( PDF ) A utilização do livro didático pelo aluno ao estudar integral

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YUK WAH HSIA

A UTILIZAÇÃO DO LIVRO DIDÁTICO PELO ALUNO

AO ESTUDAR INTEGRAL

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

PUC/SP

São Paulo

2006

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YUK WAH HSIA

A UTILIZAÇÃO DO LIVRO DIDÁTICO PELO ALUNO

AO ESTUDAR INTEGRAL

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como

exigência parcial para obtenção do título de Mestre

em Educação Matemática, sob a orientação do

Professor Doutor Benedito Antonio da Silva.

PUC/SP

São Paulo

2006

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Banca Examinadora

____________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total

ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

__________________________ __________________________

Assinatura Local e Data

Aos meus pais e meu tio,

In memorian

gradecimentos

Ao Professor Doutor Benedito Antonio da Silva,

que orientou este trabalho com dedicação,

empenho e competência.

Aos Professores, Doutora Cristina Cerri e Doutor

Saddo Ag Almouloud pela participação na Banca

Examinadora e pelas sugestões e comentários que

contribuíram para a evolução do trabalho.

Aos Professores do Programa de Ensino de Pós-

Graduação em Educação Matemática da PUC-SP,

por todo incentivo dado ao longo do curso.

Aos Professores Doutores Ana Chiummo, Norma

Sueli Gomes Allevato, Waldemar De Maio,

Walter Paulette e ao Professor Mestre Ayrton

Barboni, pelo incentivo e amizade.

À direção e aos estudantes do Curso de

Matemática da Universidade Paulista, que

contribuíram no experimento deste trabalho.

Aos colegas do Mestrado, pelo companheirismo.

Aos amigos, Alberto, Luciana, Maria Helena,

Maryneusa.

À minha família, pelo apoio, compreensão e

estímulo.

A Autora

esumo

Esta pesquisa procurou investigar como o aluno utiliza o livro didático, ao estudar

o objeto matemático “Integral”. Buscou-se mapear os indícios das estratégias que

o aluno lançava mão: para situar o tema proposto, no livro didático indicado, para

extrair as idéias principais e estratégias utilizadas pelo autor, resumindo-as num

esquema, para resolver exercícios propostos pelo livro. Buscou, ainda, identificar

como o estudante apresentava sua produção escrita, se apresentava idéias

encadeadas, por meio de mudanças de registros de representação semiótica, sob

a ótica de Duval, ao se referir aos aspectos cognitivos da aprendizagem. Para tal,

foi elaborado um roteiro de tarefas a serem desenvolvidas por alunos do Curso de

Licenciatura em Matemática, de uma instituição particular da Grande São Paulo.

Participaram do experimento, um grupo de alunos do 2º semestre, que ainda não

estudaram Integral e um grupo de 5º semestre, que já tiveram contato com o

conceito. Com isso, pretendia verificar se as estratégias utilizadas por um grupo

ou por outro grupo seriam diferentes. Os dados obtidos revelaram que não houve

diferenças perceptíveis entre as produções de um ou de outro grupo. Os dados

revelaram também que os estudantes desempenharam as tarefas com

entusiasmo e seriedade. A fundamentação teórica e o livro escolhido mostraram-

se ferramentas eficazes na análise dos protocolos. Ficou evidenciado que os

alunos na sua totalidade, localizava o tema consultando o índice, confeccionaram

um esquema pedido, destacando os tópicos que julgaram essenciais e ao

resolver o exercício proposto, buscaram subsídios nos exemplos e exercícios

resolvidos no texto, utilizando vários registros de representação. Embora, não

sendo escopo de nossa investigação, varias manifestações dos estudantes

apontaram para a pertinência da leitura do livro texto como uma atividade

preliminar no ensino aprendizagem de um conceito matemático.

Palavras-chave: livro texto; registro de representação semiótica; integral;

compreensão de texto; conversão de registros.

bstract

This paper investigated student’s use of the text book when learning the

mathematical object “Integral. Its aim was to map the indications of strategies used

by students in order to: 1. situate the proposed theme in the student book;

2.extract the main ideas and the strategies used by the author, summarizing them

in a scheme; 3. solve the exercises proposed in the book. It was also the focus of

this paper to identify how students delivered their written production - whether they

presented linked ideas, through changes in registers of semiotic representation,

according to Duval’s viewpoint, when referring to learning cognitive aspects.

Therefore, a task plan has been created, to be performed by the students of the

Undergraduate Mathematics Course of a private institution in Great São Paulo.

The participating groups were a second semester group, who have not learned

Integral yet, and a fifth semester group, who have already had contact with the

concept. A comparative study of the different strategies adopted by each group

has been developed. The achieved results revealed that there has been no

meaningful difference between the productions of the two groups. The data also

revealed that the students performed the tasks with enthusiasm and commitment.

The theoretical basis and the book chosen turned out to be efficient tools in the

analysis of the protocols. Results showed that the students as a whole could find

the theme in the index, performed the required schema, highlighting the topics

they judged essential and, while solving the proposed exercises, looked for

subsided in the examples and exercises solved in the text, making use of several

registers of representation. Although not included in the scope of this investigation,

several of the students’ manifestations suggested the pertinence of reading the

text book as a preliminary activity in the mathematical concept of learning.

Key-words: Textbook, registers of semiotic representation, integral, text

comprehension, registers conversion

umário

Apresentação

…………………………………………………………………… 11

Capitulo I

………………………………………………………………………….. 25

Fundamentação Teórica ……………………………………………………….. 25

Capitulo II

…………………………………………………………………………. 43

O Objeto Matemático – Integral ………………………………………………. 43

Capítulo III

………………………………………………………………………... 62

Procedimentos Metodológicos ………………………………………………… 62

Capítulo IV

………………………………………………………………………... 73

Resultados ………………………………………………………………………. 73

Capítulo V

………………………………………………………………………… 87

Conclusão e Considerações Finais ………………………………………… 87

Referências Bibliográficas

………………………………………………… 94

presentação

Segundo Duval (1999), educação matemática tem sido muito sensível às

necessidades de mudança nos últimos cinqüenta anos. Pesquisas em psicologia

de desenvolvimento, novas tecnologias, novas exigências em avaliação têm dado

suporte a essas mudanças. Mas seus impactos tornam-se mais efetivos no

currículo matemático e nas formas de ensino do que nas explicações dos

profundos processos de compreensão e aprendizagem da Matemática.

Dificuldades de tal pesquisa originam-se da necessidade de definir um

quadro teórico, no qual o confinamento epistemológico específico à atividade

matemática e às funções cognitivas do pensamento que o envolve não estão

separados. Isso requer ir além do estudo local do conceito adquirido em cada

nível do currículo e além da mera referência às várias teorias gerais de

aprendizagem e mesmo além da descrição global da atividade do aluno em sala.

(Duval, 1999)

Encontra-se em muitos manuais, a afirmação de que o Cálculo foi

inventado por dois homens, Newton e Leibniz. Courant (2000) considera isso

simplista. Segundo ele, o Cálculo é produto de uma longa evolução que não foi

iniciada nem concluída por Newton e Leibniz, porém, ambos desempenharam

papel decisivo em sua construção. Havia na Europa do século XVII, em sua maior

parte fora das escolas, um grupo de cientistas ativos que se empenhava em dar

continuidade aos trabalhos já realizados por Galileu e Kepler. Por meio de

correspondências e de viagens, esses homens mantinham entre si estreito

contato.

Apresentação Yuk Wah Hsia

Dois problemas chamavam atenção deles. Em primeiro lugar, o problema

das tangentes: determinar as retas tangentes a uma curva, que era problema

fundamental do Cálculo Diferencial. Em segundo lugar, o problema da quadratura:

determinar a área da região delimitada por uma curva, o problema fundamental do

Cálculo Integral. O grande mérito de Newton e Leibniz foi o fato de terem

identificado a estreita relação entre estes dois problemas. Nas mãos deles, cada

um utilizando métodos próprios, conseguiram tratar de maneira unificada esses

dois grandes problemas. (Courant, 2000)

Ao ingressarem na Universidade, tanto pública como particular, os alunos

da área de ciências exatas se defrontam com a disciplina Cálculo Diferencial e

Integral (CDI) como curso básico, pré-requisito para vários outros. Segundo

Candido, Barufi e Monteiro (2004), espera-se que essa disciplina, por meio de

vários tipos de problemas atuais e reais, propicie aos alunos uma visão mais

ampla de como o conhecimento matemático pode ser articulado.

Antes de chegar à Universidade, os alunos trabalharam alguns conceitos

matemáticos, muitas vezes de maneira isolada, e na melhor das hipóteses, um

enfoque significativo, e apesar de os professores de Cálculo esperarem haver

domínio de algumas técnicas operatórias e da linguagem lógico-formal, isso não

está satisfatoriamente estabelecido. A matemática com a qual os estudantes

trabalharam, muitas vezes permaneceu no âmbito da intuição, com algum aspecto

voltado, talvez, para o prazer da descoberta. Para a maioria dos alunos, a

matemática da Escola Média pouco ou nada tem a ver com o que lhe é

apresentado no Cálculo, e o caráter de análise com o qual passa se defrontar

parece constituir uma grande dificuldade. (Barufi, 2002)

E ainda segundo Barufi (2002), frente a essas dificuldades, muitas vezes,

os professores desenvolvem seus programas limitando-se ao “adestramento” dos

estudantes, pensando que a memorização de algoritmos seja suficiente, e que, no

futuro, eles descobrirão sozinhos os significados dos conceitos e da utilização

dessas técnicas, ao enfrentarem problemas cuja resolução os exige.

Nesse caso, alguns deles são apenas receptáculos de uma série de

resultados nos quais acreditam porque alguém, detentor do conhecimento,

Apresentação Yuk Wah Hsia

afirmou. O máximo que poderão fazer é repetir definições que guardaram na

memória episódica, procurando reproduzi-los da mesma maneira que lhes foram

transmitidos, ou resolver problemas semelhantes aos que viram resolvidos,

aplicando técnicas que, de tanto repetir, conseguiram razoavelmente memorizar.

Entretanto, para resolver problemas, antes de tudo, é necessário ter idéias

e, para isso, é preciso conhecer os significados das ferramentas disponíveis.

Somente depois é possível tomar decisões sobre quais ferramentas utilizar. E no

caso do Cálculo, além da coleção de idéias, extremamente férteis, existe um

conjunto de termos específicos e símbolos correspondentes, sendo que o todo se

constitui num mundo novo para os estudantes.

Malta (2003) em seu artigo “Linguagem, Leitura e Matemática”, afirma que

durante alguns anos, os professores estiveram imobilizados pela convicção de

que o grande número de reprovações na disciplina CDI era exclusivamente

causado pela deterioração do ensino pré-universitário, especificamente do ensino

médio, e portanto, sua solução só poderia advir de uma ação neste segmento de

ensino.

Ainda segundo a autora, esse quadro mudou e hoje, prepondera a

convicção de que não só a ineficiência do ensino fundamental e médio se insere

num amplo contexto social, político e cultural no qual a universidade tendo um

papel extremamente importante, mas também, de que as questões referentes às

dificuldades de aprendizado não se encerram no ensino pré-universitário. E

segundo Malta, nos últimos 15 anos muito se tem refletido, discutido e pesquisado

sobre a questão das dificuldades do aprendizado em Matemática nas disciplinas

básicas dos cursos universitários na área das ciências exatas.

As dificuldades de aprendizagem dos conceitos fundamentais, como

Derivada e Integral, têm impulsionado os educadores matemáticos a pesquisarem

em várias direções, tais como: o estudo de diferentes teorias cognitivas, novas

metodologias, uso das novas tecnologias, análise do material didático.

Apresentação Yuk Wah Hsia

A Integral traz no seu ensino problemas específicos como conceito,

técnicas, aplicações etc..., e foram encontradas várias pesquisas sobre o tema.

São elas:

1- The Improper Integral. An Exploratory Study with First-Year University

Students, cujos autores são Alejandro S. Gonzalez-Martín e Matías

Camacho.

Nesta pesquisa os autores, Matias Camacho e Ramón Depool Rivero

(Departamento de Analise Matemática – Universidade de La Laguna, Ilhas

Canárias, Espanha) analisaram as respostas de um grupo de universitários de 1º

ano para um questionário, com o objetivo de determinar as dificuldades que eles

tinham quando executavam tarefas não rotineiras, relativas a integrais impróprias

e identificar os obstáculos e dificuldades relativas a esse conteúdo, como também

em detectar certos erros e dificuldades, que são levantadas quando fazem

conversões entre os registros gráfico e algébrico, ou como eles manuseiam

elementos num mesmo registro.

A fim de descobrir o nível da compreensão dos alunos, segundo o ponto de

vista de Duval, os pesquisadores delinearam um questionário com nove questões,

compostas por tarefas de cálculo e determinação de convergência das integrais

impróprias, como também questões intuitivas e alguns resultados paradoxais (por

exemplo, uma figura como um comprimento infinito com um volume finito). Os

estudantes também foram solicitados a interpretar muitos dos resultados obtidos.

Os pesquisadores tentaram responder as seguintes perguntas: Como os

alunos reagem quando enfrentam exercícios do tipo não algoritmo, questões de

raciocínio e questões não rotineiras sobre o tópico em que estão estudando? Em

qual sistema de representação os alunos sentem-se mais confortáveis? Eles

percebem os resultados contraditórios a que chegaram? São eles capazes de

articular diferentes sistemas de representação nas questões relativas a integral

imprópria? Eles estabelecem alguma relação entre o conhecimento novo como o

anterior, particularmente com a integral definida, series e seqüências?

Apresentação Yuk Wah Hsia

O questionário, utilizando Computer Algebra System (CAS), foi respondido

por 31 alunos (13 rapazes e 18 moças), no final do segundo semestre do curso de

2000, durante uma aula de uma hora. As respostas dos alunos foram

categorizadas e seis alunos, 19,35% do total, foram entrevistados.

Depois de ler as respostas dos trinta e um questionários, os pesquisadores

concluíram que os alunos preferem trabalhar no registro algébrico e questões não

rotineiras como também questões, em que são solicitados a justificar suas

respostas, deixam-nos confusos.

Foi observado que os alunos não têm idéia clara do conceito de Integral,

concebem-na sempre como área, mas a principal dificuldade deles relaciona-se à

falta de conhecimento dos conceitos prévios, tais como convergência, seqüência

e integral definida.

Foi notado também que os alunos não estão habituados a combinar vários

registros para interpretar os resultados, ou falham ao usar o registro gráfico

quando são solicitados para isso e preferem utilizar o registro algébrico (ou se

limitam a este registro). Poucos se mostram capazes de coordenar dois registros.

Com relação a transferência dos conhecimentos prévios, observou-se que

poucos conseguem fazer isso e em muitos casos, este conhecimento prévio

revelou-se incompleto, impossibilitando a transferência.

2- Using Derive to Understand The Concept of Definite Integral, cujos

autores são Matías Camacho e Ramón Depool Rivero. Neste trabalho,

eles apresentam os resultados de um estudo piloto realizado numa

universidade em Venezuela, com o objetivo de determinar o conceito de

área e integral definida retido pelos alunos depois de eles terem sido

instruídos usando DERIVE CAS (Computer Algebra System).

É uma pesquisa que tem por objetivo analisar as potencialidades e

dificuldades encontradas, ao introduzir o software DERIVE no ensino e

aprendizagem de Cálculo durante o primeiro ano na Universidade Politécnica,

Venezuela.

Apresentação Yuk Wah Hsia

Cientes de que qualquer método de ensino e aprendizagem produz

resultados de curto prazo, médio prazo e longo prazo, os pesquisadores, Matias

Camacho Machín e Ramón Deepol Rivero tentaram determinar os efeitos de curto

prazo do programa de instrução combinando o método usual de ensino com

Práticas Laboratoriais delineadas com base em vários sistemas de representação.

Durante as Práticas Laboratoriais, o conceito de integral definida é

introduzido começando com o clássico problema da quadratura e mostrando

como a integral definida surge quando se tenta aproximar a área de uma certa

região do plano limitada por uma curva pelo eixo X.

Os pesquisadores visavam a que os alunos assimilassem não somente o

aspecto algébrico como também as perspectivas gráfica e numérica do conceito

de Integral Definida e vissem cálculos da Integral Definida de uma função

(contínua ou não) não exclusivamente como a diferença de uma primitiva

estimada ao fim de uma seqüência de integração.

O objetivo dessa pesquisa era analisar a influência do uso do DERIVE

Computer Algebra System, sobre a idéia da área limitada por uma curva com o

eixo X, quando este conceito é introduzido por meio de um programa de ensino

diferente dos métodos tradicionais.

O projeto foi delineado usando as idéias teóricas propostas por Duval,

referentes aos sistemas semióticos de representação. Os pesquisadores se

preocuparam principalmente com tarefas que tratavam do conhecimento,

tratamento e conversão das representações algébricas, gráficas e numéricas.

