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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCEN
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
AMPLITUDES DO CALOR ESPECÍFICO PARA SISTEMAS
COMPETITIVOS
por
Marcone Isidorio de Sena Júnior
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Física do Departamento de Física da Universidade
Federal de Pernambuco como parte dos requisitos para
obtenção do título de Mestre em Física.
Banca Examinadora:
Prof. Marcelo de Moura Leite (Orientador - UFPE)
Prof. Flávio Menezes de Aguiar (DF - UFPE)
Prof. Victor de Oliveira Rivelles (IF - USP)
Recife - PE, Brasil
Abril - 2010
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Livros Grátis
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Milhares de livros grátis para download.
Sena Junior, Marcone Isidorio.
Amplitudes do calor específico para sistemas
competitivos / Marcone Isidorio de Sena Junior. -
Recife: O Autor, 2010.
x, 104 folhas. il. fig. tab.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de
Pernambuco. CCEN. Física, 2010.
Inclui bibliografia e apêndice.
1. Mecânica estatística. 2. Fenômenos críticos (Física).
3. Teoria de campos (Física). 4.Grupo de renormalização.
I. Título.
530.13 (22.ed.) FQ 2010-033
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Ao meu filho Luiz, a minha esposa Luana, a minha av´o
Nadir, `a minha irm˜a Marcia e aos meus pais Edna e Mar-
cone.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus por todas as exp eriˆencias que me permitiram o enriquecimento
dos valores que edificam o meu esp´ırito.
`
A minha fam´ılia que ´e fonte das minhas felicidades e propulsora das minhas emo¸c˜oes.
Ao meu orientador Professor Marcelo de Moura Leite pelos anos de convivˆencia que
promoveram diretrizes profissionais e morais de respo nsabilidade e de ´etica.
Aos professores e funcion´arios do Departamento de F´ısica da UFPE que contribu´ıram
de alguma forma para a minha forma¸c˜ao ou propiciaram um ambient e melhor para o
exerc´ıcio do trabalho.
Ao amigo e compadre Cl´audio Farias pelas discuss˜oes sobre a pesquisa desenvolvida
e pela convivˆencia pra zerosa nesses anos de universidade e que provavelmente se perpe-
tuar˜a o nos pr´oximos anos.
`
A a mizade de F´abio Novaes desde o in´ıcio da gradua¸c˜ao pelas diversas discuss˜oes
sobre a f´ısica e a vida. Especialmente nesse trabalho pela paciente aten¸c˜ao de me ensinar
a usar software L
A
T
E
X inclusive a aten¸c˜ao direcionada para a constru¸c˜a o dos diagramas
de Feynman.
Ao amigo Messias Vilbert pela amizade de alguns bons anos e pelo aprendizado
conjunto desde a gradua¸c˜ao em teoria de campos.
Ao colega e amigo Jos´e Borba pelas oportunas discuss˜oes a respeito do trabalho e do
ambiente acadˆemico.
Ao colega Arla n da Silva Ferreira que gentilmente elaborou os gr´aficos deste trabalho.
`
A minha cunhada Luciane Alcofor ado pelas sugest˜oes de corre¸c˜ao ortogr´afica.
`
A minha esposa L uana Sena pela aten¸c˜ao e pelo carinho durante toda a elabora¸c˜ao
deste trabalho. A ela a grade¸co a constru¸c˜ao das t abelas deste trabalho atrav´es do software
Excel.
A todos os colegas que permitiram um ambiente de confo rto intelectual e de alegria
neste departamento. Aqui cito alg uns colegas e amigos que contribu´ıra m com isso como
Rafael Alves, Tiago Nunes, Dibartolomei Lima, Eduardo Dias, Pl´ınio Ribeiro, Cl´audio
Farias, F´abio Novaes, Messias Vilbert, Jos´e Borba, Arlan Ferreira, Milton Viana, Thiago
Sobral entre o ut r os.
Ao professor Gilberto de Holanda Calvacanti pelos agrad´aveis anos do ensino m´edio
no antigo CEFET-PE, que me fizeram escolher pela carreira de f´ısico.
Ao CNPq pelo financiamento.
iv
(. . . ) a verdadeira convic¸c˜ao s´o se adquire pelo estudo, pela reflex˜ao e
por uma observa¸c˜ao cont´ınua (. . . )
—ALLAN KARDEC
RESUMO
Neste trabalho, usamos t´ecnicas de teoria de campos escalares e argumentos de grupo
de renormaliza¸c˜ao par a determinarmos a raz˜ao entre as amplitudes cr´ıticas do calor
esp ec´ıfico para sistemas competitivos arbitr´arios. Os resultados s˜ao obtidos pela pri-
meira vez na literatura em primeira or dem na expans˜ao em loops. Utilizamos um campo
(parˆa metro de ordem) de N component es com simetria O(N) . Calculamos as amplitudes
cr´ıticas primeiramente para os casos anisotr´opicos e isotr´opicos para os comportamentos
cr´ıticos do tipo Lifshitz m-axial. Posteriormente, computamos as amplitudes cr´ıticas para
o sistema competitivo de Lifshitz mais geral, que corresponde `a criticalidade de Lifshitz
de car´ater gen´erico, para os casos anisotr´o picos e isotr´opicos. Os valores obtidos s˜ao
consistentes com a hip´otese de universalidade.
Palavras-chave: Ponto de Lifshitz, sistemas em competi¸c˜ao, calor espec´ıfico, raz˜ao de
amplitudes.
vi
ABSTRACT
In this work we utilize a scalar field-theoretic setting along with renormalization group
argument s in the determination of the specific heat critical amplitude ratios for arbitrary
competing systems. The results are obtained for t he first time in the literat ur e at first
order in the loop expansion. We employed a field (order parameter) with O(N) symmetry.
We computed the critical amplitude ratios for the anisotropic a s well as isotropic cases for
m-axial Lifshitz critical behaviors. In addition, we determined the critical amplitudes for
generic competing systems of the Lifshitz type, also known as arbitrary higher character
Lifshitz criticalities, for anisotropic and isotropic situations. O ur findings are consistent
with the universality hypothesis.
Keywords: Lifshitz point, competing systems, specific heat, amplitude ratios.
vii
SUM
´
ARIO
Cap´ıtulo 1—Introdu¸c˜ao 1
Cap´ıtulo 2—M´etodos Funcionais em Fenˆomenos Cr´ıticos 10
2.1 Teoria de Campos em Mecˆanica Estat´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Potencial Efetivo e a Expans˜ao em 1-Loop . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Renormaliza¸c˜ao da Teoria λΦ
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Renormaliza¸c˜ao para Sistemas Competitivos . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Ponto de Lifshitz m-axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Ponto de Lifshitz de Car´a ter Gen´erico . . . . . . . . . . . . . . . 40
Cap´ıtulo 3—Amplitudes para o Ponto de Lifshitz m-Axiais 45
3.1 Caso Anisotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Caso Isotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 C´alculo com a Aproxima¸c˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 C´alculo Exato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Cap´ıtulo 4—Amplitudes para o Ponto de Lifshitz de Car´ater Gen´erico 61
4.1 Caso Anisotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Caso Isotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 C´alculo com a Aproxima¸c˜ao Ortogonal Generalizada . . . . . . . 71
4.2.2 C´alculo Exato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Cap´ıtulo 5—Conclus˜ao 81
Apˆendice A—Transforma¸c˜ao de Hubbard-Stratonovich 84
Apˆendice B—C´alculo de Algumas Integrais 88
B.1 Identidades Matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.2 Integrais Anisotr´opicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.3 Integrais Isotr´opicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
viii
LISTA DE FIGURAS
1.1 Representa¸c˜ao esquem´atica dos spins em (a) na fase paramagn´etica, (b)
na fase ferromagn´etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Calor espec´ıfico pr´oximo da transi¸c˜ao superfluida em T
λ
≈ 2, 18K com
exp erimento em microgravidade [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Representa¸c˜ao das intera¸c˜oes no modelo ANNNI. . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Diagrama de fases do modelo ANNNI. A linha tracejada indica a transi¸c˜ao
de primeira ordem entre as duas fase ordenadas. A linha cont´ınua corres-
ponde a transi¸c˜ao de segunda ordem entre as fases desordenada e o r de-
nadas. A intersec¸c˜ao das linhas das transi¸c˜oes ´e o denominado de ponto
multicr´ıtico de Lifshitz (PL). O parˆametro p ´e definido por p = J
2
/J
1
. . . 6
1.5 Representa¸c˜ao esquem´at ica dos spins na fase modulada em (g) pa ra o
modelo ANNNXY e (h) para o modelo ANNNH. Ambas s˜ao chama das de
fases h´elicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Diagrama de fases do comportamento cr´ıtico de Lifshitz gen´erico de ter-
ceiro car´ater do caso unixial. Al´em da s fases paramagn´etica e ferro-
magn´etica, h´a duas fases moduladas onde a linha que as separa ´e de pri-
meira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Exemplos de diagramas desconexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Exemplares de diagramas conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Gr´aficos de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao do tipo anisotr´opica uniaxial . . . 67
4.2 Gr´aficos de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao do tipo anisotr´opica biaxial . . . . 69
4.3 Gr´afico de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao isotr´opica para N = 1 . . . . . . . 79
4.4 Gr´afico de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao isotr´opica para N = 2 . . . . . . . 79
4.5 Gr´afico de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao isotr´opica para N = 3 . . . . . . . 80
ix
LISTA DE TABELAS
2.1 Tabela compar ativa entre os funcionais geradores de TQC e os potenciais
termodinˆamicos da ME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Tabela das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comportamento cr´ıtico de
Lifshitz m-axial do caso anisotr´opico em d = 3. . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1 Tabela com valores das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comporta-
mento cr´ıtico do tipo Lifshitz gen´erico de L-´esimo car´ater uniaxial em d = 3. 66
4.2 Tabela com valores das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comporta-
mento cr´ıtico do tipo Lifshitz gen´erico de car´ater infinito uniaxial em d = 3. 67
4.3 Tabela com valores das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comporta-
mento cr´ıtico do tipo Lifshitz gen´erico de L-´esimo car´ater biaxial em d = 3. 68
4.4 Tabela com valores das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comporta-
mento cr´ıtico do tipo Lifshitz gen´erico de car´ater infinito biaxial em d = 3. 68
x
CAP
´
ITULO 1
INTRODUC¸
˜
AO
O estudo das transi¸c˜oes de fase tem grande importˆancia em v´arias ´areas da F´ısica.
Em particular, estas transi¸c˜oes podem ocorrer em v´arios contextos, desde a forma¸c˜ao
do universo, passando pela estrutura microsc´opica das intera¸c˜oes fundamentais, e mais
importante, na descri¸c˜ao de sistemas em f´ısica da mat´eria condensada. A importˆancia
da ´ultima ´e que partindo deste conhecimento, seria poss´ıvel em princ´ıpio construir novos
materiais, cuja utilidade em novos artefatos t ecnol´ogicos podem levar a um melhor bem-
estar da humanidade.
As investiga¸c˜oes dos fenˆomenos cr´ıticos iniciaram-se com o cientista francˆes Bar˜ao
Caignard de La Tour em 1822 pela descoberta do que hoje chamamos de ponto cr´ıtico em
sistemas de l´ıquido- vapor de diversas substˆancias, inclusive ´agua, ´alcool, ´eter e bissulfeto
de carbono [1]. Ele notou que a existˆencia de uma temperatura limite acima da qual um
l´ıquido se vaporizava independentemente da press˜ao aplicada, era um fenˆomeno geral.
Nos dias de hoje, os fenˆomenos cr´ıticos deixaram de ser uma curiosidade ex´otica e vivem
sua plena maturidade, formando um dos pilares da f´ısica de sistemas complexos e muitos
corpos.
As transi¸c˜oes de fase podem ser classificadas quanto `a sua ordem. A tra nsi¸c˜ao de
fase de primeira ordem, a exemplo da transi¸c˜ao l´ıquido-g´as, ´e caracterizada pela descon-
tinuida de na derivada primeira da energia livre. Na temperatura de transi¸c˜ao tem-se a
coexistˆencia das duas fa ses e o tamanho t´ıpico das bolhas de g´as no l´ıquido s˜ao de ta-
manho finito na ebuli¸c˜ao. Ao passo que as transi¸c˜oes de fase de segunda ordem, a exemplo
do ferromagnetismo de Curie, caracterizam-se pela descont inuidade na segunda derivada
(ou de ordem mais alta) da energia livre, e quando se aproxima do ponto cr´ıtico as fases
transformam-se continuamente. As forma¸c˜oes ferromag n´eticas (o u dom´ınios magn´eticos)
mergulhadas na fase paramagn´etica e vice-versa ocorrem em todas as escalas de distˆancia,
conforme aumentamos ou diminu´ımos a temperatura em torno da temperatura cr´ıtica.
Na fase ferromagn´etica, a intera¸c˜ao entre os spins ´e mais forte que os efeitos t´ermicos
e os deixam alinhados com uma ordena¸c˜ao uniforme no espa¸co. Ao passo que na fase
paramagn´etica, o s efeitos t´ermicos vencem a intera¸c˜ao entre os spins e os desalinham
desordenadamente.
1
INTRODUC¸
˜
AO 2
Figura 1.1 Rep resenta¸c˜ao esquem´atica dos spins em (a) na fase paramagn´etica, (b) na fase
ferromagn´etica.
Para as transi¸c˜oes de segunda ordem, a exemplo da transi¸c˜ao ferro-paramagn´etica,
estendemos aos demais sistemas na criticalidade, o conceito de parˆametro de ordem repre-
sentado pela magnetiza¸c˜a o M(x) da linguagem de sistemas magn´eticos, a quantidade que
assume um valor esp ontˆaneo n˜ao nulo na fase abaixo da temperatura cr´ıtica, e decresce
continuamente at´e anular-se na fase acima da temperatura cr´ıtica.
Em outras transi¸c˜oes, o parˆametro de ordem ´e identificado por uma grandeza es-
pec´ıfica. A exemplo da diferen¸ca de densidade das fases na transi¸c˜ao l´ıquido-vapor, da
amplitude de probabilidade na teoria BCS, do valor esperado da fun¸c˜ao de onda para a
superfluidez, etc.
No limite termodinˆamico, alg uns potenciais termodi nˆamicos apresent am divergˆencias
quando o sistema sob investiga¸c˜ao est´a pr´oximo da temperatura cr´ıtica. Essas divergˆencias
s˜ao explicitadas como leis de potˆencia na vari´avel t = (T − T
c
)/T
c
caracterizadas por seus
respectivos expoentes cr´ıticos. Por exemplo, o calor espec´ıfico pr´oximo `a temperatura
cr´ıtica diverge da seguinte maneira
C =
A
+
α
t
−α
se t > 0;
A
−
α
(−t)
−α
se t < 0.
(
. )
Aqui α e α
s˜ao os expoentes cr´ıticos
1
para os estados acima e abaixo da temperatura
cr´ıtica T
c
. Tamb´em, A
+
e A
−
s˜ao a s amplitudes do calor espec´ıfico acima e abaixo de T
c
.
Da linguagem de sistemas magn´eticos, o calor espec´ıfico ´e a soma das fun¸c˜oes de
correla¸c˜ao energia-energia sobre todo o espa¸co por C = β
2
δE(x).δE(0), onde δE(x) ≡
E( x) − E(x). O s´ımbolo · · · mede a m´edia termo-estat´ıstica de uma quantidade.
´
E rica a variedade de sistemas que exibem transi¸c˜oes de fase de segunda ordem. A
descri¸c˜ao ´e comum em sistemas magn´eticos, estruturas cristalinas, supercondutividade,
superfluidez, pol´ımeros, etc. Essas tra nsi¸c˜oes est˜ao associadas a uma mudan¸ca de um
1
Verifica-se das pro priedades de escala sobre os potenciais termodinˆamicos que os expoentes acima e
abaixo da temperatura cr´ıtica T
c
s˜ao iguais, ou seja, α = α
.
INTRODUC¸
˜
AO 3
estado desordenado de alta temperatura para um estado ordenado de baixa temperatura.
O comportamento cr´ıtico do calor espec´ıfico obtido exp erimentalmente ´e mo stra do para
a transi¸c˜ao
4
He na figura abaixo.
Figura 1.2 Calor espec´ıfico pr´oximo da transi¸c˜ao superfluida em T
λ
≈ 2, 18K com experimento
em microgravidade [2].
A correla¸c˜ao spin-spin entre pontos distantes tem o seguinte comportamento:
δs(x).δs(0) ∼ exp
− x/ξ
, para x → ∞. ( . )
Aqui,ξ ´e o comprimento de correla¸c˜ao do sistema, que caracteriza a escala do al-
cance das correla¸c˜oes. Pr´oximo a o ponto cr´ıtico, o comprimento de correla¸c˜ao diverge na
va r i´avel t da seguinte maneira:
ξ =
f
+
t
−ν
se t > 0,
f
−
(−t)
−ν
se t < 0.
(
. )
Acima da temperatura cr´ıtica, a fase paramagn´etica (ou fase desordenada) possui uma
magnetiza¸c˜a o nula (M = 0). Abaixo da temperatura cr´ıtica, a fase ferromagn´etica (ou
fase ordenada) ´e caracterizada por uma magnetiza¸c˜ao que pode ser escrita como:
M = B(−t)
β
. (
. )
Essa rela¸c˜ao bem como as anteriores, s˜ao definidas a campo externo (ou, campo conju-
gado) nulo (h = 0). Para sistemas magn´eticos, o campo conjugado pode ser identificado
INTRODUC¸
˜
AO 4
com o camp o magn´etico externo. Ele acopla com a magnetiza¸c˜ao (parˆametro de ordem),
sendo a intera¸c˜ao entre eles corresponde a energia de Zeeman
d
d
x M(x).h(x).
Na isoterma cr´ıtica (T = T
c
), a magnetiza¸c˜ao ´e descrita por:
M = Dh
1/δ
. (
. )
Os expoentes cr´ıticos e bem como algumas outras quantidades f´ısicas n˜ao dependem
dos detalhes microsc´opicos do sistema cr´ıtico descrito. Coloquialmente, tais grandezas
s˜ao chamadas universais. Diferentes sistemas f´ısicos que apresentam fenˆomenos cr´ıticos
podem apresentar os mesmos conjunt os de exponentes cr´ıticos. Isso significa que tais gr an-
dezas n˜ao dependem dos detalhes microsc´opicos dos sistemas, mas apenas dos parˆametros
geom´etricos da s simetrias envolvidas como o n´umero de dimens˜oes espaciais, do n´umero
de componentes do parˆametro de ordem e da intera¸c˜ao.
Al´em dos expoentes cr´ıticos, certas raz˜oes entre amplitudes de potenciais termo-
dinˆamicos s˜ao exemplos de grandezas universais. A´ı se verifica, por exemplo, em fenˆomenos
cr´ıticos, a universalidade dos expoentes cr´ıticos e das raz˜oes de amplitudes acima e abaixo
da temperatura cr´ıtica de grandezas termodinˆamicas como o do comprimento de cor-
rela¸c˜ao f
+
/f
−
e do calor espec´ıfico A
+
/A
−
, al´em de outras raz˜oes mistas que envo lvem
tamb´em a s amplitudes B da curva de coexistˆencia e D da magnetiza¸c˜ao na isoterma
cr´ıtica [3].
Entre os modelos estat´ısticos cl´assicos para a descri¸c˜ao de sistemas magn´eticos, vale
destacar o modelo para as intera¸c˜oes entre os primeiros s´ıtios vizinhos com vetores de spin
com simetria O(N). A m´edia termo-estat´ıstica do vetor de spin corresponde ao parˆametro
de ordem (ou magnetiza¸c˜ao) de N componentes do sistema. Exibem uma fase ordenada
ferromagn´etica a baixas temperatura (com M = 0) e uma f ase paramagn´etica em a lt as
temperaturas com (M = 0). Escrevemos a energia deste sistema para um modelo de rede
de spins com espa¸camento a entre os vizinhos atrav´es de:
E{s
i
} = −
1
2
J
<ij>
s
i
.s
j
+
i
h
i
.s
i
, (
. )
onde s
i
= (s
1
i
, · · · , s
N
i
) ´e o spin N-vetoria l sobre o i-´esimo s´ıtio definido sobre a esfera
de raio unit´ario S
N
. Em que (
. ), J ´e a constante de acoplament o entre os vetores
de spins do i-´esimo e j-´esimo s´ıtios. O acoplamento ferromagn´etico (J > 0) f avorece
o paralelismo dos spins, e o acoplamento antiferromagn´etico entre os spins (J < 0)
favo rece o antiparalelismo dos spins. h
i
´e o campo externo sobre o i-´esimo s´ıtio. Para
N = 1 obtemos o modelo de Ising, em que os spins podem assumir os va lores s
i
= ±1,
INTRODUC¸
˜
AO 5
Figura 1.3 Representa¸c˜ao das intera¸c˜oes no modelo ANNNI.
descrevem sistemas com anisotropia unidimensional. Para N > 1 obtemos os modelos
XY para N = 2 e Heinsenberg para N = 3.
Um cen´ario de competi¸c˜ao em sistemas magn´eticos pode ser int r oduzido atrav´es da
intera ¸c˜ao simultˆanea entre primeiros e segundos vizinhos de s´ıtios de spins. Em mecˆanica
estat´ıstica, um modelo simples de intera¸c˜oes competitivas axiais entre spins de alcance
finito [4] ´e denominado por ANNNI (Axial- Next-Nearest-Neighbor Ising). A competi¸c˜ao
ocorre ao longo de uma ´unica dire¸c˜ao com intera¸c˜oes entre primeiros vizinhos com aco-
plamento J
1
, e entre os segundos vizinhos com a coplamento J
2
. E nas d − 1 dire¸c˜o es
restantes as intera¸c˜oes ocorrem somente entre os primeiros s´ıtios vizinhos de spin com
acoplamento ferromagn´etico J
1
> 0. A vers˜ao tridimensional do modelo ANNNI ´e repre-
sentada esquematicamente por uma rede com espa¸camento a entre os s´ıtios vizinhos na
figura 1.3.
Supondo J
1
> 0 e J
2
< 0, observaremos a competi¸c˜ao das estruturas ferromagn´etica
e anti-ferromagn´etica. Intera¸c˜oes competitivas s˜ao tamb´em observadas para J
1
< 0 e
J
2
< 0, onde dois tipos diferentes de ordenamentos antiferromagn´eticas s˜ao favorecidas,
mas n˜ao ser˜ao investigadas neste tra balho.
O diagrama de fase do modelo ANNNI apresenta uma fase desordenada (paramagn´eti-
ca), uma fase ordenada uniformemente (ferromagn´etica), e uma regi˜ao de fase modulada.
Em cristais, a fase modulada no modelo ANNNI descreve uma organiza¸c˜ao quasi-peri´odica
unidimensional desenvolvida ao longo da dire¸c˜ao da magnetiza¸c˜ao. Nesta fase o spin ´e
representado po r s(x) = cos(k
0
z), onde k
0
= 2π/λ ´e o vetor de onda da modula¸c˜ao. A
fase incomensurada tem a raz˜ao λ/a irracional, em que a ´e o espa¸camento da rede. O
diagrama de fa se do modelo ´e representado na figura 1.4.
INTRODUC¸
˜
AO 6
A confluˆencia das fases do modelo ANNNI caracteriza o ponto multicr´ıtico do tipo Lif-
shitz (PL). A investiga¸c˜ao de pontos mult icr´ıticos e do s diagramas de fase com transi¸c˜oes
de fase de segunda ordem envolvidas tiveram os estudos de suas propriedades cr´ıticas
desenvolvidas com o ponto multicr´ıtico de Lifshitz, ou simplesmente ponto de Lifshitz
(PL) formulado po r Hornreich, Luban e Shtrikman [5].
Figura 1.4 Diagrama de fases do modelo ANNNI. A linha tr acejada indica a transi¸c˜ao d e
primeira ordem entre as duas fase ordenadas. A linha cont´ınua corresponde a tran si¸c˜ao de
segunda ordem entre as fases desordenada e ordenadas. A intersec¸c˜ao d as linhas das transi¸c˜oes
´e o denominad o de ponto multicr´ıtico de Lifshitz (PL). O parˆametro p ´e definido por p = J
2
/J
1
.
De acordo com a anisotropia do sistema, a magnetiza¸c˜ao pode ter uma estrutura veto-
rial de N componentes, que pertencem `a descri¸c˜ao de modelos estendidos de competi¸c˜ao
axial. Os modelos ANNNXY (Axial-Next-Nearest-Neighbor XY) e ANNNH (Axial-Next-
Nearest-Neighbor Heisenberg) exibem o mesmo cen´ario de competi¸c˜ao do ANNNI atr av´es
de um parˆametro de ordem com N = 2 e N = 3, respectivamente. Esses modelos pos-
suem diagramas de fase similares. Nestes ´ultimos a fase modulada apresent a vetores de
spin que precessionam em torno do eixo de modula¸c˜ao (ver figura 1.5).
Figura 1.5 Representa¸c˜ao esquem´atica dos spins na fase modulada em (g) para o modelo
ANNNXY e (h) para o modelo ANNNH. Ambas s˜ao chamadas de fases h´elicas.
INTRODUC¸
˜
AO 7
Os modelos do tipo-ANNN em d dimens˜oes podem ser estendidos para m dire¸c˜oes
axiais competitivas e d−m dire¸c˜oes restantes sem competi¸c˜ao para descrever o comporta-
mento cr´ıtico do tipo Lifshitz m-a xial atrav´es de uma representa¸c˜ao de campos cont´ınuos
com simetria O(N). A formula¸c˜ao deste mo delo com m = 1 (uma ´unica dire¸c˜ao axial
competitiva e d − 1 dire¸c˜oes n˜ao-competitivas) naturalmente reproduz os modelos do
tipo-ANNN nas vizinhan¸cas do PL.
Inicialmente, o PL aparece com a introdu¸c˜ao de intera¸c˜oes competitiva s de curto al-
cance em sistemas magn´eticos, e de cuja linguagem continuaremos a fazer uso. Atualmen-
te, as aplica¸c˜oes em sistemas f´ısicos se diversificaram desde cristais l´ıquidos ferroel´etricos,
supercondutores de alta temperatura [6, 7, 8], ferroel´etricos uniaxiais [9, 10, 11], alguns
tipos de pol´ımeros [12, 13, 14, 15], materiais magn´eticos [16, 17, 18, 19], e recentemente
at´e fora da ´area de mat´eria condensada, em gravidade quˆant ica [20, 21].
Os pontos de Lifshitz m-axiais s˜ao caracterizados por um novo conjunto de rela¸c˜o es
de escala, que s˜ao obtidos por t´ecnicas de teoria de campos e grupo de r enorma liza¸c˜ao
via expans˜ao
L
. Estes sistemas s˜ao caracterizados por dois comprimentos de correla¸c˜ao
independentes ξ
L4
∼ | t |
−ν
L4
e ξ
L2
∼ | t |
−ν
L2
ao longo do sub espa¸co competitivo R
m
e
n˜ao-competitivo R
d−m
, respectivamente [22]. Sempre temos que m d, e quando m = d
o comportamento de Lifshitz corresponde ao caso anisotr´opico, que possui uma classe de
universalidade caracterizada por (N, d, m). No comportamento cr´ıtico isotr´o pico quando
m = d ´e manif estado apenas um ´unico comprimento de correla¸c˜ao ξ
L4
em todo espa¸co
R
m
. A classe de universalidade do caso isotr´opico ´e expressa atrav´es de (N, m).
Podemos, por exemplo, incluir um acoplamento ferromagn´etico entre terceiros vi-
zinhos (J
3
> 0) ao longo de uma ´unica dire¸c˜ao, e assim o presente sistema possui um
ponto de Lifshitz de terceiro car´a ter para um conjunto de determinados valores para as
raz˜oes J
2
/J
1
e J
3
/J
1
, e a uma correspondente temperatura de cr´ıtica de Lifshitz [23, 24].
Quando estendemos este tipo de competi¸c˜ao ao longo de m
3
dire¸c˜oes espaciais, apresenta-
mos o ponto de Lifshitz de terceiro car´ater de m
3
-fold [25]. Por outro lado, se intera¸c˜oes
competitivas acontecem simultaneament e e independentemente entre segundo vizinhos
ao longo de m
2
dire¸c˜oes espaciais e entre terceiros vizinhos ao longo de m
3
dire¸c˜oes espa-
ciais, e ent˜ao o sistema apresenta um ponto cr´ıtico de Lifshitz m
3
-fold de terceiro car´ater
gen´erico [25]. A classe de universalidade correspondente ao terceiro car´ater gen´erico ´e
definida atrav´es de (N, d, m
2
, m
3
), enquanto que o comportamento cr´ıtico isotr´opico de
terceiro car´ater tem a classe de universalidade expressa atrav´es de (N, d, m).
Podemos estender o cen´ario das competi¸c˜oes quando consideramos acoplamentos J
1
,
J
2
, . . . , J
L−1
, J
L
de sinais alternados at´e o L-´esimo vizinho ao longo de uma dire¸c˜ao
INTRODUC¸
˜
AO 8
axial e definimos o ponto de Lifshitz de L-´esimo car´ater de m
L
-fold para um determinado
conjunto de valo res das raz˜oes J
L
/J
1
, J
L−1
/J
1
, . . . , J
2
/J
1
e a uma temperatura cr´ıtica de
Lifshitz T
L
[26, 27, 28]. Contudo, uma situa¸c˜ao mais ampla das competi¸c˜oes anisotr´opicas
´e realizada quando consideramos diversos subespa¸cos competitivos simultaneament e e
independentes em que as intera¸c˜oes competitivas ocorrem at´e os segundos vizinhos ao
longo de m
2
dire¸c˜oes, at´e os terceiros vizinhos ao longo m
3
dire¸c˜oes, e sucessivamente
at´e o L-´esimo vizinho ao longo de m
L
dire¸c˜oes, de tal maneira que todos os eixos s˜ao
ortogonais entre si [25]. Assim, o ent˜ao chamado comportamento cr´ıtico de Lifshitz de
L-´esimo car ´ater gen´erico tem a sua classe de universalidade dependente do n´umero de
componentes N do parˆametro de ordem, da dimens˜ao espacial d, das dimens˜oes dos
subespa¸cos competitivos e de seus respectivos alcances de intera¸c˜ao. O comportamento
isotr´opico ´e realizado quando as intera¸c˜oes competitivas at´e o L-´esimo vizinho ocorrem
em todas as dire¸c˜oes (d = m
L
). A classe de universalidade do caso isotr´opico depende do
n´umero N de componentes do parˆametro de ordem, da dimens˜ao espacial d = m
L
e do
maior alcance L das intera¸c˜oes envolvidas. Esta classe ´e representada atrav´es de (N, d, L)
ou (N, d = m
L
) [25].
