FIGURA 147 – CRISTO REDENTOR E ESCALA

333

Considero necessário efetuar duas importantes observações. A primeira é que

aeder escreve pela Edições Melhoramentos, de São Paulo, e que, nessa época,

isputa o mercado das publicações didáticas diretamente com o Rio de Janeiro, capital

rasileira da época. Colocar em um livro didático a imagem que destaca a capital

ertamente colabora para a aceitação da obra. Maeder e sua editora, mesmo que

diretamente, de alguma forma buscavam assim uma valorização na capital brasileira.

A segunda, como disse anteriormente, é o fato de os desenhos que representam

bstrações serem feitos em tamanhos reduzidos, enquanto o desenho do Cristo

edentor, que representa o real, ocupa boa parte da página (FIGURA 147). Observo

ue o desenho feito está inserido no texto e, caso o leitor queira, poderá fazer a medida

a altura e verificar que é aproximadamente 0,076 m, isto é, 7,6 cm, como sugere o

xto. Mas o Rio de Janeiro não é lembrado apenas no Cristo Redentor. Um outro

esenho (ver FIGURA 148) dá uma visão panorâmica da capital brasileira. Agora essa

ustração aparece após um enunciado de um exemplo sobre aplicação de semelhança

e triângulos, conforme MAEDER (1942, p. 235):

FIGURA 148 – A CAPITAL BRASILEIRA E TRIÂNGULOS

“Estando sobre o Pão de Açúcar e olhando por cima do Morro da Viúva,

certo observador não pode ver uma distância oculta x. Determinar essa distância,

sabendo que a altura do primeiro morro é 390 m, a do segundo 60 m, e que a

distância entre ambos é de 1980 m”. Essa ilustração aparece na capa do livro. Nesse

334

mesmo capítulo, o autor paranaense exemplifica a aplicação de triângulos para o

cálculo da largura de um rio e insere também um desenho representativo da situação.

Ao falar de aplicação das razões trigonométricas, um pouco mais adiante, mas ainda

no mesmo capítulo, um outro desenho (ver FIGURA 149), de algum modo, faz

ferência a alguma cidade. Agora é a cidade do autor, Curitiba, que também durante

algum tempo era conhecida como a terra dos pinheirais.

50), como também explica o

que entende por esse instrumento e como deve ser utilizado:

O transferidor é o instrumento de que praticamente nos servimos a fim de medir os

ângulos ou para os traçar quando é dada a sua medida.

Construído geralmente de madeira, metal ou celulóide, apresenta o transferidor a forma

de um círculo, graduado de 0 a 360º, ou de um semicírculo, graduado de 0 a 180º.

FIGURA 149 – TRIGONOMETRIA E PINHEIRO

Observando ainda desenhos que representam o real, algumas delas produzidas

para evidenciar instrumentos ligados ao desenho geométrico. Maeder não apenas

apresenta o desenho de um transferidor (ver FIGURA 1

335

Para medir ângu gina seguinte a figura,

colocamos e e aquele de modo que coincida o diâmet m dos lados e o

centro com o (MAEDER, 1942, p. 23)

FIGURA 150 – O TRANSFERIDOR

Apen , não poderia deixar

de mencionar a ilustração de uma concha (ver FIGURA 103, que está presente também

lo com transferidor circular, de que damos na pá

ste sobr

vértice.

ro com u

Utilizando-se também de uma ilustração, Maeder observa como é possível

traçar, com o auxílio de um esquadro e de uma régua, uma reta perpendicular a outra

reta dada (ver FIGURA 151).

FIGURA 151 – TRAÇANDO UMA PERPENDICULAR

as para finalizar os desenhos que representam o real

336

na coleção Curso de Matemática para o colegial). Esse desenho é colocado em meio

o texto em que Maeder aborda a questão da simetria de uma figura. Comenta que, na

atureza, existem tais exemplos. É aí que insere a concha.

A categoria 4, esquemas, segue a mesma característica observada anteriormente

o livro da 1ª. série, isto é, são ilustrações que auxiliam a compreensão de um

rocedimento matemático relacionado a medidas, a operações entre números e

mbém, a algumas tabelas.

FIGURA 152 – RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS

No capítu proporcionais”,

AEDER (

videnciar u a

azão dos temp ”. Outras

ustrações se

lo VIII, referente ao estudo de “Grandezas e números

M 1942, p. 106) utiliza-se de uma ilustração (ver FIGURA 152) para

m exemplo de proporção existente entre duas grandezas. No caso, “

os gastos nos percursos e a razão dos espaços percorridos

melhantes aparecem relacionadas também às questões de medidas.

FIGURA 153 – MOEDAS ESTRANGEIRAS

337

Ainda nessa categoria de esquemas, a utilização de tabelas, embora em

número reduzido se confrontado ao livro anterior, evidencia elementos históricos

sobre o valor das moedas de alguns países (ver FIGURA 153) se comparadas à

moeda brasileira da época, ou seja, o “réis”.

Observo que nessa tabela não aparece a moeda inglesa. Enquanto os países e

suas moedas, presentes na tabela, são apenas exemplos ilustrativos de moedas

estrangeiras (o autor paranaense não utiliza nada dessa tabela ao longo do capítulo,

a não ser em poucos exercícios no fim do capítulo), a moeda inglesa, logo após essa

tabela, é mencionada repetidas vezes no texto. É o contexto decorrente ainda de

uma época em que Brasil e Inglaterra tinham ligações comerciais mais estreitas.

Na mesma página em que está essa tabela, MAEDER (1942, p. 204) faz uma

observação, em forma de nota de rodapé, que evidencia não apenas a referência por

“Quando era de 4$000 por oitava o nosso preço legal do ouro, dava-se o nome de

de 1$000) por 0,03328354 (peso de 1 penny), o quociente é 26,9, número que, na

926,

quebrado pela terceira vez esse padrão, o peso do 1$000 ficou sendo apenas de 200

miligramas, ao título de 0,900, ou gr 0,180 de ouro fino. Dividindo 0,180 por

0,030509, o qu .” (J. Papaterra Limongi

“Economi

Quanto à categoria 5, -se ao estudo de

nções. Essas ilus no cartesiano (ver FIGURA 154)

om malhas quadriculadas nho (a unidade considerada

ara a corresponde ER (1942, p. 353), para construir o

ráfico da funçã

ele utilizada no assunto “câmbio” (título do capítulo), como também o contexto de

nossa moeda em relação à inglesa:

1$000 a gr 0,8965 desse metal. Este era, pois, o peso do 1$000. Dividindo 0,8965 (peso

prática, se arredondava para 27. O nosso padrão era de 27 dinheiros”. “Em 1

ociente é 5,899 ou, em número mixto, 5115/128

a Política e Finanças”, - 1934 – página 299).

gráficos, todas as ilustrações referem

trações são construídas em pla

representando cada quadradi

nte representação). MAED

o definida por

, elabora um

x e a y. Atribui ao todo 13 valores

a tabela com valores

orrespondentes a para a variável independente x

(valor

es inteiros de -6 até 6). Após obter os correspondentes valores para a variável

dependente y, esboça o gráfico conforme figura a seguir.

338

FIGURA 154 – GRÁFICO DE FUNÇÃO

4.3 ILU

repete

s pro carregam das “figuras do

xto”. Essas figuras c

O livro . edição, de 1942,

contém ao todo 201 il es do que o livro da série

anterior, a 3ª. série é marcada desenhos que interpretam o

real, conforme

TABELA 20 – CATEGORIA: 3ª. SÉRIE

STRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 3ª. SÉRIE

A parceria de “profissionais” utilizados para a elaboração do livro da 3ª. série

o da 2ª. série. Enquanto o professor Hermes Cardoso também desenha a capa,

fessores Murat Guimarães e Orlando de Freitas seo en

ompõem as ilustrações do livro destinado a 3ª. série.

Lições de Matemática – 3ª. série, correspondente a 7ª

ustrações. Embora com mais ilustraçõ

pela ausência completa de

pode ser constatado na TABELA 20, logo abaixo.

NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR

Categoria Especificação Quantidade

2 Desenhos que interpretam o real -

3 Desenhos que representam abstrações 152

4 35 Esquemas

5 Gráficos 14

339

Assim como ocorreu com os dois livros anteriores, elaborei o gráfico a seguir

o sentido de fornecer visualmente uma comparação da distribuição da utilização das

ustrações no livro de Maeder. A ênfase dada para a categoria 3 (desenhos que

epresentam abstrações) pode aqui ser compreendida como um acentuado grau de

bstração dos conteúdos matemáticos que constituem a 3ª. série de Lições de

atemática. Contribui para essa análise, também, como dito anteriormente, a falta de

ualquer ilustração que pertença à categoria 2 (dos desenhos que interpretam o real).

GRÁFICO 8 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 3ª. SÉRIE

Distribuição das Ilustrações por Categoria:

série

Categoria 4:

17%

Categoria 3:

Categoria 5:

76%

Uma análise dos conteúdos do livro da 3ª. série dá ind

ícios, assim como a

bela acima, do acentuado grau de abstração do programa de Matemática destinado a

páginas

iciais desse livro de Maeder, apenas 12 ilustrações aparecem, 11 das quais podem ser

enquadrados na categoria “esquemas”. Nessa categoria, existem duas ilustrações (ver

FIGURA 162) que são inseridas no texto em que o autor menciona dois problemas

esse nível de escolarização. Apenas para se ter uma idéia disso, nas 120

Os conteúdos que compõem esse livro destinado a 3ª. série podem ser observados com mais detalhes

no primeiro ensaio presente nesta pesquisa.

340

clássic

ircunferências encontra a linha dos centros. (Problema das tangentes)”.

FIGURA 155 – PROBLEMAS CLÁSSICOS

As ilustrações pertencentes à categoria 4 ou de esquemas (o mesmo ocorre com

as ilustrações que se referem à categoria 3 ou dos desenhos que representam

abstrações) aparecem no livro de Maeder sempre dentro de um retângulo e, em sua

maioria, com os tamanhos muito reduzidos, conforme observado anteriorme te nos

outros dois livros da mesma coleção. Classifiquei dentro da categoria 4 algumas

por um triângulo (ver FIGURA 156). Nessa translação, “todos os pontos de uma

os da Matemática: o problema dos correios

e o problema das tangentes. O

primeiro problema é assim enunciado por MAEDER (1942, p. 27): “Determinar a

hora e o ponto de encontro de dois móveis que partem no mesmo instante dos

pontos A e B, separados da distância d, dirigidos para o mesmo sentido e

animados de movimento uniforme respectivamente com as velocidades v e

v’.(Problema dos correios)”. O segundo problema (MAEDER, 1942, p. 32) é assim

enunciado: “Determinar o ponto em que uma tangente comum exterior a dua

ilustrações que se referem a “deslocamentos elementares no plano”. Entendo que,

embora tais desenhos possam também pertencer a categoria 4 por representarem

abstrações, essas ilustrações indicam procedimentos de como as figuras podem ser

movimentadas, isto é, são esquemas. Utilizando-se de linhas tracejadas e algumas

setas, é possível observar indicativos de figuras geométricas planas sofrendo

movimentos. Assim, por exemplo, a chamada “translação retilínea” é exemplificada

O autor paranaense justifica a presença do problema dos correios: “O clássico problema dos correios

é sempre citado como exemplo pela maioria dos autores, pela ampla discussão que comporta.”

(MAEDER, 1942, p. 27)

341

figura invariável descrevem segmentos iguais, paralelos e de mesmo sentido”

(MAEDER, 1942, p. 211).

FIGURA 156 – TRANSLAÇÃO

exem

o fixo

p. 213)

Menciona, ainda, duas propriedades da rotação: “Na rotação em torno de um centro,

todos os pontos de uma figura invariável descrevem arcos de circunferência

concêntricos, de mesma amplitude e de mesmo sentido” e “Na rotação em torno

de um centro, todas as retas, semi-retas e segmentos de uma figura invariável,

que po

um centro, no caso a r

Quando cita o movimento de rotação,

plo de um triângulo (FIGURA 157): “

figuras invariáveis. Rotação de uma figura

é o movimento em que todos os pont

circunferência, tendo aquele ponto como centro

o autor paranaense também utiliza o

Consideremos, agora, a rotação das

invariável em torno de um pont

os da figura descrevem arcos de

”. (MAEDER, 1942,

r ele passam, giram, no mesmo sentido, e de um mesmo ângulo”.

FIGURA 157 – ROTAÇÃO

A FIGURA 158, seguir, também é utilizada para ilustrar a rotação em torno de

otação de um triângulo.

