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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS
Departamento de Matem
´
atica
Disserta¸c˜ao de Mestrado
AN
´
ALISE ASSINT
´
OTICA DE SOLUC¸
˜
OES DA
EQUAC¸
˜
AO DOS MEIOS POROSOS COM
PERTURBAC¸
˜
OES MARGINAIS VIA
GRUPOS DE RENORMALIZAC¸
˜
AO.
Alexandre Celestino Leite Almeida
Orientador: Gast˜ao de Almeida Braga
15 de abril de 2005
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Milhares de livros grátis para download.
Dedico este trabalho
`a minha querida m˜ae Sara, pelo apoio e dedica¸c˜ao,
e `a minha namorada Petrusca, pelo apoio e compreens˜ao.
2
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Agradecimentos
Agrade¸co a Deus, por uma vida cheia de oportunidades
e por me permitir compreender algumas coisas;
`a minha fam´ılia, em especial `a minha m˜ae, por sua dedica¸c˜ao e apoio;
`a minha namorada Petrusca, pelo amor, paciˆencia, apoio e dedica¸c˜ao;
ao meu orientador, o professor Gast˜ao, por sua grande capacidade e dedica¸c˜ao em tentar me
transmitir um pouco de sab edoria e por seu “perfeccionismo”, que apesar das noites mal dormi-
das, me levou a concluir este trabalho;
aos colegas Leonardo T. Rolla e Jussara Moreira, pela paciˆencia, pelas explica¸c˜oes e por terem
escrito suas teses com tamanha competˆencia, sem as quais este trabalho n˜ao seria poss´ıvel;
aos colegas e professores do departamento de matem´atica da UFMG;
`a banca examinadora deste trabalho, M´arcio Murad (LNCC) e Grey Ercole (UFMG), por terem
a paciˆencia em ler este trabalho, pelas sugest˜oes, pelos elogios e em especial, ´e claro, por terem
aprovado esta disserta¸c˜ao;
ao professor Frederico Furtado (University of Wyoming), pelas cr´ıticas e sugest˜oes;
`a CAPES, pelo apoio financeiro.
“Se enxerguei mais longe ´e porque
me apoiei em ombros de gigantes.”
Isaac Newton
3
Resumo
Neste trabalho, estaremos interessados em estudar problemas de valor inicial (PVI) do tipo:
u
t
= (u
p
)
xx
+ λu
a
u
b
x
u
c
xx
, (x, t) ∈ R × (1, ∞)
u(x, 1) = f(x),
onde o dado inicial f(x) ´e uma fun¸c˜ao suave (decaindo rapidamente para zero), λ ∈ R, p ≥ 1
e a, b, c ≥ 0. O nosso objetivo ´e estudar o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao u(x, t) do
PVI acima, para tempos longos. O nosso estudo ´e num´erico e utiliza a t´ecnica do Grupo de
Renormaliza¸c˜ao. Apresentaremos o Grupo de Renormaliza¸c˜ao Num´erico padr˜ao, bem como
duas varia¸c˜oes do mesmo. Dentre estas, apresentaremos uma vers˜ao
em que o expoente cr´ıtico β, tal como α, ´e calculado numericamente ao inv´es de calculado por
uma rela¸c˜ao de escala (como feito no NRG padr˜ao). Essa vers˜ao proposta para o NRG ´e capaz
de verificar corre¸c˜oes logar´ıtmicas ao decaimento e ao espalhamento da solu¸c˜ao do PVI (assim
como NRG padr˜ao tamb´em o ´e), sendo esta a contribui¸c˜ao deste trabalho.
4
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 7
1.1 Comportamento Assint´otico e Escalas M´ultiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Origens do Grupo de Renormaliza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Mudan¸ca de Escalas e Equa¸c˜oes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Resultados Anal´ıticos Recentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Os Resultados deste Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Propriedades Anal´ıticas do Grupo de Renormaliza¸c˜ao Linear 16
2.1 Solu¸c˜ao Fundamental, Existˆencia e Unicidade para a Equa¸c˜ao do Calor . . . . . . 17
2.2 Limites Assint´oticos e Grupos de Renormaliza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Comportamento Assint´otico de Solu¸c˜oes Reescalonadas . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Solu¸c˜oes Invariantes Para a Equa¸c˜ao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Obten¸c˜ao do Comportamento assint´otico via RG . . . . . . . . . . . . . . 30
3 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Num´erico 32
3.1 O NRG padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 O Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Corre¸c˜oes Logar´ıtmicas em A
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 C´alculo de β
n
dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Resultados Num´ericos 46
4.1 Valida¸c˜ao do NRG para a Equa¸c˜ao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.1 NRG Padr˜ao para a Equa¸c˜ao do Calor Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.2 NRG com β
n
Dinˆamico para a Equa¸c˜ao do Calor Linear . . . . . . . . . . 49
4.1.3 A Equa¸c˜ao do Calor N˜ao Linear com Perturba¸c˜ao Marginal . . . . . . . . 52
4.2 Valida¸c˜ao do NRG para a Equa¸c˜ao dos Meios Porosos . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Considera¸c˜oes Finais 61
5
6 Apˆendices 63
6.1 A transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Teoremas e Defini¸c˜oes Usados neste Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Solu¸c˜oes Num´ericas para EDP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3.1 Crit´erios de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Referˆencias Bibliogr´aficas 72
6
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
Neste trabalho, estaremos interessados em estudar problemas de valor inicial (PVI) do tipo:
u
t
= (u
p
)
xx
+ λu
a
u
b
x
u
c
xx
, (x, t) ∈ R × (1, ∞)
u(x, 1) = f(x),
(1.1)
onde o dado inicial f(x) ´e uma fun¸c˜ao suave (decaindo rapidamente para zero), λ ∈ R, p ≥ 1 e
a, b, c ≥ 0. Observe que a equa¸c˜ao acima se reduz `a equa¸c˜ao do calor (ou de difus˜ao) se p = 1
(ela ser´a linear se λ = 0; ser´a n˜ao-linear se λ = 0 e a, ou b, ou c = 1). Se p > 1 e λ = 0, obtemos
a equa¸c˜ao dos meios porosos (EMP); se λ = 0, obtemos a equa¸c˜ao dos meios porosos n˜ao-linear
(EMPN).
Denotaremos por u = u(x, t) a solu¸c˜ao do PVI 1.1 e assumiremos a sua existˆencia (para t ≥ 1).
O nosso objetivo, nesta disserta¸c˜ao, ´e estudar o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao u(x, t)
do PVI 1.1, para tempos longos. O nosso estudo ´e num´erico e utiliza a t´ecnica do Grupo de
Renormaliza¸c˜ao. Ficar´a claro, neste trabalho, que o estudo do comportamento assint´otico de
solu¸c˜oes de EDP’s ´e um assunto atual de pesquisa e que o Grupo de Renormaliza¸c˜ao ´e uma
poderosa ferramenta nestes estudos. Para que o leitor possa compreender os resultados desta
tese, n´os explicaremos, nesta Introdu¸c˜ao, mesmo que heuristicamente, a rela¸c˜ao entre comporta-
mento assint´otico e problemas em escalas m´ultiplas (veja Se¸c˜ao 1.1) e entre problemas em escalas
m´ultiplas e equa¸c˜oes diferenciais parciais (veja Se¸c˜ao 1.3). Um breve hist´orico sobre as origens
do Grupo de Renormaliza¸c˜ao ser´a feito na Se¸c˜ao 1.2. A transforma¸c˜ao do Grupo de Renormal-
iza¸c˜ao ser´a introduzida na Se¸c˜ao 1.4. Na Se¸c˜ao 1.5 descreveremos alguns resultados, anal´ıticos
7
e num´ericos, que nos ser˜ao ´uteis posteriormente. O Grupo de Renormaliza¸c˜ao num´erico ser´a
apresentado na Se¸c˜ao 1.6. Finalmente, na Se¸c˜ao 1.7 descrevemos qual ´e a contribui¸c˜ao desta
tese. Como referˆencias para este cap´ıtulo, citamos [1, 2, 3, 4, 5].
1.1 Comportamento Assint´otico e Escalas M´ultiplas
Fixados p e f(x) no PVI 1.1, estamos interessados em determinar, analiticamente ou heuristi-
camente (atrav´es de experimentos num´ericos), quais s˜ao as condi¸c˜oes nos expoentes a, b, c e no
parˆametro λ tais que a solu¸c˜ao u(x, t) do PVI se comporte como :
u(x, t) ∼
A
t
α
φ(B
x
t
β
) quando t → ∞. (1.2)
Em outras palavras, gostar´ıamos de determinar expoentes α e β, chamados de expoentes cr´ıticos,
uma fun¸c˜ao φ(x), chamada de fun¸c˜ao de perfil, e fatores A e B, chamados de pr´e-fatores, tais
que
t
α
u(t
β
x, t) → Aφ(Bx) quando t → ∞. (1.3)
Quando for este o caso, diremos que u(x, t) ´e assintoticamente invariante por mudan¸ca de escalas.
De fato, conclu´ımos de (1.2) que, para tempos suficientemente longos,
u(x, t) ∼ L
α
u(L
β
x, Lt), (1.4)
seja qual for L > 0. Em particular, quando L > 1, o limite t → ∞ pode ser reinterpretado
em termos de mudan¸ca de escalas: fazendo t = t
0
e substituindo L por L
n
em (1.4), o limite
para tempos longos se reduz a um problema de escalas m´ultiplas, desde que escolhamos t
0
1
de forma que a regi˜ao assint´otica tenha sido atingida. Isto ´e, o limite (1.4) se reduz a iterar a
mudan¸ca de escalas por n vezes, com n → ∞.
´
E exatamente esta interpreta¸c˜ao que nos permite
conectar o limite assint´otico com o Grupo de Renormaliza¸c˜ao.
1.2 Origens do Grupo de Renormaliza¸c˜ao
A t´ecnica do Grupo de Renormaliza¸c˜ao surgiu no fim dos anos 50 e foi desenvolvida por dois f´ısicos
te´oricos, Gellmann e Low [6], que estudavam problemas em Teoria Quˆantica de Campos. A id´eia
8
central era que um certo sistema f´ısico era (quase) invariante p or mudan¸ca de escalas. Explorando
esta id´eia e adotando um ponto de vista perturbativo, eles obtiveram bons resultados, mas pouco
sucesso. Chamaremos este ponto de vista de Grupo de Renormaliza¸c˜ao Perturbativo. Nos anos
70, Kenneth Wilson [7] adotou as id´eias do Grupo de Renormaliza¸c˜ao, agora de um ponto de
vista de sistemas dinˆamicos, para estudar teorias cr´ıticas da Mecˆanica Estat´ıstica do Equil´ıbrio,
desta vez com muito mais ˆexito que Gellmann e Low. Wilson introduziu um operador, atuando
sobre o espa¸co das energias, que implementava a mudan¸ca de escalas. Iterando este operador um
n´umero muito grande de vezes ele observou, sob certas condi¸c˜oes, a convergˆencia das iteradas (e,
portanto, convergˆencia para um ponto fixo do operador). A taxa de convergˆencia das iteradas
estava associada aos expoentes cr´ıticos da Mecˆanica Estat´ıstica. Um ponto fixo e os expoentes
cr´ıticos associados determinavam o que Wilson chamou de classe de universalidade: energias
distintas estariam na mesma classe de universalidade desde que, assintoticamente, tivessem o
mesmo comportamento.
J´a no final dos anos 80, utilizando id´eias semelhantes `as de Gellmann e Low, N. Goldenfeld, Y.
Oono e colaboradores (veja [2] e referˆencias l´a citadas) desenvolveram o m´etodo do Grupo de
Renormaliza¸c˜ao para equa¸c˜oes diferenciais. No in´ıcio dos anos 90, J. Bricmont, A. Kupiainen e G.
Lin [8], seguindo racioc´ınio similar ao adotado por Wilson, implementaram uma vers˜ao do Grupo
de Renormaliza¸c˜ao a qual permitia fazer uma an´alise rigorosa do comportamento assint´otico
de PVI’s, e que chamaremos de Grupo de Renormaliza¸c˜ao Rigoroso (RRG). Em 1995, Chen e
Goldenfeld [9] implementaram a primeira vers˜ao do Grupo de Renormaliza¸c˜ao Num´erico (NRG).
Desde ent˜ao outras vers˜oes do NRG surgiram ( veja em [10, 11, 12, 13, 14, 15]). Apresentaremos,
nesta tese, mais uma vers˜ao do NRG, a ser explicada na Se¸c˜ao 3.3.
1.3 Mudan¸ca de Escalas e Equa¸c˜oes Diferenciais
Seja u(x, t) uma solu¸c˜ao de EMPN. Queremos, formalmente, determinar qual ´e o efeito de uma
mudan¸ca de escalas sobre essa equa¸c˜ao. Em particular, vamos argumentar que exigir invariˆancia
por mudan¸ca de escalas ´e equivalente a determinar os expoentes cr´ıticos α e β.
9
De fato, motivados por (1.4), n´os definimos
v(x, t) ≡ L
α
u(L
β
x, Lt), (1.5)
e usamos a Regra da Cadeia para verificar que v(x, t) satisfaz a seguinte equa¸c˜ao :
v
t
= L
α(1−p)−2β+1
(v
p
)
xx
+ λL
(1−a−b−c)α−(b+2c)β+1
v
a
v
b
x
v
c
xx
. (1.6)
As equa¸c˜oes (1.5) e (1.6) s˜ao o ponto de partida para a defini¸c˜ao do Grupo de Renormaliza¸c˜ao.
Contudo, antes disto, vamos mostrar que ´e poss´ıvel determinar, atrav´es de uma an´alise dimen-
sional, expoentes cr´ıticos para o PVI 1.1. Analisemos ent˜ao o que ocorre para a EMP (isto ´e,
fazendo λ = 0 em (1.1)). Dado p ≥ 1 e exigindo que α e β satisfa¸cam a rela¸c˜ao α(1−p)−2β+1 = 0,
obtemos de (1.6):
v
t
= ( v
p
)
xx
,
e conclu´ımos que tanto u(x, t) quanto v(x, t) satisfazem `a mesma equa¸c˜ao (dizemos que a EMP
´e invariante por mudan¸ca de escalas). Reciprocamente, exigir que a EMP seja invariante pela
mudan¸ca de escalas (1.5) implica que α e β s˜ao tais que α(1 − p) − 2β + 1 = 0.
Contudo, se estamos interessados na solu¸c˜ao de um PVI ent˜ao os expoentes cr´ıticos n˜ao podem
ser t˜ao arbitr´arios quanto a rela¸c˜ao α(1 − p) − 2β + 1 = 0 parece indicar. De fato, integrando
(sobre a reta real) os dois lados da EMP (e supondo existˆencia e integrabilidade de u, u
t
, u
x
e
u
xx
e que u
t
e u
x
→ 0 quando x → ±∞), obtemos a lei de conserva¸c˜ao:
R
u(x, t)dx =
R
u(x, 0)dx =
R
f(x)dx.
A mudan¸ca de escalas (1.5), pressupondo a invariˆancia da solu¸c˜ao pela mudan¸ca de escalas (ou
seja, v = u), juntamente com a conserva¸c˜ao de massa, fornece α = β. Juntamente com a
invariˆancia da equa¸c˜ao, conclu´ımos que
α =
1
p + 1
= β. (1.7)
10
1.4 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Anal´ıtico
Agora estamos em condi¸c˜oes, mesmo que formalmente, de introduzir o operador do Grupo de
Renormaliza¸c˜ao (RG) para a EMPN. Fazendo a escolha (1.7) de α e β, definimos um operador
(na escala L) atuando sobre o espa¸co dos dados iniciais da seguinte maneira: dada a condi¸c˜ao
inicial f(x), a evolua no tempo, usando a EMPN, do tempo inicial ao tempo final L > 1; com a
solu¸c˜ao no tempo L, rescalone a vari´avel x por L
β
e a solu¸c˜ao u por L
α
:
(R
L
f)(x) ≡ L
α
u(L
β
x, L). (1.8)
Esta defini¸c˜ao ´e motivada pela Equa¸c˜ao 1.5, com α e β dados por (1.7). Observe que v(x, 1) =
(R
L
f)(x). Como v(x, t) satisfaz a Equa¸c˜ao 1.6, ela ser´a solu¸c˜ao de um PVI cujo dado inicial
´e (R
L
f)(x). Iteramos ent˜ao este procedimento aplicando o operador RG tantas vezes quantas
forem necess´arias at´e que se atinja a regi˜ao assint´otica. Heuristicamente, este procedimento ´e
suficiente para determinar o limite assint´otico. De fato, supondo que valha (1.4):
R
L
(R
n
L
f)(x) = (R
n+1
L
f)(x) = L
(n+1)α
u(L
(n+1)β
x, L
n+1
) ≈ L
nα
u(L
nβ
x, L
n
) = ( R
n
L
f)(x) (1.9)
Conclu´ımos que (R
n
L
f)(x) ´e “quase”um ponto fixo de R
L
. Chamemos essa fun¸c˜ao de φ(x). Ent˜ao,
de (1.9), conclu´ımos que ∀p = 1, 2, 3...:
(R
p
L
φ)(x) = L
(n+p)α
u(L
(n+p)β
x, L
n+p
) ≈ φ(x),
ou equivalentemente:
u(x, L
n+p
) ≈
1
L
(n+p)α
φ
x
L
(n+p)β
. (1.10)
Observe que a equa¸c˜ao anterior ´e equivalente `a Equa¸c˜ao 1.2, para tempos longos da forma
t = L
n+p
, desde que interpretemos a fun¸c˜ao perfil como ponto fixo do Grupo de Renormaliza¸c˜ao.
