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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
A Coleção História da Matemática para
Professores: um estudo sobre
possibilidades de uso por professores das
séries finais do Ensino Fundamental.
Helinton Mercatelli Neto
Orientadora: Profª Dra. Rosa Lúcia Sverzut Baroni
Rio Claro
2009
Dissertação de Mestrado elaborada junto
ao Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática – Área de
Concentração em Ensino e Aprendizagem
da Matemática e seus Fundamentos
Filosófico-Científicos, para obtenção do
título de mestre em Educação
Matemática.
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À minha mãe Mari Ângela, pelo apoio incondicional.
Ao meu irmão Rafael e minha amada Kely.
Dedico esse trabalho a essas três pessoas,
responsáveis integralmente pelo que sou.
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AGRADECIMENTOS
À minha orientadora Rosa Lúcia Sverzut Baroni, pela confiança, incentivo, ajuda,
paciência e companheirismo ao longo desse trabalho.
Aos meus companheiros do Grupo de Pesquisa em História da Matemática e/ou
suas Relações com a Educação Matemática – GPHM, em especial, ao Sérgio,
Marcos, Roger, Lucieli, Lucas, Toledo, Carlos, Rejeane, Joselene e Rachel, pelo
apoio.
Aos colegas Fernando, Carlos, Carla, Fabiane, Miriam, Keila, Denival, Paulo e
Jamur pelos poucos, porém inesquecíveis momentos que passamos juntos.
À CAPES, por conceder a bolsa de estudos que auxiliou na realização deste
trabalho.
À Arlete e à Ângela, pelas valiosas contribuições.
4
RESUMO
Este trabalho faz um levantamento da Coleção História da Matemática para
Professores editada pela Sociedade Brasileira de História da Matemática
(SBHMat), buscando identificar características das propostas pedagógicas
voltadas ao professor das séries finais do Ensino Fundamental. Essa busca foi
motivada pela constatação de que o professor de Matemática anseia por integrar a
História da Matemática em sua prática docente, mas esbarra na pouca
disponibilidade de textos acessíveis e adequados a sua prática docente. O objetivo
principal foi desenhar um panorama do material que existe disponível para esse
nível de ensino e, mais especificamente, elencar quais livros-texto possuem certos
elementos que ajudariam o professor a usar a História da Matemática em sua aula,
tais como encaminhamentos de como proceder na aplicação de determinada
proposta, atividades e exercícios sugeridos em quantidade suficiente, entre outras.
A análise revelou que não existem muitos livros da coleção que se enquadram
nestas características, sendo um indicativo do que ainda pode ser feito em um
futuro próximo por pesquisadores ou professores da área.
Palavras-chave: Coleção História da Matemática para Professores, Ensino
Fundamental, livros-texto, sala de aula, professores de Matemática.
5
ABSTRACT
This work does a literature review in the “Coleção História da Matemática para
Professores” (Collection History of Mathematics for Teachers) edited by the
Sociedade Brasileira de História da Matemática (Brazilian Society of History of
Mathematics – SBHMat), trying to identify which textbooks are able to help the
teacher - specifically, that one who teaches in the final years of Elementary School in
Brazil - to integrate History of Mathematics in his classroom. This search was
motivated by the assumption that Mathematics teachers would like to integrate
history in his/her classroom, but has problems with the small availability of accessible
and suitable text-books. The main objective was to outline a panorama of the
available textbooks, that focus on the last years of Elementary School and, more
specifically, point out which textbooks have elements that could help the teacher to
use History of Mathematics in his practice, such as suggesting activities and
exercises to accomplish tasks. The analysis revealed that does not exists many
textbooks with those characteristics in the collection, which one can see as an
indicative of possible researches to be carried out by researchers or Mathematics
teachers within this area in a near future.
Key words: Collection History of Mathematics for Teachers, Elementary School,
textbooks, classroom, Mathematics teachers.
6
ÍNDICE
Introdução ........................................................................................................................................................................ 7
História da Matemática na sala de aula: fontes para professores do Ensino Fundamental .....................................11
Livros didáticos, paradidáticos e outros livros-texto ...............................................................................................11
Algumas considerações históricas ...........................................................................................................................14
As fontes encontradas ..............................................................................................................................................28
Coleção História da Matemática para Professores: um olhar sobre as obras voltadas ao Ensino Fundamental.
....................................................................................................................................................................................38
Coleção História da Matemática para Professores: Um levantamento ......................................................................46
1. Livro “Antropologia dos números: Significado Social, Histórico e Cultural”. .....................................................47
2. Livro “Explorando a Geometria através da História da Matemática e da Etnomatemática” ............................51
3. Livro “Explorando as Operações Aritméticas com Recursos da História da Matemática” ...............................56
4. Livro “Geometria e Trigonometria na Índia e nos Países Árabes” .....................................................................60
5. Livro “História da Resolução da Equação de 2º Grau: Uma Abordagem Pedagógica” ...................................64
6. Livro “O Ângulo na Geometria Elementar: diferentes concepções ao longo do tempo” ..................................67
7. Livro “História, etnomatemática e prática pedagógica” ......................................................................................70
8. Livro “História, geometria e razão, qual a relação? E onde entra a proporção?” .............................................74
9. Livro “Número fracionário: primórdios esclarecedores”......................................................................................77
10. Livro “Usos da história da matemática no Ensino Fundamental” ....................................................................80
11. Livro “Uma abordagem pedagógica do uso de fontes originais em História da Matemática” .......................83
Algumas compreensões sobre a “Coleção História da Matemática para Professores” ............................................87
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................................................92
7
Introdução
Minha trajetória no universo da Educação Matemática iniciou-se em 2001,
quando iniciei minha graduação em Licenciatura em Matemática na UNESP –
campus de Rio Claro. Durante todo o curso, estive sempre em contato com os
professores que também pertenciam ao Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática, o qual me influenciou de maneira significativa. Todavia, foram as aulas
de Geometria Elementar, Desenho Geométrico e Geometria Descritiva que me
impulsionaram a seguir o caminho da pesquisa. Essas aulas, na época, foram
ministradas pelo Prof. Dr. Sérgio Roberto Nobre
1
, que freqüentemente utilizava-se
da História da Matemática em suas explanações. Eu, que já tinha certa inclinação
por História Geral, achei aquela nova (pelo menos para mim) maneira de abordar a
Matemática muito interessante e daí em diante meu interesse pela pesquisa em
História da Matemática acentuou-se.
Posteriormente, quando tive a oportunidade de lecionar e entrar em contato
com outros professores, notei que a História da Matemática era somente usada por
eles como uma “curiosidade”. Mas isso quando o livro didático que era utilizado
apresentava algum recorte histórico, tal como a biografia de um matemático famoso,
caso contrário, o uso era totalmente ignorado.
Meus questionamentos surgiram nesse contexto e quando estava prestes a
terminar a graduação, decidi que continuaria em Rio Claro e faria o curso de
mestrado, onde poderia estudar mais profundamente a História da Matemática como
um recurso didático e os diversos fatores que influenciam o seu uso pelo professor
em sala de aula.
Já sob a orientação da Profª. Drª. Rosa Lucia S. Baroni, participando do
Grupo de Pesquisa em História da Matemática e/ou suas Relações com a Educação
Matemática e também fazendo leituras acerca das relações entre História e
Educação Matemática, percebi que essa região de inquérito é um campo de
1
O Prof. Dr. Sérgio Roberto Nobre é professor adjunto do Departamento de Matemática da UNESP – campus
de Rio Claro, presidente da Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat) – gestão 2007 – 2010,
membro do comitê executivo da International Commission on History of Mathematics e possui vasta produção
no campo da História da Matemática, orientando mestrados e doutorados nessa área.
8
pesquisa bastante vasto. Apesar disso, constatei que não são muitas as pesquisas
que buscam entender o que os professores pensam acerca da História da
Matemática e seu emprego em sala de aula. Em sua pesquisa sobre as concepções
dos professores sobre as relações entre História da Matemática e Ensino, Souto
(1997) considera que “É necessário perguntar o que ele [professor] pensa a esse
respeito, como ele se relaciona com a História e tentar compreender os significados
por eles construídos, na prática de sala de aula, sobre a relação da História com o
ensino de Matemática” (SOUTO, 1997, p. 06). Ao relatar suas conclusões, Souto
observa que a precária ou inexistente formação do professor em História da
Matemática, aliada ao fato de não existirem materiais que podem ser diretamente
transpostos para a sala de aula são fatores que dificultam a integração da História
no ensino de Matemática.
De um modo geral, notei que o discurso de que faltam materiais apropriados e
suficientes para ajudar os professores que querem integrar uma abordagem histórica
em sua prática pedagógica é bastante presente na literatura. Pareceu natural e até
mesmo suficiente pesquisar e analisar os materiais nacionais disponíveis para o
professor das séries finais do Ensino Fundamental. E, nesse ínterim, surgiu a idéia
de efetuar essa busca nos catálogos de livros paradidáticos, que são maciçamente
divulgados pelas editoras entre os professores (no caso da disciplina Matemática,
desde 1986) e constituem-se numa alternativa ao livro didático:
A partir de 1986 e com o objetivo de atender a algumas propostas
que pretendiam reverter a ênfase no formalismo e no rigor
matemático presentes no ensino de Matemática e,
conseqüentemente, em seus livros didáticos, começam a ser
editados os livros paradidáticos que já vinham sendo usados em
outras disciplinas desde o final da década de 1970. Esses livros
traziam, subjacente a sua redação, a valorização da leitura, da
História da Matemática, das situações do cotidiano, da
interdisciplinaridade dos conteúdos e o resgate da Geometria, ao
contrário da maior parte das propostas da Matemática Moderna que
havia desprezado esses elementos. (GIANI, 2004, p.23)
Depois de efetuar uma busca de livros paradidáticos de Matemática, que
utilizam a História da Matemática para abordar o conteúdo matemático, encontrei
algumas coleções que datam aproximadamente de dez anos atrás, sendo que
algumas já estão no mercado há mais de vinte anos, como é o caso da coleção
“Vivendo a Matemática”, editada no Brasil em 1986 e vendida até hoje. Mas, na
9
busca por materiais com essas características e que fossem mais atuais, deparei-me
com a coleção “História da Matemática para Professores”, editada pela Sociedade
Brasileira de História da Matemática (SBHMat), que desde 2001 vem sendo
publicada a cada dois anos. Assim, voltei minha atenção para essa coleção, pois se
trata de um material mais atual e que tem a chancela de uma sociedade com
prestígio nacional e internacional. Como os autores recomendam o uso da história
em uma sala de aula? Quais suas justificativas? Quais suas intenções? Dentre todos
os livros que encontramos, quantos são voltados para as séries finais do Ensino
Fundamental?
Em seu recente trabalho, Feliciano (2008) entrevistou professores de
Matemática do Ensino Fundamental e Médio com o intuito de esboçar um cenário
que retrate possibilidades de articulação entre a História da Matemática e seu
processo de ensino-aprendizagem. Em suas conclusões, observou que os
professores:
[...] apostam no valor didático da História da Matemática, mas
evidenciam que não têm condições para efetuá-lo. Dão indícios de
que é necessário um apoio de instituições de ensino superior, de
modo a capacitá-los para o trabalho histórico-pedagógico do
conteúdo matemático. Vêem necessidade de materiais que sejam
voltados ao professor de Matemática, com uma linguagem acessível
e que possa ser utilizado dentro da sala de aula. (FELICIANO, 2008,
pg. 104)
No espaço de tempo compreendido entre o trabalho de Souto (1997) e
Feliciano (2008), constei que pouco se avançou na tentativa de resolver o que
podemos chamar de dois “grandes empecilhos” ao uso da História da Matemática
em sala de aula atualmente: 1) os professores não são preparados, em sua
formação, para desenvolver esse tipo de abordagem e 2) existe escassez de
materiais voltados ao professor de matemática, com uma linguagem acessível e
que possam ser utilizado dentro da sala de aula.
Ao tomar conhecimento desses dados, notei que a “Coleção História da
Matemática para Professores” vem ao encontro de algumas das necessidades
desses professores. O direcionamento desse material é um ponto que deve ser
ressaltado, pois a totalidade das obras é direcionada ao professor de Matemática. A
coleção pode, também, contribuir na formação continuada dos professores dando
suporte aos docentes que pretendem iniciar ou aprofundar seus estudos no tema em
10
questão. Restava saber se a coleção possuía obras com linguagem mais acessível e
que pudessem ser utilizadas dentro da sala de aula, pois esse pareceu um ponto
que merecia um olhar um pouco mais aprofundado. Assim, após refletir sobre esses
dados, o objetivo desse estudo foi delimitado.
A intenção desse trabalho é estudar a “Coleção História da Matemática para
Professores”, identificando as obras destinadas aos professores das séries finais do
Ensino Fundamental e analisá-las, apontando quais delas o professor pode utilizar
na sala de aula, levando em consideração a praticidade na aplicação do conteúdo
proposto (atividades resolvidas, propostas de encaminhamento, problemas em
quantidade razoável para apresentar aos alunos, etc.). Assim, pretendemos focar
nossa atenção nos materiais disponíveis ao professor do 6º ao 9º ano do Ensino
Fundamental, pois a literatura disponível nos revela ser esse um ponto ainda crítico
e que merece estudo dentro deste tema.
No primeiro capítulo, serão apresentados os dados relativos à
contextualização da pesquisa e suas questões, a delimitação do estudo e os
procedimentos que construíram essa pesquisa.
No segundo capítulo será feito um levantamento de todos os livros da
“Coleção História da Matemática para Professores”, desde seu surgimento em 2001.
Posteriormente os livros serão o foco de nosso interesse e seguiremos as seguintes
etapas: i) descrição da obra e ii) identificação das características das propostas
pedagógicas e comentários que expõe nossas percepções e críticas.
No terceiro e último capítulo, serão apresentadas as considerações finais com
base nos resultados obtidos, bem como a indicação de questões que podem servir
para estudos futuros.
11
História da Matemática na sala de aula: fontes para
professores do Ensino Fundamental
Livros didáticos, paradidáticos e outros livros-texto
A integração da História da Matemática na sala de aula é um assunto
relativamente novo, apesar de contarmos com a indicação de seu uso no ensino
pelo menos no final do século XIX, quando matemáticos como Henry Poincaré e
Felix Klein já a recomendavam. Contudo, vemos que seu crescimento de forma
estruturada (seminários, congressos e estudos em nível internacional) se deu
aproximadamente nos últimos trinta anos. Grupos de expressão como o “The
International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of
Mathematics”
2
(HPM), que obteve filiação a “The International Commission on
Mathematical Instruction” (ICMI) em 1976 e vem desenvolvendo suas atividades
nessa área (conferências, livros, jornais, etc.) ajudaram a consolidar o movimento
em questão. O HPM hoje conta com inúmeros volumes sobre o tema, muitos deles
resultantes das discussões ocorridas em seus satellites meetings
3
e também outros
que podemos acessar via internet. A internet, inclusive, desempenha um importante
papel atualmente. Segundo Fasanelli (2004), a web possibilitou o reaparecimento do
Jornal (Newsletter) do HPM, que funciona como “espinha dorsal” ou “principal
elemento unificador” do grupo.
No Brasil, o movimento em torno da História da Matemática se intensificou na
década de 90, quando os primeiros grupos de estudo se formaram
4
. Segundo
Bianchi:
Uma das conseqüências deste movimento de aproximadamente uma
década são os eventos sobre História da Matemática, a fundação da
Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat), em 1999,
e as publicações sobre a HM em revistas específicas da HM ou da
própria Educação Matemática. (BIANCHI, 2006, p.23)
2
O HPM foi o primeiro grupo de estudo, juntamente com o “The International Group for the Psychology of
Mathematics Education” a obter filiação junto ao ICMI.
3
Entre as atividades do HPM, existe a tradição de organizar conferências satélites do ICME (International
Congress on Mathematical Education”, organizado pela ICMI a cada quatro anos.
4
A única exceção é João Bosco Pitombeira F. Carvalho que formou seu grupo de estudos em 1984 na PUC-RJ.
12
Podemos dizer que hoje a História da Matemática com enfoque na sala de aula está
bem mais difundida, sendo que documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCNs) incentivam seu uso:
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição
ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento.
Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os
conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o
professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e
valores mais favoráveis diante desse conhecimento.
Além disso, conceitos abordados em conexão com sua história
constituem veículos de informação cultural, sociológica e
antropológica de grande valor formativo. A História da Matemática é,
nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade
cultural. (BRASIL, 1998).
Apesar da forte recomendação, não são dadas maiores informações de
“como” operacionalizar esta introdução da História da Matemática no processo de
ensino aprendizagem. Nossa pesquisa procurou, então, olhar para o material
publicado no Brasil que pudesse auxiliar o professor nessa tarefa. Que tipo de
material há disponível para o professor que possa instrumentá-lo a usar a História da
Matemática em sala de aula? Quem os disponibiliza? Em que formato? (Textos,
vídeos, softwares, jogos, etc.). Qual a intenção de quem publica esses materiais?
Essas foram as primeiras perguntas que nos guiaram nesse estágio inicial. Nossa
pesquisa procurou, então, olhar para o material impresso publicado. Começamos
inicialmente pelos catálogos de livros paradidáticos, pois são livros amplamente
divulgados pelas grandes editoras comerciais brasileiras e muitos deles utilizam a
História da Matemática para abordar o conteúdo matemático.
Apesar de existirem há quase quarenta anos, não é uma tarefa simples
caracterizar esse tipo de livro. Algumas editoras, a exemplo das editoras Atual e
Moderna, utilizam o termo apoio didático. As editoras Ática, Saraiva e Scipione
utilizam o termo paradidático. As concepções das editoras são bastante
semelhantes, embora não muito precisas. São, segundo as editoras, livros que
pretendem auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, podendo ou não ser
usados paralelamente ao livro didático. Também são considerados uma alternativa
aos textos utilizados no sistema tradicional de ensino, em que o apelo a uma
Matemática “mais agradável, divertida, sem grilos e terror” é muito freqüente.
13
Geralmente estão agrupados em coleções cuja autoria é dividida por um pequeno
grupo de autores mas também existem coleções escritas por um único autor.
Durante o processo de busca nas diversas instituições que trabalham com
material didático de matemática, encontramos outros livros “independentes”, como
por exemplo, a obra “Síntese da História das Equações Algébricas” de Hygino H.
Domingues, editado pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática ou o
“Romance das equações algébricas” de autoria de Gilberto Garbi e editado pela
editora Makron Books.
Não podemos deixar de mencionar os livros didáticos, pois acreditamos que
se trata de um livro referência para muitos professores e é distribuído gratuitamente
a todas as escolas do país. A História da Matemática nos livros didáticos já foi tema
de estudo em vários trabalhos, tais como VIANNA (1995) e BIANCHI (2006). O livro
didático apresenta uma variedade de abordagens para o conteúdo matemático,
dentre elas a História da Matemática. Em sua pesquisa, Bianchi (2006) concluiu que
a abordagem histórica contida nesses livros aumentou nos últimos anos mas, apesar
desse acréscimo, o estudo revelou que as categorias mais utilizadas pelos autores
são a informação geral e informação adicional, sendo que as estratégias didáticas
5
,
consideradas pela autora como a forma mais interessante de se usar a História da
Matemática como recurso didático, ficam em segundo plano. “Concluímos que a
Estratégia Didática, tanto presente na parte teórica, como nas atividades é a
categoria que influencia com significados, com criatividade, com entusiasmo. Estas
formas estão presentes nos livros analisados, porém ainda exploradas com
parcimônia.” (BIANCHI, 2006, p. 86). Ou seja, o livro didático cumpre um papel
eminentemente informativo quando o assunto é a História da Matemática, auxiliando
de maneira não muito profunda o professor que não teve em sua formação temas
relacionados à História da Matemática.