342

FIGURA 158 – ROTAÇÃO EM TORNO DE UM CENTRO

Quanto às ilustrações do livro de Maeder que classifico como pertencentes à

ategoria 3, desenhos que representam abstrações, o acentuado número delas refere-se

desenhos de figuras geométricas, particularmente de figuras planas que são utilizadas

ara os assuntos: “Proposições fundamentais da geometria dedutiva”, “Simetria

lana”, “Triângulos”, “Polígonos”, “Quadriláteros convexos”, “Lugares geométricos”,

Circunferência e círculo”, “Medida dos ângulos”, “Linhas proporcionais”,

eme

O assunto “cônicas” é trata

penas como lugar g entos. São cinco

“

“S lhança e homotetia”, “Relações métricas no triângulo” e “Relações métricas no

círculo”. São, ao todo, 12 capítulos dedicados a esses assuntos.

Na FIGURA 159, observo uma ilustração utilizada por Maeder (categoria 3)

que exemplifica um tipo de simetria: “É bem de ver que, para se obter a

coincidência das figuras F e F’, é preciso fazer girar o semi-plano P

, em torno de

XY, até a sua justaposição com o semi-plano P

, isto é, fazer o rebatimento de um

semi-plano sobre o outro.” (MAEDER, 1942, p. 218)

FIGURA 159 – SIMETRIA NO PLANO

do também no livro da 3ª. série, porém apresentado

eométrico, sem entrar em detalhes sobre os elem

343

desenhos sobre lugares geométricos, entre os quais a elipse, a circunferência, a

ipérb

FIGURA 160 – HIPÉRBOLE

o também de suas

as paralelas aos lados

postos. Formam rtices do triângulo

primitivo são, re lados”. Assim, o leitor é

vado a observar

h ole (ver FIGURA 160) e a parábola.

Não poderia deixar de mencionar que a ilustração referente à hipérbole contém

elementos que auxiliam o entendimento da definição de cônica dada pelo autor. Assim,

o desenho está sendo utilizado como um auxiliar no entendimento do conceito de

hipérbole. O autor observa que esse assunto ainda será estudado nessa mesma coleção.

Maeder utiliza ilustrações (nessa categoria 3) como importantes meios

auxiliares ao entendimento não apenas de teoremas, com

correspondentes demonstrações. Um exemplo disso está na FIGURA 161 extraída do

livro da 3ª. série (1942, p. 240). Ela é empregada pelo autor ao apresentar o teorema

que afirma que as três alturas de um triângulo concorrem em um ponto e, também, é

utilizada no sentido de levar o leitor a compreender a demonstração apresentada:

“Pelos vértices, A, B e C, do triângulo dado, tiremos ret

os, dessarte o triângulo DEF, no qual os vé

spe s

a figura em meio à leitura da demonstração do teorema.

ctivamente, os pontos médios dos seu

344

FIGURA 161 – DEMONSTRAÇÃO NO TRIÂNGULO

As 14 ilustrações referentes à categoria gráficos são exclusivas do estudo de

nções, com destaque para funções do 2º. grau, em que oito desenhos são produzidos.

s demais se referem à função definida por

(ver FIGURA 162),

xy =

y = ,

(para m número par). Esses gráficos geralmente são apresentados em uma

malha quadriculada, sendo a medida de cada um dos lados desses quadradinhos a

unidade adotada para localizar os pontos correspondentes.

FIGURA 162 – FUNÇÃO CÚBICA

345

A ilustração da página 129 do livro da 3ª. série chamou minha atenção para dois

pontos: primeiro por estar também na capa do livro desta série e, segundo, por estar se

ferindo ao estudo de funções (ver FIGURA 163).

FIGURA 163 – PARÁBOLA E FUNÇÃO

Observo que essa ilustração é utilizada pelo autor como um esboço do gráfico

a função

= xy

Preliminarmente, devemos notar que apenas se podem dar a x valores positivos, por isso

Entretanto, como y se anula para x = 0 rva procurada passa p

a valor positivo de x correspondem dois simétricos de y.

Infere-se daí que os pontos da curva são simétricos em relação ao eixo XX’.

Cuidemos agora de construir o gráfico da função. (MAEDER, 1942, p. 129)

da seguinte forma:

que, para os valores negativos dessa variável, resultam valores imaginários para y.

, a cu ela origem das

coordenadas.

Por outro lado, como as raízes de índice par dos números positivos têm sinal duplo, a

cad

Com efeito, para x = 9, por exemplo, temos y = + 3 ou y = - 3.

Após esse comentário, há uma tabela com dois valores simétricos de y para cada

valor positivo de x o o gráfico de uma função,

gorosamente só pode x em função de y, isto é,

a interpretação feita, por exemplo, para raiz

uadrada de um número ndo formada por dois

alores opostos.

. O que o autor interpreta com

ria ser considerado como tal se fosse

. O que observo aqui é

positivo. Maeder interpreta como se

)( yyf ==x

346

4.4 ILUSTRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 4ª. SÉRIE

Uma pequena alteração pode ser observada em relação aos “profissionais”

ncarregados para a elaboração do livro da 4ª. série, em comparação com os da 2ª.

o livro destinado a 4ª. série.

O livro destinado a 4ª série da coleção Lições de Matemática, em sua 4ª.

edição, de 19--, tem ao todo 240 ilustrações, com um número acentuado para a

ategoria referente (ver TABELA 21), o

ue pode ser “just ometria

lana e não-plan

nhas trigonom

Categoria Especificação

Quantidade

série. Enquanto o professor Hermes Cardoso novamente é o responsável pelo

desenho da capa, apenas o professor Orlando de Freitas se encarrega das “figuras

do texto”. Essas figuras compõem as ilustrações d

c aos desenhos que representam abstrações

ificado” pelos conteúdos voltados para o estudo de “Ge

a”, além de alguns tópicos a respeito de “Trigonometria” (das

étricas).

TABELA 21 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 4ª SÉRIE

2 Desenhos que interpretam o real 1

3 Desenhos que representam abstrações 209

4 Esquemas 25

5 Gráficos 5

penas para

videnciar a distribuição das ilustrações, conforme categorias, ao longo desse livro.

A partir dos dados dessa tabela, elaboro o gráfico a seguir a

347

por duas hastes curvas e é utilizado “quando a distância

polar da circunferência que se quer traçar é conhecida, basta aplicar uma das

pontas do c uma

abertura igu l à distância polar” (MAEDER, 19--, p. 280). Embora tais instruções

evidenciem como se deva utilizar o com em nenhum out o

livro isso é utilizado, nem mesmo em exemplos que normalmente são propostos ao

final de cada capít . Alé es sobre a forma de traçar

circunferências e supe acrescent lguma

ilustração no senti de ev e traçado de circunferências. Daí essa ilustração,

mesmo tendo alguma relação com o texto, ser apresentada mais como uma

curiosidade.

RÁFICO 9 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 4ª. SÉRIE

0,5%

Categoria 4:

10,5%

87%

Distribuição das Ilustrações por Categoria:

série

Categoria 5:

Categoria 2:;

Categoria 3:

A única ilustração desse livro de Maeder (19--, p. 280) que tem alguma ligação

com a realidade é um desenho que representa um compasso (FIGURA 164). Trata-se

de um compasso esférico, que, como diz o autor, é “o instrumento de que nos

servimos, na prática, para traçar circunferências sobre uma superfície esférica”.

Esse compasso é formado

ompasso sobre a superfície esférica, e deslizar a outra, com

passo esférico, ro momento d

ulo m disso, logo após as tais instruçõ

m rfícies esféricas, Maeder deixa de ar a

do idenciar ess

348

FIGURA 164 – COMPASSO ESFÉRICO

Analisando a categoria 3 de ilustrações, formada por desenhos que re

ões, embora haja um número acentuado de figuras planas e não-planas, como já

tato nos livros anteriores, aqui é possível constatar um outro as

o desses desenhos. Se por um lado um desenho pode apenas estar

tando a construção de um polígono estrelado (ver FIGURA 165)

partir de uma circunferência, por um outro lado é possível encam

s que sugerem, em parceria com o próprio texto ao qual estão inseridos,

s ligados à intuição geométrica de construções sucessivas (ver FIGUR

ntido, MAEDER (19--, p. 135) observa que, dividindo uma circunferência em

presentam

bstraç

i cons pecto da

tilizaçã

presen de oito

ontas a inhar

esenho

lemento A 166).

esse se

nove arcos iguais, e “ligando os pontos obtidos, de um em um, de dois em dois e de

quatro em quatro, obtém-se três eneágonos regulares, o primeiro dos quais é convexo e

os demais estrelados”.

FIGURA 165 – POLÍGONO ESTRELADO

349

FIGURA 166 – CONSTRUÇÕES DE ENEÁGONOS

Na FIGURA 166, p=1 esentando) a construção de

ordas consecutivas na circunfe rtir dos nove vértices marcados. Para p=2,

ugere-se a construção de cordas l pre “pulando” um). Na

ltima parte da ilustração, p=4 cordas são traçadas ligando os vértices 4

4 (o primeiro liga com o quarto, o oitavo, etc.)

Algumas ilustrações pertencentes à categoria dos desenhos que representam

representa (ou pode estar repr

rência a pa

igando os vértices 2 a 2 (sem

indica que as

o quarto com

abstrações, neste livro do autor paranaense, são utilizadas no encaminhamento de

problemas abordados e resolvidos. Assim, por exemplo, um problema é “exprimir o

lado do triângulo circunscrito a um círculo em função do lado do triângulo

regular inscrito”. Tal problema é apresentado ao lado de uma ilustração (FIGURA

167) e, após, resolvido por MAEDER (19--, p. 150) com passagens matemáticas que

levam o leitor constantemente a buscar elementos presentes no desenho.

FIGURA 167 – PROBLEMA GEOMÉTRICO

350

Outro exemplo está no problema seguinte: “Determinar a natureza do polígono

ue se obtém, prolongando, dois a dois, os lados de um hexágono regular, e exprimir

lado deste em função do lado do primitivo”. (MAEDER, 19--, p. 151). Nesse

xemplo, o desenho deixa claro para o leitor qual será a resposta: um triângulo. Porém, a

tenção do autor ao encaminhar tal ilustração (ver FIGURA 168) parece estar ligada às

stificativas matemáticas que apresenta logo a seguir, no sentido de convencer o leitor de

que de fato

o Ensino Fundamental

esse será o resultado.

FIGURA 168 – TRIÂNGULO E HEXÁGONO

Um fato pertencente à História da Matemática e que não representa nos dias

atuais um assunto presente no ensino da Matemática, tanto n

co no Médio, é abordado por Maeder nesse livro. Trata-se da equivalência de áreas,

conhecida como as “lúnulas de Hipócrates” (ver FIGURA 169). Essa equivalência,

conforme desenho, refere-se à área de um triângulo retângulo e à soma das áreas das

lúnulas construídas por semicircunferências a partir dos três lados desse triângulo.

FIGURA 169 – LÚNULAS DE HIPÓCRATES

351

Em relação aos desenhos utilizados para

imensões, um cuidado maior aqui é observado no em ras e pequenos

aços (ver FIGURA 170). Embora o desenho do ic esente no livro de

AEDER (19--, p. 227) tenha o contorno feito a partir de uma figura plana

exágono), as sombras empregadas e também os pequenos traços dão a noção de

idimensionalidade desejada

idimensionalidade (o ilustrador do livro utiliza mais) é aquele desenho feito por

e é utilizada na capa do

FIGURA 171 – ES

representar figuras geométricas de três

prego de somb

osaedro pr

pelo autor. Outra maneira de representar essa

traços e por linhas pontilhadas (ver FIGURA 171, qu

correspondente livro). As linhas pontilhadas são colocadas para dar tal noção.

FIGURA 170 – ICOSAEDRO

FERA INSCRITA NO HEXAEDRO

352

Na categoria 4 de ilustrações (aquelas que se referem a esquemas),

comparando-se com o livro anterior (da 3ª. série), o número é menor. Além disso, tais

ustrações, em sua maioria, referem-se a tabelas de valores que relacionam duas

variáveis utilizadas antes de construção de gráficos no estudo de funções, tabelas com

razões trigonométricas e uma tabela com valores de logaritmos ( 172).

ssa tabela é assim encaminhada no livro de MAEDER (19--, p. 96): “Encontram-se,

essa tábua, três colunas. A primeira, designada pela letra N, encerra os números

m sua ordem natural; a segunda, encimada por L, as mantissas dos respectivos

garitmos; a terceira assinalada pela letra D, as diferenças entre duas mantissas

FIGURA 172 – TABUA DE LOGARITMOS

ver FIGURA

consecutivas, ou diferenças tabulares”.

