( PDF ) Adaptação de um modelo térmico de piscina para condições climáticas regionais via RNA e estimação paramétrica do sistema

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Informática

Adaptação de um Modelo Térmico de Piscina para Condições Climáticas

Regionais via RNA e Estimação Paramétrica do Sistema

Enock Tony dos Santos

Belo Horizonte

Agosto de 2008

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Enock Tony dos Santos

Adaptação de um Modelo Térmico de Piscina para Condições Climáticas

Regionais via RNA e Estimação Paramétrica do Sistema

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado do

Programa de Pós-Graduação em Informática do

Instituto de Informática da Pontifícia Universidade

Católica de Minas Gerais, como requisito parcial à

obtenção do título de Mestre em Informática.

Área de Concentração: Ciência da Computação

Linha de Pesquisa: Sistemas de Informação

Orientador: Prof. Dr. Luis Enrique Zárate

Belo Horizonte

2008

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FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Santos, Enock Tony dos

S237a Adaptação de um modelo térmico de piscina para condições

climáticas regionais via RNA e estimação paramétrica do Sistema. /

Enock Tony dos Santos. – Belo Horizonte, 2008.

116f. : il.

Orientador: Luís Enrique Zárate.

Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas

Gerais, Programa de Pós-graduação em Informática.

Bibliografia.

1.Redes neurais (Computação). 2. Energia solar. 3. Estimativa de

parâmetros I. Zárate, Luís Enrique. II. Pontifícia Universidade Católica de

Minas Gerais. III. Título

CDU: 681.3.091:620.91

Bibliotecário: Fernando A. Dias – CRB6/1084

Para Vanessa, meu amor.

AGRADECIMENTOS

Muitas pessoas contribuíram para tornar este trabalho possível. Dessa forma, sou

profundamente grato:

A Deus por me proporcionar coragem e força diante dos desafios encontrados ao longo deste

percurso.

Ao professor Zárate, pela orientação, pelas reuniões esclarecedoras e pelo apoio que sempre

me deu. Pela paciência e entusiasmo ao compartilhar seus conhecimentos em computação e

engenharia comigo. Pela amizade e por me fornecer o suporte necessário para a realização

deste trabalho.

À professora Beth, por ter incentivado esta pesquisa, mesmo sabendo das dificuldades da sua

realização. Pelo apoio técnico e conceitual provido e por estar sempre disponível a me receber

no GREEN.

À Vanessa, pelo seu companheirismo nos bons momentos e também nos difíceis. Por me

ajudar a reencontrar caminhos que eu havia perdido. Por sempre me incentivar, me apoiar e

não permitir que eu desista dos meus objetivos. Por seu amor sem fronteiras. Sem dúvida você

está fazendo a diferença.

Aos amigos que sempre estiveram ao meu lado, Guilherme, Luis, Lu, Alessandra, Cris, Maria

Helena, Júlio e Fabrício, pela amizade e por sempre poder contar com vocês.

Aos meus sobrinhos Henrique e Letícia, que me alegram com sua inocência e brincadeiras.

Ao Jésus e à Maria José, por sempre me acolherem e me apoiarem. Pela companhia,

conversas e conselhos. E por me incentivarem a continuar.

Aos amigos do mestrado, Rogério, Sérgio, Breno, Cassiano, Fabrício e Cristiano que sempre

ajudaram com sugestões, conversas e auxílio.

Aos professores do programa de mestrado Silvio, Poley, Mark, Raquel, Lucila e Ana Maria,

os quais contribuíram muito no meu aperfeiçoamento acadêmico e profissional.

Aos funcionários da PUC e do mestrado, especialmente a Giovana, por estar sempre bem

disposta a receber a todos e a resolver qualquer problema.

Aos amigos da I2, em especial ao Jero e ao Rora por serem pessoas que sempre me apoiaram,

tanto profissionalmente, quanto pessoalmente e que, desde o começo, me ofereceram

condições para a realização dessa pesquisa.

À FINEP e ao CNPq pelo apoio financeiro que permitiu a realização deste trabalho.

RESUMO

Atualmente é crescente o interesse em fontes de energias renováveis, entre elas a fornecida

pelo sol. Para que essas fontes de energia sejam utilizadas de forma eficiente, é necessário que

sejam realizados estudos por meio de modelos matemáticos e simulações, uma vez que

auxiliam em um melhor entendimento de um processo e as relações de causa e efeito que o

compõem. Neste trabalho, é proposta uma estrutura híbrida para simulação do comportamento

térmico de piscinas em diferentes condições climáticas. Essa estrutura utiliza a representação

neural para modelar a temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, temperatura do

ponto de orvalho e umidade relativa do ar. Esses dados climáticos são utilizados como entrada

para um modelo térmico de piscina – o qual tem como saída a temperatura da piscina. A esta

estrutura, foi adicionado um módulo de estimação dos parâmetros da piscina e, com isso, é

possível identificar a variação do volume proveniente da atividade humana. A atividade

humana em uma piscina provoca perda de massa de água, o que altera a dinâmica desse

sistema e, portanto, precisa ser investigada. Os resultados obtidos com a validação dos

modelos neurais e nas simulações utilizando a estrutura proposta indicaram resultados

satisfatórios.

Palavras-chave: Redes Neurais Artificiais; Estimação Paramétrica; Sistemas Híbridos;

Desenvolvimento de Software; Energias Renováveis; Modelo Térmico de Piscinas

ABSTRACT

Today the interest in renewable energy sources, including that provided by the sun, is

growing. For these sources of energy can be used more efficiently it is necessary to study

mathematical models and to do simulations to help in better understanding of a process and

the relationships of cause and effect that composes it. In this work it is proposed a hybrid

structure to simulate the behavior of thermal pools in different climatic conditions. This

structure uses the neural representation for modeling the ambient temperature, maximum

temperature, the dew point temperature and relative humidity. These climate data are used as

input for a model of thermal pool, that have as outputs the temperature of the pool. In this

structure, a module was added to estimate the parameters of the pool and thus it is possible to

identify the changes in volume of pool from human activity. Human activity in a pool causes

lose of body of water, which changes the dynamic of this system and therefore needs to be

investigated. The results obtained with the validation of neural models and simulations using

the structure proposed showed satisfactory results.

Key-words: Artificial Neural Network; Estimation of Parameters; Hybrid Systems; Software

Development; Renewable Energy; Pool Thermal Model

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Transformação de um sistema contínuo em discreto ............................................... 23

Figura 2: Simulação utilizando diferentes métodos ................................................................ 24

Figura 3: Variação da temperatura ao longo de um ano ......................................................... 30

Figura 4: Neurônio artificial ................................................................................................... 32

Figura 5: Funções de ativação ................................................................................................. 33

Figura 6: Rede com única camada .......................................................................................... 33

Figura 7: Rede com múltiplas camadas .................................................................................. 34

Figura 8: Propagação e retropropagação ................................................................................. 35

Figura 9.a: Estrutura híbrida para adaptação de modelos térmicos de piscina ....................... 47

Figura 9.b: Diagrama de blocos da estrutura proposta ............................................................ 47

Figura 10: Mapa das cidades adotadas como referência ......................................................... 49

Figura 11: Esquema das variáveis ambientais ........................................................................ 54

Figura 12: Comparação entre a insolação real ao longo do dia típico do mês de Janeiro e o

valor dados pela função de interpolação ................................................................................. 62

Figura 13.a: Variação da temperatura ambiente para a cidade Belo Horizonte mês de janeiro ..

.................................................................................................................................................. 63

Figura 13.b: Variação da temperatura ambiente de Janeiro a Junho ....................................... 63

Figura 13.c: Variação da temperatura ambiente de Julho a Dezembro ................................... 64

Figura 14: Diagrama de casos de uso do SIPI ........................................................................ 72

Figura 15: Diagrama de atividades do SIPI ............................................................................ 72

Figura 16: Tela principal do SIPI ............................................................................................ 73

Figura 17: Variação de energia no sistema ............................................................................. 74

Figura 18: Variação da Insolação (artigo) ............................................................................... 75

Figura 19: Variação da temperatura ambiente ........................................................................ 75

Figura 20: Informações sobre o SIPI ...................................................................................... 76

Figura 21: Requisitos do software Aestimare ......................................................................... 77

Figura 22: Simulação com o método dos mínimos quadrados recursivos .............................. 78

Figura 23: Simulação on-line com a técnica do passo aleatório ............................................. 80

Figura 24: Informações sobre o Aestimare ............................................................................. 80

Figura 25: Diagrama de casos de uso do RN Klíma ............................................................... 81

Figura 26: Classe utilizada pelo RN Klíma ............................................................................ 82

Figura 27: Funcionamento básico da classe RedeNeuralArtificial ......................................... 83

Figura 28: Diagrama de funcionamento do RN Klíma ........................................................... 84

Figura 29: Tela inicial do RN Klíma ...................................................................................... 85

Figura 30: Mapa das estações ................................................................................................. 86

Figura 31: Informações sobre o software ................................................................................ 86

Figura 32: Diagrama de casos de uso do ASI ......................................................................... 88

Figura 33: Tela inicial do ASI ................................................................................................. 89

Figura 34: Mapa com os pontos de treinamento da rede neural ............................................. 90

Figura 35: Informações sobre o ASI ....................................................................................... 90

Figura 36.a: Variação das temperaturas da piscina e ambiente durante o mês de Janeiro ...... 92

Figura 36.b: Variação das temperaturas da piscina e ambiente durante o mês de Julho ........ 92

Figura 36.c: Variação da insolação durante o dia padrão do mês de Janeiro .......................... 92

Figura 36.d: Variação da insolação durante o dia padrão do mês de Julho ............................ 92

Figura 37: Variação da temperatura da piscina ao longo de um ano ...................................... 93

Figura 38.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 94

Figura 38.b: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ............... 94

Figura 38.c: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de

Janeiro ..................................................................................................................................... 94

Figura 38.d: Variação do parâmetro "b" real e estimado durante o mês de Janeiro ............... 94

Figura 38.e: Ampliação da primeira variação do volume apresentada da Figura 38.c ........... 95

Figura 39.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 96

Figura 39.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de

Janeiro ..................................................................................................................................... 96

Figura 39.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ................ 96

Figura 40.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 97

Figura 40.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de

Janeiro ..................................................................................................................................... 97

Figura 40.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ................ 97

Figura 41.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 98

Figura 41.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de

Janeiro ..................................................................................................................................... 98

Figura 41.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ................ 98

Figura 42.a: Variação da temperatura da piscina durante o mês de Janeiro ........................... 99

Figura 42.b: Variação do volume real e estimado através do parâmetro "a" durante o mês de

Janeiro ..................................................................................................................................... 99

Figura 42.c: Variação do parâmetro "a" real e estimado durante o mês de Janeiro ................ 99

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Dados climáticos coletados para a cidade de Januária/MG .................................... 50

Tabela 2: Erro obtido no processo de treinamento e validação (treinamento com 25 cidades) ...

.................................................................................................................................................. 55

Tabela 3: Treinamento e validação para

T (treinamento com 25 cidades) ........................... 55

Tabela 4: Treinamento e validação para

max

T (treinamento com 25 cidades) ........................ 56

Tabela 5: Treinamento e validação para

T (treinamento com 25 cidades) .......................... 56

Tabela 6: Treinamento e validação para U (treinamento com 25 cidades) ............................. 56

Tabela 7: Validação da temperatura ambiente anual média para o microclima de Ouro

Preto/MG ................................................................................................................................. 57

Tabela 8: Dados comuns às simulações .................................................................................. 91

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................14

1.1. MOTIVAÇÃO .................................................................................................................16

1.2. OBJETIVOS ....................................................................................................................16

1.3. JUSTIFICATIVA.............................................................................................................17

1.4. PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES...................................................................................18

1.5. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO................................................................................19

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA............................20

2.1. GENERALIDADES.........................................................................................................20

2.2. MODELAGEM MATEMÁTICA DE PROCESSOS FÍSICOS......................................20

2.3. REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DE MODELOS ANALÍTICOS LINEARES.....21

2.4. MODELAGEM E REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA FÍSICO – PISCINA ...............25

2.4.1. DESCRIÇÃO FÍSICA DO SISTEMA .......................................................................................25

2.4.2. REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO SISTEMA...................................................................28

2.5 REDES NEURAIS ARTIFICIAIS ...................................................................................31

2.5.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS............................................................................................31

2.5.2. PROCESSO DE TREINAMENTO...........................................................................................34

2.5.3. ALGORITMO DE TREINAMENTO LEVENBERG-MARQUARDT .............................................36

2.5.4. APLICAÇÃO DE REDES NEURAIS ARTIFICIAIS NA ESTIMAÇÃO DE DADOS CLIMÁTICOS.....38

2.6. TÉCNICAS DE ESTIMAÇÃO PARAMÉTRICA...........................................................40

2.6.1. MÉTODOS DOS MÍNIMOS QUADRADOS – OFF-LINE.........................................................40

2.6.2. MÉTODOS DOS MÍNIMOS QUADRADOS RECURSIVOS – ON-LINE.....................................42

2.6.3. TÉCNICA DO PASSO ALEATÓRIO.......................................................................................44

2.7. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................45

3. MÉTODO DE DESENVOLVIMENTO...........................................................................46

3.1. GENERALIDADES.........................................................................................................46

3.2. ESTRUTURA PARA ADAPTAÇÃO DE DADOS CLIMÁTICOS APLICADA A

MODELOS DE PISCINA........................................................................................................46

3.2.1. PREPARAÇÃO DA BASE DE DADOS....................................................................................49

3.2.2. REPRESENTAÇÃO NEURAL DE VARIÁVEIS AMBIENTAIS....................................................52

3.2.3. ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO ....................................................................58

3.3. SÍNTESE DA ESTRUTURA DE ADAPTAÇÃO PROPOSTA.........................................59

3.3.1. SÍNTESE DAS EQUAÇÕES DA ESTRUTURA DE SIMULAÇÃO.................................................59

3.3.2. PSEUDOCÓDIGO DO ALGORITMO......................................................................................65

4. SOFTWARES DESENVOLVIDOS.................................................................................71

4.1. GENERALIDADES.........................................................................................................71

4.2. SIPI.................................................................................................................................71

4.2.1. MODELAGEM DE REQUISITOS...........................................................................................71

4.2.2. APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE .......................................................................................73

4.3. AESTIMARE...................................................................................................................76

4.3.1. MODELAGEM DE REQUISITOS...........................................................................................76

4.3.2. APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE........................................................................................77

4.4. RN KLÍMA ....................................................................................................................81

4.4.1. MODELAGEM DE REQUISITOS...........................................................................................81

4.4.2. APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE .......................................................................................84

4.5. ASI..................................................................................................................................87

4.5.1. MODELAGEM DE REQUISITOS...........................................................................................87

4.5.2. APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE .......................................................................................88

5. SIMULAÇÕES E ANÁLISE DE RESULTADOS..........................................................91

5.1. SIMULAÇÃO 1: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA FRENTE A

VARIAÇÃO DA TEMPERATURA AMBIENTE E DA INSOLAÇÃO.....................................91

5.2. SIMULAÇÃO 2: VARIAÇÃO ANUAL DA TEMPERATURA DA PISCINA................92

5.3. SIMULAÇÃO 3: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO

DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO DEGRAU NO VOLUME ............93

5.4. SIMULAÇÃO 4: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO

DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO RAMPA NO VOLUME...............95

5.5. SIMULAÇÃO 5: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO

DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO EXPONENCIAL NO VOLUME .96

5.6. SIMULAÇÃO 6: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO

DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO RAMPA COM VOLUME INICIAL

DE 150

m E ÁREA DA PISCINA DE 100

m .......................................................................98

5.7. SIMULAÇÃO 7: VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PISCINA E ESTIMAÇÃO

DOS PARÂMETROS FRENTE A VARIAÇÕES DO TIPO RAMPA COM VOLUME INICIAL

DE 75

m E ÁREA DA PISCINA DE 50

m ............................................................................99

CONCLUSÕES.....................................................................................................................100

REFERÊNCIAS...................................................................................................................102

ANEXO I – EQUAÇÃO DIFERENCIAL..........................................................................106

ANEXO II – TRANSFORMADA DE LAPLACE............................................................108

ANEXO III – TRANSFORMADA Z..................................................................................111

ANEXO IV – EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS..................................................................113

ANEXO V – CONCEITOS DE TERMODINÂMICA......................................................115

1. INTRODUÇÃO

Com a redução das bacias hidrográficas e com o crescimento populacional, é observado que

os sistemas hidroelétricos podem não ser capazes de suprir a demanda necessária de energia.

