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An´alise de Modelos Cosmol´ogicos de
Unifica¸c˜ao da Mat´eria e Energia Escuras
no Universo
Alan Miguel Vel´asquez Toribio
Orientador: Ioav Waga
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i
An´alise de Modelos Cosmol´ogicos de
Unifica¸c˜ao da Mat´eria e Energia Escuras
no Universo
Alan Miguel Vel´asquez Toribio
Tese de Doutorado apresentada ao Pro-
grama de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica, Insti-
tuto de F´ısica, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor
em Ciˆencias (F´ısica)
Orientador: Ioav Waga
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Vel´asquez-Toribio, Alan Miguel.
v434 An´alise de Modelos Cosmol´ogicos de Unifica¸c˜ao
da Mat´eria e Energia Escuras no Universo/ Alan Miguel
Vel´asquez Toribio.-Rio de Janeiro: UFRJ/IF, 2007.
xi, 163f.: il. ; 29,7cm.
Orientador: Ioav Waga
Disserta¸c˜ao (Doutorado) - UFRJ/ Instituto de
F´ısica/ Programa de p´os-gradua¸c˜ao em F´ısica , 2007.
Referˆencias Bibliogr´aficas: f. 156-163.
1. Modelo Cosmol´ogico Padr˜ao, I. Waga . II. Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de F´ısica,
Programa de p´os-gradua¸c˜ao em F´ısica. III. T´ıtulo.
iii
Resumo
AN
´
ALISE DE MODELOS COSMOL
´
OGICOS DE UNIFICAC¸
ˆ
AO DA MAT
´
ERIA
E ENERGIA ESCURAS NO UNIVERSO
Alan Miguel Vel´asquez Toribio
Orientador:
Ioav Waga
Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em
F´ısica, do Instituto de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ,
como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Ciˆencias
(F´ısica).
Observa¸c˜oes cosmol´ogicas sugerem que o Universo est´a em expans˜ao acelerada e
que seria constitu´ıdo por ∼ 2/3 de uma componente ex´otica com press˜ao negativa
(energia escura) e ∼ 1/3 de mat´eria ex´otica sem press˜ao (mat´eria escura). A com-
ponente bariˆonica representa hoje somente 5% do conte´udo material do Universo.
Neste contexto, muitos modelos te´oricos tˆem sido propostos. Nesta tese, abordamos
a quest˜ao da expans˜ao acelerada sob a perspectiva dos modelos de quartessˆencia.
Genericamente, estes modelos tˆem um limite assint´otico no passado que se comporta
como mat´eria escura e no futuro como constante cosmol´ogica (equa¸c˜ao de estado
w = −1). O prot´otipo dos modelos de quartessˆencia ´e o chamado g´as de Chaplygin.
Nesta tese, ap´os uma breve revis˜ao sobre o modelo padr˜ao da cosmologia, fazemos
uma an´alise de duas parametriza¸c˜oes da equa¸c˜ao de estado sob a perspectiva de sis-
iv
temas dinˆamicos, discutindo aspectos da estabilidade estrutural dos retratos vetoriais
de fase. Em seguida, propomos uma nova classe de modelos de quartessˆencia me-
diante uma parametriza¸c˜ao da equa¸c˜ao de estado (w) que pode interpolar varia¸c˜oes
r´apidas e lentas de w(z). Estudamos seus v´ınculos observacionais utilizando dados de
sup ernovas Ia, fra¸c˜ao de b´arions em aglomerados de gal´axias, medidas de oscila¸c˜oes
ac´usticas de b´arions (BAO) e do parˆametro de deslocamento da radia¸c˜ao c´osmica
de fundo (RCF). Finalmente, propomos uma nova parametriza¸c˜ao do parˆametro de
desacelera¸c˜ao (q(z)), que ´e mais abrangente que os modelos investigados anterior-
mente. Esta parametriza¸c˜ao mostrou ser uma forma bastante conveniente de estudar
a hist´oria da expans˜ao c´osmica. Ela al´em de interpolar modelos de varia¸c˜ao r´apida e
lenta de q(z), ´e independente da teoria de gravita¸c˜ao considerada e tem como casos
particulares diversos modelos propostos na literatura. Investigamos os v´ınculos im-
postos sobre os parˆametros do modelo utilizando supernovas Ia e a raz˜ao S
k
/D
V
.
Palavras-chave: Cosmologia, Energia Escura, Mat´eria Escura, Quartessˆencia, Equa¸c˜ao
de Estado, Acelera¸c˜ao C´osmica, V´ınculos sobre Parˆametros Cosmol´ogicos.
Rio de Janeiro
Dezembro, 2007
v
Abstract
ANALYSIS OF COSMOLOGICAL MODELS OF UNIFICATION OF DARK
MATTER AND ENERGY IN THE UNIVERSE.
Alan Miguel Vel´asquez Toribio
Advisor:
Ioav Waga
Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em
F´ısica, do Instituto de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ,
como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Ciˆencias
(F´ısica).
Recent cosmological observations suggest that the Universe is currently in acce-
lerated expansion, and that ∼ 2/3 of an exotic component with negative pressure
(dark energy) and ∼ 1/3 of an exotic pressureless matter (dark matter). The baryonic
component represents today only 5% of the total content of the Universe. In this
context, many theoretical mo dels have been proposed. In this thesis, we discuss the
question of a universe in accelerated expansion from the perspective of quartessence
models. Generally, these models have an asymptotic limit in the past that behaves
as dark matter, while in the opp osite limit the models asymptotically tend to a
cosmological constant (equation of state w = −1). The prototype of the quartessence
models is the Chaplygin gas.
In this thesis, after of a brief review of the comological standard model, we make
vi
an analysis of two parametrizations of the equation state from the perspective of
dynamical systems, discussing aspects such as the structural stability of the phase
vector p ortrait. Then, we propose a new class of models for quartessence through
parametrizations of the equation of state w(z), which can interpolate rapid and slow
variations of w(z). We study its observational constraints using supernovae Ia, frac-
tion of baryons in galaxy clusters, measures of baryons acoustic oscillations (BAO)
and the CMB (Cosmic Microwaves Background) shift parameter. Finally, we propose
a new parametrization of the decceleration parameter q(z). This parametrization is
shown to be convenient to study the cosmic expansion history . This model, besides
interpolating models with fast and slow change of q(z), it is independent of the the-
ory of gravitation and is useful to make connections with other models proposed in
the literature. We investigated the constraint on the parameters of the model using
sup ernovae type Ia and the ratio S
k
/D
V
.
Key-words: Cosmology, Dark Energy, Dark Matter, Quartessence, Equation of State,
Cosmic Acceleration, Constraints on Cosmological parameters.
Rio de Janeiro
December, 2007
Agradecimentos
Agrade¸co a Deus e `a Virgem por terem me dado a oportunidade de desenvolver esta
tese. Gostaria de agradecer ao meu orientador Prof. Ioav Waga pela grande com-
preens˜ao, est´ımulo e guia neste novo mundo das pesquisas cosmol´ogicas. A Ribamar
Reis pela paciente ajuda computacional e as muitas discuss˜oes sobre cosmologia, para
ele um agradecimento esp ecial. Agrade¸co tamb´em a todos os membros do grupo de
cosmologia da UFRJ, em especial a
´
Emille, Miguel e ao professor Maur´ıcio Calv˜ao,
pelas in´umeras respostas a quest˜oes de fundamentos da cosmologia. Um agradeci-
mento `a professora Teresa Stuchi pela ajuda nas corre¸c˜oes ortogr´aficas e pela leitura
do Cap´ıtulo 4 sobre sistemas dinˆamicos. Agrade¸co tamb´em `a secretaria do CLAF
Gra¸ca Freire e ao falecido professor Luis Masp eri. Aos meus amigos Juracy, Gustavo,
Leandro, Andr´e (tamb´em pelas v´arias corre¸c˜oes ortogr´aficas), Marquinhos, Magno,
Claudio, Mariana, Luana, Rafael e muitos mais, a todos sempre com a maior consid-
era¸c˜ao e carinho.
Agrade¸co a Alexandra Britto pelo estimulo, paciˆencia e amor, e a Ione e Antonio
pela ajuda desinteressada. Finalmente agrade¸co a meus pais e irm˜a sem os quais n˜ao
poderia ter sido feito todo este percurso de pesquisa: pelo apoio, estimulo, amor e
compreens˜ao.
vii
viii
Esta tese de doutorado teve o apoio financeiro do Conselho Nacional de Desen-
volvimento Cient´ıfico e tecnol´ogico (CNPq) e do Centro Latino Americano de F´ısica
(CLAF).
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Modelo Padr˜ao da Cosmologia 7
2.1 Introdu¸c˜ao.......................................... 7
2.2 AM´etricadeFLRW .................................... 8
2.2.1 O Desvio para o Vermelho Cosmol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 As Equa¸c˜oesdeFriedmann ................................ 11
2.3.1 Algumas Solu¸c˜oes das Equa¸c˜oes de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 A Expans˜ao C´osmica, o Parˆametro de Desacele-ra¸c˜ao e a Idade do Universo . . . . . 25
2.5 Distˆancias Cosmol´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Mat´eria e Energia Escuras no Universo 37
3.1 Mat´eria escura no Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Nucleoss´ıntese Primordial e o Conte´udo de Mat´eria Bariˆonica . . . . . . . . . 38
3.2 Evidˆencias da Existˆencia de Mat´eria Escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Candidatos `a Mat´eria Escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 Candidatos `a Mat´eria Escura Bariˆonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Candidatos a Mat´eria Escura n˜ao Bariˆonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Energia Escura no Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1 EvidˆenciaObservacional.............................. 56
3.4.2 Constante Cosmol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
ix
x
3.4.3 Modelos de Quintessˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.4 Modelos de K-essˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.5 Modelos de Quartessˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.6 Modifica¸c˜oes da Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Dois Modelos de Quartessˆencia e Sistemas Dinˆamicos 75
4.1 Sistemas Dinˆamicos na Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Conceitos Gerais de Sistemas Dinˆamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 Teorema de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 Classifica¸c˜ao do Equil´ıbrio Quanto `a Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.4 TeoremadePeixoto ................................ 81
4.2 Aplicando a T´ecnica de Sistemas Dinˆamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1 Dois modelos de quartessˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2 CasoExponencial ................................. 85
4.2.3 CasoLogar´ıtmico.................................. 87
4.2.4 Fun¸c˜aodeLyapunov................................ 90
5 Testes Cosmol´ogicos 93
5.1 Testes com Supernovas SNeIa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.1 Caracter´ısticas e Amostras de Supernovas Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.2 V´ınculosCosmol´ogicos............................... 95
5.2 Testes com Aglomerados de Gal´axias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Oscila¸c˜ao Ac´ustica de B´arions (BAO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.1 Outras Formas de Medir BAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4 Parˆametro de Deslocamento da RCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6V´ınculos Sobre Novas Parametriza¸c˜oes de w(z) e q(z) 111
6.1 Uma nova parametriza¸c˜ao da equa¸c˜ao de estado w(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1.1 Outras Parametriza¸c˜oesdew(z) ......................... 114
6.1.2 V´ınculosdeSupernovasIa............................. 117
6.1.3 V´ınculos de aglomerados de gal´axias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
xi
6.1.4 V´ınculos de oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1.5 V´ınculos do parˆametro de deslocamento da RCF . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.6 V´ınculosCombinados ............................... 129
6.2 Parametriza¸c˜aodeq(z)................................... 134
6.2.1 Modelo XCDM eq(z)............................... 138
6.2.2 Modelos Cardassianos e q(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2.3 Modelo de Chaplygin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.4 V´ınculosdeSupernovasIa............................. 142
6.2.5 Observ´avel S
k
/D
v
................................. 144
6.3 An´aliseCombinada..................................... 146
7 Conclus˜oes e Perspectivas 149
Referˆencias Bibliogr´aficas 155
xii
Lista de Figuras
2.1 Parˆametro de Hubble H/H
o
como fun¸c˜ao de z. Para a figura utilizamos Ω
m,o
=0, 3
eΩ
Λ,o
=0, 7. Observe que a fun¸c˜ao ´e monotonicamente decrescente com o aumento
dotempo. .......................................... 16
2.2 Evolu¸c˜ao da densidade de energia para um Universo dominado pela mat´eria e um
Universo dominado pela radia¸c˜ao e o caso de uma constante cosmol´ogica. Podemos
observar que existe um ponto comum denominado de igualdade mat´eria-radia¸c˜ao.
Figuraextra´ıdade[57]................................... 22
2.3 Evolu¸c˜ao do fator de escala para o modelo ΛCDM considerando k =+1, 0, −1e
diversos valores dos parˆametros de mat´eria e constante cosmol´ogica. . . . . . . . . . 24
2.4 Idade de expans˜ao para um modelo cosmol´ogico ΛCDM. Consideramos diversas
combina¸c˜oes para os parˆametros Ω
m
eΩ
Λ
......................... 29
2.5 Geometria da distˆancia de diˆametro angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Distˆancia de luminosidade para um modelo de mat´eria + constante cosmol´ogica
(Ω
m
, Ω
Λ
) = (1,0) linha s´olida, (0,05;0) pontilhada,(0,2;0,8) tracejada. . . . . . . . . . 34
2.7 Distˆancia de diˆametro angular para um modelo de mat´eria + constante cosmol´ogica
(Ω
m
, Ω
Λ
) = (1,0) linha s´olida, (0,05;0) pontilhado,(0,2;0,8) tracejado . . . . . . . . . 35
3.1 As abundˆancias de
4
He, D,
3
He and
7
Li como prevista pela nucleoss´ıntese primordial.
Figurasextra´ıdasde[38].................................. 39
3.2 Espectro de potˆencia angular da flutua¸c˜oes da radia¸c˜ao c´osmica de fundo (RCF).
Figuraextra´ıdade[178] .................................. 42
xiii
xiv
3.3 Curva de Rota¸c˜ao da gal´axia NGC 6503. Podemos observar que para distˆancias
grandes a caracter´ıstica ´e uma velocidade circular constante. Figura extra´ıda de [26]. 44
3.4
`
A esquerda, mostramos medidas de distˆancias de supernovas Ia.
`
A direita (acima)
podemos observar evidˆencias de supernovas Ia para a transi¸c˜ao de uma fase desacel-
erada a uma fase acelerada de expans˜ao, e na parte inferior mostramos v´ınculos de
aglomerados, SNIa e RCF [141, 4, 187]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5
`
A esquerda, mostramos a complementariedade dos testes observacionais de SNIa,
BAO e RCF.
`
A direta mostramos a idade do Universo como uma fun¸c˜ao da densidade
de energia da mat´eria e v´ınculos de aglomerados globulares e do WMAP3 [187]. . . 59
3.6 Na figura podemos observar a dependˆencia dos picos ac´ustico da RCF com o valor da
equa¸c˜ao de estado w.[208].................................. 64
3.7 Comportamento da equa¸c˜ao de estado do g´as de Chaplygin generalizado como fun¸c˜ao
do desvio para o vermelho z. Para a figura utilizamos M
4
=0, 355 e α = 1. . . . . . 71
3.8 Comportamento da equa¸c˜ao de estado para uma teoria F (R)=R −
β
R
n
para os
melhores ajustes dos parˆametros β =4, 63 e α =0, 027 usando amostra de super-
novas SNLS. A acelera¸c˜ao come¸ca em z = 1 onde w
eff
= −1/3. Figura extra´ıda da
referˆencia[67]. ....................................... 74
4.1 Neste gr´afico se mostra as equa¸c˜oes exponencial e logar´ıtmica e a linha limite P = −ρ.
Podemos observar que a exponencial varia muito mais rapidamente que a logar´ıtmica.
Para o caso exponencial usamos α =0, 28 e M
4
=0, 7 e para o caso logar´ıtmico α =1
e M
4
=0, 9.......................................... 83
4.2 Retrato de fase para o modelo exponencial. Para a figura consideramos α = M
4
= 1. 86
4.3 Retrato de fase para o modelo logar´ıtmico. O valor de α ´e fixado em 0,5. O gr´afico
mostra que existe uma equivalˆencia estrutural dinˆamica com o modelo exponencial
dentro da regi˜ao f´ısica, ρ>0 ............................... 88
4.4 Retrato de fase do g´as de Chaplygin generalizado, onde consideramos, M =1α =0.5.
O gr´afico mostra o mesmo conjunto de pontos de equil´ıbrio que os modelos exponencial
elogar´ıtmico......................................... 89
xv
4.5 Retrato de fase da constante cosmol´ogica. O gr´afico mostra que, no espa¸co de fase
finito, existe uma equivalˆencia estrutural dinˆamica entre este caso e os modelos estu-
dados. ............................................ 89
5.1 Distˆancia de mˆodulo dos dados de supernovas do Gold-182 (direita) e do SNLS (es-
querda) em termos do desvio para o vermelho,z. .................... 96
5.2 Contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68%, 95,5% e 99,7% para o modelo ΛCDM .
A linha s´olida representa os v´ınculos do SNLS, as linhas pontilhadas representam o
teste de oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions e as linhas tracejadas representam os v´ınculos
combinados[14]. ...................................... 98
5.3 Dados de medidas de f
gas
em aglomerados de gal´axias de Allen et al. [3]. A curva
tracejada corresponde a um novo modelo de w(z) apresentado no Cap´ıtulo seguinte
com z
w
=0, 39 e d =0, 37.................................. 100
5.4 Contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68.3%, 95,4% e 99.7% usando dados de
f
gas
para um modelo ΛCDM. Tamb´em podemos observar v´ınculos de CMB e de
supernovas Ia (referˆencia [186]). O parˆametro Ω
k
foi considerado como um parˆametro
livre. Figura extra´ıda de [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 Na figura da esquerda mostramos contornos para o modelo XCDM . A curva trace-
jada corresponde ao teste de BAO usando a medida de A. A curva s´olida corresponde
a v´ınculos obtidos ao utilizar a escala R
0,35
= D
v
(0, 35)/D
v
(1098), Figura extra´ıda
de [60]. Na figura da direita mostramos os contornos com um n´ıvel de confian¸ca de
68,0%, 95,0% e 99,0% utilizando dados de BAO das amostras SDSS e 2dFGRS, para
um modelo ΛCDM. As regi˜oes sombreadas representam os v´ınculos do observ´avel
D
v
(0, 35)/D
v
(0, 20). Os contornos s´olidos referem-se ao observ´avel r
s
/D
v
. Os con-
tornos tracejados s˜ao para S
k
/D
v
. A linha pontilhada representa o modelo ΛCDM
com k = 0. Figura extra´ıdade[136]. ........................... 107
5.6 Contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68,0%, 95,0% e 99,0%, para um modelo
XCDM. No eixo horizontal est´a o parˆametro e mat´eria e no eixo vertical a equa¸c˜ao
de estado. Figura extra´ıda de [61]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
xvi
6.1 Equa¸c˜ao de estado do modelo w(z)(figura da esquerda) com z
w
=0, 7ed =0, 35, e
do parˆametro de desacelera¸c˜ao q(z)(figura da direita) para os mesmos valores. . . . . 114
6.2 Na parte superior apresentamos curvas de n´ıvel H
o
t
o
para o modelo w(z), no intervalo
de 0.8 <H
o
t
o
< 1.3. Na parte inferior apresentamos curvas de n´ıvel H
o
t
o
, para os
modelo de Linder et al.(esquerda) e Basset et al.(direita), considerando 0.8 <H
o
t
o
<
1.3. Comparando os gr´aficos podemos observar que o modelo de Linder para os valores
permitidos de d e w
o
favorecem valores maiores para H
o
t
o
................ 116
6.3 Na figura mostramos os contorno para o novo modelo w(z) com um n´ıvel de confian¸ca
do 68% e 95%, no plano (z
w
,d). A figura acima corresponde `a amostra Gold-182 e
a figura abaixo para a amostra SNLS. Em ambos os casos marginalizamos sobre os
parˆametros h eΩ
b
o
. .................................... 119
6.4 Na figura mostramos os contorno para o modelo de Linder et al., com uma confian¸ca do
68% e 95%, no plano (z
w
,d). A figura superior ´e para amostra Gold-182 e a de abaixo
´e para a amostra SNLS. Em ambos os casos marginalizamos sobre os parˆametros h e
Ω
b
o
. ............................................. 120
6.5 Na figura mostramos os contorno para o modelo de Basset et al., com um n´ıvel de
confian¸ca do 68% e 95%, no plano (z
w
,d). A figura superior ´e para a amostra Gold-
182 e a figura de abaixo para a amostra SNLS. Em ambos os casos marginalizamos
sobre os parˆametros h eΩ
b
o
. ............................... 121
6.6 V´ınculos sobre o novo modelo de w(z) usando 26 aglomerados das observa¸c˜oes do
Chandra[3].......................................... 123
6.7 V´ınculos sobre o modelo de Linder et al., (figura superior) e do modelo de basset et
al., (figura inferior ) usando 26 aglomerados das observa¸c˜oes do Chandra [3]. . . . . 124
6.8 Nesta figura mostramos contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68% e 95% no plano
(z
w
,d) para o novo modelo (parte superior) e para os modelos de Linder et al., e Bas-
sett et al., (parte inferior) usando a medida BAO de Eisenstein et al. [60]. Marginal-
izamos sobre o parˆametro Ω
bo
. .............................. 126
xvii
6.9 Nesta figura mostramos contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68% e 95%, no plano
(z
w
,d) para o novo modelo (parte superior) e para os modelos de Linder et al., e
Bassett et al., (parte inferior), marginalizamos nos parˆametros h,Ω
bo
......... 128
6.10 Nesta figura mostramos contornos para o novo modelo w(z) (parte superior) com
um n´ıvel de confian¸ca de 68% e 95%, no plano (z
w
,d), para dados combinados de
SNIa + aglomerados + BAO + deslocamento da RCF. Na parte inferior mostramos
os contornos correspondentes ao modelo de Linder et al.(esquerda) e ao modelo de
Bassettetal.(direita). ................................... 131
6.11 No gr´afico superior mostramos contornos para nossa parametriza¸c˜ao, no plano (w
o
,z
a
).
Nos gr´aficos abaixo mostramos resultados an´alogos para as parametriza¸c˜ao de Linder
et al.(esquerda) e Bassett et al.(direita). Comparando os resultados podemos observar
que o novo modelo w(z) permite valores de z
a
e w
o
muito parecidos com os do modelo
de Linder et al. O modelo de Bassett ´e claramente diferente, estando deslocado para
maiores valores de z
a
e maiores valores de w
o
....................... 132
6.12 Nesta figura mostramos curvas de n´ıvel de Ω
eff
para os trˆes modelos considerados. . 133
6.13 No gr´afico da esquerda fixamos τ =0, 5 e variamos z
t
. No gr´afico da direita fixamos
z
t
=0, 7 e variamos τ. Podemos observar que τ modula a inclina¸c˜ao da curva. Para
todos os gr´aficos mantemos fixos q
f
= −1 q
i
=1/2. .................. 134
6.14 Nesta figura mostramos curvas de n´ıvel de H
o
t
o
, no plano z
t
,τ(acima) e no plano q
o
e τ(abaixo).......................................... 137
6.15 A figura da esquerda mostra τ versus q
f
como conseq¨uˆencia do v´ınculo imposto para
conseguir uma equivalˆencia entre XCDM e o modelo de q( z) e o lado direito mostra
τ versus w
x
.......................................... 139
6.16 A figura mostra como mudam os parˆametro m, n e τ. O eixo vertical ´e τ, o horizontal
´e m e a largura representa o parˆametro n......................... 140
6.17 A figura mostra como o parˆametro do modelo do GCG, α, varia com o parˆametro τ
do modelo q(z) para manter a equivalˆencia dos modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Alan M. Vel´asquez-Toribio 1
6.18 Na figura acima, mostramos v´ınculos sobre a parametriza¸c˜ao de q(z) utilizando dados
do Gold-182 SNIa e na figura abaixo v´ınculos utilizando a amostra SNLS com n´ıveis
de confian¸ca de 68% e 95%. A marginaliza¸c˜ao foi feita na faixa 0, 60 <h<0, 80. . . 143
6.19 Nesta figura apresentamos os contornos com n´ıveis de confian¸ca de 68% e 95% para
teste S
k
/D
v
(0, 2) + S
k
/D
v
(0, 35). Podemos observar que a regi˜ao com o n´ıvel de
confian¸ca de 68% se reduz bastante em rela¸c˜ao `a regi˜ao de 95%. A linha horizontal
representa o modelo ΛCDM que corresponde a τ =1/3eq
f
= −1........... 145
6.20 V´ınculos combinados de S
k
/D
v
+ supernovas Ia amostra Gold-182. Podemos observar
que com n´ıvel de confian¸ca de 68% o modelo ΛCDM ´e exclu´ıdo. No entanto isso n˜ao
acontece para o n´ıvel de confian¸ca de 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.21 V´ınculos combinados de S
k
/D
v
e de sup ernovas Ia SNLS. Neste caso o modelo ΛCDM
est´a dentro dos n´ıveis de confian¸ca de 68% e 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2 Tese de Doutorado
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜a o
A cosmologia moderna revela que o Universo al´em da radia¸c˜ao (f´otons e neutrinos) e da mat´eria
ordin´aria (formada por pr´otons, el´etrons e nˆeutrons), possui duas componentes ex´oticas: mat´eria
escura e energia escura. Essas componentes s˜ao respons´aveis por mais do 95% do conte´udo de energia
do Universo e descobrir sua natureza ´e uma das principais ´areas de pesquisa em cosmologia.
A mat´eria escura (n˜ao bariˆonica) ´e detectada em diferentes escalas, desde escalas cosmol´ogicas
at´e escalas gal´acticas [167]. Ela se caracteriza por comportar-se como uma poeira (fluido com press˜ao
nula), n˜ao emite nem reflete a radia¸c˜ao eletromagn´etica e s´o ´e detectada pelo efeito gravitacional
que gera (por exemplo, o efeito de lente gravitacional). Ela ´e tamb´em fundamental para a forma¸c˜ao
de estruturas em grandes escalas no Universo, como gal´axias e aglomerados de gal´axias. Simula¸c˜oes
de N-corpos revelam que modelos sem mat´eria escura s˜ao incapazes de pro duzir a estrutura c´osmica
observada atrav´es da amplifica¸c˜ao gravitacional de flutua¸c˜oes de densidade, juntamente com a a¸c˜ao
de outros processos f´ısicos (fotoioniza¸c˜ao, recombina¸c˜ao, transferˆencia radiativa,etc)[28].
H´a essencialmente dois modelos distintos de mat´eria escura e que s˜ao denominados, mat´eria
escura fria (CDM-cold dark matter) e mat´eria escura quente (HDM-hot dark matter). Neutrinos
massivos s˜ao os candidatos para HDM mais estudados. A principal diferen¸ca entre esses dois tipos
de mat´eria escura, HDM e CDM, diz respeito `a forma¸c˜ao de estruturas. Flutua¸c˜oes em pequenas
escalas desaparecem no mo delo com HDM. Este modelo forma primeiro aglomerados de gal´axias
1
2 Tese de Doutorado
e depois gal´axias. Por outro lado, o modelo com CDM comporta-se muito bem nos testes de
forma¸c˜ao de estruturas [135] e ´e o mais aceito atualmente. Nele, formam-se primeiro gal´axias e
depois estruturas maiores. Os candidatos para CDM mais populares s˜ao o ´axion e o neutralino (a
part´ıcula supersim´etrica mais leve).
A outra comp onente misteriosa do Universo, a energia escura, ´e respons´avel pela acelera¸c˜ao
c´osmica. Em 1998, atrav´es de observa¸c˜oes de supernovas do tipo Ia (SNeIa), a existˆencia dessa
componente ganhou forte base observacional [141, 149]. A energia escura ´e uma componente com
press˜ao negativa e tem a caracter´ıstica de n˜ao se aglomerar em pequenas escalas estando, portanto,
distribu´ıda de forma mais homogˆenea que a mat´eria escura. Os principais candidatos para a energia
escura s˜ao a constante cosmol´ogica (densidade de energia do v´acuo), campos escalares dinˆamicos
(quintessˆencia) e campos escalares com termos cin´eticos n˜ao canˆonicos (modelos de k-essˆencia). H´a
tamb´em a possibilidade de se explicar a acelera¸c˜ao c´osmica atrav´es de teorias de dimens˜oes extras e
modifica¸c˜oes da Relatividade Geral. As evidˆencias para a energia escura s˜ao observadas em escalas
muito grandes, isto ´e, em escalas cosmol´ogicas.
´
E s´o nessas escalas que os efeitos dessa componente
aparecem. Atualmente tem-se diferentes evidˆencias observacionais que ap´oiam a existˆencia de energia
escura, dentre elas mencionamos a determina¸c˜ao de distˆancias via SNeIa, observa¸c˜oes de estruturas
em grandes escalas (especificamente o estudo do espectro de potˆencia de massa) e a radia¸c˜ao c´osmica
de fundo (RCF).
De todos os modelos cosmol´ogicos propostos o modelo com mat´eria escura fria e constante
cosmol´ogica (ΛCDM) ´e aquele que melhor se ajusta `as observa¸c˜oes [178]. Ele trata de forma separada
as duas componentes escuras. No entanto, pode-se perguntar, usando argumentos de simplicidade,
se essas duas componentes escuras n˜ao seriam manifesta¸c˜oes distintas de uma ´unica componente.
Neste caso, poder´ıamos descrever fenomenologicamente as duas componentes escuras atrav´es de uma
´unica equa¸c˜ao de estado. Tais modelos s˜ao conhecidos na literatura como modelos de quartessˆencia
ou UDM (Unifying Dark Matter) [120]. O prot´otipo dos modelos de quartessˆencia (f´otons, b´arions,
neutrinos e componente escura) ´e o modelo baseado na equa¸c˜ao de estado do g´as de Chaplygin
generalizado (p = −M
4(α+1)
/ρ
α
)[102, 25, 120] que pode ser obtido a partir de uma lagrangiana com
um potencial adequado. O caso do g´as de Chaplygin (α = 1) ´e obtido atrav´es de uma lagrangiana
do tip o Born-Infeld [25]. Os mo delos de Chaplygin tˆem sido testados com dados observacionais
Alan M. Vel´asquez-Toribio 3
de SNeIa, lentes gravitacionais, r´adio gal´axias e fra¸c˜ao de b´arions [121]. Contudo a maioria dos
modelos de quartessˆencia quando testados com dados do espectro de potˆencia de massa, que envolvem
perturba¸c˜oes em primeira ordem das equa¸c˜oes de Einstein, apresentam problemas de estabilidade
[164]. Basicamente, porque estes modelos tˆem uma velocidade do som adiab´atica diferente de zero.
Para evitar oscila¸c˜oes e instabilidades no espectro de potˆencia ´e necess´ario considerar perturba¸c˜oes
de entropia (n˜ao adiab´aticas); mais especificamente, precisa-se introduzir perturba¸c˜oes de press˜ao
nula no modelo [148]. Desta forma ´e poss´ıvel conseguir, no espa¸co de parˆametros do modelo, uma
regi˜ao finita ampla em que h´a uma boa concordˆancia com os dados observacionais [147, 148, 8]
advindos, por exemplo, da RCF e de projetos como o SDSS (Sloan Digital Sky Survey) e o 2dFGRS
(Two Degree Galaxy Redshift Survey). Para a quartessˆencia adiab´atica de Chaplygin os v´ınculos
obtidos de experimentos de Supernovas, fra¸c˜ao de b´arions, forma¸c˜ao de estruturas em grandes escalas
e radia¸c˜ao c´osmica de fundo mostram que unicamente modelos com |α| < 10
−2
s˜ao permitidos. Isto
significa que o modelo ´e muito parecido com o modelo ΛCDM. Contudo, no caso de modelos n˜ao
adiab´aticos os resultados s˜ao consistentes com as observa¸c˜oes numa faixa maior de valores para os
parˆametros (−0, 3 <α<0, 7). [8]
Nesta linha de investiga¸c˜ao, na presente tese, inicialmente estudamos duas equa¸c˜oes de estado
de um fluido de quartessˆencia, com comportamentos extremos. Uma que varia muito rapidamente
de tipo exponencial e outra de varia¸c˜ao lenta de tipo logar´ıtmico. Estes modelos foram propostos
na referˆencia [147], onde foram estudados seus v´ınculos observacionais. Aqui utilizamos a t´ecnica
de sistemas dinˆamicos para analisar quest˜oes ligadas com a estabilidade do espa¸co vetorial de fase
formado p elo parˆametro de Hubble e pela densidade de energia de quartessˆencia. Discutimos a
estabilidade dinˆamica dos retratos vetoriais de fase e sua equivalˆencia com os modelos da constante
cosmol´ogica e a quartessˆencia de Chaplygin.
No entanto, o objetivo principal desta tese ´e estudar v´ınculos observacionais sobre duas novas
classes de modelos. A primeira ´e uma parametriza¸c˜ao da equa¸c˜ao de estado w(z). Investigamos o
caso especial de modelos de quartessˆencia em que a equa¸c˜ao de estado depende de dois parˆametros.
Um parˆametro z
w
que est´a associado com a transi¸c˜ao de um comportamento tip o p oeira (w = 0),
em que o Universo ´e desacelerado, para um comp ortamento tipo constante cosmol´ogica (w = −1),
em que o Universo est´a acelerando. O outro parˆametro intro duzido, d, est´a relacionado com a
4 Tese de Doutorado
dura¸c˜ao dessa transi¸c˜ao. Observamos que nestes modelos o z
w
n˜ao ´e o desvio para o vermelho
da transi¸c˜ao desacelera¸c˜ao-acelera¸c˜ao, pois q(z
w
) = 0. No entanto, impondo a condi¸c˜ao q =0
calculamos exatamente o desvio para o vermelho (z
t
) onde se inicia a expans˜ao acelerada. Obtivemos
v´ınculos observacionais para os dois parˆametros utilizando quatro testes cosmol´ogicos: dados de
supernovas Ia, aglomerados de gal´axias (medidas de raios-X), oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions e o
parˆametro do deslocamento da RCF. Discutimos tamb´em suas implica¸c˜oes cosmol´ogicas.
Em seguida, investigamos uma classe mais abrangente de modelos em que sugerimos uma
parametriza¸c˜ao do chamado parˆametro de desacelera¸c˜ao q(z), e que depende de quatro parˆametros.
Fixamos dois desses parˆametros e estudamos v´ınculos observacionais sobre os dois restantes. Esses
parˆametros s˜ao an´alogos aos utilizados para a parametriza¸c˜ao de w(z). No entanto, por constru¸c˜ao
agora temos que q(z
t
) = 0. Portanto, na parametriza¸c˜ao de q(z) o desvio para o vermelho onde
inicia-se a expans˜ao acelerada est´a bem definido.
´
E importante salientar que com a parametriza¸c˜ao
de q(z) n˜ao ´e necess´ario adotar a relatividade geral como teoria de gravita¸c˜ao e n˜ao ´e preciso especi-
ficar tamb´em as componentes escuras do Universo. O modelo tem como casos particulares outros
modelos propostos na literatura como o modelo de energia escura com equa¸c˜ao de estado constante
XCDM , o modelo do g´as de Chaplygin generalizado, o modelo Cardassiano, entre outros. Ob-
tivemos v´ınculos observacionais sobre essa classe de modelos determinando os melhores ajustes e a
regi˜ao de confian¸ca para os dois parˆametros livres.
Esta tese est´a organizada da seguinte forma: no Cap´ıtulo II apresentamos uma introdu¸c˜ao ao
modelo padr˜ao da cosmologia onde introduzimos v´arias defini¸c˜oes e conceitos que ser˜ao usados nos
Cap´ıtulos seguintes. No Cap´ıtulo III fazemos uma revis˜ao das evidˆencias e de poss´ıveis candidatos
para a mat´eria escura e a energia escura. No Cap´ıtulo IV estudamos duas parametriza¸c˜oes da
equa¸c˜ao de estado de um fluido de quartessˆencia da perspectiva de sistemas dinˆamicos. A seguir, no
Cap´ıtulo V, descrevemos quatro testes cosmol´ogicos: supernovas do tipo Ia, medidas da fra¸c˜ao de
b´arions em aglomerados de gal´axias, oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions e o parˆametro de deslocamento
da RCF. No Cap´ıtulo VI, sugerimos uma nova parametriza¸c˜ao para w(z), e obtemos os v´ınculos
cosmol´ogicos sobre os parˆametros dessa classe de modelos. Na segunda parte do Cap´ıtulo apresenta-
mos uma nova parametriza¸c˜ao para q(z), discutimos suas caracter´ısticas principais, sua abrangˆencia
como uma generaliza¸c˜ao de diversos outros modelos cosmol´ogicos e finalmente obtemos os v´ınculos
Alan M. Vel´asquez-Toribio 5
observacionais. Nossas conclus˜oes s˜ao apresentadas no Cap´ıtulo 7.
6 Tese de Doutorado
Cap´ıtulo 2
Modelo Padr˜ao da Cosmologia
2.1 Introdu¸c˜ao
O modelo padr˜ao da cosmologia, baseia-se no princ´ıpio cosmol´ogico, na teoria da relatividade
geral de Einstein e em evidˆencias observacionais tais como a expans˜ao do Universo, a nucleoss´ıntese
primordial, a existˆencia de uma radia¸c˜ao c´osmica de fundo (RCF) e a forma¸c˜ao de estruturas em
grandes escalas como as gal´axias, aglomerados de gal´axias etc.
O princ´ıpio cosmol´ogico est´a relacionado com a homogeneidade e isotropia do espa¸co. Grosseira-
mente dizer que o espa¸co ´e homogˆeneo significa admitir que em todos os pontos do espa¸co tˆem-se
as mesmas condi¸c˜oes (densidade, temperatura, etc) ou que o espa¸co ´e invariante sob transla¸c˜oes.
Por outro lado, isotropia significa que, em torno de um ponto, todas as dire¸c˜oes s˜ao equivalentes
ou, dito de outra forma, existe uma invariˆancia sob rota¸c˜oes. Note que n˜ao existe necessariamente
uma rela¸c˜ao entre homogeneidade espacial e isotropia. Um espa¸co pode ser homogˆeneo, mas n˜ao
isotr´opico ou pode ser isotr´opico em torno de um ponto, mas n˜ao homogˆeneo. Por outro lado, se um
espa¸co ´e isotr´opico em todos os pontos espaciais, ent˜ao naturalmente isto implica homogeneidade.
Observa¸c˜oes que envolvem a contagem de gal´axias usando cat´alogos como o de Abell [1] mostram
que o princ´ıpio cosmol´ogico ´e aproximadamente correto. Contudo, s˜ao as observa¸c˜oes do espectro
de flutua¸c˜oes de temperatura da RCF que revelam com maior precis˜ao que o Universo foi altamente
7
8 Tese de Doutorado
isotr´opico (
∆
T
T
≈ 10
−5
). Hoje acreditamos que em escalas acima de ≈ 100Mpc ´e uma excelente
aproxima¸c˜ao considerar o Universo como homogˆeneo e isotr´opico. Desde as primeiras d´ecadas do
s´eculo passado sabe se que gal´axias distantes afastam-se de n´os indicando que o Universo est´a
em expans˜ao. Assim, para construir um modelo cosmol´ogico devemos come¸car por considerar um
Universo espacialmente homogˆeneo, isotr´opico e em expans˜ao. No contexto da relatividade geral
podemos pensar que o Universo est´a foliado por hipersuperf´ıcies tipo espa¸co, tal que, cada uma
delas ´e homogˆenea e isotr´opica. No que segue, apresentamos a m´etrica de F LRW
1
que ´e a m´etrica
para um espa¸co-tempo com as caracter´ısticas descritas acima e pode ser usada para descrever aprox-
imadamente o comportamento global do Universo.
