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Afonso Henriques Silva Leite
CÁLCULO DA FUNÇÃO DIELÉTRICA
EM POÇOS QUÂNTICOS PARA
OBTENÇÃO DO ESPECTRO DE
ESPALHAMENTO RAMAN
RESSONANTE
Campo Grande - MS
Julho 2009
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Afonso Henriques Silva Leite
CÁLCULO DA FUNÇÃO DIELÉTRICA
EM POÇOS QUÂNTICOS PARA
OBTENÇÃO DO ESPECTRO DE
ESPALHAMENTO RAMAN
RESSONANTE
Dissertação apresentada ao Departamento
de Física da Universidade Federal de Mato
Grosso do Sul como parte dos requisitos para
a obtenção do título de Mestre em Física
Aplicada.
Orientador:
Prof. Dr. Antonio dos Anjos Pinheiro da Silva
Campo Grande - MS
Julho 2009
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Dissertação entitulada Cálculo da função dielétrica em poços quânticos para obtenção
do espectro de espalhamento Raman ressonante, defendida por Afonso Henriques Silva
Leite e aprovada em 31 de Julho de 2009 na cidade de Campo Grande - MS, Universidade
Federal de Mato Grosso do Sul, Departamento de Física, pela seguinte banca examinadora:
Prof. Dr. Antonio dos Anjos P. da Silva
Universidade Federal de Lavras
Orientador
Prof. Dr. João Vítor Batista Ferreira
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Prof. Dr. Adriano Manoel dos Santos
Universidade Estadual de Mato Grosso do
Sul
Aos meus pais.
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao professor Antônio, pela infinita paciência com a qual lidou com este
teimoso quieto.
Agradeço ao professor João Vítor pelas sábias palavras com que conteve meus acessos
de tristeza, e desânimo.
Agradeço aos meus parentes que me apoiaram em todos os momentos, aos meus
amigos de mestrado, e a todos que de alguma forma colaboraram para a confecção desta
dissertação.
Agradeço também ao apoio financeiro da CNPq.
RESUMO
Investigou-se neste trabalho o comportamento das partes real e imaginária da função
dielétrica em poços quânticos, assim como o espectro do espalhamento Raman ressonante
nestes sistemas.
Foi deduzida uma expressão analítica para a função dielétrica em sistemas quasi-2D,
e então ela foi aplicada em um poço quântico, separando-se as partes real e imaginária.
Foram obtidas curvas para diversos conjuntos de parâmetros de um poço quântico de
GaAs relativas a função dielétrica, e ao espectro do espalhamento Raman ressonante.
Verificou-se que a variação dos parâmetros não modifica o comportamento das funções,
apenas promove a amplificação das escalas, e deslocamentos dos picos. As curvas do
espectro Raman ressonante se revelaram muito distintas de resultados da literatura, o que
pode ter ocorrido pela incapacidade do software usado em executar cálculos numéricos
com a precisão necessária.
ABSTRACT
In this work, the behavior of real and imaginary parts of dielectric function was
investigated, as well was the resonant Raman scattering in these systems.
An analitycal dielectric function expression was determined in quasi-2D systems, and
then it was applied in a quantum well, separating its real and imaginary parts. Curves were
obtained for different sets of an GaAs quantum well parameters related to the dielectric
function, and to the resonant Raman scattering.
It was found that the parameters variation didn’t modify the functions behavior, it just
promoted the scale magnification and the curve peaks. The resonant Raman scattering
curves revealed themselves very different from results found in literature, what should
have happenned because the software used was unable to perform numerical calculus
with the necessary precision.
LISTA DE FIGURAS
1 Célula cúbica imaginária inserida no material para o cálculo da polariza-
ção do meio. O comprimento da aresta é tal que pode ser desprezado se
comparado à escala macroscópica; mas não deixa de ser um tamanho es-
tatisticamente significativo: os problemas decorrentes da natureza discreta
da matéria são contornados quando se calcula médias sobre regiões com
esta dimensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Polarização não homogênea das cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Interface entre dois semicondutores de GaAs e AlAs. O círculo vazio rep-
resenta o As, círculos azuis representam o Ga e círculos cinzas o Al. A
estrutura cristalina de ambos os materias é do tipo blenda de zinco, fcc
com uma base de dois heteroátomos. A cosntante da rede é muito similar,
minimizando a existência de defeitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Dois semicondutores distintos quando unidos para formar uma hetero-
junção apresentam lacunas de bandas diferentes. As curvas representam o
movimento irrestrito paralelo a superfície da junção. . . . . . . . . . . . . . 32
5 Há diversas heteroestruturas, dependentes dos materiais que a formam, e
de como elas são construídas. Em (a), ilustra-se um poço quântico duplo
classificado como simétrico de tipo I. Em (b), um poço quântico escalon-
ado ou assimétrico tipo I, obtido pela inclusão entre eles de uma liga dos
dois semicondutores que o compõe. Em (c), poços quânticos múltiplos,
ou uma super-rede, dependendo do afastamento e portanto da influência
que um poço tem sobre outro. Em (d), e (e), ilustra-se a diferença entre
heteroestruturas do tipo I e II. Os círculos azuis representam elétrons, e
os vazios os buracos; ressaltando que eles devem se concentrar nos poços
devido a minimização da energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Seção transversa de um transistor de alta mobilidade eletrônica (high-
electron mobility transistor, HEMT), baseado em modulação dopada. Note
onde se encontra o sistema estudado, o gás de elétrons 2D. . . . . . . . . . 42
7 Em (a): Representação esquemática das relações de dispersão e da estru-
tura de sub-bandas que o confinamento na direção z imprime. Em (b):
esquematização do poço quântico tipo I de AlGaAs/GaAs/AlGa/As. Os
índices c e b indicam elétrons de condução e buracos, e L representa a
largura do poço. Por que há uma diferença nas magnitudes das descon-
tinuidades ∆E
c
e ∆E
b
ainda não está compreendido. . . . . . . . . . . . . 42
8 Dependência de {ε
11mm
(
q, ω
)
} em relação à frequência da perturbação
ω. Parâmetros: T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, q = 10
3
cm
−1
e L
P Q
= 50nm.
A função dielétrica é adimensional, assim como suas partes real e imag-
inária. Portanto, o sistema de unidades e as próprias unidades usadas para
o cálculo são arbitrárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9 {ε
11mm
(
q, ω
)
} em função de ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, q =
10
4
cm
−1
e L
P Q
= 50nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10 {ε
11mm
(
q, ω
)
} em função de ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, q =
10
5
cm
−1
e L
P Q
= 50nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, nos
casos em que o vetor de onda da perturbação assume valores de 10
3
, 10
4
e
10
5
cm
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
12 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
QW
= 50nm e
q = 10
4
cm
−1
. Conforme o previsto na literatura (CERDEIRA et al., 1992),
tal função é ímpar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm e
q = 10
3
, 10
4
e 10
5
cm
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
3
cm
−1
a
diferentes temperaturas de T = 300K e T = 50K. . . . . . . . . . . . . . . 81
15 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para T = 50K, D = 10
12
cm
−2
, L
QW
= 50nm e
q = 10
3
, 10
4
e 10
5
cm
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
16 {ε
1111
(
q, ω
)
} × ω para D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm e q = 10
3
cm
−1
a
temperaturas de T = 300K e T = 50K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
17 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para T = 50K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm e q =
10
3
, 10
4
, e 10
5
cm
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
18 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para L
QW
= 50nm, D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
3
cm
−1
nas temperaturas de T = 50K e T = 20K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
19 {ε
11mm
(
q, ω
)
} em função da frequência, para L
QW
= 50nm, D = 10
12
cm
−2
,
e q = 10
3
cm
−1
nas temperaturas de T = 50K e T = 20K. . . . . . . . . . . 86
20 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para L
QW
= 50nm, T = 50K, q = 10
4
cm
−1
nas
densidades D = 10
12
cm
−2
, D = 10
11
cm
−2
e D = 10
10
cm
−2
. . . . . . . . . . 87
21 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para L
QW
= 50nm, T = 50K, q = 10
4
cm
−1
nas
densidades D = 10
12
cm
−2
, D = 10
11
cm
−2
e D = 10
10
cm
−2
. . . . . . . . . . 88
22 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω para D = 10
12
cm
−2
, T = 50K, q = 10
4
cm
−1
nas
larguras L
QW
= 100, 50, 40, e 20nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
23 {ε
11mm
(
q, ω
)
} × ω D = 10
12
cm
−2
, T = 50K, q = 10
4
cm
−1
nas larguras
L
P Q
= 100, 50, 40, e 20nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
24 G
21
(
q, ω
)
vs. ω plotada com o conjunto de parâmetros T = 300K, L
P Q
=
50nm, D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
4
cm
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
25 F
21
(
q, ω
)
x ω, plotada com o conjunto de parâmetros T = 300K, L
P Q
=
50nm, D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
4
cm
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
26 S
21
(
q, ω
)
em função da frequência escalonada
ω
ω
0
para os mesmos parâmet-
ros, T = 300K, L
P Q
= 50nm, D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
4
cm
−1
. . . . . . . . . 94
27 Espectro do espalhamento Raman ressonante em função da frequência
escalonada
ω
ω
0
para o conjunto de parâmetros T = 300K, L
P Q
= 50nm,
D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
4
cm
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
28 G
21
(
q, ω
)
, F
21
(
q, ω
)
, e S
21
(
q, ω
)
obtida por Luzzi e Silva. Nota-se que a
função G
21
(
q, ω
)
apresenta quatro raizes, que se manifestarão depois na
seção de espalhamento como quatro bandas correspondentes a quatro tipos
de excitações elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
29 Espectro do Espalhamento Raman Ressonante, obtido por Luzzi e Silva.
As quatro bandas destacadas correspondem a excitação inferior de den-
sidades de carga coletivas, (EDC
−
), em ω
EDC
−
= 0.546ω
0
, duas bandas
sobrepostas correspondentes a excitações de partícula única (PU
±
) cen-
tradas em ω
P U
−
= 0.992ω
0
e ω
P U
+
= 1.007ω
0
; e uma quarta banda não
ilustrada relacionada a uma excitação superior de densidades de carga co-
letiva (EDC
+
) em ω
EDC
+
= 7.380ω
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
30 Função G
21
(
q, ω
)
em função da frequência, obtida a partir da equação 127,
para os parâmetros: T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm e q = 10
4
cm
−1
. 98
31 Espectro do espalhamento Raman ressonante obtido com a modificação na
função F
21
(
q, ω
)
explicitada na equação 127. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
32 G
21
(
q, ω
)
× ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q =
10
5
cm
−1
. Note que apresentam-se uma depressão e uma saliência, resultado
distinto do encontrado para a função correspondente na figura 36, com duas
depressões e uma saliência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
33 F
21
(
q, ω
)
×ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
.
O comportamento desta curva é similar ao da sua correspondente na figura
36, mas o pico está deslocado. Isto não representa grandes problemas por
causa das unidades diferentes usadas nos gráficos. . . . . . . . . . . . . . . 101
34 S
21
(
q, ω
)
×ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
.
O comportamento é similar, mas não idêntico, por que esta curva se ap-
resenta simétrica, o que não ocorre com sua correspondente da figura 36.
Desta vez, a diferença na posição e amplitude do pico em relação a curva
correspondente é relevante por que estas funções são adimensionais, e even-
tuais diferenças introduzidas pelos sistemas de unidades diferentes deveriam
desaparecer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
35 Espectro do espalhamento para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm,
e q = 10
5
cm
−1
. Comportamento bem diferente em relação ao espectro
correspondente na figura 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
36 Funções G
21
(
q, ω
)
, F
21
(
q, ω
)
, S
21
(
q, ω
)
obtidas após Luzzi e Silva, no
caso em que são considerados os parâmetros T = 300K, D = 10
12
cm
−2
,
L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
. Neste caso, a função G
21
(
q, ω
)
não possui
zeros, mas apresenta um comportamento similiar ao do caso q = 10
4
cm
−1
,
com duas depressões e uma saliência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
37 Espectro do espalhamento Raman ressonante para os parâmetros T =
300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
. Há duas bandas
centradas na posição aproximada das duas bandas esperadas devido a exci-
tações de partícula única. As bandas correspondentes à excitações coletivas
não foram observadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
38 Ilustração do sistema de coordenadas inicial adotado para a resolução da
transformada de Fourier 3D de
1
|R−R
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
39 Representação das mudanças do sistema de coordenadas que possibilitam
a resolução da integral representada na equação 130. . . . . . . . . . . . . 113
SUMÁRIO
1 Fundamentação Teórica 15
1.1 A Constante Dielétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 O Tensor Dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Excitações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Contribuição dos Plasmons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 A Função Dielétrica de Lindhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Aproximações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 O Espalhamento Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Sistemas Quânticos Quase-2D 37
2.1 Aproximação de Massa Efetiva e Função Envelope . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Quantização em Sistemas de Heterojunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D . . . . . . . . . . . . 43
3 Cálculo da Função Dielétrica em Poços Quânticos 51
3.1 Cálculo da Função Dielétrica de Sistemas Quase-2D . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Determinação da Parte Real da Função Dielétrica . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Cálculo da Integral I
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 Integração de I
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Determinação da Parte Imaginária da Função Dielétrica . . . . . . . . . . . 62
3.3.1 Resolução da Integral I
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.2 Cálculo da Integral I
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Obtenção da Seção de Espalhamento Raman Ressonante 66
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Espalhamento Raman Ressonante em Poços Quânticos Simples . . . . . . . 68
4.3 Regime Não Degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Cálculo da Seção de Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Resultados 74
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante . . . . . . . . . . . 90
6 Conclusões 107
Apêndice A -- Demonstração da Convolução da Densidade de Corrente 110
Apêndice B -- Demonstração da Relação Tensorial entre o Tensor Dielétrico
e a Condutividade 111
Apêndice C -- Transformada de Fourier 3D de
1
|R−R
|
112
Apêndice D -- Dedução do Termo b
k+q,n
(
t
)
115
Apêndice E -- Cálculo do limite lim
t
0
→∞
b
k+q,n
(
t
)
116
Apêndice F -- Dedução da Densidade 117
Apêndice G -- Dedução do Potencial Eletrostático 118
Apêndice H -- Cálculo do Elemento de Matriz V
ind
mm
k
x
− k
x
119
Apêndice I -- Normalização da Função de Distribuição 120
Apêndice J -- Prova da Identidade lim
ε→0
f(x)
x±iε
= P
f(x)
x
∓ iπδ
(
x
)
f
(
x
)
. 122
Apêndice K -- Determinação do Domínio de Convergência das Integrações
em θ 124
15
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo, são apresentados conceitos básicos que introduzem os assuntos trata-
dos nos capítulos posteriores, a função dielétrica, heteroestruturas semicondutoras e o
espalhamento Raman.
Nesta seção, apresenta-se uma introdução a respeito da função dielétrica em sistemas
tridimensionais; a contribuição do fônon, e a função dielétrica de Lindhard, baseada no
método do campo autoconsistente, SCF.
Excitações elementares são tratadas com brevidade, com o intuito de apresentar as
que são relevantes no estudo da função dielétrica.
1.1 A Constante Dielétrica
Quando um material dielétrico é colocado na presença de um campo elétrico, ele
se polariza. Este fenômeno surge de vários processos microscópicos. Dois deles serão
explicitados a seguir. Embora sejam diferentes, têm o mesmo efeito macroscópico:
Moléculas simétricas sem momentum de dipolo intrínseco são “esticadas” pela ação do
campo para adquirir um momentum de dipolo induzido, alinhado com o campo aplicado.
Moléculas com um momentum de dipolo intrínseco, chamadas de moléculas polares,
são orientadas preferencialmente na direção do campo aplicado.
As moléculas polares também sofrem o processo de alongamento, mas o efeito do ali-
nhamento é preponderante. O segundo caso depende da temperatura, pois na ausência do
campo, a agitação térmica promove a orientação aleatória das moléculas polares, e deixa
de existir um alinhamento líquido ao longo de uma direção privilegiada (com exceção de
materiais ferroelétricos). É interessante ressaltar: estes processos não são os únicos rear-
ranjos de cargas quando da aplicação de um campo externo a um material. Por exemplo:
em um cristal polar, cuja base apresenta dois tipos de átomos com eletronegatividade
bastante distinta, a aplicação de um campo externo oscilante no tempo pode provocar a
1.1 A Constante Dielétrica 16
excitação de fônons. Entretanto, as polarizações por alongamento e por alinhamento são
mais interessantes para introduzir o assunto, uma vez que são simples, e é relativamente
fácil relacioná-las à definição da função dielétrica do material.
O material polarizado é descrito pelo seu vetor momentum líquido de dipolo elétrico
por unidade de volume, conhecido como polarização P. Para evitar as complexas con-
siderações acerca do campo em escala microscópica, considera-se uma escala de tamanho
que possa ser desprezada se comparada à macroscópica, mas que ao mesmo tempo seja
estatisticamente significativa, e que torne a polarização uma função contínua da posição.
Isto permite burlar os problemas decorrentes da natureza discreta da matéria tratando o
sistema através de médias das quantidades relevantes no lugar delas próprias.
Então, seja p
0
o momentum de dipolo efetivo das moléculas que compõe o material,
e N(r) a densidade local de moléculas. É verdade que:
P
(
r
)
= p
0
(
r
)
N
(
r
)
.
Seja o espaço ocupado pelo dielétrico dividido em um grande número de células cúbi-
cas de aresta d, orientadas de forma a se alinharem com a direção local de P, e o tamanho
da célula condizente com a escala considerada nas médias que determinaram a polar-
ização. Então, substituindo os dipolos moleculares de cada célula por cargas fictícias q
distribuídas nas faces traseira e dianteira da célula (figura 1) de forma que elas produzam
o mesmo momentum de dipolo líquido do problema original, tem-se que:
q
d = P d
3
. (1)
Figura 1: Célula cúbica imaginária inserida no material para o cálculo da polarização do meio.
O comprimento da aresta é tal que pode ser desprezado se comparado à escala macroscópica;
mas não deixa de ser um tamanho estatisticamente significativo: os problemas decorrentes da
natureza discreta da matéria são contornados quando se calcula médias sobre regiões com esta
dimensão.
Em seguida, considere duas células adjacentes, a face em comum de ambas contem
1.1 A Constante Dielétrica 17
+q
de uma das células e −q
da outra. É claro que se P for espacialmente constante,
estas cargas se cancelam, e não haverá carga líquida exceto na fronteira macroscópica da
amostra dielétrica. Se, entretanto, P variar numa direção paralela a si próprio, conforme
sugerido na figura 2, as cargas não se cancelam exatamente.
Figura 2: Polarização não homogênea das cargas.
Seja por exemplo, P
(
r
)
= e
x
P
x
(
x
)
e considere as células centradas em x = 0 e x = d.
Então, da equação 1 conclui-se que:
q
(
0
)
= d
2
P
x
(
0
)
. (2)
A carga em x = d pode ser determinada por meio de uma expansão de Taylor da equação
2:
q
(
d
)
= d
2
P
x
(
0
)
+
∂P
x
∂x
0
d
. (3)
Subtraindo-se a equação 2 da equação 3, obtém-se:
∆q
= −
∂P
x
∂x
0
d
3
. (4)
Por uma generalização direta da equação 4 em outras direções, estabelece-se que os
dipolos moleculares, quando determinados através das células de dimensão d, são equiva-
lentes a uma densidade volumétrica de carga ρ
dada por:
ρ
=
∆q
d
3
= −∇ · P. (5)
Em um meio dielétrico, é conveniente distinguir entre cargas livres, e cargas ligadas
ou polarizadas. As primeiras são fundamentalmente o agente que produz a última em
um meio dielétrico, mas ambas são fontes do campo elétrico resultante. Se denotarmos
as densidades destes dois tipos de cargas por ρ
f
e ρ
b
respectivamente, a lei de Gauss se
escreve da seguinte forma:
∇ · E = 4π
(
ρ
f
+ ρ
b
)
. (6)
1.1 A Constante Dielétrica 18
Usando a equação 5 na equação 6, deduz-se que:
∇ ·
(
E + 4πP
)
= 4πρ
f
. (7)
Maxwell denominou a quantidade entre parênteses da equação 7 de deslocamento
elétrico, pois ele acreditava que tal campo descrevia os efeitos de deslocamentos físi-
cos reais do material. Estas teorias mecanicistas iniciais foram há muito substituídas,
mas alguma terminologia ainda permanece, não de toda apropriada. Agora é costume
chamar tal campo simplesmente como “o campo D” (MARION, 1989). Por isto, a forma
macroscópica da lei de Gauss na presença de um meio dielétrico se torna:
∇ · D = 4πρ
f
. (8)
Determina-se experimentalmente que para uma grande classe de materiais, P é lin-
earmente proporcional a E, pelo menos para campos não muito intensos. Nestes casos,
pode-se escrever:
P = χ
e
E (9)
onde χ
e
é a suscetibilidade elétrica do meio. Então; das equação 7, equação 8, e equação
9:
D =
(
1 + 4πχ
e
)
E.
O fator de proporcionalidade entre D e E é chamado de constante dielétrica do meio:
ε = 1 + 4πχ
e
.
Assim:
D = εE. (10)
A constante dielétrica foi escrita nesta equação como um simples fator de proporcional-
idade, entretanto, em alguns meios, (algumas redes cristalinas por exemplo), verifica-se
que em geral D e E não são colineares, de forma que neste caso, ela é na verdade um
tensor. Se além de ser escalar, ε for independente da posição, o material é chamado de
isotrópico linear homogêneo.
E é a respeito de um tratamento mais sofisticado desta grandeza que versa a seção a
seguir.
1.2 O Tensor Dielétrico 19
1.2 O Tensor Dielétrico
Quando se estuda as propriedades ópticas de um semicondutor, na verdade se consi-
dera a interação das ondas eletromagnéticas com o cristal.
Como já foi citado na seção 1.1, são usados campos macroscópicos de variação suave
na escala da constante da rede a, resultantes de médias espaciais, temporais ou sobre
ensembles (conjuntos estatísticos) dos campos microscópicos. Isto por que tais campos
microscópicos sofrem fortíssimas variações nesta escala, que tornariam o problema in-
tratável, mesmo com o formalismo da mecânica quântica.
Destas médias resultam as equações de Maxwell macroscópicas e as respectivas equações
constitutivas:
∇ × E = −
1
c
∂B
∂t
∇ · D = 4πρ
F
∇ × H =
4π
c
J
F
+
1
c
∂D
∂t
∇ · B = 0
(11)
com
D = E + 4πP, H = B − 4πM
, (12)
e
∇ · J
F
+
∂ρ
F
∂t
= 0 (13)
onde o índice F significa elétrons livres.
Há relações gerais a exprimir a resposta linear de um meio não magnético sob influên-
cia de radiação eletromagnética transversa. Como exemplo, há a densidade de corrente
que pode ser expressa na forma da equação 14:
J
(
r, t
)
=
d
3
r
dt
˜
˜σ
(
r, r
, t, t
)
E
(
r, t
)
. (14)
Os dois símbolos de til aparecem na função condutividade σ
(
r, r
, t, t
)
para indicar que ela
é uma função complexa e um tensor. Esta notação será um padrão para outras funções
nesta seção.
A homogeneidade temporal (invariância perante translações no tempo) exige que
˜
˜σ
seja função apenas de τ = t − t
, o que modifica a equação 14 conforme
J
(
r, t
)
=
d
3
r
∞
0
dτ
˜
˜σ
(
r, r
, τ
)
E
(
r
, t − τ
)
. (15)
O princípio da causalidade exige que a integral sobre τ na equação 15 seja feita apenas
1.2 O Tensor Dielétrico 20
para τ ≥ 0, ou, de forma equivalente, que
˜
˜σ
(
r, r
, t
)
≡ 0 para τ < 0.