Com isso, se fazem necessários estudos de novas formas de obter essa energia e também, de

modelos que permitam a simulação e a implantação de sistemas que possam utilizar estas

novas formas de captação.

Atualmente, é observado em vários países um crescente interesse pelo uso das fontes de

energias renováveis, como o sol, o vento e as ondas marítimas. No caso do Brasil, o próprio

governo tem incentivado estudos nesse sentido. Um exemplo disso é o Projeto SolBrasil,

financiado pela agência governamental Finep

, com o objetivo de fomentar a utilização de

sistemas alternativos que baseiam-se no aquecimento solar da água.

Especificamente neste trabalho, o foco consiste no modelo térmico de piscina, o qual pode ser

simulado em diferentes locais e condições climáticas diversas após adequações do modelo

para cada região considerada. Os modelos contribuem para o uso mais racional da energia

através do estudo, simulação e desenvolvimento de sistemas onde possam ser utilizadas as

novas formas de energia para diferentes localidades e condições climáticas diversas.

Sistemas de piscina que utilizam como fontes de aquecimento de água a energia solar podem

exercer um papel social importante, uma vez que viabilizam a utilização de piscinas aquecidas

em programas de fisioterapia, recuperação de traumatismos, APAE's e na área hospitalar com

custos acessíveis.

Os modelos térmicos de piscinas existentes na literatura levam em consideração as condições

médias mensais, como o RetScreen que possui mais de 500.000 usuários, do local onde o

estudo foi realizado ou utiliza simplesmente dados aproximados que, em geral, não são

adequados à realidade brasileira. Sendo assim, é necessário criar mecanismos que possibilitem

a inserção de aspectos ambientais (parâmetros climáticos) de outras regiões nos modelos

existentes.

CTENERG0105004800 – 520263/2005-7

Assim, neste trabalho é proposto o uso de redes neurais artificiais (RNAs) para mapear dados

do clima, como a temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, umidade relativa,

temperatura do ponto de orvalho e a utilização desses valores para cálculo da radiação solar, a

partir de entradas de posicionamento geográfico, como altitude, latitude e longitude, o que

permite a simulação de piscinas frente a diferentes condições ambientais e em locais distintos.

Como estudo de caso, foram utilizados dados para o estado de Minas Gerais. As informações

geradas pelas RNAs serão incorporadas ao modelo analítico de piscina proposto por Govaer e

Zarmi em [Govaer e Zarmi, 1981] para estudo da dinâmica do modelo em diferentes

localidades.

Para viabilizar o estudo do impacto da atividade no funcionamento das piscinas foi proposta

uma estimativa da variação do seu volume, que, além de indicar perdas de massa de água por

meio da evaporação, também representa perdas devido à atividade humana. O volume é

determinado indiretamente pela estimação paramétrica do modelo de piscina através do

método dos mínimos quadrados. A estimação paramétrica permite ajustar os parâmetros da

equação diferencial que representa o comportamento da piscina, possibilitando assim, que

informações de variáveis que compõem o processo físico sejam recuperadas. As implicações

da atividade humana na piscina, atribuídas à variação do seu volume, serão investigadas em

trabalhos futuros.

Assim, neste trabalho, o ajuste dos parâmetros climáticos de modelos de piscina, através de

RNA, é tratado e os parâmetros, como o volume, são determinados indiretamente a partir da

estimação paramétrica do modelo. Para isto, um ambiente de simulação, baseado em equações

de diferenças, foi desenvolvido para simular e estimar os parâmetros do processo. É

importante observar que os resultados da estrutura de estimação proposta permitem a sua

implementação real para diferentes condições ambientais, diferentes condições de localização

e dimensões da piscina.

1.1. Motivação

A motivação desta pesquisa consiste em melhorar a representação matemática de processos

físicos, através da incorporação de dados reais fornecidos por RNA e estimação dos

parâmetros do modelo.

Uma vez inseridas informações do ambiente real aos modelos matemáticos utilizando RNA,

adequa-se à realidade da qual os dados foram extraídos. Com isso, é possível incorporar as

condições climáticas brasileiras ao modelo.

Quando se estimam os parâmetros do modelo em estudo, são identificados os coeficientes que

variam no tempo e, assim, ajustando a equação que o representa. Com isso, seria possível

propor uma estrutura de aquecimento de piscina – tema a ser tratado em trabalhos futuros.

A estrutura baseada em RNA e estimação paramétrica proposta neste trabalho é aplicada aos

sistemas de energia solar, o que consiste em mais uma motivação, visto que, devido ao

aumento da demanda pela energia elétrica e a sua escassez, se fazem necessários estudos para

um melhor proveito deste recurso, assim como, formas alternativas de captação do mesmo.

1.2. Objetivos

O objetivo geral deste estudo consiste em propor uma estrutura onde seja possível adaptar um

modelo térmico de piscina para as condições climáticas de regiões específicas – no caso deste

trabalho, o estado de Minas Gerais (Brasil) – e, também, viabilizar a estimação dos

parâmetros do modelo para determinar o volume da piscina, o que permitirá analisar o

impacto de atividade humana na mesma.

Objetivos específicos:

1) Propor uma estrutura que permita incorporar dados climáticos gerados por RNA ao modelo

físico de uma piscina;

2) Representar umidade relativa, umidade do ponto de orvalho, temperatura ambiente máxima

e temperatura ambiente, através de rede neural artificial onde a entrada é composta pela

altitude, longitude e latitude;

3) Incorporar dados climatológicos do estado de Minas Gerais, fornecidos por RNA, ao

modelo térmico de piscina Govaer-Zarmi;

4) Estimar o volume da piscina por meio do método de estimação de parâmetros dos mínimos

quadrados;

5) Criar um ambiente computacional para simulação.

1.3. Justificativa

Devido a alterações nos cenários energético e ambiental mundial, as fontes primárias podem

não ser capazes de suprir a demanda de energia. Desta forma, se faz necessária a criação, o

aperfeiçoamento e o estudo de modelos que possam representar sistemas reais que utilizem os

recursos providos pelas fontes de energias renováveis. Especificamente neste estudo, é tratado

o modelo térmico de piscina.

Como mencionado anteriormente, os modelos térmicos de piscinas encontrados na literatura

trabalham com parâmetros ajustados, como valores médios ou mesmo dados que representam

apenas a realidade de uma determinada região, tornando-os dependentes das condições

ambientais do local. Por isto, estes modelos requerem melhorias, como, por exemplo, a

incorporação de informações climáticas de outras localidades, para que seja possível

flexibilizá-los e torná-los úteis em diferentes regiões geográficas.

Existe, ainda, a necessidade de se investigar o impacto da atividade humana na dinâmica da

piscina, uma vez que esse fator pode contribuir significativamente para alterações no

comportamento dinâmico da mesma. Isto ocorre porque, no caso da atividade humana, por

exemplo, a água é retirada da piscina à medida que as pessoas entram e saem dela. Tal fato

modifica a constante de tempo deste sistema, alterando, portanto, a sua dinâmica. Constata-se

uma variação mais rápida da temperatura da piscina, o que, por sua vez, influencia

diretamente na quantidade de energia necessária para repor a água perdida e, se for o caso,

para elevar a temperatura da água da piscina até aquela que havia sido previamente

estabelecida (aquecimento ativo).

1.4. Principais Contribuições

As principais contribuições deste trabalho consistem na:

1) Proposta de um procedimento e/ou estrutura que permite a representação neural de um

sistema climático a ser utilizado na adaptação de modelos matemáticos de energia solar

existentes em condições ambientais locais;

2) Proposta de um modelo neural para dados climatológicos (umidade relativa, temperatura do

ponto de orvalho, temperatura ambiente máxima e temperatura ambiente) para diferentes

localidades do estado de Minas Gerais, em função de dados de referência geográfica (latitude,

longitude, altitude), dentre outros;

3) Adaptação do modelo térmico de piscina proposto por Govaer e Zarmi [Govaer e Zarmi,

1981] para as condições climáticas do estado de Minas Gerais – Brasil;

4) Desenvolvimento de um ambiente de simulação propício para o modelo de piscina,

permitindo simular variações do volume de água da piscina associado à atividade humana. O

ambiente permite simular modelos de piscinas de distintas dimensões e localizadas em

diferentes regiões geográficas dentro do estado de Minas Gerais;

5) Proposta de uma estrutura de estimação paramétrica do modelo para estimar variações dos

parâmetros principais, especialmente do volume da piscina.

1.5. Organização do Trabalho

Este trabalho se organiza em seis capítulos. No Capítulo 2, é apresentada uma revisão dos

principais conceitos de Modelagem Matemática de Sistemas, Modelos Térmicos de Piscinas,

Redes Neurais Artificiais e Estimação de Parâmetros. No Capítulo 3, é exposta a metodologia

de desenvolvimento utilizada. Como parte dessa metodologia, é desenvolvida a proposta da

estrutura que permite representar informações do clima para o estado de Minas Gerais; a

representação neural para o clima e o estimador de parâmetros utilizado para estimar o

volume da piscina. Os softwares desenvolvidos na pesquisa são apresentados no Capítulo 4.

No Capítulo 5, os resultados de simulações para a estrutura proposta são detalhados e

discutidos. No último capítulo, constam as conclusões e considerações finais.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1. Generalidades

A modelagem de um sistema refere-se à compreensão que se obtém acerca do processo

analisado. A modelagem matemática permite conhecer a relação causa-efeito de uma

determinada observação para obtenção de informações sobre o comportamento do sistema.

A modelagem matemática pode chegar a ser uma atividade complexa e, dependendo do

processo, demandar muito tempo para sua finalização. Na modelagem matemática, três tipos

de modelos podem ser construídos: caixa branca, caixa cinza e caixa preta [Aguirre, 2004].

Na modelagem do tipo caixa branca é necessário que se conheça profundamente o sistema a

ser representado, o que, muitas vezes, não é possível devido ao tempo necessário para estudá-

lo. Já nas representações do tipo caixa preta, são utilizadas técnicas onde não é fundamental

dominar o funcionamento do sistema a ser modelado. Por último, o tipo caixa cinza é uma

representação híbrida dos tipos anteriores.

Neste capítulo, são apresentados alguns aspectos teóricos utilizados no presente trabalho e que

são necessários à modelagem matemática; ao modelo de piscina adotado (modelo caixa

cinza); à representação neural de sistemas (modelo caixa preta) e ao método de estimação

paramétrica dos mínimos quadrados.

2.2. Modelagem Matemática de Processos Físicos

A modelagem matemática é utilizada para a criação de modelos de representação análogos a

processos reais. Um modelo matemático raramente terá todos os aspectos existentes no evento

real. Isso ocorre devido a uma dificuldade inerente à modelagem do tipo caixa branca que

consiste em compreender profundamente o funcionamento do processo a ser representado

[Aguirre, 2004]. Além disso, os modelos matemáticos podem ser complexos e com difícil

solução analítica, o que pode demandar grande esforço computacional. Para contornar estas

questões, normalmente, são impostas restrições a esses modelos, o que acaba por restringi-los

a uma faixa de operação menor.

2.3. Representação Matemática de Modelos Analíticos Lineares

Um sistema pode ser considerado linear se apresentar um comportamento linear e se respeitar

o princípio da superposição, ou seja, ao aplicar duas entradas distintas, o resultado será igual à

soma da saída de cada uma dessas entradas independentes [Ogata, 2003].

Alguns desses sistemas são dependentes da evolução temporal e são compostos por equações

diferenciais. Nesse caso, também podem ser denominados sistemas dinâmicos. Essas

equações que os representam podem ser escritas, também, em outros domínios como o da

variável S (Laplace) e/ou Z (transformada Z). A modelagem de sistemas utilizando outras

formas de representação permite analisar e simular um sistema em condições operacionais

distintas, como, por exemplo, analisar o comportamento do processo antes que se tenha o

sistema físico implantado [Doebelin, 1980].

Alguns sistemas lineares são invariantes no tempo. Isto significa que os coeficientes da

equação diferencial que os representam são constantes ao longo tempo. Ver equação (1).

mnxb

≥++++

=++++

−

,...

...

)(

(1)

Outros sistemas lineares podem ser variantes no tempo, o que implica na variação desses

coeficientes na medida em que o tempo decorre:

mnxb

tttt

≥++++

=++++

−

,...

...

)(

)()()()(

(2)

Neste estudo, sendo o modelo térmico de piscina de 1ª ordem [Govaer e Zarmi, 1981], n e m

assumirão os valores de 1 e 0, respectivamente. A análise temporal destes sistemas é descrita

no Anexo I.

Uma maneira equivalente para modelar o sistema apresentado em (1) é utilizar a transformada

de Laplace para representá-lo no domínio S:

)()(1)(

1)(0)()(1)(

1)(0

......

smsms

snsns

xbsxbxsbxsbyasyaysaysa ++++=++++

−

(3)

A equação (3) pode ser escrita da seguinte maneira:

asasasa

bsbsbsb

++++

−

)(

...

(4)

Os conceitos básicos da teoria de Laplace utilizados neste trabalho são apresentados no Anexo

II.

Para utilizar um computador para simular um modelo matemático de um processo físico, é

necessário utilizar uma forma discreta de representação.

Como pode ser observado na Figura 1, a entrada x, ao ser submetida a um trem de pulso com

tempo de amostragem Ta, tem seu valor mantido constante pelo hold. Ao ser submetida a uma

função

qualquer, gera uma saída y discreta que é equivalente ao resultado obtido no

sistema contínuo análogo dependendo do período de amostragem.

Figura 1: Transformação de um sistema contínuo em discreto

Foi aplicada a transformada Z na equação (4). Como o sistema adotado neste estudo é de 1ª

ordem, com n=1 e m=0, a equação que o representa pode ser escrita como:

)(

asa

(5)

Ao utilizar a tabela de transformação

→

e, supondo 1

010

baa , tem-se:

−

)(

(6)

Note que, para a representação de sistemas reais, a transformação

→

requer a inserção da

função de transferência do hold. Para mais informações a respeito da transformada Z, ver

Anexo III.

Um processo representado por uma equação diferencial também pode ser modelado por uma

equação de diferenças equivalente. Uma maneira de obtê-la é através da utilização do método

de Euler ou da transformada Z. Na equação(2), cosiderando-se n=1, m=0 e 1

010

baa ,

ao empregar o método de Euler, tem-se:

TaxyTay

kkk )()()1(

)1(

−

(7)

onde Ta é o período de amostragem descrito anteriormente. No Anexo IV existem mais

informações a respeito da obtenção da equação de diferenças de um processo.

A Figura 2 demonstra a resposta entre os diferentes métodos de representação dispostos

anteriormente, frente aos mesmos estímulos para um sistema de primeira ordem com n=1 e

m=0:

Figura 2: Simulação utilizando diferentes métodos

Como pode ser observado na Figura 2, as informações obtidas a partir do mesmo modelo de

equação diferencial linear, por diferentes domínios de representação (tempo contínuo,

domínio s e domínio z), produzem valores resultantes similares, o que significa que podemos

utilizar a representação que mais nos convier para a modelagem matemática. No caso de

simulações através de computadores, a representação por meio de equação de diferenças é a

mais adequada. Isto porque, os computadores trabalham com informações em tempo discreto,

assim como este tipo de equação.

2.4. Modelagem e Representação do Sistema Físico – Piscina

2.4.1. Descrição física do sistema

Na literatura existem diversos modelos térmicos para sistemas de piscina

, como pode ser

visto em [Govaer e Zarmi, 1981]; [Almanza e Lara, 1994]; [Croy e Peuser, 1994]; [Haaf,

Luboschik e Tesche, 1994]; [Hahne e Kübler, 1994]; [Molineaux, Lachal e Guisan, 1994];

[Smith, Löf e Jones, 1994] e [Sartori, 2000].

