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JOS
´
E DANILO SZEZECH JR
A transic¸
˜
ao do regime de caos para caos
espac¸o-temporal em modelos de interac¸
˜
oes
de ondas
Tese apresentada ao Curso de P´os-Graduac¸˜ao
em F´ısica do Setor de Ciˆencias Exatas da Uni-
versidade Federal do Paran´a, como requisito
parcial para a obtenc¸˜ao do grau de Doutor em
ciˆencias.
Orientador: Prof. Dr. Sergio Roberto Lopes
Curitiba
2008
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Abstract
The study of the transition spatio-temporal chaos in dynamical systems is a topic that has
attracted much attention in recent times. These systems have various applications in biology,
engineering and physics. It is believed that the transition to space-temporal chaos in these sys-
tems can be a key to understanding the formation of turbulent states. Among the many different
dynamical systems possible, here it is specifically studied wave-wave interactions. These inte-
ractions involve non-linear waves of high frequency, witch are common phenomena in a variety
of circumstances. Such processes can be seen occurring in different physical situations. Exam-
ples can be found in the non-linear optics, space plasma and plasma experiments in laboratories.
One of the wave-wave interactions studied is most well-known coupling triplet-triplet, called
process of four waves, where each triplet share two waves in common. In a weakly nonli-
near regime, due to the quadratic nonlinear interactions, the amplitudes of the waves develop
slow modulations in the space / time such that they are slower than the high frequency waves
involved. In this case we can get simplified equations describing the dynamics of the slow
variation of the amplitudes of the waves. The spatial-temporal dynamics equations presented
by the amplitudes of the interactions of these triplets is the main topic of this thesis. We will
show that the onset of spatio-temporal chaos in this system is related to the process called on-
off intermittency. In addition to these processes that occur in the time-space, we will see that
in purely temporal dynamics of the conservative model of four waves do occur trappings for
certain trajectories for long periods of time. Such trappings are characteristics of Hamiltonian
systems with two degrees of freedom. We will use the standard map to illustrate that these
characteristics are strongly highlighted by the calculation of the finite time Lyapunov exponent.
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Resumo
O estudo da transic¸˜ao caos espac¸o-temporal em sistemas dinˆamicos ´e um t´opico que tem atra´ıdo
muita atenc¸˜ao nestes ´ultimos tempos. Estes sistemas apresentam diversas aplicac¸˜oes em biologia, en-
genharia e f´ısica. Acredita-se que a transic¸˜ao para caos-espac¸o temporal nestes sistemas possa ser uma
pec¸a fundamental na compreens˜ao da formac¸˜ao de estados turbulentos. Dentre os diversos sistemas
dinˆamicos poss´ıveis, aqui estudamos especificamente interac¸˜oes onda-onda. Estas interac¸˜oes envolvem
ondas n˜ao lineares de alta freq¨uˆencia que s˜ao fenˆomenos comuns em uma variedade de circunstˆancias.
Tais processos ocorrem em diversas situac¸˜oes f´ısicas. Exemplos disto podem ser encontrados em ´otica
n˜ao linear, plasmas espaciais e experimentos de plasma em laborat´orios. Uma das interac¸˜oes onda-onda
mais estudadas ´e o bem conhecido acoplamento tripleto-tripleto, chamado de processo de quatro ondas,
onde cada tripleto compartilha duas ondas em comum. Em um regime fracamente n˜ao-linear, devido
as interac¸˜oes n˜ao-lineares serem quadr´aticas, as amplitudes das ondas desenvolvem lentas modulac¸˜oes
no espac¸o/tempo, as quais s˜ao mais lentas do que as altas freq¨uˆencias das ondas envolvidas. Neste caso
podemos obter equac¸˜oes simplificadas descrevendo a dinˆamica da lenta variac¸˜ao das amplitudes das
ondas. A dinˆamica espac¸o-temporal apresentada pelas equac¸˜oes das amplitudes das interac¸˜oes destes
tripletos ´e o t´opico principal desta tese. Mostraremos que o in´ıcio do caos espac¸o-temporal deste sistema
est´a relacionado com o processo chamado intermitˆencia on-off. Al´em destes processos que ocorrem
no sistema espac¸o-temporal, veremos que na dinˆamica puramente temporal do modelo de quatro ondas
conservativo, ocorrem aprisionamentos para determinadas trajet´orias por longos per´ıodos de tempo. Tais
aprisionamentos s˜ao caracter´ısticas de sistemas Hamiltonianianos com dois graus de liberdade. Usare-
mos o mapa padr˜ao para ilustrar que estas caracter´ısticas s˜ao fortemente evidenciadas pelo c´alculo do
expoente de Lyapunov a tempo finito.
Um homem n˜ao est´a ocioso porque ele est´a ab-
sorvido no pensamento. Existe um trabalho
vis´ıvel e existe um trabalho invis´ıvel.
Victor Hugo
Agradecimentos
Ao meu pai, m˜ae e irm˜ao por todo incentivo e me ajudarem a escolher o curso certo.
A Camila por todo amor, companheirismo e carinho.
Aos meus amigos da Graduac¸˜ao e P´os-Graduac¸˜ao pelas interessantes discuss˜oes sobre
F´ısica e outros assuntos.
Ao Professor Wolfgang Mueller por me mostrar que o conhecimento liberta.
Ao Professor S´ergio pelo conhecimento de prec¸o inestim´avel e por me ensinar uma nova
forma de pensar.
Conte´udo
1 Introduc¸
˜
ao. . . . ............. . . . . ... . . . . . ...... ....... . . . .... . . . . . ..... . .... p.1
1.1 Revis˜ao da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.3
1.1.1 A Interac¸˜ao onda-onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.4
1.1.2 O Mapa Padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.5
1.2 Organizac¸˜ao da tese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.7
2 Conceitos Preliminares. . . . . . . .... . . ....... . ..... . . . . . . ... . . . ....... ...... . p.8
2.1 Interac¸˜ao onda-onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.8
2.1.1 Obtendo a interac¸˜ao de onda-onda da equac¸˜ao de Hasegawa-Mima . . . . . . . . . . . p.8
2.1.2 As equac¸˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13
2.1.3 O M´etodo Pseudo Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15
2.1.4 Estabilidade da variedade homogˆenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.17
2.1.5 O modelo de quatro ondas puramente temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17
2.2 O mapa padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19
2.2.1 A equac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
2.3 Conceitos de dinˆamica n˜ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.20
2.3.1 Teorema KAM e aprisionamentos no espac¸o de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21
2.4 Expoente de Lyapunov a tempo infinito e a tempo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24
2.5 Intermitˆencia on-off.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27
3 Resultados e Discuss
˜
oes . . . . . .. . . . . . ............. . . . . . .. . . . . . ............. . p.30
3.1 Modelo de interac¸˜ao de ondas puramente temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.30
i
3.2 O mapa padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
3.3 O modelo de interac¸˜ao onda-onda espac¸o-temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43
3.3.1 Excitac¸˜ao n˜ao linear dos modos espaciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.46
3.3.2 A perda de estabilidade transversal da dinˆamica homogˆenea . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52
3.3.3 Intermitˆencia On-Off e transic¸˜ao caos espac¸o-temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60
3.3.4 Efeito da difus˜ao na limitac¸˜ao na gerac¸˜ao de modos espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62
4 Conclus
˜
oes e trabalhos futuros. . ... . . . . . . ..... . ....... . . .... . . . . . . ..... . ... p.68
Bibliografia . . . . ....... ....... . . . . .. . . . . . ....... ....... . . . . .. . . . . . ....... ..... p.72
1
1 Introduc¸
˜
ao
Turbulˆencia ´e um estado comumente encontrado em mecˆanica dos fluidos, sendo carac-
terizada por comportamentos n˜ao regulares e estoc´asticos. De fato, a observac¸˜ao de estados
turbulentos ´e muito comum em nossa vida di´aria: a dispers˜ao da fumac¸a de cigarro, a mistura
de ar frio e quente na atmosfera, o fluxo de ar externo nas carenagens de carros e avi˜oes, o
fluxo de ´agua atrav´es dos pilares de pontes s˜ao alguns exemplos onde estes estados acontecem.
Por´em, apesar de ser um fenˆomeno presente constantemente no nosso cotidiano, a sua completa
compreens˜ao est´a longe de ser alcanc¸ada (TENNEKES; LUMLEY, 1994; BATCHELOR, 1959;
FRISCH, 1995). A id´eia fundamental para a formac¸˜ao de estados turbulentos est´a baseada nas
relac¸˜oes n˜ao lineares entre modos espaciais/temporais associados ao fato de, geralmente, exis-
tirem mecanismos de troca de energia operando em escalas muito distintas. Nesse processo a
energia ´e injetada no sistema em grandes comprimentos de ondas e dissipada de forma mais efe-
tiva em pequenos comprimentos. Esse processo ´e conhecido como cascata de energia. Nesse
cen´ario, de uma forma geral, os estados turbulentos aparecem em sistemas f´ısicos sujeitos a
grandes gradientes de forc¸as (ou campos), o que imp˜oe, por exemplo em um fluido, variac¸˜oes
abruptas de velocidade ou direc¸˜ao de movimento.
Al´em deste mecanismo de cascata de energia, variac¸˜oes temporais s´ubitas dos campos
envolvidos no sistema f´ısico tamb´em podem ser um mecanismo gerador de estados turbulentos.
Tais condic¸˜oes levam o sistema a apresentar variac¸˜oes irregulares, muitas vezes descritas como
estoc´asticas, na evoluc¸˜ao temporal e eventualmente no espac¸o.
Historicamente, a id´eia de modelos que gerassem variac¸˜oes irregulares demorou muito
tempo para comec¸ar a ser estudada. Quando em 1687 Isaac Newton escreveu o livro Principia
(NEWTON, 1990), foi capaz de descrever sistemas f´ısicos atrav´es de um conjunto de leis, que
por sua vez tornou poss´ıvel escrever um conjunto de equac¸˜oes, que em princ´ıpio, determinavam
a dinˆamica de tais sistemas. Este livro influenciou muitas pessoas por muito tempo, as quais
acabaram concluindo que sistemas f´ısicos eram genericamente est´aveis e prediz´ıveis.
O primeirotrabalhoa propora possibilidadede variac¸˜oes abruptas e irregularesnaevoluc¸˜ao
2
temporal de sistemas f´ısicos ´e devido a Henri Poincar´e no final do s´eculo XIX (POINCARE,
1887). Poincar´e, motivado pelo problema de trˆes corpos sob interac¸˜ao m´utua de gravidade, foi
capaz de mostrar, atrav´es de t´ecnicas topol´ogicas, que um conjunto inicialmente peri´odico de
condic¸˜oes iniciais, quando perturbadas levemente, geravam trajet´orias extremamente complica-
das, que hoje s˜ao chamadas ca´oticas. Ap´os o trabalho de Poincar´e foram desenvolvidos v´arios
trabalhos matem´aticos sobre dinˆamica ca´otica. Dando continuidade a essa linha de estudos,
seguiram-se os trabalhos de Birkoff nos anos 20 (BIRKHOFF, 1927), alguns trabalhos sobre
dinˆamica de osciladores nos final dos anos 20 e 30 (POL; MARK, 1927) , seguidos dos impor-
tantes trabalhos de Smale (SMALE, 1967) e Kolmogorov nos anos 50 e 60 (KOLMOGOROV,
1954). Por´em, foisomente com o aumento da capacidade de realizac¸˜ao de c´alculos computacio-
nais que tal ramo da ciˆencia se tornou efetivamente ativo. Decorrente disso, a partir dos anos 70
do s´eculo passado, surge na literatura uma s´erie de trabalhos com resultados novos sobre com-
portamentos de sistemas ca´oticos. S˜ao exemplos desses os memor´aveis trabalhos de Takens,
(TAKENS, 1971), Feigenbaum (FEIGENBAUM, 1978), Kaplan e Yorke (KAPLAN; YORKE,
1979), Pomeau-Manneville (POMEAU; MANNEVILLE, 1980) e Grebogi, Ott e Yorke, (GRE-
BOGI et al., 1982), os quais d˜ao in´ıcio `a definic¸˜ao da dinˆamica ca´otica bem como `a descric¸˜ao
de como tal dinˆamica se instala nos sistemas f´ısicos. Em sua maioria, tais trabalhos e uma s´erie
incont´avel de trabalhos posteriores, descrevem a dinˆamica temporal dos sistemas f´ısicos ou
analisam universalidades no comportamento dinˆamico apresentados por modelos matem´aticos
simples sem uma aplicac¸˜ao f´ısica imediata e, em sua maioria, de baixa dimensionalidade.
Em tais modelos uma correlac¸˜ao entre o comportamento espacial do sistema f´ısico e
sua dinˆamica temporal fica imposs´ıvel, ou muito dificultada. A interpretac¸˜ao conjunta de
fenˆomenos espaciais e temporais faz parte de uma ´area da ciˆencia ainda em desenvolvimento.
A revista Science, no seu anivers´ario de 100 anos (SCIENCE, 2005), lanc¸ou um conjunto de
quest˜oes que est˜ao ainda em aberto, uma delas era a seguinte:”ser´a que poderemos desenvolver
uma teoria geral da dinˆamica de fluxos turbulentos e do movimento de materiais granulares?”.
Isto demonstra uma carˆencia, principalmente, na descric¸˜ao de uma teoria para a poss´ıvel rota
do in´ıcio da turbulˆencia. O estudo de caos espac¸o-temporal, bem como sua relac¸˜ao com estados
turbulentos, torna-se uma possibilidade para procurar esta poss´ıvel rota.
Desta forma, um assunto correlacionado com dinˆamica n˜ao-linear ´e o de como tais com-
portamentos temporais (bifurcac¸˜oes do sistema, perda de estabilidade de pontos fixos, perda de
estabilidade transversal, variabilidade da dimens˜ao inst´avel entre outros) podem influir no com-
portamento espacial dos sistemas. Ou seja, a correlac¸˜ao entre as dinˆamicas temporal e espacial.
At´e o presente momento esta correlac¸˜ao ainda n˜ao est´a bem entendida, longe disso, muitas res-
3
postas ainda est˜ao por ser obtidas, e s˜ao hoje alvo de estudos. Em trabalhos recentes mostrou-se
que a sela ca´otica tem um papel fundamental na dinˆamica intermitente em sistemas estendidos
(REMPEL; CHIAN, 2007). Al´em disto, sincronizac¸˜ao imperfeita de fase coletiva “on-off”, foi
encontrada em estados turbulentos (HE; CHIAN, 2003) . Todos este casos mostram que o en-
tendimento de caos espac¸o-temporal e, sua relac¸˜ao com o desenvolvimento da turbulˆencia, pode
ser um ponto chave para a rota do in´ıcio da turbulˆencia.
Nesta tese, por uma quest˜ao de clareza, os assuntos abordados ser˜ao divididos na seguinte
seq¨uˆencia: primeiramente estudaremos a dinˆamica do modelo de interac¸˜ao onda-onda conser-
vativo para o caso puramente temporal, evidenciaremos o seu comportamento ca´otico e as cha-
madas armadilhas dinˆamicas. Depois usaremos o mapa padr˜ao como um modelo prot´otipoonde
algumas propriedades do modelo conservativo s˜ao bem evidentes e, por ´ultimo, voltaremos ao
modelo de interac¸˜ao de ondas, por´em com um grau de liberdade espacial. Neste ´ultimo assunto
o nosso objetivo principal ser´a analisar a transic¸˜ao de estados regulares para estados turbulentos,
onde veremos que o caos na variedade temporal ter´a um efeito importante na formac¸˜ao destes
estados turbulentos.
Na seq¨uˆencia deste cap´ıtulo faremos uma revis˜ao bibliogr´afica de alguns dos principais
artigos e livrospresentesna literatura,que tratam os assuntos deste trabalhoetˆemsido utilizados
para o desenvolvimento deste trabalho.
1.1 Revis˜ao da literatura
Como foi dito anteriormente, durante a maior parte desta tese separaremos os assuntos de
interac¸˜ao onda-onda conservativa puramente temporal, o mapa padr˜ao e a interac¸˜ao onda-onda
espac¸o-temporal em diferentes sec¸˜oes. A primeira vista estes assuntos podem parecer desco-
nectados um do outro, por´em a id´eia b´asica ´e mostrarmos inicialmente a dinˆamica irregular do
modelo de interac¸˜ao de ondas conservativo e mostrar as armadilhas dinˆamicas, usar o mapa
padr˜ao que tamb´em ´e conservativo para explicar alguns comportamentos das armadilhas que
aparecem no modelo anterior e, por ´ultimo, al´em da dinˆamica temporal, analisaremos o efeito
que um grau de liberdade espacial pode causar na dinˆamica do modelo de interac¸˜ao de ondas.
No ´ultimo cap´ıtulo, onde apresentaremos alguns poss´ıveis trabalhos futuros, tamb´em apontare-
mos possibilidades onde a conex˜ao destes assuntos ser´a muito importante. Assim, dividiremos
esta sec¸˜ao da revis˜ao bibliogr´afica em duas partes: a primeira sec¸˜ao associada `a revis˜ao sobre
a interac¸˜ao onda-onda, tanto para o sistema puramente temporal como para o sistema espac¸o-
temporal, e a segunda parte faremos para o mapa padr˜ao.
4
1.1.1 A Interac¸
˜
ao onda-onda
O fenˆomeno de ondas ´e um assunto de grande relevˆancia em muitas ´areas da F´ısica. Nesta
tese o modelo a ser analisado ´e um tipo de interac¸˜ao que ocorre entre ondas. Alguns casos onde
a interac¸˜ao onda-onda tem sido usada para explicar alguns fenˆomenos f´ısicos s˜ao citados logo
abaixo.
A absorc¸˜ao anˆomala do laser em plasmas de laborat´orio vem sendo tratada em v´arios tra-
balhos sobre interac¸˜oes de ondas (CHIAN; RIZZATO, 1994; TZENG et al., 1996). Em experi-
mentos recentes, foi observado que estas absorc¸˜oes podem estar associadas a s´ubitas elevac¸˜oes
na temperatura de plasma (GLENZER et al., 2002). Um outro caso ´e a gerac¸˜ao de emiss˜oes
de r´adio em plasmas espaciais (CHIAN et al., 1994; STENFLO; SHUKLA, 1995), a gerac¸˜ao
de segundo harmˆonico, a amplificac¸˜ao e a convers˜ao para freq¨uˆencias mais elevadas em sinais
´opticos (SHEN, 1984; YARIV, 1989). Na referˆencia(RUNDQUISTet al., 1998), ´e mostrado um
experimento onde um laser inicialmente de freq¨uˆencia na faixa do vis´ıvel, tem a sua freq¨uˆencia
elevada para faixa de raio-Xap´os atravessar um g´as rarefeito. Fenˆomenos como este s´o tˆem sido
compreendidos atrav´es da ´optica n˜ao linear. Um exemplo mais recente de aplicac¸˜ao, ´e a trans-
miss˜ao de energia atrav´es de micro-ondas (USUI et al., 2002). Neste caso, um sat´elite armazena
grandes quantidades de energia solar em baterias e retransmite para uma base em solo. Quando
estas ondas s˜ao enviadas ao solo, elas interagem com a ionosfera causando aquecimento e al-
terando a onda inicial. Todos este casos s˜ao alguns exemplos onde a interac¸˜ao de ondas ´e de
interesse devido as suas aplicac¸˜oes tecnol´ogicas e a sua grande riqueza de fenˆomenos f´ısicos
presentes.
Nesta tese ser˜ao analisados, basicamente, dois tipos de interac¸˜oes onda-onda. O primeiro
´e a chamada interac¸˜ao de trˆes ondas, neste caso as ondas formamum tripleto ressonante, no qual
uma onda indutora decai e forma duas ondas filhas (o processo de fus˜ao tamb´em pode ocorrer).
O segundo tipo ´e a interac¸˜ao de quatro ondas. Neste caso temos novamente um tripleto de ondas
similar ao caso de trˆes ondas, por´em temos a presenc¸a de um segundo tripleto. Este segundo
tripleto ´e formado por uma das ondas filhas que interagem novamente com a onda indutora
formando uma quarta onda.
Fazendo uma revis˜ao hist´orica na literatura sobre interac¸˜oes onda-onda, vemos que a
mesma interac¸˜ao foi introduzida separadamente em diversas ´areas da F´ısica. Um dos traba-
lhos pioneiros foi realizado por Armstrong et al. (ARMSTRONG et al., 1962), no qual ele trata
da interac¸˜ao de ondas em um diel´etrico n˜ao linear. Em (SAGDEEV; GALEEV, 1969) os autores
tratam a interac¸˜ao de trˆes ondas imersas em um plasma. Durante este mesmo ano, Wilhelmsson
5
publicou um artigo (WILHELMSSON, 1969) onde obteve as equac¸˜oes para interac¸˜ao de trˆes
ondas, usando ondas transversais e longitudinais, atrav´es da teoria hidromagn´etica de plasma.
No ano seguinte Stenflo (STENFLO, 1970), ao inv´es de usar a teoria hidromagn´etica, propˆos
analisar a interac¸˜ao com o uso da teoria cin´etica, usando as equac¸˜oes de Maxwell em conjunto
com a equac¸˜ao linearizada de Botzmann-Vlasov. Uma an´alise detalhada sobre a teoria cin´etica
e efeitos n˜ao lineares pode ser encontrada na referˆencia (HASEGAWA, 1975). Todas as re-
ferˆencias citadas acima tratam da interac¸˜ao de trˆes ondas independente do espac¸o, ou, casos
estacion´arios dependentes apenas do espac¸o. A an´alise das soluc¸˜oes num´ericas e anal´ıticas,
para o caso dependente do tempo e uma dimens˜ao espacial com condic¸˜oes perfeitas de res-
sonˆancia (sem freq¨uˆencia de descasamento entre as ondas), passaram a ser analisadas a partir
das seguintes referˆencias (BERS et al., 1976; KAUP et al., 1979). As soluc¸˜oes anal´ıticas foram
obtidas atrav´es do chamado m´etodo da transformac¸˜ao do espalhamento inverso (ZAKHAROV;
MANAKOV, 1973; ABLOWITZ; SEGUR, 1981), atrav´es do qual obteve-se soluc¸˜oes de ondas
solit´arias. Estes resultados est˜ao de acordo com os obtidos numericamente (BERS et al., 1976).