Tendo isto em mente, pode-se definir as transformadas de Fourier de J e E como
J
(
r, t
)
=
1
2π
∞
−∞
dω J
(
r, ω
)
e
−iωt
(16)
E
(
r, t
)
=
1
2π
∞
−∞
dω E
(
r, ω
)
e
−iωt
(17)
as quais, quando inseridas na equação 15, geram:
J
(
r, ω
)
=
d
3
r
˜
˜σ
(
r, r
, ω
)
· E
(
r
, ω
)
,
sendo
˜
˜σ
(
r, r
, ω
)
=
∞
0
dτ
˜
˜σ
(
r, r
, ω
)
e
iωτ
.
A demonstração está registrada no apêndice A.
Em meios homogêneos ou para sólidos com estrutura periódica, é possível trabalhar
com funções resposta do tipo
˜
˜σ
(
r, r
, ω
)
=
˜
˜σ
(
r − r
, ω
)
, para a qual vale a transformada
de Fourier:
σ
(
q, ω
)
=
dR σ
(
R, ω
)
e
−iq·R
. (18)
Usou-se a variável R na equação 18 por analogia com a troca de t−t
por τ na equação
15. Assim, as funções dependentes de r e r
se tornam funções de r −r
que por sua vez,
é substituído por R.
Decorre da simetria destes sistemas que
J
(
r, ω
)
=
d
3
r
˜
˜σ
(
r − r
, ω
)
E
(
r, ω
)
. (19)
O importante na equação 19 é que a função densidade de corrente J
(
r, ω
)
passa a ser a
convolução de
˜
˜σ e E; o que implica que a sua componente transformada é o produto das
componentes transformadas de ˜σ e E:
J
(
q, ω
)
=
˜
˜σ
(
q, ω
)
E
(
q, ω
)
. (20)
Através da equação 20 e das equações 11, 12 e 13, é possível demonstrar que há uma
1.3 Excitações Elementares 21
relação semelhante entre D e E:
D
(
q, ω
)
=
˜
˜ε
(
q, ω
)
E
(
q, ω
)
,
sendo:
˜
˜ε
(
q, ω
)
=
˜
1 +
4πi
ω
˜
˜σ
(
q, ω
)
. (21)
A demonstração se encontra no apêndice B.
Em suma, numa situação mais geral, a função dielétrica se apresenta como um tensor,
permitindo exprimir o campo de deslocamento D em função do campo externo E no caso
em que eles não são lineares.
1.3 Excitações Elementares
Excitações elementares são um conceito importantíssimo na física do estado sólido.
Basicamente, podem ser consideradas como um estado de baixa energia do sistema, pop-
ulados por certas entidades capazes de imitar o comportamento de partículas; as quasi-
partículas. Os processos que excitam o sistema são drasticamente simplificados. Acrésci-
mos e troca de energia e momentum entre diferentes subsistemas podem ser tratados
simplesmente como se provocassem a emissão ou absorção destas partículas virtuais, ou
através de colisões entre elas. Isto torna a interpretação dos processos elementares bas-
tante pictórica e a formulação matemática fica muito mais simples.
Há uma ambigüidade a respeito da definição do termo quasi-partículas. Ele pode ser
aplicado para descrever apenas partículas reais acopladas a uma nuvem eletrônica que a
envolve (MADELUNG, 1978). Entidades que consistem de modos coletivos de oscilação
(como por exemplo, os fônons) são denominadas apenas de modos coletivos, consideradas
separadamente das quasi-partículas.
Neste caso, quasi-partículas são partículas (reais como um elétron, ou entidades ca-
pazes de imitar o comportamento de partículas; como um fóton) que se movem através do
sistema interagindo com a vizinhança próxima. Esta interação modifica a sua dinâmica, o
que seria, a rigor, um tanto difícil de tratar. Entretanto, pode-se burlar tais complicações
atribuindo o resultado da interação à inércia da partícula. Já os modos coletivos ou exci-
tações coletivas são excitações que se manifestam como um modo de oscilação quantizada
de todo o sistema de íons ou de elétrons. Elas podem ser oscilações dos planos de átomos
da rede (fônons), dos elétrons de valência (plasmons no caso de um metal, excitons no
caso de um semicondutor), ondas de spin (magnons), entre outros.
1.3 Excitações Elementares 22
Em outras obras (KITTEL, 1986; KITTEL, 1980; ASHCROFT; MERMIM, 1978),
o termo quasi-partículas é usado indistintamente para os dois casos: acoplamento carga-
nuvem eletrônica (ou quaisquer que sejam as partículas reais ou virtuais acopladas a
atravessar o meio; por exemplo um fóton cercado por fônons se propagando pela rede) e
modos coletivos. Ele só tem a função de distinguir estas entidades de partículas reais. Em
especial (LEITE; CASTRO, 1978), trata-se como quasi-partícula qualquer perturbação
do sistema que possa ser tratada com operadores de criação-destruição.
Quando o sistema é perturbado, algumas destas excitações elementares contribuem
para a determinação da função dielétrica do sistema, como é o caso dos plasmons, excitons
e polarons. Como exemplo de cálculo destas contribuições, será ilustrada a determinação
da frequência de plasmon na próxima subseção.
1.3.1 Contribuição dos Plasmons
O gás de elétrons em um metal pode sofrer oscilações longitudinais, conhecidas como
oscilações de plasma. A grosso modo, em um sólido, um plasma é o meio com igual
concentração de cargas positivas e negativas, e das quais pelo menos um tipo é móvel.
Então, quando uma perturbação excita o meio, como o que ocorre por exemplo quando
um elétron atravessa um filme metálico fino, ou é refletido por ele, uma excitação longi-
tudinal coletiva do gás de elétrons de condução é produzida. Um plasmon é um quantum
desta oscilação; a quasi-partícula correspondente à quantização destas oscilações. A carga
do elétron se acopla com o campo elétrico das flutuações originadas pelas oscilações de
plasma, provocando a perda de energia do elétron transmitido ou refletido de múltiplos
inteiros da energia do plasmon.
A contribuição dos plasmons à função dielétrica pode ser computada da seguinte
forma: a resposta dielétrica de grandes comprimentos de onda ε
(
ω, 0
)
ou simplesmente
ε
(
ω
)
de um gás de elétrons é obtida da equação de movimento de um elétron livre sob
influência de um campo elétrico;
m
d
2
x
dt
2
= −eE. (22)
Se x e E tiverem a mesma dependência temporal exp
(
−iωt
)
, então, decorre da
equação 22 que:
x =
eE
mω
2
. (23)
1.3 Excitações Elementares 23
O momentum de dipolo de um elétron é −ex. Logo, de equação 23:
− ex = −
e
2
E
mω
2
. (24)
Daí, a polarização, definida como momentum de dipolo por unidade de volume, é,
segundo a equação 24:
P = −nex = −
ne
2
mω
2
E, (25)
onde n é a concentração eletrônica. Pela equação 10, segue da equação 25 que a con-
tribuição dos plasmons à função dielétrica à uma freqüência ω é
ε
(
ω
)
= 1 −
4πne
2
mω
2
. (26)
Definindo a freqüência de plasma ω
p
pela relação:
ω
2
p
=
4πne
2
m
; (27)
a equação 27 se reescreve na forma:
ε
(
ω
)
= 1 −
ω
2
p
ω
2
. (28)
Se o substrato de íons positivos tiver uma constante dielétrica ε(∞) essencialmente
constante até freqüências bem acima de ω
p
, então, a equação 26 se torna:
ε
(
ω
)
= ε
(
∞
)
−
4πne
2
mω
2
= ε
(
∞
)
1 −
˜ω
2
p
ω
2
, (29)
onde ˜ω
p
é definido como:
˜ω
2
p
=
4πne
2
ε
(
∞
)
m
.
Há um fato bastante interessante implícito na equação 29: ε = 0 quando ω = ˜ω
p
. Ou
seja, o campo D é nulo para a freqüência ˜ω
p
; a polarização tem uma intensidade que é
exatamente a necessária para anular completamente o campo dentro do material.
Há algumas considerações importantes concernentes a propagação da radiação no
meio, e a frequência de plasmon.
Em meios não magnéticos isotrópicos, desacoplando-se as equações de Maxwell, deduz-
se a equação de onda
∂
2
D
∂
2
t
= c
2
∇
2
E. Usando como solução uma função do tipo e
i(K·r−ωt)
1.3 Excitações Elementares 24
e a relação D = ε
(
ω, K
)
E, obtém-se
ε
(
ω, K
)
ω
2
= c
2
K
2
. (30)
Inserindo-se a equação 29 na equação 30 acima, conclui-se que
ε
(
ω
)
ω
2
= ε
(
∞
)
ω
2
− ω
2
p
= c
2
K
2
. (31)
A equação 31 provê conclusões interessantes: se ω < ˜ω
p
, K ∈ C, e as soluções se tor-
nam exponenciais desvanescentes; ou seja, ondas incidentes no meio com esta faixa de
frequência são refletidas.
Já se ω < ˜ω
p
, o gás de elétrons se torna transparente, e a relação de dispersão que
descreve ondas eletromagnéticas transversas em um plasma é
ω
2
= ˜ω
p
+ c
2
K
2
/ε
(
∞
)
.
Outras excitações elementares como o polariton, e os fônons também contribuem na
composição da função resposta. Para maiores detalhes acerca destas relações, livros de
estado sólido básico fornecem apresentações didáticas sobre assunto (KITTEL, 1986).
Modelos de função dielétrica mais sofisticados dão conta de determinar a resposta
do sistema como um todo, incluindo a contribuição de todos os elementos relacionados.
Apesar de ainda não existir um modelo de função dielétrica exato para o gás de elétros
homogêneo, algumas aproximações tem obtido bastante êxito, algumas pela simplicidade,
outras pela precisão dos resultados.
Há livros de estado sólido (MAHAN, 1993) que tratam de alguns modelos de função
dielétrica. Há por exemplo um modelo criado por Fermi, bastante usado por sua simpli-
cidade, mas que é um modelo estático, ou seja, gera uma função dependente apenas do
vetor de onda da perturbação, ε
(
q
)
; ele não pode ser usado para descrever a resposta
dinâmica do sistema, ε
(
q, ω
)
.
Já o modelo de Lindhard, também conhecido por aproximação de fase randômica,
(random phase approximation, RPA) no qual se baseia este trabalho, dá conta da descrição
dinâmica da resposta do sistema, ε
(
q, ω
)
. Ela pode ser derivada por meio de equações
de movimento assim como por diagramas de Feymann e funções de Green. A derivação
original está ilustrada na seção 1.4. Prevê corretamente propriedades do gás de elétrons
como por exemplo o comportamento dos plasmons. Atualmente tem sido substituida por
funções dielétricas mais modernas, capazes de fornecer melhores resultados.
1.4 A Função Dielétrica de Lindhard 25
Outros modelos, como o de Hubbard, aperfeiçoaram o modelo de Lindhard através
da inclusão de termos que reproduzem os efeitos de troca, e que resultam na redução
das interações elétron-elétron na blindagem dielétrica. Já a modificação introduzida por
Singwi-Sjölanger inclui efeitos de troca e correlação, fornecendo os resultados mais precisos
dentre todos os modelos de função dielétrica.
Na sequência, apresenta-se o método usado na determinação das funções dielétricas
pelo cálculo da função de Lindhard, que é a usada neste trabalho.
1.4 A Função Dielétrica de Lindhard
Esta demonstração foi originalmente apresentada por Ehrenreich e Cohen (1959).
Considere a equação de Liouville de uma partícula
i
∂ρ
∂t
= [H, ρ], (32)
como descrição da resposta de uma partícula qualquer do sistema ao potencial auto-
consistente V (x, t) , onde ρ é o operador representado pela matriz densidade de uma
única partícula. A Hamiltoniana de uma única partícula na equação 32 é:
H = H
0
+ V (x, t), (33)
onde H
0
=
p
2
2m
é a Hamiltoniana de um elétron livre satisfazendo a equação de Schrödinger
H |k = E
k
|k , e |k = Ω
−
1
2
e
ik·x
, sendo Ω o volume do sistema. O operador ρ pode ser
expandido através do método perturbativo na forma ρ = ρ
(0)
+ ρ
(1)
. A matriz densidade
(Dirac ou Von Newmann) não perturbada tem a propriedade ρ
(0)
|k = f
0
(E
k
) |k , onde
f
0
(E
k
) é a função de distribuição. O uso da matriz densidade de von Neumann nos
permite tratar sistemas com temperaturas finitas. A transformada de Fourier de V (x, t)
é conhecida na forma
V (x, t) =
q
V (q
, t)e
−iq
·x
, (34)
e a equação 32 é linearizada menosprezando-se produtos da ordem de V ρ
(1)
. Esta
aproximação é equivalente a teoria de perturbação auto-consistente de primeira ordem.
Tomando os elementos de matriz entre os estados k e k + q , obtém-se
i
∂
∂t
k|ρ
(1)
|k + q = k|[H
0
, ρ
(1)
] |k + q + k|[V, ρ
(0)
] |k + q
= (E
k
− E
k+q
) k|ρ
(1)
|k + q +
+[f
0
(E
k+q
) − f
0
(E
k
)]V (q, t), (35)
1.4 A Função Dielétrica de Lindhard 26
onde k|V |k + q = V (q, t). O potencial V consiste de um potencial externo V
0
mais o po-
tencial de blindagem V
s
que está relacionado à mudança induzida na densidade eletrônica
n = Tr{δ(x
e
− x)} = Ω
−1
q
e
−iq·x
k
k
|ρ
(1)
|k
+ q, (36)
pela equação de Poisson:
∇
2
V
s
= −4πe
2
n. (37)
Na equação 36, δ(x
e
− x) é o operador densidade de carga, sendo x
e
a posição do
operador e x referente a um ponto do espaço específico. Desta forma, encontra-se:
V
s
(q, t) = v
q
k
k
|ρ
(1)
|k
+ q, (38)
onde v
q
=
4πe
2
q
2
Ao substituir a equação acima colocando V
s
no lugar de V na equação
35, obtém-se a equação de Liouville-Poisson determinando k
|ρ
(1)
|k
+ q na ausência
de uma perturbação externa:
i
∂
∂t
k|ρ
(1)
|k + q = (E
k
− E
k+q
) k|ρ
(1)
|k + q + v
q
[f
0
(E
k+q
)
− f
0
(E
k
)]V (q, t)
k
k
|ρ
(1)
|k
+ q.
O potencial externo V
0
(q, t) atua no sistema com a dependência temporal e
αt
e
iωt
,
onde α → 0 corresponde a um acionamento adiabático da perturbação. Este potencial
polariza o sistema. Segue da definição da constante dielétrica e da análise de Fourier
prescrita na equação 34 que
P (q, t) = (4π)
−1
[ε(ω, q) − 1]E(q, t). (39)
A polarização P (q, t) está relacionada a carga induzida na densidade eletrônica por ∇·P =
en ou
− iqP (q, t) = en(q, t), (40)
e o campo elétrico E(q, t) é dado por
eE(q, t) = −iqV (q, t). (41)
A equação 35 é prontamente resolvida para k|ρ
(1)
|k + q ao se assumir que k|ρ
(1)
|k + q
e V
s
(q, t) tem a mesma dependência temporal de V
0
(q, t). A mudança induzida na densi-
dade eletrônica n(q, t) pode então ser calculada a partir da densidade e ε(q, t) deduzida
1.5 Aproximações 27
das equações de campo. Determina-se que
ε(ω, q) = 1 − lim
α→0
v
q
k
f
0
(E
k+q
) − f
0
(E
k
)
E
k+q
− E
k
− ω + iα
. (42)
Este resultado foi obtido pela primeira vez por Lindhard com o método SCF, e depois
por Noziéres e Pines usando a aproximação de muitas partículas baseado na aproximação
de fase randômica para um gás de Fermi a temperatura zero.
No estudo de sistemas como heteroestruturas semicondutoras, são necessárias muitas
aproximações para que se possa tornar o problema tratável. E é disto que trata a próxima
seção.
1.5 Aproximações
No trabalho de Resende (1995), é apresentada uma introdução interessante e proveitosa
acerca das diversas aproximações necessárias a completa resolução de um problema de
muitos corpos em um sistema bulk. Esta seção foi fundamentada em seu trabalho.
O cristal é um arranjo periodicamente ordenado de átomos. Para tratá-lo, haveria de
se resolver a Hamiltoniana do sistema. Na descrição que se segue, R localiza a posição
dos núcleos, e r a dos elétrons. Assim, a Hamiltoniana do sistema é descrita pela equação
43:
H = T
R
+ T
r
+
qq
|r − r
|
+
Qq
|R − r
|
+
QQ
|R − R
|
, (43)
sendo T
R
a energia cinética dos núcleos, T
r
a dos elétrons, e os demais termos indicam a
interação Coulombiana elétron-elétron, elétron-núcleo e entre núcleos, respectivamente.
Para uma dada configuração dos núcleos, {R}, a energia dos elétrons é descrita pelos
três termos centrais da equação 43,
H
e
= T
r
+
qq
|r − r
|
+
Qq
|R − r
|
. (44)
Sendo possível resolver a equação de autovetores e autovalores da equação 44 para cada
configuração dos núcleos, o conjunto destas soluções φ
λ
(
r, R
)
seria completo e poderia
ser usado para descrever as soluções ψ
n
(
r, R
)
do operador da equação 43:
ψ
n
(
r, R
)
=
λ
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
, (45)
sendo
Hψ
n
(
r, R
)
= E
n
ψ
n
(
r, R
)
. (46)
1.5 Aproximações 28
Os coeficientes ν
λn
podem ser determinados pela inserção da equação 45 na equação
46:
Hψ
n
(
r, R
)
=
λ
T
R
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
+
T
r
+
qq
|r − r
|
+
Qq
|R − r
|
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
+
QQ
|R − R
|
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
=
λ
T
R
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
+ E
el
λ
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
+
QQ
|R − R
|
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
= E
n
λ
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
, (47)
sendo E
el
λ
o autovalor de energia do operador H
e
a que corresponde φ
λ
(
r, R
)
.
Os termos do operador de energia cinética T
R
são:
λ
T
R
ν
λn
φ
λ
(
r, R
)
=
λ
∇
2
R
ν
λn
(
R
)
φ
λ
(
r, R
)
+ 2
λ
[
∇
R
ν
λn
(
R
)
]
·
[
∇
R
φ
λ
(
r, R
)
]
+
λ
ν
λn
(
R
)
∇
2
R
φ
λ
(
r, R
)
. (48)
Os dois últimos termos da equação 48 geram quantidades insignificantes; que podem
ser desprezadas. Daí, multiplicando-se ambos os membros da equação 47 por φ
∗
l
(
r, R
)
, e
integrando-se em todo o espaço, tem-se:
∇
2
R
+
QQ
|R − R
|
+ E
el
λ
(
R
)
ν
l
(
R
)
= E
n
ν
l
(
R
)
. (49)
Esta Hamiltoniana depende agora apenas das coordenadas R dos núcleos, e toda a in-
fluência eletrônica está contida na energia potencial efetiva E
el
λ
(
R
)
.
Usa-se ainda considerar que os operadores de energia potencial da equação 49 tem
um mínimo em uma certa configuração R
0
e que possam ser representados por uma série
de Taylor, centrada em R
0
e truncada em um termo de segunda ordem, o que torna o
movimento nuclear do tipo oscilador harmônico.
Então, um problema que envolvia o sistema agregado de núcleos e elétrons foi total-
mente separado, e através da solução da Hamiltoniana eletrônica, é possível resolver o
problema completamente. Esta aproximação se revela excelente, e se baseia no fato de
que a massa eletrônica é cerca de 10
3
vezes menor que a massa do núcleo; sua dinâmica
é muito mais relevante, e tudo se passa como se os elétrons percebessem o sistema de
núcleos estáticos em uma configuração média R
0
, enquanto para os núcleos, o sistema
eletrônico flutua muito rapidamente para que possa afetá-los. Esta é a aproximação de
1.5 Aproximações 29
Born-Oppenheimer, ou aproximação adiabática; praticamente um ponto de partida para
o estudo de sistemas cristalinos.
Muito embora a aproximação adiabática tenha simplificado o problema ao separar a
rede do sistema eletrônico, a interação Coulombiana entre os elétrons torna o problema
fortemente correlacionado, e as equações muito complexas. Dentre os vários modelos
usados para tratar esta correlação, destacam-se o de Hartree e Hartree-Fock, que servem
como base para compreender os demais. Estas são as chamdas aproximações de campo
autoconsistente.
O modelo de Hartre consiste basicamente em aplicar o teorema variacional para de-
terminar funções de onda eletrônicas que minimizem a energia, e então escrever a função
de onda (por questão de economia de índices, seja |φ
l
= |φ e H
e
= H) como produto
tensorial destas funções de onda de uma partícula:
|φ =
i
|φ
i
,
sendo as autofunções |φ
i
tais que
δ φ|H |φ = 0.
As funções de onda |φ
i
obedecem à equação 50
∇
2
r
2m
+ V
e−i
(
r, R
0
)
+
j
φ
j
|
e
2
r − r
|φ
j
|φ
i
= E
el
i
|φ
i
, (50)
sendo V
e−i
(
r, R
0
)
o potencial de interação eletrón-núcleo em uma aproximação estática,
na qual os núcleos são considerados fixos em sua posição na rede, para evitar a complicação
de ter que resolver esta equação para todos as possíveis configurações {R} dos íons. A
soma na equação 50 é feita sobre todos os estados ocupados à exceção de |φ
i
.
A resolução da equação 50 é autoconsistente: o potencial V
e−i
(
r, R
0
)
depende das
autofunções |φ
i
que são exatamente as funções procuradas. O procedimento usado é
escolher criteriosamente um conjunto inicial de soluções |φ
i
0
, determinar o potencial de
interação Coulombiano, inseri-lo na equação 50, e determinar com isto um novo conjunto,
|φ
i
1
. O processo se repete até que a diferença entre a soma das autoenergias da i-ésima
iteração e a consecutiva seja menor que um determinado grau de precisão;
n
E
el(i)
n
−
n
E
el(i+1)
n
< .
Este modelo entretanto não incorpora entretanto a indistinguibilidade das partículas.
1.5 Aproximações 30
E é disto que trata o modelo de Hartree-Fock, a seguir.
Segundo a teoria quântica, partículas idênticas são indistinguíveis, e isto força a ex-
pressar as soluções do problema como funções simétricas ou antisimétricas, como é o caso,
por se tratar o sistema eletrônico. Estas soluções estão sujeitas às chamadas interações
de troca, que resultam unicamente da proximidade de partículas com spins paralelos ou
antiparalelos. Na aproximação de Hartree, isto não foi considerado. Coube a Fock incluir
o efeito estatístico dos elétrons, propondo uma função de onda antisimetrizada, usando o
determinante de Slater das autofunções do problema de partícula única.
Como na aproximação de Hartree, os estados antisimetrizados
˜
φ
i
são obtidos através
do método variacional, minimizando-se a energia do sistema. Assim, obtém-se a equação
51 que rege o comportamento de tais estados:
∇
2
r
2m
+ V
e−i
(
r, R
0
)
+
j
φ
j
|
e
2
r − r
|φ
j
|φ
i
+
j
φ
j
|
e
2
r − r
|φ
i
= E
el
i
|φ
i
. (51)
A interação Coulombiana inclusa nos colchetes é chamada de interação direta, e deter-
mina a interação do elétron no estado |φ
i
com os demais. O outro termo de interação
Coulombiana, ausente na aproximação de Hartree (equação 50), é a interação de troca, e
surge da estatística dos elétrons. E assim, resolvendo-se esta equação de forma autocon-
sistente, usando o mesmo procedimento do modelo de Hartree, separa-se o problema de
muitos corpos em um problema autoconsistente de partícula única.