Outro tipo de publicação totalmente direcionada ao professor de Matemática e
que tem, portanto, características que as distinguem dos livros didáticos e
paradidáticos é a “Coleção História da Matemática para Professores”, editada pela
Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat). É uma coleção bastante
heterogênea, que abrange diversas temáticas: reflexões sobre assuntos históricos
5
Informação Geral, Informação Adicional e Estratégia Didática são categorias criadas por Bianchi (2006) em sua
dissertação para as inserções da História da Matemática nos livros didáticos.
14
voltados para a formação do professor; metodologias de pesquisa em História da
Matemática e História da Educação Matemática; sugestões de uso da História da
Matemática (nos níveis Fundamental, Médio e Superior) com diversas atividades
para a sala de aula e propostas de encaminhamento, dentre outros temas.
Acreditamos que essas são fontes impressas que o professorado pode se
apoiar na tentativa de utilizar a História da Matemática em suas aulas. Os livros
didáticos e paradidáticos, por sua ampla divulgação pelas editoras comerciais, e a
coleção editada pela SBHMat, que é uma entidade científica que promove
levantamentos, pesquisas e estudos com vistas a divulgar dados, reflexões e
informações referentes à História da Matemática. Apesar de entrarmos em contato
com diversos desses materiais citados acima, focaremos nossa atenção na “Coleção
História da Matemática para Professores”, que possui algumas características
distintas das demais publicações: é um trabalho produzido em sua totalidade por
pesquisadores membros de uma sociedade científica, direcionado ao professor de
Matemática e não visa o lucro. Além disso, pensamos que ao analisar a “Coleção
História da Matemática para Professores”, nosso trabalho pode contribuir com dados
que seriam úteis à SBHMat, em seu constante processo de avaliação da coleção.
Algumas considerações históricas
Neste momento de nossa pesquisa buscamos estabelecer uma apresentação
dos pressupostos que permeiam a venda de livros voltados ao mercado escolar no
Brasil. Pensamos ser importante essa recapitulação sobre o histórico, mercado e
intenção das editoras ao colocar à disposição do professor (e alunos) livros de
Matemática. Por meio desse movimento, podemos nos familiarizar com nosso objeto
de estudo, nos aprofundar sobre o tema e tentar desvendar um pouco mais sobre as
intenções de quem publica semelhante obra.
Ao entrar em contato com as publicações brasileiras voltadas para a
educação escolar, nos chama a atenção a variedade de nomenclaturas dadas a
esses livros. Os mais comuns são os populares livros didáticos, seguidos dos livros
paradidáticos (também chamados “apoio escolar” por algumas editoras). Esses dois
tipos de livro-texto, acreditamos, são conhecidos por um grande número de
professores brasileiros, que, de uma ou outra maneira, acabam entrando em contato
15
com essas obras. O livro didático atualmente é distribuído pelo Governo Federal de
maneira bastante ampla por meio de programas como o Programa Nacional do Livro
Didático (PNLD) e o livro paradidático é uma obra voltada especificamente ao
mercado escolar brasileiro e já tem pelo menos quarenta anos de divulgação pelas
grandes editoras comerciais brasileiras. Ao tecermos algumas considerações
históricas sobre estes tipos de livro-texto
6
, esperamos revelar alguns de seus
aspectos importantes e de sua relação com o professor e os demais elementos que
estão envolvidos no ambiente escolar.
O livro didático é um tema de vital importância na educação escolar, pois vem
crescendo consideravelmente o número de dissertações, teses, grupos de pesquisa
e publicações em revistas especializadas nos últimos anos que o consideram como
objeto de estudo. Sabemos que ele, no contexto educacional brasileiro, constitui-se
em importante diretriz do professor em sua atividade docente. Como o assunto “livro
didático” é extremamente amplo e complexo, não pretendemos apresentar um
histórico completo sobre ele, mas apenas algumas colocações que julgamos
importantes para o nosso trabalho.
Schubring defende que os livros-texto de matemática apresentam uma
variabilidade da matemática “ensinada” (desde a matemática elementar até a
superior), uma variabilidade causada, de fato, por variáveis culturais e sociais.
Assim, não basta um olhar apenas para o livro em si. “[...] é imperioso analisá-lo
como parte de um contexto social mais amplo, como o da produção de
conhecimento pela comunidade científica em geral” (SCHUBRING, 2003, p.16).
O livro didático teve grande importância no crescimento, desenvolvimento e
estabelecimento do mercado editorial brasileiro e atraiu o interesse daqueles que
estavam ligados à atividade livreira (NEVES, 2005). Jaime Pinsky enfatiza a
influência e a força do livro didático no mercado editorial dos anos 80, época em que
o Brasil passava por uma recessão:
6
Quando utilizarmos o termo livro-texto, o faremos significando “livro destinado ao uso no ensino”
(SCHUBRING, 2003, p.4). Nesse sentido, livros didáticos, paradidáticos e os livros da coleção “História da
Matemática para Professores” também são livros-texto.
16
[...] enquanto milhares de empresas eram fechadas, o desemprego
grassava, a fome e a miséria alimentavam de dólares os banqueiros
americanos, as editoras de livros didáticos só faziam crescer. Essas
empresas tradicionais como a IBEP/Nacional, Editora do Brasil,
Saraiva, se expandiam enquanto várias firmas novas como Moderna,
Lê e Atual saiam do zero e, em quatro ou cinco anos já se tornavam
prósperas e sólidas. (Pinsky, 1985, p. 23).
Segundo Neves (2005), o mercado de livros didáticos representava metade
do total de livros produzidos no país na década de 80, o que mostra a grande
vitalidade desse setor em um momento de recessão pelo qual o país passava.
Em sua tese, Munakata (1997) relata que o início dos subsídios
governamentais se deu a partir de 1961, quando o Banco do Brasil foi incumbido de
financiar sua produção através do decreto federal n° 50.4 89, de 25/4/1961. Em
1966, foi criada Comissão do Livro Técnico e do Livro Didático (COLTED), cuja
responsabilidade era coordenar todas as atividades relacionadas ao livro didático,
incluindo a compra e distribuição aos estados. O órgão foi extinto em 1971, por estar
envolvido em acusações de irregularidades. Em seu lugar foi criado o Instituto
Nacional do Livro (INL), assumindo as responsabilidades da COLTED, passando a
executar o Programa do Livro Didático, composto pelos seguintes programas:
Programa do Livro Didático-Ensino Fundamental (PLIDEF), Programa do Livro
Didático-Ensino Médio (PLIDEM), Programa do Livro Didático-Ensino Superior
(PLIDES), Programa do Livro Didático-Ensino Supletivo (PLIDESU) e Programa do
Livro Didático-Ensino de Computação (PLIDECOM).
Em 1983 foi criada a Fundação de Assistência ao Estudante (FAE), um órgão
ligado ao Ministério da Educação e responsável pela compra dos livros didáticos
para serem distribuídos às escolas públicas de todo o Brasil. A partir de 1985 o
Programa do Livro Didático recebe a designação de Programa Nacional do Livro
Didático (PNLD), com a finalidade de atender a todos os alunos de 1ª a 8ª série do
Ensino Fundamental das escolas públicas federais, estaduais territoriais, municipais
e comunitárias do país, com a distribuição de livros didáticos das disciplinas básicas:
Língua Portuguesa e Matemática.
De acordo com Pereira (2005), a FAE foi extinta em 1996 e suas funções
foram assumidas pelo Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE),
autarquia federal vinculada ao MEC criada em 1968, que assumiu a execução do
PNLD até os dias de hoje.
17
Hoje o governo abastece as escolas de Ensino Fundamental de todo o país
através do PNLD, cuja missão “é prover as escolas das redes federal, estadual e
municipal com obras didáticas de qualidade” (BRASIL, 2007a).
Assim, vemos que o Estado, na história recente do Brasil, tem estimulado o
setor de livros didáticos, injetando quantias consideráveis no mercado – em 2007, o
orçamento chegou a 850 milhões de reais (BRASIL, 2007a) – tendo um papel
importante em seu desenvolvimento. Já para o ano de 2008, foram comprados 128,4
milhões de livros de 16 editoras, com o Governo Federal desembolsando a quantia
total de R$746.486.260,13, conforme mostra a figura abaixo (BRASIL, 2007b):
Figura 1: Planilha demonstrativa dos valores arrecadados pelas editoras por meio do
Programa Nacional do Livro Didático 2008 – Ensino Fundamental
18
Figura 2: Planilha demonstrativa dos valores arrecadados pelas editoras por meio do
Programa Nacional do Livro Didático 2008 – Ensino Médio
Mas o boom dos livros didáticos ocorreu na década de 70, com o advento da
Lei 5692/71 – a lei de reforma do ensino – que democratizou o ensino público
forçando os estados e municípios a estenderem suas redes de ensino às camadas
populares. Em sua tese de doutorado, Munakata (1997) apresenta o relato de vários
editores de grandes editoras brasileiras, onde a maioria relaciona o crescimento do
setor com a massificação do ensino.
Para atender a tal demanda, as editoras foram obrigadas a se modernizar.
Para se ter uma idéia da magnitude de tal empreendimento, daremos um exemplo
do que aconteceu com os livros didáticos que seriam adotados em 1987:
“As editoras foram desafiadas a produzir 55,5 milhões de
itens, entre livros, manuais e cadernos de atividades, em apenas 105
dias. A FAE determinou que as negociações com as editoras fossem
concluídas até 15/10/1986 e a encomenda, entregue até 31/12/1986,
após o que seria cobrada uma multa de 0,5% do valor contratado por
cada dia de atraso. As editoras, por sua vez, ao perceberem que se
não assinassem o contrato estariam fora do programa, aceitaram tais
prazos, mesmo sendo praticamente impossível cumpri-los. Naquele
ano, apenas oito editoras cumpriram o prazo, que foi então
prorrogado em um mês. E para piorar a situação, a maior parte da
produção do material (85%) estava concentrada nas mãos de apenas
cinco editoras, que estavam encarregadas de produzir 47 milhões de
livros em apenas dois meses e meio. A modernização das editoras
foi, em grande parte, impulsionada pela necessidade de atender aos
programas governamentais”. (MUNAKATA, 1997, p. 59)
19
Apesar dos números superlativos, nem todas as pessoas que trabalham
nesse ramo afirmam que vender para o Estado é um negócio lucrativo. Em
entrevista concedida a Kasumi Munakata, Lizânias de Souza Lima (FTD) afirma:
Se você for editar só para vender para o governo, é capaz de dar
prejuízo, porque é assim: o governo paga no mínimo, no mínimo, dez
vezes menos! Um livro que custa 15, ele vai pagar 1,50. Claro que
ele compra tudo de uma vez..., mas basicamente é isso. Então, [um
livro] só voltado para o governo seria impossível. Agora, se você já
tem o livro, já fez, já editou, o que ele tinha de dar despesa... Então,
para o governo vai ser basicamente o papel. Em grande quantidade
então vale a pena; do contrário, não valeria. E se editar um livro só...
Você nunca sabe quando o governo vai comprar ou não. Então é
uma coisa incerta e mal sabida. Agora, o mercado direto, não!
Às vezes, você até torce para não haver compra do governo, porque
há muita escola que, se não receber do governo, compra. E
recebendo do governo, você não vende. Você vai vender só nas
[escolas] particulares. No interior há muita escola em que o Estado
tenta manter o nível, porque atende à classe média. Então, o aluno é
mais qualificado, mais bem-nutrido, o pai cobra mais. Essas escolas
compram livros, consomem. Mas o Estado distribui: você vende para
o Estado, perde a venda direta. (MUNAKATA, 1997, p.74)
Não podemos afirmar categoricamente aqui se a produção de livros didáticos
é lucrativa ou não, mas fica claro que as editoras estão interessadas em vender para
o governo. Segundo dados do FNDE, de 1995 a 2006 o PNLD adquiriu 1,077 bilhão
de unidades de livros, distribuídos para uma média anual de 30,8 milhões de alunos
matriculados em cerca de 163,7 mil escolas. Nesse período, o PNLD investiu R$
34,2 bilhões. Direta ou indiretamente, existe uma vantagem que não pode ser
negada.
Mas uma questão interessante a ser colocada é a seguinte: o setor de
didáticos independe das compras efetuadas pelo Estado? Ao tentar responder essa
pergunta, Munakata afirmou em 1997 que não existiam dados nos quais
pudéssemos nos basear para afirmar de maneira categórica. As informações eram
muitas vezes confusas e lacunares. Mas afirma que “as editoras não podem
depender do Estado; para sobreviver devem tomar iniciativas, consolidar nichos de
mercado próprios. O que se pode afirmar, então, é que o Estado não é tão soberano
na história do livro didático” (MUNAKATA, 1997, p.79). Mas já se passaram dez anos
desde sua análise e já temos dados que corroboram a tese de que atualmente o
governo é sim soberano nessa história. Em uma pesquisa realizada em 2004 pelo
20
Grupo de Pesquisas em Economia do Entretenimento do Instituto de Economia da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, a pedido do Banco Nacional de
Desenvolvimento Econômico e Social, o BNDES, foi constatado que o mercado
livreiro, de um modo geral, vem passando por uma crise. Desde 1997 há uma queda
constante na produção de livros, e esta queda refletiu uma redução acentuada no
faturamento. Segundo dados do estudo, as vendas das editoras foram reduzidas a
praticamente a metade, entre 1995 e 2003. No mesmo período, o PIB brasileiro
cresceu 16%.
Diante de tal quadro, o governo passa a ter um papel importante no setor de
livros didáticos, pois ele, através somente do PNLD, foi responsável por até 60% dos
exemplares vendidos e 50% do faturamento das editoras em 2003 (EARP e
KORNIS, 2004). Se levarmos em conta que o governo vem aumentando o número
de programas para a distribuição de livros didáticos (foram implantados em 2004 o
Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio, conhecido como PNLEM,
e em 2007 o Programa Nacional do Livro Didático para a Alfabetização de Jovens e
Adultos, o PNLA), parece acertado que o papel do governo, no que diz respeito ao
setor de livros didáticos, é fundamental.
Além de ampliar a oferta de ensino, a Lei 5692/71 também obrigava a
introdução de textos literários no currículo escolar, com a recomendação de que
estes fossem escritos por autores nacionais (DALCIN, 2002, p.20). Para suprir essa
nova exigência, a primeira opção das editoras foi reescrever os livros clássicos de
literatura. Conforme lemos em Dalcin, a ação inicial foi “didatizar” livros clássicos de
literatura, com a intenção de torná-los mais acessíveis aos alunos. Essa
“didatização” consistia em capas atraentes, introduções com a contextualização
histórica do texto, notas explicativas de rodapé e um grande número de ilustrações.
Essa abordagem permanece até os dias atuais, como podemos ver no site da
Editora Scipione:
21
Em 1984, com o objetivo de acompanhar as tendências do
mercado editorial, a Scipione apresentou ao público sua primeira
coleção de livros paradidáticos, a série Reencontro, os maiores
clássicos da literatura universal recontados por escritores de talento,
numa linguagem acessível e agradável, que estimula e cativa o leitor.
Sua aceitação no mercado foi tal que, hoje, conta com mais de 70
clássicos da literatura universal. Ao longo desses anos, vem
ampliando não só o número de títulos, mas o de leitores e prêmios, o
que estimulou a criação da série Reencontro Infantil, voltada para
crianças a partir de 9 anos, e da série Reencontro Filosofia, que
contempla obras dos grandes filósofos, voltada para jovens.
(SCIPIONE, 2007, grifo nosso)
Essa citação aparece na Sessão “Conheça a Scipione”, mostrando
brevemente a trajetória da editora no cenário educacional e suas atuais políticas
para a difusão do saber.
O fato de a própria Scipione colocar os paradidáticos como um “capítulo da
sua história” (SCIPIONE, 2007) já revela que tais livros têm importância para o
mercado. Na década de 80, eles eram as “novas tendências do mercado editorial”
(SCIPIONE, 2007). Uma tendência que se tornou um sucesso, visto que o catálogo
atualmente conta com mais de 70 clássicos da literatura universal.
A editora Ática, que lançou essa nova tendência editorial, iniciou suas
atividades em 1965, apostando na ludicidade e agilidade em suas obras. Segundo
Neves (2005), em 1970 a Ática conquistou a primeira posição na publicação de
didáticos. Algo realmente extraordinário, pois ela tinha somente cinco anos de
atividade comercial na época. No início da década de 70, lança a série “Bom Livro”,
que, segundo seu atual gerente editorial, Fernando Paixão, apresentava uma grande
novidade: “uma espécie de ficha de leitura, que se tornou a pré-história dos
suplementos de trabalho, se constituindo num diferencial às outras edições de
clássicos”. (ÁTICA, 2007). Outras duas séries com as mesmas características foram
lançadas pela Editora Atica: “Série Vaga-lume”, em 1976, e “Para Gostar de Ler”, em
1977. O termo paradidático surgiu no final da década de 70 no âmbito da Editora
Ática, mas não podemos afirmar com certeza quem foi o responsável por tal
denominação. Alguns creditam o feito a Jiro Takahashi, na época editor, e outros
afirmam que quem cunhou o termo foi Anderson Fernandes Dias, então diretor-
presidente da empresa.
Inicialmente criado para apoiar o professor de Língua Portuguesa e,
posteriormente, expandido para todas as outras disciplinas escolares, essa nova
fórmula editorial aparece como um novo filão comercial para as editoras, que
22
segundo Zamboni (1991, p.11), foi “lançada numa política de ‘marketing’ com
finalidade comercial”. Esse aspecto comercial é reforçado por Jaime Pinsky que, em
entrevista concedida a Kazumi Munakata, afirma que:
Do ponto de vista das editoras, paradidático é uma concepção
comercial e não intelectual. Então, não interessa se é Machado de
Assis, se é dicionário, se é não-sei-o-quê, o que interessa é o
sistema de circulação. Os editores leram Marx, se não leram
entenderam mesmo sem ler, quer dizer, eles sabem o que define
realmente o produto é a possibilidade de circulação desse produto.
Então, se esse produto circula como paradidático – ou como diriam
vocês, acadêmicos, “enquanto” paradidático –, ele é um paradidático.
Ele pode ser um romance, pode ser um ensaio, pode ser qualquer
coisa; então, essa é a definição de paradidático nos meios editoriais.
Então é muito fácil, não tem absolutamente nenhuma dificuldade
nessa definição. Ora, há certos temas que o livro didático não dá
conta, e você precisa, às vezes, verticalizar alguns temas. Então,
esse foi o objetivo. (MUNAKATA, 1997, p.102)
Ora, se o livro paradidático define-se em sua circulação, então é necessário
estimular tal circulação, já que sua compra não é garantida pelo governo
7
. Assim,
fomentou-se a necessidade de “verticalização do tema” (MUNAKATA, 1997).