Como podemos ver, muita atenc¸˜ao foi dada `a interac¸˜ao de trˆes ondas. A interac¸˜ao de
quatro ondas foi estudada primeiro por Sugihara (SUGIHARA, 1968) e por Karplyuk et al
(KARPLYUK et al., 1973). Soluc¸˜oes mais gerais, incluindo energias negativas, foram propostas
por Walters e Lewak (WALTERS; LEWAK, 1977). A integrabilidade e conseq¨uentemente a
descoberta da quarta integral de movimento foi provada por Romeiras (ROMEIRAS, 1983).
Todos estes trabalhos estudaram o caso de condic¸˜oes perfeitas de casamento entre as ondas,
por´emtrabalhos mais recentes tˆem demonstrado que o descasamento tem um papel fundamental
na transic¸˜ao de estados regulares para ca´oticos (CHIAN et al., 1994; PAKTER et al., 1997).
Todos estes casos foram analisados considerando a evoluc¸˜ao temporal independente do espac¸o.
O caso conservativo espac¸o-temporal s´o foi analisado mais recentemente (LOPES; RIZZATO,
1999). Parte do trabalhos sobre a interac¸˜ao espac¸o-temporal na presenc¸a de injec¸˜ao e dissipac¸˜ao
de energia, o qual ´e objeto de estudo desta tese, j´a foi publicado e pode ser encontrado nas
referˆencias (SZEZECH et al., 2007(a), 2007(b)).
1.1.2 O Mapa Padr
˜
ao
O espac¸o de fase de sistemas Hamiltonianos n˜ao-integr´aveis n˜ao ´e inteiramente regular
e nem inteiramente ca´otico. Estes dois comportamentos dinˆamicos est˜ao conectados por uma
complicada fronteira onde, dependendo do n´umero de graus de liberdade, podem ou n˜ao se
misturar. A dinˆamica regular consiste de ´orbitas confinadas em toros do tipo quase-peri´odicos
ou peri´odicos, enquanto as ´orbitas ca´oticas preenchem as outras partes da superf´ıcie de ener-
6
gia, tais regi˜oes s˜ao chamadas de mares ca´oticos (LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992). No
geral, novos comportamentos tais como armadilhas dinˆamicas (ZASLAVSKY, 2002(b)) e di-
fus˜ao anˆomala (LATORA et al., 1999), aparecem em sistemas dinˆamicos n˜ao integr´aveis, como
um resultado de uma combinac¸˜ao n˜ao trivial entre a regularidade e a caoticidade. Estes novos
comportamentos levam tais sistemas a apresentar propriedades estat´ısticas distintas para as tra-
jet´orias na parte ca´otica do espac¸o de fase (KARNEY, 1983; HANSON et al., 1985; MEISS;
OTT, 1986; KUZNETSOV; ZASLAVSKY, 2002).
O termo armadilhas dinˆamicas ´e devido ao aprisionamento de trajet´orias em certos dom´ı-
nios espec´ıficos no espac¸ode fase, onde estastrajet´orias podem gastarum tempo arbitrariamente
longo. Tais comportamentos podem ser devidos a armadilhas de ilhas hier´arquicas, rede de ar-
madilhas ou armadilhas de camadas estoc´asticas (ZASLAVSKY, 2002(b)). Em tais dom´ınios
do espac¸o de fase, partes da trajet´oria s˜ao quase regulares, apesar da trajet´oria completa ser
ca´otica. Como foi mostrado recentemente, para quase todos espac¸os de fase de sistemas Ha-
miltonianos, esta topologia apresenta propriedades fractais ou multi-fractais, onde trajet´orias
regulares e ca´oticas est˜ao arbitrariamente pr´oximas umas das outras (DENISOV et al., 2002;
OTT, 1993). Mesmo quando o espac¸o de fase parece totalmente ca´otico ´e poss´ıvel encontrar
um n´umero finito de pequenas ilhas, onde no seu interior as trajet´orias s˜ao ca´oticas (SHLESIN-
GER et al., 1993). Situac¸˜oes f´ısicas importantes, como por exemplo, o transporten˜ao Gaussiano
(anˆomalo) em fluidos ou a difus˜ao anˆomala, em v´arios sistemas, podem ser relacionados com
a presenc¸a de aprisionamentos no espac¸o de fase (MACKAY et al., 1984). Tais t´opicos po-
dem ser ´uteis para o c´alculo de perda de part´ıculas em plasmas e aceleradores, taxas de reac¸˜oes
qu´ımicas, taxas de aquecimento em ondas em plasmas e outras ´areas de f´ısica (IOMIM et al.,
1998).
A presenc¸a de armadilhas em algumas partes do espac¸o de fase em sistemas Hamilto-
nianos, ´e chamada as vezes de pseudo-ergodicidade (ZASLAVSKY, 1995). Estas armadilhas
podem levar a certas dificuldades para diversos diagn´osticos, como ´e o caso do espectro do
expoente de Lyapunov, devido ao seu c´alculo supor uma boa aproximac¸˜ao erg´odica do espac¸o
de fase para tempos infinitos. A propriedade erg´odica pode n˜ao ser totalmente v´alida, sendo
que em sistemas Hamiltonianos ocorre a presenc¸a de ilhas regulares imersas no mar ca´otico do
espac¸o de fase. Al´em do mais, em sistemas Hamiltonianos com dois graus de liberdade, as tra-
jet´orias no mar ca´otico nunca podem entrar em uma ilha, e as trajet´orias da ilha nunca alcanc¸am
o mar ca´otico. Como uma primeira tentativa, podemos apenas aplicar a propriedade erg´odica
para a parte ca´otica do espac¸o de fase. Por´em, mesmo neste caso as armadilhas no espac¸o de
fase podem levar as trajet´orias a gastarem enormes tempos em determinadas regi˜oes. Nestes
7
casos a propriedade erg´odica necessitaria de enormes tempos para ser v´alida. Em um artigo
recente (LEONCINI; ZASLAVSKY, 2002) tratando de um modelo bidimensional de transporte
e mistura de fluidos, foi mostrado que a n˜ao uniformidade do espac¸o de fase e a presenc¸a de
ilhas regulares no interior do mar ca´otico tem um impacto consider´avel nas propriedades de
transporte para alguns sistemas. Uma revis˜ao extensa de transporte anˆomalo, cin´etica fracional,
pseudo-ergodicidade e aprisionamento de trajet´orias ´e mostrada na referˆencia (ZASLAVSKY,
2002(a)).
Nesta tese apresentaremos a dinˆamica de um sistema Hamiltoniano n˜ao integr´avel do mo-
delo de interac¸˜ao de quatro ondas conservativo e do mapa padr˜ao. Neste ´ultimo, mostramos que
este efeitos de aprisionamentos podem ser vistos com o expoente de Lyapunov a tempo finito
(DAWSON et al., 1994). A existˆencia do expoente de Lyapunov ´e provada sobre condic¸˜oes
gerais (WIGGINS, 1990). Em um sistema Hamiltoniano n˜ao integr´avel, o movimento ca´otico
e regular coexistem no espac¸o de fase, o qual introduz grandes variac¸˜oes na instabilidade local
ao longo da trajet´oria ca´otica de referˆencia (OKUSHIMA, 2003). Estas variac¸˜oes est˜ao relacio-
nadas com as alterac¸˜oes entre diferentes movimentos, como ca´otico e quase-regular (laminar),
podendo estes movimentos ocorrer em sistemas de baixa dimensionalidade (SEPULVEDA et
al., 1989). Uma vez que as armadilhas ocorrem para tempos finitos, o uso do expoente de Lya-
punov a tempo finito ´e uma maneira de quantificar o efeito das armadilhas (SZEZECH et al.,
2005).
1.2 Organizac¸˜ao da tese
A divis˜ao dos cap´ıtulos desta tese ´e feita da seguinte maneira: o cap´ıtulo 2 cont´em um
embasamento te´orico sobre o modelo de interac¸˜ao onda-onda espac¸o-temporal e temporal, o
mapa padr˜ao e alguns conceitos de dinˆamica; o cap´ıtulo 3 est´a dividido em sec¸˜oes para cada
modelo dinˆamico tratado, com os resultados obtidos acompanhados de discuss˜oes; e por ´ultimo,
o cap´ıtulo 4 cont´em as conclus˜oes obtidas da tese e alguns poss´ıveis trabalhos futuros.
8
2 Conceitos Preliminares
Neste cap´ıtulo discutiremos alguns conceitos que ser˜ao fundamentais para a posterior
compreens˜ao dos resultados obtidos. O cap´ıtulo est´a divido em trˆes sec¸˜oes principais. A pri-
meira sec¸˜ao cont´em uma discuss˜ao sobre o modelo de interac¸˜ao onda-onda espac¸o-temporal e
puramente temporal. Na segunda sec¸˜ao discutiremos o modelo de mapa padr˜ao que nos ser-
vir´a na confirmac¸˜ao e quantificac¸˜ao dos resultados obtidos para o modelo puramente temporal.
Na terceira e ´ultima sec¸˜ao, discutiremos alguns conceitos fundamentais de dinˆamica que ser˜ao
importantes para a discuss˜ao dos resultados.
2.1 Interac¸˜ao onda-onda
Nesta sec¸˜ao introduziremos os modelo de interac¸˜oes de ondas que aplicaremos neste tra-
balho. Na seq¨uˆencia, mostraremos as equac¸˜oes n˜ao lineares espac¸o-temporais do modelo que
ser˜ao aplicadas nesta tese. Discutiremos sobre as t´ecnicas para a integrac¸˜ao num´erica e a an´alise
linear deste modelo. Finalmente discutiremos o caso em que este modelo ´e conservativo com
dinˆamica puramente temporal.
2.1.1 Obtendo a interac¸
˜
ao de onda-onda da equac¸
˜
ao de Hasegawa-Mima
As equac¸˜oes que envolvem modelos de interac¸˜ao onda-onda aparecem em diversas ´areas,
sendo que a sua deduc¸˜ao podem ser obtida atrav´es de diferentes suposic¸˜oes. Podemos citar. por
exemplo, suposic¸˜ao via regime modulacional de Zakharov (FRICHEMBRUDER et al., 2000),
equac¸˜oes Vlasov (STENFLO, 1970) e Navier-Stokes (COSTA et al., 1988). Nesta sec¸˜ao, mos-
traremos uma das poss´ıveis deduc¸˜oes para as interac¸˜oes estudadas. Seguiremos de perto a
referˆencia (HASEGAWA et al., 1979), para mostrar como modelos de interac¸˜ao de onda-onda
podem ser obtidas `a partir da equac¸˜ao de Hasegawa-Mima.
A equac¸˜ao de Hasegawa-Mima ´e freq¨uentemente usada para descrever o comportamento
9
de ondas de deriva em plasmas. Tal equac¸˜ao descreve a evoluc¸˜ao espac¸o-temporal do potencial
eletrost´atico das ondas. O procedimento e as suposic¸˜oes para obtenc¸˜ao de tal equac¸˜ao ´e descrita
a seguir.
Considera-se um plasma onde a temperatura dos ´ıons ´e muito menor que as dos el´etrons
(T
i
/T
e
≪ 1). Antes de chegarmos as equac¸˜oes do modelo, ´e conveniente definir o parˆametro de
expans˜ao
ε
ε
=
1
ω
ci
∂
∂
t
≈
ρ
s
∇
ln
n
0
B
0
≈
Ω
ω
ci
, (2.1)
sendo Ω = ∇×v a vorticidade do flu´ıdo dos ´ıons. O comprimento de onda de dispers˜ao carac-
ter´ıstico ´e dado por
ρ
s
=
T
e
m
i
1/2
(
ω
ci
)
−1
=
c(m
i
T
e
)
1/2
eB
, (2.2)
onde T
e
´e a temperaturadosel´etrons, m
i
e vs˜ao a massa e a velocidade dos´ıons respectivamente.
Para um flu´ıdo de ´ıons frios em um campo eletrost´atico, E = −∇
φ
, a equac¸˜ao de movi-
mento ´e dada pela forc¸a de Lorentz
dv
dt
= −
e
m
i
∇
φ
+ v×
ω
ci
, (2.3)
e a equac¸˜ao de conservac¸˜ao da densidade do n´umero de ´ıons n(x,t) pode ser escrita como
∇·v = −
d
dt
lnn, (2.4)
sendo v a velocidade do flu´ıdo de ´ıons, m
i
´e massa dos ´ıons, e ´e a carga el´etrica dos ´ıons,
φ
´e o
potencial eletrost´atico, e
ω
ci
(c)ˆz ´e o vetor de freq¨uˆencia ciclotrˆonica dos ´ıons.
Via condic¸˜ao de quasi-neutralidade, a densidade de ´ıons n e densidade de el´etrons n
e
est˜ao
relacionadas, e obedecem a distribuic¸˜ao de Boltzmann
n ≃ n
e
= n
0
(x)exp
e
φ
T
e
, (2.5)
Aplicando a equac¸˜ao (2.5) na (2.4) temos que
∇·v = −
d
dt
lnn
0
+
e
φ
T
e
, (2.6)
A equac¸˜ao de vorticidade Ω da onda de deriva pode ser constru´ıda tomando o rotacional da
equac¸˜ao de movimento (2.3) e notando que
dv
dt
=
∂
v
∂
t
+ (v·∇)v =
∂
v
∂
t
+
1
2
∇v
2
−v×Ω, (2.7)
10
e
∇×(v×Ω) = −Ω∇·v+ (Ω·∇)v−(v·∇)Ω (2.8)
= − Ω∇
⊥
·v
⊥
−(v·∇)Ω. (2.9)
Nesse caso, temos que
d
dt
(Ω+
ω
ci
) + (Ω+
ω
ci
)∇
⊥
·v
⊥
= 0, (2.10)
onde o subscrito ⊥ representa a componente perpendicular `a direc¸˜ao do campo magn´etico, ˆz.
Considerando um caso pseudo tri-dimensional temos que
∂
v
z
∂
z
=
ε
|∇
⊥
·v
⊥
|, (2.11)
sendo que
ε
´e um pequeno parˆametro introduzido na equac¸˜ao (2.1). Esta considerac¸˜ao ´e con-
sistente com a condic¸˜ao da existˆencia de uma onda de deriva. Fisicamente, esta considerac¸˜ao
corresponde ao fato que a in´ercia dos ´ıons ´e desprez´ıvel na direc¸˜ao do campo magn´etico am-
biental.
A equac¸˜ao (2.6) pode ent˜ao ser aproximada por
∇
⊥
·v
⊥
= −
d
dt
lnn
0
+
e
φ
T
e
. (2.12)
Substituindo a equac¸˜ao (2.12) na equac¸˜ao (2.10) e usando o parˆametro de expans˜ao (2.1),
obtemos
d
dt
ln
ω
ci
+ Ω
n
0
exp(e
φ
/T
e
)
≃
d
dt
ln
ω
ci
n
0
+
Ω
ω
ci
−
e
φ
T
e
= 0. (2.13)
Se usarmos o ordenamento da equac¸˜ao (2.1), a vorticidade Ω· ˆz ´e dada pela deriva E×B,
Ω = (∇×v
⊥
) · ˆz = ˆz·∇×
∇
φ
׈z
B
0
=
1
B
0
∇
2
φ
, (2.14)
e
d
dt
=
∂
∂
t
−
∇
φ
׈z
B
0
·∇, (2.15)
as equac¸˜oes (2.13), (2.14) e (2.15) formam um conjunto fechado para o potencial eletrost´atico
φ
.
Em um plasma de baixa press˜ao (
β
= 8
π
p/B
2
≪ 1), as n˜ao-homogeneidades do campo
magn´etico s˜ao pequenas se comparadas com a densidade do plasma. Assumindo que
ω
ci
seja
11
aproximadamente constante e usando as seguintes normalizac¸˜oes no tempo, espac¸o e
φ
,
ω
ci
t ≡ t, (2.16)
x,y
ρ
s
≡ x, y, (2.17)
e
φ
T
e
≡
φ
, (2.18)
podemos observar que as equac¸˜oes (2.13), (2.14) e (2.15) reduzem para
∂
∂
t
(∇
2
φ
−
φ
) −[(∇
φ
׈z)·∇]
∇
2
φ
−ln
n
0
ω
ci
= 0, (2.19)
est´a ´e a equac¸˜ao de Hasegawa-Mima. O subscrito ⊥ foi suprimido, o operador gradiente signi-
fica que
∇ = ˆx
∂
∂
x
+ ˆy
∂
∂
y
. (2.20)
Na presenc¸a de n˜ao-homogeneidades, a equac¸˜ao de Hasegawa-Mima, admite uma onda
linear, onde a relac¸˜ao de dispers˜ao ´e dada por
ω
=
ω
k
= −[(k׈z)·∇lnn
0
]/(1+ k
2
) =
ω
∗
1+ k
2
. (2.21)
Na an´alise deturbulˆenciada equac¸˜ao deHasegawa-Mima ´econveniente analisar a dinˆamica
no espac¸o de Fourier. Escrevendo
φ
no espac¸o de Fourier
φ
(x,t) =
1
2
∑
k
[
φ
k
(t) exp(ik·x) + c.c.]. (2.22)
Na teoria n˜ao linear as amplitudes das ondas de deriva s˜ao dada por:
d
φ
k
dt
+ i
ω
k
φ
k
=
∑
k+k
′
+k
′′
=0
Λ
k
k
′
,k
′′
φ
∗
k
′
φ
∗
k
′′
, (2.23)
Considerando um caso para o qual os trˆes primeiros modos tenham amplitudes muito
maiores que os demais, tal que apenas a interac¸˜ao k
1
+ k
2
+ k
3
= 0 seja significante, a equac¸˜ao
(2.23) ´e dada por
d
φ
1
dt
+ i
ω
1
φ
1
= Λ
1
2,3
φ
∗
2
φ
∗
3
, (2.24)
d
φ
2
dt
+ i
ω
2
φ
2
= Λ
2
3,1
φ
∗
3
φ
∗
1
, (2.25)
d
φ
3
dt
+ i
ω
3
φ
3
= Λ
3
1,2
φ
∗
1
φ
∗
2
, (2.26)
12
onde
φ
j
(t) =
φ
k
j
(t), (2.27)
e
ω
j
=
ω
k
j
, j = 1, 2, 3 (2.28)
e os coeficientes dos termos quadr´aticos s˜ao dados por:
Λ
1
2,3
=
1
2
(k
2x
k
3y
−k
2y
k
3x
)(k
2
3
−k
2
2
)
1+ k
2
1
, (2.29)
Λ
2
3,1
=
1
2
(k
1y
k
3x
−k
1x
k
3y
)(k
2
3
−k
2
2
)
1+ k
2
2
, (2.30)
Λ
3
1,2
=
1
2
(k
1y
k
2x
−k
1x
k
2y
)(k
2
2
−k
2
1
)
1+ k
2
3
. (2.31)
Estas equac¸˜oes foram usadas para explicar o mecanismo de turbulˆencia e trocas de ener-
gias em diferentes escalas (HASEGAWA et al., 1979). Uma alternativa interessante, ´e se ao
inv´es de considerarmos a expans˜ao de Fourier truncar em trˆes modos, considera-se um quarto
modo. A inclus˜ao desta quarta onda ´e particularmente relevante para o estudo do efeito do
fluxo poloidal ( em inglˆes “zonal flow”) (LASHMORE-DAVIES et al., 2005). Estas regi˜oes do
fluxo poloidal tem grandes implicac¸˜oes no confinamento de part´ıculas em uma plasma turbu-
lento (HASEGAWA et al., 1979). Seguindo a referˆencia (LASHMORE-DAVIES et al., 2005),
e considerando `as seguintes condic¸˜oes de casamento para os vetores de onda:
k
3
=k
1
−k
2
, (2.32)
k
4
=k
1
+ k
2
. (2.33)
No caso de quatro ondas ocorre a participac¸˜ao simultˆanea de dois tripletos ressonantes.
Uma representac¸˜ao esquem´atica desta interac¸˜ao entre quatro ondas est´a na figura 2.1.
1
1
2
4
3
Figura 2.1: Diagrama da interac¸˜ao.
Considerando estas condic¸˜oes de casamento, a expans˜ao de Fourier para quatro ondas, e
13
aplicando-se na equac¸˜ao de Hasegawa-Mima obtemos:
d
φ
1
dt
+ i
ω
1
φ
1
= Λ
1
2,3
φ
2
φ
3
+ Λ
1
2,4
φ
∗
2
φ
4
, (2.34)
d
φ
2
dt
+ i
ω
2
φ
2
= Λ
2
3,1
φ
∗
3
φ
1
+ Λ
2
1,4
φ
∗
1
φ
4
, (2.35)
d
φ
3
dt
+ i
ω
3
φ
3
= Λ
3
1,2
φ
1
φ
∗
2
, (2.36)
d
φ
4
dt
+ i
ω
4
φ
4
= Λ
4
1,2
φ
1
φ
2
, (2.37)
onde, a menos de alguns termos complexo conjugados, devido a nova condic¸˜ao de ressˆonancia
de vetor de onda ter um sinal trocado com relac¸˜ao a usada por Hasegawa, os termos e os coefi-
cientes para as ondas 1,2 e 3 s˜ao idˆenticos ao caso anterior. A principal diferenc¸a s˜ao os novos
termos envolvendo a quarta onda, os novos coeficientes para estes termos s˜ao dados por:
Λ
1
2,4
=
1
2
(k
2y
k
4x
−k
2x
k
4y
)(k
2
4
−k
2
2
)
1+ k
2
1
, (2.38)
Λ
2
1,4
=
1
2
(k
1y
k
4x
−k
1x
k
4y
)(k
2
4
−k
2
1
)
1+ k
2
2
, (2.39)
Λ
4
1,2
=
1
2
(k
1x
k
2y
−k
1y
k
2x
)(k
2
2
−k
2
1
)
1+ k
2
4
. (2.40)
O conjunto de equac¸˜oes (2.34)-(2.37) representa o modelo de interac¸˜ao de quatro ondas.