Há de se registrar mais um comentário sobre as soluções das funções de onda nos
cristais. Como na aproximação adiabática os elétrons interagem com íons fixos na rede de
Bravais, a simetria da rede irá se estender às interações elétron-íon. A interação elétron-
elétron também. Analisando estas condições especiais de invariância, Bloch, em 1928,
conseguiu explicar qualitativamente a diferença entre condutores e isolantes, e determinou
que a função de onda em potenciais periódicos assume a forma
r|ψ
nk
= Ae
ik·r
u
nk
(
r
)
, (52)
sendo A uma constante de normalização, e u
nk
(
r
)
funções que tenham a periodicidade da
rede. Na forma expressa na equação 52, as funções de onda são autofunções do operador
de translação.
Para tratar das aproximações posteriores, faz-se necessário descrever a grosso modo
as heteroestruturas quânticas e os poços quânticos.
Com técnicas modernas de crescimento de materiais, foi possível construir estruturas
1.5 Aproximações 31
compostas de junções de diversos cristais. Estes materias foram chamados de heteroestru-
turas. Se os materiais tiverem constantes de redes não muito diferentes, os defeitos cristal-
inos que aparecem devido a este “descasamento” entre as constantes, e prejudicam o es-
tudo, tanto pelo alargamento das linhas dos níveis eletrônicos quanto pela diminuição do
tempo de vida dos elétrons nos estados correspondentes (entre outras influências), podem
ser minimizados.
Os semicondutores de GaAs e AlAs possuem parâmetros de rede muito próximos, com
um descasamento em torno de 0.1% (RESENDE, 1995). E por isto, eles (assim como suas
ligas Al
x
Ga
1−x
As) são bastante usados como substratos (ou material hospedeiro) para se
construir heteroestruturas praticamente livre de defeitos.
A região espacial que compreende a junção e uma pequena vizinhança em torno dela
é chamada de heterojunção (ver figura 3). Em amostras de alta qualidade, tem a largura
de apenas algumas monocamadas. Muito embora seja uma excelente configuração, é
muito difícil evitar que ocorra a difusão de átomos de um material para o outro durante
o crescimento da amostra. Isto resulta na flutuação da largura das camadas de cada lado
da junção.
Figura 3: Interface entre dois semicondutores de GaAs e AlAs. O círculo vazio representa o
As, círculos azuis representam o Ga e círculos cinzas o Al. A estrutura cristalina de ambos os
materias é do tipo blenda de zinco, fcc com uma base de dois heteroátomos. A cosntante da
rede é muito similar, minimizando a existência de defeitos.
Os materiais que compõe a heterojunção tem lacunas de bandas diferentes (ver figura
4), que destroem a simetria cristalina na direção do crescimento. Isto tem implicações
importantes ao se considerar as equações dinâmicas dos elétrons do sistema.
1.5 Aproximações 32
Figura 4: Dois semicondutores distintos quando unidos para formar uma heterojunção apre-
sentam lacunas de bandas diferentes. As curvas representam o movimento irrestrito paralelo a
superfície da junção.
Quando se constrói um material com múltiplas heterojunções, ele pode ser conside-
rado uma heteroestrutura. Há uma grande variedade de formas de se fabricá-las. Se
um material de lacuna de banda mais estreita “A” for inserido entre dois materiais “B”
de lacunas mais largas, então diz-se que eles formam uma heterojunção dupla, e se a
largura desta heterojunção for suficientemente pequena para que se manifestem efeitos
quânticos, então se trata de um poço quântico. Na figura(5) são ilustrados alguns tipos
de heteroestruturas, e seus aspectos.
Havendo portadores de carga nestes sistemas, sejam eles produzidos termicamente
ou por dopagem, ou por alguma outra perturbação, eles devem minimizar suas energias,
concentrando-se no poço quântico.
A junção de múltiplas heteroestruturas dá origem a poços quânticos múltiplos ou a
super-redes. A diferença entre estes conceitos é que em poços quânticos múltiplos, os
poços podem ser tratados independentemente uns dos outros, enquanto que nas super-
redes, não; todos eles interagem entre si. A motivação de construir estas heteroestruturas
mais e mais complexas é adequar as propriedades eletrônicas e óticas destes materiais
para usá-los em dispositivos.
Dentre as heteroestruturas ilustradas, há aquelas nas quais a lacuna de banda de
um material está completamente contida dentro da do material de lacuna de banda mais
larga. Estes são os materiais de tipo I. Neles, elétrons se acumulam em poços que estão
na mesma região que os poços dos buracos, e o resultado é que a recombinação se torna
mais eficiente (rápida).
Em materiais do tipo II, as lacunas de banda dos materiais são alinhadas de tal forma
1.6 O Espalhamento Raman 33
Figura 5: Há diversas heteroestruturas, dependentes dos materiais que a formam, e de como
elas são construídas. Em (a), ilustra-se um poço quântico duplo classificado como simétrico de
tipo I. Em (b), um poço quântico escalonado ou assimétrico tipo I, obtido pela inclusão entre
eles de uma liga dos dois semicondutores que o compõe. Em (c), poços quânticos múltiplos, ou
uma super-rede, dependendo do afastamento e portanto da influência que um poço tem sobre
outro. Em (d), e (e), ilustra-se a diferença entre heteroestruturas do tipo I e II. Os círculos
azuis representam elétrons, e os vazios os buracos; ressaltando que eles devem se concentrar nos
poços devido a minimização da energia.
que os poços quânticos formados nas bandas de valência e de condução estão em materiais
diferentes, conforme se pode ver na Fig(5), (e). Nestes casos, o tempo de recombinação é
mais lento.
1.6 O Espalhamento Raman
No trabalho de Abreu (2004), há uma excelente introdução acerca do espalhamento
Raman, do ponto de vista clássico, no qual esta seção irá se basear.
A luz incidente em uma superfície semicondutora é parcialmente refletida e transmi-
tida. A luz refletida carrega informação acerca dos estados eletrônicos do material. Parte
da luz que entra no semicondutor é absorvida ou espalhada, enquanto o remanescente é
transmitido, se o exemplar for fino o suficiente. A energia da radiação absorvida pode ser
1.6 O Espalhamento Raman 34
dissipada (absorção), ou re-emitida como fótons de diferentes frequências (fotoluminescên-
cia). Fótons também podem ser inelásticamente espalhados pela criação ou aniquilação
de excitações elementares dentro do semicondutor (espalhamento Raman ou Brillouin).
O efeito Raman consiste no espalhamento inelástico da radiação incidente em um
cristal, pela interação da radiação eletromagnética com os modos normais de vibração do
material. A frequência da luz espalhada é diferente da incidente, podendo ser maior ou
menor. A criação ou aniquilação de fônons está relacionada a esta diferença.
Esta técnica é muito importante na investigação das heteroestruturas, por revelarem
características que dificilmente outras técnicas fariam. Os resultados dos experimentos de
espalhamento Raman nas super-redes de Ge
n
Si
m
mostraram por exemplo que se formam
espontanemate camadas de ligas nas interfaces de Ge/Si. Então, a ténica mostra que
estas super-redes contém uma certa quantidade de liga de Ge-Si mesmo quando elas não
foram intencionalmente incluídas na amostra.
Em alguns casos, o espalhamento Raman é capaz de dar uma resposta experimental
para esta questão sobre que parte da amostra é resposável pela característica espectral
observada.
O processo é idêntico ao espalhamento inelástico de raios x e é similar ao espalhamento
inelástico de neutrons por um cristal.
Do ponto de vista da Física Clássica, o efeito Raman se relaciona à modulação do
momentum de dipolo elétrico P produzido pela radiação oscilante E devido a um modo
de vibração. Tal momentum de dipolo se escreve como
P = αE,
e α a polarizabilidade eletrônica, função da coordenada generalizada u de um determinado
modo de vibração. Se for suficientemente bem comportada, pode ser escrita como uma
série de potências da amplitude u do fônon:
α = α
0
+ α
1
u + α
2
u
2
+ ··· .
Note-se que o termo α
1
é a derivada da polarizabilidade em relação a u, calculada na
posição de equilíbrio,
∂α
∂u
0
. Seja u
(
t
)
= u
0
cos
(
Ωt
)
e o campo elétrico incidente E
(
t
)
=
1.6 O Espalhamento Raman 35
E
0
cos
(
ωt
)
, então, para pequenas oscilações,
P = α
0
E
0
cos
(
ωt
)
+ α
1
E
0
cos
(
ωt
)
cos
(
Ωt
)
= α
0
E
0
cos
(
ωt
)
+
1
2
α
1
E
0
u
0
{cos
[
(
ω + Ω
)
t
]
+ cos
[
(
ω − Ω
)
t
]
}.
O primeiro termo, α
0
E
0
cos
(
ωt
)
, possui a mesma frequência da radiação incidente, cor-
respondendo a um espalhamento elástico, o espalhamento Rayleigh. Já os outros dois,
correspondem a emissão de fótons com frequências ω + Ω e ω − Ω, acompanhados pela
emissão ou absorção de um fônon com frequência Ω.
O fóton com frequência ω − Ω gera a chamada linha de Stokes, e o ω + Ω, a linha
anti-Stokes.
É fundamental para a ocorrência deste efeito que ocorra variação da polarizabilidade
com o deslocamento u da posição de equilíbrio, ou de modo contrário,
∂α
∂u
0
= 0.
Então, as regras de seleção para o efeito Raman de primeira ordem são:
ω = ω
± Ω; k = k
± K,
sendo ω e k relativos ao fóton incidente, ω
e k
ao espalhado, e Ω e K ao fônon criado
ou destruido no evento de espalhamento.
A intensidade das linhas das linhas Stokes envolvem o elemento de matriz para a
criação do fônon que é exatamente o elemento de matriz para o oscilador harmônico
I
(
ω − Ω
)
∝ |n
K
+ 1|u |n
K
|
2
∝ n
K
+ 1,
sendo n
K
a população inicial de fônons de modo K.
A linha anti-Stokes envolve a aniquilação do fônon, com uma intensidade proporcional
a
I
(
ω + Ω
)
∝ |n
K
− 1|u |n
K
|
2
∝ n
K
.
Se a população de fônons está inicialmente em equilíbrio térmico a temperatura T , a
taxa da razão entre as intensidades das duas linhas é
I
(
ω + Ω
)
I
(
ω − Ω
)
=
n
K
n
K
+ 1
= e
−
Ω
k
B
T
,
sendo n
K
dado pela função de distribuição de Planck,
1
e
Ω/k
B
T
−1
. Vê-se que a intensidade
relativa das linhas anti-Stokes desvanecem conforme T → 0, por que neste caso, não há
fônons térmicos disponíveis para serem aniquilados.
1.6 O Espalhamento Raman 36
O efeito Raman de segunda ordem surge do termo α
2
u
2
da polarizabilidade. O es-
palhamento inelástico da luz nesta ordem é acompanhado pela criação ou destruição de
dois fônons, ou pela criação de um e absorção de outro. Os fônons podem ter diferentes
frequências. A distribuição de intensidade do espectro do fóton espalhado pode ser bas-
tante complicada se existirem vários átomos na célula primitiva por causa do número
correspondente de modos de vibração dos fônons óticos.
37
2 SISTEMAS QUÂNTICOS QUASE-2D
Para introduzir o tratamento e a dedução da função dielétrica em sistemas quânticos
quasi-2D, é interessante tecer alguns comentários sobre a aproximação de massa efetiva e
função envelope e as soluções do confinamento quântico quasi-2D.
2.1 Aproximação de Massa Efetiva e Função Envelope
Seguindo com a série de aproximações descrita no trabalho de Resende (1995), é
necessário tratar agora as várias equações de partícula única na qual o problema de
muitos corpos foi separado. Mais especificamente, é preciso tratar da energia potencial a
ser inserida nestas equações.
A descrição rigorosa do potencial cristalino é de grande complexidade, e um trata-
mento exato ainda está por ser criado. Há várias aproximações que tornam o problema
tratável, e uma das mais largamente usadas é a aproximação de massa efetiva. Trata-se
de uma aproximação bastante útil para elétrons de baixos vetores de onda como o que
ocorre quando se consideram campos elétricos de baixa intensidade. No GaAs, a massa
efetiva fica em torno de m
∗
= 0.067m
e
, sendo m
e
a massa do elétron livre.
No caso de cristais, a equação de onda que um elétron deve satisfazer é
H
cr
ψ
(
r
)
=
−
2
2m
∇
2
+ V
(
r
)
ψ
(
r
)
= Eψ
(
r
)
, (53)
sendo o potencial cristalino uma função períodica com a mesma simetria da rede:
V
r +
i
n
i
a
i
= V
(
r
)
, (54)
e os vetores a
i
são os vetores primitivos. As soluções desta equação são funções de Bloch,
denotadas como
ψ
α,k
(
r
)
=
1
√
V
e
ik·r
u
α,k
(
r
)
,
sendo V = NV
0
o volume do cristal, N o número de células primitivas e V
0
seu vo-
2.1 Aproximação de Massa Efetiva e Função Envelope 38
lume; desde que u
α,k
(
r
)
tenha a mesma periodicidade da rede (para que a solução seja
autofunção do operador de translação), seja normalizada,
1
V
0
V
0
|u
α,k
(
r
)
|
2
d
3
r = 1,
e ortogonal:
1
V
0
V
0
u
∗
α,k
(
r
)
u
α
,k
(
r
)
d
3
r = δ
α,α
δ
k,k
.
O índice α indica as bandas de energia.
Substituindo-se esta solução na equação 53 obtém-se:
−
2
2m
∇
2
− i
2
m
k · ∇ +
2
k
2
2m
+ V
(
r
)
u
α,k
(
r
)
= E
α
(
k
)
u
α,k
(
r
)
. (55)
A determinação da energia pode ser feita com aproximações. Seja a Hamiltoniana re-
expressa na forma
[
H
(
k = 0
)
+ v
(
k
)
]
u
α,k
(
r
)
= E
α
(
k
)
u
α,k
(
r
)
,
com
H
(
k = 0
)
= −
2
2m
∇
2
+ V
(
r
)
,
Hamiltoniana de autofunções u
α,0
,
H
(
k = 0
)
u
α,0
(
r
)
= E
α
(
0
)
u
α,0
(
r
)
,
e
v
(
k
)
= −i
2
m
k · ∇ +
2
k
2
2m
,
que tende a zero quando o vetor de onda tende a zero também. Então, para pequenos
valores de k, v
(
k
)
pode ser tratado como perturbação, e os autovalores E
α
(
0
)
podem ser
corrigidos até segunda ordem.
Segundo a teoria, que pode ser verificada em livros de Quântica (SAKURAI, 1994),
a correção de primeira ordem é
E
(1)
α
(
k
)
=
1
V
0
V
0
u
∗
α,0
(
r
)
v
(
k
)
u
α,0
(
r
)
d
3
r =
2
k
2
2m
,
e a de segunda ordem é:
E
(2)
α
(
k
)
=
α
=α
1
V
0
V
0
u
∗
α,0
(
r
)
v
(
k
)
u
α
,0
(
r
)
d
3
r
2
E
α
(
0
)
− E
α
(
0
)
=
2
m
2
α
=α
|k · π
α,α
|
2
E
α
(
0
)
− E
α
(
0
)
,
2.1 Aproximação de Massa Efetiva e Função Envelope 39
com
π
α,α
=
1
V
0
V
0
u
∗
α,0
(
r
)
v
(
k
)
u
α
,0
(
r
)
d
3
r.
Assim
E
α
(
k
)
= E
α
(
0
)
+ E
(1)
α
(
k
)
+ E
(2)
α
(
k
)
= E
α
(
0
)
+
2
k
2
2m
+
2
m
2
α
=α
|k · π
α,α
|
2
E
α
(
0
)
− E
α
(
0
)
= E
α
(
0
)
+
2
2
1
m
∗
ij
k
i
k
j
,
em que
1
m
∗
ij
=
1
m
∗
δ
ij
+
α
=α
ij
2π
α,α
,i
π
∗
α,α
,j
(
m
∗
)
2
[
E
α
(
0
)
− E
α
(
0
)
]
é o tensor massa efetiva recíproco que incorpora as propriedades da banda eletrônica na
vizinhança de k = 0.
Em cristais cúbicos, o tensor se reduz a
1
m
∗
ij
=
1
m
∗
δ
ij
, (56)
o que implica em uma energia
E
α
(
k
)
= E
α
(
0
)
+
2
k
2
2m∗
.
Encontram-se trabalhos interessantes sobre este tratamento no caso em que se aplica
um campo elétrico externo ao material (ABREU, 2004). Esta aproximação de massa
efetiva (AME) de cristais cúbicos esbarra em uma dificuldade adicional quando se tratam
heterojunções, pois é necessário admitir que o potencial da equação 54 tenha uma variação
suave nas células unitárias; para que as autofunções (e suas derivadas) sejam contínuas.
Este claramente não é o caso quando se consideram heteroestruturas.
Entretanto, em cada lado da junção, a aproximação é válida. Seria o caso então de se
buscar alguma regra de conectar as autofunções obtidas através da AME.
E é aí que entra a aproximação de função envelope.
Segundo o modelo de Kane, as funções de onda ϕ
(
r
)
da heteroestrutura são expressas
como
ϕ
(
r
)
=
1
√
N
n
k
φ
A,B
n
(
k
)
e
ik·r
u
A,B
n
(
r
)
,
2.2 Quantização em Sistemas de Heterojunções 40
em que
φ
A,B
n
(
k
)
e
ik·r
u
A,B
n
(
r
)
= φ
A
n
(
k
)
e
ik·r
u
A
n
(
r
)
, se r ∈ A, e
φ
A,B
n
(
k
)
e
ik·r
u
A,B
n
(
r
)
= φ
B
n
(
k
)
e
ik·r
u
B
n
(
r
)
, se r ∈ B,
A denota o hospedeiro de uma dos materiais que compõe a junção, e B é o outro; as
funções φ
A,B
n
(
k
)
são funções de variação lenta no interior de cada hospedeiro. Define-se
a função envelope como
F
A,B
n
(
r
)
=
1
√
N
k
φ
A,B
n
(
k
)
e
ik·r
,
o que torna a solução
ϕ
(
r
)
=
n
F
A,B
n
(
r
)
u
A,B
n
(
r
)
,
que recebem este nome por modular a função de variação rápida u
A,B
n
(
r
)
. As duas aprox-
imações, de massa efetiva e função envelope são frequentemente abreviadas por AMEFE.
Na seção a seguir, serão consideradas as formas destas soluções.
2.2 Quantização em Sistemas de Heterojunções
Serão consideradas aqui as formas dos estados eletrônicos em sistemas estratificados
de heterojunções. Os sistemas mais largamente usados para estudos em nanoestruturas
são sistemas de GaAs/AlGaAs.
Na presença da heterojunção, a massa efetiva não pode mais ser considerada como
uma simples constante; como ela é ocupada por um número significativo de sítios atômicos,
a massa efetiva tem que ser considerada como uma função da distância. E isto implica
que a equação de partícula única baseada na aproximação AMEFE deve ser modificada.
A expressão é dada por (FERRY; GOODNICK, 1997):
2
2
∂
∂z
1
m
(
z
)
∂
∂z
+
2
m
∇
2
r
+ V
ef
(
z
)
ψ
(
r, z
)
= Eψ
(
r, z
)
,
sendo m
(
z
)
a massa efetiva perpendicular a interface, m
a paralela, r o vetor posição
paralelo, e z a direção perpendicular a a interface. Para que a AMEFE seja válida, ψ
(
r, z
)
deve ser de variação suave em dimensões comparáveis a da célula unitária do cristal.
Quanto ao potencial efetivo, ele é determinado por
V
eff
(
z
)
= E
c
(
z
)
+ V
(
z
)
,
2.2 Quantização em Sistemas de Heterojunções 41
sendo E
c
a descontinuidade na banda de condução da heterojunção, e V
(
z
)
o poten-
cial eletrostático. Modelos mais refinados incluem ainda um termo V
ex
(
z
)
do potencial
autoconsistente de troca de Hartree.
Como nas heterojunções a variação de potencial se encontra apenas na direção z, a
solução se apresenta através do método de separação de variáveis;
ψ
(
r, z
)
=
1
√
A
e
ik·r
φ
n
(
z
)
. (57)
Na equação 57, e
ik·r
representa o movimento livre do elétron no plano paralelo a interface,
sendo k o vetor de onda plana paralelo; A é um fator de normalização, e n rotula os
autoestados na direção normal.
A equação unidimensional que a autofunção φ
n
(
z
)
satisfaz é:
2
2
∂
∂z
1
m
(
z
)
∂
∂z
+ V
eff
(
z
)
φ
n
(
z
)
= E
n
φ
n
(
z
)
.
A energia total é então
E
n,k
=
2
k
2
2m
+ E
n
. (58)
Quanto à solução φ
n
(
z
)
, se for possível admitir que as barreiras de potencial são
grandes em comparação com as energias de estado ligado E
n
, pode-se considerar soluções
simples correspondentes a barreiras de potencial infinitos, desvanescentes nos extremos
do poço, como por exemplo, soluções senoidais:
φ
n
(
z
)
=
2
L
sin
nπz
L
, (59)
sendo n ∈ N. As autoenergias correspondentes são
E
n
=
n
2
2
π
2
2m
z
L
2
. (60)
O movimento no plano paralelo a interface é livre, enquanto na direção de crescimento do
material é confinado. Este é o chamado gás de elétrons bidimensional confinado. Na figura
6, há uma ilustraçao indicando onde eles ocorrem em um transistor de alta mobilidade
eletrônica (HEMT).
A figura 7 mostra representações esquemáticas de aspectos importantes da relação de
dispersão e dos níveis de energia no poço quântico tipo I de AlGaAs/GaAs/AlGaAs.
2.2 Quantização em Sistemas de Heterojunções 42
Figura 6: Seção transversa de um transistor de alta mobilidade eletrônica (high-electron mobility
transistor, HEMT), baseado em modulação dopada. Note onde se encontra o sistema estudado,
o gás de elétrons 2D.
Figura 7: Em (a): Representação esquemática das relações de dispersão e da estrutura de sub-
bandas que o confinamento na direção z imprime. Em (b): esquematização do poço quântico
tipo I de AlGaAs/GaAs/AlGa/As. Os índices c e b indicam elétrons de condução e buracos, e
L representa a largura do poço. Por que há uma diferença nas magnitudes das descontinuidades
∆E
c
e ∆E
b
ainda não está compreendido.
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D 43
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D
Segundo a teoria da perturbação, um sistema ideal sem perturbação externa é descrito
por uma Hamiltoniana não perturbada, cujos autoestados normalizados são dados por:
ψ
k,n
(
r, z
)
= φ
n
(
z
)
e
ik·r
(61)
Conforme a teoria, adiciona-se à Hamiltoniana não perturbada um potencial externo
oscilante no tempo do tipo V
ext
(
r, z
)
e
−iωt
e
αt
, onde o parâmetro α é pequeno e corresponde
a uma ligação adiabática da perturbação.
Este potencial externo pode provocar a transição do estado ket |k, n para a super-
posição de estados:
|ψ
(
t
)
= |k, n +
q
b
k+q,n
(
t
)
|k + q, n
. (62)
Entretanto, na aproximação de fase randômica (RPA por simplicidade), admite-se
que a resposta do sistema pode ser calculada considerando-se apenas uma componente de
Fourier b
k+q,n
(
t
)
(para se obter o resultado, somam-se todas elas no final; ou seja; assume-
se que as correlações devidas aos termos cruzados se cancelam em média). Portanto, a
equação 62 pode ser reescrita segundo esta aproximação na forma:
|ψ
(
t
)
= |k, n + b
k+q,n
(
t
)
|k + q, n
, (63)
sendo b
k+q,n
(
t
)
dado por (SAKURAI, 1994)
b
k+q,n
(
t
)
=
1
i
t
t
0
dt
exp
i
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
t
V
ext
n
n
(
q, t
)
=
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
− e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
0
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
. (64)
A dedução completa se encontra no apêndice D.