2.2 A M´etrica de FLRW
Consideremos um espa¸co-tempo como R × Σ, onde R representa a dire¸c˜ao temporal e Σ ´e uma
variedade tridimensional homogˆenea e isotr´opica. Isto implica que Σ ´e um espa¸co maximalmente
sim´etrico [201]. Portanto, fazendo c = 1, podemos escrever a m´etrica do espa¸co-tempo na forma
ds
2
= −dt
2
+ a
2
(t)γ
ij
(x)dx
i
dx
j
, (2.1)
onde t ´e a coordenada temporal e (x
1
,x
2
,x
3
) s˜ao as coordenadas sobre Σ; γ
ij
´e a m ´etrica do tri-
espa¸co maximalmente sim´etrico Σ. A fun¸c˜ao a(t) ´e denominada de fator de escala. As coordenadas
usadas aqui s˜ao conhecidas como coordenadas com´oveis. Neste caso o elemento de linha n˜ao possui
termos cruzados do tipo dtdx
i
e a dependˆencia temporal das componentes espaciais da m´etrica s˜ao
simplesmente prop orcionais a uma fun¸c˜ao do tempo. Um observador ´e dito ser com´ovel se est´a em
repouso em rela¸c˜ao ao movimento m´edio da mat´eria do Universo e, assim, tem coordenadas espaciais
constantes. Unicamente observadores com´oveis observar˜ao um Universo isotr´opico. Observadores
na Terra, por exemplo, n˜ao s˜ao com´oveis e isto pode ser percebido na anisotropia dipolar da RCF
que decorre do efeito Doppler convencional [57].
Voltando `a quest˜ao da m´etrica γ
ij
, pode-se mostrar que o tensor de Riemann para tri-espa¸cos
1
A.Friedmann, G.Lemaˆıtre, H.P.Robertson, A.G.Walker [201].
Alan M. Vel´asquez-Toribio 9
maximalmente sim´etricos pode ser escrito como [201]
R
(3)
ijkl
= k(γ
ik
γ
jl
− γ
il
γ
jk
), (2.2)
onde k ´e uma constante associada `a curvatura hipersuperf´ıcie Σ e o ´ındice superior (3) no tensor
de Riemann indica que ele est´a relacionado com a m´etrica tridimensional γ
ij
e n˜ao com a m´etrica
completa do espa¸co-tempo. O tensor de Ricci ´e
R
(3)
jl
=2kγ
j
l
. (2.3)
Se o tri-espa¸co ´e maximalmente sim´etrico, ent˜ao ele ´e esfericamente sim´etrico. Para este tipo de
espa¸cos a m´etrica pode ser escrita como
dσ
2
= γ
ij
dx
i
dx
j
= e
2β(r)
dr
2
+ r
2
(dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
).
A fun¸c˜ao β(r) pode ser determinada se calculamos explicitamente as componentes do tensor de Ricci
utilizando a equa¸c˜ao (2.3). O resultado obtido ´e
β(r)=−
1
2
ln(1 − kr
2
), (2.4)
e desta forma obtemos a chamada m´etrica de F LRW para o espa¸co-tempo
ds
2
= −dt
2
+ a
2
(t)(
dr
2
1 − kr
2
+ r
2
dθ
2
+ r
2
sen
2
(θ)dφ
2
). (2.5)
Note que as substitui¸c˜oes
k →
k
| k |
, (2.6)
r →
| k |r, (2.7)
a →
a
| k |
, (2.8)
deixam a m´etrica invariante, e o ´unico parˆametro relevante ´e k/ | k |, que pode tomar os valores
de ±1 ou 0. O Universo com k = −1 ´e muitas vezes denominado de Universo aberto, pois quando
a topologia ´e trivial, a hipersuperf´ıcie espacial Σ tem um volume 3-D infinito. Contudo, h´a varie-
dades compactas com curvatura negativa. Este tipo de Universos s˜ao conhecidos como Universos
hiperb´olicos. O caso k = 0 corresponde a hipersuperf´ıcies sem curvatura que no caso de topologia
10 Tese de Doutorado
trivial ´e um plano e s˜ao conhecidos como Universos planos. O caso k = +1 ´e comumente conhecido
como Universo fechado e no caso de uma topologia trivial a hipersupref´ıcie Σ ´e a esfera S
3
e s˜ao
denominados como Universos esf´ericos.
Outra forma equivalente de expressar a m´etrica (2.5) ´e a seguinte
ds
2
= −dt
2
+ a
2
(t)(dχ
2
+ f
2
k
(χ)(dθ
2
+ sen
2
(θ)dφ
2
), (2.9)
onde
f
k
(χ)=
sen(χ) se k =+1,
χsek=0,
senh(χ) se k = −1.
Na express˜ao acima χ ´e a coordenada com´ovel. Para voltar `a forma (2.6) basta substituir
r = f
k
(χ).
2.2.1 O Desvio para o Vermelho Cosmol´ogico
Vamos supor que um f´oton ´e emitido por uma fonte localizada em (r
1
,θ
1
,φ
1
) no instante t
1
e
´e detectado por um observador com´ovel em (r
o
,θ
o
,φ
o
) no instante t
o
. Sem perda de generalidade,
a homogeneidade do espa¸co permite escolher r
o
= 0, isto ´e, o observador encontra-se na origem do
sistema de coordenadas. Os f´otons viajam sobre geo d´esicas radiais nulas (ds
2
= 0) tal que, sobre
elas, dθ = dφ = 0. Deste modo, considerando a m´etrica F LRW , o tempo que o f´oton leva para
chegar ao observador ´e determinado por
t
o
t
1
dt
a(t)
=
r
1
0
dr
(1 − kr
2
)
1/2
= f(r
1
), (2.10)
que ´e uma fun¸c˜ao independente do tempo. Considere agora uma nova crista de onda emitida no
instante t
1
+ δt
1
que ´e detectada pelo observador com´ovel no instante t
o
+ δt
o
. A equa¸c˜ao de
movimento do f´oton ser´a a mesma que a discutida acima e substituindo t
1
→ t
1
+ δt
1
e t
o
→ t
o
+ δt
o
em (2.10) e levando em conta que a fonte est´a fixa no sistema do observador com´ovel, f(r
1
) n˜ao
varia, ent˜ao temos que
t
o
t
1
dt
a(t)
=
t
o
+δt
o
t
1
+δt
1
dt
a(t)
. (2.11)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 11
Re-arranjando os limites de integra¸c˜ao obtemos
t
1
+
δt
1
t
1
dt
a(t)
=
t
o
+
δt
o
t
o
dt
a(t)
. (2.12)
Supondo que δt ´e pequeno, ent˜ao a(t) pode ser considerado constante na integral acima, tal que
δt
1
a(t
1
)
=
δt
o
a(t
o
)
. (2.13)
Como δt
1
(δt
o
) ´e o intervalo de tempo entre dois picos sucessivos de onda, ele ´e proporcional ao
comprimento de onda λ
1
(λ
o
). Assim, obtemos a proporcionalidade
λ
1
λ
o
=
a(t
1
)
a(t
o
)
. (2.14)
Definimos como desvio para o vermelho (z) de um objeto a quantidade
1+z =
λ
o
λ
1
=
a(t
o
)
a(t
1
)
, (2.15)
que nos diz que um aumento (diminui¸c˜ao) no fator de escala a(t) leva a um deslocamento para
o vermelho (ou o azul) do comprimento de onda emitido pela fonte. Essa ´ultima igualdade ser´a
continuamente usada nos Cap´ıtulos seguintes.
Em cosmologia ´e usual substituir o tempo pelo desvio para o vermelho cosmol´ogico pois, al´em
de muitas vezes simplificar as equa¸c˜oes, ´e essa a quantidade observ´avel.
2.3 As Equa¸c˜oes de Friedmann
Quando Einstein obteve as equa¸c˜oes da relatividade geral, em 1915, a expans˜ao do Universo
ainda n˜ao havia sido descoberta e a hip´otese mais aceita, levando em conta que a velocidade relativa
das estrelas ´e muito pequena, era a de um Universo est´atico. Contudo a gravita¸c˜ao ´e atrativa e ´e
de se esperar que gere solu¸c˜oes dinˆamicas para as equa¸c˜oes de campo. Nesse contexto, para obter
solu¸c˜oes est´aticas, Einstein, introduziu um termo repulsivo nas suas equa¸c˜oes de campo denominado
de constante cosmol´ogica.
As equa¸c˜oes de campo com constante cosmol´ogica, podem ser escritas como
G
µν
− Λg
µν
=8πGT
µν
, (2.16)
12 Tese de Doutorado
onde
G
µν
= R
µν
−
1
2
g
µν
R, (2.17)
´e o tensor de Einstein. Na equa¸c˜ao acima R
µν
´e o tensor de Ricci, R ´e o escalar de curvatura,
definidos por
R = g
µν
R
µν
, (2.18)
R
µν
= R
α
µαν
(2.19)
R
α
µνβ
=Γ
α
µβ,ν
− Γ
α
µβ,ν
+Γ
γ
µβ
Γ
α
νγ
− Γ
γ
νβ
Γ
α
µγ
, (2.20)
Γ
α
µν
=
1
2
g
ασ
(g
σµ,ν
+ g
σν,µ
− g
µν,σ
), (2.21)
onde R
α
µνβ
s˜ao as componentes do tensor de Riemann, Γ
α
µν
s˜ao os s´ımbolos de Christoffel e g
µν
´e a
inversa da m´etrica, isto ´e.
g
µν
g
µν
= δ
µ
ν
. (2.22)
As equa¸c˜oes de Einstein acima est˜ao escritas na forma tradicional em que o lado esquerdo
representa a geometria do espa¸co-tempo, enquanto que o lado direito, atrav´es do tensor energia-
momentum T
µν
, representa o conte´udo material do Universo. Atualmente ´e usual tratar o termo
associado `a constante cosmol´ogica como parte do tensor energia-momentum de tal forma que as
equa¸c˜oes de Einstein s˜ao escritas como
G
µν
=8πG(T
µν
+
Λ
8πG
g
µν
)=8πGT
total
µν
.
Neste caso a constante cosmol´ogica ´e vista como uma forma de mat´eria-energia do Universo (densi-
dade de energia do v´acuo) que contribui para o tensor energia-momentum total T
total
µν
.
Para obter solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de Einstein que descrevam a evolu¸c˜ao dinˆamica do Universo,
´e necess´ario fazer hip´oteses sobre o seu conte´udo material. Devido `a homogeneidade espacial e
isotropia, o conte´udo material do Universo deve ser descrito por um tensor energia-momentum cuja
forma ´e a de um fluido perfeito. Neste caso n˜ao h´a fluxo de calor nem ”press˜ao”anisotr´opica e T
µν
assume a forma
T
µν
= −pg
µν
+(p + ρ)u
µ
u
ν
. (2.23)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 13
onde a press˜ao (p) e densidade de massa-energia (ρ) s˜ao medidas por um observador em repouso em
rela¸c˜ao ao fluido, de forma que a sua 4-velocidade ´e dada por: u
α
= δ
α
0
. Assim temos que
T
ν
µ
= diag(−ρ, p, p, p). (2.24)
Contraindo a 4-velocidade com a divergˆencia do tensor energia-momentum
u
α
T
β
α;β
=0, (2.25)
obtemos a denominada equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao (local) da massa-energia
˙ρ +3
˙a
a
(ρ + p)=0, (2.26)
onde, devido `a homogeneidade e isotropia do espa¸co, a densidade e press˜ao s˜ao fun¸c˜oes somente
do temp o. Na equa¸c˜ao acima, o ponto denota derivada com respeito ao tempo. Para obtermos
a densidade de energia como fun¸c˜ao do fator de escala, ´e necess´ario fazer uso de uma equa¸c˜ao de
estado p = p(ρ), isto ´e, de uma rela¸c˜ao entre p e ρ. Tais equa¸c˜oes s˜ao familiares em termodinˆamica.
Em cosmologia ´e muito comum admitir-se para fluidos perfeitos uma equa¸c˜ao de estado barotr´opica
da forma
p = wρ. (2.27)
Assim
˙ρ
ρ
= −3(1 + w)
˙a
a
, (2.28)
e supondo que w ´e constante, a equa¸c˜ao acima ´e integrada para obtermos
ρ ∝ a
−3(1+w)
. (2.29)
Se consideramos um Universo dominado por poeira, w = 0, a equa¸c˜ao acima reduz-se a
ρ
m
= ρ
mo
(1 + z)
3
, (2.30)
onde usamos a equa¸c˜ao (2.15). A equa¸c˜ao acima ´e interpretada como a diminui¸c˜ao da densidade
de energia devido `a dilui¸c˜ao do n´umero de part´ıculas decorrente da expans˜ao do Universo. Se o
Universo ´e dominado por radia¸c˜ao, ent˜ao o tensor energia momentum ´e aquele que obtemos da
14 Tese de Doutorado
teoria eletromagn´etica usual [201] e ´e bem conhecido que o tra¸co do tensor energia-momentum do
campo eletromagn´etico ´e zero o que implica w =
1
3
. Assim, neste caso obtemos
ρ
r
= ρ
ro
(1 + z)
4
. (2.31)
Note que a densidade de energia da radia¸c˜ao cai mais rapidamente que a densidade de energia
da mat´eria. Isto decorre do fato de que embora a densidade num´erica dos f´otons decres¸ca da mesma
forma que a das part´ıculas n˜ao-relativ´ısticas, existe um fator adicional a
−1
pois os f´otons perdem
energia devido ao desvio para o vermelho. Atualmente a raz˜ao entre as densidades de energia da
mat´eria e da radia¸c˜ao no Universo ´e da ordem de ρ
mo
/ρ
ro
≈ 10
6
embora, no passado (a
o
1), o
Universo tenha sido dominado pela radia¸c˜ao.
Uma outra equa¸c˜ao de estado relevante em cosmologia ´e a de um Universo dominado por uma
constante cosmol´ogica. Nesse caso w = −1 e a densidade de energia ρ ´e uma constante. Exis-
tem algumas motiva¸c˜ao te´oricas que sugerem que no in´ıcio de sua evolu¸c˜ao o Universo teve um
per´ıodo de expans˜ao acelerada. Esta fase, denominada de inflacion´aria, onde possivelmente uma
constante cosmol´ogica (ou um campo escalar comp ortando-se como tal) dominou a dinˆamica da
expans˜ao, foi sugerida por A. Guth em 1980 [83] para resolver alguns mist´erios e problemas da
cosmologia padr˜ao. Ap´os essa fase inflacion´aria seguiu-se uma fase dominada pela radia¸c˜ao e pos-
teriormente uma fase dominada pela mat´eria n˜ao relativ´ıstica. As observa¸c˜oes cosmol´ogicas mais
recentes mostram evidˆencias de que o Universo est´a numa fase de expans˜ao acelerada e a constante
cosmol´ogica (ou alguma outra fonte que comporta-se como tal), poderia ter voltado a dominar a
dinˆamica de expans˜ao.
Usando a m´etrica de FLRW e o tensor energia-momentum de um fluido perfeito, as equa¸c˜oes
de Einstein reduzem-se a duas equa¸c˜oes diferenciais independentes para o fator de escala a
(
˙a
a
)
2
=
8πGρ
3
−
k
a
2
+
Λ
3
, (2.32)
¨a
a
=
−4πG
3
(ρ +3p)+
Λ
3
. (2.33)
´
E conveniente escolher o fator de escala de tal forma que no presente a
o
= 1; assim a(t) representa
o comprimento de uma escala com´ovel no instante t relativa ao seu tamanho atual. O parˆametro de
Hubble ´e definido como H =
˙a
a
, e seu valor atual H
o
´e chamado de constante de Hubble. Diferentes
Alan M. Vel´asquez-Toribio 15
estimativas de H
o
est˜ao na faixa de 65-75 kms
−1
Mpc
−1
[178].
´
E usual definir uma quantidade
adimensional h que ´e a constante de Hubble em unidades de 100 km s
−
1
Mpc
−
1
H
o
= 100hkms
−1
Mpc
−1
. (2.34)
O inverso da constante de Hubble ´e chamado de tempo de Hubble
t
H
=
1
H
o
=9.78 × 10
9
h
−1
anos (2.35)
e a velocidade da luz vezes o tempo de Hubble ´e a distˆancia (ou raio) de Hubble
D
H
=
c
H
o
= 3000h
−1
Mpc. (2.36)
Uma forma conveniente de escrever as equa¸c˜oes de Friedmann ´e utilizando o parˆametro de
densidade definido como
Ω
i
(t)=
ρ
i
ρ
cr
=
8πGρ
i
3H
2
(t)
, (2.37)
onde ρ
cr
=
3H
2
8πG
´e a chamada densidade cr´ıtica. Deste modo, a primeira equa¸c˜ao de Friedmann
considerando como componentes do Universo radia¸c˜ao (f´otons + neutrinos) + mat´eria (escura e
bariˆonica) e uma constante cosmol´ogica pode ser escrita como
Ω
m
+Ω
r
+Ω
Λ
−
k
H
2
a
2
=1, (2.38)
onde consideramos c =1,Ω
Λ
=
Λ
3H
2
o
,Ω
r,m
=
ρ
r,m
ρ
cr
e os ´ındices r e m referem-se a radia¸c˜ao e mat´eria.
Tamb´em ´e conveniente definir o parˆametro de densidade associado `a curvatura como:
Ω
k
(t)=−
k
H
2
(t)a
2
(t)
. (2.39)
A express˜ao (2.38) mostra que o valor do parˆametro de curvatura est´a diretamente ligado `a soma das
densidades das diferentes componentes do Universo. Usando o parˆametro Ω
i
para as v´arias esp´ecies
de mat´eria e radia¸c˜ao e Ω
Λ
para a constante cosmol´ogica, a primeira equa¸c˜ao de Friedmann resulta
i
Ω
i
+Ω
Λ
+Ω
k
=1.
Com essa nota¸c˜ao podemos escrever o parˆametro de Hubble, para o caso de um modelo com k =0,
desprezando a radia¸c˜ao, como
H
2
(t)=H
2
o
(Ω
m,o
(1 + z)
3
+1− Ω
m,o
), (2.40)
onde usamos que Ω
Λ,o
=1− Ω
m,o
. Na figura (2.1) mostramos H(z) para a equa¸c˜ao acima.
16 Tese de Doutorado
0 2 4 6 8 10
z
0
5
10
15
20
HzHo
Parâmetro de Hubble
Figura 2.1: Parˆametro de Hubble H/H
o
como fun¸c˜ao de z. Para a figura utilizamos
Ω
m,o
=0, 3eΩ
Λ,o
=0, 7. Observe que a fun¸c˜ao ´e monotonicamente decrescente com
o aumento do tempo.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 17
2.3.1 Algumas Solu¸c˜oes das Equa¸c˜oes de Friedmann
As equa¸c˜oes de Friedmann s˜ao equa¸c˜oes diferenciais para o fator de escala a(t) e para obter
solu¸c˜oes necessitamos especificar o conte´udo material do Universo, isto ´e especificar uma equa¸c˜ao
de estado w. O Universo cont´em diferentes componentes de energia e um dos desafios atuais da
cosmologia ´e identificar todas as fontes de energia e a natureza destas componentes. Felizmente a
solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Friedmann se simplifica devido ao fato de que a densidade de energia, assim
como a press˜ao, das distintas comp onentes, s˜ao quantidades aditivas, isto ´e
ρ
t
=
i
ρ
i
, (2.41)
P
t
=
i
p
i
=
i
w
i
ρ
i
, (2.42)
onde cada componente satisfaz separadamente a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao da massa-energia dada pela
equa¸c˜ao (2.26). A primeira equa¸c˜ao de Friedmann com multicomponentes pode ser escrita como
˙a
2
=
8πG
3
i
ρ
w
i
,o
a
−1−3w
i
− k. (2.43)
Cada componente do Universo ´e, em geral, representada no lado direito da equa¸c˜ao (2.43) por
uma dependˆencia diferente com o fator de escala. Por exemplo, para radia¸c˜ao temos ∝ a
−2
, para
uma contribui¸c˜ao de mat´eria ∝ a
−1
, o termo de curvatura (´ultimo) ´e independente de a e a constante
cosmol´ogica contribui com um termo ∝ a
2
. Solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (2.43) para m´ultiplas componentes,
tal como um Universo de mat´eria, radia¸c˜ao e constante cosmol´ogica, em geral, n˜ao s˜ao anal´ıticas,
mas para casos com uma s´o componente obtemos solu¸c˜oes relativamente simples.
Um dos modelos cosmol´ogicos mais simples ´e considerar um Universo tal que Ω
m
=Ω
r
=0e
Ω
Λ
= 1 ´e chamado de modelo de de Sitter. Este mo delo n˜ao ´e um modelo cosmol´ogico verdadeiro
no sentido que possui densidades da mat´eria e radia¸c˜ao iguais a zero. Para o modelo de de-Sitter o
parˆametro de Hubble se reduz a
(
˙a
a
)
2
=
Λ
3
. (2.44)
Como podemos ver, neste caso, o parˆametro de Hubble ´e constante e o fator de escala cresce expo-
nencialmente
a(t) ∝ exp[
Λ/3c(t − t
i
)]. (2.45)
18 Tese de Doutorado
Esse tipo de solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein ´e relevante, por exemplo, na discuss˜ao sobre modelos
inflacion´arios do Universo. Segundo esses modelos, o Universo teria passado por uma fase de de
Sitter nos instantes primordiais de sua evolu¸c˜ao.
Um modelo importante para a ´epoca inicial do Universo ´e um modelo com unicamente radia¸c˜ao.
Neste caso, como foi mencionado, a equa¸c˜ao de estado ´e w =1/3. No caso especial de considerarmos
k = 0, o fator de escala ´e
a(t) ∝ (
t
t
o
)
1/2
. (2.46)
O conte´udo do Universo nesta ´epoca inicial foi bastante diferente do conte´udo atual. No Universo
primitivo quando a temperatura T foi muito maior que a massa de repouso de part´ıculas carregadas
os f´otons tinham energia suficiente para produzir estas part´ıculas e suas antipart´ıculas em grande
n´umero. Dependendo da temperatura, o Universo primitivo teria diferentes popula¸c˜oes de part´ıculas
em diferentes tempos. Se tratamos as part´ıculas como g´as de b´osons e f´ermions, a fun¸c˜ao de dis-
tribui¸c˜ao pode ser escrita como
f(k,t)d
3
k =
g
A
(2π)
3
[exp[(E − µ
A
)/T
A
(t)] ± 1]
−1
d
3
k (2.47)
onde g
A
´e o fator de degenerescˆencia da esp´ecie, µ
A
´e o potencial qu´ımico, E(k)=(k
2
+ m
2
)
1/2
´e a
energia de uma dada esp´ecie e T
A
(t) ´e a temperatura que caracteriza uma dada esp´ecie A no tempo
t. O sinal (+) corresponde a f´ermions e o sinal (−) corresponde a b´osons. Utilizando esta fun¸c˜ao de
distribui¸c˜ao podemos calcular a densidade num´erica n, a densidade de energia ρ e a press˜ao p para
as part´ıculas. Eliminando a dependˆencia temporal e o ´ındice A por simplicidade, obtemos
n =
f(k)d
3
k =
g
2π
2
∞
m
(E
2
− m
2
)
1/2
EdE
exp[(E − µ)/T ] ± 1
, (2.48)
ρ =
Ef (k)d
3
k =
g
2π
2
∞
m
(E
2
− m
2
)
1/2
E
2
dE
exp[(E − µ)/T ] ± 1
, (2.49)
p =
1
3
| k |
2
E
f(k)d
3
k =
g
6π
2
∞
m
(E
2
− m
2
)
3/2
dE
exp[(E − µ)/T ] ± 1
. (2.50)
Durante a era dominada pela radia¸c˜ao, f´otons e outras part´ıculas relativ´ısticas est˜ao em equil´ıbrio
t´ermico `a mesma temperatura, com potencial qu´ımico nulo. Para part´ıculas ultra relativ´ısticas temos
Alan M. Vel´asquez-Toribio 19
que T m. Assim, neste contexto, as integrais acima se simplificam notavelmente e a densidade
de energia resulta
ρ =
g
2π
2
∞
0
E
3
dE
e
E/T
± 1
=
g
B
(
π
2
30
)T
4
;
7
8
g
F
(
π
2
30
)T
4
.
(2.51)
onde a letra B denota b´osons e F f´ermions. Desta forma a densidade de energia de todas as part´ıculas
relativ´ısticas p ode ser expressada como
ρ
total
=
i=bosons
g
i
(
π
2
30
)T
4
i
+
i=fermions
7
8
g
i
(
π
2
30
)T
4
i
= g
total
(T )(
π
2
30
)T
4
, (2.52)
onde
g
total
(T )=
i
g
i
(
T
B
i
T
)
4
+
7
8
i
g
i
(
T
F
i
T
)
4
. (2.53)
A densidade num´erica ´e
n =
g
2π
2
∞
0
E
2
dE
e
E/T
± 1
=
g
B
(
ζ(3)
π
2
)T
3
;
3
4
g
F
(
ζ(3)
π
2
)T
3
,
(2.54)
onde ζ(3) ≈ 1, 202 ´e a fun¸c˜ao zeta de Riemann. Combinando esta express˜ao com (2.51), encontramos
que a energia m´edia das part´ıculas <E>=(
ρ
n
) ≈ 2, 7T para b´osons e ≈ 3, 15T para f´ermions.
Essas express˜oes se aplicam a uma dada esp´ecie at´e que esta deixa de ser relativ´ıstica quando
T ∼ m, onde m ´e a massa da part´ıcula. Quando as part´ıculas s˜ao n˜ao-relativ´ısticas T m,
a exponencial da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao na express˜ao (2.47) ´e grande comparado com a unidade.
Neste caso, obtemos para b´osons e f´ermions a mesma express˜ao
n ≈
g
2π
2
k
2
dkexp[−
m − µ
T
]exp(−
k
2
2mT
). (2.55)
Neste limite temos que ρ ∼ nm e a press˜ao p = nT << ρ. Comparando (2.54) e (2.55) podemos
observar que a densidade num´erica de part´ıculas n˜ao-relativ´ısticas tem um fator de amortecimento
exponencial com respeito `a express˜ao relativ´ıstica. Portanto, na era dominada pela radia¸c˜ao podemos
ignorar a contribui¸c˜ao de part´ıculas n˜ao-relativ´ısticas.
Durante esta ´epoca a densidade de entropia s pode ser derivada utilizando a segunda lei da
termodinˆamica, dE = Tds− Pdv, onde v ∝ a
3
´e o volume c´omovel com energia E = ρv e entropia
S = sv. Isto pode ser escrito como
dρ =(sT − ρ − P )
dv
v
+ T ds, (2.56)
20 Tese de Doutorado
e j´a que ρ depende unicamente da T, isto implica que
s =
ρ + p
T
. (2.57)
Considerando que para esp´ecies relativ´ısticas w =1/3 temos que
s =
2π
2
45
q
total
(T )T
3
, (2.58)
onde
q
total
(T )=
bosons
g
b
(
T
B
T
)
3
+
7
8
fermions
g
f
(
T
F
T
)
3
. (2.59)
Quando todas as part´ıculas tˆem a mesma temperatura ent˜ao q
total
= g
total
. Em um Universo
isotr´opico n˜ao existe transferˆencia de calor, assim a entropia S = a
3
s em um volume com´ovel ´e
constante, e portanto, T ∝ q
−1/3
(T )/a. Ignorando o fator de q(T ) podemos aproximar T ∝ 1/a.
Devido `a expans˜ao do Universo, a temperatura vai diminuindo; e quando esta atinge T ∼ 1Mev,
os neutrinos se desacoplam das demais part´ıculas relativ´ısticas e come¸ca a aniquila¸c˜ao el´etron-
p´ositron. A temperatura dos neutrinos ainda ´e inversamente proporcional ao fator de escala, T
ν
∝
1/a. Rapidamente os el´etrons e p´ositrons tornam-se n˜ao-relativ´ısticos e se aniquilam. Desta forma,
para el´etrons, p´ositrons e f´otons `a mesma temperatura, temos que g
total
= 2+7/2=11/2 antes
da aniquila¸c˜ao e g
total
= 2 ap´os a aniquila¸c˜ao. Assim, utilizando-se a express˜ao para a entropia,
mostra-se que, ap´os a aniquila¸c˜ao el´etrons-p´ositrons, as temperaturas dos neutrinos e dos f´otons
est˜ao relacionadas por
T
ν
=(4/11)
1/3
T
γ
≈ 1.9K. (2.60)
onde T
γ
´e a temperatura dos f´otons. Considerando trˆes esp´ecies de neutrinos sem massa atualmente
temos
g
total,o
=2+
7
8
× 6 ×(
4
11
)
4/3
=3, 36. (2.61)
O n´umero exato de esp´ecies relativ´ısticas depende do modelo de f´ısica de part´ıculas adotado. Por
exemplo, no modelo padr˜ao de f´ısica de part´ıculas, a altas temperaturas, g
total
= 106, 75. Outros
modelos como sup ersimetria ou teorias de grande unifica¸c˜ao e dimens˜oes extras podem aumentar
este valor em centenas de vezes [205, 114]. Em baixas temperaturas, o n´umero de graus de liberdade
diminui pois as part´ıculas vˆem a ser n˜ao-relativ´ısticas.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 21
Finalmente mencionamos que para um Universo dominado pela radia¸c˜ao, a rela¸c˜ao entre o tempo
e o fator de Hubble ´e t =
1
2H
. Isto nos permite calcular uma rela¸c˜ao entre t e T , utilizando a equa¸c˜ao
(2.52),
1
t
2
=
8πGρ
total
3
=
4π
2
g
total
T
4
90M
2
p
. (2.62)
Substituindo o valor de M
p
=2, 436 ×10
18
GeV obtemos t ≈ 2, 42g
−1/2
total
(1MeV/T)
2
. Como podemos
observar, o valor de t depender´a diretamente do modelo de f´ısica de part´ıculas adotado.
Outra fase importante na evolu¸c˜ao do Universo ´e quando este ´e dominado p or mat´eria n˜ao
relativ´ıstica (p oeira). Neste caso, a equa¸c˜ao de estado ´e w = 0 e para k = 0, o modelo ´e chamado
de Einstein-de Sitter. O fator de escala como fun¸c˜ao do tempo toma a forma
a
m
(t) ∝ (
t
t
o
)
2/3
. (2.63)
A idade do Universo para este modelo resulta
t
o
=
2
3H
o
, (2.64)
e ´e, portanto, menor que o tempo de Hubble (H
−1
o
). Se consideramos H
o
=72km s
−1
Mpc
−1
obtemos t
o
9, 1Ga. No modelo ΛCDM a componente dominante durante a fase dominada pela
mat´eria ´e a mat´eria escura fria que ´e fundamental para a forma¸c˜ao de estruturas em grandes escalas.
No cap´ıtulo seguinte discutiremos algumas evidˆencias e poss´ıveis candidatos `a mat´eria escura.
Consideremos agora um Universo contendo duas componentes materiais, mat´eria n˜ao rela-
tiv´ıstica e radia¸c˜ao. Nesse modelo o instante (t
rm
) no qual a mat´eria e a radia¸c˜ao contribuem
igualmente para a densidade total de energia ´e chamado de igualdade radia¸c˜ao-mat´eria. O valor do
fator de escala quando isto ocorre ´e aproximadamente a
rm
2, 8×10
−4
(ver figura 2.2). Para ´epocas
em que a<<a
rm
, o Universo ´e b em descrito p or um mo delo unicamente com radia¸c˜ao e para um
valor do fator de escala tal que a>>a
rm
, o Universo ´e bem aproximado por um Universo dominado
por mat´eria n˜ao relativ´ıstica (supondo que n˜ao h´a curvatura espacial nem outra componente tipo
energia escura). Quando a ≈ a
rm
, ´e f´acil mostrar que a curvatura ´e desprez´ıvel e ambas as compo-
nentes, radia¸c˜ao e mat´eria, contribuem para a evolu¸c˜ao do fator de escala. A equa¸c˜ao de Friedmann
para uma ´epoca pr´oxima da igualdade radia¸c˜ao-mat´eria pode ser aproximada por (k =0)
H
2
H
2
o
=
Ω
r,o
a
4
+
Ω
m,o
a
3
. (2.65)
22 Tese de Doutorado
Figura 2.2: Evolu¸c˜ao da densidade de energia para um Universo dominado pela
mat´eria e um Universo dominado pela radia¸c˜ao e o caso de uma constante cos-
mol´ogica. Podemos observar que existe um ponto comum denominado de igualdade
mat´eria-radia¸c˜ao. Figura extra´ıda de [57]
Alan M. Vel´asquez-Toribio 23
Usando-se que Ω
r,o
+Ω
m,o
= 1, a equa¸c˜ao acima pode ser re-arranjada levando a
H
o
dt =
ada
Ω
1/2
r,o
[1 +
a
a
rm
]
−1/2
. (2.66)
Integrando essa equa¸c˜ao obtemos t como fun¸c˜ao do fator de escala a durante a ´epoca em que radia¸c˜ao
e mat´eria s˜ao importantes
H
o
t =
4a
2
rm
3
Ω
r,o
[1 − (1 −
a
2a
rm
)(1 +
a
a
rm
)
1/2
]. (2.67)
Note que no limite em que a<<a
rm
, recuperamos os resultados de um Universo dominado pela
radia¸c˜ao. Por outro lado, no limite a>>a
rm
obtemos os resultados v´alidos para um Universo
dominado pela mat´eria. O tempo t
rm
, da igualdade radia¸c˜ao-mat´eria, pode ser obtido substituindo-
se na equa¸c˜ao (2.67) a = a
rm
t
rm
=
4
3
(1 −
1
√
2
)
a
2
rm
Ω
r,o
H
−1
o
≈ 0.391
Ω
3/2
r
Ω
2
m,o
H
−1
o
. (2.68)
Para um Universo com Ω
r
=8, 4 × 10
−5
,Ω
m
=0, 3eH
−1
o
=14Ga, o instante t
rm
da igualdade
radia¸c˜ao-mat´eria ´e
t
rm
=3, 34 × 10
−6
H
−1
o
47000 anos. (2.69)
Portanto, a idade do Universo quando a radia¸c˜ao deixou de ser dominante ´e muito menor que a idade
atual do Universo; comparando H
−1
o
com o valor acima obtemos, aproximadamente, H
−1
o
/t
rm
≈ 10
6
.
Assim, ´e justific´avel ignorar os efeitos da radia¸c˜ao para calcular a idade do Universo. No que segue,
ao calcularmos a idade do Universo prevista pelos modelos, n˜ao levaremos em conta os efeitos da
radia¸c˜ao.
Tanto na fase dominada pela radia¸c˜ao, como na dominada pela mat´eria, a expans˜ao ´e desacele-
rada. Contudo, observa¸c˜oes recentes de supernovas do tipo Ia parecem indicar que estamos numa fase
de expans˜ao acelerada. O modelo cosmol´ogico mais simples e que melhor se ajusta `as observa¸c˜oes ´e o,
j´a mencionado, modelo ΛCDM. Este modelo, al´em de radia¸c˜ao e b´arions, cont´em duas componentes
ex´oticas: a mat´eria escura fria (n˜ao bariˆonica) e a constante cosmol´ogica. No que segue discutiremos
algumas propriedades gerais desse modelo.
Como vimos na se¸c˜ao anterior, o parˆametro de Hubble para um Universo ΛCDM com k =0
pode ser escrito como (desprezando a radia¸c˜ao)
H
2
H
2
o
=Ω
m,o
(1 + z)
3
+(1− Ω
m,o
). (2.70)
24 Tese de Doutorado
Figura 2.3: Evolu¸c˜ao do fator de escala para o modelo ΛCDM considerando k =
+1, 0, −1 e diversos valores dos parˆametros de mat´eria e constante cosmol´ogica.
O primeiro termo representa a contribui¸c˜ao da mat´eria n˜ao relativ´ıstica (b´arions + mat´eria escura
fria). O segundo termo representa a contribui¸c˜ao da constante cosmol´ogica.
´
E f´acil calcular o valor
do fator de escala para o qual a densidade de mat´eria ´e igual `a densidade de energia da constante
cosmol´ogica
a
mΛ
=(
Ω
m,o
1 − Ω
m,o
)
1/3
. (2.71)
A equa¸c˜ao (2.70) pode ser integrada fornecendo a seguinte solu¸c˜ao anal´ıtica
H
o
t =
2
3
1 − Ω
m,o
ln[(
a
a
mΛ
)
3
+
1+(
a
a
mΛ
)
3
]. (2.72)
Para tempos em que a<<a
mΛ
, a equa¸c˜ao acima se reduz a
a(t) ≈ (
3
2
Ω
m,o
H
o
t)
2/3
. (2.73)
Assim, a ∝ t
2/3
o que corresponde a um Universo dominado pela mat´eria. Para tempos futuros, isto
´e , a>>a
mΛ
, a equa¸c˜ao se reduz a
a(t) ≈ a
mΛ
exp[
1 − Ω
m,o
H
o
t], (2.74)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 25
isto ´e, a ∝ e
At
, onde A ´e uma constante, e que corresponde a um Universo de de-Sitter.
Nesta se¸c˜ao consideramos apenas solu¸c˜oes para modelos sem curvatura espacial (k = 0), o que
est´a em acordo com as observa¸c˜oes da radia¸c˜ao c´osmica de fundo. Enfatizamos contudo, que n˜ao se
pode afirmar que modelos tanto com curvatura espacial positiva como negativa estejam totalmente
descartados. As observa¸c˜oes indicam apenas que a curvatura espacial ´e pr´oxima de zero. Nas
referˆencias [153] e [201] pode-se encontrar solu¸c˜oes anal´ıticas detalhadas para diversas combina¸c˜oes
do parˆametro de curvatura e das componentes de mat´eria e energia. Na figura 2.3 mostramos a
evolu¸c˜ao do fator de escala para alguns desses modelos no caso de duas componentes: mat´eria n˜ao
relativ´ıstica e constante cosmol´ogica.
2.4 A Expans˜ao C´osmica, o Parˆametro de Desacele-
ra¸c˜ao e a Idade do Universo
Uma das quest˜oes fundamentais na cosmologia ´e determinar a hist´oria da expans˜ao c´osmica, isto
´e, determinar exatamente como o fator de escala varia com o tempo. Embora o fator de escala n˜ao
seja diretamente observ´avel, ele pode ser deduzido indiretamente das observa¸c˜oes. Se conhecemos
exatamente todas as componentes do Universo e suas respectivas densidades, poder´ıamos utilizar
as equa¸c˜oes de Friedmann para determinar o fator de escala, seja num´erica ou analiticamente. Mas
conhecer de forma acurada e precisa a contribui¸c˜ao de cada componente do Universo ´e uma tarefa
muito dif´ıcil. Uma forma emp´ırica de obter informa¸c˜ao sobre o fator de escala ´e utilizar observa¸c˜oes
em torno da ´ep oca atual. Para isto ´e ´util definir algumas quantidades denominadas de parˆametros
cosmol´ogicos.
