( PDF ) Análise da formação de bandas de cisalhamento por meio de corpos de prova de tração especiais

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ANÁLISE DA FORMAÇÃO DE BANDAS DE CISALHAMENTO POR MEIO

DE CORPOS DE PROVA DE TRAÇÃO ESPECIAIS

Árisson Carvalho de Araújo

Belo Horizonte

2009

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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Árisson Carvalho de Araújo

ANÁLISE DA FORMAÇÃO DE BANDAS DE CISALHAMENTO POR MEIO

DE CORPOS DE PROVA DE TRAÇÃO ESPECIAIS

Belo Horizonte

Escola de Engenharia da UFMG

2009

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Árisson Carvalho de Araújo

ANÁLISE DA FORMAÇÃO DE BANDAS DE DEFORMAÇÃO POR MEIO

DE CORPOS DE PROVA DE TRAÇÃO ESPECIAIS

Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em

Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Minas

Gerais, como requisito parcial para a obtenção de título de

Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientador: Professor Doutor Haroldo Béria Campos

Área de concentração: Processos de Fabricação Mecânica

Belo Horizonte

Escola de Engenharia da UFMG

2009

iii

ATA DA DEFESA DE DISSERTAÇÃO

UFMG - Carimbo

ANÁLISE DA FORMAÇÃO DE BANDAS DE DEFORMAÇÃO POR MEIO DE CORPOS

DE PROVA DE TRAÇÃO ESPECIAIS

ÁRISSON CARVALHO DE ARAÚJO

Dissertação apresentada e avaliada em 29 de Maio de 2009, pela banca avaliadora

composta por:

Prof. Haroldo Béria Campos

Orientador – Doutor, Departamento de Engenharia Mecânica, UFMG

Prof. Paulo César de Matos Rodrigues

Examinador – Doutor, Departamento de Engenharia Mecânica, UFMG

Frederico de Castro Magalhães

Examinador – Doutor, FAPEMIG / UFMG

Universidade Federal de Minas Gerais

Curso de Mestrado em Engenharia Mecânica

Av. Antônio Carlos, 6627 – Pampulha – 31.270-901 – Belo Horizonte – MG

Tel.: +55 31 3409-5140 – Fax.: +55 31 3409-3783

www.demec.ufmg.br

Dedico à minha esposa Luciana, eterna

companheira, meus queridos pais, Ademir e

Geni, e à minha irmã e amiga, Ariane, que

acreditaram em minha capacidade e me

estimularam na conquista deste objetivo.

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Doutor Haroldo Béria Campos, pela orientação, pela disponibilidade e pelo

grande apoio nas decisões.

Ao Professor Doutor Paulo César de Matos Rodrigues, pelo apoio, pelas sugestões e por

aceitar o convite para fazer parte da banca.

Ao Doutor Frederico de Castro Magalhães, pelas sugestões, orientações, sempre

disposto em várias etapas deste trabalho, e por aceitar o convite para fazer parte da

banca.

Ao Professor Doutor Alexandre Mendes Abrão, pelos conhecimentos transferidos em uma

etapa deste trabalho.

Aos colegas e amigos conquistados nesses anos do mestrado, em especial, o Mestre

Roberto Oliveira, pelos bons momentos e pelas dificuldades que passamos juntos.

À Heloisa Menezes e ao Sérgio Lourenço pelo apoio e compreensão referente à minha

dedicação ao mestrado. À equipe IEL/NPC pelos pensamentos positivos e dedicação.

Um agradecimento especial aos meus pais Ademir e Geni e à minha irmã Ariane, pelo

incentivo e apoio em todas as etapas da minha vida e também durante essa jornada.

A todos os meus familiares que torceram por mim, em especial à minha tia, afilhada,

madrinha e comadre, Eni, sempre presente com seu carinho.

Aos familiares da Luciana, em especial à Joana Dark, que sempre me incentivaram e

torceram por meu sucesso.

E, finalmente, à Luciana, pelo seu companheirismo e incentivo que sempre me

impulsionam para a conquista dos meus sonhos.

"Existem duas escolhas primordiais na vida:

aceitar as condições como elas existem, ou

aceitar a responsabilidade de mudá-las".

Denis Waitley

vii

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ..........................................................................................................ix

LISTA DE GRÁFICOS.......................................................................................................xv

LISTA DE SÍMBOLOS .....................................................................................................xvi

RESUMO.........................................................................................................................xvii

ABSTRACT....................................................................................................................xviii

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................1

2. OBJETIVOS ....................................................................................................................2

2.1. Objetivo geral ............................................................................................................2

2.2. Objetivos específicos ................................................................................................2

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...........................................................................................3

3.1. Tensão ......................................................................................................................3

3.1.1. Direções e Tensões Principais ...........................................................................7

3.1.2. Tensões Hidrostáticas e Desviadoras ................................................................9

3.1.3. Direções e tensões octaedrais..........................................................................10

3.1.4. Tensão Efetiva ou Equivalente .........................................................................10

3.2. Deformação.............................................................................................................11

3.2.1. O tensor deformação........................................................................................14

3.3. Critérios de Escoamento.........................................................................................16

3.3.1. Teoria de máxima tensão de cisalhamento (Critério de Tresca).......................16

3.3.2. Teoria da Máxima Energia de Distorção (Critério de von Mises)......................20

3.3.3. Comparação entre os Critérios de Tresca e von Mises para Tensão Plana.....23

3.3.4. Critério de Hill ...................................................................................................24

3.4. Bandas de cisalhamento.........................................................................................24

3.5. Critérios de fratura dúctil .........................................................................................28

3.6. Mecânica do dano...................................................................................................29

3.7. Método dos elementos finitos..................................................................................32

3.8. Deform 2D...............................................................................................................34

4. METODOLOGIA............................................................................................................36

4.1. Material Utilizado.....................................................................................................36

4.2. Propriedades Mecânicas do Material ......................................................................36

4.2.1. Anisotropia........................................................................................................36

4.2.2. Curva de Fluxo .................................................................................................39

4.3. Levantamento das bandas de cisalhamento ...........................................................41

viii

4.4. Simulação Numérica ...............................................................................................43

4.5. Ensaio Metalográfico...............................................................................................44

5. RESULTADOS ..............................................................................................................45

5.1. Coeficiente de Anisotropia ......................................................................................45

5.2. Curvas tensão x deformação ..................................................................................46

5.3. Simulação Numérica e ensaio metalográfico ..........................................................49

6. CONCLUSÕES .............................................................................................................78

7. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS............................................................78

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................79

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 - Área elementar mostrando a força total (a) e as componentes (b)............. 4

Figura 3.2 - Forças e tensões relacionadas aos diferentes conjuntos de eixos............. 4

Figura 3.3 - Forças generalizadas atuando em um corpo de dimensões

pequenas........................................................................................................................ 5

Figura 3.4 - Tensões atuantes nas faces de um elemento de volume orientado

segundo um sistema de eixos ortogonais. Não se representam todas as tensões

que atuam no elemento de volume para maior clareza na interpretação da figura........ 5

Figura 3.5 - Representação esquemática das tensões que atuam num plano

arbitrário IJK, definido pelo vetor normal exterior à superfície, n’................................... 7

Figura 3.6 - Barra de seção circular sujeita a um carregamento axial.......................... 11

Figura 3.7 - Deformação plana envolvendo pequenas distorções................................ 13

Figura 3.8 - Ilustração mostrando que o cisalhamento puro (a e b) está relacionado

ao cisalhamento puro (c) mais uma rotação (d)............................................................ 15

Figura 3.9 - Ensaio de tração........................................................................................ 16

Figura 3.10 - Círculo de Mohr para

e 0

.................................................... 17

Figura 3.11 - Círculo de Mohr para 0

com mesmo sinal...................... 18

Figura 3.12 - Círculo de Mohr para 0

com sinais opostos................... 18

Figura 3.13 - Representação do critério da tensão máxima de cisalhamento.............. 19

Figura 3.14 - Gráfico para a máxima energia de distorção........................................... 22

Figura 3.15 - Comparação dos critérios de escoamento de Tresca e von Mises......... 23

Figura 3.16 - Bandas de Cisalhamento......................................................................... 24

Figura 3.17 - Representação de bandas de cisalhamento em uma barra de liga

de Fe durante forjamento.............................................................................................. 25

Figura 3.18 - Seção de um corpo de prova do Ti-6Al-2Sn-4Zr-2Mo-0, submetido à

compressão em alta temperatura e alta taxa de deformação para visualização das

bandas de cisalhamento............................................................................................... 25

Figura 3.19 - Mecanismo de fratura dúctil pela formação e coalescimento de

poros............................................................................................................................. 26

Figura 3.20 - Mecanismo de fratura dúctil pelo desenvolvimento de bandas

de cisalhamento............................................................................................................ 27

Figura 3.21 - Divisão das bandas de cisalhamento com a formação e

coalescimento de poros................................................................................................ 27

Figura 3.22 - Desenvolvimento da fratura dúctil em forma de zig-zag –

Macroscopicamente uma fratura do tipo “taça-cone”.................................................... 28

Figura 3.23 - Representação esquemática do conceito de dano para um elemento

de volume...................................................................................................................... 30

Figura 3.24 - Representação esquemática da tração uniaxial de um corpo de

prova com dano............................................................................................................. 30

Figura 4.1 - Malha traçada nos corpos de prova para o levantamento da

anisotropia do material utilizado.................................................................................... 35

Figura 4.2 - Medidor ótico Mitutoyo TM do laboratório de metrologia do

Departamento de Engenharia Mecânica da UFMG, equipado com micrômetro

digital com resolução 0,001 mm.................................................................................... 35

Figura 4.3 - Corpo de prova para levantamento da anisotropia do material................. 36

Figura 4.4 - Corpo de prova para levantamento da curva de fluxo do material............ 38

Figura 4.5 – Máquina de ensaio universal do DEMEC/UFMG...................................... 38

Figura 4.6 – Ensaio de tração com utilização de extensômetro axial eletrônico

SHIMADZU modelo SG50-100 de 50 mm.................................................................... 39

Figura 4.7 – Gráfico

loglog ×

para determinação do coeficiente de

encruamento n.............................................................................................................. 39

Figura 4.8 - Corpo de Prova entalhado 1 para análise da formação de Bandas de

Cisalhamento em tração uniaxial.................................................................................. 40

Figura 4.9 - Corpo de Prova entalhado 2 para análise da formação de Bandas de

Cisalhamento em tração uniaxial.................................................................................. 41

Figura 4.10 - Corpo de Prova entalhado 3 para análise da formação de Bandas de

Cisalhamento em tração uniaxial. ................................................................................ 41

Figura 4.11 – Malha gerada no Deform2D para o CP 3 contendo 3197 elementos

e 3348 nós..................................................................................................................... 42

Figura 5.1 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 50

Figura 5.2 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a deformação efetiva. ....................................................... 50

Figura 5.3 – Passo 20 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 51

Figura 5.4 – Passo 20 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a deformação efetiva. ....................................................... 51

Figura 5.5 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 52

Figura 5.6 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a deformação efetiva. ....................................................... 52

Figura 5.7 – Corpo de Prova especial 1 com entalhe para análise de formação

das bandas de cisalhamento........................................................................................ 53

Figura 5.8 – Passo 100 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 54

Figura 5.9 – Passo 100 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a deformação efetiva......................................................... 54

Figura 5.10 – Passo 135 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 55

Figura 5.11 – Passo 135 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a deformação efetiva......................................................... 55

Figura 5.12 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 56

Figura 5.13 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a deformação efetiva......................................................... 57

Figura 5.14 – Passo 20 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 58

Figura 5.15 – Passo 20 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a deformação efetiva......................................................... 58

Figura 5.16 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 59

Figura 5.17 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a deformação efetiva......................................................... 59

Figura 5.18 – Corpo de Prova especial 2 com entalhe para análise de formação

das bandas de cisalhamento........................................................................................ 60

Figura 5.19 - Passo 100 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 61

Figura 5.20 – Passo 100 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a deformação efetiva......................................................... 61

xii

Figura 5.21 - Passo 150 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 62

Figura 5.22 – Passo 150 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a deformação efetiva......................................................... 62

Figura 5.23 - Passo 200 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 63

Figura 5.24 – Passo 200 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a deformação efetiva......................................................... 63

Figura 5.25 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 64

Figura 5.26 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a deformação efetiva......................................................... 65