Para se representar uma ligação adiabática da perturbação, toma-se o limite de
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D 44
b
k+q,n
(
t
)
para t
0
tendendo a −∞ (ver apêndice E):
lim
t
0
→−∞
b
k+q,n
(
t
)
= lim
t
0
→−∞
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
− e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
0
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
=
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
− lim
t
0
→−∞
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
0
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
=
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
.
Daí:
b
k+q,n
(
t
)
=
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
=
e
iE
n
(k+q)t
k + q, n
|V
ext
|k, ne
−i
{
E
n
(k)
}
t
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
e
−iωt
e
αt
=
k + q, n
|e
iH
0
t/
V
ext
e
−iH
0
t/
|k, n
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
e
−iωt
e
αt
=
k + q, n
(
t
)
|V
ext
|k, n
(
t
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
=
V
ext
n
n
(
q
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
, (65)
sendo |k, n
(
t
)
a evolução temporal do estado ket na representação de Schrödinger.
O elemento de matriz V
ext
n
n
(
q
)
da perturbação se calcula segundo a expressão:
V
ext
n
n
(
q
)
= k + q, n
|V
ext
I
|k, n
=
dR k + q, n
|RR|
dR
V
ext
I
|R
R
|k, n
=
dR
dR
δ
(
R − R
)
V
ext
I
(
r, z
)
φ
∗
n
(
z
)
e
−i(k+q)·r
φ
n
(
z
)
e
ik·r
=
dRφ
∗
n
(
z
)
V
ext
I
(
r, z
)
φ
n
(
z
)
e
−iq·r
=
d
2
r
∞
−∞
dzφ
∗
n
(
z
)
V
ext
I
(
r, z
)
φ
n
(
z
)
e
−iq·r
É importante ressaltar: o vetor r indica uma certa posição no plano xy, e R denota uma
posição qualquer no espaço.
Nesta etapa é preciso calcular a densidade de carga induzida pela perturbação. Com
este resultado, pode-se determinar o potencial adicional que ela produz, para somá-lo ao
potencial externo e enfim calcular o potencial adicional no sistema.
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D 45
A densidade do sistema é obtida pela média sobre o ensemble do operador densidade
ρ =
k
f
n
(
k
)
|kk| (SAKURAI, 1994) dada por ρ = ρ
0
+ ρ
ind
. Disto decorre:
ρ
ind
(
r, z, t
)
= −e R|ρ − ρ
0
|R
= −2e
k,n,n
R|f
n
(
k
)
[
|ψ
(
t
)
ψ
(
t
)
| − |k, nk, n|
]
|R
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
|ψ
(
t
)
|
2
− |ψ
k,n
(
r, z
)
|
2
(66)
A função de distribuição f
n
(
k
)
deve ser a distribuição de Fermi (MADELUNG, 1978),
que indica a probabilidade de que um dado estado esteja ocupado. Mas, neste trabalho,
como a temperatura investigada não será muito baixa, tal distribuição pode ser substituida
pela de Maxwell-Boltzmann sem prejuízo à precisão dos cálculos. Isto vai simplificar as
integrações, por que a distribuição de Boltzmann tem uma expressão mais simples. Sua
normalização é dada por:
2
k,n
f
n
(
k
)
= n
2D
,
estando o fator 2 a contabilizar a degenerescência de spin de cada estado k e n
2D
a indicar
o número de estados ocupados do problema quasi-2D.
A expansão da equação 66 se faz necessária nesta etapa, para posteriores modificações
algébricas:
ρ
ind
(
r, z, t
)
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
∗
n
(
z
)
e
−i(k+q)·r
b
∗
k+q,n
(
t
)
+ φ
n
(
z
)
e
−ik·r
×
×
φ
n
(
z
)
e
ik·r
+ b
k+q,n
(
t
)
φ
n
(
z
)
e
i(k+q)·r
− |φ
n
(
z
)
|
2
≈ −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iq·r
b
∗
k+q,n
(
t
)
+ |φ
n
(
z
)
|
2
+ φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
iq·r
b
k+q,n
(
t
)
− |φ
n
(
z
)
|
2
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iq·r
b
∗
k+q,n
(
t
)
+φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
iq·r
b
k+q,n
(
t
)
. (67)
Nestas contas, foi adotada a aproximação de que a perturbação externa é suficientemente
fraca de modo a gerar uma resposta linear (ou seja, são desprezados os termos da ordem
de b
2
k+q
).
Uma vez que o potencial externo é uma quantidade real, deve-se adicionar o complexo
conjugado (denotado por c.c.) à densidade de carga induzida, de forma que a equação 67
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D 46
se torna:
ρ
ind
(
r, z, t
)
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iq·r
b
∗
k+q,n
(
t
)
+ φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
iq·r
b
k+q,n
(
t
)
+c.c.
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iq·r
b
∗
k+q,n
(
t
)
+ φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
iq·r
b
k+q,n
(
t
)
−
−2e
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
n
(
z
)
φ
∗
n
(
z
)
e
iq·r
b
k+q,n
(
t
)
+ φ
n
(
z
)
φ
∗
n
(
z
)
e
−iq·r
b
k+q,n
(
t
)
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
2
φ
n
(
z
)
φ
∗
n
(
z
)
e
−iq·r
b
∗
k+q,n
(
t
)
+
+φ
n
(
z
)
φ
∗
n
(
z
)
e
iq·r
b
k+q,n
(
t
)
(68)
Há uma simplificação imediata a ser feita na equação 68: considerando que as auto-
funções φ
n
(
z
)
são conforme a equação 59, então φ
n
(
z
)
= φ
∗
n
(
z
)
, e assim,
ρ
ind
(
r, z, t
)
= − 4e
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iq·r
b
∗
k+q,n
(
t
)
+ e
iq·r
b
k+q,n
(
t
)
.
Seja o termo entre colchetes
e
iq·r
b
k+q,n
(
t
)
+ e
−iq·r
b
∗
k+q,n
(
t
)
≡ A.
Então
A =
V
ext
n
n
(
q, t
)
e
αt
e
iq·r
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
+
+
[
V
ext
n
n
(
q, t
)
]
∗
e
αt
e
−iq·r
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω − iα
,
pela inserção dos termos que compõe b
k+q,n
(
t
)
.
Para evitar confusão entre a carga elétrica e a função exponencial, será usada a
seguinte notação:
carga eletrônica ≡ e
−
= exp
(
x
)
= e
x
.
Assim, tem-se que
ρ
ind
(
r, z, t
)
= − 4e
−
e
αt
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
n
n
(
q, t
)
e
iq·r
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
−
− 4e
−
e
αt
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
[
V
ext
n
n
(
q, t
)
]
∗
e
−iq·r
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω − iα
. (69)
Mais algumas modificações permitem obter uma expressão compacta para a equação.
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D 47
Do fato da perturbação ser real,
[
V
ext
n
n
(
q, t
)
]
∗
= V
ext
nn
(
q, t
)
⇒ V
ext
nn
(
q, t
)
= V
ext
nn
[
−
(
q, t
)
]
(BUTKOV, 1978). Esta propriedade sugere a simetria de troca das variáveis q → −q e
ω → −ω.
Seja então o segundo termo da equação 69 denotado na forma
−4e
−
e
αt
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
[
V
ext
n
n
(
q, t
)
]
∗
e
−iq·r
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω − iα
≡ B.
Aplicando se as hipóteses:
B = − 4e
−
e
αt
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
n
n
[
−
(
q, t
)
]
e
iq·r
E
n
(
k
)
− E
n
(
k − q
)
− ω − iα
= − 4e
−
e
αt
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
n
n
(
q, t
)
e
iq·r
E
n
(
k
)
− E
n
(
k − q
)
− ω − iα
= + 4e
−
e
αt
k,n,n
f
n
(
k
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
n
n
(
q, t
)
e
iq·r
E
n
(
k − q
)
− E
n
(
k
)
+ ω + iα
.
Alterando-se o índice da somatória, obtém-se:
B = + 4e
−
e
αt
k,n,n
f
n
(
k + q
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
nn
(
q, t
)
e
iq·r
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω − iα
.
Com estas modificações, a densidade induzida assume a forma
ρ
ind
(
r, z, t
)
= − 4e
−
e
αt
k,n,n
[
f
n
(
k
)
− f
n
(
k + q
)
]
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
n
n
(
q, t
)
e
iq·r
= − 4e
−
e
αt
k,n,n
[
f
n
(
k + q
)
− f
n
(
k
)
]
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω − iα
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
n
n
(
q, t
)
e
iq·r
= − 4e
−
k,n,n
[
f
n
(
k + q
)
− f
n
(
k
)
]
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω − iα
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
−iωt
e
αt
e
iq·r
= − 4e
−
n,n
L
nn
(
q, ω
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
(70)
sendo
L
nn
(
q, ω
)
=
k
f
n
(
k + q
)
− f
n
(
k
)
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω − iα
e
−iωt
e
αt
. (71)
A energia potencial resultante induzida é dada pela eletrostática; assumindo-se que o
meio seja isotrópico (garantia de que não haverá efeitos de potenciais imagens):
V
ind
(
r, z
)
=
−e
4πε
s
dR
ρ
ind
(
r
, z
ω
)
|R − R
|
=
−e
4πε
s
dr
∞
−∞
dz
ρ
ind
(
r
, z
ω
)
|r − r
|
2
+
(
z − z
)
2
1/2
, (72)
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D 48
sendo ε
s
a permissividade do semicondutor, considerada como os dois primeiros termos
da equação para ε
(
q, ω
)
nos sistemas 3D, multiplicados por ε
0
.
A transformada de Fourier 2D do denominador do integrando da equação 72 é:
1
|r − r
|
2
+
(
z − z
)
2
1/2
=
1
(
2π
)
2
F
q
(
z, t
)
e
iq
·(r−r
)
dq
. (73)
A notação usada a seguir será a seguinte: Q = q+q
z
e
z
, ou seja, o vetor Q é tridimen-
sional, composto por um vetor bidimensional na direção paralela a interfaze, q, mais a
componente q
z
na direção z. Agora, a equação 73 pode ser obtida a partir da transformada
3D, integrando-se sua dependência em q
z
:
F
2D
|r − r
|
2
+
(
z − z
)
2
1/2
=
1
(
2π
)
3
dq
∞
−∞
dq
z
e
iQ
·(R−R
)
F
Q
(
z
, t
)
(74)
A componente F
Q
da transformada de Fourier 3D da equação 74 é dada por (ver apêndice
H):
F
Q
=
4π
Q
2
. (75)
Inserindo a equação 75 na equação 74, obtém-se:
F
2D
|r − r
|
2
+
(
z − z
)
2
1/2
=
1
(
2π
)
3
dq
e
iq
·(r−r
)
∞
−∞
dq
z
(
4π
)
e
iq
z
(z−z
)
q
2
+ q
2
z
=
1
2π
dq
e
iq
·(r−r
)
e
−q
(z−z
)
q
. (76)
A integração realizada sobre a variável q
z
pode ser comprovada usando-se o teorema
dos resíduos (BUTKOV, 1978). Da equação 76, verifica-se que equação 72 assume a forma
(ver apêndice H):
V
ind
(
r, z
)
=
−e
−
8π
2
ε
s
dr
∞
−∞
dz
ρ
ind
(
r
, z
ω
)
e
−q
(z−z
)
e
iq
·(r−r
)
q
dq
=
(
e
−
)
2
2qε
s
n,n
∞
−∞
dz
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
. (77)
Conforme os conceitos já explanados na introdução, a polarização do gás de elétrons
provoca a transição dos autoestados não perturbados do sistema para estados excitados, e
isto dá origem a um potencial induzido adicional. Portanto, o que realmente importa para
os problemas do espalhamento são os elementos de matriz do potencial total: o externo,
mais o potencial induzido. Isto porque estes elementos de matriz sobre as bases k e k
dos estados iniciais e finais, nas sub-bandas m e m
estão relacionados à taxa de transição
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D 49
entre estados (SAKURAI, 1994). De tal sorte, V
ind
mm
resulta da equação 77 (apêndice H):
V
ind
mm
(
k − k
)
= k
, m|V
ind
|k, m
=
π
(
e
−
)
2
qε
s
n,n
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
φ
∗
m
(
z
)
φ
m
(
z
)
×
×
dr e
i(q+k−k
)·r
A integração em r fornecerá a delta δ
(
k − k
, q
)
. Integrando-se todas as contribuições
de V
ind
mm
(
k − k
)
no espaço-k, obtém-se V
ind
mm
(
q
)
(a delta irá filtrar toda dependência em
k − k
, tornando o potencial uma função exclusivamente dependente de q):
dkV
ind
mm
(
k − k
)
=
dk
(
e
−
)
2
2q
ε
s
n,n
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
φ
m
(
z
)
φ
m
(
z
)
×
×φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q
(z−z
)
δ
(
k − k
, q
)
=
(
e
−
)
2
2q
ε
s
n,n
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
φ
m
(
z
)
φ
m
(
z
)
×
×φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q
(z−z
)
= V
ind
mm
(
q
)
.
Esta expressão pode ser escrita mais concisamente em termos de um fator de forma F
mm
nn
:
V
ind
mm
(
q
)
=
(
e
−
)
2
π
ε
s
q
nn
F
mm
nn
(
q
)
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
nn
(
q
)
, (78)
ou seja:
F
mm
nn
(
q
)
=
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
φ
∗
m
(
z
)
φ
m
(
z
)
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
. (79)
Esta equação 78 dá a relação entre o potencial induzido e o potencial externo. Todavia,
o potencial líquido é agora reduzido, o que provoca a redução do potencial induzido
também, e assim por diante. Para dar cabo deste efeito de auto-consistência, substitui-se
V
ext
nn
(
q
)
no lado direito da equação 78 pelo potencial total:
V
tot
nn
(
q
)
= V
ext
nn
(
q
)
− V
ind
nn
(
q
)
. (80)
O sinal negativo do termo V
ind
nn
(
q
)
se deve ao fato de que tal potencial blinda na verdade
o potencial externo.
O potencial externo é então relacionado ao potencial total usando a equação 78 na
2.3 Dedução da Função Dielétrica em Sistemas Quase-2D 50
forma:
V
tot
mm
(
q
)
= V
ext
mm
(
q
)
− V
ind
mm
(
q
)
= V
ext
mm
(
q
)
−
(
e
−
)
2
π
ε
s
q
nn
F
mm
nn
(
q
)
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
nn
(
q
)
=
nn
V
ext
nn
(
q
)
δ
nm
δ
n
m
−
(
e
−
)
2
π
ε
s
q
nn
F
mm
nn
(
q
)
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
nn
(
q
)
=
nn
δ
nm
δ
n
m
−
(
e
−
)
2
π
ε
s
q
F
mm
nn
(
q
)
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
nn
(
q
)
=
nn
ε
nn
mm
V
ext
nn
(
q
)
. (81)
Da equação 81, deduz-se que o tensor dielétrico para sistemas quasi-2D é:
ε
nn
mm
= δ
nm
δ
n
m
−
(
e
−
)
2
π
ε
s
q
F
mm
nn
(
q
)
L
nn
(
q, ω
)
. (82)
A equação 81 revela a principal interpretação do tensor dielétrico: sendo adimensional
ele apresenta-se como o fator que indica o quanto a amplitude de probabilidade de tran-
sição do potencial externo V
ext
nn
(
q
)
contribui na composição da amplitude de probabilidade
de transição total V
tot
nn
(
q
)
.
No próximo capítulo, a expressão do tensor dielétrico da equação 82 será calculada
em um poço quântico simples.
51
3 CÁLCULO DA FUNÇÃO DIELÉTRICA EM POÇOS QUÂNTICOS
Neste capítulo, serão feitos os cálculos relativos à determinação da função dielétrica
em poços quânticos. O objetivo será obter uma expressão para as partes real e imaginária
da função dielétrica. O método usado será explicitar o numerador e o denominador que
compõe a somatória contida na equação 71. Então a somatória será convertida em uma
integral, e será separada em suas partes principal e imaginária. Na última etapa, tais
integrais serão resolvidas para originar uma expressão calculável em sistemas quânticos
de baixa dimensionalidade.
3.1 Cálculo da Função Dielétrica de Sistemas Quase-2D
Nesta seção, serão feitos os cálculos relativos à função dielétrica em poços quânticos.
O objetivo será extrair expressões em forma de integrais para a parte real e imaginária
da função dielétrica.
Considerando-se inicialmente o limite para grandes comprimentos de onda, ou seja,
q → 0, verifica-se que o fator de forma descrito na equação 79 se modifica conforme:
F
mm
nn
(
q
)
= lim
q→0
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
φ
∗
m
(
z
)
φ
m
(
z
)
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
=
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
φ
∗
m
(
z
)
φ
m
(
z
)
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
lim
q→0
e
−q(z−z
)
=
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
φ
∗
m
(
z
)
φ
m
(
z
)
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
= δ
mm
δ
nn
, (83)
devido a ortonormalidade das funções de onda. Tal limite é atingido quando o com-
primento de onda
2π
q
é grande em relação à extensão espacial das funções envelope das
sub-bandas. Assim, no limiar de um sistema puramente 2D, ou seja, de largura quase
nula, a equação 83 é válida para todos os vetores q.
3.1 Cálculo da Função Dielétrica de Sistemas Quase-2D 52
Neste limite, a função dielétrica da equação 82 se reduz a:
ε
nn
mm
(
q, ω
)
= δ
nm
δ
n
m
−
(
e
−
)
2
ε
s
qS
δ
nn
δ
mm
k
f
n
(
k + q
)
− f
n
(
k
)
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω − iα
. (84)
Será necessário explicitar os termos envolvidos no numerador e denominador da equação
84 para proceder à separação da função.
Tendo em vista explicitar os termos do denominador, expressa-se os níveis de energia
do poço quântico:
E
n
(
k
)
=
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
k
2
2m
∗
; (85)
sendo m
∗
a massa efetiva do elétron. Baseando-se na equação 85, o denominador da
equação ?? se torna:
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω − iα =
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
(
k + q
)
2
2m
∗
−
−
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
k
2
2m
∗
− ω − iα
=
n
2
− n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
2m
∗
k
2
+ q
2
+ 2kq cos
(
k, q
)
− k
2
− ω − iα
=
n
2
− n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
2m
∗
q
2
+ 2kq cos
(
k, q
)
− ω − iα. (86)
Caso a função F
(
k
)
seja uma função de variação suave, pode-se, ao se considerar o
sistema bulk, converter as somas de F
(
k
)
em integrais. Desta forma, há um ganho em se
aproveitar as técnicas de integração para determinar quantidades que na forma de somas
seriam mais complicadas de se computar.
O primeiro uso destas técnicas de conversão será a normalização das funções de dis-
tribuição presentes no numerador da equação 84. Por simplicidade, tais funções serão
assumidas como distribuições de Boltzmann; f
n
(
k
)
= Ae
−βE
n
(k)
. A princípio, o cor-
reto deveria ser usar a função de distribuição de Fermi-Dirac, mas como o sistema será
analisado em temperatura superiores a 40K, a função de Boltzmann é uma boa aproxi-
mação, e é mais fácil de tratar matematicamente. Em trabalhos futuros, pretende-se usar
a função de distribuição de Fermi-Dirac, para a investigação do sistema em temperatura
mais baixas.
A condição de normalização é expressa por:
N =
k,n,σ
f
n
(
k
)
.
3.1 Cálculo da Função Dielétrica de Sistemas Quase-2D 53
Decorre da aplicação destas técnicas que (os cálculos podem ser verificados no apêndice
I):
C =
πβD
2
m
∗
1
2
1 + θ
3
0, e
−
βπ
2
h
2
2L
2
P Q
m
∗
;
sendo θ
a
(
u, q
)
, a = 1, 2, 3 ou 4 a função theta elíptica (ABRAMOWITZ; STEGUN, 1964),
e D =
N
S
A diferença entre as funções de distribuição que aparece no numerador da equação
?? pode ser calculada através de modificações decorrentes da expansão e truncamento do
primeiro termo, e inserção de um termo nulo conveniente, conforme será mostrado nos
parágrafos a seguir. Estas modificações são interessantes por que se está considerando o
limite em que q → 0; o simples anulamento de tal vetor na função de distribuição não iria
refleti-lo apropriadamente. De forma que é melhor considerar a aproximação da função
em torno deste valor.
Para simplificar a notação, define-se u = k + q e u
0
= k (ou seja, u quando q = 0).
A diferença entre as funções de distribuição f
n
(
k + q
)
− f
n
(
k
)
se escreve então sob a
forma:
f
n
(
k + q
)
− f
n
(
k
)
= f
n
(
u
)
− f
n
(
u
0
)
.
Prosseguindo, expande-se f
n
(
u
)
em torno de u
0
:
f
n
(
u
)
= f
n
(
u = u
0
)
+ ∇
u
f
n
(
u
)
|
u=u
0
·
(
u − u
0
)
+ O
2
(
u − u
0
)
+ . . . .
Isto implica que:
f
n
(
u
)
− f
n
(
u = u
0
)
≈ ∇
u
f
n
(
u
)
|
u=u
0
·
(
u − u
0
)
.
O sub-índice u foi usado sob o operador ∇ apenas para indicar que as derivadas parciais
são em relação às componentes do vetor u.
Então:
∇
u
f
n
(
u
)
|
u=u
0
= ˆu
0
∂f
n
∂u
u=u
0
= ˆu
0
f
n
(
u
0
)
−2
β
2
2m
∗
u
u=u
0
= −
β
2
m
∗
f
n
(
u
0
)
u
0
.
3.1 Cálculo da Função Dielétrica de Sistemas Quase-2D 54
Logo:
f
n
(
u
)
− f
n
(
u = u
0
)
≈ −
β
2
m
∗
f
n
(
u
0
)
u
0
·
(
u − u
0
)
= −
β
2
m
∗
f
n
(
u
0
)
u
0
· q.
Agora, o termo do numerador pode ser modificado segundo:
f
n
(
u
)
− f
n
(
u
0
)
= f
n
(
u
)
− f
n
(
u
0
)
+ f
n
(
u
0
)
− f
n
(
u
0
)
= −
β
2
m
∗
f
n
(
u
0
)
u
0
· q + E;
sendo E descrito por:
E = Ce
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
+
β
2
2m
∗
u
2
0
− Ce
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
+
β
2
2m
∗
u
2
0
= Ce
−
β
2
2m
∗
u
2
0
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
.
Concluída a modificação, o numerador se torna:
f
n
(
k + q
)
− f
n
(
k
)
= −
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
k · q + f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
, (87)
e
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
= C
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
e
−
β
2
2m
∗
k
2
.
Inserindo a equação 86 e a equação 122 na equação 84, obtém-se:
ε
nn
mm
(
q, ω
)
= δ
nm
δ
n
m
−
(
e
−
)
2
ε
s
Sq
δ
nn
δ
mm
×
×
k
−
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
k · q + f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
(n
2
−n
2
)π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
2m
∗
[
q
2
+ 2kq cos
(
k, q
)
]
− ω − iα
. (88)
Considera-se agora, em especial, o termo
I =
k
−
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
kq cos
(
k, q
)
+ f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
2m
∗
[
q
2
+ 2kq cos
(
k, q
)
]
− ω − iα
(89)
da equação 88. Ele será determinado através das técnicas de conversão de somas em
integrais.
Pode-se desprezar a quantidade q
2
no interior do colchete no denominador uma vez
que ela é muito menor que o termo 2kq cos
(
k, q
)
. Isto decorre do regime considerado,
3.1 Cálculo da Função Dielétrica de Sistemas Quase-2D 55
em que q → 0. Daí, a somatória em k pode ser convertida em uma integração, conforme
procedimento descrito no capítulo 2 de Ashcroft e Mermim (1978):
I =
S
4π
2
∞
0
dk k
2π
0
dθ
−
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
kq cos
(
k, q
)
+ f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos
(
k, q
)
ω − iα
. (90)
Adota-se a seguir um sistema de referência no qual o eixo z é coincidente com o vetor k
(um procedimento similar ao ilustrado no apêndice C). Assim, cos
(
k, q
)
= cos θ.