353

Observando detalhadamente a tabela (ou tábua) verifica-se que não são apenas

ês colunas, mas um grupo de quatro vezes três colunas. Além disso, nenhuma das

olunas é mencionada pelas letras N, L ou D, entretanto basta seguir a ordem em que

ão apresentadas para identificá-las. Maeder utiliza essa tabela para encaminhar dois

pos de problemas: problema direto (determinar o logaritmo de um número dado) e

roblema indireto (determinar o número correspondente a um logaritmo dado).

Num outro exemplo de ilustração, também em forma de tabela, é possível

onstatar que, apesar do estudo de Trigonometria ser direcionado para o

stabelecimento das relações trigonométricas que permitem calcular razões

trigonométricas para o dobro de um arco em função da razão trigonométrica do arco

dado (ou o equivalente para o arco metade), Maeder encaminha uma tabela (ver

FIGURA 173) em que, por exemplo, fornece o valor das razões trigonométricas para o

arco de 15 graus. Outra observação é a presença, nessa tabela, dessas razões para os

arcos de 120 graus e 150 graus. Embora o próprio autor desenvolva o conteúdo

observando as reduções ao 1º. quadrante, menciona esses valores aparentemente para

resumir o trabalho que nas páginas anteriores é feita, isto é, não apresenta no sentido

de levar o aluno/leitor à necessidade de memorização, por exemplo.

FIGURA 173 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

354

Uma última ilustração que gostaria de comentar a respeito da categoria

squemas diz respeito ao desenho referente a um problema clássico das luzes (assim

enominado pelo autor à página 32): “Determinar, sobre a reta que une duas fontes

minosas de intensidade diferente, a posição de um ponto igualmente iluminado

or ambas”. Esse é um problema de fotometria, situado, portanto na disciplina de

ísica, o qual Maeder discute em um total de oito páginas. O desenho é utilizado para

estabelecimento de relações matemáticas presentes na resolução e discussão do

roblema.

FIGURA 174 – PROBLEMA DAS LUZES

Observando agora a categoria 5 de ilustrações, isto é, aquela que se refere a

ráficos, são apenas cinco delas construídas para representar funções trigonométricas

o plano cartesiano. Assim, por exemplo, Maeder faz o estudo da função seno (ver

FIGURA 175) e apresenta o correspondente gráfico no plano cartesiano, mencionando

antes u

ma tabela com valores de alguns arcos em graus e os correspondentes senos.

Nenhuma atividade ou exercício de construção de gráfico é sugerido, o que indica a

utilização do gráfico da função seno apenas para ilustrar comentários feitos

anteriormente pelo autor quanto ao crescimento e sinais do seno nos quadrantes.

FIGURA 175 – FUNÇÃO SENO

355

4.5 ILUSTRAÇÕES EM LIÇÕES DE MATEMÁTICA: 5ª. SÉRIE

Neste último livro da coleção, os professores Hermes Cardoso e Orlando de

Freitas são os responsáveis pelos desenhos da capa e das “figuras do texto”,

respectivamente. Essa parceria já havia ocorrido também no livro da 4ª. série.

O 5º. livro de Lições de Matemática, destinado a 5ª. série, contém ao todo

105 ilustraçõ alquer outro livro da

oleção de Maeder. O conteúdo de Matemática para a 5ª. série é composto de

picos de “Álgebra” com foco em “Noções de limites e derivadas”, além de

bordar “Noções de integrais”. Esse fato parece direcionar o encaminhamento

ado para uma abstração maior, daí o número reduzido de ilustrações. Por outro

do, é nesse livro que observo um número maior de ilustrações (ver TABELA

2) da categ

nções de

Categoria

Especificação

Quantidade

es, um número bem reduzido se comparado a qu

tó

2 oria 5 (gráficos). São ilustrações voltadas também ao estudo de

ntro daquelas noções de limites, derivadas e integrais.

BELA 22 – NÚMERO DE ILUSTRAÇÕES POR CATEGORIA: 5ª. SÉRIE

2 Desenhos que interpretam o real 1

3 Desenhos que representam abstrações 73

4 Esquemas 10

5 Gráficos 21

Assim como nos livros anteriores dessa coleção, o gráfico a seguir evidencia a

distribuição dessas ilustrações conforme as categorias elaboradas para este ensaio.

356

GRÁFICO 10 – COMPARAÇÃO ENTRE AS ILUSTRAÇÕES: 5ª. SÉRIE

plano

artesiano, ora relacionadas ao estudo de derivadas (ver FIGURA 176), ora a respeito

do cálculo de área er FIGURA 177) ou, ainda,

gares geométricos definidos por equações (ver FIGURA 178) quando do estudo de

ônicas em geometria analítica. Observo que esses gráficos, produzidos no plano

artesiano, estão inseridos e referenciados nos textos, isto é, o leitor é conduzido a

bservar o gráfico e dele se utilizar como elemento explicativo do conteúdo

orrespondente. Assim, por exemplo, no encaminhamento para o cálculo de área como

FIGURA 176 – INTERPRETAÇÃO DE DERIVADAS

Em relação a categoria gráficos, as ilustrações são de curvas no

Categoria 3:

69%

Categoria 4:

por meio de integrais definidas (v

limite da soma, Maeder se utiliza da ilustração (FIGURA 177) dizendo:

Distribuição das Ilustrações por Categoria:

série

Categoria 2:

Categoria 5:

20%

10%

357

Dividindo o segmento MN em certo número de partes iguais, tiremos as ordenadas que

paralelas ao eixo x.

Formam-se, dessarte, retângulos inscritos na curva considerada, os quais aparecem

hachurados na figura. Cada um dos n retângulos tem por base

x∆ e por altura a

ordenada tirada pelo ponto de divisão.

Despreende-se facilmente que a soma das áreas dos retângulos aproxima-se da área do

trapézio curvilíneo ABNM. Ademais, a aproximação será tanto maior, quanto maior for

Não apenas nesse livro, como também nos demais, a utilizaçã

correspondem aos pontos de divisão. Depois, pelas extremidades das ordenadas, tiremos

o número de retângulos tomados. (MAEDER, 1942, p. 235)

o das ilustrações

e curvas associadas ao plano cartesiano não é gratuita, isto é, elas são inseridas dentro

FIGURA 177 – INTEGRAL DEFINIDA

FIGURA 178 – LUGAR GEOMÉTRICO

do contexto do conteúdo de Matemática cumprindo com uma função auxiliar.

358

Ao evidenciar as aplicações de derivadas ao estudo de máximos e mínimos,

ma única ilustração, que classifico na categoria desenhos que interpretam o real, é

tilizada por Maeder (ver FIGURA 179). Trata-se do desenho de um farol colocado

omo o “problema do raio luminoso refratado de Fermat”, utilizado, na solução

presentada por esse matemático, com base em uma lei de refração que teria sido

Consideran desenhos que representam

bstrações duas partes. Um

número menor de ilustr

isto é, do cálculo de volum regulares, de

cilindr

para a conduzido por MAEDER

(1942,

elaborada por outro matemático francês (Descartes). Entendo que essa ilustração

também representa um esquema para indicar a refração da luz produzida por um raio

luminoso. Assim, considero essa ilustração também pertencente à categoria 4

(formada por esquemas), embora tenha sido aqui computada numericamente apenas

na categoria 2.

FIGURA 179 – FAROL

do agora a categoria 3 de ilustrações (

), observo que elas estão distribuídas basicamente em

ações referentes ao estudo de triângulos n

capítulos, e a maioria no final do livro, no estudo métrico de geo

es de prismas, de pirâmides, de poliedros

s dois primeiros

etria não-plana,

os, de cones e de esfera. Há ainda um desenho (ver FIGURA 180) utilizado

introdução do estudo das secções cônicas, assim

p. 295):

359

Interceptando um cone circular reto por um plano, obtemos, segundo a direção do

figuras recebem, por isso, a denominação genérica de secções cônicas.

Ao adiante, definiremos a elipse, hipérbole e parábola como lugares geométri

acordo com uma das propriedades características de cada curva.

plano, figuras geométricas distintas: círculo, elipse, hipérbole, parábola. Estas

cos, de

Limitamo-nos, assim, ao simples enunciado das proposições que seguem, atinentes às

secções cônicas.

FIGURA 180 – SECÇÕES CÔNICAS

O texto descreve, com te cada uma das

curvas que são obtidas a partir de um ndo o cone ou os cones

presentes na ilustração inserida. Um deta que se

refere à sombra projetada no plano por

Essa sombra certamente aux , apesar do desenho estar

forma de um

a utilização de linhas

livros didáticos de Matemática. É um

recurso que visualm itos os exemplos que

podem ser encontrados em Um deles, referente à 5ª. série

equivalência entre

duas pirâmides triangulares (ver FIGURA 181). As linhas tracejadas (ou

pontilhadas) evidenciam prismas triangulares que são construídos dentro das duas

o o próprio autor diz, sucintamen

plano secciona

lhe presente nessa ilustração é o

cada um desses “sólidos” geométricos.

ilia na compreensão de que

idimensionalidade desejada. Uma outra

desenho apresentar essa mesma característica já foi apontada aqui: é

auxiliares pontilhadas. Essas linhas são muito utilizadas nos

no plano da folha do livro, ele indica a tr

livros de Maeder e na maioria dos atuais

ente dá a noção de profundidade. São mu

Lições de Matemática.

dessa coleção, é aquele inserido em meio à demonstração da

360

pirâmides. É a partir desses prismas que MAEDER (1942, p. 257) demonstra em

seu texto o correspondente teorema sobre a equivalência.

FIGURA 181 – EQUIVALÊNCIA DE PIRÂMIDES

tiliz

Ediç

bem p

citado

trigon

leitor consultas aos valores que a compõe.

Ao examinar, nesse livro de Maeder, os aqui denonimados esquemas

(categoria 4), poucas são as ilustrações presentes. Uma delas menciona o

desenvolvimento do produto de binômios que já foi observada anteriormente e as

demais se referem à utilização de tabelas de valores. Outra contém os valores das

razões trigonométricas seno e tangente dos ângulos compreendidos entre 0

e 3º e

também entre 87º e 90º (ver FIGURA 182). MAEDER (1942, p. 9) menciona que

tal tabela (ou, como diz, tábua) foi reproduzida da editora F.T.D. Um olhar mais

atento para a ilu

stração é suficiente para constatar essa reprodução: os caracteres

ados na confecção da tabela não seguem o padrão da coleção produzida pela

õe

s Melhoramentos; os algarismos presentes na tabela trigonométrica são

equenos e de difícil leitura. O detalhe da tabela está na divisão dos ângulos

s de minuto a minuto para apresentar as correspondentes razões

ométricas. Essa mesma tabela é utilizada ao longo do capítulo, exigindo do

361

FIGURA 182 – TÁBUA REPRODUZIDA DA F.T.D.

362

4.6 CONCLUSÕES SOBRE O USO DE ILUSTRAÇÕES

Uma comparação entre as quantidades totais de ilustrações presentes em

ada um dos cinco livros de Maeder (da coleção Lições de Matemática), acentua o

duzido número existente no último livro (ver GRÁFICO 11 produzido a partir

os dados observados nesses livros, mencionados anteriormente). Essa queda

ode representar indícios do grau de abstração do assunto dominante no livro de

ª. série. Se isso não fosse suficiente, um outro ponto pode favorecer essa

ipótese. É a observação de que a maior parte das ilustrações está na categoria de

esenhos que representam abstrações, isto é, desenhos empregados com o

objetivo principal de evidenciar formas geométricas planas e não-planas. Como

tais assuntos são abordados no livro de Maeder distanciados de aplicações

voltadas à prática, ou seja, a utilização real da geometria em situações do dia-a-

dia, o uso dessas ilustrações acaba evidenciando um livro didático de Matemática

com direcionamento para a abstração.

GRÁFICO 11 – ILUSTRAÇÕES CONFORME CATEGORIAS E SÉRIES

208

171

201

240

150

200

250

Número de ilustrações por série

1a série

105

100

Séries de Lições de Matemática

2a série

3a série

4a série

5a série

363

Analisando isoladamente as cinco categorias de ilustrações, o livro da 1ª.

érie, de

os gráf

vros q

ustraçõ nais ou

vistas)

a époc

bstraç ero de

ezes qu

ategori

xceção

catego esquemas),

exata ito grande,

estoan

utras c

larame esentam

bstraçõ

o grau

ustraçõ

reocupaç ução das imagens

os livr

ssim,

onsegu restrito às capas

os livros de Maeder, internamente o preto e o branco das ilustrações eram

tilizados de forma clara nos diversos tipos de ilustrações. Os desenhos

mpregados para interpretar o real, mesmo em número muito reduzido nesses

s certa forma, destoa dos demais principalmente em relação à utilização

icos estatísticos, conforme categoria gráficos. Aliás, é o único dos cinco

ue apresenta gráficos voltados ao tratamento da informação. Essas

es foram feitas a partir de exemplos (provavelmente tirados de jor

que representam importantes elementos do contexto histórico brasileiro

a voltado ao comércio, importação e produção.