Figura 5.27 – Passo 20 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 66

Figura 5.28 – Passo 20 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a deformação efetiva......................................................... 66

Figura 5.29 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 67

Figura 5.30 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a deformação efetiva......................................................... 67

Figura 5.31 – Passo 100 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 68

Figura 5.32 – Passo 100 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a deformação efetiva......................................................... 68

Figura 5.33 – Corpo de Prova especial 3 com entalhe para análise de formação

das bandas de cisalhamento........................................................................................ 69

Figura 5.34 – Imagem captada durante ensaio macrográfico do CP 3 após

ataque com Iodo........................................................................................................... 69

Figura 5.35 – Microestrutura da região sem formação de bandas cisalhantes do

CP 3 com aumento de 200x após ataque com Nital 2%.............................................. 70

Figura 5.36 – Microestrutura da região com formação de bandas cisalhantes do

CP 3 com aumento de 200x após ataque com Nital 2%.............................................. 70

Figura 5.37 – Passo 150 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 71

Figura 5.38 – Passo 150 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a deformação efetiva....................................................... 71

xiii

Figura 5.39 – Passo 200 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a taxa de deformação efetiva............................................ 72

Figura 5.40 – Passo 200 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a deformação efetiva......................................................... 72

Figura 5.41 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 1, considerando a deformação efetiva......................................................... 73

Figura 5.42 - Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 2, considerando a deformação efetiva......................................................... 74

Figura 5.43 - Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova

entalhado 3, considerando a deformação efetiva......................................................... 74

Figura 5.44 - Comparação das formas de ruptura considerando quando houve

e quando não houve a formação das bandas de cisalhamento: (a) Corpo de Prova

especial 1 com entalhe não apresentando formação de bandas de cisalhamento;

(b) Corpo de Prova especial 2 com entalhe apresentando formação de bandas

de cisalhamento............................................................................................................ 75

Figura 5.45 – Comparação da taxa de deformação efetiva nos três pontos da

curva de fluxo do material do CP 3, sendo os valores de deformação: A = 0,08;

B = 0,14 e C = 0,20....................................................................................................... 76

Figura 5.46 - Comparação da deformação efetiva nos três pontos da curva de

fluxo do material do CP 3, sendo os valores de deformação: A = 0,08; B = 0,14

e C = 0,20..................................................................................................................... 77

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Composição Química do Material............................................................ 34

Tabela 5.1 – Dimensões iniciais e finais da malha traçada nos corpos de prova,

conforme a figura 4.1, medidas antes e após do ensaio de tração.............................. 45

Tabela 5.2 – Cálculo do coeficiente de anisotropia à 0º da direção de laminação...... 45

Tabela 5.3 – Cálculo do coeficiente de anisotropia à 45º da direção de laminação.... 46

Tabela 5.4 – Cálculo do coeficiente de anisotropia à 90º da direção de laminação.... 46

Tabela 5.5 – Valores de k e n do material utilizado...................................................... 49

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 5.1 - Curva de Fluxo do material à 0º, 45º e 90º da direção de laminação

após ensaio de tração................................................................................................... 47

Gráfico 5.2 – Curva Tensão x Deformação Plástica Verdadeira para o cálculo de

k e n do material à 0º da direção de laminação............................................................ 48

Gráfico 5.3 - Curva Tensão x Deformação Plástica Verdadeira para o cálculo de

k e n do material à 45º da direção de laminação.......................................................... 48

Gráfico 5.4 - Curva Tensão x Deformação Plástica Verdadeira para o cálculo de

k e n do material à 90º da direção de laminação.......................................................... 49

Gráfico 5.5 – Curva de fluxo na região plástica do material à 0º da direção de

laminação...................................................................................................................... 75

xvi

LISTA DE SÍMBOLOS

- Tensão normal

F - Força normal

- S - Área da seção transversal

w - Largura

V - Volume

F - Força transversal

- Tensão cisalhante

- Ângulo alfa

- Ângulo beta

- Ângulo gama

n’ - Vetor normal

- Invariantes

- Deformação de engenharia

- Comprimento inicial

l - Comprimento final

l∆

- Variação do comprimento

l - L - Comprimento total

- Deformação verdadeira

- Deformação plástica

- Taxa de deformação

- Coeficiente de poison

- Módulo de elasticidade

- Energia de deformação

- Módulo de cisalhamento

C - Constantes

D - Variável de dano

CP – Corpo de Prova

k - Coeficiente de resistência

m - Coeficiente de sensibilidade

n - Coeficiente de encruamento

xvii

RESUMO

O presente trabalho tem por objetivo analisar a formação de bandas cisalhantes em

chapas metálicas de aço baixo carbono (SAE 1006) submetidas à tração uniaxial. Esta

verificação foi feita através de análise numérica utilizando o software Deform2D, bem

como a realização dos testes físicos por meio de corpos de prova de tração entalhados

com geometrias variadas. Foi levantada a curva de fluxo e a anisotropia do material

utilizado para a realização da simulação numérica. A partir desta simulação, foram feitas

análises da formação das bandas utilizando vários passos em cada corpo de prova e,

posteriormente, comparando essa mesma formação entre os corpos de prova com

geometrias de entalhes diferentes. Por fim, foi verificado que tanto a formação de bandas

de cisalhamento quanto as características da fratura no material estudado estão

diretamente relacionadas com a forma geométrica do entalhe.

Palavras Chaves: Fluxo plástico heterogêneo, Bandas de Cisalhamento, Método de

elementos finitos.

xviii

ABSTRACT

The present paper has as main purpose analyze the formation of shear bands in metallic

sheets of steel low carbon (SAE 1006) submitted to uniaxial tension test. This verification

has been made through the numerical analysis using the software Deform2D, as well as

the realization of physical tests by the tension’s test specimen notched with varied

geometries. It has been risen the curve of flow and the anisotropy of the material used for

the realization of numerical simulation. After this simulation, formation’s analyses of bands

have been made using many steps in each test specimen and, then, comparing this same

formation between the test specimen with geometries of different notches. At last, it has

been checked that as much the formation of shear bands as the characteristics of fracture

in the studied material are directly related with the geometrical shape of the notch.

Key words: Heterogeneous plastic-flow, Shear bands, Finite element method.

1. INTRODUÇÃO

O fenômeno denominado Bandas de Cisalhamento ou de Deformação é estudado há

várias décadas, desde os trabalhos de Zener e Hollomon (1944). No entanto, existem

pesquisadores que defendem que este fenômeno é verificado há mais tempo.

Esse fenômeno tem recebido bastante atenção na literatura por causa da sua

considerável importância tecnológica e principalmente pelo seu caráter como precursor de

falhas catastróficas. As bandas de cisalhamento são facilmente encontradas em regiões

que sofreram um cisalhamento concentrado sob a forma de uma estrutura tipicamente

lamelar (LINS, 2006).

A ocorrência de formação dessas bandas é mais freqüente em metais submetidos a

processamento por compressão, no entanto, em alguns metais submetidos a

processamentos trativos, dependendo das restrições geométricas, podem também ocorrer

a formação de bandas cisalhantes.

As bandas de cisalhamento já foram observadas por diversas maneiras, entretanto este

trabalho propõe a comparação entre ensaios mecânicos e a simulação numérica a fim de

obter uma melhor compreensão da formação dessas bandas de cisalhamento em aço

baixo carbono. Isto foi possível levantando as propriedades mecânicas do material

utilizado, sua curva de fluxo, identificando as bandas de cisalhamento, física e

numericamente, e fazendo uma análise entre os resultados dos ensaios e os resultados

da simulação numérica.

2. OBJETIVOS

2.1. Objetivo geral

Obter maior compreensão da formação de bandas de cisalhamento em chapas de aço

com baixo teor de carbono (SAE 1006) com entalhe, submetida à tração uniaxial.

2.2. Objetivos específicos

- Identificar bandas de cisalhamento através de experimento utilizando corpos de prova

com entalhes especiais para ensaio de tração.

- Comparar os resultados experimentais com os resultados obtidos por simulação

numérica utilizando o software Deform2D visando verificar se houve a formação das

bandas de cisalhamento.

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo, é descrita parte da teoria da conformação mecânica visando melhor

entendimento dos fundamentos que este trabalho propõe.

3.1. Tensão

Usualmente, tensão é definida considerando o estado de tensões de um ponto P ,

conforme mostrado na figura 3.1. A força

atua no ponto

situado na área

Fazendo 0→A

e decompondo a força em componentes normal e tangencial a A

então

se pode definir as componentes normal e de cisalhamento da tensão como:

≡ e

= (3.1.1)

Desde que estas tensões dependam apenas da força e da área, a tensão por se só não é

um vetor conforme figura 3.2.

Com o sistema mostrado, a tensão

, que atua na direção paralela a F sob a área A, é

simplificada em F / A. Isto porque F tendo a componente paralela a A, não existe

tensão de escoamento atuando no plano. Mas, considerando um plano localizado a uma

inclinação

define-se um novo eixo de coordenadas em relação ao sistema original

− .

A força F tem componentes '

F e '

F atuando no plano do qual 'A é igual a

cos/A

Portanto, as tensões atuantes no plano inclinado são:

θσθσ

coscos

=== (3.1.2)

θθσθθτ

cossincossin

===

(3.1.3)

(a) (b)

Figura 3.1 - Área elementar mostrando a força total (a) e as componentes (b). Fonte:

Referência 3, p. 2.

Figura 3.2 - Forças e tensões relacionadas aos diferentes

conjuntos de eixos. Fonte:

Referência 3, p. 2.

Se o ponto

fosse representado em dimensões pequenas ),,( dzdydx que está em

equilíbrio conforme mostrado na figura 3.3, então na maioria dos casos, cada face deve

estar submetida às forças totais

321

,, FFF .

Figura 3.3 - Forças generalizadas atuando em um corpo

de dimensões pequenas. Fonte: Referência 3, p. 3.

Cada uma dessas forças deve ser decomposta em componentes que estarão paralelas às

três direções coordenadas, e se cada uma das nove componentes for dividida pela área

da face em que atua, o estado de tensões em P é então descrito pelas nove

componentes da tensão (figura 3.4).

Este conjunto de tensões é chamado de tensor de tensões, representado como

Figura 3.4 - Tensões atuantes nas faces de um

elemento de volume orientado segundo um

sistema de eixos ortogonais. Não se representam

todas as tensões que atuam no elemento de

volume para maior clareza na interpretação da

figura. Fonte: Referência 8, p. 70.

O estado de tensão no ponto

é definido através do seguinte tensor de tensões:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

σττ

τστ

ττσ

(3.1.4)

Onde i e

são interações de zey

, , respectivamente.

A identificação de cada uma das tensões é efetuada por um conjunto de dois índices, em

que o primeiro indica a direção normal ao plano em que a tensão atua e o segundo

identifica o eixo segundo o qual se exerce a tensão.

Neste caso, quando dois índices forem iguais, a tensão em questão será normal ao plano

enquanto que quando diferentes indicarão uma tensão de cizalhamento. Por isso,

normalmente no tensor de tensões, as tensões de cisalhamento são representadas por

Ou seja,

xxx

≡ (3.1.5)

xyxy

≡

(3.1.6)

Embora as componentes do tensor de tensões serem definidas pela equação (3.1.4),

aspectos físicos importantes não são obtidos facilmente por esta expressão. Em muitas

situações reais, algumas das componentes do tensor de tensões são iguais a zero.

Em estados de tensões ainda mais gerais existe um conjunto de eixos coordenados nos

quais as tensões de cisalhamento desaparecem. As tensões normais

longo destes eixos são consideradas tensões principais.

Admitindo que as faces do elemento de volume sejam suficientemente pequenas para

que as tensões que nelas atuam posam ser consideradas constantes, o somatório dos

momentos, por exemplo, em relação ao eixo

será dado por:

()

()()()()

[]

+−+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

dydxdzdxdydz

dxdz

dydz

yxxyyyyyxx

ττσσσ

222

(3.1.7)

()()

2222

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+

dxdy

zxzxzyzy

ττττ

Onde 2/d é a distância pequena entre a força aplicada e o eixo de referência do

elemento.