Como α é uma quantidade infinitesimal, verifica-se que esta integral pode ser separada
em duas outras:
I =
S
4π
2
P
∞
0
dk k
2π
0
dθ
−
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
kq cos
(
θ
)
+ f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos
(
θ
)
− ω
+
+iπδ
(
c
1
)
−
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
kq cos
(
θ
)
+ f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
, (91)
tendo sido usada a substituição:
c
1
=
n
2
− n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos
(
θ
)
− ω,
e sendo P a notação que indica o valor principal de Cauchy da integral da função con-
siderada. A implicação prática disto é que se toma apenas metade do valor dos resíduos
que porventura se encontrem no caminho de integração. Como a integração é feita sobre
todo o espaço k, o contorno da integração é o próprio infinito. E como não há polos no
infinito, então a parte principal da função é a própria função. Ou seja; se
∞
0
dk k
2π
0
dθ
−
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
kq cos
(
θ
)
+ f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos
(
θ
)
− ω
≡ D
(
k, θ
)
,
então
P {D
(
k, θ
)
} = D
(
k, θ
)
.
Agora, basta resolver normalmente a integral
∞
0
dk k
2π
0
dθ
−
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
kq cos
(
θ
)
+ f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos
(
θ
)
− ω
.
No apêndice J há maiores detalhes sobre a separação da integral I em uma parte
principal e uma imaginária. O procedimento é baseado no conteúdo do item b do apêndice
II de Cohen-Tannoudji e Diu (1977).
3.2 Determinação da Parte Real da Função Dielétrica 56
Assim, procedeu-se à separação das partes real e imaginária da função dielétrica: o
valor principal da equação 91 origina a parte real, enquanto o termo precedido da delta
origina a parte imaginária.
3.2 Determinação da Parte Real da Função Dielétrica
Nesta seção, será determinada uma expressão genérica para a parte real da função di-
elétrica, baseada nos parâmetros usados neste trabalho. Ela é originada da parte principal
da integral expressa na equação 91. Basicamente, o procedimento consiste em integrar
as expressões, usando implicitamente os valores dos parâmetros para atribuir sinal às
constantes que os encapsulam.
Da equação 90, verifica-se que a parte real da função dielétrica tem duas integrais em
θ diferentes, que serão rotuladas por I
1
e I
2
:
P {ε
nn
mm
(
q, ω
)
} = δ
nm
δ
n
m
−
(
e
−
)
2
ε
s
q
δ
nn
δ
mm
4π
2
(
I
1
+ I
2
)
,
sendo
I
1
= −
βq
2
m
∗
∞
0
dkk
2
2π
0
dθ
f
n
(
k
)
cos θ
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos θ − ω
= −
βq
2
m
∗
∞
0
dkk
2
f
n
(
k
)
2π
0
dθ
cos θ
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos θ − ω
.
E
I
2
=
∞
0
dk k
2π
0
dθ
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos θ − ω
=
∞
0
dk k
[
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
]
2π
0
dθ
1
(
n
2
− n
2
)
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos θ − ω
.
Então, para apresentar a resolução de forma mais coerente, cada uma das integrais
I
1
, e I
2
será resolvida em separado.
3.2.1 Cálculo da Integral I
1
A parte angular demanda o uso do método de resíduos. Já a integração em k foi
resolvida através de um software de computação algébrica, o Mathematica.
Inicialmente, realiza-se uma mudança de variável: os termos do denominador da
3.2 Determinação da Parte Real da Função Dielétrica 57
equação 90 independentes da variável de integração (neste caso, θ) são encapsulados nas
constantes c
2
e c
3
;
n
2
− n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
m
∗
kq cos θ − ω = c
2
+ c
3
cos θ,
em que
c
2
=
n
2
− n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
− ω
e
c
3
=
2
kq
m
∗
.
Daí:
I
1
= −
βq
2
m
∗
∞
0
dk f
n
(
k
)
k
2
2π
0
dθ
cos θ
c
2
+ c
3
cos θ
.
A parte angular de I
1
pode ser resolvida através do método dos resíduos (ver apêndice
L para demonstração). Seu resultado é bastante parecido com o da equação 98; basica-
mente um múltiplo desta, acrescido de uma constante:
2π
0
dθ
cos θ
c
2
+ c
3
cos θ
=
1
c
2
2π
0
dθ
cos θ
1 +
c
3
c
2
cos θ
=
2π
c
3
1 −
1
1 −
c
2
3
c
2
2
,
=
2π
c
3
1 −
|c
2
|
c
2
2
− c
2
3
; (92)
resultado válido desde que a condição |
c
3
c
2
| < 1 seja satisfeita (ver apêndice K). Isto gera
relações entre k e ω (implícita na constante c
2
; além disto, será usada a substituição
c
3
= c
4
k; ou seja, c
4
=
q
2
m
∗
; substituição esta conveniente para a integração em k):
|
c
3
c
2
| < 1 ⇒
|c
4
k|
|c
2
|
< 1 ⇒ |k| < |
c
2
c
4
| (93)
No regime considerado, k > 0, os parâmetros deste trabalho implicam que |c
4
| = c
4
; e
portanto, a desigualdade expressa na equação 93 se converte em
k <
|c
2
|
c
4
= k
m
. (94)
O sub-índice m denota que este valor de k é máximo. Por esta razão, a integral deverá
usar de um recurso que permita extrair um valor tão próximo de k
m
quanto se queira. Isto
pode ser feito por meio da operação lim
b→k
−
m
, a tomada do limite lateral de uma variável
3.2 Determinação da Parte Real da Função Dielétrica 58
auxiliar b tendendo a k
m
pela esquerda, assim como deverá ser tomado o limite lateral de
a tendendo a zero para esquerda, devido ao fato de que nestas contas, k > 0.
Assim:
I
1
= 2π
−
βq
2
m
∗
q
2
m
∗
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk f
n
(
k
)
k
2
1
k
−
|c
2
|
k
c
2
2
−
(
c
4
k
)
2
= −2πβCe
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk e
−
β
2
2m
∗
k
2
k
1 −
|c
2
|
c
2
2
−
(
c
4
k
)
2
= −2πβCe
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk e
−c
2
k
2
k
1 −
|c
2
|
c
2
2
−
(
c
4
k
)
2
; (95)
lembrando que, de acordo com os parâmetros usados neste trabalho, |c
4
| = c
4
.
Por simplicidade, a integrais em k serão feitas em separado. Primeiro, a integração
mais fácil:
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk e
−
β
2
2m
∗
k
2
k = lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
e
−a
2
β
2
2m
∗
− e
−b
2
β
2
2m
∗
2
β
2
2m
∗
=
1 − e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
β
2
m
∗
.
No limite de grandes valores de frequência, k
m
→ ∞, e tal expressão se simplifica na
forma
∞
0
dk e
−c
2
k
2
k =
1
2
β
2
2m
∗
=
m
∗
β
2
.
Este foi o resultado obtido no trabalho de Silva et al. (2006). Se este for o regime conside-
rado, de fato esta expressão está correta mas uma análise detalhada em baixas frequências
exige o termo adicional −
m
∗
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
β
2
.
A outra integral presente na equação 95 foi calculada com o auxílio de um software
de matemática simbólica, o Mathematica. A integração depende do sinal da constante c
2
.
Se ela for negativa,
3.2 Determinação da Parte Real da Função Dielétrica 59
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk
ke
−e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
k
2
c
2
2
− c
2
4
k
2
= lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
−
e
−
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
c
2
7
c
2
9
√
π
2
β
2
2m
∗
c
9
erfi
β
2
2m
∗
(
c
2
2
− c
2
4
a
2
)
c
4
+erfi
β
2
2m
∗
(
c
2
2
− c
2
4
b
2
)
c
4
= −
e
−
β
2
2m
∗
c
2
2
c
2
4
√
π
erfi
β
2
2m
∗
c
2
c
4
+ erfi
−
β
2
2m
∗
(
c
2
4
k
2
m
−c
2
2
)
c
4
2
β
2
2m
∗
c
4
= −
e
−
β
2
2m
∗
c
2
7
c
2
4
√
πerfi
β
2
2m
∗
c
2
c
4
2
β
2
2m
∗
c
4
.
Já se for positiva,
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk
ke
−
β
2
2m
∗
k
2
c
2
2
− c
2
4
k
2
=
e
−
β
2
2m
∗
c
2
2
c
2
4
√
πerfi
β
2
2m
∗
c
2
c
4
2
β
2
2m
∗
c
4
.
Então, as duas formas da integração podem ser condensadas na expressão:
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk
ke
−
β
2
2m
∗
k
2
c
2
2
− c
2
4
k
2
=
e
−
β
2
2m
∗
c
2
7
c
2
9
√
πerfi
β
2
2m
∗
|c
2
|
c
4
2
β
2
2m
∗
c
4
=
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
√
πerfi
β
2
2m
∗
k
m
2
β
2
2m
∗
c
4
, (96)
uma vez que erfi
(
−x
)
= −erfi
(
x
)
.
O resultado expresso pela equação 96 está condicionado a satisfação da desigualdade
ac
4
≤ |c
2
|;
mas que é válida no limite considerado, ou seja em que b → k
−
m
. As funções erfi(z) são
as funções erro imaginário, dadas pela expressão erfi(z) =
erf(iz)
i
, sendo erf(z) a função
erro integral; a integral da distribuição Gaussiana (BUTKOV, 1978; ARFKEN; WEBER,
2004):
erf
(
z
)
=
2
√
π
z
0
e
−t
2
dt. (97)
3.2 Determinação da Parte Real da Função Dielétrica 60
O resultado da integral I
1
é então:
I
1
= 2πβCe
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
1 − e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
β
2
m
∗
− |c
2
|
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
√
πerfi
β
2
2m
∗
k
m
2
β
2
2m
∗
c
4
.
3.2.2 Integração de I
2
Basicamente, o procedimento é o mesmo da subseção 3.2.1. A integração é um pouco
mais simples, tanto na parte angular quanto em k, e as mesmas condições estão presentes.
Com o encapsulamento dos parâmetros, a integral assume a forma:
I
2
=
∞
0
dk k
[
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
]
2π
0
dθ
1
c
2
+ c
3
cos θ
.
A integração em θ pode ser resolvida segundo o método dos resíduos (ARFKEN;
WEBER, 2004); ver demonstração no apêndice L:
2π
0
dθ
1
c
2
+ c
3
cos θ
=
1
c
2
2π
0
dθ
1
1 +
c
3
c
2
cos θ
=
2π |c
2
|
c
2
c
2
2
− c
2
3
, (98)
desde que |
c
3
c
2
| < 1; o que novamente implica em um valor máximo para k, k
m
, expresso
na equação 94. Dando sequência as contas:
I
2
= lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk k
(
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
))
2π |c
2
|
c
2
c
2
2
− c
2
3
=
2π |c
2
|
c
2
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk
k
[
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
]
c
2
2
− c
2
3
.
Nestas integrais, das duas constantes presentes no denominador, apenas c
3
é dependente
da variável k. Assim, ela será reescrita na forma: c
3
= c
4
k. Com estas modificações:
I
2
=
2πC |c
2
|
c
2
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk k
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
+
β
2
k
2
2m
∗
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
+
β
2
k
2
2m
∗
c
2
2
− c
2
4
k
2
=
2πC |c
2
|
c
2
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
lim
a→0
+
lim
b→k
−
m
b
a
dk
ke
−
β
2
2m
∗
k
2
c
2
2
− c
2
4
k
2
.
(99)
3.2 Determinação da Parte Real da Função Dielétrica 61
O resultado apresenta-se similar ao da equação 96:
I
2
=
2πC |c
2
|
c
2
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
√
πerfi
β
2
2m
∗
k
m
2
β
2
2m
∗
c
4
.
Isto encerra o cálculo da integral I
2
.
Com isto, a parte real da função dielétrica assume a forma:
{ε
nn
mm
(
q, ω
)
} = δ
nm
δ
n
m
−
(
e
−
)
2
ε
s
q
δ
nn
δ
mm
4π
2
(
I
1
+ I
2
)
= δ
nm
δ
n
m
−
(
e
−
)
2
4ε
s
qπ
2
δ
nn
δ
mm
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
√
πerfi
β
2
2m
∗
k
m
2
β
2
2m
∗
c
4
×
×|c
2
|
2πC
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
c
2
− 2πβCe
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
+
+2πβCe
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
1 − e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
β
2
m
∗
.
Devido a presença das deltas, há somente alguns elementos não nulos deste tensor. Se
n = m, e n
= m
, δ
nm
δ
n
m
= 1. Se m = m
; δ
mm
= 0, e assim, ε
nn
mm
= ε
mm
mm
= 1.
Se n = n
, m = m
mas n = m, então
{ε
nn
mm
(
q, ω
)
} = {ε
nnmm
(
q, ω
)
} =
β
(
e
−
)
2
Ce
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
2ε
s
qπ
1 − e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
β
2
m
∗
−
−
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
√
πerfi
β
2
2m
∗
k
m
2
β
2
2m
∗
c
4
|c
2
|
;
e finalmente, no caso em que os quatro números quânticos são iguais:
{ε
nnnn
(
q, ω
)
} = 1 + {ε
nnmm
(
q, ω
)
}.
Agora, resta o cálculo da parte imaginária.
3.3 Determinação da Parte Imaginária da Função Dielétrica 62
3.3 Determinação da Parte Imaginária da Função Dielétrica
Nesta seção realiza-se o cálculo do termo imaginário (rotulado por I
3
a partir daqui)
da integral expressa na equação 91, que envolve uma delta de Dirac:
I
3
=
S
2π
∞
0
dk k
2π
0
dθ δ
(
c
1
)
−
β
2
m
∗
f
n
(
k
)
kq cos
(
θ
)
+ f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
. (100)
Ela será dividida em duas, por questão de clareza. Mas em ambas, o procedimento será
o mesmo: a parte angular pode ser resolvida através de uma propriedade da delta; e a
integral restante, através do Mathematica. A parte imaginária da função dielétrica é um
múltiplo deste resultado.
Então, a integral I
3
expressa na equação 100 pode ser dividida em duas integrais I
4
e
I
5
:
I
3
=
S
2π
(
I
4
+ I
5
)
;
em que
I
4
= −
β
2
m
∗
∞
0
dk k
2π
0
dθ δ
(
c
1
)
f
n
(
k
)
kq cos
(
θ
)
= −
qβ
2
m
∗
∞
0
dk k
2
f
n
(
k
)
2π
0
dθ δ
(
c
1
)
cos
(
θ
)
(101)
e
I
5
=
∞
0
dk k
2π
0
dθ δ
(
c
1
)
[
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
]
=
∞
0
dk k
[
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
]
2π
0
dθ δ
(
c
1
)
. (102)
A delta de Dirac pode ser modificada segundo a propriedade δ
(
ax
)
=
δ(x)
|a|
:
δ
(
c
1
)
= δ
[
c
3
cos
(
θ
)
+ c
2
]
= δ
c
3
cos
(
θ
)
+
c
2
c
3
=
1
|c
3
|
δ
cos
(
θ
)
+
c
2
c
3
. (103)
De acordo com os parâmetros usados, a quantidade c
3
é positiva, e portanto, |c
3
| = c
3
.
Procede-se a seguir ao cálculo de I
4
.
3.3 Determinação da Parte Imaginária da Função Dielétrica 63
3.3.1 Resolução da Integral I
4
Por clareza, a integral em θ será realizada em separado:
2π
0
dθ δ
(
c
1
)
cos
(
θ
)
=
2π
0
dθ
1
c
3
δ
cos
(
θ
)
+
c
2
c
3
cos(θ)
=
1
c
3
2π
0
dθ δ
cos
(
θ
)
+
c
2
c
3
cos(θ)
= −
1
c
3
c
2
c
3
1 −
c
2
c
3
2
. (104)
Esta resolução se baseia em uma propriedade da função delta (BOAS, 1966); e está
explicitada no apêndice M.
A equação 104 implica na restrição de k ao mesmo valor k
m
, só que desta vez ele é
mínimo e não máximo como nas integrais da parte real; e desta vez não é preciso usar o
recurso do limite para o cálculo, por que a desigualdade é regida pelo símbolo ≤ ao invés
de <.
Inserindo a equação 104 na equação 102, procede-se à integração em k (novamente, é
necessária a substituição de c
3
por c
4
k, uma vez que k é a variável de integração):
I
4
=
qβ
2
m
∗
∞
k
m
dk k
2
f
n
(
k
)
c
2
c
2
4
k
2
1 −
c
2
2
k
2
c
2
4
=
qβ
2
m
∗
c
2
c
2
4
∞
k
m
dk
k
2
f
n
(
k
)
k
2
1 −
c
2
2
k
2
c
2
4
=
qβ
2
m
∗
c
2
c
2
4
∞
k
m
dk
Ae
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
+
β
2
2m
∗
k
2
1 −
c
2
7
k
2
c
2
4
=
qβ
2
m
∗
c
2
c
2
4
Ce
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
∞
k
m
dk
e
−
β
2
2m
∗
k
2
1 −
c
2
2
k
2
c
2
4
. (105)
Aqui cabe fazer uma ressalva. Se a integral for realizada no Mathematica na forma
expressa pela equação 105, o resultado será:
I
4
=
qβ
2
m
∗
c
2
c
2
4
Ce
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
e
−
β
2
2m
∗
c
2
2
c
2
4
√
π
1 − 2erf
−
β
2
2m
∗
c
2
c
4
2
β
2
2m
∗
;
mas isto implicará em uma grande complicação da função dielétrica; a saber, a perda da
3.3 Determinação da Parte Imaginária da Função Dielétrica 64
paridade das partes real e imaginária prevista no trabalho de Cerdeira et al. (1992), por
que com ele, a integral I
3
se torna uma quantidade complexa. Na forma da equação 105,
ela contribui tanto para a parte real quanto para a parte imaginária. A parte imaginária
não será ímpar, e a sua contribuição para a parte real faz com que ela deixe de ser par.
Entretanto, se a expressão da equação 105 for modificada conforme a equação 106
a seguir, a paridade de ambas as partes é recuperada. Por esta razão, decidiu-se dar
prosseguimento às contas de acordo com a equação 106:
I
4
=
qβ
2
m
∗
c
2
c
2
4
Ce
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
∞
k
m
dk
e
−
β
2
2m
∗
k
2
k
2
c
2
4
−c
2
2
k
2
c
2
4
=
qβ
2
m
∗
c
2
c
2
4
Ce
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
c
4
∞
k
m
dk
ke
−
β
2
2m
∗
k
2
k
2
c
2
4
− c
2
2
=
qβ
2
m
∗
c
2
c
2
4
Ce
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
e
−
β
2
2m
∗
c
2
2
c
2
4
√
π
2
β
2
2m
∗
= c
12
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
√
π
2
β
2
2m
∗
. (106)
Agora, há de se calcular a integral I
5
.
3.3.2 Cálculo da Integral I
5
A integração em θ da equação 102 é determinada através da inserção da equação 103:
2π
0
dθ δ(c
1
) =
1
c
3
2π
0
dθ δ
cos(θ) +
c
2
c
3
.
Esta integração pode ser resolvida através da aplicação da mesma propriedade da função
delta, aplicada na equação 104. Neste caso,
1
c
3
2π
0
dθ δ
cos(θ) +
c
2
c
3
=
1
c
3
1 −
c
2
c
3
2
=
c
3
c
3
c
2
3
− c
2
2
=
1
c
2
3
− c
2
2
,
em que valerá a mesma restrição de um valor mínimo para k (k
m
), similarmente ao exposto
na seção 3.3.1.
Isto posto; fazendo a substituição de c
3
= c
4
k, obtém-se:
I
5
=
∞
k
m
dk k
f
n
(
k
)
− f
n
(
k
)
c
2
4
k
2
− c
2
2
= C
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
∞
k
m
dk
ke
−
β
2
2m
∗
k
2
(
c
4
k
)
2
− c
2
2
,
3.3 Determinação da Parte Imaginária da Função Dielétrica 65
que é exatamente a mesma integração que gerou a equação 106.
De forma que:
I
5
=
C
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
c
4
e
−
β
2
2m
∗
c
2
2
c
2
4
√
π
2
β
2
2m
∗
=
C
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
c
4
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
√
π
2
β
2
2m
∗
Com isto a integral I
3
fica na forma:
I
3
=
SC
2πc
4
e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
1 +
qβ
2
m
∗
c
2
c
4
− e
−
βπ
2
2
n
2
2m
∗
L
2
P Q
e
−
β
2
2m
∗
k
2
m
√
π
2
β
2
2m
∗
,
e
{ε
nnmm
(
ω
)
} =
(
e
−
)
2
ε
s
Sq
δ
nn
δ
mm
I
3
.
Devido a presença das deltas de Kronecker no segundo membro da função dielétrica,
só haverá contribuições se n = n
e m = m
, seja n = m ou não.
66
4 OBTENÇÃO DA SEÇÃO DE ESPALHAMENTO RAMAN
RESSONANTE
Neste capítulo são apresentadas as contas necessárias para se obter uma expressão da
seção de espalhamento Raman ressonante, que será usada para investigar uma amostra
de GaAs.
4.1 Introdução
A crescente redução da escala de dispositivos eletrônicos tem motivado o estudo de
sistemas quânticos de baixa dimensionalidade, e a espectroscopia de espalhamento Raman
ressonante tem sido uma das técnicas mais usadas para a investigação destes sistemas.
O assunto do espalhamento Raman ressontante em semicondutores foi exaustivamente
revisto por Cardona (1982), que discute com profundidade sua utilidade e as sutilezas da
interpretação dos resultados experimentais.
Para compreender melhor o termo “ressonante”, há de se investigar a seção de choque
Raman Stokes. Ela resulta de uma soma infinita de termos originados nos processos que
envolvem a absorção virtual de um fóton (ω
L
) via interação elétron-fônon no estado
final ou inicial desta transição, e uma recombinação do par elétron-buraco resultado com
a emissão de um fóton (ω
S
) em processos que obedecem às leis de conservação. Sua
contribuição para a seção de espalhamento Raman é dada por:
σ ∝
c,c
v|H
e−r
|c
c
|H
e−p
|cc|H
e−r
|v
[
ω
L
−
(
E
c
− E
v
)
] [
ω
S
−
(
E
c
− E
v
)
]
+ ···
2
. (107)
Na equação acima, H
e−r
e H
e−p
são as Hamiltonianas das interações elétron-radiação e
elétron-fóton respectivamente, enquanto E
c
(E
v
) é a energia do estado eletrônico da banda
de condução (valência); analogamente, |c e |v indicam estados na banda de condução, e
de valência.
Nos casos onde a energia do fônon tanto do feixe incidente quanto do espalhado coin-
4.1 Introdução 67
cide com o de uma transição interbanda com uma densidade de estados de junção signifi-
cante, um ou ambos, dos dois termos energia do denominador da equação 107 desvanecem
e a contribuição deste termo particular domina a seção de espalhamento Raman. Isto re-
sulta em uma ampliação do pico de intensidade Raman. Assim, espera-se que a plotagem
da intensidade dos picos Raman seja uma função da energia do fóton do feixe incidente
e que produza espectros similares aos da espectroscopia de modulação. Aqui, o agente
modulador é um dos modos vibracionais do material.
Uma das desvantagens da técnica é que o processo de combinação dos dados é lento,
pois muitos experimentos Raman individuais devem ser realizados para diferentes com-
primentos de onda.