Na figura (1.6 ) ´e exibido o diagrama de fases do comportamento cr´ıtico de Lifshitz de
terceiro car´ater gen´erico. Existem intera¸c˜oes competitivas ferro para os terceiros vizinhos,
antiferro para os segundos vizinhos e ferro para os primeiros vizinhos ao longo de uma
dire¸c˜ao (m
3
= 1) espacial. Ao longo de uma dire¸c˜ao perpendicular a esta, permitimos
acoplamentos J
1
> 0 e J
2
< 0. Finalmente ao longo de (d − 2) dire¸c˜oes s´o acoplament os
ferromagn´eticos ocorrem entre primeiros vizinhos. Agora, al´em das fases para e ferro-
magn´etica, h´a duas f ases moduladas H´elica
2
e H´elica
3
. O compo rtamento gen´erico ´e
acompanhado de um diagrama de f ases com uma diversidade de f ases moduladas.
Note que podemos obter a descri¸c˜ao do comportamento cr´ıtico de Lifshitz m-axial por
uma redu¸c˜ao da classe de universalidade do comportamento cr´ıtico de Lifshitz gen´erico de
L-´esimo car´ater quando fazemos m
3
= m
4
= · · · = m
L
= 0 e m
2
= m, e assim consegui-
mos a classe (N, d, m) j´a apresentada anteriormente. Em seguida, podemos obter a classe
de universalidade do modelo N-vetorial livre de competi¸c˜oes do ´ultimo comportamento
quando realizamos m = 0, e portanto ( N, d).
O obj etivo deste tra balho ´e calcular pela primeira vez os valores da r az˜ao entre am-
plitudes do calor espec´ıfico acima e abaixo da temperatura cr´ıtica para os sistemas com-
petitivos que foram a presentados neste cap´ıtulo.
No cap´ıtulo 2, apresentamos uma revis˜ao do s m´etodos funcionais da teoria de camp os
em fenˆomenos cr´ıticos. Atr av´es do for ma lismo de integral de trajet´oria realizamos o
INTRODUC¸
˜
AO 9
Figura 1.6 Diagrama de fases do comportamento cr´ıtico de Lifshitz gen´erico de terceiro car´ater
do caso unixial. Al´em das fases paramagn´etica e ferromagn´etica, h ´a duas fases moduladas onde
a lin ha que as separa ´e de primeira ordem.
tratamento de r enorma liza¸c˜ao da teoria λφ
4
para os sistemas ausentes de intera¸c˜oes
competitivas e em seguida, para os sistemas que apresentam competi¸c˜ao.
No cap´ıtulo 3 atrav´es dos r esultados alcan¸cados no cap´ıtulo anterior iremos calcular
as amplitudes do calor espec´ıfico acima e abaixo da tempera tura cr´ıtica par a o com-
portamento cr´ıtico do tipo Lifshitz m-axial. Assim, o bt eremos as raz˜oes universais de
amplitudes A
+
/A
−
para os casos a nisotr´opicos e isotr´opicos dos cen´arios de competi¸c˜ao,
separadamente.
No cap´ıtulo 4 , similarmente ao cap´ıtulo anterior, calculamos as amplitudes do calor
esp ec´ıfico para o comportamento cr´ıt ico do tipo Lifshitz de car´ater gen´erico arbitr´ario.
Logo, obtemos as raz˜oes universais de amplitudes A
+
/A
−
para um cen´ario de competi¸c˜oes
generalizadas e arbitr´ar ias para os casos anisotr´opicos e isotr´opicos.
Nos apˆendice A, apresent amos a tranforma¸c˜ao de Hubbard-Stratonovich para o mo-
delo N-vetorial. No apˆendice B, resolvemos algumas identidades e integrais utilizadas
nos cap´ıtulos anteriores.
CAP
´
ITULO 2
M
´
ETODOS FUNCIONAIS EM FEN
ˆ
OMENOS
CR
´
ITICOS
M´etodos funcionais s˜ao de gr ande aplica¸c˜ao nas ´areas da f´ısica formuladas por teorias
de campo. O desenvolviment o das t´ecnicas de teoria quˆantica de campos (TQC) e de
outras ´ar eas vem contribuindo t amb´em para a mecˆanica estat´ıstica (ME), e particular-
mente na descri¸c˜ao dos f enˆomenos cr´ıticos de sistemas que sofrem transi¸c˜oes de fase a
uma temperatura absoluta n˜ao-nula T .
De fato, usando teorias de campos, ´e poss´ıvel descrever as propriedades cr´ıticas uni-
versais de tais sistemas utilizando a teoria de pertuba¸c˜ao diagram´atica em conjunto com
argument os de grupo de renormaliza¸c˜ao. Neste cap´ıtulo, descreveremos de forma sucinta
os principais resultados desenvolvidos nos ´ultimos anos que ser˜ao ´uteis para o c´alculo da
raz˜ao entre amplitudes acima e abaixo da t emperatura cr´ıtica. N˜ao t entaremos dar uma
descri¸c˜ao detalhada, mas o leitor interessado pode consultar as referˆencias [29, 30, 31, 32]
para uma discuss˜ao autocontida dos t´opicos discutidos neste cap´ıtulo para sistemas livres
de competi¸c˜ao. Sistemas com competi¸c˜ao s˜ao discutidos em [4, 22, 25] e deixamos pa ra
o leitor encontrar os detalhes em tal referˆencia. O objetivo deste cap´ıtulo ´e preparar o
terreno para uma melhor compreens˜ao dos resultados mais importantes deste trabalho,
que ser˜ao discutidos nos cap´ıtulos subseq¨uentes.
2.1 TEORIA DE CAMPOS E M MEC
ˆ
ANICA ESTAT
´
ISTICA
Poderemos relacionar a TQC em (d, 1) dimens˜oes espa¸co- t emporais com a ME em
d + 1 dimens˜oes espaciais. Consideremos a amplitude de transi¸c˜ao de estados v´acuo-
v´acuo da TQC para campos escalares [φ]
a=1,...,N
no espa¸co de Minkowski M
(d,1)
denotada
pelo gerador funcional das fun¸c˜oes de Green da teoria:
Z[J] =
Dφ exp
i
d
d
x dt L(φ, J)
, (
. )
em que = 1 = c no sistema natural de medidas.
O elemento de distˆancia de M
(d,1)
´e definido da seguint e maneira:
10
2.1 TEORIA DE CAMPOS EM MEC
ˆ
ANICA ESTAT
´
ISTICA 11
ds
2
≡ dx
µ
dx
µ
= (dt)
2
− (d
−→
x )
2
. (
. )
Podemos levar a TQC no espa¸co minkowskiano M
(d,1)
para a ME no espa¸co euclidiano
R
d+1
operando a rota¸c˜ao de Wick t → i x
d+1
. Recuperamos o elemento de distˆancia
euclidiana e transformamos o elemento de volume como i d
d
x dt → −d
d+1
x.
Assim, escrevemos o funcional gerador para o espa¸co euclidiano atrav´es de
Z[J] =
Dφ exp
−
d
d+1
x L(φ, J)
≡
Dφ W {φ}, (
. )
que correspo nder´a `a fun¸c˜ao parti¸c˜ao
1
da ME com o peso estat´ıstico de Boltzmann W {φ}
no parˆametro de ordem φ para uma correspondente lagrangia na L(φ) constru´ıda.
Podemos considerar o modelo N-vetorial para as intera¸c˜oes entre spins vetoriais at´e os
primeiros s´ıtios vizinhos, o qual corresponde ao modelo de Ising para o sistema de spins
escalares s
l
= ±1. A energia para esse modelo sujeito a um campo externo microsc´opico
h
l
´e dada por
E{s
l
} = −
1
2
<l,l
>
J
l,l
s
l
s
l
+
l
h
l
s
l
. (
. )
No Apˆendice A mostramos que esta descri¸c˜ao em termos de vari´aveis de spin pode ser
eficientement e substitu´ıda por uma formula¸c˜ao em termos de campos cont´ınuos escalares
atrav´es da transforma¸c˜ao de Hubbard-Stratonovich acompanhado de um procedimento
heur´ıstico. Em termos destes campos, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao termodinˆamica pode ser
escrita como
Z[H] = Tr exp
− β E{s
l
}
= A
Dφ exp
−
d
d
x L
φ(x), H(x)
, (
. )
onde L(φ, J) ´e a energia livre de Ginzburg-Landau, e a escrevemos como
L
φ
=
1
2
|∇φ|
2
+
µ
2
2
φ
2
+
λ
4!
φ
2
)
2
− H
φ , ( . )
que vai corresponder a lagrangiana L(φ, H) do gerador funcional euclidiano de (
. ), em
que fazemos d + 1 → d . H(x) ´e o campo externo, ou fonte
2
da teoria.
A fun¸c˜ao parti¸c˜a o ´e escrita como uma integral funcional sobre o campo escalar φ. O
1
Ou melhor, funcional parti¸c˜a o.
2
Denotaremos daqui em diante, a fonte por J da nota ¸c˜ao tradicional da literatura de TQC.
2.1 TEORIA DE CAMPOS EM MEC
ˆ
ANICA ESTAT
´
ISTICA 12
campo φ vai corresponder ao parˆametro de o r dem da teoria, ou na linguagem de sistemas
magn´eticos, `a magnetiza¸c˜ao M do sistema.
Na ausˆencia do termo de intera¸c˜ao L
int
(φ) =
λ
4!
(φ
2
)
2
, o funcional gerador euclidiano
para os campos livres ´e escrito:
Z
0
[J] = A
0
Dφ exp
−
d
d
x L
0
(φ) + (J, φ)
= exp
−
1
2
(J, G
0
J)
. (
. )
Determinamos a constante A
0
pela condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao Z
0
[0] = 1. Denotamos
a lagrangiana livre da teoria como L
0
(φ) ≡
1
2
φ
G
−1
0
φ =
1
2
φ
(−∇
2
+ µ
2
)φ.
Escrevemos o propag ador livre euclidiano no espa¸co das coordenadas como:
G
(2)
0 ab
(x, x
) = δ
ab
δ
d
(x − x
)
G
0
(x), ( . )
onde,
G
0
(x) = (−∇
2
+ µ
2
)
−1
( . )
Verificamos que
G
0
(x) ´e uma express˜ao de operadores diferenciais.
´
E poss´ıvel mostrar que o funcional gerador euclidiano das fun¸c˜oes de Green para
campos interag entes com a lagrangiana L(φ) = L
0
(φ) + L
int
(φ) − J
φ ´e expresso por
Z[J] = N
−1
exp
−
d
d
x L
int
δ
δJ
a
(x)
Z
0
[J]. (
. )
Em que o fator N
−1
´e ajustado pela condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao Z[0] = 1, que elimina
divergˆencias provenientes dos diagramas de v´acuo. Um diagrama de v´acuo ´e caracterizado
pela ausˆencia de linhas externas ou inser¸c˜oes de operadores compostos.
A intera¸c˜ao que estamos interessados ´e do tipo
L
int
(φ) =
λ
4!
(φ
2
)
2
=
λ
4!
N
a=1
φ
2
a
2
=
λ
4!
S
abcd
φ
a
φ
b
φ
c
φ
d
(
. )
onde,
S
abcd
=
1
3
(δ
ab
δ
cd
+ δ
ac
δ
bd
+ δ
ad
δ
bc
), (
. )
que tamb´em ´e conhecida como intera¸c˜ao do caso sim´etrico O(N). Acima vale a nota¸c˜ao
de soma de Einstein para os ´ındices repetidos, isto ´e, x
a
x
a
≡
a
x
a
x
a
.
2.1 TEORIA DE CAMPOS EM MEC
ˆ
ANICA ESTAT
´
ISTICA 13
Portanto, o gerador funcional para esta intera¸c˜ao segue de (
. )
Z[J] = N
−1
∞
n=0
1
n!
−
λ
4!
S
abcd
d
d
x
δ
4
δJ
a
(x) δJ
b
(x) δJ
c
(x) δJ
d
(x)
n
Z
0
[J]. (
. )
Ent˜ao podemos desenvolver a expans˜ao do funcional gerador das fun¸c˜oes de Green de
N pontos em potˆencias da fonte J
a
(x)
Z[J] = 1 +
∞
n=1
1
n!
d
d
x
1
. . .
d
d
x
n
J
a
1
(x
1
) . . . J
a
n
(x
n
) G
(n)
a
1
...a
n
(x
1
, . . . , x
n
) (
. )
onde, as fun¸c˜oes de Green de n pontos podem ser escritas como
G
(n)
a
1
...a
n
(x
1
, . . . , x
n
) =
δ
n
Z[J
a
]
δJ
a
1
(x
1
) · · · δJ
a
n
(x
n
)
J
a
=0
= N
−1
Dφ φ
a
1
(x
1
) · · · φ
a
N
(x
n
) exp
−
d
d
xL
φ, J
J
a
=0
≡ φ
a
1
(x
1
) · · · φ
a
n
(x
n
).
(
. )
Elas correspondem `as fun¸c˜oes de correla¸c˜ao de n pontos em ME. Em TQC, o va lor
esp era do das fun¸c˜oes de Green fornece a amplitude dos processos de espalhamento das
part´ıculas. Em ME, apesar de n˜ao corresponder a nenhum processo de espalhamento, as
fun¸c˜o es de Green tem uma analog ia direta com as fun¸c˜oes de correla¸c˜ao spin-spin. Esta
analogia nos permite extrair resultados anal´ıticos como ser´a observado no decorrer deste
trabalho.
Para uma eficiˆencia anal´ıtica dos nossos c´alculos, ´e estrat´egico efetuarmos a transfor-
mada de Fourier nos campos, e trabalharmos no espa¸co dos momentos. As express˜oes de
operadores dif erenciais d˜ao lugar a express˜oes alg´ebricas, que s˜ao mais f´aceis de serem
tratadas. Isso se d´a inclusive no estudo do Grupo de Renormaliza¸c˜ao (GR), que tratare-
mos mais adiante. O tratamento do GR no espa¸co dos momentos introduzido por Wilson
[33, 34, 35, 36] facilita o tratamento anal´ıtico, ao passo que o GR no espa¸co das coordena-
das desenvolvido po r Kadanoff [37] pode ser realizado por processos de dizima¸c˜ao na rede
com resultados satisfat´orios quando implementados via simula¸c˜oes num´ericas. Iremos nos
2.1 TEORIA DE CAMPOS EM MEC
ˆ
ANICA ESTAT
´
ISTICA 14
concentrar no primeiro, em vista do nosso interesse em tratar o problema analiticamente.
Realizamos a transformada de Fourier nos campos e nas fontes usando as express˜oes
φ
a
(x) =
d
d
k
(2π)
d
e
−ik
x
φ
a
(k), (
. )
J
a
(x) =
d
d
k
(2π)
d
e
−ik x
J
a
(k). (
. )
Escrevemos as fun¸c˜oes de Green no espa¸co dos momentos:
G
(n)
a
1
...a
n
(k
1
, . . . , k
n
) =
d
d
x
1
· · ·
d
d
x
n
e
i(k
1
x
1
+···k
n
x
n
)
G
(N)
a
1
...a
n
(x
1
, . . . , x
n
)
= N
−1
Dφ φ
a
1
(k
1
) · · · φ
a
n
(k
n
) exp
−
d
d
xL
φ, J
J
a
=0
= φ
a
1
(k
1
) · · · φ
a
n
(k
n
).
(
. )
Podemos escrever o propagador livre euclidiano no espa¸co dos momentos na fo r ma
G
(2)
0 ab
(k, k
) = δ
ab
δ
d
(k + k
)
G
(2)
0
(k), (
. )
onde,
G
(2)
0
(k) =
1
k
2
+ µ
2
. (
. )
Verificamos que G
(2)
0
(k) ´e uma express˜ao alg´ebrica no espa¸co dos momentos.
A a¸c˜ao ´e ent˜ao escrita com os campos e fontes no espa¸co dos momentos atrav´es da
express˜ao:
S[φ, J] =
d
d
x L
φ, J
=
d
d
k
(2π)
d
1
2
φ
a
(−k)
δ
ab
(k
2
+ µ
2
)
φ
b
(k) − J
a
(−k)φ
a
(k)
+
d
d
k
a
(2π)
d
· · ·
d
d
k
d
(2π)
d
λ
4!
S
abcd
(2π)
d
δ
d
(k
a
+ k
b
+ k
c
+ k
d
)
φ
a
(k
a
) · · · φ
d
(k
d
). (
. )
A expans˜ao perturbativa das fun¸c˜oes de Green pode ser representada p elos diagra-
mas de Feynman. Estas envolvem constru¸c˜oes diagram´aticas conexas e desconexas. S˜ao
diagramas desconexos aqueles que s˜ao representados pelo produto disjunto de o utros dia-
gramas como verificamos na figura 2.1. J´a os diagramas conexos n˜ao s˜ao representados
2.1 TEORIA DE CAMPOS EM MEC
ˆ
ANICA ESTAT
´
ISTICA 15
Figura 2.1 Exemplos de diagramas desconexos.
Figura 2.2 Exemplares de d iagramas conexos.
pelo produto disjuntos de outros diagramas conforme vimos na figura 2.2.
Consideremos os diagramas no espa¸co dos momentos, e aqui apenas construiremos
para a teoria (φ
2
)
2
. Um diagrama ´e for ma do por linhas e v´ertices. Cada linha de
extremidades a e b e um momento pro pagante k corresponde ao propagador δ
ab
(k
2
+µ
2
)
−1
,
e essas podem ser em n´umero E de linhas externas e de I linhas internas. Cada v´ertice
do qual emanam quatro extremidades de r´otulos a, b, c e d com momentos k
a
, k
b
, k
c
e
k
d
, respectivamente, corresponde a
−λ
4!
S
abcd
(2π)
d
δ
d
(k
a
+ k
b
+ k
c
+ k
d
), se desenvolvem
em um n´umero igual a n-´esima ordem de perturba¸c˜ao. Por fim, integramos em todos os
momentos internos propagantes, e multiplicamos pelo f ator de simetria do diagrama que
contempla o n´umero de diagramas topologicament e equivalentes, acompanhados de um
fator
1
n!
decorrente da expans˜ao em (
. ). A expans˜ao perturbativa da fun¸c˜ao de Green
de E pontos envolver´a os diagramas com E extremidades livres, e com n v´ertices para a
n-´esima or dem de perturba¸c˜ao da fun¸c˜ao.
Alguns diagramas conexos, `a excess˜ao do pr´oprio propagador livre, possuem a forma¸c˜ao
de loops (la¸cos) em sua estrutura. Os diagramas em que todas as linhas internas partici-
pam da constru¸c˜ao de algum loop s˜ao cha ma dos de 1-PI, ou irredut´ıveis a uma part´ıcula.
Por outro lado, diagramas redut´ıveis a uma part´ıcula s˜ao aqueles que podem ser separados
em duas partes pelo corte de apenas uma linha interna.
Apesar de operarmos uma expans˜ao na constante de acoplamento perturbativa, os
loops presentes nos diagramas s˜ao essencialmente divergentes. Para o pr ograma de re-
gulariza¸c˜ao da teoria deveremos definir a no¸c˜ao de grau de divergˆencia supe rficial D do
diagrama, o qual diverge com Λ
D
, onde Λ → ∞ ´e o cutoff da integral ou limite superior
da mesma. Este tipo de comportamento caracteriza as divergˆencias ultravioletas para
2.1 TEORIA DE CAMPOS EM MEC
ˆ
ANICA ESTAT
´
ISTICA 16
D ≥ 0. Para um diagrama 1-PI com I linhas internas e n v´ertices, D ´e dado por
D = d
I − (n − 1)
− 2I = d l − 2I, (
. )
onde, l = I − n + 1 ´e o n´umero de loops do diagrama 1-PI.
Na teoria φ
4
, cada v´ertice emana quatro linhas, e as linhas internas conectam dois
v´ertices distintos. Ent˜ao contamos
4n = E + 2I. (
. )
Substituindo (
. ) em ( . ), expressamos o grau de divergˆencia de um diagrama de
E pernas externas e n v´ertices por
D = d −
d
2
− 1
E + n(d − 4). (
. )
A teoria ser´a renormaliz´avel se um n´umero finito de fun¸c˜oes de Green G
(E)
forem
divergentes (D ≥ 0). Para d > 4 o grau de divergˆencia D ´e crescente com a ordem
de perturba¸c˜ao n, e a teoria φ
4
tornar-se-´a n˜ao-renormaliz´avel. Na dimens˜ao cr´ıtica
d = d
c
= 4, o grau de divergˆencia D = 4 − E ser´a positivo para um n´umero restrito de
fun¸c˜o es de Green, e a teoria tornar-se-´a renormaliz´avel. S˜ao G
(2)
e G
(4)
as fun¸c˜oes de
Green que possuem diagramas primitivamente diverg entes na teoria φ
4
com divergˆencias
quadr´atica (D = 2) e logar´ıt mica (D = 0), respectivamente.
Al´em do termo de fonte −J(x)
φ(x) podemos adicionar o termo `a lagrangiana pre-
sente em (
. ), o termo para a gera¸c˜ao das inser¸c˜o es do operador composto do tipo φ
2
atrav´es de
d
d
x L
φ
2
(t, φ) =
d
d
x
1
2!
t(x)φ
2
(x). (
. )
Definimos a fun¸c˜ao de Green para operadores compostos pela express˜ao
G
(E,L)
a
1
,...,a
E
(x
1
, . . . , x
E
, y
1
, . . . , y
L
) =
δ
E+L
Z[J, t]
δJ
a
1
(x
1
) · · · δJ
a
E
(x
E
) δt(y
1
) · · · δt(y
L
)
J
a
=0=t
=
1
2
L
φ
a
1
(x
1
) · · · φ
a
N
(x
N
)φ
2
(y
1
) · · · φ
2
(y
L
) .
(
. )
A transformada de fourier na fonte t(x) do operador composto ´e dada por
2.1 TEORIA DE CAMPOS EM MEC
ˆ
ANICA ESTAT
´
ISTICA 17
t(x) =
d
d
k
(2π)
d
e
−ik x
t(k). (
. )
Com a transformada de Fourier do campo φ
a
(x) de (
. ) e da fo nte do operador
composto ( . ), reescrevemos ( . ) no espa¸co dos momentos como
d
d
x
1
2!
t(x)φ
2
(x) =
d
d
k
(2π)
d
d
d
k
a
(2π)
d
d
d
k
b
(2π)
d
1
2
δ
ab
(2π)
d
δ
d
(−k + k
a
+ k
b
)
× t(−k)φ
a
(k
a
)φ
b
(k
b
). (
. )
A express˜ao entr e colchetes da equa¸c˜ao (
. ) correspo nde aos v´ertices de inser¸c˜ao de
operador composto representado nas regras de Feynman. Na representa¸c˜ao diagram´atica,
o momento −k ´e inserido nos v´ertices dos diagramas. No limite em que a fonte do operador
composto ´e uniforme, a escrevemos atrav´es de t(k) t (2 π)
d
δ
d
(k), e portanto, a inser¸c˜a o
de momento nos v´ertices se realiza a momento k nulo.
Um diagrama primitivamente divergente da fun¸c˜ao de Green G
(E,L)
corresponde a
L inser¸c˜oes sobre um diagrama da fun¸c˜ao G
(E)
. Cada inser¸c˜ao de momento em um
diagrama, lhe acresce de um propagador na forma de ( . ), que se comporta no limite
ultravioleta por Λ
−2
. Portanto, a p´os L inser¸c˜oes, subtra´ımos o grau de divergˆencia de 2 L
em (
. ) para o diagrama primitivamente divergent e de G
(E,L)
, e o escrevemos como
D = d −
d
2
− 1
E − 2L + n(d − 4)
d = d
c
= 4
−−−−−−→ D = 4 − 2L − E. (
. )
Portanto, al´em das fun¸c˜oes G
(2)
e G
(4)
sem inser¸c˜ao de o peradores compostos, as
fun¸c˜o es G
(2,1)
e G
(0,2)
possuem diagramas primitiva mente divergent es com divergˆencias
logar´ıtmicas (D = 0). As regras de Feynman podem ser sumarizadas atrav´es da seguinte
representa¸c˜ao esquem´atica:
k
a
b
: δ
ab
1
k
2
+ µ
2
k
b
k
a
k
c
k
d
b
a
c
d
: S
abcd
−λ
4!
(2π)
d
δ
d
(k
a
+ k
b
+ k
c
+ k
d
)
2.2 POTENCIAL EFETIVO E A EXPANS
˜
AO EM 1-LOOP 18
k
a
k
b
k
a
b
: δ
ab
1
2!
(2π)
d
δ
d
(k
a
+ k
b
− k)
Consideremos a teoria de campo com uma lagrangiana a
−1
L. O gerador funcional
(
. ) ´e reescrito
Z[J] = N
−1
exp
− a
−1
d
d
x L
int
δ
δJ
a
(x)
Dφ exp
−
1
2
(φ, a
−1
G
−1
0
φ) + (J , φ)
= N
−1
exp
− a
−1
d
d
x L
int
δ
δJ
a
(x)
exp
−
1
2
(J, aG
0
J)
.
(
. )
Para cada v´ertice de intera¸c˜ao, o diagrama aparecer´a multiplicado por a
−1
e para cada
propagador interno por a. Cada diagrama com I linhas internas e n v´ertices de intera¸c˜ao
aparecer´a multiplicado por a
I−n
= a
l−1
, em que l ´e o n´umero de l oops do diagrama. A
expans˜ao em potˆencias da constante a, corresponder´a `a expans˜ao no n´umero de loops
l = 0, 1, 2, . . .. Em TQC, a constante a corresponde `a constante de Planck , e assim, a
expans˜ao vai consistir de corre¸c˜oes sobre a teoria cl´assica.
´
E importante frisar que a expans˜ao de diferentes fun¸c˜oes para um mesmo n´umero de
loops, n˜ao ´e necessariamente realizada na mesma o r dem de intera¸c˜ao.
2.2 POTENCIAL EFETIVO E A EXPANS
˜
AO EM 1-L OOP
Como mencionamos na se¸c˜ao anterior, os diagrama s de Feynman s˜ao f ormados por
diagramas conectados e desconectados. Os diagramas conectados podem ser obtidos do
gerador funcional
F [J] = ln Z[J] = ln
Dφ exp
− S[φ] + (J, φ)
, (
. )
que gera as fun¸c˜oes de Green conectadas de N-pontos atrav´es da express˜ao
2.2 POTENCIAL EFETIVO E A EXPANS
˜
AO EM 1-LOOP 19
G
(E)
c a
1
···a
E
(1, . . . , E) =
δ
E
F [J]
δJ
a
1
(1) · · · δJ
a
E
(E)
J
a
=0
. (
. )
Ainda assim, a estrutura dos diagramas das fun¸c˜o es de Green conectadas G
(N)
c
podem
ser formado s por outros subdiagramas. Esses subdiagramas s˜ao chamado s de pa rtes
de v´ertices irredut´ıveis a uma part´ıcula ( ou diagramas “ 1PI ” do inglˆes “one-particle
irreducible” ).
Introduzimos o gerador funcional dos diagramas 1PI utilizando a equa¸c˜ao
Γ[φ] = (J, φ) − F [J] = S[φ] +
1
2
Tr
(a,b; k,k
)
ln
δ
2
S[φ]
δφ
a
(−k)δφ
b
(−k
)
(
. )
que ´e a transformada de Legendre sobre o gerador funcional dos diagramas conectados.
As rela¸c˜oes entre a fonte J
a
e o campo φ
a
s˜ao expressas por
φ
a
(i) =
δF [J]
δJ
a
(i)
, (
. )
ou,
J
a
(i) =
δΓ[φ]
δφ
a
(i)
. (
. )
Podemos escrever a parte de v´ertice 1PI de N-p ontos como
Γ
(E)
a
1
···a
E
(1, . . . , E) ≡
δ
E
Γ[φ]
δφ
a
1
(1) · · · δφ
a
E
(E)
φ
a
=
φ
a
, (
. )
em que
φ
a
´e definido para o valor o qual J
a
→ 0 em ( . ), ou seja,
δΓ[φ]
δφ
a
(k)
φ
a
= 0. (
. )
Na presen¸ca do termo de fonte de (
. ), escrevemos as partes de v´ertice na forma
Γ
(E,L)
a
1
···a
E
(x
1
, . . . , x
E
, y
1
, . . . , y
L
) ≡
δ
E+L
Γ[φ, t]
δφ
a
1
(x
1
) . . . δφ
x
E
(a
E
) δt(y
1
) . . . δt(y
L
)
φ
a
=
φ
a
t=0
. (
. )
Para o momento, por motivo de simplicidade, fa¸camos L = 0. Entretanto, permiti-
remos L = 0 quando retornarmos `a nossa discuss˜ao sobre a renormaliza¸c˜ao do funcional
Γ[φ].
2.2 POTENCIAL EFETIVO E A EXPANS
˜
AO EM 1-LOOP 20
A expans˜ao funcional do gerador das partes de v´ertice 1PI po de ser escrita como
Γ[φ] =
∞
E=1
1
E!
d
d
k
1
(2π)
d
· · ·
d
d
k
E
(2π)
d
Γ
(E)
a
1
···a
E
(k
1
, . . . , k
E
)
×
φ
a
1
(k
1
) −
φ
a
1
(k
1
)
. . .
φ
a
E
(k
E
) − φ
a
E
(k
E
)
. ( . )
A equa¸c˜ao de (
. ) possui duas solu¸c˜oes: i) a solu¸c˜ao trivial φ = 0 que corresponde
ao estado que chamaremos de sim´etrico, no qual a simetria O(N) ´e preservada; ii) e
a solu¸c˜ao degenerada φ
2
= 0 que corresponde a um estado em que a simetria O(N) ´e
quebrada para O(N − 1 ).
Para uma distribui¸c˜ao uniforme φ
a
(x) = Φ
a
ou φ
a
(k) = (2π)
d
δ
d
(k) Φ
a
, reescrevemos
(
. ) como
Γ[φ] =
∞
E=1
1
E!