Ou seja,

yxxy

= (3.1.8)

Aplicando esta consideração aos três eixos, conclui-se que

jiij

, o que significa que o

tensor de tensões

é simétrico, e que, por isso, pode ser descrito com seis

componentes de tensão, onde três são normais e três são de cisalhamento (

Conhecendo-se o tensor de tensões,

, pode ser determinado o vetor tensão,

S , que

atua num plano de orientação arbitrária,

IJK , que passe pelo ponto

, bastando para o

fenômeno efetuar-se o equilíbrio de forças no tetraedro com vértice no ponto P e cuja

base é o próprio plano IJK , figura 3.5. Designando a área da base IJK por dA, as áreas

das faces projetadas serão então dadas por:

cosdAdA

, para a face KP

cosdAdA

= , para a face IPJ e

cosdAdA

, para a face KPJ, em que

são

os ângulos que a normal ao plano IJK faz respectivamente com os eixos x, y e z, e cujos

cossenos definem os cossenos diretores da normal ao plano.

Assim, as condições de equilíbrio no tetraedro estabelecem que,

0coscoscos

−−−

zxyxxxnx

dAdAdAS

0coscoscos

−−−

zyyyxyny

dAdAdAS (3.1.9)

0coscoscos

−−−

zzyzxznz

dAdAdAS

Simplificando as expressões (3.1.9) e admitindo que a distância do plano IJK ao ponto P

tende a zero, o vetor tensão,

S , será dado na forma matricial por:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

iijn

σττ

τστ

ττσ

cos

'. (3.10)

Em que n’ representa o vetor da normal exterior ao plano IJK e que

S ,

S são as

componentes cartesianas do vetor tensão.

Figura 3.5 - Representação esquemática das

tensões que atuam num plano arbitrário IJK,

definido pelo vetor normal exterior à superfície, n’.

Fonte: Referência 8, p. 72.

3.1.1. Direções e Tensões Principais

O plano IJK, na figura 3.5, é denominado por plano principal, quando a sua normal e o

vetor tensão,

S , que nele atuam forem colineares, ou seja, quando a sua orientação for

tal que as tensões de corte sejam nulas,

e, consequentemente, a tensão normal e

o vetor tensão total sejam coincidentes,

Nestas condições, a direção da normal n’ ao plano IJK e a tensão

serão denominadas,

respectivamente, por direção e tensão principal e,

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

λλ

cos

(3.1.11)

Em que

é o módulo do vetor tensão e n’ a normal ao plano principal. Substituindo a

equação (3.1.10) na (3.1.11), obtém-se,

(

)

0' =−

iijij

λδ

(3.1.12)

em que

⎩

⎨

⎧

≠

jipara

Nas três equações (3.1.12) existem quatro incógnitas; o valor da tensão principal

e os

três cossenos diretores. Para se obter uma solução diferente da trivial )0'(

n , o

determinante seguinte deve ser nulo, o que é equivalente a determinar os valores próprios

do tensor das tensões,

0=−

ijij

λδσ

(3.1.13)

Considerando os três planos principais mutuamente perpendiculares que se interceptam

no ponto material, P, pode afirmar-se que a resolução do determinante da equação

(3.1.13) envolve a resolução de uma equação cúbica em

, cujas soluções

, são as

tensões principais 3,1, =i

. Assim, pode-se reescrever o determinante da forma que a

seguir se indica:

−

λσττ

τλστ

ττλσ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

(3.1.14)

cujo desenvolvimento conduz à seguinte equação do terceiro grau em

=−−− III

λλλ

(3.1.15)

Os termos I

, I

na equação (3.1.15) são conhecidos respectivamente por primeiro,

segundo e terceiro invariantes do tensor de tensões. A designação invariante advém do

fato de seu valor não variar com o sistema de eixos considerado. Os invariantes do tensor

de tensões são calculados a partir das seguintes relações:

3211

++==

zzyyxxii

()( )

=+++++−=−−=

222

zxyzxyzxzyyxijijjjii

τττσσσσσσσσσσ

(3.1.16)

()

133221

++−=

321

222

σσστστστστττσσσσ

=−−−+==

xyzzxyyzxzxyzxyzyxij

As três raízes da equação (3.1.15),

, (que são sempre reais porque o tensor de

tensões é real e simétrico), são os valores das três tensões principais. Associada a cada

uma destas tensões existe uma direção principal, cujos cossenos diretores são solução

das seguintes equações:

(

)

⎩

⎨

⎧

=++

=−

1coscoscos

222

iii

iijiij

γβα

δλσ

(3.1.17)

Daqui se conclui que o tensor das tensões é uma matriz diagonal, quando referido às

direções principais,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

321

≥≥ (3.1.18)

3.1.2. Tensões Hidrostáticas e Desviadoras

O tensor total das tensões pode ser determinado num tensor hidrostático (

envolvendo somente estados puros de tração e compressão, e num tensor desviador

(

) dado por:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=+=

zyzx

xzxy

KKIJIJ

σττ

τστ

ττσ

σσδσ

(3.1.19)

Como,

zzyyxx

(3.1.20)

Portanto, o tensor desviador ficará,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

=−=

yyxxzz

zyzx

xxzzyy

xzxy

zzyyxx

mijij

σσσ

ττ

σσσ

ττ

σσσ

σδσσ

(3.1.21)

Semelhante ao tensor total, também pode-se definir invariantes para os tensores

hidrostático e desviador das tensões. Os invariantes do tensor desviador das tensões,

referidos às direções principais, serão:

σσσ

++=J

(

)

σσσσσσ

++−=J (3.1.22)

σσσ

3.1.3. Direções e tensões octaedrais

Para o estudo da teoria da plasticidade, faz-se necessário uma introdução quanto às

direções e tensões octaedrais. Essas tensões atuam em planos octaedrais que são

superfícies que coincidem com as faces de um octaedro regular, cujas normais fazem

ângulos iguais com cada uma das direções principais do tensor tensão (

=54,74º).

Então os cossenos diretores da normal externa de um plano octaedral, n

oct

, referidas nos

eixos das direções principais são :

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

oct

n (3.1.23)

As tensões, normal e de cisalhamento (

oct

), podem ser calculadas analogamente

às tensões principais para o cálculo do vetor tensão numa superfície definida por uma

normal n’, com a única ressalva de que o sistema de eixos coordenados deverá ser o

principal,

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

octijoct

()

321

σσσσ

++==

oct

nS (3.1.24)

()()()

σσσσσσστ

−+−+−=−=

oct

octoct

O resultado das equações (3.1.24) mostram, na medida em que a tensão normal

octaedral é igual à componente hidrostática da tensão total, que não produz deformação

plástica em materiais metálicos sólidos, sendo, portanto, a tensão de corte octaedral a

única responsável pela deformação plástica. Alguns critérios de plasticidade derivam

exatamente desta conclusão.

3.1.4. Tensão Efetiva ou Equivalente

Um outro invariante do estado de tensão que é muito utilizado é a tensão efetiva ou

equivalente,

, a qual se define a partir da tensão de cisalhamento octaedral por:

()()()

[]

2/1

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−+−+−==

σσσσσστσ

oct

(3.1.25)

3.2. Deformação

Quando um corpo sólido esta sujeito a um sistema de forças, os pontos materiais desse

corpo sofrerão alterações nas suas posições, as quais podem ser fisicamente medidas,

constituindo o que habitualmente se designa por campo de deslocamentos. Será,

portanto, a partir do campo de deslocamentos que o campo de deformações de um corpo,

sujeito a qualquer sistema de forças, poderá ser definido.

O movimento de um corpo pode ser sempre decomposto na soma de duas parcelas de

deslocamento; (i) uma de translação e/ou rotação do corpo como um todo e (ii) uma de

deformação, na qual os pontos materiais do corpo têm movimento relativo entre si. A

translação e/ou rotação do corpo como um todo, denomina-se por movimento de corpo

rígido, uma vez que nenhum destes movimentos origina deformação interna do material.

Ainda assim, a deformação pode ser decomposta em dilatação ou contração, responsável

pela variação do volume do corpo, e em distorção, à qual se deve a variação da forma do

sólido. Então, para caracterizar a deformação de um corpo sólido, que é uma quantidade

geométrica dependente do movimento relativo dos pontos materiais, deve ser excluída a

parcela responsável pelos movimentos de corpo rígido.

Considere-se a figura 3.6 onde se apresenta uma barra de seção circular sujeita a uma

força de tração axial, F. Admitindo que o material seja homogêneo e isotrópico, a

deformação da barra será uniforme, alongando na direção axial e reduzindo a seção

transversal igualmente em todas as direções perpendiculares à axial. Nestas condições, a

direção axial surge como apropriada para se introduzir a noção de deformação normal,

uma vez que esta direção durante a deformação não sofre rotações.

Figura 3.6 - Barra de seção circular sujeita a um

carregamento axial. Fonte: Referência 8, p. 90.

Admitindo que devido à ação da força axial, F, a variação de configuração da barra é

pequena (pequenas deformações) e que o comprimento de referência na geometria

inicial,

l , sofre um acréscimo l∆ , define-se deformação nominal ou de engenharia, como:

−

∆

(3.2.1)

Onde l é o comprimento de referência da barra após deformação, lll ∆+

No caso de se tratar de grandes deformações, usa-se a deformação verdadeira ou

logarítmica,

, para medida das deformações, na qual se considera em cada instante o

incremento (pequeno) de deformação relativamente ao comprimento instantâneo de

referência, ou seja, usando a definição de pequenas deformações,

()

lll

−+

= (3.2.2)

Em que o incremento instantâneo, l

, é uma quantidade pequena comparada com o

comprimento de referência imediatamente anterior, l. Nestas condições, a deformação

total será descrita através de,

∑

(3.2.3)

Ou no limite, quando l

for infinitamente pequeno,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫

(3.2.4)

É mais conveniente utilizar as deformações verdadeiras,

, do que utilizar as

deformações de engenharia, e, pois:

1) Deformações verdadeiras, para deformação equivalente em tração e compressão,

são idênticas, exceto em movimento;

2) Deformações verdadeiras são aditivas, a deformação total é igual a soma dos

incrementos das deformações;

3) A mudança do volume é relacionada com a soma das três deformações normais, e

com constância no volume relativo à parcela plástica da deformação total.

0=++

zyx

(3.2.5)

Se as deformações são pequenas, então as deformações verdadeiras e de engenharia

terão valores muito próximos, como:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆+

= 1ln1lnln

(3.2.6)

uma série de expansão resulta em

K++−=

!32

(3.2.7)

então se

0→e , e→

A figura 3.7 mostra um pequeno elemento não deformado, ABCD, e assumindo que este

elemento seja deformado para A’B’C’D’ onde os deslocamentos são mostrados como u e

Deformações normais são relacionadas para tração e deformação ao comprimento inicial,

e deformações de cisalhamento são definidas em termos de distorção angular.

A deformação normal na direção x e em definição,

''''

−=

−

ACCA

(3.2.8)

Figura 3.7 - Deformação plana envolvendo pequenas distorções. Fonte 3,

p. 16.

Considerando que para pequenas deformações, A’P

≈

A’C’ e ''''tan CPAangleCPA ≈ .

−

∂

++−

=−≈

uudx

(3.2.9)

∂

(3.2.10)

Uma análise similar daria

zwe

∂

= /

e, para situação tridimensional, teríamos

yve

∂∂= / onde v é o deslocamento na direção y.

Deformações de cisalhamento são associadas com distorções angulares mostradas como

RA’B’ e PA’C’. Novamente, para pequenas deformações,

arc

arcCPA

∂

≈∠ tan

tan''

(3.2.11)

CPA

∂

≈∠ ''

, desde que 1<<

∂

(3.2.12)

Da mesma forma mostraria que o ângulo RA’B’ = du/dz e a deformação de cisalhamento

total é a soma destes ângulos ou,

∂

(3.2.13)

Para a situação tridimensional, e usando uma troca de considerações, as outras

deformações de cisalhamento são,

∂

(3.2.14)

3.2.1. O tensor deformação

Como o tensor de tensões mostrado em (3.1.4), uma forma similar pode ser usada para

as deformações, como,

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

eee

e =

(3.2.15)

Quando deformações são pequenas, como em deformações elásticas, ou se o incremento

d for usado em (3.2.15), deformações verdadeiras formarão vários tensores.

Em grandes deformações, contudo, as distorções causadas em uma componente de

deformação afetam outra componente de deformação ocasionando em erros na análise

do tensor.

Além disso, o tensor de deformação de cisalhamento

e é igual a

, conforme a figura

3.8.

Figura 3.8 - Ilustração mostrando que o cisalhamento puro (a e b) está

relacionado ao cisalhamento puro (c) mais uma rotação (d). Fonte 3, p. 17.