As ilustrações que se referem à categoria 3 (desenhos que representam

ões) aparecem nos cinco livros com uma freqüência absoluta (núm

e aparece) acentuada. Se a comparação for realizada em relação às outras

as e em cada livro, a freqüência relativa também é acentuada. A única

está no livro da 1ª. série, em que a categoria 3 tem freqüência menor que

ria 4 (esquemas). Observando essa categoria 4 de ilustrações (

mente nesse livro da 1ª. série que há uma presença mu

do completamente em relação aos demais livros.

O gráfico a seguir compara as ilustrações referentes à categoria 3 com as

ategorias em cada um dos cinco livros. A leitura do gráfico indica

nte que, excetuando o primeiro livro, os desenhos que repr

es são responsáveis pela maioria das ilustrações. Interpreto como indícios

de abstração do ensino de Matemática na década de 1930, revelados pelas

es no livro de Maeder.

A “leitura” das ilustrações na coleção do autor paranaense indicam

ões por parte da Edições Melhoramentos com a prod

os. A expansão do mercado editorial acirrava a disputa entre as editoras.

livros que continham belas e adequadas ilustrações certamente

iriam sobressair-se dos demais. Embora o colorido fosse

364

livros, foram produzidos com detalhes que, na minha interpretação, contribuíram

para a divulgação do trabalho de Maeder.

GRÁFICO 12 – UTILIZAÇÃO DE ILUSTRAÇÕES – CATEGORIA 3

série

Categoria 3

(33%)

Outras

categorias

(67%)

Freqüência relativa da categoria 3:

série

Categoria 3

(70%)

Out ras cat egor ias

(30%)

Freqüência re

Freqüência relativa da categoria 3:

Categoria 3

(76%)

(24%)

Freqüência relativa da categoria 3:

série

Categoria 3

(70%)

Outras

categorias

(30%)

Freqüência relativa da categoria 3:

série

Outras

categorias

(13%)

Categoria 3

(87%)

lativa da categoria 3:

série

categorias

Outras

365

Embora no presente ensaio tenha observado a utilização das ilustrações por

meio de categorias, considero que essa foi apenas uma forma de olhar o trabalho de

Maeder. Evidentemente, outras categorias poderiam ser consideradas e até mesmo

acredito que forneceriam outras interpretações desse importante recurso didático

utilizado nos livros escolares. Também entendo que uma análise comparativa entre

diferentes autores e diferentes obras produzidas numa mesma época, por meio das

mesmas categorias aqui utilizadas, forneceria um quadro mais amplo e detalhado

desse recurso. Esse é um caminho que se abre para outras pesquisas.

366

5 LIVROS DIDÁTICOS DE ALGACYR MUNHOZ MAEDER SOB UM

OLHAR DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

O estudo dos conteúdos beneficia-se de uma documentação abundante

ue o ensino de uma mesma disciplina, numa determinada época, é praticamente o

mesmo, não im

os conceitos en ítulos, a organização do

corpus de conhecim de exercícios praticados são

idênticos, com que podem justificar a

publicação de is do que desvios mínimos

(CHERVEL, 1990

Em o os livros didáticos de

Maeder com outros livros de au mesma época, as palavras de

Chervel são confirma

ise dos

à base de cursos manuscritos, manuais e periódicos pedagógicos.

o de “vulgata”, o qual parece comum às

sciplinas. Em cada época, o ensino dispensado pelos

é, grosso modo, idêntico, para a mesma disciplina e para

os manuais ou quase todos dizem então a

ou quase isso.

André Chervel

lquer historiador que, de alguma forma,

uma disciplina escolar, é o estudo dos

a. Quando ele se refere, na citação acima, ao fato de

Verifica-se aí um fenômen

diferentes di

professores

o mesmo nível. Todos

mesma coisa,

Para Chervel, a primeira tarefa de qua

tenha em sua pesquisa algo relacionado a

conteúdos explícitos da disciplin

portando a escola ou até mesmo o professor, é no sentido de que

sinados, a terminologia adotada, a coleção de rubricas e cap

entos, mesmo os exemplos utilizados ou os tipos

variações aproximadas. São apenas essas variações, aliás,

novos manuais e, de qualquer modo, não apresentam ma

, p. 203).

bora o presente trabalho não tenha confrontad

tores que escreveram na

das por Carvalho

(2003, p. 151), inclusive sobre a anál

conteúdos presentes nos livros didáticos de

Maeder se colocou como auto

Roxo em relação à disciplina

coleções produzidas, é possível observa

João Bosco Pitombeira de Carvalho escreveu

modernização do ensino de Matemática no Bras

didáticos produzidos numa mesma época, particular

livros, citando até esse autor. Suas palavras: “A co

e 50 do século XX mostra a grande uniform

Matemática em parte do período em que

r. Quando analisa as idéias defendidas por Euclides

de Matemática, Carvalho afirma que, entre as diversas

r certa uniformidade na condução dos

um artigo que compõe o livro Euclides Roxo e a

il. Nesse artigo, ele aborda a comparação de livros

mente a época em que Maeder escreveu seus

mparação das várias coleções das décadas de 30, 40

idade dos livros-texto de Matemática para a escola

secundária. Malgrados diferenças de qualidade e de metodologia eles seguem o mesmo padrão fixado

nas reformas

instituídas por Campos e Capanema. A comparação das coleções, escritas por Munhoz

Maeder, Stávale, Manuel Jairo Bezerra, entre outros, respeitam todas elas os programas oficiais.”

367

conteú

étodos’, ganha

adualmente os setores mais recuados do território, e se impõe. É a ele que doravante

se imita, é ao redor dele que se constitui a nova vulgata”.

Não considero, ao final dos três ensaios a respeito da obra didática de Maeder,

ue ela tenha sido um “manual mais audacioso” ou mesmo se destaque do conjunto de

vros didáticos da época, e também não defendo que sua produção didática possa ser

onsiderada uma vulgata, no sentido técnico atribuído ao termo. Acredito que os livros

e Maeder foram portadores exemplares das transformações e estereótipos que foram

e associando à disciplina de Matemática ao longo de algumas décadas e é justamente

so que os torna exemplares.

Maeder produziu várias coleções que sofreram reformulações, principalmente

quelas resultante de reformas educacionais em cada período que escreveu. Postulo, ao

nal desta minha pesquisa, que o autor paranaense e seus livros devam ser

onsiderados como referências importantes sob diversos aspectos: mercado editorial,

formas educacionais, conteúdos matemáticos que foram objetos de estudos,

odalidades de ensino, comunidade de autores, etc.

Nos aspectos de mercado editorial e reformas educacionais, Maeder não foi

utor apenas de um livro ou de uma coleção. Antes de existir nas escolas brasileiras a

isciplina de Matemática, Maeder já era autor de Álgebra elementar (época dos

enominados compêndios). No período em que Euclides Roxo, Cecil Thiré e Mello e

ouza lançaram uma audaciosa coleção de cinco volumes de livros de Matemática, o

utor paranaense também lançou sua coleção Lições de Matemática também em cinco

olumes. Outras duas coleções também são destacadas nesse período: a coleção escrita

dos que seriam ministrados nas escolas secundárias. Evidente que essa

uniformidade presente nos diversos livros escolares é, em grande parte, decorrente da

existência de um programa oficial a ser seguido em cada disciplina.

Em cada época é possível destacar coleções e autores de Matemática que, de

alguma forma, conseguiram produzir livros que atingiram um grande público ou,

ainda, livros didáticos que, nas palavras de CHERVEL (2003, p. 203) são mais

ousados: “Mas pouco a pouco, um manual mais audacioso, ou mais sistemático, ou

mais simples do que os outros, destaca-se do conjunto, fixa os ‘novos m

368

por Agrícola Bethlem e a escrita por Jacomo Stávale. Todas essas coleções foram

escritas na época da Reforma Francisco Campos, em que os programas da disciplina

Matemática eram ditados a partir do Decreto n

. 19890 de 18 de abril de 1931.

Já na Reforma Gus

anos). Se por um lado nov

Mello e Souza) novamente

ocorre com os autores Jac

também sua coleção.

Eu poderia continuar aqui observando que Maeder escreveu uma coleção de

ros de

aeder também devem ser considerados registros de como se constituiu o ensino de

Matem

criação

para o a o Ginásio, documentando a reforma substancial dos

algumas reformas, uma guerra mundial, uma revolução e a transformação gradativa do

tavo Capanema, cria-se o Ginásio (4 anos) e o Colégio (3

amente o trio de autores do Colégio Pedro II (Roxo, Thiré e

elabora a coleção de Matemática para o Ginásio, o mesmo

omo Stávale e Algacyr Munhoz Maeder. Cada um lança

livros de Matemática para o Colégio, da mesma forma que outros autores. O que

considero importante constatar é que Maeder continuou publicando suas coleções até o

início dos anos 1960. Dessa forma, em relação aos aspectos mercado editorial e

reformas de ensino, o autor paranaense e sua escrita, como interpreto, são referências.

Considerando agora os demais aspectos observados anteriormente, os liv

ática desde a época correspondente ao final dos compêndios, passando pela

da disciplina de Matemática, testemunhando a implantação da Matemática

Colégio e também par

conteúdos pela portaria de 1951 nesses dois ciclos do ensino secundário e até

participando da modalidade de ensino denominada Comercial. Se, em cada época

dessas, houve autores e livros didáticos de Matemática (que não Maeder e seus livros)

sendo considerados destaques, não é possível deixar de apontar o autor paranaense e

sua obra como registros e testemunhos do desenvolvimento da Matemática escolar no

Brasil. Maeder e seus livros também podem ser considerados como referência para o

que ocorreu no ensino de Matemática do ano 1928 até o ano 1962. São quatro décadas,

nsino.

Voltando ao início dessa história de produção didática, o autor, ainda como

neófito nessa função, testemunha o nascimento de disputas acirradas travadas em torno

de um mercado editorial que se expandia, já no começo dos anos de 1930.

369

Precisamente em 1933 quando escreve seu terceiro livro de Álgebra elementar, vê sua

obra sendo ferrenhamente criticada pela Revista Brasileira de Matemática, cujos

diretores da época eram Serebrenick e Mello e Souza. Quais as razões dessa revista e

de se

o jornal como uma tribuna

aranaense?

us diretores criticarem de forma grosseira o autor paranaense? Maeder

imediatamente entende que um autor paranaense com um livro escrito em uma

tipografia de seu Estado é criticado por ameaçar a soberania editorial da capital

brasileira, o Rio de Janeiro. Essa parece ser a interpretação e a justificativa para

tamanha crítica direcionada aos professores de Matemática. O que poderia o autor

paranaense fazer a esse respeito? Bem, Maeder resolve rebater as duras críticas por

meio do jornal de sua cidade, a Gazeta do Povo. Utiliza

para expor suas idéias, para rebater as críticas, para desvendar as razões de seus

“algozes” e, também, para criticar as obras didáticas em que um dos diretores da

revista participa como autor.

Maeder não está sozinho nessa crítica. Durante os meses de julho e agosto de

1933, enquanto escreve e publica cinco artigos no jornal paranaense, dois amigos e

conterrâneos seus utilizam o mesmo procedimento e elaboram também cinco artigos

em defesa de Maeder.

As críticas feitas a Maeder são consistentes? Existem erros conceituais no livro

que é objeto das críticas? A Revista Brasileira de Matemática cumpre com uma

função que, então, não era sua: criticar livros didáticos de Matemática? Havia de fato

uma “briga” em torno do espaço do mercado editorial? Maeder e seus dois amigos

conseguem rebater as críticas feitas por Serebrenick? Houve de caso premeditado, um

plano no sentido de descredenciar os livros do autor p

Não considero, ao final deste trabalho, ser possível responder todas essas

perguntas de forma categórica. Entretanto, alguns pontos destacados no ensaio que

denominei “Tribunas de Educadores” devem ser observados para análise. Maeder,

como qualquer autor, comete erros e equívocos que não chega a responder em seus

artigos. O papel da Revista Brasileira de Matemática e de seus diretores pode ser

questionado quando observadas as páginas de “divulgação” das obras de Mello e

Souza (um dos seus diretores). Serebrenick tem razão em alguns pontos, mas não em

370

todos. Maeder, por outro lado, consegue rebater de forma convincente algumas das

críticas, porém não todas. Se não existia um órgão responsável pela análise dos livros

didáticos de Matemática publicados em nosso país, a iniciativa da Revista Brasileira

de Ma

ssão” de Serebrenick até mesmo o seu conhecimento a respeito

de M

despre

educacionais. Longe de considerar categoricamente para que lado da balança

pendeu

temática parece interessante e até mesmo louvável. Porém, o tom com que as

palavras são escritas ao longo das páginas dessa revista não representa o modelo de

crítica que possa ser considerada construtiva. O tom que o autor paranaense utiliza em

sua defesa também não é o recomendável, chegando a ponto de tecer severas críticas

que vão desde a “profi

atemática. Maeder procura descredenciar o diretor da revista. Os dois

personagens desse debate ocorrido no início da terceira década do milênio passado

utilizam textos irônicos que envolvem o leitor no sentido de buscar possíveis

desfechos. Eles não ocorrem.