Se fizermos n itera¸c˜oes do procedimento acima ent˜ao a equa¸c˜ao que descrever´a a evolu¸c˜ao tempo-
ral ser´a a Equa¸c˜ao 1.6 com L substitu´ıdo por L
n
. Na Se¸c˜ao 2.2.3 do Cap´ıtulo 2 estabeleceremos
matematicamente o operador RG para a equa¸c˜ao de difus˜ao (p = 1 e λ = 0) e algumas de suas
propriedades. Em particular, vamos determinar os pontos fixos que nos interessam, e rigorosa-
mente obter o comportamento 1.10 (vide Teorema 2.11) usando a propriedade de semi-grupo
11
(vide Teorema 2.8) e o Lema da Contra¸c˜ao (vide Teorema 2.9). Como veremos no Cap´ıtulo 3, a
motiva¸c˜ao do RG num´erico vem da descri¸c˜ao acima.
Esperamos que o processo iterativo descrito acima convirja ao se atingir a regi˜ao assint´otica e,
se assim o for, podemos, formalmente, classificar o termo n˜ao-linear que multiplica o fator de λ
em (1.1). Reescrevendo a Equa¸c˜ao 1.6 com L substitu´ıdo por L
n
, obtemos:
v
t
= ( v
p
)
xx
+ λL
n{(1−a−2b−3c)α+1}
v
a
v
b
x
v
c
xx
.
Dizemos que o termo n˜ao linear ´e relevante se (1 − a − 2b − 3c)α + 1 > 0; marginal se
(1−a−2b−3c)α +1 = 0 e irrelevante se (1 −a −2b −3c)α + 1 < 0. Em particular, se b = c = 0
ent˜ao v
a
ser´a marginal se
a = p + 2.
1.5 Resultados Anal´ıticos Recentes
A an´alise formal da se¸c˜ao anterior foi tornada rigorosa, no caso p = 1, ap´os a publica¸c˜ao de
Bricmont, Kupiainen e Lin [8] onde se prova que o PVI 1.1, com p = 1 e com dado inicial
“pequeno”, possui uma ´unica solu¸c˜ao global tal que
1. perturba¸c˜ao irrelevante: se a + 2b + 3c − 3 > 0 ent˜ao, quando t → ∞ ,
t
1/2
u(t
1/2
x, t) → φ(x), (1.11)
onde φ(x) =
1
√
4π
e
−
x
2
4
(vide Teorema 1 de [8]) ;
2. perturba¸c˜ao marginal: se a = 3, b = 0 = c e λ < 0 ent˜ao, quando t → ∞,
(t log t)
1/2
u(t
1/2
x, t) → φ(x), (1.12)
(vide Teorema 2 de [8]). Observe o surgimento da corre¸c˜ao logar´ıtmica no decaimento da
solu¸c˜ao, o que n˜ao ocorre em (1.11).
Quando p > 1 e λ = 0, sabe-se que EMP tem solu¸c˜oes auto-similares (vide [16]). Y. Qi
e X. Liu [17] provaram recentemente, usando argumentos que n˜ao envolvem o Grupo de
Renormaliza¸c˜ao, que :
12
3. perturba¸c˜ao marginal: se a = p + 2, b = c = 0 e λ < 0 ent˜ao, quando t → ∞ ,
(t log t)
1
p+1
u(t
1
p+1
(log(t))
1−p
2(p+1)
x, t) → G(x), (1.13)
(veja Teorema 6.13, onde tamb´em fornecemos a fun¸c˜ao G(x)).
Observe que neste caso, diferentemente de (1.11) e (1.12), surgem corre¸c˜oes logar´ıtmicas, tanto
para o decaimento quanto para o espalhamento da solu¸c˜ao.
1.6 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Num´erico
Nem sempre ´e poss´ıvel determinar os expoentes cr´ıticos usando a an´alise dimensional da Se¸c˜ao
1.3. E mesmo que o seja, esse argumento formal n˜ao ´e suficiente para determinar a fun¸c˜ao perfil.
O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Num´erico (NRG) ´e um algoritmo que, explorando as id´eias das
Se¸c˜oes 1.3 e 1.4, fornece numericamente toda a informa¸c˜ao necess´aria para a descri¸c˜ao assint´otica
da solu¸c˜ao do PVI 1.1. Descreveremos esse algoritmo no Cap´ıtulo 3. Adiantamos, contudo, que
todos os parˆametros que descrevem o comportamento assint´otico (expoentes, pr´e-fatores e fun¸c˜ao
perfil) s˜ao computados numericamente. Verifica-se tamb´em, numericamente, a estabilidade e
convergˆencia do algoritmo. Na vers˜ao do NRG apresentada em [11, 12, 13, 15], o expoente α ´e
determinado numericamente enquanto que o expoente β ´e obtido substituindo-se o valor de α,
computado numericamente, na rela¸c˜ao de escala apropriada. Em particular, no caso da equa¸c˜ao
de difus˜ao, β ´e fixado como sendo o canˆonico sempre que as perturba¸c˜oes forem marginais ou
irrelevantes. Essa vers˜ao do NRG fornece todos os resultados advocados nos Teoremas 1 e 2 de
[8]. A mesma vers˜ao tamb´em pode ser usada para estabelecer conjecturas, ponto de vista adotado
em [13] para o estudo equa¸c˜oes difusivas com coeficientes peri´odicos. Corre¸c˜oes logar´ıtmicas ao
decaimento, como as da Equa¸c˜ao 1.12, podem ser incorporadas ao NRG e isto est´a feito em [14].
13
1.7 Os Resultados deste Trabalho
Dentre outras coisas, apresentaremos neste trabalho um nova vers˜ao no NRG (vide Se¸c˜ao 3.3),
capaz de detectar corre¸c˜oes logar´ıtmicas tanto no decaimento quanto no espalhamento da solu¸c˜ao
do PVI. Ressaltamos que as vers˜oes atuais do NRG [14, 13] tamb´em s˜ao capazes de detectar
corre¸c˜oes logar´ıtmicas ao decaimento ou espalhamento da solu¸c˜ao do PVI. Contudo, a vers˜ao
que apresentamos neste trabalho difere das demais pois os expoentes cr´ıticos s˜ao computados
numericamente (diferentemente do NRG atual, onde uma rela¸c˜ao de escala ´e usada para computar
o expoente β, dado o expoente α).
Os experimentos num´ericos com esta nova vers˜ao s˜ao apresentados no Cap´ıtulo 4 e foram real-
izados sob hip´oteses de teoremas que garantem o comportamento assint´otico das solu¸c˜oes; na
Se¸c˜ao 4.1.2 validamos o m´etodo para a equa¸c˜ao do calor linear verificando a teoria apresentada
na Se¸c˜ao 2.2.1; na Se¸c˜ao 4.2 validaremos o m´etodo para a EMPN com perturba¸c˜oes marginais,
respeitando as hip´oteses do Teorema 6.13, e verificando numericamente as corre¸c˜oes logar´ıtmicas
garantidas pelo mesmo.
Dividimos este trabalho da seguinte maneira: no Cap´ıtulo 2, estudamos a equa¸c˜ao do calor lin-
ear. Provamos a existˆencia e unicidade do PVI associado a equa¸c˜ao e damos uma argumenta¸c˜ao
sobre o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao. Definiremos o operador RG para o caso linear
e estudaremos algumas de suas propriedades, seus pontos fixos e, finalmente, reobteremos o
comportamento assint´otico da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor via Grupos de Renormaliza¸c˜ao. No
Cap´ıtulo 3 apresentamos o NRG padr˜ao bem como duas varia¸c˜oes do mesmo. Dentre estas,
destacamos a apresentada na Se¸c˜ao 3.3, que nos permitir´a obter o comportamento assint´otico
(1.13) acima, sendo esta a contribui¸c˜ao deste trabalho. No Cap´ıtulo 4, mostraremos resulta-
dos num´ericos que validam as vers˜oes do NRG apresentadas no Cap´ıtulo 3 sob as hip´oteses de
teoremas conhecidos. Afim de que este trabalho viesse a ser o mais auto-contido poss´ıvel, in-
clu´ımos um apˆendice contendo 3 t´opicos: o primeiro, sobre a transformada de Fourier, onde
mostramos algumas id´eias b´asicas; o segundo t´opico, que cont´em teoremas e defini¸c˜oes usados
neste trabalho; e por fim, o terceiro t´opico, onde explicamos como resolver numericamente as
EDP’s deste trabalho, possibilitando ao leitor, caso queira, implementar as diversas vers˜oes do
14
NRG apresentadas no Cap´ıtulo 3 e repetir os experimentos num´ericos.
15
Cap´ıtulo 2
Propriedades Anal´ıticas do Grupo de
Renormaliza¸c˜ao Linear
Neste cap´ıtulo, faremos uma an´alise rigorosa do op erador R
L
, definido em (1.8), supondo que
λ = 0 e p = 1. Sob estas condi¸c˜oes o PVI 1.1 ´e linear. A an´alise linear ´e o primeiro passo
para que possamos entender o RG n˜ao-linear. Mostraremos que, se tomarmos α = β = 1/2
(como sugerido pela an´alise dimensional, com p = 1, da Se¸c˜ao 1.3) ent˜ao todas as propriedades
desej´aveis do RG valem para o RG linear. Em particular, como ressaltado no Cap´ıtulo 1, vamos
mostrar que, se α = β = 1/2 ent˜ao a seq¨uˆencia das iteradas do operador R
L
(veja coment´ario
ap´os a Equa¸c˜ao 1.8) converge para um ponto fixo de R
L
e que esse ponto fixo ´e a fun¸c˜ao perfil
φ(.), veja Equa¸c˜ao 1.2 e coment´arios ap´os a Equa¸c˜ao 1.4.
Usaremos a Transformada de Fourier para analisar o operador R
L
. Uma breve revis˜ao e alguns
fatos relevantes sobre a Transformada de Fourier podem ser encontrados no Apˆendice 6.1. Na
Se¸c˜ao 2.1 n´os exibiremos a solu¸c˜ao fundamental da equa¸c˜ao do calor e enunciaremos algumas
de suas propriedades. A solu¸c˜ao fundamental nos permite provar os teoremas de existˆencia e
unicidade (para todo t > 0)), como tamb´em nos fornece uma representa¸c˜ao integral, para o PVI
u
t
= u
xx
, (x, t) ∈ R × (0, ∞)
u(x, 0) = f(x), f ∈ C(R) ∩ L
∞
(R).
(2.1)
A partir dessa representa¸c˜ao integral (vide Equa¸c˜ao 2.6), na Se¸c˜ao 2.2.1 n´os verificaremos que
o limite (1.3) est´a bem definido (e ´e n˜ao-nulo), desde que tomemos α = β = 1/2 (confirmando
o que j´a era esperado pela an´alise dimensional). Determinaremos tamb´em a fun¸c˜ao perfil. Na
16
Se¸c˜ao 2.2.3 n´os usaremos a f´ormula (2.6) para obter uma representa¸c˜ao integral para o operador
R
L
(vide Equa¸c˜ao 2.13). Usando esta representa¸c˜ao n´os determinaremos seus autovalores e
autovetores (em particular, determinaremos os pontos fixos que nos interessam). Ainda na Se¸c˜ao
2.2.3 mostraremos a propriedade de semigrupo e o Lema da Contra¸c˜ao. De posse destes dois
´ultimos resultados, na Se¸c˜ao 2.2.4 n´os reobteremos os resultados da Se¸c˜ao 2.2.1 pela aplica¸c˜ao
sucessiva do RG. As Se¸c˜oes 2.1 e 2.2 deste cap´ıtulo est˜ao est˜ao baseadas em [18, 19] e [4, 20, 3],
respectivamente.
2.1 Solu¸c˜ao Fundamental, Existˆencia e Unicidade para a
Equa¸c˜ao do Calor
Nesta se¸c˜ao, apresentaremos um teorema que garanta a existˆencia de uma solu¸c˜ao u(x, t) ∈
C
∞
(R × (0, ∞)) para o PVI 2.1, desde que o dado inicial f(·) seja uma fun¸c˜ao cont´ınua e
limitada. Apresentaremos tamb´em, como consequˆencia do Princ´ıpio do M´aximo (vide Teorema
6.13), a unicidade da solu¸c˜ao.
Definimos ent˜ao a fun¸c˜ao φ : R × (0, ∞) → R como:
φ(x, t) =
1
√
4πt
e
−
x
2
4t
. (2.2)
φ(x, t) ´e chamada de solu¸c˜ao fundamental da equa¸c˜ao do calor e a mesma possui as seguintes
propriedades:
1. φ(x, t) > 0 ∀x ∈ R, t > 0;
2. φ(x, t) ∈ C
∞
(R × (0, ∞));
3. φ
t
= φ
xx
, t > 0, x ∈ R;
4.
R
φ(x − y, t)dy = 1, t > 0, x ∈ R;
5. lim
t→0
+
φ(x, t) = 0, x = 0;
17
6. lim
t→0
+
φ(0, t) = +∞;
7. lim
x→+∞
φ(x, t) = 0, t > 0;
8. lim
t→+∞
φ(x, t) = 0;
9. dados δ > 0 e a derivada parcial de ordem m + n, ∂
m
t
∂
n
x
φ(x, t), m, n = 0, 1, 2, 3..., existe
uma constante positiva M
m+n,δ
tal que
|∂
m
t
∂
n
x
φ(x, t)| ≤ M
m+n,δ
e
−x
2
8δ
∀(x, t) ∈ R × [δ, ∞).
Exceto pelas propriedades 4 e 9, que provaremos a seguir, todas as outras s˜ao facilmente dedut´ıveis
da defini¸c˜ao de φ(x, t).
Propriedade 4: Pelo teorema de mudan¸ca de vari´aveis (vide [21]), com z = (y − x)/
√
4t,
obtemos:
R
φ(x − y, t)dy =
1
√
4πt
R
e
−(x−y)
2
4t
dy =
1
√
π
R
e
−z
2
dz = 1,
onde a ´ultima integral acima ´e igual a 1 pois
R
e
−x
2
dx =
√
π.
Propriedade 9: Podemos verificar que a (m + n)-´esima derivada partial ∂
m
t
∂
n
x
φ(x, t) ´e da forma
p
x
√
t
e
−
x
2
√
t
2
, onde p
x
√
t
´e um polinˆomio em
x
√
t
, cujos coeficientes podem depender de
√
t.
Portanto, para determinar uma cota para ∂
m
t
∂
n
x
φ(x, t), basta determinar uma cota para fun¸c˜oes
da forma
x
√
t
r
e
−
x
2
√
t
2
r = 1, 2, 3, ...
Mas
x
√
t
r
e
−
x
2
√
t
2
=
|x|
√
t
r
e
−
1
2
x
2
√
t
2
e
−
1
2
x
2
√
t
2
≤ A
r,δ
e
−
x
2
8δ
,
onde A
r,δ
= sup
∈R
(2)
r
e
−
2
2
, e lembrando que t ≥ δ.
Estamos agora em condi¸c˜oes de provar que o PVI 2.1 tem pelo menos uma solu¸c˜ao. Iremos
assumir que o dado inicial ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e limitada em R embora esta n˜ao seja uma
condi¸c˜ao necess´aria
1
.
1
O mesmo teorema po de ser provado se f (x) ∈ L
1
(R), por exemplo
18
Teorema 2.1 (Existˆencia) Seja f(x) uma fun¸c˜ao cont´ınua e limitada em R e seja u(x, t)
definida em R × (0, ∞) por:
u(x, t) =
R
φ(x − y, t)f(y)dy. (2.3)
Ent˜ao:
1. u ∈ C
∞
(R × (0, ∞));
2. u
t
= u
xx
, t > 0;
3. lim
(x,t)→(x
0
,0
+
)
u(x, t) = f (x
0
).
Em particular, o PVI 2.1 possui pelo menos uma solu¸c˜ao u(x, t) (dada por 2.3).
Dem.: O Teorema ´e uma conseq¨uˆencia das propriedades da fun¸c˜ao φ(x, t) enunciadas no in´ıcio
desta se¸c˜ao. Observamos inicialmente que a integral em (2.3) faz sentido, definindo uma fun¸c˜ao
de x e t. De fato, pela hip´otese em f e pela defini¸c˜ao de φ, o produto φ(x − y, t)f(y) ´e uma
fun¸c˜ao cont´ınua em x, y e t, com t > 0. Al´em disto, como f ´e limitada ent˜ao existe M > 0
tal que |φ(x − y, t)f(y)| ≤ Mφ(x − y, t), onde usamos a propriedade 1 de φ. Usando agora a
propriedade 4 conclu´ımos que u(x, t), dada pela integral (2.3), est´a bem definida.
A prova dos itens 1 e 2 do Teorema segue diretamente das propriedades 2, 3 e 9 de φ. De fato,
segue da propriedade 9 que |∂
m
t
∂
n
x
φ(x − y, t)| ´e limitada por um m´ultiplo de e
−
(x−y)
2
8δ
, ∀x, y ∈ R
e t ≥ δ, e, portanto, as hip´oteses do Teorema 6.11 s˜ao satisfeitas, pois e
−
(x−y)
2
8δ
´e uniformemente
integr´avel em x. Isto nos permite concluir que podemos derivar sob o sinal de integra¸c˜ao em (2.3)
para concluir que u ∈ C
∞
(R × (0, ∞)) e que u
t
= u
xx
, t > 0. Para provar o item 3, usaremos
as propriedades 4, 5 e 6 como explicamos a seguir. Formalmente, a raz˜ao para obtermos o valor
limite f(x
0
) ´e a seguinte: ao passarmos o limite do item 3 para dentro da integral (2.3) que
define u, a solu¸c˜ao fundamental φ(x − y, t) se aproximar´a da fun¸c˜ao Delta de Dirac δ(x
0
− y),
concentrando toda a integra¸c˜ao no ponto x
0
. Como o integrando ser´a δ(x
0
− y)f(y) ent˜ao o
resultado da integra¸c˜ao ser´a f(x
0
).