Γ
(E)
a
1
···a
E
(0, . . . , 0) Φ
a
1
· · · Φ
a
E
. (
. )
Da invariˆa ncia por transla¸c˜oes no espa¸co das coordenadas nas partes de v´ertice, po-
demos escrevˆe-las no espa¸co dos momentos atrav´es de
Γ
(E)
a
1
···a
E
(k
1
. . . k
E
) = (2π)
d
δ
d
(Σ
E
i
k
i
)
Γ
(E)
a
1
···a
E
(k
1
, . . . , k
E
). (
. )
Usando (
. ) em ( . ), escrevemos
Γ[φ] = (2π)
d
δ
d
(0)
∞
E=1
1
E!
Γ
(E)
a
1
···a
E
(0, . . . , 0) Φ
a
1
. . . Φ
a
E
= (2π)
d
δ
d
(0) U
eff
(Φ). (
. )
Ent˜ao, U
eff
(Φ) ´e denominado potencial efetivo da teoria. Aqui iremos obtˆe-lo expan-
dindo at´e a ordem de 1-loop, seguindo a expans˜ao da a¸c˜ao S[φ, J] =
d
d
xL(φ) − (J, φ)
pelo m´etodo do ponto-de-sela. Ent˜ao obtemos:
S[φ, J] = S[φ
o
, J] +
1
2
d
d
k
(2π)
d
d
d
k
(2π)
d
φ
a
(k) − φ
o
a
(k)
φ
b
(k
) − φ
o
b
(k
)
×
δ
2
S[φ]
δφ
a
(−k)δφ
b
(−k
)
φ
o
+ ( · · · ) . (
. )
Na express˜ao acima, expandimos em torno da trajet´oria cl´assica φ
o
da condi¸c˜ao de
2.2 POTENCIAL EFETIVO E A EXPANS
˜
AO EM 1-LOOP 21
extremiza¸c˜ao da a¸c˜ao, como
δS[φ]
δφ
a
(−k)
φ
o
= 0. (
. )
Fazendo φ(k) −→ φ(k) + φ
o
(k), escrevemos o gerador funcional Z[φ] de maneira que
Z[J] =
Dφ exp
− S[φ, J]
= e
−S[φ
o
,J]
Dφ exp
−
1
2
φ, Aφ
= e
−S[φ
o
,J]
det A
−1/2
.
( . )
Escrevemos a matriz hessiana A como
A(φ
o
)
ab
k, k
≡
δ
2
S[φ
o
]
δφ
o
a
(−k) δφ
o
b
(−k
)
(
. )
em que consideramos que A n˜ao seja singular, ou seja, det A = 0.
Escrevemos o funcional gerador dos diagramas conectados
F [J] = ln Z[J] = −S[φ
o
, J] −
1
2
ln det A(φ
o
)
= (J, φ
o
) −
d
d
xL(φ
o
) −
1
2
Tr ln A(φ
o
)
(
. )
em que usamos acima det A = e
Tr l n A
. Aqui denotamos o tra¸co sobre os ´ındices int ernos
e as vari´aveis de momento, ou seja, Tr ≡ Tr
(a,b; k,k
)
.
Tomando φ
o
−→ φ acima, escrevemos o funcional gerador das partes de v´ertices 1PI
na forma
Γ[φ] = (J, φ) − F [J] =
d
d
xL(φ) +
1
2
Tr ln A(φ)
= S[φ] +
1
2
Tr
(a,b; k,k
)
ln
δ
2
S[φ]
δφ
a
(−k)δφ
b
(−k
)
.
(
. )
Observamos no segundo membro de (
. ), a a¸c˜ao S[φ] seguida da corre¸c˜ao de 1-loop.
Para a a¸c˜ao da teoria λ φ
4
em (
. ) no caso de uma distribui¸c˜ao uniforme do campo
como φ
a
(x) = Φ
a
≡ cte, ou no espa¸co dos momentos φ
a
(k) = (2π)
d
δ
d
(k) Φ
a
, escrevemos
(
. ) como:
2.2 POTENCIAL EFETIVO E A EXPANS
˜
AO EM 1-LOOP 22
Γ(Φ) = (2π)
d
δ
d
(0) U
eff
(Φ) = (2π)
d
δ
d
(0)
U
Landau
(Φ) + U
1-loop
(Φ)
(
. )
O primeiro termo ´e a contribui¸c˜ao de Landau para a energia livre, que ´e dada por:
U
Landau
(Φ) =
µ
2
2
Φ
2
+
λ
4!
(Φ
2
)
2
, (
. )
que corresponde ao termo em 0-loop do potencial efetivo. Minimizando esta energia livre,
as configura¸c˜oes de campo ser de dois tipos, isto ´e,
Φ
2
=
0 se µ
2
> 0;
−
6µ
2
λ
se µ
2
< 0.
(
. )
Dependendo do sinal de µ
2
∼ T − T
0
, as configura¸c˜oes de campo correspondem a dois
estados: acima ou abaixo da temperatura de transi¸c˜ao T
0
. Acima da temperatura de
transi¸c˜a o, temos o estado sim´etrico com o v´acuo
3
trivial Φ
2
= 0 que apresenta a simetria
O(N) pr eservada. E abaixo da temperatura de transi¸c˜a o, o estado de simetria quebrada
para um v´acuo degenerado Φ
2
= 0 que d´a origem a uma nova simetria escondida expresso
pelo subgrupo O(N − 1).
Abaixo da dimens˜ao cr´ıtica d
c
= 4, a teoria de Landau ´e corrigida com a contribui¸c˜ao
em 1-loo p do potencial efetivo. Da discuss˜ao do topo desta p´agina escrevemos a corre¸c˜ao
da energia em 1-loop a menos de uma constante por meio de
U
1-loop
(Φ) =
1
2
Tr
(a,b)
d
d
k
(2π)
d
ln
( k
2
+µ
2
) δ
ab
+
λ
6
δ
ab
Φ
2
+2 Φ
a
Φ
b
−ln k
2
. (
. )
Para simplificar o c´alculo do tra¸co em (
. ), rotacionamos o sistema de eixos do
espa¸co interno dos campos a fim de escrevermos Φ
a
na seguinte forma
Φ
a
= (Φ, 0, . . . , 0
N−1
), ( . )
onde, continuamos preservando a no r ma do campo, isto ´e, Φ
a
Φ
a
= Φ
2
.
´
E similar a
maneira que se escreve, em relatividade restrita, o momento quadrimensional k
µ
no re-
ferencial de repouso da part´ıcula atrav´es de k
µ
= (m, 0, 0, 0), o que satisfaz a rela¸c˜ao
relativ´ıstica k
µ
k
µ
= m
2
.
3
Entendemos por v´acuo, as solu¸c˜oes que minimizam a e ne rgia livre.
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
23
Usando (
. ), desenvolvemos o t r a¸co
4
de ( . ) e obtemos
U
1-loop
(Φ) =
1
2
d
d
k
(2π)
d
ln
1 +
µ
2
+
λ
2
Φ
2
k
2
+ (N − 1) ln
1 +
µ
2
+
λ
6
Φ
2
k
2
. (
. )
O potencial efetivo U
eff
(Φ) ainda se apresenta n˜ao renormalizado. Deveremos r edefinir
os campos, a massa e a constante de acoplamento a fim de que as partes de v´ertice sejam
finitas com a remo¸c˜ao de suas divergˆencias ultravioletas, pelo menos na ordem de 1- l oop.
Ap´os definirmos o s f uncionais g era dores dos diversos tipos de diagramas de Feynman,
podemos escrever a analogia dos elementos da TQC com a ME utilizando a tab ela abaixo:
Teoria Quˆantica de Campos Mecˆanica Estat´ıstica
Funcional Gerador Z[J] Fun¸c˜ao Parti¸c˜ao Z[h]
F. Gerador de dia gramas conectados Energia Livre de Helmholtz
F [J] = ln Z[J] A[h] = −
1
β
ln Z[h]
F. Gerado r de diagramas irredut´ıveis Energia livre de Gibbs
Γ[φ] = (J, φ) − F [J] G[M] = (M, H) − A[H]
Tabela 2.1 Tabela comparativa entre os funcionais geradores de TQC e os potenciais termo-
dinˆamicos da ME.
´
E importante frisar que Γ[φ] ´e o objeto central para a discuss˜ao da transi¸c˜ao de fase
e o grupo de renormaliza¸c˜ao.
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
Podemos obter o g r au de divergˆencia superficial das integrais que ocorrem na expans˜ao
diagram´atica das partes de v´ertices 1PI utilizando as defini¸c˜oes das dimens˜oes canˆonicas
destes objeto s.
No sistema de unidades naturais, a constante de Planck, a velocidade da luz e a
constante de Boltzmann s˜ao adimensionais e valem = c = k
B
= 1. A an´alise dimen-
sional expressar´a qualquer grandeza na dimens˜ao de comprimento L ou de momento Λ
(que ´e o inverso de L). Assim, a dimens˜ao canˆonica x de um objeto X ´e apresentado por
[X] = Λ
x
. A a¸c˜ao S[Φ] tem a dimens˜ao de , e esta ´e adimensional. Da a¸c˜ao da teoria
λ Φ
4
em (
. ) a parte livre
4
Representamos o tra¸co por Tr
(a,b)
=
N
a,b=1
δ
ab
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
24
1
2
d
d
k
(2π)
d
φ
a
(−k)
δ
ab
( k
2
+ µ
2
)
φ
b
(k), (
. )
pode ser utilizada para determinar as dimens˜oes canˆonicas para o campo e para a massa
que s˜ao dadas em termos da unidade de momento Λ como
[φ
a
(k)] = Λ
−(1+d/2)
e [µ] = Λ (
. )
Da ´ultima igualdade a dimens˜ao canˆonica tamb´em ´e chamada de dimens˜ao de massa.
Como cada termo da a¸c˜ao deve ser adimensional, o termo de int era ¸c˜ao presente em (
. )
define a dimens˜ao canˆonica para a constante de acoplamento, isto ´e,
[λ] = Λ
4−d
. (
. )
A dimens˜a o cr´ıtica da teoria ´e definida como aquela que torna a constante de acopla-
mento adimensional. Wilson descobriu que podemos desenvolver a t eor ia perturbativa
atrav´es da expans˜ao no parˆametro pequeno ≡ d
c
− d = 4 − d > 0.
Da discuss˜ao desenvolvida na primeira se¸c˜a o Γ
(2)
ab
, Γ
(4)
abcd
, Γ
(2,1)
ab
e Γ
(0,2)
s˜ao as partes
de v´ertices que apresentam as divergˆencias primitivas para a teoria λ Φ
4
. Estas fun¸c˜oes
dependem da ma ssa µ
2
, da constante de acoplamento λ e do cutoff Λ ( onde o limite Λ →
∞ deve ser tomado no limite superior das integrais de Feynman) das integrais das partes
de v´ertices 1PI que divergem com Λ
D
, onde D ´e o grau de divergˆencia ultravioleta em
(
. ). Removeremos essas divergˆencias ultravioletas r edefinindo a ma ssa e a constante de
acoplamento renormalizadas e encontrando os fatores multiplicativos de renormaliza¸c˜ao
Z
φ
e Z
φ
2
pela fixa¸c˜ao das condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao nas partes de v´ertices 1PI.
Renormalizamos as partes de v´ertices que podem ser r enorma lizado s multiplicativa-
mente usando a seguinte express˜ao [29]:
Γ
(E,L)
R a
1
··· a
E
(k
1
, . . . , k
E
, p
1
, . . . , p
L
; m
2
, g) = Z
E/2
φ
Z
L
φ
2
Γ
(E,L)
a
1
··· a
n
(k
i
, p
i
, µ
2
, λ, Λ), (
. )
em que, para d 4, Γ
(E,L)
R
s˜ao finitos com Λ → ∞ para todo
5
E e L, em todas as
ordens da pertuba¸c˜ao em g. No te que, m
2
e g s˜ao a massa e a constante de acoplamento
renormalizadas.
As condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao de uma teoria cr´ıtica (sem massa) s˜ao definidas pelo
conjunto de equa¸c˜oes da da s por
5
Todo Γ
(E,L)
exceto Γ
(0,1)
e Γ
(0,2)
. C onforme veremos , esta ´ultima exigir´a uma renormaliza¸c˜a o aditiva.
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
25
Γ
(2)
R ab
(k; g)
k
2
=0
= 0 ; (
. )
∂
∂k
2
Γ
(2)
R ab
(k; g)
k
2
=κ
2
= δ
ab
; (
. )
Γ
(4)
R abcd
(k
i
; g)
SP
= g S
abcd
; (
. )
Γ
(2,1)
R ab
(k
1
, k
2
, p; g)
SP
= δ
ab
; (
. )
Γ
(0,2)
R
(p; g)
p
2
=κ
2
= 0 (
. )
onde κ ´e a escala dos momentos em que fixamos a normaliza¸c˜ao. As condi¸c˜oes (
. ),
( . ), ( . ) e ( . ) definem o parˆametro de massa, Z
φ
, a constante de acoplamento e
Z
φ
2
, respectivament e. A condi¸c˜ao (
. ) ser´a satisfeita atrav´es de uma renormaliza¸c˜ao
aditiva e ser´a importante no c´alculo das amplitudes do calor espec´ıfico. Os pontos de sime-
tria SP e
SP (pontos de renormaliza¸c˜ao, em inglˆes “symmetry point”) tornam idˆenticas
as integrais dos diagramas que diferem entre si apenas por uma permuta¸c˜ao dos mo-
mentos externos. A vantagem do ponto de simetria em momentos externos diferentes de
zero em uma teoria sem massa ´e que nos livramos das divergˆencias infravermelhas que
necessariamente apareceriam se os momentos externos anulassem.
Definimos o SP e o
SP atrav´es de
SP : k
i
k
j
=
κ
2
4
(4δ
ij
− 1), (
. )
e
SP : k
2
i
=
3
4
κ
2
e k
1
k
2
= −
1
4
κ
2
∴ p
2
= (k
1
+ k
2
)
2
= κ
2
. (
. )
Com a intera ¸c˜ao do tipo (
. ), podemos escrever as partes de v´ertice 1PI sim´etricas
bare como
Γ
(2)
ab
(k) = Γ
(2)
(k) δ
ab
, Γ
(4)
abcd
SP
= Γ
(4)
SP
S
abcd
e Γ
(2,1)
ab
SP
= Γ
(2,1)
SP
δ
ab
; (
. )
e as renormalizadas atrav´es de
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
26
Γ
(2)
R ab
(k) = Γ
(2)
R
(k) δ
ab
, Γ
(4)
R abcd
SP
= Γ
(4)
R
SP
S
abcd
e Γ
(2,1)
R ab
SP
= Γ
(2,1)
R
SP
δ
ab
.
(
. )
A partir dos resultados (
. ) e ( . ) em ( . ), reescrevemos as partes de v´ertice
1“PI” renormalizadas atrav´es de
Γ
(2)
R
(k = 0; g) = Z
φ
Γ
(2)
R
(k = 0; µ
2
c
, λ) = 0 ; (
. )
∂
∂k
2
Γ
(2)
R
(k; g)
k
2
=κ
2
= Z
φ
∂
∂k
2
Γ
(2)
(k; µ
2
c
, λ)
k
2
=κ
2
= 1 ; (
. )
Γ
(4)
R
(k
i
; g)
SP
= Z
2
φ
2
Γ
(4)
(k
i
; µ
2
c
, λ)
SP
= g ; (
. )
Γ
(2,1)
R
(k
1, 2
, p; g)
SP
= Z
φ
Z
1/2
φ
2
Γ(k
1, 2
, p; µ
2
c
, λ)
SP
= 1 ; (
. )
A expans˜ao diagram´atica das partes de v´ertices que manifestam as divergˆencias pri-
mitivas da teoria Φ
4
podem ser representadas da seguinte forma
Γ
(2,0)
(k) =
k
−1
+
k k
+ O(2-loops)
= k
2
+ µ
2
+ λ
N + 2
6
D
1
(µ
2
, Λ) + O(2-loops) ;
(
. )
Γ
(4,0)
SP
=
+
SP
+ O(2-loops)
= λ − λ
2
N + 8
6
I
SP
(µ
2
, Λ) + O(2 − loops) ;
(
. )
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
27
Γ
(2,1)
SP
=
+
SP
+ O(2-loops)
= 1 + λ
N + 2
3
I
SP
(µ
2
, λ) + O(2-loops) ;
(
. )
Γ
(0,2)
(p)
p
2
=κ
2
=
p
2
=κ
2
+ O(2-loops)
= −
N
2
I
SP
(µ
2
, Λ) + O(2-loops) .
(
. )
onde escrevemos
D
1
(µ
2
, Λ) =
Λ
d
d
k
(2π)
d
1
k
2
+ µ
2
, (
. )
I
SP
(µ
2
, Λ) = I
SP
(µ
2
, Λ) =
Λ
d
d
k
(2π)
d
1
(k
2
+ µ
2
)
(k + K)
2
+ µ
2
K
2
=κ
2
. (
. )
Substituindo o resultado (
. ) na condi¸c˜ao ( . ), obtemos perturbativamente
µ
2
c
≡ µ
2
(m
2
= 0) = −g
N + 2
6
Λ
d
d
k
(2π)
d
1
k
2
+ O(2 − loops) (
. )
onde usamos λ = g + O(1 − loop).
A partir de (
. ) e ( . ) na condi¸c˜ao ( . ), temos
1 = Z
φ
∂
∂k
2
k
2
+ O(2 − loops)
k
2
=κ
2
=⇒ Z
φ
= 1 + O(2 − loo ps) (
. )
Dos resultados de (
. ), ( . ) e ( . ) na condi¸c˜ao ( . ) obtemos
g = λ−λ
2
N + 8
6
I
SP
(µ
2
c
, Λ)+O(2−loops) =⇒ λ = g+g
2
N + 8
6
I
SP
+O(2−loops) (
. )
onde usamos (
. ) e escrevemos
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
28
I
SP
≡ I
SP
(0, Λ) =
Λ
d
d
k
(2π)
d
1
k
2
(k + K)
2
K
2
=κ
2
(
. )
E dos ´ultimos resultados (
. )-( . ) e ( . ) na condi¸c˜ao ( . ) , escrevemos
1 = Z
φ
Z
φ
2
1 − λ
N + 2
6
I
SP
+ O(2 − loops)
=⇒ Z
φ
2
= 1 + g
N + 2
6
I
SP
+ O(2 − loops)
(
. )
As equa¸c˜oes (
. ) at´e ( . ) re´unem as renormaliza¸c˜oes da massa e da constante
de acoplamento e determinam as constantes multiplicativas de renormaliza¸c˜ao em 1-loop.
Mas, a fun¸c˜ao Γ
(0,2)
exige adicionalmente uma renormaliza¸c˜ao aditiva pois, desde a ordem
zero da expans˜ao perturbativa na constante de acoplamento, ela possui uma divergˆencia
logar´ıtmica desenvolvida no termo de 1-loop. Definimos a renormaliza¸c˜ao por
Γ
(0,2)
R
(p; g, κ) = Z
2
φ
2
Γ
(0,2)
(p; µ
2
c
, λ, Λ) −
Γ
(0,2)
( . )
onde, Γ
(0,2)
´e determinada pela condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao ( . ) e obtemos
Γ
(0,2)
= Γ
(0,2)
(p; 0, λ, Λ)
p
2
=κ
2
= −
N
2
I
SP
+ O(2 − loops). (
. )
Pr´oximo ao ponto cr´ıtico, deveremos desenvolver a renormaliza¸c˜ao para as partes de
v´ertices 1PI for a da temperatura cr´ıtica. Podemos expandir as partes de v´ertice 1PI de
uma teoria com massa em termos das partes de v´ertices 1PI de uma teoria sem massa
utilizando a express˜ao
Γ
(E,L)
a
1
···a
E
(k
i
, p
i
; µ
2
, λ, Λ) =
∞
I,J =0
1
I!J!
Λ
d
d
l
1
(2π)
d
(· · · )
Λ
d
d
l
I
(2π)
d
Λ
d
d
q
1
(2π)
d
(· · · )
Λ
d
d
q
J
(2π)
d
φ
a
E+1
(l
1
) · · · φ
a
E+I
(l
I
) t(q
1
) · · · t(q
J
) Γ
(E+I,L+J)
a
1
···a
E
a
E+1
···a
E+I
(k
i
, l
i
, p
i
, q
i
; µ
2
c
, λ, Λ), (
. )
onde t(q
i
) ´e a fo nte do operador composto φ
2
(−q
i
). Renormalizando o lado direito de
(
. ) com as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao das par t es de v´ertices 1PI da teoria sem massa,
aplicamos as mesmas condi¸c˜oes na pa rte de v´ertice 1PI da teoria massiva e no limite
uniforme dos campos e da fonte, isto ´e,
φ
a
(l
i
) = Φ
a
(2π)
d
δ
d
(l
i
) e, (
. )
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
29
t(q
i
) = t (2π)
d
δ
d
(q
i
). (
. )
Desta forma, obtemos
Γ
(E,L)
R a
1
··· a
E
(k
i
, p
i
; m
2
, g, κ) ≡ Z
E/2
φ
Z
L
φ
2
Γ
(E,L)
a
E
··· a
E
(k
i
, p
i
; µ
2
, λ, Λ)
=
∞
I,J =0
1
I!J!
M
a
E+1
· · · M
a
E+I
(t
R
)
J
Γ
(E+I,L+J)
R a
1
··· a
E+I
(k
i
, l
i
= 0, p
i
, q
i
= 0; g, κ), (
. )
onde, definimos o campo e a fo nte do o perador composto renormalizados, respectiva-
mente, atrav´es das f´ormulas
M
a
= Z
−1/2
φ
Φ
a
e, (
. )
t
R
= Z
−1
φ
2
t. (
. )
Usando as constantes multiplicativas Z
φ
e Z
φ
2
obtidas de (
. ) e ( . ) em ( . ) e
(
. ), temos que
Φ
a
= M
a
+ O(2 − loops) e, (
. )
t = t
R
+ g
N + 2
6
t
R
I
SP
+ O(2 − loops) . (
. )
Introduzimos uma massa bare ( n˜ao- r enorma lizada ) para a descri¸c˜ao em torno do ponto
cr´ıtico, atrav´es de
µ
2
= µ
2
c
+ (µ
2
− µ
2
c
) ≡ µ
2
c
+ δµ
2
onde, δµ
2
≡ t → 0 (
. )
Substituindo as express˜oes de (
. ) e ( . ) em ( . ), obtemos:
µ
2
= t + µ
2
c
= t
R
+ g
N + 2
6
t
R
I
SP
−
Λ
d
d
k
(2π)
d
1
k
2
+ O(2 − loops). (
. )
Usando as renormaliza¸c˜oes da constante de acoplamento (
. ), do campo ( . ) e
da massa (
. ) no potencial efetivo U
eff
(Φ) em 1-loop encontrado na se¸c˜ao anterior,
escrevemos
Γ
R
(M, t
R
) = U
eff
Φ(M), λ(g), µ
2
(t
R
, g)
(
. )
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
30
Ou seja,
Γ
R
(M, t
R
) =
1
2
t
R
M
2
+
1
4!
gM
4
+
1
2
Λ
d
d
k
(2π)
d
ln
1+
t +
gM
2
2
k
2
+(N−1) ln
1+
t +
gM
2
6
k
2
−
1
k
2
N + 2
6
gM
2
+
1
4
I
SP
2(N + 2)
3
gM
2
t
R
+
N + 8
36
(gM
2
)
2
+ O(2 − loops).
(
. )
´
E o potencial efetivo renormalizado em 1-loop da t eor ia λΦ
4
. Para contemplar a
renormaliza¸c˜ao aditiva da parte de v´ertice Γ
(0,2)
de (
. ), p odemos realizar:
Γ
R
(M, t
R
) −→ Γ
(novo)
R
(M, t
R
) = Γ
R
(M, t
R
) −
t
2
R
2!
Γ
(0,2)
R
= Γ
R
(M, t
R
) + t
2
R
N
4
I
SP
. (
. )
Em raz˜ao das dimens˜oes canˆonicas das diferentes quantidades envolvidas na descri¸c˜ao
da teoria λΦ
4
, podemos adimensionaliz´a-las por uma escala na vari´avel de dimens˜ao
canˆonica unit´aria κ, atrav´es das transforma¸c˜oes:
k
i
→ κ k
i
, (
. )
λ → κ
u
0
, (
. )
g → κ
u, (
. )
t
R
→ κ
2
t, ( . )
M → κ
1−/2
M, (
. )
Γ
R
(M, t
R
) → κ
4−
Γ
R
(M, t), (
. )
em que, = 4 − d.
Por conveniˆencia, podemos reescrever o potencial efetivo renormalizado nas vari´aveis
renormalizadas t e
y = uM
2
. ( . )
Explicitando Γ
R
(y, t) atr av´es do s resultados (
. ) `a ( . ) achamos o seguinte re-
sultado
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
31
Γ
R
(y, t) =
1
2u
ty +
y
2
12
+
1
2
d
d
k
(2π)
d
ln
1 +
t +
y
2
k
2
+ (N − 1) ln
1 +
t +
y
6
k
2
−
1
k
2
N
t +
y
6
+
y
3
+
1
4
I
SP
N
t +
y
6
2
+
2
3
y
t +
y
3
+ O(2 − loops).
(
. )
Por conveniˆencia adicionamos na integral acima, o termo linear em t −
N
2
t
1
k
2
, que ´e
irrelevante no potencial Γ
R
(y = uM
2
, t) definido por um polinˆomio do segundo grau (ou,
superior) na vari´avel t para a descri¸c˜ao das transi¸c˜oes de segunda ordem. Esta express˜ao
confere com a encontrada na referˆencia [38] e da qual obteremos os nossos resultados para
a raz˜ao das amplitudes cr´ıticas em ordem .
Podemos r eunir as partes de v´ertices 1 -PI renormalizadas da teoria sem-massa (ou
seja, no ponto cr´ıtico) atrav´es de
Γ
(E,L)
R
(k
i
, p
i
; u, κ) = Z
E/2
φ
Z
L
φ
2
Γ
(E,L)
(k
i
, p
i
; λ, Λ)−δ
0,E
δ
2,L
Γ
(0,2)
(p
i
; λ, Λ)
p
2
=κ
2
. ( . )
em que j´a contemplamos a renormaliza¸c˜ao aditiva da fun¸c˜ao Γ
(0,2)
.
As fun¸c˜oes renormalizadas Γ
(E,L)
R
s˜ao dependentes do parˆa metro arbitr´ario κ. Mas
fun¸c˜o es bare Γ
(E,L)
n˜ao dependem explicitamente de κ e portanto s˜ao invariantes sobre a
transforma¸c˜ao
κ → e
s
κ onde, s ∈ (−∞, ∞). (
. )
Estas tra nsfor ma ¸c˜oes formam o grupo de ren ormaliza¸c˜ao (G R). Introduzindo o ope-
rador diferencial
6
adimensional κ(d/dκ)
λ, Λ
, n´os temos
κ
d
dκ
λ, Λ
Γ
(E,L)
(k
i
, p
i
; λ, Λ) = 0. (
. )
Substituindo (
. ) em ( . ), obtemos a equa¸c˜ao do grupo de renormaliza¸c˜a o por
κ
∂
∂κ
+ β(u)
∂
∂u
−
E
2
γ
φ
(u) + L γ
φ
2
(u)
Γ
(E,L)
R
(p
i
, q
i
; u, κ) = δ
0,E
δ
2,L
κ
−
B(u), (
. )
6
Este operador ´e invariante pela tra nsforma¸c˜ao (
. )
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
32
em que,
κ
−
B(u) = −Z
2
φ
2
κ
∂
∂κ
Γ
(0,2)
(p; λ, Λ)
p
2
=κ
2
, (
. )
´e o termo inomogˆeneo para equa¸c˜ao do GR de Γ
(0,2)
R
.
E tamb´em, escrevemos as fun¸c˜oes de Wilson na fo r ma :
β(u) =
κ
∂u
∂κ
λ
= −
∂ ln u
0
∂u
−1
; (
. )
γ
φ
(u) = κ
∂ ln Z
φ
∂κ
λ
= β(u)
∂ ln Z
φ
∂u
≡ η(u); (
. )
γ
φ
2
(u) = −κ
∂ ln Z
φ
2
∂κ
λ
= −β(u)
∂ ln Z
φ
2
∂u
≡ 2 −
1
ν( u)
. (
. )
A evolu¸c˜ao da solu¸c˜ao de (
. ) leva a constante de acoplamento u(κ) no ponto fixo
u
∗
est´avel na regi˜ao do infravermelho da escala dos momentos. De outra ma neira,
β(u)
u → u
∗
−−−−→ β(u
∗
) = 0. (
. )
.
No ponto fixo obtemos os expoentes universais η e ν a t r av´es de (
. ) e ( . ),
respectivamente. E obtemos os demais expoentes da descri¸c˜ao dos fenˆomenos cr´ıticos
atrav´es de outras rela¸c˜oes, as quais chamamos de leis de escala o btidas por propriedades
de escala nos potenciais termodinˆamicos [29].
Para a descri¸c˜ao do calor esp ec´ıfico em torno da t emperatura cr´ıtica, deveremos obter
a equa¸c˜ao do GR para a parte de v´ertice Γ
(0,2)
R
fora do ponto cr´ıtico. Fazendo E = 0 e
L = 2 em (
. ) e usando ( . ), podemos verificar o seguinte resultado:
κ
∂
∂κ
+ β(u)
∂
∂u
−
1
2
γ
φ
(u) M
b
∂
∂M
b
+ γ
φ
2
(u)
2 + t
∂
∂t
Γ
(0,2)
R
(p ; M
b
, t, u, κ) = κ
−
B(u),
(
. )
que ´e a equa¸c˜ao do GR da parte de v´ertice Γ
(0,2)
R
fora do ponto cr´ıtico (acima ou abaixo
da temperatura cr´ıtica T
c
).
Por uma transforma¸c˜ao de escala em Γ
(0,2)
R
, a escrevemos como uma fun¸c˜ao homogˆenea
de grau d − 4 (que corr esponde `a sua dimens˜ao canˆonica), atrav´es de
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
33
Γ
(0,2)
R
(ρp ; t, M, u, κ) = ρ
d−4
Γ
(0,2)
R
(p ; t/ρ
2
, M/ρ
d−2
2
, κ/ρ, u)
= κ
d−4
Γ
(0,2)
R
ρp
κ
;
t
κ
2
,
M
κ
d−2
2
, u
.
