ads:
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
Mestrado em Educação Tecnológica
Renata Alves Costa
A PASSAGEM DA NUMERAÇÃO ROMANA PARA A INDO-ARÁBICA
NO OCIDENTE EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
Belo Horizonte - MG
2009
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Renata Alves Costa
A PASSAGEM DA NUMERAÇÃO ROMANA PARA A INDO-ARÁBICA
NO OCIDENTE EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em
Educação Tecnológica do Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG, para
obtenção do título de Mestre em Educação
Tecnológica.
Orientador: Prof. Dr. Fábio Wellington Orlando da
Silva
Belo Horizonte - MG
2009
ads:
Elaboração da ficha catalográfica por Biblioteca-Campus II / CEFET-MG
Costa, Renata Alves
C837p A passagem da numeração romana para indo-arábica no ocidente em
livros didáticos de matemática/ Renata Alves Costa. – 2009.
107 f.
Orientador: Fábio Wellington Orlando da Silva
Programa de Pós-Graduação em Educação Tecnológica
Dissertação (mestrado) – Centro Federal de Educação Tecnológica de
Minas Gerais.
1. Matemática -- História. 2. Livro didático. I. Silva, Fábio
Wellington Orlando da. II. Centro Federal de Educação Tecnológica de
Minas Gerais. III. Título.
CDD 510
Renata Alves Costa
A PASSAGEM DA NUMERAÇÃO ROMANA PARA A INDO-ARÁBICA
NO OCIDENTE EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Educação Tecnológica do Centro
Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG, em 20/08/2009, como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Tecnológica, aprovada pela
Banca Examinadora constituída pelos professores:
____________________________________________________
Prof. Dr Fábio Wellington Orlando da Silva CEFET/MG-Orientador
____________________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares CEFET/MG
____________________________________________________
Profª. Drª. Elenice de Souza Lodron Zuin PUC-MG
Para minha mãe Maria e meu esposo Anderson
AGRADECIMENTOS
A Deus, por iluminar meu caminho e por ter me dado forças para superar os momentos
difíceis, demonstrando em todo momento sua existência.
A meu orientador, Prof. Dr. Fábio Wellington Orlando da Silva, que acreditou em minha
proposta de pesquisa, apresentando contribuições relevantes e essenciais ao desenvolvimento
desta.
Aos meus professores do mestrado por seus ensinamentos, contribuições e por todas as
críticas construtivas que fizeram, dando-me condições de desenvolver melhor este trabalho.
Ao Professor Dr. Mauro Condé e a Professora Dr. Elenice Zuin que me incentivaram a iniciar
na Pesquisa Científica.
A minha mãe, Maria Alves, pelo amor e reconhecimento da educação para o desenvolvimento
pessoal e profissional, não medindo esforços para propiciar as suas filhas às condições
necessárias para que se desenvolvessem.
Ao meu esposo, Anderson Vidal, pelo intenso amor durante o transcorrer do curso de
mestrado até sua conclusão, por seu companheirismo, parceria e compreensão demonstradas
nos anos de convivência.
As minhas irmãs, Raquel e Regina, que sempre acreditaram em mim e me apoiaram.
Aos meus sobrinhos, Gabriel e Eduardo, que com muito amor e carinho fizeram os meus dias
mais felizes.
Meu agradecimento especial aos meus grandes amigos, Anice e Bruno, que me apoiaram e me
ajudaram com críticas e sugestões.
Aos colegas de turma que direta e indiretamente ajudaram-me durante o curso.
Aos inesquecíveis amigos do grupo FICITEC: Elivane, Sidney, Daniel, Kelsen, Geraldo,
David, Cláudia e Warlisson.
Ao CEFET-MG pelo apoio financeiro.
E por fim, mas não menos importante, a todos que, de uma maneira ou de outra, contribuíram
para que eu pudesse concluir este trabalho.
Resumo
O livro didático tem sido alvo de discussões no campo da Educação. É importante
assinalar que, apesar do desenvolvimento de novas tecnologias, o livro didático mantém
bravamente sua posição de destaque entre os materiais instrucionais. Ele tem vencido o
tempo, passando por diversas tendências pedagógicas e reformas do ensino. De modo geral,
para muitos professores, o livro didático constitui a única referência, tanto do ponto de vista
teórico quanto metodológico, desempenhando assim grande influência sobre o processo de
ensino e aprendizagem, na medida em que é a partir dele que o professor seleciona os
conteúdos a serem ministrados e a maneira como serão abordados. Na realidade, na maioria
das vezes, é o próprio livro quem faz essa seleção, uma vez que muitos professores se acham
na obrigação de trabalhar todo o livro. Do mesmo modo, o aluno usa freqüentemente o livro
didático, devido à dificuldade de acesso a outras fontes de estudo e pesquisa. Um aspecto
importante ao abordar um conteúdo é a apresentação do seu desenvolvimento histórico, neste
caso de História da Matemática. O objetivo de nossa pesquisa se enquadra nesse caso,
investigar as abordagens históricas da passagem da numeração romana para a indo-arábica
nos livros didáticos de Matemática. Nossa hipótese é que esses livros, em sua maioria, não
apresentam a passagem da numeração romana para a indo-arábica, o que não incentiva os
professores, e consequentemente os alunos, a refletir sobre essa transição. Analisaremos por
fim, nesta dissertação, os critérios adotados pelos professores de Matemática na escolha do
livro didático para o ensino fundamental e qual a concepção desses professores sobre a
História da Matemática.
Abstract
The textbook has been the subject of discussions on education field. It is important to
note that despite the development of new technologies, the text book has bravely keep its
prominence position between others teaching materials. He has defeat time, passing through
many pedagadogy’s trends and educational reforms. In general, for many teachers, the
textbook constitutes as the only reference, in both methodological point of view and
theoretical, thus performing a great influence over the teaching and learning process, because
the teacher selects the contents to be ministered and the way to be show. In the fact, in most
cases it’s the textbook itself who do that selection, once that the many teacher finds himself in
obligation of giving the entire book. In the same way, the student frequently uses only the
textbook, giving the difficulty of access of others sources of study and research. An important
aspect when addressing a content is the presentation of its historical development, in this case
the History of Mathematics. The goal of our research fits in this case, to enquiry in the
Mathematics’ textbooks, historical approaches of the passages of two kinds of numbering:
from Roman to Indo-Arabian. Our hypothesis it is that in most of those kind of textbooks do
not show the change in the numeration, and for that reason, the teacher haven’t condition to
think that question and consequently the students never know that a change has occur in
numeration. To that end, in this dissertation, we will analyze the criteria adopted by the
Mathematical teachers in fundamental teaching and what is the conception of those teachers
over the History of Mathematics.
Sumário
1 Introdução 12
2 O livro didático no sistema de ensino 15
2.1 O ensino e o livro didático 15
2.2 A história do livro didático no Brasil 17
2.3 Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) 20
3 A História da Ciência no Ensino de Matemática 24
4 A Passagem da numeração Romana para a Indo-Arábica 31
4.1 A numeração Indiana 31
4.2 A civilização Árabe 34
4.3 A civilização Romana 36
4.4 A interação entre o Ocidente e o Oriente 42
5 Metodologia da pesquisa 51
5.1 Procedimentos Metodológicos 52
6 Análises dos Livros Didáticos 56
6.1 Descrições da estrutura dos livros selecionados 56
6.2 Análises Históricas nos Livros Didáticos 65
6.2.1 Análise do livro Matemática e Realidade 67
6.2.2 Análise do livro Novo Praticando Matemática 68
6.2.3 Análise do livro Matemática Fazendo a Diferença 71
6.2.4 Análise do livro Projeto Araribá – Matemática 73
6.2.5 Análise do livro Tudo é Matemática 74
6.2.6 Análise do livro Novo Matemática na medida certa 76
6.2.7 Análise do livro Matemática – Idéias e Desafios 76
6.2.8 Análise do livro Construindo Consciências – Matemática 77
6.2.9 Análise do livro Para Saber Matemática 78
6.2.10 Análise do livro Matemática para todos 80
6.2.11 Análise do livro Matemática na Vida e na Escola 82
6.2.12 Análise do livro Matemática Hoje é Feita Assim 83
7 Entrevista com os Professores 86
7.1 Critérios Adotados Por Professores de Matemática na Seleção do
Livro Didático
86
7.2 A concepção dos Professores sobre a História da Matemática
90
8 Conclusão 96
9 Referências 99
10 Apêndices 104
LISTA DE SIGLAS
CNLD - Comissão Nacional do Livro Didático
COLTED - Comissão do Livro Técnico e Livro Didático
EJA - Educação de Jovens e Adultos
FAE - Fundação de Assistência ao Estudante
FENAME - Fundação Nacional do Material Escolar
FNDE - Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação
HFC - História e Filosofia da Ciência
INL - Instituto Nacional do Livro
MEC - Ministério da Educação
PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais
PLIDEF - Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental
PNLD - Plano Nacional do Livro Didático
USAID - Agência Norte-Americana para o Desenvolvimento Internacional
1 Introdução
O livro didático de Matemática, ao longo dos últimos anos, vem passando por
mudanças significativas, quer no conteúdo selecionado, quer na abordagem que vem sendo
dada a esses conteúdos. Ele tem uma grande participação no ensino de matemática no Brasil.
Com a popularização do ensino, ele se mostrou um elemento fundamental na divulgação do
conhecimento matemático. É visto muitas vezes como instrumento de trabalho para o
professor ou como material de estudo para os alunos, tem muito mais a nos mostrar
historicamente, pois esteve presente em vários momentos importantes para o ensino, com
todas as mudanças e adaptações, por interesse de grupos, modismos ou fatores políticos.
Sendo fundamental no processo de ensino-aprendizagem de matemática, o livro didático pode
se constituir na mais forte referência para a prática docente
.
Percebemos ainda alguns problemas em relação à abordagem de determinados
conteúdos, o que suscitou um vivo interesse entre os pesquisadores nos últimos trinta anos
[1].
É notório que, muitas vezes, ao transmitir um determinado tópico da matéria, o
professor é questionado pelos alunos em relação à origem daquele conteúdo: Quem inventou
isso? Quem foi este matemático? Como e quando surgiu esta idéia? Como foi possível chegar
a este resultado? Nem sempre o docente tem consciência de que o conhecimento que está por
trás daquele conteúdo, que se apresenta, na maioria das vezes, de uma forma acabada, passou
por inúmeras modificações ao longo da história [2]. É necessário que o professor tenha o
domínio do conteúdo e conhecimentos sobre a história para não ensinar apenas o para quê,
mas responder aos por quês dentro do processo ensino/aprendizagem.
A relevância da História da Matemática no ensino dessa disciplina tem sido alvo de
discussões no campo da Educação Matemática. Por isso é importante avaliar, de um modo
geral, como a História da Matemática tem sido incluída nos livros didáticos de Matemática.
Muitos autores justificam a utilização da História da Matemática para responder alguns
por quês nas aulas de matemática. A História da Matemática pode responder às questões dos
alunos dando uma fundamentação ao conteúdo e à originalidade de certas coisas. É através da
História que buscamos fundamentação aos conteúdos abordados:
À busca das contradições da ciência, ‘para que logo surjam outras contradições’, é
que proponho um tratamento diferenciado à transmissão dos conhecimentos, ou
seja, que se tente acompanhar o conceito a ser trabalhado a partir de seu
desenvolvimento histórico. Desta forma, a educação assume um caminho diferente.
Em vez de se ensinar a praticidade dos conteúdos escolares, investe-se na
fundamentação deles. Em vez de se ensinar o para quê, ensina-se o porquê das
coisas [2, p. 31].
Entre as vantagens usualmente apontadas para a inclusão da História no ensino de
ciências, acreditamos que: torna o estudo mais atrativo para os estudantes, facilita a
interdisciplinaridade, auxilia os professores a compreender as dificuldades dos estudantes,
permite ao estudante descobrir os diversos contextos em que surgiram os conceitos científicos,
que tipo de problemas foram resolvidos e reconhecer a natureza da pesquisa científica. Há,
contudo, argumentos desfavoráveis, entre eles: a abordagem deformada da história da ciência
em livros-texto, a falta de tempo e espaço, o receio de descrédito para a ciência, a formação
precária dos professores nessa área [3].
Dado esse panorama, a presente pesquisa tem como objetivo investigar as abordagens
históricas da passagem da numeração romana para a indo-arábica nos livros didáticos de
Matemática. Nossa questão é: Como os livros didáticos de Matemática do Ensino
Fundamental apresentam essa passagem dentro de uma perspectiva histórica?
Entender como se deu a passagem entre essas duas notações é, portanto, compreender
a mudança de uma das maiores e mais influentes visões de mundo do período medieval. Essa
passagem é importante uma vez que a notação indo-arábica forneceu um novo e mais prático
sistema para efetuar operações, o que possibilitou no mínimo dois grandes avanços: “um na
área econômica”, “outro na área cientifica”.
No que tange ao apoio na literatura, devemos destacar dois pontos. Em primeiro lugar,
é vasta a bibliografia que trata de cada um dos aspectos abordados neste trabalho, indo de uma
atenta descrição dos algarismos romanos e indo-arábico, passando pelas Cruzadas - fator
determinante na passagem dessas duas notações, até uma ampla análise dos avanços
possibilitados pela notação indo-arábica. Em segundo lugar, temos um problema na
bibliografia levantada, que é a escassez de trabalhos que ofereçam uma visão de conjunto da
mudança das notações. Temos apenas algumas observações e pequenos artigos que reúnem os
vários aspectos que levaram às mudanças. O nosso trabalho tem a intenção de ajudar a
preencher tal lacuna.
Para facilitar a leitura, vamos dar uma breve descrição do conteúdo de cada uma das
partes que compõe o todo. A organização final do trabalho está bem longe de seguir a ordem
em que foram criados, entretanto espera-se que a ordem atual facilite para o leitor o
encadeamento das ideias. O texto foi dividido em seis capítulos, que correspondem à seguinte
estrutura:
No primeiro capítulo, discutiremos o papel do livro didático no ensino de
Matemática, faremos um breve histórico do livro didático e discutiremos o Programa
Nacional do Livro Didático (PNLD). No segundo capítulo, enfocaremos algumas
considerações sobre a noção de História da Ciência, de modo que essas noções possam ser
utilizadas, durante o referido capítulo, mostrando que a Matemática como ciência se
desenvolveu a partir de sua história. Portanto, este capítulo tem a finalidade de discutir a
importância da História da Matemática para o ensino de Matemática.
No terceiro capítulo, mostraremos como os números romanos funcionavam e qual era
sua importância na sociedade do período. Em seguida, investigaremos quais foram as
condições históricas para a mudança do sistema numérico, analisando a intensa troca cultural
entre o Ocidente e o Oriente a partir das Cruzadas. No quarto capítulo, apresentaremos a
metodologia utilizada para a pesquisa bem como seus métodos.
No quinto capítulo, ofereceremos as análises feitas nos livros didáticos no que tange à
passagem da numeração romana para a indo-arábica. No sexto capítulo contemplaremos a
pesquisa realizada com os professores do Ensino Fundamental, tendo em consideração os
critérios adotados por estes professores na escolha do Livro Didático de Matemática para esse
nível de ensino e qual a concepção dos docentes sobre a História da Matemática.
2 O livro didático no sistema de ensino
Neste capítulo discutiremos o papel do livro didático no ensino. Mostraremos que,
apesar do desenvolvimento de novas tecnologias, o livro didático mantém sua posição de
destaque entre os materiais instrucionais. Ele tem vencido o tempo, passando por diversas
tendências pedagógicas e ainda as reformas do ensino.
2.1 O ensino e o livro didático
Por que investigar o livro didático? Em virtude da precária situação educacional no
Brasil, o livro didático é que determina os conteúdos e estratégias de ensino, ou seja, o que se
ensina e como se ensina [4]. Ele prescreve o currículo a ser desenvolvido em sala de aula e
constitui um importante instrumento pedagógico para o professor, pois lhe sugere os
conteúdos, a metodologia e as atividades a ministrar.
Depois de ter sido negligenciado por tanto tempo como objeto de pesquisa, nas últimas
décadas os pesquisadores tem mostrado um crescente interesse pelo livro didático. Esse
interesse está presente no cenário nacional e internacional [1],
começou a ser objeto de análise
sobre várias perspectivas, destacando seu aspecto educativo e seu papel na escola
contemporânea [5].
O livro didático é uma ferramenta pedagógica que foi destinada a facilitar a
aprendizagem. O que há nele é aceito como verdade a ser transmitida para as novas
gerações[6]. É o recurso pedagógico mais difundido no Brasil, desempenhando um importante
papel no processo de ensino-aprendizagem.
De modo geral, para muitos professores, o livro didático constitui a única referência,
tanto do ponto de vista teórico quanto metodológico. Desempenha assim grande influência
sobre o processo de ensino e aprendizagem, na medida em que é a partir dele que o professor
seleciona os conteúdos a serem ministrados e a maneira como serão abordados [7].
Devemos assinalar que o livro didático não tem, e nem deveria ter, condições de
possibilitar uma aprendizagem adequada quando utilizado como único material de apoio. É
indispensável a participação de um professor bem preparado e determinado a realizar um bom
trabalho. Um livro, por melhor que seja, nas mãos de um professor despreparado, pode ser um
desastre, mas um livro de baixa qualidade nas mãos de um professor competente pode resultar
numa ótima aprendizagem [8].
Apesar da importância do livro didático para a educação, diversos autores ainda tem
certo descuido com o conteúdo científico apresentado. Muitas vezes há incoerência nos
conteúdos, falta de encadeamento nos temas abordados, conteúdos sem quaisquer
justificativas [9], ausência da história da ciência. Ou seja, os resultados da construção humana
são apresentados de forma descontextualizada.
Ao longo do tempo, os livros didáticos de Matemática foram escritos sem muita preocupação
com as questões pedagógicas: um autor tomava um livro anterior e acrescentava ou retirava alguma
informação, às vezes repetia o mesmo procedimento sobre o texto anterior ou optava simplesmente
por modificar a ordem de apresentação do conteúdo, e assim os títulos se sucediam [10]. Com a
avaliação do Ministério da Educação (MEC) esse quadro começa a se modificar, mas ainda percebem-
se alguns problemas em relação à abordagem de determinados conteúdos, conforme se pode ler no
Guia do MEC [11]:
• As equações e inequações têm tido tratamento formal, sem que se perceba
preocupação com a construção do significado da linguagem algébrica e sua
articulação com situações do contexto físico, social e cultural.
• O tratamento da Geometria tem sido estereotipado, privilegiando a
nomenclatura e a apresentação de formas canônicas. As sistematizações são
inadequadas, pois partem dos conceitos de ponto, reta e plano, sem se preocupar
com a exploração de conceitos e de propriedades geométricas. Não se explora
também a potencialidade deste campo da matemática para descrever o mundo e
resolver problemas mais concretos.
• Em Geometria, não há equilíbrio nem inter-relação entre as representações
experimental, intuitiva e formal. As demonstrações nem sempre são claras e,
freqüentemente, apresentam erros. Alem disso, não surgem naturalmente como
um desenvolvimento e refinamento de considerações intuitivas.
• A introdução das unidades de medida é comumente feita por meio de
sistemas completos e de regras para transformação de unidades, não havendo
exploração da dimensão real dessas unidades e das relações entre elas, nem
ênfase nas mais usuais. Também não há uma construção gradativa dos conceitos
de área e volume distribuídos pelos ciclos do Ensino Fundamental….
Esse perfil traçado pelo MEC, acerca da qualidade dos livros didáticos de Matemática, exige
que o professor tenha critérios rigorosos para selecionar o livro a ser adotado. Este professor deveria
ter a capacidade de identificar e, eventualmente, corrigir os erros que possam conter nesse material
para evitar prejuízos ao ensino.
Outro fator importante a ser considerado é a característica perecível do livro escolar.
Mudanças nos métodos ou nos programas de ensino determinam sua substituição, fatos da
atualidade também lhe impõem mudanças e, assim, o livro feito para ser usado em certa série
ou grau de ensino vai sendo descartado à medida que cumpre sua finalidade escolar imediata.
Diante desse quadro, é importante que o professor, em sua etapa de formação, seja
capacitado para realizar uma análise crítica dos livros didáticos, de forma a selecionar aqueles
que se ajustem à sua realidade social e regional. Após a implantação pelo Governo Federal do
Plano Nacional do Livro Didático (PNLD), com a distribuição gratuita de livros aos alunos, a
responsabilidade do professor de conhecer o processo real de seleção do livro didático tornou-
se ainda maior.
2.2 A História do livro didático no Brasil
Falar sobre a história do livro didático no Brasil implica falar sobre a política do livro
didático no país. Não abordaremos aqui o tema de forma ampliada, mas de forma sucinta a
partir do momento em que é criada no Brasil uma proposta de regulamentação e distribuição
de livros didáticos nas escolas. Tal proposta surge em 1929, quando o Estado cria um órgão
específico para legislar sobre políticas do livro didático, trata-se do Instituto Nacional do
Livro (INL). Esse órgão contribuiu para dar maior legitimidade ao livro didático nacional e,
conseqüentemente, auxilia no aumento de sua produção.
Com a reforma Francisco Campos, na década de 30, as modificações metodológicas na
educação geraram alterações nos livros didáticos. A partir dessa reforma, o ensino-
secundário, atual ensino médio, passa a ser organizado de modo seriado e os livros didáticos,
que eram compêndios gerais, passam a seriados de acordo com o programa oficial da
época[12].
Chamados inicialmente de compêndios, os livros didáticos foram definidos pela
primeira vez no Decreto-lei 1.006, de 30/12/1938, Art. 2°- parágrafo 1°-: “Compêndios são os
livros que exponham, total e parcialmente, a matéria das disciplinas constantes dos programas
escolares”[13]. O Estado instituiu, em 1938, a Comissão Nacional do Livro Didático (CNLD)
para tratar do controle e da circulação dessas obras. Essa comissão tinha mais a função de
controle político-ideológico do que uma função didática [7],
por isso, sua legitimidade foi
bastante questionada.
Em 1945, o Estado consolidou a legislação sobre as condições de produção,
importação e utilização do livro didático, restringindo ao professor a escolha do livro a ser
utilizado pelos alunos, conforme definido no art. 5º do Decreto-Lei nº 8.460, de 26/12/45.
No ano de 1966, um acordo entre o Ministério da Educação (MEC) e a Agência Norte-
Americana para o Desenvolvimento Internacional (USAID) permitiu a criação da Comissão
do Livro Técnico e Livro Didático (COLTED), com o objetivo de coordenar as ações
referentes à produção, edição e distribuição do livro didático. O acordo assegurou ao MEC
recursos suficientes para a distribuição gratuita de 51 milhões de livros para os estudantes
brasileiros em um período de três anos. A CNLD transforma-se na COLTED, que objetivava
a criação de bibliotecas e formação de professores e instrutores em várias etapas sucessivas
[7]. Para a consolidação desse programa, a comissão contava com uma farta disponibilidade
financeira.
A COLTED foi extinta em 1971, após uma apuração de irregularidades envolvendo o
mercado livresco, principalmente o livro didático. Com a extinção da COLTED e o término
do convênio MEC/USAID, o INL [14] passou a desenvolver o Programa do Livro Didático
para o Ensino Fundamental (PLIDEF). Este passa a assumir as atribuições administrativas e
de gerenciamento dos recursos financeiros das unidades federais para o Fundo do Livro
Didático e a “definir diretrizes para formulação de programa editorial e planos de ação do
MEC e autorizar a celebração de contratos, convênios e ajustes com entidades públicas e
particulares e com autores, tradutores e editores, gráficos, distribuidores e livreiros”[15].
Foi nesse período que a indústria livresca teve um crescimento relevante, que está
relacionado com uma nova visão sobre o livro didático. Esse passou a ser visto como um
produto, alterando suas relações editoriais e a disposição dos conteúdos [16]. Com a expansão
do ensino brasileiro, o livro didático tornou-se um objeto privilegiado na educação. Ele
organizava e divulgava os conteúdos implícitos e explícitos e selecionava as atividades
pedagógicas mas, com o despreparo e uma formação inadequada dos professores, eles se
tornaram dependentes dos livros didáticos [17].
Em 1976, há uma nova reforma na política do livro didático. Pelo Decreto nº 77.107,
de 4/2/76, o governo assume a compra de boa parcela dos livros para distribuí-los a parte das
escolas e das unidades federais, com recursos do Fundo Nacional de Desenvolvimento da
Educação (FNDE) e com as contribuições dos estados. O INL foi extinto e a Fundação
Nacional do Material Escolar (FENAME) tornou-se responsável pela execução do programa
do livro didático. Contudo, os recursos foram insuficientes para atender todos os alunos do
ensino fundamental da rede pública, excluindo do programa a grande maioria das escolas
municipais[14].
No início da década de oitenta, foi criada a Fundação de Assistência ao Estudante
(FAE) em substituição à FENAME. A FAE ficou incumbida de gerenciar, dentre outros, o
PLIDEF. Essa medida gerou vários problemas, como a dificuldade de distribuição dos livros
didáticos nos prazos estabelecidos, a pressão política das editoras e o autoritarismo nas
escolhas dos livros [7]. Na mesma época, foi proposta a participação dos professores na
escolha dos livros e a ampliação do programa, com a inclusão das demais séries do ensino
fundamental [14], ou seja, de 5ª a 8ª séries.
Até esse ponto, podemos observar que a história do livro didático é regida por decretos
e leis, que atendiam aos interesses do governo, ou por órgãos governamentais, que não
conheciam a realidade da educação e, o pior, sem a participação do professor, que conhecia
essa realidade. Devemos lembrar que, neste período, a política educacional era autoritária,
centralizadora e burocrática, devido ao regime em que o país vivia. Podemos observar que “os
custos de um processo centralizador em matéria de educação fazem-se sentir na defasagem
entre a decisão e sua execução, já que a responsabilidade de seleção do material a ser usado
fica a cargo de outros que não os que diretamente o farão: os professores”[15]. Se os
professores não participam do processo, eles não se sentem responsáveis pelo programa, que
pode está fadado ao fracasso [15].
Defendemos que o professor é a pessoa mais indicada na escolha do livro didático.
Todavia, consideramos que o professor deve ser capacitado para realizar essa escolha, e não
apenas assumir essa responsabilidade. Nas entrevistas feitas com os professores, confirmamos
a necessidade de um melhor preparo. Dentro das escolas eles não têm tempo para o diálogo, o
que impossibilita a discussão sobre o Guia do livro didático. No capítulo seis aprofundaremos
sobre esta questão.
Com todos esses decretos, quem lucrou foi a indústria do livro, pois, nesse período, ela
cresceu excepcionalmente. Podemos ressaltar que os interesses estatais ligados aos interesses
privados influenciaram profundamente as políticas do livro didático, o que fez com que esse
material sofresse mais influências das leis de mercado [18]. Desse modo,
apesar de ilustre, o livro didático é o primo pobre da literatura, texto para ler e botar
fora, descartável porque anacrônico: ou ele fica superado, dados os progressos da
ciência a que se refere, ou o estudante o abandona, por avançar em sua educação.
Sua história é das mais esquecidas e minimizadas, talvez porque os livros didáticos
não são conservados, suplantado seu “prazo de validade”. [18, p. 120]
Entretanto, é o primo rico das editoras, pois ele pode contar com os sistemas de ensino
e o suporte dado pelo estado com suas políticas públicas que garantem sua compra sem levar
em consideração a qualidade do livro.