19
Da continuidade de f segue que, dado > 0, ∃ δ > 0 tal que
|y − x
0
| < δ ⇒ |f(y) − f(x
0
)| < .
Usando a propriedade 4, obtemos:
u(x, t) − f(x
0
) =
R
φ(x − y, t)(f(y) − f(x
0
))dy,
o que nos leva `a seguinte desigualdade, ∀δ > 0:
|u(x, t) − f(x
0
)| ≤
x
0
−δ
−∞
φ(x − y, t)|f(y) − f (x
0
)| dy +
x
0
+δ
x
0
−δ
φ(x − y, t)|f(y) − f (x
0
)| dy+
+
+∞
x
0
+δ
φ(x − y, t)|f(y) − f (x
0
)| dy ≡ I
1
+ I
2
+ I
3
.
Como |f(y) − f(x
0
)| ≤ no intervalo de integra¸c˜ao de I
2
e como
x
0
+δ
x
0
−δ
φ(x − y, t)dy <
R
φ(x − y, t)dy = 1,
obtemos que I
2
≤ . Resta mostrar, ent˜ao, que lim
(x,t)→(x
0
,0
+
)
I
1
= 0 = lim
(x,t)→(x
0
,0
+
)
I
3
. Mostraremos
o primeiro limite pois o segundo segue de forma similar.
Usaremos o Teorema da Convergˆencia Dominada de Lesbesgue (veja o Teorema 6.12) para provar
que I
1
, como fun¸c˜ao de x e t, tende a zero quando x se aproxima de x
0
e t se aproxima de 0.
Sejam {x
n
} e {t
n
} seq¨uˆencias de n´umeros reais tais que x
n
→ x
0
, x
n
∈ (x
0
− δ/2, x
0
+ δ/2) e
t
n
→ 0, com 0 < t
n
≤ 1. Definimos:
φ
n
(y) =
φ(x
n
− y, t
n
)|f(y) − f(x
0
)| para y < x
0
− δ
0 para y ≥ x
0
− δ.
Definimos ainda
G(y) =
4M
√
π(x
0
−
δ
2
− y)
2
.
Observe que G(y) ∈ L
1
(−∞, x
0
− δ). Al´em disto, notemos que |φ
n
(y)| ≤ G(y) para todo n e
para todo y ∈ (−∞, x
0
− δ), uma vez que
φ
n
(y) =
1
√
4πt
n
e
−
(x
n
−y)
2
4t
n
|f(y) − f(x
0
)| ≤
2M
√
4t
n
√
π(x
n
− y)
2
(x
n
− y)
2
4t
n
e
−
(x
n
−y)
2
4t
n
≤
4M
√
π(x
0
−
δ
2
− y)
2
,
onde, na ´ultima desigualdade, usa-se que
20
• t
n
≤ 1;
• |x
n
− y| ≥ |x
0
−
δ
2
− y|, pois y ∈ (−∞, x
0
− δ) e x
n
∈ (x
0
− δ/2, x
0
+ δ/2);
• e
−
≤ e
−1
< 1, com > 0.
Do item 2, acima, da positividade de φ e da defini¸c˜ao de φ
n
, segue que
0 ≤ φ
n
(y) ≤ 2Mφ(x
n
− y, t
n
) ≤ 2Mφ(δ/2, t
n
).
Como, pela propriedade 5 de φ, temos que φ(δ/2, t
n
) → 0 quando n → ∞, concluimos tamb´em
que φ
n
(y) → 0 quando n → ∞. Podemos, ent˜ao, aplicar o Teorema da convergˆencia Domi-
nada para concluir que
R
φ
n
(y)dy → 0 quando n → ∞. Como as seq¨uˆencias {x
n
} e {t
n
} s˜ao
arbitr´arias, conclu´ımos que
lim
(x,t)→(x
0
,0
+
)
I
1
= lim
(x,t)→(x
0
,0
+
)
x
0
−δ
−∞
φ(x − y, t)|f(y) − f (x
0
)|dy = 0.
Observa¸c˜ao: Se, nas hip´oteses to Teorema 2.1, assumirmos que o dado inicial f ´e integr´avel
(ao inv´es de cont´ınuo e limitado), ent˜ao os ´ıtens 1 e 2 do Teorema continuam v´alidos e o item
3 ´e v´alido nos pontos de continuidade de f. Como toda fun¸c˜ao integr´avel ´e aproximada (no
sentido L
1
(R)) por fun¸c˜oes limitadas, ent˜ao a prova fornecida acima se aplica, pois o seu ´unico
ingrediente importante ´e o Teorema da Convergˆencia Dominada.
Provaremos, a seguir, que o PVI 2.1 tem uma ´unica solu¸c˜ao u(x, t), x ∈ R e t > 0. Em particular,
sob as hip´oteses do Teorema 2.1 (dado inicial cont´ınuo e limitado) a (´unica) solu¸c˜ao do PVI ´e
dada pela integral (2.3). A unicidade de solu¸c˜oes (Corol´ario 2.4) segue como corol´ario do Teorema
2.3 que, por sua vez, segue como corol´ario do Teorema 2.2 (cuja prova ser´a omitida). Este ´ultimo
teorema ´e uma vers˜ao do Princ´ıpio do M´aximo (vide Teorema 6.13) para dom´ınios n˜ao-limitados.
A seguir, denotaremos por C
2
1
ao conjunto das fun¸c˜oes de duas vari´aveis u(x, t) que sejam de
classe C
2
na primeira vari´avel e de classe C
1
na segunda.
21
Teorema 2.2 Seja u ∈ C
2
1
(R × (0, T )) ∩ C(R × [0, T ]) solu¸c˜ao do PVI:
u
t
− u
xx
= 0 em R × (0, T )
u(x, 0) = g para x ∈ R
e suponha que existam constantes a, A > 0 tais que
u(x, t) ≤ Ae
ax
2
para (x, t) ∈ R × (0, T ). (2.4)
Ent˜ao,
sup
R×[0,T ]
u = sup
R
g.
Sob as hip´oteses deste ´ultimo teorema, somos capazes de demonstrar a unicidade da solu¸c˜ao.
Teorema 2.3 Sejam f ∈ C(R × [0, T ]) e g ∈ C(R) fun¸c˜oes dadas. Ent˜ao o PVI
u
t
− u
xx
= f em R × (0, T )
u(x, 0) = g para x ∈ R
(2.5)
possui, no m´aximo, uma solu¸c˜ao u(x, t) tal que
• u(x, t) ∈ C
2
1
(R × (0, T ]) ∩ C(R × [0, T ]);
• |u(x, t)| ≤ Ae
ax
2
, com (x, t) ∈ R × [0, T ] e constantes A, a > 0.
Dem.: O teorema ´e um corol´ario do Teorema 2.2. Suponha que u e v sejam solu¸c˜oes do PVI
2.5 satisfazendo `as condi¸c˜oes de crescimento |u(x, t)| ≤ Ae
ax
2
e |v(x, t)| ≤ Be
bx
2
, para constantes
A, B, a, b > 0. Definimos, ent˜ao, w ≡ u − v, e verificamos que w satisfaz:
w
t
− w
xx
= 0 em R × (0, T )
w(x, 0) = 0 para x ∈ R
e
|w(x, t)| ≤ 2 max{A, B}e
max{a,b}x
2
.
Lembrando que inf w(x, t) = sup(−w(x, t)), observando que −ω(x, t) satisfaz o PVI acima e
tomando g = 0 no Teorema 2.2, obtemos:
0 = sup
R×[0,T ]
w(x, t) = sup
R×[0,T ]
(−w(x, t)) = inf
R×[0,T ]
w(x, t).
Conclu´ımos ent˜ao que w = 0, ou seja, u = v.
22
Corol´ario 2.4 (Unicidade) Sob as hip´oteses do Teorema 2.1, o PVI 2.1 possui uma ´unica
solu¸c˜ao u(x, t) dentro da classe das solu¸c˜oes que n˜ao crescem mais rapidamente que A exp(ax
2
),
para A, a > 0.
Dem.: Vemos que o PVI 2.1 ´e um caso particular do PVI 2.5, com f = 0 e g ∈ C(R)
L
∞
(R).
Portanto, pelo Teorema 2.3, o mesmo tem no m´aximo uma solu¸c˜ao de crescimento exponencial.
J´a sabemos que o PVI 2.1 possui pelo menos uma solu¸c˜ao u(x, t), dada pela integral (2.3). Ent˜ao,
para concluirmos a unicidade s´o nos falta mostrar que esta solu¸c˜ao n˜ao cresce mais rapidamente
que a exponencial de x
2
. Da representa¸c˜ao integral de u(x, t) e da defini¸c˜ao de φ(x, t) conclu´ımos
que essa solu¸c˜ao satisfaz a
|u(x, t)| ≤ Ae
ax
2
,
com A = sup
x∈R
|f(x)| e a = 0, e isto termina a prova do corol´ario.
2.2 Limites Assint´oticos e Grupos de Renormaliza¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao vamos mostrar que, para o PVI 2.1, a defini¸c˜ao (1.8) do operador RG faz sentido,
com α = β = 1/2. Com esta escolha de expoentes cr´ıticos, vamos tamb´em mostrar que o limite
(1.3) est´a bem definido, com A =
ˆ
f(0) (A ´e a Transformada de Fourier
2
do dado inicial calculada
na origem), B = 1 e φ sendo a distribui¸c˜ao gaussiana. Veremos que a representa¸c˜ao integral (2.3)
´e essencial para estabelecer analiticamente as propriedades do RG obtidas nas se¸c˜oes 2.2.1, 2.2.2
e 2.2.3.
2.2.1 Comportamento Assint´otico de Solu¸c˜oes Reescalonadas
Vamos inicialmente obter o limite (1.3) de forma anal´ıtica para, posteriormente, comparar o
resultado com o que ser´a obtido na Se¸c˜ao 2.2.4, onde utilizaremos o RG para obter o mesmo
comportamento assint´otico. Pelo Corol´ario 2.4 da se¸c˜ao anterior, se o dado inicial f for cont´ınuo
2
vide apˆendice
23
e limitado ent˜ao a solu¸c˜ao do PVI 2.1 ´e unicamente dada por
u(x, t) =
1
√
4πt
R
e
−(x−y)
2
4t
f(y)dy, (2.6)
para todo t > 0. Se reescalonarmos a vari´avel espacial e a solu¸c˜ao por t
1/2
, obtemos
t
1/2
u(t
1/2
x, t) =
1
√
4π
R
e
−(t
1/2
x−y)
2
4t
f(y)dy =
1
√
4π
R
e
−(x−y/
√
t)
2
4
f(y)dy.
Utilizando agora do Teorema da Convergˆencia Dominada (vide Teorema 6.12 ), tomamos o limite
com t → ∞:
lim
t→∞
t
1/2
u(t
1/2
x, t) =
1
√
4π
e
−
x
2
4
R
f(y)dy =
1
√
4π
e
−
x
2
4
ˆ
f(0). (2.7)
Analisando o limite (2.7) n´os conclu´ımos que os expoentes cr´ıticos α e β s˜ao iguais a 1/2, os
prefatores s˜ao B = 1 e A =
ˆ
f(0) e a fun¸c˜ao perfil φ(x) ´e igual a
1
√
4π
e
−
x
2
4
, que ´e a distribui¸c˜ao
gaussiana de m´edia zero e desvio padr˜ao
√
2. Observe que os valores dos expoentes cr´ıticos
coincidem com aqueles determinados na Se¸c˜ao 1.3 por an´alise dimensional.
2.2.2 Solu¸c˜oes Invariantes Para a Equa¸c˜ao do Calor
Nesta se¸c˜ao vamos conectar a distribui¸c˜ao gaussiana, obtida na se¸c˜ao anterior, com a solu¸c˜ao
fundamental da equa¸c˜ao do calor e com solu¸c˜oes invariantes por mudan¸ca de escala. Como
veremos posteriormente, esta conex˜ao nos ser´a ´util quando analisarmos o ponto fixo do operador
RG. Considere novamente o PVI 2.1 e seja u(x, t) a sua solu¸c˜ao. Seja L um n´umero real positivo
(posteriormente escolheremos L > 1) e defina v(x, t) pelo seguinte reescalonamento de u:
v(x, t) =
√
Lu(
√
Lx, Lt),
onde estamos usando os valores de α e β determinados na Se¸c˜ao 1.3, com p = 1. Se u(x, t) for
solu¸c˜ao invariante por mudan¸ca de escalas ent˜ao
u(x, t) = L
1
2
u(L
1
2
x, Lt). (2.8)
Se fizermos formalmente L = t
−1
em (2.8) obteremos que
u(x, t) =
1
√
t
u(
x
√
t
, 1),
24
o que nos induz a supor que as solu¸c˜oes invariantes s˜ao da forma
u(x, t) =
1
√
t
φ
x
√
t
. (2.9)
Determinemos, agora, condi¸c˜oes em φ para que u da forma (2.9) seja solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor
(2.1). Substituindo (2.9) em (2.1) e definindo y ≡ xt
−1/2
, obtemos a seguinte EDO para φ
φ

+
1
2
yφ
+
1
2
φ = 0.
Observando que o lado esquerdo desta equa¸c˜ao ´e igual a
φ
+
yφ
2
,
podemos, atrav´es de duas integra¸c˜oes consecutivas, obter a sua solu¸c˜ao geral. Em particular,
essa equa¸c˜ao admite solu¸c˜oes da forma φ(y) = Ce
−
y
2
4
. Se escolhermos C > 0 de forma que φ
tenha norma L
1
igual a 1, obtemos
φ(y) =
1
√
4π
e
−
y
2
4
.
Observe que reobtemos, acima, a distribui¸c˜ao gaussiana e que a mesma, quando substitu´ıda em
(2.9), nos d´a uma solu¸c˜ao invariante por mudan¸ca de escalas
u(x, t) =
1
√
4πt
e
−x
2
4t
.
Essa solu¸c˜ao coincide com a solu¸c˜ao fundamental da equa¸c˜ao do calor. Como veremos, este fato
est´a ligado ao ponto fixo do operador RG.
2.2.3 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Linear
Nesta se¸c˜ao definiremos o operador RG para a Equa¸c˜ao do Calor e veremos algumas de suas
propriedades. Sem perda de generalidade, faremos uma transla¸c˜ao do nosso problema no tempo
e passaremos a trabalhar com dados iniciais em t = 1. Al´em disto, assumiremos que o dado
inicial ´e cont´ınuo e de suporte compacto (para que a sua Transformada de Fourier fa¸ca sentido).
Em outras palavras, trabalharemos com o PVI
u
t
= u
xx
, (x, t) ∈ R × (1, ∞)
u(x, 1) = f(x) , f ∈ C
0
(R),
(2.10)
25
cuja solu¸c˜ao ´e
u(x, t) =
1
4π(t − 1)
R
e
−
(x−y)
2
4(t−1)
f(y)dy. (2.11)
Motivados por (2.8) definimos o operador RG para a Equa¸c˜ao do Calor. Dado L > 1, fazemos o
seguinte:
1. integramos a equa¸c˜ao do calor, evoluindo o dado inicial f (x) = u(x, 1) do tempo t = 1
ao tempo t = L, obtendo assim u(x, L). Observe que u(x, L) est´a bem definido pois j´a
sabemos, da se¸c˜ao anterior, que a solu¸c˜ao do PVI em quest˜ao existe para todo t > 0;
2. reescalonamos, ent˜ao, a vari´avel espacial por L
1
2
, obtendo, assim, u(L
1
2
x, L);
3. por fim, reescalonamos a solu¸c˜ao u por L
1
2
obtendo L
1
2
u(L
1
2
x, L). Essa fun¸c˜ao de x assim
definida ´e a imagem do dado inicial do PVI 2.10 pela transforma¸c˜ao definida pelas regras
acima.
Denotamos o operador RG por R
L
. Os trˆes passos descritos acima podem ser resumidos pela
identidade
R
L
f(x) = L
1
2
u(L
1
2
x, L). (2.12)
R
L
tem uma representa¸c˜ao integral que se origina de (2.11)
R
L
f(x) =
√
L
4π(L − 1)
R
e
−
(
√
Lx−y)
2
4(L−1)
f(y)dy. (2.13)
Ent˜ao o operador RG ´e representado por uma integral de convolu¸c˜ao e, por causa disto, podemos
usar a Transformada de Fourier para analisar a sua a¸c˜ao sobre os dados iniciais, como o seguinte
lema mostra.
Lema 2.5 Se f ∈ C
o
(R) e se L > 1 ent˜ao
R
L
f(ω) = e
−ω
2
L
(L−1)
ˆ
f(
ω
√
L
). (2.14)
26
Dem.: Notemos inicialmente que:
R
L
f(ω) =
L
1/2
u(L
1/2
x, L)(ω) =
R
e
−iωx
L
1/2
u(L
1/2
x, L)dx =
R
e
−i
ω
L
1/2
x
u(y, L)dy = ˆu(
ω
L
1/2
, L).
Ent˜ao:
R
L
f(ω) = ˆu(
ω
L
1/2
, L). (2.15)
Basta ent˜ao tomar a Transformada de Fourier da solu¸c˜ao u(x, t) como fun¸c˜ao de x, no tempo
t = L , para provar o lema. Como a solu¸c˜ao u ´e dada pela integral de convolu¸c˜ao (2.11), podemos
reescrevˆe-la como:
u(x, t) = [φ(·, t − 1) ∗ f(·)](x).
Aplicando o Teorema da Convolu¸c˜ao (vide Teorema 6.8) `a identidade acima, obtemos que
ˆu(ω, t) =
ˆ
φ(ω, t − 1)
ˆ
f(ω). Substituindo esta informa¸c˜ao em (2.15) e usando que
ˆ
φ(ω, t) = e
−ω
2
t
,
conclu´ımos que
R
L
f(ω) = e
−ω
2
L
(L−1)
ˆ
f(
ω
√
L
)
e o lema est´a provado.