As perdas de energia em uma piscina aberta e sem atividade foram estudadas por Smith, Löf e

Jones em [Smith, Löf e Jones, 1994] e puderam ser observados os principais fatores que

causam perdas de energia no sistema. Foram eles: evaporação (56%), radiação (26%) e

convecção (18%). Com esses resultados foi possível melhorar o modelo utilizado por esses

pesquisadores.

Sartori [Sartori, 2000] também estudou as perdas de energia em uma piscina. Porém,

concentrou os esforços no problema da evaporação por ser o efeito predominante. Nesse

trabalho, foram estudados diferentes modelos de perda por atividade humana, com a

finalidade de determinar um que melhor se adapte aos modelos de piscinas.

Um modelo de piscina foi descrito por Haaf, Luboschik e Tesche [Haaf, Luboschik e Tesche,

1994]. Para sua validação, piscinas foram monitoradas durante três anos para coletar dados.

Molineaux, Lachal e Guisan, em [Molineaux, Lachal e Guisan, 1994], propuseram um modelo

de piscina aquecida que utiliza como fonte de aquecimento coletores solares. Neste estudo

também foram identificados os principais fatores de perda e ganho de energia. Hahne e

Kübler, em [Hahne e Kübler, 1994], desenvolveram um modelo de simulação de piscinas

aquecidas que considera a perda por evaporação uma das principais causas de perda de

energia do sistema onde, a velocidade do vento aumenta este processo.

O ano de 1994 foi um marco para o estudo do comportamento térmico de piscinas devido a publicação de

vários estudos e propostas de equações de balanço de energia.

Croy e Peuser, em [Croy e Peuser, 1994], propuseram maneiras de aquecer piscinas e

estudaram os impactos da atividade humana no sistema de aquecimento de uma piscina. De

acordo com os autores, pôde ser observado que o número de pessoas varia de acordo com a

temperatura ambiente, assim como a temperatura da piscina.

Em piscinas aquecidas, é necessário saber a quantidade de calor a ser fornecida para que a

água mantenha a temperatura desejada. Almanza e Lara, em [Almanza e Lara, 1994],

propuseram uma maneira de calcular essa energia através de balanços de energia.

O sistema físico que representa o comportamento térmico de piscinas e que será adotado neste

trabalho foi modelado por Govaer e Zarmi [Govaer e Zarmi, 1981]. Nesse modelo são

utilizadas condições ambientais para determinar a temperatura da piscina ao longo do tempo

e, por isso, esse modelo pode ser adaptado para funcionar em condições ambientais diferentes

das quais fora projetado para ser operado. O modelo define e ajusta uma equação de balanço

de energia ao longo do tempo, o que permite calcular a energia do sistema a cada instante.

Os parâmetros referentes à piscina e ao ambiente utilizados no modelo são:

: área da piscina (

);

: constante de perda de calor por evaporação (

kPaC/

);

: calor específico da água (

kgKKJ /

);

: variação anual da insolação (

/ mW

);

−

: insolação anual média (

/ mW

);

: amplitude da insolação anual (

/ mW

);

P : pressão do vapor da água ( kPa );

P : pressão de saturação do vapor da água à temperatura do ar ( kPa );

: radiação emitida na região do IV (

/ mW

);

HR.

: umidade relativa (%);

: temperatura da piscina (

);

T : temperatura do solo (

);

T : variação da temperatura ambiente anual (

);

−

: temperatura ambiente anual média (

);

: amplitude da temperatura ambiente anual (

);

U : coeficiente de perda de calor por convecção (

CmW °

);

: coeficiente de perda de calor por radiação (

CmW °

);

U : coeficiente de perda de calor pelo contato com o solo;

: volume da piscina (

);

)(τα

: produto da transmitância e da absorção;

: emissividade;

: densidade da água;

: fase angular da insolação máxima;

: fase angular da temperatura ambiente máxima.

Os termos referentes à insolação e à temperatura ambiente foram definidos em [Govaer e

Zarmi, 1981] como senóides e variam em torno das médias anuais e suas respectivas

amplitudes:

)sen(

1)( It

tIII φω −+=

−

(8)

)sen(

1)( Tat

tTTaTa φω −+=

−

(9)

Nas equações (8) e (9) podem ser observados os termos

. Esses parâmetros são

responsáveis pelo ajuste da senóide e devem ser avaliados para representar a curva destas

informações para o Brasil.

é a freqüência angular e t é o tempo. A expressão (10) descreve

, onde

corresponde ao ano nas unidades desejadas (por exemplo: 365 dias ou 8760h).

T/2

(10)

Nesta pesquisa, os valores de

e R foram ajustados para as condições típicas do Brasil.

O parâmetro

−

será incorporado através de dados gerados por duas redes neurais. Este

processo será detalhado mais adiante.

A pressão de saturação do vapor da água

P é dada pela equação (11). E a pressão do vapor da

água, juntamente com a média da umidade relativa do ar (

HR.

), são dadas pela expressão

(12):

6092.01535.0)(

−

TBTBTP

(11)

)(*.)(

awa

TTPHRTaTP

(12)

Como o modelo proposto por Govaer e Zarmi foi elaborado para funcionar em condições

ambientais diferentes das encontradas no Brasil, o mesmo será adaptado, utilizando técnicas

de redes neurais artificiais, para incorporar condições climáticas brasileiras.

No Anexo V é feita uma sucinta descrição dos principais conceitos de termodinâmica

relacionada ao modelo térmico descrito acima.

2.4.2. Representação matemática do sistema

A equação de balanceamento de energia proposta por Govaer e Zarmi, que modela o

comportamento térmico de piscinas, está representada na expressão (13):

VCRAPPAcUTTAUTTAUU

pawpctstsstatprc

ρρ

ρε

τα

++−+−+−+

)()()()(

)(

)()()()(

)(

(13)

Considere que:

AA )(τα= (14)

prc

AUUB )(

(15)

AUC

(16)

)(

awpc

PPAcUD

−

(17)

RAE

(18)

ρρ

VCF

(19)

Desta forma, tem-se:

FEDTTCTTBAI

tsttatt

+++−+−= )()(

)()()()()(

(20)

0)(

)()()()(

=−++−−++

ttstat

AIEDCTBTTCB

(21)

Considerando:

)()()()( ttstat

AIEDCTBTU

−

(22)

Tem-se:

0)(

)()(

=+++

UTCB

(23)

A equação acima, que foi obtida a partir da expressão (13), será utilizada na representação do

sistema térmico de piscinas. O modelo baseado em equação diferencial foi simulado através

do método Runge Kutta de 4

ordem. De forma a ilustrar esse método, abaixo é apresentado o

algoritmo:

Enquanto (tempo decorrido < tempo total de simulação)

tyk

+++=

hthkyk

)22(

43211

kkkk

++++=

tempo decorrido = tempo decorrido + h

Fim enquanto

h = passo de integração

A Figura 3 demonstra a simulação utilizando o método Runge Kutta para solucionar a

equação(23). Pode ser verificado que os resultados obtidos são semelhantes aos alcançados

por Govaer e Zarmi em [Govaer e Zarmi, 1981] durante a simulação de uma piscina sem

capa.

Figura 3: Variação da temperatura ao longo de um ano

2.5 Redes Neurais Artificiais

2.5.1. Conceitos fundamentais

As redes neurais artificiais são sistemas paralelos e distribuídos [Haykin, 2001] que são

capazes de ajustar uma função matemática para representar um fenômeno. Através de

exemplos (dados coletados), uma RNA é capaz de aprender e generalizar a informação de um

processo para o qual foi treinada e ajustada.

De acordo com Hecht-Nielsen, em [Kovács, 1996], existe sempre, para uma função contínua e

diferenciável qualquer, uma representação neural de três camadas capaz de representá-la,

onde a camada de entrada possui n neurônios, a camada oculta 2n+1 e a camada de saída m,

que é o número de saídas da função original. Isto é possível porque uma função contínua pode

ser representada pela sobreposição de várias outras, desde que a função de ativação dos

neurônios seja uma sigmóide e o intervalo seja restrito.

Para que uma RNA represente um sistema, é necessário que haja um conjunto de dados de

treinamento, que são os estímulos de entrada e as respostas a estes estímulos. No caso do

aprendizado supervisionado, a saída é utilizada para determinar o erro e ajustar os pesos que o

minimizam. Após o treinamento, a rede é capaz de extrapolar a informação obtida durante o

processo de treinamento e fornecer respostas a estímulos que não fizeram parte desta etapa.

Uma RNA é composta por neurônios artificiais. A representação de um neurônio artificial é

relativamente semelhante a um neurônio humano, isto porque, o sintético foi inspirado no

neurônio biológico, com o intuito de criar um modelo de vida artificial.

Figura 4: Neurônio artificial

A Figura 4 demonstra a representação do neurônio artificial. Assim como no neurônio

biológico, existem os dendritos, as sinapses, os axônios e o núcleo.

Os dendritos, as sinapses, o núcleo e os axônios do neurônio biológico são representados,

respectivamente, pelas entradas ( n

xxx ,...,,

21 ); pelos pesos sinápticos ( n

www ,...,,

21 ); pela

soma dos produtos das entradas pelos pesos correspondentes ( nn

wxwxwx ,...,,

2211 ) e pela

saída ( k

) do modelo neural artificial.

O núcleo também é chamado de soma, pois, nele é efetuada a soma dos resultados obtidos nas

etapas anteriores. Também é somado no núcleo um coeficiente de polarização ( k

)

denominado Bias.

No neurônio biológico, durante a passagem dos resultados obtidos no núcleo pelo axônio, é

realizado um processo químico que faz com que o resultado seja modificado. E é exatamente

isto que a função de ativação (f) descreve. No caso de um neurônio artificial binário, por

exemplo, podemos definir nesta função que, para valores superiores a um certo limiar

, a

saída seja 1 e, para valores iguais ou inferiores, seja 0.

Assim como existem neurônios binários onde a saída será sempre 0 ou 1, também existem

neurônios que podem fornecer outras respostas. Desta forma, existem as funções de Limiar

(Passo), Linear por Partes (Rampa ou Linear) e Sigmóide.

Figura 5: Funções de ativação

Na figura 5, podem ser observados os diferentes tipos de comportamento das funções de

ativação passo (a); rampa (b) e log- sigmóide (c).

A função sigmoidal tem a forma de 'S' e pode ter diferentes inclinações. Para que isto ocorra,

basta variar o parâmetro relativo à inclinação. Esta é a função mais utilizada em redes neurais

artificiais [Haykin, 2001].

Para utilizar uma rede neural artificial para abordar um sistema, é necessário que seja

escolhida a arquitetura mais adequada para representá-lo. Por exemplo, redes com apenas uma

camada são capazes de resolver apenas problemas que podem ser linearmente separados. Já as

redes recorrentes, são utilizadas para questões que envolvem processamento dinâmico em

função do tempo.

Uma RNA é classificada como única camada se existir apenas uma camada onde ocorre o

processamento da informação, a camada de saída. Na camada de entrada não é realizada

computação.

Figura 6: Rede com única camada

Para que uma rede neural artificial seja classificada como uma rede que possui múltiplas

camadas, é necessário que exista, pelo menos, mais uma camada de neurônios entre as

camadas de entrada e a de saída.

Nesse tipo de rede, as camadas que ficam entre as camadas de entrada e saída são chamadas

de camadas ocultas e são normalmente denominadas n

hhh ,...,,

21 .

Figura 7: Rede com múltiplas camadas

2.5.2. Processo de treinamento

Para o processo de treinamento, será utilizado o algoritmo backpropagation ou

retropropagação, variação Levenberg-Marquardt, que é utilizado para o treinamento de redes

multicamadas com uma única saída.

Neste algoritmo, após ser obtida uma saída da rede, é calculado o erro entre esse valor e o

valor desejado. A diferença entre eles (erro) é utilizada para o ajuste dos pesos da rede.

O ajuste é realizado no sentido saída-entrada, ou seja, na medida em que o conjunto de

treinamento é utilizado, vão sendo obtidos resultados no sentido entrada-saída ou esquerda

para direita. Quando é observado um erro, é realizada a correção (ajuste dos pesos da rede),

que é feita no sentido inverso (da direita para esquerda) ou no sentido da saída para a entrada

da rede, ajustando-se também os valores dos pesos das camadas ocultas.

Figura 8: Propagação e retropropagação

Na Figura 8 podem ser observados os fluxos da propagação (setas contínuas) e da

retropropagação (setas pontilhadas). Esse último é o responsável pelo ajuste das arestas do

grafo da rede.

A seqüência de propagação e retropropagação é dada pela seguinte sinopse:

Considere

xxx ,...,,

os conjuntos de treinamento

ipii

xxxxxxx

,,22,21,2,12,11,1

,...,,...,,,...,,...,,

, os elementos de cada um destes conjuntos e

∫∫

(.)(.)...

a função de ativação. Onde p é o número do conjunto de treinamento.

Para cada conjunto de treinamento,

d representa a saída desejada,

y a saída obtida e

e o erro, onde

iii

yde

−

As saídas dos perceptrons de uma rede com uma camada oculta (h) são dadas pela

expressão

∫

∑

pijipj

xwi

com

, onde o elemento

é a constante de

polarização (Bias) e N o número de entradas da primeira camada de neurônios.

Com a formulação acima, podemos observar que o cálculo da saída da camada oculta de

um neurônio nada mais é que o somatório do produto das entradas pelos pesos

correspondentes que têm o resultado multiplicado pela função de ativação.

Já para o cálculo da saída

y , o processo é praticamente o mesmo. O que difere são

apenas as entradas do perceptron da camada de saída que são os resultados gerados pela

camada oculta. Sendo assim, temos que

∫

∑

kjpk

iwo

, onde o indica a camada de

saída.

Uma vez realizada a propagação e computado o resultado da rede, é necessário que seja

feita a retropropagação para ajustar os pesos sinápticos com base no erro quadrático.

O erro quadrático é calculado a partir do somatório de todos os erros e é computado

utilizando a expressão

∑

Uma vez calculado o erro quadrático, é necessário encontrar o gradiente do erro que é

dado por

E =∇

, que resulta em

tkj

Eww ∇−=

)()1(

tkj

idww µ−=

+ )()1(

, onde

∫

∑

kjpk

iwdd

Desta forma,

tkj

idww µ−=

+ )()1(

é utilizado para ajustar os pesos da camada de

saída e, por analogia,

tkj

tji

xdww µ−=

+ )()1(

é aplicado para adequação dos valores

das arestas da camada oculta, onde

∑

pkpj

wdid

, e

é a constante de força para

a correção do erro.

2.5.3. Algoritmo de treinamento Levenberg-Marquardt

O algoritmo de treinamento Levenberg-Marquardt (LM) é derivado do método de

convergência rápida do gradiente proposto por Newton. Esse algoritmo possui alta

performance, uma vez que é capaz de terminar o treinamento com eficiência satisfatória,

aceitável generalização e rápida convergência em poucas épocas [Bittencout, 2007]. Devido a

essas características, o algoritmo de treinamento Levenberg-Marquardt será adotado neste

trabalho.

Durante o processo de ajuste dos pesos, o algoritmo LM utiliza matrizes Jacobianas e

Hessianas – primeira e segunda derivadas, respectivamente – que equivalem à razão entre o

gradiente e a segunda derivada com respeito aos pesos e às bias, conforme a equação (24).

ε∇

−=∆

(24)

onde o gradiente e a matriz Hessiana são dados por:

)()( n

eJ=∇ε (25)

)()( n

JJH =

(26)

onde

)(n

J é a matriz Jacobiana dos pesos e das bias e

)(n

e é o erro obtido durante o processo

de treinamento da rede. Ao substituir (25) e (26) em (24) tem-se:

)()(

w −=∆ (27)

À equação (27) deve ser adicionado o termo I

para garantir que a segunda derivada seja

sempre finita. Desta forma, o método Levenberg-Marquardt é definido por:

IJJ

µ+

−=∆

)()(

(28)

2.5.4. Aplicação de Redes Neurais Artificiais na estimação de dados climáticos

Como será visto através da literatura, o uso de Redes Neurais Artificiais tem se tornado uma

alternativa para representar o comportamento climático. Isto se deve, principalmente, à

dificuldade de modelar analiticamente estes tipos de sistemas.