Diante deste quadro, se fez necessário uma política do livro didático mais competente
e eficaz. Então, com a edição do Decreto nº 91.542, de 19/8/85, o PLIDEF dá lugar ao
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que está em vigor até hoje. Ele é responsável
pelos princípios e critérios nos quais os professores escolhem os livros didáticos de
matemática. Livros estes que analisaremos no quinto capítulo. Refletiremos agora sobre o
PNLD.
2. 3 Programa Nacional do Livro Didático (PNLD)
O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) apresentou grandes modificações em
relação aos programas que vigoravam até então. Seu objetivo principal era universalizar o
atendimento e efetuar a seleção dos livros didáticos pelos professores, fornecendo subsídios
para uma crítica consciente dos títulos a serem adotados. O PNLD trouxe a reutilização do
livro, implicando a abolição do livro descartável, que era utilizado por apenas um ano e o
aluno podia escrever no livro, garantindo sua utilização por três anos consecutivos.
Aperfeiçoou as especificações técnicas para a produção do livro didático, visando uma maior
durabilidade e possibilitando a implantação de banco de livros didáticos. Teve o fim da
participação financeira dos estados, passando o controle do processo decisório para a FAE, e
garantindo o critério de escolha do livro pelos professores.
Em 1992, a distribuição dos livros foi comprometida por limitações orçamentárias e
houve um recuo na abrangência da distribuição, restringindo-se o atendimento até a 4ª série
do equivalente ao Ensino Fundamental atual. Mas, com a Resolução FNDE nº 6, vinculou-se,
em julho de 1993, recursos para a aquisição dos livros didáticos destinados aos alunos das
redes públicas de ensino, estabelecendo-se assim um fluxo regular de verbas para a aquisição
e distribuição do livro didático [14].
Somente em 1995 retoma-se de forma gradativa a regularização da distribuição do
livro didático no equivalente ao Ensino Fundamental atual. Neste mesmo ano, são
contempladas as disciplinas de Matemática e Língua Portuguesa e, em 1996, a disciplina de
Ciências, iniciando o processo de avaliação pedagógica dos livros inscritos para o PNLD. No
ano seguinte foram contempladas as disciplinas de Geografia e História e aperfeiçoou-se o
processo de avaliação dos livros didáticos. São excluídos do Guia do Livro Didático os livros
que apresentam erros conceituais, indução a erros, desatualização, preconceito ou
discriminação de qualquer tipo.
Em fevereiro de 1997 a FAE foi extinta, passando a responsabilidade pela política de
execução do PNLD para o Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE). O
programa foi ampliado e o Ministério da Educação passou a adquirir, de forma continuada,
livros didáticos de alfabetização, Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, Estudos Sociais,
História e Geografia para todos os alunos de 1ª a 8ª séries do Ensino Fundamental público.
No ano 2000, é inserida no PNLD a distribuição de dicionários da Língua Portuguesa
para uso dos alunos de 1ª a 4ª séries, estendida, em 2002, aos alunos de 5ª e 6ª séries. Em
2001, pela primeira vez na história do programa, os livros didáticos passam a ser entregues no
ano anterior ao ano letivo de sua utilização. No mesmo ano, o PNLD amplia o atendimento
aos alunos portadores de deficiência visual que estão nas salas de aulas do ensino regular nas
escolas públicas, com livros didáticos em Braille.
Em 2003, o PNLD consegue atingir sua meta de distribuir um dicionário da Língua
Portuguesa para alunos ingressantes da 1ª série e alunos de 7ª e 8ª série do Ensino
Fundamental. Sua intenção é que todos os alunos matriculados nas escolas públicas tivessem
um dicionário por toda sua vida escolar, sendo este de propriedade dos alunos, podendo
compartilhar a fonte de pesquisa com toda a família. Também é distribuído um Atlas
Geográfico para as escolas que possuem, concomitantemente, Educação de Jovens e Adultos
(EJA) e turmas de 5ª a 8ª série do ensino regular.
Em 2004, foi feita a distribuição de livros didáticos de todos os componentes
curriculares aos alunos de 1ª a 4ª série. Em 2005, foram distribuídos livros didáticos de todos
os componentes curriculares de 1ª série ingressantes, 2ª a 4ª séries (reposição e
complementação) e a todos os alunos de 5ª a 8ª séries. Neste ano, houve uma mudança na
distribuição de dicionários da Língua Portuguesa. O aluno não mais recebia um dicionário, o
FNDE fornece acervos de dicionários a todas as escolas públicas de 1ª a 4ª série do Ensino
Fundamental. As obras também passam a ser adaptadas ao nível de ensino do aluno, da
seguinte forma:
Dicionários do tipo 1 - com 1 mil a 3 mil verbetes, adequados à introdução das
crianças a este tipo de obra. Dicionários do tipo 2 - com 3,5 mil a 10 mil verbetes,
apropriados a alunos em fase de consolidação do domínio da escrita. Dicionários do
tipo 3 - com 19 mil a 35 mil verbetes, direcionados para alunos que já começam a
dominar a escrita. [15]
As turmas de 1ª e 2ª séries recebem dicionários do tipo 1 e 2, enquanto as de 3ª e 4ª
séries recebem os do tipo 2 e 3. Nas redes públicas que adotam o Ensino Fundamental de
nove anos, o primeiro grupo é formado por alunos de 1ª a 3ª série e o segundo grupo, de 4ª e
5ª série.
Em 2006 foi feita a distribuição de livros didáticos de todos os componentes
curriculares de 1ª série; a segunda complementação do PNLD/2004 aos alunos de 2ª a 8ª série
e a primeira reposição e complementação do PNLD 2005 aos alunos de 5ª a 8ª série. Já em
2007, o FNDE adquiriu 110,2 milhões de livros para reposição e complementação de
matrículas para 2ª a 4ª série e a grade completa para alunos de 1ª série ingressantes e de 5ª a 8ª
série para beneficiar, no ano letivo de 2008, 31,1 milhões de alunos de 139,8 mil escolas
públicas. Essa aquisição custou R$ 559.752.767,00. Em 2008, foi feita a distribuição de livros
didáticos de todos os componentes curriculares, alfabetização, Língua Portuguesa,
Matemática, História, Geografia e Ciências de 1ª série ingressantes, 5ª a 8ª série e reposição e
complementação aos alunos de 2ª a 4ª série. No mesmo ano, o FNDE adquiriu 60.542.424 de
livros para os alunos da 1ª série e para a complementação e a reposição de todas as disciplinas
das demais séries do Ensino Fundamental. Os livros foram distribuídos em outubro de 2008 e
estão sendo utilizados em sala de aula no presente ano. O valor da compra, dessa vez, foi de
R$ 302.621.896,64.
Com a implantação do PNLD, os professores passam a ter certa autonomia para a
escolha dos Livros Didáticos. Todavia, antes da escolha efetiva pelo professor, os livros
passam por uma análise de acordo com alguns critérios do MEC, envolvendo vários setores
ligados à sua produção e consumo. Inicialmente, são formadas comissões com técnicos do
MEC, consultores e pesquisadores de várias instituições de ensino superior. Essas comissões
definem os critérios de avaliação. São considerados, por exemplo, critérios eliminatórios: “a
correção dos conceitos e informações básicas”, ou seja, os livros não podem formular nem
manipular erroneamente os conceitos e informações fundamentais das disciplinas em que se
baseiam; “a correção e pertinência metodológica”, isto é, devem permitir ao aluno a
apropriação do conhecimento e suas propostas devem mobilizar e desenvolver competências
cognitivas básicas, como a compreensão, a análise e o planejamento; por fim, a “contribuição
para a construção da cidadania”, isto é, não devem conter nenhum preconceito quanto a
origem, cor, raça, etnia, gênero ou qualquer outro tipo de discriminação.
Após a avaliação do MEC, é redigido um manual com a avaliação de cada livro, o
Guia do Livro Didático, que é enviado para as escolas para análise dos professores juntamente
com a direção. A escola define, então, o livro mais adequado à sua realidade. Atualmente, o
funcionamento do PNLD segue as etapas resumidas na fig1:
PNLD
Inscrição das editoras: Edital
de convocação para inscrição
do processo de avaliação e
seleção de livros didáticos a
serem incluídos no guia de
livros didáticos
Inscrição dos livros
Didáticos
Triagem dos Livros:
responsabilidade do Estado
de São Paulo (IPT)
Avaliação Pedagógica:
Responsabilidade do
MEC
Guia do Livro Didático
Escolha do Livro pela
Escola (Professores,
Diretores Etc.)
Distribuição do Livro
Didático para as Escolas
Públicas
Fig. 1 – Funcionamento do PNLD
3 A História da Ciência no Ensino de Matemática
Neste capítulo apresentaremos algumas considerações sobre a noção de História da
Ciência, uma vez que a Matemática como ciência se desenvolveu a partir de sua história.
Devido ao fracasso escolar de muitos estudantes, o ensino de Matemática é um desafio
para educadores e pesquisadores em Educação Matemática. Nos últimos tempos, o ensino
praticado vem seguindo a forma tradicional, baseado na matematização do conteúdo e
exigindo a memorização de equações, não estabelecendo, desta forma, o significado e a
contextualização, o que desmotiva, a nosso ver, o aprendizado do aluno.
A inclusão da História e Filosofia da Ciência (HFC) é um fator intrínseco a boa
educação em ciências [19], pois não inclui apenas suas leis e teorias, mas também o
desenvolvimento da ciência. O ensino das ciências não deveria ser apenas um treinamento em
ciências, mas também um ensino sobre ciências, o que significa que, além do conhecimento
dos conteúdos das matérias e do desenvolvimento de habilidades científicas, os estudantes
deveriam ter acesso a uma apreciação dos métodos, sua diversidade e suas limitações [19].
Informações sobre questões metodológicas seriam úteis, pois só assim saberiam as maneiras
pelas quais as teorias científicas são avaliadas, o modo como são apreciadas, qual o seu papel
na sociedade, o contexto cultural e social com que essa teoria foi desenvolvida. Isso permitiria
uma educação buscando minimizar a fragmentação intelectual, situando a atividade científica
como parte do desenvolvimento cultural, inserindo-a num panorama mais abrangente e
relacionando à ciência, política, economia, religião, ética etc.
Os “Professores das ciências precisam conhecer algo da história e da natureza das
disciplinas que eles estão ensinando”[19]. O conhecimento em HFC permite ao professor
ensinar e avaliar melhor os debates científicos e educacionais presentes nos currículos.
Permite também uma outra visão educacional, dando-lhe suporte às suas atividades em sala de
aula e definindo um propósito para sua tarefa pedagógica.
A HFC pode contribuir de forma significativa para a formação do professor,
complementando os aspectos técnicos com uma visão social, cultural e humana. Permite
ambientar a sociedade da época em questão, trazer as concepções favoráveis e controversas
que surgiram na aceitação de determinada ideia, conhecer a vida dos cientistas e de outros
pesquisadores que contribuíram para o desenvolvimento da ciência que não são mencionados
em livros didáticos [20].
A discussão acerca das contribuições da HFC para o ensino, embora seja atual, não é
recente. Tentativas de aproximação do ensino das ciências com a História e Filosofia das
Ciências são feitas desde o século XIX. Ernst Mach [21] defendia o uso de experiências de
pensamento como forma de prover o professor de habilidades para melhor compreender como
os alunos entendem os conceitos. Ele argumentava em favor do uso da HFC no ensino. Para
Mach, as teorias científicas só poderiam ser compreendidas se seu desenvolvimento histórico
fosse compreendido, dever-se-ia ensinar pouco, mas ensinar bem e seguir a ordem histórica
do desenvolvimento do conteúdo, colocando as questões filosóficas vinculadas à ciência [19].
As recomendações a favor da incorporação da HFC no ensino têm crescido
substancialmente nas últimas décadas, e são inúmeras as razões apresentadas para que haja tal
inclusão. Matthews pontua seis aspectos que podem representar contribuições da HFC para o
ensino de ciências:
(i) Humanização das ciências e sua conexão com preocupações pessoais, éticas,
culturais e políticas;
(ii) Aumento de habilidades de raciocínio e pensamento críticos a partir de
discussões que tornam as aulas mais provocativas;
(iii) Entendimento mais pleno da matéria científica e possibilidade de superação do
formato de ensino no qual fórmulas e equações são recitadas sem referência aos
seus significados;
(iv) Melhoria na formação do professor por ajudá-lo a desenvolver um mais rico
entendimento da ciência e seu lugar na sociedade;
(v) Subsídio aos professores para compreender melhor as dificuldades de
aprendizado dos estudantes em função de alertar para as dificuldades históricas do
desenvolvimento científico e das mudanças conceituais;
(vi) Apreciação mais clara acerca dos debates educacionais da atualidade. [19, p. 7]
A HFC pode influenciar de forma positiva a educação científica, pois suas discussões
podem contribuir para o desenvolvimento de habilidades cognitivas e de argumentação. Pode
ajudar a desmistificar a ciência, por propiciar uma visão mais realista do potencial e das
limitações do conhecimento científico, o que é essencial na atual sociedade [22].
O papel da HFC no ensino não é de mero instrumento que favoreça a compreensão do
conteúdo convencional dado nas escolas. Ao contrário, a HFC são os próprios elementos
constituintes da ciência. E “
a pesquisa, em condições de sala de
aula e com materiais históricos
apropriados, de boa qualidade”, pode ser
utilizada pelo professor para que, entre outras coisas,
possa
(...) propiciar o aprendizado significativo de equações (...) que o utilitarismo do
ensino tradicional acaba transformando em meras expressões matemáticas (...); ser
bastante útil para lidar com a problemática das concepções alternativas; incrementar
a cultura geral do aluno, admitindo-se, neste caso, que há um valor intrínseco em se
compreender certos episódios fundamentais que ocorreram na história do
pensamento científico (...); desmistificar o método científico, dando ao aluno os
subsídios necessários para que ele tenha um melhor entendimento do trabalho do
cientista; mostrar como o pensamento científico se modifica com o tempo,
evidenciando que as teorias não são ‘definitivas e irrevogáveis’, mas objeto de
constante revisão; chamar a atenção para o papel das idéias metafísicas (e
teológicas) no desenvolvimento das teorias científicas mais antigas; contribuir para
um melhor entendimento das relações da ciência com a tecnologia, a cultura e a
sociedade; propiciar o aparecimento de novas maneiras de ensinar certos conteúdos;
melhorar o relacionamento professor-aluno; levar o aluno a se interessar mais pelo
ensino. [23, p. 157-158]
Todas as justificativas apresentadas, quando necessário e com a devida adaptação,
podem ser aproveitadas em favor da utilização da História da Matemática na Educação
Matemática. Pois, proporciona aos alunos perceberem as mudanças conceituais e os
problemas que existiram e que existem na construção dos conhecimentos. Uma das faces das
pesquisas em educação matemática é caminhar no sentido de encontrar instrumentos
metodológicos para serem aplicados no ensino de Matemática. Através de reflexões teóricas,
os pesquisadores desbravam seus campos de pesquisa na intenção de fornecer subsídios para
uma maior compreensão da matemática. Nesse sentido, encontramos algumas estratégias para
desenvolver uma metodologia em sala de aula, com uma aprendizagem mais significativa, nos
Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN).
Os PCN de Matemática sugerem que os professores utilizem jogos matemáticos,
trabalhem com a resolução de problemas, com as tecnologias da comunicação e a História da
Matemática. A História da Matemática nos revela:
A Matemática como criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de
diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações
entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor
cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis
diante desse conhecimento. [24, p. 42]
A utilização da História da Matemática no ensino permite formar alunos que
contextualizem os conhecimentos e os insiram numa perspectiva de construção humana e
coletiva. A História da Matemática ajuda a superar o “mar de falta de significação que inunda
as salas de aula de ciências”[3]. Ela pode ajudar o aluno e o professor a conhecer a existência
de crises no desenvolvimento da Matemática, as evoluções conceituais que se deram durante,
após e por causa dessas crises e suas limitações, permitindo também conhecer os problemas
ainda não resolvidos.
A História da Matemática, tratada apenas como um simples instrumento
metodológico, reduz sua importância no ensino de Matemática, quando na verdade ela é
fundamental na aprendizagem dessa disciplina, pois:
As práticas educativas se fundam na cultura, em estilos de aprendizagem e nas
tradições, e a história compreende o registro desses fundamentos. Portanto, é
praticamente impossível discutir educação sem recorrer a esses registros e a
interpretações dos mesmos. (...) As idéias matemáticas comparecem em toda a
evolução da humanidade, definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente,
criando e desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os
fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência [25, p.97].
A
História da Matemática tratada apenas como elemento motivador, “dificilmente
despertará qualquer interesse na Matemática em si” [26]. Na verdade, ela poderá afugentar os
alunos, contrariando a sua utilização pedagógica, se for tratada de maneira apenas decorativa.
Mas, ao contrário, diante de uma tarefa que resgate o desenvolvimento histórico de
determinados conceitos matemáticos, devemos permitir ao aluno perceber que o
conhecimento matemático é falível, corrigível e em contínua expansão, nascendo da atividade
humana, como parte de um processo social [27].
A epistemologia da Matemática não deve ser considerada independente da história da
Matemática. Ocultar os contra-exemplos que levam a uma “descoberta Matemática” é
apresentar o conceito de forma autoritária e artificial [28]. A construção dos conceitos deve
ser apresentada sob vários pontos de vista, permitindo ao aluno compreender que a
praticidade do manuseio de fórmulas, que temos hoje, deriva da reorganização e integração
parcial das posições geradas ao longo da história. Desse modo, o aluno deve participar da
construção do conhecimento de forma ativa e crítica, tendo como uma das exigências a
relação com a necessidade histórica e social que sustentaram o surgimento e o
desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A efetivação desse ensino só pode ocorrer se o
professor adotar a conduta de orientador de atividades, priorizando as experiências teóricas ou
práticas dos alunos para serem subsidiadores da formação dos conceitos interpretados com o
intuito de aplicá-los na solução de problemas práticos que os exijam [29].
Dentre as vantagens de se estudar a História da Matemática, tanto para alunos quanto
para professores, citam-se a possibilidade de contextualização e a busca de significado para os
conteúdos estudados, pois assim se desmistifica a disciplina, dando-lhe um caráter de
construção humana. Neste sentido, sendo a matemática um fator integrante do contexto social,
ela incentiva a formação do cidadão na maior amplitude possível, e a História da Matemática
poderá contribuir para a construção do conhecimento matemático no sentido de o estudante
atribuir maior significado ao que ele aprende [30].
Muitos conhecimentos matemáticos são transmitidos como algo obtido de forma
natural. Por conta disso, coisas que foram criadas para atender às necessidades práticas de
civilizações antigas são ensinadas sem atenção às suas reais origens. Neste sentido, é
merecedora de destaque a necessidade de, ao propor atividades de aprendizagem, o professor
observar que a forma acabada na qual se encontra o conceito matemático esconde inúmeras
modificações ao longo de sua história [31].
No processo de ensino e aprendizagem dos conhecimentos matemáticos, os conceitos
podem ser tratados partindo do seu desenvolvimento histórico, assumindo assim um caminho
diferente para a educação matemática. Ao invés de ensinar a praticidade dos conteúdos
escolares, investir em sua fundamentação, em vez de se ensinar o para quê, ensinar o porquê
das coisas [32].
A História da Matemática é útil na elaboração e execução de atividades voltadas à
construção das noções básicas, orientando o uso da história para continuar a busca da
compreensão das propriedades, teoremas e aplicações da Matemática na solução de problemas
que exijam do aluno algum conhecimento referente ao assunto. Podemos citar uma lista de
sugestões para utilizar a História da Matemática em sala de aula.
• Faça introduções históricas a conceitos que são novos aos alunos.
• Encoraje os alunos a buscar entender os problemas históricos para os quais os
conceitos que eles estão aprendendo são respostas.
• Dê lições de "história da matemática".
• Invente em sala de aula ou como lição de casa, exercícios usando textos
matemáticos do passado.
• Dirija atividades dramáticas que reflitam a interação matemática.
• Encoraje a criação de cartazes ou outros projetos com um tema histórico.
• Desenvolva projetos sobre atividades matemáticas locais no passado.
• Use exemplos críticos do passado para ilustrar técnicas ou métodos.
• Explore visões de concepções falsas/erros/alternativas do passado para ajudar a
entender e solucionar as dificuldades dos estudantes de hoje.
• Invente uma abordagem pedagógica para um tópico com base em seu
desenvolvimento histórico.
• Faça a ordenação e estruturação dos tópicos do programa baseando-se em
informações históricas. [33, p. 3 – 6]
O ensino da História da Matemática nos permite situá-la como uma manifestação
cultural de vários povos em tempos diversos. É por meio dela que vamos entender e destacar
que a Matemática teve origens nas culturas da Antiguidade Mediterrânea e se desenvolveu ao
longo da Idade Média. Contudo, organizou-se como corpo de conhecimento apenas a partir do
século XVII, onde obteve estilo próprio e incorporou-se no sistema escolar das diversas
nações colonizadas [25].
Apresentamos então uma série de razões para utilização da História da Matemática no
ensino de Matemática:
• Ajuda a aumentar motivação para aprender.
• Humaniza a matemática.
• O desenvolvimento histórico ajuda organizar a apresentação de tópicos no
currículo.
• Mostrar como os conceitos se desenvolveram ajuda os alunos na sua compreensão.
• Os alunos percebem as mudanças da matemática.
• Comparações entre o antigo e o moderno estabelecem valores para as técnicas
modernas.
• Ajuda a desenvolver uma abordagem multicultural.
• Provê oportunidades para investigação.
• Os obstáculos do passado, no desenvolvimento da matemática, ajudam a explicar o
que os alunos de hoje acham difícil.
• Os alunos se confortam ao perceber que eles não são os únicos com problemas.
• Encoraja estudantes mais rápidos para que olhem mais adiante.
• Ajuda explicar o papel da matemática na sociedade.
• Faz a matemática menos amedrontadora.
• A exploração da história ajuda a sustentar seu próprio interesse e excitação em
matemática.
• Provê oportunidades para transcender o currículo, trabalhando com outros
professores ou assuntos. [33, p. 3 – 6]
Percebemos, então, que a História da Matemática é um elemento indispensável para a
formação de uma melhor percepção da Matemática. Apesar de todo o esforço para que o
ensino de Matemática se torne mais prazeroso, ainda convivemos com um quadro bem
distante do anterior, pois atualmente os manuais didáticos apresentam os conteúdos como
sendo uma reprodução de resultados sem contextualização. Tal forma de apresentação pode
ser aos poucos superada, se for incluída no currículo um pouco de história, ainda ignorada por
uma boa parte de nossa cultura científica. É preocupante, entretanto, que a História da
Matemática escrita pelos historiadores matemáticos não consiga realçar aqueles elementos e
aspectos que poderiam, eventualmente, trazer uma real contribuição aos professores no ato de
planejar as suas aulas.
Ao analisarmos os livros didáticos, percebemos que, nas suas pequenas resenhas
históricas, as teorias matemáticas foram sendo descobertas por grandes gênios da
humanidade, individualmente e em momentos de grande inspiração. Todo o processo de
investigação científica, as contribuições de inúmeras pessoas, a relação com outras áreas do
conhecimento, bem como outros fatores determinantes e determinados pela Matemática,
como o contexto sócio-cultural, histórico e político, não são levados em consideração. Dessa
forma, defendemos que o verdadeiro processo de criação e desenvolvimento de um conceito
científico só pode ser compreendido através de um estudo mais adequado da História da
Matemática.
Os textos de História da Matemática podem levar em conta outros fatores externos à
Matemática, como o contexto sócio-cultural onde os conceitos foram desenvolvidos. Ou seja,
a História da Matemática aparecendo intrinsecamente ligada a outras histórias. Por exemplo,
se a história dos sistemas de numeração fosse contada assim, poderia contribuir para que o
professor adquirisse uma outra visão desse conhecimento, permitindo-lhe uma maior
autonomia diante dele, para que questione regras, métodos e técnicas, ou seja, outras
possibilidades, não as seguindo cegamente e as repassando aos seus alunos para que façam o
mesmo.
Dessa forma, o aluno estaria em contato com a História Social da Matemática,
destacando-a como produção humana. Sendo assim, haveria a possibilidade de entender que o
conhecimento matemático é produzido ao longo do caminho percorrido pela humanidade,
desde a Pré-História, atendendo às diversas transformações que ocorreram e continuam
ocorrendo na sociedade e no próprio homem, contribuindo para que o aluno compreenda os
conteúdos matemáticos e o ajude a construir valores e atitudes.
4 A Passagem da numeração Romana para a Indo-Arábica.
Neste capítulo, discutiremos a passagem, ocorrida na Europa medieval, do sistema
numérico romano para o indo-arábico, e as consequências históricas desta mudança. Para tal,
faremos uma exposição da civilização hindu e árabe, que foram fundamentais para o sistema
de numeração. Apresentaremos o funcionamento dos algarismos romanos e sua importância
na sociedade do período medieval. Investigaremos também as condições históricas durante a
mudança do sistema numérico, analisando como, a partir das Cruzadas, houve uma intensa
troca cultural entre o Ocidente e o Oriente. Finalmente, discutiremos algumas consequências
da entrada dessa nova numeração no Ocidente.
4.1 A civilização Indiana
A civilização hindu se desenvolveu desde os anos 2500 a.C. A fonte histórica
preservada mais antiga dessa civilização são as ruínas de uma cidade de 5000 anos,
encontradas em Mohenjo Daro, na região do rio Indo, que corresponde hoje ao Paquistão.
Encontram-se vestígios de ruas largas, habitações de tijolos com banheiros ladrilhados, redes
de esgoto subterrâneo e piscinas públicas. Tinham um planejamento urbano e uma engenharia
bastante complexa. As ruínas mostram que os habitantes dessa cidade tinham um sistema de
escrita e uma notação numérica por traços verticais dispostos em grupos [34].
No ano de 1500 a.C., bandos de nômades, conhecidos como arianos, invadiram a
região do Ganges, forçando o seu povo a um regime de castas civis, dividindo a sociedade em
guerreiros, sacerdotes, mercadores e trabalhadores [35]. Desenvolveram a literatura sânscrita
e, no mesmo período, as crenças védicas – seus hinos eram transmitidos oralmente e, para
facilitar a memorização, eram transmitidos em versos – foram desenvolvidas formando a base
do antigo hinduísmo [35].
O Período Védico se encerra no fim do séc. VI a.C., quando surgiram novas ideologias
e religiões, que transformaram o ambiente intelectual do país. Entre os vários reformadores
religiosos que pregaram novas orientações dentro do contexto do Hinduísmo, destaca-se
Buda, filósofo e reformador social. Em decorrência de seus princípios não discriminatórios,
nasce uma fase mais rica em literatura na Índia. O budismo cresceu e virou religião oficial por
volta do ano 250 a.C. Pertencem a essa época também os Sulvasutras ou “regras de cordas”.
Sulva refere-se às cordas usadas para medidas e sutra significa um livro de regras ou aforismo
relativos a um ritual ou uma ciência. Tinham noções de geometria e utilizavam as cordas
como instrumento de medida nas construções de templos e altares [36].