Antes de continuar com a nossa an´alise, observamos que o operador RG atua linearmente sobre o
espa¸co dos dados iniciais. De fato, da representa¸c˜ao integral (2.13) podemos facilmente verificar
que
R
L
(af + bg) = aR
L
f + bR
L
g.
Al´em disto, usando a identidade (2.14), podemos determinar os seus autovalores e autovetores,
como as duas proposi¸c˜oes a seguir nos mostram.
Proposi¸c˜ao 2.6 A distribui¸c˜ao Gaussiana φ(x) =
1
√
4π
e
−
x
2
4
´e ponto fixo do operador R
L
.
Dem.: Usando que
ˆ
φ(ω) = e
−ω
2
e usando a identidade (2.14), obtemos
R
L
φ(ω) = e
−ω
2
L
(L−1)
e
−ω
2
L
= e
−ω
2
=
ˆ
φ(ω).
27
Tomando a transformada inversa na ´ultima igualdade n´os obtemos que R
L
φ = φ e o teorema
est´a provado.
De maneira an´aloga podemos provar que
Proposi¸c˜ao 2.7 Para n = 1 , 2, ···, seja φ
n
(x) a fun¸c˜ao cuja Transformada de Fourier ´e igual a
ω
n
exp(−ω
2
). Ent˜ao φ
n
(x) ´e autovetor do operador R
L
com autovalor L
−n/2
.
Observa¸c˜ao: Lembramos que as fun¸c˜oes de Hermite formam uma base para L
2
(R) e que elas s˜ao
geradas tomando-se derivadas de todas as ordens da distribui¸c˜ao Gaussiana. Como multiplica¸c˜ao
no espa¸co ω ´e equivalente a deriva¸c˜ao no espa¸co x, conclu´ımos que combina¸c˜oes lineares dos
φ
n
(x) geram as fun¸c˜oes de Hermite e, por conseguinte, formam uma base para o espa¸co dos
dados iniciais.
Teorema 2.8 (Propriedade de Semigrupo) Dados L
1
> 1 e L
2
> 1, temos que
R
L
1
·L
2
= R
L
1
◦ R
L
2
.
Dem.: Dado f ∈ C
0
(R), basta ver que:
R
L
1
L
2
f = L
1/2
1
L
1/2
2
u(L
1/2
1
L
1/2
2
x, L
1
L
2
) = R
L
1
(L
1/2
2
u(L
1/2
2
x, L
2
)) = R
L
1
◦ R
L
2
f.
Observa¸c˜ao: Segue do Teorema 2.8 que R
n
L
= R
L
◦ R
L
◦ ... ◦ R
L
= R
L
n
. A propriedade de
semi-grupo ser´a usada na pr´oxima se¸c˜ao para o estudo assint´otico via RG.
Para dar prosseguimento ao nosso estudo temos que caracterizar mais claramente o que chamamos
de “espa¸co dos dados iniciais”. Essa caracteriza¸c˜ao ´e necess´aria pois R
L
f dever´a estar no mesmo
espa¸co em que estiver f j´a que desejamos que R
L
f seja um dado inicial se f o for. Considere o
seguinte conjunto de fun¸c˜oes
B
4
= {f(x) ∈ L
2
(R)|
ˆ
f ∈ C
1
(R) e ||f||
B
4
< +∞}
28
onde ||.||
B
4
´e definido como
||f||
B
4
= sup
ω∈R
(1 + ω
4
)(|
ˆ
f(ω)| + |
ˆ
f
(ω)|)
.
Pode-se mostrar que || ·||
B
4
´e uma norma e que B
4
munido desta norma ´e um espa¸co de Banach
(para detalhes veja [20]). O pr´oximo teorema nos permitir´a obter o comportamento assint´otico
de solu¸c˜oes reescalonadas via aplica¸c˜oes sucessivas do operador RG.
Teorema 2.9 (Lema da Contra¸c˜ao) Se f ∈ B
4
e se
ˆ
f(0) = 0 ent˜ao existe uma constante
C = C(L) > 0 tal que:
||R
L
f||
B
4
≤
C
L
1/2
||f||
B
4
, ∀L > 1 (2.16)
com
C(L)
L
1/2
→ 0 quando L → ∞.
Dem.: Pelo Lema 2.5 temos que:
R
L
f(ω) = e
−
ω
2
L
(L−1)
ˆ
f(
ω
L
1/2
)
e
R
L
f
(ω) =
−2ω
L
(L − 1)e
−
ω
2
L
(L−1)
ˆ
f(
ω
L
1/2
) + L
−1/2
e
−
ω
2
L
(L−1)
ˆ
f
(
ω
L
1/2
).
Logo
|
R
L
f(ω)| + |
R
L
f
(ω)| ≤ (|
ˆ
f(ω/L
1/2
)| + |2ω
ˆ
f(ω/L
1/2
)| + |L
−1/2
ˆ
f
(ω/L
1/2
)|)e
−
ω
2
L
(L−1)
. (2.17)
De (1 + ω
4
) ≥ 1 e da defini¸c˜ao de ||.||
B
4
conclu´ımos que
||f||
B
4
≥ sup
ω∈R
(|
ˆ
f(ω)| + |
ˆ
f
(ω)|).
Observemos que sup
ω∈R
(|
ˆ
f(ω)| + |
ˆ
f
(ω)|) ≥ sup
ω∈R
|
ˆ
f
(ω)| = sup
ω∈R
|
ˆ
f
(ω/L
1/2
)|, e conclu´ımos ent˜ao que
|
ˆ
f
(ω/L
1/2
)| ≤ ||f||
B
4
. (2.18)
Escrevendo
ˆ
f(ω/L
1
2
) =
ˆ
f(0) +
ω
L
1/2
0
ˆ
f
(t)dt, lembrando que
ˆ
f(0) = 0 ficamos com as desigual-
dades:
|
ˆ
f(ω/L
1
2
)| ≤ |
ˆ
f(0)|+
ω
L
1/2
0
ˆ
f
(t)dt
≤
ω
L
1/2
0
|
ˆ
f
(t)|dt ≤
ω
L
1/2
0
||f||
B
4
dt =
ω
L
1
2
f
B
4
. (2.19)
29
Substituindo 2.18 e 2.19 em 2.17 obtemos a desigualdade:
(1 + ω
4
)(|
R
L
f(ω)| + |
R
L
f
(ω)|) ≤ L
−
1
2
(1 + ω
4
)(|ω| + |2ω
2
| + 1)e
−
ω
2
L
(L−1)
||f||
B
4
Aplicando sup
ω∈R
nos dois lados da desigualdade acima obtemos
||R
L
f||
B
4
≤
C
L
1/2
||f||
B
4
,
onde C = C(L) = sup
ω∈R
(1+ω
4
)(|ω|+|2ω
2
|+1)e
−
ω
2
L
(L−1)
< ∞. Note tamb´em que
C(L)
L
1/2
→ 0 quando
L → ∞ .
Observa¸c˜ao: O fato de
C(L)
L
1/2
→ 0 quando L → ∞ nos garante que existe L suficientemente
grande tal que
C(L)
L
1/2
< 1, o que implica que R
L
´e uma contra¸c˜ao no espa¸co das fun¸c˜oes de m´edia
zero. Caso quis´essemos demonstrar o teorema acima sem exigir que
C(L)
L
1/2
→ 0 quando L → ∞, a
hip´otese
ˆ
f(0) = 0 n˜ao seria necess´aria, bastando para isso notar que |
ˆ
f(ω/L
1/2
)| ≤ || f ||
B
4
. Desta
observa¸c˜ao segue a demonstra¸c˜ao do
Lema 2.10 Se f ∈ B
4
ent˜ao R
L
f ∈ B
4
.
Observa¸c˜ao: Observamos que φ
n
, n = 0, 1, 2, 3, ..., definido na Proposi¸c˜ao 2.7, ´e tamb´em um
elemento de B
4
.
2.2.4 Obten¸c˜ao do Comportamento assint´otico via RG
Nesta se¸c˜ao n´os iremos reobeter o limite (2.7) usando a t´ecnica do Grup o de Renormaliza¸c˜ao.
Lan¸caremos m˜ao dos resultados e propriedades do operador RG obtidos nas se¸c˜oes anteriores. O
limite (2.7) ser´a tomado via seq¨uˆencias da forma t
n
= L
n
, com L > 1 convenientemente escolhido.
O argumento pode ser estendido para seq¨uˆencias arbitr´arias, veja [8, 3]. Observe que o resultado
do pr´oximo teorema n˜ao s´o diz sobre a existˆencia e valor do limite como tamb´em fornece a taxa
de convergˆencia para o valor limite.
30
Teorema 2.11 (Convergˆencia) Se f ∈ B
4
e L > 1 ´e tal que C/L
1/2
< 1, onde C ´e a constante
do Teorema 2.9, ent˜ao:
||L
n/2
u(L
n/2
·, L
n
) −
ˆ
f(0)φ(·)||
B
4
≤ (e
−m
)
n
||g||
B
4
, (2.20)
onde m = −ln(
C
L
1/2
), g(·) = f(·) −
ˆ
f(0)φ(·) e φ =
1
√
4π
e
−
x
2
4
. Em particular, segue que
R
n
L
f
B
4
−→
n→∞
ˆ
f(0)φ. (2.21)
Dem.: Observamos inicialmente que L
n/2
u(L
n/2
·, L
n
) = R
L
n
f(·). Pelo Teorema 2.8 (Propriedade
de Semigrupo), R
L
n
f = R
n
L
f. Definamos ent˜ao f
0
= f e, para todo n = 1, 2, ··· , f
n
= R
n
L
f
0
.
Notemos primeiramente que f
n+1
= R
L
f
n
e lembremos que R
L
φ = φ. Definimos g
n
= f
n
−
ˆ
f(0)φ
e observamos que g
n
∈ B
4
pois sabemos que B
4
´e um espa¸co vetorial, sabemos pelo Lema
2.10 que f
n
∈ B
4
e sabemos do par´agrafo ap´os o Lema 2.10 que φ ∈ B
4
. Pela linearidade de
R
L
, R
L
g
n
= R
L
f
n
− R
L
(
ˆ
f(0)φ) = f
n+1
−
ˆ
f(0)φ = g
n+1
. Al´em disso, ˆg
n
(0) =
R
g
n
(x)dx =
R
f
n
(x)dx −
ˆ
f(0)
R
φ(x)dx =
ˆ
f
n
(0) −
ˆ
f(0). Pelo Teorema 2.8 (Propriedade de Semigrupo), pela
defini¸c˜ao de f
n
e pela identidade (2.14) n´os conclu´ımos que
ˆ
f
n
(0) =
ˆ
f(0) e portanto ˆg
n
(0) = 0.
Podemos, ent˜ao, usar o Teorema 2.9 (Lema da Contra¸c˜ao) para concluir que
||g
n+1
||
B
4
= ||R
L
g
n
||
B
4
≤
C
L
1/2
||g
n
||
B
4
≤ (
C
L
1/2
)
2
||g
n−1
||
B
4
···
≤ (
C
L
1/2
)
n+1
||g||
B
4
.
Se escolhermos L > 1 tal que C/L
1/2
< 1 ent˜ao
||f
n
−
ˆ
f(0)φ||
B
4
= ||g
n
||
B
4
≤ (
C
L
1/2
)
n
||g||
B
4
e o teorema est´a provado.
Observa¸c˜ao: Observemos que (2.20) ´e a vers˜ao rigorosa da Equa¸c˜ao 1.10 do Cap´ıtulo 1.
O Teorema 2.11 pode ser extendido para a equa¸c˜ao do calor n˜ao linear com perturba¸c˜oes irrele-
vantes (veja em [8, 4, 20]) ou marginais (veja em [8]).
31
Cap´ıtulo 3
O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Num´erico
Neste cap´ıtulo, descreveremos o algoritmo para a implementa¸c˜ao num´erica do Grupo de Renor-
maliza¸c˜ao, como proposto em [10, 11, 12, 13, 14, 15], a que chamaremos de NRG padr˜ao. Tamb´em
apresentaremos duas modifica¸c˜oes desse algoritmo, modifica¸c˜oes essas que s˜ao efetivas na captura
de corre¸c˜oes logar´ıtmicas (vide itens 2 e 3 da Se¸c˜ao 1.5), tanto no decaimento quanto no espal-
hamento da solu¸c˜ao de PVI’s com perturba¸c˜oes marginais. Uma das modifica¸c˜oes citadas acima
foi implementada em [14] e ela incorpora informa¸c˜oes do NRG padr˜ao, as usando de maneira
inteligente para concluir sobre corre¸c˜oes logar´ıtmicas ao decaimento. A outra modifica¸c˜ao repre-
senta a contribui¸c˜ao deste trabalho ao desenvolvimento do assunto e ela permite concluir sobre
corre¸c˜oes logar´ıtmicas, tanto no decaimento quanto no espalhamento da solu¸c˜ao.
Nem sempre ´e poss´ıvel conhecer a priori os expoentes cr´ıticos. A an´alise dimensional da Se¸c˜ao
1.3 pode n˜ao dar a resposta correta, ocorrendo o surgimento dos expoentes anˆomalos (como na
equa¸c˜ao de Barenblatt, por exemplo). Neste caso, n˜ao ´e poss´ıvel implementar o RG do ponto
de vista anal´ıtico, pois o mesmo pressup˜oe o conhecimento dos expoentes α e β (vide Equa¸c˜ao
1.10). O m´etodo que apresentaremos a seguir, embora num´erico, evita tal problema calculando
os expoentes cr´ıticos dinamicamente. O m´etodo foi desenvolvido de forma a caracterizar o regime
assint´otico, isto ´e, ele nos fornece a fun¸c˜ao perfil, expoentes cr´ıticos e prefatores. Ressaltamos
que estas informa¸c˜oes s˜ao conhecidas analiticamente somente em alguns casos (para a equa¸c˜ao
do calor, veja o cap´ıtulo anterior). Isso faz do NRG uma ferramenta valiosa do ponto de vista de
verificar a validade de teoremas sob hip´oteses mais fracas ou de induzir a levantar conjecturas,
32
para que, a posteriori, de forma anal´ıtica, possamos demonstr´a-las.
Este cap´ıtulo est´a dividido da seguinte forma: na Se¸c˜ao 3.1 definiremos o NRG padr˜ao; na Se¸c˜ao
3.2 definiremos uma modifica¸c˜ao do NRG padr˜ao utilizada para problemas cujo regime assint´otico
ocorre corre¸c˜ao logar´ıtmica no prefator A (veja Equa¸c˜ao 1.3 e item 2 da Se¸c˜ao 1.5); por fim, na
Se¸c˜ao 3.3 desenvolveremos uma nova modifica¸c˜ao no NRG padr˜ao, capaz de capturar corre¸c˜oes
logar´ıtmicas tanto no prefator A quanto no prefator B (veja Equa¸c˜ao 1.3 e item 3 da Se¸c˜ao 1.5).
3.1 O NRG padr˜ao
3.1.1 Preliminares
Consideremos o PVI 1.1, que reescrevemos abaixo substituindo λ por −λ
u
t
= (u
p
)
xx
−λu
a
u
b
x
u
c
xx
u(x, 1) = f(x).
(3.1)
Vamos assumir que esse PVI possui uma ´unica solu¸c˜ao global u = u(x, t) (no Cap´ıtulo 2 n´os
provamos esta afirma¸c˜ao no caso da equa¸c˜ao do calor (p = 1 e λ = 0); para p = 1 e λ = 0,
veja [8]; para o caso p > 1 e λ = 0, veja [16]; para p > 1, a = p + 2, b = c = 0 e λ = 0, veja
[17]). Dadas as seq¨uˆencias num´ericas {α
n
} e {β
n
}, definimos as seq¨uˆencias de fun¸c˜oes (f
n
)
n≥0
e
(u
n
)
n≥0
, recursivamente, da seguinte maneira:
• u
0
= u e f
0
= f, onde u ´e a solu¸c˜ao do PVI 3.1 e f ´e o dado inicial;
• para n ≥ 1 e L > 1, defina u
n
pela seguinte mudan¸ca de escalas:
u
n
(x, t) = L
α
n
u
n−1
(L
β
n
x, Lt);
• para n ≥ 1, definimos tamb´em:
f
n
(x) = u
n
(x, 1). (3.2)
Observe que, como u
0
satisfaz ao PVI 3.1, u
n
, n ≥ 1, satisfar´a ao seguinte PVI
u
t
= L
α
n
(1
−
p
)
−
2
β
n
+1
(u
p
)
xx
− λL
(1
−
a
−
b
−
c
)
α
n
−
(
b
+2
c
)
β
n
+1
u
a
u
b
x
u
c
xx
u
n
(x, 1) = f
n
(x).
(3.3)
33
Mais do que isto, como u
n
(x, 1) = L
α
n
u
n−1
(L
β
n
x, L), s´o nos interessa olhar para o PVI 3.3 com
t ∈ [1, L]. Como veremos posteriormente, este fato nos permitir´a resolver numericamente PVI´s
definidos sempre dentro da mesma faixa de tempo 1 ≤ t ≤ L.
Podemos reescrever f
n
e u
n
, n ≥ 1, em termos de f
0
e u
0
, como a seguir
u
n
(x, t) = L
α
1
+...+α
n
u
0
(L
β
1
+...+β
n
x, L
n
t),
f
n
(x) = L
α
1
+...+α
n
u
0
(L
β
1
+...+β
n
x, L
n
). (3.4)
Reescrevendo (3.4) como:
u
0
(x, L
n
) =
L
nα
n
−(α
1
+...+α
n
)
L
nα
n
f
n
L
nβ
n
−(β
1
+...+β
n
)
x
L
nβ
n
,
somos levados a definir prefatores A
n
e B
n
A
n
= L
nα
n
−(α
1
+...+α
n
)
, B
n
= L
nβ
n
−(β
1
+...+β
n
)
, (3.5)
de forma que
u
0
(x, L
n
) =
A
n
L
nα
n
f
n
B
n
x
L
nβ
n
.