Retornando à equação 107, nota-se que cada elemento de matriz nesta equação rep-
resenta uma regra de seleção que deve ser obedecida se o processo de espalhamento tem
uma probabilidade não nula. Em particular, o elemento c
|H
e−p
|c corresponde a uma
interação elétron-fônon envolvendo os estados eletrônicos que mediam o evento de es-
palhamento. Portanto, os estados eletrônicos e vibracionais envolvidos devem ter uma
sobreposição espacial para que este elemento de matriz seja diferente de zero. Isto é de
crucial importância em uma super-rede A/B, onde ambos os estados eletrônicos e vi-
bracionais podem ser confinados tanto nas camadas A quanto B. Neste caso, um fônon
locoalizado na camada A não pode receber contribuição para sua seção de espalhamento
Raman de transições óticas entre estados localizados na camada B e vice-versa. Por-
tanto, nenhum efeito de ressonância será observado nesta seção de choque para este fônon
quando ω
L
estiver em ressonância com tal transição. Por outro lado, ampliações devido
a ressonância deverão ocorrer quando ambos os estados eletrônicos e os fônons estiverem
localizados na mesma camada. Da mesma maneira, modos vibracionais que se estendam
através de ambas as camadas terão seções de espalhamento ampliadas pela ressonância
com qualquer transição eletrônica e uma transição eletrônica entre estados eletrônicos es-
tendidos irá provocar ampliação nas linhas Raman. Esta característica torna a ERR uma
técnica complementar muito útil. Ela fornece informação localizada dos estados eletrôni-
cos participantes de uma dada transição ótica. Em suma, a seção de choque Raman de
uma vibração, conhecida a sua localização em uma dada camada, é ampliada somente
quando o feixe incidente ou espalhado está em ressonância com uma transição eletrônica
entre estados localizados na mesma camada.
Há no entanto que se tomar cuidado com as analogias entre a ERR e as técnicas
de espectroscopia moduladas: o máximo de energia do fóton da seção de choque ERR
4.2 Espalhamento Raman Ressonante em Poços Quânticos Simples 68
é com frequência bastante diferente dos pontos singulares das densidades de estado da
junção (e portanto dos picos correspondentes no espectro ótico). Por que isto ocorre ainda
não foi plenamente compreendido, mas a seção de espalhamento Raman depende da exata
natureza da interação elétron-fônon, que não pode ser formulada com exatidão na maioria
dos casos de interesse. Então, é preciso evitar de se assinalar a estrutura ótica com base
apenas na posição dos picos da seção de espalhamento ressonante.
Na próxima seção, será visto os cálculos realizados com uma quantidade derivada da
equação 107 que cumpre praticamente o mesmo papel, e tem a vantagem de ser estreita-
mente relacionada à função dielétrica já calculada.
4.2 Espalhamento Raman Ressonante em Poços Quânticos Simples
A literatura expõe que excitações eletrônicas inter-sub-bandas em poços quânticos
são fortemente afetados por efeitos de muitos corpos associados a interação Coulombiana.
O tratamento do problema introduz por exemplos sub-bandas de energia no espectro
elementar de uma única partícula:
E
0
n
=
π
2
n
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+
2
k
2
2m
∗
. (108)
No espectro de excitação, é necessário incluir ainda as correções da aproximação de
Hartree-Fock usadas na derivação do esquema da banda de Bloch. Para transições entre
sub-bandas n = 1 e n = 2, e com uma mudança no vetor de onda de k para k + q, é
válido que:
E
2
(
k + q
)
− E
1
(
k
)
= E
21
(
k, q
)
+ N
S
(
A
21
− B
21
)
, (109)
e que, na aproximação usual de uma partícula,
E
21
(
k, q
)
= E
0
2
(
k + q
)
− E
0
1
(
k
)
=
3π
2
2
2m
∗
L
2
QW
+
2
2m
∗
q ·
(
2k + q
)
, (110)
A
21
=
1
N
S
n
V
2D
(
q
)
F
nn
22
(
q
)
f
2
(
k + q
)
− F
nn
11
(
q
)
f
1
(
k
)
, (111)
4.2 Espalhamento Raman Ressonante em Poços Quânticos Simples 69
B
21
=
1
N
S
n
δ
σσ
U
2n
F
2n
2n
(
q
)
f
2
(
k + q
)
− U
1n
F
1n
1n
(
q
)
f
1
(
k
)
, (112)
com N
S
sendo a densidade eletrônica da folha, N
S
= nL
QW
, n é a concentração de
portadores móveis da banda eletrônica na amostra; A
21
e B
21
são respectivamente, as
contribuições direta e de troca originadas na interação da aproximação de Hartree-Fock,
que tem para os elétrons no poço quântico as expressões das Eqs.(111) e (112). A con-
tribuição de troca envolve apenas os elétrons que tem o mesmo spin e os U’s são as
integrais de troca. V
2D
(
q
)
=
(
e
−
)
2
2ε
0
qS
é o elemento de matriz em estados de ondas planas do
potencial Coulombiando em 2D, S é área da superfície e F
mm
nn
(
q
)
é o fator de forma, da
equação 79
F
mm
nn
(
q
)
=
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
ϕ
∗
m
(
z
)
ϕ
m
(
z
)
ϕ
∗
n
(
z
)
ϕ
n
(
z
)
e
−Q(z−z
)
.
Os valores de A
21
e B
21
podem ser obtidos de dados experimentais.
O espalhamento considerado está relacionado às menores excitações eletrônicas inter-
subbandas (1 → 2) em um poço quântico simples.
A seção reta de espalhamento para eventos com energias de excitação descritas pela
equação 109 - i.e., transições entre subbandas n = 1 e n = 2 com transferência de
momentum cristalino q é dada por (SILVA et al., 2006)
d
2
σ
dωdΩ
∼
1 − e
−βω
−1
F
21
(
q, ω
)
1 + V
2D
(
q
)
F
21
(
q, ω
)
, (113)
em que denota a parte imaginária e
F
21
=
k
⊥
f
1
(
k
)
− f
2
(
k + q
)
E
2
(
k + q
)
− E
1
(
k
)
− ω − iα
(114)
onde s tem que ser considerado no limite em que tende a 0
+
, e β =
1
k
B
T
.
Além disto, será usada a aproximação
E
2
(
k + q
)
− E
1
(
k
)
= ω
0
+
2
2m
∗
q ·
(
2k + q
)
, (115)
e
ω
0
=
3π
2
2
2m
∗
L
∗2
P Q
, (116)
definindo uma largura efetiva do poço quântico.
Isto foi feito para introduzir um parâmetro aberto cujo valor será determinado a partir
4.3 Regime Não Degenerado 70
dos dados em cada experimento. Isto é necessário para se superar a falta de informação
sobre os efeitos de muitos corpos presentes em A
21
e B
21
, i.e., as correções direta e de
troca aos níveis de energia auto-consistentes, e o efeito da estrutura das interfaces do poço
quântico, i.e., os detalhes de sua rugosidade.
Então, os valores experimentais de A
21
e B
21
foram usados para se determinar o valor
da largura efetiva do poço. Inserindo-os na equação 115, encontra-se que L
∗
QW
18.5nm,
um resultado apenas 3 por cento maior que a largura do poço quântico de 18nm. Este será
o padrão adotado para se determinar a largura efetiva no que se segue: L
∗
P Q
= 1.3L
P Q
.
Usando a equação 115, depois de desprezar a contribuição de q
2
, encontra-se que a equação
114 toma a forma:
F
21
(
q, ω
)
=
k
f
1
(
k
)
− f
2
(
k + q
)
∆E
,
sendo ∆ε =
(
ω
0
− ω
)
+
(
2
q · k/m
∗
)
− iα. Denotando F
21
(
q, ω
)
e F
21
(
q, ω
)
como as
partes real e imaginária de F
21
(
q, ω
)
, a seção de espalhamento da equação 107 se torna
d
2
σ
dωdΩ
∼
1 − e
−βω
−1
F
21
(
q, ω
)
G
2
21
(
q, ω
)
+ S
2
21
(
q, ω
)
, (117)
em que
G
21
(
Q, ω
)
= V
2D
(
q, ω
)
F
21
(
q, ω
)
+ 1 (118)
e
S
21
(
q, ω
)
= V
2D
(
q, ω
)
F
21
(
q, ω
)
. (119)
As funções de distribuição f
1
e f
2
são distribuições de Fermi-Dirac no regime estatístico
degenerado (baixas temperaturas), mas pode ser aproximada por uma distribuição de
Maxwell-Boltzmann no regime altamente degenerado, que será descrito na próxima seção.
4.3 Regime Não Degenerado
É exatamente o regime usado neste trabalho.
Este é o regime de altas temperaturas, i.e., T T
F
, onde T
F
é a temperatura de Fermi
do sistema eletrônico. Em tais circunstâncias, as distribuições de Fermi-Dirac podem ser
convenientemente aproximadas pelas distribuições de Maxwell-Boltzmann, ou seja,
f
n
(
k
)
= C exp
[
−βE
n
(
k
)
]
, (120)
e
C = N
S
π
2
m
∗
β
n
exp
−βn
2
ω
0
−1
. (121)
4.4 Cálculo da Seção de Espalhamento 71
Na seção seguinte, apresenta-se o resultado do cálculo das funções envolvidas na seção
de choque da equação 107.
4.4 Cálculo da Seção de Espalhamento
O ponto de partida é a função
F
21
(
q, ω
)
=
k
f
1
(
k
)
− f
2
(
k + q
)
∆ε
.
O objetivo é calcular as partes real e imaginária, para compor a seção de espalhamento
Raman ressonante.
Devido a estreita similaridade com as funções usadas anteriormente, os procedimen-
tos são praticamente os mesmos do capítulo 3. Serão ressaltados apenas os aspectos
dissimilares.
A mudança de variáveis inicial é diferente, mas a motivação é a mesma: obter uma
aproximação para vetores de onda pequenos;
k
→ k + q ⇒ k = k
− q.
Com isto:
F
21
(
q, ω
)
=
k
f
1
(
k − q
)
− f
2
(
k
)
∆E
,
sendo
∆E = E
0
2
(
k
)
− E
0
1
(
k + q
)
+ N
S
(
A
21
− B
21
)
− ω − iα
=
3π
2
2
2m
∗
L
∗2
P Q
+
2
2m
∗
q ·
(
2k + q
)
− ω − iα
= ω
0
+
2
2m
∗
q ·
(
2k + q
)
− ω − iα
ω
0
+
2
m
∗
q · k − ω − iα
=
(
ω
0
− ω
)
+
2
m
∗
q · k − iα;
com
3π
2
2
2m
∗
L
∗2
P Q
=
3π
2
2
2m
∗
L
2
P Q
+ N
S
(
A
21
− B
21
)
. No que tange às expressões do Cap(3), a única
diferença é a presença do termo
(
ω
0
− ω
)
, que era uma diferença entre energias expressas
pelo primeiro termo da equação 108.
Quanto às mudanças no numerador, elas seguem o mesmo procedimento exposto no
capítulo anterior: expande-se a função f
1
(
k − q
)
, define-se u = k −q e u
0
= k (ou seja,
4.4 Cálculo da Seção de Espalhamento 72
u quando q = 0) e ao final, determina-se que a diferença entre as funções de distribuição
f
1
(
k − q
)
− f
2
(
k
)
se escreve sob a forma:
f
1
(
k − q
)
− f
2
(
k
)
=
β
2
m
∗
f
1
(
k
)
k · q + f
1
(
k
)
− f
2
(
k
)
, (122)
e
f
1
(
k
)
− f
2
(
k
)
= C
e
−
π
2
β
2
2L
2
P Q
m
∗
− e
−
2π
2
β
2
L
2
P Q
m
∗
e
−
β
2
2m
∗
k
2
.
Na sequência, converte-se a soma em uma integração, e novamente, invoca-se o fato
de que α é uma quantidade infinitesimal para promover a separação da função F
21
(
Q, ω
)
em suas partes principal e imaginária.
Desta feita:
F
21
(
q, ω
)
= P
S
4π
2
2π
0
dθ
∞
0
dkk
β
2
m
∗
f
1
(
k
)
k · q + f
1
(
k
)
− f
2
(
k
)
(
ω
0
− ω
)
+
2
m
∗
q · k
e
F
21
(
q, ω
)
= π
S
4π
2
2π
0
dθ
∞
0
dkkδ
(
d
1
)
β
2
m
∗
f
1
(
k
)
k · q + f
1
(
k
)
− f
2
(
k
)
,
sendo
d
1
=
(
ω
0
− ω
)
+
2
m
∗
q · k.
A parte principal gera a própria função; P {F
21
(
q, ω
)
} = F
21
(
q, ω
)
, pela inexistência
de pólos no contorno da integral (ou seja, no infinito). Aplicando-se as mesmas técnicas
explicitadas no capítulo anterior, obtém-se:
F
21
(
q, ω
)
=
Ce
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
1 − e
−
4
(ω−ω
0
)
2
βm
∗
2q
2
4
Sm
∗
π
2
+
C
e
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
− e
−
2π
2
β
2
L
2
P Q
m
∗
S
π
(
ω − ω
0
)
−
−
Ce
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
βS
π
2
|ω − ω
0
|m
∗
e
−
(ω−ω
0
)
2
βm
∗
2q
2
√
πerfi
|ω−ω
0
|
β
2
2m
∗
m
∗
q
2
2
β
2
2m
∗
q
.
Para manter uma compatibilidade com o resultado publicado (SILVA et al., 2006), faz-se
4.4 Cálculo da Seção de Espalhamento 73
a seguinte mudança de variáveis:
|ω − ω
0
|
β
2
2m
∗
m
∗
q
=
ω
ω
0
− 1
|ω
0
|
β
2
2m
∗
m
∗
q
=
ω
ω
0
− 1
ω
0
β
2
2m
∗
m
∗
q
= ξ
q
|z − 1|
= ξ
q
|1 − z|,
ou seja,
ω
ω
0
= z e ξ
q
=
ω
0
β
2
2m
∗
m
∗
q
. Desta feita, a parte real da função F
21
(
q, ω
)
se converte
na forma F
21
(
q, z
)
:
F
21
(
q, z
)
= =
Ce
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
1 − e
−ξ
2
q
(1−z)
2
m
∗
π
2
−
|1 − z|
(
1 − z
)
Ce
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
1 − e
−1,0609βω
0
m
∗
S
πq
2
+
+
2C
β
2
2m
∗
e
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
m
∗
S
2
π
ξ
Q
|1 − z|
×
×
e
−ξ
2
q
(1−z)
2
√
π erfi
(
ξ
q
|1 − z|
)
2
√
c
2
=
Ce
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
Sm
∗
π
2
1 − e
−ξ
2
q
(1−z)
2
−
√
π
|1 − z|
(
1 − z
)
1 − e
−1,0609βω
0
2
√
c
2
q
+
+ξ
q
|1 − z|
]
e
−ξ
2
q
(1−z)
2
erfi
(
ξ
q
|1 − z|
)
. (123)
Analogamente, a parte imaginária se torna:
F
21
(
q, z
)
=
Ce
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
Sm
∗
π
2
1 − e
−1.0609βω
0
2q
−
βω
0
2q
(
1 − z
)
e
−
(ω−ω
0
)
2
π
2
βm
∗
2q
2
L
2
PQ
√
π
2
β
2
2m
∗
=
Ce
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
Sm
∗
π
2
1 − e
−1.0609βω
0
2q
−
βω
0
2q
(
1 − z
)
e
−ξ
2
q
(1−z)
2
√
π
2
β
2
2m
∗
. (124)
Estas foram as expressões usadas no cálculo dos termos expressos nas equações 118 ,
119 e da seção de choque do espalhamento Raman ressonante.
Os gráficos obtidos são assunto do próximo capítulo.
74
5 RESULTADOS
Neste capítulo, serão apresentados e comentados os gráficos referentes às partes real
e imaginária da função dielétrica, e ao espectro do espalhamento Raman ressonante.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica
Quando se considera a blindagem eletrônica, as transições intrasubbandas, que são
as que ocorrem entre estados com o mesmo número quântico n, desempenham um papel
muito mais relevante que as transições intersubbandas (números quânticos n diferentes).
Por isto, estas transições foram as investigadas, em detrimento das demais. Uma possível
explicação para este fato decorre da presença das deltas de Kronecker: δ
nn
δ
mm
. Nas tran-
sições intrasubbandas, n = n
e m = m
, e há uma contribuição do termo que apresenta
estes fatores (presente em ambas as partes de ε
nn
mm
). Nas transições intersubbandas
n = n
ou m = m
, logo δ
nn
δ
mm
= 0.
Quando se faz esta hipótese, {ε
nnmm
(
q, ω
)
} e {ε
nnmm
(
q, ω
)
} são sobremaneira
simplificadas, conforme as equações 125 e 126 abaixo ilustram;
{ε
nnmm
(
q, ω
)
} =
(
e
−
)
2
De
1
2
−
βm
∗
ω
2
q
2
−
π
2
β
2
n
2
2
L
2
P Q
m
∗
β
2q
2
θ
3
0, e
−
π
2
β
2
2L
2
P Q
m
∗
+ 1
ε
s
2
−1 + e
−
βω
2
m
∗
2q
2
q
+
√
2πωerfi
ω
√
βm
∗
√
2q
βm
∗
(125)
e
{ε
nnmm
(
q, ω
)
} =
π
(
e
−
)
2
De
−
βm
∗
ω
2
2q
2
−
π
2
β
2
n
2
2
2L
2
P Q
m
∗
ω
√
β
3
m
∗
2
√
2πq
2
θ
3
0, e
−
π
2
β
2
2L
2
P Q
m
∗
+ 1
ε
s
. (126)
Tais funções foram plotadas com diferentes parâmetros de vetor de onda da pertur-
bação q, temperatura T , densidade D e largura do poço quântico L
P Q
.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 75
Figura 8: Dependência de {ε
11mm
(q, ω)} em relação à frequência da perturbação ω. Pa-
râmetros: T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, q = 10
3
cm
−1
e L
P Q
= 50nm. A função dielétrica é
adimensional, assim como suas partes real e imaginária. Portanto, o sistema de unidades e as
próprias unidades usadas para o cálculo são arbitrárias.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 76
Figura 9: {ε
11mm
(q, ω)} em função de ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, q = 10
4
cm
−1
e
L
P Q
= 50nm.
Na figura 8, ilustra-se a dependência de {ε
11mm
(
q, ω
)
} com ω para os seguintes
valores dos parâmetros: T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, q = 10
3
cm
−1
.
Verifica-se que tal função é par, um resultado bastante similar ao previsto na expressão
mais geral relacionado D e E (CERDEIRA et al., 1992), e que para frequências baixas,
a contribuição da parte par da componente 11mm do tensor dielétrico é pequena, mas
aumenta drasticamente até atingir um mínimo na frequência ω ≈ 5.5×10
10
s
−1
= 0.14ω
2D
p
,
sendo ω
2D
p
a frequência de plasmon 2D do sistema descrita por (FERRY; GOODNICK,
1997):
ω
2D
p
= e
−
Dq
2ε
s
m
∗
;
para depois decrescer até se estabilizar por volta de ω = 6 × 10
13
s
−1
. Isto revela algo
bastante interessante: o pico da resposta, ou seja, da blindagem eletrônica se dá numa
frequência bem inferior à frequência de plasmon, indicando que não é esta a excitação
elementar o principal agente a compor a resposta. Além disto, a capacidade de reação é
limitada; o sistema eletrônico, apesar de sua dinâmica bastante intensa, não consegue se
rearranjar acompanhando a perturbação imposta diante do aumento de frequências, para
frequências muito altas, e é por isto que a curva se estabiliza para grandes valores de ω.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 77
Figura 10: {ε
11mm
(q, ω)} em função de ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, q = 10
5
cm
−1
e
L
P Q
= 50nm.
Na figura 9, é exibida a mesma dependência, só que com a alteração do vetor de
onda da perturbação: q = 10
4
cm
−1
. O comportamento da função é essencialmente o
mesmo, percebendo-se apenas mudanças na escala da função e um deslocamento do pico:
o mínimo é cerca de dez vezes maior, assim como a frequência na qual ele ocorre, ω =
5.49 × 10
11
s
−1
= .44ω
2D
p
.
Já na figura 10, exibe-se o gráfico no caso em que q = 10
5
cm
−1
. Comportamento
similar ao do caso em que q = 10
4
cm
−1
, novamente o pico é deslocado para uma frequência
ω = 5.49 × 10
12
s
−1
= 1.4ω
2D
p
, dez vezes maior que a anterior, assim como a ordenada
correspondente. Mas desta vez, o pico da resposta eletrônica se dá numa frequência
maior que a de plasmon, indicando novamente que estes agentes não são o principal
agente da resposta, mas que neste caso, a atuação desta excitação elementar contribui
para o aumento da blindagem.
A figura 11 ilustra o efeito da variação do vetor de onda da perturbação nos três casos.
É tentador pensar que quanto maior o valor do vetor de onda da perturbação, mais
intensa deveria ser a resposta do sistema, por que haveriam transições mais intensas.
Entretanto, vale ressaltar que quando se considera o tensor dielétrico, as transições mais
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 78
Figura 11: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, nos casos em
que o vetor de onda da perturbação assume valores de 10
3
, 10
4
e 10
5
cm
−1
.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 79
Figura 12: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
QW
= 50nm e q = 10
4
cm
−1
.
Conforme o previsto na literatura (CERDEIRA et al., 1992), tal função é ímpar.
importantes são as intrasub-bandas, e o vetor de onda da perturbação pouco tem a ver
com elas.
Uma possível causa deste comportamento seria o fato de que quanto maior o vetor de
onda da perturbação, menor o seu comprimento de onda. Isto implica que cada ciclo espa-
cial de atuação da perturbação compreende uma região menor, e provavelmente age sobre
uma quantidade menor de elementos da reação do sistema. Assim, esta variação tanto na
escala, quanto no deslocamento do pico da função poderia estar relacionada a diminuição
da região de influência da perturbação em um determinado período espacial, assumindo
que ambos os vetores de onda atuam sobre o mesmo tipo de excitação elementar.
Este mesmo conjunto de parâmetros foi usado na investigação da dependência da
parte imaginária de ε
11mm
(
q, ω
)
com a frequência.
Na figura 12, ilustra-se o que ocorre quando T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm
e q = 10
3
cm
−1
.
Conforme previsto no trabalho de Cerdeira et al. (1992), a parte imaginária da função
dielétrica apresenta a paridade correta, com um mínimo em ω = 2.5 × 10
10
s
−1
, um re-
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 80
Figura 13: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm e q = 10
3
, 10
4
e
10
5
cm
−1
.
sultado bastante distinto da frequência de plasmon, ω
2D
p
= 3.9 × 10
11
s
−1
(cerca de 15
vezes maior que a frequência do pico), o que sugere ser esta parte da função pouco rela-
cionada ao comportamento destas excitações elementares. O desvanecimento da curva
para grandes valores de frequência pode também ser um reflexo da capacidade finita do
sistema eletrônico de reagir à perturbação.
Na figura 13, ilustra-se o efeito da variação de q. Verifica-se que, como no caso da
parte real da função dielétrica, a variação deste parâmetro não muda o comportamento,
mas a escala e a posição do máximo da função. Verifica-se que quanto maior a frequência,
os picos se tornam mais próximos da frequência de plasmon 2D, mas menos pronunciados,
o que sugere ser a composição dos plasmons à resposta de baixa intensidade.
Investigou-se também a variação em outros parâmetros.
Na figura 14, verifica-se o efeito de uma variação drástica na temperatura, T = 50K,
mantidas a densidade, D = 10
12
cm
−2
, a largura do poço L
P Q
= 50nm, e o vetor de onda
da perturbação, q = 10
3
cm
−1
.
Nota-se que a redução da temperatura chega a ampliar a magnitude dos valores de
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 81
Figura 14: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
3
cm
−1
a diferentes
temperaturas de T = 300K e T = 50K.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 82
Figura 15: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para T = 50K, D = 10
12
cm
−2
, L
QW
= 50nm e q = 10
3
, 10
4
e
10
5
cm
−1
.
{ε
11mm
(
q, ω
)
} em até 50 vezes. Há boas chances de que isto ocorra devido a redução
tremenda no número de fônons do sistema. Desta forma, o sistema eletrônico e as exci-
tações a ele relacionadas pode trafegar mais livremente pelo material. Seria como uma
redução do efeito do substrato nos resultados.