No século V a.C., o noroeste da Índia foi invadido pelos persas, influenciando a
filosofia política indiana, mas por volta de 327 a.C. a Índia foi conquistada por Alexandre, o
Grande, proporcionando à Índia o conhecimento da cultura grega e, consequentemente, uma
interação entre as culturas gregas e persas.
Os escribas e mercadores utilizavam a escrita kharoshi proveniente do noroeste da
Índia. Essa escrita foi utilizada entre o século V a.C. e o século III d.C. Os numerais kharshi
indicavam agrupamentos de quatro, dez ou vinte, com símbolos específicos para indicar esses
agrupamentos. A escrita era feita da direita para a esquerda, obedecendo à ordem decrescente
dos valores. Não possuíam uma notação aditiva para as centenas, mas sua representação
apresentava uma contagem como: 2C, 3C, 4C etc.
Mas não foram os numerais kharoshi que deram base para nosso sistema de
numeração. Foi a numeração brâmanes, uma escrita posterior aos kharoshi. A escrita
brâmanes deu origem a duzentos tipos diferentes de alfabetos indianos, dentre eles o nâgari, o
mais usado nos dias atuais.
Uma característica dos numerais brâmanes era ser cifrado, cada unidade tinha um
símbolo específico, bem como cada dezena e não possuíam o sistema posicional, que aparecia
somente nas centenas e na milhar. Possuíam nove símbolos para as unidades. Para as centenas
e milhares, utilizavam os nove símbolos das unidades combinados com um símbolo da ordem
correspondente à posição. Assim, esse sistema combinava a cifração com o sistema
posicional.
Os numerais hindus foi resultado de um desenvolvimento interno ao longo dos anos. O
primeiro documento que faz referência a esses algarismos se encontra em 662 d.C. nos
escritos de Severus Sebok, e foi apenas entre 600 e 870 d.C. que os próprios indianos criaram
um símbolo para representar o espaço vazio. O que destaca nesse sistema de numeração é a
base decimal, sua notação posicional, um símbolo para cada um dos dez numerais e um
símbolo para o zero.
Os hindus tiveram contato com muitas outras civilizações. Influenciaram-nas e foram
influenciados por elas. O princípio posicional, presente na numeração hindu, também aparece
no sistema numérico dos babilônios. A base dez, que é uma das características do sistema
hindu, também era usada pelos egípcios e chineses. Isto pode ser explicado devido ao
intercambio cultural que houve entre eles. Essa representação passou por muitas
transformações, das quais as mais importantes estão representadas na (Fig. 2).
Figura 2
–
Transformações sofridas pela numeração hindu. Fonte: IMENES E LELIS [37]
Para compreendermos como esse sistema chegou ao Ocidente, precisamos considerar
a contribuição dos povos árabes, sua cultura e suas crenças.
4.2 A civilização Árabe
A Arábia era uma região desértica habitada principalmente por tribos nômades que se
deslocavam em grandes caravanas entre os poucos centros de comércio existentes. Não
tinham nenhuma importância no que diz respeito à ciência ou à Matemática. Nesse ambiente
viveu Maomé, nascido em Meca, o criador da religião islâmica no início do século VII da era
cristã.
Maomé não foi apenas líder religioso, mas também grande chefe guerreiro que
submeteu ao seu governo toda a Península Arábica. Seus sucessores empreenderam muitas
guerras de conquista, ampliando a área de influência do islamismo e estabelecendo um grande
império que, um século depois da morte de Maomé, unidos principalmente pela fé, os árabes
conquistam a Palestina e a Síria até a fronteira bizantina na Ásia Menor, a Mesopotâmia,
Alexandria, que por muitos anos fora o centro matemático do mundo, Cartago e o Egito.
Penetraram no Norte da África, onde conquistaram o Irã, e em 715 d.C., conquistaram a
Espanha, parte da Índia ocidental e grande parte do mar Mediterrâneo [38].
Os árabes não foram apenas guerreiros. Ao contrário, tiveram um papel
importantíssimo no campo da cultura e da ciência, especialmente na Matemática. A grande
extensão do Império Islâmico permitiu aos estudiosos árabes entrar em contato com as mais
variadas culturas. Oriundos de uma cultura mais primitiva, tinham mais a aprender do que
ensinar aos povos conquistados, impondo basicamente a transformação da linguagem.
Após um período de desinteresse e influenciados pelas suas conquistas, os árabes
passam a incentivar e sustentar pesquisas, surgindo por volta do século VIII a capital do
Império Oriental, Bagdá, que passaria a ser o centro cultural do mundo. Com a conquista do
Egito, os árabes adquiriram muitas obras que pertenciam à biblioteca de Alexandria.
No extremo oriente do seu império, os árabes entraram em contato com a cultura
hindu e interessaram-se especialmente pela astronomia, a aritmética e a álgebra, muito
desenvolvidas naquela civilização. Estudaram, sobretudo, o sistema numérico hindu,
reconhecendo sua simplicidade e praticidade. Esses conhecimentos já eram dominados pelos
hindus há vários séculos, mas não haviam se difundido entre os povos do ocidente.
Durante o califado de Harum al-Rachid, os árabes traduziram parte dos Elementos de
Euclides, mas foi no califado de al-Mamum que realmente se entregaram às traduções,
traduzindo todas as obras gregas que conseguiram, dentre elas o Almagesto de Ptolomeu e
uma versão completa dos Elementos de Euclides, sendo essa a versão dos Elementos que mais
tarde chegaria à Europa [39].
AL-Mamum construiu em Bagdá uma biblioteca chamada Casa da Sabedoria. Foram
convidados a participar desse centro vários intelectuais e tradutores, também foram
convidados alguns mestres, entre eles o matemático e astrônomo Mohammed ibu-musa al-
Khowârizmî [40]. Ele escreveu sobre Astronomia, Matemática, tratados sobre o astrolábio e
sobre o relógio de sol. Além desses trabalhos, escreveu dois livros que foram de grande
importância para a História da Matemática. Em seu livro De numero hindorum (sobre a arte
de calcular), al-Khowârizmî deu uma exposição completa sobre os algarismos hindus e mais
tarde seu livro foi traduzido para o latim [35]. Sua organização foi muito eficiente por ter
simplificado e adaptado muitas das antigas formas numéricas. Ele escreveu também
importantes livros usando a numeração que organizou, demonstrando sua eficiência.
Mais tarde n
a
Europa, esse livro foi traduzido para o latim e passou a ser muito
consultado por aqueles que queriam aprender a nova numeração. Apesar de al-Khowârizmî,
honestamente, explicar que a origem daquelas idéias era hindu, a nova numeração tornou-se
conhecida como a de al-Khowârizmî. De início, os escritos de al-Khowârizmî estavam
restritos ao oriente médio, mas aos poucos eles se difundiram por todo o mundo árabe. A
organização da nova notação matemática realizada por ele acabou recebendo o nome de
Notação Algébrica, e os símbolos de Algarismos, em virtude de seu nome. Atualmente, os
algarismos, que são a base da Matemática contemporânea no Ocidente, são os seguintes:
1,2,3,4,5,67,8,9 e 0.
Os árabes, que haviam penetrado na Europa e dominavam a Península Ibérica, foram
os introdutores da ciência oriental na Europa medieval. Entre os séculos VIII e XIII, por
iniciativa dos árabes, foram criadas muitas universidades e bibliotecas, desde Bagdá, no
Oriente Médio, até Granada e Córdoba, na atual Espanha. Os árabes trouxeram consigo o
fanatismo religioso, mas também uma cultura superior à que se encontrava na Europa naquele
período. Nos centros de traduções, principalmente na cidade de Toledo (Espanha), as obras
dos hindus foram traduzidas para o árabe e difundidas entre os estudiosos.
4.3 A numeração Romana
Os grandes impérios se solidificam e se eternizam muito mais por sua cultura do que
por seu tamanho. O Império Romano aliou essas duas características: era vasto e possuía uma
enorme e impressionante cultura. Nesse conjunto, um aspecto que chama a atenção por sua
durabilidade é o Sistema Numérico. De início, falar de um “sistema numérico” romano, como
se houvesse apenas um, seria imprudente. Na verdade, houve diversas formas, e a que mais se
popularizou, durante o período do Império, foi a que representava os algarismos a partir das
letras do alfabeto. Mas esses grafismos não são as formas iniciais da numeração romana.
Mesmo essa forma mais difundida era diferente da que aprendemos hoje na escola e
que ainda é usada em relógios, capítulos de livros, nomes de reis, papas etc. O moderno
sistema romano é o resultado de uma longa evolução, tendo assumido a forma atual no
Renascimento. Entre as principais diferenças entre eles, citam-se: vários algarismos eram
distintos dos atuais, raramente usavam o princípio subtrativo e, acima de tudo, não tinham
regras fixas para escrever os numerais.
O sistema romano, provavelmente, é originário do sistema etrusco, povo que dominou
a Itália do século VII a.C. ao século VI a.C. Essa grafia é uma herança da prática ancestral do
entalhe, constituindo os últimos resíduos dessa aritmética primitiva, mais antiga que qualquer
forma de escrita [41]. É indiscutível a facilidade do entalhe com marcas verticais, bem como a
dificuldade de leitura de uma grande quantidade de entalhes [42]. O homem tem a capacidade
de perceber e contar rapidamente até quatro, mas a partir daí ele deve ter atenção para fazer os
cálculos. Surge assim a necessidade de construir um sistema de numeração que permita fazer
contagem a partir de grupos. Os etruscos formaram então um sistema de numeração bem
primitivo e deixaram de herança para os romanos um sistema mais elaborado, permitindo-lhes
a formação do sistema de numeração romano. Vejamos na (Fig. 3) essa evolução do sistema
etrusco e o sistema de numeração romano arcaico.
Figura 3
-
E
volução do sistema etrusco
. Fonte: CONTADOR [42]
Figura 4
–
Convenções da numeração romana. Fonte: CONTADOR [42]
Os algarismos romanos sofreram algumas modificações gráficas ao longo dos séculos,
antes de serem substituídos pelas letras do alfabeto que conhecemos. A base numérica
utilizada pelos romanos era decimal, atribuindo ao número cinco o papel de uma base
auxiliar. Inicialmente a numeração romana não passava do número 1000. Aplicando o
principio aditivo aos sete algarismos básicos desse sistema, conseguia-se apenas representar
algarismos até 5000, sendo impossível obter algarismos grandes nessa época [43].
Com a dificuldade da escrita de algarismos grandes, os romanos e os povos latinos do
Ocidente adotaram algumas convenções de escrita para algarismos maiores, como podemos
observar na (Fig. 4):
Fig
ura 5
–
Formação de algarismos romanos baseados em um procedimento geométrico. Fonte: IFRAH [44]
Figura 6
–
Multiplicação de números romanos por 100.000.
Fonte: IFRAH [44]
O princípio de usar semicírculo ou círculos na figura, partindo do algarismo primitivo
para o 1000, foi utilizado para os algarismos 5000, 10000, 50000, 100000, 500000 e 1000000
(Fig. 5).
Essa notação não foi muito prática, pois, ao usar o símbolo com quatro semicírculos
ou quatro círculos, tinham a dificuldade de visualização e de reconhecimento dos algarismos.
Por isso essa notação foi caindo em desuso ao final da época republicana de Roma.
Uma notação que permitiu representar facilmente os algarismos compreendidos entre
1000 e 5000, e que foi utilizada desde o Império Romano até o fim da Idade Média, foi a
representação numérica coroada por um traço horizontal, que significava a multiplicação de
qualquer valor por 1000.
Exemplos:
VI
= 6 x 1000 = 6000
X
= 10 x 1000 = 10000
LXXXI
= 81 x 1000 = 81000
Mas essa notação não permitia representar todos os algarismos, então inventaram uma
notação que permitia representar todos os algarismos compreendidos entre 100000 e
500000000, que consistia em multiplicar os algarismos por 100000 (Fig. 6).
Exemplos:
Combinando os dois métodos anteriores, os romanos conseguiram representar os
algarismos até 500.000.000. O problema dessas notações era a margem que davam para erros
de interpretação. Podemos avaliar como esse sistema trazia insegurança para seus usuários.
Como outros algarismos da antiguidade, os algarismos romanos não eram destinados a
fazer operações aritméticas, sendo necessário recorrer sempre ao ábaco para realizar as
operações, por mais elementares que nos pareçam hoje. Sua única função era escrever os
algarismos após os cálculos feitos no ábaco.
O sistema de numeração romano era regido pelo princípio da adição e possuía sete
símbolos para apresentar seus algarismos que surgiu na Idade Média: I = 1; V = 5; X = 10; L
= 50; C = 100; D = 500 e M = 1000, sendo estes independentes uns dos outros e sua
justaposição implicava a soma dos valores correspondentes [44].
CCCLXXVII = 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 377
Os romanos acrescentaram ao seu sistema a regra segundo a qual “todo signo
numérico colocado à esquerda de um algarismo de valor superior é dele abatido” [44]. Então
passaram a representar os algarismos 4, 9, 19, 40, 90, 400 e 900 da seguinte maneira:
IV ( = 5 – 1) em vez de IIII
IX ( = 10 – 1) em vez de VIIII
XIX ( = 10 +10 – 1) em vez de XVIIII
XL ( = 50 – 10) em vez de XXXX
XC ( = 100 – 10) em vez de LXXXX
CD ( = 500 – 100) em vez de CCCC
CM ( = 1000 – 100) em vez de DCCCC
Essa representação dos algarismos foi muito popular por uma série de razões, vejamos
algumas delas.
A primeira é que era um sistema matemático coeso, baseado na língua utilizada pelos
Romanos, o Latim, o que permitia um fácil manuseio com a Matemática. Em termos
comerciais, era fundamental manter um sistema numérico que pudesse ser reconhecido
facilmente e que não apresentasse grandes dificuldades de cálculo. Essa vantagem de um
sistema baseado na língua trouxe logo outra vantagem, que era a união do Império pela
economia. A escolha de um sistema de numeração deve considerar as necessidades
econômicas, e não apenas as necessidades teóricas. Assim, o sistema numérico romano
popularizou um sistema de notação Matemática.
Durante a Idade Média não houve uma estagnação da Matemática. Ela se desenvolveu
e foi aplicada à lógica, o que se percebe ao estudar a lógica medieval. A partir dos textos de
lógica de Aristóteles, os medievais desenvolveram várias formas de argumentos, muito
influentes na educação daquele período. Quando a lógica era conjugada com a gramática, foi
desenvolvida uma série de estudos, dentre os quais: análise de tipos de predicação, análise de
proposições simples e suas relações com a inferência e a equivalência, análise de proposições
modais, silogismos categóricos e modais, tópicos de dialética e falácias.
A Matemática medieval, com base no sistema de numeração romano, não foi usada
apenas para a teoria científica e lógica medieval. Ela foi usada na tentativa de normatizar as
relações econômicas, uma vez que não havia mais na Europa um império que pudesse reunir
os estados. A utilização do sistema de numeração romano era acrescido do poder e velocidade
do Ábaco, usado desde o Império Romano.
A palavra ábaco (abacus em latim) deriva da palavra grega abax, que significa
travessa ou mesa. Do ábaco, fazem parte dispositivos que podiam servir para jogos ou para
cálculo aritmético. Essas peças de contagem foram chamadas de pséphoi pelos gregos (que
significa pedra, número) ou calculus, pelos romanos. Havia diversos modelos. Por exemplo, o
ábaco de fichas, no qual um número era representado por fichas dispostas em colunas segundo
as unidades, dezenas, centenas etc. do número (quando se atingiam as dez fichas numa
coluna, elas eram substituídas por uma ficha na coluna de grandeza imediatamente superior).
Posteriormente, com vista a simplificar a representação, acrescentou-se uma linha sobre as
ordens de grandeza onde cada ficha colocada valeria a metade da grandeza imediatamente
superior. Na linha inferior, cada ficha valeria uma unidade da ordem correspondente. Para
adicionar, representavam-se os dois algarismos no mesmo ábaco, procedendo-se depois à
organização das fichas como nos casos anteriores para sua leitura. As subtrações eram
realizadas de forma análoga. A multiplicação consistia em fazer os diferentes produtos
parciais, representando-os de forma acumulada no ábaco. Depois de representados todos os
produtos, procedia-se à organização das fichas, obtendo-se o resultado [44].
Outro exemplo era o Ábaco romano de “bolso” (Fig. 7). Ele era constituído por uma
série de ranhuras verticais representando uma determinada ordem de grandeza: Cada uma das
filas de cima tinha uma única peça, enquanto nas filas de baixo havia quatro peças. Para
representar um número na fila de baixo, bastava deslocar as peças para cima e, quando fossem
necessárias cinco peças, deslocava-se a peça da fila de cima para baixo.
Figura 7 –
Ábaco romano de bolso. Início da era cristã. Gabinete de medalhas, Biblioteca
Nacional de Paris.
Fonte: IFRAH [44]
Apesar de suas vantagens, o sistema romano tinha também certas desvantagens. A
primeira era sua limitação para fazer contas com valores muito elevados. Apesar de possível,
a grande dificuldade de lidar com as representações atrasava os cálculos. (Para verificá-lo,
basta tentar dividir CXLIV por XXIV, usando sempre os algarismos romanos; a natureza
embaraçosa do empreendimento logo ficará óbvia!). Contudo, como não havia, em geral,
necessidade de fazer operações com valores extremamente altos, essa dificuldade era quase
sempre negligenciada. Outra desvantagem era o fato de, como a numeração romana estava
vinculada ao alfabeto romano, era quase necessário o conhecimento do Latim. Em uma
transação comercial, em que o povo estrangeiro não conhecesse a numeração romana, era
extremamente complicado estabelecer uma transação rápida e descomplicada.
A utilização da numeração romana dura cerca de 1000 anos e, a partir do século XII,
foi decaindo gradativamente. Mas, antes de falarmos como essa interrupção ocorreu, devemos
tratar do movimento histórico que permitiu essa mudança: As Cruzadas.
4.4 A interação entre o Ocidente e o Oriente
A história da mudança da Matemática começa muito antes das Cruzadas, seu ponto
culminante. Ela tem início no fim do Império Romano, quando esse caiu no Ocidente e boa
parte de sua cultura se perdeu. O que não se perdeu se deve em grande parte ao esforço dos
árabes. Eles tomaram os textos gregos, principalmente os de Aristóteles, Platão e alguns
neoplatônicos, e os traduziram para o árabe. Isso permitiu uma intensa cultura medieval árabe
em torno dos textos desses filósofos gregos e, consequentemente, uma grande interação entre
as idéias gregas e árabes. Com isso, os textos gregos foram preservados, mesmo com o fim do
Império Romano.
De volta ao lado ocidental, boa parte da cultura teórica realizada nos mosteiros
fundamentava-se nas teses dos gregos, principalmente Aristóteles. Todavia, eles não tinham
acesso completo aos textos de Aristóteles. Mesmo assim, as grandes reflexões medievais
tinham seu ponto de apoio nos gregos. Abrindo uma rápida reflexão comparativa, que nos
será útil adiante, devemos nos lembrar que, ao mesmo tempo em que os ocidentais discutiam
intensamente os textos de Aristóteles, usando-os como fundamento teológico, os Árabes
estavam, também, em uma intensa leitura dos textos do estagirita. Em breve essas culturas se
encontrariam.
O encontro ocorreu com as Cruzadas, que podem ser rapidamente definidas
como expedições militares realizadas pelos cristãos da Europa Ocidental, organizadas a partir
de 1095. Normalmente a pedido do Papa, as Cruzadas tinham o objetivo de recuperar o
território de peregrinação conhecido pelos cristãos como Terra Santa, e que estava sob o
controle dos muçulmanos. A palavra cruzada (do latim crux, “cruz”, o emblema dos cruzados)
foi também aplicada, especialmente no século XIII, às guerras contra os povos não cristãos,
contra os hereges cristãos, contra os inimigos políticos do papado ou a qualquer guerra
religiosa [45].
A origem das Cruzadas está enraizada no cataclismo político resultante da expansão de
grupos árabes no Oriente Médio na metade do século XI. Ao mesmo tempo, as expedições
ofereciam grandes oportunidades comerciais aos mercadores das poderosas cidades do
Ocidente, um grande atrativo para a sociedade da época [46]. Sua popularidade foi
solidificada na compreensão da sociedade que apoiou esse movimento. Era uma sociedade de
crentes, e muitos cruzados estavam convencidos de que sua participação na luta contra os
muçulmanos lhes garantiria a salvação espiritual.
Contudo, antes das cruzadas os ocidentais já poderiam contar com as vantagens da
numeração indiana que os árabes já haviam trazido para a Europa no século IX. Sua primeira
introdução na Europa foi devida aos trabalhos de Gebert d’Aurillac, que ensinava teologia na
catedral de Reims. Ele estudou nos monastérios espanhóis, onde aprendeu a usar o astrolábio,
a numeração hindu e os métodos de cálculo trazidos pelos árabes. Tornou-se professor de
autoridades eclesiásticas e Papa em 999, sendo conhecido por Papa Silvestre II [47].
A introdução da numeração hindu por Gebert não foi feita de modo livresco, mas por
um dispositivo que ficou conhecido como ábaco de Gebert, cujo domínio só era adquirido
pela prática. O que ele fez foi inovar o ábaco romano trocando os calculi por ápices com
pequenos cones com numerais hindus escritos, ou seja, ele representou um número de pedras
por um ápice com a quantidade escrita na numeração hindu. Cada coluna do novo ábaco, sete
ou oito pedras, por exemplo, eram substituída pela ficha com a indicação dos algarismos. Ele
utilizou apenas nove algarismos, nem o zero, nem os métodos indianos de cálculo foram
utilizados por ele. Esses algarismos foram difundidos através do ensino oral do cálculo no
ábaco[48].
A numeração hindu como foi utilizada por Gebert não contribuiu para facilitar as
notações ou simplificar os cálculos. Qualquer outro símbolo utilizado para colocar no ápice de
seu ábaco teria o mesmo efeito da numeração hindu, mas foi uma primeira introdução dessa
numeração. Não foi muito popular e não temos registros se houve um uso contínuo dessa
numeração na Europa durante os dois séculos seguintes a Gebert. Entretanto, o ábaco de
Gebert não está na origem dos nossos algarismos atuais.
Mesmo parecendo ser um sistema superior ao romano utilizado na época, encontramos
alguns calculadores que resistiram à nova numeração. Eles preferiam ainda, gravar os
algarismos gregos ou romanos no ábaco do que utilizar a nova numeração apresentada por
Gebert. Muitos conservadores marcados pela ideologia católica repugnavam tudo que era
vindo dos árabes. Para eles eram coisa demoníacas, e nem mesmo Gebert escapou desses
insultos, pois surgiram murmúrios de que ele seria bruxo e que teria bebido na ciência dos
“infiéis sarracenos” e vendido sua alma a Lúcifer [44].
Depois de um período de recessão intelectual, começa uma nova era no Ocidente. Esse
período foi decisivo para a difusão da numeração hindu e seus métodos de cálculo como
também o retorno da grafia dos numerais como faziam os árabes. Esses algarismos pouco a
pouco adquiriram uma forma cursiva e que se estabilizou adquirindo o formato que
conhecemos hoje.
A Idade Média, ao contrário do que dizem, idade das trevas, foi marcada pelo
desenvolvimento da escolástica e pelo impulso das grandes universidades da Europa
ocidental. Começa então o século de traduções. Para vencer a barreira do conhecimento,
tinha-se que quebrar a barreira da linguagem. Dessa forma, se algum ocidental queria ser um
matemático ou astrônomo, ele tinha que ter um bom conhecimento da língua árabe. Mas essa
aurora brotou sob a cruz, no tempo do rei Ricardo Coração de Leão. As Cruzadas, que tinham
como objetivo reconquistar a terra santa, foi muito além. O resultado dessas guerras foram as
conquistas científicas e o intercâmbio cultural com os árabes [41].
Foram quase dois séculos de guerra, os ocidentais tentando impor sua religião e suas
tradições aos muçulmanos do oriente, mas teve um efeito contrário, pois os árabes eram
superiores aos ocidentais em cultura, e estes voltaram para casa enriquecidos da cultura
daqueles que consideravam como “infiéis”. Esse progresso, que não foi conseguido pela
ciência nem por Gebert durante os séculos anteriores, foi alcançado pelas Cruzadas, ou seja,
fazer com que os ocidentais conhecessem os algarismos hindus, o zero e fazer os cálculos sem
o uso do ábaco.
Graças às Cruzadas, houve numerosas trocas que permitiram a expansão desses
algarismos e melhor, não somente aos clérigos, príncipes e poderosos, mas também aos
comerciantes que aproveitaram as guerras para expandir seus negócios. Após as Cruzadas,
alguns clérigos aprenderam a escrita dos numerais hindus à maneira árabe.
Com isso, o ábaco de Gebert foi progressivamente caindo em desuso e, aos poucos, os
algarismos foram sendo traçados em areia ou pó, nascendo assim os primeiros algoristas
europeus ainda nas portas de Jerusalém. Eles utilizaram o zero para marcar as unidades que
faltavam, evitando assim quaisquer dúvidas nas representações e operações. Assim os
algarismos indos-arábicos chegariam à Europa completos, diferentemente dos apresentados
por Gebert, que não apresentava o zero.
Além das Cruzadas houve outro contato com os muçulmanos, feito do outro lado do
Mediterrâneo, pela Sicilia, Magreb e principalmente pela Espanha, que foi também
responsável pela reaparição do conhecimento. Começa-se então um período de intensas
traduções, escritos e comentários dos trabalhos gregos, que havia se espalhado pelo oriente.
Os Elementos de Euclides foram traduzidos do árabe para o latim em 1142 d.C. No ano de
1155 d.C. o Almagesto, de Ptolomeu foi traduzido do grego para o latim, ambos por Adelard
de Bath, que trabalhava na Espanha junto à escola de tradutores [36]. Gerard de Cremona
também traduz os textos de Euclides e Ptolomeu, que são consideradas as melhores traduções
para esses textos [49]. Ele também traduz os trabalhos de al-Khowârizmî. Com isso os
cristãos criam o hábito de traduzir tudo que lhes chegam às mãos. Tanto os cruzados em
Jerusalém quanto os sábios que foram para Toledo, e tiveram acesso aos algarismos indo-
arábico, acreditavam que mais cedo ou mais tarde acabaria o abacismo.
De volta à Europa, tanto os cruzados quanto os sábios de Toledo ensinaram a seus
discípulos a nova numeração e seus métodos de cálculo. Essa propagação foi cada dia maior
devido ao aumento de discípulos interessados em aprender as novas técnicas [44].
A propagação desses conhecimentos se intensificou no início do século XIII, com o
trabalho do matemático italiano Leonardo Fibonacci, também conhecido por Leonardo de
Pisa. Ele foi o fundador mais recente da arte de calcular, escreveu em 1202 a primeira obra do
ocidente falando da arte de calcular dos hindus, o Liber abaci [50]. Nessa obra, Fibonacci
fornece detalhes importantes de sua vida que nos permite compreender como ele chegou a
essa obra tão importante para a humanidade. Seu pai Guilielmo era secretário da República de
Pisa e, por volta de 1192, foi nomeado diretor da colônia comercial de Pisa em Bugia. Então
ele levou Fibonacci para lá, pois queria que ele aprendesse a arte de calcular para se tornar um
comerciante como ele. Foi então que Fibonacci aprendeu os algarismos indo-arábico,
recebendo uma ótima instrução. Posteriormente, o enviou a vários países a negócio, como:
Egito, Síria, Grécia, Sicília e Provença, onde ele se familiarizou com os cálculos utilizados
nesses locais e começou seus estudos e discussões com os eruditos locais.