Enfatizamos novamente que existem diferentes formas de deduc¸˜ao para estas equac¸˜oes, sendo
que aqui as deduzimos a partir da equac¸˜ao de Hasegawa-Mima.
2.1.2 As equac¸
˜
oes
Na an´alise das equac¸˜oes de interac¸˜oes onda-onda tomaremos como base uma s´erie de tra-
balhos (LOPES, 1995; PAKTER et al., 1997; LOPES; RIZZATO, 1999). Por simplicidade, con-
sideraremos as amplitudes adimensionalizadas, tal que os coeficientes dos termos quadr´aticos
das equac¸˜oes (2.34)-(2.37) sejam iguais a unidade. Faremos tamb´em uma pequena modificac¸˜ao
na notac¸˜ao, ao inv´es dos potenciais representados pelo s´ımbolo
φ
usaremos A. Al´em disso,
acrescentaremos um grau de liberdade espacial que representa poss´ıveis n˜ao-homogeneidades
14
no plasma. Assim, o modelo de quatro ondas ´e dado pelo seguinte conjunto de equac¸˜oes:
∂
A
1
(x,t)
∂
t
+v
g
1
∂
A
1
(x,t)
∂
x
= A
2
(x,t)A
3
(x,t) −rA
∗
2
(x,t)A
4
(x,t) +
ν
1
A
1
(x,t) + D
∂
2
A
1
(x,t)
∂
x
2
, (2.41)
∂
A
2
(x,t)
∂
t
+v
g
2
∂
A
2
(x,t)
∂
x
= −A
1
(x,t)A
∗
3
(x,t) −rA
∗
1
(x,t)A
4
(x,t) +
ν
2
A
2
(x,t), (2.42)
∂
A
3
(x,t)
∂
t
+v
g
3
∂
A
3
(x,t)
∂
x
= i
δ
3
A
3
(x,t) −A
1
(x,t)A
∗
2
(x,t) +
ν
3
A
3
(x,t), (2.43)
∂
A
4
(x,t)
∂
t
+v
g
4
∂
A
1
(x,t)
∂
x
= i
δ
4
A
4
(x,t) +rA
1
(x,t)A
2
(x,t) +
ν
4
A
4
(x,t), (2.44)
onde A
1,2,3,4
s˜ao as amplitudes complexas de cada uma das quatro ondas respectivamente. O
fator r representa a intensidade de interac¸˜ao do acoplamento tripleto-tripleto sendo que no caso
limite r = 0 o conjunto de equac¸˜oes de quatro ondas recai no modelo de trˆes ondas. Os ter-
mos v
g
1,2,3,4
representam as velocidades de grupo ao longo do espac¸o. Os coeficientes
ν
1
> 0
e
ν
2,3,4
< 0 s˜ao introduzidos fenomenologicamente, representando uma injec¸˜ao de energia na
onda
1
1 e uma dissipac¸˜ao nas ondas 2,3 e 4, respectivamente. Os termos
δ
3
e
δ
4
representam
um descasamento de freq¨uˆencia entre os tripletos. O coeficiente D representa uma difus˜ao,
que corresponde a uma lenta variac¸˜ao no espac¸o. A difus˜ao tem um papel importante para que
ocorra uma saturac¸˜ao no crescimento de modos espaciais, como veremos na pr´oxima sec¸˜ao.
Quando trabalhamos com estas equac¸˜oes no espac¸o de Fourier, a difus˜ao atua como um amor-
tecimento na gerac¸˜ao de grandes modos. Neste trabalho trataremos o caso com um grau de
liberdade espacial, que ser´a representado na derivada parcial com relac¸˜ao a x nas equac¸˜oes das
amplitudes.
Na ausˆencia de injec¸˜ao, dissipac¸˜ao e difus˜ao, esta interac¸˜ao passa a ser conservativa. As-
sim, temos que o conjunto de equac¸˜oes espac¸o-temporais (2.41)-(2.44) podem ser diretamente
derivadas de uma func¸˜ao densidade de Hamiltoniana. Como descrito na referˆencia (LOPES;
RIZZATO, 1999), esta func¸˜ao pode ser obtida se escrevermos as equac¸˜oes de Hamilton na se-
guinte forma:
∂
A
j
(x,t)
∂
t
=
δ
H
δ
A
∗
j
,
∂
A
j
(x,t)
∗
∂
t
= −
δ
H
δ
A
j
, (2.45)
onde foi introduzida a derivada funcional
δ
δ
A
j
≡
∂
∂
A
j
−
∂
∂
x
∂
∂
∂
A
j
∂
x
, (2.46)
que permanece v´alida se substituirmos A por A
∗
, e a Hamiltoniana total
ˆ
H pode ser escrita em
1
Na literatura usualmente a onda 1 ´e chamada de onda pai ou onda indutora, enquanto as ondas 2,3 e 4 s˜ao
chamadas de ondas filhas.
15
func¸˜ao densidade de Hamiltoniana H como:
ˆ
H ≡
dxH =
dx
−A
1
A
∗
2
A
∗
3
+ A
∗
1
A
2
A
3
−r(A
∗
1
A
∗
2
A
4
−A
1
A
2
A
∗
4
) + i
δ
3
|A
3
|
2
+i
δ
4
|A
4
|
2
−
4
∑
j=1
v
g
j
A
∗
j
∂
A
j
∂
x
. (2.47)
Podemos ver que a Hamiltoniana n˜ao depende explicitamente do tempo, ou seja, ´e uma
quantidade que n˜ao varia no tempo. Al´em da func¸˜ao Hamiltoniana, temos outras duas quanti-
dades conservadas no tempo:
C
1
=
dx
|A
2
|
2
−|A
3
|
2
+ |A
4
|
2
, (2.48)
C
2
=
dx
|A
1
|
2
+ |A
3
|
2
+ |A
4
|
2
. (2.49)
2.1.3 O M
´
etodo Pseudo Espectral
Nesta sec¸˜ao falaremos um pouco sobre o m´etodo de integrac¸˜ao num´erica que aplicare-
mos para resolver as equac¸˜oes das amplitudes (2.41)-(2.44). Os m´etodos mais freq¨uentes na
resoluc¸˜ao de equac¸˜oes diferenciais parciais s˜ao o m´etodo de diferenc¸as (elemento) finitas e
o m´etodo pseudo-espectral. Em problemas com condic¸˜ao de contorno peri´odicas e com pre-
cis˜ao semelhante, o m´etodo pseudo-espectral apresenta um custo de tempo computacional de
aproximadamente dez vezes menor do que m´etodo de diferenc¸as finitas (FORNBERG; MER-
RILL, 1997). Como consideraremos que as condic¸˜oes de contorno das amplitudes (2.41)-
(2.44) tamb´em s˜ao peri´odicas, utilizaremos o m´etodo pseudo-espectral. Este m´etodo ´e base-
ado em uma importante propriedade da transformada de Fourier, segundo a qual uma deri-
vada cont´ınua pode ser transformada em um conjunto discreto de equac¸˜oes (BUTKOV, 1988).
Neste caso aplicaremos a transformac¸˜ao de Fourier no espac¸o, e reescreveremos as amplitudes
A
j
,{j = 1, 2, 3,4}na seguinte forma:
A
j
=
N/2
∑
n=−N/2+1
a
j
n
(t)e
ik
n
x
, (2.50)
onde o ´ındice n representa o n´umero do modo de Fourier. Neste trabalho expandiremos esta
s´erie entre N = 32−1024 modos. Como estamos interessados apenas no in´ıcio da gerac¸˜ao de
modos espaciais, na maioria dos casos n˜ao ser´a necess´ario um n´umero grande de modos de
Fourier para que a dinˆamica espacial seja corretamente descrita. Aplicando a transformac¸˜ao de
16
Fourier (2.50) nas equac¸˜oes (2.41)-(2.44), as equac¸˜oes das amplitudes passam a ser dadas por:
∂
a
1
n
(t)
∂
t
+
iv
g1
k
n
−Dk
n
2
a
1
n
(t) = F [A
2
A
3
] −F [rA
∗
2
A
4
] +
ν
1
a
1
n
(t), (2.51)
∂
a
2
n
(t)
∂
t
+ iv
g2
k
n
a
2
n
(t) = −F [A
1
A
∗
3
] −F [rA
∗
1
A
4
] +
ν
2
a
2
n
(t), (2.52)
∂
a
3
n
(t)
∂
t
+ iv
g3
k
n
a
3
n
(t) = i
δ
3
a
3
n
(t) −F [A
1
A
∗
2
] +
ν
3
a
3
n
(t), (2.53)
∂
a
4
n
(t)
∂
t
+ iv
g4
k
n
a
4
n
(t) = i
δ
4
a
4
n
(t) + F [rA
1
A
2
] +
ν
4
a
4
n
(t), (2.54)
onde o ´ındice n representa cada um dos N modos da transformada (2.50). No espac¸o de Fourier
podemos ver claramente o papel de saturac¸˜ao do coeficiente de difus˜ao D, que atua como um
termo de amortecimento para grandes comprimentos de onda.
O s´ımbolo F das equac¸˜oes (2.51)-(2.54) indica a convoluc¸˜ao dos produtos n˜ao lineares
entres as amplitudes. Um forma mais vantajosa, no sentido de tempo computacional, ´e calcular-
mos os produtos n˜ao lineares das amplitudes no espac¸o real e s´o depois aplicar a transformada
de Fourier. Este procedimento evita a operac¸˜ao de convoluc¸˜ao dos termos n˜ao lineares. Ap´os
avaliarmos os termos n˜ao lineares no espac¸o real, aplicamos a transformada de Fourier nas
equac¸˜oes diferencias parciais, fica restando resolver um conjunto de N equac¸˜oes diferenciais
ordin´arias. Para a integrac¸˜ao destas equac¸˜oes diferenciais foi utilizado o integrador LSODA
(Livermore Solver for Ordinary Differential Equations, with automatic method switching for
stiff and nonstiff problems). Este integrador, desenvolvido por Linda Petzold e Alan Hindmarsh
(PETZOLD, 1983; HINDMARSH, 1983), tem um algoritmo preditor-corretor que torna mais
eficiente a integrac¸˜ao. A id´eia, basicamente, ´e variar automaticamente o passo de integrac¸˜ao de
acordo com a dificuldade de integrac¸˜ao das equac¸˜oes. Isto, al´em de tornar a integrac¸˜ao mais
r´apida, tamb´em a torna mais precisa.
Aproveitamos ainda esta sec¸˜ao para introduzir um conceito que usaremos mais adiante,
que ´e o conceito de variedade homogˆenea e variedade n˜ao-homogˆenea. Um sistema ´e dito estar
na variedade homogˆenea quando, no espac¸o de Fourier, apenas o modo n = 0 ´e diferente de
zero, o que corresponde, no espac¸o real, a ausˆencia de modos espaciais, sendo o seu perfil
espacial plano. J´a a variedade n˜ao-homogˆenea ocorre quando o sistema apresenta, para n = 0,
modos diferentes de zero no espac¸o de Fourier, os quais no espac¸o real, correspondem a modos
espaciais.
17
2.1.4 Estabilidade da variedade homog
ˆ
enea
A an´alise da estabilidade da variedade homogˆenea pode ser feita atrav´es da an´alise linear.
Para fazer esta an´alise fixaremos as condic¸˜oes iniciais na seguinte forma:
A
1
(t = 0) = a
1
0
(t = 0) ≡ A = 0, (2.55)
a
j
n
(t = 0) = 0, {j = 2, 3, 4}, ∀n = 0, (2.56)
as quais s˜ao perturbadas por pequenos termos A
j
= a
j
1
e
ikx
+ a
j
−1
e
−ikx
, a
j
±1
∼ e
−i
ω
t
, tal que
a
j
±1
≪ |A |. Esta escolha ´e conveniente para analisar a estabilidade para uma grande amplitude
de A
1
. Ainda fixando
δ
4
= 0, (2.57)
a relac¸˜ao de dispers˜ao
ω
=
ω
(
κ
) pode ser obtida de
P
3
P
2
−P
R
= 0, (2.58)
onde
P
2
= i(−
ω
+ v
g
2
κ
), (2.59)
P
3
= i(−
ω
+ v
g
3
κ
−
δ
3
), (2.60)
P
4
= i(−
ω
+ v
g
4
κ
−
δ
4
), (2.61)
e
P
R
= |A |
2
1−r
2
P
3
P
4
. (2.62)
Salientamos que o s´ımbolo grego
κ
representa o vetor cont´ınuo da relac¸˜ao de dispers˜ao, en-
quanto k ´e o vetor de onda usado na transformac¸˜ao de Fourier. A relac¸˜ao de dispers˜ao (2.58)
pode ser resolvida numericamente. Podemos ver, de acordo com a forma da perturbac¸˜ao pro-
posta, que para valores reais de
κ
e imagin´arios de
ω
, a variedade homogˆenea ´e inst´avel. A
variedade somente ser´a est´avel para valores reais de
κ
e quando a parte imagin´aria de
ω
for
nula.
2.1.5 O modelo de quatro ondas puramente temporal
Na sec¸˜ao anterior vimos as equac¸˜oes do modelo de interac¸˜ao de ondas espac¸o-temporal.
Por´em, muita informac¸˜ao da dinˆamica contida no modelo puramente temporal ser´a importante
na an´alise dos casos espac¸o-temporais. Como mostraremos no pr´oximo cap´ıtulo, em algumas
18
situac¸˜oes a dinˆamica dos sistemas espac¸o-temporais ser´a representada apenas pela variedade
homogˆenea. Em outras palavras, reca´ımos no caso puramente temporal. Assim, na ausˆencia de
dinˆamica espacial, as nossas equac¸˜oes das amplitudes recaem em:
dA
1
(t)
dt
= A
2
(t)A
3
(t) −rA
∗
2
(t)A
4
(t) +
ν
1
A
1
(t), (2.63)
dA
2
(t)
dt
= −A
1
(t)A
∗
3
(t) −rA
∗
1
(t)A
4
(t) +
ν
2
A
2
(t), (2.64)
dA
3
(t)
dt
= −A
1
(t)A
∗
2
(t) −i
δ
3
A
3
(t) +
ν
3
A
3
(t), (2.65)
dA
4
(t)
dt
= rA
1
(t)A
2
(t) + i
δ
4
A
4
(t) +
ν
4
A
4
(t), (2.66)
sendo A
i
(t) as amplitudes das ondas com componentes apenas temporais. Os termos
ν
1,2,3,4
representam novamente a injec¸˜ao ou a dissipac¸˜ao de energia (dependendo do sinal de
ν
).
Considerando a interac¸˜ao conservativa, os termos
ν
1,2,3,4
ser˜ao nulos (PAKTER et al.,
1997). Devido ao fato das amplitudes serem complexas, com componentes reais e imagin´arias,
as soluc¸˜oes da interac¸˜ao de quatro ondas s˜ao representadas num espac¸o de oito dimens˜oes
(quatro reais e quatro imagin´arias).
´
E poss´ıvel introduzir a transformac¸˜ao de vari´aveis A
j
=
F
1/2
j
e
i
φ
j
, j = 1,2, 3, 4, tal que as equac¸˜oes (2.63)-(2.66) podem ser analisadas numa forma mais
conveniente:
˙
F
1
= 2(F
1
F
2
F
3
)
1/2
cos
φ
−
−2r(F
1
F
2
F
4
)
1/2
cos
φ
+
, (2.67)
˙
F
2
= −2(F
1
F
2
F
3
)
1/2
cos
φ
−
−2r(F
1
F
2
F
4
)
1/2
cos
φ
+
, (2.68)
˙
F
3
= −2(F
1
F
2
F
3
)
1/2
cos
φ
−
, (2.69)
˙
F
4
= 2r(F
1
F
2
F
4
)
1/2
cos
φ
+
, (2.70)
˙
φ
−
= 1/2(H +
δ
3
F
3
+
δ
4
F
4
)(1/F
2
−1/F
1
) + (F
1
F
2
/F
3
)
1/2
sen(
φ
−
) −
δ
3
(2.71)
˙
φ
+
= 1/2(H +
δ
3
F
3
+
δ
4
F
4
)(−1/F
2
−1/F
1
) −r(F
1
F
2
/F
4
)
1/2
sen(
φ
+
) −
δ
4
, (2.72)
onde ocorre uma conjugac¸˜ao de fases que nos permite reescrever as fases como
φ
−
≡
φ
1
−
φ
2
−
φ
3
,
φ
+
≡
φ
1
+
φ
2
−
φ
4
. Nosso sistema inicialmente tem 8 dimens˜oes e, devido a conjugac¸˜ao de
fases, passa a ter 6 dimens˜oes. Al´em do mais, temos que a func¸˜ao Hamiltoniana do sistema ´e
dada por:
H = 2(F
1
F
2
)
1/2
(F
1/2
3
sen
φ
−
−rF
1/2
4
sen
φ
+
)−
δ
3
F
3
−
δ
4
F
4
, (2.73)
sendo que no formalismo Hamiltoniano acima, F
(1,2,3,4)
e
φ
(1,2,3,4)
s˜ao os momentos e as coor-
denadas canˆonicas, respectivamente. Note que temos uma func¸˜ao H que n˜ao depende explici-
tamente do tempo, ou seja, temos mais uma quantidade conservada neste sistema. Al´em da Ha-
19
miltoniana, o conjunto de equac¸˜oes (2.67)-(2.72) admite outras duas constantes de movimento,
conhecidas como relac¸˜oes deManley-Rowe, expressas na seguinteforma (LASHMORE-DAVIES,
1981):
F
1
+ F
3
+ F
4
= c
1
, (2.74)
F
2
−F
3
+ F
4
= c
2
. (2.75)
Uma quarta constante de movimento para o sistema de equac¸˜oes (2.63)-(2.66) e a con-
seq¨uente integrabilidade da interac¸˜ao de quatro ondas conservativa foi apresentada para o caso
δ
3
=
δ
4
= 0 por Romeiras (ROMEIRAS, 1983). Para o caso onde
δ
3
= 0 ou
δ
4
= 0, a quarta
constante n˜ao permanece v´alida (LOPES, 1995), permanecendo apenas a Hamiltoniana e as
relac¸˜oes de Manley-Rowe como constantes de movimento. Assim, tem-se um sistema com
mais graus de liberdade do que constantes de movimento, sendo aplic´avel a teoria de sistemas
Hamiltonianos quasi-integr´aveis.
Devido `as constantes de movimento, ´e necess´ario encontrar um conjunto de condic¸˜oes ini-
ciais que satisfac¸a simultaneamente a Hamiltoniana e as constantes de movimento c
1
e c
2
. Por
simplicidade, ´e escolhida a Hamiltoniana com valor H=0, de modo a obter o seguinte conjunto
de condic¸˜oes iniciais que preenche estes requisitos:
F
1
(t = 0) = c
1
−
η
, F
2
(t = 0) = c
2
−
η
,
F
3
(t = 0) = 0, F
4
(t = 0) =
η
,
φ
−
(t = 0) =
π
,
φ
+
(t = 0) = 0, (2.76)
com
η
sendo um parˆametro que define diferentes condic¸˜oes iniciais.
2.2 O mapa padr˜ao
Sistemas hamiltonianos quasi-integr´aveis com dois graus de liberdade representam uma
classe de sistemas com caracter´ısticas gerais, com comportamentos independentes do sistema
espec´ıfico a ser tratado (LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992). Por este motivo introduzire-
mos nesta sec¸˜ao o modelo do mapa padr˜ao que tamb´em ´e chamado de rotor pulsado. Assim
como no modelo de interac¸˜ao de quatro ondas conservativo, o mapa padr˜ao possui as mesmas
caracter´ısticas de sistemas Hamiltonianos com dois graus de liberdade. Sendo assim, este mapa
nos servir´a como uma plataforma para elucidar alguns comportamentos dinˆamicos que tamb´em
ser˜ao encontrados no modelo de interac¸˜ao de quatro ondas.
20
2.2.1 A equac¸
˜
ao
Os sistemas Hamiltonianos mais simples que podem exibir caos s˜ao aqueles que possuem
dois graus de liberdade. O mapa padr˜ao ´e um dos mais estudados, visto que ´e um modelo
conveniente para se analisar o comportamento ca´otico de sistemas Hamiltonianos com mapas
bi-dimensionais. O mapa padr˜ao foi introduzido por Chirikov (CHIRIKOV, 1979) como a
forma discreta das equac¸˜oes para o rotor pulsado, cuja a Hamiltoniana ´e dada por:
H(p, x,t) =
1
2
p
2
−Kcos(x)
∞
∑
n=−∞
δ
(t −n), (2.77)
onde p e x ´e o momento e a posic¸˜ao, e K ´e o chamado parˆametro de n˜ao linearidade. O mapa
´e considerado sobre um toro, tal que p ∈ (−
π
,
π
) e x ∈ (−
π
,
π
), e pode ser escrito na seguinte
forma:
p
n+1
= p
n
−Ksenx
n
,
x
n+1
= x
n
+ p
n+1
, (2.78)
onde p
n
e x
n
s˜ao as vari´aveis dinˆamicas do rotor logo ap´os o en´esimo pulso dado pela func¸˜ao
delta em (2.77).
