ads:
Carlos Eduardo Ferreira Soares
An
´
alise de Ferramenta de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo na Otimizac¸
˜
ao de Sistema Real de
Subtransmiss
˜
ao
Recife - Pernambuco - Brasil
Abril de 2010
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Tecnologia e Geoci
ˆ
encias
Programa de P
´
os-graduac¸
˜
ao em Engenharia El
´
etrica
An
´
alise de Ferramenta de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo na Otimizac¸
˜
ao de Sistema Real de
Subtransmiss
˜
ao
por
Carlos Eduardo Ferreira Soares
Dissertac¸
˜
ao submetida ao Programa de P
´
os-Graduac¸
˜
ao em Engenharia El
´
etrica da
Universidade Federal de Pernambuco como parte dos requisitos para obtenc¸
˜
ao do grau de
Mestre em Engenharia El
´
etrica
Orientador: Prof. Geraldo Leite Torres, PhD
Recife, abril de 2010.
c
Carlos Eduardo Ferreira Soares, 2010
ads:
S676a Soares, Carlos Eduardo Ferreira.
An
´
alise de Ferramenta de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo na
Otimizac¸
˜
ao de Sistema Real de Subtransmiss
˜
ao / Carlos
Eduardo Ferreira Soares. – Recife: O Autor, 2010.
xix, 129 folhas, il., gr
´
afs., tabs.
Dissertac¸
˜
ao (Mestrado) – Universidade Federal de
Pernambuco. CTG. Programa de P
´
os-Graduac¸
˜
ao em
Engenharia El
´
etrica, 2010.
Orientador: Prof. Geraldo Leite Torres
Inclui refer
ˆ
encias bibliogr
´
aficas e anexos.
1. Engenharia El
´
etrica. 2. Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo.
3. Otimizac¸
˜
ao da Operac¸
˜
ao. 4. Pontos Interiores – M
´
etodo.
I. T
´
ıtulo.
UFPE
621.3 CDD (22.ed.) BCTG/2010-128
Aos meus pais, Roberto Carlos e Edirany,
aos meus irm
˜
aos, Carlos Roberto e Mariana,
a minha esposa, Roberta,
e ao meu filho, Leonardo,
pela atenc¸
˜
ao, dedicac¸
˜
ao, apoio e carinho,
DEDICO.
Agradecimentos
Ao meu orientador, Geraldo Leite Torres, pela orientac¸
˜
ao ao longo do desenvolvimento
deste trabalho.
Aos colegas do LOASP, Vicente e Andr
´
ea, pela atenc¸
˜
ao e apoio em todos os momentos de
dificuldade.
Aos colegas Francisco Nilton e Manuelle Cavalcanti pelo incentivo ao longo de todo o
trabalho.
Aos amigos e familiares pelo apoio e incentivo.
Agradecimentos Especiais
Ao meu pai, Roberto Carlos, que com uma conduta impec
´
avel, sempre foi uma grande
refer
ˆ
encia pessoal e profissional.
A minha m
˜
ae, Edirany, pela exaustiva dedicac¸
˜
ao durante toda minha formac¸
˜
ao acad
ˆ
emica.
Seu acompanhamento e incentivo nos primeiros anos de estudo foram fundamentais nesta
caminhada.
Aos meus irm
˜
aos, Carlos Roberto e Mariana, pelo amor e carinho durante toda vida.
A minha esposa, Roberta, pelo amor e incentivo sempre.
Ao meu filho, Leonardo, pelo novo sentido que sua chegada trouxe a minha vida.
Aos av
´
os, Maria Zilda, Espedito (in memorian) e Lourdes, pela dedicac¸
˜
ao e o amor durante
nosso conv
´
ıvio.
v
Resumo da Dissertac¸
˜
ao apresentada
`
a UFPE como parte dos requisitos necess
´
arios para
obtenc¸
˜
ao do grau de Mestre em Engenharia El
´
etrica.
An
´
alise de Ferramenta de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo na Otimizac¸
˜
ao de
Sistema Real de Subtransmiss
˜
ao
Carlos Eduardo Ferreira Soares
Abril de 2010
Orientador: Prof. Geraldo Leite Torres, PhD
´
Area de Concentrac¸
˜
ao: Processamento da Energia
Palavras-chave: Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo, Otimizac¸
˜
ao da Operac¸
˜
ao, M
´
etodos de Pontos-
Interiores.
N
´
umero de P
´
aginas: 129
Com o aumento da dimens
˜
ao e da complexidade dos sistemas el
´
etricos de pot
ˆ
encia, o
n
´
ıvel de automac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao vem crescendo continuamente, de forma que os centros de
operac¸
˜
ao das empresas de energia el
´
etrica necessitam cada vez mais de ferramentas com-
putacionais que possam analisar a seguranc¸a do sistema e otimizar um objetivo da operac¸
˜
ao
em tempo-real. Nesse contexto, as ferramentas de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo (FPO) exer-
cem um papel fundamental. O objetivo de um programa de FPO
´
e calcular ajustes
´
otimos
para os controles do sistema visando a sua operac¸
˜
ao num n
´
ıvel de seguranc¸a desejado,
enquanto otimiza uma func¸
˜
ao objetivo tal como a minimizac¸
˜
ao de perdas el
´
etricas. Os
ajustes
´
otimos calculados podem conduzir a operac¸
˜
ao do sistema de um n
´
ıvel de seguranc¸a
para outro ou restaurar a otimalidade de um n
´
ıvel de seguranc¸a j
´
a alcanc¸ado. No entanto,
existem diversas dificuldades no uso pr
´
atico de programas de FPO. A principal delas
´
e
que o problema de FPO no mundo real
´
e matematicamente e computacionalmente muito
diferente da formulac¸
˜
ao cl
´
assica. Essa Dissertac¸
˜
ao apresenta uma an
´
alise dos principais
requisitos para o uso pr
´
atico de ferramentas de FPO, bem como discute desenvolvimentos
recentes para o tratamento de alguns dos requisitos cr
´
ıticos. Mais especificamente,
´
e feita
uma an
´
alise cr
´
ıtica da aplicac¸
˜
ao de um programa de FPO recentemente desenvolvido para
otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao de um sistema real de subtransmiss
˜
ao. S
˜
ao apresentados e discuti-
dos resultados num
´
ericos da aplicac¸
˜
ao da ferramenta de FPO na otimizac¸
˜
ao de sistema real
de subtransmiss
˜
ao.
vi
Abstract of Dissertation presented to UFPE as a partial fulfillment of the requirements for
the degree of Master in Electrical Engineering.
Analysis of Optimal Power Flow Tool in the Optimization of an Actual
Subtransmission System
Carlos Eduardo Ferreira Soares
April, 2010
Supervisor: Prof. Geraldo Leite Torres, PhD
Area of Concentration: Energy processing
Keywords: Optimal Power Flow, Operation Optimization, Interior-Point Methods.
Number of Pages: 129
With the increase in dimension and complexity of electrical power systems, the level of
power systems operation automation is continuously increasing, so that Energy Manage-
ment Systems need computational tools capable to assess system security and optimize an
operation objective in real time. In this context, Optimal Power Flow (OPF) tools play a
fundamental role. The objective of an OPF program is to compute optimal adjustments to
the system controls aiming at its operation with a desired security level, while optimizing
an objective function such as active losses minimization. The optimal control adjustments
computed can drive system operation from a security level to another, or restore the optima-
lity of an already secure operation. However, there exists several difficulties in the practical
use of OPF tools. The main one is that the OPF problems in the real world are mathema-
tically e computationally very different from the classical formulation. This Dissertation
presents an analysis of the main requirements for practical usage of OPF tools, as well as
discusses recent developments for the treatment of critical requirements. More specifically,
it presents a critical analysis of the application of a recently developed OPF program to
the optimization a an actual sub-transmission system. Numerical results are presented and
discussed.
vii
Sum
´
ario
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiii
Lista de Algoritmos xv
Lista de S
´
ımbolos e Abreviaturas xvi
1. Introduc¸
˜
ao 1
1.1. Objetivos da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Composic¸
˜
ao da Dissertac¸
˜
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Modelos de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo 7
2.1. Forma Geral do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Equac¸
˜
oes B
´
asicas de Fluxo de Pot
ˆ
encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
viii
SUM
´
ARIO ix
2.2.1. Fluxos de Correntes e Pot
ˆ
encias nos Circuitos . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2. Injec¸
˜
oes de Pot
ˆ
encias nos N
´
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3. Equac¸
˜
oes de Balanc¸o de Pot
ˆ
encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Modelos de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1. Minimizac¸
˜
ao de Perdas Ativas na Transmiss
˜
ao . . . . . . . . . . . 19
2.3.2. Minimizac¸
˜
ao do Corte de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3. Maximizac¸
˜
ao do Carregamento do Sistema . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4. Maximizac¸
˜
ao da Capacidade de Transfer
ˆ
encia Simult
ˆ
anea . . . . . 25
2.4. As T
´
ecnicas Usuais de Soluc¸
˜
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. M
´
etodos de Pontos-Interiores 29
3.1. O M
´
etodo Primal-Dual Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1. C
´
alculo das Direc¸
˜
oes de Busca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2. Atualizac¸
˜
ao das Vari
´
aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.3. Reduc¸
˜
ao do Par
ˆ
ametro de Barreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.4. Testes de Converg
ˆ
encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. O M
´
etodo Preditor-Corretor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1. O Passo Preditor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2. O Passo Corretor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. O M
´
etodo Preditor-Corretor M
´
ultiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4. O M
´
etodo de M
´
ultiplas Correc¸
˜
oes de Centralidade . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1. As Correc¸
˜
oes de Centralidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2. Quantas Correc¸
˜
oes Realizar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Estudo dos Requisitos para Utilizac¸
˜
ao Pr
´
atica de Programas de FPO 45
4.1. Otimizac¸
˜
ao por
´
Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
SUM
´
ARIO x
4.2. Restric¸
˜
oes de Conting
ˆ
encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Objetivos Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4. Supress
˜
ao de Ajustes Ineficazes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5. Inviabilidades na Soluc¸
˜
ao do FPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6. Discretizac¸
˜
ao de Vari
´
aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7. Interface Gr
´
afica com o Usu
´
ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.8. An
´
alise de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. Aplicac¸
˜
ao de Programa de FPO em Sistema Real de Subtransmiss
˜
ao 62
5.1. Caracter
´
ısticas do Sistema de Subtransmiss
˜
ao . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2. Os Sistemas Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3. Os Dados Necess
´
arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4. Resumo de An
´
alises de Fluxo de Pot
ˆ
encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5. Otimizac¸
˜
ao dos Regionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.1. Soluc¸
˜
ao com Par
ˆ
ametros Padr
˜
oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.2. Influ
ˆ
encia do Ponto Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.3. Influ
ˆ
encia da Regra do Comprimento de Passo . . . . . . . . . . . 73
5.5.4. Influ
ˆ
encia do Par
ˆ
ametro de Barreira Inicial . . . . . . . . . . . . . 75
5.6. Observac¸
˜
oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6. Conclus
˜
oes 77
6.1. Sugest
˜
oes de Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Refer
ˆ
encias Bibliogr
´
aficas 82
A. Implementac¸
˜
ao dos Algoritmos de Pontos-Interiores 88
A.1. Inicializac¸
˜
ao das Vari
´
aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
SUM
´
ARIO xi
A.2. Montagem da Matriz ∇g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.3. Montagem das Matrizes Hessianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B. Estrutura do Programa OOTrans 93
B.1. Utilizando o Programa OOTrans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B.1.1. Habilitac¸
˜
ao do Usu
´
ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.1.2. Informando os Arquivos de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.1.3. Configurando a Soluc¸
˜
ao de Fluxo de Pot
ˆ
encia . . . . . . . . . . . . 99
B.1.4. Configurando a Soluc¸
˜
ao de Minimizac¸
˜
ao de Perdas . . . . . . . . . 100
B.1.5. Ajustando o Modelo de Otimizac¸
˜
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.1.6. Selecionando Relat
´
orios para Impress
˜
ao . . . . . . . . . . . . . . . 106
B.1.7. Executando a Otimizac¸
˜
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.1.8. Visualizando Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.1.9. Analisando a Soluc¸
˜
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.2. As Rotinas Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Lista de Figuras
2.1. Representac¸
˜
ao geral de linhas de transmiss
˜
ao. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Representac¸
˜
ao geral de transformadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1. Diagrama unifilar com animac¸
˜
ao para exibic¸
˜
ao de resultados no programa
PowerWorld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1. Localizac¸
˜
ao dos regionais do sistema el
´
etrico CELPE. . . . . . . . . . . . . 63
B.1. Janela inicial do programa OOTrans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B.2. Habilitac¸
˜
ao do usu
´
ario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.3. Barra de ferramentas ap
´
os habilitac¸
˜
ao do usu
´
ario. . . . . . . . . . . . . . . 95
B.4. Primeira pasta de configurac¸
˜
ao do programa OOTrans. . . . . . . . . . . . 96
B.5. Janela de selec¸
˜
ao de arquivos da rede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B.6. Selec¸
˜
ao do formato ANAREDE para os dados da rede. . . . . . . . . . . . 97
B.7. Selec¸
˜
ao do arquivo de dados Angelim.pwf. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
xii
LISTA DE FIGURAS xiii
B.8. Janela de trabalho Fluxo de Pot
ˆ
encia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B.9. Janela de trabalho Otimizac¸
˜
ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B.10. Painel para escolha do ponto inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.11. Exemplo de ajuste nas vari
´
aveis de controle tape. . . . . . . . . . . . . . . 105
B.12. Exemplo da exclus
˜
ao da vari
´
avel de controle tape do circuito 40. . . . . . . 106
B.13. Janela de trabalho para selec¸
˜
ao de relat
´
orios. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.14. Exemplo de pesquisa da barra 1 do regional Angelim. . . . . . . . . . . . . 110
Lista de Tabelas
5.1. N
´
umero de barras, circuitos e transformadores do sistema CELPE. . . . . . 64
5.2. Quantidades e modulac¸
˜
oes das suscept
ˆ
ancias shunts e tapes de LTC’s. . . . 65
5.3. Montante de perdas por regional na soluc¸
˜
ao n
˜
ao-otimizada. . . . . . . . . . 66
5.4. N
´
umero de vari
´
aveis n, n
´
umero de restric¸
˜
oes de igualdades m, n
´
umero
de limites simples sobre as vari
´
aveis p, e n
´
umero de soluc¸
˜
oes discretas
poss
´
ıveis, por regional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5. Valores padr
˜
oes dos par
ˆ
ametros dos algoritmos. . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.7. Quadro s
´
ıntese da an
´
alise de redes do sistema CELPE (extra
´
ıdo do Re-
lat
´
orio III do Projeto de P&D). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.8. Desempenho dos algoritmos de otimizac¸
˜
ao utilizando os par
ˆ
ametros padr
˜
oes. 72
5.9. Desempenho dos algoritmos com as vari
´
aveis x iniciadas pela regra do
ponto m
´
edio (opc¸
˜
ao Ponto M´edio no Popup Menu). . . . . . . . . . . . . . 73
5.10. Desempenho dos algoritmos quando podem utilizar comprimentos de pas-
sos distintos: α
P
k
α
D
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
xiv
LISTA DE TABELAS xv
5.11. Desempenho dos algoritmos com µ
0
= 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.12. Desempenho dos algoritmos com µ
0
= 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Lista de Algoritmos
3.1. M
´
etodo primal-dual de pontos-interiores para resolver (2.1). . . . . . . . . 32
3.2. M
´
etodo preditor-corretor de pontos interiores para resolver (2.1). . . . . . . 40
xvi
Lista de S
´
ımbolos e Abreviaturas
Abreviaturas
FPO : Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo
KKT : condic¸
˜
oes de Karush-Kuhn-Tucker
LTC : Load Tap Changer
MCC : M
´
ultiplas Correc¸
˜
oes de Centralidade
PDS : Primal-Dual de Pontos-Interiores
PCS : Primal-Dual Preditor-Corretor
PI : Pontos Interiores
PL : Programac¸
˜
ao Linear
PLS : Programac¸
˜
ao Linear Sucessiva
PNL : Programac¸
˜
ao N
˜
ao-Linear
PQ : Programac¸
˜
ao Quadr
´
atica
PQS : Programac¸
˜
ao Quadr
´
atica Sucessiva
xvii
S
´
IMBOLOS xviii
S
´
ımbolos
B : conjunto de pares de barras terminais dos ramos do sistema
B
i j
: elemento i j da matriz suscept
ˆ
ancia de barra, B
b
i
: suscept
ˆ
ancia do ramo conectando as barras i e j
b
sh
i j
: suscept
ˆ
ancia do carregamento shunt do ramo i j
∆P : balanc¸o de pot
ˆ
encia ativa
∆Q : balanc¸o de pot
ˆ
encia reativa
E : conjunto das barras de carga eleg
´
ıveis ao controle de reativos
f (x) : func¸
˜
ao objetivo
F : conjunto das barras com fontes fixas de reativos shunt
F
i j
: fluxo de pot
ˆ
encia no ramo i j
g(x) : vetor das func¸
˜
oes de restric¸
˜
oes de igualdade
g
i j
: condut
ˆ
ancia do ramo conectando as barras i e j
G : conjunto de todas as barras de gerac¸
˜
ao
G
i j
: elemento i j da matriz condut
ˆ
ancia G
H
k
: Hessiana da func¸
˜
ao de Lagrange
I : corrente complexa
J
PF
(V, θ) : Jacobiana do problema de fluxo de pot
ˆ
encia n
˜
ao otimizado
λ : multiplicadores de Lagrange das restric¸
˜
oes de igualdade
µ : par
ˆ
ametro de barreira
N : conjunto de todas as barras do sistema
˜
N : conjunto de todas as barras exceto a barra de folga
P
G
i
: pot
ˆ
encia ativa gerada na barra i
P
D
i
: pot
ˆ
encia ativa demandada na barra i
P
L
: perdas ativas
Q
G
i
: pot
ˆ
encia reativa gerada na barra i
S
´
IMBOLOS xix
Q
D
i
: pot
ˆ
encia reativa demandada na barra i
t
i j
: tape entre os ramos i j
T : conjunto das barras terminais dos transformadores com LTC
θ
i
:
ˆ
angulo de fase da tens
˜
ao complexa na barra i
V
i
: magnitude da tens
˜
ao complexa na barra i
V
i
: tens
˜
ao complexa na barra i:
V
i
= V
i
e
jθ
i
y
i j
: admit
ˆ
ancia complexa do ramo conectando as barras i e j:
y
i j
= g
i j
+ jb
i j
Cap
´
ıtulo 1
Introduc¸
˜
ao
Jamais considere seus estudos como uma
obriga¸c˜ao, mas como uma oportunidade
invej´avel (...) para aprender a conhecer a
influˆencia libertadora da beleza do reino do
esp´ırito, para seu pr´oprio prazer pessoal e para
proveito da comunidade `a qual seu futuro
trabalho pertencer.
Albert Einstein
N
a operac¸
˜
ao di
´
aria de um sistema el
´
etrico de pot
ˆ
encia, o controle freq
¨
uente da operac¸
˜
ao
almejando a operac¸
˜
ao econ
ˆ
omica e segura,
´
e uma tarefa extremamente complexa,
devido as grandes dimens
˜
oes e a complexidade dos sistemas el
´
etricos atuais, envolvendo
um n
´
umero elevado de controles. A decis
˜
ao sobre uma ac¸
˜
ao de controle
´
otima pode ser
tomada de forma eficiente, tanto em modo de planejamento quanto em tempo real, com o
1
2
aux
´
ılio de um programa computacional de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo (FPO), o qual
´
e parte
integrante de um Sistema de Gerenciamento de Energia.
Com a introduc¸
˜
ao de novas tecnologias de monitoramento e controle, e a crescente com-
petitividade no mercado de energia el
´
etrica, o n
´
umero de sistemas el
´
etricos com automac¸
˜
ao
da operac¸
˜
ao vem crescendo continuamente, de forma que os centros de operac¸
˜
ao das em-
presas de energia el
´
etrica necessitam cada vez mais de programas computacionais que
possam analisar a seguranc¸a do sistema e otimizar um objetivo da operac¸
˜
ao em tempo-
real [1, 2], tal como a minimizac¸
˜
ao de perdas el
´
etricas.
Algumas empresas de energia el
´
etrica atualmente disp
˜
oem nos seus centros integrados
de operac¸
˜
ao, de um sistema de monitoramento e controle da operac¸
˜
ao. Um sistema de
monitoramento e controle pode fornecer para um determinado instante de tempo, o estado
e a topologia da rede el
´
etrica em operac¸
˜
ao naquele instante, informac¸
˜
oes que possibilitam
a otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao em tempo-real.
Os programas de seguranc¸a da operac¸
˜
ao existentes nos centros de operac¸
˜
ao podem ser
executados de duas formas: em tempo-real (on-line) ou no modo estudo (off-line).
No modo tempo-real (on-line), o modelo est
´
atico do sistema el
´
etrico sob observac¸
˜
ao
´
e geralmente derivado da sa
´
ıda do estimador de estados, ou seja, do sistema de monitora-
mento e controle da rede. Se o monitoramento da seguranc¸a detecta violac¸
˜
oes de limites
operacionais em tempo real, ent
˜
ao c
´
alculos de controles da seguranc¸a para implementac¸
˜
ao
imediata s
˜
ao necess
´
arios. Portanto, programas para aplicac¸
˜
oes em tempo-real t
ˆ
em uma
necessidade particular por velocidade de processamento e confiabilidade.
No modo estudo (off-line), o modelo est
´
atico do sistema el
´
etrico geralmente representa
uma condic¸
˜
ao de operac¸
˜
ao prevista, gerada automaticamente a partir de padr
˜
oes hist
´
oricos
armazenados, de informac¸
˜
oes recentes de tend
ˆ
encias, e de conhecimentos espec
´
ıficos ou
hip
´
oteses. O principal objetivo dos programas no modo estudo
´
e planejar, para um curto
per
´
ıodo de tempo, a otimalidade e a seguranc¸a futura da operac¸
˜
ao do sistema de pot
ˆ
encia.
Estados de operac¸
˜
ao anteriores que foram armazenados tamb
´
em podem ser estudados.
O objetivo de um programa de FPO utilizado em tempo-real
´
e calcular os controles
do sistema para a sua operac¸
˜
ao num n
´
ıvel de seguranc¸a desejado, enquanto otimiza uma
func¸
˜
ao objetivo tal como a minimizac¸
˜
ao de perdas el
´
etricas na transmiss
˜
ao. O novo ajuste
de controles pode conduzir a operac¸
˜
ao do sistema de um n
´
ıvel de seguranc¸a para outro, ou
3
pode restaurar a otimalidade de um n
´
ıvel de seguranc¸a j
´
a alcanc¸ado.
Os programas de FPO v
ˆ
em sendo projetados para uso interativo com o operador do
sistema, seja no modo tempo-real ou no modo estudo [1, 3]. No modo tempo-real, os
controles calculados, uma vez aceitos, podem ser implementados manualmente ou, onde
poss
´
ıvel, automaticamente: gerac¸
˜
oes e interc
ˆ
ambios s
˜
ao informados ao CAG (controle au-
tom
´
atico da gerac¸
˜
ao), e os outros controles s
˜
ao tratados pelos mecanismos adequados do
controle supervis
´
orio.
De forma ideal, o objetivo final de um processo de otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao em tempo-
real
´
e ter os ajustes otimizados dos controles, que s
˜
ao calculados pelo programa de FPO,
implementados de maneira totalmente autom
´
atica, sem qualquer intervenc¸
˜
ao humana. No
entanto, para atingir esse objetivo,
´
e necess
´
ario que a empresa disponha de meios para
acionamento autom
´
atico de todos os dispositivos de controle da rede, e que haja um ele-
vado grau de confianc¸a na confiabilidade e na precis
˜
ao dos ajustes de controles que s
˜
ao
calculados pelo FPO.
Embora o FPO tenha sido um assunto de intensa pesquisa desde a d
´
ecada de 1960, a
´
ultima palavra sobre modelagem e soluc¸
˜
ao de problemas de FPO ainda n
˜
ao foi escrita [2].
Em especial, no que diz respeito
`
a satisfac¸
˜
ao de diversos requisitos importantes para o
uso de programas de FPO em tempo real, tal como o manuseio de um grande n
´
umero de
vari
´
aveis discretas, garantia de converg
ˆ
encia quando o problema
´
e vi
´
avel (obter a soluc¸
˜
ao
sempre que ela existir), tratamento eficiente dos casos invi
´
aveis, minimizac¸
˜
ao do n
´
umero
de controles modificados, etc. Relativamente h
´
a pouca literatura sobre o tratamento de
requisitos para o uso do FPO em tempo real [4–7]. As pesquisas at
´
e ent
˜
ao concentraram-se
na busca por novos algoritmos de soluc¸
˜
ao do FPO, com foco principalmente na rapidez de
processamento e na modelagem de novos problemas de FPO.
Uma defici
ˆ
encia cr
´
ıtica nas formulac¸
˜
oes cl
´
assicas de FPO e nos m
´
etodos de soluc¸
˜
ao
´
e que o n
´
umero de ac¸
˜
oes de controle obtidas na soluc¸
˜
ao
´
e geralmente muito grande para
ser executado na operac¸
˜
ao real de um sistema, mesmo num controle autom
´
atico em malha
fechada [4]. Uma vez que muitos problemas de FPO est
˜
ao relacionados com mudanc¸as
nos controles com relac¸
˜
ao a valores referenciais iniciais, o n
´
umero de ac¸
˜
oes de controle
implementadas dever
´
a ser limitado
`
as pr
´
aticas reais de operac¸
˜
ao, ou seja, modificar apenas
os controles com efeito significante. Surpreendentemente, a reduc¸
˜
ao do n
´
umero de ac¸
˜
oes
de controle
´
e um problema cr
´
ıtico que tem recebido pouca atenc¸
˜
ao na literatura.
1.1. OBJETIVOS DA PESQUISA 4
V
´
arios controles cujas ac¸
˜
oes s
˜
ao limitadas em n
´
umero s
˜
ao ajust
´
aveis apenas em pas-
sos discretos, e m
´
etodos para lidar com vari
´
aveis discretas tendem a diminuir o n
´
umero de
movimentos dos controles, mantendo os controles discretos de menor import
ˆ
ancia nos seus
valores iniciais [4]. As ac¸
˜
oes de controle n
˜
ao podem ser ordenadas de maneira simples,
porque a import
ˆ
ancia de uma ac¸
˜
ao n
˜
ao est
´
a necessariamente relacionada
`
a sua magnitude.
Adicionalmente, cada controle participa na minimizac¸
˜
ao da func¸
˜
ao objetivo e no atendi-
mento das restric¸
˜
oes, e assim n
˜
ao h
´
a uma maneira de separar esses dois efeitos.
´
E afirmado em [4] que h
´
a pouca esperanc¸a de se desenvolver uma t
´
ecnica r
´
apida para
soluc¸
˜
ao do problema de minimizac¸
˜
ao do n
´
umero de controles, uma vez que trata-se de um
problema inerentemente combinatorial, e o objetivo deve ser desenvolver um bom m
´
etodo
de aproximac¸
˜
ao da soluc¸
˜
ao
´
otima que seja r
´
apido o suficiente para uso pr
´
atico. A avaliac¸
˜
ao
´
e de que
´
e melhor ter soluc¸
˜
oes aproximadamente
´
otimas para problemas realistas do que
soluc¸
˜
oes rigorosamente
´
otimas para problemas irreais. A metodologia recentemente pro-
posta em [8] para reduc¸
˜
ao do n
´
umero de ac¸
˜
oes de controle segue esse racioc
´
ınio.
Mesmo que o objetivo prim
´
ario da otimizac¸
˜
ao de um sistema el
´
etrico seja, por exem-
plo, minimizar perdas ativas na transmiss
˜
ao, no contexto da aplicac¸
˜
ao da ferramenta de
FPO em tempo-real a necessidade de implementar outras func¸
˜
oes objetivos surge natural-
mente. Alguns exemplos de objetivos auxiliares s
˜
ao: (i) minimizac¸
˜
ao do desvio do ponto
de operac¸
˜
ao, (ii) minimizac¸
˜
ao do n
´
umero de controles ajustados, (iii) supress
˜
ao de ajustes
ineficazes, (iv) minimizac¸
˜
ao de violac¸
˜
ao de restric¸
˜
oes, etc.
Por quest
˜
oes de competic¸
˜
ao comercial, metodologias para o tratamento de requisitos
no uso do FPO em tempo-real s
˜
ao incorporadas aos programas comerciais de FPO sem a
divulgac¸
˜
ao das metodologias implementadas na literatura especializada, de forma que h
´
a
pouca literatura abordando o tratamento de requisitos para uso do FPO em tempo-real.
1.1 Objetivos da Pesquisa
Como comentado inicialmente, h
´
a relativamente pouca literatura sobre o tratamento de
requisitos para aplicac¸
˜
ao do FPO em tempo real. Assim, a presente pesquisa de Mestrado
trata desse tema complexo e carente de estudos, sendo norteada pelos seguintes objetivos
principais:
1.2. COMPOSIC¸
˜
AO DA DISSERTAC¸
˜
AO 5
• Realizar um estudo das formulac¸
˜
oes cl
´
assicas de FPO e dos algoritmos de otimizac¸
˜
ao
atualmente empregados na resoluc¸
˜
ao de problemas de FPO;
• Realizar um estudo dos principais requisitos para aplicac¸
˜
oes pr
´
aticas dos progra-
mas computacionais de FPO, em especial para a otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao de sistemas
el
´
etricos em tempo real;
• A partir dos conhecimentos adquiridos no desenvolvimento das duas etapas anteri-
ores, realizar uma an
´
alise detalhada da aplicac¸
˜
ao de um programa de FPO recen-
temente desenvolvido para otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao de um sistema el
´
etrico real de
subtransmiss
˜
ao.
1.2 Composic¸
˜
ao da Dissertac¸
˜
ao
Esta Dissertac¸
˜
ao encontra-se organizada em 6 cap
´
ıtulos, descritos a seguir:
Cap
´
ıtulo 1 Apresentam-se a motivac¸
˜
ao para a pesquisa, a an
´
alise de alguns trabalhos
relacionados com o tema da Dissertac¸
˜
ao e os principais objetivos do trabalho
proposto.
Cap
´
ıtulo 2 S
˜
ao apresentadas a formulac¸
˜
ao geral dos problemas de FPO e algumas for-
mulac¸
˜
oes cl
´
assicas, incluindo a de minimizac¸
˜
ao de perdas ativas na trans-
miss
˜
ao que
´
e considerada neste trabalho.
Cap
´
ıtulo 3 Faz-se uma apresentac¸
˜
ao detalhada e tutorial dos principais algoritmos de
pontos-interiores aplicados na soluc¸
˜
ao de problemas de FPO.
Cap
´
ıtulo 4 Faz-se uma an
´
alise dos requisitos b
´
asicos para aplicac¸
˜
oes pr
´
aticas de progra-
mas de FPO.
Cap
´
ıtulo 5 Apresentam-se os resultados num
´
ericos obtidos com um programa de FPO
na linguagem MATLAB aplicado num sistema real de subtransmiss
˜
ao.
Cap
´
ıtulo 6 Apresentam-se as conclus
˜
oes e as perspectivas de trabalhos futuros.
Anexo A Traz detalhes da implementac¸
˜
ao dos algoritmos de pontos-interiores, em es-
pecial do c
´
alculo eficiente de gradientes e matrizes Hessianas.
1.2. COMPOSIC¸
˜
AO DA DISSERTAC¸
˜
AO 6
Anexo B Faz-se uma descric¸
˜
ao do uso do programa de FPO utilizado, com uma breve
descric¸
˜
ao das rotinas computacionais do programa.
Cap
´
ıtulo 2
Modelos de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo
Os problemas significativos que enfrentamos n˜ao
podem ser resolvidos no mesmo n´ıvel de
pensamento em que est´avamos quando os
criamos.
Albert Einstein
N
a operac¸
˜
ao di
´
aria de um sistema el
´
etrico de pot
ˆ
encia as demandas das cargas por
pot
ˆ
encias ativa e reativa modificam-se constantemente e muitas vezes resultam em
n
´
ıveis de tens
˜
oes que est
˜
ao bem al
´
em dos limites toler
´
aveis, provavelmente violando res-
tric¸
˜
oes de operac¸
˜
ao de equipamentos de consumidores e da pr
´
opria empresa de energia
el
´
etrica. Para corrigir essas condic¸
˜
oes de operac¸
˜
ao inaceit
´
aveis, os operadores do sistema
s
˜
ao constantemente requisitados para controlarem a produc¸
˜
ao, a absorc¸
˜
ao e o fluxo de
7
2.1. FORMA GERAL DO PROBLEMA 8
pot
ˆ
encia em todos os n
´
ıveis do sistema, atrav
´
es do ajuste de diversas vari
´
aveis de con-
trole do sistema, tais como a gerac¸
˜
ao de pot
ˆ
encia ativa e a tens
˜
ao terminal dos geradores,
o tape dos transformadores com dispositivos LTC (comutac¸
˜
ao de tape sob carga), o
ˆ
angulo
de defasagem dos transformadores defasadores, a suscept
ˆ
ancia de capacitores e de reatores
em paralelo, etc.
Devido ao fato de que os sistemas el
´
etricos recebem injec¸
˜
oes de pot
ˆ
encia de v
´
arias uni-
dades de gerac¸
˜
ao, e de que eles suprem pot
ˆ
encia para um grande n
´
umero de cargas que
s
˜
ao dispersas em
´
areas geogr
´
aficas de grandes dimens
˜
oes, a tarefa de manter as tens
˜
oes
dentro dos limites requeridos pode ser bastante complexa. O controle de tens
˜
ao
´
e larga-
mente reconhecido como sendo fortemente relacionado ao controle da pot
ˆ
encia reativa [9].
Por
´
em, face ao elevado n
´
umero de vari
´
aveis de controle que podem ser manipuladas, asso-
ciado com o elevado n
´
umero de restric¸
˜
oes que s
˜
ao impostas sobre a operac¸
˜
ao do sistema, a
selec¸
˜
ao apropriada e a coordenac¸
˜
ao dos equipamentos para exercer esse controle est
´
a entre
os maiores desafios da engenharia de pot
ˆ
encia.
No entanto, essa tarefa pode ser eficientemente executada por programas de Fluxo de
Pot
ˆ
encia
´
Otimo (FPO) existentes nos centros de controle do sistema el
´
etrico, seja de forma
totalmente autom
´
atica ou como ferramenta de aux
´
ılio a tomada de decis
˜
ao pelo operador.
O FPO
´
e uma sofisticada ferramenta computacional que se utiliza de t
´
ecnicas avanc¸adas de
otimizac¸
˜
ao na determinac¸
˜
ao do estado operativo
´
otimo do sistema, minimizando ou maxi-
mizando um determinado
´
ındice de desempenho do sistema enquanto satisfaz um conjunto
de restric¸
˜
oes impostas sobre a operac¸
˜
ao.