Costa e Pasero, em [Costa e Pasero, 2001], utilizaram redes neurais artificiais para tentar

prever as informações de temperatura ambiente, umidade relativa do ar, velocidade e direção

do vento. Para isso, foi empregada uma rede neural recorrente com esses quatro parâmetros na

camada de saída. Porém, de acordo com os autores, as informações obtidas da umidade

relativa do ar e da velocidade do vento não foram satisfatórias. Com relação a este trabalho,

uma possível causa da má qualidade dos resultados obtidos pela rede neural é devido às RNAs

funcionarem melhor quando se tem apenas um parâmetro na camada de saída. Uma vez que

uma rede neural contém mais de um parâmetro de saída, os pesos são, de certa forma,

forçados a modelar em uma única função vários sistemas distintos e, com isso, a RNA pode

não conseguir atender aos modelos adequadamente.

Em [Maqsood, Khan e Abraham, 2004], foram realizados experimentos com diferentes

arquiteturas neurais para detectar quais delas são mais adequadas para a previsão de

informações climáticas. Os melhores resultados foram obtidos ao empregar redes neurais

multicamadas e redes recorrentes.

Em [Zarzalejo, Ramirez e Polo, 2005], foi realizado um estudo que compara a eficiência dos

resultados obtidos após a aplicação das técnicas de lógica nebulosa, regressão linear e redes

neurais artificiais para a representação da irradiação solar. As técnicas baseadas em lógica

nebulosa e redes neurais apresentaram melhor desempenho e nível de confiança de 95%.

Dentro da área de conforto climático, a fim de investigar os impactos causados pela

temperatura ambiente e pela umidade relativa do ar no consumo de energia elétrica, devido

principalmente ao aumento da utilização de condicionadores de ar no verão, Ferik e Belhadj,

em [Ferik e Belhadj, 2004], e Ferik, Hussain e Sunni, em [Ferik, Hussain e Sunni, 2005],

empregaram técnicas de redes neurais artificiais para modelar informações climáticas e

investigar os efeitos do clima em um ambiente fechado com condicionadores de ar.

Kolokotroni, Zhang e Watkins, em [Kolokotroni, Zhang e Watkins, 2006], também utilizaram

técnicas de redes neurais artificiais para representar as informações de temperatura ambiente

para ajudar a prever a demanda de energia elétrica em zonas de maior calor.

A estimação da insolação e da radiação foram discutidas por [Elminir, Areed e Elsayed, 2004]

e [Mellit et al, 2005], respectivamente. Em [Elminir, Areed e Elsayed, 2004], foram utilizadas

técnicas de redes neurais artificiais multicamadas e, com base nos resultados, foi constatado

que as RNAs possuem uma boa acurácia para representação desse tipo de informação. Mellit

et al, em [Mellit et al, 2005], empregaram técnicas de redes neurais artificiais para estimar a

radiação solar. O modelo híbrido, utilizando RNA e a biblioteca de transição de matrizes de

Markov, que foi proposto foi capaz de estimar os valores da radiação solar com erro inferior a

8%, o que permite constatar a validade do modelo proposto e da utilização de redes neurais

artificiais na representação de informações climáticas.

Para modelar e controlar variáveis que compõem o clima, dentre elas a temperatura ambiente

e a umidade relativa do ar, Basu et al, em [Basu et al, 2006,] propuseram um framework que

utiliza técnicas de redes neurais artificiais, algoritmos genéticos e lógica nebulosa para

representar as informações climáticas e também para controle do clima em um ambiente

controlado.

Mubiru e Banda, em [Mubiru e Banda, 2007], adotaram técnicas de RNA para modelar a

irradiação solar. Para associar a irradiação a localidades distintas, foram utilizados, além de

informações climáticas, os parâmetros de localização – latitude, longitude e altitude – como

entradas do modelo neural. Os resultados obtidos com o modelo neural foram comparados

com medições reais e com equações provenientes de modelos empíricos. De acordo com

Mubiru e Banda, a representação neural foi mais eficiente e isto ocorreu porque as redes

neurais são capazes de descrever melhor a natureza não linear da irradiação do que os

modelos empíricos convencionais.

Como visto na literatura, as técnicas de redes neurais artificiais são amplamente utilizadas na

representação de informações climáticas e constituem uma excelente perspectiva se

considerarmos a relação de eficiência versus custo de aprendizado do fenômeno estudado.

Desta forma, neste trabalho, serão empregadas técnicas de RNA na representação de

informações do clima, necessárias para adaptação do modelo de piscina a condições

climáticas regionais.

2.6. Técnicas de Estimação Paramétrica

O princípio do método dos mínimos quadrados foi formulado por Gauss no final do século

XVIII para determinar as órbitas dos planetas. Esse método pode ser aplicado a sistemas

dinâmicos com entrada x que possam ser escritos na forma

ϕθ

Y , onde

representa os

dados de entrada/saída do sistema e

os parâmetros que serão estimados. Em [Zárate, 1991]

foram estudadas e comparadas as principais técnicas utilizadas para a estimação de

parâmetros single-input and single-output (SISO).

2.6.1. Métodos dos Mínimos Quadrados – Off-Line

As principais técnicas de estimação de parâmetros em tempo real são derivadas do método

dos mínimos quadrados recursivos e, este último, é uma adaptação do método off-line. Dessa

forma, se faz necessário explicitá-los. Primeiramente, iniciaremos com o método para a

estimação de parâmetros off-line.

Considere o sistema dinâmico com entrada simples }{

)(t

x e sua respectiva saída }{

)(t

y .

Suponha que os sinais são amostrados em tempos discretos nk ,...,3,2,1

e podem ser obtidos

a partir da equação:

)()()1(1)()1(1)(

......

kmkmknknkk

exbxbyayay

−−−−

(29)

)(k

e é introduzido no cálculo como erro de ajuste e , na teoria de regressão linear, é conhecido

como “resíduo”.

Definimos como o vetor que representa as entradas e as saídas do sistema o vetor

[

]

mkknkkkk

xxyyy

)()1()()2()1()(

,...,,,...,,

−−−−−

−−=ϕ (30)

e o vetor dos parâmetros que serão estimados

[

]

bbbaaa ,...,,,,...,,

2121

=θ (31)

Considere um sistema linear e invariante no tempo, ou seja, onde o parâmetro

seja

constante. Para este sistema a solução para

é dada por:

ϕθ

(32)

Para um sistema, entre o instante k até um instante N, teremos:





































−−−













−+++−+++++

−+−+−

−−−−−

)(

)2(

)1(

)(

)2(

)1(

)()1()()2()1(

)1()()1()1()(

)()1()()2()1(

)(

)1(

)(

,...,,,...,,

NNmNkNknNkNkNk

mkknkkk

xxyyy

MMMM

(33)

Observe que a estimação de parâmetros é realizada através da construção de um sistema de

equações, a partir de informações do processo que está sendo estudado, e que a representação

matricial facilita a representação e também a solução dessas expressões. Por se tratar de um

sistema de equações, o número dessas deve ser igual ao número de parâmetros que serão

estimados para que seja possível encontrar uma solução.

Os valores de Y e

são conhecidos. E, para estimar os valores

, deve-se minimizar a

função de erro

)(θN

J :

∑

eee

)(

(34)

Como Ye

−

ϕθ

e eeJ

)(θ

, teremos:

(

)

(

)

ϕθϕθϕθϕθϕθϕθ

TTTTTT

YYYYYYJ +−−=−−=

)(

(35)

Para minimizar

)(θN

J , deve-se derivar 0

)(

∂

θθ

θN

( )

θθ

ϕθϕϕϕθϕϕ

θθ

ˆˆ

)(

++−−=

∂

TTTTT

( ) ( )

θθ

θϕϕθϕϕϕϕ

θθ

ˆˆ

)(

++−−=

∂

TTT

( ) ( )

θθ

θϕϕθϕϕϕϕ

θθ

ˆˆ

)(

++−−=

∂

TTTT

( )

θθ

θϕϕϕ

θθ

)(

+−=

∂

( )

ϕϕϕ

ϕϕ

−

== (36)

Na identificação off-line, a expressão acima resulta no vetor de parâmetros estimados

desejados.

2.6.2. Métodos dos Mínimos Quadrados Recursivos – On-Line

Para um sistema onde seja necessária a estimação dos parâmetros em tempo real, tal qual um

sistema dinâmico onde os parâmetros da expressão que o representam são variantes no tempo,

a equação (35) para uma estimação on-line pode ser definida como:

(

)

)()(

)()()(

yϕϕϕθ

−

= (37)

Considere N o número de expressões capazes de apresentar uma solução numérica para o

vetor de parâmetros

)(

θ . Desta forma, para o próximo instante tem-se:

(

)

)1()1(

)!()1()1(

−

+++

yϕϕϕθ (38)

A idéia de recursividade ocorre ao obter o instante N+1, a partir do instante N, sem ter que

inverter a matriz da equação (36). Isto é possível ao utilizar o teorema de inversão de matriz:

1111111

)()(

−−−−−−−

+−=+ DABDACBAABCDA (39)

Para se aplicar o teorema acima na expressão (37), esta deverá estar na mesma forma

apresentada na equação (39).

Considerando-se

(

)

)()()(

−

P ϕϕ e

(

)

)1()1()1(

−

+++

P ϕϕ , pode ser obtido [Lennart,

1985]:

(

)

(

)

[

]

)1()1(

)(

)1()1()()()1(

−

+++

+=+=

NNN

PP ϕϕϕϕϕϕ

Ao forçar

)(

−

PA ,

)1( +

B ϕ , C = 1 e

)1( +

=ϕ , obtemos, como desejado, a expressão

(37) na forma da (39):

[

]

)()1(

)1()()1()1()()()1(

NNN

NNNNN

PPPPP

−

++++

+−= ϕϕϕϕ (40)

A partir da equação (38) é obtida a equação abaixo:

(

)

)1()1()1()1()1(

)!()1()1(

+++++

−

+++

NNN

yPy ϕϕϕϕθ

[ ]













+++

)1(

)(

)!()()1()1(

NNN

P ϕϕθ

[

]

)1()1()()()1()1(

++++

NNN

yyP ϕϕθ

(41)

Substituindo a equação (40) na equação (41) obtém-se:

[

]

(

)

[

]

(

)

)1()1()()()()1(

)1()()1()1()()()1(

+++

−

++++

+×+−=

NNN

NNNNN

yyPPPP ϕϕϕϕϕϕθ

[

]

[ ]

)1()1()()1(

)1()()1()1()()()(

)()1(

)1()()1()1()()1()1()()()()()1(

+++

−

+++

−

++++++

+−×

×+−+=

NNN

NNNN

NNN

NNNNNNN

NNN

yPPPy

PPPyPyP

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕθ

Após agrupar os termos em comum:

[

]

[ ]

)1()()1(

)()()()1()1()1()(

)()()()1(

+++

−

NNNN

NNN

yPyP

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕθ

A partir da equação (36), sabe-se que

)()()()(

NNN

yP ϕθ =

. Sendo assim, pode se obter:

[ ]

[

]

)()1()1(

)1()()1(

)1()(

)()1(

ˆˆ

θϕ

ϕϕ

θθ

−×

+= (42)

A estimação dos parâmetros θ

é realizada a partir da equação (42) e a matriz P é atualizada

utilizando-se a equação (40).

2.6.3. Técnica do passo aleatório

Em [Zárate, 1991], foi estabelecido que a técnica dos mínimos quadrados de passo aleatório

(Random Walk) apresentou maior eficiência quando comparada a outras técnicas como Filtro

de Kalman e Variável Instrumental.

Para a técnica do passo aleatório, é somada a matriz

][Q

à equação (40), o que aumenta a

força de correção do algoritmo.

A matriz

][Q

contém em sua diagonal elementos relacionados aos parâmetros do sistema.

Deve-se identificar o elemento que representa o parâmetro com variação mais rápida e atribuir

o valor zero aos demais elementos, repetindo este processo até que se encontrem os

parâmetros invariantes.

O algoritmo do passo aleatório é descrito a seguir:

Iniciar

)0(

θ e

);0(

)0(

][Q

)1()()1(

)1()(

)1(

ϕϕλ













−+=

+++

+ )(

)1()1()1(

)()1(

ˆˆˆ

kkk

yk θϕθθ

{

}

][

)()1()1()(

)1(

PKP

kkk

−

)(1 ipassokk

→

Observe que 1

e que I deve ser da ordem de

10 ou superior.

2.7. Considerações Finais

Neste capítulo, foram apresentados conceitos fundamentais que serão aplicados no

desenvolvimento da estrutura para modelar o sistema térmico de piscinas adaptado a

condições climáticas para o estado de Minas Gerais, Brasil.

3. MÉTODO DE DESENVOLVIMENTO

3.1. Generalidades

Foi demonstrado ao longo do capítulo anterior que, assim como os modelos matemáticos são

capazes de representar sistemas de diversos tipos, as redes neurais também podem exercer

essa função. Contudo, as RNAs propiciam uma representação na qual não é necessário

dominar por completo os princípios físicos entre os diversos parâmetros que compõem um

sistema – o que é um fator que motiva a sua utilização diante das facilidades computacionais e

de tempo de desenvolvimento que podem proporcionar. Neste trabalho, as redes neurais serão

utilizadas para previsão de dados climáticos (umidade relativa, temperatura ambiente máxima,

temperatura ambiente, temperatura no ponto de orvalho e temperatura do céu) para o estado

de Minas Gerais.

Tendo como objetivo a obtenção de uma estrutura para simulação do comportamento térmico

de piscinas adaptadas às condições climáticas brasileiras, é proposta a utilização da estrutura

apresentada na seção (3.2) para modelagem, adaptação, estimação e recuperação de

informação do sistema térmico dinâmico para piscinas. Essa estrutura combina técnicas de

modelagem matemática com tecnologia de RNA e estimação de parâmetros, o que

proporciona um ambiente híbrido, eficiente e, em certo ponto, simples de ser adotado e

implantado.

3.2. Estrutura para Adaptação de Dados Climáticos Aplicada a Modelos de

Piscina

Para que seja possível adaptar um modelo físico matemático que representa um processo

térmico de uma piscina para operar nas condições climáticas do estado de Minas Gerais,

propomos a utilização da estrutura apresentada na Figura 9.a que integra técnicas de redes

neurais artificiais com estimação de parâmetros. Observe que o modelo resultante é baseado

no modelo neural, no modelo físico e na estimação de parâmetros, o que iremos denominar de

modelo híbrido.

Figura 9.a: Estrutura híbrida para adaptação de modelos térmicos de piscina

Na Figura 9.b são apresentados os detalhes de cada módulo existente na Figura 9.a, assim

como as variáveis envolvidas no processo e o fluxo das informações.

Figura 9.b: Diagrama de blocos da estrutura proposta

No módulo neural, detalhado na seção 3.2.1, existem quatro redes neurais (RNA UMID que

fornece os valores da umidade relativa do ar; RNA TAMB que tem como saída a temperatura

ambiente; RNA TMAX que gera os valores da temperatura ambiente máxima e RNA TDW

de onde são obtidos os valores da temperatura do ponto de orvalho) que alimentam o módulo

tceu, que é composto por uma equação matemática, que é utilizada para calcular a

temperatura do céu:

273))90cos(013,0000073,00056,0711,0)(273(

25,02

−+++=

dwdwaceu

TTTT (43)

onde os valores de

T e

T são fornecidos pelas RNA apresentadas na Figura 9.b.

No módulo correspondente ao modelo do processo físico de piscina, as informações

climáticas estimadas e calculadas no módulo neural são utilizadas para alimentar a equação do

modelo físico da piscina. Com estas informações, pode ser realizado também o cálculo da

radiação solar que, para o modelo de piscina adotado [Govaer e Zarmi, 1981], é obtido através

da equação [Ashrae, 1995]:

(

)

*66970,00000005*0,96 TceutpR −= (44)

tp e

Tceu representam, respectivamente, a temperatura da piscina e a temperatura do céu

expressos em graus Kelvin elevado à quarta potência.