Determinar a forma funcional exata do fator de escala, como mencionamos acima, ´e bastante
complicado. Uma forma aproximada de conseguir determinar a(t) ´e utilizar uma expans˜ao em s´erie
de Taylor para a(t) ao redor do tempo atual t
o
. A expans˜ao de Taylor ´e
a(t)=a(t
o
)+
da
dt
|
t=t
o
(t − t
o
)+
1
2
d
2
a
dt
2
|
t=t
o
(t − t
o
)
2
+ ... (2.75)
Para repro duzir o fator de escala exatamente precisamos de um n´umero infinito de termos. No
entanto, a utilidade dessa expans˜ao est´a no fato de supor que a(t) ´e uma fun¸c˜ao suave do tempo.
26 Tese de Doutorado
Assim, podemos usar somente os primeiros termos da expans˜ao para obter o fator de escala com uma
boa aproxima¸c˜ao na vizinhan¸ca de t
o
. A maioria dos modelos cosmol´ogicos apresentam um fator de
escala sem grandes oscila¸c˜oes, e n˜ao ha evidˆencias para se considerar que a(t) mude bruscamente
com o tempo. Dessa forma, mantendo os trˆes primeiros termos na expans˜ao de Taylor, o fator de
escala no passado recente e no futuro pr´oximo ´e bem aproximado por
a(t) a(t
o
)+
da
dt
|
t=t
o
(t − t
o
)+
1
2
d
2
a
dt
2
|
t=t
o
(t − t
o
)
2
. (2.76)
Usando a normaliza¸c˜ao a(t
o
) = 1, a express˜ao acima pode ser escrita como
a(t) 1+H
o
(t −t
o
) −
1
2
q
o
H
2
o
(t − t
o
)
2
. (2.77)
Na equa¸c˜ao acima H
o
´e a constante de Hubble e o parˆametro adimensional, q
o
, ´e o valor atual do
parˆametro de desacelera¸c˜ao. Esse parˆametro ´e definido como
q(t)=−
¨aa
˙a
2
. (2.78)
Note que q(t), ´e definido de tal modo que q(t) > 0 se o Universo estiver expandindo desacelerada-
mente, ou seja ¨a<0, e ser´a negativo no caso de uma expans˜ao acelerada (¨a>0). A conven¸c˜ao de
sinais adotada para q(t), assim como a pr´opria nomenclatura desse parˆametro, ´e devida ao fato de
que at´e pouco tempo atr´as era quase um consenso entre os cosm´ologos, j´a que a gravidade ´e atrativa,
que o Universo deveria estar se expandindo desaceleradamente.
Voltando `a expans˜ao em s´erie de Taylor para a(t) equa¸c˜ao (2.77) podemos observar que ela ´e uma
express˜ao independente das equa¸c˜oes de Friedmann e ´e simplesmente uma descri¸c˜ao cinem´atica da
expans˜ao do Universo em ´epocas t ∼ t
o
. Em um famoso artigo de 1970, Allan Sandage [154] defendia
a id´eia de que o objetivo da cosmologia era a busca de dois n´umeros: H
o
e q
o
. No entanto, desde
essa data at´e hoje tem se desenvolvido uma s´erie de testes observacionais, como tamb´em modelos
cosmol´ogicos, que mostram que uma descri¸c˜ao completa do Universo deve incluir mais parˆametros
que os dois mencionados.
Para determinar o valor de q
o
para um modelo cosmol´ogico particular podemos utilizar a segunda
equa¸c˜ao de Friedmann (2.33). Por exemplo, se nosso modelo ´e composto por v´arias componentes,
onde cada uma delas tem uma equa¸c˜ao de estado w
i
diferente, a equa¸c˜ao (2.33) pode ser escrita
Alan M. Vel´asquez-Toribio 27
como
¨a
a
= −
4πG
3
i
ρ
i
(1+3w
i
). (2.79)
Dividindo por H
2
temos
−
¨a
aH
2
=
1
2
8πG
3H
2
i
ρ
i
(1+3w
i
), (2.80)
onde a express˜ao entre colchetes ´e a densidade cr´ıtica. Assim, utilizando a defini¸c˜ao do parˆametro
de densidade (2.37), podemos escrever a equa¸c˜ao de Friedmann como
−
¨a
aH
2
=
1
2
i
Ω
i
(1 + 3w
i
). (2.81)
Dessa forma, avaliando a equa¸c˜ao acima em t
o
obtemos a rela¸c˜ao entre q
o
e os parˆametros de
densidade das diferentes componentes do Universo. Se consideramos um modelo cosmol´ogico com
mat´eria n˜ao relativ´ıstica (w = 0) e constante cosmol´ogica (w = −1) obtemos
q
o
=
1
2
Ω
m,o
− Ω
Λ,o
. (2.82)
Para Ω
m,o
=0, 30 e Ω
Λ,o
=0, 70 obtemos q
o
= −0.55. Esse valor est´a em acordo com testes
cosmol´ogicos atuais; veja por exemplo a referˆencia [205].
No que segue vamos considerar brevemente a quest˜ao da idade do Universo, que est´a estreita-
mente relacionada ao parˆametro de Hubble. Em 1929 E. Hubble obteve um valor extremamente
elevado para a constante que leva seu nome (H
o
≈ 530kms
−1
Mpc
−1
). O valor encontrado implicava
em uma idade para o Universo inferior `a idade da Terra o que levou Eddington a manter a constante
cosmol´ogica nas equa¸c˜oes de Einstein, mesmo ap´os a descoberta da expans˜ao do Universo. Como
veremos, uma constante cosmol´ogica n˜ao nula aumenta a idade te´orica do Universo. Desde ent˜ao,
o valor estimado pelos astrˆonomos para H
o
tem diminuido ao longo da hist´oria da Cosmologia,
sendo que durante certo tempo dois grupos rivais advogaram valores distintos para H
o
; um grupo de
astrˆonomos defendia valores tais que H
o
∼ 50kms
−1
Mpc
−1
enquanto o outro argumentava em favor
de H
o
∼ 100kms
−1
Mpc
−1
. Embora ainda exista controv´ersias, medidas recentes de H
o
convergem
para valores intermedi´arios, em torno de 70kms
−1
Mpc
−1
. Por exemplo, dados do WMAP3 [178],
indicam H
o
= (73 ± 3)kms
−1
Mpc
−1
.
Para modelos cosmol´ogicos singulares a idade do Universo ´e o tempo c´osmico entre o instante
inicial (t
i
= 0), quando come¸cou a expans˜ao (o suposto ”Big Bang”), e o tempo presente (t
f
= t
o
).
28 Tese de Doutorado
Assim, em geral, a idade do Universo ´e dada pela integral
t
o
=
t
o
0
dt
=
∞
0
dx
(1 + x)H(x)
. (2.83)
Uma quantidade muito ´util ´e o chamado “tempo restropectivo” (look-back time) que para um
objeto com desvio para o vermelho z ´e definida como
∆t = t
o
− t =
1
H
o
z
0
dx
(1 + x)
Ω
m,o
(1 + x)
3
+Ω
Λ
,o
, (2.84)
onde consideramos H(z) de um modelo ΛCDM com k = 0 (equa¸c˜ao (2.40). Integrando a equa¸c˜ao
acima obtemos
∆t =
2
3H
o
Ω
Λ,o
ln[
1+Ω
1/2
Λ,o
1 − Ω
Λ,o
]. (2.85)
O “tempo retrospectivo” ´e a diferen¸ca de tempo entre a idade atual do Universo e a idade que o
Universo tinha em um desvio para o vermelho z qualquer. Na figura 2.4 apresentamos um gr´afico
da idade do Universo e do “tempo retrospectivo” (look-back time) considerando um modelo ΛCDM
com k =0.
Uma das t´ecnicas usadas para se obter um limite inferior para a idade do Universo ´e determinar
a idade de objetos astronˆomicos utilizando a abundˆancia de elementos radioativos pesados com meia-
vida da ordem de bilh˜oes de anos. Em particular urˆanio (U
235
, meia-vida 0, 704 × 10
9
anos e U
238
,
meia-vida 4, 468 × 10
9
anos) e t´orio (Th
232
, meia-vida 14, 05 × 10
9
anos), que decaem em is´otopos
est´aveis de chumbo. A rela¸c˜ao entre as abundˆancias iniciais e observadas ´e uma lei exponencial do
tipo
U
obs
= U
ini
e
−t
∗
/τ
, (2.86)
onde o ´ındice “obs”indica a abundˆancia observada, “ini”a abundˆancia inicial, τ ´e o tempo carac-
ter´ıstico de decaimento-α (t = meia-vida/ ln 2) e t
∗
´e o tempo decorrido. Utilizando medidas de
abundˆancia de urˆanio e t´orio podemos estimar o tempo decorrido (a idade) utilizando a equa¸c˜ao
[118]
log(
Th
232
obs
U
238
obs
)=log(
Th
232
ini
U
238
ini
)+t
∗
(
1
τ
U
−
1
τ
th
)log(e). (2.87)
O uso de raz˜oes de abundˆancias reduz a incerteza do m´etodo; a razˆao das abundˆancias iniciais ´e
obtida de modelos te´oricos da produ¸c˜ao de elementos em supernovas pelo processo-r (log(Th
232
ini
/U
238
ini
)=
Alan M. Vel´asquez-Toribio 29
Figura 2.4: Idade de expans˜ao para um mo delo cosmol´ogico ΛCDM. Consideramos
diversas combina¸c˜oes para os parˆametros Ω
m
eΩ
Λ
.
30 Tese de Doutorado
0, 1 ± 0.1, [82]). Usando essa t´ecnica (assim como outros elementos: ´osmio e ir´ıdio), Cayrel et al.
[40] obtˆem o seguinte valor para a idade da Via L´actea:
t
radiativo
= (13, 3 ± 3)Ga. (2.88)
No entanto, o uso deste m´etodo ´e complicado pela falta de conhecimento das condi¸c˜oes iniciais do
decaimento.
Outra forma de estimar um limite inferior para a idade do Universo est´a baseada na teoria de
evolu¸c˜ao estelar. Os aglomerados globulares est˜ao entre os objetos mais antigos do Universo, que se
formaram rapidamente (escala de tempo de colapso de um aglomerado globular ´e de alguns milh˜oes
de anos) junto com a gal´axia hospedeira. A idade dos aglomerados pode ser determinada atrav´es
da teoria de evolu¸c˜ao estelar. As estrelas de um aglomerado globular se formam essencialmente ao
mesmo temp o. A medida que o tempo passa, as estrelas de maior massa deixam a Seq¨uˆencia Principal
e come¸cam a p ovoar sucessivamente o ramo das gigantes vermelhas (RGB), ramo horizontal. A
magnitude do “Ponto de desligamento”(turn-off) (ponto onde a Sequˆencia Principal “termina”e
se junta ao RGB) se torna cada vez menos brilhante e mais vermelho. Ajustando um mo delo de
evolu¸c˜ao estelar ao diagrama HR
2
de um aglomerado globular, podemos determinar sua idade. Este
m´etodo depende de modo crucial da determina¸c˜ao da luminosidade intr´ınseca das estrelas. Este tipo
de medidas constitui um importante v´ınculo para a idade do Universo e a teoria de forma¸c˜ao de
gal´axias. A maioria dos estudos concordam com uma idade da ordem de 12 Ga para os aglomerados
mais antigos [99].
Finalizando esta se¸c˜ao ´e importante mencionar que para uma descri¸c˜ao mais completa das
propriedades do Universo seria necess´ario incluir outros parˆametros cosmol´ogicos como o ´ındice
espectral, profundidade ´otica de ioniza¸c˜ao, fator de vi´es etc, que n˜ao foram considerados aqui pois
n˜ao tem uma conex˜ao direta com os resultados que apresentaremos nos cap´ıtulos seguintes e por
estarem fora do escopo de uma curta revis˜ao. Para uma revis˜ao mais extensa sugerimos as referˆencias
[57, 205].
2
O Diagrama de Hertzsprung-Russell ou diagrama HR: ´e uma rela¸c˜ao emp´ırica existente entre a
luminosidade de uma estrela e sua temperatura superficial.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 31
2.5 Distˆancias Cosmol´ogicas
A distˆancia pr´opria entre um observador e uma fonte (gal´axia) pode ser calculada utilizando a
m´etrica F LRW . Um observador na origem do sistema de coordenadas recebe hoje (t
o
), um sinal
emitido por uma fonte em (χ,θ,φ). Ao longo de uma geod´esica radial nula entre o observador e a
fonte, as coordenadas (θ, φ) s˜ao constantes. Assim, usando a m´etrica (2.9), obtemos:
dχ =
dt
a(t)
. (2.89)
O valor atual do fator de escala vezes χ nos d´a a distˆancia com´ovel, entre a fonte e o observador, a
qual n˜ao muda com o tempo:
d
c
= a
o
χ = a
o
z
0
dz
H(z)
, (2.90)
A distˆancia pr´opria ´e definida como
d
p
=
a(t)
a
o
d
c
= a(t)
z
0
dz
H(z)
, (2.91)
onde H(z) ´e o parˆametro de Hubble.
Outra distˆancia muito utilizada em cosmologia ´e a distˆancia de luminosidade. No espa¸co-tempo
de Minkowski a luminosidade intr´ınseca L
e
de uma dada fonte localizada a uma distˆancia d de
um observardor O est´a relacionada com o fluxo de energia f medido por O como f =
L
e
4πd
2
.Em
completa analogia com essa rela¸c˜ao, para um Universo em expans˜ao definimos a chamada distˆancia
de luminosidade como
d
2
L
=
L
e
4πf
, (2.92)
Observacionalmente pode-se obter a distˆancia de luminosidade de uma fonte medindo-se o seu
fluxo e supondo conhecida a sua luminosidade absoluta. Fontes cuja luminosidade absoluta ´e conhe-
cida s˜ao denominadas “Velas Padr˜ao”. Como exemplos desse tipo de fonte mencionamos as vari´aveis
Cefeidas e as supernovas do tipo Ia.
Consideremos ent˜ao uma fonte localizada na coordenada com´ovel χ
e
e um observador O em
χ
o
= 0. A energia dos f´otons emitidos pela fonte no intervalo de tempo ∆t
e
´e denotada como ∆E
e
.
Similarmente para O temos ∆E
o
e∆t
o
. Note que ∆E
e
e∆E
o
s˜ao proporcionais `a freq¨uˆencia dos
32 Tese de Doutorado
f´otons que por sua vez s˜ao proporcionais ao tempo em χ
e
e χ
o
, respectivamente, assim, ∆t
e
∝ ν
e
e
∆t
o
∝ ν
o
. As luminosidades L
e
e L
o
s˜ao
L
e
=
∆E
e
∆t
e
,L
o
=
∆E
o
∆t
o
. (2.93)
Utilizando agora a equa¸c˜ao (2.15) obtemos:
ν
e
ν
o
=
E
e
E
o
=
t
e
t
o
=1+z, desta forma, ´e f´acil mostrar que
L
e
= L
o
(1 + z)
2
. (2.94)
Por outro lado, a ´area da esfera centrada na fonte no instante da detec¸c˜ao, considerando a m´etrica
FLRW, ´e dada por
A =4π(f
k
(χ))
2
, (2.95)
onde estamos considerando a(t
o
)=1ef
k
(χ) ´e dado pela equa¸c˜ao (2.9). Assim, substituindo (2.92)
e (2.95) na equa¸c˜ao (2.92) a distˆancia de luminosidade resulta
d
L
= f
k
(χ)(1 + z), (2.96)
para o caso k = 0, temos que f
k
(χ)=χ, com χ dado por
χ =
z
0
dz
H(z)
, (2.97)
portanto, a distˆancia de luminosidade ´e
d
L
=(1+z)
z
0
dz
H(z)
. (2.98)
Outra distˆancia importante ´e a distˆancia de diˆametro angular. Suponha que em lugar de uma
vela padr˜ao temos uma r´egua padr˜ao
3
e suponha a linha de visada de um dado observador O ´e
perpendicular `a r´egua padr˜ao. Uma representa¸c˜ao gr´afica disto ´e mostrada na figura 2.5. Seja δ
o tamanho angular observado na origem (χ
o
= 0), por um observador O, de uma dada fonte que
possui diˆametro pr´oprio D localizada em χ
e
e cuja radia¸c˜ao, observada hoje (t = 0), foi emitida no
instante t
e
. Considerando a geometria da figura e que δ<<1 temos
d
A
=
D
δ
. (2.99)
3
Uma r´egua padr˜ao ´e um objeto cujo comprimento pr´oprio ´e conhecido.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 33
Figura 2.5: Geometria da distˆancia de diˆametro angular
Esta fun¸c˜ao de D e δ ´e denominada de distˆancia de diˆametro angular. Note que a distˆancia de
diˆametro angular ´e igual `a distˆancia pr´opria `a fonte se o Universo for est´atico e Euclideano. Em
geral, se consideramos um Universo em expans˜ao a distˆancia de diˆametro angular ´e diferente da
distˆancia pr´opria. em um Universo com m´etrica de F LRW podemos etiquetar os extremos da fonte
como (χ
e
,θ
e1
,φ
e
)e(χ
e
,θ
e2
,φ
e
). Os f´otons emitidos pela fonte viajam atrav´es de geod´esicas com
θ = φ =constantes. Assim, o tamanho angular da fonte ser´a δ = θ
e2
− θ
e1
. A distˆancia ds entre os
dois extremos da fonte, medida no tempo t
e
quando a luz foi emitida, pode ser calculada da m´etrica
(2.9) como
ds = a(t
e
)f
k
(χ)δ. (2.100)
No entanto, como o diˆametro pr´oprio da fonte D ´e conhecido, podemos fazer ds = D, e assim
encontramos
D = a(t
e
)f
k
(χ)δ =
f
k
(χ)δ
1+z
. (2.101)
Portanto, substituindo a express˜ao acima na equa¸c˜ao (2.99), a distˆancia de diˆametro angular
resulta
d
A
=
D
δ
=
f
k
(χ)
1+z
. (2.102)
Comparando este resultado com a equa¸c˜ao (2.96) obtemos uma rela¸c˜ao entre a distˆancia de lumi-
34 Tese de Doutorado
z
D (z)/D
Ah
Figura 2.6: Distˆancia de luminosidade para um modelo de mat´eria + constante cos-
mol´ogica (Ω
m
, Ω
Λ
) = (1,0) linha s´olida, (0,05;0) pontilhada,(0,2;0,8) tracejada.
nosidade e de diˆametro angular
d
A
=
d
L
(1 + z)
2
. (2.103)
Desta forma, se observamos um objeto que ´e ao mesmo tempo vela e r´egua padr˜ao, a distˆancia
de diˆametro angular do objeto para um dado z ser´a menor que a distˆancia de luminosidade. Con-
siderando um Universo com k = 0 obtemos a seguinte rela¸c˜ao entre a distˆancia pr´opria, de luminosi-
dade e de diˆametro angular
d
L
(1 + z)
= d
A
(1 + z)=d
p
(t
o
). (2.104)
Observando a ´ultima igualdade podemos ver que se calculamos a distˆancia de diˆametro angular esta
n˜ao ´e igual `a distˆancia pr´opria em t
o
, mas sim a distˆancia pr´opria no tempo em que os f´otons foram
emitidos pela fonte : d
A
= d
p
(t
o
)/(1 + z)=d
p
(t
e
).
Nas figuras 2.6 e 2.7 podemos observar gr´aficos da distˆancia de luminosidade e de diˆametro
angular para o modelo (Ω
m
, Ω
Λ
) considerando diferentes valores destes parˆametros.
Finalmente, para maiores detalhes sobre o modelo cosmol´ogico padr˜ao existem v´arios livros e
Alan M. Vel´asquez-Toribio 35
z
D (z)/D
Lh
Figura 2.7: Distˆancia de diˆametro angular para um modelo de mat´eria + constante
cosmol´ogica (Ω
m
, Ω
Λ
) = (1,0) linha s´olida, (0,05;0) pontilhado,(0,2;0,8) tracejado
36 Tese de Doutorado
artigos que tratam extensivamente o tema. Por exemplo, para considerar aspectos de simetria da
m´etrica F LRW o Cap´ıtulo 11 do livro de S. Weinberg [201] ´e uma ´otima referˆencia. Particularmente
interessante resulta o artigo de Ellis, G.F.R. [62] sobre modelos cosmol´ogicos, em que ele trata de
forma rigorosa as equa¸c˜oes de Friedmann, analisando seu significado geom´etrico e o tensor energia-
momentum, n˜ao limitando-se ao caso de fluido perfeito. No livro de Kolb e Turner [106] pode-se
encontrar detalhes sobre o Universo primordial, infla¸c˜ao e aspectos termodinˆamicos do Universo. O
livro de Coles e Lucchin [46] tem uma boa apresenta¸c˜ao de distˆancias cosmol´ogicas e a esse respeito
tamb´em ´e interessante olhar a tese de Tamara Davis [56] e o artigo de Hogg [92]. O livro de Dodelson
[57] ´e uma ´otima introdu¸c˜ao para a teoria linear de perturba¸c˜oes, tema que n˜ao foi abordado em
nossa breve revis˜ao.
Cap´ıtulo 3
Mat´eria e Energia Escuras no
Universo
Na primeira parte deste cap´ıtulo apresentamos uma breve revis˜ao das evidˆencias observacionais
e de poss´ıveis candidatos `a mat´eria escura. Na segunda parte, ap´os discutirmos as evidˆencias mais
importantes que indicam uma expans˜ao acelerada do Universo, apresentamos alguns dos principais
modelos te´oricos propostos para a energia escura.
37
38 Tese de Doutorado
3.1 Mat´eria escura no Universo
3.1.1 Nucleoss´ıntese Primordial e o Conte´udo de Mat´eria
Bariˆonica
A maior parte da mat´eria e energia do Universo parece ser de origem desconhecida. Atualmente
existem evidˆencias que nos levam a acreditar que o Universo ´e composto por um ter¸co de mat´eria
n˜ao relativ´ıstica (Ω
mo
=1/3) e dois ter¸cos de energia escura (Ω
Λ
=2/3). Estimativas baseadas em
medidas de aglomerados de gal´axias indicam que a componente bariˆonica total do Universo ´e aproxi-
madamente igual Ω
bo
≈ 0, 042. Ettori [64] discute a forma como se distribui a mat´eria bariˆonica
em aglomerados de gal´axias. Ele conclui que do total de mat´eria bariˆonica ≈ 13% encontra-se em
estrelas e seus remanescentes, ≈ 70% no g´as intra-aglomerado de gal´axias e ≈ 17% encontra-se na
forma de mat´eria bariˆonica escura (p or exemplo, objetos compactos escuros como an˜as marrons e
buracos negros).
Outra das formas de determinar o conte´udo bariˆonico total ´e utilizar a teoria da nucleoss´ıntese
primordial que constitui um dos pilares do modelo padr˜ao da cosmologia . Os blocos b´asicos da
nucleoss´ıntese s˜ao os nˆeutrons e pr´otons. A massa de repouso de um nˆeutron ´e maior que a de um
pr´oton por Q
n
=1, 29MeV. Quando o Universo tinha ∼ 0, 1 s, sua temperatura era de aproximada-
mente T ≈ 3 × 10
10
K, e a energia m´edia por f´otom era de ≈ 10 MeV. Essa energia dos f´otons ´e
bem maior que a massa de repouso de um el´etron (ou p´ositron), e atrav´es da cria¸c˜ao de pares ambas
as part´ıculas elementares estavam presentes em abundˆancia no Universo. As rea¸c˜oes que mantˆem o
equil´ıbrio pr´oton-nˆeutron s˜ao:
n → p + e
−
+¯ν
e
, (3.1)
n + ν
e
→ p + e
−
, (3.2)
p +¯ν
e
→ n + e
+
. (3.3)
A primeira rea¸c˜ao representa o decaimento do nˆeutron, a segunda rea¸c˜ao ´e a intera¸c˜ao de nˆeutrons
com neutrinos e a ´ultima rea¸c˜ao ´e a de nˆeutrons com anti-neurtinos. Em altas temperaturas as
densidades num´ericas de pr´otons e nˆeutrons s˜ao praticamente iguais. No entanto, `a medida que
Alan M. Vel´asquez-Toribio 39
3
He/H
p
D/H
p
4
He
3
He
___
H
D
___
H
0.23
0.22
0.24
0.25
0.26
10
−
4
1
0
−
3
1
0
−
5
10
−
9
1
0
−
10
2
5
7
Li/H
p
Y
Baryon-to-photon ratio η
10
2
3456789
101
Baryon density Ω
b
h
2
0.01 0.02 0.030.005
CMB
Figura 3.1: As abundˆancias de
4
He, D,
3
He and
7
Li como prevista pela nucleoss´ıntese
primordial. Figuras extra´ıdas de [38]
a temp eratura cai devido `a expans˜ao do Universo, o equil´ıbrio se desloca favorecendo um maior
n´umero de pr´otons. A raz˜ao das densidades num´ericas de pr´otons e nˆeutrons evolui seguindo a
express˜ao (estat´ıstica de Maxwell-Boltzmann)
n
n
n
p
= e
−
Q
n
k
B
T
. (3.4)
onde k
B
´e a constante de Boltzmann. Quando a temperatura ´e da ordem de 10
12
K, a raz˜ao n
n
/n
p
´e da ordem de 0, 98. Quando a temperatura diminui at´e ≈ 10
10
K, temos que n
n
/n
p
≈ 0, 22. Abaixo
de T ≈ 10
10
K, as rea¸c˜oes acima n˜ao s˜ao r´apidas o suficiente para manter o equil´ıbrio e a raz˜ao
nˆeutron-pr´oton ”congela”em ∼ 0, 17. Nesta fase o passo essencial na nucleoss´ıntese ´e a forma¸c˜ao de
deut´erio (D). Um pr´oton e nˆeutron se juntam para formar deut´erio
p + n → D + γ. (3.5)
Assim, mediante esta rea¸c˜ao o deut´erio ´e produzido, mas ´e rapidamente foto-dissociado e os n´ucleos
mais p esados (
3
H e
3
He, mais est´aveis) n˜ao tˆem tempo de serem formados. Apesar de a ener-
40 Tese de Doutorado
gia de liga¸c˜ao do deut´erio ser ≈ 2, 23MeV, o deut´erio ´e destru´ıdo rapidamente pois os f´otons s˜ao
suficientemente energ´eticos para manter uma taxa de foto-dissocia¸c˜ao alta. Unicamente quando a
temperatura dos f´otons cai a ≈ 100 KeV o deut´erio produzido deixa de ser foto-dissociado e a nu-
cleoss´ıntese continua. C´alculos detalhados da nucleoss´ıntese primordial envolve um grande n´umero
de rea¸c˜oes nucleares assim para levar em conta isto foram desenvolvidos v´arios c´odigos e m´etodos
num´ericos [134, 153]. Um resultado t´ıpico disto ´e mostrado na figura 3.1 (direita). Como podemos
observar, inicialmente, para T>>10
9
K, quase todo o conte´udo bariˆonico est´a na forma de pr´otons e
nˆeutrons. Quando a temperatura vai diminuindo come¸ca a s´ıntese do deut´erio e tamb´em de is´otopos
de
3
He. Por outro lado, para temperaturas menores que 10
8
K, quando aproximadamente a nucle-
oss´ıntese termina, uma fra¸c˜ao de deut´erio permanece, o que explica sua detec¸c˜ao nas observa¸c˜oes
astrof´ısicas [153].
Para verificar as previs˜oes da nucleoss´ıntese primordial ocorrida nos primeiros minutos da
evolu¸c˜ao do Universo, devemos observar regi˜oes pobres em metais, onde os efeitos da nucleoss´ıntese
estrelar (destrui¸c˜ao de deut´erio e
7
Li, s´ıntese de
4
He) s˜ao m´ınimos. A abundˆancia de
4
He ´e inferida
das observa¸c˜oes de suas linhas de emiss˜ao em regi˜oes HII pobres em metais. A abundˆancia do
7
Li ´e
inferida de observa¸c˜oes de linhas de absor¸c˜ao detectadas em estrelas quentes, de baixa metalicidade,
encontradas no halo de nossa gal´axia[134]. O
3
He s´o ´e observado em regi˜oes HII de nossa gal´axia.
A extrapola¸c˜ao das observa¸c˜oes para z = 0, assim como para a ´epoca da nucleoss´ıntese primordial
dependem de modelos de evolu¸cˆao qu´ımica da gal´axia. As incertezas s˜ao grandes devido ao fato
de o
3
He ser sintetizado e destru´ıdo em estrelas, dependendo da massa e de detalhes da evolu¸c˜ao
estelar. Isto faz com que o
3
He seja o n´ucleo mais problem´atico para ser comparado com as previs˜oes
te´oricas.
Particularmente importante para determinar o conte´udo bariˆonico do Universo ´e a abundˆancia
natural de deut´erio D. O deut´erio ´e um elemento que facilmente participa de rea¸c˜oes nucleares e
n˜ao ´e sintetizado nas estrelas, ele ´e sempre destru´ıdo; assim, como conseq¨uˆencia, nenhum deut´erio
poderia ter permanecido nas estrelas. Sua observa¸c˜ao sempre nos d´a um limite inferior de sua
abundˆancia.
No fim do s´eculo XX se tornou poss´ıvel medir a abundˆancia de D em regi˜oes de alto z, baixa
Alan M. Vel´asquez-Toribio 41
metalicidade e que produzem linhas de absor¸c˜ao de QSO
1
. Esta t´ecnica permitiu determinar com boa
precis˜ao o conte´udo de deut´erio e assim determinar o conte´udo bariˆonico do Universo. Na figura 3.1
(esquerda) podemos observar a dependˆencia do conte´udo de deut´erio relativo ao hidrogˆenio e tamb´em
o conte´udo relativo de outros elementos importantes. A abundˆancia do deut´erio ´e aproximadamente
[134] D =(2, 9 ± 0, 3)10
−5
. Este valor conduz a um Ω
bo
entre
0, 019 < Ω
bo
h
2
< 0, 027, (3.6)
com um valor central Ω
bo
h
2
=0, 021. Combinando as abundˆancias de D,
4
He e
7
Li e considerando
uma faixa para a raz˜ao b´arion-f´oton de 4, 9 ×10
−10
<η<6, 4 × 10
−10
obt´em-se um valor para Ω
bo
entre
0, 018 < Ω
bo
h
2
< 0, 023. (3.7)
Estas estimativas s˜ao corrob oradas por c´alculos da abundˆancia de b´arions a partir das ob-
serva¸c˜oes das flutua¸c˜oes de temperatura na radia¸c˜ao c´osmica de fundo feitas pelo sat´elite WMAP
(figura 3.2). A posi¸c˜ao e amplitude dos picos ac´usticos no espectro de potˆencias das flutua¸c˜oes
de temperatura da RCF dependem do parˆametro Ω
bo
. A an´alise feita com os dados do WMAP3
[178] indica que Ω
bo
h
2
=0, 02229 ± 0, 00073. Repare que esses valores s˜ao consistentes com os
obtidos mediante a nucleoss´ıntese primordial, por´em a determina¸c˜ao destes valores da RCF s˜ao
fortemente dependentes do modelo cosmol´ogico suposto. Por exemplo, esse resultado anteriormente
citado corres-ponde aos c´alculos de Spergel et al. que considera o modelo ΛCDM. Para detalhes de
como os picos ac´usticos do espectro de potˆencia da RCF dependem da densidade de b´arions pode-se
consultar as referˆencias [184] e, em especial, [89].
Como podemos observar, o conte´udo de mat´eria bariˆonica total determinado pela nucleoss´ıntese
primordial e a RCF ´e muito menor que o conte´udo de mat´eria n˜ao-relativ´ıstica total do Uni-
verso (Ω
mo
≈ 0, 30) e de fato existem evidˆencias para acreditar numa componente de mat´eria
n˜ao-bariˆonica, com propriedades ex´oticas. Estas evidˆencias vˆem principalmente das medidas de
1
Objetos Quase-Estelares (QSO): correspondem aos objetos mais luminosos de uma classe de
objetos conhecidos como n´ucleos ativos de gal´axias. Tˆem um brilho muito grande e s˜ao detectados
at´e z ≈ 5. Por estarem localizados a distˆancias cosmol´ogicas, a luz que emitem intercepta outros
objetos na linha de visada entre n´os e a fonte criando linhas de absor¸c˜ao nos espectros de QSO.
42 Tese de Doutorado
Figura 3.2: Esp ectro de potˆencia angular da flutua¸c˜oes da radia¸c˜ao c´osmica de fundo
(RCF). Figura extra´ıda de [178]
massa de aglome-rados de gal´axias. No que se segue, faremos uma breve revis˜ao das evidˆencias da
existˆencia de mat´eria escura.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 43
3.2 Evidˆencias da Existˆencia de Mat´eria Escura
Antes de descrevermos evidˆencias da existˆencia de mat´eria escura na escala de aglomerados de
gal´axias, ´e importante considerar que uma das mais fortes evidˆencias da existˆencia de mat´eria escura
na escala de gal´axias s˜ao as medidas das curvas de rota¸c˜ao de gal´axias espirais. No in´ıcio da d´ecada
de 70 do s´eculo passado, curvas de rota¸c˜ao de gal´axias foram medidas sistematicamente. Freeman
[71] foi quem propˆos que as curvas de rota¸c˜ao planas seriam evidˆencias da existˆencia de um halo
escuro massivo, aproximadamente esferoidal. Estas curvas de rota¸c˜ao s˜ao gr´aficos da velocidade
circular de estrelas e nebulosas, das gal´axias, em fun¸c˜ao de suas distˆancias ao centro gal´actico.
Na figura 3.3 apresentamos uma t´ıpica curva de rota¸c˜ao para a gal´axia NGC 6503. As curvas de
rota¸c˜ao s˜ao usualmente obtidas atrav´es de observa¸c˜oes de linhas de hidrogˆenio de 21 cm e de medidas
fotom´etricas. Como uma caracter´ıstica geral, elas exibem um patamar plano a grandes distˆancias
do centro gal´actico, fora do disco vis´ıvel. Na dinˆamica newtoniana a velocidade circular das estrelas
numa gal´axia pode ser expressada como
v(r)=
GM(r)
r
, (3.8)
onde G ´e a constante gravitacional e M (r) ´e a massa da gal´axia que pode ser expressada como
M(r)=4π
ρ(r)r
2
dr, onde ρ(r) ´e a densidade de massa. Assim, seguindo um racioc´ınio newtoniano,
conforme nos afastamos do centro gal´actico a velocidade circular come¸ca a aumentar at´e um valor
m´aximo para depois come¸car a diminuir. Para distˆancias fora do disco vis´ıvel, onde a quantidade de
estrelas diminui consideravelmente, a velocidade deveria tender a zero. Por´em isto na pr´atica n˜ao
acontece. Como j´a mencionamos, a velocidade circular para grandes distˆancias do centro gal´actico
parece ser quase constante, o que parece implicar que a massa, dentro de r, continua a aumentar.
Observando a equa¸c˜ao acima podemos ver que curvas de rota¸c˜ao planas (v
c
constante) implicam
M(r) ∝ r a grandes distˆancias do centro gal´actico. Considerando a rela¸c˜ao massa-luminosidade os
resultados para curvas de rota¸c˜ao indicam uma rela¸c˜ao M/L = (10 − 20)M
s
/L
s
1
[26], onde M
s
´e
1
Massa-Luminosidade: rela¸c˜ao entre a massa e a luminosidade das estrelas; a curva M/L
´e quase uma linha reta em um gr´afico no qual a abcissa ´e o logaritmo da massa e a ordenada ´e
a magnitude absoluta; esta rela¸c˜ao ´e um meio para deduzir a massa de uma estrela quando sua
magnitude absoluta ´e conhecida
44 Tese de Doutorado
Figura 3.3: Curva de Rota¸c˜ao da gal´axia NGC 6503. Podemos observar que para
distˆancias grandes a caracter´ıstica ´e uma velocidade circular constante. Figura ex-
tra´ıda de [26].
a massa e L
s
a luminosidade solar. Para gal´axias com baixo brilho superficial (LSB), essa rela¸c˜ao
pode aumentar at´e uma faixa de M/L = (200 −600)M
s
/L
s
[32]. Essas gal´axias s˜ao boas candidatas
para serem dominadas por mat´eria escura pois possuem popula¸c˜oes estelares muito pequenas quando
comparadas com outras gal´axias. Elas nos permitem construir curvas de rota¸c˜ao onde os efeitos de
mat´eria escura s˜ao mais not´orios e diferenciados que no caso de gal´axias luminosas [33].
Outras t´ecnicas para inferir o efeito de mat´eria escura em escalas gal´acticas s˜ao o efeito de
microlentes gravitacionais[91], dispers˜ao de velocidade de gal´axias an˜as esferoidais[195], dispers˜ao
de velocidades de sat´elites de gal´axias espirais[207], a discrepˆancia de Oort no disco da Via L´actea[18],
entre outras.
A mat´eria escura n˜ao ´e uma descoberta recente na cosmologia, o que ´e recente ´e a descoberta
de suas m´ultiplas implica¸c˜oes cosmol´ogicas. Como j´a foi dito, ela ´e fundamental na forma¸c˜ao de
estruturas a grande escala. Uma das melhores evidˆencias da existˆencia de mat´eria escura est´a na
determina¸c˜ao de massas de aglomerados de gal´axias. Foi justamente nestas escalas de aglomerados
de gal´axias que pela primeira vez foi detectada a presen¸ca de mat´eria escura. Historicamente, a
Alan M. Vel´asquez-Toribio 45
mat´eria escura foi inferida das observa¸c˜oes de Zwicky em 1933 [209] e Smith em 1936 [176]. Eles
observaram que a dispers˜ao de velocidades das gal´axias dentro dos aglomerados (aglomerados de
Coma e Virgo) eram muito grandes para ser causadas somente pela gravidade das estrelas. A esse
respeito vamos considerar brevemente alguns m´etodos para determinar a massa de aglomerados e
que s˜ao: 1) o m´etodo baseado no teorema do virial, que utiliza a distribui¸c˜ao de velocidades radiais
de gal´axias e foi o m´etodo utilizado por Zwicky[209]; 2) o m´etodo que baseia-se nas observa¸c˜oes da
emiss˜ao de raios-X e que permite determinar a distribui¸c˜ao do g´as quente intra-aglomerado[26]; 3)
o m´etodo de lentes gravitacionais.
