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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
D
EPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
P
ROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Solução das Equações de Burgers e de Navier-
Stokes Bidimensionais Utilizando a Técnica da
Transformada Integral Generalizada
Edlene Cenedese
Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como
parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre
em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Dr. João Batista Aparecido
Co-orientador: Prof. Dr. Cássio Roberto Macedo Maia
llha Solteira, Fevereiro de 2005
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AGRADECIMENTOS
A Deus, fonte de toda a vida.
Em especial a minha família; aos meus queridos pais pelas orações, pelo conselho,
empenho, estímulo, força para realizar este trabalho e o grande amor dado a mim em todos os
momentos bons e ruins de minha vida.
Ao meu orientador, João Batista Aparecido e co-orientador, Cássio Roberto Macedo
Maia, pelas orientações, discussões enriquecedoras, paciência e a amizade construída durante a
realização deste trabalho.
Aos colegas do curso de pós-graduação, em especial, as minhas amigas de república,
Egiane, Nair e Rúbia, meus amigos, Estaner, Jussara, Keteri, Luciene, Marco Donisete, Odacir,
Rogério, Rosiane, Sandra e Vanessa, pela ajuda atribuída sempre que necessário, carinho,
incentivo e pelos momentos de descontração.
Aos técnicos em informática, Elias e Jean pelo auxílio recebido e a amizade conquistada.
A todos os professores do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica, pela
amizade, em especial, aos professores João Batista Campos Silva e Sérgio Said Mansur que,
direta ou indiretamente, proporcionaram valiosas sugestões e discussões nas etapas deste
trabalho.
A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES - pela
concessão de bolsa de estudos, a qual possibilitou a execução desta dissertação.
Enfim, a todos, que de certa forma, contribuíram para a realização desta dissertação.
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Aos meus pais, Valentino e Lauride, que,
incondicionalmente fazem das minhas
conquistas as suas metas, e
meus irmãos, Edmarco e
Edinaldo, pelo apoio
e incentivo.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO.......................................................................................................................21
1.1 Considerações Gerais.........................................................................................................21
1.2 Objetivo..............................................................................................................................22
1.3 Técnica da Transformada Integral Generalizada (TTIG)...................................................22
1.4 Revisão Bibliográfica.........................................................................................................25
2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA........................................................................................31
2.1 Breve Histórico sobre as Equações de Navier-Stokes.......................................................31
2.2 Equações de Navier-Stokes em Escoamentos Bidimensionais..........................................32
2.3 Definição do Sistema de Coordenadas e do Domínio do Escoamento para o Problema
Proposto..............................................................................................................................36
3. MÉTODO PROJEÇÃO..........................................................................................................39
3.1 As Equações de Navier-Stokes vistas como Projeções .....................................................44
4. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE BURGERS....................................................................47
4.1 Solução das Equações de Burgers......................................................................................48
4.1.1 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo y...............................................................49
4.1.1.1 Definição dos Problemas Auxiliares de Autovalor..................................49
4.1.1.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo y.................................................50
4.1.1.3 Transformação das Equações de Burgers na Direção do Eixo y.............52
4.1.1.4 Transformação das Condições Inicial e de Contorno..............................57
4.1.1.5 Homogeneização da Condição de Contorno............................................58
4.1.2 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo x...............................................................60
4.1.2.1 Definição dos Problemas Auxiliares de Autovalor..................................60
4.1.2.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo x.................................................61
4.1.2.3 Transformação das Equações de Burgers na Direção do Eixo x.............63
4.1.3 Truncamento da Expansão em Séries Finitas..........................................................72
4.2 Solução dos Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias Não Lineares.......................73
4.3 Resultados e Discussão......................................................................................................74
5. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES......................................................85
5.1 Estrutura do Procedimento Analítico Adotado..................................................................85
5.2 Equação da Pseudo-Pressão...............................................................................................86
5.2.1 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo y............................................................87
5.2.1.1 Problema Auxiliar de Autovalor para a Direção y...................................87
5.2.1.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo y.................................................88
5.2.1.3 Transformação da Equação da Pseudo-Pressão na Direção do
Eixo y.......................................................................................................89
5.2.1.4 Transformação das Condições de Contorno............................................92
5.2.2 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo x............................................................93
5.2.2.1 Problema Auxiliar de Autovalor..............................................................93
5.2.2.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo x.................................................93
5.2.2.3 Transformação da Equação Pseudo-Pressão para o Eixo x.....................95
5.3 Atualização da Velocidade................................................................................................98
5.3.1 Transformação da Equação de Atualização da Velocidade................................99
5.3.1.1 Transformação da Equação de Atualização da Velocidade na Direção
do Eixo y.................................................................................................99
5.3.1.2 Transformação da Equação de Atualização da Velocidade na Direção
do Eixo x..............................................................................................100
5.4 Equação da Pressão.........................................................................................................102
5.4.1 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo y.........................................................102
5.4.1.1 Problema Auxiliar de Autovalor...........................................................103
5.4.1.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo y..............................................103
5.4.1.3 Transformação da Equação da Pressão na Direção do Eixo y.............104
5.4.2 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo x........................................................107
5.4.2.1 Problema Auxiliar de Autovalor...........................................................107
5.4.2.2 Par transformada-Inversa para o Eixo x...............................................108
5.4.2.3 Transformação da Equação de Pressão para o Eixo x..........................108
5.7 Resultados e Discussão...................................................................................................112
6. CONCLUSÃO E SUGESTÕES..........................................................................................119
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................................123
APÊNDICE A - PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE..................................................131
APÊNDICE B - PROBLEMA AUXILIAR DE AUTOVALOR...........................................137
APÊNDICE C - INTEGRAIS NA TRANSFORMAÇÃO DA GEOMETRIA
CARTESIANA.........................................................................................143
APÊNDICE D - EXPANSÃO DE FUNÇÕES EM SÉRIES..................................................167
APÊNDICE E – RESULTADOS NUMÉRICOS....................................................................175
ABSTRACT
In this work, it is developed a solution for the Burgers and Navier-Stokes equations,
using the Generalized Integral Transform Technique (GITT), defined over a two-dimensional
Cartesian geometry. For the case of Navier-Stokes equations, it is considered incompressible
fluid under unsteady state flow regime, using the primitive variables formulation. In order to
decouple pressure terms from the velocity terms in Navier-Stokes equations, it is used the
Projection Method. The Burgers equations considered are that ones corresponding to the
projection of Navier-Stokes into a subspace having null pressure gradient. The boundary
conditions considered was of the kind of Dirichlet and Neumann, aiming the numerical
simulation of the flow inside a lid-driven cavity.
Keywords: Burgers Equations, Navier-Stokes Equations, Generalized Integral Transform, State
Unsteady, Non-Linear.
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos Arábicos
)u(
i
A Integral de Normalização da Autofunção )y(
i
Ψ
)v(
i
A Integral de Normalização da Autofunção )y(
i
Φ
)p(
i
A Integral de Normalização da Autofunção )y(
i
Ω
)u(
m
A Integral de Normalização da Autofunção )x(
m
)v(
m
A Integral de Normalização da Autofunção )x(
m
Θ
)p(
m
A Integral de Normalização da Autofunção )x(
m
Γ
g
r
Vetor campo de força
*
x
g Componente do vetor campo de força na direção do eixo x dimensional
x
g Componente do vetor campo de força na direção do eixo x adimensional
*
y
g Componente do vetor campo de força na direção do eixo y dimensional
y
g Componente do vetor campo de força na direção do eixo y adimensional
x
L Comprimento característico do domínio
y
L Altura característica do domínio
)t(p
~
ˆ
i
Potencial pressão transformado em função do tempo
)t,x(p
~
ˆ
i
Potencial pressão transformado na direção do eixo x, além do tempo
)t,y,x(p
****
Potencial pressão dinâmica do fluido, dimensional, na direção do eixo x, y além
do tempo
)t,y,x(p Potencial pressão dinâmica do fluido, adimensional, na direção do eixo x, y além
do tempo
Re Número de Reynolds
*
t Eixo do tempo dimensional
t Eixo do tempo adimensional
)t(u
~
ˆ
i
Potencial velocidade transformado em função do tempo
)t,x(u
~
ˆ
i
Potencial velocidade transformado na direção do eixo x, alem do tempo
)t,y,x(u
****
Potencial velocidade do fluido, dimensional, na direção do eixo x, y, além do
tempo
)t,y,x(u Potencial velocidade do fluido, adimensional, na direção do eixo x, y, além do
tempo
0
U Velocidade de entrada
)t(v
~
ˆ
i
Potencial velocidade transformado em função do tempo
)t,x(v
~
ˆ
i
Potencial velocidade transformado na direção do eixo x, alem do tempo
)t,y,x(v
****
Potencial velocidade do fluido, dimensional, na direção do eixo x, y, além do
tempo
)t,y,x(v Potencial velocidade do fluido, adimensional, na direção do eixo x, y, além do
tempo
*
x Eixo do espaço dimensional
x Eixo do espaço adimensional
*
y Eixo do espaço dimensional
y Eixo do espaço adimensional
Símbolos gregos
ϕ Campo escalar derivável
)y(
i
Φ Autofunções referentes ao potencial velocidade )t,y,x(v
ˆ
na direção do eixo y
)x(
m
Γ Autofunções referentes ao potencial pressão transformado )t,x(p
~
ˆ
i
na direção do
eixo x
)x(
m
Ξ Autofunções referentes ao potencial velocidade transformado )t,x(u
~
ˆ
i
na direção
do eixo x
)u(
m
λ Autovalores associados as autofunções )x(
m
)v(
m
λ Autovalores associados as autofunções )x(
m
Θ
)p(
m
λ Autovalores associados as autofunções )x(
m
Γ
∇ Operador diferencial vetorial
)u(
i
µ Autovalores associados as autofunções )y(
i
Ψ
)v(
i
µ Autovalores associados as autofunções )y(
i
Φ
)p(
i
µ Autovalores associados as autofunções )y(
i
Ω
Parâmetro adimensional da viscosidade cinemática do fluido
)y(
i
Ω Autofunções referentes ao potencial pressão )t,y,x(p
ˆ
na direção do eixo y
)y(
i
Ψ Autofunções referentes ao potencial velocidade )t,y,x(u
ˆ
na direção do eixo y
)x(
m
Θ Autofunções referentes ao potencial velocidade transformado )t,x(v
~
ˆ
i
na direção
do eixo x
ρ
Parâmetro adimensional da densidade do fluido
Superiscritos
~ Transformação integral relacionada a direção do eixo y.
- Transformação integral relacionada a direção do eixo x.
Subscritos
i, j, k, m, n, p Ordem do autovalor e de funções relacionadas.
“Deus não escolhe o capacitado, mas capacita o escolhido.”
Albert Einstein
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TEMAM, R. Theory and Numerical Analysis of the Navier-Stokes Equations. North-Holland:
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EMAN, R. Remark on the Pressure Boundary Condition for the Projection Method. Theoret.
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WEINAN E.; J. GUO LIU. Projection Method II. Godunov-Ryabenki analysis. SIAM Journal
Numerical Analysis, v.33, p. 1597, 1996.
ZAYED A. L. Handbook of Function and Generalized Function Transformations. Boca
Raton: CRC Press, 1996.
PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE APÊNDICE A
Durante os dois últimos séculos, diversos métodos foram desenvolvidos para a solução de
equações diferenciais parciais. Entre estes, destaca-se a técnica conhecida como método de
separação de variáveis, um dos mais antigos métodos sistemáticos para a solução de tais
equações, o qual permanece como um método de grande importância atualmente, sendo uma das
técnicas clássicas em muitos ramos da física matemática. Neste sentido, os problemas de
Sturm-Liouville, aparecem naturalmente quando se aplica este método ao estudo de certas
equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem, Honig (1978). Problemas deste tipo
são apresentados por Zayed (1996), onde o núcleo de muitas transformações integral é solução
de equações diferenciais de Sturm-Liouville. Desde então, a teoria espectral de problemas de
valores de contorno de Sturm-Liouville é muito bem desenvolvido, o que é natural usá-los para
o estudo de muitas transformações de funções de um modo unificado. Desta forma, obtém-se a
transformada e a sua fórmula de inversão, que são chamadas de par de Sturm-Liouville.
Considere-se a equação diferencial de segunda ordem, que freqüentemente aparece em
equacionamento de muitos problemas físicos, como segue
f(x)λr(x)y)x(q )''y)x(p( =+− , (A.1)
definida no intervalo [a,b], no qual
∈
p C
(1)
([a,b]),
q
∈
C ([a,b]), ℜ), ∈
r
C ([a,b]), com
0 r(x) ),x(p > , para b)(a, x∈ , submetida às seguintes condições de contorno
)a('yα)a(yα]y[F
101
+= , (A.2a)
)b('yβ)b(yβ]y[F
102
+= , (A.2b)
no qual , β ,β ,α ,α
1010
ℜ∈ com 0 α α
10
≠+ e 0 β β
10
≠+ .
Freqüentemente, é conveniente introduzir um operador diferencial linear homogêneo, L,
de segunda ordem, definido por
λr(x)y)x(q )''y)x(p(]y[L
λ
−
+−=
132
Desta forma, a equação (A.1), torna-se
)x(f)x](y[L
λ
= , para b][a, x ∈ , (A.3)
e considerando as condições de contorno (A.2a,b) homogêneas, tem-se
0[y]F e 0]y[F
21
=
= (A.4a,b)
O sistema descrito pela equação (A.2) é denominado como problema de Sturm-Liouville
que consiste em determinar uma função y(x) para a solução de tal sistema, que quando aplicados
certos tipos de condições de contorno, geram vários conjuntos de autofunções ortogonais que
aparecem com freqüência nas soluções de equações diferenciais parciais.
Os exemplos mais comuns para as condições de contorno são:
0 (b)y'(a)y' e 0)b(y)a(y
=
=== , ou combinação linear destas.
Diz-se que
λ
é denominado um autovalor do sistema formado pelas equações (A.3) e
(A.4), ou do problema de Sturm-Liouville, se a equação homogênea
0]y[L
λ
= , (A.5)
ou seja, λr(x)y]y[L
0
= , ou ainda, λr(x)yq(x)y )'(p(x)y'
=
+
− ,
tem uma solução 0)x(y ≠ que satisfaz as condições de contorno (A.4a,b), denominada
autofunção correspondente ao autovalor
λ
.
Para se estabelecer algumas das propriedades do problema de Sturm-Liouville, é
necessário primeiramente, deduzir uma identidade, conhecida como identidade de Lagrange.
Seja
q(x)y )'(p(x)y' ]y[L
λ
+−= em [a,b]. Dados v(x)e )x(u
∈
C
(2)
([a,b]), então vale a
identidade de Lagrange
)a](v,u[M)b](v,u[Mdx)]v[Lu]u[Lv(
b
a
−=−
∫
, (A.6)
no qual
])x('v)x(u)x(v)v('u)[x(p)x](v,u[M −−= .
A demonstração desta identidade encontra-se em Honig, (1978).
Supondo que as funções
21
y e y sejam soluções da equação (A.3), com
∈ y ,y
21
C
(2)
([a,b]), e satisfaçam as condições de contorno (A.4a,b), então tem-se
0)b](y,y[M)a](y,y[M
2121
==
Assim, para o operador linear, ]y[L, tem-se
0dx])y[Ly]y[Ly(
b
a
2112
=−
∫
, (A.7)
ou seja, a identidade de Lagrange se reduz a zero.
133
Definindo o problema interno (u,v) das duas funções u(x) e v(x) no intervalo [a,b], como
segue
∫
=
b
a
dx)x(v)x(u)v,u( (A.8)
e rearranjando a equação (A.7) da seguinte forma
0dx]y[Ly dx]y[Ly
b
a
b
a
2112
=−
∫∫
, resulta
0])y[L,y(])y[L,y(
2112
=
−
. (A.9)
Quando as funções u(x) e v(x) são complexas, o produto interno, equação (A.8), é
redefinida como
∫
=
b
a
dx)x(v)x(u )v,u( . (A.10)
E o operador linear L[y], é definido como
0dx]y[Ly dx]y[Ly
b
a
b
a
2112
=−
∫∫
,
De forma que a equação (A.10), torna-se
0)]y[L,y(])y[Ly(
2112
=−
A partir do exposto anteriormente, podem-se definir agora, algumas propriedades do
problema de Sturm-Liouville, como segue
1. Todos os autovalores do problema de Sturm-liouville são reais.
2. Autofunções do problema de Sturm-Liouville correspondentes a autovalores distintos
são ortogonais relativamente a r, isto é, se
11
λr(x)y]y[L
=
e
22
µr(x)y]y[L
=
, com
µ
≠
λ , então
∫
==
b
a
2121
0dx)x(y)x(y)x(r )y,y( (A.11)
3. Os problemas de Sturm-Liouville são todos simples, isto é, a cada autovalor
corresponde somente uma autofunção linearmente independente. Além disso, os autovalores,
n
λ ,
formam uma seqüência infinita e podem ser ordenados em grandezas crescentes de modo que
KK <<<<<
n121
λ λ λ λ
134
Além disso,
∞→
n
λ quando
∞
→n .
4. Os autovalores do problema de Sturm-Liouville formam um conjunto enumerável.
Segundo Boyce (1979), de acordo com a ordenação dos autovalores apresentados na
propriedade (3), associado a cada autovalor,
n
λ , está uma autofunção,
n
y , determinada a menos
de uma constante multiplicativa. É conveniente escolher a constante arbitrária que multiplica
cada autofunção de maneira que satisfaça a seguinte condição
∫
=
b
a
2
n
1dx)x(y)x(r , K,2,1n
=
(A.12)
A equação (A.12) é denominada condição de normalização no intervalo [a,b], e diz que
as autofunções que satisfaçam esta condição são normalizadas. Neste caso, diz-se que as
autofunções formam um conjunto ortonormal em relação à função peso r(x), de forma que elas
satisfaçam a relação de ortogonalidade dada pela equação (A.11). Às vezes, é útil combinar as
equações (A.11) e (A.12), e neste sentido, introduzir o símbolo
mn
δ , conhecido como o delta de
Kronecker , definido por
⎩
⎨
⎧
=
≠
=
nm se ,1
nm se ,0
δ
mn
Utilizando o delta de Kronecker, podem-se escrever as equações (A.11) e (A.12) da
seguinte forma
∫
=
b
a
mnnm
δdx)x(y)x(y)x(r . (A.13)
Supõe-se que, dada uma função f(x) contínua, com derivadas contínuas satisfazendo as
condições de contorno adequadas, pode-se expandir tal função em uma série infinita de
autofunções do problema de Sturm-Liouville, como segue
∑
∞
=
=
1n
nn
)x(yc)x(f (A.14)
nas quais as autofunções ,
)x(y
n
, satisfaçam as equações (A.4a,b) e (A.5) e a condição de
ortonormalidade (A.13).
Para se obter os coeficientes,
n
c , na série (A.14), multiplica-se a equação por )x(y)x(r
m
integrando-a no intervalo [a,b]. Considera-se que a série pode ser integrada termo a termo,
obtendo-se
135
mn
1n
n
b
a
nm
1n
n
b
a
m
δcdx)x(y)x(y)x(r cdx)x(y)x(f)x(r
∑
∫
∑
∫
∞
=
∞
=
== . (A.15)
Desta forma, considerando a propriedade de ortogonalidade, tem-se
∫
=
b
a
mn
dx)x(y)x(f)x(r c ,
∞
=
,,2 ,1m K . (A.16)
determinando, assim, formalmente os coeficientes,
n
c , apresentados na série (A.14).
PROBLEMA AUXILIAR DE AUTOVALOR APÊNDICE B
Neste apêndice, apresenta-se o desenvolvimento dos problemas auxiliares de autovalores
dos capítulos 5 e 6, relacionados aos potenciais velocidades, t)y,(x,u
ˆ
e t)y,(x,v
ˆ
; potencial
pseudopressão, )t,y,x(w
ˆ
e potencial pressão,
)t,y,x(p
ˆ
, conseqüentemente, os potenciais
velocidades transformadas,
)t,x(u
~
ˆ
i
e )t,x(v
~
ˆ
i
; potencial pseudopressão transformado, )t,x(w
~
ˆ
i
,
e potencial pressão transformado,
)t,x(p
~
ˆ
i
, e suas respectivas condições de contorno, como
descritos abaixo:
0)y()µ(
dy
)y(d
i
2u
i
2
i
2
=Ψ+
Ψ
, (B.1)
0)y(
0y
i
=Ψ
=
e 0)y(
y
Ly
i
=Ψ
=
, (B.2a,b)
0(y)Φ)µ(
dy
(y)Φd
i
2v
i
2
i
2
=+ , (B.3)
0)y(
0y
i
=Φ
=
e 0)y(
Lyy
i
=Φ
=
, (B.4a,b)
0)y()µ(
dy
)y(d
i
2w
i
2
i
2
=Λ+
Λ
, (B.5)
0
dy
)y(d
0y
i
=
Λ
=
e 0
dy
)y(d
y
Ly
i
=
Λ
=
. (B.6a,b)
0)y()µ(
dy
)y(d
i
2p
i
2
i
2
=Ω+
Ω
, (B.7)
0
dy
)y(d
0y
i
=
Ω
=
e 0
dy
)y(d
y
Ly
i
=
Ω
=
. (B.8a,b)
138
0)x()λ(
dx
)x(d
m
2u
m
2
m
2
=Ξ+
Ξ
(B.9)
0)x(
0x
m
=Ξ
=
e
0)x(
x
Lx
m
=Ξ
=
(B.10a,b)
0)x()λ(
dx
)x(d
m
2v
m
2
m
2
=Θ+
Θ
(B.11)
0)x(
0x
m
=Θ
=
e
0)x(
x
Lx
m
=Θ
=
(B.12a,b)
0)x()λ(
dy
)x(d
m
2w
m
2
m
2
=Ζ+
Ζ
(B.13)
0
dx
)x( d
0x
m
=
Ζ
=
e 0
dx
)x( d
Lxx
m
=
Ζ
=
(B.14a,b)
0)x()λ(
dy
)x(d
m
2p
m
2
m
2
=Γ+
Γ
(B.15)
0
dx
)x( d
0x
m
=
Γ
=
e 0
dx
)x(d
x
Lx
m
=
Γ
=
(B.16a,b)
Segue abaixo, o desenvolvimento dos problemas auxiliares de autovalores (B.1) e (B5) na
direção do eixo y, sendo que a equação (B.1) possui condições de contorno de Dirichlet e a
equação (B.5), condições de contorno de Neumann, visto que a solução para os demais
problemas é similar a (B.1) ou (B.5) tanto para o eixo x como o eixo y.
O problema (B.1) é uma equação homogênea com coeficientes constantes na qual a
solução é da forma:
y
i
e)y(
λ
=Ψ (B.17)
E a equação característica do problema (B.1) é dada por
0)µ(
2u
i
2
=+λ (B.18)
139
A equação (B.18) é um par de raízes complexas conjugadas não repetidas, como segue
i)µ(
u
i
±=λ
Desta forma, a solução geral do problema (B.1) é dada em termos das funções seno e
co-seno, ou seja,
)ycosByAsen(e)y(
y
i
β+β=Ψ
α
(B.18)
Como
0=α e
u
i
µ±=β , a equação (B.18) pode ser reescrita como segue
)yµcos(B)yµ(Asen)y(
u
i
u
ii
+=Ψ (B.19)
Utilizando as condições de contorno (B.2a,b), a equação (B.19), resulta
)yµsen(A)y(
u
iii
=Ψ (B.20)
no qual
π
L
i
µ
y
u
i
=
∞
= ,,3,2,1i K
E
1)y(
2
i
=Ψ (B.21)
Substituindo a equação (B.20) na equação (B.21), tem-se
1)yµ(senA
2
u
ii
= (B.22)
1 )yµ(senA),yµ(senA
u
ii
u
ii
=>< ⇒ 1dyy)µ(sen)A(
y
L
0
u
i
22
i
=
∫
⇒
⇒ 1
µ4
)yµ(2sen
y
2
1
)A(
y
i
L
0
u
u
i
2
i
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⇒ 1
µ4
)Lµ(2sen
2
L
)A(
u
i
y
u
iy
2
i
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
(B.23)
Como
0Lµ2sen
yu
i
= , a equação (B.23), torna-se
140
y
u
i
L
2
A ±= (B.24)
A solução para o problema (B.5), equação homogênea com coeficientes constantes, é
dado pela seguinte forma:
y
i
e)y(
λ
=Λ , (B.25)
Seguindo o mesmo procedimento da equação (B.1), a solução geral do problema é dada
por
)ycosBysenA(e)y(
w
i
w
i
y
i
β+β=Λ
α
(B.26)
Como
0=α e
w
i
µ±=β , a equação (B.26) pode ser reescrita como segue
)yµcos(B)yµsen(A)y(
w
i
w
i
w
i
w
ii
+=Λ (B.27)
Derivando a equação (B.27) em relação ao eixo y, tem-se
)yµsen(Bµ)yµcos(Aµ
dy
)y(d
w
i
w
i
w
i
w
i
w
i
w
i
i
−=
Λ
(B.28)
Fazendo uso das condições de contorno (B.6a,b), a equação (B.27), torna-se
)yµcos(B)y(
w
i
w
ii
=Λ (B.29)
no qual
π
L
1i
µ
y
w
i
−
=
∞
= ,,3,2,1i K
E
1)y(
2
i
=Λ (B.30)
141
Substituindo a equação (B.29) na equação (B.30), tem-se
1)yµcos(B
2
w
i
w
i
= ⇒ (B.31)
1 ))yµcos(B),yµcos(B
w
i
w
i
w
i
w
i
=>< ⇒ 1dy)yµ(cos)B(
y
L
0
w
i
22w
i
=
∫
Desta forma, para
1i = , tem-se
y
w
i
L
1
B ±= (B.32)
Para ∞= ,,4,3,2i
K , tem-se
y
w
i
L
2
B ±= (B.33)
Logo, a solução para os problemas (B.1), (B.3), (B.5), (B.7), (B.9), (B.11), (B.13) e
(B.15) para os eixos espaciais y e x são descritos, respectivamente por
)yµ(senA)y(
u
i
u
ii
=Ψ ;
y
u
i
L
2
A = ;
y
u
i
L
πi
µ =
, ∞
=
,,3,2,1i K . (B.34)
)yµ(senA)y(
v
i
v
ii
=Φ ;
y
v
i
L
2
A = ;
y
v
i
L
πi
µ =
, ∞
=
,,3,2,1i K . (B.35)
)yµcos(B)y(
w
i
w
ii
=Λ ;
y
w
i
L
1
B = ; 0µ
w
i
= , para 1i = ;
e
y
w
i
L
2
B = ;
π
L
1i
µ
y
w
i
−
=
, para ∞= ,,4,3,2i K . (B.36)
142
)yµcos(B)y(
p
i
p
ii
=Ω ;
y
p
i
L
1
B = ; 0µ
p
i
= , para 1i
=
;
e
y
p
i
L
2
B = ;
π
L
1i
µ
y
p
i
−
=
, para ∞
=
,,4,3,2i K . (B.37)
)xλ(senA)x(
u
m
u
mm
=Ξ ;
x
u
m
L
2
A =
;
x
u
m
L
mπ
λ =
,
∞
=
,,3,2,1m K
(B.38)
)xλ(senA)x(
v
m
v
mm
=Θ ;
x
v
m
L
2
A =
;
x
v
m
L
mπ
λ =
,
∞
=
,,3,2,1m K
. (B.39)
)xλcos(B)x(
w
m
w
mm
=Ζ ;
x
w
m
L
1
B =
; 0
w
m
=λ , para 1i
=
;
e
x
w
m
L
2
B =
; π
L
1m
x
w
m
−
=λ , para ∞
=
,,4,3,2m K . (B.40)
)xλcos(B)x(
p
m
p
mm
=Γ ;
x
p
m
L
1
B =
; 0
p
m
=λ , para 1i
=
;
e
x
p
m
L
2
B =
; π
L
1m
x
w
m
−
=λ , para ∞
=
,,4,3,2m K . (B.41)
INTEGRAIS NA TRANSFORMAÇÃO DA GEOMETRIA CARTESIANA APÊNDICE C
Desenvolve-se nesse apêndice, a resolução das integrais envolvidas no processo de
transformação das equações de Burgers, Pseudopressão e Pressão discutidos nos capítulos 5 e 6,
respectivamente, nas quais tais transformações foram obtidas a partir dos seguintes pares
transformada-inversa nas respectivas direções dos eixos y e x, como descrito abaixo:
∫
Ψ=
y
L
0
ii
dy)t,y,x(u
ˆ
)y( )t,x(u
~
ˆ
,
∞
=
K,3,2,1i , (Transformada) (5.18)
∑
∞
=
Ψ=
1j
jj
)y()t,x(u
~
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
. (Inversa) (5.19)
∫
=
y
L
0
ii
t)dyy,(x,v
ˆ
(y)Φ t)(x,v
~
ˆ
,
∞
=
,,3,2,1i K , (Transformada) (5.22)
∑
∞
=
Φ=
1j
jj
)y()t,x(v
~
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
. (Inversa) (5.23)
dy)t,y,x(w)y( )t,x(w
~
y
L
0
ii
∫
Λ=
∞
=
,,3,2,1i K , (Transformada) (6.9)
∑
∞
=
Λ=
1j
jj
)y()t,x(w
~
)t,y,x(w (Inversa) (6.10)
dy)t,y,x(p
ˆ
)y( )t,x(p
~
ˆ
y
L
0
ii
∫
Ω=
∞
=
,,3,2,1i K , (Transformada) (6.67)
∑
∞
=
Ω=
1j
jj
)y()t,x(p
~
ˆ
)t,y,x(p
ˆ
(Inversa) (6.68)
144
Definido,
)
L
x
1(g
~
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
)
L
x
1(g
~
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
x
iii
x
iii
−−=⇔−+=
++
, tem-se
∫
Ξ=
x
L
0
imim
dx)t,x(u
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
, (Transformada) (5.75)
∑
∞
=
Ξ=
1n
nini
)x( )t(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
. (Inversa) (5.76)
dx)t,x(v
~
ˆ
)x()t(v
~
ˆ
x
L
0
imim
∫
++
Θ= (Transformada) (5.79)
∑
∞
=
++
Θ=
1n
nini
)x()t(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
(Inversa) (5.80)
dx)t,x(w
~
)x( )t(w
~
x
L
0
imim
∫
Ζ= (Transformada) (6.33)
∑
∞
=
Ζ=
1n
nini
)x()t(w
~
)t,x(w
~
(Inversa) (6.34)
dx)t,x(p
~
ˆ
)x( )t(p
~
ˆ
x
L
0
imim
∫
Γ= (Transformada) (6.84)
∑
∞
=
Γ=
1n
nini
)x()t(p
~
ˆ
)t,x(p
~
ˆ
(Inversa) (6.85)
C.1 Equações de Burgers
Cômputo das integrais envolvidas na equação (5.28) referente a transformação da
equação de Burgers relacionada ao potencial velocidade )t,y,x(u
ˆ
na direção do eixo y.
Nesta etapa, utiliza-se o par transformada-inversa dado pelas equações (5.18), (5.19),
(5.22) e (5.23).
t
)t,x(u
~
ˆ
dy)t,y,x(u
ˆ
)y(
t
dy
t
t)y,(x,u
ˆ
(y)
i
y
L
0
i
y
L
0
i
∂
∂
=Ψ
∂
∂
=
∂
∂
Ψ
∫∫
, (C.1)
145
=
∂
Ψ∂
ΨΨ
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy
x
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(u
~
ˆ
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
=
∂
∂
ΨΨΨ=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
x
)t,x(u
~
ˆ
)y()y()t,x(u
~
ˆ
)y(
y
L
0
1j
k
k
1k
jji
=
∂
∂
ΨΨΨ=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
y
L
0
1j
k
k
1k
jij
dy
x
)t,x(u
~
ˆ
)y()y()y()t,x(u
~
ˆ
=
∂
∂
ΨΨΨ=
∑∑
∫
∞
=
∞
=
1j1k
y
L
0
k
kjij
dy
x
)t,x(u
~
ˆ
)y()y()y()t,x(u
~
ˆ
=ΨΨΨ
∂
∂
=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy)y()y()y(
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
y
L
0
kji
k
1j1k
j
∑∑
∞
=
∞
=
∂
∂
=
1j1k
k
jijk
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
A
, (C.2)
na qual
dy)y()y()y(A
y
L
0
kjiijk
∫
ΨΨΨ= .
=
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ψ∂
ΦΨ
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy
y
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
=
Ψ
ΦΨ=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
dy
)y(d
)t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
)y(
y
L
0
1j1k
k
kjji
=
Ψ
ΦΨ=
∑∑
∫
∞
=
∞
=
dy
dy
)y(d
)t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
)y(
1j1k
y
L
0
k
kjji
=
Ψ
ΦΨ=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
dy
)y(d
)y()y()t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
y
L
0
k
ji
1j1k
kj
∑∑
∞
=
∞
=1j1k
kjijk
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
B , (C.3)
na qual
dy
dy
)y(d
)y()y(B
y
L
0
k
jiijk
∫
Ψ
ΦΨ= .