´
E bem conhecido que para K > K
c
≈ 0,9 h´a uma grande ´orbita ca´otica que
evidencia o cen´ario de caotidade global (LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992).
Nos nossos resultados mostraremos que este cen´ario de caoticidade global n˜ao ´e total-
mente erg´odico. Em outras palavras, ele ´e erg´odico por partes, sendo que imerso no mar ca´otico
do espac¸o de fase ocorrer´a a presenc¸a de certas armadilhas dinˆamicas que afetar˜ao grandemente
o deslocamento das trajet´orias. A formac¸˜ao destas armadilhas ser´a discutida com mais detalhes
na pr´oxima sec¸˜ao.
2.3 Conceitos de dinˆamica n˜ao linear
Diferentemente das sec¸˜oes anteriores onde introduzimos os modelos que abordaremos
nesta tese, aqui focaremos alguns conceitos de dinˆamica n˜ao linear que ser˜ao fundamentais
para a compreens˜ao e posterior discuss˜ao dos resultados.
21
2.3.1 Teorema KAM e aprisionamentos no espac¸o de fase
Uma forma muito comum de descrever as equac¸˜oes de movimentos de corpos ´e usar o
formalismo Hamiltoniano. Neste formalismo o estado do sistema ´e descrito pelo conjunto
de N coordenadas generalizadas q = (q
1
,q
2
,. . ., q
N
) e de N momentos generalizados p =
(p
1
, p
2
,. . ., p
N
), onde N est´a relacionado com o n´umero de graus de liberdade do sistema. A
evoluc¸˜ao temporal neste formalismo ´e obtida atrav´es das equac¸˜oes de Hamilton (GOLDSTEIN,
1980) dadas por:
dq
i
dt
=
∂
H(q, p)
∂
p
i
, (2.79)
dp
i
dt
= −
∂
H(q, p)
∂
q
i
, i = 1,..., N, (2.80)
sendo que H(q, p) ´e a chamada func¸˜ao Hamiltoniana. Qualquer conjunto de vari´aveis (p,q),
tal que as suas evoluc¸˜oes temporais sejam dadas por equac¸˜oes da forma (2.79) e (2.80), s˜ao
chamadas de canˆonicas (LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992).
Quando um sistema Hamiltoniano de N graus de liberdade possui N constantes de movi-
mento, ´e poss´ıvel mostrar que pode-se realizar uma transformac¸˜ao de coordenadas de um par
canˆonico (p, q) para um novo par canˆonico (
¯
p,
¯
q), de forma que a nova func¸˜ao hamiltoniana
H(
¯
p) dependa apenas explicitamente do momento, i.e,
∂
H
∂
q
i
= 0. As equac¸˜oes de movimento da
nova hamiltoniana passam a ser dadas por:
¯p
i
=
α
i
= constante, (2.81)
˙
¯q
i
=
∂
H
∂α
i
=
ω
i
= constante, (2.82)
onde o vetor
¯
q representa vari´aveis c´ıclicas. Integrando-se a ´ultima equac¸˜ao, obt´em-se
¯q
i
=
ω
i
t +
β
i
. (2.83)
A soluc¸˜ao para estes sistemas ´e representada por toros N dimensionais, sendo que cada
componente da dimens˜ao rotaciona com uma freq¨uˆencia
ω
i
. Por´em, nem sempre ´e poss´ıvel en-
contrar as N constantes de movimento necess´arias para garantir a integrabilidade de um sistema
com N graus de liberdade.
Uma poss´ıvel abordagem para este problema ´e dada pela teoria perturbativa (OTT, 1993;
LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992; SCHUSTER, 1995), que consiste basicamente em su-
pormos uma Hamiltoniana integr´avel qualquer acrescida de uma pequena perturbac¸˜ao. Escre-
22
vendo uma Hamiltoniana perturbada como sendo a soma de uma Hamiltoniana n˜ao perturbada
(H
0
) e uma perturbac¸˜ao (H
1
) multiplicada por uma constante
ε
, temos que:
H( ¯p, ¯q) = H
0
( ¯p) +
ε
H
1
( ¯p, ¯q). (2.84)
A principal pergunta ´e sobre quais condic¸˜oes a Hamiltoniana perturbada (2.84) apresenta
trajet´orias que permanecem confinadas a toros N dimensionais. Para o caso onde isso for ver-
dadeiro, usando uma transformac¸˜oes de vari´aveis canˆonicas ser´a poss´ıvel reescrever a Hamilto-
niana como H( ¯p, ¯q) = H
′
( ¯p
′
).
Esta quest˜ao sobre o que ocorre com os toros quando ´e acrescentada uma pequena per-
turbac¸˜ao, s´o foi respondida pelo teorema de Kolmogorov (1954), Arnold (1963), Moser (1967),
usualmente chamado de teorema KAM. A validade deste teorema assegura a existˆencia do toro
diante uma perturbac¸˜ao (OTT, 1993; LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992; SCHUSTER,
1995). A prova deste teorema ´e extensa e est´a contida nas referˆencias (ARNOLD; AVEZ, 1968;
MOSER, 1973). Nesta tese, apenas indicaremos quais condic¸˜oes s˜ao necess´arias para este teo-
rema ser v´alido. As condic¸˜oes a serem satisfeitas s˜ao (LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992):
1. a independˆencia linear das freq¨uˆencias
m·
ω
= 0, (2.85)
2. a perturbac¸˜ao deve ser suave (suficiente n´umero de derivadas cont´ınuas de H
1
)
3. condic¸˜oes iniciais suficientemente afastadas da ressonˆancia, tal que satisfac¸a
|m·
ω
| ≥
γ
|m|
−
τ
, (2.86)
para todos m. A vari´avel
τ
´e dependente do n´umero de graus de liberdade do sistema e da sua-
vidade de H
1
, e
γ
´e dependente da perturbac¸˜ao
ε
. Quando estas trˆes condic¸˜oes s˜ao satisfeitas os
toros sobrevivem `a perturbac¸˜ao, e s˜ao chamados de toros KAM (LICHTENBERG; LIEBER-
MAN, 1992).
Para uma perturbac¸˜ao
ε
suficientemente grande todos os toros s˜ao destru´ıdos. Da condic¸˜ao
3 temos que o ´ultimo toro KAM a ser destru´ıdo ´e aquele cuja raz˜ao de freq¨uˆencias ´e o n´umero
“mais irracional” (LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992).
Para compreendermos o que ´e o n´umero mais irracional ´e necess´ario usar alguns resulta-
dos da teoria de n´umeros. Um n´umero irracional R pode ser representado pela seguinte frac¸˜ao
23
infinita cont´ınua (OTT, 1993),
R = a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
1
a
4
+...
, (2.87)
onde os a
i
s˜ao inteiros. Se truncarmos a frac¸˜ao em um determinado a
n
, obtemos um valor
racional pr´oximo do n´umero irracional. Assim, o n´umero “mais irracional” ´e definido como
sendo o qual ´e mais lentamente aproximado por truncamentos da frac¸˜ao (2.87). O n´umero que
converge mais lentamente `a frac¸˜ao ´e a chamada raz˜ao ´aurea e o seu valor ´e
α
=
√
5−1
2
(OTT,
1993).
Assim o teorema KAM nos assegura que toros com freq¨uˆencias suficientemente irracio-
nais sobrevivem a pequenas perturbac¸˜oes. A pergunta natural que surge agora ´e o que acontece
com os toros de freq¨uˆencias racionais. Para estes casos o teorema de Poincar´e-Birkoff nos
diz que estes toros racionais se tornam pares de pontos fixos el´ıpticos e hiperb´olicos (OTT,
1993; LICHTENBERG; LIEBERMAN, 1992), sendo que a instabilidade dos pontos fixos hi-
perb´olicos ser˜ao respons´aveis pela formac¸˜ao de regi˜oes ca´oticas em sistemas conservativos.
Um caso interessante ´e o de sistemas bidimensionais. Nestes casos, assim como uma linha
de dimens˜ao um, divide um plano de dimens˜ao dois, um toro KAM separa o espac¸o de fase
em duas regi˜oes distintas. Assim, podemos concluir que devido `a propriedade da unicidade
da trajet´oria, uma regi˜ao ca´otica sempre vai ser separada por um toro KAM no espac¸o bi-
dimensional. Nestes casos os toros KAM atuam como se fossem barreiras que n˜ao podem ser
atravessadas por qualquer trajet´oria.
Tendo em vista estes resultados, por algum tempo se pensou que sistemas hamiltonianos
bidimensionais eram compostos por regi˜oes regulares representados por toros KAM (toros ir-
racionais) e mares ca´oticos devido a quebra dos toros racionais. Por´em, resultados num´ericos
apontam que trajet´orias ca´oticas inicialmente restritas a uma regi˜ao, ap´os longos tempos de
iterac¸˜ao, podem migrar para uma regi˜ao ca´otica distinta. Obviamente n˜ao podia se tratar de
um toro KAM, sendo que este representa uma barreira para trajet´orias ca´oticas independente
do tempo de iterac¸˜ao do sistema. Esta quest˜ao permaneceu em aberto at´e que foi proposta a
existˆencia de objetos chamados de cantori
2
(MACKAY et al., 1984). Este cantori, diferentes
dos toros KAM, formam barreiras parciais no espac¸o de fase. Geometricamente ´e como se
fosse um toro com pequenos canais, tais que se esperarmos tempos suficientemente longos,
trajet´orias ca´oticas podem atravessar por um dos canais, conectando regi˜oes do espac¸o de fase
2
A origem da palavra cantori ´e a proveniente da junc¸˜ao de “cantor” com “tori” que significa toro em latim. O
termo “cantor” ´e uma referˆencia ao conjunto de cantor. Este conjunto, que ´e formado por segmentos de linhas, tem
uma propriedade interessante que ´e a sua dimens˜ao ter um valor fracion´ario (aproximadamente 0, 63), que ´e um
valor maior que a de um ponto (zero), por´em menor do que uma linha (um) (ALLIGOOD; YORKE, 1996).
24
aparentemente distintas. Na figura (2.2) mostramos uma ilustrac¸˜ao da conex˜ao de duas regi˜oes
do espac¸o de fase.
Figura 2.2: Representac¸˜ao esquem´atica de um cantori e seus canais.
A existˆencia deste cantori tem grande influˆencia sobre como ocorre o transporte de tra-
jet´orias ca´oticas no espac¸o de fase em sistemas conservativos. Uma consequˆencia direta ´e que
a hip´otese erg´odica n˜ao ´e v´alida para tais sistemas. A quebra desta validade ser´a discutida com
mais detalhes na pr´oxima sec¸˜ao.
2.4 Expoente de Lyapunov a tempo infinito e a tempo finito
Como veremos no cap´ıtulo de resultados, o expoente de Lyapunov nos fornecer´a informa-
c¸˜oes importantes sobre os toros KAM e o cantori que foram descritos na sec¸˜ao anterior, e sobre
a estabilidade espacial do modelo de interac¸˜ao onda-onda espac¸o-temporal. Por este motivo,
nesta sec¸˜ao faremos uma breve discuss˜ao deste conceito, que se mostrar´a fundamental para
an´alise dos resultados.
Uma caracter´ıstica comum em sistemas ca´oticos ´e a imprevisibilidade. Esta caracter´ıstica
est´a relacionada com a chamada dependˆencia sensitiva `as condic¸˜oes iniciais, ou seja, dadasduas
condic¸˜oes arbitrariamente pr´oximas, ap´os um per´ıodo suficientemente longo obtemos soluc¸˜oes
totalmente diferentes. Uma forma de medir a dependˆencia `as condic¸˜oes iniciais ´e atrav´es do
chamado expoente de Lyapunov (WOLF et al., 1985).
25
Para definirmos o expoente de Lyapunov, considere inicialmente um sistema cont´ınuo
descrito por um conjunto de n equac¸˜oes diferenciais ordin´arias. Sobre este sistema ´e escolhida
uma trajet´oria onde ´e fixado um ponto inicial x
0
. Em torno do ponto inicial x
0
´e monitorada
uma esfera infinitesimal de condic¸˜oes iniciais de raio
ε
0
(x
0
). Ap´os evoluir temporalmente o
ponto inicial x
0
, a esfera de condic¸˜oes iniciais se deforma, tornando-se um elips´oide com eixos
principais
ε
i
(t), i = 1,2, . . .,n (ver Figura 2.3).
x
0
ε
0
(x )
0
(t)
1
ε
ε
2
(t)
Figura 2.3: Evoluc¸˜ao temporal de uma esfera bidimensional de condic¸˜oes iniciais.
Assim, define-se o expoente de Lyapunov como sendo a medida do crescimento (ou
decr´escimo) exponencial dos eixos principais
ε
i
(t) que ´e dado por (WOLF et al., 1985):
λ
i
= lim
ε
0
→0
lim
t→∞
1
t
ln
ε
i
(t)
ε
0
(x
0
)
. (2.88)
Respeitando os limites desta ´ultima equac¸˜ao temos que:
ε
i
(t) ∼
ε
0
(x
0
)exp(
λ
i
t). (2.89)
Pode-se concluir ent˜ao que a existˆencia de pelo menos um expoente Lyapunov positivo
est´a associado com a divergˆencia de trajet´orias, que ´e uma caracter´ıstica de soluc¸˜oes ca´oticas
(WOLF et al., 1985).
Em um instante de tempo t qualquer o elemento de volume n-dimensional ´e dado por:
δ
V(t) =
n
∏
i=1
ε
i
(t), (2.90)
substituindo a equac¸˜ao (2.89) em (2.90) temos que:
δ
V(t) =
δ
V(0) exp(
n
∑
i=1
λ
i
t). (2.91)
26
Deste ´ultimo resultado podemos distinguir dois casos. O primeiro ocorre quando
δ
V(t) =
δ
V(0), ou seja,
∑
n
i=1
λ
i
= 0. Neste caso o elemento de volume se preserva e o sistema ´e conser-
vativo. O segundo caso ´e quando
δ
V(t) <
δ
V(0), ou seja
∑
n
i=1
λ
i
< 0. Sistemas em que ocorre
a contrac¸˜ao do elemento de volume s˜ao chamados de dissipativos.
Alternativamente, o expoente de Lyapunov pode ser definido em termos da matriz jacobi-
ana. Considerando uma trajet´oria representada por um vetor r com N dimens˜oes o expoente de
Lyapunov pode ser escrito como:
λ
k
(r
0
,n) =
1
n
ln(||DM
n
(r)U
k
||) (k = 1, . . ., N), (2.92)
onde n ´e um inteiro positivo , DM
n
(r) denota a matriz Jacobiana daen´esima iterada do sistema,
calculada em r
0
, e U
k
´e o autovetor correspondente ao k-´esimo autovalor de DM
n
(r
0
) .
Se tomarmos o n´umero de iteradas n como sendo um n´umero finito, temos o chamado
expoente de Lyapunov a tempo finito. Este ´ultimo depende da condic¸˜ao inicial r
0
, enquanto
opostamente para tempo infinito,
λ
k
= lim
n→∞
λ
k
(r
0
,n), (2.93)
tem praticamente o mesmo valor para todas condic¸˜oes iniciais.
A existˆencia de um valor fixo para o expoente a tempo infinito ´e garantida pelo teorema de
Oseledec
3
(OSELEDETS, 1968). Por´em, salientamos que o resultado deste teorema s´o ´e v´alido
para sistemas erg´odicos. Como foi visto na sec¸˜ao anterior,a existˆencia de cantori pode fazer que
trajet´orias fiquem aprisionadas em determinadas regi˜oes do espac¸o por um tempo longo, por´em
finito. Nestes casos a hip´otese erg´odica, que se baseia no fato de que a m´edia espacial ´e igual a
m´edia temporal da trajet´oria, falha. Na verdade, sistemas que apresentam estas caracter´ısticas
de aprisionamento s˜ao chamados de pseudo-erg´odicos (ZASLAVSKY, 2002(b)).
Devido `a pseudo-ergodicidade presente em sistemas Hamiltonianos, mostraremos que o
uso do expoente Lyapunov finito fornecer´a um diagn´ostico muito mais rico em informac¸˜oes
sobre a dinˆamica de tais sistemas. O expoente de Lyapunov a tempo finito possui sucessivas
flutuac¸˜oes no tempo, devido `as contrac¸˜oes e expans˜oes que uma trajet´oriaca´otica t´ıpica sofre no
espac¸o de fase acess´ıvel. Assim, faz-se ´util definir uma distribuic¸˜ao de probabilidade. Definire-
mos f(
λ
k
(r
0
,n)) como sendo a densidade de probabilidade do k-´esimo expoente de Lyapunov
a tempo finito, para condic¸˜ao inicial r
0
. Em outras palavras, f(
λ
k
(r
0
,n))d
λ
k
´e a probabilidade
do expoente de Lyapunov a tempo finito estar entre
λ
k
e
λ
k
+ d
λ
k
.
3
Tamb´em chamado de teorema multiplicativoerg´odico.
27
2.5 Intermitˆencia on-off
Outro conceito que ser´a ´util em nossa investigac¸˜ao ´e o de intermitˆencia on-off. Veremos
que os comportamentos desta intermitˆencia que ser˜ao descritos aqui, aparecer˜ao na an´alise de
resultados para o sistema de interac¸˜ao de ondas espac¸o-temporal.
A an´alise de sistemas que geram trajet´orias ca´oticas, tais como em problemas de mecˆanica
celeste, vem de longa data. Por´em, nos ´ultimos tempos um foi encontrado um novo compor-
tamento em sistemas dinˆamicos. Este comportamento foi chamado de intermitˆencia on-off
4
,
originalmente proposto por Platt (PLATT et al., 1993). Esses sistemas s˜ao caracterizadas pelo
fato de uma ou mais vari´aveis permanecerem por longos per´ıodos com valores constantes (es-
tado desligado) e, esporadicamente, estes perfis planos sofrem variac¸˜oes abruptas. Na literatura
estas variac¸˜oes s˜ao usualmente chamadas de estouros
5
(estado ligado). Na figura (2.4) ilustra-
mos como estados desligados s˜ao abruptamente interrompidos por estados ligados.
5780 5800 5820 5840 5860
tempo
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x (t)
τ
1
τ
2
τ
3
(a)
Figura 2.4: Figura esquem´atica dos estados ligados e desligados da intermitˆencia
O uso da palavra intermitˆencia em sistemas dinˆamicos tem suas origens em dinˆamica dos
fluidos (TOWNSEND, 1976). Este termo ´e usado na mecˆanica de fluidos para descrever a
4
Traduzido para o portuguˆes intermitˆencia ligada-desligada, por´em a sua traduc¸˜ao n˜ao ´e freq¨uentemente usada
pela comunidade cient´ıfica brasileira. Por isso, manteremos este termo em sua l´ıngua original.
5
Em sua l´ıngua original bursts
28
repentina transic¸˜ao de regimes laminares para regimes turbulentos. Nos nossos sistemas es-
ses regimes laminares corresponder˜ao a perfis constantes de vari´aveis, enquanto os turbulentos
designar˜ao os “estouros” que eventualmente podem ocorrer.
´
E importante salientar que existem certos pr´e-requisitos para sistemas dinˆamicos apresen-
tarem intermitˆencia on-off. A primeira delas ´e que o sistema deve ter uma variedade invariante
ca´otica. A segunda ´e que a dimens˜ao total do sistema deve ser ao menos uma maior do que a
da variedade.
Suponha que p seja um parˆametro de um sistema ca´otico, e que exista um valor cr´ıtico
p
c
tal que, para p ≥ p
c
passe a ocorrer intermitˆencia on-off. Assim, para valores p < p
c
, para
os quais n˜ao ocorre intermitˆencia, a variedade invariante do nosso sistema ´e o pr´oprio atrator
ca´otico. Neste caso, as trajet´orias sempre ficam restritas ao atrator. J´a para os casos p ≥ p
c
,
o sistema deixa de ter o atrator ca´otico e passa a ser o conjunto ca´otico. Diferentemente do
atrator, estes conjuntos ca´oticos possuem uma pequena frac¸˜ao positiva de ´orbitas peri´odicas
transversalmente (com relac¸˜ao `a variedade) inst´aveis. Assim, as trajet´orias passam longos tem-
pos na variedade invariante. Por´em, eventualmente passam pr´oximas a estas ´orbitas peri´odicas
que apresentam ao menos um expoente de Lyapunov transversal positivo. Todas as vezes em
que isso acontece, as trajet´orias s˜ao ejetadas para fora da variedade invariante, e dizemos que
ocorreu um estouro. Na figura (2.5) mostramos um esquema dessa transic¸˜ao. Os intervalos de
tempo do estouro, comparado com os intervalos da trajet´oria na variedade, s˜ao muito peque-
nos, e tendem a infinito quando se aproxima de p = p
c
. A perda de estabilidade atrav´es deste
mecanismo ´e chamada de bifurcac¸˜ao blowout
6
(OTT; SOMMERER, 1994).
Estouro
Trajetoria
Caotica
Invariante
Variedade
(a)
(b)
Figura2.5: Figura esquem´atica representando dois casos (a) a trajet´oria permanece na variedade
invariante (b) a trajet´oria ´e ejetada da variedade invariante
6
Em portuguˆes bifurcac¸˜ao explosiva, este ´e um outro termo que manteremos em sua l´ıngua original.