O experimento foi realizado com um grupo de onze estudantes

matriculados num curso regular de Cálculo I. O programa oficial foi ensinado, com

a diferença de que os alunos realizaram praticas laboratoriais em computadores,

segundo um modelo instrucional delineado para trabalhar com DERIVE. As

unidades temáticas foram: Funções, Limites, Derivadas e Integrais. Quando o

curso terminou, um questionário de 8 questões foi apresentado para checar a

aprendizagem.

Apresentação Yuk Wah Hsia

Para classificar as respostas, uma categorização foi feita para cada item

das respostas e para cada estudante. Isso permitiu aos pesquisadores a

sistematizar o caminho seguido por cada aluno quando resolvia cada problema.

Finalmente, dois dos alunos foram escolhidos para entrevista baseando-se no

desempenho deles e ao tipo de resposta dado. A entrevista era baseada no

questionário e foi levado a cabo um mês depois do mesmo ser completado.

Pelos resultados obtidos do questionário e das entrevistas, os

pesquisadores concluíram que os alunos conseguem reconhecer as

representações semióticas, gráfica e algébrica, conseguem realizar tratamentos

nessas representações, entretanto, eles têm problemas em conversão de

representações. Os alunos preferem trabalhar em representação algébrica em

vez de gráfica. Os pesquisadores também acreditam que o trabalho baseado em

praticas laboratoriais teve alguma influência na maneira em que os alunos

interpretaram as tarefas propostas.

3- Definitions and Images for the Definite Integral Concept. Os autores são

Shaker Rasslan e David Tall. O trabalho consistia em um questionário

delineado para explorar os esquemas cognitivos para o conceito da

integral definida evocado por 41 alunos do high school (Ensino Médio).

Os pesquisadores Shaker Rasslan (Center for Mathematics Education –

Oranim School of Education, Israel) e David Tall (Mathematics Education

Research Center – University of Warwick, UK) realizaram a pesquisa com 41 pré-

universitários, após terem freqüentado um programa de treinamento. O conceito

da Integral Definida, na Inglaterra, é ensinado nos dois últimos anos da escola

para alunos com idade entre 16 e 18 anos.

A pesquisa procurava responder as seguintes questões: Quais as

definições da Integral Definida são dadas pelos alunos do High School? Quais as

imagens da Integral Definida que os alunos usam em vários problemas? Quais

são as concepções errôneas relativas a Integral Definida que os alunos exibem?

Para responder essas questões, um questionário foi delineado com 6

questões sobre a integral definida. A amostra compreendia 41 alunos em quatro

Apresentação Yuk Wah Hsia

classes do último ano e todos eles tiveram acesso a calculadoras gráficas e

encontraram todos os conceitos no teste. O questionário foi respondido pelos

alunos nas suas salas de aula, não precisavam se identificar e levaram cerca de

40 a 50 minutos para completar o questionário.

De acordo com os pesquisadores, uma das metas desse estudo foi expor

algumas imagens comuns da Integral Definida de uma função que os alunos do

ensino médio têm. Isso é muito importante para detectar o ponto de partida,

quando se quer ensinar esse conceito.

Concluíram os pesquisadores que a maioria dos alunos não escreveram

significativamente sobre a definição da Integral Definida e tiveram dificuldades em

interpretar problemas sobre cálculo de área e a integral em contextos maiores.

4- Conceito de Integral: Uma Proposta Computacional para seu Ensino e

Aprendizagem. A autoria é de José Manuel Ribeiro de Melo. Seu

trabalho tinha como objetivo, a elaboração e a aplicação de uma

seqüência de ensino, implantada num ambiente computacional.

Segundo Melo, o ensino e aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral

têm sido focado numa prática metodológica tradicional baseada em definições,

teoremas, propriedades, exemplos e exercícios, cujo resultado tem apresentado

um índice muito alto de reprovações. Para o autor, uma das possibilidades de

reverter este quadro é a utilização de novas tecnologias computacionais como

ferramentas didáticas no curso de Cálculo.

Para obter os dados para sua pesquisa, Melo elaborou e aplicou uma

seqüência didática aplicada a trinta alunos do segundo semestre do curso de

Matemática. Foram quatro sessões de três horas de duração, durante o horário

normal de aulas. A realização dos trabalhos foi observada pelo pesquisador,

professor de Cálculo e dois monitores.

Para atender este objetivo, o autor trabalhou com duplas de estudantes,

visando a uma produção de diálogos, troca de hipóteses e conclusões de forma

mais espontânea. As várias etapas foram elaboradas de modo que permitissem

Apresentação Yuk Wah Hsia

aos alunos construírem conceitos, para que tornar significativo o conceito de

Integral.

Os resultados da aplicação da seqüência evidenciaram que num ambiente

computacional, o ensino e aprendizagem passam a ser mais significativos,

contextualizados e motivantes, para os alunos e para os professores.

5- A Noção de Integral no Contexto das Concepções Operacional e

Estrutural. A autoria de Aguinaldo Herculino de Oliveira, que tinha como

meta analisar a abordagem da noção de Integral em dois livros

didáticos nos aspectos operacional e estrutural.

Esta pesquisa analisa a abordagem da noção de Integral em dois livros de

Cálculo. Fundamenta-se na teoria de Sfard, segundo a qual as noções

matemáticas são tratadas inicialmente como processos em que são evidenciadas

suas características (concepção operacional) e depois como objetos (concepção

estrutural). A passagem da primeira se dá através de três estágios

hierarquizados: interiorização, condensação e reificação.

Os livro escolhidos foram Calculus de M. Spivak e Cálculo de James

Stewart. O primeiro livro apresenta a Integral axiomaticamente, isto é, a partir de

uma construção refinada de definições e teoremas, Spivak primeiramente define a

Integral e depois trabalha suas propriedades. O segundo apresenta Integral

partindo de uma longa introdução sobre o cálculo de áreas, depois a definição e

em seguida, obtém suas propriedades. Seu ponto forte é a enorme quantidade de

exercícios que envolvem manipulações algorítmicas e aplicações.

A pesquisa evidenciou que o tratamento formalizado por Spivak vai em

direção oposta da teoria de Sfard, que postula que primeiro deve ocorrer a

concepção operacional e depois, a estrutural. Vários exercícios com

características estruturais propiciam a passagem da primeira para segunda

concepção. Em Stewart, o tratamento respeita o postulado, porém há poucos

exercícios com características estruturais e nos capítulos que tratam da noção de

Integral, apresenta projetos que propiciam a reificação da noção de Integral.

Apresentação Yuk Wah Hsia

6- A Noção de Integral em Livros Didáticos e os Registros de

Representação Semiótica. A autoria é de Carlos Antonio da Silva. O

autor analisa como o tema Integral é tratado em dois livros didáticos à

luz da teoria dos Registros de Representação Semiótica, propondo-se a

analisar o tema Integral à luz da teoria dos Registros de Representação

Semiótica de Duval.

Trata-se de uma analise qualitativa e os livros escolhidos foram de

Hamilton Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, V.1 , e Cálculo de James Stewart, por

serem usados atualmente nas universidades e possuírem abordagens

diferenciadas e foram destinados a públicos diferentes.

Silva (2004) analisou como os diversos registros são empregados pelos

autores e concluiu que os registros são apresentados, os tratamentos e

conversões são explorados, de modo que o aluno pode se tornar um agente ativo

na sua aprendizagem e o professor pode assumir então o papel de facilitador

dessa aprendizagem.

Segundo Silva (2004), no processo de organização e comunicação de

saberes pela escola, é necessário considerar a natureza conflituosa entre a

construção do conhecimento e sua transmissão, sendo que a última apresenta

uma distância considerável entre a concepção teórica e organizacional dos

conteúdos a serem ensinados e sua viabilização pelo esquema escolar e

apresentação em sala de aula. Ou melhor, entre o que foi pensado para a

aprendizagem como proposta curricular, passando pelas diretrizes pedagógicas,

pelos livros didáticos, pelos programas, pela apresentação em sala de aula e pelo

que é cobrado nas avaliações e vai sofrendo adequações e determinações que

refletem, em cada um desses níveis, tensões próprias e contraditórias.

Ainda segundo o autor, na construção do conhecimento matemático, o

aluno se vê como um pesquisador na luta pelas novas descobertas e nessa

perspectiva, os livros tornam-se objetos importantes nesta maneira de se ensinar.

Os resultados da análise feita mostram que os livros quando bem

explorados, podem levar os alunos a um maior entendimento, por meio da

Apresentação Yuk Wah Hsia

utilização das conversões, com visualização gráfica dos conceitos em uma

situação contextualizada e motivadora.

Segundo Romanatto (2004), a situação de sala de aula brasileira permite

dizer que nem a palavra do professor e nem os modernos meios tecnológicos de

comunicação podem substituir o livro didático nas atividades escolares, pois este

acumula várias funções, como, por exemplo, a de ser instrumento de intercâmbio

e inter-relação social, permitindo a comunicação no tempo e no espaço, assim

como constitui várias fontes de informações. Portanto, considerando-se que ler é

interpretar os símbolos gráficos e compreender o significado, os objetivos da

habilidade de ler deverão principalmente levar o aluno utilizar a leitura como fonte

de informação e aperfeiçoamento cultural.

No seu artigo “O Ensino do Cálculo e da Análise”, Ávila faz um relato do

ensino do Cálculo no Brasil. Até aproximadamente 1960, o ensino dessa

disciplina seguia os moldes dos livros europeus, como o de autoria do francês

Édouard Goursat ou do italiano Francesco Severi. Os cursos eram estruturados

incorporando o que hoje costuma ser distribuído como Cálculo propriamente e a

Análise Matemática. Aprendia-se o Cálculo juntamente com a Análise. O modelo

seguido era “Cours d’Analyse” das escolas francesas, nos quais eram incluídas as

disciplinas de Cálculo de uma ou mais variáveis, funções de uma variável

complexa, geometria diferencial de curvas e superfícies e um pouco de análise de

Fourier e, à parte, ficava a Geometria Analítica como ainda é hoje.

O próprio autor, que cursou a faculdade de 1953 e 1956, teve um curso de

três anos de Análise Matemática, conforme descrito acima. Logo no primeiro ano,

começou com a teoria dos números reais, noções de topologia na reta, funções

contínuas em intervalos fechados, conjuntos compactos, etc... juntamente com

derivadas e aplicações, máximos e mínimos, comportamento das funções e não

havia menções a trigonometria, logaritmos e exponencial, tópicos que figuravam

no ensino médio.

Segundo Ávila (2002, p. 84), a partir de 1960, os livros americanos

tomaram o lugar dos livros europeus, surgindo assim o costume de ensinar o

Cálculo primeiro, ficando a Análise Matemática para depois, numa disciplina

Apresentação Yuk Wah Hsia

separada. Apesar dessa mudança, ainda resistiu a apresentação rigorosa do

Cálculo desde o primeiro ano por influência dos professores europeus, o que

pode ser notado em alguns livros de autores brasileiros e a marca mais visível

disso é a introdução, logo no início do curso, da definição de limite em termos de

e , e a conseqüente dedução das suas propriedades.

De acordo com o autor, um dos primeiros autores que mudou

significativamente o modo de apresentar Cálculo foi Serge Lang, cujo livro

apareceu pela primeira vez em meados dos anos sessenta, logo seguido pelo de

Bob Seeley. Esses autores reconheciam que não era realista ensinar a teoria

rigorosa do limite no inicio de um curso de Cálculo, e seus textos, principalmente

o primeiro, influenciaram muitos dos livros que têm sido escritos desde então.

Barufi (1999) realizou sua tese de doutorado buscando compreender as

dificuldades existentes no processo ensino-aprendizagem do CDI, a partir dos

livros adotados, um instrumento sempre presente no trabalho do professor em

sala de aula. Para a autora, bons livros sempre existiram e que a escolha do livro

pelo professor pode revelar suas crenças e as metodologias a serem adotadas

para a aquisição do conhecimento.

No outro artigo seu “O Provão e o Ensino da Matemática”, Ávila comenta

que um fator que pesa muito nas deficiências do aprendizado, principalmente da

Matemática, é o uso exagerado de preleções no ensino, tanto no superior como

no ensino fundamental e médio. O aluno é conduzido a uma atitude muito

passiva, esperando que lhe “ensinem”, quando devia ser induzido a “aprender”. É

cada vez mais generalizada a idéia de fazer o aluno ter mais iniciativa no

aprendizado, pois este já chega à universidade esperando que o professor lhe

“ensine” o que tem que aprender. Nas faculdades particulares, os alunos na

maioria trabalham, portanto, dispõem pouco tempo ou quase nenhum tempo para

estudo fora da sala de aula. Conseqüentemente, esperam aprender nas preleções

do professor durante a aula.

Sabe-se que ninguém aprende Matemática porque assiste às aulas, por

mais talentoso que seja o professor em suas exposições, afirma Ávila. É preciso

fazer os alunos trabalharem individualmente com muita disciplina e persistência.

Apresentação Yuk Wah Hsia

Entretanto, Malta (2003) aponta como indício do despreparo dos alunos ao

ingressar na universidade, a incapacidade de utilização da linguagem escrita,

visível na dificuldade de construir frases completas e consistentes e sem erros de

ortografia, demonstrado pelos alunos.

A autora enfoca a importância da linguagem no processo da aprendizagem

em matemática e ressalta a necessidade do aprender a ler e a se expressar de

forma organizada; ler no sentido mais amplo possível, no sentido de adquirir

conhecimentos a partir de fontes de registro, tais como livros, textos, hiper-textos

ou meios de registro de conhecimentos que venham a ser criado, sem a

interveniência direta de um explicador ao vivo, além de conduzir o aluno a

desenvolver suas capacidades de leitura em matemática e de expressão do

próprio raciocínio que os leve à compreensão e utilização de resultados

matemáticos.

A proposta do nosso trabalho é investigar como o aluno utiliza o livro

didático, quando ele estuda um tema como Integral de Riemann para funções

reais. Ele entende o que está estudando? Ele apresenta algum interesse pelo livro

didático? Ele consegue relacionar os conceitos apresentados com os registros

utilizados? Ele manifesta interesse em estudar usando um livro didático?

Tentar obter essas respostas é muito importante, porque segundo

Romanatto (2004), a leitura de um livro didático apresenta inúmeras vantagens

sobre outros meios de comunicação, sendo a reflexão a principal delas. A leitura

torna indispensável o esforço para compreender, o que é altamente disciplinador

e educativo. Outra vantagem: o desenvolvimento da criatividade. O leitor, muitas

vezes, enriquece o texto: vai além dos fatos narrados: “lê” nas entrelinhas, usa a

imaginação.

Na tentativa de obtenção das respostas, vamos solicitar aos alunos a

realização de tarefas como: leitura de texto do tópico do tema Integral em um livro

didático, que é o “Cálculo”, Volume 1, de James Stewart, colocar as idéias

principais do texto em um esquema e por fim, resolver um exercício do livro.

Além disso, vamos utilizar entrevistas para enriquecer os resultados.

Apresentação Yuk Wah Hsia

O nosso trabalho será organizado em cinco capítulos: no primeiro capítulo

desenvolvemos a fundamentação teórica de Raymond Duval, os registros de

representação semiótica, quanto a compreensão matemática e depois, a

compreensão de textos. No capitulo dois, apresentamos um breve relato sobre a

evolução do conceito de Integral. No capitulo três, tratamos das escolhas

metodológicas, dos procedimentos realizados e a realização do experimento. No

capitulo quatro, as análises das tarefas e entrevistas realizadas e no capítulo

cinco, as considerações finais.

A pesquisa fundamenta-se na teoria de Duval, cuja idéia da aquisição do

conhecimento matemático baseia-se na necessidade de distinguir o objeto

matemático de sua representação e para atingir essa meta, diferentes

representações semióticas de um objeto matemático precisam ser utilizadas.

Logo, o conhecimento matemático é adquirido quando o aluno consegue

converter dois registros de representação do mesmo objeto matemático.

apítulo I

Fundamentação Teórica

A Teoria “Registros de Representação Semiótica” de Raymond Duval dará

suporte teórico à nossa pesquisa, pois aborda os aspectos cognitivos relativos à

aquisição dos conhecimentos matemáticos e será baseado num texto seu,

“Representation, vision e visualization: Cognitive functions in mathematical

thinking. Basic Issues for learning”.

Segundo Duval (1999), essa teoria procura primeiramente determinar o

funcionamento cognitivo subjacente à diversidade dos processos matemáticos, a

fim de entender as dificuldades de muitos estudantes com a aprendizagem

matemática e a natureza destas, visto que o objetivo do ensino da disciplina é

contribuir para o desenvolvimento das capacidades dos alunos em raciocinar,

analisar e visualizar, para enfrentar um ambiente tecnológico e computacional de

crescente complexidade.

