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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
GIVANILDO FARIAS DA SILVA
A REORGANIZAÇÃO DA MATEMÁTICA ESCOLAR DO
COLÉGIO EM TEMPOS DO MOVIMENTO DA MATEMÁTICA
MODERNA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2008
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
GIVANILDO FARIAS DA SILVA
A REORGANIZAÇÃO DA MATEMÁTICA ESCOLAR DO
COLÉGIO EM TEMPOS DO MOVIMENTO DA MATEMÁTICA
MODERNA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial
para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM
ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora
Doutora Ana Lúcia Manrique.
São Paulo
2008
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Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
___________________________________ _____________________________
Assinatura Local e Data
DEDICATÓRIA
A minha querida esposa Lilian, por
todo amor, companheirismo e compreensão
a mim dedicados durante a realização desse
trabalho. Ao meu grande amigo Marcio
Jean que com toda paciência e dedicação
esteve sempre ao meu lado não me deixando
desanimar nos momentos mais difíceis.
Minha eterna gratidão. E ao meu filhinho
João Pedro que chegará junto com essa
conquista. Dedico-lhes esse título.
AGRADECIMENTO
A Deus, pelo dom da vida e pela crença que me move e
não me deixa desistir.
Aos Professores do Programa de Estudos Pós-
Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, pela
dedicação e orientação prestada durante todo o curso,
em especial ao professor Saddo Ag Almouloud, com
quem pude contar na fase mais difícil da conclusão
deste trabalho e à professora Ana Lúcia Manrique que
acompanhou a finalização da minha pesquisa.
Aos colegas do mestrado, em especial à Cristiane,
Luciana e ao Rogério, com quem dividi os momentos
mais difíceis dessa trajetória.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, por
conceder a bolsa auxílio para a realização deste
trabalho.
Aos colegas de trabalho da Oficina Pedagógica da
Diretoria Regional de Ensino Sul-3, pelo auxílio e
amizade que demonstraram ao longo desta caminhada.
A todos os meus familiares pela força e compreensão
dos momentos em que estive ausente, em especial aos
meus pais, José João da Silva (in memoriam) e Maria
Cleonice Farias da Silva, por me darem a vida, por me
apoiarem e se dedicarem totalmente à educação de
seus filhos, com certeza esses são os grandes mestres
que tenho na vida.
Ao meu grande amigo Marcio Jean, que deu grandes
contribuições ao meu trabalho, por meio de suas
leituras críticas, construtivas e muitos incentivos nos
momentos mais difíceis.
A minha querida esposa Lilian que com muita
paciência e dedicação esteve sempre ao meu lado.
Enfim, agradeço a todos aqueles que de forma direta
ou indireta contribuíram para a realização e a
conclusão deste trabalho.
Os que se encantam com a prática sem a
ciência são como os timoneiros que entram no
navio sem timão nem bússola, nunca tendo
certeza do seu destino.
Leonardo da Vinci
RESUMO
O objetivo deste trabalho é investigar os processos de transformação que a
Matemática Escolar, ensinada no Ensino Colegial, atual Ensino Médio, sofreu nas
décadas de 1950 a 1960. Para alcançar tal objetivo foram utilizadas nessa
pesquisa as legislações vigentes na época, como os Programas do Ensino
Secundário, dispostos pela Portaria n° 966 de 2 de outubro de 1951, a Lei n°
4024/61 que instituiu as Diretrizes e Bases da Educação Nacional, além das
Sugestões para um roteiro de Programa para a cadeira de Matemática, propostos
pelo GEEM em 1965. Utilizou-se também a Coleção de livros didáticos
Matemática – Curso Colegial Moderno, de Scipione Di Pierro Neto, Luiz Mauro
Rocha e Ruy Madsen Barbosa, publicada em tempos do Movimento da
Matemática Moderna, considerada uma das primeiras publicações nesse período
para o Ensino Colegial. Para fundamentar as análises foram utilizadas as
contribuições de André Chervel (1990), com a História das Disciplinas escolares,
e de Alain Choppin (2004), que procurou fazer uma reflexão sobre os livros
didáticos ao considerá-los produções complexas. Com isso, podem-se observar
as mudanças nas apresentações dos conteúdos ensinados no Colegial a partir da
Portaria de 51 passando pelas Sugestões do GEEM (1965), assim como as
assimilações dessas Sugestões na Coleção Matemática-Curso Colegial Moderno.
A principal mudança, no entanto, se deu por meio de uma nova linguagem na
apresentação dos conteúdos, a partir da Teoria dos Conjuntos, da Lógica e das
Estruturas Algébricas, além da inclusão de novos conteúdos, tais como Matrizes,
Geometria das Transformações, Probabilidade e um estudo aprofundado das
Funções elementares e trigonométricas e da Geometria Analítica.
Palavras-Chave: Movimento da Matemática Moderna, Reorganização da
Matemática Escolar, Ensino Secundário, Ensino Colegial.
ABSTRACT
The target of this work is investigating the change’s process that School
Mathematic for Secondary School, nowadays High School, during decades of
1950 and 1960. This target was gained on through legislation on the time, as
Programas do Ensino Secundário, laid out by Portaria 966 on the 2
nd
of October
1951, the Law 4024/61 that created the Diretrizes e Bases da Educação Nacional
besides Sugestões para um roteiro de Programa para a cadeira de Matemática
proposed by GEEM in 1965. It had used set of didactic books Matemática – Curso
Colegial Moderno, by Scipione Di Pierro Neto, Luiz Mauro Rocha and Ruy
Madsen Barbosa, published on time of Modern Mathematic’s Movement that have
been considered at first hand publishing in this period to High School. To
substantiate these analyses, it was used the contribution by André Chervel (1990)
with the History of School Subjects and Alain Choppin (2004) he have searched
and to reflect about didactic books and he have consided these books a complex
production. Like this, it is possible to observe the changes on the introduction of
the subjects that it would be taught on High School ever since Portaria de 51 even
Sugestões by GEEM, in 1965, besides assimilation these Sugestões on set
Matemática – Curso Colegial Moderno. However, the main change had been a
new language for content’s introduction begining from Teory of Conjunct, from
Logical and from Algebraical Structures, besides incorporation of news contents,
as Matrix, Transformation’s Geometry, Probability and an analyse by elementary
and trigonometricals’ Function and Analitic Geometry.
Keywords: Modern Mathematic’s Movement, reorganization of School
Mathematic, High school, Secondary School.
LISTA DE ABREVIATURAS
BCMI – Boston College Mathematics Institute
BSTCEP – Ball State Teachers College Experimental Program
CADES – Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário
CIEM – Commission Internationale de L’Enseignemente Mathématique
CMCEEB – Comission on Mathematics College Entrance Examination Board
CTA – Centro Técnico de Aeronáutica
ECA – Escola de Comunicação e Artes da USP
ETFPR – Escola Técnica Federal do Paraná
EUA – Estados Unidos da América
FFCL – Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras
GEEM – Grupo de Estudo do Ensino da Matemática
GEEMPA – Grupo de Estudos de Ensino de Matemática Moderna de Porto Alegre
GEPEM – Grupo de Estudos e Pesquisas e Educação Matemática do Rio de
Janeiro
GHEMAT – Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática
IBECC – Instituto Brasileiro para a Educação, a Ciência e a Cultura
ICEM – Commission Internationale de L’Enseignemente Mathématique
ICMI – International Comission on Mathematical Instruction
IMUK – Internationalen Mathematische Unterrichts Kommission
INEP – Instituto Nacional de Educação e Pesquisa
MEC – Ministério da Educação e da Cultura
MMM – Movimento da Matemática Moderna
NEDEM – Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática de Curitiba
OECE – Organização Européia de Cooperação Econômica
PUC/SP – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
SIU – Southern Illinois University
SMSG – Scholl Mathematics Study Group
UICSM – University Illinois Committee School Mathematics
UMMaP – University of Maryland Mathematics Project
NCTM – National Councial of Teachers of Mathematics
UNESCO – Organização das Nações Unidas para a educação, a ciência e a
cultura
UNESP – Universidade do Estado de São Paulo
URSS – União das Repúblicas Socialistas Soviéticas
USP – Universidade de São Paulo
LISTA DE TABELAS
Capítulo III
Página
3.1.1 – Evolução do crescimento populacional e das matrículas do
ensino secundário no Brasil, de 1920 a 1970...............................
49
LISTA DE FIGURAS
Capítulo IV
Página
4.2.1 – Capa do livro da Coleção Primeiro Colegial.................................. 83
4.2.2 – Capa do livro da Coleção Segundo Colegial................................. 83
4.2.3 – Capa do livro da Coleção Terceiro Colegial.................................. 83
4.3.1 – Matemática Antiga e Matemática Moderna................................... 91
4.3.2 – Símbolos da teoria dos conjuntos e da lógica............................... 92
4.3.3 – Utilização dos símbolos e aspectos gráficos no ensino de
inequações I..................................................................................
93
4.3.4 – Utilização dos símbolos e aspectos gráficos no ensino de
inequações II.................................................................................
94
4.3.5 – Representação gráfica das funções seno e cosseno.................... 96
4.3.6 – Utilização da linguagem da Teoria dos Conjuntos no ensino de
Trigonometria I..............................................................................
97
4.3.7 – Utilização da linguagem da Teoria dos Conjuntos no ensino de
Trigonometria II.............................................................................
98
4.3.8 – Utilização dos símbolos e linguagem da Teoria dos Conjuntos
no ensino de Geometria I..............................................................
100
4.3.9 – Utilização dos símbolos e linguagem da Teoria dos Conjuntos
no ensino de Geometria II.............................................................
101
4.3.10 – Introdução da segunda parte do Livro II...................................... 105
4.3.11 – Continuação da introdução da segunda parte do Livro II............ 106
4.3.12 – Utilização da relação de equivalência no estudo de áreas..........
111
4.3.13 – Utilização da árvore de probabilidade para resolver um
problema.....................................................................................
115
4.3.14 – Introdução do capítulo sobre estruturas algébricas.....................
117
4.3.15 – Introdução ao estudo dos polinômios I........................................ 119
4.3.16 – Introdução ao estudo dos polinômios II....................................... 120
4.3.17 – Nota histórica sobre a Geometria Analítica e o Cálculo.............. 125
4.3.18 – Comentário sobre o cálculo no ensino secundário......................
126
LISTA DE QUADROS
Capítulo III Página
3.3.1 – Quadro comparativo entre a Portaria de 1951 e a Sugestões de
1965 do primeiro colegial..............................................................
65
3.2.2 – Quadro comparativo entre a Portaria de 1951 e a Sugestões de
1965 do segundo colegial.............................................................
68
3.2.3 – Quadro comparativo entre a Portaria de 1951 e a Sugestões de
1965 do terceiro colegial...............................................................
70
Capítulo IV
Página
4.3.1 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o estudo
das Funções e o Livro I da Coleção..............................................
90
4.3.2 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o estudo
de Trigonometria e o Livro I da Coleção.......................................
95
4.3.3 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 o estudo da
Geometria Espacial e o Livro I da Coleção...................................
99
4.3.4 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o estudo
de Seqüências e o Livro II da Coleção.........................................
103
4.3.5 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o estudo
de Sistemas Lineares e o Livro II da Coleção...............................
107
4.3.6 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o estudo
dos Poliedros e Sólidos e o Livro II da Coleção............................
109
4.3.7 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o estudo
das Transformações Geométricas e o Livro II da Coleção...........
112
4.3.8 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o estudo
de Análise Combinatória e o Livro III da Coleção.........................
113
4.3.9 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o estudo
dos Números Complexos e o Livro III da Coleção........................
116
4.3.10 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo dos Polinômios e o Livro III da Coleção..........................
118
4.3.11 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo da Geometria Analítica e o Livro III da Coleção..............
122
4.3.12 – Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo de Análise Matemática e o Livro III da Coleção..............
124
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO................................................................................................
17
I. CONSIDERAÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS...................................
1.1. O Conceito de Disciplina Escolar na visão de Chervel.....................
1.2. A Função histórica do Livro Didático.................................................
21
21
25
II. O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA E SUA
CONTRIBUIÇÃO PARA A REFORMA DO ENSINO DE MATEMÁTICA...
2.1. Panorama Histórico-Cultural........................................ ....................
2.2. O Movimento da Matemática Moderna e a tentativa de
Internacionalização do Ensino de Matemática.................................
2.3. As primeiras manifestações do MMM nos Congressos Brasileiros
do Ensino de Matemática para a Escola Secundária.......................
29
29
34
41
III. A REORGANIZAÇÃO DO PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA O
ENSINO SECUNDÁRIO – CURSO COLEGIAL.........................................
3.1. A Portaria de 1951 e o Programa de Matemática para o Curso
Colegial..................................................... .......................................
3.2. A nova Proposta de Reorganização do Programa de Matemática
para o Curso Colegial.......................................................................
3.3. Análise comparativa dos Programas para o Curso Colegial entre a
Portaria de 1951 e as Sugestões de 1965........................................
47
48
53
64
IV. A UTILIZAÇÃO DAS SUGESTÕES DE 1965 NA COLEÇÃO
“MATEMÁTICA – CURSO COLEGIAL MODERNO...................................
4.1. Percurso acadêmico dos autores da Coleção “Matemática – Curso
Colegial Moderno”.............................................................................
4.2. A Coleção didática “Matemática – Curso Colegial Moderno”...........
4.3. Análise comparativa entre as Sugestões de 1965 e os conteúdos
da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno.........................
75
77
81
88
CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................
127
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................... 131
ANEXOS.........................................................................................................
135
17
INTRODUÇÃO
Ao ingressar no magistério, sistema de Ensino Público Paulista em 1999,
ainda cursando a licenciatura e bacharelado em Matemática na Universidade de
Santo Amaro – UNISA, indaguei-me do porquê determinados conteúdos não eram
ensinados no curso regular, pois verifiquei que alguns colegas deixavam de
ensinar tais conteúdos alegando serem muito complexos para os alunos
aprenderem. Minha primeira busca por tais explicações se deu participando de
palestras e cursos extra-classe proporcionado pela própria Universidade e por
outras Instituições de Ensino.
Em 2001, tendo que elaborar um projeto de pesquisa para Conclusão de
Curso, escolhi um tema que era pouco trabalhado no Ensino Médio das escolas
públicas, os “Números Complexos”. Nessa pesquisa fiz um estudo histórico do
surgimento dos Números Complexos, sua formação como um novo conjunto de
números e algumas aplicações. A partir de então, procurei entender os processos
que um professor percorre ao ensinar determinados conteúdos aos alunos e
percebi que as respostas a essas questões poderiam ser encontradas com o
estudo da História da Educação Matemática.
Dessa forma, depois de ter participado de vários cursos, palestras e
encontros relacionados à Educação Matemática, cheguei ao Mestrado
Profissional no Ensino de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo – PUC/SP, no 1° semestre de 2006. Desde então, comecei a participar do
18
Grupo de Pesquisa: A Matemática na organização curricular: história e
perspectivas atuais.
Estando no Grupo comecei a participar de um subgrupo que estudava a
História da Educação Matemática no Brasil – GHEMAT. Freqüentei as discussões
do projeto: A Matemática Escolar do Colégio em tempos do Movimento da
Matemática Moderna.
Esse projeto investigava a História da Educação Matemática no Brasil,
restringindo às décadas de 1960 a 1980. O projeto, em questão, tinha como
objetivo refletir sobre as reformas no Ensino da Matemática em tempos passados
e compreender como o cotidiano escolar se organizou nessas décadas. Para
alcançar tal objetivo o projeto articulava-se em subprojetos de pesquisa, dentre os
quais essa pesquisa que me propus a desenvolver era uma delas.
Nas discussões desse Grupo de pesquisa, pude perceber que os
processos pelos quais um professor percorre ao ensinar um determinado
conteúdo, aos alunos, é algo aparentemente muito complicado de ser
compreendido. Por outro lado, estudar o percurso histórico do desenvolvimento
da Disciplina Matemática e do seu Ensino poderia ser uma ferramenta para
auxiliar no entendimento desse processo.
Dessa forma, o objetivo desta dissertação é investigar os processos de
transformação que a Matemática Escolar do Colegial, atual Ensino Médio, sofreu
nas décadas de 1950 a 1960.
Para que esse objetivo pudesse ser alcançado, foi utilizado como corpus
de análise os Programas do Ensino Secundário, disposto pela Portaria n° 966 de
19
2 de outubro de 1951, as Sugestões para um roteiro de Programa para a cadeira
de Matemática, sugeridos pelo GEEM em 1965, e a Coleção Matemática – Curso
Colegial Moderno, de Scipione Di Pierro Neto, Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen
Barbosa. Com esse corpus pretende-se verificar como foi reorganizada a
Matemática Escolar para o Ensino Colegial
1
do Curso Secundário
2
, tendo em vista
o advento do chamado Movimento da Matemática Moderna no Brasil.
No primeiro capítulo será tratado da função histórica do livro didático assim
como o ensino das disciplinas escolares, já que ambas estão intimamente ligadas.
Para isso é de grande importância as contribuições de André Chervel (1990) e
Alain Choppin (2004). Recentemente o interesse por esse campo de pesquisa
vem crescendo em todo o mundo, como afirma Choppin (2004, p. 549): “a história
dos livros e das edições didáticas passou a constituir um domínio de pesquisa em
pleno desenvolvimento, em um número cada vez maior de países”.
Além disso, o livro didático é também responsável pela divulgação de
crenças, idéias e propostas pedagógicas. Dessa forma, tendo em vista que o
Movimento da Matemática Moderna surgiu na segunda metade do século XX, em
um mundo pós-guerras, com o objetivo de diminuir as distâncias entre o saber
dos matemáticos e àquele dos currículos escolares, o livro didático apresentou-se
como uma das ferramentas principais para a divulgação desse movimento.
Ao considerar o panorama histórico-cultural e o Movimento da Matemática
Moderna no Brasil e no Mundo, será abordado, no segundo capítulo, as
contribuições desse Movimento para a reforma do Ensino da Matemática.
1
Ensino Colegial, atual Ensino Médio com alunos na idade de 15 a 17 anos.
2
Curso Secundário, atual Ensino Fundamental II e Ensino Médio com alunos na idade de 11 a 17
anos.
20
O terceiro capítulo apresentará as legislações vigentes nas décadas de
1950 e 1960, assim como uma análise demonstrativa das modificações dos
conteúdos a serem propostos ao Ensino Colegial.
No quarto capítulo será feita a análise da Coleção Matemática – Curso
Colegial Moderno, com o intuito de verificar como foram assimiladas as propostas
dos programas curriculares, além de dispor uma breve apresentação dos autores
e suas contribuições para o Ensino da Matemática.
A partir dessa organização, buscou-se analisar as informações
apresentadas em cada capítulo para se entender como foi realizada a
reorganização da Matemática Escolar do Colégio tendo como parâmetro a
legislação vigente na época e como foram assimiladas na Coleção didática
Matemática – Curso Colegial Moderno.
21
CAPÍTULO I
CONSIDERAÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS
1.1. O Conceito de Disciplina Escolar na visão de Chervel
As disciplinas são o preço que a sociedade deve pagar
à sua cultura para poder transmiti-la no contexto da
escola ou do colégio.
André Chervel
Para se fazer a análise da reorganização da disciplina Matemática Escolar,
ensinada no Ensino Colegial do Curso Secundário, faz-se necessário estudar a
história do ensino de uma disciplina escolar que, muitas vezes, é tratada tendo
em mente um contexto histórico, deixando de verificar como sua prática era
desenvolvida no âmbito escolar. Por outro lado, as pesquisas feitas sobre a
história das disciplinas, segundo Chervel (1990), resumem-se a questões
pontuais ou sobre uma época pré-estabelecida.
Dessa forma, é relevante salientar a contribuição do pesquisador francês
André Chervel no final dos anos da década de 1980. O estudo da história dos
22
conteúdos do ensino primário ou secundário, segundo Chervel (1990, p. 177),
“raramente suscitou o interesse dos pesquisadores ou do público”.
A primeira preocupação de Chervel (1990) para um estudo dessa categoria
é definir o termo “disciplina”, que aparece por volta do início do século XX como
“conteúdos de ensino”. Até o final do século XIX o termo “disciplina” tinha como
objetivo “a vigilância dos estabelecimentos, a repressão das condutas prejudiciais
à sua boa ordem e aquela parte da educação dos alunos que contribui para isso”
(CHERVEL, 1990, p. 178). Somente após a Primeira Guerra Mundial o vocábulo
“disciplina”, tal como se conhece hoje, se torna um conceito que classifica as
matérias de ensino, não deixando, porém, de guardar a idéia de sua origem:
disciplinar, ordenar, controlar.
As especificidades do conhecimento produzido pelas disciplinas escolares
são caracterizadas e delimitadas com maior precisão por Chervel (1990), que
entende disciplina como uma “criação cultural própria” em que:
(...) os conteúdos de ensino são concebidos como entidades sui
generis, próprios da classe escolar, independentes, numa certa
medida, de toda realidade cultural exterior à escola, e desfrutando
de uma organização, de uma economia interna e de uma eficácia
que elas não parecem dever a nada além delas mesmas, quer
dizer à sua própria história. Além do mais, não tendo sido rompido
o contato com o verbo disciplinar, valor forte do termo está sempre
disponível. Uma “disciplina”, é igualmente, para nós, em qualquer
campo que se a encontre, um modo de disciplinar o espírito, quer
dizer de lhe dar os métodos e as regras para abordar os diferentes
domínios do pensamento, do conhecimento e da arte.(CHERVEL,
1990, p. 180)
Partindo dessa perspectiva, uma disciplina escolar não se resume a uma
simples vulgarização da ciência de referência. Segundo o autor, por mais que a
23
imagem que se faz do ensino das ciências seja uma “vulgarização” dos
“conhecimentos que não se lhe podem apresentar na sua pureza e integridade”
(CHERVEL, 1990, p. 181), o que de fato ocorre é que “contrariamente ao que se
teria podido acreditar, a ‘teoria’ ensinada na escola não é a expressão das
ciências ditas, ou presumidas ‘de referência’, mas que ela foi historicamente
criada pela própria escola, na escola e para a escola”. (CHERVEL, 1990, p. 181)
Dessa forma, Chervel (1990, p. 181) conclui que essa explicação já seria
suficiente para distinguir disciplina escolar da vulgarização das ciências. “A escola
ensina um sistema, ou melhor, uma combinação de conceitos mais ou menos
encadeados entre si”.
