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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
LUCIANA PATROCÍNIO DE BRITTO
SCIPIONE DI PIERRO NETO E SUA PROPOSTA PARA O
ENSINO DA GEOMETRIA NA COLEÇÃO CURSO COLEGIAL
MODERNO
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2008
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2
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
LUCIANA PATROCÍNIO DE BRITTO
SCIPIONE DI PIERRO NETO E SUA PROPOSTA PARA O
ENSINO DA GEOMETRIA NA COLEÇÃO CURSO COLEGIAL
MODERNO
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial
para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM
ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da
Professora Doutora Ana Lúcia Manrique
PUC / SP
São Paulo
2008
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3
Banca Examinadora
____________________________________
____________________________________
____________________________________
4
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
5
Ao meu marido Alexandre, por todo
amor, companheirismo e
compreensão a mim dedicado
durante a realização desse trabalho.
E a minha filhinha Gabriela que
está chegando. Minha eterna
gratidão e amor. Dedico-lhes o
título de Mestra.
6
AGRADECIMENTOS
A Deus, pelo dom da vida, por tudo que sou e por tudo que
conquisto.
Aos Professores do Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da PUC/SP, pela dedicação e orientação
prestada durante todo o curso, em especial ao professor Saddo Ag
Almouloud, com quem pude contar na fase mais difícil da
conclusão deste trabalho; à Ana Lúcia Manrique que acompanhou
a finalização da minha pesquisa; ao professores Vincenzo
Bongiovanni, Célia Maria Carolino Pires e Bárbara Lutaif
Bianchini que ministraram inesquecíveis aulas e muito
contribuíram nesta minha trajetória.
Aos colegas do mestrado, Cristiane, Givanildo, Rogério, com
quem dividi os momentos mais difíceis dessa trajetória e
especialmente, a Emily com quem pude contar em todos os
momentos do curso, o que sem dúvida criou um forte e eterno laço
de amizade.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, por conceder a
bolsa de estudos para a realização deste trabalho.
Aos colegas de trabalho da Oficina Pedagógica da Diretoria
Regional de Ensino Guarulhos-Sul, pelo auxílio e amizade que
demonstraram ao longo desta caminhada.
Aos meus pais, João Nunes Patrocínio e Maria de Lourdes Silva
Patrocínio, por me darem a vida, por me apoiarem e se dedicarem
totalmente à educação de seus filhos, com certeza esses são os
grandes mestres que tenho na vida.
Aos meus irmãos Sandra, Roberto e João Carlos meus eternos
amigos e por quem devo deixar registrado que tenho grande amor.
7
Aos meus familiares, Bárbara, José Raimundo, Maria Aparecida,
Francisnete, Antonio Carlos, Lucas, André, Marcelo, Ana Paula e
Isabela por acreditarem e incentivarem minha caminhada.
A todos do Colégio Júlio Mesquita, em especial à professora Tina,
com quem pude contar para correções do texto e ao professor
André que concedeu sua preciosa colaboração em inglês.
Ao meu amigo André Figueiredo Rodrigues, que deu grandes
contribuições ao meu trabalho, por meio de suas leituras críticas e
construtivas.
Enfim, agradeço a todos aqueles que de forma direta ou indireta
contribuíram para a realização e a conclusão deste trabalho.
8
RESUMO
O presente trabalho teve como objetivo estudar a Coleção Curso Colegial
Moderno, de autoria do professor Scipione Di Pierro Neto em parceria com Ruy
Madsen Barbosa e Luiz Mauro Rocha, publicada em tempos de Matemática
Moderna. Essa coleção foi considerada como referência na época por ser uma
das primeiras publicadas neste período. Foram consultados documentos do
professor Scipione Di Pierro Neto, tais como: sua tese de doutorado e entrevistas
relacionadas ao período da Matemática Moderna no Brasil. As análises dos
documentos foram baseadas na teoria de Le Goff (1992), que analisa as
diferentes formas de produção da história, e a análise da Coleção de livros no
texto de Choppin (2000), que considera a crítica ideológica e cultural de livros e
seus conteúdos segundo uma perspectiva epistemológica ou didática. As
tendências para o ensino da Geometria, no Movimento da Matemática Moderna,
eram voltadas para as transformações geométricas, estudos dos espaços
vetoriais e modificações nos axiomas de Euclides. Essa pesquisa visa analisar
quais dessas tendências foram seguidas na Coleção Curso Colegial Moderno. E
foi constatado que os autores acompanharam algumas tendências do Movimento,
como a utilização da linguagem dos conjuntos para introdução da geometria plana
no primeiro volume, e as transformações geométricas no segundo volume. Notou-
se também que os livros tinham um visual diferente dos livros didáticos da época,
pois apresentavam muitas figuras ilustrativas bem feitas e textos explicativos
muito bem escritos, com uma linguagem acessível aos alunos.
Palavras-chave: Movimento da Matemática Moderna, Scipione Di Pierro Neto,
Geometria, Curso Colegial Moderno.
9
ABSTRACT
The present research is aimed to study “Coleção Curso Colegial
Moderno”, by the professor Scipione Di Pierro Neto with Ruy Madsen Barbosa and
Luiz Mauro Rocha as partners, has come out during Modern Mathematics. This
collection was considered as a reference at this period for being one of the first to
be published at that time. Scipione Di Pierro Neto´s documents were consulted
such as: his doctorate thesis and some interviews related to Modern Mathematics
Movement in Brazil. These document analysis were based on Le Goff´s theory,
that analyzes the many different ways of history production, and on the book
collection in Choppin´s text (2000), that considers the ideological and cultural
critics from books and its contents according to a epistemological or educational
perspective. The Geometry teaching tendencies, at Modern Mathematics
Movement, were to geometric changings, vectorials studies of spaces and also
axioms Euclides´s changings. This research is aimed to analyze which of these
tendencies were followed according to “Coleção Curso Colegial Moderno”. It was
known that the authors followed some of its tendencies such as the use of the
language set to introduce plane geometry at the first volume, and the geometric
information at the second volume. It was also noticed that the books had a
different look from the educational ones at that period; they used to have many
well designed and illustrative pictures as well as very clear explanations with an
easy language that could be understood by any student.
Key words: Modern Mathematics Movement, Scipione Di Pierro Neto, Geometry,
Curso Colegial Moderno”.
10
LISTA DE ABREVIATURAS
APSPN - Arquivo Pessoal Scipione Di Pierro Neto
CADES - Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário.
CIEM - Commission Internationale de L’Enseignemente Mathématique
ECA – Escola de Comunicação e Artes da USP
EUA – Estados Unidos
FEI - Faculdade de Engenharia Industrial
FFCL - Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras
GEEM - Grupo de Estudo do Ensino da Matemática.
GEEMPA – Grupo de Estudos de Ensino de Matemática Moderna de Porto Alegre
GEPEM – Grupo de Estudos e Pesquisas e Educação Matemática do Rio de Janeiro
GHEMAT – Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática.
IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
MEC - Ministério da Educação e da Cultura
MMM – Movimento da Matemática Moderna.
NEDEM – Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática de Curitiba
NSF – Nacional Science Foundation
OECE- Organização Européia de Cooperação Econômica
PUC – Pontifícia Universidade Católica.
SMSG – Scholl Mathematics Study Group
UNESCO – Organização das Nações Unidas para a educação, a ciência ea cultura
URGS – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, atualmente UFRGS
USP - Universidade de São Paulo
11
LISTA DE FIGURAS
Capítulo 3 Página
3.1.1 - Foto do Professor Scipione Di Pierro Neto .................................... 46
Capítulo 4 Página
4.1.1 – Ilustração do quinto postulado de Euclides .................................. 67
Capítulo 5 Página
5.1.1 – Capa do volume 1 da Coleção Curso Colegial Moderno..................
82
5.1.2 – Apresentação de pontos retas e planos............................................
85
5.1.3 – Definição de planos ..........................................................................
85
5.1.4 – Postulado de Euclides , Intersecções e Inclusões (I)....................... 87
5.1.5 – Intersecções e Inclusões (II) ............................................................
88
5.1.6 –Teorema 1 .........................................................................................
90
5.1.7 – Outros Teoremas .............................................................................
91
5.2.1 - Capa do volume 2 da Coleção Curso Colegial Moderno ................. 92
5.2.2 – Segmentos orientados e vetores .....................................................
94
5.2.3 – Transformações Geométricas ..........................................................
95
5.2.4 – Exercícios propostos ........................................................................
96
5.2.5 - Exercícios propostos ........................................................................ 97
5.2.6 – Superfícies cilíndricas (I)...................................................................
98
5.2.7 – Superfícies cilíndricas (II)..................................................................
99
5.2.8 – Exercícios propostos ........................................................................
100
5.2.9 – Definição para os problemas de superfície esférica ........................
101
5.2.10 – Prismas ..........................................................................................
102
12
5.2.11 – Teorema das diagonais de um paralelepípedo ..............................
103
5.2.12 – Pirâmides Regulares ..................................................................... 104
5.2.13 – Fórmulas para lados, apótemas e áreas de polígonos regulares...
105
5.2.14 – Exercícios propostos ......................................................................
106
5.2.15 – Volume de paralelepípedos ...........................................................
107
5.2.16 – O princípio de Cavalieri ..................................................................
108
5.2.17 – Exercícios propostos ..................................................................... 108
5.2.18 – Cilindro ...........................................................................................
109
5.2.19 – Superfície Cilíndrica .......................................................................
110
5.2.20 – Cilindros e Prismas equivalentes ...................................................
111
5.2.21 – Esferas e Cilindros equivalentes ....................................................
112
5.2.22 – Demonstração do volume da esfera ..............................................
113
5.3.1 - Capa do volume 3 da Coleção Curso Colegial Moderno ............. ....
115
13
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...........................................................................................
14
1. CONSIDERAÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS .............................
19
2. MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA .......................................
2.1. Reformas internacionais no ensino da Matemática .....................
2.2. Reformas no ensino da Matemática no Brasil .............................
26
26
31
3. PROFESSOR SCIPIONE DI PIERRO NETO ........................................
3.1. Biografia......
.................................................................................................
3.2. A participação e o olhar do Professor Scipione Di Pierro Neto
para o Movimento da Matemática Moderna .......................................
3.2. A sua Tese de Doutorado ............................................................
3.3. Produções didáticas .....................................................................
46
46
48
55
63
4. O ENSINO DA GEOMETRIA ................................................................
4.1. O ensino da Geometria antes do Movimento da Matemática
Moderna de acordo com a análise de Scipione em sua Tese de
Doutorado ..........................................................................................
4.2. Algumas discussões sobre o ensino da Geometria durante o
Movimento da Matemática Moderna ...............................................
66
66
70
5. A PROPOSTA DO PROFESSOR SCIPIONE PARA O ENSINO DA
GEOMETRIA EM TEMPOS DE MATEMÁTICA MODERNA......................
5.1. Volume 1 ......................................................................................
5.2. Volume 2......................................................................................
5.3. Volume 3.......................................................................................
81
82
92
115
CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................
116
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................
121
ANEXOS ....................................................................................................
123
14
INTRODUÇÃO
Em razão de sempre ter tido intenção de ser professora e a preferência
pela Matemática, optei por este curso na graduação. Desde o seu início, em 1997,
passei a ministrar aulas de Geometria, numa escola particular de Guarulhos e
esta disciplina passou a me despertar maior interesse e curiosidade, inclusive por
não compartilhar da mesma preferência com colegas de curso e de trabalho, uma
vez que estes na maioria das vezes preferiam a Álgebra. Concluí a graduação em
2000.
Ingressei no Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, na PUC-
SP, no início de 2006, após o término de um Curso de Aperfeiçoamento nesta
mesma instituição, a fim de melhorar minha prática pedagógica, já que pude
confirmar durante minha trajetória como professora que fiz a escolha certa.
Escolhi como disciplina inicial Tópicos de Geometria, cujas aulas eram
ministradas pelo Prof. Dr. Vincenzo Bongiovani, por quem tenho grande
admiração. No semestre seguinte cursei História da Matemática, também com o
professor Vincenzo, que me sugeriu que fizesse parte do grupo de pesquisa em
História da Educação Matemática, desde então passei a freqüentar as discussões
do projeto Movimento da Matemática Moderna e a Geometria Escolar no Brasil,
que investiga a História da Educação Matemática no Brasil, em especial o
Movimento da Matemática Moderna (MMM), conhecido como o período de
modernização do ensino da Matemática, nas décadas de 1960-70. O ponto
principal da investigação refere-se às propostas para o ensino de Geometria pelo
Movimento da Matemática Moderna. O projeto articula-se em subprojetos de
15
pesquisa, este é um deles. Este trabalho reuniu o meu interesse pela Geometria
com a curiosidade de descobrir como ela foi abordada nos livros e nas práticas
escolares em outros tempos.
Esta pesquisa teve como objetivo analisar a proposta da Coleção Curso
Colegial Moderno de Scipione Di Pierro Neto, para o ensino da Geometria no
antigo Colegial.
Os trabalhos existentes sobre o Movimento da Matemática Moderna no
Brasil, em sua maior parte, preocuparam-se em explicar o significado da
Matemática Moderna com a identificação dos grupos que a introduziram no país e
com a análise dos textos que abordaram seu fracasso. Boa parte deles teve uma
contribuição significativa para esta pesquisa e aparecem em diversos momentos
deste texto. Os trabalhos não apresentaram, de um modo geral, preocupações
com a análise das práticas pedagógicas e não deram ênfase a maneira como a
Geometria foi proposta. Sendo assim, este trabalho visa contribuir com a análise
das transformações que ocorreram nas culturas escolares e com as
conseqüências que esse Movimento deixou nas práticas pedagógicas e,
principalmente, no que diz respeito ao ensino da Geometria nas escolas
brasileiras, sob o olhar do professor Scipione, autor de livros didáticos desse
período.
O professor Scipione foi autor de livros didáticos e uma pessoa
importante no Movimento da Matemática Moderna, pois no período atuou como
professor universitário em cursos de Licenciatura em Matemática, coordenador do
Colégio de Aplicação da USP e ministrou cursos preparatórios para a introdução
dessa abordagem para a Matemática escolar no sistema de ensino brasileiro.
16
A pesquisa possibilita um melhor conhecimento dos problemas da
educação brasileira, pois retrata parte de um Movimento que ocorreu diante de
crises políticas e que foi iniciada por aqueles que se preocupavam com o ensino
de Matemática.
Nessa pesquisa procurou-se responder à seguinte questão: Algumas
análises feitas sobre o ensino da Geometria durante o Movimento da Matemática
Moderna indicam que existiam três posicionamentos distintos nas discussões
presentes no ideário internacional do Movimento: um que propõe o
desenvolvimento pelo estudo das transformações geométricas, outro pelo estudo
dos espaços vetoriais e um terceiro que propõe modificações nos axiomas de
Euclides. Como as produções didáticas do Professor Scipione abordaram a
Geometria? Seguiram esses posicionamentos? Quais?
Durante o Movimento da Matemática Moderna deu-se destaque às
estruturas algébricas no ensino da Matemática, modificando o que era ministrado
na época como problemas envolvendo cálculos e algoritmos das operações. As
aulas de Matemática eram ministradas por professores que nem sempre eram
licenciados nessa disciplina e, para que estes pudessem acompanhar as
tendências do Movimento da Matemática Moderna, foram oferecidos cursos,
organizados pelo Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM). O eixo
desses cursos focava-se nas estruturas algébricas, sendo poucas as análises
direcionadas para a Geometria.
A proposta para o ensino de Geometria, geralmente apresentada nos
capítulos finais dos livros didáticos, era praticamente esquecida no decorrer do
17
ano letivo e durante o Movimento da Matemática Moderna parece não ter sido
diferente.
A pesquisa investigou, portanto, a proposta da Coleção Curso Colegial
Moderno do professor Scipione Di Pierro Neto para o ensino da Geometria, no
antigo colegial, durante o período do Movimento da Matemática Moderna, pois
seus livros foram considerados referência na época.
Pretende-se também permitir uma reflexão sobre as questões que ainda
se encontram em aberto quanto ao papel assumido pela Geometria no Movimento
da Matemática Moderna, como a dificuldade por partes dos docentes em trabalhar
com essa disciplina.
As fontes utilizadas para a realização da pesquisa contaram com a
análise da Coleção Curso Colegial Moderno, publicada pelo professor Scipione
durante o Movimento da Matemática Moderna. Essa pesquisa fundamentou-se
em documentos do Arquivo Pessoal de Scipione Di Pierro Neto (APSPN), doados
pela família ao Grupo de Pesquisa em História da Educação Matemática no Brasil
(GHEMAT), e por depoimentos prestados por este professor à Prof ª. Dra.
Elizabete Z. Burigo.
Esta dissertação está dividida em cinco capítulos: No primeiro será
apresentado o referencial teórico e a metodologia concernente a esta pesquisa. O
referencial teórico está fundamentado nas idéias de Alain Choppin, em seu artigo
História dos livros e das edições didáticas: sobre o estado da arte, e nas
discussões de Jacques Le Goff sobre documento / monumento.
18
No segundo capítulo serão relatadas as reformas internacionais ocorridas
no ensino de Matemática e, também, as ocorridas no Brasil, destacando-se o
Movimento da Matemática Moderna.
O terceiro capítulo apresenta o professor Scipione Di Pierro Neto como
um importante personagem e autor de livros didáticos durante o Movimento da
Matemática Moderna, procurando-se discutir sua participação e seu olhar diante
dessa nova abordagem que aparecia para o ensino da Matemática.
O ensino da Geometria será abordado no quarto capítulo, que se divide
em duas partes: o antes e o durante o Movimento da Matemática Moderna.
No quinto capítulo se analisa a Geometria na coleção Curso Colegial
Moderno, escrita pelo professor Scipione Di Pierro Neto, em parceria com Luiz
Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa.
Nas considerações finais buscou-se reunir as informações coletadas em
cada capítulo a fim de analisar a Coleção Curso Colegial Moderno.
19
CAPÍTULO 1
CONSIDERAÇÕES TEÓRICO - METODOLÓGICAS
Para se realizar uma pesquisa que envolve História é necessário e pode
ser difícil encontrar fontes, que são rastros deixados pelas atividades humanas.
As fontes podem ser de vários tipos: materiais, escritas ou orais e devem ser
estudadas a fim de se verificar sua veracidade, autenticidade, credibilidade e
interpretação. Nesse capítulo alguns autores que trataram sobre o trabalho com
as diferentes fontes de pesquisa auxiliaram na utilização das mesmas para o
desenvolvimento dessa pesquisa.
Alguns estudos em História da Educação Matemática, realizados pelo
GHEMAT, têm revelado a importância em se pesquisar as práticas pedagógicas
realizadas durante o Movimento da Matemática Moderna.
Com uma análise de teses e dissertações sobre o Movimento da
Matemática Moderna no Brasil, Valente (2006), no artigo A Matemática Moderna
nas escolas do Brasil: um tema para estudos históricos comparativos, afirmou
que:
é possível concluir que os trabalhos, em grande medida, atêm-se
à análise do ideário modernista. Preocupações em explicitar o
significado da Matemática Moderna, de situar os grupos que a
difundiram no Brasil e analisar textos que discutem o seu fracasso
internacional, dominam essa literatura. Em boa dose descritivos,
os textos quase não incluem preocupações com a análise de
práticas pedagógicas (VALENTE, 2006, p. 30).
20
Ainda de acordo com Valente (2006), as práticas pedagógicas e as
produções didáticas feitas durante o Movimento da Matemática Moderna no Brasil
precisam ser analisadas a partir das transformações que aconteceram nas
culturas escolares, que passaram pela ação de um movimento internacional de
reforma do ensino de Matemática. Scipione Di Pierro Neto foi um dos que atuou
como professor e autor de livros didáticos durante esse Movimento, tornando-se
um importante personagem nessa história.
Os documentos existentes no Arquivo Pessoal de Scipione Di Pierro Neto
(ASPN) doado pela família, em 2007, ao GHEMAT, contam com certificados de
cursos que o professor Scipione freqüentou, com anotações e apontamentos de
suas aulas e de seus livros; além de alguns dos livros que utilizou para escrever
suas produções didáticas e artigos, ao longo de sua trajetória como professor,
autor de livros didáticos e pesquisador.
A utilização dos documentos deste arquivo como fonte de pesquisa, será
apoiada no artigo Documento / Monumento, do historiador Jacques Le Goff, que
analisa as diferentes formas de produção da História ao longo dos tempos.