Diferentemente de outros campos de conhecimento (como botânica,

geologia, astronomia, física...), em que as representações semióticas são

imagens ou descrições sobre algum fenômeno do mundo real, a única forma de

obter o acesso aos objetos matemáticos é a produção de alguma representação

semiótica, e ainda segundo o autor, não se pode confundir o objeto matemático

com sua representação.

Capítulo I Yuk Wah Hsia

Conforme o autor, no processo ensino-aprendizagem, os recursos

utilizados são a língua falada e a língua escrita. Aprendemos a falar imitando o

que ouvimos e aprendemos a escrever quando dominamos a fala, o que requer

atenção e conhecimento, e ao escrever, surge um registro.

A história mostra que o progresso da Matemática sempre esteve ligado ao

desenvolvimento de diversos sistemas semióticos baseados em dois diferentes

sistemas sensórios: linguagem e imagem. Exemplificando Duval: notações

simbólicas originaram-se da escrita, o que levou a escrita algébrica e, desde o

século XIX, a criação das linguagens formais. Existia a construção das figuras

planas com instrumentos, aí em perspectiva e depois em “gráficos”, a fim de

traduzir curvas em equações.

Cada novo sistema semiótico fornecia meio específico de representação e

processos para o pensamento matemático. Por essa razão, foram chamados de

registros de representação. São quatro tipos muito diferentes de registros, e isso

vincula uma complexa interação cognitiva apoiando qualquer atividade

matemática.(Duval, 2003)

Representação Discursiva Representação Não Discursiva

Registros

Multifuncionais: Os

tratamentos não são

algoritmizáveis.

1. Língua Natural.

2. Associações verbais

3. Formas de raciocinar:

- argumentação a partir de

observações, de crenças...

- dedução válida a partir de

definição ou de teoremas.

Figuras geométricas planas ou

perspectivas (configurações em

dimensão 0, 1, 2 ou 3).

- apreensão operatória e não

somente perceptiva.

- construção com instrumentos.

Registros

Monofuncionais:

Os tratamentos são

principalmente

algoritmos.

4. Sistemas de escritas:

- numéricas (binárias, decimal,

fracionária...);

- algébricas;

- simbólicas (línguas formais).

- Cálculo

Gráficos cartesianos.

- Mudanças de sistemas de

coordenadas.

- Interpolação, extrapolação.

Fig. I.1 – Classificação dos diferentes registros de representação

Fonte: Duval, 2003 p. 14

Capítulo I Yuk Wah Hsia

Para Duval, a aprendizagem matemática é um campo privilegiado para

estudar os registros de representação semiótica porque envolve um paradoxo

cognitivo, os objetos matemáticos, que não são objetos reais, necessitam de

representações para se tornarem acessíveis e perceptíveis, mas elas não podem

ser confundidas com os objetos matemáticos e essa distinção é muito importante

para a compreensão matemática, para que o conhecimento adquirido não se

torne inutilizado fora do contexto.

As representações são muito importantes para comunicação, como

também para atividade cognitiva do pensamento. Existem representações

mentais que dependem da interiorização das representações semióticas e essas

últimas são produções de conhecimento que permitem representações diferentes

do mesmo objeto e elas não são subordinadas às representações mentais.

Para que um sistema semiótico funcione como registro de representação,

segundo o autor, três atividades devem estar envolvidas: ser uma representação

identificável, permitir o tratamento (transformação interna ao registro), e por

último, permitir a conversão, que é a transformação de um registro em um outro.

1.1 – Operações Cognitivas: Tratamento e Conversão

Segundo Duval, os processos matemáticos são compostos de dois tipos de

transformações de representações. Existem transformações que são feitas no

mesmo registro de representação, como cálculo aritmético ou algébrico. Chama-

se de “tratamento” este tipo de transformação.

Existem, também, transformações que impõem uma mudança de registros,

isto é, a representação de um objeto é “traduzida” em uma representação

diferente do mesmo objeto em outro registro, por exemplo, quando se parte de

uma sentença em língua natural para uma expressão literal ou a transformação

de equações em gráficos cartesianos. Chama-se de conversão este tipo de

transformação.

Capítulo I Yuk Wah Hsia

Duval (1999) afirma que não se dá muita atenção à diferença entre esses

dois tipos de operações cognitivas que estão subjacentes aos processos

matemáticos, pois se muitos estudantes conseguem realizar alguns tratamentos,

poucos conseguem realmente converter representações.

A atividade matemática requer habilidade de mudança de registro, ou por

causa de outra apresentação de dados, que se encaixam melhor do que em um

modelo já conhecido, ou porque dois registros podem agir juntos, como figuras e

língua natural ou notações simbólicas em geometria.

Do ponto de vista didático, Duval (1999) afirma que somente alunos que

podem realizar mudança de registros não confundem o objeto matemático com

sua representação e eles podem transferir seu conhecimento para outros

contextos diferentes daqueles do ensino.

Dois fatos mostram a grande complexidade da operação de conversão:

- Qualquer conversão pode ser congruente ou não-congruente. Quando a

conversão é congruente, a representação de partida é transparente

para a representação do registro de chegada, isto é, a conversão pode

ser vista como uma fácil tradução unidade a unidade.

- Análises bastante exatas do caráter congruente ou não-congruente da

conversão de uma representação em outra podem ser dadas

sistematicamente e explicam muitos erros, fracassos, enganos ou

bloqueios mentais.

- A congruência ou a não congruência de qualquer conversão depende

de sua direção. A conversão pode ser congruente em uma direção e

não-congruente na direção oposta, levando a contrastes

surpreendentes no desempenho dos alunos.

Para o autor, é surpreendente ver como a maioria dos professores e

mesmos psicólogos dão muito pouca atenção às diferenças entre tratamento e

conversão. Essas duas operações cognitivas são agrupadas na unidade dos

processos matemáticos para resolver problemas, e quando uma mudança de

Capítulo I Yuk Wah Hsia

registro deve ser introduzida no ensino, geralmente se escolhe a direção em que

ela é congruente, evitando-se as situações que levam a dificuldades.

Para Duval, a coordenação entre os registros deve ser colocada em jogo,

ela não é conseqüência da compreensão matemática; ao contrario, ela é uma

condição essencial para isso.

1.2 – Visão e Visualização

Segundo Duval (1999), do ponto de vista psicológico, visão se refere à

percepção visual e, por extensão, a uma imagem visual. Como percepção, visão

envolve duas funções cognitivas essenciais:

- A primeira consiste em dar acesso direto a qualquer objeto físico. Essa

é a razão pela qual percepção visual é sempre tomada como um

modelo para noções epistemológicas da intuição. Nada é mais

convincente do que o que é visto. Nesse sentido, visão é o oposto da

representação, mesmo das imagens mentais, porque representação é

algo que fica no lugar de alguma coisa. Essa função é epistemológica.

- A segunda função é bem diferente. Visão consiste em apreender

simultaneamente vários objetos ou a um campo todo. Em outras

palavras, visão parece dar imediatamente uma completa apreensão de

qualquer objeto ou situação. Nesse sentido, visão é o oposto do

discurso, da dedução... que requer uma seqüência de atos, focalizando

uma cadeia de sentenças. Essa função é sinóptica.

Desse modo, percepção visual desempenha em uma maneira muito

imperfeita a função sinóptica. Primeiramente, porque nós estamos num mundo

tridimensional: somente um lado das coisas pode ser visto, e apreensão completa

requer movimento, tanto de quem está olhando como daquilo que está sendo

visto.

Em qualquer caso, conforme Duval, esse movimento é a transformação do

conteúdo percebido: há somente uma justaposição das vistas sucessivas que

Capítulo I Yuk Wah Hsia

pode ser de face cheia, de perfil, de cima, de baixo. Em segundo lugar, porque

percepção visual sempre focaliza numa parte particular do campo e pode saltar

de uma parte a outra. Não existe percepção visual sem um tal exploração.

Existe aí o ponto de ruptura entre percepção visual e visualização. Uma

representação semiótica não mostra as coisas como elas são em ambientes 3D

ou como elas podem ser fisicamente projetadas num pequeno suporte material

2D. Isso é problema da percepção visual.

Uma representação semiótica mostra relações, ou melhor, organização das

relações entre unidades representadas. Estas unidades representacionais podem

ser formas 1D ou 2D (figuras geométricas), coordenadas (gráficos cartesianos),

ou palavras (rede semântica)... E estas unidades devem ser bi-dimensionalmente

conectadas porque qualquer organização requer no mínimo duas dimensões para

se tornar obvia.

Deste modo, compreensão envolve apreender a estrutura global, não há

compreensão sem visualização. E é por esta razão que visualização não pode ser

reduzida a visão, pois visualização faz visível tudo aquilo que não acessível pela

visão. Aí está então a lacuna entre percepção visual e visualização.

Percepção visual precisa de exploração por meio de movimentos físicos,

porque ela nunca dá uma apreensão completa do objeto. Ao contrário,

visualização pode fornecer de imediato uma apreensão completa de qualquer

organização das relações, mas isso requer um longo treino, entretanto, o que a

visualização apreende pode ser o começo de uma série de transformações.

A forma de olhar não é a mesma em visão e visualização. Dois fenômenos

confundem este tema. Primeiramente, quando elas são graficamente produzidas,

as representações semióticas são objetos da apreensão visual perceptiva. Nesse

sentido, visualização é sempre mostrada dentro da percepção visual ou dentro da

sua extensão mental, de acordo com Duval.

Além disso, algumas representações semióticas, como desenhos, visam

ser representações icônicas: existe uma semelhança relativa entre o conteúdo e o

objeto representado, quando alguém o reconhece (uma árvore, um carro, uma

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casa...) de imediato, sem nenhuma outra informação. Na matemática,

visualização não trabalha com tais representações icônicas: olhá-las não é

suficiente ver, isto é, perceber e compreender o que está realmente representado.

A diferença entre percepção visual e visualização gera duas conseqüências

para a aprendizagem matemática.

Visualização se refere a uma atividade cognitiva que é intrinsecamente

semiótica, que não é mental nem física. O uso da visualização requer um treino

especifico para cada registro. Figuras geométricas ou gráficos cartesianos não

são diretamente disponíveis como são as representações icônicas.

Assim, suas aprendizagens não podem ser reduzidas ao treino para

construí-las, e é devido a simples razão que construção requer atenção para

focalizar sucessivamente em algumas unidades e propriedades, enquanto

visualização consiste em apanhar diretamente a configuração inteira das relações

e discriminando o que é relevante nela. Freqüentemente, os estudantes vão não

mais longe que uma apreensão local e não vêem a organização global relevante,

mas uma representação icônica.

Segundo Duval, acredita-se que aprender como construir gráficos ou

figuras geométricas é suficiente para aprender visualização em matemática. Além

disso, neste tipo de tarefas os estudantes conseguem resultados satisfatórios.

Mas qualquer tarefa de construção requer somente uma sucessão de apreensões

locais: precisa-se de focalizar em unidades não na configuração final. Construir

um gráfico requer somente computar algumas coordenadas e desenhar uma

curva: alguns vão sempre da tabela de dados, ou equações para os eixos

graduados.

Visualização requer uma mudança oposta: deve-se ir do gráfico todo para

alguns valores visuais que apontam os traços característicos do fenômeno

representado ou aquilo que corresponde a um tipo de equação e aponta para

alguns valores característicos da equação. Portanto, visualização causa a

antecipação do tipo de equação a ser procurada.

Capítulo I Yuk Wah Hsia

Logo, para Duval (1999), aprender matemática implica a coordenação de

um registro fornecendo visualização e outro registro desempenhando uma das

quatro funções discursivas, e essa conexão entre registros compõe a arquitetura

cognitiva em que os alunos podem reconhecer o mesmo objeto através de

diferentes representações e podem fazer conexões objetivas entre matemática

empírica e dedutiva.

A seguir, é reproduzido o esquema utilizado por Duval (1999) para explicar

o funcionamento da sua arquitetura cognitiva.

INTENCIONAL AUTOMÁTICO

Fazendo agir um sistema semiótico Por meio da ativação dos sistemas

orgânicos.

(mentalmente ou materialmente)

A representação denota o objeto

representado em uma:

A representação é o resultado da

experiência do objeto

Forma não

analógica

Representações

Discursivas

sentenças

fórmulas...

Forma analógica

Representação

fornecendo uma

visualização

gráficos

figuras

geométricas

Reprodução de

gestalts

percebidos

imitação

simulação

Disponibilidade

interna do que foi

visto

Imagens mentais

Internalização

A aquisição dos sistemas semióticos e sua

coordenação requerem um longo treinamento.

1.3 - Compreensão de Textos

Como nossa pesquisa quer investigar o manuseio do livro didático pelos

alunos, além da aprendizagem matemática, recorremos também à teoria de Duval

que aborda a compreensão de textos, baseando-se nos textos “La compréhension

Capítulo I Yuk Wah Hsia

de Textes” e “La interaction des Niveaux de Representation Dans La

Compréhension des Textes”.

Para Duval (1991), a compreensão de texto é um fenômeno submetido a

importantes variações. Ela pode, sobre um mesmo tema e para um mesmo leitor,

apresentar diferenças consideráveis de custo ou de sucesso. Alguns dizem que

existem textos fáceis de ler, outro que são ao contrário e outros que não

conseguem ler, apesar do interesse que podem ter sobre o tema tratado.

Admite-se comumente que compreender um texto é compreender o que o

texto enuncia em relação às situações, os fenômenos, os acontecimentos ou os

problemas que ele trata. Segundo Duval (1991), uma tal compreensão só se torna

real para o leitor se ela corresponder a uma compreensão dessas situações ou

acontecimentos.

Conforme o autor, quando se analisam os modelos de compreensão

elaborados até o presente, pode-se destacar que todos são essencialmente

centrados sobre o leitor e não levam em conta as características próprias do texto

que podem modificar a situação de leitura e a natureza da tarefa de

compreensão, visto que os tratamentos que intervêm na compreensão de um

texto não são unicamente ligados ao grau de complexidade da forma lingüística

do texto, eles dependem também do conteúdo cognitivo que o texto lança mão.

Duval chama de conteúdo cognitivo de um assunto ou de um tema, o

conjunto das representações correspondentes que permitem a compreensão,

fazendo associações ou inferências, controlando a pertinência ou a legitimidade

do mesmo. Esta compreensão pode ser, em muitos casos, a compreensão que

um especialista pode ter do assunto tratado.

O autor chama de organização redacional de um texto só se tratando das

unidades de nível superior: as frases. A especificidade das frases em relação a

todas outras unidades de nível inferior, nas quais elas podem ser decompostas, é

que elas são unidades de discurso e não mais somente da língua. Isso quer dizer

passando da língua ao discurso, muda-se de universo: com a frase, passa-se na

Capítulo I Yuk Wah Hsia

intenção, naquilo que o locutor quer dizer. Isso indica em qual perspectiva as

frases vão ser consideradas.

Para o autor, de uma parte, cada frase marca uma relação que o texto

estabelece ou rejeita entre dois objetos do conteúdo cognitivo. De outra parte,

entre as diferentes frases, não existe somente elos externos marcados pelos

conectores, mais existem relações internas de sinônimo, antônimo ou de

superordenação referentes às expressões que mencionam ou que descrevem os

objetos do conteúdo cognitivo.

A organização redacional de um texto não pode então ser determinada a

partir das frases tomadas isoladamente, pois cada uma está então considerada

como uma seqüência de unidades elementares cuja combinação obedece

somente às regras sintáxicas e às exigências semânticas.

Então, para Duval (1991), compreender o que um texto descreve ou

explica, um leitor deve previamente dispor de um conjunto de dados e de

procedimentos. Isto recobre, para começar, aquilo que permite a compreensão da

linguagem falada ambiente e o acesso ao código escrito: é a parte invariante da

base do conhecimento, aquela que permite entender por meio da seqüência de

signos escritos, a expressão oral correspondente.

Existem, contudo, também os conhecimentos conceituais: é a parte que,

para um mesmo leitor, pode variar consideravelmente de um texto ao outro,

conforme os assuntos tratados. O processo de compreensão quando da leitura é

o mesmo quando a distância entre a base de conhecimentos do leitor e o

conteúdo cognitivo varia.

Esta questão permite encontrar a questão relativa a difícil diferenciação

entre compreensão quando da leitura e compreensão geral. Duval (1991) cita dois

casos.

O primeiro caso é aquele cuja distância é reduzida, isto é, o leitor já tem

uma compreensão do conteúdo cognitivo: os conhecimentos apresentados ou

utilizados no texto fazem parte de sua base de conhecimentos. Nesse caso, a

leitura se faz a partir das representações do nível cognitivo já adquirido, o que

Capítulo I Yuk Wah Hsia

permite fazer economia de certos tratamentos exigidos pelo nível da organização

redacional ou isso os facilita.