(
. )
Ent˜ao verificamos que (
. ) satisfaz a seguinte EDP
κ
∂
∂κ
+ ρ
∂
∂ρ
+ 2 t
∂
∂t
+
d − 2
2
M
b
∂
∂M
b
− ( d − 4 )
Γ
(0,2)
R
(ρp ; M
b
, t, u, κ) = 0. (
. )
A equa¸c˜ao (
. ) decorre da propriedade de escala que ´e verificada nas partes de
v´ertice 1- PI. Subtraindo (
. ) da ( . ) obtemos
− ρ
∂
∂ρ
+ β(u)
∂
∂u
−
1
2
η(u) + d − 2
M
b
∂
∂M
b
−
1
ν( u)
t
∂
∂t
+
2 −
2
ν( u)
Γ
(0,2)
R
(p ; ρ, t, M
b
, u, κ) = κ
−
B(u). (
. )
Pelo m´etodo das fun¸c˜oes caracter´ısticas, obtemos abaixo a solu¸c˜ao de (
. ) por meio
de
κ
Γ
(0,2)
R
(p → 0 ; ρ, t, M
b
, u, κ) = f(ρ) Γ
(0,2)
R
t(ρ), M
b
(ρ), u(ρ), κ
−
ν( u(ρ))
2 − d ν(u(ρ))
B
u(ρ)
.
(
. )
Verificamos as segintes rela¸c˜oes,
f(ρ) = ρ
d−2ν
−1
X
2
(u, ρ), f (1) = 1. (
. )
M
b
(ρ) = M
b
ρ
−
d−2+η
2
Y (u, ρ), M
b
(1) = M
b
. ( . )
t(ρ) = t ρ
ν
−1
X(u, ρ), t(1) = t, (
. )
ρ
∂u(ρ)
∂ρ
= β
u(ρ)
. (
. )
em que, as fun¸c˜o es X e Y s˜ao dadas por
X(u, ρ) = exp
−
1
2
ρ
1
dx
x
η
u(x)
− η
, (
. )
2.3 RENORMALIZAC¸
˜
AO DA TEORIA λΦ
4
34
Y (u, ρ) = exp
−
ρ
1
dx
x
ν
−1
u(x)
− ν
−1
. (
. )
Note que quando u se aproxima do ponto fixo u
∗
, escrevemos as fun¸c˜oes η(u) → η e
ν( u) → ν, que levam em dois expoentes cr´ıticos universais e independentes. No limite
que ρ → 0, e portanto u → u
∗
, as f un¸c˜oes X e Y s˜ao dependentes dos valores iniciais de
u, e conseq¨uentemente as duas amplitudes (acima e abaixo de T
c
) n˜ao s˜ao universais.
Para estudar o efeito de X e Y , escolhemos escrever o valor arbit r ´ario de ρ em fun¸c˜ao
de t a par t ir de (
. ) p ela condi¸c˜ao
t(ρ) = 1 =⇒ ρ = (X t)
ν
. (
. )
Caminhando para o ponto cr´ıtico quando ρ → 0 ou t → 0, reescrevemos (
. ) junto
`as equa¸c˜oes (
. ) `a ( . ) por
Γ
(0,2)
R
(p = 0; t, M
b
, u, κ)) = t
−(2−dν)
X
dν
Γ
(0,2)
R
p = 0; 1, Y M(Xt)
β
, u(ρ)) −
ν
2 − d ν
B(u(ρ))
(
. )
Sem perda de generalidade, tomamos a liberdade de fixar κ = 1. A dependˆencia de κ
´e facilmente reconstru´ıda por an´alise dimensional.
Suficientemente pr´oximo do ponto cr´ıtico podemos escrever o calor espec´ıfico atrav´es
de
C(t) = −Γ
(0,2)
R
(p = 0; t, M, u
∗
) −
ν
2 − d ν
B(u
∗
)
= −t
−( 2−d ν)
X(u, 0)
d ν
Γ
(0,2)
R
(p = 0; 1, Y M(Xt)
−β
, u
∗
)
= t
−α
A
±
(
. )
Note que (
. ) naturalmente define a lei de escala para o expoente cr´ıtico do calor
esp ec´ıfico α = 2 − d ν. Acima da temperatura cr´ıtica, ou seja, na fase sim´etrica no limite
M
b
→ 0 escrevemos a amplitude A
+
na forma
A
+
= −
X(u, 0)
d ν
Γ
(0,2)
R
(0; 1, 0, u
∗
). (
. )
A amplitude abaixo da temperatura cr´ıtica, ou seja, na fase de simetria quebrada, a
magnetiza¸c˜a o possui um valor n˜ao-nulo na curva de existˆencia (M → z) pode ser escrita
como
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 35
A
−
= −
X(u, 0)
d ν
Γ
(0,2)
R
(0; 1, z, u
∗
). (
. )
Como dissemos anteriormente, de fato as amplitudes n˜ao s˜ao universais. Mas a ra z˜ao
A
+
A
−
=
Γ
(0,2)
R
( ; 1, 0, u
∗
)
Γ
(0,2)
R
( ; 1, z, u
∗
)
, (
. )
´e universal.
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS
Nesta se¸c˜ao abordaremos a renormaliza¸c˜ao em sistemas competitivos que apresentam
o comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz. Na se¸c˜ao anterior, expusemos com um pouco de
detalhes a renormaliza¸c˜ao do modelo N-vetorial da teoria λφ
4
, que descreve os sistemas
livres de comp eti¸c˜ao. A renormaliza¸c˜ao em sistemas competitivos ´e realizada de uma
maneira similar `a descrita na ´ultima se¸c˜ao, e aqui destacaremos o s principais resultados
do GR aplicados no cen´ario com intera¸c˜oes comp etitivas.
2.4.1 Ponto de Lifshitz m-axial
O diagrama de fases dos modelos com intera¸c˜oes competitivas entre primeiros e se-
gundos s´ıtios vizinhos de spins apresenta o ponto de intersec¸c˜ao das fases denominado
de ponto de Lif shitz. A representa¸c˜ao deste modelo em vari´aveis cont´ınuas ´e expressa
atrav´es de uma modifica¸c˜ao da teoria λφ
4
quando inclu´ımos termos de derivadas de ordem
superior ao longo de m dire¸c˜oes competitivas. A densidade de energia livre de Ginzburg-
Landau para um sistema com competi¸c˜oes anisotr´opicas (d = m) com um campo de
parˆametro de ordem N-vetorial φ ´e escrita como
L(φ) =
1
2
|∇
(d−m)
φ|
2
+
1
2
|∇
2
(m)
φ|
2
+
δ
0
2
|∇
(m)
φ|
2
+
µ
2
2
φ
2
+
λ
4!
(φ
2
)
2
. (
. )
Em que, usamos acima a seguinte nota¸c˜ao:
∇
n
(D)
≡
∂
n
∂x
n
1
+ · · · +
∂
n
∂x
n
D
, onde, D = d − m, m (
. )
|∇
n
(D)
φ|
2
≡ ∇
n
(D)
φ
a
∇
n
(D)
φ
a
(
. )
A regi˜ao cr´ıtica do PL ´e definida em torno da temperatura cr´ıtica T
L
e a um determi-
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 36
nado valor da raz˜ao J
2
/J
1
, o qual anula δ
0
. Portanto, expressamos a a¸c˜ao funcional para
o comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz m-axial por meio de
S[φ] =
d
d−m
x
⊥
d
m
x
L(φ) =
d
d−m
p d
m
k
1
2
φ(−p, −k)
p
2
+ (k
2
)
2
+ µ
2
φ(p, k)
+
L
int
(φ). (
. )
em que
L
int
(φ) representa o setor de intera¸c˜ao da a¸c˜ao.
Consideramos x
⊥
definida no espa¸co R
d−m
ausente de competi¸c˜o es e x
definido no
subespa¸co competitivo R
m
. S˜ao definidas as dimens˜oes das coordenadas por meio de
[ x
] = [ x
⊥
]
1/2
= Λ
−1/2
. Neste caso, o elemento de integra¸c˜ao desenvolve a dimens˜ao
[ d
d−m
x
d
m
x
⊥
] = Λ
−(d−m/2)
. Como a a¸c˜ao ´e mantida adimensional no sistema natural
de medidas, a dimens˜ao canˆo nica da vari´avel de campo ´e [ φ ] = Λ
1
2
(d−
m
2
)−1
. E por
conseguinte, a dimens˜ao canˆonica da constante de acoplamento ´e ent˜ao definida atrav´es
de
[ λ ] = Λ
4+
m
2
−d
≡ Λ
d
c
−d
( . )
A dimens˜ao que torna a constante de acoplamento adimensional ´e chamada de di-
mens˜ao cr´ıtica d
c
da teoria. Da´ı introduzimos o parˆametro de regulariza¸c˜ao dimensional
como
L
= d
c
− d = 4 +
m
2
− d (
. )
O propagador livre da teoria no espa¸co dos momentos ´e ent˜ao expresso por meio de
G
0 ab
= δ
ab
1
p
2
+ (k
2
)
2
+ µ
2
(
. )
Em que k ´e o momento definido ao longo das m dire¸c˜oes competitivas ( [ k ] = Λ
1/2
) e p
´e o momento ao longo das d − m dire¸c˜oes n˜ao competitivas ( [ p ] = Λ ).
Para sistemas competitivos, o tratamento do GR ´e semelhante `aquele usado para
sistemas sem comp eti¸c˜ao. As integrais de Feynman para o caso das competi¸c˜oes ani-
sotr´opicas envolvem duas escalas para os momentos externos. A defini¸c˜ao de dois conjun-
tos de condi¸c˜oes de norma liza¸c˜ao [22] s˜ao aplicados separadamente nos subespa¸cos n˜ao-
competitivo R
d−m
e competitivo R
m
semelhantemente ao desenvolvido em ( . , . -
. ) atrav´es de
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 37
Γ
(2)
R
(p = 0; g
1
) = 0 ; (
. )
∂
∂p
2
Γ
(2)
R
(p; g
1
)
p
2
=κ
2
1
= 1 ; (
. )
Γ
(4)
R
(p
i
; g
1
)
SP
= g
1
; (
. )
Γ
(2,1)
R
(p
1
, p
2
, p; g
1
)
SP
= 1 ; (
. )
Γ
(0,2)
R
(p, g
1
)
p
2
=κ
2
1
= 0 (
. )
Em que as condi¸c˜oes de no r ma liza¸c˜ao acima est˜ao definidos no subespa¸co n˜ao-com-
petitivo com os momentos externos fixados nos p ontos de simetria SP : p
i
p
j
=
(κ
2
1
/4)(4δ
ij
− 1) e
SP : p
2
= (p
1
+ p
2
)
2
= κ
2
1
. A escala κ
1
dos momentos no subespa¸co
R
d−m
´e fixada em κ
2
1
= 1.
Definimos o conjunto complementar das condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao para o subespa¸co
competitivo por meio de
Γ
(2)
R
(k = 0; g
2
) = 0 ; (
. )
∂
∂(k
2
)
2
Γ
(2)
R
(k; g
2
)
(k
2
)
2
=κ
4
1
= 1 ; (
. )
Γ
(4)
R
(k
i
; g
2
)
SP
= g
2
; (
. )
Γ
(2,1)
R
(k
1
, k
2
, k; g
2
)
SP
= 1 ; (
. )
Γ
(0,2)
R
(k, g
2
)
(k
2
)
2
=κ
4
2
= 0 (
. )
As condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao expressas acima est˜ao definidas no sub espa¸co com-
petitivo com os momentos externos fixados nos pontos de simetria SP : k
i
k
j
=
(κ
2
2
/4)(4δ
ij
− 1) e
SP : k
2
= (k
1
+ k
2
)
2
= κ
2
2
. E portanto, a escala κ
2
dos momentos
externos no subespa¸co R
m
´e fixada em κ
2
= 1.
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 38
Assim ent˜ao, o sistema apresenta dois comprimentos de correla¸c˜ao independentes
ξ
L2
∼ | t |
ν
L2
e ξ
L4
∼ | t |
ν
L4
em cada subespa¸co (n˜ao -competitivo e competitivo, respecti-
va mente) [22]. Similar mente ao que obtemos em (
. ), escrevemos a equa¸c˜ao do GR
para a parte de v´ertice Γ
(0,2)
R (τ )
como
κ
τ
∂
∂κ
τ
+ β
τ
(u
τ
)
∂
∂u
τ
−
1
2
γ
φ (τ)
(u
τ
) M
b
∂
∂M
b
+ γ
φ
2
(τ)
(u
τ
)
2 +t
∂
∂t
Γ
(0,2)
R (τ)
= κ
−τ
L
τ
B
τ
(u
τ
),
(
. )
que ´e definida acima ou abaixo da temperatura cr´ıtica T
c
.
κ
−τ
L
τ
B
τ
(u
τ
) = −Z
2
φ
2
(τ)
κ
τ
∂
∂κ
τ
Γ
(0,2)
(p; λ
τ
, Λ
τ
)
p
2
=κ
2τ
τ
. (
. )
O r´otulo τ = 1 ou 2 nas vari´aveis diz respeito aos subespa¸cos R
d−m
ou R
m
, respecti-
va mente, em que ´e tratado as quantidades.
Denotamos as fun¸c˜oes de Wilson especificadas no subespa¸co τ atrav´es de
β
τ
(u) =
κ
τ
∂u
τ
∂κ
τ
λ
τ
= −τ
L
∂ ln u
0 τ
∂u
τ
−1
λ
τ
; (
. )
γ
φ (τ)
(u
τ
) = κ
τ
∂ ln Z
φ
τ
∂κ
τ
λ
τ
= β
τ
(u
τ
)
∂ ln Z
φ (τ)
∂u
τ
≡ η
τ
(u
τ
); (
. )
γ
φ
2
(τ)
(u
τ
) = −κ
τ
∂ ln Z
φ
2
(τ)
∂κ
τ
λ
τ
= −β
τ
(u
τ
)
∂ ln Z
φ
2
(τ)
∂u
τ
≡ 2 −
1
ν
τ
(u
τ
)
. (
. )
A partir das fun¸c˜oes de Wilson ´e possivel obter os expoentes cr´ıticos no ponto fixo ν
τ
e η
τ
. Da s propriedades de escala nas partes de v´ertices, verificamos o conjunto das leis
de escala, e a partir das mesmas, o restante dos expoentes cr´ıticos.
Seguindo os mesmos passos da se¸c˜ao anterior e equivalentemente `a express˜ao (
. ),
podemos mostrar o calor espec´ıfico como
C(t) = −Γ
(0,2)
R (τ )
(0; t, M, u
∗
τ
) −
ν
τ
α
τ
B
τ
(u
∗
τ
) , ∀ τ (
. )
em que o expoente cr´ıtico do calor espec´ıfico ´e expresso por meio da lei de escala α
τ
=
2 − τν
τ
d −
m
2
.
Ao passo que o comportamento cr´ıtico isotr´opico acontece quando a competi¸c˜ao entre
primeiros e segundos vizinhos ocorre em todas as dire¸c˜oes do espa¸co, ou seja, d = m.
A densidade de energia livre de Ginzburg-Landau para este caso com um parˆametro de
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 39
ordem N-vetorial φ ´e expressa por meio de
L(φ) =
1
2
|∇
2
(m)
φ|
2
+
δ
0
2
|∇
(m)
φ|
2
+
µ
2
2
φ
2
+
λ
4!
(φ
2
)
2
(
. )
O ponto de Lifshitz ´e definido para uma temperatura cr´ıtica T
L
e quando δ
0
= 0 na
equa¸c˜ao (
. ). A a¸c˜ao ´e, ent˜a o, definida como
S[φ] =
d
m
x
L(φ) =
d
m
k
1
2
φ(−k)
(k
2
)
2
+ µ
2
φ(k) +
L
int
(φ). ( . )
em que
L
int
(φ) ´e setor de intera¸c˜ao do tipo λφ
4
.
Definimos a dimens˜ao canˆonica das coordenadas atrav´es de [x
] = Λ
−1/2
, e o elemento
de volume como [d
m
x
] = Λ
−d/2
. Desde que a a¸c˜ao acima seja adimensional, calculamos a
dimens˜ao canˆonica por [φ] = Λ
d/4−1
e por conseguinte a dimens˜ao canˆonica da constante
de acoplamento ´e definida por meio de
[λ] = Λ
4−d/2
= Λ
1
2
(d
c
−d)
( . )
E assim definimos a dimens˜ao cr´ıtica como d
c
= 8, a qual torna a λ adimensional.
Logo, introduzimos o parˆametro da regulariza¸c˜ao dimensional como
L
= d
c
− d = 8 − d ( . )
E escrevemos o propagador livre para o caso isotr´opico atrav´es de
G
0 ab
= δ
ab
1
(k
2
)
2
+ µ
2
(
. )
No caso isotr´opico, ap enas um conjunto de condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao ´e definido para
todo o espa¸co [22]. E portanto, o sistema exibe um ´unico comprimento de correla¸c˜ao
comum a todas as dire¸c˜oes. As condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao para o caso isotr´opico s˜ao as
mesmas definidas no subespa¸co competitivo do caso anisotr´opico descrito anteriormente
em ( . - . ), onde reescrevemos as quantidades rotuladas por g
2
→ g
3
e κ
2
→ κ
3
que distiguem o subespa¸co competitivo no comportamento anisotr´opico (τ = 2) do espa¸co
das competi¸c˜oes isotr´opicas (τ = 3). Desta maneira, o sistema apresenta um ´unico
comprimento de correla¸c˜ao ξ
L4
∼ | t |
ν
L4
ao longo de todas as dire¸c˜oes do espa¸co.
A equa¸c˜ao do GR para a pa rte de v´ertice Γ
(0,2)
R (3)
´e ent˜ao expressa como [22]:
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 40
κ
3
∂
∂κ
3
+ β
3
(u
3
)
∂
∂u
3
−
1
2
γ
φ (3)
(u
3
) M
b
∂
∂M
b
+ γ
φ
2
(3)
(u
3
)
2 + t
∂
∂t
Γ
(0,2)
R (3)
= κ
−
L
3
B
3
(u
3
),
(
. )
em que o segundo membro de
. ´e expresso como
κ
−
L
3
B
3
(u
3
) = −Z
2
φ
2
(3)
κ
3
∂
∂κ
3
Γ
(0,2)
(p; λ
3
, Λ
3
)
p
2
=κ
2
3
. (
. )
As fun¸c˜oes de Wilson correspondem `as express˜oes ( . ) e ( . ) rotuladas com
τ = 3 e tamb´em a equa¸c˜ao abaixo
β
3
(u) =
κ
3
∂u
3
∂κ
3
λ
3
= −
L
∂ ln u
0 (3)
∂u
3
−1
λ
3
; (
. )
Da mesma maneira que na descri¸c˜ao do caso anisotr´opico, definimos o calor espec´ıfico
pela express˜ao (
. ) com τ = 3. O expoent e do calor espec´ıfico α
L4
´e ent˜ao definido
pela rela¸c˜ao de escala α
L4
= 2 − mν
L4
[22].
2.4.2 Ponto de Lifshitz de Car´ater Gen´erico
A extens˜ao do cen´ario das comp eti¸c˜oes ´e realizada pelo modelo CECI N-vetorial (do
inglˆes “competing exchange coupling Ising”)[25]. Neste modelo com intera¸c˜oes competi-
tivas arbitr´arias, h´a v´arios subespa¸cos ortogonais entr e si, que definem diferentes tipos
de eixos de competi¸c˜ao caracterizados pelo n´umero de vizinhos acoplados via intera¸c˜oes
competitivas. O diagrama de fases para esse cen´ario envolve uma variedade de fases
moduladas. O ponto de coexistˆencia dessas fases ´e denominado um ponto de Lif shitz
(PL) de car´ater generalizado (ou arbitr´ario).
A representa¸c˜ao deste modelo em vari´aveis cont´ınuas ´e expressa atrav´es de uma mo-
difica¸c˜ao da teoria λφ
4
quando inclu´ımos termos de derivadas de ordem superior ao
longo de todas das m
2
, m
3
, . . . , m
L
dire¸c˜oes competitivas. A densidade de energia livre
de Ginzburg-Landau para um sistema de competi¸c˜oes anisotr´opicas com um campo de
parˆametro de ordem N-vetorial φ ´e escrita como
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 41
L(φ) =
1
2
∇
(d−
L
n=2
m
n
)
φ
2
+
1
2
L
n=2
|∇
n
(m
n
)
φ |
2
+
1
2
L
n=2
δ
0 n
| ∇
(m
n
)
φ |
2
+
L−1
n=3
n−1
n
=2
τ
nn
| ∇
n
(m
n
)
φ |+
1
2
µ
2
φ
2
+
λ
4!
(φ
2
)
2
(
. )
A regi˜ao cr´ıtica do PL de car´ater arbitr´a rio ´e definida em torno da temperatura
cr´ıtica T
L
e a um determinado conjunto de valores das raz˜oes J
2
/J
1
, J
3
/J
1
, etc, J
L
/J
1
os
quais anulam os coeficientes δ
0 n
e τ
nn
[25]. Ent˜ao expressamos a a¸c˜ao funcional para o
comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz de car´ater generalizado anisotr´opico por meio de
S[φ] =
Dx
⊥
Dx
L(φ) =
Dp Dk
1
2
φ(−p, −k)
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
+ µ
2
φ(p, k)
+
L
int
(φ) (
. )
onde as medidas de integra¸c˜ao foram usadas: Dx
⊥
Dx
≡ d
d−
L
n=2
m
n
x
⊥
L
n=2
d
m
n
x
(n)
e
Dp Dk ≡ d
d−
L
n=2
m
n
p
L
n=2
d
m
n
k
(n)
Consideramos x
definida no espa¸co R
d−
L
n=2
m
n
ausente de competi¸c˜o es e x
(n)
defi-
nido no subespa¸co R
m
n
com competi¸c˜oes at´e o n-´esimo vizinho (com n = 2 , . . . L ). Ent˜ao
encontramos as dimens˜oes canˆonicas das coordenadas por meio de [ x
⊥
] = Λ
−1
e [ x
(n)
] =
Λ
−1/n
. Neste caso, a medida de integra¸c˜ao possui a dimens˜ao [ d
d−
L
n=2
m
n
x
⊥
L
n=2
d
m
n
x
(n)
]
= Λ
−d+
L
n=2
(1−
1
n
)m
n
. No sistema natural de medidas, a a¸c˜ao ´e adimensional, e portanto a
dimens˜ao canˆonica da vari´avel de campo ´e [ φ ] = Λ
d
2
−
L
n=2
1−
1
n
m
n
2
−1
. E logo, obtemos
a dimens˜ao massiva da constante de acoplamento por meio de
[ λ ] = Λ
4+
L
n=2
1−
1
n
−d
≡ Λ
d
c
−d
. (
. )
A dimens˜ao que torna a constante de acoplamento adimensional ´e chamada de di-
mens˜ao cr´ıtica d
c
da teoria. Da´ı definimos o parˆametro de regulariza¸c˜ao dimensional
como
n
= d
c
− d = 4 +
L
n=2
1 −
1
n
− d. (
. )
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 42
Encontramos o propagador livre da teor ia no espa¸co dos momentos atrav´es de
G
0 ab
= δ
ab
1
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
+ µ
2
(
. )
Aqui o momento k
(n)
( [k
(n)
] = Λ
1/n
) ´e o moment o definido ao longo das m
n
dire¸c˜oes
com intera¸c˜oes competitivas at´e o n-´esimo vizinho (com n = 2, . . . , L ) . O momento p
([p] = Λ ) ´e definido no subespa¸co n˜ao competitivo ao longo das d −
L
n=2
m
n
dire¸c˜oes.
O tratamento do GR para sistemas competitivos de car´ater arbitr´ario, ´e semelhante
`aquele usado para sistemas com competi¸c˜ao apresentada na subse¸c˜ao anterior. As in-
tegrais de Feynman envolvidas p ossuem L escalas de momentos externos. A defini¸c˜ao
de L conjuntos de condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao [25] s˜ao aplicados separadamente nos su-
bespa¸cos. No subespa¸co n˜ao -competitivo R
d−
L
n=2
m
n
s˜ao definidas as mesmas condi¸c˜oes
de normaliza¸c˜ao (
. - . ) j´a utilizadas no comportamento cr´ıtico de Lifshitz m-
axial, ao passo que nos subespa¸cos competitivos R
m
n
’s (com 2 n L) as condi¸c˜oes de
normaliza¸c˜ao s˜ao
Γ
(2)
R
(K
(n)
= 0; g
n
) = 0 ; (
. )
∂
∂(K
2
(n)
)
n
Γ
(2)
R
(K; g
n
)
(K
2
)
n
=κ
2n
n
= 1 ; (
. )
Γ
(4)
R
(K
i (n)
; g
n
)
SP n
= g
n
; (
. )
Γ
(2,1)
R
(K
1 (n)
, K
2 (n)
, K
(n)
; g
n
)
SP n
= 1 ; (
. )
Γ
(0,2)
R
(K
(n)
, g
n
)
(K
2
(n)
)
n
=κ
2n
n
= 0 (
. )
em que aqui definimos os pontos de simetria por meio de SP
n
: K
i (n)
K
j (n)
= (κ
2
n
/4)(4δ
ij
−
1) e
SP
n
: K
2
(n)
= ( K
1 (n)
+ K
2 (n)
)
2
= κ
2
(n)
(e subsidiariamente: K
(n
)
= 0 quando
n = n
).
O sistema apresenta L comprimentos de correla¸c˜ao ξ
1
∼ | t |
ν
1
, ξ
2
∼ | t |
ν
2
at´e ξ
L
∼
| t |
ν
L
em cada subespa¸co corresp ondente.
Tomando os mesmos resultados descritos em (
. - . ) e alt era ndo a nota¸c˜ao
do r´otulo atrav´es de τ → n, escrevemos a equa¸c˜ao do GR e as correspo ndentes fun¸c˜oes
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 43
de Wilson, e bem como a express˜ao do calor espec´ıfico v´alido para todo n. Por lei de
escala denotamos o expoente cr´ıtico do calor esp ec´ıfico por meio de α
n
= 2 − n
d −
L
n
=2
n
−1
n
m
n
ν
n
∀ n [25].
O comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz de car´ater generalizado isotr´opico ´e realizado
quando ocorre competi¸c˜ao at´e o n- en´esimo vizinho em todas as dire¸c˜oes , ou seja, d = m
n
.
A densidade de energia de Ginzburg- L andau para esse caso ´e expressa como
L(φ) =
1
2
|∇
n
(m
n
)
φ |
2
+
1
2
δ
0 n
| ∇
(m
n
)
φ |
2
+
1
2
µ
2
φ
2
+
λ
4!
(φ
2
)
2
(
. )
O ponto de Lifshitz ´e ent˜ao definido sobre a temperatura cr´ıtica T
L
e quando os
coeficientes δ
0 n
s˜ao anulados. Ou seja, escrevemos a a¸c˜ao atrav´es de
S[φ] =
d
m
n
x
L(φ) =
d
m
n
k
1
2
φ(−k)
(k
2
(n)
)
n
+ µ
2
φ(k) −
L
int
(φ). (
. )
Definimos a dimens˜ao canˆonica das coordenadas como [x
] = Λ
−1/n
e assim, o elemento
de volume por [d
m
n
x
] = Λ
−d/n
. A dimens˜ao canˆonica do campo ´e expressa atrav´es de
[φ]
d/2n−1
da an´alise do termo de intera¸c˜ao obtemos a dimens˜ao canˆonica da constante de
acoplamento como
[λ] = Λ
4n−d
n
= Λ
d
c
−d
n
( . )
Encontramos, assim, a dimens˜ao cr´ıtica atrav´es de d
c
= 4n, que adimensionaliza a
constante de acoplamento quando d = d
c
. Por conseguinte, definimos o parˆametro da
regulariza¸c˜ao dimensional como
n
= d
c
− d = 4n − d. (
. )
Escrevemos o propag ador livre para o caso isotr ´opico por meio de
G
0 ab
= δ
ab
1
(k
2
(n)
)
n
+ µ
2
(
. )
Um ´unico conjunto de condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao s˜ao definidos para todo o espa¸co no
caso isotr´opico R
d
[25]. O mesmo conjunto de equa¸c˜oes
O conjunto das equa¸c˜oes (
. - . ) pa r a um n fixo s˜ao as condi¸c˜oes de norma-
liza¸c˜ao para o caso das competi¸c˜oes isotr´opicas generalizadas, onde o r´otulo n ´e fixo.
2.4 RENORMALIZAC¸
˜
AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 44
Tamb´em aqui podemos seguir a mesma sequˆencia de (
. - . ) com a altera¸c˜ao
de r´otulos (τ = 3 → n = fixo), obtemos desde a equa¸c˜ao do G R at´e o calor espec´ıfico.
A lei de escala que define o expoente do calor espec´ıfico para este caso ´e expresso por
α
n
= 2 − m
n
ν
n
[25].
CAP
´
ITULO 3
AMPLITUDES PARA O PONTO DE LIFSHITZ
m-AXIAIS
No cap´ıtulo anterior, revimos a descri¸c˜a o dos m´etodos funcionais em fenˆomenos cr´ıticos.
Vimos tamb´em que na teoria λΦ
4
podemos introduzir uma modifica¸c˜ao no termo cin´etico
de sua densidade lagr angiana para descrevermos o comportamento cr´ıtico do tipo Lif-
shitz m-axial. Esse comport amento em sistemas magn´eticos corresponde `a competi¸c˜ao
das intera¸c˜oes ferro e antiferro entre os primeiros e segundos s´ıtios vizinhos (de spins),
respectivamente.
O c´alculo dos expoentes e raz˜oes de amplitudes universais podem ser realizados via
grupo de renormaliza¸c˜ao. A raz˜ao de amplitudes do calor espec´ıfico A
+
/A
−
apresenta o
mesmo valor para diversos sistemas independente dos detalhes microsc´opicos, desde que
os sistemas perten¸cam a uma mesma classe de universalidade (N,d,m).
O comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz uniaxial (m = 1) pode ser realizado em
sistemas magn´eticos, cujo representante mais estudado ´e o MnP (N = 1). O MnP
apresenta muitos resultados experimentais medidos [18, 19, 39], o que permite uma com-
para¸c˜ao com os resultados te´oricos. Em [40] ´e calculada a raz˜ao A
+
/A
−
para o MnP,
que apresenta uma classe de universalidade (N = 1, d = 3, m = 1).
O estudo do caso m-axial estimula o interesse em novos materiais com suas proprie-
dades previstas teoricamente. Os c´alculos realizados podem ser usados para a compara¸c˜ao
com resultados experimentais dispon´ıveis, e mais, podem servir de fonte de inspira¸c˜ao
para a fabrica¸c˜ao de novos materiais que realizam, em princ´ıpio, as classes de universali-
dade abordadas teoricamente.
Neste cap´ıtulo iremos obter raz˜oes de amplitudes do calor espec´ıfico para o comporta-
mento cr´ıtico do tipo Lifshitz para os casos anisotr´opico e isotr´opico, separadamente. No
caso anisotr´opico, o n´umero de eixos de competi¸c˜ao ´e menor que a dimens˜ao d do espa¸co
(m < d). No caso isotr´opico a competi¸c˜ao a contece em todas as dire¸c˜oes do espa¸co, ou
seja, m = d. Mantendo fixo o n´umero de componentes do parˆametro de or dem, realiza-
mos a expans˜ao em
L
≡ d
c
−d que exigir´a um tratamento diferenciado para os dois casos.
Com o aux´ılio da aproxima¸c˜ao ortogonal [22] consiguiremos realizar os dois casos. Mas,
o caso isotr´opico pode ser calculado exatamente e ser comparado com a aproxima¸c˜ao.
45
3.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 46
3.1 CASO ANISOTR
´
OPICO
No cap´ıtulo anterior conhecemos a a¸c˜ao e o potencial efetivo renormalizado em 1-
loop da teoria λΦ
4
obtidos no espa¸co dos momentos e expressos em ( . ) e ( . ),
respectivamente.
Comparando as express˜oes das a¸c˜oes do modelo N-vetorial da teoria λΦ
4
e do com-
portamento cr´ıtico do t ipo Lifshitz m-axial enunciada em (
. ), podemos construir o
conjunto de transforma¸c˜oes abaixo que levam a primeira a¸c˜ao na segunda, por meio de
k
2
=⇒ p
2
+ (k
2
)
2
(
. )
(k + K)
2
=⇒ ( p + P )
2
+
(k + K)
2
2
(
. )
d
d
k =⇒
d
d−m
p d
m
k (
. )
Efetuamos essas transforma¸c˜oes nos momentos dos propagadores e nas medidas de
integr a¸c˜ao dos v´ertices na s regras de Feynman para o caso das competi¸c˜oes anisotr´opicas.
Aplicando as transforma¸c˜oes acima no potencial efetivo renormalizado do modelo N-
vetoria l da teoria λΦ
4
em (
. ) expresso em ( . ), obtemos o potencial correspondente
para o comportament o cr´ıtico do tipo Lifshitz m-axial do caso anisotr´opico por meio de
Γ
R
(y = u
∗
M
2
, t) =
1
2u
∗
ty +
y
2
12
+
1
2
d
d−m
p d
m
k
(N − 1) ln
1 +
t +
y
6
p
2
+ (k
2
)
2
+ln
1+
t +
y
2
p
2
+ (k
2
)
2
−
1
p
2
+ (k
2
)
2
N
t+
y
6
+
y
3
+
1
4
I
SP (τ )
N
t+
y
6
2
+
2
3
y
t+
y
3
+ O(
L
). (
. )
onde, definimos o parˆametro perturbativo da regulariza¸c˜ao atrav´es de
L
= 4 + m/2 − d.
A integral I
SP (τ )
´e resolvida em (B.
), e a explicitamos abaixo
I
SP (τ )
=
d
d−m
p d
m
k
1
p
2
+ (k
2
)
2
(p + P )
2
+
(k + K)
2
2
SP τ
. (
. )
O r´ot ulo τ na integral acima diz respeito `as normaliza¸c˜oes nos subespa¸cos R
d−m
ausente de competi¸c˜ao (τ = 1) ou R
m
onde ocorre a competi¸c˜ao (τ = 2) nos quais
3.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 47
realizamos a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao atrav´es do ponto sim´etrico SP
(τ)
atrav´es de
SP
(τ=1)
: P
2
= 1 , (K
2
)
2
= 0 (
. )
SP
(τ=2)
: P
2
= 0 , (K
2
)
2
= 1. (
. )
A minimiza¸c˜ao da energia livre fornece o valor de M que descreve os v´acuos com
simetria O(N) da fase desordenada (M = 0) e o v´acuo da fase ordenada (M = 0)
descrevendo a quebra espontˆanea da simetria O(N) . Ao inv´es de M, podemos usar a
va r i´avel y. A minimiza¸c˜ao em termos da va r i´avel y pode ser escrita como
0 =
∂Γ
R
∂M
= 2u
∗
M
∂Γ
R
∂y
=⇒ M = 0 e
∂Γ
R
∂y
y
= 0. (
. )
Temos ent˜ao, dois tipos de solu¸c˜ao: o v´acuo trivial M = 0 e o v´acuo degenerado
y =
y(t). Determinamos o ´ultimo atrav´es de
0 =
∂Γ
R
∂y
y
=
1
2u
∗
t +
y
6
+
1
2
d
d−m
p d
m
k
N − 1
6
1
p
2
+ (k
2
)
2
+ t + y/6
−
1
p
2
+ (k
2
)
2
+
1
2
1
p
2
+ (k
2
)
2
+ t + y/2
−
1
p
2
+ (k
2
)
2
+
1
4
I
SP (τ )
N − 1
3
t +
y
6
+
t +
y
2
=
1
2u
∗
t +
y
6
−
N − 1
12
t +
y
6
d
d−m
p d
m
k
1
p
2
+ (k
2
)
2
p
2
+ (k
2
) + t +
y/6
− I
SP (τ )
−
1
4
t +
y
2
d
d−m
p d
m
k
1
p
2
+ (k
2
)
2
p
2
+ (k
2
) + t +
y/2
− I
SP (τ )
+ O(
L
).
(
. )
Atr av´es da f´ormula de Feynman (B.
) e do resultado (B. ), resolvemos a seguinte
integr al abaixo
3.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 48
d
d−m
p d
m
k
1
p
2
+ (k
2
)
2
p
2
+ (k
2
)
2
+ m
2
= I
SP (τ )
−
1
2
1 + ln m
2
+ O(
L
). (
. )
onde usamos a express˜ao da integral I
SP (τ )
expressa em (B.
).
Portanto, usando (
. ) em ( . ) atrav´es de m
2
= t + y/2 e m
2
= t + y/6, obtemos
t+
y
6
+
u
∗
4
N − 1
3
t+
y
6
1+ln
t+
y
6
+
t+
y
2
1+ln
t+
y
2
+ O(
2
L
) = 0.
(
. )
O primeiro termo do lado direito de (
. ) corresponde a contribui¸c˜a o da energia livre
de Landau j´a encontrado em ( . ) para o modelo N-vetorial de sistemas sem competi¸c˜ao.
E ´e seguido da cor r e¸c˜ao de 1-loop na magnetiza¸c˜ao.
Obtemos a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima perturbativamente, que pode ser escrita na
forma
y(t) = u
∗
M
2
(t) = −6t + 3t
1 + ln(−2t)
u
∗
+ O(u
∗2
), ( . )
onde a constante de acoplamento no ponto fixo para o comp ortamento cr´ıtico de Lifshitz
m-axial no caso anisotr´opico pode ser calculada em [2 2] a t rav´es de
u
∗
=
6
L
N + 8
1 +
L
− [i
2
]
m
+
9N + 42
(N + 8)
2
+ O(
2
L
)
, (
. )
onde definimos [i
2
]
m
≡ 1 +
1
2
ψ(1) − ψ(2 −
m
4
)
e o parˆametro
L
= 4 +
m
2
− d.
Correspondemos M = 0 `a fase desordenada (paramagn´etica) a qual ´e definida acima
da temperatura cr´ıtica (T > T
c
), e o resultado
y(t) = u
∗
M
2
(t) = 0 `a f ase ordenada
(ferromagn´etica ou modulada) definida abaixo da temperatura cr´ıtica (T < T
c
).
De acordo com a discuss˜ao desenvolvida na se¸c˜ao 2.4, podemos calcular o calor es-
pec´ıfico C
±
(t) acima ou abaixo da temperatura cr´ıtica por meio de
C
±
= −Γ
(0,2)
R ±
(t) −
ν
L τ
α
L τ
B
τ
(u
∗
) ∀ τ, (
. )
onde escrevemos o termo decorrent e da contribui¸c˜ao inomogˆenea do GR
B
τ
(u
∗
) = −κ
τ
∂Γ
(0,2)
bare
∂κ
τ
κ
2
τ
=1
= −
N
2
τ
L
I
SP τ
, (
. )
3.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 49
em que a parte de v´ertice n˜ao renormalizada ´e expressa por meio de
Γ
(0,2)
bare
= −
N
2
κ
−τ
L
τ
I
SP τ
. (
. )
Na referˆencia [22] os expoentes cr´ıticos do comprimento de correla¸c˜ao ξ
τ
foram calcu-
lados. Eles s˜ao dados por
ν
L τ
≡
1
τ
ν
L
=
1
τ
1
2
+
N + 2
4(N + 8)
L
+ O(
2
L
)
, (
. )
e usando lei de escala, o expoente do calor espec´ıfico resulta em
α
L τ
≡ α
L
=
4 − N
2(N + 8)
L
−
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
4(N + 8)
3
2
L
+ O(
3
L
). (
. )
Usando os resultados de (
. ), ( . ) e ( . ), obtemos a constante aditiva de renor-
maliza¸c˜a o presente na express˜ao calor espec´ıfico em ( . ) atrav´es de
−
ν
τ
α
τ
B
τ
(u
∗
) =
N(N + 8)
2(4 − N)
L
1 +
L
N + 2
2(N + 8)
+
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
2(N + 8)
2
(4 − N)
+ [i
2
]
m
+ O(
2
L
)
∀ τ. (
. )
Em termos da constante de acoplamento no ponto fixo anunciado em (
. ), a ´ultima
express˜ao pode ser escrita como
−
ν
τ
α
τ
B
τ
(u
∗
) =
3N
(4 − N)u
∗
+
2N(N + 8)
(4 − N)
2
∀ τ. (
. )
Calor Espec´ıfico para T > T
L
Na fase paramagn´etica (ou acima da temperatura cr´ıtica T
L
) a magnetiza¸c˜ao no mate-
rial ´e nula. Escrevemos a energia livre Γ
R +
para o estado sim´etrico a partir da express˜ao
(
. ) com y = u
∗
M
2
= 0 por meio de
Γ
R +
(t) =
N
2
d
d−m
p d
m
k
ln
1 +
t
p
2
+ (k
2
)
2
−
t
p
2
+ (k
2
)
2
+
N
4
t
2
I
SP τ
. (
. )
3.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 50
Usando (
. ) e ( . ) em ( . ) podemos ent˜ao calcular o calor espec´ıfico acima da
temperatura cr´ıtica e obtemos:
C
+
(t) = −
N
2
I
SP (τ )
−
d
d−m
p d
m
k
1
p
2
+ (k
2
)
2
+ t
2
+
3N
(4 − N)u
∗
+
2N(N + 8)
(4 − N)
2
.
(
. )
Usando (B. ) na integral expressa acima, escrevemos o calor espec´ıfico C
+
como uma
lei de potˆencia na vari´avel t atrav´es de:
C
+
(t) =
A
+
α
L
t
−α
L
. (
. )
Note que o expoente do calor espec´ıfico ´e expandido at´e O(
L
) como α
L
=
4 − N
2(N + 8)
L
.
E A
+
´e a amplitude do calor espec´ıfico acima da temperatura cr´ıtica, e a expressamos
como
A
+
=
N
4
1 +
L
4
4 − N
+ A
(N,m)
+ O(
2
L
)
(
. )
em que a constante
A
(N,m)
= [i
2
]
m
−
9N + 42
(N + 8)
2
−
4 − N
N + 8
−
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
2(4 − N)(N + 8)
2
(
. )
´e respons´avel pela n˜ao-universalidade das amplitudes do calor espec´ıfico e ´e cancelada no
c´alculo da raz˜ao entre elas.
Calor Espec´ıfico para T < T
L
Em qualquer uma das fases ordenadas (ou abaixo da temperatura cr´ıtica T
L
) o ma-
terial assume espontaneamente uma magnetiza¸c˜ao n˜ao nula, correspondente ao v´acuo
degenerado encontrado em (
. ). A corre¸c˜ao em 1 − loop da magnetiza¸c˜ao espontˆanea
mostra-se n˜ao relevante nos c´alculos das amplitudes do calor esp ec´ıfico em O(
L
). Ex-
pressamos a energia livre Γ
R −
(t) para o estado de simetria quebrada a partir de (
. )
com y = u
∗
M
2
= −6t + O(1 − loop) a t rav´es da equa¸c˜ao
Γ
R −
(t) = −
3
2u
∗
t
2
+
1
2
d
d−m
p d
m
k
ln
1+
−2t
p
2
+ (k
2
)
2
−
−2t
p
2
+ (k
2
)
2
+t
2
I
SP τ
. (
. )
3.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 51
Usando (
. ) e ( . ) em ( . ) calculamos o calor espec´ıfico a baixo da temperatura
cr´ıtica por meio de
C
−
=
12
(4 − N)u
∗
− 2
I
SP
−
d
d−m
p d
m
k
1
p
2
+ (k
2
)
2
− 2t
2
+
2N(N + 8)
(4 − N)
2
. (
. )
Efetuando t → −2t no resultado de (B.
) substituimos na integral expressa acima, e
ent˜ao escrevemos o calor espec´ıfico C
−
atrv´es de uma lei de potˆencia na vari´avel t como
C
−
(t) =
A
−
α
L
(−t)
−α
L
. (
. )
em que o expoente do calor espec´ıfico ´e expandido at´e O(
L
) como α
L
=
4 − N
2(N + 8)
L
.
Aqui A
−
´e a amplitude do calor espec´ıfico abaixo da temperatura cr´ıtica, e a expressamos
como
A
−
= 1 +
L
N
4 − N
−
4 − N
2(N + 8)
ln 2 + A
(N,m)
+ O
2
L
, (
. )
observe que a constante A
(N,m)
´e expressa em ( . ) quando j´a aparece na amplitude A
+
calculada em (
. ).
Raz˜ao das Amplitudes do Calor Esp ec´ıfico
A exemplo do que foi discutido na se¸c˜ao 2.3, as amplitudes cr´ıticas do calor esp ec´ıfico
n˜ao s˜ao universais, ao contr´ario dos expoentes cr´ıticos que s˜ao comuns a sistemas que
estejam em uma mesma classe de universalidade. No entanto, na mesma se¸c˜a o mostramos
que as raz˜oes das amplitudes cr´ıticas integram o conjunto das grandezas universais na
descri¸c˜ao dos fenˆomenos cr´ıticos.
A raz˜ao entre as amplitudes do calor espec´ıfico A
+
em (
. ) e A
−
em ( . ) acima e
abaixo da temperatura cr´ıtica, r espectivamente, ´e ent˜ao expressa atrav´es de
A
+
A
−
=
N
4
2
α
L
(1 +
L
)
. ( . )
O expoente do calor espec´ıfico na express˜ao acima ´e utilizado em O(
L
, isto ´e, α
L
=
L
4 − N
2(N + 8)
+ O(
2
L
).
A raz˜ao universal A
+
/A
−
´e, ent˜ao determinada dentro de uma classe de universali-
3.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 52
dade (N, d, m) para a descri¸c˜ao de sistemas que exibem o comportamento cr´ıtico do tipo
Lifshitz m-a xial para o caso anisotr´opico (m < d) . Os valores de N correspondem ao
n´umero de componentes do parˆametro de ordem, e que podemos tomar, por exemplo,
como N = 1, 2, e 3. As vari´aveis d e m s˜ao, respectivamente, as dimens˜oes do espa¸co
e do subespa¸co competitivo. Das condi¸c˜oes de que
L
> 0 e m < d, as vari´aveis d e m
assumem valores dentro da faixa m < d < 4 + m/2 < 8.
Imediatamente, a realiza¸c˜ao f´ısica em d = 3 se revela de interesse maior, e conseq¨uen-
temente podemos tomar os casos: m = 0 (
L
= 1), em que reproduzimos os resultados do
modelo N-veto r ial para sistemas sem competi¸c˜ao; e m = 1 (
L
= 1, 5) e m = 2 (
L
= 2)
que revelam competi¸c˜oes uni e biaxiais. Podemos colecionar os seguintes valores de raz˜oes
A
+
/A
−
em 1-loop em d = 3.
m = 0 m = 1 m = 2
N = 1 0,53 0, 67 0, 81
N = 2 1,03 1, 30 1, 57
N = 3 1,52 1, 91 2, 30
Tabela 3.1 Tabela das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comportamento cr´ıtico de Lifshitz
m-axial do caso anisotr´opico em d = 3.
Os resultados da pr imeira coluna (m = 0) conferem com a literatura para sistemas
livres de competi¸c˜ao e s˜ao consistentes com os experimentos envolvidos. Para uma re-
vis˜ao destes r esultados, conferir [30] e referˆencias citadas. A substˆancia MnP apresenta
competi¸c˜ao uniaxial descrita atrav´es do modelo ANNNI e uma classe de universalidade
(N = 1, m = 1, d = 3) com resultado experimental A
+
/A
−
= 0 , 65 ± 0, 05 [39] e est´a
muito pr´oximo com a nossa predi¸c˜ao te´orica de A
+
/A
−
= 0, 67 com um desvio de apenas
3, 1%. Apesar que o expoente α
L
medido em experiˆencia [39] entre 0,4 e 0, 5 difere signi-
ficamente do resultado te´orico de −0, 05 com o c´alculo em dois loops [22] para a classe
de universalidade do modelo ANNNI.
Outras substˆancias que possuem fases moduladas podem tamb´em apresentar o PL,
a exemplos dos materia is CeSb [41], Sn
2
P
2
(Se
x
S
1−x
)
6
[42]. A substˆancia NbO
2
[43, 44]
´e descrita com N = 2 e m = 1. Experimentos indicam que o perovsquita RbCaF
3
[45, 46] possuem um PL. O elemento T b e outras terras raras com a mesma classe de
universalidade do Dy e Ho [47] s˜ao apontados por [48] serem candidatos em apresentar o
PL. Uma revis˜ao a respeito de sistemas e estruturas modulados po de ser consultada em
[4, 49, 50].
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO 53
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO
No caso isotr´opico, a competi¸c˜ao ´e estendida a todas as dire¸c˜oes axiais. At´e o mo-
mento, o caso isotr´opico do comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz m-axial n˜ao tem
muita s aplica¸c˜oes fenomenol´ogicas para d = m pr´oximo de sua dimens˜ao cr´ıtica d
c
= 8.
Por outro lado, os casos em d = 3 tem aplica¸c˜oes concretas. O formalismo apresen-
tado nesta tese n˜ao consegue explicar os comportament os isotr´opicos em d = m = 3, no
entanto espera-se que no f utur o estes comportamentos possam ser explicados.
O tr atamento deste caso ´e inteiramente similar a o do caso anisotr´opico e por isso,
va mo s ser o mais econˆomicos que pudermos. Mas, efetuamos a renormaliza¸c˜ao atrav´es da
expans˜ao no novo parˆa metro perturbativo
L
= 8 − d > 0 e, calculamos novas integrais,
as quais classificamos de isotr´opicas.
Similarmente `a maneira que procedemos na se¸c˜ao anterior, podemos comparar as a¸c˜oes
do comportamento cr´ıtico de Lifshitz m-axial isotr´opico (
. ) e do modelo N-vetorial
de sistemas sem competi¸c˜ao ( . ) e obtemos o seguinte mapa
k
2
=⇒ (k
2
)
2
(
. )
(k + K)
2
=⇒
(k + K)
2
2
. (
. )
Essas tra nsfor ma ¸c˜oes podem ser aplicadas diretamente nos propagadores das regr as
de Feynman para o caso de competi¸c˜oes isotr´opicas.
Aplicando as transforma¸c˜oes acima no potencial efetivo renormalizado do modelo N-
vetoria l da teoria λΦ
4
expresso em (
. ), obtemos o potencial corresp ondente para o
comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz m-axial do caso isotr´opico por meio de
Γ
R
(y, t) =
1
2u
∗
ty +
y
2
12
+
1
2
d
m
k
(N − 1) ln
1 +
t +
y
6
(k
2
)
2
+ ln
1 +
t +
y
2
(k
2
)
2
−
1
(k
2
)
2
N
t +
y
6
+
y
3
+
1
4
I
SP (τ =3)
N
t +
y
6
2
+
2y
3
t +
y
3
+ O(
L
) .
( . )
A integra l I
SP (τ =3)
´e resolvida em (B.
) atrav´es da aproxima¸c˜ao ortogonal e em
(B.
) pelo c´alculo exato, e a explicitamos abaixo
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO 54
I
SP (τ =3)
=
d
m
k
1
(k
2
)
2
(k + K)
2
2
SP τ =3
. (
. )
O r´otulo τ = 3 na integral acima diz respeito a nor ma liza¸c˜ao para o comportamento
competitivo isotr´opico que ocorre em todo R
d
atrav´es do ponto de simetria SP: (K
2
) = 1.
Aqui vale a condi¸c˜ao de isotropia d = m.
Al´em da solu¸c˜ao do v´acuo trivial paramagn´etico M = 0, a energia livre Γ
R
apresenta
o v´acuo degenerado obtido por meio da condi¸c˜ao
∂Γ
R
∂y
y(t)
= 0 =⇒
y(t) = u
∗
M
2
= −6t + O(1 − loop) ( . )
Aqui tamb´em a corre¸c˜ao em 1-loop na magnetiza¸c˜ao espontˆanea n˜ao ´e relevante nos
c´alculos do calor espec´ıfico.
Na fase desordenada, a magnetiza¸c˜ao no sistema ´e nula. Escrevemos a energia livre
Γ
R +
para o v´acuo trivial y = u
∗
M
2
= 0 na forma de:
Γ
R +
(t) =
N
2
d
m
k
ln
1 +
t
(k
2
)
2
−
t
(k
2
)
2
+
N
4
t
2
I
SP (τ =3)
(
. )
No estado de simetria quebrada (T < T
L
), com uma magnetiza¸c˜ao espontˆanea u
∗
M
2
=
y(t) = −6t + O(1 − loop) no sistema, denotamos a energia livre Γ
R −
atrav´es de
Γ
R −
(t) = −
3
2u
∗
t
2
+
1
2
d
m
k
ln
1 +
−2t
(k
2
)
2
−
−2t
(k
2
)
2
+ t
2
I
SP (τ =3)
(
. )
O calor espec´ıfico acima ou abaixo da tempera t ur a cr´ıt ica T
L
para o comportamento
de Lifshitz m-axial isotr´opico vale
C
±
(t) = −Γ
(0,2)
R ±
(t) −
ν
L4
α
L4
B(u
∗
L4
). (
. )
Em que, ν
L4
e α
L4
s˜ao os expoentes cr´ıticos do comprimento de correla¸c˜ao e do calor
esp ec´ıfico no espa¸co comp etitivo isotr´opico. Denotamos o termo inomogˆeneo do GR para
o comportamento isotr´opico por meio de
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO 55
B
(τ=3)
(u
∗
L4
) = −κ
(τ=3)
∂ Γ
(0,2)
bar
∂κ
(τ=3)
κ
2
(τ=3)
=1
= −κ
(τ=3)
∂
∂κ
(τ=3)
−
N
2
κ
−
L
(τ=3)
I
SP (τ =3)
κ
2
(τ=3)
=1
(
. )
Na pr´oxima subse¸c˜ao calcularemos a raz˜ao entre a s amplitudes utilizando a aproxima¸c˜ao
ortogonal. Entretanto, o caso isotr´opico tem a flexibilidade suficiente para que as inte-
grais de Feynman sejam resolvidos exatament e, t´opico que abordaremos mais adiante.
3.2.1 C´alculo com a Aproxima¸c˜ao Ortogonal
Nesta se¸c˜ao iremos obter as amplitudes cr´ıticas do calor espec´ıfico com o emprego da
aproxima¸c˜ao ortogonal desenvolvida em [22], ´e apresentada aqui no c´alculo de algumas
integr ais no apˆendice B. Na pr´oxima subse¸c˜ao , discutiremos o c´alculo exato at´e 1- l oop
das amplitudes cr´ıticas.
Os expoentes cr´ıticos ν
L4
e α
L4
para o caso isotr´opico com a aproxima¸c˜ao ortogonal
[22] s˜ao apresentadas por meio de
ν
L4
=
1
4
+
N + 2
16(N + 8)
L
+ O(
2
L
) , (
. )
α
L4
=
4 − N
4(N + 8)
L
−
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
16(N + 8)
3
2
L
+ O(
3
L
) . (
. )
Atr av´es do resultado da integral I
SP (τ =3)
em (B.
), obtemos
Γ
(0,2)
bare
= −
N
2
κ
−
L
(τ=3)
I
SP (τ =3)
= −
N
2
κ
−
L
1
L
1 +
L
4
+ O(
2
L
)
(
. )
Consequentemente escrevemos ( . ) na forma
B
L4
(u
∗
L4
) = −
N
2
1 +
L
4
+ O(
2
L
)
. (
. )
Expressamos a constante aditiva de renormaliza¸c˜ao do calor espec´ıfico atrav´es de
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO 56
−
ν
L4
α
L4
B
L4
(u
∗
L4
) =
N(N + 8)
2(4 − N)
L
1 +
L
4
1 +
N + 2
N + 8
+
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
(4 − N)(N + 8)
2
+ O(
2
L
)
=
3N
(4 − N)u
∗
L4
+
N(N + 8)
(4 − N)
2
.
(
. )
em que usamos a constante de acoplamento no ponto fixo para o caso isotr´opico ´e calcu-
lada por meio da aproxima¸c˜ao or t ogonal em [22] como
u
∗
L4
=
6
L
N + 8
1 −
L
1
4
1 −
2(9N + 42)
(N + 8)
2
+ O(
2
L
)
. (
. )
Calor Espec´ıfico para T > T
L
Substituindo (
. ) e ( . ) em ( . ) calculamos o calor espec´ıfico na fase em que a
magnetiza¸c˜a o ´e nula por
C
+
(t) = −
N
2
I
SP (τ =3)
−
d
m
k
1
(k
2
)
2
+ t
2
+
3N
(4 − N)u
∗
L4
+
N(N + 8)
(4 − N)
2
. (
. )
Substituindo o resultado de (B.
) em ( . ), expressamos o calor espec´ıfico como
uma lei de potˆencia em t atr av´es de
C
+
(t) =
A
+
α
L4
t
−α
L4
, (
. )
onde o expo ente α
L4
´e da ordem O(
L
) expresso em (
. ), e A
+
´e a amplitude do calor
esp ec´ıfico acima da temperatura cr´ıtica, que ´e expressa como
A
+
=
N
8
1 +
L
1
2
1
4 − N
+ B
(N)
+ O(
2
L
)
. (
. )
Expressamos a constante presente na amplitude atrav´es da identifica¸c˜ao
B
(N)
=
1
2
−
9N + 42
(N + 8)
2
−
4 − N
N + 8
−
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
2(4 − N)(N + 8)
2
. (
. )
Se comparamos a constante acima com A
(N,m)
enunciada em (
. ), constatamos
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO 57
B
(N)
= A
(N,m=0)
.
Calor Espec´ıfico para T < T
L
Substituindo (
. ) e ( . ) em ( . ), escrevemos o calor espec´ıfico na fase de ma-
gnetiza¸c˜ao espontˆanea na forma
C
−
=
12
(4 − N)u
∗
L4
− 2
I
SP
L4
−
d
m
k
1
(k
2
)
2
− 2t
2
+
N(N + 8)
(4 − N)
2
. (
. )
Substituindo (B.
) em ( . ) identificamos o calor espec´ıfico pela seguinte lei de
potˆencia
C
−
=
A
−
α
L4
(−t)
−α
L4
. (
. )
A quant idade A
−
´e a a mplitude do calor espec´ıfico acima da temperatura cr´ıtica, que ´e
expressa como
A
−
=
1
2
1 +
L
1
2
N
4 − N
−
4 − N
2(N + 8)
ln 2 + B
(N)
+ O(
2
L
)
(
. )
note que B
(N)
´e expressa em (
. ).
Raz˜ao das Amplitudes do Calor Esp ec´ıfico
A raz˜ao universal das amplitudes do calor espec´ıfico usando (
. ) e ( . ) torna-se
A
+
A
−
=
N
4
2
α
L4
1 +
L
2
( . )
em que α
L4
=
L
4 − N
4 (N + 8)
+ O(
2
L
) .
Note que esta express˜ao ´e muito similar ao resultado encontrado para o comport a-
mento anisotr´opico em (
. ). O expoente α
L4
e o parˆametro perturbativo
L
s˜ao dife-
rentes para os dois casos. Na pr´oxima subse¸c˜ao iremos calcular a r az˜ao das amplitudes
exatamente.
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO 58
3.2.2 C´alculo Exato
Os expoentes cr´ıticos e a constante de acoplamento no ponto fixo calculados em [22]
para o comportamento cr´ıt ico do tipo Lifshitz m-axial atrav´es da a pr oxima¸c˜ao ortogonal
e o c´alculo exato s˜ao iguais em 1-loop e passam a diferir-se apenas em O(
2
L
). Parti-
cularmente, o c´alculo das amplitudes cr´ıticas do calor espec´ıfico em 1-loop dep ende de
α
L4
e da constante de acoplamento u
∗
L4
em 2-loops, e desta ´ultima crucialmente. Por
isso, ´e importante calcular a raz˜ao entre estas a mplitudes exatamente, e comparar com a
aproxima¸c˜ao. A compara¸c˜ao pela primeira vez na literatura entre os dois resultados tem
aspectos importantes.
Os expoentes cr´ıticos para o caso isotr´opico ν
L4
e α
L4
do comprimento de correla¸c˜ao
e do calor espec´ıfico, respectivamente, s˜ao calculados exatamente em [25] por meio de
ν
L4
=
1
4
+
N + 2
16(N + 8)
L
+ O(
2
L
) e, (
. )
α
L4
=
4 − N
4(N + 8)
L
+
(N + 2)(−15N
2
+ 62N + 952)
240(N + 8)
3
2
L
+ O(
3
L
) (
. )
Atr av´es do resultado da integral I
SP (τ =3)
em (B.
