Download PDF
ads:
IRENE DA CONCEIÇÃO RODRIGUES PRESTES
GEOMETRIA ESFÉRICA:
Uma conexão com a Geografia
Mestrado Profissional em Ensino de Matemática
PUC/SP
São Paulo
2006
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
IRENE DA CONCEIÇÃO RODRIGUES PRESTES
GEOMETRIA ESFÉRICA
Uma conexão com a Geografia
Mestrado Profissional em Ensino de Matemática
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como
exigência parcial para a obtenção do título de
MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE
MATEMÁTICA, sob a orientação do Prof. Dr.
Vincenzo Bongiovanni.
PUC/SP
São Paulo
2006
ads:
Banca Examinadora
A
utorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a produção total
ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura__________________________ Local e Data____________________
Dedicatória
Dedico este trabalho às duas mulheres
que sempre me incentivaram na busca do
conhecimento:
Minha Mãe, Esmeralda, que pelo estímulo
carinho e exemplo de perseverança não me
deixou esmorecer.
Minha “vózinha”, Alice, que está com
certeza numa outra dimensão torcendo por
mim, como sempre fez. “As pessoas que
amamos não terminam, continuam conosco e
nosso coração percebe isso. Viram estrelas, e
delas, de alguma forma, nos vêm força e
claridade”. (Osvaldo D. Tórtora).
Agradecimentos
É com muita alegria que, ao final deste estudo, eu tenha uma lista
extensa de pessoas que contribuíram para a sua realização. Desde já,
desculpo-me se, porventura, minha memória falhar num momento tão
importante.
Ao meu orientador, Professor Doutor Vincenzo Bongiovanni, pelo
exemplo de responsabilidade e dedicação e ainda, pela confiança, amizade e
companheirismo, que propiciaram a tranqüilidade necessária para a elaboração
deste trabalho.
Aos Professores Doutores, Paulo Roberto de Oliveira e Marcos Antonio
Santos de Jesus pelas sugestões oferecidas na qualificação.
Aos meus pais, João e Esmeralda, pelo dom da vida...
Aos alunos Allan, Augusto, Bianca, Bruno, Diego, Julia, Juliana, Mariana,
Munique, Priscila, Rádila , Rodrigo, Thaís e Vinicius que se prontificaram a
participar da pesquisa, pela disposição e colaboração, fundamentais para a
Investigação . Aos seus pais, por permitirem que os filhos participassem do
projeto.
Aos amigos e “Professores Observadores”: Ana Alice, Fernanda, Giane,
Helena, Luciana e Rogério, por deixarem suas casas e seus familiares, nas
manhãs de sábado, para auxiliarem neste projeto, por todo apoio dispensado,
antes, durante e depois da aplicação das atividades.
Ao meu sobrinho Lucas, que se prontificou a desenvolver as atividades,
auxiliando na análise a priori e por dispensar seu tempo aos sábados para
efetuar a filmagem.
À direção da EE Sidrônia Nunes Pires, por permitir a utilização da escola
para o desenvolvimento das atividades.
Ao pessoal do projeto Escola da Família, em especial à Renata e ao
Gilberto, auxiliando na organização da sala de informática e ao Luciano pelo
cafezinho tão esperado.
Ao amigo Aristides, pela confecção das esferas de arame.
À amiga Profª. Lia, pelas correções ortográficas, empréstimo de
gravador e todo apoio dispensado para a realização deste trabalho.
Aos meus irmãos, Ana, Beto, Carlos, Cláudia e Naninha, que de uma
forma ou outra, contribuíram no desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus sobrinhos, pelo carinho dispensado durante toda esta
trajetória.
Aos amigos Gilberto, Nanci, Shilene, Sueli, que dispensaram seu
tempo auxiliando na busca e organização do material, empréstimo de
gravadores, entre outros.
Aos professores de geografia por se prontificarem a responder ao
questionário e, aos professores de geografia Cleusa, Elaine, Fernando e
Mara, da EE Sidrônia Nunes Pires por auxiliarem com o empréstimo de
material.
Às amigas Profª. Elvira e Profª. Miriam, por auxiliarem na correção final
do texto.
Ao “meus” alunos, pela paciência e respeito ao meu trabalho.
Aos colegas do Mestrado e do Doutorado em Educação Matemática,
pelos bons momentos e trocas de saberes.
Aos professores do programa de pós-graduação da PUC-SP, pelo apoio,
de forma direta ou indireta.
Aos funcionários da PUC-SP, pelo acolhimento e carinho demonstrados
por seus serviços.
À Secretaria de Estado da Educação, pelo apoio financeiro.
Enfim, a todos que, de uma forma ou de outra, contribuíram para a
concretização deste projeto.
Muito Obrigada!!!
Se a Terra
tivesse apenas alguns metros de
diâmetro e flutuasse acima de um campo
qualquer, as pessoas viriam de toda parte para
admirá-la. Caminhariam ao seu redor, maravilhadas com
suas grandes poças d’água, suas pequenas poças e a água
que flui entre elas. As pessoas admirariam suas protuberâncias
e seus buracos. Admirariam a camada de gás muito fina que
a envolve e a água suspensa nesse gás. Admirariam todos os
animais caminhando na superfície da bola e os animais na água.
As pessoas declarariam aquela bola sagrada, porque seria única,
e elas a protegeriam para que nunca fosse danificada. A bola
seria a maior maravilha conhecida e as pessoas viriam rezar
para ela, para serem curadas, para adquirir conhecimento,
para conhecer a beleza e para se maravilhar de como
aquilo podia existir. As pessoas a amariam e defenderiam
com suas vidas, porque de algum modo saberiam
que suas vidas não seriam nada sem ela.
Se a Terra tivesse apenas alguns
metros de diâmetro.
Joe Mille
r
Resumo
Este trabalho pretende contribuir com o processo de ensino e
aprendizagem da Geometria da Esfera, procurando subsidiar a implementação
de propostas que visam a interação entre Matemática e Geografia.
Procurou-se responder à questão de Pesquisa: “Uma introdução à
Geometria Esférica pode favorecer o estudo da Geografia do Globo Terrestre e
em particular o estudo de mapas?”.
Para auxiliar no delineamento desta proposta realizou-se um estudo
experimental, partindo de uma seqüência de ensino que teve como intuito
investigar as possíveis relações que os alunos estabelecem quando solicitados
a resolver situações envolvendo noções de geometria esférica.
Para tanto foi utilizada como metodologia de pesquisa a Engenharia
Didática e o referencial teórico foi baseado na formação de conceitos das
teorias de Vergnaud e Vygotsky.
As produções e interações dos alunos, durante o desenvolvimento da
seqüência de ensino, apontam que um trabalho integrando conteúdos de
Geometria Esférica contribui para o processo de compreensão de conteúdos
específicos de geografia, em particular do estudo dos mapas.
Palavras-Chave: Geometria Esférica, Geografia, Matemática,
Interdisciplinaridade, Ensino e Aprendizagem.
Abstract
This work intends to help the teaching-learning process of geometry,
mainly the sphere geometry, in order to help the implementation of the
purposes that has as a goal the interaction of Math and Geography.
It tried to answer the question of the research: Will the study of the
contents of the Sphere Geometry help the comprehension of the Earth
geometry?
In order to clear this up it was done an experimental study, starting with a
teaching sequence which could investigate possible relations made by the
pupils when they needed i to solve situations involving the notions of the Sphere
Geometry.
It was used as a research methodology the ¨Teaching Engeneering¨ and
the theoric reference was based on the ideas od Vergnaud’s and Vygotsky’s
theories.
The results of the experiments made with the students during the
sequence development point to the importance of a work which integrates more
than one subject matter.
Key-words: Spherical Geometry, Geography, Mathematic, Interdisciplinarity,
Teaching and Learning.
Sumário
Introdução
1
Capítulo 1 – A problemática
5
1.1. Uma pesquisa com professores de geografia 5
1.2. O que dizem os livros didáticos de geografia 11
1.3. O que dizem a proposta curricular de matemática e o PCN 13
1.4. Trabalhos acadêmicos ligados ao tema 15
1.5. Referencial teórico 17
1.5.1. Interdisciplinaridade 17
1.5.2. Vygotsky 21
1.5.3. Vergnaud
24
Capítulo 2 – O Estudo do objeto matemático: A Esfera.
29
2.1.Da geometria de Euclides às geometrias não-euclidianas 29
2.2. A geometria esférica 32
2.3. O globo terrestre 39
2.4. Mapas e projeções cartográficas 51
2.4.1. Mapas 51
2.4.2. Escalas 52
2.4.3. Projeções cartográficas 53
2.5. Aspectos históricos da geografia
55
Capítulo 3 – Sujeitos, método e material
60
3.1. Sujeitos 60
3.2. Método 60
3.2.1. Questão de Pesquisa 62
3.2.2. Procedimentos 63
3.2.3. Organização da experimentação 66
3.2.4. Coleta dos dados 67
3.3. Material 69
3.4. Análise a priori 70
Capítulo 4 – Análise a posteriori
92
4.1. Parte I – A Esfera 92
4.2. Resumo das Conclusões da Parte I 114
4.3. Parte II – O globo terrestre 116
4.4. Resumo das Conclusões da Parte II 137
4.5. Parte III – O Mapa 138
4.6. Resumo das Conclusões da Parte III
148
Capítulo 5 – Considerações Finais
150
Referências
154
Anexos
158
Introdução
“Abrir uma janela é uma condição
necessária para que a luz solar ilumine uma
sala, mas essa necessidade é apenas uma
condição, e não a causa suficiente da
iluminação solar.” (Humberto Rohden)
Desde que iniciei minha carreira como professora, uma das minhas
preocupações tem sido buscar caminhos para facilitar a aprendizagem dos
alunos.
Professora, onde vamos usar isto?
Quem, como professor, não ouviu esta pergunta ou semelhante? Esta
pergunta sempre foi uma constante em todas as séries em que lecionei.
A resposta: “Se não puder aplicar em nada de sua vida, pelo menos terá
aprendido algo” ou “O importante é que você está aprendendo a pensar”
Eu havia recebido esta resposta inúmeras vezes enquanto aluna. Não
custava nada repeti-la.
Mas a pergunta me incomodava, e passei a procurar em livros, revistas,
cursos..., formas de relacionar o conteúdo ensinado com o dia-a-dia do aluno,
buscando a aplicação dos conteúdos trabalhados.
Ao iniciar o curso de Mestrado, tinha em mente um trabalho ligado à
informática, queria desenvolver uma pesquisa relacionada a softwares
educacionais.
Ao cursar a disciplina Tópicos de Geometria, um dos temas sugeridos
pelo professor Vincenzo, para seminário, era a Geometria Esférica. O tema me
atraía, e no momento em que vi a sugestão para desenvolver um trabalho, não
tive dúvidas, seria uma oportunidade para aprofundar o estudo desta
geometria.
Eu já havia tido contato com as Geometrias Não-euclidianas em uma
disciplina de geometria, durante um curso de especialização, além de artigos
1
que li na RPM (Revista do Professor de Matemática) e um capítulo do livro
“Meu Professor de Matemática e outras histórias” onde o autor cita “... por
causa da Geometria Esférica. Ela é tão bonita e singela que dá pena ver como
foi relegada ao esquecimento...” (LIMA, 2001).
Ao desenvolver o tema para o seminário, surgiu a idéia de trabalhar a
Geometria Esférica com os alunos da escola básica. A aplicação desta
geometria no ensino de Geografia, buscando um trabalho interdisciplinar, iria
ao encontro de uma das minhas aspirações como professora, mostrar aos
alunos onde a matemática pode ser aplicada.
O estudo da Geometria Esférica não faz parte do currículo de matemática
do Ensino Fundamental ou Médio inclusive pela sua complexidade. Em
matemática, no Ensino Fundamental e Médio, a única geometria com que os
alunos têm contato formal é a Geometria Plana e a Espacial, porém, quando
estudam o Globo Terrestre, em Geografia, trabalham com pontos, linhas e
ângulos sobre a esfera e no seu interior.
Surgiu então a pergunta: não seria interessante mostrar aos alunos a
existência de uma outra geometria? Será que um estudo, mesmo que
superficial, sobre a esfera não seria importante para a criação de significados
em relação às linhas traçadas sobre o Globo Terrestre? Será que o estudo da
esfera ajudaria na compreensão da latitude e da longitude?
Talvez, o intuito seja ainda maior. Quando o aluno estuda os elementos do
globo está preparado para isto? Tem elementos matemáticos suficientes para
compreender o que o professor de geografia fala?
Partindo-se do pressuposto de que a realidade do mundo é muito
mais ampla do que a possibilidade teórica de qualquer área do
conhecimento para dar conta de sua explicação e compreensão
isoladamente, e de que isso não pode ser feito de forma fragmentada,
a prática didática e pedagógica da interdisciplinaridade torna-se um
recurso para impedir o ensino fragmentado do mundo. (PCN DE
GEOGRAFIA, 1998, p. 37)
Segundo Oliva (1983), “De uma forma simplista muitos consideram a
Matemática englobando essencialmente a Geometria, a Álgebra e a Análise. A
2
geometria é provavelmente a mais antiga das três áreas e surgiu, sem dúvida,
da necessidade dos povos de medir terras, construir moradias, templos,
monumentos, etc”.
Mas hoje, percebe-se que na escola a matemática é ensinada de forma
desvinculada das outras disciplinas, não existem pontes de ligação entre a
matemática da sala de aula e a geografia, por exemplo.
Este estudo objetivou investigar possíveis contribuições da matemática no
desenvolvimento de tópicos de geografia, com o interesse de contribuir para a
melhoria do ensino e com o desenvolvimento de propostas de trabalhos
interdisciplinares.
No primeiro capítulo, denominado “A problemática” apresenta-se o
resultado de uma pesquisa realizada com professores de geografia, a análise
de livros didáticos de geografia e das propostas curriculares e parâmetros
curriculares de matemática e geografia, de modo a delimitar a questão de
pesquisa e justificar a pertinência de se buscar relações entre as duas
disciplinas.
No segundo capítulo , intitulado “O estudo do objeto matemático: A
Esfera”, apresentam-se objetos ligados ao estudo da geometria esférica bem
como da parte da geografia que trata do estudo do globo e dos mapas. São
apresentados, ainda, alguns fatos históricos relacionados à geografia do Globo
Terrestre.
No terceiro capítulo, ”Sujeitos, método e material” são descritos a trajetória
de pesquisa, os sujeitos, métodos e materiais que foram utilizados no
encaminhamento e execução deste estudo. Na parte final, análise a priori,
descrevem-se as atividades destacando-se seus objetivos e soluções bem
como as estratégias esperadas em suas resoluções.
O quarto capítulo, “Experimentação e análise a posteriori” destina-se à
apresentação e descrição dos dados, a análise das soluções e
comportamentos apresentados pelos sujeitos.
3
No capítulo V, “Considerações finais”, apresentam-se as principais
conclusões da pesquisa, assim como algumas reflexões para aprofundamento
ou continuidade desse tipo de pesquisa.
4
Capitulo 1
A Problemática
1.1. UMA PESQUISA COM PROFESSORES DE GEOGRAFIA
Ao decidir-se por desenvolver um trabalho relacionando tópicos de
geometria esférica com a geografia, pensou-se em ouvir a opinião de
professores de geografia em relação aos conteúdos de matemática
necessários para o desenvolvimento de conteúdos inerentes à geografia.
Amadurecendo a idéia inicial, objetivando buscar elementos entre os
profissionais que no contexto interessavam, foi elaborado um questionário
dividido em duas partes: na primeira com o objetivo de caracterizar o perfil do
professor pesquisado, e na segunda direcionar o trabalho com perguntas
dissertativas.
Pensando em atingir professores de diferentes regiões utilizou-se como
meio uma comunidade do orkut intitulada “Professores de Geografia”, com
mais de três mil membros. Foi quando colocou-se no fórum da comunidade a
seguinte mensagem:
“Pesquisa (29/09/2005 18h36)
Olá, sou professora de Matemática e estou cursando o mestrado em Educação
Matemática. Pretendo fazer o meu trabalho final de curso, relacionando a
Geografia e a Matemática. Para isso precisarei de opiniões de professores de
Geografia.
Quem tiver interesse em conhecer um pouco mais de meu projeto e responder
um questionário, por favor entre em contato comigo através do orkut ou pelo
endereço: [email protected].
Tenho certeza que através desta comunidade conseguirei colher informações
importantíssimas para o meu trabalho.”
5
Foram 27questionários respondidos pelos colegas professores do orkut.
Além do orkut, foi solicitado aos colegas de curso e amigos que
conseguissem professores para responder ao questionário.
Foram, no total, 43 questionários respondidos.
Numa breve análise do Perfil dos professores que responderam as
questões, observa-se que:
• Os professores entrevistados têm entre 26 e 52 anos.
• a média das idades é de 37,5 anos com desvio padrão de 7,04.
• 60% dos entrevistados são do sexo feminino e 40% masculino
• As respostas vieram de 31 cidades, de 11 estados diferentes, sendo:
BA(2), CE(1), GO(2), MG(4), MT(1), PB(1), PR(2), RJ(5), RS(2), SC(1),
SP(22).
• O tempo de magistério variou de 1 a 27 anos na ativa, sendo que a
média foi de 12,5 anos, com desvio padrão de 6,91 e a mediana,
também de 12,5 anos.
• Dos 43 professores, 21 atuam apenas em escola pública, 10 apenas na
rede privada e o restante (12) leciona em ambas.
• A Carga horária semanal esteve entre 10 e 74 aulas semanais, sendo
que os professores em média dão 29,76 aulas por semana, com desvio
padrão de 11,75 e tendo como mediana, 29 aulas semanais.
Na segunda parte da pesquisa, as questões apresentadas para os
professores de geografia foram as listadas abaixo:
1) A falta de conteúdo de algum assunto da matemática prejudica o ensino
de algum tema de Geografia?
2) Quais os conteúdos de geografia que estão relacionados com a
matemática? (por favor, especifique por série)
3) Como o professor de Matemática poderia contribuir para o melhor
desenvolvimento dos conteúdos de Geografia relacionados com a Matemática?
6
Será feito, agora, um breve resumo das respostas dos professores, para
cada uma das questões, serão identificados os questionários por uma
seqüência que vai de 1 a 43, introduzida aleatoriamente nos questionários
preenchidos pelos 43 professores participantes da pesquisa:
1) A falta de conteúdo de algum assunto da matemática prejudica o
ensino de algum tema de Geografia?
Os professores, com exceção de dois, responderam sim a esta pergunta,
muitos fizeram referência aos conteúdos e suas respostas serão adicionadas
ao quadro da questão 2.
O professor 22 respondeu que o problema não é a falta de conteúdo, mas
como ele é abordado pelos professores de matemática e o professor 14
respondeu que falta uma fundamentação na interpretação e elaboração de
conceitos.
Seguem, abaixo, algumas das respostas dos professores:
Prof. 8 – sim, no estudo das Coordenadas Geográficas (latitude e
longitude) dos círculos da Terra ou linhas imaginárias (paralelos e meridianos),
as zonas térmicas da Terra, enfim, necessitamos da utilização do grau
(unidade de medida de ângulo) e alguns alunos confundem muito 10º (décimo)
que é um numeral ordinal com 10º (dez graus) que é a medida de um ângulo.
Acredito que, se fosse visto com a matemática seria mais fácil para o aluno
entender. Outro exemplo: os múltiplos e os submúltiplos do metro, que
utilizamos na escala, assim como para transformar “centímetros em metros” ou
“centímetros em quilômetros”. Noções de gráficos e tabelas também e
cartografia: construindo mapas – projeções cartográficas.
Prof. 26 – Sim, diversos conteúdos dependem de conhecimentos
matemáticos que aparecem sempre depois. Um exemplo é a localização de um
ponto no mapa (5ª série), os alunos só estudam coordenadas cartesianas na 8ª
série.
7
Prof. 28 – Sim, na quinta série por exemplo, é notória a falta de
conhecimento básico matemático para a compreensão dos conteúdos:
projeções, escalas, fusos horários, climogramas, etc.
Prof. 31 – Sim, pois a falta de compreensão desde as quatro operações,
até noções de geometria, prejudica o andamento de alguns conteúdos o que
compromete o aprendizado da disciplina como um todo. Como exemplo posso
citar o da minha cidade: os alunos chegam ao Ensino Médio e não sabem o
que é um transferidor, compasso ou esquadro, não sabem trabalhar com
calculadora e não entendem regra de três, muito menos fração.
Prof. 37 – Os alunos não entendem a medida em graus sobre o globo, de
onde vêm as medidas de longitude e latitude, talvez por só estudarem ângulo
em matemática após terem visto em geografia. Outro problema também é a
localização no plano, talvez se vissem coordenadas cartesianas juntamente
com as coordenadas geográficas...
Prof. 43 – Acho que o professor de matemática poderia estar em sintonia
com o professor de geografia em diversos momentos, quando do ensino de
coordenadas geográficas, no estudo de escalas e na leitura de gráficos durante
todo o ensino fundamental e médio.
Após tomar conhecimento das respostas dos professores, veio a seguinte
pergunta: Será que o currículo está de acordo com as necessidades das
diferentes disciplinas? O aluno aprende na hora certa um determinado
conteúdo de matemática e de geografia? (Não vamos fazer referência às
outras áreas do conhecimento).
2) Quais os conteúdos de geografia que estão relacionados com a
matemática? (por favor, especifique por série)
Com esta questão, pretendeu-se verificar se há um padrão de conteúdos
para cada série. Muitos dos professores entrevistados não especificaram a
série, apenas listaram os conteúdos.
8
Na tabela abaixo, estão relacionados os temas sugeridos com maior
freqüência, pelos professores de geografia; não serão indicadas as séries por
faltar em diversas respostas a sua referência:
Conteúdo Questionário respondido nº
Total de
referências
Percentual
Escala de um mapa.
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14,
15, 16,18, 20, 21, 24, 25, 26, 28, 29,
32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41e 43
32 74,4 %
Estatística; gráficos e
tabelas; coleta de dados.
1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26,
28, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,
40, 41, 42 e 43
35 81,4 %
Fuso horário; latitude e
longitude; coordenadas
geográficas; estudo da
Terra.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 23, 25, 26, 28, 29, 32, 33,
34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 e
43
31 72,0 %
Cartografia; projeção
cartográfica.
6, 7, 9, 10, 11, 14, 18, 19, 20, 21, 22,
23, 25, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 39,
40, 41 e 42
24 55,8 %
Densidade demográfica;
porcentagem; regra de
três.
1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 15, 16, 22,
25, 26, 29, 32, 33, 36, 37, 38 e 41
21 48,8 %
Transformação de
unidades de medida.
2, 5, 8, 10, 15, 16, 18, 34, 36, 38, 41,
42 e 43
13 30,2 %
Analisando a tabela, tem-se uma visão geral dos temas sugeridos para um
trabalho integrado, matemática-geografia.
Os temas, fuso horário, latitude e longitude, coordenadas geográficas ou
estudo da Terra, são sugeridos por 31, o que equivale a 72% do total, sendo
este número significante para este trabalho, tendo em vista a idéia inicial de
trabalhar-se a Geometria esférica.
O tema escala de um mapa é também indicado por um número
significativo de professores (74,4%), bem como a cartografia (alguns se
referiram à projeção cartográfica) que aparecem como referência em mais de
50% dos questionários.
Observa-se também, que muitos sugerem um trabalho com porcentagem,
coleta de dados, gráficos e tabelas para o estudo da Geografia Humana e
9
Econômica. Os PCN de Matemática do Ensino Fundamental I e II (1998)
trazem o bloco TI (tratamento da informação) onde, acredita-se já ter sido
iniciado um trabalho com a implantação de atividades voltadas para o estudo
de estatística nos livros didáticos de matemática do Ensino fundamental I e II.
Tais respostas deram subsídios para a concepção de uma seqüência de
ensino, que será apresentada posteriormente. Decidiu-se escolher o estudo do
Globo Terrestre e da cartografia, bem como a passagem de um para o outro,
como parte deste trabalho.
3) Como o professor de Matemática poderia contribuir para o melhor
desenvolvimento dos conteúdos de Geografia relacionados com a
matemática?
Ao responder esta questão foi unânime a alusão à interdisciplinaridade e,
na maioria dos questionários, foi sugerido um planejamento integrado.
Alguns professores sugerem a revisão da ordem dos conteúdos de cada
série, tendo em vista que, em muitos casos, o aluno não tem o pré-requisito
necessário para atingir os objetivos.
Muitos apontam a falta de comunicação entre os professores como um
problema que deve ser sanado e sugerem o uso dos HTPC (Horário de
Trabalho Pedagógico Coletivo) para abertura de um espaço para este tipo de
discussão.
Alguns apontaram a necessidade de produção de material que provoque
esta conexão entre as áreas.
Após ter tomado conhecimento da opinião dos professores de Geografia,
concluiu-se estar no caminho certo ao buscar uma conexão da matemática
com o estudo do Globo Terrestre, através da geometria esférica.
Traçou-se então uma seqüência de trabalho, tendo como meta a análise
de livros didáticos, propostas curriculares de matemática e PCN, com o objetivo
de estudar as noções matemáticas ligadas ao Globo Terrestre e à cartografia,
10
bem como procurar vestígios da passagem de um deles para o outro. O
segundo passo seria a busca de trabalhos acadêmicos ligados ao tema.
1.2. O QUE DIZEM OS LIVROS DIDÁTICOS DE GEOGRAFIA.
Foram analisadas três coleções de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental,
relacionadas a seguir como obra 1, 2 e 3, das quais, as duas primeiras fazem
parte do PNLD de 2005, a terceira do PNLD de 2002 e 7 livros do Ensino
Médio (volumes únicos), relacionados a seguir como obra de 4 a 10.
Obra Título Autor(es) Editora Ano
01 Trilhas da Geografia, 5ª, 6ª,
7ª e 8ª
Sene, E e Moreira, J. C. Scipione 2005
02 Geografia - Espaço e
Vivência 5ª, 6ª, 7ª e 8ª
Boligian, L.; Martinez, R. ;
Garcia, W e Alves, A.
Atual 2005
Obra Título Autor(es) Editora Ano
03 Geografia, vol 1, 2, 3 e 4 Adas, M. Moderna 2002
04 Geografia – O homem no
espaço global
Lucci, E. A. Saraiva 1999
05 Sociedade e espaço –
Geografia Geral e do Brasil
Vesentini, J. W. Ática 2000
06 Geografia – A natureza
humanizada
Pitte, J. R. (coordenação
Geral)
FTD 1998
07 Geografia no Ensino Médio Piffer, O. IBEP 2000
08 Geografia Geral Nakata, H. e Coelho, M. A. Moderna 1985
09 Geografia – Paisagem e
território
Magnoli, D. e Araújo, R. Moderna 2001
10 Novo Ensino Médio:
Geografia
Almeida, L.M.A. e Rigolin, T Ática 2002
As obras (1), (2) e (3) apresentam os conteúdos ligados ao estudo do
Globo Terrestre, tais como: meridianos, paralelos, coordenadas geográficas
(latitude e longitude), movimentos de translação e rotação, fuso horário,
11
solstícios e equinócios, estações do ano e estudo dos mapas nos exemplares
destinados à 5ª ou 6ª série. As projeções cartográficas são apresentadas nos
exemplares destinados à 7ª ou 8ª séries.
Em (1) no exemplar destinado à 5ª série, os autores dedicam um capítulo
ao estudo dos mapas. Intitulado “A linguagem Cartográfica” eles partem de um
trabalho de mapeamento da sala de aula, do prédio da escola, até como são
feitos os mapas através da imagem de satélites e, no exemplar da 6ª série, os
autores dedicam um capítulo à história da cartografia, das grandes navegações
e às coordenadas geográficas. Sugerem uma atividade na qual os alunos, com
uma laranja, dois palitos e barbante, marcam os pólos, traçam as linhas do
Equador, meridianos e paralelos.
Em (2) ao estudar as coordenadas geográficas, na 5ª série, os autores
sugerem um jogo de coordenadas, semelhante à batalha naval.
Das obras destinadas ao Ensino Médio, a obra (5) não apresenta nenhum
tópico relacionado ao estudo do globo ou da cartografia, as obras (6), (7) e (9)
fazem referência à cartografia, sendo que as obras (7) e (9) de uma forma
superficial. As obras (4), (8) e (9) trabalham as coordenadas geográficas, fuso
horário, solstícios e equinócios, projeções cartográficas e escalas dos mapas
além de apresentarem referencial histórico.
Na obra (10) os autores apresentam um quadro denominado “geografia e
matemática” onde sugerem um trabalho interdisciplinar:
A construção de coordenadas não é de uso exclusivo da geografia.
Procure aplicar o que você aprendeu em matemática e as noções
deste capítulo, estabelecendo relações entre as coordenadas
geográficas e as coordenadas cartesianas. Se necessário converse
com os professores das duas disciplinas. (ALMEIDA E RIGOLIN,
2002, p. 13)
Após analisar alguns livros didáticos e observar que aos alunos do Ensino
Fundamental são apresentados conteúdos tais como coordenadas geográficas,
rotação e translação, solstícios e equinócios, escalas de mapas, entre outros,
12
na 5ª série, volta-se à pergunta: O aluno está preparado para absorver estes
conceitos?
1.3. O QUE DIZEM AS PROPOSTAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA E
O PCN.
Na proposta curricular para o ensino de matemática do 1º grau, 4ª edição,
de 1991, encontra-se entre os conteúdos a serem desenvolvidos na 5ª série o
estudo dos elementos de uma superfície esférica : centro, raio, corda,
diâmetro, arco e circunferência máxima:
Através de cortes diversos em bolas de isopor ou de colagem de tiras
estreitas de fitas adesivas, e cores diversas, na superfície dessas
bolas, concretizar as noções de círculos máximos e circunferências
máximas, respectivamente, em esferas e superfícies esféricas, e o
fato de que nem todas as circunferências que podem ser traçadas
numa superfície esférica, são máximas. É útil que, nesse momento,
se mostre aos alunos como esses elementos são aplicados em
Geografia na determinação de linhas imaginárias na superfície
terrestre (paralelos e meridianos). Nessa perspectiva, e como já
definimos o segmento de reta como o menor caminho entre dois
pontos de um plano, a noção de arco de circunferência pode ser
introduzida através das seguintes etapas.... (PROPOSTA
CURRICULAR DE MATEMÁTICA,1991, p. 88)
Entre os conteúdos a serem desenvolvidos na 6ª série encontra-se uma
atividade para o estudo da bissetriz onde, através de algumas marcas e
medições, os alunos determinam o meridiano do lugar.
Nos PCN de Geografia para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, os
conteúdos ligados ao estudo do Globo Terrestre e da cartografia estão
concentrados nas sugestões para o 3º ciclo (5ª e 6ª série), já para o 4º ciclo foi
encontrada a seguinte referência:
Neste ciclo a cartografia não se constitui num eixo, mas é
fundamental utilizá-la como um recurso para trabalhar as informações
geográficas, permitindo as correlações e sínteses mais complexas.
Ela é um recurso para melhor visualização e espacialização dos
temas. (PCN GEOGRAFIA, 1998, p. 100)
13
Nos PCN de Matemática para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental
encontrou-se a seguinte referência:
A respeito do desenvolvimento das habilidades de percepção
espacial, a leitura e a utilização efetiva de mapas e de plantas, nas
situações cotidianas, são fonte de numerosas dificuldades para
muitas pessoas. Por exemplo, localizar um escritório num grande
edifício, deslocar-se numa cidade, encontrar um caminho numa
montanha, são procedimentos, que muitas vezes solicitam uma certa
sistematização dos conhecimentos espaciais. Porém, essas
habilidades não têm objeto de aprendizagem nas aulas de
matemática. (PCN DE MATEMÁTICA, 1998, p. 123)
Ainda os PCN de matemática, sugerem que os professores trabalhem
com mapas e com as coordenadas geográficas, trazendo, também para a
matemática a responsabilidade sobre a formação desses conceitos.
A partir de contextos que envolvam a leitura de guias, plantas e
mapas pode-se propor um trabalho para que os alunos localizem
pontos, interpretem deslocamentos no plano e desenvolvam a noção
de coordenadas cartesianas, percebendo que estas constituem um
modo organizado e convencionado, ou seja, um sistema de referência
para representar objetos matemáticos como ponto, reta e curvas.
Também é interessante que os alunos percebam a analogia entre as
coordenadas cartesianas e as coordenadas geográficas. (Ibidem,
p.123)
Entre os objetivos propostos para o terceiro ciclo (5ª e 6ª séries)
encontrou-se:
Do pensamento geométrico, por meio da exploração de situações de
aprendizagem que levem o aluno a:
* resolver situações-problema de localização e deslocamento de
pontos no espaço, reconhecendo nas noções de direção e sentido, de
ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo elementos
fundamentais para a constituição de sistemas de coordenadas
cartesianas. (Ibidem, p. 64)
Por meio de situações-problema, extraídas dos contextos práticos em
que essas grandezas se encontram, como na arquitetura, nas artes,
nos esportes, na culinária, nas atividades comerciais e na leitura de
mapas, plantas e croquis, evidenciam-se para os alunos as
aplicações práticas da Matemática e a necessidade de contar com
14
unidades padronizadas e com sistemas comuns de medida e também
a necessidade de encontrar estimativas plausíveis. (Ibidem, p. 69)
Entre as Competências e habilidades a serem desenvolvidas em
Matemática encontram-se:
• Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e
intervenção no real.
• Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em
especial em outras áreas do conhecimento.
1.4. TRABALHOS ACADÊMICOS RELACIONADOS AO TEMA
Foram procurados outros trabalhos que pudessem dar subsídios para a
concepção da seqüência de ensino, teve-se acesso a duas dissertações de
mestrado em educação matemática. A dissertação de Zionice Garbelini
Martos, intitulada “Geometrias Não-euclidianas: uma proposta metodológica
para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental”, apresentada em 2002,
na UNESP de Rio Claro e a dissertação de Irene Pataki, intitulada: “Geometria
Esférica para a Formação de Professores: Uma Proposta Interdisciplinar”,
apresentada em 2003, na PUC – SP.
O trabalho de Martos (2002) apresenta uma proposta didática ao ensino
da geometria euclidiana e não-euclidiana para o Ensino Fundamental,
buscando o desenvolvimento significativo dessas geometrias, para alunos de
8ª série, a partir da metodologia desenvolvida por Istvan Lénárt.
A autora procurou, por meio da interdisciplinaridade, relacionar conceitos
geométricos com conceitos geográficos. Adotando a pesquisa–ação como
metodologia de pesquisa, numa sala com 40 alunos, da rede estadual de
ensino.
15
Apresentou situações-problema em fichas de trabalho, com descrições de
atividades que seriam desenvolvidas, inclusive duas delas, baseadas na
história de Pole “O pequeno príncipe” de Saint Exupéry.
Em suas considerações finais a autora fala sobre a Geometria Esférica:
Os alunos participantes da pesquisa tiveram contato com um tipo
diferente da geometria com que estavam acostumados a trabalhar: a
Geometria Esférica. O trabalho pedagógico com esse outro modelo
de Geometria fez com que os alunos pudessem vislumbrar sua
inserção no planeta em que vivem, estabelecendo relações com
conceitos geográficos através da Matemática. Os conceitos da
Geometria esférica, abordados por meio de fichas de trabalho, uso de
materiais manipulativos e discussão entre grupos, permitiram uma
aprendizagem com significado. (MARTOS, 2002, p. 138)
O trabalho de Pataki (2003) objetiva levar aos professores de matemática
uma proposta de um trabalho interdisciplinar, formando interconexões entre a
geometria e a Geografia. O trabalho proporciona aos professores envolvidos
reflexões e questionamentos sobre alguns aspectos do ensino de Geometria
Esférica. A autora afirma:
Trata-se de um tema que visa a interação entre alguns campos do
conhecimento, tais como Geometria, Trigonometria, Geografia e
História, contextualizando, proporcionando reflexões e
questionamentos aos professores e possibilitando a cumplicidade
entre o aprender esses conhecimentos e os diferentes olhares que
teremos do nosso dia-a-dia. (PATAKI, 2003, p.17)
E ainda:
Em vista disso, o ensino e aprendizagem da Geometria Esférica
precisam constar das grades curriculares, adentrar as salas de aula,
com alardes, se necessário, e ocupar o lugar que há muito tempo lhe
pertence. (Ibidem, p.18)
O presente trabalho, face a estas pesquisas, a partir das sugestões dos
professores de geografia pesquisados e da análise dos livros de geografia,
pretende realizar atividades que permitam aos alunos manipular e
16
compreender as linhas de referência sobre o Globo Terrestre, a partir de um
estudo sobre a geometria da esfera e a passagem do globo para o mapa.
Almeja-se, ainda, desenvolver inteligências compatíveis com uma
capacidade cognitiva para a aquisição de conceitos geográficos.
1.5. REFERENCIAL TEÓRICO
Este trabalho fundamenta-se, basicamente, nas teorias de Vygotsky e
Vergnaud para estruturar a interdisciplinaridade e a construção do
conhecimento, através das relações do sujeito com o meio, sua percepção e
conceituação.
1.5.1. INTERDISCIPLINARIDADE
Em minha trajetória como educadora, deparei freqüentemente com o tema
“interdisciplinaridade”, o qual aparece no planejamento no início do ano letivo e
nas reuniões pedagógicas, ao longo do ano.