Para o autor, o leitor está então livre da imposição de seguir com atenção

todo desenrolar do texto para compreender aquilo que está escrito ou explicado.

Esses conhecimentos já adquiridos intervirão quando da leitura como esquemas,

permitindo integrar as determinações semânticas, sintáticas e pragmáticas do

texto. Certos desses esquemas foram descritos com roteiros, nos quais dizem

respeito às experiências das situações correntes, ou como episódios pelos

relatos.

O essencial do processo de compreensão consistiria então nesse

conhecimento dos esquemas, cujos textos seriam somente uma descrição

particular, mais ou menos completa, na sua aplicação sob forma de solicitação

das diferentes categorias em que está a organização. Em outros termos, a

compreensão quando da leitura se faz a partir de uma grade leitura.

Conforme Duval, o segundo caso é aquele em que esta distância é

importante, ele se produz cada vez que a leitura tem por meta a aquisição de um

conhecimento novo, ou a modificação das representações da leitura sobre uma

situação, sobre um problema, sobre acontecimentos, etc...

A possibilidade de uma aprendizagem pela leitura (de manuais, de

publicações, ou de artigos de documentação) repousa sobre esta existência de

uma diferença entre o conteúdo cognitivo do texto e a base de conhecimentos do

leitor.

A compreensão do que está explicitamente apresentado no nível da

organização redacional se torna a passagem obrigatória para alcançar a

compreensão do conteúdo cognitivo. É relativamente a uma tal situação que a

distinção entre bons leitores e leitores fracos pode ter um sentido.

Para Duval, os primeiros se revelam melhor que os segundos, na medida

em que levam em conta e tratar corretamente uma categoria particular de

palavras funcionais, aquelas que se relacionam mais diretamente à organização

redacional do texto.

Capítulo I Yuk Wah Hsia

De fato, existem palavras funcionais (artigos, preposições) cujo tratamento

só exige, na maioria da suas ocorrências em um texto, considerar palavras

vizinhas, sem que seja necessário ter a frase inteira onde elas aparecem.

Sozinhos, os “bons leitores” podem restituir esta segunda categoria de

palavras funcionais, mesmo sobre textos para os quais eles não dispõem de uma

base de conhecimentos suficiente.

Esses tratamentos de natureza lingüística, todavia, não são sempre

suficientes para alcançar uma compreensão do conteúdo cognitivo, em caso de

distância grande, tratamentos paralelos são requisitados. Dessa forma, Duval

introduz a noção de situação de leitura.

Os dois fatores de variação que o autor vai descrever, se referem de um

lado a distância entre a base de conhecimentos do leitor e o conteúdo cognitivo e,

por outro lado, a distância entre a organização redacional do texto e do mesmo

conteúdo cognitivo. Então, levando em conta esses dois fatores, podemos

distinguir quatro situações de tipo de leitura. Em cada uma delas, o nível da

identificação das palavras, a natureza da tarefa de leitura e a natureza dos

tratamentos requeridos para compreensão mudam.

A seguir, estão as quatro situações citadas pelo autor.

Texto: Correspondência entre a organização redacional e o nível cognitivo.

Congruência Não-Congruência

Familiar

I. Situação trivial sem

riscos de erro.

II. Situação trivial com

riscos de erro.

Leitor: o conteúdo

cognitivo é, para

ele

Novo

III. Situação, normativa,

para uma aprendizagem,

exigindo tratamentos

paralelos.

IV. Situação, exigindo,

a mais, tratamentos

ortogonais.

Fonte: Duval (1991)

Nas duas primeiras situações I e II, a compreensão do texto pode ser

reconduzida a uma tarefa de reconhecimento. A não congruência introduz riscos

Capítulo I Yuk Wah Hsia

de interpretação errônea, seja por um falso reconhecimento induzido pela

organização redacional, seja por antecipações muito rápidas que conduzem a

negligenciar a organização redacional do texto. Um percurso único e rápido do

texto, sem retorno, pode ser suficiente para a compreensão no momento da

leitura nesses dois primeiros casos. Exceto o modo de identificação das palavras

e das frases, a compreensão releva os mesmos tratamentos daqueles que são

requisitados para a compreensão da linguagem falada em uma conversação.

Esta primeira situação de leitura não passa além de uma prática oral do

texto. Vê-se então o porquê a simples revisão pode ser considerada como um

critério suficiente de compreensão e porque, para o leitor, todo retorno ao texto

parece inútil. Duval (1991) observa, no entanto, que um percurso rápido e único

do texto, na situação II de leitura, aumenta os riscos de interpretação errônea no

leitor, erros muitos rapidamente explicados por uma falta de atenção.

As outras duas situações de leitura, III e IV, são diferentes. A compreensão

é uma produção de conhecimento novo para o leitor, pois existe uma defasagem

importante entre a base de conhecimento do leitor e o conteúdo cognitivo. Nessas

duas situações, um percurso único e rápido do texto, sem pausa, sem retorno, ou

mesmo, sem uma segunda leitura, não é suficiente.

O processo de compreensão não pode se limitar ao tempo de um percurso

visual, único e não interrompido. Exige-se uma atividade que prolongue este

percurso e que conduza um retorno sobre certas partes do texto, para responder

as questões, para efetuar comparações entre certas expressões, para verificar a

coerência de certas inferências, para determinar aquilo que passou sob silêncio.

Esta atividade que não é simultânea ao longo de uma leitura corrente, ela

exige outros tratamentos, como aqueles requisitados nas duas primeiras

situações sendo necessários: reformulações locais, questões, comparações entre

passagens diferentes do texto, retorno sobre os dados de sua própria base de

conhecimentos. Isso diz respeito a que Duval (1991) chama de “expansão

discursiva da leitura”.

Capítulo I Yuk Wah Hsia

Esses tratamentos podem depender de um outro registro: sublinhar,

marcas de retorno a outra passagem, transcrição em esquema... Duval fala nesse

caso de uma “prática escrita” do texto. Em caso de congruência entre os níveis de

representação, os tratamentos que permitem a compreensão do texto, isto é, a

apropriação do conteúdo cognitivo novo pelo leitor é favorecida pela organização

redacional do texto: eles podem ser facilmente efetuados paralelamente ao

desenrolar tematizado pelo texto. Em caso da não-congruência, tratamentos

suplementares devem também intervir.

Para Duval (1995), analisar de modo preciso o que recobre a compreensão

de um texto é importante, em primeiro lugar, dissociar os processos da

compreensão de um texto e a prática da leitura corrente. Por prática da leitura

corrente, o autor entende por um percurso visual único e regular do texto, sem

retornos e sem paradas longas. Um tal percurso pode ser suficiente, ou

considerado como tal para compreender um texto.

Isso porém, não é o caso para todos os leitores e para todos os textos,

paradas longas, retornos, vários percursos, até mesmo uma atividade de

informação ou de tratamento à margem desses percursos, se revelam muitas

vezes necessários. Isso depende das situações de leitura. Enquanto que a

compreensão de um texto seja simultânea a sua leitura corrente ou que não seja,

os processos de compreensão do texto repousam sempre sobre duas operações

fundamentais: a segmentação do texto em unidades e a recontextualização das

unidades segmentadas.

A importância da operação de segmentação surgiu com a constituição dos

primeiros modelos de compreensão. Eles evidenciaram a necessidade de compor

os textos em unidades que não sejam palavras nem frases, mas de unidades

textuais de informação. Três tipos desse procedimento podem ser colocados em

ação para distinguir as unidades no texto: a segmentação cognitiva, a

segmentação proposicional e a segmentação funcional. Para Duval (1995), são

sobretudo, as duas primeiras que foram consideradas nos modelos de

compreensão de texto.

Capítulo I Yuk Wah Hsia

A segmentação cognitiva se efetua a partir de uma lista de perguntas, a

resposta a cada pergunta delimitando uma unidade de informação textual que

deve ser encontrada no texto. Esta lista de questões originou-se das

representações completas de situação chamada de esquemas/roteiros. Esta

segmentação repousa inteiramente sobre representações que são independentes

da expressão lingüística e do grau de explicitação redacional. Ela conduz a

negligenciar unidades de informação explicitamente dadas no texto, mas que não

respondem a nenhuma das questões relativas aos esquemas conceituais de ação

ou de situação. A segmentação cognitiva é seletiva e extrínseca à organização

redacional do texto.

De acordo com Duval, a segmentação proposicional se efetua ao contrário

como uma codificação independentemente de toda referência a um conteúdo

cognitivo determinado. As unidades textuais de informação são definidas como

proposições, conforme a interpretação lógica do termo. As regras determinam a

priori uma correspondência entre a natureza das palavras de uma parte e um

outro dos dois termos característicos da proposição, o predicado e seu argumento

(ou seus argumentos).

A segmentação proposicional que só leva em conta critérios morfo-

sintáxicos é uma operação que não deixa nada escapar de todas as indicações

lingüísticas fornecidas pela redação do texto. Pode parecer mais próxima do texto

do que a segmentação cognitiva e também parecer congruente à segmentação

visual do texto. Determinar as proposições principais (as macro-proposições) e

encontrar a organização do texto a partir desta lista torna então uma tarefa difícil.

Não é suficiente discriminar todas as unidades de informação que são

explicitamente mobilizadas em um texto, é necessário também apreender as

conexões que as unem em um todo. Duval (1995) chama esta operação de

recontextualização.

Da mesma forma como existem diferentes formas de segmentação

conforme o procedimento utilizado, existem igualmente diferentes procedimentos

de recontextualização. Elas se distinguem essencialmente pelo aspecto da

totalidade integrante que é privilegiado para recontextualizar as unidades

Capítulo I Yuk Wah Hsia

resultantes da segmentação. Duval (1995) vai se deter somente em duas formas

de recontextualização: uma puramente cognitiva e a outra, redacional.

A recontextualização cognitiva mobiliza essencialmente os conhecimentos

relativos às situações, aos objetos ou às questões que o texto evoca, ou dos

quais ele trata, independentemente daquilo que a redação do texto explicita. O

conjunto dos conhecimentos mobilizados é independente da organização

redacional do texto.

É esta operação de recontextualização cognitiva que constitui a operação

central do processo de compreensão. Efetivamente, as perguntas que permitem a

segmentação cognitiva do texto são organizadas em uma rede, representando os

componentes e a estrutura de uma ação ou de uma situação. A leitura do texto

solicita uma ou várias dessas redes.

Cada rede determina relações que os segmentos do texto preenchem,

permitindo então a efetuação simultânea das operações de segmentação e

recontextualização. Cada vez que uma informação é encontrada em um texto, ela

é colocada em relação com outras informações.

As informações que faltam ou implícitas se encontram determinadas e

situadas da mesma maneira. A recontextualização cognitiva corresponde a

ativação de um esquema interpretativo mobilizável por todo um conjunto de textos

e em todas as situações de leitura onde a diferença entre o conteúdo cognitivo do

texto e a base de conhecimentos do leitor são pouco importantes.

A recontextualização redacional, segundo Duval (1995), é a operação que

explicita todas as relações que existem entre as unidades discriminadas pela

segmentação funcional. A recontextualização redacional é interna ao texto, e ela

só pode ser efetuada posteriormente a segmentação, isso quer dizer que a

recontextualização redacional é independente do conteúdo cognitivo do texto.

A compreensão de um texto repousa sempre sobre duas operações

fundamentais: sua segmentação em unidades e a recontextualização das

unidades obtidas pela segmentação.

Capítulo I Yuk Wah Hsia

Do ponto de vista de uma aprendizagem da compreensão de texto, para

Duval (1995), é essencial distinguir os níveis de organização que constituem um

texto como texto e mobilizar explicitamente as formas de segmentação e de

recontextualização que lhes são específicas: segmentação funcional e

recontextualização redacional, segmentação e recontextualização cognitivas.

Essas formas caracterizam dois processos de compreensão que parecem

ser inversos. Um conduz a desprender a organização redacional do texto,

enquanto ela dá acesso ao conteúdo cognitivo do texto. Outro parte de uma base

de conhecimentos correspondente ao conteúdo cognitivo do texto, e esta base

fornece esquema para desprender a organização redacional do texto, ou para

antecipar o desenvolvimento, ou para identificar rapidamente a participação dela.

Por analogia com outros modos de conhecimento, Duval (1995) chama

esses dois processos respectivamente de “processo indutivo” e “processo

dedutivo”.

As diferenças entre os dois processo são mostradas no quadro a seguir.

(Duval, 1995)

Processo Indutivo de Compreensão Processo Dedutivo de Compreensão

1- Segmentação Funcional:

As unidades são determinadas em

relação às funções discursivas (referenciais

e metalingüística).

O texto, na totalidade de suas

construções e de suas marcas sintáxicas, é

levado em conta.

Esta forma de segmentação, diferente

da segmentação visual da forma escrita do

texto, é sistemática e independe do

conteúdo cognitivo.

1- Segmentação Cognitiva:

As unidades são determinadas como

elementos de resposta a uma grade de

perguntas. Esta resposta pode ser

constituída por uma palavra ou uma frase.

A resposta pode também não se encontrar

no texto.

Não é necessário de entrar nos

detalhes da construção sintáxica de cada

frase. Procedimento visuais de

reconhecimento por combinação com as

perguntas ou por complementação

associativa podem ser suficientes.

Esta forma de segmentação é seletiva

e depende do conteúdo cognitivo.

Capítulo I Yuk Wah Hsia

2- Recontextualização Redacional

As diferentes relações que cada

unidade discriminada pode ter com as

outras discriminadas são explicitadas sobre

a base de relações semânticas entre as

expressões, e de ligações discursivas

marcadas por conectores argumentativos e

temporais.

Esta forma de recontextualização é

seletiva. Ela depende de um postulado de

conectividade textual conforme a qual cada

frase tem ao menos um elo interno ou

externo com ao menos uma outra frase do

texto.

2- Recontextualização Cognitiva

As unidades discriminadas são

integradas numa organização de

conhecimentos, que são relativos ao mundo

descrito ou evocado pelo texto.

Para que a recontextualização

cognitiva seja possível essa organização

deve já fazer parte da base de

conhecimentos do leitor.

Esta forma de recontextualização é

sistemática. Ela é independente da

organização redacional.

Fonte: Duval (1995)

Para Duval (1995), a compreensão de um texto depende de um desses

dois processos ou de sua interação. O processo indutivo está centrado sobre a

organização redacional e o processo dedutivo permanece num conjunto de

conhecimentos ultrapassando largamente aquilo que o texto mobiliza ou explicita.

Uma compreensão dependente desses dois processos é uma compreensão

evolutiva, aquela que permite uma aprendizagem pela leitura.

apítulo II

O objeto Matemático: Integral

Vamos, neste capítulo, apresentar um breve relato sobre o

desenvolvimento do conceito de Integral, foco de interesse da nossa pesquisa.

O notável progresso da ciência e da tecnologia, durante o século XX, só foi

possível graças em grande parte ao desenvolvimento da Matemática, cujo ramo

conhecido por Cálculo Diferencial e Integral, desempenhou o papel de um

poderoso instrumento para resolver uma variedade de problemas de Física,

Astronomia, Engenharia, Química, Geologia, Biologia, outros campos e

recentemente alguns das Ciências Sociais.

São inúmeras as aplicações de Cálculo, em questões como: a velocidade

com que um foguete deve ser lançado, para que não volte a tombar na Terra? Se

uma cultura de bactérias cresce proporcionalmente à quantidade que existe em

cada instante e se a população duplica ao fim de uma hora, quanto terá

aumentado ao fim de duas horas? Se uma força de dez quilos faz esticar uma

corda elástica, qual o trabalho necessário para esticar a corda de quatro metros?

Segundo Apostol (1997), sendo o Cálculo uma compilação de idéias

atraentes e excitantes, seu aspecto notável é o seu poder de síntese. Muitos dos

problemas acima estão relacionados com conceitos como velocidade, área,

volume, taxa de crescimento, continuidade, tangente a uma curva, que podem ser

formulados, reduzindo-se a dois outros problemas mais especializados, de

Capítulo II Yuk Wah Hsia

natureza puramente geométrica; o primeiro é determinar um número que dê a

medida da área de uma região plana sob uma curva e o segundo, é determinar

um número que dê o declive de uma reta tangente a uma curva, em um ponto.

Para o autor, fundamentalmente, o Cálculo ocupa-se da formulação exata e

da resolução desses dois problemas particulares, como mostra a fig. II.1.

Fig. II.1

Fonte: Apostol (1994) p. 2

A nossa pesquisa quer investigar como os alunos utilizam o livro didático

ao estudar Integral de Riemann, portanto, focalizaremos a evolução do conceito

de Integral.