Considero que a Revista Brasileira de Matemática, mesmo discordando do tom

zível utilizado para desqualificar livros de Matemática e não tendo clareza das

reais intenções, levanta uma importante necessidade que se aflora no país no início dos

anos 1930: o crescente mercado editorial de livros didáticos exigia a criação de um

órgão responsável pelo gerenciamento de um produto que teria como finalidade

principal a educação da jovem população brasileira. Esse órgão, como foi observado

no ensaio “Tribunas de educadores”, viria a ser criado alguns anos depois. Maeder, ao

procurar via jornais defender sua produção intelectual, acabou se inserindo numa

comunidade de educadores que participou (mesmo que de forma particular em defesa

de seu livro) de um intenso debate pela renovação educacional que existiu no país

desde o final dos anos 1920 até meados da década seguinte.

Entendo que toda essa discussão em torno de um livro, de uma revista e de um

mercado editorial em expansão evidencia o papel dado à imprensa de ser portadora de

idéias, de ser tribuna utilizada para debates entre personagens envolvidos com as

questões

tal discussão, prefiro antes destacar a contribuição dada pelos envolvidos na

discussão em defesa de suas idéias e, por outro lado, também enaltecer o papel

importante dos veículos de comunicação da época: tribunas de educadores.

371

Quando já havia terminado minhas pesquisas e também a escrita a respeito

desse segundo ensaio, uma surpresa e uma lição: uma pesquisa, principalmente em

história, não é fechada e nem pode ser considerada como acabada (essa era a lição).

José Carlos Cifuentes, pesquisador em Educação Matemática pela Universidade

Federal do Paraná, mostrou-me uma revista que chegou às suas mãos e teria sido

elaborada em 1933 na cidade de Curitiba com o título Revista de Matemática. Essa era

a surpresa. No mesmo ano da crítica feita à Maeder e seu livro num dos artigos da

Revista Brasileira de Matemática, também a Typ. João Haupt e Cia. resolve criar um

espaço para defesa de seu autor e sua obra, editando a Revista de Matemática. Observo

aqui, que esse expediente também tinha sido adotado pela Companhia Editora

Nacional quando, no mesmo ano, lançou o folheto Coisas da Matemática..., em defesa

de seu autor Jacomo Stávale (conforme já observado na Tribuna 3, do segundo

ensaio).

. Bem, embora o presente capítulo refira-se a conclusão de meu

trabalh

a esse ensaio. Pelas

reaçõe

Voltando a Revista de Matemática editada na capital paranaense, observo que

alguns artigos escritos têm como autores: Algacyr Munhoz Maeder, Nilo do Egito

(pseudônimo adotado provavelmente por Maeder), Léo Cobbe, Hirosê Pimpão, e o

próprio Jacomo Stávale

o, uma nova perspectiva de pesquisa se abre para outras publicações talvez em

forma de artigos. Perguntas precisam ser respondidas: A Revista de Matemática teve

apenas esse número? A Companhia Editora Nacional e a Typ. João Haupt e Cia.

programaram em conjunto tanto o folheto como a revista? Quais as reações a essas

publicações? Quem sabe artigos resultem buscando essas e outras respostas.

Por ora, não poderia deixar de posicionar-me em relação

s observadas não apenas pelo autor paranaense, como também por conterrâneos

seus, pela tipografia que publica sua obra, pelo autor Stávale e pela sua editora,

interpreto que houve uma intenção clara de atacar obras de Matemática que não

pertenciam a um determinado círculo da capital brasileira. Mesmo que essas obras

contivessem erros, os indícios apontam que a Revista Brasileira de Matemática

representou, nesse número de 1933, um instrumento para desqualificar de forma

372

premeditada autores e obras de Matemática e, ao mesmo tempo, difundir aquelas

pertencentes ao círculo carioca.

No último ensaio deste trabalho, observei as ilustrações presentes na primeira

coleção de livros de Maeder (Lições de Matemática). O primeiro volume dessa

coleção foi editado pela Edições Melhoramentos um ano após a discussão em torno do

livro Álgebra elementar. A mudança não é apenas da Typ. João Haupt e Cia. para a

Edições Melhoramentos e também não representa somente o deslocamento do autor de

Curitiba para São Paulo para editar seus livros. Maeder, muito mais do que todas essas

alterações, vê encerrar a era dos chamados compêndios e presencia o nascimento dos

livros didáticos de Matemática. É a unificação da Álgebra, Aritmética e Geometria

para a criação de uma disciplina chamada Matemática. Os livros publicados em

tipografias espalhadas pelos diversos centros brasileiros são aos poucos elaborados

grafica

real, de desenhos que

repres

lizar uma

mente por editoras. Essas, numa disputa de espaço comercial cada vez mais

promissor, começam a formar e a criar profissões relacionadas à edição dos livros. Os

livros de Maeder testemunham a presença de professores como ilustradores. O papel

das ilustrações em livros de Matemática torna-se imprescindível para a divulgação e a

adoção desses livros nos bancos escolares.

Se atualmente as ilustrações dos livros didáticos de Matemática são riquíssimas

em detalhes e cores, na terceira década do milênio passado o preto e o branco eram

suficientes. A minha “leitura” dessa coleção de Maeder, via ilustrações, foi por meio

de cinco categorias elaboradas distantes no tempo. Entretanto, o folhear das páginas

desses cinco livros foi talvez a parte mais empolgante e reveladora desta pesquisa. A

busca, página a página, de desenhos que interpretavam o

entavam abstrações, de esquemas utilizados como explicação de um movimento

ou de um algoritmo, e, por último, de gráficos construídos em plano cartesiano para a

representação de curvas, lugares geométricos e também gráficos utilizados para

ilustrar dados estatísticos mostrou-me o real papel do pesquisador em história. Os

documentos, as fontes e os objetos (físicos ou não) da pesquisa, produzidos em épocas

totalmente distantes não apenas no tempo, mas no contexto, podem estar diante de nós,

em nossas mãos, mas nada revelam se não houver o mínimo desejo de rea

373

viagem

esmo por linhas tracejadas que indicavam profundidade; constatar

trabalho

tenham como objeto a utilização das ilustrações nos livros escolares. Evidente que

imaginária. É uma viagem que tenta buscar no passado as palavras que não

foram escritas, as intenções não reveladas e os indícios de um fato ou de um dado que

os dias e as noites trataram de esconder. Não sabe se, a princípio, o que exatamente se

deseja encontrar, muito menos se vai conseguir, mas essa busca curiosamente se

mostra atraente e acaba fazendo entender o papel do pesquisador como aquele que

interpreta não apenas os resultados encontrados, mas aqueles que também não foram

determinados e permanecem imprecisos.

As ilustrações dos livros de Maeder, mesmo revelando um alto grau de

abstração pela excessiva utilização de desenhos que representam abstrações,

representam documentos que permitem observar a história de um recurso didático

empregado para o ensino de Matemática: observar a forma como os professores

responsáveis pelas ilustrações representavam figuras geométricas não-planas por meio

de sombras, ou m

uma preocupação em detalhar os instrumentos geométricos, as representações dos

lugares geométricos definidos por meio de equações matemáticas; e, em particular,

encontrar o que atualmente é designado como “tratamento da informação”, sendo

representado por belíssimos e diversificados gráficos estatísticos, ou empíricos, como

prefere Maeder assim denominar, é o mesmo que encontrar as palavras não ditas,

como acima expressei. Esses gráficos contêm dados históricos referentes, por

exemplo, à exportação brasileira de 1906 a 1929, à comparação entre a nossa moeda

(réis) e o franco francês, bem como à estimativa da safra de café.

O caminho escolhido para o ensaio sobre as ilustrações presentes no

didático de Maeder poderia ser outro. Entendo que as categorias de ilustrações

elaboradas aqui para analisar e descrever esse importante aspecto de um livro (ou de

uma coleção) possam ser consideradas conflitantes e também acabem evidenciando

um estudo mais descritivo do seu emprego. Entretanto, essa foi a opção adotada como

forma de ensaio, buscando uma maneira de olhar para a presença de ilustrações em

livros didáticos de Matemática que não sofresse quaisquer influências de trabalhos já

realizados. Pesquisadores como Bittencourt evidenciam a falta de trabalhos que

374

outras opções de como “olhar” esse aspecto dos livros poderiam pender não para o

descritivo, mas para a relevância. Também se abrem perspectivas voltadas à análise

iconog

enho como certo que deixei de ver durante

algum

ráfica.

Como autor de livros didáticos, afirmo que as ilustrações que atualmente

adornam as páginas das “lições escolares de matemática” são produzidas por

profissionais, preocupados com os belíssimos efeitos visuais em meio aos números,

fórmulas e textos. O resultado torna a “leitura” menos árida, mais agradável. Não resta

dúvida também que esse é um procedimento orquestrado pelas editoras em “chamar a

atenção” dos professores quando da escolha desses didáticos. Melhor visual e

diagramação feitos a partir de projetos previamente elaborados evidenciam uma

evolução das editoras na confecção de um livro didático. Mas será que as ilustrações

“falam” com o texto onde são inseridas ou “adornam” as páginas como “apelos

atrativos” para os alunos e professores? Novas pesquisas poderão dar respostas?

Ao iniciar a pesquisa, tinha dúvidas se deveria utilizar a primeira pessoa do

singular ou a primeira pessoa do plural. A decisão foi de assumir a autoria utilizando a

primeira pessoa do singular, mesmo correndo o risco de ser considerado arrogante por

essa escolha. Hoje, 31 de julho de 2007, t

tempo o presente para me debruçar sobre o passado. Vivi intensamente a

trajetória de um personagem que, acredito, não tenha sido lembrado como deveria por

toda sua obra didática. Carrego dúvidas como se estivesse no início da pesquisa. Não

tenho certeza das escolhas feitas, dos caminhos trilhados, das palavras escritas, das

leituras carregadas de subjetividades decorrentes de contextos por vezes anacrônicos.

Também possuo dúvidas se essa pesquisa pode ser considerada como tal, se de fato

consegui evidenciar que Algacyr Munhoz Maeder foi um autor de livros de didáticos

de Matemática que deu a sua contribuição para a Educação Matemática no nosso país.

Faço, ao final desse trabalho, um resumo da obra de Maeder. Ele escreveu ao

todo 28 livros, contando aqui as reformulações apontadas no primeiro ensaio (3

compêndios de Álgebra elementar, 5 livros de Lições de Matemática, 4+4 livros do

Curso de Matemática para o Ginásio, 3+3 livros do Curso de Matemática para o

Colégio, 4 livros para o Curso Comercial Básico). Alguns de seus livros tiveram mais

375

de dez edições (um deles apresentou ao todo 22 edições, permanecendo no mercado

editorial de 1943 até 1962). Considero que o autor Maeder faz parte de uma

comunidade de educadores que participaram ativamente do desenvolvimento da

matemática escolar no Brasil. Essa é a sua maior contribuição e seus livros são

documentos disso.

Por fim, pretendo responder uma pergunta que faço ao terminar: Como autor de

livros didáticos de Matemática, situado numa outra época, de que modo avalio a

produç

o de seu livro são

exíguo

ão intelectual de Algacyr Munhoz Maeder?

Atualmente, um autor de livros didáticos de Matemática, embora com todo o

aparato tecnológico que as editoras proporcionam em relação às ilustrações, às

diagramações, à divulgação e à distribuição, está sozinho no momento da escrita. Não

tenho dúvidas de que os livros produzidos algumas décadas depois da época em que

Maeder escreveu contém ilustrações belíssimas. O avanço observado na produção

didática, nesses últimos anos, leva-me a considerar que talvez exista uma necessidade

de acrescentar uma sexta categoria às cinco apresentadas anteriormente, talvez até uma

sétima. Por meio da computação gráfica, é possível alterar profundamente imagens,

mesmo sendo elas obtidas por meio de fotografia. Esse “avanço” acaba transformando

o livro didático num portador de ilustrações que “representam o real”, mas que foram

“maquiadas” com a finalidade de “reparar” possíveis imperfeições. Além disso, na

maioria das vezes, o autor não decide sobre o tipo e o tamanho de ilustração que será

colocada, pois os prazos dados nas diversas etapas da confecçã

s. Assim, as ilustrações são, muitas vezes, “encaixadas” conforme o que a

página permite.