Consideremos em seguida brevemente o m´etodo baseado no teorema do virial. O teorema do
virial diz que para um sistema gravitacional em equil´ıbrio,
1
a energia cin´etica T e a energia potencial
W se relacionam pela express˜ao
2T + V =0. (3.9)
Se consideramos um sistema esf´erico de massa M , r
h
como o raio de uma esfera com centro no centro
de massa do aglomerado e contendo uma massa igual a M/2e<v
2
> como a velocidade quadr´atica
m´edia de todas as gal´axias no aglomerado, ent˜ao ´e poss´ıvel mostrar [153], fazendo hip´oteses razo´aveis,
que a energia potencial do sistema ´e
W = −α
GM
2
r
h
, (3.10)
onde α ´e um fator num´erico que depende do perfil de densidade do aglomerado. Para aglomerados
de gal´axias t´ıpicos α ≈ 0.4 [153] fornece um bom ajuste para a energia potencial. Tamb´em ´e poss´ıvel
mostrar que a energia cin´etica associada com o movimento relativo das gal´axias no aglomerado ´e
K =
1
2
M<v
2
>. (3.11)
Substituindo as express˜oes (3.10) e (3.11) na express˜ao do teorema do virial 3.9 temos que a massa ´e
da ordem de M ∼<v
2
>r
h
/αG. Infelizmente, n˜ao podemos utilizar diretamente est´a express˜ao para
determinar M . Isto deve-se a que temos informa¸c˜ao parcial do aglomerado, e assim n˜ao conhecemos
<v
2
> nem r
h
exatamente. Podemos calcular a velocidade projetada na linha de visada de cada
1
Teorema do Virial: Afirma que
¨
I =2V +4T , onde I ´e o momento de in´ercia. Para o caso de
um sistema est´atico e em equil´ıbrio
¨
I = 0, onde estamos usando um sistema de coordenadas no qual
o centro de massa do aglomerado est´a em repouso. Para detalhes ver [153].
46 Tese de Doutorado
gal´axia usando seu desvio para o vermelho, z, mas a velocidade perpendicular `a linha de visada ´e
desconhecida. Em geral, a aplica¸c˜ao do teorema do virial requer o conhecimento da distribui¸c˜ao de
velocidades e de massas das gal´axias no aglomerado. Na pr´atica se utiliza a dispers˜ao de velocidades
radiais das gal´axias ao longo da linha de visada, que ´e a quantidade observ´avel e que ´e definida como
σ
r
=< (v
r
− <v
r
>)
2
>
1/2
, (3.12)
onde v
r
´e a velocidade radial na linha de visada. Se supomos que a dispers˜ao de velocidades ´e
isotr´opica ent˜ao a velocidade quadr´atica m´edia <v
2
> ser´a igual a trˆes vezes a velocidade σ
2
r
. Desta
forma a massa do aglomerado ´e da ordem de
M ∝
3σ
2
r
h
αG
. (3.13)
Para estimar um valor aproximado para r
h
sup˜oe-se que o aglomerado tem simetria esf´erica, e se
estuda a distribui¸c˜ao de gal´axias dentro do aglomerado. Por exemplo, para o aglomerado de Coma
temos um valor de [153]
r
h
≈ 1.5h
−1
Mpc. (3.14)
Aplica¸c˜oes do teorema do virial mostram que aglomerados ricos tˆem massas dentro de um raio de
1.5h
−1
Mpc da ordem de M(r ≤ 1, 5h
−1
Mpc) ∼ (0, 1 −2) ×10
15
h
−1
M
s
. No caso do aglomerado de
Coma, que foi o aglomerado estudado por Zwicky, dentro de um raio de 1, 5h
−1
Mpc, tem-se que a
massa das estrelas ´e da ordem de M
est
∼ 1, 0 × 10
13
h
−1
M
s
e para o g´as M
gas
∼ 5, 5 ×10
13
h
−3/2
M
s
e a massa total ´e M
total
∼ 6, 8 ×10
14
h
−1
M
s
. Note que a massa total ´e ∼ 10 vezes maior que aquela
que se pode atribuir a estrelas e g´as.
Outra forma de determinar o conte´udo material em aglomerados ´e o m´etodo das medidas de
b´arions usando a emiss˜ao de raios-X do g´as intra-aglomerado. Este m´etodo est´a baseado no fato de
que os aglomerados p ossuem um meio gasoso que permeia o espa¸co entre as gal´axias chamado de
g´as intra-aglomerado. Esse g´as tem temperaturas altas da ordem de T ∼ 10
7
−10
8
K e uma de suas
principais caracter´ısticas ´e a emiss˜ao de raios-X. O mecanismo de emiss˜ao respons´avel pelos raios-X
´e a radia¸c˜ao de bremsstrahlung de um plasma quente. Nesse caso, a emissividade do g´as ´e dada por
∝ n
2
e
T
1/2
erg/cm
3
s, onde n
e
´e a densidade num´erica de el´etrons e a luminosidade ´e L
X
∼ V , onde
V ´e o volume da regi˜ao emissora. Estimativas desta luminosidade para v´arios aglomerados levam
Alan M. Vel´asquez-Toribio 47
a valores na faixa de L
X
∼ 10
10
− 10
12
L
s
[132]. Agora suponhamos que o g´as est´a em equil´ıbrio
hidrost´atico no po¸co de potencial do aglomerado, a sua distribui¸c˜ao pode mapear a distribui¸c˜ao de
massa do aglomerado. Em muitos aglomerados a distribui¸c˜ao tanto do g´as como a das gal´axias ´e a
mesma [26]. Ent˜ao nessas condi¸c˜oes de equil´ıbrio e considerando simetria esf´erica podemos escrever
1
p
dp
dr
= −
dΦ
dr
= −
GM(r)
r
2
. (3.15)
onde Φ representa o po¸co de potencial do aglomerado. Substituindo p, pela press˜ao de um g´as ideal
p =
ρk
b
T
µm
H
, sendo µ o peso molecular m´edio (igual a 0,6 para um g´as primordial totalmente ionizado),
k
b
´e a constante de Boltzmann, e resolvendo para M (r), teremos que a massa do aglomerado ´e [26]:
M(r)=−
kT
Gµm
H
r(
d ln ρ
d ln r
+
d ln T
d ln r
), (3.16)
A maior incerteza na determina¸c˜ao da massa do aglomerado est´a no c´alculo do perfil radial
de temperatura. Grosseiramente, a temperatura do g´as em aglomerados ´e constante fora da parte
central do aglomerado e o perfil de densidade do g´as observado segue uma lei de potˆencia com ´ındice
entre -2 e -1,5 [26]. Pode se mostrar que a temperatura obedece `a rela¸c˜ao
kT ≈ (1, 3 − 1, 8)(
M
r
10
14
M
s
)(
1Mpc
r
)KeV, (3.17)
onde M
r
´e a massa contida dentro do raio r. A discordˆancia entre a temperatura obtida usando a
equa¸c˜ao acima quando M
r
´e identificada com a massa bariˆonica e a obtida a partir das observa¸c˜oes (≈
10KeV), sugere a existˆencia de uma quantidade substancial de mat´eria escura em aglomerados. Para
o aglomerado de Coma, por exemplo, mapas de temperatura revelam que em m´edia kT ≈ 9KeV [153].
Desta forma, admitindo equil´ıbrio hidrost´atico, ´e obtida uma massa de ≈ (1−2)×10
14
M
s
h
−1
dentro
de um raio de 3, 6 Mpc. Esta estimativa ´e consistente com a massa estimada usando o teorema do
virial. No entanto, as estimativas usando o m´etodo de raios-X s˜ao muito mais precisas do que as
obtidas usando o teorema do virial [3].
No Cap´ıtulo 5 veremos que a determina¸c˜ao da fra¸c˜ao de b´arions em aglomerados gal´acticos po de
ser usada como um teste cosmol´ogico. Para isto h´a duas hipot´eses b´asicas. A primeira ´e considerar
que o conte´udo de b´arions nos aglomerados ´e representativo do conte´udo bariˆonico do Universo
inteiro e a outra ´e que a fra¸c˜ao de g´as do aglomerado n˜ao varia com o desvio para o vermelho.
Medidas atuais utilizando esse m´etodo como teste cosmol´ogico estabelecem Ω
m
=0, 30
+0,04
−0,03
[3].
48 Tese de Doutorado
Outro m´etodo que tamb´em encontra-se em boa correspondˆencia com os dois anteriores ´e o
m´etodo de lentes gravitacionais [163]. O efeito de lentes gravitacionais pode ser de dois tipos o efeito
forte ou o efeito fraco. O efeito forte tem dois efeitos principais: pode gerar imagens m´ultiplas de
uma fonte e pode gerar arcos gravitacionais que s˜ao deforma¸c˜oes das fontes em forma de arcos. O
efeito de lentes fracas ´e a distor¸c˜ao da forma das gal´axias de fundo pelo campo gravitacional do
aglomerado (lente). Ambos os efeitos (forte e fraco) podem ser utilizados para mapear a massa de
aglomerados. A vantagem deste m´etodo, em rela¸c˜ao ao do virial e `as medidas de b´arions, ´e a de
n˜ao depender do estado dinˆamico do aglomerado. Para um maior detalhamento desse t´opico veja a
referˆencia [21].
Sem entrar en detalhes t´ecnicos, podemos dizer que as lentes gravitacionais podem ser descritas
por duas quantidades: a convergˆencia κ e o cisalhamento γ. A convergˆencia tem o efeito de pro-
duzir uma magnifica¸c˜ao isotr´opica da imagem, enquanto que o cisalhamento produz deforma¸c˜oes
anisotr´opicas na imagem. Quando temos um efeito de lente forte, a produ¸c˜ao de arcos e imagens
m´ultiplas ocorre quando uma gal´axia de fundo est´a na vizinhan¸ca do raio do anel de Einstein da
lente. Nesse caso, as distor¸c˜oes da imagem s˜ao grandes. Se sup omos um modelo de lente esf´erica, o
raio angular do anel de Einstein ´e dado por
θ
E
=
4GM
c
2
d
LF
d
L
d
F
, (3.18)
onde M ´e a massa da lente, d
LF
´e a distˆancia de diˆametro angular da lente `a fonte, d
L
´e a distˆancia
de diˆametro angular entre o observador e a lente e d
F
corresponde `a distˆancia de diˆametro angular
entre o observador e a fonte. Assim, identificando o anel de Einstein e conhecendo-se as distˆancias
d
L
e d
F
pode-se medir M(θ<θ
E
). Esta determina¸c˜ao da massa depende do modelo que se adota
para a lente. Assim, por exemplo, se adotamos uma lente com p erfil de densidade descrito como
uma esfera isot´ermica singular pode-se mostrar que, nesse caso o anel de Einstein ser´a
θ
E
= α
d
LF
d
F
, (3.19)
onde α pode ser calculada da dispers˜ao de velocidade do aglomerado [122]
Por outro lado, o efeito fraco, como foi mencionado, produz uma distor¸c˜ao global nas gal´axias
de fundo. As gal´axias de fundo, supostas como circulares, adquirem uma certa elipticidade. Como
essa distor¸c˜ao depende do potencial gravitacional, a an´alise do campo de distor¸c˜oes permite mapear
Alan M. Vel´asquez-Toribio 49
diretamente a distribui¸c˜ao de massa do aglomerado. A elipticidade de uma gal´axia pode ser definida
como
=
a − b
a + b
, (3.20)
onde a ´e o eixo maior e b ´e o eixo menor da gal´axia. Se supomos que as orienta¸c˜oes das gal´axias
s˜ao arbitr´arias, ent˜ao no regime de lentes fracas o valor esp erado da elipticidade num dado ponto ´e
[122]
<>=
γ
1 − κ
, (3.21)
onde γ e κ s˜ao os valores m´edios dos m´odulos de cisalhamento e convergˆencia, respectivamente.
Segundo se escolha um modelo de lente teremos uma express˜ao diferente para a convergˆencia e o
cisalhamento. No caso de um modelo de lente do tipo esfera isot´ermica temos que κ = γ =
θ
E
2θ
.
Assim mapenado as distor¸c˜oes m´edias (<>) pode-se estimar a distribui¸c˜ao de massa.
Uma implementa¸c˜ao dos m´etodos de lente gravitacional foi feita por Soucail et al [168] que
usou lentes m´ultiplas de Abell 2218 para estabelecer que 0 < Ω
m
< 0, 33 e w<−0, 85 para um
universo plano com energia escura. Uma linha de p esquisa muito interessante ´e utilizar estat´ıstica
de arcos gravitacionais para obter v´ınculos cosmol´ogicos. No entanto, quase todos os estudos feitos
s˜ao utilizando simula¸c˜oes num´ericas [22], pois o n´umero de arcos atualmente ´e muito pequeno. Mas
com projetos futuros como o DE S a estat´ıstica de arcos gravitacionais e em geral o m´etodo de lentes
gravitacionais atingir´a uma alta precis˜ao estat´ıstica [211].
3.3 Candidatos `a Mat´eria Escura
Como foi assinalado na se¸c˜ao anterior, a mat´eria escura ´e constitu´ıda essencialmente de mat´eria
n˜ao-bariˆonica. A nucleoss´ıntese primordial permite obter v´ınculos sobre o conte´udo de mat´eria
bariˆonica total levando a um valor estimado ao redor de Ω
bo
=0, 042 que ´e consistente com medidas
da radia¸c˜ao c´osmica de fundo. Por outro lado, m´etodos baseados, principalmente, em medidas de
massa de aglomerados revelam que a mat´eria total do Universo incluindo mat´eria bariˆonica ´e tal que
Ω
mo
0, 3. Portanto, comparando o conte´udo da mat´eria bariˆonica total e o conte´udo da mat´eria
total do Universo podemos observar que a maior parte de mat´eria corresponde a mat´eria escura.
50 Tese de Doutorado
Estudando a intera¸c˜ao gravitacional da mat´eria escura com a mat´eria vis´ıvel e as simula¸c˜oes de
estruturas em grande escala, podemos deduzir que a mat´eria escura deve ser composta por part´ıculas
sem colis˜oes, que interagem somente com a mat´eria bariˆonica atrav´es da intera¸c˜ao gravitacional e
podem ser consideradas como um fluido com equa¸c˜ao de estado do tipo po eira. Neste contexto, uma
pergunta ´obvia ´e quais s˜ao as part´ıculas que podem comportar-se como mat´eria escura. Dentro do
modelo padr˜ao da f´ısica de part´ıculas existem part´ıculas que podem desempenhar o papel de mat´eria
escura, como ´e o caso do ´axion. Em outras extens˜oes do modelo padr˜ao como supersimetria, teorias
de unifica¸c˜ao das intera¸c˜oes fundamentais, que incluem teorias com dimens˜ao extras, surge um
grande n´umero de candidatos `a mat´eria escura. Nesta se¸c˜ao revisaremos alguns dos candidatos mais
estudados e suas implica¸c˜oes cosmol´ogicas.
3.3.1 Candidatos `a Mat´eria Escura Bariˆonica
Come¸camos revisando alguns dos candidatos `a mat´eria escura bariˆonica. Os principais can-
didatos bariˆonicos s˜ao objetos compactos massivos (Massive Compact Halo Object) ou MACHOs
por sua sigla em inglˆes. Estes incluem estrelas an˜as marrons, objetos semelhantes a J´upiter e bura-
cos negros. As an˜as marrons s˜ao esferas de H e He com massas abaixo de 0, 08 massas solares, de
tal forma que elas nunca iniciam uma fus˜ao nuclear de hidrogˆenio. Elas atingem temperaturas de,
aproximadamente, 1000 a 3400 K e s˜ao encontradas em sua maioria em sistemas bin´arios, orbitando
estrelas de massa baixa.
Os objetos tipo J´upiter tˆem massas menores que m<m
o
=0, 08M
s
e o limite inferior tem que
ficar na faixa de m
min
=(0, 004 − 0, 007)M
s
, mas o valor exato ´e discut´ıvel [134]. A contribui¸c˜ao
destes objetos para a massa de halos de gal´axias depende de quanta massa p ode ser colocada na
fun¸c˜ao de massa inicial do halo. A fun¸c˜ao de massa inicial ´e o n´umero de estrelas formadas por
unidade de volume por unidade de massa.
Uma forma de identificar estes objetos ´e mediante a amplifica¸c˜ao da luz proveniente de estrelas
fora da nossa gal´axia por meio do efeito de lente gravitacional. A amplifica¸c˜ao pode ser grande
mas os eventos s˜ao extremamente raros.
´
E necess´ario monitorar fotometricamente v´arios milh˜oes de
estrelas p or um p er´ıodo de anos a fim de obter uma taxa de detec¸c˜ao ´util. A colabora¸c˜ao EROS2
Alan M. Vel´asquez-Toribio 51
[185] cuja profundidade ´optica ´e τ =6
+5
−3
× 10
−8
concluiu que MACHOs n˜ao podem contribuir com
mais de 20% `a massa dos halos gal´acticos (com um n´ıvel de confian¸ca de 95%) [122].
Uma alternativa te´orica interessante s˜ao os denominados buracos negros primordiais. Estes,
teoricamente, poderiam ter se formado no in´ıcio do Universo (antes da nucleoss´ıntese primordial) e
assim a determina¸c˜ao da mat´eria bariˆonica total mediante a nucleoss´ıntese primordial n˜ao incluiria a
contribui¸c˜ao desses buracos negros. Por outro lado, existe tamb´em a possibilidade de formar buracos
negros a partir do colapso gravitacional de estrelas supermassivas, cujas massas podem atingir cente-
nas de massas solares [134]. Portanto, existe ainda a possibilidade de que uma grande p opula¸c˜ao de
buracos negros contribua significativamente para a massa de halos gal´acticos. Uma possibilidade de
detectar buracos negros ´e estudando os n´ucleos de gal´axias onde pode haver buracos negros sup er-
massivos. Atualmente os astrˆonomos procuram buracos negros estudando a emiss˜ao destes n´ucleos
gal´acticos em diferentes comprimentos de onda. Teoricamente, os buracos negros emitem radia¸c˜ao
em todos os comprimentos de onda via radia¸c˜ao Hawking. Para detalhes veja [84] e para encontrar
estudos sobre a existˆencia de um poss´ıvel buraco negro no n´ucleo da Via L´actea ver a referˆencia [78].
3.3.2 Candidatos a Mat´eria Escura n˜ao Bariˆonica
O modelo padr˜ao da cosmologia p ode explicar a existˆencia de mat´eria escura como part´ıculas
rel´ıquias, isto ´e, part´ıculas que sobreviveram aos processos de aniquila¸c˜ao no Universo inicial, na
´epoca dominada pela radia¸c˜ao. Esta explica¸c˜ao ´e produto da colabora¸c˜ao da cosmologia e com a
f´ısica de part´ıculas. Por um lado, a teoria cosmol´ogica estabelece as condi¸c˜oes sob as quais estas
part´ıculas tˆem que ser criadas e em que quantidades; j´a a f´ısica de part´ıculas proporcionar´a os
mecanismos de forma¸c˜ao e aniquila¸c˜ao. A id´eia gen´erica ´e simples: sup˜oe-se que, no come¸co do
universo, pares de part´ıculas e antipart´ıculas de massa m s˜ao criadas e aniquiladas continuamente,
admitindo-se que exista equil´ıbrio com o campo de radia¸c˜ao. Neste caso, os processos de cria¸c˜ao
e aniquila¸c˜ao se mantˆem desde que a energia m´edia dos f´otons do campo de radia¸c˜ao, kT , seja
maior que a energia de repouso do par, 2mc
2
. Devido `a expans˜ao do Universo, a temperatura
52 Tese de Doutorado
diminui e, quando a temperatura ´e menor que a massa das part´ıculas, a cria¸c˜ao de pares n˜ao ´e mais
poss´ıvel. A densidade num´erica dessas part´ıculas diminui exponencialmente at´e que elas saem do
equil´ıbrio, isto ´e, elas se desacoplam. Este fenˆomeno ´e conhecido como congelamento (freeze out),
pois o n´umero de part´ıculas por volume com´ovel ”congela”. Essas part´ıculas s˜ao conhecidas como
part´ıculas rel´ıquias. Quando a temperatura de desacoplamento ´e maior que a massa da part´ıcula
temos um candidato para a chamada mat´eria escura quente (HDM). Quando que a part´ıcula ´e n˜ao-
relativ´ıstica ao se desacoplar temos um candidato para a mat´eria escura fria (CDM). Tecnicamente,
a ´epoca de congelamento assim como a abundˆancia para uma dada part´ıcula pode ser calculada
utilizando-se a equa¸c˜ao de Boltzmann. Para um tratamento detalhado deste t´opico ver os cap´ıtulo 2
e 3 da referˆencia [57]. Como sabemos as medidas de massa de aglomerados, imp˜oe-se que Ω
m
∼ 0, 3.
Assim, ajustando a abundˆancia das part´ıculas rel´ıquia a este valor, podemos, em princ´ıpio, deduzir
propriedades da mat´eria escura como sua massa e se¸c˜ao de choque. Este conhecimento ´e valioso
para detectar estas part´ıculas em exp erimentos de laborat´orio.
Neste contexto, um dos melhores candidatos para mat´eria escura s˜ao denominadas part´ıculas
massivas que interagem muito fracamente ou WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles). Gener-
icamente estas part´ıculas seriam part´ıculas massivas cuja intera¸c˜ao com a mat´eria e radia¸c˜ao ´e de-
sprez´ıvel tornando dif´ıcil sua detec¸c˜ao por meio de observa¸c˜oes astronˆomicas convencionais. Exem-
plos desta classe de part´ıculas s˜ao o ´axion e o neutralino. No que se segue revisaremos brevemente
as implica¸c˜oes cosmol´ogicas de alguns dos candidatos, incluindo algumas part´ıculas tipo WIMP.
Neutrinos
Um dos candidatos mais estudados como mat´eria escura quente s˜ao os neutrinos. Na d´ecada
de 70 e in´ıcio dos anos 80 do s´eculo passado os neutrinos foram considerados como o principal
candidato a energia escura [111]. No entanto, em meados da d´ecada de 80 foi estabelecido que a
forma¸c˜ao de estruturas dominadas por neutrinos produziria muito mais estruturas em grande escala
que as observadas. Devido `a grande press˜ao de radia¸c˜ao dos neutrinos as flutua¸c˜oes de densidade
de baixa massa s˜ao dissipadas. Este cen´ario de neutrinos para a forma¸c˜ao de estruturas favorece a
forma¸c˜ao primeiro de superaglomerados de gal´axias, e as estruturas menores seriam formadas por
Alan M. Vel´asquez-Toribio 53
fragmenta¸c˜ao das estruturas maiores.
Segundo o modelo padr˜ao da f´ısica de part´ıculas, os neutrinos tˆem trˆes sabores distintos: neutri-
nos eletrˆonicos ν
e
, neutrinos muˆonicos ν
µ
e neutrinos tauˆonicos ν
τ
. Eles interagem muito fracamente
com a mat´eria e a radia¸c˜ao eletromagn´etica. Inicialmente acreditava-se que n˜ao tinham massa, mas
recentemente foram estabelecidos limites para sua massa utilizando experimentos com neutrinos so-
lares e atmosf´ericos [111]. Uma an´alise recente [75], usando os dados de trˆes anos do WMAP, indica
que
m
ν
< 2, 0eV ; combinando com dados da estrutura em grandes escalas, como o SDSS ou o
2dFGRS, obt´em-se
m
ν
< 0, 9eV . Por outro lado, ´e poss´ıvel calcular o parˆametro de densidade
associado aos neutrinos como [111]
Ω
ν
h
2
=
m
ν
94eV
, (3.22)
que corresponde a neutrinos com massa na faixa de 5 ×10
−4
eV −1MeV . Deste resultado podemos
inferir que os neutrinos n˜ao podem ser a componente dominante da mat´eria escura.
´
Axions
A existˆencia do ´axion foi postulada em 1977 por Peccei e Quinn para explicar por que a intera¸c˜ao
forte conserva paridade (P) e carga/paridade (CP) apesar de a intera¸c˜ao fraca violar estas simetrias.
A falta de viola¸c˜ao de P e CP nas intera¸c˜oes fortes ´e conhecida como o grande problema de CP.O
´axion resolve este problema, mas existem tamb´em outras propostas de solu¸c˜ao [26]. O ´axion decai
em dois f´otons e este decaimento fornece a forma mais simples de detect´a-lo. A produ¸c˜ao de ´axions
´e n˜ao-t´ermica e suas implica¸c˜oes cosmol´ogicas e astrof´ısicas tˆem sido estudadas detalhadamente [63].
O ´axion ´e uma part´ıcula leve com uma massa aproximada de
m
a
=6µeV
10
12
GeV
f
a
, (3.23)
onde f
a
´e o parˆametro associado com a quebra de simetria de Peccei-Quinn que d´a origem ao ´axion
e tem um valor previsto entre f
a
=10
9
− 10
12
. Com isto, a massa do ´axion fica 10
−6
<m
a
< 10
−2
eV . O ´axion constitui um dos candidatos mais estudados tipo WIMP.
54 Tese de Doutorado
Mat´eria escura Supersim´etrica
A supersimetria ´e uma extens˜ao do modelo padr˜ao de f´ısica de part´ıculas. Uma de suas principais
motiva¸c˜oes foi resolver o problema de hierarquia nas massas das part´ıculas elementares[26]. A
supersimetria prevˆe que todas as part´ıculas do modelo padr˜ao possuem super-parceiros (designados
por um sufixo ”ino”, como no caso do fotino, que ´e o parceiro supersim´etrico do f´oton ). Quarks e
l´eptons, que s˜ao f´ermions , possuem superparceiros que s˜ao b´osons , enquanto os b´osons que carregam
as for¸cas fundamentais possuem superparceiros fermiˆonicos.
Um dos candidatos mais estudados `a mat´eria escura de supersimetria ´e o neutralino, a part´ıcula
supersim´etrica mais leve, que tem uma massa na faixa de 100Gev-1TeV e interage com outras
part´ıculas com as caracter´ısticas de intera¸c˜oes fracas. Fenomenologicamente s˜ao parecidos com os
neutrinos e n˜ao podem ser observados diretamente. Existem quatro classes de neutralinos. Em
muitos modelos o neutralino pode ser produzido termicamente no Universo inicial e leva a uma
abundˆancia que aproxima-se da quantidade de mat´eria escura observada. Esta part´ıcula tamb´em ´e
um forte candidato a mat´eria escura massiva fracamente interagente.
Detec¸c˜ao Direta e Indireta de Mat´eria Escura
A maioria das evidˆencias de mat´eria escura consideradas anteriormente foram baseadas no seu efeito
gravitacional. No entanto, ´e interessante a busca de propriedades n˜ao gravitacionais. Por exemplo,
na referˆencia [34] foi discutida a possibilidade de que a mat´eria escura seja auto-aniquilante. Esta
possibilidade surge a partir dos resultados do sat´elite Integral, sens´ıvel `a radia¸c˜ao γ. Esse sat´elite
detectou uma distribui¸c˜ao de f´otons de 511 KeV na dire¸c˜ao do bojo da Via L´actea. F´otons com
estas energias podem ser produzidos p or pares el´etron-p´ositron e a hip´otese proposta ´e que esses
pares s˜ao produto de processos de aniquila¸c˜ao de part´ıculas tipo WIMP. Assim a perspectivas de
detectar radia¸c˜ao s´ıncrotrom devido `a aniquila¸c˜ao de mat´eria escura no centro da gal´axia tem sido
estudado nas referˆencias [80], [27] e [6].
Atualmente existem v´arios experimentos tentando detectar part´ıculas escuras utilizando pro-
priedades de espalhamento el´astico por n´ucleos ou pela detec¸c˜ao de energia de recuo de um n´ucleo
que sofre um espalhamento por um WIMP, ou ainda da detec¸c˜ao de produtos de aniquila¸c˜ao de
mat´eria escura. Alguns exemplos desses experimentos s˜ao AMANDA, CDMS, DAMA, etc[76]. A
Alan M. Vel´asquez-Toribio 55
intera¸c˜ao destas part´ıculas com a mat´eria bariˆonica deve ser muito fraca e a maior parte deve atrave-
ssar a Terra como se ela fosse transparente. O sinal de detec¸c˜ao depender´a fortemente da densidade
e da distribui¸c˜ao de velocidades destas supostas part´ıculas escuras, na vizinhan¸ca do sistema solar,
e assim como da se¸c˜ao de choque destas part´ıculas WIMP quando colidem com n´ucleos pesados.
Neste aspecto se espera que o acelerador LHC contribuia significativamente na detec¸c˜ao de
part´ıculas de mat´eria escura. A energia do LHC ser´a uma centena de vezes maior que o maior
acelerador atualmente o Tevatron e permitir´a estudar colis˜oes com energia da ordem de 14TeV.
56 Tese de Doutorado
3.4 Energia Escura no Universo
Com a descoberta da expans˜ao acelerada do Universo em 1998 pelos grupos “Cosmology Project”
[141] e o “High-z Supernova Search Tean” [149] a cosmologia entrou numa fase de intensa investiga¸c˜ao
desenvolvendo outras t´ecnicas para estudar a energia escura e propondo diversos modelos te´oricos
[24].
Entender o que causa a acelera¸c˜ao c´osmica ´e um dos grandes desafios da cosmologia no in´ıcio de
s´eculo XXI. O objetivo desta se¸c˜ao ´e discutir as principais evidˆencias observacionais para a energia
escura bem como os modelos te´oricos mais importantes.
3.4.1 Evidˆencia Observacional
A primeira evidˆencia observacional est´a associada com medidas de distˆancias cosmol´ogicas uti-
lizando Supernovas do tipo Ia (SNIa), especificamente utilizando a rela¸c˜ao distˆancia-desvio para o
vermelho. Para isto, precisamos de objetos celestes que possam ser consideradas como velas padr˜ao,
isto ´e, cuja luminosidade absoluta seja aproximadamente a mesma independentemente do seu desvio
para o vermelho. Nesse sentido, estudos sistem´aticos de curvas de luz de SNeIa tˆem mostrado que,
ap´os certas corre¸c˜oes, elas constituem excelentes velas padr˜ao [142]. Por outro lado, SNIa s˜ao even-
tos raros e de dif´ıcil detec¸c˜ao (a taxa em uma gal´axia t´ıpica ´e da ordem de uma a cada 100 ou 200
anos). Uma das formas de melhorar a detec¸c˜ao de SNIa foi definir estrat´egias espec´ıficas em que
se monitora campos do c´eu com certa cadˆencia al´em de se utilizar cˆamaras CCD para a busca em
regi˜oes do c´eu contendo milhares de gal´axias.
Os dois grup os mencionados acima, que descobriram a expans˜ao acelerada, estabeleceram que,
no contexto do modelo ΛCDM, o Universo estaria acelerando desde pelo menos 5 Ga[149][141] no
passado (ver figura 3.4). Considerando um Universo com mat´eria e constante cosmol´ogica, seus
resultados proporcionaram evidˆencia para Ω
Λ
> 0 com um alto n´ıvel de confian¸ca.
Ap´os essa descob erta, os dois grupos, como tamb´em outros [204], tˆem descoberto um maior
n´umero de sup ernovas Ia, confirmando os resultados iniciais. Alguns desses trabalhos procuram
tamb´em inferir o valor atual da equa¸c˜ao de estado da energia escura (w
X
) usando um modelo te´orico
Alan M. Vel´asquez-Toribio 57
Figura 3.4:
`
A esquerda, mostramos medidas de distˆancias de supernovas Ia.
`
A direita
(acima) p odemos observar evidˆencias de supernovas Ia para a transi¸c˜ao de uma fase
desacelerada a uma fase acelerada de expans˜ao, e na parte inferior mostramos v´ınculos
de aglomerados, SNIa e RCF [141, 4, 187].
58 Tese de Doutorado
em que w
X
= P
X
/ρ
X
= constante. Ou ainda impondo v´ınculos `a varia¸c˜ao de w considerando, por
exemplo, uma parametriza¸c˜ao da forma w
X
= w
o
+ w
a
(1 − a). Como veremos, os dados de SNeIa,
quando combinados com testes que envolvem a RCF, indicam que para desvios para o vermelho
z 1, 2 o Universo estava em uma fase desacelerada (ver fig. 3.4 para o caso ΛCDM). Esta fase
desacelerada ´e de suma importˆancia, pois est´a associada a um dom´ınio de mat´eria que ´e fundamental
para a forma¸c˜ao de estruturas que atualmente observamos no Universo.
Outra evidˆencia direta da existˆencia de uma fase de expans˜ao acelerada do Universo vem de
medidas da fra¸c˜ao de b´arions em aglomerados de gal´axias. Como os aglomerados s˜ao as maiores
estruturas colapsadas(agregadas) do Universo, a fra¸c˜ao de g´as neles ´e presumivelmente representativa
da fra¸c˜ao de b´arions no Universo como um todo. Essas medidas da fra¸c˜ao de b´arions dependem da
distˆancia ao aglomerado e do fluxo de raios-X usado para medi-las. Usando dados do observat´orio
Chandra de raios-X, Allen et al [3] determinaram Ω
Λ
com boa precis˜ao (ver Fig. 3.4) e mostraram
que esse teste ´e complementar ao de SNIa. Portanto,
combinando ambos os testes pode-se obter v´ınculos robustos sobre o valor de Ω
Λ
.
A radia¸c˜ao c´osmica de fundo (RCF ) proporciona outro caminho para inferir a presen¸ca da
energia escura. O espectro angular de potˆencia da RCF apresenta picos ac´usticos que surgem das
oscila¸c˜oes do fluido f´otons-b´arions que estavam fortemente acoplados antes da recombina¸c˜ao. A
posi¸c˜ao e a amplitude dos picos ac´usticos guardam muita informa¸c˜ao do Universo inicial e atual.
Em particular, quando combinados com medidas do parˆametro de Hubble, indicam que a curvatura
do Universo ´e nula ou muito pr´oxima de zero. No contexto dos modelos ΛCDM indicam ainda que
a densidade de energia da mat´eria n˜ao-relativ´ıstica ´e, aproximadamente, um quarto da densidade
cr´ıtica. Os dados do WMAP3 proporcionam os seguintes valores para o conte´udo de energia do
Universo (mo delo ΛCDM): Ω
mo
h
2
=0, 127
+0,0080
−0,0079
,Ω
bo
h
2
=0, 02229 ± 0, 002073 e considerando
dados de H
o
do projeto HST e WMAP obtemos Ω
Λ
=0, 072 ± 0, 055.
A presen¸ca de energia escura afeta as anisotropia da RCF para grandes separa¸c˜oes angulares
(baixos multipolos) e conduz a uma pequena correla¸c˜ao entre a distribui¸c˜ao de gal´axias e anisotropias
da RCF . Na referˆencia [77] compara-se mapas de gal´axias do Universo local com mapas da RCF
com o objetivo de medir o potencial gravitacional da correla¸c˜ao cruzada. Para isto se utilizou os
dados do WMAP e o cat´alogo de gal´axias APM. O melhor ajuste dos dados estabelece o valor
Alan M. Vel´asquez-Toribio 59
Figura 3.5:
`
A esquerda, mostramos a complementariedade dos testes observacionais
de SNIa, BAO e RCF.
`
A direta mostramos a idade do Universo como uma fun¸c˜ao da
densidade de energia da mat´eria e v´ınculos de aglomerados globulares e do WMAP3
[187].
Ω
Λ
=0.8, resultado consistente com as observa¸c˜oes de SNIa. Outros estudos similares utilizando
WMAP e SDSS tamb´em confirmaram esse resultado (ver, por exemplo, [178]).
As oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions (BAO) tamb´em afetam o processo de aglomera¸c˜ao de gal´axias,
o que pode ser determinado tanto na fun¸c˜ao de correla¸c˜ao, como no espectro de potˆencia da mat´eria.
Medidas de BAO tˆem sido feitas com dados de gal´axias dos projetos SDSS e do 2dFGRS [136]. Os
resultados mostram que o teste de BAO representa um teste complementar aos outros testes (veja
a figura 3.5).
Finalmente, a idade do Universo, t
o
=
∞
0
dz/(1 + z)H(z), tamb´em pode ser usada para estudar
a energia escura. As anisotropias da RCF s˜ao muito sens´ıveis `a idade do Universo. O WMAP3 esta-
belece t
o
=13, 84Ga [178], estando em concordˆancia com a idade de estrelas antigas em aglomerados
globulares: 11Ga ≤ t
o
≤ 15Ga [105]. A Fig. 3.5 (lado direito) mostra que uma idade consistente
com os dados do WMAP3 ´e poss´ıvel se temos −2 ≤ w ≤−0, 75, que implica uma componente de
energia escura.
Para finalizar o Cap´ıtulo revisaremos alguns candidatos a energia escura. Come¸camos discutindo
60 Tese de Doutorado
algumas dificuldades do modelo com constante cosmol´ogica, para em seguida considerarmos modelos
dinˆamicos de energia escura. Terminamos considerando teorias alternativas da gravita¸c˜ao, especifi-
camente, as teorias F ( R). Por simplicidade iremos nos restringir ao caso k =0.
3.4.2 Constante Cosmol´ogica
O modelo ΛCDM (constante cosmol´ogica + mat´eria escura fria (CDM )) ´e o modelo mais simples
capaz de explicar a expans˜ao acelerada do Universo e parece ser tamb´em o que melhor se ajusta aos
dados observacionais. Contudo esse modelo apresenta algumas dificuldades que ser˜ao discutidas a
seguir. Antes faremos breves considera¸c˜oes relacionadas a evolu¸c˜ao de perturba¸c˜oes de densidade
nesse modelo e tamb´em discutimos a viabilidade de se detectar Λ na escala gal´actica.
A introdu¸c˜ao de uma constante cosmol´ogica nas equa¸c˜oes de Friedmann muda a rela¸c˜ao entre a
evolu¸c˜ao da densidade de mat´eria e o parˆametro de Hubble. Este efeito ´e potencialmente detect´avel
atrav´es de observa¸c˜oes cuidadosas. A constante cosmol´ogica atua a favor do fluxo de Hubble, dimin-
uindo o crescimento de perturba¸c˜oes de mat´eria. Na relatividade geral, no limite Newtoniano, o
crescimento de pequenas perturba¸c˜oes na densidade de mat´eria ´e governado pela equa¸c˜ao
¨
δ
k
+2
˙a
a
˙
δ
k
=4πGρ
M
δ
k
. (3.24)
Solu¸c˜oes anal´ıticas desta equa¸c˜ao est˜ao dadas por fun¸c˜oes hip ergeom´etricas, para detalhes ver [165].
Na equa¸c˜ao acima as perturba¸c˜oes de densidade na mat´eria escura foram descompostas em modos
de Fourier de n´umero de onda k. O segundo termo da esquerda representa uma for¸ca de atrito
devido `a expans˜ao do Universo, caracterizada pela escala de tempo (˙a/a)
−1
= H
−1
e o lado direito ´e
uma for¸ca com escala de tempo, (4πGρ
m
)
−1/2
≈ Ω
−1/2
m
H
−1
. Quando Ω
m
= 1 os efeitos repulsivo e
atrativo ficam em equil´ıbrio e as perturba¸c˜oes crescem gradualmente at´e que Ω
m
come¸ca a diminuir
e o termo de atrito vem a ser cada vez mais importante at´e que o crescimento termina.