2.1 Forma Geral do Problema
V
´
arios problemas de FPO podem ser expressos na seguinte forma geral de um problema de
programac¸
˜
ao n
˜
ao-linear:
Minimize f (x) (2.1a)
sujeito a g(x) = 0 (2.1b)
l ≤ x ≤ u (2.1c)
em que:
2.1. FORMA GERAL DO PROBLEMA 9
• x ∈ R
n
´
e um vetor com as vari
´
aveis de decis
˜
ao expl
´
ıcitas, incluindo as vari
´
aveis de
controle (magnitude das tens
˜
oes das barras de gerac¸
˜
ao, tapes dos transformadores
com LTC, compensac¸
˜
ao de reativos em paralelo, pot
ˆ
encia ativa dos geradores, fator
de carregamento, etc) e as vari
´
aveis dependentes que n
˜
ao s
˜
ao func¸
˜
oes (
ˆ
angulo de
fase das tens
˜
oes, magnitude das tens
˜
oes das barras de carga, pot
ˆ
encia reativa dos
geradores, etc);
• f : R
n
→ R
´
e a func¸
˜
ao escalar que representa um dado objetivo de otimizac¸
˜
ao
da operac¸
˜
ao ou do planejamento do SEP, tal como o custo da gerac¸
˜
ao, perdas de
pot
ˆ
encia no sistema de transmiss
˜
ao, corte de carga para tornar operativo um sistema
n
˜
ao operativo, etc;
• g : R
n
→ R
m
´
e um vetor n
˜
ao-linear que cont
´
em as equac¸
˜
oes usuais de balanc¸o de
pot
ˆ
encia nas barras, ocasionalmente aumentado por algumas restric¸
˜
oes especiais de
igualdades, tal como o controle do fluxo de pot
ˆ
encia entre sistemas numa operac¸
˜
ao
em pool, ou fluxos que s
˜
ao estabelecidos em um determinado valor, etc;
• l ∈ R
n
e u ∈ R
n
s
˜
ao vetores de limites m
´
ınimos e m
´
aximos sobre as vari
´
aveis x,
correspondentes a limites f
´
ısicos de equipamentos e limites operacionais do sistema.
Em vez de minimizar, o objetivo pode ser de maximizar uma func¸
˜
ao. Dentre os objeti-
vos usualmente utilizados, encontram-se:
• Minimiza¸c˜ao de custos de gera¸c˜ao: minimiza o custo da gerac¸
˜
ao da pot
ˆ
encia ativa
para a configurac¸
˜
ao base da rede el
´
etrica enquanto assegura a viabilidade nas configu-
rac¸
˜
oes de conting
ˆ
encias;
• Minimiza¸c˜ao de perdas ativas: minimiza as perdas ativas na configurac¸
˜
ao base en-
quanto assegura a viabilidade nas configurac¸
˜
oes de conting
ˆ
encias;
• Minimiza¸c˜ao de corte de carga: minimiza o corte de carga para corrigir violac¸
˜
oes de
restric¸
˜
oes operacionais tais como sobrecargas em circuitos, problemas de tens
˜
ao, etc,
no caso base e nas configurac¸
˜
oes de conting
ˆ
encias;
• Minimiza¸c˜ao do movimento de vari´aveis de controle: determina o menor n
´
umero de
dispositivos de controle a serem ajustados de forma a corrigir violac¸
˜
oes de restric¸
˜
oes
operacionais;
2.1. FORMA GERAL DO PROBLEMA 10
• Maximiza¸c˜ao do fluxo de potˆencia ativa em um conjunto de circuitos: maximiza
o fluxo de pot
ˆ
encia ativa atrav
´
es de um conjunto de circuitos na configurac¸
˜
ao base
enquanto assegura a viabilidade nas configurac¸
˜
oes de conting
ˆ
encias;
• Maximiza¸c˜ao da carga em um conjunto de barras: maximiza a carga num conjunto
de barras, mantendo o mesmo fator de pot
ˆ
encia da carga e a viabilidade no caso base
e configurac¸
˜
oes de conting
ˆ
encias;
• Maximiza¸c˜ao da potˆencia transferida entre duas barras: maximiza a pot
ˆ
encia trans-
ferida entre duas barras, mantendo a viabilidade no caso base e configurac¸
˜
oes de
conting
ˆ
encias.
Para otimizar (minimizar ou maximizar) a func¸
˜
ao objetivo especificada, as seguintes
vari
´
aveis de controle podem ser utilizadas:
• Pot
ˆ
encia reativa de bancos de capacitores e indutores chave
´
aveis, de compensadores
s
´
ıncronos, de compensadores est
´
aticos, etc;
• Tapes dos transformadores com dispositivo LTC;
• Tens
˜
ao terminal dos geradores;
• Pot
ˆ
encia ativa dos geradores;
•
ˆ
Angulo dos defasadores controlando fluxo de pot
ˆ
encia ativa;
• Corte de carga, etc.
O conjunto de restric¸
˜
oes geralmente
´
e constitu
´
ıdo por:
• Limites (m
´
aximos e m
´
ınimos) sobre as tens
˜
oes das barras;
• Limites sobre os fluxos nos circuitos (MVA, MW e/ou MVAr);
• Limites sobre os tapes dos transformadores com dispositivo LTC;
• Limites sobre os
ˆ
angulos dos defasadores;
• Limites sobre as gerac¸
˜
oes de pot
ˆ
encia ativa e pot
ˆ
encia reativa;
2.2. EQUAC¸
˜
OES B
´
ASICAS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 11
• Limites sobre as injec¸
˜
oes de pot
ˆ
encia reativa de fontes em paralelo control
´
aveis;
• Interc
ˆ
ambio de pot
ˆ
encia ativa e reativa entre
´
areas, etc.
Al
´
em do caso base, a soluc¸
˜
ao pode contemplar a operac¸
˜
ao do sistema sob conting
ˆ
encias,
tais como:
• Perda de circuito (linha de transmiss
˜
ao ou transformador);
• Perda de barramento;
• Perda de gerador;
• Adic¸
˜
ao de circuito (reconfigurac¸
˜
ao), etc.
Idealmente, a formulac¸
˜
ao de FPO deve permitir a definic¸
˜
ao de controles e limites dife-
rentes na condic¸
˜
ao base e nas configurac¸
˜
oes de conting
ˆ
encias.
2.2 Equac¸
˜
oes B
´
asicas de Fluxo de Pot
ˆ
encia
De fundamental import
ˆ
ancia para a formulac¸
˜
ao matem
´
atica de uma ampla variedade de
problemas de FPO s
˜
ao as equac¸
˜
oes b
´
asicas do problema de fluxo de pot
ˆ
encia tradicional,
ou seja, o fluxo de pot
ˆ
encia n
˜
ao-otimizado. Para o desenvolvimento dessas equac¸
˜
oes s
˜
ao
apresentados inicialmente os modelos de dois componentes b
´
asicos da rede el
´
etrica: as
linhas de transmiss
˜
ao e os transformadores. No caso de transformadores,
´
e apresentado um
modelo bastante geral, que modela at
´
e os sofisticados transformadores defasadores.
Considerando que a implementac¸
˜
ao computacional do programa de FPO utilizado nesta
Dissertac¸
˜
ao
´
e feita no ambiente MATLAB, e que as operac¸
˜
oes em MATLAB s
˜
ao mais efi-
cientemente realizadas em termos de vari
´
aveis complexas, em especial, matrizes e vetores
complexos,
ˆ
enfase especial
´
e dada ao desenvolvimento das express
˜
oes matem
´
aticas em
termos de grandezas complexas.
2.2.1 Fluxos de Correntes e Pot
ˆ
encias nos Circuitos
Linhas de Transmiss
˜
ao: Nos estudos de fluxo de pot
ˆ
encia as linhas de transmiss
˜
ao s
˜
ao
geralmente modeladas pelo circuito Π ilustrado na Figura 2.1, em que
y
i j
= g
i j
+ jb
i j
2.2. EQUAC¸
˜
OES B
´
ASICAS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 12
representa a admit
ˆ
ancia s
´
erie da linha, e
y
sh
i j
= jb
sh
i j
representa o efeito do carregamento
capacitivo da linha (metade do carregamento total concentrado em cada terminal).
Figura 2.1: Representac¸
˜
ao geral de linhas de transmiss
˜
ao.
Deduz-se, da Figura 2.1, que a corrente complexa que flui do n
´
o i para o n
´
o j
´
e dada
por:
I
i j
=
y
sh
i j
V
i
+
y
i j
V
i
−
V
j
= (
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
i
−
y
i j
V
j
(2.2)
Analogamente, a corrente complexa que flui do n
´
o j para o n
´
o i
´
e calculada por:
I
ji
=
y
sh
i j
V
j
+
y
i j
V
j
−
V
i
= −
y
i j
V
i
+ (
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
j
(2.3)
Matricialmente, temos a relac¸
˜
ao entre os fluxos de correntes
I
i j
e
I
ji
e as tens
˜
oes de n
´
os
V
i
e
V
j
dada por:
I
i j
I
ji
=
(
y
i j
+
y
sh
i j
) −
y
i j
−
y
i j
(
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
i
V
j
. (2.4)
A pot
ˆ
encia complexa que flui do n
´
o i para o n
´
o j
´
e calculada por:
S
i j
=
V
i
I
∗
i j
=
V
i
(
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
i
−
y
i j
V
j
∗
=
V
i
y
i j
(
V
i
−
V
j
) +
y
sh
i j
V
i
∗
(2.5)
2.2. EQUAC¸
˜
OES B
´
ASICAS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 13
A pot
ˆ
encia complexa que flui do n
´
o j para o n
´
o i
´
e calculada por:
S
ji
=
V
j
I
∗
ji
=
V
j
−
y
i j
V
i
+ (
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
j
∗
=
V
j
y
i j
(
V
j
−
V
i
) +
y
sh
i j
V
j
∗
(2.6)
Matricialmente, temos a relac¸
˜
ao entre os fluxos de pot
ˆ
encias complexas e as tens
˜
oes de n
´
os
dada por:
S
i j
S
ji
=
V
i
0
0
V
j
(
y
i j
+
y
sh
i j
) −
y
i j
−
y
i j
(
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
i
V
j
∗
. (2.7)
Transformadores em Fase e Defasadores: Uma representac¸
˜
ao geral de transformadores
(em-fase e defasadores)
´
e ilustrada na Figura 2.2, a qual consiste de uma admit
ˆ
ancia s
´
erie
y
i j
e um auto-transformador ideal com relac¸
˜
ao de transformac¸
˜
ao complexa na forma 1 :
t
i j
,
ou seja, o tape
t
i j
no lado da admit
ˆ
ancia s
´
erie. Temos que
t
i j
= t
i j
e
jφ
i j
, sendo φ
i j
= 0 no
caso de transformadores em-fase.
Figura 2.2: Representac¸
˜
ao geral de transformadores.
Para a representac¸
˜
ao de transformadores da Figura 2.2, na qual o tape est
´
a do lado da
admit
ˆ
ancia s
´
erie
y
i j
, a relac¸
˜
ao entre as tens
˜
oes dos n
´
os terminais do transformador ideal
´
e
como segue:
V
s
V
i
=
t
i j
(2.8)
Uma vez que as pot
ˆ
encias complexas na entrada e na sa
´
ıda do transformador ideal devem
ser iguais, temos ent
˜
ao que
V
i
I
∗
i j
+
V
s
I
∗
ji
= 0 (2.9)
Podemos agora, a partir das relac¸
˜
oes (2.8) e (2.9), deduzir a relac¸
˜
ao entre as correntes
2.2. EQUAC¸
˜
OES B
´
ASICAS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 14
complexas
I
i j
e
I
ji
injetadas nos terminais do transformador, como
I
i j
I
ji
= −
V
∗
s
V
∗
i
= −
t
∗
i j
(2.10)
Podemos deduzir, da Figura 2.2, que a corrente complexa que flui do n
´
o j para o n
´
o i
´
e
dada por
I
ji
=
y
i j
V
j
−
V
s
(2.11)
Utilizando as express
˜
oes (2.10) e (2.11), calculamos a corrente complexa que flui do n
´
o i
para o n
´
o j como
I
i j
= −
t
∗
i j
I
ji
= −
t
∗
i j
y
i j
V
j
−
V
s
(2.12)
Matricialmente, temos a relac¸
˜
ao entre os fluxos de correntes e as tens
˜
oes dos n
´
os terminais
na forma
I
i j
I
ji
=
(
t
i j
t
∗
i j
)
y
i j
−
t
∗
i j
y
i j
−
t
i j
y
i j
y
i j
V
i
V
j
. (2.13)
A pot
ˆ
encia complexa que flui do n
´
o i para o n
´
o j
´
e calculada por:
S
i j
=
V
i
I
∗
i j
=
V
i
−
t
∗
i j
y
i j
V
j
−
V
s
∗
=
V
s
y
i j
V
s
−
V
j
∗
(2.14)
A pot
ˆ
encia complexa que flui do n
´
o j para o n
´
o i
´
e calculada por:
S
ji
=
V
j
I
∗
ji
=
V
j
y
i j
V
j
−
V
s
∗
(2.15)
Matricialmente, temos a relac¸
˜
ao entre os fluxos de pot
ˆ
encias complexas e as tens
˜
oes de n
´
os
na forma
S
i j
S
ji
=
V
i
0
0
V
j
(
t
i j
t
∗
i j
)
y
i j
−
t
∗
i j
y
i j
−
t
i j
y
i j
y
i j
V
i
V
j
∗
. (2.16)
2.2. EQUAC¸
˜
OES B
´
ASICAS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 15
Equac¸
˜
oes Gerais de Fluxos: Comparando-se as equac¸
˜
oes de transformadores (2.13) e
(2.16) com as equac¸
˜
oes de linhas de transmiss
˜
ao (2.4) e (2.7), podemos deduzir as seguintes
equac¸
˜
oes gerais de fluxos de correntes e de pot
ˆ
encias complexas:
I
i j
I
ji
=
(
t
i j
t
∗
i j
y
i j
+
y
sh
i j
) −
t
∗
i j
y
i j
−
t
i j
y
i j
(
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
i
V
j
(2.17)
S
i j
S
ji
=
V
i
0
0
V
j
(
t
i j
t
∗
i j
y
i j
+
y
sh
i j
) −
t
∗
i j
y
i j
−
t
i j
y
i j
(
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
i
V
j
∗
. (2.18)
em que:
• t
i j
= 1 e φ
i j
= 0, no caso de linhas de transmiss
˜
ao;
•
y
sh
i j
= 0 e φ
i j
= 0, no caso de transformadores em fase;
•
y
sh
i j
= 0 e t
i j
= 1, no caso de defasadores puros; e
•
y
sh
i j
= 0, no caso de transformadores defasadores.
2.2.2 Injec¸
˜
oes de Pot
ˆ
encias nos N
´
os
A pot
ˆ
encia l
´
ıquida injetada numa barra
´
e definida como sendo a diferenc¸a entre a gerac¸
˜
ao
total e a carga total naquela barra. Essa pot
ˆ
encia vem a ser tamb
´
em a soma das pot
ˆ
encias
que fluem nos circuitos que tem aquela barra como um de seus terminais. Ou seja,
S
i
=
S
G
i
−
S
D
i
=
j
S
ji
+
k
S
ik
(2.19)
A pot
ˆ
encia complexa l
´
ıquida injetada no n
´
o i
´
e calculada tamb
´
em por
S
i
=
V
i
I
∗
i
(2.20)
em que
I
i
´
e a corrente l
´
ıquida injetada no n
´
o i, ou seja, a i-
´
esima componente no vetor
I da
equac¸
˜
ao de rede:
Y
V =
I (2.21)
2.2. EQUAC¸
˜
OES B
´
ASICAS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 16
Temos ent
˜
ao de (2.20) e (2.21) que as pot
ˆ
encias complexas l
´
ıquidas injetadas nos n
´
os i e j
s
˜
ao calculadas por
S
i
=
V
i
k∈I
Y
ik
V
k
∗
(2.22)
S
j
=
V
j
k∈J
Y
jk
V
k
∗
(2.23)
em que
Y
jk
e
Y
ik
s
˜
ao elementos da matriz admit
ˆ
ancia de n
´
o
Y; I
´
e o conjunto das barras
adjacentes
`
a barra i, incluindo a pr
´
opria barra i; e J
´
e o conjunto das barras adjacentes
`
a
barra j, incluindo a pr
´
opria barra j.
Admitindo que as barras i e j s
˜
ao interligadas, seja por linhas de transmiss
˜
ao ou por
transformadores, explicitando em (2.22) e (2.23) os termos das tens
˜
oes dessas barras,
V
i
e
V
j
, obtemos
S
i
=
V
i
Y
ii
V
i
+
Y
i j
V
j
+
(ki, j)∈I
Y
ik
V
k
∗
(2.24)
S
j
=
V
j
Y
ji
V
i
+
Y
j j
V
j
+
(ki, j)∈J
Y
jk
V
k
∗
(2.25)
Considerando que
Y
0
ii
,
Y
0
i j
,
Y
0
ji
e
Y
0
j j
, denotam elementos da matriz admit
ˆ
ancia de n
´
o antes da
inclus
˜
ao do circuito-i j (que pode ser uma linha ou um transformador), temos que a inclus
˜
ao
do circuito-i j (que assumimos ser um transformador) modifica as equac¸
˜
oes de injec¸
˜
oes de
pot
ˆ
encia da forma
S
i
=
V
i
Y
0
ii
+
t
i j
t
∗
i j
y
i j
+
y
sh
i j
V
i
+
Y
0
i j
−
t
∗
i j
y
i j
V
j
+
(ki, j)∈I
Y
ik
V
k
∗
(2.26)
S
j
=
V
j
Y
0
ji
−
t
i j
y
i j
V
i
+ (
Y
0
j j
+
y
i j
+
y
sh
i j
)
V
j
+
(ki, j)∈J
Y
jk
V
k
∗
(2.27)
2.2. EQUAC¸
˜
OES B
´
ASICAS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 17
2.2.3 Equac¸
˜
oes de Balanc¸o de Pot
ˆ
encia
As formulac¸
˜
oes matem
´
aticas dos problemas de FPO fazem uso das equac¸
˜
oes de balanc¸o
de pot
ˆ
encia ativa e pot
ˆ
encia reativa nas barras do sistema. Faz-se necess
´
aria, portanto,
a identificac¸
˜
ao das componentes real (pot
ˆ
encia ativa) e imagin
´
aria (pot
ˆ
encia reativa) das
injec¸
˜
oes de pot
ˆ
encia complexa nas barras. Uma vez que
S
i
= P
i
+ jQ
i
(2.28)
as injec¸
˜
oes l
´
ıquidas de pot
ˆ
encia ativa (P
i
= {
S
i
}) e de pot
ˆ
encia reativa (Q
i
= {
S
i
}) s
˜
ao
dadas por
P
i
= V
i
j∈I
V
j
(G
i j
cos(θ
i
−θ
j
) + B
i j
sin(θ
i
−θ
j
)) (2.29)
Q
i
= V
i
j∈I
V
j
(G
i j
sin(θ
i
−θ
j
) − B
i j
cos(θ
i
−θ
j
)) (2.30)
em que V
i
e θ
i
s
˜
ao, respectivamente, a magnitude e o
ˆ
angulo de fase da tens
˜
ao complexa
da barra i,
V
i
= V
i
e
jθ
i
, G
i j
´
e o elemento i j da matriz condut
ˆ
ancia de barra G, e B
i j
´
e o
elemento i j da matriz suscept
ˆ
ancia de barra B. Os tapes de transformadores est
˜
ao presentes
implicitamente em elementos das matrizes G e B.
Uma vez que
S
i j
= P
i j
+ jQ
i j
(2.31)
os fluxos de pot
ˆ
encia ativa, P
i j
= {
S
i j
}, e de pot
ˆ
encia reativa, Q
i j
= {
S
i j
}, no sentido
do n
´
o i para o n
´
o j, s
˜
ao calculados por
P
i j
= V
2
i
g
i j
−V
i
V
j
g
i j
cos(θ
i
−θ
j
) −V
i
V
j
b
i j
sin(θ
i
−θ
j
) (2.32)
Q
i j
= −V
2
i
(b
i j
+ b
sh
i j
) + V
i
V
j
b
i j
cos(θ
i
−θ
j
) −V
i
V
j
g
i j
sin(θ
i
−θ
j
) (2.33)
e no sentido do n
´
o j para o n
´
o i, por
P
ji
= V
2
j
g
i j
−V
i
V
j
g
i j
cos(θ
i
−θ
j
) + V
i
V
j
b
i j
sin(θ
i
−θ
j
) (2.34)
Q
ji
= −V
2
j
(b
i j
+ b
sh
i j
) + V
i
V
j
b
i j
cos(θ
i
−θ
j
) + V
i
V
j
g
i j
sin(θ
i
−θ
j
) (2.35)
2.3. MODELOS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA
´
OTIMO 18
em que g
i j
, b
i j
e b
sh
i j
s
˜
ao, respectivamente, a condut
ˆ
ancia s
´
erie, a suscept
ˆ
ancia s
´
erie e a
suscept
ˆ
ancia em paralelo do circuito-i j. A partir dos fluxos de pot
ˆ
encia ativa (2.32) e
(2.34), em sentidos opostos, calcula-se a perda de pot
ˆ
encia ativa no circuito i j como
P
i j
+ P
ji
= g
i j
(V
2
i
+ V
2
j
−2V
i
V
j
cos(θ
i
−θ
j
)). (2.36)
As perdas ativas globais no sistema de transmiss
˜
ao, P
perdas
, s
˜
ao calculadas como a soma
das perdas ativas em todos os circuitos do sistema, ou seja,
P
perdas
=
(i, j)∈B
g
i j
(V
2
i
+ V
2
j
−2V
i
V
j
cos(θ
i
−θ
j
)). (2.37)
As equac¸
˜
oes (2.29) a (2.37) formam a base para o desenvolvimento dos modelos de FPO.
2.3 Modelos de Fluxo de Pot
ˆ
encia
´
Otimo
Problemas de FPO podem ser matematicamente formulados de v
´
arias maneiras. Nesta
sec¸
˜
ao s
˜
ao apresentadas as formulac¸
˜
oes em quatro variantes importantes nessa ampla fam
´
ılia
de problemas de otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao: (a) minimizac¸
˜
ao de perdas ativas no sistema
de transmiss
˜
ao, conhecido como despacho
´
otimo da pot
ˆ
encia reativa; (b) minimizac¸
˜
ao do
corte de carga; (c) maximizac¸
˜
ao da capacidade de carregamento; e (d) maximizac¸
˜
ao da
capacidade de transfer
ˆ
encia simult
ˆ
anea da pot
ˆ
encia.
Os seguintes conjuntos de
´
ındices s
˜
ao utilizados neste cap
´
ıtulo: representa-se por N o
conjunto de todas as barras do sistema, por
N, o conjunto de todas as barras exceto a barra
de folga, por G, o conjunto de barras de gera¸c˜ao, por F, o conjunto de barras de carga
com fontes de reativos em paralelo fixas e por C, o conjunto de barras de carga candidatas
ao controle da pot
ˆ
encia reativa. As seguintes relac¸
˜
oes entre conjuntos s
˜
ao observadas:
N = G ∪ F ∪ C e G ∩ F = G ∩ C = F ∩ C = ∅. Representa-se por N
i
o conjunto de
todas as barras eletricamente vizinhas a barra i, ou seja, que est
˜
ao diretamente conectadas
a barra i. O conjunto de pares de
´
ındices ordenados
B = {(i, j) | i ∈ N, j ∈ N
i
e j > i}
´
e definido como sendo o conjunto dos pares de barras terminais de todos os ramos (linhas
2.3. MODELOS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA
´
OTIMO 19
de transmiss
˜
ao e transformadores) do sistema. Define-se T ⊂ B como o conjunto das
barras terminais (i, j) dos transformadores com dispositivo LTC.
2.3.1 Minimizac¸
˜
ao de Perdas Ativas na Transmiss
˜
ao
O problema de minimizac¸
˜
ao de perda ativa na transmiss
˜
ao, como formulado nesta sec¸
˜
ao,
apresenta como restric¸
˜
oes: as equac¸
˜
oes b
´
asicas de balanc¸o de pot
ˆ
encia ativa e reativa nas
barras; os limites de operac¸
˜
ao em relac¸
˜
ao aos n
´
ıveis de tens
˜
oes em todas as barras; os
limites de operac¸
˜
ao em relac¸
˜
ao a gerac¸
˜
ao de pot
ˆ
encia reativa pelos geradores; e os limites
f
´
ısicos das suscept
ˆ
ancias em paralelo e dos tapes dos transformadores com LTC.
Assume-se que as injec¸
˜
oes de pot
ˆ
encia ativa em todas as barras do sistema, exceto a
barra de folga, s
˜
ao conhecidas e permanecem fixas nos valores definidos pelo despacho
econ
ˆ
omico (DE) de gerac¸
˜
ao, ou seja, as gerac¸
˜
oes de pot
ˆ
encia ativa n
˜
ao s
˜
ao consideradas
como vari
´
aveis do problema. As vari
´
aveis de controle (aquelas que podem ser diretamente
manipuladas pelo operador) s
˜
ao: as tens
˜
oes terminais dos geradores, as suscept
ˆ
ancias em
paralelo dos capacitores e reatores, e os tapes dos transformadores com dispositivo LTC.
As vari
´
aveis de estado ou dependentes s
˜
ao: as tens
˜
oes nas barras de carga, o
ˆ
angulo de fase
das tens
˜
oes nodais, e a pot
ˆ
encia reativa dos geradores.
De forma compacta, o problema de minimizac¸
˜
ao de perdas ativas no sistema de trans-
miss
˜
ao pode ser matematicamente expresso como segue:
Minimize P
perdas
(V, θ, t)
sujeito a P
i
(V, θ, t) + P
D
i
(V
i
) − P
G
i
= 0, para i ∈ N
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
= 0, para i ∈ G
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
= 0, para i ∈ F
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
−b
sh
i
V
2
i
= 0, para i ∈ C
F
i j
(V, θ, t) − F
i j
= 0, {(i, j)} ⊆ B
V
min
i
≤ V
i
≤ V
max
i
, para i ∈ N
t
min
i j
≤ t
i j
≤ t
max
i j
, {(i, j)} ⊆ T
P
min
i
≤ P
G
i
≤ P
max
i
, para i ∈ G
Q
min
i
≤ Q
G
i
≤ Q
max
i
, para i ∈ G
b
min
i
≤ b
sh
i
≤ b
max
i
, para i ∈ C
F
min
i j
≤ F
i j
≤ F
max
i j
, {(i, j)} ⊆ B
(2.38)
2.3. MODELOS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA
´
OTIMO 20
em que P
perdas
(V, θ, t), P
i
(V, θ, t) e Q
i
(V, θ, t) s
˜
ao as func¸
˜
oes perdas el
´
etricas, injec¸
˜
ao
l
´
ıquida de pot
ˆ
encia ativa e injec¸
˜
ao l
´
ıquida de pot
ˆ
encia reativa, calculadas pelas express
˜
oes
(2.37), (2.29) e (2.30), respectivamente. P
D
i
(V
i
) e Q
D
i
(V
i
) s
˜
ao as demandas de pot
ˆ
encias
ativa e reativa na barra i, respectivamente, as quais admitimos poderem variar com o
m
´
odulo da tens
˜
ao da barra, segundo o modelo ZIP de carga [10]:
P
D
i
(V
i
) =
a
p
+ b
p
V
i
+ c
p
V
2
i
P
nom
i
(2.39)
Q
D
i
(V
i
) =
a
q
+ b
q
V
i
+ c
q
V
2
i
Q
nom
i
(2.40)
em que a + b + c = 1, e P
nom
i
e Q
nom
i
s
˜
ao as demandas na tens
˜
ao nominal V
i
= 1 p.u.
A vari
´
avel F
i j
representa o fluxo no ramo i j, seja de pot
ˆ
encia aparente, pot
ˆ
encia ativa,
pot
ˆ
encia reativa ou de corrente. Observe que, para reduzir o n
´
umero de restric¸
˜
oes do pro-
blema, s
˜
ao incluidas restric¸
˜
oes de limites de fluxos apenas num subconjunto dos ramos,
aqueles considerados mais cr
´
ıticos e com maior possibilidade de violac¸
˜
ao.
O primeiro grupo de restric¸
˜
oes de igualdade imp
˜
oe o balanc¸o de pot
ˆ
encia ativa nas
barras do sistema, exceto a barra de folga, enquanto o segundo, terceiro e quarto grupos de
restric¸
˜
oes imp
˜
oem o balanc¸o de pot
ˆ
encia reativa nas barras de gerac¸
˜
ao, nas barras de carga
com reativo fixo, e nas barras de carga com reativo control
´
avel, respectivamente. A quinta
restric¸
˜
ao de igualdade juntamente o
´
ultimo conjunto de restric¸
˜
oes de desigualdade imp
˜
oe os
limites de carregamento nos circuitos selecionados. Outras restric¸
˜
oes de igualdade podem
ser incorporadas
`
a formulac¸
˜
ao, como restric¸
˜
oes de controle de interc
ˆ
ambio entre
´
areas.
As desigualdades representam os limites f
´
ısicos sobre as suscept
ˆ
ancias em paralelo
e os tapes dos transformadores com LTC, e os limites operacionais em relac¸
˜
ao ao n
´
ıvel
das tens
˜
oes representam a gerac¸
˜
ao de reativos pelos geradores e os fluxos nas linhas e
nos transformadores. Observe que as equac¸
˜
oes b
´
asicas do problema de fluxo de pot
ˆ
encia
tradicional (n
˜
ao-otimizado) fazem parte do conjunto de restric¸
˜
oes do problema (2.38).
Alternativamente, pode-se definir uma func¸
˜
ao objetivo que considere as perdas ativas
apenas em uma certa
´
area do sistema, como segue:
Minimize
(i, j)∈Ω
P
i j
+ P
ji
,
em que Ω
´
e o conjunto dos
´
ındices das barras terminais dos circuitos que definem a
´
area de
2.3. MODELOS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA
´
OTIMO 21
interesse onde as perdas devem ser minimizadas. Alternativamente, pode-e definir a func¸
˜
ao
objetivo como sendo as perdas reativas no sistema ou em uma certa
´
area do sistema. Essa
func¸
˜
ao tem v
´
arios efeitos ben
´
eficos [1]. Ela quase minimiza as perdas ativas, mant
´
em o
perfil de tens
˜
oes plano e quase maximiza as reservas de pot
ˆ
encia reativa dos geradores.
2.3.2 Minimizac¸
˜
ao do Corte de Carga
Em v
´
arias situac¸
˜
oes na operac¸
˜
ao de um sistema de pot
ˆ
encia, esquemas de cortes de carga
s
˜
ao utilizados para reduzir a carga atual do sistema para um n
´
ıvel que possa ser suprido
com seguranc¸a pela gerac¸
˜
ao e pela topologia da rede dispon
´
ıvel. Esse tipo de situac¸
˜
ao
pode ocorrer, por exemplo, quando um sistema fortemente carregado
´
e submetido
`
a perda
de um equipamento importante, tal como uma linha de transmiss
˜
ao, um transformador ou
um gerador, de maneira tal que ele n
˜
ao pode mais suprir toda a demanda da carga com a
gerac¸
˜
ao e a rede de transmiss
˜
ao p
´
os-conting
ˆ
encia.
O problema de minimizac¸
˜
ao do corte de carga consiste em determinar o corte m
´
ınimo
da carga que
´
e necess
´
ario para restaurar a viabilidade da operac¸
˜
ao (atender limites que
est
˜
ao sendo violados), ou mesmo para restaurar a solvabilidade das equac¸
˜
oes de balan-
c¸o de pot
ˆ
encia nas barras as quais, sem uma reduc¸
˜
ao na carga, n
˜
ao teriam soluc¸
˜
ao. Uma
formulac¸
˜
ao poss
´
ıvel para esse problema, entre v
´
arias poss
´
ıveis,
´
e como segue:
Minimize τ
sujeito a P
i
(V, θ, t) + P
0
D
i
(V
i
)(1 −τ) − P
G
i
= 0, para i ∈ N
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 −τ) − Q
G
i
= 0, para i ∈ G
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 −τ) − Q
G
i
= 0, para i ∈ F
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 −τ) − Q
G
i
−b
sh
i
V
2
i
= 0, para i ∈ C
F
i j
(V, θ, t) − F
i j
= 0, {(i, j)} ⊆ B
V
min
i
≤ V
i
≤ V
max
i
, para i ∈ N
t
min
i j
≤ t
i j
≤ t
max
i j
, {(i, j)} ⊆ T
P
min
i
≤ P
G
i
≤ P
max
i
, para i ∈ G
Q
min
i
≤ Q
G
i
≤ Q
max
i
, para i ∈ G
b
min
i
≤ b
sh
i
≤ b
max
i
, para i ∈ C
F
min
i j
≤ F
i j
≤ F
max
i j
, {(i, j)} ⊆ B
(2.41)
2.3. MODELOS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA
´
OTIMO 22
em que τ
´
e o fator de corte de carga nas barras, e P
0
D
i
e Q
0
D
i
s
˜
ao as demandas originais das
pot
ˆ
encias ativa e reativa, ou seja, as demandas anteriores
`
a ocorr
ˆ
encia da conting
ˆ
encia.
Observe que a formulac¸
˜
ao do problema de corte de carga
´
e relativamente simples e
pouco difere da formulac¸
˜
ao para minimizac¸
˜
ao de perdas el
´
etricas, principalmente com
relac¸
˜
ao ao conjunto de restric¸
˜
oes, o que facilita a sua implementac¸
˜
ao a partir de um pro-
grama existente para minimizac¸
˜
ao de perdas. A diferenc¸a b
´
asica est
´
a na multiplicac¸
˜
ao da
pot
ˆ
encia da carga pelo fator de corte da carga a ser minimizado. Assim, um novo perfil de
carga pode ser determinado de forma que os limites operacionais sejam atendidos com o
menor corte de carga poss
´
ıvel.
Observe ainda que essa formulac¸
˜
ao considera que o mesmo percentual de corte de carga
´
e aplicado a todas as barras do sistema, o que pode ser impratic
´
avel, uma vez que a
´
area
mais cr
´
ıtica do sistema que
´
e a diretamente afetada pela conting
ˆ
encia poder
´
a requerer um
percentual de carga bem maior do que o necess
´
ario em outras barras/
´
areas do sistema. Al
´
em
do fator de corte comum, o mesmo est
´
a presente em todas as barras do sistema, enquanto
na pr
´
atica ocorre somente em determinados conjuntos de barras.
Para diferenciar os consumidores no evento de um corte de carga, pode-se considerar a
formulac¸
˜
ao:
Minimize
i∈N
w
i
τ
i
sujeito a P
i
(V, θ, t) + P
0
D
i
(V
i
)(1 −τ
i
) − P
G
i
= 0, para i ∈ N
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 −τ
i
) − Q
G
i
= 0, para i ∈ G
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 −τ
i
) − Q
G
i
= 0, para i ∈ F
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 −τ
i
) − Q
G
i
−b
sh
i
V
2
i
= 0, para i ∈ C
F
i j
(V, θ, t) − F
i j
= 0, {(i, j)} ⊆ B
V
min
i
≤ V
i
≤ V
max
i
, para i ∈ N
t
min
i j
≤ t
i j
≤ t
max
i j
, {(i, j)} ⊆ T
P
min
i
≤ P
G
i
≤ P
max
i
, para i ∈ G
Q
min
i
≤ Q
G
i
≤ Q
max
i
, para i ∈ G
b
min
i
≤ b
sh
i
≤ b
max
i
, para i ∈ C
F
min
i j
≤ F
i j
≤ F
max
i j
, {(i, j)} ⊆ B
(2.42)
em que w
i
´
e um coeficiente de ponderac¸
˜
ao da import
ˆ
ancia da barra i no corte de carga.
2.3. MODELOS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA
´
OTIMO 23
Observa-se nas formulac¸
˜
oes (2.41) e (2.42) que o mesmo par
ˆ
ametro de corte de carga, τ
ou τ
i
,
´
e utilizado para o corte da carga ativa P
0
D
i
e da carga reativa Q
0
D
i
. Isso significa que o
fator de pot
ˆ
encia das cargas permanecer
´
a constante. Todavia, pode-se facilmente modelar
o corte com modificac¸
˜
ao do fator de pot
ˆ
encia.