Segundo esse autor, define-se documento como algo que:
não é inócuo. Antes de qualquer coisa resulta uma montagem
consciente ou inconsciente, da História da época, da sociedade
que o produziram, mas também das épocas sucessivas durante
as quais continuou a viver, talvez esquecido, durante as quais
continuou a ser manipulado, ainda que pelo silêncio. O documento
é uma coisa que fica, que dura e o testemunho, o ensinamento
que ele traz devem ser em primeiro lugar analisados
desmistificando-lhe o seu significado aparente. O documento é
monumento (LE GOFF, 1992, p. 537-538).
Para Le Goff, o monumento é mascarado, é uma montagem, a qual o
historiador deve desmontar e analisar as condições de produção dos
21
documentos-monumentos. Segundo o autor não existe um documento-verdade,
todo documento é uma mentira, pode deixar enganar aquele que o observa. Cabe
ao historiador não estar endurecido e seguir os vestígios, pesquisar, indagar os
documentos que utiliza como fontes de pesquisa. Neste caso, o arquivo pessoal
do professor Scipione é um monumento porque está, antes de tudo, revestido,
pois não retrata, a primeira vista, quais as intenções e propostas do autor, têm
uma aparência enganadora, que pode iludir.
O estudo dos documentos e anotações do professor pode contribuir para
a compreensão das escolhas feitas em suas produções didáticas. O papel do
historiador, neste caso, seria o de buscar as verdadeiras razões das escolhas,
pois, talvez, o simples olhar para os livros didáticos não seria suficiente para uma
boa compreensão. Estes nem sempre apresentam de forma explícita todas as
intenções do autor.
Com a análise dos documentos do arquivo APSPN e da entrevista que o
professor Scipione concedeu a Burigo (s.d.), buscou-se o que não estava claro e
explorou-se todo seu conteúdo, sem acréscimos. Pretendeu-se, também realizar
críticas, interpretações e confrontá-las com outros documentos.
De acordo com Valente, quaisquer meio de comunicação: escritos,
imagens, ilustrações, transmissões sonoras, descrevem uma fonte de pesquisa
com muita informação, com fatos históricos. “Os fatos históricos são constituídos
a partir de traços, de rastros deixados no presente pelo passado. [...] um fato não
é outra coisa que o resultado de uma elaboração, de um raciocínio, a partir das
marcas do passado segundo as regras de uma crítica” (VALENTE, 2007, p. 31).
22
Os fatos históricos são os principais elementos para a produção de uma
pesquisa histórica, porém é necessário esclarecê-los, compreendê-los. Os
vestígios que constituem os fatos históricos devem ser trabalhados pelo
historiador, que deve questioná-los com o intuito de confirmar ou não as
conjecturas levantadas quando teve o primeiro contato com as fontes, os
documentos. Segundo Valente, “não existem fatos históricos sem questões
postas pelo historiador” (2007, p.31). As questões impostas pelo historiador visam
a completar os espaços vazios do conhecimento histórico. Porém, o historiador
pode elaborar perguntas sobre algo pronto, existente.
O trabalho com os documentos, utilizados pelo historiador como fonte,
tem o objetivo de argumentar sobre sua origem, sua conservação, sua
veracidade, sua utilidade e sua implicação. Essas argumentações devem ser
questionadas de duas formas: “a da crítica da sinceridade, concernente às
intenções de produção do documento; e a crítica de exatidão, sobre a situação
objetiva do documento. A primeira está atenta às mentiras; a segunda, aos erros.”
(VALENTE, 2007, p. 33)
Cada fonte deverá ter sua autenticidade comprovada, ou seja, deve-se
verificar sobre a validade do documento, e até mesmo se é original ou uma
cópia. A autoria deverá ser determinada, o mesmo ocorrendo em relação ao
local e a data de sua redação, se houver erros ou falhas de transcrição, nesse
caso, caberá uma reconstituição. A veracidade das informações contidas deve
ser feita por meio da interpretação, da capacidade do autor de conhecer e
entender os fatos de que se trata, do rigor que deve detectar os erros
23
involuntários nos fatos descritos e da investigação dos testemunhos, sendo
necessário comparar a informação com outras sobre o mesmo fato.
A produção histórica não é apenas uma exposição dos fatos pelo
historiador, ela engloba uma obra de identificação e construção de fontes que
sofrerão processos interpretativos e que darão firmeza ao objeto histórico em
construção.
A intenção de quem não têm formação específica em História, porém faz
uma pesquisa histórica, é buscar o diálogo com os historiadores, com a intenção
de ampliar o entendimento de como se dá, na História, o processo de
escolarização dos saberes e, em particular, da Matemática, a partir de um
instrumental teórico-metodológico utilizado por historiadores (VALENTE, 2007,
p.47).
A produção didática do professor Scipione Di Pierro Neto, em parceria
com Ruy Madsen Barbosa e Luiz Mauro Rocha, a partir de 1967, tem, neste
estudo, a análise da abordagem dos conteúdos de Geometria, feita a partir das
definições de Choppin (2004). Para essa análise é considerada a crítica
ideológica e cultural dos livros didáticos e seu conteúdo didático, de acordo com
uma perspectiva epistemológica ou didática:
Os autores de livros didáticos não são simples espectadores de
seu tempo: eles reivindicam um outro status, o de agente. O livro
didático não é um simples espelho: ele modifica a realidade para
educar as novas gerações, fornecendo uma imagem deformada,
esquematizada, modelada, freqüentemente de forma favorável: as
ações contrárias à moral são quase sempre punidas
exemplarmente; os conflitos sociais, os atos delituosos ou a
violência cotidiana são sistematicamente silenciados. (CHOPPIN,
2004, p. 557)
24
Segundo Choppin, o livro didático exerce quatro funções fundamentais
que podem ter variação de acordo com o ambiente sociocultural, a época, as
disciplinas, os níveis de ensino, os métodos e suas formas de utilização. São elas:
1. Função referencial, também chamada de curricular ou
programática, desde que existam programas de ensino: o livro
didático é então apenas a fiel tradução do programa ou, quando
se exerce o livre jogo da concorrência, uma de suas possíveis
interpretações. Mas, em todo o caso, ele constitui o suporte
privilegiado dos conteúdos educativos, o depositário dos
conhecimentos, técnicas ou habilidades que um grupo social
acredita que seja necessário transmitir às novas gerações.
2. Função instrumental: o livro didático põe em prática
métodos de aprendizagem, propõe exercícios ou atividades que,
segundo o contexto, visam a facilitar a memorização dos
conhecimentos, favorecer a aquisição de competências
disciplinares ou transversais, a apropriação de habilidades, de
métodos de análise ou de resolução de problemas, etc.
3. Função ideológica e cultural: é a função mais antiga. A
partir do século XIX, com a constituição dos estados nacionais e
com o desenvolvimento, nesse contexto, dos principais sistemas
educativos, o livro didático se afirmou como um dos vetores
essenciais da língua, da cultura e dos valores das classes
dirigentes. Instrumento privilegiado de construção de identidade,
geralmente ele é reconhecido, assim como a moeda e a bandeira,
como um símbolo da soberania nacional e, nesse sentido, assume
um importante papel político. Essa função, que tende a aculturar -
e, em certos casos, a doutrinar - as jovens gerações, pode se
exercer de maneira explícita, até mesmo sistemática e ostensiva,
ou, ainda, de maneira dissimulada, sub-reptícia, implícita, mas não
menos eficaz.
4. Função documental: acredita-se que o livro didático pode
fornecer, sem que sua leitura seja dirigida, um conjunto de
documentos, textuais ou icônicos, cuja observação ou
confrontação podem vir a desenvolver o espírito crítico do aluno.
Essa função surgiu muito recentemente na literatura escolar e não
é universal: só é encontrada — afirmação que pode ser feita com
muitas reservas — em ambientes pedagógicos que privilegiam a
iniciativa pessoal da criança e visam a favorecer sua autonomia;
supõe, também, um nível de formação elevado dos professores.
(CHOPPIN, 2001, p. 553)
25
As interpretações realizadas com a análise dos conteúdos de Geometria,
abordados nos livros didáticos do professor Scipione, serão comparadas com os
outros documentos, fontes desta pesquisa, pois segundo Choppin “não é
suficiente, no entanto, deter-se nas questões que se referem aos autores e ao
que eles escrevem; é necessário também prestar atenção àquilo que eles
silenciam, pois se o livro didático é um espelho, pode ser também uma tela.
(CHOPPIN, 2004, p. 557)
26
CAPÍTULO 2
MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA
Este capítulo permite uma compreensão das idéias defendidas durante o
Movimento da Matemática Moderna. Entender essas idéias e a maneira como
surgiram é fundamental para a análise das escolhas feitas pelo professor Scipione
em suas produções didáticas publicadas no mesmo período em que ocorreu o
Movimento no Brasil.
2.1. Reformas Internacionais no Ensino da Matemática
O ensino de Matemática, por volta dos anos de 1950, começou a ser
discutido na Europa e em outros países, como os Estados Unidos. Esta década
contou com muitas iniciativas e realizações com objetivos diversos, mas com um
foco comum, mudar os currículos dessa disciplina, a fim de atualizar os temas
matemáticos ensinados e os métodos de ensino. (GUIMARÃES, 2007, p. 21)
Para as escolas elementares, a discussão foi feita por filósofos suíços e
matemáticos franceses, alguns destes eram integrantes do grupo Bourbaki, nome
fictício escolhido por um grupo de matemáticos, a maioria franceses, dentre eles
Cartan, Chavalley, Dieudonné e Weil, que tinha a intenção de apresentar toda a
Matemática de seu tempo em uma obra intitulada Éléments de mathématique.
Seu primeiro volume foi publicado em 1939. Gustave Choquet e Willy Servais
fizeram intervenções que completaram esse trabalho (GUIMARÃES, 2007).
Gustave Choquet revelou que os professores de Matemática mostravam coisas
27
que não interessavam à maioria das pessoas (Charlot. Apud PIRES, 2000, p. 9).
A obra elaborada pelo Grupo Bourbaki pretendia integrar de maneira coerente e
rigorosa os principais desenvolvimentos da Matemática: as “Estruturas
Fundamentais da Análise”, com os subtítulos: Teoria dos Conjuntos, Álgebra,
Topologia Geral, Funções de Variável Real, Espaços Vetoriais, Topologia e
Integração. Os trabalhos de Bourbaki caracterizavam-se por uma adesão
completa ao tratamento axiomático, a uma forma abstrata e geral, retratando uma
estrutura lógica.
Os integrantes do grupo Bourbaki faziam parte da Comission
Internationale pour l’Enseignement des Mathématiques (CIEM) . Em 1955, o
CIEM publicou, na França, um livro intitulado La didactique des mathématiques.
Um dos textos foi escrito pelo epistemólogo Jean Piaget. A obra teve repercussão
internacional e sua divulgação no Brasil aconteceu durante o II Congresso
Nacional de Ensino de Matemática, ocorrido em 1957.
Embora Piaget nunca tenha direcionado suas pesquisas para o processo
de ensino, o movimento de modernização da Matemática buscou,
convenientemente, uma relação entre as estruturas fundamentais de tal proposta
– algébrica, topológica e de ordem – e as estruturas elementares da inteligência,
que era o objeto de estudo de Piaget. Ele, entretanto, alertou sobre as
conseqüências de um ensino fundamentado numa linguagem excessivamente
formal e utilizado de maneira precoce no ensino elementar e secundário: “Nada
prova que colocando o formalismo a princípio o encontraremos no final em suas
formas autênticas, e os estragos de um pseudo-formalismo ou um formalismo
puramente verbal demasiado precoce mostram, pelo contrário, os perigos de um
28
método que ignora as leis do desenvolvimento mental.” (PIAGET, 1955, Apud
BURIGO, 1989, p. 87).
Nos Estados Unidos foram iniciados diversos projetos sobre as mudanças
no ensino de Matemática nos anos de 1950. O trabalho de maior repercussão foi
o da School Mathematics Study Group (SMSG)
,
em 1958, dirigido por E. G.
Beagle, criado a partir de conferências do Nacional Science Foundation (NSF),
que subsidiava cursos para professores de vários países para difusão das
propostas acerca da modernização do ensino da Matemática. Esses projetos
eram financiados por agências como a NSF, a Carnegie Corporation e o United
States Office of Education. O SMSG foi criado a partir de duas conferências, uma
delas promovida pela NSF, em que a qualidade baixa de ensino elementar e
secundário foi apontada como um dos elementos responsáveis pela escassez de
matemáticos-pesquisadores e teve a assistência do National Council of Teachers
of Mathematics. O SMSG produziu textos para todos os graus do ensino
elementar e secundário, no qual vários tópicos novos eram introduzidos, textos
para professores e várias monografias destinadas aos alunos mais bem “dotados”
do final do curso secundário (BURIGO, 1989, p.71).
Em 1958, a Organização Européia de Cooperação Econômica (OECE)
formou um setor com o intuito de que o ensino de Ciências e Matemática se
tornasse mais eficiente. No ano seguinte promoveu um levantamento sobre a
situação do ensino da Matemática nos países-membros do grupo e realizou
trabalhos fundamentados nos resultados, com o objetivo de promover mudanças
no currículo da disciplina. Os trabalhos foram realizados no Cercle Culturel de
Royaumont, em Asnières-sur-Oise, França, em 1959, numa reunião que ficou
29
conhecida como Seminário de Royaumont e tornou-se o maior símbolo de todo o
movimento reformador de grande influência internacional, o Movimento da
Matemática Moderna, e também uma das mais conhecidas na História da
evolução curricular recente do ensino da Matemática (GUIMARÃES, 2007, p.22).
Em 1960 foi realizado o Seminário de Dubrovnik, na Iuguslávia. As idéias
estruturalistas dominantes na época, em particular às que se referem à
Matemática e à Psicologia, influenciaram na elaboração de “Um Programa
Moderno de Matemática para o Ensino Secundário”. Em relação à Psicologia, o
trabalho de Jean Piaget assumiu uma significativa visibilidade no Seminário de
Royamount, e foi indício do que mencionou Marshal Stone que presidiu aos
trabalhos do seminário, às pesquisas de Piaget, destacando-as entre as que
deram origem a possibilidades desconhecidas em pedagogia, assim como a
intervenção de Gustave Choquet sobre o ensino dos números e das operações
que seguiu de perto as idéias de Jean Piaget sobre a gênese do número na
criança. (GUIMARÃES, 2007, p. 22)
O Movimento da Matemática Moderna, uma das reformas mais
conhecidas na História da evolução curricular recente do ensino da Matemática,
após esses dois seminários, despertou mudanças nos currículos educacionais em
diversos países, entre eles França, Inglaterra, Estados Unidos, Rússia (antiga
União Soviética), Bélgica e Brasil, entre outros. Em Royamont, foram
estabelecidas as bases do Movimento da Matemática Moderna e a necessidade
da modernização foi justificada por Jean Dieudonné (.Apud. Miorim,1998, p. 109):
Já no século passado se considerava a passagem das
Matemáticas da escola secundária às da universidade como um
salto a um mundo diferente. Com a introdução das Matemáticas
30
modernas, esse fosso tem aumentado muito [...] Recentemente,
têm sido introduzidos nos últimos programas dos três anos da
escola secundária superior (das escolas francesas) os elementos
de cálculo diferencial e integral, de álgebra vetorial e de
Geometria analítica, mas esses temas não são sempre relegados
a um segundo plano, e o interesse se concentra em primeiro lugar
na Geometria pura ensinada, mais ou menos, à maneira de
Euclides, com um pouco de álgebra e de teoria de números. Estou
convencido que o tempo deste “trabalho remediado” já passou e
que deveríamos pensar em uma reforma muito mais profunda, a
menos que se deixe piorar a situação até o ponto de comprometer
seriamente cada progresso científico ulterior. Se eu quiser resumir
em uma frase todo o programa que tenho em mente, tenho de
pronunciar o slogan: Abaixo Euclides!
As palavras pronunciadas por Dieudonné permitem perceber que a
proposta de modernização procurava “revolucionar” o ensino de Matemática.
A Matemática Moderna foi uma reforma que aconteceu em paralelo com
a de uma política de formação que objetivava a modernização econômica. A
reforma industrial foi a pioneira, trazida pelo pós-guerra, após a Rússia lançar o
Sputinik, em outubro de 1957, o que possivelmente também influenciou
mudanças a fim de preparar jovens, melhorando o ensino de Ciências. No caso
da Matemática o grupo Bourbaki fez parte dessas mudanças. De acordo com
Guimarães, a questão central que o grupo deveria pensar era “O que ensinar em
Matemática”, sua resposta então foi que deveria se ensinar Matemática Moderna,
que na concepção bourbakista, existe três idéias que ocupam lugar chave: a
unidade da Matemática, o método axiomático e o conceito de estrutura
Matemática. (GUIMARÃES, 2007, p. 23)
Os estudos matemáticos direcionaram as propostas do Movimento da
Matemática Moderna e tinham como principal objetivo apresentar a Matemática
de maneira axiomática e unificada, em que os elementos de unificação seriam as
31
relações, as estruturas e os conjuntos. As propostas trazidas pelo Movimento
adquiriram força pelas idéias defendidas por Jean Piaget.
O Movimento avançou internacionalmente em 1969, quando a CIEM
organizou seu primeiro Congresso Internacional para o Ensino de Matemática,
cuja idéia era obter uma Matemática que pudesse contribuir mais diretamente
com a ciência, a técnica e a economia moderna. Isso poderia diminuir o
descompasso, ou seja, as divergências entre a Matemática exigida nos estudos
científicos e tecnológicos e a Matemática ensinada nas escolas de nível médio.
No Brasil, diversas informações sobre o Movimento da Matemática
Moderna foram divulgadas com o apoio do Ministério da Educação e Cultura do
Brasil. Assim, as novas tendências apareceram com o Movimento e quem não
aderisse ou se interessasse por elas era considerado desatualizado. A seguir, são
apresentadas as influências desse movimento para o ensino de Matemática no
Brasil.
2.2. Reformas no Ensino da Matemática no Brasil
Para uma melhor compreensão do Movimento da Matemática Moderna
no Brasil, é apresentada a estrutura de reformas anteriores a esse período no
país.
No sistema de ensino brasileiro, duas importantes reformas curriculares
aconteceram na primeira metade do século XX: de Francisco Campos (1931) e a
proposta por Gustavo Capanema (1942).
32
O primeiro programa de ensino da disciplina Matemática no Brasil
desenvolveu-se a partir da Reforma Francisco Campos, “uma primeira tentativa
de estruturar todo o curso secundário nacional e de introduzir nele os princípios
modernizadores da educação” (MIORIM, 1998, p. 93). A discussão da reforma do
ensino secundário iniciou na gestão de Francisco Campos no Ministério da
Educação. O argumento do ministro era que o mundo vivia sob o sinal do
econômico, como já viveu em outros tempos sob o sinal do religioso e do político.
Daí a necessidade de uma reformulação do ensino de forma que os indivíduos se
preparassem técnica e profissionalmente para uma sociedade das profissões.
Segundo Pires (2003), a Reforma Francisco Campos pretendia realizar a
fusão de três campos matemáticos (Aritmética, Álgebra e Geometria) numa única
disciplina, com o objetivo de trabalhá-las de forma articulada e inter-relacionada,
uma vez que os três eram abordados de forma independente e desarticulados,
além de defender a idéia de que o ensino da Geometria dedutiva deveria ser
antecedido de uma abordagem prática da Geometria. O principal protagonista
desse processo foi o educador Euclides Roxo, então professor e diretor do
Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro - considerado um colégio modelo na época -
que compôs o programa pioneiro para a Matemática no Brasil, a partir de suas
leituras do movimento internacional de renovação da disciplina e das experiências
didáticas norte-americanas.
Nesta Reforma, a concepção de currículo foi ampliada para além de uma
listagem de conteúdos a serem ensinados, sem maiores conexões com a
realidade dos estudantes, originando, ainda, uma discussão de âmbito nacional
acerca das orientações didáticas.
33
Mas, foi na gestão do ministro Gustavo Capanema que se promulgou em
9 de abril de 1942, a Lei Orgânica do Ensino Secundário, também conhecida
como Reforma Capanema. Por esta lei foi instituído, no ensino secundário, um
primeiro ciclo de quatro anos de duração, denominado ginasial, e um segundo
ciclo de três anos, denominado colegial. Este último ciclo, que na Reforma
planejada por Francisco Campos apresentava três opções, passou a ter apenas
duas, o curso Clássico e o Científico. Segundo Pavanello (1989) os novos
currículos previstos na Lei Orgânica caracterizavam-se pela predominância do
enciclopedismo, com valorização da cultura geral e humanística.
O ensino de Matemática nos anos 1950 era formulado de acordo com a
proposta de ensino do Colégio Pedro II. O programa era fragmentado, sem
articulação entre os tópicos e muito extenso. As aulas eram fundamentalmente
expositivas, as resoluções de exercícios eram de acordo com modelos e as
demonstrações eram decoradas pelos alunos. Os recursos didáticos eram
limitados.