No caso específico dos paradidáticos de Matemática, eles surgiram em
meados dos anos 80, quando alguns aspectos do movimento da Matemática
Moderna começam a ser questionados, mais especificamente a ênfase ao
formalismo e rigor matemáticos. Segundo D’Ambrósio (1983), durante os primeiros
dois terços do século XX, o ensino da Matemática Elementar passou por três fases
principais: fase de “avaliação e treino”, fase da “aprendizagem significativa” e fase
da “Matemática Moderna”. Na primeira fase, “avaliação e treino”, o objetivo do
currículo era garantir que o aluno decorasse os fatos aritméticos básicos (as
tabuadas) e os algoritmos que lhe permitiriam fazer cálculos com rapidez e precisão.
Durante a segunda fase, os professores tentaram tornar a aprendizagem aritmética
uma aprendizagem significativa através do envolvimento do aluno em atividades. A
terceira fase, que veio a ser conhecida como “Matemática Moderna” surgiu da
tentativa de ensinar a estrutura da disciplina e de tentar organizar o currículo de
novas maneiras. O professor Antônio José Lopes, autor de vários livros didáticos de
Matemática, discorre sobre esse movimento em uma entrevista ao Jornal do Brasil:
7
O Governo do Estado de São Paulo atualmente compra os chamados livros de ficção e não-ficção
para as escolas paulistas através do Programa Lendo e Aprendendo.
23
[...] o currículo estava impregnado mais das perspectivas dos
matemáticos que dos educadores. Teve vantagens e desvantagens.
A experiência da Matemática Moderna ampliou o fracasso escolar,
porque carregou o currículo de conteúdos sem significado, deu
ênfase na linguagem formal e no rigor. Uma das características da
Matemática Moderna era pensar que, se déssemos os fundamentos
da estrutura - conjunto, elementos, suas relações e suas
propriedades - o aluno construiria o restante do edifício, como se
fosse um algebrista puro da universidade. (Jornal do Brasil,
21/01/2001)
Para reverter essa ênfase na linguagem formal e no rigor, novas propostas,
com base em teorias construtivistas, investem em alguns elementos que haviam sido
desprezados pela Matemática Moderna. Dentre esses elementos, estariam a
valorização da leitura, da História da Matemática, das situações do cotidiano, da
interdisciplinaridade dos conteúdos e o resgate da Geometria. Essas novas
propostas apareceram primeiramente nos livros paradidáticos, pois os livros
didáticos demorariam um tempo maior para conseguir incorporar as novas
tendências do ensino de Matemática.
A década de 90 apresenta uma ampliação do trabalho com elementos
históricos:
A partir da década de 1990, presenciamos a ampliação do trabalho
com elementos históricos não apenas em propostas curriculares
como também em coleções paradidáticos e de livros didáticos. Essa
ampliação seria acompanhada de uma grande diversidade de formas
e abordagens e de características relativamente à natureza da
história que se recorre. (MIGUEL e MIORIM, 2004, p.56)
No fim da década de 90, o Governo Federal lança os Parâmetros Curriculares
Nacionais, que recomendam a História da Matemática como um meio de se “fazer
matemática” em sala de aula. Esse fato, aliado ao crescimento em torno do
movimento da História da Matemática no Brasil na década de 90, desencadeou um
processo que culminou com o aumento em seu uso nos livros didáticos brasileiros.
Bianchi (2006), que analisou sucessivas reedições de duas coleções
8
de livros
didáticos de Matemática distribuídos aos professores e alunos pelo PNLD, constatou
que as duas coleções possuem um bom apelo à História da Matemática, procurando
8
As coleções analisadas foram “Matemática” de Imenes e Lellis, publicada pela editora Scipione (São Paulo) e
“Matemática: Idéias e Desafios” de Iracema e Dulce, publicada pela editora Saraiva (São Paulo).
24
atender à demanda que os PCNs indicam. “É nítida a presença da História da
Matemática nos Livros Didáticos. Ao longo dos anos das avaliações citadas ela vem
se tornando cada vez mais consistente.” (BIANCHI, 2006, p.80)
No ano de 2001, a SBHMat lança a “Série Textos de História da Matemática”,
por ocasião do IV Seminário Nacional de História da Matemática, realizado na
cidade de Natal, na Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Com o intuito de
tornar os minicursos mais significativos para os participantes, os palestrantes
prepararam textos de apoio aos mesmos. Segundo o professor John Fossa, que foi
o organizador da série:
Os textos não seriam necessariamente limitados aos conteúdos dos
minicursos, mas seriam pequenas obras de referência sobre os
temas abordados. Desta forma, esses textos não seriam apenas
materiais auxiliares das apresentações, mas verdadeiros livros
independentes, que trariam proveito a todos os leitores, mesmo os
que não participaram do IV SNHM.
Esses textos podem ser considerados o embrião da “Coleção História da
Matemática para Professores” e foram editadas onze obras que tiveram pequena
tiragem e esgotaram-se rapidamente.
25
Tabela 01: Lista dos Livros da “Série Textos de História da Matemática”
Referência Título Autor
01 Os logaritmos na história e no ensino Antônio Miguel e Maria
Ângela Miorim.
02 História e Ensino de Geometria Arlete de Jesus Brito e
Dione Lucchesi de
Carvalho.
03 História da Trigonometria Bernadete Barbosa Morey
04 As observações do cometa de 1618 em
Portugal
Carlos Ziller Camenietzki
05 Laboratório de História da Matemática Eduardo Sebastiani
Ferreira.
06 O primeiro livro dos Elementos de
Euclides
Irineu Bicudo
07 Estudos sobre o número nupcial John A. Fossa e Glenn W.
Erickson
08 Um estudo da noção de grandeza na
História da Matemática e implicações no
Ensino Fundamental e Médio.
Paulo Figueiredo Lima e
Paula Moreira Baltar
Ballemain
09 Elementos históricos da teoria da
medida e integração
Rosa Lúcia Sverzut Baroni
e Marcelo S. Batarce
10 Introdução à história do pensamento
geométrico: uma abordagem pedagógica
Suzeli Mauro
Maria Terezinha Jesus
Gaspar
11 História da resolução da equação do
segundo grau: uma abordagem
pedagógica.
Sérgio R. Nobre
9
Quando da realização do V Seminário Nacional de História da Matemática em
2003 na Universidade Estadual Paulista – Campus de Rio Claro, a série foi
novamente editada, só que agora com a denominação “Coleção História da
Matemática para Professores”. A partir desse momento, a coleção ganha um novo
impulso devido à intenção da Diretoria da SBHMat em ampliá-la. Mas devido à falta
de condições à época da SBHMat assumir o papel de editora, o material foi
publicado como “pré-print” ou pré-impressão. Com isso, os autores teriam a
liberdade de, posteriormente, publicar o texto completo em alguma editora
comercial. Na apresentação contida em todas as obras, o professor Sérgio Nobre
10
9
Apesar de constar da lista de livros da Série Textos de História da Matemática, o livro de Sérgio R. Nobre não
foi editado nessa ocasião. A obra foi publicada somente em 2003, na primeira edição da Coleção História da
Matemática para Professores.
10
O organizador da coleção de 2003 foi Sérgio Roberto Nobre, professor da UNESP e, na época, secretário-geral
da SBHMat.
26
fala sobre o nascimento da coleção, enfatizando seu papel no contexto da
Educação:
Desta forma, nasce a Coleção História da Matemática para
Professores, uma produção de textos referentes a assuntos
históricos da matemática, produzidos por experientes pesquisadores,
que possam servir de instrumento de consulta para professores de
matemática em suas atividades educacionais. (grifo do autor)
O Seminário Nacional de História da Matemática teve mais duas edições (em
2005 na Universidade de Brasília e em 2007 na Universidade Estadual do Oeste do
Paraná - UNIOESTE), e seus organizadores foram, respectivamente: Lígia Arantes
Sad, professora da Universidade Federal do Espírito Santo e Edilson Roberto
Pacheco, professor da UNIOESTE. A partir do ano de 2005, com o objetivo de
incentivar a outros autores e divulgar de modo mais profissional a coleção, a
SBHMat cadastrou-se como editora e o número de ISBN
11
foi solicitado.
A professora Lígia Arantes Sad também põe em relevo o papel dessa
coleção, cujo objetivo geral, segundo a autora, é o de vir a ser útil aos professores
de matemática:
Há um amplo domínio a ser explorado e cuidadosamente estudado
em relação aos modos como a história da matemática pode ser
requisitada a participar da sala de aula, e, aqui nesta coleção, os
escritores nos dão alguns exemplos.
Vemos que existe a intenção declarada da SBHMat em incentivar o uso da
História da Matemática em sala de aula e um dos instrumentos utilizados por essa
sociedade científica é a edição dessas coleções. A totalidade dos textos foi
produzida por pesquisadores da área, o que nem sempre acontece com os textos de
outras editoras. Outro aspecto que merece destaque é o fato de que as coleções da
SBHMat são destinadas aos professores, ao contrário das coleções das grandes
editoras comerciais, cujo foco é o aluno.
É notório o crescimento do uso História da Matemática nos ambientes
escolares nos últimos anos. Temos o exemplo do estado de São Paulo, que a partir
11
International Standard Book Number, mais conhecido pela sua sigla ISBN, é o Número Padrão Internacional
de Livro, um sistema identificador único para livros e publicações não periódicas.
27
do ano de 2008 lançou uma proposta curricular com o objetivo de organizar o
sistema educacional paulista nos níveis de ensino Fundamental (segundo ciclo ou
séries finais) e Médio. Os docentes recebem livros
12
, elaborados por especialistas
em educação, com propostas de situações de aprendizagem que devem ser
executadas em sala de aula. Vemos na proposta da disciplina Matemática que a
História da Matemática está presente em inúmeras situações de aprendizagem:
Figura 3: Situação de aprendizagem do 7º ano do Ensino Fundamental –
Caderno do Professor 2008 – Distribuído pela Secretaria de Educação do
Estado de São Paulo.
12
Esses livros são chamados “Caderno do Professor” e são distribuídos a todos os professores da rede estadual
paulista. Existe um caderno para cada série do Ensino Fundamental ou Médio, com propostas para serem
trabalhadas com os alunos.
28
O exemplo citado acima é apenas um dentre inúmeros contidos no “Caderno
do Professor”. Segundo os autores da proposta de Matemática, o conteúdo sempre
que possível deve ser abordado de uma perspectiva histórica, pois são uma fonte de
motivação e de criação de significados.
Vemos que a História da Matemática, impulsionada por fatores que vão desde
o interesse pessoal pelo tema até a recomendação de órgãos oficiais do governo,
vem cada vez mais circulando nos ambientes escolares, transformando-se numa
proposta pedagógica mais conhecida e disponível aos professores.
Ressaltamos que o nosso objetivo principal, nessa pesquisa, é a análise das
obras da “Coleção História da Matemática para Professores”. Todavia, também
pesquisamos outros livros-texto de diversas editoras nacionais, afim de
complementar as considerações históricas que fizemos a respeito desses materiais.
As fontes encontradas
No início desta pesquisa, realizamos uma busca à procura de livros que
declaravam utilizar-se da História da Matemática para fins didáticos, voltados
especificamente para as séries finais do Ensino Fundamental.
Foram realizadas buscas nos catálogos impressos e virtuais das seguintes
editoras: Ática, Scipione, Moderna (e seu selo Salamandra), FTD (e seu selo
Quinteto Editorial), Saraiva (e seus selos Atual e Formato), Editora do Brasil e Global
(e seu selo Gaia). Utilizamos como critério de seleção a descrição das editoras a
respeito dos livros, incluindo na pesquisa aqueles que explicitavam a intenção de
utilizar a História da Matemática com fins pedagógicos. Consultamos também,
seguindo o mesmo critério, as publicações da Sociedade Brasileira de História da
Matemática (SBHMat). Procuramos por livros com essas características nas editoras
comerciais com o objetivo de desenhar um panorama daquilo que existe de
disponível para o professor, completando assim nossas considerações sócio-
históricas sobre livros-textos. Como as editoras que consideramos em nossas
buscas possuem uma grande visibilidade no território nacional, é lícito supor que as
obras por elas publicadas atinjam os professores brasileiros direta ou indiretamente,
influenciando de alguma maneira suas práticas educativas. Em um primeiro
29
levantamento, foram identificados 20 livros-texto que fazem uso da História da
Matemática de forma declarada nas editoras comerciais.
Tabela 02: Livros paradidáticos encontrados
Referência Título Autor Editora
01 A invenção dos Números Oscar Guelli Editora Ática
02 Equação: O idioma da
Álgebra
Oscar Guelli Editora Ática
03 História da Equação do
Segundo Grau
Oscar Guelli Editora Ática
04 História de Potências e
Raízes
Oscar Guelli Editora Ática
05 Jogando com a Matemática Oscar Guelli Editora Ática
06 Dando Corda na
Trigonometria
Oscar Guelli Editora Ática
07 Números com Sinais: uma
Grande Invenção
Oscar Guelli Editora Ática
08 A numeração indo-arábica Luiz Márcio Imenes Editora Scipione
09 Medindo comprimentos Nilson José Machado Editora Scipione
10 Os números na história da
civilização
Luiz Márcio Imenes e
Marcelo Lellis
Editora Scipione
11 Descobrindo o teorema de
Pitágoras
Luiz Márcio Imenes e
Marcelo Lellis
Editora Scipione
12 Lógica? É lógico! Nilson José Machado Editora Scipione
13 A profecia Egidio Trambaiolli Neto Editora FTD
14 A revelação Egidio Trambaiolli Neto Editora FTD
15 O aprendiz Egidio Trambaiolli Neto Editora FTD
16 A jaçanã Egidio Trambaiolli Neto Editora FTD
17 A missão Egidio Trambaiolli Neto Editora FTD
18 Os exploradores Egidio Trambaiolli Neto Editora FTD
19 Os olímpicos Egidio Trambaiolli Neto Editora FTD
20 Os peregrinos Egidio Trambaiolli Neto Editora FTD
À primeira vista, o que nos chamou a atenção foram as denominações dadas
aos livros-texto: enquanto as editoras Ática e Scipione os chamam de paradidáticos,
30
a editora FTD os chama de “apoio didático”. Notamos também que os livros-texto
estão agrupados em coleções: os livros da editora Ática, de autoria de Oscar Guelli,
pertencem a uma coleção chamada “Contando a História da Matemática”; os livros
da editora Scipione pertencem à coleção “Vivendo a Matemática”, que conta com
diversos autores e os livros da editora FTD são da coleção “O Contador de
Histórias”.
Com esse primeiro levantamento em mãos, nosso próximo passo foi examinar
as obras com o objetivo de constatar se elas realmente utilizavam-se da História da
Matemática. Não era possível determinar isso apenas pela descrição em catálogos
impressos ou virtuais, já que as descrições eram, na maioria das vezes, breves e
não muito explicativas. No site da Editora FTD, a descrição da coleção “O Contador
de Histórias” se resume a uma linha: “Histórias com enigmas cativantes para ser
desvendados com o auxílio da Matemática.” Quando olhamos a descrição das
obras, ela se resume a uma lista de conteúdos a serem abordados na obra. Logo, a
análise não se mostrou satisfatória, de modo que tivemos que ter contato direto com
os livros para selecionar aqueles que condiziam com nossos critérios.
Em uma primeira análise, constatamos que os livros da coleção “O Contador
de Histórias” não abordam o conteúdo matemático por meio da História da
Matemática, fazendo-o por meio de histórias fictícias, como por exemplo, a história
da lendária cidade de Atlântida. Como isso ocorre com toda a coleção, decidimos
que a excluiríamos de nossa seleção. Os demais livros-texto utilizam a História da
Matemática, sendo que alguns abordam o conteúdo de uma perspectiva histórica do
início ao fim da obra, enquanto que em outros esse tipo de abordagem aparece de
maneira pontual.
Ao final desse processo, estabelecemos um rol de itens totalizando 12 obras,
explicitadas no quadro a seguir.
31
Tabela 03: Relação dos livros paradidáticos que utilizam a História da
Matemática
Referência
Título Autor Editora
01 A numeração indo-
arábica
Luiz Márcio Imenes Editora Scipione
02 Os números na história
da civilização
Luiz Márcio Imenes e
Marcelo Lellis
Editora Scipione
03 Medindo comprimentos Nilson José Machado Editora Scipione
04 Lógica? É lógico! Nilson José Machado Editora Scipione
05 Descobrindo o teorema
de Pitágoras
Luiz Márcio Imenes e
Marcelo Lellis
Editora Scipione
06 A invenção dos Números Oscar Guelli Editora Ática
07 Equação: O idioma da
Álgebra
Oscar Guelli Editora Ática
08 História da Equação do
Segundo Grau
Oscar Guelli Editora Ática
09 História de Potências e
Raízes
Oscar Guelli Editora Ática
10 Jogando com a
Matemática
Oscar Guelli Editora Ática
11 Dando Corda na
Trigonometria
Oscar Guelli Editora Ática
12 Números com Sinais:
uma Grande Invenção
Oscar Guelli Editora Ática
Lembramos, entretanto, que a análise desses livros foi descartada, pois essas
coleções já foram objeto de análise em duas dissertações de mestrado na área:
VIANNA(1995) e DALCIN(2002).
Obviamente não podemos garantir que esses são os únicos livros-texto de
autores brasileiros que abordam o conteúdo matemático de uma perspectiva
histórica, pois existem muitas editoras em nosso país é possível que alguma(s)
32
dela(s) tenham lançado livros de Matemática com essa proposta. Procuramos nos
ater às maiores e mais conhecidas editoras voltadas ao universo escolar, pois
acreditamos que elas são as primeiras que o professor procura quando quer algum
material para ser usado na sala de aula.
Assim, concluímos nossa lista com um total de 12 livros-texto publicados por
editoras comerciais e que podem auxiliar o professor na tarefa de introduzir a
História da Matemática na sala de aula.
Ao pesquisar as publicações da Sociedade Brasileira de História da
Matemática, encontramos a “Coleção História da Matemática para Professores”,
composta de três volumes, lançados em 2003, 2005 e 2007, por ocasião do
Seminário Nacional de História da Matemática, realizado bianualmente. A seguir,
apresentamos três tabelas com os títulos da coleção nos anos citados:
33
Tabela 04: Lista dos Livros da “Coleção História da Matemática para
Professores” do ano de 2003
Referência Título Autor
01 Antropologia dos números:
Significado Social, histórico e cultural
Iran Abreu Mendes
02 Conexões: História da Matemática
através de Projetos de Pesquisa
António Carlos Brolezzi
03 Explorando a Geometria através da
História da Matemática e da
Etnomatemática
Maria Terezinha Gaspar
e Suzeli Mauro
04 Explorando as Operações
Aritméticas com Recursos da História
da Matemática
Circe Mary Silva da
Silva Dynnikov
05 Geometria e Trigonometria na Índia e
nos Países Árabes
Bernadete Morey
06 História da Lógica e o Surgimento
das Lógicas Não-Clássicas
Ítala M. Loffredo
D'0taviano e Hércules
de Araújo Feitosa
07 História da Resolução da Equação
de 2° grau: Uma Abordagem
Pedagógica
Sérgio R. Nobre
08 O ângulo na Geometria Elementar:
Diferentes Concepções ao Longo do
Tempo
Claudia a.C. de Araújo
Lorenzoni
34
Tabela 05: Lista dos Livros da “Coleção História da Matemática para
Professores” do ano de 2005
Referência Título Autor
01 Conhecimentos matemáticos na
época das navegações
Bernadete Morey e Iran
Abreu Mendes
02 Contando histórias da matemática e
ensinando matemática
Maria Terezinha Gaspar
e Suzeli Mauro
03 História às avessas do número e:
Uma proposta de ensino usando
computadores e projetos
Antonio Carlos Brolezzi
04 História da matemática para
professores das séries iniciais do
ensino fundamental
Romélia Mara A. Souto
05 História, etnomatemática e prática
pedagógica
Pedro Paulo Scandiuzzi
06 História, geometria e razão, qual a
relação?