No módulo de estimação, as informações obtidas no módulo neural e do processo físico são

reutilizadas para estimar os parâmetros da equação diferencial que representa o processo e,

assim, estimar o volume da piscina. A informação desse processo é detalhada na seção 3.2.2.

3.2.1. Preparação da base de dados

A base de dados climáticos considerada neste trabalho foi composta por diversas bases de

dados obtidas através de contato com diversas instituições privadas e governamentais. Essa

base de dados foi utilizada para a representação neural dos dados climáticos e possui

informações climatológicas de 28 cidades do estado de Minas Gerais, coletadas durante 10

anos (1996-2006), conforme a figura abaixo:

Figura 10: Mapa das cidades adotadas como referência

As informações disponíveis na base de dados, inicialmente, eram compostas pela data da

medição, longitude, latitude, altitude, temperatura ambiente máxima e mínima, temperatura

ambiente às 9h, 15h e 21h, temperatura do ponto de orvalho às 9h, 15h e 21h e umidade

relativa do ar. Uma pequena amostra dos dados segue na tabela abaixo:

Tabela 1: Dados climáticos coletados para a cidade de Januária/MG

Data Longitude

Latitude

Altitude

TMin

TMax

T9h T15h T21h

Tdw9h

Tdw15h

Tdw21h

Umidade

1/1/1996

-44,37

-15,43

474

21,5

96,99

1/1/1997

-44,37

-15,43

474

29,5

28,3

24,4

22,4

20,3

75,44

1/1/1998

-44,37

-15,43

474

21,6

35,3

29,7

34,3

25,4

18,4

19,8

20,4

60,3

1/1/2000

-44,37

-15,43

474

26,4

22,9

25,8

23,3

21,6

22,1

22,4

90,47

1/1/2001

-44,37

-15,43

474

28,1

22,4

23,4

21,9

21,6

21,8

20,8

93,24

1/1/2002

-44,37

-15,43

474

21,6

27,8

24,7

25,3

23,1

23,2

23,3

22,5

93,24

1/1/2003

-44,37

-15,43

474

20,6

29,8

25,1

22,3

23,1

23,4

87,36

1/1/2004

-44,37

-15,43

474

21,7

34,2

28,7

30,3

27,1

20,6

22,1

67,68

1/1/2005

-44,37

-15,43

474

21,2

34,3

28,2

33,7

26,7

19,4

18,1

58,03

1/1/2006

-44,37

-15,43

474

20,3

29,7

24,5

29,1

23,9

20,1

19,3

21,1

75,21

Os dados climáticos apresentados na Tabela 1 são da cidade de Januária, uma das 28 cidades

existentes na base de dados. Como pode ser observado, existem dados ausentes. Nesses casos,

os registros foram descartados.

A temperatura ambiente média diária é calculada pela equação (45), conforme recomendação

do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET):

5/)21*29( TMinTMaxhThTT +++= (45)

A temperatura do ponto de orvalho média diária foi calculada através das informações

existentes na base de dados. Porém, isso foi realizado com o cálculo da média entre os valores

das medições realizadas da temperatura do ponto de orvalho ao longo de cada dia.

3/)21159( hThThTT

dwdwdwdw

++= (46)

Originalmente, a base de dados já estava dividida por cidades. As informações de cada cidade

foram subdivididas em função de cada conjunto <cidade, mês>. Isso foi necessário porque

foram utilizados valores médios mensais da umidade relativa, temperatura ambiente,

temperatura ambiente máxima e temperatura do ponto de orvalho para o processo de

treinamento das redes neurais artificiais. Para o conjunto de validação foram utilizados os

dados diários.

Para cada conjunto <cidade, mês> foram eliminados os outliers, ao considerar apenas os

dados que estavam entre dois desvios padrão acima ou abaixo da média. Ao adotar x como o

dado,

o desvio padrão e x a média da população, tem-se:

xxx +≤≤− σσ *2*2 (47)

As informações médias diárias e mensais da umidade, temperatura ambiente, temperatura

ambiente máxima e temperatura do ponto de orvalho; e as informações de posicionamento,

latitude, longitude e altitude foram normalizadas no intervalo entre [0,2:0,8]. De acordo com

Tarca e Cooke, em [Tarca e Cooke, 2005], e Altincay e Demirekler, em [Altincay e

Demirekler, 2002], ao normalizar as entradas de uma rede neural que tem função de ativação

sigmoidal nesse intervalo, a rede neural aumenta sua capacidade de extrapolação.

As funções de normalização e de desnormalização são dadas, respectivamente, por:

) - L) / (L (Lo - LLn (Lo)f

minmaxmin==

(48)

min1max - Ln) * L ( Ln * LLo (Ln)f

+==

(49)

onde Lmin e Lmax são calculados, respectivamente, através das equações abaixo:

Lmin = (4 x LimiteInf – LimiteSup) / 3 (50)

Lmax = (LimiteInf – 0.8 x Lmin) / 0.2 (51)

Nas equações (50) e (51), LimiteInf representa o elemento com menor valor no conjunto

considerado e LimiteSup o maior.

Os procedimentos utilizados para a preparação dos dados de treinamento podem ser

resumidos na seqüência de passos abaixo:

1. Eliminar registros com valores ausentes:

Se (

d = ausente) => eliminar

d ; j=1...13

2. Dividir a base de dados por mês e por cidade;

3. Calcular e incluir na base de dados as informações diárias da temperatura

ambiente média, conforme a equação (45), temperatura ambiente máxima e da

temperatura média do ponto de orvalho, conforme a equação (46);

4. Excluir os registros onde, em pelo menos um dos campos – temperatura ambiente,

temperatura ambiente máxima, temperatura do ponto de orvalho e umidade –, a

informação esteja abaixo ou acima da condição estabelecida pela equação (47):

Se (

⊄

d ]*2,*2[ xx +− σσ ) => eliminar

d ; j=1...15

5. Para cada tupla <cidade, mês>, calcular a média mensal de cada variável por

cidade;

6. Para o conjunto de treinamento, foram utilizadas as informações médias de cada

tupla <cidade, mês> de cada mês;

7. Para o conjunto de validação, foram considerados os dados diários de cada mês;

8. Normalizar os dados de treinamento e validação utilizando o intervalo entre

[0,2:0,8].

É importante observar que o conjunto de treinamento será composto por 12 sub-conjuntos, um

para cada mês e para cada parâmetro (temperatura ambiente, temperatura do ponto de orvalho

e umidade) que será mapeado pelas RNAs. Cada conjunto de treinamento contém 28

registros.

3.2.2. Representação neural de variáveis ambientais

As variáveis ambientais foram representadas por redes neurais artificiais cujo treinamento foi

realizado utilizando-se o algoritmo de treinamento Levenberg-Marquardt. A arquitetura

adotada é a MLP. Assim como discutido por Hecht-Nielsen em [Kovács, 1996], foram

utilizados 2n+1 neurônios na camada escondida de cada RNA, onde n representa a quantidade

de entradas.

O processo de treinamento das RNAs para representar as variáveis ambientais foi realizado

utilizando-se o software MATLAB versão 6.5. Já a operação foi realizada pelo simulador

desenvolvido para operar o modelo de piscina juntamente com a estrutura proposta.

Foram modeladas, utilizando redes neurais artificiais, as variáveis responsáveis por fornecer

os valores da umidade relativa do ar, temperatura ambiente e temperatura do ponto de

orvalho. Estas informações podem ser representadas, respectivamente, pelas funções abaixo:

As equações (52.a), (52.b), (52.c) e (52.d) podem ser representadas na forma de esquema

conforme a figura abaixo:

Figura 11: Esquema das variáveis ambientais

Como pode ser observado na equação (52.a) e Figura 11.a; na equação (52.b) e Figura 11.b e

na equação (52.c) e Figura 11.c, a função que representa a umidade relativa do ar, a

temperatura ambiente e a temperatura ambiente máxima recebe como estímulos as entradas

latitude, longitude e altitude. Já para se obter a temperatura do ponto de orvalho (equação

(52.d) e Figura 11.d), as entradas são compostas pela latitude, longitude, altitude e, também,

pela temperatura ambiente que será estimada pela RNA apresentada na Figura 11.b.

A análise de correlação entre a temperatura ambiente e a temperatura do ponto de orvalho foi

aplicada para verificar que essas variáveis possuem uma relação não linear. O valor do índice

de correlação foi de 0,68.

Devido ao número limitado de cidades existentes na base de dados, para mapear todo o estado

de Minas Gerais, o treinamento foi realizado utilizando todas as cidades existentes. Porém,

para cada variável climatológica, foi realizado treinamento e validação prévia para testar a

capacidade de generalização da RNA.

Tabela 2: Erro obtido no processo de treinamento e validação (treinamento com 25 cidades)

ErroMédioTrein ErroMédioVal DesvioPadrãoTrein

DesvioPadrãoVal

0,0790ºC

0,1339ºC

0,0642ºC

0,0516ºC

max

0,0085ºC

0,3220ºC

0,0082ºC

0,2621ºC

0,0156ºC

0,4200ºC

0,0233ºC

0,4691ºC

0,0910%

1,5674%

0,0758%

1,1413%

Na tabela 2, é possível observar uma representação satisfatória dos dados climatológicos. O

parâmetro

T , por exemplo, apresentou erro médio de 0,1339 ºC durante o processo de

validação. Os parâmetros

max

T ,

T e U obtiveram, respectivamente, 0,32ºC, 0,42ºC e

1,5674% nesse mesmo processo.

Para essa etapa de treinamento e validação, foram retiradas três cidades do conjunto de

treinamento e utilizadas no conjunto de validação, ou seja, foram validados valores que nunca

haviam sido apresentados à rede neural. Os resultados obtidos para o mês de janeiro são

apresentados nas tabelas 3, 4, 5 e 6.

Tabela 3: Treinamento e validação para

(treinamento com 25 cidades)

Cidade

T Real

T RNA

Erro

Belo Horizonte 24,31ºC

24,12ºC

0,19ºC

Formoso 24,29ºC

24,40ºC

0,11ºC

Frutal 25,52ºC

25,62ºC

0,09ºC

Tabela 4: Treinamento e validação para

max

(treinamento com 25 cidades)

Cidade

max

T Real

max

T RNA

Erro

Belo Horizonte 29,69ºC

29,09ºC

0,60ºC

Formoso 31,58ºC

31.51ºC

0,07ºC

Frutal 31,36ºC

31,66ºC

0,30ºC

Tabela 5: Treinamento e validação para

(treinamento com 25 cidades)

Cidade

T Real

T RNA

Erro

Belo Horizonte 18,20ºC

18,32ºC

0,11ºC

Formoso 18,68ºC

17,72ºC

0,96ºC

Frutal 21,42ºC

21,61ºC

0,18ºC

Tabela 6: Treinamento e validação para U (treinamento

com 25 cidades)

Cidade U Real U RNA Erro

Belo Horizonte 68,56%

71,44%

2,88%

Formoso 69,57%

70,50%

0,93%

Frutal 75,74%

76,62%

0,88%

Para melhorar ainda mais a representatividade neural dos dados climáticos, as três cidades

(Belo Horizonte, Formoso e Frutal) utilizadas na validação foram incluídas no treinamento.

É possível observar que os resultados do processo de treinamento foram satisfatórios. Com

relação aos valores obtidos durante a validação, esses podem ser considerados como uma

amplitude ao invés de erro. Isto é possível, porque, a validação foi realizada com dados

diários médios de cada cidade para o mês de Janeiro. Desta forma, o que se obtém é a

amplitude de

T ,

max

T ,

T e U para todo o estado de Minas Gerais.

Como forma de testar a validade do modelo neural da temperatura ambiente para um

microclima, foi utilizado o valor médio anual da temperatura ambiente para a cidade de Ouro

Preto/MG (latitude=-20,23

, longitude=43,30

e altitude=1179m). Na Tabela 7, é apresentado

o resultado obtido:

Tabela 7: Validação da temperatura ambiente anual

média para o microclima de Ouro Preto/MG

Cidade Mês Ta RNA

Janeiro 20,01ºC

Fevereiro 24,23ºC

Março 23,32ºC

Abril 18,85ºC

Maio 17,86ºC

Junho 17,16ºC

Julho 15,83ºC

Agosto 13,99ºC

Setembro 15,88ºC

Outubro 20,57ºC

Novembro 20,04ºC

Ouro Preto

Dezembro 19,62ºC

Cidade

Ta (Real)

∑

(RNA)

Erro

Ouro Preto 17,4ºC

18,94ºC

1,54ºC

Como pode ser observado na Tabela 7, o erro obtido foi 1,54

C. Para que os dados gerados

pela RNA pudessem ser utilizados para fornecer o valor médio anual da temperatura

ambiente, a RNA foi operada para os 12 meses do ano e os resultados obtidos para cada mês

foram somados e depois dividido por 12 – o que resultou no valor 18,94

C que equivale à

média anual. O erro anual obtido, portanto, seria proveniente do erro mensal médio que, para

este caso, seria de 0,128

C. Desta forma, observa-se que o resultado foi satisfatório frente ao

microclima da cidade de Ouro Preto/MG.

3.2.3. Estimação dos parâmetros do modelo

Como já mencionado, a atividade humana influencia o comportamento das piscinas por

provocar perdas de massa de água. Nesta seção, será apresentada uma maneira de estimar o

volume da piscina para estudo futuro do impacto da atividade humana em uma piscina.

Durante o processo de estimação, são descobertos os valores dos parâmetros a e b da equação

(23), onde

FCBa /)(1

−

Fb /1

−

. Com estes valores, é possível obter qualquer uma

das entradas do modelo, assim como, qualquer informação que o compõe. Desta forma, é

possível estimar, por exemplo, a variação de volume de água da piscina, o que está

relacionado com a perda de massa de água que a atividade humana exerce sobre a piscina.

O volume da piscina, contido no parâmetro a, que foi estimado, é dado por:

)1(

*)(

−

hCB

(53)

onde, h é o passo de integração e α é dado por:

3600

1000000*1855.4

=α

(54)

O volume também pode ser estimado através do parâmetro b pela equação:

V =

(55)

3.3. Síntese da estrutura de adaptação proposta

Ao longo dos capítulos e seções anteriores foi apresentado o conjunto de expressões

matemáticas necessárias para implantar, analisar e simular a estrutura proposta. Nesta seção,

será trabalhada a interação entre o modelo teórico de piscina, os modelos neurais e as

expressões da estrutura de estimação paramétrica já discutidos. O objetivo é apresentar, de

forma resumida, as diferentes formulações que fundamentam a estrutura do simulador.

3.3.1. Síntese das equações da estrutura de simulação

Segundo a Figura 9.b, as equações e técnicas necessárias para compor a estrutura de

simulação são resumidas a seguir.

Primeiramente, as informações correspondentes à latitude, longitude e altitude são

normalizadas de acordo com o mês de operação. Para esse processo, foram utilizadas as

equações (48), (50) e (51):

) - L) / (L (Lo - LLn (Lo)f

minmaxmin==

Eq. (48)

Lmin = (4 x LimiteInf – LimiteSup) / 3 Eq. (50)

Lmax = (LimiteInf – 0.8 x Lmin) / 0.2 Eq. (51)

Esses dados foram normalizados entre [0.2, 0.8], como discutido no item 3.2.1 da seção 3, e

utilizados como entrada nos módulos neurais representados através das equações (52.a),

(52.b), (52.c) e (52.d):

O resultado da operação de cada rede neural é desnormalizado utilizando as equações (49),

(50) e (51):

min1max - Ln) * L ( Ln * LLo (Ln)f

+==

Eq. (49)

A saída da operação da RNA da temperatura ambiente (Eq. (52.b)) alimenta a entrada da rede

neural que fornece a temperatura do ponto de orvalho (Eq. (52.c)).