Outra forma de analizar como uma constante cosmol´ogica afeta a dinˆamica do Universo ´e con-
siderando que uma massa homogˆenea pode ser representada por Ω
Λ
e analisando seu efeito sobre a
equa¸c˜ao de movimento de uma part´ıcula de teste. No limite n˜ao-relativ´ıstico a equa¸c˜ao de movimento
Alan M. Vel´asquez-Toribio 61
pode ser escrita como
d
2
r
dt
2
= g +Ω
Λo
H
2
o
r , (3.25)
onde g ´e a acelera¸c˜ao gravitacional produzida pela distribui¸c˜ao de mat´eria ordin´aria. Para uma
ilustra¸c˜ao do tamanho do efeito do ´ultimo termo, consideremos o movimento ao redor de uma ´orbita
circular com centro em nossa gal´axia. O sistema solar est´a em movimento ao redor do centro gal´actico
com uma velocidade de v
c
≈ 220km/s com um raio de 8Kpc. A raz˜ao da acelera¸c˜ao produzida por
Ω
Λ
e acelera¸c˜ao total resulta
g
Λ
g
=
Ω
Λ
H
2
o
r
2
v
c
≈ 10
−5
, (3.26)
sendo um n´umero pequeno. Deste modo, a busca de efeitos da energia escura em escala gal´actica
parece n˜ao ser muito promissora. A precis˜ao da dinˆamica celeste no sistema solar ´e maior, mas o
efeito de Ω
Λ
se reduz consideravelmente (g
Λ
/g ≈ 10
−22
) resultando muito dif´ıcil de detectar.
O modelo ΛCDM mesmo com todos os sucessos observacionais, tem duas deficiˆencias te´oricas
que motivam a busca de mo delos alternativos. Em primeiro lugar, esse modelo apresenta um prob-
lema de ajuste fino e em segundo lugar, temos o chamado problema da coincidˆencia c´osmica.
A respeito do primeiro problema, podemos dizer que do ponto de vista da Teoria Quˆantica de
Campos (TQC) o candidato mais natural a ser associado `a constante cosmol´ogica ´e a (densidade de)
energia do v´acuo (estado de m´ınima energia). No entanto, a densidade de energia do v´acuo segundo
a TQC resulta ser infinita:
ρ
vac
=
∞
0
4πk
2
dk
2(2π)
3
k
2
+ m
2
. (3.27)
Se fizermos um corte em alguma escala de energia M associada com a constante cosmol´ogica o
resultado da integral ´e ≈
M
4
8π
2
. Esse corte de escala de energia pode estar associado a diversas escalas
naturais vindas de teorias de campos. Por exemplo, para as escalas das intera¸c˜oes fracas e fortes a
densidade de energia do v´acuo ´e
ρ
QED
vac
≈ (200GeV )
4
≈ 3 ×10
47
erg/cm
3
, (3.28)
ρ
QCD
vac
≈ (0, 3GeV )
4
≈ 1.6 × 10
36
erg/cm
3
. (3.29)
Para a escala de Planck, M
p
=(8πG)
−1/2
≈ 10
18
GeV, esperamos uma contribui¸c˜ao da ordem de,
ρ
p
vac
≈ (10
18
GeV )
4
≈ 2 × 10
110
erg/cm
3
, (3.30)
62 Tese de Doutorado
Por outro lado, observa¸c˜oes cosmol´ogicas implicam uma densidade de energia
ρ
obs
vac
≤ (10
−12
GeV )
4
≈ 2 × 10
−10
erg/cm
3
. (3.31)
Comparando essas duas ´ultimas quantidade obtemos uma diferen¸ca de 120 ordens de magnitude
entre o valor observado e o valor te´orico da constante cosmol´ogica. Essa diferen¸ca ´e enorme e n˜ao
h´a uma explica¸c˜ao no contexto da TQC para ela.
O outro problema mencionado ´e chamado problema da coincidˆencia c´osmica: por que a con-
stante cosmol´ogica (energia escura) come¸cou a dominar a dinˆamica da expans˜ao do Universo s´o
mais recentemente? Ou, por que s´o agora o parˆametro de densidade da mat´eria escura ´e da ordem
do parˆametro de densidade da energia escura? Para a constante cosmol´ogica o problema da coin-
cidˆencia c´osmica confunde-se com o chamado problema de ajuste fino das condi¸c˜oes iniciais. Como
Λ ´e constante ´e necess´ario um ajuste muito fino das condi¸c˜oes iniciais para que Λ venha a dominar s´o
agora a dinˆamica da expans˜ao. Os problemas de ajuste fino e da coincidˆencia c´osmica motivaram o
surgimento de diversas alternativas ao modelo da constante cosmol´ogica. Dentre elas mencionamos
modifica¸c˜oes da Relatividade Geral, teorias com dimens˜oes extra inspiradas em teorias de cordas
[206] e modelos de energia escura com um campo escalar.
3.4.3 Modelos de Quintessˆencia
Um campo escalar homogˆeneo (em escalas menores ou da ordem do raio de Hubble), capaz de im-
pulsionar a expans˜ao acelerada do Universo, ´e uma alternativa interessante `a constante cosmol´ogica.
No come¸co da d´ecada de 80 campos escalares foram sugeridos para implementar os chamados cen´arios
inflacion´arios do Universo que buscam resolver alguns mist´erios do modelo padr˜ao da cosmologia,
como os problemas de planeza e isotropia. O campo escalar, neste caso, tem um papel relevante
em uma fase primordial de evolu¸c˜ao do Universo. A id´eia de quintessˆencia surgiu posteriormente e
consiste em considerar um campo escalar com um termo cin´etico canˆonico evoluindo sob a a¸c˜ao de
um potencial (V (φ)) e acoplado minimamente `a gravidade. Nesse caso, o campo escalar ´e dinami-
camente relevante em uma fase recente de evolu¸c˜ao do Universo. A densidade lagrangiana para o
Alan M. Vel´asquez-Toribio 63
campo escalar de quintessˆencia ´e
L =
1
2
∂
ν
φ∂
ν
φ − V (Φ). (3.32)
Usando o princ´ıpio variacional calculamos a equa¸c˜ao de movimento para o campo φ:
¨
φ +3
˙a
a
˙
φ +
dV
dφ
=0. (3.33)
O tensor energia-momentum do campo ´e dado pela express˜ao
T
µν
=(ρ
φ
+ p
φ
) u
µ
u
ν
+ p
φ
g
µν
, (3.34)
onde u
µ
= δ
µ
0
´e a 4-velocidade de um observador com´ovel
p
φ
=
1
2
˙
φ
2
+ V (φ) (3.35)
´e a press˜ao e
ρ
φ
=
1
2
˙
φ
2
− V (φ) (3.36)
´e a densidade de energia do campo escalar. A equa¸c˜ao de estado para o modelo de quintessˆencia ´e
w(φ)=
1
2
˙
φ
2
+ V (φ)
1
2
˙
φ
2
− V (φ)
(3.37)
Se o campo escalar varia lentamente com o tempo, ent˜ao temos que
˙
φ
2
<< V , o campo se comporta
como uma constante cosmol´ogica, com press˜ao p
φ
≈−ρ
φ
e o parˆametro da equa¸c˜ao de estado se
aproxima de uma constante cosmol´ogica, w ≈−1.
Neste modelo a radia¸c˜ao e a mat´eria s˜ao componentes separadas do campo escalar e se conservam
independentemente. Para o parˆametro de expans˜ao de Hubble
H =
(
8πG
3
)(ρ
φ
+ ρ
m
). (3.38)
Uma das motiva¸c˜oes de intro duzir a quintessˆencia foi a busca de uma solu¸c˜ao ao problema
da coincidˆencia. Isto levou a procurar certos potenciais que tenham um comportamento especial
denominado de “trackers” ou solu¸c˜oes rastreadoras. Os potenciais cosmol´ogicos deste tipo tˆem sido
estudados p or numerosos autores [180, 68]. Estes potenciais s˜ao interessantes porque sua evolu¸c˜ao
futura p ode ser independente das condi¸c˜oes iniciais, proporcionando uma poss´ıvel solu¸c˜ao ao pro-
blema da coincidˆencia. Este comportamento ´e atingido via solu¸c˜oes atratoras e as condi¸c˜oes para
64 Tese de Doutorado
Figura 3.6: Na figura podemos observar a dependˆencia dos picos ac´ustico da RCF
com o valor da equa¸c˜ao de estado w.[208].
que isto aconte¸ca, utilizando um potencial particular, foram estudadas por Steinhardt et al., [180].
Definindo Γ = V
V/V
2
, onde o ap´ostrofo denota derivada em rela¸c˜ao ao campo φ, as condi¸c˜oes
suficientes para que um dado potencial seja do tip o “tracker” s˜ao
Γ=
V
V
V
2
≥ 1 (3.39)
Γ ≈ constante. (3.40)
O caso mais simples surge para um potencial da forma
V (φ)=M
4+α
φ
−α
, (3.41)
onde α>0eM ´e uma constante ajust´avel. Nos modelos de quintessˆencia a quantidade fundamental
´e o potencial escalar. Para cada potencial existe uma fenomenologia diferente. Na literatura existem
v´arias propostas de potenciais de quintessˆencia. Por exemplo, na refˆerencia [158] foi apresentada
uma compila¸c˜ao de certos potenciais utilizados como quintessˆencia. Na tabela 3.1 reproduzimos essa
compila¸c˜ao e adicionamos dois novos potenciais: o potencial em s´erie de potˆencias [115] e o potencial
de Pad´e [156], recentemente estudados no contexto de campos rastreadores.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 65
Potencial de Quintessˆencia Referˆencia
V
o
e
−λφ
Ratra e Peebles[144]
m
2
φ
2
, λφ
4
Frieman et al [72]
V
o
/φ
α
, α>0 Ratra e Peebles[144]
V
o
e
λφ
2
/φ
α
Brax e Martin [37]
V
o
(coshλφ − 1)
p
Sahni e Wang [161]
V
o
senh
α
(λφ) Sahni e Starobinsky/ Ure˜na-L´opez-Matos[162]
V
o
(e
ακφ
+ e
βκφ
) Barreiro, Copeland e Nunes [19]
V
o
e
M
p
φ
− 1 Zlatev, Wang e Steinhardt[208 ]
V
o
[(φ − B)
α
+ A]e
−λφ
Albrecht e Skordis [2]
V (φ)=V
o
+ V
1
φ + V
2
φ
2
+ ... Linder [115]
V (φ)=
M
i=0
a
i
φ
i
1+
N
j=1
b
j
φ
j
Sahl´en, Liddle, e Parkinson[156]
Tabela 3.1: Alguns potenciais de quintessˆencia utilizados na literatura
66 Tese de Doutorado
No que se refere `a parte observacional, um dos desafios dos novos projetos ´e poder distinguir
entre w constante ou vari´avel; uma maior quantidade de dados e com um maior control e de erros
sistem´aticos ´e necess´ario. Os modelos de quintessˆencia predizem w vari´avel e, como conseq¨uˆencia, as
distˆancias de luminosidade e de diˆametro angular mudam, levando a efeitos not´aveis em diferentes
testes cosmol´ogicos. Por exemplo, na referˆencia [156] foram utilizados dados de oscila¸c˜oes ac´usticas
de b´arions, o parˆametro de deslocamento da radia¸c˜ao c´osmica de fundo e dados de supernovas SNLS
para obter v´ınculos sobre duas classes de modelos de quintessˆencia com comportamento “tracker”.
Os resultados revelam que tal modelo ´e vi´avel, no entanto as incertezas sobre os resultados s˜ao
grandes e comparados com o modelo ΛCDM estes modelos s˜ao desfavorecidos. A varia¸c˜ao da
equa¸c˜ao de estado tamb´em leva a efeitos not´aveis sobre o espectro de potˆencia angular da RCF. Um
exemplo disto ´e mostrado na figura 3.6, onde os picos ac´usticos mudam segundo o valor de w.
3.4.4 Modelos de K-essˆencia
Estes s˜ao tamb´em modelos com campo escalar mas que introduzem modifica¸c˜oes no termo
cin´etico de sua lagrangiana. Originalmente este modelo tamb´em foi proposto para gerar um cen´ario
de infla¸c˜ao e p osteriormente aplicado como um modelo capaz de explicar a expans˜ao acelerada do
Universo [12]. A lagrangiana ´e uma fun¸c˜ao da forma
L =˜p(φ, X) (3.42)
onde X =
1
2
∂
µ
φ∂
µ
φ. Teorias deste tipo, com energia cin´etica n˜ao-canˆonica, surgem freq¨uentemente
em teorias de cordas. Na maioria dos modelos de K-essˆencia utiliza-se L(φ, X) na forma que p ode
ser fatorada tal que, ˜p(φ, X)=F (X)V (φ). Supondo que o campo escalar ´e homogˆeneo obtemos
X =
1
2
˙
φ
2
. Note que isto implica que X ≥ 0. Utilizando um tensor energia-momentum tipo fluido
perfeito (2.23), a densidade de energia e press˜ao s˜ao
ρ
k
= V (φ)(2XF
X
(X) − F (X)) , (3.43)
p
k
≡ ˜p = V (φ)F (X) (3.44)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 67
onde F
X
≡
∂
F
∂X
. Desta forma a equa¸c˜ao de estado ´e tal que
w
k
=
F
2XF
X
− F
(3.45)
A velocidade do som para a K-essˆencia dp/dρ resulta
c
2
sk
=
F
X
F
X
+2XF
XX
(3.46)
A equa¸c˜ao de movimento pode ser obtida variando a a¸c˜ao com respeito ao campo φ:
¨
φ
∂ ˜p
∂X
+
˙
φ
2
∂
2
˜p
∂X
2
+
∂
2
˜p
∂X∂φ
˙
φ
2
+3H
∂ ˜p
∂X
˙
φ −
∂ ˜p
∂X
=0. (3.47)
No que se segue vamos considerar o caso particular em que a lagrangiana consiste num termo
puramente cin´etico ˜p = F (X). Neste caso, a equa¸c˜ao de movimento reduz-se a
F
X
+2F
XX
˙
X +6HF
X
X =0, (3.48)
onde o ponto denota derivada em rela¸c˜ao ao tempo. Esta equa¸c˜ao pode ser integrada para dar
XF
2
X
= αa
−6
, (3.49)
onde α ´e uma constante. A equa¸c˜ao acima estab elece que, para o caso considerado, todas as
propriedades f´ısicas s˜ao dadas pela fun¸c˜ao F (X) e n˜ao dependem de outro tipo de densidade de
energia. Assim, dada uma fun¸c˜ao F (X) a equa¸c˜ao acima nos proporciona X como fun¸c˜ao de a.
Com esta solu¸c˜ao podemos calcular as quantidades f´ısicas de interesse utilizando as equa¸c˜oes (3.43-
3.46).
Um exemplo not´avel de k-essˆencia com uma lagrangiana com apenas o termo cin´etico ´e aquele
analisado por Scherrer [174], que escolheu uma fun¸c˜ao F (X) da forma
F (X)=F
o
+ F
2
(X − X
o
)
2
, (3.50)
onde X
o
´e um extremo da fun¸c˜ao F (X). Assim, substituindo esta equa¸c˜ao na equa¸c˜ao (3.49) e
considerando que X est´a perto do extremo X
o
onde (X − X
o
)/X
o
<< 1, temos que X ´e dado por
X = X
o
(1 +
o
(a/a
o
)
−3
), (3.51)
68 Tese de Doutorado
onde escrevemos a solu¸c˜ao como fun¸c˜ao de duas novas constantes a
1
,
1
que pela condi¸c˜ao de m´ınimo
devem satisfazer
1
(a/a
1
)
−3
<< 1. (3.52)
Portanto, podemos inferir que a solu¸c˜ao ´e v´alida s´o para a>a
1
e
1
<< 1. Utilizando a equa¸c˜ao da
densidade (3.43) obtemos
ρ
k
= −F
o
+4F
2
X
2
o
1
(a/a
1
)
−3
+3F
o
X
2
o
[
1
(a/a
1
)
−3
]
2
, (3.53)
onde o ´ultimo termo pode ser eliminado porque ´e muito pequeno comparado com o segundo e F
o
< 0
para que a densidade de energia ρ
k
seja positiva ρ
k
> 0. Esta forma de ρ
k
representa uma densidade
de energia que unifica o comportamento de mat´eria e energia escuras. Note na equa¸c˜ao acima que
para baixos valores do fator de escala a densidade de energia se comporta como poeira (mat´eria
n˜ao-relativ´ıstica), pois o termo (a/a
1
)
−3
domina a densidade. J´a para altos valores do fator de
escala (a a
1
), o termo F
o
domina e representa um fluido escuro com press˜ao negativa. Note que,
neste modelo, a velocidade do som c
sk
=(X − X
0
)/(3X − X
0
)
1
(a/a
1
)
−3
´e muito menor que a
unidade. Isto ´e desej´avel pois, como veremos, uma velocidade do som adiab´atica finita ´e o principal
prblema dos modelos de quartessˆencia.
Em principio, os valores dos parˆametros podem ser restringidos utilizando dados observacionais
que vinculam a mat´eria escura e a energia escura. Mas, teoricamente, o parˆametro a
1
´e restringido
pelo fato de que a k-essˆencia deve se comportar como mat´eria antes da ´epo ca da igualdade radia¸c˜ao-
mat´eria. Assim, devemos ter que a
1
<< a
eq
, onde a
eq
´e o fator de escala na ´epoca da equivalˆencia
da radia¸c˜ao com a mat´eria, a
eq
/a
o
∼ 10
−4
, sendo que a
o
´e o fator de escala hoje. Atualmente
a componente de energia escura no m´ınimo ´e duas vezes a comp onente de mat´eria, de mo do que,
utilizando a equa¸c˜ao (3.50) obtemos
−F
o
=8F
2
X
2
o
(a
o
/a
1
)
−3
. (3.54)
Substituindo a
1
<< a
eq
obtemos a seguinte express˜ao:
F
o
−F
2
X
o
=8(a
eq
/a
o
)
3
<< 2 × 10
−10
(3.55)
Se X
o
´e da ordem da unidade, ent˜ao os parˆametros devem satisfazer
F
o
F
2
<< 10
−10
. Isto significa
que existe o chamado problema do ajuste fino. Portanto, este modelo apresenta aspectos positivos,
Alan M. Vel´asquez-Toribio 69
pois permite obter um modelo simples de unifica¸c˜ao da mat´eria e energia escuras, mas tem que ter
parˆametros muito bem ajustados. O problema ´e similar ao caso de quintessˆencia onde precisamos
introduzir um ajuste fino no potencial escalar.
Outra motiva¸c˜ao interessante dos modelos de K-essˆencia, ´e sua capacidade para conduzir cen´arios
tipo ”trackers”(rastreadores) [54]. A K-essˆencia tenta resolver o problema da coincidˆencia c´osmica
atrav´es de solu¸c˜oes rastreadoras. No entanto, foi demonstrado na referˆencia [119] foi mostrado que
a bacia de atra¸c˜ao gerada ´e muito pequena, dependendo muito de ajustar os parˆametros da fun¸c˜ao
F (X). De alguma forma os problemas do potencial de quintessˆencia se transladam neste caso `a
fun¸c˜ao F (X) que representa a contribui¸c˜ao n˜ao canˆonica do campo escalar. Uma forma de relaxar
o problema da coincidˆencia c´osmica ´e acrescentar um ponto cr´ıtico de sela entre a equiparti¸c˜ao e
a ´epoca atual, de forma que para toda esta classe de lagrangianas as condi¸c˜oes iniciais podem ser
arbitr´arias [11].
3.4.5 Modelos de Quartessˆencia
Como discutimos no Cap´ıtulo anterior, h´a uma grande quantidade de modelos que tentam
explicar a expans˜ao acelerada do Universo, sendo que na maioria deles considera-se que a mat´eria
escura e a energia escura s˜ao duas substˆancias distintas com equa¸c˜oes de estado (EdE) tamb´em
distintas. Um exemplo t´ıpico ´e o modelo ΛCDM, em que para a mat´eria escura temos w
CDM
=0,
e, para a constante cosmol´ogica, w
Λ
= −1. Mais recentemente come¸cou-se a investigar a possibi-
lidade de que mat´eria e energia escuras seriam manifesta¸c˜oes distintas de uma ´unica substˆancia,
a quartessˆencia ou mat´eria escura unificada[120]. O nome quartessˆencia foi cunhado porque reduz
as componentes “b´asicas” do Universo a quatro, isto ´e, f´otons, neutrinos, b´arions e a componente
escura unificada (mat´eria + energia escuras).
O prot´otipo dos modelos de quartessˆencia ´e o g´as de Chaplygin (GC) [102, 29], assim chamado
porque sua EdE ´e similar `a usada pelo matem´atico russo Sergei Chaplygin, no inicio do s´eculo XX,
em seus estudos sobre dinˆamica de fluidos. O modelo do g´as de Chaplygin foi generalizado pelos
autores da referˆencia [25], que acrescentaram um novo parˆametro livre (α). Este modelo foi bastante
estudado, tendo sido testado com dados observacionais de supernovas do tipo Ia, aglomerados de
70 Tese de Doutorado
gal´axias, radio gal´axias, aglomerados de gal´axias, radio gal´axias, lentes gravitacionais, espectro de
potˆencia da mat´eria e radia¸c˜ao c´osmica de fundo [120, 121, 8]. O modelo mostrou-se bastante con-
cordante com testes que dependem somente da m´etrica de fundo. No entanto, apresentou problemas
relacionados com estabilidade e oscila¸c˜oes no espectro de potˆencia da mat´eria quando se considera
perturba¸c˜oes adiab´aticas. Neste caso, apenas modelos em que o parˆametro α ´e muito pr´oximo a
zero s˜ao compat´ıveis com as observa¸c˜oes [164].
No que se segue, vamos utilizar o modelo do g´as de Chaplygin generalizado (GCG) para inferir
algumas propriedades gerais dos modelos de quartessˆencia. Explicitamente, a equa¸c˜ao de estado do
GCG ´e
p
ch
= −
M
4(α+1)
ρ
α
ch
, (3.56)
onde M ´e uma constante com dimens˜ao de massa. A equa¸c˜ao acima se reduz ao caso do g´as de
Chaplygin (GC), quando α = 1, e neste caso, ela pode ser obtida a partir de uma lagrangiana do
tipo Born-Infeld [29].
Usando a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao, podemos calcular a densidade de energia
ρ
ch
= ρ
ch,o
[(1 − A)(
a
o
a
)
3(α+1)
+ A]
1/α+1
, (3.57)
onde A =(M
4
/ρ
ch,o
)
α+1
, sendo ρ
ch,o
a densidade de energia do GCG hoje. Se a/a
o
<< 1, ent˜ao
temos que: ρ
ch
∝ a
−3
, e o fluido comporta-se como CDM. Para tempos futuros, a/a
o
>> 1, temos
que ρ
ch
= M
4
= −p
ch
= constante e o GCG comporta-se como uma constante cosmol´ogica. A
varia¸c˜ao da EdE como fun¸c˜ao do desvio para o vermelho ´e apresentada na figura 3.7 onde utilizamos
α =1eM
4
=0, 355.
Note que a fun¸c˜ao (3.57) ´e mon´otona decrescente e h´a uma densidade de energia m´ınima que
ocorre quando p = −ρ. Esta ´e uma caracter´ıstica de todos os modelos de quartessˆencia em que
assintoticamente w ≡
p
ρ
= −1. Para o caso espec´ıfico do GCG a densidade m´ınima ´e ρ
min
= M
4
.
Como j´a tinhamos mencionado quando consideramos perturba¸c˜oes em primeira ordem, o g´as de
Chaplygin produz instabilidades no espectro de potˆencia da mat´eria. A seguir veremos que estas
instabilidades podem ser eliminadas considerando perturba¸c˜oes de entropia. Para isto ´e conveniente
escrever as equa¸c˜oes relativ´ısticas que governam a evolu¸c˜ao linear de perturba¸c˜oes escalares para
um fluido multicomponente, no calibre s´ıncrono[104]:
Alan M. Vel´asquez-Toribio 71
0 2 4 6 8 10
z
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
wz
Equação de Estado versus z
Figura 3.7: Comportamento da equa¸c˜ao de estado do g´as de Chaplygin generalizado
como fun¸c˜ao do desvio para o vermelho z. Para a figura utilizamos M
4
=0, 355 e
α =1.
72 Tese de Doutorado
δ
i
+3(c
2
si
− w
i
)
a
a
δ
i
= −1(1 + w
i
)(kv
i
+
h
L
2
) −3w
i
a
a
Γ
i
, (3.58)
v
i
+(1− 3c
2
si
)
a
a
v
i
=
c
si
1+w
i
kδ
i
+
w
i
(1 + w
i
)
kΓ
i
(3.59)
h
L
+
a
a
h
L
= −8πG
(1 + 3c
2
si
)ρ
i
a
2
δ
i
− 24πGa
2
p
i
Γ
i
, (3.60)
onde δ
i
´e o contraste de densidade δρ
i
/ρ
i
, v
i
´e a perturba¸c˜ao da velocidade, Γ
i
´e a perturba¸c˜ao
da entropia da i-´esima componente, k ´e o n´umero de onda com´ovel e h
L
´e o tra¸co da perturba¸c˜ao
m´etrica. O sistema de equa¸c˜oes acima representa um sistema de equa¸c˜oes acopladas. Por sim-
plicidade supomos curvatura espacial e p erturba¸c˜ao de press˜ao anisotr´opica nulas. O ap´ostrofo
representa derivadas em rela¸c˜ao ao tempo conforme c
2
si
= p
i
/ρ
i
´e a velocidade do som adiab´atica
e w
i
= p
i
/ρ
i
´e a equa¸c˜ao de estado da i-´esima componente. Utilizando a equa¸c˜ao da densidade de
energia para o g´as de Chaplygin (3.57) podemos calcular a equa¸c˜ao de estado e a velocidade do som
adiab´atica como
w
ch
(a)=−
Aa
3(1+α)
(1 − A)+Aa
3(1+α)
, (3.61)
e
c
2
sh
= −αw
ch
(a). (3.62)
Para o caso de b´arions ´e uma boa aproxima¸c˜ao tomar c
2
sb
= 0 e suponemos Γ
b
= 0. Quando
consideramos o g´as de Chaplygin, as instabilidades e oscila¸c˜oes no espectro de potˆencia da mat´eria
no caso adiab´atico tˆem sua origem no valor n˜ao nulo do lado direito da equa¸c˜ao (3.59) que por
sua vez, afeta a equa¸c˜ao (3.58) e (3.60). No entanto, se consideramos perturba¸c˜oes de entropia os
resultados podem mudar drasticamente. Uma forma de fazer isto ´e impor que o lado direito da
equa¸c˜ao (3.59) seja nulo, exigindo que a velocidade do som efetiva δp
ch
/δρ
ch
da componente de
Chaplygin seja igual a zero. Isto ´e equivalente a supor como condi¸c˜ao inicial δp
ch
=0.
´
E poss´ıvel
tamb´em mostrar que se δp
ch
= 0, ent˜ao implica dδP/dt = 0, tal que e a condi¸c˜ao ´e preservada para
qualquer tempo. Assim, a perturba¸c˜ao de entropia intr´ınseca resulta ser [148]
Γ
i
=
c
2
si
w
si
δ
i
= αδ
ch
. (3.63)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 73
Substituindo esta express˜ao na equa¸c˜ao (3.59) observamos que o lado direito se anula. Com
isto obtemos um espectro de potˆencia P (z) bem comportado, sem oscila¸c˜oes ou instabilidades. Na
literatura esses modelos s˜ao chamados de modelos silenciosos(por ter perturba¸c˜oes de press˜ao nula),
ver por exemplo, a referˆencia [8]. Esta escolha ´e arbitr´aria no n´ıvel fenomenol´ogico. Uma teoria
fundamental seria necess´aria para se obter uma express˜ao exata para a quantidade Γ.
Outra forma de contornar o problema de forma¸c˜ao de estruturas, sem ter que introduzir per-
turba¸c˜oes de press˜ao, ´e ter um modelo que hoje naturalmente tenha uma velocidade do som pequena
ou desprez´ıvel. Esta possibilidade foi explorada na referˆencia [9]. Finalmente, podemos dizer que
duas caracter´ısticas dos modelos de quartessˆencia s˜ao: a equa¸c˜ao de estado deve ter w ≤−1e
quando requerido devem introduzir-se perturba¸c˜oes de press˜ao nulas.
3.4.6 Modifica¸c˜oes da Relatividade Geral
Nos ´ultimos anos tˆem sido considerados diversos modelos baseados em modifica¸c˜oes da relativi-
dade geral de Einstein. Uma dessas classes de teorias s˜ao as chamadas teorias escalar-tensoriais
da gravita¸c˜ao que de alguma forma generalizam a relatividade geral incluindo na lagrangiana de
Einstein-Hilbert termos dependentes de invariantes de curvatura e campos escalares n˜ao minima-
mente acoplados `a gravita¸c˜ao.
Recentemente as chamadas teorias F (R) tˆem sido estudadas como uma alternativa `a energia
escura, ao respeito existem numerosos estudos [65]. As teorias F (R) tˆem sido investigadas inten-
samente em dois ˆambitos, no formalismo m´etrico e no formalismo de Palatini. No formalismo de
Palatini se tem uma s´erie de quest˜oes problem´aticas. Por exemplo, recentemente na [133] mostrou-se
que a teoria F (R), viola o princ´ıpio de equivalˆencia, mas por outro lado as equa¸c˜oes de campo que
geram s˜ao de segunda ordem. Apesar destes resultados a investiga¸c˜ao no formalismo de Palatini ´e
intensa [189].
Uma quest˜ao interessante estudada no trabalho [67] no contexto de Palatini ´e que as teorias F (R)
podem conduzir uma fase de radia¸c˜ao seguida de uma fase dominada pela mat´eria e, finalmente, uma
fase de expans˜ao acelerada. Para este cen´ario a equa¸c˜ao de estado ´e mostrada na figura 3.8. No que
diz respeito `a parte observacional, esta classe de teorias encontra grandes dificuldades para passar
74 Tese de Doutorado
1 100 10000
1. 10
6
z1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
w
eff
Figura 3.8: Comp ortamento da equa¸c˜ao de estado para uma teoria F (R)=R −
β
R
n
para os melhores ajustes dos parˆametros β =4, 63 e α =0, 027 usando amostra de
sup ernovas SNLS. A acelera¸c˜ao come¸ca em z = 1 onde w
ef f
= −1/3. Figura extra´ıda
da referˆencia [67].
testes na escala do sistema solar, tanto no formalismo m´etrico como no de Palatini. Neste sentido,
Hu et al. [88] apresentaram, no formalismo m´etrico, uma parametriza¸c˜ao da forma m
2
c
1
(R/m
2
)
n
+1
c
2
(R/m
2
)
n
,
onde R ´e o escalar de Ricci e m
2
,n,c
1
e c
2
s˜ao os parˆametros do modelo. Esta parametriza¸c˜ao
evade facilmente os v´ınculos do sistema solar e est´a em concordˆancia com os v´ınculos da RCF .
Mas uma p ergunta resulta ´obvia: por que das milh˜oes de teorias F (R) escolhemos uma classe de
parametriza¸c˜oes espec´ıficas.
Existe muitas outras quest˜oes que ainda est˜ao por resolver, tais como a equivalˆencia entre os
formalismos de Palatini e m´etrico, a equivalˆencia das teorias F (R) e as teorias escalar-tensoriais,
entre outras [65].
Cap´ıtulo 4
Dois Modelos de Quartessˆencia e
Sistemas Dinˆamicos
Neste Cap´ıtulo abordamos o estudo de modelos de quartessˆencia usando o m´etodo de sistemas
dinˆamicos. Na primeira parte, revisamos alguns conceitos gerais sobre sistemas dinˆamicos bidimen-
sionais. Na segunda parte, aplicamos esses conceitos para analisar dois modelos de quartessˆencia,
um com equa¸c˜ao de estado logar´ıtmica e o outro com equa¸c˜ao de estado exponencial, discutindo
quest˜oes como a estabilidade estrutural dos modelos. Este Cap´ıtulo est´a baseado na referˆencia [193].
4.1 Sistemas Dinˆamicos na Cosmologia
Vamos iniciar esta se¸c˜ao fazendo uma breve descri¸c˜ao do desenvolvimento da teoria de sistemas
dinˆamicos (SD). O ponto de partida que levou ao estudo qualitativo de um sistema de equa¸c˜oes
diferenciais foi a mecˆanica celeste, especificamente o estudo da estabilidade das ´orbitas dos planetas.
Um dos problemas principais foi o problema de trˆes corpos, que ´e um problema claramente n˜ao linear
cujas solu¸c˜oes anal´ıticas n˜ao s˜ao dadas nem em casos especias por fun¸c˜oes elementares dificultando
75
76 Tese de Doutorado
uma descrip¸c˜ao detalhada da trajet´oria dos corpos.
O problema de trˆes corpos, que inicialmente foi chamado de Teoria Lunar, pois no in´ıcio se
identificava esse problema com o movimento do sistema Terra-Lua-Sol, foi tratado por diversos
matem´aticos como Clairaut em 1747, por Euler em 1753, Lagrange 1772, entre outros. Mas sem-
pre o tratamento foi obter solu¸c˜oes anal´ıticas para casos particulares, atrav´es da teoria de per-
turba¸c˜oes cl´assicas. Uma das figuras chaves no desenvolvimento da teoria de sistemas dinˆamicos
foi o francˆes Henri Poincar´e, que revolucionou o modo de se lidar com equa¸c˜oes diferenciais n˜ao-
lineares, percebendo que as propriedades qualitativas das solu¸c˜oes podiam ser investigadas sem que
tais solu¸c˜oes fossem determinadas explicitamente. Assim, em vez de procurar por f´ormulas anal´ıticas,
ele partiu para uma abordagem qualitativa, usando t´ecnicas geom´etricas e topol´ogicas.
Posteriormente, no inicio do s´eculo XX, Birkoff e Von Neumann estabeleceram seus teoremas
erg´odicos e na d´ecada de 30 Lev Prontryagin e Alexander Andronov consideraram condi¸c˜oes para
a estabilidade de sistemas dinˆamicos planares. O matem´atico brasileiro Maur´ıcio Peixoto retomou
o problema em 1959. Utilizando t´ecnicas introduzidas por Andronov e Prontryagin, al´em de novas
t´ecnicas desenvolvidas por ele mesmo, durante os anos de 1959 a 1962, Peixoto publica uma s´erie
de artigos caracterizando os sistemas dinˆamicos estruturalmente est´aveis no plano e em variedades
compactas bidimensionais e sem borda. Tal caracterizac˜ao ´e hoje conhecida como o Teorema de
Peixoto.
Posteriormente, Smale e colaboradores, em seus trabalhos na d´ecada de 1960, prop˜oem a com-
pleta caracteriza¸c˜ao dos sistemas estruturalmente est´aveis, a conjectura de estabilidade estrutural
para sistemas de classe superior a dois. Nos anos 70, com o uso crescente dos computadore a
teoria dos SD teve um grande desenvolvimento. Em 1971 aparece o artigo de Ruelle: “On the
nature of the turbulence”[152], onde se introduz o conceito de atrator estranho. Depois, em 1975,
Li e Yorke, publicam: “Period three implies chaos” [112] e pela primeira vez foi usada a palavra
“caos”. Modernamente, a teoria dos SD inclui fenˆomenos como bifurca¸c˜oes, sistemas complexos,
caos, etc. Exemplos t´ıpicos s˜ao as equa¸c˜oes de Lorenz, de May e os trabalhos de H´enon, que foi o
primeiro a calcular numericamente a se¸c˜ao de Po´ıncare de um fluxo e propor um mapa que refletia
todas as propriedades do fluxo original. Para finalizar este breve histr´orico n˜ao podemos deixar de
mencionar a contribui¸c˜ao de Kolmogorov, Arnold e M¨oser que resultou no famoso teorema KAM,
Alan M. Vel´asquez-Toribio 77
que d´a condi¸c˜oes para a permanˆencia dos toros dos sistemas hamiltonianos integr´aveis sujeitos a
perturba¸c˜oes.
Por outro lado, no contexto cosmol´ogico, m´etodos qualitativos aplicados `as equa¸c˜oes de campo de
Einstein foram iniciados pela escola russa, como Belinskii et al. 1970 [36] e Doroshkevich et al. 1973
[196]. Eles, consideraram modelos cosmol´ogicos evoluindo no tempo, nos quais para cada ´epoca
poder-se-ia desprezar v´arios termos que n˜ao fossem relevantes, deixando s´o aqueles dominantes,
levando o sistema de equa¸c˜oes a uma forma relativamente simples.
Os sistemas dinˆamicos tamb´em foram usados em conjunto com m´etodos hamiltonianos por
Misner e posteriormente desenvolvidos por Jantzen, Rosquist e Uggla [196]. Nesta abordagem,
as equa¸c˜oes de Einstein foram reduzidas a sistemas hamiltonianos dependentes do tempo para uma
part´ıcula em duas dimens˜oes. Outra forma qualitativa de analisar as equa¸c˜oes de Einstein foi baseada
nas cosmologias espacialmente homogˆeneas, e anisotr´opicas, como ´e o caso das m´etricas de Bianchi,
em que as equa¸c˜oes de Einstein s˜ao escritas como um sistema de equa¸c˜oes diferenciais de primeira
ordem. Esta ab ordagem foi iniciada por Collins (1971), Bogoyavlensky, Wainwright e outros [36].
A id´eia fundamental era partir de cosmologias espacialmente homogˆeneas e chegar `a m´etrica FLRW
naturalmente. Um exemplo disto ´e uma cosmologia com duas hipersuperf´ıcies homogˆeneas e uma
n˜ao homogˆenea, chamada de Cosmologia G
2
, que tem sido estudada intensamente desde o fim da
d´ecada dos 80 e associada a uma grande quantidade de fenˆomenos como flutua¸c˜oes de densidade,
ondas gravitacionais, infla¸c˜ao n˜ao-homogˆenea, nucleoss´ıntense do “big bang” n˜ao-homogˆeneo,etc
[196]. Em geral nos primeiros trabalhos usando sistemas dinˆamicos a id´eia fundamental foi a pro cura
de simetrias no espa¸co-tempo que naturalmente gerassem homogeneidade e isotropia.
Atualmente os m´etodos dos sistemas dinˆamicos s˜ao frequentemente usados numa s´erie de t´opicos,
como em modelos inflacion´arios, cen´arios de energia escura, modelos de quintessˆencia, quartessˆencia,
teorias alternativas da gravita¸c˜ao como teorias escalar-tensorial, teorias F (R), etc [67].
4.1.1 Conceitos Gerais de Sistemas Dinˆamicos
Imagine que um sistema f´ısico no instante de tempo t ´e descrito por um elemento x do espa¸co
de estado X e cuja evolu¸c˜ao ´e governada por um sistema de equa¸c˜oes diferenciais autˆonomas sobre
78 Tese de Doutorado
X, simbolicamente teremos [170]
dx
dt
= f(x , t ), (4.1)
onde para cada tR f ´e um campo vetorial tal que, f : X → X. Aqui n´os identificamos X com
R
n
e x =(x
1
,x
2
, ..., x
n
), a fun¸c˜ao f(x) ´e um campo vetorial sobre R
n
para cada t. Um teorema
fundamental garante a existˆencia e unicidade das solu¸c˜oes do sistema (4.1). Se tais solu¸c˜oes podem
ser estendidas a todos os tempos podemos definir o conceito de fluxo do sistema dinˆamico.