A “leitura” que faço das ilustrações do livro de Maeder é que, se por um lado os

recursos tecnológicos das editoras eram poucos, por outro havia um cuidado muito

grande em sua utilização. Essas imagens eram produzidas por professores que tinham

vínculos com a sala de aula. Mesmo que as ilustrações fossem elaboradas, algumas

vezes, em tamanhos reduzidos, tinham o apelo didático, pois eram inseridas como

importante auxiliar do texto em meio aos conteúdos. Essa produção “manual”, sem

exageros de maquiagem, cumpria o papel esperado das ilustrações.

376

Penso que, nos livros atuais, o “abuso” da utilização das ilustrações acaba

empobrecendo o livro. A poluição visual (não é difícil encontrar livros didáticos com

mais de cinco ilustrações numa mesma página, com cores bem diferentes), tanto em

relação

segund

isso fa

às ilustrações em meio aos conteúdos quanto, algumas vezes, considerando os

conteúdos em meio às ilustrações, me conduzem a uma questão: Qual a finalidade das

ilustrações nos livros atuais? Não poderia deixar de levantar uma hipótese

perturbadora: deixar o livro didático com uma bela aparência. Bem, quanto a isso,

nada a criticar. Mas, também sou obrigado a levantar outras questões: essas ilustrações

são utilizadas como recurso didático ou servem como fator importante na escolha dos

livros? Há prejuízo em relação aos conteúdos? Sou favorável a aceitar que a escolha de

um livro didático leva em conta diversos aspectos, entre eles a “aparência”, e isso

acaba, comercialmente, tornando-se um importante fator de decisão.

Na época de Maeder, não havia avaliação dos livros didáticos. Como disse n

o ensaio, talvez a Revista Brasileira de Matemática tenha utilizado uma forma

inadequada para “criticar” livros de Matemática, porém era um começo. Hoje,

passadas algumas décadas, há no Brasil a avaliação do livro didático. São

“especialistas” que, por meio de critérios previamente estabelecidos, “aprovam” ou

“reprovam” os livros. Preciso acreditar, como autor, que há lisura nesse processo.

Porém, falta algo: ouvir o autor na outra ponta. Não precisa ser criada uma tribuna

para autores e avaliadores, mas, simplesmente, oportunizar o direito de ser escutado

sem melindres de nenhuma das partes. É necessário discutir, por exemplo, a razão de

uma determinada obra ser aprovada numa avaliação e reprovada na outra. Será que os

critérios de avaliação são tão subjetivos assim? Respostas precisam ser dadas.

Se em nosso país houve momentos de reformas educacionais em que os

programas de Matemática, por exemplo, eram amplamente divulgados, considero que

z falta para um autor que se propõe a elaborar uma obra didática. Uma discussão

ampla sobre um programa mínimo de Matemática, em todos os níveis de

escolarização, faz-se necessária. Quando me refiro a um programa mínimo, não

considero suficiente apenas uma lista de conteúdos. Mais importante seria o

detalhamento sobre a profundidade e a objetividade em cada assunto. Alguns

377

conteúdos de Matemática (conforme o primeiro ensaio) sofreram mudanças, ao longo

desses anos, enquanto outros desapareceram. Não estaria na hora de rever o que deve

ser objeto de estudo nos bancos escolares? Acredito que o insucesso da educação

brasileira, em comparação a outras nações, deve-se, em grande parte, ao tempo perdido

com inúteis e arcaicos conteúdos que insistem em sobreviver. É necessário que o

ensino

de Matemática entre no século XXI não desconsiderando a sua história, mas se

modernizando. Assim, é possível escrever-se uma nova história.

Maeder e sua obra deixam lições!

As palavras também viajam, emigram frequentemente de um

povo para outro e, quando não ultrapassam as fronteiras de um

Estado ou os limites da língua em que se formaram, atravessam

as classes e os grupos sociais, colorindo-se de “tonalidades

provenientes ou da mentalidade particular dos grupos,

coexistentes no interior de uma sociedade, ou do gênio do povo

a cuja língua se transferiram.

Fernando de Azevedo

distintas que nelas se fixam e acabam por lhes aderir”, e são

378

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____. Álgebra elementar – 1ª parte. Curitiba: Typ. João Haupt e Cia., 1931.

_____. O conceito do número. These de concurso para lente catedrático de aritmética e

álgebra do Externato do Ginásio Paranaense. Curitiba: Typ. João Haupt e Cia., 1927.

e Cia., 1928.

_____. Álgebra elementar – 2ª parte. 2ª ed. Curitiba: Typ. João Haupt e Cia., 1931.

_____. Álgebra elementar – 3ª ed. Curitiba: Typ. João Haupt e Cia., 1933.

382

_____. Resolução e discussão das equações dos primeiro e segundo graus a uma

incógnita. Tese de concurso para lente catedrático de aritmética e álgebra do Externato

o Ginásio Paranaense. Curitiba-PR: Typ. João Haupt e Cia., 1927.

rie). São Paulo: Edições Melhoramentos,

934.

o (1ª. série) – 10ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1942.

aulo: Edições Melhoramentos,

935.

s de matemática – 2º. ano (2ª. série) – 8ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1942.

tica – 3º. ano (3ª. série). São Paulo: Edições Melhoramentos,

936.

série) – 7ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1942.

4º. ano (4ª. série). São Paulo: Edições Melhoramentos,

937.

es de matemática – 4º. ano (4ª. série) – 4ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 19--.

938.

de matemática – 5º. ano (5ª. série) – 4ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1942.

ções

elhoramentos, 1943.

inasial – 10ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1950.

_____. Lições de matemática – 1º. ano (1ª. sé

_____. Lições de matemática – 1º. an

_____. Lições de matemática – 2º. ano (2ª. série). São P

_____. Liçõe

_____. Lições de matemá

_____. Lições de matemática – 3º. ano (3ª.

_____. Lições de matemática –

_____. Liçõ

_____. Lições de matemática – 5º. ano (5ª. série). São Paulo: Edições Melhoramento

_____. Lições

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso ginasial. São Paulo: Edi

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso g

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso ginasial – 11ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1952.

383

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso ginasial – 17ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1957.

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso ginasial – 18ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1958.

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso ginasial – 19ª ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 19--.

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso ginasial – 20ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1960.

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso ginasial – 21ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1961.

. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1962.

1951.

____. Curso de matemática – 2ª. série – curso ginasial - 17ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1958.

_____. Curso de matemática – 2ª. série – curso ginasial - 18ª. ed. São Paulo: Edições

____. Curso de matemática – 2ª. série – curso ginasial - 19ª. ed. São Paulo: Edições

Edições

elhoramentos, 1961.

o: Edições

elhoramentos, 1944.

_____. Curso de matemática – 1ª. série – curso ginasial – 22ª. ed

_____.Curso de matemática – 2ª. série – curso ginasial. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1943.

_____. Curso de matemática – 2ª. série – curso ginasial - 9ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos,

_____. Curso de matemática – 2ª. série – curso ginasial - 10ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1952.

_____. Curso de matemática – 2ª. série – curso ginasial - 15ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1956.

Melhoramentos, 1959.

Melhoramentos, 1960.

_____. Curso de matemática – 2ª. série – curso ginasial - 20ª. ed. São Paulo:

_____. Curso de matemática – 3ª. série – curso ginasial. São Paul

384

_____. Curso de matemática – 3ª. série – curso ginasial – 8ª. ed. São Paulo: Edições

ão Paulo: Edições

elhoramentos, 1953.

Curso de matemática – 3ª. série – curso ginasial – 10ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1953.

ática – 3ª. série – curso ginasial – 17ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1961.

Curso de matemática – 3ª. série – curso ginasial – 18ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1962.

4ª. série – curso ginasial. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1945.

Curso de matemática – 4ª. série – curso ginasial – 6ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1951.

ática – 4ª. série – curso ginasial – 7ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1953.

Curso de matemática – 4ª. série – curso ginasial – 13ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1959.

4ª. série – curso ginasial – 14ª .ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1962.

Curso de matemática – 1ª. série – ciclo colegial. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1946.

ática – 1ª. série (1º. livro) – ciclo colegial – 6ª. ed. São Paulo:

dições Melhoramentos, 1951.

ática – 1ª. série (1º. livro) – ciclo colegial – 11ª. ed. São Paulo:

dições Melhoramentos, 1957.

ática – 1ª. série (1º. livro) – ciclo colegial – 14ª. ed. São Paulo:

dições Melhoramentos, 1961.

ática – 1ª. série (1º. livro) – ciclo colegial – 15ª. ed. São Paulo:

dições Melhoramentos, 1962.

Melhoramentos, 1951.

_____. Curso de matemática – 3ª. série – curso ginasial – 9ª. ed. S

_____.

_____. Curso de matem

_____.

_____. Curso de matemática –

_____.

_____. Curso de matem

_____.

_____. Curso de matemática –

_____.

_____. Curso de matem

385

_____. Curso de matemática – 2ª. série (2.º livro) – ciclo colegial. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1947.

_____. Curso de matemática – 2ª. série (2º. livro) – ciclo colegial – 4ª. ed. São Paulo:

Edições Melhoramentos, 1951.

s, 1955.

, 195-.

, 1959.

, 19--.

, 1959.

ª. série – curso comercial básico – 3ª. ed. São Paulo: Edições

elhoramentos, 1959.

_____. Curso de matemática – 2ª. série (2º. livro) – ciclo colegial – 6ª. ed. São Paulo:

Edições Melhoramento

_____. Curso de matemática – 2ª. série (2º. livro) – ciclo colegial – 8ª ed. São Paulo:

Edições Melhoramentos

_____. Curso de matemática – 2ª. série (2º. livro) – ciclo colegial – 9ª. ed. São Paulo:

Edições Melhoramentos

_____. Curso de matemática – 3ª. série (3º. livro) – ciclo colegial. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1948.

_____. Curso de matemática – 3ª. série (3º. livro) – ciclo colegial – 3ª. ed. São Paulo:

Edições Melhoramentos

_____. Curso de matemática – 3ª. série (3º. livro) – ciclo colegial – 7ª. ed. São Paulo:

Edições Melhoramentos

_____. Matemática – 1ª. série – curso comercial básico. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1952.

_____. Matemática – 1ª. série – curso comercial básico – 3ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 19--.

_____. Matemática – 1ª. série – curso comercial básico – 6ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1961.

_____. Matemática – 1ª. série – curso comercial básico – 7ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1962.

_____. Matemática – 2ª. série – curso comercial básico. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1954.

_____. Matemática – 2ª. série – curso comercial básico – 2ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 195-.

_____. Matemática – 2

386

_____. Matemática – 2ª. série – curso comercial básico – 4ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1960.

_____. Matemática – 2ª. série – curso comercial básico – 5ª ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1961.

_____. Matemática – 2ª. série – curso comercial básico – 6ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1962.

_____. Matemática – 3ª. série – curso comercial básico. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1958.

_____. Matemática – 3ª. série – curso comercial básico – 2ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1960.

_____. Matemática – 3ª. série – curso comercial básico – 3ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1962.

_____. Matemática – 4ª. série – curso comercial básico. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1960.

_____. Matemática – 4ª. série – curso comercial básico – 2ª. ed. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1962.

_____.Tábua de logaritmos e formulário de matemática. São Paulo: Edições

Melhoramentos, 1937.

387

ANEXO I – CURRICULUM VITAE DE MAEDER FORNECIDO PELA FAMILIA

E ELABORADO POR ALGACYR MUNHOZ MAEDER EM 1969

388

389

390

391

ANEXO II – LIVROS DE MATEMÁTICA QUE ESTÃO NO ACERVO DA

AMÍLIA E QUE PERTENCERAM ALGACYR MUNHOZ MAEDER. F

refe

Esses livros pertencem ao acervo particular da família de Algacyr Munhoz MAEDER. Todas a

rências abaixo foram listadas pelo manuseio de cada um desses livros, porém algumas estão

incompletas.

ALMEIDA, Coronel Roberto Trompowsky Leitão. Licções de Geometria Algébrica

Rio de Janeiro: Imprensa Nacional, 1903.

ALVES, Sebastião Francisco. Álgebra Elementar. 5ª edição. Rio de Janeiro: Francisco

Alves, 1924.