Nesta temperatura, T = 50K, plotou-se também curvas relativas aos comprimentos
de onda q = 10
4
cm
−1
e q = 10
5
cm
−1
, para os mesmos valores de densidade e comprimento
de onda da perturbação. O resultado está ilustrado na figura 15. O efeito da variação do
vetor de onda nesta temperatura é o mesmo do caso T = 300K.
Realizou-se a mesma análise em relação a parte imaginária da função de onda.
Verifica-se na figura 16 que tal variação de temperatura amplifica os valores da parte
imaginária da função, mas provoca uma translação do pico para uma frequência de 2.6 ×
10
10
s
−1
(no caso de T = 300K) para 1.1 × 10
10
s
−1
(T = 50K) e um decréscimo na
magnitude em torno de 8 vezes. A influência do substrato é drasticamente reduzida,
ressaltando o comportamento do sistema eletrônico.
Na figura 17, verifica-se a modificação na curva devido a variação do vetor de onda à
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 83
Figura 16: {ε
1111
(q, ω)}×ω para D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm e q = 10
3
cm
−1
a temperaturas
de T = 300K e T = 50K.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 84
Figura 17: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para T = 50K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm e q =
10
3
, 10
4
, e 10
5
cm
−1
.
temperatura de T = 50K. Basicamente, as mesmas modificações da parte real.
Uma inspeção da parte real a uma temperatura ainda menor (ver figura 18) revela
uma evidenciação ainda maior da resposta do sistema, no sentido do que foi averiguado
na comparação anterior, entre T = 300K e T = 20K.
O efeito da variação da curva com os valores de q mostra o mesmo comportamento
dos casos de temperaturas maiores.
A investigação da parte imaginária para este caso mostra um resultado análogo, con-
forme pode-se ver na figura 19.
Também neste caso, a variação do vetor de onda provoca os mesmos efeitos que nos
casos das temperaturas T = 50K e T = 300K.
Então, resta investigar o efeito da variação da densidade e da largura do poço quântico.
Considerando T = 50K, L
QW
= 50nm, e q = 10
4
cm
−1
, verifica-se , conforme o
ilustrado na figura 20 que conforme a densidade aumenta, aumenta a amplitude e o pico
é deslocado a direita. Isto remete a considerar que o aumento na densidade aumenta o
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 85
Figura 18: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para L
QW
= 50nm, D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
3
cm
−1
nas
temperaturas de T = 50K e T = 20K.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 86
Figura 19: {ε
11mm
(q, ω)} em função da frequência, para L
QW
= 50nm, D = 10
12
cm
−2
, e
q = 10
3
cm
−1
nas temperaturas de T = 50K e T = 20K.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 87
Figura 20: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para L
QW
= 50nm, T = 50K, q = 10
4
cm
−1
nas densidades
D = 10
12
cm
−2
, D = 10
11
cm
−2
e D = 10
10
cm
−2
.
número de agentes do sistema eletrônico e excitações a ele relacionada. Decorre disto uma
ampliação na resposta do sistema.
Isto também aparece na parte imaginária da função dielétrica, conforme o exibido na
figura 21.
Por fim, a análise do efeito da largura do poço quântico. Esta foi sem dúvida a
investigação mais interessante. Foram escolhidos os parâmetros T = 50K, D = 10
12
cm
−2
,
q = 10
4
cm
−1
e os valores 100, 50, 40 e 20nm para a largura do poço.
Na figura 22, mostra-se o resultado para a parte real.
Na figura 23, a parte imaginária.
Estes gráficos apresentam um comportamento intrigante. Na parte real, a curva de
pico mais acentuado corresponde a L
P Q
= 20nm, e vai descrecendo, conforme o valor da
largura do poço diminui. Ressalta-se ainda uma grande diminição do pico, de L
P Q
= 20nm
para L
P Q
= 40nm.
Entretanto, este não é o comportamento da parte imaginária. No caso, o pico mais
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 88
Figura 21: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para L
QW
= 50nm, T = 50K, q = 10
4
cm
−1
nas densidades
D = 10
12
cm
−2
, D = 10
11
cm
−2
e D = 10
10
cm
−2
.
5.1 Gráficos Relativos à Função Dielétrica 89
Figura 22: {ε
11mm
(q, ω)} × ω para D = 10
12
cm
−2
, T = 50K, q = 10
4
cm
−1
nas larguras
L
QW
= 100, 50, 40, e 20nm.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 90
intenso corresponde a L
P Q
= 50nm, seguido em ordem decrescente pelo pico de 40nm e
pelo de 20. E o pico de 100nm é praticamente indistinto do pico de 20nm, como pode ser
visto na figura 23. É um caso único de descolamento dos comportamentos da parte real
e imaginária.
O resultado intuitivo seria um descréscimo na amplitude das curvas conforme se
diminui a largura do poço: mantendo-se a densidade constante, a diminuição da largura
diminui o número de estados, e esperar-se-ia disto uma atenuação na capacidade de
resposta do sistema.
Entretanto, isto não foi observado.
Considerar que a diminuição da largura do poço implica em uma aproximação dos
elétrons pode ser falacioso, por que a densidade não se altera. De fato, há menos agentes
em números absolutos, mas a resposta deles aumenta!
Apesar disto, há uma hipótese razoável a explicar o comportamento da parte real da
função dielétrica: quanto menor a largura do poço, tanto mais intensos serão os efeitos
quânticos. Os níveis de energia tornam-se cada vez mais espaçados, e isto implica que
transições envolverão emissões ou absorções mais intensas. Sob este aspecto, é razoável o
que ocorre com a parte real da função dielétrica: o espaçamento cada vez maior dos níveis
de energia provoca um efeito que sobrepuja o fato de haverem menos agentes no sistema.
Quanto ao comportamento da parte imaginária, e sua drástica diferença em relação a
parte real; isto demanda mais pesquisa para uma interpretação adequada.
Na seção seguinte, os resultados do espalhamento Raman ressonante.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante
Nesta seção são exibidas as curvas relativas às funções expressas nas equações 118,
119 e 117 obtidas no capítulo 4.
Para o conjunto de parâmetros T = 300K, L
P Q
= 50nm, D = 10
12
cm
−2
, e q =
10
4
cm
−1
, plotou-se as curvas relativas a G
21
(
q, ω
)
, F
21
(
q, ω
)
, e S
21
(
q, ω
)
, para compara-
ção com os resultados obtidos na literatura (SILVA et al., 2006).
Na figura 24, ilustra-se a curva obtida a partir da equação 118. Verificou-se que esta
função apresenta apenas uma raiz, exatamete em ω
0
, contrastando com as quatro raizes
determinadas por Luzzi e Silva.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 91
Figura 23: {ε
11mm
(q, ω)}×ω D = 10
12
cm
−2
, T = 50K, q = 10
4
cm
−1
nas larguras L
P Q
= 100,
50, 40, e 20nm.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 92
Figura 24: G
21
(q, ω) vs. ω plotada com o conjunto de parâmetros T = 300K, L
P Q
= 50nm,
D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
4
cm
−1
.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 93
Figura 25: F
21
(q, ω) x ω, plotada com o conjunto de parâmetros T = 300K, L
P Q
= 50nm,
D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
4
cm
−1
.
Na figura 25, a função F
21
(
q, ω
)
, plotada com os mesmos parâmetros.
Na figura 26, a função S
21
(
q, ω
)
.
Há similaridade no comportamento das funções, mas os picos que estão exatamente
sobre ω
0
contrastam com os picos mais afastados desta posição, ilustrados nos gráficos
das figuras 28.
Na figura 27, a curva relativa ao espectro Raman ressonante. Há um pico bastante
concentrado em ω
0
.
Elas não apresentam semelhança com as curvas exibidas na literatura (SILVA et al.,
2006), conforme a figura 28 nos mostra.
Assim também ocorreu com respeito ao espectro do espalhamento (ver figura 29).
Após laboriosos exames em busca de funções que pudessem gerar os gráficos obtidos
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 94
Figura 26: S
21
(q, ω) em função da frequência escalonada
ω
ω
0
para os mesmos parâmetros, T =
300K, L
P Q
= 50nm, D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
4
cm
−1
.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 95
Figura 27: Espectro do espalhamento Raman ressonante em função da frequência escalonada
ω
ω
0
para o conjunto de parâmetros T = 300K, L
P Q
= 50nm, D = 10
12
cm
−2
, e q = 10
4
cm
−1
.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 96
Figura 28: G
21
(q, ω), F
21
(q, ω), e S
21
(q, ω) obtida por Luzzi e Silva. Nota-se que a função
G
21
(q, ω) apresenta quatro raizes, que se manifestarão depois na seção de espalhamento como
quatro bandas correspondentes a quatro tipos de excitações elementares.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 97
Figura 29: Espectro do Espalhamento Raman Ressonante, obtido por Luzzi e Silva. As quatro
bandas destacadas correspondem a excitação inferior de densidades de carga coletivas, (EDC
−
),
em ω
EDC
−
= 0.546ω
0
, duas bandas sobrepostas correspondentes a excitações de partícula única
(PU
±
) centradas em ω
P U
−
= 0.992ω
0
e ω
P U
+
= 1.007ω
0
; e uma quarta banda não ilustrada
relacionada a uma excitação superior de densidades de carga coletiva (EDC
+
) em ω
EDC
+
=
7.380ω
0
.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 98
Figura 30: Função G
21
(q, ω) em função da frequência, obtida a partir da equação 127, para os
parâmetros: T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm e q = 10
4
cm
−1
.
numericamente, determinou-se que a função
F
21
(
q, ω
)
=
Ce
−
π
2
β
2
2L
2
PQ
m
∗
Sm
∗
π
2
1 −
√
π
1 − e
−1,0609βω
0
2
β
2
2m
∗
q
+ ξ
q
(
1 − z
)
×
×e
−ξ
2
q
(1−z)
2
erfi
(
ξ
q
|1 − z|
)
(127)
é capaz de gerar um gráfico da função G
21
(
q, ω
)
bastante similar ao observado na figura
28, conforme a figura 30 exibe.
Apesar de reproduzir um comportamento similar, tal função não foi capaz de deter-
minar as quatro raízes observadas pela G
21
(
q, ω
)
da figura 28. Apenas as raízes, muito
próximas uma da outra, em torno de ω = ω
0
e a raiz em torno de ω = 1.5ω
0
apareceram.
Com a expressão deF
21
(
q, ω
)
explicitada em 127, e a mesma função F
21
(
q, ω
)
da
equação 124, plotou-se o espectro do espalhamento Raman ressonante. O resultado está
na figura 31.
Ela revela que em se tratando do plotting gerado no software, uma modificação da
função F
21
(
q, ω
)
não altera muito o resultado do espectro.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 100
Figura 32: G
21
(q, ω) × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
.
Note que apresentam-se uma depressão e uma saliência, resultado distinto do encontrado para
a função correspondente na figura 36, com duas depressões e uma saliência.
Para mais uma comparação, foram plotadas as funções G
21
(
q, ω
)
, F
21
(
q, ω
)
, S
21
(
q, ω
)
e o espectro do espalhamento para o mesmo conjunto de parâmetros à exceção do vetor
de onda da perturbação, que passa a valer q = 10
5
cm
−1
. Os resultados estão nas figuras
32, 33, 34 e 35.
Um aspecto interessante a se notar é a mudança relevante no comportamento das
funções G
21
(
q, ω
)
, F
21
(
q, ω
)
e S
21
(
q, ω
)
pela alteração de uma ordem de grandeza para
o vetor de onda, tornando as curvaturas mais intensas. Isto produziu duas bandas na
seção de espalhamento, como se pode notar na figura 35, um pico bastante intenso, mas
em uma frequência relativamente baixa, um pouco abaixo de ω = 0.25ω
0
, e uma banda
por volta de 0.75ω
0
.
Apesar destas variações interessantes, as curvas são muito diferentes de suas corres-
pondentes, conforme se ilustrará a seguir.
Nas figuras 36 e 37 são exibidos os resultados publicados (SILVA et al., 2006).
Verifica-se novamente que as curvas obtidas a partir das funções analíticas não repro-
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 101
Figura 33: F
21
(q, ω) × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
. O
comportamento desta curva é similar ao da sua correspondente na figura 36, mas o pico está
deslocado. Isto não representa grandes problemas por causa das unidades diferentes usadas nos
gráficos.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 102
Figura 34: S
21
(q, ω) × ω para T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
. O
comportamento é similar, mas não idêntico, por que esta curva se apresenta simétrica, o que
não ocorre com sua correspondente da figura 36. Desta vez, a diferença na posição e amplitude
do pico em relação a curva correspondente é relevante por que estas funções são adimensionais,
e eventuais diferenças introduzidas pelos sistemas de unidades diferentes deveriam desaparecer.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 104
Figura 36: Funções G
21
(q, ω), F
21
(q, ω), S
21
(q, ω) obtidas após Luzzi e Silva, no caso em que
são considerados os parâmetros T = 300K, D = 10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
. Neste
caso, a função G
21
(q, ω) não possui zeros, mas apresenta um comportamento similiar ao do caso
q = 10
4
cm
−1
, com duas depressões e uma saliência.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 105
Figura 37: Espectro do espalhamento Raman ressonante para os parâmetros T = 300K, D =
10
12
cm
−2
, L
P Q
= 50nm, e q = 10
5
cm
−1
. Há duas bandas centradas na posição aproximada
das duas bandas esperadas devido a excitações de partícula única. As bandas correspondentes
à excitações coletivas não foram observadas.
5.2 Gráficos Relativos ao Espalhamento Raman Ressonante 106
duzem os resultados numéricos de Luzzi e Silva, com um pico elevadíssimo e bem largo
em torno de ω = 0.25ω
0
e um ombro em torno de ω = 0.75ω
0
.
No próximo capítulo, será feito um resumo dos resultados, e a conclusão acerca do
trabalho.
107
6 CONCLUSÕES
Neste capítulo serão apresentados o resumo dos resultados, as implicações que eles
indicaram e sugestões para trabalhos futuros.
Tratando das curvas relativas às partes reais e imaginárias do tensor dielétrico, percebeu-
se de forma geral que a variação dos parâmetros não muda o comportamento da função,
apenas provoca a translação e a variação na magnitude do pico das partes da função
resposta.
Em geral, o comportamento da parte imaginária segue o da parte real, com a modifi-
cação do sistema acompanhando o crescimento da frequência da perturbação até um má-
ximo, e então a parte real se estabiliza, enquanto a parte imaginária desvanece. Isto sugere
que a parte real esteja mais relacionada com o comportamento do sistema eletrônico.
Em alguns casos, o pico é bastante próximo a frequência de plasmon, indicando ser
esta a excitação elementar relevante nos processos. Entretanto, em outros, o valor do
pico é bem mais alto, ou mais baixo, indicando que estas excitações elementares não
desempenham um papel preponderante na resposta do sistema.
As variações dos parâmetros provocam em geral, resultados intuitivos. Quando se
amplia o vetor de onda, a resposta do sistema é atenuada, o que pode resultar, como já
foi comentado no capítulo 5, da diminuição do ciclo espacial (comprimento de onda) de
atuação da perturbação. A diminuição da temperatura amplifica a resposta, talvez pela
redução da influência do substrato, ou seja, a resposta do sistema do gás de elétrons se
torna mais e mais relevante. A variação da densidade resulta no mesmo comportamento,
e este pode ser o resultado mais compreensível, visto a óbvia diminuição do número de
estados excitados. Nestes casos em que se considerou diferentes temperaturas e densi-
dades, a variação do vetor de onda não introduz novidades, sendo repetidos os resultados
anteriores desta análise.
O resultado mais interessante foi o obtido pela variação da largura do poço. Destaca-
se o comportamento distinto único destas comparações, das partes real e imaginária.
6 Conclusões 108
Enquanto a parte real apresenta uma resposta decrescente conforme se diminui a largura
do poço, a parte imaginária apresenta uma resposta máxima em 50nm, e depois em 100,
apresentando curvas praticamente indistinguíveis para as larguras de 20 e 40nm.
É um caso único de descasamento do comportamento das partes real e imaginária.
Os dois fatores mais relevantes são a redução do número de elétrons da resposta (pela
diminuição da largura, mantendo-se a densidade), e o aumento do espaçamento entre os
níveis de energia, cada um deles provocando um efeito contrário ao do outro.
Quanto se considera a parte real, é evidente que o espaçamento dos níveis de energia
é o efeito relevante, mas no caso da parte imaginária, parece que um efeito prepondera
numa faixa de frequência não foi possível estabelecer uma relação clara entre ambos.
No tocante às curvas do espalhamento Raman, os resultados foram drásticamente
distintos dos resultados da literatura (SILVA et al., 2006).
No caso em que q = 10
4
cm
−1
, a função G
21
(
q, ω
)
, que apresenta quatro raízes na
figura 28 relativa à publicação, apresenta uma única raiz em ω = ω
0
.
Apesar das funções F
21
(
q, ω
)
e S
21
(
q, ω
)
apresentarem comportamento um tanto
similar ao das curvas correspondentes na figura 28, estão muito mais concentradas e são
simétricas, além de terem apenas um único pico em ω = ω
0
.
A seção de espalhamento segue o comportamento das funções relacionadas a parte
imaginária de F
21
(
q, ω
)
, o que não tem similaridade alguma com a curva da figura 29, que
apresenta quatro bandas correspondentes a quatro excitações elementares, relacionadas
respectivamente a cada uma das raízes da função G
21
(
q, ω
)
obtida no trabalho de Silva
et al. (2006).
Através da modificação da função F
21
(
q, ω
)
expressa na equação 127, conseguiu-se
imitar alguns aspectos da G
21
(
q, ω
)
publicada. Entretanto, aparecem apenas três raízes,
e pode-se notar ainda que os mínimos das duas depressões parecem invertidos, o menor
ocorre em uma frequência menor que o outro, comportamento contrário ao da figura 28.
As curvas relativas a q = 10
5
cm
−1
aprentaram os mesmos problemas de comparação
com suas correspondentes das figuras 36 e 37.
A figura 32 revela apenas uma depressão e uma saliência, enquanto a curva corre-
spondente apresenta duas depressões e uma saliência.
As funções F
21
(
q, ω
)
e S
21
(
q, ω
)
apresentaram aspectos similares aos das curvas cor-
respondentes, apesar de sua simetria destoar, e a amplitude e o pico de S
21
(
q, ω
)
serem
6 Conclusões 109
diferentes da S
21
(
q, ω
)
de referência. Os picos aparecem um pouco deslocados de ω
0
.
Entretanto, o espectro Raman ressonante apresenta bandas em frequências muito mais
baixas que sua correspondente da figura 37, e com picos bem diferentes também.
Como a função F
21
(
q, ω
)
da equação 127 gerou uma curva de G
21
(
q, ω
)
bem parecida
com a do trabalho de Luzzi e Silva, isto sugere que na resolução das partes real e imaginária
do tensor dielétrico, não é necessário tanto rigor ao se extrair a raiz quadrada do quadrado
de uma quantidade real como o seu módulo, por que é o que a distingue da expressão
equação 123.
Mas, de forma geral, as expressões analíticas encontradas não geram os resultados dos
cálculos numéricos com as quais foram comparadas. Isto frusta a indicação das expressões
analíticas obtidas como substitutas de métodos numéricos costumeiramente usados para
se determinar ε
nn
mm
(
q, ω
)
.
Isto pode ter ocorrido pela insuficiência do software utilizado em reservar memória
suficiente para as variáveis usadas.
Como sugestão para trabalhos futuros, seria interessante implementar métodos numéri-
cos às integrações das equações 96 e 106 para comparar com os resultados publicados, e
usar outros métodos de integração, como por exemplo, a integração no espaço de energia,
ao invés da integração no espaço k (ASHCROFT; MERMIM, 1978, p. 45).
110
APÊNDICE A -- DEMONSTRAÇÃO DA CONVOLUÇÃO DA
DENSIDADE DE CORRENTE
Neste apêndice, registrou-se a demonstração da equação 19.
Basta inserir as equações 16 e 17 na equação 15:
J
(
r, t
)
=
1
2π
∞
−∞
dω J
(
r, ω
)
e
−iωt
⇒
d
3
r
∞
0
dτ
˜
˜σ
(
r, r
, τ
)
E
(
r
, t − τ
)
=
1
2π
∞
−∞
dω J
(
r, ω
)
e
−iωt
⇒
d
3
r
∞
0
dτ
˜
˜σ
(
r, r
, τ
)
1
2π
∞
−∞
dω E
(
r, ω
)
e
−iω(t−τ)
=
1
2π
∞
−∞
dω J
(
r, ω
)
e
−iωt
⇒
1
2π
∞
−∞
dω
d
3
r
∞
0
dτ
˜
˜σ
(
r, r
, τ
)
e
−iωτ
E
(
r, ω
)
e
−iωt
=
1
2π
∞
−∞
dω J
(
r, ω
)
e
−iωt
⇒
1
2π
∞
−∞
dω
d
3
r
˜
˜σ
(
r, r
, ω
)
E
(
r, ω
)
e
−iωt
=
1
2π
∞
−∞
dω J
(
r, ω
)
e
−iωt
⇒
d
3
r
˜
˜σ
(
r, r
, ω
)
E
(
r, ω
)
= J
(
r, ω
)
.
111
APÊNDICE B -- DEMONSTRAÇÃO DA RELAÇÃO TENSORIAL ENTRE
O TENSOR DIELÉTRICO E A CONDUTIVIDADE
Para fazê-lo, basta aplicar o rotacional à equação de Faraday, usar a aproximação
de que ∇ × M ≈ 0, aplicar a transformação de Fourier espacial e temporal à equação
resultante, inserir a relação J
F
(
q, ω
)
=
˜
˜σ
(
q, ω
)
E
(
q, ω
)
, e então, resolver para D.
Demonstração:
∇ × ∇ × E = ∇ ×
−
1
c
∂B
∂t
⇒ −∇
2
E =
iω
c
∇ ×
(
H + 4πM
)
⇒ −∇
2
E =
iω
c
4π
c
J
F
+
1
c
∂D
∂t
+ 4π
(
∇ × M
)
≈
iω
c
4π
c
J
F
+
1
c
∂D
∂t
⇒ q
2
E
(
q, ω
)
≈
iω
c
4π
c
J
F
(
q, ω
)
+
−iω
c
D
(
q, ω
)
⇒ D
(
q, ω
)
≈
c
2
q
2
ω
2
˜
˜
1 +
4π
iω
˜
˜σ
(
q, ω
)
E
(
q, ω
)
=
˜
˜
1 +
4π
iω
˜
˜σ
(
q, ω
)
E
(
q, ω
)
⇒ ε
(
q, ω
)
≈
˜
˜
1 +
4π
iω
˜
˜σ
(
q, ω
)
.
112
APÊNDICE C -- TRANSFORMADA DE FOURIER 3D DE
1
|R−R
|
Neste apêndice será feita a demonstração de que a componente da transformada de
Fourier 3D de
1
|R − R
|
=
1
|r − r
|
2
+
(
z − z
)
2
1/2
(128)
é de fato
4π
Q
2
.
A expansão em série de Fourier da equação 128 é:
1
|R − R
|
=
1
(
2π
)
3
dQ
e
iQ
·(R−R
)
F
(
Q
)
.
É preciso explicitar então F
(
Q
)
. Segundo a teoria:
F
(
Q
)
=
dR
e
−iQ·(R−R
)
|R − R
|
=
dR
e
−iQR cos[(R−R
),Q]
|R − R
|
. (129)
Com o objetivo de tornar os cálculos possíveis, introduz-se a unidade na equação 129 com
uma forma apropriada:
F
(
Q
)
=
dR (1)
e
−iQR cos[(R−R
),Q]
|R − R
|
=
dR lim
α→0
e
−αR
e
−iQR cos[(R−R
),Q]
|R − R
|
. (130)
Uma mudança no sistema de coordenadas possibilita mais avanços. Da forma que está; a
descrição espacial do problema está expressa na figura 38.