Entendendo que a interdisciplinaridade não é apenas o encontro das
diferentes disciplinas em projetos gerais da escola, mas em sala de aula, no
desenvolvimento dos conteúdos, pensei em desenvolver um “projeto para a
sala de aula” onde fosse possível buscar conexões com outras disciplinas.
A idealização de um projeto, seja em que meio for, revela, então, a
existência de uma certa motivação para antecipar modos de ação em
busca de um futuro que se crê realizável, mas que ao admitir abertura
para o novo como uma condição vital, trabalha a idéia de um futuro
não totalmente determinado. Isto coloca o projeto como oportunidade
ímpar para fazer valer as possibilidades de transformação que
certamente devem povoar a mente de quem projeta. (OLIVEIRA,
2004, p. 122)
17
Pensando-se no trabalho interdisciplinar, como a interação das disciplinas,
encontra-se em Fazenda (1998): “A interdisciplinaridade, para ser exercida
coletivamente, requer o diálogo aberto através do qual, cada um reconhece o
que lhe falta e o que deve receber”
A interdisciplinaridade pode ser entendida como uma revisão de nossa
relação com o conhecimento, de modo a buscar interconexões, mudança de
comportamento, de diálogo e de parceria.
Um olhar interdisciplinarmente atento recupera a magia das práticas,
a essência de seus movimentos mas, sobretudo, nos induz a outras
superações, ou mesmo reformulações. Exercitar uma forma
interdisciplinar de teorizar e praticar Educação demanda, antes de
mais nada, o exercício de uma atitude ambígua. (FAZENDA, 2001,
p. 23)
Em face disto, para desenvolver a interdisciplinaridade, faz-se necessário
que se busque, com as outras áreas, o desenvolvimento da prática do trabalho
conjunto.
A interdisciplinaridade ocorre quando as disciplinas se integram e
colaboram entre si.
Acredita-se, portanto, que se faz necessário rever os pontos fundamentais
que se constituem de uma reflexão indispensável no sentido de nos
aproximarmos da interdisciplinaridade.
Continua sendo papel fundamental do professor considerar os
conhecimentos que os alunos já possuem para planejar situações de
ensino e aprendizagem significativas e produtivas. Para isso, é
preciso conhecer os avanços e os problemas de seus alunos, bem
como a adequação de suas propostas, de modo a aperfeiçoar sua
ação pedagógica. A interface com as demais disciplinas também deve
ser observada, de modo a proporcionar estudos mais completos
sobre um tema cuja compreensão, por parte dos alunos, tanto a
Geografia, como a História, as Ciências, a Arte e a Matemática
podem ampliar, por meio de suas abordagens e explicações. (PCN
GEOGRAFIA, 1998, p. 95)
18
Nos PCN de matemática é proposta a integração da matemática com as
outras áreas do conhecimento:
Como as medidas quantificam grandezas do mundo físico e são
fundamentais para a interpretação deste, as possibilidades de
integração da Matemática com as outras áreas do ensino
fundamental ficam evidentes, como Ciências Naturais (densidade,
velocidade, energia elétrica) ou Geografia (coordenadas geográficas,
densidade demográfica, escalas de mapas e guias). (PCN DE
MATEMÁTICA, 1998, p. 85)
Assim, o conceito de semelhança é proveitoso para estabelecer
conexões com outros conteúdos matemáticos, como razões e
proporções, propriedades das figuras, ângulos, medidas (áreas,
volumes) e conteúdos de outras áreas (artes, educação física,
ciências, geografia, física). (Ibidem, p. 125)
(...) como as medidas quantificam grandezas do mundo físico e são
essenciais para a interpretação deste, as possibilidades de integração
com as outras áreas são bastante claras, como Ciências Naturais
(utilização de bússolas, e noções de densidade, velocidade,
temperatura, entre outras) e Geografia (utilização de escalas,
coordenadas geográficas, mapas etc.). As medidas também são
necessárias para melhor compreensão de fenômenos sociais e
políticos, como movimentos migratórios, questões ambientais,
distribuição de renda, políticas públicas de saúde e educação,
consumo, orçamento, ou seja, questões relacionadas aos Temas
Transversais. (Ibidem, p. 128)
Acredita-se, ainda, que o sentido de um trabalho interdisciplinar está na
compreensão e na intencionalidade da efetivação de parcerias mais
consistentes e no desenvolvimento de projetos das partes envolvidas.
(...) a interdisciplinaridade é hoje uma palavra-chave para a
organização escolar; pretende-se com isso o estabelecimento de uma
intercomunicação efetiva entre as disciplinas, através da fixação de
um objeto comum diante do qual os objetos particulares de cada uma
delas constituem subprojetos. (MACHADO, 1995, p.193)
De modo geral, o trabalho desenvolvido nas escolas é, naturalmente,
multidisciplinar.
19
Multidisciplinaridade, Pluridisciplinaridade. Caracterização do
enfoque científico e pedagógico aplicado a atividades e projetos que
prevêem a participação de especialistas de várias disciplinas,
permanecendo praticamente cada qual com a visão mais ou menos
restrita da sua área. (ASSMANN, 2002, p. 166)
O que se observa é que a conceituação de Interdisciplinaridade pode ser
contraposta com a noção de multidisciplinaridade, onde existe a justaposição
de profissionais, cada um fazendo o que sabe. Neste caso, não há interação
entre nível de método nem de conteúdo. Já na Interdisciplinaridade, tal
integração ocorre durante a construção do conhecimento, de forma conjunta,
desde o início da colocação do problema.
Interdisciplinaridade. Enfoque científico e pedagógico que
caracteriza por buscar algo mais do que mera justaposição das
contribuições de diversas disciplinas sobre um mesmo assunto, e se
esforça por estabelecer um dialogo enriquecedor entre especialistas
de diversas áreas científicas sobre determinada temática. Aplica-se a
problemas, atividades e projetos que ultrapassam a capacidade de
uma só área disciplinar
. (Ibidem, p. 162)
Neste trabalho, deseja-se expressar a Interdisciplinaridade como conceito,
como horizonte, no sentido da articulação e integração das áreas envolvidas.
O desenvolvimento de um projeto interdisciplinar não é apenas um conceito
teórico. Cada vez mais parece impor-se como uma prática. Em primeiro lugar,
aparece como uma prática individual: é fundamentalmente uma atitude de
espírito, feita de curiosidade, de abertura, de sentido da descoberta, de desejo
de enriquecer-se com novos enfoques, de gosto pelas combinações de
perspectivas e de convicção, levando ao desejo de superar os caminhos já
batidos. Enquanto prática individual, a interdisciplinaridade não pode ser
aprendida, apenas exercida. Em segundo lugar, a interdisciplinaridade aparece
como prática coletiva, é preciso que estejam todos abertos ao diálogo, que
sejam capazes de reconhecer aquilo que lhes falta e que podem ou devem
receber dos outros. Só se adquire essa atitude de abertura no decorrer do
trabalho em equipe.
20
1.5.2. VYGOTSKY
Para Vygotsky (1991), a formação de conceitos é o resultado de uma
atividade complexa, em que todas as funções intelectuais básicas tomam parte.
No entanto o processo não pode ser reduzido à associação, à atenção, à
formação de imagens, à inferências ou à tendências determinantes. Todas são
indispensáveis, porém insuficientes sem o uso do signo (palavra artificial), ou
palavra, como meio pelo qual são conduzidas as operações mentais; controla-
se o seu curso e as canalizações em direção à solução do problema que será
enfrentado.
A formação de conceitos passa por três fases básicas dividas em vários
estágios:
• Agregação desorganizada – amontoados vagos de objetos desiguais; os
fatores perceptuais são irrelevantes e há um predomínio do sincretismo.
• Pensamento por complexos – estabelecer elos e relações a partir da
experiência concreta.
• Abstração – o grau de abstração deve possibilitar a simultaneidade da
generalização e da diferenciação.
O adolescente formará e utilizará um conceito com muita propriedade
numa situação concreta, mas achará estranhamente difícil expressar
esse conceito em palavras, e a definição verbal será, na maioria dos
casos, muito mais limitada do que seria de esperar a partir do modo
como utilizou o conceito. (VYGOTSKY, 1991, p.69)
O processo de aquisição do conhecimento ocorre pela interação do sujeito
com o meio. A formação dos conceitos de construção de significados pelo
sujeito, ao processo de internalização e ao saber ensinado em ambiente
escolar. A internalização interagindo com o meio cultural compõe as funções
psíquicas superiores, ou seja, são construídas ao longo do histórico humano,
em sua relação com o mundo, dependendo de ações conscientes e fruto de
processos de aprendizagem.
21
Existem, pelo menos, dois níveis de desenvolvimento identificados por
Vygotsky: um real, e um potencial:
•
Desenvolvimento Real: é determinado por aquilo que a criança é capaz
de fazer sozinha, porque já tem um conhecimento consolidado. Se
domina a adição, por exemplo, esse é um nível de desenvolvimento real.
•
Desenvolvimento Potencial: é determinado por aquilo que a criança
ainda não domina, mas é capaz de realizar com auxílio de alguém mais
experiente. Por exemplo, uma multiplicação simples, quando ela já sabe
somar.
Vygotsky (1991) toma como posição que a aprendizagem tem um papel
importante e estimulante no desenvolvimento. Assim, introduziu o conceito de
zona de desenvolvimento proximal.
Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) é a distância entre aquilo que a
criança faz sozinha e o que ela é capaz de fazer com a intervenção de um
mediador; potencialidade para aprender, que não é a mesma para todas as
pessoas; ou seja, distância entre o nível de desenvolvimento real e o potencial,
que está próximo mas ainda não foi atingido. Esse conceito tem implicações
importantes na concepção de ambientes de aprendizagem, o que implica
intervenções, que ajudam o aprendiz a dominar com autonomia os
comportamentos que constituem esta zona de desenvolvimento e estimulam o
desenvolvimento cognitivo, através de intervenções que criem zonas de
desenvolvimento proximal.
Mediador é quem ajuda a criança a concretizar um desenvolvimento que
ela ainda não atinge sozinha. Na escola, o professor e os colegas mais
experientes são os principais mediadores.
A aprendizagem interage com o desenvolvimento, produzindo abertura
nas zonas de desenvolvimento proximal, nas quais as interações sociais são
centrais, estando, então, ambos os processos, aprendizagem e
desenvolvimento, inter-relacionados; assim, um conceito que se pretenda
trabalhar, como por exemplo, em matemática, requer sempre um grau de
experiência anterior para a criança.
22
A intervenção pedagógica intencional do ambiente escolar é responsável
pelo desencadear do processo ensino-aprendizagem, e cabe ao docente
estimular o avanço do sujeito dentro de sua zona proximal, sendo a construção
de conceitos, o objeto de atuação. A importância da intervenção espontânea
dos demais membros mediadores compõe o processo de desenvolvimento,
tomando o aluno, não tão somente como o sujeito da aprendizagem, mas,
aquele que aprende, junto ao outro, o que o seu grupo social produz, inclusive
o conhecimento.
A colaboração entre pares durante a aprendizagem pode ajudar a
desenvolver estratégias e habilidades gerais de solução de
problemas através da internalização do processo cognitivo implícito
na interação e na comunicação. (Vygotsky, 1991, p. 17)
Dentro desse último conceito, o aluno também aprende junto ao outro o
que o seu grupo social produz
, tais como: valores, linguagem e o próprio
conhecimento. O poder da aprendizagem através da discussão e da
conversação ocorreria pelo compartilhamento de diferentes perspectivas, pela
necessidade de tornar explícito seu pensamento e pelo entendimento do
pensamento do outro, através da interação oral ou escrita, implicando num
processo de comunicação, dentro de uma dimensão cooperativa e
colaborativa.
A formação de conceitos espontâneos ou cotidianos desenvolvidos no
decorrer das interações sociais
diferenciam-se dos conceitos científicos
adquiridos pelo ensino, parte de um sistema organizado de conhecimentos. A
aprendizagem é fundamental ao desenvolvimento dos processos internos na
interação com outras pessoas.
Ao observar a zona proximal, o educador pode orientar o aprendizado no
sentido de adiantar o desenvolvimento potencial de uma criança, tornando-o
real. Nesse ínterim, o ensino deve passar do grupo para o indivíduo. Em outras
palavras, o ambiente influenciaria a internalização das atividades cognitivas no
indivíduo, de modo que, o aprendizado gere o desenvolvimento. Portanto, o
desenvolvimento mental, só pode realizar-se por intermédio do aprendizado.
23
A interação com o meio social, através da linguagem, tem função
primordial no desenvolvimento: um real, presente, uma competência própria do
sujeito, e um potencial, uma competência que o sujeito tem capacidade de
adquirir na relação com o outro. A distância entre estes níveis de
desenvolvimento, chamada Zona de Desenvolvimento Proximal, torna-se
campo de atuação da aprendizagem.
1.5.3. VERGNAUD
Vergnaud (1991) estudou a elaboração de conceitos em situações
didáticas, valendo-se da solução de problemas. Com base na idéia de campo
conceitual, analisa o papel da formação de conceito na solução de problemas,
buscando identificar a função das palavras, definições, explicações ou
representações simbólicas na formação conceitual e na própria solução de
problemas.
Segundo Vergnaud (1991) um campo conceitual é um conjunto de
situações, cujo domínio progressivo exige uma variedade de conceitos, de
procedimentos e de representações simbólicas em estreita conexão. Um
conceito é apreendido pelos indivíduos quando os mesmos dominam três
conjuntos de fatores relacionados com esses conceitos.
• Um conjunto de situações que dão sentido aos conceitos (a referência);
• Um conjunto de invariantes operacionais que trata das propriedades e
procedimentos necessários para definir esse objeto (o significado);
• Um conjunto de representações simbólicas que são socialmente usados
para veicular idéias sobre o conceito (significante).
A teoria dos Campos Conceituais foi construída com o intuito de analisar
as condições de compreensão do significado do saber pelo aluno. O saber
escolar trata dos conceitos matemáticos provenientes da educação escolar,
diferenciando-se e localizando-se entre o saber proveniente de uma vivência e
o saber científico.
24
A teoria dos campos conceituais trata, ainda, da conceituação do real,
permitindo situar a análise das filiações e rupturas entre os conhecimentos.
Envolve, também, a análise da relação entre os conceitos como conhecimentos
explícitos e os invariantes operatórios, implícitos nos comportamentos dos
sujeitos em uma dada situação.
Para Vergnaud (1991), o funcionamento cognitivo repousa sobre os
conhecimentos anteriormente formados, e ao mesmo tempo, repousa sobre
novos aspectos de conhecimento incorporados pelos próprios sujeitos.
Uma aprendizagem significativa provém da estruturação de conexões,
concebidas pela sucessão de adaptações que o aluno realiza, face a situações-
problema, coordenando e ajustando conhecimentos e conceitos anteriores. Um
campo conceitual é definido pelo seu conteúdo e, resumidamente, podemos
estabelecer a extensão deste conceito pelo conjunto de situações que lhe dão
sentido.
(...) Ausubel chama atenção para o fato de que os princípios de
assimilação de conceitos que são relevantes para a aprendizagem
escolar são essencialmente os mesmos princípios da aprendizagem
verbal significativa. Aprender um novo conceito depende de
propriedades existentes na estrutura cognitiva, do nível de
desenvolvimento do aprendiz, de sua habilidade intelectual, bem
como do conceito em si e do modo como é apresentado. (MOREIRA
e MASINI, 2001, p. 31).
Um conceito envolve muitas situações e, reciprocamente, estas, envolvem
vários conceitos. O desenvolvimento de conhecimentos no sujeito, se constitui
por meio de um conjunto relativamente vasto de situações, entre as quais
existem relações de parentesco (analogias, contrastes, variações) e, para
analisá-las, apela-se para muitos conceitos e vários tipos de simbolismos.
As situações constituem a entrada de um campo conceitual. A situação é
um conjunto de tarefas, que dão sentido ao conceito. O conceito torna-se
significativo através de uma variedade de situações. As relações que o sujeito
estabelece com as situações e com os significantes proporcionam o sentido.
Vergnaud separa duas classes de situações:
25
• As classes de situações para as quais o sujeito dispõe, no seu
repertório, num dado momento do seu desenvolvimento, e em
determinadas circunstâncias, das competências necessárias ao
tratamento relativamente imediato das situações.
• As classes de situações para as quais o sujeito não dispõe de todas as
competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e de
exploração, a hesitações, a tentativas abortadas, conduzindo-o, quer ao
êxito, quer ao fracasso.
Um significante ou uma situação, podem evocar no sujeito esquemas, que
constituem o sentido dessa situação ou desse significante.
O esquema, é uma organização invariante para uma determinada situação
ou classe de situações. Um esquema é um universal eficiente para um conjunto
de situações e pode gerar diferentes seqüências de ações, procedimentos de
coleta e controle de informações, dependendo de cada situação característica.
Em particular os esquemas necessariamente se referem a situações.
A ação do sujeito em situação e a organização de seu comportamento
devem ser consideradas quando se pretende compreender o sentido das
situações e dos símbolos, por exemplo. Por isso, é atribuído ao conceito de
esquema a importância de não prescindi-lo da análise, uma vez que este
organiza o comportamento do sujeito, abrangendo regras de antecipações.
Os componentes de um esquema são:
• objetivos e antecipações;
• regras de ação do tipo se – então que controlam a informação e
proporcionam regras de busca, permitindo a seqüência de ações do
sujeito;
• invariantes operatórios – teoremas em ação e conceitos em ação, que
permitem que o sujeito reconheça os elementos pertinentes à situação e
a categoria de informação que corresponde a tal situação;
• possibilidades de inferência – os raciocínios, que permitem ao sujeito
determinar as regras e antecipar informações a partir de invariantes
operatórios.
26
Os invariantes operatórios, cujas categorias principais são teoremas em
ação e conceitos em ação, constituem a base conceitual implícita, ou explícita,
que permite obter a informação pertinente, os objetivos a serem alcançados,
sendo responsável também pela inferência das regras de ação pertinentes.
São os invariantes operatórios que fazem a articulação essencial entre teoria e
prática. O reconhecimento de invariantes é, pois, a chave da generalização do
esquema.
A busca e a seleção da informação estão baseadas no sistema de
conceitos em ação que o sujeito possui e nos teoremas em ação que estão
subjacentes a sua conduta. Um teorema em ação é uma proposição
considerada como verdadeira sobre o real e um conceito em ação é uma
categoria de pensamento considerada
como pertinente da situação.
As competências e concepções dos estudantes vão se desenvolvendo ao
longo do tempo, através de experiências com um grande número de situações,
tanto dentro, quanto fora da escola. Os esquemas organizam a conduta para
uma dada classe de situações. Em geral, quando defrontados com uma nova
situação eles usam o conhecimento desenvolvido através de experiência em
situações anteriores, e tentam adaptá-lo a esta nova situação. Esta atividade é
eventualmente interiorizada, e ao se depararem com uma nova situação,
poderá ser utilizada, ao ser adaptada também para esta nova situação.
Quando os indivíduos começam a dominar essas dimensões de um
conceito, o mesmo começa a fazer-lhes sentido. Um conceito é
progressivamente apreendido à medida que os indivíduos dominam mais e
mais as propriedades do conceito, as formas possíveis de representação e as
relações com situações diversas. Aprender a lidar com um conceito significa ter
apreendido um determinado número de invariantes relativos a esse conceito.
Esse aprendizado ocorre a longo prazo e, durante muito tempo, de forma
intuitiva.
A operacionalidade de um conceito deriva de diversas situações que
resultam de uma variedade de ações e de esquemas.
27
Partindo do núcleo conceitual do aluno, Vergnaud (1991) destaca que o
funcionamento e o desenvolvimento cognitivo dependem de como os conceitos
são trabalhados a partir de situações-problema.
O desenvolvimento das representações, invariantes e situações do
conceito não ocorrem de forma estanque. Pelo contrário, mobilizamos
invariantes relativos a um conceito em situações específicas e essa
mobilização dá-se mediada por artefatos culturais. Os três conjuntos de
componentes dos conceitos desenvolvem-se ao mesmo tempo com as
relações que estabelecemos entre eles. É importante ressaltar o fato de que os
conceitos não fazem sentido isoladamente para os indivíduos.
As Zonas de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky também
influenciaram na construção da Teoria dos Campos Conceituais, já que
percebemos a necessidade da existência de espaços de situações-problema,
os quais, o aluno coordena às adaptações necessárias à sistematização de um
novo conhecimento. Entretanto, Vergnaud supõe o conceito como base para o
desenvolvimento cognitivo, dando maior atenção à análise dos conceitos
envolvidos nas situações criadas na aprendizagem.
Os conceitos matemáticos, na verdade, terão sentido, do ponto de vista do
processo ensino-aprendizagem, se forem abordados e explorados em nível de
tarefas que envolvam solução de problemas. A escola desempenha papel
essencial no desenvolvimento do conhecimento matemático, visto que existe
uma variedade de situações no âmbito escolar, que proporcionam
aprendizagem de novos e sofisticados procedimentos em relação à
compreensão de conteúdos matemáticos, os quais não são adquiridos
formalmente fora da escola.
28
Capítulo 2
O estudo do objeto matemático: A Esfera
“Plana ou redonda? Circulo com duas
dimensões ou esfera com três dimensões?
Nossa terra nunca conheceu, salvo algumas
exceções aberrantes e efêmeras, outra
representação desde os tempos mais
remotos.” (Randles)
A matemática sempre esteve vinculada à vida. Historicamente todo o
conhecimento se desenvolveu pela necessidade de se conhecer o mundo, pela
curiosidade do ser humano. “Não há quem, observando o Sol diurnamente, não
tenha notado seu movimento no céu”. (BOCZKO, 1984).
2.1. DA GEOMETRIA DE EUCLIDES ÀS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS
Segundo o historiador grego Heródoto (sec. V a.C.), a geometria nasceu
provavelmente no antigo Egito, das medições da terra necessárias devido às
inundações periódicas do rio Nilo, e foi rapidamente alargada à agrimensura e
à navegação, mas é certo que muitas outras civilizações antigas possuíam
conhecimentos de natureza geométrica.
A palavra “geometria” deriva do grego e significa “medição da Terra”.
Dos primeiros matemáticos que contribuíram para a origem da geometria
pouco se sabe, tem-se referências de Tales de Mileto e de Pitágoras de Samos
entre outros.
A história da matemática durante o tempo de Tales e dos pitagóricos
depende, necessariamente, em grau indesejável, de conjecturas e
inferências, pois faltam inteiramente documentos da época. Há muito
mais incerteza quanto à matemática grega de 600 a.C. a 450 a.C.do
que acerca da álgebra babilônica ou da geometria egípcia de cerca
de 1700 a.C. Nem mesmo artefatos matemáticos dos primeiros
tempos da Grécia se preservaram. (Boyer, 1974, p. 44)
29
Os Elementos de Euclides, como hoje é conhecido, foi escrito por seu
autor reunindo e sistematizando a matemática dos que o precederam.
Nos Elementos, formado por 13 livros, Euclides, por meio de um sistema
de definições, postulados e axiomas, construiu como hoje é conhecida a
geometria Euclidiana.
No primeiro livro do Elementos, Euclides enuncia vinte e três
definições, cinco postulados (denominados “demandas” ou “pedidos”)
e nove noções comuns ou axiomas. Em seguida, deduz 48
proposições, ou teoremas, que constituem o saber geométrico.
(VITRAC, 1990, p. 194)
Euclides buscou o ideal de uma organização axiomática, que em última
instância se reduz ao estabelecimento de um pequeno número de proposições
notoriamente verdadeiras daquele domínio do conhecimento, e a posterior
dedução de todas as outras proposições verdadeiras desse domínio, a partir
daquelas.
Abaixo serão apresentados os postulados de Euclides que foram
encontrados em Boyer (1974).
Postulados:
1. Traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
2. Prolongar uma reta finita continuamente em linha reta.
3. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
4. Que todos os ângulos retos são iguais
5. Uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um
mesmo lado menores que dois ângulos retos, as duas retas, se
prolongadas indefinidamente, se encontram desse lado em que os
ângulos são menores que dois ângulos retos. (Fig. 2.1)
30
Figura 2.1: ilustração do quinto postulado de Euclides
Hoje o quinto postulado de Euclides é apresentado por um enunciado
equivalente, denominado Postulado das paralelas, apresentado por John
Playfair em 1795:
“Por um ponto P exterior a uma reta r, consideradas em um mesmo
plano, existe uma única reta paralela à reta dada.” (Fig. 2.2)
Figura 2.2: Quinto postulado na formulação de Playfair
Desde a primeira formulação dos postulados de Euclides para a
geometria, os matemáticos acreditavam que o quinto postulado de Euclides
poderia ser demonstrado como teorema. Entre as tentativas de demonstração
encontraram-se os seguintes matemáticos: Ptolomeu, Proclus (410 – 485),
Alhazen (cerca de 965 – 1039), Omar Khayyam (cerca de 1050 – 1122), Nasir
Eddin al – Tusi (ou at – Tusi, 1201 – 1274), Saccheri (1667 – 1733), Lambert
(1728 – 1777), Legendre ( 1752 – 1833 )
Na tentativa de demonstrar o quinto postulado de Euclides, sempre se
esbarrava em outras afirmações, que também eram logicamente equivalentes
ao quinto postulado. Esse processo culminou com a descoberta das
Geometrias Não-euclidianas. Aceitando-se uma nova redação para o quinto
postulado é possível construir outras geometrias, tão consistentes como a de
Euclides.
31
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), por volta de 1824, chegou a uma
importante conclusão, não publicada, sobre o postulado das paralelas.
Nicolai Lobachevsky (1793 – 1856) entre 1826 e 1829 ficou convencido
de que o postulado das paralelas não poderia ser provado com base nos
outros quatro. Com a publicação de um artigo em 1829 sobre uma geometria
construída sobre uma hipótese em conflito direto com o postulado das
paralelas: “Por um ponto C fora de uma reta AB pode-se traçar mais de uma
reta do plano que não encontra AB”, Lobachevsky deduziu uma estrutura
geométrica harmoniosa sem contradições lógicas inerentes, a qual chamou
“geometria imaginária”, mais tarde denominada por Félix Klein (1849 – 1925)
como “geometria hiperbólica”.
Janos Bolyai (1802 – 1860), que passou parte de sua vida tentando
provar o postulado das paralelas, ao invés de tentar o impossível, desenvolveu
o que chamou de “Ciência Absoluta do espaço”, partindo da hipótese que por
um ponto fora de uma reta podem ser traçadas infinitas retas do plano, não
uma só, cada uma paralela à reta dada.
G. F. B. Riemann (1826 – 1866), ao abandonar a hipótese da infinitude da
reta, interpretando o “plano” como a superfície de uma esfera e uma “reta”
como um círculo máximo sobre a esfera, desenvolveu a geometria que ficou
conhecida como Geometria Riemanniana, mais tarde denominada por Klein
como “geometria elítica”.
2.2. A GEOMETRIA ESFÉRICA
A Geometria Esférica foi criada por Riemann, considerando que a reta não
é infinita, como na geometria euclidiana, mas ilimitada, estabelecendo como
um de seus axiomas que não existem paralelas a uma reta dada, indo contra o
quinto postulado de Euclides, criou um novo universo geométrico.
32
Nesta Geometria, dados dois pontos A e B sobre a superfície da esfera,
chama-se de reta a circunferência máxima que passa por esses dois
pontos.(Fig. 2.3)
Figura 2.3
A
B
Os pontos A e B dividem a reta em dois arcos.
Esses dois arcos podem ser:
Figura 2.4
• iguais se A e B forem extremos de
um mesmo diâmetro da esfera.
(Fig 2.4)
Figura 2.5
• Um maior e o outro menor.(Fig.
2.5)
Cada um desses arcos recebe o nome de Segmento de reta.
33
Hoje, com a rotina dos vôos internacionais,
essa noção de "reta" ficou corriqueira. Um avião
que vai de Fortaleza a Lisboa, sem escalas, não
segue uma reta (tracejada) traçada no mapa-
múndi. Segue a trajetória (contínua)
correspondente a um segmento de círculo
máximo entre as duas cidades. (Fig.2.6)
Figura 2.6
1
O Postulado de Riemann
“Por um ponto P qualquer, fora de uma reta r, nenhuma reta que passa
por P é paralela a ela.”
Na geometria esférica o Quinto Postulado de Euclides sofre um baque.
Como uma "reta" é um círculo máximo chegou-se às seguintes constatações:
1) Quaisquer duas retas em um plano têm um ponto de encontro
Uma maneira de interpretar o postulado acima
seria pensar na superfície esférica, onde “retas”
seriam as circunferências máximas ou geodésicas
da superfície esférica. Nessa superfície quaisquer
duas circunferências máximas se interceptam, aliás,
em mais de um ponto. (Fig. 2.7)
Figura 2.7
2) Dados dois pontos sobre a esfera, podem se
encontrar infinitas retas que passam por esses dois
pontos. (Fig. 2.8)
Figura 2.8
A
A’
____________
1. Disponível em: <http://www.isba.com.br>. Acesso em 12 mar. 2006.
34
Dois pontos diametralmente opostos são chamados antípodas, ao traçar
duas retas que passam por dois pontos antípodas e uma reta perpendicular a
ambas, a nova reta receberá o nome de polar e os pontos serão os pólos.
Observe-se a figura (Fig 2.9):
Figura 2.9
Os pontos A e A’ são os pólos da reta BC,
que é chamada de reta polar.
A
s retas ABA’ e ACA’ são perpendiculares à
reta BC.
A
distância do ponto A (ou do ponto A’) a
qualquer ponto da reta BC é constante e mede
90º.
Quaisquer duas retas que passem pelos pontos A e A’ terão uma única
reta perpendicular BC.
Na Geometria Esférica, a distância de qualquer reta a seu pólo é uma
constante igual para todas as retas.
4) Ao traçar-se um plano
cortando uma esfera, a sua
intersecção com essa esfera é um
círculo máximo ou um círculo menor.
(Fig. 2.10)
Figura 2.10
Figura 2.11
Os círculos são máximos quando os planos que
interceptam a esfera passam pelo centro da esfera.
Pode-se observar que o centro do círculo máximo
coincide com o centro da esfera correspondente. A reta
é a circunferência deste círculo.(Fig. 2.11)
35
Figura 2.12
Quaisquer outros círculos serão considerados
menores.(Fig. 2.12)
5) Dados dois pontos distintos A e B sobre uma
circunferência máxima, a distância entre esses
pontos é a menor porção da circunferência que os
contém. Embora, por A e B outros círculos possam
ser considerados, a distância entre eles é sempre
medida sobre o único círculo máximo determinado
por A e B. (Fig. 2.13)
Figura 2.13
Para medir a distância sobre uma superfície esférica pode-se usar como
unidade de medida o grau ou o radiano. Uma volta completa sobre a esfera
corresponde a 360º.
6) O ângulo sobre a esfera, também chamado de
ângulo esférico, é intersecção de duas retas
(circunferências máximas) e a sua medida é a
mesma do ângulo plano formado pelas tangentes
tiradas do ponto de intersecção. (Fig. 2.14)
Figura 2.14
7) Dados três pontos, A, B e C, distintos e não
pertencentes a uma mesma circunferência máxima,
a figura formada pelos arcos de circunferências
máximas, que unem esses pontos dois a dois,
chama-se triângulo esférico.
(Fig. 2.15)
Figura 2.15
36
Figura 2.16
Os lados BC, AC e AB do triângulo esférico
são denotados, respectivamente, por a, b e c e
medidos pelos ângulos subentendidos por eles no
centro da esfera. Os ângulos do triângulo ABC são
os ângulos esféricos
e que também podem
ser indicados por e ,
respectivamente.(Fig. 2.16)
BA
ˆ
,
ˆ
C
ˆ
CBACAB
ˆ
,
ˆ
BCA
ˆ
A
b
c
C
a
B
Além dos lados e ângulos, os triângulos esféricos possuem três alturas,
três bissetrizes, três medianas, etc. que são definidas da mesma maneira como
se faz para os triângulos planos, com a diferença que para os triângulos
esféricos, fala-se em circunferências máximas e não em retas.
Os lados dos triângulos esféricos, como foi visto acima, subentendem
ângulos com vértices no centro da esfera, por isso podem ser medidos em
graus ou em radianos.
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo varia entre
180º e 540º, tendo um valor fixo dependendo do triângulo considerado.
α + β + γ > 180
o
(fig. 2.17)
Figura 2.17
Dado um triângulo ABC a soma das medidas de seus ângulos pode ser
expressa por:
180º <
+ A
ˆ
B
ˆ
+ C < 540º
ˆ
37
Em relação à soma das medidas dos lados a, b, e c tem-se também uma
faixa de variação de extremos 180º e 360º, ou seja:
180º < a + b + c < 360º
sendo que nenhum dos lados do triângulo esférico pode ser maior do que 180º.
Ao contrário dos triângulos planos, os esféricos podem ter os três ângulos
medindo 90º e os três lados medindo 90º. Pode-se classificar os triângulos
esféricos quanto aos ângulos em retângulo (um ângulo reto), birretângulo (dois
ângulos retos) e trirretângulo (três ângulos retos) e quanto aos lados em
retilátero (um lado medindo 90º), birretilátero (dois lados medindo 90º, cada
um) e trirretilátero (cada um dos lados medindo 90º).
Observando-se as figuras ao
lado (Fig. 2.18), a superfície da
esfera é dividida em 48
“triângulos”, todos iguais entre si, e
cujos ângulos são de 90, 60 e 45
graus:
Figura 2.18
2
Observando-se os vértices, onde se juntam quatro triângulos (portanto,
cada um dos quatro ângulos que aqui se encontram é de 90º = 360º/4), os
vértices, onde se juntam seis, cada um com 60º = 360º/6 e outros onde se
juntam oito triângulos, cada um com 45º = 360º/8.
No entanto: 90º + 60º + 45º dá 195º, e não 180º: tem-se, portanto, um
triângulo cuja soma das medidas dos ângulos não é 180º graus! Porém, o que
não deve surpreender muito, porque, na verdade, não se trata propriamente de
um triângulo: trata-se de um triângulo “gordo”, desenhado sobre uma esfera, e
cujos lados não são segmentos, mas sim o que de mais parecido com
segmentos pode ser desenhado numa esfera, ou seja, arcos de círculo
máximo.
____________
2. Disponível em: <http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/triangulos3.htm>. Acesso em 02 nov. 2005.
38
2.3. O GLOBO TERRESTRE
A primeira referência sobre a esfericidade da Terra que foi encontrada é
atribuída a Parmênides de Elea que viveu por volta de 450 a.C (Boyer, p. 55).
Parmênides defendeu a esfericidade da terra e seu interior ígneo. O universo
teria a terra como centro; em torno se formariam círculos sucessivos de fogo e
terra, com sucessões, ora de fogo puro, ora de misturas.
O conceito de geografia (geo (terra [grego])+ graphos (desenho) [latim])
data de aproximadamente do século III, mas o estudo da terra, quer tenha sido
as medições da esfera, quer tenha sido um esboço de mapa do mundo
conhecido, surgiram antes do conceito de geografia.
A noção mais importante para se entender isso é exatamente aquilo que
não era considerado, a terra habitada ou a terra conhecida, ou seja, "as terras
mais distantes" a partir das quais foram erigidas as tradições míticas, tanto
referentes aos aspectos naturais quanto biológicos. Mais especificamente aos
espaços imaginados na superfície da Terra.
Entre 1480 e 1520, ocorreu uma mudança epistemológica em relação à
concepção da forma da Terra (RANDLES,1994). Passou-se da visão em que
ela era plana à sua redondeza, o que alterou profundamente o pensamento e a
história da Geografia. Antes dessa mudança, as várias concepções medievais
teriam partido de duas noções de Terra: uma plana e outra redonda, de Crates
de Malo (c.160 a.C.) e de Aristóteles (384-322 a.C.). Elas originaram as
sínteses bíblicas (cratesiana e aristotélica), a teoria das cinco esferas e da
existência ou não dos antípodas, bases da concepção de ecúmeno medieval.
Estas concepções orientavam a explicação do mundo medieval. A bíblico-
cratesiana acreditava na existência de quatro ilhas separadas por uma
imensidão de água, o que tornava impossível a comunicação entre elas,
reduzindo o ecúmeno (universo) cristão a somente uma delas. A bíblico-
aristotélica acreditava na existência de quatro esferas superpostas, formadas
pelos quatro elementos, com a existência de terra firme plana em função da
grande quantidade de água em volta (proporção de 1 para 10). A concepção
39
das cinco zonas pré-supunha uma terra redonda, atribuída a Parmênides (V
a.C.), pressupunha uma terra redonda dividida em duas zonas geladas, uma
tórrida e duas temperadas, diametralmente opostas, somente nestas duas
últimas seria possível a existência de pessoas, redefinindo o ecúmeno cristão e
fonte importante na discussão acerca da existência dos antípodas. Entre os
argumentos defendidos por clérigos medievais que duvidavam da existência de
seres humanos no outro hemisfério, estava a impossibilidade das pessoas
viverem de cabeça para baixo sem cair "para fora" da Terra ! (RANDLES,1994)
As especulações sobre a forma da Terra estavam ligadas ao ecúmeno,
terra habitada (ou habitável) que representava o espaço geográfico da
cristandade ao alcance da palavra de Deus. Logo, tem-se especulações sobre
a extensão deste "ecúmeno cristão", reproduzido cartograficamente sob a
forma dos
mapas T-O, que datam desde o século VII. Estes mapas se
caracterizavam por dispor os continentes - Europa, Ásia e África - divididos
pelo Mar Mediterrâneo e seu núcleo central era a cidade de Jerusalém, o
"umbigo do mundo".