O currículo privilegiava as disciplinas da área de ciências humanas,
sendo dedicado ao ensino da Matemática, no máximo, três horas semanais. A
maioria dos professores não tinha formação em nível superior. Os licenciados em
Pedagogia, Ciências Sociais, História Natural e Química poderiam lecionar a
disciplina de Matemática.
No Brasil, algumas questões sobre o Ensino de Matemática surgiram a
partir da década de 1950, quando ocorreram os primeiros congressos nacionais
de ensino de Matemática. Em 1955, aconteceu o I Congresso Nacional de Ensino
de Matemática, realizado em Salvador, Bahia, sob uma iniciativa da Faculdade de
34
Filosofia da Universidade da Bahia. Teve como objetivo discutir problemas
relacionados ao ensino da Matemática e contou com a participação de
aproximadamente 100 professores, em grande parte do estado da Bahia, de São
Paulo, Rio Grande do Sul, Espírito Santo, Pernambuco e Rio Grande do Norte.
Foi aprovada uma proposta que buscava unir as várias áreas da Matemática e
extinguir alguns tópicos julgados dispensáveis. As idéias presentes ainda foram
as impostas pelo movimento de modernização do início do século, não
evidenciaram de temas da Matemática Moderna. Os pontos considerados
“modernos” eram os que se referiam ao uso do estudo dirigido em Matemática,
recomendados devido aos bons resultados que vinham apresentando em colégios
de aplicação (MIORIM, 1998, p. 111).
Nesse Congresso, nas conclusões votadas em plenário, foram sugeridos
programas que não fossem rígidos, que pudessem ser adaptados de acordo com
as circunstâncias, condenado-se o que era considerado ensino “excessivamente
abstrato e teórico”, propondo um ensino que enfatizasse as aplicações, “a
conexão entre a Matemática e as outras Ciências” e a “revolução histórica da
Matemática”. A necessidade de uma maior valorização do ensino da Matemática
no secundário expressava-se na resolução aprovada, que propunha a ampliação
da carga horária semanal para quatro aulas no ginásio e cinco no colégio e era
justificada, de um lado, pelo caráter disciplinador do espírito inerente à disciplina
e, de outro pela influência da Matemática no progresso científico em geral
(BURIGO, 1989, p.43).
A Secretaria da Educação, em convênio com a Faculdade de Filosofia da
USP, criou, em 1957, o Colégio de Aplicação, destinado à prática docente dos
35
alunos da Faculdade, permitindo experiências de renovação pedagógica e
pesquisas educacionais. No ano seguinte à criação do colégio, Scipione Di Pierro
Neto foi aprovado em concurso para Coordenador do curso de Matemática do
mesmo.
O II Congresso Nacional foi realizado em 1957, na cidade de Porto Alegre
(RS), e contou com uma maior participação de docentes, comparada ao do I
Congresso. Desta vez estiveram presentes 240 professores. Odila Barros Xavier,
professora de didática e metodologia da Matemática do Instituto Educacional de
Porto Alegre, e Aurora U. P. de Azevedo, professora Fiscal da Escola Nossa
Senhora da Glória, apresentaram o trabalho intitulado “Sugestões para
Programas em Cursos de Aperfeiçoamento de Professores Primários”, baseadas
nas experiências que desenvolveram em cursos de especialização para
professores primários com a proposta de um programa, embasado em Piaget e
Gattegno, que incluía teoria dos conjuntos, correspondência biunívoca,
propriedades dos conjuntos e diferentes sistemas de numeração, que seriam
estudados por meio de sua evolução histórica. Estas seriam as primeiras
sugestões para introduzir temas da Matemática Moderna no primário.
A introdução do estudo das propriedades de diferentes conjuntos
numéricos e estruturas algébricas é sugestão de Ubiratan D´Ambrosio, hoje
mestre e doutor em Matemática, professor emérito da Unicamp e consultor da
UNESCO, que apesar de não ter comparecido ao congresso teve suas idéias
apresentadas pelo professor Benedito Castrucci, autor de vários livros didáticos,
doutor em Ciências Matemáticas pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras
da USP e um dos fundadores da Sociedade Brasileira de Matemática.
36
O professor Osvaldo Sangiorgi, licenciado em Física pela USP, em 1943,
mestre em Lógica pela Universidade de Kansas, nos Estados Unidos, em 1961;
doutor em Matemática pela USP em 1973; e livre-docente pela Escola de
Comunicação e Artes da USP, publicou 84 livros, entre 1954 e 2000, sendo um
dos maiores autores do Movimento da Matemática Moderna. Ele apresentou no II
Congresso Nacional a tese que foi iniciada com a questão “Matemática Clássica
ou Matemática Moderna na elaboração dos programas do ensino secundário?”
Para o professor Sangiorgi, a diferença entre a Matemática
Clássica e a Matemática Moderna residia, sobretudo no fator de
uma “ter por base os elementos simples” e a segunda um “sistema
operatório, isto é, uma série de estruturas (Bourbaki) sobre as
quais se assenta o edifício matemático”. (BURIGO, 1989 p. 46)
Na tese do Major Prof. José Emanuel Barbosa foi defendida que era
fundamental a atualização do ensino. O ensino secundário deveria contribuir para
a aproximação do estudo das ciências com estudante por meio das técnicas e
métodos produtivos e fortes do momento.
Na cidade do Rio de Janeiro, em 1959, foi realizado o III Congresso
Brasileiro do Ensino da Matemática, no qual foram aprovadas propostas que
recomendavam cursos de aperfeiçoamento para os professores do secundário, a
fim de prepará-los para a Matemática Moderna. No evento também dr propôs a
divulgação do movimento nas Faculdades de Filosofia, além de sugerir práticas
no ensino secundário que introduzissem as idéias da Matemática Moderna.
Esses dois últimos congressos, apesar de apresentarem, mesmo que
timidamente, algumas idéias do Movimento da Matemática Moderna, não foram
os responsáveis oficiais para que o Movimento começasse no Brasil.
37
Em 1960, Osvaldo Sangiorgi, entre outros professores da América Latina,
participou de um curso na Universidade de Kansas, nos Estados Unidos, que
buscava difundir as propostas do Movimento da Matemática Moderna.
Fui convidado a participar dessas reuniões, fiquei lá quatro meses,
sabendo que aquele pessoal estava realizando, verificando que o
governo americano tinha uma preocupação que nós aqui quase
nunca temos que é de reciclar os professores (SANGIORGI-
depoimento oral para BURIGO, 1989, p. 104).
Ao retornar ao Brasil, Sangiorgi organizou o primeiro curso de
aperfeiçoamento para professores, no Instituto Mackenzie, em 1961. O objetivo
era iniciar a divulgação das propostas sobre o movimento, que entrara em contato
durante os cursos em que participou nos Estados Unidos. Também participou da
organização desse curso o professor George Springer, renomado matemático
americano da Universidade do Kansas, que teve sua vinda garantida por meio de
um acordo com a NSF. O curso, composto por quatro disciplinas, foi ministrado
por professores da USP, do Mackenzie e também pelo professor George
Springer. Alguns desses alunos foram os primeiros professores a desenvolverem
experiências em termos de Matemática Moderna. (BURIGO, 1989, p. 105)
Ainda neste mesmo ano, ao término do curso, foi fundado o Grupo de
Estudos do Ensino de Matemática (GEEM), em São Paulo. Faziam parte deste
grupo alguns professores do ensino elementar e do secundário, e seu fundador e
presidente foi Osvaldo Sangiorgi. O GEEM tinha como objetivo realizar a
divulgação das propostas do movimento da Matemática Moderna entre um maior
número de professores, por meio de cursos de aperfeiçoamento realizados em
diversas cidades brasileiras, organizados e ministrados pelos seus membros.
(BURIGO,1989, p. 106)
38
O grande impulso, entretanto, o marco decisivo para a
constituição do Movimento da Matemática Moderna no Brasil, que
permitiu a divulgação ampla da nova proposta para além de
círculos restritos de educadores e a realização de experiências
apoiadas numa discussão articulada foi, sem dúvida, a criação do
GEEM (Grupo de Estudos do Ensino da Matemática), em São
Paulo. (BURIGO, 1989, p. 104)
O IV Congresso Nacional de Ensino da Matemática, realizado em 1962,
em Belém, no estado do Pará, apresentou em sua pauta a “Introdução da
Matemática Moderna na Escola Secundária”, cujas propostas apresentadas pelo
GEEM, com trabalhos que tiveram sucesso e propuseram um programa para a
escola secundária, norteados por planos modernizadores que sugeriam temas
que se aproximassem da teoria dos conjuntos e das estruturas algébricas. Maior
ênfase foi dada ao estudo das propriedades das operações, o estudo de
diferentes sistemas numéricos foi recomendado, assim como o estudo das
funções. (BURIGO, 1989, p. 108)
O GEEM coordenou, em 1966, o V Congresso Nacional, no Centro
Técnico da Aeronáutica em São José dos Campos, em São Paulo, voltado para a
Matemática Moderna na escola secundária, unida com os ensinos primário e
universitário, tendo como tema “Matemática Moderna na Escola Secundária:
articulações com o ensino primário e com o ensino secundário”.
Foram realizadas sessões de estudos sobre vários aspectos
relacionados à Matemática Moderna e a seu ensino, aulas-
demonstração sobre temas específicos de primeiro e segundo
graus, comunicações – em sua maior parte de experiências
realizadas com a Matemática Moderna -, exibição de filmes sobre
temas relacionados ao ensino de primeiro e segundo graus e
exposição de material didático para o ensino moderno de
Matemática (MIORIM, 1998, p. 114).
39
O V Congresso foi o primeiro que contou com a presença de matemáticos
estrangeiros: Marshall Stone, dos Estados Unidos, Hector Merklen, do Uruguai,
Helmuth Völker, da Argentina, e George Papy, da Bélgica. Este último,
matemático e professor da Universidade de Bruxelas, Bélgica (BURIGO, 1989, p.
156). A conferência no V Congresso deste renomado representante belga
enfatizou a importância da teoria de conjunto e da escolha adequada de situações
didáticas para sua aprendizagem. A escolha de situações é de grande
importância; elas precisam genuinamente ilustrar os conceitos introduzidos sem
limitar o seu alcance por serem indevidamente especiais. Elas precisam ser
atraentes e interessantes e deixar lugar para elaboração. É dever do professor
introduzir essas situações de modo que os alunos possam responder a elas. Elas
devem ser apresentadas de tal modo que os alunos venham a perceber um fato
essencial a respeito da matemática – que ela tem unidade e estrutura
(MEC/CADES: Anais do V Congresso Brasileiro de Ensino de Matemática, p. 84).
O processo do Movimento ficou mais evidente, devido a sua divulgação
na imprensa que publicava e comentava sobre os cursos oferecidos pelo GEEM,
que sem dúvida foi um dos resultados positivos do Movimento da Matemática
Moderna no Brasil, pois foi o primeiro grupo formado com o objetivo de discutir
Matemática, realizando reuniões que contribuíram com a formação dos
professores daquela época.
O apoio da mídia impressa atuou como força propulsora do
Movimento da Matemática Moderna , incentivando, divulgando e
principalmente levando ao conhecimento do leitor as mudanças
que estavam ocorrendo nos métodos de ensino da Matemática
Moderna liderado pelo GEEM. Aproveitando-se desse apoio, o
GEEM, representado pelo professor Osvaldo Sangiorgi, difundiu
os ideários do Movimento na tentativa de demonstrar para os
leitores que essa reforma no ensino de Matemática era necessária
40
para a melhoria do ensino, impondo mudanças na cultura escolar
(NAKASHIMA, 2007 p. 143).
Apesar de este não ser único, foi o primeiro grupo formado a partir do
evento, outros surgiram, como o Grupo de Estudos de Ensino de Matemática de
Porto Alegre (GEEMPA), o Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da
Matemática de Curitiba (NEDEM) e o Grupo de Estudos e Pesquisas em
Educação Matemática do Rio de Janeiro (GEPEM).
Os livros didáticos publicados a partir da divulgação do Movimento
estavam de acordo com as orientações que foram sugeridas, provocaram a
implantação da Matemática Moderna nas escolas brasileiras. O professor Osvaldo
Sangiorgi publicou, em 1963, o primeiro livro didático para a primeira série
ginasial: “Matemática Curso Moderno” (BURIGO, 1989, p. 109).
A organização da Matemática Moderna baseava-se na teoria dos
conjuntos, nas estruturas Matemáticas e na lógica Matemática.
Esses três elementos foram responsáveis pela “unificação” dos
campos matemáticos, um dos maiores objetivos do movimento.
Para isso enfatizou-se o uso de uma linguagem Matemática
precisa e de justificações Matemáticas rigorosas. Os alunos não
precisam “saber fazer”, mas sim, saber justificar por que faziam. A
teoria dos conjuntos, as propriedades estruturais dos conjuntos,
as relações e funções, tornaram-se temas básicos para o
desenvolvimento dessa proposta. (MIORIM, 1998, p. 114)
A implantação da Matemática Moderna nas escolas, tanto no Brasil
quanto em outros países, foi motivo de grande controvérsia, a começar pelos
cursos do GEEM que, até 1970, apresentavam formalmente os conteúdos da
Matemática Moderna.
As propostas dos cursos do GEEM consistiam em uma iniciativa
que mostrava preocupação com a formação dos professores,
porém não demonstrava tanta atenção à maneira como os
docentes deveriam aplicá-los, sendo, uma proposta baseada na
41
racionalidade técnica, visando ao treinamento. (LIMA, 2006, p.
121).
O trabalho desenvolvido pelo GEEM foi influenciado por Zoltan Dienes,
nascido na Hungria, que fez os seus estudos primários e secundários na França,
e passou depois para a Inglaterra, onde Doutorou em Matemática e em
Psicologia. Ele interessou-se profundamente pelo estudo da formação de
conceitos e os processos do pensamento abstrato envolvendo principalmente o
ensino da Matemática. Tomou parte ativa nas reuniões de Royaumont e
Dubrovnick, que desencadearam o movimento de renovação dos programas de
Matemática no ensino secundário. Porém, ele ultrapassou as recomendações e
sugeriu caminhos para a renovação do ensino da Matemática já nas primeiras
idades escolares, e até nas pré-escolares. Dienes não propôs mudança nos
conteúdos dos programas de ensino, mas na forma como os professores
ensinavam seus alunos, principalmente, nas séries elementares. Ele preocupava-
se com o “como” o conteúdo era ministrado ao aluno (BONAFÈ, s.d., p. 4).
No GEEM, Dienes fez a divulgação de sua metodologia e dos ‘blocos
lógicos’, por meio dos cursos para professores. Seu trabalho foi o esforço mais
importante de desenvolvimento de uma proposta pedagógica consistente com as
descobertas da psicologia piagetiana (BURIGO, 1989, p. 171).
Dienes esteve em São Paulo, em 1971, convidado pelo GEEM. Durante
uma semana participou de cursos para professores primários e secundários. Os
trabalhos desenvolvidos por Dienes foram vistos como uma alternativa contra os
“exageros” cometidos em razão do Movimento da Matemática Moderna.
42
As produções de Papy e de Dienes influenciaram alterações na ênfase
dada ao conteúdo para destacar a Metodologia. Isso contribuiu para uma divisão
no GEEM, acarretando o encerramento das atividades no ano de 1976 e sua total
extinção em 1978. (LIMA, 2006, p. 111-114) Outros motivos que colaboraram
para a divisão do grupo se deram devido às visões políticas e pedagógicas
diferenciadas em seu interior e, até mesmo, pela própria idealização de seus
cursos. Um exemplo dessa divergência voltada à proposta dos materiais de
Zoltan Dienes para o primário foi observada por Soares:
...alguns membros apoiavam estas idéias e outros, apesar de não
rejeitar o trabalho desenvolvido por ele, não via possibilidade, do
ponto de vista prático, de introduzir sua metodologia nas escolas
públicas brasileiras. [...] Sendo que Dienes não propunha
nenhuma mudança radical de conteúdo, mas sim na forma como
esse conteúdo era apresentado aos alunos. Com o desgaste do
Movimento da Matemática Moderna e a divisão no interior do
grupo, o GEEM encerrou suas atividades em 1976, sendo extinto
em 1978. (SOARES, 2001, p.88)
Por volta de 1973, após a publicação do livro de Morris Kline, O Fracasso
da Matemática Moderna, surgiram as mais claras críticas em relação à
Matemática Moderna no Brasil. Os professores da época se sentiram amparados
pelo autor e mostraram seu ponto de vista referente a esse Movimento da
Matemática Moderna.
As críticas multiplicaram-se a partir de 1970, ao se constatar que o
colocado em prática não era um ensino renovado e democrático
de Matemática, preparando para a compreensão da ciência, mas
um ensino formalizado ao extremo, decepado de todo suporte
intuitivo, apresentado a partir de situações artificiais além de ser
bastante seletivo (PIRES, 2000, p. 14).
O professor Elon Lages Lima do IMPA, de acordo com Soares (2001)
afirmou que o uso excessivo da teoria dos conjuntos levaram a uma “conjuntivite”
43
e está sendo prejudicial pelo exagerado desligamento da realidade e por ser
excessivamente moderno” .
Gustave Choquet fez a seguinte declaração:
Estou estarrecido com o que constato no ensino da escola
primária e da secundária. Fui um dos promotores da reforma de
ensino da Matemática, mas o que eu preconizava era
simplesmente uma poda de galhos mortos, atravancadores, e a
introdução de um pouco de álgebra. Pois bem, em suma, os
novos programas e as instruções correspondentes são mais
satisfatórios que os antigos, em que pesem erros do seu
desenvolvimento. Em particular, um ataque contra a Geometria e
contra os recursos da intuição: foi dito aos professores que seria
lastimável que eles estudassem triângulos e que a álgebra linear
substituiria toda a velha Geometria... o resultado é tal que, sem
uma forte reação de base, eu penso que a geração atual de nossa
escola receberá uma formação Matemática que não a prepara
nem para a pesquisa, nem para a utilização da Matemática em
técnicas ou ciências experimentais. (CHOQUET. Apud. SOARES,
2001, p.112)
O professor Sangiorgi também, em artigo publicado no jornal O Estado de
São Paulo, em 1975, reconheceu os erros que foram cometidos e apontou quais
foram os principais efeitos da Matemática Moderna no ensino:
1. Abandono paulatino do salutar hábito de calcular (não sabendo
mais tabuada em plena 5ª. e 6ª. séries!) porque as operações
sobre conjuntos (principalmente com os vazios!) prevalecem
acima de tudo; acrescenta-se ainda o exclusivo e prematuro
uso das maquininhas de calcular, que se tornaram populares
do mesmo modo que brinquedos eletrônicos.
2. Deixa-se de ensinar frações ordinárias e sistema métrico
decimal – de grande importância para toda a vida – para se
aprender, na maioria das vezes incorretamente, a teoria dos
conjuntos, que é extremamente abstrata para a idade que se
encontra o aluno.
3. Não se sabe mais calcular áreas de figuras geométricas planas
muito menos dos corpos sólidos que nos cercam, em troca da
exibição de um rico vocabulário de efeito exterior, como por
exemplo, “transformações geométricas”.
4. Não se resolvem mais problemas elementares – da vida
quotidiana – por causa da invasão de novos símbolos e de
44
abstrações completamente fora da realidade, como: “O
conjunto das partes de um conjunto vazio é um conjunto
vazio?”, proposto em livro de 5ª série (SANGIORGI. Apud.
SOARES, 2001, p. 116).
Anterior às críticas citadas acima, o professor Scipione, no final da
década de 1960, publicou no jornal O Estado de São Paulo, artigo no qual relata o
uso exagerado da simbologia da Lógica Matemática e dos elementos da Teoria
de Conjunto no ensino da Matemática Moderna (NAKASHIMA, 2007, p.135). Este
artigo será explorado no capítulo 3, para contribuir com a análise da visão do
professor Scipione frente ao Movimento da Matemática Moderna.
O modo como se deu o esgotamento do Movimento da Matemática
Moderna, em meados da década de 1970, ainda é escasso na documentação, a
não ser pelos artigos citados anteriormente e pela idéia de que uma das vertentes
desse esgotamento é de caráter interno ao movimento: a fragmentação do
GEEM, fato que não foi documentado. As conjecturas sobre essa fragmentação
foram formadas a partir de depoimentos de membros do grupo, que muitas vezes,
não se aprofundam em seus relatos. Há, também, algumas evidências sobre os
questionamentos de professores sobre a eficiência da proposta do movimento
influenciaram essa divisão no interior do GEEM.