Mas como os resultados não dependem do sistema de coordenadas, então não depen-
dem de onde ele é posicionado, nem de sua orientação. Então, é interessante usar um
sistema de coordenadas que facilite as contas, e a mudança escolhida está representada
na figura 39.
Com esta origem, |R − R
| se torna R, e cos
[
(
R − R
)
, Q
]
se torna cos θ (θ é o ângulo
azimutal de um sistema de coordenadas esféricas). Agora a integração da equação 130
Apêndice C -- Transformada de Fourier 3D de
1
|R−R
|
113
Figura 38: Ilustração do sistema de coordenadas inicial adotado para a resolução da transfor-
mada de Fourier 3D de
1
|R−R
|
.
Figura 39: Representação das mudanças do sistema de coordenadas que possibilitam a resolução
da integral representada na equação 130.
Apêndice C -- Transformada de Fourier 3D de
1
|R−R
|
114
pode ser resolvida mais facilmente. Senão, veja:
F
(
Q
)
=
dR lim
α→0
e
−αR
e
−iQ
R cos[(R−R
),Q
]
|R − R
|
≈ lim
α→0
dR
e
−iQ
R cos[(R−R
),Q
]
e
−αR
|R − R
|
= lim
α→0
2π
0
π
0
dφdθdRR
2
sin θ
e
−iQ
R cos θ−αR
R
= 2π lim
α→0
1
−1
daµdR Re
(−iQ
aµ−α)R
= −
2π
iQ
lim
α→0
∞
0
dR
e
(−iQ−α)R
− e
(iQ−α)R
=
2π
iQ
lim
α→0
1
α − iQ
−
1
α + iQ
=
2π
iQ
lim
α→0
α + iQ
−
(
α − iQ
)
α
2
+ Q
2
=
2π
iQ
lim
α→0
2iQ
α
2
+ Q
2
=
4π
lim
α→0
(
α
2
+ Q
2
)
=
4π
Q
2
;
que é o resultado desejado.
115
APÊNDICE D -- DEDUÇÃO DO TERMO B
K+Q,N
(
T
)
Dedução:
b
k+q,n
(
t
)
=
1
i
t
t
0
dt
exp
i
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
t
V
ext
n
n
(
q, t
)
=
1
i
t
t
0
dt
exp
i
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
t
V
ext
n
n
(
q
)
e
−iωt
e
αt
=
1
i
t
t
0
dt
exp
i
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω − iα
t
V
ext
n
n
(
q
)
=
exp
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
− ω − iα
t
t
t
0
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
=
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
− e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
0
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
.
116
APÊNDICE E -- CÁLCULO DO LIMITE LIM
T
0
→∞
B
K+Q,N
(
T
)
Cálculo:
lim
t
0
→−∞
b
k+q,n
(
t
)
= lim
t
0
→−∞
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
− e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
0
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
=
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
− lim
t
0
→−∞
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
0
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
=
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
V
ext
n
n
(
q
)
:
lim
t
0
→−∞
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω−iα
t
0
= lim
t
0
→−∞
e
αt
0
e
i
E
n
(k+q)−E
n
(k)
−ω
t
0
= lim
t
0
→−∞
e
αt
0
cos
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω
t
0
+ i lim
t
0
→−∞
e
αt
0
sin
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω
t
0
= 0 + i0,
uma vez que este termo se trata da soma de limites formados pelo produto de uma função
limitada por outra que tende a zero.
117
APÊNDICE F -- DEDUÇÃO DA DENSIDADE
Demonstração:
ρ
ind
(
r, z, t
)
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
V
ext
n
n
(
q
)
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
+
+
V
ext
n
n
(
q
)
E
n
(
k
)
− E
n
(
k − q
)
− 2ω + ω + iα
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
V
ext
n
n
(
q
)
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
+
+
V
ext
n
n
(
q
)
E
n
(
k
)
− E
n
(
k − q
)
− ω + iα
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
−
−2e
k,n,n
f
n
(
k + q
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k + q
)
− E
n
(
k
)
− ω + iα
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
+
+2e
k,n,n
f
n
(
k + q
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω − iα
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
+
+2e
k,n
,n
f
n
(
k + q
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω − iα
= −2e
k,n,n
f
n
(
k
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω + iα
+
+2e
k,n,n
f
n
(
k + q
)
V
ext
nn
(
−q
)
e
iq·r
φ
∗
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−iωt
e
αt
E
n
(
k
)
− E
n
(
k + q
)
+ ω − iα
118
APÊNDICE G -- DEDUÇÃO DO POTENCIAL ELETROSTÁTICO
V
ind
(
r, z
)
=
−e
8π
2
ε
s
dr
∞
−∞
dz
ρ
ind
(
r
, z
ω
)
e
−q
(z−z
)
e
iq
·(r−r
)
q
dq
=
e
2
8π
2
ε
s
dr
∞
−∞
dz
n,n
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
dq
e
−q
(z−z
)
e
iq
·(r−r
)
q
=
e
2
8π
2
ε
s
∞
−∞
dz
dq
n,n
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
dr
e
−q
(z−z
)
e
iq
·(r−r
)
q
=
e
2
2ε
s
n,n
∞
−∞
dz
dq
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q
(z−z
)
q
1
4π
2
dr
e
i(q−q
)·r
=
e
2
2ε
s
n,n
∞
−∞
dz
dq
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q
(z−z
)
q
δ
(
q − q
)
=
e
2
2ε
s
n,n
∞
−∞
dz
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
q
=
e
2
2qε
s
n,n
∞
−∞
dz
L
n
n
(
q, ω
)
V
ext
n
n
(
q
)
e
iq·r
φ
n
(
z
)
φ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
.
Dedução do termo V
ind
mm
:
V
ind
mm
(
k − k
)
= k
, m|V
ind
|k, m
= k
, m|
ˆ
1V
ind
|k, m
= k
, m|
dR |RR|V
ind
|k, m
=
dR k
, m|RV
ind
(
r, z
)
|k
, m
=
dR k
, m|R
πe
2
qε
s
n,n
∞
−∞
dz
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
n,n
(
q
)
e
iq·r
ϕ
n
(
z
)
ϕ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
R|k
, m
=
πe
2
qε
s
dR k
, m|R
n,n
∞
−∞
dz
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
n,n
(
q
)
e
iq·r
ϕ
n
(
z
)
ϕ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
R|k
, m
=
πe
2
qε
s
drdzϕ
∗
m
(
z
)
e
−ik
·r
n,n
∞
−∞
dz
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
n,n
(
q
)
e
iq·r
ϕ
n
(
z
)
ϕ
n
(
z
)
e
−q(z−z
)
ϕ
∗
m
(
z
)
e
ik·r
=
πe
2
qε
s
n,n
∞
−∞
dz
∞
−∞
dz
L
nn
(
q, ω
)
V
ext
n,n
(
q
)
ϕ
n
(
z
)
ϕ
n
(
z
)
ϕ
∗
m
(
z
)
ϕ
∗
m
(
z
)
e
−q(z−z
)
dre
i(q−k
+k)·r
119
APÊNDICE H -- CÁLCULO DO ELEMENTO DE MATRIZ
V
IN D
MM
K
X
− K
X
Cálculo Detalhado do Elemento de Matriz do potencial induzido sobre os estados
|k
x
, m e |k
x
, m
:
V
ind
mm
(
k
x
− k
x
)
= k
x
, m|V
ind
|k
x
, m
= k
x
, m|
ˆ
1V
ind
|k
x
, m
= k
x
, m|
dR |RR|V
ind
|k
x
, m
=
dR k
x
, m|RV
ind
(
r, z
)
R|k
x
, m
=
dR k
x
, m|R
−
e
2πε
s
dr
K
0
(
q
r
|r − r
|
)
ρ
ind
(
r
, x, ω
)
R|k
x
, m
=
dRϕ
∗
m
(
r
)
e
−ik
x
x
−
e
2πε
s
dr
K
0
(
q
r
|r − r
|
)
ρ
ind
(
r
, x, ω
)
ϕ
∗
m
(
r
)
e
ik
x
x
= −
e
2πε
s
dRϕ
∗
m
(
r
)
e
−ik
x
x
dr
K
0
(
q
r
|r − r
|
)
−2e
nn
ϕ
∗
n
(
r
)
ϕ
n
(
r
)
V
ext
nn
(
q
x
)
L
nn
(
q
x
, ω
)
e
iq
x
x
ϕ
∗
m
(
r
)
e
ik
x
x
=
e
2
πε
s
nn
dRϕ
∗
m
(
r
)
e
−ik
x
x
dr
K
0
(
q
r
|r − r
|
)
ϕ
∗
n
(
r
)
ϕ
n
(
r
)
V
ext
nn
(
q
x
)
L
nn
(
q
x
, ω
)
e
iq
x
x
ϕ
∗
m
(
r
)
e
ik
x
x
=
e
2
πε
s
nn
dR
dr
K
0
(
q
r
|r − r
|
)
ϕ
∗
m
(
r
)
ϕ
∗
n
(
r
)
ϕ
n
(
r
)
ϕ
∗
m
(
r
)
V
ext
nn
(
q
x
)
L
nn
(
q
x
, ω
)
e
iq
x
x
e
−ik
x
x
e
ik
x
x
=
e
2
πε
s
nn
dr
dr
K
0
(
q
r
|r − r
|
)
ϕ
∗
m
(
r
)
ϕ
∗
n
(
r
)
ϕ
n
(
r
)
ϕ
∗
m
(
r
)
V
ext
nn
(
q
x
)
L
nn
(
q
x
, ω
)
dxe
−i(k
x
−k
x
−q
x
)x
=
e
2
πε
s
nn
dr
dr
K
0
(
q
r
|r − r
|
)
ϕ
∗
m
(
r
)
ϕ
∗
n
(
r
)
ϕ
n
(
r
)
ϕ
∗
m
(
r
)
V
ext
nn
(
q
x
)
L
nn
(
q
x
, ω
)
δ
(
k
x
− k
x
, q
x
)
120
APÊNDICE I -- NORMALIZAÇÃO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO
A normalização da função de distribuição é determinada através das seguintes oper-
ações:
N =
σ,k,n
f
n
(
k
)
= 2
k,n
f
n
(
k
)
= 2
k,n
Ae
−βE
n
(k)
= 2A
k,n
e
−β
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
QW
+
2
k
2
2m
∗
= A
n
S
2π
2
dk e
−β
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
QW
+
2
k
2
2m
∗
= A
n
S
2π
2
2π
0
∞
0
dk dθ k e
−β
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
QW
+
2
k
2
2m
∗
= A
n
S
π
∞
0
dk k e
−β
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
QW
+
2
k
2
2m
∗
Apêndice I -- Normalização da Função de Distribuição 121
⇒ A =
πN
S
n
∞
0
dk k e
−β
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
QW
+
2
k
2
2m
∗
−1
= πD
n
e
−β
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
QW
∞
0
dk k e
−β
2
k
2
2m
∗
−1
= πD
n
e
−β
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
QW
m
∗
β
2
−1
=
πDβ
2
m
∗
n
e
−β
n
2
π
2
2
2m
∗
L
2
QW
−1
=
πDβ
2
m
∗
1
2
1 + θ
3
0, e
−
βπ
2
h
2
2L
2
QW
m
∗
;
sendo θ
a
(
u, q
)
, a = 1, 2, 3 ou 4 a função theta elíptica (ABRAMOWITZ; STEGUN, 1964)
, e D =
N
S
a densidade superficial de elétrons.
122
APÊNDICE J -- PROVA DA IDENTIDADE
LIM
ε→0
F (X)
X±Iε
= P
F (X)
X
∓ Iπδ
(
X
)
F
(
X
)
.
Há uma prova relativamente simples da identidade lim
ε→0
f(x)
x±iε
= P
f(x)
x
∓iπδ
(
x
)
f
(
x
)
lim
ε→0
f
(
x
)
x ± iε
= P
f
(
x
)
x
∓ iπδ
(
x
)
f
(
x
)
, (131)
sendo P a notação da parte principal de Cauchy, definida por (f
(
x
)
é uma função regular
em x = 0)
P
B
A
f
(
x
)
x
dx = lim
η→0
+
−η
A
f
(
x
)
x
dx +
B
+η
f
(
x
)
x
dx;
desde que A, B > 0, é claro.
Para demonstrar o teorema da equação 131, separa-se as partes real e imaginária da
quantidade
(
x ± iε
)
−1
:
1
x ± iε
=
x ∓ iε
x
2
+ ε
2
.
A parte imaginária desta função é proporcional a uma das representações delta:
1
π
ε
x
2
+ ε
2
,
de forma que isto nos permite considerar:
lim
ε→0
∓i
ε
x
2
+ ε
2
f
(
x
)
= ∓iδ
(
x
)
f
(
x
)
.
Agora, a parte real:
lim
ε→0
∞
−∞
xdx
x
2
+ ε
2
f
(
x
)
= lim
ε→0
lim
η→0
−η
−∞
+
η
−η
+
∞
η
xdx
x
2
+ ε
2
f
(
x
)
. (132)
Apêndice J -- Prova da Identidade lim
ε→0
f(x)
x±iε
= P
f(x)
x
∓ iπδ (x) f (x). 123
A integral
η
−η
é nula:
lim
η→0
η
−η
xdx
x
2
+ ε
2
f
(
x
)
≈ lim
η→0
η
−η
xdx
x
2
+ ε
2
f
(
0
)
= f
(
0
)
1
2
lim
η→0
log
x
2
+ ε
2
η
−η
= f
(
0
)
1
2
lim
η→0
log
η
2
+ ε
2
η
2
+ ε
2
= f
(
0
)
1
2
(
0
)
= 0.
Revertendo a ordem em que são calculados os limites na equação 132, obtém-se o
resultado:
lim
ε→0
∞
−∞
xdx
x
2
+ ε
2
f
(
x
)
= lim
η→0
−η
−∞
+
∞
η
lim
ε→0
xdx
x
2
+ ε
2
f
(
x
)
= lim
η→0
−η
−∞
f
(
x
)
dx
x
+
∞
η
f
(
x
)
dx
x
.
Isto conclui a demonstração.
124
APÊNDICE K -- DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE CONVERGÊNCIA
DAS INTEGRAÇÕES EM θ
Segundo o teorema dos resíduos,
2π
0
dθ
1
c
2
+ c
3
cos
(
θ
)
=
2π
c
2
2
− c
2
3
,
resultado que está condicionado a satisfação da relação
c
3
c
2
< 1.
As quantidades envolvidas dependem da frequência e do vetor de onda, de forma que
uma tal condição estabelece na verdade relações entre ω e k.
Senão vejamos:
c
3
c
2
=
c
4
k
π
2
2
(n
2
−n
2
)
2L
2
QW
m
∗
α
− ω
< 1 ⇒ |k| = k <
c
5
− ω
c
4
=
|c
5
− ω|
c
4
.
Os parâmetros utilizados neste trabalho garantem que c
4
> 0, daí a sua extração do
módulo. E só por questão de clareza: foi usada a substituição c
5
=
π
2
2
(
n
2
−n
2
)
2L
2
QW
m
∗
α
.
Para resolver esta desigualdade, é necessário separá-la em casos. Se c
5
< ω, vale que
c
5
− ω
c
4
< k <
ω − c
5
c
4
. (133)
Caso c
5
> ω, vale que
ω − c
5
c
4
< k <
c
5
− ω
c
4
. (134)
Ou seja, a rigor, as condições c
5
< ω e c
5
> ω determinam relações entre ω e a diferença
n
2
−n
2
, e para estes valores de ω, k só poderia assumir valores dados pelas equações 133
e 134.
Mas quando se considera a função dielétrica, no limite em que este trabalho foi de-
senvolvido, q → 0, somente valores iguais para n
1
e n
2
são válidos, e isto simplifica a
análise.
Apêndice K -- Determinação do Domínio de Convergência das Integrações em θ 125
Neste limite, então, vale a condição:
k <
|ω|
c
4
.
Quando se realizam os cálculos referentes às partes imaginárias, surgem condições
semelhantes.
Para que as integrais
2π
0
dθδ
cos
(
θ
)
+
c
2
c
3
cos
(
θ
)
e
2π
0
dθδ
cos
(
θ
)
+
c
2
c
3
,
é necessário que
cos
(
θ
)
= −
c
2
c
3
,
ou seja, que
c
2
c
3
≤ 1.
Ora, isto também implica uma relação entre k e ω:
c
2
c
4
k
≤ 1 ⇒ |k| ≥
c
2
c
4
=
|
(
n
2
− n
2
)
|π
2
2qL
2
P Q
,
só que neste caso, k é restrito a um valor mínimo, e não máximo, como no caso anterior.
126
APÊNDICE L -- RESOLUÇÃO DA INTEGRAL ANGULAR
Quanto à resolução da integral
I =
C
cos
(
θ
)
1 + cos
(
θ
)
dθ, (135)
sendo C um círculo (de raio) unitário centrado na origem; o método dos resíduos fornece
a resposta.
A substituição recomendada é a seguinte:
z = e
iθ
.
Com esta substituição, vale que
dz = idθe
iθ
= idθz,
de onde se pode concluir que
dθ = −i
dz
z
.
Vale também a relação:
cos θ =
z + z
−1
2
.
Assim, a integral I da equação 135 se modifica conforme:
I = −i
C
z
2
+ 1
z
3
+ 2z
2
+ z
dz = −i
C
z
2
+ 1
z
(
z
2
+ 2z +
)
dz. (136)
O fator do denominador da equação 136, z
2
+
2
z + 1, tem duas raízes; z =
−
√
1−
2
−1
= z
−
e z =
√
1−
2
−1
= z
+
. Logo, a equação 136 se reescreve:
I = −i
C
z
2
+ 1
z(z −z
−
)
(
z − z
+
)
dz.
Segundo o teorema dos resíduos, o resultado de tal integral é dado pelo produto da soma
dos resíduos enclausurados pelo trajeto da integração com o fator 2πi. Sendo um número
real compreendido entre 0 e 1, a raíz z
−
reside fora do círculo unitário C. Somente z = 0
e z = z
+
se encontram nesta região.
Apêndice L -- Resolução da Integral Angular 127
Para o cálculo destes resíduos, pode-se usar o fato de que
f
(
z
)
=
f
1
(
z
)
f
2
(
z
)
,
e tanto f
1
(
z
)
quanto f
2
(
z
)
são não nulos para z = 0 e z = z
+
. Desta forma,
Res {0} =
f
1
(
0
)
f
2
(
0
)
.
Analogamente se calcula o resíduo relativo a z = z
+
.
O resíduo relativo a zero é:
f
1
(
0
)
f
2
(
0
)
=
(
0
)
2
+ 1
3
(
0
)
2
+ 4
(
0
)
+
=
1
.
Já o relativo a z = z
+
é:
f
1
(
z
+
)
f
2
(
z
+
)
=
(
√
1−
2
−1
)
2
2
+ 1
3
(
√
1−
2
−1
)
2
+
4
(
√
1−
2
−1
)
+
= −
1
√
1 −
2
.
Portanto, a integral descrita na equação 135 é dada por:2
I = 2π
1
−
1
√
1 −
2
.
128
APÊNDICE M -- RESOLUÇÃO DAS INTEGRAIS ENVOLVENDO
DELTAS DE DIRAC
Resolução das integrais
2π
0
dθδ
cos
(
θ
)
+
c
2
c
3
, (137)
e
2π
0
dθ cos
(
θ
)
δ
cos
(
θ
)
+
c
2
c
3
. (138)
Por simplicidade, seja,
c
2
c
3
= c
6
.
Para resolver tais integrais, é preciso usar a seguinte propriedade:
δ
[
f
(
x
)
]
=
i
δ
(
x − x
i
)
|f
(
x
i
)
|
, (139)
que é válida desde que
f
(
x
i
)
= 0
f
(
x
i
)
= 0, ∀i ∈ Z.
(140)
É um resultado surpreendentemente simples:
∞
−∞
dx φ
(
x
)
δ
[
f
(
x
)
]
=
i
x
i
+ε
x
i
−ε
dx φ
(
x
)
δ
[
f
(
x
)
]
=
i
x
i
+ε
x
i
−ε
dx φ
(
x
)
δ
[
f
(
x
)
]
; (141)
em que ε representa um número arbitrariamente pequeno.
Em cada um destes intervalos, a função f
(
x
)
pode ser aproximada:
f
(
x
)
f
(
x
i
)
+ f
(
x
i
) (
x − x
i
)
;
e se torna
f
(
x
)
f
(
x
i
) (
x − x
i
)
, (142)
se as condições expressas nas equações 140 forem satisfeitas.
Apêndice M -- Resolução das Integrais Envolvendo Deltas de Dirac 129
Inserindo-se a equação 142 na 141, deduz-se o resultado:
∞
−∞
dx φ
(
x
)
δ
[
f
(
x
)
]
=
i
x
i
+ε
x
i
−ε
dx φ
(
x
)
δ
[
f
(
x
i
) (
x − x
i
)
]
=
i
x
i
+ε
x
i
−ε
dx
φ
(
x
)
δ
(
x − x
i
)
|f
(
x
i
)
|
=
i
∞
−∞
dx
φ
(
x
)
δ
(
x − x
i
)
|f
(
x
i
)
|
=
∞
−∞
dx φ
(
x
)
i
δ
(
x − x
i
)
|f
(
x
i
)
|
;
nestas equações, foi usada uma outra propriedade da função delta de Dirac, a saber,
δ
(
ax
)
=
1
|a|
δ
(
x
)
(BUTKOV, 1978); e a propriedade de filtragem, que permite extender os
limites de integração ao infinito sem prejuízo ao cálculo. Tal expressão também pode ser
aplicada para resolver a integral expressa na equação 137, bastando para isto considerar
φ
(
x
)
= 1.
Vale ressaltar que os números x
i
são tais que a função se anula quando nele aplicadas;
f
(
x
i
)
= 0.
Assim, na integração das equações 137 e 138, verifica-se que o único valor possível de
zerar o argumento da delta é θ
0
= arccos
(
c
15
)
:
cos
(
θ
0
)
+ c
6
= 0 ⇒ θ
0
= arccos
(
−c
6
)
.
Perceba que
cos
(
θ
0
)
+ c
6
= 0 ⇒ cos
(
θ
0
)
= −c
6
⇒ |c
6
| ≤ 1,
pois |cos
(
θ
0
)
| ≤ 1, e como c
6
=
c
2
c
3
=
c
2
c
4
k
, k >
|c
4
|
c
2
= k
m
. Ou seja, k continua sendo
restringido pelo mesmo valor k
m
, só que neste caso ele é mínimo, e não máximo como nas
integrais da parte principal da função dielétrica.
Sendo assim, a aplicação da propriedade expressa na equação 139 nas equações 137 e
138 gera os resultados:
2π
0
dθδ
[
cos
(
θ
)
+ c
6
]
=
2π
0
dθ
δ
(
θ −θ
0
)
|sin
(
θ
0
)
|
=
1
|sin
(
θ
0
)
|
=
1
1 − c
2
6
,
Apêndice M -- Resolução das Integrais Envolvendo Deltas de Dirac 130
e
2π
0
dθ cos
(
θ
)
δ
[
cos
(
θ
)
+ c
6
]
=
2π
0
dθ
cos
(
θ
)
δ
(
θ −θ
0
)
|sin
(
θ
0
)
|
=
cos
(
θ
0
)
|sin
(
θ
0
)
|
=
−c
6
1 − c
2
6
.
131
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I. A. Handbook of Mathematical Functions. ninth
dover printing, tenth gpo printing. [S.l.]: Dover Publications Inc, 1964.
ABREU, E. de P. Efeitos da Interação de Plasma na Absorção Ótica em uma
Super-Rede Randômica de Pontos Quânticos. Tese (Doutorado) — Universidade
Federal de São Carlos, 2004.
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