RANDLES (1994) afirma que até 1520, coexistiram várias interpretações
acerca da forma da Terra. , com desdobramentos vários sobre as terras
possíveis de existir (i.e. as Quatro Ilhas, o Grande Hemisfério Austral). Porém,
outras interpretações de caráter geográfico desenvolveram-se durante a
chamada Idade Média e algumas sobreviveram até o século XVII. Elas se
referem aos habitantes do hemisfério e de regiões na época desconhecidas.
A circunferência máxima da Terra (em nível do Equador) é cerca de
40.000 km. No século XVII (1600 – 1699) pensava-se que era muito menor.
Assim, quando Colombo partiu para a Índia e aportou em uma das ilhas
Bahamas, achou que já estava na Índia, logo sua margem de erro foi maior que
a largura dos Estados unidos, mais a do Oceano Pacifico.(PCEM – 1991 – pág
110)
40
Medindo a circunferência da Terra
Em Boczko (1988) encontra-se um modelo de como determinar as
estações do ano.
Finquemos uma vara num plano horizontal. Tal associação pode ser
chamada Gnômom (relógio solar [grego]). Verifica-se que a sombra da vara,
causada pela luz solar, varia durante o dia.
O instante em que a sombra da vara tem o menor comprimento do dia
será chamado de Meio-Dia.
Se medirmos o comprimento da sombra da vara ao meio-dia, durante
vários dias sucessivos veremos que ela varia.
Figura 2.19
Os instantes em que ocorriam
as sombras com comprimentos PA e
PC recebiam o nome de solstícios
(sol estático [latim]. Os instantes
correspondentes às sombras de
comprimento PB, onde B pertence a
bissetriz do ângulo
, recebem o
nome de Equinócios (duração igual
do dia e noite [latim]). (Fig. 2.19)
CVP
ˆ
Convencionou-se dizer que o ano estava dividido em 4 estações. Os
antigos notaram que quando a sombra era mínima (PA) o clima mostrava-se
mais quente;quando a sombra era a mais longa, estava-se com a temperatura
mais baixa. Assim temos:
• Solstício de Verão – é o instante em que a sombra é mínima (PA).
Define o início de Verão.
• Equinócio de Outono – é o instante em que a sombra é (PB), indo
de A para C. Define o início do Outono.
• Solstício do Inverno – é o instante em que a sombra é máxima
(PC). Define o início do Inverno.
41
• Equinócio da Primavera – é o instante em que a sombra é (PB),
indo de C para A. Define o início da Primavera.
Há vários séculos antes de Cristo alguns povos já tinham verificado que o
tempo necessário para que a sombra ao meio-dia voltasse a ter o mesmo
tamanho era de cerca de 365 dias. Sabemos hoje, ser de 365,242199 dias.
Se precisarmos medir a circunferência de uma bolinha de isopor,
podemos colocar uma linha ou fita em torno dela e medir o comprimento obtido
com uma régua. Mas, como fazer para medir a circunferência da Terra?
A partir de uma informação obtida num papiro
da biblioteca de Alexandria, Erastóstenes obteve
um valor aproximado do raio da Terra.
Na cidade de Siene, localizada no Egito, no dia
mais longo do ano (chamado solstício de verão), ao
meio-dia, uma estaca em posição vertical não
projetava sombra e o reflexo do Sol podia ser visto
na água, no fundo de um poço.
Figura 2.20
3
Eratóstenes, então, fez o seguinte
experimento: (Fig.2.21)
Verificou que em Alexandria, no
solstício de verão, próximo ao meio-dia,
estacas verticais projetavam sombra.
O Sol está tão distante que seus raios
são paralelos quando chegam à Terra.
Pelo comprimento da sombra em
Alexandria, o ângulo
foi medido,
encontrando-se aproximadamente 7°12'.
Figura 2.21
____________
3. Disponível em: <http://www.paginas.terra.com.br>. Acesso em 05 mar. 2006.
42
Observando que as retas r e s eram paralelas interceptadas pela
transversal t, Eratóstenes concluiu que os ângulos
e eram congruentes
(ângulos alternos internos).
O ângulo
tem o vértice no centro da Terra e determina na circunferência
da Terra o arco compreendido entre Siene e Alexandria (o arco SA). Logo,
esse arco também mede 7°12'.
Como
50
1
'21600
'432
'60360
'12'607
360
'12º7
==
+
=
x
x
, o referido arco é igual a
50
1
da
circunferência da Terra.
Ao mesmo tempo em Alexandria, tomada
como estando no mesmo meridiano e 5000
estádios ao norte de Siene, verificou-se que o Sol
lançava uma sombra, indicando que a distância
angular do sol ao zênite era um cinquentavo de
um círculo; é claro que a circunferência da Terra
deve ser cinqüenta vezes a distância entre Siene e
Alexandria. Isso fornece um perímetro de 250.000 estádios, ou, como um
estádio era cerca de um décimo de milha, de 25 000 milhas ou 37 000
quilômetros. (textos posteriores indicavam 252 000 estádios, talvez para
fornecer a cifra redonda de 700 estádios por grau.)
Figura 2.22
4
O resultado é aproximadamente 15% maior, em comparação com as
medidas modernas, mas o resultado dele foi extremamente bom, considerando
as suposições e o equipamento com que as observações foram feitas.
Os pontos cardeais e meridiano local
Na proposta curricular para o ensino de matemática do estado de São
Paulo (1991) encontra-se na pagina 101, como sugestão de atividade para
alunos de 6ª série, uma atividade visando um aplicação direta das noções de
____________
4. Disponível em: <http://www.esteio.com.br>. Acesso em 05 mar. 2006.
43
perpendicularismo e de retas bissetrizes em uma outra área do conhecimento:
a geografia, apresentando uma forma de determinação dos pontos cardeais.
Também em Boczko (1984) encontra-se na página 32 uma descrição de
como determinar-se os pontos cardeais e o meridiano local. Meridiano é uma
palavra que tem origem no latim e significa meio-dia.
O processo constituí-se dos seguintes passos: (Fig.2.23)
1) Finque-se, num plano horizontal, uma
vara vertical – que será o nosso gnômon
(para isso utilizar um fio de prumo ou um
esquadro de madeira). Observa-se o
tamanho e a direção da sombra dessa
vara projetada pelo sol. Ao nascer e pôr
do sol, as sombras serão muito grandes.
Figura 2.23
I
2) Traçam-se no chão, várias circunferências concêntricas centradas no
pé da vara.
3) Seja I a parte inferior da vara e S a sua extremidade superior. Num
determinado instante seja IA o segmento que representa a sombra do gnômom
causada pelo sol. Com o correr do tempo verifica-se que a sombra do gnômom
vai mudando de direção, bem como diminuindo de tamanho, até que após certo
instante, o tamanho começa a aumentar novamente. Com algumas marcações
das sombras sobre as circunferências, têm-se os raios IA, IB e IC. Quando a
sombra for tal que sua extremidade distante atinja a circunferência de raio IC,
assinalamos o ponto C’ e a direção IC’, procedendo de modo idêntico para os
pontos B’ e A’, respectivamente correspondentes às circunferências de raios IB
e IA.
4) Traça-se a bissetriz de cada ângulo
'
ˆ
A
I
A , '
ˆ
B
I
B
, , verifica-se que as
bissetrizes coincidem. Note que essa bissetriz também coincide com a sombra
de menor tamanho.
'
ˆ
CIC
44
Fi
g
ura 2.24
Essa bissetriz comum é a linha meridiana do lugar e indica a direção
Norte-Sul desse lugar. A direção perpendicular a essa é a direção Leste-Oeste.
(Fig. 2.24)
Alguém que apontasse o braço direito esticado para o Leste e o esquerdo
para Oeste, olhasse de frente para o Norte, o Sul estaria às suas costas.
As abreviaturas geralmente utilizadas para os pontos Norte, Sul, Leste e
Oeste são, respectivamente N, S, E e W.
Coordenadas geográficas
Admitindo a Terra como esférica, o eixo de rotação furará a superfície
esférica da Terra em dois pontos diametralmente opostos, chamados pólos da
Terra, um denominado Pólo Norte e o outro Pólo Sul.
A circunferência polar, aos pontos que representam o Pólo Sul e o Pólo
Norte, será a Linha do Equador.
Além do Equador, quatro outros paralelos recebem nomes: o trópico de
Câncer e o círculo polar Ártico, no hemisfério Norte; o trópico de Capricórnio e
o círculo polar Antártico no hemisfério Sul.
Os trópicos estão distantes 23º 27’ do Equador e indicam os limites
máximos ao sul e ao norte em que incidem verticalmente os raios solares
durante o solstício de verão.
Os círculos polares estão distantes 66º 33’ da linha do Equador e 23º 67’
dos pólos. Eles assinalam o limite máximo de iluminação total das regiões
polares nos solstícios de verão. Toda a região polar recebe os raios solares
durante 24 horas, não havendo, portanto, um período de noite. No início do
45
inverno acontece exatamente o contrário, não havendo, portanto, um período
de dia.
Todos os planos, paralelos ao Equador Terrestre, que interceptam a
superfície terrestre definirão circunferências chamadas Paralelos Geográficos.
As semi-circunferências centradas no centro da Terra e passando pelos pólos
determinam os Meridianos Geográficos. Esses infinitos Meridianos e Paralelos
são usados para definir o sistema de referência ou sistema de coordenadas
Geográficas que adota dois planos fundamentais: o plano do Equador e o
meridiano passando por Greenwich, na Inglaterra.
A idéia de determinar a nossa posição leste-oeste veio do astrônomo
grego Ptolomeu, que nasceu por volta do ano 100 d. C. Em seu livro a
Geografia Ptolomeu introduzia o sistema de latitudes e longitudes tal como é
usado hoje.
Latitude ( = medida em largura [latim])
Latitude (
φ
) é o ângulo medido sob um meridiano, entre o Equador e o
paralelo que passa por um ponto P que queremos determinar (Fig 2.25). Por
convenção adota-se que a latitude é positiva quando o ponto P pertence ao
hemisfério Norte (ou Boreal, ou Setentrional), e negativa quando P pertence ao
hemisfério Sul (ou Austral ou Meridional) Assim:
-90º ≤
φ
≤ 90º.
Figura 2.25
5
____________
5. Disponível em: <http://www.paginas.terra.com.br>. Acesso em 05 mar. 2006.
46
A latitude do Equador é portanto 0º. Considerando-se nos hemisférios
Norte e Sul, respectivamente, latitudes norte (N) e sul (S) que medem até 90º.
Assim se forem traçados 90 paralelos eqüidistantes em cada hemisfério a
distância entre eles será de 1º. Todos lugares situados num mesmo paralelo
têm mesma latitude.
Para determinar a latitude de um lugar durante o dia, é necessário saber,
para além do ângulo que o Sol ao meio do dia faz com o horizonte, a data e a
nossa posição aproximada sobre a Terra é preciso saber se estamos no
hemisfério Norte ou no hemisfério Sul e qual a nossa posição em relação aos
trópicos. No hemisfério Norte a inclinação da Estrela Polar é a latitude de um
lugar.
A latitude de um lugar é a medida do ângulo que se percorre quando se
vai do Equador até ao paralelo que passa por esse lugar (Fig. 2.26),
perpendicularmente ao Equador. Esse ângulo é igual ao ângulo que a Estrela
Polar faz com o horizonte, a qualquer hora. Medir a latitude é simples, pois no
céu noturno do hemisfério Norte da Terra, a Estrela Polar está sempre
presente.
Figura 2.26
6
____________
6. Disponível em: <http://www.paginas.terra.com.br>. Acesso em 05 mar. 2006.
47
Longitude ( = Comprimento [latim])
A Longitude (
λ
) é o ângulo, medido sobre o Equador, entre o Meridiano de
Greenwich e o meridiano do ponto P que se quer determinar (Fig. 2.27). Ela é
considerada positiva quando medida no sentido horário ao ser vista do pólo
norte; isso significa que é positiva a oeste de Greenwich e negativa a leste de
Greenwich, podemos considerar a longitude de 0º a 180º E (leste, alguns
autores substituem o E por L) ou de 0º a 180º W (oeste, alguns autores
substituem o W por O).
Vale a relação: - 180º
≤
λ
≤ 180º
Figura 2.27
7
Cada meridiano, junto com o seu antimeridiano, divide a esfera terrestre
em duas partes iguais ou hemisférios. Assim para estabelecer um meridiano
referencial ou principal, foi escolhido em 1884 o que passa próximo à cidade
de Londres (Inglaterra), no subúrbio de Greenwich, onde há um observatório
astronômico de mesmo nome, desativado desde 1958, razão pela qual esse
meridiano principal é conhecido como meridiano de Greenwich.
O Meridiano de Greenwich e o seu antimeridiano dividem a esfera em
dois hemisférios: Leste ou Oriental e Oeste ou Ocidental.
____________
7. Disponível em: <http://www.paginas.terra.com.br>. Acesso em 05 mar. 2006.
48
É costume definir-se um ângulo de 15º correspondente à Unidade Angular
Hora. Observemos que para os pólos não se define longitude.
Dessa forma, para determinar a localização exata de um ponto na
superfície terrestre basta ter a sua latitude e sua longitude.
Fuso horário
Em virtude do avanço nos meios de transporte e comunicação, um
sistema comum para determinar a hora local foi tornando-se mais necessário.
Em 1884, 25 países reunidos em Washington estabeleceram uma divisão
do mundo em 24 fusos de uma hora, baseando-se no fato de que a Terra
demora praticamente 24 horas para dar uma volta completa em torno de seu
próprio eixo (o movimento de rotação da Terra completa-se em exatamente 23
horas, 56 minutos e 4 segundos). Dessa forma, dividindo os 360º da
circunferência terrestre por 24, temos 15º, que é a medida de cada fuso
horário.
Cada fuso é delimitado por dois meridianos e todas as localidades
situadas no seu interior têm a mesma hora, que é chamada hora legal.
O fuso referencial para determinação das horas é o de Greenwich,
delimitado pelos meridianos 7º30’ leste e 7º30’ oeste. A hora determinada pelo
fuso de Greenwich recebe o nome de GMT (Greenwich Meridian Time).
Como a Terra gira de oeste para leste, os fusos a leste de Greenwich têm
horas adiantadas (+) em relação à hora desse fuso inicial. Já os fusos situados
a oeste têm as horas atrasadas (-) em relação à hora de Greenwich.
O horário de determinadas áreas de alguns países não corresponde ao
horário do fuso em que estão localizadas. É que, para facilitar as
comunicações, existe um limite prático entre os fusos, fazendo com que eles
não sejam uma faixa reta e contínua que liga um pólo ao outro. Eles são
sinuosos, deformados, porque seguem os contornos das fronteiras entre os
países e das fronteiras entre os estados.
49
As nações com grande extensão territorial no sentido leste-oeste são
atravessadas por vários fusos. A Rússia, por exemplo, possui 11 fusos
horários.
Pelo Brasil passam quatro fusos, que determinam horários distintos,
dependendo da localidade. Observe o mapa (fig. 2.28):
Hora Legal: é a hora civil do meridiano central do fuso
Figura 2.28
8
Na tabela a seguir temos a correção necessária em relação ao Tempo Universal
e a hora de Brasília para diversas localidades do Brasil.
Localidade
Correção ao
Tempo
Universal
Correção à
hora de
Brasília
Acre, Amazonas (Região de Atalaia do Norte, Boca do Maoco,
Benjamin Constant, Eirunepé, Envira, Ipixuna)
-5 h -2 h
Amazonas (Região de Boca do Acre, Jutaí, Manaus, Floriano
Peixoto), Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Pará (Região de
Altamira, Oribidos, Prainha, Oriximina, Santarém), Rondônia,
Roraima
-4 h -1 h
Rio Grande do Sul, Paraná, Santa Catarina, Espírito Santo,
Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo, Alagoas, Bahia,
Ceará, Maranhão, Paraíba, Pernambuco, Piauí, Rio Grande do
Norte, Sergipe, Goiás, Amapá, Pará (Região de Belém, Marabá,
Serra Norte, São Félix do Xingu)
-3 h 0 h
Ilhas de Fernando de Noronha, Trindade, Martin Vaz, Atol das
Rocas, Penedos de São Pedro e São Paulo
-2 h +1 h
8. Disponível em: <http://www.astral-online.com/amostra/fuso/shtm>. Acesso em 12 mar. 2006.
obs.: As correções não consideram o horário de verão.
____________
50
Quando se calcular a diferença a menos de horas do Brasil em relação ao
GMT
Linha internacional de mudança de data
Do lado contrário do Meridiano de Greenwich, no Oceano Pacífico, criou-
se o
Uma observação importante e prática: em todo e qualquer exercício de
fusos
2.4. MAPAS E PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS
2.4.1. Mapas
O mapa não deve ser entendido apenas como uma simples ilustração. Ele
é um
carta
deve-se levar em conta os fusos horários, como também o horário de
verão aqui e na Europa.
Antimeridiano de Greenwich ou Linha Internacional de Mudança de Data
(LDI), a 180º. Ao ir daqui do Rio de Janeiro para Tóquio, ultrapassa-se a LID e,
assim, além de mudar as horas, tem-se que aumentar 1 (um) dia; ao retornar,
diminui-se 1 dia. Ou seja, ultrapassando a LID de oeste para leste aumenta-se
1 dia; de leste para oeste, diminuí-se 1 dia.
horários é necessário que se dê a localização geográfica em longitude
das cidades e se memorize aquela questão prática: ao caminhar para o oriente
aumenta-se a hora; para o ocidente, diminuí-se a hora.
meio de comunicação, uma fonte de conhecimento sobre determinada
realidade. Segundo Yves Lacoste, geógrafo francês, ler uma carta ou um mapa
significa “saber agir sobre o terreno”. Tendo como objeto de estudo o espaço
geográfico, os mapas são de fundamental importância para a geografia, pois
armazenam e trabalham uma documentação espacial.
Quanto à escala os mapas podem ser: plantas (ou cartas cadastrais),
s ou mapas topográficos, e os mapas geográficos.
51
Quanto aos seus objetivos, os mapas podem ser: gerais (para divulgação
a pessoas comuns como os mapas-múndi, os continentes, que se usam em
sala-de-aula), e temáticos (mostram certas características específicas da
realidade geográfica, como os estudos de população, de solos, dos mares, ...)
A escala é a relação matemática entre o comprimento ou distância
figurada no mapa e a superfície real da superfície representada. Há duas
modalidades de escala: a numérica e a gráfica.
2.4.2 Escalas
A escala numérica se representa por uma fração ordinária (como
1/1.000.000) ou de uma razão matemática (1:1.000.000). O número 1 significa
a unidade no mapa (1 cm) e o número 1.000.000 o tamanho real (1.000.000 de
cm, ou seja 10 km)
Quanto menor for o segundo número, no caso o denominador da fração
ordinária, maior será a escala; e vice-versa. Assim as escalas inferiores a
100.000 são consideradas grandes; quanto superiores a 500.000, são
pequenas
Quanto maior a escala mais detalhada é a carta geográfica. Assim, as
plantas (ou cartas cadastrais) se fazem com escalas entre 1/500 e 1/20.000.
Os mapas topográficos têm escalas entre 1/25.000 e 1/250.000, que são
escalas médias; estes mapas são conceituados como de informação oficial. O
governo brasileiro, através do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística) e da Diretoria do Serviço Geográfico do Exército, além dos
institutos cartográficos estaduais, adota esse tipo de mapa, o topográfico.
A escala gráfica é representada sob a forma de um segmento de reta
graduado em km. É dividida em partes iguais, indicativas da quilometragem; a
primeira parte (chamada de talão ou escala fracionária) é seccionada de tal
modo a permitir uma avaliação mais precisa das distâncias ou tamanhos no
mapa. Essa escala gráfica facilita de maneira mais prática o cálculo dessas
distâncias.
52
2.4.3. Projeções cartográficas
Todo mapa é uma representação de dados da superfície terrestre. A única
maneira de representar a superfície da Terra, que é uma curva, sem que haja
deformações, é por meio do globo, mas não é uma forma prática para
manuseio e transporte de um lado para outro.
Representá-la no plano de uma folha de papel (ou de papiro como
antigamente) provoca deformações. O objetivo das projeções cartográficas é o
de resolver os problemas decorrentes dessa representação da Terra num
plano.
Entre as projeções cartográficas mais utilizadas estão a cilíndrica, a
cônica, a azimutal e a de Robinson. Contando-se todas as variações, há mais
de 200 tipos de projeções.
No quadro a seguir (Fig. 2.29) encontra-se um resumo das classificações
das projeções:
Figura 2.29
Para este trabalho, será apresentada apenas a projeção cilíndrica.
53
Projeção cilíndrica
Denominadas assim porque são feitas pelo
envolvimento da esfera terrestre por um cilindro
tangente a ela (Fig 2.30). Elas apresentam o
inconveniente de deformar as superfícies de
altas latitudes, mantendo as de baixas latitudes
em forma e dimensão mais próximas do real.
Uma demonstração disso: a Groelândia parece
que é maior que a Austrália, mas é 3 vezes
menor.
Figura 2.30
9
As duas projeções cilíndricas mais conhecidas são as de Mercator e a de
Peters. Elas apresentam algumas diferenças embora sejam do mesmo tipo de
projeção.
A projeção de Mercator é a mais antiga. Foi criada no século XVI, é uma
projeção cilíndrica conforme, ou seja, conserva a forma dos continentes,
direções e ângulos. Nesta projeção os ângulos de latitude e longitude, portanto
as distâncias angulares e lineares (estas no Equador), são precisas.
A projeção de Arno Peters surgiu apenas em 1952, é uma projeção
cilíndrica de área igual, pois não mantém as formas, direções e ângulos, mas
preserva as áreas dos continentes. Os países e continentes situados em baixas
latitudes ficam alongados no sentido N – S, enquanto os situados em altas
latitudes ficam como que esgarçados no sentido L – O porque as distâncias
angulares entre os paralelos são diminuídas gradativamente do Equador para
os pólos.
____________
9. Disponível em: <http://www.dpi.inpe.br>. Acesso em 12 mar. 2006.
54
Figura 2.31
10
2.5. ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOGRAFIA
Os gregos foram os primeiros geógrafos e, considerando as limitações de
seus instrumentos, suas realizações foram notáveis.
As primeiras concepções geográficas gregas estão nas duas epopéias
atribuídas a Homero (c. -750), a Ilíada e a Odisséia, criadas no final da Idade
das Trevas.
Na Ilíada, a Terra é descrita como um disco achatado em cujo centro
encontrava-se o santuário de Delfos (Fócida). A Grécia Continental e os
demais territórios conhecidos eram rodeados em sua totalidade por um imenso
rio, oceano, de onde provinham as águas dos mares, rios e fontes. A Odisséia
é, em grande parte, um pormenorizado diário de viagens do herói Odisseu, que
vagou por dez anos após a Guerra de Tróia.
O mais antigo geógrafo conhecido é o filósofo milesiano, Anaximandro
(-610/-540), o primeiro a desenhar um mapa do mundo conhecido, conforme as
crenças da época.
____________
10. Disponível em: <http://www.isba.com.br>. Acesso em 12 mar. 2006.
55
Outro milesiano, Hecateu de Mileto (-550/-475), escreveu o mais antigo
tratado de geografia, Periegesis, que não chegou até nós. Sabe-se apenas que
dava descrições detalhadas de povos e lugares, era dividido em duas partes,
Europa e Ásia (denominação que
englobava o norte da África) e continha
um mapa-múndi, que pôde ser
reconstituído. (Fig. 2.32)
Reconstrução conjuntural do mapa-múndi que
acompanhava, provavelmente, a obra de Hecateu de
Mileto [cf. P. CARTLEDGE (ed.), History of Ancient
Greece, Cambridge, Cambridge Univ. Press, p. 300,
1998]. Data: fim do século -VI.
11
Figura 2.32
Figura 2.33
12
O primeiro "Globo Terrestre" (Fig 2.39) na concepção de Crates de
Malos (fl. séc. -II) [cf. A. AZEVEDO, O Mundo Antigo, São Paulo,
DESA / Edusp, p. 129, 1965]. Data: séc. -II.
Tem-se referência de que foi Eratóstenes quem criou, por volta de -200, a
palavra geografia, que significa "descrição da terra".
Foi com os gregos na Antiguidade que a cartografia evoluiu bastante.
Hiparco, astrônomo da escola da ilha de Rodes, no século II a.C., dividiu pela
primeira vez a circunferência da Terra em 360º e traçou sobre a esfera terrestre
paralelos e meridianos eqüidistantes. Tornava-se fácil, assim, não só a
localização das cidades e regiões, mas também a confecção de mapas.
____________
11. Disponível em: <http://warj.med.br/cie/index2.asp>. Acesso em 06 set. 2004.
12. Disponível em: <http://warj.med.br/cie/index2.asp>. Acesso em 06 set. 2004.
56
Entretanto muitas obras dos gregos sobre geografia e cartografia do
período da Antiguidade perderam-se no tempo (LUCCI, 1999).
As duas sínteses, que na Idade Média permitiam conciliar as noções de
Terra plana e Terra redonda foram construídas a partir de Crates de Malos (c.
160 a.C) e de Aristóteles (384 – 322 a.C.). Na primeira, sobre uma esfera,
coberta em sua maior parte por água, representavam-se quatro pequenas ilhas
diametralmente opostas e na segunda, dava-se ao cosmo a forma de quatro
esferas concêntricas, constituídas pelos quatro elementos, e ordenando-se
segundo suas respectivas importâncias.
A teoria das cinco zonas, atribuída a Parmênides (primeira metade do
século V a. C.) dividia a esfera em cinco “praias”: duas geladas, logo
inabitáveis, perto dos pólos e, de um lado e de outro sobre o Equador, a zona
tórrida, também inóspita e intransponível, separando as duas zonas
temperadas, as únicas suscetíveis de acolher as populações. A idade media
estava familiarizada com o corte rigoroso das partes da terra graças ao Traite
de la Sphère, de João Sacrobosco. (RANDLES ,1994)
Como se pode ver, existiam diversas crenças a respeito do modelo ideal
para a Terra. Foram muitas as teorias entre os historiadores da ciência, e isto ,
desde o século XVI. (RANDLES, 1994).
Grande parte dos conhecimentos cartográficos da Antiguidade está
sintetizada na obra Geografia, de Ptolomeu (90- 168 d.C.) Os originais foram
perdidos mas a obra foi copiada em numerosos manuscritos gregos, árabes e
latinos até o século XV, e, finalmente impressa em 1475.
Em sua obra composta de 8 livros Ptolomeu retrata de forma abrangente a
superfície terrestre conhecida na época: quase toda a Europa, grande parte da
Ásia e parte da África.
A Geografia de Ptolomeu introduzia o sistema de latitudes e
longitudes tal como é usado hoje, descrevia métodos de projeção
cartográfica, e catalogava cerca de 8 000 cidades, rios, e outros
aspectos importantes da terra. (Boyer, 1974, p. 123)
57
Quando a obra Geografia tornou-se conhecida dos europeus, os grandes
descobrimentos já estavam em curso e muitas áreas recém-descobertas
mostravam que o “mundo” de Ptolomeu havia sido bastante ampliado. Apesar
disso, os seus cálculos foram extremamente oportunos para os navegantes e
cartógrafos da época, que ficaram impressionados com a qualidade da sua
obra. (Lucci, 1999).
Foi Nicolau Copérnico, que nasceu no ano 1473, na Polônia, quem pela
primeira vez apresentou provas convincentes de que a Terra gira em torno do
Sol. Copérnico escreveu as suas idéias no livro “Sobre a Revolução dos
Corpos Celestes”, publicado no ano de 1543, na Alemanha.
A concepção heliocêntrica de Copérnico e as posteriores descobertas de
Galilei (movimento de rotação da terra), Kepler (Leis da Mecânica Celeste) e
Newton (Lei da gravitação Universal) lançaram as bases da Astronomia
moderna.
Durante a Idade Média, as concepções religiosas fundamentaram a
cartografia produzida na Europa. Os planisférios elaborados pelos sábios
religiosos, principais portadores do conhecimento, são uma visão simbólica que
mistura conhecimentos geográficos, fé cristã e monstros místicos.
No Renascimento, os conhecimentos cartográficos se transformaram em
instrumentos vitais de conhecimento e controle das rotas comerciais e dos
Estados, ainda em formação. A partir do século XV, o espírito mercantil das
navegações tomou o lugar da religiosidade medieval. Enquanto o
desenvolvimento científico possibilitava técnicas cada vez mais precisas para
os cálculos das coordenadas.
É bem no fim do século XVI que se encontra o melhor enunciado em
termos matemáticos do princípio do globo terráqueo, através de um português
André de Avellar que analisou do ponto de vista da longitude, a relação entre a
distância angular e deslocamento horário, e depois do ponto de vista da
latitude, a relação entre distância angular e caminho percorrido. Chamando a
atenção para a existência de uma proporção regular e invariável entre dois
tipos de observações bem diferentes e, alem do mais, sobre dois eixos
58
perpendiculares um ao outro. Avellar baseia sistematicamente a esfericidade
do Globo Terrestre na experiência. (RANDLES, 1994).
Gerhard Kramer (1512 – 1594) conhecido por Mercator, através da sua
projeção, concebida em 1569, consolidou a prática de colocar o norte no topo,
invertendo a tendência medieval de raiz religiosa, que consistia em colocar o
leste (onde está Jerusalém) na parte superior. O planisfério de Mercator é, até
hoje, utilizado em livros e Atlas da maior parte do mundo.
No início da década de 1970, o autor Arno Peters divulgou uma projeção
que logo ganhou celebridade mundial. Contudo, não foi Peters que inventou a
projeção que passou a levar o seu nome. Peters apenas tirou do esquecimento
a projeção cilíndrica de área igual de Gall (1808 – 1895).
Durante séculos os mapas foram desenhados a mão, caracterizando-se
como produtos artesanais. Os mapas artesanais, embora obedecendo aos
padrões convencionais da cartografia, eram documentos singulares, autorais.
Por isso, situavam-se na intersecção dos domínios da técnica e da arte.
Na década de 1960, com o advento da informática, apareceram os
primeiros mapas desenhados por computador. A nova tecnologia da cartografia
automática, ou cartografia assistida por computador, revolucionou a concepção
de produção de mapas e ampliou as possibilidades do seu uso. Situam-se,
nitidamente, no domínio da técnica e apresentam maior facilidade de leitura.
Assim, na comparação com mapas clássicos, perdem em originalidade mas
ganham em eficácia.
59
Capítulo 3
Sujeitos, método e material
“Não se pode supor que a escola contribuirá,
efetivamente, para a valorização do homem,
realizando apenas mecanicamente as tarefas
que lhes dizem respeito”. (Célia Maria Carolino
Pires)
3.1.SUJEITOS
Os sujeitos envolvidos neste estudo foram 14 alunos, com idades entre 13
e 14 anos, regularmente matriculados na 8ª série do ensino fundamental do
período diurno (tarde), na EE Sidrônia Nunes Pires, localizada no distrito de
Caucaia do Alto, Município de Cotia.
Fez-se um convite aos alunos da 8ª A e 8ª B, expondo-se que as
atividades que seriam desenvolvidas faziam parte de um projeto de mestrado.
Os alunos que se interessaram, levaram para seus pais ou responsáveis uma
carta (ver anexo XXVI), onde estava exposto o objetivo do trabalho e solicitava-
se a autorização dos mesmos, para que os alunos participassem do projeto e
que suas imagens pudessem ser utilizadas através de fotografias.
3.2. MÉTODO
Com o intuito de propor um trabalho integrando Matemática e Geografia,
foi elaborada uma seqüência de ensino, a fim de que fossem produzidos
significados para conceitos básicos de Geometria Esférica, os quais serão
utilizados no estudo do Globo Terrestre e dos Mapas.
60
Os encontros aconteceram em três sábados, nos dias 25 de março, 01 de
abril e 08 de abril de 2006, no período da manhã, das 9 às 12 horas, e utilizou-
se o laboratório de informática da escola. A escolha de desenvolver o projeto
aos sábados, foi feita devido à disponibilidade dos alunos e dos professores
observadores.
A seqüência foi aplicada para os alunos organizados em duplas,
inspirados na Teoria de Vygotsky, de modo a privilegiar a colaboração e a
interação.
Ao conceber-se a seqüência, tinha-se em mente que um conceito não
pode ser reduzido à sua definição, pelo menos quando se interessa por sua
aprendizagem. Segundo Vergnaud “é através das situações e dos problemas a
resolver que um conceito adquire sentido”. Desta forma as atividades deveriam
conter situações-problema, que possibilitassem a aquisição do conceito através
da exploração de objetos e que proporcionassem momentos de reflexão.
Concebeu-se a seqüência em três etapas:
• Na primeira etapa o objetivo foi construir alguns significados geométricos
sobre a esfera a partir de atividades que propõem a manipulação de
bolas de isopor, alfinetes e linhas representando a esfera, pontos e retas
respectivamente. Os alunos desenvolveram atividades ligadas à
Geometria Esférica, localizando retas, circunferências, ângulos e
triângulos sobre a esfera. Partiu-se da elaboração de atividades que
poderiam proporcionar aos educandos a compreensão de conceitos de
Geometria Esférica que, mais tarde, poderão ser utilizados no estudo
das linhas de referência do Globo Terrestre.
• Na segunda etapa, a seqüência foi desenvolvida com o auxilio do Globo
Terrestre, momento da busca de conexões da Geometria Esférica com o
estudo do Globo Terrestre. Ainda nesta etapa foram propostas
atividades com o intuito de desenvolver o conceito de projeção
cartográfica, especificamente a projeção cilíndrica. Os alunos receberam
uma esfera de arame, vela e cartolina.
61
• Na terceira e última etapa, foi utilizado o Atlas Geográfico, onde foram
propostas, buscando relacionar as linhas do globo com as do mapa, as
idéias de fuso horário e de escala.
Ao elaborar-se a seqüência partiu-se do referencial teórico, do estudo
histórico apresentado e da idéia de rede, apresentada por Nunes (2000) “A
idéia de rede, utilizada com o propósito de articular disciplinas do currículo, traz
novas possibilidades para projetos interdisciplinares” e por Oliveira (2005) “Os
conceitos não são entidades isoladas, mas elementos de um sistema complexo
de inter-relações. (...) Os conceitos não se encontram isolados na mente do
sujeito, mas sim organizados em algum tipo de todo estruturado, uma espécie
de rede de significados, em que há relações entre os elementos”
As atividades procuraram favorecer a construção do conhecimento. Na
teoria de Vergnaud, um dos eixos teóricos deste trabalho, os conceitos se
desenvolvem por meio de resolução de problemas, do reconhecimento da
existência de um campo conceitual ligado ao estudo da geografia e de
situações a-didáticas, contribuindo para que o aluno desenvolva esquemas de
ação e privilegiando a observação e reflexão em dupla. Planejou-se dar tempo
para que os alunos discutissem e elaborassem suas próprias conclusões.
Os conceitos não são entidades independentes dentro do
funcionamento psicológico, mas formam parte de um todo complexo,
no qual os elementos se relacionam entre si, de maneira constante e
dinâmica, produzindo permanentemente o psiquismo humano, com
formas de pensamento heterogêneas, que convivem no interior de um
mesmo sujeito. (VYGOTSKY APUD OLIVEIRA, 1992)
3.2.1. QUESTÃO DE PESQUISA
No atual estudo, houve a preocupação com o modo como poderiam ser
trabalhados os conceitos da Geometria Esférica de modo a traçar-se uma
ponte com a geografia.
62
A pergunta que norteou o trabalho foi:
“Uma introdução à Geometria Esférica pode favorecer o estudo da
Geografia do Globo Terrestre e em particular o estudo de mapas?”.
Para responder a esta questão, pretende-se desenvolver uma seqüência
de ensino que trabalhe conceitos de geometria esférica e que serão utilizados
para auxiliar na compreensão de conceitos geográficos. Serão utilizados alguns
elementos da metodologia de pesquisa intitulada Engenharia Didática de
Michèle Artigue.
3.2.2 PROCEDIMENTOS
Para responder a questão de pesquisa foi utilizada a Engenharia Didática,
que emergiu em didática da matemática no início da década de 80 e trata da
elaboração de situações de pesquisa.
Artigue (1989) apresenta o trabalho da Engenharia Didática comparando-
o com o trabalho do engenheiro. Ao realizar um projeto, apoiando-se sobre o
conhecimento científico de seu domínio, o engenheiro, assim como o professor
ou pesquisador da Engenharia Didática, aceita a submeter-se a um controle
científico, e ao mesmo tempo encontra-se obrigado a trabalhar sobre objetos
menos precisos que os científicos. O trabalho do professor, ao elaborar ou
escolher uma seqüência de ensino, deve levar em conta de forma integrada: o
domínio do conhecimento, o conhecimento prévio do aluno, o papel do
professor e dos seus alunos.
Colocar o problema da engenharia didática é colocar, relacionando-o
com o desenvolvimento atual e futuro da didática da matemática, o
63
problema da ação e dos meios da ação sobre o sistema de ensino.