O último texto, publicado nos jornais sobre o Movimento da Matemática
Moderna, foi intitulado “Denunciada na USP a falência da Matemática Moderna”,
editado em O Estado de São Paulo, na data de 12 de abril de 1980. Trata-se de
uma entrevista concedida pela professora Elza Furtado Gomide, do Departamento
de Matemática Pura do Instituto de Matemática da USP, na qual ela afirmou que,
embora a pretensão da Matemática Moderna tenha sido razoável, na tentativa de
45
curar os defeitos da escola tradicional, que dava ênfase aos cálculos
complicados, com perda de tempo na manipulação das frações, expressões
algébricas, entre outros, ocorreu um exagero desastroso nos critérios da adoção,
excesso de entusiasmo “acompanhado de pouco discernimento do que era
realmente importante ministrar, para o real aprendizado dos alunos”
(NAKASHIMA, 2007, p. 108).
Neste capítulo foi apontado, portanto, os principais fatos ocorridos
durante o Movimento da Matemática Moderna, destacando-se os importantes
personagens importantes dessa história. As informações aqui obtidas contribuirão
com o capítulo seguinte, que apresentará o professor Scipione, sua trajetória
didática e editorial e as idéias que defendeu durante esse importante período da
História da Educação Matemática. Compreender o Movimento da Matemática
Moderna auxiliará na análise das escolhas feitas por Scipione como autor de
livros didáticos na mesma época e permitirá que se verifique se ele seguiu alguma
tendência dessa reforma.
46
CAPÍTULO 3
SCIPIONE DI PIERRO NETO
Este terceiro capítulo apresenta o professor Scipione Di Pierro Neto,
algumas de suas realizações profissionais e sua participação no Movimento da
Matemática Moderna. As idéias contidas nesse capítulo devem conduzir a uma
melhor compreensão das escolhas que este professor fez em suas produções
didáticas analisadas nessa pesquisa.
3.1. Biografia
Scipione Di Pierro Neto, nascido em
São Paulo, em 5 de junho de 1926, filho de
Francisco José Di Pierro e Felícia Bifulco Di
Pierrô, cursou o primário no Grupo Escolar
Rocca Dordal – Brás – SP, o ginásio no Colégio
Paulistano até 1944, e no Colégio Anglo Latino,
estudou o Colegial, concluído em 1947.
1
Começou sua vida na Matemática na
antiga Faculdade de Filosofia, Ciência e Letras
da USP, onde estudou os dois primeiros anos
do Curso de Matemática até 1951,
1
A biografia do Professor Scipione Di Pierro Neto foi concedida pela Editora Scipione, por e-mail
encaminhado pela funcionária Danyela Silveira em fevereiro de 2008.
Figura 3.1
Professor Scipione Di Pierro Neto,
foto publicada na Educação
Matemática em
Revista, número 9,
ano 8, abr. 2001, p.5
47
interrompendo o curso, que era diurno e período integral, para se casar e
ministrar de 50 a 60 aulas semanais. Em 1954, retomou o curso de licenciatura
na Pontifícia Universidade Católica onde foi aluno de Abraão de Moraes,
Fernando Furquim de Almeida, Edson Farah, Elza Furtado Gomide e Benedito
Castrucci.
No magistério do estado de São Paulo ingressou em 1955, por meio de
concurso e foi designado, por outro concurso, para dirigir a área de Matemática
do Colégio de Aplicação da USP, criado em 1957, por um convêncio entre a
Secretaria de Educação e a Faculdade de Filosofia da USP. Scipione
permaneceu no Colégio até o final da década de 1970. Esse cargo foi seu
passaporte para a entrada na Universidade de São Paulo, onde passou a
ministrar aulas de Metodologia de Ensino de Matemática para os cursos de
licenciatura.
Scipione foi um importante personagem no Movimento da Matemática
Moderna no Brasil, por ser autor de livros didáticos na época e, também, por
ministrar cursos organizados pelo GEEM, como o que aconteceu em 4 de
outubro de 1971, na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro,
quando falou sobre o “Trabalho dirigido no ensino da Matemática”. (LIMA, 2006,
p. 94)
48
3.2. A participação e o olhar do Professor Scipione Di Pierro
Neto para o Movimento da Matemática Moderna
O professor Scipione concedeu entrevista para Elizabete Zardo Burigo,
que fez parte de sua dissertação de mestrado. A fita que contém essa entrevista
foi cedida por Burigo ao GHEMAT e serviu como fonte para a presente pesquisa,
que contém trechos do depoimento oral dado.
Em 1959 foi desenvolvida uma experiência no Colégio de Aplicação da
USP, coordenado pelo Professor Scipione Di Pierro Neto. A proposta de tal
experiência mantinha o currículo e os programas oficiais da época, a renovação
da proposta era basicamente a dos métodos e processos de ensino com o
objetivo de buscar a integração das disciplinas, tanto nas aulas comuns como
em trabalhos desenvolvidos pelos alunos fora das aulas (BURIGO, 1989, p.
143).
As “classes integradas” foi uma experiência desenvolvida em 1962, de
acordo com o professor Scipione, havia em cada série uma disciplina que era
defendida como o “centro de interesse”. O planejamento das outras disciplinas
partia da elaboração inicial dessa disciplina adotada como a central.
Segundo o professor Scipione, em Matemática, o planejamento era feito
em dois níveis:
Os outros professores faziam um planejamento para atender a
todas as unidades que esse centro de interesses tinha feito.
Como a Matemática sofre muito com isso, é difícil compatibilizar
capitanias hereditárias com o mínimo múltiplo comum (...) então
não foi só por títulos que se fez a integração, se fazia uma
integração por objetivos. Qual era o objetivo? Movimentar esse
tipo de oração mental. Então a gente fazia dois planejamentos;
49
um para atender a esse centro de interesses e um planejamento
de conteúdos de Matemática. E nós nos reunimos uma vez por
semana, os professores de Matemática para auxiliar um ao
outro na coordenação vertical. (DI PIERRO NETO, depoimento
oral, s.d.)
Ainda de acordo com o autor, dentre as idéias propostas pelo
Movimento da Matemática Moderna, o Colégio de Aplicação deu mais destaque
ao uso da linguagem dos conjuntos (DI PIERRO NETO, depoimento oral, 1988).
Foi apresentado que o GEEM foi elemento fundamental para a
introdução do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Os trabalhos
desenvolvidos no Colégio de Aplicação da USP não repercutiram no GEEM, pois
o professor Scipione, que fazia o elo de ligação entre o Colégio de Aplicação e
as atividades desenvolvidas pelo grupo, não era muito ativo no GEEM. E, talvez
por isso, as experiências desenvolvidas no Colégio tenham apresentado as
idéias do Movimento de maneira discreta.
Nós fizemos as coisas com muita moderação. (...) O que
fizemos foi usar um pouco da teoria dos conjuntos, que não tem
nada a ver com o que se pretendeu fazer, por exemplo, (...)
você algebrizar a Geometria. (DI PIERRO NETO, depoimento
oral, s.d.)
Segundo o professor, as idéias que acompanhavam o Movimento eram
“experimentadas” no Colégio de Aplicação, com a intenção de verificar o que
realmente tinha significado para o aluno.
Certa vez nós quisemos saber se aquela conversa de estrutura
Matemática de grupo, se as crianças aprendiam. E, segunda
etapa, se isso tinha algum sentido. Nós chegamos à conclusão
de que eles aprendiam. (...). Então os alunos decoravam a sigla
ANIC (associatividade, elemento neutro, elemento inverso,
comutatividade). (...). Mas isso não significava nada, depois de
50
dois meses aquilo não tinha nenhum significado. Então nós
abandonamos. (...). Nós experimentávamos: não tinha
significado, nós abandonávamos. (DI PIERRO NETO,
depoimento oral, s.d.)
Em 1969, as experiências do Colégio de Aplicação foram interrompidas
em decorrência de conflitos internos, ocasionados basicamente em
conseqüência da repressão ao movimento estudantil da época (BURIGO, 1989,
p. 145).
A participação do professor Scipione no Movimento da Matemática
Moderna no Brasil pode ser confirmada em artigos que publicou e notícias nas
quais apareceu em jornais da época.
Em 1969, Scipione escreveu texto para o jornal O Estado de São Paulo
intitulado “A Matemática na Escola Moderna”. No texto, o autor apresenta as
dificuldades dos pais dos alunos em entender a Matemática ensinada aos seus
filhos nos ensinos primário e secundário e apresenta o depoimento do pai de um
aluno:
O senhor sabe professor, eu acompanho as lições do meu filho
em Português, Geografia, História e até em Ciências, mas de
“Matemática Moderna” eu não entendo. No meu tempo, tudo era
diferente. Hoje está tudo diferente. Hoje está tão mudado;
conjuntos e mais conjuntos, estruturas e não sei o quê. Eu não
consigo acompanhar mais. Eu acho que meu filho não entende
bem essa Matemática porque na Escola Primária ensinaram-lhe
a “antiga”. Já minha filhinha menor que está no primário sabe
tudo sobre os conjuntos. É bem verdade que outro dia ela não
sabia fazer uma continha de dividir, mas acho que é porque ela
não sabe tabuada. De resto ela vai indo muito bem em
Matemática. Tem notas ótimas. (DI PIERRO NETO, 1969)
A partir deste depoimento, o professor Scipione afirmou, em 1969, que
todo professor, embora já tenha ouvido esse discurso, não tem uma boa
51
explicação para o problema da Matemática atual. O autor disse também que não
pretendia responder sobre esse problema para os pais ou para os responsáveis
pela escola, pois sua intenção era levantar para análise alguns problemas que
estavam diretamente ligados ao assunto, ensinar Matemática Moderna, e iniciou
falando sobre a interpretação dada a esse termo:
Fala-se em ‘Matemática Moderna’ como se existisse uma ‘nova’
Matemática que superou a ‘antiga’ e que por isso deixou de lado
como imprestável e obsoleta. Os leigos (e entre eles permitam-
me colocar aqueles que apenas estudaram há algum tempo na
escola secundária ou talvez um pouco mais) formaram a idéia de
que esta ‘Matemática Moderna’ é contingente essencial e
indispensável às modernas conquistas da civilização,
(cibernética, computadores astronáutica, etc) e que uma
simbologia de flechas simples, flechas duplas, contra flechas,
letras AA viradas de cabeça para baixo, letras EE de marcha à
ré, cortadas ou não por um traço, são os legítimos
representantes da ‘Matemática Moderna’, e pior do que isso, que
um quadradinho, uma cebolinha ou um rabanete devem estar no
lugar onde deveria estar a incógnita, senão a Matemática é
‘antiga’ (DI PIERRO NETO, 1969) .
O autor continuou sua análise, afirmando que é lamentável que alguns
excelentes professores, talvez despreparados, sentiram-se obrigados a ensinar a
Matemática chamada Moderna, para não serem considerados desatualizados e
enfatizou os riscos que isso poderia causar:
O lamentável da História é que alguns autodidatas – via de regra
excelentes professores de Matemática – e parte dos professores
primários, ficaram sujeitos a essas idéias sem possuírem os
elementos necessários para a triagem indispensável e se viram
face a opção muitas vezes dolorosa: ou adotar os procedimentos
sob a forma que os conseguir entender, ou correr o risco de ser
considerado ultrapassado. Apenas o esforço sério e honesto
destes mesmos professores, freqüentando cursos de férias,
estudando, lendo, tem superado dificuldades maiores, mas
também não se pode afirmar que essas dificuldades estão
totalmente superadas (DI PIERRO NETO, 1969).
52
Para Scipione, a modernização da Matemática poderia acontecer, mas
seria em longuíssimo prazo. Destacou que o estudo de algumas operações com
conjuntos e o uso de alguns símbolos da Lógica Matemática devem servir como
ferramentas auxiliares para o professor de Matemática do ensino secundário e
atentou que os alunos deveriam compreender que o uso desses elementos eram
auxiliares importantes na comunicação com a Matemática e não a própria
Matemática.
Em seu texto apontou, ainda, o risco de se ensinar “Matemática
Moderna” no ensino primário ao dizer que nesta fase a criança está ingressando
no estágio das operações concretas, um conceito da fase lógico formal, segundo
Piaget, e ensinar o conteúdo matemático de modo formal, pode estar acima do
nível mental da criança.
Penso que se deve verificar o que importa antes aos objetivos da
Escola Primária: respeitar as estruturas mentais das crianças ou
os rigores dos conceitos matemáticos.
A mim não padece dúvida que será sempre piagetiano realizar o
aperfeiçoamento dos conceitos que a criança adquire nas
experiências naturais, até que, no momento oportuno, se formará
o conceito matemático rigoroso (DI PIERRO NETO, 1969).
O autor considera como um encargo de sua profissão – professor –
encontrar em Piaget uma razão plausível para fundamentar o emprego das
estruturas algébricas na escola secundária, principalmente no primeiro ciclo.
Observa que a idade mental do aluno é quem vai determinar qual o aprendizado
que lhe deve ser proporcionado e as estruturas Matemáticas só terão sentido
para o estudante, como visão de conjunto, a partir do conhecimento ao menos
razoável dos campos numéricos e das operações que podem definí-los.
53
Destacou, ainda, que durante seu trabalho, o professor busca a
sensibilidade sobre a noção de conjuntos numéricos e que as ampliações
sucessivas dos campos numéricos, a partir da necessidade de realizar outras
operações, constituem inclusive objetivo específico no ensino da Matemática. Tal
objetivo, se atingido, ocorrerá no final do curso colegial e será raro o aluno
adquirir essa sensibilidade sobre o campo real
(DI PIERRO NETO, 1969).
É
provável que muitos dos argumentos usados pelo professor Scipione nesse
artigo sejam baseados nas experiências realizadas no Colégio de Aplicação da
USP.
Em seu depoimento à Burigo, o professor Scipione fez, de certa
maneira, uma avaliação sobre o que teria sido o Movimento da Matemática
Moderna. Apontou que algumas das idéias foram mal interpretadas e a
amplitude com que era divulgado o Movimento pode ter provocado um
“modismo”: “O que aconteceu? Era moda. E quem não seguisse ou quem não se
entusiasmasse era considerado ultrapassado”. (DI PIERRO NETO, depoimento
oral, s.d.)
O professor ousou, ainda, chamar o Movimento da Matemática Moderna
de trator, que privilegiava a Álgebra e relegava a um segundo plano a exploração
do espaço segundo a tradição euclidiana e a omissão de cursos ministrados
experimentalmente por F. Papy em alguns estados brasileiros, onde a
algebrização da geometria através de idéias que eram fundamentas numa
álgebra vetorial foi publicada e recomendada.
54
Scipione não conseguiu esclarecer porque o Movimento não vingou,
pois ficou em dúvida se por inconsistência dos próprios cursos ou pela falta de
adequação e preparação dos professores para tanto. Talvez se houvesse um
programa oficial que orientasse de maneira pontual o seguimento dos cursos
ginasiais e colegiais e situassem os professores sobre o papel que deveriam
desempenhar em sala de aula, as idéias propostas pelo Movimento poderiam ser
melhor implementadas, o que poderia facilitar a avaliação desse Movimento para
o ensino de Matemática.
Um dos pontos positivos do Movimento, segundo o professor Scipione,
foi a formação de grupos de estudos para o Ensino de Matemática e o
entusiasmo dos professores em buscar formação: “Os professores se
entusiasmaram. Muitos estudaram mais. Muitos se dedicaram a fazer pós-
graduação, com o desenvolvimento dos cursos de pós-graduação”. (DI PIERRO
NETO, depoimento oral, s.d.)
O que certamente incomodou Scipione nas propostas do Movimento da
Matemática Moderna, de acordo com seus depoimentos, foi o abandono da
descoberta ou redescoberta do conhecimento matemático, pelos processos
indutivos do reconhecimento da realidade e a resolução de novos problemas em
que a participação do aprendiz deve ter posição privilegiada, pois trata da
essência do pensamento matemático produtivo.
Avaliou, também, que não houve dosagem entre o os conteúdos
acessíveis aos professores e às crianças:
E nós chegamos à conclusão de que essas coisas eram bobagens
porque o que se podia utilizar nas atividades de Matemática
55
aquelas propriedades que faziam parte da estrutura de grupo, mas
falar em estrutura matemática de grupo, a estrutura matemática
pra nós, professores e falar para as crianças tem uma distância
enorme. (DI PIERRO NETO, depoimento oral, s.d.)
Essa observação de Scipione está de acordo com uma que aparece nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), publicado em 1998, onde se faz uma
breve análise da trajetória das reformas curriculares, principalmente ao
Movimento da Matemática Moderna, como uma via de acesso vantajosa para o
pensamento científico e tecnológico, por meio da aproximação da Matemática
desenvolvida na escola com a vista pelos estudiosos e pesquisadores. É
avaliado como o maior problema do Movimento que: “o que se propunha estava
fora do alcance dos alunos, em especial das séries iniciais do ensino
fundamental”. (BRASIL, 1998, p. 19)
3.3. A sua Tese de Doutorado
Um dos primeiros trabalhos sobre Educação Matemática defendido no
Brasil foi a tese de doutorado do professor Scipione, concluída na USP, em
1973, sob o título de Contribuição ao ensino da Geometria elementar. O tema
escolhido foi o das deficiências no ensino de Geometria, que tradicionalmente,
seguiu o modelo axiomático euclidiano, segundo análise feita pelo próprio autor
em algumas obras didáticas, nos trechos em que introduziu a Geometria ao nível
dos 12,5 – 13 anos de idade. As questões de pesquisa são levantadas para
56
verificar o nível de aprendizagem de Geometria atingido pelo aluno ao final do 1º
grau.
2
1) Quais os objetivos do ensino da Geometria?
2) Que conteúdos devem ser desenvolvidos para se atingir aqueles
objetivos?
3) Quando os conteúdos elencados anteriormente devem ser
introduzidos?
Para responder a estas questões, Scipione analisou a evolução da
aprendizagem da Geometria na escola fundamental, sob a visão das estruturas
operatórias da inteligência, baseadas em Piaget e orientada pela Dra. Amélia
Americano Domingues de Castro. Para a formulação dos objetivos do ensino da
Geometria realizou cinco levantamentos que denominou de pesquisas.
A primeira pesquisa dos prováveis objetivos foi levantada junto a 13
professores de Matemática do Colégio de Aplicação da USP, coordenados pelo
autor. O instrumento número 1
o
para a realização do trabalho foi considerado
pelo grupo como provisório e deveria ou poderia servir como base para
posteriores investigações. A relação provisória dos prováveis objetivos da
geometria, ao nível do curso ginasial foi:
1. Desenvolver a capacidade de pensar e o raciocínio
lógico do aluno.
2. Familiarizá-lo com o estudo das figuras geométricas.
2
De acordo com a legislação vigente na época, o aluno devia concluir o 1º grau com 14 anos de
idade.
57
3. Possibilitar a aquisição de técnicas e habilidades
fundamentais com as figuras geométricas.
4. Possibilitar o entendimento e a fixação de conceitos.
5. Levá-lo a entender o que seja um modelo matemático.
6. Movimentar e desenvolver operações mentais.
7. Desenvolver a capacidade de transferir aprendizagens.
8. Construir as etapas da abstração.
9. Desenvolver e aperfeiçoar a visão espacial do aluno
10. Mostrar que a Matemática é vital e suas aplicações
estão ligadas aos problemas do cotidiano. (DI PIERRO
NETO, 1973, p. 28)
A segunda pesquisa foi obtida através de estudos realizados por quatro
grupos de licenciandos em Matemática, os grupos foram divididos da seguinte
maneira:
1º Grupo: Alunos do 4º ano da seção de Matemática da USP – diurno;
2º Grupo: Alunos do 4º ano da seção de Matemática da USP – noturno;
3º Grupo: Alunos do 4º ano da seção de Matemática da FFCL – São
Bento da PUC.
Cada grupo foi dividido em equipes com 4 ou 5 componentes, sendo que
em cada equipe deveria ter pelo menos dois componentes que exercessem o
magistério de Matemática há no mínimo dois anos.
O instrumento número 2 foi resultado dessa segunda pesquisa:
PROVÁVEIS OBJETIVOS DA GEOMETRIA AO NÍVEL
DAS CLASSES TERMINAIS DO CURSO DE 1º GRAU.
A) Estudo sistemático das propriedades das figuras
geométricas.
B) Aquisição de técnicas e habilidades fundamentais com
as figuras geométricas.
58
C) Desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico.
D) Fornecer elementos teóricos para estudos posteriores.
E) Dar ao aluno a noção de dimensão.
F) Desenvolvimento de um senso de organização.
G) Desenvolvimento da capacidade de transferir
aprendizagens (aplicação de conhecimentos adquiridos
na solução de situações problema).
H) Fixação de conceitos.
I) Organização do raciocínio lógico do aluno.