Os valores obtidos nas equações (52.a), (52.b) e (52.c) são utilizados para cálculo da

temperatura do céu, conforme a equação (43) proposta por Duffie e Beckman em [Duffie e

Beckman, 2006]:

273))90cos(013,0000073,00056,0711,0)(273(

25,02

−+++=

dwdwaceu

TTTT Eq. (43)

As informações da pressão de saturação do vapor da água(

P ), pressão do vapor da água(

P )

e radiação(

) são calculadas durante a simulação do modelo, juntamente com os demais

elementos já mencionados. O cálculo é realizado através das equações:

6092.01535.0)(

−

TBTBTP

Eq. (11)

)(*.)(

awa

TTPHRTaTP

Eq. (12)

(

)

*66970,00000005*0,96 tceutpR −= Eq. (44)

Às informações da área da piscina, insolação anual média, amplitude da insolação anual,

temperatura inicial da piscina, amplitude da temperatura ambiente anual, coeficiente de perda

de calor por condução e condutividade, coeficiente de perda de calor por radiação, coeficiente

de perda de calor pelo contato com o solo, volume da piscina, emissividade, fase angular da

insolação máxima, fase angular da temperatura ambiente máxima e produto da média anual de

transmitância e absorção que alimentam o modelo físico da piscina, são dados valores iniciais

válidos para as condições climáticas para o estado de Minas Gerais.

As informações da temperatura ambiente e da insolação são atualizadas, originalmente, no

modelo proposto por Govaer e Zarmi, através das equações (8) e (9):

)sen(

1)( It

tIII φω −+=

−

Eq. (8)

)sen(

1)( Tat

tTTaTa φω −+=

−

Eq. (9)

Como a simulação na estrutura proposta não trabalha com médias anuais, mas sim valores

horários, essas equações foram substituídas por outras que trabalham desta forma e que foram

ajustadas para o estado de Minas Gerais.

Para a insolação horária, foram utilizadas equações de interpolação que fornecem o valor

acumulado a cada hora do dia para a cidade de Belo Horizonte/MG, onde x, que representa o

período de 1h, varia de 1 a 12 e é equivalente ao período onde existe insolação que é de seis

horas da manhã (6h) até as dezoito horas (18h). Na equação (56), são apresentadas as

equações para os meses de Janeiro a Dezembro:

Jan

)(t

= 0,2859

x - 7,434

x + 44,859

x + 45,006x + 32,218

186

≤

(56.a)

Fev

)(t

= 0,3403

x - 8,8477

x + 54,308

x + 41,628x + 16,473

186

≤

(56.b)

Mar

)(t

= 0,3586

x - 9,3231

x + 58,435

x + 28,152x - 7,1802

186

≤

(56.c)

Abr

)(t

= 0,3944

x - 10,255

x + 65,732

x + 12,02x - 31,789

186

≤

(56.d)

Mai

)(t

= 0,3946

x - 10,259

x + 66,989

x - 3,9464x - 47,532

186

≤

(56.e)

Jun

)(t

= 0,3967

x - 10,315

x + 67,96

x - 11,879x - 54,147

186

≤

(56.f)

Jul

)(t

= 0,4043

x - 10,513

x + 68,985

x - 8,4863x - 52,393

186

≤

(56.g)

Ago

)(t

= 0,3935

x - 10,232

x + 66,109

x + 5,2054x - 38,885

186

≤

(56.h)

Set

)(t

= 0,3578

x - 9,3037

x + 58,825

x + 21,436x - 16,188

186

≤

(56.i)

Out

)(t

= 0,3185

x - 8,2807

x + 51,179

x + 34,398x + 7,8395

186

≤

(56.j)

Nov

)(t

= 0,2774

x - 7,2117

x + 43,713

x + 41,114x + 26,358

186

≤

(56.l)

Dez

)(t

= 0,2558

x - 6,6499

x + 39,933

x + 42,794x + 33,869

186

≤

(56.m)

Figura 12: Comparação entre a insolação real ao longo do dia

médio do mês de Janeiro e o valor dado pela função de

interpolação.

Como pode ser observado na Figura 12, as curvas da insolação real e a dada pela equação de

interpolação se sobrepõem, o que indica que a interpolação proposta é capaz de representar a

insolação.

A temperatura ambiente foi calculada a partir de uma senóide que representa o dia padrão de

um determinado mês, onde a temperatura ambiente média é dada por uma rede neural e a

variação em torno dela é dada pela diferença entre a temperatura ambiente máxima e a

temperatura ambiente média. A variação da temperatura ambiente ao longo do dia é dada pela

equação (57), proposta pela Ashrae.

)03,224/**2sen()(

max)(

−−+=

−−

hkTaTTaTa

(57)

É importante observar que a equação (57) irá construir uma senóide com valor máximo às 14

horas e mínimo às 2 horas. Isto é possível graças ao valor

(2,03) que desloca a função. Na

figura abaixo, é mostrada a curva que representa a variação da temperatura ambiente para a

cidade Belo Horizonte durante o mês de janeiro:

Figura 13.a: Variação da temperatura ambiente para a cidade Belo

Horizonte durante o mês de janeiro

As figuras 13.b e 13.c representam a variação da temperatura ambiente para a cidade Belo

Horizonte ao longo dos seis primeiros e seis últimos meses do ano, respectivamente.

Figura 13.b: Variação da temperatura ambiente de Janeiro a Junho

Figura 13.c: Variação da temperatura ambiente de Julho a Dezembro

Uma vez que todos os valores iniciais necessários ao processo de simulação da estrutura

proposta foram obtidos, o sistema de piscina é simulado utilizando-se a equação de diferenças

obtida a partir da equação (23):

)()()()()()1( kkkkkk

eUbTaT

(58)

A matriz que armazena o sistema de equações necessário para a estimação de parâmetros é

montada conforme apresentado abaixo:





































−−













−−

−−−−

+ )(

)(

)(),(

)1()()1()(

)2()1()2()1(

)1(

)(

][

,,,

kkkk

UUTT

O passo de integração ou amostragem foi escolhido com o valor de 1h. A cada intervalo de

tempo – definido pelo período de amostragem – os valores dos parâmetros

)(k

equação (23) são estimados utilizando-se a técnica do passo aleatório apresentada na seção

2.6.3 – que é uma variação do método dos mínimos quadrados recursivos. O volume atual da

piscina é estimado utilizando-se a equação (55):

600)(1000000/3*4.1855*b

V =

Eq. (55)

3.3.2. Pseudocódigo do algoritmo

Abaixo é apresentado um quadro com a sinopse do algoritmo de implementação da estrutura

proposta utilizada neste trabalho.

];[

D // Matriz com os dados originais de treinamento e validação do modelo neural para a

temperatura ambiente

];[

TMax

D // Matriz com os dados originais de treinamento e validação do modelo neural para

a temperatura ambiente

];[

TDW

D // Matriz com os dados originais de treinamento e validação do modelo neural para

a temperatura do ponto de orvalho

];[

D // Matriz com os dados originais de treinamento e validação do modelo neural para a

umidade relativa do ar

;pesosW

← // Pesos da camada escondida que foram obtidos após o treinamento da rede

;pesosW

← //Pesos da camada de saída que foram obtidos após o treinamento da rede

;pesosW

TMax

← // Pesos da camada escondida que foram obtidos após o treinamento da rede

;pesosW

TMax

← //Pesos da camada de saída que foram obtidos após o treinamento da rede

;pesosW

TDW

← // Pesos da camada escondida que foram obtidos após o treinamento da rede

;pesosW

TDW

← //Pesos da camada de saída que foram obtidos após o treinamento da rede

;pesosW

← // Pesos da camada escondida que foram obtidos após o treinamento da rede

;pesosW

← //Pesos da camada de saída que foram obtidos após o treinamento da rede

// Dados de localização geográfica

;]0[ latituded

←

;]1[ longituded

←

;]2[ altituded

←

// Cálculo do limite inferior e superior para a temperatura ambiente (inclui dados de

Entrada-saída)

←

[]aLimiteInfT min( []

D ); // T: indica transposta

←

[]aLimiteSupT max( []

D ); // T: indica transposta

// Normaliza os dados de entrada da temperatura ambiente

para 0

←

i até 2

≤

i faça

Lmin[i]

←

(4 x LimiteInfTa[i] – LimiteSupTa[i]) / 3;

Lmax[i]

←

(LimiteInfTa[i] – 0.8 x Lmin[i]) / 0.2;

Lo[i]

←

d[i];

dn[i]

←

(Lo[I] – Lmin[i]) / (Lmax[i] – Lmin[i]);

←

i+1;

fim enquanto

// Opera a rede neural da temperatura ambiente

←

T OperaRNATa(

W ,

W ,dn);

// Desnormaliza o valor da temperatura ambiente média

←

T [3] *Lmax[3]+(1-

T )+Lmin[3]

// Cálculo do limite inferior e superior para a temperatura ambiente máxima (inclui dados de

Entrada-saída)

←

[]MaxLimiteInfT min( []

TMax

D ); // T: indica transposta

←

[]MaxLimiteSupT max( []

TMax

D ); // T: indica transposta

// Normaliza os dados de entrada da temperatura ambiente

para 0

←

i até 2

≤

i faça

Lmin[i]

←

(4 x LimiteInfTMax[i] – LimiteSupTMax[i]) / 3;

Lmax[i]

←

(LimiteInfTMax[i] – 0.8 x Lmin[i]) / 0.2;

Lo[i]

←

d[i];

dn[i]

←

(Lo[I] – Lmin[i]) / (Lmax[i] – Lmin[i]);

←

i+1;

fim enquanto

// Opera a rede neural da temperatura ambiente

←

aMax

T OperaRNATMax(

TMax

W ,

TMax

W ,dn);

// Desnormaliza o valor da temperatura ambiente média

Max

←

aMax

T [3] *Lmax[3]+(1-

aMax

T )+Lmin[3]

// Cálculo do limite inferior e superior para a umidade relativa do ar (inclui dados de

Entrada-saída)

←

[]HLimiteInfR min( []

D ); // T: indica transposta

←

[]HLimiteSupR max( []

D ); // T: indica transposta

// Normaliza os dados de entrada da umidade relativa do ar

para 0

←

i até 2

≤

i faça

Lmin[i]

←

(4 x LimiteInfRH[i] – LimiteSupRH[i]) / 3;

Lmax[i]

←

(LimiteInfRH[i] – 0.8 x Lmin[i]) / 0.2;

Lo[i]

←

d[i];

d[i]

←

(Lo[I] – Lmin[i]) / (Lmax[i] – Lmin[i]);

←

i+1;

fim enquanto

// Opera a rede neural da umidade relativa do ar

←

RHn OperaRNARH(

W ,

W ,dn);

// Desnormaliza o valor da umidade relativa média

←

RHn*Lmax[3]+(1-RHn)+Lmin[3]

// Adiciona o valor da temperatura ambiente média ao vetor de entradas

;]3[

Td ←

// Cálculo do limite inferior e superior para a temperatura ambiente

←

[]dwLimiteInfT min( []

TDW

D ); // T: indica transposta

←

[]dwLimiteSupT max( []

TDW

D ); // T: indica transposta

// Normaliza os dados de entrada da temperatura ambiente

para 0

←

i até 3

≤

i faça

Lmin[i]

←

(4 x LimiteInfTdw[i] – LimiteSupTdw[i]) / 3;

Lmax[i]

←

(LimiteInfTdw[i] – 0.8 x Lmin[i]) / 0.2;

Lo[i]

←

d[i];

dn[i]

←

(Lo[I] – Lmin[i]) / (Lmax[i] – Lmin[i]);

←

i+1;

fim enquanto

// Opera a rede neural da temperatura ambiente

←

DWn

T OperaRNATdw(

TDW

W ,

TDW

W ,dn);

// Desnormaliza o valor da temperatura ambiente média

←

DWn

T [4] *Lmax[4]+(1-

DWn

T )+Lmin[4];

// Leitura das informações utilizadas pelo modelo físico da piscina

leia temperatura inicial da piscina (T), volume de água da piscina (V), área da superfície da

piscina (Ap), perda por provocada pelo contato com o solo, temperatura do solo(Ts),

insolação média anual ou mensal (

), amplitude da insolação anual ou mensal (

I),

amplitude da temperatura ambiente anual ou mensal(

T ), transmitância média anual ou

mensal

)(

, perda por condução (Uc), perda por radiação (Ur);

// Leitura das informações necessárias para a estimação de parâmetros

leia valores da diagonal da matriz de correção P, valor inicial dos parâmetros que serão

estimados (

), fator de convergência

, valores da diagonal da matriz de correção Q,

tempo de simulação (Tsim);

// Kernel ou Núcleo principal

enquanto k*h

≤

Tsim faça

)03,224/**2sen()(

)1(

−−+←

−−

hkTTTT

aMaxaa

;

273))90cos(013,0000073,00056,0711,0)(273(

25,02

)1()1(

−+++←

dwdwaceu

TTTT

;

6092.01535.0

−

←

;

)1()1(

←

awa

TPRHP

;

(

)

)1()1(

)1(

*66970,00000005*0,96

−←

ceukk

TTR ;

AA *

←

;

prc

AUUB )(

←

;

AUC

←

;

)(**

)1(

−

←

awpck

PPAUcD

;

ceu

)1()1(

A*))273.15)+(T-273.15)+((T*0000000)(5.6697/10*(0.96

)1( +

←

;

RHF *

←

;

)56.(

)1(

EqI

←

;

)1()1()1()1(

***

)1(

++++

−

←

kkksak

IAEDTCTBU

;

hFCBa

*)/)((1

)1(

−

←

;

Fhb

)1(

−

←

;

)1()1()1()1()1()1( ++++++

←

kkkkkk

eUbTaT

;

];[

)1()1()1( +++

←

kkk

;

Se k > 1 faça

)1()()1(

)1()(

)1(

←

ϕϕλ













−+←

+++

+ )(

)1()1()1(

)()1(

ˆˆˆ

kkk

yx θϕθθ

{

}

][

)()1()1()(

)1(

PxP

kkk

−

←

)()()()( kkkk

−

←

)3600/1000000(*1855.4*b

−

←

fim se

Se k*h < 150 faça

470

←

V ;

Senão se k*h < 300 faça

400

←

V ;

Senão se k*h < 450 faça

330

←

V ;

Senão faça

400

←

V ;

fim senão

←

k+1;

fim enquanto

4. SOFTWARES DESENVOLVIDOS

4.1. Generalidades

Neste trabalho, foram desenvolvidos quatro softwares. O primeiro para simular o modelo de

piscina proposto por Govaer e Zarmi, em [Govaer e Zarmi, 1981]; o segundo para fornecer

uma interface gráfica ao software ALG1ESTM, desenvolvido por Zárate, em [Zárate, 1991]; o

terceiro para operar as RNAs utilizadas neste trabalho para estimação de dados climáticos e o

quarto aplicativo, que é a união dos três softwares citados anteriormente. Estes programas

foram denominados, respectivamente, SIPI, Aestimare, RN Klíma e ASI.

O ambiente de simulação integrado que é utilizado para simular a estrutura de adaptação de

modelos térmicos de piscinas proposta neste trabalho foi denominado ASI e é composto pelos

módulos kernel dos três aplicativos descritos no parágrafo anterior.

4.2. SIPI

4.2.1. Modelagem de requisitos

O SIPI foi desenvolvido para simular o comportamento térmico de piscina com diferentes

dimensões e condições de operação, de acordo com o modelo proposto por Govaer e Zarmi. O

modelo matemático que representa o sistema piscina foi apresentado no Capítulo 2. Para a

solução numérica do modelo, foi utilizado o método de integração numérica de Runge-Kutta

de 4 ª ordem.

Os requisitos do SIPI foram modelados na forma de um diagrama de casos de uso, conforme

apresentado na figura abaixo:

Figura 14: Diagrama de casos de uso do SIPI

Como pode ser observado na Figura 14, os requisitos do SIPI consistem em simular o sistema

térmico de uma piscina e exibir em forma de gráfico as informações de insolação, temperatura

ambiente, temperatura da piscina e perdas ou ganhos de energia.