(CHEVALLARD apud ARTIGUE, 1988, p. 194 )
O processo envolve: uma análise da situação proposta, das condições da
organização, da escolha de estratégias baseadas nas análises da instrução
dada, da determinação de critérios de avaliação, da elaboração de questões
que estejam de acordo com os critérios determinados e uma revisão de todo
processo em função desta avaliação.
No que se refere à escolha e planejamento da seqüência de ensino deste
estudo, compartilha-se de questões levantadas por Artigue (1989), ao tratar da
engenharia didática destacando a importância da realização de um projeto que
possua um referencial teórico adequado, permitindo a realização de uma
prática que seja submetida a um controle sistemático, preservando as
características de uma atividade científica.
Para uma maior sistematização durante a aplicação da seqüência,
procurar-se-á percorrer as quatro fases da engenharia didática, proposta por
Artigue (1989): a fase 1 das análises prévias, a fase 2 da concepção e da
análise a priori das situações didáticas, a fase 3 da experimentação e, por fim a
fase 4 da análise a posteriori e da avaliação.
Análises Prévias
A fase da concepção efetua-se num quadro teórico didático geral, em
conhecimentos didáticos já adquiridos, nas análises preliminares que
envolvem a análise epistemológica dos conteúdos que se pretende trabalhar e
no estudo sobre os processos educacionais desenvolvidos em classe (o meio,
os instrumentos, a mediação do professor). Neste processo pretende-se dar
subsídios ao desenvolvimento da análise a priori, tendo em conta os objetivos
específicos da investigação.
64
Concepção e Análise a priori
Esta fase consiste na preparação de seqüências de ensino e do esquema
experimental, para a ação em classe.
A análise a priori objetiva determinar de que forma as escolhas efetuadas
permitem controlar os comportamentos dos alunos e o sentido desses
comportamentos. Ela contém uma parte descritiva e uma parte preditiva. Trata-
se de uma análise matemática das atividades.
Experimentação
É a fase da organização, aplicação e coleta de dados da seqüência de
ensino.
Os dados obtidos podem ser completados por outros através de
metodologias externas: questionários, testes individuais ou em pequenos
grupos, realizados em diversos momentos do ensino ou no final.
Análise a posteriori e Validação
É nesta fase que ocorre a interpretação dos resultados da
experimentação, seu objetivo é oferecer um feedback para o desenvolvimento
de uma nova análise a priori e uma nova experimentação, concebendo o
desenvolvimento das atividades como uma atualização dos processos em
questão.
É no confronto entre as análises a priori e a posteriori que se funda
essencialmente a validação das hipóteses envolvidas na investigação, a
validação é essencialmente interna.
65
3.2.3. ORGANIZAÇÃO DA EXPERIMENTAÇÃO
Elaboraram-se as atividades procurando conectar a Geometria Esférica
com o estudo do Globo Terrestre e sua representação no plano, visando
motivar a criação de significados das linhas traçadas sobre a esfera, que
representa a Terra, e a utilização dos fusos horários, bem como da distância de
um ponto a outro sobre o mapa e do uso de escalas na confecção dos
mesmos.
Iniciou-se com questões que eram totalmente desconhecidas dos alunos,
como: “O que seria uma reta sobre a esfera?”
A seqüência foi dividida em três partes. Na primeira os alunos
manipularam materiais concretos, bolas de isopor, linhas e alfinetes, para que
compreendessem a idéia de reta sobre a esfera, objetivando a mobilização de
alguns conceitos para a construção de significados para as linhas do Equador ,
dos Meridianos e dos Paralelos Terrestres, bem como a idéia de retas
perpendiculares sobre o globo, que é o caso dos Meridianos e seus
antimeridianos e da linha do Equador, os quais foram trabalhados na segunda
parte.
Na segunda parte também foi trabalhada a idéia de planificação do Globo
Terrestre através da projeção cilíndrica. Aqui também foram utilizados materiais
concretos, tais como esfera de arame, vela, cartolina. Os alunos colocaram a
cartolina em volta da esfera, formando um cilindro, projetaram as linhas da
esfera de arame sobre a mesma e puderam observar como se comportam
estas linhas ao serem projetadas, a partir do centro sobre o cilindro. Os alunos
puderam observar, também, a projeção de figuras geométricas colocadas
sobre a esfera e projetadas sobre o cilindro.
Na terceira parte, utilizando o Atlas geográfico, os alunos resolveram
atividades que utilizavam conceitos de localização, partindo das coordenadas
geográficas, fuso horário e escala de mapas.
66
3.2.4. COLETA DOS DADOS
Os alunos receberam folhas com as atividades e, durante o
desenvolvimento das mesmas, foram convidados a lerem textos relacionados
ao assunto. Os textos foram apresentados em documentos do Word, em CD-
Rom e cada dupla teve acesso a um micro.
Os textos tinham por objetivo fazer a institucionalização das atividades e
apresentar subsídios para que os alunos desenvolvessem as atividades
subseqüentes. Entendeu-se que seria interessante apresentar questões que
seriam depois respondidas através de textos que os alunos receberiam em CD
para leitura no computador, tendo em vista a qualidade das figuras e a
facilidade de manipulação.
Procurou-se incluir as atividades de modo a favorecer a construção do
conhecimento, evitando expor conceitos sem propiciar ao menos a validação
local dos mesmos.
Para o desenvolvimento das atividades, iniciou-se com a manipulação de
objetos (bolas de isopor, linhas e alfinetes), Cada dupla recebeu uma bola de
isopor, linha e alfinetes e caso as duplas solicitassem, tinha-se disponíveis:
laranja, fita métrica, régua e transferidor.
Os alunos foram distribuídos em 7 duplas, aleatoriamente, e, para
acompanhamento das duplas, a pesquisadora contou com o apoio de seis
professores de matemática da EE Sidrônia Nunes Pires, sendo que houve um
revezamento entre os mesmos, tendo três observadores presentes a cada
encontro. Cada observador recebeu um roteiro a cada etapa (anexo de IX a
XI), para acompanhar o desenvolvimento das atividades. Foram observadas
três duplas. Foi efetuada a filmagem dos três encontros, procurando registrar o
trabalho de todas as duplas, sem privilegiar nenhuma.
As três duplas observadas foram fixadas aleatoriamente, sendo
posteriormente nomeadas de A, B e C, além dos observadores as duplas A e B
contaram com gravadores. As duplas que não estavam sendo observadas
67
foram nomeadas de D, E, F e G. A opção de nomeá-las por letras foi para
facilitar a análise.
A seqüência de ensino foi aplicada no formato de um curso, em que
previam-se três encontros de três horas cada, com um intervalo de 15 minutos.
No primeiro encontro o trabalho com a esfera, no segundo com o Globo
Terrestre e no terceiro com o mapa.
No primeiro encontro as duplas foram acomodadas por micro, ficando as
duplas que seriam observadas distantes uma das outras. Um dos
computadores que seria utilizado apresentou problema, então uma
observadora foi, com uma dupla, utilizar o computador da sala da coordenação,
ficando no laboratório apenas seis duplas, duas acompanhadas pelos
observadores.
A primeira etapa, com 4 atividades, correu dentro do cronograma, os
alunos conseguiram desenvolver todas as atividades. Estava prevista também
para esta etapa uma avaliação diagnóstica, mas ao concluir-se as atividades
propostas para esta etapa, achou-se que seria melhor deixar a atividade
diagnóstica (anexo XII) para o próximo encontro, servindo então para resgatar
alguns pontos deste encontro, inclusive por ter sido observado que alguns
conceitos não ficaram claros.
No segundo encontro as duplas se mantiveram, porém a dupla que foi
nomeada E não compareceu. As atividades foram desenvolvidas com apenas 6
duplas. As duplas A, B e C continuaram a ser observadas e as duplas A e B
contaram também com gravador.
As duplas foram acomodadas em carteiras, dispostas em forma de círculo
na sala, sobre as quais foram colocados os Globos Terrestres. Cada dupla
recebeu um globo e, à medida que todos concluíam a atividade, fazia-se a
socialização das respostas. Quando a atividade exigiu a leitura do texto, as
duplas iam até o computador, retornando para as carteiras.
Antes do desenvolvimento das atividades da parte II os alunos receberam
a avaliação diagnóstica, após a resolução, as respostas foram socializadas,
68
havendo a necessidade da intervenção, por parte da pesquisadora, para
elucidação de alguns pontos os quais serão tratados posteriormente.
Por haver um atraso no horário previsto para o encerramento das
atividades, não foi possível concluir todas as atividades propostas para este
encontro, ficando as atividades 4 e 5, onde se trabalhava a idéia de projeção
cilíndrica, para o próximo encontro.
No terceiro encontro, voltou-se à disposição de círculos das carteiras,
tendo em vista o trabalho com o mapa e o pouco espaço na bancada do
computador, mas, por sugestão dos alunos, as carteiras foram colocadas
próximas ao computador, para facilitar o acesso aos textos. Neste dia faltaram
os alunos da dupla G e uma aluna da dupla E. Uma aluna da dupla D chegou
após o desenvolvimento das atividades da parte II que tivemos que transferir
para este encontro. Montou-se uma nova dupla com uma aluna da dupla D e
um aluno da dupla E que foi nomeada de D*. A aluna da dupla D que chegou
atrasada resolveu as atividades sozinha.
As atividades da parte III foram desenvolvidas após a conclusão da parte
II, teve-se que avançar no horário para conseguir terminar todas as atividades.
As atividades foram concluídas por volta das 13 horas.
As fotos que acompanharão a análise, foram resgatadas a partir da
filmagem das atividades.
3.3. MATERIAL
Os instrumentos utilizados neste estudo foram uma seqüência de ensino,
roteiros para os observadores, gravação das discussões de duas duplas e a
filmagem das atividades.
A seqüência de ensino, composta de 12 atividades, divididas em três
partes, foi aplicada para as duplas e ao término de cada atividade, após as
discussões cabíveis, os alunos entregavam as folhas com as respostas.
Os roteiros para os observadores (anexos de IX a XI e XIII), foram
entregues aos professores dias antes da aplicação da seqüência, para que os
69
mesmos pudessem se familiarizar com as questões, e foram recolhidos após a
conclusão das atividades. Foram observadas três duplas, as quais foram
nomeadas de (A), (B) e (C).
As duplas que contaram com gravador durante a realização da seqüência
foram as duplas nomeadas de (A) e (B).
A filmagem das atividades teve como objetivos registrar possíveis diálogos
durante a socialização das respostas e resgatar fotos do desenvolvimento das
atividades, tendo em vista que foi utilizada uma câmera digital.
Para o desenvolvimento das atividades da seqüência, foram utilizados
materiais concretos: bolas de isopor, alfinetes, linhas, régua, transferidor,
esfera de arame, velas, cartolinas, Globos Terrestres, Atlas geográficos,
computador e textos em CD-rom (anexos de I a VIII).
3.4. ANÁLISE A PRIORI.
Uma análise a priori das atividades propostas foi feita com o objetivo de
antecipar a linha de raciocínio necessário para a resolução das atividades.
Nessa análise procura-se dizer qual é o objetivo da atividade, quais as
possíveis estratégias dos alunos, quais as dificuldades que os alunos poderão
ter, quais os pré-requisitos para progredir na resolução das atividades e caso
haja bloqueio do aluno na resolução quais providências o pesquisador deverá
tomar para que o aluno progrida na resolução da mesma.
Para a realização da análise a pesquisadora colocou-se no lugar do aluno,
pensando em quais seriam suas principais dificuldades com relação aos
conteúdos propostos e os saberes mobilizados pelas atividades. Contou-se
também, com o auxílio do Lucas, aluno da 8ª série, com 14 anos, o qual
auxiliou resolvendo, sozinho, todas as atividades que serão apresentadas.
As atividades serão analisadas, uma a uma, na ordem em que serão
aplicadas.
70
Os observadores serão orientados para que não interfiram na resolução
das atividades, salvo em alguns momentos em que, no roteiro do observador
(anexos de IX a XI e XIII) é dada abertura para intervenção, sem deixar de
anotar tal fato. Caso o pesquisador tenha que interferir em alguma atividade, os
observadores também serão orientados para que anotem a intervenção.
PARTE I – A ESFERA
A parte I é dividida em 4 atividades sendo que a primeira contém 2
questões, a segunda, 3 questões, a terceira, 4 questões e a quarta 4 questões.
Estas atividades deverão ser desenvolvidas no primeiro encontro e
direcionadas com a manipulação do material concreto (bola de isopor, linha e
alfinetes).
As duplas irão receber as atividades em folhas individuais, na ordem em
que aparecem nesta análise, distribuídas de modo a fornecer espaço para que
escrevam suas conclusões.
Nesta análise, cada quadro constitui uma atividade.
ATIVIDADE 1
1) Se resolvêssemos “fatiar” a esfera, que figuras encontraríamos?
2) O que seria uma reta na superfície da esfera? (coloque 2 pontos
representados por alfinetes e trace a “reta” com a linha)
Os itens 1 e 2 têm por objetivo definir reta na superfície esférica, de modo
que o aluno perceba que existem círculos de vários diâmetros, mas que a reta
será a circunferência máxima (o círculo que divide a esfera em duas metades
“iguais”).
Ao perguntar para os alunos, no item 1, o que encontraríamos se
fatiássemos a esfera, espera-se que eles consigam “enxergar” que serão
diversos círculos, mas os alunos serão deixados livres para decidir sobre a
estratégia para resolução do problema. Serão disponibilizadas laranjas e facas
71
para que, caso não cheguem a resposta, apenas por abstração, o pesquisador
ou os observadores sugiram o uso dos mesmos.
No item 2, acredita-se que dificilmente os alunos associarão reta com a
circunferência máxima, mas pode ocorrer que alguns respondam reta na
superfície esférica como sendo as circunferências máximas, para tanto os
alunos terão em mãos bolas de isopor, alfinetes e linha ou ainda que
respondam que é a circunferência que divide a esfera ao meio.
Concluída esta atividade, os alunos serão convidados a ler o texto 1 do
CD (ver anexo I), onde são definidos círculos, círculos máximos, retas, arcos e
segmentos sobre a superfície esférica.
ATIVIDADE 2
1) Marque um ponto sobre a esfera.
a) Quantas “retas” vocês podem traçar passando por esse ponto?
b) Na bola de isopor tracem uma dessas retas.
2) Duas retas são chamadas concorrentes quando estão num mesmo plano e
possuem um ponto em comum.
a) Na superfície esférica existem retas concorrentes?
b) Se existirem, na bola de isopor, trace duas retas concorrentes.
3) Duas retas são paralelas se estão num mesmo plano e não possuem
nenhum ponto em comum.
a) Na superfície esférica existem retas paralelas?
b) Se existirem, na bola de isopor, trace duas retas paralelas.
O objetivo desta atividade é a ruptura com a geometria Euclidiana, mostrar
que não existem retas paralelas na geometria esférica. Com estas questões
pretende-se verificar se os alunos percebem que, tendo como plano a
superfície da esfera e como retas as circunferências máximas, a idéia de
paralelismo é abandonada.
No item “a” da questão 1, espera-se que os alunos respondam infinitas
retas (ou mesmo “muitas”), sem dificuldade para visualizar tal fato, tendo em
vista que na Geometria Plana eles tiveram contato com o postulado “por um
72
ponto passam infinitas retas”. Quando é solicitado (em b) que tracem uma
delas, espera-se que tracem uma circunferência máxima sobre a esfera. Com
esta atividade, busca-se um feedback, para confirmar se a idéia de reta sobre a
esfera foi compreendida, de modo a certificar-se de que não estão pensando
em circunferências menores sobre a esfera.
No item “a” da questão 2, espera-se que respondam com tranqüilidade
que todas as retas se encontram (se cruzam). No item b, é solicitado que
tracem duas delas de modo a verificar se estão com o conceito correto.
No item “a” da questão 3, espera-se que os alunos percebam que não
existem retas paralelas, pois, sobre a esfera todas as retas irão se encontrar. É
provável que tenham dificuldade em aceitar tal fato, haja vista que vai contra os
conceitos já formados em relação ao paralelismo entre retas.
Ao concluírem esta atividade os alunos serão convidados a ler o texto 2
do CD (ver anexo II), onde se encontra um breve relato sobre a criação das
geometrias Não-euclidianas e a institucionalização das questões anteriores,
onde procura-se chamar a atenção para a não existência de retas paralelas
sobre a esfera.
ATIVIDADE 3
1) Tomando dois pontos sobre a superfície esférica, como você determinaria a
distância entre eles? Qual a unidade de medida que você usaria para medir
essa distância?
2) Na superfície esférica que você possui, faça o esboço de duas retas
(circunferências máximas).
a) Quantos são os pontos de intersecção entre duas retas? Quantos são os
arcos determinados por esses pontos?
b) Você identifica algum ângulo na figura que você fez na superfície
esférica? Quantos?
c) Qual a unidade de medida que você pode utilizar para medir a abertura
de um ângulo esférico? Você conhece algum instrumento que poderia
auxiliar para obter a medida do ângulo esférico?
3) Marque, sobre a bola de isopor, 2 pontos que pertençam a um mesmo
diâmetro. Qual a distância entre estes dois pontos em graus? (lembre-se, uma
circunferência inteira mede 360º).
73
4) Na bola de isopor, coloque dois alfinetes de modo que a distância entre eles
seja de 60º. Justifique.
O objetivo desta atividade é que os alunos percebam que sobre a
superfície esférica a unidade de medida usual para determinar distâncias é o
grau além do reconhecimento do ângulo esférico. Com esta atividade procura-
se dar significado à medida da distância em graus para que, mais tarde, no
estudo do Globo Terrestre, seja utilizada no estudo da latitude e longitude.
Na questão 1, espera-se que os alunos respondam que para determinar a
distância entre os pontos utilizamos o centímetro, mas como já têm um
conhecimento anterior sobre a medida da circunferência em graus, pode
ocorrer que alguns respondam que podemos determinar a distância entre dois
pontos em graus, como uma fração da circunferência máxima.
O ideal seria, que se utilizasse uma régua esférica, ou que se construísse
uma com os alunos, mas objetivando não estender demais as atividades optou-
se pela não construção da régua esférica.
No item “a” da questão 2, espera-se que respondam que são dois os
pontos de intersecção e que esses pontos determinam quatro arcos. No item b,
espera-se que não tenham dificuldade em visualizar os ângulos entre as retas
e que cada ponto de intersecção determinam 4 ângulos, num total de 8
ângulos. No item c, espera-se que respondam que a medida angular é
determinada em graus e que se pode utilizar o transferidor para determinar a
medida do ângulo.
Na questão 3, espera-se que, caso os alunos não tenham respondido que
as distâncias sobre a esfera são medidas em graus, com o enunciado,
percebam tal fato. Espera-se também, que consigam através de uma regra de
três simples, determinar a distância entre dois pontos na unidade pedida após
medir com a linha ou com a fita métrica a medida da circunferência máxima da
bola de isopor.
74
Na questão 4, espera-se que, novamente, utilizando a regra de três, eles
relacionem a medida da circunferência máxima e desta forma determinem o
comprimento em cm de um arco de 60 graus na bola de isopor. Outra
estratégia esperada, é que ao observar que a distância entre dois pontos
diametralmente opostos é de 180 graus, eles dividam este arco em 3 de
mesma medida.
Ao fim desta atividade, os alunos serão convidados a efetuar a leitura do
texto 3 (ver anexo III) e discutir sobre as atividades anteriores. O texto define a
distância entre dois pontos sobre a superfície esférica, apresentando um
exemplo, onde foi utilizada a regra de três e define ângulo esférico.
ATIVIDADE 4
1) Na superfície esférica, marque três pontos, distintos e não alinhados, A, B e
C e trace os segmentos menores AB, AC e BC.
a) Descrevam a figura encontrada.
b) Que nome vocês dariam a essa figura?
2) Na superfície esférica, marque três pontos distintos e não alinhados A, B e
C. Trace as retas que passam por AB, por AC e por BC. Quantos triângulos
ficaram determinados pelas três circunferências máximas?
3) Marque dois pontos em uma reta (circunferência máxima), de tal forma que a
circunferência fique dividida em dois arcos de mesma medida.
a) Qual a medida em graus de um ponto ao outro?
b) Trace uma reta perpendicular (ângulo de 90º) à reta que vocês
encontraram. O que vocês observam?
4) Marque dois pontos, diametralmente opostos, sobre a superfície da esfera.
Trace duas retas, que passam por estes pontos, de tal forma que a esfera fique
dividida em quatro “partes iguais”. Encontre uma reta que seja perpendicular às
retas anteriores.
a) Em quantas partes a esfera ficou dividida? Que figuras representam
estas “partes”?
b) O que podemos observar em relação aos ângulos da figura?
c) Qual o comprimento (em graus) dos segmentos que formam o lado do
triângulo?
75
O objetivo desta atividade, é que os alunos percebam a existência de
triângulos esféricos e que, ao trabalharem com os pólos, construam a idéia de
reta polar (ou Equador como veremos no estudo do globo).
Na questão 1, espera-se que os alunos unam dois a dois os pontos e
observem que a figura encontrada é um triângulo.
Na questão 2, espera-se que observem que, ao traçarem as retas, são
encontrados oito triângulos, porém pode ocorrer que os alunos ao responderem
a questão 1, ao invés de traçarem segmentos, tracem as retas que passam
pelos pontos dois a dois, e que com apenas uma estratégia respondam as
duas questões.
Na questão 3, espera-se que percebam que dois pontos diametralmente
opostos, determinam arcos com 180º cada e que, ao marcar os pontos que
dividem estes arcos, em arcos de 90º, podem traçar por eles uma reta
perpendicular à reta anterior. (Fig 3.1)
Figura 3.1
Os alunos podem observar ainda que a esfera ficará dividida em 4
partes “iguais”. (Fig 3.2)
Figura 3.2
76
Espera-se que os alunos resolvam esta atividade sem dificuldades, caso
haja necessidade, os observadores serão autorizados a interferir, não deixando
de anotar tal fato.
Na questão 4, se os alunos perceberam que a esfera ficou dividida em 4
partes iguais, podem, a partir da configuração anterior, completar a atividade,
traçando uma reta perpendicular às retas anteriores. Caso contrário, espera-se
que tracem as retas sobre a bola de isopor, de modo a obter uma configuração
como a da figura abaixo
. (Fig 3.3)
Figura 3.3
Espera-se, ainda, que os alunos resolvam as atividades sem dificuldade,
haja vista que terão em mãos a bola de isopor para manipulação.
No item “a” espera-se que percebam que a esfera ficou dividida em 8
triângulos “iguais”. No item “b” espera-se que observem as relações entre os
ângulos do triângulo e que concluam que os mesmos medem 90º cada e; no
item “c”, quando questionados quanto ao comprimento dos segmentos que
formam os lados do triângulo, espera-se que percebam que os ângulos e lados
do triângulo medem 90 graus. O que pode causar um certo “desconforto”,
devido ao conhecimento anterior da geometria plana.
Será solicitado, que leiam o texto 4 (ver anexo IV) e discutam as suas
respostas.
O texto 4 define triângulo esférico, reta polar e pólos da circunferência.
Apresenta uma classificação dos triângulos esféricos, quanto ao número de
ângulos retos e número de lados medindo 90º. O texto, ainda chama a
atenção, para o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo, na
geometria esférica, ultrapassa 180º.
77
Após a leitura e discussão do texto 4, será aplicada uma atividade,
(anexo XIII) que fornecerá elementos para a institucionalização e avaliação do
que foi apreendido nesta primeira etapa.
PARTE II – O GLOBO TERRESTRE
A parte II é dividida em 3 atividades, sendo que a primeira apresenta 2
questões, a segunda 5 e a terceira 5. Para o desenvolvimento das atividades 1,
2 e 3, cada dupla irá receber um Globo Terrestre. No final de cada atividade,
serão socializadas as respostas, de modo a elucidar possíveis dúvidas.
Somente após a socialização das respostas as duplas receberão a folha da
atividade seguinte, para, desta forma, ser possível avançar com todas as
duplas simultaneamente, no desenvolvimento das atividades.
ATIVIDADE 1
1) “Podemos observar, que o dia se sucede a noite e que a noite se sucede ao
dia. Vemos o Sol nascer, percorrer o céu e iluminar-nos. Mas, ao fim do dia ele
desaparece no horizonte. Então, surgem as estrelas e a Lua, nascendo e
desaparecendo para de novo dar lugar ao Sol.”
Como vocês justificariam esta afirmação?
2) Um Astronauta, em uma missão, olhou para o céu da Lua e viu a Terra. Ele
viu que a Terra era azulada, redonda, enorme (umas 4 vezes maior do que
vemos a Lua aqui da Terra) e que flutuava no espaço, tal qual vemos a Lua
flutuando no espaço. Imagine que o Astronauta tivesse levado um telescópio
com ele. Para quem não sabe, telescópio é um aparelho usado pelos
astrônomos para ver as coisas que estão muito longe. Imagine que o
astronauta tivesse olhado para a Terra com o telescópio e que ele tivesse visto
4 pessoas.
Uma estava no pólo norte (ponto A na figura abaixo). Outra estava no pólo sul
(ponto C na figura abaixo). Uma terceira, um brasileiro (ponto D na figura
abaixo). E a quarta, um japonês (ponto B na figura abaixo, pois o Japão fica do
outro lado da Terra, em relação ao Brasil).
Imagine que a figura abaixo é um esboço do Globo Terrestre. Desenhe o
boneco abaixo, sobre cada um dos pontos A, B, C e D, tal como o astronauta
teria visto as quatro pessoas. (O boneco está muito magrinho e está fora de
escala em relação à Terra)
Questão adaptada da V Olimpíada
Brasileira de Astronomia – V OBA – 2002
78
O objetivo desta atividade é verificar o conhecimento dos alunos em
relação ao Globo Terrestre e ao movimento de rotação da terra.
Na questão 1, espera-se que os alunos respondam que é devido ao
movimento de rotação da Terra ou simplesmente porque a terra gira.
Na questão 2, espera-se que os alunos coloquem os bonecos sobre cada
ponto, de modo que os “pés” dos bonecos toquem os pontos. Acredita-se que
os alunos tenham esta noção anterior.
Antes de iniciarem a próxima atividade, os alunos serão convidados a ler o
texto 1 do CD (anexo V)
ATIVIDADE 2
1) Observando o Globo Terrestre, identifiquem que tipos de circunferências
vocês vêem na superfície do Globo Terrestre.
2) O Globo Terrestre possui um eixo de rotação. Como se chamam os pontos,
onde o eixo de rotação corta o Globo Terrestre?
3) Observem que pelos pólos do globo, passam várias circunferências
máximas. Qual o nome dessas circunferências?
4) Se duas circunferências máximas, passam pelos pólos, que circunferência
máxima é perpendicular a ambas? Qual o nome dado a essa circunferência?
5) Quais das circunferências são denominadas Paralelos Terrestres?
79
O objetivo desta atividade é relacionar os conhecimentos adquiridos na
parte I, no estudo da esfera, com o Globo Terrestre. Localizar e definir pólos
terrestres. Identificar e definir o Equador, os meridianos e os paralelos
terrestres e observar as relações que os alunos fazem com as retas da
geometria esférica (circunferências máximas), bem como os círculos menores
e as distâncias medidas em graus.
Espera-se que os alunos mobilizem conhecimentos de conceitos
geográficos, tais como pólos terrestres, Equador, meridianos, paralelos e
alguns conceitos trabalhados na parte I desta seqüência: circunferências
máximas, círculos menores, semicircunferências, arcos, distância, ângulos...
Espera-se ainda que conceituem meridiano como a circunferência que
passa pelos pólos, e não uma semicircunferência, como é o conceito
geográfico de meridiano, mas no momento da socialização a pesquisadora
procurará discutir a idéia de meridiano e antimeridiano.
Na questão 1, espera-se que os alunos respondam que as circunferências
marcadas sobre o globo, são circunferências máximas (ou retas da geometria
esférica) e circunferências menores, fazendo alusão ao encontro anterior onde
foram trabalhados alguns conceitos geométricos sobre a esfera.
Na questão 2, espera-se que identifiquem os pólos como pontos de
intersecção do eixo de rotação com o globo e ainda que os alunos observem o
fato dos pólos serem pontos diametralmente opostos.
Na questão 3, espera-se que identifiquem as circunferências que passam
pelos pólos, como sendo os meridianos pois é possível que tenham em algum
momento, nas aulas de geografia, explorado o tema.
Na questão 4, espera-se que identifiquem o Equador como reta
perpendicular aos meridianos, lembrando que no encontro anterior, foram
traçadas retas sobre a esfera e retas perpendiculares.
Na questão 5, espera-se que identifiquem os círculos menores, como
paralelos terrestres. Pode acontecer que observem ainda, que os círculos que
representam os paralelos, são círculos menores paralelos ao Equador.
80
ATIVIDADE 3
1) Localizem no Globo Terrestre os hemisférios Norte e Sul e as marcas da
latitude e da longitude em graus.
2) Observando um Globo Terrestre, determinem as coordenadas geográficas
de cada uma das cidades da tabela abaixo:
Não se esqueçam, é necessário informar se a latitude é Norte (N) ou Sul (S) e
se a longitude é Leste (L) ou Oeste (O)
Cidade Latitude Longitude
São Paulo
Maceió
Belo Horizonte
Roma
Nova York
Buenos Aires
Londres
Tóquio
Cidade do México
3) Qual a latitude e a longitude do lugar onde vocês moram?
4) Localizem no Globo Terrestre os trópicos de Câncer e Capricórnio, assim
como os círculos polares Ártico e Antártico e completem a tabela anotando a
latitude de cada linha.
Linha de referência Latitude
Trópico de Câncer
Trópico de Capricórnio
Equador
Círculo Polar Ártico
Circulo Polar Antártico
5) Se você estiver exatamente na metade da distância entre o Equador e o pólo
Norte e a leste do meridiano de Greenwich, na sexta parte do comprimento em
graus da linha do Equador, a que latitude e longitude você se encontrará?
Questão retirada de LUCCI, E. A.
Geografia – O homem no espaço global, Ed. Saraiva, 1999. p.305
O objetivo desta atividade é desenvolver o conceito de latitude e
longitude, tendo como base a distância entre dois pontos, discutida na parte I,
medida em graus.
81
Será trabalhada a idéia da localização de um ponto sobre o globo, por
meio de suas coordenadas geográficas, sem fazer referência às coordenadas
de um ponto sobre o plano cartesiano, pois em matemática, ainda não foi
trabalhado este conceito.
Na questão 1, espera-se que os alunos não tenham dificuldades em
localizar os dois hemisférios e as marcas das latitudes e longitudes.
Na questão 2, espera-se que determinem as latitudes e longitudes sem
grandes problemas.
Na questão 3, bastará copiar as coordenadas do estado de São Paulo da
questão anterior, espera-se que os alunos percebam isto.
Na questão 4, espera-se que localizem as linhas de referência sem
dificuldade, suas latitudes e observem que os dois trópicos têm a mesma
distância do Equador o que ocorre também com os dois círculos polares.
Na questão 5, espera-se que utilizem o fato de que a distância entre o
Equador e os pólos é de 90º, que a latitude é de 45º e para determinar a
longitude que o Equador é uma circunferência máxima, logo com 360º, então a
sexta parte é de 60º, além de observarem a informação de que o ponto
encontra-se a leste do meridiano de Greenwich.
ATIVIDADE 4
1) Imagine, se colocássemos em volta da
esfera uma cartolina e projetássemos, a
partir do centro da esfera, as linhas que
representam o Equador, os meridianos, os
trópicos e os círculos polares. Como essas
linhas seriam projetadas sobre a cartolina?
82
2) Como ficaria a projeção dos triângulos, que estão sobre as esferas abaixo, no
plano, ao projetarmos a partir do centro da esfera sobre a cartolina?
a)
b)
c)
O objetivo desta atividade, é observar se os alunos têm idéia da
planificação do globo, a partir da projeção cilíndrica e das deformações que
ocorrerem à medida que nos afastamos do Equador.
Para responder às questões 1 e 2 os alunos irão se valer apenas da
abstração, não dispondo de material concreto e não devendo haver
interferência por parte da pesquisadora ou dos observadores.
Na questão 1, espera-se que encontrem linhas verticais (representando os
meridianos) e horizontais (representando o Equador, os trópicos e os círculos
polares). Espera-se ainda, por terem tido acesso a mapas-múndi nas aulas de
geografia, que representem as linhas horizontais retas e os meridianos curvos.
Na questão 2, se na atividade anterior os alunos tiverem encontrado linhas
verticais e horizontais, espera-se que desenhem os triângulos sobre as linhas,
e que em “c” o triângulo sofra deformações maiores do que em “a”.
83
Caso tenham imaginado, na atividade anterior, as linhas horizontais retas
e os meridianos curvos, espera-se que desenhem os triângulos acompanhando
as linhas de sua “planificação”, encontrando assim, triângulos menores.
ATIVIDADE 5
1) Utilizando a esfera de arame vamos projetar a esfera sobre um cilindro de
cartolina utilizando uma vela no centro.
O que vocês observaram?
Como vocês planificariam agora a esfera?
Vocês haviam imaginado, na atividade anterior, as
linhas como na projeção observada na
experiência?
2) Coloque sobre a esfera de arame as figuras geométricas e observe a
projeção sobre o cilindro.
Registrem as suas observações.
Esta atividade, tem por objetivo, mostrar um dos modelos de projeções
cartográficas, a projeção cilíndrica, e as deformações que ocorrerem à medida
que nos afastamos do Equador. Para auxiliar na observação, cada dupla irá
receber uma esfera de arame, uma vela, um suporte para a esfera (parte
superior de uma garrafa de refrigerante PET) e uma cartolina.
Os alunos serão instruídos a colocarem a chama da vela no centro da
esfera de arame e com a cartolina, em forma de cilindro, observar a projeção
das linhas sobre a cartolina.
Na questão 1, espera-se que observem as linhas verticais e horizontais e
caso não tenham observado tal fato na atividade 1, possam, desta forma,
adquirir este conceito.
84
Para responder a questão 2, os alunos receberão triângulos, quadrados e
retângulos em EVA. Serão orientados a colocá-los sobre a esfera, partindo do
Equador em direção aos pólos e a observarem o que acontece.
Espera-se que observem, que quanto mais afastadas da linha que
representa o Equador, maior a deformação das figuras.
Após concluírem esta atividade, os alunos serão convidados a ler o texto 2
do CD (ver anexo VI).
O texto fala sobre as projeções cartográficas e apresenta as projeções
cilíndrica, cônica e azimutal.
Parte III – O MAPA
A parte III é dividida em 3 atividades sendo que a primeira e a segunda
contêm seis questões cada e a terceira duas.
Para o desenvolvimento das atividades desta etapa cada dupla receberá
um Atlas Geográfico Escolar (IBGE, 2002) e uma régua.
ATIVIDADE 1
1) No Atlas (pág 38), observem o mapa-múndi, localizem o Equador, o Trópico
de Capricórnio, o Trópico de Câncer, os círculos polares: Ártico e Antártico.
2) Localize no Atlas um país cortado por cada linha de referência da tabela:
Linha de Referência País
Círculo Polar Ártico
Trópico de Câncer
Equador
Trópico de Capricórnio
No País escolhido na tabela acima, localize uma cidade próxima à linha de
referencia e indique sua latitude (N ou S) e longitude (L ou O) utilizando o mapa
político por continente.
85
Linha de Referência País Cidade Longitude Latitude
Círculo Polar Ártico
Trópico de Câncer
Equador
Trópico de Capricórnio
3) Indiquem três países localizados no hemisfério Norte.
4) Indiquem três países localizados no hemisfério Sul.
5) O Brasil está localizado em qual hemisfério?
6) Observando o mapa político do Brasil, pág 97, localize o estado que possui as
latitudes e longitudes indicadas abaixo:
2º N
e 60º O
0º
e 52º O
9º S
e 70º O
10º S
e 36º O
3º S
e 38º O
15º S
e 49º O
5º S
e 35º O
25º S
e 51º O
27º S
e 49º O
23º S
e 46º O
O objetivo desta atividade, é utilizar os conceitos de latitude e longitude
vistos na parte II, quando se foi trabalhado com o Globo Terrestre, porém agora
as linhas de referência e as coordenadas geográficas serão vistas no mapa,
com o auxílio do Atlas.
No item 1, espera-se que os alunos localizem, sem problemas, as linhas
de referência. Ao propor esta questão pensou-se em buscar uma forma dos
alunos se familiarizarem com o novo elemento, que é o mapa, e que será
utilizado em todas as atividades que seguem.
Os alunos poderão escolher dentre os países cortados pelas linhas de
referência, o que mais lhes agradar, cada dupla deverá buscar o “mapa ideal”
para localizar a cidade, haja vista que, no mapa-múndi só encontramos
referências aos países.
86
Espera-se que não tenham dificuldade em localizar e escolher a cidade,
como também em localizar as latitudes e longitudes sobre o mapa.
Os itens 2, 3 e 4 buscam uma exploração do mapa bem como observar se
está claro o conceito de Norte e Sul.
No item 5, apresentam-se algumas coordenadas para que localizem o
estado do Brasil correspondente. Com esta atividade pretende-se fixar a idéia
de latitude e longitude, partindo das coordenadas, o que não havia sido feito
anteriormente, pois as atividades propostas, pediam determinação da latitude e
longitude de um lugar e não o inverso.