) obtemos
Γ
(0,2)
bare
= −
N
2
κ
−
L
1
L
1 −
1
12
L
+ O(
2
L
)
(
. )
E portanto, reescrevemos ( . ) por meio de
B
L4
(u
∗
L4
) = −
N
2
1 −
1
12
L
+ O(
2
L
)
(
. )
A constante aditiva de renormaliza¸c˜ao do calor espec´ıfico ´e expresso atrav´es de
−
ν
L4
α
L4
B
L4
(u
∗
L4
) =
N(N + 8)
2(4 − N)
L
1 +
L
4
N + 2
N + 8
−
(N + 2)(−15N
2
+ 62N + 952)
15(4 − N)(N + 8)
2
+
1
3
+ O(
2
L
)
=
3N
(4 − N) u
∗
L4
−
N(N + 8)
3(4 − N)
2
(
. )
observe que usamos a constant e de acoplamento no ponto fixo para o caso isotr´opico
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO 59
calculado em [25 ] expressa por
u
∗
L4
=
6
L
N + 8
1 −
L
1
3
41N + 202
10(N + 8)
2
−
1
4
+ O(
2
L
)
(
. )
Calor Espec´ıfico para T > T
L
Substituindo (
. ) e ( . ) em ( . ) calculamos o calor espec´ıfico na fase de magne-
tiza¸c˜ao M = 0 atrav´es de
C
+
(t) = −
N
2
I
SP (τ =3)
−
d
m
k
1
(k
2
)
2
+ t
2
+
3N
(4 − N) u
∗
L4
−
N(N + 8)
3 (4 − N)
2
. (
. )
Obtemos o calor espec´ıfico atr av´es de uma lei de potˆencia em t, quando substituimos
(B. ) em ( . ) atrav´es de
C
+
(t) =
A
+
α
L4
t
−α
L4
. (
. )
aqui o expoente α
L4
´e expresso at´e O(
L
) em (
. ). Em . , utilizamos a seguinte
express˜ao para a amplitude do calor espec´ıfico
A
+
=
N
8
1 −
L
2
3(4 − N)
+ D
(N)
+ O(
2
L
)
. (
. )
A constante D
(N)
presente na amplitude acima como
D
(N)
=
1
12
−
41N + 202
30(N + 8)
2
−
(N + 2)(−15N
2
+ 62N + 952)
60(4 − N)(N + 8)
2
+
4 − N
6(N + 8)
. (
. )
Calor Espec´ıfico para T < T
L
Substituindo (
. ) e ( . ) em ( . ), o calor espec´ıfico na fase de magnetiza¸c˜a o
esp ontˆa nea ´e dado por
3.2 CASO ISOTR
´
OPICO 60
C
−
(t) =
12
(4 − N) u
∗
L4
− 2
I
SP
L4
−
d
m
k
1
(k
2
)
2
− 2t
2
−
N(N + 8)
3(4 − N)
2
. (
. )
Usando (B.
) na equa¸c˜ao acima, obtemos o calor espec´ıfico como
C
−
=
A
−
α
L4
(−t)
−α
L4
(
. )
onde o expoente α
L4
´e da O(
L
) na express˜ao de (
. ). A amplitude A
−
do calor
esp ec´ıfico abaixo da temperatura cr´ıtica, lˆe-se
A
−
=
1
2
1 −
L
N
6(4 − N)
+
4 − N
4(N + 8)
ln 2 + D
(N)
+ O(
2
L
)
, (
. )
onde, D
(N)
´e expresso em ( . ).
Raz˜ao das Amplitudes do Calor Esp ec´ıfico
A raz˜ao universal das amplitudes do calor espec´ıfico das express˜oes (
. ) e ( . )
A
+
A
−
=
N
4
2
α
L4
1 −
L
6
, ( . )
perceba que denotamos α
L4
=
L
4 − N
4(N + 8)
+ O(
2
L
) e o parˆametro perturbativo como
L
= 8 − d.
Observamos aqui uma diferen¸ca em O(
L
) das raz˜oes de amplitudes cr´ıticas calculadas
atrav´es das duas abordagens utilizadas nesta se¸c˜ao, isto ´e, da aproxima¸c˜ao ortogonal e
do c´alculo exato. As raz˜oes entre as amplitudes de out r os potenciais termodinˆamicos
em 1-loop, a exemplo da susceptibilidade [51], s˜ao escritos inteiramente em termos dos
exp oentes cr´ıticos em 1-loop, onde os mesmos se apresentam iguais nas duas abordagens
em O(
L
). No entanto, o calor espec´ıfico apresenta um termo multiplicativo, o qual difere
nas duas abordagens. O desvio relativo entr e as raz˜oes A
+
/A
−
nas duas abordagens ´e
de 2/3 quando efetuamos o parˆametro perturbativo igual a unidade (
L
= 1 ou d = 7 ) .
Ao passo que, a raz˜ao entre as amplitudes do calor espec´ıfico no caso anisotr´opico do
comportamento cr´ıtico de Lifshitz m-axial oferece ´otimos r esultados quando comparamos
com valores experimentais [40].
Voltaremos no pr´oximo cap´ıtulo a refletir um pouco mais sobre a compara¸c˜ao das
duas abordagens no comportamento competitivo isotr´opico.
CAP
´
ITULO 4
AMPLITUDES PARA O PONTO DE LIFSHITZ DE
CAR
´
ATER GEN
´
ERICO
A competi¸c˜a o generalizada de car´ater arbitr´ario foi apresentada no cap´ıtulo 2 por meio
do modelo CECI que apresenta uma classe de universalidade do tipo (N, d, m
2
, · · · , mL).
A realiza¸c˜ao de pontos de Lifshitz de at´e quinta ordem s˜ao observadas em sistemas
de alguns tipos de pol´ımeros [52]. No entanto, n˜ao h´a na literatura resultados te´oricos
ou experimentais para a amplitudes do calor espec´ıfico para sistemas com alto car´ater de
competi¸c˜ao. Por isso, e pelos resultados alcan¸cados no cap´ıtulo anterior, motivamo-nos
a obter as raz˜oes para as amplitudes do calor espec´ıfico para o comportamento cr´ıtico
do tipo Lifshitz generalizado de car´ater arbitr´ario. Os expoentes cr´ıticos em O(
2
L
) s˜ao
calculados em [25], a pa r tir deles desenvolveremos os resultados deste cap´ıtulo.
Na primeira se¸c˜a o descreveremos o caso anisotr´opico deste comportamento e desta-
caremos os resultados para as intera¸c˜oes uni e biaxiais em d = 3. Na segunda se¸c˜ao
abordaremos o caso isotr´opico com classe de universalidade (N, d, m
L
) com o emprego da
AOG e do c´alculo exato, e os compararemos.
4.1 CASO ANISOTR
´
OPICO
De uma maneira similar ao que foi procedido no cap´ıtulo anterior, comparamos as
a¸c˜oes do modelo N-vetorial da teoria λφ
4
e do comportamento cr´ıtico de tipo Lifshitz
de car´ater gen´erico anisotr´opico e podemos construir um conjunt o de tranforma¸c˜oes que
levam uma descri¸c˜a o na outra atrav´es de
k
2
=⇒ p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
, ( . )
( k + K )
2
, =⇒ (p + P )
2
+
L
n=2
(k
(n)
+ K
(n)
)
2
n
, (
. )
d
d
k =⇒
Dp Dk . (
. )
Onde, Dp ≡ d
d−
L
n=2
m
n
p e Dk ≡
L
n=2
d
m
n
k
(n)
.
61
4.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 62
Essas transforma¸c˜oes s˜ao uma maneira simples e eficiente de traduzirmos a linguagem
descrita no cap´ıtulo 2 dos sistemas cr´ıticos que n˜ao apresentam competi¸c˜ao para o cen´a r io
de competi¸c˜oes generalizadas.
Obtemos a energia livre do comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz de car´ater gen´e-
rico quando aplicamos o conjunto das transforma¸c˜oes acima na energia livre do modelo
N-vetorial da teoria λΦ
4
expressa em ( . ) . Neste caso,
Γ
R
(y = u
∗
n
M, t) =
1
2u
∗
ty +
y
2
12
+
1
2
Dp Dk
(N − 1) ln
1 +
t +
y
6
p
2
+
L
n=1
(k
2
(n)
)
n
+ ln
1 +
t +
y
2
p
2
+
L
n=1
(k
2
(n)
)
n
−
1
p
2
+
L
n=1
(k
2
(n)
)
n
N
t +
y
6
+
y
3
+
1
4
I
SP (n)
N
t +
y
6
2
+
2
3
y
t +
y
3
+ O(
L
). (
. )
Note que definimos o parˆametro perturbativo
L
= 4 +
L
n=2
1 −
1
n
m
n
− d para o caso
anisotr´opico.
Definimos a integral I
SP n
explicitada abaixo e resolvida em (B.
) atrav´es de:
I
SP (n)
=
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
(p + P )
2
+
L
n=2
k
(n)
+ K
(n)
2
n
SP n
(
. )
O subscrito n diz respeito ao subespa¸co no qual o ponto de simetria ´e definido, a
saber:
SP
(1)
: P
2
= 1 , (K
2
(n)
)
n
= 0 (
. )
SP
(n)
: P
2
= 0 , (K
2
(n
)
)
n
= δ
n,n
para n = 2, . . . , L. (
. )
Similarmente ao cap´ıtulo anterior, a energia livre (
. ) apresenta o v´acuo trivial M = 0
e o v´acuo degenerado
y(t) = u
∗
n
M
2
= −6t + 3t
1 + ln(−2t) )u
∗
n
= −6t + O(1 − loop).
Onde esta ´ultima ´e encontrada atrav´es da condi¸c˜ao
4.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 63
∂Γ
R
∂y
y (t)
= 0. (
. )
Usando o resultado:
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
+ m
2
= I
SP (n)
−
1
2
1+ln m
2
+ O(
L
),
(
. )
que ´e verificada atrav´es da f´ormula de Feynman (B. ) e do resultado de (B. ), podemos
obter o v´acuo degenerado usando (
. ), ( . ) e ( . ).
A transi¸c˜ao de segunda ordem existe entre a fase paramagn´etica (M = 0) que acontece
acima da temperatura cr´ıtica T
L
e a pletora de fases ordenadas (M = 0) que existem
abaixo da temp era t ur a cr´ıtica. Calculamos o calor espec´ıfico C
±
para acima e abaixo da
temperatura cr´ıtica T
L
atrav´es de
C
±
= −Γ
(0,2)
R ±
(t) −
ν
n
α
n
B
(n)
(u
∗
) ∀ n. (
. )
Em que, escrevemos o termo decorrente da contribui¸c˜ao inomo gˆenea do GR atrav´es
de
B
(n)
(u
∗
n
) = −κ
(n)
∂Γ
(0,2)
bare
∂κ
(n)
κ
2
(n)
=1
= −
N
2
n
L
I
SP (n)
. (
. )
onde, a parte de v´ertice n˜ao renormalizada ´e expressa por meio de
Γ
(0,2)
bare
= −
N
2
κ
−n
L
(n)
I
SP (n)
. (
. )
O expo ente cr´ıtico do comprimento de correla¸c˜a o ξ
n
´e calculado no artigo [25 ] atrav´es
de
ν
n
≡
1
n
ν
L
=
1
n
1
2
+
N + 2
4(N + 8)
L
+ O(
2
L
)
(
. )
e o expoente do calor espec´ıfico por meio de
α
n
≡ α
L
=
4 − N
2(N + 8)
L
−
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
4(N + 8)
3
2
L
+ O(
3
L
) (
. )
Substituindo os resultados de (
. ), ( . ) e ( . ) na constante aditiva de renorma-
4.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 64
liza¸c˜ao presente na express˜ao calor espec´ıfico de (
. ) atrav´es de
−
ν
n
α
n
B
(n)
(u
∗
n
) =
3N
(4 − N)u
∗
n
+
2N(N + 8)
(4 − N)
2
∀ n (
. )
onde, a constante de acoplamento no ponto fixo ´e calculada em [25] e expressa por meio
de
u
∗
n
=
6
L
N + 8
1 +
L
− h
m
L
+
9N + 42
(N + 8)
2
+ O(
2
L
)
(
. )
Calor Espec´ıfico para T > T
L
A energia livre Γ
R +
(t) para o estado sim´etrico na qual a magnetiza¸c˜ao no material ´e
nula (M = 0) ´e obtida a partir de (
. ) e pode ser escrita na forma
Γ
R +
(t) =
N
2
Dp Dk
ln
1 +
1
p
2
+
L
n=1
(k
2
(n)
)
n
−
t
p
2
+
L
n=1
(k
2
(n)
)
n
+
N
4
t
2
I
SP n
.
(
. )
Para calcular o calor espec´ıfico C
+
acima da temperatura cr´ıtica, usamos ( . ) e
(
. ) em ( . ) e, ent˜ao obtemos
C
+
(t) = −
N
2
I
SP n
−
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=2
(k
2
)
n
+ t
2
+
3N
(4 − N) u
∗
n
+
2N(N + 8)
(4 − N)
2
.
(
. )
Usando o resultado (B.
) na integral expressa acima, escrevemos a lei de potˆencia
em t para o calor espec´ıfico C
+
por meio de
C
+
(t) =
A
+
α
L
t
−α
L
(
. )
onde o expoente α
L
´e at´e da O(
L
) na express˜ao de (
. ). Novamente, A
+
´e a amplitude
cr´ıtica do calor espec´ıfico abaixo da temperatura cr´ıtica, que ´e expressa por meio de
A
+
=
N
4
1 +
L
4
4 − N
+ E
(N,m)
+ O(
2
L
)
(
. )
em que definimos a constante
4.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 65
E
(N,m)
= h
m
L
−
9N + 42
(N + 8)
2
−
4 − N
N + 8
−
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
2(4 − N)(N + 8)
2
(
. )
que ´e comum nas duas amplitudes do calor espec´ıfico e ser´a cancelada no c´alculo da raz˜ao.
Calor Espec´ıfico para T < T
L
Em qualquer uma da pletora de fases o rdenadas do modelo CECI, o material assume
esp ontaneament e uma mag netiza¸c˜ao M = 0. A exemplo do cap´ıtulo anterior , n˜ao preci-
samos da corre¸c˜ao em 1 − loop da magnetiza¸c˜ao no c´alculo do calor espec´ıfico em O(
L
).
Substituindo y = u
∗
M
2
= −6t + O(1 − loop) em (
. ), obtemos a energia livre Γ
R −
(t)
para T < T
L
como
Γ
R −
(t) = −
3
2u
∗
n
t
2
+
1
2
Dp Dk
ln
1+
−2t
p
2
+
L
n=1
(k
2
n
)
n
−
−2t
p
2
+
L
n=1
(k
2
n
)
n
+t
2
I
SP
n
.
(
. )
Usando ( . ) em ( . ) obtemos a express˜ao do calor espec´ıfico para abaixo da tem-
peratura cr´ıtica por meio de
C
−
=
12
(4 − N)u
∗
n
− 2
I
SP
n
−
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=1
(k
2
(n)
)
n
+
2N(N + 8)
(4 − N)
2
(
. )
Usando o resultado de (B.
) na express˜ao entre chaves na equa¸c˜ao acima, escrevemos
C
−
(t) atrav´es de:
C
−
(t) =
A
−
α
L
(−t)
−α
L
(
. )
perceba que o expoente α
L
´e da O(
n
) na express˜ao (
. ). E A
−
´e a amplitude cr´ıtica
do calor espec´ıfico para a ba ixo da temp era t ur a cr´ıtica. Consequentemente, a amplitude
tem o valor
A
−
= 1 +
L
N
4 − N
−
4 − N
2(N + 8)
ln 2 + E
(N,m)
+ O
2
L
, (
. )
note que a constante E
(N, m)
´e expressa em ( . ).
4.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 66
Raz˜ao de A mplitudes do Calor Espec´ıfico
A raz˜ao universal das amplitudes do calor espec´ıfico para o comportamento cr´ıtico do
tipo Lifshitz de car´ater gen´erico ´e calculada a par t ir das amplitudes expressas em (
. )
e ( . ) por meio de
A
+
A
−
=
N
4
2
α
L
(1 +
L
)
. ( . )
Mais uma vez, usamos o expoente em O(
L
), isto ´e, α
L
=
L
4 − N
2 (N + 8)
+ O(
2
L
) e o
parˆametro perturbativo da regulariza¸c˜ao dimensional como
L
= 4+
L
n=2
1−
1
n
m
n
−d.
Os resultados deste trabalho a respeito das raz˜oes de amplitudes do calor espec´ıfico em
sistemas competitivos gen´ericos de car ´ater arbitr´ario s˜ao os primeiros obtidos at´e ent˜ao.
Sistemas de na t ur ezas diferent es na criticalidade podem apresenta r uma mesma raz˜ao
de amplitudes A
+
/A
−
e demais quantidades universais se estiverem numa mesma classe
de universalidade do tipo (N, d, m
2
, . . . , m
L
). Os parˆametros envolvidos na universalidade
est˜ao definidos na faixa
L
n=2
m
n
< d < 4 +
L
n=2
1 −
1
n
m
n
≡ d
c
.
´
E de maior interesse f´ısico encontrarmos realiza¸c˜oes em d = 3. Podemos tratar, es-
pecialmente, das competi¸c˜oes ao longo de uma ou de duas dire¸c˜oes (uni ou biaxial) com
intera ¸c˜oes at´e o L-´esimo vizinho.
i) Subcaso: Uniaxial em d = 3
O subcaso uniaxial ´e realizado atrav´es de m
n
= δ
n, L
( com n = 2, . . . , L ) que corres-
ponde tomarmos a classe de universalidade (N, d = 3, 0, . . . , 0, m
L
= 1). Podemos, ent˜ao,
colecionar uma tabela com valores da raz˜ao A
+
/A
−
para L ∈ [ 1; 10 ] e N ∈ [ 1; 3 ] em
d = 3 e um parˆametro perturbativo
L
= 2 −
1
L
por meio de
L = 1 L = 2 L = 3 L = 4 L = 5 L = 6 L = 7 L = 8 L = 9 L = 10
N = 1 0,53 0,67 0,71 0,74 0,75 0,76 0,77 0,77 0,78 0,78
N = 2 1,03 1,30 1,39 1,43 1,46 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52
N = 3 1,52 1,91 2,04 2,10 2,14 2,17 2,19 2,20 2,21 2,22
Tabela 4.1 Tabela com valores das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comportamento cr´ıtico
do tipo Lifshitz gen´erico de L-´esimo car´ater uniaxial em d = 3.
4.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 67
L → ∞
N = 1 0, 81
N = 2 1, 57
N = 3 2, 30
Tabela 4.2 Tabela com valores das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comportamento cr´ıtico
do tipo Lifshitz gen´erico de car´ater infinito uniaxial em d = 3.
Em d = 3, para o caso uniaxial quando o alcance generalizado ´e infinito (L → ∞),
obtemos
L
= 2 −
1
L
L → ∞
−−−−→ 2 e expressamos as raz˜oes como
A
+
A
−
L → ∞
−−−−→
3N
4
1 +
4 − N
3(N + 8)
ln 2
. (
. )
Os valores da tabela 4 .1 s˜ao limites superiores em 1-loop das raz˜oes de amplitudes do
calor espec´ıfico para sistemas uniaxiais quando variamos o alcance L das intera¸c˜oes.
Podemos ainda representar os resultados do caso uniaxial pelos gr´aficos A
+
/A
−
versus
L para N = 1, 2 e 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
L
A
+
/A
−
N=1
L
∞
(N=1)
N=2
L
∞
(N=2)
N=3
L
∞
(N=3)
Figura 4.1 Gr´aficos de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao do tipo anisotr´opica uniaxial
Acima tomamos a vari´avel L cont´ınua em R. Notamos que as curvas do s gr´aficos
assumem valores limites conforme os relata dos na tabela 4.1.
4.1 CASO ANISOTR
´
OPICO 68
ii) Subcaso: Biaxial em d = 3
Tamb´em podemos colecionar alguns resultados da raz˜ao A
+
/A
−
para o subcaso biaxial
em d = 3 para um alcance generalizado L. Obtemos por meio de m
n
= 2 δ
n, L
( com
n = 2, . . . , L ) que corresponde `a classe de universalidade (N, d = 3, 0, · · · , 0, m
L
= 2), e
escrevemos
L
= 3 −
2
L
. Para L ∈ [ 1; 10 ] e N ∈ [ 1; 3 ] em d = 3, constru´ımos a tabela
4.1, como
L = 1 L = 2 L = 3 L = 4 L = 5 L = 6 L = 7 L = 8 L = 9 L = 10
N = 1 0,53 0,81 0,90 0,95 0,97 0,99 1,01 1,02 1,02 1,03
N = 2 1,03 1,57 1,75 1,84 1,89 1,93 1,95 1,97 1,99 2,00
N = 3 1,52 2,30 2,56 2,68 2,76 2,81 2,85 2,88 2,90 2,92
Tabela 4.3 Tabela com valores das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comportamento cr´ıtico
do tipo Lifshitz gen´erico de L-´esimo car´ater biaxial em d = 3.
Em d = 3 quando o alcance generalizado ´e infinito (L → ∞), o pa rˆametro perturbativo
´e dado por
L
= 3 −
2
L
L → ∞
−−−−→ 3 para o caso biaxial, e assim obtemos as raz˜oes de
amplitudes A
+
/A
−
como
A
+
A
−
L → ∞
−−−−→ N
1 +
3(4 − N)
8(N + 8)
ln 2
(
. )
Os valores da tabela 4.1 s˜ao os limites superiores da raz˜ao de amplitudes A
+
/A
−
para
o caso biaxial de L-´esimo car´ater.
L → ∞
N = 1 1, 09
N = 2 2, 10
N = 3 3, 07
Tabela 4.4 Tabela com valores das raz˜oes de amplitudes A
+
/A
−
para o comportamento cr´ıtico
do tipo Lifshitz gen´erico de car´ater infinito biaxial em d = 3.
Avaliamos que os valores limites das raz˜oes A
+
/A
−
do caso biaxial s˜ao superiores que
os correspondentes (para o mesmo valor de N) do caso uniaxial.
Os valores das raz˜oes A
+
/A
−
para L = 1 nas tabelas 4.1 e 4.1 correspondentes para
os casos uni e biaxiais, respectivamente, recuperam os valores presentes na literatura
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 69
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
L
A
+
/A
−
N=1
L
∞
(N=1)
N=2
L
∞
(N=2)
N=3
L
∞
(N=3)
Figura 4.2 Gr´aficos de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao do tipo anisotr´opica biaxial
dos sistemas n˜ao-competitivos para o modelo de Ising, XY e Heinsenbeg ausentes de
intera ¸c˜oes competitivas ao longo das 3 dire¸c˜oes.
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO
Similarmente a outras se¸c˜oes, comparando a s a¸c˜oes do modelo N-vetorial da teoria
λΦ
4
em (
. ) e a do comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz de car´ater generalizado do
caso isotr´opico em ( . ), podemos ent˜ao operar o conjunto das tranforma¸c˜oes que leva
a primeira a¸c˜ao na segunda, atrav´es de
k
2
=⇒ (k
2
)
n
(
. )
(k + K)
2
=⇒
(k + K)
2
n
(
. )
Essas regras conseguem implementar as regras de Feynman pa ra o caso das com-
peti¸c˜oes isotr´opicas de car´ater generalizado, um aspecto de grande simplicidade, ao com-
pararmos a nossa descri¸c˜ao do sistema n˜ao-competitivo com o deste caso.
A partir do potencial renorma lizado da teoria λΦ
4
, aplicamos as transforma¸c˜oes acima
e constru´ımos a energia livre correspondente ao comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz
isotr´opico de car´ater generalizado por meio de
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 70
Γ
R
(y, t) =
1
2u
∗
n
ty +
y
2
12
+
1
2
d
m
n
k
(N − 1) ln
1 +
t +
y
6
(k
2
)
n
+ ln
1 +
t +
y
2
(k
2
)
n
−
1
(k
2
)
n
N
t +
y
6
+
y
3
+
1
4
I
SP
n
N
t +
y
6
2
+
2y
3
t +
y
3
+ O(
2
n
), (
. )
em que definimos o parˆametro de regula riza¸c˜ao atrav´es de
n
= 4n − d.
A integral I
SP n
se encontrada resolvida por meio da AOG em (B. ), e exatamente
em (B. ). Explicitamos a referida integral atrav´es de
I
SP
n
=
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
(k + K)
2
n
SP n
. (
. )
O subscrito n na integral acima corresponde a normaliza¸c˜ao para o comportamento
competitivo isotr´opico generalizado que ocorre em todo R
d
atrav´es do ponto de simetria
SP
n
: (K
2
)
n
= 1.
´
E claro que ´e valida a condi¸c˜a o de isotropia generalizada d = m
n
.
A energia livre Γ
R +
apresenta o v´acuo trivial M = 0, al´em do degenerado por meio
da condi¸c˜a o de minimiza¸c˜ao:
∂Γ
R
(y, t)
∂y
y (t)
= 0 =⇒
y(t) = u
∗
n
M
2
= −6t + O(1 − loop) ( . )
E tamb´em aqui, n˜ao ´e relevante nos c´alculos do calor espec´ıfico, a corre¸c˜ao em 1-loop na
magnetiza¸c˜a o expontˆanea M = 0.
Na fase sim´etrica, a magnetiza¸c˜ao no sistema ´e nula acima da temperatura cr´ıtica.
Escrevemos a energia livre Γ
R +
(t) para o v´acuo trivial y = u
∗
n
M
2
= 0, por meio de:
Γ
R +
(t) =
N
2
d
m
n
k
ln
1 +
t
(k
2
)
n
−
t
(k
2
)
n
+
N
4
t
2
I
SP n
(
. )
No estado de simetria quebrada abaixo da temperatura cr´ıtica, a uma magnetiza¸c˜ao
exp ontˆa nea expressa por meio de u
∗
n
M
2
=
y(t) = −6t+ O(1−loop) no sistema, denotamos
a energia livre Γ
R −
(t) como
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 71
Γ
R −
(t) = −
3
2u
∗
n
t
2
+
1
2
d
m
n
k
ln
1 +
−2t
(k
2
)
n
−
−2t
(k
2
)
n
+ t
2
I
SP n
(
. )
O calor espec´ıfico acima e abaixo da tempera t ur a cr´ıtica para o comportamento de
Lifshitz isotr´opico generalizado vale
C
±
(t) = −Γ
(0,2)
R ±
(t) −
ν
n
α
n
B
n
(u
∗
n
). (
. )
Em que, ν
n
e α
n
s˜ao os expoentes cr´ıticos do comprimento de correla¸c˜ao e do calor
esp ec´ıfico para a competi¸c˜ao isotr´opica generalizada. Escrevemos o termo inomogˆeneo do
GR para o comportamento isotr ´opico de car´ater generalizado por meio de
B
n
(u
∗
n
) = −κ
n
∂Γ
(0,2)
bare
∂κ
n
κ
2
n
=1
= −κ
n
∂
∂κ
n
−
N
2
κ
−
n
n
I
SP n
κ
2
n
=1
(
. )
em que Γ
(0,2)
bare
´e a parte de v´ertice n˜ao-renormalizada para o c´alculo do calor espec´ıfico.
O m´etodo de aproxima¸c˜ao utilizado na descri¸c˜ao do caso anisotr´opico, tamb´em ser´a
aplicado no caso isotr´opico. No entanto, este ´ultimo permite ser resolvido exatamente, e
aproveitaremos para efetuar as compara¸c˜oes com o m´etodo anterior .
4.2.1 C´alculo com a Aproxima¸c˜ao Ortogonal Generalizada
Nesta se¸c˜ao obteremos as amplitudes cr´ıticas do calor espec´ıfico atrav´es da aproxi-
ma¸c˜ao ortogonal generalizada (AOG) desenvolvida em [25] ´e apresentada no apˆendice B
no c´alculo de algumas integrais. E na se¸c˜ao seguinte, apresentaremos o c´alculo exato das
amplitudes cr´ıticas em 1-loop.
Os expoentes cr´ıticos ν
n
do comprimento de correla¸c˜ao e α
n
do calor espec´ıfico para
o a competi¸c˜ao isotr´opica generalizada obtidos por meio da AOG [25] s˜ao apresentados
como
ν
n
=
1
2n
+
N + 2
4n
2
(N + 8)
n
+ O(
2
n
) e, (
. )
α
n
=
4 − N
2n(N + 8)
n
−
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
4n
2
(N + 8)
3
2
n
+ O(
3
n
) (
. )
A partir do resultado da integral I
SP n
em (B.
) com o emprego da AOG, escrevemos
ent˜ao
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 72
Γ
(0,2)
bare
= −
N
2
κ
−
n
n
I
SP n
= −
N
2
κ
−
n
n
1
n
1 +
1
2n
n
+ O(
2
n
)
. (
. )
Substituindo (
. ) em ( . ), obtemos
B
n
(u
∗
n
) = −
N
2
1 +
1
2n
n
+ O(
2
n
)
. (
. )
A constante aditiva de renormaliza¸c˜ao do calor espec´ıfico presente na equa¸c˜ao ( . )
pode ent˜ao ser escrita na forma:
−
ν
n
α
n
B
n
(u
∗
n
) =
N(N + 8)
2(4 − N)
n
1+
n
1
2n
1+
N + 2
N + 8
+
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
(4 − N)(N + 8)
2
+ O(
2
n
)
(
. )
A constant e de acoplamento no ponto fixo pa r a o comportamento isotr´opico genera-
lizado por meio da AOG foi calculada em [25], e ´e dada por
u
∗
n
=
6
n
N + 8
1 −
n
1
2n
1 −
2(9N + 42)
(N + 8)
2
+ O(
2
n
)
. (
. )
Ent˜ao, reescrevemos o resultado ( . ) por meio da ( . ) como
−
ν
n
α
n
B
n
(u
∗
n
) =
3N
(4 − N) u
∗
n
+
2N(N + 8)
n (4 − N)
2
(
. )
Calor Espec´ıfico para T > T
L
Obtemos a express˜ao do calor espec´ıfico na fase paramagn´etica substituindo as ex-
press˜oes (
. ) da energia livre Γ
R +
(t) e da constante aditiva ( . ) em ( . ) atrav´es
de
C
+
(t) = −
N
2
I
SP n
−
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
+ t
2
+
3N
(4 − N) u
∗
n
+
2N(N + 8)
n(4 − N)
2
(
. )
Usando o resultado de (B.
