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onde convenciona-se que
a
t=b
(1 + I
t
) = 1 se a > b e considera-se os prˆemios X
k
sendo
pagos no in´ıcio do per´ıodo (k − 1, k) e investidos durante esse per´ıodo a uma taxa de
juros I
k
e, o modelo
R
n
= R
n−1
(1 + I
n
) + X
n
− Y
n
, n = 0, 1, 2, . . .
ou equivalentemente
R
n
= u
n
k=1
(1 + I
k
) +
n
k=1
(X
k
− Y
k
)
n
t=k+1
(1 + I
t
)
,
e considera-se os prˆemios X
k
sendo pagos apenas no final do per´ıodo (k − 1, k), n˜ao
recebendo juros durante esse tempo.
O pr´oximo modelo de risco foi proposto por Jun Cai e David C.M. Dickson
[7], o qual estende o modelo cl´assico de risco a tempo discreto proposto por Jun
Cai(2002a, 2002b)[4] e [5]. Este modelo ´e praticamente o estudado em Cai(2002a, 2002b),
a menos da entrada de juros oriundos de poss´ıveis investimentos ser uma Cadeia de
Markov. O modelo ´e expresso por
R
k
= R
k−1
(1 + I
k
) − Z
k
, k = 1, 2, . . . . (1.5)
onde R
0
= u ≥ 0 ´e uma constante ( o capital inicial) , {Z
k
, k = 1, 2, 3, . . .} ´e uma
sequˆencia de vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d) com
fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao comum G(z) = P (Z
1
≤ z), e {I
k
, k = 1, 2, . . . .} ´e uma sequˆencia
de vari´aveis aleat´orias e independentes de {Z
k
, k = 1, 2, 3, . . . .}. A perda l´ıquida, Z
k
,
´e calculada no final de cada per´ıodo e ´e igual ao total de indeniza¸c˜oes pagas menos o
total de prˆemios recebidos no per´ıodo k. Assim, Z
k
= Y
k
−X
k
, com {Y
k
, k = 1, 2, 3, . . .}
sequˆencia de vari´aveis aleat´orias i.i.d. independentes de {X
k
, k = 1, 2, 3, . . . .}, que
tamb´em ´e uma sequˆencia de vari´aveis aleat´orias i.i.d. Al´em disso, {I
k
, k = 0, 1, . . .}
denota a taxa de juros no per´ıodo k e ´e uma Cadeia de Markov. Assim, R
k
dado por
(1.5) ´e o capital de uma seguradora com capital inicial u ao final do per´ıodo k. Os
detalhes deste modelo podem ser encontrados na disserta¸c˜ao de mestrado defendida
pela UFCG pelo aluno Santos[26].
A vari´avel R
k
representa o capital de uma empresa seguradora ao final do per´ıodo
(k − 1, k), e ´e chamado de Processo de Reserva de Risco a Tempo discreto.