O fluxo de funcionamento do SIPI está representado no diagrama de atividades apresentado

na Figura 15:

Figura 15: Diagrama de atividades do SIPI

No início da execução do SIPI, são exibidos os dados para a piscina utilizada por Govar e

Zarmi durante os seus experimentos. Caso o usuário deseje, é possível alterar as dimensões e

os fatores climáticos que influenciam a piscina. Após este passo, o usuário deverá escolher o

gráfico da informação a ser exibida e selecionar a opção "Simular". Feito isso, o SIPI irá

calcular as informações e exibí-las no formulário do aplicativo.

4.2.2. Apresentação do software

As funcionalidades da tela principal do SIPI se resumem ao que foi especificado no diagrama

de casos de uso da aplicação.

Figura 16: Tela principal do SIPI

A validação do SIPI foi realizada ao simular uma piscina nas mesmas condições utilizadas por

Govaer e Zarmi e comparando os resultados obtidos com os que foram apresentados por estes.

Pode ser observado na Figura 16 que é possível ajustar a simulação da piscina de diversas

maneiras distintas e, com isso, realizar experimentos com diferentes configurações climáticas

e da própria piscina.

O resultado da simulação e da variação da temperatura de uma piscina ao longo de um ano é

apresentado na Figura 16. Existe também a possibilidade de exibir outros tipos de

informações, como a da variação de perda e ganho de energia, insolação e temperatura

ambiente, conforme apresentado nas figuras 17, 18 e 19, respectivamente.

Figura 17: Variação de energia no sistema

Figura 18: Variação da Insolação (artigo)

Figura 19: Variação da temperatura ambiente

No menu opções da aplicação existem duas alternativas: Sair que encerra a execução do

software e Sobre que exibe informações sobre o SIPI, como apresentado na Figura 20.

Figura 20: Informações sobre o SIPI

4.3. Aestimare

4.3.1. Modelagem de requisitos

Com o objetivo de contar com um ambiente adequado para estudar e analisar algoritmos de

estimação paramétrica, frente aos problemas em estimar parâmetros de uma piscina, foi

desenvolvido um ambiente gráfico denominado Aestimare.

Este aplicativo é baseado no software ALG1ESTM que reúne 15 técnicas de estimação de

parâmetros estudadas e analisadas por Zárate, em [Zárate, 1991].

Os requisitos funcionais do Aestimare são apresentados na Figura 21:

Figura 21: Requisitos do software Aestimare

Na Figura 21, pode-se observar que os requisitos principais do Aestimare consistem em:

fornecer os 15 tipos de técnicas de estimação paramétrica para que o usuário possa selecionar

uma durante o processo de estimação; permitir que o usuário entre com os dados iniciais e

parâmetros de ajustes do método de estimação escolhido; salvar as informações da estimação

em arquivo para uma análise futura das informações; selecionar diferentes informações para

serem exibidas em forma de gráfico e estimar os parâmetros de uma equação de diferenças

qualquer.

4.3.2. Apresentação do software

A tela inicial do software Aestimare foi baseada nas informações do aplicativo ALG1ESTM e

possui as mesmas funcionalidades. Porém, no Aestimare os elementos são apresentados em

modo gráfico.

Figura 22: Simulação com o método dos mínimos quadrados recursivos

A Figura 22 mostra os resultados da estimação do parâmetro a real e o estimado. A equação

de diferenças utilizada nessa simulação é dada por:

21210

ducubyayy

−

Onde, b = 0,7 e d = 0,5. Os valores de a, b, c e d são os parâmetros e podem ser estimados

pelo Aestimare.

O sistema físico representado por uma equação de diferenças foi simulado e os resultados são

apresentados nas figuras 22 e 23. A Figura 22 é o resultado de uma simulação utilizando o

método dos mínimos quadrados recursivos e na Figura 23 são apresentados os valores obtidos

ao empregar a técnica on-line do passo aleatório.

As informações de cada um dos quatro parâmetros do sistema apresentado nas figuras 21 e 22

podem ser visualizadas. Para isso, selecione a caixa de seleção "01 Real" para exibir os

valores do parâmetro a real; "01 estm" para os resultados do parâmetro a estimado e, assim

por diante.

Para visualizar o erro médio quadrático de cada parâmetro estimado, selecione a caixa de

seleção "EMQ 01" para o parâmetro a; "EMQ 02" para o parâmetro b e, assim por diante.

Cada parâmetro recebe automaticamente o valor inicial zero. Para modificá-lo, é necessário

preencher as caixas de texto "Parâmetro inicial O(1)" para o parâmetro a e assim

sucessivamente.

Os valores reais e estimados da saída da equação que representa o processo físico podem ser

observados ao selecionar as caixas de seleção "Saída Y" e "Saída estimada". Já a variação dos

valores que alimentam o sistema, é exibida ao selecionar a opção "Entrada U".

É possível simular o sistema mediante interferências ou ruídos externos. Para isso, basta

selecionar a opção "sim" na caixa de opção "Ruído Aleatório". Para exibir o gráfico do ruído

gerado, é necessário selecionar a caixa de seleção "Ruído Gaussiano E".

O tempo total da simulação é definido pelo valor contido na caixa de texto "Tempo de

simulação".

O fator de correção do erro da estimação pode ser ajustado através da caixa de texto "Fator de

esquecimento". Para o método dos mínimos quadrados recursivos, este valor é constante (para

a simulação da Figura 19 foi informado o valor 0,7). Para o método do passo aleatório, são

exibidas caixas de controle para que seja informada a matriz de pesos que será utilizada na

correção do erro do processo de estimação.

Figura 23: Simulação on-line com a técnica do passo aleatório

Na tela principal da aplicação existe a opção Sobre. Ao selecioná-la será exibida uma nova

tela com informações a respeito do software, conforme apresentado na Figura 24.

Figura 24: Informações sobre o Aestimare

4.4. RN Klíma

4.4.1. Modelagem de requisitos

O software RN Klíma foi desenvolvido para operar as redes neurais artificiais projetadas no

Capítulo 3 – que fornecem os valores da temperatura ambiente, temperatura ambiente

máxima, umidade relativa, temperatura do ponto de orvalho – e para calcular a temperatura do

céu.

As premissas necessárias ao desenvolvimento do RN Klíma foram representadas abaixo na

forma de um diagrama de casos de uso:

Figura 25: Diagrama de casos de uso do RN Klíma

Como pode ser observado na Figura 25, os requisitos consistem: na operação de quatro RNAs

– temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, temperatura do ponto de orvalho e

umidade relativa –; em calcular a temperatura do céu; exibir o mapa das estações de medições

climáticas e exibir as informações do produto.

Para atender a estes requisitos, foi criada a classe RedeNeuralArtificial que está especificada

no diagrama de classes abaixo:

Figura 26: Classe utilizada pelo

RN Klíma

Na Figura 26, foram apresentados os atributos e os métodos utilizados pelo RN Klíma. O

método Create() é o construtor da classe e é responsável pela atribuição dos valores de todos

os atributos, exceto o da variável resultado. Os métodos NormalizaDados() e

DesnormalizaDados() são responsáveis, respectivamente, pela normalização e

desnormalização das informações da rede. As funções AplicaSigmoid() e

CalculaSomaPonderada() são métodos auxiliares utilizados pelo método Opera() na operação

das RNAs. A função ResultadoFinal() retorna o valor armazenado na variável resultado que

consiste na saída calculada pela rede neural.

O funcionamento básico da classe RedeNeuralArtificial foi resumido na forma do diagrama

de atividades apresentado abaixo:

Figura 27: Funcionamento básico da classe

RedeNeuralArtificial

Na Figura 27, pode ser observado o fluxo de atividades desejado na classe

RedeNeuralArtificial que consiste na normalização das entradas da rede, cálculo e retorno da

informação desejada.

O software RN Klíma teve o funcionamento especificado de acordo com o diagrama de

atividades apresentado na Figura 28:

Figura 28: Diagrama de funcionamento do RN Klíma

Ao iniciar a execução da aplicação, o usuário informa as coordenadas geográficas de um local

dentro do domínio do estado de Minas Gerais e pressiona a opção "Calcular". Essas entradas

são normalizadas e utilizadas para cálculo das informações da temperatura ambiente, umidade

relativa, temperatura do ponto de orvalho e temperatura do céu. Após este processo, as

informações são desnormalizadas e estão adequadas para serem exibidas no formulário da

aplicação.

4.4.2. Apresentação do software

O software RN Klíma teve suas telas derivadas do diagrama de casos de uso apresentado na

Figura 25.

Figura 29: Tela inicial do RN Klíma

Como pode ser observado na Figura 29, o RN Klíma possui no formulário principal dois

quadros: um correspondente à entrada de dados e um correspondente à exibição dos resultados.

A opção "Calcular", que inicia os processos necessários para funcionamento da RNA e

exibição dos resultados – Resultado da operação –, pode ser acessada através da tela principal

ou em menu -> opções -> Calcular.

No menu->opções existem mais duas funcionalidades: Mapa, que exibe o mapa apresentado na

Figura 30 e Sair, que encerra a aplicação.

Figura 30: Mapa das estações

As informações do produto, apoio, número do projeto e contato são acessadas através do menu-

>Sobre. Nesse caso, a tela apresentada na Figura 31 será exibida.

Figura 31: Informações sobre o software

Como pode ser observado, o RN Klíma é um software relativamente simples de ser operado e

não exige conhecimento prévio dos métodos utilizados para calcular as informações climáticas

– temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, temperatura do ponto de orvalho,

umidade relativa e temperatura do céu. As únicas informações necessárias são as de

localização (latitude, longitude e altitude) – as quais deverão, obrigatoriamente, estar situadas

dentro do estado de Minas Gerais.

4.5. ASI

4.5.1. Modelagem de requisitos

O ambiente de simulação integrado ou, como denominamos, ASI, foi desenvolvido para

integrar os softwares das seções 4.2, 4.3 e 4.4 e, assim, fornecer uma ferramenta para simular

a estrutura que permite a adaptação de modelos térmicos de piscinas para operarem nas

condições climáticas do estado de Minas Gerais.

Na figura abaixo, é apresentado o diagrama de casos de uso do ASI que, em suma, é

composto pela junção das principais características dos softwares apresentados nas seções

anteriores.

Figura 32: Diagrama de casos de uso do ASI

4.5.2. Apresentação do software

O software ASI engloba funcionalidades dos aplicativos Aestimare, Sipi e RN Klíma. Por

isso, sua interface também contém elementos que foram herdados destes programas.

Na tela principal do ASI, é possível observar claramente uma área mais à esquerda onde estão

disponíveis informações e opções relativas à estimação dos parâmetros do modelo – no caso

do ASI, apenas a estimação on-line está disponível. Na área à direita, observam-se elementos

relacionados ao posicionamento geográfico – estes elementos têm a mesma função do RN

Klíma, ou seja, fornecer os valores da temperatura ambiente, temperatura do céu, temperatura

do ponto de orvalho e umidade relativa. E, na parte central da tela, observa-se o gráfico de

simulação, onde serão exibidos os resultados da simulação da piscina.

A equação de diferenças utilizada no ASI é equivalente à equação proposta por Govaer e

Zarmi, em [Govaer e Zarmi, 1981].

Figura 33: Tela inicial do ASI

No ASI existem diversas alternativas de gráficos que foram modificadas da ferramenta

Aestimare. As opções "Temperatura da Piscina" e "Temp. Piscina Estimada" exibem o

gráfico da temperatura real da piscina e temperatura que foi estimada, respectivamente. A

variação da temperatura ambiente pode ser observada ao selecionar a opção "Temperatura

Ambiente". "Parâmetro Real" e "Parâmetro Estimado" exibem os valores calculados e

estimados dos parâmetros a e b. Já as opções "Volume Real" e "Volume Estimado" exibem o

volume real e estimado através dos parâmetros a e b do modelo.

Assim como no RN Klíma, no ASI também está disponível o mapa com a localização das

cidades que foram utilizadas como base de medição das informações climáticas e para o

treinamento das RNAs.

Figura 34: Mapa com os pontos de treinamento da rede neural

As informações sobre o produto são apresentadas conforme a Figura 35 e são exibidas ao

selecionar a opção Sobre na tela principal do programa.

Figura 35: Informações sobre o ASI

5. SIMULAÇÕES E ANÁLISE DE RESULTADOS

Durante os capítulos anteriores foram validados os resultados obtidos pelo modelo proposto

por Govaer e Zarmi, as implementações dos algoritmos de estimação de parâmetros e os

modelos neurais propostos. Neste capítulo, são apresentados os resultados das simulações

realizadas com a estrutura de adaptação de informações climáticas frente a diferentes

variações de dados de entrada.

Dados comuns para simulação:

Tabela 8: Dados comuns às simulações

Dados da localidade Dados da piscina Dados adicionais

Cidade: Belo Horizonte

Volume: 470

Transmitância média anual: 0,75

Latitude: -19,93

Área: 312,50

Perda por condução:

9,12 CmW

Longitude: -43,94

Temperatura inicial da piscina:

28 C

Perda por radiação:

5,10 CmW

Altitude: 850 m

Perda pelo solo: 850 CW

Temperatura do solo: 30 C

1,0

]0001,0;8,1[

h = 1 h

5.1. Simulação 1: Variação da temperatura da piscina frente a variação da

temperatura ambiente e da insolação

Para esta simulação foram considerados os meses de Janeiro e Julho. Os dados obtidos da

variação horária da temperatura, da piscina, temperatura ambiente e insolação, nestes dois

períodos, são apresentados abaixo:

Figura 36.a: Variação das temperaturas da

piscina e ambiente durante o mês de Janeiro

Figura 36.b: Variação das temperaturas da

piscina e ambiente durante o mês de Julho

Figura 36.c: Variação da insolação durante o

dia médio do mês de Janeiro

Figura 36.d: Variação da insolação durante o

dia médio do mês de Julho

Como pode ser observado nas Figuras 36.a-d, a temperatura da piscina tende a acompanhar a

variação horária da temperatura ambiente e da insolação ao longo do tempo. Isto ocorre com

um certo retardo, devido ao tempo necessário para uma quantidade de calor qualquer

conseguir alterar a temperatura da água. Este calor é fornecido pela insolação e pela variação

da temperatura ambiente.

5.2. Simulação 2: Variação anual da temperatura da piscina

Além da variação da temperatura da piscina ao longo dos meses de Janeiro e Julho foi

realizada uma simulação durante um ano. Os resultados são apresentados na Figura 37:

Figura 37: Variação da temperatura da piscina ao longo de um ano

5.3. Simulação 3: Variação da temperatura da piscina e estimação dos

parâmetros frente a variações do tipo degrau no volume

Para simular o impacto da diminuição do volume na dinâmica da piscina, foram propostas

diferentes variações no volume. A primeira variação funciona como um degrau, conforme

especificado na equação (59), onde v=470

m :











≥

≤≤

673,4096,0

672505,512,0

504339,64,0

338169,8,0

1680,

)(

(59)

Figura 38.a: Variação da temperatura da

piscina durante o mês de Janeiro

Figura 38.b: Variação do parâmetro "a" real e

estimado durante o mês de Janeiro

Figura 38.c: Variação do volume real e

estimado através do parâmetro "a" durante o

mês de Janeiro

Figura 38.d: Variação do parâmetro "b" real e

estimado durante o mês de Janeiro

Como pode ser observado nas Figuras 38.a-d, quando ocorre redução do volume de água da

piscina, o sistema reage mais rapidamente frente a fatores como a temperatura ambiente e a

insolação, ou seja, essas variações terão um impacto mais perceptível no sistema. Se

compararmos as simulações das Figuras 36a e 38a, é possível observar com maior clareza o

aumento da temperatura da piscina à medida que o volume reduz.