Rosangela M. Rodolfo
Serafim e Sandra
Aparecida Fraga
07 Introdução às cônicas Guy Grebot
08 Mapeando a Terra e o Universo:
Uma breve história do nascimento da
cartografia
Marcos V. Teixeira
09 Número fracionário: Primórdios
esclarecedores
Nilza Eigenher Bertoni
10 Usos da história da matemática no
ensino fundamental
Carlos Henrique
Barbosa Gonçalves
11 Um tratamento, via medição, para os
números reais
Rosa Lúcia S. Baroni e
Vanderlei M. do
Nascimento
35
Tabela 06: Lista dos Livros da “Coleção História da Matemática para
Professores” do ano de 2007
Referência
Título Autor
01
Aspectos históricos
-
didáticos da relação
Matemática / Música sob forma de uma
exposição
Oscar João Abdounur
02
História da Matemática e Ensino de
Cálculo: Reflexões sobre o Pensamento
Reverso
Antonio Carlos Brolezzi e
Maria Cristina Bonomi
Barufi
03
História da Matemática em Livros
Didáticos
Rosa Lúcia Sverzut
Baroni e Maria Isabel
Zanutto Bianchi
04
História do Movimento da Matemática
Moderna no Brasil: arquivos e fontes
Maria Cecília Fischer,
Maria Célia L. da Silva e
Neuza Bertoni Pinto
05
História Oral em Educação Matemá
tica:
Outros Usos, Outros Abusos
Antonio Vicente M.
Garnica
06
Livros Didáticos como fontes para a
escrita da História da Matemática
Escolar
Elen
ice de Souza Lodron
Zuin
07
Resolução de equações algébricas por
radicais
Marcos Vieira Teixeira e
César Ricardo P. Martins
08
Tópicos em História das Ciências:
História e Memória
André Luís Mattedi Dias
09
Uma abordagem pedagógica do uso de
fontes originais em história da
Matemática
Circe Mary Silva da Silva
Dynnikov e Lígia Arantes
Sad
10
Uma História da Matemática escolar do
ensino médio
Maryneusa Otone e
Denise Ribeiro
11
Uma introdução à vida e a obra de
George Boole
John A. Fossa e Giselle
Costa de Sousa
12
Uma perpectiva multicultural para a
História da Matemática na formação de
professores das séries iniciais
Cristina Dalva Van
Berghem Motta e Viviane
Lovatti Ferreira
36
A coleção
13
conta com um total de 31 livros, sendo que alguns são voltados
para a sala de aula do Ensino Fundamental. Em uma primeira análise, constatamos
que na coleção de 2003 temos seis obras voltadas para as séries finais do Ensino
Fundamental, na coleção de 2005 temos quatro obras, enquanto que na coleção de
2007 apenas uma obra com essas características foi encontrada, prevalecendo
livros que versam sobre temas do Ensino Superior e pesquisas na área de História
da Matemática e História da Educação Matemática.
O que nos levou a considerar um livro-texto como sendo direcionado ao
professor das séries finais do Ensino Fundamental foram as seguintes diretrizes:
• O autor explicitava claramente que sua obra era direcionada ao Ensino
Fundamental.
• Quando não havia essa informação por parte do autor, levamos em
consideração os temas dos livros-texto: consideramos apenas as obras que
tratavam de conteúdos que eram objeto de estudo no Ensino Fundamental.
Depois de descartar alguns livros seguindo esse critério, estabelecemos um
rol de itens totalizando 11 obras, explicitadas no quadro a seguir.
13
Considerando-se as edições de 2003, 2005 e 2007.
37
Tabela 07: Relação dos livros da “Coleção História da Matemática para
Professores” voltados para as séries finais do Ensino Fundamental.
Referência
Título
Autor
Ano
01
Antropologia dos números:
Significado Social, histórico e
cultural
Iran Abreu Mendes
2003
02
Explorando a Geometria através
da História da Matemática e da
Etnomatemática
Maria Terezinha
Gaspar e Suzeli
Mauro
2003
03
Explorando as Operações
Aritméticas com Recursos da
História da Matemática
Circe Mary Silva da
Silva Dynnikov
2003
04
Geometria e Trigonometria na
Índia e nos Países Árabes
Bernadete Morey
2003
05
História da Resolução da
Equação de 2° grau: Uma
Abordagem Pedagógica
Sérgio R. Nobre
2003
06
O ângulo na Geometria
Elementar: Diferentes
Concepções ao Longo do
Tempo
Claudia a.C. de
Araújo Lorenzoni
2003
07
História, etnomatemática e
prática pedagógica
Pedro Paulo
Scandiuzzi
2005
08
História, geometria e razão, qual
a relação?
Rosangela M.
Rodolfo Serafim e
Sandra Aparecida
Fraga
2005
09
Número fracionário:
p
rimórdios
esclarecedores
Nilza Eigenher
Bertoni
2005
10
Usos da história da matemática
no ensino fundamental
Carlos Henrique
Barbosa Gonçalves
2005
11
Uma abordagem pedagógica do
uso de fontes originais em
História da Matemática
Circe Mary Silva da
Silva Dynnikov e
Lígia Arantes Sad
2007
38
Destarte, delimitamos nosso conjunto de livros-texto que será objeto de
análise nesta pesquisa, composto por 11 obras da “Coleção História da Matemática
para Professores”.
Coleção História da Matemática para Professores: um olhar
sobre as obras voltadas ao Ensino Fundamental.
Ao entrarmos em contato com as inúmeras obras que tínhamos em mãos,
notamos que existem diferentes pontos de vista dos autores, no que diz respeito ao
modo de operacionalizar as possíveis formas de participação da História da
Matemática no âmbito da Educação Matemática. A dissertação de mestrado de
Vianna (1995) buscou mostrar como a História da Matemática vinha sendo
apresentada em livros didáticos em diferentes níveis de ensino. Em seu trabalho
também analisou os livros paradidáticos e, segundo ele:
[...] analisei livros chamados "paradidáticos" cuja utilização pelos
professores ocorre de forma auxiliar em relação ao desenvolvimento
do conteúdo. A análise é feita de modo secundário não por que tais
livros sejam tidos em pouca conta e sim porque esses livros não são
destinados diretamente aos alunos, não são livros-texto para curso e
sim livros de leitura complementar. Embora possam contribuir
significativamente para a aprendizagem, minha preocupação era
detectar em livros-texto a contribuição da história no
desenvolvimento do conteúdo matemático e nesse sentido os livros
paradidáticos poderiam no máximo dar contribuições locais, em
alguns tópicos do conteúdo abordado durante o ano. Todavia a
análise foi feita como elemento indicativo daquilo que possa vir a ser
incorporado em livros didáticos ou livros-texto. (VIANNA, 1995, p.68)
A análise feita por Vianna nos paradidáticos consistia em breves descrições
daquilo que ele julgava importante destacar na obra analisada e posteriores
comentários acerca das obras, baseados em sua própria concepção de história, que
teve como embasamento teórico alguns pressupostos que estabeleceu com base
em historiadores como Edward Hallet Carr e E . P. Thompson, além do filósofo
Adam Schaff. (VIANNA, 2005). Ao analisar a coleção de livros paradidáticos
“Contando a História da Matemática”, Vianna questiona o direcionamento desse
material:
39
A meu ver a coleção padece de uma definição básica: a que público
se destina? Se há a expectativa de que ela seja utilizada diretamente
por alunos de primeiro e segundo graus, seus textos não me
parecem muito motivadores pois "contam" de fato uma história
convidando seus leitores a uma atitude passiva, mesmo quando são
apresentados problemas de adivinhação ou mágicas matemáticas.
Por outro lado, se o texto destina-se a professores, mesmo que para
a formação em magistério, há muito poucas informações e as
ilustrações são inadequadas por serem destinadas a um público
infantil. Vou supor que essa indefinição se deva à intenção de
atender aos dois tipos de público com o mesmo instrumento.
(VIANNA, 1995, p. 102).
Ao atentar para cada volume da coleção, Vianna praticamente apresenta uma
lista de “erros” que, em sua concepção, o autor comete. Comentários como “A
maioria dos livros didáticos incorre no erro de afirmar que os antigos realmente
operavam com os símbolos matemáticos de que dispunham, nessa coleção a
história se repete” (VIANNA, 1995, p. 102) ou “Já o quarto e o quinto volumes
podem ser analisados rapidamente: certamente não há história neles! Aquilo que se
delineava no terceiro volume fica marcado como opção no quarto e quinto: a história
é apenas um pretexto.” (VIANNA, 1995, p.105) são extremamente freqüentes. Existe
um pesado tom de crítica na análise, pois segundo Vianna o autor não faz aquilo a
que se propõe em suas obras.
Já na análise dos livros didáticos do Ensino Fundamental, Vianna cria
algumas categorias depois de reunir todas as aparições de referências à História da
Matemática da coleção “Matemática e Vida”, de autoria de Bongiovanni, Vissoto e
Laureano, da editora Ática. As categorias utilizadas pelo pesquisador são as
seguintes:
• História da Matemática como Motivação
• História da Matemática como Informação
• História da Matemática como Estratégia Didática
• História da Matemática como Parte Integrante do Desenvolvimento do
Conteúdo (uso imbricado).
Em suas conclusões, observa que existe a preponderância nítida das duas
primeiras categorias, representando 84% das aparições de trechos históricos.
40
Observa também que a História da Matemática está presente em 58 páginas de um
total de 974 dos quatro volumes o que representa quase 6% do total, sendo que em
termos quantitativos houve um aumento em relação a um passado bastante
próximo, mas em termos qualitativos essas inserções deixam muito a desejar.
A dissertação de Bianchi (2006) verificou a presença da História da
Matemática (HM) nos Livros Didáticos dos 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental a
partir de 1998
14
, categorizando-as. Em um primeiro momento, a autora pensou em
fazer uso das categorias definidas por Vianna (1995). Isto se mostrou inviável, visto
que a História da Matemática, nos livros didáticos analisados, apresentava-se tanto
na parte teórica quanto na parte dos exercícios. Aliado a isso, as categorias que
Vianna definiu estavam associadas aos locais de aparição. Por exemplo, a História
da Matemática como informação se caracterizava apenas em estar no final do
capítulo. A solução foi a separação da presença da História da Matemática do
desenvolvimento do conteúdo, na parte teórica, das menções que apareciam nas
atividades. Assim, segundo a autora, foi possível construir uma visão mais
específica e aprofundada das formas nas quais surgiram.
No final deste processo, as categorias determinadas por Bianchi (2006)
foram:
Categorias para a História da Matemática presente na parte teórica:
• Informação geral;
• Informação adicional;
• Estratégia didática;
• Flash
Categorias para a História da Matemática presente nas atividades:
• Informação
• Estratégia didática
• Atividades sobre a história da matemática
14
Período do início das avaliações feitas pelo PNLD, órgão vinculado ao Ministério da Educação
(MEC) já anteriormente citado.
41
A análise desses livros revelou que os “trechos” históricos, nas diferentes
categorias criadas por Bianchi, apresentaram um aumento significativo no decorrer
dos anos de uma maneira geral. Um dado importante que devemos citar é que,
novamente, as categorias com maior preponderância são as categorias
“informativas”. Ou seja, desde a pesquisa de Vianna, que ocorreu em 1995, até a
data da pesquisa de Bianchi (2006), as categorias mais freqüentes de história
presente nos livros didáticos são as informativas.
Andréa Dalcin (2002) analisou diversos livros paradidáticos e os classificou em
três categorias de abordagens do conteúdo matemático: por meio de narrativas
ficcionais, narrativas históricas e pragmáticas. Sua análise pautou-se nessas
categorias e no modo como cada uma delas articula o texto escrito, a simbologia
matemática e as figuras. Essas formas de articulação indicariam a presença de
quatro diferentes tipos de imagens: “ilustrações imbricadas, ilustrações de
contextualização, ilustrações de visualização e ilustrações ornamentais”. (DALCIN,
2002, p. VII).
Apesar de o trabalho de Dalcin não focar a História da Matemática, esses
foram trabalhos que, de uma maneira semelhante à nossa, tentaram visualizar o
modo como a História da Matemática vinha sendo utilizada em livros-texto. Cada um
com um objetivo e modos peculiares de buscar possibilidades frente ao seu objeto
de estudo.
Tzanakis e Arcavi (2000) consideram que existem três meios diferentes,
porém complementares, de se integrar a História da Matemática na sala de aula. Em
termos gerais, podem ser caracterizados como:
1. Aprender História, provendo informação histórica direta ao aluno.
2. Aprender tópicos de matemática, seguindo uma abordagem de ensino-
aprendizagem inspirada na história.
3. Desenvolver uma percepção aprofundada, da própria Matemática e do
contexto social e cultural no qual a Matemática tem sido feita.
Os autores entendem por informação histórica direta informações factuais
isoladas, tal como nomes, datas, trabalhos famosos ou eventos, biografias,
problemas famosos. Cursos ou livros de História da Matemática também entram
nesta categoria, podendo ser um simples registro de datas históricas ou a história do
42
desenvolvimento de conceitos ou alguma coisa entre os dois. Neste caso, a ênfase
está mais na história do que na aprendizagem da matemática.
Uma abordagem de ensino inspirada na história pode ser considerada:
[...] uma abordagem genética de ensinar e aprender. Ela não
é nem estritamente dedutiva nem estritamente histórica, mas sua
tese fundamental é que o assunto é estudado somente depois de o
estudante se motivar o bastante para fazê-lo, e aprender somente no
momento apropriado de seu desenvolvimento mental. Isto quer dizer
que as questões e problemas que o conteúdo em certo estágio pode
gerar foram suficientemente apreciados e elucidados. Além disso, o
assunto (um novo conceito ou teoria, por exemplo), precisa ser visto
como necessário para a solução de problemas, então as
propriedades ou métodos relacionados ao assunto parecem
necessários ao aprendiz que agora se torna apto a resolvê-los.
(Tzanakis, Arcavi, 2000, p. 208)
Partindo deste ponto de vista, a perspectiva histórica pode oferecer
possibilidades para um entendimento profundo e global do conteúdo, de acordo com
as seguintes diretrizes básicas:
1. Mesmo o professor que não é um historiador deve adquirir um
conhecimento básico da evolução histórica do conteúdo.
2. Partindo desta base, os passos cruciais dessa evolução histórica
são identificados, bem como idéias-chave, questões e problemas
que abriram novas perspectivas de pesquisa.
3. Esses passos cruciais são reconstruídos, para que se tornem
didaticamente apropriados para uso na sala de aula.
4. Esses passos cruciais reconstruídos são dados como seqüências
de problemas historicamente motivados em um nível de
dificuldade crescente. A forma desses exercícios pode variar de
simples exercícios, com um caráter mais ou menos “técnico”, a
questões abertas que provavelmente devem ser tomadas como
partes de projetos de estudo formados por grupos de alunos.
(Tzanakis, Arcavi, 2000, p. 209)
Os autores pontuam que dentro desta abordagem, existem certos aspectos
que merecem ser ressaltados. Um deles é o uso de fontes primárias e secundárias
(usadas tanto pelo professor como pelos alunos). Outro bastante comentado é que
no estágio de reconstrução dos problemas, a história pode entrar tanto
explicitamente como implicitamente. Em uma reconstrução onde a história é
explicitamente integrada, as descobertas matemáticas são apresentadas em todos
os seus aspectos. Diferentes seqüências didáticas podem ser construídas de acordo
43
com os principais eventos históricos, em um esforço para mostrar a evolução e os
estágios no progresso da Matemática. Em uma reconstrução onde a história entra
implicitamente, a seqüência didática não necessariamente respeita a ordem em que
os eventos históricos aconteceram, sendo que podemos fazer uso de conceitos,
métodos e notações que apareceram depois do “assunto” em questão, tendo
sempre em mente que o objetivo principal é entender a Matemática em sua forma
moderna. Entretanto, os dois possíveis tipos de reconstrução não são mutuamente
exclusivos, podendo ser usados de maneira complementar. Em ambos os casos,
aspectos históricos de problemas famosos, argumentos intuitivos, erros e
concepções alternativas podem ser incorporadas ao ensino.
O terceiro meio de se integrar a história na sala de aula, o aprofundamento da
percepção da Matemática, deve incluir aspectos relacionados à natureza intrínseca
(a História da Matemática proporcionando oportunidades de analisar e enfatizar
importantes aspectos do fazer matemático) e extrínseca (revertendo o quadro onde
a matemática aparece como uma ciência largamente desconectada das dimensões
sociais e culturais e suas influências) da atividade matemática.
Segundo Tzanakis e Arcavi (2000), essa integração da história na sala de
aula obviamente se dá por meio de materiais de referência, que são geralmente
categorizados em três tipos: fonte primária (excertos de documentos matemáticos
originais), fonte secundária (livros-texto com narrativas históricas, interpretações,
reconstruções, etc.) e materiais didáticos. Esses materiais didáticos são compostos
pela literatura que é construída a partir de escritos primários e secundários, tendo
como resultado final uma abordagem (incluindo exposição, tutoriais, exercícios, etc.)
inspirada pela história. São especialmente benéficos para professores de
matemática (em todos os níveis de ensino) mas, infelizmente, os materiais didáticos
são escassos no domínio público e professores de matemática e educadores
matemáticos devem desenvolver, individualmente ou em grupos, seus próprios
materiais nessa categoria e torná-los disponíveis para uma comunidade mais ampla.
Como vimos anteriormente, a “Coleção História da Matemática para
Professores” foi criada com o intuito de auxiliar o professor de Matemática (de todos
os níveis) e ao entrar em contato ela, constatamos que cada um dos autores das
diferentes obras recomendavam diversos meios de se integrar a história na sala de
aula. Assim sendo, começamos a construir o nosso proceder durante a análise
individual de cada obra com base nas definições de Tzanakis e Arcavi (2000).
44
O nosso levantamento da “Coleção História da Matemática para Professores”
foi organizado de modo a contemplar dois momentos: descrição da obra e
comentários. A descrição foi feita de maneira a apresentar de maneira resumida
cada uma das obras. Tentamos identificar como e por que os autores utilizam a
História da Matemática em suas obras, reservando nossas percepções e críticas
acerca da obra para os comentários. Convém assinalar que os comentários serão
gerados usando como base as definições de Tzanakis e Arcavi (2000) a respeito da
integração da história em sala de aula e também a partir de nossa percepção de que
a grande parte das histórias da matemática disponíveis reduz a intencionalidade
específica da ciência história ao mero desejo de saber o que se passou, encarando
o conhecimento histórico como “uma simples acumulação de fatos”. Segundo Miguel
e Miorim (2004):
“[...] as formas mais difundidas de utilização da história nas
aulas de Matemática que nada mais fazem do que realizar uma
sobreposição de abordagens, isto é, acrescentar à abordagem lógica
(antepondo ou diluindo ao longo do seu desenvolvimento), tal qual
usualmente se apresenta um tema ao estudante, algumas
informações históricas de natureza estritamente factual, encaradas
como meros acessórios ou ornamentos. Esse procedimento, além de
sobrecarregar com novas informações factuais um currículo já
bastante sobrecarregado de informações, viria apenas reforçar aos
olhos dos estudantes a superfluidade do elemento histórico, uma vez
que ele aparece como mera curiosidade que não participa de forma
efetiva do processo de construção interna do tema.” (MIGUEL &
MIORIM, 2004, p.160)
Essas palavras são corroboradas pelos estudos de Vianna (1995) e Bianchi
(2006), que constataram nos livros didáticos objetos de suas pesquisas que a
maioria das histórias apresentadas é de cunho meramente informativo. Assim
sendo, nossos comentários também priorizarão elementos que entendemos como
importantes a partir dos estudos que fizemos na literatura pertinente:
• A obra é voltada especificamente para os professores das séries finais do
Ensino Fundamental?