J) Mostrar, ao aluno, uma sistematização lógica na
Matemática.
K) Mostrar, rudimentarmente, ao aluno, aplicações da
Matemática à resolução de problemas do cotidiano.
L) Não tem um fim em si mesmo, sendo apenas um
instrumento para outros campos da Matemática.
M) Movimentar e desenvolver operações mentais
(observar, reconhecer, relacionar, comparar, levantar
hipóteses, sintetizar, analisar, concluir,...).
N) Proporcionar ao aluno a construção das etapas de
abstração.
O) Mostrar que a linguagem matemática é tradução fiel do
pensamento.
P) Dar idéia de um modelo matemático.
Q) Desenvolver a capacidade de expressão lógica. (DI
PIERRO NETO, 1973, p. 29-30)
A terceira pesquisa foi obtida a partir da segunda, por meio da opinião
de 300 professores de Matemática de São Paulo que os apresentaram numa
ordem crescente de importância. Os objetivos que, segundo o autor,
prevaleceram foram, em ordem:
C) Desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico.
M) Movimentar e desenvolver operações mentais.
I) Organização do raciocínio lógico do aluno.
B) Aquisição de técnicas e habilidades fundamentais com as
figuras geométricas.
59
G) Desenvolvimento da capacidade de transferir aprendizagens.
(DI PIERRO NETO, 1973, p. 32).
A quarta pesquisa consistiu no levantamento dos conhecimentos e
comportamentos necessários para atingir os objetivos os quais foram traduzidos
em testes. A elaboração dos testes deveria fornecer um diagnóstico para análise
e deveria obedecer aos seguintes critérios: nível e grau de dificuldade (fácil,
média e difícil), e deveria ainda verificar: 1) conceitos, 2) conceitos e técnicas, 3)
raciocínio lógico e operações mentais, 4) raciocínio lógico, operações mentais e
transferências de aprendizagem.
O último estudo consistiu na aplicação dos testes para se verificar o
alcance dos objetivos por parte dos alunos concluintes do 1º grau e foram
aplicados em alunos de 8ª séries dos cursos de 1º grau, em outubro de 1972, e
em alunos de 1ª série dos cursos de 2º grau, na mesma época, a fim de verificar
os conhecimentos essenciais que os alunos adquiriram até aquela data, ou até o
término da 8ª série do 1º Grau.
Quanto à finalização da pesquisa, esta revelou que o aluno pouco ou
quase nada sabia de Geometria ao concluir o 1º grau. O menor desempenho se
deu em termos de domínio de técnicas e habilidades; o pior, a transferência de
conhecimentos.
Para o autor não se poderia introduzir a Geometria a partir da 7ª série,
como era proposta na época, nas séries anteriores teriam suportes eficientes
para uma melhor compreensão da disciplina por parte dos alunos. E sugeriu que
60
fossem oferecidas novas opções aos agentes desse trabalho, uma vez que
considerou deficiente a preparação acadêmica.
As conclusões do autor sobre os resultados obtidos foram:
Primeira Conclusão
- O rendimento da aprendizagem da Geometria nas escolas do
primeiro grau se situa em níveis muito insatisfatórios. Pode-se
bem afirmar que esses níveis são irrisórios.
Segunda Conclusão
- Mesmo sob a pressão das exigências do curso de segundo
grau, o conhecimento da Geometria é irrisório ao final do
primeiro ano colegial.
Terceira Conclusão
- Partes essenciais de uma programação bem modesta em
cursos de Geometria não são aprendidas pelos alunos e
provavelmente nem mesmo são examinadas.
(DI PIERRO NETO, 1973, p. 54, 55)
A pesquisa mostrou o que ocorria com o ensino da Geometria, na
época, mas não apontou quais os elementos determinantes das causas de tais
ocorrências.
O autor conjecturou como causas para a produção de resultados
decepcionantes a falta de estrutura das escolas, a deficiência dos currículos
escolares, o despreparo dos professores, os desinteresses dos alunos, os
métodos desenvolvidos e provavelmente outras. Para Scipione, se os problemas
dos métodos e das técnicas fossem resolvidos, modificar-se-iam o interesse dos
alunos e o preparo dos professores poderia ser dirigido segundo uma motivação
eficiente, vinda de especialistas em currículos. Porém, o autor diz não poder
61
afirmar que a melhora das técnicas e dos métodos melhoraria a estrutura das
escolas. (DI PIERRO NETO, 1973, p. 55)
Apesar de o autor deixar claro que o objetivo de sua pesquisa era o de
identificar o problema no ensino da Geometria e não o de apresentar soluções,
ele julgou correto apresentar sugestões implícitas às considerações feitas:
Quando nos deparamos com resultados tão pobres como os que
foram obtidos na pesquisa, a serem eles verdadeiros ou mesmo
que apenas se aproximem da verdade, parece-nos que se
devem procurar alternativas.
Quando os estragos do pseudo formalismo arrefecem o ânimo
dos professores e alunos, conduzindo a tão pouco, somos
obrigados a rever tímidas incursões no campo indicado por
Piaget e reestruturado por Gattegno, para propor modificações
maiores do que as incipientemente tentadas até aqui eliminando
algumas demonstrações, no capítulo, das congruências, em
favor da intuição e da redescoberta, para, uma visão atual que
atenda às etapas do desenvolvimento mental, oferecer ao pré
adolescente a oportunidade de desenvolver a capacidade de
criar e descobrir (...)
Desse modo, longe de oferecer soluções prontas e acabadas,
estaremos possibilitando a aprendizagem através de ações
reversíveis, isto é, de operações, possibilitando a assimilação e a
acomodação dos novos objetos aos esquemas do sujeito. (DI
PIERRO NETO, 1973, p. 58-59)
A escola primária antiga trabalhou em Geometria, quase que
exclusivamente com problemas métricos, os quais segundo Di Pierro Neto
(1973), tem pouco ou nenhum valor do ponto de vista da construção da base
necessária para a Geometria, além da maneira como são apresentados esses
problemas, que não destacam a noção de relação entre duas grandezas.
O autor afirmou que:
Se o aluno for levado a trabalhar eficientemente com figuras,
construindo conceitos por semelhanças e diferenças,
estabelecendo relações no campo da Geometria, no período dos
7 ao 11 anos, terá eliminado um fator altamente desfavorável
62
para enfrentar a matéria, isto é, a violenta sucessão de fatos
novos – ainda hoje apresentados por volta dos 12 – 13 anos de
idade – que se superpõem um ao outro em um curto intervalo de
tempo, para um indivíduo sem prontidão para o problema....
... A segunda parte da escola de primeiro grau, a que recebe o
nome de pré-adolescente, mal saído da fase das operações
concretas, aos 12 anos de idade, terá elementos para iniciar a
construção do rigor lógico, mesmo que não o imponha a
princípio.
O estudo da Geometria não deve sofrer solução de
continuidade. Se é certo que não existem obstáculos separando
a etapa das operações concretas das formais, será lógico que
não se estabeleça um compartimento para o estudo da
Geometria, definido pela idade cronológica como tem acontecido.
O que se deve respeitar são os níveis de tratamento do problema
em função dos níveis da idade mental. (DI PIERRO NETO, 1973,
p. 62)
Para o autor esta era uma questão importante, na qual se desejava
obter o rigor lógico esperado pelos psicólogos e exigido pelos matemáticos, cuja
solução devia ser proposta pelos responsáveis pela Matemática e pela didática
da Matemática.
As conclusões do autor sobre o conhecimento geométrico dos alunos,
ao concluírem o 1º grau, serão levadas em conta para analisar a abordagem
dada a Geometria em sua coleção para o Ensino Médio, que o aluno pouco ou
quase nada sabia de Geometria ao concluir o 1º grau, mesmo a coleção
analisada sendo anterior à data de sua tese, o autor pode ter feito o livro
procurando atender algumas de suas preocupações que são melhor exploradas
no trabalho de doutorado. Em algumas manifestações, como a do artigo
publicado no jornal O Estado de São Paulo, o professor Scipione mostra-se
preocupado com os métodos de ensino e com as implicações do Movimento da
Matemática Moderna estava chegando nas práticas de sala de aula, o autor cita
inclusive uma preocupação com o privilégio dado à Àlgebra e um provável
63
esquecimento da exploração do espaço e do uso de atividades experimentais.
Teria o autor em seus livros para o colegial deixado sinais dessa preocupação?
A forma como a geometria foi abordada em seus livros permitiria ao professor
que pensasse nos métodos de ensino que estava utilizando? Apesar destas não
serem as questões centrais dessa pesquisa, acredita-se que o estudo
apresentado possa contribuir para as possíveis respostas.
3.3. Sobre suas produções didáticas
As produções didáticas sobre Matemática do professor Scipione
começaram em 1968, com quatro volumes para os atuais 6º ao 9º ano do Ensino
Fundamental, alunos dos 11 aos 14 anos de idade. A Coleção Curso Colegial
Moderno sucedeu essa primeira talvez com o objetivo de dar continuidade, no
colegial, a forma como abordou os conteúdos nas séries anteriores. Seguiram-se
muitos outros trabalhos na mesma linha.
A Editora Scipione foi fundada por ele na década de 1970, com o nome
SCIPIONE AUTORES E EDITORES
, que dirigiu por 10 anos e editou seus próprios
livros. A editora, mais tarde, foi comprada pelo Grupo Ática. Em 2005, o
professor Di Pierro Neto era um dos mais antigos autores em atividade. Na PUC
de São Paulo foi professor titular, aprovado em concurso do Departamento de
Matemática, onde lecionou até 2005, ano de seu falecimento.
As obras que produziu e foram publicadas são:
64
1) Matemática Para a Escola Moderna – IBEP (Instituto Brasileiro de Edições
Pedagógicas) 4 volumes: 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do Curso Ginasial – 1968 –
São Paulo;
2) Curso Colegial Moderno – IBEP (Instituto Brasileiro de Edições
Pedagógicas) 3 volumes: 1ª, 2ª, 3ª séries do Curso Colegial – 1968 – São
Paulo (co-autores: Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa);
3) Matemática na Escola Renovada – Saraiva Livreiros e Editores S/A – 4
volumes: 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do Curso Ginasial – 1970 – São Paulo;
4) Matemática Passo a Passo – Scipione Autores Editores Ltda – 4
volumes: 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do 1º grau – 1974 – São Paulo (co-autora:
Maria Cândida Di Pierro);
5) Matemática na Escola Renovada – Saraiva Livreiros e Editores S/A – 3
volumes: 1º, 2º e 3º anos do Curso Colegial – 1975 – São Paulo (co-
autora: Célia Contin Góes);
6) Matemática – Saraiva Livreiros e Editores S/A – 4 volumes: 5ª, 6ª, 7ª e 8ª
séries do 1º grau (co-autores: Magda Teresinha Angelo, Edson do Carmo
e Lilia Maria Faccio) – 1979;
7) Matemática, Conceitos e Operações – Saraiva Livreiros Editores S/A – 4
volumes: 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do 1º grau – 1982 – São Paulo;
8) Módulos Instrucionais de Matemática – Scipione Autores Editores Ltda –
24 fascículos para os Cursos Supletivos de 1º grau do Ministério de
Educação e Cultura – 1982;
65
9) Desenho Geométrico – Editora Scipione Ltda – 4 volumes: 5ª, 6ª, 7ª e 8ª
séries do 1º grau – 1990 – São Paulo (co-autoras: Cecília Fujiko Karregai
e Elisabeth Teixeira Lopes);
10) Matemática – Curso Fundamental – Editora Scipione Ltda – 3 volumes: 1º,
2º e 3º Colegial – 2º grau – 1990 – São Paulo (co-autora: Nilze Silveira de
Almeida);
11) Matemática, Conceitos & Histórias (I) – Editora Scipione Ltda – 4 volumes:
5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do 1º grau – 1992 – São Paulo;
12) Matemática, Conceitos & Histórias (II) – Editora Scipione Ltda – 4
volumes: 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do 1º grau – 1995 – São Paulo.
A segunda obra da lista das produções do professor Scipione foi a
escolhida para ser analisada neste trabalho. Isto se deveu por se tratar da
primeira coleção publicada para o ensino colegial editado após a divulgação das
idéias do Movimento da Matemática Moderna.
O estudo sobre a trajetória do professor Scipione, durante a Matemática
Moderna e seus trabalhos envolvendo a Geometria são importantes por oferecer
subsídio à análise do ensino da Geometria no Movimento, exposto no capítulo
seguinte, inclusive contando com pesquisas realizadas pelo próprio Scipione e
visa a fechar os aspectos metodológicos que conduzirão à conclusão deste
estudo que analisa a Geometria abordada na Coleção Curso Colegial Moderno.
66
CAPÍTULO 4
O ENSINO DA GEOMETRIA
4.1) O ensino da Geometria antes do Movimento da Matemática
Moderna, de acordo com a análise de Scipione em sua tese de
doutorado
O professor Scipione em sua tese de doutorado, explicitada no capítulo
anterior, analisou alguns dos livros didáticos que, até a década de 1960,
abordaram a Geometria como um conjunto de axiomas com a pretensão de
fundamentar o curso de Geometria
(
DI PIERRO NETO, 1973).
O Ensino da Geometria, antes de se falar em reformas no Ensino de
Matemática, era de acordo com Os Elementos de Euclides, que apresentava a
Geometria de modo dedutivo. A maneira como o sistema geométrico foi
apresentado por Euclides nos livros que formam os Elementos, foi considerado "a
própria" Geometria. Não havia outra maneira disponível e podia ser usada no
cotidiano sem objeções visíveis.
Os Elementos de Euclides foram os fundamentos utilizados no ensino de
Geometria até o início do século XX, propiciando sua primeira discussão
sistemática. Também tiveram influência na história, tanto pelo seu método quanto
pelo seu conteúdo matemático. O método euclidiano consiste em assumir um
pequeno conjunto de axiomas intuitivos e, então, provar várias outras proposições
(teoremas) a partir desses axiomas.
67
Neste capítulo, as proposições de Euclides são apresentadas conforme
análise feita pelo professor Scipione, em sua tese e, posteriormente, as
tendências deixadas pelo Movimento da Matemática Moderna no ensino da
Geometria.
As propriedades dos objetos matemáticos eram deduzidas por Euclides a
partir de um conjunto de axiomas, os quais o professor Scipione (1973) destaca
em sua tese, justificando que os Elementos de Euclides utilizam o termo
“produzida” ao invés de traçada ou determinada, assim como “produzida” ao
invés de prolongada”. (DI PIERRO NETO, 1973, p. 19)
I. “Uma linha reta pode ser produzida de um ponto qualquer a outro ponto
qualquer”.
II. “Uma linha reta finita pode ser produzida de qualquer tamanho em uma
linha reta.”
III.
“
Um círculo pode ser descrito com qualquer centro a qualquer distância
daquele centro.”
IV. “Todos os ângulos retos são iguais.”
V.
“Se uma linha reta (t) encontra duas outras linhas retas (r e s), de modo a
fazer dois ângulos internos (α e β) de um lado da reta menores que dois
ângulos retos, as outras linhas (r e s), se encontrarão, se produzidas no
lado no qual os ângulos são menores que dois ângulos retos”.
Figura 4.1. Ilustração do Postulado V de Euclides
68
Este axioma ficou conhecido como “Postulado de Euclides” ou “Postulado
das paralelas” e foi causa de muita discussão para os matemáticos:
O postulado de Euclides é uma evidência de tipo diferente de
outras evidências geométricas e impõe-se com menor força de
convicção, razão pela qual o genial Euclides, conforme se verifica
procurou se utilizar deste postulado o menos possível
demonstrando o maior número de propriedades sem o seu apoio.
Durante mais de dois mil anos inúmeros matemáticos tentaram
a demonstração desse postulado e os insucessos começaram a
tornar claro que o mesmo deve ser indemonstrável concluiu-se que
é necessário aceita-lo sem demonstração ou admitir um postulado
equivalente. Gauss em 1793, e outros matemáticos famosos
provaram a impossibilidade da demonstração do postulado de
Euclides. (GALANTE. Apud. DI PIERRO NETO, 1973, p. 12.)
Os postulados, de maneira geral, tinham seus enunciados em diversos
livros didáticos como no de Osvaldo Marcondes:
Postulados da reta
1º) A reta é ilimitada nos dois sentidos, isto é, não tem origem e
nem extremidades.
2º) A reta tem infinitos pontos.
3º.) Dois pontos distintos determinam uma única reta.
Postulados do plano
1º) O plano é uma superfície ilimitada que divide o espaço em
duas regiões opostas.
2º) Se uma reta tem dois pontos situados num plano ela está
inteiramente contida nesse plano.
3º) Três pontos não alinhados determinam um único plano.
4º) Toda reta de um plano divide-o em duas regiões opostas
denominadas semi-planos.
(MARCONDES. Apud. DI PIERRO NETO, 1973, p. 317)
69
A tradição euclidiana conduziu diversos autores a formas axiomáticas, o
que gerou o risco de não se aproveitar os recursos disponíveis aos professores e
alunos: o poder criador e descobridor dos jovens que ingressam na etapa das
operações formais, que segundo Piaget esta unidade de conduta se encontra no
período de 11-12 a 14-15 anos, onde o sujeito começa a se desligar do concreto e
a situar o real num conjunto de transformações possíveis. Esta última
descentralização fundamental, que se cumpre ao término da infância prepara o
adolescente, onde o caráter principal é, sem dúvida, a liberação do concreto em
proveito de interesses orientados. (DI PIERRO NETO, 1973, p. 13)
De acordo com o professor Scipione na idade dos 11 aos 15 anos, o aluno
deveria ser conduzido à etapa das operações formais, a partir de estratégias que
despertassem sua critativdade e curiosidade, porém como os livros didáticos
seguiam os axiomas de Euclides, tal processo criativo e descobridor poderia ser
ignorado.
A seguir a apresentação das discussões sobre o ensino da Geometria
durante o Movimento da Matemática Moderna pretende contribuir para a análise
das escolhas do professor Scipione, levando-se em conta as preocupações
apresentadas em sua tese.
70
4.2) Algumas discussões sobre o ensino da Geometria durante o
Movimento da Matemática Moderna
As idéias defendidas pelo Movimento da Matemática Moderna
valorizavam a Álgebra, pois, em linhas gerais, a proposta era a unificação da
Matemática a partir das estruturas, em particular, das algébricas. Assim, a
abordagem para a Geometria e para o ensino da Geometria seria por meio das
estruturas algébricas.
Durante o Movimento da Matemática Moderna, em relação ao ensino da
Geometria, identificou-se nas discussões nos Congressos Internacionais, de
acordo com a análise dos textos componentes de seus três posicionamentos
distintos: um que propõe o desenvolvimento pelo estudo das transformações
geométricas, outro pelo estudo dos espaços vetoriais e, um terceiro, que propõe
modificações nos axiomas de Euclides. É a partir desses posicionamentos que se
pretende verificar qual a escolha do professor Scipione e co-autores para a
Coleção Curso Colegial Moderno.
O primeiro posicionamento sugere que o ensino da Geometria seja
desenvolvido por meio das transformações geométricas. É uma abordagem que
possibilita que a Geometria fosse abordada pelas estruturas algébricas, idéia
central do Movimento da Matemática Moderna. As transformações geométricas
teriam o papel de inserir a Geometria na estrutura matemática como um todo, o
que encerraria, por exemplo, a separação da Álgebra e da Geometria.
71
O estudo da Geometria pelos espaços vetoriais é ligado a ênfase do rigor
e à linguagem de conjuntos e das estruturas matemáticas, como base para a
unidade Matemática.
O I Congresso Nacional não apresentou discussão específica sobre o
ensino da Geometria. Na ocasião, aprovou-se um Programa de Matemática no
Curso Secundário, sendo que a Geometria constante da terceira e quarta séries
do curso ginasial e da segunda e terceiras séries do curso colegial. A proposta do
ensino essa disciplina baseava-se na Geometria Euclidiana, e no ginásio
desenvolvia-se a Geometria Plana, e no colégio, a Espacial e a Analítica. Esta
divisão não apresentou mudança significativa em relação à proposta anterior.
Algumas discussões, que serão apresentadas a seguir, sobre o ensino da
Geometria aconteceram no II Congresso Nacional, realizado em Porto Alegre, Rio
Grande do Sul, em 1957. Neste Congresso, a subcomissão do Ensino Secundário,
presidida por Roberto Peixoto, apresentou duas teses: A primeira foi dividida em
dois capítulos: “O ensino da Geometria Dedutiva”, do professor Antônio Rodrigues,
e “O Ensino da Geometria Dedutiva na Escola Secundária”, da professora Martha
Blauth Menezes. O professor Benedito Castrucci apresentou a segunda tese com
o título “Sobre o Ensino da Geometria no Ensino Secundário”.