29
Uma caracter´ıstica de sistemas com intermitˆencia on-off ´e a probabilidade da distribuic¸˜ao
dos comprimentos de tempos
τ
entre os estouros (ver figura 2.4). Estas distribuic¸˜oes possuem a
forma de uma lei de potˆencia com um expoente −3/2, ´e dada pela seguinte express˜ao (COVAS
et al., 2001):
P
n
∼
α
n
−3/2
exp
(−
β
n)
+
γ
exp
(−
δ
n)
. (2.94)
Os termos
α
,
β
,
γ
e
δ
, s˜ao constantes que variam de acordo com o sistema. Por´em, a
caracter´ıstica principal de sistemas com intermitˆencia on-off, ´e a lei de potˆencia ap´os sucessivas
medidas dos comprimentos de tempos
τ
. Sendo esta uma forma de identificar sistemas que
apresentam intermitˆencia on-off.
30
3 Resultados e Discuss
˜
oes
Neste cap´ıtulo apresentaremos os resultados que obtivemos neste trabalho. Dividiremos
este cap´ıtulo em trˆes sec¸˜oes, sendo cada uma delas dedicada a um modelo espec´ıfico abordado.
Na primeira mostraremos os resultados para a interac¸˜ao de 4 ondas conservativa, na segunda
o modelo do mapa padr˜ao e na terceira o caso espac¸o-temporal para o modelo de interac¸˜ao de
ondas.
3.1 Modelo de interac¸˜ao de ondas puramente temporal
Nesta sec¸˜ao comec¸aremos usando o corte de Poincar´e para analisar a dinˆamica do mo-
delo de quatro ondas conservativo. A principal vantagem de utilizar o corte de Poincar´e para
o sistema de quatro ondas ´e que, devido ao fato da transformac¸˜ao de vari´aveis reduzir o con-
junto de oito equac¸˜oes diferenciais para seis e, associado com as duas constantes de movimento
de Manley-Rowe (2.74) e (2.75), mais a Hamiltoniana (2.73), o sistema permanece restrito a
uma superf´ıcie de energia tridimensional. Assim, quando realizamos o corte, as trajet´orias s˜ao
analisadas num espac¸o bidimensional. O corte escolhido das trajet´orias geradas pelo modelo,
ocorre na posic¸˜ao em que a vari´avel F
1
atinge um valor m´ınimo. Quando esta condic¸˜ao de corte
´e satisfeita, ´e feito um gr´afico da vari´avel F
2
versus a combinac¸˜ao das vari´aveis c´ıclicas
φ
+
e
φ
−
na forma (
φ
+
−
φ
−
). Na figura (3.1) ´e mostrado um corte para um pequeno valor de freq¨uˆencia
de descasamento
δ
3
.
O corte da figura (3.1) ´e constru´ıdo atrav´es de um conjunto de condic¸˜oes iniciais evolu´ıdo
temporalmente at´e um tempo t = 10000 que satisfaz as constantes de movimento de Manley-
Rowe e a Hamiltoniana. Os valores destas constantes e de alguns parˆametros ser˜ao mantidos
fixos durante esta sec¸˜ao, tais valores s˜ao:
c
1
= 3, 2 c
2
= 1, 0 H = 0
δ
4
= 0 r = 1. (3.1)
31
0 1 2 3 4
5 6
Φ
+
− Φ
−
0
1
2
3
4
F
2
Figura 3.1: Corte de Poincar´e para
δ
3
= 0, 02.
Cada curva gerada no corte representa uma condic¸˜ao inicial, para pequenos valores de
freq¨uˆencia de descasamento. Podemos observar um comportamento predominantemente re-
gular, onde a maioria das condic¸˜oes inicias geram curvas suaves com excess˜ao das condic¸˜oes
iniciais que preenchem a regi˜ao pr´oxima ao centro do corte, as quais s˜ao ca´oticas. O fato da
maioria das condic¸˜oes iniciais apresentarem comportamento regular ´e devido ao modelo de
quatro ondas conservativo ser integr´avel para o caso
δ
3
= 0 (ROMEIRAS, 1983). Assim temos,
para pequenos valores de
δ
3
, um comportamento muito pr´oximo de sistemas integr´aveis, onde
todas as condic¸˜oes iniciais geram comportamentos regulares. Para o caso
δ
3
= 0, o modelo
de quatro ondas inicialmente ´e um sistema com quatro graus de liberdade, por´em devido `as
duas constantes de Manley-Rowe, o modelo recai no caso de um sistema Hamiltoniano com
dois graus de liberdade. Vimos no cap´ıtulo anterior que o caso de sistemas Hamiltonianos
quasi-integr´aveis s˜ao caracterizados por regi˜oes regulares e irregulares, onde as regi˜oes regula-
res (caso integr´avel) s˜ao representadas por toros. Assim podemos associar as regi˜oes regulares
para o caso quasi-integr´avel do modelo conservativo de quatro ondas como sendo um corte de
um toro bidimensional (T
2
) com duas freq¨uˆencias, e este corte gera as curvas que s˜ao obser-
32
vadas na figura (3.1). O fato das curvas serem densamente preenchidas no corte ´e devido `a
irracionalidade entre as duas freq¨uˆencias do toro.
Na figura (3.2) mostramos um corte da s´erie temporal para o caso de uma condic¸˜ao inicial
regular do corte mostrado na figura (3.1). As amplitudes das ondas eletromagn´eticas geradas
pelo modelo de quatroondass˜ao compostas por partes real e imagin´aria, assim para analisarmos
a freq¨uˆencia destas amplitudes usaremos o m´odulo quadrado destas amplitudes.
99500 1e+05
0
1
2
3
4
|A
1
|
2
99500 1e+05
0
0,5
1
1,5
2
2,5
|A
2
|
2
99500 1e+05
0
0,5
1
1,5
2
2,5
|A
3
|
2
99400
99500 99600
99700 99800 99900 100000
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
|A
4
|
2
Figura 3.2: S´erie temporal de uma condic¸˜ao inicial em uma regi˜ao regular para
δ
3
= 0, 02.
Atrav´es destas s´eries podemos observar um comportamento aparentemente peri´odico. Po-
demos ver tamb´em que cada amplitude ´e composta por duas freq¨uˆencias, uma lenta e outra
r´apida, que est˜ao relacionadas com as duas freq¨uˆencias do toro T
2
. Al´em disto, podemos con-
cluir que estas freq¨uˆencias s˜ao, na verdade, quasi-peri´odicas devido ao fato desta condic¸˜ao
inicial gerar um toro irracional que preenche uniformemente a curva representada no corte. Na
figura (3.3) ´e mostrada uma an´alise de espectro de Fourier sobre a s´erie temporal da amplitude
da onda dois da figura (3.2).
33
0 0,2 0,4
0,6
0,8 1
f
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
P( f )
f
2
f
2
+f
1
2f
2
3f
2
f
1
f
2
-f
1
Figura 3.3: Espectro de potˆencia de uma condic¸˜ao inicial em uma regi˜ao regular para
δ
3
= 0,02.
Na figura (3.3) mostramos uma an´alise de espectro de potˆencia de Fourier que nos fornece
as duas freq¨uˆencias que comp˜oem a s´erie temporal e as suas poss´ıveis combinac¸˜oes lineares.
As duas freq¨uˆencias s˜ao determinadas como sendo as com valores de freq¨uˆencia linearmente
independentes e com os maiores picos de amplitude no espectro de potˆencia. Na figura (3.3)
apontamos as duas freq¨uˆencias que satisfazem estes requisitos e as suas combinac¸˜oes lineares,
as duas freq¨uˆencias possuem um valor de:f
1
≈ 0, 005 e f
2
≈0, 197.
No gr´afico da figura (3.4) ´e mostrada uma s´erie temporal para um mesmo valor de fre-
q¨uˆencia de descasamento do caso anterior (
δ
3
= 0, 02), s´o que agora ´e usada uma condic¸˜ao
inicial em uma regi˜ao ca´otica do corte. Podemos ver que as oscilac¸˜oes das amplitudes perderam
o comportamento peri´odico presente no caso de uma condic¸˜ao inicial regular.
Realizando uma an´alise do espectro de potˆencia de Fourier na s´erie temporal da onda dois,
mostrada na figura (3.4), podemos ver que os picos j´a n˜ao s˜ao t˜ao bem definidos como no caso
em que a condic¸˜ao inicial ´e regular. O fato do espectro apresentar picos largos reflete a perda
da periodicidade da s´erie temporal.
34
99500 1e+05
0
1
2
3
4
|A
1
|
2
99500 1e+05
0
0,5
1
1,5
2
2,5
|A
2
|
2
99500 1e+05
0
0,5
1
1,5
2
2,5
|A
3
|
2
99500 99750
100000
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
|A
4
|
2
Figura 3.4: S´erie temporal de uma condic¸˜ao inicial em uma regi˜ao irregular para
δ
3
= 0, 02.
O gr´afico da figura (3.6) ´e gerado a partir das mesmas condic¸˜oes iniciais e parˆametros do
corte anterior, s´o sendo alterado o valor da freq¨uˆencia de descasamento que foi aumentado para
δ
3
= 0, 03. Podemos ver pelas curvas geradas no centro da figura (3.1) que as regi˜oes ca´oticas
aumentam com a freq¨uˆencia de descasamento. Na figura (3.6) tamb´em podemos observar que
as regi˜oes ca´oticas s˜ao limitadas por regi˜oes regulares, ou seja uma condic¸˜ao inicial no inte-
rior de uma regi˜ao ca´otica n˜ao pode atravessar uma regi˜ao regular. Isto ´e uma consequˆencia
do teorema KAM para sistemas Hamiltonianos com dois graus de liberdade, onde os toros que
sobrevivem `a perturbac¸˜ao dividem o espac¸o em sub-espac¸os que confinam as regi˜oes ca´oticas.
O aparecimento das regi˜oes ca´oticas ´e devido aos toros que se quebraram com o acr´escimo
da perturbac¸˜ao. No caso do modelo de quatro ondas conservativo a perturbac¸˜ao ´e introduzida
atrav´es da freq¨uˆencia de descasamento. O fato do comportamento irregular surgir no centro do
corte, ´e devido a curva separatriz cruzar o centro do corte onde est´a localizado um ponto fixo
hiperb´olico. Como foi discutido no cap´ıtulo anterior, o acr´escimo da perturbac¸˜ao faz que as tra-
jet´orias pr´oximas ao ponto fixo hiperb´olico passem por um complexo processo de esticamento
e contrac¸˜ao, originando a trajet´oria ca´otica que ´e observada no centro do corte de Poincar´e da
35
0 0,2 0,4
0,6
0,8 1
f
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
P( f )
Figura 3.5: Espectro de potˆencia de uma condic¸˜ao inicial em uma regi˜ao irregular para
δ
3
=
0, 02.
figura (3.6).
No corte de Poincar´e da figura (3.7) ´e mostrada uma ampliac¸˜ao para o mesmo valor da
freq¨uˆencia de descasamento do caso anterior. Esta figura mostra a transic¸˜ao entre a regi˜ao
regular (toros KAM) e as regi˜oes ca´oticas. Podemos observar que pr´oximo `as regi˜oes regulares
h´a a formac¸˜ao de pequenas ilhas. Isto ´e uma consequˆencia do teorema de Poincar´e-Birkoff, no
qual os toros racionais com um acr´escimo de uma perturbac¸˜ao formam um conjunto de pontos
fixos el´ıpticos e hiperb´olicos. Assim temos que condic¸˜oes iniciais pr´oximas aos toros racionais
que foram quebrados com o acr´escimo do descasamento da freq¨uˆencia formam trajet´orias em
torno dos pontos fixos el´ıpticos dos toros racionais.
Al´em destes comportamentos que foram citados, enfatizamos que, na figura(3.7), tamb´em
´e observado o aparecimento de armadilhas dinˆamicas para estes sistemas. Vemos que, apesar
da condic¸˜ao inicial mais `a direita na figura j´a n˜ao ser mais peri´odica, a trajet´oria passa um
grande tempo pr´oxima `as ilhas, gerando uma acumulac¸˜ao de pontos at´e finalmente alcanc¸ar o
mar ca´otico. Estes comportamentos s˜ao evidˆencias da existˆencia dos cantori, que aprisionam
36
0 1 2 3 4
5 6
Φ
+
− Φ
−
0
1
2
3
4
F
2
Figura 3.6: Corte de Poincar´e para
δ
3
= 0, 03.
trajet´orias em certos dom´ınios do espac¸o de fase por longos tempos, at´e que finalmente passe
por um dos furos destes cantori. A presenc¸a de cantori ´e uma caracter´ıstica geral de sistemas
Hamiltonianos com dois graus de liberdade. Na pr´oxima sec¸˜ao mostraremos que atrav´es do
uso do mapa padr˜ao, que tamb´em ´e um sistema conservativo de dois graus de liberdade, estes
cantori podem ser quantificados com o uso do expoente de Lyapunov a tempo finito.
3.2 O mapa padr˜ao
Na sec¸˜ao anterior vimos o aparecimento de armadilhas dinˆamicas e cantori no modelo de
interac¸˜ao de quatro ondas conservativo. Agora nesta sec¸˜ao, mostraremos estes comportamentos
obtidos para o mapa padr˜ao e como o expoente de Lyapunov a tempo finito pode quantific´a-los.
No gr´afico (3.8) mostramos o resultado obtido do espac¸o de fase para um valor parti-
cular de K. Este resultado foi gerado a partir de uma ´unica condic¸˜ao inicial iterada por um
longo tempo para garantir boas propriedades estat´ısticas. Neste gr´afico podemos ver que grande
37
1,4
1,5 1,6
1,7 1,8
Φ
+
− Φ
−
0,7
0,8
0,9
1
1,1
F
2
Figura 3.7: Ampliac¸˜ao do corte de Poincar´e para quatro condic¸˜oes iniciais distintas para
δ
3
=
0, 03.
parte do espac¸o de fase ´e coberto por ilhas quase-peri´odicas. Al´em disto, podemos ver que na
vizinhanc¸a destas ilhas existem regi˜oes mais escuras que surgem como resultado do efeito de
aprisionamento sofrido pelas trajet´orias. Note que este efeito de aprisionamento para o mapa
padr˜ao, ´e semelhante ao encontrado na interac¸˜ao conservativa de quatro ondas mostrado na fi-
gura (3.7). Isto nos leva a concluir que uma an´alise superficial do espectro de Lyapunov pode
nos levar a valores errados. O movimento do sistema nas regi˜oes de aprisionamento ´e aparen-
temente regular, e assim obtemos um valor menor do que o expoente positivo apresentado pela
dinˆamica fora das regi˜oes de aprisionamento.
Uma vis˜ao geral do efeito de aprisionamento ´e apresentada no gr´afico (3.9), onde ´e mos-
trado o maior expoente de Lyapunov em func¸˜ao do parˆametroK. Neste gr´afico podemos ver trˆes
regi˜oes distintas: (i) para pequenos valores de K, o expoente de Lyapunov cresce lentamente no
intervalo 0,8 < K < 2, 2, isto est´a relacionado com o efeito de aprisionamento ser mais efetivo
nesta regi˜ao de parˆametros; (ii) adiante desta regi˜ao de parˆametros (2,2 < K < 4,7) algumas
38
Figura 3.8: Espac¸o de fase do mapa padr˜ao para K = 1,5.
ilhas se quebram diminuindo o efeito de aprisionamento e o expoente de Lyapunov cresce mais
rapidamente nesta regi˜ao; (iii) para valores de K > 4, 7 n˜ao h´a mais ilhas de grandes tamanhos
e vemos que o expoente de Lyapunov cresce ainda mais rapidamente nesta regi˜ao.
No gr´afico (3.10) mostramos uma distribuic¸˜ao de f(
λ
k
(n)) obtida numericamente. Para
o c´alculo desta distribuic¸˜ao foi escolhida uma condic¸˜ao inicial (p
0
,x
0
) e iterada para longos
per´ıodos de tempo para garantir que a trajet´oria atravesse todo espac¸o de fase acess´ıvel. Neste
caso o tempo de amostragem do expoente de Lyapunov a tempo finito foi fixado em n = 100
segundo a equac¸˜ao (2.92). Neste gr´afico mostramos a distribuic¸˜ao dos dois expoentes de Lya-
punov para o mesmo parˆametro K do espac¸o de fase que foi apresentado na figura (3.8). Vemos
39
Figura 3.9: M´aximo expoente de Lyapunov em func¸˜ao do parˆametro K.
que ambas as distribuic¸˜oes s˜ao sim´etricas, isto ´e uma consequˆencia direta do sistema utilizado
ser conservativo (Hamiltoniano). Al´em do mais, temos um resultado interessante que ´e o fato da
distribuic¸˜ao ser bi-modal, onde cada um destes modos corresponde `a diferentes contribuic¸˜oes
do espac¸o defase. Temos que o modo mais afastado de zero, corresponde a contribuic¸˜ao ca´otica
do espac¸o de fase, onde acontece maiores expans˜oes (contrac¸˜oes) no espac¸o de fase. Enquanto,
que o modo mais pr´oximo de zero, ´e devido a presenc¸a de armadilhas, e neste caso a trajet´oria
tem um comportamento parecido com as trajet´orias regulares (ilhas).
Na figura (3.11) mostramos o espac¸o de fase para K = 6,0. Neste caso vemos que h´a
poucas ilhas e a trajet´oria ca´otica preenche quase todo o espac¸o de fase. Assim, esperamos
que a contribuic¸˜ao das armadilhas seja muito pequena no espac¸o de fase. Na figura (3.12),
mostramos a distribuic¸˜ao do expoente de Lyapunov, onde vemos que o modo pr´oximo de zero
da contribuic¸˜ao das armadilhas desaparece.
Uma importante medida ´e quantificar a contribuic¸˜ao do efeito do aprisionamento sobre a
trajet´oria total. Para fazermos isto, calculamos a frac¸˜ao da ´area do primeiro modo com relac¸˜ao
40
Figura 3.10: Distribuic¸˜ao do Lyapunov a tempo finito do mapa padr˜ao para K = 1, 5.
a ´area total da distribuic¸˜ao do expoentes de Lyapunov. Por exemplo, na figura (3.10) vemos que
a ´area do primeiro modo corresponde a cerca de 17% da ´area total da distribuic¸˜ao.
Quando o parˆametro de n˜ao linearidade K cresce, a influˆencia das armadilhas em geral
tende a ser menor. Isto pode ser visto na figura 3.13(a), onde ´e mostrada a frac¸˜ao de tempo
da dinˆamica sob influˆencia do aprisionamento em func¸˜ao do parˆametro K. Nas figuras 3.13(b)
e 3.13(c) mostramos uma ampliac¸˜ao de 3.13(a). Isto sugere que a curva n˜ao ´e suave com o
parˆametro K, apresentando muitas irregularidades. Isto ´e devido ao fato de sempre ser poss´ıvel
encontrar um n´umero infinito de ilhas imersas no mar ca´otico.
Uma outrapropriedadedesistemas Hamiltonianosque discutimos no cap´ıtulo anterior,s˜ao
os chamados cantori (MACKAY et al., 1984; PERCIVAL, 1979; AUBRY, 1978). Como vimos,
estes cantori, ao contr´ario dos toros KAM, n˜ao separam mais as diferentes regi˜oes ca´oticas
no espac¸o de fase. Por´em, a travessia das trajet´orias atrav´es destes cantori s´o pode ser feita
atrav´es de pequenos canais, isto afeta grandemente o comportamento das trajet´orias. Veremos
41
Figura 3.11: Espac¸o de fase do mapa padr˜ao para K = 6, 0.
que a travessia da trajet´oria destes cantori pode ser observada usando o expoente de Lyapunov
a tempo finito. Sabe-se que um cantori ´e sempre formado logo ap´os a quebra de um toro KAM,
a quebra do maior toro KAM do mapa padr˜ao ocorre para K ≈ 0, 971635406 (MACKAY et
al., 1984). Na figura 3.14(a) mostramos a trajet´oria antes de atravessar o cantori e 3.14(b) a
mesma trajet´oria ap´os atravessar para K = 0, 98 (levemente acima do valor cr´ıtico). Na figura
3.15(a), podemos ver que a travessia do cantori faz com que o valor m´aximo da s´erie temporal
do Lyapunov tenha um decr´escimo de valor (n ≈ 2, 5×10
8
). Isto ocorre devido a regi˜ao do
espac¸o de fase ser mais restritiva ap´os a travessia do cantori.
42
Figura 3.12: Distribuic¸˜ao do Lyapunov a tempo finito do mapa padr˜ao para K = 6, 0.
Uma importante quest˜ao que surge ´e se os resultados obtidos da distribuic¸˜ao do expoente
de Lyapunov a tempo finito dependem do tempo total da trajet´oria. Para responder esta quest˜ao,
mostramos na figura 3.16 a distribuic¸˜ao para trˆes intervalos de tempos da trajet´oria (T) para
K = 1, 5. Vemos que o resultado ´e indiferente para os tempos totais da trajet´oria. Este resultado
pode ser interpretado da seguinte maneira, uma vez que o tempo seja suficientemente longo
para a trajet´oria visitar uma boa parte de espac¸o de fase, as propriedades estat´ısticas do espac¸o
de fase permanecem inalteradas.
Outra quest˜ao ´e se os resultados n˜ao s˜ao influenciados pelo tempo de amostragem n. Na
figura 3.17 mostramos trˆes distribuic¸˜oes para K = 1, 5 com diferentes tempos de amostragem.
Vemos que as distribuic¸˜oes n˜ao sofrem nenhuma grande alterac¸˜ao na sua forma.
43
Figura 3.13: Comportamento da distribuic¸˜ao do expoente de Lyapunov em func¸˜ao do parˆametro
K.