2.3.3 Maximizac¸
˜
ao do Carregamento do Sistema
Para um estado de operac¸
˜
ao vi
´
avel qualquer de um sistema, o problema de maximizac¸
˜
ao
do carregamento
´
e o de determinar o m
´
aximo crescimento da carga que o sistema ainda
pode suportar (seja a carga total do sistema, a carga em uma certa
´
area do sistema, ou a
carga em uma determinada barra ou conjunto de barras), ainda satisfazendo
`
as restric¸
˜
oes
de operac¸
˜
ao da empresa e dos equipamentos dos consumidores. Um programa capaz de
calcular o m
´
aximo crescimento da carga do sistema, sem contemplar novos investimentos
na gerac¸
˜
ao e no sistema de transmiss
˜
ao,
´
e uma ferramenta bastante valiosa em estudos
de estabilidade de tens
˜
ao. Dependendo de como o problema
´
e formulado, sua soluc¸
˜
ao
pode ser utilizada para definir contratos com grandes consumidores, definir transac¸
˜
oes entre
sistemas interligados, etc.
Uma formulac¸
˜
ao particular do problema de maximizac¸
˜
ao do carregamento do sistema
´
e como segue:
Maximize τ
sujeito a P
i
(V, θ, t) + P
0
D
i
(V
i
)(1 + τ) − P
G
i
= 0, para i ∈ N
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 + τ) − Q
G
i
= 0, para i ∈ G
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 + τ) − Q
G
i
= 0, para i ∈ F
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 + τ) − Q
G
i
−b
sh
i
V
2
i
= 0, para i ∈ C
F
i j
(V, θ, t) − F
i j
= 0, {(i, j)} ⊆ B
V
min
i
≤ V
i
≤ V
max
i
, para i ∈ N
t
min
i j
≤ t
i j
≤ t
max
i j
, {(i, j)} ⊆ T
P
min
i
≤ P
G
i
≤ P
max
i
, para i ∈ G
Q
min
i
≤ Q
G
i
≤ Q
max
i
, para i ∈ G
b
min
i
≤ b
sh
i
≤ b
max
i
, para i ∈ C
F
min
i j
≤ F
i j
≤ F
max
i j
, {(i, j)} ⊆ B
(2.43)
2.3. MODELOS DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA
´
OTIMO 24
em que τ
´
e o fator de crescimento da carga.
Observe que para resolver o problema (2.43) parte-se de um estado de operac¸
˜
ao vi
´
avel
(ou seja, um estado no qual as restric¸
˜
oes em (2.43) podem ser satisfeitas para τ = 0) e
ent
˜
ao aumenta-se o par
ˆ
ametro τ at
´
e que o conjunto vi
´
avel de (2.43) no espac¸o definido por
(V, θ, t) deixe de existir, pelo menos localmente, para o novo n
´
ıvel de carga: (1 + τ)P
0
D
i
e (1 + τ)Q
0
D
i
. Portanto, o problema do m
´
aximo crescimento da carga trata com condic¸
˜
oes
de operac¸
˜
ao altamente n
˜
ao-lineares. Observe tamb
´
em que h
´
a uma grande semelhanc¸a entre
a formulac¸
˜
ao do problema de minimizac¸
˜
ao do corte de carga (2.41) e o de maximizac¸
˜
ao
do carregamento do sistema (2.43). A principal diferenc¸a diz respeito ao sinal do fator
de carregamento τ. As dificuldades num
´
ericas que esses dois problemas imp
˜
oem sobre a
t
´
ecnica de otimizac¸
˜
ao empregada na soluc¸
˜
ao s
˜
ao as mesmas.
De forma similar ao problema de minimizac¸
˜
ao do corte de carga, podem-se considerar
crescimentos de carga distintos nas barras, resolvendo-se o problema:
Maximize
i∈N
w
i
τ
i
sujeito a P
i
(V, θ, t) + P
0
D
i
(V
i
)(1 + τ
i
) − P
G
i
= 0, para i ∈ N
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 + τ
i
) − Q
G
i
= 0, para i ∈ G
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 + τ
i
) − Q
G
i
= 0, para i ∈ F
Q
i
(V, θ, t) + Q
0
D
i
(V
i
)(1 + τ
i
) − Q
G
i
−b
sh
i
V
2
i
= 0, para i ∈ C
F
i j
(V, θ, t) − F
i j
= 0, {(i, j)} ⊆ B
V
min
i
≤ V
i
≤ V
max
i
, para i ∈ N
t
min
i j
≤ t
i j
≤ t
max
i j
, {(i, j)} ⊆ T
P
min
i
≤ P
G
i
≤ P
max
i
, para i ∈ G
Q
min
i
≤ Q
G
i
≤ Q
max
i
, para i ∈ G
b
min
i
≤ b
sh
i
≤ b
max
i
, para i ∈ C
F
min
i j
≤ F
i j
≤ F
max
i j
, {(i, j)} ⊆ B
(2.44)
em que w
i
´
e um coeficiente de diferenciac¸
˜
ao da barra i no crescimento da carga.
2.4. AS T
´
ECNICAS USUAIS DE SOLUC¸
˜
AO 25
2.3.4 Maximizac¸
˜
ao da Capacidade de Transfer
ˆ
encia Simult
ˆ
anea
Outro problema de grande interesse no planejamento da operac¸
˜
ao de um SEP
´
e o da deter-
minac¸
˜
ao da m
´
axima pot
ˆ
encia que pode ser transferida de um sistema para outro interligado,
ou de uma
´
area para outra do mesmo sistema. A soluc¸
˜
ao desse problema
´
e conhecida como
m
´
axima capacidade de transfer
ˆ
encia simult
ˆ
anea, e o problema pode ser formulado da se-
guinte forma:
Maximize
i j∈Ω
P
i j
(V, θ, t)
sujeito a P
i
(V, θ, t) + P
D
i
(V
i
) − P
G
i
= 0, para i ∈ N
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
= 0, para i ∈ G
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
= 0, para i ∈ F
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
−b
sh
i
V
2
i
= 0, para i ∈ C
F
i j
(V, θ, t) − F
i j
= 0, {(i, j)} ⊆ B
V
min
i
≤ V
i
≤ V
max
i
, para i ∈ N
t
min
i j
≤ t
i j
≤ t
max
i j
, {(i, j)} ⊆ T
P
min
i
≤ P
G
i
≤ P
max
i
, para i ∈ G
Q
min
i
≤ Q
G
i
≤ Q
max
i
, para i ∈ G
b
min
i
≤ b
sh
i
≤ b
max
i
, para i ∈ C
F
min
i j
≤ F
i j
≤ F
max
i j
, {(i, j)} ⊆ B
(2.45)
em que Ω
´
e o conjunto dos
´
ındices (i, j) das barras terminais dos ramos nos quais se deseja
maximizar o fluxo de pot
ˆ
encia ativa, ao mesmo tempo em que um conjunto de restric¸
˜
oes
´
e
satisfeito.
2.4 As T
´
ecnicas Usuais de Soluc¸
˜
ao
Os problemas de FPO s
˜
ao inevitavelmente problemas de programac¸
˜
ao n
˜
ao-linear n
˜
ao-
convexos e de grande escala, bastante complicados nas aplicac¸
˜
oes pr
´
aticas pela presenc¸a
de um grande n
´
umero de vari
´
aveis discretas, tais como os tapes dos transformadores, as
suscept
ˆ
ancias dos capacitores em paralelo, etc.
Dada a sua import
ˆ
ancia nas atividades de planejamento e operac¸
˜
ao, o FPO tem sido um
2.4. AS T
´
ECNICAS USUAIS DE SOLUC¸
˜
AO 26
tema de intensa pesquisa h
´
a cerca de quatro d
´
ecadas [1,11]. M
´
etodos do gradiente foram as
primeiras t
´
ecnicas utilizadas para resolver um problema de FPO [12], o qual foi formulado
matematicamente pela primeira vez por Carpentier em 1962.
Desde ent
˜
ao, melhorias nas ferramentas de FPO t
ˆ
em sido alcanc¸adas de duas maneiras
principais: (a) formulac¸
˜
oes mais eficientes do problema, e (b) t
´
ecnicas de otimizac¸
˜
ao mais
eficientes, flex
´
ıveis e robustas. As principais t
´
ecnicas para resolver os problemas de FPO
incluem m
´
etodos do gradiente reduzido, m
´
etodos baseados no Lagrangeano aumentado,
func¸
˜
oes de penalidades exatas e, principalmente, m
´
etodos baseados em aproximac¸
˜
oes lo-
cais, tais como Programac¸
˜
ao Linear Sucessiva (PLS) e Programac¸
˜
ao Quadr
´
atica Sucessiva
(PQS).
As t
´
ecnicas de PLS e PQS t
ˆ
em sido largamente utilizadas na otimizac¸
˜
ao de sistemas
de pot
ˆ
encia. Atualmente, elas podem tirar proveito dos eficientes m
´
etodos de Pontos-
Interiores (PI) para resolver os subproblemas de Programac¸
˜
ao Linear (PL) ou Programac¸
˜
ao
Quadr
´
atica (PQ) que s
˜
ao gerados a cada iterac¸
˜
ao PLS ou PQS [13, 14]. Entretanto, o pro-
cesso de converg
ˆ
encia da PLS e PQS
´
e, entre outros fatores, altamente dependente da
exist
ˆ
encia de um bom ponto de operac¸
˜
ao inicial para a aproximac¸
˜
ao local das func¸
˜
oes
n
˜
ao-lineares, o que nem sempre ocorre.
Por outro lado, tem sido crescente a necessidade de resolverem-se problemas de FPO na
sua forma n
˜
ao-linear original. Portanto, t
´
ecnicas de otimizac¸
˜
ao baseadas em aproximac¸
˜
oes
locais sucessivas, como PLS e QLS, tornaram-se menos atrativas. Por outro lado, a soluc¸
˜
ao
eficiente de FPOs na forma n
˜
ao-linear pode ser um problema bastante complexo. V
´
arias
condic¸
˜
oes sob as quais um algoritmo de FPO pode falhar na converg
ˆ
encia s
˜
ao estudadas
em [15].
Um algoritmo que teve grande repercuss
˜
ao na soluc¸
˜
ao n
˜
ao-linear de problemas de FPO
foi o proposto por Sun et al. [16]. Ele combina, no mesmo algoritmo, o m
´
etodo de New-
ton (para otimizac¸
˜
ao sem restric¸
˜
oes), um m
´
etodo de multiplicadores de Lagrange (para
otimizac¸
˜
ao com restric¸
˜
oes de igualdades) e func¸
˜
oes de penalidade (para o tratamento de
restric¸
˜
oes de desigualdades). Uma estrutura de dados bem projetada, a qual possibilita a
fatorizac¸
˜
ao em blocos, associada ao uso eficiente de t
´
ecnicas de esparsidade, tornou esse
algoritmo bastante atrativo na ocasi
˜
ao. Entretanto, sua efici
ˆ
encia computacional revelou-se
altamente dependente da identificac¸
˜
ao das restric¸
˜
oes ativas, um problema que foi posteri-
ormente estudado em [17].
2.4. AS T
´
ECNICAS USUAIS DE SOLUC¸
˜
AO 27
Recentemente, os problemas de otimizac¸
˜
ao em sistemas de pot
ˆ
encia [18–23], em es-
pecial os problemas de FPO, t
ˆ
em sido resolvidos de forma eficiente por m
´
etodos de PI,
tanto na forma linear quanto na forma n
˜
ao-linear. Na
´
area de programac¸
˜
ao matem
´
atica,
nos
´
ultimos vinte anos as pesquisas sobre os m
´
etodos de PI experimentaram um avanc¸o
impressionante, tanto na teoria quanto na pr
´
atica computacional.
O primeiro m
´
etodo de PI
´
e atribu
´
ıdo a Frisch [24], o qual
´
e um m
´
etodo de barreira
logar
´
ıtmica que foi posteriormente, nos anos 1960, extensivamente estudado por Fiacco e
McCormick [25] para resolver problemas com desigualdades n
˜
ao-lineares. No entanto, foi
na
´
area de PL, em 1984, que o extraordin
´
ario desempenho computacional de um m
´
etodo
de PI foi demonstrado na pr
´
atica [26]. Desde ent
˜
ao, v
´
arios m
´
etodos de PI foram propostos
e implementados.
Os primeiros resultados te
´
oricos para os m
´
etodos de PI do tipo primal-dual seguidor
de trajet
´
oria s
˜
ao devidos a Megiddo [27]. Os m
´
etodos primal-dual de PI que incorporam
passos de predic¸
˜
ao e correc¸
˜
ao, tal como o m
´
etodo preditor-corretor de Mehrotra [28], s
˜
ao
atualmente aceitos como os m
´
etodos de PI computacionalmente mais eficientes. Melhorias
adicionais sobre o m
´
etodo preditor-corretor de Mehrotra foram posteriormente alcanc¸adas
com o uso de m
´
ultiplos passos de correc¸
˜
ao [29, 30]. Aplicac¸
˜
oes dos m
´
etodos de PI com
m
´
ultiplos passos de correc¸
˜
ao em problemas de FPO foram propostas em [31–33]. Atual-
mente, variantes do m
´
etodo primal-dual de PI est
˜
ao sendo estudadas para resolver todos os
tipos de problemas: de linear a n
˜
ao-linear, e de convexo a n
˜
ao-convexo.
Otimizac¸
˜
ao de sistemas de pot
ˆ
encia
´
e uma das
´
areas onde os m
´
etodos de PI est
˜
ao sendo
aplicados extensivamente [34]. Isso porque, devido as dimens
˜
oes e as caracter
´
ısticas espe-
ciais de tais problemas, os m
´
etodos de PI t
ˆ
em demonstrado, na pr
´
atica computacional, se-
rem bastante eficientes no que diz respeito ao tempo de processamento e
`
a robustez de con-
verg
ˆ
encia. Entre as diversas aplicac¸
˜
oes dos m
´
etodos de PI em sistemas de pot
ˆ
encia, citam-
se: (a) estimac¸
˜
ao de estados [18,35], (b) modelos diversos de FPO [13,14,19–23,31,36,37],
(c) coordenac¸
˜
ao hidro-t
´
ermica [38], (d) colapso de tens
˜
ao [39], e (e) controle de reser-
vat
´
orios [40].
Nas aplicac¸
˜
oes supracitadas, os algoritmos de soluc¸
˜
ao incluem diferentes m
´
etodos de
PI aplicados a sequ
ˆ
encias de subproblemas de PL [14,36], a sequ
ˆ
encias de subproblemas de
PQ [13], ou diretamente ao problema n
˜
ao-linear original [18–23,37,39]. Diversos m
´
etodos
de PI foram considerados, tais como o m
´
etodo dual affine-scaling [36, 41], variantes do
2.4. AS T
´
ECNICAS USUAIS DE SOLUC¸
˜
AO 28
m
´
etodo primal-dual de barreira logar
´
ıtmica para PNL [18, 20], e variantes tipo preditor-
corretor para PL [14] e para PNL [19, 21, 22].
O bom desempenho computacional das aplicac¸
˜
oes descritas em [18–20], em termos
de robustez de converg
ˆ
encia e tempo de processamento, foi respons
´
avel pelo crescente
interesse nos m
´
etodos de PI para resolver problemas de otimizac¸
˜
ao n
˜
ao-linear de grande
porte em sistemas de pot
ˆ
encia. Resultados computacionais nas primeiras aplicac¸
˜
oes em
FPO, baseados em redes el
´
etricas de 2423 barras [19] e 3467 barras [20], mostraram que
o n
´
umero de iterac¸
˜
oes para converg
ˆ
encia dos m
´
etodos de PI
´
e insens
´
ıvel ao tamanho do
sistema el
´
etrico (n
´
umero de barras e circuitos), e que tais m
´
etodos s
˜
ao numericamente
robustos.
Como exemplos da robustez dos m
´
etodos de PI, cita-se as soluc¸
˜
oes dos problemas
de minimizac¸
˜
ao de corte de carga [23] e de maximizac¸
˜
ao do carregamento [21]. Esses
problemas s
˜
ao variantes altamente n
˜
ao-lineares do problema de FPO, que dificilmente s
˜
ao
resolvidas por t
´
ecnicas baseadas em PL. Uma caracter
´
ıstica interessante do m
´
etodo primal-
dual de PI
´
e que a viabilidade
´
e geralmente alcanc¸ada durante o processo iterativo, na
busca pela otimalidade. Isto significa que as equac¸
˜
oes de balanc¸o de pot
ˆ
encia n
˜
ao precisam
ser satisfeitas desde o ponto inicial. Essa caracter
´
ıstica
´
e particularmente interessante na
soluc¸
˜
ao do problema de m
´
ınimo corte de carga, situac¸
˜
ao em que a n
˜
ao solvabilidade das
equac¸
˜
oes de fluxo de carga
´
e o problema em quest
˜
ao.
Cap
´
ıtulo 3
M
´
etodos de Pontos-Interiores
N´os, cientistas, acreditamos que o que n´os e
nossos semelhantes fizermos ou deixarmos de
fazer nos pr´oximos anos determinar´a o destino
de nossa civiliza¸c˜ao. E consideramos nossa
tarefa explicar incansavelmente essa verdade,
ajudar as pessoas a perceber tudo o que est´a em
jogo, e trabalhar, n˜ao para contemporizar, mas
para aumentar o entendimento e conseguir,
finalmente, a harmonia entre os povos e na¸c˜oes
de diferentes pontos de vista.
Albert Einstein
H
´
a uma grande variedade de m
´
etodos de otimizac¸
˜
ao para a soluc¸
˜
ao de problemas res-
tritos como o FPO formulado em (2.1) (ver [42–44]). No que se refere
`
a resoluc¸
˜
ao
de problemas de FPO, ultimamente tem-se utilizado uma classe de m
´
etodos chamados
29
3.1. O M
´
ETODO PRIMAL-DUAL SIMPLES 30
de m
´
etodos de Pontos-Interiores (PI). Este cap
´
ıtulo descreve quatro algoritmos de PI de
grande sucesso computacional na soluc¸
˜
ao de problemas de FPO: (i) m
´
etodo primal-dual
simples, (ii) m
´
etodo primal-dual preditor-corretor, (iii) m
´
etodo preditor-corretor m
´
ultiplo,
e (iv) m
´
etodo de m
´
ultiplas correc¸
˜
oes de centralidade.
O texto apresentado no presente cap
´
ıtulo segue proximamente o texto de relat
´
orios
de pesquisa produzidos no Laborat
´
orio de Otimizac¸
˜
ao Aplicada a Sistemas de Pot
ˆ
encia
(LOASP) da Universidade Federal de Pernambuco onde essa Dissertac¸
˜
ao foi desenvolvida.
3.1 O M
´
etodo Primal-Dual Simples
O m
´
etodo primal-dual de PI para resolver o problema (2.1) opera sobre um problema modi-
ficado que emerge quando transformamos todas as restric¸
˜
oes de desigualdade em restric¸
˜
oes
de igualdade, adicionando os vetores de vari
´
aveis de folga s ≥ 0 e z ≥ 0, como segue:
Minimize f (x)
sujeito a g(x) = 0
l + s − x = 0, s ≥ 0,
x + z −u = 0, z ≥ 0.
(3.1)
As condic¸
˜
oes de n
˜
ao-negatividade s ≥ 0 e z ≥ 0 em (3.1) s
˜
ao incorporadas em uma func¸
˜
ao
de barreira logar
´
ıtmica que
´
e agregada
`
a func¸
˜
ao objetivo, resultando no problema modifi-
cado:
Minimize f (x) −µ
k
p
i=1
(ln s
i
+ ln z
i
)
sujeito a g(x) = 0,
l + s − x = 0, s > 0,
x + z −u = 0, z > 0,
(3.2)
em que µ
k
> 0
´
e o par
ˆ
ametro de barreira, que
´
e monotonicamente reduzido para zero
quando as iterac¸
˜
oes avanc¸am, ou seja, µ
0
> µ
1
> ··· > µ
k
> ··· > µ
∞
= 0.
As condic¸
˜
oes de positividade estrita s > 0 e z > 0 devem ser impostas para que os ter-
3.1. O M
´
ETODO PRIMAL-DUAL SIMPLES 31
mos logar
´
ıtmicos sejam definidos. Entretanto, essas condic¸
˜
oes s
˜
ao tratadas implicitamente
pelo controle do tamanho do passo, conforme
´
e descrito abaixo.
As condic¸
˜
oes necess
´
arias de otimalidade para o problema modificado (3.2), com o
par
ˆ
ametro de barreira µ
k
fixo, podem ser derivadas a partir da func¸
˜
ao de Lagrange, L(y; µ
k
),
associada ao problema (3.2), definida como:
L(y; µ
k
) = f (x) −µ
k
p
i=1
(ln s
i
+ ln z
i
) + λ
T
g(x) + π
T
(l + s − x) + υ
T
(x + z −u) (3.3)
em que λ ∈ R
m
, π ∈ R
p
+
e υ ∈ R
p
+
s
˜
ao vetores de multiplicadores de Lagrange, conhecidos
como vari
´
aveis duais, e y = (s, z, π, υ, λ, x)
´
e o vetor com todas as vari
´
aveis.
Um m
´
ınimo local de (3.2)
´
e caracterizado por um ponto estacion
´
ario da func¸
˜
ao de
Lagrange, o qual deve satisfazer as condic¸
˜
oes necess
´
arias de primeira-ordem de Karush-
Kuhn-Tucker (KKT):
∇
s
L = π −µ
k
S
−1
e = 0, (3.4a)
∇
z
L = υ −µ
k
Z
−1
e = 0, (3.4b)
∇
π
L = l + s − x = 0, (3.4c)
∇
υ
L = x + z −u = 0, (3.4d)
∇
λ
L = g(x) = 0, (3.4e)
∇
x
L = ∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ= 0, (3.4f)
em que e = (1, 1, . . . , 1)
T
. O sistema de equac¸
˜
oes (3.4)
´
e mais convenientemente expresso
como:
S π −µ
k
e = 0, (3.5a)
Zυ − µ
k
e = 0, (3.5b)
l + s − x = 0, (3.5c)
x + z −u = 0, (3.5d)
g(x) = 0, (3.5e)
∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ = 0. (3.5f)
3.1. O M
´
ETODO PRIMAL-DUAL SIMPLES 32
Uma iterac¸
˜
ao do m
´
etodo primal-dual de PI para resolver (2.1) invariavelmente aplica
apenas uma iterac¸
˜
ao do m
´
etodo de Newton para achar ra
´
ızes de equac¸
˜
oes sobre (3.5),
calcula um comprimento de passo na direc¸
˜
ao de Newton, atualiza as vari
´
aveis e reduz
o par
ˆ
ametro de barreira µ
k
. O processo iterativo termina quando a inviabilidade primal,
a inviabilidade dual e o res
´
ıduo de complementaridade est
˜
ao abaixo de toler
ˆ
ancias pr
´
e-
determinadas. Os passos principais do algoritmo primal-dual de PI s
˜
ao como segue:
1. Fac¸a k = 0, escolha µ
0
> 0 e um ponto inicial y
0
que satisfac¸a as condic¸
˜
oes de
estrita positividade (s
0
, z
0
, π
0
, υ
0
) > 0.
2. Obtenha o sistema de Newton para (3.5) no ponto corrente,
∇
2
yy
L(y
k
; µ
k
)∆y = −∇
y
L(y
k
; µ
k
),
e resolva para a direc¸
˜
ao de Newton ∆y.
3. Calcule o comprimento de passo α
k
na direc¸
˜
ao de Newton ∆y e obtenha uma nova
estimativa da soluc¸
˜
ao como y
k+1
= y
k
+ α
k
∆y.
4. Se y
k+1
satisfaz o crit
´
erio de converg
ˆ
encia, ent
˜
ao FIM. Caso contr
´
ario, fac¸a
k ← k + 1, reduza o par
ˆ
ametro µ
k
, e retorne para o passo 2.
Algoritmo 3.1: M
´
etodo primal-dual de pontos-interiores para resolver (2.1).
3.1.1 C
´
alculo das Direc¸
˜
oes de Busca
Embora o sistema das condic¸
˜
oes de KKT (3.5) seja n
˜
ao-linear, sua soluc¸
˜
ao
´
e usualmente
aproximada por uma
´
unica iterac¸
˜
ao do m
´
etodo de Newton para achar ra
´
ızes de equac¸
˜
oes
(a direc¸
˜
ao de Newton
´
e apenas um meio para seguir o caminho de minimizadores x(µ
k
)
parametrizado por µ
k
). Quando toma os termos de primeira-ordem na aproximac¸
˜
ao em
s
´
erie de Taylor do sistema de equac¸
˜
oes n
˜
ao-lineares (3.5) em torno do ponto y
k
, obtem-se
3.1. O M
´
ETODO PRIMAL-DUAL SIMPLES 33
o seguinte sistema linear indefinido:
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
∆z
∆π
∆υ
∆λ
∆x
= −
S π −µ
k
e
Zυ − µ
k
e
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ
(3.6)
em que Π = diag( π
1
, . . . , π
p
), Υ = diag(υ
1
, . . . , υ
p
), e ∇
2
xx
L(y)
´
e a Hessiana da func¸
˜
ao
de Lagrange definida a seguir. No sistema acima omitiu-se o contador de iterac¸
˜
oes k para
simplificar a apresentac¸
˜
ao.
A avaliac¸
˜
ao da Hessiana da func¸
˜
ao de Lagrange com relac¸
˜
ao
`
as vari
´
aveis x, ∇
2
xx
L(y),
envolve uma combinac¸
˜
ao da Hessiana da func¸
˜
ao objetivo ∇
2
f (x) com as Hessianas das
func¸
˜
oes de restric¸
˜
oes ∇
2
g
i
(x), i = 1, 2, . . . , m, da seguinte forma:
∇
2
xx
L(y) = ∇
2
f (x) +
m
i=1
λ
i
∇
2
g
i
(x). (3.7)
´
E evidente que o c
´
alculo da Hessiana ∇
2
xx
L(y) pode envolver um esforc¸o computacional
significativo se a sua implementac¸
˜
ao n
˜
ao for bem projetada e executada. O c
´
alculo eficiente
dos gradientes e da Hessiana
´
e detalhado no Anexo A.
3.1.2 Atualizac¸
˜
ao das Vari
´
aveis
Novas estimativas para as vari
´
aveis primais e duais s
˜
ao calculadas por:
x
k+1
= x
k
+ α
P
k
∆x,
s
k+1
= s
k
+ α
P
k
∆s,
z
k+1
= z
k
+ α
P
k
∆z,
λ
k+1
= λ
k
+ α
D
k
∆λ,
π
k+1
= π
k
+ α
D
k
∆π,
υ
k+1
= υ
k
+ α
D
k
∆υ,
(3.8)
3.1. O M
´
ETODO PRIMAL-DUAL SIMPLES 34
em que α
P
k
∈ (0, 1] e α
D
k
∈ (0, 1] s
˜
ao os comprimentos de passos primal e dual, respectiva-
mente.
Os comprimentos de passos m
´
aximos que podem ser tomados na direc¸
˜
ao de Newton
s
˜
ao geralmente determinados pelos testes:
α
P
k
= min
1, γ min
i
−s
k
i
∆s
i
∆s
i
< 0,
−z
k
i
∆z
i
∆z
i
< 0
, (3.9a)
α
D
k
= min
1, γ min
i
−π
k
i
∆π
i
∆π
i
< 0,
−υ
k
i
∆υ
i
∆υ
i
< 0
. (3.9b)
O escalar γ ∈ (0, 1)
´
e um fator de seguranc¸a para assegurar que o pr
´
oximo ponto satisfar
´
a
as condic¸
˜
oes de estrita positividade; um valor t
´
ıpico
´
e γ = 0.99995.
O uso de comprimentos de passos distintos nos espac¸os primal e dual
´
e uma vantagem
do m
´
etodo primal-dual de pontos interiores, e tem provado na pr
´
atica ser altamente eficaz,
reduzindo o n
´
umero de iterac¸
˜
oes para converg
ˆ
encia entre 10% a 20% em um problema
t
´
ıpico. Entretanto, em programac¸
˜
ao n
˜
ao-linear, a interdepend
ˆ
encia de vari
´
aveis primais e
duais, presente na condic¸
˜
ao de viabilidade dual (3.5e), n
˜
ao permite rigorosamente o uso de
comprimentos de passos distintos nos espac¸os primal e dual. Assim, um comprimento de
passo comum para atualizar as vari
´
aveis primais e duais deve ser calculado por:
α
P
k
= α
D
k
← min
α
P
k
, α
D
k
. (3.10)
Embora haja o acoplamento mencionado entre as vari
´
aveis primais e duais, na pr
´
atica,
o uso de um comprimento de passo comum ou o uso de comprimentos de passos distintos
t
ˆ
em ambos desempenhado bem.
3.1.3 Reduc¸
˜
ao do Par
ˆ
ametro de Barreira
O esquema para reduzir µ
k
que
´
e descrito aqui
´
e uma extens
˜
ao de esquemas que s
˜
ao uti-
lizados com sucesso em programac¸
˜
ao linear e programac¸
˜
ao quadr
´
atrica [45]. Na k-
´
esima
iterac¸
˜
ao, o res
´
ıduo das condic¸
˜
oes de complementaridade, chamado de res
´
ıduo de comple-
mentaridade,
´
e obtido por:
ρ
k
= s
T
k
π
k
+ z
T
k
υ
k
. (3.11)
3.1. O M
´
ETODO PRIMAL-DUAL SIMPLES 35
Se as iterac¸
˜
oes convergem para uma soluc¸
˜
ao
´
otima, ent
˜
ao ρ
k
→ 0. O relacionamento
entre ρ
k
e µ
k
, que est
´
a impl
´
ıcito em (3.5a) e (3.11), na forma:
p
i=1
s
i
π
i
+
p
i=1
z
i
υ
i
= 2pµ
k
= ρ (3.12)
sugere que µ
k
pode ser reduzido em func¸
˜
ao do decr
´
escimo do res
´
ıduo de complementari-
dade, tal como:
µ
k+1
= σ
ρ
k
2p
(3.13)
em que σ = 0.2
´
e o esperado, mas n
˜
ao necessariamente realizado, decr
´
escimo no res
´
ıduo
de complementaridade. O par
ˆ
ametro σ ∈ (0, 1)
´
e chamado de par
ˆ
ametro de centralizac¸
˜
ao.
Se σ = 1, ent
˜
ao o sistema de KKT (3.5) define uma direc¸
˜
ao de centralizac¸
˜
ao, um passo
em direc¸
˜
ao a um ponto na trajet
´
oria de barreira. No outro extremo, σ = 0 fornece o passo
de Newton puro, conhecido como a direc¸
˜
ao affine-scaling. Para balancear os objetivos de
reduzir µ
k
e melhorar a centralidade, σ pode ser escolhido no intervalo (0, 1).
3.1.4 Testes de Converg
ˆ
encia
As iterac¸
˜
oes do algoritmo PDPI s
˜
ao consideradas terminadas assim que:
max
max
i
l
i
− x
k
i
, max
i
x
k
i
−u
i
, g(x
k
)
∞
≤
1
, (3.14a)
∇f (x
k
) + ∇g(x
k
)λ −π
k
+ υ
k
∞
1 + x
k
2
+ λ
k
2
+ π
k
2
+ υ
k
2
≤
1
, (3.14b)
ρ
k
1 + x
k
2
≤
2
. (3.14c)
Se os testes (3.14a), (3.14b) e (3.14c) s
˜
ao satisfeitos, ent
˜
ao a viabilidade primal, a
viabilidade dual e as condic¸
˜
oes de complementaridade s
˜
ao satisfeitas, significando que x
k
´
e um ponto de KKT de precis
˜
ao
1
. Toler
ˆ
ancias de converg
ˆ
encia t
´
ıpicas s
˜
ao
1
= 10
−4
e
2
= 10
−2
1
.
3.2. O M
´
ETODO PREDITOR-CORRETOR 36
3.2 O M
´
etodo Preditor-Corretor
Para obter o algoritmo preditor-corretor de Mehrotra, em vez de aplicar o m
´
etodo de New-
ton a (3.5) para calcular a correc¸
˜
ao ∆y para y
k
, deve-se substituir o novo ponto y
k+1
=
y
k
+ ∆y diretamente em (3.5), para obter a aproximac¸
˜
ao:
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
∆z
∆π
∆υ
∆λ
∆x
= −
S π
Zυ
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇
x
L(y)
+
µ
k
e
µ
k
e
0
0
0
0
−
∆S ∆π
∆Z∆υ
0
0
0
0
(3.15)
em que
∇
x
L(y) = ∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ,
∆S = diag(∆s
1
, . . . , ∆s
p
),
∆Z = diag(∆z
1
, . . . , ∆z
p
).
A principal diferenc¸a entre os sistemas de equac¸
˜
oes (3.15) e (3.6)
´
e que o vetor do lado
direito de (3.15) n
˜
ao pode ser determinado de antem
˜
ao por causa dos ∆-termos n
˜
ao-lineares
∆S ∆π e ∆Z∆υ em termos das inc
´
ognitas. A direc¸
˜
ao ∆y que
´
e obtida de (3.15) consiste de
tr
ˆ
es componentes:
∆y = ∆y
af
+ ∆y
ce
+ ∆y
co
, (3.16)
em que cada componente
´
e determinada por um dos tr
ˆ
es vetores no lado direito de (3.15).
As tr
ˆ
es componentes de direc¸
˜
oes podem ser interpretadas como segue:
∆y
af
:
´
E a direc¸
˜
ao affine-scaling, a direc¸
˜
ao pura de Newton que
´
e obtida quando se faz
µ
k
= 0 em (3.6).
´
E determinada pelo primeiro vetor no lado direito de (3.15), ou
3.2. O M
´
ETODO PREDITOR-CORRETOR 37
seja, como a soluc¸
˜
ao do sistema:
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
af
∆z
af
∆π
af
∆υ
af
∆λ
af
∆x
af
= −
S π
Zυ
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇
x
L(y)
(3.17)
e
´
e respons
´
avel pela otimizac¸
˜
ao, ou seja, por reduzir as inviabilidades primal e dual
e o res
´
ıduo de complementaridade.
∆y
ce
:
´
E a direc¸
˜
ao de centraliza¸c˜ao, cujo tamanho
´
e governado pelo par
ˆ
ametro µ
k
que
´
e
escolhido adaptativamente. A direc¸
˜
ao ∆y
ce
´
e determinada pelo segundo vetor no
lado direito de (3.15), ou seja, como a soluc¸
˜
ao do sistema:
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
ce
∆z
ce
∆π
ce
∆υ
ce
∆λ
ce
∆x
ce
=
µ
k
e
µ
k
e
0
0
0
0
(3.18)
e mant
´
em o ponto corrente afastado da fronteira da regi
˜
ao vi
´
avel e idealmente
pr
´
oximo da trajet
´
oria de barreira para melhorar as chances de tomar um passo
grande na pr
´
oxima iterac¸
˜
ao.
∆y
co
:
´
E a direc¸
˜
ao de corre¸c˜ao que tenta compensar algumas das n
˜
ao-linearidades na
direc¸
˜
ao ∆y
af
. A direc¸
˜
ao ∆y
co
´
e determinada pelo terceiro vetor no lado direito
3.2. O M
´
ETODO PREDITOR-CORRETOR 38
de (3.15), ou seja, como a soluc¸
˜
ao do sistema:
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
co
∆z
co
∆π
co
∆υ
co
∆λ
co
∆x
co
= −
∆S ∆π
∆Z∆υ
0
0
0
0
(3.19)
Claramente, as direc¸
˜
oes ∆y
af
e ∆y
ce
, quando combinadas, definem a direc¸
˜
ao de New-
ton que
´
e calculada de (3.6). Entretanto, para lidar com as n
˜
ao-linearidades em (3.15), a
direc¸
˜
ao ∆y
af
´
e calculada separadamente e antes da direc¸
˜
ao ∆y
ce
. Esse arranjo no c
´
alculo
de ∆y nos prov
ˆ
e a possibilidade de escolhermos µ
k+1
adaptativamente, e com um meio de
aproximarmos os termos de segunda-ordem ∆S ∆π e ∆Z∆υ.