Quando retornou a Pisa, sua cidade natal, aos 27 anos de idade, Fibonacci escreveu
Liber abacci, no qual, pela primeira, vez um matemático cristão deu aos seus contemporâneos
uma explicação clara e ordenada da arte de calcular, tal como foi desenvolvida no mundo
árabe. A palavra ábaco do título de sua obra não se refere ao ábaco antigo, usado pelos
algarismos romanos, mas sim ao cômputo em geral. Em 1228, foi lançada a segunda edição
do Liber abacci, em que Fibonacci adicionou um material novo e removeu o que ele
considerava supérfluo. Em sua obra não encontramos apenas os cálculos com os algarismos
indo-arábicos e sua aplicação em atividades comerciais, mas também problemas algébricos e
geométricos.
Fibonacci inicia o seu Liber abacci afirmando que os algarismos são de origem
indiana como podemos observar. “Estes são os nove símbolos dos hindus: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,
1. Com estes nove símbolos e com o sinal 0, que os árabes chamam de Zéfiro, qualquer
número pode ser escrito” [50]. Ele apresenta os algarismos indianos seguindo a maneira
arábica, as unidades ficam à direita e as frações à esquerda dos números inteiros. Ele também
apresenta a barra das frações. Fibonacci foi bem didático, apresentou as operações através de
exemplos e verificou todos os resultados, a maioria pelo método de tirar noves fora.
Desenvolveu regras para a fatoração de frações em somas de fatores unitários e introduziu
símbolos para representar as frações. Também apresentou numerosas tabelas para
multiplicação, números primos, números fatoriais etc. Nas figuras 8 e 9 a seguir observamos
as tabelas de multiplicação e divisão colocadas por Fibonacci:
Figura 8
–
Tabela de Multiplicação de Fibonacci. Fonte: FIBONACCI [50, p. 21]
Figura 9
–
Tabelas de Divisão de Fibonacci. Fonte: FIBONACCI [50, p. 50
-
51]
Nos capítulos de oito a onze de sua obra, Fibonacci apresenta problemas de interesse
para comerciantes e desenvolve uma série de processos de multiplicação, o que permitirá aos
comerciantes a resolução, por meios mecânicos, dos problemas frequentes enfrentados por
eles. Trata de temas pertinentes ao comércio como preço de mercadorias, cômputo de juros,
cálculo de lucros, cálculos para associações e parcerias, ligas metálicas e cálculos mistos.
Apresenta também os cômputos de medidas de conversão de moedas, uma vez que estes eram
importantes, naquele momento, devido ao amplo comércio com as terras à beira do
mediterrâneo.
Fibonacci desempenhou um importante papel não só para a História da Matemática,
mas para a História da Humanidade. Ele elaborou novas considerações sobre o conhecimento
antigo e desenvolveu esse conhecimento de maneira independente. Demonstrou habilidade em
computações aritméticas e ofereceu aos ocidentais, de maneira sistemática e didática, partindo
de exemplos fáceis para exemplos difíceis, as regras do cálculo aritmético. Teve acesso à
álgebra de al-Khowârizmî e tratou das equações de primeiro e segundo graus de uma forma
diferente, limitando-se a soluções com números inteiros. Em geometria, mostrou um domínio
absoluto de Euclides, aplicando os métodos algébricos em problemas geométricos,
apresentando um novo conceito de número, reconhecendo o zero como número. Computou
360 – 360 = 0 e 0 : 2 = 0.
Começa, então, uma nova era Matemática no ocidente. O Liber abacci influencia a
introdução dos algarismos indo-arábico e os métodos de cálculo em problemas triviais do
cotidiano, desencadeando um movimento de democratização do cálculo na Europa e
fortalecendo o movimento já instalado dos algoristas.
Quando Fibonacci trouxe a notação algébrica para o Ocidente, não houve rejeição por
parte dos algoristas, mas sim por parte dos abacistas. Os algoristas não rejeitaram o sistema
colocado por Fibonacci porque nesse mesmo momento os ocidentais estavam lendo textos
gregos traduzidos e revisados pelos árabes, o que os ligava intelectualmente. Logo, os
eruditos medievais verificaram as grandes virtudes desse sistema de numeração, entre elas:
1. O sistema algébrico era uma numeração independente de qualquer idioma, o que
permitia que duas pessoas que não falassem o mesmo idioma pudessem “conversar” por
meio da linguagem Matemática. Isso favoreceu o comércio.
2. Com apenas dez dígitos, era possível escrever qualquer número. Em casos de algarismos
muito elevados, a notação romana tinha que fazer recursos a símbolos adicionais, além
daqueles que representavam os sete algarismos romanos.
3. Maior velocidade de cálculo com os algarismos, usando o Ábaco.
Mas não foi imediato. Essa divergência durou séculos até ser definida, uma vez que os
abacistas, defensores das velhas tradições do ábaco de fichas, não queriam nem ouvir falar
desse sistema numérico que colocaria as operações aritméticas ao alcance de todos. E esses
profissionais faziam parte da poderosa casta da Igreja que detinha o poder naquela época.
Em 1299, uma lei florentina proibia os bancários de usar a numeração indo-arábica,
obrigando-os a usar os antigos e eficazes algarismos romanos, pois, segundo a lei, a
numeração romana era mais difícil de ser falsificada [51].
Outra razão que impedia os algarismos indo-arábicos de serem aceitos no Ocidente foi
de ordem ideológica, já que a Igreja era quem dominava o conhecimento e controlava a
Ciência e a Filosofia, exigindo que esse conhecimento fosse estritamente submetido à fé
absoluta nos dogmas que a própria Igreja construiu, sendo necessário que o estudo nas áreas
de Ciência e Filosofia estivessem em harmonia com a Teologia.
As autoridades eclesiásticas criticaram e abominaram os algarismos indo-arábicos
dizendo que: “por ser tão fácil e engenhoso, o cálculo à maneira árabe deveria seguramente
ter alguma coisa de mágico, ou mesmo demoníaco, e, portanto, só poderia provir do próprio
Diabo!” [44]. Isso fez com que as pessoas tivessem medo de usar os algarismos, uma vez que
a Igreja julgou alguns algoristas e faltou um passo para enviá-los à fogueira. Não era interesse
para a Igreja a popularização do cálculo. Isso proporcionaria, de acordo com a própria Igreja,
a perda de seu monopólio, considerando que somente ela tinha o poder do ensino de cálculo,
preferindo assim manter em seu poder a exclusividade dessa arte. Desse modo, os algarismos
indo-arábicos ficam proibidos por mais algum tempo, sendo usados às escondidas pelos
amadores do novo cálculo aritmético. “Os mercadores usavam os numerais arábicos como
uma espécie de código secreto”[52].
Mesmo com a proibição da Igreja, o cálculo, escrito na areia ou com a pena, foi cada
vez mais utilizado entre o povo. A população que antes não tinha acesso a nenhum tipo de
cálculo conscientizou-se das vantagens do sistema de numeração criado pelos hindus, ficando
cada dia mais difícil para a Igreja controlar essa disseminação da nova numeração.
Mesmo após a conquista dos novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda
continuou por muitos séculos entre os comerciantes, financistas, banqueiros e funcionários
europeus, sendo necessária a Revolução Francesa para proibir absolutamente seu uso nas
escolas e nas administrações. A resistência foi superada com o fortalecimento da expansão do
comércio europeu que “se tornou mais forte que os preconceitos culturais” [53].
Vejamos agora, algumas das consequências da utilização da notação algébrica para o
Ocidente.
A primeira delas é a virtude econômica, resultante da facilidade e da velocidade que a
notação arábica imprimia às transações comerciais. Como já falamos, no comércio é
fundamental pensarmos que as pessoas precisam de símbolos facilmente reconhecíveis por
todos, e que não apresentem grandes dificuldades para controlar os estoques.
A segunda é a facilidade acrescida pela álgebra aos cálculos astronômicos
responsáveis pelas grandes navegações dos séculos XIV e XV. Seria muito difícil (apesar de
possível), realizar tecnicamente as navegações com a numeração romana.
Das consequências científicas, sem os algarismos indo-arábicos, algumas mudanças
radicais na Matemática não teriam se efetivado, o que impediria o avanço da ciência que
estava nascendo. Sem a notação algébrica, é difícil pensar em Newton e Leibniz com o
cálculo infinitesimal. Na verdade, toda a ciência moderna e contemporânea só foi possível
com o aparato algébrico.
Compreender como ocorreu a passagem entre a numeração romana e a indo-arábica é
um passo fundamental para compreender como uma mudança notacional na Matemática
concedeu ao Ocidente uma ferramenta imprescindível para o desenvolvimento de tudo o que
foi feito na ciência posteriormente. É um dos claros exemplos de como uma alteração na
história das ideias levou a uma revolução cultural de grandes proporções.
5 Metodologia da Pesquisa
Em virtude da grande quantidade de autores de livros didáticos de Matemática, foi
necessário estabelecer critérios para a seleção dos livros a serem analisados neste trabalho.
O desenvolvimento desta pesquisa constituiu-se em analisar os livros de Matemática
recomendados pelo PNLD - 2008 (Programa Nacional do Livro Didático) [11],
dentre estes,
os mais utilizados nas escolas públicas de Belo Horizonte..
O PNLD foi criado pelo Ministério da Educação e consiste em uma síntese de um
processo de avaliação e distribuição de livros. O Guia do livro didático é, na realidade, um
instrumento de participação de professores na definição do material a ser adquirido pelo MEC
e utilizado por alunos e educadores nas escolas públicas brasileiras. Cada volume desse guia é
composto de duas partes: a primeira fornece os princípios, os critérios gerais e específicos das
áreas e as fichas detalhadas que orientaram o trabalho dos especialistas na avaliação dos
livros: a segunda oferece as resenhas das obras aprovadas pelo Programa Nacional do Livro
Didático para o ano de 2008.
Esta pesquisa teve o objetivo de analisar se os livros didáticos abordam a passagem da
numeração romana para a indo-arábica e, em caso afirmativo, como é estudada essa
passagem. Nossa investigação foi baseada em uma visão qualitativa de pesquisa e foi utilizada
a estrutura de Análise de Conteúdo descrito por Bardim [54].
Como passos metodológicos, utilizaremos três etapas básicas:
• Pré - análise: consiste simplesmente na organização do material.
• Exploração do material: nessa etapa, o material e os dados que constituem o
corpus, que é o campo específico sobre o qual a atenção vai ser fixada, são
submetidos a um estudo aprofundado e orientado pela hipótese e pelo referencial
teórico.
• Tratamento dos resultados obtidos e interpretação: é nesse momento que os
resultados brutos são tratados de maneira a serem significativos e válidos, além de
serem capazes de evidenciar as informações obtidas. O pesquisador, tendo à sua
disposição resultados significativos, pode então propor inferências e adiantar
interpretações a propósito dos objetivos previstos ou que digam respeito a outras
descobertas inesperadas.
Essas fases não são disjuntas, mas servem de balizamento para os procedimentos
adotados.
5.1 Procedimentos Metodológicos
Oferecemos a seguir os procedimentos metodológicos utilizados para a realização
dessa pesquisa que pretende responder a seguinte questão: Como os livros didáticos de
Matemática do Ensino Fundamental apresentam a passagem da numeração romana para a
indo-arábica dentro de uma perspectiva histórica?
Para responder a essa pergunta, inicialmente analisamos o Guia do Livro Didático de
Matemática 2008, com as resenhas das 16 coleções de Matemática aprovadas pelo PNLD para
o Ensino Fundamental. Após essa análise, foi feita uma pesquisa no site do MEC das escolas
públicas de Belo Horizonte para saber quais foram os livros adotados nas redes municipal e
estadual. Os livros estão apresentados no quadro 1.
Quadro 1- Livros adotados nas escolas públicas de Belo Horizonte. As colunas 2 e 3
especificam o número de escolas que adotam os livros indicados na coluna 1, totalizadas na
coluna 4. Fonte: site do MEC [11].
Selecionamos, para nossa análise, os livros didáticos dos doze autores das seis maiores
editoras do Brasil indicados pelo PNLD. As obras que foram analisadas estão apresentadas no
quadro 2.
Livro
Esc.
Estaduais
Esc.
Municipais Total
Construindo consciências [55] 6 3 9
Matemática: ideias e desafios [56] 6 3 9
Matemática e Realidade [57] 61 62 123
Matemática Fazendo a Diferença [58] 20 14 34
Matemática Hoje é Feita Assim [59] 2 2
Matemática na Medida Certa [60] 9 12 21
Matemática na Vida e na Escola [61] 2 1 3
Matemática Paratodos [62] 1 3 4
Novo Praticando Matemática [63] 13 29 42
Para Saber Matemática [64] 2 2 4
Projeto Araribá [65] 13 18 31
Tudo é Matemática [66] 17 9 26
Total geral 152 156 308
Código do livro Titulo Autor (es) Volume Analisado Editora
Livro Didático 1 Matemática e Realidade Antonio Machado
Gelson Iezzi
Hygino Domingues
Osvaldo Dolce
5ª série Saraiva
Livro Didático 2 Novo Praticando
Matemática
Álvaro Andrini
Maria Zampirolo
5ª série Editora do Brasil
Livro Didático 3 Matemática Fazendo a
Diferença
Ayrton Bonjorno 5ª série FTD
Livro Didático 4 Projeto Araribá Editora Moderna 5ª série Editora Moderna
Livro Didático 5 Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante 5ª série Ática
Livro Didático 6 Matemática na Medida
Certa
José Jakubovic
Marcelo Lellis
Marilia Centurión
5ª série Scipione
Livro Didático 7 Construindo
Consciências
Elizabeth Soares
Jackson Ribeiro
5ª série Scipione
Livro Didático 8 Matemática
Idéias e Desafios
Dulce
Iracema
5ª série Saraiva
Livro Didático 9 Matemática para Todos Luiz Marcio Imenes
Marcelo Lellis
6ª série Scipione
Livro Didático
10
Para Saber Matemática Ednéia Poli
Fábio Vieira
Juliana Sosso
Luiz Cavalcante
5ª série Saraiva
Livro Didático
11
Matemática na Vida e
na Escola
Ana Lúcia Rego
Cléa Rubinstein
Elizabeth Marques
Elizabeth França
Gilda Maria Portela
5ª série Editora do Brasil
Livro Didático
12
Matemática Hoje é
Feita Assim
Antonio José Bigode 5ª série FTD
Quadro 2 - Livros adotados nas escolas públicas de Belo Horizonte. Fonte: site do MEC.
Após selecionarmos os livros que foram analisados, tentamos obter, junto às editoras,
as coleções para análise. Fizemos contato por telefone e e-mail, mas nem todas as editoras
disponibilizaram as coleções. Conseguimos seis coleções nas editoras Ática, Scipione, Saraiva
e Editora do Brasil. Faltavam seis coleções para nossa análise, conseguimos mais três
coleções na biblioteca da Escola Educar, e as outras três coleções localizamos através de
nossa pesquisa das escolas e fizemos contato por telefone para elas pedindo autorização para
que nos emprestassem os livros. Enfim, conseguimos reunir todas as coleções.
Essa análise foi feita conforme os estudos realizados por Choppin [1] e em
concordância com os PCN [24]. Analisaremos o livro didático como um artefato pedagógico
de auxílio ao trabalho docente, podendo assim, contribuir para o ensino das Ciências.
Em cada livro investigamos os textos relacionados com a numeração romana e com a
numeração indo-arábica, ou seja, os capítulos referentes aos sistemas de numeração.
Verificaremos como esse assunto é abordado nos livros didáticos em relação à sua forma e
intenção e quais as concepções manifestas pelos autores sobre esses aspectos.
Dessa forma, analisaremos o 1º volume das coleções de Matemática do Ensino
Fundamental. Fizemos uma descrição física do livro, uma caracterização dos autores e uma
breve apresentação de sua estrutura. Faremos uma pré-análise, apresentando características
gerais e específicas dos volumes que compõem as doze coleções, observando, principalmente,
quais são os pressupostos dos autores dessas coleções e se esses pressupostos incluem
articulação entre os campos da Matemática. Nesse sentido, foram observadas as seguintes
partes das coleções: a apresentação, o manual do professor e a bibliografia.
Feita esta análise, fizemos uma leitura dos capítulos que contemplam os conteúdos
sobre sistemas de numeração. Investigamos como os livros didáticos apresentam a passagem
da numeração romana para a numeração indo-arábica de acordo com nosso referencial
teórico.
Ao analisarmos a passagem da numeração romana para a indo-arábica nos livros
didáticos, pretendemos resgatar o vigor e a correção conceitual, apontando pontos falhos e
alternativas de abordagem que favoreçam a aprendizagem do aluno. Assim, pretendemos, em
nosso trabalho, contribuir para a melhoria do ensino da Matemática, fornecendo subsídios de
ordem conceitual ou metodológica, para auxiliar professores e autores de livros didáticos a
desenvolverem um trabalho de qualidade.
Durante nossa análise, surgiram vários questionamentos como: Quais foram os
critérios adotados na seleção do livro didático? Quem escolhia os livros adotados pela escola?
Se os professores tiveram acesso aos livros do PNLD enviados pelas editoras ou se
escolheram apenas pela avaliação do MEC através do PNLD? Se possuíam o conhecimento
de como se deu a passagem da numeração romana para a indo-arábica? Como nossa
numeração foi introduzida no ocidente?
Para responder a esses questionamentos, resolvemos fazer uma pesquisa nas escolas de
Belo Horizonte. Utilizamos o estudo de caso, pois:
Visa conhecer em profundidade o seu “como” e os seus “porquês”, evidenciando a
sua unidade e a sua identidade próprias. É uma investigação que se assume como
particularística, isto é, que se debruça deliberadamente sobre uma situação
específica que se supõe ser única em muitos aspectos, procurando descobrir a que
há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuir para a
compreensão global do fenômeno de interesse [67, p. 2].
A investigação apresentada pode ser caracterizada como qualitativa por ter como objetivo
primordial a descrição dos critérios adotados pelos professores na escolha do livro didático. O
critério para a descrição é o de captar as situações vividas pelos professores no ambiente
escolar que possibilitem a escolha do material mais adequado para sua escola, e para isso,
procuramos obter uma compreensão mais detalhada dessa escolha. Para isso usamos os
princípios da entrevista semi-estruturada. O corpus desta pesquisa é constituído pelas
gravações das entrevistas, abertas e semi-estruturadas, realizadas com trinta professores de
Matemática do ensino fundamental da 5ª série das escolas públicas de Belo Horizonte.
Selecionamos aleatoriamente 30 escolas das redes estadual e municipal, abrangendo todas
as unidades administrativas regionais do município. Essas escolas foram visitadas e
entrevistamos 11 professores das escolas municipais e 19 professores de escolas estaduais. O
período para o desenvolvimento da pesquisa foi o segundo semestre de 2008, entre os meses
de setembro e dezembro.
6 Análises dos Livros Didáticos
6.1 Descrições da estrutura dos livros selecionados
O livro didático LD-1, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Matemática e Realidade, 5ª edição, 2005 – dos autores Gelson Iezzi, engenheiro metalúrgico
formado pela Escola Politécnica da USP e licenciado em Matemática pelo Instituto de
Matemática e Estatística da USP, e Osvaldo Dolce, engenheiro civil formado pela Escola
Politécnica da USP e professor efetivo da rede pública estadual de São Paulo, e Antônio
Machado, licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da USP,
mestre em Estatística pelo IME –USP e Professor assistente do IME –USP, publicado pela
Atual Editora e aprovado pelo PNLD/2008.
O livro está organizado em unidades, subdivididas em capítulos. Esses estão divididos
em itens – que começam com um texto bem objetivo sobre o assunto a ser tratado. Após o
texto, têm uma seção de exercícios, alguns desafios, uma seção de exercícios de reforço e uma
seção trabalhando com a informação. No final de cada unidade, encontra-se uma seção
chamada “Teste seu Conhecimento”, com exercícios de múltipla escolha referentes aos
conteúdos da unidade. Para encerrar a unidade, encontra-se uma seção intitulada “Matemática
no Tempo”, que traz um texto sobre a história da matemática com algumas perguntas para
reflexão. Ao final de cada coleção, encontram-se as respostas dos exercícios.
O livro do professor consta, além do livro do aluno, de um suplemento pedagógico, a
resolução dos desafios e a resolução de alguns exercícios mais elaborados. No Suplemento
pedagógico, os autores trazem o objetivo geral da obra e sua estrutura. Contem sugestões para
avaliação e leituras recomendadas aos professores, além de sugestões de atividades
complementares. Entretanto, não oferecem orientações metodológicas ao professor.
O livro didático LD-2, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção Novo
Praticando Matemática, 1ª edição, 2002 - dos autores Álvaro Andrini e Maria José
Vasconcellos - publicado pela Editora do Brasil e aprovado pelo PNLD/2008. A coleção não
apresenta o currículo dos autores. O livro está organizado em unidades e subdividido em
capítulos. Esses estão divididos em itens – que começam com um texto, sobre o assunto a ser
tratado. Após o texto encontramos uma lista de exercícios. Ao final de cada unidade, temos
uma seção chamada “Revisando”: é uma seleção de exercícios abertos sobre todos os
conteúdos trabalhados nos capítulos. Também encontramos uma seção chamada “Para Saber
Mais”. Nessa seção, encontram-se exercícios mais dinâmicos, como cruzadinhas, quadrado
mágico etc. Em seguida, temos alguns desafios, que são exercícios mais elaborados, e, para
encerrar a unidade, encontramos uma seção intitulada “Auto – Avaliação”. Essa seção é
composta por exercícios de múltipla escolha, contento exercícios vistos no capítulo. Encontra-
se, no final do livro, a seção “Sugestões de leitura e de sites para o aluno”, que traz indicações
de leitura e alguns sites comentados pelos autores. Os livros da 5ª, 6ª, e 7ª séries trazem
moldes para as atividades e para encerrar a seção, “Respostas dos Exercícios”.
O livro do professor contém, além do livro do aluno, um suplemento pedagógico. No
Suplemento pedagógico, os autores apresentam a obra. Contém sugestões para avaliação,
objetivos gerais do ensino de Matemática e uma seção sobre a recuperação, que de acordo
com os autores, não funciona como aprendizado, mas apenas um processo para recuperar
notas e conceitos. Traz uma seção que trata do desenvolvimento dos conteúdos da obra. E
finaliza com uma seção de bibliografias recomendadas ao professor.
O livro didático LD-3, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Matemática Fazendo a Diferença, 1ª edição, 2006 - dos autores José Roberto Bonjorno,
Bacharel e licenciado em Física pela PUC - SP, professor de Matemática e Física em escolas
do ensino fundamental e médio desde 1973; Regina Azenha Bonjorno, bacharel e licenciada
em Física pela PUC - SP, professora de Matemática e Física em escolas do Ensino
Fundamental e Médio desde 1984, e Ayrton Olivares, Bacharel e licenciado em Matemática
pela PUC - SP, professor de Matemática e Física em escolas do ensino fundamental e médio
na rede particular de São Paulo desde 1982, professor de Matemática do Centro Federal de
Educação Tecnológica de São Paulo – CEFET – SP desde 1982 - publicada pela Editora FTD
e aprovada pelo PNLD/2008.
Este livro está organizado em unidades, subdivididas em capítulos. Esses estão
divididos em itens - que começam com um pequeno texto sobre o assunto a ser tratado e no
final do texto encontra-se algumas atividades resolvidas. Após encontrarmos uma seção de
“Atividades”, que é uma lista de exercícios sobre o assunto tratado no texto, temos outra
seção “Faça Mais”, contendo mais exercícios, sendo esses no mesmo padrão dos anteriores.
Ao final de cada unidade, encontram-se alguns desafios, que são exercícios mais elaborados e
uma seção chamada “Testes”, onde encontramos uma lista de exercícios de múltipla escolha
sobre conteúdos trabalhados na unidade. Ao final dos livros encontram-se siglas de
instituições, as bibliografias utilizadas pelos autores, uma sugestão de leitura e de sites para os
alunos. Ao final, a seção “Respostas” e após um glossário ilustrado de Matemática.
O livro do professor contém, além do livro do aluno, um suplemento pedagógico. O
suplemento pedagógico é composto de seções em que se discutem alguns aspectos
metodológicos, temas transversais, a História da Matemática, a resolução de problemas, os
jogos etc. Indicam uma bibliografia e endereços de instituições e grupos de pesquisa voltados
para a Educação Matemática.
O livro didático LD-4, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Projeto Araribá – Matemática, 1ª edição, 2006 – obra coletiva concebida, desenvolvida e
produzida pela Editora Moderna e aprovada pelo PNLD/2008. O livro está organizado em
unidades subdivididas em capítulos. A primeira página de cada unidade apresenta uma
imagem motivadora, relacionada com conceitos matemáticos que serão estudados na unidade.
Em seguida, tem uma seção, “Para Começar...”, que traz uma série de questões sugeridas pela
imagem de abertura com o objetivo de levantar os conhecimentos prévios dos alunos. A
segunda seção da unidade, “Estudo dos conceitos”, apresenta situações-problema para iniciar
um conteúdo e traz atividades para reforçar os conteúdos estudados. A Seção “Trabalhando
com a informação” traz atividades para desenvolver a capacidade de interpretação,
comparação e análise de diversas formas de apresentação de dados.
Encontramos na seção, “Atividades Integradas”, exercícios sobre a unidade. Entre as
atividades, encontram-se exercícios como desafios e uso de calculadora. Encontramos uma
seção “Estudando a resolução de problemas” com problemas para serem resolvidos
individualmente e em grupos. No final desta seção é apresentado um roteiro para resolução de
problemas, o que incentiva o aluno a pensar os diversos aspectos dos problemas apresentados
anteriormente. No final de cada unidade, temos um texto com os conceitos matemáticos
estudados na unidade, um trabalho em equipe aplicando os conceitos trabalhados e, para
finalizar, uma seção “organize suas idéias” que permite o aluno avaliar o que foi estudado e se
auto-avaliar.
O livro do professor é constituído por uma cópia do livro do aluno e por um
suplemento pedagógico. No suplemento pedagógico, os autores deixam claro os pressupostos
teóricos que orientaram a elaboração do livro, destacando alguns aspectos sobre o ensino de
Matemática, a resolução de problemas como princípios norteadores da obra. Para os autores a
resolução de problemas é fundamental para auxiliar o aluno na apreensão dos significados.
Os autores apresentam os temas matemáticos fundamentais da obra, as competências
matemáticas e a avaliação em Matemática. Destacam que a avaliação deve estar ligada ao
conceito de melhoria. Os autores discutem a dificuldade dos professores em avaliar e
propõem vários tipos de avaliação para auxiliar os professores. Trazem indicação de leitura
para o desenvolvimento profissional do professor.
Os autores trazem também uma orientação para o desenvolvimento das unidades e
essa seção nos chamou a atenção, pois ela é muito rica para o professor. Eles apresentam um
texto histórico complementando a unidade, colocam os objetivos de cada unidade e fazem um
comentário de todas as páginas da unidade, dos exercícios e dificuldades. Trazem sugestões
de leitura para o aluno em cada unidade e sugestões de atividades para o professor. E no final
de cada unidade apresentam um texto para ampliar os conhecimentos do professor.