O Cálculo Integral originou-se há mais de 2000 anos, quando os gregos

tentavam resolver o problema da determinação de áreas por um processo

designado “método de exaustão”, cujas idéias são elementares e podem ser

resumidas da seguinte forma: dada uma região cuja área se pretende determinar,

nela se inscreve uma região poligonal, cuja área é facilmente determinável, e que

se aproxima da primeira dada. A seguir, escolhe-se outra região poligonal que dê

uma melhor aproximação e o processo continua, tomando poligonais com número

cada vez maior de lados, de modo a “cobrir” toda a região dada. (Apostol, 1997, p.

A figura seguinte ilustra o caso do cálculo da área de uma região

semicircular.

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Fig. II.2. O método de exaustão aplicada a uma região semicircular.

Fonte: Apostol (1994) p. 3

Para o autor, o desenvolvimento do método de exaustão esperou quase 18

séculos para que o emprego de símbolos e técnicas algébricas se tornassem

parte usual da matemática, pois a álgebra elementar era completamente

desconhecida no tempo de Arquimedes, fato que tornava impossível estender o

método a qualquer classe de regiões, sem conhecer um modo adequado de

expressar os extensos cálculos, em uma forma compacta e simplificada.

No século XVI, o desenvolvimento matemático foi estimulado pelos

resultados alcançados pelos italianos Tartaglia, Cardano e Ferrari na

determinação das soluções algébricas para as equações cúbicas e do quarto

grau, encorajando a aceitação da nova linguagem algébrica. Com a introdução

dos símbolos algébricos, o antigo método de exaustão foi “ressuscitando”.

Nessa época, pioneiros como Cavalieri, Torricelli, Roberval, Fermat, Pascal

e Wallis foram responsáveis por muitas descobertas, que gradualmente, foram

transformando o método de exaustão evoluindo para o que é hoje chamado de

Cálculo Integral. Este ramo da Matemática recebeu o seu maior impulso no século

XVII, devido principalmente aos esforços de Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried

Leibniz (1646-1716) e o seu desenvolvimento continuou até o século XIX, época

em que matemáticos como Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e Bernard

Riemann (1826-1866) lhe deram uma base matemática sólida.

II.1 - Arquimedes e a área do círculo.

Segundo Ávila (2005), Arquimedes, da escola de Alexandria, ocupou-se

intensamente com o cálculo de áreas e volumes de diversas figuras geométricas,

Capítulo II Yuk Wah Hsia

inclusive o círculo e a esfera, valendo-se muito de argumentos intuitivos e pouco

rigorosos, mas obtidos os resultados, demonstrava-os com impecável rigor.

De acordo com o autor, no seu artigo “Arquimedes, o rigor e o método”, os

escritos de Arquimedes são dotados de uma estrutura lógica que nem sempre

revelam os caminhos que o guiaram em suas descobertas. No entanto, no

prefácio do seu livro, “A Quadratura da Parábola”, Arquimedes fez uma referência

a um método mecânico de descoberta, comunicada por meio de uma carta

dirigida a Erastóstenes, em que dizia,

(...) julguei conveniente escrever-lhe para explicar as peculiaridades de

um certo método pelo qual é possível investigar alguns problemas de

Matemática por meios mecânicos. (...) Certas coisas primeiro se

tornaram claras para mim pelo método mecânico, embora depois

tivessem de ser demonstradas pela Geometria, já que sua investigação

pelo referido método não conduzisse a provas aceitáveis. Certamente é

mais fácil fazer as demonstrações quando temos previamente adquirido,

pelo método, alguns conhecimentos das questões do que sem esse

conhecimento. (...) Estou convencido de que ele será valioso para a

Matemática, pois pressinto que outros investigadores da atualidade ou

do futuro descobrirão, pelo método aqui descrito, outras proposições que

não me ocorreram.

Ávila afirma que usando um raciocínio apenas intuitivo, e baseando-se na

visualização geométrica, é possível ver que a área do círculo é igual à área de um

triângulo de base, cuja medida é igual à da circunferência do círculo e altura igual

ao raio r. O autor, para mostrar este fato, divide o círculo em n setores iguais por

meio da divisão da circunferência em n partes iguais (Fig. II.3). Esses setores são

cada vez mais parecidos com triângulos, quanto maior for n. E como eles têm a

mesma altura r, a soma de suas áreas é o produto da soma dos comprimentos

das bases pelos raios divido por dois. Como a soma dos comprimentos das bases

é exatamente o comprimento da circunferência, que é

, a área do círculo é a

área do referido triângulo, com base

e altura , isto é, a

2.rr

área do círculo r

==.

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Fig. II.3

Fonte: Ávila (2005) p. 211

Esse raciocínio, embora utilize notação moderna (a notação data do

século XVIII), reflete essencialmente o método de exaustão, atribuído a Eudoxo e

aperfeiçoado por Arquimedes.

Ávila (2005) relata que Arquimedes na tentativa de calcular a área do

círculo, ia nele inscrevendo polígonos regulares no círculo, começando com

hexágono, e dobrando o número de lados a cada passo. Fazia o mesmo, com

polígonos circunscritos ao círculo. Desse modo, a área do círculo estava sempre

compreendida entre as áreas de um polígono inscrito e um polígono circunscrito

de n lados (Fig. II.4), e essas áreas vão se tornando cada vez mais próximas,

quanto maior for n.

Fig. II.4

Fonte: Ávila (2005) p. 212

II.2 - Arquimedes e a área do segmento de parábola.

Eves (2002) afirma que Arquimedes, usando o método da exaustão, foi

quem mais se aproximou da atual noção de Integral, e um dos exemplos de seus

Capítulo II Yuk Wah Hsia

trabalhos mais antigos foi a quadratura do um segmento parabólico. Por meio do

método mecânico, inspirado no ponto de equilíbrio da alavanca, Arquimedes

intuiu que a área do segmento da parábola era

da área de um triângulo cuja

base é a corda que liga os extremos do segmento e altura igual à da parábola.

Para provar que a área do segmento da parábola é

ABC∆ Arquimedes

apelou para geometria e propriedades da parábola.

Segundo Eves, dada a corda AB, C é o ponto de tangência da reta paralela

a corda AB, L é o ponto médio de AB, N é o ponto médio do segmento BC e M é

o ponto médio do segmento AC (Fig. II.5). D e E são pontos pertencentes à

parábola, determinados pelas interceptação das retas paralelas ao segmento CL,

e que passam por M e N, respectivamente, formando assim os triângulos

. Usando a geometria da parábola, Arquimedes mostrou que

CEB∆

CDA∆

ACB

CEB

∆

∆=CDA∆+ .

Fig. II.5

Fonte: Eves (2002) p. 421

Repetindo sucessivamente esse raciocínio concluiu que a área do

segmento parabólico é dada, nos moldes atuais, por:

23 23

11 1 4

44 4 444 3

ABC ABC ABC

∆∆∆

⎛⎞

∆++++=∆++++=∆

⎜⎟

⎝⎠

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Atualmente, esse cálculo se faz abreviadamente, utilizando-se a soma de

uma série geométrica. Arquimedes, contudo, procedia nos moldes do método de

exaustão, chegando a resultados equivalentes a muitas integrais definidas que

hoje figuram nos textos elementares de Cálculo. Foi ele que, pela primeira vez,

registrou e trabalhou com uma série infinita (EVES, 2002).

Eves (2002, p. 424) afirma que,

(...) no período que vai das realizações de Arquimedes até

praticamente o início da Idade Moderna, os trabalhos

embrionários quase não foram ativados. Por volta de 1450, os

trabalhos de Arquimedes começaram a chegar à Europa

Ocidental, por meio de uma tradução, encontrada em

Constantinopla, de uma cópia de seus manuscritos e só no início

do século XVII, suas idéias, até então conhecidas, passaram por

outros desdobramentos. A obra de Arquimedes, referente ao

método por ele utilizado, somente foi descoberta por volta de

1916.

Segundo o autor, foi Johann Kepler (1571-1630) um dos primeiros

europeus que desenvolveu idéias relativas a infinitésimos em trabalhos com a

integração, recorrendo a procedimentos similares aos de Arquimedes, para

calcular as áreas envolvidas em sua segunda lei do movimento planetário e os

volumes dos barris de vinho, ocupando-se em calcular suas capacidades.

As idéias do Cálculo surgiram aos poucos, nas obras de vários

matemáticos do século XVII e foram amadurecendo gradualmente,

adquirindo forma mais acabada nos trabalhos de Newton e Leibniz, cada

um trabalhando independentemente, formalizaram um cálculo

manipulável e proveitoso. (Eves, 2002)

II.3 – Newton e o cálculo fluxional

Isaac Newton nasceu na Inglaterra em 1642. Ele fez uma importante

descoberta matemática, o método dos fluxos, “Method of Fluxions”, que só foi

publicado em 1736.

O método, criado por Newton, resolveu o problema da determinação da

tangente a uma curva por uma equação . Para ele, uma curva era

(,) 0fxy

Capítulo II Yuk Wah Hsia

gerada pelo movimento contínuo de um ponto, isto é, e eram os fluentes,

quantidades que fluem com o tempo; à taxa de variação desses fluentes, ele

chamou de fluxo do fluente, representados por

, que na notação moderna

corresponderiam a

x y

xxo

yyo

2 2 3

3()3() ()- -2()-() () ) )- -3 ()-3()-() 0x x xo x xo xo ax ax xo a xo axy ay xo a xo yo ax y y yo y yo yo+++ +++ =

&&& && &&& & &&&

, onde t representa o tempo (EVES 2002, p. 439).

Um outro conceito foi introduzido por Newton, chamado momento de um

fluente: tratava-se do incremento infinitamente pequeno sofrido por um fluente

como x, por exemplo, em um intervalo de tempo também infinitamente pequeno.

Desse modo, o momento do fluente x era dado por , que modernamente pode

ser representado por dx, e Newton salientou que se podia, em qualquer problema,

desprezar os termos que apareciam multiplicados por potências de iguais ou

maiores que 2 e obteria assim uma equação envolvendo as coordenadas e

do ponto gerador da curva e seus

Como exemplo, considerou a curva cúbica

substituindo por e por , e era obtido

32 3

0xaxaxyy−+−=

32 2 32 2 3

()( (yo+

e desprezava-se os termos em que figura com expoente igual ou maior que

dois, que para Newton eram infinitamente pequenos, dividia-se a sentença por o ,

obtendo

32 .

3x x axx ayx axy y y−++−=

&&&&&

Donde,

y x ax ay

xyax

−+

−

, que em notação moderna é

dx f

=− , que é o

teorema da função implícita, quando define implicitamente como

uma função diferenciável de com

(,) 0fxy=

f ≠

Ao desprezar os termos em que aparece com expoente igual ou maior

que dois, Newton apresenta idéias embrionárias sobre limites, retomando os

infinitésimos (“infinitamente pequenos”) .

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Entre as numerosas aplicações do método, encontravam-se a

determinação dos máximos e mínimos, tangentes a curvas, curvaturas de curvas,

pontos de inflexão e concavidade de curvas, como também a determinação de

muitas quadraturas e retificações de curvas. Segundo Palaro (2006, p. 94),

“[...] Chamando de fluxões às velocidades dos movimentos ou dos

aumentos e de fluentes às quantidades geradas, esclareci aos poucos (nos

anos 1665 e 1666) o método das fluxões, que aproveito aqui na

Quadratura das curvas.

As fluxões são semelhantes aos aumentos dos fluentes, os quais são

gerados em intervalos de tempos iguais, mas são infinitamente pequenos;

e para ser mais exato, diria que estão na primeira razão dos aumentos

nascentes, mas podem ser representados por quaisquer linhas

proporcionais a elas. Se as áreas ABC, ABDG forem descritas pelas

ordenadas BC e BD, que se movem uniformemente ao longo da base AB,

então as fluxões dessas áreas estarão entre si como as ordenadas BC e

BD que as descrevem e poderão ser representadas por aquelas

ordenadas; isto é, tais ordenadas estão na mesma proporção que os

aumentos nascentes das áreas. [...]

Desse modo, Newton enunciou os problemas fundamentais do Cálculo,

sendo dada a relação das quantidades fluentes, encontra a relação de suas

fluxões e inversamente. Esse fato se traduz hoje, pelo conhecido Teorema

Fundamental do Cálculo, que em termos da geometria significa resolver o

problema do cálculo da área sob uma curva com o traçado da tangente a um

ponto da curva.

Capítulo II Yuk Wah Hsia

II.4 – Leibniz e seu cálculo formal

Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig em 1646, e desde cedo

manifestou grande interesse pelo estudo.

Ávila relata que durante o período de 1672 a 1676, quando cumpria uma

missão diplomática em Paris, Leibniz entrou em contato com Christiaan Huygens,

que o aconselhou a ler uma publicação de Blaise Pascal sobre certos problemas

geométricos, já que desejava ser matemático.

Segundo Palaro (2006), Leibniz, ao ler a obra de Pascal, “Traité des sinus

du quart de cercle” (Tratado sobre os senos de um quadrante de um círculo”, uma

passagem chamou sua atenção, a qual foi descrita por Katz (Katz apud Palaro,

1998, p. 490):

[...] considerando o quadrante de um círculo de unitário e sendo D

um ponto para o qual seno é DI, Pascal traçou uma pequena tangente

EDE’ à curva ABC em D e os segmentos ER e E’R’ perpendiculares ao

raio AC, notando que os triângulos EKE’ e DIA são semelhantes,

encontrou que

ABC

EEEEDA

′

RRKEDI

′

e, portanto,

Considerando que, para um intervalo RR’ infinitamente pequeno, o

segmento EE’ é considerado igual ao arco de círculo, Pascal afirma que

o retângulo formado pelo seno DI e o arco infinitesimal (ou a tangente

EDE’), representado por EE’, é igual ao retângulo formado pelo raio DA

e a parte do eixo entre as extremidades do arco dada RR’, ou seja,

Pascal mostrou que a soma dos senos ou quadratura de qualquer arco de

um quadrante de um círculo é igual à porção da base entre os senos

extremos multiplicada pelo raio do círculo.

RRDAEEDI

′

⋅=

′

⋅

′

De acordo com a autora, foi a leitura dessa publicação que inspirou Leibniz

para uma das suas idéias fundamentais na criação do Cálculo, a de “triângulo

Capítulo II Yuk Wah Hsia

característico”, pois percebeu que o “triângulo infinitesimal” inscrito em círculos

por Pascal, poderia ser generalizado e aplicado a curvas arbitrárias. A

exemplificação desta idéia, é de Baron descrita por Palaro (2006, p. 104).

[...] OcC é uma curva arbitrária; é uma tangente à curva em c;

é a normal à curva, também, em c; e é obtido pela

projeção ortogonal do ponto c sobre o eixo horizontal. Tomando um

ponto c’ pertencente à tangente, mas tão próximo de c que cc’ é

confundido com a própria curva, Leibniz obtém o triâgulo característico

cdc’ em c, que é semelhante aos triângulos cbe e gbc, chegando às

relações

(em notação atual,

nce

ycb=

:':' :: ::cddc cc yvn ty

''cd

dc cc

yvn

''cd dc cc

), úteis em transformações de

quadraturas.

Em um artigo publicado em 1686, Leibniz enfatiza a relação inversa entre

diferenciação e integração, e conforme Palaro (2006, p. 107), ele considerou a

Integral como sendo a área sob uma curva, descrita por Baron da seguinte forma:

[...] A área é composta por muitas faixas retangulares verticais

infinitamente finas ydx e indica a soma das áreas de todas essas

faixas por

, que é a área sob a curva e

compreendida entre as retas

e ; considerando que a

diferencial da área de OCB é a área do retângulo ydx à direita, ou

seja,

, mostra a relação inversa entre d e e,

reciprocamente,

ydx

∫

()yfx

0y = yx=

d ydx ydx

∫

dy y

∫

Capítulo II Yuk Wah Hsia

ydx

X B

Eves (2002) afirma que Leibniz usou pela primeira vez o símbolo de

integral, um

alongado, derivado da primeira letra da palavra latina summa

(soma) em 29 de outubro de 1675. O objetivo era indicar uma soma de

indivisíveis. Algumas semanas depois ele já escrevia diferenciais e derivadas

como se faz hoje, assim como escrevia

e para integrais. Segundo

Ávila, o cálculo de Leibniz, na sua origem, é mais complicado que o de Newton.

Seu formalismo, porém, é a sua grande virtude.

,dx dy dz etc

xdy

∫

ydx

∫

Ávila afirma que o raciocínio de Newton envolvia passagens em que ele

dividia os dois membros de uma equação pelo infinitésimo o (supondo-o diferente

de zero), depois desprezava termos com o fator o (supondo esse infinitésimo

igual a zero). Esse tipo de procedimento se apresentava também no Cálculo de

Leibniz, cujos “infinitésimos” eram denotados e que algumas vezes

eram cancelados como fatores diferentes de zero, outras vezes eram

desprezados como equivalentes a zero. O Cálculo foi dominado, por muito tempo,

por essas contradições, até que surgiram trabalhos que fundamentaram

logicamente a disciplina no começo do século XIX.