O autor alerta ainda sobre a importância dos métodos pedagógicos.
Segundo Chervel (1990, p. 182), não se pode excluir a pedagogia no estudo dos
conteúdos que, longe de ser um “lubrificante espalhado” pelo mecanismo de
ensino, é um dos elementos desse mecanismo, transformando as formas de
ensino em aprendizagens.
O que se percebe nessa conceituação é que as disciplinas escolares estão
intimamente ligadas às várias metodologias de ensino-aprendizagem utilizadas
pelos professores, com o objetivo de facilitar a assimilação dos conceitos a serem
ministrados:
É às circunstâncias de sua gênese e à sua organização interna
que as disciplinas escolares devem o papel, subestimado, mas
considerável, que elas desempenham na história do ensino e na
história da cultura. Fruto de um diálogo secular entre os mestres e
os alunos, elas constituem por assim dizer o código que duas
gerações, lentamente, minuciosamente, elaboram em conjunto
para permitir a uma delas transmitir à outra uma cultura
determinada. A importância dessa criação cultural é proporcional à
24
aposta feita: não se trata nada menos do que da perenização da
sociedade. (CHERVEL, 1990, pp. 221-222)
Chervel (1990) apresenta também a importância de se estudar a história
das disciplinas escolares:
Desde que se compreenda em toda a sua amplitude a noção de
disciplina, desde que se reconheça que uma disciplina escolar
comporta não somente as práticas docentes da aula, mas também
as grandes finalidades que presidiram sua constituição e o
fenômeno de aculturação de massa que ela determina, então a
história das disciplinas escolares pode desempenhar um papel
importante não somente na história da educação mas na história
cultural. (CHERVEL, 1990, p. 184)
Dessa forma, para Chervel (1990), estudar a constituição e o
funcionamento de uma disciplina implica considerar três questões: primeiro como
a disciplina começa a ser colocada em prática, qual sua gênese; segundo, qual a
utilidade de tal disciplina e, por último, qual a funcionalidade da disciplina em
questão, sempre tendo em vista, porém, que os conteúdos são os componentes
centrais de uma disciplina, devem ser devidamente articulados tanto com as
finalidades a que estão vinculados quanto com a avaliação dos resultados
concretos que produzem.
25
1.2. A Função histórica do Livro Didático
Os livros didáticos não são apenas instrumentos
pedagógicos: são também produtos de grupos sociais
que procuram, por intermédio deles, perpetuar suas
identidades, seus valores, suas tradições, suas
culturas.
Alain Choppin
Além da “disciplina”, é importante nessa pesquisa discorrer sobre alguns
aspectos da história do livro didático, pois “os livros didáticos representam um dos
traços que o passado nos deixou.” (VALENTE, 2007, p. 39). Dialoga com essa
perspectiva os argumentos apresentado por Circe Bittencourt (2003), ao discorrer
sobre a importância dos livros didáticos, afirmando que:
Os livros escolares, por outro lado, oferecem condições de uma
análise dos conteúdos pedagógicos por intermédio das atividades
e exercícios propostos e, dessa forma, continuam sendo uma das
fontes privilegiadas para a história da disciplina. (BITTENCOURT,
2003, p. 34)
Para tanto, tomamos como referência a teoria sobre o livro didático de
Alain Choppin (2004) que procura fazer uma reflexão sobre os manuais escolares
ao considerá-los produções culturais complexas.
Alain Choppin (2004), ao analisar a história dos livros didáticos, descreve
logo no início de seu artigo, intitulado “História dos livros e das edições didáticas:
26
sobre o estado da arte”, fruto da comunicação feita no XXII Congresso do ISHEE
em Alcalá, as dificuldades para abordar o assunto. Dentre essas dificuldades
destaca a falta de uma terminologia comum para o “livro didático”, pois afirma:
(...) é designado de inúmeras maneiras, e nem sempre é possível
explicitar as características específicas que podem estar
relacionadas a cada uma das denominações, tanto mais que as
palavras quase sempre sobrevivem àquilo que elas designaram
por um determinado tempo.” (CHOPPIN, 2004, p. 549)
Por outro lado, quando se tenta definir um objeto, que se desenvolve ao
mesmo tempo que seu vocábulo, há o problema de ambigüidade que pode ser
produzido. Outras dificuldades levantadas por esse autor dizem respeito ao
caráter recente desse campo de pesquisa, tal como a barreira das línguas.
Choppin (2004, p. 551) afirma que a pertinência desse campo de pesquisa
se dá por intermédio do “peso considerável que o setor escolar assume na
economia editorial nesses dois últimos séculos”. Além disso, os livros didáticos
assumiram, historicamente, várias funções, entre elas destacam-se quatro
consideradas essenciais, que podem “variar consideravelmente segundo o
ambiente sociocultural, a época, as disciplinas, os níveis de ensino, os métodos e
as formas de utilização” (CHOPPIN, 2004, p. 553).
Esse autor divide as funções essenciais do livro didático em:
1. Função referencial, também chamada de curricular ou
programática, desde que existam programas de ensino: o livro
didático é então apenas a fiel tradução do programa ou, quando
se exerce o livre jogo da concorrência, uma de suas possíveis
interpretações. Mas, em todo o caso, ele constitui o suporte
privilegiado dos conteúdos educativos, o depositário dos
conhecimentos, técnicas ou habilidades que um grupo social
acredita que seja necessário transmitir às novas gerações.
27
2. Função instrumental: o livro didático põe em prática métodos
de aprendizagem, propõe exercícios ou atividades que, segundo o
contexto, visam a facilitar a memorização dos conhecimentos,
favorecer a aquisição de competências disciplinares ou
transversais, a apropriação de habilidades, de métodos de análise
ou de resolução de problemas, etc.
3. Função ideológica e cultural: é a função mais antiga. A partir
do século XIX, com a constituição dos estados nacionais e com o
desenvolvimento, nesse contexto, dos principais sistemas
educativos, o livro didático se afirmou como um dos vetores
essenciais da língua, da cultura e dos valores das classes
dirigentes. Instrumento privilegiado de construção de identidade,
geralmente ele é reconhecido, assim como a moeda e a bandeira,
como um símbolo da soberania nacional e, nesse sentido, assume
um importante papel político. Essa função, que tende a aculturar
— e, em certos casos, a doutrinar — as jovens gerações, pode se
exercer de maneira explícita, até mesmo sistemática e ostensiva,
ou, ainda, de maneira dissimulada, sub-reptícia, implícita, mas não
menos eficaz.
4. Função documental: acredita-se que o livro didático pode
fornecer, sem que sua leitura seja dirigida, um conjunto de
documentos, textuais ou icônicos, cuja observação ou
confrontação podem vir a desenvolver o espírito crítico do aluno.
Essa função surgiu muito recentemente na literatura escolar e não
é universal: só é encontrada — afirmação que pode ser feita com
muitas reservas — em ambientes pedagógicos que privilegiam a
iniciativa pessoal da criança e visam a favorecer sua autonomia;
supõe, também, um nível de formação elevado dos professores.
(CHOPPIN, 2004, p. 553)
Desse modo, o livro didático é, em sua essência, elaborado com o intuito
de ser uma ferramenta pedagógica destinada a auxiliar na aprendizagem e na
formação de valores. Para Choppin (2004), o livro pode ser denominado como
uma literatura didática técnica ou profissional assumindo as funções de referencial
curricular, de instrumentalização de métodos de aprendizagem, ideológica e
cultural e, mais restritamente, documental. Podemos assim verificar que o livro é
apresentado como um guia curricular que serve como uma orientação para a
prática docente, que, por muitas vezes, tem maior influência sobre as ações dos
professores do que os próprios referenciais curriculares oficiais.
28
Vale lembrar que, por mais que os professores tenham mais facilidade de
acesso ao livro didático, os contextos de produção de materiais pedagógicos
estão intimamente ligados ao contexto legislativo:
O estudo sistemático do contexto legislativo e regulador, que
condiciona não somente a existência e a estrutura, mas também a
produção do livro didático, é condição preliminar indispensável a
qualquer estudo sobre a edição escolar. (CHOPPIN, 2004, p. 561)
Por outro lado, deve-se observar também que o livro didático não é o único
instrumento que faz parte da educação da juventude, é preciso levar em
consideração a utilização de outros instrumentos como: mapas, softwares
didáticos, CD-Rom, internet, entre outros, que contribuem para a melhoria da
prática pedagógica e auxiliam no desenvolvimento do processo de ensino-
aprendizagem. Ou seja, a utilidade do livro didático é complementada a outros
meios, tornando-se parte importante de um conjunto que favorece à
aprendizagem.
Analisar, então, um livro didático significa levar em conta a multiplicidade
de agentes envolvidos em seu processo de produção. Segundo Choppin (2004),
essa análise deve passar pelas regras do poder político, econômico, lingüístico,
editorial, pedagógico e até financeiro.
29
CAPÍTULO II
O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA E SUA
CONTRIBUIÇÃO PARA A REFORMA DO ENSINO DE
MATEMÁTICA
A análise do MMM permite recolocar o foco nas
interferências econômicas, sociais e ideológicas dessa
reforma e (...) observar que os seus promotores tinham
objetivos bem diferentes daqueles que foram
atingidos.
Bernard Charlot
Para melhor compreensão do início do Movimento da Matemática
Moderna, far-se-á um breve panorama do avanço da tecnologia no mundo nos
anos pós-guerra, pois o avanço da tecnologia está diretamente ligado ao
desenvolvimento da Matemática.
2.1. Panorama Histórico-Cultural
O impacto das novas tecnologias pôde ser percebido, embora de maneira
negativa, durante a Segunda Guerra Mundial. As máquinas de guerra alemãs e
dos exércitos aliados trouxeram à luz novas ferramentas que já eram, de certa
forma, do conhecimento de muitos, porém com alto grau de eficiência.
30
A guerra, com suas demandas de alta tecnologia, preparou vários
processos revolucionários para posterior uso civil, embora um
pouco mais do lado britânico (depois assumido pelos EUA) que
entre alemães com seu espírito cientifico: radar, motor a jato e
várias idéias e técnicas que prepararam o terreno para a
eletrônica e a tecnologia de informação do pós-guerra.
(HOBSBAWM, 1998, p. 260)
Não se tratou somente de armas e finalidades puramente bélicas, mas de
novas formas de comunicação - radares, telefonia, Internet. No campo da aviação
foram testados e aprovados os primeiros projetos de aviação à jato e que
futuramente seriam muito bem aplicados no setor do transporte aéreo. Até mesmo
os deslocamentos terrestres apresentaram inovações automotoras e ciclo-
motoras. Porém, a mais avançada descoberta tecnológica da história até aquele
momento ficou por conta da ciência nuclear que culminou na bomba atômica.
Tratava-se de uma tecnologia cuja primeira intenção não foi à geração e gestão
de energia para o mundo, mas a destruição vinculada ao objetivo final da guerra,
a vitória. (HOBSBAWM, 1998, p. 260)
O Brasil durante o contexto da Segunda Guerra Mundial vivia um momento
de transição em sua vida política e econômica. O projeto de desenvolvimento do
então presidente Getúlio Vargas evidenciava a necessidade de uma indústria
nacional que pudesse substituir as importações que tanto oneravam o país e que,
por conseqüência, pudesse abastecer, mesmo que relativamente, a população
com opções de compra. Tratava-se de uma tentativa de gerar e ao mesmo tempo
reforçar uma burguesia nacional que pudesse fazer uma revolução não
comunista, mas capitalista. Dentro desse cenário, o Brasil acabou realizando um
acordo com os Estados Unidos para participação na Segunda Guerra Mundial e
foi um “dos primeiros países do mundo a participar, lealmente aos EUA, a partir
31
de 1943, das discussões sobre a criação das instituições internacionais
projetadas para o mundo do pós-guerra” (FAUSTO, 1997, p. 59).
O interesse norte-americano pelo Brasil se deu a partir do momento em
que foi percebida a força brasileira enquanto nação emergente, ao mesmo tempo
em que as forças alemãs ensaiavam uma forte aproximação com o Brasil. Por
meio de acordos e tratados assinados entre o presidente Roosevelt e Vargas, nos
quais incluía-se o projeto de apoio e investimento às indústrias brasileiras de
base, a Vale do Rio Doce é um exemplo.(FAUSTO, 1997)
Finalizada a Segunda Guerra Mundial, a dinâmica seguinte das nações
envolvidas no conflito toma um novo rumo, dando início à Guerra Fria. Tratou-se
de um momento em que houve a polarização das nações vencedoras em dois
blocos: o capitalista, liderado pelos EUA, e o socialista, liderado pela URSS. Ao
contrário da Segunda Guerra Mundial, a Guerra Fria se referiu a um período em
que uma catástrofe atômica estava prestes acontecer a qualquer momento. Tanto
EUA como URSS detinham um imenso arsenal atômico capaz de liquidar com o
planeta em pouco tempo. Como o conflito não ocorria de forma direta, passou a
funcionar pelos bastidores da história. O clima psicológico era intenso e as
válvulas de escape puderam ser percebidas nas Guerras da Coréia (anos 1950) e
Vietnã (1960/1970), por outro lado, a Guerra Fria também foi uma guerra
tecnológica (HOBSBAWM, 1998, p. 224). O envio dos primeiros satélites e
foguetes para o espaço foi um mérito soviético. O astronauta, Yuri Gagarin, de
nacionalidade russa, foi o primeiro homem a viajar pelo espaço sideral e informar
aos curiosos na terra que o nosso planeta tinha a coloração azul.
32
Em contrapartida, os EUA realizavam diversos avanços tecnológicos em
vários setores. No caso da corrida espacial, em 1962, conseguiram enviar John
Glenn Jr., empatando com os russos o número de astronautas no espaço sideral.
Os EUA tiveram a vitória assegurada em 1969, quando o Apolo 11 colocou o
primeiro homem na Lua. Ainda, na década de 1960, os EUA já dispunham de um
avançado sistema de informática, a era do computador começava a ser
inaugurada.
O Brasil do pós-guerra, principalmente no que diz respeito ao
desenvolvimento tecnológico e industrial, pôde ser melhor pensando na era JK –
Juscelino Kubitschek de Oliveira – anos 1950-1960. Os presidentes que
antecederam Juscelino (Eurico Gaspar Dutra e Getúlio Vargas) trouxeram muitos
problemas de ordem política e que atravancaram a esfera econômica. Com
Juscelino, o slogan 50 anos em 5 deu direção à forte abertura da indústria
automobilística, o crescimento continuado da Petrobrás, a chegada dos primeiros
eletrodomésticos, o avanço na área de telefonia, dentre tantos, marcando o clima
desenvolvimentista no Brasil.
Com isso, na educação, há a necessidade de buscar meios para
acompanhar tal desenvolvimento científico e tecnológico, pois o ensino até então
era considerado tradicional, em especial o Ensino da Matemática que era visto
como um ensino mecânico e repetitivo valorizando resoluções de listas de
exercícios e memorização de fórmulas e teoremas.
Tais avanços tecnológicos e conquistas espaciais não foram os únicos
impulsionadores do Movimento da Matemática Moderna na década de 1950, pois
em 1908 já havia um movimento de internacionalização do Ensino da Matemática
33
impulsionado pela crescente comunicação entre as áreas da Matemática em
diferentes partes do mundo. Como se pode constatar com as contribuições de
Boyer (1999):
Apesar de grandes diferenças políticas e econômicas, a maioria
dos matemáticos do século vinte teve melhor percepção do
trabalho de seus colegas em outros continentes do que seus
precursores tiveram de resultados obtidos por alguém numa
província vizinha. Pelo fim da Primeira Guerra Mundial,
matemáticos da Itália, da URSS, dos Estados Unidos eram parte
do movimento matemático principal que durante os duzentos anos
precedentes parecia restrito a contribuições da Europa Ocidental e
do Norte. Desde o fim da Segunda Guerra o mesmo se tornou
verdade para numerosas comunidades matemáticas na Ásia e na
América do Sul. (BOYER, 1999, p. 429)
Com esse crescimento tecnológico, econômico e da comunicação entre os
países, no período entre guerras, a Matemática mudou consideravelmente. Para
Boyer (1999, p. 436), com o fim da Segunda Guerra Mundial, a Matemática “(...)
representou algo radicalmente novo, anunciando uma nova era. A teoria dos
conjuntos e a teoria da medida durante o século vinte invadiram uma parte
sempre maior da matemática”.
Com isso os grandes países da Europa e os Estados Unidos se
preocuparam com a situação do Ensino Secundário, principalmente o Ensino da
Matemática, e viram a necessidade urgente de uma reforma na prática
pedagógica.
34
2.2. O Movimento da Matemática Moderna e a tentativa de
internacionalização do Ensino de Matemática
O Movimento da Matemática Moderna – MMM, um “Movimento de
renovação pedagógica na área do ensino de matemática” (BURIGO, 1989, p.
112), ficou internacionalmente conhecido. Essa foi, porém, a segunda tentativa de
internacionalização do ensino de Matemática, a primeira teve origem no IV
Congresso Internacional de Matemática, realizado em abril de 1908 em Roma,
onde foi apresentada a proposta de criar uma Comissão Internacional para
estudar questões relativas à Educação Matemática. Aprovada tal proposta, foi
estabelecido a Commission Internationale de L’Enseignemente Mathématique –
ICEM, denominada pelos alemães de IMUK – Internationalen Mathematische
Unterrichts Kommission, coordenada pelo matemático alemão Felix Klein
3
, que
permaneceu na coordenação até falecer em 1925. Após o ano de 1954 essa
Comissão passou a ser conhecida como ICMI – International Comission on
Mathematical Instruction.(MIORIM, 1998, p. 72)
Ainda nas primeiras décadas do século XX, essa Comissão fez um
levantamento da Educação Matemática praticada em diferentes países afim de
promover discussões visando uma reforma de internacionalização do Ensino da
Matemática. Dentre os países participantes, o Brasil foi representado por Eugênio
Raja Gabaglia, professor do Colégio Pedro II.
3
Christian Felix Klein (1849-1925) matemático alemão, respeitado na comunidade científica, foi
um dos pioneiros na introdução de cursos de metodologia específica de Matemática nas
universidades. (MIORIM, 1998, p. 60)
35
O MMM constitui a segunda tentativa, em âmbito internacional, de
reforma do ensino de matemática. Passado cerca de meio século,
uma vez mais, matemáticos de renome estão à frente de uma
nova proposta que visa a aproximar os estudos elementares
daqueles ministrados em nível superior. (VALENTE, 2006, p. 31)
O Movimento da Matemática Moderna trazia consigo o conceito “moderno”,
em outras palavras: ele apresentava as características de um movimento que se
desprendia das estruturas tradicionais da educação para se enquadrar num
movimento popular detendo um sentido de “democratizante”. Além disso, o MMM
também estava “alicerçado numa sólida divisão de competências entre os
cientistas e professores de escola, entre países produtores e não produtores de
conhecimento matemático de valor acadêmico” (BURIGO, 1989, p. 51).
Para Burigo (1989), o Movimento da Matemática Moderna não foi “uma
proposta de gabinetes” ou algo imposto pelos órgãos oficiais das décadas de
1950 e 1960, tratou-se de um movimento absolutamente pedagógico em sua
essência e nos seus objetivos práticos. No entanto, não é descartada, por essa
autora a presença e a participação de governos em sua implementação.
O contexto histórico no qual se insere o MMM é o do pós-guerra, momento
esse no qual são rearticuladas as novas preocupações com o desenvolvimento,
tanto dos países imperialistas: EUA e demais vencedores da Segunda Guerra,
como de outros países, Brasil e países da América Latina, mais especificamente.
Por outro lado, para Price (1965), o que aconteceu com a Matemática
nesse período foi uma revolução ocasionada pelo crescimento das pesquisas
que, segundo o autor, o século XX foi a idade áurea da Matemática já que “mais
Matemática e Matemática mais profunda foi criada nesse período, que em todo
36
resto da história” (PRICE, 1965, p. 17). Outro fato a ser levado em conta foi a
automatização, introdução de máquinas que controlam máquinas, e pelos
computadores digitais automáticos, ou seja, “Esses computadores tornaram
possível emparelhar a teoria matemática e as máquinas computadoras para
produzir as respostas exigidas por físicos, engenheiros e outros” (PRICE, 1965, p.
21).
Com o uso dos computadores tornou-se possível a resolução de cálculos
que até então eram impossíveis, por isso a sua importância. Inclusive o autor de
livros didáticos no Brasil da década de 1960, Osvaldo Sangiorgi fez uma
apresentação de seu livro, em forma de carta endereçada aos alunos do ginásio,
dizendo:
Você vai iniciar agora o estudo da Matemática de um modo
diferente daquele pelo qual seus irmãos e colegas mais velhos
estudaram. Sabe por quê? Porque Matemática, para eles, na
maioria das vezes, era um ‘exagero de cálculos’, ‘problemas
complicados, trabalhosos e fora da realidade’ que a tornavam,
quase sempre, um fantasma! Hoje, na Era Atômica em que
vivemos, isto é trabalho para as máquinas (os fabulosos
computadores eletrônicos de que tanto falam os jornais...), razão
pela qual você vai aproveitar o seu precioso tempo aprendendo o
verdadeiro significado e as belas estruturas da Matemática
Moderna. (SANGIORGI, 1963, s.p.)
Osvaldo Sangiorg foi professor titular de pós-graduação da Escola de
Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo (ECA – USP), licenciado
em Ciências Matemáticas pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da
Universidade de São Paulo (FFCL – USP). Lecionou em Kansas University (EUA)
e no Instut Eupen da Bélgica, entre outras instituições internacionais. Também foi
membro da Academia Internacional de Ciências, com sede na República San
Marino. Até 1959 foi professor de Geometria Analítica da Faculdade de Filosofia
37
da Universidade Mackenzie. Em 1961, ao retornar dos Estados Unidos onde teve
contato com os grupos de estudos norte-americanos, organizados com o intuito
de produzir material didático para o Ensino da Matemática Secundária e divulgar
as mudanças apresentadas pelo Movimento da Matemática Moderna.