Se, como em (3.7-a), um elemento for submetido a um estado de cisalhamento puro, a

distorção produzida causa mudanças angulares iguais como mostrado em (3.7-b). Desde

que a deformação de cisalhamento de engenharia for

, a deformação de cisalhamento

associada com as faces adjacentes será

, como mostrado.

A componente de deformação de cisalhamento paralela à

deve ser 2/

e não a

deformação de cisalhamento total

. Outra forma de indicar isto é mostrando em (3.7-c e

3.7-d), onde o cisalhamento simples é equivalente ao cisalhamento puro mais uma

rotação. Mas, uma componente do tensor, como

e da equação (3.2.15), é definida

como,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

xyxy

(3.2.16)

Sendo a notação usada como,

xxx

ee = (normal)

xyxy

(cisalhamento) (3.2.17)

Sabendo que qualquer tensor de deformação cisalhante é igual a uma vez e meia a

deformação cisalhante de engenharia sempre que transformações de deformações forem

usadas.

3.3. Critérios de Escoamento

Os materiais dúcteis possuem uma fase de escoamento bem característica no diagrama

de ensaio de tração. Já num material frágil não há praticamente escoamento (figura 3.9).

Deseja-se estabelecer critérios objetivos que permitam determinar se um corpo de

material dúctil ou frágil irá falhar quando submetidos a quaisquer carregamentos.

Figura 3.9 - Ensaio de tração. Fonte: Referência 2, p. 172.

3.3.1. Teoria de máxima tensão de cisalhamento (Critério de Tresca)

Essa teoria resulta da observação que em materiais dúcteis o escorregamento ocorre

durante o escoamento em planos criticamente orientados. Isso sugere que a máxima

tensão de cisalhamento tem um papel fundamental.

Assume-se, então, que o escoamento do material depende apenas da máxima tensão de

cisalhamento no ponto.

Quando certo valor crítico

é atingido, o escoamento se inicia.

Quando o material está sujeito a uma tração ou compressão simples, ou seja,

0==

xyy

(figura 3.10), a tensão máxima de cisalhamento ou tensão crítica é dada por,

esc

crmás

ττ

≤±== (3.3.1)

Sendo

esc

a tensão de escoamento do material obtida do ensaio de tração.

Figura 3.10 - Círculo de Mohr para

e 0

. Fonte:

Referência 2, p. 172.

Quando um corpo está sujeito a um estado plano de tensão, tem-se duas situações:

1) Para

com mesmo sinal, ambas positivas e 0

(figura 3.11):

esc

más

≤±= (3.3.2)

esc

σσ

≤

(3.3.3)

esc

σσ

≤

Ou ainda

±≤

esc

(3.3.4)

±≤

esc

Figura 3.11 - Círculo de Mohr para

com

mesmo sinal. Fonte: Referência 2, p. 173.

Quando as tensões principais

tiverem sinais opostos e 0

, conforme a figura

3.12:

Figura 3.12 - Círculo de Mohr para 0

com sinais opostos. Fonte: Referência 2, p. 174.

O maior círculo passa por

e a tensão máxima é,

()

σσ

más

(3.3.4)

Essa tensão máxima não pode exceder o critério de escoamento no caso de tração

simples, ou seja, (

esc

más

≤ ). Logo,

esc

σσ

≤

−

± (3.3.5)

Então,

±≤−

escesc

(3.3.6)

Colocando as condições anteriores (3.3.2 a 3.3.4 e 3.3.6) em um gráfico no

plano

escesc

, como na figura 3.13, tem-se o polígono de Tresca.

Se o estado de tensão no ponto é tal, que o mesmo seja representado dentro da região

do hexaedro de Tresca, o material permanece na fase elástica.

Caso o estado de tensão corresponda a um ponto sobre o contorno do hexaedro, tem-se

que o material vai escoar indefinidamente.

Figura 3.13 - Representação do critério da tensão máxima de

cisalhamento. Fonte: Referência 2, p. 174.

O critério de Tresca é insensível à superposição de um estado hidrostático de tensão

(

321

== ). Ocorre apenas uma translação dos círculos de Mohr.

No caso geral de tensão, deve-se tomar a maior diferença entre as tensões principais e

verificar se a mesma não irá exceder a tensão de escoamento do material.

Define-se, então, a tensão equivalente de Tresca da seguinte maneira:

()

323121

,,max

σσσσσσσ

−−−=

tresca

(3.3.7)

O material permanece na fase elástica se:

esctresca

< (3.3.8)

A tensão equivalente de Tresca será:

tresca

σσ

σσσ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=−= (3.3.9)

3.3.2. Teoria da Máxima Energia de Distorção (Critério de von Mises)

Aplica-se também para materiais dúcteis. Considere o estado de tensão em um ponto

dado em função das direções principais,

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

(3.3.10)

O tensor acima pode ser reescrito na seguinte forma:

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

σσ

(3.3.11)

Com

321

(3.3.12)

O tensor descrito por

é chamado de tensor esférico, hidrostático ou de dilatação.

Lembre-se que a dilatação é dada por:

321

++=e (3.3.13)

Substituindo a Lei de Hooke generalizada, ou seja,

321

−−=

(3.3.14)

−−=

tem-se:

()

σσσ

213

321

−

(3.3.15)

O tensor dado pela diferença das tensões principais e hidrostática é chamada de tensor

desviador ou de distorção.

A densidade de energia de deformação de um corpo é dada por:

()

xzxzyzyzxyxyzzyyxx

γτγτγτεσεσεσ

+++++=

(3.3.16)

Segundo as direções principais:

()

332211

εσεσεσ

++=U (3.3.17)

Substituindo a lei de Hooke generalizada na expressão anterior e simplificando:

()

133221

σσσσσσ

σσσ

++−++=

U (3.3.18)

A densidade de energia de deformação da parcela de dilatação do tensor de tensões é

obtida substituindo

321

na expressão anterior. Logo,

()

321

213

σσσ

−

Pdilat

(3.3.19)

Subtraindo (3.3.19) da energia total dada pela equação (3.3.18), obtem-se a energia de

distorção,

dist

U . Lembrando que

(

)

= 12/EG , vem que

()()()

[]

σσσσσσ

−+−+−=

dist

(3.3.20)

De acordo com a teoria da máxima energia de distorção, o material em um estado geral

de tensão irá escoar quando a energia de distorção anterior for igual a energia de

distorção máxima obtida em um ensaio de tração.

No ensaio uniaxial de tração, tem-se

e o escoamento se inicia quando

esc

. Logo, a energia de distorção máxima no ensaio de tração é:

esc

= (3.3.21)

Igualando (3.3.20) e (3.3.21), tem-se:

()()

(

)

esc

σσσσσσσ

=−+−+− (3.3.22)

Para um estado plano de tensão, tem-se que 0

e a expressão anterior simplifica-se

para:

221

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

escescescesc

(3.3.23)

A expressão anterior representa a equação de uma elipse no plano

escesc

conforme

figura 3.14.

Qualquer estado de tensão cuja representação seja um ponto no interior da elipse, tem-se

que o material se comporta elasticamente. Pontos no contorno da elipse implicam que

ocorre escoamento do material. No descarregamento, o material comporta-se

elasticamente.

Essa teoria também não prediz resposta do material quando estados de tensões

hidrostáticos de tensão são adicionados, pois apenas diferenças entre as tensões estão

envolvidas na equação (3.3.20). Assim, adicionando-se tensões constantes não se altera

a condição de escoamento.

A partir de (3.3.22), define-se a tensão equivalente de Von Mises como:

()()()

[]

σσσσσσσ

−+−+−=

eqv

(3.3.24)

Figura 3.14 - Gráfico para a máxima energia de distorção.

Fonte: Referência 2, p. 178.

O material permanece na fase elástica se:

esceqv

= (3.3.25)

3.3.3. Comparação entre os Critérios de Tresca e von Mises para Tensão Plana

O critério de Tresca está baseado na máxima tensão de cisalhamento no ponto mais

solicitado do corpo. Enquanto o critério de von Mises considera a energia causada pelas

deformações cisalhantes em um corpo tridimensional.

Como as tensões cisalhantes são os principais parâmetros nos dois critérios, nota-se que

existe uma grande semelhança entre os mesmos. A teoria de Tresca é mais

conservadora.

A figura 3.15 ilustra o hexágono de Tresca e a elipse de von Mises para o caso de tensão

plana. O escoamento do material ocorre quando o estado de tensão está nos contornos

do hexágono ou da elipse.

Figura 3.15 - Comparação dos critérios de escoamento de

Tresca e von Mises. Fonte: Referência 2, p. 179.

As tensões uniaxiais dadas as duas teorias são as mesmas correspondendo à

compressão ou tração simples.

Os critérios de escoamento no segundo e quarto quadrantes indicam menores

resistências ao escoamento do que para tensões uniaxiais.

A maior discrepância ocorre quando duas das tensões principais são iguais, mas com

sinais opostos, ou seja, para

m=±

. Esse estado de tensão ocorre, por exemplo, na

torção de tubos de paredes finas.

Pelo critério de Tresca, essas tensões podem atingir no máximo o valor de 2/

esc

O critério de von Mises limita essas tensões para

escesc

σσ

577,03/ = .

3.3.4. Critério de Hill

Em 1979, Hill propôs um critério genérico de escoamento anisotrópico:

+−−+−+−+−

mmmm

ahgf

321211332

σσσσσσσσσ

(3.3.26)

122

213132

=−−+−−+

σσσσσσ

Onde m é um expoente que depende do material. Fazendo uma série de associações,

pode-se expressar o valor do coeficiente de anisotropia,

,em função das constantes:

cbga

cbha

+−+

−++

−

(3.3.27)

Tanto o coeficiente m quanto o

são obtidos experimentalmente. Para o sistema plano de

tensões, onde 0

, temos:

2121

=−++

σσσσ

(3.3.28)

Substituindo 12 += rch e

()

hcY

+= 1 , o critério poderá ser expresso por:

() ()

Yrr 1212

2121

+=−+++

σσσσ

(3.3.29)

Quando o critério é alimentado por dados obtidos por ensaio de tração e bulge teste, o

valor do expoente m assume valores entre 1,7 a 2,2.

3.4. Bandas de cisalhamento

Muitos materiais, quando inicialmente deformados, apresentam fluxo plástico uniforme,

mas depois, em alguns pontos as características da deformação muda subitamente de tal

forma que esta se concentra em estreitas lâminas do material, caracterizando um fluxo

consideravelmente heterogêneo. Ao seccionar o material depois de deformado, essas

lâminas apresentam uma aparência de bandas (figura 3.16) (WALLEY, 2007).

Figura 3.16 - Bandas de Cisalhamento. Fonte:

Referência 9, p. 2.

Em muitos materiais, estas bandas são muito mais frágeis que o restante do material,

portanto se a deformação continua após a formação dessas bandas, a fratura pode

facilmente ocorrer ao longo delas. O trabalho desenvolvido por Zener e Hollomon em

1944 foi um marco nesse assunto, pois eles propuseram a explicação globalmente aceita

nos dias de hoje dizendo que a curva de tensão-deformação dos materiais desenvolve

uma inclinação negativa durante a deformação e que “para uma região que sofre mais

deformação do que a região em volta, ficando enfraquecida, essa deformação continuará

até que a região periférica não mais se submeta a deformação” (WALLEY, 2007).

No artigo de Walley em 2007 relata alguns processos que também formam bandas de

cisalhamento, porém por deformação a quente. Nele, Walley destaca a afirmação feita por

Jonhson que a primeira observação de linhas de calor (bandas de cisalhamento) foi

relatada por Henri Tresca em 1878, conforme figura 3.17.

Figura 3.17 - Representação de bandas de

cisalhamento em uma barra de liga de Fe

durante forjamento. Fonte: Referência 9, p.2.

Geralmente, verifica-se na literatura, que esse fenômeno é muito estudado considerando

processos de deformação por compressão através de trabalho a quente e altas taxas de

deformação. Um exemplo está exposto na figura 3.18, que mostra um corpo de prova

submetido à compressão com alta taxa de deformação, cuja a secção fica dividida em

regiões que contêm diferentes taxas de deformação, formando as bandas de

cisalhamento.

Figura 3.18 - Seção de um corpo de prova do Ti-

6Al-2Sn-4Zr-2Mo-0, submetido à compressão em

alta temperatura e alta taxa de deformação para

visualização das bandas de cisalhamento. Fonte:

Referência 1, p. 381.