3.2.1 O Passo Preditor
Para determinar um passo que aproximadamente satisfaz (3.15), primeiro retira-se os µ
k
-
termos e os ∆-termos no lado direito de (3.15) e resolve-se para a direc¸
˜
ao affine-scaling:
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
af
∆z
af
∆π
af
∆υ
af
∆λ
af
∆x
af
= −
S π
Zυ
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ
. (3.20)
A direc¸
˜
ao ∆y
af
´
e utilizada em duas formas distintas: (a) para aproximar os ∆-termos no
lado direito de (3.15) e (b) para dinamicamente estimar o par
ˆ
ametro de barreira µ
k+1
.
Para estimar µ
k+1
, primeiro considera-se a regra padr
˜
ao (3.9) para determinar o passo
3.2. O M
´
ETODO PREDITOR-CORRETOR 39
α
af
que seria dado se a direc¸
˜
ao ∆y
af
fosse, de fato, utilizada:
α
P
af
= min
1, γ ×min
i
−s
k
i
∆s
af
i
∆s
af
i
< 0,
−z
k
i
∆z
af
i
∆z
af
i
< 0
, (3.21a)
α
D
af
= min
1, γ ×min
i
−π
k
i
∆π
af
i
∆π
af
i
< 0,
−υ
k
i
∆υ
af
i
∆υ
af
i
< 0
. (3.21b)
Segundo, calcula-se uma estimativa do res
´
ıduo de complementaridade por:
ρ
af
= (s
k
+ α
P
af
∆s
af
)
T
(π
k
+ α
D
af
∆π
af
) + (z
k
+ α
P
af
∆z
af
)
T
(υ
k
+ α
D
af
∆υ
af
). (3.22)
Finalmente, obtem-se uma estimativa µ
af
para µ
k+1
de:
µ
af
= min
ρ
af
ρ
k
2
, 0.2
ρ
af
p
. (3.23)
Esse procedimento escolhe µ
af
pequeno se a direc¸
˜
ao ∆y
af
produzir um decr
´
escimo grande
no res
´
ıduo de complementaridade, ou seja, se ρ
af
≪ ρ
k
, e escolhe µ
af
grande caso contr
´
a-
rio.
3.2.2 O Passo Corretor
Em vez de calcular a direc¸
˜
ao composta ∆y
ce
+ ∆y
co
para adicionar a ∆y
af
e ent
˜
ao obter ∆y,
calcula-se a direc¸
˜
ao ∆y de uma s
´
o vez de:
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
∆z
∆π
∆υ
∆λ
∆x
= −
S π −µ
af
e + ∆S
af
∆π
af
Zυ − µ
af
e + ∆Z
af
∆υ
af
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ
. (3.24)
Uma vez que os passos preditor e corretor s
˜
ao baseados sobre a mesma fatorizac¸
˜
ao de
matriz (ver as matrizes de coeficientes em (3.17) e (3.24)), o esforc¸o adicional no m
´
etodo
preditor-corretor est
´
a na soluc¸
˜
ao do sistema linear extra para calcular a direc¸
˜
ao ∆y
af
, e
3.3. O M
´
ETODO PREDITOR-CORRETOR M
´
ULTIPLO 40
no teste extra utilizado para calcular µ
af
. Os benef
´
ıcios que geralmente s
˜
ao obtidos desse
eforc¸o extra s
˜
ao reduc¸
˜
oes no contador de iterac¸
˜
oes e no tempo total de soluc¸
˜
ao. Os passos
principais do algoritmo preditor-corretor de pontos interiores s
˜
ao como segue:
1. Fac¸a k = 0, escolha µ
0
> 0 e um ponto inicial y
0
que satisfac¸a as condic¸
˜
oes de
estrita positividade (s
0
, z
0
, π
0
, υ
0
) > 0.
2. Forme a matriz ∇
2
yy
L(y
k
; µ
k
) e obtenha a sua fatorizac¸
˜
ao.
(a) Resolva o sistema (3.17) para a direc¸
˜
ao ∆y
af
, calcule α
af
de (3.21), e obtenha
µ
af
de (3.22).
(b) Resolva o sistema (3.24) para a direc¸
˜
ao ∆y.
3. Calcule o comprimento de passo α
k
na direc¸
˜
ao ∆y e obtenha um novo ponto como
y
k+1
= y
k
+ α
k
∆y.
4. Se y
k+1
satisfaz o crit
´
erio de converg
ˆ
encia, ent
˜
ao FIM. Caso contr
´
ario, fac¸a k ←
k + 1, reduza o par
ˆ
ametro µ
k
, e retorne para o Passo 2.
Algoritmo 3.2: M
´
etodo preditor-corretor de pontos interiores para resolver (2.1).
3.3 O M
´
etodo Preditor-Corretor M
´
ultiplo
O m
´
etodo preditor-corretor m
´
ultiplo foi originalmente desenvolvido para PL por Carpenter
et al. [29], e tamb
´
em calcula ∆y
af
e µ
af
por meio das equac¸
˜
oes (3.20) e (3.23). No entanto,
diferentemente do m
´
etodo preditor-corretor simples, o m
´
etodo preditor-corretor m
´
ultiplo
executa m
´
ultiplos passos de correc¸
˜
ao. Definindo ∆y
0
= ∆y
af
, o l-
´
esimo passo de correc¸
˜
ao
´
e calculado por
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
∆z
∆π
∆υ
∆λ
∆x
= −
S π −µ
af
e + ∆S
l
∆π
l
Zυ − µ
af
e + ∆Z
l
∆υ
l
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ
. (3.25)
3.4. O M
´
ETODO DE M
´
ULTIPLAS CORREC¸
˜
OES DE CENTRALIDADE 41
Ap
´
os a
´
ultima correc¸
˜
ao ser executada, faz-se ∆y = ∆y
l
e obt
´
em-se um novo ponto calcu-
lando o comprimento de passo e atualizando as vari
´
aveis da mesma forma que nos m
´
etodos
primal-dual simples e preditor-corretor de Mehrotra.
O n
´
umero de correc¸
˜
oes l por iterac¸
˜
ao pode variar. Se l = 1 para todo k, ent
˜
ao o m
´
etodo
preditor-corretor m
´
ultiplo comporta-se exatamente como o m
´
etodo preditor-corretor de
Mehrotra. Definir quantos passos de correc¸
˜
ao por iterac¸
˜
ao
´
e vantajoso
´
e uma quest
˜
ao
dif
´
ıcil, a qual Carpenter et al. [29] abordaram considerando dois casos distintos por
´
em
complementares: caso vi
´
avel e caso invi
´
avel.
No caso vi
´
avel, a
´
unica motivac¸
˜
ao para executar correc¸
˜
oes a partir de um ponto vi
´
avel
´
e
reduzir o res
´
ıduo de complementaridade. Neste caso, considera-se a execuc¸
˜
ao da correc¸
˜
ao
(l + 1) apenas se ρ
l
< ρ
l−1
e l
´
e menor do que um n
´
umero m
´
aximo pr
´
e-determinado de
correc¸
˜
oes. Se ρ
l
≥ ρ
l−1
, ent
˜
ao as correc¸
˜
oes s
˜
ao interrompidas e utiliza-se a direc¸
˜
ao de busca
∆y = ∆y
l−1
.
No caso invi
´
avel, a determinac¸
˜
ao do l m
´
aximo deve integrar reduc¸
˜
ao do res
´
ıduo de
complementaridade com reduc¸
˜
ao de inviabilidade. Neste caso, a correc¸
˜
ao (l + 1)
´
e tentada
apenas se l
´
e menor do que o n
´
umero m
´
aximo permitido M e G
l
< G
l−1
, em que G
´
e a
norma do res
´
ıduo das equac¸
˜
oes KKT, ou seja, G = ∇
y
L(y).
3.4 O M
´
etodo de M
´
ultiplas Correc¸
˜
oes de Centralidade
Gondzio observou [30], a partir de exaustivos experimentos computacionais, que o desem-
penho de um algoritmo primal-dual de pontos-interiores
´
e significativamente degradado se
h
´
a enormes discrep
ˆ
ancias entre os produtos de complementaridade, ou seja, se s
i
π
i
≪ s
j
π
j
para alguns
´
ındices i e j. Os termos s
i
π
i
e z
i
υ
i
que s
˜
ao muito pequenos ou muito grandes,
quando comparados com a m
´
edia µ
ave
= ρ/2n, s
˜
ao indesej
´
aveis (com os primeiros geral-
mente sendo mais danosos) . Se y
k
´
e mal centralizado, ou seja, se s
i
π
i
≪ s
j
π
j
para alguns
´
ındices i e j, ent
˜
ao o lado direito de (3.6)
´
e muito mal escalonado. A direc¸
˜
ao de Newton
concentra-se na reduc¸
˜
ao dos produtos grandes, mas devido aos produtos pequenos apenas
passos curtos s
˜
ao permitidos, o que desacelera o processo de converg
ˆ
encia.
3.4. O M
´
ETODO DE M
´
ULTIPLAS CORREC¸
˜
OES DE CENTRALIDADE 42
3.4.1 As Correc¸
˜
oes de Centralidade
Para definir as correc¸
˜
oes de centralidade, assuma que o passo preditor ∆y
af
foi calculado,
assim como o comprimento de passo α
af
que seria dado se ∆y
af
fosse de fato utilizado.
Assim, busca-se por um termo de correc¸
˜
ao ∆y
co
de forma tal que um passo
α > α
af
, dado
por
α = min
α
af
+ δ
α
, 1
, (3.26)
e uma direc¸
˜
ao de busca composta ∆y, dada por
∆y = ∆y
af
+ ∆y
co
, (3.27)
podem ser aplicados sem que o ponto tentativa y
k
+
α∆y viole a condic¸
˜
ao de estrita po-
sitividade (s, z, π, υ) > 0. Para tornar isto poss
´
ıvel, alguns requisitos devem ser impostos
sobre ∆y
co
. Claramente, sempre que α
af
< 1, o ponto tentativa
y = y
k
+
α∆y
af
(3.28)
pode ter componentes que violam (s, z, π, υ) > 0. Neste caso, o termo corretor ∆y
co
deve
compensar aquelas componentes negativas e ainda conduzir o ponto tentativa
y de volta
para a vizinhanc¸a da trajet´oria de barreira.
Sejam q = S π e r = Zυ vetores de produtos de complementaridade. Dados ∆y
af
e α
af
do passo preditor, e um pequeno incremento de comprimento de passo δ
α
> 0, primeiro
obtenha o passo aumentado
α por meio de (3.26) e calcule o ponto tentativa
y por meio
de (3.28). O ponto tentativa fornece
q =
S
π, (3.29a)
r =
Z
υ. (3.29b)
A seguir, identifique os componentes de
q e
r que n
˜
ao pertencem ao intervalo (βµ
af
, βµ
af
),
chamados de violadores, em que β e β s
˜
ao valores relativos fornecidos. O esforc¸o nos
passos de correc¸
˜
ao
´
e concentrado apenas sobre a correc¸
˜
ao desses violadores para assim
melhorar a centralidade de y
k+1
. Para fazer isto, primeiro projeta-se
q e
r componente a
3.4. O M
´
ETODO DE M
´
ULTIPLAS CORREC¸
˜
OES DE CENTRALIDADE 43
componente sobre o hipercubo H = [βµ
af
, βµ
af
]
2n
, para definir um alvo, definido como
q
t
i
=
βµ
af
, se
q
i
< βµ
af
,
βµ
af
, se
q
i
> βµ
af
,
q
i
, caso contr
´
ario.
(3.30a)
r
t
i
=
βµ
af
, se
r
i
< βµ
af
,
βµ
af
, se
r
i
> βµ
af
,
r
i
, caso contr
´
ario.
(3.30b)
Ent
˜
ao, uma correc¸
˜
ao de centralidade ∆y
co
´
e calculada por
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
co
∆z
co
∆π
co
∆υ
co
∆λ
co
∆x
co
=
q
t
−
q
r
t
−
r
0
0
0
0
. (3.31)
O lado direito da equac¸
˜
ao (3.31) tem elementos n
˜
ao nulos apenas em um subconjunto da
posic¸
˜
oes de q
t
−
q e r
t
−
r que correspondem aos violadores, ou seja, as componentes de
q e
r que n
˜
ao pertencem a (βµ
af
, βµ
af
). Entretanto, esse vetor ainda pode ser mal escalonado se
existirem componentes muito grandes em
q e
r. Assim, para prevenir efeitos indesej
´
aveis
deste escalonamento ruim, todos os componentes de
q e
r que s
˜
ao menores do que −βµ
af
s
˜
ao substitu
´
ıdos por este valor, o que corresponde a limitar o decaimento esperado dos
componentes de
q e
r que s
˜
ao muito grandes.
O termo de correc¸
˜
ao de centralidade ∆y
co
que resolve (3.31)
´
e ent
˜
ao utilizado para
corrigir a direc¸
˜
ao prevista:
∆y = ∆y
af
+ ∆y
co
. (3.32)
Em seguida, um passo α
k
na direc¸
˜
ao ∆y
´
e determinado e uma nova estimativa da soluc¸
˜
ao
y
k+1
´
e calculada, como no m
´
etodo primal-dual simples. O processo de correc¸
˜
ao (3.32)
pode ser repetido um n
´
umero desejado de vezes. Para aplicar uma nova correc¸
˜
ao, faz-se
∆y
af
← ∆y e α
af
← α
k
, ou seja, a direc¸
˜
ao ∆y em (3.32) torna-se a direc¸
˜
ao prevista para o
3.4. O M
´
ETODO DE M
´
ULTIPLAS CORREC¸
˜
OES DE CENTRALIDADE 44
novo corretor.
3.4.2 Quantas Correc¸
˜
oes Realizar?
M
´
ultiplas correc¸
˜
oes de centralizac¸
˜
ao s
˜
ao de interesse pr
´
atico apenas se a reduc¸
˜
ao no con-
tador de iterac¸
˜
oes traduz-se em reduc¸
˜
ao no tempo de processamento total. Seguindo pro-
postas em [30], o processo de correc¸
˜
ao termina quando o tamanho do passo determinado
para a direc¸
˜
ao ∆y em (3.32) n
˜
ao aumenta suficientemente quando comparado ao tamanho
de passo encontrado anteriormente para ∆y
af
, ou seja, se
α
k
< α
af
+ γ
α
δ
α
, (3.33)
em que γ
α
´
e um percentual de aumento de passo m
´
ınimo aceit
´
avel. Al
´
em da condic¸
˜
ao
(3.33),
´
e necess
´
ario limitar o n
´
umero de correc¸
˜
oes de centralidade por iterac¸
˜
ao. O algoritmo
de Gondzio calcula a raz
˜
ao entre o esforc¸o da fatorac¸
˜
ao da matriz de coeficientes e o esforc¸o
da soluc¸
˜
ao do sistema linear, r
f /s
, e permite uma correc¸
˜
ao de centralidade se r
f /s
> 10,
duas correc¸
˜
oes se r
f /s
> 30, e tr
ˆ
es correc¸
˜
oes se r
f /s
> 50. Em programac¸
˜
ao n
˜
ao-linear,
este problema
´
e bem mais complexo.
´
E sugerido em [46] que a raz
˜
ao r
f /s
seja obtida
utilizando o tempo real de CPU para essas operac¸
˜
oes como verificado no passo preditor da
primeira iterac¸
˜
ao do algoritmo.
´
E sugerido tamb
´
em que δ
α
seja dinamicamente escolhido.
Seja K o n
´
umero m
´
aximo definido de correc¸
˜
oes de centralidade por iterac¸
˜
ao. Como o passo
inicial α
af
´
e conhecido, e idealmente o passo deve ser pr
´
oximo da unidade, ent
˜
ao define-se
δ
α
= (1 − α
af
)/M. Adicionalmente, considera-se que δ
α
n
˜
ao deve ser menor do que 0,1
(pessimismo demais) e nem maior do que 0,2 (muito otimismo).
Cap
´
ıtulo 4
Estudo dos Requisitos para Utilizac¸
˜
ao
Pr
´
atica de Programas de FPO
Nossa maior fraqueza ´e a desistˆencia. O
caminho certeiro para o sucesso ´e sempre tentar
apenas uma vez mais.
Thomas A. Edison
H
´
a v
´
arias dificuldades em aplicac¸
˜
oes pr
´
aticas de programas de FPO, principalmente
em tempo-real. A principal delas
´
e que o FPO no mundo real
´
e matematicamente e
computacionalmente muito diferente da formulac¸
˜
ao cl
´
assica [12]. Por exemplo, os proble-
mas de FPO, na pr
´
atica, n
˜
ao s
˜
ao cont
´
ınuos e suaves; muitos dos controles movem-se em
45
46
passos discretos (como os tapes dos transformadores, as suscept
ˆ
ancias em paralelo, etc.),
e esses passos algumas vezes s
˜
ao muito grandes ou irregulares (v
´
arios tamanhos de passo
para uma mesma vari
´
avel de controle).
Infelizmente, n
˜
ao h
´
a uma t
´
ecnica de soluc¸
˜
ao que possa tratar esses tipos de problemas
eficientemente com todo rigor na modelagem. A pr
´
atica universal tem sido aproximar a
formulac¸
˜
ao de tal forma que o problema possa ser resolvido pelas t
´
ecnicas de otimizac¸
˜
ao
dispon
´
ıveis. Numa aplicac¸
˜
ao em tempo-real, o modelo do FPO e a t
´
ecnica de soluc¸
˜
ao do
modelo s
˜
ao fortemente influenciados pela urg
ˆ
encia em implementar o controle calculado,
de forma que rapidez de processamento e confiabilidade s
˜
ao requisitos indispens
´
aveis.
Em muitas situac¸
˜
oes pr
´
aticas
´
e dif
´
ıcil, indesej
´
avel, ou imposs
´
ıvel modificar um grande
n
´
umero de controles do sistema todos ao mesmo tempo. Portanto, na formulac¸
˜
ao de pro-
blemas de FPO,
´
e importante levar em conta procedimentos normais de engenharia que
norteiam a operac¸
˜
ao de um sistema real. Por exemplo, o procedimento para controle de
tens
˜
ao em tempo-real que
´
e apresentado em [3] considera uma sequ
ˆ
encia priorit
´
aria, pr
´
e-
estabelecida, para os objetivos do controle, dependendo do n
´
ıvel de seguranc¸a desejado
para o sistema.
O objetivo de maior prioridade
´
e remover as violac¸
˜
oes de limites de tens
˜
ao. A segunda
maior prioridade
´
e minimizar aquelas violac¸
˜
oes que n
˜
ao podem ser eliminadas por com-
pleto. O terceiro objetivo
´
e minimizar as perdas ativas na transmiss
˜
ao. Em tal aplicac¸
˜
ao, o
estado do sistema e a estrutura da rede s
˜
ao derivados do estimador de estados. As vari
´
aveis
de controle s
˜
ao selecionadas e seus movimentos s
˜
ao limitados, pelas seguintes raz
˜
oes:
• evitar grandes perturbac¸
˜
oes do sistema de pot
ˆ
encia do seu estado de equil
´
ıbrio cor-
rente;
• prover “margem de manobra” para ajustes corretivos em situac¸
˜
oes de conting
ˆ
encias;
• obter soluc¸
˜
oes r
´
apidas, um requisito para aplicac¸
˜
oes em tempo-real.
´
E evidente que restringir o movimento das vari
´
aveis de controle pode levar a soluc¸
˜
oes sub-
´
otimas em cada execuc¸
˜
ao. Entretanto, devido o programa ser executado periodicamente,
como parte da sequ
ˆ
encia de monitoramentos em tempo-real, espera-se que com as sucessi-
vas execuc¸
˜
oes do programa o estado do sistema mova em direc¸
˜
ao ao
´
otimo.
4.1. OTIMIZAC¸
˜
AO POR
´
AREAS 47
Ainda com relac¸
˜
ao ao procedimento para controle de tens
˜
ao que
´
e proposto em [3],
se violac¸
˜
oes de tens
˜
oes s
˜
ao detectadas na parte monitorada do sistema, ent
˜
ao o c
´
alculo de
ajustes corretivos
´
e iniciado para determinar um conjunto de ac¸
˜
oes de controle para aliviar
as violac¸
˜
oes. Caso esse c
´
alculo apresente-se invi
´
avel (n
˜
ao h
´
a um conjunto de controles que
corrijam as violac¸
˜
oes), o processo de controle
´
e automaticamente direcionado para calcu-
lar os ajustes de controles que minimizam as violac¸
˜
oes de restric¸
˜
oes. Quando nenhuma
violac¸
˜
ao de tens
˜
ao
´
e detectada, ent
˜
ao os controles de pot
ˆ
encia reativa s
˜
ao despachados para
minimizar as perdas de pot
ˆ
encia ativa na transmiss
˜
ao.
4.1 Otimizac¸
˜
ao por
´
Areas
Em se tentando otimizar somente uma porc¸
˜
ao de um sistema interligado, h
´
a um problema
fundamental de quanto se pode afetar a regi
˜
ao vizinha. Uma soluc¸
˜
ao aproximada para esse
problema
´
e fazer com que o sistema interno n
˜
ao altere os fluxos ou as magnitudes das
tens
˜
oes na regi
˜
ao de fronteira com o sistema externo. Ou seja, o sistema externo n
˜
ao
´
e
modelado. Os fluxos das linhas de interconex
˜
ao entre as
´
areas s
˜
ao tratadas como cargas
fixas e as tens
˜
oes das barras de fronteira s
˜
ao restritas a valores constantes.
Essa aproximac¸
˜
ao
´
e extremamente conservadora, e a menos que o sistema interno seja
grande e com alto grau de liberdade, ela pode sobrelimitar o processo de otimizac¸
˜
ao. Uma
aproximac¸
˜
ao razo
´
avel e menos restritiva
´
e modelar as barras de fronteiras como barras de
gerac¸
˜
ao com a gerac¸
˜
ao de pot
ˆ
encia ativa fixa. Faixas limites s
˜
ao impostas nas tens
˜
oes e na
gerac¸
˜
ao pot
ˆ
encia reativa dessas fontes fict
´
ıcias. A dificuldade dessa aproximac¸
˜
ao reside em
se predefinir realisticamente os valores dessas faixas. At
´
e ent
˜
ao, uma aproximac¸
˜
ao mais
comum e mais f
´
acil tem sido fornecer detalhes da modelagem do fluxo de pot
ˆ
encia da rede
externa a uma zona piloto localizada em torno da parte do sistema que se deseja otimizar.
Em alguns sistemas el
´
etricos a definic¸
˜
ao de
´
areas de otimizac¸
˜
ao j
´
a existe naturalmente.
Por exemplo, o sistema de subtransmiss
˜
ao da CELPE (Companhia Energ
´
etica de Pernam-
buco) encontra-se naturalmente dividido em 13 subsistemas n
˜
ao-interligados, denominados
de regionais, tendo como barras de gerac¸
˜
ao apenas os pontos de conex
˜
ao com o sistema de
transmiss
˜
ao da CHESF. Essa topologia do sistema de subtransmiss
˜
ao da CELPE permite
naturalmente a otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao por regionais, favorecendo assim a definic¸
˜
ao na-
tural de
´
areas de otimizac¸
˜
ao. Tal caracter
´
ıstica favorece o processo de otimizac¸
˜
ao. Tanto
4.2. RESTRIC¸
˜
OES DE CONTING
ˆ
ENCIAS 48
´
e poss
´
ıvel que os 13 regionais sejam otimizados simultaneamente, quanto
´
e poss
´
ıvel a
otimizac¸
˜
ao de cada regional individualmente, diminuindo as dimens
˜
oes dos problemas de
otimizac¸
˜
ao a serem resolvidos.
4.2 Restric¸
˜
oes de Conting
ˆ
encias
Restric¸
˜
oes de conting
ˆ
encias s
˜
ao fundamentais no controle econ
ˆ
omico e seguro. Elas s
˜
ao
intr
´
ınsicas aos n
´
ıveis de seguranc¸a 1 e 2 [1]. Entretanto, poucos trabalhos desenvolvidos
sobre FPO tem considerado efetivamente restric¸
˜
oes de conting
ˆ
encias. O n
´
umero total de
restric¸
˜
oes de conting
ˆ
encias que podem ser impostas sobre a soluc¸
˜
ao do FPO
´
e enorme.
Dependendo do tamanho do sistema de pot
ˆ
encia, cada conting
ˆ
encia pode envolver centenas
ou milhares de restric¸
˜
oes. Uma vez que uma lista t
´
ıpica de conting
ˆ
encias
´
e extensa, o
n
´
umero total de restric¸
˜
oes pode ser da ordem de milh
˜
oes. Felizmente, apenas uma pequena
parte delas estar
´
a ativa na soluc¸
˜
ao. Procedimentos para a considerac¸
˜
ao de restric¸
˜
oes de
conting
ˆ
encias levando em considerac¸
˜
ao os n
´
ıveis de seguranc¸a 1 e 2 s
˜
ao descritos em [1].
Para se ter uma id
´
eia da complexidade que
´
e a obtenc¸
˜
ao de soluc¸
˜
oes restritas por
conting
ˆ
encias, considere a forma geral do problema de FPO em (2.1), o qual
´
e rescrito
abaixo particionando-se o vetor de vari
´
aveis x nos vetores de vari
´
aveis de controle x
c
, e de
vari
´
aveis de estado x
e
, como segue:
Minimize f (x
c
, x
e
) (4.1a)
sujeito a g(x
c
, x
e
) = 0 (4.1b)
l
c
≤ x
c
≤ u
c
(4.1c)
l
e
≤ x
e
≤ u
e
(4.1d)
Considerando a inclus
˜
ao de duas conting
ˆ
encias apenas, o problema (4.1) passa a ser escrito
4.3. OBJETIVOS OPERACIONAIS 49
como
Minimize f (x
c
, x
e
) (4.2a)
sujeito a g(x
c
, x
e
) = 0 (4.2b)
g
(x
c
, x
e
) = 0 (4.2c)
g
(x
c
, x
e
) = 0 (4.2d)
l
c
≤ x
c
≤ u
c
(4.2e)
l
e
≤ x
e
≤ u
e
(4.2f)
l
e
≤ x
e
≤ u
e
(4.2g)
l
e
≤ x
e
≤ u
e
(4.2h)
Uma vez que as conting
ˆ
encias ocasionam alterac¸
˜
oes na configurac¸
˜
ao da rede el
´
etrica, as
equac¸
˜
oes que modelam a rede nas configurac¸
˜
oes p
´
os-conting
ˆ
encias, g
(x
c
, x
e
) = 0 e
g
(x
c
, x
e
) = 0, diferem das equac¸
˜
oes no caso base, g(x
c
, x
e
) = 0. O que h
´
a de comum
entre estas restric¸
˜
oes s
˜
ao as vari
´
aveis de controle x
c
.
A soluc¸
˜
ao restrita por conting
ˆ
encias consiste ent
˜
ao em determinar o conjunto de vari-
´
aveis de controle que minimiza a func¸
˜
ao objetivo no caso base e satisfaz as restric¸
˜
oes no
caso base e nas configurac¸
˜
oes de rede p
´
os-conting
ˆ
encias.
O exemplo acima demonstra que o n
´
umero de conting
ˆ
encias consideradas na soluc¸
˜
ao
praticamente multiplica por igual n
´
umero o n
´
umero de restric¸
˜
oes de igualdade do caso base
e o n
´
umero de restric¸
˜
oes de limites simples sobre as vari
´
aveis de estado.
4.3 Objetivos Operacionais
Mesmo que o objetivo prim
´
ario da otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao de um sistema el
´
etrico seja, por
exemplo, minimizar perdas ativas na transmiss
˜
ao, no contexto da aplicac¸
˜
ao da ferramenta
de FPO em tempo-real a necessidade de implementar v
´
arias outras func¸
˜
oes objetivo surge
naturalmente, conforme as discuss
˜
oes e an
´
alises que seguem.
Minimizac¸
˜
ao de Perdas na Transmiss
˜
ao: Os controles para atingir este objetivo s
˜
ao
aqueles sem custos diretos, ou seja, todos exceto gerac¸
˜
oes de pot
ˆ
encia ativa e interc
ˆ
ambios.
4.3. OBJETIVOS OPERACIONAIS 50
Como as perdas ativas em geral est
˜
ao associadas com controle de tens
˜
ao e de pot
ˆ
encia
reativa, este
´
e dito um objetivo de ajuste fino da operac¸
˜
ao. Ele tende a reduzir a circulac¸
˜
ao
de pot
ˆ
encia reativa, proporcionando um perfil de tens
˜
ao mais plano.
As perdas podem ser minimizadas somente numa parte do sistema ou no sistema com-
pleto. No primeiro caso, a soluc¸
˜
ao algumas vezes diminui as perdas internas ao custo de um
aumento das perdas em
´
areas vizinhas. Um objetivo similar
´
e minimizar perdas pot
ˆ
encia
reativa s
´
erie. Este objetivo tem v
´
arios efeitos ben
´
eficos [1], tais como: quase minimiza as
perdas ativas, mant
´
em o perfil de tens
˜
oes plano, e quase maximiza as reservas de pot
ˆ
encia
reativa dos geradores.
Minimizac¸
˜
ao de Desvio do Ponto de Operac¸
˜
ao: Este objetivo
´
e geralmente definido
como a soma dos quadrados ponderados dos desvios das vari
´
aveis de controle dos valores
alvos especificados, como exemplificado a seguir:
Minimize
i∈G
ω
v
(V
i
−V
0
i
)
2
+
(i, j)∈T
ω
t
(t
i j
−t
0
i j
)
2
+
i∈C
ω
b
(b
sh
i
−b
sh0
i
)
2
(4.3)
As restric¸
˜
oes para a func¸
˜
ao objetivo (4.3) s
˜
ao as mesmas do problema de minimizac¸
˜
ao
de perdas ativas (2.38). O primeiro termo da func¸
˜
ao objetivo (4.3) minimiza os desvios
quadrados nas tens
˜
oes terminais dos geradores, o segundo termo minimiza os desvios qua-
drados nos tapes, e o terceiro termo minimiza os desvios quadrados nas suscept
ˆ
ancias em
paralelo. Os coeficientes ω
v
, ω
t
e ω
b
representam ponderac¸
˜
oes (pesos relativos) da im-
port
ˆ
ancia de um controle em relac¸
˜
ao a outro. Quanto maior for um peso relativo menos
desej
´
avel ser
´
a um desvio naquela vari
´
avel de controle.
A func¸
˜
ao objetivo de m
´
ınimo desvio do ponto de operac¸
˜
ao pode ser utilizada para pla-
nejamento corretivo. Ela tamb
´
em oferece uma forma pr
´
atica de interfacear uma func¸
˜
ao
de planejamento com uma outra hierarquicamente superior. Por exemplo, um c
´
alculo no
modo estudo pode definir um controle desej
´
avel de tens
˜
ao e pot
ˆ
encia reativa, enquanto o
c
´
alculo em tempo-real pode manter a operac¸
˜
ao livre de violac¸
˜
oes de restric¸
˜
oes operativas
com um m
´
ınimo de desvio do valor
´
otimo planejado.
Conforme an
´
alise apresentada em [1], este objetivo deve ser utilizado com bastante
cautela, pois
´
e composto pela soma de quantidades n
˜
ao similares (por exemplo, desvios de
tens
˜
oes, de tapes e de gerac¸
˜
oes de pot
ˆ
encia ativa), ou seja, ele
´
e composto ou multiobjetivo.
4.4. SUPRESS
˜
AO DE AJUSTES INEFICAZES 51
N
˜
ao h
´
a um crit
´
erio geral para escolha autom
´
atica dos pesos relativos. A escolha dos pesos
relativos parece depender dos tipos e dos locais das violac¸
˜
oes de limites, assim como do
carregamento e da configurac¸
˜
ao do sistema.
Em func¸
˜
ao das caracter
´
ısticas do sistema de subtransmiss
˜
ao CELPE e dos recursos de
controle da operac¸
˜
ao dispon
´
ıveis (essencialmente o controle de tapes e de compensac¸
˜
ao
de reativo por bancos de capacitores em paralelo), a func¸
˜
ao m
´
ınimo desvio
´
e composta
basicamente dos desvios quadrados dos tapes e das suscept
ˆ
ancias em paralelo.
Minimizac¸
˜
ao do N
´
umero de Controles Ajustados: Algumas vezes
´
e impratic
´
avel ou
indesej
´
avel reajustar um grande n
´
umero de controles ao mesmo tempo. Este objetivo
aplica-se quando os meios s
˜
ao limitados para a implementac¸
˜
ao de muitos controles si-
multaneamente, ou a operac¸
˜
ao frequente de equipamentos
´
e n
˜
ao recomendada.
Duas quest
˜
oes importantes, tamb
´
em relacionadas aos objetivos operacionais, s
˜
ao trata-
das a seguir: a supress
˜
ao de ajustes ineficazes e o tratamento de inviabilidades na soluc¸
˜
ao
do problema de FPO.
4.4 Supress
˜
ao de Ajustes Ineficazes
Para aplicac¸
˜
oes do FPO em tempo-real, uma restric¸
˜
ao especial sobre qualquer objetivo
da otimizac¸
˜
ao
´
e a supress
˜
ao dos ajustes pouco efetivos. A supress
˜
ao de determinados
ajustes de controles decorre da necessidade de prevenir o movimento daqueles controles
que, se ajustados, teriam pouco efeito sobre o objetivo ou sobre o atendimento de limites
operacionais. Esta restric¸
˜
ao, a qual
´
e bastante dif
´
ıcil de se especificar analiticamente, est
´
a
relacionada com, mas sem ser id
ˆ
entica, o objetivo de minimizac¸
˜
ao do n
´
umero de controles.
Segundo [4], h
´
a pouca esperanc¸a de se desenvolver uma t
´
ecnica r
´
apida para soluc¸
˜
ao do
problema de minimizac¸
˜
ao do n
´
umero de controles, e o objetivo deve ser desenvolver um
bom m
´
etodo de aproximac¸
˜
ao da soluc¸
˜
ao
´
otima que seja r
´
apido suficiente para uso pr
´
atico.
Nesse sentido
´
e melhor obter soluc¸
˜
oes aproximadamente
´
otimas para problemas realistas
do que soluc¸
˜
oes rigorosamente
´
otimas para problemas irreais. A restric¸
˜
ao do n
´
umero de
controles ajustados pode ser imposta heuristicamente de diversas formas. Uma delas con-
siste em primeiro resolver o problema de FPO completo, e ent
˜
ao iteragir, sucessivamente
4.4. SUPRESS
˜
AO DE AJUSTES INEFICAZES 52
inibindo o ajuste de controles pouco eficazes.
Diversos controles cujas ac¸
˜
oes s
˜
ao limitadas em n
´
umero s
˜
ao ajust
´
aveis apenas em pas-
sos discretos, e m
´
etodos para lidar com vari
´
aveis discretas tendem a diminuir o n
´
umero de
movimentos de controle, mantendo os controles discretos de menor import
ˆ
ancia nos seus
valores iniciais [4]. A dificuldade no tratamento desse requisito decorre do fato das ac¸
˜
oes
de controle n
˜
ao poderem ser ordenadas de maneira simples, porque a import
ˆ
ancia de uma
ac¸
˜
ao de controle n
˜
ao est
´
a necessariamente relacionada
`
a sua magnitude. Decorre ainda
de que cada controle participa na minimizac¸
˜
ao da func¸
˜
ao objetivo e no atendimento das
restric¸
˜
oes, e assim n
˜
ao h
´
a uma maneira simples de separar esses dois efeitos.
E seguindo a l
´
ogica descrita acima, recentemente foi proposta em [8] uma metodologia
para reduc¸
˜
ao do n
´
umero de ac¸
˜
oes de controle, com as seguintes caracter
´
ısticas:
• Resolvem-se tr
ˆ
es problemas de FPO com estruturas id
ˆ
enticas, num processo de soluc¸
˜
ao
com tr
ˆ
es fases, ditas Fase I, Fase II e Fase III.
• A soluc¸
˜
ao de FPO calculada na Fase I emprega todos os controles e
´
e utilizada para
definir o problema de FPO da Fase II.