Em meio a essa nova tecnologia computadorizada, fazia-se necessário o
ensino de uma nova Matemática, como também afirma Price (1965):
A revolução tecnológica que ora se processa requer que uma
Matemática nova seja ensinada em nossas escolas, que a ênfase
seja mudada no ensino de muitos assuntos já incluídos em nossos
cursos de Matemática e que nós aumentemos a produção de
Matemáticos e Professôres de Matemática. (PRICE, 1965, p. 22)
Sangiorgi (1965) por sua vez, acrescenta ainda as informações sobre os
fundamentos dos programas de Matemática dizendo que:
O que se deseja essencialmente com modernos programas de
Matemática (e esta seria a expressão mais aconselhada) é
modernizar a linguagem dos assuntos considerados
imprescindíveis na formação do jovem estudante usando os
conceitos de conjuntos e estruturas. (SANGIORGI, 1965, p. 2)
Já no contexto europeu, desde a década de 1950 iniciaram-se grupos de
discussão para aperfeiçoar o ensino da Matemática. Os principais integrantes
desses grupos foram: Jean Dieudonné matemático e professor da Universidade
de Evanston (Illinois, U.S.A.); A. Lichnerowics matemático do College de France;
G. Choquet matemático da Universidade de Paris; E.W. Beth lógico-matemático
da Universidade de Amsterdam; C. Gattegno matemático-pedagogo da
Universidade de Londres; Jean Piaget psicólogo da Universidade de Genebra, e o
38
objetivo desses grupos foi a “modernização dos programas de ensino da
Matemática na escola secundária, bem como planos de trabalho para tal
execução” (SANGIORGI, 1965, p. 6).
Em 1959, a culminar este interesse muito alargado de
modernização do currículo de Matemática, a Organização
Européia de Cooperação Econômica (OECE) decidiu realizar um
inquérito sobre a situação do ensino dessa disciplina nos seus
países membros, bem como uma sessão de trabalho apoiada nos
resultados desse inquérito, visando promover uma reforma
generalizada e tão profunda quanto possível do ensino da
Matemática. (GUIMARÃES, 2007, p. 21)
Os países membros da Organização Européia de Cooperação Econômica
(OECE)
4
se comprometiam:
(...) a conjugar suas fôrças econômicas, a se entender sôbre a
utilização mais completa de suas capacidades e de suas
possibilidades particulares, a aumentar sua produção, desenvolver
e modernizar seus equipamentos industriais e agrícolas, a
aumentar seu comércio, reduzir progressivamente os entraves ao
seu comércio mútuo, favorecer o pleno emprêgo da mão de obra,
restaurar ou manter a estabilidade de suas economias, assim
como a confiança nas suas divisas nacionais. (GEEM, 1965b, s.p.)
Os resultados desse inquérito proposto pela OECE, no ano de 1959,
resultaram numa sessão de trabalhos ocorridos no Cercle Culturel de Royaumont,
em Asnières-sur-Oise, França, compreendido num período limitado de duas
semanas, tendo como membros
5
representantes de dezoito países, ficando
conhecido como Seminário de Royaumont. Esse seminário exerceu grande
4
A Organização Européia de Cooperação Econômica (OECE) foi instituída pela Convenção de
Cooperação Econômica Européia em 16 de abril de 1948, tendo como membro os países:
Alemanha, Áustria, Bélgica, Dinamarca, Espanha, França, Grécia, Irlanda, Islândia, Luxemburgo,
Noruega, Holanda, Portugal, Reino Unido, Suécia, Suiça e Turquia. Os Estados Unidos e o
Canadá participavam como Membros Associados. (GEEM, 1965b, p. 1)
5
Os membros eram formados por professores de Matemática das universidades, das escolas
secundárias e das instituições encarregadas de formar os professores do ensino secundário.
(GEEM, 1965b, p. 1)
39
influência internacional no âmbito da reforma do Ensino da Matemática. Choquet
apresentou um programa para o ensino primário e secundário e Dieudonné
manifestou-se desfavorável a geometria euclidiana, favorecendo com que se
tornasse um símbolo da matemática clássica.
Com essas discussões, foi elaborada “A proposta de reforma delineada em
Royaumont e a sua especificação realizada em 1960, em Dubrovnik, com a
elaboração de ‘Um programa moderno de Matemática para o ensino secundário’”
(GUIMARÃES, 2007, p. 22). Vale ressaltar que a sessão de Royaumont havia
decidido que esse programa deveria ser passível de adaptação para que assim
pudesse ser, eventualmente, acessível a todos os alunos do curso secundário.
Já nos Estados Unidos da América, alguns grupos também preocupados
com o Ensino da Matemática na escola secundária, começam a aparecer,
recebem auxílio financeiro particular e oficial, permitindo um grande planejamento
para todo o país possibilitando “Cursos de aperfeiçoamento para professores em
serviço” nas novas áreas de Matemática. (SANGIORGI, 1965, p. 8)
Os principais Grupos de estudo dos Estados Unidos foram: SMSG - School
Mathematics Study Group; UICSM - University Illinois Committe School
Mathematics; UMMaP - University of Maryland Mathematics Project; BCMI -
Boston College Mathematics Institute; BSTCEP - Ball State Teachers College
Experimental Program; SIU - Southern Illinois University; CMCEEB - Comission
on Mathematics College Entrance Examination Board; NCTM - National Councial
of Teachers of Mathematics. (SANGIORGI, 1965a, p. 8)
40
Foi a partir da convenção de Royaumont, em 1959, assim como a de
Dubrovnik, realizada em 1960, que se instaura o Movimento da Matemática
Moderna que, como dito anteriormente, foi um dos principais marcos das reformas
no Ensino de Matemática, promovendo alterações curriculares em diversos
países.
Segundo Kline (1976), o termo “matemática moderna é pertinente”, pois os
grupos americanos fizeram referências a grandes grupos de professores, tendo
como principal mensagem:
(...) o ensino de matemática tinha malogrado porque o currículo
tradicional oferecia matemática antiquada, pela qual se referiam à
matemática criada antes de 1700. Implícita nesta afirmação
estava a idéia de que os jovens estavam a par deste fato e
portanto, se recusavam a aprender a matéria. (KLINE 1976, p. 34)
Também no Brasil as discussões quanto às mudanças no Ensino
Secundário se fizeram presentes nos cinco congressos realizados nas décadas
de 1950 e 1960. Nesses congressos, professores da rede pública e particular de
ensino, envolvidos com o Ensino da Matemática, debateram de forma preocupada
a questão da inserção de novos conceitos na disciplina, além das novas
metodologias a serem aplicadas. Tratava-se da reelaboração do currículo anterior
e a tentativa de colocar o Ensino da Matemática em novas bases.
41
2.3. As primeiras manifestações do MMM nos Congressos
Brasileiros de Ensino da Matemática para a Escola
Secundária
O Movimento da Matemática Moderna no Brasil surge como uma
alternativa para a Matemática clássica tradicional, apresentando conteúdos e
sugestões pedagógicas que pareciam não estabelecer nenhuma relação com a
prática docente da época. Dessa forma, as primeiras manifestações oficiais da
introdução de novos programas, bem como da linguagem Matemática Moderna,
direcionada aos alunos da escola secundária, foram feitas nos Congressos
Brasileiros de Ensino da Matemática.
O I Congresso Nacional de Ensino da Matemática no Curso Secundário foi
realizado em Salvador, Bahia, em 1955 no período de 4 a 7 de setembro.
Participou desse Congresso 94 professores, representando os estados de Distrito
Federal (Rio de Janeiro), São Paulo, Rio Grande do Sul, Espírito Santo,
Pernambuco, Rio Grande do Norte e Bahia.
Dentre esses participantes, destacam-se a presença de Jairo Bezerra do
Rio de Janeiro, representando o Colégio Pedro II; Martha Maria de Souza Dantas,
da Bahia; Osvaldo Sangiorgi, de São Paulo; Martha Blauth Menezes, do Rio
Grande do Norte, além de Omar Catunda, Ana Averbuch, entre outros
participantes.
Não há evidências da introdução de tópicos da Matemática Moderna nesse
congresso, mas há discussões sobre a legislação educacional, em particular a
42
Portaria Ministerial n° 966, de 2 de outubro de 1951, que instituiu um programa
mínimo de Matemática para o Ensino Secundário, de modo a tentar reorganizar e
adequar a Matemática às realidades de seu Ensino.
Nesse congresso foi proposta a elevação do número de aulas semanais,
passando de três para quatro aulas semanais no curso ginasial e cinco para o
colegial. E ainda que os programas de ensino deveriam ser flexíveis, sendo
sujeitos a revisões periódicas que pudessem atender as particularidades de cada
instituição de ensino. Essas revisões deveriam ser feitas por todos os níveis de
profissionais da educação, inclusive professores em exercício, devendo ser
eleitos em cada unidade da federação.
Por fim, o Congresso recomendava ainda uma reestruturação dos atuais
Programas de Matemática no Curso Secundário, visando uma efetiva
sistematização e garantia de um maior aproveitamento de cada estudante.
No II Congresso Nacional de Ensino da Matemática realizado em Porto
Alegre, no ano de 1957, compareceram mais de 400 professores, entre eles Júlio
César de Melo e Souza, Benedito Castrucci, Manuel Jairo Bezerra e Osvaldo
Sangiorgi. É nesse congresso que surgem as primeiras argumentações sobre a
Matemática Moderna (BURIGO 1989, p. 47), no tocante as novas formas de
Ensino da Matemática.
Na tese apresentada por Odila Barros Xavier é proposto um programa de
formação de professores primários nos quais incluíam os seguintes tópicos: a
noção do conjunto, questões de correspondência biunívoca (um a um) e
43
diferentes sistemas de numeração, julgando ser fundamental para o aprendizado
da Matemática no Ensino Secundário.
Para o nível secundário, Ubiratan D’Ambrosio sugeriu a introdução do
estudo de propriedades de diferentes conjuntos numéricos e suas operações
ressaltando as diversas estruturas algébricas, tais como aquelas que podem ser
observadas na geometria nas transformações no plano (CONGRESSO, 1957 p.
378). Sangiorgi recomendou que essas mudanças no currículo fossem gradativas,
porém em seu programa proposto não foi incorporado nenhuma das novas
sugestões, não satisfazendo sua afirmação de incorporação gradativa.
Já o III Congresso, sediado na cidade do Rio de Janeiro, em 1959, contou
com um número significativo de participantes: ao todo foram 500 professores de
Matemática, dentre os quais Osvaldo Sangiorgi, o principal articulador do MMM
no Brasil, Ary Quintela, Martha Maria de Souza Dantas, Martha Blauth Menezes,
Manoel Jairo Bezerra, Ruy Madsen Barbosa, citando apenas alguns nomes.
O Congresso em questão teve por objetivo: “(...) estudar os problemas
relativos ao ensino da matemática nos cursos secundário, comercial, industrial,
normal e primário.” (CONGRESSO, 1959 p. 13)
A partir desse objetivo algumas resoluções foram aprovadas, como cursos
de aperfeiçoamento para professores, com intuito de prepará-los ao ensino da
Matemática Moderna, a realização de experiências no Ensino Secundário a ser
apresentado no IV Congresso.
Nesse ínterim, Osvaldo Sangiorgi, em 1960, participou de um seminário de
verão na Universidade de Kansas, num período de quatro meses, juntamente a
44
alguns outros professores da América Latina. De volta ao Brasil, já no ano de
1961, Sangiorgi, em parceria com a Secretaria de Educação de São Paulo, com o
Instituto Mackenzie e com a National Science Foundation, entrou em contato com
o matemático George Springer e juntos organizaram um curso de
aperfeiçoamento destinado a professores de matemática, sendo realizado nos
meses de agosto e setembro do mesmo ano. Conseqüentemente, tomado pela
idéia da necessidade de Grupos de estudos, Sangiorgi criou em 31 de outubro de
1961 o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática, em São Paulo, grupo que
ficou conhecido como GEEM. Essa iniciativa foi de grande importância para a
constituição do Movimento da Matemática Moderna no Brasil, já que esse foi o
grande responsável pela divulgação de suas idéias.
Em 1962, na cidade de Belém, Pará, aconteceu o IV Congresso,
considerado um dos mais importantes para colocar em prática as propostas do
Movimento da Matemática Moderna. No entanto, não houve publicação de Anais
desse Congresso, favorecendo com que o GEEM publicasse o primeiro livro da
Série Professor intitulado Matemática Moderna para o Ensino Secundário, no
mesmo ano. Segundo o prefácio da segunda edição dessa obra, publicada em
1965, um dos objetivos para a primeira edição era angariar contribuições dos
professores para que assim pudessem ser publicadas as “Sugestões para um
roteiro de Programa para a cadeira de Matemática,” Curso Secundário, constando
na segunda edição.
O V Congresso ocorreu em São José dos Campos, São Paulo, em 1966,
no período de 10 a 15 de janeiro. A organização desse Congresso ficou a cargo
do GEEM e foi coordenado por Osvaldo Sangiorgi. Participaram desse Congresso
45
os coordenadores dos Congressos anteriores, como representante da Bahia,
Martha de Sousa Dantas, de Porto Alegre, Martha Blauth Menezes, do Rio de
Janeiro, e Roberto Peixoto de Belém, Jorge Barbosa, além de cerca de 300
professores de todo o País.
Foi a primeira vez que um Congresso brasileiro teve a presença de
professores estrangeiros, como Marshall Stone da Universidade de Chicago,
Estados Unidos, Hector Merklen da Universidade de Montevidéu, Uruguai,
Helmuth Volker da Universidade de Buenos Aires, Argentina, e George Papy da
Universidade de Bruxelas, Bélgica, e cujas pesquisas tiveram importante
influência no Ensino da Matemática no Brasil.
Esse Congresso teve como temário a “Matemática Moderna na Escola
Secundária; articulações com o Ensino Primário e com o Ensino Universitário”
(CONGRESSO, 1966, p. 23) visando concentrar os estudos e as ênfases
discutidas nos congressos que o antecederam, estabelecendo diálogos com os
Congressos Internacionais de Ensino da Matemática.
Deve-se destacar que em 1963, o GEEM foi declarado um órgão de serviço
público pela lei 2663/63 da Assembléia Legislativa do Estado de São Paulo,
contando assim com apoio oficial, como a Secretaria de Educação de São Paulo
e o Ministério da Educação e Cultura, para divulgação e realização de seus
cursos em São Paulo e em todo Brasil. E ainda possibilitou a concessão de
bolsas de estudos, nacionais e internacionais, para professores membros do
Grupo, com isso o GEEM teve reconhecimento em todo Brasil. (FRANÇA, 2007,
p. 67)
46
Enfim, todos esses Congressos, assim como a criação do GEEM, tiveram
uma importância na divulgação do Movimento da Matemática Moderna no Brasil
que, dentre outras coisas, incentivaram também a criação de outros grupos como
o Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática – NEDEM, no Paraná, e
do Grupo de Estudos sobre o Ensino da Matemática em Porto Alegre – GEEMPA
e o Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática do Rio de Janeiro –
GEPEM.
47
CAPÍTULO III
A REORGANIZAÇÃO DO PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA O
ENSINO SECUNDÁRIO – CURSO COLEGIAL
Programas curriculares e livros didáticos foram sendo
produzidos concomitantemente, um auxiliando o outro
na elaboração dos conteúdos das diversas disciplinas a
serem transmitidos pela educação formal.
Circe Bittencourt
Neste capítulo será feito um estudo do sistema legislativo das décadas de
1950 e 1960, pois tal análise torna-se necessária para compreensão de como os
conteúdos a serem ensinados na escola sofreram alterações, e como as mesmas
foram assimiladas nos livros didáticos. Para Choppin (2004):
(...) analisar o conteúdo de uma obra – sem levar em conta as
regras que o poder político, ou religioso, impõe aos diversos
agentes do sistema educativo, quer seja no domínio político,
econômico, lingüístico, editorial, pedagógico ou financeiro, não faz
qualquer sentido. (CHOPPIN, 2004, p. 561)
48
3.1. A Portaria de 1951 e o Programa de Matemática para o
Curso Colegial
A Portaria n° 966, que institui os Programas do Ensino Secundário foi
aprovada em 2 de outubro de 1951 pelo, então, Ministro da Educação e Saúde,
Simões Filho. Segundo o Ministro, que denominou a portaria de “Programa
Mínimo”, esse Programa procurava “estabelecer um limite inferior ao qual todas
instituições escolares estariam sujeitas e em condições de executá-lo”
(MARQUES, 2005, p. 53).
Contudo, havia a necessidade de mudanças no programa do Ensino
Secundário, e o Ministro Simões Filho em esclarecimento dado numa entrevista
coletiva à imprensa, diz:
A necessidade, por um lado, de aliviar os deveres escolares que
congestionam os atuais programas do Ensino Secundário, e, de
outro, atribuir maior elasticidade e rendimento à sua execução,
tantas vezes reclamada, quer pelos educadores, quer por alunos e
seus pais, levou o Ministério da Educação a estudar a
conveniência de proceder a uma revisão da matéria neles contida,
de modo a possibilitar o desenvolvimento racional de suas
finalidades educativas. (INEP, 1952 Apud MARQUES, 2005, p.51)
Considerando que o número de aulas semanais de Matemática eram três,
foi apontada como uma das soluções para tentar resolver os problemas
educacionais existentes: a simplificação
6
dos programas do Ensino da
Matemática. Um dos problemas relacionava-se a diversidade de alunos e os
6
Termo utilizado pelo próprio Ministro Simões Filho.
49
diferentes níveis de dificuldades, isso porque o crescimento da demanda escolar,
na década de 1950, marcou o início da popularização do ensino.
O objetivo fundamental deste trabalho, pois, em eliminar dos
programas atualmente em vigor os excessos aludidos, reduzindo
a prolixidade dos conhecimentos alinhados na estruturação das
diversas disciplinas, que tornava penosa a tarefa didática. Ao
mesmo tempo, verifica-se o flagrante desajustamento desses
programas com o nível de assimilação da população escolar,
cujas faculdades intelectuais, ainda mal desabrochadas, não a
habilitavam a abranger a enorme soma de deveres e atividades de
aprendizagem oferecidas ao seu conhecimento.
Com efeito, a simples análise desses aspectos tornava evidente a
necessidade de serem os programas vigentes imediatamente
revistos, para uma simplificação mais adequada ao
desenvolvimento subjetivo dos alunos e de forma a comportar
certa plasticidade, a fim de ajustar-se às diferenciações regionais
a às conveniências do melhor rendimento do ensino ministrado
pelos docentes. (INEP, 1952 Apud MARQUES, 2005, p.52)
É possível constatar tal crescimento populacional e escolar, motivados pelo
crescimento industrial nas grandes cidades, na tabela a seguir:
Tabela 3.1.1. Evolução do crescimento populacional e das matrículas do
ensino secundário no Brasil, de 1920 a 1970
Anos População Índices (%) Matrícula Índices (%)
1920 30.635.605 100 109.281 100
1940 41.236.315 135 260.202 238
1950 51.944.397 170 477.434 437
1960 70.119.071 229 1.177.427 1.077
1970 94.501.554 308 4.989.776 4.566
Fonte: Romanelli (2007, p. 62-64)
50
Tomando como referência o ano de 1920, verifica-se que em vinte anos a
população brasileira cresceu 35%, já para as matrículas no Ensino Secundário o
crescimento foi de 138%. Após a Segunda Guerra Mundial, a partir da década de
1950 até a de 1970, pode-se observar que em vinte anos a população cresceu
138% e as matrículas, por sua vez, no Ensino Secundário nesse mesmo período,
tiveram um crescimento de 4.129%.
Esse crescimento acelerado acarretou diversos problemas nos sistemas de
ensino e mudanças se faziam necessárias. Dessa forma, uma revisão dos
programas de Ensino no sentido de simplificá-los, seria uma tentativa para
solucionar os problemas relatados. A Portaria n° 966/51 propunha um programa
que deveria ser adotado por todos os estabelecimentos de Ensino Secundário do
país e deveria entrar em vigor progressivamente no ano seguinte, começando
pela primeira série Ginasial e Colegial. Por outro lado, deveria se levar em conta
que, conforme o artigo 4° dessa Portaria:
Os programas das diversas disciplinas do curso secundário serão
cumpridos no Colégio Pedro II e nos demais estabelecimentos de
ensino secundário do país com desenvolvimento adequado às
diversas regiões, tendo-se sempre em vista as conveniências
didáticas. (BRASIL, 1952, p. 1-2)
O Programa Mínimo de Matemática para o Colegial foi estruturado da
seguinte forma, para ser ministrado em três aulas semanais:
51
1ª Série
Noções sobre o cálculo aritmético aproximado; erros.
Progressões.
Logaritmos.
Retas e planos; superfícies e poliedros em geral; corpos redondos usuais;
definições e propriedades; áreas e volumes.
Seções cônicas; definições e propriedades fundamentais.
2ª Série
Análise combinatória simples.
Binômio de Newton.
Determinantes; sistemas lineares.
Noções sobre vetores; projeções; arcos e ângulos; linhas e relações
trigonométricas.
Transformações trigonométricas em geral; equações trigonométricas
simples.
Resolução trigonométrica de triângulos.
3ª Série
Conceito de função; representação cartesiana; reta e círculo; noção
intuitiva de limite e de continuidade.
Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações; aplicações.
Introdução à teoria das equações; polinômios; propriedades, divisibilidade
por x ± a; problemas de composição, transformações e pesquisa de raízes;
equações de tipos especiais.
52
De acordo com a apresentação do Programa destinado ao Curso Colegial,
pode-se classificar os conteúdos, por série, da seguinte maneira:
1ª Série: Aritmética, Álgebra e Geometria;
2ª Série: Álgebra e Trigonometria;
3ª Série: Álgebra e Análise.
No entanto, verifica-se que os conteúdos dispostos nas séries estão
organizados de maneira a serem ensinados em uma única série.
A Álgebra tinha sua devida importância nesse Programa, pois seus
conteúdos foram distribuídos em todas as séries. Observa-se que não foi
apresentado o conteúdo de Matrizes que só aparece no desenvolvimento
metodológico
7
como uma ferramenta para o estudo do Determinante.
7
Vide ANEXO A.
53
3.2. A nova Proposta de Reorganização do Programa de
Matemática para o Curso Colegial
Com o surgimento do Movimento da Matemática Moderna, foi apresentada
aos professores, da segunda metade do século XX, uma nova abordagem
didática no Ensino da Matemática a ser aplicada em sala de aula, ao mesmo
tempo em que sugeriu também um novo Programa a ser seguido no Ensino
Secundário. Esse novo Programa só foi proposto porque a própria Portaria n°
966/51 previa a flexibilização dos conteúdos a serem trabalhados, conforme a
orientação presente no artigo 4°.
Posteriormente, no ano de 1961, outro elemento que embasou essa
flexibilização foi a Lei n° 4024/61 que institui as Diretrizes e Bases da Educação
Nacional, que deu margem a novas modificações de conteúdos das disciplinas,
de acordo com artigo 12° que previa à flexibilidade dos currículos.
Esse contexto, compreendido no período do pós-guerra e no decorrer dos
anos de 1950, em muitos países europeus, além de outros países desenvolvidos,
principalmente os Estados Unidos da América, começou a ser levantada a
bandeira de que se fazia necessário uma reforma no Ensino da Matemática. Em
Royaumont a justificativa a essa necessidade baseava-se em argumentos de
ordem social relacionados com o desenvolvimento da Matemática e do progresso
científico e tecnológico (GUIMARÃES, 2007, p.28).
No Brasil, o Movimento da Matemática Moderna nasceu mediante um clima
de grande agitação social, no período pós Era Vargas. Nessa época a busca de
54
novas descobertas científicas amparadas pelo governo era ordem do dia (LIMA,
2006, p. 36). Assim novos conceitos passaram a integrar o Ensino Secundário,
também a atitude do professor em relação ao aluno foi sendo transformada em
busca de uma melhoria de ensino.
Essa nova matemática, em síntese, consiste na entrada de novos
tópicos no currículo da escola elementar, que estavam presentes
em nível superior: geometria informal, probabilidades, álgebra e
teoria dos números. Os conjuntos aparecem como tema
unificador, sendo dada grande ênfase nas estruturas algébricas.
(VALENTE, 2006, p. 31)
Nesse contexto, deve-se destacar a colaboração de Osvaldo Sangiorgi que
já era conhecido como grande referência para o Ensino da Matemática, tanto
como autor de livros didáticos como pela experiência na sala de aula. Sangiorgi
tinha também grande facilidade de articulação à importantes órgãos educacionais,
citadamente, entre a Companhia Editora Nacional e a Secretaria da Educação do
Estado de São Paulo, por isso promovia diversos cursos e encontros destinados à
professores dessa Disciplina.
Dessa forma, Sangiorgi, um dos grandes responsáveis pelas mudanças no
Ensino da Matemática no Brasil, assim como por sua divulgação e com a
colaboração da Secretaria da Educação de São Paulo, junto ao Grupo de Estudos
do Ensino da Matemática - GEEM, objetivou: “coordenar e divulgar a introdução
da Matemática Moderna na Escola Secundária” (SANGIORGI, 1965, p. 10). Para
que essas ações pudessem ser concretizadas, foram publicadas duas edições da
obra Matemática Moderna para o Ensino Secundário
8
, a primeira edição foi
8
Primeira publicação do GEEM, Série Professor n° 1, resultado dos trabalhos realizados no IV
Congresso em Belém em 1962.
55
publicada em 1962 e a segunda em 1965, conforme afirma o próprio GEEM no
prefácio, foi elaborada mediante “o sucesso alcançado pela 1
a
edição (em
colaboração com o IBECC) o país e o êxito invulgar que a introdução da
Matemática Moderna na escola secundária brasileira vem registrado em alguns
Estados.” (GEEM, 1965a, s.p.)
O GEEM apresentou nessa segunda edição “a publicação das Sugestões
para um roteiro de Programa para a cadeira de Matemática, Curso Secundário:
1
o
. Ciclo, 2
o
. Ciclo e Normal, da Secretaria de Educação de S. Paulo”
9
(GEEM,
1965a, s.p.), que foi, inclusive publicado no Diário Oficial de São Paulo, datado do
dia 19 de janeiro de 1965, na página 42, segundo afirmação constante no
Prefácio da edição citada.
Os conteúdos propostos para o Ensino Colegial foram:
PRIMEIRO ANO COLEGIAL
1. Funções:
a) noções gerais;
b) função linear, representação gráfica, estudo da reta;
c) função trinômio do 2º grau, variação, representação gráfica,
inequações do 2º grau;
d) função exponencial e logarítmica, uso das tábuas.
2. Seqüências:
a) exemplos de seqüências, princípios da indução;
b) progressões aritméticas e geométricas.
9
Como podemos constatar com a transcrição na íntegra ANEXO B.
56
3. Funções trigonométricas:
a) estudo das funções trigonométricas, periocidade, simetria,
representação gráfica;
b) relações fundamentais, funções trigonométricas de a ± b, 2a, a/2,
onde a e b representam medidas de arcos;
c) transformação de sen a ± sen b, cos a ± cos b em produto;
d) equações trigonométricas e resolução de triângulos.
4. Introdução à Geometria do Espaço:
a) axiomas e teoremas fundamentais;
b) perpendicularismo e paralelismo, projeção e distância;
c) diedros.
SEGUNDO ANO COLEGIAL
1. Análise Combinatória e Binômio de Newton:
a) análise combinatória simples;
b) noção de probabilidade;
c) binômio de Newton.
2. Sistemas de Equações lineares:
a) matrizes e determinantes;
b) resolução de sistemas lineares.
3. Ângulos Poliédricos e Poliedros:
a) triedros e ângulos poliédricos;
b) poliedros regulares;
c) prismas e pirâmides.
57
4. Superfícies e Sólidos Redondos:
a) superfícies elementares: cilíndricas, cônicas e de rotação.
b) Cilindro, cone e esfera.
5. Áreas e Volumes dos principais sólidos.
TERCEIRO ANO COLEGIAL
1. Conjunto dos números complexos:
a) conceito, representação, operações, propriedades;
b) raízes da unidade, equações binômias.
2. Polinômios e Equações Algébricas:
a) polinômios, operações, propriedades.
b) resolução de equações algébricas.
3. Geometria Analítica:
a) estudo da reta;
b) estudo da circunferência;
c) noções sobre cônicas.
4. Introdução ao Cálculo Infinitesimal:
a) noção de limite e continuidade de funções reais de variável real;
b) derivada de funções racionais e trigonométricas;
c) propriedades das derivadas e aplicação no estudo da variação das
funções.
5. Transformações Geométricas:
a) translação, rotação e simetria, propriedades;
b) semelhança, homotetia, propriedades.
58
Essa proposta de Programa de Matemática para o Ensino Colegial
apresenta algumas influências presentes em sua formulação, tais como as de
Royaumont que propunha, por exemplo, a valorização da Álgebra e da Geometria
vetorial, além de valorizar a linguagem e a simbologia matemática (GUIMARÃES,
2007, p. 32). Percebem-se também influências dos grupos americanos, como por
exemplo, o grupo School Mathematics Study Group - SMSG que produziu
compêndios em 1961 a fim de elaborar um novo curriculum para as escolas dos
Estados Unidos.
De acordo com essa proposta, os conteúdos podem ser classificados por
série da seguinte maneira:
1ª Série: Álgebra, Geometria e Trigonometria;
2ª Série: Álgebra e Geometria;
3ª Série: Álgebra, Geometria, Análise e Geometria Analítica.
Verificam-se que a Álgebra e a Geometria deveriam ser estudadas nos três
anos do Ensino Colegial, proporcionando uma melhor integração dessas duas
áreas da Matemática, uma das orientações do grupo SMSG. Essa estratégia pode
ser verificada no prefácio da edição brasileira do primeiro volume dos compêndios
produzidos por esse grupo:
A orientação dada ao ensino de Geometria do SMSG é a de reunir
a Geometria à Álgebra sempre que houver um oportunidade para
tanto pois o conhecimento em um destes dois campos contribuirá
naturalmente para a compreensão do outro. (SMSG, 1966, s.p.)
59
Segundo afirma Isaias Raw (GEEM, 1965a, s.p.), na apresentação para a
1
a
edição da Matemática moderna para o ensino secundário – Série Professor, o
Ensino da Matemática “deixou a meta de ser ‘não importa o que se ensina, desde
que se ensine bem’, para uma revolução, reavaliação do que devemos e
podemos ensinar”.
Assim, além de apresentar os Programas, o GEEM desenvolveu ainda um
projeto de formação e capacitação de professores que contava com cursos,
conferências e boletins, que tinham por objetivo garantir a perpetuação das idéias
do Movimento da Matemática Moderna. De modo geral, todas essas ações,
faziam parte das atitudes que começariam a ser assumidas para o
estabelecimento desse Movimento.
O GEEM foi o principal Grupo de Estudos do Ensino de
Matemática no Brasil, especialmente em São Paulo, e sempre foi
apoiado pelas instituições do governo, como IBECC de São Paulo,
MEC, SEESP, Sefort e outras instituições públicas, para propagar
a reforma dos ensinos secundário e primário. (NAKASHIMA, 2007,
p. 140)
Osvaldo Sangiorgi pontua que:
As primeiras manifestações oficiais da introdução de novos
programas, bem como a modernização da linguagem da
Matemática destinada aos alunos da Escola Secundária, foram
feitas através dos Congressos Brasileiros do Ensino da
Matemática.(GEEM, 1965a, p. 09)
Pode-se observar que outros dois fatores que contribuíram para divulgação
do Movimento da Matemática Moderna no Brasil, principalmente no Estado de
60
São Paulo, foram a imprensa e os livros didáticos, o que pode se confirmar com
as conclusões de Nakashima (2007):
A grande quantidade de textos jornalísticos do MMM pode ser o
resultado da relação entre a imprensa e o GEEM, que encontrou
um campo propício para a divulgação do ideário do Movimento
aos leitores, principalmente entre os anos de 1962 e 1968.
Algumas manchetes de jornais desse período relataram as
mudanças que estavam ocorrendo nos métodos de ensino de
Matemática, bem como o sucesso das propostas do GEEM, haja
vista que houve grande receptividade dos livros didáticos
inovadores publicados durante o Movimento da Matemática
Moderna. (NAKASHIMA, 2007, p. 141)
A proposta apresentada pelo GEEM no IV Congresso, aprovada e
publicada em diário oficial, foi discutida com professores em reuniões e encontros
que o antecederam:
Dentre os inúmeros textos jornalísticos classificados como
reuniões do GEEM, exemplificamos: “Reunião para estudo do
ensino da Matemática”, publicado no jornal O Estado de São
Paulo, em 25/05/1962; “Matemáticos reúnem-se hoje”, publicado
no jornal Folha de São Paulo, em 09/06/1962; “Reuniões sobre
Matemática programadas pelo GEEM”, publicado no jornal A
Gazeta, em 20/01/1962.
(...)
Nas Sessões de Estudo do Ensino da Matemática, entre outros
muitos assuntos, discutiam-se as experiências realizadas sobre a
Introdução da Matemática Moderna nos cursos secundário e
primário, assuntos mínimos de um programa de Matemática para
o ginásio, de acordo com as Leis de Diretrizes e Bases (LDB) e
atividades relacionadas ao IV Congresso Nacional de Ensino da
Matemática, que viria a ser realizado em Belém do Pará, em julho
de 1962. (NAKASHIMA, 2007, p. 51-52)
Dessa forma, iniciava-se uma nova era para o Ensino da Matemática no
Ensino Secundário que, mediante a resistência natural de diversos professores
61
frente ao novo, tenta se firmar e progredir em busca de melhorias para a prática
docente.
Tempos depois, em 1968, a Secretaria do Estado da Educação de São
Paulo promoveu uma reestruturação no ensino, devido ao “Estado de São Paulo
está vivendo uma profunda alteração no seu panorama educacional. O Ensino
Primário
10
, o Ensino Secundário
11
e o Ensino Normal
12
foram modificados nas
suas bases” (AZANHA, 2004, p. 349).
O Decreto Estadual n. 50.133, de 2 de agosto de 1968 alterou
profundamente a organização do ciclo colegial em São Paulo.
Instituiu-se, por força dessa medida, a unificação dos dois
primeiros anos de estudos do ensino secundário e normal.
Atendeu-se com isso a um duplo propósito: a valorização do curso
normal e a devolução ao ensino secundário colegial do seu
caráter de formação geral. (AZANHA, 2004, p. 351)
Ou seja, assim como as Sugestões para um roteiro de Programa para a
cadeira de Matemática foram elaboradas pelo GEEM e apresentada no IV
Congresso, em 1962, posteriormente publicadas no Diário Oficial de São Paulo
em 1965, mais uma vez ficou a cargo desse mesmo grupo elaborar uma nova
sugestão para um programa de Matemática para o 2º Ciclo – Curso básico.
Conforme apresentação do programa piloto abaixo:
Atendendo à reformulação pelo Departamento de Educação, do 2°
Ciclo do Curso Secundário, o G.E.E.M. elaborou um “programa-
piloto” para os 2 primeiros anos desse curso.
Apesar de, tal programa já estar sendo aplicado, com êxito, em
alguns Colégios de São Paulo, pretende o G.E.E.M. submetê-lo à
consideração dos professores, discuti-lo, ouvir sugestões e
finalmente obter um programa final.
10
Ensino Primário, hoje Ensino Fundamental I com alunos de 6 a 10 anos.
11
Ensino Secundário, hoje Ensino Fundamental II e Ensino Médio com alunos de 11 a 17 anos.
12
Ensino Norma, hoje Magistério formação de professores para o Ensino Fundamental I.
62
Em tais condições poderá o G.E.E.M. realizar uma série de
sessões em que apresentará os tópicos do programa dentro dos
princípios modernos da Matemática. (NOVAES, 2007, p. 202)
Esse programa piloto procurou atender as alterações mencionadas no
Decreto Estadual n° 50.133:
Artigo 5° - O ciclo colegial de caráter formativo e profissionalizante
diversificar-se-á em ramos e será organizado de modo a ensejar a
continuidade ou a terminalidade dos estudos.
Parágrafo único – Constituem ramos de ciclo colegial além de
outros os cursos secundários, técnicos e de formação de
professores para o ensino de grau primário.
Artigo 6° - Nas duas primeiras séries anuais do curso colegial, o
currículo será comum para o ensino secundário e normal,
podendo sê-lo também para os demais ramos. (SÃO PAULO,
1968, p. 3)
Segundo esse programa piloto, os conteúdos programáticos deveriam estar
estruturados da seguinte forma, atendendo o artigo 6° do decreto citado:
1- Conjuntos
2- Relações
3- Aplicação
4- Geometria Analítica
5- Progressões
6- Funções circulares ou trigonométricas
*6- Resolução de triângulos
7- Matrizes e determinantes
8- Números complexos
63
9- Função logarítmica e exponencial
Logaritmos
10- Geometria
11- Análise Combinatória
12- Probabilidade (NOVAES, 2007, p. 202)
Esse programa foi encontrado dentro de um dos livros do acervo do
Professor Benedito Castrucci
13
, na biblioteca do IME-USP, por Barbara Novaes
em pesquisas para sua dissertação de mestrado. Apesar de sua pesquisa ser
sobre a Educação Matemática nos cursos técnicos do Estado do Paraná dos anos
de 1960 e 1970, a autora relatou que encontrou esse documento pesquisando
sobre o Movimento da Matemática Moderna na biblioteca do IME-USP em 2004.
O documento não é oficial, mas achou interessante acrescentar em sua pesquisa
tendo em vista que a Matemática ensinada nos cursos técnicos tinha bastante
relação com esse programa proposto pelo GEEM em 1968. Dessa forma, a
pesquisadora utilizou-se desse material, o qual foi chamado de “programa piloto”,
para comparar com o programa dos dois primeiros anos da Escola Técnica
Federal do Paraná – ETFPR
14
.
13
O Professor Benedito Castrucci foi doutor em Ciências Matemática pela Faculdade de Filosofia,
Ciências e Letras da Universidade de São Paulo, autor de diversos livros didáticos e membro do
GEEM.
14
ETFPR é atualmente a Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.
64
3.3. Análise comparativa dos Programas para o Curso Colegial
entre a Portaria de 1951 e as Sugestões de 1965
Ao fazer uma análise comparativa entre os dois Programas de Matemática,
respectivamente apresentados nos anos de 1951 e 1965, foi possível observar
algumas mudanças na estruturação dos conteúdos. Enquanto a Portaria n°
966/51 estabeleceu um único conteúdo que fosse trabalhado ao longo dos três
anos do Curso Colegial, a Álgebra, já as Sugestões de 1965, do GEEM,
apresentaram a Álgebra e a Geometria como conteúdos que deveriam ser
desenvolvidos nos três anos do curso.
Para se fazer as comparações entre essas propostas foram utilizados
também os Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário e
respectivas instruções metodológicas
15
e os Assuntos mínimos para o colégio,
orientação e sugestões para o seu desenvolvimento
16
, para uma melhor
compreensão das modificações acontecidas nas apresentações dos conteúdos e
a inclusão de novos.
15
Vide ANEXO A.
16
Vide ANEXO C.
65
Quadro 3.3.1: Quadro comparativo entre a Portaria de 1951 e as Sugestões
de 1965
PRIMEIRO ANO COLEGIAL
Portaria de 1951 Sugestões de 1965
Noções sobre o cálculo
aritmético aproximado;
erros.
Progressões.
Logaritmos.
Retas e planos; superfícies e
poliedros em geral; corpos
redondos usuais; definições
e propriedades; áreas e
volumes.
Seções cônicas; definições e
propriedades fundamentais.
1. Funções:
a) noções gerais;
b) função linear, representação gráfica, estudo
da reta;
c) função trinômio do 2º grau, variação,
representação gráfica, inequações do 2º
grau;
d) função exponencial e logarítmica, uso das
tábuas.
2. Seqüências:
a) exemplos de seqüências, princípios da
indução;
b) progressões aritméticas e geométricas.
3. Funções trigonométricas:
a) estudo das funções trigonométricas,
periocidade, simetria, representação gráfica;
b) relações fundamentais, funções
trigonométricas de a ± b, 2a, a/2, onde a e b
representam medidas de arcos;
c) transformação de sen a ± sen b, cos a ± cos
b em produto;
d) equações trigonométricas e resolução de
triângulos.
4. Introdução à Geometria do Espaço:
a) axiomas e teoremas fundamentais;
b) perpendicularismo e paralelismo, projeção e
distância;
c) diedros.
Para o primeiro ano do colegial, a Portaria de 1951, propunha o ensino da
Aritmética, da Álgebra e da Geometria, enquanto as Sugestões de 1965,
sugeriam o ensino da Álgebra, da Geometria e da Trigonometria.
As Sugestões de 1965 trouxeram como novidade para o Ensino Colegial o
estudo das Funções como ponto de partida já no primeiro ano, ressaltando a
representação gráfica e unindo a Álgebra à Geometria, orientação prevista
também no SMSG (1966). Já a Portaria de 1951 inicia com cálculos aritméticos e
Fonte: Portaria n° 966/51 e Sugestões para a cadeira de Matemática de 1965
66
um estudo sobre os erros, não trabalhando com o conceito de função no primeiro
ano.
O conteúdo de progressões é comum às duas propostas, mas nas
Sugestões de 1965 o conceito de seqüência é apresentado antes, pois as
progressões constituem um caso particular das seqüências. Outro conteúdo que é
comum às duas propostas é o logaritmo cuja diferença está na exposição do
conteúdo. Na Portaria de 1951, o logaritmo é apresentado como a operação
inversa da potenciação e é dado um tratamento algébrico, buscando mostrar as
propriedades, os cálculos e o uso das tábuas de logaritmos. Segundo as
Sugestões de 1965, para esse conteúdo deveria ser dado um tratamento
geométrico, utilizando o conceito de equação, função exponencial e logarítmica.
Na Portaria de 1951, o conteúdo de Geometria Espacial deveria ser
aplicado no primeiro ano do Ensino Colegial, tais como suas definições,
propriedades e os cálculos de áreas laterais e de volumes dos poliedros.
Além do estudo da Geometria Espacial também foi proposto o estudo das
seções cônicas, elipse, hipérbole e parábola. Junto a essas seções foram
disponibilizados os conteúdos de modo tradicional, com suas definições,
propriedades e cálculos. Nas Sugestões de 1965 também foi feita a introdução da
Geometria Espacial, ressaltando o estudo dos axiomas e teoremas fundamentais
com uma orientação para desenvolver o assunto utilizando uma determinada
lógica para as propriedades fundamentais e destacar os diversos métodos de
demonstração.
67
A Trigonometria foi proposta pelas Sugestões de 1965 no primeiro ano do
Ensino Colegial com um tratamento de Funções, dando destaque à periodicidade
e simetria, utilizando a representação gráfica. Trouxe também as relações
fundamentais, transformações e equações trigonométricas e ainda a resolução
trigonométricas de triângulos, a qual é apresentado na Portaria de 1951 só no
segundo ano do Ensino Colegial.
Dessa forma, grandes mudanças foram propostas pelas Sugestões do
GEEM, de 1965, que propunham uma reorganização do Ensino de Matemática
para adequar às novas tendências mundiais da Matemática e ao crescimento de
seu uso nas Ciências.
68
Quadro 3.3.2: Quadro comparativo entre a Portaria de 1951 e as Sugestões
de 1965
SEGUNDO ANO COLEGIAL
Portaria de 1951 Sugestões de 1965
Análise combinatória simples.
Binômio de Newton.
Determinantes; sistemas
lineares.
Noções sobre vetores;
projeções; arcos e ângulos;
linhas e relações
trigonométricas.
Transformações
trigonométricas em geral;
equações trigonométricas
simples.
Resolução trigonométrica de
triângulos.
1. Análise Combinatória e Binômio de
Newton:
a) análise combinatória simples;
b) noção de probabilidade;
c) binômio de Newton.
2. Sistemas de Equações lineares:
a) matrizes e determinantes;
b) resolução de sistemas lineares.
3. Ângulos Poliédricos e Poliedros:
a) triedros e ângulos poliédricos;
b) poliedros regulares;
c) prismas e pirâmides.
4. Superfícies e Sólidos Redondos:
a) superfícies elementares: cilíndricas,
cônicas e de rotação.
b) Cilindro, cone e esfera.
5. Áreas e Volumes dos principais
sólidos.
Assim como o ocorrido nos conteúdos destinados ao primeiro ano do
Ensino Colegial, para o segundo ano, a Portaria de 1951, propunha o ensino da
Álgebra e da Trigonometria, quando o GEEM, por sua vez, apresentou, em 1965,
a Álgebra e a Geometria.
O tratamento dado à Trigonometria, segundo a Portaria de 1951, está na
sua aplicação algébrica, dando ênfase às equações e transformações
trigonométricas, trouxe também as relações clássicas dos triângulos. As noções
de vetores, definições, propriedades, as relações e teoremas, não aparecem nas
Fonte: Portaria n° 966/51 e Sugestões para a cadeira de Matemática de 1965
69
Sugestões de 1965, apenas nos conteúdos da Portaria de 1951. A Trigonometria
aparece no segundo ano da Portaria de 1951, mostrando as definições das
funções trigonométricas, utilizando o plano cartesiano e a noção de arco da
Geometria, porém não de modo tão aprofundado como nas Sugestões de 1965,
que é tratado apenas no primeiro ano do colegial.
Nas duas propostas é possível observar que os conteúdos: análise
combinatória, binômio de Newton, determinantes e sistemas lineares são comuns,
mas observa-se a inclusão de novos conteúdos nas Sugestões de 1965, as
noções de probabilidade e as matrizes. Outro diferencial das Sugestões é a
maneira como as matrizes deveriam ser apresentadas, como ferramenta para
resolução de sistemas lineares, juntamente com os determinantes. Um tratamento
algébrico na apresentação das operações com matrizes foi utilizado para destacar
as estruturas de anel e espaço vetorial (GEEM, 1965a, p. 99), o que era algo novo
no Ensino da Matemática para o Ensino Secundário.
Como no primeiro ano, nas Sugestões de 1965, só foi dado uma introdução
da Geometria Espacial, nesse segundo ano é apresentado uma continuidade com
o estudo dos poliedros, das superfícies e sólidos redondos, áreas laterais e
volumes dos principais sólidos, conteúdos tratados no primeiro ano na Portaria de
1951. Nas orientações de 1965 é destacada a forma de apresentar tais conteúdos
privilegiando idéias operacionais de conjuntos, já no estudo das esferas
salientam exemplos de Geometria não Euclidiana.
70
Quadro 3.3.3: Quadro comparativo entre a Portaria de 1951 e as Sugestões
de 1965
TERCEIRO ANO COLEGIAL
Portaria de 1951 Sugestões de 1965
Conceito de função;
representação cartesiana;
reta e círculo; noção
intuitiva de limite e de
continuidade.
Noções sobre derivadas e
primitivas; interpretações;
aplicações.
Introdução à teoria das
equações; polinômios;
propriedades, divisibilidade
por x ± a; problemas de
composição,
transformações e pesquisa
de raízes; equações de
tipos especiais.
1. Conjunto dos números complexos:
a) conceito, representação, operações,
propriedades;
b) raízes da unidade, equações binômias.
2. Polinômios e Equações Algébricas:
a) polinômios, operações, propriedades.
b) resolução de equações algébricas.
3. Geometria Analítica:
a) estudo da reta;
b) estudo da circunferência;
c) noções sobre cônicas.
4. Introdução ao Cálculo Infinitesimal:
a) noção de limite e continuidade de funções
reais de variável real;
b) derivada de funções racionais e
trigonométricas;
c) propriedades das derivadas e aplicação no
estudo da variação das funções.
5. Transformações Geométricas:
a) translação, rotação e simetria, propriedades;
b) semelhança, homotetia, propriedades.
Nota-se que as Sugestões de 1965 para o terceiro ano apresentam, como
no primeiro e segundo anos do Ensino Colegial, uma estrutura organizacional
bastante elaborada, com introdução de novos conteúdos, tais como números
complexos e transformações geométricas.
A Geometria Analítica não foi tratada na Portaria de 1951, apesar de terem
sido apresentados os conceitos de reta e círculo juntamente com os conceitos de
função, representação cartesiana, noção de limite e de continuidade. Nas
Sugestões de 1965, os conteúdos relacionados à função e representação
Fonte: Portaria n° 966/51 e Sugestões para a cadeira de Matemática
de
1965
71
cartesiana foram explorados no primeiro ano, ficando para o terceiro ano o estudo
das retas, circunferências e cônicas numa abordagem da Geometria Analítica e
não da Análise.
Na Análise Matemática os conteúdos quase que se igualam nas
apresentações, mas as abordagens são distintas. Na Portaria de 1951 é
apresentada a definição, a notação da derivada e as regras de derivação das
funções elementares. Nas Sugestões de 1965 o assunto é tratado como uma
introdução ao cálculo infinitesimal e notações e regras de derivação, traz as
funções reais de variável real e as derivadas de funções racionais e
trigonométricas, além de trazer as definições. Apresenta também, como
orientação para esse estudo, o fato de ater-se às propriedades que seriam
utilizadas nas aplicações à outras Ciências.
O estudo dos polinômios tem muitas diferenças nas duas propostas. Na
Portaria de 1951 esse estudo aparece como o último do terceiro ano. O estudo
dos números complexos, por seu turno, vem depois dos estudos dos polinômios,
acompanhado de apresentação, definição e resolução de exercícios por regras e
dispositivos práticos (BRASIL, 1951b, p. 124). As Sugestões de 1965 iniciam o
ano com o estudo dos números complexos, como um novo conjunto de números,
ressaltando as estruturas algébricas e de corpo, depois vem o estudo dos
polinômios e equações algébricas com as propriedades, operações e resolução
de equações algébricas.
Por fim, as Sugestões de 1965 apresentam outra novidade a ser ensinada
no Ensino Colegial: as transformações geométricas, que na Portaria de 1951 não
foram apresentadas, aparecendo junto às matrizes, à probabilidade e à teoria dos
72
conjuntos. Nas transformações geométricas deveriam ser tratadas a translação, a
rotação, a simetria, a semelhança, a homotetia além de “ressaltar as estruturas
definidas através desses tipos de transformação” (GEEM, 1965a, p. 97).
Em linhas gerais, a Matemática Moderna buscou valorizar o ensino a partir
da Teoria dos Conjuntos, por isso o estudo da Álgebra nos três anos do Curso
Colegial. Além de basear-se também nas Estruturas Matemáticas, assim como na
Lógica Matemática.
Outra área valorizada com o Movimento da Matemática Moderna foi a
Geometria das Transformações que se diferenciava da Geometria Euclidiana a
apresentar as Transformações Geométricas utilizando a noção de vetor. Jean
Dieudonné (1961) acreditava que o ensino da Geometria das Transformações
seria mais útil, por ser importante em toda a Ciência Moderna.
As minhas críticas visam portanto, não a finalidade mas os
métodos do ensino da Geometria; afirmo sobre tudo que seria
muito melhor basear este ensino, não em noções e resultados
artificiais que, na maior parte das aplicações não têm nenhuma
utilidade, mas em noções fundamentais que dominam e
esclarecem todas as questões onde a Geometria intervém. No
momento em que, por exemplo, a noção de vector tem uma
importância capital em toda a ciência moderna, a noção de
triângulo é artificial e não tem praticamente nenhuma aplicação.
(DIEUDONNÉ, 1961 Apud GUIMARÃES, 2007, p. 35)
Nesse contexto, a reorganização da disciplina Matemática começa a ser
executada na medida em que, já na Portaria de 1951, é prevista um flexibilização
dos conteúdos sendo reafirmada, posteriormente em 1961 com a Lei de Diretrizes
e Bases da Educação. Essa flexibilização dá margem ao que André Chervel
(1990) afirmou, acerca da disciplina escolar, quando a chamou de “criação
73
cultural própria”, ou seja, a escola nesse contexto é a mediadora entre o conteúdo
que se ensina e como se ensina.
Por outro lado, ao mesmo tempo em que essa “criação cultural própria”
possa parecer externa à escola e resumir-se a ela mesma, conforme alerta
Chervel (1990), são propostos programas de ensino que, de certa forma, mediam
o processo de ensino-aprendizagem, em busca de uma melhoria. É dessa forma
que, mais uma vez, Chervel (1990) apresenta suas colaborações, pois, segundo
afirmou, as disciplinas escolares são reduzidas às várias metodologias de ensino
utilizadas pelos professores, nunca perdendo de vista que essa metodologia deve
buscar a facilitação e assimilação de conceitos pelos alunos.
É nesse sentido, explicitado por Chervel (1990), que as Sugestões de
1965, apresentadas pelo GEEM, aparecem como inovadora, pois buscaram criar
uma consciência crítica nos alunos, para que assim pudessem refletir durante a
construção dos processos matemáticos, justificando-os logicamente. Ou seja,
essa reforma apresentou uma nova abordagem dos conteúdos antes ensinados
nos moldes tradicionais, com a resolução de listas de exercícios e decoração de
inúmeros teoremas.
74
75
CAPÍTULO IV
A UTILIZAÇÃO DAS SUGESTÕES DE 1965 NA COLEÇÃO
“MATEMÁTICA – CURSO COLEGIAL MODERNO”
A trajetória histórica de constituição e
desenvolvimento da matemática escolar no Brasil,
pode ser lida nos livros didáticos.
Wagner Valente
Tendo em vista que o Movimento da Matemática Moderna surgiu na
segunda metade do século XX com o objetivo de diminuir as distâncias entre o
saber dos matemáticos e àqueles dos currículos escolares, o livro didático
apresentou-se como uma das ferramentas principais para a divulgação desse
Movimento. Nesse contexto, vale recuperar as contribuições de Choppin (2004)
acerca dos livros didáticos.
Segundo afirma esse autor, “todo livro didático está histórica e
geograficamente determinado e é produto de um grupo social e de uma dada
época” (CHOPPIN, 2000 Apud ZUIN, 2007, p.29). Assim, a análise da coleção
“Matemática – Curso Colegial Moderno”, de Scipione Di Pierro Netto, Luiz Mauro
Rocha e Ruy Madsen Barbosa se faz essencial para a verificação de como o
Movimento da Matemática Moderna foi disponibilizado, em forma didática, aos
professores do Ensino Colegial, hoje Ensino Médio. Além de verificar como os
76
conteúdos sugeridos pelo GEEM foram utilizados pelos autores para a elaboração
da Coleção, isso levando em consideração que essa Coleção foi pioneira no
ensino moderno da Matemática no colégio.
Tendo em vista que:
A Matemática Moderna, embora nunca tenha sido explicitamente
adotada como política educacional do Estado, foi amplamente
divulgada e incorporada aos currículos escolares via livros
didáticos sem maiores resistências oficiais ou por parte de alunos,
professores e pais. (BARALDI; GARNICA, 2004, p. 5)
O pioneirismo da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno publicada
pela primeira vez no ano de 1967, se sustenta pelo fato de que antes desse ano
não foi encontrado registros de publicações de livros didáticos com os conteúdos
sugeridos pelo GEEM para o Ensino Colegial. Porém, no ano de 1963, foi lançado
o primeiro volume da coleção “Matemática – curso moderno” escrito por Osvaldo
Sangiorgi, para o Ginásio com o propósito de ser utilizado no ano letivo de 1964
atendendo as Sugestões do GEEM, e nos anos seguintes é lançado os três
volumes subseqüentes, pela editora Companhia Editora Nacional.
O lançamento dessa Coleção foi à entrada da Matemática Moderna no
ensino brasileiro, tornando-se grande sucesso de vendas, chegando à três
reedições só no ano de 1964, em janeiro, abril e maio, respectivamente, atingindo
um total de 241.885 exemplares. Em 1965 foi lançado o volume 2 da coleção em
outras duas edições, nos meses de março e maio, totalizando de 222.408
exemplares. Em 1966 o volume 3 teve uma única edição com 121.015
exemplares e, em abril de 1967, é lançado o volume 4 da coleção, também com
uma única edição totalizando 98.992 exemplares (VILELA, no prelo).
77
Dessa forma, as informações aqui apresentadas foram expostas para
reafirmar a importância do livro didático na divulgação do Movimento da
Matemática Moderna e mostrar a seqüência de datas das publicações desses
livros, com as Sugestões propostas pelo GEEM, no Ensino Ginasial e Colegial.
4.1. Percurso acadêmico dos autores da Coleção “Matemática –
Curso Colegial Moderno”
A escolha em relatar o percurso acadêmico dos autores dessa Coleção,
foi para mostrar o quanto esses professores e pesquisadores estavam
preocupados com o Ensino da Matemática no Brasil e influenciados por
movimentos internacionais.
Scipione de Pierro Netto, nascido em São Paulo, foi licenciado e bacharel
em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo em 1954. No
período de sua formação acadêmica, cursou Matemática simultaneamente na
Universidade de São Paulo e na PUC/SP, porém, em 1951, decide interromper o
curso na antiga Faculdade de Filosofia Ciência e Letras - FFCL da Universidade
de São Paulo - USP, onde havia estudado os dois primeiros anos do Curso até
1951. Na época, Scipione já atuava como professor.
Nas décadas de 1950 e 1960 foi professor de Matemática da Rede Pública
do Estado de São Paulo, onde ingressou por concurso em 1955 na distante
cidade de Piraju. Obteve por concurso público em 1959, a cadeira do Colégio de
Aplicação da Universidade de São Paulo, sendo designado para dirigir a área de
78
Matemática, permanecendo até o final da década de 1970. O Colégio de
Aplicação possibilitou o ingresso do professor na Universidade de São Paulo,
onde lecionou a disciplina Metodologia do Ensino da Matemática nos cursos de
licenciatura.
Doutorou-se pela Faculdade de Educação da mesma Universidade em
1973, com o trabalho intitulado Contribuição ao ensino da geometria elementar, foi
um dos primeiros trabalhos sobre Educação Matemática defendido no Brasil, em
que analisou a evolução da aprendizagem da Geometria na escola fundamental
sob a ótica das estruturas operatórias da inteligência segundo Piaget.
Lecionou em diversas instituições de ensino superior, entre elas a Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo. Na Universidade de São Paulo aposentou-se
em 1984, na PUC/SP manteve a cátedra até o final de sua vida, 2005.
Como autor de livros didáticos, Scipione estreou na década de 1960 com
livros para as quatro séries do ginasial, atual 6º, 7º, 8º e 9º ano do Ensino
Fundamental, e para as três séries do colegial, atual Ensino Médio.
Nos anos de 1970, fundou a “Scipione Autores e Editores”, vivendo a
experiência de editar seus próprios livros, atual Editora Scipione que faz parte do
Grupo Ática. Em 2005, era um dos mais antigos autores em atividade.
Luiz Mauro Rocha foi professor de Cálculo Infinitesimal da Faculdade de
Engenharia Industrial de São Bernardo e da Faculdade de Filosofia, Ciências e
Letras da Fundação Santo André, além de professor assistente de Cálculo da
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Foi professor da rede pública e
privada do Estado de São Paulo e autor de diversos livros didáticos para o ensino
79
secundário e superior. Além de participar ativamente como membro do Grupo de
Estudos do Ensino da Matemática – GEEM.
Ruy Madsen Barbosa, ainda como aluno do Curso de Matemática na
Pontifícia Univerdade Católica de Campinas, no ano de 1953, prestou exames de
suficiência, exame responsável por autorizar professores não habilitados ao
magistério a ministrarem aulas, sob o gerenciamento da Universidade de São
Paulo e obteve o 1° lugar em Matemática, sendo inclusive, o único aprovado em
Desenho Geométrico. Nesse período iniciou sua carreira no magistério no Estado
de São Paulo.
Formou-se bacharel e licenciou-se em Matemática pela PUC/Campinas em
1954. Em 1955 e 1956, prestou o Concurso de Ingresso ao Magistério Oficial do
Estado de São Paulo para o Ensino Secundário e Normal, obtendo em ambos os
casos o 1° lugar, assumindo os dois cargos por considerar insuficiente o número
de aulas propostas. Segundo o autor esse exame era elaborado com um alto grau
de dificuldade:
Era um “senhor” exame: prova escrita (dissertação teórica e
problemas, nada de testes de múltipla escolha), prova oral,
conhecida sob o nome “prova de erudição”; devíamos expor, no
tempo de 40 a 60 minutos, um assunto de matemática sorteado
no dia anterior, mas em nível avançado; quem parasse antes de
40 estava eliminado, era permitido parar com 50 minutos, e
finalmente prova didática, constando de uma aula de 40 a 50
minutos, com assunto sorteado no dia anterior (posteriormente 3h
antes). Para quem era aprovado fazia-se um acréscimo de pontos
em títulos. (BARBOSA, 2004, p. 4)
80
Ruy Madsen, em sua auto-avaliação, sempre esteve preocupado em
ensinar bem a Matemática, e buscava meios para fazer com que os alunos
aprendessem.
Esforçava-me para ser bom professor, não só do ponto de vista do
conteúdo de matemática, mas também quanto ao aspecto
didático; construímos, como outros colegas de outros
estabelecimentos de ensino público, uma razoável quantidade de
materiais pedagógicos que serviam de bons recursos auxiliares,
tanto no ginásio, como no colegial ou no normal. (BARBOSA,
2004, p. 4)
O autor, porém, diz ter “errado” muitas vezes ao se preocupar com o
aprendizado efetivo dos alunos, na disciplina de Matemática, como nos mostra ao
reforçar a idéia de quanto o ensino era tradicional antes do Movimento da
Matemática Moderna:
Do ponto de vista de conteúdo chegávamos a dar cerca de 70 a
80 teoremas de geometria plana na terceira série (correspondente
à atual sétima); hoje tenho consciência de que erramos, por
melhor que ensinássemos, podiam entender, mas pouco
aprendiam; penso que nós na verdade impelíamos nossos alunos
à memorização, à decoração. (BARBOSA, 2004, p. 5)
Na década de 1960, foi convidado para lecionar no magistério superior em
instituições particulares e públicas lecionando a disciplina de Cálculo Numérico,
nos cursos de Matemática. Dedicou-se ao estudo e pesquisas em Cálculo de
Diferenças Finitas e em Equações de Diferenças Finitas, às Probabilidades e à
Análise Combinatória, que lhe conduziram ao doutorado. Posteriormente,
dedicou-se aos estudos da Teoria dos Grafos e Otimização, temas relacionados à
81
Pesquisa Operacional e Otimização: Programação Linear, Não Linear e Teoria
dos Jogos, que o levou à Livre Docência.
Ainda na década de 1960, tornou-se membro do Grupo de Estudos do
Ensino da Matemática, GEEM, participando assiduamente de congressos que
visavam uma mudança no ensino de Matemática.
Além de autor de livros didáticos e paradidáticos nos vários níveis de
ensino, Ruy Madsen é um pesquisador, sua principal área de atuação é
Combinatória, Partições de Números, Partições de Conjuntos e indicadores em
Teoria dos Grupos. Atualmente é docente aposentado da Universidade do Estado
de São Paulo – UNESP.
4.2. A Coleção didática “Matemática – Curso Colegial Moderno”
Em 1967 foi lançado o primeiro volume da Coleção Matemática – Curso
Colegial Moderno de autoria dos professores Scipione Di Pierro Netto, Luiz Mauro
Rocha e Ruy Madsen Barbosa. Segundo os autores, na apresentação do volume
I, essa Coleção foi escrita para atender às “angústias” e dificuldades que os
professores encontravam para a atualização do Ensino da Matemática no
Colégio.
Os autores da Coleção afirmam, ainda, que no V Congresso do Ensino da
Matemática, realizado em São José dos Campos, no CTA – Centro Técnico de
Aeronáutica, em 1966, surgiu, de forma concreta, a necessidade de se ter uma
coleção de livros didáticos que orientassem os professores a ensinar a
82
Matemática Moderna no Curso Colegial, dando continuidade à Matemática do
Curso Ginasial.
Naqueles dias, em contato com professores de quase todos os
Estados, sentimos bem de perto a angústia com que os nossos
colegas se referiam à dificuldade que encontravam para a
atualização do ensino da matemática no colégio, dada a
inexistência, ao seu alcance, de obras nacionais e estrangeiras.
(BARBOSA; PIERRO NETO; ROCHA, 1967, p. 7)
Desse modo, essa Coleção foi elaborada com o intuito de ser uma
ferramenta pedagógica destinada a auxiliar no processo de ensino-aprendizagem.
Nessa perspectiva, justificam-se as palavras de Choppin (2004) ao apresentar o
livro didático como uma espécie de ferramenta técnica que assume funções
referenciais curriculares, de instrumentalização de métodos de aprendizagem,
apresentando aspectos ideológicos e culturais e, mais restritamente,
documentais.
Percebe-se, dessa forma, que o livro didático tem a intenção de ser
apresentado como um guia curricular, servindo de orientação para a prática
docente, tendo maior influência sobre as ações dos professores do que os
próprios referenciais curriculares oficiais. Nesse sentido Bittencourt (1993, p. 26)
afirma que: “O livro didático visava, portanto, nos seus primórdios, prioritariamente
atender ao professor”.
Dessa forma, os livros que compunham a Coleção Matemática – Curso
Colegial Moderno são os seguintes:
83
Figura 4.2.1: Capa do livro da Coleção
Primeiro Colegial
Figura 4.2.2: Capa do livro da Coleção
Segundo Colegial
Figura 4.2.3: Capa do livro da Coleção
Terceiro Colegial
84
Os conteúdos programáticos que integraram essa Coleção foram
distribuídos da seguinte forma, respectivamente:
PRIMEIRO ANO COLEGIAL
PRIMEIRA PARTE - FUNDAMENTOS
CAPÍTULO I - Conjuntos e Lógica Matemática
CAPÍTULO II - Produto Cartesiano; Relações Binárias; Aplicações e Funções
SEGUNDA PARTE - FUNÇÕES ELEMENTARES
CAPÍTULO III - Função Linear
CAPÍTULO IV - Função Quadrática
CAPÍTULO V - Função Exponencial e Função Logarítimica
TERCEIRA PARTE – TRIGONOMETRIA
CAPÍTULO VI - Funções Trigonométricas
CAPÍTULO VII - Relações entre lados e ângulos de um triângulo
QUARTA PARTE – GEOMETRIA
CAPÍTULO VIII - Introdução à Geometria no Espaço
85
SEGUNDO ANO COLEGIAL
PRIMEIRA PARTE
CAPÍTULO I – Seqüências e Séries
CAPÍTULO II – Progressões Aritméticas
CAPÍTULO III – Progressões Geométricas
SEGUNDA PARTE
CAPÍTULO IV – Logaritmos Decimais
TERCEIRA PARTE
CAPÍTULO V – Matrizes
CAPÍTULO VI – Sistemas Lineares
CAPÍTULO VII – Sistemas não Lineares
QUARTA PARTE
CAPÍTULO VIII – Geometria
CAPÍTULO IX – Superfícies
CAPÍTULO X – Prismas, Paralelepípedos e Pirâmides
CAPÍTULO XI – Corpos Redondos
CAPÍTULO XII – Poliedros
86
TERCEIRO ANO COLEGIAL
PRIMEIRA PARTE – Combinatória e Probabilidades
CAPÍTULO I – Regras de Contagem
CAPÍTULO II – Probabilidades
CAPÍTULO III – Fórmulas do Cálculo Combinatório
CAPÍTULO IV – Expansão Binomial
SEGUNDA PARTE – Geometria Analítica
CAPÍTULO V – Elementos
CAPÍTULO VI – Reta
CAPÍTULO VII – Transformações Geométricas
CAPÍTULO VIII – Circunferência, Parábola, Elipse e Hipérbole
TERCEIRA PARTE – Estruturas Algébricas e Números Complexos
CAPÍTULO IX – Estruturas Algébricas
CAPÍTULO X – Números Reais e Complexos
QUARTA PARTE – Noções de Cálculo Infinitesimal
CAPÍTULO XI – Noções de Cálculo Infinitesimal
CAPÍTULO XII – Noções sobre Derivadas
QUINTA PARTE – Polinômios – Equações Algébricas
CAPÍTULO XIII – Polinômios
CAPÍTULO XIV – Função Polinômio
CAPÍTULO XV – Equações Algébricas
87
Com esses conteúdos, os autores da Coleção procuraram contemplar
todas as Sugestões apresentadas pelo GEEM em 1965, além de se basearem
também nos modelos internacionais, como, por exemplo, nos grupos NCTM –
National Council of Teachers of Mathematics, grupos ligados às universidades
como Illinois, Maryland, Boston College, além do SMSG - School Mathematics
Study Group que teve como objetivo aperfeiçoar o Ensino de Matemática. Para
isso publicou, em 1961, compêndios que apresentavam a elaboração de um
curriculum destinado às escolas de Ensino Secundário. Dentre esses compêndios
foram dedicados três volumes ao Ensino Colegial intitulado Mathematics for High
School. Esses volumes foram traduzidos para o português em 1966.
O SMSG, dirigido por E. G. Beagle, produziu um material que
representava o pensamento combinado de muitas pessoas dentre
as quais, psicólogos, preparadores de testes, matemáticos das
universidades, biólogos e professores secundários.
Aproximadamente 100 matemáticos e 100 professores
secundários escreveram os compêndios. (PIRES, 2000, p. 11)
Para os autores desses compêndios:
Isto não significa que este livro seja considerado como o único
caminho definitivo de apresentar corretamente a Matemática a
estudantes de nível médio. Ao contrário, é uma amostra do tipo de
curriculum melhorado que necessitamos e uma fonte de
sugestões para os autores de livros de texto comerciais. (SMSG,
1966, s.p.)
Tais grupos influenciaram o Movimento da Matemática Moderna no Brasil,
principalmente na produção de livros didáticos.
88
4.3. Análise comparativa entre as Sugestões de 1965 e os
conteúdos da Coleção Matemática – Curso Colegial
Moderno
Tendo em vista a credibilidade dos professores frente aos conteúdos
apresentados pelos livros didáticos, a Coleção Matemática – Curso Colegial
Moderno, escrito por Scipione Di Pierro Netto, Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen
Barbosa, em consonância com as Sugestões propostas pelo GEEM, em 1962, no
IV Congresso em Belém, e publicado posteriormente no Diário Oficial do Estado
de São Paulo no ano de 1965, apresenta, não necessariamente na mesma
ordem, todos os conteúdos elencados. Acrescentaram-se também outros
conteúdos que os autores julgaram necessários para que os conceitos da
Matemática Moderna pudessem ser melhor compreendidos pelos alunos e
professores.
Ao iniciar a análise dessa Coleção, já na apresentação dos livros, os
autores demonstraram certa preocupação em elaborar um material que
auxiliassem os professores no ensino dos conceitos modernos para os conteúdos
da Matemática. Na apresentação escrita para o primeiro volume, os autores
disponibilizam as normas que adotaram para a elaboração dos livros da Coleção:
1. Apresentar, no início do primeiro volume, um capítulo de
FUNDAMENTOS, destinado aos professores ainda não iniciados
na “Matemática Moderna”, redigido em linguagem fácil e nível
elementar – de modo a que possa ser aprendido e ao mesmo
tempo ensinado, no todo ou em parte, aos alunos.
2. Estabelecer um programa global para o colégio, visando a
introdução paulatina dos conceitos modernos de funções,
relações, matrizes, estruturas algébricas, etc., através de
89
exemplos simples e de numerosos exercícios. Só no terceiro ano,
reunindo a experiência adquirida, o aluno terá a formulação exata
dos conceitos de grupo, anel, corpo, espaço vetorial, etc, cuja
utilidade irá sentir logo no início do curso superior.
3. Reduzir a extensão com que eram anteriormente tratados
alguns assuntos de escasso interesse, em benefício de outros
mais exigidos pela ciência moderna. (BARBOSA; PIERRO NETO;
ROCHA, 1967, p. 7)
Com essa apresentação, fica claro perceber a preocupação dos autores
em tentar transformar as práticas pedagógicas no Ensino da Matemática. Ao
assumir essa postura, os escritores colocam em prática uma idéia sustentada por
Choppin (2004, p. 557). Segundo esse teórico, os autores de livros didáticos,
como espectadores de seu tempo, reivindicam o “status” de agente, colaborando
para que o livro didático não se tornasse apenas um espelho, mas que ele
modificasse a realidade de modo a educar as novas gerações.
Dessa forma, com o intuito de justificar essas afirmações será apresentado
a seguir quadros comparativos entre as Sugestões de 1965, e as distribuições
dos conteúdos nos livros da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno. Em
seguida, será feito a análise de como foi a assimilação das Sugestões de 1965
nessa Coleção. Utilizaremos também os Assuntos mínimos para o colégio,
orientação e sugestões para o seu desenvolvimento
17
.
17
Vide ANEXO C
90
Quadro 4.3.1: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo das Funções e o Livro I da Coleção
Sugestões de 1965 para o Primeiro
Colegial
Matemática – Curso Colegial
1. Funções:
a) noções gerais;
b) função linear, representação
gráfica, estudo da reta;
c) função trinômio do 2º grau,
variação, representação gráfica,
inequações do 2º grau;
d) função exponencial e logarítmica,
uso das tábuas.
PRIMEIRA PARTE - FUNDAMENTOS
CAPÍTULO I - Conjuntos e Lógica Matemática
Conjuntos
Conjuntos Numéricos Fundamentais
Um pouco de Lógica
Proposições Compostas
Quantificadores
Sub-conjuntos
Interseção de Conjuntos
Reunião de Conjuntos
Diferença de Conjuntos
Propriedades das Operações com
Conjuntos
CAPÍTULO II - Produto Cartesiano; Relações
Binárias; Aplicações e Funções
Produto Cartesiano
Relações binárias
Aplicações e Funções
SEGUNDA PARTE - FUNÇÕES
ELEMENTARES
CAPÍTULO III - Função Linear
CAPÍTULO IV - Função Quadrática
CAPÍTULO V -
Função Exponencial e Função
Logarítimica
Equações Exponenciais
Função Logarítmica
Com esse primeiro quadro é possível observar que os autores buscaram
atender as Sugestões de 1965, propostas para o estudo das Funções. Porém, no
primeiro capítulo são apresentados os conteúdos de Conjuntos e Lógica
Matemática, que nas Sugestões de 1965 não foram propostos, já que deveriam
ser estudados no Curso Ginasial. Por outro lado, os autores, assim como
escreveram na apresentação do volume, julgaram por bem apresentar
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro I da Coleção
91
fundamentos destinados a professores que ainda não tinham tido contato com a
Matemática Moderna.
Os autores iniciaram o primeiro capítulo justificando o porquê do estudo da
Matemática Moderna e trouxeram uma relação de símbolos que seriam utilizados
nos estudos posteriores, uma característica do Movimento da Matemática
Moderna: ensinar os conteúdos tradicionais com uma nova linguagem.
Figura 4.3.1: Matemática Antiga e Matemática Moderna
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 11
92
Figura 4.3.2: Símbolos da teoria dos conjuntos e da lógica
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 12
Outra observação que podemos fazer sobre a apresentação dos conteúdos
é a utilização desses símbolos, os autores apropriaram-se dessa nova linguagem
93
e a utilizaram para apresentar, por exemplo, os conteúdos de Função. Exploraram
o aspecto gráfico nesse estudo, orientação presente nas Sugestões de 1965:
Figura 4.3.3: Utilização dos símbolos e aspectos gráficos no ensino de inequações I
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 114
94
Figura 4.3.4: Utilização dos símbolos e aspectos gráficos no ensino de inequações II
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 115
Nessas figuras apresentam-se um exemplo da utilização da linguagem da
Teoria dos Conjuntos e da exploração gráfica na explicação do conteúdo de
95
inequações, pode-se verificar o uso dos símbolos apresentados no início desse
livro, conforme figura 4.3.2.
Quadro 4.3.2: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo de Trigonometria e o Livro I da Coleção
Sugestões de 1965 para o Primeiro
Colegial
Matemática – Curso Colegial
3. Funções trigonométricas:
a) estudo das funções trigonométricas,
periocidade, simetria, representação
gráfica;
b) relações fundamentais, funções
trigonométricas de a ± b, 2a, a/2,
onde a e b representam medidas de
arcos;
c) transformação de sen a ± sen b,
cos a ± cos b em produto;
d) equações trigonométricas e
resolução de triângulos.
TERCEIRA PARTE – TRIGONOMETRIA
CAPÍTULO VI - Funções Trigonométricas
Arcos orientados
Função Seno e Cosseno
Outras funções trigonométricas
Tabela Geral
CAPÍTULO VII - Relações entre lados e
ângulos de um triângulo
Triângulos retângulos
Triângulos quaisquer
Assim como no estudo de Função, os autores contemplaram também o que
foi proposto pelas Sugestões de 1965 a respeito da Trigonometria, tal como se
verifica no quadro 4.3.2. Os autores atenderam, ainda, as orientações das
Sugestões de 1965 no que diz respeito às propriedades de simetria e
periodicidade no estudo das Funções Trigonométricas, um exemplo disso é a
figura 4.3.5:
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro I da Coleção
96
Figura 4.3.5: Representação gráfica das funções seno e cosseno
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 172-173
É possível observar que os autores, além de contemplarem os conteúdos
de Trigonometria, assim como os apresentados nas Sugestões de 1965, também
observaram as orientações para apresentação dos conteúdos dessas Sugestões,
também ressaltaram a significação da medida do arco e de ângulo em radianos.
97
Pode-se ainda observar a utilização da linguagem da Teoria dos Conjuntos para
apresentar os conteúdos:
Figura 4.3.6: Utilização da linguagem da Teoria dos Conjuntos no ensino de Trigonometria I
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 158
98
Figura 4.3.7: Utilização da linguagem da Teoria dos Conjuntos no ensino de Trigonometria II
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 159
99
Nessas figuras verificam-se a utilização da linguagem e símbolos da Teoria
dos Conjuntos e da Lógica para explicar o conteúdo arcos côngruos, além de
estar muito presente o uso dos símbolos para explicação, apresentação da
definição e propriedades.
Quadro 4.3.3: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 o estudo da
Geometria Espacial e o Livro I da Coleção
Sugestões de 1965 para o Primeiro
Colegial
Matemática – Curso Colegial
4. Introdução à Geometria do Espaço:
a) axiomas e teoremas fundamentais;
b) perpendicularismo e paralelismo,
projeção e distância;
c) diedros.
QUARTA PARTE – GEOMETRIA
CAPÍTULO VIII - Introdução à
Geometria no Espaço
Conceitos primitivos e Axiomas
Ângulos e Diedros
Perpendicularidade e Paralelismo
Teoremas Fundamentais
Outros teoremas
Projeções
Triedros
No que se refere à Geometria Espacial, os autores da Coleção
contemplaram os conteúdos propostos pelas Sugestões de 1965 para o primeiro
ano e acrescentaram outros conteúdos, tais como: outros teoremas, projeções e
triedros. Atenderam as orientações das Sugestões ao utilizarem as idéias
operacionais de conjuntos na apresentação dos conteúdos e fizeram também uso
dos símbolos e da linguagem referente à Teoria dos Conjuntos e à Lógica.
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro
I da Coleção
100
Figura 4.3.8: Utilização dos símbolos e linguagem da Teoria dos Conjuntos no ensino de
Geometria I
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 226
101
Figura 4.3.9: Utilização dos símbolos e linguagem da Teoria dos Conjuntos no ensino de
Geometria II
Fonte: Livro I da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 227
102
Nessas figuras há um exemplo da utilização dos símbolos da Teoria dos
Conjuntos na apresentação de planos e retas, o que pode ser constatado na
apresentação dos outros conteúdos de Geometria nesse livro.
Por fim, na análise do primeiro livro dessa coleção é visível a preocupação
dos autores em apresentar os conteúdos utilizando a nova linguagem do
Movimento da Matemática Moderna. Nesse primeiro livro, o os autores atenderam
às Sugestões de 1965 e às suas orientações. Trouxeram também outros
conteúdos que auxiliaram os professores na apresentação dos conceitos de
Função, Trigonometria e Geometria Espacial. Dessa forma, é possível classificar
esse livro como sendo inovador na apresentação dos conteúdos e das figuras que
tiveram como objetivo facilitar o aprendizado do aluno.
103
Quadro 4.3.4: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo de Seqüências e o Livro II da Coleção
Sugestões de 1965 para o Primeiro
Colegial
Matemática – Curso Colegial
2. Seqüências:
a) exemplos de seqüências,
princípios da indução;
b) progressões aritméticas e
geométricas.
PRIMEIRA PARTE
CAPÍTULO I – Seqüências e Séries
O Conceito de seqüências
Operações com seqüências
Convergência de seqüências
O Conceito de série
O método de indução completa
CAPÍTULO II – Progressões Aritméticas
Definição de P. A.
Termo Geral
Soma dos termos
CAPÍTULO III – Progressões Geométricas
Definição de P. G.
Termo geral
Produto dos termos
Séries geométricas
SEGUNDA PARTE
CAPÍTULO IV – Logaritmos Decimais
A função logaritmos Decimais
Característica e mantissa
Uso das tábuas
Anti logaritmo
Segundo as Sugestões de 1965, deveria ser estudado no primeiro ano o
conteúdo de seqüências seguido pelas progressões. Os autores atenderam as
Sugestões na apresentação dos conteúdos e na ordem de exposição, porém
apresentaram apenas no segundo livro da Coleção.
Além de apresentar os conceitos e notações das seqüências, deveriam ser
apresentadas também as suas operações, bem como destacar as estruturas
algébricas. Todavia, ao apresentar essas operações no livro destinado ao
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro II da Coleção
104
segundo ano, não foram apresentadas essas Estruturas Algébricas, apenas foram
dados exemplos dessas operações com o uso de seqüências.
Outra orientação que as Sugestões de 1965 propuseram para o estudo das
seqüências foram as idéias de convergência, que por sua vez deveria ser
enfatizadas no estudo das progressões geométricas. Nesse sentido, os autores
atenderam às orientações fazendo um estudo detalhado com exemplos e
exercícios.
Na segunda parte do livro, os autores fizeram uma Introdução e
disponibilizaram uma continuação dos estudos de logaritmos mostrando a
importância de seu estudo e algumas de suas aplicações (figura 4.3.6), uma das
orientações das Sugestões de 1965. Nessa Introdução é apresentado um
panorama do que já foi estudado anteriormente. Os autores procuraram, além
disso, mostrar a importância do estudo dos conceitos de matrizes, sistemas
lineares e as séries numéricas para aplicações futuras no estudo e criação dos
programas de computadores e também na facilitação dos cálculos manuais, como
no estudo dos logaritmos.
105
Figura 4.3.10: Introdução da segunda parte do Livro II
Fonte: Livro II da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 93
106
Figura 4.3.11: Continuação da introdução da segunda parte do Livro II
Fonte: Livro II da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 94
107
Quadro 4.3.5: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo de Sistemas Lineares e o Livro II da Coleção
Sugestões de 1965 para o Segundo
Colegial
Matemática – Curso Colegial
3. Sistemas de Equações lineares:
a) matrizes e determinantes;
b) resolução de sistemas lineares.
TERCEIRA PARTE
CAPÍTULO V – Matrizes
Elementos das matrizes
Igualdade de matrizes
Matriz diagonal – escalar – transpostas
Operações com matrizes
Adição de matrizes
Multiplicação de matrizes
CAPÍTULO VI – Sistemas Lineares
Sistemas lineares 2x2
Determinantes
Propriedades dos determinantes
Sistemas lineares nxn – por determinantes
Sistemas lineares nxn – por matrizes
Inversão de matrizes
Sistemas lineares – por triangulação
CAPÍTULO VII – Sistemas não Lineares
Sistemas do 2° grau
Elipse e hipérbole (optativo)
Sistemas com exponenciais e logaritmicas
A Introdução na segunda parte desse livro, figura 4.3.6, demonstra a
preocupação que os autores tiveram em atualizar o Ensino da Matemática, um
dos principais objetivos do Movimento da Matemática Moderna. Verifica-se
também a importância dada a esse ensino, mostrando as aplicações na
tecnologia e as novas técnicas de cálculo que o mundo moderno exigia.
As Sugestões de 1965 trouxeram como orientação para o ensino de
sistemas de equações lineares, a resolução com a utilização da teoria dos
determinantes ou preferencialmente pelas matrizes. As orientações ressaltam,
ainda, um estudo aprofundado das matrizes, destacando as estruturas algébricas
de suas operações.
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro II da Coleção
108
Os autores atenderam as Sugestões do GEEM assim como as suas
orientações no que se referia à exposição dos conteúdos. Assim, no segundo livro
foi dedicado também um capítulo para o estudo das matrizes, apresentando
definições e ressaltando as operações, buscando provar todas as propriedades
da adição e multiplicação de matrizes, utilizando as propriedades dos números
reais. Os autores mostram, ainda, exemplos de utilização das matrizes em
cálculos do dia-a-dia e em empresas. Também destacam a resolução de sistemas
lineares com a utilização das matrizes e dos determinantes. Há também um
capítulo sobre sistemas não lineares, que não tinham sido propostos pelas
Sugestões de 1965.
109
Quadro 4.3.6: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo dos Poliedros e Sólidos e o Livro II da Coleção
Sugestões de 1965 para o Segundo
Colegial
Matemática – Curso Colegial
3. Ângulos Poliédricos e Poliedros:
a) triedros e ângulos poliédricos;
b) poliedros regulares;
c) prismas e pirâmides.
4. Superfícies e Sólidos Redondos:
a) superfícies elementares: cilíndricas,
cônicas e de rotação.
b) Cilindro, cone e esfera.
5. Áreas e Volumes dos principais
sólidos.
CAPÍTULO IX – Superfícies
Superfícies cilíndricas
Superfícies cônicas
Superfícies de rotação
CAPÍTULO X
Prismas
Paralelepípedos
Pirâmides
Tetraedro regular
Troncos de pirâmides
Volumes
O princípio de Cavalieri
Volume do tronco de pirâmide
CAPÍTULO XI – Corpos Redondos
Cilindro
Cone
Esfera
Superfície esférica
Sólidos inscritos e circunscritos na esfera
CAPÍTULO XII – Poliedros
Superfícies poliédricas
Poliedros
Teorema de Descartes-Euler
Poliedros de Platão
Poliedros regulares
No primeiro livro da Coleção, os autores apresentaram uma introdução a
Geometria Espacial, em consonância com as Sugestões de 1965. De acordo com
o quadro 4.3.6, verifica-se que os mesmos atenderam as Sugestões, não
necessariamente na mesma ordem de apresentação dos conteúdos, mas as
contemplaram. Procuraram manter uma ordem lógica nas apresentações das
definições dos conteúdos e nas demonstrações dos teoremas, orientação das
Sugestões de 1965.
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro II da Coleção
110
Outra orientação das Sugestões de 1965 que os autores seguiram foi a
utilização do princípio de Cavallieri para o estudo das medidas dos sólidos
geométricos, essa utilização aparece nas demonstrações que fazia uso de tal
princípio.
Os autores sempre utilizaram os símbolos e a linguagem da Teoria dos
Conjuntos para apresentar os conteúdos e provar os teoremas, assim como
apresentada no primeiro livro, dessa forma ao utilizar essa linguagem os autores
resgatavam os conteúdos estudados no ano anterior, como se pode verificar no
exemplo seguinte:
111
Figura 4.3.12: Utilização da relação de equivalência no estudo de áreas
Fonte: Livro II da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 251
Por outro lado, diferentemente do que os autores vinham fazendo, não se
atendeu às orientações das Sugestões de 1965 no tocante ao estudo da esfera,
que, segundo o GEEM, deveria ser acrescido o estudo dos triângulos esféricos
abordando exemplos de Geometria não Euclidiana.
112
Quadro 4.3.7: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo das Transformações Geométricas e o Livro II da
Coleção
Sugestões de 1965 para o Terceiro
Colegial
Matemática – Curso Colegial
5. Transformações Geométricas:
a) translação, rotação e simetria,
propriedades;
b) semelhança, homotetia,
propriedades.
QUARTA PARTE
CAPÍTULO VIII – Geometria
Segmentos orientados – Vetores
Transformações geométricas
Simetria
Rotação
Homotetia
Produto escalar de vetores
Segundo as Sugestões de 1965, o conteúdo de transformações
geométricas deveria ser estudado no terceiro colegial, e como orientação
ressaltar as estruturas definida através desses tipos de transformação.
Os autores utilizaram esse conteúdo em dois momentos da Coleção, no
primeiro apresentaram essas transformações no estudo de vetores, estudado no
segundo livro (quadro 4.3.7), apresentando as definições de cada transformação
e suas propriedades utilizando os segmentos orientados denominados como
vetores. No segundo, os autores apresentaram as transformações geométricas no
terceiro livro (quadro 4.3.11) dando continuidade ao estudo da Geometria
Analítica, enfatizando o plano cartesiano e o ponto, fazendo uso dos conceitos de
matriz e vetor para definir e explicar as propriedades das transformações do ponto
no plano.
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro II da Coleção
113
Quadro 4.3.8: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo de Análise Combinatória e o Livro III da Coleção
Sugestões de 1965 para o Segundo
Colegial
Matemática – Curso Colegial
1. Análise Combinatória e Binômio de
Newton:
a) análise combinatória simples;
b) noção de probabilidade;
c) binômio de Newton.
PRIMEIRA PARTE – Combinatória e
Probabilidades
CAPÍTULO I – Regras de Contagem
Regra da Soma
Regra do Produto
Árvore de Possibilidades
CAPÍTULO II – Probabilidades
Espaço Amostral – Probabilístico
Probabilidade Condicional
Árvore de Probabilidades
CAPÍTULO III – Fórmulas do Cálculo
Combinatório
Situação I
Situação II – Combinações
Situação III – Dicotomias
Situação IV – Ocupações de Celas
Situação V Permutações com Elementos
Repetidos
CAPÍTULO IV – Expansão Binomial
Binômio de Newton
Expansão por Recorrência
Para o estudo da análise combinatória, da probabilidade e do binômio de
Newton os autores atenderam as Sugestões de 1965 na distribuição dos
conteúdos, porém acrescenta conteúdos que serão utilizados na apresentação de
outros. É, por exemplo, o caso das regras de contagem que foram utilizadas pelos
autores para serem posteriormente utilizadas no estudo de probabilidade.
Há uma seqüência lógica na apresentação dos conteúdos que vão além
dos apresentados nas Sugestões de 1965 que propunham alguns como optativos.
É, por exemplo, o caso das aplicações de probabilidade aplicado à genética,
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro III da Coleção
114
problemas de probabilidades que utilizam recursos das fórmulas combinatórias
para serem resolvidos e expansão por recorrência.
Foi possível observar que os autores utilizaram os símbolos e a linguagem
da Teoria dos Conjuntos para explicar e resolver os problemas propostos na
contagem, na probabilidade e na análise combinatória. Outro instrumento utilizado
para a resolução de problemas de contagem e probabilidade foram as “árvores de
possibilidades”, os quais julgaram muito importantes: “Combinatória e
Probabilidade com recursos modernos de contagem e os preciosos auxílio
didáticos das árvores” (BARBOSA; ROCHA, 1971, p. 3).
115
Figura 4.3.13: Utilização da árvore de probabilidade para resolver um problema
Fonte: Livro III da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 32
116
Quadro 4.3.9: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo dos Números Complexos e o Livro III da Coleção
Sugestões de 1965 para o Terceiro ano
Colegial
Matemática – Curso Colegial
1. Conjunto dos números complexos:
a) conceito, representação, operações,
propriedades;
b) raízes da unidade, equações
binômias.
TERCEIRA PARTE – Estruturas
Algébricas e Números Complexos
CAPÍTULO IX – Estruturas Algébricas
Introdução
Operações Binárias
Principais Estruturas Algébricas
CAPÍTULO X – Números Reais e
Complexos
O Corpo dos Números Reais
O Corpo dos Números Complexos
Assim como no estudo da análise combinatória e da probabilidade, os
autores atenderam as Sugestões de 1965 no que diz respeito ao estudo dos
números complexos que deveria ser estudado no terceiro colegial. Como
orientação deveria ser ressaltada a estrutura algébrica (corpo).
Os autores inovaram outra vez ao disponibilizarem um capítulo
antecedendo o estudo dos números complexos. Esse capítulo propunha o estudo
das estruturas algébricas recordando os assuntos estudados no primeiro livro, no
capítulo de fundamentos e definindo as principais estruturas algébricas: Grupo,
Anel e Corpo.
Mostraram também outros assuntos que utilizavam a nova linguagem de
apresentação dos conteúdos da Matemática.
Fonte: Sugestõ
es pa
ra a cadeira de Matemática
1965 e Livro III da Coleção
117
Figura 4.3.14: Introdução do capítulo sobre estruturas algébricas
Fonte: Livro III da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 168
Após o capítulo sobre as estruturas algébricas os autores apresentam o
capítulo sobre os números reais e complexos, iniciando com a apresentação do
corpo dos números reais, orientando que esse tópico poderia ser apenas para
leitura e revisão. Em seguida apresentam o corpo dos números complexos como
um novo conjunto de números atendendo as propriedades das estruturas
algébricas.
118
Os autores ressaltam ainda que o desenvolvimento dessa teoria deveria
ser de fácil assimilação aos alunos da Escola Secundária.
Quadro 4.3.10: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo dos Polinômios e o Livro III da Coleção
Sugestões de 1965 para o Terceiro ano
Colegial
Matemática – Curso Colegial
2. Polinômios e Equações Algébricas:
a) polinômios, operações, propriedades.
b) resolução de equações algébricas.
QUINTA PARTE – Polinômios – Equações
Algébricas
CAPÍTULO XIII – Polinômios
Forma Potencial dos Polinômios
Seqüências Quase Nulas e Polinômios
Divisibilidade de Polinômios
Divisão de Polinômios
Máximo Divisor Comum
CAPÍTULO XIV – Função Polinômio
Conceitos e Propriedades Gerais
Divisão por x – a
CAPÍTULO XV – Equações Algébricas
Elementos
Pesquisa de Raízes Racionais
Raízes Complexas de uma Equação
Pesquisa de Raízes Reais
Por mais que os autores tenham atendido às Sugestões de 1965 em
relação ao estudo dos polinômios e das equações algébricas, a organização
desses conteúdos, no índice do livro, foi melhor distribuído em comparação à
proposta do GEEM, conforme o quadro 4.3.10.
Outro aspecto importante é o fato dos autores terem atendido às
orientações das Sugestões ao destacar a estrutura algébrica (anel) no estudo dos
polinômios e o teorema fundamental da álgebra no estudo das equações
algébricas:
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro III da Coleção
119
Figura 4.3.15: Introdução ao estudo dos polinômios I
Fonte: Livro III da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 260
120
Figura 4.3.16: Introdução ao estudo dos polinômios II
Fonte: Livro III da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 261
121
Nessa Introdução é possível verificar a preocupação que os autores
tiveram em mostrar que o estudo dos polinômios tem uma nova abordagem, as
estruturas algébricas, e valorizaram esse estudo na Matemática Moderna.
Utilizaram também um exemplo de matriz para explicar divisores não nulos.
Deixam claro nessa Introdução que iriam apresentar uma idéia geral da teoria dos
polinômios, sem um rigor lógico, o qual seria tratado num nível mais avançado
desse curso.
Com isso apresentam todas as propriedades das operações com
polinômios e das resoluções de equações algébricas, mostram exemplos e
trazem vários exercícios, tudo com uma linguagem acessível aos alunos do
Ensino Colegial.
122
Quadro 4.3.11: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo da Geometria Analítica e o Livro III da Coleção
Sugestões de 1965 para o Terceiro ano
Colegial
Matemática – Curso Colegial
3. Geometria Analítica:
a) estudo da reta;
b) estudo da circunferência;
c) noções sobre cônicas.
SEGUNDA PARTE – Geometria Analítica
CAPÍTULO V: Elementos
Distância de Dois Pontos
Paralelogramo de vetores
Raios
Ponto num Segmento
Área de um Triângulo
CAPÍTULO VI – Reta
Formas
Ângulo de Duas Retas
Distância de um Ponto a uma Reta
CAPÍTULO VII – Transformações
Geométricas
Preliminares
Translação
Simetrias
Rotação
Homotetia
Relação de um lugar transformado
CAPÍTULO VIII – Circunferência, Parábola,
Elipse e Hipérbole
Circunferência
Parábola
Elipse
Hipérbole
Para o estudo da Geometria Analítica os autores atendem completamente
o que as orientações das Sugestões de 1965 propunham:
Recordar, sistematizando, os elementos de Geometria
Analítica, já introduzidos. Exame das equações como
definindo sub-conjuntos de pontos do plano. Poder-se-ia
iniciar, inclusive, um tratamento de geometria Analítica com
Álgebra Vetorial. (GEEM, 1965a, p. 99)
Fonte: Sugestões para a cadeira de Matemática 1965 e Livro III da Coleção
123
Os autores trazem um capítulo intitulado “Elementos”, no início há uma
nota mostrando que já foram estudados alguns tópicos da Geometria Analítica no
primeiro ano, como por exemplo, a fórmula da distância de dois pontos e a função
linear. Explicam que nesse terceiro volume seriam estudados esses conteúdos
com uma nova abordagem, e também outros tópicos.
Os autores utilizaram a Álgebra Vetorial na explicação dos conceitos da
Geometria Analítica, orientação das Sugestões de 1965. Acrescentaram um
capítulo sobre transformações geométricas, fizeram uso desses conceitos para
apresentar os conceitos de circunferência, de parábola, de elipse e de hipérbole.
124
Quadro 4.3.12: Quadro comparativo entre as Sugestões de 1965 para o
estudo de Análise Matemática e o Livro III da Coleção
Sugestões de 1965 para o Terceiro ano
Colegial
Matemática – Curso Colegial
4. Introdução ao Cálculo Infinitesimal:
a) noção de limite e continuidade de
funções reais de variável real;
b) derivada de funções racionais e
trigonométricas;
c) propriedades das derivadas e
aplicação no estudo da variação das
funções.
QUARTA PARTE – Noções de
Cálculo Infinitesimal
CAPÍTULO XI – Noções de Cálculo
Infinitesimal
Noção de Continuidade
Definições de Limites
Propriedades dos Limites
CAPÍTULO XII – Noções sobre
Derivadas
Derivadas
Regras Gerais
Derivadas das Funções
Trigonométricas
Derivadas das Funções
Exponenciais e Logarítmicas
Aplicações das Derivadas
Por fim, mais uma vez os autores atenderam as orientações das Sugestões
de 1965, agora no estudo do cálculo infinitesimal. Pode-se observar no quadro
4.3.12, que os conteúdos de limites, continuidade e derivadas são contemplados
pelos autores no terceiro livro. O capítulo foi iniciado com uma nota histórica
sobre a Geometria Analítica e o Cálculo:
Fonte: Sugestões para a cadeira de Ma
temática 1965 e Livro III da Coleção
125
Em seguida, antes de iniciar com o conteúdo, apresentaram um comentário
sobre o ensino do Cálculo no Ensino Secundário:
Figura 4.3.17: Nota histórica sobre a Geometria Analítica e o Cálculo
Fonte: Livro III da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 215
126
Também nesse ponto, os autores tiveram a preocupação de apresentar os
conteúdos com nova linguagem apresentada pelo Movimento da Matemática
Moderna. Mostraram em diversos pontos dos livros a importância de aprender os
conteúdos matemáticos para aplicação em outras Ciências, como por exemplo, a
Física, a Biologia e a Computação.
Figura 4.3.18: Comentário sobre o cálculo no ensino secundário
Fonte: Livro III da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, p. 216
127
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No decorrer dessa pesquisa foi possível observar que o Movimento da
Matemática Moderna – MMM apresentou aos professores, da segunda metade do
século XX, uma nova abordagem didática no Ensino da Matemática, tendo como
principal objetivo a unificação da linguagem na apresentação dos conteúdos a ser
ensinado no Ensino Secundário e Primário. Tal linguagem foi apresentada
principalmente pela Teoria dos Conjuntos, pela Lógica Matemática e as Estruturas
Algébricas. Essa nova abordagem no Ensino da Matemática foi uma tentativa de
acompanhar o desenvolvimento da Matemática e do avanço tecnológico.
Ao realizar-se uma revisão sobre o que havia sido pesquisado e publicado
a respeito do MMM, verificou-se que os trabalhos foram referentes ao seu
surgimento, aos protagonistas, a sua divulgação e sobre os conteúdos do Ensino
Primário e do Ensino Ginasial. Não foram encontrados trabalhos que analisassem
questões sobre o Ensino Colegial, por isso o interesse em pesquisar as
mudanças dos conteúdos nesse nível de ensino em tempos do MMM, tendo em
vista a importância desse nível de Ensino na formação dos jovens para o mercado
de trabalho, devido ao crescimento das indústrias.
Com isso, essa pesquisa teve como objetivo investigar os processos de
transformação que a Matemática Escolar, ensinada no Ensino Colegial, atual
Ensino Médio, sofreu nas décadas de 1950 a 1960. Para chegar a tal objetivo foi
utilizado o seguinte corpus de análise: os Programas do Ensino Secundário,
dispostos pela Portaria n° 966 de 2 de outubro de 1951, as Sugestões para um
128
roteiro de Programa para a cadeira de Matemática, proposto pelo GEEM em
1965, e a Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno, de Scipione Di Pierro
Neto, Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa.
Diante desse corpus foram feitas as análises no decorrer dessa
dissertação. Procurou-se responder a seguinte questão: como foi reorganizada a
Matemática Escolar para o Ensino Colegial do Curso Secundário, tendo em vista
o advento do chamado Movimento da Matemática Moderna no Brasil?
Para responder essa questão, foi necessário se fundamentar em alguns
pressupostos teóricos responsáveis por contribuições nas áreas da História das
Disciplinas Escolares, com André Chervel (1990), e dos Livros Didáticos, a partir
das reflexões de Alain Choppin (2004).
Outro item importante para a análise dessa pesquisa foi rever as
discussões dos Congressos realizados no Brasil, uma vez que esses foram
fundamentais para a divulgação do Movimento da Matemática Moderna no país.
Além disso, o IV Congresso Nacional, realizado em Belém, no Pará, em 1962, foi
onde se aprovaram as Sugestões apresentadas pelo Grupo de Estudo do Ensino
da Matemática, GEEM, que a partir de então serviram de parâmetro para
elaboração dos livros didáticos, principal meio de divulgação do ideário do
movimento.
Anterior às Sugestões do GEEM, o Ensino da Matemática contava com o
que era proposto na Portaria de 1951, que trazia os conteúdos mínimos
obrigatórios para o antigo Colegial. Procurou-se nessa pesquisa, fazer um estudo
comparativo entre essas duas propostas. Foi observado que a proposta do GEEM
129
incluía novos assuntos que não faziam parte da proposta da Portaria de 1951,
como por exemplo: o estudo das Matrizes, um estudo detalhado sobre Funções, a
Geometria das Transformações, e a Probabilidade. Além desses novos assuntos
foi apresentada nas Sugestões de 1965 uma nova linguagem para o Ensino da
Matemática.
As idéias que surgiram com o Movimento da Matemática Moderna
influenciaram muito na elaboração dos livros didáticos da época. A Coleção Curso
Colegial Moderno, considerada pioneira para o antigo Colegial, foi utilizada nessa
pesquisa a fim de verificar a apropriação das sugestões trazidas pelo MMM. Na
qual notou-se que as tendências dessa reforma foram aplicadas pelos autores.
Essa influência veio principalmente dos Estados Unidos, pois o principal
articulador do MMM no Brasil Osvaldo Sangiorgi havia feito um curso de verão
nesse país em 1961, ano em que o grupo SMSG publicou compêndios para o
Ensino Secundário com o intuito de aperfeiçoar o Ensino de Matemática dos
Estados Unidos. Retornando ao Brasil, no mesmo ano, Sangiorgi fundou o GEEM
e com o apoio das principais instituições educacionais de governo, articulou uma
mudança no curriculum do Ensino Secundário. Essa mudança surgiu
gradativamente a partir da aprovação das Propostas de 1962 apresentadas pelo
GEEM no IV Congresso em Belém, e a partir de 1963 nos livros didáticos do
Ensino Ginasial escrito por Osvaldo Sangiorgi.
É possível verificar essas influências dos Estados Unidos não somente nas
publicações de compêndios, mas com ajuda financeira para a melhoria do Ensino
Secundário, segundo nos afirma Nunes (2000):
130
Os educadores que antes de 1964 lutavam pela posse de
prestígios políticos e controle do sistema educacional foram
afastados de seus postos (imediata e/ou gradativamente) ou
cooptados para colaborar na implementação de um ginásio
moderno na linha dos acordos norte-americanos que se
propunham a financiar e fornecer assistência técnica ao
empreendimento de expansão e melhoria do ensino secundário no
país. (NUNES, 2000, p. 56)
Com tais influências e a aprovação da Lei 4.024 de 1961, a LDB passou a
admitir “variedade de cursos, flexibilidade de currículos e facilidades de
articulação, essa lei propiciava fundamentos amplos para inovações no ensino
secundário” (AMADO, 1964 Apud NUNES, 2000, p. 56). Sendo assim, o cenário
educacional brasileiro entra numa nova era procurando acompanhar o
crescimento da Matemática e o desenvolvimento tecnológico e industrial. Com
isso, surgiu à necessidade de inserir novos conteúdos e uma nova linguagem no
Ensino de Matemática no Curso Secundário, devido a Matemática estar
diretamente ligada ao crescimento tecnológico.
Os autores da Coleção Matemática – Curso Colegial Moderno atenderam
essas novas mudanças no Ensino da Matemática e inovaram nas apresentações
dos conteúdos relacionando com as novas tendências tecnológicas, a
computação, e as aplicações em outras ciências como a Física e a Biologia.
Com isso pôde se verificar que essa reorganização da Matemática Escolar,
proposta pelo GEEM na década de 1960, trazendo novos conteúdos como
Funções, Matrizes, Probabilidades e a Geometria Analítica, assim como a nova
linguagem apresentada pela Teoria dos Conjuntos pela Lógica e pelas Estruturas
Algébricas, continuam fazendo parte do currículo de Matemática para o atual
Ensino Médio.
131
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135
ANEXOS
ANEXO A....................................................................................................
Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário e
respectivas instruções metodológicas..................................................
137
137
ANEXO B....................................................................................................
Sugestões para um roteiro de Programa para a cadeira de
Matemática...........................................................................................
141
141
ANEXO C....................................................................................................
Assuntos mínimos para o colégio, orientação e sugestões para o
seu desenvolvimento............................................................................
147
147
136
137
ANEXO A
Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário e
respectivas instruções metodológicas
Fonte: Brasil (1951b, p. 121-127)
Curso Colegial
1ª Série
I – Noções sobre o cálculo aritmético aproximado; erros.
1. Aproximação e êrro. Valor por falta ou por excesso. Erro absoluto e erro relativo.
Algarismos exatos de um número aproximado. Erro de arredondamento.
2. Adição, subtração, multiplicação e divisão com números aproximados. O cálculo da
aproximação dos resultados e seu problema inverso; método dos erros absolutos.
II – Progressões:
1. Progressões aritméticas; termo geral; soma dos termos. Interpolação aritmética.
2. Progressões geométricas; termo geral; soma e produto dos termos. Interpolação
geométrica.
III – Logaritmos:
1. O cálculo logaritmo como operação inversa da potenciação. Propriedades gerais dos
logaritmos; mudança de base. Característica e mantissa. Cologaritmo.
2. Logaritmos decimais; propriedades. Disposição e uso das tábuas de logaritmos. Aplicação
ao cálculo numérico.
3. Equações exponenciais simples; sua resolução com o emprego de logaritmos.
IV – Retas e planos; superfícies e poliedros em geral; corpos redondos usuais; definições e
propriedades; áreas e volumes.
1. Reta e plano; postulados; determinação; interseção; paralelismo; distância; inclinação e
perpendicularismo. Diedros e triedros. Ângulos sólidos em geral.
2. Generalidades sobre os poliedros em geral. Poliedros regulares; indicações gerais.
3. Prismas; propriedades gerais e, em especial dos paralelepípedos; área lateral, área total;
volume.
4. Pirâmides; propriedades gerais; área lateral; área total; volume. Troncos de prisma e
troncos de pirâmide.
5. Estudo sucinto das superfícies em geral. Superfícies retilíneas e superfícies
curvilíneas. Superfícies desenvolvíveis e superfícies reversas. Superfícies de
revolução. Exemplos elementares dos principais tipos da classificação de Monge.
6. Cilindros; propriedades gerais; área lateral; área total; volume. Troncos de cilindro.
7. Cones; propriedades gerais: área lateral; área total; volume. Troncos de cone de bases
paralelas.
8. Esfera; propriedades gerais. Área e volume da esfera e das suas diversas partes.
V – Seções cônicas; definições e propriedades fundamentais.
1. Elipse; definição e traçado; círculo principal e círculos diretores; excentricidade; tangente.
2. Hipérbole; definição e traçado; assíntotas; círculo principal e círculos diretores;
excentricidade; tangente.
3. Parábola; definição e traçado; diretriz; tangente.
4. As seções determinadas por um plano numa superfície cônica de revolução; teorema
de Dandelin.
138
2ª Série
I - Análise combinatória simples:
1. Arranjos de objetos distintos; formação e cálculo do número de grupamentos.
2. Permutações de objetos distintos; formação e cálculo do número de grupamentos.
Inversão. Classe de uma permutação; teorema de Bézout.
3. Permutação simples, com objetos repetidos; cálculo do número de grupamentos.
4. Combinações de objetos distintos; formação e cálculo do número de grupamentos. Relação
de Stifel; triângulo aritmético de Pascal.
II – Binômio de Newton.
1. Lei de formação do produto de binômios distintos. Fórmula para o desenvolvimento
binomial no caso de expoente inteiro e positivo; lei recorrente de formação dos termos.
2. Aplicação do desenvolvimento binomial ao problema da somação de potências
semelhantes de uma sucessão de números naturais.
III – Determinantes; sistemas lineares.
1. Determinantes e matrizes quadradas; propriedades fundamentais. Regra de Sarrus.
Determinantes menores. Desenvolvimento de um determinante segundo os elementos de
uma linha ou coluna. Transformação dos determinantes. Abaixamento da ordem de um
determinante pela regra de Chio.
2. Sistemas de n equações lineares com n incógnitas. Regra de Cramer.
3. Sistemas de m equações lineares com n incógnitas; teorema de Rouché.
IV – Noções sobre vetores; projeções; arcos e ângulos; linhas e ralações trigonométricas.
1. Grandezas escalares e vetoriais. Vetores; propriedades. Operações elementares com
vetores. Relação de Chasles.
2. Projeção ortogonal de um vetor sobre um eixo. Teorema de Carnot.
3. Generalização dos conceitos de arco e de ângulo. Arcos côngruos. Arcos da mesma
origem e de extremidades associadas.
4. Linhas e funções trigonométricas diretas; definições e variação. Arcos correspondentes à
mesma linha trigonométrica. Relações entre as linhas trigonométricas de um mesmo arco.
Problema geral da redução ao 1º quadrante. Cálculo das linhas trigonométricas dos arcos
expressos pe relação π/n.
V – Transformações trigonométricas em geral; equações trigonométricas simples.
1. Adição, subtração e multiplicação de arcos. Bissecção de arcos. Transformação de somas
de linhas trigonométricas em produtos.
2. Disposição e uso de tábuas trigonométricas naturais e logarítmicas.
3. Equações trigonométricas simples, tipos clássicos.
VI – Resolução trigonométrica de triângulos.
1. Relações entre os elementos de um triângulo retângulo.
2. Casos clássicos de resolução de triângulos retângulos.
3. Relações entre os elementos de um triângulo qualquer, Lei dos senos. Relações dos
co-senos. Expressão trigonométrica da área
4. Casos clássicos de resolução de triângulos quaisquer.
139
3ª Série
I – Conceito de função; representação cartesiana; reta e círculo; noção intuitiva de limite e
de continuidade.
1. Conceito elementar de variável e de função. Variável progressiva e variável contínua;
intervalos. Noção intuitiva de limite de uma sucessão; exemplos clássicos elementares;
convergência.
2. Funções elementares; classificação. Representação cartesiana de uma função e equação
de uma curva. Curvas geométricas e curvas empíricas; noção intuitiva de continuidade.
Representação gráfica de funções usuais; função exponencial, função logarítmica e
funções trigonométricas diretas. Acréscimo de uma função num ponto; funções crescentes
e funções decrescentes. Tangente; inclinação da tangente.
3. Limite de variáveis e de funções; limites infinitos. Propriedades fundamentais. Exemplos
elementares de descontinuidade de uma função em um ponto. Descontinuidade das
funções racionais fracionárias.
4. A função linear e a linha reta em coordenadas cartesianas. Parâmetros angulares e
parâmetro linear. Formas diversas de equação da linha reta. Representação paramétrica;
ares de um triângulo em função das coordenadas dos vértices. Os problemas clássicos de
inclinação, intersecção, passagem e distância, relativos à linha reta.
5. A equação geral do 2° grau com duas variáveis e a circunferência de círculo em
coordenadas cartesianas. Formas diversas da equação da circunferência de círculo.
Intersecção de retas e circunferências.
II – Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações; aplicações.
1. Definição da derivada em um ponto; notações; derivada infinita. Interpretação geométrica e
cinemática da derivada. Diferença e diferencial; interpretação geométrica. Funções
derivadas. Derivação sucessiva.
2. Regras de derivação; derivada de um constante; de um função de função; de funções
inversas; da soma, do produto e do quociente de funções. Aplicação à derivação de
funções elementares.
3. Aplicação da teoria das derivadas ao estudo da variação de uma função. Funções
crescentes e funções decrescentes; máximos e mínimos relativos; interpretação
geométrica.
4. Funções primitivas; integral indefinida; constante de integração. Primitivas imediatas; regras
simples de integração.
5. Integral definida. Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos elementares.
III – Introdução à teoria das equações; polinômios; propriedades, divisibilidade por x ± a;
problemas de composição, transformações e pesquisa de raízes; equações de tipos
especiais.
1. Polinômios de uma variável; identidade. Aplicação ao método dos coeficientes a
determinar. Divisibilidade de um polinômio inteiro em x por x ± a; regra e dispositivo prático
de Ruffini. Fórmula de Taylor para os polinômios; algoritmo de Ruffini-Horner.
2. Polinômios e equações algébricas em geral; raízes ou zeros. Conceito elementar de
número complexo; forma binomial; complexos conjugados; módulo; representação
geométrica. Operações racionais. Decomposição de um polinômio em fatores binômios;
número de raízes de uma equação; raízes múltiplas e raízes nulas. Raízes complexas
conjugadas. Indicação sobre o número de raízes reais contidas em um dado intervalo:
teorema de Bolzano; conseqüências,
3. Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação; aplicação à composição das
equações. Propriedades das raízes racionais e fracionárias.
4. Transformação das equações, transformações de primeira ordem: aditivas,
multiplicativas e recíprocas.
5. Equações recíprocas; classificação; forma normal; abaixamento do grau.
6. Cálculo das raízes inteiras. Determinação das cotas pelo método de Laguerre-
Thibault. Regras de exclusão de Newton. Algoritmo de Peletarius.
Observação – Os parágrafos em negrita destinam-se sòmente ao curso cientifico; os demais são
comum ao curso clássico e ao científico.
140
141
ANEXO B
Sugestões para um roteiro de Programa para a cadeira de Matemática
Fonte: São Paulo (1965, p. 42-43)
Curso secundário – 1º Ciclo, 2º Ciclo e Normal. Ano – 1.965.
Considerando:
1. As possíveis transformações oriundas da aplicação da Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional, relativas aos assuntos que devem compor as disciplinas do
curriculum do Curso Secundário;
2. As inúmeras solicitações recebidas pelo Departamento de Educação, provindas de
Estabelecimentos de Ensino Secundário do Estado de São Paulo, bem como pais de
alunos, no sentido de ser seguido um roteiro para o desenvolvimento das diversas
disciplinas, face ao problema da transferência de alunos e professores;
3. A necessidade de ser estudada uma certa ordem nos assuntos, que devem compor a
cadeira de Matemática, a serem ensinados nos estabelecimentos que integram a rede do
Estado, a fim de que sejam evitadas orientações diametralmente opostas;
4. A importância que deve representar a matemática na formação dos atuais professores
primários; a) no atendimento do aspecto de profundidade mais do que o de quantidade; b)
na divulgação correta da legislação brasileira de medidas, inclusive as últimas inovações
sobre a grafia do cruzeiro;
5. Que além do caráter estrutural do conteúdo da matemática a ser programado para o 2º
Ciclo, devem ser atendidas, na medida do possível, as exigências dos exames
vestibulares às diversas Faculdades;
Esta Comissão, designada pelo Departamento de Educação, depois de cuidadosos estudos
louvados, principalmente nos resultados aprovados nos Congressos nacionais de Ensino de
matemática – que vêm refletindo a solução dada ao mesmo problema, existente em outros países,
por Centros Experimentais de Estudos – propõe o seguinte roteiro para os assuntos que deverão
constituir os diversos programas de Matemática; no 1º Ciclo, do 2º Ciclo, e do Curso Normal, dos
Estabelecimentos Oficiais do Estado de São Paulo, como base para possíveis discussões que
outros professores e demais educadores queiram participara por intermédio de sugestões que
serão aceitas até o próximo dia 31 de janeiro de 1965.
Prof. Benedito Castrucci – Presidente.
Prof. Osvaldo Sangiorgi – Secretário.
Prof. Luiz Mauro Rocha – Membro.
Profª. Renate G. Watanabe – Membro.
Prof. Alcides Bóscolo – membro.
São Paulo, 13 de janeiro de 1.965.
142
PRIMEIRO ANO GINASIAL
1. Conjunto dos números inteiros:
a) representação e sistema de numeração;
b) adição e operação inversa, propriedades;
c) multiplicação e operação inversa, propriedades;
d) potenciação e operação inversa, propriedades;
e) prática da extração de raiz quadrada.
2. Divisibilidade:
a) múltiplos e divisores;
b) números primos;
c) máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.
3. Conjunto dos números racionais (inteiros e fracionários):
a) representação (fracionária e decimal);
b) adição e operação inversa, propriedades;
c) multiplicação e operação inversa, propriedades;
d) potenciação e operação inversa, propriedades.
4. Estudo intuitivo das principais figuras geométricas.
5. Sistemas de medidas:
a) sistema de medidas;
b) noções sobre outros sistemas, não decimais, em uso.
Observação: Tal programação deverá ser atendida pelo 6º ano primário, que vier a ser criado nos
estabelecimentos de Ensino Primário do Estado.
SEGUNDO ANO GINASIAL
1. Razões e Proporções:
a) razões, propriedades;
b) proporções, propriedades;
c) conjuntos de números direta e inversamente proporcionais;
d) regra de três, porcentagem, juros, câmbio.
2. Conjunto de números racionais relativos:
a) inteiros relativos, operações, propriedades;
b) racionais relativos, operações, propriedades;
c) relação de ordem (desigualdade).
3. Equações e inequações do primeiro grau:
a) noção de variável, tradução de sentenças com uma variável da linguagem
corrente para a linguagem matemática;
b) resolução de equações simples do primeiro grau com uma variável no conjunto
dos racionais relativos, usando as propriedades das operações;
c) resolução de inequações simples do primeiro grau com uma variável no conjunto
dos racionais relativos, usando as propriedades.
4. Sistema de inequações simultâneas com uma variável.
5. Sistemas de duas equações simultâneas com duas variáveis;
a) tradução de sentenças com duas variáveis da linguagem corrente para a
linguagem matemática;
b) técnicas de resolução, substituição.
Observação: Tal programação deverá atender inclusive aos alunos que tendo terminado
normalmente o 6º Ano Primário, queiram continuar o Ginásio, ingressando na 2ª série.
143
TERCEIRO ANO GINASIAL
1. Cálculo Algébrico:
a) polinômios, operações, propriedades;
b) frações algébricas, operações, propriedades.
2. Complementação do estudo das equações e sistemas:
a) equações e inequações do 1º grau com uma variável;
b) sistemas de equações simultâneas do 1º grau.
3. Introdução à Geometria Dedutiva:
a) elementos fundamentais: ponto, reta, semi-reta, segmento, semi-reta, segmento,
semi-plano, ângulo;
b) polígonos, generalidades, estudo dos triângulos: congruência, propriedades e
aplicações.
4. Paralelismo e perpendicularismo:
a) Propriedades fundamentais, postulado de Euclides, conseqüências;
b) Quadriláteros, principais propriedades.
5. Circunferência e Círculo:
a) generalidades, arcos e cordas, propriedades;
b) medida de arcos e ângulo.
6. Construções Geométricas e Transformações:
a) construção com régua e compasso;
b) transformações geométricas elementares: translação, rotação e simetria.
Observação: Deverá constar ainda deste programa – a título precário os assuntos: razões e
proporções, que deverão ser ensinados aos alunos provindo de 2
as
séries que não tenham dado
tais assuntos por circunstâncias de adaptação.
QUARTO ANO GINASIAL
3. Conjunto de números reais;
a) primeiras noções de número real e sua representação na reta;
b) radicais: potências com expoente racional relativo, operações e propriedades.
4. Equações do Segundo Grau:
a) generalidades, resolução;
b) equações biquadradas, equações irracionais;
c) sistemas simples do 2º grau de duas equações com duas variáveis.
5. Funções:
a) função linear e sua representação gráfica cartesiana;
b) resolução gráfica de sistemas de equações;
c) função trinômio do 2º grau, representação gráfica.
6. Semelhança:
a) razão e proporcionalidade de segmentos;
b) teorema de Tales, semelhança de triângulos, semelhança de polígonos;
c) noção de seno e co-seno.
7. Relações métricas:
a) num triângulo retângulo;
b) num triângulo qualquer, lei dos senos e lei dos co-senos;
c) num círculo.
8. Polígonos regulares e medida da circunferência:
a) polígonos regulares inscritíveis e circunscritíveis no círculo;
b) construção e relação métrica entre os elementos do quadrado, do triângulo
eqüilátero, hexágono e decágono regulares;
c) noção sobre medida da circunferência e o número PI.
9. Áreas das principais figuras planas.
144
PRIMEIRO ANO COLEGIAL
5. Funções:
a) noções gerais;
b) função linear, representação gráfica, estudo da reta;
c) função trinômio do 2º grau, variação, representação gráfica, inequações do 2º
grau;
d) função exponencial e logarítmica, uso das tábuas.
6. Seqüências:
a) exemplos de seqüências, princípios da indução;
b) progressões aritméticas e geométricas.
7. Funções trigonométricas:
a) estudo das funções trigonométricas, periocidade, simetria, representação gráfica;
b) relações fundamentais, funções trigonométricas de a (mais ou menos) b, 2ª, a/2,
onde a e b representam medidas de arcos;
c) transformação de sen a (mais ou menos) sen b, cos a (mais ou menos) cos b em
produto;
d) equações trigonométricas e resolução de triângulos.
8. Introdução à Geometria do Espaço:
a) axiomas e teoremas fundamentais;
b) perpendicularismo e paralelismo, projeção e distância;
c) diedros.
SEGUNDO ANO COLEGIAL
6. Análise Combinatória e Binômio de Newton:
a) análise combinatória simples;
b) noção de probabilidade;
c) binômio de Newton.
7. Sistemas de Equações lineares:
a) matrizes e determinantes;
b) resolução de sistemas lineares.
8. Ângulos Poliédricos e Poliedros:
a) triedros e ângulos poliédricos;
b) poliedros regulares;
c) prismas e pirâmides.
9. Superfícies e Sólidos Redondos:
a) superfícies elementares: cilíndricas, cônicas e de rotação.
b) Cilindro, cone e esfera.
10. Áreas e Volumes dos principais sólidos.
TERCEIRO ANO COLEGIAL
6. Conjunto dos números complexos:
a) conceito, representação, operações, propriedades;
b) raízes da unidade, equações binômias.
7. Polinômios e Equações Algébricas:
a) polinômios, operações, propriedades.
b) resolução de equações algébricas.
8. Geometria Analítica:
a) estudo da reta;
b) estudo da circunferência;
c) noções sobre cônicas.
9. Introdução ao Cálculo Infinitesimal:
a) noção de limite e continuidade de funções reais de variável real;
145
b) derivada de funções racionais e trigonométricas;
c) propriedades das derivadas e aplicação no estudo da variação das funções.
10. Transformações Geométricas:
a) translação, rotação e simetria, propriedades;
b) semelhança, homotetia, propriedades.
CURSO NORMAL
Matemática e Estatística
(Programa destinado às Escolas Normais e Institutos de Educação)
Matemática
1. Conjunto de números inteiros:
a) número inteiro e sua representação; sucessão dos números inteiros;
b) relação de ordem: propriedades;
c) adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação; conceito,
propriedades, justificação da técnicas operatórias, prova real.
d) numeração; conceito, generalidades (bases modernas), numeração decimal;
Princípio da posição decimal; decomposição de um número inteiro numa soma de
potencias de 10;
e) divisibilidade; múltiplos e divisores; conceito e propriedades, critérios; números
primos; números primos entre si; m.d.c. e m.m.c.; conceito e propriedades,
técnicas.
2. Conjunto dos números racionais (inteiros e fracionários)
a) fração: conceito e generalidades; frações equivalentes; transformações;
b) operações com os números racionais; conceito e propriedades; técnicas;
c) representação decimal dos números racionais (números decimais); operações,
técnicas;
d) transformações exata e aproximada; dízimas periódicas.
3. Sistemas de medidas
a) Sistema Métrico Decimal e sistemas não decimais de uso permitido no Brasil.
b) uso correto da legislação brasileira de medidas, inclusive as relativas à moeda
nacional.
4. Proporcionalidade e aplicações no comércio:
a) razões e proporções; conceito e propriedades;
b) grandezas proporcionais; porcentagem, regras de três;
c) juros simples; desconto; moeda e câmbio.
5. Geometria intuitiva
a) precisão dos conceitos fundamentais de ponto, reta, plano; semi-reta, segmento,
semi-plano; superfície; ângulos; poligonal, polígono; triângulos, quadriláteros;
circunferência, círculo;
b) noção de equivalência entre figuras geométricas planas; áreas das principais
figuras planas;
c) noção de equivalência entre figuras geométricas sólidas; generalidades sobre os
principais sólidos geométricos; áreas das superfícies lateral e total; volumes
respectivos.
6. Prática de resolução de problemas:
a) apresentação das diversas estruturas que participam dos problemas do ensino
primário; uso de sentenças matemáticas e das propriedades das operações
estudadas;
146
b) aplicações algébricas: resolução de equações do 1° grau com uma variável e de
sistemas simultâneos de duas equações do 1° grau com duas variáveis, no
conjunto dos números reais relativos, usando linguagem de sentenças
matemáticas; prática de gráficos (coordenadas cartesianas).
Estatística
(aplicada à Educação)
1. Origem e natureza dos dados estatísticos.
2. Levantamento estatístico; conceito, fases, conclusão.
3. Representações gráficas; gráficos de informação, de análise, de distribuição.
4. Medidas de posição: a média aritmética simples e ponderada; mediana e separatrizes; a
moda.
5. Medidas de dispersão e de variabilidade.
6. Curva Normal; construção e interpretação.
7. Amostra e população; considerações gerais.
8. Testes psicológicos e pedagógicos; problemas de elaboração, tradução, padronização e
aplicação.
Observação
Dada a importância que representa a formação matemática para o futuro professor
primário, sugere-se a distribuição da programação proposta de Matemática e Estatística, pelas
três séries das atuais Escolas Normais e Institutos de Educação, na seguinte ordem:
1ª Série:
Matemática: unidades 1 e 2
Estatística: unidades 1, 2 e 3
2ª Série:
Matemática: unidades 3, 4 e 5
Estatística: unidades 4 e 5
3ª Série:
Matemática: unidade 6
Estatística: unidades 6, 7 e 8.
147
ANEXO C
Assuntos mínimos para o colégio, orientação e sugestões para o seu
desenvolvimento
Fonte: GEEM (1965a, p. 96-100)
ASSUNTOS MÍNIMOS SUGESTÕES
1
Função de 2° grau. Estudo
completo do trinômio do 2°
grau e aplicações.
No estudo do trinômio, ressaltar o aspecto
gráfico e nas aplicações, as inequações do
2° grau.
2
Coordenadas de um ponto da
circunferência com centro na
origem. Aplicações das
relações trigonométricas nos
triângulos.
Ressaltar a significação da medida de arco
e de ângulo em radianos. No estudo das
funções, destacar as relações entre elas e
as propriedades de simetria e
periodicidade. Introduzir a noção de vetor
no estudo do teorema das projeções.
Examinar os casos simples de resolução
de triângulos.
3
Identidades, equações e
inequações trigonométricas
simples.
Discussão das soluções, levando em conta
a periodicidade e simetria.
4
Introdução à Geometria
Espacial; espaço e semi-
espaço. Paralelismo e
perpendicularismo de retas e
planos.
5
Diedros, triedros e ângulos
poliédricos.
6
Poliedros: prismas, pirâmides
e troncos. Propriedades
geométricas
7
Corpos redondos.
Desenvolver o assunto em encadeamento
lógico, ressaltando as propriedades
fundamentais intuitivas e as
demonstráveis, procurando destacar os
diversos métodos de demonstração.
Aproveitar as idéias operacionais de
conjuntos. No estudo da esfera, introduzir
os triângulos esféricos, com vistas a 1
exemplo de Geometria não Euclideana.
8
Transformações pontuais:
translação, rotação, simetria e
homotetia.
Ressaltar as estruturas definida através
desses tipos de transformação.
9
Noção de sequência ou
sucessão de números reais.
Progressões.
A noção de sequência deve precede a de
progressões, que constituem um caso
particular. Após o conceito e notações,
seguem-se as operações com sequências,
onde devem ser examinadas as estruturas
algébricas (grupo aditivo e espaço
vetorial). A idéia de convergência,
preferivelmente, será dada no caso das
progressões geométricas.
148
10
Noção de potência no campo
real. Operações inversas.
Logaritmos.
Partir das propriedades de radicais para
representá-los, agora, como potências de
expoente irracional. Resumir a estrutura
algébrica do campo real. No estudo das
operações inversas aparecerá a
logaritmação. Ressaltar a aplicação dos
logaritmos à resolução de equações
exponenciais.
11
Análise Combinatória e
aplicações.
Estudar os vários tipos de agrupamentos
que, eventualmente, podem ser tratados
através de noções de probabilidade.
Aplicações às potências de binômios
(Newton) e polinômios (Leibnitz)
12
Elementos de Geometria
Analítica Plana. Equação da
reta e equação da
circunferência. Equações
reduzidas das cônicas.
Recordar, sistematizando, os elementos
de Geometria Analítica, já introduzidos.
Exame das equações como definindo sub-
conjuntos de pontos do plano. Poder-se-ia
iniciar, inclusive, um tratamento de
geometria Analítica com Álgebra Vetorial.
13
Medidas dos sólidos
geométricos.
Introdução do postulado de Cavallieri para
o estudo das medidas dos sólidos.
14
Sistema de equações
lineares. Noção de matrizes;
aplicações.
O estudo pode ser feito através da teoria
dos determinantes ou preferivelmente,
pelas matrizes. Ressaltar as estruturas
algébricas das operações com matrizes
(anel e espaço vetorial).
15
Números complexos:
operações fundamentais;
propriedades.
Ressaltar a estrutura algébrica (corpo).
16
Estudo dos polinômios. Exame da estrutura algébrica (anel).
Destacar a operação divisão de polinômios
e princípio de identidade, derivada de um
polinômio definida pela fórmula de Taylor.
17
Equações algébricas. Admitir o teorema fundamental da álgebra:
dedução das conseqüências. Pesquisa de
raízes inteiras e racionais. Estudar,
eventualmente as equações do 3° e 4°
graus, recíprocas e binômias.
18
Noção de limite, continuidade
e derivadas. Elementos de
cálculo integral; aplicações ao
cálculo de áreas e volumes.
Dar noções intuitivas, que permitam
deduzir as principais propriedades, que
serão utilizadas nas aplicações a outras
ciências.
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