Num corpo tracionado uniaxialmente, a estricção começa numa região de instabilidade

plástica, onde o aumento da resistência devido ao encruamento não é mais suficiente

para compensar a diminuição da área da seção transversal do corpo em questão. Devido

à atuação de uma componente hidrostática de tração no centro da região estrita,

começam a se formar microcavidades a partir ou não de partículas de segunda fase, e

que, com a continuação da deformação, crescem e coalescem numa trinca central

(PERTENCE, 1994). A figura 3.19 ilustra o comentário.

Uma vez que a trinca central tenha se desenvolvido, ela pode propagar-se pelo

mecanismo de bandas de cisalhamento, também conhecido por lâmina ou lençol de

cavidades. A concentração de tensões nas pontas da trinca promove deformação plástica

localizada em bandas de cisalhamento que formam ângulos de 30 a 40 graus com o eixo

de tração, como indicado na figura 3.20.

A deformação dentro das bandas de cisalhamento é muito intensa e os poros se

desenvolvem no seu interior. À medida que as microcavidades dessas bandas crescem,

as cavidades maiores eventualmente se unem, levando a uma fratura. Na ponta destas

trincas ocorrem duas novas bandas de cisalhamento (PERTENCE, 1994). A figura 3.21

mostra o exposto acima.

Desta forma a fratura se processa através de bandas de cisalhamento, onde o

mecanismo de coalescimento de poros se faz presente promovendo por sua vez novas

bandas de cisalhamento. Afastando-se do plano de mínima seção transversal, a

deformação plástica tende a se concentrar em novas bandas que tendem a se voltar para

este plano. A fratura prossegue assim ao longo de uma trajetória em zig-zag mantendo-

se, em média, no plano da seção transversal normal ao eixo de tração (PERTENCE,

1994) como mostrado na figura 3.22.

O término da fratura ocorre repidamente ao longo da superfície que faz um ângulo de

aproximadamente 45º com o eixo de tração caracterizando macroscopicamente um tipo

de fratura dúctil conhecida como “taça e cone”.

Figura 3.19 - Mecanismo de fratura dúctil pela

formação e coalescimento de poros. Fonte:

Referência 6, p. 31.

Figura 3.20 - Mecanismo de fratura dúctil pelo

desenvolvimento de bandas de cisalhamento. Fonte:

Referência 6, p. 31.

Figura 3.21 - Divisão das bandas de cisalhamento com a formação e

coalescimento de poros. Fonte: Referência 6, p. 32.

Figura 3.22 - Desenvolvimento da fratura dúctil em forma de zig-zag

- Macroscopicamente uma fratura do tipo “taça-cone”. Fonte:

Referência 6, p. 32.

3.5. Critérios de fratura dúctil

O nível máximo de deformação que se pode alcançar durante um processo tecnológico de

deformação plástica depende da formação de macrobandas, estricções ou fraturas.

A ocorrência de estricções e fraturas pode ser analisada usando metodologias

fundamentadas ora em tensões, ora em deformações. Uma das formas mais utilizadas

para cumprir este requisito consiste em usar os critérios de fratura dúctil.

Os critérios de fratura dúctil para processos de deformação plástica propõem uma função

capaz de traduzir o valor do dano acumulado e que depende simultaneamente dos

valores da tensão e da deformação. Nestas condições, o início da fratura terá lugar

quando o dano acumulado – resultante da deformação plástica – atingir um valor limite

denominado dano crítico.

Em geral, os critérios que derivam deste conceito são variantes do trabalho plástico por

unidade de volume,

∫

εσ

(3.5.1)

Um destes critérios, proposto por Cockcroft e Latham, procura pôr em evidência a

importância da tensão principal de tração,

, no mecanismo de fissuração,

(RODRIGUES e MARTINS, 2005)

∫

εσ

(3.5.2)

Do ponto de vista físico-macroscópico, este critério considera que apenas a tensão

principal

tem relevância para o início da fratura dúctil. Contudo, esta hipótese poderá

vir a dar origem a previsões desajustadas da realidade, sempre que as direções principais

1, 2 e 3 vão sofrendo alterações ao longo do processo de deformação plástica.

Um critério de fratura dúctil alternativo, que encontra a sua fundamentação na análise do

mecanismo de crescimento de defeitos esféricos num campo de tensões triaxiais, foi

proposto por Rice e Tracey da forma a seguir indicada, (RODRIGUES e MARTINS, 2005)

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

exp

(3.5.3)

Os critérios de fratura dúctil permitem uma abordagem integrada do problema da

fissuração por incorporação simultânea da influência das tensões e das deformações.

Contudo, os resultados que se conseguem alcançar através da sua utilização são apenas

aproximados, uma vez que os fenômenos microscópicos associados à iniciação e

propagação das trincas são formulados uma vertente macroscópica através de modelos

físico-matemáticos. De fato, a abordagem sistemática do problema da fratura desde a

iniciação da trinca, à sua propagação e ruptura final apenas pode ser concretizada

adotando metodologias que se baseiam na mecânica do dano contínuo.

3.6. Mecânica do dano

A mecânica do dano baseia-se na definição de uma variável interna e contínua de dano

que permita caracterizar a deterioração que o material vai sofrendo com a deformação.

Neste sentido, observa-se a figura 3.23, onde se mostra uma peça sujeita a deformação

plástica, da qual foi isolado um elemento de volume genérico, com uma dimensão

suficientemente grande para que possa conter vestígios de defeitos (fissuras e cavidades)

em que S é a seção do elemento de volume caracterizada pela normal 'n , enquanto que

S é a parte dessa seção que somente inclui os defeitos (parte escura).

Tendo em consideração que a área que efetivamente resiste às solicitações aplicadas,

vale,

SSS −=

(3.6.1)

Pode definir-se uma variável local de dano,

D , relativamente à normal n’ da seção do

elemento de volume através da seguinte relação,

(3.6.2)

Figura 3.23 - Representação esquemática do

conceito de dano para um elemento de volume.

Fonte: Referência 8, p. 617.

Esta definição permite associar o significado físico da variável local de dano à

porcentagem de defeitos que se encontram distribuída na seção do elemento de volume.

Nestas condições:

D Elemento de volume sem dano;

10 <<

D Elemento de volume com um determinado valor de dano;

D Ruptura do elemento de volume em duas partes.

No caso geral do dano ter características anisotrópicas os defeitos possuem orientações

preferenciais e o valor da variável local dano,

D não depende da orientação da normal n’

e, portanto,

DD = (3.6.3)

Esta definição de dano permite reformular o conceito de tensão efetiva, de modo a

explicar o valor da área que efetivamente resiste aos esforços aplicados. Considere-se,

como exemplo, o caso de tração uniaxial conforme a figura 3.24,

DSS

−

(3.6.4)

Figura 3.24 - Representação esquemática da tração

uniaxial de um corpo de prova com dano. Fonte:

Referência 8, p. 618.

O Símbolo

representa a tensão efetiva corrigida pela incorporação de dano. É

importante ressaltar que os estados de tensão compressivos dão valores da área

resistente, S

, superiores aos que se obtinham para solicitações equivalentes de tração e,

portanto, podem originar situações em que o dano seja

Na reformulação das equações constitutivas, incorporando o dano, começa por se admitir

que a deformação de um material sujeito a dano poderá ser representada por intermédio

das equações constitutivas do material sem dado, em que a tensão convencional é

substituída pela tensão corrigida. Exemplifica-se este pressuposto para o caso particular

das equações constitutivas de elasticidade linear em condições unidimensionais,

()

DEE

−

== (3.6.5)

Em que

representa o módulo de elasticidade linear do material sem dano e

()

DEE −= 1

pode ser interpretado como o módulo de elasticidade linear do material

sujeito ao dano. O resultado anterior permite representar o valor da variável de dano,

em função do quociente

EE /

, através da seguinte igualdade,

1−= (3.6.6)

e também permite encontrar fundamentação teórica para a determinação experimental do

dano

(

)

= através de ensaios de tração uniaxial, onde se medem os valores dos

módulos de elasticidade do material na descarga, realizada a partir de diferentes níveis de

deformação total aplicada.

Finalmente, interessa referir que a reformulação das equações constitutivas de Levy-

Mises com a introdução da variável de dano conduz à seguinte relação entre as tensões e

as velocidades de deformação,

()

−

(3.6.7)

3.7. Método dos elementos finitos

Com início na década de 50, o método dos elementos finitos foi aplicado basicamente na

área de engenharia civil com os trabalhos de Turner et al (1956), Argyris et al (1960). No

trabalho de Clough (1960) é que foi introduzido o termo Elementos Finitos (LANDRE,

2001).

Na conformação, a aplicação deste método surgiu na década de 60 com os trabalhos de

Zienkiewicz et al (1969, 1972) e os de Kobayashi et al (1970, 1971), sendo aplicado na

resolução de vários problemas elasto-plásticos planos e axissimétricos, tais como a

compressão simples e a extrusão (LANDRE, 2001).

O método consiste em dividir o domínio contínuo em subdomínios, os chamados

elementos, que se conectam através de nós, sendo que cada nó possui um número finito

de graus de liberdade. A contribuição de cada elemento no qual o domínio foi dividido é

posteriormente somada, a fim de estabelecer ao nível do contínuo a solução do problema.

Visando obter resultados mais confiáveis ao estudo da conformação, trabalhos como os

de Kobayashi et al (1973), Zienkiewicz et al (1974) verificaram o fenômeno do

escoamento plástico de forma análoga ao de um fluido viscoso incompressível não

Newtoniano (LANDRE, 2001).

Nesta formulação as deformações elásticas são desprezadas, o que se justifica devido às

elevadas deformações plásticas. Os materiais são descritos por leis rígido-plásticas ou

rígido viscoplásticas e as relações tensão versus velocidade de deformação se baseiam

nas equações constitutivas de Levy Mises, dadas pela relação,

= (3.7.1)

A formulação de escoamento rígido plástico é muito utilizada na análise de processos de

deformação plástica na massa bidimensionais e tridimensionais e serve de base a alguns

programas de elementos finitos, como por exemplo, o Deform2D.

A vantagem do método dos elementos finitos se baseia na sua versatilidade e

generalidade, possibilitando o estudo de quaisquer peças independentemente da forma

geométrica das matrizes e das condições de atrito existentes entre as mesmas e o

material em deformação. Por outro lado o método dos elementos finitos permite obter as

distribuições das principais variáveis de campo no interior das peças e nas interfaces

destas com as ferramentas, conduzindo a um dimensionamento correto das peças e das

ferramentas (LANDRE, 2001).

Para compreender como o método dos elementos finitos funciona em grandes

deformações, deve ser consideradas equações de equilíbrio de tensões relativas a um

elemento de volume genérico, cujo tensor das tensões é:

0=+

∂

(3.7.2)

Onde

X representa o vetor da forças de massa.

A formulação variacional fraca da equação (3.7.2) é dada por:

∫∫

∂

dVuXdVu

δδ

(3.7.4)

em que

é uma perturbação da velocidade

u .

Desprezando as forças de massa

X a equação (3.7.4) pode ser escrita na forma:

∫

∂

dVu

(3.7.5)

Ou ainda pode ser escrita como:

()

∫∫

∂

−

∂

iij

dVu

δσ

(3.7.6)

Manipulando matematicamente a equação (3.7.6), ela passa a ser escrita como:

∫∫

=−

ijij

dSundV 0

δσεδσ

(3.7.7)

onde V representa o volume e

S a área.

Partindo da condição que

ijij

Tn =

(3.7.8)

E que a tensão

possa ser substituída pelo tensor das tensões mais o tensor desviador,

a equação (3.7.7) passa a ser escrita como:

∫∫∫

=−+

VST

dSutdVdV 0

δεδσεδσ

(3.7.9)

Partindo da condição de incompressibilidade que pode ser incorporada a equação (3.7.9)

tem-se que:

∫∫∫∫

=−++

VST

dSutdVdVdV 0

δεδσεδσεδσ

(3.7.10)

Admitindo que a solução de problemas rígidos plásticos passa por determinar o campo de

velocidades

u cinematicamente admissível que satisfaça a condição de

incompressibilidade, obedecendo as condições de contorno e minimizando o funcional, a

equação (3.7.10) pode ser simplificada como:

∫∫

−=

dSutdV

δεσπ

(3.7.11)

Ou seja, que resolva a seguinte equação:

0=−=

∫∫

dSutdV

δεδσδπ

(3.7.12)

A discretização da equação (3.7.12) em elementos finitos levanta o problema de se

encontrar funções de forma que, simultaneamente assegurem a incompressibilidade do

campo de velocidades e evitem as deformações referentes a movimento de corpo rígido.