• A obra possui exercícios resolvidos, propostas de atividades,
encaminhamentos que ajudem o professor que não tem muita familiaridade
com a História da Matemática?
45
• A obra necessita que o professor interessado em utilizá-la em sua aula de
Matemática despenda tempo na elaboração de atividades ou outras formas
de apresentação?
Acreditamos que estes sejam aspectos dos livros-texto que mereçam ser
ressaltados, pois são citados repetidas vezes na literatura sobre o tema.
Resumidamente, acreditamos que para que o professor comece a utilizar ou utilize
com mais freqüência a História da Matemática em sala de aula, ele deve ter o
suporte de um material com linguagem acessível, com propostas de
encaminhamento sobre os temas a serem discutidos e atividades propostas em
quantidade suficiente. Obviamente existem outros aspectos, como a formação
acadêmica, que influenciam o professor de Matemática e sua conduta em sala de
aula, todavia neste trabalho nos focaremos apenas nos materiais impressos, mais
especificamente a “Coleção História da Matemática para Professores”.
46
Coleção História da Matemática para Professores: Um
levantamento
Este capítulo é voltado à análise dos livros selecionados da “Coleção História
da Matemática para Professores”, editada pela Sociedade Brasileira de História da
Matemática, particularmente no que se refere ao tema de instrumentalização do
professor das séries finais do Ensino Fundamental para a utilização da abordagem
histórica na sala de aula. Os critérios de escolha das obras, bem como suas
justificativas, foram expostos no capítulo anterior.
Assim, a análise está organizada em dois momentos: descrição da obra e
comentários. A descrição foi feita de maneira a apresentar de maneira resumida
cada uma das obras. Tentamos identificar como e por que os autores utilizam a
História da Matemática em suas obras. Nos comentários, nos basearemos nas
definições de Tzanakis e Arcavi (2000), além de priorizar elementos que
entendemos como importantes a partir dos estudos que fizemos na literatura
pertinente, tais como o direcionamento do livro, atividades ou exercícios propostos,
encaminhamentos ao professor, etc.
A ordem de exposição dos livros neste capítulo será a cronológica, de acordo
com o ano de edição das obras.
47
1. Livro “Antropologia dos números: Significado Social, Histórico e
Cultural”.
Tabela 08: Estrutura de "Antropologia dos números: Significado Social,
Histórico e Cultural”
Autor
Iran Abreu Mendes.
Editora
Sociedade Brasi
leira de História da Matemática.
Ano de publicação
2003.
Número de páginas
67
Capítulos
Introdução.
Aspectos sócio-cognitivos e culturais do número.
Os números e suas simbologias nas tradições.
Aspectos da concepção pitagórica dos números.
Alguns aspectos históricos dos números.
A complexidade do número: entre o real e o imaginário.
Você é um número.
Bibliografia e Referências.
Descrição
O objetivo principal da obra é, segundo o autor, “lançar algumas questões que
possam desencadear posteriores reflexões acerca do como e por que
historicamente os sistemas de numeração se mostraram e se mostram integrados
nas culturas as quais estão inseridos” (MENDES, 2003, p. 6). Para tanto, são
apresentados alguns aspectos sócio-históricos e culturais relacionados às
construções do conceito de número, divididos em cinco tópicos, a saber:
1) Aspectos sócio-cognitivos e culturais do número;
2) Os números e suas simbologias nas tradições;
3) Aspectos da concepção pitagórica dos números;
4) Alguns aspectos históricos dos números;
5) A complexidade do número: entre o real e o imaginário;
48
No primeiro tópico, Iran parte da seguinte questão: “Como teria surgido o
número no pensamento humano?”. A seguir, apresenta algumas reflexões de alguns
pensadores para, posteriormente, tecer seus próprios argumentos e reflexões a
respeito dos aspectos sócio-cognitivos e culturais do número. São tratados de forma
panorâmica (segundo o próprio autor), temas como a relação entre a mente do
indivíduo e o desenvolvimento da compreensão do conceito de número, as
representações mental e simbólica do conceito de número, e finalmente, a
necessidade humana de se atribuir certa quantificação, ordenação e compreensão a
algo. Ao final do tópico, o autor considera: “Há outros aspectos sócio-cognitivos e
culturais do número que merecem ser abordados, assim como há a necessidade de
aprofundamento daqueles que foram mencionados nesse livro.” (MENDES, 2003,
p.14). Contudo, o autor prefere, neste livro, dar uma visão panorâmica dessas
relações, tendo em vista que futuras abordagens poderão ser feitas por pessoas que
se interessarem por essa temática.
No tópico seguinte, “Os números e suas simbologias nas tradições”, são
mostradas várias representações que expressam as concepções da sabedoria da
tradição cultural de algumas sociedades que tiveram os números como elementos
importantes na orientação de suas vidas. Na seqüência, são mostradas as
simbologias e representações dos números 1 ao 10, baseados em diversos autores
que escreveram sobre o tema.
Já em “Aspectos da concepção pitagórica dos números”, o autor coloca em
relevo a primeira divisão natural entre os números para os pitagóricos, que era
divisão entre pares e ímpar. Discorre sobre uma série de fatos que os pitagóricos
conheciam a respeito dos números naturais e sua divisão, mostra duas versões do
“quadrado mágico” formado pela série 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, o artifício chamado
“Crivo de Eratóstenes” que dividia os números ímpares em três classes e a divisão
dos números pares em “Perfeitos”, “Deficientes” e “Superabundantes ou
Superperfeitos”.
Quando trata do tema “Alguns aspectos históricos dos números”, Iran discorre
sucintamente sobre os diferentes sistemas de numeração, como por exemplo o
sistema de base sexagesimal dos sumérios, o sistema egípcio, o sistema chinês
bem como os sistemas fenício, hebreu, grego, romano, inca, maia e asteca.
49
Em “A complexidade do número: entre o real e o imaginário”, o autor, fala
sobre a complexidade do pensamento humano tomando a noção de número para
exemplificar o tema.
Finalmente, em “Você é um número”, Iran discorre um pouco sobre os
números que estão presentes no cotidiano do cidadão comum, representando-o. Dá
inúmeros exemplos, como o número da certidão de nascimento, o número do
registro geral, o número do cadastro na receita federal, dentre outros. E conclui:
somos todos números.
Verificamos que ao final de cada tópico, são desenvolvidas algumas
atividades, que em sua maioria são uma recapitulação do que foi dito no capítulo
anterior. Por exemplo, no tópico “Aspectos sócio-cognitivos e culturais do número”, a
primeira pergunta é: “Diante da leitura realizada, quais os aspectos sócio-cognitivos
e culturais gerados a partir do conceito de número? Mencione os principais pontos
relevantes a esse respeito”. (MENDES, 2003, p.15). Ou seja, as atividades foram
estruturadas de modo que, em primeiro lugar, se relembre o que foi lido para, logo
em seguida, discutir com colegas o assunto e, por fim, tentar acrescentar alguns
aspectos não mencionados pelo autor. Como esse texto foi feito com o intuito de ser
apresentado em um mini-curso onde outros professores de Matemática estariam
presentes, percebemos que a discussão é a parte fundamental dessa atividade. Mas
no caso de um professor que leia o livro isolado dos demais colegas, toda a reflexão
sobre o conteúdo do texto fica por conta própria. A interação com o outro, que era
um objetivo do autor, fica perdida.
Comentários
É nítido que o objetivo principal da obra é que o professor reflita e discuta a
respeito dos temas que ele propõe. Vemos essa intenção por meio dos exercícios
propostos, que sempre recapitulam o que foi dito em cada tópico. Espera-se que
com esse estudo, o professor aproprie-se de alguns elementos que possam influir
em sua conduta em sala de aula. Segundo Tzanakis e Arcavi (2000), podemos
considerar que o objetivo desta obra é exclusivamente o aprofundamento da
percepção da Matemática, com ênfase em seus aspectos extrínsecos, ou seja, o
autor delineia os contornos sociais e culturais de várias civilizações que ele
considera relevantes na História da Matemática e que lidaram com o conceito de
número e suas aplicações, mostrando como eles estão integrados. Não
50
encontramos vestígios de que o autor queira simplesmente oferecer informações
históricas diretas ou deseja propor uma abordagem de ensino inspirada na história,
de maneira a complementar seu texto.
O conteúdo é destinado a professores de todos os níveis de ensino, pois o
tema número e seus aspectos culturais é bastante amplo e pode ser abordado em
qualquer aula de Matemática, em qualquer nível. As atividades propostas, como
dissemos, são voltadas ao professor e não ao aluno de Ensino Fundamental e
necessitam de adaptação para serem aplicadas em sala de aula. Algumas, inclusive,
são de elaboração de atividades que envolvam os aspectos abordados na obra,
tendo em vista “a ampliação das possibilidades cognitivas dos estudantes e o uso
criativo dos números no seu contexto sócio-cultural.” (MENDES, 2003, p.32). Assim
sendo, não possui encaminhamentos ou sugestões de como operacionalizar essa
temática na sala de aula.
51
2. Livro “Explorando a Geometria através da História da Matemática e da
Etnomatemática”
Tabela 09: Estrutura de “Explorando a Geometria através da História da
Matemática e da Etnomatemática”
Autor
es
Maria Terezinha Gaspar e Suzeli Mauro
Editora
Sociedade Brasileira de História da Matemática.
Ano de publicação
2003.
Número de páginas
90
Capítulos
Prefácio
As simetrias na cultura dos indígenas brasileiros e dos
Siona
Introdução
Alguns Povos Indígenas
O Conceito de Simetria
Simetria em Relação a uma Reta
Simetria em Relação a um Plano
Simetria em Relação a um Ponto
Isometrias do Plano
Translação
Rotação
Reflexão
Reflexão-deslize
Exercícios
Índice de Figuras
Bibliografia
Área do Círculo no Antigo Egito
Introdução
A Civilização Egípcia
O Método Egípcio
Explicações para a Fórmula Egípcia
Exercícios
52
Índice de Figuras
Bibliografia
Trapézio Isósceles e a Antiga Índia
Introdução
A Civilização Indiana
A Área de um Trapézio
Construção de Trapézios
Considerações Finais sobre o Trapézio
Índice de Figuras
Bibliografia
O Teorema de Pitágoras na Antiga Babilônia
Introdução
A Civilização Mesopotâmica
O Conteúdo da Tábula Plimpton 322
Problemas Teóricos e Práticos
Descobrindo o Teorema de Pitágoras
Exercícios
Índice de Figuras
Bibliografia
O Volume da Pirâmide e o Tronco de Pirâmide na Antiga
China
Introdução
A Civilização Chinesa
Os Sólidos Elementares e seus Volumes
O Método Utilizado por Liu Hui
O Volume do Tronco de Pirâmide
Exercícios
Índice de Figuras
Bibliografia
53
Descrição
As autoras reconhecem a importância da utilização da dimensão histórica e
da etnomatemática no ensino-aprendizagem da Matemática e se propõem a
apresentar alguns conteúdos geométricos inseridos na cultura de alguns povos. O
texto base do trabalho é a tese de doutorado de autoria de Maria Terezinha Jesus
Gaspar, intitulada “O Desenvolvimento do Pensamento Geométrico em Algumas
Civilizações do Mundo e a Formação de Professores”. O conteúdo é apresentado
com o intuito de “[...] despertar o interesse de professores de matemática e alunos
de licenciatura para um estudo mais aprofundado dos diversos conteúdos
geométricos estudados no ensino fundamental e médio em diversos contextos sócio-
culturais.” (GASPAR, MAURO, 2003, p.03).
No livro são abordados cinco conteúdos específicos: simetria (na cultura
indígena brasileira e dos Siona), área do círculo (no antigo Egito), trapézio isósceles
(na antiga Índia), teorema de Pitágoras (na antiga Babilônia) e volume da pirâmide e
do tronco de pirâmide (na antiga China). Todos os conteúdos específicos seguem
basicamente o mesmo roteiro de apresentação: uma pequena introdução, onde as
autoras geralmente falam sobre o uso da forma geométrica em diferentes culturas.
Em seguida, é feito uma breve recapitulação histórica do povo em questão, falando
sobre sua localização, sociedade, religião, cultura, etc. Finalmente, são colocados os
modos como as civilizações trataram o conteúdo e como utilizavam em seu
cotidiano, com algumas possíveis explicações para os métodos utilizados. Nesse
momento, são sugeridos alguns exercícios relacionados com a temática tratada.
Descreveremos o último capítulo – O Volume da Pirâmide e do Tronco da Pirâmide
na Antiga China – pois todos os tópicos da obra têm estruturas idênticas de
organização, como descrito acima. De fato, eles não têm nenhuma interligação e
podem ser lidos separadamente como se fossem independentes, inclusive possuem
bibliografia pertinente ao final de cada um, separadamente.
A autora inicia o capítulo cinco com uma pequena introdução (apenas uma
página), onde relata que pirâmides e trocos de pirâmides foram construídos na
antiguidade pelos antigos egípcios, chineses e babilônicos. Diz que ainda hoje
existem mais de 100 pirâmides na China, com alturas variando entre 25 e 100
metros. No Vale de Qin Lin encontra-se a “Grande Pirâmide Branca”, com
aproximadamente 300 metros de altura e cerca de 4500 anos de idade. Conclui que
“é de se esperar, portanto, que a geometria desenvolvida por estas civilizações
54
contenha alguns resultados sobre estes sólidos inclusive métodos para calcular seu
volume” (GASPAR, MAURO, 2003, p.77). Logo em seguida, destaca seu objetivo,
que é a análise e discussão da fórmula e método chinês para calcular o volume de
uma pirâmide e como este conhecimento pode ser utilizado no estudo do volume de
uma pirâmide qualquer no Ensino Fundamental e Médio.
Na seqüência, no que podemos chamar de “próximo capítulo” deste tópico, as
autoras abordam rapidamente alguns aspectos da história da civilização chinesa,
como datas de surgimento dos primeiros habitantes, as dinastias instauradas,
curiosidades como a construção da grande muralha da China, etc. Dizem que
quando a China aumentou sua capacidade produtiva durante a Dinastia Han, houve
um rápido desenvolvimento em várias áreas da ciência e tecnologia com
subseqüente desenvolvimento da Matemática. Existiam dois trabalhos matemáticos
desses período que eram utilizados na educação e treinamento de civis: o Zhoubi
suanjing e o Jiuzhang suanshu. As autoras terminam o capítulo dando uma breve
descrição de algumas linhas de cada livro e diz que o método por elas apresentado
para o cálculo do volume da pirâmide aparece no capítulo cinco do Jiuzhang
suanshu, e é chamado de Shang Kung.
A próxima tarefa das autoras é descrever os sólidos elementares que o
comentarista do Jiuzhang suanshu, Liu Hui, utiliza. São basicamente quatro sólidos,
sendo o primeiro o lifang (cubo) e os demais (qiandu, yangma e bienuan) seriam
gerados a partir da divisão desse cubo por um método dado. É explicado o método
passo a passo ao leitor, com inúmeras ilustrações de como os chineses procediam
em cada caso.
Nos dois “capítulos” seguintes, as autoras mostram o método de Liu Hui para
o cálculo do volume da pirâmide e para o cálculo do volume do tronco de pirâmide.
São métodos que mostram um procedimento bem claro a ser seguido, com
ilustrações que auxiliam no entendimento de cada passo. Ao final do procedimento,
obtemos as fórmulas para calcular o volume desejado.
Na parte final do tópico, as autoras propõem alguns exercícios ao leitor,
dentre eles exercícios de generalização das fórmulas de Liu Hui, preparação de
aulas sobre volume da pirâmide, pesquisas sobre pirâmides na civilização chinesa,
etc.
55
Comentários
Segundo Tzanakis e Arcavi (2000), esse texto pode ser considerado tanto
como um meio de se conseguir informações históricas diretas, como nomes,
datas, locais, curiosidades, etc. como de se criar uma abordagem de ensino
inspirada na história, por meio da reconstrução dos métodos que os chineses
utilizavam para calcular o volume da pirâmide e do tronco de pirâmide, por exemplo.
Inclusive a criação desse tipo de abordagem é encorajada pelas autoras em todos
os capítulos, pois colocam em forma de “exercícios” a pesquisa mais aprofundada
sobre algum tema e a criação de aulas para o Ensino Fundamental e Médio.
Salientamos, entretanto, que as autoras não dão exemplos de como isso pode ser
feito no texto.
Trata-se de um trabalho onde o professor pode constatar como alguns dos
conteúdos que leciona no Ensino Fundamental foram aplicados por diferentes povos
em épocas distintas. Exemplos ilustrados aparecem de maneira abundante (o que
faz dela a obra mais longa da coleção, com 90 páginas), o que facilita a
compreensão dos conteúdos. É de bastante utilidade para o professor que deseja
saber quais povos da antiguidade trataram os temas que ele aborda em sala de
aula, a maneira como faziam isso e o porquê faziam isso.
Os exercícios apresentados são voltados para o professor, como podemos
ver no exemplo a seguir:
“Exercício 8: Prepare uma série de atividades utilizando as
informações deste texto e na pesquisa feita no exercício 1 para
trabalhar esse tema com alunos do Ensino Fundamental e Médio.
Procure usar diversos recursos didáticos que sejam significativos
para a compreensão e desenvolvimento do assunto.” (GASPAR,
MAURO, 2003, p.22)
Há vários exercícios como este, sendo que o professor tem que preparar
atividades, pesquisar em outras fontes e adaptar o conteúdo que acaba de ler para
utilizá-lo em sala de aula. Não existem exemplos ou sugestões de como isso pode
ser feito. Provavelmente esse tipo de encaminhamento foi dado durante o mini-curso
presencial, mas o leitor que se vê sozinho perante a obra não tem esse recurso de
discutir com colegas da área e as próprias autoras sobre a elaboração das aulas.
Assim, o professor que tem certa “urgência” para a aplicação das atividades
provavelmente não encontrará no texto uma ferramenta de rápida utilização.
56
3. Livro “Explorando as Operações Aritméticas com Recursos da
História da Matemática”
Tabela 10: Estrutura de "Explorando as Operações Aritméticas com Recursos
da História da Matemática”
Autor
Circe Mary da Silva Dynnikov
Editora
Sociedade Brasileira de História da Matemática
.
Ano de publicação
2003.
Número de páginas
58
Capítulos
A guisa de motivação
Uma proposta para a sala de aula.
O surgimento das contas.
Algoritmos.
As notações para as operações.
As operações de adição e subtração.
As operações de multiplicação e divisão.
O surgimento dos problemas aritméticos e narrativas.
Os problemas narrativas nos livros didáticos de autores
brasileiros dos séculos XIX e XX.
Os problemas narrativas nos livros didáticos atuais.
Referências.
