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visualização perfeita de uma rede de triângulos esféricos que recubram totalmente (sem
sobreposições ou lacunas) a esfera, é necessário que os ângulos formados pelos espelhos
determinem um triângulo sobre a mesma, tal que sua área seja um divisor inteiro da área
total da esfera a ser visualizada.
Desse modo, tomemos uma esfera de raio unitário, cuja área desta será 4π, enquanto
que a área do triângulo formado pelos ângulos
l
,
m
,
n
sobre essa esfera é
l
+
m
+
n
-
π, (Geometria esférica). Então, temos que a área da esfera dividida pela área de cada
triângulo é um número positivo inteiro, assim: 4 π / (
l
+
m
+
n
- π) > 0. Dividindo todos os
membros dessa inequação por π e observando que o denominador deve ser maior que zero,
obtemos a inequação:
l
1
+
m
1
+
n
1
> 1, para que tenhamos ângulos que possibilitem repetição
“perfeita” de imagens desse triângulo tesselando a esfera.
Ball & Coxeter (1987) mostram as soluções para essa inequação: (2,2,n); (2,3,3);
(2,3,4) e (2,3,5). Devemos lembrar que as soluções correspondem a l, m e n, que são
divisores de 180º, assim referenciados (l, m, n). Então, para cada terna de solução
correspondem os caleidoscópios cujos ângulos são o resultado da divisão de 180º por esta
terna. Para a terna (2,3,3), por exemplo, corresponde o caleidoscópio com ângulos (90º,
60º, 60º). Com análoga correspondência, obtemos os caleidoscópios de ângulos (90º, 60º,
45º) e (90º, 60º, 36º) para as ternas (2,3,4) e (2,3,5), respectivamente. As quatro ternas
determinam a existência de caleidoscópios, mas o autor só utiliza os referentes as três
últimas soluções acima citadas, em cujas ternas os ângulos são bem determinados.
Os espelhos desses caleidoscópios podem ser cortados na forma de setores
circulares, mas nada impede que o sejam na forma triangular. Os ângulos entre eles devem
ser conforme deduzidos acima e, ainda, devem ser considerados os ângulos centrais dos
setores circulares, formados entre os espelhos. Assim, aos caleidoscópios com as ternas de
ângulos (90º, 60º, 60º), (90º, 60º, 45º) e (90º, 60º, 36º) formados entre os espelhos deverão
ter, respectivamente, os seguintes ângulos centrais dos setores circulares: (70º52´, 54º54´,
54º54´); (54º54´, 35º16´, 45º,) e (20º54´, 31º43´, 37º23´). Isto devido à lei dos co-senos
para os ângulos da Geometria esférica.