,, .

Entretanto, o grande mérito de Newton e Leibniz foi a identificação da

estreita relação entre a determinação das retas tangentes a uma curva, e a

determinação da área da região limitada por uma curva. Nas mãos deles, cada

um utilizando métodos próprios, conseguiram tratar esses problemas de maneira

unificada (Courant, 2000).

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Os conceitos fundamentais do Cálculo em bases aceitáveis, rigorosamente

falando, seriam estruturados pelo grande analista francês Augustin-Louis Cauchy

(1789-1857) e seus sucessores do século XIX.

II.5 – Augustin-Louis Cauchy

Embora a derivada fosse um conceito moderno, que surgiu no século XVII,

a integral remontava ao tempo de Arquimedes, há mais de dois milênios. Ele já

calculava áreas e volumes de figuras geométricas por um procedimento

embrionário dos métodos modernos do Cálculo Integral. Contudo, naquela época,

a Matemática era geométrica e ainda não havia ferramenta desenvolvida, de tal

maneira que facilitasse o “desabrochar” de um Cálculo Integral sistematizado.

A situação, no século XVII, já era bem diferente. O uso de símbolos

algébricos já se desenvolvera no século anterior com François Viéte e depois,

com os trabalhos de René Descartes, Pierre de Fermat e outros seus

contemporâneos. A moderna notação da Geometria Analítica se difundira e

tornara possível a criação de métodos sistemáticos e unificados de tratamento do

cálculo de áreas e volumes. Por essa razão, o Cálculo Integral, como é conhecido

hoje, pôde evoluir.

Com o desenvolvimento das técnicas de Cálculo, ocorrido até o início do

século XIX, o cálculo de Integral, que tinha forte motivação geométrica, se

inverteu; agora, define-se a Integral, em termos numéricos, embora com alguns

apelos a inspiração geométrica, associando a Integral à área de superfícies sob

gráfico de funções positivas.

Em 1823, foi publicada uma obra de Cauchy, “Résumé des Leçons

données a l’École Royale Polytechnique, sur le Calcul Infinitesimal”, contendo

quarenta lições e as vinte últimas referiam-se ao Cálculo Integral. Na vigésima

primeira lição, Cauchy definiu Integral usando a idéia de soma, diferentemente da

idéia comumente usada no século XVIII, que abordava a integração como

operação inversa da diferenciação (Palaro, 2006).

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Embora a integração fosse abordada como a inversa da diferenciação até o

século XVIII, Cauchy definiu a Integral como o limite da soma de um conjunto

infinitamente crescente de partes pequenas, tendendo a zero. Considerou somas

do tipo

, sendo f uma função contínua no intervalo

[

e ,

com i variando de 1 a n, são os pontos de partição desse intervalo.

()(

-1 -1

iii

fx xx

∑

)

]

,ab

Por meio do registro da língua natural e o do algébrico e com o auxílio do

registro gráfico (Fig. II.6), apresentamos uma idéia geométrica de Integral de

Cauchy, relacionada com áreas de figuras planas.

f (x)

a=x

x=b

f (x)

a=x

x=b

Fig. II.6

São dadas, inicialmente, a função , contínua num intervalo

fechado

, e uma partição , e e

, do intervalo

[

, de modo que

()yfx

[]

{}

]

)

,ab

,,,

Pxx x= K

012 n

xxx x<<<<K

xa=

x= ,ab

10 21 1 1ii nn

xx xx xx xx x

−−

−=−==− ==− =∆KK .

Em seguida, multiplica-se cada

pelo valor de , obtendo

x∆

(

1, 2, 3, ,i=

()

−

()()()() (

10 0 21 1 1 1

()

nn n

Sxxfx xxfx xxfx

−−

=− +− ++−K

a soma dos produtos obtidos, que poderá ser expressa por

()(

-1 -1

iii

fx xx

∑

Capítulo II Yuk Wah Hsia

A quantidade S dependerá do número n, que indica a quantidade de sub-

intervalos

da partição P do intervalo . É importante destacar que se

os se tornarem muito pequenos quando n se torna muito grande, o valor de S

atingirá um certo limite que dependerá unicamente da forma da função

e do

intervalo de

[

. Este limite será chamado de Integral Definida por Cauchy.

[

−

] ]

]

)

] ]

1, 2, , n=

m M

]

() ()

[

,ab

x∆

()

,ab

[]

K os estudos de Cauchy, nesse particular, foram muito incompletos. A

partir dessa época, intensificavam-se as investigações sobre os

fundamentos do Cálculo, levando ao desenvolvimento da Análise

Matemática e da Teoria das Funções.

[

Por volta de 1854, o eminente

matemático alemão Bernhard Riemann realizou um estudo aprofundado

da integral. (ÁVILA, 2005, p. 213)

III.6 - A Integral de Riemann

Foi Riemann quem ampliou a definição de Integral formulada por Cauchy,

estendendo a possibilidade de integrar funções não contínuas.

Para tanto, considerou uma função limitada,

 e uma partição

arbitrária

do intervalo de

[

, sendo

[

os intervalos

dessa partição. Para cada i , denotou por

o ínfimo e , o supremo

dos valores de no intervalo

[

. A existência de e estão garantidas

pelo fato de ser limitada no intervalo

[

. A seguir, definiu a soma inferior

e a soma superior da função em relação à partição como:

[]

→baf ,:

(

,, ,

Pxx x=

,ab

−

i i

−

,ab

,sfP ,SfP f P

(

)

(

)

(

)

(

)

11 0 1 1

nn n ii i

sfP mx x m x x mx x

−−

=−++ −= −

∑

() ( ) ( ) (

11 0 1 1

nn n ii i

SfP Mx x M x x Mx x

−−

=−++ −= −

∑

)

Capítulo II Yuk Wah Hsia

f(x)

a=x

x=b

Fig. II.7

No primeiro intervalo

[

, Fig. II.7, a função tem o menor valor e

o maior valor ; similarmente, no intervalo o menor valor da

e o maior valor da é .

]

iésimo−

[]

−

m f

]

()()() ()

() ()

,xx

É importante observar que deve ser limitada em

[

, pois é essencial

para que todos

m e existam, como também é necessário considerá-los como

ínfimos e supremos, respectivamente, em vez de mínimos e máximos, uma vez

que a função considerada não é necessariamente contínua.

,ab

i i

Se é o ínfimo e M o supremo de em

[

, tem-se para toda partição

do intervalo

[]

, . Assim, para uma

mesma partição , tem-se

m f

,ab

,ab .,,.ba sfP SfP ba

−≤ ≤ ≤ −m

,sfP≤ ,SfP

Porém, esta relação se mantém para partições distintas? Para responder

essa pergunta, define-se refinamento de uma partição da seguinte maneira: Seja

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Q uma partição de

[

, se , então a partição é mais fina que , ou

que

é um refinamento de .

]

)

()()

]

()()

,ab PQ⊂ Q

Riemann demonstra que sendo , tem-se e

, o que indica quando se refina uma partição, a soma inferior

aumenta e a soma superior diminui. Ainda mais, demonstrou que para quaisquer

partições e Q de

[

, tem-se sempre , isto é, no registro da

língua natural, toda soma inferior de é menor ou igual a qualquer soma

superior. Dessa forma, vê-se que o conjunto de todas as somas superiores de

em é limitada inferiormente por uma soma inferior em . Assim, esse conjunto

possui ínfimo.

PQ⊂

()(

,sfP sfQ≤

,SfP SfQ≥

P ,ab ,sfP SfQ≤

Riemann definiu esse ínfimo como sendo a integral superior de e

denotou por

()

fxdx

∫

Também o conjunto das somas inferiores de é limitado superiormente

por qualquer soma superior de . Logo, esse conjunto possui um supremo, que

Riemann definiu como sendo a integral inferior de e denotou por

()

fxdx

∫

Quando esses dois números coincidem, isto é,

()

fxdx

∫

= , a

função é dita integrável, segundo Riemann e a integral é denotada por

()

fxdx

∫

()

fxdx

∫

Após isto, Riemann provou que as funções contínuas são integráveis,

segundo essa definição. Mostrou também que existem funções não contínuas,

porém, limitadas que são também integráveis. Isso evidencia que o conjunto das

funções integráveis segundo Cauchy está contido no conjunto daquelas

integráveis segundo Riemann.

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Depois, a questão colocada foi a de procurar quais são as funções

limitadas Riemann integráveis, chegando finalmente à demonstração do seguinte

resultado: toda função , limitada com um número finito de

descontinuidade é Riemann-integrável.

[]

→baf ,:

Mais tarde, com a utilização da medida de Lebesgue, foi possível ampliar

esse resultado, mostrando-se que toda função de

[

em  limitada, cujo

conjunto de pontos de descontinuidade tem medida nula, é Riemann-integrável.

]

,ab

Desse modo, ficam incluídas no conjunto das funções Riemann-integraveis,

por exemplo, aquelas que possuem um conjunto de pontos de descontinuidade

enumerável.

A integral de Riemann também pode ser expressa em termos de limites de

somas. Para isso, dada uma partição do intervalo

[

, denomina-se norma

de e indica-se por

,ab

P , o comprimento do maior subintervalo

[

partição. Em seguida, é escolhido arbitrariamente um ponto

c em cada um

desses subintervalos

[

, expressando a soma de Riemann por

]

−

() ()

[]

iii

SfP fc x x

−

=⋅−

∑

Mostra-se a seguir que sendo  limitada, tem-se que o limite

[]

→baf ,:

(

lim ,

ISfP

→

)

existe, se e somente se, é Riemann-integrável. E mais, no caso

afirmativo, tem-se que .

()

Ifxd=

∫

Dessa forma, fica evidenciado que se é integrável, então f

()

[

lim

iii

aa a

ff f fcxx

→

−

=== ⋅−

∑

∫∫∫

]

bb b

, para qualquer .

Nesta altura, colocaremos em destaque algumas constatações.

Capítulo II Yuk Wah Hsia

Em primeiro lugar, quanto à função integranda, a Integral de Cauchy

trata apenas das funções contínuas enquanto Riemann trabalha com funções

limitadas no intervalo

[

. Como toda função contínua no intervalo fechado é

limitada, vê-se que as funções integráveis, segundo Cauchy também são segundo

Riemann.

]

,ab

No livro didático utilizado neste trabalho, o autor trabalha com exemplos de

funções contínuas e positivas no decorrer do tópico 5.1.

Em segundo lugar, quanto à partição do intervalo

[

, Cauchy utiliza

sempre partições tais os subintervalos têm o mesmo comprimento enquanto na

Integral de Riemann, os subintervalos apresentam comprimentos arbitrários. No

livro de Stewart, todas as partições são com subintervalos de mesmo

comprimento.

,ab

Em terceiro lugar, na Integral de Cauchy, o ponto cujo valor da função é

tomado como altura dos retângulos é o extremo inferior de cada subintervalo da

partição, enquanto na Integral de Riemann, esses pontos são escolhidos

arbitrariamente em cada intervalo.

apítulo III

Procedimentos Metodológicos

Com o objetivo de investigar como o aluno manuseia o livro didático

quando ele estuda um tema como Integral, neste capítulo vamos apresentar os

procedimentos utilizados e o seu delineamento metodológico.

Nossa pesquisa tem uma abordagem qualitativa, e segundo Bogdan e

Biklen, como destacam Lüdke e André, a pesquisa qualitativa envolve a obtenção

de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação

estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a

perspectiva dos participantes. (1986, p.13)

Ainda conforme Bogdan e Bilklen, uma pesquisa qualitativa apresenta

várias características, que foram apontadas pelas autoras:

- O material obtido nessas pesquisas é rico em descrições

de pessoas, situações, acontecimentos; inclui

transcrições de entrevistas e de depoimentos, fotografias,

desenhos e extratos de vários tipos de documentos.

Todos os dados da realidade são considerados

importantes. O pesquisador deve atentar para o maior

número possível de elementos presentes na situação

estudada, pois um aspecto supostamente trivial pode ser

Capítulo III Yuk Wah Hsia

essencial para a melhor compreensão do problema que

está sendo estudado. (1986, p. 12)

- Nesses estudos, há sempre uma tentativa de capturar a

“perspectiva dos participantes”, isto é, a maneira como os

informantes encaram as questões que estão sendo

focalizadas. Ao considerar os diferentes pontos de vista

dos participantes, os estudos qualitativos permitem

iluminar o dinamismo interno das situações, geralmente

inacessível ao observador externo. O pesquisador

precisa ter cuidado ao revelar os pontos de vista dos

participantes, deve encontrar meios para checá-las,

discutindo-as abertamente com os participantes para que

elas possam ser ou não confirmadas. (1986, p. 12)

- Os pesquisadores não se preocupam em buscar

evidências que comprovem hipóteses definidas antes do

inicio dos estudos. As abstrações se formam ou se

consolidam basicamente a partir da inspeção dos dados.

(1986, p. 13)

Lüdke e André (1986) afirmam que o fato de não existirem hipóteses ou

questões especificas formuladas a priori não implica a inexistência de um quadro

teórico que oriente a coleta e a análise de dados. O desenvolvimento do estudo

aproxima-se a um funil: no início há questões ou focos de interesse muito amplos,

que no final se tornam mais direitos e específicos. O pesquisador vai melhor

precisando esses focos à medida que o estudo se desenvolve.

Com a finalidade de responder as perguntas da pesquisa, optamos por

entrevistas baseadas em tarefas, baseando-se no texto “A Scientific Perspective

on Structured, Task-Based Interviews in Mathematics Education Research” de

Gerald A. Goldin.

Conforme o autor, entrevista baseada em tarefas para o estudo do

comportamento matemático envolve minimamente um sujeito (o solucionador do

Capítulo III Yuk Wah Hsia

problema) e um entrevistador (o clínico), interagindo em relação a uma ou mais

tarefas (questões, problemas ou atividades) introduzidas ao sujeito de uma forma

pré-planejada. O último componente justifica o termo “baseada em tarefas”, para

que as interações do sujeito não sejam meramente com os entrevistadores, mas

também com o ambiente das tarefas.

Normalmente, segundo o autor, providências como gravação de vídeo e/ou

áudio, notas de observadores e o trabalho do sujeito são tomadas para análises

posteriores do que aconteceu durante a entrevista. Pela análise do

comportamento ou interações verbal e não verbal, o pesquisador espera fazer

inferências sobre o raciocínio matemático, aprendizagem, e/ou solução de

problemas dos sujeitos. A partir dessas inferências, espera-se aprofundar a

compreensão dos vários aspectos da educação matemática.

Goldin (2000) afirma que o delineamento das entrevistas baseadas em

tarefa precisa levar em conta os propósitos da pesquisa, que podem incluir

investigação exploratória, refinamento de observação, descrições, inferências

e/ou questionar a aplicabilidade de um modelo de ensino, aprendizagem ou

solução de problemas.

Além disso, entrevistas baseadas em tarefas podem servir como

instrumento de pesquisa para fazer observações sistemáticas na psicologia da

aprendizagem matemática e solução de problemas matemáticos. Elas também

podem ser adaptadas como ferramentas de avaliação para descrever o

conhecimento do sujeito e/ou melhorar a prática da educação matemática e o seu

valor e para qualquer desses propósitos, repousa no fato de que elas fornecem

um ambiente matemático que pode ser controlado. Tarefas matemáticas podem

ser ajustadas, baseadas nos resultados de pesquisa anterior.

Contingências de entrevista podem ser decididas explicitamente e

modificadas quando apropriadas. Comparando com o convencional método papel

e lápis, entrevistas baseadas em tarefas tornam possível centrar a atenção da

pesquisa mais diretamente sobre os processos de solução das tarefas de

matemática do sujeito, do que somente sobre os padrões de respostas certo ou

errado nos resultados produzidos.

Capítulo III Yuk Wah Hsia

Portanto, para Goldin (2000), existe uma possibilidade de investigar em

uma variedade de tópicos importantes mais profundamente do que é possível por

outros meios experimentais – tópicos tais como cognição complexa associada à

aprendizagem matemática, mecanismos de exploração matemática e solução de

problemas, relações entre solução de problemas e aprendizagem, relações entre

afeto e cognição, e assim por diante.

Nossa pesquisa teve sua origem em uma pergunta feita pela Professora

Cristina Cerri, ao final da apresentação da dissertação “A Noção de Integral em

Livros Didáticos e os Registros de Representação Semiótica” de Carlos Antonio

da Silva, em 2004 – PUC, São Paulo. Nessa ocasião, a professora deixou em

aberto a seguinte questão: Como os alunos utilizam o livro didático e como eles

mobilizam os registros presentes na apresentação do tema?

Com a finalidade de responder essa pergunta, elaboramos um conjunto de

tarefas, baseando-se nas seguintes escolhas:

III.1 – Tema – Escolhemos o tema Integral –De acordo com o breve relato

histórico sobre a Integral apresentado no capítulo I, vimos que este objeto

matemático dispõe de vários registros de representação, para possibilitar o

acesso ao seu conceito.

Ao descrever o objeto Integral, além do discurso na forma da linguagem

escrita, tivemos que recorrer constantemente aos registros gráficos e algébricos

para tornar claras as explicações dadas, utilizando também a linguagem formal,

para tornar o discurso mais sintético. O recurso aos vários registros foi quase que

simultâneo, um remetendo ao outro sem cessar. A necessidade dos registros

puramente visuais foi imprescindível para que a compreensão do conceito

ocorresse. (Conversão dos registros).

III.2 - O livro didático – “Cálculo” de James Stewart (da editora Pioneira

Thompson Learning, 2002). Este livro é atual e aborda os temas partindo de uma

situação problema, dando ênfase às aplicações e agregando novas tecnologias

como o uso de calculadora gráfica.

Capítulo III Yuk Wah Hsia

De acordo com Silva (2004), que fez a análise deste livro quanto aos

registros de representação de Integral, diversos deles são utilizados, não só na

apresentação do conteúdo, como também, nos exemplos e nos enunciados dos

exercícios propostos, e em alguns casos propondo aos leitores a mudança de

registro. Para definição, o autor do livro explora vários registros, dando

preferência ao registro gráfico.

Além disso, Stewart afirma, no prefácio do seu livro, que a ênfase deste

está na compreensão dos conceitos, devendo ser a meta principal no ensino do

cálculo e que tentou implementá-la por meio de sua “Regra de Quatro”: “Tópicos

devem ser apresentados geométrica, numérica e algebricamente, além do ponto

de vista verbal ou descritivo”.

Embora não faça referência aos de registros de representação, quando o

autor do livro afirma que quer implementar sua “Regra de Quatro”, não pudemos

deixar de notar alguma semelhança com a teoria de Duval, referente à conversão

de registros de representação para apreensão do objeto matemático e Stewart

afirma que para a compreensão dos conceitos, os tópicos devem ser

apresentados geométrica, numérica e algebricamente.

Ainda no prefácio, o autor faz uma dedicatória aos estudantes, afirmando

que existe uma diferença entre ler um texto de cálculo e um jornal ou um

romance, ou até mesmo um livro de física. Para que ele não desanime se tiver

que ler uma passagem mais de uma vez para entendê-la, o aluno deve ter lápis,

papel e uma calculadora à mão para esboçar um diagrama ou fazer um cálculo.

Stewart sugere aos alunos que leiam e tentem compreender uma seção do

texto antes de começar os exercícios, em particular, deve examinar as definições

para entender o significado exato dos termos, pois parte da meta do curso de

Cálculo é induzi-lo a pensar logicamente, aprender a escrever a solução dos

exercícios de uma forma conexa, passo a passo e com sentenças explicativas – e

não uma fileira de equações desconexas ou fórmulas.

O método proposto por Stewart aos alunos sobre como estudar, em muitos

aspectos está de acordo com a teoria de Duval, segundo a qual compreender um

Capítulo III Yuk Wah Hsia

texto é elaborar uma representação da situação que é descrita. Isto é, ler um texto

não é somente descobrir os elementos desta situação, mas também suas

relações e sua organização global. Como o texto só pode dar esses elementos

um após o outro, a atividade de leitura comporta um movimento duplo de

descobrir as informações e de reorganizá-las. (Segmentação redacional e....).

Este trabalho permite ao leitor construir uma representação da situação. É

necessário também fazer os alunos sempre voltar ao texto para completar ou

corrigir a construção que eles estão elaborando.

O capitulo V do livro de Stewart refere-se a Integral. O autor apresenta um

tópico introdutório designado por “Áreas e Distâncias” (Tópico 5.1) ao longo de

onze paginas, utilizando fartamente registros de representação algébrica,

numérica, gráfica, tabelas e língua natural, terminado o mesmo com uma coleção

de 24 exercícios sob registros de língua natural, gráficos cartesianos, tabelas e

linguagem formal.

O autor inicia destacando as várias situações em que a Integral pode ser

utilizada. Para introduzir o desenvolvimento do assunto, começa com a tentativa

de determinar a área sob uma curva ou a distância percorrida e acaba se valendo

do mesmo tipo especial de limite. Passa a trabalhar com as duas questões até

chegar à definição de Integral.

Para a realização do experimento, nós levamos os livros, que foram

fornecidos aos alunos a fim de possibilitar a execução das tarefas.

III.3 – Observação – A presença da observadora foi muito importante, pois

as tarefas exigiam constantemente atentar nas posturas dos alunos frente às

mesmas, sem interferência nem da aplicadora nem da observadora.

III.4 - Os alunos – Os participantes da pesquisa são alunos do segundo e

quinto semestres do curso de Matemática de uma universidade da cidade de São

Paulo, do período noturno. Por ocasião da aplicação das tarefas, os alunos do 2º

semestre ainda não conheciam o conceito de Integral e estavam estudando

Derivadas, e os alunos do 5º semestre já tiveram contato com o conceito.

Capítulo III Yuk Wah Hsia

III.5 - As tarefas – Elas foram planejadas para investigar se os alunos,

sem conhecer o tema Integral e sem o auxilio do professor, mobilizando os

registros contidos num texto, conseguem apreender as informações e se iniciar na

aprendizagem do tema, munidos apenas com os conhecimentos prévios de

geometria (cálculo de áreas), cálculo numérico (operações com números

racionais) e noção de função. O outro foco de nosso interesse era identificar quais

os registros são privilegiados por eles com esse fim.

As tarefas foram realizadas no período normal das aulas e a participação

foi espontânea. Os alunos resolveram as atividades individualmente, e foram lhes

oferecido papel e lápis para esse fim e não havia borracha, pois também

interessamos-nos em ver os registros que são abandonados durante a resolução

da tarefa. As sessões para realização das tarefas duraram aproximadamente 120

minutos, nas salas de aula.

Para esta pesquisa, um roteiro foi composto com cinco tarefas. Ele foi

inspirado, em parte, por um projeto do grupo “math-français” de I’Irem de

Strasbourg, que é composto por professores de francês e de matemática, sob

direção de R. Duval. Os professores de matemática franceses também se

depararam com uma nova dificuldade e que ultrapassava seu campo de

intervenção: nos problemas que eles propõem, o primeiro obstáculo que os

alunos encontram é o da leitura do texto do enunciado.

Em relação aos alunos brasileiros, Malta (2003) cita: “Dentre os indícios

mais apontados pelos professores do despreparo dos alunos que ingressavam na

universidade, está a incapacidade de se expressar, a incapacidade de utilização

da linguagem escrita, visível na dificuldade de construir frases completas e

consistentes (e sem erros de ortografia) que os alunos demonstravam”.

Conforme o relatório do projeto, “Un Travail Interdisciplinaire en Français et

en Mathématique” publicado em “Les revues pédagogiques de la Mission Laïque

Française” – Activités mathématiques et scientifiques, em abril de 1999, para os

professores deste projeto, tanto em matemática como em francês, a importância

de uma aprendizagem específica da leitura como também da escrita se impunha.

Esta dificuldade surgiu com intensidade quando os alunos tinham que abordar

Capítulo III Yuk Wah Hsia

textos que não eram narrativos: textos científicos (em biologia, em economia, em

geografia, em matemática), textos argumentativos (em francês, em filosofia,

especialmente). Entre outras dificuldades, encontravam-se também aquelas

ligadas à abstração crescente das noções ensinadas, e à produção de texto tanto

de demonstrativos como argumentativos.

Consciente da necessidade de enfrentar, juntos e de um modo comum, os

professores de francês e de matemática se encontraram sob direção de R. Duval

desde de 1990 e conduziram uma experiência alimentada por sensibilidades e os

diferentes pontos de vista dos docentes destas disciplinas.

As reflexões levaram os pesquisadores a conduzir a experiência segundo

dois eixos:

- um trabalho sobre a atividade de compreensão de textos, principalmente

sobre o tratamento das informações.

- um trabalho sobre o raciocínio, propriamente dito (com propósito da

demonstração em matemática e da argumentação em francês).

Para os pesquisadores franceses, os enunciados dos problemas não

devem conter somente informações simples e com frases curtas, ao contrário,

para eles, os alunos devem adquirir ferramentas, que os habilitem de modo

autônomo, a abordar textos complexos, relevar e organizar as informações que aí

se encontram, e hierarquizá-las e estabelecer as conexões lógicas que as unem.

Fazer matemática, para esses pesquisadores, é coordenar diversos registros

(figuras, língua natural, calculo...) e lhes interessavam descobrir em que uma

passagem por uma mudança de registros permite auxiliar estas aprendizagens.

Um espaço de uma hora semanal foi reservado para as atividades

referentes a esse projeto. Os dois professores, de francês e de matemática,

intervinham simultaneamente e a gestão da classe ficava a cargo de um ou de

outro, conforme a atividade proposta, cada um segundo sua competência. O

trabalho mais específico de cada uma das disciplinas prosseguia no curso, com a

reutilização e prolongamento daquilo que foi feito na aula comum. Este trabalho

podia ser igualmente conduzido de modo separado na aula de francês e de

Capítulo III Yuk Wah Hsia

matemática, mas necessitaria então de um ajuste indispensável entre os dois

professores, a fim de permitir uma análise dos resultados obtidos.

As atividades apresentadas, pelas pesquisas francesas, se encaixavam em

duas perspectivas:

- Escolha dos textos: Para a atividade de compreensão de texto, foram

escolhidos textos que não se supõe um conhecimento prévio para que

cada aluno pudesse, por uma leitura do texto, construir uma

representação descrita, ou textos que não têm relação imediata com os

conhecimentos próprios dos alunos, a fim de que estes não pudessem

substituir uma leitura atenta apelando aos outros saberes.

- Pela atividade proposta: Quando os alunos são solicitados para traduzir,

por um esquema, a organização das informações de um texto, a fim de

materializar a representação elaborada no momento da leitura, torna-se

possível observar onde se situam as dificuldades que eles encontram no

modo de organização própria à atividade de leitura.

Observando essas duas perspectivas, e para elaboração do nosso roteiro,

selecionamos o tópico 5.1 “Áreas e Distâncias” (Stewart, p. 367) com a finalidade

de estruturar as cinco tarefas.

Primeira tarefa - Localizar no livro o tema Integral.

A primeira tarefa tem por objetivo verificar como os alunos manuseiam o

livro. Se eles procuram o tema solicitado folheando o livro, sem consultar o índice.

Se eles apresentam curiosidades em conhecê-lo. Se eles apresentam interesse

de ler o prefácio. Enfim, se eles manifestam interesse pelo livro, além do que foi

pedido para fazer.

A fim de que observar os alunos durante a realização desta tarefa, eles

entraram na sala de dois em dois, e a dupla seguinte entrava na sala quando a

primeira terminava a primeira tarefa e prosseguia na realização de outras tarefas.

Capítulo III Yuk Wah Hsia

Segunda tarefa – Por um esquema, traduza as informações contidas no tópico 5.1.

A segunda tarefa é o cerne da nossa pesquisa e tem a preocupação de

verificar se os alunos sabem mobilizar vários registros para estudar, e qual o

registro privilegiado por eles para essa finalidade.

Ao serem solicitados a fazer um esquema, os alunos se enquadram numa

situação de leitura, em que existiria uma lacuna entre sua base de conhecimento

e o conteúdo cognitivo do texto. A compreensão do que está explicitamente

apresentado no nível da organização redacional torna-se passagem obrigatória

para alcançar a compreensão do conteúdo cognitivo, isto é, o leitor (aluno) terá de

fazer tratamento sobre as palavras (pronomes, conjunções), levando em conta as

frases.

Entretanto, nosso texto é um texto matemático, além de levar em conta as

palavras nas frases, o leitor (aluno de matemática) terá de considerar também os

registros de representação do objeto matemático em questão. Ele terá de fazer

apelo a outras formas de expressão: aos números, aos gráficos, às notações,... ,

etc, pois para aprender matemática é suposta interação entre esses vários tipos

de representações, além das discursivas.

De acordo com Duval, existem quatro situações de leitura. Queremos

investigar em qual situação cada um deles se enquadra.

Terceira tarefa – Como o autor começa o estudo do tema Integral?

A terceira tarefa da nossa pesquisa tem a finalidade de investigar se os

alunos, embora tivessem sido solicitados a localizar o tema Integral, realmente

iniciam as suas buscas no tópico cujo título não contempla a palavra “Integral”, já

que o mesmo se encontra no tópico 5.4.

Capítulo III Yuk Wah Hsia

QuartaTarefa – Suponha que você seja solicitado para resolver algum dos

exercícios da pagina 376, qual você escolheria? Justifique sua escolha.

Quinta Tarefa – Agora, você poderia resolver o exercício escolhido?

A quarta e a quinta atividade objetivam investigar a escolha de um

problema dentre de muitos propostos pelos alunos e as estratégias que eles

lançam mão para resolver um exercício quando solicitados e se mobilizam vários

registros simultaneamente.

III.5 - Entrevistas – As entrevistas foram realizadas com a finalidade de

complementar e esclarecer os dados coletados.

apítulo IV

Resultados

Analisamos, neste capítulo, os resultados obtidos com a realização das

tarefas. As produções foram obtidas com 14 alunos participantes do curso de

Matemática, de uma instituição particular, sendo oito deles do 2º semestre, que

estavam iniciando seus estudos em Cálculo Diferencial e Integral e do 5º

semestre, seis alunos que já conheciam o conceito de Integral. As tarefas foram

executadas individualmente.

Para a realização das tarefas, os livros, levados por nós, foram entregues

aos alunos assim que eles sentavam-se nas carteiras, e sobre estas estavam o

lápis e um caderno para as produções; a seqüência das tarefas era fornecida aos

alunos em folhas separadas, e estas eram diferentemente coloridas para que se

pudesse identificar a tarefa que o aluno estava executando.

Primeira tarefa: Localizar no livro didático o tema Integral.

Nesta tarefa, queremos conhecer como o aluno começa se relacionar com

o livro didático, quando se depara com ele. Esse nosso interesse é justificado,

pois conforme Malta (2003), [..] é muito comum ouvir de professores que “os

alunos não gostam de ler” e por parte dos alunos que “ler é muito difícil” [...].

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Descrição das ações dos alunos para localizar o tema Integral no livro,

observamos que:

- Apenas três alunos (dois do 5º semestre e um do 2º) ficaram esperando

que lhes fossem dado a ordem de começar a tarefa, comportando-se

como se estivessem em aula. Os outros começaram a manusear o livro,

tentado localizar no índice o tema que figura na tarefa.

- Dois alunos, um de cada semestre, começaram folheando o livro ao

acaso, sendo que um deles foi dos que só começaram a tarefa quando

“autorizado”; somente após algum tempo é que recorreram ao índice para

localizar o tema.

- Dois alunos leram o prefácio; outros foram direto ao capitulo de Integral.

Constatamos que, quanto à abordagem do livro didático, os alunos de

diferentes semestres não apresentam diferença na forma como iniciam o estudo .

O livro utilizado apresenta o capítulo 5 com a denominação “Integrais” e o

inicia com os itens 5.1 – “Áreas e distâncias”, seguindo com os tópicos 5.2 “A

Integral Definida”, 5.3 “O Teorema Fundamental do Cálculo”, 5.4 “Integrais

Indefinidas e o Teorema da Variação Total”, 5.5 “ A Regra da Substituição”, 5.6 “O

Logaritmo Definido como um Integral”.

Todos os alunos anotaram em seu caderno de produção: “página 366”, que

é exatamente o número que figura no índice, e abriram o livro nesta página.

2ª Tarefa – Por um esquema, traduzir as informações contidas no tópico 5.1

Nesta tarefa, estamos interessados nas produções dos alunos, após a

leitura do texto.

Malta (2003) observou que, [...] com raras exceções, os alunos que

ingressavam na universidade não compreendiam a linguagem matemática, [...] o

aprendizado se resumia em aprender a utilizar alguns algoritmos, sem relacioná-

los com os conceitos, e eles têm muita dificuldade em justificar suas respostas

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

quando solicitados, demonstrando pobreza de linguagem como também

dificuldade de perceber e identificar o próprio raciocínio.

Para esta análise, vamos observar, primeiramente, as produções dos

alunos quanto à utilização dos registros de representação e depois, faremos uma

classificação quanto à situação de leitura em que eles se encaixam, com base na

teoria de Duval.

Segundo o autor, para compreender um texto, o leitor deve possuir uma

base de conhecimento que é aquela que vai permiti-lo compreender a língua

falada além do código escrito, isto é, a seqüência de código escrito e a expressão

oral correspondente. Os textos podem se diferenciar pelo conteúdo cognitivo, ser

familiar ou novo; mas, também podem se diferenciar pela organização redacional,

ser congruente ou não congruente. Desse modo, são verificadas quatro as

situações de leitura: a primeira, familiar e congruente (I), familiar e não congruente

(II), novo e congruente (III) e novo e não congruente (IV).