Descrição
A autora começa sua obra fazendo uma crítica à maneira como a Matemática
vem sendo trabalhada atualmente em sala de aula, a dizer, como uma “coleção de
símbolos, fórmulas, teoremas e definições formalmente estruturadas” (DYNNIKOV,
2003, p.2). Lembra o fato que a História da Matemática muitas vezes nem é
mencionada e que, se algum aluno curioso perguntar, muito provavelmente o
professor se constrangerá, pois não tem tal conhecimento e apenas cobra de seus
alunos exercícios rotineiros que reproduzam os mesmos passos que utilizou em sala
57
de aula. Ela atribui essa falta de conhecimento a uma formação deficitária do
professor em História da Matemática e em Educação Matemática.
Argumentando que dificilmente o professor do Ensino Fundamental tem
algum conhecimento sobre a evolução de conceitos e operações aritméticas e que
desconhece os inúmeros algoritmos que foram criados para efetuar as quatro
operações elementares, propõe:
[...] apresentar diferentes possibilidades de operar para que o
professor em sala de aula possa “experimentar” alguns desses
diferentes caminhos e se apropriar de alternativas que visem auxiliar
seus alunos no domínio das quatro operações elementares, incluindo
a resolução de problemas aritméticos. (DYNNIKOV, 2003, p.3)
Em seguida, apresenta uma proposta para sala de aula, baseada no trabalho
de Kieran Egan (2002), usando ferramentas que proporcionem tipos sucessivos de
compreensão: somática, mítica, romântica, filosófica e irônica. Nem todos esses
tipos de compreensão são explanados no texto, apenas algumas. Mas parece
acertado que a autora enfatiza nessa proposta a utilização de elementos que
contribuam para despertar a imaginação das crianças. Termos como “exemplos de
eventos dramáticos”, “a ingenuidade mágica das invenções e das descobertas das
teorias”, “mundo fantástico”, “imaginação voar”, “a maravilha dos truques, das
charadas, dos mitos, das lendas e jogos matemáticos” e outros correlatos aparecem
em abundância no texto. Baseada na proposta de Egan, a autora apresenta
sugestões que, em linhas gerais, são: 1) O professor deve estimular o aluno a
pesquisar sobre matemáticos e matemáticas, procurando aspectos curiosos,
dramáticos ou românticos de suas vidas. 2) Trabalhar com a etimologia das palavras
pode ser um estimulante e interessante exercício para os alunos. 3) Apresentar aos
alunos fábulas curtas, provérbios, versos matemáticos, piadas, enfim, um pouco do
folclore da Matemática para instigar a imaginação dos estudantes.
As três sugestões são exemplificadas logo em seqüência, de maneira bastante
sucinta.
O terceiro capítulo começa contando um pouco sobre “o surgimento das
contas”, ou seja, das quatro operações da aritmética. O quarto capítulo discorre
sobre algoritmos (significado da palavra, etimologia etc.). O quinto capítulo fala
sobre as notações utilizadas por diferentes matemáticos e povos antigos.
58
A partir do capítulo seis, é mostrada uma grande variedade de algoritmos de
adição, subtração, multiplicação e divisão utilizadas por povos da Antigüidade.
Mais adiante, no capítulo oito, é apresentada uma pequena exposição sobre o
surgimento dos problemas aritméticos de narrativas. Comenta que esse tipo de
recurso é utilizado desde os tempos mais remotos e que são tão antigos quanto a
própria Matemática. Apresentam uma série desse tipo de problemas, alguns
inclusive de autores dos séculos VII, XV, XVI, XIX e XX, mostrando que esse
recurso aparecia inúmeras vezes ao longo da história da humanidade.
Ao analisar os livros didáticos mais recentes, a autora constata que as
narrativas ainda estão presentes, só que agora sob uma nova denominação:
desafios. A sugestão oferecida ao professor é que escolha alguns algoritmos e
trabalhe um novo tema com seus alunos apoiado na metodologia de resolução de
problemas.
Comentários
Podemos classificar a abordagem proposta pela autora como uma
abordagem de ensino inspirada na história, pois a autora escolhe um tema
(operações aritméticas), identifica alguns problemas e idéias-chave e posteriormente
dá sugestões para sua reconstrução e aplicação dessas idéias e problemas na sala
de aula sem, entretanto, dar exemplos concretos de como isso pode ser feito.
A proposta converge para as práticas adotadas pelas editoras nos livros
paradidáticos comerciais, pois o uso de narrativas, estímulo à imaginação, o prazer
de aprender e outros componentes são os mesmos utilizados. A diferença está na
forma de organização do material, uma vez que a proposta é bastante semelhante.
O conteúdo é bem direcionado ao Ensino Fundamental, com o foco em operações
aritméticas básicas.
Outro aspecto que merece destaque é que a autora deixa clara sua proposta,
mas não dá um direcionamento rígido ao professor, como por exemplo, atividades
prontas. Sua sugestão é que, utilizando a metodologia de resolução de problemas, o
professor escolha alguns algoritmos e trabalhe um dos temas propostos. Ao mesmo
tempo em que o professor tem liberdade para trabalhar da maneira que achar mais
conveniente (pois tem que criar uma nova estratégia para sala de aula dentro do
contexto da obra), ele também tem um trabalho a mais, visto que terá que dispensar
59
tempo na elaboração das aulas e exercícios. Ou seja, apesar da autora não fornecer
atividades prontas, ela ao menos fornece uma sugestão de como prepará-las,
inclusive indicando uma metodologia bastante conhecida entre os professores
(resolução de problemas).
60
4. Livro “Geometria e Trigonometria na Índia e nos Países Árabes”
Tabela 11: Estrutura de "Geometria e Trigonometria na Índia e nos Países
Árabes”
Autor
Bernadete Morey
Editora
Sociedade Brasileir
a de História da Matemática.
Ano de publicação
2003.
Número de páginas
39
Capítulos
Introdução.
A Índia até o período Védico.
Períodos na história da Matemática indiana.
O vale do Indo: primeiros habitantes.
O sânscrito, os sutras e influências lingüísticas.
A literatura védica.
O período védico e a geometria.
O período clássico na matemática indiana.
A trigonometria indiana.
Construção de tabelas.
O estabelecimento e florescimento da cultura árabe.
Geometria árabe.
Trigonometria árabe.
A introdução de funções trigonométricas.
Relações trigonométricas.
Construções de tabelas trigonométricas.
Bibliografia.
61
Descrição
A autora, em sua introdução, diz que a Geometria e a Trigonometria na Índia
e nos países árabes são temas que pouco aparecem em dois dos manuais de
História da Matemática mais difundidos no Brasil (Introdução à História da
Matemática, de Howard Eves, e História da Matemática, de Carl Boyer). Partindo
dessa premissa, ela afirma que talvez haja a necessidade de trabalhos como o que
ela apresenta.
A autora começa primeiramente a discorrer sobre a Índia e faz um breve
histórico sobre a sua sociedade, os primeiros habitantes, influências lingüísticas e
literatura. Conta também que a história da Índia está dividida em seis períodos, e
discorre poucas linhas a respeito de cada um. Em seguida, comenta:
“O caráter do presente trabalho é tal que nos veremos obrigados a
pular períodos inteiros para podermos focar mais detalhadamente o
que nos interessa. Deste modo, nossa atenção está mais dirigida
para o segundo período (védico) e sua geometria e para o quinto
período (clássico) e sua trigonometria.” (MOREY, 2003, p.4)
Destarte, a autora inicia sua fala concentrando-se na geometria do período
védico, colocando em relevo alguns livros sagrados do hinduísmo conhecidos como
Sulbasutras, que lidam com medicação e construção dos altares de sacrifícios e
foram escritos entre 800 e 600 a.C. aproximadamente. Relata que a geometria
contida nesses livros surgiu da necessidade de assegurar que a orientação, forma e
área dos altares estivessem em estrita conformidade com as prescrições das
escrituras védicas. A geometria encontrada nesses livros consiste basicamente de
três aspectos: resultados geométricos e teoremas, procedimentos para a construção
de diferentes formas de altares e alguns algoritmos. A autora dá quatro exemplos
bastante detalhados e com ilustrações onde mostra como esses aspectos eram
trabalhados.
Depois é a vez do período clássico, com a autora discorrendo sobre a
trigonometria indiana encontrada nos livros chamados Siddhantas, que eram textos
astronômicos. São apresentados o seno indiano e algumas tabelas de senos e seus
múltiplos inteiros que os astrônomos da época utilizavam, bem como fórmulas e
relações trigonométricas.
62
Acabada a parte destinada à civilização indiana, a autora começa a abordar a
civilização árabe, iniciando seu discurso com o tema “Geometria Árabe” que é
bastante sucinto preenchendo apenas uma página da obra. São mostradas apenas
instruções de como construir uma parábola de acordo com o livro Rasm al-qutu
attalata, de Ibrahim ibn Sina.
Finalmente, na última seção, a obra foca os seguintes aspectos da
trigonometria árabe: introdução das seis funções trigonométricas básicas (seno,
cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante), dedução da regra do seno e
o estabelecimento de outras identidades trigonométricas e a construção de tábuas
trigonométricas detalhadas.
O livro em si é um manual de História de Matemática, e o máximo de
referência que a autora faz com relação ao seu uso em sala de aula são algumas
passagens onde tabelas do livro The Crest of the Peacock, de George Gheverghese
Joseph, são mostradas. Ela comenta:
Joseph [...] não tem grandes preocupações em mostrar como de fato
os cálculos foram feitos, de onde surgiram as fórmulas, quem foi o
autor original. [...] Para nós, no entanto, este aspecto é importante,
pois, esclarecimentos deste tipo podem, mais tarde, vir a abrir
caminhos de exploração úteis para atividades em sala de aula,
atividades extra-classe, atividades em círculos de estudo ou mesmo
atividades de pesquisa em história da matemática. (MOREY, 2003, p.
22)
Assim sendo, não são apresentadas sugestões, exercícios ou qualquer outro
tipo de atividade no sentido do modo como transpor esse conteúdo para a sala de
aula.
Comentários
Esta é a única obra dentre as por nós selecionadas que pode ser
classificada exclusivamente como informação histórica direta segundo os critérios
de Tzanakis e Arcavi (2000). A autora elaborou a obra como se fosse um pequeno
curso de História da Matemática, com um tema específico, que conta a história do
desenvolvimento da Geometria e da Trigonometria em duas civilizações, no caso a
árabe e a indiana. Não é sugerido nenhum tipo de abordagem para a sala de aula
tampouco é feito um esforço no sentido de se aprofundar em certos aspectos
63
(intrínsecos ou extrínsecos) inerentes ao conteúdo Matemático desenvolvido por
esses povos.
Esta obra, como a descrevemos acima, é um compêndio de História da
Matemática. O tema, dependendo da forma que o professor escolher para
apresentá-lo, pode ser tratado tanto no Ensino Fundamental como no Médio.
Acreditamos que este tipo de obra contribui significativamente para a formação
contínua do professor, colaborando com o processo de humanização da
Matemática. Entretanto, aspectos práticos como exemplos de utilização do tema em
sala de aula, não aparecem na obra, que é meramente informativa. A autora
também não fornece nenhuma sugestão de como o professor pode construir
atividades para explorar o tema em sala de aula.
64
5. Livro “História da Resolução da Equação de 2º Grau: Uma Abordagem
Pedagógica”
Tabela 12: Estrutura de “História da Resolução da Equação de 2º Grau: Uma
Abordagem Pedagógica”
Autor
Sérgio Roberto Nobre
Editora
Sociedade
Brasileira de História da Matemática.
Ano de publicação
2003.
Número de páginas
44
Capítulos
Introdução.
Primeiros indícios sobre o surgimento de equações do
segundo grau.
Processos de resolução da equação do segundo grau.
Resultados finais.
Comentários finais.
Descrição
Na introdução de sua obra, Sérgio Nobre explana sobre um fato curioso: a
fórmula usada para resolver equações do segundo grau, do tipo , a
famosa fórmula de Báskhara, muito conhecida de professores e alunos brasileiros,
não é assim chamada em outros países. Esta constatação levou o pesquisador a
escrever alguns fatos sobre o desenvolvimento histórico da resolução da equação
do segundo grau. A “abordagem pedagógica” contida no título do livro refere-se a
alguns problemas propostos por “importantes personagens do mundo matemático”
(NOBRE, 2003, p.1), que o autor coloca oportunamente com o desenrolar histórico
do tema.
No primeiro capítulo são mostrados os primeiros indícios sobre o surgimento
de equações do segundo grau em algumas civilizações: Egito, Babilônia, China e
Grécia. Esses indícios datam do século XX ao II antes da era cristã e surgem em
forma de problemas encontrados em papiros (Egito) ou tabletes de argila (Babilônia).
Nesse capítulo o pesquisador apresenta alguns problemas encontrados no Papiro
65
Rhind, em tabletes babilônicos que se encontram no museu de Londres e no texto
chinês Chiu Chang Suan Shu.
No segundo capítulo o enfoque é dado aos processos de resolução da
equação do segundo grau, onde são apresentados os métodos dos povos que
habitavam a Babilônia, Grécia, Índia, mundo árabe e Europa medieval. Todos os
fatos aparecem em ordem cronológica juntamente com os problemas propostos
pelos matemáticos da época. Os exercícios propostos pelo autor são em sua grande
maioria de comparação e verificação, onde o leitor é convidado, por exemplo, a
comparar o método utilizado pelo matemático hindu Brahmagupta com os resultados
dos babilônios.
No terceiro capítulo, chamado “resultados finais”, os métodos utilizados na
renascença são postos em destaque, sempre colocando em relevo a contribuição de
cada um para a obtenção da fórmula para a equação na forma geral
. A história termina com William Outghtred (1574-1660), que
apresenta o resultado generalizado na obra Clavis matematicae cum tractatu de
resolutione aequationum in numeris (1631). Exercícios de comparação e verificação
também aparecem em todo o capítulo.
Comentários
No título do livro já vemos que a inclinação do autor é fornecer uma
abordagem pedagógica ao professor de Matemática. Isso de fato acontece, pois o
autor identifica uma série de passos cruciais no desenvolvimento da resolução das
equações do segundo grau. Podemos classificá-la como uma obra que apresenta
uma abordagem de ensino inspirada na história, mas temos que fazer ressalvas,
pois apesar de identificar passos importantes, o autor não indica como o professor
pode reconstruir esses passos para que se tornem didaticamente apropriados para a
sala de aula.
Geralmente equações do segundo grau são abordadas em nossas escolas no
Ensino Fundamental, inicialmente no 9º ano. Contudo, os estudantes continuam a
estudá-la e utilizá-la no Ensino Médio, sendo que o livro pode ser usado pelo
professor que leciona nos dois níveis de ensino.
A obra é bastante informativa, e o autor apresenta em ordem cronológica uma
série de processos resolutivos da equação de segundo grau, nas diversas
civilizações e povos onde foram encontrados.
66
Ao analisar a obra e os exercícios propostos (que são direcionados para o
professor), constatamos que a obra não pode ser transposta diretamente para a sala
de aula do Ensino Fundamental, sendo necessário ao professor que crie novos
exercícios ou adapte os exercícios propostos para a realidade de sua sala de aula.
Muitos deles lidam com demonstrações, elemento não muito familiar aos alunos do
Ensino Fundamental. Não existem exemplos ou sugestões de como proceder no
tratamento desse tema na sala de aula, nem de como preparar uma aula ou
atividade para alunos do ensino básico.
67
6. Livro “O Ângulo na Geometria Elementar: diferentes concepções ao
longo do tempo”
Tabela 13: Estrutura de "O Ângulo na Geometria Elementar: diferentes
concepções ao longo do tempo.”
Autor
Cláudia A. C. de Araújo Lorenzoni.
Editora
S
ociedade Brasileira de História da Matemática.
Ano de publicação
2003.
Número de páginas
33
Capítulos
Resumo.
O ângulo e suas aplicações – uma introdução.
Diferentes definições de ângulo.
Definições de ângulo segundo alunos de Licenciatura.
Medida.
Diferença de direção.
Porção do plano.
Figura.
Uma boa definição de ângulo.
O ângulo e as suas medidas.
Considerações finais.
Bibliografia.
Descrição
Nesta obra, a autora faz uma busca sobre definições e aplicações do conceito
de ângulo ao longo da história, começando com as antigas civilizações egípcia e
babilônica, chegando até os dias atuais. Ao contrário de algumas obras da coleção,
essa se propõe apenas a fazer o professor refletir sobre as sutilezas envolvidas no
ato de definir ângulo e outros conceitos tidos como elementares. Durante essa
reflexão, algumas perguntas relativas ao ensino de ângulos e suas medidas são
postas, pois a autora considera interessante que o professor promova em sala de
68
aula atividades de reflexão envolvendo a definição e a medida de ângulo,
respeitando os níveis de abstração e de formalismo alcançados pelos alunos.
Os elementos para tal reflexão são basicamente inúmeras definições de
ângulos e de medidas de ângulos, que retratam as dificuldades que existiram na
busca por uma boa definição. Mas uma boa definição, salienta, é bastante relativa e
depende de um contexto. “Uma definição é considerada boa se é útil dentro de seu
contexto. [...] Além de útil, a definição não deve ser superficial” (LORENZONI, 2003,
p.19). Assim, são citados Geminus de Rodes, Aristóteles, Euclides, Plutarco,
Carpus, Cristiano Ottoni, Giuseppe Veronese e vários trechos de livros didáticos,
com suas respectivas definições. A autora também apresenta definições de ângulos
dadas por alunos do sétimo período de licenciatura em Matemática, que conseguiu
em uma entrevista feita em 2002. Comenta que a existência de definições de
ângulos tão diferentes retrata bem as dificuldades que podem existir na busca por
uma “melhor definição”.
Tendo como pano de fundo a História da Matemática, o texto apresenta toda
uma dimensão social da construção da teoria de ângulos, na qual o homem mudou,
adaptou e ampliou suas idéias, passando por inúmeros percalços até que chegasse
ao que hoje estudamos em nossos livros. Existem ilustrações em abundância, na
tentativa de exemplificar as definições de ângulo exibidas na obra. Outra
constatação nossa ao examinar a obra é a inexistência de atividades ou exercícios
sobre os temas tratados.
Comentários
O título traduz fielmente o propósito do texto: apresentar várias definições
de ângulos, em diversos momentos históricos. É um livro que apresenta como
objetivo o aprofundamento da percepção da Matemática em seus aspectos
intrínsecos, enfatizando aspectos relacionados ao fazer matemático, focalizando as
dificuldades de se estabelecer uma “boa” definição de ângulo em Geometria.
Nessa obra podemos ver claramente como um conceito muda, evolui e se
transforma ao longo do tempo e nas diferentes civilizações. Um conceito
aparentemente simples, como o de ângulo, contém sutilezas que muitas vezes
podem confundir até mesmo matemáticos experientes. Essa é mais uma obra que
propõe a reflexão sobre um tema, e apresenta poucos encaminhamentos para a sala
69
de aula, sendo mais apropriado para a formação do professor e não para aplicação
direta em sala de aula. O máximo que o texto sugere é que o professor trabalhe
algumas indagações com seus alunos, tais como: Onde podemos encontrar um
ângulo? Existem ângulos na mesa de estudo? No quadro negro? Os raios solares
fazem ângulos com a Terra? Como? O que significa “olhar de outro ângulo”? O que
significa dizer que a bola de futebol dói no ângulo? O que é um ângulo?