Nas Figuras 38.b e 38.d, respectivamente, são mostrados os resultados da estimação dos

parâmetros "a" e "b" frente aos valores reais. É possível observar que o parâmetro "a" foi

estimado com erro menor que o apresentado por "b". Dessa forma, o parâmetro "a" é mais

eficiente para ser utilizado durante a estimação da variação do volume ao longo do tempo. O

resultado dessa operação pode ser observado na Figura 38.c e foi ampliado na Figura 38.e e é

apresentado abaixo:

Figura 38.e: Ampliação da primeira

variação do volume apresentada da Figura

38.c

Nas Figuras 38.b-e observam-se picos muito elevados. Esses picos são provocados pela força

de correção do algoritmo de estimação paramétrica durante o processo de estimação dos

parâmetros "a" e "b". Durante um intervalo de aproximadamente 3hrs, o algoritmo de

estimação passa por um processo de acomodação e suas informações deverão ser

desconsideradas.

5.4. Simulação 4: Variação da temperatura da piscina e estimação dos

parâmetros frente a variações do tipo rampa no volume

Para esta simulação, foi proposta variação no volume do tipo rampa, de acordo com a equação

(60), onde v=470

m :











≤<+−

≤<

672

672168266.10015873.0

1680

)(

tvvt

(60)

Figura 39.a: Variação da temperatura da

piscina durante o mês de Janeiro

Figura 39.b: Variação do volume real e

estimado através do parâmetro "a" durante o

mês de Janeiro

Figura 39.c: Variação do parâmetro "a"

real e estimado durante o mês de Janeiro

Como pode ser observado nas Figuras 39.a-c, a variação do volume, de acordo com a equação

(60), proporciona alteração na dinâmica da piscina e redução do tempo de reação do sistema

frente às variações ambientais. No caso da variação do tipo rampa, por ser mais suave, não é

necessário aguardar o tempo de acomodação, pois o erro é pequeno.

5.5. Simulação 5: Variação da temperatura da piscina e estimação dos

parâmetros frente a variações do tipo exponencial no volume

Para esta simulação, foi proposta variação no volume do tipo exponencial, de acordo com a

equação (61), onde v=470

m :











≤<+

≤<

−−

672

6721682.08.0

1680

)(

)100/)169((

tvve

(61)

Figura 40.a: Variação da temperatura da

piscina durante o mês de Janeiro

Figura 40.b: Variação do volume real e

estimado através do parâmetro "a" durante o

mês de Janeiro

Figura 40.c: Variação do parâmetro "a" real

e estimado durante o mês de Janeiro

Novamente, é possível observar nas Figuras 40.a-c que a variação do volume, de acordo com

uma função exponencial, também altera a dinâmica da piscina.

5.6. Simulação 6: Variação da temperatura da piscina e estimação dos

parâmetros frente a variações do tipo rampa com volume inicial de 150

m e

área da piscina de 100

Para confirmar a eficiência do modelo proposto para diferentes piscinas, as dimensões da

piscina foram reduzidas a uma área de 100

m e volume inicial de 150

m , e foram realizadas

simulações do tipo rampa, de acordo com a equação (59):

Figura 41.a: Variação da temperatura da

piscina durante o mês de Janeiro

Figura 41.b: Variação do volume real e

estimado através do parâmetro "a" durante o

mês de Janeiro

Figura 41.c: Variação do parâmetro "a" real

e estimado durante o mês de Janeiro

Nas Figuras 41.a-c observa-se que a variação da temperatura ambiente foi bem superior a da

simulação anterior do tipo rampa. É possível observar que o erro da estimação do volume foi

menor.

5.7. Simulação 7: Variação da temperatura da piscina e estimação dos

parâmetros frente a variações do tipo rampa com volume inicial de 75

m e

área da piscina de 50

Para esta simulação, as dimensões da piscina foram reduzidas a uma área de 50

m e volume

inicial de 75

m , e foram realizadas simulações do tipo rampa, de acordo com a equação (59):

Figura 42.a: Variação da temperatura da piscina

durante o mês de Janeiro

Figura 42.b: Variação do volume real e

estimado através do parâmetro "a" durante o

mês de Janeiro

Figura 42.c: Variação do parâmetro "a" real

e estimado durante o mês de Janeiro

Como pode ser observado nas Figuras 42.a-c, além da variação da temperatura da piscina

aumentar, os erros provenientes da estimação do volume da piscina através do parâmetro "a" e

do próprio parâmetro "a" novamente reduziram, como era esperado.

100

CONCLUSÕES

Atualmente, é observado que existe um interesse mundial crescente pelo uso de energias

renováveis, dentre elas a fornecida pelo sol. Para utilização destes novos recursos é necessário

que sejam estudados modelos que permitam a utilização dos recursos renováveis com

eficiência.

Os modelos matemáticos de sistemas físicos permitem conhecer a relação causa-efeito entre

os parâmetros envolvidos em um processo. O modelo térmico de piscina tratado neste

trabalho permite, através de simulações, que os recursos energéticos possam ser utilizados de

maneira mais eficiente.

Neste trabalho, o modelo térmico de piscina proposto por Govaer e Zarmi foi adaptado, para

fins de estudo, às condições climáticas brasileiras do estado de Minas Gerais. A adaptação

permite simular esse modelo em diferentes condições ambientais e em diferentes localidades.

Foi também introduzida a estimação paramétrica para determinar a variação do volume da

piscina frente à atividade humana.

No trabalho, foi apresentada uma estrutura híbrida baseada em um modelo teórico de piscinas,

redes neurais artificiais e estimação paramétrica para simular o sistema físico de piscinas.

A adaptação do modelo às condições climáticas brasileiras foi realizada através de uma

representação neural do clima. Durante as várias etapas onde foram realizados testes e

validações, constatou-se que as RNAs apresentaram resultados satisfatórios para estimar os

valores médios mensais da temperatura ambiente, temperatura ambiente máxima, temperatura

do ponto de orvalho, umidade relativa do ar e para o cálculo da temperatura do céu a partir

desses dados. A validação da temperatura ambiente realizada com a cidade de Ouro

Preto/MG, a qual é um microclima, mostrou-se satisfatória.

Apesar do resultado satisfatório da representação neural do clima, é importante enfatizar que a

interpolação dos dados climáticos para o estado de Minas Gerais não é garantida. Embora a

representação considere a latitude, longitude e altitude, a representação neural modela micro

101

regiões. Localidades geograficamente distintas do conjunto de dados de treinamento podem

não ser contempladas, tornando o modelo inconsistente. Como trabalho futuro, sugere-se que

o modelo seja validado com medições realizadas através de estações meteorológicas móveis,

especialmente nas localidades geograficamente distintas. Com isto, é possível interpolar o

perfil climático do estado de Minas Gerais de maneira mais eficiente.

Os resultados das simulações envolvendo variações diversas no volume da piscina

demonstram, como esperado, que a redução de volume de água na piscina altera sua dinâmica

de funcionamento. Assim, a diminuição do volume causará o aumento da temperatura da

piscina frente às mesmas condições climáticas. Desta forma, a atividade humana em uma

piscina pode provocar alterações consideráveis, uma vez que essa atividade irá provocar perda

de massa de água da piscina.

Neste trabalho, para simular a atividade humana, foram consideradas as funções matemáticas

apresentadas no capítulo 5 (degrau, rampa e exponencial), o que pode não refletir o

comportamento real da atividade humana. Como trabalho futuro, é sugerida, também, a

modelagem com o emprego de agentes inteligentes. Nas simulações realizadas, o modelo foi

restringido à cidade de Belo Horizonte, visto que não havia dados da insolação disponível

para as demais cidades consideradas no conjunto de treinamento das RNAs de dados

climáticos. Sendo assim, o processo de validação foi realizado apenas para essa cidade, sendo

esta uma restrição deste trabalho. Todavia, a estrutura que foi proposta aqui é genérica o

bastante para aceitar dados da insolação de outras localidades.

Para esta pesquisa, foi desenvolvido um conjunto de quatro aplicativos que permitem simular

diversas situações e podem ser utilizados por outros estudos associados ao uso de energias

renováveis para piscinas.

Em trabalhos futuros espera-se monitorar uma piscina para validar as informações da

estrutura híbrida de simulação em ambientes reais e, assim, validá-la e ajustá-la, caso

necessário, para novas condições.

102

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106

ANEXO I – Equação Diferencial

Na expressão (2), seção 2.3, temos uma equação diferencial que pode representar um sistema

contínuo qualquer.

Se o sistema a ser modelado possuir n=2 e m=1, tem-se:

)(1

)(

0)(2

)(

)()()()()(

bya

ttttt

+=++

(I.1)

Como a equação acima tem n=2, ele pode ser classificado como um sistema de 2

ordem no

domínio da variável t.

Para n=1 e m=1, tem-se:

)(1

)(

0)(1

)(

)()()()(

bya

tttt

+=+

(I.2)

Considerando o processo físico deste estudo, onde a equação diferencial do sistema tem a

forma abaixo para n=1 e m=0:

)(0)(1

)(

)()()(

xbya

ttt

(I.3)

O gráfico abaixo exemplifica o comportamento do sistema (I.3):

107

Figura I.1: Resposta de um sistema com n=1 e m=0.

Neste trabalho, o sistema de piscina é representado por um modelo de 1

ordem.

Na figura acima, pode ser observado que quando a simulação alcança um tempo equivalente a

, o sistema está quase estável (

é a constante de tempo do sistema). As saídas típicas dos

sistemas de 1ª ordem, quando os coeficientes assumem o valor 1, ao longo do tempo, são

[Aguirre, 2004]:

Tempo de simulação (t) Saída do sistema

0,63

0,86

0,95

0,98

0,99

108

ANEXO II – Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace (T.L.) é um método que permite analisar um sistema no domínio

da freqüência. Neste trabalho, é utilizado para resolver equações diferenciais lineares. Quando

utilizamos a T.L., encontramos uma equação algébrica equivalente, cuja solução numérica

pode ser encontrada através da utilização das tabelas de transformação

→

A definição da T.L. para

ℜ

>→

ooof ,[:

transforma uma função do domínio t para o

domínio S e é dada por:

dteFFLF

tts

−

∞

∫

)()()(

][

(II.1)

Exemplo 1:

Seja,

dAeF

∫

∞

−

=⇒













≥

)()(

0,0

dteAF













−

−=













−

−=













−=

∞−

∞

−

∞

−

∫

)(

Exemplo 2:

Considere a equação (1) com n=1 e m=1

mnxb

bya

≥+=+ ,

)(1

)(

0)(1

)(

(II.2)

109

A equação (II.2) pode ser representada algebricamente no domínio de Laplace como:

asa

bsb

≥

= ,

)(

(II.3)

Considerando 1

010

baa e

, teremos:

)(

(II.4)

Exemplo 3:

Considere a equação (1) com n=2 e m=1

mnxb

bya

≥+=++ ,

)(1

)(

0)(2

)(

(II.5)

A equação (II.5) pode ser representada algebricamente no domínio de Laplace como:

asasa

bsb

≥

= ,

)(

(II.6)

Considerando 1

10210

bbaaa , teremos:

)(

(II.7)

Exemplo 4:

110

Considere a equação (1) com n=1 e m=0

mnxbya

≥=+ ,

)(0)(1

)(

(II.8)

A equação (II.8) pode ser representada algebricamente no domínio de Laplace como:

asa

≥

= ,

)(

(II.9)

Considerando 1

010

baa , teremos:

)(

(II.10)

Na figura abaixo, pode ser observado que a resposta ao degrau unitário para um sistema no

domínio S é equivalente à equação diferencial (I.3):

Figura II.1: Resposta de um sistema com n=1 e m=0.

111

ANEXO III – Transformada Z

A Transformada Z é utilizada para transformar funções que estão no domínio do tempo

contínuo t para o domínio discreto z.

Através do amostrador, um sinal contínuo é convertido em pulsos produzidos nos instantes

nTTTT ,...,3,2,,0

. O hold, por sua vez, captura esses pulsos e os retém, transformando o sinal

amostrado em pseudocontínuo, que reproduz de maneira aproximada o valor da entrada x e

corresponde a uma função de transformação dada por:

−

(III.1)

O valor do sinal de entrada x, após passar pelo amostrador, é dado pela equação abaixo:

∑

∞

−

)(

kTtkT

xx δ

(III.2)

Exemplo:

Considerando a equação (I.3), porém, no domínio do variável S com 1

010

baa ,

teremos:

)(

(III.3)

Multiplicando a equação (III.3) pelo hold (III.1):

( )

(

)

)()(

−

= (III.4)

112

Utilizando a tabela de transformação de

→

, obtemos a equação no domínio Z:

)1(

10)(

exeyy

−−

−+=

(III.5)

Se considerarmos 1

−k

x , onde T é o tempo de amostragem, podemos simular o sistema

(III.3):

Figura III.1: Variação do resultado obtido frente a diferentes intervalos de amostragem

No sistema apresentado acima, podemos observar diferentes resultados frente a entradas em

degrau unitário. Isto ocorre porque, ao transformar um sistema contínuo em discreto, o

mesmo poderá perder informação dependendo do intervalo utilizado para a amostragem (h)

do sistema.

Como pode ser observado, quanto mais curto for o intervalo de amostragem, mais o sistema

discreto irá se aproximar do contínuo.

113

ANEXO IV – Equação de Diferenças

A solução discreta de uma equação diferencial pode ser obtida através de uma equação de

diferenças equivalente que tem sua forma genérica explicitada abaixo:

)(0)1(1)(0)1(1)()(

......

nkknnkknknk

xxuuux

−−−−−−

−

(IV.1)

A qual pode ser obtida através da equação diferencial:

mnub

≥++++

=++++

−

,...

...

)(

(IV.2)

Para a transformação, podemos aplicar o método da Transformada Z em uma função no

domínio de Laplace:

asasasa

bsbsbsb

++++

−

)(

...

(IV.3)

Em nosso caso, como o sistema é de 1

ordem, com n=1 e m=0 , temos:

)(

asa

(IV.4)

Aplicando a tabela de transformação [Phillips e Troy, 1984], obtemos:

[ ]

abG

aaS

ZGZ

)/(

00)(

)(

−

=⇒













= (IV.5)

Supondo 1

010

baa , temos:

114

)()(

)(

xyeZy

=−⇒

−

=⇒

−

−−

−−−

(IV.6)

Pelo teorema da translação – sendo n um inteiro positivo e

)(

para

)(Z

será

transformado em

{

}

)(k

–, portanto:

{

}

[

]

)()( nkZ

eZEZ

−

(IV.7)

Assim, aplicando o teorema da translação na equação (IV.7), obtemos a equação de diferenças

abaixo:

)()1()( kk

xyey =−

−

(IV.8)

onde, T é o período de amostragem. Como pode ser observado, a equação (IV.8) não está com

hold. Após incluí-lo, teremos a mesma equação apresentada em (III.5).

115

ANEXO V – Conceitos de Termodinâmica

Um sistema é denominado térmico quando ocorre troca de calor entre os corpos que, de

alguma forma, o compõem. O calor de um corpo é transferido para outro através de fluxo de

calor.

Figura V.1: Transferência de calor

Cada corpo possui uma capacitância térmica ou calórica que indica o calor necessário para

aumentar sua temperatura e que é dada pela razão entre a variação da quantidade de calor e da

variação da temperatura.

∆

= (V.1)

Existe, também a constante de calor específico que indica a quantidade de calor necessário

para elevar a temperatura de um corpo em

c = (V.2)

No calor específico, a constante

está relacionada com a substância que está em análise e,

portanto, podemos dizer que é única para o material considerado.

Quando a temperatura de um sistema varia devido à transferência de calor, está ocorrendo

troca de energia na forma de calor. Existem quatro fenômenos básicos que podem causar

alterações térmicas em um corpo:

- Transmissão: a energia de um corpo é transmitida para outro;

116

- Condução: em dois ou mais corpos que estão em contato o calor flui do que tem maior

quantidade para o de menor;

- Radiação: ocorre quando dois ou mais corpos que não estão em contato trocam calor;

- Convecção: é uma forma de condução de calor, porém, ocorre entre um corpo em

estado sólido e um corpo em estado líquido.

Os conceitos apresentados acima estão presentes nos sistemas de piscinas e são utilizados na

modelagem matemática das mesmas para representar as transferências de energia térmica que

alteram a dinâmica do sistema. Desta forma, esses conceitos são necessários na formulação de

modelos térmicos, quaisquer que sejam.

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