ALZÁA, Fidencio de. Nociones de Álgebra Elemental – 1ª. parte – 5ª. edição. Buen

Aires: Libreria de A. Garcia Santos, 1926.

LLOT. Aritmética.

BALLORE, R. de Montessus de. Cours de Mathématiques. Paris: Gauthier-Villars, 1928.

BELL, Clifford & THOMAS, Tracy Y. Essentials of plane and spherical

trigonometry. New York: Henry Hold and Company, 1943.

BERZOLARI, L.; VIVANTI, G e GIGLI, D. Enciclopedia delle Matema

Elementari – volume II – parte 1. Milano: Ulrico Hoepli – Editore Libraio della Real

Casa, 1937.

BERZOLARI, L.; VIVANTI, G e GIGLI, D. Enciclopedia delle Matema

Elementari – volume II – parte 2. Milano: Ulrico Hoepli – Editore Libraio della Real

Casa, 1938.

BESSIÈRE, Gustave. Le Calcul integral facile et attrayant. Paris: Dunod, 1931.

BOARI, Federico. Elementi di Geometria. 2ª edição. Torino: Ditta Fratelli Pozzo,

1950.

BOMFIM, Léo. Mathematica – 5ª série. 2ª edição. São Paulo: Saraiva e Cia, 1937.

BOMFIM, Léo. Mathematica – 2ª série. 2ª edição. São Paulo: Saraiva e Cia, 1937.

BONOLA, Roberto. Geometrias no Euclidianas – Exposición histórico-crítica de su

sarrollo.

BAI

tiche

de Buenos Aires: Sebastián de Amorrotu e hijos, 1945.

BOURLET, Carlo. Leçons d’Algèbre élémentaire. Paris: Librairie Armand Colin, 1927.

392

BRAND, Walther; DEUTSCHBEIN, Marie. Introducción a la filosofia matemática.

Traducción del alemán. Tradução de Ledesma Ramos. Madrid: Revista de Occidente,

1930.

CAMPOU, P. de. Traité D’Algèbre élémentaire. Paris: Armand Colin et Cie, 1895.

CARNEIRO, B. Alves. Curso de Arithmetica Elementar. Rio de Janeiro: Livraria

Garnier, 1---.

COMBEROUSSE, Charles de. Cours D’Algèbre Supérieure. 10a edição. Paris:

Gauthier-Villars, 1890.

COMBEROUSSE, Charles de. Cours D’algèbre supérieure. Paris: Gauthier-Villars, 1904.

COMTE, D’Auguste. La Géométrie de René Descartes. Paris: Louis Bahl, 1894.

CUNHA, Haroldo Lisboa. Pontos de Álgebra complementar – teoria das equações

Rio de Janeiro: tipografia Alba, 1939.

ETCHEGOYEN, Enrique Luis. Derivadas e Integrales. 2ª edição. Buenos Aires:

orial Construcciones, 1951.

F.I.C. Elementos de Geometria Descriptiva com numerosos exercícios. Revistos e

adaptados a instrucção secundaria do Brazil pelo Dr. E. de B. Raja Gabaglia. Rio de

Janeiro: H. Garnier, 1---.

FIC. Elementos de Álgebra com numerosos exercícios. Revistos e adaptados à

instrucção secundaria do Brazil pelo Dr. Eugenio de Barros Raja Gabaglia. Rio de

Janeiro: Livraria Garnier, 1---.

FIC. Elementos de Geometria contendo noções sobre as curvas usuaes. Revistos e

adaptados à instrucção secundaria do Brazil pelo Dr. Eugenio de Barros Raja

Gabaglia. Rio de Janeiro: Livraria Garnier, 1---.

GALIOLI, Carlos; D’AMBROSIO, Nicolau. Matemática – primeira série – 8ª edição.

São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1948.

HESSENBERG, Gerhard. Trigonometría plana y esférica. 3ª edição. Barcelona:

Editorial Labor S/A, 1934.

Edit

LACROIX, S. F. Éléments de Géométrie. 26ª edição. Paris: Gauthier-Villars, 1912.

LEMGRUBER, Nicanor; PEIXOTO, Roberto. Matemática – curso ginasial – 1ª série.

Rio de Janeiro: Editora Minerva Ltda, 1944.

393

LISBOA, Almeida. Análise Combinatória.

MEDICI, Héctor J. & CABRERA, Emanuel S. Elementos de Aritmética y Álgebra. 5ª

edição. Buenos Aires: Tomas Palumbo, 1933.

MEDICI, Héctor J. & CABRERA, Emanuel S. Elementos de Geometria. 9ª edição.

uenos AireB s: Libéria de Garcia Santos,1933.

MONTEVERDE, Eduardo. Lecciones de Matemáticas – 3º ano. Montevideo: Librería

e A. Monteverde e Cia, 1923. d

MONTEVERDE, Eduardo. Lecciones de Matemáticas – 1º ano. Montevideo: Librería

e A. Montevd erde e Cia, 1926.

NICOLETTI, O. & SANSONE, G. Aritmetica e Álgebra per lê scuole medie

uperiori. Volume I. Società Editrice Dans te Alighieri. Città di Castello: Tipografia

della Casa Editrice S. Lapi, ????

PASTOR, J. Rey. Curso cíclico de Matemáticas – Cálculo Infinitesimal. 2ª edição.

adrid-Buenos Aires: Talleres Tipográficos, 1933. M

PHILIPPE, P.; DAUCHY, F. Problèmes et Exercices D’Arithmétique avec solutions.

aris: Dunod, 1924. P

PHILIPPE, P.; DAUCHY, F. Éléments d’algèbre. Paris: Dunod, 1925.

UINTELLAQ , Ary. Matemática – 3

ano. São Paulo: Companhia Editora Nacional,

1943.

REIS, Aarão. Curso Elementar de Matemática – Álgebra – 2º volume – 2ª edição.

io de JaneirR o: Livraria Garnier, 19--.

EIS, Aarão. Curso Elementar de Matemática – Álgebra – 1º volume – 2ª edR ição.

Rio de Janeiro: Livraria Garnier, 19---.

ÉUNR ION DE PROFESSEURS. Problèmes de Géometrie – Classe de

Mathématiques. Paris: Librairie Générale de L’enseignemente libre, 1---.

ROSATI, C. & BENEDETTI, P. Geometria – volume primo. Società Editrice Dan

lighieri. Città di Castello: Tipografia Leonardo da Vinci, 1948.

SEIFER, H.; THRELFALL. Lecciones de topologia. Madrid: Instituto Jorge Juan de

atematicas, 1951. M

394

ANEXO III – LOCALIZAÇÃO DAS ILUSTRAÇÕES NA COLEÇÃO LIÇÕES DE

MATEMÁTICA

LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 1ª. SÉRIE

ela localização nas páginas do correspondente livro.

As ilustrações mencionadas neste trabalho estão abaixo relacionadas por categoria

Categoria 2 – Desenhos que interpretam o real

250 250 254 255 256 258 258

Páginas (68 ilustrações):

214 214 215 215 216 216 217 217 217 217

225 225 226 226 226

226 226 227 227 228 228 228 228 228 228

263 263 264 264

3 5 8 14 17 19 21

28 33 34 45 47 48 48 50 50 51

138 141 141 146 146 149

150 150 151 152 158 159 159 161 168 171

67 267 269 270

270 271 271 272 272 273 275 277 278 278

ategoria 5 – Gráficos

15 316 317 317 317 318 318

318 320 322 323 324 324 325 326 326 327

Páginas (10 ilustrações):

246 250 250

Categoria 3 – Desenhos que representam abstrações

92 92 211 211 211 211 212 212 213 213

218 219 220 220 221 221 222 223 223 223

223 224 224 224 225

229 229 229 231 251 253 260 260 261 261

261 262 262 263

Categoria 4 – Esquemas

Páginas (110 ilustrações):

2 3 3

51 53 55 64 75 75 77 77 77 78

78 80 114 117 117 117 120 125 129 130

130 135 136 138

172 190 190 191 191 192 196 197 197 233

234 234 236 237 240 243 243 243 244 244

248 251 253 253 255 257 2

279 279 284 332 345 346 346 346 349 350

Páginas (20 ilustrações):

313 314 315 3

395

LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 2ª. SÉRIE

livro.

As ilustrações mencionadas neste trabalho estão abaixo relacionadas por categoria e

pela localização nas páginas do correspondente

Páginas (13 ilustrações):

13 13 14 14 14 15 15 15 16 16

32 33 33 34 34 34

35 35 35 36 36 36 36 38 39 39

51 51 51

51 52 53 54 55 55 56 56 57 57

67 209 209 210 213 213 214

214 219 220 221 221 222 222 223 224 224

Páginas (30 ilustrações):

71 71 72 73 73 74 74 74 106 159

315 346 348 348 353

349 349 350 351 352 353 354 354 355

Categoria 2 – Desenhos que interpretam o re

24 37 37 38 38 45 216 235 235 236

237 238 239

Categoria 3 – Desenhos que representam abstrações

Páginas (119 ilustrações)

17 17 17 18 18 18 19 20 20 20

21 21 21 22 22 23 25 25 25 26

28 31 31 31

39 40 41 41 42 42 43 44 44 45

46 46 49 49 50 50 50

61 61 62 62 63 63 64 64 65 65

66 67 67

224 225 225 226 227 228 229 230 231

Categoria 4 – Esquemas

204 246 247 247 248 248 249 249 250 250

251 251 252 252 255

Categoria 5 - Gráficos

Páginas (9 ilustrações):

396

LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 3ª. SÉRIE

As ilustrações mencionadas neste trabalho estão abaixo relacionadas por categoria e

pela localização nas

páginas do correspondente livro.

Páginas (152 ilustrações):

34 204 205 206 206 207 207 208 210 215

220 220 221

224 224 226 227 227 228

7 258 259

5 266 267

26 328

30 331 332 333 335 335 336 337 337 338

Categ

Categoria 3 – Desenhos que representam abstraçõe

217 217 217 218 218 219 219

221 222 223 223

229 230 231 231 232 233 234 235 237 238

40 240 241 242 242 243 243 244 245 246 2

252 252 253 254 255 256 257 25

264 264 265 26260 260 261 262

269 270 270 270 271 272 272 273 273 274

275 276 277 277 278 278 278 279 280 281

281 282 283 284 285 285 286 286 286 287

288 289 290 290 291 292 292 293 293 294

294 295 305 306 306 308 309 310 311 311

312 313 314 315 316 318 319 319 320 321

321 322 322 323 324 325 325 326 3

339 340

oria 4 – Esquemas

Páginas (35 ilustrações):

27 33 38 39 115 115 116 116 118 118

119 122 123 125 127 129 178 178 211 212

212 213 214 216 216 297 297 298 298 299

300 301 302 303 304

Cat oria 5 – Gráficos

Páginas (14 ilustrações):

121 123 124 124 126 127 128 128 129 177

178 179 194 195

397

LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 4ª. SÉRIE

As ilustrações mencionadas neste trabalho estão abaixo relacionadas por categoria e

pela localização nas páginas do correspondente livro.

Categoria 2 – Desenhos que interpretam o real

Página (1 ilustração):

280

Cat ria 3 – Desenhos queg e representam abstrações

1 132 133

247 247 250 252 252 253 254 254 254 255

257 257 259 259 260 260 260

264 265 265 266 266 267

18 318 319 319 329 331

Categ

32 74 81 82 83 84 97 102 103 103

104 245 296 298 299 299 300 301 302 303

305 307 317 327 331

ategoria 5 – Gráficos

Páginas (5 ilustrações) :

80 81 299 301 303

Páginas (209 ilustrações):

127 128 129 13 124 124 125 125

134 135 136 138 139 140 141 142 142 144

147 148 150 151 157 164 167 168 169 170

170 171 172 173 174 175 176 177 179 182

183 183 185 185 186 188 188 189 189 192

192 193 193 193 193 194 194 195 195 195

196 197 197 198 199 200 200 201 202 202

203 203 204 204 205 206 206 206 207 207

208 208 208 210 211 211 212 212 213 213

214 215 216 216 217 217 217 218 220 220

220 221 223 223 227 228 228 229 230 230

230 231 231 233 235 235 236 236 238 239

240 241 245 245 245 245 245 246 246 2

255 256 256

261 261 262 264

270 271 271 272 273 274 275 276 277 277

277 278 278 279 280 280 281 282 283 283

284 284 285 285 287 289 289 290 290 290

293 293 294 294 294 294 295 293 293 293

3 295 295 296

oria 4 – Esquemas

Páginas (25 ilustrações):

398

LIÇÕES DE MATEMÁTICA – 5ª. SÉRIE

xo relacionadas por categoria e

pela localização nas páginas do correspondente livro.