O conteúdo pode ser abordado tanto no Ensino Fundamental como no
Ensino Médio e tem um caráter eminentemente reflexivo, deixando os aspectos
práticos que o professor tem que lidar (na sala de aula ou na preparação das aulas)
em segundo plano.
70
7. Livro “História, etnomatemática e prática pedagógica”
Tabela 14: Estrutura de "História, etnomatemática e prática pedagógica”
Autor Pedro Paulo Scandiuzzi
Editora Sociedade Brasileira de História da Matemática.
Ano de publicação 2005.
Número de páginas 53
Capítulos
Introdução.
Sistema de numeração.
Sistema de numeração no livro de Ifrah.
Primeira categoria: categoria da numeração aditiva.
Segunda categoria: categoria das numerações híbridas.
Terceira categoria: categoria numeração posição.
Atividades escolares.
Medidas.
Introdução.
Uma experiência.
Um pouco de História da Matemática.
O uso do corpo.
A história continua.
Uma pesquisa de medidas na linha de pesquisa
etnomatemática.
Álgebra.
Um pouco de História da Matemática.
Polinômio de uma variável.
Atividades escolares.
Geometria.
Espirais: o portal do túmulo – New Grange, perto de
Drogheda, Irlanda.
Whipala: um quadrilátero importante.
Mnajdra: elipses desconhecidas.
Atividades escolares.
Considerações finais.
Referencias bibliográficas.
71
Descrição
Na introdução de sua obra, Scandiuzzi deixa claro que o texto é direcionado
ao Ensino Fundamental e Médio, porém:
[...] devido aos ouvintes serem detentores de um conhecimento
específico, viajaremos um pouco nos dados que nos auxiliam e nos
transportam a uma expectativa de sede do novo e de pesquisar mais
os detalhes que podem contribuir para um diálogo mais democrático
e envolvente nas diversas disciplinas escolares, extrapolando-as.
(SCANDIUZZI, 2005, p.1)
Diante desse excerto, fica claro que sua intenção é dialogar com o professor
de Matemática, ou mais especificamente, com um professor de Matemática que
possua certos conhecimentos a respeito da História da Matemática. Obviamente,
isso se prende ao fato de que esta obra foi elaborada com o objetivo primeiro de
servir de apoio a um mini-curso de seis horas ministrado no VI SNHM, cujo público
em sua maioria já apresenta um conhecimento prévio acerca do tema. Mas, no
decorrer do texto, observamos que um grande conhecimento em História da
Matemática ou Etnomatemática não é pré-requisito indispensável para a leitura. A
obra apresenta quatro tópicos – Sistema de Numeração, Sistema de Medidas,
Álgebra e Geometria – que são apresentados basicamente com a mesma estrutura.
Descreveremos como o autor trata o sistema decimal, pois os tópicos seguintes têm
estruturas análogas de apresentação.
O autor inicia ressaltando o fato de que vivemos em um mundo em que
existem diferentes sistemas de numeração, tais como o sexagesimal, usado para
medição do tempo; o binário, amplamente utilizado em computadores e o sistema
duodecimal (dúzias com seus múltiplos e submúltiplos) utilizado para quantificar
grupos de objetos (dúzias de ovos, por exemplo). Mas complementa, “o sistema
escolar nos fez crer que o NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO É O DECIMAL E
ELE É O MAIS ADEQUADO PARA OS MOMENTOS ATUAIS!!!” (Scandiuzzi, 2005,
p.4, grifo do autor).
São apresentados inúmeros sistemas de numeração – indígenas brasileiros,
asteca, sumério, aramaico, cingalês e muitos outros – que são divididas em três
categorias, cada uma delas divididas em subcategorias. São utilizadas como meio
de apresentação desses sistemas inúmeras tabelas (dezessete no total), de
diferentes formatos e cada tabela ocupa toda uma página do livro, onde são
72
mostrados basicamente os símbolos característicos de cada sistema, seu
funcionamento e comentários diversos. Em seguida, aparecem as “Atividades
Escolares”, como o autor denomina uma seqüência de exercícios, utilizando a
História da Matemática, em que são explanados certos aspectos do modo como um
determinado povo fazia para “contar” para, então, o aluno ser convidado a resolver
alguns problemas específicos daquela comunidade usando seu sistema de
numeração.
Comentários
Podemos classificar o conteúdo do livro de Scandiuzzi como abordagem de
ensino inspirada na história, pois ele segue cada uma das diretrizes básicas
preconizadas por Tzanakis e Arcavi (2000).
Fica claro o tom de crítica do autor em relação à imposição que certas
culturas dominantes infligem sobre as dominadas, pois é freqüente o emprego da
caixa alta no texto. Críticas indicadas dessa maneira são encontradas em cada um
dos tópicos abordados, exceto no tópico Álgebra. Segundo Scandiuzzi, a
legitimidade do sistema de numeração, medidas e outros é determinada pela
“imposição” cada vez maior sobre as culturas e sociedades dominadas.
Talvez o “espírito” do trabalho esteja resumido nas considerações finais do
autor, ao indicar que foi concebido junto à disciplina “Prática de Ensino de
Matemática e Desenho Geométrico” do curso de Licenciatura em Matemática na
Universidade Estadual Paulista, campus de São José do Rio Preto:
“Foi assim pensado, para que os alunos da Licenciatura tivessem a
oportunidade de pesquisar temas diferenciados para a sua área, no
trabalho que farão, assim que se formarem, e pudessem ganhar a
experiência da fala de conteúdos que envolvem novas palavras,
novos conceitos, novas áreas do conhecimento e estivessem se
preparando para a construção de um mundo holístico, transcultural,
inclusivo e mais humano, que este estudo foi realizado. A construção
do conhecimento seria mais visível que a descoberta tão impregnada
no nosso falar e agir. Os conteúdos da “Matemática construída por
todos os povos” ficariam mais evidentes e a “História da Matemática”
estaria envolvendo TODAS as culturas, e não somente aquelas que
tiveram o privilégio de ser, política e economicamente, as mais
fortes”. (SCANDIUZZI, 2005, p. 51)
Os conteúdos tratados podem ser explorados tanto no Ensino Fundamental
quanto no Médio e existem o que o autor chama de “atividades escolares”, que são
73
atividades prontas que o professor pode aplicar em sala de aula. Não aparecem em
abundância, apenas mostram de maneira breve como o tema pode ser tratado com
atividades. Também não existe nenhuma sugestão de como elaborar uma aula ou
atividade, sendo recomendado que o professor pesquise sobre o tema.
74
8. Livro “História, geometria e razão, qual a relação? E onde entra a
proporção?”
Tabela 15: Estrutura de "História, geometria e razão, qual a relação? E onde
entra a proporção?”
Autor
Rosangela Maria Rodolfo Serafim e Sandra Aparecida
Fraga
Editora
Sociedade Brasileira de História da Matemática.
Ano de publicação
2005.
Número de páginas
37
Capítulos
Introdução.
Considerações históricas.
Os povos antigos.
A teoria das proporções.
Propostas de atividades.
Semelhança e teorema de Tales.
Conclusão.
Referências.
Descrição
A introdução da obra começa com uma crítica ao modo como o ensino de
razão e proporção vem sendo introduzido em nossas escolas, com alunos de
aproximadamente onze anos. Para as autoras, “a aprendizagem de razão e
proporção se caracterizam pelo uso de procedimentos mecânicos e a aplicação de
exercícios de fixação” (SERAFIM; FRAGA, 2005, p.7). Além disso, dizem que os
educadores não dão maior atenção à dimensão social de tal conteúdo, que acaba
por ser ensinado de forma tradicional, ou seja, através da explicitação de conceitos e
regras. Ressaltam que em uma situação de ensino e aprendizagem:
[...] o como introduzir uma dada noção está relacionado, entre outros
aspectos, às habilidades cognitivas já dominadas pelo sujeito e às
características ontológicas da noção em questão (qualificação,
quantificação, entre grandezas, entre números, etc.) (SERAFIM,
FRAGA, 2005, p.7)
75
Tendo como justificativa o que foi dito anteriormente, as autoras declaram que
seu objetivo é procurar na História da Matemática a relação existente entre razão,
proporção e Geometria, pois acreditam que o estudo desse tópico, na maioria das
vezes, não é relacionado com a Geometria. E no estudo de semelhança em
Geometria, por sua vez, não é feita relação com razão e proporção, gerando a falsa
idéia de que estes assuntos não estão associados.
Após a justificativa, é apresentada uma série de considerações históricas
sobre o tema em questão, com ênfase na matemática praticada pela civilização
grega. Temas como o Teorema de Thales, incomensurabilidade de segmentos,
secção áurea e teoria das proporções de Eudoxo são apresentados, com o intuito de
mostrar como nossos ancestrais lidaram com as questões de razão, proporção e
Geometria. No capítulo seguinte são apresentadas várias propostas de atividades
com o propósito declarado de trabalhar idéias de razão, proporção e geometria.
Estas atividades, ressaltam as autoras, não estão apresentadas em nível de
dificuldade nem se restringem a uma série específica.
Comentários
O texto é direcionado ao professor do Ensino Fundamental, especificamente
nos anos em que se inicia o estudo de razão e proporção. Não existe uma indicação
de encaminhamento, exemplos ou comentários ao longo das considerações
históricas que aparecem na primeira parte do livro de como tratá-las em uma sala de
Ensino Fundamental. Elas são simplesmente postas para a apreciação do leitor-
professor, que deverá julgar a melhor maneira de utilizá-las (ou não) em sua aula.
Em suas conclusões, as autoras esclarecem esse ponto:
O estudo histórico do surgimento de uma noção torna-se importante
nesse processo (do professor conhecer a natureza do pensamento
proporcional), porque pode indicar a origem dos problemas que
deram lugar a esses conhecimentos, pois freqüentemente temos nos
preocupado demasiadamente em transmitir velhas histórias sem
atualizá-las. Isso pode fazer com que nos esqueçamos de um
enfoque relevante, que é indicar a origem dos problemas que deram
lugar a esses conhecimentos. (SERAFIM, FRAGA, 2005, p.36)
76
Ou seja, as autoras consideram de vital importância que o professor
compreenda outros aspectos além do domínio puro e simples do conteúdo, como os
possíveis obstáculos epistemológicos da construção desse conceito. A História da
Matemática se mostra um meio para a compreensão desses outros aspectos.
Assim sendo, podemos classificar este texto como uma abordagem de
ensino inspirada na história, onde a história não aparece de modo explícito, mas
sim implícito na elaboração das atividades.
Todas as propostas sugeridas são bem elaboradas, pois apresentam objetivo,
método para execução, materiais necessários, e encaminhamentos de discussões
com os alunos. Um ponto interessante de se notar é que a História da Matemática
não está presente em nenhuma atividade sugerida.
77
9. Livro “Número fracionário: primórdios esclarecedores”
Tabela 16: Estrutura de "Número fracionário: primórdios esclarecedores”
Autor Nilza Eigenheer Bertoni
Editora Sociedade Brasileira de História da Matemática.
Ano de publicação 2005.
Número de páginas 31
Capítulos
Em um passado longíquo... Por volta de 10.000 anos a.C
Reflexões
Transposição didática.
Sugestões de situação para sala de aula.
Questões sobre a terminologia inicial.
Problemas que levam à divisão de um inteiro (ou de metade dele)
em partes iguais.
Comentários finais sobre o capítulo.
Entre os povos da Antiguidade... por volta de 3000 a. C.
Frações iniciais e frações entre os egípcios.
As frações unitárias e as frações complementares dos egípcios.
Dobros e metades de frações unitárias.
Decomposição de frações em soma de frações unitárias distintas.
Transposição didática.
Introdução dos símbolos.
Os modelos de cálculo dos egípcios.
Multiplicação.
Divisão.
Transposição didática.
Cálculos fracionários em reinos da Mesopotâmia.
Entre os romanos, nos séculos em torno do início de nossa era.
Sobre numerais, moedas e ábacos romanos.
Um ábaco dos romanos.
Fazendo cálculos com números naturais no ábaco romano.
Fazendo cálculos com números fracionários no ábaco romano.
Objetivos do uso didático do ábaco dos romanos.
Referências Bibliográficas.
78
Descrição
A autora inicia sua obra com um pequeno recorte, onde fala da necessidade
do homem primitivo de dividir um ou mais objetos em partes iguais. A partir do
recorte, propõe uma reflexão sobre os modos que a fração se fazia presente no
cotidiano de nossos antepassados. Em contraposição, observa que tipos de situação
são propostas às crianças, visando levá-las à construção do conceito de fração,
criticando-os. Essa crítica baseia-se no fato de que as abordagens tradicionais são,
em sua maioria, feitas de tal modo que não fica claro para o aluno a razão de se
trabalhar com figuras (pizzas divididas, por exemplo) e de se atribuir nomes e
símbolos numéricos às mesmas.
De forma coerente, a autora apresenta uma sugestão de situação para a sala
de aula, baseada em situações da vivência cotidiana das crianças, de modo análogo
ao que ocorreu com os homens primitivos. A autora diz que ao propor um problema,
é necessário deixar as crianças livres para criarem estratégias, a partir das quais se
justifica uma mediação do professor. Também apresenta sugestões para a
terminologia inicial de uso das frações e problemas que levam à divisão de um
inteiro ou metade dele em partes iguais, devidamente comentados com as respostas
mais freqüentes dos alunos.
Após o término do primeiro capítulo, a autora apresenta claramente a filosofia
que orientará a obra: a de apresentar fatos, hipóteses ou tópicos da história com o
objetivo de ver o que eles podem revelar e que indícios de superação eles apontam
para problemas atuais do ensino-aprendizagem, estabelecendo-se, assim, uma
articulação forte entre as situações históricas e a realidade dos problemas de
Educação Matemática na atualidade.
No segundo capítulo, é mostrado o famoso papiro Rhind, e através dele é
exposto como a civilização egípcia trabalhava com frações. São dados alguns
exemplos de problemas envolvendo frações unitárias, que eram largamente
utilizadas pelos egípcios, seguido de uma atividade análoga aos exemplos. A seguir
é justificado o uso das frações unitárias em sala de aula:
[...] um conhecimento mais consistente das frações unitárias em si
mesmas é importante para garantir a construção a construção das
frações gerais pelos alunos, com compreensão. O entendimento das
frações unitárias envolve vários conhecimentos básicos para a
construção conceitual do número fracionário, que devem ser
explorados em sala de aula. (BERTONI, 2005, p.14)
79
Seguem vários exercícios com essa temática, incluindo várias sugestões para
a introdução da simbologia matemática.
Na parte que versa sobre a multiplicação e divisão egípcia, novamente o
mesmo roteiro é empregado: exemplos de como eram feitas, justificativas para
inserção de tal tema em sala de aula e exemplos ou sugestões de uso.
Finalmente, são apresentados cálculos com frações entre outros povos,
“visando ampliar um pouco nossa visão sobre como várias civilizações antigas
tratavam o número fracionário.” (BERTONI, 2005, p.21). São apresentados um
grande número de atividades práticas, como por exemplo o uso do ábaco em
diversas situações, sendo recomendado a manipulação do deste artefato pelas
crianças de 5ª e 6ª série (agora 6º e 7º ano).
Comentários
Texto desenvolvido com coerência, visando principalmente os alunos do
Ensino Fundamental que estão tendo um primeiro contato com frações. Os
problemas históricos têm situações-problema como ponto de partida, que são
analisadas e, posteriormente, utilizadas no sentido de enfrentar os atuais problemas
do ensino-aprendizagem da Matemática.
Segundo nosso referencial teórico, a proposta da autora é uma abordagem
de ensino inspirada na história, pois percorre todas as diretrizes propostas por
Tzanakis e Arcavi (2000), e a História da Matemática aparece de maneira explícita
nas atividades propostas.
A obra apresenta inúmeros exercícios que o professor pode aplicar em sala
de aula, com a resolução da autora e também com as respostas mais freqüentes
que os alunos costumam dar quando o professor utiliza este tipo de estratégia.
Também são apresentadas atividades análogas às resolvidas, para que sejam
aplicadas em sala de aula pelo professor. Podemos considerar este texto bastante
prático, pois em todas as atividades a autora apresenta encaminhamentos,
sugestões e inclusive antecipa algumas dificuldades que o professor pode enfrentar.
80
10. Livro “Usos da história da matemática no Ensino Fundamental”
Tabela 17: Estrutura de "Usos da história da matemática no Ensino
Fundamental”
Autor
Carl
os Henrique Barbosa Gonçalves
Editora
Sociedade Brasileira de História da Matemática.
Ano de publicação
2005.
Número de páginas
26
Capítulos
Problematização.
Introdução.
Visões da Matemática.
História da Matemática.
Ensino.
Como este trabalho trata o tema.
O uso das fontes primárias.
Fontes para trabalho.
Mesopotâmia.
Egito.
Grécia.
Epílogo.
Bibliografia.
Tem propostas para a
sala de aula?
Sim.
Descrição
Antes de iniciar o tema “Usos da História da Matemática no Ensino
Fundamental”, o autor faz uma breve discussão dos significados dos termos
matemática, História da Matemática e ensino.
Após essa discussão, o autor deixa claro sua posição acerca dos elementos
supracitados e expõe seu objetivo: “ajudar o aluno a articular os diversos
conhecimentos que gradualmente adquire no currículo de Matemática. Isso é
81
aproximadamente equivalente a entender certos porquês internos e externos da
disciplina.” (GONÇALVES, 2005, p. 6)
Dentre as possíveis estratégias para se fazer isso (uso de compêndios de
história da matemática
15
, encenação de episódios históricos, construção de
instrumentos matemáticos etc.), o autor escolhe fazer um estudo do que ele chama
de fontes primárias, ou seja, “[...] os textos originais a partir dos quais podemos
acessar a história da matemática” (GONÇALVES, 2005, p. 6). Para justificar tal
escolha, ele argumenta que as fontes por ele escolhidas estão escritas em uma
linguagem e com notações diferentes das utilizadas atualmente, o que, na
perspectiva do autor, é muito bom, pois é um aspecto que ilustra algumas das
mudanças ocorridas no registro escrito da Matemática com o passar do tempo nas
diferentes civilizações. Adicionalmente, também mostra que o modo de pensar e
fazer matemática não é independente do seu contexto e que existe uma forte
articulação entre Matemática e cultura. As fontes escolhidas para esse livro,
especificamente, são provenientes das culturas grega, mesopotâmica e egípcia.
Ao fazer comentários sobre o manuseio das fontes primárias, é dito ao leitor
que um ponto importante é tentar ler os textos com os olhos da época em que foram
escritos
16
, e que isso requer um pouco de paciência e persistência. Também é
ressaltado que o objetivo não é a resolução dos problemas, mas sua decifração.
Encaminhamentos de como se fazer isso são dados ao professor logo após os
exemplos e uma lista de fontes primárias que o professor pode adaptar em sua sala
de aula é fornecida.
No epílogo, chama-se novamente a atenção para a importância do estudo das
fontes primárias na História da Matemática, pois elas oferecem a possibilidade de
investigar a convergência ou divergência dos conceitos antigos em relação aos
atuais.
15
Gonçalves (2005) faz uma diferenciação entre história da matemática e História da Matemática. A
primeira trata dos percursos do pensamento matemático ao longo do tempo nas diferentes culturas
enquanto a segunda se refere a uma disciplina acadêmica. Seguiremos esta diferenciação nessa
descrição.
16
Para uma crítica a esse tipo de método, ver “A História Repensada” de Keith Jenkins (2004).