A argumentação do professor Antônio Rodrigues, catedrático de
Geometria da Faculdade de Filosofia da URGS, apresentou os problemas do
ensino da Geometria dedutiva no ensino secundário, na qual destacou que a
demonstração de teoremas feita pelos alunos é sem significado, uma vez que os
estudantes decoravam a demonstração para a realização dos exames. O
72
professor Rodrigues não se mostrou contrário a aceitação de um teorema sem
demonstração, uma vez que muitos eram intuitivos, sugeriu a diminuição dos
teoremas demonstrados e que estes sejam selecionados e apresentados num
esquema com os teoremas, que a seu ver, deviam ser aceitos sem demonstração
e, a partir de cada um deles, quais os teoremas que podiam ser demonstrados.
É interessante, tem sido os malfadados teoremas a tabula de
salvação dos alunos medíocres que, nos exames, conseguem a
nota mínima graças a uma demonstração decorada, usualmente
pedida como questão. Domina, também na realização dos
trabalhos escolares a preocupação de provar todos os teoremas
que aparecem nos livros, sem contudo atender a idade de 12 a
15 anos e a capacidade de raciocínio dos alunos. (...) Deixando
de lado o espírito tradicional de apresentar a Geometria como
ciência dedutiva por excelência, procura-se selecionar um
conjunto de teoremas fundamentais e suas conseqüências
principais, que constituem um ótimo material para o treinamento
do aluno nas demonstrações. Neste sentido a Geometria
dedutiva é encarada mais como iniciação aos métodos
demonstrativos do que propriamente o desenvolvimento integral
de uma teoria. (CONGRESSO, 1957, p. 341-342)
O segundo capítulo da primeira tese, apresentado pela professora Martha
Blauth Menezes, instrutora de Ensino da Cadeira de Geometria e professora de
Didática Especial da Matemática da Faculdade de Filosofia da URGS, refere-se a
uma experiência baseada na proposta de Rodrigues, realizada no Colégio de
Aplicação da mesma faculdade, com a 3ª série ginasial, em 1956.
Em sua apresentação, Menezes destacou os objetivos do ensino da
Geometria, além de selecionar e ordenar a matéria em três partes:
A) Geometria Intuitiva: importância destacada pela professora, que
enfatiza que seu estudo deve ser amplo e rígido pois é suporte
necessário para aprender Geometria Dedutiva;
73
B) Introdução a Geometria Dedutiva: apresentação de postulados
necessários, de axiomas e teoremas com demonstrações intuitivas;
C) Geometria Dedutiva: seleção dos teoremas fundamentais e
estudos dos teoremas neles apoiados.
Essa divisão, segundo a professora, apresentou uma unidade de
pensamento, a Geometria ficou bem definida em unidades didáticas. Menezes
reafirmou a desvantagem e o dano causado ao se introduzir a Geometria
dedutiva com teoremas de demonstrações intuitivas e mostrando-se favorável à
proposta de Rodrigues para resolver a questão:
a apresentação de teoremas de demonstração intuitiva que
inicialmente se desenvolve em aula por serem, aparentemente,
os mais fáceis, desorientam e confundem todo o aluno. O seu
estudo a nada leva já que não exige raciocínio lógico, enquanto
se procura encobrir ou disfarçar o conhecimento intuitivo. A
solução para essa dificuldade, apresentada pelo professor
Rodrigues em sua proposição é interessante e correta, tanto sob
o ponto de vista psicológico como do pedagógico: Postulados,
axiomas e teoremas de demonstração são todos estudados
como axiomas . (CONGRESSO, 1957, p. 357)
Finalmente, apresentou os resultados individuais que obteve com a
aplicação da proposta em uma turma, com a qual realizou a experiência.
Considera boa a aprendizagem da Geometria Dedutiva apesar de a turma ser
heterogênea, ”o que revelaram as observações completas feitas durante os dois
últimos semestres: a aquisição do pensamento lógico efetivo ou nascente, pela
maior parte dos alunos e acentuado gosto pela Geometria Dedutiva que
revelaram”. (CONGRESSO, 1957, p. 366)
74
A Geometria Dedutiva foi novamente discutida na apresentação da tese
do professor Benedito Castrucci. O objetivo do ensino da Geometria, para
Castrucci, era fazer com que a demonstração tenha significado para o aluno e que
este gostasse de descobrir uma verdade, a precisão Matemática. A intenção de
sua apresentação foi destacar o cunho formativo do ensino da Geometria e não a
seleção de um programa para essa matéria.
Como a Geometria objetiva o ensino do pensamento dedutivo,
então, deve ela ser desenvolvida numa seqüência lógica, mas
isto não significa que se devam demonstrar rigorosamente todas
as proposições, pois não podemos olvidar o aspecto psicológico
e conseqüentemente pedagógico do aprendizado.
(CONGRESSO, 1957, p.369)
Castrucci admitiu que a beleza da Geometria estava em aceitar um
mínimo de proposições intuitivas, mas argumenta que esse mínimo não tem
sentido didático e, assim, torna-se desnecessário demonstrar o maior número
possível de propriedades, que seria importante demonstrar apenas as
propriedades compatíveis com a idade dos alunos para que exista a possibilidade
de compreensão por parte deles. Em três itens, Castrucci resume seu
pensamento:
a) Na seqüência dedutiva da Geometria, no curso secundário, o
uso da demonstração experimental deve ser feito com
oportunidade, para atenuar as dificuldades inerentes à idade
dos alunos;
b) Não deve haver confusão nos tipos de demonstração a fim de
que o aluno pouco a pouco perceba claramente a diferença.
c) Não devem ser provadas dedutivamente. (CONGRESSO,
1957, p. 371-372).
75
Pode-se perceber nas três apresentações semelhanças entre as idéias
defendidas a redução do número de demonstrações de teoremas e a inclusão da
geometria experimental ou intuitiva. Estas idéias podem levar a crer que o
problema que o ensino da Geometria apresentava era a necessidade, talvez
desnecessária, de demonstrar todos os teoremas rigorosamente. As sugestões
apresentadas foram para diminuir a demonstração dedutiva de teoremas e incluir a
Geometria experimental e demonstração intuitiva, tais sugestões visavam a
eliminar que os alunos decorassem a demonstração dos teoremas, que não
tinham significado nenhum para eles.
O III Congresso Nacional realizado, em julho de 1959, na cidade do Rio de
Janeiro, apresentou em relação à Geometria, relatos do Ensino Secundário e
Primário nos quais pode ser destacada a tese de título “O ensino intuitivo da
Geometria”, da professora Martha Blauth Menezes, a mesma que relatou sua
experiência no Congresso anterior. Nos Anais desse congresso, a tese não foi
descrita, porém na sua conclusão é afirmado que
: “
Deve ser incluída a Geometria
intuitiva na 1ª série do Curso Ginasial, complementando o sistema legal de
unidades”. (CONGRESSO, 1959, p. 44) Acredita-se que a inclusão desta proposta
de Menezes possa ser uma extensão de seu trabalho no Congresso anterior, pois
não é possível saber mais detalhes sobre o ensino da Geometria ou sobre as
razões que levaram a aprovação dessa proposta no plenário.
Nos Anais dos três primeiros Congressos Nacionais de Ensino de
Matemática podem-se destacar o ensino da Geometria nas teses do II Congresso,
nas quais se apresentam com a intenção de construir práticas pedagógicas que
permitam que os objetivos da Geometria dedutiva, proposta na legislação, sejam
76
atingidos. Os professores responsáveis pela apresentação mostraram-se
preocupados com essa prática e sugeriram uma proposta para que os alunos
compreendam o significado da demonstração de um teorema. A proposta foi
aplicada e os resultados foram considerados bons.
Apesar de existir notória insatisfação com o rumo do ensino da Geometria,
a Geometria euclidiana, que consta na legislação vigente, não foi questionada. O
que foi discutido foram os procedimentos que podem contribuir para que a
Geometria dedutiva seja entendida e não decorada pelos alunos.
Segundo Soares (2001), algumas frases, talvez mal interpretadas que se
mostraram contra a Geometria Euclidiana, como a de Dieudeonné com “Abaixo
Euclides”, podem ter contribuído para deixar mais crítico o ensino da Geometria no
Brasil, e afirmando-se que mesmo antes das idéias do Movimento da Matemática
Moderna tomarem forma no Brasil, já havia um descaso com o ensino da
Geometria.
Além de sua participação e apresentação de tese no II Congresso
Nacional, pode-se dizer que o professor Benedito Castrucci teve um importante
papel na “modernização do ensino da Geometria”:
Se nós estávamos fazendo um movimento em que tudo tinha
que nascer da teoria dos conjuntos e das teorias de estrutura,
que era um princípio geral (...) a única coisa que a gente podia
dizer em Geometria é que o plano é um conjunto de pontos; o
espaço um conjunto de pontos, a reta é um subconjunto do
plano, mas depois como é que eu vou dizer, axiomas teoremas
e tudo o mais? (...) Então o processo foi sair uma Geometria
também por meio de uma estrutura algébrica. Daí fizeram um
estudo de Geometria já no ginásio por meio de espaços
vetoriais, que é uma estrutura algébrica. (...) E outro caminho foi
pelos grupos de transformações, uma estrutura algébrica, uma
77
idéia do (Félix) Kline, mas agora passada a limpo para poder
funcionar. (CASTRUCCI, Apud BURIGO, 1989, p.171)
O depoimento de Castrucci sugere alguma aproximação do ensino da
Geometria com as principais idéias do Movimento da Matemática Moderna.
Alguns cursos do GEEM, voltados para a Geometria, foram ministrados pelo
professor Castrucci.
Em seu livro, Geometria Curso Moderno, que substituiu “Lições de
Geometria Elementar”, Castrucci justificou as mudanças ocorridas devido ao
Movimento da Matemática Moderna:
Este curso de Geometria substitui as nossas “
LIÇÕES DE
GEOMETRIA ELEMENTAR
”, que durante muitos anos mereceram
a preferência dos estudantes, o que nos foi provado pelas
sucessivas edições.
Entretanto, em face do movimento irreversível de renovação
de conteúdo e de adaptação a novas bases que atingiu a
Matemática em grande número de países, sentimo-nos, como
participantes que somos dessas idéias no Brasil, de trazer a
público uma nova apresentação do curso, precedendo-o das
noções indispensáveis de Lógica e de Teoria dos Conjuntos.
(CASTRUCCI, s.d., prefácio)
O autor considerou o Movimento da Matemática como uma evolução do
Ensino de Matemática e ponderou quanto às mudanças que deveriam realmente
ocorrer no Ensino da Geometria:
O nosso trabalho na chamada Matemática Moderna tem sido no
sentido de uma evolução e não de uma revolução, por isso,
achamos conveniente e útil não alterar a seqüência dos assuntos
e teoremas da Geometria, tratando-os apenas numa nova
linguagem, com base na Teoria dos Conjuntos, pondo em relevo
certos aspectos que constituem uma nova atitude e que nos
livros tradicionais não eram ressaltados. (CASTRUCCI, s.d.,
prefácio).
78
A proposta de Castrucci, para o colegial, era a retirada de diversos
assuntos de Geometria que considerava desnecessários, porém afirma que as
mudanças deveriam ser sutis para não se tornassem ousadas:
Nos cursos colegiais, aconselhamos a eliminação de diversos
tópicos de Geometria que são desnecessários para uma
formação inicial geométrica.
Há um movimento para a substituição do conteúdo geométrico
no curso colegial e, talvez, no ginasial, por uma algebrização da
Geometria, tratando-a como um capítulo de Álgebra Linear.
Acreditamos que esta inovação preconizada por grandes
matemáticos não possa ser feita imediatamente, pois a nosso ver
seria, no momento, um passo ousado. (CASTRUCCI, s.d.,
prefácio)
Os dois capítulos iniciais da obra de Castrucci expõem as Noções de
Lógica e da Teoria dos Conjuntos, com o objetivo de situar o estudante com os
novos símbolos e termos apresentados no capítulo subseqüente que aborda a
Geometria, da mesma maneira, como o autor mencionou em depoimento
concedido a Burigo (1989):
“
Começaremos, então, pela consideração de um
conjunto E de elementos denominados pontos, dotado de subconjuntos chamados
retas e subconjuntos que têm nome de planos.” (
CASTRUCCI, s.d.,
p. 73, grifo do
autor)
No Brasil, a experiência da introdução de novos conceitos de Geometria,
como os de transformação geométrica, isometria e homotetia, foi desenvolvida, em
1965, no Ginásio do Brooklin. Em 1967, o Serviço de Ensino Vocacional da
Secretaria de Educação, coordenado por Lucilla Bechara, Renate Watanabe e
Dorival Antonio de Mello, foi responsável pela iniciativa da realização de um curso
79
na área de Geometria. Dois anos mais tarde, em 1969, o GEEM organizou um
curso sobre medidas e Geometria; e vários outros cursos, organizados pelos
GEEM, incluíram a disciplina de Transformações Geométricas. No curso do
Vocacional, a Geometria do plano e do espaço era abordada a partir do conceito
de espaço vetorial, com influência do trabalho de Papy e do grupo da Universidade
de Illinois. As Geometrias não-euclidianas também eram apresentadas na tentativa
de mostrar mais nitidamente os limites da Geometria euclidiana e o tratamento
tradicional dado a Geometria no secundário. O novo tratamento da Geometria era
justificado com a necessidade da atualização do ensino (BURIGO, 1989, p. 170).
Na Metodologia do ensino da Geometria, durante o Movimento da
Matemática Moderna, a maior influência foi de Dienes, com proposta que insistia
que a idade em que a aprendizagem de um dado conceito é possível seria
determinada somente por experimentos. Segundo Burigo, o trabalho de Dienes foi
importante para desenvolver uma sólida proposta pedagógica com as descobertas
piagetianas. Sua proposta era a organização de múltiplas experiências concretas
como ponto de partida para aprendizagem de novos conceitos, baseadas na
importância do pensamento pré-verbal. Em acordo com Piaget, Dienes indicou que
na época a aprendizagem artificial, sem muito significado para o aluno, era
predominante, pois manipular simbolismos não significava um aprendizado real
das estruturas, e não recomendava o esquema formal apresentado em alguns
projetos de Matemática Moderna. (BURIGO, 1989, p. 171)
Soares (2001), na conclusão de sua dissertação, afirmou que o Ensino da
Geometria, via estudo das transformações e espaços vetoriais não chegaou a
80
acontecer de fato nas práticas de sala de aula, pois se continuo a ensinar a
Geometria Euclidiana tradicional, utilizando a linguagem dos conjuntos.
A maneira como o ensino da Geometria era discutido durante o
Movimento da Matemática Moderna, os posicionamentos que foram identificados
nos Congressos Internacionais e a proposta sugerida por Rodrigues e Menezes no
II Congresso, para selecionar e ordenar a Geometria em três partes possibilitam
direcionar a análise da proposta para a disciplina na Coleção Curso Colegial
Moderno.
No capítulo seguinte, pretende-se verificar se a conclusão de Soares pode
ser aplicada à produção do professor Scipione na coleção Curso Colegial
Moderno.
81
CAPÍTULO 5
A PROPOSTA DO PROFESSOR SCIPIONE PARA O ENSINO DA
GEOMETRIA EM TEMPOS DE MATEMÁTICA MODERNA
Para essa pesquisa foi selecionada a coleção Curso Colegial Moderno,
publicada na década de 1960, pela editora IBEP, cujos autores são Luiz Mauro
Rocha que, em 1968, era Professor de Cálculo Infinitesimal da FEI e da FFCL da
Fundação Santo André, instrutor de Cálculo Infinetesimal da Escola Politécnica da
USP e professor do Colégio Estadual de São Paulo; Ruy Madsen Barbosa, doutor
em Matemática pela Universidade Católica de Campinas, Livre-docente de
Matemática da FFCL de Araraquara e professor do ensino secundário oficial do
Estado de São Paulo, e Scipione Di Pierro Neto, que na época da publicação da
coleção atuava como professor titular de Matemática do Colégio de Aplicação da
FFCL da USP, instrutor de Prática de Ensino da FFCL da USP e da FFCL de São
Bento, da PUC de São Paulo e professor do Colégio Rio Branco.
O objetivo da pesquisa é verificar qual a abordagem dada ao ensino da
Geometria nessa coleção, por ter sido publicada em tempos de Matemática
Moderna.
Para a verificação serão levadas em conta as pesquisas feitas nos
capítulos anteriores, como forma de justificar as escolhas que os autores fizeram
para abordar a Geometria. Pode-se contar, também, com depoimento recente de
Ruy Madsen que, em relação a esta coleção comentou, em depoimento oral, que
o professor Scipione foi o que teve maior influência na editora para a publicação
82
dos livros, por ser autor atuante na Editora IBEP, tendo, porém, participado da
elaboração dos dois primeiros volumes.
Os conteúdos que constam nessa Coleção estão de acordo com as
Sugestões para um roteiro de Programa para a cadeira de Matemática, publicado
no Diário Oficial do Estado de São Paulo, em 19 de janeiro 1965, para o curso
secundário (1º Ciclo, 2º Ciclo e Normal), do qual o professor Luiz Mauro Rocha
fez parte da elaboração.
Dessa forma, segundo Choppin (2004), a Coleção Curso Colegial
Moderno estaria exercendo a função referencial, uma vez que existia um
programa de ensino, publicado em 1965 e o livro didático seria o suporte para a
aplicação dos conhecimentos, técnicas ou habilidades que um grupo social
acreditou como necessário para transmitir aos estudantes.
5.1) O primeiro volume
O primeiro volume da coleção foi
apresentado pelos autores como uma
sucessão da série “Matemática para a Escola
Moderna”, do professor Scipione Di Pierro
Neto, cuja idéia surgiu após o V Congresso,
em São José dos Campos, em 1966,
organizado pelo GEEM, que contou com
aulas-demonstração sobre temas específicos
Figura 5.1.1. Capa do volume 1
DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.;
BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática
. 1ª edição, São Paulo: IBEP, 1967,
v.1.
83
de Matemática Moderna para o primeiro e o segundo grau. Os autores notaram a
dificuldade de professores de diversos estados em se atualizar no ensino de
Matemática e preocupados com a situação decidiram publicar a obra “Curso
Colegial Moderno”, a fim de minimizar essa dificuldade:
em contato com professores de quase todos os Estados,
sentimos bem de perto a angústia com que os nossos colegas se
referiam à dificuldade que encontravam para a atualização do
ensino da matemática no colégio, dada a inexistência, ao seu
alcance, de obras nacionais e estrangeiras.
De fato, só as livrarias especializadas das grandes capitais
costumam receber as novidades bibliográficas que vêm sendo
publicadas nos países mais desenvolvidos.
Diante desta realidade, resolvemos adotar, em princípio, as
seguintes normas para a redação dos três volumes destinados ao
colégio:
1. Apresentar, no início do primeiro volume, um capítulo
de FUNDAMENTOS, destinado aos professores ainda
não iniciados na “Matemática Moderna”, redigido em
linguagem fácil e nível elementar – de modo a que
possa ser aprendido e ao mesmo tempo ensinado, no
todo ou em parte, aos alunos.
2. Estabelecer um programa global para o colégio,
visando a introdução paulatina dos conceitos modernos
de funções, relações, matrizes, estruturas algébricas,
etc., através de exemplos simples e de numerosos
exercícios. Só no terceiro ano, reunindo a experiência
adquirida, o aluno terá a formulação exata dos
conceitos de grupo, anel, corpo, espaço vetorial, etc,
cuja utilidade irá sentir logo no início do curso superior.
3. Reduzir a extensão com que eram anteriormente
tratados alguns assuntos de escasso interesse, em
benefício de outros mais exigidos pela ciência
moderna. (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA,
1967, p. 9).
A análise da apresentação de uma obra é importante, pois é por meio
dela que se pode considerar como os autores mostraram o que viram no seu
84
trabalho e quais as características que nela identificaram. Segundo Choppin, é na
apresentação que os autores podem revelar o que vão aplicar em sua obra:
os prefácios foram considerados dignos de interesse, na medida
em que, nos limites de uma exploração sucinta, elaborada e
refletida, tais prefácios permitem discernir os projetos conscientes
– confessados ou confessáveis – dos autores e medir a clivagem
entre os princípios alegados e a aplicação que deles é feita no
livro. (CHOPPIN, 2004, p. 559)
Ainda, de acordo com Choppin (2004), os autores de livros didáticos, além
de espectadores de seu tempo, também querem ser agentes, fazendo com que o
livro didático não seja apenas um espelho, mas que ele modifique a realidade
para educar as novas gerações. Na apresentação dessa coleção, os autores
mostraram que tiveram essa preocupação.