Observe a similaridade entre a identidade acima e a Equa¸c˜ao 1.2. Agora, se no limite n → ∞,
ocorrer que α
n
→ α, β
n
→ β esperamos que A
n
→ A, B
n
→ B, e f
n
→ φ (onde A e B s˜ao os
prefatores, α e β os expoentes cr´ıticos e φ o ponto fixo do operador R
L
), ent˜ao ´e razo´avel esperar
que :
A
n
f
n
(B
n
x) = L
nα
n
u(L
nβ
n
x, L
n
) ∼ L
nα
u(L
nβ
x, L
n
) → Aφ(Bx) quando n → ∞, (3.6)
onde ∼ significa o comportamento para n 1.
´
E exatamente esta ´ultima rela¸c˜ao que nos
permitir´a estudar numericamente o regime assint´otico de u.
Para cada n = 1, 2, 3, ... definimos α
n
e β
n
de forma que os reescalonamentos pelos fatores L
α
n
e L
β
n
anulem o decaimento e espalhamento, respectivamente, da solu¸c˜ao u
n
do PVI 3.3. Neste
trabalho estamos particularmente interessados em estudar como perturba¸c˜oes marginais (veja
Se¸c˜ao 1.4) afetam o comportamento da solu¸c˜ao do PVI 3.1, para tempos longos. A condi¸c˜ao
34
de marginalidade ´e equivalente `a condi¸c˜ao de invariˆancia da equa¸c˜ao pela mudan¸ca de escalas e,
quando imposta ao PVI 3.3, nos leva a
α
n
(1 − p) − 2β
n
+ 1 = 0
(1 − a − b − c)α
n
− (b + 2c)β
n
+ 1 = 0.
(3.7)
Portanto, se α
n
e β
n
convergem, respectivamente, para α e β, ent˜ao estes coeficientes satisfar˜ao
o sistema alg´ebrico (3.7). Em particular, se fizermos a = p + 2 e b = c = 0 ent˜ao os expoentes
cr´ıticos α e β dever˜ao convergir para o valor 1/(p + 1), que coincide com os expoentes cr´ıticos
apresentados na Se¸c˜ao 1.3.
Chamamos a aten¸c˜ao para o seguinte fato: no NRG padr˜ao, ap´os calcularmos numericamente
α
n
, usamos uma das duas rela¸c˜oes de escala (3.7) para obter β
n
. A rela¸c˜ao de escala a ser usada
depende do problema em quest˜ao (se queremos estudar perturba¸c˜oes irrelevantes ou marginais
do termo (u
p
)
xx
ou se queremos ver o termo (u
p
)
xx
como perturba¸c˜ao irrelevante dos termos n˜ao
lineares). No nosso caso, dever´ıamos usar a primeira rela¸c˜ao (mesmo porque, seria imposs´ıvel
usar a segunda rela¸c˜ao para determinar β, quando b = c = 0). Esta escolha para o c´alculo de
β
n
corresponde a manter uma parte da equa¸c˜ao invariante pela mudan¸ca de escalas e esta ´e uma
das suposi¸c˜oes a vers˜ao do NRG padr˜ao usual).
No que se segue, e ainda no caso em que a = p + 2, b = c = 0, β
n
ser´a mantido est´atico no seu
valor anal´ıtico determinado pela an´alise dimensional, ou seja,
β
n
≡
1
p + 1
. (3.8)
Estritamente falando, esta escolha de β
n
n˜ao corresponde `a escolha feita pelo NRG padr˜ao, sendo
contudo o seu valor limite (caso haja a convergˆencia do NRG). A escolha (3.8) leva a B
n
≡ 1
para todo n (vide Equa¸c˜ao 3.5).
J´a o c´alculo de α
n
´e feito de forma a fixar f
n
(0) = f(0) ∀ n, ou seja, f
n
(0) = u
n
(0, 1) =
L
α
n
u
n−1
(0, L) = f (0), de onde conclu´ımos que, nestas condi¸c˜oes, o c´alculo de α
n
´e feito por
α
n
= log
L
f(0)
u
n−1
(0, L)
. (3.9)
Ressaltamos que, com a imposi¸c˜ao f
n
(0) = f(0) ∀ n, a sequˆencia {f
n
} ir´a convergir para um
m´ultiplo do ponto fixo φ(x) de R
L
ao inv´es de convergir para o ponto fixo, como presumido
35
anteriormente nesta se¸c˜ao para se obter (3.6), ou seja:
f
n
(x) −→
n→∞
kφ(x). (3.10)
Para determinar k, basta observar que f(0) = f
n
(0) −→
n→∞
kφ(0), fornecendo que
k =
f(0)
φ(0)
. (3.11)
Quanto `a convergˆencia da sequˆencia {A
n
}, conforme (3.6)
A
n
f
n
(B
n
x) −→
n→∞
Aφ(Bx).
Como f
n
(x) −→
n→∞
kφ(x), conclu´ımos que
A
n
−→
n→∞
1
k
A. (3.12)
Onde A e B s˜ao os prefatores, α e β os expoentes cr´ıticos e φ o ponto fixo do operador R
L
(valores
anal´ıticos). As rela¸c˜oes (3.10), (3.11) e (3.12) ser˜ao ´uteis nas an´alises gr´aficas do pr´oximo cap´ıtulo.
3.1.2 O Algoritmo
Motivados pela defini¸c˜ao do operador RG para a equa¸c˜ao do calor (Equa¸c˜ao 2.12), e a partir da
se¸c˜ao anterior, podemos construir os passos iterativos do NRG. No passo 3 do algoritmo abaixo
consideramos o problema em que b = c = 0. Para n = 1, 2, 3, ..., o algoritmo consiste, ent˜ao, de:
1. evolua o dado inicial f
n−1
do tempo t = 1 ao tempo t = L (vide Se¸c˜ao 6.3 para explica¸c˜oes
de como implementar esta evolu¸c˜ao numericamente), obtendo, assim, u
n−1
(x, L);
2. calcule os expoentes α
n
e β
n
conforme equa¸c˜oes (3.9) e (3.8), respectivamente;
3. defina f
n
(x) = L
α
n
u
n−1
(L
β
n
x, L);
4. calcule os prefatores A
n
e B
n
conforme Equa¸c˜ao 3.5;
5. defina um novo PVI renormalizado, conforme PVI 3.3;
36
6. caso n˜ao se atinja o crit´erio de parada volte para o passo 1, levando em considera¸c˜ao o
novo PVI definido no passo 5 acima. Caso contr´ario, pare.
No passo 3, a mudan¸ca de escalas na vari´avel espacial ´e feita modificando-se o tamanho da malha,
ou seja, trabalha-se com um novo ∆x dado por ∆x = L
−β
n
∆x. O crit´erio de parada usado no
passo 6 pode depender do problema em si. Por exemplo, pode-se usar como crit´erio de parada
a condi¸c˜ao ||f
n
− f
n−1
||
1
< ||f
n−1
− f
n−2
||
1
, para algum < 1 escolhido (note que satisfazer tal
condi¸c˜ao implica que f
n
´e uma sequˆencia de Cauchy, logo convergente). O mesmo vale para α
n
e
β
n
. Usa-se tamb´em, no lugar da norma L
1
(R), a norma do sup.
´
E usual tamb´em a combina¸c˜ao
de mais de um crit´erio.
O algoritmo acima ´e o NRG padr˜ao e de modifica¸c˜oes no mesmo surgem outras vers˜oes. Ele
foi criado, como podemos notar nas se¸c˜oes anteriores, pensando no estudo da equa¸c˜ao do calor.
Por´em, no estudo de problemas com regime assint´otico onde aparecem, por exemplo, corre¸c˜oes
logar´ıtmicas nos prefatores, este algoritmo n˜ao ´e capaz de obter que o limite assint´otico ´e um
m´ultiplo (n˜ao nulo) do ponto fixo.
3.2 Corre¸c˜oes Logar´ıtmicas em A
n
Como veremos nesta se¸c˜ao, n˜ao ´e preciso ir muito longe para sentirmos a necessidade de fazer-
mos pequenas modifica¸c˜oes no NRG padr˜ao. Comecemos com a Equa¸c˜ao do Calor n˜ao-linear,
com uma pertuba¸c˜ao marginal da forma u
3
. A t´ıtulo de observa¸c˜ao, caso a perturba¸c˜ao fosse
irrelevante, o NRG padr˜ao seria o ideal. Contudo, com a adi¸c˜ao de perturba¸c˜oes marginais, n˜ao
podemos prever de antem˜ao, mesmo que formalmente, qual ser´a o seu efeito sobre o compor-
tamento assint´otico j´a que a sua contribui¸c˜ao poder´a ser tanto na dire¸c˜ao irrelevante quanto
relevante.
Considere, ent˜ao, o problema
u
t
= u
xx
− λu
3
, (x, t) ∈ R × (1, ∞) , λ > 0
u(x, 1) = f(x).
(3.13)
37
Sabe-se (vide item 2 da Se¸c˜ao 1.5) que a forma assint´otica da solu¸c˜ao do PVI acima ´e:
u(x, t) ∼
A
(t log(t))
1
2
φ(
x
√
t
) , quando t → ∞,
(3.14)
onde φ ´e a Gaussiana e A ´e igual a
2π
√
3, independentemente do dado inicial (neste sentido,
A ´e universal). Notemos que o NRG padr˜ao, caso aplicado a este problema, seria incapaz de
retornar que seu ponto fixo ´e um m´ultiplo n˜ao nulo da Gaussiana uma vez que, como espera-se
que a seq¨uˆencia {A
n
} convirja para o pr´e-fator de φ, isto ´e, A
n
∼
A
√
log L
n
para n → ∞ , ent˜ao
A
n
−→
n→∞
0 = A.
Este problema ´e contornado, no RG padr˜ao, olhando para o comportamento do gr´afico log(n) ×
log(A
n
), uma vez que corre¸c˜oes logar´ıtmicas podem ser detectadas observando-se que, para n
suficientemente grande, se A
n
∼
A
(log(L
n
))
α
(de forma similar faz-se para B
n
), segue ent˜ao que
log(A
n
) ∼ log
A
(log(L))
α
− α log(n).
Tal rela¸c˜ao implica que o curva do gr´afico de log(n) × log(A
n
), para n suficientemente grande,
comporta-se como uma reta de inclina¸c˜ao −α e passa pelo ponto (0, log(A/(log L)
α
)). Afirmamos
que corre¸c˜oes logar´ıtmicas s˜ao de dif´ıcil detec¸c˜ao, uma vez que evoluir na escala logar´ıtmica, a
partir de certos valores, se torna impratic´avel usando m´etodos tradicionais (por exemplo, usar
apenas o m´etodo de diferen¸cas finitas). Contudo, o NRG demonstra tal capacidade, mostrando
ser um poderosa ferramenta.
A forma assint´otica (3.14) ser´a explorada na modifica¸c˜ao do NRG padr˜ao que faremos a seguir
e que foi primeiro apresentada em [14]. Observe que, com a escolha de t = L
n
, obtemos log t =
n log L e ´e desta rela¸c˜ao entre n e log t de onde surge a id´eia de como eliminar a corre¸c˜ao
logar´ıtmica do c´alculo do prefator A
n
. De (3.14) segue que
u(0, L
n
)
u(0, L
n+1
)
∼
n + 1
n
L
1/2
, quando n → ∞, (3.15)
e esta ´e a base para as modifica¸c˜oes que faremos. Assim, apresentamos uma modifica¸c˜ao do NRG
padr˜ao, determinado por:
1. Rela¸c˜oes de Recorrˆencia
38
Dada uma sequˆencia num´erica {θ
n
},definimos uma sequˆencia de fun¸c˜oes u
n
como:
u
0
(x, t) = u(x, t),
u
1
(x, t) = L
θ
1
u(L
1
2
x, Lt),
u
n
(x, t) =
n
n − 1
θ
n
L
1
2
u
n−1
(L
1
2
x, Lt), para n ≥ 2.
Definimos tamb´em f
0
(x) = f(x) e, para n ≥ 1 :
f
n
(x) = u
n
(x, 1).
Note da defini¸c˜ao acima, que u
n
e f
n
, para n ≥ 2, podem ser dadas recursivamente por
u
n
(x, t) = L
θ
1
+
n−1
2
n
k=2
k
k − 1
θ
k
u
0
(L
n
2
x, L
n
t), e
f
n
(x) = L
θ
1
+
n−1
2
n
k=2
k
k − 1
θ
k
u
0
(L
n
2
x, L
n
).
A sequˆencia {θ
n
} ´e definida como no NRG padr˜ao, fixando f
n
(0) = f(0) para todo n ≥ 1
e calculando θ
n
de forma que:
L
θ
1
=
f(0)
u(0, L)
n
n − 1
θ
n
L
1
2
=
f
n
(0)
u
n−1
(0, L)
=
f
n−1
(0)
u
n−1
(0, L)
=
u(0, L
n−1
)
u(0, L
n
)
, para n ≥ 2.
Esperamos, ent˜ao, que θ
n
→
1
2
quando n → ∞, uma vez que segue da Equa¸c˜ao 3.15 que
u(0,L
n−1
)
u(0,L
n
)
∼
n
n−1
L
1
2
quando n → ∞.
2. Reescalonamento dos PVI’s
Da regra da cadeia segue que u
n
satisfaz (u
n
)
t
= ( u
n
)
xx
− λ
n
u
3
n
, onde:
λ
1
= L
2(
1
2
−θ
1
)
λ,
λ
n
= L
2(
1
2
−θ
1
)
λ
n
k=2
k
k − 1
−2θ
k
=
n
n − 1
−2θ
n
λ
n−1
, para n ≥ 2.
3. C´alculo do prefator
39
Para definir o prefator A
n
, desenvolvemos a rela¸c˜ao entre f
n
(x) e u(x, L
n
) dada no item 1:
u(x, L
n
) =
1
L
θ
1
+
n−1
2
n
i=2
i
i−1
θ
i
f
n
(
x
L
n/2
)
=
L
n
2
n
i=2
i
i−1
1
2
L
n
2
n
i=2
i
i−1
1
2
L
θ
1
+
n−1
2
n
i=2
i
i−1
θ
i
f
n
(
x
L
n/2
)
=
L
1
2
−θ
1
n
i=2
i
i−1
1
2
−θ
i
L
n
2
n
i=2
i
i−1
1
2
f
n
(
x
L
n/2
)
=
L
1
2
−θ
1
n
i=2
i
i−1
1
2
−θ
i
(nL
n
)
1
2
f
n
(
x
L
n/2
)
=
(log L)
1
2
L
1
2
−θ
1
n
i=2
i
i−1
1
2
−θ
i
(L
n
log L
n
)
1
2
f
n
(
x
L
n/2
).
Comparando a ´ultima igualdade acima com a Equa¸c˜ao 3.14 (com t = L
n
), somos levados a
definir nossa sequˆencia de prefatores por:
A
1
= L
1
2
−θ
1
(log L)
1
2
,
A
n
= (log L)
1
2
L
1
2
−θ
1
n
i=2
i
i − 1
1
2
−θ
i
=
n
n − 1
1
2
−θ
n
A
n−1
, para n ≥ 2.
Ficamos ent˜ao com
u
n
(x, L
n
) =
A
n
(L
n
log L
n
)
1
2
f
n
(
x
L
n/2
).
´
E esperado que θ
n
−→
n→∞
1
2
. Segue da´ı que λ
n
−→
n→∞
0. Portanto, para n → ∞, espera-se que a
solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (u
n
)
t
= ( u
n
)
xx
−λ
n
(u
n
)
3
fique pr´oxima da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao u
t
= u
xx
.
Consequentemente, espera-se que f
n
convirja para um m´ultiplo do ponto fixo gaussiano,
isto ´e, f
n
−→
n→∞
kφ, onde k =
f(0)
φ(0)
(vide Equa¸c˜ao 3.1). Tamb´em espera-se que A
n
−→
n→∞
A
∗
. A
rela¸c˜ao entre A
∗
e o prefator A da Equa¸c˜ao 3.14 ´e determinada observando-se que
u(x, L
n
) =
A
n
(L
n
log L
n
)
1
2
f
n
(
x
L
n/2
) ∼
kA
∗
(L
n
log L
n
)
1
2
φ(
x
L
n/2
).
Comparando o resultado acima com a Equa¸c˜ao 3.14, conclu´ımos que
A = kA
∗
. (3.16)
40
Estas defini¸c˜oes determinam, ent˜ao, uma nova vers˜ao do NRG, capaz de encontrar o valor do
prefator A que surge em (3.14). Lembramos, aqui, que a equa¸c˜ao a ser utilizada na evolu¸c˜ao
temporal do dado inicial ´e dada no item 2 acima (Reescalonamentos dos PVI´s). Ressaltamos,
por´em, que esta vers˜ao do NRG necessita, em princ´ıpio, do NRG padr˜ao para obter os expoentes
cr´ıticos, sendo sua maior utilidade apenas no c´alculo do prefator A.
3.3 C´alculo de β
n
dinˆamico
Como vimos na Se¸c˜ao 3.1.1, o c´alculo de α
n
foi feito de modo a fixar a altura da solu¸c˜ao reescalon-
ada em f(0) e, assim, evitar o decaimento da solu¸c˜ao como fun¸c˜ao do tempo. O c´alculo de β
n
deveria ser feito de modo a evitar o espalhamento da solu¸c˜ao.