O livro didático LD-5, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção Tudo
é Matemática, 3ª edição, 2008 – do autor Luiz Roberto Dante, Livre-docente em Educação
Matemática pela UNESP – Rio Claro, SP, Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da
Matemática, pela PUC – SP, Mestre em Matemática pela USP, Pesquisador em ensino e
aprendizagem da Matemática pela UNESP – Rio Claro - publicada pela Editora Ática e
aprovada pelo PNLD/2008. O livro está organizado em capítulos. Os Capítulos começam com
uma Introdução do que será estudo no capítulo, logo após o conteúdo a ser trabalho e
exercícios. O capitulo é dividido em conteúdo, exercícios e entre os exercícios há alguns
quadros com seções: você sabia que - traz uma informação ou curiosidade que será utilizada
pelo aluno; desafio – uma atividade mais complexa; raciocínio lógico - atividade que estimula
o aluno a pensar logicamente; curiosidade matemática - fatos e propriedades curiosos para
motivar o estudo do aluno. No final de cada capítulo, há uma revisão e uma leitura, um
desafio e um divertimento. Encontram-se também um glossário, as respostas dos exercícios,
leituras complementares e as referências bibliográficas.
O livro do professor contém uma cópia do livro do aluno, com respostas das atividades
e sugestões para o professor, além de um texto de apoio didático-pedagógico. Este livro
aborda os seguintes tópicos: apresentação, características e estrutura da obra; pressupostos
que embasam a proposta pedagógica; sugestões para o trabalho com a coleção; comentários
sobre recursos didáticos auxiliares; reflexões sobre temas transversais; resolução de
problemas; avaliação; importância de atualização; grupos, instituições e fontes de informação
ligadas à Educação Matemática; referências bibliográficas para o professor. E para finalizar,
traz uma descrição do livro do aluno, além de observações e sugestões para cada capítulo.
O livro didático LD-6, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Matemática na Medida Certa, Editora Scipione, 2007, aprovada pelo PNLD/2008. - os
autores Jakubovic e Centurión são licenciados em Matemática e Lellis é bacharel em
Matemática. A coleção está estruturada de forma que cada capítulo é formado de pequenos
tópicos que tem, em geral, a seguinte estrutura: “Teoria”, “Atividades”; “Pensando em casa”;
“Desafios e surpresas”, que são exercícios curiosos ou que pedem uma solução mais criativa,
e “Ação”, que são sugestões de atividades, jogos, experimentos e trabalhos. No final do livro,
encontram-se as respostas dos exercícios e sugestões bibliográficas para o aluno.
O livro do professor é constituído por uma cópia do livro do aluno e por um
suplemento pedagógico. O suplemento pedagógico apresenta com clareza os fundamentos
teóricos utilizados para elaboração da obra. Traz uma seção, “O trabalho do professor”, que
discute atividades com resolução de problemas, a interpretação do texto matemático, o cálculo
mental, jogos, o uso da calculadora e a avaliação. Tem uma parte específica por série
incluindo observações sobre conteúdos e atividades de cada capítulo, comentários sobre a
seção “Ação”, e respostas das seções “Pensando em Casa” e “Desafios e surpresas”. Oferece
ainda um “Plano do Curso”, em que são listados os conteúdos e objetivos por capítulo.
O livro didático LD-7, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Matemática Idéias e Desafios, 13ª edição, 2006 - das autoras Iracema Mori, bacharel e
licenciada em Matemática pela USP e Dulce Satiko Onaga, licenciada em Matemática pela
USP – publicado pela Editora Saraiva e aprovado pelo PNLD/2008. O livro está dividido em
unidades que iniciam com textos ilustrativos aos conteúdos a serem tratados. As unidades
dividem-se em capítulos que estão subdivididos em seções. Cada capítulo apresenta o
conteúdo e em seguida explora o texto com questões sobre o que foi exposto, tendo também
uma seção “Troque idéia e resolva” com atividades que envolvem grupos ou toda a sala. Na
seção “Usando a calculadora”, os alunos resolvem problemas usando a calculadora. Tem as
seções: “Aprendendo um pouco mais”; “Leitura+”; “Seção livre”, esta última com problemas
não-rotineiros, brincadeiras e jogos. No final dos livros, encontram-se as respostas dos
problemas e exercícios.
O livro do professor é composto por uma cópia do livro do aluno, com respostas de
atividades e sugestões ou instruções para o professor, e por um suplemento pedagógico. O
suplemento pedagógico traz os pressupostos teóricos da obra, descreve o conteúdo do manual,
a estrutura da coleção, e apresenta orientações didáticas para os conteúdos, classificados em:
“algarismos; problemas, operações e propriedades; espaço e forma; grandezas e medidas;
álgebra; e tratamento da informação”. Discute a importância do ensino da História da
Matemática e traz uma linha do tempo que mostra o desenvolvimento do conhecimento
matemático. Discute a avaliação em Matemática e oferece indicações para a formação
continuada do professor. Apresenta em cada uma das unidades, os objetivos, indicadores para
avaliação, orientações didáticas, texto de aprofundamento, comentários sobre as seções livres
e sugestões complementares.
O livro didático LD-8, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Construindo Consciências - Matemática, 1ª edição, 2007 - dos autores Jachson Ribeiro,
licenciado em Matemática (UEL - Londrina) e especialista em Informática na Educação, e
Elizabeth Soares, licenciada em Matemática, licenciada em Pedagogia e Mestre em Educação
Matemática – publicado pela Editora Scipione e aprovado pelo PNLD/2008. O livro está
organizado em Módulos, subdivididos em capítulos. Estes estão divididos em tópicos. No
início de cada capítulo, encontra-se uma página de abertura, que introduz os conteúdos a
serem estudados com base em tópicos da história da Matemática, em textos expositivos ou,
ainda, nos próprios enunciados das atividades. Parte da sistematização dos assuntos é
apresentada nas seções “Saiba que...”. Há, ainda, as seções especiais como: “Curiosidade”,
“Desafio”, “Cálculo mental”. Os capítulos terminam com as seções: “Algo a mais” ou “Jogos
e brincadeiras” e os módulos com as seções “Mais atividades e Lendo textos”. São freqüentes
os boxes “Atenção, Vocabulário e Lembre-se”. No fim de cada volume, encontram-se: o
Caderno de Instrumentos, com instruções sobre o uso da calculadora e dos instrumentos de
desenho; um glossário; as respostas dos exercícios e problemas; uma lista com indicações de
leitura; endereços de sites para consulta e bibliografia.
O livro do professor é composto por uma cópia do livro do aluno, com respostas de
atividades e sugestões ou instruções para o professor, e por um suplemento pedagógico. O
suplemento pedagógico traz breves comentários sobre: o ensino da Matemática; os temas
transversais; os recursos tecnológicos; o papel do professor; a avaliação e a estrutura da
coleção. A última parte do suplemento traz uma sugestão de planejamento anual dos módulos,
além do mapa conceitual, dos objetivos, das estratégias e orientações didático-pedagógicas
para cada capítulo da obra. Há ainda uma proposta de instrumento de avaliação por módulo,
moldes para reprodução e as referências bibliográficas.
O livro didático LD-9, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção Para
Saber Matemática, 1ª edição, 2006 – dos autores Luiz G. Cavalcante, licenciado em
Matemática; Juliana Sosso, Pós-Graduanda em Educação Matemática; Fábio Vieira,
Mestrando em Ensino de Ciências e Educação Matemática, e Ednéia Poli, Doutoranda em
Educação – publicado pela Editora Saraiva e aprovado pelo PNLD/2008. Os capítulos em que
se dividem os livros iniciam com um texto introdutório geral. Depois, as subdivisões de cada
capítulo têm definições e exemplos e exercícios com o título “Atividades e Atividades
Complementares”. No meio do capítulo encontramos uma seção denominada “Fique por
dentro” onde traz um texto relacionando a Matemática com o dia-a-dia e um pouco de
história. Ao final de cada capítulo a seção “Revisando” apresenta uma série de exercícios.
No final de cada livro encontramos uma “Revisão geral”. Essa revisão não é separada
por capítulos, ao contrário, são vários exercícios contextualizados envolvendo toda a matéria
vista nos capítulos do livro. Após esta seção encontram-se as respostas das atividades
separadas por capítulos Os livros ainda trazem, ao seu final, “Sugestões bibliográficas para o
aluno” que nos dá indicações de leitura e a bibliografia utilizada pelos autores.
O livro do professor é constituído por uma cópia do livro do aluno, com sugestões para
a prática docente e respostas das atividades, seguido de um suplemento pedagógico. Este
oferece orientações didáticas e metodológicas, compostas de textos sobre o papel da
Matemática e seu ensino-aprendizagem; o papel do professor; a interdisciplinaridade e a
transversalidade; a resolução de problemas, recursos didáticos e avaliação. Seguem-se
considerações sobre a estrutura da obra, e um quadro com a distribuição dos conteúdos nos
quatro volumes, além de uma relação de fontes de pesquisa e de estudo. Também traz
comentários e sugestões detalhadas para o trabalho com os capítulos. Ao fim, há moldes para
reprodução de figuras geométricas.
O livro didático LD-10, da 6ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Matemática Paratodos da Editora Scipione, 2006 – dos autores Luiz Márcio Imenes, mestre
em Educação Matemática, e Marcelo Lellis, mestre em Educação Matemática - aprovada pelo
PNLD/2008. O livro está dividido em capítulos. Estes estão divididos em itens que começam
com um texto e leitura: “Para aprender a aprender”. Após cada texto existe a seção
“Conversando sobre o texto”, que faz com que os alunos produzam pequenos textos sobre o
que foi lido. Após esta seção há os “Problemas e Exercícios” e os “Problemas e Exercícios
Para Casa”. Em alguns capítulos há uma seção denominada “Ação e Investigação”, que
convida os alunos a fazerem construções geométricas ou algébricas através da manipulação
(modelação) de objetos, investigações com a calculadora e outras atividades lúdicas. Ao final
de cada capítulo tem uma seção denominada “Um toque a mais”, na qual os autores abordam
a relação da Matemática com o mundo, sua importância no dia-a-dia e um pouco de sua
história. Ao final dos livros tem uma seção “Problemas e exercícios complementares” nesta
seção contém exercícios de todos os capítulos, para que o aluno possa complementar seus
estudos. Após está seção de exercícios há outra seção de exercícios chamada “Supertestes
para auto-avaliação”, na qual encontram-se exercícios de múltipla escola para complementar
cada capítulo. Após os testes, encontramos um dicionário ilustrado de matemática. Encontra-
se no final a seção conferindo respostas e algumas “Sugestões bibliográficas para o aluno”. E
para finalizar as referências bibliográficas utilizadas pelos autores.
O livro do professor contém o livro do aluno, com explicações adicionais sobre o
tópico tratado ou sugestões para a condução das atividades e uma assessoria pedagógica. Na
assessoria pedagógica os autores apresentam com clareza os fundamentos teóricos utilizados
para a elaboração da obra. Trazem seções como: “O novo ensino de Matemática”;
“Trabalhando esta coleção”; “Avaliação; Recursos didáticos”; “Conexões e
interdisciplinaridade”; “Fontes para atualização e aperfeiçoamento”. Eles incluem o
“Desenvolvimento dos conteúdos; Plano de curso; Comentários e respostas das questões”; e
moldes para reprodução.
O livro didático LD-11, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Matemática na Vida e na Escola, 1ª edição, 2004 – dos autores Ana Lucia Gravato Bordeaux
Rego, mestra em Matemática pela USU; Cléa Rubinstein, mestra em Educação Matemática
pela USU; Elizabeth Borges, especialista em Matemática na UFF; Elizabeth Marques,
licenciada em Matemática na UFRJ, e Gilda Portela, licenciada em Matemática e Física pela
UFRJ – publicado pela Editora do Brasil e aprovado pelo PNLD/2008. O livro está
organizado em unidades, com os objetivos de aprendizagem indicados na página de abertura.
Essas unidades são compostas por atividades que introduzem os tópicos a serem estudados,
seguidas de exercícios e das seções “Desafios”; “Um pouco de História” e “Exercícios
Complementares”. A sistematização dos conteúdos é feita em textos destacados nas próprias
atividades. No final do livro encontram-se um glossário, a bibliografia comentada e moldes
para reprodução de figuras geométricas.
O livro do professor contém uma cópia do livro do aluno com respostas das atividades
propostas e suplemento pedagógico. Este traz um texto de apoio didático que oferece a
descrição da metodologia da obra e da organização interna das unidades, além de comentários
sobre vários temas, tais como: uso da calculadora; recurso à História da Matemática;
importância de leituras complementares; avaliação e auto-avaliação. Seguem-se a
apresentação dos conteúdos, por unidade, e dos textos sobre o ensino e aprendizagem de
álgebra, de números e de geometria, acompanhados de sugestões de atividades adicionais.
Traz uma bibliografia comentada além de sugestões de leituras complementares e de
endereços de sites para pesquisa.
O livro didático LD-12, da 5ª série do Ensino Fundamental, faz parte da Coleção
Matemática Hoje é Feita Assim, 2000 – do autor Antônio José Lopes Bigode, Doutor em
Didática Matemática pela Universidade Autônoma de Barcelona – publicado pela Editora
FTD e aprovado pelo PNLD/2008. O livro está dividido em capítulos, alguns deles precedidos
de uma página intitulada “Hoje tem Matemática”, que anuncia os assuntos a serem abordados.
No final da maioria dos capítulos, encontram-se as seções: “Retomando”, que propõe
atividades para consolidação de conceitos ou de procedimentos; “A Revistinha”, com textos
de história da Matemática, curiosidades, desafios e atividades de laboratório, entre outros. No
final do livro encontram-se um glossário; a seção “Para saber e gostar mais de Matemática”,
que contém uma lista de títulos para leitura complementar; respostas dos exercícios propostos
nas seções “Atividades” e “Retomando”; e a bibliografia utilizada.
O livro do professor é uma cópia do livro do aluno acrescida das respostas e de alguns
comentários sobre as atividades propostas, consta-se um manual pedagógico. Este traz os
pressupostos teóricos que norteiam a coleção, além dos itens: Considerações sobre o projeto
didático; A gestão da sala de aula; Alunos ativos em ambiente de troca; O uso do livro; O uso
do caderno; A lição de casa; As atividades em grupo; O laboratório; Os projetos, o estudo do
meio, os temas transversais; Os recursos didáticos; As calculadoras; Novas ferramentas; A
avaliação. A seguir, são feitas considerações sobre cada capítulo, com sugestões de atividades
suplementares e orientações didáticas. Ao final, há uma bibliografia relacionada à Educação
Matemática.
6.2 Análises Históricas nos Livros Didáticos
O livro didático é um instrumento de trabalho para o professor e um material de estudo
para o aluno. Ele tem uma contribuição histórica fundamental para a educação, pois esteve
presente em vários momentos importantes do ensino, com todas as mudanças e adaptações,
oriundas de interesses de grupos específicos ou fatores políticos. Ele é fundamental no
processo de ensino-aprendizagem de Matemática, pois atualmente constitui a referência mais
forte para a prática docente [68].
Por ser relevante para a educação, é que decidimos analisá-lo. A partir da década de
1980, iniciou-se uma reformulação nos currículos de Matemática para retirar a Matemática
Moderna implantada nos currículos, o que provocou grandes transformações no ensino,
principalmente nos livros didáticos. Com essas transformações no ensino, a História da
Matemática com fins didáticos vai ganhando forças e, em 1988, com os Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental [24], ela
está definitivamente oficializada. Com os PCN, os livros didáticos começam a mudar,
introduzindo, a partir daí, a História da Matemática em suas coleções.
Escolhemos analisar o período de transição da numeração romana para a indo-arábica,
nos livros didáticos de Matemática, pois é um período de fundamental importância para a
Ciência e para a História da Matemática e, também, gostaríamos de saber como a Matemática
vem sendo apresentada aos alunos.
O período de transição entre as numerações romana e indo-arábica e suas
consequências para a história do Ocidente, em geral, são muito pouco trabalhados nos livros
didáticos e nas disciplinas de Matemática, seja na educação básica, seja na graduação. Essa
transição acarretou grandes implicações na economia, na ciência, e no estilo de vida da
população, e está diretamente relacionada a fatores políticos, religiosos, econômicos e
militares. Ignorar tal fato leva a uma deficiência na contextualização da Matemática e,
também, na sua compreensão. Acreditamos ser necessário para o estudante o conhecimento
dos “porquês” para que os “como” façam sentido. Assim, é imprescindível realizar uma
investigação dos “porquês” da origem da Matemática, para que o seu ensino seja mais
completo, oferecendo aos alunos uma compreensão global das razões da ciência e da
economia modernas.
A relevância da História da Matemática no ensino dessa disciplina tem sido alvo de
discussões no campo da Educação Matemática. Sabemos da importância de se avaliar, de um
modo geral, a inclusão da história nos livros didáticos de Matemática.
Um estudo anterior[69] mostra a importância da História da Matemática para o ensino
da Matemática. A História da Matemática constitui uma área do conhecimento matemático,
um campo de investigação científica. É vista como um instrumento metodológico que pode
ser utilizado pelo professor em suas atividades didáticas. O conhecer a História da Matemática
de maneira crítica pode proporcionar a capacidade de evitar o uso de tal ciência de maneira
errônea e superficial, aproveitando assim toda a riqueza que sua trajetória pode oferecer.
O fato de a maioria dos professores em serviço não ter tido, em sua formação inicial
ou continuada, nenhum curso que tratasse da História da Ciência, faz inferir que o livro
didático adotado pelo professor pode ser um dos caminhos para conduzi-lo a realizar uma
abordagem histórica.
Compreender como ocorreu a passagem entre a numeração romana e a indo-arábica é
um passo fundamental para compreender como uma mudança notacional na Matemática
concedeu ao ocidente uma ferramenta imprescindível para o desenvolvimento de tudo o que
foi feito na ciência posteriormente. É um dos claros exemplos de como uma alteração na
história das idéias levou a uma revolução cultural de grandes proporções.
Do ponto de vista educacional, essa análise deveria acompanhar o estudo do tema,
tanto com alunos do ensino básico quanto da graduação, visando fornecer-lhes uma adequada
perspectiva de compreensão da matemática e da história do Ocidente.
Para nossa análise, baseamos em algumas perguntas para constatar o papel dado a
História da Matemática nos livros didáticos. Pois, a História da Matemática pode contribuir
para melhorar a educação se usada corretamente, caso contrário, pode distorcer as idéias dos
alunos em relação a Matemática. As perguntas são as seguintes:
1. Apresenta a História da Numeração Romana? 2. Apresenta a história da numeração
indo-arábica. 3. Apresenta erro histórico? 4. Apresenta a invenção pelos hindus? 5. Relata a
importância dos Árabes? 6. Fala dos Matemáticos que contribuíram para a disseminação desse
conteúdo? 7. Descreve o caminho provável que a numeração indo-arábica foi para o
Ocidente? 8. Faz referência ao ábaco? 9. Fala da importância da numeração para o
desenvolvimento da Ciência? 10. Traz alguma sugestão para o professor no manual
pedagógico? 11. Traz bibliografia sobre a História da Matemática?
6.2.1 Análise do livro Matemática e Realidade (LD – 1)
No primeiro capítulo do livro, os autores trazem uma pequena história sobre a criação
dos números. “Os algarismos foram inventados pelos homens. Mas sua criação não aconteceu
de repente: surgiu a necessidade de contar coisas”. Nessa frase dos autores, podemos
observar que eles estão indecisos se os algarismos foram inventados ou criados pelos homens,
pois eles usam as duas linhas de argumentação para relatar a história. Falam de uma história
em que o homem primitivo usava pedras, nós ou riscos em madeiras para contar, sem muita
relevância. Ao final dizem que: “Na antiguidade, nem todos os povos usavam os mesmos
símbolos. Vamos conhecer como alguns povos dessa época contavam”.
Dessa forma é apresentado o sistema romano de numeração. Os autores apresentam os
símbolos e o significado atual, mas usam a simbologia que só foi adotada ao final da Idade
Média, que é aquela que faz corresponder IV ao algarismo 4 e IX ao algarismo nove, sem
qualquer menção ao fato de que os romanos escreviam também IIII para significar 4 ou VIIII
para significar 9. Não apresentam nenhuma informação histórica e, diante disso, se o
professor não tem conhecimento histórico, acredita ser essa a única forma de representar os
algarismos, não aceitando outra forma utilizada pelos alunos.
Há três exercícios utilizando a notação romana, mas exercícios de tradução da
numeração para os nossos algarismos. Os autores não tem a preocupação de relatar que esses
algarismos hoje são usados em relógios, leis etc. Mesmo não utilizando mais essa numeração
hoje, é importante que o aluno tenha o conhecimento que ela foi empregada por muitos
séculos e sua importância para a época. Também não deixa claro para o aluno que ela era
utilizada por toda a Europa Ocidental e não somente em Roma, pois os alunos acham que, por
serem algarismos romanos, era somente essa população que os utilizavam.
Logo em seguida, os autores trazem a numeração hindu. Não apresentam nenhuma
história, são extremamente simplistas e não valorizam uma das invenções mais significativas
da humanidade. Eles falam que os hindus inventaram os símbolos que usamos hoje, escrevem
os algarismos de zero a nove, falam que esses algarismos foram divulgados pelos árabes, por
isso são conhecidos como indo-arábico. Poderíamos então perguntar, como os árabes
divulgaram esses algarismos? Mas os autores nos dão esperanças, pois dizem que mais
adiante eles falarão do nosso sistema de numeração. Continuamos nossa análise na
expectativa de buscar nossas respostas, pois esse é o livro mais utilizado nas escolas de Belo
Horizonte, quase 50 % das escolas e dos alunos utilizam esse livro, então esperamos
realmente uma resposta para nossa pergunta.
Após trinta e cinco páginas percorridas, enfim achamos um texto: “Os algarismos na
história da civilização”. O texto fala da percepção do homem de contar, exemplifica com uma
tribo polonesa, para falar de bases, mas não explica essas bases. Ainda não encontramos o que
os autores prometeram. Continuamos nossa investigação e achamos o capítulo 4 – Sistemas
de Numeração – Eles falam rapidamente como os maias escreviam os algarismos e, enfim, o
sistema de numeração decimal. Novamente falam que os hindus inventaram os algarismos de
zero a nove e que esses algarismos eram agrupados em dez, por esse motivo o nosso sistema é
decimal. Novamente poderíamos fazer diversas perguntas, pois continuamos sem saber como
os algarismos foram divulgados pelos árabes. Não temos conhecimento de como era a época,
qual sua cultura, sua religião, a política, não conhecemos a sociedade, se esse sistema foi
aceito com facilidade, se o que os árabes divulgaram os ocidentais acharam melhor e assim
substituíram. Aqui o papel do professor é fundamental, pois os alunos questionam e, se o
professor não estiver preparado, poderá desmotivar o aluno.
Como os autores prometeram que iriam falar do sistema que usamos, percorremos até
o fim do livro do aluno e o manual do professor, mas não encontramos mais nada que tratasse
do assunto. Fizemos algumas perguntas para nortear nossa pesquisa, e só conseguimos
responder a última pergunta. O livro traz algumas leituras recomendadas ao professor sobre
obras de História da Matemática.
6.2.2 Análise do livro Novo Praticando Matemática (LD – 2)
A primeira unidade do livro é dedicada aos sistemas de numeração. Os autores iniciam
o primeiro capítulo com um texto “Um pouco da história dos números”. O texto começa com
uma charge de duas crianças conversando sobre a ideia de grupos, e os autores utilizam a
charge para dizer que “antigamente a Matemática não existia. Na maior parte da história da
humanidade, as pessoas não sabiam contar”. Eles relatam que as necessidades práticas
fizeram com que o homem desenvolvesse essa habilidade. E terminam o texto com aquela
velha história do pastor contando ovelhas com pedrinhas. Os autores fazem uma
correspondência entre o número de ovelhas e o número de pedrinhas, e propõem que os
alunos realizem uma atividade com o mesmo significado do texto, utilizando correspondência.
Os autores ainda finalizam o texto conceituando o que é número: “Hoje, sabemos que número
é a quantidade de elementos de um grupo ou coleção e não depende do tipo de elementos que
o compõe”. Adotando o procedimento de fazer corresponder ovelhas a pedrinhas estaria ele
efetuando uma contagem? Os autores conceituam o número, mas traçam uma história em que
o conceito de número confunde-se com a correspondência um-a-um. Fazer correspondência
não significa exatamente contar. É possível estabelecer a correspondência e permanecer
distante da ideia de número. Se tivesse explorado melhor esse texto, teriam deixado mais
claro para o leitor.
Os autores insistem na relação de correspondência e número, pois, nos exercícios
propostos, eles voltam a cobrar essa correspondência com relação ao número em mais dois
exercícios. Essa proposta não passa a real história vivida pelos povos primitivos, por exemplo,
se um pastor primitivo tivesse um rebanho com 20 ovelhas e somente dispusesse de palavras
para algarismos até 5 adotando o procedimento de fazer corresponder ovelhas a pedrinhas, ele
conseguiria efetuar uma contagem? Mais uma vez, percebe-se a importância dos
conhecimentos históricos do professor, pois se não estiver preparado para responder a essa
pergunta, os alunos vão ficar com um conceito errôneo de que correspondência significa
contar.
No segundo capítulo, os autores abordam os sistemas de numeração egípcia, chinês e
romano. Trataremos aqui somente do sistema de numeração romano, pois é nosso objeto de
estudo.
O texto apresenta os sete símbolos para representar os algarismos romanos e apresenta
um quadro com alguns algarismos e a tradução para os algarismos indo-arábicos. Essa
representação dos algarismos só foi adotada depois da Idade Média. O texto deixa claro que
os romanos usaram a subtração para não repetir o mesmo símbolo mais de três vezes e
exemplifica. Afirma que a numeração romana hoje é utilizada em algumas situações, mostra
uma foto de um relógio utilizando esses algarismos e um pequeno texto com a declaração
universal dos direitos da criança para ilustrar essas situações. Os exercícios propostos são
simples traduções dos algarismos romanos para os indo-arábicos.
No terceiro capítulo, “O Sistema de Numeração Decimal e os algarismos indo-
arábicos”, são apresentadas algumas características do sistema de numeração decimal, o zero -
a grande sacada – o valor posicional dos algarismos. Os autores relatam a contribuição dos
hindus para o sistema de numeração e mostram uma ilustração da evolução da grafia dos
algarismos indo-arábico do século VI ao século XV. Chama-nos a atenção para a escrita dos
algarismos, “a forma de desenhar os numerais variava porque antigamente os livros e
documentos eram escritos à mão e há diferença entre caligrafias. Somente depois da invenção
da imprensa os símbolos foram padronizados”.
Apresentam um pequeno texto em destaque: “De onde vem o nome Algarismo?” O
texto relata que os hindus criaram os nossos algarismos e os árabes o divulgaram para o resto
do mundo, por isso é conhecido como indo-arábico. E que a palavra algarismo vem do nome
do matemático al – Khowarizmi, que escreveu e traduziu muitas obras matemáticas levadas
pelos árabes para o Ocidente. Temos um texto informativo, mas não explicativo, pois
podemos fazer vários questionamentos. Mais uma vez os autores não tiveram a preocupação
de dizer ao leitor como foi feita essa divulgação dos algarismos hindus. Se não descreve o
cenário social, cultural, econômico etc. vivido na época, o aluno poder ter várias
interpretações. O texto faz uma citação a al-Khowârizmî, mas não fala de sua contribuição
para a numeração indo-arábica, sua obra que foi um marco importante para essa história.