No primeiro volume da Coleção Curso Colegial Moderno, a Geometria é
abordada no último capítulo, “Introdução à Geometria no Espaço”, e contou com
as seguintes divisões: Conceitos Primitivos e Axiomas, Ângulos e Diedros,
Perpendicularidade e Paralelismo, Projeções e Triedros.
Nas considerações preliminares desse capítulo, os autores citaram
Euclides como elaborador de uma teoria lógica, na forma axiomática da evolução
de processos práticos e intuitivos da Geometria. A princípio isso pode nos
conduzir à Geometria. Em seguida apresentaram os conceitos primitivos da
Geometria: ponto, reta e plano, os quais disseram serem aceitos sem definição, e
as respectivas representações de cada um deles. Todos os exemplos foram
acompanhados de figuras justificadas em nota.
85
Figura 5.1.2. Apresentação de pontos e retas
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, p.221, v.1.
Figura 5.1.3
3
. Definição de planos
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, p.222, v.1.
3
A figura apresentada é cópia do livro e mantém a ortografia original, sendo a palavra pontos
escrita no lugar de planos.
86
As definições e os axiomas apresentados foram os de Euclides, porém
nota-se uma adequação de cada um deles com o Estudo da Teoria dos
Conjuntos:
“
Definição 1: Chama-se ESPAÇO o conjunto-universo da geometria,
isto é, o conjunto E que possui todos os pontos, retas e planos.” (DI PIERRO
NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967, p.222). Essa adequação vai de encontro com
a observação de Castrucci, na página 74 deste trabalho.
Em item chamado Intersecções e Inclusões, os autores contaram com a
intuição do leitor para que estes obtivessem todas as relações de igualdade, de
inclusão e os conjuntos de intersecções de dois conjuntos, sejam eles duas retas,
dois planos ou uma reta e um plano. E destacaram a análise dos diversos casos,
visando a apresentação da terminologia usual na geometria, que nem sempre era
a mesma da teoria dos conjuntos, desta última pode-se notar a representações
utilizando símbolos da Teoria dos Conjuntos. (DI PIERRO NETO; ROCHA;
BARBOSA, 1967, p.226). Nota-se, neste item, idéia semelhante à proposta por
Menezes no II Congresso Nacional, quando apresentou a Introdução a Geometria
Dedutiva, que contava com demonstrações intuitivas.
87
Fig
Figura 5.1.4. Postulado de Euclides e Intersecções e Inclusões (I)
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, p.226, v.1.
88
Figura 5.1.5. Intersecções e Inclusões (II)
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, p.227, v.1.
89
A definição de ângulos e diedros partiu do axioma: “Cada reta r de um
plano α o divide em duas figuras ou regiões α
1
e α
2
e tais que: (a) as duas regiões
são convexas; (b) a intersecção delas é a reta r; (c) Se X e Y são dois pontos de
α
,
forma de r, pertencentes um a cada região, a intersecção do segmento XY com
a reta r é um conjunto unitário {P}. Então ângulo é a intersecção de um semi-
plano de origem r com um semi-plano de origem XY”.
Alguns teoremas foram apresentados contando com a sua prova em duas
partes: a existência e a unicidade, outros que os autores consideraram
fundamentais têm sua demonstração apresentada de maneira formal, outros
teoremas foram sugeridos para que os alunos fizessem a demonstração. Desse
modo, pode-se perceber que os autores fizeram essa escolha de acordo, com
sugestões do II Congresso Nacional, onde o professor Benedito Castrucci propôs
que fossem demonstrados apenas teoremas compatíveis com a idade dos alunos,
usando, se possível, demonstrações experimentais que pudessem atenuar as
dificuldades dos alunos e os aproximassem mais do verdadeiro significado de tais
provas.
90
Figura 5.1.6. Teorema 1
Fonte
: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, p.240-241, v.1.
91
Figura 5.1.7. Outros Teoremas
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, p.244, v.1.
As projeções apresentadas foram apenas as perpendiculares,
provavelmente, consideradas pelos autores como um subsídio importante
oferecido pela Matemática ao estudante colegial, principalmente aos que
pretendiam freqüentar os cursos técnicos, pois a estes ofereceriam os
fundamentos iniciais da Geometria Descritiva.
A maneira escolhida pelos autores para a abordagem das projeções foi
pela demonstração dos teoremas, o que vai de encontro ao estudo apresentado
no capítulo 3, no qual o professor Scipione afirmou que a teoria dos conjuntos foi
usada numa tentativa de “algebrizar a Geometria”.
Nesse primeiro volume é possível notar a introdução de alguns elementos
da Teoria dos Conjuntos na representação e até mesmo na demonstração de
teoremas, porém conforme pôde ser constatado nos Anais do II Congresso, não
houve um abandono da Geometria Euclidiana, além disso pode-se observar o que
92
Figura 5.2.1. Capa do volume 2
DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M,
Curso Colegial Moderno: Matemática. 1ª edição, São
Paulo: IBEP, 1968, v.2.
foi apresentado neste mesmo Congresso por Menezes: A Introdução a Geometria
Dedutiva com a apresentação dos postulados que os autores julgaram
necessários, de axiomas e teoremas com demonstrações intuitivas. E a própria
Geometria Dedutiva com a seleção dos teoremas fundamentais e estudos dos
teoremas neles apoiados.
Foram propostas aos alunos demonstrações de teoremas acompanhadas
por sugestões, com o objetivo de eliminar uma demonstração que fosse decorada
ou que não fizesse nenhum significado para eles, como também aparece em
sugestões da apresentação do Professor Castrucci, no II Congresso Nacional.
5.2) O segundo volume
No segundo volume,
publicado em 1968, os autores
destacam na apresentação que a
parte de Geometria foi introduzida as
primeiras noções de transformações
geométricas e, na parte métrica,
usam o princípio de Cavalieri,
justificaram que essas escolhas se
devem às tendências de outros
países, que iniciaram a busca para a
renovação do Ensino da Matemática.
93
Neste segundo volume do nosso curso colegial, damos
prosseguimento ao plano didático, de acordo com as modernas
técnicas e tendências observadas em países e autores pioneiros
na renovação no ensino da Matemática.
(...)
Na parte de Geometria, introduzimos as primeiras noções de
transformações geométricas e na parte métrica, usamos o
princípio de Cavalieri.
(...)
Esperamos dos estudantes e professores a mesma acolhida que
dedicaram ao 1º. Volume.
As críticas, favoráveis ou contrárias, nos serão igualmente
valiosas, para futura orientação.
OS AUTORES
São Paulo, Janeiro de 1968.
(DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, 1968, p.6)
Os conteúdos do livro estão divididos em quatro partes, totalizando doze
capítulos. A Geometria é abordada na última parte do livro e seu conteúdo foi
dividido em cinco capítulos: “Segmentos Orientados e Vetores”, “Transformações
Geométricas”; “Superfícies”; “Prismas e Pirâmides”; “Corpos Redondos e
Poliedros”.
A seguir, pretende-se identificar como os conteúdos de Geometria foram
introduzidos e abordados nesse segundo volume. Para isso será feito um
comentário da abordagem do conteúdo no livro seguido de uma relação com os
estudos feitos nos capítulos anteriores.
No Capítulo VIII é abordado: Segmentos orientados e vetores /
transformações geométricas abrange: Translação, Simetria. Rotação, Homotetia e
Produto escalar de vetores, este último aparece como assunto optativo. Os
conteúdos são apresentados utilizando-se a forma vetorial, e contém
demonstração de teoremas.
94
Figura 5.2.2. Segmentos orientados e vetores
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 190
95
A definição de transformações geométricas é feita de maneira formal, ou
seja, utilizando a linguagem matemática acompanhada de símbolos que sejam
influências das tendências do Movimento da Matemática Moderna.
Figura 5.2.3. Transformações Geométricas
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 203
96
Os exercícios propostos foram todos de demonstração e tiveram seus
enunciados destacados por: prove que, mostre que, verifique que. Porém notou-
se na apresentação dos conteúdos que não era feito nenhum exemplo das provas
que são pedidas nos exercícios. No final dos enunciados de alguns exercícios
propostos aparece uma nota com alguma informação que não está contida na
apresentação do conteúdo ou uma sugestão para orientar o aluno no
desenvolvimento da demonstração, o que leva a crer que os autores não
definiram neste volume um padrão que deveria ser seguido na demonstração de
um teorema, acreditando que, para os autores, o rigor matemático não era
objetivo dessas questões.
Figura 5.2.4. Exercícios propostos
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 209.
97
Figura 5.2.5. Exercícios propostos
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 211.
O Capítulo IX “Superfícies”, tem sua introdução com o que vai ser
considerado no livro como curvas, e informa que as definições de linha, curvas ou
superfícies no espaço são dadas apenas no ensino superior, no estudo das
funções de uma ou mais variáveis independentes. As linhas consideradas como
curvas nesse capítulo seriam as que os autores consideram usuais como a reta,
as poligonais, a circunferência, a elipse, a hipérbole, a parábola, etc.. E
completaram limitando a definição de apenas algumas superfícies espaciais. (DI
PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1968, p. 221).
Notou-se que houve uma preocupação com a apresentação dos
assuntos, principalmente das figuras, que são bem desenhadas e acompanhadas
de textos explicativos, o que poderia contribuir para uma melhor compreensão por
parte dos alunos, o que para o período era significativo, pois as editoras não
dispunham como hoje, de recursos tecnológicos para a construção e
apresentação de figuras geométricas.
98
A definição de superfície cilíndrica foi dada utilizando-se termos da Teoria
dos Conjuntos e seguiu a linha das transformações geométricas e é
acompanhada de ilustração:
Figura 5.2.6. Superfícies cilíndricas (I)
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 221.
99
Figura 5.2.7. Superfícies cilíndricas (II)
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 222.
As Superfícies Cônicas seguem o molde anterior para definição:
Seja dada uma curva (C) e um ponto 0, não pertencente a (C). Ao
conjunto S de todas as retas que possuem o ponto 0 e são
concorrentes com (C), damos o nome de superfície cônica. (DI
PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1968, p. 221 – grifo nosso).
Para Superfícies de rotação foi definido:
100
Sejam dados: uma reta y, um plano β que contém y e, num dos
semi-planos de β, de origem y, uma curva (C). Chama-se
superfície de rotação de eixo y e geratriz (C) o conjunto dos
transformados dos pontos de (C) por todas as rotações de eixo y e
amplitudes θ, com 0 ≤ θ < 2π . DI PIERRO NETO; ROCHA;
BARBOSA, 1968, p. 224 – grifo nosso).
Os exercícios desse capítulo pedem algumas construções (exemplo 1) e
provas (exemplo 2):
Exemplo 1: Construir uma superfície cilíndrica dadas três geratrizes. –
(Determinar y. Traçar um plano perpendicular às geratrizes dadas a, b e c.
Determinar o circuncentro do triângulo ABC). (p. 226)
Exemplo 2: Prove que todas as retas tangentes a uma superfície esférica S em
um ponto P∈S estão contidas no mesmo plano. – (Este plano se denomina plano
tangente) (p. 229)
Figura 5.2.8. Exercício proposto
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 229.
101
Para os exercícios sobre superfície esférica foram apresentadas
definições, conforme ilustração:
Figura 5.2.9. Definições para os problemas de superfície esférica
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 228.
Os exercícios propostos neste capítulo poderiam despertar nos alunos
um caráter investigativo, uma vez que na apresentação dos conteúdos não foi
feito nenhum exemplo no qual poderiam se basear para solucionar a atividade. As
102
questões que envolvem construções conduziriam a uma Geometria Experimental,
acredita-se que a concretização dessas observações só seriam possíveis de
acordo com a sua aplicabilidade em sala de aula, dependendo do trabalho
desenvolvido pelo professor, o que não será discutido neste trabalho.
No Capítulo X, “Prismas e Pirâmides”, os poliedros foram definidos com
base nas transformações geométricas e algumas de suas propriedades
apresentadas por teoremas, seguidos de suas respectivas provas.
Figura 5.2.10. Prismas
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 232.
103
Figura 5.2.11. Teorema: Diagonais de um paralelepípedo
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 236.
Para calcular elementos dos poliedros como apótemas e alturas das
pirâmides foram apresentadas as relações a serem utilizadas, porém estas não
foram demonstradas, apenas justificou-se com o Teorema de Pitágoras.
Certamente, os autores consideraram que nesta fase o aluno já teve contato com
o assunto em Geometria Plana, nas séries anteriores.
104
Figura 5.2.12. Pirâmide regular
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 238
105
Figura 5.2.13. Fórmulas para lados, apótemas e áreas de polígonos regulares
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 239.
Algumas relações entre a base de uma pirâmide e uma seção paralela à
base, que os autores julgaram importantes, foram deduzidas.
Para as áreas laterais e totais das faces de prismas, pirâmides e troncos
de pirâmides, foram apresentadas as respectivas expressões algébricas, levando-
se em consideração que o assunto foi estudado Geometria plana.
As primeiras seqüências de questões propostas neste capítulo são, em
sua maior parte, de cálculos a serem resolvidos usando as expressões algébricas
apresentadas, e muitos deles vêem acompanhadas de sugestões e figuras que
106
destacam os elementos dos poliedros a serem considerados na resolução de
cada questão:
Figura 5.2.14. Exercícios propostos
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 245.
Para volumes de poliedros foi usado o conceito de equivalências,
acompanhado das transformações geométicas, de polígonos e de prismas.
Foi apresentada a dedução da fórmula para o cálculo do volume do
paralelepípedo retângulo.
107
Figura 5.2.15. Volume do paralelepípedo
Fonte
: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 254-255.
108
A extensão da fórmula para outros prisma foi feita por meio do Princípio
de Cavalieri, anteriormente apresentado:
Figura 5.2.16. Princípio de Cavalieri
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 255.
Para a resolução dos exercícios propostos sobre volumes foi possível
utilizar as fórmulas apresentadas, mesmo aqueles que envolveram alguma
demonstração.
Figura 5.2.17. Exercícios propostos
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 264.
109
O penúltimo capítulo do volume 2, Capítulo XI, trata dos corpos redondos,
cilindros, cones e esferas, que também, foram definidos a partir das
transformações geométricas.
Figura 5.2.18. Cilindro
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 267.
110
As fórmulas das áreas de cilindros e cones foram apresentadas, levando-
se em consideração o que foi estudado em geometria plana:
Figura 5.2.19. Área da superfície cilíndrica
Fonte
: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 268.
111
O cálculo de volume desses sólidos foi apresentado pelo Princípio de
Cavalieri:
Figura 5.2.20. Cilindros e prismas equivalentes
Fonte
: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 268-269.
112
O volume da esfera foi deduzido a partir da equivalência da mesma com
uma anticlepsidra, definida como sendo a parte do cilindro externa à clepsidra,
que é a reunião dos dois cones.
Figura 5.2.21. Esferas e cilindros equivalentes
Fonte
: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 278.
113
Figura 5.2.22. Demonstração: volume da esfera
Fonte: DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso Colegial Moderno:
Matemática. São Paulo: IBEP, 1968, v.2, p. 279.
A expressão algébrica para o cálculo da área da superfície esférica parte
do cálculo de volume, porém não foi apresentada de maneira precisa e a
justificativa para isto deveu-se a necessidade de se conhecer Cálculo Integral.
114
No final desse capítulo foram apresentadas as partes da superfície
esférica e da esfera e suas respectivas fórmulas para cálculos de áreas e
volumes.
Os exercícios desse capítulo podem ser resolvidos com as informações
apresentadas, embora não se tenha nenhum exemplo com a aplicação das
fórmulas. A maneira como foram apresentados os conteúdos, com ilustrações
bem feitas e textos explicativos, acredita-se que contribuiriam para uma boa
compreensão por parte dos alunos.
O último capítulo apresenta os poliedros, as superfícies poliédricas, o
teorema de Descartes-Euler, os poliedros de Platão e os poliedros regulares. Seu
objetivo foi definir poliedros, poliedros de Platão e os regulares e destacar seus
elementos: vértices, faces e arestas e a relação existente entre os números de
cada um deles. Os exercícios propostos são de demonstrações e de cálculo do
número de elementos, seguindo a relação de Euler.
Este segundo volume apresentou a Geometria Espacial, seguindo
algumas idéias do Movimento da Matemática Moderna, como definições dos
sólidos por meio das transformações geométricas, o que mostra que o professor
Scipione confirma em sua produção, a afirmação que dizia que quem não
aderisse ao movimento seria considerado desatualizado. Porém, não foi
apresentado um modelo inovador para o ensino da Geometria, como nos
exercícios propostos, talvez porque como afirmou Castrucci, poderia ser um
passo um tanto ousado. O estudo da Geometria pelos espaços vetoriais voltou-se
para o rigor da linguagem de conjuntos e das estruturas matemáticas e não foram
muito evidenciados neste volume.
115
Figura 5.3.1. Capa vaolume 3
DI PIERRO NETO, S.; ROCHA, L.M.; BARBOSA, R.M, Curso
Colegial Moderno: Matemática. 1ª edição, São Paulo: IBEP,
1968, v.2.
5.3) O terceiro volume
No terceiro volume da coleção, o nome do Professor Scipione não
apareceu e de acordo com o Professor Ruy Madsen, em depoimento oral,
Scipione não teria participado da elaboração desse último volume. Como a
proposta foi estudar as produções didáticas desse professor, não analisamos esta
obra.
Contudo, vale informar
que os outros dois autores
afirmaram acreditar que os
objetivos propostos desde o
início da coleção haviam sido
alcançados. Apresentam o
estudo de Geometria Analítica e
Transformações Geométricas
como uma continuidade ao
primeiro volume apoiada na
Teoria das Matrizes,
apresentada no segundo
volume.
116
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo deste trabalho foi identificar a proposta para o ensino da
Geometria, na Coleção Curso Colegial Moderno do Professor Scipione Di Pierro
Neto, publicada no auge do Movimento da Matemática Moderna no Brasil.
O estudo sobre o Movimento da Matemática Moderna permitiu conhecer as
idéias que o acompanharam, que de início foi abordado no exterior e chegou no
Brasil na década de 1960. Antes de sua divulgação, alguns Congressos sobre o
Ensino de Matemática foram realizados com a mesma idéia central do
Movimento: modernizar o ensino dessa disciplina, adequando-a aos avanços
tecnológicos.
O professor Scipione foi um importante personagem desse Movimento, pois
foi professor em cursos de licenciatura e autor de livros didáticos. Em suas
entrevistas e em artigos que escreveu, registrados em documentos de seu
arquivo pessoal, como em “rascunhos” de suas propostas didáticas e em sua
tese de doutorado, defendida durante o Movimento, o autor permitiu uma
compreensão de sua visão frente às propostas de mudanças do ensino de
Matemática. Mostrou-se satisfeito com a mobilização dos professores em pensar
como melhorar o ensino da disciplina, apresentando uma postura de cautela
frente às mudanças que poderiam ser radicais e precipitadas. Sua preocupação
com o ensino da Geometria ficou evidenciada em sua tese de doutorado, na qual
buscou, com docentes de diferentes níveis de formação, os objetivos
concernentes à disciplina e baseados nisso, ele e seus colegas, realizaram a
117
aplicação de testes em alunos que concluíram o 1
o
. grau e que iniciavam o 2
o
grau. Concluiu que estes não foram preparados para receber a geometria formal
que se iniciaria nessa nova etapa de estudos. A análise dessa tese permitiu
compreender quais as intenções do autor para o ensino da Geometria, sendo uma
delas a de que o aluno, a partir dos 7 anos de idade deveria ser levado a trabalhar
de maneira eficiente com figuras, para então construir conceitos por semelhanças
e diferenças aprendendo relacionar em Geometria a partir de experimentos e
assim depois dos 12 anos teria elementos para iniciarem a construção do rigor
lógico.
O ensino da Geometria, no período do Movimento da Matemática Moderna,
foi direcionado para as transformações geométricas, o estudo dos espaços
vetorias e modificações nos axiomas de Euclides, sendo este último até então
considerado como referência para o estudo da Geometria, levando-se em conta a
idéia central proposta pelo Movimento, que era a Matemática Unificada, abordada
pelas estruturas algébricas e a linguagem dos conjuntos.
Um dos problemas abordados nas discussões dos Congressos Nacionais,
como, por exemplo, as ocorridas no II Congresso, realizado em Porto Alegre, foi
relativo às demonstrações de teoremas feitas pelos alunos, que ocorria sem que
fossem atribuídos significados para eles, pois, na maioria das vezes, decoravam
as fórmulas matemáticas. Ainda neste Congresso, na apresentação da professora
Martha Blatuh Menezes foram destacados objetivos para o ensino da Geometria,
ordenando-a em três partes: i) a geometria intuitiva, cujo estudo deveria ser amplo
e rígido por ser suporte necessário para o aprendizado da Geometria dedutiva; ii)
Introdução a Geometria Dedutiva: com apresentação apenas dos postulados,
118
axiomas e teoremas necessários com demonstrações intuitivas; iii) Geometria
dedutiva: seleção dos teoremas fundamentais e dos estudos que neles se
apóiam.