As ilustrações mencionadas neste trabalho estão abai

Categ rpretam o real

ções):

8 10 76 77 78 84 168 174 177

Categ

oria 2 – Desenhos que inte

Página (1 ilustração):

167

Cat oria 3 – Desenhos que representam abstrações

Páginas (73 ilustrações):

22 24 26 27 31 34 35 36 36 39

41 45 52 162 164 166 242 243 243 243

243 243 244 244 245 246 247 248 249 250

253 256 257 258 259 261 263 266 267 268

268 269 272 273 274 275 277 277 278 281

282 283 284 285 287 288 289 291 292 295

296 296 297 298 299 300 302 303 304 305

305 312 314

Cat oria 4 – Esquemas

Páginas (10 ilustra

oria 5 – Gráficos

Páginas (21 ilustrações):

110 117 118 156 173 175 178 212 225 228

230 235 238 239 307 309 311 312 313 313

315

399

ANEXO IV – INFO R QUE FORAM

ORNECIDAS PELA EDIÇOES MELHORAMENTOS.

RMAÇÕES SOBRE OS LIVROS DE MAEDE

Os dados abaixo foram enviados pela Editora Melhoramentos por e-mail em14 de

Julho de 2006.

BIBLIOTECA

EDITORA MELHORAMENTOS – JUL/2006

RELAÇÃO DAS OBRAS DE ALGACYR MUNHOZ MAEDER

(publicadas pela Melhoramentos)

título: CURSO DE MATEMATICA: 1.LIVRO - CICLO COLEGIAL

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15

dat mai/1946; mar/1947; mar/1948; mar/1949; mar/1950; mar/1951;

mar 53; dez/1953; jul/1954; jan/1956; dez/1956; jan/1958; mar/1959

nov/1960; fev/1962

título: CURSO DE MATEMATICA: 2.LIVRO - CICLO COLEGIAL

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

dat ABR/1947; MAI/1948; JUN/1949; MAR/1951; DEZ/1953; FE

NOV/1956; JAN/1958; FEV/1959; FEV/1962

título: CURSO DE MATEMATICA: 3.LIVRO - CICLO COLEGIAL

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

data: ago/1948; abr/1949; fev/1951; abr/1954; abr/1955; abr/1957; ma

fev/1962

título: CURSO DE MATEMATICA: 1.SERIE - CURSO GINASIAL

edi : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17;

20; 21; 22

data: MAR/1943; FEV/1944; JUN/1944; MAR/1945; FEV/1946; DE

FEV 48; DEZ/1949; DEZ/1949; OUT/1950; MAR/1952; DEZ/

/19 ;

a: V/1955;

r/1959;

ção 18; 19;

Z/1946;

/19 1952; ABR/1953;

EV/1954; JAN/1955; JAN/1956; FEV/1957; NOV/1957; FEV/1959; FEV/1960;

título: CURSO DE MATEMATICA: 2.SERIE - CURSO GINASIAL

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19;

R/1948;

/19 /1952; JAN/1953; MAR/1953; FEV/1954;

JAN/1955; MAR/1956; JAN/1957; JAN/1958; JAN/1959; FEV/1960; DEZ/1960;

título: CURSO DE MATEMATICA: 3.SERIE - CURSO GINASIAL

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18

ata: FEV/1944; AGO/1944; MAR/1946; MAR/1947; FEV/1949; JAN/1950;

ET/1950; JAN/1952; JAN/1953; ABR/1953; FEV/1954; OUT/1954; NOV/1955;

MAR/1957; FEV/1958; FEV/1959; DEZ/1960; JAN/1962

NOV/1960; JAN/1962

20; 21

data: OUT/1943; ABR/1944; MAR/1945; ABR/1946; DEZ/1946; AB

ABR 49; MAR/1950; FEV/1951; FEV

JAN/1962

400

título: CURSO DE MATEMATICA: 4.SERIE - CURSO GINASIAL

edição: 1; 2; 3;

data: JAN/19 /1950; FEV/1951;

ABR/1953; ABR/1954; FEV/1955; JAN/1956; FEV/1957; JAN/1958; FEV/1959;

edição: 1

ata: fev/1942

edição

data: mar/1935; ?; 1940; abr/1942

data: fev/1936; 1937; abr/1942

data:

ção 7

data: ABR/1952; FEV/1954; FEV/1957; ABR/1958; JUN/1959; DEZ/1960;

ata: DEZ/1954; MAR/1957; OUT/1958; NOV/1959; DEZ/1960; FEV/1962

- CURSO COMERCIAL BASICO

ata: MAR/1970; FEV/1962

ítulo: TABUAS DE LOGARITIMOS E FORMULARIO DE MATEMATICA

dição: 1; 2

ata: dez/1937; 1943

OTA: O arquivo da Editora não possui todos os exemplares. Os dados das

dições e datas correspondem as informações que estão no nosso sistema.

4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14

45; MAR/1946; MAR/ 947; AGO/1948; FEV1

FEV/1962

título: LICOES DE MATEMATICA: 1.ANO - 1.SERIE

título TICA: 2.ANO - 2.SER: LICOES DE MATEMA

: 1; 2; 6; 8

título: LICOES DE MATEMATICA: 3.ANO - 3.SERIE

edição: 1; 2; 7

título: LICOES DE MATEMATICA: 4.ANO - 4.SERIE

edição: 1; 5

abr/1937; jan/1942

título: LICOES DE MATEMATICA: 5.ANO - 5.SERIE

edição: 1; 4

data: fev/1939; abr/1942

título: MATEMATICA: 1.SERIE - CURSO COMERCIAL BASICO

edi : 1; 2; 3; 4; 5; 6;

FEV/1962

título: MATEMATICA: 2.SERIE - CURSO COMERCIAL BASICO

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6

ítulot : MATEMATICA: 3.SERIE

edição: 1; 2; 3

data: DEZ/1958; NOV/1959; FEV/1962

título: MATEMATICA: 4.SERIE - CURSO COMERCIAL BASICO

edição: 1; 2

401

Os dados abaixo foram enviados pela Editora Melhoramentos por e-mail em 2 d

Junho de 2005.

RELAÇÃO DAS OBRAS DE ALGACYR MUNHOZ MAEDER

(título, edição, tiragem e data)

ítulo: CURSO DE MATEMÁTICA: 1ª SÉRIE

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17;

1; 22

ragem: 5000; 5000; 5000; 10000; 12000; 15000; 10000; 16500; 20500;

25000;

5000; 20000; 20000; 20000; 25000; 30000; 20000; 30000; 20000;10000;

10000; 9000

ta/publ.: MAR/1943; FEV/1944; JUN/1944; MAR/1945; FEV/1946; DEZ/1946;

V/1948; DEZ/1949; DEZ/1949; OUT/1950; MAR/1952; DEZ/1952 ;ABR/1953;

V/1954; JAN/1955; JAN/1956; FEV/1957; NOV/1957;

FEV/1959; FEV/1960;

3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17;

; 19;

20; 21

; 20000; 20000; 20000; 10000;5000;

; MAR/1945; ABR/1946; DEZ/1946; ABR/1948;

MAR/1956; JAN/1957; JAN/1958; JAN/1959; FEV/1960; DEZ/1960;

/1962

10000; 5000; 4000

; DEZ/1953; JUL/1954; JAN/1956; DEZ/1956; JAN/1958;

MAR/1959;

ição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

18; 19;20; 2

NOV/1960; JAN/1962

título: CURSO DE MATEMÁTICA: 2ª SÉRIE

edição: 1; 2;

tiragem: 5500; 6000; 10000; 10000; 15000; 15000; 10500; 10000; 15000;

5000;15000; 18000; 20000; 25000; 15000

data/publ.: OUT/1943; ABR/1944

ABR/1949; MAR/1950; FEV/1951; FEV/1952; JAN/1953; MAR/1953; FEV/1954;

JAN/1955;

JAN

título: CURSO DE MATEMÁTICA: 1ª SÉRIE CICLO COLEGIAL

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15

tiragem: 3000; 5000; 5000; 6000; 10000; 10000; 10000; 10000; 12000;

000;

12000; 12000;

data/publ.: MAI/1946; MAR/1947; MAR/1948; MAR/1949; MAR/1950; MAR/1951;

MAR/1953

NOV/1960; FEV/1962

título: CURSO DE MATEMÁTICA: 2ª SÉRIE CICLO COLEGIAL

tiragem: 5000; 5000; 10000; 10000; 10000; 10000; 8000; 10000; 8000;

3000

402

data/publ.: ABR/1947; MAI/1948; JUN/1949; MAR/1951; DEZ/1953;

ição: 8

LIVRO - CICLO COLEGIAL

ragem: 5000; 6000; 6000; 8000; 10500; 6000; 8000; 3000

AGO/1948; ABR/1949; FEV/1951; ABR/1954; ABR/1955;

SO GINASIAL

: 1962

IAL

17; 18

; 15000; 6000; 9000;

; 18000; 6000; 5000

FEV/1949; JAN/1950;

1952; JAN/1953; ABR/1953; FEV/1954; OUT/1954; NOV/1955;

DEZ/1960; JAN/1962

5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14

ragem: 10000; 10000; 11000; 12000; 12000; 20000; 12000; 3000; 20000;

ata/publ.: JAN/1945; MAR/1946; MAR/1947; AGO/1948; FEV/1950;

EV/1951;ABR/1953; ABR/1954; FEV/1955; JAN/1956; FEV/1957;

AN/1958;FEV/1959; FEV/1962

ítulo: LICOES DE MATEMÁTICA

dição: 1; 2; 7

FEV/1955;NOV/1956; JAN/1958; FEV/1959; FEV/1962

título: CURSO DE MATEMÁTICA : 3ª SÉRIE CICLO COLEGIAL

tiragem: 3000

data/publ.: 1962

título: CURSO DE MATEMÁTICA: 3ª

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

data/publ.:

ABR/1957;MAR/1959; FEV/1962

título: CURSO DE MATEMÁTICA : 1ª SÉRIE CUR

edição: 22

tiragem: 9000

data/publ.

título: CURSO DE MATEMÁTICA: 3ª SÉRIE CURSO GINAS

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16;

tiragem: 500

0; 10000; 10000; 15000; 14000; 12000

3000;

20000; 20000; 26000; 15000; 12000

data/publ.: FEV/1944; AGO/1944; MAR/1946; MAR/1947;

SET/1950; JAN/

MAR/1957; FEV/1958; FEV/1959;

título: CURSO DE MATEMÁTICA: 4ª SÉRIE CURSO GINASIAL

edição: 1; 2; 3; 4;

15000; 18000; 10000; 15000; 5000

403

tiragem: 18000; 3000data/publ.: FEV/1936; 1937; ABR/1942

título: LICOES DE MATEMÁTICA : 1º ANO - 1A SÉRIE

edição: 1

tiragem: 3000

data/publ.: FEV/1942

título: LICOES DE MATEMÁTICA: 2º ANO - 2A SÉRIE

; 6; 8

data/publ.: MAR/1935; 1940; ABR/1942

título: LICOES DE MATEMÁTICA: 5º ANO - 5ª SÉRIE

tiragem: 9000; 3000

título: MATEMÁTICA: 1ª SÉRIE CURSO COMERCIAL BASICO

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

tiragem: 3000; 4000; 5000; 5000; 5000; 5000; 4000

FEV/1957; ABR/1958; JUN/1959;

DEZ/1960;FEV/1962

edição: 1; 2; 3; 4; 5; 6

tiragem: 3000; 5000; 5000; 5000; 4000; 3000

data/publ.: DEZ/1954; MAR/1957; OUT/1958; NOV/1959; DEZ/1960; FEV/1962

o: MATEMÁTICA : 3ª SÉRIE CURSO COMERCIAL BASICO

edição: 1; 2

tiragem: 21000; 3000

título: LICOES DE MATEMÁTICA: 4º ANO - 4A SÉRIE

edição: 1; 5

tiragem: 12000; 3000

data/publ.: ABR/1937; JAN/1942

edição: 1; 4

data/publ.: FEV/1939; ABR/1942

data/publ.: ABR/1952; FEV/1954;

título: MATEMÁTICA: 2ª SÉRIE CURSO COMERCIAL BASICO

títul

404

edição: 1; 2; 3

tiragem: 5000; 5000; 3000

data/publ.: DEZ/1958; NOV/1959; FEV/1962

título: MATEMÁTICA : 4ª SÉRIE CURSO COMERCIAL BASICO

edição: 1; 2

tiragem: 5000; 3000

data/publ.: MAR/1970; FEV/1962

título: TABUAS DE LOGARITIMOS E FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA

edição: 1; 2

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tiragem: 3000; 3000

data/publ.: DEZ/1937; 1943

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405

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