Nas duas primeiras situações, um percurso único e rápido do texto, sem

retorno, pode ser suficiente para a compreensão no momento da leitura, pois não

passa de uma prática oral do texto; porém na situação II, Duval observa que um

único percurso rápido aumenta os riscos de má interpretação do leitor, o que

pode ser explicado por uma falta de atenção por parte do mesmo.

Na situação III e IV, a compreensão do texto é uma produção de

conhecimento novo para o leitor, existindo uma defasagem entre sua base de

conhecimento e o conteúdo cognitivo. O processo de compreensão exige um

percurso prolongado e com retorno sobre certas partes do texto, para responder

as questões, para efetuar comparações entre certas expressões, para verificar a

coerência de certas inferências, para determinar aquilo que passou

desapercebido.

Nesta tarefa, três alunos (dois do segundo semestre e outro do quinto

semestre) utilizaram somente o registro da língua natural para fazer o esquema

solicitado, nota-se claramente nas duas produções, que eles segmentaram o texto

para realizar a tarefa solicitada. Ilustramos abaixo uma produção desta natureza.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Observamos que sete alunos (cinco do segundo semestre e dois do quinto

semestre) utilizaram os registros da língua natural e gráfico para dar conta do

esquema solicitado, incluindo também muitas vezes o registro algébrico.

Apresentamos a seguir uma produção desse tipo.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Três alunos (um do segundo semestre e dois do quinto semestre)

enfatizaram o registro gráfico incluindo em menor proporção o registro algébrico

para tentar fazer o esquema solicitado. Em suas produções revelam claramente

que não entenderam o texto lido, e um deles inclusive efetuando erros como

colocar as variáveis no gráfico da função . Em entrevista posterior,

perguntamos ao aluno por que ele fez isso, ele respondeu que não gostava de

fazer esse tipo de tarefa, pois não tinha o hábito de ler textos matemáticos,

apenas os exemplos e exercícios resolvidos, e que também não percebera que

tinha errado. Apresentamos abaixo a produção deste ultimo aluno.

A última produção, de um aluno do 5º semestre, expressou um diálogo com

ele mesmo, utilizando o registro gráfico e o da língua natural para realizar a tarefa.

Esta produção está num formato diferente dos demais. Todo seu esquema foi

dialogado, o aluno conversando com o texto, para formar suas próprias imagens

mentais e organizar seu raciocínio. Isto está de acordo com Romanatto (2003),

que afirma: [...] a leitura torna indispensável um esforço para compreender, o que

é altamente disciplinador e educativo, [...] leva também ao desenvolvimento da

criatividade.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Constatamos, então, que ler um texto matemático é uma situação à qual os

alunos não estão habituados, e fazer um esquema da leitura feita é uma situação

que é nova e gera muitas estratégias distintas para que a tarefa fosse cumprida.

Terceira tarefa: Como o autor começa o estudo do tema Integral?

Nesta tarefa, queremos observar se o aluno, embora tenha sido solicitado

localizar o tema Integral, percebeu que o capítulo não começa exatamente com

Integral e se ele conhece a razão.

Nove alunos perceberam que o capitulo de Integral começa com a noção

de medidas, e eles usaram o registro da língua natural expressar tal fato.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Quarta tarefa: Suponha que você seja solicitado para resolver algum dos

exercícios da página 376, qual você escolheria? Justifique

Nesta tarefa, queremos investigar como o aluno aborda os exercícios, se

ele começa resolvendo os mais fáceis, se escolhe os que são similares aos

exercícios resolvidos ou exemplos dados.

Todos os alunos escolheram o exercício nº 1, cujo enunciado reproduzimos

a seguir.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Seis deles (três do segundo semestre e três do quinto semestre)

consideraram o exercício nº 1, o mais fácil. Por exemplo,

Sete dos alunos (cinco são do segundo semestre e um do quinto semestre)

justifcaram porque tem semelhança com o exemplo do tópico estudado.

Outro aluno deste grupo justificou a escolha da seguinte maneira como se

vê abaixo.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Apenas um aluno (do 5º semestre) justificou porque é a questão cujo

enunciado que melhor entendeu.

Um aluno do 5º semestre explicita enfaticamente a influência da leitura do

texto apresentado na escolha do exercício escolhido pra resolver.

A maneira dos alunos, uns com mais, outros com menos destaque,

ressaltaram nas suas justificativas, o trabalho que haviam realizado na utilização

do texto do livro. Uns referiram-se a tópicos no registro da língua natural, outro no

registro gráfico.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Quinta tarefa: Agora, você poderia resolver o exercício escolhido?

Nesta tarefa, estamos interessados em conhecer as estratégias que os

alunos utilizam para resolver os exercícios.

Para resolver o exercício escolhido, o aluno precisa saber determinar as

áreas de cinco retângulos, cujas bases justapostas completam o intervalo [a, b] e

cuja altura (y) é o valor da função (cujo gráfico é fornecido), calculado ora no

extremo inferior, ora no extremos superior da base.

Nesta tarefa, doze alunos tentaram resolver o exercício escolhido (seis do

segundo semestre e seis do quinto semestre) e dois entregaram em branco,

desistiram de resolver. Numa entrevista feita posteriormente, um desses alunos

declarou que entendeu o enunciado do exercício, porém não conseguiu construir

os retângulos solicitados, o cálculo do valor de suas alturas foi a grande fonte de

dificuldades para a resolução exercício.

Dez deles (cinco do 2º semestre e cinco do quinto semestre) utilizaram o

registro gráfico, numérico, sendo que dois deles também utilizaram o registro da

língua natural.

Embora a maioria dos alunos conseguiu construir os retângulos, alguns

construíram apenas retângulos superiores, apresentando apenas a estimativa

superior solicitada, como o protocolo a seguir.

Esse aluno, em sua resolução, utilizou os registros gráfico, numérico,

língua natural, além de ilustração de figuras geométricas.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Outro aluno construiu apenas retângulos inferiores, não em numero de

cinco, porém 10. A seguir, apresentamos a reprodução deste protocolo.

Alguns estudantes construíram figuras que não são retângulos, como o

protocolo abaixo.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

A produção abaixo indica que o estudante percebeu perfeitamente o que o

exercício pedia, apresentando uma resolução correta no registro gráfico tanto

para o item a quanto para o item b do enunciado, porém no calculo numérico, não

atentou para o fato que se pedia era uma estimativa e passou a fazer cálculos de

limites. Isto talvez seja decorrência da idéia de que todo problema de matemática

deve ter uma única e exata solução numérica.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Entretanto, dois alunos conseguiram resolver completamente o exercício,

demonstrando ter entendido como é determinada a altura do retângulo.

Reproduzimos abaixo o protocolo.

Capítulo IV Yuk Wah Hsia

Observamos que os alunos estavam impedidos de apagar qualquer

tentativa de solução, porque não havia borracha para isso. Assim sendo, este

aluno anulou os cálculos, que julgou errados, refazendo-os em seguida.

Pudemos constatar que com apenas uma leitura do texto, pode fornecer

aos alunos os primeiros subsídios para a compreensão das idéias envolvidas no

conceito de Integral. Claro está, que para alguns alunos ainda seria necessário

um aprofundamento, que ficou evidenciado em dificuldades apresentadas na

resolução do exercício.

Ao final de uma sessão, quando um aluno nos acompanhou até o carro

para levar o material utilizado, ele comentou: “Depois desta experiência, acho que

os professores de Matemática deveriam ensinar utilizando livros didático, seria

mais completo e mais estimulante aprender desse modo”.

apítulo V

Conclusão e Considerações Finais

Esta pesquisa tem por meta investigar como os alunos utilizam o livro

didático e como eles mobilizam os registros de representação contidas em um

texto sobre a noção de Integral. Partimos dos resultados do trabalho de Silva

(2004), sobre as representações semióticas nos livros didáticos, e outras

pesquisas em Educação Matemática que tratam das dificuldades dos alunos

relacionadas com a disciplina de Cálculo.

O trabalho foi evoluindo, primeiramente, quanto à fundamentação teórica

que embasasse nossa investigação. Julgamos adequada para nossa

investigação, a teoria “Registros de Representação Semiótica”, de Duval, que

Silva já utilizara no seu trabalho. Esta teoria forneceu, então, uma base em que

nós pudemos nos apoiar para a próxima etapa, a elaboração do experimento

propriamente dito.

O aporte necessário para o desenvolvimento desta etapa, está apoiado

num trabalho do Grupo Math-Français de I’IREM de Strasbourg, sob direção de

Duval, sobre as dificuldades de abordagem de textos não narrativos, dificuldades

estas ligadas à abstração das noções envolvidas e a produção de textos

argumentativos ou demonstrativos. Compusemos, então, o roteiro de tarefas.

Capítulo V Yuk Wah Hsia

Percebemos, durante a realização das tarefas, que os alunos ficaram

entusiasmados com a possibilidade de aprender Matemática, utilizando o livro

didático, diferentemente da forma que tem sido ensinado-lhes. Isto nos

surpreendeu, pois, a nossa perspectiva era que os alunos não gostassem de

estudar utilizando livro, mas, sim recorrendo às anotações de aula, que muitos

verbalizaram ser a maneira mais fácil. Além disso, o entusiasmo de muitos deles

foi relevante, para mais uma vez, sinalizar que esta pesquisa tem razão de ser.

A sugestão dos professores, componentes da banca examinadora, sobre a

oportunidade de a pesquisa conter um estudo sobre o objeto matemático, deu

origem ao capítulo sobre a evolução do conceito de Integral. Esta contribuição

dos professores foi de grande importância, pois já estudáramos o conceito no

curso de graduação e retomamos discussões sobre ele no grupo de mestrado,

porém as idéias estavam dispersas. Assim sendo, quando esboçamos um relato

sobre a evolução do conceito, isso nos possibilitou perceber que nesta tarefa,

utilizamos variados registros de representação e a conversão de registros foi

fundamental par a elaboração desse esboço.

Quanto à pergunta da investigação, destacamos que a maioria dos alunos

se mostra interessada diante de uma nova possibilidade de iniciar o estudo de um

conceito, diferentemente da aula expositiva introdutória de um assunto. Dentre as

manifestações dos alunos nesse sentido, destacamos a frase de um estudante:

“Gostei de saber que os conceitos que eu estudo tem aplicação na vida prática”.

Quanto à compreensão de texto, percebemos, pela forma que o esquema

solicitado foi apresentado, os alunos fazem uma segmentação do mesmo,

destacando e pontuando tópicos. Em cada um dos tópicos pontuados, a maioria

dos estudantes expressou a sua compreensão sobre o conceito estudado,

recorrendo a marcantemente pelos menos dois registros, um visual (gráfico) e

outro discursivo. Grande parte deles utilizou também outros registros como

numérico, algébrico, além de símbolos matemáticos que figuravam no texto.

Segue um exemplo de um esquema.

Capítulo V Yuk Wah Hsia

Em entrevista com os estudantes do 2º semestre, realizada no final desta

tarefa, eles verbalizaram que foi a primeira vez que se depararam com uma

tarefa, que propunha a leitura de texto de matemática, cujo conteúdo

desconheciam, elaborando posteriormente, um esquema sobre o conteúdo

envolvido na leitura.

Percebemos que as estratégias para a elaboração de tal esquema foram

variadas, sendo que alguns alunos privilegiaram o registro na língua natural, outro

o gráfico e sendo que muitos deles utilizaram simultaneamente três ou quatro

registros. Isto se deve ao fato de o autor do livro também utilizar vários registros

de representação no texto trabalhado.

A escolha dos registros de representação semiótica de Duval mostrou-se

apropriada como ferramenta de análise das produções dos alunos, mesmo

Capítulo V Yuk Wah Hsia

porque no livro escolhido, a variação de registros de representação é fartamente

utilizada.

A escolha do livro também propiciou a motivação dos alunos no

engajamento da atividade como aponta a produção abaixo.

Destacamos também que para a resolução de exercício, os alunos

recorreram a algum exemplo ou exercício resolvidos e, além disso, utilizaram

vários registros disponíveis para tal finalidade.

Detectamos uma dificuldade apresentada por aproximadamente metade

dos alunos, referente ao significado de função, revelado no momento da

construção de retângulo cuja altura era dada pelo valor da função em um ponto.

Tal dificuldade se revelou logo na segunda tarefa, em que alguns desses alunos

apresentaram construção de figuras que não são retângulos, pois a “base

superior” é curvilínea.

Capítulo V Yuk Wah Hsia

Na resolução do exercício nº 1 escolhido por eles, em que deveriam

determinar as áreas de cinco retângulos, cujas bases justapostas completam o

intervalo [a, b] e cuja altura (y) é o valor da função cujo gráfico é fornecido,

calculado ora no extremo inferior, ora no extremo superior da base, muitos

desistiram da tarefa e outros deixaram a resolução incompleta. Eles não

conseguiram perceber que cada retângulo deveria tocar o gráfico dado, visto que

sua altura é dada pelo valor da função num ponto determinado.

A nosso ver, isto é conseqüência do não entendimento, por parte dos

estudantes, de que o gráfico de uma função é o conjunto dos pontos (x, f(x)), cuja

simbologia muitas é até expressa, porém, sem nenhuma vinculação coma

representação dos pontos componentes do gráfico, no plano cartesiano.

Os esquemas elaborados pelos alunos, assim como as produções

referentes a resolução de exercícios fornecem indicações que a maioria deles

perceberam pelos menos os rudimentos do conceito que está sendo tratado no

Capítulo V Yuk Wah Hsia

livro. Evidentemente, com uma só leitura nem sempre é possível para um aluno

adquirir totalmente o conhecimento relativo ao objeto matemático, porém, este

inicio mostrou-se um eficaz ponto de partida para o aprofundamento da noção.

Principalmente, na resolução do exercício, ficou evidenciado que os alunos

voltavam para os exemplos tratados e/ou exercícios resolvidos no texto, para

buscar subsídios para a execução da tarefa. Nessa busca, também pode se

constatar que os estudantes procuram relacionar os conceitos trabalhados com os

variados registros utilizados.

Com a questão “Os alunos apresentam algum interesse pelo livro didático”,

pretendíamos observar como seria o primeiro contato deles com o livro. Isto é,

queríamos saber se os alunos se restringiam sua atenção apenas ao tópico

indicado, se procuravam diretamente o tema, folheando o livro, se iriam no início

do capitulo 5, cujo cabeçalho “Integrais”; se iniciariam pelo capítulo introdutório

denominado “Áreas e distâncias”; se tentavam iniciar já pelo 2º tópico

denominado “A Integral Definida”. Pretendíamos ainda investigar se algum aluno

mostrava interesse em conhecer o livro em sua totalidade, além do tópico

mencionado na tarefa. Observamos dois alunos tentaram localizar o tópico

indicado ao acaso, folheando o livro, mas em seguida recorreram ao índice.

Todos os demais localizaram o capítulo referente à Integral, imediatamente ao

abrir o livro, leram seu prefácio, viram a pagina em que estão elencados os

capítulos e em seguida, localizaram o tema no sumário.

Na fundamentação teórica, foi destacado que um fator importante na

interpretação de textos é a distancia entre a base de conhecimento do leitor e o

conteúdo cognitivo. Pretendíamos investigar que diferenças apresentam na

resolução das questões das tarefas, um aluno do 2º semestre, que nunca estudou

Integral e um aluno do 5º semestre, que já teve contato com o conceito. A análise

dos protocolos revelou que não houve diferenças perceptíveis entre as produções

de um e de outro grupo.

Embora uma única leitura não seja suficiente para que os estudantes

apreendam todos os conceitos periféricos que envolvem o tema central tratado,

pudemos constatar que o objetivo proposto foi alcançado, uma vez que, a

Capítulo V Yuk Wah Hsia

totalidade dos alunos se direcionou exatamente para o conteúdo indicado,

trabalharam com seriedade e afinco, no desenrolar das tarefas e ao se proporem

a resolver um exercício, efetuaram um movimento de ida e volta ao texto,

utilizando variados registros de representação, o que mostra que tanto a

fundamentação teórica, quanto o livro escolhido mostraram-se eficazes para a

investigação.

Vários dos estudantes, que trabalharam nesta investigação, manifestaram-

se afirmando que seria interessante uma prática, que partisse da leitura preliminar

do livro texto, com a possibilidade de consultas ao professor sobre dificuldades

apresentadas na leitura e posteriores discussões sobre os conteúdos

propriamente tratados. Com base no trabalho realizado e nas produções dos

estudantes, deixamos como possibilidade de continuação de pesquisa, a

indagação: Como a leitura do livro texto pode contribuir para o desenvolvimento

cognitivo do aluno de um curso de Cálculo Diferencial e Integral?

eferências

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