82
Comentários
Esse é um dos poucos livros da coleção que realmente dialoga com o
professor no sentido de lhe oferecer caminhos e possibilidades para a exploração da
história na sala de aula. O autor escolhe uma estratégia, justifica sua utilização, dá
exemplos resolvidos e comentados e depois complementa com mais exercícios que
o professor pode utilizar de modo análogo ao apresentado. Conforme está escrito no
título do trabalho, a obra é voltada especificamente ao Ensino Fundamental em suas
séries finais. Contudo, o autor diz que as mesmas idéias são aplicáveis a qualquer
outro nível de ensino.
Como o próprio autor disse, seu objetivo é fazer o aluno entender certos
“porquês” internos e externos da Matemática, ou seja, contribuir para que haja um
aprofundamento da percepção da matemática por parte do aluno. Ele não faz em
nenhum momento um histórico do desenvolvimento de determinado conteúdo e
tenta identificar idéias-chave, portanto a abordagem de ensino inspirada na
história fica excluída.
O livro propõe aos alunos que “decifrem” o que o autor chama de fontes
primárias, com o intuito de verificar, dentre outras coisas, que a escrita da
Matemática muda com o passar dos anos nas diferentes culturas. Por meio desse
exercício, o aluno é estimulado a desenvolver estratégias e utilizar o raciocínio lógico
para realizar a decodificação dos textos para uma linguagem inteligível. Tudo isso é
feito com sugestões para sala de aula, encaminhamentos para o professor e
disponibilização de diversas fontes primárias para o desenvolvimento das atividades
análogas, fazendo com que o livro seja bastante prático em sua utilização.
Diferentemente de todas as outras obras analisadas da coleção, esta não se
preocupa em fazer um histórico das civilizações que escreveram as fontes primárias
que foram objetos de estudo. O objetivo é que o aluno trabalhe “decifrando” as
fontes, na expectativa de que cresça seu interesse pelo tema em questão.
83
11. Livro “Uma abordagem pedagógica do uso de fontes originais em
História da Matemática”
Tabela 18: Estrutura de “Explorando a Geometria através da História da
Matemática e da Etnomatemática”
Autor
es
Circe M. Silva da Silva
Dynnikov e Lígia Arantes Sad.
Editora
Sociedade Brasileira de História da Matemática.
Ano de publicação
2007.
Número de páginas
55
Capítulos
Introdução
Sir Isaac Newton (1642-1727) e a Álgebra.
Newton’s Lectures on Álgebra during 1673-1683
As regras de resolução de uma equação.
Transformando duas ou mais equações em uma, de
modo que quantidades desconhecidas sejam eliminadas.
Primeiro livro de Aritmética Universal.
Os Elementos de Álgebra de Leonard Euler (1707-1783)
Etienne Bézout – um autor francês de livros didáticos de
Matemática do século XVIII.
Aplicação.
Aarão Reis e Antônio Trajano – autores de livros
didáticos na passagem do século XIX para XX –
questões controversas.
Algebra fundamental – 1º volume da obra Curso
Elementar de Matemática.
Antonio Trajano – outro autor de sucesso no Brasil na
passagem do século XIX para XX
Referências
84
Descrição
A proposta das autoras é trabalhar com fontes originais em sala de aula,
utilizando-se da teoria de Jogo de Vozes e Ecos, de Boero, Pedemonte e Robotti
(2000)
17
. Por existirem diversos modos de se utilizar fontes originais em sala de
aula, escolhas têm que ser feitas. A escolha teórica feita pelas autoras consiste em
buscar nas fontes originais não apenas compreensão, mas além disso, buscar:
[...] a produção de significações novas em suas próprias
experiências e relacionamentos e aplicar em outras situações de
ensino, quer seja uma aplicação direta envolvendo o mesmo assunto
e a natureza dos registros usados, quer seja uma aplicação indireta
que promova uma ampliação de sua maneira de entender e lidar com
a matemática. Neste caso, existe uma integração da História da
Matemática com a situação educacional. (DYNNIKOV, SAD, 2007,
p.07)
Esta proposta é usada em situações educacionais centradas em atividades
escolares, onde a participação do professor como mediador e dos alunos como
sujeitos discursivos e interativos possibilitam a geração de diálogos onde vozes e
ecos coabitam com reflexões. A voz do professor, juntamente com as interpretações,
experiências e concepções dos alunos produz ecos explícitos nos discursos dos
alunos. Estes ecos podem ser produzidos em meio ao discurso, quando se
experiencia atividades relacionadas à história. Segundo as autoras, os ecos podem
ser de três tipos:
1. Eco mecânico: consiste numa repetição precisa da voz.
2. Eco de assimilação: refere-se a uma transferência de conteúdo
ou método expressa pela voz em outra situação problema.
3. Eco ressonante: é uma apropriação de uma voz como um modo
de reconsiderar e representar sua própria experiência.
(DYNNIKOV, SAD, 2007, p.08)
Assim, as autoras propõem adicionar às vozes dos autores explícitas nas
fontes a voz do professor. O esperado é que esse conjunto de vozes, aliadas às
atividades didáticas propostas, produzam ecos ressonantes nos alunos, integrando-
se às suas próprias vozes.
17
BOERO, P.; PEDEMONTE, B; ROBOTTI, E. Approaching theoretical knowledge through voices and echoes: a
vygotskian perspective. In: FAUVEL, J.; MANEEN, V. J.. History in mathematics education. The ICMI Study.
Londres: Kluwer, 2000. P.155-161.
85
As autoras apresentam obras de diferentes autores, onde diversas
abordagens e tópicos voltados à álgebra elementar são presentes. Os autores, por
sua vez, são de diferentes nacionalidades e exerceram suas atividades entre os
séculos XVII e XX. São eles: Newton, Bézout, Euler e um autor brasileiro chamado
Aarão Reis. Algumas fontes originais de autoria de Newton são apresentadas
diretamente do inglês.
O livro-texto segue basicamente o seguinte roteiro: inicialmente uma pequena
biografia do autor é apresentada. Em seguida, o leitor é convidado a ler alguma
fonte original para finalmente responder às atividades propostas. Para cada fonte
original existe uma atividade. Estas, em sua maioria, são atividades onde o leitor é
convidado a explicar o que entendeu sobre o texto (fonte) lido. Ele teria que discutir
com um colega (neste caso, algum colega presente no minicurso) e expor suas
percepções. As professoras (neste caso seriam as autoras do minicurso) agiriam
como mediadores neste processo.
Comentários
As atividades contidas neste livro-texto foram concebidas para serem
trabalhadas durante o mini-curso oferecido no Seminário Nacional de História da
Matemática realizado em 2007 na cidade de Guarapuava PR. Ele foi moldado de
forma a privilegiar a interação entre as autoras do texto e as pessoas inscritas no
mini-curso (o público-alvo eram os professores de matemática ali presentes) e existe
um componente – o diálogo entre as autoras e os professores – que é parte
integrante da proposta e que não pode ser negligenciado.
Um professor que leia este livro texto pode ter uma idéia do que foi
desenvolvido no mini-curso, mas se não aplicar a dinâmica sugerida com outros
colegas professores, perde-se uma valiosa parte do trabalho que surge somente
com o debate. A “atividade 6” presente na obra ilustra bem isso:
Atividade 6: Analise a maneira como o autor apresentou esse
exemplo. Vocês acham interessante do ponto de vista didático?
Comentem a respeito. Descrevam como vocês, em sala de aula,
apresentam esse conteúdo, estabelecendo comparações.
(DYNNIKOV, SAD, 2007, p.18)
86
Os ecos ressonantes (objetivo das autoras) somente se manifestariam por
meio de “alunos” discursivos e interativos. Entretanto, podemos classificar o
conteúdo da obra como uma maneira de aprofundar a percepção da matemática
(do professor). A partir desse ponto, o professor pode aplicar esses novos
significados que apreendeu em situações de ensino, diretamente (por meio de
atividades com a mesma temática) ou indiretamente (ampliando sua maneira de
entender e lidar com a Matemática).
O professor tem uma ferramenta em mãos que pode ser usada de maneiras
distintas. As fontes originais podem ser discutidas conforme a proposta em um grupo
de professores de matemática ou pode ser adaptada para a realização desse tipo de
proposta em uma sala de aula do Ensino Fundamental.
87
Algumas compreensões sobre a “Coleção História da
Matemática para Professores”
Ao estudar os livros-texto por nós selecionados, procuramos analisar o
material apresentado de uma maneira positiva, considerando que todos têm um
mesmo objetivo comum: capacitar, por meio de inúmeras propostas, o professor que
queira inserir a História da Matemática em suas classes do Ensino Fundamental.
Nossa intenção aqui não é a de julgar os livros como “bons” ou “ruins”, mas sim
identificar aqueles que poderiam ser usados de maneira mais direta em sala de aula.
Acreditamos que todos, à sua maneira, dão suporte ao docente interessado no tema
em questão.
Utilizamos a expressão “maneira mais direta” no sentido de que o professor
pode utilizar o livro-texto em sala de aula sem ter que fazer grandes adaptações ou
montar inúmeras atividades a partir do livro-texto que acabou de ler. Tal
preocupação prende-se ao fato de que Feliciano (2008), em seu recente trabalho,
constatou que professores do Ensino Fundamental realmente gostariam de utilizar-
se da História da Matemática em suas práticas pedagógicas, mas, de uma maneira
geral, sentem falta de um material “pronto”, que possa ser transposto diretamente
para a sala de aula. Esse tipo de material seria o mais adequado às suas
necessidades, visto que o professor que leciona nesse nível de ensino tem certa
urgência, devido ao seu elevado número de aulas, pouco tempo disponível na
preparação de atividades para as suas diversas classes, além de deficiências em
sua formação.
Ao observarmos a evolução da Coleção História da Matemática para
Professores ao longo de suas três edições - publicadas nos anos 2003, 2005 e 2007
- constatamos que a preocupação com as séries finais do Ensino Fundamental é
bastante marcante na primeira edição, sendo que na segunda edição o número de
obras com esta característica já diminui e na terceira existe apenas uma obra
voltada para este nível de ensino. Em 2003, 75% das obras eram voltadas ao
referido grau de ensino. Em 2005 a proporção cai para 36% das obras e em 2007 os
temas voltados ao Ensino Superior predominaram sobre os demais, com apenas
uma obra – 8% do total – que pode vir a ser útil ao professor do Ensino Fundamental
(em sua grande maioria, os livros são voltados para pesquisa na área de História da
Matemática e suas relações com a Educação Matemática).
88
Ao estudar esses livros-texto selecionados, também constatamos que poucas
obras instrumentalizam o professor de maneira mais direta, com propostas já
prontas para a aplicação em sala de aula. Apenas quatro o fazem desta maneira:
“Número fracionário: primórdios esclarecedores” de autoria de Nilza Eigenheer
Bertoni, “Usos da história da matemática no Ensino Fundamental” de Carlos
Henrique Barbosa Gonçalves, “História, geometria e razão, qual a relação? E onde
entra a proporção?” de Rosangela Maria Rodolfo Serafim e Sandra Aparecida Fraga
e "História, etnomatemática e prática pedagógica” de Pedro Paulo Scandiuzzi.
Observamos que as três primeiras obras citadas apresentam um número
significativo de atividades e propostas. Na obra de Pedro Paulo Scandiuzzi não
aparecem em abundância, existem algumas “atividades escolares” que apenas
mostram de maneira breve como o tema pode ser tratado com atividades. Se o
professor quiser se aprofundar um pouco mais no tema, terá que dedicar algum
tempo na pesquisa e preparação de atividades semelhantes.
Existem alguns, como por exemplo "Explorando as Operações Aritméticas
com Recursos da História da Matemática”, de Circe Mary Silva da Silva Dynnikov,
onde o foco de toda a obra é a sala de aula, mas é sugerido um “modelo” para se
trabalhar em sala de aula as operações aritméticas com recursos da História da
Matemática. O professor tem que fazer ele próprio suas atividades com base nessa
proposta sugerida pela autora. Mas enfatizamos que nossa opção por dar uma maior
atenção às obras que privilegiam a sala de aula de uma maneira mais direta foi uma
opção nossa, que tomamos com base nos dados coletados por Feliciano (2008), que
diz que os professores gostariam de utilizar um material com essas características,
pois iriam de encontro às suas necessidades. Acreditamos que todas as obras, com
suas diversas propostas, são válidas e auxiliam o professor em sua profissão.
Classificamos os livros em três categorias não mutuamente exclusivas. A
primeira delas, informação histórica direta, abarca duas obras. A segunda, chamada
de aprofundamento da percepção da Matemática, engloba quatro livros. A terceira,
abordagem de ensino inspirada na história, segundo o modelo proposto por
Tzanakis e Arcavi (2000), abrange seis trabalhos, dos quais três livros-texto deixam
a cargo do leitor a construção de atividades didaticamente apropriadas para a sala
de aula. Ao analisar os livros, optamos por identificar dentre as três categorias
supracitadas aquela que mais se destacava dentre as demais, visto que as
89
categorias estão intimamente ligadas e muitas obras poderiam ser facilmente
classificadas em mais de uma.
Outro aspecto que observamos é que a coleção surgiu com o intuito de apoiar
os professores que atuam em todos os níveis de ensino: fundamental, médio e
superior. Assim sendo, a variabilidade de temas é enorme, com livros-texto falando
desde as operações fundamentais para as séries iniciais até reflexões sobre o
pensamento reverso no ensino no cálculo. Outros temas, como biografias de
matemáticos famosos, metodologias para pesquisa em História da Matemática,
pesquisas em História da Matemática, apresentação de resultados de trabalhos de
mestrado ou doutorado, etc., também se fazem presentes. Não é tarefa de fácil
execução tentar classificar as obras dessa coleção em qualquer tipo de categoria
pois, dependendo da ótica, uma obra pode servir tanto para o professor do Ensino
Fundamental quanto para o do Ensino Superior. Como já dissemos no decorrer
dessa dissertação, o que nos levou a considerar um livro-texto como sendo
direcionado ao professor das séries finais do Ensino Fundamental foram as
seguintes diretrizes:
• O autor explicitava claramente que sua obra era direcionada ao Ensino
Fundamental.
• Quando não havia essa informação por parte do autor, levamos em
consideração os temas dos livros-texto: consideramos apenas as obras que
tratavam de conteúdos que eram objeto de estudo no Ensino Fundamental.
Seguindo essas diretrizes, constatamos que 35% das obras de toda a coleção
são direcionadas ou podem ser usadas por professores desse nível de ensino.
Obviamente que todas as demais obras também podem ser objeto de apreciação do
professor, na medida em que todas contribuem para a sua formação geral.
Acreditamos que quanto mais cultura matemática um professor internalizar
(independentemente do nível), melhor será seu desempenho em sala de aula. Mas,
para fins dessa pesquisa, tentamos identificar somente as obras de caráter mais
diretamente relacionado com esse nível de ensino.
Observamos que quanto à distribuição ao longo dos anos, em seu
lançamento em 2003, os títulos da Coleção História da Matemática para Professores
priorizaram o Ensino Fundamental, sendo que de um total de oito obras, seis se
encaixavam em nossos critérios de seleção. Essa participação de obras voltadas ao
Ensino Fundamental foi caindo ao longo dos anos, tanto em valores absolutos
90
quanto em proporção, sendo que em 2005 temos quatro obras e em 2007 apenas
uma. Apenas pela observação dos temas que aparecem com mais freqüência fica
praticamente impossível apontar uma razão da diminuição de livros-textos voltados
ao Ensino Fundamental, pois diversos fatores que fogem à nossa percepção
concorrem para que isso ocorra.
Dentre os conteúdos matemáticos presentes nas obras selecionadas, os que
aparecem com maior freqüência são sistemas de numeração em geral e geometria.
Os outros conteúdos foram: álgebra, em um sentido amplo; medida; razão e
proporção; frações e equações do primeiro e segundo grau. Interessante se notar
que os conteúdos que mais aparecem na coleção da SBHMat também são os
conteúdos que aparecem com mais freqüência nos livros paradidáticos editados
pelas editoras comerciais, em especial sistemas de numeração. Quando falamos
sobre abordagem histórica do conteúdo parece haver certa preferência, por parte
dos autores, por alguns conteúdos que seriam “mais apropriados” para esta
abordagem.
Ao examinar a “Coleção História da Matemática para Professores”
globalmente, concluímos que ela se constitui de uma ferramenta bastante útil ao
professor que gostaria de inserir a abordagem histórica em suas aulas de
Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental. Com um número
satisfatório de livros-texto, os conteúdos tratados cobrem uma parte bastante
significativa do que se costuma encontrar nos currículos do Ensino Fundamental.
Assim, ao ler, refletir e aplicar as sugestões propostas pelos livros, o professor que
nunca havia trabalhado dessa forma já começa a constituir um arcabouço teórico
que o capacitará na elaboração de aulas que contemplem outros conteúdos que
gostaria de trabalhar com seus alunos. Nota-se, entretanto, que a maioria das obras
busca uma maior reflexão acerca de temas históricos (sob inúmeras perspectivas),
onde a preocupação com fatores práticos para a implantação da abordagem
histórica é inexistente ou pouco aparece. Julgamos que este fator – a praticidade –
aparece aquém das expectativas de uma parcela do professorado que, como
dissemos anteriormente, necessita de um material de fácil manejo e aplicação.
Ao pensar em possíveis contribuições que este trabalho pode dar para a
comunidade científica, temos que refletir acerca das propostas apresentadas pelos
autores. Poderíamos pensar em duas modalidades hipotéticas e extremas. De um
lado, pode-se querer ao publicar uma obra que os professores apenas apliquem o
91
método sugerido sem questionamento, em situações pré-estabelecidas e bem
definidas pelo autor. As atividades são dadas de maneira bastante prática, com
inúmeros exemplos de aplicação e modelos para utilização em sala de aula. Não se
pretende abordar as razões de se aplicar determinada proposta, nem preparar o
professor para “improvisar”, isto é, utilizar a metodologia que está aprendendo em
situações novas. Por outro lado, ao publicar um livro-texto, pode-se também querer
formar um professor crítico, que privilegia um pensar teórico, reflexivo e de natureza
filosófica. Aspectos pragmáticos da obra seriam totalmente ignorados, bem como
técnicas para se atingir algum objetivo muito pontual e direto. Somente os “porquês”
importariam, sendo importante o entendimento correto dos princípios que norteiam a
abordagem escolhida.
Muitos de nós professores estamos em algum ponto entre estes dois
extremos, por diversos motivos. Não trabalhar as razões das coisas serem como são
não é bom do ponto de vista de nosso desenvolvimento. Por outro lado, se nos
concentrarmos apenas nos “porquês” e deixarmos de lado nossa preocupação com
certas técnicas, provavelmente não seremos professores de Matemática tão bons
quanto gostaríamos. Assim, temos que nos precaver para não nos aproximarmos
dos extremos, bem como também temos que ter discernimento de quando uma ou
outra situação é mais propícia para uma situação de ensino-aprendizagem.
Entendemos que ao visar um objetivo direto, o professor não precisa negligenciar
um pensar teórico e reflexivo.
A Matemática, enquanto herança cultural da humanidade, é uma ciência que
está sujeita a constantes modificações e por meio de sua história vinculamo-la
diretamente à nossa cultura. Cabe ao professor, levando em conta os vários fatores
que influenciam sua prática, julgar a maneira mais adequada de utilizá-la, de acordo
com as suas necessidades e de seus alunos.
92
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