O fluxo de um sistema dinˆamico φ
t
´e definido por uma fam´ılia uniparam´etrica de mapeamentos
de R
n
em R
n
que, satisfaz as seguintes propriedades,
1. Existe um mapeamento identidade, φ
0
= I,
2. Lei de composi¸c˜ao: φ
t
1
+t
2
= φ
t
1
.φ
t
2
,
3. Mapeamento inverso φ
−t
=(φ
t
)
−1
.
Por outro lado, dado um sistema dinˆamico e um fluxo associado φ
t
, a ´orbita atrav´es de x
o
,
denotada por γ(x
o
), ´e definida da forma
γ(x
o
)=xR
n
|x = φ
t
, tR. (4.2)
Dado um fluxo φ
t
, os pontos no espa¸co de fase podem ser divididos em dois tipos diferentes:
pontos cr´ıticos e pontos ordin´arios. Um ponto cr´ıtico ou de equil´ıbrio x
cr
do sistema dinˆamico (4.1)
satisfaz, f(x
cr
) = 0, ou equivalentemente, φ
t
(x
cr
)=x
cr
, para todo tR. Um ponto de equil´ıbrio ´e
interpretado como um estado de equil´ıbrio do sistema f´ısico, pois nesse ponto o estado n˜ao muda com
o tempo. A ´orbita atrav´es de um ponto de equil´ıbrio ´e o pr´oprio ponto: γ(x
o
)=x
o
, enquanto a ´orbita
atrav´es de um ponto ordin´ario ´e uma curva suave tendo o campo vetorial f(x(t)) como tangente
em cada ponto. Existem dois tipos especiais de ´orbitas ordin´arias: peri´odicas e recorrentes. Outras
´orbitas importantes no espa¸co de fase s˜ao: ´orbitas heterocl´ınicas, que unem dois p ontos de equil´ıbrio,
e ´orbitas homocl´ınicas, que conectam o mesmo ponto de equil´ıbrio.
Em geral ´e poss´ıvel distinguir dois tipos de sistemas dinˆamicos: sistemas cont´ınuos, para os
quais o tempo ´e medido em forma cont´ınua e o sistema dinˆamico po de ser expresso como um
sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias; e sistemas dinˆamicos discretos se o tempo se mede em
pequenos lapsos e, nesse caso, eles s˜ao modelados com mapeamentos, tal como a equa¸c˜ao log´ıstica:
Alan M. Vel´asquez-Toribio 79
x
n+1
= ax
n
(1−x
n
), onde n ´e um inteiro. Em cosmologia, a maioria das aplica¸c˜oes envolvem sistemas
cont´ınuos.
Outra forma de classificar os sistemas dinˆamicos ´e em sistemas lineares e sistemas n˜ao lineares.
Os sistemas lineares s˜ao sol´uveis analiticamente e, portanto, o comportamento de todas as ´orbitas
podem ser classificadas. Para um sistema linear a an´alise ´e mais simples porque eles satisfazem
o princ´ıpio de superposi¸c˜ao. Por sua vez, os sistemas n˜ao lineares s˜ao muito mais complicados e
podem conduzir a comportamentos irregulares que s˜ao reunidos na denomina¸c˜ao de ca´otico.
Conv´em tamb´em definir um sistema autˆonomo como sendo um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais,
lineares ou n˜ao-lineares, sem dependˆencia expl´ıcita do tempo. Contudo, qualquer sistema n˜ao-
autˆonomo, escrito na forma de ”n”equa¸c˜oes de primeira ordem, pode ser reescrito numa forma
autˆonoma, definindo-se x
n+1
= t, o sistema (4.1) torna-se:
dx
1
dt
= f
1
(x
1
, ..., x
n
,x
n+1
) (4.3)
dx
2
dt
= f
2
(x
1
, ..., x
n
,x
n+1
) (4.4)
................. (4.5)
dx
n
dt
= f
n
(x
1
, ..., x
n
,x
n+1
) (4.6)
dx
n+1
dt
=1. (4.7)
O espa¸co de fase correspondente ao sistema n˜ao-autˆonomo, reescrito numa forma autˆonoma, ´e
chamado de espa¸co de fase estendido, e possui dimens˜ao n +1.
4.1.2 Teorema de Hartman-Grobman
D.M.Grobman, em 1959 e P. Hartman, em 1963 provaram independentemente que, na vizin-
han¸ca de um p onto de equil´ıbrio hiperb´olico, um sistema n˜ao-linear de dimens˜ao-N apresenta um
comportamento qualitativamente equivalente ao do sistema linear correspondente. Um ponto de
equil´ıbrio ´e dito hiperb´olico se to dos os autovalores, calculados a partir da vers˜ao linearizada das
equa¸c˜oes originais, tˆem parte real n˜ao-nula [126]. Portanto, o teorema de Hartman-Grobman garante
que a estabilidade de um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico ´e preservado quando o sistema ´e linearizado
80 Tese de Doutorado
em torno desse ponto. Assim, o retrato de fase, na vizinhan¸ca desse ponto, ´e topologicamente or-
bitalmente equivalente ao retrato de fase do sistema n˜ao linear associado. Para o caso bidimensional
se o sistema linearizado prevˆe um ponto cr´ıtico tipo sela, um n´o ou foco, ent˜ao o ponto de equil´ıbrio
do sistema n˜ao-linear original ´e do tipo sela, n´o ou foco.
Considere o sistema dinˆamico tipo (4.1). Na aproxima¸c˜ao linear de f em x
cr
onde x
cr
´e u m
ponto de equil´ıbrio
f(x)=Df(x
cr
)(x − x
cr
) (4.8)
onde
Df(x
cr
)=(
∂f
i
∂x
j
)
x=x
cr
= A (4.9)
´e a matriz de lineariza¸c˜ao de f. Para um sistema bidimensional da forma
dx
dt
= f(x, y) (4.10)
dy
dt
= g(x, y) (4.11)
essa matriz de lineariza¸c˜ao ´e:
A =
∂f /∂x ∂f /∂y
∂g/∂x ∂f /∂y
(4.12)
avaliada no ponto cr´ıtico x
cr
. Se nosso sistema original tem fluxo φ
t
e se o ponto de equil´ıbrio
´e hiperb´olico, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca N de x
cr
sobre a qual o fluxo φ
t
´e topologicamente
equivalente ao fluxo da lineariza¸c˜ao do sistema dinˆamico em x
cr
.
Outra forma coloquial de entender o teorema ´e dizer que na vizinhan¸ca N do ponto de equil´ıbrio x
cr
a ´orbita pode ser deformada continuamente at´e converter-se numa ´orbita do sistema linearizado, ou
em outras palavras, existe um homeomorfismo que pode levar ´orbitas do sistema original ao sistema
linear de forma cont´ınua.
4.1.3 Classifica¸c˜ao do Equil´ıbrio Quanto `a Estabilidade
Vamos a classificar os pontos de equil´ıbrio de um sistema linear no plano, utilizando o sinal dos
autovalores λ, o determinante D, e o tra¸co T , da matriz A [126]:
Alan M. Vel´asquez-Toribio 81
• Se D<0, ent˜ao os autovalores λ
1,2
s˜ao reais e com sinais opostos, assim o ponto de equil´ıbrio
´e chamado de sela, que ´e inst´avel no sentido de Lyapunov.
• Se D>0eT
2
− 4D>0, ent˜ao λ
1,2
s˜ao reais e com mesmo sinal e se T>0 o ponto de
equil´ıbrio ´e um n´o inst´avel; se T<0, obtemos um n´o assintoticamente est´avel.
• Se D>0eT
2
− 4D<0, ent˜ao λ
1,2
s˜ao complexos conjugados e se T>0 assim o ponto de
equil´ıbrio ´e um foco inst´avel; se T<0 temos um foco assintoticamente est´avel; e se T =0
temos um centro neutramente est´avel.
Sobre a linha T
2
− 4D = 0 localizam-se as estrelas e os n´os impr´oprios, que s˜ao casos em
que o sistema apresenta dois autovalores iguais. Sobre o eixo-T. situam-se os pontos de equil´ıbrio
n˜ao-isolados, que ocorrem quando um autovalor se anula.
4.1.4 Teorema de Peixoto
A estabilidade de um sistema pode mudar quando o sistema depende de um parˆametro. Os
sistemas que mantˆem o mesmo retrato de fase s˜ao chamados de estruturalmente est´aveis. Por outro
lado, se o retrato de fase muda o sistema ´e dito inst´avel. O teorema de Peixoto, 1962, estabelece as
seguintes condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para uma variedade bidimensional ser estruturalmente
est´avel [140]:
• N´umero finito de pontos de equil´ıbrio hiperb´olicos.
• N´umero finito de atratores ou ´orbitas peri´odicas repelentes.
• N˜ao existem ´orbitas que conectem dois pontos de sela.
• Os conjuntos limites de todas as ´orbitas s˜ao ´orbitas peri´odicas ou pontos fixos.
82 Tese de Doutorado
4.2 Aplicando a T´ecnica de Sistemas Dinˆamicos
Vamos estudar via sistemas dinˆamicos a estabilidade de duas parametriza¸c˜oes de um fluido de
quartessˆencia, uma de tipo exponencial e outra de tipo logar´ıtmico. O conte´udo desta se¸c˜ao est´a
baseada na referˆencia [193].
4.2.1 Dois modelos de quartessˆencia
As equa¸c˜oes de estado para nossos dois modelos de quartessˆencia s˜ao [147]:
P = −M
4
e
−αρ
M
4
, (4.13)
e
P = −
M
4
ln(
ρ
M
4
)
α
, (4.14)
onde P ´e a press˜ao do fluido escuro e ρ sua densidade de energia. M tem dimens˜ao de massa e α
´e um parˆametro sem dimens˜ao. Se α ´e igual a zero ent˜ao o fluido escuro representa uma constante
cosmol´ogica, P = −M
4
= −ρ,eseα toma valores grandes a press˜ao do fluido aproxima-se de zero,
que representa um Universo dominado por mat´eria n˜ao relativ´ıstica. Este comportamento tamb´em
pode ser atingido pensando-se em termos da densidade de energia. Fixando-se o valor de α, temos
que, se a densidade de energia for alta ent˜ao P tende a zero, e se a densidade de energia for baixa
ent˜ao a press˜ao tende a −M
4
.
Outra caracter´ıstica das equa¸c˜oes acima ´e que elas satisfazem
d
2
P
dρ
2
< 0, o que significa que neste
caso o valor m´aximo da velocidade do som corresponde ao valor m´ınimo da densidade de energia.
As densidades de energia m´ınimas s˜ao:
ρ
min,exp
= M
4
(
W (α)
α
), (4.15)
ρ
min,log
= M
4
e
αW (α
−1
)
, (4.16)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 83
Logarítmico
exponencial
P=-r
P
Densidadedeenergia
Figura 4.1: Neste gr´afico se mostra as equa¸c˜oes exponencial e logar´ıtmica e a linha
limite P = −ρ. Podemos observar que a exponencial varia muito mais rapidamente
que a logar´ıtmica. Para o caso exp onencial usamos α =0, 28 e M
4
=0, 7 e para o
caso logar´ıtmico α =1eM
4
=0, 9.
84 Tese de Doutorado
onde W (α) ´e a fun¸c˜ao ProdutoLog definida como a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao xe
x
= α[48]. Na figura 4.1
mostramos o gr´afico da press˜ao como fun¸c˜ao da densidade de energia de acordo com as equa¸cˆoes
(4.13) e (4.14). A seguir, definimos nosso sistema dinˆamico
˙
H = −H
2
−
1
6
(ρ +3P ), (4.17)
˙ρ = −3H(ρ + P ), (4.18)
onde o ponto denota derivada em rela¸c˜ao ao tempo. Vamos dividir a discus˜ao dos pontos cr´ıticos,
em duas partes:
• A) Caso est´atico, quando H =0.
• B) Caso n˜ao-est´atico, quando H =0.
Vamos somente permitir pontos cr´ıticos hiperb´olicos, de modo que o comportamento do sistema
na vizinhan¸ca dos p ontos cr´ıticos seja equivalente ao comportamento de sua parte linear. A matriz
de lineariza¸c˜ao do sistema acima, avaliado no ponto cr´ıtico (H
o
,ρ
o
)´e:
A =
−2H −
1
6
d
dρ
(ρ +3P )
−3(ρ + P ) −3H
d
dρ
(ρ + P )
(H
0
,ρ
o
)
.
A equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e det(A − λI) = 0, onde I ´e a matriz identidade e nos permite calcular
os valores pr´oprios dos pontos cr´ıticos. O tra¸co e o determinante, considerando, o caso est´atico
resultam em
TrA =0, (4.19)
detA = −
1
2
(ρ + P )
d
dρ
(ρ +3P ) |
(H
0
,ρ
o
)
. (4.20)
Para pontos cr´ıticos n˜ao est´aticos obtemos
TrA = −H(2+3
d
dρ
(ρ + P )) |
(H
0
,ρ
o
)
, (4.21)
detA =6H
2
d
dρ
(ρ + P ) |
(H
0
,ρ
o
)
, (4.22)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 85
onde |
(H
0
,ρ
o
)
em ambos os casos denota a equa¸c˜ao avaliada no ponto cr´ıtico. Vamos considerar, no
que se segue, o caso espec´ıfico dado pela equa¸c˜ao (4.13) e (4.14).
4.2.2 Caso Exponencial
Considerando primeiro o caso est´atico com H = 0, os pontos cr´ıticos explicitamente s˜ao
H
o
=0,ρ
o
= M
4
W (3α)
α
. (4.23)
Usando a equa¸c˜ao para o detA, equa¸c˜ao (4.20), temos,
detA = −
1
2
(
M
4
α
W (3α) − M
4
e
−W (3α)
)(1 + 3αe
−W (3α)
). (4.24)
Neste caso o tra¸co ´e sempre nulo (equa¸c˜ao 4.19) e a natureza dos pontos cr´ıticos depende do
sinal do determinante de A. Seguindo a classifica¸c˜ao de pontos cr´ıticos temos que: se detA > 0,
ent˜ao os valores pr´oprios dos pontos cr´ıticos tˆem valores complexos e no espa¸co de fase correspondem
a um centro neutralmente est´avel. Por outro lado, se o determinante for negativo (detA < 0), ent˜ao
o ponto cr´ıtico representa um ponto de sela.
Na figura 4.2 podemos observar que existe um ponto cr´ıtico tipo sela que representa o Universo
est´atico de Einstein. Por outro lado, a equa¸c˜ao (4.24), na regi˜ao finita do espa¸co de fase, ´e sempre
negativa, p ortanto, n˜ao existem pontos cr´ıticos tipo centro.
Agora vamos analisar pontos cr´ıticos n˜ao-est´aticos (H = 0). Considerando o sistema de equa¸c˜oes
(4.17-4.18), obtemos
ρ
o
=
M
4
α
W (α),H
2
o
= −
1
6
(
M
4
α
W (α) −3M
4
e
−W (α)
). (4.25)
Usando as equa¸c˜oes para o tra¸co e o determinante temos as seguintes express˜oes:
detA =6H
2
o
(1 + αe
−W (α)
), (4.26)
e
TrA= −H
o
(2 + 3(1 −αe
−W (α)
)). (4.27)
86 Tese de Doutorado
Figura 4.2: Retrato de fase para o modelo exponencial. Para a figura consideramos
α = M
4
=1.
Das equa¸c˜oes acima podemos inferir que o determinante ´e sempre positivo e para um Universo
em expans˜ao (H>0) o tra¸co ´e negativo (1 >αe
−Wα
). Portanto, o ponto cr´ıtico n˜ao est´atico
comporta-se como um n´o assintoticamente est´avel se o discriminante ´e positivo, ∆ = T
2
− 4D>0,
ou comporta-se como um fo co assintoticamente est´avel se o discriminante for negativo, ∆ < 0.
De outro lado, num Universo em contra¸c˜ao os pontos cr´ıticos s˜ao inst´aveis. Na figura 4.2
podemos apreciar o retrato vetorial de fase do sistema dinˆamico (4.17-4.18), usando a equa¸c˜ao de
estado exponencial. Inspecionando a figura podemos notar o seguinte: existe um atrator de de-Sitter
est´avel para um Universo em expans˜ao (H>0) representado por um ponto de equil´ıbrio tipo n´o
cuja dire¸c˜ao limitante, para o caso mostrado na figura 4.2, ´e dada pela reta ρ = W (1) = 0.5. Para
Universos em contra¸c˜ao (H<0) tamb´em existe um atrator de de-Sitter representado por um n´o
inst´avel. Na figura a trajet´oria do modelo plano (k = 0) ´e representado por uma par´abola.
Existe curvas que unem os dois atratores no espa¸co de fase. S˜ao curvas tipo heterocl´ınicas
e corresp ondem a mo delos que passam de um per´ıodo de contra¸c˜ao a um per´ıodo de expans˜ao e
podem ser tanto modelos com curvatura positiva quanto negativa. As ´orbitas que est˜ao acima do
ponto de sela est˜ao confinadas por duas retas chamadas separatrizes. Essas ´orbitas s˜ao modelos com
Alan M. Vel´asquez-Toribio 87
curvatura positiva, iniciam no infinito e quando atingem um valor cr´ıtico come¸cam a se afastar do
ponto de sela. Finalmente modelos com ρ<0 n˜ao tˆem sentido f´ısico.
4.2.3 Caso Logar´ıtmico
O caso logar´ıtmico est´atico ´e an´alogo ao exponencial. Portanto, aqui s´o estudaremos o caso
n˜ao est´atico. Igualando a zero as equa¸c˜oes (4.17-4.18) e usando a equa¸c˜ao de estado logar´ıtmica,
obtemos os p ontos cr´ıticos
ρ
o
= M
4
e
αW (α
−1
)
,H
2
o
= −M
4
1
6
[e
αW (α
−1
)
− 3(αW (α
−1
)
α
]. (4.28)
O tra¸co e o determinante s˜ao
detA =6H
2
0
{1+
αM
4
(αW (α
−1
)
α+1
e
−αW (α
−1
)
.} (4.29)
TrA= −H
0
{2 + 3(1 +
αM
4
αW (α
−1
)
1+α
e
−αW (α
−1
)
}, (4.30)
Das equa¸c˜oes acima podemos observar que o determinante ´e sempre p ositivo e o tra¸co para um
Universo em expans˜ao (H>0), ´e negativo, e sendo negativo para um Universo em contra¸c˜ao
(H<0). Portanto, existe liberdade para o discriminante ser positivo ou negativo; se o discriminante
for, o ponto cr´ıtico comporta-se como um n´o assintoticamente est´avel. Se o discriminante for, o ponto
cr´ıtico comporta-se como um fo co assintoticamente est´avel.
Na figura 4.3 mostramos o retrato vetorial de fase para o caso logar´ıtmico. Neste caso ´e impor-
tante notar que a press˜ao muda de sinal quando a densidade de energia toma valores menores que a
unidade; isto depender´a explicitamente do parˆametro α, da equa¸c˜ao 4.14. Para construir o gr´afico
escolhemos o valor α =0, 5eM
4
= 1. Na figura pode-se apreciar um ponto de sela que corresponde
ao caso de um Universo est´atico de Einstein e dois pontos de equil´ıbrio tipo de-Sitter. Os mesmos
coment´arios para o caso exponencial aplican-se ao caso logar´ıtmico.
Por outro lado, seguindo o mesmo procedimento, analisamos o modelo do g´as de Chaplygin
generalizado e da constante cosmol´ogica. O resultado do retrato vetorial de fase, pode ser visto nas
figuras 4.4 e 4.5 e podemos observar que o retrato vetorial se comporta da mesma forma que nossos
88 Tese de Doutorado
Figura 4.3: Retrato de fase para o modelo logar´ıtmico. O valor de α ´e fixado em
0,5. O gr´afico mostra que existe uma equivalˆencia estrutural dinˆamica com o modelo
exponencial dentro da regi˜ao f´ısica, ρ>0
modelos exponencial e logar´ıtmico: apresenta o mesmo tipo de p ontos cr´ıticos. Deste modo, podemos
concluir que nossos dois modelos de quartessˆencia e o modelo do g´as de Chaplygin juntamente com
a constante cosmol´ogica s˜ao top ologicamente equivalentes.
Outra quest˜ao importante ´e a estabilidade estrutural dos modelos. No espa¸co finito do retrato
vetorial de fase temos que para todos os modelos existe um n´umero finito de pontos cr´ıticos. N˜ao
existe nenhum ponto cr´ıtico tipo centro, n˜ao existem ´orbitas que conectam dois pontos de sela e so-
mente consideramos pontos de equil´ıbrio hiperb´olicos. Assim, segundo o teorema de Peixoto, existe
estabilidade estrutural para nossos quatro modelos. Portanto, a evolu¸c˜ao dinˆamica dos modelos ´e
estruturalmente est´avel. No contexto cosmol´ogico, a evolu¸c˜ao dinˆamica de um modelo exponencial
ou logar´ıtmico dentro do espa¸co de fase finito ´e equivalente `a evolu¸c˜ao dos modelos de g´as de Cha-
plygin e constante cosmol´ogica.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 89
Figura 4.4: Retrato de fase do g´as de Chaplygin generalizado, onde consideramos,
M =1α =0.5. O gr´afico mostra o mesmo conjunto de pontos de equil´ıbrio que os
modelos exp onencial e logar´ıtmico.
Figura 4.5: Retrato de fase da constante cosmol´ogica. O gr´afico mostra que, no
espa¸co de fase finito, existe uma equivalˆencia estrutural dinˆamica entre este caso e os
modelos estudados.
90 Tese de Doutorado
4.2.4 Fun¸c˜ao de Lyapunov
Nesta se¸c˜ao vamos aplicar o m´etodo direto de Lyapunov ao sistema dinˆamico (4.17)-(4.18) para
investigar a estabilidade assintotica.
A existˆencia de uma fun¸c˜ao de Lyapunov F , garante a estabilidade do ponto cr´ıtico x
cr
.Al´em
disso, se vale a desigualdade
dF
dt
≤ 0 na vizinhan¸ca de U
x
cr
, ent˜ao x
cr
´e assintoticamente est´avel.
Para uma discuss˜ao detalhada do m´etodo ver a referˆencia [126].
Para nosso sistema dinˆamico, propomos a seguinte fun¸c˜ao de Lyapunov[193]:
F (ρ, H)=ρ +
H
2
2
> 0. (4.31)
A fun¸c˜ao acima ´e positiva definida se ρ>0. A seguir consideramos que o Universo est´a em expans˜ao
(H>0) e analisaremos as condi¸c˜oes sobre a fun¸c˜ao F para que o sistema de equa¸c˜oes nos pontos
cr´ıticos seja est´avel assintoticamente. De acordo com o teorema de Lyapunov, uma condi¸c˜ao que
deve ser satisfeita por F ´e que sua primeira derivada em rela¸c˜ao ao tempo seja menor que zero.
Tomando a primeira derivada de F em rela¸c˜ao ao tempo temos que a derivada de dH/dt resulta
dH
dt
= −[
ρ
3
−
k
a
2
+
(ρ +3P )
6
]. (4.32)
Por outro lado, usando as defini¸c˜oes: Ω
k
= −k/a
2
H
2
,Ω
Q
= ρ/3H
2
e se exigimos que Ω
k
+Ω
Q
=
1, ´e facil mostrar que
dH
dt
= −
ρ
3
[
3
2
(1 + w)+
(1 − Ω
Q
)
Ω
Q
], (4.33)
onde Ω
Q
´e o parˆametro de densidade da quartessˆencia. Utilizando a equa¸c˜ao acima e a equa¸c˜ao de
conserva¸c˜ao, obtemos,
dF
dt
= −(
7
2
(1 + w)Hρ + Hρ
(1 − Ω
Q
)
Ω
Q
) < 0 (4.34)
Ω
Q
≥−
2
7w +5
. (4.35)
A ´ultima express˜ao ´e a condi¸c˜ao de estabilidade para que o sistema dinˆamico 4.17-4.18 tenha pontos
cr´ıticos assintoticamente est´aveis com equa¸c˜ao de estado de quartessˆencia w ≥−1. O importante
aqui ´e a existˆencia da fun¸c˜ao de Lyapunov satisfazendo a condi¸c˜ao (4.34). Por defini¸c˜ao, a fun¸c˜ao
Alan M. Vel´asquez-Toribio 91
F tem um m´ınimo sobre o ponto cr´ıtico e existe uma vizinhan¸ca (bacia de atra¸c˜ao) com H>0
onde F tem derivada negativa. Portanto, o estado assint´otico do Universo, para esta cosmologia, ´e
assintoticamente est´avel.
92 Tese de Doutorado
Cap´ıtulo 5
Testes Cosmol´ogicos
Neste Cap´ıtulo apresentamos quatro testes cosmol´ogicos que no Cap´ıtulo seguinte utilizaremos
para vincular duas novas parametriza¸c˜oes. Os testes apresentados s˜ao: supernovas Ia, medidas de
fra¸c˜ao de b´arions em aglomerados de gal´axias, oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions (BAO), e o parˆametro
de deslocamento da radia¸c˜ao c´osmica de fundo.
5.1 Testes com Supernovas SNeIa
O teste cosmol´ogico de supernovas Ia ´e o de maior impacto desde a descoberta da expans˜ao
acelerada do Universo em 1998 [141, 149]. O seu uso como indicador de distˆancia proporciona a
evidˆencia mais direta para o recente per´ıodo de expans˜ao acelerada, assim como uma das medidas
mais precisas da constante de Hubble [110].
93
94 Tese de Doutorado
5.1.1 Caracter´ısticas e Amostras de Supernovas Ia
Desde o in´ıcio da cosmologia observacional as supernovas foram reconhecidas como objetos as-
tronˆomicos com potencial de serem utilizadas como velas padr˜ao para medir distˆancias cosmol´ogicas.
Em 1919 Shapley [175] utilizou supernovas para argumentar contra a hip´otese dos Universos Ilhas.
Dez anos depois, Edwin Hubble [93] notou que havia uma classe excepcional de novas que atingiam
uma luminosidade grande, compar´avel com uma fra¸c˜ao consider´avel do sistema onde apareciam.
Estas novas com brilho extra foram denominadas de supernovas por Baade e Zwicky [17] em 1934
e divididas em duas classes, baseadas em suas caracter´ısticas espectrais, por Minkowski em 1941.
[125]
Atualmente ainda se conserva a classifica¸c˜ao de Minkowski e as duas principais variedades s˜ao as
supernovas do tipo I, cujos espectros ´opticos n˜ao tˆem linhas de hidrogˆenio, e as do tipo II, que tˆem
linhas de hidrogˆenio. Adicionalmente as supernovas I se subdividem em: Ia, que se caracterizam
por apresentarem fortes linhas de absor¸c˜ao perto de 6150A que corresponde ao sil´ıcio (Si); Ib
que tˆem terem linhas de He I; e as Ic, que n˜ao tˆem nem Si nem He I nos seus espectros. As
supernovas I aparecem geralmente em gal´axias el´ıpticas e possivelmente tˆem como progenitores
estrelas de popula¸c˜ao II, ao passo uqe as supernovas tipo II s˜ao encontradas em gal´axias espirais e
suas progenitoras possivelmente s˜ao da popula¸c˜ao I.
Acredita-se que o mecanismo de forma¸c˜ao e explos˜ao das supernovas Ia seja a explos˜ao ter-
monuclear nas estrelas an˜as brancas, enquanto as supernovas II surgem do colapso de estrelas mas-
sivas que evoluem rapidamente. Este mecanismo provavelmente produz tamb´em muitas supernovas
Ib/Ic; entretanto, neste caso, as estrelas progenitoras previamente perdem suas camadas externas
de hidrogˆenio e h´elio.
As explos˜oes termonucleares de supernovas s˜ao eventos complexos e a f´ısica dessas explos˜oes
n˜ao ´e totalmente entendida, sobretudo os processos de transporte radiativo [146]. As distˆancias
de supernovas Ia est˜ao baseadas em rela¸c˜oes emp´ıricas que conectam a forma da curva de luz com
o m´aximo de luminosidade. V´arios m´etodos tˆem sido propostos para caracterizar isto e todos, a
grosso modo falando, s˜ao equivalentes [143]. As principais incertezas sistem´aticas s˜ao devidas a
causas desconhecidas da varia¸c˜ao de luminosidade, extin¸c˜ao da gal´axia hospedeira (h´a evidˆencias de
Alan M. Vel´asquez-Toribio 95
que a extin¸c˜ao m´edia das sup ernovas ´e diferente da lei de extin¸c˜ao local, na vizinhan¸ca do sistema
solar [110].), corre¸c˜ao-K, etc. A forma da curva de luz e a corre¸c˜ao de cor permanecem um mist´erio;
no entanto, recentemente tˆem sido feitos alguns esfor¸cos para se entender melhor estas caracter´ısticas
[31].
Os dados usados na presente investiga¸c˜ao s˜ao a amostra Gold compilada por Riess et. al.,[149],
que ´e um conjunto de 143 supernovas Ia e mais 14 supernovas Ia com z>1, `as quias recentemente
foram somadas 25, atingindo um total de 182 supernovas Ia. O outro conjunto de dados ´e do projeto
”Supernova Legacy Survey”(SNLS), que ´e um projeto de 5 anos de observa¸c˜ao e busca de supernovas
com z<1. Recentemente foi publicado o primeiro conjunto de dados por Astier et al.,[14]. O SNLS
adotou uma estrat´egia de busca que consiste em observar v´arias vezes um mesmo campo do c´eu cada
trˆes ou quatro noites consecutivas, reduzindo a incerteza de erros sistem´aticos devido `a fotometria.
Esta amostra consiste em 44 supernovas previamente publicadas com 0.015 <z<0.125 mais 73
novas supernovas descobertas pelo SNLS com 0.15 <z<1, duas das quais foram exclu´ıdas e n˜ao
foram usadas na an´alise.
5.1.2 V´ınculos Cosmol´ogicos
As observa¸c˜oes de supernovas Ia proporcionam medidas da magnitude aparente, m(z), no pico do
brilho ap´os incluir efeitos de corre¸c˜ao como: extin¸c˜ao gal´actica, corre¸c˜oes-K e corre¸c˜oes da largura-
luminosidade das curvas de luz [131, 141]. A magnitude aparente, m(z), est´a relacionada `a distˆancia
de luminosidade (d
L
) atrav´es da express˜ao
m
teo
(z)=5Log
10
(D
L
(z)) − 5Log
10
(h)+M +42.38, (5.1)
onde M ´e a magnitude absoluta que ´e suposta constante, depois de terem sido levadas em conta as
mencionadas corre¸c˜oes, e D
L
(z)=d
L
(z)H
o
/c, sendo c a velocidade da luz. Para o caso particular
de modelos cosmol´ogicos FLRW com tricurvatura nula, podemos expressar D
L
como
D
L
=(1+z)
z
0
H
o
dz
H(z
,a
i
)
, (5.2)
onde a
i
representa os parˆametros do modelo te´orico considerado e usou-se c =1.
96 Tese de Doutorado
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75
36
38
40
42
44
Amostra Gold-182
z
m-M
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
34
36
38
40
42
44
amostra SNLS-115
z
m-M
Figura 5.1: Distˆancia de mˆodulo dos dados de supernovas do Gold-182 (direita) e do
SNLS (esquerda) em termos do desvio para o vermelho,z.
Os dados observacionais da amostra Gold s˜ao apresentados em termos do m´odulo de distˆancia
µ
G
obs
= m
G
obs
− M. (5.3)
J´a os dados da amostra Legacy s˜ao expressos como
µ
SNLS
obs
(z
i
)=m
SNLS
obs
(z
i
) − M + α(s
i
− 1) − β˜c
i
. (5.4)
onde a magnitude no referencial de repouso, na Banda B, no m´aximo de luminosidade ´e m
B
(z
i
);
o parˆametro s ´e usado para calibrar a forma da curva de luz e relaciona o m´aximo da curva de
luz com a sua largura; e ˜c ´e um parˆametro relacionado com a cor da supernovas, no referencial em
repouso, e tamb´em est´a associado com medidas de extin¸c˜ao da gal´axia hospedeira. Assim, o m´odulo
de distˆancia, neste caso, inclui dois parˆametros adicionais, associados com s e˜c que s˜ao α e β.
Para um dado modelo te´orico, o m´odulo de distˆancia ´e definido como
µ
teo
(z)=m
teo
(z) − M (5.5)
=5log
10
(D
L
) − 5log
10
(h)+42, 38. (5.6)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 97
Para obter os melhores ajustes e v´ınculos observacionais dos parˆametros do modelo te´orico utilizamos
a estat´ıstica χ
2
definida como
χ
2
(a
i
)=
i
| µ
obs
(z
i
) − µ
teo
(z,a
i
) |
2
σ
2
i
, (5.7)
onde σ
2
i
= σ
2
v
+ σ
2
µ
, sendo σ
v
a dispers˜ao no desvio para o vermelho das supernovas Ia devido `a
velocidade peculiar, que, admitindo um valor de 300km/s, pode ser escrita como
σ
2
v
=
5 × 10
−
3
ln(10)
(
1
1+z
i
+
1
H(z
i
)
dz
H(z
i
)
)
2
. (5.8)
A quantidade σ
2
µ
´e a incerteza no m´odulo de distˆancia individual dada por
σ
2
µ
= σ
2
m
+ α
2
σ
2
s
+ β
2
σ
2
c
+ σ
2
int
. (5.9)
Os valores para σ
2
m
, σ
2
s
,σ
2
c
s˜ao dados na referˆencia [14] para a amostra SNLS (a amostra Gold
n˜ao utiliza esses dados). Para formar o χ
2
da amostra SNLS utilizamos as equa¸c˜oes (5.4),(5.6),(5.8)
e (5.9) na (5.7). A minimiza¸c˜ao da amostra SNLS ´e feita em rela¸c˜ao aos parˆametros do modelo a
i
e α, β e M. Devido `a defini¸c˜ao de σ
2
µ
necessitamos levar em conta a matriz de covariˆancia total
de m
SNLS
obs
, s e c para fazer a minimiza¸c˜ao dos parˆametros. Como po demos observar, σ
2
µ
depende
de α e β; minimizando relativamnete a esses parˆametros introduzimos um vi´es que incrementa os
erros ao diminuir o χ
2
, como foi notado em Tripp [188]. Para evitar isto fixamos os valores de α e β
introduzindo a incerteza calculada e os atualizamos iterativamente. Inicialmente usamos os melhores
ajustes de Astier [14]: α =1, 52 ± 0, 14 e β =1, 57 ± 0, 15. Por outro lado, o σ
2
µ
tamb´em inclui um
σ
int
e, seguindo [14] iniciamos com um valor de 0,15mag (que corresponde `a dispers˜ao intr´ınseca de
SNIa pr´oximas) e calculamos o σ
int
necess´ario para que χ
2
/N = 1, sendo N o n´umero de graus de
liberdade, definido como o n´umero de dados menos o n´umero de parˆametros.
Para o caso da amostra Gold-182, para formar o χ
2
usamos as equa¸c˜oes (5.3) e (5.6) na (5.7). Os
n´ıveis de confian¸ca s˜ao obtidos utilizando um procedimento de minimiza¸c˜ao de χ
2
. Para a amostra
Gold os dados s˜ao m´odulo de distˆancia, sua incerteza e o desvio para o vermelho das supernovas Ia.
Para ambas as amostras, marginalizamos sobre a verossimilhan¸ca ou densidade de probabilidade,
definida como
L(a
i
)=Ne
−χ
2
(a
i
)/2
, (5.10)
98 Tese de Doutorado
Figura 5.2: Contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68%, 95,5% e 99,7% para o
modelo ΛCDM. A linha s´olida representa os v´ınculos do SNLS, as linhas pontil-
hadas representam o teste de oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions e as linhas tracejadas
representam os v´ınculos combinados [14].
onde N ´e o fator de normaliza¸c˜ao. Para marginalizar sobre um dado parˆametro, a
i
, `as vezes usamos
um peso gaussiano ne
−(a
i
−a
obs
)
2
/σ
2
a
obs
, onde n ´e um fator de normaliza¸c˜ao dado por
1
√
2πσ
2
a
obs
. Como
resultado obtemos uma nova estat´ıstica χ
2
, salvo uma constante, definida como
χ
2
mag
∝−2ln
e
(−χ
2
/2−((a
i
−a
obs
)
2
/σ
2
a
obs
))
da
i
. (5.11)
Estas duas amostras de supernovas Ia tˆem sido usadas intensamente e s˜ao as que utilizaremos
nesta tese. Para o mo delo ΛCDM , apresentado no Cap´ıtulo trˆes, os v´ınculos obtidos utilizando
estes testes s˜ao mostrados na figura 5.2. Como podemos observar, os resultados do Legacy s˜ao
consistentes com um Universo com k = 0, dominado por uma componente escura Ω
Λ
.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 99
5.2 Testes com Aglomerados de Gal´axias
O g´as intra-aglomerado ´e uma grande fonte de raios-X e tem sido estudado intensamente desde
sua descoberta nos anos 60 do s´eculo passado. O mecanismo de emiss˜ao ´e associado a processos de
bremsstrahlung t´ermico e foi primeiro proposto por Cavaliere e Fusco-Femiano [42]. Em alguns casos,
existe uma contribui¸c˜ao `a emiss˜ao em raios-X devida ao espalhamento Compton inverso dos f´otons da
radia¸c˜ao c´osmica de fundo por el´etrons relativ´ısticos. Este fenˆomeno ´e semelhante ao efeito Sunyaev-
Zeldovich [171]. A presen¸ca de el´etrons relativ´ısticos se manifesta, independentemente da emiss˜ao
em raios-X, na presen¸ca de um campo magn´etico pois, neste caso, h´a emiss˜ao r´adio-s´ıncrotron.
Esses el´etrons s˜ao produzidos provavelmente no n´ucleo ativo de gal´axias do aglomerado; a maioria
das gal´axias cD (gal´axias el´ıpticas gigantes) apresenta emiss˜ao em r´adio.
Recentemente, dados do sat´elite espacial Chandra medindo a evolu¸c˜ao aparente da fra¸c˜ao de
massa em aglomerados mediante raios-X, f
gas
, foram usados para se estabelecer a expans˜ao acelerada
do Universo (Allen et al. [3]). Estes v´ınculos se originam da dependˆencia de f
gas
com a distˆancia
suposta ao aglomerado, f
gas
∝ d
3/2
A
, sendo d
A
a distˆancia de diˆametro angular.
A id´eia fundamental para se usar medidas de b´arions em aglomerados de gal´axias como testes
cosmol´ogicos ´e considerar aglomerados de gal´axias suficientemente grandes para poder representar
o conte´udo bariˆonico de todo o Universo. O conte´udo bariˆonico detectado em emiss˜oes de raios-X
excede em seis ou sete vezes o conte´udo das massas de estrelas (Fukugita et al., 1998 [75]). Definimos
f
gas
como
f
gas
=
M
X
M
T
, (5.12)
onde M
X
´e a massa do g´as com emiss˜ao em raios-X e M
T
´e a massa total no aglomerado. Seguindo a
referˆencia [3], a massa bariˆonica total do aglomerado foi calculada admitindo que a massa bariˆonica
devida `as estrelas nas gal´axias representavam 0, 19
√
h vezes a massa do g´as intra-aglomerado; ent˜ao
a fra¸c˜ao de massa bariˆonica total ser´a f
barions
= f
galaxia
+ f
gas
= f
gas
(1 + 0, 19
√
h). Supondo que
os aglomerados representam adequadamente o conte´udo da mat´eria bariˆonica no Universo, temos
f
barions
=
Ω
bo
Ω
mo
. (5.13)
100 Tese de Doutorado
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Redshiftz
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Fração de massa de Bárionsf1
Figura 5.3: Dados de medidas de f
gas
em aglomerados de gal´axias de Allen et al. [3].