• Os multiplicadores de Lagrange obtidos na soluc¸
˜
ao do FPO da Fase II s
˜
ao usados
para identificar as ac¸
˜
oes de controle mais efetivas. O n
´
umero m
´
aximo de controles
permitido deve ser especificado pelo usu
´
ario com base em pr
´
aticas operacionais.
• A soluc¸
˜
ao de FPO calculada na Fase III reajusta as magnitudes dos controles se-
lecionados como efetivos para compensar a ac¸
˜
ao dos controles que deixam de ser
modificados.
• Os problemas de FPO nas tr
ˆ
es fases tem a mesma estrutura e assim podem ser resol-
vidos pelo mesmo algoritmo de otimizac¸
˜
ao.
Pequenos ajustes geralmente est
˜
ao relacionados com as vari
´
aveis de controle que s
˜
ao
cont
´
ınuas, tais como tens
˜
oes terminais de geradores. Como o sistema de subtransmiss
˜
ao
da CELPE est
´
a dividido em 13 regionais, cada subsistema apresenta uma
´
unica barra de
tens
˜
ao controlada: a barra de conex
˜
ao com o sistema de transmiss
˜
ao da CHESF. Portanto,
o n
´
umero de vari
´
aveis de controle cont
´
ınuas sujeitas a pequenas variac¸
˜
oes que podem trazer
apenas benef
´
ıcios incrementais
´
e muito pequeno.
4.5. INVIABILIDADES NA SOLUC¸
˜
AO DO FPO 53
4.5 Inviabilidades na Soluc¸
˜
ao do FPO
Um aspecto muito importante de um programa de FPO
´
e como ele se comporta quando
o problema
´
e matematicamente invi
´
avel, ou seja, quando os limites operacionais n
˜
ao po-
dem ser respeitados. Ao inv
´
es de finalizar o processo como n
˜
ao resolvido, o FPO deveria
fornecer uma soluc¸
˜
ao que fosse a melhor poss
´
ıvel, com ou sem instruc¸
˜
oes interativas.
´
E
desej
´
avel que o algoritmo de FPO seja capaz de identificar a inviabilidade do problema de
forma decisiva e r
´
apida. Infelizmente, a maioria dos m
´
etodos de FPO s
˜
ao deficientes neste
prop
´
osito.
Uma vez tendo sido um problema de FPO considerado invi
´
avel, ele pode ser alterado e
resolvido de duas formas alternativas [1]:
1. Com os controles e/ou restric¸
˜
oes do FPO modificados. As modificac¸
˜
oes poss
´
ıveis
incluem:
• adic¸
˜
ao de novos controles (liberando controles previamente fixados, conectando
novos geradores, etc);
• expans
˜
ao dos valores dos limites operacionais (de valores de longo-prazo para
m
´
edio-prazo, ou em
´
ultimo caso ignorar os limites);
• modificac¸
˜
ao da topologia da rede;
• reduc¸
˜
ao ou corte de carga (normalmente essa deve ser a
´
ultima ac¸
˜
ao a ser to-
mada).
2. Com a func¸
˜
ao objetivo modificada para prover uma soluc¸
˜
ao na qual os limites que
causam a inviabilidade da soluc¸
˜
ao sejam minimamente violados.
O termo solu¸c˜ao de m´ınima viola¸c˜ao pode ser definido de diferentes maneiras. A
mais comum
´
e penalizar as violac¸
˜
oes na forma de m
´
ınimos quadrados. Isso significa
aumentar a func¸
˜
ao objetivo, tal como o custo de gerac¸
˜
ao ou perdas el
´
etricas, com
uma s
´
erie de func¸
˜
oes de penalidades de m
´
ınimos desvios.
Para ilustrar esta id
´
eia, considere o FPO expresso na forma padr
˜
ao (2.1), reescrita
4.5. INVIABILIDADES NA SOLUC¸
˜
AO DO FPO 54
abaixo por conveni
ˆ
encia:
Minimize f (x)
sujeito a g(x) = 0
l ≤ x ≤ u
Sejam V
m
e V
M
os conjuntos dos
´
ındices das restric¸
˜
oes de limites l
i
≤ x
i
e x
i
≤ u
i
,
respectivamente, que s
˜
ao violadas. Como uma vari
´
avel x
i
n
˜
ao pode violar seus dois
limite simultaneamente, temos que V
m
∩ V
M
= ∅. O problema modificado para
minimizar violac¸
˜
oes de limites pode ser da forma:
Minimize f (x) + c
i∈V
m
w
i
(x
i
−l
i
)
2
+ c
i∈V
M
w
i
(x
i
−u
i
)
2
sujeito a g(x) = 0,
l
i
≤ x
i
≤ u
i
, para i V
m
∪V
M
,
(4.4)
em que c
´
e um n
´
umero positivo grande, que pondera a minimizac¸
˜
ao das violac¸
˜
oes
em relac¸
˜
ao ao objetivo original, e w
i
´
e o peso da restric¸
˜
ao denotando o seu grau de
import
ˆ
ancia em relac¸
˜
ao as demais restric¸
˜
oes violadas.
A escolha de c
´
e arbitr
´
aria, e a soluc¸
˜
ao exata pode ser obtida atribuindo-se um va-
lor suficientemente grande para c de forma que a soma dos quadrados das violac¸
˜
oes
seja o termo dominante da func¸
˜
ao objetivo modificada. No entanto, conforme dis-
cuss
˜
oes em [3], a busca de violac¸
˜
oes rigorosamente m
´
ınimas (atribuindo-se valores
muito grandes para c) pode requerer modificac¸
˜
oes excessivas nos controles, muitas
das quais proporcionando apenas reduc¸
˜
oes superficiais das violac¸
˜
oes.
As estrat
´
egias (1) e (2) n
˜
ao s
˜
ao mutuamente exclusivas. Portanto, se a estrat
´
egia (1) falhar
na busca de uma soluc¸
˜
ao vi
´
avel, pode-se recorrer a estrat
´
egia (2), e vice-versa. Deve-se
observar que expandir uniformemente os limites pode fornecer soluc¸
˜
oes muito diferentes
daquelas projetadas para minimizar violac¸
˜
oes.
Em [47]
´
e proposta uma metodologia para identificac¸
˜
ao e tratamento de inviabilida-
des no FPO via o m
´
etodo primal-dual de PI e suas variantes. A metodologia emprega
uma comutac¸
˜
ao de algoritmos de soluc¸
˜
ao quando ocorre dificuldade de convergence e in-
viabilidade
´
e detectada. Na detecc¸
˜
ao de inviabilidade considera-se que um dos primeiros
4.5. INVIABILIDADES NA SOLUC¸
˜
AO DO FPO 55
sintomas de um problema invi
´
avel, no contexto da soluc¸
˜
ao via o m
´
etodo primal-dual de
PI,
´
e a tend
ˆ
encia a zero do comprimento de passo primal definido pela equac¸
˜
ao (3.9), o
que resulta na estagnac¸
˜
ao do processo iterativo. Isso ocorre porque uma ou mais vari
´
aveis
de folga tendem rapidamente para zero. Adicionalmente, a inviabilidade do problema est
´
a
relacionada com o comportamento do multiplicador de Lagrange associado ao limite que
est
´
a provocando a inviabilidade. Este multiplicador ter
´
a um valor n
˜
ao nulo e, relativamente
aos demais, muito maior em valor absoluto, representando a “press
˜
ao” do processo de con-
verg
ˆ
encia para ir al
´
em, no sentido de ultrapassar o limite imposto pelo problema.
O procedimento em [47] inicia o monitoramento de inviabilidade quando o compri-
mento de passo α
k
torna-se demasiadamente pequeno (≈ 0). Mais especificamente, se
α
k
≤ 0, 0001 durante 3 ou mais iterac¸
˜
oes consecutivas, ent
˜
ao o problema de FPO possi-
velmente ’e invi
´
avel, e os conjuntos de
´
ındices dos limites inferiores e superiores possivel-
mente invi
´
aveis s
˜
ao definidos como seque:
V
L
= {i | s
i
≤ τ
1
e π
i
≥ τ
2
, i = 1, 2, . . . , n}, (4.5)
V
U
= {i | z
i
≤ τ
1
e υ
i
≥ τ
2
, i = 1, 2, . . . , n}. (4.6)
´
E desej
´
avel que todos os limites invi
´
aveis estejam inclu
´
ıdos nos conjuntos V
L
e V
U
, e que
nenhum limite vi
´
avel seja incorretamente inclu
´
ıdo num desses conjuntos, por
´
em, n
˜
ao h
´
a
garantia que essa situac¸
˜
ao ideal ocorra sempre na metodologia proposta em [47].
Como dito anteriormente, quando inviabilidade no FPO
´
e detectada ela
´
e geralmente
tratada aumentando-se o n
´
umero de controles, modificando a func¸
˜
ao objetivo, ou relaxando
algumas restric¸
˜
oes. Esta abordagem
´
e natural dado que inexist
ˆ
encia de um ponto vi
´
avel
´
e
a origem do problema. Na metodologia em [47] o problem relaxado
´
e na forma (4.4).
No entanto, para a implementac¸
˜
ao computacional eficiente todas as restric¸
˜
oes de limites
s
˜
ao mantidas na formulac¸
˜
ao, preservando o tanto quanto poss
´
ıvel a estrutura do sistema de
Newton (3.6), sendo os limites invi
´
aveis removidos implicitamente pela expans
˜
ao dos limi-
tes (diminuindo o limite inferior ou aumentando o limite superior). Em resumo, resolve-se
4.6. DISCRETIZAC¸
˜
AO DE VARI
´
AVEIS 56
o problema modificado:
Minimize f (x) +
i∈V
L
w
i
(x
i
−l
i
)
2
+
i∈V
U
w
i
(x
i
−u
i
)
2
sujeito a g(x) = 0,
l ≤ x ≤
u,
(4.7)
em que
l
i
= l
i
− δ se i ∈ V
L
e
u
i
= u
i
+ δ se i ∈ V
U
; δ
´
e o montante da relaxac¸
˜
ao nos
limites violados.
Devido a formulac¸
˜
ao e a resoluc¸
˜
ao de um sistema linear de grande porte em cada
iterac¸
˜
ao ser a tarefa mais dispendiosa no algoritmo de PI, a metodologia mant
´
em a estrutura
desse sistema linear inalterada. A id
´
eia de preservac¸
˜
ao da estrutura do problema de FPO
´
e motivada por estrat
´
egias de partida quente em programac¸
˜
ao quadr
´
atica sequencial [48] e
ela torna a comutac¸
˜
ao de algoritmos bastante simples.
4.6 Discretizac¸
˜
ao de Vari
´
aveis
Algumas vari
´
aveis de controle do FPO s
˜
ao cont
´
ınuas (tens
˜
oes de geradores, pot
ˆ
encia ativa
de geradores, etc) e outras s
˜
ao discretas (tapes de transformadores, suscept
ˆ
ancias de ca-
pacitores e reatores em paralelo, etc). Normalmente, dada a enorme complexidade que
´
e
a soluc¸
˜
ao de um problema de otimizac¸
˜
ao n
˜
ao-linear com vari
´
aveis discretas [49, 50], os
m
´
etodos de otimizac¸
˜
ao empregados na soluc¸
˜
ao do FPO tratam todas as vari
´
aveis como
cont
´
ınuas. Uma vez encontrada uma soluc¸
˜
ao
´
otima cont
´
ınua, cada vari
´
avel discreta que
´
e
tratada como cont
´
ınua
´
e aproximada para um valor discreto, geralmente o seu valor discreto
mais pr
´
oximo. Todavia, ap
´
os tal procedimento, a soluc¸
˜
ao encontrada dificilmente
´
e uma
soluc¸
˜
ao inteira-mista rigorosamente
´
otima, de forma que novas soluc¸
˜
oes de FPO podem ser
requeridas [5].
A modelagem exata das vari
´
aveis de controle discretas juntamente com as cont
´
ınuas
torna o problema de FPO num problema de programac¸
˜
ao n
˜
ao-linear inteira-mista [51], de
forma que soluc¸
˜
oes rigorosamente
´
otimas, envolvendo controles discretos, requerem pro-
cedimentos de pesquisa combinatorial, o que torna a ferramenta de FPO inaceitavelmente
lenta para aplicac¸
˜
oes em tempo-real [52].
4.7. INTERFACE GR
´
AFICA COM O USU
´
ARIO 57
M
´
etodos cl
´
assicos de programac¸
˜
ao inteira, tais como branch-and-bound (B&B) e cut-
ting plane s
˜
ao n
˜
ao polinomiais. Consequentemente, eles s
˜
ao lentos e pouco atrativos para
aplicac¸
˜
oes em problemas de grande porte. Conforme descric¸
˜
ao em [50], o m
´
etodo B&B
´
e
baseado na id
´
eia de enumerar de forma “inteligente” todos os pontos vi
´
aveis de um pro-
blema de otimizac¸
˜
ao combinatorial. Nesta enumerac¸
˜
ao o m
´
etodo constr
´
oi uma prova de
que uma soluc¸
˜
ao
´
e
´
otima baseado em partic¸
˜
oes sucessivas do espac¸o de soluc¸
˜
ao. O termo
branch (ramo) em branch-and-bound refere-se a este processo de particionamento; o termo
bound (limite) refere-se a limites inferiores que s
˜
ao usados para construir uma prova de oti-
malidade sem realizar a busca exaustiva.
Na literatura de sistemas de pot
ˆ
encia a refer
ˆ
encia [53] trata as vari
´
aveis discretas pro-
pondo um m
´
etodo de pesquisa aproximada, num problema de planejamento de pot
ˆ
encia
reativa. Na refer
ˆ
encia [54] os dispositivos discretos capacitores e reatores em paralelo s
˜
ao
tratados num problema de FPO usando os algoritmos de penalidade de Driebeck’s. Na
refer
ˆ
encia [52]
´
e proposto um algoritmo de discretizac¸
˜
ao baseado em penalidades. O al-
goritmo trata a discretizac¸
˜
ao dos capacitores e reatores em paralelo durante o processo de
FPO baseado no m
´
etodo de Newton sem uma pesquisa combinatorial. O artigo mostra que
o algoritmo pode ser facilmente incorporado aos programas de FPO existentes.
Pesquisa recente em [55] procurou obter soluc¸
˜
oes discretas pela simples reformulac¸
˜
ao
do problema de FPO com vari
´
aveis discretas ainda como um problema de otimizac¸
˜
ao
cont
´
ınua, seja pela inclus
˜
ao de penalidades na func¸
˜
ao objetivo ou pela incorporac¸
˜
ao de
restric¸
˜
oes adicionais no problema. Todavia, os resultados num
´
ericos obtidos n
˜
ao foram
satisfat
´
orios, uma vez que foram semelhantes aos resultados obtidos pelo simples arredon-
damento da soluc¸
˜
ao cont
´
ınua para valores discretos pr
´
oximos. Ficou caracterizado que a
natureza discreta das vari
´
aveis deve ser necessariamente explorada pela t
´
ecnica de soluc¸
˜
ao
em vez da simples reformulac¸
˜
ao do problema como um problema de otimizac¸
˜
ao cont
´
ınua,
uma vez que tal reformulac¸
˜
ao requer a obtenc¸
˜
ao de soluc¸
˜
oes
´
otimas globais o que
´
e igual-
mente de grande complexidade.
4.7 Interface Gr
´
afica com o Usu
´
ario
Os principais programas para an
´
alise de sistemas de pot
ˆ
encia existentes no mercado, sejam
programas de FPO ou n
˜
ao, fazem uso de sofisticadas interfaces gr
´
aficas com o usu
´
ario,
4.7. INTERFACE GR
´
AFICA COM O USU
´
ARIO 58
comumente chamadas de GUI’s. O termo GUI significa Graphical User Interface, e refere-
se a id
´
eia universal de
´
ıcones, bot
˜
oes, menus popup, etc., que s
˜
ao visualmente apresentados
ao usu
´
ario como a linha de frente de um software aplicativo. Os recursos de interface
gr
´
afica do programa OOTrans analisado s
˜
ao ilustrados no Ap
ˆ
endice B.
Uma GUI fornece uma plataforma amig
´
avel para o usu
´
ario interagir com a ferramenta
computacional. Um aspecto muito importante de uma GUI
´
e que ela pode prover uma
maneira simples e segura para o usu
´
ario do aplicativo interagir com o programa sem o
conhecimento de comandos de programac¸
˜
ao. O funcionamento geral das GUI’s baseia-se
na reac¸
˜
ao a ac¸
˜
oes ou eventos, ou seja, o estado de uma GUI
´
e alterado apenas quando o
usu
´
ario ou outros elementos de c
´
odigo desencadeiam uma determinada ac¸
˜
ao ou evento.
Quando bem projetada e programada, uma GUI, al
´
em de constituir uma interface homem-
m
´
aquina amig
´
avel, pode reduzir a praticamente zero a possibilidade de erros no uso do
programa computacional, uma vez que a digitac¸
˜
ao e memorizac¸
˜
ao de sequ
ˆ
encias e sintaxes
de comandos s
˜
ao reduzidas ao m
´
aximo.
Em programas de FPO os par
ˆ
ametros dos componentes da rede el
´
etrica, dos mode-
los de otimizac¸
˜
ao e dos algoritmos de soluc¸
˜
ao, assim como as func¸
˜
oes e ferramentas de
an
´
alise podem ser convenientemente acessados atrav
´
es da GUI. Atrav
´
es de diagramas uni-
filares
´
e poss
´
ıvel montar e modificar a topologia da rede el
´
etrica graficamente. Todas as
informac¸
˜
oes relacionadas com um componente qualquer do sistema el
´
etrico podem ser
facilmente acessadas por meio de um duplo clique na representac¸
˜
ao do componente no
diagrama unifilar.
Um programa de FPO deve permitir a entrada de dados da rede el
´
etrica nos diversos
formatos utilizados pelas empresas, como os formatos ANAREDE, PTI, CDF, etc. Deve
tamb
´
em dispor de recursos para verificac¸
˜
ao de inconsist
ˆ
encia nos dados, tais como: (i)
verificac¸
˜
ao de topologia para identificac¸
˜
ao de barras isoladas, ilhamentos, e ramos paralelos
com mesma identificac¸
˜
ao, (ii) verificac¸
˜
ao de dados de barras como barras controladas por
mais de um dispositivo de controle e barras com gerac¸
˜
ao negativa, (iii) verificac¸
˜
ao de ramos
como ramos com imped
ˆ
ancias muito grandes ou muito pequenas, com reat
ˆ
ancia negativa,
ou com fluxos excedendo a imped
ˆ
ancia de surto (SIL), etc.
Ap
´
os um processo de soluc¸
˜
ao qualquer (um fluxo de pot
ˆ
encia simples ou fluxo de
pot
ˆ
encia
´
otimo), o usu
´
ario poder
´
a solicitar diversos tipos de relat
´
orios, al
´
em dos relat
´
orios
usuais de uma soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia. Al
´
em de relat
´
orios impressos, diversos tipos
4.8. AN
´
ALISE DE SENSIBILIDADE 59
de gr
´
aficos poder
˜
ao ser gerados a partir de uma GUI.
Os programas de FPO devem dispor de recursos para visualizac¸
˜
ao dos dados de entrada
e dos resultados em diagramas unifilares. O usu
´
ario pode criar diagramas unifilares sim-
plesmente clicando-e-arrastando componentes de uma palette de componentes para a
´
area
do diagrama. Como o diagrama est
´
a conectado a ferramenta de an
´
alise, os dados da rede
podem ser modificados no diagrama unifilar.
A Figura 4.1 ilustra um dos recursos para exibic¸
˜
ao de resultados dispon
´
ıvel no simu-
lador PowerWorld [56] (ver tamb
´
em www.powerworld.com). Neste simulador os fluxos
nos circuitos s
˜
ao exibidos no diagrama unifilar de forma animada (flechas movendo-se ao
longo da linha, no sentido do fluxo), ilustrando tanto o sentido do fluxo quanto a magni-
tude relativa do fluxo. Disjuntores nos circuitos, nas cargas e nos geradores permitem que
o usu
´
ario retire ou insira esses componentes com um simples clique do mouse. Ao simular
a remoc¸
˜
ao de um componente no diagrama unifilar o estado do sistema
´
e automaticamente
recalculado e o impacto dessa mudanc¸a pode ser imediatamente visualizado.
Mapas de contorno surgem tamb
´
em como um outro recurso visual muito interessante
introduzido pela ferramenta PowerWorld. Um mapa de contorno prover uma “vis
˜
ao de
p
´
assaro” de como tens
˜
oes, cargas, perdas e sensibilidade de fluxos, fatores de distribuic¸
˜
ao
de perdas, prec¸o spot, e fluxos de ramos e interfaces variam ao longo do sistema. Os contor-
nos de cores chamam a atenc¸
˜
ao para aquelas
´
areas do sistema que apresentam problemas.
Esta funcionalidade apresenta-se como sendo de grande import
ˆ
ancia no monitoramento em
tempo real de sistemas.
4.8 An
´
alise de Sensibilidade
Quase sempre
´
e desej
´
avel ter informac¸
˜
oes sobre a sensibilidade da soluc¸
˜
ao em relac¸
˜
ao a
v
´
arios aspectos do problema. E uma caracter
´
ıstica muito interessante do FPO resolvido por
m
´
etodos de pontos-interiores s
˜
ao as informac¸
˜
oes de sensibilidade contidas nos multiplica-
dores de Lagrange. Como conhecido na literatura [44, 51], um multiplicador de Lagrange
diz algo sobre a sensibilidade da func¸
˜
ao objetivo em relac¸
˜
ao a presenc¸a da restric¸
˜
ao a ele
associada. Em outras palavras, o multiplicador de Lagrange indica o qu
˜
ao forte a restric¸
˜
ao
influencia no valor
´
otimo da func¸
˜
ao objetivo. Quando uma determinada restric¸
˜
ao
´
e inativa,
4.8. AN
´
ALISE DE SENSIBILIDADE 60
Figura 4.1: Diagrama unifilar com animac¸
˜
ao para exibic¸
˜
ao de resultados no programa
PowerWorld.
a soluc¸
˜
ao
´
otima x
∗
e o valor da func¸
˜
ao f (x
∗
) s
˜
ao indiferentes
`
a presenc¸a ou n
˜
ao dessa
restric¸
˜
ao, e assim o multiplicador de Lagrange correspondente dever
´
a ser nulo.
´
E importante ressaltar que apesar do resultado obtido num processo de otimizac¸
˜
ao
ser
´
otimo, sua otimalidade est
´
a associada ao conjunto de restric¸
˜
oes especificado. Dessa
forma, informac¸
˜
oes sobre a sensibilidade das restric¸
˜
oes s
˜
ao bastante
´
uteis a medida que as
restric¸
˜
oes podem n
˜
ao ser definidas rigidamente no contexto de um problema. Por exemplo,
num modelo as restric¸
˜
oes muitas vezes representam propriedades desej
´
aveis da soluc¸
˜
ao em
vez de essenciais. Assim, relaxando um pouco uma dada restric¸
˜
ao poder
´
a n
˜
ao ser cr
´
ıtico
se a funcc
˜
ao objetivo ir
´
a melhorar significativamente. Alternativamente, no sentido oposto,
pode ser ben
´
efico impor requisitos mais restritivos quando o impacto no objetivo
´
otimo
´
e
insignificante. Portanto, uma an
´
alise p
´
os-otimalidade de sensibilidade possibilita que um
4.8. AN
´
ALISE DE SENSIBILIDADE 61
melhor ponto de operac¸
˜
ao possa ser encontrado. Por exemplo, a an
´
alise de sensibilidade
pode identificar os limites operativos que mais fortemente restringem o valor
´
otimo da
func¸
˜
ao objetivo.
Pode-se concluir que em programas de otimizac¸
˜
ao em geral s
˜
ao necess
´
arios meios para
exibic¸
˜
ao de informac¸
˜
oes relativas ao processo de otimizac¸
˜
ao, como valores de folgas das
restric¸
˜
oes de limites e dos multiplicadores de Lagrange associados.
´
E desej
´
avel que um pro-
grama de FPO calcule e fornec¸a diversas informac¸
˜
oes de sensibilidade como, por exemplo,
sensibilidades de fluxos em linhas e interfaces (para identificac¸
˜
ao dos controles mais efeti-
vos no al
´
ıvio do carregamento de um dado circuito), sensibilidade de perdas (para an
´
alises
econ
ˆ
omicas e definic¸
˜
ao de penalidades no aumento de perdas do sistema), prec¸os spot, etc.
Cap
´
ıtulo 5
Aplicac¸
˜
ao de Programa de FPO em
Sistema Real de Subtransmiss
˜
ao
Nos campos da observa¸c˜ao, o acaso favorece
apenas as mentes preparadas.
Louis Pasteur
E
ste cap
´
ıtulo apresenta os resultados num
´
ericos obtidos com um programa de fluxo de
pot
ˆ
encia
´
otimo denominado OOTrans (Otimizac¸
˜
ao da Operac¸
˜
ao da Transmiss
˜
ao),
quando aplicado na minimizac¸
˜
ao de perdas el
´
etricas no sistema de subtransmiss
˜
ao CELPE.
O programa foi exaustivamente testado nos 13 regionais que comp
˜
oem o sistema CELPE.
62
5.1. CARACTER
´
ISTICAS DO SISTEMA DE SUBTRANSMISS
˜
AO 63
Os objetivos principais desses experimentos iniciais s
˜
ao: (i) verificar o desempenho com-
putacional dos algoritmos de otimizac¸
˜
ao implementados com relac¸
˜
ao a robustez e rapidez
de converg
ˆ
encia, (ii) comparar o desempenho dos algoritmos que competem entre si como
o algoritmo mais eficiente para soluc¸
˜
ao do FPO, e (iii) ajustar os par
ˆ
ametros dos algoritmos
de otimizac¸
˜
ao implementados.
5.1 Caracter
´
ısticas do Sistema de Subtransmiss
˜
ao
A rede el
´
etrica de subtransmiss
˜
ao CELPE n
˜
ao
´
e totalmente interligada, sendo composta
por 13 regionais, cujos quantitativos de n
´
umero total de barras |N|, n
´
umero de barras
de gerac¸
˜
ao |G|, n
´
umero de barras de carga com compensac¸
˜
ao de pot
ˆ
encia reativa fixa ou
nula |F|, n
´
umero de barras de carga com compensac¸
˜
ao de pot
ˆ
encia reativa control
´
avel |C|,
n
´
umero de linhas (Linhas), n
´
umero de transformadores com tape fixo (Fixo), e n
´
umero de
transformadores com tape vari
´
avel (LTC), s
˜
ao apresentados na Tabela 5.1. As localizac¸
˜
oes
dos 13 regionais no Estado de Pernambuco s
˜
ao ilustradas na Figura 5.1.
Figura 5.1: Localizac¸
˜
ao dos regionais do sistema el
´
etrico CELPE.
A Tabela 5.2 apresenta os quantitativos referentes as vari
´
aveis de controle discretas
existentes nos regionais, a saber: as compensac¸
˜
oes de pot
ˆ
encia reativa control
´
aveis em
paralelo (bancos de capacitores chave
´
aveis), e os tapes dos transformadores com LTC. Com
relac¸
˜
ao as compensac¸
˜
oes de pot
ˆ
encia reativa em paralelo, s
˜
ao mostrados o n
´
umero total de
barras por regional, e os n
´
umeros de barras com 1, 2, 3 e 4 m
´
odulos capacitivos. A tabela
mostra ainda, com relac¸
˜
ao a compensac¸
˜
ao de pot
ˆ
encia reativade, por regional, o menor
5.2. OS SISTEMAS TESTES 64
Tabela 5.1: N
´
umero de barras, circuitos e transformadores do sistema CELPE.
N
´
umero de Barras Transformadores
Regional
|N| |G| |F| |C|
Linhas
Fixo LTC
Angelim 47 1 33 13 32 14 12
Bongi 51 1 38 12 36 25 6
Bom Nome 69 kV 22 1 13 8 12 4 11
Bom Nome 138 kV 38 1 27 10 21 9 16
Goianinha 23 1 12 10 25 20 2
Itaparica 5 1 2 2 2 4 -
Juazeiro 29 1 21 7 19 12 7
Mirueira 42 1 19 22 32 17 6
Pau Ferro 54 1 43 10 40 27 7
Pirapama 94 1 80 13 65 37 8
Ribeir
˜
ao 42 1 30 11 33 21 5
Tacaimb
´
o 49 1 39 9 31 13 14
V
´
arzea 18 1 13 4 13 9 2
Total 514 13 370 131 361 212 96
(∆
min
) e o maior (∆
max
) incremento de pot
ˆ
encia reativa no chaveamento dos m
´
odulos de
compensac¸
˜
ao.
Os quantitativos de barras por n
´
umero de m
´
odulos de compensac¸
˜
ao s
˜
ao informac¸
˜
oes
importantes na an
´
alise do grau de dificuldade na obtenc¸
˜
ao de uma soluc¸
˜
ao
´
otima discreta.
As informac¸
˜
oes de incrementos m
´
ınimos e m
´
aximos s
˜
ao dados importantes na an
´
alise do
impacto de estrat
´
egias de arredondamento de soluc¸
˜
oes cont
´
ınuas para valores discretos.
As tr
ˆ
es
´
ultimas colunas da Tabela 5.2 apresentam os dados dos transformadores com
LTC, a saber: o n
´
umero total de transformadores com LTC, o n
´
umeros de tapes discretos
n
p
, e o valor aproximado dos incrementos de tapes (∆
p
). Alguns regionais apresentam
transformadores com n
´
umero de tapes e incrementos de tapes distintos, de forma que para
simplificar a apresentac¸
˜
ao dos dados foram indicados apenas um valor de n
p
e de ∆
p
, aquele
de maior frequ
ˆ
encia no regional.
5.2 Os Sistemas Testes
A Tabela 5.3 apresenta, para fins de comparac¸
˜
ao com as soluc¸
˜
oes
´
otimas obtidas, o mon-
tante de perdas em cada regional (em MW e como um percentual da carga total), na
5.2. OS SISTEMAS TESTES 65
Tabela 5.2: Quantidades e modulac¸
˜
oes das suscept
ˆ
ancias shunts e tapes de LTC’s.
Barras com Compensac¸
˜
ao de Reativo
Regional Por Modulac¸
˜
ao Variac¸
˜
oes LTC’s
Total
1 2 3 4 ∆
min
∆
max
Total n
p
≈ ∆
p
Angelim 13 8 5 - - 1.02 4.06 12 32 .006
Bongi 12 - 8 4 - 3.05 6.09 6 16 .012
Bom Nome 69 kV 8 4 4 - - 1.02 3.05 11 32 .006
Bom Nome 138 kV 10 3 6 1 - 0.51 2.03 16 16 .012
Goianinha 10 1 8 1 - 1.02 10.0 2 32 .008
Itaparica 2 - - 2 - 1.02 2.03 - - -
Juazeiro 7 - 4 2 1 1.02 2.03 7 16 .012
Mirueira 12 1 5 5 1 2.03 4.06 6 16 .012
Pau Ferro 10 2 7 1 - 1.02 3.05 7 16 .012
Pirapama 13 3 6 4 - 1.02 4.06 8 32 .006
Ribeir
˜
ao 11 2 7 1 1 1.02 2.03 5 32 .006
Tacaimb
´
o 9 2 7 - - 1.02 4.06 14 32 .006
V
´
arzea 4 1 1 2 - 2.03 4.06 2 32 .006
Total 121 27 68 23 3 - - 96 - -
condic¸
˜
ao de carga m
´
axima.
Com relac¸
˜
ao a complexidade dos problemas de FPO de cada regional, a Tabela 5.4
mostra o n
´
umero de vari
´
aveis, n, o n
´
umero de restric¸
˜
oes de igualdades, m, e o n
´
umero
de restric¸
˜
oes de limites simples sobre vari
´
aveis, p. A Tabela 5.4 mostra tamb
´
em que o
n
´
umero de soluc¸
˜
oes discretas poss
´
ıveis
´
e expressivamente elevado, mesmo otimizando os
regionais individualmente. A t
´
ıtulo de exemplo, observa-se que o n
´
umero de soluc¸
˜
oes
discretas poss
´
ıveis para o regional Angelim
´
e de 2, 95147905179352825856 ×10
20
.
Faz-se necess
´
ario o desenvolvimento de heur
´
ısticas para a transformac¸
˜
ao de soluc¸
˜
oes
cont
´
ınuas em soluc¸
˜
oes discretas, uma vez que o tratamento de um n
´
umero de soluc¸
˜
oes
discretas dessa ordem de grandeza
´
e impratic
´
avel numa aplicac¸
˜
ao em tempo-real. Esse
elevado n
´
umero de soluc¸
˜
oes discretas decorre principalmente do elevado n
´
umero de tapes
discretos associados com um
´
unico LTC (32 tapes). Por outro lado, os incrementos de tapes
s
˜
ao valores pequenos, da ordem de 0.006, de maneira que a discretizac¸
˜
ao das soluc¸
˜
oes
cont
´
ınuas obtidas para os valores discretos mais pr
´
oximos n
˜
ao constituir
´
a em degradac¸
˜
ao
significativa da soluc¸
˜
ao
´
otima.
Ao contr
´
ario dos tapes, os incrementos das compensac¸
˜
oes de pot
ˆ
encia reativa s
˜
ao de
5.3. OS DADOS NECESS
´
ARIOS 66
Tabela 5.3: Montante de perdas por regional na soluc¸
˜
ao n
˜
ao-otimizada.
Carga M
´
axima Perdas Ativas
Regional MW Mvar (MW) (%)
Angelim 91.30 38,10 9,64 10,56
Bom Nome 138 kV 48,20 22,90 7,02 14,56
Bom Nome 69 kV 46,10 19,60 5,17 11,21
Bongi 322,10 153,70 3,53 1,10
Goianinha 114,50 49,50 4,55 3,97
Itaparica 4,50 2,10 0,07 1,56
Juazeiro 60,40 29,40 1,77 2,93
Mirueira 258,60 119,10 2,22 0,86
Pau Ferro 155,30 70,00 11,78 7,59
Pirapama 204,70 98,40 4,05 1,98
Ribeir
˜
ao 80,60 37,40 2,54 3,15
Tacaimb
´
o 106,40 52,50 4,24 3,99
V
´
arzea 133,70 57,90 0,91 0,68
Totais 1.626,40 750,60 57,49 3,54
ordens significativas, variando de 1.02 a 10.06 Mvar. Assim, o esforc¸o da otimizac¸
˜
ao
discreta dever
´
a ser voltado para o tratamento das suscept
ˆ
ancias em paralelo, recorrendo
ainda ao aux
´
ılio de heur
´
ısticas e do “bom senso de engenharia” para reduzir o espac¸o de
busca e melhorar o desempenho computacional do algoritmo de otimizac¸
˜
ao discreta.
5.3 Os Dados Necess
´
arios
O programa OOTrans, como qualquer outro programa de FPO, requer basicamente tr
ˆ
es
conjuntos de dados: (i) os dados da rede el
´
etrica (dados de barras e de linhas, como os
que s
˜
ao requeridos por um programa de fluxo de pot
ˆ
encia tradicional), (ii) os dados para a
otimizac¸
˜
ao (como os limites f
´
ısicos de equipamentos e os limites operacionais), e (iii) os
par
ˆ
ametros do algoritmo de otimizac¸
˜
ao.
Os dados da rede el
´
etrica s
˜
ao fornecidos como arquivos padr
˜
oes de programas de fluxo
de pot
ˆ
encia. O programa OOTrans trabalha com quatro formatos de arquivos diferentes,
dentre eles: o formato ANAREDE (amplamente utilizado pela CELPE e pelas empresas
de energia el
´
etrica no Brasil) e o formato IEEE Common Data Format. Internamente ao
5.3. OS DADOS NECESS
´
ARIOS 67
Tabela 5.4: N
´
umero de vari
´
aveis n, n
´
umero de restric¸
˜
oes de igualdades m, n
´
umero de
limites simples sobre as vari
´
aveis p, e n
´
umero de soluc¸
˜
oes discretas poss
´
ıveis, por regional.