Espera-se que os alunos não apresentem dificuldade para localizar os
estados.
Após a conclusão desta atividade, serão socializadas as respostas para
possíveis correções e discussões cabíveis.
ATIVIDADE 2
01) Que horas e dia serão no estado de Minas Gerais localizado a 45º O,
quando no Vietnã localizado a 105º L forem 22 horas do dia 26/04?
02) Que horas e dia serão na cidade de Anadir localizada a 180º L, quando na
Groelândia a 30º L forem 18 horas do dia 26/04 ?
03) A cidade de São Paulo está situada no fuso horário 45º O. Quando em
São Paulo forem 13 horas do dia 28/04 que horas e dia serão em Lisboa
localizada a 8º O?
04) Um avião saiu de Tóquio 135º L às 20 horas do dia 29/04, com destino a
Fernando de Noronha 30º O. A viagem durou 07 horas. Pergunta-se:
A que horas e dia o avião pousou em Fernando de Noronha?
05) Um avião saiu de Honolulu, no Havaí 150º O às 22 horas do dia 28/04,
com destino a Santiago do Chile 60º O. A viagem durou 11 horas. Pergunta-se:
A que horas e dia o avião pousou em Santiago ?
06) Um dos meios de transporte mais rápidos de nossa época, o avião
supersônico Concorde, é uma maravilha tecnológica que já começa a
ultrapassar a compreensão humana. No interior do avião, os passageiros nem
notam o estampido que se produz quando a avião atinge a velocidade do som.
87
Uma velocidade duas vezes superior a do som confunde facilmente a própria
noção do tempo. O horário local de chegada em Nova Iorque é o mesmo da
partida de Londres.
Como você explica o fato de o horário de chegada em Nova Iorque ser o
mesmo da partida de Londres?
Questão retirada de LUCCI, E. A.
Geografia – O homem no espaço global, Ed. Saraiva, 1999. p.305
Antes de iniciar esta atividade os alunos serão convidados a ler o texto 1
do CD (anexo VII) que trata do fuso-horário e apresenta alguns exemplos, os
quais serão utilizados nas questões seguintes.
Com esta atividade, procura-se mostrar, mais uma aplicação da
matemática no estudo da geografia e verificar se a seqüência, até este
momento, possibilitou a aprendizagem de conceitos geográficos nela
embutidos. Objetiva-se também criar condições para o desenvolvimento de
conceitos ligados à idéia de fuso horário.
Para a resolução desta atividade, os alunos poderão utilizar o Atlas
(IBGE,2002); na página 40 é apresentado um mapa-múndi com todos os fusos
e ainda poderão contar com o auxílio do texto. É possível que, em algum
momento de sua escolaridade, os professores de geografia tenham explorado
este tema. A pesquisadora e os observadores não deverão interferir. Caso haja
necessidade de intervenção, será solicitado às duplas que retornem ao texto,
caso não o façam por si só.
Na questão 1, espera-se que encontrem 150º o que equivale a 10 fusos
(10 horas) de diferença e que respondam que em Minas Gerais serão 12 horas
do mesmo dia. O texto apresenta que, para hemisférios diferentes (L e O)
deve-se somar as latitudes e que o resultado obtido deverá ser divido por 15 e
ainda que 15º equivale a uma hora.
Na questão 2, espera-se que encontrem 150º, o que equivale a 10 fusos
(10 horas) de diferença. Se na Groenlândia for 18 h, deverá ser 28 h em
Anadir, o que não acontece, logo serão 4 horas do dia seguinte (27/04).
O texto apresenta que, para hemisférios iguais (L e L ou O e O) deve-se
subtrair as latitudes. Espera-se, ainda, que os alunos observem o fato de terem
88
encontrado 28 horas, o que representa mais do que um dia e percebam a
necessidade de mudar a data do calendário para mais um.
Na questão 3, espera-se que encontrem 37 graus, o que equivale a dois
fusos e meio (aproximadamente), mas como não há diferença no mesmo fuso,
deverão encontrar como resposta 3 horas de diferença e respondam que, em
Lisboa, serão 16 horas do mesmo dia.
Acredita-se, que tenham problemas ao encontrar um número quebrado,
mas que, observando o mapa com os fusos, o problema seja sanado.
Caso não tenham concluído que dois fusos e meio estão localizados no
fuso de 3 horas, a pesquisadora poderá solicitar que voltem ao texto. O texto
traz a seguinte informação: “Caso a divisão não seja exata, verifica-se o
intervalo onde está localizado o ponto e verificam-se as horas”. Se a dúvida
persistir e não tenham tido a idéia de observar o mapa, a pesquisadora poderá
sugerir o uso do mapa.
Na questão 4, espera-se que encontrem 165º, o que equivale a 11 horas
de diferença. No momento em que o avião saiu de Tóquio em Fernando de
Noronha eram 9 horas. Depois de 7 horas de vôo, o pouso aconteceu às 18
horas do mesmo dia.
Espera-se que os alunos concluam que, além da diferença horária entre
Tóquio e Fernando de Noronha, precisam somar o tempo de vôo ao horário de
Fernando de Noronha, no momento da partida. Caso tenham dificuldade será
necessária a intervenção da pesquisadora, com perguntas que direcionem a
linha de raciocínio dos alunos para este fato, caso contrário eles terão a
mesma dificuldade na próxima questão, que envolve a mesma idéia, havendo
como diferença básica, o fato de encontrarem como resposta um horário
superior a 24 horas, ou seja, a necessidade de mudança do calendário.
Na questão 5, espera-se que encontrem 90º, o que equivale a 6 horas de
diferença. No momento em que o avião saiu de Honolulu, eram 16 horas em
Santiago. Após 11 horas de vôo, o avião pousou às 27 horas (como não
existem 27 horas) pousou às 3 horas do dia seguinte (29/04).
89
Como já dissemos na questão anterior, a idéia envolvida nas duas
questões é a mesma, acredita-se que, caso os alunos tenham compreendido a
questão anterior, não terão dificuldade para responder a esta questão.
Na questão 6, espera-se que respondam que a viagem demora,
exatamente, o mesmo tempo que é a diferença horária das duas cidades. Pode
acontecer que busquem a medida da longitude das duas cidades para
verificarem o tempo de viagem.
Esta questão irá permitir que seja verificado se houve compreensão em
relação ao estudo do fuso horário.
ATIVIDADE 3
1) Usando o mapa político da Região Sudeste (Pág 167 do Atlas), qual é a
distância em linha reta entre as cidades A e B da tabela?
Cidade A Cidade B Distância em cm
(no mapa)
Distancia em km
(aprox.)
São Paulo Belo Horizonte
São Paulo Jaú
Pres. Venceslau Sorocaba
Rio de Janeiro Vitória
2) No Mapa político do Brasil (pág 97 do Atlas), escolham três capitais e
determinem a distância, em linha reta, até a capital do Brasil.
Capital Distância em cm (no mapa) Distancia em km (aprox.)
Antes de iniciar a resolução das questões desta atividade, os alunos serão
convidados a ler o texto 2 do CD (ver anexo VIII). O texto apresenta a escala
do mapa e suas diferentes representações, bem como, a utilização de uma
régua para determinar a distância em centímetros sobre o mapa e a conversão
para a medida real.
90
Com esta atividade procuramos mais uma vez, mostrar o uso de conceitos
matemáticos para a resolução de atividades inerentes à geografia.
Na questão 1, quanto à distância em cm no mapa, espera-se que
encontrem aproximadamente:
São Paulo – Belo Horizonte: 7,3 cm ; São Paulo – Jaú: 3,5 cm; Presidente
Venceslau – Sorocaba: 7 cm; Rio de Janeiro – Vitória: 6,1 cm.
Quanto à distância em Km, espera-se que tomem cada centímetro
correspondendo a 70 km, como está indicado na escala do mapa, e façam a
multiplicação correta. As respostas serão respectivamente: 511 km, 245 km,
490 km e 427 km (caso tenham obtido outras medidas, por erro de medição,
serão desconsiderados os valores, será observado se o raciocínio está
correto).
Pode acontecer de não prestarem atenção à escala do mapa e fixarem a
sua atenção para a escala apresentada no mapa do texto, que é de
1:10.000.000, ou seja cada 1 cm corresponde a 100 km.
Na questão 2, caberá à dupla decidir qual capital escolher para determinar
a distância até o Distrito Federal. Espera-se que não tenham dificuldade para
determinar as distâncias em centímetros no mapa e para calcular a distância
real aproximada.
O mapa sugerido para a atividade anterior, trazia a escala de 1:7.000.000,
ou seja, cada cm corresponde a 70 km. O mapa sugerido para esta atividade
,traz uma escala de 1:25.000.000, ou seja , cada cm corresponde a 250 km.
Pode acontecer, que os alunos tenham interesse em verificar as
distâncias que determinaram entre São Paulo e Belo Horizonte e entre Vitória e
RJ no mapa anterior, agora, também neste mapa, de escala menor.
Ao concluírem as atividades, as respostas das duplas serão socializadas e
dada por encerrada a seqüência, com a esperança de que tenham sido abertas
portas e dado embasamento para o desenvolvimento de projetos, que
propiciem um trabalho integrando as duas disciplinas, matemática e geografia.
91
Capítulo 4
Análise a Posteriori
“A Engenharia Didática, vista como
metodologia de investigação, caracteriza-se
antes de mais por um esquema experimental
baseado em <<realizações didáticas>> na sala
de aula, isto é, na concepção, na realização,
na observação e na análise de seqüências de
ensino.” (ARTIGUE, 1988, p.196 ).
Após a seqüência de encontros elaborados a partir de um embasamento
teórico e da aplicação das atividades, serão apresentadas as ponderações
sobre o que foi construído em sala de aula.
A análise a posteriori, agora permite estabelecer a ponte entre os fatores
observados e o que foi a priori definido, visando à apreensão de conceitos da
geometria da esfera e os conteúdos de geografia estudados.
Nesta análise, serão colocadas entre parênteses as letras
correspondentes a cada dupla (A), (B), (C), (D) e (F) . As duplas E e G foram
excluídas da análise por não terem participado dos três encontros.
4.1. PARTE I – A ESFERA
ATIVIDADE 1
Iniciou-se a seqüência de ensino com a seguinte pergunta:
1. Se resolvêssemos “fatiar” a esfera, que figuras encontraríamos?
92
A dupla (A) registrou: “Teríamos vários círculos menores. Encontraríamos
círculos menores, pois cortaríamos a esfera em fatias e não no centro”.
As duplas (B) e (C): “Encontraríamos círculos”.
A dupla (D): “Se fatiássemos em vários pedaços paralelos,
encontraríamos círculos e se fatiássemos de qualquer forma, encontraríamos
gomos”.
A dupla (F): “Metade de uma esfera”.
Os observadores fizeram o seguinte registro: A dupla (A) utilizou a laranja
e, durante a discussão da dupla, disseram que, se cortassem no meio, teriam
duas meias esferas, mas não registraram esta conclusão, e a dupla (B)
conseguiu responder sem dificuldade, esta só se deu ao dar nome à figura, não
sabiam se poderiam nomear de círculos.
Observou-se nesta atividade a importância do uso do material concreto
para manipulação. Após muita discussão, o fato de poucos terem chegado à
resposta esperada não foi fator de preocupação, afinal estava presente a busca
de relações a partir de uma experiência concreta. Lembrando Vygotsky:
O adolescente formará e utilizará um conceito com muita propriedade
numa situação concreta, mas achará estranhamente difícil expressar
esse conceito em palavras, e a definição verbal será, na maioria dos
casos, muito mais limitada do que seria de esperar a partir do modo
como utilizou o conceito. (VYGOTSKY, 1991, p.69)
Esperava-se que os alunos conseguissem visualizar os círculos que se
formariam ao fatiar a esfera, o que aconteceu ao fatiarem a laranja, durante a
discussão da dupla (B) pudemos perceber que os alunos “enxergavam” os
diversos círculos que se formavam, um integrante da dupla afirmou:
“Aqui, se cortarmos, teremos círculos que irão aumentar à medida que
formos subindo, depois começa a diminuir de novo”.
A idéia de obter-se círculos de diversos tamanhos ao fatiar a esfera surgiu
durante o debate dos alunos, o que acredita-se ter sido o primeiro passo para a
formação de conceitos sobre a geometria da esfera.
93
2. O que seria uma reta na superfície da esfera? (coloque 2 pontos
representados por alfinetes e trace a “reta” com a linha)
A dupla (A) apagou sua resposta após a leitura do texto e redigiu outra. A
observadora anotou que só chegaram à conclusão de que a reta seria uma
circunferência máxima após a leitura do texto e que antes haviam discutido a
possibilidade de reta ser o que mais tarde vieram a concluir ser um segmento
de reta.
Pediu-se então aos alunos que deixassem registradas as conclusões e
que não fizessem alterações após a leitura dos textos, mesmo quando
julgassem que a resposta dada não fosse a correta.
A
s duplas (B) e (C) fizeram os seus registros com
figuras sendo que a dupla (B) traçou um segmento de reta no
papel e a dupla (C) desenhou uma circunferência e traçou
uma linha unindo dois pontos como na figura ao lado (Fig.
4.1).
Figura 4.1
Os observadores das duplas (A) e (B) registraram que os alunos
visualizaram segmentos.
A dupla (D) respondeu “Seria uma forma de dividir a esfera em partes, se
imaginássemos uma reta contínua”
A dupla (F) “Seria uma esfera sendo dividida ao meio por uma linha”
Observou-se que todas as duplas, enquanto manipulavam a bola de
isopor, traçavam as retas corretamente, mas não conseguiram definir o que
seria uma reta por escrito, talvez por não concordarem que uma curva, ou
circunferência, pudesse vir a ser chamada de reta.
As fotos (resgatadas da filmagem da atividade) mostram que os alunos
traçaram a reta, apesar de não conseguirem defini-la, isto pode ser observado
em (C) (Fig. 4.2) e (F) (Fig. 4.3) , com a reta traçada sobre a esfera. Observa-
se também que (F) dá várias voltas com a linha por sobre a esfera, passando
sempre pelos dois pontos.
94
Figura 4.2
Figura 4.3
As fotos abaixo mostram dois momentos da dupla (D), ao fixarem os
alfinetes, a tentativa de traçarem uma reta (fig 4.4) e a reta traçada (fig. 4.5).
Figura 4.5
Figura 4.4
Após o desenvolvimento da atividade 1, os alunos foram convidados a
efetuar a leitura do texto 1 do CD (anexo I). O texto traz a definição de: círculos
máximos e círculos menores; reta, como sendo a circunferência máxima (ou
geodésica) e segmento de reta.
Com a apresentação das definições contidas no texto procurou-se uma
institucionalização das atividades anteriores, buscando-se uma forma de
conceituação dos novos objetos sobre a esfera.
95
Antes de iniciar a atividade 2 os alunos encontraram a seguinte frase para
ser completada:
“Então, podemos definir reta sobre a esfera como .......................................”
Esperava-se que respondessem “Então, podemos definir reta sobre a
esfera como
circunferência máxima”.
Nenhuma dupla, aparentemente teve dificuldade para completar a frase.
Acredita-se que a idéia de reta tenha ficado clara após a leitura do texto.
ATIVIDADE 2
1. Marque um ponto sobre a esfera.
a) Quantas “retas” você pode traçar passando por esse ponto?
b) Na bola de isopor trace uma dessas retas.
Apesar da atividade não sugerir que traçassem várias retas sobre a
esfera, ao tentar responder o item “a”, as duplas traçaram várias retas por um
ponto. As fotos nos mostram dois exemplos disto (Fig 4.6) e (Fig. 4.7):
Figura 4.6.
Figura 4.7.
96
As duplas (A), (C) e (D) responderam infinitas retas, mas, segundo
relatório do observador, a dupla (A), antes de escrever esta resposta, pensou
em traçar retas até que a esfera estivesse totalmente coberta, a discussão da
dupla permitiu que concluíssem que eram infinitas retas.
A dupla (B) respondeu “muitas retas”, mas a observadora fez o seguinte
comentário “utilizaram segmentos na esfera para mostrar as infinitas retas. Não
conseguiram diferenciar reta de segmento de reta”. Ao observarmos o desenho
que fizeram para o item “b” (Fig. 4.8), fica bastante claro que a reta, para eles,
ainda é um segmento de reta.
Figura 4.8
A dupla (F) respondeu: “Na bola de isopor, podemos traçar até a linha
acabar”. Quando lhes foi perguntado: “E se a linha não acabar nunca?”.
Responderam: “Então até cobrir totalmente a bola de isopor”.
As figuras abaixo representam os registros das duplas (A) (Fig. 4.9) , (C)
(Fig. 4.10) e (D) (Fig. 4.11).
Figura 4.9
Figura 4.10
Figura 4.11
97
Percebe-se que as duplas (A), (C) e (D) imaginaram a reta como uma
circunferência máxima, porém as duplas (A) e (C) não conseguiram desenhar o
que viam em três dimensões, ao contrário da dupla (D).
Observou-se na discussão das duplas que, a partir do momento em que
mais de uma hipótese pôde ser admitida, o debate entre os alunos tornou-se
inevitável e teve como conseqüência a modificação ou a eliminação de certas
interpretações, o que ficou evidente num trecho da discussão da dupla (A):
(...) “depois de colocar o alfinete, podemos passar a linha até cobrir a bola
toda”.
“Mas, no plano, se começarmos a traçar retas, vamos ter infinitas retas, na
bola não é a mesma coisa?”.
“Então, acho que a resposta vai ser infinitas retas, também”.
Os alunos da dupla discutiram, analisaram, testaram e utilizaram
conceitos anteriores para responder à questão apresentada, concluindo que
sobre uma esfera pode-se traçar infinitas retas.
2. Duas retas são chamadas concorrentes quando estão num mesmo
plano e possuem um ponto em comum.
a) Na superfície esférica existem retas concorrentes?
b) Se existirem, na bola de isopor, tracem duas retas concorrentes.
Todas as duplas, com exceção de (A), responderam apenas “sim”. (A)
escreveu “Sim. Porque todas se encontram num mesmo ponto e com isso elas
acabam se tornando retas concorrentes”.
Como o enunciado trazia a definição de retas concorrentes, nenhuma
dupla, aparentemente, teve dificuldade em responder. Não houve
questionamento sobre o “plano”, parece que para os alunos a idéia de ter a
superfície esférica como um plano não se tornou um problema.
Ao traçarem as retas concorrentes sobre a esfera, pedidas em “b”,
observou-se que os alunos possuíam o conceito euclidiano de retas
98
concorrentes e o utilizaram com naturalidade em uma superfície esférica, sem
que houvesse conflito entre elas, porém percebe-se a dificuldade de algumas
duplas em registrarem sua conclusão, seguem os registros das duplas (A) (Fig.
4.12), (B) (Fig. 4.13), (C) (fig. 4.14) e E (Fig. 4.15):
Figura 4.12
Figura 4.13
Figura 4.14
Figura 4.15
As duplas (A), (C) e (D) em seus registros mostram que a idéia de reta
sobre a esfera está clara, faltando para as duplas (A) e (B), como no item
anterior, a visão do desenho em três dimensões. A dupla (B) continua tratando
a reta como segmentos.
Ao detectar a “falha” conceitual da dupla (B), resolveu-se aguardar a
conclusão da atividade 2 para então discutir com (B) alguns pontos, de modo a
tentar mostrar que uma reta é a “volta toda”, não apenas a linha entre dois
pontos. Foi solicitado ao observador que ficasse atento para este fato, (a
comunicação entre a pesquisadora e o observador foi através de escrita, de
modo a não chamar a atenção de (B)).
3. Duas retas são paralelas se estão num mesmo plano e não possuem
nenhum ponto em comum.
a) Na superfície esférica existem retas paralelas?
b) Se existirem, na bola de isopor, tracem duas retas paralelas.
Esperava-se que os alunos “enxergassem” que não existe paralelismo
sobre a esfera, porém, mesmo os que achavam que não existem retas
99
paralelas, demonstraram que a idéia de retas paralelas não existia para um
ponto, mas, tendo um segundo ponto, seria possível traçar retas paralelas.
A dupla (A) respondeu: “Não. Porque numa superfície esférica elas
sempre se encontram em algum ponto” e colocou como observação “Só
existiriam retas paralelas se tivesse na superfície esférica dois pontos”
A dupla (B) respondeu “Não” e, pelo comentário do observador, concluiu-
se que, para esta dupla, não havia ficado dúvidas.
A dupla (C) respondeu “sim” e apresentou a seguinte figura: (Fig 4.16)
Figura 4.16
A dupla (D) respondeu “Sim, se houverem 2 pontos” e registrou (Fig.
4.17):
Figura 4.17
A dupla (F) respondeu “Não” e não deixou mais nenhum registro.
Esperava-se que, com a leitura do texto, pudessem, por si só, perceber a
falta de paralelismo, porém, na avaliação diagnóstica (anexo XII), que foi
aplicada no início do segundo encontro, uma das frases onde se pedia que
verificassem se eram verdadeiras ou falsas era a seguinte:
100
“É possível traçar retas paralelas sobre a esfera.”
Verificou-se que a dupla (A), apesar de julgar a frase “falsa”, manteve o
conceito de que existem retas paralelas sobre a esfera, caso tenha dois pontos.
A dupla (A) escreveu: “Só podemos traçar retas paralelas sobre a esfera se
tivermos dois pontos”
Como o momento era para socialização das respostas, foi pedido que a
dupla (A), utilizando a bola de isopor, marcasse dois pontos sobre a esfera e
traçasse então, duas retas paralelas.
Com a bola de isopor, a linha e os alfinetes em mãos, colocaram dois
pontos e tentaram traçar as retas. Neste momento um dos elementos da dupla
disse: “Só podemos traçar uma reta e um círculo paralelo, mas não vai ser
reta”.
Ao serem questionados, parece que ficou clara, a partir de então, a idéia
de que reta sobre a esfera é a circunferência máxima e de que não existem
retas paralelas sobre a esfera. Após a discussão houve a institucionalização do
conceito de reta, na qual estabeleceu-se que:
“Na geometria esférica, as retas são circunferências máximas e duas
circunferências máximas sempre se interceptam em dois pontos, então, elas
podem ser chamadas de concorrentes. Por conseqüência, podemos dizer que
na geometria esférica não existem retas paralelas.”
Tendo-se em mente que um conceito envolve várias situações e, tendo
em vista que o objeto em estudo era novidade para os alunos a qual envolvia
uma ruptura com o que, para eles, era uma verdade inquestionável, a
existência de paralelismo, acredita-se que há um longo percurso entre a
aquisição do conceito de reta sobre a esfera, como sendo a circunferência
máxima, e a compreensão da falta de paralelismo nesta geometria.
101
ATIVIDADE 3
1. Tomando dois pontos sobre a superfície esférica, como você
determinaria a distância entre eles? Qual a unidade de medida que você
usaria para medir essa distância?
A dupla (A) pensou em utilizar o grau para medir a distância entre dois
pontos.
A dupla (B) afirmou: “Usando a fita métrica, a unidade é o centímetro”.
A dupla (C) afirmou: “Centímetros. Não é grau, porque ele não é para
medir distância externa e sim ângulos e espaço interno”.
Percebe-se que a dupla C “enxergou” o grau como unidade de medida,
mas pelo conhecimento anterior de geometria, não aceitaram tal fato.
A dupla (D) : “traçando uma reta entre pontos e depois medindo essa reta.
No nosso caso usamos o centímetro”.
A dupla (F) leu o texto antes de resolver esta atividade, o que
comprometeu as respostas.
Acreditava-se que os alunos tentariam inicialmente utilizar a régua
centimetrada e, verificando a impossibilidade de medir com ela, buscassem os
outros instrumentos e, finalmente, concluíssem ser a fita métrica o mais
adequado, para medir a distância entre os dois pontos em uma unidade de
comprimento.
Para resolver esta atividade seriam mobilizados os conhecimentos da
geometria euclidiana acerca de unidades de medidas de comprimento, de arco
de circunferência e comprimento de circunferência.
Provavelmente as dificuldades surgidas seriam relacionadas com a
unidade de medida adequada (o grau) para medir a distância entre dois pontos,
o que surgiria como elemento novo.
Percebeu-se na discussão das duplas que o grau aparecia como uma
possível unidade, mas, com exceção da dupla (A), os alunos não aceitavam
102
esta hipótese o que, aparentemente, após a leitura do texto (anexo III) deixou
de ser um entrave.
2. Na superfície esférica que você possui, faça o esboço de duas retas
(circunferências máximas).
a) Quantos são os pontos de intersecção entre duas retas? Quantos são
os arcos determinados por esses pontos?
b) Você identifica algum ângulo na figura que você fez na superfície
esférica? Quantos?
c) Qual a unidade de medida que você pode utilizar para medir a abertura
de um ângulo esférico? Você conhece algum instrumento que poderia
auxiliar para obter a medida do ângulo esférico?
As duplas precisaram do auxilio da pesquisadora para traçar as retas.
No item a todos responderam 2 pontos e quatro arcos.
A dupla (A) não apresentou dificuldade já as duplas (B) e (C) após
discussão chegaram à resposta. Pela figura apresentada pela dupla (C),
percebe-se que confundiram arcos com ângulos. (Fig 4.18)
Figura 4.18
No item b, as duplas (A), (B) e (D) responderam 8 ângulos, sendo que a
dupla (A) abriu uma discussão antes de concluir, pois um dos alunos da dupla
se fixou em um ponto apenas.
A dupla (F) conseguiu “enxergar” os 8 ângulos, mas só após alguns
questionamentos feitos pela professora pesquisadora.
A dupla (C), apresentou a seguinte resposta (Fig. 4.19):
103
Figura 4.19
Percebe-se que observaram que a cada ponto de encontro, tem-se 4
ângulos. Pela configuração apresentada as retas traçadas formam 4 ângulos
de 90º (um caso particular), porém não registraram se “enxergaram” 8 ângulos.
Esperava-se que o termo “ângulo esférico” chamasse a atenção dos
alunos, por ser um termo novo, o que não ocorreu. Todos acharam que o
instrumento ideal seria o transferidor plano e não foi registrado nenhum tipo de
discussão em relação a isto. Com o transferidor plano em mãos, os alunos
conseguiram determinar medidas aproximadas da abertura do ângulo, o que
para eles foi suficiente. (Fig. 4.20)
Figura 4.20
Durante a discussão da atividade notou-se que o conceito de ângulo
esférico foi entendido a partir da idéia de ângulo plano. A dupla (A) afirmou que
“O ângulo esférico é a abertura entre dois arcos” e ainda “Para medir a
104
abertura, basta colocar o transferidor e projetar as marcas das medidas sobre
as linhas da bola”.
Todas as duplas concordaram que a medida ideal para determinar a
medida do ângulo esférico é o grau.
Concluiu-se que se pode definir ângulo esférico como uma figura formada
por dois arcos de circunferência máxima (ou retas) e que duas retas
determinam dois pontos de intersecção, os quais determinam quatro ângulos.
Mais uma vez, pode-se observar que os alunos mobilizavam conceitos
anteriores para as discussões em torno de uma nova situação.
3. Marque, sobre a bola de isopor, 2 pontos que pertençam a um mesmo
diâmetro. Qual a distância entre estes dois pontos em graus? (lembre-se,
uma circunferência inteira mede 360º).
Para a resolução desta atividade foi necessária a intervenção da
pesquisadora. Os alunos não sabiam o que seria um diâmetro na esfera. Abriu-
se então uma discussão sobre o que seria o diâmetro de uma circunferência,
de modo que as duplas conseguiram continuar a desenvolver a atividade.
Após conseguirem colocar os pontos, todas as duplas responderam que a
distância entre os dois pontos era de 180º. As duplas (A) e (D) justificaram
relacionando com o comprimento de uma circunferência, que é 360º e a dupla
(C) apresentou a seguinte resposta (Fig. 4.21):
Figura 4.21
105
Na avaliação diagnóstica (anexo XII), que foi aplicada no início do
segundo encontro, a atividade 2 pedia que marcassem verdadeiro (V) ou falso
(F) para algumas afirmações e, caso a afirmação fosse falsa, reescrevessem a
frase de modo a torná-la verdadeira.
A sétima frase era a seguinte:
“Dados dois pontos A e B sobre uma circunferência máxima,
diametralmente opostos, a distancia entre eles é de 90 graus”
Esperava-se que respondessem que a afirmação era falsa.
As duplas (A), (B) e (D) responderam corretamente e souberam corrigir a
frase. A dupla (F) apenas marcou que a afirmação era falsa, não reescrevendo
a frase.
A dupla (C) marcou que a afirmação é verdadeira. No relatório do
observador encontrou-se a seguinte anotação: “Um dos alunos acreditava ser
falsa a alternativa, entretanto aceitou a outra resposta dada pelo aluno”.
Durante a socialização das respostas, pareceu terem sido esclarecidas
possíveis dúvidas a respeito desta questão.
4. Na bola de isopor, coloque dois alfinetes de modo que a distância entre
eles seja de 60º. Justifique.
Uma das estratégias esperadas era que utilizassem a regra de três.
A dupla (B) “primeiro medimos a distância de 180º. Depois medimos com
a fita métrica e vimos que dava 15 cm. Então dividimos por 3, pois 60º é a
terça parte de 180º, e deu 5 cm., e então, colocamos o alfinete onde dava 5
cm”.
A observadora fez o seguinte registro: “inicialmente pensaram em dividir a
distância de 180º em três, pois 180º : 3 = 60; abandonaram a idéia, pois
lembraram da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e
106
tentaram construir um triângulo na esfera; perceberam que não conseguiriam
obter um triângulo eqüilátero, pois não sabiam como medir os ângulos internos;
voltaram para a idéia inicial, mediram com a fita métrica a distância entre os
alfinetes e dividiram por 3”
A dupla (C) registrou o seguinte, acompanhado da figura abaixo (Fig
4.22): “Nós rachamos a cabeça, mas chegamos à resposta. Nós sabemos que
metade da esfera é 180º e nós precisaríamos chegar ao ângulo de 60º, aí, nós
fizemos 3 vezes 60º que deu 180º, chegando à resposta”
Figura 4.22
A dupla (A) deu a seguinte resposta:
“1º nós colocamos 90º, para a partir disto chegar aos 60º”.
2º calculamos o ângulo de 120º para descobrirmos o de 60º (que é a
metade)”.
A observadora da dupla (A) fez o seguinte registro: “dividiram a
circunferência máxima em duas partes iguais, e a seguir, dividiram um dos
lados em três partes iguais e somaram uma parte à outra metade. A seguir
dividiram o resultado por dois, obtendo o ângulo de 60º. Houve muita
discussão”
A dupla (D) registrou: Usando os dois pontos que pertenciam a um mesmo
diâmetro, com uma distância de 180º e dividindo esse espaço em três partes
iguais, pois 1/3 de 180º é 60º.
Ao buscarem elementos para resolver esta questão, as várias tentativas e
formas de encaminhamento trazem a idéia de esquema, como uma
organização invariante, defendida por Vergnaud. Percebe-se que os alunos se
utilizaram de invariantes operatórios na busca de elementos para resolver o
problema.
107
Segundo Vergnaud:
Um esquema não é um estereotipo e sim uma função temporalizada
de argumentos, que permitem gerar diferentes seqüências de ações e
tomadas de informação em função dos valores das variáveis da
situação. (Vergnaud apud Franchi, 1999, p. 166)
Analisando as resoluções dos alunos, observa-se que eles utilizaram
diferentes esquemas e uma seqüência de ações na tentativa de propor uma
solução para o problema.
ATIVIDADE 4
1. Na superfície esférica, marque três pontos, distintos e não alinhados,
A, B e C e trace os segmentos menores AB, AC e BC,
a) Descrevam a figura encontrada.
b) Que nome vocês dariam a essa figura?
Todas as duplas concluíram que a figura encontrada é de três lados e que
representa um triângulo. Durante a discussão entre os alunos das duplas, a
dupla (A) ficou em dúvida se seria realmente um triângulo, pois, os lados não
pareciam estar retos. A dupla (C) concluiu se tratar de um triângulo “gordo”.
Imaginava-se que alguma dupla poderia partir da construção de três
circunferências máximas, o que não aconteceu. Todas as duplas marcaram
primeiro os três pontos e em seguida os segmentos.
As figuras abaixo foram apresentadas pelas duplas (A) (Fig. 4.23) e (D)
(Fig. 4.24).
108
Figura 4.23
Figura 4.24
Acreditava-se que, ao ligarem os três pontos nas condições dadas, a
figura encontrada seria facilmente identificada como um triângulo. Poderiam
descrever a figura como composta por três lados e três vértices. Mas, mais
uma vez, o conceito anterior de triângulo criou um certo desconforto nas
duplas, percebeu-se que aceitaram o nome “triângulo” por não encontrarem
outra forma de nomeá-lo, apesar de terem traçado, convenientemente, um
triângulo sobre a bola de isopor. (Fig. 4.25) e (Fig 4.26)
Figura 4.25
Figura 4.26
Acredita-se que, com a leitura do texto (anexo IV) e com a discussão entre
as duplas, foi possível sanar as dúvidas que ainda existiam em relação a esta
atividade.
109
2. Na superfície esférica marque três pontos distintos e não alinhados A,
B e C. Trace as retas que passam por AB, por AC e por BC. Quantos
triângulos ficaram determinados pelas três circunferências máximas?
As duplas apresentaram dificuldade para traçar as três retas unindo dois a
dois dos três pontos. A dupla (C), com lápis, nomeou cada um dos pontos para
então conseguir traçar as retas (Fig 4.27) e (Fig 4.28) . A observadora da dupla
(A) fez o seguinte comentário: “Estavam traçando segmentos de retas, foram
orientados a traçar retas, circunferências máximas, se atrapalharam na
montagem das retas sobre a esfera, concluíram que haviam colocado os
alfinetes muito longe uns dos outros”.
Figura 4.27
Figura 4.28
Esperava-se que as duplas encontrassem 8 triângulos, o que as duplas
(B), (C) e (D) concluíram sem dificuldade. A dupla (A) afirmou ter encontrado
apenas um triângulo.
A dupla (F) afirmou encontrar infinitos triângulos. Quando questionados,
responderam que poderiam traçar infinitos trios de retas, então infinitos
triângulos. Ao perguntar-lhes: “E se olhassem apenas para três retas de cada
vez”? Responderam que seriam 8 triângulos.
110
4.1.4.3. Marque dois pontos em uma reta (circunferência máxima), de tal
forma que a circunferência fique dividida em dois arcos de mesma
medida.
a) Qual a medida em graus de um ponto ao outro?
b) Trace uma reta perpendicular (ângulo de 90º) à reta que vocês
encontraram. O que vocês observam?
As duplas não apresentaram dificuldade na resolução desta atividade
apenas a idéia de retas perpendiculares teve que ser discutida com as duplas
(A), (C) e (F).
No item “a”, todos afirmaram ser 180º. As figuras abaixo foram registradas
por (A) (Fig. 4.29) e (D) (fig 4.30):
Figura 4.29
Figura 4.30
No item “b”, encontramos as seguintes respostas:
Dupla (A): “Nós observamos que a esfera foi dividida em 4 partes e as
retas são concorrentes”.
Dupla (B): “Observamos que se formaram 4 ângulos de 90º”.
Dupla (C): “Nós observamos que dois arcos (180º) viraram 4 arcos (90º)”.
Dupla (D): “A esfera foi dividida em 8 partes de 90º”.
As fotos a seguir ilustram o desenvolvimento da atividade pelos alunos. A
esfera dividida em 4 partes (Fig 4.31) e os quatro ângulos retos, formados pela
interseção de duas retas perpendiculares (Fig 4.32) e (Fig 4.33):
111
Figura 4.31 Figura 4.32 Figura 4.33
4. Marque dois pontos diametralmente opostos sobre a superfície da
esfera. Trace duas retas, que passam por estes pontos, de tal forma que a
esfera fique dividida em quatro “partes iguais”. Encontre uma reta que
seja perpendicular às retas anteriores.
a) Em quantas partes a esfera ficou dividida? Que figuras representam
estas “partes”?
b) O que podemos observar em relação aos ângulos da figura?
c) Qual o comprimento (em graus) dos segmentos que formam o lado do
triângulo?
As duplas tiveram dificuldade para traçar as retas. Após discussão e
intervenção da pesquisadora conseguiram a configuração desejada.
No item a, esperava-se que “enxergassem” os 8 triângulos, o que as
duplas (A), (D) e (F) perceberam, porém a dupla (A) afirmou encontrar 4 partes
e 8 triângulos, a dupla (B) respondeu 8 partes, mas descreveu a figura como
arcos e não triângulos, a dupla (C) respondeu 4 partes e 4 arcos.
Percebe-se que, pela resposta da dupla (A), a dúvida que havia surgido
na questão dois, desta parte da seqüência, foi sanada, mas quando afirmaram
que a esfera ficou divida em 4 partes e 8 triângulos, não consideraram cada
triângulo como uma parte da divisão. A dupla (C), pelo comentário do
observador, deu a resposta antes de traçar a terceira reta, perpendicular às
anteriores, o que justifica a resposta dada.
No item b, as duplas apresentaram as seguintes respostas:
112
Dupla (A) “Que são ângulos congruentes. As medidas dos ângulos são de
90º”
Dupla (B) “Todos medem 90º.”