A curva tracejada corresponde a um novo modelo de w(z) apresentado no Cap´ıtulo
seguinte com z
w
=0, 39 e d =0, 37.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 101
Assim, usando a express˜ao acima podemos calcular Ω
mo
como
Ω
mo
=
Ω
bo
f
gas
(1 + 0, 19
√
h)
, (5.14)
Desta forma, conhecidos f
gas
eΩ
bo
podemos impor v´ınculos sobre Ω
mo
. Se adotamos medidas do
Chandra para f
gas
=(0, 065 ± 0, 002)h
−1
, de nucleoss´ıntese primordial Ω
bo
h
2
=0, 0214 ± 0, 0020 e
h =
H
o
100kmsMpc
=0, 73 ± 0, 03 do projeto WMAP3, obtemos Ω
m
=0, 32 ± 0, 03.
Por outro lado, simula¸c˜oes estabelecem que a fra¸c˜ao de massa bariˆonica nos aglomerados pode
ser diferente do valor que corresponde ao Universo como um todo; para considerar esse efeito intro-
duzimos um parˆametro de vi´es, b, de forma que
f
barions
= b
Ω
bo
Ω
mo
. (5.15)
Estudos de Eke et al.[59] indicam b =0.83 ± 0.04.
Quando f
gas
´e medido adota-se uma cosmologia de referˆencia, j´a que a medida depende da
distˆancia diˆametro angular (d
A
) ao aglomerado. Como mencionado anteriormente, uma hip´otese
b´asica desse teste com aglomerados ´e que f
gas
n˜ao depende do desvio para o vermelho em que se
encontra o aglomerado. Assim, para a “verdadeira” cosmologia espera-se f
gas
independente de z.
Como f
gas
∝ d
3/2
A
,ed
A
depende dos parˆametros cosmol´ogicos, podemos usar o teste para impor
v´ınculos sobre uma dada cosmologia. Para obter esses v´ınculos utilizamos a seguinte express˜ao para
f
gas
[3]
f
gas
=
bΩ
bo
(1 + 0.19h
1/2
)Ω
eff
[
h
0.5
D
A
(Ω
Λ
=0, Ω
M
=1)
D
A
(z,a
i
)
]
3/2
, (5.16)
onde D
A
(z
i
,a
i
)=d
A
(z
i
,a
i
)/H
−1
o
c e D
A
(Ω
Λ
=0, Ω
M
= 1) corresp onde a essa quantidade para o
Universo de Einstein de-Sitter. Em modelos convencionais, Ω
eff
representa o parˆametro de densi-
dade da mat´eria n˜ao-relativ´ıstica (b´arions + mat´eria escura). No pr´oximo Cap´ıtulo investigaremos
uma classe de modelos de quartessˆencia, caso em que Ω
eff
´e definida, como em [121], por
Ω
eff
=Ω
bo
+(1− Ω
bo
)lim
z→∞
u(z,a
i
)), (5.17)
onde, u(z,a
i
)=
ρ
X
ρ
Xo
´e a densidade de energia da quartessˆencia em unidades de sua densidade hoje.
O ´ultimo termo na equa¸c˜ao acima representa a parte da quartessˆencia que para z 1 comporta-se
como mat´eria escura (n˜ao bariˆonica). Na pr´atica, para estimar o limite utilizamos o valor de z = 500.
102 Tese de Doutorado
Para se obter os melhores ajustes e v´ınculos sobre os parˆametros cosmol´ogicos de um dado
modelo usamos uma estat´ıstica χ
2
da forma
χ
2
(a
i
)=
i
[
f
gas,i
− f
gas,teo
(z
i
,a
i
)]
2
σ
2
i
. (5.18)
onde, como sempre, a
i
representa o conjunto de parˆametros do modelo te´orico.
Na figura 5.4 mostramos v´ınculos provenientes do teste com aglomerados para o modelo ΛCDM.
Curvas de confian¸ca de 68,3%, 95,4% e 99,7% s˜ao exibidas. Observe que os v´ınculos s˜ao comple-
mentares aos testes de supernovas Ia e a medidas de oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions (BAO).
5.3 Oscila¸c˜ao Ac´ustica de B´arions (BAO)
As oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions e f´otons no plasma primordial produzem picos pronunciados
no espectro de temp eratura da RCF. Analogamente, as oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions imprimem
um sinal no esp ectro de potˆencia da mat´eria. Este efeito se manifesta como um pico na fun¸c˜ao de
correla¸c˜ao de dois pontos e como oscila¸c˜oes no espectro de potˆencia da mat´eria. O efeito de BAO foi
medido usando tanto a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao [60] como o espectro de potˆencia da mat´eria [137, 45].
As oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions se imprimem sobre escalas muito grandes, da ordem de
100Mpc/h (a distˆancia t´ıpica entre gal´axias pr´oximas ´e ∼ 1M pc/h). Isto implica um grande de-
safio para as observa¸c˜oes, p ois para uma melhor detec¸c˜ao das oscila¸c˜oes ac´usticas elas devem cobrir
grandes volumes. A grande escala das oscila¸c˜oes de b´arions tamb´em proporciona vantagens, por
exemplo, a forma¸c˜ao de estruturas nestas escalas ´e melhor compreendida e os detalhes da forma¸c˜ao
de gal´axias individuais n˜ao afeta a extra¸c˜ao de resultados precisos. Seguindo o estudo de Eisenstein
et al. [60], que detectou oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions usando uma amostra de gal´axias luminosas
vermelhas (LRG) do SDSS, definimos a distˆancia
D
v
(z)=[d
2
A
(z)
cz
H(z)
]
1/3
, (5.19)
onde d
A
´e a distˆancia de diˆametro angular. Para amostras LRG do SDSS, o desvio para o vermelho
m´edio ´e z
BAO
=0, 35. A escala de distˆancia, D
v
(z) e o parˆametro Ω
m
h
2
podem ser utilizados para
Alan M. Vel´asquez-Toribio 103
Figura 5.4: Contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68.3%, 95,4% e 99.7% usando
dados de f
gas
para um modelo ΛCDM. Tamb´em podemos observar v´ınculos de
CMB e de supernovas Ia (referˆencia [186]). O parˆametro Ω
k
foi considerado como um
parˆametro livre. Figura extra´ıda de [4].
104 Tese de Doutorado
definir um novo parˆametro independente de H
o
. Seguindo a referˆencia [60] esse parˆametro ´e definido
para uma m´etrica FLRW (k = 0) como
A = D
v
(z =0, 35)
Ω
m
H
2
o
0, 35c
=
Ω
m
E(0, 35)
−1/3
[
1
0, 35
0,35
0
dz
E(z
)
]
2/3
, (5.20)
onde E(z)=H(z)/H
o
. O valor medido para este parˆametro usando os dados do SDSS foi A =
0, 469(
n
s
0,98
)
0,35
± 0, 017, onde n
s
´e o ´ındice espectral. Esta medida tem sido usada in´umeras vezes
em combina¸c˜ao com dados de SNIa e RCF para vincular parˆametros cosmol´ogicos [197].
´
E interessante notar que a medida de BAO despreza a n˜ao-linearidade das oscila¸c˜oes ac´usticas
de b´arions. Recentemente tˆem sido feitos alguns estudos onde se considera a evolu¸c˜ao n˜ao-linear de
BAO, ver por exemplo [51]. Outra quest˜ao que foi deixada de lado na determina¸c˜ao do valor de
A foi uma componente de energia escura inicial, i.e., para z>1. Na referˆencia [58] se estuda este
efeito e se estabelece que os erros sistem´aticos podem chegar at´e 2,5% na determina¸c˜ao de A.
Nesta tese vamos utilizar o valor de A dado acima para vincular parˆametros de modelos. A
estat´ıstica χ
2
adotada ´e dada pela express˜ao
χ
2
BAO
(Ω
bo
,a
i
)=(
| 0, 469 −A(Ω
b,o
,a
i
) |
0, 017
)
2
, (5.21)
onde supomos n
s
=0.98.
5.3.1 Outras Formas de Medir BAO
Recentemente, Percival et al. [136] introduziram um novo m´etodo para vincular modelos cos-
mol´ogicos usando medidas de BAO com amostras de gal´axias dos projetos SDSS e 2dFGRS. As
escalas de BAO calculadas a partir destes projetos foram analisadas juntamente com estimativas de
erros correlacionados com o objetivo de vincular a forma da distˆancia D
v
. Eles consideraram trˆes
formas diferentes de se usar a escala de BAO:
1. Usando a posi¸c˜ao observada no espectro de potˆencia do BAO:
D
V
(0,35)
D
V
(0,20)
, onde z =0, 35 foi
determinado para amostra do SDSS e z =0, 20 para amostra do 2dFGRS.
2. Usando a escala angular do horizonte ac´ustico da RCF (θ
A
=0, 5952±0, 0021) e supondo que
r
s
S
k
(1098)
=0, 0104; podemos usar o observ´avel S
k
(1098)/D
V
(0, 35)(SDSS) e S
k
(1098)/D
V
(0, 20)(2dFGRS);
Alan M. Vel´asquez-Toribio 105
onde S
k
´e a distˆancia com´ovel ao horizonte ac´ustico da superf´ıcie de ´ultimo espalhamento e
para, o caso de k = 0, temos
S
k
=
1098
0
dz
E(z)
. (5.22)
No caso de tri curvatura nula S
k
= r
s
, onde r
s
´e a escala do horizonte ac´ustico com´ovel
definido por
r
s
= a
rec
a
rec
0
c
s
(a)
a
2
H(a)
da, (5.23)
onde a
rec
denota o fator de expans˜ao na recombina¸c˜ao e c
2
s
=
dp
dρ
´e a velocidade do som
adiab´atica. Para o desvio para o vermelho da superf´ıcie do ´ultimo espalhamento usamos o
valor z = 1098..
3. Finalmente, a terceira forma consiste em se comparar D
v
diretamente com a escala do hori-
zonte ac´ustico com´ovel na recombina¸c˜ao: r
s
/D
V
(0, 35) e r
s
/D
V
(0, 20).
De acordo com a referˆencia [136], para combinar os dois dados do observ´avel S
k
/D
v
(da amostra
SDSS e2dF GRS) n˜ao basta somar os χ
2
individuais, pois h´a uma correla¸c˜ao entre os dados
observacionais. Assim, o χ
2
tot
total ser´a dado por
χ
2
tot
(a
i
)=(
r
s
S
k
)
2
X
t
C
−1
X, (5.24)
O fator (
r
s
S
k
)
2
´e necess´ario porque C
−1
nos d´a a correla¸c˜ao entre os dados
r
s
D
v
. Por outro lado, X
est´a dada pela express˜ao
S
k
/Dv(0, 20,a
i
) − 19, 04
S
k
/Dv(0, 35,a
i
) − 10, 52
, (5.25)
e X
t
´e a transposta de X. A matriz de covariˆancia ´e,
35059 −24031
−24031 108300
. (5.26)
O fator (
r
s
S
k
)
2
foi determinado para se ter um valor de 0, 014 [136]. Como podemos observar, S
k
/D
v
depende somente do parˆametro de Hubble. Para conseguir v´ınculos cosmol´ogicos para um dado mod-
elo com parˆametros a
i
utilizamos o χ
2
dado pela equa¸c˜ao (5.24), marginalizando convenientemente
sobre os parˆametros do modelo te´orico.
106 Tese de Doutorado
Na figura 5.5 mostramos v´ınculos sobre o modelo ΛCDM usando os trˆes observ´aveis apresenta-
dos acima. Como podemos ver, estas novas formas de utilizar a escala de BAO confirmam que um
modelo ΛCDM com k = 0 ´e um bom ajuste dos dados.
5.4 Parˆametro de Deslocamento da RCF
Dos parˆametros que podem ser inferidos da RCF, o parˆametro de deslocamento R ´e um dos
que menos depende do modelo assumido [108]. Esse parˆametro ´e definido como a raz˜ao entre a
localiza¸c˜ao do primeiro pico ac´ustico no espectro de potˆencia angular da temperatura de um dado
modelo cosmol´ogico (l
TT
1
) e de um modelo de referˆencia (l
1
) adotado como o modelo plano SCDM ,
isto ´e
R =2
l
TT
1
l
1
≈ H
o
Ω
m
z
rec
0
dz
H(z)
, (5.27)
onde o fator 2 foi introduzido para reconciliar diferentes defini¸c˜oes do parˆametro R que aparecem na
literatura [107, 131]. A express˜ao aproximada na ´ultima igualdade est´a dada na referˆencia [131] e ´e
a defini¸c˜ao operacional que foi usada em numerosos trabalhos [198] e ´e a que adotaremos na presente
investiga¸c˜ao. Para uma dedu¸c˜ao desta express˜ao consulte-se a referˆencia [107], onde partindo da
defini¸c˜ao do primeiro pico ac´ustico e da defini¸c˜ao do horizonte ac´ustico na ´ultima superf´ıcie de
espalhamento considerando como, j´a mencionado, o modelo de referˆencia SCDM (Ω
m
= 1) pode-se
obter a ´ultima express˜ao da equa¸c˜ao (5.27).
Para obter v´ınculos cosmol´ogicos adotamos medidas recentes do WMAP como analisadas por
Wang e Mukherjee [197], que calcularam o valor de: R =1, 70 ± 0, 03 (assumindo um valor para
z
rec
= 1098).
Para construir os v´ınculos cosmol´ogicos usamos a estat´ıstica χ
2
, dada explicitamente por
χ
2
=(
R
teo
− 1, 70
0, 03
)
2
, (5.28)
onde R
teo
´e o parˆametro R calculado a partir do modelo te´orico assumido, usando a express˜ao (5.27).
Alan M. Vel´asquez-Toribio 107
Figura 5.5: Na figura da esquerda mostramos contornos para o modelo XCDM.
A curva tracejada corresponde ao teste de BAO usando a medida de A. A curva
s´olida corresponde a v´ınculos obtidos ao utilizar a escala R
0,35
= D
v
(0, 35)/D
v
(1098),
Figura extra´ıda de [60]. Na figura da direita mostramos os contornos com um n´ıvel
de confian¸ca de 68,0%, 95,0% e 99,0% utilizando dados de BAO das amostras SDSS e
2dFGRS, para um modelo ΛCDM. As regi˜oes sombreadas representam os v´ınculos do
observ´avel D
v
(0, 35)/D
v
(0, 20). Os contornos s´olidos referem-se ao observ´avel r
s
/D
v
.
Os contornos tracejados s˜ao para S
k
/D
v
. A linha pontilhada representa o modelo
ΛCDM com k = 0. Figura extra´ıda de [136].
108 Tese de Doutorado
´
E interessante notar que o uso do parˆametro R como teste cosmol´ogico requer uma certa cautela
na interpreta¸c˜ao dos resultados. Em primeiro lugar, uma parametriza¸c˜ao da equa¸c˜ao de energia
escura w(z) ´e proposta para descrever certa ´epoca da evolu¸c˜ao do Universo, cujo efeito fundamental
´e produzir uma expans˜ao acelerada, existindo evidˆencia observacional para acreditar que esta fase
acelerada ´e um efeito recente na evolu¸c˜ao c´osmica (z<1); portanto uma parametriza¸c˜ao de w(z) n˜ao
´e importante em ´epocas no passado, como por exemplo, na fase dominada pela radia¸c˜ao. Por outro
lado, o parˆametro R envolve uma integral desde a ´ultima superf´ıcie de espalhamento at´e o presente,
implicando que grande parte do intervalo de integra¸c˜ao na express˜ao (5.27) est´a fora da ´epoca
durante a qual a energia escura ´e importante. Assim para obter v´ınculos cosmol´ogicos confi´aveis
´e importante utilizar este teste juntamente com outros testes complementares. Em segundo lugar,
essa grande faixa de integra¸c˜ao de desvio para o vermelho no parˆametro R torna necess´aria, quando
usamos uma parametriza¸c˜ao da energia escura, w(z), a adi¸c˜ao de um termo de radia¸c˜ao da forma
4, 15
10
5
h
2
(1 + z)
4
, (5.29)
onde inclu´ımos tanto f´otons como neutrinos. Finalmente, para utilizar este teste para modelos de
quartessˆencia temos que substituir o parˆametro Ω
m
por Ω
eff
definido pela equa¸c˜ao (5.25). Assim,
o parˆametro R ser´a calculado como
R =
Ω
eff
z
rec
0
dz
G(z)
, (5.30)
onde G(z) ´e dada pela express˜ao
G(z)=
H
2
(z)
H
o
+
4.15
10
5
h
2
(1 + z)
4
. (5.31)
Na figura 5.6 apresentamos contornos para um modelo XCDM , isto ´e, um modelo com equa¸c˜ao
de estado constante mais mat´eria escura fria. Podemos observar que uma equa¸c˜ao de estado com
w = −1 ´e preferida pelo teste do parˆametro de deslocamento da RCF.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 109
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
ω
Ω
m
Figura 5.6: Contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68,0%, 95,0% e 99,0%, para um
modelo XCDM. No eixo horizontal est´a o parˆametro e mat´eria e no eixo vertical a
equa¸c˜ao de estado. Figura extra´ıda de [61].
110 Tese de Doutorado
Cap´ıtulo 6
V´ınculos Sobre Novas
Parametriza¸c˜oes de w(z) e q(z)
No presente Cap´ıtulo apresentamos v´ınculos observacionais sobre duas classes de modelos cos-
mol´ogicos. Inicialmente consideramos uma nova parametriza¸c˜ao da equa¸c˜ao de estado w(z) e in-
vestigamos algumas de suas propriedades no caso em que ela descreve modelos de quartessˆencia.
Utilizando os testes cosmol´ogicos apresentados no Cap´ıtulo anterior, vinculamos dois parˆametros in-
troduzidos por essa parametriza¸c˜ao. Na segunda parte estudamos v´ınculos cosmol´ogicos sobre uma
parametriza¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao q(z). Esta parametriza¸c˜ao ´e mais geral que a anterior.
Ela s´o depende da m´etrica de fundo (FLRW), ´e independente da teoria de gravita¸c˜ao considerada e
com ela ´e desnecess´ario fazer hip´oteses restritivas sobre as componentes escuras do Universo. Para
vincular os parˆametros de q(z), utilizamos testes que dependem somente do parˆametro de Hubble
(supernovas Ia e o observ´avel S
k
/D
v
). Este Cap´ıtulo est´a baseado nas referˆencias [96, 194].
111
112 Tese de Doutorado
6.1 Uma nova parametriza¸c˜ao da equa¸c˜ao de es-
tado w(z)
Nesta se¸c˜ao apresentamos um novo modelo fenomenol´ogico para a equa¸c˜ao de estado que captura
as caracter´ısticas b´asicas da expans˜ao acelerada. A express˜ao para a nova parametriza¸c˜ao que
propomos envolve quatro parˆametros
w(z)=w
f
+(w
i
− w
f
) e
−
(
1+z
w
1+z
)
1/d
. (6.1)
Na equa¸c˜ao acima w
i
e w
f
s˜ao valores assint´oticos de w(z) no passado (z →∞) e no futuro (z →−1),
respectivamente. Estamos aqui interessados em modelos de quartessˆencia e vamos fixar os valores
desses parˆametros de forma que w
i
=0ew
f
= −1. A condi¸c˜ao w
i
= 0 garante um Universo
dominado por mat´eria n˜ao relativ´ıstica em uma fase inicial. Essa fase ´e necess´aria para a forma¸c˜ao
de estruturas e, portanto, ´e desej´avel que nosso modelo para z>>1 tenha este comportamento. Por
outro lado, a condi¸c˜ao w
f
= −1 corresponde a uma fase final de de Sitter. Modelos de quartessˆencia
n˜ao cruzam a linha w = −1 e, portanto, essa condi¸c˜ao implica um valor m´ınimo para w
f
.Al´em disso,
como ΛCDM ajusta-se bem aos dados observacionais atuais ´e interessante que nosso modelo tenha
esse comp ortamento assint´otico. Assim, quando nas pr´oximas se¸c˜oes usarmos testes cosmol´ogicos
para vincular os parˆametros z
w
e d, estaremos de alguma forma investigando o quanto esses modelos
podem afastar-se do paradigma ΛCDM. O parˆametro z
w
est´a associado ao desvio para o vermelho da
transi¸c˜ao de um tipo de comportamento da equa¸c˜ao de estado para outro (de w
i
→ w
f
) e o parˆametro
d est´a relacionado com a dura¸c˜ao dessa transi¸c˜ao. Especificamente, o parˆametro d modula a forma
de w(z) e est´a definido pela express˜ao
d =
w
f
− w
i
e
(
dw(z)
dln(1 + z)
)
−1
|
z=z
w
. (6.2)
A equa¸c˜ao (6.1) avaliada em z = z
w
fornece w( z
w
)=w
f
+
(w
i
−w
f
)
e
.
´
E importante frisar que
z
w
n˜ao ´e o desvio para o vermelho da transi¸c˜ao de uma fase desacelerada para uma acelerada,
i.e, q(z
w
) = 0. Portanto, o parˆametro, z
w
, introduzido pela parametriza¸c˜ao (6.1) n˜ao possui um
significado f´ısico direto.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 113
Para calcular a densidade de energia podemos utilizar a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao da energia para
obter
ρ
X
(z)
ρ
Xo
= e
3
[
d(w
f
−w
i
)Ei
(
−
1+zt
1+z
)
1/d
)
+(1+w
f
)Log(1+z)
]
, (6.3)
onde ρ
Xo
´e a densidade de energia da quartessˆencia no presente e Ei ´e a fun¸c˜ao exponencial integral,
definida como o valor principal de Ei[z]=−
∞
−z
e
−t
dt/t. Assim, desprezando radia¸c˜ao e curvatura,
obtemos a seguinte express˜ao para o parˆametro de Hubble
H(z)
H
o
=
Ω
bo
(1 + z)
3
+(1− Ω
bo
)
ρ
X
(z)
ρ
Xo
1/2
, (6.4)
onde
ρ
X
ρ
Xo
´e dado p ela equa¸c˜ao (6.3) e Ω
bo
´e o valor atual do parˆametro de densidade de b´arions.
Note que para modelos de quartessˆencia n˜ao aparece o fator Ω
mo
na equa¸c˜ao para o parˆametro de
Hubble, p ois o que efetivamente comporta-se como mat´eria escura est´a inclu´ıdo na densidade de
energia do fluido escuro.
O parˆametro de desacelera¸c˜ao do mo delo pode ser expresso como
q(z)=
1
2
+
3(1 − Ω
bo
)u(z)w(z)
2(Ω
bo
(1 + z)
3
+(1− Ω
bo
)u(z))
. (6.5)
onde u(z)=ρ
X
(z)/ρ
Xo
. No lado esquerdo da figura 6.1 mostramos a equa¸c˜ao de estado (6.1), e no
lado direito o parˆametro de desacelera¸c˜ao como fun¸c˜ao de z. Para os valores escolhidos de z
w
e d
temos q(z) < 0 para z 1.
Por outro lado, se igualamos a zero o segundo membro da equa¸c˜ao (6.5) obtemos o desvio
para o vermelho da transi¸c˜ao (z
a
) de uma fase de expans˜ao desacelerada para uma de expans˜ao
acelerada. Notamos ainda que a parametriza¸c˜ao sugerida pode interpolar tanto modelos com w(z)
variando rapidamente como modelos com EdE variando lentamente com o desvio para o vermelho.
Numericamente podemos estabelecer que um valor d>1 implica uma transi¸c˜ao lenta. No entanto,
um valor menor que aproximadamente d =0, 2 implica transi¸c˜oes r´apidas de w(z).
114 Tese de Doutorado
-1 0 1 2 3 4 5
z
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
wz
Equaç
ão de Estado
Figura 6.1: Equa¸c˜ao de estado do modelo w(z)(figura da esquerda) com z
w
=0, 7e
d =0, 35, e do parˆametro de desacelera¸c˜ao q(z)(figura da direita) para os mesmos
valores.
6.1.1 Outras Parametriza¸c˜oes de w(z)
Al´em da parametriza¸c˜ao apresentada na se¸c˜ao anterior, vamos considerar duas parametriza¸c˜oes
similares para estudar v´ınculos cosmol´ogicos. Estas s˜ao as parametriza¸c˜oes de Bassett et al. [23]
w(z)=w
i
+(w
f
− w
i
)
1+e
−(
1+z
w
d
)
1+e
(
z−z
w
d
)
. (6.6)
e de Linder et al. [116]
w(z)=w
f
+
(w
i
− w
f
)
1+(
1+z
w
1+z
)
1
d
. (6.7)
Nas express˜oes acima os parˆametros w
i
e w
f
s˜ao, respectivamente, os valores inicial (z z
w
) e final
(z = −1) da equa¸c˜ao de estado. Os outros dois parˆametros livres z
w
e d s˜ao parˆametros associados
com o desvio para o vermelho da transi¸c˜ao e a dura¸c˜ao da transi¸c˜ao. O significado desses parˆametros
´e similar ao da parametriza¸c˜ao anterior.
No que segue vamos calcular a idade do Universo prevista para estes trˆes modelos. A idade do
Universo ´e dada pela express˜ao
t
o
= H
−1
o
∞
0
dz
(1 + z)(Ω
bo
(1 + z)
3
+(1− Ω
bo
)
ρ
X
(z)
ρ
Xo
)
1/2
, (6.8)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 115
e o efeito da equa¸c˜ao de estado sobre a idade do Universo ´e evidente da equa¸c˜ao acima. O parˆametro
de Hubble, H(z), decresce conforme ρ
X
(z) evolui, o que significa que w(z) vai tomando valores cada
vez mais negativos. O tempo de expans˜ao ´e inversamente proporcional ao parˆametro de Hubble,
portanto, o tempo de expans˜ao aumenta.
Na figura (6.2) mostramos curvas de n´ıvel no plano (w
o
, d ) para valores de H
o
t
o
fixos. Para
fazer isto reescrevemos nossa equa¸c˜ao de estado em termos de w
o
e d. Note que w
o
ser´a fun¸c˜ao de
z
w
e d. Explicitamente para a nova parametriza¸c˜ao teremos
z
w
=(Log[w
o
+ 1])
d
− 1, (6.9)
Assim, a equa¸c˜ao de estado (6.1) ´e reescrita como,
w(z)=w
f
+(w
i
+ w
f
)e
−
Log[w
o
+1]
(1+z)
1/d
, (6.10)
a qual ´e agora fun¸c˜ao dos parˆametros livres w
o
e d. Para construir a figura (6.2) assumimos os
melhores ajustes do WMAP3 [178] para Ω
bo
=0, 044 e h =0, 73. Podemos observar que para
um intervalo de −0, 9 <w
o
< −0, 65e0, 3 <d<1, 5 nosso modelo ´e compat´ıvel com valores de
0, 8 <H
o
t
o
< 1, 3 o que est´a em boa correspondˆencia com v´ınculos sobre a idade do universo usando
dados da RCF [105].
Na figura 6.2, parte inferior, constru´ımos dois gr´aficos similares utilizando os modelos de Lin-
der et al. e Basset et al.. Podemos observar, que em ambos os casos, valores em um intervalo de
−0, 7 <w
o
< −0, 9 correspondem a valores em um intervalo de 0, 01 <d<1, 5, isto para curvas de
n´ıvel na faixa de 0, 8 <H
o
t
o
< 1, 3.
No que se segue apresentamos v´ınculos observacionais considerando os testes cosmol´ogicos do Cap´ıtulo
5.
116 Tese de Doutorado
Hoot =1.3
Hoot =1.2
Hoot =1.1
Hoot =1.0
Hoot =0.9
Hoot =0.8
Hoto =1.3
Hoot =1.2
Hoot =1.1
Hoot =1.0
Ho
o
t =0.8
Hoot =0.9
Hoot =1.3
Hoot =1.2
Hoot =1.1
Hoot =1.0
Hoot =0.9
Hoot =0.8
Figura 6.2: Na parte superior apresentamos curvas de n´ıvel H
o
t
o
para o modelo w(z),
no intervalo de 0.8 <H
o
t
o
< 1.3. Na parte inferior apresentamos curvas de n´ıvel
H
o
t
o
, para os mo delo de Linder et al.(esquerda) e Basset et al.(direita), considerando
0.8 <H
o
t
o
< 1.3. Comparando os gr´aficos podemos observar que o modelo de Linder
para os valores permitidos de d e w
o
favorecem valores maiores para H
o
t
o
.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 117
6.1.2 V´ınculos de Supernovas Ia
Nesta se¸c˜ao apresentamos os v´ınculos observacionais impostos pelo teste com supenovas Ia para
a nova parametriza¸c˜ao de w(z), assim como para as parametriza¸c˜oes de Linder et al. (equa¸c˜ao 6.7)
e Bassett et al. (equa¸c˜ao 6.6). Como descrito acima, em todos os casos fixamos w
i
=0ew
f
= −1
de forma que o espa¸co param´etrico reduz-se apenas a dois parˆametros z
w
e d.
Os resultados da an´alise utilizando tanto a amostra SNLS como a amostra Gold-182, apresen-
tadas no Cap´ıtulo anterior, s˜ao mostrados nas figuras (6.3-6.5). Podemos observar que as amostras
de supernovas Ia n˜ao s˜ao suficientes para vincular os parˆametros do mo delo w(z). Tanto o eixo z
w
como o d, no caso dessa parametriza¸c˜ao, bem como na de Linder et al., tˆem valores entre 0 e +∞;de
forma compacta podemos expressar isto como arctan(d)earctan(z
w
), onde 0 < arctan(d) <π/2,
0 < arctan(z
w
) <π/2, respectivamente. Nenhum dos modelos (novo modelo w( z) e Linder et al.)
fica restrito a alguma regi˜ao espec´ıfica do espa¸co de parˆametros. O ´unico modelo que ´e vinculado
usando apenas supernovas Ia ´e o modelo de Bassett et al. tanto pela amostra SN LS como pela
amostra do Gold. Contudo, mesmo para este modelo as supernovas Ia n˜ao podem impor uma cota
inferior, permitindo modelos com at´e z
w
= −1.
A degenerescˆencia dos contornos pode ser devida `a forma funcional espec´ıfica das parametriza¸c˜oes,
as quais podem interpolar modelos com equa¸c˜oes de estado que variam lentamente e modelos de
varia¸c˜ao r´apida. Isto faz com que este tipo de equa¸c˜ao de estado precise de um maior n´umero de
dados de supernovas Ia e com um maior control dos erros sistem´aticos. Na literatura tem sido dis-
cutida a dificuldade que os dados de supernovas Ia apresentam para distinguir entre um w constante
eumw vari´avel. Determinar w com maior precis˜ao constitui um desafio para a cosmologia obser-
vacional, e os novos projetos como o SNAP e o DES (Dark Energy Survey) pretendem melhorar
estas medidas de w [95]. Finalmente, devemos mencionar que ´e necess´ario combinar este teste com
outros complementares para quebrar as degenerescˆencias no espa¸co de parˆametros (z
w
,d). Note que
o teste com supernovas do tip o Ia ´e sens´ıvel apenas a z 1 − 2.
Para construir as figuras com v´ınculos de supernovas Ia, marginalizamos sobre os intervalos
0, 03 < Ω
b
o
< 0, 055 e 0, 61 <h<0, 81. Os melhores ajustes para a parametriza¸c˜ao de w(z) s˜ao:
z
w
=0, 25 e d =1, 09 (amostra gold), e z
w
=0, 75 e d =1, 15 (amostra Legacy). Similarmente os
118 Tese de Doutorado
melhores ajustes para o modelo de Linder et al. s˜ao: z
w
=0, 79 e d =0, 81(Gold); z
w
=0, 81 e
d =0, 75 (Legacy); e para o modelo de Bassett et al., s˜ao: z
w
=0, 35 e d =1, 25(Gold); z
w
=0, 25
e d =1, 35(Legacy).
Alan M. Vel´asquez-Toribio 119
Z
w
Figura 6.3: Na figura mostramos os contorno para o novo modelo w(z) com um n´ıvel
de confian¸ca do 68% e 95%, no plano (z
w
,d). A figura acima corresponde `a amostra
Gold-182 e a figura abaixo para a amostra SNLS. Em ambos os casos marginalizamos
sobre os parˆametros h eΩ
b
o
.
120 Tese de Doutorado
Figura 6.4: Na figura mostramos os contorno para o modelo de Linder et al., com
uma confian¸ca do 68% e 95%, no plano (z
w
,d). A figura sup erior ´e para amostra
Gold-182 e a de abaixo ´e para a amostra SNLS. Em ambos os casos marginalizamos
sobre os parˆametros h eΩ
b
o
.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 121
z
W
Figura 6.5: Na figura mostramos os contorno para o modelo de Basset et al., com
um n´ıvel de confian¸ca do 68% e 95%, no plano (z
w
,d). A figura superior ´e para a
amostra Gold-182 e a figura de abaixo para a amostra SNLS. Em ambos os casos
marginalizamos sobre os parˆametros h eΩ
b
o
.
122 Tese de Doutorado
6.1.3 V´ınculos de aglomerados de gal´axias
No que se segue, utilizando a amostra de 26 aglomerados de Allen et al. [3], aplicamos o m´etodo
discutido na Se¸c˜ao (5.2) para impor v´ınculos sobre o espa¸co de parˆametros (z
w
,d). O resultado
para a nova parametriza¸c˜ao w(z) ´e dada na figura (6.6) e, para Linder et al. e Bassett et al., na
figura (6.7). Comparando estes resultados, com os obtidos usando supernovas Ia podemos notar
que os resultados s˜ao complementares. Assim, combinando esses dois testes obtemos v´ınculos mais
restritivos no plano (z
w
,d). Para a nova parametriza¸c˜ao w(z)osv´ınculos com n´ıvel de confian¸ca
de 95% estabelecem os seguintes limites: 0 <d<1, 3e−0, 2 <z
w
< 1, 0. Analogamente, para os
modelos de Linder et al.[117] e Bassett et al. [23] os v´ınculos com n´ıvel de confian¸ca de 95% imp˜oem
os limites: 0 <d<0, 5e0, 2 <z
w
< 0, 8 (Linder); 0 <d<0, 9e−0, 2 <z
w
< 0, 8 (Bassett).
Como podemos observar, os intervalos permitidos para z
w
incluem valores negativos tanto para
a nova parametriza¸c˜ao proposta de w(z) como para a parametriza¸c˜ao de Bassett et al. No entanto,
isto n˜ao significa que a transi¸c˜ao ocorre no futuro, pois como foi mencionado neste Cap´ıtulo o z
w
n˜ao ´e o desvio para o vermelho para o qual o parˆametro de desacelera¸c˜ao se anula (q = 0). Para
calcular o desvio para o vermelho da transi¸c˜ao usamos a equa¸c˜ao (6.5) e calculamos o z
a
tal que
q(z
a
) = 0, sendo z
a
o desvio para o vermelho para o qual se inicia a expans˜ao acelerada. Usando os
limites com n´ıvel de confian¸ca de 95% para a nova parametriza¸c˜ao de w(z) obtemos: 0, 5 <z
a
< 1, 2.
Para as outras parametriza¸c˜oes temos: 0, 3 <z
a
< 0, 9(Linder) e 0, 3 <z
a
< 1, 4 (Bassett). Como
podemos observar, nenhum dos modelos admite uma transi¸c˜ao no futuro.
O χ
2
do teste, equa¸c˜ao (5.18), introduz uma dependˆencia nos parˆametros Ω
b
o
, h e b.Al´em disso,
como foi mencionado no Cap´ıtulo 5, para modelos de quartessˆencia ´e imperativo substituir Ω
m
por
Ω
eff
definido p ela equa¸c˜ao (5.17). Desta forma, para construir os gr´aficos, marginalizamos nas
seguintes faixas de valores: 0, 60 <h<0, 80; 0, 03 < Ω
bo
< 0, 05; 0, 7 <b<1, 1. Adicionalmente,
para o parˆametro de vi´es b utilizamos um peso gaussiano da forma: exp[((b − 0, 83)/0, 04)
2
] [3].
Alan M. Vel´asquez-Toribio 123
Figura 6.6: V´ınculos sobre o novo modelo de w(z) usando 26 aglomerados das ob-
serva¸c˜oes do Chandra [3].
124 Tese de Doutorado
Figura 6.7: V´ınculos sobre o modelo de Linder et al., (figura sup erior) e do modelo
de basset et al., (figura inferior ) usando 26 aglomerados das observa¸c˜oes do Chandra
[3].
Alan M. Vel´asquez-Toribio 125
6.1.4 V´ınculos de oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions
Na figura 6.8 (parte superior) apresentamos os contornos no plano (z
w
,d) para a nova parametriza¸c˜ao
w(z). Observamos que com um n´ıvel de confian¸ca de 95% obtemos os intervalos de 0 <d<1, 6
e −1 <z
w
< 0, 8. Na parte inferior da figura apresentamos os resultados para as parametriza¸c˜oes
de Linder et al., e Bassett et al., Tamb´em com n´ıvel de confian¸ca de 95% obtemos: 0 <d<1.5e
0 <z
w
< 0, 8(Linder); 0 <d<1, 5e−1 <z
w
< 1 (Bassett).
Para construir os gr´aficos utilizamos o χ
2
para o observ´avel A, em que aparece uma dependˆencia
expl´ıcita com Ω
bo
. Assim, marginalizamos sobre, esse parˆametro usando um apriori plano tal que
0.02 < Ω
bo
< 0.06. Neste caso tamb´em substituimos Ω
m
por Ω
eff
.
126 Tese de Doutorado
Linderetal.
zw
d
z
w
Figura 6.8: Nesta figura mostramos contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68%
e 95% no plano (z
w
,d) para o novo modelo (parte superior) e para os modelos de
Linder et al., e Bassett et al., (parte inferior) usando a medida BAO de Eisenstein et
al. [60]. Marginalizamos sobre o parˆametro Ω
bo
.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 127
6.1.5 V´ınculos do parˆametro de deslocamento da RCF
Na figura 6.9 (parte superior) apresentamos o resultado para a nova parametriza¸c˜ao de w(z)
e na parte inferior da figura mostramos os resultados para os modelos de Linder et al. e Bassett
et al. Em termos gerais, os contornos no plano (z
w
,d) s˜ao similares aos obtidos usando o teste de
oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions. Para a nova parametriza¸c˜ao w(z) os v´ınculos com n´ıvel de confian¸ca
de 95% estabelecem os limites −1 <z
w
< 1, 5e0<d<1, 5. Similarmente, para os mo delos de
Linder et al. e Bassett et al. temos: −1 <z
w
< 2e0<d<1, 7; −1 <z
w
< 1, 5e0<d<1, 6,
respectivamente.