3.3 O modelo de interac¸˜ao onda-onda espac¸o-temporal
Ap´os termos mostrado nas sec¸˜oes anteriores dois modelos puramente temporais, agora
mostraremos os resultados obtidos da integrac¸˜ao das equac¸˜oes (2.41)-(2.44) para o modelo de
interac¸˜ao de ondas espacialmente estendidas. Nos pr´oximos resultados apresentados, fixare-
mos alguns parˆametros e condic¸˜oes iniciais. Caso algum destes valores sejam alterados ser´a
explicitado no texto. Abaixo mostramos os valores fixados:
a
1
0
=0,45+ i0, 0; a
2
0
= a
3
0
= a
4
0
= 0, 0+ i0,0
a
j
n
=0,0+ i0, 0; j = {1, 2, 3, 4}e n = 0
v
g
1
= 0, 0; v
g
2
= 1, 0; v
g
3
= −1, 0; v
g
4
= −1, 0;
r = 0, 0;
δ
3
= 0, 1;
δ
4
= 0, 0; D = 1, 0,
44
(a)
(b)
Figura 3.14: Espac¸o de fase do mapa padr˜ao antes (a) e depois (b) da travessia do ´ultimo cantori
K = 0, 98.
45
(a)
(b)
Figura 3.15: (a) Assinatura da travessia do cantori na s´erie temporal do maior expoente de
Lyapunov a tempo finito. (b) Uma ampliac¸˜ao da ´area de travessia.
onde ´e acrescentada uma pequena semente espacial do tipo a
2,±1
= 0, 001+ i0,001. O valor
fixado r = 0,0 faz desaparecer a dinˆamica da quarta onda, e a interac¸˜ao passa a ser de apenas
trˆes ondas neste caso. O efeito da quarta onda para o caso com dependˆencia espac¸o-temporal
por enquanto n˜ao ser´a analisado. A velocidade de deriva v
g
1
= 0 foi tomada sem perda nenhuma
de generalidade, pois ´e sempre poss´ıvel fazer uma transformac¸˜ao galileana de velocidades, tal
que as equac¸˜oes (2.41)-(2.44), n˜ao dependam explicitamente de v
g
1
. As velocidades de deriva
de v
g
2
e v
g
3
foram tomadas com sinais opostos, este caso ´e conhecido como regime solitˆonico
(BERS et al., 1976) (devido `as soluc¸˜oes de ondas solit´arias).
46
Figura 3.16: Comportamento do expoente de Lyapunov a tempo finito em func¸˜ao do tempo para
o c´alculo do expoente.
3.3.1 Excitac¸
˜
ao n
˜
ao linear dos modos espaciais
Os modos k
α
,0
n˜ao cont´em vari´avel espacial e refletem apenas a dinˆamica temporal do
processo de interac¸˜ao de ondas. N´os podemos fazer uma observac¸˜ao sobre isso no contexto
de um espac¸o de fase de 6N dimens˜oes que ´e comprimido no espac¸o de Fourier. Assim, na
ausˆencia de modos de Fourier com ordem maior que zero, a dinˆamica ´e puramente temporal
podendo ser peri´odica, quasi-peri´odica ou at´e ca´otica, por´em sempre representando um estado
homogˆeneo no espac¸o. Para o caso
ν
2
=
ν
3
, ocorre uma conjugac¸˜ao de fase nas equac¸˜oes
de interac¸˜oes de ondas, isto possibilita mostrar que para um estado espacial homogˆeneo, o
espac¸o de fase completo do sistema fica restrito a um sub-espac¸o invariante de 3 dimens˜oes.
Denominaremos este sub-espac¸o como variedade homogˆenea e usaremos o s´ımbolo M para
represent´a-lo (OTT, 1993). Este subespac¸o ´e invariante no sentido em que uma vez que a
condic¸˜ao inicial ´e colocada l´a, as trajet´orias geradas permanecem em M para todos os tempos
futuros, e sendo assim, somente os modos k
α
,0
s˜ao excitados. Conseq¨uentemente, todos os
47
Figura 3.17: Comportamento do expoente de Lyapunov a tempo finito em func¸˜ao do tempo de
amostragem para o c´alculo do expoente.
modos espaciais n˜ao-homogˆeneos k
α
,n
est˜ao relacionados com as direc¸˜oes transversais a M .
No gr´afico da figura 3.18(a) mostramos uma projec¸˜ao bidimensional de um subespac¸o
homogˆeneo das amplitudes |A
1
| e |A
2
| em func¸˜ao do tempo para
ν
2,3
= −1, 5. Neste caso
somente os modos puramente temporais s˜ao excitados, como pode ser visto nas s´eries temporais
dos modos a
1,0
e a
2,0
nas figuras 3.18(b) e (c) respectivamente. Este ´ultimo caso ´e puramente
peri´odico, e pode ser visto na projec¸˜ao do atrator da figura 3.18(a) que se trata de uma ´orbita de
per´ıodo 4. Nas figuras 3.18(d) e (e) podemos ver que a dinˆamica fora da variedade homogˆenea
´e nula, ou seja, n˜ao h´a modos espaciais gerados para este caso.
Um dos pontos principais desta tese ´e a verificac¸˜ao de que para ocorrer a excitac¸˜ao dos
modos espaciais ´e necess´ario um comportamento ca´otico na variedade homogˆenea. Entretanto,
esta ´e uma condic¸˜ao necess´aria, por´em, n˜ao suficiente. Como ´e ilustrado na projec¸˜ao do atrator
da 3.19(a) para
ν
2,3
= −1, 8, em que consideramos um caso onde a dinˆamica ´e temporalmente
ca´otica, mas os modos espaciais n˜ao homogˆeneos k
α
,n
permanecem inativos. Da figura 3.19(b)
e (c) vemos que o comportamento dos modos a
1,0
e a
2,0
´e essencialmente o que ´e esperado
48
Figura 3.18: (a) Projec¸˜ao do atrator de baixa dimensionalidade para a sec¸˜ao |A
1
| vs. |A
2
| do
espac¸o de fase quando
ν
1
= 0, 1 e
ν
2,3
= −1, 5. (b)-(e) Evoluc¸˜ao temporal das amplitudes dos
modos de Fourier a
α
,n
para
α
= 1, 2 e n = 0,1.
49
de um sistema puramente temporal, onde a amplitude da onda 1 tem uma taxa linear
ν
1
de
crescimento, mas devido ao acoplamento quadr´atico com as ondas 2 e 3, o crescimento da onda
1 eventualmente satura.
Ap´os a onda 1 ter alcanc¸ado um valor m´aximo, ela transfere a energia para as ondas 2 e
3, as quais permanecem praticamente inativas durante o crescimento linear da onda 1, como
´e mostrado na s´erie temporal da onda a
2,0
, sendo esta conclus˜ao tamb´em v´alida para a onda
a
3,0
. Quando o modo de amplitude a
1,0
decai abruptamente, as amplitudes da ondas a
2,0
e a
3,0
crescem e caem rapidamente na forma de picos de amplitudes. Ap´os estes picos as ondas 2 e 3
devolvem a energia para a onda 1, a qual cresce novamente e este processo se repete sucessivas
vezes formando basicamente o processo da interac¸˜ao. Dependendo dos valores do parˆametro
ν
2,3
ambos o valores de m´aximo e o intervalo de picos entre as amplitudes variamcaoticamente.
De acordo com as figuras 3.19(d) e (e) os modos a
1,1
e a
2,1
, respectivamente, se anulam como
no caso peri´odico anterior.
Se diminuirmos ainda mais a taxa de decrescimento (
ν
2,3
= −3, 6), al´em da dinˆamica dos
modos homogˆeneos permanecerem ca´oticos, agora os modos espaciais passam a ser excitados
ver na figura 3.20(a). O crescimento linear e o decaimento n˜ao linear da onda a
1,0
s˜ao seguidos
por picos nas ondas a
2,0
e modos espaciais nas ondas a
1,1
e a
2,2
[figuras 3.20(b)-(e)]. Os picos
das amplitudes espaciais s˜ao sincronizados com os picos das amplitudes temporais, mostrando
que a gerac¸˜ao dos modos espaciais est´a conectada com o processo do decaimento da onda 1 na
variedade homogˆenea. O fato dos modos espaciais permanecerem inativos nos casos anteriores
pode ser interpretado considerando que os modos espaciais s˜ao transversalmente est´aveis com
relac¸˜ao `a variedade homogˆenea. Em outras palavras, qualquer perturbac¸˜ao que seja transver-
sal `a variedade homogˆenea converge exponencialmente para M . Entretanto, no caso mostrado
na figura 3.20, os modos espaciais perderam a estabilidade transversal e a energia das ondas ´e
distribu´ıda ao longo dos modos temporais e espaciais, provocando a formac¸˜ao de padr˜oes espa-
ciais. Enfatizamos que a variedade homogˆenea deve ser necessariamente ca´otica para fornecer
um mecanismo gerador de modos espaciais.
Um outro ponto de vista da variedade homogˆenea surge se consideramos as amplitu-
des dos modos a
α
,n
como sendo uma rede de osciladores acoplados no espac¸o, de tal forma
que um comportamento ca´otico apenas na variedade homogˆenea (i.e. sem excitac¸˜ao de mo-
dos espaciais) corresponderia a um estado espacialmente sincronizado. Para medirmos tal
sincronizac¸˜ao, discretizaremos o espac¸o real em N pontos fixos x
i
1
e usaremos a seguinte
notac¸˜ao: |A
α
(i,t) = A
α
(x = x
i
,t)|. Conseq¨uentemente, a condic¸˜ao para esta rede de N pon-
1
Lembrando que N corresponde ao n´umero de modos da expans˜ao da s´erie de Fourier
50
Figura 3.19: (a) Projec¸˜ao do atrator de baixa dimensionalidade para a sec¸˜ao |A
1
| vs. |A
2
| do
espac¸o de fase quando
ν
1
= 0, 1 e
ν
2,3
= −1, 8. (b)-(e) Evoluc¸˜ao temporal das amplitudes dos
modos de Fourier a
α
,n
para
α
= 1, 2 e n = 0,1.
51
Figura 3.20: (a) Projec¸˜ao do atrator para a sec¸˜ao |A
1
| vs. |A
2
| do espac¸o de fase quando
ν
1
=
0, 1 e
ν
2,3
= −3, 6. (b)-(e) Evoluc¸˜ao temporal das amplitudes dos modos de Fourier a
α
,n
para
α
= 1, 2 e n = 0,1.
52
tos estar completamente sincronizada ´e dada por (JOSIC, 1998):
A
α
(1,t) = A
α
(2,t) = ... = A
α
(N,t), (3.2)
para qualquer tempo. Uma forma de evidenciarmos visualmente estes estados sincronizados, ´e
fazendo um gr´afico de |A
α
(i,t)| em func¸˜ao de |A
α
( j,t)| para i = j. Conseq¨uentemente, estados
sincronizados para um determinado tempo, de acordo com a condic¸˜ao (3.2), corresponder˜ao a
um ponto de uma reta com inclinac¸˜ao de 45 graus, por outro lado, qualquer ponto fora desta
reta ser´a um estado n˜ao sincronizado pois A
α
(i,t) = A
α
( j,t). Este gr´afico ´e mostrado nas
figuras 3.21(a) e (b), onde no eixo das abscissas foi escolhido i = 1 e no eixo das ordenadas a
sobreposic¸˜ao
2
dos pontos de j = 2,..., N. Podemos ver claramente que as figuras 3.21(a) e (b)
correspondem a um estado sincronizado e um n˜ao sincronizado, respectivamente. Salientamos,
que no primeiro caso a dinˆamica est´a inteiramente restrita a variedade homogˆenea, enquanto no
segundo caso a perda de sincronizac¸˜ao do espac¸o est´a relacionada com a perda da estabilidade
transversal da variedade homogˆenea.
Gr´aficos espac¸o temporais tamb´em foram feitos para distinguir tais regimes. Na figura
3.22(a) o caso de estados sincronizados ´e facilmente observado como perfis planos no espac¸o
evoluindo caoticamente no tempo, como no caso ca´otico que permanecia restrito na variedade
homogˆenea. J´a no caso seguinte, na figura 3.22(b), mostramos um caso logo ap´os a perda da es-
tabilidade transversal, onde comec¸am a surgir pequenas oscilac¸˜oes espaciais devido `a excitac¸˜ao
de modos espaciais de ordem mais baixa, caracterizando o in´ıcio dos estados ca´oticos espac¸o-
temporais. Se aumentarmos ainda mais as taxas de crescimento e decrescimento (em valor
absoluto) um n´umero maior de modos s˜ao excitados como mostrado na figura 3.22(c).
3.3.2 A perda de estabilidade transversal da din
ˆ
amica homog
ˆ
enea
O mecanismo exato da perda de estabilidade da variedade homogˆenea permanece vago
no sentido de que o espac¸o de fase do nosso sistema tem muitas dimens˜oes para usarmos a
an´alise de estabilidade linear. Em sistemas de baixa dimensionalidadeesta perda de estabilidade
tˆem sido descrito devido a bifurcac¸˜oes de sela-n´o, transcr´ıticas ou forquilha (ZIMIN et al.,
2003). Para fazermos o mesmo, precisar´ıamos saber primeiramente qual ´e a ´orbita que perde
estabilidade transversal, e em seguida atribuir uma forma normal `a dinˆamica transversal desta
´orbita. Como a priori n˜ao temos como fazer este procedimento, devemos recorrer a meios
2
Ao inv´es de fixarmos vari´avel j a um valor fixo fizemos a sobreposic¸˜ao de 2 at´e N de tal forma que a condic¸˜ao
de sincronizac¸˜ao da equac¸˜ao (3.2) seja completamente satisfeita.
53
Figura 3.21: Sobreposic¸˜ao dos gr´aficos de retorno de |A
1
(i,t)| vs. |A
1
( j,t)|, onde x
i
= x
1
e
x
j
, j = 2, 3, . . ., N, s˜ao os distintos pontos pertencentes da rede espacial. (a)
ν
2,3
= −1,8; (b)
ν
2,3
= −3, 6.
54
0
2.2
4.4
6.6
1000
1250
1500
1750
2000
0
2
4
X
time
|A
2
|
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
2.2
4.4
6.6
1000
1250
1500
1750
2000
0
2
4
X
time
|A
2
|
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6.6
4.4
2.2
0
1000
1250
1500
1750
2000
0
5
10
15
X
time
|A
2
|
2
4
6
8
10
12
(a)
(b)
(c)
Figura 3.22: Gr´aficos espac¸o-temporais da amplitude |A
2
| quando (a)
ν
1
= 0,1,
ν
2,3
= −1,8; (b)
ν
1
= 0, 1,
ν
2,3
= −3, 6; (c)
ν
1
= 0, 5,
ν
2,3
= −7, 0.
55
indiretos de evidenciar o in´ıcio da excitac¸˜ao dos modos espaciais via perda da estabilidade
transversal da variedade homogˆenea.
Um destes crit´erios recai na observac¸˜ao feita na sec¸˜ao anterior, de que a perda da esta-
bilidade transversal est´a ligada com a perda da sincronizac¸˜ao espacial. Existem v´arias formas
de se diagnosticar esta perda de sincronizac¸˜ao. Neste caso, escolhemos o parˆametro de ordem
complexo que foi introduzido por Kuramoto (KURAMOTO, 2003),
z
α
(t) = R
α
(t) exp(iΦ
α
(t)) ≡
1
N
N/2
∑
n=−(N/2)+1
exp(i
φ
α
,n
(t)), (3.3)
onde R
α
(t) e Φ
α
(t),
α
= 1, 2, 3, s˜ao as amplitudes e ˆangulos, respectivamente, de um vetor de
fase para cada um dos N pontos da rede espacial. Se tomarmos a m´edia temporal do parˆametro
de ordem,
R
α
= lim
T→∞
1
T
T
n=0
R
α
(t)dt, (3.4)
´e computada ao longo de um tempo suficientemente longo tal que o estado assint´otico do sis-
tema tenha sido alcanc¸ado.
Um estado espacialmente sincronizado, correspondendo a uma dinˆamica puramente tem-
poral restrita `a variedade homogˆenea, ´e caracterizada por
R
α
= 1, implicando que todos os
vetores de fases est˜ao sobrepostos coerentemente com mesma amplitude para todos os instan-
tes de tempo e para todos os pontos da rede. Um valor mais baixo de
R
α
indica uma menor
coerˆencia espacial no estado do sistema. Conseq¨uentemente, a perda de sincronizac¸˜ao em um
sistema ´e um crit´erio para o surgimento de estados espaciais, o que ´e seguido pela perda da
estabilidade transversal da variedade homogˆenea.
Nas figuras 3.23(a) e (b) ´e mostrado um diagrama de bifurcac¸˜ao da amplitude |A
1
(1,t)|,
e a m´edia temporal do parˆametro de ordem
R
1
para a onda 1, respectivamente, em func¸˜ao da
taxa de decr´escimo
ν
2,3
das ondas 2 e 3. Dentro da precis˜ao num´erica, os estados homogˆeneos
do espac¸o s˜ao est´aveis para valores da taxa de decr´escimo maiores que
ν
CR
≈ −1,96, sendo
que a partir deste valor
R
1
deixa de ser igual a um, ver figura 3.23(b). A dinˆamica da variedade
homogˆenea pode ser peri´odica ou ca´otica dependendo do valor da taxa de decr´escimo, como
pode ser visto na figura3.23(a). A ´orbitainicia-secom per´ıodo-1para pequenos valores de |
ν
2,3
|
e sofre uma cascata de duplicac¸˜ao de per´ıodo at´e as bandas ca´oticas desaparecerem devido a
uma crise e ´e seguida por uma janela de per´ıodo-3. A perda de estabilidade transversal da
variedade homogˆenea ocorre logo ap´os as trˆes bandas do atrator ca´otico sofrerem uma crise
interna e fundirem em uma ´unica grande ´orbita ca´otica em
ν
CR
.
56
Figura 3.23: (a) Diagrama de bifurcac¸˜ao para |A
1
(1,t)| em func¸˜ao da taxa de decrescimento
ν
2,3
. (b) M´edia temporal do parˆametro de ordem da onda 1 versus a taxa de decrescimento.
Foram computadas ´orbitas de comprimento T = 2×10
5
e retiradas 10
4
iteradas de transiente.
A dinˆamica para
ν
2,3
<
ν
CR
´e predominantemente ca´otica, com pequenos intervalos de
janelas peri´odicas que podem ser vistas na figura 3.23(a). Ao mesmo tempo, a maior parte
da dinˆamica ca´otica est´a associada com a excitac¸˜ao dos modos espaciais, implicando que o
parˆametro de ordem seja diferente de um na figura 3.23(b).
´
E v´alido enfatizar que o compor-
tamento ca´otico da variedade homogˆenea ´e uma condic¸˜ao necess´aria para a gerac¸˜ao dos mo-
dos espaciais, o que pode ser visto claramente na ampliac¸˜ao do diagrama de bifurcac¸˜ao figura
3.24(a), quando a ´orbita se torna peri´odica obtemos
R
1
= 1 (ver figura 3.24). Imersos no inte-
rior do diagrama de bifurcac¸˜ao mostrados na figura 3.23(a) existem diversas janelas peri´odicas
microsc´opicas, uma das quais ´e mostradas na figura 3.25(a). Uma outra conclus˜ao que tiramos
da figura 3.25(b), ´e que mesmo em regi˜oes ca´oticas o parˆametro de ordem ´e eventualmente
igual um, ou seja, sem modos no espac¸o. Esta conclus˜ao est´a de acordo com a que obtivemos
57
para s´eries temporais das figuras 3.19(b)-(e), quando mostr´avamos uma s´erie ca´otica no tempo,
por´em, sem gerac¸˜ao de modos espaciais.
Figura 3.24: (a) Ampliac¸˜ao de uma janela peri´odica do diagrama de bifurcac¸˜ao para |A
1
(1,t)|
em func¸˜ao da taxa de decrescimento
ν
2,3
. (b) M´edia temporal do parˆametro de ordem da onda
1 versus a taxa de decrescimento.
Uma segunda verificac¸˜ao num´erica da perda da estabilidade de transversal de M , ´e o
c´alculo do espectro de Lyapunov de todo o espac¸o de fase. Sendo que cada modo de Fourier
para cada uma das trˆes ondas complexas da interac¸˜ao corresponde a um grau de liberdade do
espac¸o, teremos 6N expoentes de Lyapunov, que s˜ao computados atrav´es da reortonomalizac¸˜ao
de Gram-Schmidt. Da evoluc¸˜ao temporal dos 6N expoentes de Lyapunov mostramos os trˆes
maiores do espectro na figura 3.26. Como vimos anteriormente, parao caso puramente temporal
com
ν
2
=
ν
3
a variedade homogˆenea ´e tridimensional. Sendo assim, para este caso a variedade
homogˆenea M admite um ´unico expoente de Lyapunov positivo.
Quando o parˆametro de controle
ν
2,3
assume valores para os quais a variedade homogˆenea
´e n˜ao ca´otica [figura 3.26(a)], os trˆes maiores expoentes de Lyapunov decaem a zero com uma
58
Figura 3.25: (a) Ampliac¸˜ao de uma janela peri´odica microsc´opica do diagrama de bifurcac¸˜ao
para |A
1
(1,t)| em func¸˜ao da taxa de decrescimento
ν
2,3
. (b) M´edia temporal do parˆametro de
ordem da onda 1 versus a taxa de decrescimento.
lei de potˆencia, o que ´e um indicativo que estes valores s˜ao nulos assintoticamente. Enquanto o
desaparecimento do primeiro expoente j´a era esperado, a convergˆencia dos outros dois expoen-
tes ´e uma confirmac¸˜ao que a variedade homogˆenea ´e transversalmente est´avel para
ν
2,3
>
ν
CR
.