Dupla (C) “Podemos observar que existem 4 ângulos de 90º em cada
ponto” e ainda registraram a figura (Fig. 4.34):
Figura 4.34
No item c, todos concluíram que o comprimento (em graus) dos
segmentos que formam o lado do triângulo é de 90º.
A dupla (B) inicialmente queria medir o comprimento do lado do triângulo
com a fita métrica, o observador chamou a atenção da dupla para a medida em
graus e não em centímetros.
As fotos abaixo mostram duas duplas no desenvolvimento da atividade.
Percebe-se (Fig 4.35) e (Fig 4.36) os alunos numerando os triângulos formados
após traçarem as retas, estratégia que utilizaram para evitar contar mais de
uma vez o mesmo triângulo, como foi explicado pela dupla. A outra dupla,
enquanto traçavam as retas (Fig 4.37) e observando a configuração na bola de
isopor (Fig 4.38).
113
Figura 4.35
Figura 4.36
Figura 4.37
Figura 4.38
Ao concluírem esta atividade, as respostas foram socializadas e dado por
encerrado o primeiro encontro. Percebeu-se que os alunos estavam satisfeitos
com o tipo de trabalho realizado.
Julgou-se que não havia erros a serem registrados, existiam sim,
reflexões seguidas de validações das afirmações que cada dupla apresentou.
4.2. RESUMO DAS CONCLUSÕES DA PARTE I
O objetivo desta parte da seqüência era a formação de conceitos de
Geometria Esférica, para tanto, os alunos manipularam materiais concretos,
buscando a validação das hipóteses levantadas em cada atividade.
Acredita-se que o conceito de reta sobre a esfera, como sendo a
circunferência máxima, foi apreendido. Isso pôde ser constatado ao observar
que os alunos, quando solicitados a traçarem uma reta sobre a esfera,
114
traçavam circunferências máximas. E também, quando foi solicitado que
verificassem quantas retas podem ser traçadas passando por um ponto, os
alunos traçavam facilmente circunferências máximas sobre a bola de isopor.
A não existência de paralelismo sobre a superfície da esfera, foi um ponto
que precisou ser amplamente discutido, pois os alunos, apesar de perceberem
que duas retas sempre se encontravam, não admitiram facilmente este fato, o
que exigiu uma parada para discussão em grupo.
Segundo Oliveira:
Adquirir conhecimentos sobre um certo assunto é operar
transformações na estrutura de conceitos, já adquiridos, relacionados
a esse assunto. Sendo assim, é fundamental a relação do novo
conhecimento com a estrutura conceitual de quem vai aprender.
(OLIVEIRA, 1992, p. 49)
Os alunos tinham o conceito de paralelismo da Geometria Euclidiana, o
que gerou muitas dúvidas em relação ao fato de duas retas sobre a esfera não
serem paralelas. Apesar de estarem com o material concreto em mãos e
observarem que, ao traçar duas retas, elas necessariamente iriam se cruzar, os
alunos buscaram então outra forma de solucionar o problema. Tentavam traçar
circunferências máximas e circunferências menores.
Durante o debate da questão do paralelismo, surgiu o seguinte diálogo:
Pesquisadora: “É possível traçar retas paralelas sobre a esfera?”
Aluno: “Não, se tivermos somente um ponto”
Pesquisadora: “Então se tivermos dois pontos, será possível?”
Aluno: “Se tivermos dois pontos acho que a resposta é sim!”
Foi pedido então ao aluno que marcasse dois pontos sobre a esfera e
traçasse as retas paralelas. Ao tentar traçar as retas ele concluiu que não
seriam circunferências máximas, logo não seriam retas, mas círculos paralelos.
115
O conceito de retas concorrentes sobre a esfera então foi discutido,
concluindo-se que, sempre que fossem traçadas duas retas sobre a esfera elas
seriam sempre concorrentes.
A medida da distância entre dois pontos, sobre a esfera, foi outro ponto
que gerou discussões interessantes. Inicialmente os alunos achavam que
teriam que utilizar o centímetro, mas, após o desenvolvimento das atividades,
concluíram que a medida ideal seria o grau. Fato que virá a ser utilizado no
desenvolvimento das atividades com o Globo Terrestre.
Os alunos perceberam que a distância entre dois pontos diametralmente
opostos é de 180º e conseguiram marcar dois pontos sobre a esfera, de modo
que a distância entre eles era de 60º, apenas fracionando a circunferência
máxima.
A mobilização de conhecimentos anteriores foi percebida em diversas
situações. Por exemplo: quando traçaram retas sobre a esfera e encontraram
triângulos, quando buscaram uma forma de medir o ângulo esférico, sugerindo
a utilização do transferidor, ao traçarem retas perpendiculares sobre a esfera.
O desenvolvimento das atividades em duplas e as discussões abertas
com o grupo foram muito importantes. Percebeu-se que os alunos, à medida
que discutiam suas hipóteses e as validavam, ou não, criavam conceitos
novos, os quais foram possíveis devido à interação das duplas.
4.3.PARTE II – O GLOBO TERRESTRE
Para a resolução das atividades seguintes cada dupla recebeu um globo
terrestre, o qual ficou à disposição das duplas durante todo o encontro, desde a
primeira atividade.
116
ATIVIDADE 1
1. “Podemos observar que o dia se sucede a noite e que a noite se
sucede ao dia. Vemos o Sol nascer, percorrer o céu e iluminar-nos. Mas
ao fim do dia ele desaparece no horizonte. Então, surgem as estrelas e a
Lua, nascendo e desaparecendo para de novo dar lugar ao Sol.”
Como vocês justificariam esta afirmação?
As duplas (B), (C) e (D) fizeram alusão ao movimento de rotação, mas
apenas a (D) falou em rotação.
A dupla (A) justificou da seguinte forma (Fig 4.39):
Figura 4.39
Durante a gravação da discussão da dupla (A) registrou-se o seguinte
diálogo:
Aluno 1: “Será que tem alguma coisa a ver com o 180º?”
Aluno 2: “Como 180º?”
Aluno 1: “Se a gente está aqui e tem outro no Japão, aqui é dia e lá é
noite, e estamos a 180º do Japão”
Aluno 2: “Será? Mas é 180º?”
Aluno 1: “Melhor desenhar.”
Percebe-se no diálogo da dupla (A) que os alunos associaram a idéia de
distância em graus sobre a esfera, como sendo de 180º para pontos
117
diametralmente opostos e pelo desenho que apresentaram, que têm noção da
posição do sol e da lua, mas em momento algum citaram o movimento da terra.
A dupla (B) respondeu corretamente após pequena discussão e a dupla (C)
respondeu sem dificuldade. O observador da dupla (C) fez o seguinte
comentário: “Os alunos não citaram o nome movimento de rotação, mas o
identificaram dizendo que a Terra gira em torno de si mesma”.
2. Um Astronauta, em uma missão, olhou para o céu da Lua e viu a Terra.
Ele viu que a Terra era azulada, redonda, enorme (umas 4 vezes maior do
que vemos a Lua aqui da Terra) e que flutuava no espaço, tal qual vemos
a Lua flutuando no espaço. Imagine que o Astronauta tivesse levado um
telescópio com ele. Para quem não sabe, telescópio é um aparelho usado
pelos astrônomos para ver as coisas que estão muito longe. Imagine que
o astronauta tivesse olhado para a Terra com o telescópio e que ele
tivesse visto 4 pessoas. Uma estava no pólo norte (ponto A na figura
abaixo). Outra estava no pólo sul (ponto C na figura abaixo). Outra era um
brasileiro (ponto D na figura abaixo). Outra era um japonês (ponto B na
figura abaixo, pois o Japão fica do outro lado da Terra, em relação ao
Brasil).
Imagine que a figura abaixo é um esboço do globo Terrestre. Desenhe o
boneco abaixo sobre cada um dos pontos A, B, C e D, tal como o
astronauta teria visto as quatro pessoas. (O boneco está muito magrinho
e está fora de escala em relação à Terra) (questão retirada da OBA –
Olimpíada Brasileira de Astronomia – 2002)
Apenas a dupla (C) colocou os “bonequinhos” com o pé sobre os pontos.
Segundo o observador, responderam rapidamente e sem dificuldade. As
demais apresentaram a seguinte configuração (fig 4.40):
118
Figura 4.40
O observador da dupla (A) fez o seguinte comentário: “Tiveram muita
dificuldade em interpretar o problema, não sabiam o que fazer com os bonecos
e não tiveram o olhar do astronauta” e ainda completou “Nas duas questões
propostas os alunos não recorreram ao globo. Preferiram desenhos planos o
que dificultou muito a resolução dos problemas”.
Após a resolução das questões 1 e 2, abriu-se uma discussão geral para
socialização das respostas. Uma das alunas tinha um bonequinho na sua
mochila o qual foi utilizado na discussão da questão 2, o que permitiu que
todos concluíssem que os pés do boneco deveriam tocar o globo.
Antes de continuar a resolução das atividades, as duplas foram
convidadas a ler o texto 1 da parte II (anexo V).
O texto objetivava responder a questão 1, além de trazer informações
para que os alunos pudessem desenvolver as atividades 2 e 3, no trabalho com
o globo terrestre e as coordenadas geográficas.
ATIVIDADE 2
1. Observando o Globo Terrestre, identifiquem que tipos de
circunferências vocês vêem na superfície do globo terrestre.
119
As duplas (A) e (B) responderam: Circunferências máximas e círculos
menores.
A dupla (C): “Retas concorrentes”.
A dupla (D) respondeu: “Circunferências máximas e arcos”.
A dupla (B) fez referência ao encontro anterior, lembrando da esfera, as
demais não comentaram nada a respeito do encontro anterior.
A dupla (C) só “enxergou” circunferências máximas e, mesmo retornando
ao texto, não comentaram a existência de círculos menores.
A foto abaixo (Fig.4.41) mostra uma das duplas durante a discussão da
atividade
Figura 4.41
Nos relatórios dos observadores encontram-se os seguintes comentários:
Dupla (A): “Os alunos não associaram as respostas ao conteúdo do
encontro anterior”.
Dupla (B): “Os alunos identificaram corretamente as linhas do globo, mas
não sabiam o nome correto, chamaram-nas de paralelo”
Dupla (C) “Os alunos associaram as circunferências máximas em relação
ao globo, depois de discutirem novamente, mudaram sua resposta para retas
concorrentes”
Durante a discussão da dupla (B) foi gravado o seguinte diálogo:
120
Aluno 1: “Ah, igual na esfera, circunferências máximas e círculos
menores.”
Aluno 2: “É isso aí.”
Aluno 1: “Será que é isso?.... Olha aqui.... é só uma a máxima, as outras
são menores.”
Para responder esta questão, esperava-se que os alunos associassem a
atividade do encontro anterior (Parte I), onde foram convidados a fatiar a esfera
para reconhecerem as circunferências que se formavam, e respondessem
círculos máximos e círculos menores ao observarem as linhas sobre o globo.
Pelas respostas apresentadas, concluí-se que alguns alunos fizeram a
associação esperada, como é o caso da dupla (A) o que pode ser observado
no diálogo, da dupla (C), que respondeu retas concorrentes, referindo-se aos
Meridianos e da dupla (D) ao referir-se a arcos.
2. O globo terrestre possui um eixo de rotação. Como se chamam os
pontos onde o eixo de rotação corta o globo terrestre?
Esperava-se que as duplas respondessem: Pólos. As respostas foram as
seguintes:
Dupla (A): “O Meridiano de Greenwich, a linha do Equador e as escalas de
latitude e longitude traçadas pela linha do Equador”.
Duplas (B) e (C): “Latitude e Longitude”.
Dupla (D): “Diâmetros opostos”.
Dupla (F): “Equador”.
A dupla (C), segundo comentário do observador, durante a discussão,
falou em pólos norte e sul, fato que pode ser ilustrado na foto (Fig 4.42), mas
procurou uma resposta adequada no texto, o que possivelmente gerou uma
resposta incorreta.
121
Figura 4.42
.
Durante o desenvolvimento da parte I desta seqüência, o texto 4 (anexo
IV) trazia a idéia de pólos de uma reta e retas polares. Pelas respostas dos
alunos, acredita-se que apenas a dupla (D) associou o que foi discutido em
relação aos pólos de uma reta sobre a esfera, aos pólos do globo terrestre. Os
alunos se preocuparam em buscar respostas no texto, fato que será discutido
posteriormente.
3. Observem que pelos pólos do globo passam várias circunferências
máximas. Qual o nome dessas circunferências?
As duplas (A) e (F) responderam: “São a latitude e a longitude”
A dupla (B) deu a seguinte resposta: “As circunferências chamam-se
paralelos”
A dupla (C) respondeu: “Latitudes”
A Dupla (D) respondeu: “Retas concorrentes”
Esperava-se que respondessem Meridianos, acreditando que tivessem tal
referência das aulas de geografia e fizessem tal associação a partir do texto.
Os observadores registraram os seguintes comentários:
Dupla (A): “Os alunos não associaram as respostas ao conteúdo do
encontro anterior, eles até localizaram os meridianos sobre o globo, mas
122
acabaram respondendo “latitude e longitude”, termos que encontraram no
texto”.
Dupla (B): “Os alunos identificaram corretamente as linhas no globo, mas
não sabiam o nome correto, chamaram de paralelo”
Dupla (C): “Os alunos localizaram as circunferências no globo mas depois
de discutirem mudaram sua resposta para latitude”
Durante a gravação da dupla (B) registrou-se o seguinte diálogo:
Aluno 1: “Shiiiiii, qual o nome?”
Aluno 2: “Olha... são essas....”
Aluno 1: “Mas isso não estava no texto...”
“Não tem!”
Aluno 2: “É lógico que tem, tá no globo!”
Aluno 1: “Vamos voltar pro texto.”
Esperava-se que respondessem que as circunferências que passam pelos
pólos são os meridianos, porém, para responder a esta questão, era
necessário que soubessem localizar sobre o globo terrestre os pólos, fato que
seria esperado se tivessem respondido corretamente a questão anterior. Mais
uma vez, observa-se que a dupla (D) dá respostas, aparentemente, baseadas
nas atividades da parte I, e os demais alunos buscam as respostas no texto.
4. Se duas circunferências máximas passam pelos pólos, que
circunferência máxima é perpendicular a ambas? Qual o nome dado a
essa circunferência?
Esperava-se que respondessem: “linha do Equador” ou apenas “Equador”.
As respostas das duplas foram as seguintes:
Dupla (A): “A latitude. Seriam os círculos menores”
123
Duplas (B), (C) e (D): “linha do Equador”
Dupla (F): “Meridiano”
O observador da dupla (A) registrou o seguinte comentário: “Os alunos
conseguiram identificar as circunferências e a perpendicular, mas não sabiam
nomeá-las”
Para esta questão esperava-se que os alunos utilizassem as discussões
do encontro anterior, além de terem respondido corretamente as questões
anteriores. Observou-se que os alunos não tiveram dificuldade em localizar as
linhas solicitadas, porém, mais uma vez, algumas duplas se concentraram na
busca da resposta no texto que foi disponibilizado.
5. Quais das circunferências são denominadas Paralelos Terrestres?
As duplas apresentaram as seguintes respostas:
Dupla (A): “O Meridiano de Greenwich e a linha do Equador”.
Dupla (B): “As circunferências que passam por onde tem terra”.
Dupla (C): “50º N, 25º N, 0º N, 25º S”.
Dupla (D): “As latitudes”
A dupla (F) não respondeu.
Segundo os observadores nenhuma dupla conseguiu identificar as
circunferências.
Esperava-se que os alunos respondessem que os paralelos terrestres são
os círculos menores, associando o estudo sobre a esfera no globo terrestre.
Mais uma vez, percebe-se a concentração na busca das respostas no texto
que foi apresentado no início da atividade.
Pela resposta da dupla (B), “As circunferências que passam por onde tem
terra”, deve ter surgido a partir da pergunta: “Quais
circunferências são
124
denominadas Paralelos
Terrestres?”, o que sugere a falta de associação desta
atividade às atividades desenvolvidas na parte I deste estudo.
Do diálogo dos alunos da dupla (B):
Aluno 1: “Eu acho que é onde tem terra... olha só... aqui só tem água.”
Aluno 2: “Eu acho que ta errado, mas põe pra ver!”
Aluno 1: “É, eu acho que ta errado...”
Aluno 2: “Vamos procurar no globo... olha aqui, a circunferência
equatorial.”
Depois de concluída a atividade 2, decidiu-se parar para uma discussão
geral. Abriu-se um debate sobre cada uma das questões apresentadas nesta
parte, de modo a tentar eliminar possíveis conflitos.
Durante a discussão das questões foi possível perceber que os alunos
relacionavam circunferência máxima, círculos menores, “retas”
perpendiculares, conceitos discutidos na parte I desta seqüência, os quais
esperava-se que tivessem utilizado na resolução da atividade.
Pelas respostas das duplas foi percebida uma falha na concepção da
seqüência. Ao fornecer o texto, as informações confundiram os alunos,
gerando as respostas incorretas, como pode ser observado pelas respostas
dadas nas questões anteriores, os alunos se prenderam às informações sobre
latitude e longitude, não conseguindo responder corretamente várias das
questões.
Após a socialização das respostas deu-se continuidade ao
desenvolvimento das atividades.
125
ATIVIDADE 3
1. Localizem no Globo Terrestre os hemisférios Norte e Sul e as marcas
da latitude e da longitude em graus.
Esta atividade era apenas de observação.
Apenas a dupla (A) não apresentou dificuldade, as demais duplas foram
auxiliadas pela professora pesquisadora, ou pelos observadores, para
localizarem as marcas de latitude e longitude sobre o globo e para diferenciá-
las. Quanto aos hemisférios Norte e Sul, todas as duplas souberam localizá-
los.
Os observadores foram orientados a auxiliar, caso os alunos tivessem
dificuldade na localização das marcas de latitude e longitude, tendo em vista
que, o fato de não saberem distinguir uma da outra, poderia comprometer as
questões seguintes.
2. Observando um Globo terrestre, determinem as coordenadas
geográficas de cada uma das cidades da tabela abaixo:
Não se esqueçam, é necessário informar se a latitude é Norte (N) ou Sul
(S) e se a longitude é Leste (L) ou Oeste (O)
Cidade Latitude Longitude
São Paulo
Maceió
Belo Horizonte
Roma
Nova York
Buenos Aires
Londres
Tóquio
Cidade do México
As duplas (A), (B) e (C) não tiveram dificuldade em localizar as latitudes e
longitudes, há apenas uma pequena diferença em graus nos registros.
126
As duplas (D) e (F) inverteram, registraram latitude no lugar de longitude e
vice-versa. Houve intervenção da pesquisadora, discutindo a questão com
cada dupla individualmente, de modo a evitar possíveis trocas nas atividades
seguintes.
As figuras abaixo (Fig 4.43) e (Fig 4.44) mostram duas duplas na busca
das coordenadas.
Figura 4.43
Figura 4.44
Para resolver esta questão, as duplas observaram o globo em busca das
coordenadas. Percebeu-se um debate bastante rico.
Da discussão da dupla (B) ficou registrado o seguinte diálogo:
Aluno 1: “Este é fácil, eu lembro... são os graus da esfera.”
Aluno 2: “Mas como eu sei se é leste ou oeste? É o meridiano de ‘não sei
o que’ que determina?”
Aluno 1: “É isso mesmo! Esquerda é Oeste.”
Aluno 2: Então São Paulo é só vir até aqui (olhando no globo) e imaginar
a linha... é sul e oeste... vamos ver.”
Percebe-se que mais uma vez os alunos fizeram dessa questão
associação ao estudo da Geometria Esférica enquanto resolviam problemas
utilizando o Globo Terrestre.
127
3. Qual a latitude e a longitude do Lugar onde vocês moram?
As duplas (B), (C) e (D) copiaram as coordenadas de São Paulo, da tabela
da atividade anterior.
A dupla (A) registrou: Latitude Sul e Longitude Oeste.
Acredita-se que a resposta da dupla (A) mostra compreensão do conceito
de latitude quanto aos hemisférios norte e sul e da longitude quanto aos
hemisférios leste e oeste e não como coordenadas de um ponto.
4. Localizem no globo terrestre os trópicos de Câncer e Capricórnio,
assim como os círculos polares ártico e antártico e completem a tabela
anotando a latitude de cada linha.
Linha de referência Latitude
Trópico de Câncer
Trópico de Capricórnio
Equador
Círculo Polar Ártico
Circulo Polar Antártico
As duplas (A), (B), (C), (D) e (F) localizaram sem problemas,
apresentando diferenças nas respostas, por erro de aproximação.
Observa-se também que apenas a dupla (D) percebeu, ou já tinha o
conceito, de que os trópicos e os pólos estão localizados na mesma distância
em relação ao Equador, apenas em hemisférios diferentes, fato que foi
discutido na socialização das respostas. As demais duplas apresentaram
coordenadas diferentes, como por exemplo (A) colocou Trópico de Câncer 24º
N e Trópico de Capricórnio 22º S.
Durante a socialização das respostas as duplas voltaram ao globo para
verificar as coordenadas de cada linha de referência. Um dos alunos da dupla
(C) levantou a questão de que os trópicos estão a uma mesma distância do
Equador, só que em hemisférios diferentes, o mesmo acontecendo com os
círculos polares.
128
As fotos que seguem (Fig 4.45), (Fig 4.46), (Fig 4.47), (Fig 4.48) e (Fig
4.49), ilustram o trabalho dos grupos na observação do globo.
Figura 4.45
Figura 4.46
Figura 4.47
Figura 4.48
Figura 4.49
5. Se você estiver exatamente na metade da distância entre o Equador e o
Pólo Norte e a leste do Meridiano de Greenwich, na sexta parte do
comprimento em graus da linha do Equador, a que latitude e longitude
você se encontrará? (LUCCI, E. A. Geografia – O homem no espaço
global, Ed. Saraiva, 1999. p.305)
As duplas apresentaram as seguintes respostas:
Dupla (A): “A latitude é 45º e a longitude é 90º”.
Dupla (B): “45º N e 90º O”.
Dupla (C): “latitude 45º N e longitude 0º”.
Dupla (D): “45º longitude leste e 60º latitude norte”.
Esperava-se que as duplas percebessem que a distância do Equador ao
pólo é de 90º e que o comprimento da linha do Equador é de 360º, fazendo
129
uma associação com as atividades do encontro anterior, onde foi determinada
a distância entre dois pólos sobre a circunferência, tendo em vista que a
circunferência mede 360º.
Com exceção da dupla (F), as demais duplas perceberam que metade da
distância entre o equador e o pólo norte era de 45º. No relatório dos
observadores ficou registrado: dupla (A): “Os alunos tiveram muita dificuldade
em entender a 6ª parte. Eles contaram 6 linhas meridionais”; dupla (B) “Os
alunos responderam rapidamente, mas não prestaram atenção ao enunciado,
onde estava escrito sexta parte, consideraram seis meridianos” ; dupla (C): “Os
alunos tiveram muita dificuldade com a idéia de sexta parte, além disso
estavam cansados e o raciocínio ficou prejudicado”.
Durante a discussão da dupla (A) registrou-se o seguinte diálogo:
Aluno 1: “Na metade. Se é 180º do Pólo Sul ao Pólo Norte, então é 90º do
equador ao pólo... metade é 45º.”
Aluno 2: “É, ta certo!”
Aluno 1: “Na sexta parte do comprimento do Equador.”
Aluno 2: “Aqui, 1, 2, 3, 4, 5 ,6, então a longitude é 90º.”
Para resolver esta questão todas as duplas recorreram apenas ao globo
terrestre, não utilizando desenhos ou esquemas gráficos.
As respostas foram socializadas, percebeu-se que os alunos associavam
o comprimento da circunferência como sendo de 360º, mas se utilizaram das
marcas de latitude e longitude do globo para responder à questão.
A resolução das atividades 1, 2 e 3 demandou mais tempo do que o
esperado, decidiu-se, então, que as atividades 4 e 5, desta parte, seriam
desenvolvidas no início do próximo encontro.
Além do fator tempo, levou-se em conta também que os alunos já se
encontravam cansados, fato observado por mais de um dos professores
observadores.
130
ATIVIDADE 4
Para responder as questões desta atividade não foram utilizados materiais
concretos, os alunos deveriam resolvê-las apenas por abstração.
1. Imagine se colocássemos em volta da esfera
uma cartolina e projetássemos, a partir do centro
da esfera, as linhas que representam o equador, os
meridianos, os trópicos e os círculos polares.
Como essas linhas seriam projetadas sobre a
cartolina?
A dupla (A) registrou como observação: “A partir de um ponto formaram as
linhas” e apresentou a figura (Fig 4.50). As demais figuras foram apresentadas
pela dupla (B) (Fig 4.51) , pela dupla (C) (Fig 4.52) e pela dupla (D) (Fig 4.53).
Figura 4.50
Figura 4.51
Figura 4.52
Figura 4.53
131
O Observador da dupla (A) registrou: “Os alunos partiram de um ponto
sobre a esfera, não levaram em conta que o problema sugeria um ponto no
centro da esfera”.
O observador da dupla (C) registrou: “Ao desenharem sobre a folha que
envolvia o globo, no desenho, imaginaram linhas retas. Ao desenharem no
retângulo, colocaram as linhas curvas”.
Percebe-se pela resolução desta atividade que os alunos, com exceção
da dupla (D), não possuem o conceito de planificação, sobre um cilindro,
partindo do centro da esfera.
Durante a discussão da dupla (A) foi gravado o seguinte diálogo:
Aluno 1: “Como seria esse ponto?”
Aluno 2: “Seria mais ou menos colocado no centro.”
Aluno 1: (...) “Vai sair do lado oposto.”
Aluno 2: “É, se pegar o globo e girar vai sair do lado oposto.” (...)
“Mas tem alguma coisa faltando...”
Aluno 1: “Como sairão?”
Aluno 2: “Não vai sair em forma de bola, em forma esférica... Aqui na
ponta não vai pegar se puser tinta na esfera.”
Aluno 1: “É, iria pegar só os lados dela.” (a esfera)
Percebe-se que os alunos da dupla (A) iniciaram pensando na projeção
do ponto a partir do centro da esfera, mas, como precisavam desenhar no
plano, partiram em busca de outra estratégia. Pensaram então em passar tinta
sobre a esfera de arame e, ao rolar a esfera sobre o papel, imaginaram como
ficariam as marcas da tinta.
2. Como ficaria a projeção dos triângulos, que estão sobre as esferas
abaixo, no plano, ao projetarmos a partir do centro da esfera sobre a
cartolina?
132
a)
b)
c)
A dupla (A) fez as seguintes observações:
a) sairia do lado oposto
b) também sairia do lado oposto
c) Não apareceria, porque imaginando houvesse tinta na esfera, de
modo que ela passasse por um papel, não apareceria a ponta da
esfera.
Observa-se que a dupla (A), mas uma vez, ao escrever que “sairia do lado
oposto”, imaginou que a figura, ao ser projetada sobre a cartolina, seria
simétrica à figura colocada sobre a esfera. Como na atividade anterior,
percebe-se que a sugestão de partir de um ponto no centro da esfera foi
desconsiderada.
A dupla (C) fez a seguinte observação:
“Nós observamos que, se desenharmos os triângulos nos paralelos, um
acima do outro, os triângulos mudam de tamanho”
Pelos desenhos apresentados pela dupla (C), percebe-se que eles
imaginavam que a projeção do triângulo iria diminuir (fig 4.54) e (Fig 4.55)
Figura 4.54
Figura 4.55
133
Registraram também: “Nós observamos que, se colocarmos a cartolina
em volta do globo (esfera), o desenho das linhas paralelas e meridianos
sairiam imperfeitos”. Pelo desenho apresentado, podemos observar que a
dupla imaginou as linhas curvas.
As demais duplas também observaram a variação de tamanho dos
triângulos. Pelos registros apresentados percebe-se que imaginaram que a
projeção iria diminuir à medida que se aproximavam dos pólos.
ATIVIDADE 5
Para o desenvolvimento desta atividade foram utilizados os seguintes
materiais: esfera de arame, vela, cartolina, figuras geométricas em EVA.
1) Utilizando a esfera de arame vamos projetar a esfera sobre um cilindro
de cartolina utilizando uma vela no centro.
O que vocês observaram?
Como vocês planificariam agora a esfera?
V
ocês haviam imaginado, na atividade anterior,
as linhas como na projeção realizada na
experiência?
Com exceção da dupla (D) todos ficaram surpresos com a projeção das
linhas do globo sobre a cartolina. Concluíram que as linhas projetadas seriam
feixes de retas paralelas, verticais e horizontais.
Todas as duplas apresentaram o desenho, no retângulo, como linhas
paralelas, horizontais e verticais.
134
Para a última pergunta desta questão, “Vocês haviam imaginado, na
atividade anterior, as linhas como na projeção realizada na experiência?”, a
dupla (D), que havia imaginado a projeção corretamente fez o seguinte registro:
“Sim, pensamos na geometria plana, em transformarmos as retas da geometria
esférica em retas da geometria plana”.
Mais uma vez, é observada a mobilização de conhecimentos anteriores
para a resolução de problemas novos.
Segundo Vergnaud:
.
Os conhecimentos dos alunos são formados pelas situações com que
se depararam e que progressivamente dominaram, nomeadamente
pelas situações susceptíveis de dar sentido aos conceitos e aos
procedimentos que se pretende ensinar-lhes. (Vergnaud, 1991, p.
171)
As fotografias abaixo, mostram a utilização do material concreto para a
realização do experimento. Uma dupla com a esfera sobre o suporte já com a
vela colocada (Fig 4.56). Uma dupla acendendo a vela. fig (Fig 4.57) e a esfera
iluminada e a projeção na cartolina. (Fig 4.58)
Figura 4.56 Figura 4.57 Figura 4.58
2. Coloque sobre a esfera de arame as figuras geométricas e observe a
projeção sobre o cilindro.
Registrem as suas observações.
135
Todas as duplas registraram que, à medida que o triângulo se afasta da
linha do equador, para baixo ou para cima, a projeção aumenta de tamanho.
Concluiu-se a partir desta resposta que o objetivo desta atividade foi
atingido, tendo em vista que os alunos, antes do experimento, acreditavam que
o tamanho iria diminuir. Lembrando Vergnaud:
(...) o funcionamento cognitivo de um sujeito ou de um grupo de
sujeitos em situação assenta sobre o repertório de esquemas
disponíveis, anteriormente formados, de cada um dos sujeitos
tomados individualmente. Simultaneamente, as crianças descobrem
novos aspectos, e eventualmente novos esquemas em situação.
(Vergnaud, 1991, p. 161)
A foto abaixo mostra a projeção de dois triângulos, de mesmo tamanho,
sobre o cilindro de cartolina.(Fig 4.59)
Figura 4.59
Esta atividade permitiu discussões, reflexões e validações, com a
utilização de material de fácil confecção, de modo que as duplas pudessem
compreender como é feita a projeção cilíndrica do globo terrestre.
Em seguida as duplas foram convidadas a ler o texto (anexo VI) que trata
das projeções cartográficas e apresenta, além da projeção cilíndrica, mais duas
projeções, a cônica e a azimutal, o que permitiu um debate muito interessante
em relação à confecção de mapas.
136
4.4. RESUMO DAS CONCLUSÕES DA PARTE II
O objetivo desta parte da seqüência era verificar se os conceitos
trabalhados nas atividades da primeira parte iriam influenciar no
desenvolvimento das atividades sobre o globo terrestre e discutir a
planificação do globo, através da projeção cilíndrica.
Durante a realização da seqüência, foi possível detectar que os alunos
faziam associação do estudo da Geometria Esférica, com o estudo do Globo.
Tivemos evidências desta associação em diversos momentos do
desenvolvimento das atividades:
• Na atividade 1, quando os alunos imaginaram dois pontos
diametralmente opostos, distantes 180º.
• Na atividade 2, quando as duplas se referiram à circunferências
máximas e círculos menores, retas concorrentes, arcos.
• Durante a discussão das questões da atividade 2, no debate geral,
os alunos associaram Meridianos e Equador, à retas
perpendiculares, além de citarem mais uma vez as circunferências
máximas e os círculos menores.
• Nas atividades 3 e 4, quando associaram as medidas das
distâncias em graus sobre a esfera com as coordenadas
geográficas, latitude e longitude.
A análise das respostas das duplas permitiu observar também uma falha
na concepção da seqüência. Antes de iniciar a atividade 2, foi solicitado aos
alunos que efetuassem a leitura do texto I, da parte II da seqüência, texto esse
que trazia informações sobre o movimento de rotação da terra e sobre as
coordenadas geográficas (latitude e longitude), que serviriam de base para
responderem às questões das atividades 3. Os alunos se prenderam ao texto
para responder às questões da atividade 2, e acabaram dando respostas
137
incorretas. Concluiu-se desta forma, que o ideal teria sido apresentar o texto no
início da atividade 3.
Como já foi exposto anteriormente, houve uma ampla discussão de cada
questão apresentada após o término da atividade 2.
As atividades 4 e 5 tinham por objetivo mostrar um dos modelos de
projeções cartográficas, a projeção, cilíndrica e as deformações que ocorrem à
medida que nos afastamos do Equador.
Pôde-se perceber que os alunos, na maioria, achavam que, ao projetar as
linhas do globo sobre um cilindro, essas ficariam curvas, acompanhando o
formato da esfera, mas, ao utilizarem uma vela, no centro da esfera, para
efetuar a projeção, puderam reformular o conceito que haviam formado.
O experimento trouxe muitas surpresas para os alunos, ao projetarem
figuras que estavam sobre a esfera, para o cilindro, inicialmente imaginavam
que o tamanho das figuras iria diminuir e puderam perceber, na esfera
iluminada, que o tamanho aumenta. Concluindo desta forma, que quanto mais
longe do equador, maior será a deformação que ocorrerá nesta projeção.
4.5. PARTE III – O MAPA
Para o desenvolvimento desta última etapa da seqüência, cada dupla
recebeu um Atlas geográfico e régua.
ATIVIDADE 1
1. No Atlas (pág 38), observem o mapa-múndi, localizem o Equador, o
Trópico de Capricórnio, o Trópico de Câncer, os círculos polares ártico e
antártico.
138
Esta atividade era apenas de observação. Foi registrado pelos
professores observadores que todos localizaram sem problema as linhas
solicitadas.
2. Localize no Atlas um país cortado por cada linha de referência da
tabela
Linha de Referência País
Círculo Polar Ártico
Trópico de Câncer
Equador
Trópico de Capricórnio
No País escolhido na tabela acima, localize uma cidade próxima a linha de
referencia e indique sua Latitude (N ou S) e longitude (L ou O) utilizando o
mapa político por continente.
Linha de Referência País Cidade Longitude Latitude
Círculo Polar Ártico
Trópico de Câncer
Equador
Trópico de Capricórnio
A maioria dos alunos não apresentou dificuldade na resolução desta
questão, as duplas (C) e (F) apresentaram dificuldade apenas para a
localização da longitude, foi necessária a intervenção da pesquisadora.
Observa-se que as duplas registraram as mesmas latitudes para os dois
trópicos, fato que não ocorreu na atividade 3, da parte II desta seqüência, o
que foi discutido com os alunos. Acredita-se que este conceito foi apreendido.
Percebe-se que as duplas utilizaram os conceitos adquiridos no estudo do
globo terrestre, tendo em vista que conseguiram localizar os países sobre as
linhas de referência e suas latitudes e longitudes.
Para determinar a cidade do país escolhido, observou-se que os alunos
deixaram de lado a informação da linha de referência, escolhendo inicialmente
139
uma cidade qualquer. Foram instruídos pelos observadores e pela
pesquisadora que voltassem a ler a questão, após escolherem as cidades,
localizaram suas coordenadas, sobre o mapa, com tranqüilidade.
3. Indiquem três países localizados no Hemisfério Norte.
4. Indiquem três países localizados no Hemisfério Sul.
5. O Brasil está localizado em qual Hemisfério?
As três questões anteriores foram respondidas corretamente pelas duplas,
o que indica que os conceitos de Hemisfério Norte e Hemisfério Sul, também
foram apreendidos.
6. Observando o mapa político do Brasil, pág 97, localize o estado que
possui as latitudes e longitudes indicadas abaixo:
2º N
e 60º O
0º
e 52º O
9º S
e 70º O
10º S
e 36º O
3º S
e 38º O
15º S
e 49º O
5º S
e 35º O
25º S
e 51º O
27º S
e 49º O
23º S
e 46º O
As duplas (A), (D) e (F) confundiram as coordenadas 2º N e 60º O,
respondendo Amazonas ao invés de Roraima, observando as coordenadas, no
mapa indicado, tal confusão parece ter surgido devido à escala do mapa e à
proximidade da divisa dos dois estados.
As duplas (D) e (F) responderam Pará, ao invés de Amapá, para as
coordenadas 0º e 52º .
140
Ainda a dupla (F) errou nas duas últimas, onde seria Santa Catarina,
colocou São Paulo (27º S e 49º O) e onde seria São Paulo, colocou Rio de
Janeiro (23º S e 46º O).
Com esta atividade, ao inverterem-se os dados, ao invés de buscar as
coordenadas de um lugar, fornecer as coordenadas e solicitar que localizassem
a cidade, pretendia-se verificar se os alunos haviam apreendido os conceitos
de latitude e longitude. Pode-se verificar um certo domínio em relação a estes
objetos, com exceção da dupla (F) que apresentou bastante dificuldade na
leitura do mapa e na localização das coordenadas.