146
2
i
2
y
L
0
2
2
y
L
0
2
2
i
x
)t,x(u
~
ˆ
dy)t,y,x(u
ˆ
)y(
x
dy
x
t)y,(x,u
ˆ
(y)Ψ
∂
∂
=Ψ
∂
∂
=
∂
∂
∫∫
i
, (C.4)
dy
dy
(y)Ψd
t)y,(x,u
ˆ
dy
y
t)y,(x,u
ˆ
(y)Ψ
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
∫∫
−
∂
∂
, (C.5)
Calculando as integrais da equação (C.5) separadamente, tem-se
dy
)y(d
y
)t,y,x(u
ˆ
dy
)y(d
)t,y,x(u
ˆ
y
)y(
)t,y,x(u
ˆ
y
i
2
i
2
i
Ψ
∂
∂
+
Ψ
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Ψ∂
∂
∂
, (C.6)
e
y
)t,y,x(u
ˆ
dy
)y(d
y
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
i
2
2
ii
∂
∂Ψ
+
∂
∂
Ψ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ψ
∂
∂
, (C.7)
Substituindo (C.6) e (C.7) na equação (C.5) e integrando, obtém-se
y
L
0
i
i
y
L
0
i
i
y
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
)y(
)t,y,x(u
ˆ
dy
y
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
)y(
)t,y,x(u
ˆ
y
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ψ−
∂
Ψ∂
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ψ−
∂
Ψ∂
∂
∂
∫
(C.8)
De acordo com as condições de contorno
0)y(
0y
i
=Ψ
=
e 0)y(
y
Ly
i
=Ψ
=
, e as condições
de contorno da equação de Burgers para a função velocidade )t,y,x(u
ˆ
, resulta
0dy
dy
(y)Ψd
t)y,(x,u
ˆ
dy
y
t)y,(x,u
ˆ
(y)Ψ
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
=−
∂
∂
∫∫
, (C.9)
)t,x(u
~
ˆ
)(µdy)t,y,x(u
ˆ
)y( )(µdy(y)Ψ)t)(µy,(x,u
ˆ
i
2u
i
y
L
0
i
2u
i
y
L
0
i
2u
i
=Ψ=
∫∫
. (C.10)
De maneira análoga, desenvolve-se cada termo da equação (5.37) referente a
transformação da equação de Burgers relacionada ao potencial velocidade )t,y,x(v
ˆ
, na direção
do eixo y, os quais os resultados são expressos respectivamente por:
147
t
t)(x,v
~
ˆ
dy
t
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
i
y
L
0
i
∂
∂
=
∂
∂
∫
, (C.11)
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∂
∂
=
∂
∂
1j1k
k
jijk
y
L
0
1k
kk
1j
jji
x
t)(x,v
~
ˆ
t)(x,u
~
ˆ
Cdy
x
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)t)Ψ(x,u
~
ˆ
(y)Φ , (C.12)
na qual
∫
=
y
L
0
kjiijk
(y)dy(y)Φ(y)ΨΦC.
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∂
∂
1j1k
kjijk
y
L
0
1k
kk
1j
jji
t)(x,v
~
ˆ
t)(x,v
~
ˆ
Ddy
y
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)t)Φ(x,v
ˆ
(y)Φ
t
, (C.13)
na qual
∫
=
y
L
0
k
jiijk
dy
yd
(y)Φd
(y)(y)ΦΦD.
2
i
2
y
L
0
2
2
i
x
t)(x,v
~
ˆ
dy
x
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
∂
∂
=
∂
∂
∫
, (C.14)
0dy
dy
(y)Φd
t)y,(x,v
ˆ
dy
y
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
=−
∂
∂
∫∫
, (C.15)
∫
=
y
L
0
i
2v
ii
2
v
t)(x,v
~
ˆ
)µ((y)dyΦt)µy,(x,v
ˆ
. (C.16)
Na seqüência, são apresentados os cálculos das integrais presentes na equação (5.85)
referente ao potencial velocidade transformado,
)t,x(u
~
ˆ
i
, na direção do eixo x.
Nesta etapa, utiliza-se o par transformada-inversa dado pelas equações (5.75), (5.76),
(5.79) e (5.80).
148
td
)t(u
~
ˆ
d
dx)x()t,x(u
~
ˆ
t
dx
t
)t,x(u
~
ˆ
)x(
im
x
L
0
mi
x
L
0
i
m
∫∫
=Ξ
∂
∂
=
∂
∂
Ξ , (C.17)
=
∂
Ξ∂
ΞΞ
∫
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx
x
)x()t(u
~
ˆ
)x()t(u
~
ˆ
A)x(
x
L
0
1j1k
1p
pkp
1n
njnijkm
=
Ξ
ΞΞ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx
xd
)x(d
)x()t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
A)x(
x
L
0
1j1k
p
1n
nkp
1p
jnijkm
=
Ξ
ΞΞ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx
xd
)x(d
)x()x()t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
A
x
L
0
1j1k
p
1n
nmkp
1p
jnijk
=
Ξ
ΞΞ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
dx
dx
)x(d
)x()x()t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
A
x
L
0
p
nm
1j1k1n
kp
1p
jn
ijk
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
1j1k1n
kp
1p
jnmnpijk
)t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
EA
, (C.18)
no qual
dx
xd
)x(d
)x()x(E
x
L
0
p
nmmnp
∫
Ξ
ΞΞ=
.
=ΞΘΞ
∫
∑∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
dx)x()t(u
~
ˆ
)x()t(v
~
ˆ
B)x(
x
L
0
1j1k1p
pkp
1n
njnijkm
=ΞΘΞ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
dx)x()x()t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
B)x(
x
L
0
1j1k
p
1n
n
1p
kpjnijkm
=ΞΘΞ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
dx)x()x()x()t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
B
x
L
0
1j1k
p
1n
nm
1p
kpjnijk
=ΞΘΞ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
dx)x()x()x( )t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
B
x
L
0
pnm
1j1k1n1p
kpjnijk
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
=
1j1k1n1p
kpjnmnpijk
)t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
FB , (C.19)
no qual dx)x()x()x( F
x
L
0
pnmmnp
∫
ΞΘΞ= .
149
=ΞΞ
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
x
L
0
1j1k1n
nknjijkm
dx)x()t(u
~
ˆ
g
~
B)x(
=ΞΞ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
x
L
0
1j1k1n
nmknjijk
dx)x()x()t(u
~
ˆ
g
~
B
=ΞΞ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x()x()t(u
~
ˆ
g
~
B
x
L
0
nm
1j1k1n
knjijk
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
=
1j1k1n
knmnjijk
)t(u
~
ˆ
Gg
~
B , (C.20)
no qual dx)x()x(G
x
L
0
nmmn
∫
ΞΞ= .
=ΞΞ
∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
1j1k1n
nknjijk
x
L
0
m
x
dx )x()t(u
~
ˆ
g
~
B)x( x
L
1
=ΞΞ=
∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
1j1k
n
1n
mknjijk
x
L
0
x
dx )x()x(x )t(u
~
ˆ
g
~
B
L
1
=ΞΞ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x()x(x )t(u
~
ˆ
g
~
B
L
1
nm
x
L
0
1j1k1n
knjijk
x
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
1j1k1n
knmnjijk
x
)t(u
~
ˆ
H g
~
B
L
1
, (C.21)
no qual dx)x()x(x H
nm
x
L
0
mn
ΞΞ=
∫
.
dx
dx
)x(d
)t,x(u
~
ˆ
dx
x
)t,x(u
~
ˆ
)x(
x
L
0
x
L
0
2
m
2
i
2
i
2
m
∫∫
Ξ
−
∂
∂
Ξ (C.22)
Manipulando cada termo da equação (C.22) separadamente, tem-se:
x
)t,x(u
~
ˆ
x
)x(
x
)t,x(u
~
ˆ
)x(
x
)t,x(u
~
ˆ
)x(
x
im
2
i
2
m
i
m
∂
∂
∂
Ξ∂
+
∂
∂
Ξ=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ξ
∂
∂
+++
(C.23)
x
)x(
x
)t,x(u
~
ˆ
dx
)x(d
)t,x(u
~
ˆ
dx
)x(d
)t,x(u
~
ˆ
x
mi
2
m
2
i
m
i
∂
Ξ∂
∂
∂
+
Ξ
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ξ
∂
∂
(C.24)
150
Substituindo (C.23) e (C.24) na equação (C.22), obtém-se:
x
L
0
m
i
i
m
x
L
0
m
i
i
m
dx
)x(d
)t,x(u
~
~
x
)t,x(u
~
~
)x(dx
dx
)x(d
)t,x(u
~
~
x
)t,x(u
~
~
)x(
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ξ
−
∂
∂
Ξ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ξ
−
∂
∂
Ξ
∂
∂
∫
De acordo com as condições de contorno do problema de autovalor para a função
velocidade
)t,x(u
~
ˆ
i
, tal que,
0)x(
0x
m
=Ξ
=
e
0)x(
x
Lx
m
=Ξ
=
, a equação (C.22), resulta
0dx
dx
)x(d
)t,x(u
~
ˆ
dx
x
)t,x(u
~
ˆ
)x(
x
L
0
x
L
0
2
m
2
i
2
i
2
m
=
Ξ
−
∂
∂
Ξ
∫∫
+
+
, (C.25)
∫∫
+++
=Ψ=Ψ
x
L
0
im
2u
iim
2u
i
x
L
0
i
2u
im
)t(u
~
ˆ
)µ(dx)t,x(u
~
ˆ
)x()µ(dx)t,x(u
~
ˆ
)µ)(x( , (C.26)
∫∫
+++
=Ξ=Ξ
x
L
0
im
2u
mmi
2u
m
x
L
0
m
2u
mi
)t(u
~
ˆ
)λ(dx)x()t,x(u
~
ˆ
)λ(dx)x()λ)(t,x(u
~
ˆ
, (C.27)
De maneira análoga, as integrais envolvidas na equação (5.96) referente a transformação
da equação de Burgers relacionada ao potencial velocidade transformado
t)(x,v
~
ˆ
i
+
, na direção do
eixo x são efetuadas, os quais os resultados são expressos respectivamente por:
td
(t)v
~
ˆ
d
dy
t
t)(x,v
~
ˆ
(x)
im
x
L
0
i
m
++
=
∂
∂
Θ
∫
, (C.28)
=
∂
Θ∂
ΞΘ
∫
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
x
L
0
1j1k
1p
pkp
1n
njnijkm
dx
x
)x( )t(v
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
C)x(
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
=
1j1k1n
kp
1p
jnmnpijk
(t)v
~
ˆ
(t)u
~
ˆ
IC
, (C.29)
no qual
∫
Θ
ΞΘ=
x
L
0
p
nmmnp
dx
dx
)x(d
)x()x( I
.
151
∑∑∑
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∂
∂
ΞΘ
1j1k1n
jnmnkijk
x
x
L
0
1j1k
xk
1n
njnijkm
)t(u
~
ˆ
Jg
~
C
L
1
dx
x
)L/xg
~
(
)x( )t(u
~
ˆ
C)x(
, (C.30)
no qual
∫
ΞΘ=
x
L
0
nmmn
dx)x()x( J.
=ΘΘΘ
∑∑ ∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
dx)x()t(v
~
ˆ
)x()t(v
~
ˆ
D)x(
1j1k1p
pkp
1n
nknijk
x
L
0
m
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
++
=
1j1k1n1p
kpjnmnpijk
)t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
KD , (C.31)
no qual
∫
ΘΘΘ=
x
L
0
pnmmnp
dx)x()x()x( K.
∑∑ ∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
=ΘΘ
1j1k1j
jn
1k1n
mnkijkk
1n
njnijk
x
L
0
m
)t(v
~
ˆ
Lg
~
Ddxg
~
)x()t(v
~
ˆ
D)x( , (C.32)
no qual
∫
ΘΘ=
x
L
0
nmmn
dx)x()x( L.
∑∑ ∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
=ΘΘ
1j1k1j1k1n
jnmnkijk
x
k
1n
njnijk
x
L
0
m
x
)t(v
~
ˆ
Mg
~
D
L
1
dx x g
~
)x()t(v
~
ˆ
D)x(
L
1
, (C.33)
no qual
∫
ΘΘ=
x
L
0
nmmn
dx x )x()x( M.
∑∑∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
=ΘΘ
1j1k
knmnjijk
1j1k1n
nknjijk
x
L
0
m
)t(v
~
ˆ
Lg
~
Ddx )x()t(v
~
ˆ
g
~
D)x( , (C.34)
∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ
1j1k
mkjijk
1j1k
kjijk
x
L
0
m
N g
~
g
~
Ddx g
~
g
~
D)x( , (C.35)
no qual
∫
Θ=
x
L
0
mm
dx )x( N.
∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ
1j1k
mkjijk
x
1j1k
kjijk
x
L
0
m
x
Og
~
g
~
D
L
1
dx x g
~
g
~
D)x(
L
1
, (C.36)
152
no qual
∫
Θ=
x
L
0
mm
dx x )x( O.
∑∑∑∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
=ΘΘ
1j1k1n
knmnjijk
x
1j1k1n
nknjijk
x
L
0
m
x
v
~
ˆ
Mg
~
D
L
1
dx )x((t)v
~
ˆ
x g
~
D)x(
L
1
, (C.37)
∑∑ ∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ−
1j1k1j1k
mkjijk
x
kjijk
x
L
0
m
x
Og
~
g
~
D
L
1
dx g
~
x g
~
D)x(
L
1
, (C.38)
m
1j1k
kjijk
2
x
1j1k
2
kjijk
x
L
0
m
2
x
Pg
~
g
~
D
L
1
dx xg
~
g
~
D)x(
L
1
∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ , (C.39)
no qual
∫
Θ=
x
L
0
m
2
m
dx)x(x P.
0dx
xd
(x)d
t)(x,v
~
ˆ
dx
x
t)(x,v
~
ˆ
(x)
x
L
0
2
m
2
i
x
L
0
2
i
2
m
=
Θ
−
∂
∂
Θ
∫∫
+
+
, (C.40)
(t)v
~
ˆ
)(µdx t)(x,v
~
ˆ
)(x)(µ
im
2v
i
x
L
0
i
2v
im
++
=Θ
∫
, (C.41)
mi
2v
i
x
L
0
i
2v
im
Ng
~
)µ(dx g
~
)µ)(x( =Θ
∫
, (C.42)
mi
2v
i
x
x
L
0
i
2v
im
x
Og
~
)µ(
L
1
dx x g
~
)µ)(x(
L
1
=Θ
∫
, (C.43)
(t)v
~
ˆ
)(λ(x)dx)t)(λ(x,v
~
ˆ
im
2v
m
x
L
0
m
2v
mi
++
=Θ
∫
, (C.44)
153
C.2 Equação da Pseudopressão
Apresenta-se abaixo, o cômputo das integrais envolvidas na equação (6.15) referente a
transformação da equação de Poisson relacionada ao potencial pseudopressão )t,y,x(wna
direção do eixo y.
Utiliza-se aqui, o par transformada-inversa dado pelas equações (5.18), (5.19), (5.22) e
(5.23).
2
i
2
y
L
0
i
2
2
y
L
0
2
2
i
x
t)(x,w
~
dy)t,y,x(w)y(
x
dy
x
t)y,w(x,
(y)
∂
∂
=Λ
∂
∂
=
∂
∂
Λ
∫∫
, (C.45)
dy
yd
(y)d
t)y,w(x,dy
y
t)y,w(x,
(y)
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
∫∫
Λ
−
∂
∂
Λ
. (C.46)
Manipulando as integrais presentes na expressão (C.46) separadamente, obtém-se
y
)t,y,x(w
dy
)y(d
y
)t,y,x(w
)y(
y
)t,y,x(w
)y(
y
i
2
2
ii
∂
∂
Λ
+
∂
∂
Λ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Λ
∂
∂
, (C.47)
e
dy
)y(d
y
)t,y,x(w
dy
)y(d
)t,y,x(w
dy
)y(d
)t,y,x(w
y
i
2
i
2
i
Λ
∂
∂
+
Λ
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Λ
∂
∂
. (C.48)
Substituindo (C.47) e (C.48) na equação (C.46), tem-se:
y
L
0
i
i
y
L
0
i
i
y
)y(
)t,y,x(w
y
)t,y,x(w
)y( dy
y
)y(
)t,y,x(w
y
)t,y,x(w
)y(
y
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Λ∂
−
∂
∂
Λ=
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
∂
Λ
−
∂
∂
Λ
∂
∂
∫
.
De acordo com as condições de contorno,
0
dy
)y(d
0y
i
=
Λ
=
e 0
dy
)y(d
y
Ly
i
=
Λ
=
, e as
condições de contorno da equação da Pseudopressão, tem-se que:
0dy
yd
(y)d
t)y,w(x,dy
y
t)y,w(x,
(y)
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
=
Λ
−
∂
∂
Λ
∫∫
, (C.49)
154
=
∂
∂
ΨΛ=
∂
Ψ∂
Λ
∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
dy
x
)t,x(u
~
ˆ
)y()y(dy
x
)y()t,x(u
~
ˆ
)y(
y
L
0
1j
j
ji
y
L
0
1j
jj
i
x
)t,x(u
~
ˆ
Qdy )y()y(
x
)t,x(u
~
ˆ
j
1j
ij
y
L
0
ji
1j
j
∂
∂
=ΨΛ
∂
∂
=
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
, (C.50)
no qual dy)y()y( Q
y
L
0
jiij
∫
ΨΛ= .
=
Φ
Λ=
∂
Φ∂
Λ
∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
dy
yd
(y)d
t)(x,v
~
ˆ
(y)dy
y
(y)t)(x,v
~
ˆ
(y)
y
L
0
j
1j
ji
y
L
0
1j
jj
i
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
=
Φ
Λ=
1j
jij
y
L
0
j
i
1j
j
t)(x,v
~
ˆ
Rdy
yd
(y)d
(y)t)(x,v
~
ˆ
, (C.51)
no qual
dy
dy
)y(d
)y(R
y
L
0
j
iij
∫
Φ
Λ= .
t)(x,w
~
)µ(dy (y)t)y,w(x,)µ(dy (y))µ(t)y,w(x,
i
2w
i
y
L
0
i
2w
i
y
L
0
i
2w
i
=Λ=Λ
∫∫
, (C.52)
Na seqüência, são apresentadas as integrais presentes na equação (6.39) referente a
transformação da equação da Pseudopressão relacionada ao potencial pseudopressão
transformado,
)t,x(w
~
i
.
Nesta etapa, usa-se o par transformada-inversa dado pelas equações (5.75), (5.76), (5.79)
e (5.80).
dx
dx
(y)d
t)(x,w
~
dx
x
t)(x,w
~
(x)
x
L
0
2
m
2
i
x
L
0
2
i
2
m
∫∫
Ζ
−
∂
∂
Ζ . (C.53)
155
Fazendo uso do mesmo procedimento da equação (C.46) e utilizando as condições de
contorno,
0
dx
)x( d
0x
m
=
Ζ
=
e 0
dx
)x( d
Lxx
m
=
Ζ
=
, e as condições de contorno da equação da
Pseudopressão, a equação (C.53), torna-se
0dx
dx
(y)d
t)(x,w
~
dx
x
t)(x,w
~
(x)
x
L
0
2
m
2
i
x
L
0
2
i
2
m
=
Ζ
−
∂
∂
Ζ
∫∫
, (C.54)
)t(w
~
)µ(dx )t,x(w
~
)x( )µ(dx )t,x(w
~
)µ)(x(
im
2w
i
x
L
0
im
2w
i
x
L
0
i
2w
im
=Ζ=Ζ
∫∫
, (C.55)
=
Ξ
Ζ=
∂
Ξ∂
Ζ
∫
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
x
L
0
1j
n
1n
jnijm
x
L
0
1j
1n
njn
ijm
dx
dx
)x(d
)t(u
~
ˆ
Q)x(dx
x
)x()t(u
~
ˆ
Q)x(
=
Ξ
Ζ=
Ξ
Ζ=
∫
∑∑
∫
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
x
L
0
n
m
1j1n
jnij
x
L
0
1j
n
m
1n
jnij
dx
dx
)x(d
)x()t(u
~
ˆ
Qdx
dx
)x(d
)x()t(u
~
ˆ
Q
∑∑
∞
=
∞
=
=
1j1n
jnmnij
)t(u
~
ˆ
SQ
, (C.56)
no qual
∫
Ξ
Ζ=
x
L
0
n
mmn
dx
dx
)x(d
)x(S.
=ΘΖ=ΘΖ
∫
∑∑
∫
∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
dx)x()t(v
~
ˆ
R)x(dx)x()t(v
~
ˆ
R)x(
x
L
0
1j
n
1n
jnijm
x
L
0
1j1n
njnijm
=ΘΖ=ΘΖ=
∫
∑∑
∫
∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
x
L
0
nm
1j1n
jnij
x
L
0
nm
1j1n
jnij
dx)x()x( )t(v
~
ˆ
Rdx)x()x()t(v
~
ˆ
R
∑∑
∞
=
∞
=
+
=
1j1n
jnmnij
)t(v
~
ˆ
TR
, (C.57)
no qual
∫
ΘΖ=
x
L
0
nmmn
dx)x()x( T.
156
m
1j
jij
x
L
0
m
1j
jij
x
L
0
1j
jijm
Ug
~
Rdx )x(g
~
Rdx g
~
R)x(
∑
∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
∞
=
=Ζ=Ζ , (C.58)
no qual dx )x( U
x
L
0
mm
∫
Ζ= .
m
1j
jij
x
x
L
0
mj
1j
ij
x
j
x
L
0
1j
ijm
x
Vg
~
R
L
1
dx )x(x g
~
R
L
1
dx g
~
R)x(x
L
1
∑
∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
∞
=
=Ζ=Ζ , (C.59)
no qual dx )x( x V
x
L
0
mm
∫
Ζ= .
)t(w
~
)(dx )x()t,x(w
~
)(dx )x())(t,x(w
~
im
2w
m
x
L
0
mi
2w
m
x
L
0
m
2w
mi
λ=Ζλ=Ζλ
∫∫
. (C.60)
C.3 Equação da Pressão
Apresenta-se abaixo, o cômputo das integrais envolvidas na equação (6.73) referente a
transformação da equação da Pressão relacionada ao potencial pressão
)t,y,x(p
ˆ
na direção do
eixo y.
Utiliza-se aqui, o par transformada-inversa dado pelas equações (5.18), (5.19), (5.22) e
(5.23).
2
i
2
y
L
0
i
2
2
y
L
0
2
2
i
x
t)(x,p
~
ˆ
dy)t,y,x(p
ˆ
)y(
x
dy
x
t)y,(x,p
ˆ
(y)
∂
∂
=Ω
∂
∂
=
∂
∂
Ω
∫∫
, (C.61)
dy
yd
(y)d
t)y,(x,p
ˆ
dy
y
t)y,(x,p
ˆ
(y)
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
∫∫
Ω
−
∂
∂
Ω
. (C.62)
Utilizando o mesmo procedimento da equação (C.46) e utilizando as condições de
contorno,
0
dy
)y(d
0y
i
=
Ω
=
e 0
dy
)y(d
y
Ly
i
=
Ω
=
, e as condições de contorno da equação da pressão,
a equação (C.62), torna-se
157
0dy
yd
(y)d
t)y,(x,p
ˆ
dy
y
t)y,(x,p
ˆ
(y)
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
=
Ω
−
∂
∂
Ω
∫∫
(C.63)
=
∂
Ψ∂
Ψ
∂
∂
Ω
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy]
x
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(u
~
ˆ
[
x
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
ΨΨ
∂
∂
Ω=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
x
)t,x(u
~
ˆ
)y()y()t,x(u
~
ˆ
x
)y(
y
L
0
k
k
1j
j
1k
ji
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
ΨΨΩ=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
x
)y()y()y(
y
L
0
k
j
1j1k
kji
=ΨΨΩ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy)y()y()y(
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
x
y
L
0
kji
1j1k
k
j
∑∑
∞
=
∞
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
1j1k
k
j
*
ijk
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
x
A
, (C.64)
na qual dy)y()y()y( A
k
y
L
0
ji
*
ijk
ΨΨΩ=
∫
.
=
∂
Ψ∂
Φ
∂
∂
Ω
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
y
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
[
x
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ψ
Φ
∂
∂
Ω=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
dy
)y(d
)t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
x
)y(
y
L
0
k
1j1k
kjji
[
]
=
Ψ
ΦΩ
∂
∂
=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
dy
)y(d
)y()y()t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
x
y
L
0
k
ji
1k1j
kj
[]
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
x
B
kj
1j1k
*
ijk
∑∑
∞
=
∞
=
∂
∂
=
, (C.65)
na qual
dy
dy
)y(d
)y()y(B
y
L
0
k
ji
*
ijk
∫
Ψ
ΦΩ= .
158
=
∂
Φ∂
Ψ
∂
∂
Ω
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
x
)y()t,x(v
~
ˆ
)y()t,x(u
~
ˆ
[
y
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
ΦΨ
∂
∂
Ω=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
x
)t,x(v
~
ˆ
)y()y()t,x(u
~
ˆ
y
)y(
y
L
0
k
1k
k
1j
jji
[]
=ΦΨ
∂
∂
∂
∂
Ω=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy )y()y(
yx
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
)y(
y
L
0
kj
k
1j1k
ji
[]
=ΦΨ
∂
∂
Ω
∂
∂
=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy )y()y(
y
)y(
x
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
y
L
0
kji
k
1j1k
j
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Φ∂
ΨΩ+Φ
∂
Ψ∂
Ω
∂
∂
=
∫∫
∑∑
∞
=
∞
=
y
L
0
k
ji
y
L
0
k
j
i
k
1j1k
j
dx
y
)y(
)y()y(dy )y(
y
)y(
)y(
x
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
x
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
]DC[
k
1j1k
j
*
ijk
*
ijk
∂
∂
+=
∑∑
∞
=
∞
=
, (C.66)
nas quais
dy)y(
dy
)y(d
)y( C
k
j
y
L
0
i
*
ijk
Φ
Ψ
Ω=
∫
,
dy
dy
)y(d
)y()y( D
k
y
L
0
ji
*
ijk
Φ
ΨΩ=
∫
.
=
∂
Φ∂
Φ
∂
∂
Ω
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy]
y
)y()t,x(v
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
[
y
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ
Φ
∂
∂
Ω=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
dy
)y(d
)y(
y
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
)y(
y
L
0
k
j
1j1k
kji
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ
Φ
∂
∂
Ω=
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
dy
)y(d
)y(
y
)y()t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
y
L
0
k
ji
1j1k
kj
=
Φ
ΦΩ+
Φ
Φ
Ω=
∫∫
∑∑
∞
=
∞
=
dy
dy
)y(d
)y()y(dy
dy
)y(d
dy
)y(d
)y()t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
2
k
2
y
L
0
ji
k
y
L
0
j
i
1j1k
kj
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
]FE[
k
1j1k
j
*
ijk
*
ijk
∑∑
∞
=
∞
=
+= , (C.67)
159
nas quais
dy
dy
)y(d
dy
)y(d
)y( E
k
j
y
L
0
i
*
ijk
Φ
Φ
Ω=
∫
,
dy
dy
)y(d
)y()y( F
2
k
2
j
y
L
0
i
*
ijk
Φ
ΦΩ=
∫
.
t)(x,p
~
ˆ
)µ(dyt)y,(x,p
ˆ
(y) )µ(dy(y))µ(t)y,(x,p
ˆ
i
2p
i
y
L
0
i
2p
i
y
L
0
i
2p
i
=Ω=Ω
∫∫
(C.68)
Na seqüência, são efetuadas as integrais presentes na equação (6.90) referente a
transformação da equação da Pressão relacionada ao potencial pressão transformado,
)t,x(p
~
ˆ
i
,
para o eixo x.
Nesta etapa, usa-se o par transformada-inversa dado pelas equações (5.75), (5.76), (5.79)
e (5.80).
Conforme procedimentos anteriores, a equação abaixo, resulta
0dx
x
)x(
)t,x(p
~
ˆ
dx
x
)t,x(p
~
ˆ
)x(
x
L
0
2
m
2
i
x
L
0
2
i
2
m
=
∂
Γ∂
−
∂
∂
Γ
∫∫
, (C.69)
)t(p
~
ˆ
)µ(dx)t,x(p
~
ˆ
)x()µ(dx)t,x(p
~
ˆ
)µ)(x(
im
2p
ii
x
L
0
m
2p
i
x
L
0
i
2p
im
=Γ=Γ
∫∫
(C.70)
=
∂
Ξ∂
Ξ
∂
∂
Γ
∫
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx]
x
)x( )t(u
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
[
x
A)x(
x
L
0
1j1k
1p
pkp
1n
njn
*
ijkm
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ξ
Ξ
∂
∂
Γ=
∫
∑∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)x( )t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
x
A)x(
x
L
0
1j1k
p
1n
nkpjn
1p
*
ijkm
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ξ
Ξ
∂
∂
Γ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)x(
x
)t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
A )x(
x
L
0
1j1k
p
nkpjn
*
ijk
1n1p
m
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ξ
Ξ
∂
∂
Γ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)x(
x
)x()t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
A
x
L
0
p
nm
1j1k
kpjn
*
ijk
1n1p
160
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ξ
ΞΓ+
Ξ
Ξ
Γ=
∫∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)x()x(dx
dx
)x(d
dx
)x(d
)x()t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
A
x
L
0
2
p
2
nm
x
L
0
p
n
m
1j1k
kpjn
*
ijk
1n1p
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+=
1j1k
kpjn
mnp
*
mnp
*
ijk
*
1n1p
)t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
)HG(A
, (C.71)
nas quais
dx
dx
)x(d
dx
)x(d
)x(G
x
L
0
p
n
m
*
mnp
∫
Ξ
Ξ
Γ= ,
dx
dx
)x(d
)x()x(H
x
L
0
2
p
2
nm
*
mnp
∫
Ξ
ΞΓ= .
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ΞΘ
∂
∂
Γ
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
dx)x( )t(u
~
ˆ
)x( )t(v
~
ˆ
x
B)x(
x
L
0
1n1p
pkpnjn
1j1k
*
ijkm
[]
=ΞΘ
∂
∂
Γ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
dx)x()x(
x
)t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
B )x(
x
L
0
pn
1j1k
kpjn
*
ijk
1n1p
m
[]
=ΞΘ
∂
∂
Γ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
dx)x()x(
x
)x()t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
B
x
L
0
pnm
1j1k
kpjn
*
ijk
1n1p
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ξ
ΘΓ+Ξ
Θ
Γ=
∫∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)x()x(dx)x(
dx
)x(d
)x()t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
B
x
L
0
p
nm
x
L
0
p
n
m
1j1k
kpjn
*
ijk
1n1p
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
+=
1j1k
kpjn
*
mnp
*
mnp
*
ijk
1n1p
)t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
]JI[B
, (C.72)
nas quais
dx)x(
dx
)x(d
)x(I
x
L
0
p
n
m
*
mnp
∫
Ξ
Θ
Γ= ,
dx
dx
)x(d
)x()x(J
x
L
0
p
nm
*
mnp
∫
Ξ
ΘΓ= .
161
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ξ
∂
∂
Γ
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x( )t(u
~
ˆ
g
~
x
B)x(
x
L
0
1p
pkpj
1j1k
*
ijkm
=
Ξ
Γ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)t(u
~
ˆ
g
~
B)x(
x
L
0
1j1k
p
1p
kpj
*
ijkm
=
Ξ
Γ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)x()t(u
~
ˆ
g
~
B
x
L
0
p
m
1j1k1p
kpj
*
ijk
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
=
1j1k1p
kpj
*
mp
*
ijk
)t(u
~
ˆ
g
~
KB
, (C.73)
na qual
dx
dx
)x(d
)x(K
x
L
0
p
m
*
mp
∫
Ξ
Γ= .
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ξ
∂
∂
Γ
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x( )t(u
~
ˆ
xg
~
x
B)x(
L
1
x
L
0
1p
pkpj
1j1k
*
ijkm
x
[]
=Ξ
∂
∂
Γ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x(x
x
)t(u
~
ˆ
g
~
B)x(
L
1
x
L
0
p
1j1k1p
kpj
*
ijkm
x
[]
=Ξ
∂
∂
Γ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x(x
x
)x()t(u
~
ˆ
g
~
B
L
1
x
L
0
pm
1j1k1p
kpj
*
ijk
x
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ξ
Γ+ΞΓ=
∫∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx
xd
)x(d
)x(xdx)x()x()t(u
~
ˆ
g
~
B
L
1
x
L
0
p
m
x
L
0
pm
1j1k1p
kpj
*
ijk
x
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=
1j1k1p
kp
*
mp
*
mpj
*
ijk
x
)t(u
~
ˆ
]ML[g
~
B
L
1
, (C.74)
nas quais dx )x()x(L
x
L
0
pm
*
mp
∫
ΞΓ= ,
dx
dx
)x(d
)x(xM
x
L
0
p
m
*
mp
∫
Ξ
Γ= .