Contudo, na vers˜ao do NRG que usamos neste trabalho, o expoente β
n
´e mantido fixo pelo
algoritmo e isto nos impossibilita, por exemplo, investigar corre¸c˜oes logar´ıtmicas que possam
eventualmente ocorrer no argumento da fun¸c˜ao perfil, mais especificamente no prefator B, vide
Equa¸c˜ao 1.13. Isto n˜ao teria acontecido se tiv´essemos usado a rela¸c˜ao de escala para calcular β
n
.
Contudo, assim o fizemos para que pud´essemos, posteriormente, comparar esta vers˜ao do NRG
com a que apresentaremos.
Este fato nos motiva, ent˜ao, a apresentar uma outra modifica¸c˜ao do NRG padr˜ao na qual β
n
´e
calculado de forma dinˆamica, isto ´e, β
n
´e calculado em cada passo do processo iterativo.
Chamamos de largura a meia altura o valor x tal que f
n
(x) =
f
n
(0)
2
. Para implementar esse
procedimento, calcularemos β
n
de modo a fixarmos a largura a meia altura da solu¸c˜ao reescalon-
ada (observe que estamos agindo de forma similar ao que foi feito para α
n
). A motiva¸c˜ao para
calcular β
n
desta maneira vem da analise da solu¸c˜ao u(x, t) =
1
√
4πt
e
−x
2
4t
da Equa¸c˜ao do Calor
com dado inicial f(x) =
1
√
4π
e
−x
2
4
. De fato, calculando analiticamente a largura a meia altura de
u(x, 1) e u(x, L) obtemos respectivamente x
0
=
√
4 ln 2 e x
1
=
√
4L ln 2, de onde conclu´ımos que
x
1
x
0
= L
1
2
= L
β
. Veremos, a seguir, que uma hip´otese (bijetividade para x > 0) em u
n
(x, t) nos
leva a definir β
n
como o logaritmo (na base L) da raz˜ao entre a largura a meia altura no tempo
L e a largura a meia altura no tempo 1.
41
Dadas seq¨uencias {α
n
} e {β
n
}, definimos as seq¨uˆencias de fun¸c˜oes (f
n
)
n≥0
e (u
n
)
n≥0
, recursiva-
mente, da seguinte maneira:
• u
0
= u e f
0
= f, onde u ´e a solu¸c˜ao do PVI 3.1 e f ´e o dado inicial;
• para n ≥ 1 e L > 1, defina u
n
pela seguinte mudan¸ca de escalas:
u
n
(x, t) = L
α
n
u
n−1
(L
β
n
x, Lt);
• para n ≥ 1, definimos tamb´em:
f
n
(x) = u
n
(x, 1). (3.17)
Suponha que ∀ n = 0, 1, 2, 3... existam sequˆencias unicamente determinadas x
1
n
e x
L
n
> 0 tais que:
u
n
(x
1
n
, 1) =
u
n
(0, 1)
2
e u
n
(x
L
n
, L) =
u
n
(0, L)
2
.
Assumiremos aqui, para x > 0, certa bijetividade de u
n
(x, 1) e u
n
(x, L). At´e aqui pressupomos o
pr´evio conhecimento de α
n
e β
n
, sem os quais n˜ao podemos calcular u
n
. Agora proporemos um
maneira de calcul´a-los. Assim, propomos aqui calcular α
n
como no RG padr˜ao (de forma a fixar
a altura, conforme Equa¸c˜ao 3.9). Conforme demos a motiva¸c˜ao anteriormente, calcularemos β
n
por:
β
n+1
= log
L
x
L
n
x
1
n
. (3.18)
Notemos que β
n
, definido como acima (L
β
n+1
x
1
n
= x
L
n
),
u
n+1
(x
1
n
, 1) = L
α
n+1
u
n
(L
β
n+1
x
1
n
, L)
= L
α
n+1
u
n
(x
L
n
, L)
= L
α
n+1
u
n
(0, L)
2
=
u
n+1
(0, 1)
2
= u
n+1
(x
1
n+1
, 1)
42
Assumindo a bijetividadee de u
n+1
(x, 1) para x > 0, obtemos das igualdades acima que x
1
n+1
= x
1
n
.
Conclu´ımos ent˜ao que tais escolhas de α
n
e β
n
fixam a altura e a largura a meia altura da sequˆencia
de dados iniciais, respectivamente.
O c´alculo e implementa¸c˜ao de β
n
como acima ´e a base para que possamos, por exemplo, verificar
o resultado da Equa¸c˜ao 1.13. Notemos que o c´alculo de x
1
n
e x
L
n
pressup˜oe certa bijetividade
local de u
n
(x, 1) e u
n
(x, L) nas proximidades de suas respectivas alturas m´edias. Como veremos,
tal fato foi contornado, em nossos experimentos, utilizando dados iniciais bijetivos para x > 0.
Especulamos, por´em, que a escolha de um intervalo (x
a
, x
b
), tal que u
n
(x, 1) e u
n
(x, L) sejam
bijetivos no mesmo, levaria a um mesmo regime assint´otico (por exemplo, tomar x
1
n
como o menor
x > 0 tal que u
n
(x, 1) =
u
n
(0,1)
2
).
Como anteriormente, as sequˆencias {A
n
} e {B
n
} s˜ao definidas a partir das rela¸c˜oes:
u
0
(x, L
n
) =
1
L
n
i=1
α
i
f
n
(
x
L
n
i=1
β
i
)
=
L
nα
n
−(α
1
+...+α
n
)
L
nα
n
f
n
L
nβ
n
−(β
1
+...+β
n
)
L
nβ
n
x
.
Ou seja, somos levados a definir os prefatores A
n
e B
n
por
A
n
= L
nα
n
−(α
1
+...+α
n
)
, B
n
= L
nβ
n
−(β
1
+...+β
n
)
, (3.19)
de forma que
u
0
(x, L
n
) =
A
n
L
nα
n
f
n
B
n
x
L
nβ
n
. (3.20)
Antes de continuar observamos que, como as defini¸c˜oes de α
n
e β
n
fixam o valor da altura e
da largura `a meia altura do dado inicial f
n
, repectivamente, ent˜ao o gr´afico de f
n
ir´a passar,
necessariamente, pelos pontos (0, f(0)) e (x
f
, f(0)/2), onde f ´e o dado inicial do PVI 3.1 e
x
f
´e a sua largura `a meia altura. Chamando de φ
∗
(x) ao limite de {f
n
}, ent˜ao φ
∗
(0) = f(0)
e φ
∗
(x
f
) = f(0)/2. Por constru¸c˜ao, φ
∗
(x) ´e invariante por mudan¸ca de escalas. Portanto, ´e
razo´avel assumir que existam constantes n˜ao nulas k e c tais que φ
∗
(x) = kφ(cx), onde φ(x)
´e o ponto fixo do operador NRG. A constante k ´e o fator de corre¸c˜ao em φ para que kφ(0)
seja igual a f(0) e a constante c, juntamente com k, ´e o fator de corre¸c˜ao para que kφ (cx
f
)
43
seja igual a f(0)/2. Como anteriormente, k ´e determinado pelo valor pr´e-fixado da altura dos
dados iniciais: φ
∗
(0) = f(0) = kφ (0), isto ´e, k = f(0)/φ(0). Para determinar c, usamos esta
´ultima rela¸c˜ao e olhamos para o valor pr´e-fixado da largura `a meia altura dos dados iniciais:
φ
∗
(x
f
) = kφ(cx
f
) = f(0)/2 = kφ(0)/2 = kφ(x
φ
), onde x
φ
´e a largura `a meia altura do ponto fixo
φ. Supondo que φ seja bijetiva concluimos que cx
f
= x
φ
e esta rela¸c˜ao determina a constante c.
Retornando `a Equa¸c˜ao 3.20, lembrando que f
n
(x) → φ
∗
(x) = kφ(cx) e supondo que α
n
→ α,
β
n
→ β A
n
→ A
∗
e B
n
→ B
∗
, obtemos
u
0
(x, L
n
) ∼
A
∗
L
nα
kφ
B
∗
cx
L
nβ
.
Comparando com a Equa¸c˜ao 1.2, somos levados a interpretar os valores limites obtidos como:
A = kA
∗
,
B = cB
∗
,
φ(x) =
1
k
φ
∗
(
x
c
).
(3.21)
Tal interpreta¸c˜ao nos ser´a ´util no entendimento dos gr´aficos do pr´oximo cap´ıtulo.
Observa¸c˜ao: O leitor aqui pode indagar que, assim como foi feito na Se¸c˜ao 1.3, poder´ıamos
calcular β
n
de modo a manter a parte n˜ao perturbativa da Equa¸c˜ao 3.3 invariante por mudan¸ca
de escalas. Ou seja, uma vez determinado α
n
, calcular´ıamos β
n
atrav´es da rela¸c˜ao α
n
(1 − p) −
2β
n
+ 1 = 0. Assim, far´ıamos β
n
=
1
2
(1 + α
n
(1 − p)), o que seria mais simples, mais cˆomodo e
mais eficiente em termos computacionais. Note que, para o caso p = 1 e λ = 0 (ou mesmo λ = 0,
mas com perturba¸c˜oes irrelevantes), ter´ıamos β
n
= 1 /2 e voltar´ıamos ao NRG padr˜ao.
Por´em, nossa inten¸c˜ao aqui ´e desenvolver o c´alculo de β
n
independentemente de pressupor in-
variˆancias por mudan¸cas de escalas.
Contudo, ´e interessante ressaltar que se β
n
for calculado de maneira a manter a equa¸c˜ao invariante
pela mudan¸ca de escalas, ent˜ao a corre¸c˜ao logar´ıtmica de A
n
implica numa corre¸c˜ao logar´ıtmica
em B
n
, como, formalmente, mostramos a seguir. Lembrando que
A
n
= L
nα
n
−(α
1
+...+α
n
)
, B
n
= L
nβ
n
−(β
1
+...+β
n
)
,
obtemos:
A
n
= L
n−1
i=1
(α
n
−α
i
)
, B
n
= L
n−1
i=1
(β
n
−β
i
)
.
44
Se calcularmos β
n
com β
n
=
1
2
(1 + α
n
(1 − p)) teremos:
β
n
− β
i
=
1 − p
2
(α
n
− α
i
).
O que nos deixaria com:
B
n
=
L
n−1
i=1
(α
n
−α
i
)
1−p
2
= A
n
1−p
2
.
Pressupondo que
A
n
∼
A
(log L
n
)
1
p
+1
,
e observando que B
n
= A
n
1−p
2
, ent˜ao ´e de se esperar que
B
n
∼
A
1−p
2
(log L
n
)
1−p
2(p+1)
,
o que nos leva a concluir que o NRG, com o c´alculo de β
n
feito dessa forma,
detectar´a a correta corre¸c˜ao logar´ıtmica em B
n
(que ´e a dada pela Equa¸c˜ao 1.13. Por´em,
gostar´ıamos de n˜ao depender de nenhuma lei de escala. Assim, desenvolvemos o c´alculo de
β
n
conforme o in´ıcio desta se¸c˜ao, e o usaremos em alguns testes num´ericos no Cap´ıtulo 4.
45
Cap´ıtulo 4
Resultados Num´ericos
Neste cap´ıtulo n´os implementamos numericamente as vers˜oes do NRG descritas no cap´ıtulo
anterior e as usamos para estudar o comportamento assint´otico de solu¸c˜oes do PVI 1.1. De posse
dos algoritmos descritos no cap´ıtulo anterior e de um m´etodo de integra¸c˜ao num´erica (como o
m´etodo de diferen¸cas finitas, descrito na Se¸c˜ao 6.3 do Apˆendice), ´e poss´ıvel escrever um c´odigo
computacional eficiente que nos retorna, como resposta, as grandezas essenciais para a descri¸c˜ao
da solu¸c˜ao do PVI para tempos longos. Descreveremos e analisaremos, aqui, os resultados do
c´odigo computacional que desenvolvemos.
A eficiˆencia, estabilidade e confiabilidade do NRG padr˜ao j´a foram verificadas em outras ocasi˜oes
(veja em [14, 11, 12]). O NRG padr˜ao tamb´em j´a foi usado com sucesso, para estabelecer e
verificar numericamente conjecturas (vide [13, 10]). Recentemente foi usado para estudar sistemas
de EDP´s e o problema de ondas viajantes em equa¸c˜oes parab´olicas n˜ao-lineares (vide [14]). O
nosso maior objetivo, neste cap´ıtulo, ´e verificar que a modifica¸c˜ao do NRG proposta na Se¸c˜ao 3.3
fornece o resultado correto quando estudamos PVI´s com perturba¸c˜oes marginais. Lembremos
que no caso da EMPN 3.1 com expoente p > 1, corre¸c˜oes logar´ıtmicas ocorrem tanto para o
decaimento quanto para o espalhamento da solu¸c˜ao (veja Teorema 6.14 do Apˆendice). O NRG
com β
n
dinˆamico ´e capaz de capturar esse comportamento (o mesmo tamb´em ´e verdade para o
NRG padr˜ao, embora n´os n˜ao tenhamos feito este teste pois, na nossa vers˜ao do NRG padr˜ao,
n´os mantivemos o β
n
fixo e igual a 1/(p + 1)).
46
Ressaltamos que os experimentos num´ericos, cujos resultados descreveremos a seguir, foram
realizados de maneira que hip´oteses de teoremas fossem verificadas. Dessa maneira comparamos
os resultados num´ericos com os resultados anal´ıticos e tiramos conclus˜oes sobre o algoritmo
empregado. As implementa¸c˜oes do NRG que n˜ao utilizam do c´alculo de β
n
dinˆamico (apresentado
na Se¸c˜ao 3.3) foram usadas em PVI´s com dados iniciais da Figura 4.1; caso contr´ario, os dados
iniciais foram os da Figura 4.2. O motivo para dois conjuntos diferentes de dados iniciais ´e que os
da Figura 4.1 s˜ao os mesmos j´a adotados por outros autores (por exemplo, veja [11]), e isto nos
permite comparar os nossos resultados com os de outros. Os dados iniciais da Figura 4.2 foram
escolhidos de modo a pressupor certa bijetividade de f
n
(x) , x > 0, que ´e usada no caso em que
β
n
´e calculado dinamicamente. Por ser hip´otese no Teorema 2 de [8], em ambas as figuras, todos
os dados iniciais tem ´area igual a 1.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
x
f(x)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.1: Dados iniciais para NRG com
β
n
fixo.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
f(x)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.2: Dados iniciais para NRG com
β
n
dinˆamico.
Como vimos no cap´ıtulo anterior , as v´arias vers˜oes do NRG existentes mant´em fixas a altura e
a largura a meia altura da solu¸c˜ao reescalonada. Por causa disto, os valores de A
n
, B
n
e f
n
s˜ao
reescalonados de forma a induzir a convergˆencia dos mesmos para valores previstos analiticamente
(vide (3.21)). Alguns gr´aficos foram omitidos pois s˜ao idˆenticos a outros que ser˜ao apresentados.
Alguns gr´aficos n˜ao foram reescalonados, de forma que o leitor poder´a ver o resultado obtido
pelo algoritmo, sem reescalonamento. Por´em, afirmamos que, caso sejam reescalonados, possuem
caracter´ıstica similar a outros apresentados.
47
Para evitar repeti¸c˜ao, no restante deste texto, quando mencionarmos convergˆencia, estaremos
nos referindo a convergˆencia quando n → ∞.
4.1 Valida¸c˜ao do NRG para a Equa¸c˜ao do Calor
Nesta se¸c˜ao apresentaremos os resultados num´ericos para a Equa¸c˜ao do Calor (linear ou n˜ao)
obtidos tanto via NRG padr˜ao quanto via NRG com β
n
dinˆamico.
4.1.1 NRG Padr˜ao para a Equa¸c˜ao do Calor Linear
Utilizamos o NRG padr˜ao para a Equa¸c˜ao do Calor Linear para validar m´etodo num´erico. Em
outras palavras, mantemos constante β
n
= 1/2 (consequentemente, B
n
≡ 1 (veja Se¸c˜ao 3.1.1)) e,
para diferentes condi¸c˜oes iniciais vemos que:
• na Figura 4.3, a convergˆencia de α
n
para seu valor anal´ıtico α = 1/2, com erro da ordem
de 10
−4
, confirmando, assim, a independˆencia e universalidade do expoente cr´ıtico quanto
ao dado inicial;
• na Figura 4.4, a convergˆencia do prefator A
n
para seu valor anal´ıtico A =
ˆ
f(0) = 1, com
erro da ordem de 10
−4
;
• na Figura 4.5, a convergˆencia de f
n
para a fun¸c˜ao perfil φ, neste caso, a Gaussiana.
Lembramos que os resultados anal´ıticos citados acima foram obtidos na Se¸c˜ao 2.2.1.
48
0 100 200 300 400 500 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
n
α
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.3: Convergˆencia de α
n
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
n
A
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.4: Convergˆencia de A
n
devi-
damente reescalonado
−6 −4 −2 0 2 4 6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
x
f
n
(x)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.5: Convergˆencia de f
n
4.1.2 NRG com β
n
Dinˆamico para a Equa¸c˜ao do Calor Linear
Nesta se¸c˜ao, utilizaremos o NRG com β
n
dinˆamico para estudar numericamente a Equa¸c˜ao do
Calor Linear, como feito na se¸c˜ao anterior. Pretendemos, com isto, verificar que essa vers˜ao do
NRG padr˜ao ´e t˜ao boa quanto a vers˜ao original. Al´em de validar o m´etodo num´erico, veremos
que os resultados num´ericos de ambos os m´etodos s˜ao idˆenticos. Calcularemos β
n
como na Se¸c˜ao
3.3, conforme Equa¸c˜ao 3.18, e, para diferentes condi¸c˜oes iniciais veremos:
• nas Figuras 4.6 e 4.8, a convergˆencia de α
n
e β
n
para seus valores anal´ıticos α = β = 1/2,
com erro da ordem de 10
−4
, confirmando, assim, a independˆencia e universalidade dos
expoentes cr´ıticos quanto ao dado inicial;
49
• na Figura 4.7, a convergˆencia do prefator A
n
para seu valor anal´ıtico A =
ˆ
f(0) = 1, com
erro da ordem de 10
−5
, al´em disso, o fato de obtermos assintoticamente uma mesma reta
condiz com a universalidade de A quanto aos dados iniciais;
• na Figura 4.9, a convergˆencia do prefator B
n
para seu valor anal´ıtico B = 1, com erro da
ordem de 10
−5
;
• na Figura 4.10, a convergˆencia de f
n
para a fun¸c˜ao perfil φ, neste caso, a Gaussiana.