Regional n m p N
´
umero de Soluc¸
˜
oes Discretas
Angelim 126 100 80 (2
8
×3
5
) ×(32
12
) ≈ 2, 95 ×10
20
Bongi 128 109 78 (3
8
×4
4
) ×(16
06
) =
Bom Nome 69 kV 66 46 45 (2
4
×3
4
) ×(32
11
) =
Bom Nome 138 kV 107 80 70 (2
3
×3
6
×4
1
) ×(16
16
) =
Goianinha 64 51 46 (2
2
×3
8
×4
1
) ×(32
02
) =
Itaparica 13 10 9 4
2
= 16
Juazeiro 77 62 49 (3
4
×4
2
×5
1
) ×(16
07
) =
Mirueira 119 90 78 (2
1
×3
5
×4
5
×5
1
) ×(16
06
) =
Pau Ferro 134 116 81 (2
2
×3
7
×4
1
) ×(16
07
) =
Pirapama II 224 201 131 (2
3
×3
6
×4
4
) ×(32
08
) =
Ribeir
˜
ao 108 91 67 (2
2
×3
7
×4
1
×5
1
) ×(32
05
) =
Tacaimb
´
o 128 104 80 (2
2
×3
7
) ×32
14
=
V
´
arzea 46 39 29 (2
1
×3
1
×4
2
) ×(32
02
) =
programa OOTrans, o formato padr
˜
ao de dados da rede
´
e o formato IEEE Common Data
Format. Quando o formato do arquivo de dados selecionado
´
e o ANAREDE ou outro que
n
˜
ao o IEEE, ent
˜
ao uma func¸
˜
ao de convers
˜
ao do arquivo para o formato interno padr
˜
ao
(IEEE Common Data Format)
´
e automaticamente executada, de forma que o arquivo de
dados ANAREDE passa a ser dispon
´
ıvel tamb
´
em no formato IEEE Common Data Format.
Os dados adicionais para a otimizac¸
˜
ao, como os limites f
´
ısicos de equipamentos e os
limites operacionais, s
˜
ao fornecidos num segundo arquivo de terminac¸
˜
ao .fpo, o qual tem
uma formatac¸
˜
ao que foi desenvolvida especialmente para o programa OOTrans, uma vez
que n
˜
ao h
´
a, na literatura especializada, uma padronizac¸
˜
ao definida para esse conjunto de
dados. Pode-se considerar essa formatac¸
˜
ao como sendo ainda provis
´
oria, e um arquivo
exemplo
´
e apresentado no final deste relat
´
orio.
O terceiro conjunto de dados inclui os par
ˆ
ametros do algoritmo de otimizac¸
˜
ao. Esses
par
ˆ
ametros n
˜
ao s
˜
ao fornecidos via arquivos, mas sim atrav
´
es da interface gr
´
afica com o
usu
´
ario do programa. Valores padr
˜
oes s
˜
ao definidos para todos os par
ˆ
ametros, os quais
s
˜
ao automaticamente exibidos quando o programa
´
e carregado na mem
´
oria. O usu
´
ario, se
assim desejar, pode alterar qualquer desses par
ˆ
ametros, a qualquer instante. A Tabela 5.5
lista os par
ˆ
ametros, uma breve descric¸
˜
ao dos mesmos, e os seus valores padr
˜
oes.
Al
´
em dos ajustes dos par
ˆ
ametros relacionados, o usu
´
ario pode influenciar o processo
5.3. OS DADOS NECESS
´
ARIOS 68
de soluc¸
˜
ao escolhendo entre v
´
arios algoritmos de fluxo de pot
ˆ
encia e v
´
arios algoritmos
de otimizac¸
˜
ao por pontos interiores. Os algoritmos de fluxo de pot
ˆ
encia dispon
´
ıveis s
˜
ao:
(i) m
´
etodo de Newton completo, (ii) m
´
etodo desacoplado r
´
apido vers
˜
ao BX, (iii) m
´
etodo
desacoplado r
´
apido vers
˜
ao XB, (iv) m
´
etodo de Gauss-Seidel, e (v) m
´
etodo DC. O algoritmo
de soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia padr
˜
ao
´
e o m
´
etodo desacoplado r
´
apido vers
˜
ao BX.
Os algoritmos de otimizac¸
˜
ao por m
´
etodos de pontos-interiores baseados na func¸
˜
ao de
barreira logaritmica, que est
˜
ao dispon
´
ıveis no programa OOTrans, s
˜
ao:
MPD : m
´
etodo primal-dual simples,
MPC : m
´
etodo preditor-corretor,
PCM : m
´
etodo preditor-corretor m
´
ultiplo, e
MCC : m
´
etodo de m
´
ultiplas correc¸
˜
oes de centralidade.
Tabela 5.5: Valores padr
˜
oes dos par
ˆ
ametros dos algoritmos.
Par
ˆ
ametro Descric¸
˜
ao Valor
Fluxo de Pot
ˆ
encia
k
max
N
´
umero m
´
aximo de iterac¸
˜
oes de fluxo de pot
ˆ
encia 20
P
Res
´
ıduo m
´
aximo no balanc¸o de pot
ˆ
encia ativa 0.001
Q
Res
´
ıduo m
´
aximo no balanc¸o de pot
ˆ
encia reativa 0.001
V
Toler
ˆ
ancia na converg
ˆ
encia dos m
´
odulos de tens
˜
ao 0.0001
α Comprimento de passo na atualizac¸
˜
ao das vari
´
aveis 1
Otimizac¸
˜
ao
k
max
N
´
umero m
´
aximo de iterac¸
˜
oes de pontos-interiores 30
µ
0
Par
ˆ
ametro de barreira inicial 0.01
σ Par
ˆ
ametro de centralizac¸
˜
ao na reduc¸
˜
ao de µ
k
0.2
γ Fator de reduc¸
˜
ao do comprimento de passo 0.99995
M N
´
umero m
´
aximo passos de correc¸
˜
ao (m
´
etodos MPC e MCC) 5
β
min
Limite inferior do hipercubo de projec¸
˜
ao 0.1
β
max
Limite superior do hipercubo de projec¸
˜
ao 10
γ
α
Aumento m
´
ınimo (%) aceit
´
avel no comprimento de passo 10
1
Toler
ˆ
ancia da inviabilidade primal 10
−4
2
Toler
ˆ
ancia da inviabilidade dual 10
−4
3
Toler
ˆ
ancia do res
´
ıduo de complementaridade 10
−5
µ
Toler
ˆ
ancia do par
ˆ
ametro de barreira final 10
−8
5.4. RESUMO DE AN
´
ALISES DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 69
Os algoritmos listados est
˜
ao em ordem crescente de robustez num
´
erica. O programa
OOTrans
´
e o
´
unico programa de FPO que implementa os m
´
etodos preditor-corretor m
´
ul-
tiplo e de m
´
ultiplas correc¸
˜
oes de centralidade. Estes algoritmos de pontos-interiores foram
originalmente desenvolvidos para a soluc¸
˜
ao de problemas de programa¸c˜ao linear [29, 30],
e posteriormente extendidos para a soluc¸
˜
ao de problemas n
˜
ao-lineares de fluxo de pot
ˆ
encia
´
otimo [31, 46].
5.4 Resumo de An
´
alises de Fluxo de Pot
ˆ
encia
No que diz respeito a topologia da rede, o sistema de subtransmiss
˜
ao CELPE n
˜
ao
´
e total-
mente interligado, sendo organizado em 13 subsistemas chamados de regionais. A carga
total, em condic¸
˜
oes de carga m
´
axima,
´
e de aproximadamente 1.626,4 MW e 750,6 Mvar,
enquanto as perdas el
´
etricas globais s
˜
ao de 57,5 MW e 349,9 Mvar. Portanto, as perdas
el
´
etricas ativas totalizam cerca de 3,53% da carga ativa total.
Os regionais Angelim, Bom Nome 138kV, Bom Nome 69kV e Pau Ferro apresentam-se
como os mais cr
´
ıticos em termos de violac¸
˜
oes de tens
˜
oes, e/ou carregamento de circuitos.
Alguns regionais s
˜
ao bastantes sens
´
ıveis
`
a configurac¸
˜
ao de banco de capacitores, como o
Regional Bom Nome 69 kV e Bom Nome 138 kV. A Tabela 5.7 resume outras an
´
alises
de fluxo de pot
ˆ
encia, as quais consideram tamb
´
em casos de conting
ˆ
encias e a condic¸
˜
ao de
carga m
´
ınima.
5.4. RESUMO DE AN
´
ALISES DE FLUXO DE POT
ˆ
ENCIA 70
Tabela 5.7: Quadro s
´
ıntese da an
´
alise de redes do sistema CELPE (extra
´
ıdo do Relat
´
orio
III do Projeto de P&D).
Tipo de Violac¸
˜
ao
Regional Configurac¸
˜
ao Tens
˜
ao nas Barras Carregamento
C. M
´
ax. C. M
´
ın. C. M
´
ax. C. M
´
ın.
Angelim Normal
√ √
Perda da LT 02J4
√ √
Normal
Perda da LT 02J3
√
Bongi Perda da LT 02J4
√
Perda da LT 02L5
Perda da LT 02L6
Bom Nome 69 KV Normal
√
Bom Nome 138KV Normal
√
Normal
Perda da LT 02L3
Goianinha Perda da LT 02L4
Perda da LT 02M5
√ √ √
Perda da LT 02M6
√ √
Perda da LT 02M9
√ √
Itaparica Normal
Juazeiro Normal
Normal
Perda da LT 02J4
Perda da LT 02J5
√
Mirueira Perda da LT 02J6
√
Perda da LT 02L5
Perda da LT 02V3
Perda da LT 02V4
Normal
√ √
Pau Ferro Perda da LT 02V7
√ √ √ √
Perda da LT 02V8
√ √ √ √
Normal
Perda da LT 02J2
√
Pirapama Perda da LT 02J5
√ √
Perda da LT 02J6
√ √
Perda da LT 02J8
√ √
Ribeir
˜
ao Normal
Tacaimb
´
o Normal
V
´
arzea Normal
5.5. OTIMIZAC¸
˜
AO DOS REGIONAIS 71
5.5 Otimizac¸
˜
ao dos Regionais
Esta sec¸
˜
ao apresenta os resultados num
´
ericos obtidos na otimizac¸
˜
ao dos 13 regionais do sis-
tema CELPE. As simulac¸
˜
oes foram inicialmente realizadas utilizando os valores padr
˜
oes
dos par
ˆ
ametros dos algoritmos, ou seja, com o usu
´
ario simplesmente informando os no-
mes dos arquivos de dados correspondentes aos regionais e clicando no bot
˜
ao de execuc¸
˜
ao.
Os algoritmos de otimizac¸
˜
ao n
˜
ao foram ajustados para a forma mais adequada para cada
regional. Procedendo desta maneira, pode-se comprovar a robustez dos algoritmos de
otimizac¸
˜
ao.
5.5.1 Soluc¸
˜
ao com Par
ˆ
ametros Padr
˜
oes
A Tabela 5.8 resume o desempenho computacional dos 4 algoritmos de otimizac¸
˜
ao, no
que se refere ao n
´
umero de iterac¸
˜
oes para converg
ˆ
encia, bem como apresenta o montante
de perdas el
´
etricas na soluc¸
˜
ao
´
otima encontrada para cada regional. Vale salientar que os
montantes de perdas apresentados na Tabela 5.3, referentes a soluc¸
˜
ao n
˜
ao-otimizada, j
´
a faz
uso de praticamente todos os recursos de compens
˜
ao de reativos existentes nos regionais.
Ainda assim, as soluc¸
˜
oes otimizadas apresentaram reduc¸
˜
oes de perdas em todos os regio-
nais, sendo as reduc¸
˜
oes mais significativas nos regionais Bom Nome 138 kV e Bom Nome
69 kV.
Uma vez que as soluc¸
˜
oes iniciais de fluxo de pot
ˆ
encia j
´
a fazem uso dos recursos de
compens
˜
ao de pot
ˆ
encia reativa, o maior benef
´
ıcio da soluc¸
˜
ao otimizada revela-se na expres-
siva melhoria no perfil de tens
˜
ao dos regionais, como pode ser deduzido comparando-se as
soluc¸
˜
oes otimizadas com as soluc¸
˜
oes simples de fluxo de pot
ˆ
encia.
No que diz respeito ao desempenho computacional dos algoritmos de otimizac¸
˜
ao, os
quatro algoritmos de pontos-interiores (MPD, MPC, PCM e MCC) apresentaram desem-
penho bastante satisfat
´
orio, uma vez que todos eles obtiveram a converg
ˆ
encia na otimizac¸
˜
ao
dos treze regionais. Observa-se da Tabela 5.8 que o n
´
umero de iterac¸
˜
oes para converg
ˆ
encia
´
e bastante modesto, variando de 6 a 13 iterac¸
˜
oes.
Observa-se tamb
´
em da Tabela 5.8 que o n
´
umero de iterac¸
˜
oes n
˜
ao cresce na mesma
proporc¸
˜
ao de crescimento do tamanho dos sistemas. Por exemplo, o Regional Itaparica com
apenas 5 barras requer 9 iterac¸
˜
oes com o algoritmo MPD, enquanto o Regional Pirapama
5.5. OTIMIZAC¸
˜
AO DOS REGIONAIS 72
Tabela 5.8: Desempenho dos algoritmos de otimizac¸
˜
ao utilizando os par
ˆ
ametros padr
˜
oes.
N
´
umero de Iterac¸
˜
oes Perdas Ativas
Regional MPD MPC PCM MCC (MW) (%)
Angelim 12 8 7 7 9,33 10,22
Bom Nome 138 kV 12 8 8 8 5,89 12,22
Bom Nome 69 kV 11 8 7 6 4,35 9,44
Bongi 10 8 6 8 3,34 1,04
Goianinha 10 7 6 6 4,42 3,86
Itaparica 9 6 6 6 0,05 1,11
Juazeiro 9 6 6 6 1,67 2,76
Mirueira 11 9 6 6 2,07 0,80
Pau Ferro 13 9 7 8 11,30 7,28
Pirapama 10 7 7 7 4,00 1,95
Ribeir
˜
ao 10 7 6 6 2,52 3,13
Tacaimb
´
o 13 11 8 10 4,04 3,80
V
´
arzea 9 6 6 6 0,92 0,69
Totais 139 100 86 90 53,90 3,31
com 94 barras requer 10 iterac¸
˜
oes do mesmo algoritmo, ou seja, o n
´
umero de barras do
Regional Pirapama
´
e cerca de 20 vezes maior que o do Regional Itaparica enquanto o
acr
´
escimo no n
´
umero de iterac¸
˜
oes
´
e de apenas 1.
A
´
ultima linha da Tabela 5.8 resume o desempenho global dos algoritmos, totalizando
os dados na otimizac¸
˜
ao dos treze regionais. Claramente, o melhor desempenho compu-
tacional, em termos de n
´
umero de iterac¸
˜
oes, foi o do m
´
etodo preditor-corretor m
´
ultiplo
(PCM), o qual demandou um total de 86 iterac¸
˜
oes para otimizar os treze regionais, uma
m
´
edia de apenas 6 a 7 iterac¸
˜
oes por regional, inobistante as dimens
˜
oes desses regionais.
Todavia, pode-se dizer que o desempenho do m
´
etodo de m
´
ultiplas correc¸
˜
oes de centrali-
dade (MCC), com um total de 90 iterac¸
˜
oes,
´
e compar
´
avel ao do m
´
etodo preditor-corretor
m
´
ultiplo. Em seguida, vem o m
´
etodo preditor-corretor (MPC) com 100 iterac¸
˜
oes e, por
fim, o m
´
etodo primal-dual simples com um total de 136 iterac¸
˜
oes.
5.5.2 Influ
ˆ
encia do Ponto Inicial
O programa OOTrans disp
˜
oe de v
´
arias regras (heur
´
ısticas) para a escolha de um ponto
inicial para o algoritmo de otimizac¸
˜
ao selecionado. Por exemplo, as vari
´
aveis primais
5.5. OTIMIZAC¸
˜
AO DOS REGIONAIS 73
x podem ser inicializadas segundo os valores obtidos numa soluc¸
˜
ao inicial do fluxo de
pot
ˆ
encia tradicional (n
˜
ao-otimizado), ou utilizando o ponto m
´
edio entre os limites para as
vari
´
aveis sujeitas a limites m
´
ınimos e m
´
aximos, ou ainda uma inicializac¸
˜
ao “flat” como
ocorre nas soluc¸
˜
oes de fluxo de pot
ˆ
encia.
A Tabela 5.8 considera as vari
´
aveis primais x iniciadas por uma soluc¸
˜
ao inicial de fluxo
de pot
ˆ
encia. A Tabela 5.9 considera as vari
´
aveis primais x iniciadas pelo ponto m
´
edio para
aquelas vari
´
aveis sujeitas a limites m
´
ınimos e m
´
aximos. Comparando-se as duas tabelas
conclui-se que o desempenho
´
e melhor quando o ponto inicial
´
e escolhido segundo uma
soluc¸
˜
ao inicial de fluxo de pot
ˆ
encia. No entanto, essa n
˜
ao
´
e uma regra geral. A influ
ˆ
encia
da escolha do ponto inicial no processo de converg
ˆ
encia precisa ser melhor estudada e
testada.
Tabela 5.9: Desempenho dos algoritmos com as vari
´
aveis x iniciadas pela regra do ponto
m
´
edio (opc¸
˜
ao Ponto M´edio no Popup Menu).
N
´
umero de Iterac¸
˜
oes Perdas Ativas
Regional MPD MPC PCM MCC (MW) (%)
Angelim 23 30 24 21 9,33 10,22
Bom Nome 138 kV 13 11 9 8 5,89 12,22
Bom Nome 69 kV 22 24 24 13 4,35 9,44
Bongi 12 7 6 6 3,34 1,04
Goianinha 11 10 7 7 4,42 3,86
Itaparica 9 6 6 6 0,05 1,11
Juazeiro 10 7 6 7 1,67 2,76
Mirueira 12 7 7 7 2,07 0,80
Pau Ferro 16 13 10 13 11,30 7,28
Pirapama 11 9 9 - 4,00 1,95
Ribeir
˜
ao 11 8 7 6 2,52 3,13
Tacaimb
´
o 17 11 11 8 4,04 3,80
V
´
arzea 10 6 6 7 0,92 0,69
Totais 165 149 132 109 53,90 3,31
5.5.3 Influ
ˆ
encia da Regra do Comprimento de Passo
O programa OOTrans possibilita tanto o uso de comprimentos de passos iguais para
atualizac¸
˜
ao das vari
´
aveis primais e duais, quanto o uso de comprimentos de passos dis-
tintos: α
P
para as vari
´
aveis primais x, s e z; e α
D
para as vari
´
aveis duais π, υ e λ.
5.5. OTIMIZAC¸
˜
AO DOS REGIONAIS 74
Na programac¸
˜
ao linear, o uso de comprimentos de passos distintos nos espac¸os primal
e dual geralmente apresenta melhor desempenho computacional (em termos de n
´
umero de
iterac¸
˜
oes para converg
ˆ
encia) do que passos primal e dual iguais. Por
´
em, essa vantagem
n
˜
ao ocorre com frequ
ˆ
encia na programac¸
˜
ao n
˜
ao-linear, como
´
e o caso do fluxo de pot
ˆ
encia
´
otimo.
O uso de comprimentos de passos iguais, embora possa eventualmente demandar um
n
´
umero ligeiramente maior de iterac¸
˜
oes, est
´
a a favor da robustez de converg
ˆ
encia, uma
vez que n
˜
ao despreza o forte acoplamento entre as vari
´
aveis primais e duais nas condic¸
˜
oes
de otimalidade. As Tabelas 5.8 e 5.10 apresentam o desempenho dos algoritmos quando
s
˜
ao utilizados comprimentos de passos iguais e distintos, respectivamente. Verifica-se que
o uso de comprimentos de passos α
P
e α
D
distintos reduz o n
´
umero de iterac¸
˜
oes para
converg
ˆ
encia em todos os algoritmos. No entanto, o algoritmo MCC n
˜
ao convergiu com
passos distintos na otimizac¸
˜
ao do Regional Tacaimb
´
o.
Tabela 5.10: Desempenho dos algoritmos quando podem utilizar comprimentos de passos
distintos: α
P
k
α
D
k
.
N
´
umero de Iterac¸
˜
oes Perdas Ativas
Regional MPD MPC PCM MCC (MW) (%)
Angelim 11 7 6 7 9,33 10,22
Bom Nome 138 kV 11 7 7 6 5,89 12,22
Bom Nome 69 kV 10 7 7 6 4,35 9,44
Bongi 10 7 6 7 3,34 1,04
Goianinha 9 6 6 6 4,42 3,86
Itaparica 8 6 6 6 0,05 1,11
Juazeiro 9 6 6 7 1,67 2,76
Mirueira 10 11 6 7 2,07 0,80
Pau Ferro 11 7 7 7 11,30 7,28
Pirapama 10 9 8 10 4,00 1,95
Ribeir
˜
ao 11 6 6 6 2,52 3,13
Tacaimb
´
o 12 10 7 - 4,04 3,80
V
´
arzea 9 6 6 6 0,92 0,69
Totais 131 95 84 81 53,90 3,31
5.5. OTIMIZAC¸
˜
AO DOS REGIONAIS 75
5.5.4 Influ
ˆ
encia do Par
ˆ
ametro de Barreira Inicial
As Tabelas 5.8, 5.11 e 5.12 apresentam o desempenho computacional dos algoritmos para
tr
ˆ
es escolhas do par
ˆ
ametro de barreira inicial, a saber: µ
0
= 0.01, µ
0
= 0.1 e µ
0
= 1. Os
testes realizados sugerem escolher µ ∈ [10
−2
, 1], com a melhor escolha sendo µ
0
= 0.01.
A faixa de converg
ˆ
encia do par
ˆ
ametro µ
0
´
e relativamente larga, desde que o par
ˆ
ametro de
centralizac¸
˜
ao σ seja adequadamente escolhido (valor t
´
ıpico σ = 0.2). A maior limitac¸
˜
ao
na escolha de µ
0
´
e que ele n
˜
ao seja escolhido demasiadamente pequeno.
Verifica-se que os quatro algoritmos de otimizac¸
˜
ao convergiram para os tr
ˆ
es valores
de par
ˆ
ametros de barreira, a
´
unica excess
˜
ao sendo o m
´
etodo preditor-corretor (MPC) na
otimizac¸
˜
ao do Regional Mirueira com µ
0
= 1. Todavia, o melhor desempenho global, em
termos de n
´
umero de iterac¸
˜
oes, ocorre com o par
ˆ
ametro de barreira inicial µ
0
= 0.01. Vale
salientar que se outros par
ˆ
ametros forem ajustados a converg
ˆ
encia desse algoritmo pode
ser restaurada com esse mesmo valor de par
ˆ
ametro de barreira.
Tabela 5.11: Desempenho dos algoritmos com µ
0
= 0.1.
N
´
umero de Iterac¸
˜
oes Perdas Ativas
Regional MPD MPC PCM MCC (MW) (%)
Angelim 14 8 8 8 9,33 10,22
Bom Nome 138 kV 14 9 8 9 5,89 12,22
Bom Nome 69 kV 13 8 8 8 4,35 9,44
Bongi 12 7 7 13 3,34 1,04
Goianinha 11 7 7 7 4,42 3,86
Itaparica 10 7 7 7 0,05 1,11
Juazeiro 11 7 7 7 1,67 2,76
Mirueira 13 8 7 8 2,07 0,80
Pau Ferro 15 9 9 10 11,30 7,28
Pirapama 12 7 7 7 4,00 1,95
Ribeir
˜
ao 12 8 7 7 2,52 3,13
Tacaimb
´
o 15 11 8 9 4,04 3,80
V
´
arzea 10 7 7 7 0,92 0,69
Totais 162 103 97 107 53,90 3,31
5.6. OBSERVAC¸
˜
OES FINAIS 76
Tabela 5.12: Desempenho dos algoritmos com µ
0
= 1.
N
´
umero de Iterac¸
˜
oes Perdas Ativas
Regional MPD MPC PCM MCC (MW) (%)
Angelim 15 9 9 9 9,33 10,22
Bom Nome 138 kV 15 11 9 9 5,89 12,22
Bom Nome 69 kV 15 8 8 8 4,35 9,44
Bongi 13 8 8 9 3,34 1,04
Goianinha 13 8 8 8 4,42 3,86
Itaparica 11 8 8 8 0,05 1,11
Juazeiro 12 8 8 8 1,67 2,76
Mirueira 14 - 8 8 2,07 0,80
Pau Ferro 16 10 9 19 11,30 7,28
Pirapama 13 11 8 8 4,00 1,95
Ribeir
˜
ao 13 9 8 8 2,52 3,13
Tacaimb
´
o 17 12 9 10 4,04 3,80
V
´
arzea 12 8 8 8 0,92 0,69
Totais 179 110 108 120 53,90 3,31
5.6 Observac¸
˜
oes Finais
Os resultados num
´
ericos que s
˜
ao apresentados neste cap
´
ıtulo demonstram a efetividade do
programa computacional OOTrans desenvolvido e a ser continuamente melhorado. As Ta-
belas 5.8 a 5.12 resumem um conjunto de 260 simulac¸
˜
oes que foram realizadas envolvendo
os treze regionais da CELPE e quatro algoritmos de otimizac¸
˜
ao. Dentre as 260 simulac¸
˜
oes
realizadas apenas 3 foram casos de n
˜
ao converg
ˆ
encia. Todavia, a converg
ˆ
encia desses casos
pode ser facilmente restaurada atrav
´
es de ajustes simples de par
ˆ
ametros do algoritmo.
Cap
´
ıtulo 6
Conclus
˜
oes
A mente que se abre para uma nova id´eia jamais
voltar´a ao seu tamnho original.
Albert Einstein
N
esta dissertac¸
˜
ao foram abordadas algumas dificuldades na aplicac¸
˜
ao de programas
de FPO em sistemas el
´
etricos reais, sobretudo no que diz respeito a otimizac¸
˜
ao da
operac¸
˜
ao em tempo real. Essas dificuldades decorrem do fato de que o FPO no mundo
real
´
e matematicamente e computacionalmente muito diferente das formulac¸
˜
oes cl
´
assicas.
Infelizmente, n
˜
ao h
´
a uma t
´
ecnica de otimizac¸
˜
ao que possa tratar esses tipos de problemas
eficientemente com todo rigor na modelagem, e a pr
´
atica universal tem sido aproximar a
77
78
formulac¸
˜
ao de tal forma que o problema possa ser resolvido pelas t
´
ecnicas de otimizac¸
˜
ao
dispon
´
ıveis.
Precedendo a discuss
˜
ao das dificuldades relacionadas
`
a aplicac¸
˜
ao de programas de FPO
em sistemas el
´
etricos reais, foram apresentados nos Cap
´
ıtulos 2 e 3 algumas formulac¸
˜
oes
cl
´
assicas do FPO e os algoritmos de pontos-interiores que ultimamente s
˜
a empregados na
soluc¸
˜
ao. Esses algoritmos de pontos-interiores s
˜
ao os implementados no programa de FPO
nessa pesquisa. A aplicac¸
˜
ao do FPO em tempo real exige que a soluc¸
˜
ao seja obtida de
forma r
´
apida e confi
´
avel, sendo pass
´
ıvel de implementac¸
˜
ao imediata por um sistema de
controle automatizado ou pelo operador do sistema, e os algoritmos de pontos-interiores
podem atender esse requisito de rapidez e robustez.
As an
´
alises apresentadas nos Cap
´
ıtulos 4 e 5 s
˜
ao as contribuic¸
˜
oes dessa pesquisa de
mestrado. O Cap
´
ıtulo 4 faz uma an
´
alise n
˜
ao exaustiva de v
´
arios requisitos indispens
´
aveis
na aplicac¸
˜
ao de programas de FPO em sistemas reais. Dentre os requisitos analisados,
´
e
indiscut
´
ıvel que o mais cr
´
ıtico
´
e o tratamento de vari
´
aveis discretas. Al
´
em do n
´
umero de
vari
´
aveis discretas num sistema el
´
etrico ser muito elevado, esse problema combinatorial
torna-se mais cr
´
ıtico ainda pelo grande n
´
umero de valores discretos que
´
e admitido por
uma
´
unica vari
´
avel, como
´
e o caso de tapes de transformadores que tipicamente admitem
at
´
e 32 valores discretos, como compensac¸
˜
ao paralela de reativo, esses passos s
˜
ao de grande
magnitude.
Para o tratamento de vari
´
aveis discretas, a pr
´
atica usual
´
e obter uma soluc¸
˜
ao
´
otima
cont
´
ınua e ent
˜
ao arredondar o valor
´
otimo cont
´
ınuo para o valor discreto mais pr
´
oximo.
Este procedimento n
˜
ao apenas leva a soluc¸
˜
ao sub-
´
otimas como tamb
´
em pode resultar em
violac¸
˜
oes de limites. Pesquisa recente [55] procurou tratar o requisito c
´
alculo de soluc¸
˜
oes
discretas por meio de soluc¸
˜
oes aproximadas, de baixo custo computacional, com a pre-
tens
˜
ao apenas de obter soluc¸
˜
oes melhores do que o simples arredondamento para o valor
discreto mais pr
´
oximo. Todavia, os resultados ainda n
˜
ao foram plenamente satisfat
´
orios.
Outro requisito igualmente, cr
´
ıtico, por tratar-se tamb
´
em de problema combinatorial,
´
e o de minimizac¸
˜
ao do n
´
umero de controles ajustados. Nas soluc¸
˜
oes de FPO calculadas
em geral todas as vari
´
aveis de controles sofrem ajustes em relac¸
˜
ao aos valores correntes
na operac¸
˜
ao. Todavia, pode n
˜
ao ser pratic
´
avel, ou at
´
e mesmo ser imposs
´
ıvel, implementar
todos os ajustes
´
otimos calculados. Al
´
em do mais, o benef
´
ıcil de alguns desses ajustes
´
e
apenas marginal, sendo desej
´
avel a supress
˜
ao destes para simplificar a implementac¸
˜
ao dos
79
ajustes e preservar a vida
´
util dos equipamentos.
Recentemente o requisito supress
˜
ao de ajustes ineficazes foi eficientemente tratado em
[55]. Algumas caracter
´
ısticas da metodologia proposta em [55] s
˜
ao:
• resolvem-se tr
ˆ
es problemas de FPO com estruturas id
ˆ
enticas, num processo de soluc¸
˜
ao
com tr
ˆ
es etapas, denominadas de Fase I, Fase II e Fase III;
• a soluc¸
˜
ao de FPO calculada na Fase I emprega todos os controles e
´
e utilizada para
definir o problema de FPO da Fase II;
• os multiplicadores de Lagrange obtidos na soluc¸
˜
ao do FPO da Fase II s
˜
ao usados
para identificar as ac¸
˜
oes de controle mais efetivas. O n
´
umero m
´
aximo de controles
permitido deve ser especificado pelo usu
´
ario com base em pr
´
aticas operacionais;
• a soluc¸
˜
ao de FPO calculada na Fase III reajusta as magnitudes dos controles selecio-
nados para compensar a ac¸
˜
ao dos controles que deixam de ser modificados;
• os problemas de FPO nas tr
ˆ
es fases tem a mesma estrutura e assim podem ser resol-
vidos pelo mesmo algoritmo de otimizac¸
˜
ao.
A metodologia para supressa
˜
ao de ajustes ineficazes proposta xxx faz parte do desen-
volvimento cont
´
ınuo do programa OOTrans.
Um aspecto muito importante de um FPO em tempo real
´
e como ele se comporta
quando o problema
´
e matematicamente invi
´
avel, ou seja, quando uma ou mais restric¸
˜
oes
do problema n
˜
ao podem ser respeitadas, Num caso de inviabilidade, ao inv
´
es de finalizar o
processo como n
˜
ao resolvido, o programa de FPO deveria fornecer um ponto de operac¸
˜
ao
no qual os limites invi
´
aveis sejam minimamente violados, com ou sem instruc¸
˜
oes interati-
vas. Ou seja, o algoritmo de FPO deve ser capaz de identificar a inviabilidade do problema
de forma decisiva e r
´
apida, bem como trat
´
a-la da melhor maneira poss
´
ıvel. No entanto, a
maioria dos algoritmos de soluc¸
˜
ao s
˜
ao deficientes neste prop
´
osito. A melhor maneira de
abordar a detecc¸
˜
ao e o tratamento de inviabilidades
´
e altamente dependente da forma que
o FPO
´
e formulado e da t
´
ecnica de otimizac¸
˜
ao utilizada na soluc¸
˜
ao.
Como parte do desenvolvimento cont
´
ınuo do programa OOTrans, em [55]
´
e proposta
uma abordagem para detecc¸
˜
ao e tratamento de inviabilidades no problema de FPO, parti-
cularmente na soluc¸
˜
ao via m
´
etodo primal-dual de PI e suas variantes. Um algoritmo de
6.1. SUGEST
˜
OES DE TRABALHOS FUTUROS 80
soluc¸
˜
ao unificado capaz de tratar tanto casos vi
´
aveis quanto invi
´
aveis
´
e descrito. A me-
todologia emprega um chaveamento de algoritmos de soluc¸
˜
ao quando uma dificuldade de
converg
ˆ
encia surge e a inviabilidade
´
e detectada. Devido a formulac¸
˜
ao e a resoluc¸
˜
ao de
um sistema linear de grande porte em cada iterac¸
˜
ao ser a tarefa mais dispendiosa no algo-
ritmo de PI, a metodologia proposta mant
´
em a estrutura desse sistema linear inalterada. A
id
´
eia de preservac¸
˜
ao da estrutura do problema de FPO
´
e motivada por estrat
´
egias de partida
quente em programac¸
˜
ao quadr
´
atica sequencial [48], e ela torna a comutac¸
˜
ao dos algoritmos
bastante simples.
Com relac¸
˜
ao a aplicac¸
˜
ao do programa OOTrans no sistema real de subtransmiss
˜
ao,
verificou-se que os algoritmos de otimizac¸
˜
ao (pontos-interiores) nele implementados s
˜
ao
r
´
apidos e confi
´
aveis o suficiente para aplicac¸
˜
oes em tempo real. N
˜
ao h
´
a defici
ˆ
encias cr
´
ıticas
em relac¸
˜
ao ao algoritmo de otimizac¸
˜
ao por ser um algoritmo para otimizac¸
˜
ao cont
´
ınua,
´
e o
tratamento eficiente dos controles discretos. O programa OOTrans
´
e dotado de sofisticada
interface gr
´
afica com o usu
´
ario, a qual permite ao usu
´
ario ter total controle sobre o processo
de otimizac¸
˜
ao, desde a escolha do ponto inicial ao ajuste de qualquer par
ˆ
ametro do algo-
ritmo de otimizac¸
˜
ao. A interface gr
´
afica do OOTrans tamb
´
em permite uma f
´
acil an
´
alise de
todo o processo de soluc¸
˜
ao ao dispor de recursos para a pesquisa de qualquer informac¸
˜
ao
relativa a soluc¸
˜
ao.