Na seção dos exercícios, encontramos três exercícios utilizando o ábaco, que não foi
nem citado no texto. No primeiro exercício, os autores colocam que “O ábaco é um
instrumento que permite contar e calcular. No Brasil, ele é muito usado nas escolas”. Os
autores não falam da importância do ábaco para os cálculos e sua utilização efetiva nas
civilizações até meados do século XII, utilizam uma afirmação que o ábaco é muito utilizado
nas escolas brasileiras, todavia, sem um embasamento para tal afirmação. E apresentam uma
figura de ábaco que não condiz com os ábacos utilizados na história da contagem, nem com os
ábacos utilizados como recurso pedagógico para a educação matemática.
No final do livro fazem sugestões de dois livros paradidáticos sobre os sistemas de
numeração, fazendo um breve comentário das bibliografias. No manual pedagógico do
professor, os autores fazem algumas sugestões para os professores para trabalharem os
sistemas de numeração. Ressaltam a importância da História da Matemática para desenvolver
os sistemas de numeração, pois o objetivo é mostrar como as ideias e registros evoluíram e
ressaltaram as vantagens do nosso sistema de numeração. Fazem uma indicação bibliográfica
sobre a História da Matemática para o professor.
6.2.3 Análise do livro Matemática Fazendo a Diferença (LD – 3)
A primeira unidade do livro é dedicada aos Números: uma longa caminhada.
Analisaremos os capítulos um e dois desta unidade. O primeiro capítulo inicia-se com o papel
do número em nosso dia-a-dia. Apresenta um ilustração para nos mostrar a presença dos
algarismos em nossas vidas. Como já falamos do texto do pastor contando suas ovelhas e
separando pedrinhas no livro anterior não repetiremos essa história aqui.
O segundo capítulo é dedicado aos “sistemas de numeração”. Nesse são tratados os
sistemas de numeração egípcio, babilônio, romano e indo-arábica. Trataremos dos dois
últimos.
O texto começa dizendo que “a civilização romana teve um grande desenvolvimento
no período de 753 a.C. a 476 d.C.” e apresenta um mapa com o continente Europeu, uma
parte do africano e uma parte do asiático com alguns países e cidades em destaque, mas não
cita fonte nem a data do mapa e não faz nenhum comentário sobre ele, somente utilizando
uma ilustração. Após o mapa, diz que o sistema de numeração é utilizado nos nossos dias
como capítulo de livros, nomeação de papas, relógios etc. e coloca algumas ilustrações desses
usos.
“Acredita-se que alguns símbolos romanos inicialmente representavam a imagem dos
dedos da mão”. Estão representados com desenhos das mãos para os algarismos um, dois,
três, quatro, cinco e dez. Consultamos a bibliografia utilizada pelo autor para a veracidade
desta informação, o Boyer e Ifrah, e em nenhum destes textos este fato foi relatado, e os
autores não tiveram o cuidado de citar onde obtiveram a informação.
Apresentam os sete símbolos romanos e seus significados na numeração indo-arábica,
as regras para os algarismos acima de três vezes que não podem repetir, que alguns
algarismos colocados à esquerda de outros devem ser subtraídos, e, colocar um traço acima de
um símbolo, seu valor fica multiplicado por 1000, dois traços por um milhão e assim
sucessivamente. Os exercícios são mudanças da numeração romana para a indo-arábica. Os
autores não fazem um panorama cultural da época para que o aluno entenda o que aconteceu
com esse sistema, não falam por quanto tempo foi utilizado e porque acabou.
O texto que trata do sistema de numeração indo-arábica nos diz que os hindus criaram
o sistema de numeração e seus símbolos são chamados de algarismos. Os autores abrem um
balão e falam um pouco do termo algarismo, que teve sua origem em homenagem ao
matemático árabe al – Khowarizmi. Este árabe foi um bibliotecário da corte que escreveu
duas obras na qual explicava o sistema de numeração indiano. Os autores não falam da
importância desse matemático para a História da Matemática e também não citam o nome de
suas obras.
Justificam o nome indo-arábico, pois os hindus inventaram e os árabes divulgaram.
Traz um mapa do vale do Rio Indo, da Índia, China e Tibete, mas não citam nenhuma fonte
ou mesmo a referência do mapa. Não explicam como foi feita esta divulgação e não trazem a
história da transição de uma numeração para outra e os possíveis caminhos até a numeração
chegar ao ocidente. Apresentam um “balão” contendo a seguinte informação:
O sistema indo-arábico de numeração demorou para ser adotado pelos europeus.
Um dos motivos é porque, como eram fáceis de registrar, e calcular com eles era
muito simples, isso não agradava aos poderosos, que dominavam o saber. Havia
também muito preconceito em relação aos indianos e árabes, por eles não serem
brancos nem cristãos.
Para que essa afirmação seja aceita pelo leitor, ele teria que conhecer mais sobre a
história da numeração, pois dessa forma como foi colocado fica difícil para o aluno entender o
porquê dessa afirmação. Aqui os autores poderiam ter aprofundado mais nesse assunto.
O livro contém uma figura com as transformações dos algarismos do século XII ao
século XVI, as características do sistema indo-arábico, um símbolo para representar o zero e a
estrutura segundo o princípio posicional. Não fala mais nada a respeito da história ou
importância do zero. Mas traz uma seção para falar a respeito do ábaco. O livro contém uma
ilustração do ábaco chinês, e da necessidade do homem para inventar instrumentos que o
auxiliam nos cálculos. Não falam do significado que o ábaco tinha para efetuar os cálculos,
nem da importância desse instrumento para o desenvolvimento das máquinas de calcular.
No manual pedagógico para o professor, os autores abordam a importância do ensino
da História da Matemática para os alunos, pois para eles: “os alunos precisam entender a
Matemática como uma criação humana construída por diferentes culturas, em diversos
momentos históricos, para, assim, estabelecer comparações entre os conceitos e processos
matemáticos do passado e do presente”. Mas para que isso seja concretizado, os autores
deveriam então ter tratado a História da Matemática com mais dedicação, pois o texto que
analisamos sobre os sistemas de numeração não aborda a cultura da época, os costumes, nem
a matemática desenvolvida.
6.2.4 Análise do livro Projeto Araribá - Matemática (LD – 4)
A primeira unidade do livro é dedicada aos números naturais, o capítulo dois desta
primeira unidade é dedicado aos sistemas de numeração egípcio e romano, e o terceiro
capítulo ao sistema de numeração indo-arábica. Não possui uma história para o sistema de
numeração romana. Fala-se apenas de sua utilização nos dias de hoje e ilustram com algumas
utilizações. Apresentam um mapa do Império Romano (século I) retirado do Atlas histórico
da Editora Britânica e os algarismos romanos na forma mais recente com o significado da
numeração indo-arábica.
O capítulo dedicado à numeração indo-arábica é sucinto. Apresenta um mapa do Rio
Indo-Paquistão do Moderno Atlas geográfico da Editora Moderna e um quadro com as
diversas formas dos algarismos indo-arábico, retirados do livro História Universal dos
Algarismos, de Ifrah. Fala que o sistema foi desenvolvido pelos hindus e alguns séculos
depois difundido pelos árabes. Mostra também algumas características desse sistema como
um símbolo para representar o zero, o uso de apenas 10 algarismos e o sistema posicional.
No manual do professor, encontramos algumas bibliografias sobre a História da
Matemática. Chamou-nos a atenção o fato de não estarem presentes na indicação de leitura
para o professor os livros do Boyer, Eves e do Ifrah, que estão presentes na bibliografia
consultada pelos autores e são referências nacionais em História da Matemática.
Na seção “Orientações para o desenvolvimento das unidades”, os autores nos
surpreendem: eles apresentam uma sugestão detalhada para trabalhar a unidade, trazem
sugestões de atividade e alguns jogos. No final da unidade, há uma seção chamada
“Ampliações”. Nessa seção os autores colocam três textos sobre os sistemas de numeração.
O primeiro texto faz uma comparação entre os três sistemas de numeração estudados
pelos alunos, o romano, o egípcio e o indo-arábica. Utilizam um quadro no final do texto pra
resumir a comparação entre esses sistemas. Falam da história do valor posicional e do zero, o
princípio aditivo e multiplicativo. Os sistemas romano e egípcio, assim como o nosso,
respeitam o princípio aditivo, todavia, os sistemas romano e egípcio não respeitam o sistema
multiplicativo. Justifica-se assim uma grande vantagem, além das mostradas no texto
anteriormente, do nosso sistema em relação aos sistemas egípcios e romanos, ou seja, a
quantidade de algarismos que podemos escrever com apenas dez algarismos.
Segundo texto: “De onde vem a palavra algarismo? A palavra algarismo: a influencia
árabe na Matemática”. O texto fala um pouco sobre al-Khowârizmî, sua contribuição para a
divulgação dos algarismos indo-arábico com seu livro Algoritmi de numero indorum (Sobre a
arte hindu de calcular), sobre a Casa da Sabedoria e a importância das traduções e
preservação dos textos gregos e indianos.
Terceiro texto: “Um pouco da história do número zero. As concepções mais
significativas sobre o zero ao longo do tempo”. No texto os autores fazem uma exposição da
trajetória do zero dos sistemas que deixavam um espaço vazio para representar o zero, e
somente os hindus utilizaram um símbolo para representar esse número. Destacam que o zero
também sofreu bastante resistência para ser utilizado pelos matemáticos, e somente a partir do
século XVII que ele foi bem difundido.
Os autores não tratam da história da passagem da numeração romana para a indo-
arábica, mas consideramos esses textos ricos em história e já é uma iniciativa dos autores para
despertar o interesse dos professores para a História da Matemática como um recurso que o
ajuda a entender melhor a matemática para responder os porquês dos alunos em sala.
6.2.5 Análise do livro Tudo é Matemática (LD – 5)
O primeiro capítulo é dedicado aos “Números naturais e sistemas de numeração”. O
texto é um resumo de algumas situações do nosso dia-a-dia em que usamos os números
naturais, com ilustrações de mapas, uma cidade, os planetas e alguns exercícios de
interpretação do texto.
Na terceira seção do primeiro capítulo, o autor trata dos Números naturais: uma longa
história. Faz uma breve introdução de como o homem começou a contar e fazer suas marcas
em lascas de pedras, madeiras, gravetos etc., e ilustra algumas dessas representações. Logo
em seguida, trata do sistema de numeração romano. “O sistema de numeração romano
espalhou-se por todo o ocidente em conseqüência da expansão do império romano ao longo
dos séculos”. O autor começa o texto com essa frase e não traz mais nenhum conhecimento
histórico sobre os algarismos romanos. Apresenta os sete símbolos do sistema de numeração
romano e como fazer operações com esses algarismos. Os exercícios são de simples mudança
do sistema de numeração romano para a indo-arábica.
Para o sistema de numeração indo-arábica, o que encontramos sobre sua história foi
um quadro com a evolução dos algarismos do século VI ao século XV. Fala da descoberta dos
hindus e da divulgação pelos árabes. Na seção quatro, “As características do sistema de
numeração indo-arábica”, o autor inicia o texto com uma frase que merece destaque: “Você já
viu como se originou e como se difundiu o sistema de numeração indo-arábica que usamos
hoje?” O aluno só terá visto se o professor tiver um conhecimento histórico e mostrar para o
aluno, pois o texto anterior do autor não mostra como o sistema se originou e sim que foram
os hindus que criaram esse sistema de numeração e também não fala como ele foi difundido
para o ocidente, e sim que os árabes divulgaram. Não tem como os alunos saberem como o
sistema se originou e como foi desenvolvido e divulgado, se o autor não traz um texto com a
real história da origem e desenvolvimento desse sistema de numeração.
Então, começa a analisar as características do sistema de numeração indo-arábica. Usa
dez símbolos para representar qualquer quantidade e o sistema é posicional. O autor não fala
de uma característica revolucionária na matemática, que é o símbolo para o zero, o autor
ignora um fato histórico que revolucionou a Matemática e permitiu grandes avanços. No final
do texto há um “balão” com uma curiosidade: “você sabia que: al-Khowârizmî é o nome de
um dos matemáticos árabes que auxiliaram na divulgação e aperfeiçoamento da descoberta
dos hindus, e é por isso que os nossos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são também
chamados algarismos?” Pouco provável o aluno conseguir responder a essa pergunta, se ele
não teve contato com nenhum texto de história da numeração indo-arábica no livro didático
utilizado por ele.
Encontramos em outra seção uma leitura: “Instrumentos e material de contagem e
cálculo”. Em um parágrafo o autor define o ábaco e traz uma ilustração de um ábaco simples
construído com hastes. Em outra seção, “Para ler, pensar e divertir-se”, o autor traz um
pequeno texto sobre “A importância social dos números naturais”. Em um parágrafo o autor
reconhece a importância da descoberta do zero e que ele apareceu bem depois que os outros
símbolos. Foi divulgado pelos árabes e adotado no ocidente não como número, mas para
preencher uma casa decimal vazia. Reconhece que nosso sistema de numeração foi uma das
maiores contribuições que os matemáticos deram para a humanidade. Mais uma vez questiono
se é de importância, porque os autores não tem o cuidado para escrever uma história para que
os alunos compreendam como foi importante para a sociedade o desenvolvimento desse
sistema de numeração?
No manual do professor, o autor coloca a importância da atualização para o professor
indicando vários sites, e bibliografias. Ele separa a bibliografia por tópicos. No tópico
História da Matemática, o autor sugere as principais obras sobre História da Matemática que
temos disponíveis no mercado. Nas observações sobre cada capítulo o autor sugere ao
professor ampliar o tema contando um pouco mais de história, para que o aluno perceba que a
matemática foi construída pelo ser humano. Concordamos com o autor que a história deve ser
ampliada e nenhuma obra tem condições de trazer a história toda, pois não seria um livro
didático, mas sim um livro de história e não é nesse sentido que estamos tratando. O que está
faltando nos livros é uma história real para iniciar o trabalho do professor e o mesmo
ampliaria com seus conhecimentos e as indicações bibliográficas sugeridas pelos autores.
6.2.6 Análise do livro Novo Matemática na medida certa (LD – 6)
Os autores dessa coleção não atribuem importância à História da Matemática, pois em
todo o livro encontramos apenas um pequeno texto sobre a história das frações e esse texto
aparece como curiosidade. É um livro que podemos considerar como um livro tradicional,
pois a sistematização dos conteúdos é colocada de forma direta, acompanhada de exemplos e
exercícios.
No manual do professor, não encontramos nenhuma sugestão sobre a História da
Matemática, mas apenas uma bibliografia sugerida ao professor sobre a História da
Matemática e justamente o livro do Ifrah que é nossa referência no estudo sobre a história dos
sistemas de numeração. Faz uma indicação para os alunos de um livro paradidático do
Imenes, A numeração Indo-arábica.. Na bibliografia consultada pelos autores, não
encontramos nenhuma obra sobre a História da Matemática, o que justifica a ausência de texto
sobre o assunto.
6.2.7 Análise do livro Matemática – Idéias e Desafios (LD – 7)
A primeira unidade dedica-se aos “Números”. Ela tem ilustrações dos algarismos no
nosso dia-a-dia e um gráfico com a população humana. O primeiro capítulo é: “O ser humano
aprende a contar”. Conta a história das ovelhas e do pastor fazendo uma relação com
pedrinhas. O texto traz duas figuras encontradas por arqueólogos, todavia, sem qualquer
referência. As autoras apresentam o sistema de numeração egípcio e o romano, o qual iremos
analisar. Como estamos analisando o livro do professor, as autoras fazem sugestões aos
professores ao longo do livro, e antes de iniciar o conteúdo sobre o sistema de numeração
romano, as autoras colocam a seguinte frase: “Dada a pouca utilização do sistema romano, no
contexto atual, minimize a importância desse estudo”. Sabemos da pouca utilização desse
sistema para os dias atuais, mas não podemos ignorá-lo, pois foi o sistema mais utilizado no
Ocidente e por mais tempo, uma das causas para a rejeição durante séculos do nosso sistema
atual.
As autoras, falam um pouco da história desse sistema de numeração. Colocam que,
com a vasta expansão do Império Romano, conquistando até a Grécia, os romanos criaram
seu sistema de numeração que foi muito utilizado até o século XVII. Apresentam um mapa do
Império Romano no século I, adaptado do Atlas histórico escolar. Trazem os sete símbolos
para a numeração romana e descrevem as regras desse sistema, propondo atividades.
O quarto capítulo dessa unidade as autoras dedicaram ao “sistema de numeração que
usamos”. O capítulo é simples e não traz nenhuma história sobre a numeração indo-arábica.
Elas falam somente que o sistema foi inventado pelos indianos e desenvolvido pelos árabes. E
que já era conhecido na Europa desde o século XIII. Define o ábaco de pinos e sugere ao
professor a construção de um ábaco com os alunos, mas não contam a história do ábaco e nem
mencionam que existia e existem outros modelos de ábacos.
No final do capítulo, há uma seção “Leitura+”, que traz uma leitura sobre os
algarismos indo-arábico. Não acrescenta muito ao que já havia sido exposto no início do
capítulo. Acrescenta que esse sistema apareceu em uma obra do matemático árabe al-
Khowârizmî e um quadro com a evolução dos algarismos do século XII aos dias atuais.
No manual pedagógico, as autoras indicam aos professores trabalharem com a história
de outros sistemas de numeração, pois isso os auxiliará na compreensão do nosso sistema de
numeração. Os alunos devem compreender a genialidade da criação do valor posicional e a
criação do zero. As autoras trazem quatro textos para enriquecer o trabalho do professor. O
primeiro sobre o sistema de numeração babilônio, o segundo o sistema de numeração dos
maias, o terceiro o sistema de numeração sino-japonês e o quarto sobre o ábaco.
6.2.8 Análise do livro Construindo Consciências – Matemática
(LD – 8)
Figura 10
–
Material Dourado criado por
Maria M
ontessori
Os autores iniciam o primeiro capítulo com uma ilustração acerca de algarismos
utilizados em nosso dia-a-dia, como, por exemplo, número de ônibus, hora, temperatura e
promoções em lojas. A primeira seção trata, portanto, do uso cotidiano dos algarismos.
Os autores não apresentam em nenhum momento do livro o sistema romano,
mostrando apenas em um parágrafo sobre o sistema de numeração decimal, que foi inventado
pelos hindus e aperfeiçoado pelos árabes. Utiliza o material dourado (Fig. 10) para apresentar
o sistema de numeração decimal e o ábaco de quatro astes utilizados atualmente, o que
analogicamente funciona como o QVL (Quadro Valor de Lugar) ou QP (Quadro Posicional),
todavia, sem dizer a origem desse instrumento e consequentemente a sua história.
O Manual do Professor não faz referência à História da Matemática, apenas uma curta
bibliografia ao final do Livro. Curiosamente, os autores citam na bibliografia os livros de
Ifrah e Boyer, o que poderia nos levar a crer que eles possuem algum conhecimento sobre a
História da Matemática.
6.2.9 Análise do livro Para Saber Matemática (LD – 9)
O primeiro capítulo do livro está dedicado aos números. “Como usamos os números” é
a primeira seção do capítulo, que traz fotos com a utilização dos algarismos no nosso
cotidiano. Os exercícios são bem ilustrados, fazendo com que o aluno perceba a importância
dos algarismos para a vida, pois são colocadas várias situações em que precisamos deles.
A segunda seção do capítulo trata dos “Números: Uma necessidade”. Nesta seção os
autores dedicam-se à História da Matemática com um texto abordando uma evolução da
correspondência a objetos para a contagem e posteriormente aos sistemas de numeração.
Encontramos uma foto de um osso com entalhes feitos aproximadamente há 17000 anos,
descoberta por arqueólogos, mas sem referências da ilustração. Abordam o sistema de
numeração egípcio e o sistema de numeração romano.
Como nos livros anteriores, encontramos um quadro com os sete símbolos para
representar a numeração romana traduzidos para nosso sistema de numeração. Fazem uma
comparação com o sistema de numeração egípcio para dizer que os agrupamentos eram feitos
de dez em dez, porém os romanos tinham um símbolo para representar o cinco, o cinquenta e
o quinhentos, o que facilitava a escrita de alguns algarismos. Os exercícios são repetitivos,
desestimulantes, pois se pede para escrever da numeração romana para a indo-arábica,
contendo doze exercícios nessa categoria.
Na seção “Fique por dentro”, os autores trazem outros dois sistemas de numeração: o
babilônico e o maia. Falam também da importância do sistema binário para o
desenvolvimento das calculadoras e dos computadores.
A terceira seção do capítulo trata dos “Números que usamos hoje”. É apresentado um
mapa com a civilização hindu retirado do Atlas da História do Mundo. Justificam o nome
indo-arábico, sendo a criação feita pelos hindus e a divulgação pelos árabes. Discutem a
expansão árabe através da religião islâmica, por meio da qual foi possível formar um grande
Império unindo várias regiões e conquistando vários povos. Com essa expansão os árabes
tiveram contato com o sistema de numeração decimal e o adotaram. “Nesses anos de
conquista, invadiram a península Ibérica, introduzindo nessa região os símbolos hindus”.
Falam da importância de al-Khowârizmî a partir de sua obra Sobre a arte de calcular para a
numeração e a derivação da palavra algarismo de seu nome. Colocam um quadro já
encontrado em outros livros sobre a evolução da numeração indo-arábica do século XII aos
dias atuais e colocam sua referência, “Os números: história de uma grande invenção”, de
Geoges Ifrah.
Nesse livro percebemos um grande passo dos autores para deixar o leitor com vontade
de aprofundar mais no assunto. O texto não traz a história completa, mas desperta um
interesse e o professor pode completar e os alunos podem pesquisar e se aprofundar no
assunto. O livro não deve trazer tudo pronto, mas despertar o interesse para a pesquisa,
envolver o professor e o aluno na História, no acontecimento, vivenciar a época, tornar
prazeroso o estudo e não simplesmente fazer uma lista enorme de exercícios sem saber o
porquê, qual a importância daquele conhecimento.
Em seguida, são colocadas as características do sistema de numeração indo-arábica, a
base dez, utilizam um ábaco para representar os cálculos e mencionam que esse foi um dos
instrumentos mais antigos de cálculo. Citam a importância do valor posicional, permitindo a
escrita de diferentes algarismos, mas não mencionam a importância do zero no
desenvolvimento desse sistema de numeração.
No manual pedagógico para o professor, os autores colocam a História da Matemática
como um recurso didático, que contribui para o aprimoramento e a valorização dessa
disciplina. Os autores utilizam uma frase muito interessante que compartilharemos com o
leitor: “A Matemática está entrelaçada com a história e o desenvolvimento das civilizações”.
Se ela faz parte do desenvolvimento da humanidade, por que separamos a Matemática de sua
história e a colocamos nos livros sem nenhuma humanidade, fazendo com que nossos alunos
pensem que essa disciplina é feita apenas por gênios, e não fruto de uma sociedade, de uma
época? Ela aparece nos livros didáticos de forma pronta, só temos o resultado e não o
processo. A Matemática foi e é uma construção humana, nada foi criado por acaso, tudo teve
um porquê e a História é a única que nos permite responder a esses porquês.
Os autores trazem referências bibliográficas para os professores e algumas sugestões
de trabalho utilizando a História da Matemática na seção “comentários e sugestões capítulo a
capítulo”.
6.2.10 Análise do livro Matemática para todos (LD - 10)
Diferentemente das outras coleções, os sistemas de numeração são tratados no
primeiro capítulo do livro da 6ª série. A primeira seção do capítulo, “A escrita dos números
no passado”, apresenta um texto sobre a história dos algarismos e os autores iniciam o texto
com a seguinte frase: “Para contar, usamos os números 1, 2, 3, 4, 5 etc., que foram os
primeiros números criados pelos seres humanos, há milhares de anos. Como surgiram esses
números? Por que foram criados?” Atualmente usamos os algarismos descritos pelos autores,
mas não foram os primeiros algarismos criados pelos seres humanos há milhares de anos.
Antes deles nós tivemos vários sistemas de numeração e até chegar nesses algarismos,
tiveram que passar por várias transformações e rejeições. Isso pode levar o aluno a inferir que
esses algarismos foram os primeiros algarismos criados pelo homem o que sabemos que não é
verdade.
Com experiência nessa série e por já ter trabalhado com esse assunto, e considerando
que seja por causa de questionamentos de alunos que resolvi pesquisar esse assunto, posso
dizer que para eles esses algarismos sempre existiram e os outros sistemas existiram em
determinados locais.
Ao longo do texto os autores vão respondendo as questões sugeridas por eles mesmos:
“Podemos pensar que [os algarismos] surgiram para as pessoas contarem suas posses. No
entanto, eles já eram conhecidos antes de surgir a necessidade de contar”. Novamente os
alunos podem inferir que os algarismos, tão comuns em nossa vida e do qual não fazemos
nem idéia de que possa ter existido outros símbolos e outros sistemas de numeração antes, são
conhecidos há milhares de anos. Apresentam uma figura de um osso com marcas e afirmam
ser a prova de que o homem sabia contar no tempo em que habitavam cavernas e viviam da
caça. Colocam que alguns estudiosos acham que os algarismos também podem ter surgido por
motivos religiosos para marcar o tempo das cerimônias fúnebres. Não colocam a bibliografia
desses estudiosos e nem o embasamento teórico que os leva a fazer essa afirmação. Com o
desenvolvimento da agricultura, do comércio surgiu a necessidade de inventar maneiras mais
práticas para escrever os algarismos do que fazer marcas em ossos. Podemos então, contestar
os autores, pois no primeiro parágrafo não se referem à escrita dos algarismos há milhares de
anos tal como escrevemos hoje?
Os autores colocam que foram criados vários sistemas de numeração, mas que
apresentariam dois deles. “No Egito dos faraós, há cerca de 5000 anos, desenvolveu-se uma
escrita numérica que utilizava os sinais representados na tabela a seguir”. Apresentam uma
tabela com os símbolos egípcios e os respectivos valores. Não trataremos aqui do sistema
egípcio, mas utilizamos a frase para analisarmos o próximo sistema de numeração: o romano.
“Veja, a seguir, outro sistema numérico antigo, nascido no Império Romano, há mais de 20
séculos. Os símbolos eram estes”: novamente os alunos podem inferir que os sistemas de
numeração eram restritos a uma única população, pois não tem uma história que permite ao
aluno compreender como foram desenvolvidos esses sistemas de numeração.
Apresentam os sete símbolos utilizados para representar a numeração romana e como
utilizar esses algarismos. Discutem a importância da posição de alguns algarismos como o IV
e o VI, pois dependendo da posição do símbolo o número se altera. Trazem algumas
perguntas sobre o texto e exercícios para passar da numeração egípcia e romana para a
numeração indo-arábica.