Esta conclus˜ao ´e confirmada quando
λ
1
> 0 e a dinˆamica da variedade homogˆenea ´e ca´otica,
como visto na figura 3.26(b). Quando o valor
ν
CR
´e escolhido em uma regi˜ao onde ocorre
a existˆencia de modos espaciais, os dois maiores expoentes de Lyapunov s˜ao positivos como
pode ser visto na figura 3.26(c). Indicando que, al´em da dinˆamica temporal da variedade ho-
mogˆenea ser ca´otica, algumas ´orbitas perderam a sua estabilidade transversal. Por ´ultimo, na
figura 3.26(d), mostramos um caso onde caos espac¸o-temporal est´a mais desenvolvido. Neste
caso, al´em dos dois maiores expoentes de Lyapunov serem positivos, podemos ver que o terceiro
deixa de convergir para zero. Este resultado indica que, possivelmente, mais de uma direc¸˜ao
transversal perdeu sua estabilidade.
59
10
1
10
2
10
3
10
4
tempo
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
λ
1,2,3
(a)
10
1
10
2
10
3
10
4
tempo
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
λ
1,2,3
(b)
10
2
10
3
10
4
tempo
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
λ
1,2,3
(c)
10
2
10
3
10
4
tempo
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
λ
1,2,3
(d)
Figura 3.26: Evoluc¸˜ao temporal dos trˆes maiores expoentes de Lyapunov. As taxas de cresci-
mento e decrescimento usadas foram (a)
ν
1
= 0, 1,
ν
2,3
= −1, 5; (b)
ν
1
= 0, 1,
ν
2,3
= −1, 8; (c)
ν
1
= 0, 1,
ν
2,3
= −3, 6; (d)
ν
1
= 0, 1,
ν
2,3
= −5, 8.
60
3.3.3 Intermit
ˆ
encia On-Off e transic¸
˜
ao caos espac¸o-temporal
Nesta sec¸˜ao veremos a relac¸˜ao entre a perda da estabilidade transversal e intermitˆencia
on-off. Antes da transic¸˜ao
ν
2,3
>
ν
CR
, a dinˆamica temporal ´e ca´otica ou peri´odica, ficando
confinada na variedade homogˆenea M . Ap´os a transic¸˜ao, as ´orbitas pr´oximas `a variedade M
sofrem estouros que as fazem se afastar da variedade homogˆenea devido `a excitac¸˜ao dos modos
espaciais [ver figura 3.21(b)]. Tais excurs˜oes, entretanto, s˜ao limitadas e as ´orbitas acabam
retornando `as vizinhanc¸as de M , e a ´orbitapermanece l´a por algum tempo at´e sofrer um estouro
novamente. Um exemplo representando este comportamento ´e mostrado na figura 3.27(a), na
qual trac¸amos a evoluc¸˜ao temporal da amplitude do espacial de Fourier |a
2,1
|. A s´erie salta de
zero para valores diferentes em determinados intervalos de tempo, representado os estouros que
forc¸am a variedade homogˆenea atrav´es da excitac¸˜ao n˜ao linear dos modos espaciais.
Os intervalos onde n˜ao h´a modos espaciais correspondem `a inatividade, ou ainda a in-
tervalos de tempo no qual a dinˆamica permanece na vizinhanc¸a da variedade homogˆenea at´e
sofrer uma dinˆamica ca´otica transiente. Como indicado na figura 3.27(a), denotaremos
τ
i
como
sendo o intervalo de tempo entres estes estouros. Sendo que estes intervalos de tempos variam
grandemente, ´e conveniente definirmos uma distribuic¸˜ao de freq¨uˆencias P(
τ
), tal que P(
τ
)d
τ
representa o n´umero de intervalos entre os estouros entre
τ
e
τ
+d
τ
. Na figura 3.27(b) descreve-
mos os resultados num´ericos para esta distribuic¸˜ao de probabilidade obtida para uma trajet´oria
iterada para um longo per´ıodo (t = 4×10
6
). Para a taxa de decrescimento
ν
2,3
foram usados os
mesmos valores das sec¸˜oes anteriores no qual iniciava-se a excitac¸˜ao dos modos espaciais.
A distribuic¸˜ao se comporta como uma lei de potˆencia para pequenos valores de per´ıodo
entre estouros e como uma exponencial para grandes per´ıodos. O ajuste n˜ao linear para os
resultados num´ericos ´e
P(
τ
) = c
0
τ
−3/2
e
−c
1
τ
+ c
2
e
−c
3
τ
. (3.5)
O expoente −3/2 na lei de potˆencia do ajuste n˜ao linear ´e uma assinatura universal da
chamada intermitˆencia on-off, a qual foi inicialmente achada para sistemas de baixa dimensio-
nalidade (PLATT et al., 1993; HEAGY et al., 1994). A cauda ruidosa da figura 3.27(b) ´e uma
caracter´ıstica de sistemas ruidosos atravessando uma bifurcac¸˜ao on-off.
A bifurcac¸˜ao on-off ocorre quando um sistema dinˆamico, possuindo uma variedade in-
variante ca´otica, est´a pr´oxima a um ponto de bifurcac¸˜ao e, por algum motivo, o parˆametro de
bifurcac¸˜ao varia de alguma forma irregular (PLATT et al., 1993). Assim, o sistema alterna entre
estados de inatividade, com parˆametros pr´e-bifurcac¸˜ao, para um estado com estouros para os
61
5780 5800 5820 5840 5860
tempo
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
|a
2,1
|
τ
1
τ
2
τ
3
(a)
100 1000
τ
10
-6
10
-4
P( τ )
(b)
P(τ)∼c
0
τ
−3/2
e
-c
1
τ
+c
2
e
-c
3
τ
Figura3.27: (a) Evoluc¸˜ao temporal do modo espacial deFourier |a
2,1
|e representac¸˜ao dos inter-
valos de
τ
i
entre os estouros para
ν
2,3
= −3, 6. (b) Distribuic¸˜ao de probabilidade dos intervalos
τ
i
para
ν
2,3
= −3, 6.
62
casos p´os-bifurcac¸˜ao. No nosso sistema conjecturamos que para est´a transic¸˜ao ocorrer, uma
´orbita peri´odica inst´avel deve perder sua estabilidade transversal atrav´es de uma bifurcac¸˜ao.
Devido `a caracter´ıstica de uma randomicidade intr´ınseca da dinˆamica ca´otica (na variedade ho-
mogˆenea), a dinˆamica transversal ´e forc¸ada de tal maneira que o sistema atravessa flutuac¸˜oes e
eventualmente passa por um ponto de bifurcac¸˜ao.
A existˆencia de intermitˆencia on-off associada `a excitac¸˜ao dos modos espaciais revela
muitas caracter´ısticas interessantes deste sistema dinˆamico. Conclu´ımos o papel fundamental
da ´orbita ca´otica na variedade homogˆenea para a excitac¸˜ao dos modos espaciais. Quando isto
ocorre, eventualmente uma ´orbita peri´odica inst´avel, no interior de M , perde sua estabilidade
transversal. Conseq¨uentemente, surge um processo intermitente chamado on-off, onde espora-
dicamente a ´orbita ´e ejetadada da variedade homogˆenea. Por´em, a ´orbita retorna `a vizinhanc¸a
da variedade M , indicando que esta volta a ser transversalmente est´avel.
3.3.4 Efeito da difus
˜
ao na limitac¸
˜
ao na gerac¸
˜
ao de modos espaciais
A an´alise anterior foi realizada para um modesto n´umero de modos de Fourier (N = 32).
Nossos resultados foram comparados com N = 256 modos e n˜ao manifestam qualquer diferenc¸a
quantitativa para o surgimento do caos espac¸o temporal (ver figura 3.28). Isto n˜ao ´e surpreen-
dente, j´a que no in´ıcio na gerac¸˜ao de modos espaciais, a energia se concentra inicialmente na
variedade homogˆenea e gradualmente comec¸a a ser transferida para os modos baixos espaci-
ais. Este cen´ario s´o esperamos ser alterado quando estivermos em uma regi˜ao de caos espacial
mais desenvolvida, onde a forte interac¸˜ao entre as v´arias diferentes escalas espaciais leva a uma
r´apida redistribuic¸˜ao de energia para os menores comprimentos de ondas, tal que o uso de um
grande n´umero N de modos de Fourier se torne necess´ario.
Um dos pontos chaves envolvidos em um processo da gerac¸˜ao de uma turbulˆencia mais
desenvolvida ´e a redistribuic¸˜ao de energia entre os modos com menor e maiores comprimentos
de onda. Est´a redistribuic¸˜ao de energia fica evidente quando consideramos a m´edia espectral
como sendo (LOPES; RIZZATO, 1999):
< N
2
> =
∑
N
n=1
∑
3
α
=1
n
2
|a
α
,n
|
2
∑
N
n=1
∑
3
α
=1
|a
α
,n
|
2
. (3.6)
A evoluc¸˜ao temporal desta m´edia espectral ´e mostrada na figura 3.28 para 32 e 256 modos.
Como foi dito acima, apesar das evoluc¸˜oes para ambos os n´umeros de modos serem diferentes
quantitativamente, a tendˆencia geral ´e a mesma, com pequenos intervalos de tempos entre os
63
3000 3500 4000 4500
tempo
0
0,5
1
1,5
2
√
< N
2
>
32-modos
256-modos
Figura3.28: M´edia espectral em func¸˜ao do tempo para diferentes n´umeros de modos de Fourier.
Usamos os seguintes valores D = 1, 0;
ν
1
= 0, 1 e
ν
2,3
= −4, 5.
estouros. Estes estouros correspondem aos instantes em que a energia da dinˆamica ca´otica da
variedade homogˆenea ´e distribu´ıda aos modos espaciais. Ressaltamos que o exato momento
onde ocorrem estes estouros ´e irrelevante, no sentido que estaremos mais interessados em suas
propriedades estat´ısticas para longos per´ıodos de tempo. Por´em, estas propriedades s´o devem
permanecer v´alidas no in´ıcio da gerac¸˜ao dos modos espaciais, quando o n´umero de excitac¸˜ao de
modos espaciais ´e pequeno. Conforme formos progredindo para um caso onde o caos espac¸o-
temporal torne-se plenamente turbulento, um n´umero crescente de modos de Fourier seria ne-
cess´ario para descrever as trocas de energia entre grandes e pequenas escalas.
Uma outra comparac¸˜ao sobre a influˆencia do n´umero de modos ´e mostrada na figura
3.29(a), onde as evoluc¸˜oes temporais da m´edia espectral s˜ao comparadas para um n´umero cres-
cente de modos de Fourier, para o caso onde n˜ao h´a difus˜ao espacial (D = 0). Como uma
tendˆencia geral, vemos que as m´edias crescem at´e atingirem uma saturac¸˜ao, onde este valor ´e
cerca de 1/3 do n´umero de modos. Isto significa que caos da variedade homogˆenea atua como
uma bomba cont´ınua de gerac¸˜ao de modos de Fourier, at´e atingir o ´ultimo modo de Fourier e
causando uma saturac¸˜ao no crescimento da m´edia espectral.
64
Figura 3.29: M´edia espectral em func¸˜ao do tempo para (a) diferentes n´umeros de modos de
Fourier no espac¸o, e (b) diferentes valores do coeficiente de difus˜ao. Fixamos nestes casos
ν
1
= 0, 1 e
ν
2,3
= −4, 5.
65
Os casos mostrados na figura 3.29(a) foram feitos na ausˆencia de qualquer difus˜ao espa-
cial. Na figura 3.29(b), fixamos o n´umero de modos de Fourier em N = 512, e analisamos como
o valor da m´edia espectral se comporta em func¸˜ao do coeficiente de difus˜ao. Podemos ver cla-
ramente que quanto maior o coeficiente de difus˜ao, mais baixo ´e o valor de saturac¸˜ao da m´edia
espectral. Por´em, ressaltamos que as saturac¸˜oes para D = 0 e D = 10
−2
tˆem significados dife-
rentes, sendo que, no primeiro caso (D = 0), saturou-se o n´umero m´aximo de modos de Fourier
da simulac¸˜ao, enquanto no segundo caso (D = 10
−2
), saturou-se devido `a difus˜ao do sistema.
Estes casos de saturac¸˜ao m´axima de modos de Fourier obviamente envolvem erros de natureza
da limitac¸˜ao num´erica, n˜ao havendo mais o comportamento dinˆamico da perda da estabilidade
transversal da variedade homogˆenea no qual estamos interessados nesta tese.
Os aspectos gerais do efeito da difus˜ao na excitac¸˜ao dos modos espaciais podem ser abor-
dados atrav´es de uma simples an´alise linear. Quando as amplitudes s˜ao suficientemente pe-
quenas podemos negligenciar os modos quadr´aticos e supor uma soluc¸˜ao linear com a forma
A
1
(x,t) ∼A
1n
(t)e
ik
n
x
. Substituindo na equac¸˜ao n˜ao linear obtemos
dA
1n
dt
≈ (
ν
1
−k
2
n
D−ik
n
v
g1
)A
1n
. (3.7)
O termo entre parˆenteses, o qual representa a taxa de crescimento ou decrescimento da
amplitude da onda, diminui quando D ´e aumentado. Isto explica porque a difus˜ao limita o cres-
cimento da excitac¸˜ao dos modos espaciais. Al´em do coeficiente D, vemos que esta limitac¸˜ao
tamb´em ocorre de forma quadr´atica (k
2
n
), aumentando o comprimento de onda. Se desconside-
rarmos a velocidade de grupo da onda, por n˜ao ter um papel crucial nesta aproximac¸˜ao, igua-
lando os termos entre parentˆeses a zero e isolando o vetor de onda, obtemos um valor cr´ıtico
denotado por k
crit
∼
ν
1
/D. Assim temos que para um valor de vetor de onda maior que k
crit
,
o termo em parentˆeses se torna negativo, e segundo a an´alise linear, ´e amortecido.
Na figura 3.30 mostramos a dependˆencia da amplitude do modo de Fourier a
1,n
com o
n´umero de modo n para diferentes valores de coeficiente de difus˜ao. O valor cr´ıtico k
crit
, in-
dicado por um s´ımbolo distinto em cada curva, marca aproximadamente o valor onde para um
n´umero de modo de Fourier n acima, ´e fortemente amortecido. Isto se mostra ser consistente
com a aproximac¸˜ao e os resultados obtidos. Discrepˆancias s˜ao observadas na figura 3.30 para
grandes valores de coeficiente de difus˜ao. Isto se deve `as aproximac¸˜oes realizadas para se obter
k
crit
, j´a que nesta aproximac¸˜ao foram descartados os termos n˜ao lineares. Al´em do mais, est´a
an´alise linear falha em regi˜oes onde a variedade homogˆenea ´e peri´odica, como por exemplo nas
janelas peri´odicas mostradas nas ampliac¸˜oes das figuras 3.23(a) e (b). Esperar´ıamos a gerac¸˜ao
66
10
-1
10
0
10
1
n
10
-15
10
-10
10
-5
10
0
a
1,n
D=1,0
D=0,1
D=0,05
D=0,02
D=0,004
K
crit.
Figura 3.30: Amplitude do modo de Fourier em func¸˜ao do seu respectivo n´umero de modo, para
diferentes valores de coeficiente de difus˜ao, fixamos nestes casos
ν
1
= 0, 1 e
ν
2,3
= −4, 5. Os
c´ırculos indicam o valor cr´ıtico do n´umero de onda esperado da teoria linear.
de modos espaciais paras estas regi˜oes na an´alise linear, por´em os termos n˜ao lineares tˆem um
papel fundamental no surgimento destas janelas peri´odicas.
Por ´ultimo, faremos conclus˜oes gerais sobre todos resultados que foram obtidos nesta
sec¸˜ao para o nosso sistema espacialmente estendido. Como vimos, a an´alise linear das ampli-
tudes indica o valor m´aximo de modo espacial que deve ser excitado. Por´em, esta an´alise n˜ao
funciona nas regi˜oes de janelas peri´odicas que vimos nos diagramas de bifurcac¸˜ao. Al´em disto
vimos, atrav´es deste diagrama, que para o surgimento de modos espaciais ´e imprescind´ıvel a
existˆencia de uma variedade homogˆenea ca´otica. Contudo, al´em da necessidade de caos na
variedade homogˆenea, o parˆametro de ordem nos indica que s´o o caos n˜ao ´e uma condic¸˜ao su-
ficiente para que comece a gerac¸˜ao de modos espaciais.
´
E necess´ario que o atrator ca´otico da
variedade homogˆenea perca sua estabilidade devido a uma ´orbita peri´odica transversal inst´avel.
Quando isto acontece, o espectro de Lyapunov apresenta pelo menos dois expoentes positivos,
um devido `a variedade homogˆenea ser ca´otica e o segundo devido `a perda da estabilidade trans-
versal. Uma outra informac¸˜ao importante que obtivemos ´e que a distribuic¸˜ao dos per´ıodos de
tempo da atividade transversal (gerac¸˜ao de modos espaciais) obedece a uma lei de potˆencia com
expoente -3/2, o que indica a existˆencia de intermitˆencia on-off.
67
Ainda hoje na comunidade cient´ıfica n˜ao h´a um consenso de qual ´e o exato mecanismo
de gerac¸˜ao de turbulˆencia. Nesta tese indicamos alguns dos ingredientes que s˜ao fundamentais
para o in´ıcio do caos-espac¸o temporal. O conjunto deles nos indica uma poss´ıvel rota para um
in´ıcio intermitente de turbulˆencia. Outra coisa importante abordada neste tese, ´e que a perda
de estabilidade transversal pode tamb´em explicar o mecanismo tipo bomba estoc´astica. Neste
mecanismo de bomba estoc´astica, n˜ao existe um conjunto determin´ıstico de equac¸˜oes, como
o pr´oprio nome sugere, eles s˜ao gerados de forma estoc´astica. Mostramos nesta tese atrav´es
de um modelo determin´ıstico, que a variedade homogˆenea ca´otica faz o papel de uma bomba
que cria modos espaciais. Este mecanismo atua de forma intermitente e observamos a perda
de estabilidade transversal, o que nos ajuda a compreender a transic¸˜ao de sistemas ca´oticos
puramente temporais para sistemas espac¸o-temporais ca´oticos.
68
4 Conclus
˜
oes e trabalhos futuros
Iniciamos o cap´ıtulo de resultados mostrando o modelo de interac¸˜ao de quatro ondas con-
servativo puramente temporal. Para este modelo vimos o cen´ario t´ıpico de sistemas quasi-
integr´aveis, com o espac¸o de fase composto por ilhas formadas por toros KAM e os mares
ca´oticos. Al´em destes comportamentost´ıpicos, observamosa presenc¸a de armadilhas dinˆamicas
que aprisionam as trajet´orias, por´em diferentementes dos toros KAM, para tempos suficiente-
mente longos essas trajet´orias se conectam com diferentes regi˜oes do espac¸o de fase. Estas
armadilhas est˜ao associadas `a presenc¸a de um cantori, que forma uma barreira parcial, onde
existem pequenos furos pelos quais eventualmente as trajet´orias podem escapar. Estes cantori
afetam fortemente o deslocamento das trajet´orias no espac¸o de fase e a hip´otese erg´odica n˜ao ´e
mais v´alida para tais sistemas.
Atrav´es do uso do mapa padr˜ao mostramos que as distribuic¸˜oes do expoente de Lyapu-
nov a tempo finito podem ser ´uteis para a an´alise da influˆencia das regi˜oes de armadilhas nos
espac¸os de fase Hamiltoniano. Enquanto que t´ıpicas ´orbitas imersas em regi˜oes ca´oticas exibem
distribuic¸˜oes com forma gaussiana para os expoente de Lyapunov a tempo finito, centradas no
valor para o Lyapunov a tempo infinito, ´orbitas que sofremefeitos das armadilhas podem desen-
volver um segundo m´aximo pr´oximo a zero. O uso das distribuic¸˜oes do expoente de Lyapunov
a tempo finito quantifica o efeito destas armadilhas com relac¸˜ao a toda dinˆamica, dando-nos
uma frac¸˜ao de tempo que o sistema permanece sobre a influˆencia das armadilhas, atrav´es do
c´alculo da ´area relativa ao segundo m´aximo. Vimos que esta frac¸˜ao n˜ao possui um comporta-
mento suave em func¸˜ao do parˆametro de n˜ao linearidade K, ocorrem grandes oscilac¸˜oes devido
ao processo sucessivo de criac¸˜ao e destruic¸˜ao de ilhas com o aumento (ou diminuic¸˜ao) de K.
Estes resultados s˜ao robustos no sentido que s˜ao insensitivos com relac¸˜ao ao tempo finito
de amostragem do expoente de Lyapunov e ao tempo total da trajet´oria. Apesar de termos
usado o mapa padr˜ao para mensurar estas armadilhas dinˆamicas, estes resultados permanecem
v´alidos para uma grande classe de outro sistemas n˜ao integr´aveis como por exemplo, o modelo
de interac¸˜ao de quatro ondas conservativo puramente temporal.
69
Ap´os termos trabalhado com sistemas puramente temporais, analisamos o caso do mo-
delo de interac¸˜ao de trˆes ondas espac¸o-temporal. Propomos um cen´ario para a explicac¸˜ao do
in´ıcio do caos espac¸o temporal por uma excitac¸˜ao n˜ao linear dos modos espaciais gerados pela
dinˆamica ca´otica de um atrator de baixa dimensionalidade espacialmente homogˆeneo. Em ter-
mos matem´aticos, deve haver um subespac¸o invariante (imerso no espac¸o de fase do sistema)
contendo um atrator ca´otico sem modos espaciais. A energia ´e transferida deste estado ca´otico
para a excitac¸˜ao dos modos espaciais n˜ao-homogˆeneos.
O in´ıcio do caos espac¸o-temporal ocorre quando uma ´orbita peri´odica inst´avel, imersa
no atrator ca´otico espacialmente homogˆeneo, perde a estabilidade transversal (com relac¸˜ao a
variedade homogˆenea). Apesar destas ´orbitas peri´odicas representarem pequenas regi˜oes, even-
tualmente uma trajet´oria do sistema passa suficientemente perto e ´e ejetada da variedade ho-
mogˆenea.