162
=
∂
Θ∂
Ξ+Γ
∫
∑
∑∑ ∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
dx
x
)x( )t(v
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
)DC()x(
x
L
0
1p
pkp
1j1k1n
njn
*
ijk
*
ijkm
=
Θ
Ξ+Γ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)x()t(v
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
)DC( )x(
x
L
0
p
1j1k
nkpjn
1n
*
ijk
*
ijk
1p
m
=
Θ
ΞΓ+=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)x()x()t(v
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
]DC[
x
L
0
p
nm
1j1k
kpjn
1n
*
ijk
*
ijk
1p
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
+=
1j1k
kpjn
*
mnp
1n
*
ijk
*
ijk
1p
)t(v
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
N]DC[ , (C.75)
na qual
dx
dx
)x(d
)x()x(N
x
L
0
p
nm
*
mnp
∫
Θ
ΞΓ= .
=Ξ+Γ
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x( )t(u
~
ˆ
g
~
]DC[)x(
L
1
x
L
0
1j1k1n
njnk
*
ijk
*
ijkm
x
=ΞΓ+=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x()x()t(u
~
ˆ
g
~
]DC[
L
1
x
L
0
nm
1j1k
jnk
*
ijk
*
ijk
1n
x
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=
1j1k
jn
*
mnk
*
ijk
*
ijk
1n
x
)t(u
~
ˆ
Og
~
]DC[
L
1
, (C.76)
na qual dx )x()x(O
x
L
0
nm
*
mnp
∫
ΞΓ= .
=ΘΘ+Γ
∫
∑∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
dx)x( )t(v
~
ˆ
)x( )t(v
~
ˆ
)FE()x(
x
L
0
1j1k1p
pkp
1n
njn
*
ijk
*
ijkm
=ΘΘ+Γ=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
++
∞
=
∞
=
dx)x()x( )t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
]FE[)x(
x
L
0
1j1k
pnkpjn
1n1p
*
ijk
*
ijkm
=ΘΘΓ+=
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
++
∞
=
∞
=
dx)x()x()x( )t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
]FE[
x
L
0
pnm
1j1k
kpjn
1n1p
*
ijk
*
ijk
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
++
∞
=
∞
=
+=
1j1k
kpjn
*
mnp
1n1p
*
ijk
*
ijk
)t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
P)FE( , (C.77)
163
na qual dx)x()x()x(P
x
L
0
pnm
*
mnp
∫
ΘΘΓ= .
=Θ+Γ
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
dxg
~
)x( )t(v
~
ˆ
]FE[)x(
x
L
0
1j1k
k
1n
njn
*
ijk
*
ijkm
=Θ+Γ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
dx)x()t(v
~
ˆ
g
~
)FE()x(
x
L
0
1j1k
njn
1n
k
*
ijk
*
ijkm
=ΘΓ+=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
dx)x()x()t(v
~
ˆ
g
~
]FE[
x
L
0
nm
1j1k
jn
1n
k
*
ijk
*
ijk
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
+=
1j1k
jn
1n
*
mnk
*
ijk
*
ijk
)t(v
~
ˆ
Qg
~
]FE[ , (C.78)
na qual dx)x()x(Q
x
L
0
nm
*
mn
∫
ΘΓ= .
=Θ+Γ
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
dxxg
~
)x( )t(v
~
ˆ
]FE[)x(
L
1
x
L
0
1j1k
k
1n
njn
*
ijk
*
ijkm
x
=Θ+Γ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
dx)x()t(v
~
ˆ
g
~
)FE()x(x
L
1
x
L
0
1j1k
njn
1n
k
*
ijk
*
ijkm
x
=ΘΓ+=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
dx)x()x(x)t(v
~
ˆ
g
~
)FE(
L
1
x
L
0
nm
1j1k
jn
1n
k
*
ijk
*
ijk
x
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
+=
1j1k
jn
1n
*
mnk
*
ijk
*
ijk
x
)t(v
~
ˆ
Rg
~
)FE(
L
1
, (C.79)
na qual dx)x()x(xR
x
L
0
nm
*
mn
∫
ΘΓ= .
=Θ+Γ
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
dx)x( )t(v
~
ˆ
g
~
)FE()x(
x
L
0
1j1k1p
pkpj
*
ijk
*
ijkm
=Θ+Γ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
dx)x()t(v
~
ˆ
g
~
]FE[)x(
x
L
0
1j1k
pkp
1p
j
*
ijk
*
ijkm
164
=ΘΓ+=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
dx)x()x()t(v
~
ˆ
g
~
]FE[
x
L
0
pm
1j1k
kp
1p
j
*
ijk
*
ijk
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
+=
1j1k
kp
1p
*
mpj
*
ijk
*
ijk
)t(v
~
ˆ
Sg
~
]FE[ , (C.80)
na qual dx)x()x(S
x
L
0
pm
*
mp
∫
ΘΓ= .
=+Γ
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dxg
~
g
~
)FE()x(
k
x
L
0
1j1k
j
*
ijk
*
ijkm
=Γ+=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x(g
~
g
~
)FE(
x
L
0
mk
1j1k1p
j
*
ijk
*
ijk
*
mk
1j1k1p
j
*
ijk
*
ijk
Tg
~
g
~
)FE(
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+= , (C.81)
na qual dx)x(T
x
L
0
m
*
m
∫
Γ= .
A expressão abaixo se repete duas vezes no contexto, sendo o procedimento da seguinte
forma:
=+Γ
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dxxg
~
g
~
]FE[)x(
L
2
k
x
L
0
1j1k
j
*
ijk
*
ijkm
x
=Γ+=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x(xg
~
g
~
)FE(
L
2
x
L
0
mk
1j1k1p
j
*
ijk
*
ijk
x
*
mk
1j1k1p
j
*
ijk
*
ijk
x
Ug
~
g
~
]FE[
L
2
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+= , (C.82)
na qual dx)x(xU
x
L
0
m
*
m
∫
Γ= .
=Θ+Γ
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
dx)x( )t(v
~
ˆ
xg
~
)FE()x(
L
1
x
L
0
1j1k1p
pkpj
*
ijk
*
ijkm
x
=Θ+Γ=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
dx)x()t(v
~
ˆ
g
~
)FE()x(
x
L
0
1j1k
pkp
1p
j
*
ijk
*
ijkm
165
=ΘΓ+=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
dx)x()x(x)t(v
~
ˆ
g
~
)FE(
L
1
x
L
0
pm
1j1k
kp
1p
j
*
ijk
*
ijk
x
∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
+=
1j1k
kp
1p
*
mpj
*
ijk
*
ijk
x
)t(v
~
ˆ
Vg
~
)FE(
L
1
, (C.83)
na qual dx)x()x(xV
x
L
0
pm
*
mp
∫
ΘΓ= .
=+Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∫
∑∑
∞
=
∞
=
dxxg
~
g
~
]FE[)x(
L
1
2
k
x
L
0
1j1k
j
*
ijk
*
ijkm
2
x
=Γ+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∫
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x(xg
~
g
~
)FE(
L
1
x
L
0
m
2
k
1j1k1p
j
*
ijk
*
ijk
2
x
*
mk
1j1k1p
j
*
ijk
*
ijk
x
Wg
~
g
~
)FE(
L
2
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+= , (C.84)
na qual dx)x(xW
x
L
0
m
2*
m
∫
Γ= .
)t(p
~
ˆ
)(dx )x()t,x(p
~
ˆ
)(dx)x()( )t,x(p
~
ˆ
im
2p
m
x
L
0
mi
2p
mm
2p
m
x
L
0
i
λ=Γλ=Γλ
∫∫
. (C.85)
EXPANSÃO DE FUNÇÕES EM SÉRIES APÊNDICE D
Apresenta-se neste Apêndice uma análise sucinta da expansão de funções definidas em
domínios unidimensionais.
D.1 Introdução
Considere, inicialmente, o seguinte problema de autovalor:
0)x()µ(
dx
)x(d
i
2u
i
2
i
2
=Ψ+
Ψ
, (D.1)
com condições de contorno no intervalo [0, L] dadas por:
0)x(
0x
i
=Ψ
=
0)y(
Lx
i
=Ψ
=
(D.2a.b)
As autofunções normalizadas
)x(
i
Ψ
, as integrais de normalização
i
A e os autovalores
i
µ são dadas, respectivamente, por
)xµsen(A)x(
iii
=Ψ ;
L
2
A
i
= ;
L
πi
µ
i
=
,
∞
=
,,3,2,1i K
(D.3)
O comportamento do conjunto ortonormal das autofunções
)xisen(L/2)x(
i
π=Ψ , para
1L = , é apresentado na figura D.1.
168
Figura D.1: Comportamento das autofunções normalizadas
)x(
i
Ψ
.
D.2 Expansão de Funções em Série de Autofunções
A expansão de funções em uma série de autofunções é de grande interesse para diversos
problemas na física e matemática.
Uma função aproximante )x(f
ˆ
de uma dada função
f(x) , definida em um intervalo
[0,L], pode ser escrita em termos de um conjunto de autofunções
)x(
i
Ψ
como segue:
)x(f
~
)x(f
ˆ
i
n
1i
in
Ψ=
∑
=
(D.4)
A transformada da função f(x) é obtida através do produto das autofunções
normalizadas,
)x(
i
Ψ , com a equação (D.4). Em seguida, aplica-se o operador integral sobre a
equação resultante da operação anterior no intervalo [0, L], como segue
∫
Ψ=
y
L
0
ii
dx)x(f)x( f
~
(D.5)
Desta forma, pode-se estabelecer o par transformada-inversa:
∫
Ψ=
y
L
0
ii
dx)x(f)x( f
~
(Transformada) (D.6a)
)x(f
~
)x(f
ˆ
i
n
1i
in
Ψ=
∑
=
. (Inversa) (D.6b)
169
Considere, agora, as seguintes funções definidas no intervalo [0,1]:
1)x(f
1
= ; (D.7)
)x1(x4)x(f
2
−
= . (D.8)
Para verificar o efeito do número de termos da série definida pela equação D.4 sobre a
função aproximante )x(f
ˆ
n
, considere as autofunções normalizadas dadas pelo problema de
autovalor definido pela equação D.1.
Nas figuras D.2 e D.3 são visualizados os comportamentos das funções aproximantes
correspondentes as funções (D.7) e (D.8), respectivamente, quando se varia o número de termos
da série.
Em relação a função dada pela equação D.7, observa-se que à medida que o número de
termos aumenta, as funções aproximantes tendem a se aproximar da função original. No entanto,
como nas extremidades do intervalo as autofunções são nulas, a função aproximante no contorno
apresenta uma divergência.
(a)
(b)
Figura D.2: Comportamento da função aproximante em relação ao número de termos da série.
É interessante observar na figura D.3 que com um menor número de termos na série, uma
precisão maior é alcançada, pois as condições de contorno tomadas no problema apresenta um
comportamento favorável em relação a função (D.8).
170
(a)
(b)
Figura D.3: Comportamento da função aproximante em relação ao número de termos da série.
D.3 Expansão das Derivadas de Primeira e Segunda Ordens das Funções em Série de
Autofunções
Nas figuras D.4 e D.5, apresenta-se o comportamento das derivadas de primeira ordem
das funções aproximantes referentes às funções primitivas representadas pelas equações (D.7) e
(D.8), respectivamente.
Na figura D.4, nota-se que a medida que se aumenta o número de termos na série, a
singularidade gerada nas condições de contorno resulta em uma divergência nos contornos.
(a)
(b)
Figura D.4: Comportamento das derivadas de primeira ordem das funções
aproximantes, dx/)x(f
ˆ
d
n
, em relação ao número de termos na série.
171
Observa-se na figura D.5 que com o acréscimo do número de termos na série, as
derivadas das funções aproximantes tendem a coincidir com a função derivada.
(a)
(b)
Figura D.5: Comportamento das derivadas de primeira ordem das funções
aproximantes, dx/)x(f
ˆ
d
n
, em relação ao número de termos na série.
Na seqüência, apresenta o comportamento das derivadas de segunda ordem das funções
aproximantes, conforme as figuras D.6 e D.7.
De acordo com a figura D.6, observa-se que, a medida que se aumenta o ordem de
derivação da função aproximante em relação a função dada pela equação (D.7), a singularidade
torna-se ainda mais visível, resultando em uma maior divergência com o aumento do número de
termos.
(a)
(b)
Figura D.6: Comportamento das derivadas de segunda ordem das funções
aproximantes,
2
n
2
dx/)x(f
ˆ
d , em relação ao número de termos na série.
172
Na figura D.7, o aumento do número de termos na série, faz com que as derivadas de
segunda ordem das funções aproximantes se aproximem ainda mais da função derivada de
segunda ordem.
(a)
(b)
Figura D.7: Comportamento das derivadas de segunda ordem das funções
aproximantes,
2
n
2
dx/)x(f
ˆ
d , em relação ao número de termos na série.
D.3 Norma dos Erros entre a Função e a Função Aproximante
Considere a norma ao quadrado da diferença entre a função f(x) e a função aproximante
)x(f
ˆ
n
, definida da seguinte forma:
∫
∑
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ψ−=−=−
=
1
0
2
i
n
1i
i
1
0
2
n
2
2
n
dx)x(f
~
)x(f dx)]x(f
ˆ
)x(f[ )x(f
ˆ
)x(f (D.9)
O comportamento da equação (D.9) aplicada as funções, )x1(x4)x(f e 1)x(f
−=
=
, são
apresentadas na figura D.8.
Observa-se na figura D.8(a,b), que quando n tende ao infinito, as expansões em séries de
ambas as funções, )x1(x4)x(f e 1)x(f
−== , convergem para as respectivas funções.
173
1)x(f
1
=
)x1(x4)x(f
2
−=
Figura D.8: Comportamento da equação (D.9) aplicada as funções
)x(f
1
e )x(f
2
.
A norma ao quadrado da diferença entre a derivada de primeira ordem,
dx
)x(df
e
dx
)x(f
ˆ
d
n
é
definida da seguinte forma:
∫
∑
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ψ
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=−
=
1
0
2
i
n
1i
i
1
0
2
n
2
2
n
dx
dx
)x(d
f
~
dx
)x(df
dx
dx
)x(f
ˆ
d
dx
)x(df
dx
)x(f
ˆ
d
dx
)x(df
(D.10)
O comportamento da equação (D.10) aplicada as funções,
dx
)x(df
e
dx
)x(df
21
, são
apresentadas na figura D.9, respectivamente. Observa-se no item (a), que quando n tende ao
infinito, a função aproximante cresce juntamente com a norma, enquanto no item (b), a função
aproximante converge para a função.
174
dx/)x(df
1
dx/)x(df
2
Figura D.9: Comportamento da equação (D.10) aplicada as funções
dx/)x(df
1
e dx/)x(df
2
.
Define-se, agora, a norma ao quadrado da diferença entre a derivada de segunda ordem,
22
dx/)x(fde
2
n
2
dx/)x(f
ˆ
d:
∫
∑
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ψ
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=−
=
1
0
2
2
i
2
n
1i
i
2
2
1
0
2
2
n
2
2
2
2
2
2
n
2
2
2
dx
dx
)x(d
f
~
dx
)x(fd
dx
dx
)x(f
ˆ
d
dx
)x(fd
dx
)x(f
ˆ
d
dx
)x(fd
(D.11)
Apresenta-se, na figura D.10 o comportamento da equação (D.11) aplicada as funções,
2
2
22
1
2
dx/)x(fd e dx/)x(fd . Observa-se, aqui, comportamento semelhante à norma dos erros
definida para derivadas de primeira ordem.
2
1
2
dx/)x(fd
2
2
2
dx /)x(fd
Figura D.10: Comportamento da equação (D.11) aplicada as funções
2
1
2
dx/)x(fd e
2
2
2
dx /)x(fd .
RESULTADOS NUMÉRICOS APÊNDICE E
Neste Apêndice são apresentadas tabelas com valores de vários resultados mostrados,
graficamente, no capítulo 4, Equações de Burgers, referente ao presente trabalho, indicando
também a figura a qual os resultados correspondem.
Tabela E.1: Resultados referentes à figura 4.4 para Re = 100, t = 40, y = 0,5.
x v(x,y)
0.000E+00 0.9924866E+00
0.100E-01 0.9417095E+00
0.20E-01 0.8917538E+00
0.300E-01 0.8431264E+00
0.400E-01 0.7959579E+00
0.500E-01 0.7502201E+00
0.600E-01 0.7060095E+00
0.700E-01 0.6636430E+00
0.800E-01 0.6235045E+00
0.900E-01 0.5858063E+00
0.100E+00 0.5504918E+00
0.200E+00 0.3027504E+00
0.300E+00 0.1809322E+00
0.400E+00 0.1168730E+00
0.500E+00 0.7935226E-01
0.600E+00 0.5491489E-01
0.700E+00 0.3735237E-01
0.800E+00 0.2338276E-01
0.900E+00 0.1126238E-01
0.100E+01 0.0000000E+00
176
Tabela E.2: Resultados referentes à figura 4.5 para Re = 400, t = 40, y = 0,5.
x v(x,y)
0.000E+00 0.9924866E+00
0.100E-01 0.8840470E+00
0.20E-01 0.7843455E+00
0.300E-01 0.6977361E+00
0.400E-01 0.6230990E+00
0.500E-01 0.5565239E+00
0.600E-01 0.4951791E+00
0.700E-01 0.4391489E+00
0.800E-01 0.3901962E+00
0.900E-01 0.3491998E+00
0.100E+00 0.3148691E+00
0.200E+00 0.1266959E+00
0.300E+00 0.6515353E-01
0.400E+00 0.3903826E-01
0.500E+00 0.2512516E-01
0.600E+00 0.1642386E-01
0.700E+00 0.1069279E-01
0.800E+00 0.6705669E-02
0.900E+00 0.3352961E-02
0.100E+01 0.0000000E+00
Tabela E.3: Resultados referentes à figura 4.6 para Re = 1000, t = 40, y = 0,5.
x v(x,y)
0.000E+00 0.9924866E+00
0.100E-01 0.8318408E+00
0.20E-01 0.6912098E+00
0.300E-01 0.5799951E+00
0.400E-01 0.4943713E+00
0.500E-01 0.4238261E+00
0.600E-01 0.3605577E+00
0.700E-01 0.3039424E+00
0.800E-01 0.2575928E+00
0.900E-01 0.2232745E+00
0.100E+00 0.1979370E+00
0.200E+00 0.6596745E-01
0.300E+00 0.3147325E-01
0.400E+00 0.1795038E-01
0.500E+00 0.9955890E-02
0.600E+00 0.4515213E-02
0.700E+00 0.1793732E-02
0.800E+00 0.1144768E-02
0.900E+00 0.8579331E-03
0.100E+01 0.0000000E+00
177
Tabela E.4: Resultados referentes à figura 4.9 para Re = 100.
t Norma do divergente
0.001 0.906161736365824
0.002 0.912025167162475
0.005 0.940098025642681
0.010 0.993208276861364
0.020 1.07511169913191
0.050 1.20339960425388
0.100 1.30175822555203
0.200 1.40583604817983
0.500 1.56438612719580
1.000 1.71364195429956
1.500 1.81686495790853
2.000 1.89102406870805
2.5000 1.93933491312185
3.000 1.96946617742035
3.500 1.98836160354519
4.000 2.00073634733762
4.500 2.00909995063991
5.000 2.01493892522358
6.000 2.02228111500510
7.000 2.02649062446175
8.000 2.02899490167061
9.000 2.03061945018406
10.00 2.03169502940216
11.00 2.03240260796938
12.00 2.03290223681004
13.00 2.03325999469417
14.00 2.03351734296396
15.00 2.03364494529546
16.00 2.03376913168167
17.00 2.03387024729706
18.00 2.03390230246751
19.00 2.03393932411915
20.00 2.03398113988294
25.00 2.03401108752737
30.00 2.03402458788406
35.00 2.03403114582684
40.00 2.03402040238701
178
Tabela E.5: Resultados referentes a figura 4.10 para Re = 400.
t Norma do divergente
0.001 0.903964102851993
0.002 0.904483632837949
0.005 0.907619726126389
0.010 0.916728518222537
0.020 0.942828465064243
0.050 1.02848694268351
0.100 1.13816546657938
0.200 1.28700326486802
0.500 1.55618738699677
1.000 1.82043376529074
1.500 2.00525414697276
2.000 2.14032727145797
2.500 2.23809483695797
3.000 2.29970641020435
3.500 2.33906142859168
4.000 2.36314408800015
4.500 2.38008617586072
5.000 2.39250410598801
6.000 2.40640881590838
7.000 2.41676169915131
8.000 2.42455976696057
9.000 2.42528863659085
10.00 2.42848643550797
11.00 2.42683871067719
12.00 2.43057406430998
13.00 2.43361175391814
14.00 2.43263457696071
15.00 2.43309474234512
16.00 2.43641586517048
17.00 2.43331950608492
18.00 2.43411042655533
19.00 2.43310943069076
20.00 2.43494879698202
25.00 2.43586836881786
30.00 2.43596614008508
35.00 2.43561445228548
40.00 2.43598496101147
179
Tabela E.6: Resultados referentes à figura 4.11 para Re = 1000
t Norma do divergente
0.001 0.903806008860958
0.002 0.903933544511707
0.005 0.904710368081570
0.010 0.907170649506206
0.020 0.915619326255511
0.050 0.957012062262075
0.100 1.04183941074260
0.200 1.19383650356066
0.500 1.51494406036941
1.000 1.85451714597155
1.500 2.08734402024572
2.000 2.26410984402886
2.500 2.39606525676891
3.000 2.48352899956560
3.500 2.54148977427833
4.000 2.57980642781456
4.500 2.60999052252792
5.000 2.63032838772596
6.000 2.66004819687598
7.000 2.68458301462541
8.000 2.69341754066250
9.000 2.70176463877613
10.00 2.70885360123014
11.00 2.71220269919291
12.00 2.71363840471765
13.00 2.71184829086625
14.00 2.71685272418748
15.00 2.71767030334901
16.00 2.72308839134413
17.00 2.72185426546498
18.00 2.72126378123812
19.00 2.72504876108747
20.00 2.72332484124084
25.00 2.72053216205568
30.00 2.72651769959295
35.00 2.72293585345428
40.00 2.72544023418291
INTRODUÇÃO CAPÍTULO 1
1.1 Considerações Gerais
Fenômenos envolvendo fluidos em movimento estão presentes em toda a natureza: no
corpo humano, na forma de circulação sanguínea; no ar, com o escoamento em torno de
aeronaves possibilitando suas permanências no ar; na água, com as correntes e marés entre
outros. Essas particularidades fazem da mecânica dos fluidos, um tema de grande interesse,
proporcionando significativo campo de pesquisas teórica e aplicada.
Fisicamente, o fenômeno do movimento de fluidos pode ocorrer tanto em regime
permanente como transiente. As propriedades físicas podem ser homogêneas ou heterogêneas. O
fluido ainda pode ser Newtoniano ou Não-Newtoniano.
Matematicamente, a maioria dos escoamentos Newtonianos pode ser modelada utilizando
as equações de Navier-Stokes, que são equações diferenciais parciais de segunda ordem sobre
domínios bidimensionais ou tridimensionais, as quais são fortemente não-lineares. Entretanto, a
derivação das formas reduzidas dessas equações, assim como o estudo e aplicações de equações
também não-lineares do tipo convecção-difusão, são objetos de pesquisa até os dias de hoje.
Uma equação deste tipo é conhecida como equações de Burgers.
A obtenção de solução das equações de Burgers e de Navier-Stokes é de grande
importância no tratamento de problemas aplicados tanto na matemática como na engenharia.
Durante muito tempo, técnicas analíticas clássicas foram aplicadas para a obtenção de
solução de problemas diversos da engenharia, como um todo. No entanto, para os problemas do
tipo convectivo-difusivos não eram aplicáveis, sendo capazes de resolver somente problemas
aplicados a modelos que apresentavam estruturas matemáticas mais simples. Assim, diante da
necessidade de se obter soluções de problemas mais realísticos, diversas técnicas numéricas
foram e continuam sendo desenvolvidas, tais como: Método de Elementos Finitos, Diferenças
Finitas e Volumes Finitos, que permitem a obtenção de soluções mais precisas para problemas
que apresentam estruturas mais complexas, nas diversas áreas de conhecimento da engenharia.
22
Nas últimas décadas, tem sido observado um número crescente de trabalhos que fazem
uso do Método Projeção em aplicações de problemas convectivo-difusivos. Existem também
técnicas híbridas analítico-numéricas que são aplicadas em várias áreas na engenharia e que vêm
despertando interesse por garantirem maior confiabilidade dos resultados obtidos. Em particular,
destaca-se a Técnica da Transformada Integral Generalizada (TTIG), uma ferramenta poderosa
que permite a solução dos mais variados e complexos problemas convectivo-difusivos.
Basicamente, essa técnica consiste em transformar a equação diferencial parcial ou conjunto de
equações diferenciais parciais, original em um sistema de equações diferenciais ordinárias
acoplado e infinito, o qual é truncado em uma ordem suficientemente grande e resolvido
numericamente.
1.2 Objetivo
No presente trabalho será aplicada a Técnica da Transformada Integral Generalizada para
a obtenção de solução das equações de Burgers em problemas de escoamento de fluidos
newtonianos em cavidades bidimensionais com tampa deslizante, em regime transiente,
explorando a formulação em variáveis primitivas, velocidade e pressão. Posteriormente, para
este mesmo problema, serão aplicados o Método Projeção e a TTIG para a obtenção de solução
das equações de Navier-Stokes, em variáveis primitivas.
1.3 Técnica Da Transformada Integral Generalizada (TTIG)
Problemas de engenharia mais elaborados envolvendo escoamento de fluido e condução
de calor, normalmente recaem em equações diferenciais parciais que raramente possuem solução
analítica fechada, sendo necessária então, a utilização de métodos numéricos ou de métodos de
natureza híbridos analíticos-numéricos para a obtenção dos potenciais desejados. Surge então, a
Técnica da Transformada Integral Generalizada, a qual tem sido utilizada com êxito para esses
tipos de problemas, alcançando-se excelentes resultados não só do ponto de vista da precisão de
solução como também tem-se mostrado bastante eficiente sob a ótica de custos computacionais e
demonstrado ainda viabilidade na solução de problemas típicos em engenharia, com taxas de
convergência satisfatórias.
23
As idéias básicas referentes a TTIG derivam de extensões da versão clássica da
transformada integral. De forma geral, a Técnica da Transformada Integral Clássica, é uma
extensão do método de separação de variáveis, que trabalha com não-homogeneidade na equação
ou nas condições de contorno, em problemas lineares, não separáveis, em razão da presença dos
termos fontes, sendo aplicada em soluções de problemas de difusão lineares, homogêneos ou não
homogêneos, permanentes ou transientes.
A TTIC, bem documentada no trabalho de Mikhailov e Özisik (1984), recebeu um forte
impulso depois da representação sistemática de sete grandes classes para a solução de grande
variedade de problemas lineares no campo de difusão.
Na aplicação da TTIC, alguns passos são seguidos, Cotta (1993):
• Determinar o problema auxiliar de autovalor apropriado;
• Desenvolver o par transformada-inversa;
• Aplicar a transformada integral na equação diferencial parcial original, usando as
condições de contorno;
• Resolver o sistema das equações diferenciais ordinárias infinito e desacoplado,
podendo ser resolvido analiticamente;
• Utilizar a fórmula de inversão estabelecida anteriormente para construção do
potencial original.
Apesar da contribuição da TTIC para o avanço da Transformada Integral em vários tipos
de problemas físicos, essa técnica limitou-se a situações lineares. Uma limitação é a obtenção de
solução de um determinado problema, caso não seja possível a transformação de alguns dos
termos, mesmo quando esses são lineares (Cotta, 1993). Dessa forma, a TTIC é aplicável
somente em subconjunto dos problemas lineares, pois é necessário que todos os termos sejam
transformáveis.
Desde meados da década de 70, já se observava que os métodos clássicos apresentavam
limitações de soluções em problemas de convecção. Desta forma, houve a necessidade de
estendê-los a um novo método que fosse capaz de resolver situações com características
similares, mas que envolvia, por exemplo, problemas de escoamento de fluidos representado por
modelos mais realísticos, que resolvendo pela TTIC, não apresentavam soluções completas.
24
Desta forma, com o objetivo de ampliar a flexibilidade desta técnica, a partir do trabalho
pioneiro de Ozisik e Murray (1974) e Mikhailov (1975), criou-se condições necessárias de uma
nova metodologia capaz de solucionar problemas de difusão não lineares e transientes, presentes
nos processos de transferência de calor e massa. Estabeleceram-se, então, os princípios da
Técnica da Transformada Integral Generalizada (TTIG), que nas últimas décadas ganhou uma
estrutura híbrida analítico-numérica (Özisik, 1993; Mikhailov & Özisik, 1994), oferecendo ao
usuário um controle de acurácia e uma performance computacional muito eficiente para uma
ampla variedade de problemas a priori não-transformáveis (Murray & Özisik, 1974; Cotta, 1993;
Cotta & Mikhailov, 1997; Cotta, 1998) incluindo formulações de problemas não lineares em
aplicações de transferência de calor e mecânica de fluidos. Uma forma completa para a TTIG é
encontrada na monografia de Cotta (1993).
Uma ampla gama de aplicações do método, pode ser agrupada nas seguintes classes:
• Problemas com coeficientes variáveis nas condições de contorno;
• Problemas com coeficientes variáveis na equação;
• Problemas com contornos variáveis;
• Problemas em que a complexidade está associada ao problema auxiliar;
• Problemas não-lineares.
A TTIG apresenta um procedimento similar a TTIC, sendo que a distinção se evidencia
quando não era possível pela TTIC, transformar uma equação diferencial parcial original em um
sistema de equações diferenciais ordinárias devido aos problemas envolverem dificuldades de
diversas naturezas, tais como: coeficientes variáveis, geometrias irregulares, sistemas de
autovalores não separáveis. Por outro lado, tais limitações foram eliminadas pela TTIG, sendo
que o ponto de partida desta técnica é considerar sob determinadas condições, que uma função
potencial pode ser representada como uma expansão em série tendo como base uma família de
autofunções, que são obtidas a partir de problema auxiliar de autovalor escolhido
adequadamente. Explorando as propriedades de ortonormalidades associadas às autofunções, é
possível definir o par transformada-inversa. A partir daí, a técnica consiste em transformar a
equação diferencial parcial original, a qual é obtida através de operadores adequados que, na sua
essência, promovem a remoção das derivadas parciais espaciais de primeira e segunda ordem e
fazendo uso da própria fórmula de inversão, obtém-se um sistema de equações diferenciais
ordinárias acoplado e infinito, que é truncado em uma ordem suficientemente grande, a fim de
25
garantir a precisão desejada no processo de reconstrução da função potencial e resolvido
numericamente.
1.4 Revisão Bibliográfica
As equações de Navier-Stokes definidas em domínios bidimensionais, submetidas às
condições inicial e de contorno constituem um problema bem posto. Evidentemente, não é um
problema trivial, pois mesmo a solução de equações diferenciais parciais simplificadas de tais
equações, como a equação de Burgers, e também equações diferenciais ordinárias não lineares,
muitas vezes torna-se uma tarefa árdua. Neste sentido, existem vários métodos de soluções
aproximadas e técnicas para o desenvolvimento de soluções híbridas analítica-numéricas, ambos
disponíveis na literatura. No presente trabalho, destacam-se o Método Projeção, a Técnica da
Transformada Integral Clássica (TTIC) e a Técnica da Transformada Integral Generalizada
(TTIG).
Alguns artigos contribuíram de forma significativa para o desenvolvimento deste
trabalho, como mencionados a seguir:
Chorin (1968a-b, 1969) utilizou o Método Projeção para a obtenção de solução
aproximada das equações de escoamento, bem como, as equações de Navier-Stokes para fluido
incompressível usando variáveis primitivas, o qual obteve um cômputo eficiente.
Kim e Moin (1985) desenvolveram um método numérico para a solução das equações de
Navier-Stokes incompressíveis, baseado no Método dos Passos Fracionados, conhecido também
como Método Projeção, em conjunto com a técnica da fatoração aproximada, satisfazendo a
conservação da massa, o qual utilizou-se uma malha desencontrada para um problema de
cavidade com tampa deslizante. Mostraram que o uso das condições de contorno da velocidade
para o campo de velocidade aproximada pode conduzir a soluções numéricas inconsistentes. Em
vista disto, condições de contornos apropriadas para o campo de velocidade aproximada foram
derivadas e comparadas com resultados numéricos de Ghia et al. (1982), o qual usou o Método
de Diferenças Finitas e também com dados experimentais, apresentando uma boa concordância.
O Método de Correção da Pressão, também conhecido como Método dos Passos
Fracionados resolvido por Van Kan (1986) tem apresentado uma redução no custo
computacional de cálculos implícitos e explícitos para escoamentos incompressíveis viscosos na
26
formulação velocidade-pressão. Este Método apresentou uma precisão de segunda ordem no
tempo e no espaço.
Destaca-se por Bell et al. (1989), um novo Método Projeção de precisão de segunda
ordem no espaço e no tempo. Este método motivou a aplicação do esquema upwind de ordem
alta desenvolvido para escoamentos compressíveis e incompressíveis inviscidos para as equações
de Navier-Stokes. Em particular, o método incorpora uma versão especializada da metodologia
de Godunov de segunda ordem não-separado introduzido para dinâmica dos gases por Colella
(1984). O Método de Godunov fornece uma discretização do termo convectivo que evita
qualquer restrição de estabilidade do número de Reynolds da malha para escoamentos de altos
números de Reynolds.
Gresho (1990) explorou a teoria do Método Projeção nas aplicações das condições de
contorno para as equações de Navier-Stokes em escoamentos incompressíveis utilizando
variáveis primitivas via Método de Elementos Finitos. O autor mostra que as condições de
contorno devem ser aplicadas as velocidades intermediárias quando os termos viscosos das
equações de Navier-Stokes incompressíveis são tratados com o esquema implícito de integração
no tempo e a equação de Poisson resolvida à parte para cada passo de tempo. Neste trabalho
também são mostradas as condições de contornos intermediárias que podem causar problemas
relacionados à regularidade da solução próxima as paredes.
Oliveira et al. (2001) utilizou o Método Projeção para a solução aproximada das
equações de Navier-Stokes bidimensionais em escoamento incompressível em variáveis
primitivas e com o auxílio da TTIG, aplicou a transformada integral em apenas em um eixo,
resolvendo depois pelos Métodos de Elementos Finitos e Volumes Finitos.
Uma análise para a obtenção da solução aproximada para problemas de valores de
contornos e iniciais para as equações de Navier-Stokes, utilizando o Método Projeção foi
apresentada por Brown et al. (2001), o qual observou que tanto para os métodos analíticos
quanto numéricos, o cômputo da velocidade é de uma precisão com convergência de segunda
ordem no tempo e no espaço, enquanto que tal precisão de convergência para a pressão é
tipicamente de primeira ordem somente no tempo, sendo observado também por Teman (1991),
Weinan e Liu (1996).
27
O Método Projeção baseado no teorema da decomposição de Helmholtz-Hodge foi
apresentado por Denaro (2003), que enfatizou as características parabólicas, elípticas e
hiperbólicas das equações de Navier-Stokes em escoamentos incompressíveis.
Serfaty (1997) apresentou modelos não lineares dos fenômenos de difusão com várias
aplicações em transferência de calor e massa. Em geral, a formulação matemática resultante, não
pode ser abordada por técnicas clássicas, como a Técnica da Transformada Integral Clássica,
principalmente em problemas multidimensionais e transientes.
Problemas puramente difusivos, hidrodinâmicos ou térmicos, modelados por equações
diferenciais elípticas lineares, definidos em domínios irregulares, ou seja, aqueles que não se
consegue encontrar um sistema de coordenadas ortogonais que coincidam com a geometria do
problema, foram resolvidos por Aparecido e Cotta (1987, 1990b), Aparecido et al. (1989), Cotta
et al. (1992), Aparecido et al. (2000, 2001) e Aparecido (2002), obtendo em todos os trabalhos
resultados satisfatórios.
Problemas convectivo-difusivos, envolvendo convecção, termicamente em
desenvolvimento e hidrodinamicamente desenvolvida, são matematicamente modelados por
equações diferenciais parciais de segunda ordem, do tipo parabólico bidimensional ou
tridimensional. Estes tipos de problemas foram resolvidos por Aparecido (1997), Aparecido e
Cotta (1990a, 1990c,1992), Aparecido e Özisik (1996, 1998), Dias Júnior e Aparecido (1999),
Lindquist e Aparecido (1999, 2002), e Maia et al. (2000, 2001) utilizando a TTIG. Parte destes
problemas são definidos sobre domínios irregulares e os outros sobre domínios regulares. Nos
trabalhos de Maia, Aparecido e Milanez (2000,2001) o domínio elíptico original, foi
transformado em um domínio regular, mediante uma transformação de coordenadas. No novo
sistema de coordenadas, o domínio se tornou regular, mas o equacionamento ficou com
coeficientes variáveis não separáveis.
Campos Silva et al. (1992) utilizou a TTIG no problema de desenvolvimento simultâneo
da velocidade e temperatura em escoamento laminar de fluido Newtoniano, em um canal de
placas paralelas.
Utilizando a TTIG, problemas de autovalores descritos por equações diferenciais parciais
são transformados em problemas de autovalores algébricos, os quais são resolvidos utilizando
códigos computacionais disponíveis na literatura. Mikhailov e Cotta (1994) apresentaram uma
formulação para os operadores que freqüentemente aparecem em fenômenos de difusão de calor
e massa e preocuparam-se também com a extensão para problemas que abordam operadores
28
diferentes. Para mostrar a eficiência do método, três exemplos foram ilustrados: problemas de
autovalores para escoamento laminar no interior de um canal de placas paralelas; problemas de
autovalores para convecção forçada em dutos com a temperatura variando periodicamente e
problemas de autovalores para escoamento laminar no interior de dutos retangulares, nos quais o
método mostrou-se preciso e eficiente, podendo ser aplicado em problemas multidimensionais e
funções mais gerais.
Muitos outros pesquisadores utilizaram a TTIG para resolver os mais variados
problemas. Muitos destes resultados podem ser encontrados em Cotta (1993). Como a TTIG tem
a capacidade de tratar dificuldades especiais, tais como: não linearidades, coeficientes variáveis
não separáveis e domínios irregulares de problemas do tipo convectivo-difusivo, ela tem atraído
uma atenção considerável e o número de pesquisadores atuando nesta área tem aumentado. Uma
indicação deste crescimento foi o aparecimento de três outros textos sobre o assunto (Cotta e
Mikhailov, 1997), (Cotta, 1998) e (Santos, Quaresma e Lima, 2001).
Aplicações de métodos de análises estatísticas e mecânicas estatísticas para problemas do
movimento turbulento de fluidos, é um assunto que chama a atenção de muitos pesquisadores,
desde há muito tempo. Neste sentido, Burgers (1948) fez várias investigações e análises de
complicados sistemas de equações não-lineares. No intuito de encontrar soluções para tais
equações, o autor deduziu a equação de Burgers, como um modelo matemático ilustrando a
teoria de turbulência.
Uma solução numérica para as equações de Burgers unidimensional foi resolvida por
Mittal et al. (1993), que aplicando a técnica de não-linearidade finitamente reproduzível em tal
equação, resulta-se em um sistema de equações diferencias ordinárias não lineares, sendo
resolvido numericamente. Os resultados apresentaram uma boa concordância quando
comparados com o Método de Diferenças Finitas e o Método de Elementos Finitos.
A equações de Burgers é tratada também em várias metodologias, como no trabalho de
Sirendaoreji (1999) que obteve a solução da Onda-Solitária (soliton-like) para a equação de
Burgers. Um outro trabalho é o de Abd-el-Malek (2000) o qual utiliza o método de grupos
teóricos em aplicações de modelos de equações diferenciais não-lineares. Neste sentido, para a
equação de Burgers, o autor aplica a transformação de grupos em um parâmetro associado com
as condições inicial e de contorno. Sob essa transformação, a equação diferencial parcial com
condições auxiliares, é reduzida a uma equação diferencial ordinária, e resolvida analiticamente.
Também foi retratado o trabalho de Fioreze (2002), quando provou a existência e unicidade de
29
soluções fracas para a equação vetorial de Burgers em domínio arbitrários em três dimensões. A
única hipótese considerada sobre o domínio é que este fosse um aberto. As estimativas para estes
resultados utilizam uma desigualdade de Sobolev do tipo elíptica. Um trabalho apresentado por
Özis et al. (2003), foi o estudo da equação de Burgers, usada como um problema modelo de
turbulência e teoria de ondas de choque. Com a aplicação do Método de Elementos Finitos em
tal equação, foram obtidos resultados numéricos para diferentes valores de viscosidades que
comparados com soluções analíticas de Cole (1951), apresentaram boa concordância.
Um trabalho pioneiro referente a problemas de cavidade com tampa deslizante
bidimensional foi realizado por Burggraf (1966), o qual apresenta perfis analíticos e numéricos
de velocidades sobre as linhas de centro da cavidade, para números de Reynolds compreendidos
entre 0 e 400. O mesmo tipo de escoamento foi analizado por Nallasamy e Prasad (1977) para
número de Reynolds entre 0 e 5000, o qual resolveu as equações de Navier-Stokes via Método
de Diferenças Finitas.
Ghia et al. (1982) utilizou a formulação corrente e vorticidade para a simulação das
equações de Navier-Stokes para uma cavidade quadrada com tampa deslizante para números de
Reynolds abaixo de 10000, tornando-se um trabalho muito utilizado como referência na
literatura.
Shankar e Deshpande (2000) apresentaram uma interessante revisão de escoamentos
recirculantes internos, induzidos por uma ou mais paredes, sendo observado que tais
escoamentos não somente são importantes tecnologicamente, como também são de grande
interesse científico.
Resultados relevantes para a cavidade com tampa deslizante, utilizando o Método dos
Passos Fracionados foi apresentado por Guo (2000), aliado aos esquemas explícito de segunda
ordem de Adams-Bashforth para os termos advectivos e implícito de segunda ordem de Crank-
Nicolson para os demais termos.
Um trabalho proposto para otimização computacional utilizando a TTIG nas equações de
Navier-Stokes bidimensionais através da formulação de função corrente, foi apresentado por
Guigon et al (2004) para o problema de cavidade com tampa deslizante em escoamento
incompressível laminar. Foram analisadas algumas configurações do escoamento de acordo com
as combinações das condições de contorno, para diferentes valores dos parâmetros governantes,
número de Reynolds e razão de aspecto, estabelecendo assim, resultados representativos com
uma boa convergência computacional da transformada integral. Problemas clássicos de
30
cavidades com tampas deslizantes, também têm sido discutidos e resolvidos na concepção
híbrida analítica-numérica da TTIG, por Pérez Guerrero e Cotta (1992).
Arruda (2004) apresentou resultados de simulação de cavidades com tampa deslizante
para Reynolds 100, 400 e 1000, com o intuito de testar o Método da Fronteira Imersa em
escoamentos internos forçados bidimensionais apresentando uma boa concordância com
referências clássicas da literatura.
Empregando o método de discretização espacial do Método de Elementos Finitos
baseado em volume de controle (CVFEM) desenvolvido por Campos Silva (1998), soluções
numéricas bidimensionais de cavidades de tampa deslizantes para escoamentos incompressíveis
com numero de Reynolds compreendidos entre 100 e 10000, foram apresentadas por Lima et al.
(2004). O cálculo deste tipo de problema, bi e tridimensionais, para uma faixa do numero de
Reynolds de 100 a 10000, discretizados pelo Método de Volumes Finitos, também foi efetuada
no trabalho de Frigo (2004), com o intuito de validar um programa computacional. Estes
trabalhos utilizaram a metodologia das grandes escalas (LES) e a modelagem Sub-Malha de
Smagorinsky para a modelagem da turbulência, ambos os resultados foram confrontados com
Ghia et al. (1982) e apresentaram concordâncias plausíveis.
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA CAPÍTULO 2
2.1 Breve Histórico sobre as Equações de Navier-Stokes
As equações que regem o comportamento do movimento dos fluidos começaram a ser
deduzidas de forma sistemática a partir do século XVIII. Leonard Euler (1707-1783) foi
considerado o responsável pela formulação matemática do escoamento de fluidos invíscidos,
com a dedução das chamadas equações de Euler. Porém, a representação matemática do
comportamento dos fluidos somente ganhou força a partir do século XIX, graças aos estudos dos
franceses Claude Navier (1785-1836) e Simeon Poisson (1781-1840), que em 1827 e em 1831,
introduziram nas equações de Euler, os efeitos da viscosidade, analisando as forças
intermoleculares em um escoamento de fluido. Em 1843, estas equações foram re-deduzidas pelo
francês Barre de Saint-Venant (1797-1886) e em 1845, pelo inglês George Stokes (1819-1903),
que, avaliando macroscopicamente o movimento do fluido e as forças que lhe dão origem,
introduziram pela primeira vez, o conceito de tensão de cisalhamento como uma função linear da
taxa de deformação bem como o conceito de pressão termodinâmica num ponto qualquer do
escoamento como sendo igual à média aritmética das tensões normais agindo naquele ponto.
Assim obtiveram a equação vetorial para a conservação da quantidade de movimento, conhecida
hoje, como as Equações de Navier-Stokes.
A dificuldade de encontrar soluções analíticas para as equações de Navier-Stokes decorre
do fato que são equações diferenciais parciais não-lineares, e a teoria matemática dessa classe de
equações ainda não está suficientemente desenvolvida para permitir a obtenção de soluções
analíticas em regiões arbitrárias e condições de contornos gerais. Por essa razão é que, no estudo
do movimento de fluidos e de seus efeitos, se utilizam ensaios experimentais, como testes em
túneis de vento e tanques d’água. Devido às limitações de custo, tempo e equipamento, é comum
a realização de medidas em apenas alguns pontos da região em que ocorrem os fenômenos de
interesse. Por exemplo, a pressão e as velocidades do escoamento sobre a fuselagem de um avião
são determinadas apenas em alguns pontos. No entanto, nem sempre os tratamentos teóricos ou
experimentais são satisfatórios.
32
Com o advento do computador digital a partir do ano de 1945, surgiu uma terceira
alternativa: obter, pela solução numérica das equações de Navier-Stokes utilizando técnicas
computacionais, o campo de velocidade que compõe o escoamento. Problemas reais de
engenharia normalmente requerem o tratamento computacional, pois muitas vezes, essa é a
forma mais prática, ou a única, de se obter os dados sobre o escoamento.
As equações de Navier-Stokes associadas à equação da conservação da massa e
submetidas às condições de contorno adequadas são capazes de representar a maioria dos
escoamentos, com ou sem transferência de calor, seja-o laminar ou turbulento.
No presente trabalho, consideram-se as equações de Navier-Stokes e a equação da
conservação da massa para domínios bidimensionais, sob as seguintes hipóteses:
• fluido Newtoniano;
• propriedades físicas constantes.
2.2 Equações de Navier-Stokes em Escoamentos Bidimensionais
A formulação matemática para o problema na forma dimensional, é expresso
respectivamente por:
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++ρ
∂y
)t,y,(x∂u
)t,y,(xv
∂x
)t,y,(x∂u
)t,y,(xu
∂t
)t,y,(x∂u
*
****
****
*
****
****
*
****
*
x
2*
****2
2*
****2
*
****
g
)(y
)t,y,(xu
)(x
)t,y,(xu
υ
∂x
)t,y,(x∂p
ρ+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
ρ+−=
, (2.1)
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
y
)t,y,(xv
)t,y,(xv
x
)t,y,(xv
)t,y,(xu
t
)t,y,(xv
*
****
****
*
****
****
*
****
*
y
2*
****2
2*
****2
*
****
g
)(y
)t,y,(xv
)(x
)t,y,(xv
υ
y
)t,y,(xp
ρ+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
ρ+
∂
∂
−=
, (2.2)
0
y
)t,y,(xv
x
)t,y,(xu
*
****
*
****
=
∂
∂
+
∂
∂
, (2.3)
submetidas às condições inicial e de contorno, as quais são definidas posteriormente.
33
Para facilitar o tratamento analítico, as componentes do vetor campo de força
gravitacional nas direções dos eixos x e y presentes nas equações (2.1) e (2.2) serão reescritas de
forma mais adequada. Sabe-se que, todo campo vetorial pode ser escrito como o gradiente de um
campo escalar. Desta forma, tem-se
ϕ−∇=
*
g
r
⇒
∂x
∂
g
*
*
x
ϕ
−= , (2.4)
*
*
y
∂y
∂
g
ϕ
−= . (2.5)
Assim, a expressão
*
x
*
****
ρg
∂x
)t,y,(x∂p
+− , relacionada à componente )t,y,x(u
****
da
velocidade para as equações de Navier-Stokes, pode ser reescrita, como segue
[]
ϕ−=ϕ−−=
ϕ
−− ρ+)t,y,(xp
∂x
∂
)(ρ
∂x
∂
∂x
)t,y,(x∂p
∂x
∂
ρ
∂x
)t,y,(x∂p
****
***
****
**
****
Seja ϕ≡ ρ+)t,y,(xp)t,y,(xp
*********
. Desta forma
*
*****
*
y
*
****
∂x
)t,y,(xp∂
ρg
∂x
)t,y,(xp∂
−=+−
(2.6)
De maneira análoga, obtém-se a seguinte expressão relacionada à componente
)t,y,x(v
****
da velocidade, expressa por
*
*****
*
y
*
****
∂y
)t,y,(xp∂
ρg
∂y
)t,y,(xp∂
−=+−
(2.7)
Logo, as equações de Navier-Stokes e a equação da conservação da massa, tornam-se
34
∂y
)t,y,(x∂u
)t,y,(xv
∂x
)t,y,(x∂u
)t,y,(xu
∂t
)t,y,(x∂u
ρ
*
****
****
*
****
****
*
****
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
ρ+
∂
∂
−=
2*
****2
2*
****2
*
*****
)(y
)t,y,(xu
)(x
)t,y,(xu
υ
x
)t,y,(xp
, (2.8)
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
*
****
****
*
****
****
*
****
y
)t,y,(xv
)t,y,(xv
x
)t,y,(xv
)t,y,(xu
t
)t,y,(xv
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
ρ+
∂
∂
−=
2*
****2
2*
****2
*
*****
)(y
)t,y,(xv
)(x
)t,y,(xv
υ
y
)t,y,(xp
, (2.9)
0
y
)t,y,(xv
x
)t,y,(xu
*
****
*
****
=
∂
∂
+
∂
∂
. (2.10)
Definindo as seguintes variáveis adimensionais:
*
0
****
v
)t,y,(xu
t)y,u(x, ≡ ;
*
0
****
v
)t,y,(xv
t)y,v(x, ≡ ;
*
y
*
l
y
y ≡ ;
*
y
*
l
x
x ≡ ;
2*
0
*****
)ρ(v
)t,y,(xp
t)y,p(x, ≡ ;
*
y
**
0
l
tv
t ≡ ,
nos quais
*
0
v é uma velocidade característica do campo de velocidade e
*
y
l um comprimento
característico do domínio, ambos não nulos.
As equações de Navier-Stokes e a equação da conservação da massa, são expressas por
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
t)y,u(x,
t)y,v(x,
x
t)y,u(x,
t)y,u(x,
t
t)y,u(x,
l
)v(
ρ
*
y
2*
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
υ
+
∂
∂
−=
2
2
2
2
*
y
2*
0
*
y
2*
0
y
)t,y,x(u
x
)t,y,x(u
l
)v(
ρ
x
)t,y,x(p
l
)v(
ρ
, (2.11)
35
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
))t,y,x(v
)t,y,x(v
x
)t,y,x(v
)t,y,x(u
t
)t,y,x(v
l
)v(
ρ
*
y
2*
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
υ
+
∂
∂
−=
2
2
2
2
*
y
2*
0
*
y
2*
0
y
)t,y,x(v
x
)t,y,x(v
l
)v(
ρ
y
)t,y,x(p
l
)v(
ρ
, (2.12)
0
y
)t,y,x(v
x
)t,y,x(u
l
v
*
y
*
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
. (2.13)
Multiplicando as equações (2.11) e (2.12) por
2*
0
*
y
)vρ(
l
, tem-se
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
)t,y,x(u
)t,y,x(v
x
)t,y,x(u
)t,y,x(u
t
)t,y,x(u
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
2
2
2
2
y
)t,y,x(u
x
)t,y,x(u
Re
1
x
)t,y,x(p
, (2.14)
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
)t,y,x(v
)t,y,x(v
x
)t,y,x(v
)t,y,x(u
t
)t,y,x(v
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
2
2
2
2
y
)t,y,x(v
x
)t,y,x(v
Re
1
y
)t,y,x(p
, (2.15)
nos quais
υ
=
*
y
*
0
lv
Re é o número de Reynolds.
Como
0
l
v
*
y
*
0
≠ , a equação (2.13), torna-se
0
y
)t,y,x(v
x
)t,y,x(u
=
∂
∂
+
∂
∂
. (2.16)
36
2.3 Definição do Sistema de Coordenadas e do Domínio do Escoamento para o Problema
Proposto
Considera-se o problema da cavidade com tampa deslizante na direção vertical à
esquerda e velocidade constante, em escoamento de fluido newtoniano sobre o sistema de
coordenadas cartesianas bidimensionais em regime transiente, com altura característica do
domínio,
y
L , comprimento característico do domínio,
x
L , e velocidade característica do campo
de velocidade,
0
v , conforme ilustrada na Fig. (2.1).
Figura 2.1: Esquema da cavidade bidimensional.
Assim, as condições inicial e de contorno, adimensionalizadas, para as equações de
Navier-Stokes são dadas respectivamente, por:
0)t,y,x(u = , para
x
Lx0 ≤≤ e
y
Ly0
≤
≤
; (2.17a)
0)t,y,x(v
= , para
x
Lx0 ≤≤ e
y
Ly0
≤
≤
; (2.17b)
0)t,y,x(p
= , para
x
Lx0 ≤≤ e
y
Ly0
≤
≤
; (2.17c)
para
0
tt = ;
37
0)t,y,x(u
0x
=
=
, 0)t,y,x(u
Lx
=
=
x
,
y
Ly0 <
<
; (2.18a,b)
0)t,y,x(u
0y
=
=
, 0)t,y,x(u
y
Ly
=
=
,
x
Lx0 <
<
; (2.18c,d)
1v)t,y,x(v
0
0x
==
=
, 0)t,y,x(v
Lx
=
=
x
,
y
Ly0 <
<
; (2.18e,f)
0)t,y,x(v
0y
=
=
, 0)t,y,x(v
y
Ly
=
=
,
x
Lx0
<
<
; (2.18g,h)
As condições de contorno para a pressão (Grescho, 1990), são dadas por:
0
x
)t,y,x(p
0x
=
∂
∂
=
, 0
x
)t,y,x(p
x
Lx
=
∂
∂
=
,
y
Ly0 <
<
; (2.18i,j)
0
y
)t,y,x(p
0y
=
∂
∂
=
, 0
y
)t,y,x(p
Ly
=
∂
∂
=
y
,
x
Lx0 <
<
; (2.18k,l)
para
0
tt > .
MÉTODO PROJEÇÃO CAPÍTULO 3
Em razão da complexidade matemática, as equações de Navier-Stokes apresentam uma
grande dificuldade tanto para o tratamento analítico como computacional. Para facilitar a
obtenção de soluções de equações desta natureza, vários métodos de aproximações de soluções
foram e continuam sendo extensivamente investigados. Neste sentido, o Método Projeção é
aplicado em vários problemas de convecção-difusão, que desde a sua descoberta, tem sido muito
estudado na literatura, as quais várias implementações foram e continuam sendo propostas,
usando discretização temporal e espacial em diferenças finitas, elementos finitos, entre outros.
O método projeção é freqüentemente usado, na solução aproximada das equações de
Navier-Stokes em variáveis primitivas, para realizar o desacoplamento dos termos de pressão e o
campo de velocidade. Desta forma, para solução de tais equações destaca-se o Método Projeção
baseado no Teorema da Decomposição Ortogonal Helmholtz-Hodge (HHD) (Ladyzhenskaya,
1969, Chorin e Marsden, 1992), o qual baseia-se na transformação de um campo não-solenoidal
em um campo solenoidal. Um campo vetorial solenoidal é aquele que possui divergente nulo.
Proposição: Um dado campo vetorial, w , é unicamente decomposto, definido em um
domínio limitado,
Ω
, com contorno suave,
Ω
∂
, em um campo de gradiente puro e em um
campo vetorial com divergente nulo paralelo a
Ω
∂
. Propõe-se também que o campo vetorial, w ,
( )(L
2
Ω∈w sendo )(L
2
Ω o espaço das funções vetoriais cujo quadrado da norma é integrável
em Ω ; e )(H
1
Ω , o espaço das funções )(L
2
Ω com a primeira derivada em )(L
2
Ω ) é unicamente
quando seu divergente, ρ , e seu rotacional , r, são prescritos ao longo da componente normal
(ou da componente tangencial) no contorno,
Ω
∂
, Denaro (2003).
Demonstração:
Pelo enunciado acima, as equações abaixo devem ser satisfeitas
0≠ρ=⋅∇ w , (3.1)
40
Ω
∈≠=×∇ x ,0rw , (3.2)
submetidas as seguintes condições de contorno:
n
w=⋅wn Ω∂∈x (componente normal ao contorno prescrito)
ou
Ω∂∈=× x ,
t
wwn , (vetor projeção tangente ao contorno prescrito)
sendo n um vetor unitário normal a
Ω∂ , e apontando para fora do domínio
Ω
;
t
w e w
n
, são
as componentes normal (escalar) e tangencial (vetor) de w em
Ω
∂
, respectivamente.
Como mencionado acima, w pode ser representado como a soma de
ϕ
∇=
1
w ,
)(H
1
Ω∈ϕ e b
2
×∇=w , )(L
2
2
Ω∈w , sendo b um vetor solenoidal, isto é, 0b =⋅
∇
; então, de
acordo com as equações, (3.1) e (3.2), tem-se que as duas componentes da Decomposição de
Helmholtz-Hodge, HHD, devem satisfazer:
bwww ×
∇
+ϕ∇=+=
21
. (3.3)
ρ
1
=⋅∇ w (3.4)
rw =×∇
2
, Ω∈ x . (3.5)
Se
Ω
∂
∈
=
ϕ
∇
⋅
⇒=⇒=⋅ xwwwwn ,n 0
nt222
; (3.6)
ou
se , b)(
t2t1t1
Ω
∂
∈
=
=
×
∇
×
⇒=⇒=× xwwn0w0wn . (3.7)
Agora, demonstra-se a ortogonalidade, existência e unicidade da decomposição (3.3),
para ambos os casos da componente normal prescrita (3.6) e do vetor tangente prescrito, (3.7).
A ortogonalidade dos vetores, no senso do produto interno é verificado como segue
∫∫∫∫∫
Ω∂ΩΩΩΩ
=⋅ϕ=⋅∇ϕ−ϕ⋅∇=⋅ϕ∇=⋅ 0dn d d) ( d d
222221
SVVVV wwwwww , (3.8)
41
para a condição definida na equação (3.6). Está implícito na expressão acima
que
0d
2
=⋅∇ϕ
∫
Ω
Vw , uma vez que
2
w é um campo solenoidal, isto é, 0
2
=⋅∇ w .
Ou
=ϕ∇×⋅∇=×∇⋅ϕ∇=⋅
∫∫∫
ΩΩΩ
d) ( d)( d
21
VVV bbww
∫∫
Ω∂Ω∂
=×ϕ∇⋅=ϕ∇×⋅= 0d) ( d) ( SS nbbn , (3.9)
para a condição definida na equação (3.7).
Portanto, para ambos os casos, existe um operador projeção ortogonal , P, definido como
segue:
•
H
P em H, tal que
2
)( ww
=
H
P , sendo
2
w definido em um espaço com divergente
nulo } em 0 ,0:)(L {
2
Ω∂=⋅=⋅∇Ω∈= vnv vH se a componente normal é
prescrita, (3.6); ou
•
*H
P em *
H
, tal que
2
)( ww
=
'
*H
P , sendo
2
w definido em um espaço com
divergente nulo } em n( ,0:)(L {
t
2
Ω∂=−×=⋅∇Ω∈= 0wvvvH* se o vetor
tangencial for prescrito, (3.7).
Em realidade, observa-se que para garantir a ortogonalidade, a condição
0
2
=
⋅wn , bem
como a condição
0wn =
×
1
são suficientes, mas não necessárias simultaneamente, sendo para os
dois casos necessário apenas que
∫
Ω∂
=⋅ϕ 0dS
2
wn , ou que
∫
Ω∂
=∧ϕ∇⋅ 0dS ) ( nb .
A existência da decomposição, quando a condição de contorno (3.6) é prescrita, resulta
do fato que o problema constituído pela equação de Poisson (3.4) associada com a condição de
contorno (3.6), como segue
Ω∈ρ=ϕ∇ x,
2
(3.10)
Ω∂∈=ϕ∇⋅ xwn ,
n
(3.11)
42
admite uma única solução,
ϕ
, porque a requerida condição de compatibilidade (Courant, 1953)
∫∫∫∫∫
Ω∂Ω∂ΩΩ∂Ω
=ϕ∇⋅=ϕ∇⋅∇⇒=ρ SSVSV d d d d d
nn
wnw (3.12)
é verificada pela condição de contorno de Neuman (3.6), a qual implica que
2
w deve ser
paralelo ao contorno,
Ω∂ , mas sem prescrever o vetor tangencial.
Observe-se que o problema matemático constituído pela equação de Poisson, (3.10),
associado as condições de contorno não-homogêneas (3.11), é equivalente a um outro com
condições de contorno homogêneas e com um termo fonte modificado,
ρ
~
, obtido quando o
operador divergente é definido em um subespaço dos vetores com a componente normal
tendendo a zero no contorno,
Ω
∂
.
Analogamente, a solução do problema constituído pela equação de Poisson, (3.5), sendo
bb
2
)( ∇=×∇×∇ , associada à condição de contorno (3.7), como expresso a seguir
Ω∈−=∇ xrb ,
2
(3.13)
t
)( wbn =×∇× (3.14)
existe e é única, porque a condição de compatibilidade
∫∫
∂
⋅=⋅
SS
S dld
t
wrn , (3.15)
sendo S a parte de
Ω∂ , coberta pelo contorno, S
∂
, e l é o vetor unitário tangente a S∂ , é
verificada pela condição de contorno de Dirichlet (3.7) , a qual implica que
t
w , ou seja
ϕ
∇ ,
deve ser paralelo ao vetor unitário normal a
Ω
∂
, o qual aponta para fora do domínio, Ω (suas
componentes tangenciais são nulas, isto é,
0
21
=
ϕ
∇
⋅
=
ϕ
∇
⋅
tt ). Como conseqüência, somente o
vetor tangencial,
t2
w , é prescrito sem forçar a definição da componente normal de
2
w .
A unicidade da Decomposição de Helmholtz-Hodge é demonstrada pela suposição de que
existe duas diferentes decomposições ortogonais
43
bwww ×∇+ϕ∇=+=
21
, (3.16)
e
'''
2
'
1
bwww ×∇+ϕ∇=+= , (3.17)
ambas sendo submetidas em
Ω∂ , às condições de contorno 0
'
22
=⋅=⋅ wnwn , no caso do
problema definido pelas equações (3.10) e (3.11); ou 0wnwn =×=×
'
11
, no caso do problema
definido pelas equações (3.13) e (3.14).
Subtraindo as equações (3.16) e (3.17), obtém-se
'
22
'
)(0 ww −+ϕ−ϕ∇= (3.18)
Fazendo o produto interno da equação (3.18) com
'
22
ww − , e integrando a equação
resultante em Ω , tem-se
[]
Vd)()()()(0
''
22
'
22
'
22
ϕ−ϕ∇⋅−+−⋅−=
∫
Ω
wwwwww =
=
]
VV d)(d)()(
'
2
'
2
'
22
'
22
ϕ∇⋅+ϕ∇⋅−−⋅−
∫∫
ΩΩ
wwwwww =
=
[
]
[
]
VVV d)(d)(d
'
2
'
22
''
2
2
'
22
wwwwww ⋅∇ϕ−ϕ⋅∇−⋅∇ϕ−ϕ⋅∇−−
∫∫∫
ΩΩΩ
=
=
SSV dn dn d
'
2
'
2
2
'
22
∫∫∫
Ω∂Ω∂Ω
ϕ⋅−ϕ⋅−− wwww =
=
∫
Ω
− Vd
2
'
22
ww . (3.19)
De maneira análoga, computando o produto interno da equação (3.18) com
'
11
ww − , e
integrando-a em Ω , resulta
[]
Vd)()()()(0
'
22
'
11
'
11
'
11
wwwwwwww −⋅−+−⋅−=
∫
Ω
=
=
]
VV d)(d)()(
'
2
'
2
'
11
'
11
ϕ∇⋅+ϕ∇⋅−−⋅−
∫∫
ΩΩ
wwwwww =
=
[
]
VV d)()(d
''
2
'
11
ϕ∇×⋅∇+ϕ∇×⋅∇−−
∫∫
ΩΩ
bbww =
44
=
∫∫∫
Ω∂Ω∂Ω
ϕ∇×⋅−ϕ∇×⋅−− SSV d)( d)( d
''
2
'
11
bnbnww =
=
∫∫∫
Ω∂Ω∂Ω
×ϕ∇⋅−×ϕ∇⋅−− SSV d)( d)( d
''
2
'
11
nbnbww =
=
∫
Ω
− Vd
2
'
11
ww . (3.20)
Portanto, no primeiro caso a integral anula-se se
'
22
ww = e conseqüentemente
'
ϕ∇=ϕ∇ ,
enquanto no segundo a integral anula-se se
'
ϕ∇=ϕ∇ , e conseqüentemente
'
22
ww =
Observe também que, para a unicidade da decomposição ortogonal, as condições de
contorno 0
'
22
=⋅=⋅ wnwn , bem como, 0wnwn =×=×
'
11
, ambas, simultaneamente, em
Ω
∂
são suficientes, mas não necessárias.
3.1 As Equações de Navier-Stokes vistas como Projeções
Segundo Gresho, devido ao fato de que se utiliza o método de projeção para aproximar a
solução das equações de Navier-Stokes, pode-se, primeiramente, ser útil, reinterpretá-las como
sendo projeções. Com esta finalidade, inicialmente, reescreve-se as equações de Navier-Stokes
como
))t,((SP
t
)t,(
xV
xV
=∇+
∂
∂
, (3.21)
definido em um domínio, Ω , sendo )z,y,x(=x ,
)t,()t,()t,(f)t,())t,((S
2
xVxVxxVxV ∇⋅−+∇υ= e f(x,t) um termo fonte;
e
0)t,y,x( =⋅∇ V , em
ΩΩΩ ∂+= . (3.22)
))t,((S xV , geralmente não possui nem divergente nulo nem rotacional nulo.
Chorin (1968, 1969) apresentou seguinte interpretação:
45
Dado )t,(xV , o vetor ))t,((S xV é “conhecido” e pode ser projetado em dois subespaços:
o dos vetores com divergente nulo, t/)t,(
∂
∂
xV , e o dos vetores com rotacional nulo, P
∇
, um
processo que pode ser definido matematicamente como
))t,((S
t
)t,(
xV
xV
℘=
∂
∂
e (3.23)
))t,((SP xV
Q=∇ , (3.24)
nos quais −℘≡
℘
Ie Q são operadores projeção, com as seguintes propriedades,
0=℘=℘=℘=℘
QQQQ e,
22
. I é o operador identidade. O operador
℘
projeta qualquer
vetor sobre um espaço nulo do divergente, 0
=
℘
⋅
∇
, e o operador Q projeta qualquer vetor sobre
o espaço nulo do rotacional, 0
=
×
∇ Q . Então, a aceleração tem divergente nulo, conforme
previsto pela derivada temporal da equação (3.22). De fato, comparando as equações (3.21),
(3.22) com as equações (3.23) e (3.24), pode-se obter a fórmula, formalmente, explicita desses
operadores:
div)(gradI)(I
1212 −−
∇−=∇⋅∇∇−=
℘
e
div)(gradI
12 −
∇=℘−=Q .
Considere agora, a seguinte representação aproximada, na qual o gradiente de pressão é
considerado conhecido,
P
ˆ
∇ . Então, pode-se escrever
P
ˆ
))t,x(V
ˆ
(S
t
)t,x(V
ˆ
∇−=
∂
∂
, (3.25)
na qual a pseudo velocidade, )t,x(V
ˆ
, geralmente não possui divergente nulo, isto é, o campo de
velocidade não é solenoidal, porque PP
ˆ
≠
. Suponha também que )t,x(V
ˆ
comece da mesma
condição inicial que )t,(
xV , o qual obtém apenas a variável primitiva velocidade, conhecida
como as Equações de Burgers, e é continuamente projetada sobre o subespaço de divergente nulo
46
através do operador projeção
℘
, e que o campo de velocidade, )t,x(V tenha divergente nulo,
então
)t,x(V
ˆ
)t,x(V ℘= . (3.26)
No capítulo 4, resolve-se as Equações de Burgers utilizando a TTIG, e para resgatar o
campo de velocidade real, faz-se necessário também a solução de uma Equação Diferencial
Elíptica, cujo termo fonte é um campo não solenoidal da velocidade, Equação da Pressão,
resolvida no capítulo 5, também com o auxílio da TTIG.
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE BURGERS CAPÍTULO 4
As equações de Burgers são equações diferenciais parciais não-lineares, do tipo
convecção-difusão, e são consideradas como formas simplificadas das equações de Navier-
Stokes, para os casos em que o gradiente da pressão possa ser desprezado. Este modelo define
um campo de velocidades não solenoidal e traz como conseqüência um divergente deste campo
não nulo. Os primeiros trabalhos nesta área são devidos a Bateman (1915) quando resolve
equações com estas características para problemas unidimensionais. Mas a equação foi
plenamente estabelecida apenas em 1948 por Burgers quando conclui sua forma como um
modelo na teoria da turbulência. Posteriormente, Lagerstrom et al. (1949) descobrem que a
equação de Burgers pode ser transformada para uma equação linear da difusão de calor. De
forma independente, esta transformação também foi deduzida, aproximadamente ao mesmo
tempo, por Hopf (1950) e Cole (1951) a qual ficou conhecida como transformação Cole-Hopf.
Em seguida, Lighthill (1956) e Blackstock (1964), empregaram a equação de Burgers no estudo
da propagação de sinais acústicos unidimensionais para amplitude finita, enquanto, Hayes (1958)
usou a equação na discussão de estruturas de choques em escoamentos de Navier-Stokes. Desde
então, esta equação vem sendo utilizada como modelo matemático para a análise de diversos
fenômenos físicos, tais como, aqueles que tratam do estudo da turbulência, da formação de ondas
de choques e de processos estocásticos, entre outros.
É interessante observar que as equações de Burgers vêm se consolidando como equações
modelos para testes e comparações de técnicas computacionais. Neste sentido, vale destacar o
trabalho de Benton e Platzman (1972) que, além de estabelecerem tabelas comparativas,
publicaram 35 soluções distintas de problemas de valor inicial para as equações de Burgers em
um domínio infinito, bem como soluções para problemas de valores de condições de contorno e
inicial em domínios finitos.
O termo não-linear nas equações de Burgers dá origem a uma onda que se move em
alguma direção. Esta onda eventualmente se dissipa e a solução não-linear tende à mesma forma
da solução linearizada, porém, com uma amplitude menor.
48
Neste contexto, as equações de Burgers foram aplicadas ao problema da cavidade
bidimensional e em regime transiente que foi estabelecido para o presente trabalho.
4.1 Solução das Equações de Burgers
Considere as Equações de Burgers
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
y
)t,y,x(u
ˆ
x
)t,y,x(u
ˆ
Re
1
y
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
t
)t,y,x(u
ˆ
(4.1)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
y
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(v
ˆ
Re
1
y
)t,y,x(v
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(v
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
t
)t,y,x(v
ˆ
(4.2)
definida no domínio
txy
Ω⊗Ω=Ω
, com
∈
Ω
xy
ℜ
2
e )t,t(
10t
=
Ω
, e submetida às condições
inicial e de contorno dadas por:
0)t,y,x(u
ˆ
=
, para
x
Lx0
≤
≤
e
y
Ly0
≤
≤
; (4.3a)
0)t,y,x(v
ˆ
=
, para
x
Lx0
≤
≤
e
y
Ly0
≤
≤
; (4.3b)
para
0
tt = e
0)t,y,x(u
ˆ
0x
=
=
, 0)t,y,x(u
ˆ
Lx
=
=
x
,
y
Ly0
≤
≤
; (4.4a,b)
0)t,y,x(u
ˆ
0y
=
=
; 0)t,y,x(u
ˆ
y
Ly
=
=
,
x
Lx0
≤
≤
; (4.4c,d)
0)t,y,x(v
ˆ
0x
=
=
, 0)t,y,x(v
ˆ
Lx
=
=
x
,
y
Ly0
≤
≤
; (4.4e,f)
1v)t,y,x(v
ˆ
0
0y
==
=
,
0)t,y,x(v
ˆ
y
Ly
=
=
,
x
Lx0
≤
≤
; (4.4g,h)
para
0
tt > .
Para a obtenção de solução analítica das equações (4.1) e (4.2) foi aplicada a Técnica da
Transformada Integral Generalizada, TTIG, como será visto a seguir.
49
4.1.1 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo y
De acordo com a metodologia de aplicação da TTIG descrita por Cotta (1993) para a
obtenção de solução das equações de Burgers, os potenciais de velocidades
)t,y,x(u
ˆ
e
)t,y,x(v
ˆ
serão escritos em termos de uma expansão em autofunções normalizadas, obtidas a partir da
definição de um problema auxiliar de autovalor para cada coordenada espacial. Neste sentido, a
aplicação da transformada integral será feita por partes. Inicialmente, considere para a
coordenada y, os seguintes problemas auxiliares de autovalor, do tipo de Sturm-Liouville
(Aparecido, 1997) e suas respectivas condições de contornos.
4.1.1.1 Definição dos Problemas Auxiliares de Autovalor
As Equações (4.1) e (4.2) serão transformadas, considerando os seguintes problemas
auxiliares de autovalor e suas respectivas condições de contorno:
0)y()µ(
dy
)y(d
i
2u
i
2
i
2
=Ψ+
Ψ
, (4.5)
0)y(
0y
i
=Ψ
=
e 0)y(
y
Ly
i
=Ψ
=
, (4.6a,b)
0(y)Φ)µ(
dy
(y)Φd
i
2v
i
2
i
2
=+
, (4.7)
0)y(
0y
i
=Φ
=
e
0)y(
Lyy
i
=Φ
=
, (4.8a,b)
As autofunções normalizadas
)y(
i
Ψ
e
)y(
i
Φ
; as integrais de normalização
u
i
A e
v
i
A e
os autovalor
u
i
µ e
v
i
µ , são respectivamente expressos por
)yµ(senA)y(
u
i
u
ii
=Ψ ;
y
u
i
L
2
A = ;
y
u
i
L
πi
µ =
,
∞
=
,,3,2,1i K
(4.9)
)yµ(senA)y(
v
i
v
ii
=Φ ;
y
v
i
L
2
A = ;
y
v
i
L
πi
µ =
,
∞
=
,,3,2,1i K
(4.10)
50
O desenvolvimento de tais problemas auxiliares de autovalor é apresentado no
Apêndice B.
4.1.1.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo y
As autofunções acima obtidas pela solução dos problemas auxiliares de autovalor são
ortogonais, o que permite definir agora, o par transformada-inversa das equações (4.1) e (4.2).
Para isso, considere uma representação para os potenciais de velocidades
)t,y,x(u
ˆ
e
)t,y,x(v
ˆ
em termos de uma expansão em série das autofunções normalizadas
)y(
i
Ψ
e
)y(
i
Φ
,
respectivamente, como segue:
∑
∞
=
Ψ=
1i
ii
)y()t,x(u
~
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
, (4.11)
∑
∞
=
Φ=
1i
ii
)y()t,x(v
~
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
. (4.12)
Inicialmente, multiplica-se as equações (4.11) e (4.12) por
)y(
j
Ψ
e
)y(
j
Φ
,
respectivamente, obtendo
∑
∞
=
ΨΨ=Ψ
1i
iijj
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,y,x(u
ˆ
)y(
,
∞
=
,,2,1j K
(4.13)
∑
∞
=
ΦΦ=Φ
1i
iijj
)y()t,x(v
~
ˆ
)y()t,y,x(v
ˆ
)y(
,
∞
=
,1,2,j K
. (4.14)
Aplicando o operador integral nas equações (4.13) e (4.14) respectivamente, em relação
ao eixo y no intervalo
]L,0[
y
, tem-se
∫
∑
∫
∞
=
ΨΨ=Ψ
yy
L
0
1i
iij
L
0
j
dy)y()t,x(u
~
ˆ
)y(dy)t,y,x(u
ˆ
)y(
, (4.15)
51
∫
∑
∫
∞
=
ΦΦ=Φ
yy
L
0
1i
iij
L
0
j
dy)y()t,x(v
~
ˆ
)y(dy)t,y,x(v
ˆ
)y(
. (4.16)
As equações (4.15) e (4.16) são manipuladas separadamente. A equação (4.15), torna-se
dy)y()y( )t,x(u
~
ˆ
dy)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
L
0
ji
1i
i
y
L
0
j
∫
∑
∫
ΨΨ=Ψ
∞
=
. (4.17)
Utilizando a propriedade de ortonormalidade das autofunções, tem-se
ji ,1
ji ,0
δdy)y()y(
ij
L
0
ji
y
⎩
⎨
⎧
=
≠
==ΨΨ
∫
,
na qual
ij
δ
é o delta de Kronecker.
A equação (4.17) pode ser reescrita como
)t,x(u
~
ˆ
δ)t,x(u
~
ˆ
dy)t,y,x(u
ˆ
)y(
jij
1i
i
L
0
j
y
==Ψ
∑
∫
∞
=
Logo, o par transformada-inversa para o potencial velocidade
)t,y,x(u
ˆ
é descrito por
∫
Ψ=
y
L
0
ii
dy)t,y,x(u
ˆ
)y( )t,x(u
~
ˆ
,
∞
=
K,3,2,1i
, (Transformada) (4.18)
∑
∞
=
Ψ=
1j
jj
)y()t,x(u
~
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
. (Inversa) (4.19)
De forma análoga, determina-se o par transformada-inversa para
)t,y,x(v
ˆ
. A equação
(4.16), torna-se
∫
∑
∫
ΦΦ=Φ
∞
=
yy
L
0
ji
1i
i
L
0
j
dy)y()y()t,x(v
~
ˆ
dy)t,y,x(v
ˆ
)y(
. (4.20)
52
A equação (4.20) pode ser reescrita como
)t,x(v
~
ˆ
δ)t,x(v
~
ˆ
dy)t,y,x(v
ˆ
)y(
jij
L
0
1i
ij
y
==Φ
∫
∑
∞
=
. (4.21)
Logo, o par transformada inversa para o potencial velocidade
)t,y,x(v
ˆ
é descrito por
∫
=
y
L
0
ii
t)dyy,(x,v
ˆ
(y)Φ t)(x,v
~
ˆ
,
∞
=
,,3,2,1i K
, (Transformada) (4.22)
∑
∞
=
Φ=
1j
jj
)y()t,x(v
~
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
. (Inversa) (4.23)
4.1.1.3 Transformação das Equações de Burgers na Direção do Eixo y
Uma vez obtido o par transformada-inversa em relação ao eixo y, então, é possível operar
a transformação integral das equações de Burgers descrita pelas equações (4.1) e (4.2).
Inicialmente, transforma-se a equação (4.1) relacionada ao potencial velocidade
)t,y,x(u
ˆ
.
A transformação é obtida através do produto das autofunções normalizadas
)y(
i
Ψ
com a
equação (4.1), que na sua essência, promove a remoção das derivadas parciais de primeira e
segunda ordem relativas a variável y. Em seguida, fazendo uso de operações com a equação (4.5)
e das condições de contorno, definida pela equação (4.6), obtêm-se a primeira transformação da
equação (4.1). As operações transformações são apresentados a seguir.
Inicialmente, efetuando o produto da equação (4.1) por
)y(
i
Ψ
, obtém-se
=
∂
∂
Ψ+
∂
∂
Ψ+
∂
∂
Ψ
y
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
)y(
x
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
)y(
t
)t,y,x(u
ˆ
)y(
iii
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ψ+
∂
∂
Ψ=
2
2
i
2
2
i
y
)t,y,x(u
ˆ
)y(
x
)t,y,x(u
ˆ
)y(
Re
1
. (4.24)
Multiplicando a equação (4.5) por
)t,y,x(u
ˆ
Re
1
, tem-se
53
0)y()µ)(t,y,x(u
ˆ
Re
1
dy
)y(d
)t,y,x(u
ˆ
Re
1
i
2u
i
2
i
2
=Ψ+
Ψ
. (4.25)
Adicionando-se as equações (4.24) e (4.25) e rearranjando, obtém-se
=
∂
∂
Ψ+
∂
∂
Ψ+
∂
∂
Ψ
y
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
)y(
x
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
)y(
t
)t,y,x(u
ˆ
)y(
iii
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ψ−
Ψ
−
∂
∂
Ψ+
∂
∂
Ψ= )y()µ)(t,y,x(u
ˆ
dy
)y(d
)t,y,x(u
ˆ
y
)t,y,x(u
ˆ
)y(
x
)t,y,x(u
ˆ
)y(
Re
1
i
2u
i
2
i
2
2
2
i
2
2
i
(4.26)
Aplicando o operador integral na equação (4.26) em relação ao eixo y, no intervalo
]L,0[
y
, tem-se
+
∂
∂
Ψ+
∂
∂
Ψ
∫∫
yd
x
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
)y(dy
t
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
L
0
i
y
L
0
i
+
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ψ=
∂
∂
Ψ+
∫∫
y
L
0
2
2
i
y
L
0
i
dy
x
)t,y,x(u
ˆ
)y(
Re
1
dy
y
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
)y(
−
Ψ
−
∂
∂
Ψ+
∫∫
dy
dy
)y(d
)t,y,x(u
ˆ
dy
y
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
⎥
⎦
⎤
Ψ−
∫
dy)y()µ)(t,y,x(u
ˆ
y
L
0
i
2u
i
. (4.27)
Substituindo as equações (4.19) e (4.23) nos termos não lineares da equação (4.27),
obtêm-se
+
∂
Ψ∂
ΨΨ+
∂
∂
Ψ
∫
∑
∑
∫
∞
=
∞
=
dy
x
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(u
~
ˆ
)y(dy
t
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
y
L
0
i
+
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ψ=
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ψ∂
ΦΨ+
∫∫
∑
∑
∞
=
∞
=
y
L
0
2
2
i
y
L
0
1k
kk
1j
jji
dy
x
)t,y,x(u
ˆ
)y(
Re
1
dy
y
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
)y(
⎥
⎦
⎤
Ψ−
Ψ
−
∂
∂
Ψ+
∫∫∫
y
L
0
i
2u
i
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
dy)y()µ)(t,y,x(u
ˆ
dy
dy
)y(d
)t,y,x(u
ˆ
dy
y
)t,y,x(u
ˆ
)y(.
(4.28)
54
A integração de cada termo da equação (4.28) é apresentada no apêndice C. Segue abaixo
os resultados:
t
t)(x,u
~
ˆ
dy
t
t)y,(x,u
ˆ
(y)Ψ
i
L
0
i
y
∂
∂
=
∂
∂
∫
, (4.29)
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∂
∂
=
∂
∂
1j1k
k
jijk
y
L
0
1k
kk
1j
jji
x
t)(x,u
~
ˆ
t)(x,u
~
ˆ
Ady
x
(y)t)Ψ(x,u
~
ˆ
(y)t)Ψ(x,u
~
ˆ
(y)Ψ , (4.30)
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
1j1k
kjijk
y
L
0
1k
kk
1j
jji
t)(x,u
~
ˆ
t)(x,v
~
ˆ
Bdy
y
(y)t)Ψ(x,u
~
ˆ
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)Ψ
, (4.31)
2
i
2
y
L
0
2
2
i
x
t)(x,u
~
ˆ
dy
x
t)y,(x,u
ˆ
(y)Ψ
∂
∂
=
∂
∂
∫
, (4.32)
0dy
dy
(y)Ψd
t)y,(x,u
ˆ
dy
y
t)y,(x,u
ˆ
(y)Ψ
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
=−
∂
∂
∫∫
, (4.33)
t)(x,u
~
ˆ
)µ(dy(y)Ψ)µ(t)y,(x,u
ˆ
i
2u
i
L
0
i
2u
i
y
=
∫
, (4.34)
nos quais dy)y()y()y(A
y
L
0
kjiijk
∫
ΨΨΨ= ,
dy
dy
)y(d
)y()y(B
y
L
0
k
jiijk
∫
Ψ
ΦΨ=
, são integráveis e, portanto, conhecidos a priori.
Substituindo as equações (4.29) a (4.34) na equação (4.28), obtém-se a primeira
transformação das equações de Burgers.
55
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=+
∂
∂
+
∂
∂
1j1k
kjijk
1j1k
k
jijk
i
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
B
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
A
t
)t,x(u
~
ˆ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
= t)(x,u
~
ˆ
)µ(
x
t)(x,u
~
ˆ
Re
1
i
2u
i
2
i
2
. (4.35)
A equação (4.35) define um sistema de equações diferenciais parciais não linear acoplado
e infinito para o potencial velocidade transformado
)t,x(u
~
ˆ
i
.
De maneira análoga, obtém-se a transformação integral das equações de Burgers
relacionada ao potencial velocidade
)t,y,x(v
ˆ
, equação (4.2), de acordo com o desenvolvimento
descrito abaixo.
Efetuando-se o produto das autofunções normalizadas,
)y(
i
Φ
, com a equação (4.2) e
multiplicando a equação (4.7) por
)t,y,x(v
ˆ
Re
1
, adicionando, rearranjando, e por fim integrando
a equação resultante em relação ao eixo y, no intervalo
]L,0[
y
, obtém-se
+
∂
∂
Φ+
∂
∂
Φ
∫∫
dy
x
)t,y,x(v
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
)y(dy
t
)t,y,x(v
ˆ
)y(
y
L
0
i
y
L
0
i
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∫∫
dy
x
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
Re
1
dy
y
t)y,(x,v
ˆ
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
y
L
0
2
2
i
y
L
0
i
⎥
⎦
⎤
Φ−
Φ
−
∂
∂
+
∫∫∫
yyy
L
0
i
2v
i
L
0
2
i
2
L
0
2
2
i
dy)y()µ)(t,y,x(v
ˆ
dy
dy
)y(d
)t,y,x(v
ˆ
dy
y
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
(4.36)
Substituindo as equações (4.19) e (4.23) nos termos não lineares da equação (4.36),
obtêm-se
56
+
∂
∂
+
∂
∂
∫
∑
∑
∫
∞
=
∞
=
dy
x
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)t)Ψ(x,u
~
ˆ
(y)Φdy
t
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
y
L
0
1k
kk
1j
jji
y
L
0
i
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∫∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy
x
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
Re
1
dy
y
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)Φ
yy
L
0
2
2
i
L
0
1k
kk
1j
jji
⎥
⎦
⎤
−−
∂
∂
+
∫∫∫
yyy
L
0
i
2v
i
L
0
2
i
2
L
0
2
2
i
(y)dyΦ)t)(µy,(x,v
ˆ
dy
dy
(y)Φd
t)y,(x,v
ˆ
dy
y
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ . (4.37)
De forma análoga ao potencial velocidade
t)y,(x,u
ˆ
, obtém-se os seguintes resultados
para cada integral envolvida na equação (4.37) relacionado ao potencial velocidade
t)y,(x,v
ˆ
.
t
)t,x(v
~
ˆ
dy
t
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
i
y
L
0
i
∂
∂
=
∂
∂
∫
, (4.38)
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∂
∂
=
∂
∂
1j1k
k
jijk
y
L
0
1k
kk
1j
jji
x
t)(x,v
~
ˆ
t)(x,u
~
ˆ
Cdy
x
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)t)Ψ(x,u
~
ˆ
(y)Φ , (4.39)
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∂
∂
1j1k
kjijk
L
0
1k
kk
1j
jji
t)(x,v
~
ˆ
t)(x,v
~
ˆ
Ddy
y
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)t)Φ(x,v
~
ˆ
(y)Φ
y
, (4.40)
2
i
2
L
0
2
2
i
x
t)(x,v
~
ˆ
dy
x
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
y
∂
∂
=
∂
∂
∫
, (4.41)
0dy
dy
(y)Φd
t)y,(x,v
ˆ
dy
y
t)y,(x,v
ˆ
(y)Φ
yy
L
0
2
i
2
L
0
2
2
i
=−
∂
∂
∫∫
, (4.42)
57
∫
=
y
L
0
i
2v
ii
2
v
t)(x,v
~
ˆ
)µ((y)dyΦt)µy,(x,v
ˆ
, (4.43)
nas quais
∫
=
y
L
0
kjiijk
(y)dy(y)Φ(y)ΨΦC e
∫
=
y
L
0
k
jiijk
dy
yd
(y)Φd
(y)(y)ΦΦD
.
Substituindo as equações (4.38) a (4.43) na equação (4.37), obtém-se a primeira
transformação para as equações de Burgers.
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=+
∂
∂
+
∂
∂
1j1k
kjijk
1j1k
k
jijk
i
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
D
x
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
C
t
)t,x(v
~
ˆ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
= t)(x,v
~
ˆ
)µ(
x
t)(x,v
~
ˆ
Re
1
i
2v
i
2
i
2
(4.44)
A equação (4.44) representa um sistema de equações diferenciais parciais não linear
acoplado e infinito para o potencial velocidade transformado
)t,x(v
~
ˆ
i
.
4.1.1.4 Transformação das Condições Inicial e de Contorno
Obtida a primeira transformação das equações de Burgers, transforma-se agora, as
condições iniciais (4.3a,b
) e as condições de contorno (4.4a,b,e,f). Efetuando o produto das
equações (4.3a) e (4.4a,b) pelas autofunções normalizadas
)y(
i
Ψ
e as equações (4.3b) e (4.4e,f)
pelas autofunções normalizadas
)y(
i
Φ
, respectivamente, e integrando-as em relação ao eixo y,
no intervalo
]L,0[
y
, obtém-se:
0dy)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
L
0
0i
=Ψ
∫
. (4.45)
58
0dy)t,y,x(u
ˆ
)y(
0x
L
0
i
y
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ψ
=
∫
; 0dy )t,y,x(u
ˆ
)y(
Lx
L
0
i
y
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂Ψ
=
∫
x
; (4.46a,b)
0dy)t,y,x(v
ˆ
)y(
y
L
0
0i
=Φ
∫
. (4.47)
∫∫
Φ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ
=
yy
L
0
i0
0x
L
0
i
dy)y( vdy)t,y,x(v
ˆ
)y(
;
0dy)t,y,x(v
ˆ
)y(
Lx
L
0
i
y
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂Φ
=
∫
x
. (4.48a,b)
As equações (4.45) a (4.48b) foram manipuladas separadamente. Os resultados obtidos
são apresentados a seguir:
0)t,x(u
~
ˆ
0i
= , (4.49)
0)t,x(u
~
ˆ
0x
i
=
=
, (4.50)
0)t,x(u
~
ˆ
x
Lx
i
=
=
, (4.51)
0)t,x(v
~
ˆ
0i
= , (4.52)
i
0x
i
g
~
)t,x(v
~
ˆ
=
=
, (4.53)
0)t,x(v
~
ˆ
x
Lx
i
=
=
. (4.54)
4.1.1.5 Homogeneização da Condição de Contorno
Para garantir a convergência da série que define a expansão do potencial velocidade
transformado
)t,x(v
~
ˆ
i
em autofunções, no contorno, é conveniente definir uma nova variável que
permita a homogeneização da condição de contorno na direção do eixo x. Para tal fim, foi
definida a relação
bax)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
ii
++=
+
, (4.55)
59
na qual
)t,x(v
~
ˆ
i
+
é o potencial velocidade transformado a ser determinado. Para x = 0, a equação
(4.55), torna-se
b)t,0(v
~
ˆ
)t,0(v
~
ˆ
ii
+=
+
.
Para ocorrer a homogeneização, considera-se 0)t,0(v
~
ˆ
0
=
+
. Logo,
ii
g
~
)t,0(v
~
ˆ
b ==
⇒
i
g
~
b
=
(4.56)
Novamente, em conseqüência da homogeneização, supõe-se
0)t,x(v
~
ˆ
x
Lx
i
=
=
+
.
Substituindo a equação (4.54) na equação (4.55), resulta
x
i
L
g
~
a −=
. (4.57)
Substituindo as equações (4.56) e (4.57) na equação (4.55), obtém-se uma redefinição da
condição de contorno para as equações de Burgers, como segue
)
L
x
1(g
~
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
x
iii
−+=
+
(4.58)
no qual
i
g
~
pode ser interpretado como termo fonte para a condição de contorno.
Redefinida a condição de contorno pela equação (4.58) e substituindo-a nas equações
(4.35) e (4.44), respectivamente, obtêm-se os seguintes sistemas de equações diferenciais
parciais não-lineares:
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
∂
∂
+
∂
∂
1j1k
k
x
jjijk
1j1k
k
jijk
i
)t,x(u
~
ˆ
L
x
1g
~
)t,x(v
~
ˆ
B
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
A
t
)t,x(u
~
ˆ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
= t)(x,u
~
ˆ
)µ(
x
t)(x,u
~
ˆ
Re
1
i
2u
i
2
i
2
(4.59)
e
60
∑∑
∞
=
∞
=
++
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
+
∂
∂
1j1k
x
kk
jijk
i
L
g
~
x
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
C
t
)t,x(v
~
ˆ
∑∑
∞
=
∞
=
++
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
1j1k
x
kk
x
jjijk
L
x
1g
~
)t,x(v
~
ˆ
L
x
1g
~
)t,x(v
~
ˆ
D
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−
∂
∂
=
+
+
x
ii
2v
i
2
i
2
L
x
1g
~
)t,x(v
~
ˆ
)µ(
x
t)(x,v
~
ˆ
Re
1
(4.60)
4.1.2 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo x
Para a aplicação da TTIG na direção do eixo x, os potenciais de velocidades
transformados
)t,x(u
~
ˆ
i
e
)t,x(v
~
ˆ
i
+
serão escritos em termos de uma expansão em autofunções
normalizadas, que são obtidas a partir de problemas auxiliares de autovalor, como descritos a
seguir.
4.1.2.1 Definição dos Problemas Auxiliares de Autovalor
Os problemas auxiliares de autovalor e suas respectivas condições de contornos no eixo x
relacionados às equações (4.59) e (4.60), são definidas a seguir:
0)x()λ(
dx
)x(d
m
2u
m
2
m
2
=Ξ+
Ξ
; (4.61)
0)x(
0x
m
=Ξ
=
e
0)x(
x
Lx
m
=Ξ
=
; (4.62a,b)
e
0)x()λ(
dx
)x(d
m
2v
m
2
m
2
=Θ+
Θ
(4.63)
0)x(
0x
m
=Θ
=
e
0)x(
x
Lx
m
=Θ
=
. (4.64a,b)
As autofunções
)x(
m
Ξ
e
)x(
m
Θ
, integrais de normalização
u
m
A e
v
m
A e os autovalores
u
m
λ e
v
m
λ , respectivos a cada problema de autovalor, são dados como segue
61
)xλ(senA)x(
u
m
u
mm
=Ξ ,
x
u
m
L
2
A =
,
x
u
m
L
mπ
λ =
,
∞
=
,,3,2,1m K
; (4.65)
)xλ(senA)x(
v
m
v
mm
=Θ ,
x
v
m
L
2
A =
,
x
v
m
L
mπ
λ =
,
∞
=
,,3,2,1m K
. (4.66)
4.1.2.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo x
Para se obter os pares transformada-inversa na direção do eixo x, os potenciais de
velocidades
)t,x(u
~
ˆ
i
e
)t,x(v
~
ˆ
i
+
são escritos em termos da expansão em série das autofunções
normalizadas obtidas pelos problemas auxiliares de autovalor.
Inicialmente, considere uma representação para os potenciais velocidades transformados
)t,x(u
~
ˆ
i
e
)t,x(v
~
ˆ
i
+
em termos das autofunções
)x(
m
Ξ
e
)x(
m
Θ
, respectivamente, como segue:
∑
∞
=
Ξ=
1m
mimi
)x()t(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
, (4.67)
∑
∞
=
++
Θ=
1m
mimi
)x()t(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
. (4.68)
Multiplicando as equações (4.67) e (4.68) por
)x(
n
Ξ
e
)x(
n
Θ
, obtém-se
∑
∞
=
ΞΞ=Ξ
1m
mimnin
)x()t(u
~
ˆ
)x()t,x(u
~
ˆ
)x(
,
∞
=
,,3,2,1n K
; (4.69)
∑
∞
=
++
ΘΘ=Θ
1m
mimnin
)x()t(v
~
ˆ
)x()t,x(v
~
ˆ
)x(
,
∞
=
,,3,2,1n K
. (4.70)
Integrando as equações (4.69) e (4.70) em relação ao eixo x no intervalo
]L,0[
x
, tem-se
62
∫
∑
∫
∞
=
ΞΞ=Ξ
xx
L
0
1m
mimn
L
0
in
dx)x( )t(u
~
ˆ
)x( dx)t,x(u
~
ˆ
)x(
, (4.71)
dx)x( )t(v
~
ˆ
)x( dx)t,x(v
~
ˆ
)x(
xx
L
0
1m
mimn
L
0
in
∫
∑
∫
∞
=
++
ΘΘ=Θ
. (4.72)
As equações (4.71) e (4.72) são manipuladas separadamente. Para a equação (4.71),
tem-se
∫
∑
∫
ΞΞ=Ξ
∞
=
xx
L
0
mn
1m
im
L
0
in
dx)x( )x( )t(u
~
ˆ
dx)t,x(u
~
ˆ
)x(
. (4.73)
Utilizando a propriedade de ortonormalidade das autofunções, obtém-se
⎩
⎨
⎧
=
≠
==ΞΞ
∫
nm ,1
nm ,0
δdx)x( )x(
x
L
0
mnmn
,
sendo
mn
δ
o delta de Kronecker.
A equação (4.73) pode ser também escrita como
)t(u
~
ˆ
δ)t(u
~
ˆ
dx)t,x(u
~
ˆ
)x(
in
L
0
mn
1m
imin
x
==Ξ
∫
∑
∞
=
. (4.74)
Logo, o par transformada-inversa para o potencial velocidade transformado,
)t,x(u
~
ˆ
i
, é
descrito por
∫
Ξ=
x
L
0
imim
dx)t,x(u
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
, (Transformada) (4.75)
∑
∞
=
Ξ=
1n
nini
)x( )t(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
. (Inversa) (4.76)
63
De forma análoga, determina-se o par transformada inversa para
)t,x(v
~
ˆ
i
+
.
Para a equação (4.72), tem-se
dx)x()x( )t(v
~
ˆ
dx)t,x(v
~
ˆ
)x(
xx
L
0
mn
1m
im
L
0
in
∫
∑
∫
ΘΘ=Θ
∞
=
++
. (4.77)
A equação (4.77) pode ser também escrita como
)t(v
~
ˆ
δ)t(v
~
ˆ
dx)t,x(v
~
ˆ
)x(
inmn
1m
im
L
0
in
x
+
∞
=
++
==Θ
∑
∫
(4.78)
Logo, o par transformada-inversa para
)t,x(v
~
ˆ
i
+
é descrito por
dx)t,x(v
~
ˆ
)x()t(v
~
ˆ
x
L
0
imim
∫
++
Θ= (Transformada) (4.79)
∑
∞
=
++
Θ=
1n
nini
)x()t(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
(Inversa) (4.80)
4.1.2.3 Transformação das Equações de Burgers na Direção do Eixo x
Tendo estabelecido os pares transformada-inversa dos potenciais velocidades
transformados
)t,x(u
~
ˆ
i
e
t)(x,v
~
ˆ
i
+
, procede-se, agora, a transformação integral das equações
(4.59) e (4.60), respectivamente.
A transformação integral da equação (4.59) é obtida através do produto interno de tal
equação com as autofunções normalizadas
)x(
m
Ξ
, promovendo, assim, a remoção das derivadas
parciais de primeira e segunda ordens relativas a variável x. Em seguida, fazendo uso de
operações com a equação (4.61) e das condições de contorno dadas pela equação (4.62a,b),
obtêm-se a segunda transformação da equação de Burgers. Os cálculos efetuados são
apresentados a seguir.
64
Calculando o produto da equação (4.59) com as autofunções
)x(
m
Ξ
, obtém-se
∑∑
∞
=
∞
=
+
∂
∂
Ξ+
∂
∂
Ξ
1j1k
k
jijkm
i
m
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
A)x(
t
)t,x(u
~
ˆ
)x(
∑∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
−Ξ+Ξ+
1j1k1j1k
kjijkmkjijkm
)t,x(u
~
ˆ
g
~
B)x()t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
B)x(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Ξ−
∂
∂
Ξ=Ξ−
∑∑
∞
=
∞
=
t)(x,u
~
ˆ
)µ)(x(
x
t)(x,u
~
ˆ
)x(
Re
1
)t,x(u
~
ˆ
x g
~
B)x(
L
1
i
2u
im
2
i
2
m
1j1k
kjijkm
x
(4.81)
Multiplicando a equação (4.61) por
)t,x(u
~
ˆ
Re
1
i
, tem-se
0(x))t)(λ(x,u
~
ˆ
Re
1
dx
(x)d
t)(x,u
~
ˆ
Re
1
m
2u
mi
2
m
2
i
=Ξ+
Ξ
. (4.82)
Somando as equações (4.81) e (4.82) e rearranjando, obtém-se
∑∑
∞
=
∞
=
+
∂
∂
Ξ+
∂
∂
Ξ
1j1k
k
jijkm
i
m
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
A)x(
t
)t,x(u
~
ˆ
)x(
∑∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
−Ξ+Ξ+
1j1k1j1k
kjijkmkjijkm
)t,x(u
~
ˆ
g
~
B)x()t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
B)x(
−
⎢
⎢
⎣
⎡
Ξ
−
∂
∂
Ξ=Ξ−
∑∑
∞
=
∞
=
2
m
2
i
2
i
2
m
1j1k
kjijkm
x
dx
(x)d
t)(x,u
~
ˆ
x
t)(x,u
~
ˆ
)x(
Re
1
)t,x(u
~
ˆ
x g
~
B)x(
L
1
]
(x))t)(λ(x,u
~
ˆ
-t)(x,u
~
ˆ
)µ)(x(
m
2u
mii
2u
im
ΞΞ− (4.83)
Aplicando o operador integral na equação (4.83) em relação ao eixo x, no intervalo
]L,0[
x
, tem-se
65
∫
∑∑
∫
∞
=
∞
=
+
∂
∂
Ξ+
∂
∂
Ξ
xx
L
0
1j1k
k
jijkm
L
0
i
m
dx
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
A)x( dx
t
)t,x(u
~
ˆ
)x(
∑∑ ∑∑
∫∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
−Ξ+Ξ+
1j1k1j1k
kjijk
L
0
mkjijk
L
0
m
dx)t,x(u
~
ˆ
g
~
B)x( dx)t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
B)x(
xx
−
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ξ=Ξ−
∫
∑∑
∫
∞
=
∞
=
dx
x
t)(x,u
~
ˆ
)x(
Re
1
dx )t,x(u
~
ˆ
x g
~
B)x(
L
x
xx
L
0
2
i
2
m
1j1k
kjijk
L
0
m
x
⎥
⎦
⎤
Ξ−Ξ−
Ξ
−
∫∫∫
dx(x))t)(λ(x,u
~
ˆ
dx t)(x,u
~
ˆ
)µ)(x(dx
dx
(x)d
t)(x,u
~
ˆ
xxx
L
0
m
2u
mi
L
0
i
2u
im
L
0
2
m
2
i
.
(4.84)
Substituindo as equações (4.76) e (4.80) na equação (4.84), tem-se
∫
∑∑
∑
∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
∂
Ξ∂
ΞΞ+
∂
∂
Ξ
xx
L
0
1j1k
1p
pkp
1n
njnijkm
L
0
i
m
dx
x
)x( )t(u
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
A)x( dx
t
)t,x(u
~
ˆ
)x(
∑∑ ∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
+ΞΘΞ+
1j1k1p
pkp
1n
njnijk
L
0
m
dx)x( )t(u
~
ˆ
)x( )t(v
~
ˆ
B)x(
x
+ΞΞ+
∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
dx)x( )t(u
~
ˆ
g
~
B)x(
1j1k1n
nknjijk
L
0
m
x
=ΞΞ−
∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=1j1k1n
nknjijk
L
0
m
x
dx )x()t(u
~
ˆ
g
~
B)x( x
L
1
x
−
Ξ
−
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ξ=
∫∫
dx
dx
(x)d
t)(x,u
~
ˆ
dx
x
t)(x,u
~
ˆ
)x(
Re
1
xx
L
0
2
m
2
i
L
0
2
i
2
m
⎥
⎦
⎤
Ξ−Ξ−
∫∫
dx(x))t)(λ(x,u
~
ˆ
dx t)(x,u
~
ˆ
)µ)(x(
xx
L
0
m
2u
mi
L
0
i
2u
im
. (4.85)
Seguem-se abaixo os resultados obtidos para cada integral envolvida na equação (4.85):
66
td
(t)u
~
ˆ
d
dx
t
)t,x(u
~
ˆ
)x(
im
L
0
i
m
x
=
∂
∂
Ξ
∫
, (4.86)
∫
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∂
Ξ∂
ΞΞ
x
L
0
1j1k
1p
pkp
1n
njnijkm
dx
x
)x( )t(u
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
A)x(
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
1j1k1n
kp
1p
jnmnpijk
)t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
EA
, (4.87)
∑∑ ∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
=ΞΘΞ
1j1k1p
pkp
1n
njnijk
L
0
m
dx)x( )t(u
~
ˆ
)x( )t(v
~
ˆ
B)x(
x
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
=
1j1k1n1p
kpjnmnpijk
)t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
GB
, (4.88)
∑∑∑∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=ΞΞ
1j1k1n
knmniijk
1j1k1n
nknjijk
L
0
m
(t)u
~
ˆ
Gg
~
Bdx)x( )t(u
~
ˆ
g
~
B)x(
x
, (4.89)
∑∑∑∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=ΞΞ
1j1k1n
knmnjijk
x
1j1k1n
nknjijk
L
0
m
x
)t(u
~
ˆ
H g
~
B
L
1
dx )x()t(u
~
ˆ
g
~
B)x( x
L
1
x
(4.90)
0dx
dx
(x)d
t)(x,u
~
ˆ
dx
x
t)(x,u
~
ˆ
)x(
xx
L
0
2
m
2
i
L
0
2
i
2
m
=
Ξ
−
∂
∂
Ξ
∫∫
(4.91)
(t)u
~
ˆ
)(µdx t)(x,u
~
ˆ
)(x)(µ
im
2u
i
L
0
i
2u
im
x
=Ξ
∫
, (4.92)
(t)u
~
ˆ
)(λdx(x))t)(λ(x,u
~
ˆ
im
2u
m
L
0
m
2u
mi
x
=Ξ
∫
, (4.93)
nos quais
dx
dx
)x(d
)x()x( E
x
L
0
p
nmmnp
∫
Ξ
ΞΞ=
,
dx )x()x()x( F
x
L
0
pnmmnp
∫
ΞΘΞ= ,
dx)x()x( G
x
L
0
nmmn
∫
ΞΞ= ,
∫
ΞΞ=
x
L
0
nmmn
dx)x( )x( xH,
67
Substituindo as equações (4.86) a (4.94) na equação (4.85), obtém-se a segunda
transformação para a equação de Burgers:
+++
∑∑∑∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
∞
= 1j1k1n1p
kpjnmnpijk
1j1k1n
kp
1p
jnmnpijk
im
)t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
FB)t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
EA
td
(t)u
~
ˆ
d
=−+
∑∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
= 1j1k1n
knmnjijk
x
1j1k1n
knmniijk
)t(u
~
ˆ
H g
~
B
L
1
(t)u
~
ˆ
Gg
~
B
[
]
{
}
(t)u
~
ˆ
)(λ)(µ
Re
1
im
2u
i
2u
i
+−= (4.94)
A equação (4.94) define um sistema não linear de equações diferenciais ordinárias de
primeira ordem acoplado e infinito para o potencial velocidade transformado
)t(u
~
ˆ
im
.
De maneira análoga, faz-se a transformação integral da equação (4.60) relacionada ao
potencial velocidade transformado
)t,x(v
~
ˆ
i
+
, conforme o desenvolvimento abaixo. Inicialmente,
efetuam-se o produto das autofunções normalizadas,
)x(
m
Θ
, com a equação (4.60) e o produto
da equação (4.63) por
)t,x(v
~
ˆ
Re
1
i
+
. Somando, rearranjando ,e por fim, integrando a equação
resultante em relação ao eixo x no intervalo
]L,0[
x
, obtém-se:
−
∂
∂
Θ+
∂
∂
Θ
∫
∑∑
∫
∞
=
∞
=
++
xx
L
0
1j1k
k
jijkm
L
0
i
m
dx
x
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
C)x(dx
t
)t,x(v
~
ˆ
)x(
∑∑
∫∫
∑∑
∞
=
∞
=
++
∞
=
∞
=
+Θ+Θ−
1j1k
kjijk
L
0
m
L
0
1j1k
x
k
jijkm
dx )t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
D)x( dx
L
g
~
)t,x(u
~
ˆ
C)x(
xx
∑∑
∫
∑∑
∫
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
+Θ−Θ+
1j1k
kjijk
L
0
m
x
1j1k
kjijk
L
0
m
dxg
~
)t,x(v
~
ˆ
D)x( x
L
1
dx g
~
)t,x(v
~
ˆ
D)x(
xx
∑∑ ∑∑
∫∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
−Θ+Θ+
1j1k1j1k
kjijk
L
0
mkjijk
L
0
m
dx g
~
g
~
D)x( dx )t,x(v
~
ˆ
g
~
D)x(
xx
∑∑
∫
∑∑
∫
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
−Θ−Θ−
1j1k
kjijk
L
0
m
1j1k
x
kjijk
L
0
m
x
dx t)(x,v
~
ˆ
g
~
D)x( x
L
1
dxg
~
g
~
D)x(x
L
1
xx
68
∑∑
∫
∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+Θ−
1j1k
kjijk
L
0
m
2
1j1k
2
x
kjijk
L
0
m
x
dx g
~
g
~
D)x( x
L
1
dx g
~
g
~
D)x( x
L
1
xx
+Θ−Θ−
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Θ=
∫∫∫
xxx
L
0
im
2v
i
L
0
im
2v
i
L
0
2
i
2
m
dxg
~
)x( )µ(t)dx(x,v
~
ˆ
)x( )µ(dx
x
t)(x,v
~
ˆ
)x(
Re
1
⎥
⎦
⎤
Θ−
Θ
−Θ+
∫∫∫
++
xxx
L
0
mi
2v
i
L
0
2
m
2
i
L
0
im
x
2v
i
dx )x()t,x(v
~
ˆ
)λ(dx
dx
)x(d
)t,x(v
~
ˆ
dxg
~
)x(x
L
)µ(
.(4.95)
Substituindo as equações (4.76) e (4.80) na equação (4.95), tem-se
−
∂
Θ∂
ΞΘ+
∂
∂
Θ
∫
∑∑
∑
∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
xx
L
0
1j1k
1p
pkp
1n
njnijkm
L
0
i
m
dx
x
)x( )t(v
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
C)x(dx
t
)t,x(v
~
ˆ
)x(
+ΞΘ−
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
x
L
0
1j1k
x
k
1n
njnijkm
dx
L
g
~
)x( )t(u
~
ˆ
C)x(
∑∑ ∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
+ΘΘΘ+
1j1k1p
pkp
1n
njnijk
L
0
m
dx )x()t(v
~
ˆ
)x()t(v
~
ˆ
D)x(
x
∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
−ΘΘ+
1j1k
k
1n
njnijk
L
0
m
dx g
~
)x()t(v
~
ˆ
D)x(
x
∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
+ΘΘ−
1j1k
k
1n
njnijk
L
0
m
x
dxg
~
)x()t(v
~
ˆ
D)x( x
L
1
x
+ΘΘ+
∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
1j1k1n
nknjijk
L
0
m
dx )x()t(v
~
ˆ
g
~
D)x(
x
∑∑
∫
∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−Θ−Θ+
1j1k
kjijk
L
0
m
x
1j1k
kjijk
L
0
m
dxg
~
g
~
D)x( x
L
1
dx g
~
g
~
D)x(
xx
∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
−ΘΘ−
1j1k1n
nknjijk
L
0
m
x
dx )x((t)v
~
ˆ
g
~
D)x( x
L
1
x
∑∑
∫
∞
=
∞
=
+Θ−
1j1k
kjijk
L
0
m
x
dx g
~
g
~
D)x( x
L
1
x
69
∑∑
∫
∞
=
∞
=
=Θ+
1j1k
kjijk
L
0
m
2
2
x
dxg
~
g
~
D)x( x
L
1
x
−Θ−
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Θ=
∫∫
+
xx
L
0
im
2v
i
L
0
2
i
2
m
dx t)(x,v
~
ˆ
)x()µ(dx
x
t)(x,v
~
ˆ
)x(
Re
1
−Θ+Θ−
∫∫
xx
L
0
im
x
2v
i
L
0
im
2v
i
dx x g
~
)x(
L
)µ(
dx g
~
)x( )µ(
⎥
⎦
⎤
Θ−
Θ
−
∫∫
++
xx
L
0
mi
2v
i
L
0
2
m
2
i
dx )x()t,x(v
~
ˆ
)λ(dx
dx
)x(d
)t,x(v
~
ˆ
.(4.96)
Apresenta-se abaixo os resultados de cada integral envolvida na equação (4.96), cujo
desenvolvimento está apresentado no apêndice C:
td
(t)v
~
ˆ
d
dy
t
t)(x,v
~
ˆ
(x)
im
L
0
i
m
x
++
=
∂
∂
Θ
∫
, (4.97)
∫
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∂
Θ∂
ΞΘ
x
L
0
1j1k
1p
pkp
1n
njnijkm
dx
x
)x( )t(v
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
C)x(
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
=
1j1k1n
kp
1p
jnmnpijk
(t)v
~
ˆ
(t)u
~
ˆ
IC
, (4.98)
∑∑∑
∫
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=ΞΘ
1j1k1n
jnmnkijk
x
L
0
1j1k
x
k
1n
njnijkm
x
)t(u
~
ˆ
Jg
~
C
L
1
dx
L
g
~
)x( )t(u
~
ˆ
C)x(
L
1
x
(4.99)
∑∑ ∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
=ΘΘΘ
1j1k1p
pkp
1n
njnijk
L
0
m
dx )x()t(v
~
ˆ
)x()t(v
~
ˆ
D)x(
x
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
++
=
1j1k1n1p
kpjnmnpijk
)t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
KD (4.100)
70
∑∑∑∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
=ΘΘ
1j1k1n
jnmnkijk
1j1k
k
1n
njnijk
L
0
m
)t(v
~
ˆ
Lg
~
Ddx g
~
)x()t(v
~
ˆ
D)x(
x
(4.101)
∑∑ ∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
=ΘΘ
1j1k1j1k1n
jnmnkijk
x
k
1n
njnijk
L
0
m
x
)t(v
~
ˆ
Mg
~
D
L
1
dxg
~
)x()t(v
~
ˆ
D)x( x
L
1
x
,
(4.102)
∑∑∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
=ΘΘ
1j1k
knmnjijk
1j1k1n
nknjijk
L
0
m
)t(v
~
ˆ
Lg
~
Ddx )x()t(v
~
ˆ
g
~
D)x(
x
, (4.103)
∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ
1j1k
mkjijk
1j1k
kjijk
L
0
m
N g
~
g
~
Ddx g
~
g
~
D)x(
x
(4.104)
∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ
1j1k
mkjijk
x
1j1k
kjijk
L
0
m
x
Og
~
g
~
D
L
1
dxg
~
g
~
D)x( x
L
1
x
, (4.105)
∑∑∑∑∑ ∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
=ΘΘ
1j1k1n
knmnjijk
x
1j1k1n
nknjijk
L
0
m
x
v
~
ˆ
Mg
~
D
L
1
dx )x((t)v
~
ˆ
g
~
D)x( x
L
1
x
, (4.106)
∑∑ ∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ−
1j1k1j1k
mkjijk
x
kjijk
L
0
m
x
Og
~
g
~
D
L
1
dx g
~
g
~
D)x( x
L
1
x
, (4.107)
m
1j1k
kjijk
1j1k
2
x
kjijk
L
0
m
2
2
x
Pg
~
g
~
D
L
1
dxg
~
g
~
D)x( x
L
1
x
∑∑∑∑
∫
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=Θ , (4.108)
0dx
xd
(x)d
t)(x,v
~
ˆ
dx
x
t)(x,v
~
ˆ
(x)
xx
L
0
2
m
2
i
L
0
2
i
2
m
=
Θ
−
∂
∂
Θ
∫∫
+
+
, (4.109)
(t)v
~
ˆ
)(µdx t)(x,v
~
ˆ
(x))(µ
im
2v
i
L
0
im
2v
i
x
++
=Θ
∫
, (4.110)
71
mi
2v
i
L
0
im
2v
i
Ng
~
)µ(dx g
~
)x()µ(
x
=Θ
∫
, (4.111)
mi
x
2v
i
L
0
im
2v
i
x
Og
~
L
)µ(
dx g
~
)x(x)µ(
L
1
x
=Θ
∫
, (4.112)
(t)v
~
ˆ
)(λ(x)dxt)(x,v
~
ˆ
)(λ
im
2v
m
L
0
mi
2v
m
x
++
=Θ
∫
, (4.113)
Substituindo as equações (4.97) a (4.113) na equação (4.96), obtém-se a segunda
transformação para a equação de Burgers:
∑∑∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
+−+
1j1k1n
jnmnkijk
x
1j1k1n
kp
1p
jnmnpijk
im
(t)u
~
ˆ
Jg
~
C
L
1
(t)v
~
ˆ
(t)u
~
ˆ
IC
td
(t)v
~
ˆ
d
∑∑∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
++
−++
1j1k1n
jnmnkijk
1j1k1n1p
kpjnmnpijk
)t(v
~
ˆ
Lg
~
D)t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
KD
−+−
∑∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
1j1k1n
knmnjijk
1j1k1n
jnmnkijk
x
)t(v
~
ˆ
Lg
~
D)t(v
~
ˆ
Mg
~
D
L
1
=−
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
1j1k1n
knmnjijk
x
)t(v
~
ˆ
Mg
~
D
L
1
[]
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−++−=
+
i
2v
imm
x
im
2v
m
2v
i
g
~
)µ(NO
L
1
(t)v
~
ˆ
)(λ)(µ
Re
1
kjijk
1j1k
mm
2
x
m
x
g
~
g
~
DNP
L
1
O
L
2
∑∑
∞
=
∞
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
. (4.114)
nas quais
∫
Θ
ΞΘ=
x
L
0
p
nmmnp
dx
dx
)x(d
)x()x( I
,
∫
ΞΘ=
x
L
0
nmmn
dx)x()x( J,
∫
ΘΘΘ=
x
L
0
pnmmnp
dx)x()x()x( K,
72
∫
ΘΘ=
x
L
0
nmmn
dx)x()x( L,
∫
ΘΘ=
x
L
0
nmmn
dx x )x()x( M
∫
Θ=
x
L
0
mm
dx )x( N
∫
Θ=
x
L
0
mm
dx x )x( O
∫
Θ=
x
L
0
m
2
m
dx)x(x P.
A equação (4.114), define um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira
ordem, não linear, acoplado e infinito para o potencial velocidade transformado
(t)v
~
ˆ
im
+
.
As equações (4.94) e (4.114) devem satisfazer as condições iniciais transformadas do
problema. Das operações relativas a esta transformação integral, tem-se:
0)t(u
~
ˆ
0im
= . (4.115)
)N
L
O
(g
~
)t(v
~
ˆ
m
x
m
i0im
−=
+
. (4.116)
4.1.3 Truncamento da Expansão em Séries Finitas
Para obter resultados numéricos dos sistemas infinitos descritos pelas equações (4.94) e
(4.114), sujeitos às condições iniciais transformadas, dadas pelas equações (4.115) e (4.116), as
séries devem ser truncadas em uma dada ordem. Assim,
+++
∑∑∑∑∑∑∑∑
====
+
====
u
y
u
y
u
x
u
x
u
y
u
y
u
x
u
x
N
1j
N
1k
N
1n
N
1p
kpjnmnpijk
N
1j
N
1k
N
1n
kp
N
1p
jnmnpijk
im
)t(u
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
FB)t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
EA
td
(t)u
~
ˆ
d
=−+
∑∑∑∑∑∑
======
u
y
u
y
u
x
u
y
u
y
u
x
N
1j
N
1k
N
1n
knmnjijk
x
N
1j
N
1k
N
1n
knmnjijk
(t)u
~
ˆ
Hg
~
B
L
1
(t)u
~
ˆ
Gg
~
B
[
]
{
}
(t)u
~
ˆ
)(λ)(µ
Re
1
im
2u
i
2u
i
+−= (4.117)
73
e
∑∑∑∑∑∑∑
======
+
=
+
+−+
v
y
v
y
v
y
v
y
v
y
v
x
v
x
N
1j
N
1k
N
1n
jnmnkijk
x
N
1j
N
1k
N
1n
kp
N
1p
jnmnpijk
im
(t)u
~
ˆ
Jg
~
C
L
1
(t)v
~
ˆ
(t)u
~
ˆ
IC
td
(t)v
~
ˆ
d
∑∑∑∑∑∑∑
===
+
====
++
−++
v
y
v
y
v
x
v
y
v
y
v
x
v
x
N
1j
N
1k
N
1n
jnmnkijk
N
1j
N
1k
N
1n
N
1p
kpjnmnpijk
)t(v
~
ˆ
Lg
~
D)t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
KD
−+−
∑∑∑∑∑∑
===
+
===
+
v
y
v
y
v
x
v
y
v
y
v
x
N
1j
N
1k
N
1n
knmnjijk
N
1j
N
1k
N
1n
jnmnkijk
x
)t(v
~
ˆ
Lg
~
D)t(v
~
ˆ
Mg
~
D
L
1
=−
∑∑∑
===
+
v
y
v
y
v
x
N
1j
N
1k
N
1n
knmnjijk
x
v
~
ˆ
Mg
~
D
L
1
[]
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−++−=
+
i
2v
imm
x
im
2v
m
2v
i
g
~
)µ(NO
L
1
(t)v
~
ˆ
)(λ)(µ
Re
1
kjijk
N
1j
N
1k
m
2
x
m
x
m
g
~
g
~
DN
L
P
L
O2
v
y
v
y
∑∑
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+
. (4.118)
nas quais
v
y
v
x
u
y
u
x
N ,N ,N ,N
representam as ordens de truncamento para cada somatório,
escolhidas suficientemente grandes a fim de garantir a convergência desejada ou possível.
4.2 Solução dos Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias Não Lineares
Para a solução dos sistemas de equações diferenciais ordinárias não lineares dadas pelas
equações (4.117) e (4.118), foi utilizado a rotina DIVPAG da Biblioteca IMSL, que tem
demonstrado ser uma ferramenta computacional poderosa para a solução numérica de sistemas
com esta estrutura.
Após o computo dos potenciais velocidades transformados
)t(v
~
ˆ
e )t(u
~
ˆ
imim
+
, é possível
obter os potenciais
t)y,(x,v
ˆ
e )t,y,x(u
ˆ
, fazendo uso das fórmulas de inversão,
)y()x( )t(u
~
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
jn
N
1j
N
1n
jn
)u(
y
)u(
x
ΨΞ=
∑∑
==
e )y( )
L
x
1(g
~
)x( )t(v
~
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
j
N
1j
x
j
N
1n
njn
)v(
y
)v(
y
Φ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+Θ=
∑∑
==
+
.
74
Este é o procedimento formal que permite obter a solução híbrida analítica-numérica para
a classe de problemas representada pelas equações (4.1) e (4.2) e que se constitui na base
metodológica do presente trabalho.
É importante observar que as equações de Burgers com as condições inicial e de contorno
impostas para o problema proposto, exige, necessariamente, a solução trivial da componente
)t,y,x(u
ˆ
. Assim, 0)t,y,x(u
ˆ
=
.
4.3 Resultados e Discussão
Nesta seção são apresentados os resultados numéricos obtidos para escoamentos com
diversos Reynolds em cavidades bidimensionais de seção quadrada.
Para o cômputo das integrais envolvidas nos coeficientes das equações de Burgers foi
feito uso da rotina DQDAG da biblioteca IMSL. Os sistemas de equações diferenciais ordinárias
para os potenciais transformados, equações (4.117) e (4.118), foram resolvidos com o auxílio da
rotina DIVPAG, como já discutido na seção 4.2.
Foi verificado que a convergência das séries que determinam os potenciais velocidades é
muito lenta, sendo necessária uma ordem de truncamento relativamente alta para se obter
resultados mais precisos. Por outro lado, a forte não linearidade e a complexidade da estrutura
das equações diferenciais ordinárias exige um tempo de processamento computacional
extremamente elevado. Desta forma, foram considerados ordens de truncamento na série,
35NNNN
v
y
v
x
u
y
u
x
====
termos, resultando assim em um sistema de 1225 equações
diferenciais ordinárias para cada componente da velocidade transformada.
Para fins de comparação, o mesmo problema também foi resolvido pelo método de
diferenças finitas (MDF) (ver Apêndice F), sendo consideradas três formulações relativas a
discretização temporal: a formulação implícita, totalmente implícita e explícita. Para a
discretização do domínio geométrico, foram utilizadas malhas de 401 x 401 e para a
discretização do domínio temporal foram considerados intervalos
-4
10t =∆ . Os resultados
numéricos obtidos para as três formulações apresentaram uma boa concordância. Para fins de
comparação apresentam-se na Tabela 4.1 os resultados referentes aos perfis de velocidade na
linha central da cavidade ( y = 0,5 ) .
75
Tabela 4.1: Resultados referentes aos perfis de velocidade, 100Re = , 5,0y = (MDF).
X
Formulação
Implícita
Formulação
Totalmente Implícita
Formulação
Explícita
0.000E+00 0.100000E+01 0.100000E+01 0.100000E+01
0.250E-02 0.987186E+00 0.987186E+00 0.987185E+00
0.500E-02 0.974381E+00 0.974381E+00 0.974379E+00
0.750E-02 0.961594E+00 0.9615935E+00 0.961591E+00
0.100E-01 0.948833E+00 0.948833E+00 0.948830E+00
0.250E-01 0.873270E+00 0.873270E+00 0.873263E+00
0.500E-01 0.754083E+00 0.754083E+00 0.754071E+00
0.750E-01 0.647067E+00 0.647067E+00 0.647052E+00
0.100E+00 0.554013E+00 0.554013E+00 0.553996E+00
0.250E+00 0.234000E+00 0.234000E+00 0.233987E+00
0.500E+00 0.803324E-01 0.803319E-01 0.803289E-01
0.750E+00 0.302840E-01 0.302835E-01 0.302833E-01
0.100E+01 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
Como pode ser observado, a precisão obtida varia de 4 a 6 dígitos. Desta forma, optou-se,
sem perda de generalidade, pelo MDF com formulação implícita na discretização temporal, para
fins de comparação.
Visto que as equações de Burgers tem solução trivial para a componente )t,y,x(u
ˆ
da
velocidade, 0)t,y,x(u
ˆ
= , o efeito difusivo é transferido via viscosidade. Para fluidos com baixa
viscosidade o número de Reynolds aumenta e, como conseqüência, o desenvolvimento do
escoamento ocorre mais próximo da parede que contem a tampa deslizante. Este fato é
visualizado nas figuras (4.1), (4,2) e (4.3), onde são apresentados os valores das velocidades
sobre cada curva. Como pode ser observado, os resultados obtidos pela TTIG apresentaram
ondulações próximas da parede deslizante. Este fato evidencia a necessidade de um maior
número de termos da série. Mas de uma forma geral, os resultados numéricos obtidos pela TTIG
apresentaram uma concordância muito significativa com aqueles obtidos pelo MDF.
76
(a) TTIG
(b) MDF
Figura 4.1: Mapas de Isovelocidades para a componente da velocidade v, Re = 100.
(a) TTIG
(b) MDF
Figura 4.2: Mapas de Isovelocidades para a componente da velocidade v, Re = 400.
77
(a) TTIG
(b) MDF
Figura 4.3: Mapas de Isovelocidades para a componente da velocidade v, Re = 1000.
Nas figuras 4.4, 4.5 e 4.6, são apresentados uma comparação dos resultados obtidos pela
TTIG e MDF para os perfis de velocidade em y = 0,5 e números de Reynolds Re = 100, 400 e
1000, respectivamente. Como já discutido anteriormente, observa-se que com o acréscimo do
número de Reynolds, a velocidade diminui mais rapidamente a medida que se afasta da parede
deslizante.
x
v
0 0.25 0.5 0.75 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
TTIG
FDM
Re = 100
t=40
Figura 4.4: Perfis de velocidade, para Re = 100, y = 0,5.
78
x
v
0 0.25 0.5 0.75 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
TTIG
FDM
Re = 400
t=40
Figura 4.5: Perfis de velocidade, para Re = 400, y = 0,5.
x
v
0 0.25 0.5 0.75 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
TTIG
FDM
Re = 1000
t=40
Figura 4.6: Perfis de velocidade, para Re = 1000, y = 0,5.
A solução das equações de Burgers leva a um campo não-solenoidal, permitindo fazer
uma interessante análise comparativa entre
y
)t,y,x(v
ˆ
∂
∂
e o divergente 0
y
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(u
ˆ
≠
∂
∂
+
∂
∂
.
Esta análise é feita na região do escoamento próximo as paredes inferior e superior, adjacentes à
parede que contem a tampa deslizante. As derivadas nesta região apresentam valores mais
79
significativos devido ao fato de ocorrer uma singularidade nas condições de contorno. No
restante do escoamento o divergente diminui rapidamente. Nas figuras (4.7) e (4.8) este
comportamento é visualizado para escoamento em regime permanente com Reynolds Re = 100.
4
5
3
6
2
7
1
8
9
0
0
5
4
0 0.05 0.1
0
0.05
0.1
Re = 100
dv/dy
(a)
5
4
4
5
3
6
2
7
1
8
9
0
0
0 0.05 0.
1
0
0.05
0.1
Re = 100
∂u(x,y,t)/∂x+∂v(x,y,t)/∂y ≠ 0
(b)
Figura 4.7: Comportamento de dy/dv , e de
0y/)t,y,x(v
ˆ
x/)t,y,x(u
ˆ
≠∂
∂
+
∂
∂
, na região inferior
adjacente a parede que contem a tampa deslizante.
-
5
4
-
4
5
-
3
6
-
2
7
-
1
8
-
9
0
0
0 0.1 0.2
0.9
0.95
1
Re = 100
dv/dy
(a)
-
4
5
-
3
6
-
2
7
-
1
8
-
9
0
0
-
5
4
0 0.1 0.2
0.9
0.95
1
Re = 100
∂u(x,y,t)/∂x+∂v(x,y,t)/∂y ≠ 0
(b)
Figura 4.8: Comportamento de dv/dy, e de
0y/)t,y,x(v
ˆ
x/)t,y,x(u
ˆ
≠∂
∂
+
∂
∂
, na região superior
adjacente a parede que contem a tampa deslizante.
80
Como método visualização pode ser observado a norma do divergente, que é dada pela
equação,
dxdy
y
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(D
yx
L
0
2
L
0
2
2
∫∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
=
Como pode ser observado nas figuras (4.9), (4.10) e (4.11), o valor da norma tende a
aumentar à medida que se aumenta o número de Reynolds. Este fato é devido a singularidade
presente nas condições de contorno nos pontos adjacentes da parede deslizante com as paredes
inferior e superior da cavidade.
t
0 10 20 30 40
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
TTIG
MDF
Re = 100
⎪⎪D⎪⎪
Figura 4.9: Norma do divergente, para Re =100.
81
t
0 10 20 30 40
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
TTIG
MDF
Re = 400
⎪⎪D⎪⎪
Figura 4.10: Norma do divergente, para Re = 400.
t
0 10 20 30 40
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
TTIG
MDF
Re = 1000
⎪⎪D⎪⎪
Figura 4.11: Norma do divergente, para Re = 1000.
Nas figuras 4.12, 4.13 e 4.14 são apresentadas as evoluções da velocidade em função do
tempo, na linha central da cavidade para x = 0,05; 0,1; 0, 2 e 0.5, em escoamentos com números
de Reynolds Re = 100, 400 e 1000. Observa-se que o regime permanente é alcançado mais
rapidamente para a região mais próxima da parede deslizante em todos os casos analisados.
82
Figura 4.12: Velocidade
Χ Tempo, para Re = 100.
Figura 4.13: Velocidade
Χ Tempo, para Re = 400.
83
Figura 4.14: Velocidade
Χ Tempo, para Re = 1000.
Finalizando, o problema da cavidade de seção quadrada na qual uma de suas paredes é
colocada em movimento apresenta características interessantes para o estudo de escoamento de
fluidos. No caso particular do estudo das equações de Burgers , o problema da cavidade pode ser
caracterizado por uma perturbação, que é causada pelo deslocamento da tampa, e que se propaga
por difusão ao longo da cavidade, causando efeitos em forma de onda. Este é um problema
importante, mesmo quando se trata de um escoamento “imaginário”, pois os resultados são
utilizados como testes de métodos numéricos, além de apresentarem características comuns com
as equações de Navier-Stokes.
Vale aqui ressaltar que para a obtenção de solução foi aplicado a TTIG sobre as equações
de Burgers através da formulação em suas variáveis primitivas. Foi observado que, devido a não
linearidade das equações envolvidas, a série que determina os potenciais velocidades apresenta
convergência relativamente lenta, principalmente no início do transiente e nas regiões próximas
da parede deslizante.No entanto, expansões com 35 termos em cada direção já permitiram a
obtenção de resultados suficientemente significativos para a análise.
Enfim, para validação de todo o procedimento analítico-numérico, o mesmo problema foi
também resolvido pelo Método de Diferenças Finitas e os resultados obtidos demonstraram ser
bastante coerentes.
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES CAPÍTULO 5
No Capítulo 3 foram apresentadas formalmente as idéias que concernem o Método
Projeção e no Capítulo 4 foi apresentada a solução das Equações de Burgers, pela TTIG, para o
problema da cavidade com tampa deslizante. No presente capítulo será apresentado todo o
procedimento que foi desenvolvido para a obtenção de solução das equações de Navier-Stokes
relativos ao problema proposto. Como anteriormente, a TTIG será novamente utilizada para a
determinação dos potenciais pseudo-pressão e pressão.
5.1 Estrutura do Procedimento Analítico Adotado
Apresenta-se a seguir a estrutura do procedimento analítico que foi aplicado para a
determinação do campo de velocidades no interior da cavidade (Gresho, 1990).
Dado um campo 0)t,y,x(com)t,y,x(
00
=
⋅
∇
VV ,
(1) Resolve-se )t,y,x()t,y,x(
ˆ
com),t,y,x(
ˆ
00
VVV = , para
0
tt = ;
)t,y,x(
ˆ
)t,y,x(
ˆ
)t,y,x(
ˆ
t
)t,y,x(
ˆ
2
VVV
V
∇υ=∇⋅+
∂
∂
, no domínio
Ω ;
)t,y,x(V)t,y,x(V
ˆ
= , no contorno,
Ω
∂
, para tttt
00
∆+<
<
.
(2) Resolve-se o potencial pseudo-pressão, w(x,y,t), por
)T(V
ˆ
)t,y,x(w
2
⋅∇=∇ em
Ω
;
86
0
n
)t,y,x(w
=
∂
∂
em Ω∂ .
(3) Calcula-se, )t,y,x(w)t,y,x(
ˆ
)t,y,x( ∇−=
VV .
Por fim, resolve-se o potencial pressão,
t)y,(x,p
ˆ
por
))t,y,x(V
ˆ
(f)t,y,x(p
ˆ
2
⋅−∇=∇ ,
no qual )t,y,x(
ˆ
)t,y,x(
ˆ
))t,y,x(
ˆ
(
VVVf ∇⋅= .
(4) Reinicia-se o ciclo.
5.2 Equação da Pseudo-Pressão
De acordo com o algoritmo anterior, a formulação matemática para a equação da
pseudo-pressão é apresentada como segue
0
2
2
2
2
tt ,
y
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(u
ˆ
y
)t,y,x(w
x
)t,y,x(w
>
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
; (5.1)
submetida as seguintes condições de contorno adimensionalizadas:
0
x
)t,y,x(w
0x
=
∂
∂
=
, 0
x
)t,y,x(w
x
Lx
=
∂
∂
=
,
y
Ly0
≤
≤
; (5.2a,b)
0
y
)t,y,x(w
0y
=
∂
∂
=
, 0
y
)t,y,x(w
y
Ly
=
∂
∂
=
,
x
Lx0
≤
≤
. (5.2c,d)
87
5.2.1 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo y
Para a solução da equação da pseudo-pressão será aplicada a TTIG sobre a equação (5.1).
Assim, o potencial
)t,y,x(w será escrito em termos de uma expansão em autofunções
normalizadas, obtidas de problemas auxiliares de autovalor pré-estabelecidos para cada
coordenada correspondente e, de acordo com o procedimento já descrito no Capítulo 4, a
aplicação da transformada integral será feita por partes. Inicialmente, será considerado a
transformação para a coordenada y, como segue.
5.2.1.1 Problema Auxiliar de Autovalor para a Direção y
O problema de autovalor e suas respectivas condições de contorno são apresentados
como segue
0)y()µ(
dy
)y(d
i
2w
i
2
i
2
=Λ+
Λ
, (5.3)
0
dy
)y(d
0y
i
=
Λ
=
e 0
dy
)y(d
y
Ly
i
=
Λ
=
. (5.4a,b)
A solução para a equação (5.3) é efetuada, obtendo-se as seguintes autofunções
normalizadas
)y(
i
Λ ; as integrais de normalização
w
i
B e os autovalores
w
i
µ , respectivamente
expresso por:
)yµcos(B)y(
w
i
w
ii
=Λ ;
y
w
i
L
1
B
= ; 0µ
w
i
= , para 1i = ;
e
y
w
i
L
2
B
= ;
π
L
1i
µ
y
w
i
−
=
, para ∞= ,,4,3,2i K . (5.5)
O desenvolvimento do problema auxiliar de autovalor (5.3) é apresentado no apêndice B.
88
5.2.1.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo y
Obtidas as autofunções ortogonais através do problema auxiliar de autovalor descrito no
item anterior, é possível definir agora, o par transformada-inversa da equação (5.1). Neste
sentido, considere uma representação para o potencial pseudo pressão )t,y,x(w em termos de
uma expansão em série das autofunções normalizadas
)y(
i
Λ
, como segue
∑
∞
=
Λ=
1i
ii
)y()t,x(w
~
)t,y,x(w . (5.6)
Inicialmente, multiplica-se a equação (5.6) por )y(
j
Λ
, obtendo
∑
∞
=
ΛΛ=Λ
1i
iijj
)y()t,x(w
~
)y()t,y,x(w)y( . (5.7)
Integrando a equação (5.7) em relação ao eixo y no intervalo ]L,0[
y
, tem-se
dy)y()t,x(w
~
)y(dy)t,y,x(w)y(
y
L
0
1i
iij
y
L
0
j
∫
∑
∫
∞
=
ΛΛ=Λ ⇒
dy)y()y( )t,x(w
~
dy)t,y,x(w)y(
y
L
0
ij
1i
i
y
L
0
j
∫
∑
∫
ΛΛ=Λ
∞
=
(5.8)
Utilizando a propriedade de ortonormalidade das autofunções, obtém-se
⎩
⎨
⎧
=
≠
==ΛΛ
∫
ji ,1
ji ,0
δdy)y()y(
ij
y
L
0
ij
.
A equação (5.8) pode ser também escrita como
)t,x(w
~
δ)t,x(w
~
dy)t,y,x(w)y(
jij
1i
i
L
0
j
y
==Λ
∑
∫
∞
=
89
Logo, o par transformada-inversa para o potencial pseudo-pressão )t,y,x(w , é expresso
como segue
dy)t,y,x(w)y( )t,x(w
~
y
L
0
ii
∫
Λ=
∞
=
,,3,2,1i K , (Transformada) (5.9)
∑
∞
=
Λ=
1j
jj
)y()t,x(w
~
)t,y,x(w (Inversa) (5.10)
5.2.1.3 Transformação da Equação da Pseudo-Pressão na Direção do Eixo y
Uma vez determinado o par transformada-inversa em relação ao eixo y, então, é possível
operar a transformação integral da equação da pseudo-pressão.
A transformação é obtida através do produto das autofunções normalizadas
)y(
i
Λ , com a
equação (5.1), e conforme procedimentos anteriores, promove a remoção da variável y e suas
derivadas parciais de segunda ordem. Em seguida, fazendo uso de operações com a equação que
define o problema auxiliar de autovalor, equação (5.3), e das condições de contorno, equação
(5.4a,b), obtêm-se a primeira transformação da equação diferencial. Para que isso ocorra, os
cálculos são apresentados abaixo, como segue
Inicialmente, efetuando o produto da equação (5.1) por
)y(
i
Λ
, obtém-se
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
Λ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
Λ
y
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
)t,y,x(w
x
)t,y,x(w
)y(
i
2
2
2
2
i
. (5.11)
Multiplicando a equação (5.3) por )t,y,x(w, tem-se
0)y()µ)(t,y,x(w
dy
)y(d
)t,y,x(w
i
2w
i
2
i
2
=Λ+
Λ
. (5.12)
Subtraindo-se as equações (5.11) e (5.12), resulta
90
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
Λ
2
2
2
2
i
y
)t,y,x(w
x
)t,y,x(w
)y(
)y()µ)(t,y,x(w
dy
)y(d
)t,y,x(w
y
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(u
ˆ
)y(
i
2w
i
2
i
2
i
Λ+
Λ
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
Λ= (5.13)
Aplicando o operador integral na equação (5.13) em relação ao eixo y, no intervalo
]L,0[
y
e rearranjando-a, torna-se
=
∂
∂
Λ+
∂
∂
Λ
∫∫
dy
y
)t,y,x(w
)y(dy
x
)t,y,x(w
)y(
y
L
0
2
2
i
y
L
0
2
2
i
+
∂
∂
Λ+
∂
∂
Λ=
∫∫
dy
y
)t,y,x(v
ˆ
)y(dy
x
)t,y,x(u
ˆ
)y(
y
L
0
i
y
L
0
i
dy )y()µ)(t,y,x(wdy
dy
)y(d
)t,y,x(w
yy
L
0
i
2w
i
L
0
2
i
2
∫∫
Λ+
Λ
+ . (5.14)
Substituindo as equações (4.19), (4.23) e (5.10) nos termos não lineares da equação
equação (5.14), obtém-se
=
∂
∂
Λ+
∂
∂
Λ
∫∫
dy
y
t)y,w(x,
(y)dy
x
t)y,w(x,
(y)
y
L
0
2
2
i
y
L
0
2
2
i
+
∂
Φ∂
Λ+
∂
Ψ∂
Λ=
∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
dy
y
)y()t,x(v
~
ˆ
)y(dy
x
)y()t,x(u
~
ˆ
)y(
y
L
0
1j
jj
i
y
L
0
1j
jj
i
dy )y()µ)(t,y,x(wdy
dy
)y(d
)t,y,x(w
y
L
0
i
2w
i
y
L
0
2
i
2
∫∫
Λ+
Λ
+ . (5.15)
O desenvolvimento das integrais presentes na equação (5.15) é apresentado no apêndice
C. Segue abaixo os resultados:
2
i
2
y
L
0
2
2
i
x
t)(x,w
~
dy
x
t)y,w(x,
(y)
∂
∂
=
∂
∂
Λ
∫
, (5.16)
91
0dy
yd
(y)d
t)y,w(x,dy
y
t)y,w(x,
(y)
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
=
Λ
−
∂
∂
Λ
∫∫
, (5.17)
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
∂
∂
=
∂
Ψ∂
Λ
1j
j
ij
L
0
1j
jj
i
x
)t,x(u
~
ˆ
Qdy
x
)y()t,x(u
~
ˆ
)y(
y
, (5.18)
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
=
∂
Φ∂
Λ
1j
jij
L
0
1j
jj
i
t)(x,v
~
ˆ
Rdy
y
(y)t)(x,v
~
ˆ
(y)
y
, (5.19)
t)(x,w
~
)µ(dy (y))µ(t)y,w(x,
i
2w
i
y
L
0
i
2w
i
=Λ
∫
, (5.20)
nos quais dy)y()y( Q
y
L
0
jiij
∫
ΨΛ= ,
dy
dy
)y(d
)y(R
Y
L
0
j
iij
∫
Φ
Λ=
, são integráveis, portanto, conhecidos.
Substituindo as equações (5.16) a (5.20) na equação (5.15), obtém-se a primeira
transformação da equação da pseudo-pressão, representada pelo seguinte sistema de equações
diferenciais parciais não linear acoplado e infinito em termos do potencial pseudo-pressão
transformado
)t,x(w
~
i
∑
∞
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
=−
∂
∂
1j
jij
j
iji
2w
i
2
i
2
)t,x(v
~
ˆ
R
x
)t,x(u
~
ˆ
Q)t,x(w
~
)µ(
x
)t,x(w
~
. (5.21)
Substituindo
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
+
x
jjj
L
x
1g
~
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
na equação (5.21), resulta
92
∑
∞
=
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
∂
∂
=−
∂
∂
1j
x
jjij
j
iji
2w
i
2
i
2
L
x
1g
~
)t,x(v
~
ˆ
R
x
)t,x(u
~
ˆ
Q)t,x(w
~
)µ(
x
)t,x(w
~
, (5.22)
nos quais os potenciais velocidades transformados,
)t,x(u
~
ˆ
j
e )t,x(v
~
ˆ
j
+
, foram obtidos
formalmente, na solução das equações de Burgers.
5.2.1.4 Transformação das Condições de Contorno
Obtida a primeira transformação da equação da pseudo-pressão transforma-se agora, suas
respectivas condições de contorno. Efetuando o produto das condições de contorno, equações
(5.2a,b), com as autofunções normalizadas
)y(
i
Λ
e integrando-as em relação ao eixo y no
intervalo ]L,0[
y
, respectivamente, obtém-se
0dy
x
)t,y,x(w
)y(
0x
y
L
0
i
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Λ
=
∫
(5.23)
e
0dy
x
)t,y,x(w
)y(
x
y
Lx
L
0
i
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Λ
=
∫
(5.24)
Desenvolvendo as equações (5.23) e (5.24), obtém-se:
0dy
x
)t,y,x(w
)y(
0x
y
L
0
i
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Λ
=
∫
⇒ 0
x
)t,x(w
~
0x
i
=
∂
∂
=
, (5.25)
0dy
x
)t,y,x(w
)y(
x
y
Lx
L
0
i
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Λ
=
∫
⇒ 0
x
)t,x(w
~
x
Lx
i
=
∂
∂
=
(5.26)
93
5.2.2 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo x
A transformada integral é aplicada, agora, sobre a equação (5.22), de forma similar às
operações feitas na direção do eixo y. O potencial pseudo-pressão transformado,
)t,x(w
~
i
, será
escrito em termos de uma expansão em autofunções normalizadas obtidas a partir do problema
auxiliar de autovalor do tipo de Sturm-Liouville e suas respectivas condições de contorno.
5.2.2.1 Problema Auxiliar de Autovalor
Considere o seguinte problema auxiliar de autovalor e suas respectivas condições de
contorno, como segue:
0)x()λ(
dy
)x(d
m
2w
m
2
m
2
=Ζ+
Ζ
, (5.27)
0
dx
)x( d
0x
m
=
Ζ
=
e 0
dx
)x( d
Lxx
m
=
Ζ
=
(5.28a,b)
As autofunções normalizadas
)x(
m
Ζ
; as integrais de normalização
w
m
B e os autovalores
w
m
λ para o problema de autovalor proposto são expressas, respectivamente, por:
)xλcos(B)x(
w
m
w
mm
=Ζ ;
x
w
m
L
1
B =
; 0
w
m
=λ , para 1i = ;
e
x
w
m
L
2
B =
; π
L
1m
x
w
m
−
=λ , para
∞
= ,,4,3,2m K . (5.29)
5.2.2.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo x
Para estabelecer o par transformada-inversa na direção do eixo x, o potencial pseudo-
pressão transformado ,
)t,x(w
~
i
é escrito em termos de uma base ortogonal de autofunções,
)x(
m
Ζ , obtidas a partir do problema auxiliar de autovalor definido no item anterior
94
∑
∞
=
Ζ=
1m
mimi
)x()t(w
~
)t,x(w
~
. (5.30)
Multiplicando a equação (5.30) por
)x(
n
Ζ
, obtém-se
∑
∞
=
ΖΖ=Ζ
1m
mimnin
)x()t(w
~
)x()t,x(w
~
)x( . (5.31)
Integrando a equação (5.31) em relação ao eixo x no intervalo
]L,0[
x
, resulta
dx)x()t(w
~
)x(dx)t,x(w
~
)x(
x
L
0
1m
mimn
x
L
0
in
∫
∑
∫
∞
=
ΖΖ=Ζ ⇒
dx)x()x( )t(w
~
t)dx(x,w
~
(x)
x
L
0
nm
1m
im
x
L
0
in
∫
∑
∫
ΖΖ=Ζ
∞
=
. (5.32)
Utilizando a propriedade de ortonormalidade das autofunções, tem-se
⎩
⎨
⎧
=
≠
==ΖΖ
∫
nm ,1
nm ,0
δdx)x()x(
mn
L
0
nm
x
,
A equação (5.32) pode ser escrita como
)t(w
~
δ)t(w
~
dx)t,x(w
~
)x(
inmn
1m
im
x
L
0
in
==Ζ
∑
∫
∞
=
Logo, tem-se o par transformada-inversa em termos do potencial pseudo-pressão
transformado,
)t,x(w
~
i
, expresso como segue
dx)t,x(w
~
)x( )t(w
~
x
L
0
imim
∫
Ζ= (Transformada) (5.33)
95
∑
∞
=
Ζ=
1n
nini
)x()t(w
~
)t,x(w
~
(Inversa) (5.34)
5.2.2.3 Transformação da Equação Pseudo-Pressão para o Eixo x
Obtido o par Transformada-Inversa para o potencial pseudo-pressão transformado
)t,x(w
~
i
no eixo x, agora é possível transformar a equação (5.22), segundo um procedimento
semelhante àquele adotado para o eixo y. Efetuando o produto da equação (5.22) com a
autofunção
)x(
m
Ζ , tem-se
=Ζ−
∂
∂
Ζ )t,x(w
~
)µ)(x(
x
)t,x(w
~
)x(
i
2w
im
2
i
2
m
∑
∞
=
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
∂
∂
Ζ=
1j
x
jjij
j
ijm
L
x
1g
~
)t,x(v
~
ˆ
R
x
)t,x(u
~
ˆ
Q)x(
(5.35)
Multiplicando a equação (5.27) por )t,x(w
~
i
, obtém-se
0)x())(t,x(w
~
dx
)x(d
)t,x(w
~
m
2w
mi
2
m
2
i
=Ζλ+
Ζ
(5.36)
Subtraindo as equações (5.35) e (5.36), resulta
=Ζ−
∂
∂
Ζ )t,x(w
~
)µ)(x(
x
)t,x(w
~
)x(
i
2w
im
2
i
2
m
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
∂
∂
Ζ
∑
∞
=
+
1j
x
jjij
j
ijm
L
x
1g
~
)t,x(v
~
ˆ
R
x
)t,x(u
~
ˆ
Q)x(
. )x())(t,x(w
~
dx
)x(d
)t,x(w
~
m
2w
mi
2
m
2
i
Ζλ+
Ζ
+ (5.37)
Integrando a equação (5.37) em relação ao eixo x no intervalo ]L,0[
x
e rearranjando-a,
tem-se
+
∂
∂
Ζ=Ζ−
∂
∂
Ζ
∫
∑
∫∫
∞
=
dx
x
)t,x(u
~
ˆ
Q)x(dx )t,x(w
~
)µ)(x(dx
x
)t,x(w
~
)x(
xxx
L
0
1j
j
ijm
L
0
i
2w
im
L
0
2
i
2
m
+Ζ+
∫
∑
∞
=
+
dx )t,x(v
~
ˆ
R)x(
x
L
0
1j
jijm
+Ζ−Ζ
∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
dxg
~
R)x(x
L
1
dx g
~
R)x(
j
L
0
1j
ijm
x
L
0
1j
jijm
xx
96
dx )x())(t,x(w
~
dx
dx
)x(d
)t,x(w
~
x
L
0
m
2w
mi
x
L
0
2
m
2
i
∫∫
Ζλ+
Ζ
+ . (5.38)
Substituindo as equações (4.76) e (5.80) na equação (5.38), obtêm-se
=Ζ−
∂
∂
Ζ
∫∫
dx )t,x(w
~
)µ)(x(dx
x
)t,x(w
~
)x(
x
L
0
i
2w
im
x
L
0
2
i
2
m
+ΘΖ+
∂
Ξ∂
Ζ=
∫
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
dx )x()t(v
~
ˆ
R)x(dx
x
)x()t(u
~
ˆ
Q)x(
xx
L
0
1j1n
njnijm
L
0
1j
1n
njn
ijm
+
Ζ
+Ζ−Ζ+
∫∫
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
dx
dx
)x(d
)t,x(w
~
dxg
~
R)x(x
L
1
dx g
~
R)x(
xxx
L
0
2
m
2
ij
L
0
1j
ijm
x
L
0
1j
jijm
dx )x()t,x(w
~
)(
x
L
0
mi
2w
m
∫
Ζλ+ . (5.39)
O desenvolvimento das integrais envolvidas na equação (5.39) é apresentado no
apêndice C. Seguem-se abaixo os resultados:
0dx
dx
(y)d
t)(x,w
~
dx
x
t)(x,w
~
(x)
x
l
0
2
m
2
i
x
L
0
2
i
2
m
=
Ζ
−
∂
∂
Ζ
∫∫
, (5.40)
)t(w
~
)µ(dx )t,x(w
~
)µ)(x(
im
2w
i
x
L
0
i
2w
im
=Ζ
∫
, (5.41)
∑∑
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∂
Ξ∂
Ζ
1j1n
jnmnij
L
0
1j
1n
njn
ijm
)t(u
~
ˆ
SQdx
x
)x()t(u
~
ˆ
Q)x(
x
, (5.42)
∑∑
∫
∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
=ΘΖ
1j1n
jnmnij
L
0
1j1n
njnijm
)t(v
~
ˆ
TRdx )x()t(v
~
ˆ
R)x(
x
, (5.43)
97
m
1j
jij
L
0
1j
jijm
Ug
~
Rdx g
~
R)x(
x
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
=Ζ , (5.44)
m
1j
jij
x
j
L
0
1j
ijm
x
Vg
~
R
L
1
dx x g
~
R)x(
L
1
x
∑
∫
∑
∞
=
∞
=
=Ζ (5.45)
)t(w
~
)(dx )x())(t,x(w
~
im
2w
m
L
0
m
2w
mi
x
λ=Ζλ
∫
, (5.46)
nos quais
dx
dx
)x(d
)x(S
x
L
0
n
mmn
∫
Ξ
Ζ= ,
dx )x()x( T
x
L
0
nmmn
∫
ΘΖ= ,
dx )x( U
x
L
0
mm
∫
Ζ= ,
dx)x(x V
x
L
0
mm
∫
Ζ= .
Substituindo as equações (5.40) a (5.46) na equação (5.39), obtém-se o seguinte sistema
de equações algébricas desacoplado para o potencial pseudo-pressão transformado,
(t)w
~
ˆ
im
:
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
∑∑
∞
=
∞
=
+
1j1n
jnmnijjnmnijim
2w
i
)t(v
~
ˆ
TR)t(u
~
ˆ
SQ)t(w
~
)µ(
)t(w
~
)λ(Vg
~
R
L
1
Ug
~
R
im
2w
mmj
1j
ij
x
mj
1j
ij
−+−
∑∑
∞
=
∞
=
(5.47)
⇓
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
∑∑
∞
=
∞
=
+
1j1n
jnmnijjnmnijim
)t(v
~
ˆ
TR)t(u
~
ˆ
SQ)t(w
~
2w
m
2w
i
m
x
mj
1j
ij
)λ()µ(
1
V
L
1
Ug
~
R
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
∑
∞
=
(5.48)
98
Para 0)λ()µ(
2w
m
2w
i
=+ , o potencial (t)w
~
im
da equação (5.48) é zero.
Para fins computacionais, o sistema algébrico dado pela equação (5.48), é truncado em
uma dada ordem
w
x
w
y
NeN ,
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
∑∑
==
+
w
y
w
x
N
1j
N
1n
jnmnijjnmnijim
)t(v
~
ˆ
TR)t(u
~
ˆ
SQ)t(w
~
2w
m
2w
i
m
x
mj
N
1j
ij
)λ()µ(
1
V
L
1
Ug
~
R
w
y
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
∑
=
(5.49)
que fornecerá maior precisão dos resultados quanto maior for a ordem de
w
x
w
y
NeN . Desta
forma, após o cômputo do potencial pseudo-pressão transformado
)t(w
~
im
, utiliza-se a fórmula
de inversão,
)y( )x( )t(w
~
)t,y,x(w
j
N
1j
n
N
1n
jn
w
y
w
x
ΛΖ=
∑∑
==
para a reconstrução da equação (5.1).
5.3 Atualização da Velocidade
O campo velocidade para cada intervalo de tempo é corrigido usando a informação do
campo de pseudo-pressão, como segue
WV
ˆ
V ∇−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
−+=+ j
ˆ
y
)t,y,x(w
i
ˆ
x
)t,y,x(w
j
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
i
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
j
ˆ
)t,y,x(vi
ˆ
)t,y,x(u . (5.50)
A equação (5.50) pode ser reescrita como
x
)t,y,x(w
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(u
∂
∂
−= , (5.51)
99
y
)t,y,x(w
)t,y,x(v
ˆ
)t,y,x(v
∂
∂
−= . (5.52)
5.3.1 Transformação da Equação de Atualização da Velocidade
Apresenta-se a seguir a transformação para a equação de atualização da velocidade nos
eixos coordenados x e y. Como os pares transformada-inversas das variáveis dependentes do
problema já foram determinados, não há, neste caso, a necessidade de se estabelecer novos
problemas auxiliares de autovalor.
5.3.1.1 Transformação da Equação de Atualização da Velocidade na Direção do Eixo y
Efetuando o produto das equações (5.51) e (5.52) com as autofunções
normalizadas )y( e )y(
ii
ΦΨ , respectivamente, tem-se:
x
)t,y,x(w
)y()t,y,x(u
ˆ
)y()t,y,x(u)y(
iii
∂
∂
Ψ−Ψ=Ψ , (5.53)
y
)t,y,x(w
)y()t,y,x(v
ˆ
)y()t,y,x(v)y(
iii
∂
∂
Φ−Φ=Φ . (5.54)
Aplicando o operador integral sobre as equações (5.53) e (5.54), respectivamente, em
relação ao eixo y no intervalo
]L,0[
y
, obtém-se
dy
x
)t,y,x(w
)y( dy )t,y,x(u
ˆ
)y( dy )t,y,x(u)y(
y
L
0
i
y
L
0
i
y
L
0
i
∫∫∫
∂
∂
Ψ−Ψ=Ψ , (5.55)
dy
y
)t,y,x(w
)y(dy )t,y,x(v
ˆ
)y( dy )t,y,x(v)y(
y
L
0
i
y
L
0
i
y
L
0
i
∫∫∫
∂
∂
Φ−Φ=Φ . (5.56)
De acordo com as equações (5.18) e (5.22), e substituindo a equação (5.10) nas equações
(5.55) e (5.56) respectivamente, obtém-se:
100
dy )y()t,x(w
~
)y(
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
y
L
0
1j
jjiii
∫
∑
∞
=
ΛΨ
∂
∂
−= , (5.57)
dy
y
)y()t,x(w
~
)y()t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
y
L
0
1j
jj
iii
∫
∑
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Λ∂
Φ−=
∞
=
. (5.58)
5.3.1.2 Transformação da Equação de Atualização da Velocidade na Direção do Eixo x
Efetuando o produto da equação (5.57) com as autofunções normalizadas
)x(
m
Ξ e
integrando-a em relação ao eixo x no intervalo
]L,0[
x
, tem-se:
−Ξ=Ξ
∫∫
dx )t,x(u
~
ˆ
)x( dx )t,x(u
~
)x(
xx
L
0
im
L
0
im
dx dy)y()x()t(w
~
)y(
x
)x(
xy
L
0
L
0
1j
jn
1n
jnim
∫∫
∑∑
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ΛΖΨ
∂
∂
Ξ−
∞
=
∞
=
⇓
−Ξ=Ξ
∫∫
dx)t,x(u
~
ˆ
)x( dx)t,x(u
~
)x(
xx
L
0
im
L
0
im
dx
dx
)x(d
)x(dy)y()y( )t(w
~
xy
L
0
n
mj
L
0
i
1j1n
jn
∫∫
∑∑
Ζ
ΞΛΨ−
∞
=
∞
=
. (5.59)
De acordo com a equação (5.75), obtém-se para a equação (5.59) o que segue:
dx
dx
)x(d
)x(dy)y()y( )t(w
~
)t(u
~
ˆ
)t(u
~
ˆ
xy
L
0
n
mj
L
0
i
1j1n
jnimim
∫∫
∑∑
Ζ
ΞΛΨ−=
∞
=
∞
=
. (5.60)
A equação (5.60) pode ser reescrita como
∑∑
∞
=
∞
=
−=
1j
mnij
1n
jnimim
WW)t(w
~
)t(u
~
ˆ
)t(u
~
, (5.61)
101
na qual dy)y()y( W
j
L
0
iij
y
ΛΨ=
∫
e dx
dx
)x(d
)x(W
x
L
0
n
mmn
∫
Ζ
Ξ= .
A equação (5.61) é definida como sendo a condição inicial para cada intervalo de tempo
da componente
)t(u
~
ˆ
im
.
De forma similar, desenvolve-se a equação (5.58) para a transformação da atualização da
componente v. Assim, efetuando-se o produto da equação (5.58) com as autofunções
normalizadas
)x(
m
Θ e integrando o resultado obtido em relação ao eixo x, no intervalo ]L,0[
x
,
obtém-se
−Θ=Θ
∫∫
++
dx)t,x(v
~
ˆ
)x(dx)t,x(v
~
)x(
xx
L
0
im
L
0
im
dx}dy
y
)y()x()t(w
~
)y(){x(
xy
L
0
L
0
1j
j
1n
njn
im
∫∫
∑∑
∂
ΛΖ∂
ΦΘ−
∞
=
∞
=
⇓
−Θ=Θ
∫∫
++
xx
L
0
im
L
0
im
dx)t,x(v
~
ˆ
)x(dx)t,x(v
~
)x(
dx)x()x(dy
dy
)y(d
)y()t(w
~
xy
L
0
nm
L
0
j
i
1j1n
jn
∫∫
∑∑
ΖΘ
Λ
Φ−
∞
=
∞
=
. (5.62)
Em conseqüência da equação (4.79), obtém-se para a equação (5.62)
dx)x()x(dy
dy
)y(d
)y()t(w
~
)t(v
~
ˆ
)t(v
~
xy
L
0
nm
L
0
j
i
1j1n
jnimim
∫∫
∑∑
ΖΘ
Λ
Φ−=
∞
=
∞
=
++
. (5.63)
A equação (5.63) ainda pode ser reescrita como segue
mnij
1j1n
jnimim
XX)t(w
~
)t(v
~
ˆ
)t(v
~
∑∑
∞
=
∞
=
++
−= , (5.64)
102
na qual
dy
dy
)y(d
)y( X
y
L
0
j
iij
∫
Λ
Φ=
e .dx )x()x( X
x
L
0
nmmn
∫
ΖΘ=
A equação (5.64) é definida como sendo a condição inicial para cada intervalo de tempo
do potencial velocidade transformado,
)t(v
~
ˆ
im
+
.
5.4 Equação da Pressão
Como foi visto anteriormente, a equação da pressão é obtida a partir do desenvolvimento
da relação ))t,y,x(
ˆ
()t,y,x(p
ˆ
2
Vf⋅∇=∇ . Assim, tem-se
y
)t,y,x(v
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(u
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
xy
)t,y,x(p
ˆ
x
)t,y,x(p
ˆ
2
2
2
2
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
0
tt,
y
)t,y,x(v
ˆ
)t,y,x(v
ˆ
x
)t,y,x(v
ˆ
)t,y,x(u
ˆ
y
>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
, (5.65)
que é submetida as seguintes condições de contorno:
0
x
)t,y,x(p
ˆ
0x
=
∂
∂
=
, 0
x
)t,y,x(p
ˆ
x
Lx
=
∂
∂
=
,
y
Ly0
≤
≤
; (5.66a,b)
0
y
)t,y,x(p
ˆ
0y
=
∂
∂
=
, 0
y
)t,y,x(p
ˆ
y
Ly
=
∂
∂
=
,
x
Lx0
≤
≤
. (5.67c,d)
Novamente, a TTIG será aplicada sobre a equação (5.65), de acordo com os
procedimentos adotados anteriormente.