A segunda seção trata do “Nosso sistema de numeração”. Os autores relatam que o
nosso sistema de numeração foi desenvolvido na Índia e os árabes, que construíram um
Império Islâmico, adotaram esse sistema e o levaram para a Europa, substituindo a escrita
romana, e, por volta do século XVI, espalhou-se pelo mundo. Por essa razão o nosso sistema é
chamado de indo-arábico. Em seguida, destacam as principais características desse sistema de
numeração, entre elas: a utilização de dez sinais, destacando o zero como sendo um caso
especial, pois os outros sistemas não tinham um símbolo para ele, o sistema é decimal, é
posicional e outro aspecto notável do sistema indo-arábico é que ele serve para representar
não só números naturais, mas também os fracionários.
A seção “Um toque a mais” é reservada para a relação da Matemática com o mundo,
sua importância no nosso dia-a-dia e um pouco de história. A primeira seção trata do “conflito
entre abacistas e algoristas”. Aqui os autores discorrem um pouco sobre a história do
desenvolvimento do sistema de numeração indo-arábica, destacando os principais
matemáticos que contribuíram para a divulgação desse sistema. Destacam: al-Khoârizmî, o
monge francês Gerbert d’Aurillac e Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci. Este
texto contribui para o trabalho do professor, pois ele esclarece algumas dúvidas e serve de
base para uma pesquisa e uma contribuição maior sobre o assunto. Ele inicia uma discussão
de como os conceitos foram desenvolvidos, os caminhos percorridos por esse sistema, a
contribuição de vários matemáticos para divulgação do sistema de numeração, a interação
com a história, pois os autores discutem o preconceito dos ocidentais em relação aos
muçulmanos, entre outras.
No manual do professor, os autores sugerem trabalhos interdisciplinares com a
História da Matemática e outras disciplinas, fazem sugestões de textos sobre História da
Matemática com o resumo das obras. Na seção “Desenvolvimento dos conteúdos”, há
sugestões de como trabalhar cada capítulo. Os autores sugerem que os professores trabalhem
os sistemas de numeração com uma aula expositiva dialogada, baseadas nos textos do
capítulo.
6.2.11 Análise do livro Matemática na Vida e na Escola (LD - 11)
A unidade dois do livro é dedicada aos “números naturais, adição e subtração”. A
unidade começa com uma atividade. É apresentado um quadro com recortes de jornais com
diferentes reportagens envolvendo números naturais. É proposto aos alunos pensar e discutir o
que as informações tem em comum. Então, os autores fazem uma reflexão sobre a atividade e
colocam que “a necessidade de efetuar contagem é um fato antigo na História da humanidade.
Os números naturais surgiram para atender a essa necessidade”. Os autores não apresentam
nenhum sistema de numeração, e muito menos a história de algum deles incluindo o sistema
de numeração indo-arábica, e afirmam que os números naturais surgiram para atender a
necessidade de contar. Os números naturais não foram os primeiros que surgiram para atender
a essa necessidade, é colocada uma afirmação sem fundamento.
Após a atividade e os comentários dos autores, encontramos uma seção um pouco de
história. Nesta seção os autores, relatam que os símbolos sofreram diversas transformações,
pois os livros eram copiados a mão. “Além disso, o sistema de numeração indiano foi adotado
pelos árabes e depois pelos europeus”. Então, apresentam um quadro com a evolução dos
algarismos do século IX ao século XX. As informações contidas nesse pequeno texto deixam
muitas dúvidas ao leitor, pois os autores não mencionam anteriormente que o sistema de
numeração foi inventado pelos hindus e não fazem menção da numeração indo-arábica. Não é
uma leitura para despertar a curiosidade do leitor para pesquisas sobre o assunto, é uma
informação e não uma história.
6.2.12 Análise do livro Matemática Hoje é Feita Assim (LD - 12)
O primeiro capítulo do livro dedica-se aos “Números: uma grande invenção do
homem”. A introdução dos conceitos inicia-se com uma situação-problema, apresentada por
meio de um diálogo entre personagens e uma história contando como um gato tem a
percepção de contar. Na seção “voltando ao assunto”, encontramos a história sobre o pastor
de ovelhas contando pedrinhas e fazendo relações que já comentamos anteriormente. Em
outra seção encontramos um pouco da história do ábaco, uma figura do mesmo e algumas
atividades utilizando o ábaco.
Na seção “Os algarismos indo-arábico”, os autores relatam que “os matemáticos e
astrônomos hindus criaram um sistema de numeração cujo documento mais antigo é um livro
publicado há, aproximadamente, 1500 anos”. O autor faz uma afirmação do livro, mas não
coloca nenhuma referência e não cita o nome dessa obra, deixando essa informação duvidosa.
Acrescentam um quadro com a evolução da escrita dos algarismos e o porquê dos algarismos
serem conhecidos por indo-arábico justificando ser inventados pelos hindus e divulgados
pelos árabes. Relatam as principais características do sistema de numeração indo-arábica: O
valor posicional, o zero e o principio aditivo e multiplicativo, não fazem nenhuma referência à
importância do zero ou à sua história.
Na seção “Registros numéricos dos povos da antiguidade”, os autores tratam do
sistema de numeração egípcio, maia e romano. Trataremos aqui apenas do sistema de
numeração romano. O texto começa com o diálogo entre dois personagens falando sobre o
uso dos algarismos romanos hoje e sobre o Império Romano. Encontramos um mapa do
Império Romano e uma foto do Coliseu em Roma. São apresentados os sete símbolos para
numeração romana e a tradução para o sistema indo-arábico. O autor afirma que efetuar
cálculos com os algarismos romanos era muito difícil e apenas alguns estudiosos dominavam
as técnicas do cálculo.
Mesmo sendo mais fácil os cálculos realizados com o sistema de numeração indo-
arábica, “por volta do século XIII, as autoridades religiosas proibiram o uso desses algarismos
e consideraram subversiva sua utilização”. Somente a partir do século XV os comerciantes,
os navegantes e os espanhóis disseminam por toda a Europa esses algarismos. Nesse
parágrafo o autor faz uma explicação do ocorrido na época, despertando o leitor para
pesquisar mais sobre o assunto.
Observamos que o período de transição entre as numerações romana e indo-arábica, e
suas consequências para a história do ocidente não é trabalhada nos livros didáticos apesar
dessa transição ter sido fundamental na história do Ocidente. Ignorar tal fato leva a uma
deficiência na contextualização da Matemática e, também, na sua compreensão. Assim, é
importante realizar uma investigação da origem da Matemática para que o seu ensino seja
mais completo, oferecendo aos alunos uma compreensão global das razões da ciência e da
economia moderna.
Apresentaremos um quadro resumo das obras analisadas. Esse quadro apresenta os
livros analisados e usaremos o seguinte critério: Sim se o livro apresenta o conteúdo analisado
e Não se o livro não apresenta o conteúdo analisado.
Resumo dos livros didáticos analisados
Tema Livros
Subtema
LD 1 LD 2 LD 3 LD 4 LD 5 LD 6
A numeração romana
História da numeração romana Não Não Não Não Não Não
Características da numeração romana Sim Sim Sim Sim Sim Não
A numeração
indo-arábica
História da numeração indo-arábica Não Não Não Não Não Não
Invenção pelos hindus e a divulgação
pelos árabes
Sim Sim Sim Sim Sim Não
A contribuição dos
Matemáticos para o
sistema de numeração
Al-Khowârizmî Não Sim Sim Sim Sim Não
Fibonacci Não Não Não Não Não Não
A passagem da
numeração romana para a
indo-arábica
Descreve o caminho provável que a
numeração indo-arábica foi para o
Ocidente
Não Não Não Não Não Não
Bibliografia História da Matemática Sim Sim Sim Sim Sim Não
Tema Livros
Subtema
LD 7 LD 8 LD 9 LD 10 LD11 LD12
A numeração romana
História da numeração romana Não Não Não Não Não Não
Características da numeração romana Sim Não Sim Sim Não Sim
A numeração
indo-arábica
História da numeração indo-arábica Não Não Não Não Não Não
Invenção pelos hindus e a divulgação
pelos árabes
Sim Sim Sim Sim Não Sim
A contribuição dos
Matemáticos para o
sistema de numeração
Al-Khowârizmî Não Sim Sim Sim Não Não
Fibonacci Não Não Não Não Não Não
A passagem da
numeração romana para a
indo-arábica
Descreve o caminho provável que a
numeração indo-arábica foi para o
Ocidente
Não Não Não Não Não Não
Bibliografia História da Matemática Sim Sim Sim Sim Sim Não
7 Entrevista com os Professores
7.1 Critérios Adotados Por Professores de Matemática na Seleção do Livro Didático
As entrevistas procuraram delinear o perfil dos professores, sua motivação, experiência
docente, os responsáveis e os critérios adotados na escolha do livro didático. O corpus desta
pesquisa é constituído pelas gravações das entrevistas, abertas e semi-estruturadas, realizadas
com trinta professores de matemática do ensino fundamental da 5ª série das escolas públicas
de Belo Horizonte.
Entre os 11 professores das escolas municipais, 10 têm formação em Pedagogia e somente
um tem formação em Matemática. Na rede estadual, 18 professores são formados em
Matemática e um está no 5º período de licenciatura em Matemática. Baseados nessas
informações, procuramos saber a razão de pedagogos estarem lecionando matemática para
alunos da 5ª série. Os próprios entrevistados relataram que a escola plural é dividida em 3
ciclos, sendo o primeiro ciclo referente à pré-escola (alunos de 6 anos), ou seja, 1ª e 2ª séries;
o segundo ciclo refere-se às 3ª, 4ª e 5ª séries; e o terceiro ciclo às 6ª, 7ª e 8ª séries. Assim, as
escolas são divididas em primeiro, segundo e terceiro ciclos, e os professores que trabalham
no primeiro e segundo ciclos são concursados com formação em pedagogia. Por isso, cabe a
eles lecionar todas as disciplinas da 1ª à 5ª série, inclusive matemática.
O relato de uma das entrevistadas que, aparentemente, se aplica à maioria dos casos, nos
chamou a atenção. Ela é formada em Pedagogia e criticou o sistema, pois não gosta da
disciplina, não domina o conteúdo e foi obrigada a assumir uma turma do terceiro ano do
segundo ciclo, ou seja, a 5ª série. Ela afirmou que no fim do ano é feita uma divisão de turmas
e, como ela foi a última a se efetivar na escola, fica com as turmas que “sobram” e as aulas
que “sobram”. Como a Matemática é uma disciplina que os colegas não dominam e não
gostam de lecionar, então “sobrou” para ela. Mas ela diz: “Faço o que posso, mas não domino
o conteúdo e sigo o livro à risca, não sei nem te dizer qual o melhor, ou se tem alguma coisa
errada nele”.
A reação dessa professora é muito natural, pois se ela (ou seus colegas) apreciassem
Matemática, provavelmente teriam optado por um curso superior da área de ciências exatas,
como física, matemática ou engenharia, não de ciências humanas, como pedagogia. Sabe-se
da situação precária da Educação Matemática em nosso país, diagnosticada por avaliações
internas, como o Sistema Mineiro de Avaliação da Educação Pública (SIMAVE) e a Prova
Brasil, e externas, como o Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA). Esse fato,
portanto, chamou a atenção para esses professores que estão lecionando uma disciplina sem o
conhecimento necessário e, pior, insatisfeitos. Eles se limitam a tentar reproduzir o que os
livros didáticos trazem, sem questionar o que estão ensinando e sem condições de avaliar o
material à sua disposição. Certamente essa não é a atitude crítica aprendida em seus anos de
faculdade, mas a atitude possível diante da realidade da escola que os acolheu.
Quanto ao processo de seleção dos livros didáticos na escola, foi questionado: (1) se é
formada uma comissão para esse fim específico ou ocorre indicação individual; (2) se houve
tempo para discutir o PNLD; (3) se foram estabelecidos alguns critérios para escolha; (4) se
os professores tiveram acesso aos livros enviados pelas editoras; (5) o fator determinante para
a escolha da coleção utilizada na escola; (6) se o número de livros enviados é o mesmo
número de livros solicitados e (7) se durante os três anos é feita uma reposição desses livros.
Todos os entrevistados responderam que foi constituída uma comissão de professores
para escolher os livros didáticos, mas todos também responderam que não tiveram tempo para
discutir o PNLD. Os professores da rede municipal afirmaram que antes eles tinham reuniões
pedagógicas e, dentro dessas reuniões, conseguiam avaliar melhor e discutir, mas agora estão
sem tempo para discutir, então avaliavam individualmente as coleções e depois discutiam em
horários comuns, como o horário do recreio. Em uma escola eles montaram uma estratégia
para a escolha dos livros didáticos. A direção da escola colocou o Guia do Livro Didático na
biblioteca juntamente com os livros enviados pelas editoras e, em cada horário de projeto do
professor, ele ia à biblioteca, analisava os livros e respondia a um questionário elaborado pela
escola. Nesse questionário, deveria informar o nome do livro, os autores e o porquê de adotar
essa coleção. No fim do processo, o livro mais votado pelos professores foi o escolhido pela
escola.
A falta de tempo foi a dificuldade mais apontada pelos professores. Todos reclamaram
do pouco tempo de discussão e um deles reconheceu que o livro adotado não foi bom e ele
está utilizando a coleção antiga adotada pela escola. Seis professores pedagogos relataram que
participaram da escolha, mas quem realmente escolheu o livro foi o professor de Matemática
do 3º ciclo, e quatro professores pedagogos não tiveram essa opção, pois as escolas vão até o
2º ciclo, então todos os professores participaram dessa escolha, juntamente com a direção da
escola. Uma professora nos relatou que essa análise de livro na verdade não acontece, pois
chegam vários livros das editoras, elas não podem levar os livros para casa e não tem tempo
para essa análise. Segundo ela, “a gente passa o olho, pois não temos conhecimento para fazer
essa análise”. Ela nos disse também que veio a conhecer a Matemática depois que começou a
trabalhar com a disciplina, pois em sua época de escola era tudo muito mecânico, e hoje ela
percebe que isso mudou um pouco na matemática.
De modo geral, os professores fazem a escolha do livro não pelo guia do livro
didático, mas somente por aqueles livros que têm em mãos, ou seja, eles escolhem somente
entre os livros que foram enviados pelas editoras. Perguntamos se todas as editoras enviaram
os livros didáticos, que correspondem às 16 coleções, e todos confirmaram que não são
enviadas todas essas coleções, mas não sabiam ao certo quantas coleções foram recebidas pela
escola. Em média, eles falaram que receberam de oito a dez coleções, o que corresponde
aproximadamente à metade do universo disponível. Isso impossibilita o professor de escolher
o melhor livro do guia, pois, se o professor não tem o livro em mãos, fica muito difícil para
ele fazer a escolha somente através do guia, e ele opta por um daqueles que pôde examinar.
Quanto à questão para saber se os livros são suficientes para os alunos, esse é outro
problema colocado pelos professores. A solicitação é feita um ano antes e o número de alunos
enviado é o daquele ano, mas a escolha é feita para o ano seguinte. Então pode acontecer de a
escola possuir mais alunos no ano seguinte e não haver livros para todos. No site do MEC, há
um espaço para as escolas se cadastrarem para registrar se precisam de mais livros ou se
necessitam de reposição durante os três anos em que o livro é utilizado. Seria muito bom se o
sistema funcionasse, mas segundo os professores isso não funciona. Se precisarem de livros,
as escolas fazem contato umas com as outras, combinam a troca dos livros, e as próprias
escolas providenciam sua busca.
Quanto à pergunta principal de nossa pesquisa, ou seja, por que adotaram determinada
coleção de matemática, houve quase unanimidade nas respostas. Vinte e oito professores
responderam que escolheram a coleção por causa dos exercícios. Alguns professores
enfatizaram que a matemática tem que ter muitos exercícios, e um professor especificou que
“tem que fazer muitos exercícios e levar o aluno a pensar”. Doze professores também
relataram que olharam se o conteúdo estava adequado. Um professor respondeu que eles
olharam se “o conteúdo está de fácil entendimento ou não, se não está muito complicado para
os alunos”. É muito discutido o critério adotado por essa escola, pois temos vários tipos de
alunos e às vezes o que é complicado para alguns pode não ser para outros. Não podemos
julgar o grau de compreensão de nossos alunos, e sim nos preocuparmos com a linguagem do
livro.
Um relato de um professor nos chamou a atenção, pois ele nos disse que foram
convidados para uma palestra oferecida pela editora com um dos autores dos livros aprovados
pelo PNLD. Os professores analisaram os livros enviados pelas as editoras, olharam o
conteúdo, a quantidade de exercícios, mas eles escolheram mesmo por causa da palestra. O
professor nos relatou que gostou muito do livro, mas não o está utilizando, pois o número de
alunos aumentou demais e não vieram livros suficientes para todas as turmas, então a turma
dele ficou com outra coleção, da qual ele não gosta. Por esse motivo ele não utiliza livro
algum. Em suas palavras: “Eu construo a matemática juntamente com os alunos”.
Eles também relataram que tinham que escolher um livro que se adequasse à
realidade da escola, pois não adiantava escolher um livro muito bom, mas que o aluno não
conseguisse acompanhar. Uma professora disse que eles queriam trabalhar com projetos, que
já era feito com os alunos da 1ª à 4ª séries e que estava sendo muito bom, então optaram pela
coleção que trazia a proposta do trabalho com projetos e era do mesmo autor da coleção já
adotada pela escola da 1ª à 4ª. Outra professora nos relatou que eles verificaram o que estava
sendo cobrado na prova do SIMAVE e outras provas que os alunos faziam e avaliaram os
livros para ver se eles estavam de acordo com essas provas, pois, segundo a professora, os
alunos tinham que ser preparados para fazer essas provas, e essa então seria a melhor forma
de avaliar o livro.
Diante dos relatos dos professores, percebemos que a falta de tempo é um dificultador
dentro da escola. Sabemos que o livro didático é o material mais utilizado pelo professor em
suas aulas e ficou claro, com o relato dos entrevistados, que, esse material deve ser bem
analisado antes de uma escolha. Não estamos aqui para julgar a atitude das escolas, mas a
escolha não foi minuciosa, o que é um grave problema. Em uma escola, o livro escolhido nem
está sendo utilizado, ou seja, o governo gasta milhões de reais na compra de livros que os
alunos não estão usando. Por quê? Porque a escola não pode tirar um tempo para fazer a
escolha do material mais importante que ela possui. Assim, a própria escola não sabe a
importância da escolha desse material. Os professores não estão dando a devida importância
ao material com o qual irão trabalhar. Na falta de tempo, não discutem o melhor material e
depois se arrependem da escolha.
Outra questão que devemos discutir é a formação dos professores. Pelos relatos,
percebemos que os professores da rede municipal não opinaram na escolha do livro didático,
pois não se sentiam em condições de fazer essa análise, delegando essa tarefa ao professor do
3º ciclo. As escolas que não tinham um professor com formação em Matemática para fazer
essa escolha utilizaram menos recursos de análises, o que é muito grave, pois não possuindo o
conhecimento técnico necessário, não conseguem perceber as impropriedades presentes nos
livros em circulação no nosso país.
Contudo, para uma melhora no ensino de Matemática, os professores deveriam ter
mais tempo para discutir o que é relevante para o ensino e aprendizagem dessa disciplina. Ser
mais críticos e fazer uma análise mais precisa do livro didático, pois a lei deu aos professores
a oportunidade de fazer a escolha do melhor material para ser trabalhado em suas aulas, mas é
somente ele que pode fazer essa escolha.
7.2 A concepção dos Professores sobre a História da Matemática
A História da Matemática é um dos instrumentos que pode promover a aprendizagem
da Matemática. Ela pode esclarecer os conceitos e as teorias estudadas. A reconstrução dessa
história proporcionará ao aluno oportunidades para evidenciar os significados da
aprendizagem, ressaltando os obstáculos que surgiram na construção do conhecimento.
O ensino de Matemática através de sua história aumenta a motivação para a
aprendizagem, dá uma face humana à Matemática, permite aos alunos compreender como os
conceitos são desenvolvidos, muda a percepção dos alunos sobre a Matemática, fornecer
oportunidades e permite explicar o papel da Matemática na sociedade. Além disso,
satisfaz o desejo de sabermos das origens da Matemática; pode ser um auxílio no ensino e na
pesquisa; ajuda a entender nossa herança cultural; proporciona um campo em que o
especialista em Matemática e o de outros campos da ciência podem encontrar interesse
comum; oferece um pano de fundo para a compreensão das tendências em Educação
Matemática e aumenta o interesse dos alunos pela matéria [71]
Recuperar a Matemática recorrendo à sua história é tratá-la como uma manifestação
cultural. Para a sua introdução no ensino não é necessário que o professor seja um
especialista, mas que seja um investigador e um incentivador [72].
Pela importância da História da Matemática para o ensino, na segunda parte de nossa
pesquisa elaboramos doze questões para investigar a concepção dos professores sobre a História
da Matemática.
Primeiramente, perguntamos aos professores
qual a opinião deles sobre a História da
Matemática no ensino de Matemática, e todos os professores responderam que acham
importante o ensino da História da Matemática, pois os alunos ficam mais motivados e
aprendem de onde vêm os conceitos matemáticos. Um professor relatou que “os alunos
sempre nos perguntam o porquê deles estarem estudando determinado assunto e às vezes é
complicado a gente responder, e a História da Matemática nos ajuda nisso” (sic). Outro
professor justificou que é muito bonita a História da Matemática, mas que quem acaba lendo
mesmo esta parte do livro é o professor e é pouco trabalhado nas escolas.
Nossa segunda questão complementa a primeira. Perguntamos se é possível estudar os
conceitos de uma ciência sem relacioná-los com o tipo de problema que vieram resolver.
Vinte e oito professores afirmaram não ser possível estudar a Matemática sem relacioná-la
com sua história. Acreditam que quanto mais contextualizada a ciência estiver, mais fácil seu
entendimento. Apenas dois professores afirmaram que é possível, pois quando eles estudaram
não tinha a História da Matemática e eles aprenderam a Matemática sem recorrer à sua
história. Um deles afirmou que: “eu sempre estudei e nunca questionei sobre o porquê de estar
estudando isso, mas a geração mudou e os alunos questionam mais, então nesse caso a
História da Matemática pode ajudar nisso” (sic).
Como todos afirmaram que História da Matemática é importante para o ensino de
Matemática e 94% acham que a Matemática não pode estar desvinculada de sua história,
perguntamos se eles exploram a História da Matemática durante as aulas, como isso é feito, e
como avaliam o resultado dessa inserção. Mesmo afirmando ser importante para o ensino, três
professores relataram que não utilizam a História da Matemática em suas aulas, dois
professores utilizam muito pouco, pois, segundo eles, os alunos não se interessam muito.
Disseram-nos que os alunos chegam com uma defasagem muito grande e eles têm que
trabalhar para sanar as dificuldades dos alunos, sobrando pouco tempo para trabalhar a
História da Matemática. Oito professores relataram que não trabalham em todas as aulas,
sendo um professor a declarar que seria até uma falha dele por não trabalhar mais com a
História da Matemática. Dois desses professores disseram que a carga horária é muito
apertada para contemplar todos os conteúdos e ainda estão muito presos pelo currículo.
Encontramos uma professora que trabalha efetivamente com a História da Matemática.
Em sua formação foi uma disciplina que despertou muito interesse nela, por isso, ela faz uso
da História em suas aulas. Na sua escola, ela trabalha com os alunos da 5ª a 8ª série, podendo
assim desenvolver um trabalho com os alunos durante quatro anos. Contou-nos que trabalha
com a história em todas as séries, mas na 7ª série ela separa uma aula só para a História da
Matemática. Os alunos fazem pesquisas na internet sobre um determinado tema escolhido por
eles, cada grupo apresenta para turma e fazem uma discussão. O resultado deste trabalho,
segundo a professora, é que os alunos tem uma visão diferente da Matemática e também
aprendem a fazer pesquisa.
A maioria dos professores explora a História da Matemática. Dezesseis professores
relataram fazer o uso da História da Matemática para introduzir o conteúdo e afirmaram
trabalhar com os textos que vem nos livros didáticos. Destes, dez professores são formados
em pedagogia, relatando que, por não serem especialistas na área, seguiam os textos do livro.
Uma professora relatou que, se o livro não traz a História em algum conteúdo, ela pesquisa
alguma coisa e faz um resumo, mas foi enfática ao dizer que não cobra a História da
Matemática em provas.
Perguntamos se conheciam sites contendo textos sobre a História da Matemática. O
site mais citado foi o Só Matemática, e a maioria quando quer saber de algum conteúdo ou
procurar exercícios diferentes faz buscas no Google. Os professores da rede municipal
mencionaram o site da prefeitura como um bom site para pesquisa de trabalhos e atividades
para complementar o trabalho em sala.
Agora especificamos nossa pesquisa: escolhemos professores da 5ª série do Ensino
Fundamental, pois gostaríamos de saber como se deu a passagem da numeração romana para
a indo-arábica, mas antes de fazermos essa pergunta, perguntamos se eles trabalhavam com
sistemas de numeração, quais eram os sistemas trabalhados e de que forma eram trabalhados
esses sistemas. Os mais trabalhados são o sistema egípcio, romano e o indo-arábico. Com esta
pergunta, verificamos que o professor trabalha apenas com os conteúdos que o livro traz. O
livro que não trouxer o sistema egípcio impedirá o professor de trabalhar com este sistema.
Um professor disse que no ano anterior ele tinha trabalhado com o egípcio, o romano e o
indo-arábico, mas que, nesse ano, como houve a troca do livro, e o novo não trazia o egípcio,
então ele trabalhou somente com o romano e o indo-arábico. Outro fato que vale a pena
relatar é a confusão e até mesmo o desconhecimento de alguns professores que nos disseram
que trabalham com o sistema decimal, romano e indo-arábico, como se o sistema decimal
fosse outro sistema diferente, pois os sistemas de numeração egípcio, chinês e o romano são
também decimais.
Ao questionar como é trabalhado o nosso sistema de numeração, nenhum professor
disse recorrer à História da Matemática, nem mesmo para introduzir o conteúdo. A maioria
disse que os alunos já vêm das séries anteriores com um conhecimento desse sistema de
numeração, então não tem que perder muito tempo com ele. Trabalham com o material
dourado e o QP (Quadro Posicional), e não foram apenas os professores com formação em
pedagogia que relataram fazer uso do QP, alguns professores com formação em Matemática
recorrem ao QP para ensinar o nosso sistema. Há uma contradição na fala dos professores,
pois reclamaram que os alunos chegam à 5ª série sem conhecimento das quatro operações
básicas – somar, subtrair, multiplicar e dividir – e agora falam que já tem conhecimento das
séries anteriores e não precisa falar muito. Pelo contexto das entrevistas, percebemos que
nessa pergunta o professor entendeu que não precisava falar dos nossos algarismos, pois eles
já são conhecidos pelos alunos, mas quando falamos do sistema indo-arábico, não estamos
nos referindo apenas aos algarismos, mas às operações que esse sistema permitiu fazer com
mais clareza. Os romanos faziam as operações no ábaco, mas na escrita era quase impossível
e a grande vantagem do nosso sistema é não ter que recorrer a nenhum instrumento de cálculo
para realizar as operações. Se os alunos entendessem o contexto em que foi desenvolvido o
nosso sistema, eles o valorizariam mais.
Chegamos à pergunta fundamental de nossa entrevista. Como se deu a passagem da
numeração romana para a indo-arábica? Como nossa numeração foi introduzida no Ocidente?