50
0 50 100 150 200 250 300 350 400
0
0.2
0.4
0.5
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
n
α
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.6: Convergˆencia de α
n
0 100 200 300 400 500 600 700
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
n
A
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.7: Convergˆencia de A
n
devi-
damente reescalonado
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
n
β
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.8: Convergˆencia de β
n
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
n
B
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.9: Convergˆencia de B
n
devi-
damente reescalonado
−6 −4 −2 0 2 4 6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
x
f
n
(x)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
valor analítico
Figura 4.10: Convergˆencia de f
n
devi-
damente reescalonado
51
Observa¸c˜ao: Experimentos num´ericos, utilizando-se ambos os m´etodos, para a Equa¸c˜ao do
Calor n˜ao-linear com perturba¸c˜oes irrelevantes, foram feitos. Por´em, omitimos tais resultados
pois os gr´aficos s˜ao meras repeti¸c˜oes dos gr´aficos j´a apresentados nas se¸c˜oes anteriores.
4.1.3 A Equa¸c˜ao do Calor N˜ao Linear com Perturba¸c˜ao Marginal
Nesta se¸c˜ao, consideraremos o PVI 3.13, que repetimos abaixo fazendo λ = 1:
u
t
= u
xx
− u
3
, (x, t) ∈ R × (1, ∞)
u(x, 1) = f(x) , f ∈ B
4
.
Lembremos que, na Se¸c˜ao 1.5, enunciamos um dos resultados de Bricmont et. al. [8] que
fornece analiticamente a forma assint´otica da solu¸c˜ao do PVI em quest˜ao. Na Se¸c˜ao 3.2 tamb´em
comentamos que a forma assint´otica ´e dada pela Equa¸c˜ao 1.12. Nesta se¸c˜ao utilizaremos o NRG
padr˜ao e a sua modifica¸c˜ao proposta na Se¸c˜ao 3.2 para obter numericamente o resultado (1.12).
Observamos que, embora o NRG padr˜ao indique que o prefator A
n
tende para zero (e, numa
escala log-log, podemos determinar a velocidade com que que A
n
tende a zero), ele n˜ao nos
informa explicitamente o valor de A na Equa¸c˜ao 3.14. Ao contr´ario, a vers˜ao proposta na Se¸c˜ao
3.2 fornece o prefator A de maneira correta.
Solu¸c˜ao via NRG padr˜ao
Utilizaremos o NRG padr˜ao para o problema acima, e verificaremos a necessidade da imple-
menta¸c˜ao do NRG da Se¸c˜ao 3.2. Em outras palavras, manteremos constante β
n
= 1/2 (conse-
quentemente, B
n
≡ 1) e, para diferentes condi¸c˜oes iniciais, vemos que:
• na Figura 4.11, a convergˆencia de α
n
para o valor do expoente cr´ıtico anal´ıtico α = 1/2,
com erro da ordem de 10
−3
;
• na Figura 4.12, a convergˆencia do prefator A
n
para zero, verificando assim que a proposta
usual para o operador RG n˜ao ´e capaz de fornecer que o limite assint´otico ´e um m´ultiplo
(n˜ao nulo) do ponto fixo gaussiano;
52
• na Figura 4.13, em que plotamos log n por log A
n
, a convergˆencia de trˆes curvas, referentes
`as trˆes condi¸c˜oes iniciais da Figura 4.1, para uma mesma reta, indicando a existˆencia da
corre¸c˜ao logar´ıtmica. A taxa de decaimento logar´ıtmico ´e dada pela inclina¸c˜ao dessa reta,
cujo valor num´erico ´e −0.4798 e que ´e igual a −1/2 com erro na 2
a
casa decimal, al´em
disso, o fato de obtermos assintoticamente uma mesma reta condiz com a j´a conhecida
universalidade de A quanto aos dados iniciais;
• na Figura 4.14, a convergˆencia de f
n
para a fun¸c˜ao perfil φ, neste caso, a Gaussiana, com
erro m´aximo da ordem de 10
−2
ap´os devido reescalonamento.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
n
α
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.11: Convergˆencia de α
n
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x 10
4
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
n
A
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.12: Convergˆencia de A
n
devida-
mente reescalonado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
Log( n )
Log( A
n
)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.13: Gr´afico log(n) ×log(A
n
) devi-
damente reescalonado
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
x
f
n
(x)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.14: Convergˆencia de f
n
53
Solu¸c˜ao via NRG com corre¸c˜ao logar´ıtmica em A
n
Validaremos agora o NRG proposto na Se¸c˜ao 3.2. Ressaltamos que θ
n
representa a taxa de
decaimento logar´ıtmico, e seu c´alculo, como sugerido na referida se¸c˜ao, nos permite separar a
corre¸c˜ao logar´ıtmica do prefator A. Assim, para diferentes condi¸c˜oes iniciais veremos :
• na Figura 4.15 a convergˆencia de θ
n
para seu valor anal´ıtico θ = 1/2, com erro da ordem
de 10
−4
;
• na Figura 4.16 a convergˆencia do prefator A
n
para um valor A
∗
=
A
(log L)
1
2
k
> 0 (conforme
3.16), com erro da ordem de 10
−4
, onde k =
f(0)
φ(0)
, verificando a capacidade do m´etodo em
capturar o valor de A (neste caso, A =
2π
√
3 segundo Teorema 2 de [8]);
• na Figura 4.17 a convergˆencia de f
n
para a fun¸c˜ao perfil anal´ıtica φ, neste caso, a Gaussiana,
com maior erro da ordem de 10
−2
.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10
4
0
0.5
1
1.5
2
n
α
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.15: Convergˆencia de θ
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 10
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
n
A
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Valor Analítico
Figura 4.16: Convergˆencia de A
n
devida-
mente reescalonado
54
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
x
f
n
( x )
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.17: Convergˆencia de f
n
4.2 Valida¸c˜ao do NRG para a Equa¸c˜ao dos Meios Porosos
Estamos agora interessados no comportamento assint´otico de solu¸c˜oes do problema:
u
t
= (u
p
)
xx
− u
p+2
, (x, t) ∈ R × (1, ∞)
u(x, 1) = f(x)
onde p > 1, f ∈ L
1
(R) ∩ L
∞
(R) e lim sup
|x|→∞
|x|
K
f(x) < ∞, com K > 1. Conforme podemos
ver no Teorema 6.14 (note que o PVI acima satisfaz as hip´oteses deste teorema), existe um
corre¸c˜ao logar´ıtmica no prefator B. Caso o NRG padr˜ao (com β
n
≡
1
p+1
) seja utilizado para
se determinar o comportamento assint´otico para o problema acima teremos como resultado os
gr´aficos abaixo. Na Figura 4.18 temos a convergˆencia de α
n
para o valor anal´ıtico α =
1
p+1
.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x 10
4
0.325
0.33
0.335
0.34
0.345
0.35
0.355
n
α
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.18: α
n
0 2 4 6 8 10 12
−3.4
−3.2
−3
−2.8
−2.6
−2.4
−2.2
−2
−1.8
−1.6
Log(n)
Log(A
n
)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.19: log(n) × log(A
n
)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
f
n
(x)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Valor analítico
Figura 4.20: f
n
Na Figura 4.19, onde plotamos o gr´afico log(n) × log(A
n
), vemos a convergˆencia, para os trˆes
dados iniciais diferentes, para uma mesma reta de inclina¸c˜ao
−1
p+1
, o que implica, corretamente,
55
numa corre¸c˜ao logar´ıtmica no prefator A. Tais conclus˜oes s˜ao coerentes com o teorema citado.
Por´em, ´e observado numericamente (veja Figura 4.20) que a seq¨uencia dos dados iniciais f
n
parece
convergir para uma fun¸c˜ao de suporte vazio. Na realidade, a fun¸c˜ao limite parece ser diferente
de zero apenas no ponto x = 0 (justificado pelo fato de mantermos fixo f
n
(0) = f(0) ). Isso
constata uma “explos˜ao”do prefator B, conforme Teorema 6.14. Essas informa¸c˜oes sugerem que
o NRG padr˜ao ainda n˜ao convergiu. Neste caso, dever´ıamos fazer um gr´afico do logaritmo do
pr´e-fator do argumento da fun¸c˜ao f
n
versus o logaritmo de n e verificar se eles est˜ao linearmente
relacionados. Ao inv´es disto, optamos por propor uma modifica¸c˜ao do NRG padr˜ao (vide Se¸c˜ao
3.3).
Nesta se¸c˜ao, iremos, ent˜ao, aplicar o NRG com β
n
dinˆamico apresentado na Se¸c˜ao 3.3, com a
finalidade de verificar a sua capacidade em capturar as corre¸c˜oes logar´ıtmicas dadas p ela Equa¸c˜ao
1.13, para o caso da EMPN com p > 1, b = c = 0 e a = p +2. O m´etodo foi aplicado para valores
de p iguais a 1.5, 2 e 2.5, lembrando que em todos os experimentos usamos a = p + 2. O motivo
para o tal varia¸c˜ao ´e o de verificar que o m´etodo num´erico retornar´a o comportamento correto
para valores distintos de p.
Em outras palavras, calcularemos β
n
como na Se¸c˜ao 3.3, conforme Equa¸c˜ao 3.18, e, para diferentes
condi¸c˜oes iniciais veremos:
• (figuras omitidas) a convergˆencia de α
n
e β
n
para seus valores anal´ıticos α = β =
1
p+1
,
confirmando, assim, a independˆencia e universalidade dos expoentes cr´ıticos quanto ao
dado inicial;
• nas Figuras 4.21, 4.26 e 4.31, a logar´ıtmica convergˆencia do prefator A
n
para zero;
• nas Figuras 4.23, 4.28 e 4.33, a aparente divergˆencia do prefator B
n
, estritamente crescente,
com taxa de crescimento decrescente;
• nas Figuras 4.22, 4.27 e 4.32, para n suficientemente grande, a superposi¸c˜ao das curvas
(log(n)) × (log(A
n
)) com uma reta de inclina¸c˜ao
−1
p+1
, implicando na existˆencia de uma
corre¸c˜ao logar´ıtmica no prefator A, al´em disso, o fato de obtermos assintoticamente uma
mesma reta nos leva a conjecturar sobre a universalidade de A quanto aos dados iniciais;
56
• nas Figuras 4.24, 4.29 e 4.34, para n suficientemente grande, a superposi¸c˜ao das curvas
(log(n)) × (log(B
n
)) com uma reta de inclina¸c˜ao
p−1
2(p+1)
, implicando na existˆencia de uma
corre¸c˜ao logar´ıtmica no prefator B, al´em disso, o fato de obtermos assintoticamente uma
mesma reta nos leva a conjecturar sobre a universalidade de B quanto aos dados iniciais;
• nas Figuras 4.25, 4.30 e 4.35, a convergˆencia de f
n
para a fun¸c˜ao perfil anal´ıtica, neste caso
dada pela Equa¸c˜ao 6.11;
Ressaltamos que as Figuras 4.25 e 4.30 possuem 4 curvas diferentes, por´em quase superpostas,
com diferen¸ca vis´ıvel somente em escalas da ordem de 10
−3
, e que a Figura 4.35 foi deixada sem
o devido reescalonamento propositalmente, de forma que o leitor possa visualizar os reescalona-
mentos os quais citamos.
57
Gr´aficos para solu¸c˜ao de u
t
= (u
1,5
)
xx
− u
3,5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x 10
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
n
A
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.21: Convergˆencia de A
n
dev-
idamente reescalonado
0 2 4 6 8 10 12
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Log(n)
Log(A
n
)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.22: Gr´afico log(n) × log(A
n
)
devidamente reescalonado
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x 10
4
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
n
B
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.23: Convergˆencia de B
n
0 2 4 6 8 10 12
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
Log(n)
Log(B
n
)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.24: Gr´afico log(n) × log(B
n
)
devidamente reescalonado
−6 −4 −2 0 2 4 6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
f
n
(x)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
valor analítico
Figura 4.25: Convergˆencia de f
n
devi-
damente reescalonado
58
Gr´aficos para solu¸c˜ao de u
t
= (u
2
)
xx
− u
4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x 10
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
n
A
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.26: Convergˆencia de A
n
0 2 4 6 8 10 12
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Log(n)
Log(A
n
)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.27: Gr´afico log(n) × log(A
n
)
devidamente reescalonado
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x 10
4
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
n
B
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.28: Convergˆencia de B
n
0 2 4 6 8 10
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Log(n)
Log(B
n
)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.29: Gr´afico log(n) × log(B
n
)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
f
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
res. analítico
Figura 4.30: Convergˆencia de f
n
devi-
damente reescalonado
59
Gr´aficos para solu¸c˜ao de u
t
= (u
2,5
)
xx
− u
4,5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
n
A
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.31: Convergˆencia de A
n
0 2 4 6 8 10
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Log(n)
Log(A
n
)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.32: Gr´afico log(n) × log(A
n
)
devidamente reescalonado
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
B
n
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.33: Convergˆencia de B
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Log(n)
Log(B
n
)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.34: Gr´afico log(n) × log(B
n
)
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
f
n
(x)
dado inicial 1
dado inicial 2
dado inicial 3
Figura 4.35: Convergˆencia de f
n
60
Cap´ıtulo 5
Considera¸c˜oes Finais
As oscila¸c˜oes obtidas nos experimentos do cap´ıtulo anterior (Figuras 4.28, 4.29, 4.33 e 4.34) s˜ao
um fato que por um bom per´ıodo de tempo preocuparam o autor deste. Por´em, descobrimos
que tais oscila¸c˜oes prov´em de oscila¸c˜oes de pequena ordem de grandeza em α
n
e β
n
. Estas
oscila¸c˜oes, por sua vez, s˜ao resultado de erros num´ericos gerados principalmente pelo c´alculo de
β
n
, uma vez que o c´alculo deste necessita de usarmos uma aproxima¸c˜ao por interpola¸c˜ao afim de
encontrarmos a largura m´edia. A oscila¸c˜ao em α
n
parece surgir como um fator “balanceador”do
m´etodo. Explicamos ao leitor que as oscila¸c˜oes n˜ao s˜ao constitu´ıdas de um ´unico ponto, e sim,
de um conjunto de pontos, de forma a termos uma oscila¸c˜ao suave. Afirmamos tamb´em que
refinamentos de malha foram tentativas em v˜ao para eliminar tais oscila¸c˜oes. Especulamos que
um c´alculo mais aprimorado de β
n
talvez anule tais oscila¸c˜oes, por´em o c´alculo da forma que
sugerimos cumpre seu papel: permite verificar a existˆencia de corre¸c˜ao logar´ıtmica no prefator
B.
Neste trabalho, propusemos o c´alculo de β
n
dinˆamico dependente da altura do dado inicial.
Com a finalidade de acabar, ou mesmo amenizar, com as oscila¸c˜oes num´ericas, pensamos na
possibilidade de uma melhoria no m´etodo: ao inv´es usar da largura a meia altura, considerar os
dados iniciais como densidades de probabilidade e olhar para o seu desvio padr˜ao. Tal id´eia surge
intuitivamente pelo fato de que a largura a meia altura da gaussiana coincide com seu desvio
padr˜ao.
61
Ap´os as melhorias citadas acima, ou mesmo sem elas, pretendemos usar o m´etodo aqui proposto
para detectar, caso existam, corre¸c˜oes logar´ıtmicas nos prefatores para a EMPN com perturba¸c˜oes
marginais com a = 0,b = 0 e c = 0. Se detectadas, usaremos os resultados num´ericos para
conjecturar sobre o comportamento assint´otico do PVI associado.
Gostar´ıamos de ressaltar que h´a alguns anos atr´as o pesquisador Aleksey Telyakovskiy (Dept.
Math. - University of Reno), em colabora¸c˜ao com Gast˜ao A. Braga e Frederico Furtado, realizou
testes computacionais com β
n
dinˆamico similar ao aqui proposto, por´em com insucesso, pois as
oscila¸c˜oes presentes n˜ao permitiam chegar a boas conclus˜oes para seu problema, sendo ent˜ao
abandonada.
Cada experimento deste cap´ıtulo usou em m´edia 500 linhas de programa¸c˜ao no software Matlab
,
e uma m´edia de 16 horas de processamento em um Atlhon XP 1600+ com 512MB de mem´oria
RAM(DIMM).
62
Cap´ıtulo 6
Apˆendices
6.1 A transformada de Fourier
Para o completo entendimento do Grupo de Renormaliza¸c˜ao proposto neste trabalho precisamos
estudar a Transformada de Fourier. Neste apˆendice n´os faremos uma breve revis˜ao sobre esse
t´opico. Como introdu¸c˜ao ao assunto aconselhamos [19]. Um estudo mais aprofundado sobre a
Transformada de Fourier em espa¸cos L
p
(R) pode ser encontrado em [22, 23]. Nesta se¸c˜ao vamos
nos ater a definir e enunciar as principais propriedades da Transformada de Fourier para fun¸c˜oes
de vari´avel real. As demonstra¸c˜oes podem ser encontradas em [22].