Introduzindo-se o multiplicador de Lagrange (

) tem-se:

0=−++=

∫∫∫∫

VV V

dSutdVdVdV

δεδλελδεδσδπ

&&&

(3.7.13)

Portanto, a técnica de elementos finitos deve ser considerado como um caso de

discretização da equação (3.7.13) através da divisão do volume V em n elementos,

ligados entre si por N pontos nodais (LANDRE, 2001).

3.8. Deform 2D

O DEFORM é uma ferramenta que utiliza o Método dos Elementos Finitos (MEF) baseado

no sistema de simulação desenhado para analisar diversos processos de deformação e

tratamento térmico usado em deformação de metais e processos industriais correlatos.

Através da simulação de processos em computador, esta ferramenta auxilia designers e

engenheiros em:

• Reduzir a necessidade de despender ensaios físicos e redesenho de processos;

• Melhorar a concepção das ferramentas para otimizar a produção e os custos dos

materiais;

• Encurtar o tempo necessário para lançar um novo produto no mercado.

A seguir são conceituados alguns parâmetros utilizados na simulação numérica utilizando

o Deform 2D.

3.8.1. Controles de Iteração

Os controles de iteração especificam o critério para resolver problemas utilizando o

método de elementos finitos, encontrando a solução do problema em cada passo da

simulação. Para a maioria dos problemas, os valores padrão (default) são aceitáveis.

Porém, se com esses valores não ocorrer a convergência necessária, eles deverão ser

trocados.

Os dois principais métodos de interação são o Newton-Raphson e o Direct. O método

Newton-Raphson é recomendado para a maioria dos problemas, pois geralmente ele

converge em menos iterações do que outros métodos disponíveis. E com o método Direct

tem-se uma conversão mais provável do que com o método Newton-Raphson, porém,

geralmente requerem mais iterações para fazê-lo.

3.8.2. Dados do Material

Para que uma simulação atinja um alto nível de precisão, é importante ter uma

compreensão das propriedades do material a ser utilizado para especificá-lo no Deform.

As propriedades do material que o usuário necessita especificar estão em função do tipo

de material que irá utilizar na simulação.

Encontra-se no banco de dados de materiais do Deform 145 conjuntos separados por

valores de tensão de escoamento. O material contém apenas dados de tensão de

escoamento (dados para materiais na região plástica).

3.8.3. Fator de Penalidade

Fator de Penalidade é um grande número positivo utilizado para dificultar a velocidade de

penetração de um nó através de uma superfície mestre. O valor padrão é adequado para

a maioria das simulações.

3.8.4. Tempo de integração

O fator tempo de integração é o coeficiente avançado para a integração da temperatura

ao longo do tempo. O seu valor deve ser entre 0,0 e 1,0.

3.8.5. Taxa de Convergência

Adota-se uma iteração da deformação para ter convergência quando os limites dos erros

da velocidade e da força são satisfatórios. Os valores limites de erros da velocidade e

força têm influência direta com a precisão da simulação. Quanto menores os limites,

maior o tempo de simulação, porém maior será a precisão dos resultados.

3.8.6. Número de Passos

O número de passos define a quantidade de passos necessários para executar a

simulação a partir do passo inicial. A simulação irá parar depois deste número de passos

executados, ou se outro controle de parada for acionado para parar a simulação. Assim,

se o passo inicial for -35 (NSTART), e o número de passos for igual a 30 (NSTEP), a

simulação irá parar após 65 passos, a não ser que outro controle de parada seja acionado

primeiro.

3.8.7. Critério de Remalha Automática

O critério de remalha automática é a forma mais conveniente para lidar com a remalha de

objetos submetidos a grandes deformações plásticas. À medida que a simulação for

executada, o programa executa a remalha automaticamente caso seja evidenciado

alguma inconsistência na malha anterior.

3.8.8. Solução Skyline

A solução skyline utiliza o método de escalonamento em conjunto com a eliminação

gaussiana para armazenar os dados da temperatura matriz. Este método é recomendado

para a maioria dos problemas.

4. METODOLOGIA

Neste capítulo, está descrita toda a metodologia utilizada no desenvolvimento deste

trabalho, desde a caracterização do material utilizado, suas propriedades mecânicas, o

levantamento das bandas de cisalhamento desse material, bem como a simulação

numérica e o ensaio metalográfico realizado nos corpos de prova especiais.

4.1. Material Utilizado

O material utilizado nos experimentos foi o aço carbono SAE 1006, recebido conforme

mercado sem tratamento de qualquer natureza por meio de corte a laser, cuja

composição química está descrita na tabela 4.1.

Tabela 4.1 - Composição Química do Material.

Item Elemento

Teor (%

peso)

1 C 0,03

2 Si 0,04

3 Mn 0,29

4 P 0,024

5 S 0,010

6 Al 0,080

7 Cu 0,01

8 Nb 0,003

9 V 0,001

10 Ti 0,002

11 Cr 0,02

12 Ni 0,02

13 Mo 0,00

14 Sn 0,002

15 N 0,0050

16 B 0,0002

17 Sb 0,00

Fonte: Certificado de Inspeção nº 1915569

disponibilizado pelo Fabricante.

4.2. Propriedades Mecânicas do Material

Para determinação das propriedades mecânicas do material foram levantados o

coeficiente de anisotropia e a curva de escoamento.

4.2.1. Anisotropia

Para obter o coeficiente de anisotropia do material utilizado foi realizado ensaio de tração

em seis corpos de prova, sendo dois coletados em cada direção de laminação: 0º, 45º e

90º. Para determinar a deformação na largura e comprimento foi adotado o seguinte

procedimento em cada direção de laminação, conforme os passos a seguir.

1- Traçagem da malha em cada corpo de prova, conforme a figura 4.1;

Figura 4.1 - Malha traçada nos corpos de prova

para o levantamento da anisotropia do material

utilizado.

2- Medição dos comprimentos e larguras iniciais. As medições foram feitas utilizando

um medidor ótico Mitutoyo TM do laboratório de metrologia do Departamento de

Engenharia Mecânica da UFMG, equipado com micrômetro digital com resolução 0,001

mm, conforme figura 4.2.

Figura 4.2 - Medidor ótico Mitutoyo TM do laboratório de

metrologia do Departamento de Engenharia Mecânica da

UFMG, equipado com micrômetro digital com resolução

0,001 mm.

3- Ensaio de Tração;

4- Medição dos comprimentos e larguras finais;

5- Cálculo das deformações no comprimento e na largura dos corpos de prova; e

6- Cálculo dos coeficientes de anisotropia (r).

Considerando, coeficiente 0 (zero) para dimensões iniciais e f para finais temos:

∴

321 www

∴

21 LL

(4.1)

direção

εε

−

−=

Sendo:

= Larguras finais;

= Larguras iniciais;

= Comprimentos finais;

= Comprimentos iniciais;

= Deformação média na largura;

= Deformação média no comprimento;

direção

= Coeficiente de anisotropia nas direções de laminação.

Os corpos de prova para levantamento da anisotropia em cada direção de laminação

foram construídos de acordo com a figura 4.3.

Figura 4.3 - Corpo de prova para levantamento da anisotropia do material. Todas as dimensões

estão em mm. Fonte: Referência 7, p. 31.

4.2.2. Curva de Fluxo

Os corpos de prova para o levantamento da curva de fluxo foram construídos conforme

figura 4.4 submetidos a ensaio de tração a temperatura ambiente com velocidade de

deformação constante igual a 50 mm/min. Os ensaios foram realizados numa máquina de

ensaios universal SHIMADZU do Departamento de Engenharia Mecânica da UFMG,

modelo Autograph AG-IS 100 kN com sistema de controle e aquisição de dados

TRAPEZIUM 2 e extensômetro axial eletrônico SHIMADZU modelo SG50-100 de 50 mm

e célula de carga de 100 kN. As figuras 4.5 e 4.6 mostram a máquina de ensaio e o

extensômetro.

Após os ensaios, foram calculados os valores da deformação plástica verdadeira,

tensão verdadeira,

para cada corpo de prova. De posse desses valores foi construído o

gráfico

, x

denominada curva de fluxo do material.

Figura 4.4 - Corpo de prova para levantamento da curva de fluxo do material. Todas as

dimensões estão em mm. Fonte: Referência 7, p. 31.

Figura 4.5 – Máquina de ensaio universal do

DEMEC/UFMG.

Figura 4.6 – Ensaio de tração com utilização de

extensômetro axial eletrônico SHIMADZU modelo SG50-100

de 50 mm.

Após o cálculo de

pôde-se encontrar o valor de k, coeficiente de resistência, e n,

coeficiente de encruamento através de uma regressão linear dos pontos medidos

experimentalmente, pois n é a inclinação da reta do gráfico com escala logarítmica e k é o

coeficiente de proporcionalidade, conforme figura 4.7.

Figura 4.7 – Gráfico

loglog

para determinação

do coeficiente de encruamento n. Fonte: Referência

7, p. 35.

A reta

)(loglog

= foi obtida utilizando o intervalo a partir de 10% da deformação

plástica até a estricção.

log

εσεσ

logloglog nkk

+=⇒=

log

loglog k

−

Portanto, com a regressão linear para determinação da equação

εσ

= , foram obtidos

os valores de k e n do material nas três direções de laminação.

4.3. Levantamento das bandas de cisalhamento

Foram propostos pelo autor três corpos de prova com entalhes especiais objetivando

provocar a formação de bandas de cisalhamento, conforme figuras 4.8, 4.9 e 4.10.

Foram realizados os ensaios de tração até a ruptura dos corpos de prova. Após os

ensaios de tração foi realizado o ensaio metalográfico nos corpos de prova rompidos para

identificação das bandas de cisalhamento.

Utilizando os dados referentes à região plástica, coletados nos ensaios de tração, foram

realizadas as simulações numéricas do ensaio, comparando com os resultados obtidos

experimentalmente. Os corpos de prova especiais para o levantamento das bandas de

cisalhamento foram construídos conforme a seguir:

Figura 4.8 - Corpo de Prova entalhado 1 para

análise da formação de Bandas de Cisalhamento

em tração uniaxial. Todas as dimensões estão em

mm.

Figura 4.9 - Corpo de Prova entalhado 2 para

análise da formação de Bandas de Cisalhamento

em tração uniaxial. Todas as dimensões estão em

mm.

Figura 4.10 - Corpo de Prova entalhado 3 para

análise da formação de Bandas de Cisalhamento

em tração uniaxial. Todas as dimensões estão em

mm.

Após o rompimento dos corpos de prova, foram realizadas medições das larguras dos

entalhes no ponto da ruptura, utilizando paquímetro universal com resolução de 0,05 mm.

As medidas encontradas foram comparadas com as medidas dos modelos em cada

passo da simulação numérica visando definir entre quais passos ocorreu a ruptura.

Espera-se obter melhor visualização das bandas de cisalhamento no CP 2 após a análise

da formação das bandas de cisalhamento nos três tipos de corpos de prova.

Isto porque, provavelmente o CP 1 irá se romper antes da formação das bandas e o CP 3

não deverá direcionar à formação das bandas devido à profundidade do entalhe ser

pequena.

4.4. Simulação Numérica

Os desenhos dos corpos de prova foram feitos utilizando o software comercial Solidworks,

do Laboratório de Projetos Mecânicos do Departamento de Engenharia Mecânica da

UFMG. Esses desenhos foram importados para o software comercial Deform2D, do

Departamento de Metalurgia e Materiais da UFMG.

Após a importação foram feitos pequenos ajustes nos desenhos e os mesmos foram

salvos em uma extensão IGS, compatível com o Deform.

Em seguida, foi gerada uma malha, conforme figura 4.11, com elementos retangulares no

total de 3197 elementos e 3348 nós, podendo ser esses dados conferidos no pré-

processador do programa. A partir do teste de convergência, descobriu-se que essa

malha foi a que melhor gerou resultados, pois esses resultados praticamente não se

alteraram nas próximas malhas.

Figura 4.11 – Malha gerada no

Deform2D para o CP 3 contendo

3197 elementos e 3348 nós.

A extremidade inferior apresentou restrição de movimento tanto em x quanto em y,

portanto permanecendo fixa. Entretanto, a extremidade oposta apresentou apenas

velocidade em y, sendo o valor igual à velocidade do cabeçote no ensaio de tração e

restringida velocidade em x.