Tendo isto em vista, tais ´orbitas transversais possuem um efeito pronunciado em uma tra-
jet´oria pr´oxima a este subespac¸o homogˆeneo. Durante v´arios per´ıodos de tempo tais trajet´orias
permanecem aprisionadas nas vizinhanc¸as deste estado homogˆeneo, n˜ao havendo dinˆamica es-
pacial. Quando a trajet´oria aproxima-se de uma ´orbita transversalmente inst´avel, ela deixa de
estar em um estado homogˆeneo e passa a um estado com v´arios estouros, excitando os modos
espaciais. Por´em, devido ao prevalescimento das ´orbitas transversalmente est´aveis, as ´orbitas
retornam aos estados homogˆeneos. Estes comportamentos transit´orios s˜ao chamados de inter-
mitˆencia on-off.
Quando os modos espaciaiss˜ao excitados, a energiarelacionada aos estados espacialmente
homogˆeneos s˜ao redistribu´ıdos atrav´es de um processo intermitente. Assim esperamos que o
surgimento desse modos espaciais ocorra de forma irregular nas regi˜oes iniciais da perda da
estabilidade transversal.
Vimos que segundo `a aproximac¸˜ao linear, a condic¸˜ao da redistribuic¸˜ao de energia ´e limi-
tada por efeitos difusivos. O n´ıvel de saturac¸˜ao da energia dos modos espaciais depende do
valor do coeficiente de difus˜ao, sendo que esta limitac¸˜ao aumenta com um expoente que ´e igual
ao quadrado do n´umero do modo espacial. Nesta tese, abordamos um modelo de interac¸˜ao de
trˆes ondas com uma dimens˜ao espacial. Por´em, estes comportamentos de in´ıcio de gerac¸˜ao de
modos espaciais s˜ao gerais, e este cen´ario que descrevemos permanece v´alido para uma grande
classe de outros sistemas espacialmente estendidos.
At´e aqui citamos as conclus˜oes sobre os trabalhos que foram feitos. Agora falaremos
um pouco sobre algumas possibilidades para trabalhos futuros. Inicialmente, para o caso dos
70
sistemas conservativos, vimos que atrav´es da s´erie temporal do expoente de Lyapunov a tempo
finito, a transic¸˜ao entre as armadilhas para mares ca´oticos tem uma assinatura clara. Poder´ıamos
usar estas assinaturas como uma forma de quantificar os intervalos de tempo em que cada arma-
dilha dinˆamica afeta o sistema. Como no espac¸o de fase h´a muitas ilhas de diferentes escalas de
tamanho, poder´ıamos determinar os per´ıodos de tempo de aprisionamento caracter´ısticos para
cada ilha, e analisar a relac¸˜ao de tamanho da ilha com estes per´ıodos.
Seria interessante analisar como a transic¸˜ao de regi˜oes de armadilhas dinˆamicas para os
mares ca´oticos afetariam o caso de sistemas acoplados espacialmente. Logicamente, este aco-
plamento aumentaria a dimens˜ao efetiva do sistema e eventualmente desapareceria a existˆencia
do cantori. Por´em, poder´ıamos criar um acoplamento uni-direcional do tipo mestre-escravo, de
tal forma que o sistema mestre permanecesse com as suas propriedades originais. O sistema
mestre atuaria como uma bomba, no qual as trajet´orias inicialmente permanecem nas proxi-
midades de um regime quasi-integr´avel e eventualmente transitam para um sistema ca´otico.
Isto poderia trazer efeitos interessantes, tanto na quest˜ao dos deslocamentos das trajet´orias e de
como ocorre a sincronizac¸˜ao para tais sistemas.
No caso de sistemas espac¸o-temporais, para um sistema que seja expandido com N modos
de Fourier, o c´alculo num´erico do espectro de Lyapunov envolve a computac¸˜ao das N equac¸˜oes
n˜ao lineares, mais N
2
equac¸˜oes devido ao c´alculo da matriz jacobiana. Este processo exige
um grande esforc¸o computacional, e o aumento do n´umero de modos exige um aumento ao
quadrado do n´umero de equac¸˜oes a serem computadas. Isto nos tr´as uma limitac¸˜ao de N = 64.
Por´em, no artigo (GOZALES et al., 1999), mostrou-se que em alguns casos nem sempre ´e
necess´ario computar todo os elementos da matriz jacobiana para a obtenc¸˜ao dos maiores ex-
poentes de Lyapunov. A aplicac¸˜ao desta t´ecnica poderia permitir um n´umero maior de modos
de Fourier. Al´em disto, nos possibilitaria tamb´em o c´alculo de distribuic¸˜oes do expoente de
Lyapunov a tempo finito, j´a que estas distribuic¸˜oes demandam de tempos relativamente longos
para se obter uma boa estat´ıstica. O c´alculo da distribuic¸˜ao do segundo maior expoente de Lya-
punov a tempo finito se mostraria particularmente ´util na quantificac¸˜ao da perda da estabilidade
transversal que ocorre no nosso sistema espacialmente estendido.
O uso de n´umeros maiores de modos de Fourier possibilitaria tamb´em, analisar regi˜oes
onde n˜aose esteja noin´ıcio do caos espac¸o-temporal, e simregi˜oes onde o caos espac¸o-temporal
esteja mais desenvolvido. Este n´umero maior de modos seria importante para analisar a troca
de energia que pode ocorrer entre pequenos e grandes modos. A an´alise destes casos seria um
grande passo em aproximar este sistema por um sistema que apresente turbulˆencia plenamente
desenvolvida. Com os avanc¸os de novas t´ecnicas de computac¸˜ao paralela nos ´ultimos tempos,
71
a viabilidade destes novos trabalhos se torna mais pr´oxima.
Por ´ultimo, poderiamos tamb´em citar como um poss´ıvel trabalho futuro, o c´alculo dos
coeficientes que aparecem nos termos quadr´aticos nomodelo de interac¸˜oes entre ondas. Quando
deduzimos o modelo `a partir das equac¸˜oes de Hasegawa-Mima, vimos que havia uma express˜ao
para tais coeficientes. Como neste trabalho est´avamos interessados em analisar os poss´ıveis
comportamentos dinˆamicos de sistemas espacialmente estendidos, assumimos por simplicidade
que estes coeficientes eram iguais `a unidade. Por´em, em trabalhos que estejam interessados em
aplicac¸˜oes, o c´alculo destes coeficientes poderia se tornar importante.
72
Bibliografia
ABLOWITZ, M. J.; SEGUR, H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. [S.l.]: SIAM,
1981.
ALLIGOOD, K. T.; YORKE, T. D. S. ans J. A. CHAOS An introduction to dynamical systems.
[S.l.]: Springer-Verlag, New York, 1996.
ARMSTRONG, J. A.; BLOEMBERGEN, N.; DUCUING, J.; PERSHAN, P. S. Interactions
between light waves in a nonlinear dielectric. Physics Review, v. 62, p. 1918, 1962.
ARNOLD, V. I.; AVEZ, A. Ergodic problems of Classical Mechanics. [S.l.]: Springer-Verlag,
1968.
AUBRY, S. Solitons and Condensed Matter Physics. [S.l.]: Springer, 1978.
BATCHELOR, G. The theory of homogeneous turbulence. [S.l.]: Cambridge University Press,
Cambridge, Reino Unido, 1959.
BERS, A.; KAUP, D. J.; REIMAN, A. H. Nonlinear interactions of three wave packets in a
homogeneous medium. Physics Review Letters, v. 37, p. 182, 1976.
BIRKHOFF, G. D. On the periodic motions of dynamical systems. Acta Mathematica, v. 50,
p. 359, 1927.
BUTKOV, E. F´ısica Matem´atica. [S.l.]: LTC, 1988.
CHIAN, A. C. L.; LOPES, S. R.; ALVES, M. V. Generation of auroral whistler-mode radiation
via nonlinear coupling of langmuir waves and alfv´en waves. Astronomy and Astrophysics,
v. 290, p. 13, 1994.
CHIAN, A. C. L.; RIZZATO, F. B. Coupling of electromagnetic filamentation instability and
electrostatic langmuir parametric instabilities in laser-plasma interactions. Journal of Plasma
Physics, v. 51, p. 61, 1994.
CHIRIKOV, B. V. An universal instability of many dimensional oscillator systems. Physics
Reports, v. 52, p. 264, 1979.
COSTA, A.; GOMEZ, D.; DAWSON, S. P.; FONTAN, C. F.; SCHIFINO, A. S. Bifurcations
in a three-mode model of the navier-stokes equation. Physical Review A, v. 38, n. 4, p. 2037,
1988.
COVAS, E.; TAVAKOL, R.; ASHWIN, P.; TWORKOWSKI, A.; BROOKE, J. M. In-out
intermittency in partial differential equation and ordinary differential equation models. Chaos,
v. 11, p. 404, 2001.
73
DAWSON, S.; GREBOGI, C.; SAUER, T.; YORKE, J. A. Obstructions to shadowing when a
lyapunov exponent fluctuates about zero. Physical Review Letters, v. 73, p. 1927, 1994.
DENISOV, S.; KLAFTER, J.; URBAKH, M.; FLACH, S. Dc currents in hamiltonian systems
by levy flights. Physica D, v. 170, p. 131, 2002.
FEIGENBAUM, M. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Journal
of Statistical Physics, v. 19, p. 25, 1978.
FORNBERG, B.; MERRILL, D. Comparison of finite difference- and pseudospectral methods
for convective flow over a sphere. Geophysical Research Letters, v. 24, p. 3245, 1997.
Dispon´ıvel em: <citeseer.ist.psu.edu/495026.html>.
FRICHEMBRUDER, M.; PAKTER, R.; GERHARDT, G.; RIZZATO, F. Chaos and coherence
in the conservative three-mode decay interaction. Physical Review E, v. 62, n. 6, p. 7861–7866,
2000.
FRISCH, U. Turbulence. [S.l.]: Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1995.
GLENZER, S. H.; ROZMUS, W.; BYCHENKOV, V. Y.; MOODY, J. D.; ALBRITTON, J.;
BERGER, R. L.; BRANTOV, A.; FOORD, M. E.; MACGOWAN, B. J.; KIRKWOOD, R. K.;
BALDIS, H. A.; WILLIAMS, E. A. Anomalous absorption of high-energy green laser light in
high-z plasmas. Physics Review Letters, v. 88, p. 235002, 2002.
GOLDSTEIN, H. Classical mechanics. [S.l.]: 2
a
ed.,Addison-Wesley, 1980.
GOZALES, R. C.; ORSTAVIK, S.; HUKE, J.; BROOMHEAD, D. S.; STARK, J. Scaling and
interleaving of subsystem lyapunov exponents for spatio-temporal systems. Chaos, v. 9, p. 466,
1999.
GREBOGI, C.; OTT, E.; YORKE, J. A. Chaotic attractors in crisis. Physics Review Letters,
v. 48, p. 1507, 1982.
HANSON, J. D.; CARY, J. R.; MEISS, J. D. Algebraic decay in self-similar markov-chains.
Journal of Statistical Physics, v. 39, p. 327, 1985.
HASEGAWA, A. Plasma Instabilities and Nonlinear Effects. [S.l.]: Spinger-Verlag, 1975.
HASEGAWA, A.; NACLENNAN, C.; KODAMA, Y. Nonlinear behavior and turbulence
spectra of drift waves and rossby waves. Physics of Fluids, v. 22, p. 2122, 1979.
HE, K.; CHIAN, A. C. L. On-off collective imperfect phase synchronization and bursts in wave
energy in a turbulent state. Physical Review Letters, v. 91, p. 034102, 2003.
HEAGY, J. F.; PLATT, N.; HAMMEL, S. M. Characterization of on-off intermittency. Physics
Review E, American Physical Society, v. 49, n. 2, p. 1140–1150, 1994.
HINDMARSH, A. C. Odepack, a systematized collection of ode solvers. In scientific
computing, v. 62, p. 55, 1983.
IOMIM, A.; GANGARDT, D.; FISHMAN, S. Nonlinear dynamics in periodic phase space.
Physical Review E, v. 57, p. 4054, 1998.
74
JOSIC, K. Invariant manifolds and synchronization of coupled dynamical systems. Physics
Review Letters, American Physical Society, v. 80, n. 14, p. 3053–3056, 1998.
KAPLAN, J. L.; YORKE, J. A. Preturbulence: A regime observed, in a fluid flow model of
lorenz. Communications in Mathematical Physics, v. 67, p. 93, 1979.
KARNEY, C. F. F. Long-time correlations in the stochastic regime. Physica D, v. 8, p. 360,
1983.
KARPLYUK, K. S.; ORAEVSKI, V. N.; PAVLENKO, V. P. Dynamics of nonlinear-interaction
of magnetohydrodynamic waves. Plasma physics and controlled fusion, v. 15, p. 113, 1973.
KAUP, D. J.; REIMAN, A. H.; BERS, A. Space-time evolution of nonlinear three-wave
interactions. i. interaction in a homegeneus medium. Review of Modern in Physics, v. 51,
p. 275, 1979.
KOLMOGOROV, A. N. Preservation of conditionally periodic movements with small change
in hamiltonian function. Dokl. Akad. Nauk SSSR, v. 98, p. 527, 1954.
KURAMOTO, Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. [S.l.]: Courier Dover, 2003.
KUZNETSOV, L.; ZASLAVSKY, G. M. Scaling invariance of the homoclinic tangle. Physical
Review E, v. 66, p. 046212, 2002.
LASHMORE-DAVIES, C.; THYAGARAJA, A.; MCCARTHY, D. Spectral transfers and zonal
flow dynamics in the generalized charney-hasegawa-mima model. Physics of plasmas, v. 12, p.
122304, 2005.
LASHMORE-DAVIES, C. N. Plasma Physics and Nuclear Fusion Research. [S.l.]: Academic
Press, 1981.
LATORA, V.; RAPISARDA, A.; RUFFO, S. Superdiffusion and out-of-equilibrium chaotic
dynamics with many degrees of freedoms. Physics Review Letters, v. 83, p. 2104, 1999.
LEONCINI, X.; ZASLAVSKY, G. M. Jets, stickiness, and anomalous transport. Physical
Review E, v. 65, p. 046216, 2002.
LICHTENBERG, A.; LIEBERMAN, A. Regular and Chaotic Dynamics,. [S.l.]: Spinger,
1992.
LOPES, S. R. Dinˆamica n˜ao Linear de ondas whistlers em plasmas espaciais. Tese
(Doutorado) — INPE(tese de doutorado), 1995.
LOPES, S. R.; RIZZATO, F. B. Nonintegrable dynamics of the triplet-triplet spatiotemporal
interaction. Physical review E., v. 60, p. 5375, 1999.
MACKAY, R. S.; MEISS, J. D.; PERCIVAL, I. C. Transport in hamiltonian-systems. Physica
D, v. 13, p. 55, 1984.
MEISS, J. D.; OTT, E. Markov tree model of transport in area-preserving maps. Physica D,
v. 20, p. 387, 1986.
75
MOSER, J. Stable and random motions in dynamical systems. [S.l.]: Princenton university
press, 1973.
NEWTON, I. Principia:princ´ıpios matem´aticos da filosofia natural. [S.l.]: Traduc¸˜ao: Ricci,
EDUSP, 1990.
OKUSHIMA, T. New method for computing finite-time lyapunov exponents. Physical Review
Letters, v. 91, p. 254101, 2003.
OSELEDETS, V. I. Multiplicative ergodic theorem: Characteristic lyapunov exponents of
dynamical systems. Trudy MMO, v. 19, p. 179, 1968.
OTT, E. Chaos in Dynamical Systems,. [S.l.]: Cambridge Uni. Press, 1993.
OTT, E.; SOMMERER, J. C. Blowout bifurcations: the ocurrence of riddled basins and on-off
intermittency. Physics Letters A, v. 188, p. 39, 1994.
PAKTER, R.; LOPES, S. R.; VIANA, R. L. Transition to chaos in the conservative four-wave
parametric interactions. Physica D, v. 110, p. 277, 1997.
PERCIVAL, I. C. Nonlinear dynamics and the beam-beam interaction. American Institute of
Physics Conference Proceedings, v. 57, p. 302, 1979.
PETZOLD, L. R. Automatic selection of methods for solving stiff and nonstiff systems of
ordinary differential equations. Siam j. sci. stat. comput., march, p. 136, 1983.
PLATT, N.; SPIEGEL, E. A.; TRESSER, C. On-off intermittency: A mechanism for bursting.
Physics Review Letters, v. 70, p. 279, 1993.
POINCARE, H. Les M´ethodes nouvelles de la m´echanique c´eleste. [S.l.]: Vol. I e Vol. II.
Gauthier-Villars, 1887.
POL, B. van der; MARK, J. van der. Frequency demultiplication. Nature, v. 120, p. 363–364,
1927.
POMEAU, Y.; MANNEVILLE, P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical
systems. Communications in Mathematical Physics, v. 74, p. 189, 1980.
REMPEL, E. L.; CHIAN, A. Origin of transient and intermittent dynamics in spatiotemporal
chaotic systems. Physical Review Letters, v. 98, n. 1, p. 014101, 2007.
ROMEIRAS, F. J. Integrability of double three-wave interaction. Physics Letters A., v. 93,
p. 227, 1983.
RUNDQUIST, A.; DURFEEIII, C. G.; HERNE, Z. C. C.; BACKUS, S.; MURNANE, M. M.;
KAPTEYN, H. C. Phase-matched generation of coherent soft x-rays. Science., v. 280, p. 1412,
1998.
SAGDEEV, R. Z.; GALEEV, A. Nonlinear Plasma Theory. [S.l.]: W.A Benjamin, Inc, 1969.
SCHUSTER, H. G. Determinisctic Chaos: an introduction. [S.l.]: 3
a
ed., VHD ,1995, 1995.
SCIENCE. So much more to know. Science, v. 309, p. 78, 2005.
76
SEPULVEDA, M. A.; BADII, R.; POLLAK, E. Spectral-analysis of conservative
dynamical-systems. Physical Review Letters, v. 63, p. 1226, 1989.
SHEN, Y. R. The Principle of Nonlinear Optics. [S.l.]: Wiley, New York, 1984.
SHLESINGER, M. F.; ZASLAVSKY, G. M.; KLAFTER, J. Strange kinetics. Nature, v. 263,
p. 31, 1993.
SMALE, S. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc., v. 73, p. 747, 1967.
STENFLO, L. Kinetic theory of three-wave interaction in a magnetized plasmas. Journal of
Plasma Physics, v. 4, p. 585, 1970.
STENFLO, L.; SHUKLA, P. K. Generation of radiation by upper hybrid pump waves. Journal
Geophysics research-space physics., v. 100A9, p. 17261, 1995.
SUGIHARA, R. Interaction between an electromagnetic wave, plasma waves, and an ion
acoustic wave. Physics of Fluids., v. 11, p. 178, 1968.
SZEZECH, J. D. J.; LOPES, S. R.; VIANA, R. L. Finite-time lyapunov spectrum for chaotic
orbits of non-integrable hamiltonian systems. Physics Letters A, v. 335, p. 394, 2005.
SZEZECH, J. D. J.; LOPES, S. R.; VIANA, R. L. Bubbling transition to spatial mode
excitation in an extended dynamical system. Physica D, Submetido para publicac¸˜ao, 2007(a).
SZEZECH, J. D. J.; LOPES, S. R.; VIANA, R. L. Onset of spatiotemporal chaos in a nonlinear
system. Physics Review E, v. 75, p. 067202, 2007(b).
TAKENS, R. F. On the nature of turbulence. Communications in Mathematical Physics, v. 20,
p. 167, 1971.
TENNEKES, H.; LUMLEY, J. L. A first course in turbulence. [S.l.]: 15
o
Edic¸˜ao, Cambridge,
EUA, 1994.
TOWNSEND, A. A. The structure of turbulent shear flow. [S.l.]: Cambridge Univ. Press, 1976.
TZENG, K. C.; MORI, W. B.; DECKER, C. D. Anomalous absorption and scattering of
short-pulse high-intensity lasers in underdense plasmas. Physics Review Letters, v. 76, p. 3332,
1996.
USUI, H.; MATSUMOTO, H.; GENDRIN, R. Numerical simulations of a three-wave coupling
occurring in the ionospheric plasma. Nonlinear Processes in Geophysics., v. 9, p. 1, 2002.
WALTERS, D.; LEWAK, G. J. Dynamics of four coupled plasma waves to second order.
Journal of Plasma Physics, v. 18, p. 525, 1977.
WIGGINS, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. [S.l.]:
Springer-Verlag, New York, 1990.
WILHELMSSON, H. Non-linear coupling of waves in a magnetizd plasma with particle drift
motions. Journal of Plasma Physics, v. 3, p. 215, 1969.
77
WOLF, A.; SWINNEY, J. B.; VASTANO, J. A. Determining expoents from a time series.
Physica D, v. 16, p. 285, 1985.
YARIV, A. Quantum Eletronics. [S.l.]: Wiley, New York, 1989.
ZAKHAROV, V. E.; MANAKOV, S. V. Resonant interaction of wave packets in nonlinear
media. JETP letters., v. 18, p. 243, 1973.
ZASLAVSKY, G. M. From hamiltonian chaos to maxwell’s demon. Chaos, v. 5(4), p. 653,
1995.
ZASLAVSKY, G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport. Physics Reports,
v. 371, p. 451, 2002(a).
ZASLAVSKY, G. M. Dynamical traps. Physica D, v. 168, p. 292, 2002(b).
ZIMIN, A. V.; HUNT, B. R.; OTT, E. Bifurcation scenarios for bubbling transition. Physics
Review E, v. 67, n. 1, p. 016204, 2003.
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