Definimos, ∀p ∈ R
∗
+
, L
p
(R) como a classe de equivalˆencia das fun¸c˜oes mensur´aveis f : R → R
cuja integral de Lebesgue
∞
−∞
|f(x)|
p
dx convirja. Definimos tamb´em L
∞
(R) como a classe de
equivalˆencia das fun¸c˜oes limitadas em quase todos os pontos. Pode-se mostrar que L
p
(R), 1 ≤
p ≤ ∞ , quando munido da norma
||f||
p
=
∞
−∞
|f(x)|
p
dx
1
p
, se 1 ≤ p < ∞,
e
||f||
∞
= esssup{|f(x)| : x ∈ R},
´e um espa¸co de Banach (espa¸co vetorial normado e completo, vide [24]). A norma ||·||
p
satisfaz:
1) ||fg||
1
≤ || f ||
p
||g||
p
(p−1)
, (desigualdade de H¨older)
2) ||f + g||
p
≤ || f ||
p
+ ||g||
p
. (desigualdade de Minkowski)
63
Na desigualdade de H¨older, a norma ||.||
p
(p−1)
deve ser substitu´ıda por ||.||
1
quando p = ∞.
Quando p = 2, a desigualdade de H¨older se reduz `a desigualdade de Cauchy-Schwartz:
||fg||
1
≤ || f ||
2
||g||
2
, (6.1)
o que nos leva a definir o seguinte produto interno para L
2
(R):
< f, g >=
R
f(x)g(x)dx , f, g ∈ L
2
(R). (6.2)
Munido deste produto interno, o espa¸co de Banach L
2
(R) torna-se um espa¸co de Hilbert.
Defini¸c˜ao 6.1 (Transformada de Fourier) Seja f ∈ L
1
(R). Definimos a sua transformada
de Fourier F por:
F{ f (x )}(ω) =
R
f(x)e
−iωx
dx =
ˆ
f(ω). (6.3)
Algumas propriedades de F:
1) F atua linearmente em L
1
(R);
2) ∀f ∈ L
1
(R) e a ∈ R n˜ao-nulo, temos:
F{f(ax)} =
1
|a|
ˆ
f(ω/a); (6.4)
3) se f ∈ L
1
(R) ent˜ao
ˆ
f ´e cont´ınua e limitada.
Defini¸c˜ao 6.2 (Transformada Inversa de Fourier) Seja g ∈ L
1
(R). Definimos sua trans-
formada inversa F
−1
{g(ω)} por:
F
−1
{g(ω)}(x) =
1
2π
R
g(ω)e
iωx
dω. (6.5)
Uma d´uvida natural que surge agora ´e: sob que hip´oteses em f nos podemos recuper´a-la dada a
sua Transformada de Fourier, isto ´e, sob quais hip´oteses F
−1
{
ˆ
f(ω)}(x) = f(x)? Tal pergunta ´e
respondida pelo teorema abaixo:
64
Teorema 6.3 Seja f ∈ L
1
(R) tal que
ˆ
f ∈ L
1
(R) ent˜ao,
f(x) = F
−1
{
ˆ
f(ω)}(x)
em todos os pontos de x onde f ´e cont´ınua.
A Transformada de Fourier, quando restrita a L
2
(R), tem as seguintes propriedades, que enun-
ciamos como teoremas:
Teorema 6.4 (Identidade de Parseval) Seja f ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R), ent˜ao
ˆ
f ∈ L
2
(R) e
||
ˆ
f||
2
2
= 2 π||f||
2
2
.
Teorema 6.5 A transformada da Fourier ´e uma bije¸c˜ao de L
2
(R) em L
2
(R).
Defini¸c˜ao 6.6 (Convolu¸c˜ao) Sejam f, g ∈ L
1
(R). A convolu¸c˜ao de f por g ´e definida por:
(f ∗ g)(x) =
R
f(x − y)g(y)dy. (6.6)
Algumas propriedades do produto de convolu¸c˜ao s˜ao dadas pelo lema abaixo:
Lema 6.7 Sejam f, g e h ∈ L
1
(R), ent˜ao:
1) f ∗ g ∈ L
1
(R);
2) f ∗ g = g ∗ f ;
3) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) .
Segue ainda, do teorema de Fubini, que:
Teorema 6.8 (Teorema da Convolu¸c˜ao) Sejam f, g ∈ L
1
(R). Ent˜ao
(f ∗ g)(ω) =
ˆ
f(ω)ˆg(ω). (6.7)
Do Teorema da Convolu¸c˜ao segue o seguinte lema:
Lema 6.9 Sejam f, g ∈ L
2
(R). 6.8 Ent˜ao:
F
−1
{
ˆ
f ˆg}(x) = (f ∗ g)(x).
65
6.2 Teoremas e Defini¸c˜oes Usados neste Trabalho
Para tornar este trabalho o mais auto-contido poss´ıvel, enunciamos nesta se¸c˜ao alguns dos teo-
remas e defini¸c˜oes usados nos cap´ıtulos 1 e 1. Tendo este objetivo em mente, daremos apenas os
enunciados do mesmos.
Seja f(x, y) : I × [a, ∞) → R integr´avel em y, para cada x fixo e defina:
ψ(x) =
∞
a
f(x, y)dy. (6.8)
Teorema 6.10 (Continuidade de ψ) Se f : I × [a, ∞) → R for uma fun¸c˜ao cont´ınua e a
integral em (6.8) convergir uniformemente em I, ent˜ao ψ : I → R ´e cont´ınua.
Teorema 6.11 (Diferenciabilidade de ψ) Seja f : I × [a, ∞) → R uma fun¸c˜ao cont´ınua,
possuindo derivada parcial f
x
: I × [a, ∞) → R tamb´em cont´ınua. Suponha que a integral em
(6.8) convirja e que
∞
a
f
x
(x, y)dy convirja uniformemente em I. Ent˜ao ψ ´e deriv´avel em todo
ponto de I e
ψ
(x) =
∞
a
f
x
(x, y)dy. (6.9)
Observa¸c˜ao: Os teoremas 6.10 e 6.11 continuam v´alidos se fizermos a = ∞. Para ver isso,
basta escrever a integral como soma de duas integrais, uma com intervalo de integra¸c˜ao (−∞, a)
e outra no intervalo (a, ∞) e aplicar o teorema.
Teorema 6.12 (Teorema da Convergˆencia Dominada) Seja {f
n
} uma sequˆencia de fun¸c˜oes
mensur´aveis definidas em um subconjunto mensur´avel E de R
n
tal que f
n
→ f q.t.p.
1
em E e
suponha |f
n
| ≤ G q.t.p. em E para todo n e algum G ∈ L
1
(E). Ent˜ao
E
|f(p) − f
n
(p)|dp → 0 quando n → ∞.
Para enunciar o pr´oximo teorema, denotaremos por Ω
T
o produto cartesiano Ω ×[0, T ], por Ω o
fecho de Ω e por Γ
T
a diferen¸ca Ω
Γ
− Ω
Γ
.
1
q.t.p. ´e uma abrevia¸c˜ao para quase todo ponto
66
Teorema 6.13 (Princ´ıpio do M´aximo) Seja Ω ⊂ R
n
um dom´ınio limitado e seja T > 0. Se
u ∈ C
2
1
(Ω
T
) ∩ C(Ω) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor em Ω
T
ent˜ao:
• max
{(x,t)∈Ω
T
}
u(x, t) = max
{(x,t)∈Γ
T
}
u(x, t);
• se existir (x
0
, t
0
) ∈ Ω
T
tal que u(x
0
, t
0
) = max
{(x,t)∈Ω
T
}
u(x, t), ent˜ao u(x, t) ´e constante em
Ω
T
.
Apesar deste trabalho ser baseado em problemas unidimensionais (x ∈ R), enunciaremos o recente
teorema demonstrado por Yuanwei Qi e Xundong Liu em [17], para o problema de Cauchy N-
dimensional:
u
t
= ∆u
m
− u
q
em R
N
× (0, ∞),
u(x, 0) = u
0
(x) ≥ 0 em R
N
, u
0
(x) ∈ L
1
(R
N
) ∩ L
∞
(R
N
),
(6.10)
onde m > 1 e q = m +
2
N
. Observe que, se N = 1 ent˜ao o valor de q ´e m + 2, implicando que
o trabalho de Qi e Liu versa exatamente sobre as perturba¸c˜oes marginais. Enunciamos ent˜ao o
teorema:
Teorema 6.14 Suponha m > 1 e q = m +
2
N
. Se u
0
(x) satisfaz
lim sup
|x|→∞
|x|
K
u
0
(x) < ∞,
onde K > N, ent˜ao a solu¸c˜ao u do PVI 6.10 tem o seguinte comportamento assint´otico:
t
1
q−1
(log t)
1
q−1
u(x, t) → G
x
t
1
N(q−1)
(log t)
1−m
2(q−1)
quando t → ∞
uniformemente num conjunto da forma {x ∈ R
N
: |x| ≤ Ct
1
N(q−1)
(log t)
1−m
2(q−1)
}, onde G( x) ´e a
´unica solu¸c˜ao radialmente sim´etrica de
∆u
m
+
2
N(q − 1)
N
2
u +
x · ∇u
2
= 0 ,
dada por
G(x) = G(x; a
∗
) =
a
∗
−
(m − 1)|x|
2
2mN(q − 1)
1
m−1
+
(6.11)
67
onde (·)
+
´e a parte n˜ao-negativa do argumento e a
∗
´e unicamente determinado pela propriedade,
no conjunto {G(x; a)}
a>0
,
||G||
1
−
2(q − 1)
2 + (m − 1)N
||G||
q
= 0.
Em [25] ´e calculado o valor exato de a
∗
, sendo dado por
a
∗
=
m − 1
2mN(q − 1)
−
m−1
2
NB(N/2, m(m − 1))
2B(N/2, (m + q − 1))/(m − 1)
m−1
2(q−1)
,
com q = m +
N
2
, onde B(a, b) ´e a fun¸c˜ao β, ou seja:
B(a, b) =
1
0
t
a−1
(1 − t)
b−1
dt.
6.3 Solu¸c˜oes Num´ericas para EDP’s
Nesta se¸c˜ao apresentaremos o m´etodo num´erico usado para determinar a solu¸c˜ao das EDP’s que
foram estudadas neste trabalho. O nosso objetivo, com isto, ´e de que o leitor seja capaz de
reproduzir os experimentos num´ericos deste trabalho.
Com este objetivo em mente, focaremos nossa aten¸c˜ao em resolver o seguinte problema: conhecida
a condi¸c˜ao inicial u(x, 1) de um PVI, queremos determinar a sua solu¸c˜ao no tempo L > 1, ou
seja u(x, L). Consideramos ent˜ao o problema:
u
t
= (u
p
)
xx
− λu
a
, (x, t) ∈ R × (1, ∞)
u(x, 1) = f(x),
(6.12)
onde aqui pediremos que f seja pelo menos L
1
(R), motivo pelo qual explicaremos a seguir.
Procuraremos a solu¸c˜ao utilizando o m´etodo de diferen¸cas finitas. O primeiro passo ´e, ent˜ao,
discretizar f(x) = u(x, 1). O fato de f ∈ L
2
(R) nos permitir´a aproximar f por uma fun¸c˜ao de
suporte compacto
˜
f, tal que
˜
f(x) = f(x) para x ∈ (−M, M)
˜
f(x) = 0 caso contr´ario ,
e
R
|f(x) −
˜
f(x)|dx < , seja qual for > 0 escolhido. Utilizaremos, ent˜ao, a aproxima¸c˜ao
u(x, 1) ≈
˜
f(x) na discretiza¸c˜ao. Tomamos, ent˜ao, uma malha de discretiza¸c˜ao de tamanho ∆x
68
da vari´avel espacial. Denotaremos x
i
= −M + i∆x, i = 0, 1, ···, m. Tomaremos tamb´em uma
malha de discretiza¸c˜ao de tamanho ∆t da vari´avel temporal. Denotaremos por t
j
= 1 + j∆t,
j = 0, 1, ··· . Para simplificar, denotaremos:
u
j
i
u(x
i
, t
j
).
Calculamos, ent˜ao,
˜
f(x
i
) para todo i, e obtemos assim nossa discretiza¸c˜ao u(x
i
, t
0
) = u
0
i
. Pre-
cisamos, agora, discretizar a EDP do PVI acima. Para isso, usaremos as seguintes aproxima¸c˜oes:
u
t
(x
i
, t
j
) ≈
u
j+1
i
− u
j
i
∆t
, (6.13)
u
xx
(x
i
, t
j
) ≈
u
j
i+1
− 2u
j
i
+ u
j
i−1
∆x
2
(6.14)
(u
p
)
xx
(x
i
, t
j
) ≈
(u
j
i+1
)
p
− 2(u
j
i
)
p
+ (u
j
i−1
)
p
∆x
2
. (6.15)
Caso tenhamos uma EDP que tenha termos do tipo u
x
, podemos usar da aproxima¸c˜ao:
u
x
(x
i
, t
j
) ≈
u
j
i+1
− u
j
i−1
2∆x
. (6.16)
Tais aproxima¸c˜oes podem ser obtidas utilizando-se expans˜oes em s´erie de Taylor. Ressaltamos
que u
0
−1
= u
0
m+1
= 0, uma vez que
˜
f ≡ 0 fora do intervalo (−M, M). Se substituirmos as
aproxima¸c˜oes (6.13) e (6.15) na EDP do PVI 6.12, e explicitarmos u
j+1
i
em fun¸c˜ao das demais
vari´aveis, obtemos o seguinte esquema expl´ıcito:
u
j+1
i
= u
j
i
+ ∆t
(u
j
i+1
)
p
− 2(u
j
i
)
p
+ (u
j
i−1
)
p
∆x
2
+ λu
j
i
. (6.17)
Como a solu¸c˜ao u
0
i
´e conhecida para todo i, tomando j = 0 podemos ent˜ao calcular u
1
i
para
todo i, obtendo, assim, uma aproxima¸c˜ao para u(x
i
, 1 + ∆t). Note, ent˜ao, que a afirma¸c˜ao
u
1
−1
= u
1
m+1
= 0 pode n˜ao ser mais verdadeira. Isso significa que ´e necess´ario acrescentarmos
mais duas novas posi¸c˜oes em nossa discretiza¸c˜ao(u
1
−1
e u
1
m+1
), lembrando que u
1
−2
= u
1
m+2
= 0, e
que o suporte de nossa discretiza¸c˜ao passa a ser (−M −∆x, M + ∆x). Podemos, ent˜ao, calcular
u
2
i
a partir de u
1
i
, e assim sucessivamente. Repetimos o processo at´e obtermos (1 + j∆t) =
L, e, consequentemente, obtemos nossa aproxima¸c˜ao para u(x, L). Apesar de, intuitivamente,
acharmos que, quanto mais fina a malha, melhor ser´a nossa discretiza¸c˜ao para o problema, isso
69
nem sempre ´e verdade, contradizendo a id´eia de que: quanto mais refinamos a malha mais nos
aproximamos do cont´ınuo, e o algoritmo ser´a mais preciso. Daremos, ent˜ao, crit´erios para uma
boa escolha de ∆x e ∆t.
6.3.1 Crit´erios de Estabilidade
Apesar de, intuitivamente, acharmos que, quanto mais fina a malha, melhor ser´a nossa dis-
cretiza¸c˜ao para o problema, isso nem sempre ´e verdade. Daremos, ent˜ao, crit´erios para uma boa
escolha de ∆x e ∆t. Por´em, antes disso, afim de convencer o leitor de que tal se¸c˜ao ´e necess´aria,
daremos um exemplo simples. Discretizemos o problema padr˜ao:
y
(x) = qy(x)
y(0) = 1,
onde q < 0 uma constante. A solu¸c˜ao anal´ıtica do problema ´e conhecida e dada por y(x) = e
qx
.
A discretiza¸c˜ao ser´a, ent˜ao, dada por:
y
n+1
− y
n
∆x
= qy
n
.
Ficamos, ent˜ao, com a seguinte rela¸c˜ao de recorrˆencia:
y
n+1
= y
n
(1 + q∆x).
Lembrando que y
0
= 1, conclu´ımos que:
y
n
= (1 + q∆x)
n
.
No caso em que |1 + q∆x| > 1 conclu´ımos que y
n
→ ∞ quando n → ∞, o que nos levaria a uma
solu¸c˜ao completamente errˆonea, ou seja, temos a instabilidade num´erica. Caso o leitor queira
testar numericamente tal fato, pode tentar como exemplo fazer ∆x = 0.15 e q = − 10 e comparar
com o resultado anal´ıtico. Este fato nos leva, ent˜ao, `a necessidade de, ou impormos condi¸c˜oes
em ∆x (∆x < 0.1, no exemplo em que q = −10), ou usarmos outra discretiza¸c˜ao para a equa¸c˜ao
diferencial. N˜ao sendo nossa inten¸c˜ao nos aprofundarmos no assunto sobre estabilidade, nos
ateremos aqui a apenas enunciar um resultado que permita ao leitor, caso queira, implementar
70
a sua pr´opria vers˜ao do NRG. Segundo Ames [26] (Se¸c˜ao 2 −18, p´ag. 102 a 105), para equa¸c˜oes
diferenciais do tipo
u
t
= φ(x, t, u, u
x
, u
xx
),
tomamos a e b de forma que:
∂φ
∂u
xx
≥ a > 0,
e
|φ
u
| + |φ
u
x
| + φ
u
xx
≤ b.
Teremos, ent˜ao, que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao suficientes para a estabilidade do m´etodo:
∆t ≤ 2
a
b
,
e
0 <
∆t
(∆x)
2
≤
1 − b∆x
2b
.
Caso as duas condi¸c˜oes sejam satisfeitas, garantimos a estabilidade do m´etodo. Caso o leitor
n˜ao queira se preocupar com tais crit´erios, poder´a realizar a integra¸c˜ao num´erica da equa¸c˜ao
diferencial por algum m´etodo impl´ıcito (vide [26]), os quais s˜ao incondicionalmente est´aveis.
71
Referˆencias Bibliogr´aficas
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74
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