6.1 Sugest
˜
oes de Trabalhos Futuros
A presente dissertac¸
˜
ao fez uma an
´
alise de v
´
arios requisitos para aplicac¸
˜
ao do FPO em
situac¸
˜
oes reais. O tratamento eficiente desses requisitos ainda demanda por bastante pes-
quisa, como por exemplo:
• Desenvolvimento de metodologia para definic¸
˜
ao da sequ
ˆ
encia de implementac¸
˜
ao dos
ajustes
´
otimos dos controles;
• Desenvolvimento de metodologia para o tratamento eficiente das vari
´
aveis de con-
trole discretas. Por tratamento eficiente entende-se um procedimento de soluc¸
˜
ao sem
o alto custo computacional (tempo de processamento) dos m
´
etodos tradicionais de
otimizac¸
˜
ao discreta, tal como o algoritmo Branch e Bound, por
´
em sem degradar sig-
nificativamente a qualidade da soluc¸
˜
ao;
6.1. SUGEST
˜
OES DE TRABALHOS FUTUROS 81
• Incorporac¸
˜
ao de restric¸
˜
oes de estabilidade de tens
˜
ao nas formulac¸
˜
ao do FPO, visando
a obtenc¸
˜
ao de pontos de operac¸
˜
ao com margens m
´
ınimas de seguranc¸a de tens
˜
ao;
• Desenvolvimento de metodologia para pr
´
e-selec¸
˜
ao das conting
ˆ
encias mais cr
´
ıticas,
visando a reduc¸
˜
ao do problema de otimizac¸
˜
ao na obtenc¸
˜
ao de soluc¸
˜
oes restritas por
conting
ˆ
encias;
• Desenvolvimento de indicadores de inviabilidade mais precisos para a metodologia
de tratamento de inviabilidades, evitando erros na identificac¸
˜
ao das restric¸
˜
oes de li-
mite invi
´
aveis ou a classificac¸
˜
ao err
ˆ
onea de problemas vi
´
aveis como invi
´
aveis.
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˜
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Anexo A
Implementac¸
˜
ao dos Algoritmos de
Pontos-Interiores
A.1 Inicializac¸
˜
ao das Vari
´
aveis
• Escolha x
0
como dado por uma soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia tradicional, ou como
um “flat start” utilizando o ponto m
´
edio entre os limites superiores e inferiores para
as vari
´
aveis sujeitas a limites, ou seja,
x
0
i
=
l
i
+ u
i
2
88
A.2. MONTAGEM DA MATRIZ ∇G(X) 89
• Uma vez escolhido x
0
, escolha as vari
´
aveis de folga s
0
e z
0
como
s
0
= min{max{x
0
−l, τ(u −l)}, (1 −τ)(u −l)} (A.1)
z
0
= u −l − s
0
(A.2)
em que τ ∈ (0, 1)
´
e o percentual do valor m
´
aximo admiss
´
ıvel para a vari
´
avel.
• Obtidos s
0
e z
0
, escolha as vari
´
aveis duais π
0
e υ
0
como
π
0
= µ
0
S
−1
0
e (A.3)
υ
0
= µ
0
Z
−1
0
e (A.4)
• Escolha λ
0
i
= −1 se este multiplicador est
´
a associado com uma restric¸
˜
ao de balanc¸o
de pot
ˆ
encia ativa, e escolha λ
0
i
= 0 caso contr
´
ario.
A.2 Montagem da Matriz ∇g(x)
Montar o sistema de Newton pode ser uma tarefa computacionalmente honerosa se as es-
truturas especiais da matriz gradiente ∇g(x) e das m + 1 matrizes Hessianas (∇
2
g
i
(x),
i = 1, 2, . . . , m, e ∇
2
f (x)), n
˜
ao forem eficientemente exploradas. Para esse fim, em [31]
´
e
proposto um mapeamento dos multiplicadores de Lagrange de restri¸c˜oes para barras,
λ → (λ
p
, λ
q
, λ
r
), (A.5)
em que λ
p
e λ
q
s
˜
ao vetores |N|-dimensionais com os multiplicadores de Lagrange que s
˜
ao
associados as restric¸
˜
oes de balanc¸o de pot
ˆ
encia ativa e pot
ˆ
encia reativa, respectivamente, e
λ
r
´
e o vetor de multiplicadores associados com as demais restric¸
˜
oes.
O mapeamento (A.5) tem um papel crucial na implementac¸
˜
ao eficiente dos algoritmos,
pois reduz o n
´
umero de operac¸
˜
oes para calcular ∇
x
L(y
k
; µ
k
) e ∇
2
xx
L(y
k
), e possibilita es-
truturas de dados muito eficientes e uso reduzido de mem
´
oria de computador. Para tirar
proveito do mapeamento (A.5), o vetor gradiente
∇
x
L(y) = ∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ (A.6)
A.3. MONTAGEM DAS MATRIZES HESSIANAS 90
´
e reescrito na forma
∇
x
L(y) = ∇p(x)λ
p
+ ∇q(x)λ
q
+ ∇r(x)λ
r
(A.7)
em que ∇p(x) e ∇q(x) s
˜
ao as matrizes gradientes das func¸
˜
oes de restric¸
˜
oes balanc¸o de
pot
ˆ
encia ativa e pot
ˆ
encia reativa, respectivamente, e ∇r(x)
´
e a matriz gradiente das demais
restric¸
˜
oes (fluxos, limites simples, etc). Diferentemente de ∇g(x) e ∇h(x), as matrizes
∇p(x) e ∇q(x) tem o mesmo padr
˜
ao de elementos n
˜
ao-nulos, e assim compartilham os
mesmos ponteiros (estrutura de adjac
ˆ
encia) no armazenamento compacto de dados. Se
f (x)
´
e a gerac¸
˜
ao de pot
ˆ
encia ativa da barra de folga, ent
˜
ao ∇f (x) est
´
a em ∇p(x) com
λ
p
1
= 1. Caso contr
´
ario, ∇f (x) est
´
a em ∇r(x).
A.3 Montagem das Matrizes Hessianas
O c
´
alculo de ∇
2
xx
L(y
k
), e portanto de ∇
2
yy
L(y
k
),
´
e uma tarefa computacionalmente intensiva.
Como cada barra i introduz uma restric¸
˜
ao de pot
ˆ
encia ativa e uma restric¸
˜
ao de pot
ˆ
encia rea-
tiva em g(x), ela contribui com duas Hessianas de func¸
˜
oes injec¸
˜
ao de pot
ˆ
encia em ∇
2
xx
L(y):
∇
2
P
i
(como ∇
2
g
i
(x)) e ∇
2
Q
i
(como ∇
2
g
|N|+i
(x)). Na hip
´
otese das restric¸
˜
oes de balanc¸o
de pot
ˆ
encia serem as
´
unicas restric¸
˜
oes n
˜
ao-lineares em g(x), a Hessiana ∇
2
xx
L(y) pode ser
reescrita como
∇
2
xx
L(y) =
N
i=1
(λ
p
i
∇
2
P
i
(x) + λ
q
i
∇
2
Q
i
(x)). (A.8)
Devido as estruturas especiais de ∇
2
P
i
e ∇
2
Q
i
, a Hessiana ∇
2
xx
L(y) pode ser calculada de
maneira bastante eficiente atrav
´
es de refer
ˆ
encias diretas aos elementos H
i j
, L
i j
, M
i j
e N
i j
do Jacobiano das equac¸
˜
oes do fluxo de pot
ˆ
encia:
H N
M L
∆θ
∆V
= −
∆P
∆Q
(A.9)
Tirando proveito das estruturas de elementos n
˜
ao-nulos de ∇
2
P
i
e ∇
2
Q
i
, e utilizando
o mapeamento (A.5), a Hessiana ∇
2
xx
L(y) pode ser eficientemente calculada sem calcular
qualquer das Hessianas ∇
2
P
i
(x) e ∇
2
Q
i
(x). F
´
ormulas diretas para calcular ∇
2
xx
L(y) foram
A.3. MONTAGEM DAS MATRIZES HESSIANAS 91
desenvolvidas em [31]. A submatriz ∇
2
vv
L
´
e calculada por:
∇
2
V
j
V
j
L = 2(G
j j
λ
p
j
− B
j j
λ
q
j
) (A.10a)
∇
2
V
i
V
j
L =
N
i j
λ
p
i
+ L
i j
λ
q
i
V
i
+
N
ji
λ
p
j
+ L
ji
λ
q
j
V
j
(A.10b)
A submatriz ∇
2
θv
L
´
e calculada por:
∇
2
θ
j
V
j
L =
H
ii
λ
p
i
+ M
ii
λ
q
i
+
l
(H
li
λ
p
l
+ M
li
λ
q
l
)
V
i
(A.10c)
∇
2
θ
i
V
j
L = −
H
i j
λ
p
i
+ M
i j
λ
q
i
− H
ji
λ
p
j
− M
ji
λ
q
j
V
j
(A.10d)
A submatriz ∇
2
θθ
L
´
e calculada por:
∇
2
θ
j
θ
j
L = H
ii
λ
q
i
− M
ii
λ
p
i
−
l
(H
li
λ
q
l
− M
li
λ
p
l
) (A.10e)
∇
2
θ
i
θ
j
L = H
i j
λ
q
i
− M
i j
λ
p
i
+ H
ji
λ
q
j
− M
ji
λ
p
j
(A.10f)
As f
´
ormulas (A.10b), (A.10d) e (A.10f) s
˜
ao avaliadas apenas se a barra i interliga-se com a
barra j (devido as estruturas de elementos n
˜
ao-nulos de ∇
2
vv
L, ∇
2
θv
L e ∇
2
θθ
L serem id
ˆ
enticas
a da matriz admit
ˆ
ancia de barra), e i > j (devido a simetria de ∇
2
xx
L). Para cada tape t
i j
calcula-se os elementos
∇
2
t
i j
θ
i
L = λ
p
i
∂
2
P
i
∂t
i j
∂θ
i
+ λ
p
j
∂
2
P
j
∂t
i j
∂θ
i
+ λ
q
i
∂
2
Q
i
∂t
i j
∂θ
i
+ λ
q
j
∂
2
Q
j
∂t
i j
∂θ
i
(A.11a)
∇
2
t
i j
θ
j
L = λ
p
i
∂
2
P
i
∂t
i j
∂θ
j
+ λ
p
j
∂
2
P
j
∂t
i j
∂θ
j
+ λ
q
i
∂
2
Q
i
∂t
i j
∂θ
j
+ λ
q
j
∂
2
Q
j
∂t
i j
∂θ
j
(A.11b)
∇
2
t
i j
V
i
L = λ
p
i
∂
2
P
i
∂t
i j
∂V
i
+ λ
p
j
∂
2
P
j
∂t
i j
∂V
i
+ λ
q
i
∂
2
Q
i
∂t
i j
∂V
i
+ λ
q
j
∂
2
Q
j
∂t
i j
∂V
i
(A.11c)
∇
2
t
i j
V
j
L = λ
p
i
∂
2
P
i
∂t
i j
∂V
j
+ λ
p
j
∂
2
P
j
∂t
i j
∂V
j
+ λ
q
i
∂
2
Q
i
∂t
i j
∂V
j
+ λ
q
j
∂
2
Q
j
∂t
i j
∂V
j
(A.11d)
∇
2
t
i j
t
i j
L = λ
p
i
∂
2
P
i
∂t
i j
∂t
i j
+ λ
p
j
∂
2
P
j
∂t
i j
∂t
i j
+ λ
q
i
∂
2
Q
i
∂t
i j
∂t
i j
+ λ
q
j
∂
2
Q
j
∂t
i j
∂t
i j
(A.11e)
A.3. MONTAGEM DAS MATRIZES HESSIANAS 92
Anexo B
Estrutura do Programa OOTrans
E
este anexo apresenta a estrutura do programa OOTrans (Otimizac¸
˜
ao da Operac¸
˜
ao da
Transmiss
˜
ao), fazendo uma breve descric¸
˜
ao das suas principais rotinas computacio-
nais. A vers
˜
ao atual do programa OOTrans implementa a minimizac¸
˜
ao de perdas ativas na
transmiss
˜
ao e a minimizac¸
˜
ao de corte de carga, conforme as formulac¸
˜
oes de FPO descritas
no Cap
´
ıtulo 2, e disp
˜
oe dos quatro algoritmos de pontos-interiores descritos no Cap
´
ıtulo
3 para soluc¸
˜
ao dos problemas de FPO, a saber: (i) primal-dual simples, (ii) primal-dual
preditor-corretor, (iii) m
´
ultiplo preditor-correcotr, e (iv) m
´
ultiplas correc¸
˜
oes de centrali-
dade. Uma an
´
alise do programa OOTrans quando aplicado a sistemas reais
´
e apresentada
no Cap
´
ıtulo 5, em conjunto com os resultados num
´
ericos.
93
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 94
B.1 Utilizando o Programa OOTrans
O programa OOTrans constitui-se de 8 (oito) janelas de trabalho com funcionalidades es-
pec
´
ıficas, como detalhadas a seguir. A janela principal de abertura do OOTrans apresenta-
se como ilustrada na Figura B.1. Cada uma das 8 janelas de trabalho
´
e acionada clicando-se
no bot
˜
ao correspondente na coluna a esquerda da janela principal. No intuito de ilustrar a
facilidade de uso do OOTrans, este relat
´
orio faz uma apresentac¸
˜
ao detalhada da aplicac¸
˜
ao
do programa na otimizac¸
˜
ao de um regional CELPE (Regional Angelim).
Figura B.1: Janela inicial do programa OOTrans.
Observa-se na janela principal a barra de ferramentas na parte superior da janela e os
bot
˜
oes de acionamento das 8 janelas de trabalho na coluna a esquerda da janela. Todavia,
sem a habilitac¸
˜
ao de um usu
´
ario previamente cadastrado pelo gerente (ou superusu´ario) do
OOTrans nenhuma das janelas de trabalho poder
´
a ser acionada.
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 95
B.1.1 Habilitac¸
˜
ao do Usu
´
ario
O primeiro passo, ap
´
os carregar o programa,
´
e a habilitac¸
˜
ao do usu
´
ario na janela de login,
como ilustra a Figura B.2. Somente ap
´
os a habilitac¸
˜
ao de um usu
´
ario ser
´
a atividado o
bot
˜
ao na barra de ferramentas que d
´
a acesso as funcionalidades do OOTrans. Sem a devida
habilitac¸
˜
ao de um usu
´
ario o programa n
˜
ao disponibilizar
´
a qualquer de suas funcionalidades,
ou seja, as suas janelas de trabalho ser
˜
ao inacess
´
ıveis.
Figura B.2: Habilitac¸
˜
ao do usu
´
ario.
A barra de ferramentas que fica no topo da janela principal
´
e como ilustra a Figura B.3.
Clicando-se no bot
˜
ao
surge ent
˜
ao a primeira janela de trabalho (Dados Simulac¸
˜
ao), como ilustra a Figura B.4, ou
uma outra janela de trabalho que o usu
´
ario tenha clicado em um dos bot
˜
oes de acionamento
na coluna da esquerda. Este bot
˜
ao tem dupla func¸
˜
ao: permitir o acesso as funcionalidade
do programa quando um usu
´
ario tiver sido habilitado, ou restituir a janela de login da
Figura B.1 quando o mesmo bot
˜
ao for novamente acionado.
Figura B.3: Barra de ferramentas ap
´
os habilitac¸
˜
ao do usu
´
ario.
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 96
Figura B.4: Primeira pasta de configurac¸
˜
ao do programa OOTrans.
B.1.2 Informando os Arquivos de Dados
Retornando para a pasta Dados Simulac¸
˜
ao ilustrada na Figura B.4, para realizar uma
simulac¸
˜
ao devemos primeiro informar o nome do arquivo que cont
´
em os dados da rede
el
´
etrica. H
´
a tr
ˆ
es maneiras de fornecer o nome desse arquivo. Uma delas
´
e clicar no bot
˜
ao
Abrir Arquivo existente na barra de ferramentas (o segundo bot
˜
ao da esquerda para a
direita):
Um clique no bot
˜
ao Abrir Arquivo,
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 97
aciona uma janela do sistema operacional que permite o usu
´
ario navegar na
´
arvore de di-
ret
´
orios e selecionar o arquivo de dados da rede el
´
etrica. A apar
ˆ
encia dessa janela de-
pende n
˜
ao somente do sistema operacional utilizado (Linux ou Windows) como tamb
´
em
das configurac¸
˜
oes do Desktop desse sistema. No desktop em que este relat
´
orio est
´
a sendo
gerado essa janela
´
e como ilustra a Figura B.5.
Figura B.5: Janela de selec¸
˜
ao de arquivos da rede.
A relac¸
˜
ao de arquivos que
´
e listada na janela de navegac¸
˜
ao-e-selec¸
˜
ao depende do formato
de dados que foi selecionado no Popup Menu da janela de trabalho Dados Simulac¸
˜
ao,
como ilustra a Figura B.6 a selec¸
˜
ao do formato ANAREDE.
Figura B.6: Selec¸
˜
ao do formato ANAREDE para os dados da rede.
No texto que segue, vamos considerar o formato de dados ANAREDE e otimizar o
regional Angelim, cujo arquivo de dados da rede el
´
etrica
´
e Angelim.pwf. Ap
´
os selecionar
este arquivo na lista apresentada e clicar no bot
˜
ao Open, o painel Modo Estudo da janela
de trabalho Dados Simulac¸
˜
ao toma a forma exibida na Figura B.7.
Observe que apesar do formato selecionado ter sido o ANAREDE, o nome do arquivo
que
´
e exibido na caixa de texto tem a terminac¸
˜
ao .cdf. Isto ocorre porque internamente o
OOTrans trabalha apenas com o formato IEEE Common Data Format. Quando o formato
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 98
Figura B.7: Selec¸
˜
ao do arquivo de dados Angelim.pwf.
selecionado
´
e o ANAREDE ou outro qualquer, uma func¸
˜
ao de convers
˜
ao desse formato
para o formato interno padr
˜
ao (IEEE Common Data Format)
´
e automaticamente executada,
de maneira que o arquivo de dados formato ANAREDE passa a ser dispon
´
ıvel tamb
´
em no
formato IEEE Common Data Format. Ou seja, o OOTrans disp
˜
oe de rotinas computacio-
nais de convers
˜
ao de tipos de arquivos de dados de rede el
´
etrica usados por programas de
fluxo de pot
ˆ
encia.
Observe que tr
ˆ
es novos nomes de arquivos s
˜
ao exibidos em caixas de textos no painel
Modo Estudo da janela Dados Simulac¸
˜
ao, sob as denominac¸
˜
oes Dados do FPO, Arquivo
de Sa´ıda e Arquivo Hist´orico. O arquivo denominado Dados do FPO (Angelim.fpo)
´
e um
arquivo de entrada, ou seja, um arquivo existente, contendo os dados da otimizac¸
˜
ao, tais
como limites de vari
´
aveis, etc. O programa automaticamente sugere o nome desse arquivo
de dados, acrescentando a terminac¸
˜
ao .fpo ao nome principal do arquivo de dados da rede.
Esse nome
´
e apenas uma sugest
˜
ao, e caso n
˜
ao seja esse o nome do arquivo com os dados
de otimizac¸
˜
ao, basta o usu
´
ario digitar o nome correto na caixa de texto ou clicar no bot
˜
ao
de abrir arquivo ao lado da caixa de texto,
para acionar a janela de navegac¸
˜
ao e selec¸
˜
ao de arquivos com terminac¸
˜
ao .fpo.
O arquivo denominado Arquivo de Sa´ıda (Angelim.sol)
´
e um arquivo de sa
´
ıda onde
ser
˜
ao escritos todos os relat
´
orios relacionados a soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia, conforme
selec¸
˜
ao na janela de trabalho Relat
´
orios. Se um arquivo com este nome j
´
a existir, ent
˜
ao
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 99
ele ser
´
a sobreescrito com as novas informac¸
˜
oes. O nome desse arquivo pode ser alterado
digitando-se um novo nome na caixa de texto correspondente.
O arquivo denominado Arquivo Hist´orico (Angelim.log)
´
e um arquivo de sa
´
ıda onde
s
˜
ao registradas todas as mensagens geradas pelas rotinas do programa, durante o processo
iterativo. O nome desse arquivo pode ser alterado digitando-se um novo nome na caixa de
texto correspondente. Neste exemplo, vamos aceitar todos os nomes de arquivos sugeridos
e dar continuidade a simulac¸
˜
ao. No painel Modo Estudo h
´
a ainda uma caixa de texto onde
o usu
´
ario pode fornecer um t
´
ıtulo para o estudo de caso sendo simulado. Se deixado em
branco ser
´
a utilizado o t
´
ıtulo fornecido no arquivo de dados da rede el
´
etrica.
B.1.3 Configurando a Soluc¸
˜
ao de Fluxo de Pot
ˆ
encia
Clicando-se no bot
˜
ao de acionamento da janela de trabalho Fluxo de Pot
ˆ
encia,
obtemos o acesso as funcionalidades dessa janela de trabalho, como ilustra a Figura B.8.
Na janela Fluxo de Pot
ˆ
encia podemos selecionar o algoritmo de soluc¸
˜
ao de fluxo de
pot
ˆ
encia (o algoritmo padr
˜
ao
´
e o m
´
etodo desacoplado r
´
apido, vers
˜
ao XB), e ajustar diver-
sos par
ˆ
ametros do algoritmo como o n
´
umero m
´
aximo de iterac¸
˜
oes na soluc¸
˜
ao de fluxo de
pot
ˆ
encia, o res
´
ıduo m
´
aximo de balanc¸o de pot
ˆ
encia ativa, o res
´
ıduo m
´
aximo de balanc¸o de
pot
ˆ
encia reativa, toler
ˆ
ancia de converg
ˆ
encia nos m
´
odulos de tens
˜
oes, etc. Neste exemplo,
vamos aceitar os valores padr
˜
oes indicados na interface gr
´
afica com o usu
´
ario.
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 100
Figura B.8: Janela de trabalho Fluxo de Pot
ˆ
encia.
B.1.4 Configurando a Soluc¸
˜
ao de Minimizac¸
˜
ao de Perdas
Clicando-se no bot
˜
ao de acionamento da janela de trabalho Otimizac¸
˜
ao devemos obter o
acesso das funcionalidades relacionadas aos estudos de otimizac¸
˜
ao como minimizac¸
˜
ao de
perdas el
´
etricas e minimizac¸
˜
ao de corte de carga. No entanto, de acordo as ac¸
˜
oes conside-
radas no presente exemplo at
´
e o momento, a imagem que obtemos
´
e a de uma pasta vazia.
Nada de anormal, pois at
´
e o momento o tipo de estudo indicado no Popup Menu da barra
de ferramentas
´
e ainda o de uma simples soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia,
em vez de minimizac¸
˜
ao de perdas el
´
etricas ou minimizac¸
˜
ao de corte de carga. A janela de
trabalho Otimizac¸
˜
ao somente exibir
´
a as suas funcionalidades quanto o problema selecio-
nado for um problema de otimizac¸
˜
ao.
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 101
Fazendo a selec¸
˜
ao no Popup Menu da barra de ferramentas da opc¸
˜
ao Minimizacao de
Perdas Ativas,
ativa automaticamente as funcionalidades da janela de trabalho Otimizac¸
˜
ao, como mostra
a Figura B.9.
Figura B.9: Janela de trabalho Otimizac¸
˜
ao.
Na janela de trabalho Otimizac¸
˜
ao temos o total controle do processo de otimizac¸
˜
ao,
desde a selec¸
˜
ao do algoritmo de pontos-interiores at
´
e o ajuste de praticamente todos os
par
ˆ
ametros do algoritmo selecionado. Os algoritmos dispon
´
ıveis no OOTrans s
˜
ao:
1. m
´
etodo primal-dual simples,
2. m
´
etodo primal-dual preditor-corretor,
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 102
3. m
´
etodo primal-dual preditor-corretor m
´
ultiplo, e
4. m
´
etodo primal-dual com m
´
ultiplas correc¸
˜
oes de centralidade.
Os algoritmos listados est
˜
ao em ordem crescente de robustez num
´
erica, e o algoritmo
padr
˜
ao
´
e o mais simples dos quatro: o m
´
etodo primal-dual simples. O usu
´
ario tem total
controle sobre todos os par
ˆ
ametros dos algoritmos de soluc¸
˜
ao. Os valores de par
ˆ
ametros
padr
˜
oes sugeridos na interface provavelmente ter
˜
ao sucesso na otimizac¸
˜
ao de qualquer sis-
tema, e raramente o usu
´
ario ter
´
a que ajustar algum par
ˆ
ametro para obter sucesso na con-
verg
ˆ
encia.
No painel Ponto Inicial podemos atuar na escolha do ponto inicial do algoritmo de
otimizac¸
˜
ao. Observe, da Figura B.10, que o padr
˜
ao
´
e iniciar as vari
´
aveis x conforme uma
soluc¸
˜
ao inicial de fluxo de pot
ˆ
encia, as vari
´
aveis de folgas s e z em func¸
˜
ao da escolha das
vari
´
aveis x, e as vari
´
aveis duais π e υ em func¸
˜
ao da escolha das vari
´
aveis de folgas. No
caso dos multiplicadores de Lagrange das restric¸
˜
oes de igualdades, os mesmos podem ser
iniciados com valores distintos por grupos de restric¸
˜
oes: restric¸
˜
oes de balanc¸o de pot
ˆ
encia
ativa (λ = 1) e restric¸
˜
oes de balanc¸o de pot
ˆ
encia reativa e fluxos (λ = 0).
No painel Par
ˆ
ametros de Soluc¸
˜
ao podemos ajustar praticamente todos os par
ˆ
ametros
do algoritmo de otimizac¸
˜
ao selecionado. Devido a significativa robustez dos algoritmos
de pontos-interiores implementados, os valores padr
˜
oes de par
ˆ
ametros apresentados na in-
terface gr
´
afica com o usu
´
ario provavelmente ter
˜
ao sucesso na otimizac¸
˜
ao dos diversos sis-
temas sem a necessidade de ajustes diferenciados para cada sistema analisado. Podemos
avanc¸ar para o passo seguinte, sem realizar qualquer modificac¸
˜
ao nos valores padr
˜
oes que
s
˜
ao apresentados na pasta Otimizac¸
˜
ao.
B.1.5 Ajustando o Modelo de Otimizac¸
˜
ao
Uma janela de trabalho com funcionalidades muito interessantes do OOTrans
´
e a janela
entitulada Ajustar Modelo, como ilustra a Figura B.11. Nesta janela o usu
´
ario poder
´
a
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 103
Figura B.10: Painel para escolha do ponto inicial.
simular diversas modificac¸
˜
oes no problema de otimizac¸
˜
ao sem ter que editar arquivos de
dados.
No painel Ajustes via Arquivo? o usu
´
ario poder
´
a informar o nome de um arquivo que
cont
´
em as modificac¸
˜
oes desejadas, como inclus
˜
ao e/ou exclus
˜
ao de vari
´
aveis de controles,
alterac¸
˜
oes de limites, inclus
˜
ao e/ou exclus
˜
ao de restric¸
˜
oes de limites, etc.
No painel Ajustes o usu
´
ario poder
´
a dar in
´
ıcio a informac¸
˜
ao das modificac¸
˜
oes via a
interface.
Neste painel escolhe-se inicialmente o grupo das modificac¸
˜
oes desejadas, ou seja, modifi-
cac¸
˜
oes de controles ou de restri¸c˜oes. Escolhido o grupo (controles ou restric¸
˜
oes) o usu
´
ario
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 104
escolhe a seguir o subgrupo, cujo lista de opc¸
˜
oes depende do problema de otimizac¸
˜
ao se-
lecionado. A Figura B.11 ilustra a selec¸
˜
ao do grupo Controles e do subgrupo Tape. Uma
vez selecionado o subgrupo, os controles correspondentes a esse subgrupo s
˜
ao listados no
campo a esquerda. Ao selecionarmos qualquer item dessa lista os dados corresponden-
tes s
˜
ao exibidos no painel superior direito denominado Item Selecionado. Nas caixas de
edic¸
˜
ao M
´
ınimo e M
´
aximo podemos alterar os valores de limites indicados.
Entre os dois campos de listagens temos os bot
˜
oes que efetuam a transfer
ˆ
encia dos
´
ıtens
selecionados de uma listagem para outra, ou seja, que excluem ou incluem os controles
selecionados. A Figura B.12 ilustra a exclus
˜
ao da vari
´
avel de controle tape do circuito
40. Para excluir controles (ou restric¸
˜
oes) seleciona-se os
´
ıtens para exclus
˜
ao na coluna da
esquerda e clica-se na seta para direita:
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 105
Figura B.11: Exemplo de ajuste nas vari
´
aveis de controle tape.
Para incluir controles (ou restric¸
˜
oes) seleciona-se os
´
ıtens para inclus
˜
ao na coluna da direita
e clica-se na seta para esquerda
que estar
´
a ativa quando s
˜
ao selecionados itens na coluna direita. Observe das imagens
apresentadas que v
´
arios outros recursos podem ser acionados no painel Ajustes Modelo,
como o controle local, indicac¸
˜
ao de conting
ˆ
encia, gerar arquivo de ajustes, etc.
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 106
Figura B.12: Exemplo da exclus
˜
ao da vari
´
avel de controle tape do circuito 40.
B.1.6 Selecionando Relat
´
orios para Impress
˜
ao
Clicando-se no bot
˜
ao de acionamento da janela de trabalho Relat
´
orios obtemos acesso
a uma lista de Checkbox’s onde podemos selecionar diversas modalidades de relat
´
orios,
desde relat
´
orios usuais de soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia, a relat
´
orios diversos relacionados
a soluc¸
˜
ao do problema de otimizac¸
˜
ao. A lista de relat
´
orios selecion
´
aveis
´
e como ilustra a
Figura B.13.
A selec¸
˜
ao padr
˜
ao
´
e a de apenas 3 relat
´
orios relacionados a soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia,
a saber: (1) sum
´
ario do sistema, (2) dados de barra na soluc¸
˜
ao, e (3) fluxos nos circuitos. Os
relat
´
orios no painel Relat
´
orios de Fluxo de Pot
ˆ
encia s
˜
ao gerados automaticamente apenas
quando o estudo
´
e de fluxo de pot
ˆ
encia. Se o estudo for de otimizac¸
˜
ao ent
˜
ao os relat
´
orios
s
˜
ao gerados apenas quando acionado o bot
˜
ao Gerar Relat´orios na parte inferior do painel:
Como a funcionalidade do bot
˜
ao Gerar Relat´orios um relat
´
orio qualquer pode ser solicitado
tanto antes quanto ap
´
os a execuc¸
˜
ao da simulac¸
˜
ao.
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 107
Figura B.13: Janela de trabalho para selec¸
˜
ao de relat
´
orios.
Ressalta-se que o painel Relat
´
orios de Otimizac¸
˜
ao
´
e exibido apenas quando o estudo
selecionada na barra de ferramentas
´
e um problema de otimizac¸
˜
ao, ou seja, minimizac¸
˜
ao
de perdas el
´
etricas ou minimizac¸
˜
ao de corte de carga. As informac¸
˜
oes contidas nestes
relat
´
orios s
˜
ao de grande utilidade na an
´
alise p
´
os-otimalidade, como a identificac¸
˜
ao de
restric¸
˜
oes cr
´
ıticas e quais os “gargalos” que impedem uma maior otimizac¸
˜
ao da operac¸
˜
ao
do sistema.
B.1.7 Executando a Otimizac¸
˜
ao
Observe que, at
´
e ent
˜
ao, ao aceitarmos os valores padr
˜
oes informados na interface gr
´
afica
com o usu
´
ario, a
´
unica ac¸
˜
ao efetiva que realizamos na interface gr
´
afica do programa foi a
informac¸
˜
ao do arquivo de dados da rede el
´
etrica, e a selec¸
˜
ao no Popup Menu da barra de
ferramentas do problema de estudo como sendo Minimiza¸c˜ao de Perdas Ativas.
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 108
Desde o instante em que os arquivos de dados da rede el
´
etrica foram definidos que o
bot
˜
ao de execuc¸
˜
ao do algoritmo de soluc¸
˜
ao,
encontra-se habilitado na interface gr
´
afica do programa. Clicando-se neste bot
˜
ao o processo
de soluc¸
˜
ao num
´
erica
´
e desencadeado, sendo exibidas, a cada iterac¸
˜
ao, na parte inferior da
janela principal, as informac¸
˜
oes b
´
asicas do processo iterativo de soluc¸
˜
ao, como o n
´
umero
da iterac¸
˜
ao corrente, os comprimentos de passos primal e dual, a inviabilidade primal,
a inviabilidade dual, o res
´
ıduo de complementaridade, o par
ˆ
ametro de barreira e o valor
corrente da func¸
˜
ao objetivo, como ilustra a imagem abaixo.
B.1.8 Visualizando Resultados
Os resultados podem ser visualizados e analizados de diversas maneiras. Uma delas
´
e a
inspec¸
˜
ao dos arquivos gerados, atrav
´
es da chamada autom
´
atica de um editor de texto do
sistema operacional. Isto pode ser feito simplesmente clicando no
´
ultimo bot
˜
ao da barra de
ferramentas:
Clicando-se no bot
˜
ao
surge naturalmente a lista de todos os arquivos envolvidos na simulac¸
˜
ao, desde os arquivos
de dados aos arquivos que foram gerados durante a simulac¸
˜
ao. Clicando-se no nome de um
arquivo da lista o mesmo ser
´
a automaticamente aberto por um editor de texto. Um clique
no primeiro item da lista apenas carrega o editor de texto sem abrir qualquer arquivo.
B.1. UTILIZANDO O PROGRAMA OOTRANS 109
Outros recursos para visualizac¸
˜
ao de resultados s
˜
ao dispon
´
ıveis nas janelas de trabalho
Resultados e Pesquisar Dados. As janelas de trabalho Resultados e Pesquisar Dados
podem ser rapidamente acionadas a partir da barra de ferramentas, clicando-se nos bot
˜
oes
resultados,
e pesquisar,
B.1.9 Analisando a Soluc¸
˜
ao
Outro recurso bastante pr
´
atico e interessante do programa OOTrans
´
e a facilidade de pes-
quisa de dados dispon
´
ıvel na janela de trabalho Pesquisar Dados. A Figura B.14 ilustra os
recursos dispon
´
ıveis na janela de trabalho Pesquisar Dados. Primeiro, no painel Objeto
da Pesquisa o usu
´
ario seleciona se deseja analisar em detalhes uma barra ou um circuito do
sistema. A selec¸
˜
ao padr
˜
ao
´
e a an
´
alise de barras. Uma vez feita essa selec¸
˜
ao, identifica-se o
objeto espec
´
ıfico a ser analisado, ou seja, deve ser fornecido o n
´
umero (externo) da barra ou
o n
´
umero do circuito. Feita a identificac¸
˜
ao, automaticamente s
˜
ao exibidos todos os dados,
tanto da rede el
´
etrica quanto do processo de otimizac¸
˜
ao, relacionados com aquele objeto
(barra ou circuito).
A Figura B.14 ilustra a pesquisa sobre a barra 1 do regional Angelim. No painel Dados
da Otimizac¸
˜
ao s
˜
ao exibidos todos os dados referentes ao processo de otimizac¸
˜
ao, como
valores das vari
´
aveis de folgas das restric¸
˜
oes de limites e os valores dos multiplicadores de
Lagrange associados aos respectivos limites. Esses dados s
˜
ao extremamente importantes
para a an
´
alise p
´
os-otimalidade onde s
˜
ao identificados os gargalos operativos do sistema, ou
seja, quais restric¸
˜
oes foram mais impeditivas para melhoria adicional do ponto de operac¸
˜
ao.
S
˜
ao exibidos tamb
´
em todos os dados relativos ao ponto de operac¸
˜
ao e os limites ope-
rativos considerados na soluc¸
˜
ao do problema de otimizac¸
˜
ao. No canto direito inferior
´
e
exibido um extrado do relat
´
orio de fluxo de pot
ˆ
encia envolvendo aquela barra, ou seja,
os fluxos de pot
ˆ
encia em todos os circuitos que tem a barra pesquisada como um de seus
terminais.
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 110
Figura B.14: Exemplo de pesquisa da barra 1 do regional Angelim.
Um recurso adicional existente no OOTrans que inexiste nos programas de otimizac¸
˜
ao
existentes no mercado
´
e o da Pesquisa Avanc¸ada. Este painel disponibiliza para o usu
´
ario
o prompt do MATLAB para a pesquisa de dados do processo de soluc¸
˜
ao, como busca de
valores m
´
aximos e m
´
ınimos, em que barras ou circuitos esses valores extremos ocorreram,
exibic¸
˜
ao de dados diversos, etc.