Vinte e dois professores afirmaram não saber, justificando às vezes ser uma vergonha. Os
outros oito disseram saber mais ou menos, sendo 4 pedagogos e 4 matemáticos. As
justificativas são bem parecidas, eles disseram que os algarismos romanos ficaram inviáveis,
então teve de ser substituído. Uma professora disse que: “caiu em desuso igual à máquina de
datilografia”. Outro professor disse: “ao meu ver não há necessidade de saber a fundo, o que
temos que saber é a existência, que houve uma mudança na medida do tempo e que essa
mudança chegou a atingir o nosso país mudando tais sinais como o numeral 1, 2, 3 a partir da
contagem comum”. O mesmo professor relatou que não precisamos conhecer a fundo que o
historiador se quiser fazer um trabalho dentro da Matemática que tem que saber a fundo, pois
no Ensino Fundamental não é necessário, o que está nos livros já é o bastante.
Outra vez confirmamos o uso incontestável do livro e o despreparo do professor em
relação à História da Matemática. Afirmam ser importante, poucos trabalham, e não estão
preparados para julgar se o conteúdo do livro está ou não correto. Como o relato do professor
acima, persiste a cultura que o historiador é que tem que trabalhar a história, o professor de
Matemática reproduz o que está no livro didático. Ninguém melhor que o matemático para
conhecer a história de sua ciência. Somos capazes de entender os textos originais, pois temos
o conhecimento da ciência. Isso não significa que o historiador não seja capaz, mas seria mais
difícil, pois teria que conhecer também a Matemática. Conhecer a História da Ciência é
preencher uma lacuna que ficou em nossa formação, é entender conceitos básicos que poderão
melhorar a forma de ver a Matemática e proporcionar uma educação de qualidade para os
alunos.
As duas próximas perguntas dizem respeito a dois matemáticos fundamentais para o
nosso sistema de numeração. Do lado oriental, foi al-Khowârizmî e do lado ocidental foi
Leonardo Fibonacci. Perguntamos se conheciam esses matemáticos e qual teria sido a
contribuição deles para o nosso sistema de numeração. Novamente apenas oito professores
disseram conhecer al-Khowârizmî e que a palavra algarismo vem do nome dele e somente
dois professores já ouviram falar em Fibonacci por causa da sequência de Fibonacci. Já
esperávamos por esse resultado, pois, se não conhecem como foi a história da transição da
numeração romana para a indo-arábica, não saberiam quem contribuiu. E al-Khowârizmî foi
mais citado nos livros didáticos a maior fonte dos professores.
Para finalizar nossa pesquisa perguntamos se conheciam alguma bibliografia sobre a
História da Matemática e se o livro trabalhado trazia a passagem da numeração romana para a
indo-arábica. Apenas quatro professores conhecem alguma bibliografia sobre a História da
Matemática, sendo que três disseram conhecer o livro do Boyer e uma a coleção dos
paradidáticos de História da Matemática da editora Ática. Sobre o livro didático, quatro
afirmaram trazer essa passagem, cinco não tinham certeza e pediram para olhar o livro,
olharam e confirmaram não ter e os restantes afirmaram que trazia a história da numeração
romana e a indo-arábica mas não faziam essa passagem.
Reconhecemos que esses professores tentam fazer o que podem, pois os alunos
chegam à 5ª série sem saber as operações básicas, como foi relatado por vários professores.
Eles têm um conteúdo a ser cumprido, pois tem as avaliações do governo, os salários são
muito baixos, o que causa uma jornada de dois ou três turnos, não sobrando assim tempo para
o professor pesquisar, estudar e ampliar seus conhecimentos.
Todas as entrevistas foram longas, pois após a entrevista os professores queriam que
eu contasse para eles como se deu a passagem da numeração romana para a indo-arábica. Ao
contar pude perceber que eles queriam mais daquela história, me perguntaram a bibliografia,
se era fácil conseguir e se não tinha curso de História da Matemática para eles participarem.
Os professores reconhecem a importância da História da Matemática e trabalham com o
material que tem disponível e esse material é o livro didático. Por isso, as pesquisas com
livros didáticos são importantes, para que através delas consigamos melhorá-los.
Os professores acham interessante trabalhar com a história, mas não trabalham, e os
que trabalham, usam os textos dos livros didáticos. Os pedagogos afirmaram que trabalham
seguindo o livro, pois não são especialistas para agir de outra forma.
8 Conclusão
Esta pesquisa teve como objetivo investigar a passagem da numeração romana para a
indo-arábica em livros didáticos aprovados pelo PNLD e que fossem mais utilizados nas
escolas de Belo Horizonte, buscando verificar as estratégias utilizadas pelos autores para
apresentar essa História da Matemática. Pesquisamos também quais são as estratégias dos
professores na escolha dos livros didáticos e qual a concepção desses professores em relação
ao uso da História da Matemática no ensino de Matemática.
O livro didático tem sido alvo de grande interesse de pesquisa principalmente nas duas
últimas décadas, quando passou a ser objeto de investigação sob os mais diversos aspectos,
tais como o de veicular diversas estratégias de ensino, dentre elas o uso da História da
Ciência.
O crescente interesse pelo livro didático se deve principalmente ao papel que ele
exerce no processo de ensino-aprendizagem. O estudo do livro didático ganhou mais força à
medida que o país passou a investir em programas de avaliação e distribuição do livro
didático, tais como o PNLD. Esse programa garante ao estudante o acesso ao livro, e alguns
estudos mostram que, em muitos casos, esse será o único livro que o educando terá em toda a
sua vida. Apesar de existirem novas tecnologias educacionais disponíveis e outras fontes de
informação, os manuais didáticos ainda desempenham uma relação muito intensa e
importante no processo de ensino.
Confirmamos nossa hipótese, pois nosso estudo revelou que os livros didáticos de
Matemática apresentam o conteúdo numeração romana e numeração indo-arábica com pouco,
ou às vezes nenhum significado histórico, apresentam os conteúdos de forma separada, sem
discutir a passagem da numeração romana para a indo-arábica. Há uma lacuna na história
apresentada. Não apresentam textos originais, nem mesmo referências confiáveis. Os textos
são escritos pelos autores dos livros didáticos. As bibliografias citadas nos manuais sugerem
que os autores leram muito pouco para escrever esses textos, pois apresentam apenas uma ou
duas fontes sobre o assunto. Dos livros analisados, três não trazem bibliografia, um não
possui nenhuma bibliografia sobre a História da Matemática e, dos oito restantes, sete fazem
referência ao Boyer, cinco ao Ifrah, três ao Caraça, dois ao Eves e Struik e apenas uma
referência ao Dantzing e ao Smith.
A História da Matemática, na maioria das vezes, é apresentada nos livros didáticos em
boxes separados, tratada apenas como curiosidade. Parece não fazer parte da matemática
ensinada, caracterizando o desejo de somente ilustrar. Os livros didáticos têm incorporado a
História da Matemática por razões certas, mas na forma errada. Os textos publicados não são
específicos para o uso imediato em sala de aula, quando muito se destinam a proporcionar
reflexões meta-teóricas.
Percebemos que os livros didáticos apresentam uma concepção da Matemática
baseada na acumulação de conceitos e na linearidade das teorias que, paulatinamente, vão
sendo organizados em unidades de ensino estanques. Os alunos apenas leem os textos, fazem
os exercícios sem perceber o que a Matemática verdadeiramente significa. O conhecimento
matemático é apresentado como algo pronto, acabado. Entretanto, ao lançar um olhar sobre a
História da Matemática e utilizá-la como critério de seleção do livro didático, pode-se
perceber o quanto a compreensão da história das idéias pode auxiliar a entender a
complexidade de construção do conhecimento, sujeita às mais diferentes interferências. Da
mesma forma, esse olhar permite ver a Matemática além das equações ou das fórmulas, como
uma fração do conhecimento humano integrada ao nosso dia-a-dia, influenciando nossa
percepção de mundo, muito mais completo do que existe nos livros didáticos.
Segundo nossos levantamentos, o manual do professor é de suma importância no livro
didático. Como o livro do professor é uma obra que objetiva auxiliar o educador na sua
prática pedagógica, deve ser estruturado versando contemplar inúmeros aspectos relacionados
à sistemática pedagógica do livro do aluno. Todavia, não pode deixar de informar e orientar o
professor a respeito de conhecimentos atualizados e/ou especializados indispensáveis à
adequada compreensão de aspectos específicos de uma determinada atividade ou mesmo de
toda a proposta pedagógica da obra.
Após a análise do livro mais adotado nas escolas de Belo Horizonte (com 40%)
decidimos fazer uma entrevista com os professores para saber quais foram os critérios
adotados para a escolha dos livros didáticos. O livro mais escolhido pelas escolas é um livro
que consideramos tradicional.
Percebemos que 94% dos professores escolheram o livro por causa dos exercícios. A
escolha do livro didático a ser adotado na escola não é uma tarefa fácil para os professores.
Por isso, devido à grande variedade de propostas presentes no mercado, sua escolha deve ser
feita de forma criteriosa, considerando diferentes aspectos relacionados à sua abordagem
didática e não apenas seguindo um critério. O professor, ao se posicionar, deve ter a atitude de
um avaliador profissional, para não correr o risco de optar por um manual que não atenda às
necessidades de todos os envolvidos no processo. A tomada de decisão é definida pela escolha
do livro didático a ser adotado.
A partir do depoimento dos professores, concluímos que eles acham importante o uso
da História da Matemática para melhorar o ensino de Matemática, mas usam pouco ou mesmo
não o usam porque se acham incapazes de realizar um bom trabalho. São inseguros em suas
falas e desconhecem a História de sua disciplina. Mesmo os professores que tiveram a
disciplina de História da Matemática em seus cursos de Matemática na Graduação não foram
motivados a trabalhar com a história.
Como a carreira do magistério está em total colapso, cada dia os professores sente-se
mais desmotivados. Os alunos estão chegando ao terceiro ciclo sem saber as operações
básicas. O que estamos fazendo com nossas crianças? Quando a criança vai para a escola ela
está cheia de motivação, tem o desejo de conhecer. Quer aprender a contar, a ler, a escrever e
sentem-se orgulhosas e mais motivadas quando conseguem isso. Elas estão cheias de
questionamentos, perguntam sobre tudo e às vezes os próprios pais com o cansaço e a falta de
tempo que se tornou o mal do século, vão podando essas crianças. Cada ano que a criança
passa pela escola, ela vai ficando mais distante.
O conhecimento histórico deve ocorrer de modo imbricado com o conteúdo
matemático, deve-se dar preferência ao uso da História da Matemática como estratégia
didática em contraposição às formas predominantes de simples motivação ou informação. A
História deve ser usada para dar uma visão geral e abrangente da Matemática àqueles que irão
usar os livros didáticos, colocando a História da Matemática num lugar de destaque na
formação de professores, no magistério ou na licenciatura.
Não estamos propondo trocar o ensino de Matemática pelo estudo de sua História, pois
o conhecimento matemático é essencial para permitir uma melhor compreensão da realidade.
Estamos propondo que o professor de Matemática se torne um pesquisador junto com seus
alunos. Que, ao estudar a História, com seus objetos e métodos colocados formalmente tão
distantes da matemática contribui significativamente para que se possa olhar a própria
Matemática de um ponto de vista diferenciado propiciando a compreensão da própria
Matemática, principalmente no que diz respeito à criação de novas idéias matemáticas.
9 Referências
[1] CHOPPIN, Alain. História dos livros e das edições didáticas: sobre o estado da arte.
Educação e Pesquisa. v. 30, n. 3, p. 549-566. 2004.
[2] NOBRE, Sergio. Alguns “Porquês” na História da Matemática e suas Contribuições para a
Educação Matemática. Cadernos Cedes. N. 40, p. 29-35, 1996.
[3] MATTHEWS, M.R. História, Filosofia e Ensino de Ciências: a tendência atual de
reaproximação. Caderno Catarinense de Ensino de Física, v.12, n.3, p.164-214, 1995.
[4] LAJOLO, M. Livro Didático: um (quase) manual de usuário. Em aberto. Brasilia, v. 16,
n. 69, p 3-9, jan./mar. 1996.
[5] BITTENCOURT, Circe. M.F. Em Foco: História, produção e memória do livro didático.
Educação pesquisa. P 471-473. Set./Dez. 2004.
[6] CHOPPIN, Alan. Passado y Presente de Los Manuales Escolares. La Cultura Escolar de
Europa: Tendências históricas emergentes. Madrid: Biblioteca Nueva, p. 107-141. 2000.
[7] FREITAG, B.; MOTTA,V.R.; COSTA,W. F. da. O livro didático em questão. 3.
edição, São Paulo: Cortez, 1997.
[8] LOPES, J. de A. Livro Didático de Matemática: Concepção, Seleção e Possibilidades
frente a Descritores de Análise e Tendências em Educação Matemática. Campinas:
UNICAMP/FE (Tese de Doutorado), 2000.
[9] SILVA, V.L.M.da. Avaliação do conteúdo nutricional de livros didáticos nas escolas
públicas de 1º grau do Estado do Rio de Janeiro, 1990.63p. Dissertação (Mestrado) –
Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio de Janeiro.
[10] VARIZO, Záira da C. M. O Livro Didático. Ontem e Hoje. Cadernos de pesquisa do
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Federal do
Espírito Santo. V. 1, n. 1, p. 125-140. 1995.
[11] BRASIL. MEC. Secretaria de Educação Fundamental. Programa Nacional do Livro
Didático. Guia de Livros Didáticos de 5ª a 8ª série. Brasília MEC/SEF, 2002.
[12] MORTIMER, E. F. A evolução dos livros didáticos de Química destinados ao ensino
secundário. Em aberto. v. 7, n. 40, out./dez. 1988.
[13] OLIVEIRA, A. L. O livro didático. 3. ed. Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 1986.
[14] MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação.
Programas. Livro Didático-PNLD. Disponível em
<http://www.fnde.gov/home/index.jsp?arquivo=livro_didatico.html>. Acesso em 12/01/
2008.
[15] OLIVEIRA, J. B. A. et al. A Política do livro didático. São Paulo: Unicamp, 1984.
[16] FREITAS, D.S. Imagens de produtos comerciais em livros didáticos. Disponível em:
<http://www.lite.fae.unicamp.br/revista/temas.html>. Acesso em 14/01/2008.
[17] GATTI JUNIOR, Décio. Livro Didático e Ensino de História: dos anos sessenta aos
nossos dias. São Paulo, 1998. Tese (doutorado). Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo. Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação: História, Política e Sociedade.
[18] LAJOLO, M. e ZILBERMAN, R. A formação da leitura no Brasil. São Paulo: Ática,
1999.
[19] MATTHEWS, M. R. Science Teaching: The Role of History and Philosophy of Science.
New York: Routledge, 1994.
[20] MARTINS, R.A.. Sobre o papel da História da Ciência no Ensino. Boletim da
Sociedade Brasileira da História da Ciência. 1990.
[21] MACH, E. Popular Scientific Lectures. Open Court Publishing Company, La Salle, IL,
1895/1986.
[22] CARVALHO, A. M. P.; VANNUCCHI, A. I. History, Philosophy and Science Teaching:
Some Answers to “How?”. Science & Education, Netherlands: Kluwer Academic
Publishers, v. 9, 2000.
[23] PEDUZZI, L. C. Sobre a utilização didática da História da Ciência, PIETROCOLA,
Maurício (org). Conteúdo, Metodologia e Epistemologia numa Concepção integradora.
Florianópolis : Ed. da UFSC, 2001.
[24]
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática - 3
o
e 4
o
ciclos do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
[25] D´AMBRÓSIO, Ubiratan. A História da Matemática: Questões Historiográficas e
Políticas e Reflexos na Educação Matemática, in BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.)
Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. São Paulo: Editora
UNESP, p. 97-115, 1999.
[26] FOSSA, John A. Ensaios sobre a Educação Matemática. Belém : EDUEPA, 2001
[27] CURY, H. N. As idéias de Lakatos e Vygotsky em uma proposta de mudança para as
licenciaturas em Matemática. Educação Brasileira. v.19, n.38, p.121- 137, jan./jul. 1997.
[28] LAKATOS, I. A lógica do descobrimento matemático: provas e refutações. Trad.
Nathanael C. Caixeiro. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1978.
[29]
MENDES, I. A. O uso da História no ensino da Matemática: Reflexões Teóricas e
Experiências. Belém: UEPA, 2001.
[30] PEREIRA, Luiz Henrique Ferraz. Teorema de Pitágoras – lembranças e desencontros
na
matemática. Passo Fundo: UFP, 2002.
[31] MIGUEL, A., BRITO, A. J. de. A História da Matemática na Formação do Professor de
Matemática. Cadernos Cedes. n. 40, p. 47-61. 1995.
[32] NOBRE, Sergio. Alguns “Porquês” na História da Matemática e suas Contribuições para
a Educação Matemática. Cadernos Cedes – História e Educação Matemática. n. 40, p. 29-35,
1996.
[33] FAUVEL, J. Using History in Mathematics Education. For the Learning of
Mathematics. Vol. 11. n.2, , p 3 – 6, jun de 1991.
[34] GARBI, Gilberto G. A rainha das ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso
mundo da matemática. 1. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2006.
[35] BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard.
Blücher, 1996.
[36] EVES, Howard W. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H.
Domingues. São Paulo: Editora da UNICAMP, 1997.
[37] IMENES, Luiz M.; LELLIS, Marcelo. Os números na história da civilização. São
Paulo: Scipione, 1999.
[38] LINTZ, Rubens G. História da matemática. Blumenau: Editora da Furb: 1999. Vol 1.
[39] PASTOR, Rey J.; BABINI, José. Historia de la matemática. Barcelona: Gedisa, 2006.
v 1.
[40] STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas. Trad. João Cosme S. Guerreiro.
Lisboa: Gradiva, 1992.
[41] IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo,
1985.
[42] CONTADOR, Paulo R. M. Matemática, uma breve história. Livraria da Física, vol 1,
edição. 2006.
[43] SMITH, David Eugene. History of mathematics. Boston: Ginn and Company, 1925. 2v.
[44] IFRAH, Georges. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada
pelos números e pelo cálculo. Tomo 1 e 2. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.
[45] ROUSSET, Paul. A História das Cruzadas. Rio de Janeiro: Zahar, 1980.
[46] RUNCIMAN, Steven. História das Cruzadas: volume I: a primeira cruzada e a fundação
do reino de Jerusalém. Rio de Janeiro: Imago, 2002.
[47] CAJORI, Florian. A history of mathematics. 2. ed./rev./aum. New York: London, 1919.
[48] SMITH, David Eugene, KARPINSKI , Louis Charles . The Hindu-Arabic Numerals.
Nova York: Dover Publications: 2004.
[49] HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática: influência e função da matemática
nos conhecimentos humanos. 4 ed.. Rio de Janeiro: Globo, 1956. 762p.
[50] FIBONACCI, Leonardo. Liber abaci. Trad. Laurence Singler. New York: Springer,
2003.
[51] KARLSON, Paul. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, 1961.
[52] DANTZIG, Tobias. Número: A linguagem da ciência. Rio de Janeiro: ZAHAR, 1970.
[53]
DUARTE, Newton. A Relação entre o Lógico e o Histórico no ensino da Matemática
Elementar. São Carlos: UFSCAR, 1987. Dissertação de Mestrado.
[54] BARDIM, L. Análise de Conteúdo. Lisboa: Edições 70, 1977.
[55] RIBEIRO, J.; SOARES, E. Construindo consciências. São Paulo: Scipione, 2007.
[56] MORI, I.; ONSGS, D. S. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2006.
[57] IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, O. Matemática e realidade. São Paulo: Atual,
2005.
[58] BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, A. Matemática fazendo a
diferença. São Paulo: FTD, 2006.
[59] BIGODE, Antônio J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
[60] CENTURIÓN, M. R.; JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa.
São Paulo: Scipione, 2007.
[61] BORDEAUX, A. L.; RUBINSTEIN, C.; FRANÇA, E.; OGLIARI, E.; PORTELA, G.
Matemática na vida e na escola. São Paulo: Editora do Brasil, 1999.
[62] IMENES, L. M.; LELLIS, M.C. Matemática para todos. São Paulo: Scipione, 2006.
[63] ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Novo praticando Matemática. São Paulo:
Editora do Brasil,2002.
[64] CAVALCANTE, L.; SOSSO, J.; VIEIRA, F.; POLI, E. Para saber Matemática. São
Paulo: Saraiva, 2006.
[65] MODERNA, editora. Projeto Araribá. São Paulo: Moderna, 2006.
[66] DANTE, Luiz R. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2008.
[67]
PONTE, João Pedro. O Estudo de Caso na Investigação em Educação Matemática.
Disponível em: <www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte> Acesso em 28/1/2008.
[68] MANSUTTI, M. A. Concepção e produção de materiais instrucionais em Educação
Matemática. Revista de Educação Matemática. SBEM-SP, ano 1, n.1, p. 17-29, 1993.
[69] COSTA, Renata Alves. A Abordagem Histórica do Teorema de Pitágoras nos livros
didáticos de Matemática do Ensino Fundamental. Belo Horizonte: PUC Minas.
(Monografia de especialização), 2004.
[70] ZUIN, Elenice de Souza Lodron. A História da Matemática na concepção de alunos-
professore: considerações sobre um estudo inicial. Anais: Seminário Nacional de História da
Matemática, 2003, Rio Claro, SP.
[71] SILVA da SILVA, Circe Mary. A História da Matemática e os cursos de formação de
professores, in CURY, Helena Noronha (org.). Formação de Professores de Matemática:
uma visão multifacetada. Porto Alegre : EDIPUCRS, p. 129-165, 2001.
[72]
D´AMBRÓSIO, Ubiratan. História da Matemática e Educação. Cadernos CEDES, n. 40.
1996.
Apêndice A
Questões para professores
1) (IDENTIFICAÇÃO DO ENTREVISTADO) Qual sua formação? Em que ano se
graduou? Você trabalha em outra instituição? Qual?
2) (IDENTIFICAÇÃO DO(S) RESPONSÁVEL(EIS) PELA SELEÇÃO DO
LIVRO) Quem escolheu os livros adotados pela escola? Houve uma comissão ou foi
indicação individual?
3) (CRITÉRIOS DE SELEÇÃO) Como foram escolhidos os livros? Estabeleceram
critérios de avaliação? Houve um tempo para discutir o PNLD?
4) (RECURSOS DISPONIBILIZADOS PARA A SELEÇÃO) Vocês tiveram acesso
aos livros do PNLD enviados pelas editoras ou escolheram apenas pela avaliação do
MEC através do PNLD?
5) (JUSTIFICATIVA DA ESCOLHA, COM BASE NOS ITENS 3 E 4) Por que
adotaram essa coleção?
6) (ACOMPANHAMENTO APÓS A ESCOLHA) O nº livros enviados é igual ao
solicitado pela escola? Durante os três anos de uso do livro, é feita alguma reposição
para suprir as perdas e/ou complementação para compensar o aumento de alunos
durante esse período?
(COMPLEMENTAÇÃO DAS INFORMAÇÕES, DE PREFERÊNCIA LONGE
DOS ITENS 1 E 3)
7) Você trabalha ou já trabalhou com o mesmo livro nesta ou em outra escola? Qual? Por
quê?
8) Você adotaria alguma coleção que não estivesse na lista do PNLD? Qual? Por quê?
(INFORMAÇÕES SOBRE A VISÃO DESSE PROFESSOR SOBRE A HISTÓRIA
DA MATEMÁTICA)
9) Qual a sua opinião sobre a História da Matemática no ensino de Matemática?
10) Você acha que seja possível estudar os conceitos de uma ciência sem relacioná-los
com o tipo de problema que vieram resolver?
11) A coleção adotada pela escola possui textos sobre a História da Matemática?
12) Você explora a História da Matemática durante as aulas de Matemática? Como isso é
feito? Como avalia o resultado dessa inserção?
13) Você conhece algum site que contenha textos sobre a História da Matemática? Quais?
14) Você trabalha com sistemas de numeração? Quais? De que forma é trabalhado?
15) Como você trabalha com nosso sistema de numeração?
16) Como se deu a passagem da numeração romana para a indo–arábica? Como nossa
numeração foi introduzida no ocidente?
17) Você sabe quem foi al-Khowarizmi e qual sua contribuição para nosso sistema de
numeração?
18) Você sabe quem foi Leonardo Fibonacci e qual sua contribuição para nosso sistema de
numeração?
19) Você conhece alguma bibliografia sobre esse tema? E sobre a História da matemática?
A quais você tem acesso?
20) O livro adotado pela escola traz a história da passagem da numeração romana para a
indo-arábica? Se sim como?
Apêndice B
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
A passagem da numeração Romana para a Indo-Arábica no Ocidente entre os séculos
VIII e XII
Eu, _______________________________________, professor da escola
______________________________________________________, autorizo a publicação do
conteúdo da entrevista e demais elementos deste estudo, nas condições abaixo.
Resumo do estudo: O objetivo deste trabalho é investigar as abordagens históricas da
passagem da numeração Romana para a numeração Indo-Arábica nos livros didáticos de
Matemática utilizados nas escolas publicas de Belo Horizonte.
Procedimentos: O estudo envolverá a aplicação de entrevistas.
Desconforto e riscos: Não há.
Benefícios esperados: contribuição à aprendizagem.
Confidencialidade – Os registros da participação neste estudo serão mantidos em sigilo até
onde é permitido por lei e todas as informações ficarão restritas à equipe responsável pelo
projeto. Qualquer publicação não identificará nem o participante, nem a instituição a que ele
pertence.
Desligamento – A participação neste estudo é voluntária. Sua recusa em participar ou seu
desligamento não envolverá qualquer penalidade ou perda de benefício. Você poderá cessar
sua participação a qualquer momento.
Compensação – Você não receberá qualquer compensação financeira por sua participação no
estudo.
Consentimento – Li e entendi as informações precedentes. Este formulário está sendo
assinado voluntariamente por mim, indicando o meu consentimento até que eu decida o
contrário.
Belo Horizonte (MG), _____ de _____________________ de 2008
Assinatura: ______________________________________________
Índice Remissivo
Ábaco, 38, 75, 76, 77, 83
Al-Khowârizmî, 34, 44, 47, 69, 73, 74, 77, 79, 93
Al-Mamum, 34
Brâmanes, 31
Cruzadas, 12, 41, 43
Educação Matemática, 11, 60, 61, 62, 63, 65, 85, 89
Euclides, 34, 43, 47
Fibonacci, 44, 45, 46, 47, 93
Gebert, 42, 43
Gerard de Cremona, 44
Hindus, 32, 71, 72, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83
História da Matemática, 11 - 13, 25 – 29, 34, 47, 55, 57, 60, 63 - 66, 68, 70 - 73, 75, 76, 78 -
80, 82, 89 – 97
História e Filosofia da Ciência, 23, 24
Ifrah 71, 72, 75, 78, 79, 95
Kharoshi, 31
Líber abaci, 44, 45, 47
Livro didático, 11, 12, 14, 15 – 19, 50, 53 – 65, 75, 85, 87 – 89, 93, 94
Maomé, 33
Nâgari, 31
Numeração indo-arábica, 12, 13, 30, 44, 47, 48, 81 – 83
numeração romana, 12, 13, 35 – 41,
48 – 53, 64, 65, 69, 71, 73, 76, 78, 81, 83, 91 -95
PNLD, 12, 16, 19 – 22, 50 – 63, 86, 88, 95
Ptolomeu 35, 44.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