Para construir os gr´aficos, novamente substitu´ımos Ω
m
por Ω
eff
e, como foi feito anteriormente,
marginalizamos na faixa de 0, 02 < Ω
bo
< 0, 06 e 0, 6 <h<0, 8.
´
E importante ressaltar que para
fazer este teste foi acrescentado ao parˆametro de Hubble um termo de radia¸c˜ao, conforme discutido
na se¸c˜ao 5.4.
128 Tese de Doutorado
Z
W
d
Linderetal.
Z
w
d
Figura 6.9: Nesta figura mostramos contornos com um n´ıvel de confian¸ca de 68%
e 95%, no plano (z
w
,d) para o novo modelo (parte superior) e para os modelos de
Linder et al., e Bassett et al., (parte inferior), marginalizamos nos parˆametros h,Ω
bo
Alan M. Vel´asquez-Toribio 129
6.1.6 V´ınculos Combinados
Nesta se¸c˜ao apresentamos v´ınculos combinados sobre o espa¸co de parˆametros (z
w
,d) para a nova
parametriza¸c˜ao de w ( z), dada pela equa¸c˜ao (6.1).
No que se segue, vamos discutir v´ınculos sobre o plano (z
w
,d) combinando todos os testes
observacionais. Para isto minimizamos a fun¸c˜ao χ
2
total que ´e a soma dos χ
2
individuais, que
´e equivalente a multiplicar probabilidades ou fun¸c˜oes de verossimilhan¸ca. Na figura 6.10 (parte
superior) mostramos o resultado dos testes combinados para a nova parametriza¸c˜ao w ( z). Como
pode ser observado os testes adicionais ao teste de SNIa quebram a degenerescˆencia no espa¸co de
parˆametros (z
t
,d). O melhor ajuste dos dados combinados ´e fornecido por z
w
=0, 175 e d =0, 432.
Os v´ınculos para as outras duas parametriza¸c˜oes de quartessˆencia, de Linder et al. e de Bassett et
al., s˜ao apresentadas tamb´em na figura 6.10 (parte inferior). Os melhores ajustes para os parˆametros
s˜ao: z
w
=0, 549 e d =0, 323(Linder); z
w
=0, 515 e d =0, 615(Bassett).
O parˆametro z
w
n˜ao representa o desvio para o vermelho onde se inicia a expans˜ao acelerada,
i.e., onde o parˆametro de desacelera¸c˜ao se anula. Assim, ´e preciso utilizar a equa¸c˜ao (6.5) com a
condi¸c˜ao q(z
a
) = 0 para calcular esse desvio para o vermelho, sendo z
a
o desvio para o vermelho onde
se inicia a transi¸c˜ao. Usando valores de z
w
e d com n´ıvel de confian¸ca de 95%, obtemos para a nova
parametriza¸c˜ao uma correspondente faixa de valores 0, 55 <z
a
< 0, 85. Isto pode ser observado na
figura 6.11, parte superior, onde mostramos os v´ınculos sobre o plano (w
o
,z
a
), onde w
o
representa
a equa¸c˜ao de estado hoje. Tamb´em com 95% de n´ıvel de confian¸ca, o desvio para o vermelho em
que se inicia a expans˜ao acelerada para Linder et al. est´a na faixa 0, 6 <z
a
< 1, 0 e para Bassett et
al., 0, 7 <z
a
< 1, 1. Nenhum dos modelos admite uma transi¸c˜ao futura z
a
< 0, mesmo no caso de
Bassett et al., que admite valores negativos de z
w
ao 95% de confian¸ca. Comparando as trˆes figuras
de 6.11 podemos ver que a parametriza¸c˜ao de Bassett et al. e a nova parametriza¸c˜ao concordam
apenas marginalmente. O resultado de Linder parece interpolar entre as duas. No entanto, todas
as parametriza¸c˜oes tˆem um intervalo de w
o
compat´ıvel com o que se obt´em com XCDM. Outra
caracter´ıstica comum ´e que todas as parametriza¸c˜oes preferem um valor de z
a
menor que 1, 5 e uma
transi¸c˜ao suave (0, 2 <d<1, 0). Estes resultados est˜ao em concordˆancia com o popular modelo de
g´as de Chpalygin generalizado para o qual ´e obtida uma faixa de valores −0, 9 <w
o
< −0, 6[10]
130 Tese de Doutorado
Aparentemente, a constante cosmol´ogica ´e exclu´ıda, mas temos que ter em conta que por con-
stru¸c˜ao em nosso modelo para se obter w(z)=cte = −1 o parˆametro d tem que ir para zero.
Entretanto esse limite corresponderia a b´arions mais constante cosmol´ogica, o que sabemos n˜ao es-
tar de acordo com as observa¸c˜oes. Por outro lado, para termos w(z =0)=−1 a transi¸c˜ao deve
ter sido r´apida o suficiente (d pequeno) no passado para que a equa¸c˜ao de estado tenha atinguido
w = −1 e tenha permanecido assim at´e hoje. Outra possibilidade ´e uma transi¸c˜ao relativamente
suave no passado (z
w
>> 1), o que resultaria em problemas na forma¸c˜ao de estruturas.
Outra quest˜ao interessante resulta de considerar a defini¸c˜ao do parˆametro de densidade efetivo
dado na equa¸c˜ao (5.17). Na figura 6.12, parte superior, tra¸camos curvas de n´ıvel para v´arios valores
de Ω
eff
. Podemos observar que o espa¸co de parˆametros limitado pelos valores de Ω
eff
est˜ao em
correspondˆencia com os valores limitados pelos testes cosmol´ogicos. Para o c´alculo de Ω
eff
utilizamos
valores fixos de Ω
bo
=0, 044 e h =0, 72.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 131
NovoModelo
Linderetal.
Bassettetal.
Figura 6.10: Nesta figura mostramos contornos para o novo modelo w(z) (parte
sup erior) com um n´ıvel de confian¸ca de 68% e 95%, no plano (z
w
,d), para dados
combinados de SNIa + aglomerados + BAO + deslocamento da RCF. Na parte
inferior mostramos os contornos correspondentes ao modelo de Linder et al.(esquerda)
e ao modelo de Bassett et al.(direita).
132 Tese de Doutorado
−1 −0.95 −0.9 −0.85 −0.8 −0.75 −0.7 −0.65 −0.6
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
w
0
z
a
−1 −0.95 −0.9 −0.85 −0.8 −0.75 −0.7 −0.65 −0.6
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
w
0
z
a
−1 −0.95 −0.9 −0.85 −0.8 −0.75 −0.7 −0.65 −0.6
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
w
0
z
a
Figura 6.11: No gr´afico sup erior mostramos contornos para nossa parametriza¸c˜ao,
no plano (w
o
,z
a
). Nos gr´aficos abaixo mostramos resultados an´alogos para as
parametriza¸c˜ao de Linder et al.(esquerda) e Bassett et al.(direita). Comparando
os resultados podemos observar que o novo modelo w(z) permite valores de z
a
e w
o
muito parecidos com os do modelo de Linder et al. O modelo de Bassett ´e claramente
diferente, estando deslocado para maiores valores de z
a
e maiores valores de w
o
.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 133
NovoModelo
Linderetal.
Bassettetal.
Figura 6.12: Nesta figura mostramos curvas de n´ıvel de Ω
ef f
para os trˆes mo delos
considerados.
134 Tese de Doutorado
q(Z)
z
z
q(z)
Figura 6.13: No gr´afico da esquerda fixamos τ =0, 5 e variamos z
t
. No gr´afico da
direita fixamos z
t
=0, 7 e variamos τ. Podemos observar que τ modula a inclina¸c˜ao
da curva. Para todos os gr´aficos mantemos fixos q
f
= −1 q
i
=1/2.
6.2 Parametriza¸c˜ao de q(z)
Nesta se¸c˜ao vamos apresentar uma nova parametriza¸c˜ao de q(z) sem contudo nos restringirmos
ao caso de modelos de quartessˆencia. Mostraremos que esta parametriza¸c˜ao inclui uma ampla classe
de modelos cosmol´ogicos, tendo o modelo do g´as de Chaplygin generalizado como um caso particular.
O modelo consiste numa nova forma funcional para o parˆametro de desacelera¸c˜ao, que depende de
quatro parˆametros livres. A express˜ao proposta ´e
q(z)=q
f
+
(q
i
− q
f
)
1 − (
q
i
q
f
)(
1+z
t
1+z
)
1/τ
, (6.11)
onde q
i
´e o valor inicial do parˆametro de desacelera¸c˜ao(z>>z
t
), q
f
´e o valor do parˆametro de
desacelera¸c˜ao quando z →−1, z
t
´e o desvio para o vermelho da transi¸c˜ao (por constru¸c˜ao, q(z
t
)=0)
e τ est´a relacionado com a largura, no desvio para o vermelho, da transi¸c˜ao . Especificamente este
´ultimo parˆametro modula a curva q(z) e ´e definido como
τ
−1
=(
1
q
i
−
1
q
f
)[
dq(z)
d ln(1 + z)
]
z=z
t
. (6.12)
Alan M. Vel´asquez-Toribio 135
Na parte direita da figura 6.13, mostramos q(z) para diversos valores de τ fixando z
t
=0, 7.
Podemos observar que por constru¸c˜ao as curvas se interceptam neste valor de z
t
em que q(z
t
)=0.A
inclina¸c˜ao de cada curva muda para diferentes valores de τ . Quanto maior τ mais lenta ´e a transi¸c˜ao.
Na figura da esquerda fixamos τ =0, 5 e variamos z
t
. Neste caso observamos que a inclina¸c˜ao da
curva ´e constante mas, como esperado, a curva cruza o eixo q(z) = 0 em distintos valores do desvio
para o vermelho. Em ambas as figuras usamos q
i
=1/2eq
f
= −1.
Em geral, parametriza¸c˜oes de q(z) (como de H(z)) s˜ao mais gerais que as de w(z), pois s´o
dependem da m´etrica de fundo do espa¸co-tempo (F LRW ) n˜ao sendo necess´ario especificarmos as
caracter´ısticas das componentes escuras do Universo, pois dada uma parametriza¸c˜ao para q(z) obte-
mos diretamente o parˆametro de Hubble por integra¸c˜ao, sem necessidade de utilizar a equa¸c˜ao
de conserva¸c˜ao da energia e as equa¸c˜oes de Friedmann. Mas n˜ao ´e somente o fato de ser uma
parametriza¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao que torna este modelo interessante.
´
E sobretudo a
forma funcional espec´ıfica que proporciona ao modelo caracter´ısticas abrangentes. Por exemplo, a
forma funcional permite que v´arios modelos de energia escura como ΛCDM, XCDM , modelos Car-
dassianos e g´as de Chaplygin generalizado, entre outros, sejam re-obtidos como casos particulares
por uma escolha adequada dos parˆametros z
t
, τ, q
i
e q
f
. Mais adiante discutiremos detalhadamente
esta quest˜ao. Outra caracter´ıstica interessante do modelo ´e o significado do desvio para o vermelho
da transi¸c˜ao z
t
, pois, por constru¸c˜ao, neste caso corresponde ao in´ıcio da expans˜ao acelerada, (i.e.,
q(z
t
) = 0).
Para o modelo (6.11) resulta o parˆametro de Hubble
(H(z)/H
o
)
2
=(1+z)
2(1+q
i
)
(
q
i
(
1+zt
1+z
)
1/τ
− q
f
q
i
(1 + zt)
1/τ
− q
f
), (6.13)
onde a princ´ıpio, deixamos os quatro parˆametros livres. O parˆametro q
i
´e o valor do parˆametro de
desacelera¸c˜ao inicial, isto ´e, para altos valores do desvio para o vermelho, mas ap´os a fase dominada
pela radia¸c˜ao. Atualmente a maioria das observa¸c˜oes e dos modelos cosmol´ogicos s˜ao consistentes
com uma ´epoca dominada pela mat´eria n˜ao-relativ´ıstica, antes da ´epoca dominada pela energia
escura. Esta fase dominada pela mat´eria ´e fundamental para gerar as estruturas que observamos
hoje. Nessa fase, na maioria dos modelos vi´aveis, H(z) ´e proporcional a (1 + z)
3
, o que implica
q =1/2. Assim, vamos fixar o valor inicial do parˆametro de desacelera¸c˜ao de forma que q
i
=1/2.
136 Tese de Doutorado
Assim, assumindo este valor, a equa¸c˜ao acima torna-se
(
H(z)
H
o
)
2
=(1+z)
3
(
(
1+z
t
1+z
)
1/τ
− 2q
f
(1 + z
t
)
1/τ
− 2q
f
). (6.14)
Adicionalmente, definimos um parˆametro de densidade efetivo como
Ω
m,∞
= lim
z→∞
(
H(z)
H
o
)
2
(1 + z)
−3
(6.15)
=(1−
(1 + z)
1/τ
2q
f
)
−τ(1−2q
f
)
. (6.16)
Usando esta defini¸c˜ao, podemos eliminar z
t
da equa¸c˜ao anterior e reescrevˆe-la como
(
H(z)
H
o
)
2
=(1+z)
3
[Ω
1/τ(1−2q
f
)
m,∞
+(1− Ω
1/τ(1−2q
f
)
m,∞
)(1 + z)
1/τ
]
d(1−2q
f
)
. (6.17)
Embora at´e agora tenhamos trˆes parˆametros livres, na presente tese vamos estudar, por simplicidade,
modelos que possuem uma fase final de de Sitter (q
f
= −1). Assim, reduzimos a dois parˆametros
(z
t
e τ)on´umero total de parˆametros a serem vinculados pelos testes cosmol´ogicos.
A seguir calcularemos a idade do Universo prevista para o novo modelo para q(z). Para isto
utilizamos o parˆametro de Hubble dado pela equa¸c˜ao (6.17), com q
f
= −1, a fim de obter curvas
de n´ıvel de H
o
t
o
. O resultado ´e mostrado na figura 6.14 (parte superior). Como podemos observar,
para a faixa 0, 8 <H
o
t
o
< 1, 3 obtemos uma faixa correspondente 0, 7 <z
t
< 2, 0e0, 1 <τ<0, 7.
Na mesma figura 6.14, parte inferior, mostramos curvas de n´ıvel de H
o
t
o
, onde consideramos como
eixo vertical o parˆametro de desacelera¸c˜ao hoje, q
o
, e como eixo horizontal o parˆametro τ . Para
fazer isto reescrevemos (6.11) como
q(z)=q
f
+
(q
i
− q
f
)(1 + z)
1/τ
(1 + z)
1/τ
− (1 −
q
i
−q
f
q
o
−q
f
)
, (6.18)
Neste caso, `a faixa de valores 0, 8 <H
o
t
o
< 1, 3 correspondem as faixas 0, 1 <τ<0, 7e−0, 95 <
q
o
< −0, 60. Estes valores s˜ao compat´ıveis com medidas da idade do Universo utilizando RCF [105].
´
E importante notar que para efetuar a integral da idade utilizando o parˆametro de Hubble (6.17)
n˜ao foi necess´ario escolher valores para Ω
bo
ou h, somente fixamos q
f
e q
i
como discutido acima.
Portanto, estas curvas de n´ıvel representam resultados gerais do modelo. Esta parametriza¸c˜ao ´e
ideal para estudar v´ınculos cosmol´ogicos utilizando diretamente dados do parˆametro de Hubble. No
entanto, os dados de H(z) atualmente n˜ao s˜ao numerosos e tˆem incertezas grandes [166].
Alan M. Vel´asquez-Toribio 137
t
HToo=1.3
Hto
o
=0.8
Htoo=1.3
Htoo=0.8
Figura 6.14: Nesta figura mostramos curvas de n´ıvel de H
o
t
o
, no plano z
t
,τ(acima) e
no plano q
o
e τ (abaixo).
138 Tese de Doutorado
A seguir vamos mostrar como a parametriza¸c˜ao de q(z) relaciona-se com outros modelos sugeri-
dos na literatura para explicar a acelera¸c˜ao c´osmica. Toda a an´alise ´e feita para o caso k =0.
6.2.1 Modelo XCDM e q(z)
Para modelos com equa¸c˜ao de estado constante p = w
x
ρ, a densidade de energia escura ´e
ρ
x
= ρ
o
(1 + z)
3(1+w
x
)
, (6.19)
deste modo, o parˆametro de Hubble para o modelo XCDM ´e
(
H(z)
H
o
)
2
=Ω
mo
(1 + z)
3
+(1− Ω
mo
)(1 + z)
3(1+w
x
)
, (6.20)
Nosso objetivo aqui ´e relacionar as express˜oes (6.20) e (6.17). O primeiro que devemos fazer ´e
acertar a potˆencia no parˆametro de densidade Ω
mo
, que implica
τ(1 − 2q
f
)=1. (6.21)
Com isto (6.17) torna-se
(
H(z)
H
o
)
2
=(1+z)
3
(Ω
m,∞
+(1− Ω
m,∞
)(1 + z)
1/τ
). (6.22)
Comparando novamente as equa¸c˜oes (6.20) e (6.22) fica claro que existe uma equivalˆencia entre
ambas as express˜oes se
w
x
= −
1
3τ
(6.23)
e
Ω
mo
=Ω
m∞
=(1−
1
2q
f
(1 + z
t
)
1/τ
)
−1
. (6.24)
Desta forma, dando como entrada o valor de w
x
constante obtemos o valor correspondente do
parˆametro τ e usando a equa¸c˜ao (6.21) calculamos o valor de q
f
. Finalmente, a equa¸c˜ao (6.24) acima
relaciona Ω
mo
com z
t
. O caso ΛCDM , w
x
= −1, ´e um caso particular e corresp onde a uma escolha
de τ =1/3eq
f
= −1.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 139
t
t
wx
Figura 6.15: A figura da esquerda mostra τ versus q
f
como conseq¨uˆencia do v´ınculo
imposto para conseguir uma equivalˆencia entre XCDM e o modelo de q(z) e o lado
direito mostra τ versus w
x
.
Na figura 6.15 mostramos o gr´afico das equa¸c˜oes 6.21 e 6.23. Na figura do lado direito podemos
observar que valores da equa¸c˜ao de estado constante na faixa −1 <w
x
< −0, 7 s˜ao compat´ıveis com
uma faixa de valores 0, 35 <τ<0, 55. Modelos de q(z) com o parˆametro de τ nessa faixa corre-
spondem a uma evolu¸c˜ao suave da curva q(z), isto ´e, n˜ao s˜ao nem modelos que variam rapidamente
nem modelos que variam lentamente.
6.2.2 Modelos Cardassianos e q(z)
Modelos cardassianos foram propostos como modifica¸c˜oes das equa¸c˜oes de Friedmann da forma
H
2
= g(ρ), onde g(ρ) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria da densidade de energia. O primeiro modelo Cardas-
siano foi uma fun¸c˜ao espec´ıfica da densidade de energia g(ρ) do tipo lei de potˆencia da forma[199]
E
2
(z)=[Ω
mo
(1 + z)
3
+Ω
Card
(1 + z)
3n
], (6.25)
onde E(z)=H/H
o
e n<2/3. Posteriormente foi prop osto um modelo que generalizava o modelo
original, na linha de modelos do tipo lei de potˆencia, chamado “Modelo Cardassiano Politr´opico
Modificado” (MPC) da forma [199]
E
2
(z)=(1+z)
3
[(Ω
mo
)
m
+(1− (Ω
mo
)
m
)(1 + z)
−3(1−n)m
]
1/m
. (6.26)
140 Tese de Doutorado
t
m
n
Figura 6.16: A figura mostra como mudam os parˆametro m, n e τ. O eixo vertical ´e
τ, o horizontal ´e m e a largura representa o parˆametro n.
A parametriza¸c˜ao q(z) tem como caso particular estes modelos. Comparando a equa¸c˜ao acima
com a equa¸c˜ao (6.17) gerada por q(z), obtemos as condi¸c˜oes de equivalˆencia
1
m
= τ(1 − q
f
), (6.27)
n =
2
3
(1 + q
f
), (6.28)
Ω
m,∞
=Ω
mo
, (6.29)
onde da segunda equa¸c˜ao decorre que quando q
f
< 0 naturalmente obtemos n<2/3, como requerido
pelo modelo Cardacianos original [199]. Na figura 6.16 mostramos a evolu¸c˜ao dos parˆametros m, n
e τ.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 141
6.2.3 Modelo de Chaplygin
Consideremos um Universo cheio de um fluido tipo como o g´as de Chaplygin. Assim, desprezando
a componente de b´arions, o parˆametro de Hubble ´e dado por
(
H(t)
H
o
)
2
=Ω
cho
ρ
ch
ρ
cho
≡ Ω
cho
(−w
o
+(1+w
o
)(1 + z)
3(1+α
))
1
1+α
. (6.30)
Considerando q
f
= −1, a equa¸c˜ao (6.17) se transforma em
(
H(t)
H
o
)
2
= ((1 + z)
1/τ
Ω
1
3τ
+(1− Ω
1
3τ
))
3τ
. (6.31)
Comparando as duas ´ultimas equa¸c˜oes podemos concluir que existe uma equivalˆencia entre os
dois modelos se
1
τ
= 3(1 + α), (6.32)
Ω
m,∞
=(1+w
o
)
1
1+α
. (6.33)
Na figura 6.17 mostramos o gr´afico de α versus d. Note que para manter a equivalˆencia entre os
modelos sempre que α toma valores positivos d toma valores menores que 1/3 e quando −1 <α<0,
obtemos que d deve tomar valores maiores que 1/3.
142 Tese de Doutorado
t
Figura 6.17: A figura mostra como o parˆametro do modelo do GCG, α, varia com o
parˆametro τ do modelo q(z) para manter a equivalˆencia dos modelos.
6.2.4 V´ınculos de Supernovas Ia
Nesta se¸c˜ao, apresentamos v´ınculos observacionais obtidos no plano (z
t
,τ) para a parametriza¸c˜ao
de q(z). O resultado utilizando a amostra Gold com 182 supernovas Ia ´e mostrado na figura 6.18.
Neste caso, as sup ernovas Ia tamb´em n˜ao s˜ao suficientes para vincular nosso espa¸co de parˆametros.
O eixo z
t
n˜ao ´e vinculado para uma faixa finita de valores, por´em o eixo τ ´e vinculado para valores
no intervalo 0 <τ <4.
´
E interessante notar que este teste exclui transi¸c˜oes futuras de z
t
, isto ´e,
imp˜oe uma cota inferior tanto para z
t
quato para τ e pode-se observar que uma transi¸c˜ao recente
somente ´e compat´ıvel com valores de τ<1, 5.
O parˆametro de Hubble utilizado ´e dado pela equa¸c˜ao (6.17), e para todos os c´alculos conside-
ramos q
i
=1/2eq
f
= −1. Entretanto, embora a equa¸c˜ao (6.17) seja independente de h, a equa¸c˜ao do
m´odulo da distˆancia (5.6) introduz uma dependˆencia neste parˆametro e por isso marginalizamos na
faixa de 0, 60 <h<0, 80. Os melhores ajustes para os parˆametros s˜ao: z
t
=0, 95 e τ =1, 07(Gold).
Similarmente, para a amostra do Legacy, os melhores ajustes s˜ao z
t
=0, 52 e τ =0, 79. Em termos
gerais estes resultados mostram que para a parametriza¸c˜ao de q(z) o teste de supernovas Ia precisa
ser combinado com outros testes para obter v´ınculos mais restritos no espa¸co de parˆametros.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 143
Figura 6.18: Na figura acima, mostramos v´ınculos sobre a parametriza¸c˜ao de q( z)
utilizando dados do Gold-182 SNIa e na figura abaixo v´ınculos utilizando a amostra
SN LS com n´ıveis de confian¸ca de 68% e 95%. A marginaliza¸c˜ao foi feita na faixa
0, 60 <h<0, 80.
144 Tese de Doutorado
6.2.5 Observ´avel S
k
/D
v
O resultado para o observ´avel S
k
/D
v
´e mostrado na figura 6.19. A linha horizontal da figura
representa o modelo ΛCDM (τ =1/3eq
f
= −1) o qual, como esperado, ´e um bom ajuste para este
teste.
´
E interessante ressaltar que com n´ıvel de confian¸ca de 95% este observ´avel admite transi¸c˜oes
futuras z
t
< 0 para τ grandes, isto ´e, para transi¸c˜oes lentas; em outras palavras, o Universo come¸ca
dominado pela mat´eria e continua assim at´e que no futuro, quase instantaneamente, muda para um
Universo em expans˜ao acelerada. Numericamente podemos estabelecer que para τ<0, 05 a curva
de q(z) muda de q
i
=1/2 para q
f
= −1 de forma muito r´apida no passado ou no futuro dependendo
do valor de z
t
; para τ>1 obtemos mudan¸cas lentas. Este teste precisa ser combinado com outro
teste complementar para descartar valores esp´urios dos parˆametros. Comparando os resultados
de supernovas Ia com os deste teste podemos observar que s˜ao mutuamente complementares e da
combina¸c˜ao de ambos podemos prever que ser˜ao eliminados altos valores de τ e transi¸c˜oes futuras
(z
t
< 0). Isto ser´a feito na pr´oxima se¸c˜ao.
Conforme foi discutido no Cap´ıtulo 5, para construir a figura 6.19 temos que incluir um termo
de radia¸c˜ao proporcional a (1 + z)
4
. Isto ´e devido a que o observ´avel S
k
/D
v
inclui distˆancias
com´oveis at´e a ´ultima superf´ıcie de espalhamento, quando, ao contr´ario do caso do observ´avel A,
uma componente de radia¸c˜ao ´e importante. Para verificar isto, observamos que quando se introduz
um termo de radia¸c˜ao, a mudan¸ca da distˆancia S
k
´e de aproximadamente 20%.
´
E importante
notar que a intro du¸c˜ao de um termo
4,15
h
2
×10
5
(1 + z)
4
introduz uma dependˆencia em h, de modo
que marginalizamos na faixa 0, 60 <h<0, 80. Finalmente, podemos estabelecer que com n´ıvel de
confian¸ca de 95% os parˆametros s˜ao vinculados aos intervalos: −1 <z
t
< 1e0<d<4.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 145
t
Figura 6.19: Nesta figura apresentamos os contornos com n´ıveis de confian¸ca de 68%
e 95% para teste S
k
/D
v
(0, 2) + S
k
/D
v
(0, 35). Podemos observar que a regi˜ao com o
n´ıvel de confian¸ca de 68% se reduz bastante em rela¸c˜ao `a regi˜ao de 95%. A linha
horizontal representa o mo delo ΛCDM que corresp onde a τ =1/3eq
f
= −1.
146 Tese de Doutorado
6.3 An´alise Combinada
Nesta se¸c˜ao apresentamos v´ınculos combinados para a parametriza¸c˜ao de q(z). Para isto, uti-
lizamos os testes de supernovas Ia e o teste S
k
/D
v
. Somando os χ
2
individuais, obtemos v´ınculos
sobre os parˆametros considerados. Os resultados s˜ao aprsentados na figura 6.20 para o caso da
combina¸c˜ao de supernovas Ia, amostra Gold-182, e o observ´avel de S
k
/D
v
. Os melhores ajustes s˜ao
z
t
=0, 72 e τ =0, 61. Na figura 6.21 apresentamos resultados para a amostra SNLS e S
k
/D
v
.Os
melhores ajustes s˜ao: z
t
=0, 88 e τ =0, 35 (Legacy).
Como podemos observar, ambas as amostra de supernovas Ia favorecem uma transi¸c˜ao recente
do Universo, descartando uma transi¸c˜ao futura (z
t
< 0) para uma fase de expans˜ao acelerada,
vinculando o parˆametro τ `a faixa de valores 0, 2 <τ<0, 9; isto ´e, descartando transi¸c˜oes r´apidas
e lentas, dando preferˆencia a transi¸c˜oes suaves. Os resultados tamb´em mostram que o modelo
ΛCDM , que corresponde a τ =1/3eq
f
= −1, n˜ao ´e descartado por nenhuma das duas amostras de
supernovas Ia combinadas com o observ´avel S
k
/D
v
. Segundo nossos resultados, o modelo ΛCDM
contibua sendo um b om ajuste dos parˆametros.
´
E imp ortante ressaltar que estes resultados s˜ao
somente dependentes da m´etrica de fundo F LRW . Neste sentido, nossos resultados s˜ao bem gerais
e podemos afirmar que os dados observacionais estabelecem que atualmente estamos numa fase de
expans˜ao acelerada sem fazer men¸c˜ao do conte´udo material do Universo.
Alan M. Vel´asquez-Toribio 147
Z
t
Figura 6.20: V´ınculos combinados de S
k
/D
v
+ sup ernovas Ia amostra Gold-182.
Podemos observar que com n´ıvel de confian¸ca de 68% o modelo ΛCDM ´e exclu´ıdo.
No entanto isso n˜ao acontece para o n´ıvel de confian¸ca de 95%.
Figura 6.21: V´ınculos combinados de S
k
/D
v
e de sup ernovas Ia SNLS. Neste caso o
modelo ΛCDM est´a dentro dos n´ıveis de confian¸ca de 68% e 95%.
148 Tese de Doutorado
Cap´ıtulo 7
Conclus˜oes e Perspectivas
O principal objetivo desta tese foi, atrav´es de uma abordagem fenomenol´ogica, propor, analisar
e vincular alguns modelos cosmol´ogicos capazes de explicar a acelera¸c˜ao c´osmica. Esse trabalho foi
estruturado em seis Cap´ıtulos: no Cap´ıtulo I discutimos brevemente as implica¸c˜oes da descoberta da
acelera¸c˜ao c´osmica e apresentamos nossos objetivos gerais de pesquisa. No Cap´ıtulo II fizemos uma
introdu¸c˜ao ao modelo padr˜ao da cosmologia. No Cap´ıtulo III fizemos uma revis˜ao sobre mat´eria e
energia escuras onde apresentamos suas principais evidˆencias observacionais e candidatos propos-
tos. No Cap´ıtulo IV, discutimos aspectos da estabilidade estrutural de uma classe de modelos de
quartessˆencia, consistindo em parametriza¸c˜oes da press˜ao do fluido escuro p = p(ρ). Consideramos
um espa¸co de fase bidimensional (ρ, H(z)) e estudamos os pontos de equil´ıbrio de um sistema de
equa¸c˜oes diferenciais, constitu´ıdo pela equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao da mat´eria e a equa¸c˜ao de Friedmann
para
˙
H. Conclu´ımos que o sistema dinˆamico considerado (equa¸c˜oes (4.17-4.18)), que representa
um Universo em expans˜ao com um fluido de quartessˆencia, ´e estruturalmente est´avel no sentido
do teorema de Peixoto. No Cap´ıtulo V, apresentamos quatro testes observacionais: supernovas Ia,
medidas da fra¸c˜ao de b´arions em aglomerados de gal´axias, oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions e medidas
do parˆametro de deslocamento da radia¸c˜ao c´osmica de fundo. Discutimos suas caracter´ısticas e
utilidade para vincular parˆametros cosmol´ogicos. No Cap´ıtulo VI, apresentamos os principais resul-
149
150 Tese de Doutorado
tados desta tese. Na primeira parte do Cap´ıtulo propusemos um novo modelo de quartessˆencia para
a equa¸c˜ao de estado w(z) e consideramos v´ınculos observacionais utilizando os testes apresentados
no Cap´ıtulo anterior. Na segunda parte propusemos uma nova parametriza¸c˜ao do parˆametro de
desacelera¸c˜ao q(z) com propriedades abrangentes.
Os principais resultados desta tese est˜ao descritos nos t´opicos abaixo relacionados:
• Parametriza¸c˜ao de w(z)
Nossa parametriza¸c˜ao de w(z) ´e uma parametriza¸c˜ao de quartessˆencia que n˜ao tem o modelo
ΛCDM como caso particular. No entanto, este modelo pode interpolar modelos com varia¸c˜oes
r´apidas e lentas de w(z). Apresentamos suas caracter´ısticas gerais, estudamos a idade do
Universo e confrontamos as predi¸c˜oes te´oricas com dados observacionais de supernovas Ia,
fra¸c˜ao de b´arions em aglomerados de gal´axias, BAO e parˆametro de deslocamento da radia¸c˜ao
c´osmica de fundo.
Os melhores ajustes para os parˆametros do modelo w(z) s˜ao z
w
=0, 175 e d =0, 432. Defini-
mos um parˆametro de densidade efetivo (Ω
eff
) e, para os melhores ajustes dos parˆametros
obtivemos Ω
eff
=0, 23. Sendo z
a
o desvio para o vermelho da transi¸c˜ao da expans˜ao desacele-
rada para acelerada, obtivemos que 0, 55 <z
a
< 0, 85. Este resultado foi obtido supondo
valores extremos (n´ıvel de confian¸ca de 95% (figura 6.13)) para os parˆametros z
w
e d.
Os resultados para a nova parametriza¸c˜ao de w(z), assim como para os outros dois modelos
considerados, o modelo de Linder et al. e modelo de Bassett et al., est˜ao compilados na tabela
(7.1), onde tamb´em mostramos o χ
2
m´ınimo para cada modelo. Considerando os melhores
ajustes, todos os modelos admitem transi¸c˜oes na faixa de 0, 5 <z
a
< 1, 2. Outro aspecto
not´avel dos resultados ´e o fato de que o parˆametro d, para os trˆes modelos, est´a na faixa
0, 2 <d<0, 9 o que implica uma evolu¸c˜ao suave da curva w(z). O melhor ajuste para a
equa¸c˜ao de estado hoje w
o
est´a de acordo com outros modelos de quartessˆencia, como o caso
do g´as de Chaplygin generalizado, que admite valores para w
o
na faixa −0, 9 <w
o
< −0, 6
com um n´ıvel de confian¸ca do 95%, [10].
Alan M. Vel´asquez-Toribio 151
w(z) Linder et al. Bassett et al.
χ
2
400,32 394,76 390,10
z
w
0,175 0,549 0,515
d 0,432 0,323 0,615
z
a
0,691 0,804 0,903
w
o
-0,835 -0,79 -0,740
Tabela 7.1: Melhores ajustes para a nova parametriza¸c˜ao da equa¸c˜ao de estado w(z)
e para os modelos de Linder et al. e Bassett et al.
• Parametriza¸c˜ao de q(z)
A parametriza¸c˜ao de q(z) ´e mais geral que a parametriza¸c˜ao de w(z), pois n˜ao depende da
teoria da gravita¸c˜ao assumida e somente ´e dependente da m´etrica F LRW . O parˆametro de
Hubble derivado de q(z) ´e tal que n˜ao precisamos especificar as componentes materiais do
Universo. Este modelo tem parˆametros com significados f´ısicos precisos. Nosso parˆametro z
t
neste caso ´e, por constru¸c˜ao, o desvio para o vermelho onde se inicia a expans˜ao acelerada
q(z
t
)=0.
Uma quest˜ao interessante resulta ao considerar a rela¸c˜ao entre o modelo q(z) e outros modelos
de energia escura. Por exemplo, se assumimos valores de τ =1/3eq
f
= −1, obtemos o modelo
ΛCDM .Al´em disso, este modelo tem como casos particulares, sob certas condi¸c˜oes discuti-
das no Cap´ıtulo anterior, modelos como XCDM, modelos Cardassianos e g´as de Chaplygin
generalizado.
Para vincular o valor dos parˆametros somente utilizamos os testes de supernovas Ia e o
observ´avel S
k
/D
v
, pois s˜ao os ´unicos testes que dependem somente do parˆametro de Hubble.
Os melhores ajustes s˜ao: z
t
=0, 72 e τ =0, 61(Gold-182 + S
k
/D
v
)ez
t
=0, 88; τ =0, 35
(Legacy + S
k
/D
v
). Considerando q
f
= −1 o parˆametro de densidade efetivo da mat´eria
resulta Ω
m,∞
=0, 23 para ambos os casos. Para a idade do Universo obtemos uma idade
de 13, 9 Ga (melhores ajustes SNLS + S
k
/D
v
) e encontramos que a acelera¸c˜ao come¸cou h´a
152 Tese de Doutorado
7, 21Ga. Para a amostra Gold + S
k
/D
v
obtemos uma idade de 12, 9Ga e encontramos que a
acelera¸c˜ao come¸cou 6, 00Ga atr´as.
O mo delo ΛCDM ´e exclu´ıdo pelos dados da amostra Gold-182 +S
k
/D
v
com um n´ıvel de
confian¸ca do 95%, o que n˜ao acontece com a amostra do SNLS + S
k
/D
v
. Isto mostra que
existe uma certa tens˜ao entre os dois conjuntos de dados de supernovas Ia. Neste sentido,
´e necess´ario maiores esfor¸cos observacionais para obter mais e melhores dados que possam
esclarecer estas discrepˆancias. Em termos gerais podemos dizer que o teste de supernovas Ia
imp˜oe um limite inferior para o desvio para vermelho da transi¸c˜ao, z
t
, mas n˜ao ´e capaz de
impor um limite superior. Utilizando somente supernovas Ia, modelos lentos (τ>1) com
transi¸c˜oes no passado (digamos um z
t
∼ 10) s˜ao permitidos, mas uma transi¸c˜ao muito longe
no passado seria fatal para a forma¸c˜ao de estruturas, pois os primeiros objetos possivelmente
come¸caram a se formar em z ∼ 6. O caso not´avel ´e que o teste de S
k
/D
v
contrariamente ao
caso de supernova Ia, imp˜oe um limite sup erior, mas n˜ao um limite inferior para o parˆametro
z
t
, isto faz com que ao combinar os testes obtenhamos v´ınculos bem mais restritivos no espa¸co
de parˆametros. Os resultados finais (figuras 6.20-6.21) mostram que existe uma forte evidˆencia
de uma transi¸c˜ao suave e recente para uma fase de expans˜ao acelerada.
Um desdobramento imediato do trabalho aqui apresentado ´e considerar v´ınculos observacionais
sobre os modelos de w(z)eq(z) sem nos restringir a valores assint´oticos fixos. Por exemplo, podemos
estudar modelos com q
f
e q
i
vari´aveis ou pelo menos um vari´avel.
Podemos tamb´em intro duzir outros testes observacionais que n˜ao foram considerados nesta
pesquisa, tais como testes envolvendo o espectro angular de potˆencia da radia¸c˜ao c´osmica de fundo
ou o espectro de potˆencia de massa. Para o caso da parametriza¸c˜ao de w(z) ter´ıamos que introduzir
perturba¸c˜oes de press˜ao nula ou de entropia, isto por tratar-se de um modelo de quartessˆencia que
tem uma velocidade adiab´atica do som diferente de zero, no presente, como discutido no final do
Cap´ıtulo 3.
Outra quest˜ao interessante surge de considerar a rela¸c˜ao entre nosso modelo de q(z) e modelos
de quintessˆencia. Poder´ıamos, em princ´ıpio, tentar reconstruir potenciais de quintessˆencia para
uma escolha adequada dos parˆametros z
t
e d. Isto ´e uma quest˜ao interessante no sentido que
podemos tentar obter uma rela¸c˜ao entre potenciais tipo rastreadores (tracker) de quintessˆencia e
nossos parˆametros. Similarmente poder-se-ia fazer isto para modelos de K-essˆencia.
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