As fotos abaixo mostram alguns alunos, durante a resolução das
atividades, utilizando o Atlas: (Fig 4.60), (Fig 4.61), (Fig 4.62) e (Fig 4.63)
Figura 4.60
Figura 4.61
Figura 4.62
Figura 4.63
141
2. ATIVIDADE 2
Esta atividade trata de questões referentes ao fuso horário. As duplas,
antes de iniciarem a resolução, foram convidadas a ler o texto I do CD (anexo
VII) onde encontraram informações para a resolução de problemas com fuso
horário, além de alguns problemas resolvidos.
1. Que horas e dia serão no estado de Minas Gerais localizado a 45º O,
quando no Vietnã localizado a 105º L forem 22 horas do dia 26/04?
Esperava-se que respondessem que em Minas Gerais serão 12 horas do
mesmo dia. Todas as duplas resolveram corretamente.
No relatório dos observadores foi registrado que as duplas (A) e (B)
tiveram dificuldade na compreensão do enunciado, mas conseguiram resolver
apenas com a releitura do texto e que a dupla (C) retornou diversas vezes ao
texto antes de conseguir concluir a atividade.
Percebe-se na resolução da atividade um certo domínio quanto às
longitudes apresentadas. Os alunos lidam com as medidas em graus com
segurança.
No texto disponibilizado no CD havia um problema análogo a este, de
modo que os alunos puderam resolver à questão, baseados no exemplo dado.
2. Que horas e dia serão na cidade de Anadir localizada a 180º L, quando
na Groelândia a 30º L forem 18 horas do dia 26/04 ?
A resposta esperada era: 4 horas do dia seguinte.
A Dupla B, ao encontrar 28 horas, optou em efetuar a subtração 18 – 10 e
encontrou 8 horas como resposta.
A dupla F, também encontrou a resposta 28 horas e percebe-se que esta
resposta não fez muito sentido para eles, que resolveram subtrair 18 de 28
encontrando 10 horas como resposta.
142
As duplas (A) e (D) não demonstraram dificuldade. Já para a dupla (C) o
observador fez o seguinte comentário: “Neste exercício a dupla discutiu muito e
apresentou dificuldades para responder, entretanto chegaram às 28 horas. Um
dos alunos julgou que 28 horas, seria impossível, pois o dia só tem 24 horas,
concluíram então que deveria ser 4 horas do dia 27/04”.
Tendo em vista o novo objeto a ser tratado, o fuso horário, acredita-se que
os erros que surgiram ajudaram a enriquecer o debate na socialização das
respostas. Um dos alunos da dupla (A) sugeriu que fosse utilizado o globo
terrestre para a resolução destas atividades. Como não havia globos
disponíveis para todas as duplas, a pesquisadora sugeriu que consultassem no
Atlas o mapa dos fusos.
Também para esta questão, foi disponibilizado no texto um exemplo, onde
as longitudes estavam no mesmo hemisfério, de modo que, acredita-se, os
alunos seguiram o modelo para resolução. O fato de encontrarem 28 horas
como resposta foi um obstáculo para algumas das duplas.
3. A cidade de São Paulo está situada no fuso horário 45º O. Quando em
São Paulo forem 13 horas do dia 28/04 que horas e dia serão em Lisboa
localizada a 8º O?
Esperava-se que encontrassem como resposta 37º, o que foi feito sem
problema pelas duplas. Como 37º equivale a dois fusos e meio
(aproximadamente) e como não há diferença no mesmo fuso, deveriam
encontrar como diferença 3 horas e como resposta que em Lisboa seriam 16
horas do mesmo dia.
A dupla (A) respondeu corretamente, mas no comentário do observador
foi registrado “Um dos alunos queria dividir o fuso em minutos, pois a diferença
não foi um múltiplo de 15, o que gerou uma discussão muito interessante antes
de chegarem à resposta”
A dupla (B) encontrou aproximadamente 2,46 como resposta, percebe-se
que ficaram em dúvida quanto ao que fazer...os alunos optaram em subtrair 2
143
de 13 e encontraram como resposta 11 horas. O observador registrou que a
dupla retornou ao texto buscando elementos para resolução.
A dupla (C) pensou corretamente, mas quando foi somar 2, 46 com o 13,
não respeitou o valor posicional encontrando como resposta 2,59.
A dupla (D) respondeu corretamente e registrou que, ao observarem o
mapa, ficou claro que seriam 3 horas de diferença... devido à marca de fuso
horário.
A dupla (E) não soube resolver e não deixou nenhum registro.
Este problema exigia que os alunos, além de calcular a diferença entre as
latitudes, percebessem que, ao dividirem o resultado e encontrarem um
número quebrado para o fuso, verificassem o intervalo onde o ponto estaria
localizado, para então determinarem as horas.
Pelo resultado apresentado pelas duplas, acredita-se que seriam
necessárias mais situações envolvendo a idéia desta questão, para que, de
fato, o conceito pudesse ser adquirido.
4. Um avião saiu de Tóquio 135º L às 20 horas do dia 29/04, com destino a
Fernando de Noronha 30º O. A viagem durou 07 horas. Pergunta-se:
A que horas e dia o avião pousou em Fernando de Noronha?
Esperava-se como resposta 16 horas do mesmo dia.
As duplas (A), (B), (D) responderam corretamente mas, pelo relatório dos
observadores, com dificuldade.
A dupla (C), ao invés de somar o tempo que durou a viagem, subtraiu.
(E) Encontraram a diferença de 11 horas, mas não pensaram em verificar
o horário em Fernando de Noronha quando da saída do avião.
Mais uma vez os alunos não tiveram dificuldade em determinar a distância
em graus de um lugar ao outro e a diferença horária, porém, o tempo da
viagem, um elemento novo apresentado neste problema, surgiu como
obstáculo para algumas duplas.
144
5. Um avião saiu de Honolulu, no Havaí 150º O às 22 horas do dia 28/04,
com destino a Santiago do Chile 60º O. A viagem durou 11 horas.
Pergunta-se:
A que horas e dia o avião pousou em Santiago ?
A resposta esperada era: 3 horas do dia seguinte.
A dupla (A) encontrou a diferença horária correta, mas, na hora de
verificar que horas eram em Santiago somaram ao invés de subtrair o que
gerou o erro.
A dupla (B) respondeu corretamente e, segundo comentário do
observador, não apresentou dificuldade.
A dupla (C) também somou ao invés de subtrair a diferença horária.
Encontrando 28 como resposta afirmaram que o dia só tem 24 horas, então
partiram para uma subtração, buscando uma resposta lógica.
A dupla (D) pensou corretamente, só cometendo um erro de cálculo no
final, encontram 2 horas ao invés de 3.
A dupla (F) encontrou a diferença horária apenas.
Algumas duplas não observaram que Santiago estava à esquerda de
Honolulu, logo deveriam, após encontrar a diferença horária, 6 horas, subtrair
do horário de saída do avião de Honolulu, 22 horas, para determinar o horário
de saída do avião de Santiago, para então somar o tempo de viagem.
Percebe-se que existe, ainda, falta de domínio do conceito de fuso
horário, o qual, para ser adquirido, vai exigir um trabalho maior, que não cabe
nesta seqüência, mas, acredita-se, que as situações propostas nesta atividade
apesar de não serem suficientes para a conceituação, contribuíram para sua
transformação em objeto de pensamento.
6. Um dos meios de transporte mais rápidos de nossa época, o avião
supersônico Concorde, é uma maravilha tecnológica que já começa a
ultrapassar a compreensão humana. No interior do avião, os passageiros
nem notam o estampido que se produz quando esse atinge a velocidade
do som. Uma velocidade duas vezes superior à velocidade do som
145
confunde facilmente a própria noção do tempo. O horário local de
chegada em Nova Iorque é o mesmo da partida de Londres.
Como você explica o fato de o horário de chegada em Nova Iorque ser o
mesmo da partida de Londres? (LUCCI, E. A. Geografia – O homem no
espaço global, Ed. Saraiva, 1999. p.305)
Todos concluíram que é devido ao fuso horário, mas nenhuma dupla
procurou verificar as longitudes como se esperava que acontecesse.
Acredita-se que as atividades desenvolvidas anteriormente, onde as
coordenadas geográficas foram trabalhadas no globo e no mapa, auxiliaram na
resolução das questões apresentadas na atividade 2 desta parte da seqüência.
Percebe-se que os alunos, apesar de apresentarem dificuldade com o
novo objeto, fuso horário, apresentaram um certo domínio em relação ao
trabalho com as longitudes apresentadas.
3. ATIVIDADE 3
Para o desenvolvimento desta atividade, os alunos foram convidados a ler
antes o texto do CD (anexo VIII), onde a idéia de escala foi apresentada.
1. Usando o mapa político da Região Sudeste (Pág 167 do Atlas), qual é a
distância em linha reta entre as cidades A e B da tabela?
Cidade A Cidade B Distância em cm
(no mapa)
Distancia em km
(aprox.)
São Paulo Belo Horizonte
São Paulo Jaú
Pres. Venceslau Sorocaba
Rio de Janeiro Vitória
A resolução desta atividade foi tranqüila para todas as duplas, apenas
com diferenças na aproximação das medidas. A idéia da escala ficou
aparentemente clara. Todas as duplas observaram no mapa a escala de 70 km
146
para cada cm, esperava-se que se prendessem à escala apresentada no texto,
que era de 100 km para cada cm, o que não ocorreu.
Em um dos diálogos registrados (dupla A), pode-se concluir que o
conceito de escala, para determinar distâncias entre dois pontos sobre um
mapa, não representou um problema para os alunos:
Aluno 1: “São Paulo... Belo Horizonte... olha, o ponto amarelinho é a
capital.”
Aluno 2: “Vamos medir a distância... deu...7,4 centímetros.”
Aluno 1: “Nossa, mas é sete milhões.”
Aluno 2: “Não pode ser... tem algo errado.”
Aluno 1: “Olha aqui... é sete milhões... mas sete milhões de que? De
centímetro... ou será milímetro? Mas na escala do mapa... olha aqui... é setenta
quilômetros para um centímetro”.
Aluno 2: “Então é só multiplicar...“
2. No Mapa político do Brasil (pág 97 do Atlas), escolham três capitais e
determinem a distância, em linha reta, até a capital do Brasil.
Capital Distância em cm (no mapa) Distancia em km (aprox.)
Nesta atividade, esperava-se que os alunos observassem que a escala
utilizada no mapa sugerido era diferente da escala do mapa anterior.
A dupla (F) utilizou a mesma escala do mapa anterior.
As demais duplas utilizaram a escala correta que era de 250 km por cm. O
observador da dupla (C) registrou que os alunos iniciaram os cálculos com a
147
escala do mapa anterior, mas um dos alunos da dupla percebeu o engano e
corrigiram a tempo.
As respostas das duplas para a atividade 2 e 3 foram socializadas. Foi
dada uma atenção especial à dupla (F) que, aparentemente, compreendeu a
mudança de escalas de um mapa para o outro.
Foi dada por encerrada a seqüência de ensino.
4.6. RESUMO DAS CONCLUSÕES DA PARTE III
Esta última parte da seqüência de ensino tinha por objetivo a utilização
dos conceitos de latitude e longitude, desenvolvidos no estudo do globo
terrestre, e o desenvolvimento de conceitos ligados à idéia de fuso horário e
de escalas.
Acredita-se que os objetivos desta parte da seqüência foram atingidos,
tendo em vista que os alunos utilizaram os conceitos sobre coordenadas
geográficas quando buscavam respostas aos problemas que envolviam latitude
e longitude.
Para as questões que trabalhavam a idéia de fuso horário, os alunos
apresentaram um nível de dificuldade maior. Apesar da dificuldade aparente,
as duplas conseguiram concluir as atividades a contento, tendo já que os textos
traziam exemplos e informações que auxiliaram na busca do conhecimento.
Acredita-se que existe um longo caminho até a aquisição do conceito de
fuso horário, mas, os procedimentos utilizados pelos alunos durante a
resolução dos problemas propostos sugerem uma estrutura de pensamento
através de objetos matemáticos.
Houve uma grande utilização de conceitos matemáticos para a resolução
dos problemas que envolviam fusos horários e escalas. Desta forma pode-se
concluir mais uma vez que, uma situação envolve vários conceitos e um
148
conceito só pode ser apreendido através de várias situações, como foi
defendido por Vergnaud.
A criação de conceitos sobre a esfera, propiciou a criação de conceitos
sobre o globo terrestre e a transição para o globo planificado: O Mapa.
Vergnaud afirma que:
O funcionamento cognitivo do sujeito em situação depende do estado
os seus conhecimentos, implícitos ou explícitos. É necessário, pois,
conceder uma grande atenção ao desenvolvimento cognitivo, às suas
continuidades, às suas rupturas, às suas passagens obrigatórias, à
complexidade relativa das classes de problemas, dos procedimentos,
das representações simbólicas, à análise dos principais erros e dos
principais fracassos. (Vergnaud, 1991, p. 190)
Procurou-se neste estudo observar as rupturas dentro de um conjunto de
situações, buscando analisar os procedimentos dos alunos durante a
realização das atividades, suas formulações e representações.
Os esquemas que organizaram as condutas perante as situações
apresentadas também foram observados em vários momentos deste estudo
mediante as ações e observações que foram registradas.
149
Capítulo 5
Considerações Finais
O presente estudo foi desenvolvido a partir de uma seqüência de ensino
que envolvia questões relacionando elementos da Geometria Esférica com
conceitos utilizados para o estudo do Globo Terrestre.
Para a concepção da seqüência partiu-se de uma pesquisa com
professores de geografia, análise de livros didáticos de geografia, propostas
curriculares e os Parâmetros Curriculares Nacionais.
A seqüência foi elaborada em três etapas. Na primeira etapa os alunos
foram conduzidos a refletir sobre alguns aspectos da Geometria Esférica,
buscando a criação de conceitos sobre um novo objeto, no caso a esfera. Na
segunda etapa, buscou-se relacionar os conceitos trabalhados anteriormente
de modo a criar significados para as linhas traçadas sobre o globo terrestre. Na
terceira e última etapa procurou-se criar uma ponte entre o estudo do globo e
sua forma planificada, o mapa, para trabalhar a idéia de fuso horário e de
escala de mapas, onde a matemática está fortemente presente.
A metodologia de pesquisa foi a Engenharia Didática, de Michèle Artigue
(1988). A construção da seqüência de ensino foi baseada nas Teorias de
Vergnaud e de Vygotsky.
A questão de pesquisa escolhida para nortear este trabalho foi:
“Uma introdução à Geometria Esférica pode favorecer o estudo da
Geografia do Globo Terrestre e em particular o estudo de mapas?”.
Para responder à questão, o presente estudo buscou analisar as relações
entre conceitos adquiridos com o estudo da Geometria Esférica e conteúdos
específicos da Geografia, através de uma seqüência de ensino, tendo como
150
sujeitos 14 alunos da 8ª série do Ensino Fundamental de uma escola pública
estadual localizada no município de Cotia, São Paulo.
Para o desenvolvimento da seqüência os alunos foram distribuídos em
duplas, formadas aleatoriamente.
A formação de duplas possibilitou a interação verbal e social na sala de
aula. Cada elemento da dupla teve a oportunidade de verbalizar seus
pensamentos, formando hipóteses e validando, ou não, suas conjecturas. A
comunicação entre os alunos da dupla foi fator indispensável para o
desenvolvimento das atividades propostas e, conseqüentemente, para o
processo de aprendizagem.
Na primeira etapa da seqüência, em posse de materiais concretos como
bola de isopor, linha e alfinetes, os alunos deveriam responder questões
ligadas ao estudo da Geometria Esférica, para os alunos uma “nova
geometria”. Para resolução das atividades, os alunos criavam hipóteses,
verificavam no material, discutiam, reformulavam hipóteses diante de situações
em que precisavam manipular conceitos e realidades que já conheciam para
chegar a saberes até então ignorados.
Durante o desenvolvimento da seqüência os alunos tiveram contato com
um tipo diferente da geometria com que estavam acostumados a trabalhar: a
Geometria Esférica. O trabalho com esse outro modelo de Geometria fez com
que os alunos pudessem estabelecer relações com conceitos geográficos
através da matemática.
Embora os conceitos de Geometria Esférica não sejam conteúdos
abordados nas aulas de matemática, o presente estudo visou avançar na
busca de novos conhecimentos. A proposta de incluir esta “nova geometria” em
busca de formar conceitos relacionados ao estudo das linhas de referência do
Globo Terrestre e as coordenadas geográficas gerou novos conhecimentos e
relações, o que foi possível observar, por exemplo, quando as duplas
relacionaram os meridianos e a linha do equador à medida de uma
circunferência em graus, concluindo que mediam 180º.
151
Durante o desenvolvimento das atividades, constatou-se que os alunos
fizeram ligação entre os conceitos geométricos na esfera e no plano, por
exemplo, quando afirmaram: “Os três ângulos medem 90º, mas isso não pode
acontecer...a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º” e ainda,
quando foram convidados a descobrir que figura aparecia sobre a esfera
quando traçassem três segmentos unindo três pontos não colineares e
responderam: “É um triângulo... mas não pode ser...as linhas não são retas”,
Observou-se nos alunos modificações em suas concepções anteriores,
porque, à medida que eram feitas as institucionalizações, passaram a utilizar a
terminologia adequada à geometria esférica, como triângulo esférico, ângulo
esférico, entre outros.
Na segunda etapa da seqüência, em posse do globo terrestre para
desenvolvimento das atividades, foi possível observar que os alunos faziam
uso dos conceitos adquiridos no estudo da esfera para responder às perguntas.
Eles associaram circunferências máximas aos meridianos e ao Equador,
circunferências menores com os paralelos terrestres. Identificaram retas
perpendiculares sobre o globo. Utilizaram a distância entre dois pontos, sobre a
esfera para determinar a distância entre o equador e os pólos.
Ainda na segunda parte da seqüência, duas atividades propunham a
planificação da esfera através da projeção cilíndrica. Foi possível, com estas
atividades, traçar uma ponte entre o globo terrestre e o mapa. Discutiu-se a
deformação que ocorre ao projetar as linhas que estão sobre o globo em um
plano. Os alunos observaram que, à medida que se afastam do Equador, na
projeção cilíndrica, há uma distorção bastante grande das linhas e regiões
sobre a esfera.
Na última parte, com a utilização do Atlas geográfico, foi observado que
os alunos adquiriram um certo domínio sobre os conceitos de latitude e
longitude, tendo em vista que resolveram as atividades onde era proposto que
fornecessem a latitude e a longitude de países e cidades sobre os mapas, com
facilidade. O mesmo ocorreu quando, em posse das latitudes e longitudes,
localizaram os estados correspondentes.
152
Ainda da última parte da seqüência, para resolver os problemas que
envolviam a idéia de fuso horário e de escalas de mapas, os alunos utilizaram
conceitos adquiridos em matemática, reforçados pela manipulação do Atlas
geográfico.
Constatou-se que a seqüência de ensino elaborada, e conduzida neste
trabalho, se diferiu do ensino tradicional, basicamente pelo fato dos alunos
serem constantemente forçados a agir. Não de qualquer forma, mas
intencionalmente em busca da aprendizagem. Diversas vezes foram
convidados a efetuar a leitura dos textos para validar suas conjecturas ou para
buscar informações que lhes permitiriam responder as questões.
Espera-se que os alunos que tiveram contato com a Geometria esférica,
de maneira geral, tenham outra visão da geometria plana e que, ao analisarem
pequenas distâncias sobre a Terra, o uso da Geometria Plana responda suas
questões, no entanto, quando pensarem em distâncias maiores, lembrem que
são necessárias outros tipos de Geometria.
Para finalizar, pode-se concluir que um trabalho com a Geometria
Esférica, tal como foi proposto neste estudo, em face dos resultados verificados
durante o desenvolvimento da seqüência de ensino, contribui para o processo
de compreensão de conteúdos específicos da Geografia, em especial, o estudo
do Globo Terrestre e dos mapas.
153
Referências
AABOE, A. Episódios da História Antiga da Matemática. Sociedade Brasileira
de Matemática, Rio de Janeiro, 2002.
ADAS, M. Geografia. V. 1, 2, 3 e 4, São Paulo: Moderna, 2001.
ALMEIDA, L.M.A. ; RIGOLIN, T. Novo Ensino Médio: Geografia. São Paulo:
Ática, 2002.
ALVES, S. A Geometria do Globo Terrestre. II Bienal da SBM, Bahia, 2004.
ARTIGUE, M. Ingénierie Didactique. Recherches em Didactiques des
Mathématiques, vol. 9, nº 3, Genoble, France, 1988.
ASSMANN, H. Reencantar a educação: Rumo à sociedade aprendente.
Petrópolis, RJ: Vozes, 2002.
ÁVILA, G. Euclides, Geometria e Fundamentos. RPM, São Paulo, n. 45, p.1,
2001.
ÁVILA, G. Legendre e o postulado das paralelas. RPM, São Paulo n. 22, p. 16,
1993.
BOCZKO, R. Conceitos de Astronomia. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1984.
BOLIGIAN, L. et al. Geografia: Espaço e Vivência. V. 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries, São
Paulo: Atual, 2005.
BOYER, C. História da Matemática. Tradução por Elza F. Gomide. São Paulo:
Edgard Blücher, 1974.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, MEC, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Geografia. Brasília, MEC, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e
Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília, MEC,
1999.
COLEÇÃO MEMÓRIA DA PEDAGOGIA. Lev Semenovich Vygotsky: Uma
Educação Dialética. São Paulo: Ediouro, n. 2, 2005.
154
COUTINHO, L. Convite às Geometrias Não-Euclidianas. Rio de Janeiro:
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, 1989.
DARÓS, V. Vivendo a Geografia. Vol.1, São Paulo: FTD, 1986.
DEVLIN, K. Matemática: A ciência do padrões. Tradução: DURÃES, A. M.,
Portugal:Porto, 2002.
FAZENDA, I. C. A. Dicionário em construção: Interdisciplinaridade, São Paulo:
Cortez, 2001.
FAZENDA, I. C. A. Didática e interdisciplinaridade. Campinas, SP: Papirus,
1998.
FRANCHI, A. et al. Educação Matemática: Uma introdução. São Paulo: EDUC,
1999.
IBGE. Atlas Geográfico Escolar, Rio de Janeiro, IBGE, 2002.
LIMA, E. L. Meu Professor de Matemática. IMPA – VITAE, Rio de Janeiro:
Gráfica Vagner Ltda, 2001
LUCCI, E. A. Geografia – O homem no espaço global. São Paulo: Saraiva,
1999.
MACHADO, N. J. Epistemologia e Didática: As concepções de conhecimento e
inteligência e a prática docente. São Paulo: Cortez, 1995.
MAGINA, S.; et al. Repensando Adição e Subtração: Contribuições da Teoria
dos Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2001
MAGNOLI, D.; ARAÚJO, R. Geografia – Paisagem e território, São Paulo:
Moderna, 2001.
MARTOS, Z. G. Geometrias Euclidianas: uma proposta metodológica para o
ensino de Geometria no Ensino Fundamental. 2002. 143 f. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências
Exatas, UNESP – Rio Claro.
MILLER, Joe In: Jonathon Porrit. Salve a Terra. São Paulo: Globo, 1991
MONTANGERO, J.; NAVILLE, D. M. Piaget ou a Inteligência em Evolução.
Porto Alegre, RS: Artmed, 1998.
MOREIRA, M. A.; MASINI, E.F.S. Aprendizagem Significativa: A Teoria de
David Ausubel. São Paulo: Centauro, 2001.
NAKATA, H.; COELHO, M. A, Geografia Geral. São Paulo: Moderna, 1985.
155
NOGUEIRA, N.R. Pedagogia dos Projetos: Uma Jornada Interdisciplinar em
Rumo ao Desenvolvimento das Múltiplas Inteligências. São Paulo: Érica, 2001.
OLIVA, W. M. – artigo: “A independência do axioma das paralelas e as
Geometrias Não-Euclidianas” – RPM nº 2, p. 28 – 1983
OLIVEIRA, M. K. “Algumas contribuições da psicologia cognitiva” Série Idéias,
nº 6, São Paulo, SP, FDE, 1992. p. 47 – 51.
OLIVEIRA, P. R. Currículo de Matemática: do programa ao projeto. 2004. 174 f.
Tese (Doutorado em Educação). Faculdade de Educação. Universidade de São
Paulo.
PATAKI, I. Geometria Esférica para a Formação de Professores: Uma proposta
interdisciplinar. 2003. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática),
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
PESCUMA, D.; CASTILHO A. P. F., Projeto de Pesquisa. O que é? Como
fazer?: um guia para sua elaboração. São Paulo: Olho D’Água, 2005.
PIFFER, O. Geografia no Ensino Médio, São Paulo: IBEP, 2000.
PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da Organização Linear à Idéia de
Rede. São Paulo: FTD, 2000.
PITTE, J. R. (coord.) Geografia – A natureza humanizada, São Paulo: FTD,
1998.
RANDLES, W. G. L. Da terra plana ao globo terrestre. Tradução: CASTILHO,
M. C. F. Campinas, SP: Papirus, 1994.
REVISTA NOVA ESCOLA. Vygotsky: O teórico social da inteligência. São
Paulo: Abril, Edição Nº139, jan./ fev. 2001. Edição especial.
ROHDEN, H. Einstein – O Enigma do Universo. São Paulo: Alvorada, 1987
SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino de matemática, 1º
grau. 4ª ed. São Paulo: SE/CENP, 1991.
SENE, E.; MOREIRA, J. C. Trilhas da Geografia, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries, São
Paulo: Scipione, 2005.
TÓRTORA, O. D. Cartões. Disponível em: <http://osvaldotortora.com.br>
Acesso em 15 maio 2006.
VERGNAUD, G. La Théorie des champs conceptuels. Recherches en
didactiques des mathématiques. vol. 10, nº 23, Genoble, France 1991.
156
VESENTINI, J. W. Sociedade e espaço – Geografia Geral e do Brasil, São
Paulo: Ática, 2000.
VITRAC, B. Euclide d’Alexandrie, “Les Eléments. Traduits du texte de heiberg.”
Vol. 1, Introduction générale de M. Caveing, lives I – IV: Géomètrie Plane.
Paris: PUF, 1990.
VYGOTSKY, L.S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos
processos psicológico superiores. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1991.
VYGOTSKY, L.S. Pensamento e linguagem. 3.ed. São Paulo: Ed. Martins
Fontes, 1991.
157
Anexos
Anexos Descrição Página
Anexo I .......... Parte I – Texto 1 ........................................................
I
Anexo II ......... Parte I – Texto 2 ........................................................
III
Anexo III ........ Parte I – Texto 3 ........................................................
VI
Anexo IV ....... Parte I – Texto 4 ........................................................
VIII
Anexo V ........ Parte II – Texto 1 .......................................................
X
Anexo VI ....... Parte II – Texto 2 .......................................................
XIII
Anexo VII ...... Parte III – Texto 1 ......................................................
XVI
Anexo VIII ..... Parte III – Texto 2 ......................................................
XX
Anexo IX ....... Parte I – Roteiro para o observador ..........................
XXIII
Anexo X ........ Parte II – Roteiro para o observador .........................
XXXI
Anexo XI ....... Parte III – Roteiro para o observador ........................
XXXVII
Anexo XII ...... Atividade diagnóstica .................................................
XLII
Anexo XIII ..... Atividade diagnóstica – Roteiro para o observador ...
XLIII
Anexo XVI ..... Folha de concessão de imagens ...............................
XLVI
158
Anexo I
PARTE I – TEXTO 1
INTERSECÇÃO DE UM PLANO COM UMA ESFERA
Se um plano corta uma esfera, a sua intersecção com essa esfera é um
círculo
máximo ou um círculo menor.
Círculos Menores
Círculo Máximo
Círculo Máximo: A intersecção da superfície
esférica com um plano passando pelo seu centro
é chamada um círculo máximo da superfície
esférica. Há uma forte razão para esse nome: os
círculos máximos são os círculos de maior raio
contidos na superfície esférica.
Se tomarmos apenas a linha que se forma sobre a esfera,
ao traçarmos um plano passando pelo seu centro, a linha
será denominada Circunferência máxima.
I
RETA SOBRE A ESFERA
Na geometria temos pontos e retas.
Considerando a superfície da esfera, como sendo o plano desta geometria, as
retas são as circunferências máximas também chamadas de geodésicas da
superfície esférica.
Dados dois pontos A e B sobre a superfície da esfera, chamaremos de
reta a
circunferência máxima que passa por esses dois pontos.
B
A
Os pontos A e B dividem a reta em dois arcos.
Esses dois arcos podem ser:
•
iguais se A e B forem extremos de
um mesmo diâmetro da esfera.
•
Um maior e o outro menor.
Cada um desses arcos recebe o nome de Segmento de reta.
II
Anexo II
PARTE I – TEXTO 2
RETAS
Dado um ponto sobre a esfera,
podemos encontrar infinitas retas que
passam por este ponto.
Observe na bola de isopor, que ao
traçarmos estas retas, elas se encontram
em dois pontos, diametralmente opostos
(na figura A e A’).
A’
A
O que nos leva a concluir, que na esfera não existem retas paralelas, apenas
retas concorrentes.
UM POUCO DE HISTÓRIA
Euclides de Alexandria que viveu por volta do ano 300 a.C., em uma de suas
obras, intitulada “Os Elementos” dá uma lista de cinco postulados e cinco
noções comuns, os quais serviram como base para a construção de toda a
geometria, denominada Euclidiana.
Na tentativa de provar o 5º Postulado de Euclides, também chamado de
Postulado das Paralelas, o qual acreditava-se poder ser demonstrado através
dos quatro primeiros postulados, surgiram as Geometrias Não-Euclidianas.
III
O Quinto postulado hoje pode ser traduzido:
Por um ponto do plano fora de uma reta passa uma única reta paralela a
essa reta.
(retas paralelas de um plano são aquelas que prolongadas
indefinidamente não se encontram).
No início do século 19 ainda não estava claro se o Quinto Postulado tinha
validade absoluta ou se podia ser desobedecido em geometrias alternativas.
Bolyai e Lobachevsky criaram a
Geometria Hiperbólica, onde, em uma
plano existem infinitas retas paralelas.
(*)NICOLAI
IVANOVITCH
LOBACHEWISKY
(1793-1856)
(*)JANOS
BOLYAI
(1802-1860)
Riemann criou a Geometria Elíptica, que tem como um
de seus axiomas o que estabelece que não existem
retas paralelas a uma reta dada, contrariando o 5º
Postulado de Euclides.
(*)GEORGE
FRIEDERICH
BERNHARD RIEMANN
(1826-1866)
O grande matemático alemão Bernhard Riemann chamou a atenção para uma
falha cometida por Euclides, Saccheri e os outros pioneiros. É que eles sempre
admitiam, sem contestar, que uma reta tem de ser infinita e ilimitada. Isso é dito
no 2º postulado de Euclides e significa que, se um cidadão começasse a viajar
em linha reta, seguindo a trajetória de um raio de luz, nunca chegaria ao fim da
linha, mesmo se fosse eterno. Talvez isso valha apenas para o espaço
euclidiano e não seja necessário em outros espaços, sugeriu Riemann.
Deixando de lado essa restrição, Riemann mostrou que podia criar uma
nova geometria, a que denominou de Geometria Elíptica.
(*) Figuras retiradas de www.educacaomatematica.vilabol.uol.com.br
IV
Mais tarde, um outro matemático, chamado Félix Klein, denominou a
geometria Riemanniana de:
Elíptica,
Admitindo que duas retas distintas possuem somente um
ponto em comum.
Esférica,
Admitindo que duas retas distintas se interceptam em dois
pontos distintos diametralmente opostos.
(*)FÉLIX KLEIN
(1849-1925)
(*) Figura retirada de www.educacaomatematica.vilabol.uol.com.br
V
Anexo III
PARTE I – TEXTO 3
Distância na superfície esférica
Dados dois pontos sobre uma esfera a
distância entre esses pontos é a menor porção
do círculo máximo que contém esses pontos.
Embora, por A e B outros círculos possam ser
considerados, a distância entre eles é sempre
medida sobre o único círculo máximo
determinado por A e B, isto porque a menor
distância, - característica das geodésicas - é
obtida se medida ao longo do círculo máximo a que pertencem os pontos A e B.
Para medir distâncias sobre a superfície esférica podemos usar como
unidade de medida o grau.
Uma volta completa sobre a esfera, corresponde a
360º.
Conhecendo o comprimento da circunferência máxima,
podemos determinar a distância em graus de um ponto a
outro com o auxilio da regra de três.
Se o comprimento de uma circunferência máxima for de 30 cm e a distância entre dois pontos
A e B sobre a circunferência for de 10 cm, temos:
30 cm ––– 360º
10 cm ––– x
então, temos:
30 x = 360 . 10
30 x = 3600
x =
30
3600
x = 120º
VI
Ângulo esférico
Sendo os círculos máximos as “retas” da superfície esférica, define-se o
ângulo esférico como sendo a intersecção de dois círculos máximos e a sua
medida é a mesma do ângulo plano formado pelas tangentes tiradas do ponto
de intersecção.
VII
Anexo IV
PARTE I - TEXTO 4
Triângulo esférico
A
Sejam A, B e C três pontos distintos sobre
uma esfera e não pertencentes a um
mesmo círculo máximo. A figura formada
pelos arcos de círculos máximos que
unem esses pontos dois a dois, chama-se
triangulo esférico ABC.
B
C
A
As retas ABA’ e ACA’ são
perpendiculares à reta BC (formam
ângulos de 90º com a reta BC) e
interceptam-se nos pontos antípodas A
e A’ (extremidades de um mesmo
diâmetro da esfera).
B C
A reta BC, perpendicular às retas ABA’
e ACA’ é a polar comum dos pontos A
e A’
A’
Então dizemos que a reta BC é a reta
polar à reta ABA’ e que A e A’ são
pólos da reta BC. Da mesma forma
dizemos que a reta BC é a reta polar à
reta ACA’ e que os pontos A e A’ são
pólos da reta BC.
90º
A e A’ são os pólos da reta BCDE
A distância de A ou A’ a qualquer ponto da
reta BC é constante e mede 90º.
VIII
O Triângulo da figura ao lado, possui
três ângulos retos (90º) e três lados
medindo 90º, dizemos que ele é
trirretângulo e trirretilátero
Os triângulos esféricos podem ser
classificados:
Quanto aos ângulos:
Retângulo – possui um ângulo reto
Birretângulo – possui dois ângulos retos
Trirretângulo – possuios três ângulos retos
Quanto aos lados:
Retilátero – possui um lado medindo 90º
Birretilátero – possui dois lados medindo 90º
Trirretilátero – possui três lados medindo 90º
Observando as Figuras
ao lado, a superfície da
esfera é dividida em 48
“triângulos”, todos iguais
entre si, e cujos ângulos
são de 90, 60 e 45 graus:
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/triangulos3.htm
Observemos os vértices onde se juntam quatro triângulos (portanto, cada um dos
quatro ângulos que aqui se encontram é de 90º=360º/4), os vértices onde se juntam
seis cada um com 60º = 360/6 e outros onde se juntam oito triângulos, cada um com
45º = 360/8.
No entanto: 90 + 60 + 45 dá 195, e não 180: temos, portanto, um triângulo cuja soma
dos ângulos não é 180 graus! Porém, tal não nos deve surpreender muito, porque, na
verdade, não se trata propriamente de um triângulo: trata-se de um triângulo “gordo”,
desenhado sobre uma esfera, e cujos lados não são segmentos, mas sim o que de
mais parecido com segmentos pode ser desenhado numa esfera, ou seja, arcos de
círculo máximo.
IX
Anexo V
PARTE II – TEXTO 1
A Terra gira à volta do Sol!
(Adaptado do site: http://www.cienciaviva.pt)
Cedo, habituamo-nos a observar que o dia se sucede à noite e
que a noite se sucede ao dia. Porquê?
Porque vemos o Sol nascer, percorrer o céu e
iluminar-nos. Mas ao fim do dia ele desaparece por
detrás dos montes ou no mar. Então, surgem as
estrelas e a Lua, nascendo e desaparecendo para de
novo dar lugar ao Sol.
As pessoas que viveram há muitos, muitos anos, pensavam que o Sol se movia em torno da
Terra. Mas, há cerca de 450 anos, Nicolau Copérnico mostrou que a Terra se move em torno
do Sol, e os dias se sucedem às noites e as noites aos dias, porque a Terra gira sobre si
própria.
A Terra, no seu movimento em volta do Sol,
percorre uma trajetória aproximadamente
circular. A Lua roda em volta da Terra e
acompanha o seu movimento em torno do
Sol.
Nicolau Copérnico nasceu no ano de 1473 na Polônia.
Copérnico dedicou-se ao estudo da medicina, das leis e da
astronomia.
Foi Copérnico quem pela primeira vez apresentou provas
convincentes de que a Terra gira em torno do Sol. Escreveu as suas
idéias no livro Sobre a Revolução dos Corpos Celestes, publicado no
ano de 1543, em Nuremberga, na Alemanha.
www.educacaomatematica.
vilabol.com.br
X
O Globo Terrestre
Foi a observação da regularidade do movimento da Terra em volta
do Sol que permitiu aos astrônomos e geógrafos encontrar métodos práticos
para determinar a nossa posição sobre a Terra.