5.4.1 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo y
A TTIG é aplicada sobre a equação da pressão, que devido a sua característica
bidimensional, o potencial pressão
)t,y,x(p
ˆ
poderá ser escrito em termos de uma expansão em
103
autofunções normalizadas, obtidas de problemas auxiliares de autovalores para cada coordenada
correspondente, como segue.
5.4.1.1 Problema Auxiliar de Autovalor
Para proceder a transformação integral relativa à coordenada y, considere o seguinte
problema auxiliar de autovalor e suas respectivas condições de contorno:
0)y()µ(
dy
)y(d
i
2p
i
2
i
2
=Ω+
Ω
, (5.68)
0
dy
)y(d
0y
i
=
Ω
=
e 0
dy
)y(d
y
Ly
i
=
Ω
=
. (5.69a,b)
As autofunções normalizadas
)y(
i
Ω
; as integrais de normalização
p
i
B e os autovalores
p
i
µ são dadas, respectivamente, por:
)yµcos(B)y(
p
i
p
ii
=Ω ;
y
p
i
L
1
B = ; 0µ
p
i
= , para 1i = ;
e
y
p
i
L
2
B = ;
π
L
1i
µ
y
p
i
−
=
, para ∞= ,,4,3,2i K . (5.70)
5.4.1.2 Par Transformada-Inversa para o Eixo y
O par transformada-inversa para o potencial pressão
)t,y,x(p
ˆ
é expresso como segue
dy)t,y,x(p
ˆ
)y( )t,x(p
~
ˆ
y
L
0
ii
∫
Ω=
∞
=
,,3,2,1i K , (Transformada) (5.71)
104
∑
∞
=
Ω=
1j
jj
)y()t,x(p
~
ˆ
)t,y,x(p
ˆ
(Inversa) (5.72)
5.4.1.3 Transformação da Equação da Pressão na Direção do Eixo y
Uma vez determinado o par transformada-inversa em relação ao eixo y é possível, então,
operar a transformação integral sobre a equação da pressão. Assim, efetuando-se o produto da
equação (5.65) com as autofunções
)y(
i
Ω , multiplicando a equação (5.68) por )t,y,x(p
ˆ
,
somando, rearranjando e, por fim, integrando a equação resultante em relação ao eixo y no
intervalo
]L,0[
y
, obtém-se:
=
∂
∂
Ω+
∂
∂
Ω
∫∫
dy
y
t)y,(x,p
ˆ
(y)dy
x
t)y,(x,p
ˆ
(y)
y
L
0
2
2
i
y
L
0
2
2
i
+
∂
Ψ∂
Ψ
∂
∂
Ω=
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
x
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(u
~
ˆ
[
x
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
+
∂
Ψ∂
Φ
∂
∂
Ω+
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
y
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
[
x
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
+
∂
Φ∂
Ψ
∂
∂
Ω+
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
x
)y()t,x(v
~
ˆ
)y()t,x(u
~
ˆ
[
y
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
+
∂
Φ∂
Φ
∂
∂
Ω+
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
y
)y()t,x(v
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
[
y
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
dy )y()µ)(t,y,x(p
ˆ
dy
y
)y(
)t,y,x(p
ˆ
yy
L
0
i
2p
i
L
0
2
i
2
∫∫
Ω+
∂
Ω∂
+
. (5.73)
O desenvolvimento das integrais presentes na equação (5.73) é apresentado no
Apêndice C. Segue abaixo os resultados:
105
2
i
2
y
L
0
2
2
i
x
t)(x,p
~
ˆ
dy
x
t)y,(x,p
ˆ
(y)
∂
∂
=
∂
∂
Ω
∫
, (5.74)
0dy
yd
(y)d
t)y,(x,p
ˆ
dy
y
t)y,(x,p
ˆ
(y)
y
L
0
2
i
2
y
L
0
2
2
i
=
Ω
−
∂
∂
Ω
∫∫
, (5.75)
=
∂
Ψ∂
Ψ
∂
∂
Ω
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
x
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(u
~
ˆ
[
x
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
∑∑
∞
=
∞
=
∂
∂
∂
∂
=
1j1k
k
j
ijk
*
]
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
[
x
A
, (5.76)
=
∂
Ψ∂
Φ
∂
∂
Ω
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
y
)y()t,x(u
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
[
x
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
[
]
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
x
B
kj
1j1k
ijk
*
∑∑
∞
=
∞
=
∂
∂
=
, (5.77)
=
∂
Φ∂
Ψ
∂
∂
Ω
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
x
)y()t,x(v
~
ˆ
)y()t,x(u
~
ˆ
[
y
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
x
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
)DC(
k
1j1k
j
ijk
*
ijk
*
∂
∂
+=
∑∑
∞
=
∞
=
, (5.78)
=
∂
Φ∂
Φ
∂
∂
Ω
∫
∑
∑
∞
=
∞
=
dy ]
y
)y()t,x(v
~
ˆ
)y()t,x(v
~
ˆ
[
y
)y(
y
L
0
1k
kk
1j
jji
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
)FE(
k
1j1k
j
ijk
*
ijk
*
∑∑
∞
=
∞
=
+= , (5.79)
106
t)(x,p
~
ˆ
)µ(dy (y))µ(t)y,(x,p
ˆ
i
2p
i
y
L
0
i
2p
i
=Ω
∫
, (5.80)
nas quais dy)y()y()y( A
k
L
0
ji
ijk
*
y
ΨΨΩ=
∫
,
dy
dy
)y(d
)y()y( B
k
L
0
ji
ijk
*
y
Ψ
ΦΩ=
∫
,
dy)y(
dy
)y(d
)y( C
k
j
L
0
i
ijk
*
y
Φ
Ψ
Ω=
∫
,
dy
dy
)y(d
)y()y( D
k
L
0
ji
ijk
*
y
Φ
ΨΩ=
∫
,
dy
dy
)y(d
dy
)y(d
)y( E
k
j
L
0
i
ijk
*
y
Φ
Φ
Ω=
∫
,
dy
dy
)y(d
)y()y( F
2
k
2
j
L
0
i
ijk
*
y
Φ
ΦΩ=
∫
,
são integráveis, portanto, conhecidas.
Substituindo as equações (5.74) a (5.80) na equação (5.73), obtém-se a primeira
transformação da equação da pressão:
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=−
∂
∂
∑∑
∞
=
∞
=1j1k
k
j
ijk
*
i
2p
i
2
i
2
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
x
A)t,x(p
~
ˆ
)µ(
x
)t,x(p
~
ˆ
[]
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
x
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
)DC()t,x(u
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
x
PB
k
1j1k
j
ijk
*
ijk
*
kj
1j1k
ijk
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
)FE(
k
1j1k
j
ijk
*
ijk
*
∑∑
∞
=
∞
=
++ (5.81)
A equação (5.81) define um sistema de equações diferenciais parciais acoplado e infinito,
em termos do potencial pressão transformado
)t,x(p
~
ˆ
i
. Substituindo a equação que redefine a
107
condição de contorno,
)
L
x
1(g
~
)t,x(v
~
ˆ
)t,x(v
~
ˆ
x
iii
−+=
+
para a equação de Burgers, a equação
(5.81) é reescrita como segue:
+
∂
∂
∂
∂
=−
∂
∂
∑∑
∞
=
∞
=
1j1k
k
j
ijk
*
i
2p
i
2
i
2
]
x
)t,x(u
~
ˆ
)t,x(u
~
ˆ
[
x
A)t,x(p
~
ˆ
)µ(
x
)t,x(p
~
ˆ
+−+
∂
∂
+
+
∞
=
∞
=
∑∑
)}t,x(u
~
ˆ
)]
L
x
1(g
~
)t,x(v
~
ˆ
{[
x
B
k
x
jj
1j1k
ijk
*
+
∂
−+∂
++
+
∞
=
∞
=
∑∑
x
)]
L
x
1(g
~
)t,x(v
~
ˆ
[
)t,x(u
~
ˆ
)DC(
x
kk
1j1k
j
ijk
*
ijk
*
)]
L
x
1(g
~
)t,x(v
~
ˆ
[)]
L
x
1(g
~
)t,x(v
~
ˆ
)[FE(
x
kk
1j1k
x
jj
ijk
*
ijk
*
−+−+++
+
∞
=
∞
=
+
∑∑
(5.82)
Obtida a primeira transformação da equação da pressão, transformam-se as condições de
contorno (5.66a,b) como segue:
0dy
x
)t,y,x(p
ˆ
)y(
0x
y
L
0
i
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ω
=
∫
⇒ 0
x
)t,x(p
~
ˆ
0x
i
=
∂
∂
=
, (5.83)
0dy
x
)t,y,x(p
ˆ
)y(
x
y
Lx
L
0
i
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
Ω
=
∫
⇒ 0
x
)t,x(p
~
ˆ
x
Lx
i
=
∂
∂
=
. (5.84)
5.4.2 Aplicação da TTIG na Direção do Eixo x
A transformada integral é aplicada, agora, sobre a equação (5.82), segundo o mesmo
procedimento adotado nas seções anteriores.
5.4.2.1 Problema Auxiliar de Autovalor
Considere o seguinte problema auxiliar de autovalor e suas respectivas condições de
contorno:
108
0)x()λ(
dx
)x(d
m
2p
m
2
m
2
=Γ+
Γ
, (5.85)
0
dx
)x( d
0x
m
=
Γ
=
e 0
dx
)x(d
x
Lx
m
=
Γ
=
. (5.86a,b)
As autofunções normalizadas
)x(
m
Γ ; as integrais de normalização
p
m
A e os autovalores
p
m
λ , são dados por:
)xλcos(B)x(
p
m
p
mm
=Γ ;
x
p
m
L
1
B =
; 0
p
m
=λ , para 1i
=
;
e
x
p
m
L
2
B =
; π
L
1m
x
p
m
−
=λ , para ∞
=
,,4,3,2m K . (5.87)
5.4.2.2 Par transformada-Inversa para o Eixo x
Obtidas as autofunções ortogonais através do problema auxiliar de autovalor descrito no
item anterior, desenvolve-se o par transformada-inversa em termos do potencial pressão
transformado,
)t,x(p
~
ˆ
i
, como segue:
dx)t,x(p
~
ˆ
)x( )t(p
~
ˆ
x
L
0
imim
∫
Γ= , (Transformada) (5.88)
∑
∞
=
Γ=
1n
nini
)x()t(p
~
ˆ
)t,x(p
~
ˆ
. (Inversa) (5.89)
5.4.2.3 Transformação da Equação da Pressão para o Eixo x
Efetuando o produto da equação (5.82) com as autofunções )x(
m
Γ
, multiplicando a
equação (5.85) por
)t,y,x(p
ˆ
, somando, rearranjando e, por fim, integrando a equação resultante
em relação ao eixo x no intervalo
]L,0[
x
, resulta
109
=Γ−
∂
∂
Γ
∫∫
xx
L
0
i
2p
im
L
0
2
i
2
m
dx)t,x(p
~
ˆ
)µ)(x(dx
x
)t,x(p
~
ˆ
)x(
+
∂
Ξ∂
Ξ
∂
∂
Γ+
∫
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
dx]
x
)x( )t(u
~
ˆ
)x( )t(u
~
ˆ
[
x
A)x(
x
L
0
1j1k
1p
pkp
1n
njn
ijk
*
m
+Ξ−+Θ
∂
∂
Γ+
∫
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
dx})x( )t(u
~
ˆ
)]
L
x
1(g
~
)x( )t(v
~
ˆ
{[
x
B)x(
x
L
0
1p
pkp
x
j
1n
njn
1j1k
ijk
*
m
+
∂
−+Θ∂
Ξ+Γ+
∫
∑
∑∑ ∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
dx
x
)]
L
x
1(g
~
)x( )t(v
~
ˆ
[
)x( )t(u
~
ˆ
]DC[)x(
x
L
0
x
k
1p
pkp
1j1k1n
njn
ijk
*
ijk
*
m
+−+Θ−+Θ+Γ+
∫
∑∑∑ ∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
∞
=
+
dx)]
L
x
1(g
~
)x( )t(v
~
ˆ
[)]
L
x
1(g
~
)x( )t(v
~
ˆ
[]FE[)x(
x
L
0
x
k
1p
pkp
1j1k
x
j
1n
njn
ijk
*
ijk
*
m
dx )x())(t,x(p
~
ˆ
dx
dx
)x(d
)t,x(p
~
ˆ
xx
L
0
m
2p
mi
L
0
2
m
2
i
∫∫
Γλ+
Γ
+ . (5.90)
O desenvolvimento de cada integral envolvida na equação (5.90), é apresentado no
Apêndice C. Na seqüência, obtém-se a segunda transformação para a equação da pressão:
++++−=
+
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑∑
)t(u
~
ˆ
)]t(v
~
ˆ
)PJPI(B)t(u
~
ˆ
)PHPG(A[)t(p
~
ˆ
kpjnmnpmnp
ijk
*
1j1k
jnmnpmnp
1n1p
ijk
*
im
+++−+
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
)t(u
~
ˆ
g
~
B)]ML(
L
1
K[
kp
1j1k
j
1p
ijk
*
mp
*
mp
*
x
mp
*
−++
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
)t(u
~
ˆ
Og
~
)DC(
L
1
jn
1j1k
mn
*
k
ijk
*
1n
ijk
*
x
++++−
++
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑∑
)]t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
P)FE()t(u
~
ˆ
N)DC[(
kpjn
mnp
*
ijk
*
ijk
*
1j1k1n1p
jn
mnp
*
ijk
*
ijk
*
++−+
+
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
)t(v
~
ˆ
g
~
)FE()QRL/1(
jn
1j1k
k
ijk
*
1n
ijk
*
mn
*
mn
*
x
++−+
+
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
)t(v
~
ˆ
g
~
)FE()SVL/1(
kp
1j1k
j
ijk
*
1p
ijk
*
mp
*
mn
*
x
110
2p
m
2p
i
1j
k
1k
j
ijk
*
ijk
*
m
*2
x
m
*
x
m
*
)λ()µ(
1
}g
~
g
~
)FE(]W)L/(1UL/2T[{
+
+−++
∑∑
∞
=
∞
=
. (5.91)
Para 0)λ()µ(
2p
m
2p
i
=+ , o potencial )t(p
~
ˆ
im
da equação (5.91) se anula.
nos quais
dx
dx
)x(d
dx
)x(d
)x(G
p
L
0
n
m
mnp
*
x
Ξ
Ξ
Γ=
∫
,
dx
dx
)x(d
)x()x(H
2
p
2
L
0
nm
mnp
*
x
Ξ
ΞΓ=
∫
,
dx )x(
dx
)x(d
)x(I
p
L
0
n
m
mnp
*
x
Ξ
Θ
Γ=
∫
,
dx
dx
)x(d
)x()x(J
x
L
0
p
nm
mnp
*
∫
Ξ
ΘΓ= ,
dx
dx
)x(d
)x(K
x
L
0
p
m
mp
*
∫
Ξ
Γ= ,
dx )x()x(L
x
L
0
pm
mp
*
∫
ΞΓ= ,
dx
dx
)x(d
x)x(M
x
L
0
p
m
mp
*
∫
Ξ
Γ= ,
dx
dx
)x(d
)x()x(N
x
L
0
p
nm
mnp
*
∫
Θ
ΞΓ= ,
dx )x()x(O
x
L
0
nm
mn
*
∫
ΞΓ= ,
dx )x()x()x(P
x
L
0
pnm
mnp
*
∫
ΘΘΓ= ,
dx )x()x(Q
x
L
0
nm
mn
*
∫
ΘΓ= ,
dx )x()x(xR
x
L
0
nm
mn
*
∫
ΘΓ= ,
dx )x()x(S
x
L
0
nm
mn
*
∫
ΘΓ= ,
dx )x(T
x
L
0
m
m
*
∫
Γ= ,
dxx)x(U
x
L
0
m
mn
*
∫
Γ= ,
dx )x(x)x(V
x
L
0
pm
mp
*
∫
ΘΓ= ,
111
dx)x(xW
x
L
0
m
2
m
*
∫
Γ= ,
são integráveis, portanto, conhecidas.
A equação (5.91) define um sistema de equações algébricas desacoplada e linear que
pode ser resolvido numericamente, truncando-se em uma dada ordem como segue
++++−=
+
====
∑∑∑∑
)t(u
~
ˆ
)]t(v
~
ˆ
)JI(B)t(u
~
ˆ
)HG(A[)t(p
~
ˆ
kpjn
mnp
*
mnp
*
ijk
*
N
1j
N
1k
jn
mnp
*
mnp
N
1n
N
1p
ijk
*
im
p
y
p
y
p
x
p
x
+++−+
∑∑∑
===
)t(u
~
ˆ
g
~
B)]ML(
L
1
K[
kp
N
1j
N
1k
j
N
1p
ijk
*
mp
*
mp
*
x
mp
*
p
y
p
y
p
x
−++
∑∑∑
===
)t(u
~
ˆ
Og
~
)DC(
L
1
jn
N
1j
N
1k
mn
*
k
ijk
*
N
1n
ijk
*
x
p
y
p
y
p
x
++++−
++
====
∑∑∑∑
)]t(v
~
ˆ
)t(v
~
ˆ
P)FE()t(u
~
ˆ
N)DC[(
kpjn
mnp
*
ijk
*
ijk
*
N
1j
N
1k
N
1n
N
1p
jn
mnp
*
ijk
*
ijk
*
p
y
p
y
p
x
p
x
++−+
+
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
)t(v
~
ˆ
g
~
)FE()QRL/1(
jn
1j1k
k
ijk
*
1n
ijk
*
mn
*
mn
*
x
++−+
+
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
)t(v
~
ˆ
g
~
)FE()SVL/1(
kp
1j1k
j
ijk
*
1p
ijk
*
mp
*
mn
*
x
]
)λ()µ(
1
[g
~
g
~
)FE(]W)L/(1UL/2T[
2p
m
2p
i
k
1j1k
j
ijk
*
ijk
*
m
*2
x
m
*
x
m
*
+
+−++
∑∑
∞
=
∞
=
. (5.92)
As ordens de truncamento
p
y
p
x
N eN
em cada somatório são escolhidos de forma que se
garanta a convergência desejada ou possível. Para a determinação do potencial pressão
t)y,(x,p
ˆ
,
utiliza-se a fórmula de inversão,
)y( )x( )t(p
~
ˆ
)t,y,x(p
ˆ
j
N
1j
n
N
1n
jn
w
y
w
x
ΩΓ=
∑∑
==
.
112
5.5 Resultados e Discussão
Nesta seção são apresentados os resultados numéricos obtidos para o problema de
escoamento em cavidades, conforme analisado anteriormente. De forma similar ao procedimento
adotado no Capítulo 4, foram feito usos das rotinas DQDAG e DIVPAG da biblioteca IMSL
para o cômputo das integrais envolvidas nos coeficientes e dos sistemas de equações diferenciais
ordinárias, respectivamente.
Foi observado que a convergência da série que determina os potenciais velocidades,
pseudo-pressão e pressão foram muito mais lenta do que aquela obtida para a solução das
equações de Burgers. Este fato é devido a conjugação do método projeção e da TTIG que foram
aplicados para a obtenção de solução das equações de Navier-Stokes, e que produziram uma
estrutura complexa de sistemas de equações diferenciais não lineares e algébricas para os
potenciais velocidade, pseudo-pressão e pressão transformados.
Para o presente trabalho foram consideradas expansões de até 30 termos para cada
direção axial nas séries que determinam os potenciais velocidade e pseudo-pressão. Para cada
caso analisado o tempo de processamento computacional variava em torno de 05 dias em PCs de
2 GHz.
Nas figuras 5.1, 5.2 e 5.3 são visualizados os campos de escoamento para números de
Reynolds Re = 100, 400 e 1000. Os isovalores das componentes, u e v, do campo de velocidade
são mostradas sobre as próprias curvas. As isocurvas, como podem ser observadas, apresentam
ondulações em todo o domínio. E estas ondulações estão diretamente associadas ao número de
termos utilizados na expansão em série das variáveis dependentes. Quanto maior a quantidade de
termos, menor é a dimensão característica das ondulações.
Em todas as simulações que foram feitas, observa-se que existem regiões com
velocidades positivas e negativas. Isto caracteriza o movimento de rotação imposto ao fluido, em
decorrência do movimento de translação da tampa deslizante.
113
(a) Componente u
(b) Componente v
Figura 5.1: Mapas de isovelocidades para Re = 100.
(a) Componente u
(b) Componente v
Figura 5.2 : Mapas de isovelocidades para Re = 400.
114
(a) Componente u(x,y,t)
(b) Componente v(x,y,t)
Figura 5.3 : Mapas de isovelocidades para Re = 1000.
O comportamento da componente u da velocidade em função da posição y, na região
central da cavidade (x = 0,5) é visualizado nas figuras 5.4a,
5.5a e 5.6a, para escoamento com
número de Reynolds Re = 100, 400 e 1000, respectivamente. Da mesma forma, a componente v
da velocidade em função da posição x, na região central da cavidade (y = 0,5) é visualizado nas
figuras 5.4b, 5.5b e 5.6b.
Como pode se observado, os resultados obtidos não apresentaram boa concordância
quando comparados com aqueles obtidos por Ghia et al. (1982), Frigo (2004) e Lima et al.
(2004). Isto evidencia os efeitos da forte não linearidade presente no termo convectivo das
equações de Navier-Stokes e das restrições impostas pelo Método Projeção. Mas vale ressaltar
que os resultados obtidos ainda descrevem o comportamento da velocidade caracterizado por
aclives e declives das componentes, u e v.
115
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,
0
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
u
y
Re = 100
Presente Trabalho
Ghia et al. (2004)
Frigo (2004)
Lima et al. (2004)
(a) Componente u
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x
v
Re = 100
Presente Trabalho
Ghia et al. (1982)
Frigo (2004)
Lima et al. (2004)
(b) Componente v
Figura 5.4 : Perfis de Velocidades para Re = 100
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
u
y
Re = 400
Presente Trabalho
Ghia et al. (1982)
Frigo (2004)
Lima et al. (2004)
(a) Componente u
-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x
v
Re = 400
Presente Trabalho
Ghia et al. (1982)
Frigo (2004)
Lima et al. (2004)
(b) Componente v
Figura 5.5 : Perfis de Velocidades para Re = 400
116
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
u
y
Re = 1000
Presente Trabalho
Ghia et al. (1982)
Frigo (2004)
Lima et al. (2004)
(a) Componente u
-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x
v
Re = 1000
Presente Trabalho
Ghia et al. (1982)
Frigo (2004)
Lima et al. (2004)
(b) Componente v
Figura 5.6 : Perfis de Velocidades para Re = 1000
Nas figuras 5.7, 5.8 e 5.9 são visualizadas as linhas de corrente do escoamento na
cavidade para número de Reynolds Re = 100, 400 e 1000, respectivamente. Como pode ser
observado, o procedimento analítico-numérico adotado foi capaz de descrever o comportamento
do escoamento esperado. É interessante observar que a região de recirculação primária se
aproxima da parede deslizante a medida que se aumenta o número de Reynolds. Verifica-se,
ainda, que o procedimento de cálculo utilizado foi capaz, também, de descrever recirculações
secundárias para todos os casos analisados.
117
Figura 5.7: Mapas de linhas de corrente para Re = 100
Figura 5.8: Mapas de linhas de corrente para Re = 400
118
Figura 5.9: Mapas de linhas de corrente para Re = 1000
Para finalizar, é importante que se faça algumas considerações. Escoamentos em
cavidades caracterizam problemas de interesse para testes de validação, visto que o escoamento
no seu interior é relativamente complexo, pois apresenta zonas de recirculações e instabilidades
secundárias, mesmo quando se consideram números de Reynolds relativamente baixos. E a
busca de soluções através de uma formulação em variáveis primitivas para as equações de
Navier-Stokes se torna ainda mais significativa.
Para o problema proposto foi aplicado o Método Projeção em conjunto com a TTIG para
a busca de soluções do campo de escoamento. Foi observado que a convergência das séries que
determinam os potencias velocidade, pseudo-pressão e pressão são lentas e que o truncamento
em 30 termos para cada direção axial ainda não é suficiente para uma análise mais precisa.
Possivelmente, truncamentos das expansões a partir de 50 termos devem produzir resultados
mais satisfatórios. Mas este procedimento é ainda impraticável quando se considera a
performance dos atuais PCs.
No entanto, o procedimento analítico-numérico que foi aplicado para a obtenção de
solução do problema da cavidade, forneceu resultados compatíveis com aqueles esperados.
CONCLUSÃO E SUGESTÕES CAPÍTULO 6
Os dois objetivos principais deste trabalho eram resolver as equações de Burgers e de
Navier-Stokes utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada (TTIG). Estas
equações, em variáveis primitivas, foram definidas sobre domínios bidimensionais. A escolha da
variante das equações em variáveis primitivas deveu-se ao fato de que seria imediata a extensão
da metodologia para solução de problemas tridimensionais transitórios. A maioria das soluções
das equações de Navier-Stokes, utilizando a TTIG, apresentadas na literatura são efetuadas para
domínios bidimensionais e utilizando as equações em termos da variável dependente linha de
corrente. O conceito de linha de corrente, embora exista para geometrias tridimensionais, não é
de simples extensão de geometrias bidimensionais para tridimensionais. Assim, a metodologia já
bem estabelecida e difundida do uso de funções linha de corrente para simplificar a solução das
equações de Navier-Stokes não pode ser, facilmente, estendida a problemas tridimensionais
transitórios.
A solução das equações de Burgers, em regime transitório, definida para domínios
bidimensionais foi bem sucedida e os resultados obtidos utilizando a TTIG apresentam boa
concordância com resultados obtidos utilizando-se o Método de Diferenças Finitas (MDF). A
principal diferença entre as soluções obtidas utilizando as duas técnicas está no fato de que a
solução obtida utilizando a TTIG apresenta pequenas ondulações enquanto a solução obtida
utilizando o MDF apresenta-se mais suave. As ondulações que ocorrem quando do uso da TTIG
são devidas ao fato de que as funções aproximantes utilizadas são combinações lineares de
conjuntos de autofunções ortonormais que por sua vez são de natureza oscilatória. O tamanho
característico das ondulações está diretamente associado à quantidade de termos utilizados na
expansão em série das variáveis dependentes. Quanto maior a quantidade de termos, menor é a
dimensão característica das ondulações. Quando se aumenta a quantidade de termos na expansão
em série, para diminuir as ondulações, aumenta-se de forma não linear o tempo de simulação
computacional bem como a memória primária utilizada para armazenar as informações. Assim,
existe um compromisso entre a quantidade de termos na expansão em série das variáveis
dependentes, o tempo de processamento, e a memória computacional disponível. A solução
120
obtida utilizando-se o MDF apresenta-se mais suave porque as funções aproximantes são
polinômios de segunda ordem e que, portanto, não possuem características oscilatórias.
Adicionalmente, o caso exemplo escolhido foi o da cavidade com tampa deslizante, por razões
que serão mais bem explicitadas mais adiante. Neste caso existem duas singularidades ao longo
da linha de contorno. Percorrendo o contorno de uma cavidade, bidimensional, com tampa
deslizante encontra-se um segmento onde todas as componentes do campo de velocidade são
nulas e um outro segmento onde uma componente é não nula. Os dois pontos onde os valores do
campo de velocidade mudam de nulo para não nulo e de não nulo para nulo são pontos de
singularidade, uma vez que a derivada do campo de velocidade ao longo da linha de contorno
será infinita nestes pontos. As derivadas de ordem superior a um também o serão. A existência
de singularidades pontuais ao longo do contorno afeta negativamente a eficiência da TTIG na
solução deste tipo de problema devido ao fato de que suas funções aproximantes são de domínios
amplos. Assim, a influência das singularidades se faz mais intensamente em todo o domínio. No
caso da solução utilizando o MDF, cujas funções aproximantes são de suporte compacto e,
portanto restringem, parcialmente, o efeito das singularidades sobre o restante do domínio.
Especula-se que talvez seja possível utilizar wavelets ortogonais como se fossem autofunções,
uma vez que wavelets, em geral, possuem suporte compacto, para produzir soluções mais suaves
e com menor erro localizado. A metodologia apresentada para solução das equações de Burgers,
pode ser estendida diretamente de bidimensional para tridimensional. Em conseqüência as
demandas computacionais serão ampliadas de forma não linear.
A solução da equação de Navier-Stokes mostrou-se de natureza mais complexa. A
metodologia selecionada utiliza o Método Projeção para desacoplar os campos de pressão do
campo vetorial de velocidade nas equações de Navier-Stokes. O Método Projeção é conhecido
conceitualmente, no mínimo, desde a década de 60 do século XX, e até recentemente têm
aparecido trabalhos tratando de sua fundamentação conceitual e de aspectos de sua aplicação. O
fato matemático encontrado é que o Método Projeção aplica-se a um conjunto relativamente
pequeno de problemas hidrodinâmicos onde condições muito restritivas nos contorno do domínio
são atendidas. O atendimento a estas restrições mencionadas foi o mais importante na escolha do
problema da cavidade com tampa deslizante, sendo que para esta geometria o fluxo de massa
através das paredes é nulo, que vem a ser uma das duas famílias de restrições. De resto sobra
para pesquisas futuras a questão de porque, aparentemente, soluções são obtidas, utilizando o
Método Projeção onde as restrições, matematicamente, demonstradas não seriam atendidas. O
papel fundamental do Método Projeção na metodologia utilizada neste trabalho está no fato de
121
que projeta a equação de Navier-Stokes, para fluidos incompressíveis, em um subespaço onde o
gradiente do campo de pressão é nulo. A equação projetada resultante é a equação de Burgers. A
solução das equações de Burgers, a partir de um campo de velocidade, inicialmente, solenoidal, é
um campo de velocidades não-solenoidal, o qual pode ser projetado em um subespaço solenoidal
através da aplicação do demonstrado no Teorema de Helmholtz-Hodge. Para tanto, faz-se
necessária a solução de uma equação diferencial parcial elíptica cujo termo fonte é o divergente
do campo não solenoidal de velocidade. Este problema extra pode ser resolvido utilizando a
Técnica da Transformada Integral Clássica (TTIC). A variável dependente resultante da solução
da equação diferencial parcial elíptica é a pseudo-pressão (ou mesmo pressão em alguns
trabalhos encontrados na literatura) responsável por promover o movimento do fluido e manter
seu divergente nulo em todo o domínio. Mencionou-se acima que a solução das equações de
Burgers apresentava ondulações cujo tamanho característico dependia da quantidade de termos
utilizados na expansão em série das variáveis dependentes. Um dos passos na metodologia
utilizada neste trabalho para solução das equações de Navier-Stokes está a solução, para
pequenos intervalos de tempo, das equações de Burgers, que também apresentará como solução
um campo de velocidade não-solenoidal e com ondulações características. Naturalmente, o
divergente deste campo não-solenoidal e oscilatório também será oscilatório e, portanto o termo
fonte da equação para obtenção da pseudo-pressão apresentará oscilações, e em conseqüência
sua solução também apresentará oscilações. Por fim, o campo de velocidades da equação de
Navier-Stokes é obtido como a correção do campo de velocidades obtido através da solução das
equações de Burgers adicionada (ou subtraída) ao gradiente do campo de escalar da pseudo-
pressão. Este processo repete-se iterativamente, conforme mostrado no corpo do trabalho. O fato
importante é que devido à natureza do Método Projeção associado ao fato das soluções das
equações de Burgers e em conseqüência da pseudo-pressão apresentarem ondulações, ocorre
uma interação catastrófica entre as duas metodologias e os resultados obtidos apresentam baixa
concordância com os apresentados na literatura. Os resultados mencionados foram obtidos
utilizando até 35 termos na série para cada eixo, o que corresponde a 1225 equações diferenciais
ordinárias para cada componente do campo de velocidades. Supõe-se que os resultados seriam
melhores para uma quantidade bem maior de termos na expansão em série, mas neste caso o
tempo de processamento seria proibitivo para as atuais capacidades computacionais locais e
atuais. Mesmo com o aparente insucesso quantitativo da solução de Navier-Stokes, este trabalho
tangenciou questões qualitativamente importantes, tais como:
• Qual a real validade do Método Projeção?;
122
• Como conciliar as oscilações inerentes à Técnica da Transformada Integral Generalizada
com o Teorema de Helmholtz-Hodge, que aparentemente necessita de soluções mais
suaves para prover melhores resultados?;
• Como obter soluções mais suaves utilizando a TTIG, para uma mesma quantidade de
termos na série?; e
• Que outras formulações poderiam ser tentadas para se resolver a equação de
Navier-Stokes, via TTIG, sem utilizar o Método Projeção?
Estas questões constituem-se em sugestões a serem investigadas em futuros trabalhos.
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