) na express˜ao entre parˆenteses na equa¸c˜ao ( . ), obte-
mos o calor espec´ıfico atrav´es da seguinte lei de potˆencia
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 73
C
+
(t) =
A
+
α
n
t
−α
n
∀ n (
. )
observe que o expoente α
n
´e da O(
n
) na express˜ao (
. ). A
+
´e a amplitude do calor
esp ec´ıfico acima da temperatura cr´ıtica expressa por meio de
A
+
=
N
4n
1 +
n
1
n
1
4 − N
+ P
(N)
+ O(
2
L
)
, (
. )
em que, definimos a constante
P
(N)
=
1
2
−
9N + 42
(N + 8)
2
−
4 − N
N + 8
−
(N + 2)(N
2
+ 30N + 56)
2(4 − N)(N + 8)
2
, (
. )
que ´e comum nas amplitudes acima e abaixo da temperatura cr´ıtica, e que desaparece
no c´alculo da raz˜ao de amplitudes. Observamos que P
(N)
= E
( N, m
L
=0 )
, onde E
( N, m
L
)
´e
expressa em ( . ) .
Calor Espec´ıfico para T < T
L
Substituindo as express˜oes (
. ) da energia livre Γ
R −
(t) e da constante aditiva ( . )
em (
. ), obtemos o calor esp ec´ıfico C
−
(t) atrav´es da express˜ao
C
−
(t) =
12
(4 − N) u
∗
n
− 2
I
SP n
−
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
− 2t
2
+
2N(N + 8)
n (4 − N)
2
(
. )
Usando o resultado ( B.
) na integral expressa na equa¸c˜ao acima, escrevemos a lei de
potˆencia em −t para o calor espec´ıfico abaixo da temp eratura cr´ıtica
C
−
(t) =
A
−
α
n
(−t)
−α
n
∀ n (
. )
em que o expoente α
n
´e da O(
n
) na express˜ao (
. ). E A
−
´e a amplitude do calor
esp ec´ıfico abaixo da temperatura cr´ıtica expressa por meio de
A
−
=
1
2
1 +
n
1
2
N
4 − N
−
4 − N
2(N + 8)
ln 2 + P
(N)
+ O(
2
n
)
(
. )
onde, P
(N)
´e expresso em ( . ).
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 74
Raz˜ao de A mplitudes do Calor Espec´ıfico
A raz˜ao universal das amplitudes do calor espec´ıfico usando (
. ) e ( . ) pode ser
facilmente calculada, resultando na express˜ao
A
+
A
−
=
N
4
2
α
n
1 +
n
n
( . )
aqui expressamos em 1-loop o expoente α
n
=
n
4 − N
2n ( N + 8)
+ O(
2
n
).
Note que a express˜ao dessa raz˜ao ´e similar a correspondente para o caso anisotr´opico
de car´ater generalizado encontrado em (
. ). Mas, o expoente e o parˆametro
n
s˜ao
diferentes da express˜ao encontrada no caso anisotr´opico
A competi¸c˜ao isotr´opica de n-´esimo car´ater possui a dimens˜ao cr´ıtica d
c
= 4n =
8, 12, 16, . . . para n > 2 (o valor de n=1 recupera o cen´ario livre de competi¸c˜oes) que se
afasta rapidamente de d = 3, o que limita, por exemplo, a aplica¸c˜ao da expans˜ao em
n
para valores de
n
= 5, 8, 13, . . . .
Na pr´oxima se¸c˜ao iremos obter a raz˜ao A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao isotr´opica genera-
lizada atrav´es do c´alculo exato e iremos comparar com o resultado obtido por meio da
AOG.
4.2.2 C´alculo Exato
O c´alculo exato da raz˜ao A
+
/A
−
para o compo rtamento cr´ıtico do tipo Lifshitz de
car´ater arbitr´ar io do caso isotr´opico em 1-l oop necessita do expo ente do calor espec´ıfico
α
n
e da constante de acoplamento u
∗
n
em 2-loops . O c´alculo exato dos expoentes cr´ıticos
passam a diferir da AOG na aproxima¸c˜ao de 2 − loops [25]. Ent˜ao, ´e importante verifi-
carmos o efeito dessas diferen¸cas na raz˜ao de amplitudes do calor espec´ıfico. E tamb´em,
essa an´alise ´e in´edita na literatura e seus resultados tem aspectos impor tantes.
Os expoentes cr´ıticos do comprimento de correla¸c˜ao ν
n
e do calor espec´ıfico α
n
para
o caso isotr´opico generalizado com o c´alculo exato [25] s˜ao expressos por meio de
ν
n
=
1
2n
+
N + 2
4n
2
(N + 8)
n
+ O(
2
n
) e, (
. )
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 75
α
n
=
4 − N
2n ( N + 8)
n
−
N + 2
4n
2
(N + 8)
3
2
n
(−1)
n
4n Γ
2
(2n)(N − 4)
Γ(n + 1)Γ(3n)
+ (N − 4)(N + 8)
+ 4n D(n)(14N + 40)
+ O(
3
n
) (
. )
onde D(n) ≡
1
2
ψ(2n) − ψ(n) +
1
2
ψ(1), e a fun¸c˜ao especial digama pode ser escrita em
termos da fun¸c˜ao g ama Γ como ψ(n) =
d
dn
ln Γ(n).
A partir do c´alculo exato da integral I
SP n
em (B.
), obtemos
Γ
(0,2)
bare
= −
N
2
κ
−
n
n
I
SP n
=
N
2
κ
−
n
n
1
n
1 + D(n)
n
+ O(
2
n
)
(
. )
Portanto (
. ) pode ser escrita como
B
n
(u
∗
n
) = −
N
2
1 + D(n)
n
+ O(
2
n
)
(
. )
Expressamos a constante aditiva de renormaliza¸c˜ao do calor espec´ıfico present e na
equa¸c˜ao ( . ) na forma
−
ν
n
α
n
B
n
(u
∗
n
) =
N(N + 8)
2(4 − N)
n
1 +
n
D(n) −
2N + 4
(N + 8)
2
(−1)
n
Γ
2
(2n)
Γ(n + 1)Γ(3n)
+ D(n)
14N + 40
N − 4
+ O(
2
n
)
(
. )
A constant e de acoplamento no ponto fixo pa r a o comportamento isotr´opico genera-
lizado foi calculada exatamente em [25], e vale
u
∗
n
=
6
n
N + 8
1−
n
(−1)
n
Γ
2
(2n)
Γ(n + 1)Γ(3n)
2N + 4
(N + 8)
2
+D(n)
20N + 88
(N + 8)
2
−1
+ O(
2
n
)
(
. )
Usando ( . ), podemos reescrever ( . ) como
−
ν
n
α
n
B
n
(u
∗
n
) =
3N
(4 − N) u
∗
n
+ D(n)
4N(N + 8)
(4 − N)
2
(
. )
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 76
Calor Espec´ıfico para T > T
L
Obtemos a express˜ao do calor espec´ıfico na fase paramagn´etica substituindo as ex-
press˜oes (
. ) da energia livre Γ
R +
(t) e da constante a ditiva ( . ) em ( . ) por meio
de
C
+
(t) = −
N
2
I
SP n
−
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
+ t
2
+
3N
(4 − N) u
∗
n
− D(n)
4N(N + 8)
(4 − N)
2
(
. )
Usando o resultado de (B.
) na integral entre parˆenteses na equa¸c˜ao ( . ), obtemos
a lei de potˆencia em t para o calor espec´ıfico atrav´es de
C
+
(t) =
A
+
α
n
t
−α
n
∀ n (
. )
o expoente α
n
´e da O(
n
) na express˜ao (
. ). A amplitude do calor espec´ıfico acima da
temperatura cr´ıtica ´e expressa como
A
+
=
N
4 n
1 −
n
D(n)
8
4 − N
+ Q
(N, n)
+ O(
2
L
)
(
. )
onde, em que, definimos a seguinte constante
Q
(N, n)
=
4 (N + 2)
(N + 8)
Γ
2
(2n)
Γ(n + 1)Γ(3n)
−D(n)
1+
4 − N
N + 8
−
20N + 88
(N + 8)
2
+
N − 1
n (N + 8)
(
. )
que ´e comum nas amplitudes acima e a baixo da temperatura cr´ıtica, e ser´a cancelada no
c´alculo da raz˜ao de amplitudes.
Calor Espec´ıfico para T < T
L
Substituindo as express˜oes (
. ) da energia livre Γ
R −
(t) e da constante aditiva de
(
. ) em ( . ) obtemos o calor espec´ıfico C
−
(t) em qualquer uma das fases ordenadas
por meio de
C
−
(t) =
12
(4 − N) u
∗
n
− 2
I
SP n
−
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
− 2t
2
− D(n)
4N(N + 8)
(4 − N)
2
(
. )
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 77
Escrevemos a lei de potˆencia em −t para o calor espec´ıfico abaixo da temperatura
cr´ıtica, usando o resultado (B.
) na integral entre parˆenteses na equa¸c˜ao acima por
meio de
C
−
(t) =
A
−
α
n
(−t)
−α
n
∀ n (
. )
onde, o exp oente α
n
´e da O(
n
) na express˜ao (
. ). E A
−
´e a amplitude do calor
esp ec´ıfico abaixo da temperatura cr´ıtica expressa como
A
−
=
1
n
1 −
n
D(n)
2N
(4 − N)
+
4 − N
2n(N + 8)
ln 2 + Q
(N,n)
+ O(
2
n
)
, (
. )
onde, a constante Q
(N, n)
´e expressa em (
. ).
Raz˜ao de A mplitudes do Calor Espec´ıfico
Dividindo (
. ) por ( . ) , obtemos a raz˜ao universal das amplitudes do calor es-
pec´ıfico para a competi¸c˜ao isotr´opica generalizada na f orma
A
+
A
−
=
N
4
2
α
n
1 + 2 D(n)
n
( . )
onde o expoente do calor espec´ıfico em 1-l oop α
n
=
n
4 − N
2n ( N + 8)
+ O(
2
n
) e o parˆametro
de regulariza¸c˜ao atrav´es de
n
= 4n − d. Note que, 2 D(n) = ψ(2n) − 2 ψ(n) + ψ(1).
A raz˜ao exata (
. ) coincide com a raz˜a o aproximada ( . ) quando fazemos n = 1.
E assim, recuperamos os resultados para os modelos N-vetoriais sem competi¸c˜ao atrav´es
de (
n
→ = 4 − d e α
n
→ α)
A
+
A
−
=
N
4
2
α
( 1 + ) (
. )
Obtemos os resultados para classe de universalidade (N, d = 3 ) dos sistemas sem com-
peti¸c˜oes por meio de = 1 .
A partir do que foi antecipado na p´agina 74, a inspe¸c˜a o dos valores num´ericos da
raz˜ao A
+
/A
−
em d = 3, 7, 11, 15, . . . s˜ao os valores a pr opriados em todos estes valores
com
n
= 1. Outros m´etodos de regulariza¸c˜ao podem ser utilizados para estimar tais
resultados no futuro.
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 78
Obtemos o desvio relativo
relativo
dos dois m´etodos por meio de
(A
+
/A
−
)
AOG
(A
+
/A
−
)
exato
= 1 +
relativo
(
. )
Substituindo (
. ) e ( . ) na express˜ao acima, explicitamos o desvio relativo por
meio de
relativo
=
n
1
n
− 2D(n)
+ O(
2
n
) (
. )
Quando realizamos
n
= 1 em (
. ), escrevemos
relativo
=
1
n
−
ψ(2n) − ψ(1)
+ 2
ψ(n) − ψ(1)
= n
n−1
i=1
1
i (n + i)
(
. )
na ´ultima igualdade, usamos a seguinte identidade matem´at ica
ψ(n) = ψ(1) +
n−1
i=1
1
i
onde, n ∈ Z (
. )
Atr av´es da f´ormula assint´otica para ψ(n), com n ≫ 1 [53]
ψ(n) = ln n −
1
2n
+ O(1/n
2
) (
. )
expressamos o desvio relativo para valo r es altos de n por meio de
relativo
= ln n −
ln 2 + ψ(1)
−
1
4n
+ O(1/n
2
) ∼ ln n
n → ∞
−−−−→ ∞ (
. )
Vemos que o desvio relativo diverge para os valores altos do car´ater das intera¸c˜oes
competitivas isotr´opicas. No entanto, os desvios relativos para os expoentes cr´ıticos que
se manifestam a partir da O(
2
n
) s˜ao pequenos [25] e v˜ao a zero no limite n −→ ∞.
Representamos os gr´aficos de A
+
/A
−
versus n pelos dois m´etodos para compar´a-los,
para N = 1, 2, 3 nas figuras 4.3, 4.4 e 4.5.
Observamos que as duas curvas dos gr´aficos da figura 4.3 partem de A
+
/A
−
(n = 1) =
0, 53 e divergem rapidamente para n > 1. No limite n → ∞, a curva calculada por meio
da AOG assintota para 0,25. Ao passo que, a curva do c´alculo exato diverge em valores
negativo s da raz˜ao.
Aqui, as duas curvas do s gr´aficos 4.4 part em de A
+
/A
−
(n = 1) = 1, 03 e logo diver-
gem para n > 1. Vemos que o c´a lculo por meio da AOG tende ao valo r 0, 5 para valores
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 79
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.6
n
A
+
/A
−
AOG
Exato
n
∞
N=1
Figura 4.3 Gr´afico de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao isotr´opica para N = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.25
0.5
0.75
1
1.1
n
A
+
/A
−
AOG
Exato
n
∞
N=2
Figura 4.4 Gr´afico de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao isotr´opica para N = 2
n → ∞. E similarmente ao gr´afico anterior, o c´alculo exato diverge logaritmicamente em
n.
As duas curvas dos gr ´aficos na figura 4.5 iniciam-se juntas em A
+
/A
−
(n = 1) = 1, 52
e distanciam-se a partir de n > 1. A curva calculada atrav´es da AOG tende para o valor
0,75. E a curva calculada exatamente intercepta o eixo da abscissa.
As curvas correspondentes ao emprego da AOG assintotam em N/4, que tamb´em ´e o
va lor para o qual as raz˜oes assumem se estivermos calculando sobre a dimens˜ao cr´ıt ica
(d = d
c
= 4n). Ao passo que, as curvas calculadas exatamente intercepta o eixo horizontal
e passa a fo r necer valores negativos para a raz˜ao A
+
/A
−
.
4.2 CASO ISOTR
´
OPICO 80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
n
A
+
/A
−
AOG
Exato
n
∞
N=3
Figura 4.5 Gr´afico de A
+
/A
−
para a competi¸c˜ao isotr´opica para N = 3
As raz˜oes de a mplitudes de outras grandezas termodinˆamicas em 1-loop como a sus-
ceptibilidade [51] s˜ao calculadas em termos dos expoentes cr´ıticos em O(
n
), os quais s˜ao
os mesmos em ambos os m´etodos. Quando fixamos
n
e efetuamos n → ∞, essas ampli-
tudes e o conjunto dos expoentes cr´ıticos em O(
2
n
) [25] recuperam os valores de campo
m´edio. No entanto, o mesmo n˜ao ocorre com a raz˜ao de amplitudes do calor espec´ıfico
calculada exatamente, que diverg e
A
+
/A
−
→ −∞
quando fazemos
n
= 1 e n → ∞.
O c´alculo da raz˜ao A
+
/A
−
, que se inicia desde a ordem de 1-loop, exige, particular-
mente, a constante de acoplamento no ponto fixo em 2-loops, cuja ordem ocorre o desvio
entre os dois m´etodos.
Decorrent e disso, observammos que a raz˜ao A
+
/A
−
em 1-loop calculada exatamente
assume valores negativos para n ≥
n = 4 , quando fazemos
n
= 1. A invers˜a o de sinal
dessa r az˜ao em ordens superiores em loops pode permanecer, indicando uma limita¸c˜ao
na dimens˜ao cr´ıtica do sistema.
CAP
´
ITULO 5
CONCLUS
˜
AO
Neste trabalho encontramos as raz˜oes de amplitudes cr´ıticas do calor espec´ıfico para
alguns tipos de sistemas competitivos atrav´es da abordagem do g rupo de renormaliza¸c˜ao
no espa¸co dos moment os. Verificamos que a abordagem dos comportamentos competitivos
dos casos anisotr´opicos e isotr´opicos tˆem que ser tratadas separadamente. Nesta tese,
todos os nossos resultados s˜ao in´editos e consistentes com outros trabalhos publicados
nos ´ultimos anos dentro deste tema.
O caso isotr´opico fo i estudado pela primeira vez neste nosso trabalho, de modo que
sistemas f´ısicos ainda podem ser propostos como representantes desses comportamen-
tos cr´ıticos e esperamos que o nosso trabalho sirva de inspira¸c˜a o para uma poss´ıvel ex-
plica¸c˜ao destes efeitos em novos ma teriais. A seguir descrevemos um breve sum´ario do
nosso esfor¸co em determinar a s amplitudes do calor espec´ıfico para sistemas competitivos
gen´ericos.
No terceiro cap´ıt ulo, abordamos o comportamento cr´ıtico do t ipo Lifshitz m-axial
e obtivemos as express˜oes das raz˜oes de amplitudes do caso anisotr´opico (por meio da
aproxima¸c˜ao ortogonal) descritas pela classe de universalidade do tipo (N, d, m) e des-
tacamos os valores num´ericos dessas raz˜oes em d = 3 para o n´umero N = 1, 2 e 3 de
componentes do parˆametro ordem e uma dimensionalidade m = 0, 1 e 2 do subespa¸co
competitivo de intera¸c˜oes at´e segundos vizinhos. Os valor es de m = 0 recuperam os va-
lores correspondentes aos sistemas livres de competi¸c˜ao j´a encontrados na literatura (ver
referˆencia [30]) para os modelos de Ising, XY e Heisenberg. Quando realizamos N = 1,
d = 3 e m = 1 a raz˜ao de amplitudes do calor espec´ıfico recai na classe de universalidade
tratada na referˆencia [40], que apresenta um um desvio relativo de 3, 1% se comparado
com o valor experimental do composto MnP [39] que possui as suas propriedades cr´ıticas
descritas pelo modelo ANNNI em t orno do PL [18].
Na literatura, outras substˆancias s˜ao apontadas por realizarem o ponto de Lifshiz, no
entanto, n˜ao s˜ao acompanhadas de valores experimentais para as raz˜oes de amplitudes.
Os nossos resultados est˜ao de acordo com o exemplar do modelo ANNNI e predizemos
os resultados para as outras classes de universalidade.
A raz˜ao de amplitudes no caso isotr´opico do comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz
m-axial, que ´e apresentado com uma classe de universalidade (N, d = m), ´e calculado
81
CONCLUS
˜
AO 82
por meio da aproxima¸c˜ao ortogonal a exemplo do caso anisotr´o pico e tamb´em ´e simples o
suficiente para ser calculado exatamente. O desvio apreci´avel entre as duas abordagens em
1-loop decorrem da contribui¸c˜ao em O(
2
L
) da constante de acoplamento, que indica uma
limita¸c˜ao do m´etodo aproximativo no c´alculo das ra z˜oes A
+
/A
−
para o caso isotr´opico.
Ao passo que os expoentes cr´ıticos [25] e a raz˜ao da susceptibilidade [51] apresentam b oa
concordˆancia entre os dois m´etodos de c´alculo.
No quarto cap´ıtulo, obtemos as raz˜oes de amplitudes do calor espec´ıfico para o
comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz de car´ater gen´erico para os casos anisotr´opico
e isotr´opico tratados separadamente via argumentos de grupo de renormaliza¸c˜ao no
espa¸co dos momentos. O caso anisotr´opico possui uma classe de universalidade do tipo
(N, d, m
2
, . . . , m
L
) para a qual apresentamos (por meio da aproxima¸c˜ao ortogonal ge-
neralizada) a express˜ao da raz˜ao A
+
/A
−
para um car´ater de L-´esima ordem e N qual-
quer. Destacamos a realiza¸c˜ao em d = 3 com resultados para as competi¸c˜oes unia xiais
(ou seja, m
n
= δ
n,L
) e biaxiais (isto ´e, m
n
= 2δ
n,L
) com N = 1, 2 e 3. Po r uma redu¸c˜ao
da classe de universalidade por meio de m
3
= m
4
= · · · = 0 obtemos os resultados corres-
pondentes ao comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz m-axial. E t amb´em fazendo m
2
= 0
recuperamos os resultados para sistemas livres de competi¸c˜oes.
A raz˜ao de amplitudes A
+
/A
−
do caso isotr ´opico das intera¸c˜oes competitivas de n-
´esimo car´ater s˜ao calculadas por meio da apr oxima¸c˜ao ortogonal generalizada como foi
analisado o caso anterior. Mas, o caso isotr´opico com uma classe de universalidade
(N, d = m
n
) possui uma flexibilidade alg´ebrica que permitiu r ealizar os resultados exatos
para as raz˜oes de amplitudes do calor espec´ıfico. Quando comparamos os dois m´etodos,
observamos um desvio crescente em n, o que indica clarament e uma limita¸c˜ao no uso da
AOG na s raz˜oes de amplitudes do calor espec´ıfico do caso isotor´opico, ao passo que nos
exp oentes cr´ıticos e em outras raz˜oes de amplitudes o mesmo n˜ao a contece.
Graficamente observamos que a raz˜ao de amplitudes do calor espec´ıfico A
+
/A
−
para
o caso isotr´opico de n-´esimo car´ater assume valor es negativos para n ≥
n = 4 quando
fazemos
n
= 1, sinalizando uma instabilidade termodinˆamica nesse limite.
Para valores de n ≫ 1 e
n
= 1 os expoentes cr´ıticos do caso isotr´opico generalizado
[25] em ambos os m´etodos recuperam os valores em campo m´edio assintoticamente, ao
passo que a raz˜ao de amplitudes do calor espec´ıfico exato diverge com
A
+
A
−
∼ −
N
4
ln n
n → ∞
−−−−→ −∞. (
. )
A investiga¸c˜ao em loops maiores podem ser realizadas para a verifica¸c˜ao da mudan¸ca
de sinal da raz˜ao A
+
/A
−
para o caso isotr´opico de n-´esimo car´ater, o que poderia indi-
CONCLUS
˜
AO 83
car a indepedˆencia desse efeito para ordens superiores de perturba¸c˜ao no parˆametro de
regulariza¸c˜ao.
Uma das perspectivas desse trabalho ´e a obten¸c˜ao das r az˜oes de amplitudes em 2-loops,
o que exigiria para o calor espec´ıfico uma constante de acoplamento em 3-loops.
AP
ˆ
ENDICE A
TRANSFOR MAC¸
˜
AO DE HUBBARD-STRATONOVICH
Agora iremos encontrar a a¸c˜ao funcional S[φ] ou energia livre de Ginzburg-Landau
do modelo N-vetorial. Consideremos a energia para as intera ¸c˜oes entr e os primeiros s´ıtios
vizinhos de spin s
l
∈ S
N
E{s
l
} = −
1
2
<l,l
>
J
l,l
s
l
s
l
−
l
h
l
s
l
. (A.
)
No limite que o espa¸camento a da rede ´e desprez´ıvel (a → 0), obtemos uma descri¸c˜ao
para a distribui¸c˜ao cont´ınua dos spins no espa¸co operando
l
→ a
−d
d
d
x e J
l,l
→ J(x, x
) = J(x) a
d
δ
d
(x − x
). (A.
)
Os fatores de a
−d
e a
d
acima foram introduzidos por an´alise dimensional.
Ent˜ao, a energia do modelo N-vetorial para as intera ¸c˜oes entre spins vetoriais s(x) se
expressa por
1
E{s(x)} = −
1
2
(s, Js) − (s, h). (A.
)
Agora podemos escrever a fun¸c˜ao parti¸c˜ao para o modelo em descri¸c˜ao
Z[H] = Tr w{s} ≡ Tr exp
− βE{s(x)}
= Tr exp
1
2
(s, Ks) + (s, H)
(A.
)
Acima, fazemos K(x) ≡ βJ(x) e βh(x) ≡ H(x). A express˜ao Tr w{s} soma o peso de
Boltzmman w{s} sobre todas as configura¸c˜oes de spin efetuando
Tr w{s} =
l
{s
l
}
w{s} = exp
l
ln
{s
l
}
w{s}
−→ exp
a
−d
d
d
x ln
S
N
dΩ
N
w{s}
. (A.
)
1
Representamos o produto interno de s(x) por s
(x) como (s, s
) ≡
N
a=1
d
d
s
a
(x) s
a
(x).
84
TRANSFORMAC¸
˜
AO DE HUBBARD-STRAT ONOVICH 85
Para escrever a fun¸c˜ao parti¸c˜ao em termos da representa¸c˜ao da integral de trajet´oria,
devemos considerar a identidade gaussiana generalizada no espa¸co de dimens˜ao infinita
expressa por meio de
Dφ exp
−
1
2
(φ, K
−1
φ) + (s, φ)
= (det K)
1/2
exp
(s, Ks)
. (A.
)
Usando a identidade (A.
) em (A. ), podemos escrever
Z[H] = (det K)
−1/2
Tr
Dφ exp
−
1
2
(φ, K
−1
φ) + (s, φ + H)
. (A.
)
O resultado obtido acima cor r esponde a transforma¸c˜ao de Hubbard-S tratonov i ch para
a representa¸c˜ao da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao em termos de campos cont´ınuos. A vari´avel de
campo φ(x) ´e identificada com o campo, ou par ˆametro ordem do modelo. Realizando a
transla¸c˜ao φ(x) → φ(x) − H(x) na express˜ao acima, obtemos
Z[H] = (det K)
−1/2
Dφ exp
−
1
2
(φ − H), K
−1
(φ − H)
Tr e
(s,φ)
. (A.
)
O tra¸co da express˜ao acima pode ser desenvolvido usando (A.
) da seguinte forma
Tr e
(s,φ)
= exp
a
−d
d
d
x ln
S
N
dΩ
N
e
(s,φ)
≡ exp
a
−d
d
d
x
U(φ) + ln
S
N
dΩ
N
, (A.
)
onde U(φ) ´e denominado de densidade de potencial do campo φ. Desenvolvendo a
express˜ao
e
U(φ)
S
N
dΩ
N
=
S
N
dΩ
N
e
(s,φ)
=
S
N
dΩ
N
e
|φ| cos θ
=
S
N
dΩ
N
+
∞
n=1
1
n!
S
N
dΩ
N
cos
n
θ
|φ|
n
. (A.
)
onde o ˆangulo azimutal θ ∈ [0, π] ´e formado entre o spin s e o campo φ na dire¸c˜ao axial
do sistema de coordenadas hiperesf´ericas.
TRANSFORMAC¸
˜
AO DE HUBBARD-STRAT ONOVICH 86
Consideremos as seguintes identidades matem´aticas
S
N
dΩ
N
=
2π
N/2
Γ(N/2)
≡ S
N
(´area da hipersuperf´ıcie N-dimensional) (A.
)
1
n!
S
N
dΩ
N
cos
n
θ = S
N
1 + ( −1)
n
Γ(
N
2
)
2
n+1
Γ(
n
2
+ 1) Γ (
N+n
2
)
(A.
)
onde a ´ultima se anula para os valores ´ımpares de n.
Retomamos a (A.
), escrevendo
U(φ) = ln
1 +
∞
n=1
Γ(
N
2
)
2
2n
Γ(n + 1) Γ(
N
2
+ n)
(φ
2
)
n
=
1
2N
φ
2
+
−1
4N
2
(N + 2)
(φ
2
)
2
+ · · ·
(A.
)
que se desenvolve numa expans˜ao em potˆencias de φ
2
e s˜ao invariantes de O(N).
Operando φ(x) → (Kφ)(x) K
0
1−
a
2
2
∇
2
φ(x) e Dφ → (det K) Dφ, reescrevemos
a fun¸c˜ao parti¸c˜ao atrav´es de
Z[H] = A
Dφ exp
−
1
2
(φ, Kφ) + a
−d
d
d
x U(Kφ) + (H, φ)
= A
Dφ exp
−
d
d
x L(φ( x))
(A.
)
em que, denotamos a constant e multiplicativa por meio de
A = S
N
(det K)
1/2
exp
− (H, K
−1
H) + a
−d
d
d
x
. (A.
)
Portanto, conseguimos escrever a a¸c˜ao por meio de
S[φ] = −a
−d
d
d
x
1
2
φ(x)
K
0
1 −
K
0
N
+
K
0
N
−
1
2
a
2
∇
2
φ(x)
+
(K
0
)
4
4N
2
(N + 2)
φ
2
(x)
2
− H(x)
φ(x)
(A. )
TRANSFORMAC¸
˜
AO DE HUBBARD-STRAT ONOVICH 87
Acima, fizemos
(Kφ)
2
2
∼
=
(K
0
)
4
φ
2
2
e ignoramos os demais termos de p otˆencia
superior.
Estudando o comportamento pr´oximo a
1 −
K
0
N
= 0, K
0
≡ γβJ
0
(γ << 1) ∴ T
0
= NγJ
0
. (A.
)
definimos o parˆametro massivo µ
2
≡
2
a
2
T − T
0
T
∝
δT
T
, escrevemos
1−
K
0
N
= µ
2
+O( (δT )
2
),
K
0
N
−
1
2
=
1
2
+ O( δT ) e K
0
= N + O( δT ). (A.
)
E com o par das transforma ¸c˜oes abaixo
φ(x) →
2
N
a
d
2
−1
φ(x) e H(x) →
N
2
a
1−
d
2
H(x) (A. )
os campos φ(x) e H(x) adquirem dimens˜oes canˆonicas [φ] = L
d
2
−1
e [H] = L
1−
d
2
, respec-
tivamente.
Reescrevemos a lagrangiana pela energia livre de Ginzburg-Landau atrav´es de
L
φ
=
1
2
|∇φ|
2
+
1
2
φ
2
+
λ
4!
φ
2
)
2
− H
φ . (A. )
E λ ≡
4!