Esta última, a Geometria Dedutiva também foi apresentada pelo professor
Benedito Castrucci, neste mesmo Congresso, onde defendeu que o objetivo da
disciplina era desenvolver uma seqüência lógica, aceitando um mínimo de
proposições intuitivas. As demonstrações deveriam ser feitas de acordo com a
idade dos alunos para que possa existir uma compreensão por parte deles.
Durante o Movimento da Matemática Moderna, a metodologia para o ensino
da Geometria foi influenciada por Dienes, com uma proposta na qual defendia que
a idade da aprendizagem de um conceito deveria ser feita por experimentos.
No primeiro volume da coleção notou-se que na apresentação da Geometria
foi utilizada a linguagem dos conjuntos, uma das fortes tendências do Movimento
da Matemática Moderna, porém a Geometria Euclidiana não foi esquecida e
foram apresentadas e solicitadas como exercícios algumas demonstrações de
teoremas.
No segundo volume, que aborda a Geometria Espacial, os sólidos
geométricos foram definidos a partir das transformações geométricas e, também,
foram apresentadas as demonstrações de alguns teoremas, apenas os
fundamentais para o estudo de cada tópico, como sugerido no II Congresso
Nacional, nas apresentações da professora Menezes e do professor Benedito
Castrucci, quando destacaram a Geometria Dedutiva. Os exercícios propostos
neste volume envolveram cálculos nos quais deveriam ser aplicados as fórmulas
119
apresentadas e poucos são de demonstrações a serem realizadas pelos alunos, o
que levou os autores a propor que o professor escolhesse a melhor forma de
trabalhar com essas questões, que foram sempre seguidas de figuras ou
sugestões para os alunos.
A maneira como estas questões foram apresentadas estão de acordo com o
que os autores apresentaram no prefácio, quando afirmaram que seria possível
desenvolver a Geometria apenas com símbolos e proposições, porém gráficos e
figuras geométricas ligam à origem prática da Geometria e evita que se afaste de
suas aplicações concretas. Essa foi uma das preocupações que o professor
Scipione apresentou sobre o Movimento da Matemática Moderna.
De acordo com Choppin (2004), que afirma que o livro didático exerce quatro
funções fundamentais: i) função referencial; ii) função instrumental, iii) função
ideológica e cultural e iv) função documental, observou-se que a Coleção Curso
Colegial Moderno exerceu a função referencial, pois os conteúdos constantes
nessa produção estão de acordo com as sugestões publicadas na época. Assim,
os volumes da Coleção foram considerados como suporte dos conteúdos que
durante o período da Matemática Moderna, julgados como necessários.
O professor Scipione, em depoimento oral, denominou o Movimento da
Matemática Moderna de trator, por privilegiar a Álgebra, deixando em segundo
plano a exploração do espaço, de acordo com a tradição euclidiana e a não
divulgação de cursos experimentais ministrados por Papy e Dienes em alguns
estados brasileiros, nos quais a algebrização da Geometria por meio de idéias
que eram fundamentais numa Álgebra Vetorial havia sido publicada e
recomendada. Apesar disso, nos dois volumes da Coleção e, que o professor
120
Scipione participou como colaborador foram seguidas as sugestões trazidas pelo
Movimento da Matemática Moderna.
Algumas observações que puderam ser feitas sobre as idéias do professor
Scipione Di Pierro Neto referentes ao Movimento da Matemática Moderna,
permitiram inquirir sobre as escolhas orientadas por ele para sua produção
didática. O autor, segundo constatou-se, apresentou-se cauteloso no que se
refere às mudanças trazidas por essa reforma, como pôde ser verificado no artigo
que escreveu para o jornal O Estado de São Paulo, em 1969. Em sua tese de
doutorado, defendida em 1973, na época do Movimento da Matemática Moderna
não mencionou o Movimento em momento algum do texto. Nas entrevistas que
foram concedidas, relacionadas ao Movimento da Matemática Moderna, mostrou-
se receoso com os exageros do rigor matemático e das formalidades exigidas
pelas tendências trazidas por essa reforma. Porém, na Coleção Curso Colegial
Moderno, observou-se que muitas das propostas do Movimento da Matemática
Moderna foram seguidas. Esse estudo permitiu refletir sobre nossa questão de
pesquisa, que procuramos responder ao longo deste nosso trabalho. Entretanto,
mais que responder perguntas, esta investigação favoreceu o surgimento de
novas questões, tais como: Teria o professor Scipione participado da elaboração
da Coleção, colocando em prática todas as idéias que defendia? A preocupação
que apresentou em relação ao ensino da Geometria, em sua tese de doutorado,
bem como os resultados obtidos, contribuíram para a produção dos tópicos de
Geometria dos seus demais livros didáticos?
121
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, R. M . Entrevista concedida a G. Farias. São Paulo, 2008.
BONAFÉ, M. Zoltan Dienes e o movimento da Matemática moderna no ensino
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BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 1998.
BÜRIGO, E. Z. Movimento da Matemática moderna no Brasil: estudo da ação e
do pensamento de educadores matemáticos nos anos 60. Porto Alegre, 1989.
Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade
Federal do Rio Grande do Sul.
CASTRUCCI, B. Geometria curso moderno Lições de Geometria no Espaço,
precedidas de noções de Lógica e de Teoria dos Conjunstos. São Paulo: Nobel,
s.d.. v. 1.
CHOPPIN, A. História dos livros e das edições didáticas: sobre o estado da arte.
Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 30, n. 3, p. 579-566, 2004.
CONGRESSO NACIONAL DE ENSINO DA MATEMÁTICA. I, 1955, Salvador.
Salvador 1957. Anais do I CBEM. Universidade da Bahia 1955.
______. II, 1957, Porto Alegre. Porto Alegre 1959. Anais do II CBEM.
Universidade do Rio Grande do Sul 1957.
______. III, 1959, Rio de Janeiro. Anais do III CBEM. CADES/MEC, Rio de
Janeiro 1959.
______. V, 1966, São José dos Campos. Anais do V CBEM. GEEM, São Paulo
1966.
GUIMARÃES, H. M. Por uma Matemática nova nas escolas secundárias:
perspectivas e orientações curriculares da Matemática Moderna. In: A Matemática
Moderna nas escolas do Brasil e de Portugal: primeiros estudos. São Paulo, 2007,
p. 21-45.
JULIA, D. A cultura escolar como objeto histórico. Revista Brasileira de História da
Educação, Campinas, SP: SBHE; Autores Associados, n. 1, jan./jun. 2001.
LE GOFF, J. Documento/monumento. In: História e Memória. Campinas: Editora
da UNICAMP, 1992, p. 535-549.
LIMA, R. F. GEEM. Grupo de estudos do ensino da Matemática e a formação de
professores durante o Movimento da Matemática Moderna no Brasil. São Paulo,
122
2006. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo.
MIORIN, M. A. Introdução à História da Educação Matemática. São Paulo: Atual,
1998
NAKASHIMA, M. N. O papel da imprensa no Movimento da Matemática Moderna.
São Paulo, 2007. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo.
PAVANELLO, R.M. O abandono do ensino da Geometria: uma visão histórica.
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PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da organização linear à idéia de rede.
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______ . O que o Exame Nacional de Cursos de Matemática está avaliando?
Analisando alguns aspectos das cinco primeiras edições do ENEM. Educação em
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______ . A Matemática Moderna nas escolas do Brasil: um tema para estudos
históricos comparativos. Revista Diálogo Educacional, Curitiba, v. 6, n. 18, p. 19-
34, 2006.
123
ANEXOS
Anexo A
Sugestões para um roteiro de Programa para a cadeira de Matemática
Publicado no Diário Oficial do Estado de São Paulo
Ano LXXV – Nº 11 – TERÇA-FEIRA, 19 DE JANEIRO DE 1965
Curso secundário – 1º Ciclo, 2º Ciclo e Normal.
Considerando:
1. As possíveis transformações oriundas da aplicação da Lei de Diretrizes e Bases
da Educação Nacional, relativas aos assuntos que devem compor as disciplinas
do curriculum do Curso Secundário;
2. As inúmeras solicitações recebidas pelo Departamento de Educação, provindas
de Estabelecimentos de Ensino Secundário do Estado de São Paulo, bem como
pais de alunos, no sentido de ser seguido um roteiro para o desenvolvimento das
diversas disciplinas, face ao problema da transferência de alunos e professores;
3. A necessidade de ser estudada uma certa ordem nos assuntos, que devem
compor a cadeira de Matemática, a serem ensinados nos estabelecimentos que
integram a rede do Estado, a fim de que sejam evitadas orientações
diametralmente opostas;
4. A importância que deve representar a matemática na formação dos atuais
professores primários; a) no atendimento do aspecto de profundidade mais do que
o de quantidade; b) na divulgação correta da legislação brasileira de medidas,
inclusive as últimas inovações sobre a grafia do cruzeiro;
5. Que além do caráter estrutural do conteúdo da matemática a ser programado para
o 2º Ciclo, devem ser atendidas, na medida do possível, as exigências dos
exames vestibulares às diversas Faculdades;
124
Esta Comissão, designada pelo Departamento de Educação, depois de cuidadosos
estudos louvados, principalmente nos resultados aprovados nos Congressos nacionais
de Ensino de matemática – que vêm refletindo a solução dada ao mesmo problema,
existente em outros países, por Centros Experimentais de Estudos – propõe o seguinte
roteiro para os assuntos que deverão constituir os diversos programas de Matemática; no
1º Ciclo, do 2º Ciclo, e do Curso Normal, dos Estabelecimentos Oficiais do Estado de São
Paulo, como base para possíveis discussões que outros professores e demais
educadores queiram participara por intermédio de sugestões que serão aceitas até o
próximo dia 31 de janeiro de 1965.
Prof. Benedito Castrucci – Presidente.
Prof. Osvaldo Sangiorgi – Secretário.
Prof. Luiz Mauro Rocha – Membro.
Profa. Renate G. Watanabe – Membro.
Prof. Alcides Bóscolo – Membro.
São Paulo, 13 de janeiro de 1.965.
PRIMEIRO ANO GINASIAL
1. Conjunto dos números inteiros:
a) representação e sistema de numeração;
b) adição e operação inversa, propriedades;
c) multiplicação e operação inversa, propriedades;
d) potenciação e operação inversa, propriedades;
e) prática da extração de raiz quadrada.
2. Divisibilidade:
a) múltiplos e divisores;
b) números primos;
c) máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.
3. Conjunto dos números racionais (inteiros e fracionários):
125
a) representação (fracionária e decimal);
b) adição e operação inversa, propriedades;
c) multiplicação e operação inversa, propriedades;
d) potenciação e operação inversa, propriedades.
4. Estudo intuitivo das principais figuras geométricas.
5. Sistemas de medidas:
a) sistema de medidas;
b) noções sobre outros sistemas, não decimais, em uso.
Observação: Tal programação deverá ser atendida pelo 6º ano primário, que vier a ser
criado nos estabelecimentos de Ensino Primário do Estado.
SEGUNDO ANO GINASIAL
1. Razões e Proporções:
a) razões, propriedades;
b) proporções, propriedades;
c) conjuntos de números direta e inversamente proporcionais;
d) regra de três, porcentagem, juros, câmbio.
2. Conjunto de números racionais relativos:
a) inteiros relativos, operações, propriedades;
b) racionais relativos, operações, propriedades;
c) relação de ordem (desigualdade).
3. Equações e inequações do primeiro grau:
a) noção de variável, tradução de sentenças com uma variável da linguagem
corrente para a linguagem matemática;
b) resolução de equações simples do primeiro grau com uma variável no
conjunto dos racionais relativos, usando as propriedades das operações;
c) resolução de inequações simples do primeiro grau com uma variável no
conjunto dos racionais relativos, usando as propriedades.
126
4. Sistema de inequações simultâneas com uma variável.
5. Sistemas de duas equações simultâneas com duas variáveis;
a) tradução de sentenças com duas variáveis da linguagem corrente para a
linguagem matemática;
b) técnicas de resolução, substituição.
Observação: Tal programação deverá atender inclusive aos alunos que tendo terminado
normalmente o 6º Ano Primário, queiram continuar o Ginásio, ingressando na 2ª série.
TERCEIRO ANO GINASIAL
1. Cálculo Algébrico:
a) polinômios, operações, propriedades;
b) frações algébricas, operações, propriedades.
2. Complementação do estudo das equações e sistemas:
a) equações e inequações do 1º grau com uma variável;
b) sistemas de equações simultâneas do 1º grau.
3. Introdução à Geometria Dedutiva:
a) elementos fundamentais: ponto, reta, semi-reta, segmento, semi-reta,
segmento, semi-plano, ângulo;
b) polígonos, generalidades, estudo dos triângulos: congruência,
propriedades e aplicações.
4. Paralelismo e perpendicularismo:
a) Propriedades fundamentais, postulado de Euclides, conseqüências;
b) Quadriláteros, principais propriedades.
5. Circunferência e Círculo:
a) generalidades, arcos e cordas, propriedades;
b) medida de arcos e ângulo.
6. Construções Geométricas e Transformações:
a) construção com régua e compasso;
127
b) transformações geométricas elementares: translação, rotação e simetria.
Observação: Deverá constar ainda deste programa – a título precário os assuntos: razões
e proporções, que deverão ser ensinados aos alunos provindo de 2
as
séries que não
tenham dado tais assuntos por circunstâncias de adaptação.
QUARTO ANO GINASIAL
1. Conjunto de números reais;
a) primeiras noções de número real e sua representação na reta;
b) radicais: potências com expoente racional relativo, operações e
propriedades.
2. Equações do Segundo Grau:
a) generalidades, resolução;
b) equações biquadradas, equações irracionais;
c) sistemas simples do 2º grau de duas equações com duas variáveis.
3. Funções:
a) função linear e sua representação gráfica cartesiana;
b) resolução gráfica de sistemas de equações;
c) função trinômio do 2º grau, representação gráfica.
4. Semelhança:
a) razão e proporcionalidade de segmentos;
b) teorema de Tales, semelhança de triângulos, semelhança de polígonos;
c) noção de seno e co-seno.
5. Relações métricas:
a) num triângulo retângulo;
b) num triângulo qualquer, lei dos senos e lei dos co-senos;
c) num círculo.
6. Polígonos regulares e medida da circunferência:
128
a) polígonos regulares inscritíveis e circunscritíveis no círculo;
b) construção e relação métrica entre os elementos do quadrado, do triângulo
eqüilátero, hexágono e decágono regulares;
c) noção sobre medida da circunferência e o número PI.
7. Áreas das principais figuras planas.
PRIMEIRO ANO COLEGIAL
1. Funções:
a) noções gerais;
b) função linear, representação gráfica, estudo da reta;
c) função trinômio do 2º grau, variação, representação gráfica, inequações do
2º grau;
d) função exponencial e logarítmica, uso das tábuas.
2. Seqüências:
a) exemplos de seqüências, princípios da indução;
b) progressões aritméticas e geométricas.
3. Funções trigonométricas:
a) estudo das funções trigonométricas, periocidade, simetria, representação
gráfica;
b) relações fundamentais, funções trigonométricas de a (mais ou menos) b,
2ª, a/2, onde a e b representam medidas de arcos;
c) transformação de sen a (mais ou menos) sen b, cos a (mais ou menos)
cos b em produto;
d) equações trigonométricas e resolução de triângulos.
4. Introdução à Geometria do Espaço:
a) axiomas e teoremas fundamentais;
b) perpendicularismo e paralelismo, projeção e distância;
c) diedros.
129
SEGUNDO ANO COLEGIAL
1. Análise Combinatória e Binômio de Newton:
a) análise combinatória simples;
b) noção de probabilidade;
c) binômio de Newton.
2. Sistemas de Equações lineares:
a) matrizes e determinantes;
b) resolução de sistemas lineares.
3. Ângulos Poliédricos e Poliedros:
a) triedros e ângulos poliédricos;
b) poliedros regulares;
c) prismas e pirâmides.
4. Superfícies e Sólidos Redondos:
a) superfícies elementares: cilíndricas, cônicas e de rotação.
b) Cilindro, cone e esfera.
5. Áreas e Volumes dos principais sólidos.
TERCEIRO ANO COLEGIAL
1. Conjunto dos números complexos:
a) conceito, representação, operações, propriedades;
b) raízes da unidade, equações binômias.
2. Polinômios e Equações Algébricas:
a) polinômios, operações, propriedades.
b) resolução de equações algébricas.
3. Geometria Analítica:
a) estudo da reta;
130
b) estudo da circunferência;
c) noções sobre cônicas.
4. Introdução ao Cálculo Infinitesimal:
a) noção de limite e continuidade de funções reais de variável real;
b) derivada de funções racionais e trigonométricas;
c) propriedades das derivadas e aplicação no estudo da variação das
funções.
5. Transformações Geométricas:
a) translação, rotação e simetria, propriedades;
b) semelhança, homotetia, propriedades.
CURSO NORMAL
Matemática e Estatística
(Programa destinado às Escolas Normais e Institutos de Educação)
Matemática
1. Conjunto de números inteiros:
a) número inteiro e sua representação; sucessão dos números inteiros;
b) relação de ordem: propriedades;
c) adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação;
conceito, propriedades, justificação da técnicas operatórias, prova real.
d) numeração; conceito, generalidades (bases modernas), numeração
decimal; Princípio da posição decimal; decomposição de um número
inteiro numa soma de potencias de 10;
e) divisibilidade; múltiplos e divisores; conceito e propriedades, critérios;
números primos; números primos entre si; m.d.c. e m.m.c.; conceito e
propriedades, técnicas.
131
2. Conjunto dos números racionais (inteiros e fracionários)
a) fração: conceito e generalidades; frações equivalentes; transformações;
b) operações com os números racionais; conceito e propriedades; técnicas;
c) representação decimal dos números racionais (números decimais);
operações, técnicas;
d) transformações exata e aproximada; dízimas periódicas.
3. Sistemas de medidas
a) Sistema Métrico Decimal e sestemas não decimais de uso permitido no
Brasil.
b) uso correto da legislação brasileira de medidas, inclusive as relativas à
moeda nacional.
4. Proporcionalidade e aplicações no comércio:
a) razões e proporções; conceito e propriedades;
b) grandezas proporcionais; porcentagem, regras de três;
c) juros simples; desconto; moeda e câmbio.
5. Geometria intuitiva
a) precisão dos conceitos fundamentais de ponto, reta, plano; semi-reta,
segmento, semi-plano; superfície; ângulos; poligonal, polígono; triângulos,
quadriláteros; circunferência, círculo;
b) noção de equivalência entre figuras geométricas planas; áreas das
principais figuras planas;
c) noção de equivalência entre figuras geométricas sólidas; generalidades
sobre os principais sólidos geométricos; áreas das superfícies lateral e
total; volumes respectivos.
6. Prática de resolução de problemas:
a) apresentação das diversas estruturas que participam dos problemas do ensino
primário; uso de sentenças matemáticas e das propriedades das operações
estudadas;
132
b) aplicações algébricas: resolução de equações do 1° grau com uma variável e de
sistemas simultâneos de duas equações do 1° grau co m duas variáveis, no
conjunto dos números reais relativos, usando linguagem de sentenças
matemáticas; prática de gráficos (coordenadas cartesianas).
Estatística
(aplicada à Educação)
1. Origem e natureza dos dados estatísticos.
2. Levantamento estatístico; conceito, fases, conclusão.
3. Representações gráficas; gráficos de informação, de análise, de distribuição.
4. Medidas de posição: a média aritmética simples e ponderada; mediana e
separatrizes; a moda.
5. Medidas de dispersão e de variabilidade.
6. Curva Normal; construção e interpretação.
7. Amostra e população; considerações gerais.
8. Testes psicológicos e pedagógicos; problemas de elaboração, tradução,
padronização e aplicação.
Observação
Dada a importância que representa a formação matemática para o futuro
professor primário, sugere-se a distribuição da programação proposta de Matemática e
Estatística, pelas três séries das atuais Escolas Normais e Institutos de Educação, na
seguinte ordem:
1ª Série:
Matemática: unidades 1 e 2
Estatística: unidades 1, 2 e 3
2ª Série:
Matemática: unidades 3, 4 e 5
133
Estatística: unidades 4 e 5
3ª Série:
Matemática: unidade 6
Estatística: unidades 6, 7 e 8.
134
Anexo B
135
Anexo C
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
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Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
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Baixar livros de Física
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Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