Para a simulação, foi desprezada a região elástica do material. Além disso, foram

consideradas as curvas de fluxo nas três direções de laminação, importando os dados da

região plástica para o aplicativo numérico.

A seguir, estão indicados alguns dados técnicos utilizados na simulação numérica.

a) Método de Iteração: Newton-Raphson;

b) Tipo de Material: Rígido Plástico;

c) Taxa de Convergência:

i. Limite de erro para a força: 0,01

ii. Limite de erro para velocidade: 0,001

d) Fator de Penalidade: 1,0 x 10

;

e) Remalha: Automática;

f) Numero de passos: 200 steps;

g) Tempo de integração: 0,1;

h) Solver empregado: Skyline (Pois, é o mais rápido para modelos com até 30.000

elementos).

4.5. Ensaio Metalográfico

Os corpos de prova após o ensaio de tração até o rompimento foram submetidos ao

ensaio metalográfico realizado no Centro Tecnológico de Fundição de Itaúna – CETEF.

O procedimento foi iniciado com o embutimento das amostras (Corpos de prova 1, 2 e 3)

e o lixamento das mesmas utilizando lixas 200, 400 e 500 e, por fim, o tecido para

polimento (3

Após o lixamento foi realizado o ataque para revelar a macroestrutura dos corpos de

prova utilizando Iodo e o Nital 2% para revelar a microestrutura.

Após a revelação, foram observadas as estruturas e capturadas as imagens dos corpos

de prova ensaiados.

CPs

Grandezas

5. RESULTADOS

Neste capítulo, foram explicitados os resultados obtidos para caracterização do material

utilizado, com o levantamento das curvas de fluxo.

5.1. Coeficiente de Anisotropia

As medições realizadas nos corpos de prova para determinação do coeficiente de

anisotropia do material, conforme a figura 4.1 e a equação (4.1), geraram as seguintes

dimensões demonstradas na tabela 5.1.

Tabela 5.1 – Dimensões iniciais e finais da malha traçada nos corpos de prova, conforme a

figura 4.1, medidas antes e após do ensaio de tração.

Direção →

Dimensões/CPs121212

10,390 10,305 10,403 10,418 10,441 10,260

10,372 10,308 10,436 10,452 10,431 10,265

10,395 10,298 10,420 10,462 10,428 10,271

19,723 19,645 19,695 19,723 19,698 19,907

19,848 19,928 19,880 19,922 19,873 19,656

Direção →

Dimensões/CPs121212

9,838 9,757 9,920 9,909 9,823 9,700

9,801 9,734 9,876 9,889 9,764 9,620

9,788 9,737 9,881 9,931 9,807 9,653

22,115 22,054 22,056 22,164 22,034 22,277

22,250 22,349 22,273 22,289 22,231 21,993

Dimensões Iniciais

(0)

[mm]

Dimensões Finais

(f)

[mm]

45º 90º

0º 45º 90º

0º

A partir dos dados coletados e cálculos realizados, foram encontrados os valores

descritos nas tabelas 5.2, 5.3 e 5.4.

Tabela 5.2 – Cálculo do coeficiente de anisotropia à 0º

da direção de laminação.

Direção → 0º

1 2

- 0,057128 - 0,055985

0,114355 0,115164

0,998270 0,946028

CPs

Grandezas

CPs

Grandezas

Tabela 5.3 - Cálculo do coeficiente de anisotropia à 45º

da direção de laminação.

Direção → 45º

1 2

- 0,051936 - 0,052517

0,113441 0,114477

0,844419 0,847595

Tabela 5.4 - Cálculo do coeficiente de anisotropia à 90º

da direção de laminação.

Direção → 90º

1 2

- 0,062831 - 0,061026

0,112098 0,112413

1,275316 1,225791

5.2. Curvas tensão x deformação

As curvas de fluxo referente a cada direção de laminação, conforme gráfico 5.1 foram

levantadas após o ensaio de tração em cada corpo de prova especial até o rompimento

dos mesmos, bem como as curvas dos gráficos 5.2, 5.3 e 5.4 para determinação dos

coeficientes k e n. Foi verificada uma melhor similaridade entre as curvas dos corpos de

prova a 0º e 45º da direção de laminação.

Curvas de Fluxo 0º, 45º e 90º

100

200

300

400

500

0,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,17 0,20

Deformação Plástica Verdadeira

Tensão Verdadeira (MPa)

0 grau 45 graus 90 graus

Gráfico 5.1 - Curva de Fluxo do material à 0º, 45º e 90º da direção de laminação

após ensaio de tração.

Cálculo de k e n (0º)

y = 521,65x

0,2118

= 1

200

300

400

500

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Deformação Plástica Verdadeira

Tensão Verdadeira (Mpa)

0º Potência (0º)

Gráfico 5.2 – Curva Tensão x Deformação Plástica Verdadeira para o cálculo de k e n

do material à 0º da direção de laminação.

Cálculo de k e n (45º)

y = 578,44x

0,1968

= 0,9999

200

300

400

500

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Deformação Plástica Verdadeira

Tensão Verdadeira (Mpa)

45º Potência (45º)

Gráfico 5.3 - Curva Tensão x Deformação Plástica Verdadeira para o cálculo de k e n

do material à 45º da direção de laminação.

Cálculo de k e n (90º)

y = 563,34x

0,2066

= 1

200

300

400

500

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Deformação Plástica Verdadeira

Tensão Verdadeira

(Mpa)

90º Potência (90º)

Gráfico 5.4 - Curva Tensão x Deformação Plástica Verdadeira para o cálculo de k e

n do material à 90º da direção de laminação.

Na tabela 5.5 foram consolidados os valores de k e n do material nas três direções de

laminação.

Tabela 5.5 – Valores de k e n do material utilizado.

0º 45º 90º

k (MPa) n k (MPa) n k (MPa) n

521,65 0,2118 578,44 0,1968 563,34 0,2066

O coeficiente k quantifica o nível de resistência que o material pode suportar, portanto, o

corpo de prova coletado a 0º da direção de laminação apresenta menor resistência.

O coeficiente n representa a capacidade com que o material distribui a deformação, ou

seja, capacidade de se deformar sem que ocorra a estricção. Portanto, o corpo de prova a

0º também se destaca por ter maior capacidade de se deformar.

Considerando os dois comentários anteriores, foi escolhido o corpo de prova a 0º da

direção de laminação para a comparação entre os resultados obtidos nos ensaios físicos

e na simulação numérica.

5.3. Simulação Numérica e ensaio metalográfico

Neste estudo, as análises se basearão nos formatos em “X” apresentados pelas linhas de

cisalhamento. E para melhor exposição dos resultados da simulação numérica, seguem

as imagens de alguns passos de cada corpo de prova simulado à 0º da direção de

laminação, bem como algumas considerações acerca da formação das bandas de

cisalhamento formadas a partir da análise comparativa entre as taxas de deformação

efetiva e a deformação efetiva nesses corpos de prova.

Os símbolos contidos nas imagens (∆ e

□) são, respectivamente, os valores de máximo e

mínimo da grandeza observada, neste caso, taxa de deformação e deformação efetiva.

A) Corpo de Prova 1 a 0º da direção de laminação:

Passo 10:

As figuras 5.1 e 5.2 mostram que ocorreu uma deformação não muito heterogênea em

toda área do entalhe, não caracterizando formação de bandas cisalhantes.

Figura 5.1 – Passo 10 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 1, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.2 – Passo 10 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 1, considerando a

deformação efetiva.

Passo 20:

As figuras 5.3 e 5.4 mostram que a situação é semelhante ao passo 10 com uma pequena

concentração da deformação na região central, indicando que a fratura provavelmente se

iniciará mais próxima do centro do entalhe.

Figura 5.3 – Passo 20 da simulação do ensaio de tração

em corpo de prova entalhado 1, considerando a taxa de

deformação efetiva.

Figura 5.4 – Passo 20 da simulação do ensaio de tração

em corpo de prova entalhado 1, considerando a

deformação efetiva.

Passo 50:

As figuras 5.5 e 5.6 mostram que, no passo 50, a deformação atinge o valor limite se

concentrando mais no centro do entalhe.

Figura 5.5 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração

em corpo de prova entalhado 1, considerando a taxa de

deformação efetiva.

Figura 5.6 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração

em corpo de prova entalhado 1, considerando a

deformação efetiva.

Início da

Fratura

próximo à

região

central do

entalhe

A figura 5.7 mostra o corpo de prova após o rompimento. Comparando a simulação com a

figura do corpo de prova rompido, observa-se que o rompimento ocorreu entre os passos

20 e 50, na região central do entalhe.

Figura 5.7 – Corpo de Prova especial 1 com entalhe para análise de formação das bandas de

cisalhamento.

As figuras 5.8, 5.9, 5.10 e 5.11 mostram que, nos passos 100 e 135, já ocorreu o

rompimento do corpo de prova. Porém, foram apresentadas as figuras para ilustrar como

seria o comportamento do corpo de prova caso não houvesse o rompimento do material.

Mesmo assim, observa-se um padrão de deformação não muito heterogêneo.

Para o corpo de prova 1 a profundidade do rasgo influenciou diretamente no não

surgimento das bandas ao longo do corpo de prova.

Início da Fratura

próximo à região

central do entalhe

Passo 100:

Figura 5.8 – Passo 100 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 1, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.9 – Passo 100 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 1, considerando a

deformação efetiva.

Passo 135 – último passo:

Figura 5.10 – Passo 135 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 1, considerando

a taxa de deformação efetiva.

Figura 5.11 – Passo 135 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 1, considerando

a deformação efetiva.

B) Corpo de Prova 2 a 0º da direção de laminação:

Passo 10:

Na figura 5.12, analisando a taxa de deformação, mostra a formação das bandas de

cisalhamento, com uma concentração de deformação nas extremidades do entalhe,

mantendo a região central sem ocorrência de deformação. Além disso, nota-se o formato

losangular dessa banda com arestas levemente curvadas. E na figura 5.13, analisando a

deformação efetiva, observa-se o início da formação das bandas no mesmo padrão.

Outra análise importante é a definição de uma região que divide a área deformada de

uma área não deformada. Esta região pode ser observada no ponto onde a banda de

cisalhamento toda a lateral do corpo de prova, conforme mostrado nas figuras 5.12 e

5.13. Este fato pode ser constatado também nos demais passos.

Figura 5.12 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de

prova entalhado 2, considerando a taxa de deformação efetiva.

Área

deformada

Área NÃO

deformada

Figura 5.13 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de

prova entalhado 2, considerando a deformação efetiva.

Área

deformada

Área NÃO

deformada

Passo 20:

Observando a figura 5.14, taxa de deformação, nota-se a evolução da formação de

bandas de deformação com formato losangular e um pequeno aumento da sua largura.

Além disso, há uma concentração da deformação nos vértices da banda, fenômeno este

mais evidente nas extremidades do entalhe. Na figura 5.15, deformação efetiva, observa-

se a continuidade da formação das bandas de cisalhamento com uma concentração

também nas extremidades do entalhe.

Figura 5.14 – Passo 20 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando

a taxa de deformação efetiva.

Figura 5.15 – Passo 20 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando

a deformação efetiva.

Área deformada

Área NÃO deformada

Passo 50:

Nas figuras 5.16 e 5.17, observa-se a formação das bandas de cisalhamento com uma

forte concentração nas extremidades do entalhe e uma diminuição significativa da região

central sem ocorrência de deformação. Além disso, nota-se também a definição de uma

região que divide a área deformada de uma área não deformada, conforme mostrado na

figura 5.16.

Figura 5.16 – Passo 50 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.17 – Passo 50 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando a

deformação efetiva.

Início

Fratura

canto

entalhe

A figura 5.18 mostra o corpo de prova após o rompimento. Comparando a simulação com

a figura do corpo de prova rompido, observa-se que o rompimento ocorreu próximo ao

passo 50 e que, em ambas as situações, a maior deformação ocorre próximo ao canto do

entalhe, provocando a nucleação do rasgo nessa região, devido à concentração de

deformação nas bandas de cisalhamento.

Figura 5.18 – Corpo de Prova especial 2 com entalhe para análise de formação das bandas de

cisalhamento.

As figuras 5.19 a 5.24 mostram que, nos passos 100, 150 e 200, já ocorreu o rompimento

do corpo de prova. Porém, foram apresentadas as figuras para ilustrar como seria o

comportamento desse corpo de prova caso não houvesse o rompimento do material. No

entanto, observa-se um padrão de deformação heterogêneo.