B.2 As Rotinas Computacionais
O programa OOTrans
´
e constitu
´
ıdo por 40 rotinas computacionais, sendo 38 function’s
do MATLAB, tamb
´
em chamadas de arquivos-M, e 2 programas execut
´
aveis chamados de
dentro do MATLAB mas que s
˜
ao desenvolvidos na linguagem Fortran. Os arquivos-M, em
ordem alfab
´
etica, s
˜
ao:
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 111
acesso.m gradiente.m mpicorrcent.m
barreira.m hessiana.m mpimultcorr.m
config.m jacobfluxos.m mpinewtcomp.m
convergencia.m jacobrestricoes.m mpipredcorr.m
fluxodc.m jacobsbarra.m novoponto.m
fluxos.m leituracdf.m ootrans.m
fpcompleto.m leiturafpo.m passoalfa.m
fpdesacoplado.m leitura.m pontoinicial.m
fpgaussseidel.m leiturapwf.m principal.m
fpnewton.m logindlg.m restricoes.m
fprelatorios.m montabbarra.m retornofpo.m
fpresiduo.m montaybarra.m vetorkkt.m
ootrans
Este arquivo pode ser classificado como o principal do programa, uma vez que
´
e ele quem
carrega o OOTrans para execuc¸
˜
ao. O arquivo ootrans.m, juntamente com o arquivo de
mesmo nome e terminac¸
˜
ao .fig, ootrans.fig, gera a interface gr
´
afica com o usu
´
ario
do programa. O arquivo ootrans.m cont
´
em tamb
´
em a programac¸
˜
ao dos Callback’s de
todos os objetos da interface gr
´
afica, ou seja, ootrans.m cont
´
em uma colec¸
˜
ao de func¸
˜
oes
MATLAB que determinam as ac¸
˜
oes que s
˜
ao executadas quando cada objeto da interface
´
e
ativado.
O arquivo ootrans.fig
´
e um arquivo bin
´
ario que pode ser editado apenas com a fer-
ramenta GUIDE (Graphical User Interface Development Environment) do MATLAB.
principal
Ap
´
os a func¸
˜
ao ootrans, que
´
e respons
´
avel pela interface gr
´
afica e pela funcionalidade dos
objetos, a func¸
˜
ao principal
´
e a seguinte em n
´
ıvel hier
´
arquico.
´
E a func¸
˜
ao principal
quem gerencia todo o processo de soluc¸
˜
ao, extraindo da interface as informac¸
˜
oes ne-
cess
´
arias para o correto fluxo do processamento, como os nomes dos arquivos de dados
e de sa
´
ıdas, par
ˆ
ametros dos algoritmos, selec¸
˜
ao de algoritmos de fluxo de pot
ˆ
encia, selec¸
˜
ao
de algoritmos de otimizac¸
˜
ao, toler
ˆ
ancias de converg
ˆ
encia, etc, e coordenando a chamada
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 112
de todas as rotinas para a soluc¸
˜
ao do problema como especificado pelo usu
´
ario na interface.
As demais rotinas ser
˜
ao apresentadas na ordem em que elas s
˜
ao chamadas pela func¸
˜
ao
principal.
leituracdf
Esta
´
e a primeira func¸
˜
ao chamada pela func¸
˜
ao principal. Ela l
ˆ
e os dados de barras e de
linhas do sistema el
´
etrico no formato “IEEE Common Data Format” (*.cdf). A sintaxe de
chamada da func¸
˜
ao
´
e como segue:
[Barra,Linha,Lista,Indice,Geral] = leituracdf(Geral,handles)
A func¸
˜
ao leituracdf retorna na lista de argumentos de sa
´
ıda a estrutura Barra com os
dados de barras do sistema, a estrutura Linha com os dados de linhas e transformadores, a
estrutura Lista com vetores de listas de
´
ındices, e a estrutura Indice com os
´
ındices que
s
˜
ao utilizados com maior frequ
ˆ
encia. A estrutura Barra apresenta os seguintes campos:
Barra.campo Descric¸
˜
ao
numExt N
´
umero externo (batismo) da barra
numSeq N
´
umero interno (sequencial) da barra
nome Nome da barra
area
´
Area a que pertence a barra
zona Zona a que pertence a barra
tipo Tipo da barra
tensao Tens
˜
ao da barra (p.u.)
angulo
ˆ
Angulo de fase da tens
˜
ao da barra (rad)
cargaP Pot
ˆ
encia ativa da carga (p.u.)
cargaQ Pot
ˆ
encia reativa da carga (p.u.)
gerP Pot
ˆ
encia ativa gerada (p.u.)
gerQ Pot
ˆ
encia reativa gerada (p.u.)
baseKV Tens
˜
ao base da barra (kV)
tensaoRem Tens
˜
ao da barra controlada (p.u.)
maxQger Limite m
´
aximo da pot
ˆ
encia reativa gerada (p.u.)
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 113
minQger Limite m
´
ınimo da pot
ˆ
encia reativa gerada (p.u.)
Gshunt Condut
ˆ
ancia shunt da barra (p.u.)
Bshunt Suscept
ˆ
ancia shunt da barra (p.u.)
Yshunt Admit
ˆ
ancia shunt da barra (p.u.)
minVmod Limite m
´
ınimo da tens
˜
ao da barra (p.u.)
maxVmod Limite m
´
aximo da tens
˜
ao da barra (p.u.)
statusG Status da gerac¸
˜
ao (0-off, 1-on)
statusC Status da carga (0-off, 1-on)
minPger Limite m
´
ınimo da pot
ˆ
encia ativa (p.u.)
maxPger Limite m
´
aximo da pot
ˆ
encia ativa (p.u.)
minBsht Limite m
´
ınimo da suscept
ˆ
ancia shunt (p.u.)
maxBsht Limite m
´
aximo da suscept
ˆ
ancia shunt (p.u.)
minSigm Limite m
´
ınimo do par
ˆ
ametro de carga
maxSigm Limite m
´
aximo do par
ˆ
ametro de carga
custoA Coeficiente termo constante da curva quadr
´
atica
custoB Coeficiente termo linear da curva quadr
´
atica
custoC Coeficiente termo quadr
´
atico da curva quadr
´
atica
zipAp Coeficiente pot
ˆ
encia ativa constante modelo ZIP da carga
zipBp Coeficiente pot
ˆ
encia ativa constante modelo ZIP da carga
zipCp Coeficiente pot
ˆ
encia ativa constante modelo ZIP da carga
zipAq Coeficiente pot
ˆ
encia ativa constante modelo ZIP da carga
zipBq Coeficiente pot
ˆ
encia ativa constante modelo ZIP da carga
zipCq Coeficiente pot
ˆ
encia ativa constante modelo ZIP da carga
sigma Coeficiente pot
ˆ
encia ativa constante modelo ZIP da carga
A estrutura Linha apresenta os seguintes campos:
Linha.campo Descric¸
˜
ao
barraDe N
´
umero da barra terminal “de”
barraPa N
´
umero da barra terminal “para”
area
´
Area a que pertence o circuito
circuito N
´
umero do circuito
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 114
tipo Tipo de circuito
Rserie Resist
ˆ
encia s
´
erie do circuito (p.u.)
Xserie Reat
ˆ
ancia s
´
erie do circuito (p.u.)
Yshunt Suscept
ˆ
ancia do carregamento shunt da linha
maxFlux Fluxo m
´
aximo do circuito
tape Tape do transformador
angTape
ˆ
Angulo de desafasagem do transformador defasador
minTape Limite m
´
ınimo do tape
maxTape Limite m
´
aximo do tape
Yserie Admit
ˆ
ancia s
´
erie do circuito (p.u.)
fluxoPde Fluxo ativo saindo da barra “de”
fluxoQde Fluxo reativo saindo da barra “de”
fluxoSde Fluxo aparente saindo da barra “de”
fluxoPpara Fluxo ativo saindo da barra “para”
fluxoQpara Fluxo reativo saindo da barra “para”
fluxoSpara Fluxo aparente saindo da barra “para”
minDefa Limite m
´
ınimo da defasagem do transformador
maxDefa Limite m
´
aximo da defasagem do transformador
As demais estruturas (Lista e Indice), por n
˜
ao estarem completas ap
´
os a execuc¸
˜
ao da
func¸
˜
ao leituracdf, s
˜
ao descritas na apresentac¸
˜
ao de outras func¸
˜
oes.
montaybarra
A func¸
˜
ao montaybarra monta a matriz admit
ˆ
ancia de barra e as matrizes admit
ˆ
ancias
“ramo-barra de” e “ramo-barra para”. A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao
´
e da forma:
[Ybarra,Yde,Ypara,Barra,Linha] = ...
montaybarra(Barra,Linha,Lista,Indice)
A func¸
˜
ao retorna nos argumentos de sa
´
ıda a matriz admit
ˆ
ancia de barra, Ybarra, e duas
matrizes de admit
ˆ
ancias ramo-barra, Yde e Ypara, as quais, quando multiplicadas pelos
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 115
vetores das tens
˜
oes complexas das barras “de” e “para” dos circuitos, respectivamente,
fornecem os vetores das correntes injetadas em cada linha das barras “de” e “para”.
fpnewton
O programa OOTrans implementa os principais algoritmos para c
´
alculo de fluxo de pot
ˆ
en-
cia: o m
´
etodo de Newton completo, os m
´
etodos desacoplado r
´
apido (vers
˜
oes BX e XB), o
m
´
etodo de Gauss-Seidel, e o m
´
etodo DC. A func¸
˜
ao fpnewton calcula a soluc¸
˜
ao do fluxo
de pot
ˆ
encia pelo m
´
etodo de Newton completo. A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao
´
e:
[Barra,iIteracao,convergiu] = ...
fpnewton(Barra,Linha,Ybarra,Lista,Indice,handles)
A func¸
˜
ao fpnewton retorna, na estrutura Barra, as tens
˜
oes de barras calculadas, o n
´
umero
de iterac¸
˜
oes, e um indicador de caso convergido ou nao.
A func¸
˜
ao fpnewton faz a chamada, em cada iterac¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia, da func¸
˜
ao
jacobsbarra, a qual calcula o Jacobiano (matriz de derivadas primeiras) das func¸
˜
oes
injec¸
˜
oes l
´
ıquidas de pot
ˆ
encias nas barras.
fpdesacoplado
A func¸
˜
ao fpdesacoplado calcula a soluc¸
˜
ao do fluxo de pot
ˆ
encia pelo m
´
etodo desacoplado
r
´
apido, tanto na vers
˜
ao BX quanto na vers
˜
ao XB. A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao
´
e:
[Barra,iIteracao,convergiu] = ...
fpdesacoplado(Barra,Linha,Ybarra,Lista,Indice,Geral,handles)
A func¸
˜
ao fpdesacoplado retorna, na estrutura Barra, as tens
˜
oes de barras calculadas,
o n
´
umero de iterac¸
˜
oes, e um indicador de caso convergido ou nao. Ela faz a chamada,
em cada iterac¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia, das func¸
˜
oes fpresiduo e montaybarra. A fina-
lidade da func¸
˜
ao fpresiduo
´
e calcular os res
´
ıduos de pot
ˆ
encia nas barras normalizados
pelos m
´
odulos das tens
˜
oes de barras, conforme o equacionamento do fluxo de pot
ˆ
encia
desacoplado.
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 116
A func¸
˜
ao fpdesacoplado identifica qual a vers
˜
ao do algoritmo desacoplado utilizar,
se BX ou XB, na interface gre
´
afica (pasta Fluxo de Pot
ˆ
encia) do programa OOTrans.
fpgaussseidel
A func¸
˜
ao fpgaussseidel calcula a soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia pelo m
´
etodo de Gauss-
Seidel. A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao
´
e:
[Barra,iIteracao,convergiu] = ...
fpgaussseidel(Barra,Ybarra,Lista,handles)
O uso desse algoritmo
´
e desaconselhado, uma vez a converg
ˆ
encia
´
e bastante lenta. A func¸
˜
ao
fpgaussseidel retorna, na estrutura Barra, as tens
˜
oes de barras calculadas, o n
´
umero de
iterac¸
˜
oes, e um indicador de caso convergido ou nao.
fluxodc
A func¸
˜
ao fluxodc calcula a soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia pelo m
´
etodo DC. A sintaxe de
chamada da func¸
˜
ao
´
e:
[Barra,Linha] = fluxodc(Barra,Linha,Lista,Indice)
Essa func¸
˜
ao calcula os
ˆ
angulos de fase das tens
˜
oes complexas de barras, exceto da barra
de refer
ˆ
encia. Ela faz a chamada da func¸
˜
ao montabbarra para montar as matrizes de
suscept
ˆ
ancias Bbarra e Bde, e o vetor das injec¸
˜
oes de pot
ˆ
encia ativa pelos transformadores
defasadores, para a soluc¸
˜
ao do fluxo de pot
ˆ
encia DC.
fpcompleto
A func¸
˜
ao fpcompleto atualiza as estruturas de dados Barra e Linha com a soluc¸
˜
ao do
fluxo de pot
ˆ
encia. Mais especificamente, ela utiliza as tens
˜
oes complexas das barras que
foram calculadas pelo algoritmo de fluxo de pot
ˆ
encia para calcular a pot
ˆ
encia reativa das
barras PV, a pot
ˆ
encia ativa da barra Vθ, e os fluxos de pot
ˆ
encia ativa e reativa nos circuitos.
A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao fpcompleto
´
e da forma:
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 117
[Barra,Linha] = fpcompleto(Barra,Linha,Ybarra,Yde,Ypara,Lista)
fprelatorios
A func¸
˜
ao fprelatorios
´
e uma func¸
˜
ao que trata especificamente da gerac¸
˜
ao de relat
´
orios
de dados e da soluc¸
˜
ao de fluxo de pot
ˆ
encia. Os relat
´
orios a serem gerados s
˜
ao selecionados
na interface gr
´
afica do programa OOTrans, na pasta Relat
´
orios. Por ser uma func¸
˜
ao de
sa
´
ıda de dados, a sintaxe de chamada apresenta apenas argumentos de entrada, como segue:
fprelatorios(Barra,Linha,Lista,Indice,Geral,handles)
leiturafpo
A func¸
˜
ao leiturafpo faz a leitura dos dados da otimizac¸
˜
ao da rede el
´
etrica, os quais
est
˜
ao organizados num arquivo espec
´
ıfico de terminac¸
˜
ao .fpo, segundo uma formatac¸
˜
ao
pr
´
opria do programa OOTrans, pois n
˜
ao h
´
a na literatura uma padronizac¸
˜
ao definida para
a formatac¸
˜
ao desses dados. Por dados da otimizac¸
˜
ao entende-se os limites m
´
ınimos e
m
´
aximos das vari
´
aveis, tais como os m
´
odulos das tens
˜
oes, tapes, compensac¸
˜
oes shunts,
fluxos nos ramos, etc, bem como a indicac¸
˜
ao das vari
´
aveis de controle como tapes, com-
pensac¸
˜
oes shunts, etc. Os par
ˆ
ametros dos algoritmos de otimizac¸
˜
ao s
˜
ao especificados na
interface gr
´
afica do programa, com valores padr
˜
oes definidos na inicializac¸
˜
ao do programa.
A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao leiturafpo
´
e a seguinte:
[Barra,Linha,Lista,Indice] = ...
leiturafpo(Barra,Linha,Lista,Indice,Geral,handles)
Ela retorna os dados da otimizac¸
˜
ao nas estruturas Barra e Linha, define algumas listas de
´
ındices na estrutura Lista e algumas quantidades na estrutura Indice. As estrutura de
dados Lista e Indice s
˜
ao descritas abaixo.
pontoinicial
A finalidade da func¸
˜
ao pontoinicial
´
e a inicializac¸
˜
ao eficiente dos algoritmos de oti-
mizac¸
˜
ao, ou seja, o c
´
alculo de um ponto inicial para o processo iterativo, conforme opc¸
˜
oes
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 118
do usu
´
ario feitas na interface gr
´
afica (na pasta Otimizac¸
˜
ao). A sintaxe de chamada da
func¸
˜
ao leiturafpo
´
e a seguinte:
[Barra,Linha,Ybarra,Ytape,Vbarra,Fpo,Lista,Indice] = ...
pontoinicial(Barra,Linha,Ybarra,Yde,Ypara,Lista,Indice,Geral,handles)
Dependendo da regra indicada na interface gr
´
afica para inicializac¸
˜
ao das vari
´
aveis pri-
mais x, s e z, a func¸
˜
ao pontoinicial pode fazer chamadas das func¸
˜
oes restricoes
e gradiente.
´
E nesta func¸
˜
ao que s
˜
ao definidos os vetores de limites m
´
ınimos e m
´
aximos
das vari
´
aveis x, l e u, bem como s
˜
ao criadas diversas listas de
´
ındices e de n
´
umeros, nas
estruturas Lista e Indice. Os campos da estrutura Lista s
˜
ao:
Lista.campo Descric¸
˜
ao
barraPQ Lista de barras tipo PQ
barraPV Lista de barras tipo PV
barraVT Lista de barras tipo Vθ
barPQPV Lista de barras tipos PQ e PV
tape Lista de transformadores
varQ Lista de vari
´
aveis pot
ˆ
encia reativa gerada Q
G
varB Lista de vari
´
aveis suscept
ˆ
ancia shunt b
sh
trafos Lista de vari
´
aveis t
i j
e/ou φ
i j
varT Lista de vari
´
aveis tape t
i j
varD Lista de vari
´
aveis
ˆ
angulo de defasagem φ
i j
varF Lista de vari
´
aveis fluxo F
i j
varP Lista de vari
´
aveis pot
ˆ
encia ativa gerada P
G
varS Lista de vari
´
aveis corte de carga σ
varA Lista de vari
´
aveis de
ˆ
angulo de fase θ
varV Lista de vari
´
aveis m
´
odulo de tens
˜
ao V
fx2tm uso interno
fx2ta uso interno
rm2tm uso interno
rm2ta uso interno
yVmod uso interno
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 119
Os campos da estrutura Indice s
˜
ao:
Lista.campo Descric¸
˜
ao
nBarras N
´
umero de barras do sistema
nSwing N
´
umero de barras de balanc¸o
nRamos N
´
umero de circuitos
nTapes N
´
umero de transformadores com LTC
nTrafo N
´
umero de transformadores com LTC e defasadores
nDefa N
´
umero de defasadores
nFluxo N
´
umero de vari
´
aveis fluxo
eMultiG 1=resdespacho de gerac¸
˜
ao
eMultiC 1=m
´
ultiplos fatores de corte de carga
nVang N
´
umero de vari
´
aveis θ
nVmod N
´
umero de vari
´
aveis V
nPger N
´
umero de vari
´
aveis P
G
nQger N
´
umero de vari
´
aveis Q
G
nBsht N
´
umero de vari
´
aveis b
sh
nSigm N
´
umero de vari
´
aveis corte de carga σ
ixVmod uso interno
ixTape uso interno
ixDefa uso interno
ixPger uso interno
ixQger uso interno
ixBsht uso interno
ixFluxo uso interno
ixSigma uso interno
nX N
´
umero de vari
´
aveis de decis
˜
ao x
nXlim N
´
umero de vari
´
aveis sujeitas a limites simples
igQ uso interno
igF uso interno
nG N
´
umero de restric¸
˜
oes de igualdades
iyVang uso interno
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 120
iyVmod uso interno
iyTape uso interno
iyDefa uso interno
iyPger uso interno
iyQger uso interno
iyBsht uso interno
iyFluxo uso interno
iySigma uso interno
nY N
´
umero total de vari
´
aveis (dimens
˜
ao do sistema de Newton)
nIteracoes N
´
umero m
´
aximo de iterac¸
˜
oes
Os campos da estrutura Fpo s
˜
ao:
Fpo.campo Descric¸
˜
ao
mi Par
ˆ
ametro de barreira µ
reduzmi Par
ˆ
ametro de centralizac¸
˜
ao σ
alfa0 Fator de reduc¸
˜
ao do comprimento de passo α
0
regraPasso uso interno
nCorrecoes N
´
umero m
´
aximo de passos de correc¸
˜
ao
minBeta Limite inferior do hipercubo β
min
maxBeta Limite superior do hipercubo β
max
tolPrimal Toler
ˆ
ancia de converg
ˆ
encia da inviabilidade primal
tolDual Toler
ˆ
ancia de converg
ˆ
encia da inviabilidade dual
tolComp Toler
ˆ
ancia de converg
ˆ
encia do res
´
ıduo de complementaridade
tolMi Toler
ˆ
ancia do par
ˆ
ametro de barreira
Xmin Limite m
´
ınimo das vari
´
aveis
Xmax Limite m
´
aximo das vari
´
aveis
funObj Valor da func¸
˜
ao objetivo
restrG Vetor de restric¸
˜
oes g(x
k
)
restrX Valor das vari
´
aveis sujeitas a limites x
k
folgaXmin Vari
´
aveis de folgas do limite inferior x − s = x
folgaXmax Vari
´
aveis de folgas do limite superior: x + z = x
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 121
gradF Gradiente da func¸
˜
ao objetivo ∇f (x
k
)
mlagrXmin Multiplicador de Lagrange da restric¸
˜
ao de limite inferior π
mlagrXmax Multiplicador de Lagrange da restric¸
˜
ao de limite superior υ
mlagrG Multiplicador de Lagrange das restric¸
˜
oes de igualdades λ
invPrimal Inviabilidade primal
invDual Inviabilidade dual
alfaP Comprimento de passo primal α
p
alfaD Comprimento de passo dual α
d
alfaPeq N
´
umero m
´
aximo de iterac¸
˜
oes com passos muito pequenos
registro uso interno
jacobG Jacobiano das restric¸
˜
oes de igualdades ∇g(x
k
)
T
gapXmin Res
´
ıduo de complementaridade das restric¸
˜
oes de limites m
´
ınimos
gapXmax Res
´
ıduo de complementaridade das restric¸
˜
oes de limites m
´
aximos
eqKKT Vetor independente do sistema de Newton
convergiu uso interno
deltaY Vetor direc¸
˜
ao de busca ∆y
iPrimal uso interno
iDual uso interno
jacobsbarra
A func¸
˜
ao jacobsbarra
´
e de grande import
ˆ
ancia tanto no algoritmo de fluxo de pot
ˆ
encia
quanto nos algoritmos de otimizac¸
˜
ao. Ela calcula as derivadas parciais das injec¸
˜
oes de
pot
ˆ
encia complexas nas barras com relac¸
˜
ao aos m
´
odulos e
ˆ
angulos das tens
˜
oes. Opcional-
mente, quando chamada com quatro argumentos de sa
´
ıda, retorna as derivadas parciais das
injec¸
˜
oes de pot
ˆ
encia com relac¸
˜
ao aos tapes e
ˆ
angulos dos transformadores. A sintaxe de
chamada da func¸
˜
ao
´
e como segue:
[dSdV,dSdA,dSdTm,dSdTa] = ...
jacobsbarra(Linha,Ybarra,Vbarra,Lista,Indice)
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 122
A matriz complexa dSdV cont
´
em as derivadas parciais
∂
S
i
∂V
j
=
∂P
i
∂V
j
+ j
∂Q
i
∂V
j
,
a matriz complexa dSdA cont
´
em as derivadas parciais
∂
S
i
∂θ
j
=
∂P
i
∂θ
j
+ j
∂Q
i
∂θ
j
,
a matriz complexa dSdTm cont
´
em as derivadas parciais
∂
S
i
∂t
i j
=
∂P
i
∂t
i j
+ j
∂Q
i
∂t
i j
,
e a matriz complexa dSdTa cont
´
em as derivadas parciais
∂
S
i
∂φ
i j
=
∂P
i
∂φ
i j
+ j
∂Q
i
∂φ
i j
.
jacobrestricoes
A func¸
˜
ao jacobrestricoes calcula o Jacobiano ∇g(x
k
)
T
do vetor de func¸
˜
oes de restri-
c¸
˜
oes de igualdades:
g(x) =
P
i
(V, θ, t) + P
D
i
(V
i
) − P
G
i
i ∈ N
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
i ∈ G
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
i ∈ F
Q
i
(V, θ, t) + Q
D
i
(V
i
) − Q
G
i
−b
sh
i
V
2
i
i ∈ C
F
i j
(V, θ, t) − F
i j
{(i, j)} ⊆ B
(B.1)
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 123
Nos algoritmos de otimizac¸
˜
ao, o Jacobiano ∇g(x
k
)
T
e o seu transposto aparecem na compo-
sic¸
˜
ao do sistema de Newton:
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
∆z
∆π
∆υ
∆λ
∆x
= −
S π −µ
k
e
Zυ − µ
k
e
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ
(B.2)
A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao jacobrestricoes
´
e da forma:
Fpo = jacobrestricoes(Barra,Linha,Yde,Vbarra,dSdA,dSdV,dSdTm, ...
dSdTa,Fpo,Lista,Indice,Geral)
A func¸
˜
ao retorna a matriz ∇g(x
k
)
T
no campo Fpo.jacobG. Observe, da lista de argumen-
tos de entrada, que a func¸
˜
ao jacobrestricoes faz uso das matrizes complexas que s
˜
ao
calculadas na func¸
˜
ao jacobsbarra. A func¸
˜
ao jacobrestricoes faz ainda uma chamada
da func¸
˜
ao jacobfluxos para calcular as derivadas parciais das restric¸
˜
oes de fluxos nos
ramos.
barreira
A func¸
˜
ao barreira calcula os res
´
ıduos de complementaridade das restric¸
˜
oes de limites
sobre as vari
´
aveis e efetua a reduc¸
˜
ao do par
ˆ
ametro de barreira, segundo as express
˜
oes ma-
tem
´
aticas:
µ
k+1
= σ
s
T
k
π
k
+ z
T
k
υ
k
2p
(B.3)
A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao barreira
´
e da forma:
Fpo = barreira(Fpo,Indice)
Os res
´
ıduos de complementaridade e o par
ˆ
ametro de barreira s
˜
ao retornados em campos da
estrutura Fpo, a saber: Fpo.gapXmin, Fpo.gapXmax e Fpo.mi.
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 124
vetorkkt
A func¸
˜
ao vetorkkt monta o vetor independente do sistema de Newton, ou seja, o vetor
gradiente da func¸
˜
ao de Lagrange:
∇
y
L(y
k
, µ
k
) =
S π −µ
k
e
Zυ − µ
k
e
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ
(B.4)
O vetor gradiente ∇
y
L(y
k
, µ
k
) calculado retorna na estrutura Fpo, no campo Fpo.eqKKT.
A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao vetorkkt
´
e da forma:
Fpo = vetorkkt(Fpo,Indice,Geral)
convergencia
Uma vez calculado o vetor ∇
y
L(y
k
, µ
k
) pela func¸
˜
ao vetorkkt, pode-se facilmente fazer o
teste de converg
ˆ
encia:
max
max
i
x
i
− x
k
i
, max
i
x
k
i
− x
i
, g(x
k
)
∞
≤
1
, (B.5a)
∇f (x
k
) + ∇g(x
k
)λ −π
k
+ υ
k
∞
1 + x
k
2
+ λ
k
2
+ π
k
2
+ υ
k
2
≤
1
, (B.5b)
ρ
k
1 + x
k
2
≤
2
. (B.5c)
Este teste
´
e feito pela func¸
˜
ao convergencia, cuja sintaxe de chamada
´
e como segue:
[Fpo,Indice] = convergencia(Barra,Fpo,Indice,iIteracao,handles)
O estado corrente do processo de converg
ˆ
encia
´
e exibido na parte inferior da interface do
programa.
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 125
hessiana
Esta
´
e a mais complexa das func¸
˜
oes do programa OOTrans. A func¸
˜
ao hessiana monta
a matriz Hessiana que comp
˜
oe o sistema linear de Newton, ou seja, monta a matriz de
coeficientes
∇
2
yy
L(y) =
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
(B.6)
A complexidade dessa tarefa vem do fato da matriz ∇
2
xx
L(y) resultar do somat
´
orio de um
elevado n
´
umero de matrizes Hessianas, segundo a f
´
ormula:
∇
2
xx
L(y) = ∇
2
f (x) +
m
i=1
λ
i
∇
2
g
i
(x). (B.7)
A montagem dessa matriz e a soluc¸
˜
ao do sistema de Newton juntos s
˜
ao respons
´
aveis por
cerca de 90% do tempo total de soluc¸
˜
ao do problema de FPO. Portanto, a implementac¸
˜
ao
eficiente dessa tarefa exige grande habilidade de programac¸
˜
ao. A sintaxe de chamada da
func¸
˜
ao hessiana
´
e como segue:
L2Y = hessiana(Barra,Linha,Ybarra,Vbarra,dSdA,dSdV,Fpo,Lista, ...
Indice,Geral)
A matriz de coeficientes calculada retorna na vari
´
avel de sa
´
ıda L2Y.
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 126
passoalfa
A func¸
˜
ao passoalfa calcula o comprimento de passo ao longo da direc¸
˜
ao ∆y utilizando o
teste de raz
˜
oes m
´
ınimas abaixo:
α
P
k
= min
1, γ min
i
−s
k
i
∆s
i
∆s
i
< 0,
−z
k
i
∆z
i
∆z
i
< 0
, (B.8a)
α
D
k
= min
1, γ min
i
−π
k
i
∆π
i
∆π
i
< 0,
−υ
k
i
∆υ
i
∆υ
i
< 0
. (B.8b)
A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao passoalfa
´
e da forma:
Fpo = passoalfa(Fpo,Indice)
Os comprimentos de passos retornam como os campos Fpo.alfaP e Fpo.alfaD. A func¸
˜
ao
retorna ainda os
´
ındices das vari
´
aveis primais e duais que limitaram o comprimento do
passo: Fpo.iPrimal e Fpo.iDual.
mpipredcorr
A func¸
˜
ao mpipredcorr executa as tarefas adicionais do algoritmo preditor-corretor de
pontos-interiores. Ou seja, dada a direc¸
˜
ao de busca afim, ∆y
af
, ela calcula a estimativa do
comprimento de passo se a direc¸
˜
ao afim fosse utilizada, conforme a regra
α
P
af
= min
1, γ ×min
i
−s
k
i
∆s
af
i
∆s
af
i
< 0,
−z
k
i
∆z
af
i
∆z
af
i
< 0
, (B.9a)
α
D
af
= min
1, γ ×min
i
−π
k
i
∆π
af
i
∆π
af
i
< 0,
−υ
k
i
∆υ
af
i
∆υ
af
i
< 0
, (B.9b)
a seguir estima o par
ˆ
ametro de barreira,
ρ
af
= (s
k
+ α
P
af
∆s
af
)
T
(π
k
+ α
D
af
∆π
af
) + (z
k
+ α
P
af
∆z
af
)
T
(υ
k
+ α
D
af
∆υ
af
). (B.10)
µ
af
= min
ρ
af
ρ
k
2
, 0.2
ρ
af
p
. (B.11)
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 127
e por fim, resolve o sistema linear para a direc¸
˜
ao de busca completa
Π 0 S 0 0 0
0 Υ 0 Z 0 0
I 0 0 0 0 −I
0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 ∇g(x)
T
0 0 −I I ∇g(x) ∇
2
xx
L(y)
∆s
∆z
∆π
∆υ
∆λ
∆x
= −
S π −µ
af
e + ∆S
af
∆π
af
Zυ − µ
af
e + ∆Z
af
∆υ
af
l + s − x
x + z −u
g(x)
∇f (x) + ∇g(x)λ −π + υ
. (B.12)
A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao mpipredcorr
´
e como segue:
Fpo = mpipredcorr(Fpo,L2Y,Indice)
mpimultcorr
A func¸
˜
ao mpimultcorr implementa os passos adicionais do m
´
etodo de pontos-interiores
preditor-corretor com m
´
ultiplos passos de correc¸
˜
ao. A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao
´
e da
forma:
Fpo = mpimultcorr(Fpo,L2Y,Indice,handles)
mpicorrcent
A func¸
˜
ao mpicorrcent implementa os passos adicionais do m
´
etodo de pontos-interiores
com m
´
ultiplas correc¸
˜
oes de centralidade. A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao
´
e da forma:
Fpo = mpicorrcent(Fpo,L2Y,Indice,handles)
A func¸
˜
ao mpicorrcent
´
e a
´
unica a fazer uso dos par
ˆ
ametros de otimizac¸
˜
ao no painel
M
´
ultiplas Correc¸
˜
oes ilustrado na figura abaixo.
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 128
novoponto
A func¸
˜
ao novoponto faz a atualizac¸
˜
ao das vari
´
aveis a cada iterac¸
˜
ao do algoritmo de
pontos-interiores, conforme as express
˜
oes:
x
k+1
= x
k
+ α
P
k
∆x,
s
k+1
= s
k
+ α
P
k
∆s,
z
k+1
= z
k
+ α
P
k
∆z,
λ
k+1
= λ
k
+ α
D
k
∆λ,
π
k+1
= π
k
+ α
D
k
∆π,
υ
k+1
= υ
k
+ α
D
k
∆υ,
(B.13)
Dentre as vari
´
aveis x, um procedimento especial
´
e adotado para a atualizac¸
˜
ao das vari
´
aveis
tapes t
i j
e
ˆ
angulos de defasagens φ
i j
. Este procedimento faz-se necess
´
ario porque no
c
´
alculo das grandezas de barras, como pot
ˆ
encias injetadas nas barras e suas derivadas,
as vari
´
aveis t
i j
e φ
i j
aparecem implicitamente em elementos das matrizes admit
ˆ
ancia de
barra e admit
ˆ
ancia ramo-barra. Portanto, a atualizac¸
˜
ao dos tapes e dafasagens implicam
tamb
´
em na atualizac¸
˜
ao das referidas matrizes admit
ˆ
ancias. A sintaxe de chamada da func¸
˜
ao
B.2. AS ROTINAS COMPUTACIONAIS 129
novoponto
´
e como segue:
[Barra,Linha,Ybarra,Yde,Ypara,Ytape,Fpo] = ...
novoponto(Barra,Linha,Ybarra,Yde,Ypara,Ytape,Fpo,Lista,Indice)
restricoes
A func¸
˜
ao restricoes efetua o c
´
alculo dos vetores de restric¸
˜
oes no ponto corrente, ou seja,
os vetores g(x
k
) e x
k
l
. A func¸
˜
ao objetivo f (x
k
) tamb
´
em
´
e calculada nessa func¸
˜
ao. A sintaxe
de chamada da func¸
˜
ao
´
e como segue:
[Fpo,Linha,Vbarra] = restricoes(Barra,Linha,Ybarra,Yde,Ypara, ...
Fpo,Lista,Indice,Geral,handles)
A func¸
˜
ao restricoes faz uso da func¸
˜
ao fluxos para calcular os fluxos nos circuitos, uma
vez que alguns desses fluxos comp
˜
oem o conjunto de restric¸
˜
oes.
gradiente
A func¸
˜
ao gradiente calcula o vetor gradiente da func¸
˜
ao objetivo, ∇f (x
k
). A sintaxe de
chamada da func¸
˜
ao
´
e da forma:
Fpo = gradiente(Barra,Fpo,Lista,Indice,Geral,handles)
O vetor gradiente retorna na estrutura Fpo, no campo Fpo.gradF.
retornofpo
A func¸
˜
ao retornofpo conclui a soluc¸
˜
ao do FPO atualizando dados para a soluc¸
˜
ao de fluxo
de pot
ˆ
encia final. Mais especificamente, ela atualiza as cargas ativas e reativas das barras,
no caso dos problemas de m
´
ınimo corte de carga e m
´
aximo carregamento, e atualiza a
matriz admit
ˆ
ancia de barra de acordo com a soluc¸
˜
ao
´
otima obtida. A sintaxe de chamada
da func¸
˜
ao
´
e como segue:
[Barra,Ybarra] = finalfpo(Barra,Ybarra,Lista,Indice,Geral)
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