N + 2
a
−(4−d)
´e a constante de acoplamento perturbativa da teoria, que possui
a dimens˜ao canˆo nica [λ] = L
d−4
. O valor de d para a qual λ torna-se adimensional ´e
chamado de dimens˜ao cr´ıtica da teoria d
c
= 4. O parˆa metro massivo µ
2
tem dimens˜ao
canˆonica [µ
2
] = L
−2
.
Finalmente, escrevemos a fun¸c˜ao parti¸c˜ao termodinˆamica Z[H] a menos de um fator
multiplicativo A
Z[H] = A
Dφ exp
− S[φ, H]
= A
Dφ exp
−
d
d
x L
φ(x), H(x)
(A.
)
Que corresponde a constru¸c˜ao de um gerador funcional de uma teoria quˆantica de
campos Euclidiana.
AP
ˆ
ENDICE B
C
´
ALCULO DE ALGUMAS INTEGRAIS
Calcularemos para o comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz m axial e o modelo CECI
nos casos anisotr´opico e isotr´opico, que ser˜ao desenvolvidos na segunda e terceira se¸c˜oes
deste apˆendice. Mas, na primeira se¸c˜ao iremos resolver duas identidades matem´aticas que
foram exigidas no apˆendice anterior, e outra que ser´a importante nas se¸c˜oes subseq¨uentes.
B.1 IDENTIDADES MATEM
´
ATICAS
Nesta se¸c˜ao ir emos agora obter as ident idades matem´at icas (A.
) e (A. ), que exi-
gem uma integra¸c˜ao expl´ıcita nas coordenadas hiperesf´ericas.
i) Ago ra consideremos o seguinte modelo de integral, que ser´a de grande importˆancia
nos c´alculos subseq¨uentes
I(m
2
; D, n, β) =
d
D
k
1
(k
2
)
n
+ m
2
β
(B.
)
Fazendo k
i
→ (m
2
)
1/2n
k
i
ou seja, d
D
k → (m
2
)
D/2n
d
D
k e (k
2
)
n
→ m
2
(k
2
)
n
,
reescremos a integral acima por
I(m
2
; D, n, β) = (m
2
)
D/2n−β
d
D
k
1
(k
2
)
n
+ 1
β
= (m
2
)
D/2n−β
S
D
∞
0
dk
k
D−1
k
2n
+ 1
β
(B.
)
onde, fizemos d
D
k = dΩ
D
dk k
D−1
.
Operando em (B.
) a mudan¸ca de vari´avel k
n
= q e dk k
D−1
=
1
n
dq q
D/n−1
. Obtemos
I(m
2
; D, n, β) = (m
2
)
D/2n−β
S
D
1
n
∞
0
dq
q
D/n−1
q
2
+ 1
β
. (B.
)
Conseguimos expressar o denominador do integrando acima na potˆencia quadr´atica da
va r i´avel de integra¸c˜ao. E agora efetuando a seguinte mudan¸ca de vari´avel 1 + q
2
=
1
t
(com 0 < t < 1) em (B.
), escrevemos
88
B.1 IDENTIDADES MATEM
´
ATICAS 89
I(m
2
; D, n, β) = (m
2
)
D/2n−β
S
D
1
2n
1
0
dt t
( β−D/2n )−1
(1 − t)
D/2n−1
. (B.
)
Fazendo z = β − D/2n e ξ = D/2n na representa¸c˜ao integral da fun¸c˜ao beta expressa
abaixo
B(z, ξ) =
1
0
dt t
z−1
(1 − t)
ξ−1
=
Γ(z)Γ(ξ)
Γ(z + ξ)
, (B.
)
Ent˜ao substituimos na equa¸c˜ao B.
e conseguimos
I(m
2
; D, n, β) =
d
D
k
1
(k
2
)
n
+ m
2
β
= S
D
1
2n
Γ(D/2n)Γ(β − D/2n)
Γ(β)
(m
2
)
(D/2n−β)
.
(B.
)
Observe que (B. ) converge para os valores de D < 2nβ quando m
2
= 0. Este resul-
tado ser´a utilizada nas integrais de Feynman das pr´oximas se¸c˜oes.
ii) Neste final de se¸c˜ao, consideremos a int egr al seguinte que ser´a exigida no s c´alculos
das integrais de Feynman com momentos externos
d
D
k
1
(k
2
)
n
+ 2a(k
2
)
n/2
+ m
2
β
. (B.
)
Completando o quadrado no denominador da integral acima, isto ´e
(k
2
)
n
+ 2a(k
2
)
n/2
+ m
2
= [ (k
2
)
n/2
+ a
2
+ ( m
2
− a
2
). (B.
)
Ent˜ao escrevemos a integral de (B.
) por meio de
d
D
k
1
(k
2
)
n
+ 2a(k
2
)
n/2
+ m
2
β
= S
D
∞
0
dk k
D−1
1
( k
n
+ a
2
+ ( m
2
− a
2
)
β
.
(B.
)
E em seguida, efetuamos as transforma¸c˜oes
k
n
→ k
n
− a ∴ dk k
D−1
→ dk k
D−1
1 −
a
k
n
D
n
−1
. (B.
)
B.2 INTEGRAIS ANISOTR
´
OPICAS 90
Ent˜ao reescrevemos (B.
) atrav´es de
d
D
k
1
(k
2
)
n
+ 2a(k
2
)
n/2
+ m
2
β
= S
D
∞
a
1/n
dk k
D−1
1 −
a
k
n
D
n
−1
1
k
2n
+ ( m
2
− a
2
)
β
= S
D
∞
0
dk k
D−1
1
k
2n
+ ( m
2
− a
2
)
β
+
S
D
∞
0
dk k
D−1
1 −
a
k
n
D
n
−1
− 1
− S
D
a
1/n
0
dk k
D−1
1 −
a
k
n
1
k
2n
+ ( m
2
− a
2
)
β
=
d
D
k
1
(k
2
)
n
+ (m
2
− a
2
)
β
+ corre¸c˜oes.
(B.
)
A linha que encerra a equa¸c˜ao (B.
) expressa um termo l´ıder seguido da corre¸c˜ao.
Nela usamos a identidade (B. ), e obt emos
d
D
k
1
(k
2
)
n
+ 2a(k
2
)
n/2
+ m
2
β
∼
=
S
D
1
2n
Γ(D/2n)Γ(β − D/2n)
Γ(β)
(m
2
− a
2
)
(D/2n−β)
.
(B.
)
A express˜ao acima tem o sinal de aproxima¸c˜ao substituido pela igualdade quando
a
2
= 0, e assim verificamos (B.
).
B.2 INTEGRAIS ANISOTR
´
OPICAS
Nesta se¸c˜ao iremos obter algumas integrais utilizadas no c´alculo do calor espec´ıfico
no caso anisotr´opico que surgem naturalmente no comportamento cr´ıtico de Lifshitz e
no modelo CECI. Elas s˜ao integradas em vari´aveis de momento de v´arios subespa¸cos
simultaneamente.
i) Considere a seguinte integral
J(t, b; m
1
, . . . , m
L
) =
d
m
1
k
1
. . .
d
m
L
k
L
1
k
2
(1)
+ · · · + (k
2
(L)
)
L
+ t
b
(B.
)
onde, m
1
+ · · · + m
L
= d.
B.2 INTEGRAIS ANISOTR
´
OPICAS 91
Usando (B.
), podemos escrever (B. ) da seguinte maneira
J(t, b; m
1
, . . . , m
L
) =
d
m
1
k
1
. . .
d
m
L−1
k
L−1
I
k
2
1
+ . . . + (k
2
L−1
)
L−1
+ t; m
L
, L, b
= S
m
L
1
2L
Γ
m
L
2L
Γ
b −
m
L
2L
Γ(b)
d
m
1
k
1
. . .
d
m
L−1
k
L−1
1
k
2
1
+ · · · + (k
2
L−1
)
L−1
+ t
b−m
L
/2L
= S
m
L
1
2L
Γ
m
L
2L
Γ
b −
m
L
2L
Γ(b)
J
t, b − m
L
/2L; m
1
, . . . , m
L−1
. (B.
)
Obtemos em (B. ) uma regra de recorrˆencia entre as integrais J
s.
Desenvolvendo a recorrˆencia de (B.
), obtemos
J(t, b; m
1
, . . . , m
L
) = S
m
L
1
2L
Γ
m
L
2L
Γ
b −
m
L
2L
Γ(b)
J
t, b −
m
L
2L
; m
1
, . . . , m
L−1
= S
m
L
Γ
m
L
2L
Γ
b −
m
L
2L
2L Γ(b)
S
m
L−1
Γ
m
L−1
2(L−1)
Γ
b −
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
2(L − 1)Γ
b −
m
L
2L
J
t, b−
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
; m
1
, . . . , m
L−2
=
S
m
L
S
m
L−1
· · · S
m
1
1
2
L
L!
Γ
m
L
2L
Γ
m
L−1
2(L−1)
· · · Γ
m
1
2
Γ
b −
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
− · · · −
m
1
2
Γ(b) t
b−
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
−···−
m
1
2
.
(B. )
onde, acima usamos
J
t, b −
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
− · · · −
m
2
4
; m
1
) =
d
m
1
k
1
1
k
2
+ t
b−
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
··· −
m
2
4
= I
t; m
1
, b−
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
· · ·−
m
2
4
=
1
2
S
m
1
Γ
m
1
2
Γ
b −
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
· · · −
m
2
4
−
m
1
2
Γ
b −
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
· · · −
m
2
4
t
b−
m
L
2L
−
m
L−1
2(L−1)
···−
m
2
4
−
m
1
2
.
(B.
)
B.2 INTEGRAIS ANISOTR
´
OPICAS 92
De maneira condensada, escrever o r esultado de (B.
), atrav´es de
J(t, b; m
1
, . . . , m
L
) =
L
n=1
d
n
k
(n)
1
L
n=1
(k
2
(n)
)
n
+ t
b
=
1
2
L
L!
L
n=1
S
m
n
Γ
m
n
2n
Γ
b −
L
n=1
m
n
2n
Γ(b) t
b−
L
n=1
m
n
2n
.
(B.
)
Efetuando b = 2 e m
1
= d −
L
n=2
m
n
em (B.
), escrevemos a integral da seguinte forma
J( t, 2; d − m
2
− · · · − m
L
, m
2
, . . . , m
L
) =
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=2
k
2
(n)
+ t
2
=
=
1
2
L
L!
S
d−
L
n=2
m
n
Γ
d
2
−
L
n=2
m
n
2
L
n=2
S
m
n
Γ
m
n
2n
Γ
2 −
d
2
+
L
n=2
1 −
1
n
m
n
2
× t
−2+
d
2
−
L
n=2
1−
1
n
m
n
2
, (B. )
em que, Dp = d
d−
L
n=2
m
n
p e Dk =
L
n=2
d
m
n
k
(n)
.
Usando a expans˜ao
Γ(a + b
n
) = Γ(a)
1 + b
n
ψ(a) + O(
2
n
)
onde, ψ(a) =
d ln Γ(a)
da
. (B.
)
Efetuamos a expans˜ao em
n
≡ d
c
− d = 4 +
L
n=2
1 −
1
n
m
n
− d → 0 na integral de
(B. ) atrav´es de
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
+ t
2
=
1
2
L−1
L!
S
d−
L
n=2
m
n
Γ
2−
L
n=2
m
n
2n
L
n=2
S
m
n
Γ
m
n
2n
×
1
L
1 −
L
2
ψ
2 −
L
n=2
m
n
2n
− ψ(1)
+ O(
2
L
)
t
−
L
2
. (B.
)
O primeiro fator em colchetes no membro direito da equa¸c˜ao acima aparece a cada loop
da expans˜ao em
n
para o c´alculo das integrais do caso anisotr´opico. Podemos a bsorvˆe-lo
na constant e de acopla mento a cada loop realizado, e ent˜ao obtemos
B.2 INTEGRAIS ANISOTR
´
OPICAS 93
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
+ t
2
=
1
L
1 +
L
h
m
L
− 1 −
1
2
ln t
+ O(
L
), (B.
)
onde, h
m
L
= 1 +
1
2
ψ(1) − ψ
2 −
L
n=2
m
n
2n
. E tamb´em
L
= 4 +
L
n=2
1 −
1
n
m
n
− d.
Essa integral ´e utilizada no c´alculo do calor espec´ıfico para o comportamento cr´ıtico de
competi¸c˜ao anisotr´opica generalizada descrita pelo modelo CECI. Quando a anisotropia ´e
reduzida a dois subespa¸cos, um n˜ao- competitivo (τ = 1) e outro competitivo (τ = L = 2),
obtemos o r esultado correspondente ao comportamento cr´ıtico de Lif shitz. Obtemos,
d
d−m
p d
m
k
1
p
2
+ (k
2
)
2
+ t
2
=
1
L
1 +
L
[i
2
]
m
− 1 −
1
2
ln t
+ O(
L
), (B.
)
em que [i
2
]
m
= 1 +
1
2
ψ(1) − ψ
2 −
m
4
. Note que
L
= 4 +
m
2
− d.
ii) Nesta etapa desta se¸c˜ao, resolveremos a integral de car´ater arbitr´ar io I
SP n
para
o caso anisotr´opico. Na referˆencia [25] esta mesma integral ´e resolvida pelo m´etodo dos
parˆametros de Schwinger. Aqui, aproveitaremos a oportunidade para resolvˆe-la atrav´es
do m´etodo dos parˆametros de Feynman.
Expressamos a referida integral por meio de
I
SP n
=
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
(p + P )
2
+
L
n=2
k
(n)
+ K
(n)
2
n
SP n
.
(B.
)
Os denominadores do integrando s˜ao combinados atrav´es da f´ormula de Feynman
1
ab
=
1
0
dz
1
[ az + b(1 − z) ]
2
(B.
)
cuja verifica¸c˜ao ´e imediata.
Identificamos a = (p + P )
2
+
L
n=2
k
(n)
+ K
(n)
2
n
e b = p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
na
identidade acima. Desta maneira, desenvolvemos (B.
) atrav´es de
B.2 INTEGRAIS ANISOTR
´
OPICAS 94
I
SP n
=
Dp Dk
1
0
dz
1
( p + zP )
2
+ m
2
2
SP n
(B.
)
onde, escrevemos o termo independente presente no denominador por meio de
m
2
= m
2
(z, k) = z(1 − z)P
2
+
L
n=2
z
k
(n)
+ K
(n)
2
n
+ (1 − z)(k
2
(n)
)
n
∼
=
z(1 − z)P
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
+ 2z(k
2
(n)
)
n/2
(K
2
(n)
)
n/2
+ z(K
2
(n)
)
n
=
L
n=2
(k
2
(n)
)
n/2
+ z(K
2
(n)
)
n/2
2
+ z(1 − z)
P
2
+
L
n=2
(K
2
(n)
)
n
.
(B.
)
Aplicamos acima a aproxima¸c˜ao ortogonal generalizada (AOG) desenvolvida em [25],
que ´e expressa atrav´es de
k
(n)
+ K
(n)
2
n
∼
=
(k
2
(n)
)
n
+ 2(k
2
(n)
)
n/2
(K
2
(n)
)
n/2
+ (K
2
(n)
)
n
(B.
)
Conseguimos com a AOG tornar as integrais envolvidas livres de produtos internos
do tipo k
(n)
K
(n)
. A AOG preserva a propriedade de homogeneidade das integrais por
uma escala nos momentos externos de competi¸c˜ao arbitr´aria.
Operando a transla¸c˜a o p
i
→ p
i
− zP
i
em (B.
) e usando a identidade (B. ) pa r a
resolver a integral em p, escrevemos
I
SP n
=
1
0
dz
Dk
d
d−
L
n=2
p
1
(p
2
+ m
2
)
2
SP n
=
1
2
S
d−
L
n=2
Γ
d
2
−
L
n=2
m
n
2
× Γ
2 −
d
2
+
L
n=2
m
n
2
1
0
dz
Dk
1
m
2
(z, k)
2−
d
2
+
L
n=2
m
n
2
SP n
. (B.
)
Para simplificar a exposi¸c˜ao dos c´alculos, ir emos desenvolver separadamente a integral
nos momentos de competi¸c˜ao presente em (B.
).
B.2 INTEGRAIS ANISOTR
´
OPICAS 95
Usando (B.
) no denominador da integral de (B. ), obtemos
Dk
1
m
2
(z, k)
2−
d
2
+
L
n=2
m
n
2
=
Dk
1
L
n=2
(k
2
(n)
)
n/2
+ z(k
2
(n)
)
n/2
2
+ z(1 − z)
P
2
+
L
n=2
(K
2
(n)
)
n
2−
d
2
+
L
n=2
m
n
2
.
(B.
)
Realizando a tranforma¸c˜ao (k
2
(n)
)
n/2
→ (k
2
(n)
)
n/2
− z(K
2
(n)
)
n/2
na int egral acima, e
similarmente o que foi procedido em (B.
), obtemos
Dk
1
m
2
(z, k)
2−
d
2
+
L
n=2
m
n
2
=
d
m
2
k
(2)
. . .
d
m
L
k
(L)
1
(k
2
(n)
)
n
+ z(1 − z)
P
2
+
L
n=2
(K
2
(n)
)
n
2−
d
2
+
L
n=2
m
n
2
(B. )
Podemos usar a integral anisotr´opica calculada em (B.
), e expressar o resultado de
(B.
) por meio de
Dk
1
m
2
(z, k)
2−
d
2
+
L
n=2
m
n
2
=
1
2
L−1
L!
L
n=2
S
m
n
Γ
m
n
2n
×
Γ
2 −
d
2
+
L
n=2
1 −
1
n
m
n
2
Γ
2 −
d
2
+
L
n=2
m
n
2
z(1 − z)
P
2
+
L
n=2
(K
2
(n)
)
n
2−
d
2
+
L
n=2
1−
1
n
m
n
2
. (B. )
Inserindo o resultado de (B.
) na express˜ao (B. ), escrevemos
I
SP n
=
1
2
L
L!
S
d−
L
n=2
m
n
Γ
d
2
−
L
n=2
m
n
2
L
n=2
S
m
n
Γ
m
n
2n
Γ
2 −
d
2
+
L
n=2
1 −
1
n
m
n
2
×
1
0
dz
z(1 − z)
P
2
+
L
n=2
(K
2
(n)
)
n
−2+
d
2
−
L
n=2
1−
1
n
m
n
2
SP n
. (B.
)
B.2 INTEGRAIS ANISOTR
´
OPICAS 96
Antes de resolver a integral em z na express˜ao acima, efetuamos a expans˜ao em
L
= 4 +
L
n=2
1 −
1
n
m
n
− d. Utilizando a expans˜ao da fun¸c˜ao gama enunciada em
(B. ) na equa¸c˜ao (B. ) , escrevemos
I
SP n
=
1
2
L−1
L!
S
d−
L
n=2
m
n
Γ
2 −
L
n=2
m
n
2n
L
n=2
S
m
n
Γ
m
n
2n
1
L
×
1−
L
2
ψ
2−
L
n=2
m
n
2n
−ψ(1)+
1
0
dz ln
z(1−z)
+ O(
2
L
)
P
2
+
L
n=2
(K
2
(n)
)
n
−
L
/2
SP n
(B.
)
Realizamos o ponto sim´etrico SP
n
atrav´es de
SP
(1)
: P
2
= 1 , (K
2
(n)
)
n
= 0 ( B.
)
SP
(n)
: P
2
= 0 , (K
2
(n
)
)
n
= δ
n,n
para n = 2, . . . , L. (B.
)
E portanto,
P
2
+
L
n
=2
(K
2
(n
)
)
n
−
L
/2
SP n
= 1 , ∀ n (B.
)
A exemplo da integral (B. ), o primeiro fator em colchetes da equa¸c˜ao (B. ) pode
ser absorvido na constante de acoplamento a cada loop realizado.
Resolvendo a integral elementar na vari´avel z e usando o resultado de (B.
), obtemos
I
SP n
=
1
L
1 +
L
h
m
L
+ O(
L
), (B.
)
onde h
m
L
≡ 1 +
1
2
ψ(1) − ψ
2 −
L
n=2
m
n
2n
.
A integral I
SP n
´e utilizada na descri¸c˜ao do comportamento cr´ıtico competitivo gene-
ralizado descrito pelo modelo CECI. Derivamos o resultado desta integral para um ´unico
subespa¸co comp etitivo com intera¸c˜oes at´e o s segundos vizinhos, que ´e descrito at rav´es do
comportamento cr´ıtico de Lifshitz, f azendo L = 2 em (B.
). Ou seja,
I
SP τ
=
1
L
1 +
L
[i
2
]
m
+ O(
L
) (B.
)
B.3 INTEGRAIS ISOTR
´
OPICAS 97
onde, [i
2
]
m
≡ 1 +
1
2
ψ(1) − ψ
2 −
m
4
.
Finalmente, subtraindo (B.
) de (B. ), escrevemos
I
SP
n
−
Dp Dk
1
p
2
+
L
n=2
(k
2
(n)
)
n
+ t
2
= 1 +
1
2
ln t + O(
L
) (B.
)
em que
L
= 4 +
L
n=2
1 −
1
n
m
n
− d.
Os p´olos em
L
s˜ao subtra´ıdos nas integra is acima. O resultado (B. ) ´e utilizado nos
c´alculos do calor espec´ıfico no modelo CECI.
Subtraindo (B.
) de (B. ), obtemos
I
SP τ
−
d
d−m
p d
m
k
1
p
2
+ (k
2
)
n
+ t
2
= 1 +
1
2
ln t + O(
L
) (B.
)
em que
L
= 4 +
m
2
− d.
Para o c´alculo do calo r espec´ıfico abaixo da temperat ura cr´ıtica, ´e suficiente fazer t → −2t
nas integrais (B.
) e (B. ).
B.3 INTEGRAIS ISOTR
´
OPICAS
Nesta ´ultima se¸c˜a o iremos obter algumas integrais utilizadas para calcular o calor
esp ec´ıfico no caso isotr´opico do comportamento cr´ıt ico de Lifshitz e do modelo CECI.
As integrais isotr´opicas s˜ao desenvolvidas em uma s´o vari´avel de momento k definido no
dom´ınio de um ´unico espa¸co competitivo.
i) Consideremos a seguinte integral de interesse para a descri¸c˜ao da competi¸c˜ao
isotr´opica generalizada.
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
+ t
2
, (B. )
Usando diretamente (B. ), resolvemos a integral acima atrav´es da f´ormula:
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
+ t
2
= S
m
n
1
2n
Γ
m
n
2n
Γ
2 −
m
n
2n
t
−
2−
m
n
2n
. (B.
)
B.3 INTEGRAIS ISOTR
´
OPICAS 98
Atr av´es da expans˜ao da fun¸c˜ao gama expressa em (B.
), efetuamos a expans˜ao em
L
= d
c
− d = 4n − m
n
da integral em (B. ) por meio de
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
+ t
2
= S
m
n
1
n
1 −
1
2n
n
+ O(
2
n
)
t
−
n
/2n
. (B.
)
O fator S
m
n
pode ser absorvido em uma redefini¸c˜ao da constante de acoplamento a
cada loop realizado. Ent˜ao, expressamos a r eferida integral atr av´es de
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
+ t
2
=
1
n
1 −
n
2n
1 + ln t
+ O(
n
). (B.
)
ii)Agora consideremos a seguinte integral com momento externo,
I
SP n
=
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
( k + K )
2
n
(K
2
)
n
=1
. (B.
)
Esta integra l se encontra resolvida em [25] por uso dos parˆametros de Schwinger. Aqui
aproveitaremos para resolvˆe-la atrav´es do m´etodo dos parˆametros de Feynman. Para re-
solvˆe-la podemos fazer uso AOG, como fora aplicado nas integrais anisotr´opicas da se¸c˜ao
anterior. Mas, t emos t amb´em a oportunidade de calcul´a-la exatamente. Por qualquer
das duas maneiras, verificaremos que o p´olo em
n
´e removido na subtra¸c˜ao da solu¸c˜ao
de (B.
) com a (B. ).
ii.1) Para resolver a integral (B.
) atrav´es da AOG, consideremos a f´ormula de
Feynman expressa em (B.
). Escolhendo a =
( k + K )
2
n
e b = (k
2
)
n
em (B.
),
escrevemos (B. ) por meio de
I
SP n
=
d
m
n
k
1
0
dz
1
( k + K )
2
n
z + (k
2
)
n
(1 − z)
2
(K
2
)
n
=1
∼
=
1
0
dz
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
+ 2z(K
2
)
n/2
(k
2
)
n/2
+ z(K
2
)
n
2
(K
2
)
n
=1
,
(B.
)
onde aplicamos a AOG enunciada em (B.
).
Usando o resultado de (B.
) na integral (B. ), obtemos
B.3 INTEGRAIS ISOTR
´
OPICAS 99
I
SP n
= S
m
n
1
2n
Γ
m
n
2n
Γ
2 −
m
n
2n
1
0
dz
z(1 − z)(K
2
)
n
]
−
2−
m
n
2n
(K
2
)
n
=1
. (B. )
Realizando a expans˜ao em
n
= 4n − m
n
na equa¸c˜ao acima e usando a expans˜ao da
fun¸c˜a o gama de (B. ), obtemos
I
SP n
= S
m
n
1
n
1 −
1
2n
n
+ O(
2
n
)
1
0
dz
z(1 − z)
−
n
/2n
. (B.
)
Absorvendo o fator S
m
n
na constante de acoplamento do loop realizado e efetuando a
integr al elementar na vari´avel z na (B.
), escrevemos
I
SP n
=
1
n
1 +
n
2n
+ O(
n
), (B.
)
onde
n
= 4n − m
n
. Essa integral ´e utilizada na descri¸c˜ao da competi¸c˜ao isotr´opica
generalizada.
Obtemos a integral corr espondent e para o comportamento cr´ıtico de Lifshitz, reali-
zando n=2 em I
SP n
atrav´es de
I
SP n=2
=
1
L
1 +
1
4
L
+ O(
L
) (B.
)
onde,
L
= 8 − m. Em que, d = m.
ii.2) Agora , iremos resolver exatamente a integral I
SP n
apresentada em (B. ).
Se nos dois membros da f´ormula de Feynman, expressa em (B.
), operamos
(−1)
α+β
Γ(α) Γ(β)
∂
α+β−2
∂a
α−1
∂b
β−1
(B.
)
´
E poss´ıvel verificar
1
a
α
b
β
=
Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β)
1
0
dz
z
α
(1 − z)
β
[ az + b(1 − z) ]
α+β
(B.
)
Efetuando α = 1 = β, recupera mo s (B.
).
Identificando a = (k + K)
2
, b = K
2
e α = n = β , usamos a f´ormula de Feynmam
apresentada em (B.
) nos denominadores da integral (B. ) por meio de
B.3 INTEGRAIS ISOTR
´
OPICAS 100
I
SP n
=
d
m
n
k
Γ(2n)
Γ(n) Γ(n)
1
0
dz
z
n−1
(1 − z)
n−1
k
2
+ 2zk
K + zK
2
2n
(K
2
)
n
=1
(B.
)
Realizando a transla¸c˜ao k → k − zK em (B. ) e usando em seguida a identidade
(B. ), podemos escrever
I
SP n
=
Γ(2n)
Γ
2
(n)
1
0
dz
z(1 − z) ]
n−1
d
m
n
k
1
k
2
+ 2zk K + zK
2
2n
= S
m
n
Γ(2n) Γ(m
n
/2) Γ(2n − m
n
/2)
2 Γ
2
(n)
1
0
dz
z(1 − z)
m
n
2
−n−1
(K
2
)
n
m
n
2n
−2
(K
2
)
n
=1
(B.
)
Efetuando a expans˜ao em
n
= 4n − m
n
em (B.
) e usando a expans˜ao da fun¸c˜ao
gama expressa am (B. ), obtemos
I
SP n
= S
m
n
Γ(2n)
Γ
2
(n)
1
n
1 −
n
2
ψ(2n) − ψ(1)
+ O(
2
n
)
1
0
dz
z(1 − z)
n−1−
n
/2
= S
m
n
1
n
1 +
n
2
ψ(2n) − 2ψ(n) + ψ(1) ) + O(
2
n
)
.
(B.
)
Na equa¸c˜ao (B.
) absorvemos o fator S
m
n
na constant e de acopla mento a cada loop
realizado, e escrevemos I
SP n
atrav´es de
I
SP n
=
1
n
1 + D(n)
n
+ O(
n
). (B.
)
onde, D(n) ≡
1
2
ψ(2n) − ψ(n) +
1
2
ψ(1). E tamb´em
n
= 4n − m
n
, (com m
n
= d ). Essa
integr al ´e ut ilizada na descri¸c˜ao de competi¸c˜ao isotr´opica generalizada realizada pelo
modelo CECI para o c´alculo do calor espec´ıfico.
Obtemos a integral correspondente `a competi¸c˜ao isotr´opica descrita pelo comporta-
mento cr´ıtico de Lifshitz fazendo n = 2 em I
SP n
atrav´es de
I
SP n=2
=
1
L
1 −
1
12
L
+ O(
n
). (B.
)
Em que,
L
= 8 − d.
B.3 INTEGRAIS ISOTR
´
OPICAS 101
iii) Combinando as integrais (B.
) e (B. ) com ( B. ) , obtemos
I
SP n
−
d
m
n
k
1
(k
2
)
n
+ t
2
=
1
n
+
1
2n
ln t + O(
n
), atrav´es da AOG;
1
2n
+ D(n) +
1
2n
ln t + O(
n
), exato.
(B.
)
em que,
n
= 4n − d.
Verificamos acima a subtra¸c˜ao dos p´olos em
n
nos dois processos de c´alculo. A
express˜ao de (B.
) ser´a exigida no c´alculo do calor espec´ıfico para o modelo de Lifshitz
isotr´opico generalizado do cap´ıtulo 5.
Combinando as integrais (B.
) e (B. ) com (B. ), obtemos as express˜oes para o
c´alculo do calor espec´ıfico para o modelo de Lifshitz isotr´opico do cap´ıtulo 4, por meio
de
I
SP τ =3
−
d
m
k
1
(k
2
)
2
+ t
2
=
1
2
+
1
4
ln t + O(
L
), atrav´es da AOG;
1
6
+
1
4
ln t + O(
L
), exato.
(B.
)
Em que,
L
= 8 − d.
Para o c´alculo do calor espec´ıfico abaixo da temperatura cr´ıtica ´e suficiente fazer
t → −2t nas integrais de (B. ) e (B. ).
REFER
ˆ
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