Início da Fratura no

canto do entalhe

Passo 100:

Figura 5.19 - Passo 100 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.20 – Passo 100 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando a

deformação efetiva.

Passo 150:

Figura 5.21 - Passo 150 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.22 – Passo 150 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando a

deformação efetiva.

Passo 200 – último passo:

Figura 5.23 - Passo 200 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando

a taxa de deformação efetiva.

Figura 5.24 – Passo 200 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 2, considerando

a deformação efetiva.

C) Corpo de Prova 3 a 0º da direção de laminação:

Passo 10:

A figura 5.25, da taxa de deformação, mostra a formação das bandas de cisalhamento,

com uma concentração de deformação nas extremidades do entalhe, mantendo a região

central sem ocorrência de deformação. E na figura 5.26, deformação efetiva, observa-se o

início da formação das bandas também em forma losangular e com concentração de

deformação nas extremidades do entalhe.

Além disso, nota-se, também no corpo de prova 3, a definição da região que divide a área

deformada de uma área não deformada, porém no corpo 3 a área deformada é maior que

no corpo de prova 2. Esta região pode ser observada no ponto onde a banda de

cisalhamento toda a lateral do corpo de prova, conforme mostrado nas figuras 5.25 e

5.26. Nos demais passos a área lateral não deformada praticamente não aparece.

Figura 5.25 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de

prova entalhado 3, considerando a taxa de deformação efetiva.

Área

deformada

Área NÃO

deformada

Figura 5.26 – Passo 10 da simulação do ensaio de tração em corpo de

prova entalhado 3, considerando a deformação efetiva.

Área

deformada

Área NÃO

deformada

Passo 20:

Observando as figuras 5.27 e 5.28, da taxa de deformação e deformação efetiva, nota-se

a continuação da formação de bandas de deformação com formato losangular e o

aumento da sua largura. Além disso, há uma forte concentração da deformação nos

vértices da banda, fenômeno este mais evidente nas extremidades do entalhe.

Figura 5.27 – Passo 20 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.28 – Passo 20 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando a

deformação efetiva.

Passo 50:

Na figura 5.29, da taxa de deformação, observa-se um padrão de deformação na forma

losangular em dois dos seus vértices e um padrão na forma de cone nas extremidades do

entalhe. E analisando a figura 5.30, deformação efetiva, nota-se a continuidade da

caracterização da banda de cisalhamento em forma losangular com concentração nas

extremidades do entalhe.

Figura 5.29 – Passo 50 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.30 – Passo 50 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando

a deformação efetiva.

Início da

Fratura

no canto

entalhe

Passo 100:

A figura 5.31, taxa de deformação, mostra a formação de dois padrões da banda de

cisalhamento, um padrão em V e outro em cone, este localizado nas extremidades do

entalhe. Observando a figura 5.32, deformação efetiva, nota-se uma concentração de

deformação nos dois vértices da banda localizados nas extremidades do entalhe e uma

concentração mais suave nos outros dois vértices. Contudo, observa-se a ausência de

deformação na região central do entalhe.

Figura 5.31 – Passo 100 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando

a taxa de deformação efetiva.

Figura 5.32 – Passo 100 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando

a deformação efetiva.

A figura 5.33 mostra o corpo de prova após o rompimento. Comparando a simulação com

a figura do corpo de prova rompido, observa-se que o rompimento ocorreu entre o passo

50 e 100 e que, em ambas as situações, a maior deformação efetiva ocorre próximo ao

canto do entalhe, provocando a nucleação do rasgo nessa região, devido à concentração

de deformação nas bandas de cisalhamento.

Figura 5.33 – Corpo de Prova especial 3 com entalhe para análise de formação das bandas de

cisalhamento.

A figura 5.34 mostra o ensaio macrográfico do CP 3 indicando regiões com o início da

formação de bandas de cisalhamento.

Figura 5.34 – Imagem captada durante ensaio macrográfico do CP 3 após ataque com Iodo.

Início da Fratura

no canto do

entalhe

Regiões indicando a

formação de bandas

cisalhantes

Corpo de Prova

Nas figuras 5.35 e 5.36 observa-se que, quando não houve a formação de bandas

cisalhantes, a microestrutura do CP 3 se apresentou de forma mais homogênea,

enquanto que, com a formação dessas bandas, a microestrutura se apresentou de forma

heterogênea, com grãos alongados na direção das bandas.

Figura 5.35 – Microestrutura da região sem

formação de bandas cisalhantes do CP 3 com

aumento de 200x após ataque com Nital 2%.

Figura 5.36 – Microestrutura da região com

formação de bandas cisalhantes do CP 3 com

aumento de 200x após ataque com Nital 2%.

As figuras 5.37 a 5.40 mostram que, nos passos 150 e 200, já ocorreu o rompimento do

corpo de prova. Porém, foram apresentadas as figuras para ilustrar como seria o

comportamento desse corpo de prova caso não houvesse o rompimento do material.

Mesmo assim, observa-se um padrão de deformação bastante heterogêneo, dando

continuidade ao processo descrito no passo 100.

Passo 150:

Figura 5.37 – Passo 150 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.38 – Passo 150 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando a

deformação efetiva.

Passo 200 – último passo:

Figura 5.39 – Passo 200 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando a

taxa de deformação efetiva.

Figura 5.40 – Passo 200 da simulação do ensaio de

tração em corpo de prova entalhado 3, considerando a

deformação efetiva.

Comparando as deformações dos passos 50 de cada corpo de prova, conforme as figuras

5.41, 5.42 e 5.43, observa-se que a formação das bandas de cisalhamento está

diretamente ligada à geometria do entalhe. Quando não houve a formação de bandas de

cisalhamento a fratura ocorre na região mediana do entalhe. Por outro lado, quando há a

formação de bandas a fratura se inicia no canto desse entalhe.

Figura 5.41 – Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova entalhado 1,

considerando a deformação efetiva.

Início da Fratura

na região central

do entalhe.

Figura 5.42 - Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova entalhado 2,

considerando a deformação efetiva.

Figura 5.43 - Passo 50 da simulação do ensaio de tração em corpo de prova entalhado 3,

considerando a deformação efetiva.

Início da Fratura

no canto do

entalhe

Início da Fratura

no canto do

entalhe

Ressalta-se que, quando não houve a formação das bandas de cisalhamento, a fratura

aconteceu de forma perpendicular ao eixo do corpo de prova (figura 5.44-a) e na região

central do entalhe, enquanto que, quando a formação da banda é evidenciada, a forma da

fratura é inclinada (figura 5.44-b) e nucleada no canto do entalhe.

(a)

(b)

Figura 5.44 - Comparação das formas de ruptura considerando quando houve e quando

não houve a formação das bandas de cisalhamento: (a) Corpo de Prova especial 1 com

entalhe não apresentando formação de bandas de cisalhamento; (b) Corpo de Prova

especial 2 com entalhe apresentando formação de bandas de cisalhamento.

Destacando três pontos da curva de escoamento do material na região plástica a 0º da

direção de laminação, conforme o gráfico 5.5, pode-se observar que, com o aumento da

tensão, há um aumento da largura das bandas de cisalhamento, tanto analisando a taxa

de deformação efetiva quanto a deformação efetiva, conforme as figuras 5.45 e 5.46.

Observando ainda a figura 5.45 nota-se que a formação das bandas de cisalhamento não

é simétrica, pois a extremidade inferior é fixa e, neste caso, a grandeza relacionada é a

taxa de deformação efetiva. Enquanto que, na figura 5.46, deformação efetiva, a formação

das bandas se apresenta de forma simétrica.

Além disso, em ambos os casos, têm-se a concentração da deformação nas

extremidades do entalhe e a diminuição da região central livre de deformação.

Início da

Fratura

próximo à

região

central do

entalhe

Início da

Fratura no

canto do

entalhe

Gráfico 5.5 – Curva de fluxo na região plástica do material à 0º da direção de laminação.

Sendo:

Taxa de deformação efetiva

A B C

Figura 5.45 – Comparação da taxa de deformação efetiva nos três pontos da curva de

fluxo do material do CP 3, sendo os valores de deformação: A = 0,08; B = 0,14 e C =

0,20.

Deformação efetiva

A B C

Figura 5.46 - Comparação da deformação efetiva nos três pontos da curva de fluxo do

material do CP 3, sendo os valores de deformação: A = 0,08; B = 0,14 e C = 0,20.

Fazendo uma comparação entre os resultados esperados e obtidos, foram comprovados

50% da expectativa, pois foi confirmada a hipótese que o CP 1 iria se romper antes de

formar as bandas de cisalhamento, porém a que o CP 3 não iria apresentar a formação

dessas bandas, devido à profundidade do entalhe ser pequena, não se confirmou,

conforme os resultados apresentados.

6. CONCLUSÕES

Corpos de prova entalhados quando tracionados podem apresentar formação de bandas

cisalhantes, entretanto a formação dessas bandas é dependente da geometria do entalhe.

O local de nucleação e a forma da fratura estão relacionados com a formação das bandas

de cisalhamento e, consequentemente, dependem também da geometria do entalhe.

Quando não houve a formação das bandas de cisalhamento, a fratura aconteceu de

forma perpendicular ao eixo do corpo de prova e na região central do entalhe, enquanto

que, quando a formação da banda é evidenciada, a forma da fratura é inclinada e

nucleada no canto do entalhe.

A formação da banda de cisalhamento nos corpos de prova entalhados define uma

separação entre áreas deformadas e áreas não deformadas e o tamanho desta destas

áreas também dependem da geometria do entalhe.

A microestrutura dos corpos de prova entalhados submetidos à tração uniaxial parece se

apresentar de forma heterogênea, com grãos alongados.

7. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

9 Introduzir um critério de dano nas simulações numéricas;

9 Utilizar material com elemento liga puro – Ex.: Ti;

9 Utilizar aço inox austenítico e medir a microdureza na superfície do corpo de prova.

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1- ASM. Metals Handbook, Volume 14: Forming and Forging, 9th ed., Ohio, ASM

International, 1998.

2- CRITÉRIOS de Resistência. Notas de Aula, São Paulo, Aula 24 out. 2002, Aula 25

nov. 2002. Disponível em: < http://www.fem.unicamp.br/~em505/2_sem_2002/ >

Acesso em: 16 mar. 2006.

3- HOSFORD, William F.; CADDELL, Robert M., Metal Forming: Mechanics and

Metallurgy. 2nd ed., New Jersey, PTR Prentice Hall, 1993.

4- LANDRE, Jánes. Fraturas no Forjamento a Frio de Metais. 2001. 194f. Tese de

Doutorado em Engenharia Metalúrgica e de Minas da Universidade Federal de

Minas Gerais.

5- LINS, J. F. C.; SANDIM, H. R. Z.; KESTENBACH, H. J.; Vecchio, K. S.; Raabe, D..

Caracterização Microestrutural de Grãos Ultrafinos Formados no Interior de Bandas

de Cisalhamento Adiabáticas num Aço IF, Rio de Janeiro, 12 p., nov. 2006.

6- PERTENCE, Antônio Eustáquio de Melo. Uso de Materiais Modelo para a

Simulação da Ductilidade de Metais. 1994. 241f. Tese de Doutorado em

Engenharia Metalúrgica e de Minas da Universidade Federal de Minas Gerais.

7- ROCHA, A. Barata da; DUARTE, J. Ferreira. Tecnologia da Embutidura. In:

ROCHA, A. Barata da; DUARTE, J. Ferreira. Análise Experimental de Deformações

e Curvas Limite de Embutidura. Portugal, Associação Portuguesa das tecnologias

de Conformação Plástica, 1992. Cap. 7, p. 30-41.

8- RODRIGUES, Jorge; MARTINS, Paulo. Tecnologia Mecânica: Tecnologia da

Deformação Plástica, Vol 1 – Fundamentos Teóricos, Lisboa, Escolar Editora,

2005.

9- RODRIGUES, Jorge; MARTINS, Paulo. Tecnologia Mecânica: Tecnologia da

Deformação Plástica, Vol 2 – Aplicações Industriais, Lisboa, Escolar Editora, 2005.

10- WALLEY, S. M. Shear Localization: A Historical Overview. The Minerals, Metals &

Materials Society and ASM International, Florida, 26 p., mar. 2007.

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