Para localizar um determinado
ponto ou região da Terra podemos utilizar
o globo terrestre. Para isso utilizamos as
chamadas Coordenadas Geográficas:
latitude e longitude.
http://paginas.terra.com.br
LATITUDE
Os pontos mais a norte e mais a sul do equador são referenciados ao
longo de linhas circulares paralelas desenhadas sobre a Terra. Essas linhas
são os paralelos e a sua posição é medida em graus: o equador é a linha de
zero graus, o Pólo Norte está a 90º N em relação ao equador, e o Pólo Sul a
90º S em relação ao equador. A medida da posição norte-sul chama-se latitude.
A latitude do trópico de Câncer é de 23 graus e 30 minutos, precisamente igual
à inclinação do eixo da Terra em relação ao plano da sua órbita em torno do
Sol!
Para determinar a latitude de um lugar durante o dia, é necessário saber, para além
do ângulo que o Sol ao meio do dia faz com o horizonte, a data e a nossa posição
aproximada sobre a Terra: é preciso saber se estamos no hemisfério Norte ou no
hemisfério Sul e qual a nossa posição em relação aos trópicos. No hemisfério Norte a
inclinação da Estrela Polar é a latitude de um lugar.
XI
A latitude de um lugar é a medida do ângulo
que se percorre quando se vai do equador até ao
paralelo que passa por esse lugar, perpendicularmente
ao equador. Esse ângulo é igual ao ângulo que a
Estrela Polar faz com o horizonte, a qualquer hora.
Medir a latitude é simples, pois no céu noturno do
hemisfério Norte da Terra, a Estrela Polar está sempre
presente.
Fonte: http://paginas.terra.com.br
LONGITUDE
Já sabemos determinar posições mais
a norte ou mais a sul sobre a Terra,
isto é, sabemos determinar a latitude
de um lugar. Para determinar
completamente a nossa posição sobre
a Terra é necessário saber se estamos
mais a leste ou a oeste, isto é,
precisamos saber a longitude. Agora, o
Sol e as estrelas não nos podem
ajudar.
Fonte: http://paginas.terra.com.br
A idéia de determinar a nossa posição leste-oeste veio do astrônomo grego
Ptolomeu, que nasceu por volta do ano 100 d. C. Em seu livro a Geografia
Ptolomeu introduzia o sistema de latitudes e longitudes tal como é usado hoje.
A longitude de um ponto A é a medida do arco de paralelo que passa
por A, situado entre o meridiano que contém A e o meridiano de Greenwich.
A longitude é expressa em graus, minutos e segundos e se mede de 0º a 180º
E (leste, alguns autores substituem o E por L) ou de 0º a 180º W (oeste, alguns
autores substituem o W por O).
XII
Anexo VI
PARTE II – TEXTO 2
MAPA
É a representação do globo terrestre, ou de trechos da
sua superfície, sobre um plano, indicando fronteiras
políticas, características físicas, localização de cidades e
outras informações geográficas, sócio-políticas ou
econômicas.
Fonte: http://paginas.terra.com.br
A única forma rigorosa de representar a superfície da
Terra é por meio de globos, nos quais se conservam
exatamente as posições relativas de todos os pontos e
as dimensões são apresentadas em uma escala única.
Fonte: http://paginas.terra.com.br
PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS
São métodos utilizados para representar a superfície de uma esfera (ou de um
elipsóide), no todo ou em parte, sobre uma superfície plana.
São mais de 200 tipos de projeções.
No quadro abaixo encontramos um resumo das classificações das projeções:
www.mar.mil.br/dbn/bhn/publicacao/download/cap2a.pdf
XIII
Neste trabalho optamos em trabalhar apenas uma das projeções. É importante ter em mente
que cada tipo de projeção tem um objetivo específico, que no nosso estudo não serão
discutidos, mas vocês podem buscar informações caso tenham interesse.
Com o globo de arame projetado sobre a cartolina vimos a Projeção cilíndrica
que é geralmente usada para mapas de toda a superfície terrestre, uma vez
que tendem a evitar a grande distorção que acontece em projeções cônicas e
azimutais em áreas que estão distantes do ponto de contato.
www.sispesca.io.usp.b
r
Neste tipo de projeção as deformações acontecem ao longo das médias e altas
latitudes; é o tipo de projeção mais utilizada, principalmente no meio didático.
As baixas latitudes apresentam-se respeitando as devidas formas.
www.dpi.inpe.b
r
www.isba.com.b
r
XIV
PROJEÇÃO CÔNICA
Muito boa para cartografar as altas latitudes; apresenta distorções ao longo das
baixas latitudes. Um aspecto negativo quanto a esta projeção é o fato de
representar áreas pouco extensas e apenas um hemisfério por vez.
www.isba.com.b
r
PROJEÇÃO AZIMUTAL
Muito boa para representar parte de um continente, pois apresenta poucas
deformações. Os mapas são elaborados a partir de um plano tangente sobre a
esfera terrestre.
www.isba.com.b
r
www.isba.com.b
r
XV
Anexo VII
PARTE III – TEXTO 1
Fusos Horários
A ilustração deste texto foi extraída do site www.esaf.fazenda.com.br - Programa Nacional de Educação Fiscal
Como as diferença de longitudes entre os meridianos escolhidos não eram
horas e minutos exatos, as mudanças de horas de um país para outro exigiam
cálculos incômodos. Para evitar isso, adotou-se o convênio internacional dos
fusos horários.
De acordo com a definição de tempo civil, lugares de longitudes
diferentes têm horas diferentes porque têm meridianos diferentes.
Inicialmente, cada nação tinha a sua hora, que era a hora do seu
meridiano principal.
A
qui no Brasil, até 1913, quando na
Capital Federal, atual cidade do Rio de
Janeiro, era 12 horas, em Recife eram
12:33 e em Porto Ale
g
re eram 11:28.
Todos os lugares de um determinado
fuso, apesar de não estarem exatamente
sobre o meridiano do fuso, têm a hora do
meridiano central do fuso.
Os fusos variam de
0h a +12h para leste
de Greenwich e de
0h a -12h para oeste
de Greenwich.
Cada fuso compreende
15 graus e corresponde a 1 hora.
Fuso zero é aquele cujo meridiano
central passa por Greenwich.
XVI
Pelo Brasil passam quatro fusos, que determinam horários distintos,
dependendo da localidade. Observe o mapa:
Hora Legal: é a hora civil do meridiano central do fuso
www.astral-online.com/amostra/fuso/shtm
• – 2 h: arquipélago de Fernando de Noronha.
• – 3 h: estados do litoral, Minas Gerais, Goiás, Tocantins e parte oriental do
Pará.
• – 4 h: parte ocidental do Pará, parte oriental do Amazonas, Mato Grosso e
Mato Grosso do Sul.
• – 5 h: parte ocidental do Amazonas e Acre.
Na tabela a seguir vocês descobrem qual a correção necessária em relação ao Tempo
Universal e a hora de Brasília para diversas localidades do Brasil.
Localidade
Correção ao
Tempo
Universal
Correção à
hora de
Brasília
Acre, Amazonas (Região de Atalaia do Norte, Boca do Maoco,
Benjamin Constant, Eirunepé, Envira, Ipixuna).
-5 h -2 h
Amazonas (Região de Boca do Acre, Jutaí, Manaus, Floriano
Peixoto), Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Pará (Região de
Altamira, Oribidos, Prainha, Oriximina, Santarém), Rondônia,
Roraima.
-4 h -1 h
Rio Grande do Sul, Paraná, Santa Catarina, Espírito Santo,
Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo, Alagoas, Bahia,
Ceará, Maranhão, Paraíba, Pernambuco, Piauí, Rio Grande do
Norte, Sergipe, Goiás, Amapá, Pará (Região de Belém, Marabá,
Serra Norte, São Félix do Xingu).
-3 h 0 h
Ilhas de Fernando de Noronha, Trindade, Martin Vaz, Atol das
Rocas, Penedos de São Pedro e São Paulo .
-2 h +1 h
obs.: As correções não consideram o horário de verão.
XVII
Para resolver problemas relativos a fusos horários podemos:
Determinar a longitude da cidade que se
conhece a hora e daquela que se que
r
conhecer.
O resultado da soma ou subtração deverá se
r
dividido por 15 (15º = 01 hora). Caso a divisão
não seja exata verifica-se o intervalo onde está
localizado o
p
onto e verificam-se as horas.
Para hemisférios iguais
(L e L) ou (O e O),
subtrair as longitudes.
Para hemisférios diferentes
(L e O), somar as longitudes.
O resultado da divisão será a diferença
horária que deverá ser somada se o
local que quisermos saber a hora
estiver a leste ou subtraído, se estive
r
a oeste.
Vamos ver alguns exemplos:
XVIII
1) Observe a figura
O
www.astral-online.com/amostra/fuso/shtm
Se na cidade B localizada a 105º L são 21 horas do dia 10/03. Que horas e
dia será na cidade A localizada a 60º O ?
Resolução:
Como as cidades A e B estão em hemisférios diferentes devemos somar
as longitudes: 105º + 60º = 165º
Dividindo 165 por 15 temos 11, ou seja, são onze horas de diferença.
Como queremos saber o horário em uma cidade que está a oeste da que
conhecemos, subtraímos 11 de 21, obtendo o resultado: Em A será 10 horas
do mesmo dia.
2) Se na Cidade C, localizada a 150º W, são 4 horas, que horas e dia será
na cidade A localizada a 60º W?
Resolução:
Como as cidades A e C estão no mesmo hemisfério devemos subtrair as
longitudes: 150º – 60º = 90º
Dividindo 90 por 15 temos 6, ou seja são seis horas de diferença, como
queremos saber o horário em uma cidade que está à leste da que
conhecemos, somamos 4 e 6 e obtemos como resultado 10, ou seja será em
A 10 horas do dia 10/03.
Duas cidades localizadas a leste de Greenwich: a que
tem longitude maior, possui a hora mais adiantada.
Duas cidades localizadas a oeste de Greenwich: a que
tem a longitude maior, possui a hora mais atrasada.
Sites pesquisados em 03/01/06 http://www.numaboa.com.br/relogios/astronomia/medTempo.php e
http://www.formosaonline.com.br/geonline/textos/geografia/cartografia05.htm
XIX
Anexo
VIII
Parte III - Texto 2
A ilustração deste texto foi extraída do site www.esaf.fazenda.com.br - Programa Nacional de Educação Fiscal
OS MAPAS
A
baixo você vê o mapa do estado de
São Paulo
com suas principais cidades
desenhado na escala
1 : 10.000.000.
Para que você
possa determinar distâncias
em um mapa, precisa apenas
de uma régua e
da escala desse mapa.
Os mapas são
desenhos muito reduzidos
de grandes regiões.
ESCALA 1:10.000.000
Vamos
Melhorar
isso.
Observe:
A escala indica
que 1 cm no mapa
corresponde a uma
distância de
10.000.000 cm
na realidade.
XX
10.000.000 cm = 100.000 m = 100 km .
Como exemplo, vamos
determinar a distância
em linha reta entre as
cidades de Presidente
Prudente e Ribeirão
Preto.
Então, cada
centímetro do
desenho
corresponde a
100 km na
realidade.
Com uma régua medimos no mapa a distância entre essas
duas cidades.
Encontramos 3,62 cm.
Como cada centímetro nesse mapa representa 100 km,
a distância real será:
3,62 · 100 = 362 km, aproximadamente.
ESCALAS
A escala numérica pode ser representada por
uma razão, como 1:500.000 ou por uma fração
ordinária, por exemplo,
000.500
1
.
Essa escala significa que cada centímetro
no mapa representa 500.000 centímetros,
ou seja, 5 km no terreno.
Escala é o nome que se dá à relação entre as
dimensões reais da área na superfície terrestre e
sua representação no mapa. Em todos os mapas
corretamente representados podemos encontrar
essa medida, expressa graficamente ou em
números.
A escala gráfica aparece nos mapas como uma linha reta
dividida em partes iguais, por exemplo:
XXI
ESCALAS GRANDES E PEQUENAS
Quanto maior for o
denominador, menor
será a escala?
Imagine que a relação seja
Isso mesmo!
a mesma de fatiar uma pizza,
cortada em oito ou em oitenta
pedaços.
Quanto menor for o número de
fatias, maior será cada uma delas.
Com as escalas dos ma
p
as
Outra área, na escala
1:500.000, foi reduzida
500 mil vezes.
Portanto, a escala 1:500 é maior.
E quanto maior for a escala, maior
será o detalhamento da área
representada.
Uma área representada na escala 1:500 foi
reduzida 500 vezes para caber no papel.
Sites pesquisados em 03/01/06
http://www.numaboa.com.br/relogios/astronomia/medTempo.php e
http://www.formosaonline.com.br/geonline/textos/geografia/cartografia05.htm
XXII
Anexo IX
Roteiro para o observador – Parte I – A Esfera
Dupla: _________________________
Data ____/____/ 2006
ATIVIDADE 1
1) Se resolvêssemos “fatiar” a esfera, que figuras encontraríamos?
2) O que seria uma reta na superfície da esfera? (coloque 2 pontos
re
pr
esentados
p
or alfinetes e trace a “reta” com a linha
)
Quanto a atividade 1:
No item a os alunos conseguiram visualizar os cortes?
( ) sim, sem dificuldade.
( ) sim, com um pouco de dificuldade.
( ) sim, mas precisaram se utilizar da laranja.
( ) não, mesmo com o material concreto apresentaram dificuldade e não
conseguiram responder, foi necessário a intervenção do pesquisador.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
No item b os alunos responderam:
( ) reta é a circunferência máxima ou o maior círculo (tranqüilamente).
( ) reta é alinha que divide a esfera ao meio.
( ) conseguiram concluir que reta é a circunferência máxima, mas com muita
dificuldade.
( ) concluíram que não existem retas sobre a esfera.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
Os alunos fizeram referência ao postulado da Geometria Euclidiana : “Por dois
pontos passa uma e somente uma reta”?
Comentários:
XXIII
ATIVIDADE 2
1) Marque um ponto sobre a esfera.
a) Quantas “retas” vocês podem traçar passando por esse ponto?
b) Na bola de isopor trace uma dessas retas.
Na questão 1
Em a, a resposta correta é: “por um ponto passam infinitas retas”
,
( ) os alunos responderam corretamente, sem dificuldade.
( ) se utilizaram do conhecimento da geometria euclidiana e fizeram referência
ao postulado: Por um ponto passam infinitas retas.
( ) não conseguiram enxergar os círculos máximos passando por um ponto
nem com o manuseio do material concreto.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Em b,
( ) conseguiram traçar a reta (circulo máximo) sem dificuldade.
( ) traçaram círculos menores.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
2) Duas retas são chamadas concorrentes quando estão num mesmo plano
e possuem um ponto em comum.
a) Na superfície esférica existem retas concorrentes?
b) Se existirem, na bola de isopor, trace duas retas concorrentes.
Em a, a resposta correta é que sim, todas as retas se cruzam.
( ) responderam com facilidade que todas as retas se cruzam.
( ) tiveram um pouco de dificuldade para perceber que duas retas sempre se
encontram.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Em b,
( ) conseguiram traçar a reta (circulo máximo) sem dificuldade.
( ) traçaram círculos menores.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
XXIV
3) Duas retas são paralelas se estão num mesmo plano e não possuem
nenhum ponto em comum.
a) Na superfície esférica existem retas paralelas?
b) Se existirem, na bola de isopor, trace duas retas paralelas.
Em a, a resposta correta é que não, todas as retas se cruzam.
( ) responderam com facilidade.
( ) tiveram um pouco de dificuldade para perceber que duas retas sempre se
encontram.
( ) pensaram nos círculos menores.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Em b,
( ) nem tentaram encontrar retas paralelas.
( ) traçaram círculos menores, “paralelos” entre si.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
ATIVIDADE 3
1) Tomando dois pontos sobre a superfície esférica, como você determinaria
a distância entre eles? Qual a unidade de medida que você usaria para
medir essa distância?
Em um os alunos poderão responder que para determinar a distância entre
dois pontos se utilizariam de uma fita métrica, ou de uma régua, (aqui o ideal
seria que tivéssemos uma régua esférica). A unidade de medida é o grau.
Quanto ao determinar a distância entre os pontos, os alunos responderam:
( ) conseguiram perceber que a distância é uma porção do círculo máximo,
mas não teceram nenhum comentário.
( ) conseguiram perceber que a distância é uma porção do círculo máximo e
discutiram qual seria o “arco” possível, o menor ou o maior.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
XXV
Quanto a unidade de medida utilizada, responderam:
( ) com certeza é o centímetro.
( ) responderam centímetro mas com dúvida.
( ) responderam prontamente o grau.
( ) após discutirem responderam ser o grau.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
2) Na superfície esférica que você possui, faça o esboço de duas retas
(circunferências máximas).
a) Quantos são os pontos de intersecção entre duas retas? Quantos são
os arcos determinados por esses pontos?
b) Você identifica algum ângulo na figura que você fez na superfície
esférica? Quantos?
c) Qual a unidade de medida que você pode utilizar para medir a
abertura de um ângulo esférico? Você conhece algum instrumento
que poderia auxiliar para obter a medida do ângulo esférico?
( ) os alunos conseguiram esboçar as duas retas.
( ) os alunos precisaram do auxilio da pesquisadora para traçar as duas retas.
No item a, a resposta correta é: os pontos são dois e os arcos são quatro.
Quanto aos pontos, responderam:
( ) dois pontos, sem dificuldade.
( ) dois pontos, mas tiveram que discutir um pouco até chegar à conclusão.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Quanto aos arcos, responderam:
( ) quatro, sem dificuldade.
( ) quatro, mas tiveram que discutir um pouco até chegar à conclusão.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
No item b, a resposta correta: são oito ângulos.
( ) sim, oito, sem dificuldade
( ) sim, oito, mas tiveram que discutir um pouco para chegar à conclusão.
( ) sim, quatro (só observaram uma das intersecções) .
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
XXVI
No item c, deveriam responder o grau e o transferidor
( ) responderam corretamente, sem dificuldade.
( ) responderam corretamente, mas tiveram que discutir m pouco para
chegar à conclusão.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários
3) Marque, sobre a bola de isopor, 2 pontos que pertençam a um mesmo
diâmetro. Qual a distância entre estes dois pontos em graus? (lembre-se,
uma circunferência inteira mede 360º).
Espera-se que os alunos saibam o que é diâmetro, caso tenham dificuldade
para encontrar os pontos, percebendo-se que não vão conseguir, o observador,
ou o pesquisador, poderão auxiliá-los, sem deixar de anotar o fato. A resposta
correta aqui é que a distância entre estes dois pontos é de 180 graus.
( ) responderam corretamente, com facilidade.
( ) tiveram um pouco de dificuldade, mas após discussão chegaram à
resposta.
( ) responderam 90 graus.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
4) Na bola de isopor, coloque dois alfinetes de modo que a distância entre
eles seja de 60º. Justifique.
( ) pensaram em dividir o arco de 180º em três partes “iguais”.
( ) dividiram a circunferência máxima em 6 partes.
( ) mediram a circunferência da bola e se utilizaram da regra de três para
chegar à resposta.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
XXVII
ATIVIDADE 4
1) Na superfície esférica, marque três pontos, distintos e não alinhados, A, B
e C e trace os segmentos menores AB, AC e BC,
a) Descrevam a figura encontrada.
b) Que nome vocês dariam a essa figura?
Para resolver esta atividade
( ) colocaram os três pontos e uniram.
( ) traçaram os três círculos máximos.
Em a
( ) disseram ser uma figura de três lados e três ângulos.
( ) disseram ser uma figura de três lados.
( ) não souberam como descrever.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Em b
( ) responderam triângulo.
( ) responderam triângulo esférico ( ou fizeram alusão à esfera).
( ) disseram se tratar de algo parecido com um triângulo.
( ) não souberam responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários
2) Na superfície esférica marque três pontos distintos e não alinhados A, B
e C. Trace as retas que passam por AB, por AC e por BC. Quantos
triângulos ficaram determinados pelas três circunferências máximas?
Espera-se que os alunos consigam traçar as três retas, caso tenham
dificuldade para traçar as retas, percebendo-se que não vão conseguir, o
observador, ou o pesquisador, poderão auxiliá-los, sem deixar de anotar o fato.
Espera-se que “enxerguem” os oito triângulos. Os alunos:
( ) responderam corretamente, com facilidade.
( ) tiveram um pouco de dificuldade, mas após discussão chegaram à
resposta.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
XXVIII
Espera-se que os alunos tracem as retas pelos dois pólos
e encontrem a reta perpendicular a elas sem dificuldade,
inclusive que relacionem a atividade anterior ao início
desta.
4) Marque dois pontos diametralmente opostos sobre a superfície da esfera.
Trace duas retas, que passam por estes pontos, de tal forma que a esfera
fique dividida em quatro “partes iguais”. Encontre uma reta que seja
perpendicular às retas anteriores.
a) Em quantas partes a esfera ficou dividida? Que figuras representam
estas “partes”?
b) O que podemos observar em relação aos ângulos da figura?
c) Qual o comprimento (em graus) dos segmentos que formam o lado
do triân
g
ulo?
( ) conseguiram traçar as retas e a perpendicular com facilidade.
( ) tiveram um pouco de dificuldade, mas após discussão conseguiram traçar
as retas e a perpendicular.
Em a, observaram que:
( ) a esfera ficou dividia em 8 triângulos “iguais” sem dificuldade.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Em b, concluíram que:
( ) todos os ângulos que apareceram medem 90º.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Em c, responderam que:
( ) os segmentos medem 90º.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
XXX
Anexo X
Roteiro para o observador – Parte II – O Globo Terrestre
Dupla: _________________________
Data ____/____/ 2006
ATIVIDADE 1
O Objetivo desta atividade é verificar o conhecimento dos alunos em relação ao globo
terrestre e o movimento de rotação da terra.
1) “Podemos observar que o dia se sucede a noite e que a noite se sucede ao dia.
Vemos o Sol nascer, percorrer o céu e iluminar-nos. Mas ao fim do dia ele
desaparece no horizonte. Então, surgem as estrelas e a Lua, nascendo e
desaparecendo para de novo dar lugar ao Sol.”
Esperamos que os alunos respondam que é devido ao movimento de rotação da Terra.
( ) os alunos responderam corretamente, sem dificuldade.
( ) os alunos responderam corretamente, com um pouco de dificuldade, precisaram
discutir a questão.
( ) não souberam responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2) Um Astronauta, em uma missão, olhou para o céu da Lua e viu a Terra. Ele viu que a
Terra era azulada, redonda, enorme (umas 4 vezes maior do que vemos a Lua aqui da
Terra) e que flutuava no espaço, tal qual vemos a Lua flutuando no espaço. Imagine que o
A
stronauta tivesse levado um telescópio com ele. Para quem não sabe, telescópio é um
aparelho usado pelos astrônomos para ver as coisas que estão muito longe. Imagine que o
astronauta tivesse olhado para a Terra com o telescópio e que ele tivesse visto 4 pessoas.
Uma estava no pólo norte (ponto A na figura abaixo). Outra estava no pólo sul (ponto C na
figura abaixo). Outra era um brasileiro (ponto D na figura abaixo). Outra era um japonês
(ponto B na figura abaixo, pois o Japão fica do outro lado da Terra, em relação ao Brasil).
Imagine que a figura abaixo é um esboço do globo Terrestre. Desenhe o boneco abaixo
sobre cada um dos pontos A, B, C e D, tal como o astronauta teria visto as quatro pessoas.
(O boneco está muito magrinho e está fora de escala em relação à Terra)
Questão adaptada da V Olimpíada
Brasileira de Astronomia – V OBA – 2002
A
D B
C
Espera-se que os alunos coloquem os bonecos sobre cada ponto de modo que
os “pés” dos bonecos toquem os pontos.
( ) os alunos responderam corretamente, sem dificuldade.
( ) os alunos responderam corretamente, com um pouco de dificuldade, precisaram
discutir a questão.
( ) não souberam responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
XXXI
ATIVIDADE 2
O Objetivo desta atividade é relacionar os conhecimentos adquiridos na parte I,
no estudo da esfera, com o globo terrestre.
Os alunos:
1) Observando o Globo Terrestre, identifiquem que tipos de circunferências
vocês vêem na superfície do globo terrestre.
( ) identificaram as circunferências como círculos máximos e círculos menores,
fazendo uma relação com o encontro anterior.
( ) disseram ser círculos máximos e menores, mas não se referiram ao
encontro anterior.
( ) não souberam responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
2) O globo terrestre possui um eixo de rotação. Como se chamam os pontos
onde o eixo de rotação corta o globo terrestre?
Os alunos responderam:
( ) pólos.
( ) pólos terrestres.
( ) não souberam responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
3) Observem que pelos pólos do globo passam várias circunferências
máximas. Qual o nome dessas circunferências?
Os alunos:
( ) identificaram as circunferências e sabiam que eram os meridianos.
( ) identificaram as circunferências mas não sabiam o nome correto.
( ) não conseguiram identificar as circunferências.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
XXXII
Os alunos:
4) Se duas circunferências máximas passam pelos pólos, que circunferência
máxima é perpendicular a ambas? Qual o nome dado a essa circunferência?
( ) identificaram as circunferências e a perpendicular, sabiam que é o equador.
( ) identificaram as circunferências e a perpendicular mas não sabiam o nome
correto.
( ) não conseguiram identificar as circunferências e a perpendicular.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
Os alunos:
5) Quais das circunferências são denominadas Paralelos Terrestres?
( ) identificaram as circunferências sem dificuldade.
( ) identificaram as circunferências mas precisaram discutir.
( ) não conseguiram identificar as circunferências.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
ATIVIDADE 3
O objetivo desta atividade é desenvolver o conceito de latitude e longitude, tendo
como base as medidas em graus.
1) Localizem no Globo Terrestre os hemisférios Norte e Sul e as marcas da latitude
e da longitude em graus.
Os alunos, quanto aos hemisférios Norte e Sul:
( ) localizaram sem problemas .
( ) tiveram dificuldades para localizá-los e nomeá-los
( ) não souberam localizar.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Os alunos, quanto a marca de latitude:
( ) localizaram sem problemas.
( ) tiveram dificuldades mas conseguiram localiza-las.
( ) não conseguiram localizá-las.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
XXXIII
Comentários:
5) Se você estiver exatamente na metade da distância entre o Equador e o pólo
Norte e a leste do meridiano de Greenwich, na sexta parte do comprimento em
graus da linha do equador, a que latitude e longitude você se encontrará
?
(LUCCI, E. A. Geografia – O homem no espaço global, Ed. Saraiva, 1999. p.305)
Para resolver a questão, os alunos:
( ) recorreram ao globo terrestre.
( ) utilizaram desenhos e esquemas.
( ) se utilizaram apenas da abstração.
Quanto a resposta
( ) responderam sem dificuldade.
( ) tiveram dificuldade com a idéia de metade e sexta parte.
( ) tiveram dificuldade com as direções Norte e Leste.
( ) não conseguiram responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários
ATIVIDADE 4
O observador poderá se utilizar de desenho para acompanhar os seus registros
1) Imagine se colocássemos em volta da esfera uma
cartolina e projetássemos, a partir do centro da esfera, as
linhas que representam o equador, os meridianos, os
trópicos e os círculos polares. Como essas linhas seriam
projetadas sobre a cartolina?
Os alunos ao projetarem as linhas:
( ) imaginaram linhas retas.
( ) imaginaram as linhas curvas sobre o retângulo.
( ) discutiram a idéia de sair de um ponto do centro da esfera.
( ) não se preocuparam com a projeção a partir do centro.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários
XXXV
2) Como ficaria a projeção dos triângulos, que estão sobre as esferas
abaixo, no plano, ao projetarmos a partir do centro da esfera sobre a
cartolina?
a) b) c)
Os alunos ao projetarem os triângulos:
( ) perceberam que quanto mais afastados do equador maior a deformação.
( ) imaginaram a figura tal como está no desenho.
( ) discutiram a idéia de sair de um ponto do centro da esfera.
( ) não se preocuparam com a projeção a partir do centro.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários
ATIVIDADE 5
1) Utilizando a esfera de arame vamos projetar a esfera sobre um cilindro de
cartolina utilizando uma vela no centro.
O que vocês observaram?
Como vocês planificariam agora a esfera?
Vocês haviam imaginado, na atividade anterior, as linhas como na projeção
realizada na experiência?
Comentários do observador:
2) Coloque sobre a esfera de arame as figuras geométricas e observe a
projeção sobre o cilindro.
Registrem as suas observações.
Comentários do observador:
XXXVI
_____________________________________________________________________________
( ) localizaram sem problemas .
( ) tiveram dificuldades para localizá-los e nomeá-los.
( ) não souberam localizar.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
( ) localizaram sem problemas .
( ) tiveram dificuldades para localizá-los e nomeá-los.
( ) não souberam localizar.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Espera-se que respondam Hemisfério Sul.
( ) responderam sem problemas .
( ) tiveram dificuldades para responder.
( ) não souberam responder.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
6) Observando o mapa político do Brasil, pág 97, localize o estado que
possui as latitudes e longitudes indicadas abaixo:
2º N e 60º O 15º S e 49º O
0º e 52º O 5º S e 35º O
9º S e 70º O 25º S e 51º O
10º S e 36º O 27º S e 49º O
3º S e 38º O 23º S e 46º O
5) O Brasil está localizado em qual Hemisfério?
4) Indiquem três países localizados no Hemisfério Sul.
3) Indiquem três países localizados no Hemisfério Norte.
( ) localizaram sem problemas .
( ) tiveram dificuldades para localizá-los e nomeá-los.
( ) não souberam localizar.
( ) outra ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Comentários:
XXXVIII
Anexo XII
Avaliação do 1º Encontro
Data ___/___/06
Dupla: _______________________________
1) Na primeira coluna encontramos algumas frases relacionadas ao estudo da
esfera, associe na segunda coluna o complemento correto.
(A) Uma circunferência máxima da superfície
esférica, também chamada de geodésica é o que
denominados de:
( ) segmento de reta ou arco.
(B) Por dois pontos A e B sobre uma superfície
esférica fica determinada uma reta. Ao ligarmos A
e B determinamos:
( ) infinitas circunferências
máximas.
(C) Ao fatiarmos a esfera encontramos:
( ) reta.
(D) por um ponto sobre a superfície esférica
podemos traçar:
( ) círculos menores ou
círculos máximos.
2) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) para as afirmações abaixo. Se a afirmação for
falsa, reescreva de modo a torná-la verdadeira.
( )
Por um ponto sobre uma esfera podemos traçar infinitas retas.
________________________________________
( )
É possível traçar retas paralelas sobre a esfera.
________________________________________
( )
Reta na geometria esférica é uma circunferência máxima.
________________________________________
( )
Na Geometria esférica sempre que traçarmos duas retas elas serão
concorrentes.
________________________________________
( )
Para determinar a distância entre dois pontos sobre uma esfera tomamos a
menor porção sobre uma circunferência máxima.
________________________________________
( )
Duas retas da superfície esférica possuem um, e somente um, ponto em comum.
________________________________________
( )
Dados dois pontos A e B sobre uma circunferência máxima, diametralmente
opostos, a distância entre eles é de 90 graus.
________________________________________
( )
Na Geometria esférica existem triângulos que possuem os três ângulos retos
(90º).
_________________________________________
XLII
Anexo XIII
Roteiro para o observador – Atividade Diagnóstica
Data ___/___/06
Dupla: _______________________________
O objetivo desta atividade é verificar se alguns conceitos trabalhados no
encontro anterior foram assimilados.
1) Na primeira coluna encontramos algumas frases relacionadas ao estudo da esfera,
associe na segunda coluna o complemento correto.
(A) Uma circunferência máxima da superfície
esférica, também chamada de geodésica é o
que denominados de
( ) segmentos de reta ou arcos.
(B) Por dois pontos A e B sobre uma
superfície esférica fica determinada uma reta.
Ao ligarmos A e B determinamos
( ) infinitas circunferências máximas.
(C) Ao fatiarmos a esfera encontramos ( ) reta.
(D) por um ponto sobre a superfície esférica
podemos traçar
( ) círculos menores ou círculos
máximos.
Os alunos deverão encontrar a seqüência B, D, A, C
( ) responderam a atividade com facilidade, discutindo cada item.
( ) responderam a atividade corretamente, mas tiveram dificuldade.
( ) relacionaram corretamente apenas os itens: __________________
( ) não conseguiram relacionar as colunas.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
2) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) para as afirmações abaixo. Se a afirmação for
falsa, reescreva de modo a torná-la verdadeira.
( ) Por um ponto sobre uma esfera podemos traçar infinitas retas.
Os alunos deverão responder que a afirmação é verdadeira .
( ) responderam corretamente.
( ) responderam corretamente, mas tiveram dificuldade.
( ) responderam errado, mas ao tentar corrigir a frase perceberam que estava
correta.
( ) responderam errado e não perceberam.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
XLIII
( ) É possível traçar retas paralelas sobre a esfera.
Os alunos deverão responder que a afirmação é falsa, a frase correta seria:
Não é possível traçar retas paralelas sobre a esfera.
( ) responderam corretamente e souberam corrigir a frase.
( ) responderam corretamente, mas tiveram dificuldade ao corrigir a frase.
( ) responderam errado.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
( ) Reta na geometria esférica é uma circunferência máxima.
Os alunos deverão responder que a afirmação é verdadeira.
( ) responderam corretamente.
( ) responderam corretamente, mas tiveram dificuldade.
( ) responderam errado, mas ao tentar corrigir a frase perceberam que estava
correta.
( ) responderam errado e não perceberam.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
( )
Na Geometria esférica sempre que traçarmos duas retas elas serão
concorrentes.
Os alunos deverão responder que a afirmação é verdadeira.
( ) responderam corretamente.
( ) responderam corretamente, mas tiveram dificuldade.
( ) responderam errado, mas ao tentar corrigir a frase perceberam que estava
correta.
( ) responderam errado e não perceberam.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
( )
Para determinar a distância entre dois pontos sobre uma esfera
tomamos a menor porção sobre uma circunferência máxima.
Os alunos deverão responder que a afirmação é verdadeira.
( ) responderam corretamente.
( ) responderam corretamente, mas tiveram dificuldade.
( ) responderam errado, mas ao tentar corrigir a frase perceberam que estava
correta.
( ) responderam errado e não perceberam.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
XLIV
( ) Duas retas da superfície esférica possuem um, e somente um, ponto em
comum.
Os alunos deverão responder que a afirmação é falsa, a frase correta seria:
Duas retas na superfície esférica possuem dois pontos em comum
( ) responderam corretamente e souberam corrigir a frase.
( ) responderam corretamente, mas tiveram dificuldade ao corrigir a frase.
( ) responderam errado.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
( )
Dados dois pontos A e B sobre uma circunferência máxima,
diametralmente opostos, a distância entre eles é de 90 graus.
Os alunos deverão responder que a afirmação é falsa, a frase correta seria:
Dados dois pontos A e B sobre uma circunferência máxima, diametralmente
opostos, a distância entre eles é de 180º.
( ) responderam corretamente e souberam corrigir a frase.
( ) responderam corretamente, mas tiveram dificuldade ao corrigir a frase.
( ) responderam errado.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
( ) Na Geometria esférica existem triângulos que possuem os três ângulos retos
(90º).
Os alunos deverão responder que a afirmação é verdadeira
( ) responderam corretamente.
( ) responderam corretamente, mas tiveram dificuldade.
( ) responderam errado, mas ao tentar corrigir a frase perceberam que estava
correta.
( ) responderam errado e não perceberam.
( ) outra _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
XLV
Anexo XIV
Folha de Concessão de Imagens
Pesquisa para Dissertação do Curso de Mestrado Profissional PUC – SP
Título do Projeto: Geometria Esférica: Uma Conexão com a Geografia
Pesquisadora: Irene C. R. Prestes
Orientador: Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni.
O propósito deste projeto de pesquisa científica é elaborar uma proposta
metodológica para o desenvolvimento de conteúdos de geometria relacionados
com a geografia. Para tanto, serão conduzidas sessões de aulas com alunos
de 8ª série do Ensino Fundamental, da EE Sidrônia Nunes Pires, fora do
horário normal de aulas. Durante essas sessões os alunos serão
acompanhados na compreensão dos conceitos matemáticos e geográficos. Os
registros serão feitos durante as aulas através de filmagens, fotografias e
gravações, que poderão ser divulgadas. Poderá haver benefícios diretos para
você enquanto participante neste estudo, uma vez que estaremos
desenvolvendo o ensino – aprendizagem da Matemática. Após a comunidade
em Educação Matemática tomar conhecimento de nossas conclusões, poderão
ocorrer mudanças nas práticas de ensino de Matemática.
Este TERMO é para certificar que eu, ________________________________,
concordo em participar como voluntário do projeto científico acima mencionado.
Por meio deste, dou permissão para ser filmado e fotografado e que todas as
informações possam ser gravadas em fita cassete. Estou ciente de que, ao
término da pesquisa, essas informações e os resultados poderão ser
divulgados.
Cotia, ___ de ________ de 2006.
____________________________
Aluno
____________________________
Responsável pelo aluno.
RG:.........................
____________________________
Pesquisadora
XLVI
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo