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FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE ACOPLADA
DE SISTEMAS OFFSHORE
Fabrício Nogueira Corrêa
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS
EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.
Prof. Webe João Mansur, PhD.
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.
Prof. Murilo Augusto Vaz, PhD.
Eng. Isaías Quaresma Masetti, D.Sc.
Prof. Paulo Batista Gonçalves, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JUNHO DE 2008
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ii
CORRÊA, FABRÍCIO NOGUEIRA
Ferramentas Computacionais para
Análise Acoplada de Sistemas Offshore [Rio
de Janeiro] 2008.
X, 308p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,
Engenharia Civil, 2008).
Tese – Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE.
1. Estruturas Offshore.
2. Análise Dinâmica
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
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iii
Aos meus pais, Paulo e Imaculada,
por terem me apoiado a cada instante, nesta
nova jornada de minha vida.
iv
Agradecimentos
A Deus por tudo.
A minha família, que pelo laço de união me motivou em meus estudos e
conquistas.
A minha amada noiva pela compreensão e incentivo.
Ao meu Orientador Breno Pinheiro Jacob pela excelente orientação e incentivo,
não somente para a elaboração desta tese, mas para o desenvolvimento de todos os
trabalhos de pesquisa realizados ao longo da etapa de Graduação, Mestrado e ao curso
deste Doutorado na COPPE/UFRJ.
Ao professor Webe Mansur que muito contribuiu para minha formação
acadêmica, sendo também um dos grandes incentivadores da pesquisa desenvolvida
nesta tese.
Ao professor Gilberto Ellwanger, que me incentivou aos estudos desde a
disciplina de Resistência dos Materiais que ministrou na graduação da UFRJ.
Aos Engenheiros do CENPES e, principalmente, ao D.Sc Isaías Masetti que
incentivaram o desenvolvimento desta tese.
Ao CNPq pelo apoio financeiro, contribuindo diretamente para a pesquisa e
desenvolvimento desta tese.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (D.Sc.).
FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE ACOPLADA DE
SISTEMAS OFFSHORE
Fabrício Nogueira Corrêa
Junho / 2008
Orientador: Breno Pinheiro Jacob
Programa: Engenharia Civil
As atividades de explotação de petróleo vêm avançando consideravelmente nas
últimas décadas atingindo águas cada vez mais profundas, alcançando novas fronteiras,
antes inconcebíveis. Recentemente, o aumento do número de linhas de ancoragens e
risers conectados à plataforma motivaram o desenvolvimento de ferramentas numéricas
que consideram o acoplamento entre o comportamento hidrodinâmico do casco e o
comportamento hidrodinâmico/estrutural das linhas.
Como produtos de tais análises acopladas, que envolve a ação de carregamentos
ambientais combinando ondas, ventos e correntezas, encontram-se os resultados de
movimentos da plataforma flutuante e os esforços nas linhas do sistema, que são
gerados em uma mesma simulação. Entretanto, as análises acopladas exigem elevado
custo computacional, incentivando, portanto, o desenvolvimento de novas estratégias de
solução numérica.
O objetivo deste trabalho é apresentar uma nova estratégia numérica para reduzir
o custo de CPU dessa ferramenta através da aplicação de um método de redução de base
aliado ao desenvolvimento de um novo algoritmo de integração numérica baseado no
esquema híbrido de solução tempo-freqüência ImFGA (Implicit Fourier Green
Approach).
Além disto, também apresenta-se aqui uma inovadora ferramenta numérica para
análise de vibrações livres de sistemas flutuantes acoplados, que podem ser avaliadas
eficientemente ao longo do procedimento de integração dinâmica não-linear.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE / UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (D.Sc).
COMPUTATIONAL TOOLS FOR COUPLED ANALYSIS OF OFFSHORE
SYSTEMS
Fabrício Nogueira Corrêa
June/ 2008
Advisor: Breno Pinheiro Jacob
Department: Civil Engineering
Offshore oil exploitation activities have been recently advancing towards even deeper
waters, reaching new frontiers so far not conceivable. Recently, the increasing number
of mooring lines and risers that are connected to floating platforms motivated the
development of numerical tools that consider the coupling between the hydrodynamic
behavior of the hull and hydrodynamic/structural behavior of the lines. The results of
such coupled analyses, under environmental loadings such as wind, wave and marine
current, are the platform motions and the forces acting on the lines.
However, coupled analyses are heavily time-consuming, therefore new
numerical strategies have been developed to to optimize the efficiency of the
computational tool.
The focus of this work is in such a numerical strategy to reduce CPU costs,
through the application of base reduction methods associated to the development of a
new version of the ImFGA algorithm (Implicit Fourier Green Approach), based in a
hybrid time-domain integration of the equations of dynamic motions.
Besides, a new numerical tool is also presented to efficiently evaluate the free
vibration modes of the floating systems along the time-domain dynamic non-linear
simulation.
vii
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 1
1.1 C
ONTEXTO ............................................................................................................................ 1
1.1.1Sistemas Offshore ................................................................................................................. 1
1.1.2Ferramentas de Simulação Numérica: Metodologias Desacopladas e Acopladas .............. 2
1.2 O
BJETIVOS E MOTIVAÇÃO .................................................................................................... 6
1.2.1Ferramenta de Análise de modos de vibração de Sistemas Flutuantes ............................... 6
1.2.2Ferramentas de Integração Numérica de Sistemas Acoplados ............................................ 7
1.3 O
RGANIZAÇÃO DA TESE ..................................................................................................... 11
2 METODOLOGIAS DE ANÁLISE DE UNIDADES FLUTUANTES ANCORADAS . 13
2.1 I
NTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 13
2.2 M
ETODOLOGIA DESACOPLADA .......................................................................................... 13
2.3 M
ETODOLOGIA ACOPLADA ................................................................................................ 15
2.3.1Implementação Fracamente Acoplada ............................................................................... 15
2.3.2Implementação Fortemente Acoplada ................................................................................ 16
2.3.3Vantagens da Metodologia Acoplada ................................................................................. 17
2.4 M
ETODOLOGIAS HÍBRIDAS ................................................................................................. 19
2.5 D
ESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA PROSIM DE ANÁLISE ACOPLADA ................................ 20
3 ANÁLISE DINÂMICA NO DOMÍNIO DO TEMPO ..................................................... 22
3.1 I
NTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 22
3.2 M
ODELAGEM NUMÉRICA ................................................................................................... 22
3.3 F
ORMULAÇÃO E SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO ............................................ 25
3.3.1Discretização espacial ........................................................................................................ 25
3.3.2Discretização no tempo ...................................................................................................... 25
3.4 A
LGORITMOS DE INTEGRAÇÃO ........................................................................................... 28
3.4.1Família de Newmark .......................................................................................................... 28
3.4.2Tratamento de Problemas Não-lineares por Algoritmos Implícitos .................................. 39
3.4.3Tratamento de Problemas não-lineares por Algoritmos Explícitos ................................... 42
3.5 S
OLUÇÃO ANALÍTICA: INTEGRAL DE DUHAMEL ................................................................ 43
3.5.1Sistemas não Amortecidos .................................................................................................. 43
3.5.2Integral de Duhamel em Sistemas Amortecidos ................................................................. 45
3.6 E
QUAÇÕES DE MOVIMENTO DE UNIDADES FLUTUANTES .................................................. 48
3.6.1Esquema “Fracamente Acoplado” .................................................................................... 50
3.6.2Tipos de Modelo Hidrodinâmico de Casco ........................................................................ 50
4 ANÁLISE DINÂMICA POR MÉTODOS HÍBRIDOS TEMPO-FREQÜÊNCIA ....... 52
4.1 I
NTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 52
viii
4.1.1Solução no Domínio da Freqüência ................................................................................... 52
4.1.2Métodos Hïbridos Tempo- Freqüência ............................................................................... 52
4.1.3Linearização do Cálculo das Forças de Arraste ................................................................ 53
4.1.4Desenvolvimentos Propostos .............................................................................................. 55
4.2 T
RANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT) ................................................................ 57
4.2.1Solução da Equação de Movimento pela Transformada de Fourier: ................................ 59
4.2.2Função Impulso Unitário ................................................................................................... 68
4.3 T
RANSFORMADA IMPLÍCITA DE FOURIER ........................................................................... 71
4.3.1Desenvolvimento ................................................................................................................. 71
4.3.2Resposta de S termos .......................................................................................................... 74
4.3.3Princípio da Causalidade na Matriz Implícita de Fourier ................................................. 76
4.3.4Coluna Implícita de Fourier ............................................................................................... 76
4.3.5Transformada Implícita com Condições Iniciais ............................................................... 81
4.3.6Resposta da Velocidade pela Derivada da ImFT ............................................................... 84
4.3.7Aplicação ............................................................................................................................ 88
5 TRANSFORMADA IMPLÍCITA DE FOURIER COM APROXIMAÇÃO DE
GREEN: IMFGA ............................................................................................................... 89
5.1 I
NTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 89
5.2 D
ESENVOLVIMENTO ........................................................................................................... 90
5.2.1Forma Analítica .................................................................................................................. 90
5.2.2Integral de Convolução Numérica ..................................................................................... 91
5.2.3Forma Final Discreta do Deslocamento e da Velocidade ................................................. 94
5.2.4Correção da Função de Green Expressa por Componentes Harmônicos ......................... 95
5.3 C
ÁLCULO OTIMIZADO DA FUNÇÃO DE GREEN NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA .................. 98
5.3.1Técnica Matemática para Rápida Convergência da Função de Green ........................... 100
5.3.2Forma Final da ImFGA para Sistemas com Propriedades Físicas Constantes ............... 101
5.3.3Estabilidade e Precisão do Método .................................................................................. 104
5.3.4Exemplos .......................................................................................................................... 106
5.4 P
ROBLEMAS NÃO-LINEARES ............................................................................................ 112
5.5 M
ASSA, AMORTECIMENTO E RIGIDEZ DEPENDENTES DA FREQÜÊNCIA ........................... 114
5.5.1Representação de Altas Freqüências ............................................................................... 114
5.5.2Representação de Baixas Freqüências ............................................................................. 115
5.5.3Aplicação no Contexto da Metodologia Fracamente Acoplada de Análise de Sistemas
Offshore ............................................................................................................................ 118
5.5.4Aplicação no Contexto da Metodologia Fortemente Acoplada de Análise de Sistemas
Offshore ............................................................................................................................ 121
5.6 V
ANTAGENS DA IMFGA ................................................................................................... 122
ix
5.6.1Tempo de Processamento por uma FFT: ......................................................................... 122
5.6.2Tempo de Processamento por uma ImFGA: .................................................................... 123
6 ANÁLISE DE PERÍODOS NATURAIS DE SISTEMAS FLUTUANTES
ACOPLADOS .................................................................................................................. 125
6.1 I
NTRODUÇÃO .................................................................................................................... 125
6.2 M
ÉTODO DE JACOBI .......................................................................................................... 128
6.3 M
ÉTODO DE JACOBI GENERALIZADO ............................................................................... 130
6.4 I
MPLEMENTAÇÃO DO PROCEDIMENTO DE ANÁLISE DE MODOS DE VIBRAÇÃO DE SISTEMAS
ACOPLADOS .......................................................................................................................... 131
6.4.1Cálculo da Matriz de Massa Adicionada ......................................................................... 132
6.4.2Cálculo da Matriz de Rigidez Tangente ........................................................................... 133
6.4.3Aspectos da Implementação ............................................................................................. 134
7 MÉTODO DE REDUÇÃO DE BASE ............................................................................ 137
7.1 I
NTRODUÇÃO .................................................................................................................... 137
7.2 D
EFINIÇÃO ........................................................................................................................ 137
7.3 M
ÉTODO DE SUPERPOSIÇÃO MODAL................................................................................ 140
7.4 M
ÉTODO DE RITZ WILSON................................................................................................ 143
7.4.1Formulação Desacoplada de Ritz-Wilson ........................................................................ 145
7.4.2Problemas Não-Lineares .................................................................................................. 147
7.4.3Critério de Terminação .................................................................................................... 148
7.4.4Algorítmo de Ritz-Wilson ................................................................................................. 153
7.4.5Algorítmo de Integração Usando a Base de Ritz-Wilson ................................................. 154
8 ESTUDOS DE CASOS COM A FERRAMENTA DE ANÁLISE DE MODOS DE
VIBRAÇÃO DE SISTEMAS ACOPLADOS ................................................................ 158
8.1 I
NTRODUÇÃO .................................................................................................................... 158
8.2 M
ODELO ITTC .................................................................................................................. 159
8.2.1Características Geométricas e Hidrodinâmicas da Unidade Flutuante .......................... 161
8.2.2Características das Linhas ............................................................................................... 164
8.2.3Simulações Realizadas ..................................................................................................... 165
8.2.4Dados do Carregamento Ambiental ................................................................................. 165
8.2.5Comparações: Ensaio ITTC x Analise Modal x Teste de Decaimento ............................. 166
8.2.6Respostas dos Períodos Naturais ao Longo de uma Simulação Dinâmica ...................... 170
8.2.7Conclusões sobre as Análises Dinâmicas do Modelo ITTC ............................................. 194
8.3 M
ODELO SEMI-SUB ........................................................................................................... 200
8.3.1Características Geométricas e Hidrodinâmicas da Unidade ........................................... 201
8.3.2Características das Linhas de Ancoragens e Risers ......................................................... 204
8.3.3Simulação Realizada ........................................................................................................ 208
x
8.3.4Dados do Carregamento Ambiental ................................................................................. 209
8.3.5Respostas dos Períodos Naturais ao Longo de uma Simulação Dinâmica ...................... 209
8.3.6Conclusões sobre a Análise Dinâmica do Modelo SEMI-SUB ........................................ 222
8.4 M
ODELO MONOBÓIA CALM .............................................................................................. 226
8.4.1Características Geométricas e Hidrodinâmicas da Monobóia ........................................ 228
8.4.2Características das Linhas de Ancoragens ...................................................................... 228
8.4.3Simulações Realizadas ..................................................................................................... 230
8.4.4Resultados das Análises Estáticas e dos Testes de Decaimento ....................................... 230
8.4.5Dados do Carregamento Ambiental ................................................................................. 233
8.4.6Respostas dos Períodos Naturais ao Longo de uma Simulação Dinâmica ...................... 233
8.4.7Conclusões sobre a análise dinâmica do modelo monobóia CALM ................................ 245
9 ESTUDOS DE CASOS COM O MÉTODO DE REDUÇÃO DE BASE ..................... 250
9.1 I
NTRODUÇÃO .................................................................................................................... 250
9.2 V
IGA BIENGASTADA ......................................................................................................... 252
9.3 L
INHA VERTICAL .............................................................................................................. 258
9.4 ITTC ................................................................................................................................. 263
9.4.1Base Inicial, sem reavaliação: 29 vetores ........................................................................ 266
9.4.2Base Revaliada a cada 20s: ± 43 vetores ......................................................................... 274
9.4.3Base Reavaliada a cada 20s: 10 vetores .......................................................................... 282
9.4.4Base Reavaliada a cada 80s:
±
43vetores ........................................................................ 288
10 CONCLUSÕES ................................................................................................................. 294
10.1 I
NTRODUÇÃO .................................................................................................................... 294
10.2 A
NÁLISE DE MODOS DE VIBRAÇÃO DE SISTEMAS OFFSHORE ACOPLADOS: CONCLUSÕES E
TRABALHOS FUTUROS
........................................................................................................... 294
10.2.1Modelo ITTC ................................................................................................................... 295
10.2.2Modelo SEMISUB ........................................................................................................... 296
10.2.3Modelo Monobóia CALM ................................................................................................ 296
10.3 R
EDUÇÃO DE BASE: CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ............................................. 298
10.4 I
MFGA: CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ................................................................ 301
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 303
1
1. INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTO
1.1.1 SISTEMAS OFFSHORE
Sistemas offshore compreendem unidades marinhas de exploração, produção e/ou
armazenamento de petróleo. Tais sistemas podem ser fixos, tais como jaquetas,
plataforma auto-elevatórias, torres complacentes; ou flutuantes, tais como plataformas
semi-submersíveis, plataformas de pernas tensionadas (TLP) e navios ancorados. Uma
descrição de cada tipo de plataforma pode ser encontrada em Chakrabarti [1].
Atualmente, com o avanço da exploração e produção em águas profundas (a partir
de 500m) o uso de estruturas fixas tornou-se inviável economicamente, em termos de
custo de fabricação e instalação, e estruturalmente, uma vez que sua forma mais esbelta
faria com que algumas de suas freqüências naturais começassem a se aproximar das
freqüências de carregamento dinâmico ambiental. Isto caracterizaria o fenômeno de
ressonância, levando ao aparecimento de amplitudes de movimento excessivas e
possibilidade de colapso estrutural. Conseqüentemente, o uso de sistemas flutuantes
para exploração e produção de petróleo tornou-se prática de projeto em lugar das
estruturas fixas.
O posicionamento destes sistemas flutuantes em uma determinada área durante
algum tipo de operação é garantido através de um sistema de ancoragem, arranjo de
linhas que ligam a plataforma ao fundo do mar. A descrição de alguns tipos de sistemas
de ancoragem pode ser encontrada em [2].
De maneira geral, linhas de ancoragem podem ter uma composição homogênea ou
heterogênea. Esta última é mais usada em águas profundas visando minimizar o peso
suspenso, e é normalmente constituída por uma combinação de amarras com cabos de
aço ou cabos sintéticos (poliéster). Na terminação das linhas de ancoragem são
utilizadas âncoras ou estacas, e nos trechos intermediários podem ser encontrados
alguns acessórios para a conexão de tramos de materiais diferentes.
Existem três tipos clássicos de configuração geométrica utilizados em ancoragem
de estruturas offshore: catenária convencional, taut-leg, e ainda ancoragem vertical
(utilizando tendões). O critério de escolha do tipo de ancoragem dependerá
principalmente da característica da plataforma, lâmina d’água, tipo de operação, custo e
2
número e forma de disposição dos risers, podendo estes últimos apresentar um arranjo
totalmente assimétrico distribuído ao redor da unidade, ou mesmo localizado em um
único bordo da unidade de produção.
Os risers podem ser definidos resumidamente como dutos que transportam fluidos
entre os poços e a plataforma que se dividem basicamente em dois tipos: risers flexíveis
e risers rígidos. Além destes, existem sistemas mistos compostos por uma combinação
de riser rígido e flexível (sistema híbrido de risers) para trabalhar em atividades de
produção. Este sistema, embora ainda em estudo, visa acabar com os problemas
encontrados da utilização de um único tipo de riser em águas profundas, que sendo todo
flexível necessitaria de maiores diâmetros, o que inviabiliza o transporte, produção e
custo de fabricação; e sendo todo rígido em catenária (SCR), acarretaria em esforços
concentrados na região de topo e em contato com o solo (região de TDP), suscetível a
danos de fadiga. Mais detalhes sobre os tipos de risers e configurações geométricas de
instalação podem ser encontrados em [3].
1.1.2 FERRAMENTAS DE SIMULAÇÃO NUMÉRICA: METODOLOGIAS
DESACOPLADAS E ACOPLADAS
Para auxiliar o engenheiro na elaboração de projetos mais eficientes de sistemas
de ancoragens e risers, programas de simulação numérica têm se estabelecido como
ferramentas indispensáveis.
O estado da arte de projeto de unidades flutuantes ancoradas da última década se
baseava em um procedimento de análise desacoplada. Neste procedimento, em uma
primeira etapa (geralmente associada ao projeto do sistema de ancoragem), os
movimentos do casco da unidade flutuante são avaliados por um programa de simulação
numérica cuja formulação considera que todas as linhas do sistema são representadas
por modelos simplificados (escalares); desta forma, não são capazes de representar
adequadamente seu comportamento hidrodinâmico, estrutural e dinâmico não-linear.
Em uma segunda etapa (geralmente associada ao projeto dos risers), os
movimentos assim obtidos são aplicados separadamente como movimento prescrito no
topo dos risers de interesse, em análises que empregam um programa baseado em uma
formulação de elementos finitos para a avaliação rigorosa da resposta estrutural.
Este procedimento, que ignora a interação não-linear entre o comportamento
hidrodinâmico do casco e o comportamento estrutural/hidrodinâmico das linhas, era
3
empregado sem preocupação para simular sistemas flutuantes instalados em águas rasas
(onde os modelos escalares eram aceitáveis para representação hidrodinâmica e de
rigidez das linhas do sistema), estando ainda hoje fortemente estabelecido na cultura de
projeto.
Diante do avanço tecnológico de exploração de petróleo, e com a descoberta de
poços de produção cada vez mais distantes da costa, os sistemas offshore passaram a ser
instalados em lâminas d’água cada vez maiores, com previsões de alcançar 3000m ou
mais de profundidade.
Com este avanço, os projetistas offshore perceberam que as simplificações
assumidas no procedimento desacoplado tradicional, adequado para lâminas d’águas
rasas, deveriam ser repensadas e novas metodologias de análise deveriam ser
estabelecidas diante do novo cenário de exploração petrolífera Offshore [4,5,6]. Por
exemplo, ficou intuitivo perceber que o aumento da lâmina d’água e do número de
risers levaria a um aumento nas cargas hidrodinâmicas atuando sobre as linhas do
sistema; particularmente, o aumento da área exposta à correnteza, principalmente
quando risers de maiores diâmetros são considerados, levaria a uma maior parcela de
carga transmitida à unidade flutuante.
Desta forma, por causa do crescimento não só dos efeitos hidrodinâmicos sobre as
linhas do sistema, mas também dos seus efeitos inerciais/dinâmicos, passaram a ser
questionadas as simplificações adotadas em projeto em que se estimava a contribuição
das linhas; não somente em termos da força de arraste, mas também da hipótese de
considerar um comportamento quasi-estático onde apenas a rigidez é levada em conta
através de “curvas de restauração” [2,7,8,9,10].
Tem sido propostos métodos para aproximar a contribuição dinâmica das linhas,
tanto em termos de força de arraste quanto em termos de inércia e amortecimento: seja
considerando resultados de ensaios experimentais, ou através de formulações analíticas,
levando à determinação de coeficientes escalares que entrariam na equação de
movimento da unidade flutuante [2,9,10]. De qualquer forma, nenhum destes métodos
de fato leva em consideração a interação não-linear, ou seja, o acoplamento efetivo,
entre as linhas e o casco.
Mesmo assim, como mencionado anteriormente, essas simplificações adotadas
para as linhas têm sido empregadas sem problemas em sistemas instalados em LDAs
4
pouco profundas. No entanto, para sistemas em lâmina d’água mais profunda e com
maior número de risers (e ainda considerando a tendência atual de se empregar SCRs -
risers rígidos em catenária), uma maior segurança sobre a qualidade dos resultados só
poderá ser obtida através de simulações acopladas que levam em conta de forma
rigorosa a interação não-linear entre o comportamento hidrodinâmico do casco e o
comportamento estrutural/hidrodinâmico das linhas.
Estes fatos têm motivado o desenvolvimento de programas de simulação numérica
baseados em formulações acopladas. Nesse contexto pode-se citar o programa Prosim
[11,12, 13], cujo desenvolvimento teve início em 1997 por iniciativa do
CENPES/Petrobras, e que desde 1999 vem sendo utilizado em diversos projetos na
Petrobras. Nesta mesma época começavam a ser propostos procedimentos combinando
a utilização simultânea de programas de análise hidrodinâmica de movimentos do casco,
e de análise estrutural de linhas, comunicando-se através de interfaces externas. No
entanto, o Prosim pode ser considerado pioneiro ao incorporar, em uma única estrutura
de dados e em um único código, um modelo hidrodinâmico para a representação do
casco da unidade flutuante, acoplado a um modelo de elementos finitos para a
representação rigorosa das linhas de ancoragem e risers. Este tipo de implementação
obedece a uma formulação fracamente acoplada, uma vez que a matriz de massa e
rigidez da unidade flutuante não é solucionada em conjunto com a matriz global da
malha de elementos finitos do sistema. O equilíbrio do sistema casco-linhas é garantido
através da aplicação das forças de topo das linhas do lado direito das equações de
movimento do casco, e pela aplicação de deslocamentos do casco como movimento
prescrito no topo das linhas.
Entretanto, embora a formulação fracamente acoplada tenha se mostrado eficiente
para os problemas offshore tradicionais, existem dúvidas quanto à sua capacidade de
oferecer bons resultados para qualquer classe de problemas. Para investigar esta
questão, foi desenvolvida e implementada [14] uma formulação “fortemente acoplada”,
onde todas as matrizes de massa e rigidez, tanto o casco como as linhas, são
armazenadas em uma única matriz global, e o casco passa a ser considerado como um
“ponto nodal” da malha de elementos finitos de todas as linhas. Além de compor uma
formulação mais rigorosa para o problema do acoplamento, esta implementação serve
como ponto de partida para novos desenvolvimentos em métodos de análise de
5
plataformas flutuantes, como as apresentadas nesta tese e que serão descritas nos
capítulos a seguir.
Em paralelo ao desenvolvimento de ferramentas numérica de análise acoplada,
têm sido também efetuados estudos em metodologias de projeto que consideram o uso
de tais programas, por exemplo: metodologias totalmente acopladas onde modelos
acoplados são gerados e analisados de forma a obter simultaneamente os movimentos da
unidade flutuante e a resposta estrutural precisa das linhas; ou ainda metodologias
“híbridas”, que combinam o uso de modelos acoplados e desacoplados procurando
reduzir os custos computacionais excessivos que uma metodologia totalmente acoplada
pode acarretar.
Diferentes metodologias “híbridas” têm sido propostas [2,9,10,15,16]. Em uma
delas, que pode ser referida como “Análise de Movimentos Acoplada”, os modelos
acoplados seriam utilizados em uma primeira etapa para gerar resultados mais precisos
de movimentos do casco, ainda que com uma malha de elementos finitos
insuficientemente refinada para uma análise estrutural detalhada das linhas; e, em
seguida, em uma segunda etapa , estes movimentos seriam aplicados no topo das linhas
modeladas de forma desacoplada, porém com malhas suficientemente refinadas para
avaliação detalhada dos esforços.
O objetivo dessas metodologias é não somente obter maior precisão nos
resultados de movimento da plataforma e esforços nos risers, mas também caminhar na
direção de uma maior integração entre o projeto do sistema de ancoragem e o projeto
dos risers.
6
1.2 OBJETIVOS E MOTIVAÇÃO
1.2.1 FERRAMENTA DE ANÁLISE DE MODOS DE VIBRAÇÃO DE SISTEMAS
FLUTUANTES
Embora sistemas flutuantes tenham surgido como alternativa às estruturas fixas
para evitar problemas de ressonância e amplificação dinâmica; pode-se afirmar que no
uso de plataformas flutuantes como unidades de instalação, exploração e produção
(estes últimos com um número de risers cada vez maior), ou mesmo no uso de
monobóias compondo terminais oceânicos, permanecem válidas as preocupações
quanto a efeitos dinâmicos e de ressonância, particularmente aqueles relacionados aos
movimentos angulares.
É nessa linha de investigação que surgiu a primeira atividade de estudo desta tese:
empregar formulações fracamente acopladas para investigar períodos naturais
específicos de sistemas flutuantes, que podem variar durante sua movimentação estática
e dinâmica devido a efeitos não-lineares de variações da rigidez e massa adicional do
sistema.
Neste trabalho, apresentam-se a implementação, aplicação e estudos de análise de
modos de vibração de sistemas acoplados como ferramenta de projeto para avaliação
dos períodos naturais de uma ou mais unidades flutuantes, estejam elas ancoradas ou
não, submetidas a condições ambientais ou não.
A implementação foi efetuada no código do programa Prosim, garantindo a
obtenção de uma ferramenta rápida, capaz de calcular períodos naturais em diferentes
configurações de equilíbrio, levando em conta a interação entre o carregamento
hidrodinâmico atuando no casco e nas linhas, e o comportamento não-linear das linhas:
tanto geométrico (devido aos grandes deslocamentos), quanto hidrodinâmico, ou ainda
quanto à interação com o solo.
Tradicionalmente, a análise modal é empregada na engenharia como ferramenta
de análise de corpos estacionários, considerando comportamento linear. Nesta tese, ao
contrário, estuda-se pela primeira vez em uma ferramenta numérica offshore a variação
dos períodos naturais de unidades flutuantes ao longo de simulações estáticas e
dinâmicas acopladas, submetidas à ação de ventos, correntes e ondas.
7
1.2.2 FERRAMENTAS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS
ACOPLADOS
Como mencionado anteriormente, formulações acopladas são essenciais para a
correta representação numérica do comportamento de plataformas em águas profundas e
ultra-profundas, em virtude da presença de um grande número de linhas de ancoragem e
risers que interagem dinamicamente (elasticamente, inercialmente e
hidrodinamicamente) com a unidade flutuante.
Um número acentuado de linhas das novas unidades de produção deste cenário é
capaz de exigir, no escopo das ferramentas numéricas de análise acoplada por elementos
finitos, uma discretização espacial que envolva milhares de equações a serem resolvidas
a cada instante de tempo por um processo de integração numérica não-linear.
Procurando obter um procedimento de análise acoplada com maior eficiência
computacional e que possa ser usado mais intensivamente em atividades do dia-a-dia do
projeto, uma segunda frente de pesquisa foi realizada nesta tese. O objetivo principal é
implementar no Prosim, no escopo da metodologia híbrida de análise de movimentos
acoplada, um algoritmo eficiente para solução das equações dinâmicas de movimento
do casco e das linhas de E.F, que seria composto por um procedimento de redução de
base associado a novos algoritmos de solução de equações reduzidas modais.
A idéia é conseguir uma ferramenta numérica que garanta a qualidade da resposta
de movimento da unidade flutuante, sem perder a influência das linhas, no contexto da
primeira etapa da metodologia híbrida de análise mencionada anteriormente, e que
pudesse ser utilizada como input de simulações desacopladas para os projetos das linhas
de ancoragens e risers.
Essa tese apresenta então um método numérico que reduz a maior desvantagem do
uso de programas acoplados de sistemas flutuantes, que é exatamente o elevado custo
computacional, mas que procura garantir uma precisão adequada aos resultados de
movimento dos sistemas flutuantes. Com isso, espera-se que a ferramenta resultante
deste estudo seja incorporada no dia-a-dia de projeto no contexto da metodologia
híbrida de análise, reduzindo os requisitos de hardware, podendo ser empregados PCs
usualmente disponíveis na mesa de trabalho do engenheiro. Isto significa uma menor
dependência de hardwares mais sofisticados, tal como clusters com centenas de PCs,
que poderiam ser utilizados no contexto da metodologia totalmente acoplada e envolver
8
soluções, tais como os apresentados em [17], baseadas em técnicas de decomposição de
domínio, associados à implementação em um ambiente de computação paralela MPI.
Técnica de Redução de Base
Tradicionalmente, a técnica de redução de base é recomendada para resolver
problemas fracamente não-lineares com um grande número de graus de liberdade,
submetidos a cargas externas conservativas, requerendo poucas reavaliações da matriz
de redução para representar efeitos não-lineares [18].
Apesar de, em geral, o comportamento de sistemas offshore ser fortemente não-
linear, nas novas metodologias de projeto que estão sendo propostas, existem algumas
circunstâncias nas quais estes requisitos podem ser atendidos e tornar viável o uso de
métodos de redução de base. Este é o caso da primeira etapa da metodologia híbrida
citada anteriormente que procura uma correta avaliação dos movimentos da plataforma
(fracamente não-linear) através de uma análise acoplada que envolve malhas de
elementos finitos pouco refinadas para representar as linhas, mas que ainda assim são
representadas por milhares de graus de liberdade.
Recorda-se então que os principais períodos naturais do casco, afetados pela
presença das linhas, correspondem aos modos de vibração no plano horizontal que são
relativamente elevados (usualmente da ordem de 200s) com respeito ao intervalo de
tempo necessário para integrar numericamente a dinâmica das linhas (usualmente cerca
de 0,05s). Por esta razão, a rigidez do sistema neste plano (devido às linhas), e,
conseqüentemente, a matriz de redução de base do modelo de elementos finitos, podem
ser reavaliada poucas vezes, por exemplo, somente a cada 20s, para representar
adequadamente suas não-linearidades geométricas que influenciariam nos resultados de
movimento do casco. Nesse caso, uma boa precisão pode ser obtida no cálculo dos
movimentos da plataforma, mas não necessariamente no cálculo dos esforços nas linhas;
no entanto, isto não é problema já que o foco desta “análise acoplada de movimentos”,
como o próprio nome indica, está apenas nos movimentos da plataforma.
Desta forma, o procedimento proposto para o desenvolvimento de uma ferramenta
de análise acoplada através do método de redução de base consiste em efetuar uma
implementação do método de Ritz-Wilson [19] associado ao esquema de modelo
“fortemente acoplado” presente no Prosim [14]. O método de Ritz-Wilson é
reconhecidamente eficiente por requerer um menor número de vetores para compor a
9
matriz de redução. Além disso, o problema reduzido pode ser desacoplado, permitindo
que e a solução de cada equação reduzida seja obtida independentemente através de um
procedimento analítico, tal como a integral de Duhamel, ou numérico, utilizando um
procedimento de integração discreto, tais como um método implícito da família de
Newmark, ou um método explícito, como o de diferenças centrais (MDC), ou mesmo os
mais recentes e avançados métodos implícitos de integração no domínio da freqüência,
que também foram estudados, aprimorados e implementados nesta tese.
Procedimento Híbrido de Solução Tempo-Freqüência: Transformada Implícita de
Fourier
Os procedimentos de solução analítica e numérica no domínio do tempo
mencionados no último parágrafo são válidos desde que os parâmetros das linhas
(rigidez, massa hidrodinâmica adicionada e amortecimento) não variem com a
freqüência. No entanto, sabe-se que em algumas estruturas offshore, a massa adicionada
e o amortecimento hidrodinâmico podem variar com a freqüência, assim como a rigidez
de novos matérias sintéticos.
Neste caso, é importante fazer uso de um novo procedimento de integração, agora
associado à solução passo-a-passo das equações por um esquema híbrido Tempo-
Frequência como o expresso pela Transformada Implícita de Fourier (ImFT) [20,21] ou
pelo mais moderno esquema expresso pela Transformada Implícita com Aproximação
de Green (ImFGA) [22] que conseguem tratar adequadamente as propriedades físicas
que variam com a freqüência, com destaque de que a ImFGA pode resolver mais
eficientemente o problema dinâmico no sistema de coordenadas nodais da estrutura
[22].
Com isso, conseguiu-se nesta tese obter um procedimento inovador na solução de
problemas offshore; na verdade, uma quebra de paradigma, já que estes algoritmos
híbridos podem considerar as propriedades variáveis na freqüência que usualmente
seriam desconsideradas. Além disso, o procedimento de solução tem as características
de eficiência computacional da resposta no domínio da freqüência, ainda com a
vantagem de dispensar completamente os procedimentos de linearização da parcela
quadrática de arrasto da fórmula de Morison, usualmente associados à resposta na
freqüência [23], [24], [25] e [26], portanto, capaz de representar mais adequadamente
seu comportamento não-linear.
10
A ImFGA é então fortemente indicada como procedimento de solução das
equações de movimento de corpos flutuantes, ou de equipamentos submarinos em
processo de lançamento, que efetivamente possuem amortecimento e massa adicionada
que variam com a freqüência. Isto significa que a ImFGA representa uma evolução no
processo de solução do comportamento dinâmico de sistemas estruturais-
hidrodinâmicos, que classicamente são integrados por métodos clássicos de solução no
domínio do tempo, como o de Runge Kutta de Quarta Ordem.
Embora a ImFGA tenha sido aprimorada nesta tese para tratar inclusive estes tipos
de problemas, sua implementação, como ferramenta de solução de equações de
movimento de sistemas com parâmetros físicos dependentes da freqüência, não foi
realizada, sendo recomendada como atividade de trabalhos futuros.
11
1.3 ORGANIZAÇÃO DA TESE
Esta tese está dividida em dez capítulos.
O Capítulo 2 descreve resumidamente as metodologias de análise desacoplada e
acoplada, e apresenta as características principais do programa computacional Prosim,
utilizado neste trabalho para implementação das propostas ferramentas computacionais
de análise.
No Capítulo 3, são descritos, de forma geral, os modelos numéricos estruturais
para a análise dinâmica das linhas (de amarração e produção) e da unidade flutuante,
que são utilizados nos programas computacionais voltados para simulação numérica de
sistemas offshore.
O Capítulo 4 apresenta a DFT e a ImFT e no Capítulo 5 apresenta-se a ImFGA.
Estas duas últimas correspondem a técnicas de solução passo-a-passo das equações de
movimento por um esquema híbrido tempo-freqüência. Na abordagem destas
ferramentas, faz-se menção as suas vantagens, principalmente frente a não mais
necessidade de se trabalhar com período estendido da função de entrada (carregamento)
exigido na forma clássica da Transformada Discreta de Fourier (DFT) e a capacidade de
permitir o uso de intervalos de integração dinâmica elevados, consideravelmente
superiores aos métodos de integração baseados em diferenças finitas, com elevada
precisão de resposta.
O Capítulo 6 aborda uma técnica para análise de períodos naturais de sistemas
flutuantes acoplados. Nele, será apresentado o conceito de análise de modos de
vibração, sua aplicação, e dois métodos de solução de autovalores e autovetores serão
descritos: método de Jacobi e Jacobi Generalizado [27]. Este último, utilizado na
implementação do programa Prosim para se encontrar os períodos naturais de unidades
flutuantes offshore em posições de equilíbrio estático ou ao longo de simulações
dinâmicas. Apresenta-se ainda neste capítulo o procedimento para se obter a solução de
um problema de autovalor e autovetor ao longo do tempo de uma simulação dinâmica.
No Capítulo 7 apresenta-se a técnica de redução de base de Ritz-Wilson associada
ao esquema “fortemente acoplado” presente no Prosim, que visa reduzir o número de
equações a serem solucionados numa análise acoplada, buscando manter a qualidade da
12
resposta de movimento dos cascos para compor a primeira etapa da metodologia híbrida
de análise de projetos mencionada no Capítulo 2.
Em seqüência, no Capítulo 8, encontram-se estudos de casos envolvendo o cálculo
automático de períodos naturais de modelos fracamente acoplados, efetivado pela
ferramenta numérica desenvolvida nesta tese. Nele, apresentam-se simulações estáticas
e dinâmicas associada ao cálculo de períodos naturais de quatro modelos de sistemas
offshore acoplados. Neste capítulo não só os períodos naturais serão apresentados, mas
também a rigidez e massa adicional destes sistemas.
O primeiro modelo estudado é o da plataforma semi-submersível ITTC,
estabelecida no 17
o
Comitê de Engenharia Oceânica I.T.T.C. Dentre outros resultados,
em especial os períodos naturais de ensaios de modos de vibração em tanques de prova
serão comparados com resultados do módulo de analise modal implementado no
programa Prosim. O segundo exemplo corresponde ao modelo de uma plataforma semi-
submersível de produção, genérica, semelhante às utilizadas em lâminas d’águas
profundas na Bacia de Campus. O terceiro e último modelo estudado corresponde a uma
monobóia CALM, de 15m de diâmetro, situado em uma lâmina d’água de 400 m.
O Capítulo 9, ainda se refere aos estudos de casos, porém associados ao uso da
técnica de redução de base. Nele, encontram-se resultados comparativos de movimentos
e esforços gerados pela solução nodal (procedimento tradicional de integração no
domínio do tempo por Newmark) e modal (através da redução de base) de alguns
modelos numéricos, dentre eles, alguns apresentados no capítulo 7. Os resultados da
redução modal são apresentados quando diferentes algoritmos são utilizados para a
integração das equações de movimento reduzidas: Duhamel, ImFT e ImFGA. Neste
capítulo ainda são comparados o tempo de processamento gasto em cada simulação.
E por fim, o capítulo 10 finaliza este trabalho descrevendo as conclusões mais
importantes envolvidas na abordagem da tese.
13
2 METODOLOGIAS DE ANÁLISE DE UNIDADES
FLUTUANTES ANCORADAS
2.1 INTRODUÇÃO
Para a completa representação do comportamento de um sistema estrutural para
exploração de petróleo no mar não basta apenas considerar separadamente a estrutura
flutuante e as linhas de ancoragem e/ou de produção. É necessário considerar a
interação não-linear entre todos os componentes, como no caso de uma torre estaiada e
suas linhas de amarração, uma TLP e seus tendões e risers rígidos, ou de uma
plataforma semi-submersível e suas linhas de ancoragens e risers flexíveis.
Neste capítulo apresenta-se uma descrição sucinta de duas abordagens de análise
de projetos de sistemas offshore. A abordagem mais tradicional consiste em empregar
uma metodologia desacoplada, enquanto a mais sofisticada faz uso de uma metodologia
acoplada. Uma metodologia intermediária ou híbrida que combina os dois modelos
também será apresentada [9,10,15, 16].
2.2 METODOLOGIA DESACOPLADA
Para auxiliar o engenheiro na elaboração de projetos mais eficientes de sistemas
de ancoragens e risers, programas de simulação numérica têm se constituído em
ferramentas indispensáveis.
O estado da arte atual de análise e projeto de unidades flutuantes ancoradas
baseia-se no uso de programas que incorporam formulações desacopladas que tratam os
movimentos do casco da unidade flutuante separadamente do comportamento estrutural
dinâmico não-linear das linhas de ancoragem e risers.
Esta metodologia foi criada e aprovada quando os sistemas de explotação por
unidade flutuante eram locados em cenários correspondentes a lâminas d’águas rasas e
intermediárias.
Este procedimento desacoplado consiste em empregar a seguinte seqüência de
análises:
1. Em uma etapa inicial, programas como o ARIANE [28] e DYNASIM [7]
efetuam a análise desacoplada de movimentos do casco; nesta análise, as linhas
são representadas por um modelo simplificado composto por coeficientes
14
escalares de massa, rigidez, amortecimento e carregamento, que são introduzidos
na equação de movimento da unidade. Os valores para estes coeficientes devem
ser estimados, ou calibrados através de ensaios experimentais (por exemplo, um
teste de decaimento que fornece coeficientes de massa adicionada e
amortecimento).
2. Em uma etapa posterior, é empregada a análise desacoplada de projeto estrutural
de risers e/ou linhas de ancoragem isoladamente, em que os movimentos que
resultam da análise do casco são transferidos como movimentos prescritos para
o topo das linhas que são modeladas geometricamente por malhas de elementos
finitos refinadas o bastante para garantir uma avaliação estrutural local
confiável. Estas análises podem ser realizadas em programas como o ANFLEX
[29] e o ORCAFLEX [30].
Esse procedimento, que estava estabelecido na cultura e no estado da arte de
projeto, vem sendo aos poucos abandonado, pois se constituía na verdade em um
artifício para reduzir os requisitos de tempo de CPU requeridos pelas análises.
Ignorando o fato de que o casco, as linhas de ancoragem e os risers compõem um
sistema integrado, são introduzidas simplificações que fazem com que a interação do
comportamento dinâmico não-linear destes componentes não seja considerada de forma
rigorosa, o que pode penalizar seriamente a qualidade dos resultados.
Como já mencionado, sabe-se que as simplificações relacionadas ao procedimento
de análise desacoplada são aceitáveis até lâminas d’águas intermediárias (e com poucos
risers) e se tornam mais graves para sistemas com grande número de risers, e/ou
instalados em lâminas d’água profundas; este último aspecto pode se tornar crucial
quando se consideram projetos de unidades flutuantes ancoradas em até 3000m de
lâmina d’água [11,31,32,33,34].
15
2.3 METODOLOGIA ACOPLADA
2.3.1 IMPLEMENTAÇÃO FRACAMENTE ACOPLADA
Para o uso de procedimentos acoplados, que represente com rigor a interação
casco-linhas, originalmente foram propostos procedimentos combinando a utilização
simultânea de programas de análise hidrodinâmica de movimentos do casco e de análise
estrutural de linhas, comunicando-se através de interfaces externas. No entanto,
entende-se que um enfoque computacionalmente mais eficiente é utilizar um programa
único, baseado em uma formulação acoplada que incorpora, em uma única estrutura de
código e de dados, um modelo hidrodinâmico para a representação do casco da unidade
flutuante, acoplado a um modelo de elementos finitos para a representação rigorosa das
linhas. Esta filosofia norteou o desenvolvimento do programa Prosim [11,12,13], sobre
o qual foram efetuadas novas implementações e os estudos apresentados nesta tese.
Na implementação de um programa de análise fracamente acoplada, o esquema de
integração no tempo das equações de movimento de seis graus de liberdade da unidade
flutuante é adaptado para, a cada instante de tempo, efetuar uma série de análises não-
lineares com modelos de elementos finitos das linhas. Nestas análises, as componentes
de movimento do casco são aplicadas no topo de cada linha a cada intervalo de
integração. Como resultado, obtém-se as forças no topo de cada linha (que consideram
cargas de onda, correnteza e peso próprio) que são acumuladas e aplicadas no lado
direito das equações de movimento do casco.
A eficiência computacional deste procedimento de solução é garantida pelo fato
de que são gerados modelos de elementos finitos para cada linha individualmente e,
portanto, a matriz de rigidez correspondente a cada modelo tem banda relativamente
reduzida. Além disso, esta implementação mostra-se naturalmente adequada para
computadores com arquitetura paralela. Destaca-se que a forma fracamente acoplada
permitiu o desenvolvimento da ferramenta de análise modal de unidades flutuantes
apresentada mais adiante, no capítulo 6.
Como será mencionado no capítulo 3, adianta-se que nesta metodologia o casco
pode ser integrado através de um método de integração explícito, normalmente Runge
Kuta de Quarta Ordem, uma vez que os períodos naturais do sistema são elevados
(acima de 20s), garantindo precisão, estabilidade e a convergência do método com
intervalos de integração altos (comparados com os utilizados nas linhas), entre 0.5s e 1s.
16
Já as linhas de ancoragens e risers usualmente encontrados em projetos offshore são
normalmente integradas através de um método numérico implícito (p.ex. α-B
Newmark), que garanta boa precisão dos resultados com intervalos de integração na
ordem de 0,005s a 0.01s. O procedimento de integração casco-linhas compõe então um
procedimento híbrido de integração explícito-implícito.
Neste contexto, será visto no Capítulo 5 que o método de integração de Runge
Kutta de Quarta Ordem poderá ser substituído pelo método de integração nodal no
domínio da freqüência, ImFGA, que é efetivamente um método mais rápido e preciso,
que permite considerar com rigor as propriedades do corpo que variam com a
freqüência.
2.3.2 IMPLEMENTAÇÃO FORTEMENTE ACOPLADA
Demonstra-se que a formulação “fracamente acoplada” (pelo lado direito das
equações de movimento) é capaz de levar a resultados adequados [35], com a vantagem
de oferecer uma melhor eficiência computacional, já que os modelos de elementos
finitos de cada uma das linhas podem ser montados e resolvidos de forma
completamente independente.
No entanto, conforme já mencionado, existem dúvidas quanto à capacidade desta
formulação oferecer bons resultados para qualquer classe de problemas em que, por
exemplo, as altas freqüências de resposta das linhas influenciam efetivamente no
comportamento do casco. Este fenômeno não é encontrado na gama de modelos
clássicos offshore, mas poderia ser, por exemplo, em um problema que envolva o
acoplamento de um corpo flutuante (integrado por um método explícito) a uma estrutura
muito rígida (integrado implicitamente).
De maneira mais clara, o acoplamento fraco faz com que o casco no processo de
integração dinâmica encontre primeiro um deslocamento no passo futuro, para então
receber as forças das linhas neste passo; e se estas forças variarem muito, o
deslocamento do casco deixa de representar uma configuração de equilíbrio dinâmico
natural do sistema. A marcha no tempo pode ficar então comprometida (ruídos
numéricos de alta freqüência, espúrios).
Para investigar esta questão, conforme já mencionado, foi desenvolvida e
implementada [14] uma formulação “fortemente acoplada”, onde todas as matrizes de
massa e rigidez, tanto o casco como as linhas, são armazenadas em uma única matriz
17
global, e o casco passa a ser considerado como um “ponto nodal” da malha de
elementos finitos de todas as linhas, sendo, portanto mais cara computacionalmente.
Essa formulação requer modificações no esquema de integração no tempo das equações
de movimento, e procedimentos especiais para transferência de movimentos e forças
entre o centro de gravidade da plataforma (no qual estão referidas as equações de
movimento do casco) e as conexões das linhas com a plataforma.
Além de compor uma formulação mais rigorosa para o problema do acoplamento,
esta implementação serve como ponto de partida para novos desenvolvimentos em
métodos de análise de sistemas flutuantes, como a proposta nesta tese, em que um
modelo fortemente acoplado é indicado para ser simulado numericamente através de um
procedimento de redução de base (capítulo 7). Como será observado nos estudos de
casos, este procedimento permite a avaliação de resultados de movimentos precisos da
unidade flutuante, além de reduzir significativamente o maior custo computacional
exigido pelo procedimento de análise fortemente acoplada nodal.
2.3.3 VANTAGENS DA METODOLOGIA ACOPLADA
Os resultados de movimento e esforços nas linhas obtidos por um programa
baseado numa formulação acoplada (fracamente ou fortemente) vão ser mais precisos
do que aqueles obtidos através de análises desacopladas, já que as formulações
acopladas consideram implicitamente e automaticamente todos os efeitos não lineares e
dinâmicos resultantes da interação entre o casco e as linhas. Isto fornece ao projetista
uma maior confiança nos resultados obtidos.
Daí decorre um benefício talvez ainda mais importante – a robustez e
confiabilidade dos resultados, que deixam de depender do “know-how” e experiência do
usuário na estimativa e calibração dos coeficientes escalares para aproximar a
contribuição das linhas no procedimento desacoplado (geralmente a partir de resultados
experimentais, nem sempre disponíveis). Pode também requerer menos esforço do
engenheiro, evitando o procedimento de uma posterior análise dinâmica isolada de cada
linha.
Desta forma, a aplicação de tal procedimento de análise acoplada constitui-se em
um enfoque, talvez não mais inovador, mas de grande relevância para a simulação
numérica do comportamento de unidades flutuantes ancoradas.
18
Destaca-se que a metodologia acoplada foi pensada inicialmente para avaliar com
precisão os resultados de movimento da unidade flutuante e os esforços estruturais nas
linhas de ancoragens e risers, de uma só vez. No entanto, para isso, o grau de
refinamento das malhas que compões as linhas do sistema exige naturalmente um maior
esforço computacional que irá requerer ao uso de cluster de computadores associados a
uma linguagem paralela, por exemplo, inviabilizando análises em PCs até então
convencionais utilizados na mesa do engenheiro.
Isto norteou a aplicação de modelos acoplados no contexto da metodologia híbrida
de análise de sistemas offshore, buscando um balanço entre precisão dos resultados de
movimento e eficiência computacional; e é aí que se encontra o foco dos estudos e
implementações realizadas nesta tese. Uma descrição mais sucinta sobre esta
metodologia é apresentada a seguir.
19
2.4 METODOLOGIAS HÍBRIDAS
Em paralelo ao desenvolvimento de ferramentas numéricas de análise acoplada e
desacoplada, têm sido também efetuados estudos de metodologias de projeto que
consideram o uso de tais programas para compor uma metodologia “híbrida” de análise,
que combinam modelos acoplados e desacoplados. Esta metodologia vem sendo
apresentada nos últimos anos [9 e 10] e já está sendo incorporada nos novos projetos de
sistemas flutuantes de produção.
Os modelos acoplados (usualmente fracamente acoplados) são utilizados na
primeira etapa da metodologia híbrida para gerar resultados precisos de movimentos do
casco, fazendo uso de uma malha de elementos finitos não tão refinada para atender a
uma análise local das linhas, mas que consiga garantir esforços de tração de topo
adequados a serem transferidos ao casco. Na segunda etapa da metodologia, estes
movimentos são aplicados no topo das linhas modeladas isoladamente, porém com
malhas suficientemente refinadas para avaliação dos esforços locais, de acordo com o
segundo passo da metodologia desacoplada descrita anteriormente.
O objetivo desta metodologia é não somente obter maior precisão nos resultados
de movimento da plataforma e esforços nos risers, mas também caminhar na direção de
uma maior integração entre o projeto do sistema de ancoragem e o projeto dos risers.
Maiores detalhes sobre tais metodologias podem ser encontrados em [9].
É sobre o aspecto desta metodologia que se buscou estudar o uso da técnica de
redução de base para otimizar ainda mais as simulações acopladas que compõe a
primeira etapa da metodologia híbrida de análise. Será visto que a técnica de redução
possui vantagens quando aplicada em problemas de caráter inercial (definição
apresentada no capítulo 4), semelhantes aos estudados aqui: sistemas offshore. Além
disto, ela reduz significativamente o custo computacional exigido nos modelos
fortemente acoplados.
20
2.5 DESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA PROSIM DE ANÁLISE
ACOPLADA
Nos parágrafos seguintes, encontra-se uma breve descrição do programa Prosim,
pelo qual se realizou todas as implementações desta tese. A descrição se refere ao
estado do programa antes da aplicação dos recursos numéricos apresentados aqui.
O programa Prosim foi desenvolvido pelo LAMCSO/PEC/COPPE/UFRJ em
colaboração com a Petrobras/CENPES. Desde 1999, vem sendo utilizado em diversos
projetos na Petrobras. É orientado para a análise de unidades flutuantes ancoradas,
considerando o acoplamento do casco com as linhas de ancoragem e risers, permitindo
obter simultaneamente os movimentos da unidade flutuante e a resposta estrutural das
linhas.
O modelo hidrodinâmico do casco é baseado em uma formulação híbrida que
combina a formulação de Morison e Froude Krylov com elementos da teoria de
Difração. A formulação de Morison original é adequada para membros que podem ser
representados por elementos unifilares com diâmetros pequenos em relação ao
comprimento das ondas, de modo que as ondas incidentes não são perturbadas.
A formulação híbrida adotada no programa Prosim permite representar a difração
e radiação das ondas que ocorre em membros cilíndricos de maior diâmetro. As forças
de deriva média e lenta, bem como o amortecimento dependente da freqüência das
ondas ("radiation damping"), são incorporados através da leitura de coeficientes
gerados por um programa de difração como o Wamit [36]. A vantagem de manter as
forças de primeira ordem calculadas pela formulação de Morison permite considerar de
forma rigorosa os efeitos não-lineares devidos à variação da superfície livre ao longo do
tempo. O uso desta formulação híbrida faz com que o programa Prosim seja adequado
para a análise de unidades flutuantes compostas por membros cilíndricos de pequenos
ou grandes diâmetros, tais como TLP’s, plataformas semi-submersíveis, SPAR-buoys e
monobóias.
O Prosim também dispõe de um modelo hidrodinâmico totalmente baseado na
teoria da difração linear, implementado por pesquisadores do DENO/USP [7,8]. Neste
modelo, todas as parcelas de força de onda são calculadas através de programas de
difração de onda, como o Wamit. Este modelo é o mais apropriado para plataformas
21
baseadas em navios, mas, como poderá ser observando nos resultados das aplicações,
pode não ser o mais adequado para plataformas semi-submersíveis e, principalmente,
para monobóias.
Em ambas as formulações, a cada instante do processo de integração no tempo das
equações de movimento do casco, solucionadas pelo método explícito de Runge-Kutta
de Quarta Ordem, efetua-se uma análise não-linear dinâmica de um modelo de
elementos finitos de cada uma das linhas, sob a ação da onda, correnteza, peso próprio e
das componentes de movimento transmitidas pelo casco.
Para a representação das linhas, empregam-se elementos finitos de treliça e/ou de
pórtico. A integração no tempo da dinâmica das linhas emprega diferentes algoritmos,
dentre eles o algoritmo implícito α-B de Newmark com propriedades de dissipação
numérica, e algoritmos explícitos, apropriados para a análise de situações transientes.
22
3 ANÁLISE DINÂMICA NO DOMÍNIO DO TEMPO
3.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresentam-se de forma sucinta as formulações matemáticas
utilizadas na modelagem numérica das linhas de ancoragem e risers, como também das
unidades flutuantes de sistemas offshore acoplados, que se encontram tipicamente em
programas baseados em modelos acoplados tal como o Prosim, descrito no capítulo
anterior, e são solucionados por métodos de integração do domínio do tempo. Um
estudo mais completo sobre estas formulações pode ser encontrado na literatura de
dinâmica e elementos finitos [18, 37, 38,39, 40, 41 e 42] e offshore [1,7].
3.2 MODELAGEM NUMÉRICA
Nesta seção, serão revisados conceitos básicos envolvidos na modelagem
numérica de componentes estruturais de sistemas offshore.
Os conceitos envolvidos na análise estrutural de tais componentes são
consideravelmente mais abrangentes dos que os envolvidos na análise e estruturas civis
onshore fixas. O comportamento estrutural não pode ser visto isoladamente, já que os
efeitos hidrodinâmicos devidos à interação com a água do mar são extremamente
importantes. Isto requer a utilização de conhecimentos de oceanografia e hidrodinâmica
para a consideração do carregamento ambiental de onda e correnteza, que usualmente
são numericamente avaliados como carga externa que entram pelo lado direito da
equação de movimento do problema.
Entende-se que o alto custo computacional de simulações numéricas acopladas de
sistemas offshore está diretamente relacionado com número de elementos finitos que
representam o contínuo das linhas de produção e amarração do sistema.
A unidade flutuante é representada como um corpo rígido que possui um sistema
de equações compostos por seis (6) graus de liberdade de movimento (surge, sway,
heave, roll, pitch e yaw) cuja solução não representa um custo computacional elevado
frente as demais equações que representam as linhas do modelo.
Em risers e linhas de ancoragem, uma das dimensões (o comprimento) é muito
maior do que as demais (que definem a seção transversal). Com isso, a descrição
geométrica e elaboração de um modelo de elementos finitos para representar seu
23
contínuo também não é tarefa difícil. Podem ser empregados elementos tridimensionais
de treliça, pórtico, ou elementos de cabo baseados na formulação da catenária.
A seleção do tipo de elemento apropriado irá depender da capacidade de
resistência à flexão da linha, geralmente muito menor do que a resistência aos esforços
axiais. Em linhas de amarração, a rigidez à flexão pode usualmente ser desprezada, o
que justifica o uso de elementos de treliça ou de cabo em catenária.
Em risers flexíveis, rígidos e tendões, a rigidez à flexão deve ser considerada, o
que leva ao emprego de elementos não-lineares de pórtico espacial. Alguns cuidados
devem ser tomados na utilização de elementos de pórtico; nestes casos, ainda que não
desprezível, a resistência à flexão pode ser uma ou mais ordens de grandeza menor do
que a resistência à axial. Isto pode acarretar problemas numéricos na montagem e
solução do sistema de equações de equilíbrio, e exige considerações especiais na
formulação do elemento, tais como a introdução de termos de rigidez artificial durante o
processo iterativo de solução das equações não-lineares, ou preferencialmente, a
formulação de elementos “híbridos” onde uma das incógnitas básicas é o esforço axial.
Como resultado da evolução das concepções estruturais empregadas para a
exploração de petróleo no mar, verificou-se que hoje em dia é imprescindível contar
com sistemas computacionais baseados em métodos de análise dinâmica não-linear.
Deve-se ter em mente que uma análise dinâmica não-linear exige mais recursos
computacionais; isto se torna ainda mais marcante na análise de modelos completos
e/ou acoplados com elevado número de graus de liberdade que, em modelos práticos de
sistemas offshore, atingem a ordem de milhares e precisam ser simulados com
carregamentos aleatórios não-lineares por um período suficientemente longo para
compor uma amostragem adequada para efetuar o tratamento estatístico dos resultados.
Mesmo assim, a tendência atual é o desenvolvimento de ferramentas numéricas
integradas para a análise dinâmica não-linear do sistema estrutural cascos-linhas,
considerando automaticamente o acoplamento em cada passo do processo de integração
no tempo das suas equações não-lineares de equilíbrio. Nestes desenvolvimentos é de
importância fundamental buscar a minimização dos requisitos de tempo de
processamento, de modo a viabilizar a utilização de técnicas de simulação numérica em
conjunto com modelos completos e/ou acoplados.
24
Para isso pode-se contar com o recente desenvolvimento do hardware disponível,
e tirar partido dos recursos de computação de alto desempenho, considerando modernas
arquiteturas para processamento vetorial e paralelo. Além disso, é indispensável investir
esforços no desenvolvimento de novos algoritmos e estratégias de análise otimizadas,
tais como os que estão apresentadas nesta tese. O objetivo final é gerar sistemas
computacionais modernos, que atendam aos seguintes requisitos:
1) Eficiência computacional, de modo a minimizar os custos computacionais
associados aos algoritmos de análise dinâmica não-linear;
2) Robustez e “user-friendliness”, de modo a facilitar a utilização, permitindo
efetuar menos análises e gastar menos tempo para obter os resultados;
3) Tornar os resultados mais confiáveis e menos dependentes do conhecimento
técnico do usuário.
25
3.3 FORMULAÇÃO E SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE
MOVIMENTO
Uma vez conhecido o modo como o contínuo é representado num problema
offshore, inicia-se agora uma apresentação sucinta sobre a formulação que rege a
equação de movimento dinâmico utilizada pelas mais tradicionais ferramentas
numéricas de simulação dinâmica de modelos estruturais offshore.
Recorda-se que o comportamento dinâmico de sistemas contínuos consiste em
um problema de Valor Inicial e de Contorno (PVI/C), matematicamente definido por
equações diferenciais parciais (EDP) hiperbólicas (equações de movimento ou de
equilíbrio dinâmico), que incorpora equações constitutivas e equações deformação-
deslocamento, e um conjunto de condições iniciais e de contorno.
Conhecida a equação de movimento, a obtenção da resposta dinâmica de um
problema de valor inicial / contorno é possível pela utilização de métodos numéricos
que discretizam as EDP no espaço e no tempo [37].
O processo usual consiste em efetuar as discretizações de forma independente,
através das seguintes etapas:
3.3.1 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL
A discretização espacial visa reduzir as Equações Diferenciais Parciais EDP a um
sistema de equações diferenciais ordinárias semi-discretas. Conforme já mencionado, o
MEF (Método de Elementos Finitos) é o método mais utilizado para discretização
espacial na determinação da solução numérica de problemas dinâmicos lineares e não-
lineares, sendo totalmente aplicável para a solução de problemas offshore (linhas de
ancoragem e risers, por exemplo) [37]. A formulação do MEF pode ser encontrada em
diversas bibliografias [27, 40, 43], e por ser abrangentemente ensinada pelas instituições
de mestrado em engenharia, esta tese deixa a cargo do leitor o seu aprendizado.
3.3.2 DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO
Com as equações devidamente semi-discretizadas no espaço, o passo seguinte
consiste na discretização das equações diferenciais ordinárias ao longo do tempo.
Integrar no tempo numericamente significa discretizar no tempo as equações de
movimento supondo que o equilíbrio é satisfeito apenas em um determinado número de
instantes t
n+1
separados por intervalos discretos; e assumir um comportamento para a
26
variação das incógnitas (deslocamentos, velocidades e acelerações) ao longo de cada um
destes intervalos, utilizando, por exemplo, operadores de diferenças finitas.
A equação geral do movimento pode ser escrita da seguinte forma:
)()()( ttt
ExtIntI
FFF =+ (3.1)
onde )(t
I
F são as forças inerciais, )(t
Int
F são os esforços internos resistentes do
sistema estrutural, incluindo as forças elásticas e as forças de amortecimento, e,
finalmente, a parcela )(t
Ext
F , que corresponde às forças externas aplicadas à estrutura.
Considera-se que as forças elásticas incorporam também os efeitos dos esforços devido
às tensões iniciais.
)()()( ttt
ElásticasntoAmortecimeInt
FFF += (3.2)
Em geral, a Equação (3.1) é escrita em função dos deslocamentos )(tU ,
velocidades )(t
.
U e acelerações )(t
..
U nodais, como será apresentado a seguir,
inicialmente para problemas lineares e em seguida para problemas não-lineares.
Problemas Lineares
Para problemas lineares, as parcelas da Equação (3.1) podem ser escritas da
seguinte forma:
)()( tt
I
..
UMF = (3.3)
)()()()()(
.
ttttt
ElásticasntoAmortecimeInt
KUUCFFF +=+=
(3.4)
Logo, a equação do movimento que governa a resposta de um problema linear de
dinâmica estrutural semi-discreto pode ser escrita como:
)()()()(
.
tttt
Ext
FKUUCUM
..
=++
(3.5)
onde
M
é a matriz de massa, geralmente independente do tempo e dos deslocamentos,
C
é a matriz de amortecimento,
K
é a matriz de rigidez e
Ext
F é o vetor de forças
externas, que inclui as forças de volume, as forças de superfície e as forças concentradas
atuantes no sistema. Para os problemas lineares as matrizes
K
e
C
são constantes, ao
contrário de problemas não-lineares, em que variam com o tempo. Existem problemas
27
especiais, onde
M
,
K
e
C
, assim como a força externa, podem depender da freqüência e
o método de solução indicado é outro, como será apresentado mais adiante (Capítulo 4).
Problemas Não-Lineares
Os problemas não-lineares de dinâmica estrutural são governados pela seguinte
equação:
)())(),(()(
.
tttt
ExtInt
FUUFUM
..
=+ (3.6)
onde
))(),((
.
tt
Int
UUF é o vetor dos esforços internos nodais correspondente ao estado de
tensões na configuração corrente (instante t ) e )(t
Ext
F refere-se ao carregamento externo
aplicado aos pontos nodais na mesma configuração relativa ao instante t . Os vetores
)(t
Int
F e )(t
Ext
F incorporam as não-linearidades envolvidas no problema. No vetor
)(t
Int
F estão as não-linearidades geométrica e/ou física, uma vez que este vetor é uma
função não-linear do vetor de deslocamentos e de velocidades. O vetor )(t
Ext
F considera
a não-linearidade devida à variação das cargas externas ao longo do tempo podendo
variar ao longo da geometria e inclusive depender dos movimentos adquiridos pela
própria estrutura; neste caso, este vetor ficaria
))(),((
.
tt
Ext
UUF .
Em ambos os casos, linear e não-linear, a equação geral de movimento da
dinâmica estrutural representa um Problema de Valor Inicial onde se deseja determinar
o histórico de respostas do sistema estrutural ao longo do tempo
()(tUU
= , com 0],,0[ >∈
τ
τ
t ), satisfazendo à Equação (3.6) e às seguintes condições
iniciais:
o
UU =)0( e
o
..
UU =)0( (3.7)
onde
o
U
e
o
.
U
são os valores iniciais para os deslocamentos e velocidades,
respectivamente. Caso as acelerações iniciais
o
..
U não sejam conhecidas, pode-se
naturalmente determiná-las a partir da relação:
])0([
1
o
o
Ext
o
KUUCFMU
...
−−=
−
(3.8)
28
3.4 ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO
A resposta do sistema estrutural ao longo do tempo é obtida utilizando-se um
algoritmo de integração apropriado para resolver o Problema de Valor Inicial definido
pelas equações anteriores. Nesta seção, é apresentado um breve resumo alguns
algoritmos de integração.
3.4.1 FAMÍLIA DE NEWMARK
Os métodos de integração da Família de Newmark, da mesma forma que nos
métodos de integração descritos a seguir, apresentam duas equações básicas de
diferenças finitas:
t
nnnn
Δ+−+=
++
].).1[(
11
UUUU
&&&&&&
ββ
(3.9)
e
2
11
]..).2/1[(. tt
nnnnn
Δ+−+Δ+=
++
UUUUU
&&&&&
αα
(3.10)
onde
α
e
β
são parâmetros que definem um membro em particular da família de
métodos, e estão relacionados com a precisão e estabilidade do método. Se
β
=1/2 e
α
=1/6, as equações (3.9) e (3.10) corresponderão ao método de aceleração linear, não
apresentado nesta tese. Se
β
=1/2 e
α
=1/4 as equações irão recair na denominada regra
trapezoidal, um método implícito e incondicionalmente estável. E se
β
=0 e
α
=1/4, as
equações recairão no método explícito das diferenças centrais descrito adiante.
Para solução do deslocamento no tempo t+Δt, a equação de movimento será
considerada satisfazendo um equilíbrio também neste instante t+Δt:
111
...
+++
=++
nnn
FUKUCUM
&&&
(3.11)
Manipulando as equação (3.9), (3.10) e (3.11) pode-se avaliar a equação de
movimento com um só termo incógnito no tempo t+Δt:
1+n
U
&&
,
1+n
U
&
ou
1+n
U . O método
de Newmark implementado por deslocamentos leva à seguinte equação.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
Δ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
Δ
+
Δ
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
Δ
+
++
nnn
nnnnn
t
t
tttt
UUUC
UUUMFUCMK
&&&
&&&
.2
2
.1.
.
.
.1
.2
1
.
.
1
.
.
1
..
..
1
2
11
2
α
β
α
β
α
β
αααα
β
α
(3.12)
29
Esta expressão define um Sistema Efetivo de equações algébricas lineares,
que pode ser escrito da forma:
A
^
.
1+n
U = b
^
(3.13)
A matriz de coeficientes A
^
é a matriz efetiva; o lado direito b
^
é o vetor de cargas
efetivo.
Verifica-se, portanto que o processo de integração no tempo recai na solução de
um sistema de equações algébricas lineares para cada instante de tempo.
Considerando o uso uma técnica direta para a solução dos sistemas de equações,
o processo de integração no tempo em problemas lineares
fica:
1)
Ao início da análise, montar a matriz efetiva A
^
/ triangularizar.
2)
Loop de instantes de tempo: conhecidas as aproximações
n
U
&&
,
n
U
&
e
n
U :
2.1) Calcular o vetor de cargas efetivo b
^
;
2.2) Efetuar uma retrosubstituição para resolver o sist. efetivo obtendo-se
1+n
U ;
2.3) Calcular
1+n
U
&&
e
1+n
U
&
através dos operadores de Newmark;
2.4) Incrementar n e passar para o próximo instante de tempo ⇒ 2.1).
A seguir encontra-se um esquema passo-a-passo para implementação deste
método, reproduzido de [27].
30
Também se pode obter uma implementação por acelerações. Neste caso, as
acelerações
1+n
U
&&
serão as incógnitas do sistema efetivo. Para isso, substitui-se a forma
original dos operadores de Newmark (3.9) e (3.10) nas equações de movimento
discretas (3.11) e obtém-se a seguinte expressão para o sistema efetivo:
(
)
(
)
(
)
nnnnnnn
ttttt UUUKUUCFUKCM
&&&&&&&&
2
11
2
).2/1(..)1(.. Δ−+Δ+−Δ−+−=Δ+Δ+
++
βαβα
(3.14)
A integração no tempo avança resolvendo este sistema para
1+n
U
&&
e utilizando a forma
original dos operadores de Newmark para obter
n
U
&
e
n
U .
Examinando ß na expressão da matriz efetiva para a implementação por
acelerações, observa-se que:
1) Cálculo Inicial:
• Montagem das matrizes de massa [M], amortecimento [C] e rigidez global [K];
• Montar os vetores de condições iniciais:
0
U ,
0
U
&
e
0
U
&&
;
• Escolher um Δt, os parâmetros
α
e
β
e calcular as constantes de integração:
2
0
.
1
t
a
Δ
=
α
,
t
a
Δ
=
α
β
1
,
t
a
Δ
=
α
1
2
, 1
.2
1
3
−=
α
a ;
1
4
−=
α
β
a ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Δ
= 2
2
5
α
β
t
a
,
(
)
β
−
Δ
=
1.
6
ta e ta
Δ
=
.
7
β
• Formar a matriz efetiva
CMKK
10
aa ++=
;
2) Para cada passo no tempo:
• Calcular o carregamento efetivo no tempo t:
)....()....(
5413201
1
nnnnnnn
n
aaaaaa UUUCUUUMFF
&&&&&&
++++++=
+
+
• Solucionar o vetor deslocamento no tempo t+Δt:
1
1
.
+
+
=
n
n
FUK
• Calcular o vetor aceleração e velocidade no instante de tempo t+Δt:
nnnnn
aaa UUUUU
&&&&&
..)(
32101
−−−=
++
1761
..
++
++=
nnnn
aa UUUU
&&&&&&
31
1)
Se ß = 0: O sistema efetivo não é acoplado por coeficientes da matriz de
rigidez. Isso significa dizer que com matrizes de massa e amortecimento diagonais, a
matriz efetiva
A
^
é diagonal. Assim, a solução do sistema efetivo é imediata: não há
necessidade de triangularizar uma matriz global, simplesmente divide-se cada termo
de
b
^
pelo termo correspondente da diagonal de A
^
. Neste caso, o algoritmo de integração
é classificado como Explícito
.
2) Se
ß ≠ 0: O sistema efetivo é dito acoplado, pois a matriz efetiva A
^
tem a
mesma estrutura da matriz de rigidez. Isso significa que a solução do sistema efetivo
não é imediata: exige-se uma técnica para solução de sistemas de equações que
geralmente faz uso de uma técnica direta, que leva à triangularização de uma matriz
global. O algoritmo de integração é classificado como Implícito
.
Propriedades de Algoritmos de Integração
Para decidir qual o algoritmo apropriado para a solução de um dado problema
dinâmico, utilizam-se critérios que se baseiam nas
propriedades intrínsecas do
algoritmo: precisão, convergência, consistência, estabilidade, custo computacional por
instante de tempo e amortecimento numérico; e também nos
fatores externos ao
algoritmo: tipo do problema, topologia da malha de elementos finitos e tipo de
computador.
O objetivo desta seção não é apresentar e discutir aprofundadamente cada uma
destas propriedades e fatores externos. No entanto, uma atenção especial será dada ao
tipo de problema que é um fator simples, mas importante, que definiu a viabilidade da
pesquisa desta tese, tanto no que se refere a implementação do cálculo de períodos
naturais desistemas flutuantes acoplados, como nos estudos de novas ferramentas de
integração numérica associadas à redução de base que serão apresentadas mais adiante.
Tipo de Problema
Podem ser caracterizados dois tipos de problema dinâmico: problema inercial e de
propagação de onda
. Resumidamente, o problema inercial pode ser definido como
aquele em que o carregamento externo excita as freqüências mais baixas (períodos mais
altos) de uma estrutura, enquanto no problema de propagação de onda, o carregamento
externo excita suas freqüências mais altas (períodos mais baixos) e/ou intermediárias.
32
Os problemas relacionados à prospecção e cravação de estacas se enquadram aos
problemas de propagação de onda, que fogem dos tipos de problemas estudados neste
trabalho. Já as plataformas offshore (sob ação de cargas ambientais) são exemplos de
problemas inerciais, compreendendo, dentre outros: jaquetas, auto-elevatórias, torres
complacentes e os sistemas flutuantes de produção que fazem parte dos estudos de casos
desta tese.
O tipo de problema é o primeiro fator externo ao algoritmo que se deve examinar
para se determinar a classe do algoritmo (explícito ou implícito) que será escolhido para
a solução de um problema dinâmico. Adianta-se que para se obter um ganho
computacional no processo de solução de um modelo numérico, indica-se que um
problema inercial seja solucionado por um algoritmo implícito de integração, enquanto
em um problema de propagação de onda, indica-se a integração por um algoritmo
explícito.
Com a mesma finalidade, entende-se que o método de redução de base é indicado
para reduzir os cálculos computacionais envolvidos no processo de solução de um
problema dinâmico de caráter inercial. Isto por que o método se baseia numa mudança
de coordenadas (para reduzir o problema) através de uma matriz de transformação que
normalmente é composta por vetores associados aos modos de vibração mais baixos
(períodos mais altos) da estrutura, abrangendo aqueles excitados pelo carregamento
externo. Assim, quanto mais característico for o problema inercial (quanto mais baixas
forem as freqüências excitadas pelo carregamento), menor o número de vetores
necessários para compor (representar) o problema no subespaço modal, garantindo a
eficiência computacional.
No sentido inverso, pode-se perceber que num problema de propagação de onda,
cujas respostas de interesse se encontram na faixa das altas freqüências (modos mais
altos), o uso do método de redução não é vantajoso visto que exigirá a seleção de um
número elevado de vetores para compor a matriz de transformação do problema,
gerando um alto custo computacional. Neste caso, recomenda-se a solução no espaço
nodal do problema, preferencialmente fazendo uso de um algoritmo explícito, conforme
já mencionado.
33
Estabilidade
Para que seja entendida a relação entre o tipo de problema (inercial ou propagação
de onda) e o tipo de algoritmo (implícito e explícito) se faz necessário apresentar uma
importante propriedade intrínseca de um algoritmo: a estabilidade. A estabilidade pode
ser entendida como a propriedade de um algoritmo de não amplificar erros, que podem
ser resultantes de: truncamento numérico e/ou integração imprecisa de modos de
freqüência alta, para os quais a razão Δt/T fique acima de um limite admissível.
Um algoritmo é Instável quando, devido à amplificação destes erros, a solução
cresce sem limites.
Um algoritmo é incondicionalmente estável quando a integração é estável para
qualquer valor de intervalo de tempo. Assim, na seleção de valores de intervalo de
tempo, basta atender um compromisso entre precisão da resposta e custo computacional.
Um algoritmo é condicionalmente estável quando a estabilidade só é garantida
com a utilização de intervalos de tempo menores do que um determinado valor crítico
Δt
cr
; para Δt > Δt
cr
a integração fica instável.
Os algoritmos explícitos são condicionalmente estáveis, o que significa dizer que
sempre haverá um valor crítico de intervalo de integração a ser respeitado. Qualquer
intervalo de integração que garanta a estabilidade do algoritmo poderá garantir também
que se encontrem respostas precisas, dependendo do grau de refinamento da
discretização espacial, por integrar corretamente as altas freqüências do problema
numérico.
Já a maioria dos métodos implícitos encontrados na literatura é
incondicionalmente estável. No entanto, deve-se ter o cuidado de se escolher um
intervalo de integração de forma a não comprometer a precisão das respostas.
Normalmente recomenda-se que o intervalo de integração dos métodos implícitos esteja
na ordem de um décimo do menor período natural da estrutura excitado pelo
carregamento, a fim de se garantir a precisão dos resultados. Por este motivo,
recomenda-se como etapa preliminar, que se faça uma análise modal da estrutura, se
selecionado a partir daí os modos de vibração que influenciam a resposta do sistema.
Deste grupo de modos, deve-se escolher o de menor período (maior freqüência) e então,
adotar o intervalo de tempo de integração como um décimo deste menor período.
34
Método da Diferença Central (MDC)
Embora o MDC possa ser visto como um membro da família de Newmark,
quando ß
= 0 e γ = ½, em algumas referencias [27,37] seu desenvolvimento é
apresentado de forma um pouco diferente, normalmente expressa com relação à
incógnita deslocamento, como será apresentado a seguir.
Mais uma vez, o princípio do método consiste em subdividir o período (T) de
análise da equação de movimento em n intervalos Δt iguais (Δt=T/n), de forma que a
equação de movimento seja satisfeita em cada intervalo discreto. Para tal, o vetor
aceleração
..
U e o vetor velocidade U
&
podem ser definidos em função do vetor
deslocamento U em cada tempo discreto de análise da seguinte forma:
).2(
1
11
2
+−
+−
Δ
=
nnnn
t
UUUU
&&
(3.15)
e
)(
2
1
11 +−
+−
Δ
=
nnn
t
UUU
&
(3.16)
A solução do deslocamento no tempo t+Δt é obtida considerando a equação de
movimento satisfeita no tempo t, diferente da apresentada anteriormente para a Família
de Newmark (t+Δt) com ß ≠ 0:
nExtnnn _
... FUKUCUM =++
&&&
(3.17)
Substituindo as equações (3.15) e (3.16) na equação (3.17), obtém-se:
1
22
_1
2
.
2
11
.
2
.
2
1
.
1
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
Δ
nnnExtn
t
tt
t
t
UCMUMKFUCM
(3.18)
pelo qual soluciona-se
1+n
U .
Destaca-se que o cálculo de
1+n
U envolve
1−n
U . Desta forma, no primeiro passo,
no qual se calcula o deslocamento no instante Δt (passo 1), um procedimento especial
de partida deve ser levado em consideração. Desde que conhecido
0
U ,
0
U
&
e
conseqüentemente, pelo uso da equação (3.17), conhecido
0
U
&&
, pode-se encontrar o
vetor deslocamento no instante -Δt ,
1−
U , em função das condições iniciais,
relacionando as equações (3.15) e (3.16). Conseqüentemente:
0
2
001
.
2
. UUUU
&&&
t
t
Δ
+Δ−=
−
(3.19)
35
Como a solução de
1+n
U é baseada no uso da condição de equilíbrio no tempo t
(correspondente ao passo n) da equação (3.17), fica mais fácil entender que o
deslocamento encontrado no passo futuro (t+Δt) tem que satisfazer o equilíbrio da
equação de movimento no tempo passado (t), e para isso, o incremento (Δt) deve ser
pequeno, menor que um limite crítico. Caso contrário, o equilíbrio não é estabelecido e
a solução “explode” (equilíbrio instável).
Este intervalo crítico Δt
cr
, possui relação direta com o menor período da estrutura
discreta analisada. Adianta-se que no caso do MDC o intervalo de integração estável
deve respeitar a seguinte relação:
π
(min)
n
cr
T
tt ≅Δ≤Δ
(3.20)
onde T
n
(min) é o menor período natural do sistema analisado; o que significa que um
intervalo de tempo muito pequeno é necessário para que a solução do sistema convirja.
Para se encontrar o intervalo de integração crítico do MDC, equação (3.20), e
dos demais algoritmos, se faz necessário investigar o raio espectral
ρ
(A) da matriz de
amplificação do algoritmo. Este assunto não será abordado aqui, mas está bem
apresentado em [44].
De maneira sucinta, um resumo dos passos necessários para utilização do
método de integração direta pelo MDC é apontado a seguir:
1)
Cálculo Inicial:
•
Montagem das matrizes de massa M, amortecimento C e rigidez global K;
•
Montar os vetores de condições iniciais:
0
U ,
0
U
&
e
0
U
&&
;
•
Escolher um Δt, Δt ≤ Δt
cr
, e calcular as constantes de integração:
2
0
1
t
a
Δ
=
,
t
a
Δ
=
2
1
1
,
02
.2 aa = e
2
3
1
a
a =
;
• Calcular
03001
.. UUUU
&&&
at +Δ−=
−
;
•
Formar a matriz efetiva CMM
30
aa += ;
2)
Para cada passo no tempo:
•
Calcular o carregamento efetivo no tempo t:
()
(
)
1102__
..
−
−−−−=
nnnExtnExt
aaa UCMUMKFF
•
Solucionar o vetor deslocamento no tempo t+Δt:
36
nExt
n
_
1
. FUM =
+
•
Se necessário, calcular o vetor aceleração e velocidade no instante de tempo t:
).2(
1
11
2
+−
+−
Δ
=
nnnn
t
UUUU
&&
)(
2
1
11 +−
+−
Δ
=
nnn
t
UUU
&
A Escolha do Método de Integração
O Método da Diferença Central (MDC) é o método mais utilizado entre todos os
métodos explícitos de integração em problemas de dinâmica estrutural. Ele é indicado
frente a um método implícito para solucionar problemas de propagação de onda, como o
de cravação de estacas, uma vez que a solução de seu sistema efetivo é mais rápida
(matriz efetiva diagonal) e o interesse dos resultados recai nas respostas de alta
freqüência. O uso deste algoritmo tem a desvantagem da necessidade de se utilizar um
incremento de tempo muito pequeno para evitar problemas de estabilidade do algoritmo,
como abordado anteriormente.
Em problemas inerciais, o período do carregamento externo é alto com relação ao
menor período natural da estrutura e como o algoritmo explícito irá exigir um intervalo
de integração pequeno (que integre corretamente o menor período discreto do modelo
numérico), seu uso acarretaria desperdício de tempo de processamento, já que o
interesse das simulações dos problemas inerciais está nas respostas de períodos altos.
Neste tipo de problema, um método implícito é recomendado por permitir que sejam
utilizados intervalos de integração maiores, que superam, no tempo total de simulação,
o custo da solução do sistema efetivo por instante de tempo.
Em suma, a marcha no tempo do método implícito é mais lenta por intervalo de
integração (matriz efetiva acoplada), mas é compensada por permitir grandes passos de
integração, fazendo-o caminhar mais rápido no processo de solução de um problema
dinâmico de caráter inercial.
Na integração numérica da equação de movimento de uma unidade flutuante
offshore (sistema de equações que contém 6 graus de liberdade: surge, sway, heave,
roll, pitch e yaw), embora aparentemente tenha caráter inercial, por conter graus de
liberdade com períodos altos (normalmente entre 6s e 300s) e também por estar
submetida a excitações nesta mesma faixa de período, o menor período do sistema de
37
equação ainda é elevado. Isto permite que a unidade flutuante seja integrada por um
método explícito, como o MDC ou Runge Kutta de Quarta Ordem, visando eficiência
computacional.
Os períodos naturais elevados (normalmente entre 6s e 300s) irão através do
método explícito exigir intervalos de integração na ordem de 2s. Este intervalo é ainda
superior ao intervalo de tempo exigido para investigar adequadamente o histórico de
resposta do sistema (entre um décimo e um vigésimo do menor período excitado pela
estrutura) e para representar bem os períodos de excitação das ondas (que na Bacia de
Campos encontram-se entre aproximadamente 5s e 17s); justificando a escolha do
método.
No contexto da formulação fracamente acoplada (casco-linhas), este intervalo de
integração é ainda superior aos necessários para integrar dinamicamente as linhas do
sistema offshore (p.ex. 0.05s), que usualmente fica a cargo de um método implícito. Isto
significa que, conhecido o procedimento numérico de uma análise fracamente acoplada
(explícito-implícito), o casco é solucionado mais rápido a cada intervalo de integração,
mas fica aguardando, a cada intervalo, o final do processo de integração das linhas para
que se possa seguir com sua marcha no tempo.
Já no contexto da formulação fortemente acoplada (casco-linhas), em que o casco
é representado por um nó da malha de elementos finitos das linhas, recomenda-se que
todo o modelo seja integrado por um método implícito (Δt >>
cr
t
Δ
).
Em suma, um algoritmo explícito
de maneira geral não é recomendado para
solucionar problemas de caráter inercial
de estruturas “flexíveis” com diversos graus de
liberdade, como jaquetas offshore submetidas a ondas, sistemas flutuantes modelados de
forma fortemente acoplada, conforme mencionado no parágrafo anterior, ou mesmo
para solucionar as equações de linhas de ancoragens e risers de sistemas offshore.
Nestes problemas indica-se o uso de um método de integração implícito.
Dentre os métodos explícitos, o MDC apresenta uma desvantagem adicional para
solucionar problemas deste tipo: ser um algoritmo que não possui dissipação numérica.
A mesma desvantagem é encontrada no método implícito de Newmark (regra
trapezoidal). O propósito da dissipação numérica é reduzir as respostas espúrias que são
oscilações numéricas (não-físicas) provocadas por erros associados à utilização de um
método numérico em problemas com vários graus de liberdade.
38
A discretização espacial do MEF, por exemplo, introduz erros no espectro de
freqüências, em comparação ao problema real. As Equações de movimento semi-
discretas representam melhor as freqüências mais baixas (períodos mais altos); as
freqüências mais altas podem ser “espúrias”, não tendo significado físico algum. Torna-
se então desejável uma forma de eliminá-las da resposta dinâmica, principalmente na
análise de problemas inerciais em que a malha de elementos finitos não precisa ser
altamente refinada.
Existem então razões para se desejar que um algoritmo de integração disponha de
alguma forma um amortecimento numérico controlado. Este controle está presente em
algoritmos especiais, como o αH-Newmark [45,46] e
αB-Newmark [47,48], presente no
programa Prosim e que foi utilizado nos estudos de caso desta tese.
Outras alternativas menos
indicadas para introduzir dissipação (amortecimento
numérico), correspondem a adição de amortecimento viscoso ao problema, ou mesmo
ao uso de algoritmos tradicionais que apresentam dissipação numérica (raio espectral
ρ
(A) menor que 1 [44]), tal como os métodos implícitos de Holbout e Wilson θ.
39
3.4.2 TRATAMENTO DE PROBLEMAS NÃO-LINEARES POR ALGORITMOS
IMPLÍCITOS
Os algoritmos implícitos apresentados anteriormente podem ser facilmente
implementados para solucionar problemas lineares. Para problemas não-lineares, as
equações de movimento semi-discretas mudam um pouco e podem ser expressas da
forma:
M U
&&
(t) + C U
&
(t) + R(U) = F(U,t) (3.21)
As não-linearidades estão embutidas nas parcelas R(U) e F(U,t). A parcela de
esforços elásticos R(U) inclui efeitos geométricos e/ou de materiais com
comportamento elástico não-linear. A parcela de cargas externas F(U,t) considera não-
linearidade devido à variação das cargas externas com a geometria, caracterizando
carregamentos não-conservativos.
A solução do sistema de EDO não-linear (3.21) associado a algoritmos implícitos
exige procedimentos específicos para o tratamento das não-linearidades, como
apresentado a seguir. Inicialmente, escreve-se a forma discretizada correspondente:
M
U
&&
n+1
+ C
U
&
n+1
+ R(U
n+1
) = F
n+1
(U
n+1
) (3.22)
O tratamento do problema não-linear baseia-se em assumir que, no entorno de
uma configuração deformada
U, o problema pode ser considerado localmente linear.
Esta linearização consiste em tomar a seguinte aproximação para as parcelas não-
lineares
R(U
n+1
) e F
n+1
(U
n+1
), através de uma série de Taylor com termos de ordem
superior truncados:
U
U
)U()U(
U
1
Δ
∂
∂
+=
+
n
R
RR
nn
(3.23)
U
U
)U()U(
U
1
111
Δ
∂
∂
+=
+
+++
n
n
nnnn
F
FF
(3.24)
onde
Δ U = U
n+1
− U
n
(3.25)
A última parcela de (3.24), que define a variação das cargas externas com a
geometria, não será considerada nos desenvolvimentos posteriores. Esta parcela
usualmente só é levada em conta quando se exige um tratamento muito rigoroso de
carregamento não-conservativo, já que compõe uma matriz não-simétrica.
40
A matriz de rigidez tangente é definida como:
K
T
=
∂R
∂U
(3.1)
Formulação Incremental
Substituindo (3.25), (3.24) e (3.23) em (3.22), as equações de equilíbrio dinâmico
discretizadas no espaço e no tempo escrevem-se da seguinte forma incremental:
M U
&&
n+1
+ C U
&
n+1
+ K
T
Δ U = F
n+1
(U
n
) − R(U
n
) (3.26)
U
n+1
= U
n
+ Δ U (3.27)
onde R(U
n
) são os esforços elásticos resistentes calculados com os deslocamentos do
intervalo anterior, e a matriz de amortecimento sendo definida como a de Rayleigh é
dada por:
C = α
m
M + α
k
K
T
(3.28)
Formulação Incremental-Iterativa
Deve-se observar que estas equações não mais garantem o equilíbrio dinâmico ao
fim do intervalo de tempo t
n+1
, devido às linearizações assumidas em (3.23) e (3.24).
Por isto, é necessário empregar uma técnica iterativa para resolver o problema não
linear. Usualmente emprega-se o Método de Newton-Raphson e suas variações, que
consistem em escrever as equações de movimento na seguinte forma incremental-
iterativa:
M U
&&
(k)
n+1
+ C U
&
(k)
n+1
+ K
T
ΔΔ U
(k)
= F
n+1
− R(U
(k-1)
n+1
,
ΔΔ U
(k-1)
) (3.29)
Δ U
(k)
= Δ U
(k-1)
+ ΔΔ U
(k)
(
3.
30)
U
(k)
n+1
= U
(k-1)
n+1
+ ΔΔ U
(k)
(
3.
31)
Nestas expressões, os superscritos k e k-1 indicam um contador de iterações, e ΔΔ
U
(k-1)
representa a variação dos deslocamentos incrementais obtida a cada iteração do
ciclo de verificação do equilíbrio.
A formulação do Método de Newton-Raphson baseia-se, portanto em adotar a
linearização (3.23) e iterar com matrizes tangentes como a dada por (3.25). No Método
de Newton-Raphson Padrão
NRP, a matriz tangente é reavaliada em todas as iterações.
No entanto, em alguns casos os custos de montagem e decomposição associados não
41
compensam os ganhos com a convergência do processo, e o método de Newton-
Raphson modificado
NRM é uma alternativa interessante. Nesta técnica, a matriz de
rigidez tangente K
T
é calculada ao início de cada intervalo de tempo e mantida
constante ao longo do ciclo iterativo, podendo ainda ser mantida constante ao longo de
um certo número de intervalos de tempo.
O vetor de cargas externas F
n+1
(U
n
) é reavaliado ao início de cada intervalo de
tempo, e é mantido constante ao longo do ciclo iterativo. Os esforços elásticos
resistentes
R estão expressos também em função das variações dos deslocamentos
incrementais ΔΔ
U
(k-1)
porque estes são utilizados na formulação do elemento de pórtico
não-linear tridimensional empregado.
Aplicação do Operador de Integração no Tempo
Observando os operadores de Newmark em termos de acelerações e velocidades
(3.32) e (3.33), verifica-se que os deslocamentos incrementais
(U
n+1
- U
n
)
correspondem a Δ
U
(k)
, o qual por sua vez pode ser substituído pelo lado direito da
expressão (3.30). Com isso, obtém-se a seguinte forma “incremental-iterativa” para os
operadores de Newmark:
U
&&
(k)
n+1
= − a
2
U
&
n
− a
3
U
&&
n
+ a
0
(ΔU
(k-1)
+ ΔΔ U
(k)
) (3.32)
U
&
(k)
n+1
= − a
4
U
&
n
−a
5
U
&&
n
+ a
1
(ΔU
(k-1)
+ ΔΔ U
(k)
) (3.33)
De forma semelhante ao apresentado para o caso linear, a resposta dinâmica não-
linear pode então ser obtida através da aplicação destes operadores (3.32) e (3.33) sobre
a expressão incremental-iterativa das equações de movimento (3.29). Com isto, obtém-
se um sistema “efetivo” de equações algébricas lineares, que devem ser resolvidas a
cada iteração do procedimento de Newton-Raphson.
Uma forma geral para este sistema “efetivo” é dada por
A ΔΔ U
(k)
= b
(k-1)
(3.34)
onde a matriz de coeficientes
A é a matriz efetiva, definida como uma combinação
das matrizes de massa, rigidez e amortecimento, afetadas por coeficientes escalares; e o
vetor de termos independentes
b
(k-1)
é o vetor de resíduos efetivos, calculados em termos
das cargas externas, e de forças elásticas, de inércia e de amortecimento da iteração
anterior.
42
3.4.3 TRATAMENTO DE PROBLEMAS NÃO-LINEARES POR ALGORITMOS
EXPLÍCITOS
Método das Diferenças Centrais (MDC)
Recordando que o MDC é um membro da família de Newmark c/ ß = 0, γ = 1/2.
Substituindo estes valores nos operadores de Newmark e rearranjando, obtêm-se os
operadores de "diferenças centrais", já apresentados:
U
&&
n
=
1
Δt
2
(U
n+1
− 2 U
n
+ U
n-1
)
U
&
n
=
1
2Δt
(U
n+1
− U
n-1
)
A forma discretizada no tempo das equações de movimento, expressas no instante
t
n
é dada por:
M U
&&
n
+ C U
&
n
+ R(U
n
) = F
n
(3.35)
Utilizando o operador de
U
&&
n
e U
&
n
nesta forma discretizada das equações de
movimento, chega-se a:
M
1
Δt
2
(U
n+1
− 2 U
n
+ U
n-1
) + C
1
2Δt
(U
n+1
− U
n-1
) = (F
n
− R(U
n
)) (3.36)
(M
1
Δt
2
+ C
1
2Δt
).U
n+1
= (F
n
− R(U
n
)) + 2 M
1
Δt
2
U
n
– (M
1
Δt
2
+ C
1
2Δt
)U
n-1
(3.37)
Operando, obtém-se o sistema efetivo de equações, com solução trivial para
M e
C diagonal:
U
n+1
= (M
1
Δt
2
+ C
1
2Δt
).
-1
[ (F
n
− R(U
n
)) + 2 M
1
Δt
2
U
n
] − U
n-1
(3.38)
Se o amortecimento estrutural for nulo, a equação acima se resume ainda mais:
U
n+1
= Δt
2
M.
-1
(F
n
− R(U
n
)) + 2 U
n
− U
n-1
(3.39)
Isto significa que a partir daí, a solução do problema não-linear avança no tempo
apenas calculando-se cargas externas e esforços internos:
F
n
, R(U
n
). Não há
necessidade de considerações especiais sobre o tratamento dos efeitos não-lineares, já
que os termos não-lineares estão no lado direito do sistema efetivo, e são conhecidos no
instante t
n
.
43
3.5 SOLUÇÃO ANALÍTICA: INTEGRAL DE DUHAMEL
Nesta seção apresenta-se uma forma analítica para a solução da equação de
movimento de um sistema com um grau de liberdade. Esta forma foi utilizada para
solucionar as equações de movimento desacopladas pelo método de redução de base
apresentado no capítulo 7, e é indicada sempre que o amortecimento estrutural, a massa
e a rigidez do sistema são constantes. Não se deve discutir sobre precisão da resposta
analítica, pois ela representa a resposta real da equação de movimento; basta a
discretização numérica da integral analítica fazer uso de um intervalo de tempo que
atenda o compromisso de representar bem o carregamento externo do problema.
3.5.1 SISTEMAS NÃO AMORTECIDOS
A integral de Duhamel pode ser facilmente definida lembrando-se que um efeito
provocado pela ação de um carregamento F(t) é equivalente a superposição dos efeitos
causados por cada termo discreto (carregamento impulsivo) desta função F(t) em um
instante de tempo qualquer t
j
. A prova matemática da Integral de Duhamel será
mostrada a seguir.
Define-se carregamento impulsivo como aquele em que uma força F(t
i
) é
aplicada em um sistema no instante t
i
durante um curto intervalo de tempo dt. Este
carregamento provoca uma aceleração da no corpo de massa m durante seu intervalo de
tempo de aplicação. Por conseguinte, utilizando a Segunda Lei de Newton, pode-se
escrever:
F(t
i
)=m.da (3.40)
onde da=dv/dt, sendo dv o acréscimo de velocidade ganho naquele instante de aplicação
dt. Assim, a equação anterior pode ser escrita:
F(t
i
)=m.dv/dt (3.41)
ou, isolando dv:
dv=F(t
i
).dt/m (3.42)
A equação acima significa que a velocidade inicial dv aplicada em um sistema
num instante t
i
, produz o mesmo efeito causado pela aplicação do carregamento
impulsivo naquele instante.
44
Recordando que um sistema em vibração livre pode ser representado por uma
equação que depende das condições iniciais x
0
e v
0
, e da freqüência natural
ω
n
do
sistema, tem-se:
)()cos()(
0
0
tsen
v
txtx
n
⋅⋅+⋅=
ω
ω
ω
(3.43)
Aplicando o acréscimo de velocidade dv, num instante t
i,
como condição inicial de
um sistema em vibração livre, a equação (3.43) pode ser rescrita:
))(()(
in
ttsen
dv
tdx −⋅⋅=
ω
ω
(3.44)
ou, substituindo a equação (3.42):
))((
)(
)(
in
i
ttsen
m
dttF
tdx −⋅⋅
⋅
⋅
=
ω
ω
(3.45)
Isto significa que um carregamento impulsivo aplicado em um sistema massa-
mola num instante t
i
provoca deslocamentos harmônicos dx(t) de amplitude
m
dttF
n
i
⋅
⋅
ω
)(
.
Como uma função F(t) pode ser discretizada em N carregamentos impulsivos
F(t
i
), de duração dt, a resposta do deslocamento x(t
j
), no instante t
j
, provocado pela
força F(t), pode ser obtida pela superposição dos N deslocamentos dx
i
(t
j
)
,
originados da
atuação dos respectivos N carregamentos F(t
i
) no sistema. Isto é: )()(
1
j
NN
i
ij
tdxtx
∑
=
=
onde NN=N para t
j
≥
t
N
e NN=j para t
j
<t
N
. As Figuras 3.1 a 3.3 esquematizam as
informações prescritas.
Figura 3.1 - Discretização de uma força F(t) em cargas impulsivas F(t
i
).
d
t
F
t
t
i
t
N t
i+1
F
45
Figura 3.2 - Deslocamento dx
i
(t) esquemático causado pela carga impulsiva F(t
i
).
)()(
1
j
NN
i
ij
tdxtx
∑
=
=
Figura 3.3 - Deslocamento x(t) esquemático causado pela carga F(t).
Assim, a resposta do deslocamento para qualquer instante de tempo t
j
é obtida
pela integração da equação (3.45), denominada integral de Duhamel de sistemas em
oscilação livre:
dtttsentF
m
tx
j
t
jnj
∫
−⋅⋅
⋅
=
0
))(()(
1
)(
ω
ω
(3.46)
Por fim, a resposta final x(t
j
) de um sistema massa-mola forçado, com condições
iniciais não nulas, pelo princípio da superposição, é expresso por:
dtttsentF
m
tsen
v
txtx
j
t
jn
n
jn
n
jnj
∫
−⋅⋅
⋅
+⋅⋅+⋅=
0
0
0
))(()(
1
)()cos()(
ω
ω
ω
ω
ω
(3.47)
3.5.2 INTEGRAL DE DUHAMEL EM SISTEMAS AMORTECIDOS
Em sistemas amortecidos, para se chegar à solução da equação de movimento
expresso pela integral de Duhamel, procedem-se as mesmas etapas descritas no item
anterior, com a única diferença de que agora se aplica o acréscimo de velocidade dv, da
equação (3.42), na solução final da equação de movimento do sistema massa-mola-
amortecedor.
t
i
t
j
x(t)
t
t
i
t
j
dx
i
(t
j
)
dv
t
dx
i
(t)
46
A solução de um sistema amortecido com um grau de liberdade com condições
iniciais x
0
e v
0
é dada por:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅+
+⋅=
⋅⋅−
)()cos()(
00
0
tsen
xv
txetx
D
D
n
D
t
ω
ω
ωξ
ω
ωξ
(3.48)
onde
ω
D
é a freqüência natural amortecida do sistema,
ω
D
=
ω
n
.(1-
ξ
)
1/2
.
Substituindo dv, acréscimo de velocidade devido à aplicação de uma carga
impulsiva, na equação anterior e fazendo x
0
=0, obtém-se o deslocamento dx(t) :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−⋅⋅−
)(sen()(
0
)(
iD
D
tt
tt
dv
etdx
i
ω
ω
ωξ
(3.49)
Fazendo dv=F(t
i
).dt/m, a equação pode ser rescrita:
))(sen(
)(
)(
)(
iD
D
i
tt
tt
m
dttF
etdx
i
−⋅
⋅
=
−⋅⋅−
ω
ω
ωζ
(3.50)
Da mesma maneira apresentada no item anterior, o deslocamento em um tempo t
j
devido a uma força F(t) é obtido pelo somatório de todos os deslocamentos no instante t
j
provocados pelos N carregamentos impulsivos que formam a função F(t) até t
j
. Ou em
forma de integral:
dtttsenetF
m
tx
j
j
t
jD
tt
D
j
∫
−⋅
⋅
=
−⋅⋅−
0
)(
))(()(
1
)(
ω
ω
ωζ
(3.51)
que é a integral de Duhamel de sistemas amortecidos.
E finalmente, a solução de um sistema massa-mola-amortecedor com condições
iniciais não nulas e submetido a uma função carregamento F(t), superpondo as equações
(3.48) e (3.51), pode ser expresso por:
dtttsenetF
m
tsen
xv
txetx
j
jj
t
jD
tt
D
jD
D
jD
t
j
∫
−⋅
⋅
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅+
+⋅=
−⋅⋅−⋅⋅−
0
)(
00
0
))(()(
1
)()cos()(
ω
ω
ω
ω
ωξ
ω
ωζωξ
(3.52)
Naturalmente, se
ξ
é nulo, a equação anterior recai na equação (3.47).
Pensando num procedimento passo-a-passo, em que os deslocamentos )(
j
tx
podem ser expressos pelas condições iniciais no tempo t
j-1
, a equação anterior pode ser
representada de maneira discreta da seguinte forma:
47
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅+
+Δ⋅=
−−
−
⋅⋅−
)()cos()(
11
1 jD
D
jj
jDj
t
j
tsen
xv
txetx
j
ω
ω
ωξ
ω
ωξ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ+Δ−
Δ−
).().cos(1
jD
D
n
jD
t
j
tsente
k
F
jn
ω
ω
ξω
ω
ξω
(3.53)
onde k é a rigidez do sistema.
Esta última equação discreta foi implementada no programa Prosim como uma
forma de solucionar as equações de movimento modais reduzidas pelo método de
redução de base de Ritz Wilson, objetivando ganho computacional e precisão das
respostas modais
48
3.6 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DE UNIDADES FLUTUANTES
Nas seções anteriores, descreveram-se procedimentos matemáticos para a
integração de equações de movimento (acopladas ou não) de estruturas quaisquer. Para
uma descrição dos métodos matemáticos normalmente utilizados para solucionar um
problema acoplado, mais especificamente, fracamente acoplado, neste item apresenta-
se de forma sucinta considerações importantes sobre a formulação e solução das
equações de movimento de corpo rígido de unidades flutuantes.
Para o estudo de movimento de corpos flutuantes, é usual adotar dois diferentes
sistemas de coordenadas: um sistema de eixos, OXYZ fixado na Terra (sistema inercial)
para expressar as translações do sistema; e um sistema de eixos, Gxyz fixado no corpo
com origem no centro de gravidade (ou a meia nau, na quilha) para expressar as
rotações.
No raciocínio que se segue, vamos supor que o aproamento da plataforma em
relação ao sistema global (x,y,z) é zero, ou seja, que o sistema estrutural da plataforma
(X,Y,Z) e o sistema global (x,y,z) são originalmente paralelos. A extensão para casos
mais gerais com aproamento diferente de zero é trivial.
O deslocamento do corpo pode ser expresso como o somatório de uma translação
da origem do sistema de coordenadas estrutural da plataforma, e uma rotação
em torno
de um eixo passando pela origem do sistema estrutural. Aplicando a lei de movimento
de Newton, a equação diferencial do movimento do navio em relação ao sistema de
coordenadas local Gxyz, com origem no seu centro de gravidade, pode ser escrito como
[7]:
DCACampotresdldmocvI
FFFFFFFFFFFUM ++++++++++=
&&
.
(3.54)
onde:
M – Matriz de Massa da unidade flutuante
F
I
– força inercial adicional, decorrente da análise em um sistema não inercial
F
v
– força de vento
F
c
– força de corrente mais amortecimento viscoso
49
F
o
– força de onda de primeira ordem
F
dm
– força de deriva média de ondas
F
dl
– força de deriva lenta de ondas
F
res
– força de restauração hidrostática
F
pot
– força de amortecimento potencial
F
am
– força elástica e inercial das linhas
F
AC
– força de amortecimento nas linhas
F
DC
– força de arraste nas linhas
A descrição de cada uma dessas parcelas de força pode ser encontrada na
referência [7].
Note que as últimas três parcelas são representadas num modelo fracamente
acoplado por uma única parcela que corresponde à força resultante do topo das linhas
modeladas por malhas de elementos finitos. Isto significa que já consideram
implicitamente, durante a solução do problema dinâmico, as forças inerciais, elásticas,
de arraste e de amortecimento.
As equações do movimento do navio são normalmente escritas e resolvidas em
relação ao sistema de coordenadas local, uma vez que a massa adicional e os
coeficientes utilizados para os cálculos das forças hidrostáticas, hidrodinâmicas e
aerodinâmicas são tradicionalmente levantados em relação a esse sistema. Tal
procedimento tem a vantagem de simplificar as equações para os cálculos destas forças,
conseqüência da simetria do navio. O sistema de coordenadas local tem como eixo “x” a
direção longitudinal do navio, positivo à vante, e o eixo “z” na direção vertical, positivo
para cima, formando um plano vertical de simetria do navio. O eixo “y” é disposto de
forma a se obter um sistema de coordenadas positivo. A origem do sistema é colocada
no centro de gravidade do navio, de forma a também se obter uma série de
simplificações, no caso, nas expressões de inércia do sistema.
A equação de movimento do casco pode ser solucionada por diversos métodos de
integração, por exemplo, o método explícito de Runge-Kutta de quarta ordem como
apresentado na referência [13].
50
3.6.1 ESQUEMA “FRACAMENTE ACOPLADO”
Como já mencionado, o lado direito da Equação (3.54) é composto por forças e
momentos que atuam sobre a plataforma, incluindo as resultantes das cargas ambientais
(ondas, correntes, vento). Além dessas cargas externas, as forças exercidas pelas
amarras e os risers estão igualmente incluídas nestes vetores.
Esta é a chave do esquema de “acoplamento fraco” entre o modelo hidrodinâmico
do casco (descrito a seguir) com o modelo de elementos-finitos das linhas de ancoragem
e risers: o acoplamento é realizado por forças no lado direito de as equações de
movimento do casco.
Neste esquema, um (ou mais) passos da análise dinâmica não linear do modelo de
elementos finitos cada linha é realizado a cada etapa de Runge-Kutta para a integração
das equações de movimento do casco. As linhas são analisadas sob a ação de todas as
cargas ambientais, e também com os componentes de movimento do casco
(determinados no paso anterior de RK) prescritas no topo de cada linha. Os resultados
destas análises do EF são as forças e momentos no topo da linha, que são depois
incluídos nos vetores das forças que atuam sobre o casco.
Como demonstrado em [49], esse esquema de "acoplamento fraco", apresenta
resultados muito bons. Principalmente, por garantir uma eficiência computacional
consideravelmente melhor do que poderia ser fornecido pela alternativa "fortemente
acoplada" onde as malhas de EF de todas as amarras e risers seriam montadas em
conjunto com o casco, o qual seria considerado como um “nó” deste modelo. Estudos
sobre esse esquema de acoplamento forte foram realizados em [14], procurando avaliar
melhor os méritos relativos de ambos os esquemas.
3.6.2 TIPOS DE MODELO HIDRODINÂMICO DE CASCO
Em um modelo tradicional para corpos flutuantes de grandes dimensões, como
navios, todas as parcelas de força de onda, inclusive de restauração hidrostática, são
calculadas a partir de coeficientes determinados através de programas de difração de
onda baseados na teoria potencial, como o Wamit [36].
Nesse modelo, todos os coeficientes são calculados no domínio da freqüência,
assumindo que a onda possui altura infinitesimal e a seção da linha d’água se mantém
inalterada com a passagem da mesma. Com isto, os coeficientes gerados não variam
com as inclinações que o navio adquire ao longo de uma simulação. Apesar disto,
51
estudos comparativos com ensaios em tanques de prova têm indicado que este modelo
numérico ainda é adequado para representar navios. No entanto, para uma maior
confiança da representação numérica de qualquer casco, resultados do programa de
difração deveriam ser obtidos várias vezes ao longo de uma simulação dinâmica. Este
procedimento exige um custo elevado de CPU e memória e por isso, uma estratégia para
contornar este problema estaria no uso de processamento paralelo associado a clusters
com elevado número de processadores. Esta tarefa está sendo realizada no programa
Tanque de Provas Numérico da Petrobras [50].
Como mencionado no capítulo 2, o Prosim possui, além da formulação de navio
descrita no parágrafo anterior, uma formulação híbrida Morison+Froude
Krylov+Difração mais adequada para análise de cascos compostos por membros
reticulados como no caso de uma plataforma semi-submersível ou uma monobóia. Essa
formulação é capaz de tratar adequadamente as não linearidades das forças de onda de
primeira ordem e hidrostática, que variam com a inclinação e com a elevação da onda.
Para isto, os membros de uma semi-submersível (coluna, pontoom, braces, etc.) ou o
corpo de uma monobóia, por exemplo, são modelados por elementos cilíndricos
circulares ou elípticos equivalentes a seção real.
Assim, a parcela de força de onda de primeira ordem seria calculada em cada
membro, ao longo do tempo, através do uso da equação de Morison associada à parcela
de Froude Krylov [13] e a parcela hidrostática, que é encontrada através do cálculo do
volume submerso à elevação de onda de cada membro cilíndrico. As demais parcelas de
onda, força de deriva média, lenta e amortecimento potencial, são tratadas da mesma
forma que é feita pela formulação tradicional de navio: através dos coeficientes de onda
gerados por um programa de difração como o Wamit [36]. Maiores detalhes sobre a
formulação de Navio e Híbrida do Prosim podem ser encontrados em [13].
52
4 ANÁLISE DINÂMICA POR MÉTODOS
HÍBRIDOS TEMPO-FREQÜÊNCIA
4.1 INTRODUÇÃO
No capítulo anterior foram apresentadas algumas formulações matemáticas
clássicas utilizadas para solucionar no domínio do tempo as equações diferenciais que
representam o equilíbrio dinâmico de sistemas estruturais. Nestas equações, as forças
internas e externas são dependentes do tempo, podendo inclusive variar não-linearmente
com as deformações e com os deslocamentos geométricos da estrutura.
4.1.1 Solução no Domínio da Freqüência
Quando o problema tem um caráter linear, para solucionar aquelas equações,
também é possível usar um procedimento de transformação de domínio (Laplace,
Fourier, Wavelets, etc) que possui uma grande vantagem frente aos algoritmos de
solução no domínio do tempo, que é o baixo custo computacional. A Transformada
Discreta de Fourier (DFT) e a Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier
Transform) são ferramentas que se mostraram poderosas para solucionar equações
dinâmicas de sistemas estruturais. Estas ferramentas são muito úteis quando é
necessário conhecer respostas espectrais ou quando o amortecimento, massa e/ou
rigidez da estrutura, são dependentes da freqüência.
4.1.2 Métodos Hïbridos Tempo- Freqüência
Recentemente, como evolução destes métodos de solução no domínio da
freqüência, surgiram métodos híbridos tempo-freqüência, tornando possível o
tratamento de efeitos não-lineares dependentes do tempo, associados a propriedades
físicas dependentes da freqüência [22, 21, 51].
Dos algoritmos híbridos, em 1992 [52] surgiu a ImFT (Transformada Implícita de
Fourier) e suas propriedades fundamentais foram estudadas até 2000 [21, 20]. Em 2003,
como evolução da ImFT, a partir das propriedades intrínsecas encontradas neste
método, desenvolveu-se o algoritmo UFTD (Unified Frequency/Time Domain) [53],
que é um algoritmo explícito tempo/freqüência utilizado para resolver problemas em
coordenadas modais. Mais recentemente, em 2005 [22], apresentou-se a ImFGA
(Implicit Frequency-Domain Green Approach), uma poderosa ferramenta numérica,
53
ainda mais rápida que a ImFT e a UFTD, aplicada principalmente para solucionar
problemas em coordenadas nodais.
Em suma, estes novos métodos são capazes de resolver a equação de movimento
no domínio da freqüência, implicitamente, sem o cálculo explícito dos espectros de
resposta do sistema, apresentando diretamente a solução do problema no domínio do
tempo, sem ter que para isso transformar o domínio do carregamento externo do
problema. Isto permite que não-linearidades físicas, geométricas e hidrodinâmicas
dependentes da freqüência possam ser tratadas implicitamente neste domínio, ao mesmo
tempo em que as parcelas de forças internas ou externas não-lineares, que variam com o
tempo, continuem sendo tratadas do lado direito da equação de movimento, conforme
apresentado no capítulo 3.
Mais adiante, tanto a DFT como os procedimentos híbridos de solução ImFT e a
ImFGA (Capítulo 5) serão apresentadas buscando-se abordar a evolução dos métodos,
vantagens e aspectos da implementação. Embora a DFT e a ImFT tenham sido
implementadas para corroborar na identificação de suas vantagens e desvantagens,
apenas a ImFGA, que não deixa de ser uma evolução da ImFT, foi estabelecida no
código do Prosim para solucionar problemas offshore fortemente acoplados.
Neste contexto, o uso dos métodos híbridos se torna ainda mais importante, uma
vez que algumas propriedades hidrodinâmicas, como massa adicional e amortecimento,
assim como algumas propriedades elásticas de novos materiais, como poliésteres, se
mostram dependentes da freqüência
.
4.1.3 Linearização do Cálculo das Forças de Arraste
Além disto, nas estruturas esbeltas de sistemas offshore submetidas a ondas e
arraste hidrodinâmico, tais como linhas de ancoragens e risers, uma das parcelas de
força usualmente considerada nos modelos numéricos é a viscosa quadrática,
representada pela formulação de Morison. Nesta formulação, a força viscosa que um
fluido exerce sobre uma estrutura é definida como proporcional à velocidade relativa
fluido-estrutura ao quadrado.
Nos métodos híbridos tempo-freqüência discutidos aqui, esta força pode ser
tratada do lado direito da equação de movimento, assim como se procede na solução no
domínio do tempo da equação de movimento de sistemas com não-linearidades físicas
(Capítulo 3). Isto significa uma vantagem frente aos métodos tradicionais de
54
transformação de domínio (p.ex. DFT) que necessita de técnicas de linearização de
arraste, tal como o método de linearização de arraste de Leira [23], para tratar o efeito
de arraste viscoso quadrático de Morison.
De forma resumida, o método de linearização de arraste de Leira [23] visa
contornar esta não linearidade presente na parcela de força de arraste, representada pela
equação de Morison (4.1). Basicamente, a técnica transforma os termos de ordem
quadrática da velocidade relativa fluido-estrutura, presente na primeira parcela da
equação de Morison (4.1), em termos de primeira ordem, através de coeficientes de
linearização conforme a equação (4.2). Ou seja, transforma-se:
F
n
=
1
2
ρ
w
D C
d
⎪u
.
n
− x
.
n
⎪(u
.
n
− x
.
n
) +
ρ
w
π
D
2
4
C
m
u
..
n
−
ρ
w
π
D
2
4
C
a
x
..
n
(4.1)
em
F =
1
2
ρ
w
D C
d
⎪Au
.
n
+ Bx
.
n
⎪ + ... (4.2)
onde
ρ
w
é a densidade da água, D é o diâmetro do corpo, C
d
é o seu coeficiente de
arraste, C
a
é o seu coeficiente de massa adicional (C
a
= C
m
-1), sendo u,
.
n
e x,
.
n
a
velocidade normal do fluido e da estrutura, respectivamente. Finalmente,
A e B são os
de coeficientes de linearização.
Estes coeficientes são encontrados a partir da minimização do erro médio
quadrático da diferença entre a aproximação da força não-linear e a linearizada. Um
estudo mais detalhado sobre estes coeficientes é apresentado nas referencias [23], [25],
[26] e [24].
Diversos processos de linearização são encontrados na literatura, tais como:
Rondenbusch, Leira, Bin Teng – Cheng Li e Langley. O método de Leira é um dos
métodos que melhor estima os valores da força linearizada quando comparados com os
resultados obtidos pela simulação no domínio do tempo [23].
Fica claro segundo [23], [24], [25] e [26] que, embora o método de linearização
implique em uma incrível velocidade de processamento frente ao método de solução no
domínio do tempo, pelo menor número de operações matemáticas presente em análises
no domínio da freqüência, há perda de exatidão matemática, o que pode ser de grande
importância na resposta dependendo da estrutura analisada.
55
4.1.4 Desenvolvimentos Propostos
Nos métodos duais apresentados aqui, conforme mencionado, as forças viscosas
quadráticas de Morison podem ser tratadas do lado direito da equação de movimento,
sem a necessidade de qualquer simplificação matemática, se mostrando uma evolução
das ferramentas de análises de sistemas offshore solucionadas no domínio da
freqüência.
Destaca-se que tanto a ImFT quanto a ImFGA estão nesta tese sendo aplicados
pela primeira vez para solucionar este tipo de problema. Esquemas duais tempo-
freqüência já foram estudados neste contexto [24], mas se tratavam em fazer uso da
transformada clássica DFT, direta e inversa, sobre problemas com carregamento
aleatório, indo e voltando no tempo a fim de contornar as não-linearidades presentes na
parcela de Morison.
Antes de apresentar ImFT e a ImFGA, inicialmente apresenta-se uma descrição
sucinta sobre a Transformada Discreta de Fourier (DFT) que é usualmente utilizada para
solucionar as equações de movimento de sistemas estruturais. Sua aplicação será restrita
em solucionar a equação de movimento de um sistema linear com condições iniciais
nulas, submetido a uma força periódica externa F(t).
Em seguida apresentar-se-á a Transformada Discreta de Fourier em sua forma
matricial, tradicionalmente conhecida como Transformada Implícita de Fourier (ImFT),
para solucionar a equação de movimento de um sistema submetido não somente a uma
força F(t) periódica, mas também, com condições iniciais não nulas. Mostrar-se-á que
nesta transformada o período fundamental não precisa mais ser excessivamente
estendido para que função resposta deixe de sofrer efeitos da periodicidade da
transformada. As vantagens computacionais desta nova ferramenta também serão
apresentadas junto com suas propriedades fundamentais.
Demonstrar-se-á que de fato a ImFT é um procedimento de convolução padrão
entre a função de Green e o histórico da força externa no domínio do tempo, sendo a
função de Green encontrada nesta transformada a partir de propriedades dependentes da
freqüência.
Desta forma, como evolução da ImFT, no próximo capítulo será apresentada a
ImFGA (Implicit Frequency-domain Green’s Approach), que a partir de conceitos
fundamentais da função de Green, soluciona implicitamente a resposta de movimento
56
no domínio da freqüência, acabando com a necessidade de expansão do período
fundamental para solução precisa da resposta transiente de um sistema, se tornando um
marco para solução passo-a-passo dual (tempo-freqüência).
57
4.2 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)
Para se chegar as equações que irão definir a ImFT e a ImFGA é relevante
entender os princípios básicos da transformada discreta de Fourier (DFT). O primeiro
passo é recordar as equações que definem as séries de Fourier.
Figura 4.1 – Função Periódica
Uma função periódica F(t) (Figura 4.1) pode ser representada por uma série
infinita de termos senos e co-senos, sendo conhecida como série de Fourier, dada por:
))..()..cos((
2
)(
1
0
tnsenbtna
a
tF
n
nn
ϖϖ
∑
∞
=
++= (4.3)
Onde
ϖ
=2
π
/T é a freqüência da função F(t) na série, chamada freqüência
fundamental, T é o seu período e a
0
,, a
n
e b
n
são coeficientes constantes da série, sendo:
∫
=
T
dttF
T
a
0
0
)(
2
(4.4)
∫
=
T
n
dttntF
T
a
0
)..cos()(
2
ϖ
(4.5)
∫
=
T
n
dttntF
T
b
0
)..sen()(
2
ϖ
(4.6)
As séries de Fourier também podem ser representadas por termos exponenciais
complexos, através das equações de Euler:
2
)..(
.. tintin
ee
itnsen
ϖϖ
ϖ
−
−
−= (4.7)
e
F(t)
t
Período
T
58
2
)..cos(
.. tintin
ee
tn
ϖϖ
ϖ
−
+
= (4.8)
Substituindo estas últimas equações (4.7) e (4.8) em (4.3), tem-se:
tin
n
tin
n
n
eCeC
a
tF
....
1
0
..
2
)(
ϖϖ
−
+∞
=
++=
∑
(4.9)
ou,
tin
n
n
eCtF
..
.)(
ϖ
∑
+∞
−∞=
=
(4.10)
onde,
dttnitntF
T
bia
C
T
nn
n
))..sen(.)..).(cos((
1
2
.
0
ϖϖ
∫
−=
−
=
ou em forma exponencial complexa:
dtetF
T
C
T
tin
n
∫
−
=
0
..
).(
1
ϖ
(4.11)
Define-se C
n
como espectro de Fourier da função temporal F(t). Geralmente este
espectro é expresso em relação ao valor absoluto
22
2
nnn
baC += e em relação às
fases de seus termos
nnn
ab
1
tan
−
=
φ
.
A equação (4.11) pode ser escrita de forma discreta pela aplicação de uma regra
de integração numérica como a Regra dos Trapézios. A Figura 4.2 mostra a
discretização trapezoidal da função F(t). O erro advindo deste processo é reduzido
quando Dt tende a um valor infinitesimal.
Figura 4.2 – Discretização da Função periódica F(t) pela regra dos trapézios
Aplicando a regra dos Trapézios, a equação (4.11) pode ser rescrita:
F(t)
t
t
m
=
j
.D
t
t
0
t
n
=N.Dt
59
(
)( )
1
21
0
...
1
...
2
...
1
......
0
).(...).().(2).().(
2
1
−
−
+++++⋅=
Nn
tni
N
tnitni
tNi
N
tni
n
etFetFetFetFetF
Dt
T
C
ϖ
ϖϖ
ϖϖ
(4.12)
ou em forma de somatório,
j
tin
N
j
jn
etF
N
C
..
1
0
.)(
1
ϖ
−
−
=
∑
=
(4.13)
onde N é o número de termos discretos de F(t) e Dt=T/N .
A forma discreta apresentada na equação (4.13) é conhecida por Transformada
Discreta Direta de Fourier. E sua inversa, como Transformada Discreta Inversa de
Fourier, sendo definida por:
m
tin
N
n
nm
eCtF
..
1
0
.)(
ϖ
∑
−
=
= (4.14)
Observe que a equação anterior corresponde à equação (4.10), porém com o
índice do somatório definido de 0 a N-1. Este intervalo permite que a transformada de
Fourier seja rearranjada sob a forma matricial, conforme será visto adiante.
4.2.1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PELA TRANSFORMADA DE
FOURIER:
A Transformada de Fourier pode ser entendida de maneira geral como uma
ferramenta matemática capaz de transformar uma função que está expressa no domínio
do tempo em uma função no domínio da freqüência ou vice-versa. Pode-se então
denominar a Transformada de Fourier como Transformada Direta de Fourier, quando
esta é responsável pela passagem de uma função periódica do domínio do tempo para o
da freqüência, e Transformada Inversa de Fourier caso uma função também periódica
seja transformada do domínio da freqüência para o domínio do tempo. Quando na forma
discreta, as denominações acima passam a ser Transformada Discreta Direta de Fourier
e Transformada Discreta Inversa de Fourier.
Fazendo com que a resposta de deslocamento u(t) de uma equação de movimento
e o carregamento F(t) sejam expressos em função da Transformada Inversa de Fourier
de seu espectro de resposta, tem-se:
∑
−
=
=
1
0
...
.)(
N
n
tni
nj
j
eUtu
ϖ
(4.15)
60
e
∑
−
=
=
1
0
...
.)(
N
n
tni
nj
j
eFtF
ϖ
(4.16)
onde: U
n
e F
n
representam o espectro da freqüência da função deslocamento e
carregamento respectivamente, equivalente a C
n
da equação (4.13); i é um termo
imaginário (
1−=i );
ϖ
é a freqüência fundamental da série ( T/.2
π
ϖ
=
), em que o
carregamento F(t) e a função resposta u(t), se repete indefinidamente, de -∞ + ∞; e N o
número de termos da Transformada Discreta.
Note que apenas valores positivos de freqüência são considerados nas equações
(4.15) e (4.16). Os termos acima de N/2 são conjugados complexos do valor abaixo
deste; ou seja, F
n
= F
*
N-n
para N/2 < n < N-1, em que * indica o conjugado complexo.
Aplicando estas duas transformadas (4.15) e (4.16) à equação de movimento, se
tem:
∑∑∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
=++
1
0
...
1
0
...
2
2
1
0
...
1
0
...
.......
N
n
tni
n
N
n
tni
n
j
N
n
tni
n
j
N
n
tni
n
jjjj
eFeU
dt
d
meU
dt
d
ceUk
ϖϖϖϖ
(4.17)
ou,
∑∑∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
=++
1
0
...
1
0
...
222
1
0
...
1
0
...
.............
N
n
tni
n
N
n
tni
n
N
n
tni
n
N
n
tni
n
jjjj
eFeUnimeUniceUk
ϖϖϖϖ
ϖϖ
(4.18)
Como a equação de movimento deve ser satisfeita para qualquer valor de n da
transformada, pode-se escrever:
nnnn
FnUmniUcUk =−++
22
.).1.(......
ϖϖ
(4.19)
ou,
nn
FnmnickU =−++ ).).1.(...(
22
ϖϖ
(4.20)
ou isolando U
n
:
).....(
22
ϖϖ
nmnick
F
U
n
n
−+
=
(4.21)
Conhecido U
n
, deslocamento do sistema no domínio da freqüência, aplica-se
então a Transformada Inversa de Fourier (4.14) para se obter a solução da equação no
domínio do tempo. Assim,
61
∑
−
=
−+
=
1
0
...
22
.
).....(
)(
N
n
tni
n
j
j
e
nmnick
F
tu
ϖ
ϖϖ
(4.22)
ou, definindo U
n
=H
n
.F
n
a equação acima se torna:
∑
−
=
=
1
0
...
..)(
N
n
tni
nnj
j
eFHtu
ϖ
(4.23)
onde,
2
)..(...
1
ϖϖ
nmnick
H
n
−+
= (4.24)
é uma função complexa de resposta em freqüência, denominada função de transferência
do sistema, dependente apenas das constantes físicas do problema.
Os valores de H
n
para n > N/2, novamente, são complexos conjugados dos n ≤
N/2.
A equação (4.23) representa a função discreta temporal do deslocamento de um
sistema com amortecimento viscoso linear, submetido a um carregamento externo
discreto qualquer. Embora o amortecimento esteja representado pela constante física c,
é usual utilizar-se do conceito de taxa de amortecimento (
ζ
) para se indicar a perda de
energia linear do sistema, onde:
n
m
c
ω
ζ
..2
= (4.25)
e
m
k
n
=
ω
(freqüência natural do sistema) (4.26)
Mais uma vez, U
n
e F
n
, por serem expressos no domínio da freqüência, podem
naturalmente ser encontrados através da Transformada Discreta Direta de Fourier do
deslocamento u(t
j
) e da função de entrada F(t
j
) respectivamente:
∑
−
=
−
=
1
0
...
).(
1
N
j
tni
jn
j
etu
N
U
ϖ
(4.27)
e
62
∑
−
=
−
=
1
0
...
).(
1
N
j
tni
jn
j
etF
N
F
ϖ
(4.28)
O esquema de figuras seguinte mostra de forma gráfica a aplicação das
Transformadas como método de solução da equação de movimento de um sistema.
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25 30 35 40
TEMPO (s)
FUNÇÃO DE ENTRADA
Função de Entrada
Figura 4.3 - Gráfico da Função de entrada F(t
j
) com período estendido (carregamento
externo).
Aplicação da
Transformada Discreta
Direta de Fourier
∑
−
=
−
=
1
0
...
).(
1
N
j
tni
jn
j
etF
N
F
ϖ
63
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 100 200 300 400 500 600 700
n.w
ESPECTRO DA FUNÇÃO DE ENTRA
D
Real
Imaginario
Figura 4.4 - Gráfico de F
n
mostrando os termos reais e imaginários de seu
espectro complexo.
-0.000001
-0.0000008
-0.0000006
-0.0000004
-0.0000002
0
0.0000002
0.0000004
0.0000006
0.0000008
0.000001
0 100 200 300 400 500 600 700
n.w
ESPECTRO DA FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA
Real
Imaginaria
Figura 4.5 - Gráfico de H
n
, função de Transferência, mostrando os termos reais e
imaginários de seu espectro complexo.
Função de Transferência H
n
2
)..(...
1
ϖϖ
nmnick
H
n
−+
=
Espectro de U
n
=F
n
.H
n
).....(
22
ϖϖ
nmnick
F
U
n
n
−+
=
64
-0.00001
-0.000005
0
0.000005
0.00001
0.000015
0.00002
0 100 200 300 400 500 600 700
n.w
ESPECTRO DA FUNÇÃO DE SAÍD
A
Real
Imaginario
Figura 4.6 - Gráfico de U
n
, u(t
j
) no domínio da freqüência, mostrando os termos reais
e imaginários de seu espectro complexo.
-0.00002
-0.00001
0
0.00001
0.00002
0.00003
0.00004
0.00005
0 5 10 15 20 25 30 35 40
TEMPO (s)
FUNÇÃO DE SAÍDA
Função de Saída
Figura 4.7 - Resposta do deslocamento u(t
j
).
Conhecido o processo de solução, destaca-se que embora a resposta do sistema
tenha sido encontrada de t=0 até t=T, ainda poderia existir nesta resposta o denominado
efeito da periodicidade característico das séries de Fourier, como se o sistema fosse
Aplicação da
Transformada Inversa de
Fourier
∑
−
=
=
1
0
...
.)(
N
n
tni
nj
j
eUtu
ϖ
65
submetido indefinidamente ao mesmo carregamento externo F(t) de período T, de -∞ a
+∞.
Deste modo, quando a transformada de Fourier é aplicada para se conhecer a
resposta transiente de um sistema, sem que haja, naturalmente, o efeito da periodicidade
na função resposta, que permita o aparecimento de movimentos fisicamente incorretos
em 0 < t < T, deve-se ter o cuidado em definir a função F(t).
Ou seja, o carregamento F(t) deve deixar de atuar em um tempo t
p
permanecendo
nulo até o tempo T (período fundamental da transformada) a fim de possibilitar o
amortecimento completo do sistema, tornando a resposta contínua (fazendo x(t
0
)
≅
x(t
N
)
≅
0). Este período T será denominado aqui como período estendido.
Os esquemas de gráficos a seguir exemplificam estas informações.
Figura 4.8 - Resposta do deslocamento
u(t
j
) afetado pelo efeito da periodicidade –
Invalida as condições iniciais do sistema (no instante t=0).
Período T não estendido
F
un
ç
ão de entrada F
(
t
)
F
un
ç
ão de saída u
(
t
)
T
efeito da
periodicidade
efeito da
periodicidade
t
p
t
t
66
Figura 4.9 - Resposta do deslocamento
u(t
j
) com período T estendido.
Observando os esquemas anteriores, nota-se que a função de entrada F(t), aplicada
no intervalo 0 < t < T, deve apresentar seu período T longo suficientemente para que
neste mesmo intervalo, pelo qual a Transformada Inversa é avaliada, o sistema com
condições iniciais nulas volte à posição inicial de repouso.
Para verificação deste fenômeno da periodicidade na DFT, a função carregamento
F(t) apresentada na Figura 4.3 terá seu período de aplicação T reduzido, conforme
mostra a Figura 4.10, para avaliar a resposta u(t) do mesmo sistema em repouso com a
Transformada Discreta de Fourier. O tempo T não será suficiente para que o sistema
volte à posição de repouso, apresentando, por conseqüência, resultados fisicamente
incorretos conforme mostra a Figura 4.11.
Período T estendido
F
un
ç
ão de saída u
(
t
)
T
efeito da
periodicidade
efeito da
periodicidade
t
p
t
t
F
un
ç
ão de entrada F
(
t
)
67
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25
TEMPO (s)
FUNÇÃO DE ENTRADA
Função de Entrada
Figura 4.10 - Gráfico da Função periódica de carregamento F(t) sem período
estendido.
0.0000242
0.0000244
0.0000246
0.0000248
0.000025
0.0000252
0.0000254
0.0000256
0 5 10 15 20 25
TEMPO (s)
FUNÇÃO DE SAÍDA
Função de saída
Figura 4.11 - Gráfico da Função resposta x(t
j
) sem período estendido.
Observe que a resposta de deslocamento apresentada na Figura 4.11 não
representa uma resposta fisicamente correta de um sistema com condições iniciais nulas
submetido à força F(t) indicada na Figura 4.10, uma vez que seu deslocamento inicial
Aplicação da Transformada Discreta de
Fourier.
∑
−
=
−+
=
1
0
...
22
.
).....(
)(
N
n
tni
n
j
j
e
nmnick
F
tu
ϖ
ϖϖ
68
x(t
0
) aparece como não-nulo (em destaque por um círculo na Figura 4.11), de valor igual
ao do tempo t=T (20s), explicado pelo efeito da periodicidade característico da DFT.
Sua resposta de deslocamento deveria ser igual à apresentada na Figura 4.7, no
intervalo 0<t<20s, visto que sua função carregamento F(t) neste intervalo é a mesma da
Figura 4.3.
Mostrou-se neste exemplo que a extensão do período da função de entrada F(t) é
necessária para que a transformação de domínio não invalide a resposta do sistema.
Mais adiante será mostrado que a ImFT (Transformada Implícita de Fourier),
com suas propriedades particulares, acaba com a necessidade de F(t) ter ser período
estendido, ficando o período da transformada dependente apenas do amortecimento
completo da função de Green do sistema para que o efeito da periodicidade desapareça.
4.2.2 FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO
Nesta seção serão apresentadas algumas características da função impulso unitário
e a resposta transformada de um sistema submetido a esta função como carga externa.
Elas serão fundamentais para compreensão de alguns conceitos relevantes da
Transformada Implícita de Fourier que será apresentada na próxima seção.
A Função Impulso Unitário, também conhecida como função Delta de Dirac,
pode ser entendida como um pulso de magnitude muito grande e duração infinitamente
pequena de forma que a área sob a função seja unitária. Matematicamente pode ser
expressa pela relação:
δ
(t-t
0
)=0, para t
≠
t
0
(4.29)
1)(
0
=−
∫
+∞
∞−
dttt
δ
(4.30)
Ou seja, define-se a função
δ
(t) como sendo de magnitude indefinida para o
instante t=t
0
e nula para qualquer outro instante de forma que a equação
(4.30) seja
satisfeita.
Por definição, supondo
δ
(t) uma função de distribuição aplicada em t
0
=0 e
φ
(t)
uma função ordinária, a integral abaixo pode ser estabelecida:
∫
+∞
∞−
= )0()().(
φφδ
dttt
(4.31)
69
Conhecida a equação (4.31), pode-se encontrar o espectro de resposta de uma
série de uma função impulso unitário (Figura 12), definida pela seguinte integral:
∫
==
T
tni
nn
dtet
T
0
...
).(
1
)(
ϖ
δϖδδ
(4.32)
onde
n
ϖ
=
ϖ
.n e
δ
n
representa a resposta do impulso unitário no domínio da freqüência.
Desta forma, relacionando as equações (4.31) e
(4.32), fazendo
φ
(t)=e
i.n.
ϖ
.t
e
definindo o impulso unitário diferente de zero no instante t
0
=0, o espectro de resposta é
encontrado:
T
e
T
dtet
T
t
tni
T
tni
n
1
|
1
).(
1
0
...
0
...
===
=
∫
ϖϖ
δδ
(4.33)
Conclui-se então que o espectro da série de Fourier de uma função pulso unitário
é a razão da unidade pelo período da função de entrada
δ
(t) (Figura 12b).
a) b)
Figura 4.12 - (a) série da Função Impulso Unitário; (b) espectro de δ(t).
Sua Transformada Inversa, utilizando a forma discreta de Fourier (4.14), fica:
∑
−
=
=
1
0
...
1
)(
N
n
tni
j
j
e
T
t
ϖ
δ
(4.34)
Isto significa que se a força aplicada em um sistema for uma função impulso
unitário, a resposta do deslocamento h(t) deste sistema, pela utilização da Transformada
Discreta de Fourier, será escrito da seguinte forma:
∑
−
=
=
1
0
...
.
1
)(
N
n
tni
nj
j
eH
T
th
ϖ
(4.35)
onde:
δ
n
=1/T substitui F
n
na equação (4.28); e H
n
representa a função de transferência
do sistema, expresso pela equação (4.24).
t
t
0
=0
δ
(
t
)
ϖ
n
ϖ
n
=0
δ
(
ϖ
n
)
1/T
70
Recorda-se que a resposta de deslocamento de um sistema por uma força
qualquer é encontrada pela denominada integral de convolução:
∫
−=
t
dthftu
0
)().()(
τττ
(4.36)
e h(t) é usualmente conhecida como a função de Green de um sistema massa-mola-
amortecedor, expressa analiticamente por:
)(.
.
1
)( tsene
m
th
D
t
D
n
ω
ω
ξω
−
= (4.37)
71
4.3 TRANSFORMADA IMPLÍCITA DE FOURIER
A partir de agora se inicia a apresentação de uma recente ferramenta de
transformação de domínio, tempo-freqüência, denominada Transformada Implícita de
Fourier (ImFT). Em suma ela pode ser definida como a Transformada Discreta de
Fourier de um sistema dinâmico escrita sob uma forma matricial. Sua equação é
desenvolvida de modo a colocar em evidência o deslocamento incógnito e a força
externa do problema, ambos no domínio do tempo. Isto o classifica como um método
dual, ou híbrido, tempo-freqüência.
Sua forma matricial permite que características implícitas da Transformada
Discreta sejam colocadas em evidência, contribuindo para que novas propriedades
fundamentais sejam estabelecidas neste novo método de transformação de domínio.
A ImFT acaba com a necessidade de se estender o período do carregamento
externo para análise de respostas transientes, passando a depender apenas do período
necessário para o amortecimento completo da função de Green do sistema. Possibilita
inclusive que condições iniciais do problema sejam consideradas sem comprometer seus
resultados. As suas propriedades fundamentais apontam para um algoritmo otimizado,
com um menor número de operações matemáticas do que as necessárias na DFT direta e
inversa, que minimiza seu custo computacional; tornando-se assim, uma ferramenta
poderosa de transformação de domínio tempo-freqüência.
4.3.1 DESENVOLVIMENTO
Apresenta-se a seguir o desenvolvimento da ImFT para solucionar um problema
com um grau de liberdade. Sua expansão para mais graus de liberdade não é tarefa
difícil.
Seja {Ft}={F(t
1
),F(t
2
),F(t
3
),...,F(t
j
),...,F(t
N
)} o vetor dos valores do carregamento
externo nos tempos discretos t
j
= j.Dt aplicado ao sistema, com N tempos e {F}={F
1
,
F
2
, F
3
, ...,F
n
,..., F
N
} o vetor do mesmo carregamento no domínio da freqüência, com N
freqüências; a Transformada Discreta Inversa de Fourier sobre F(t
j
) (4.28) pode ser
representada da seguinte forma matricial:
}].{.[
1
}{
*
FtE
N
F = (4.38)
onde [E
*
] é uma matriz NxN cujo termo genérico é expresso:
72
N
i
jn
jn
eE
π
.2.
..
,
*
][
−
= (4.39)
com n=0,1,...,N-1 e j=0,1,...,N-1.
Onde os termos da exponencial complexa da equação (4.28) foram alterados para
deixar em evidência o contador j de (4.39) (coluna da matriz [E
*
]); ou seja, sabendo que
ϖ
=2.
π
/T =2
π
/(N.Dt) onde N é o número de termos da Transformada, e que t
j
=j.Dt,
pode-se fazer
ϖ
.t
j
=j.2
π
/N. Substituindo esta última na equação (4.28), chega-se à
forma do termo genérico de (4.39).
Da mesma maneira, a resposta da equação (4.23) pode ser expressa da forma
matricial como:
}].{].[[}{ FHEu = (4.40)
onde [E] é uma matriz NxN , com elemento genérico expresso por:
N
i
jn
jn
eE
π
.2.
..
,
][ = (4.41)
com n=0,1...,N-1 e j =0,1,...,N-1.
A matriz [H] é uma matriz diagonal principal NxN, cujos termos genéricos [H]
n,n
são representados pela equação (4.24) onde n é o índice correspondente aos elementos
da diagonal principal (n=0,1,...,N-1).
Substituindo {F}, da equação (4.38), na equação (4.40) o vetor resposta {u} fica:
}].{].[].[.[
1
}{
*
FtEHE
N
u = (4.42)
A multiplicação das matrizes [E].[H].[E
*
] pode ser representada por uma única
matriz [e]. Desta forma, a resposta final do vetor deslocamento no domínio do tempo
{u} pode ser resumida:
}].{.[
1
}{ Fte
N
u = (4.43)
A matriz [e] é definida como Matriz Implícita de Fourier visto que todas as
operações intermediárias da Transformada de Fourier são realizadas implicitamente em
sua matriz.
73
A forma matricial da Transformada Discreta de Fourier, ImFT, deixa explícito do
lado esquerdo de sua equação a resposta de deslocamento do sistema no domínio do
tempo; e do lado direito, o vetor de carregamento externo, também neste domínio. Da
maneira que ela está expressa, todo o histórico de carregamento deve ser conhecido para
avaliação da resposta de movimento do sistema em qualquer instante de tempo.
Lembrando que até aqui, a ImFT ainda exige um período estendido para a correta
avaliação da resposta de um sistema.
Será visto a seguir, que propriedades intrínsecas da forma matricial fará com que a
forma final da ImFT permita uma avaliação passo-a-passo da resposta no domínio do
tempo, considerando condições iniciais, acabando inclusive com a exigência de um
período estendido para o carregamento externo, como exigido pela DFT tradicional.
74
4.3.2 RESPOSTA DE S TERMOS
Quando a Transformada Discreta de Fourier (DFT) é utilizada para resolver a
equação de movimento de um sistema, mesmo que os deslocamentos de interesse
correspondam, por exemplo, a um décimo do período estendido, a DFT exige que todo
o carregamento ao longo do período transformado (estendido) seja conhecido.
Na ImFT isto deixa de ser necessário ao se entender que o histórico de
deslocamento não pode ser influenciado por um carregamento que ainda está por vir
(princípio da causalidade); ou seja, o histórico de resposta de S termos iniciais pode ser
avaliado com um menor número de operações matemáticas, ignorando o histórico de
carregamento externo após o tempo de interesse (t>S.Dt).
Para se obter então apenas S termos da resposta do vetor deslocamento {u} da
equação (4.43), a matriz [E] deve ser da ordem de SxN, [H] da ordem NxN, [E
*
] da
ordem NxS e {Ft} da ordem Sx1. Conseqüentemente [e] será da ordem SxS e {u} da
ordem Sx1.
A seguir se encontra um esquema ilustrativo das multiplicações das matrizes da
ImFT .
Figura 4.13 – Esquema da multiplicação das Matrizes da ImFT.
onde {u}={u
aux
}/N representa o vetor deslocamento com S termos de saída para S≤ N.
O esquema anterior visa explicitar que os S termos iniciais da resposta
{u} podem
ser calculados sem a necessidade de se criar todos os termos exponenciais das matrizes
S
S
S
S
S
Matriz [e]
{u
aux
} [E] [H] [E*] {Ft}
Sx1 SxN NxN NxS
Sx1
SxS
S
75
[E] e [E]* e de se proceder a operações custosas e desnecessárias para sua formação.
Como conseqüência, quanto menor for o valor de S, maior será a eficiência
computacional da ImFT. Esta propriedade permitirá a migração da ImFT para um
esquema de integração passo-a-passo, conforme mencionado anteriormente.
Os itens apresentados a seguir apontam novas propriedades da ImFT que
aumentam ainda mais sua eficiência computacional.
76
4.3.3 PRINCÍPIO DA CAUSALIDADE NA MATRIZ IMPLÍCITA DE FOURIER
O princípio da causalidade foi utilizado na seção anterior e é de fácil
compreensão, pois se baseia na idéia de que um acontecimento num tempo futuro em
nada pode interferir um instante presente, ou passado.
O uso deste princípio sobre a matriz implícita da Transformada Implícita de
Fourier implica numa eficiência computacional do algoritmo ainda maior. Se a Matriz
Implícita de Fourier [e] for triangular inferior, desprezando-se todos os termos restantes
(igualados a zero), ela garante que o princípio da causalidade se evidencie, fazendo com
que os termos da função F(t) para t >t
r
não interfiram na resposta de u(t) para t≤t
r
..
A forma final da matriz [e], que respeita o princípio da causalidade, é apresentado
esquematicamente na Figura 4.14.
Figura 4.14 – Nova Matriz [e] triangular inferior.
4.3.4 COLUNA IMPLÍCITA DE FOURIER
Será provado a seguir que os termos das diagonais da matriz implícita [e] são
iguais, o que significa dizer que para se montar a Matriz Implícita de Fourier basta que
sua primeira coluna seja calculada, denominada aqui por Coluna Implícita de Fourier.
Esta propriedade fica matematicamente clara quando um termo genérico desta matriz
implícita é posto em evidência.
Como [e]= [E].[H].[E
*
], cada termo genérico de [e] pode ser expresso por:
∑
−
=
−
=
1
0
2
...
2
...
][][
N
n
N
ikn
nn
N
ijn
jk
eHee
ππ
(4.44)
Multiplicando as exponenciais da equação (4.44), obtém-se:
∑
−
=
−
=
1
0
)(
2
.
][][
N
n
kjn
N
i
nnjk
eHe
π
(4.45)
zero
[e] =
77
Se o índice da linha j e da coluna k variarem na mesma proporção (p), a diferença
entre os termos (j-k) da exponencial da equação (4.45) permanecerá inalterada. Isto
significa que os elementos pertencentes às diagonais de [e] terão os mesmos valores.
Isto é:
pkpjkjkjjk
eeee
++++++
===
,2,21,1
][][][][
A Figura 4.15 ilustra a igualdade dos valores dos elementos das diagonais de [e].
Figura 4.15 – Esquema indicando pelas setas a repetição dos termos diagonais de [e].
Isto significa que a matriz [e] pode ser montada a partir dos valores de sua
primeira coluna (Coluna Implícita de Fourier), isto é, com apenas os termos [e]
j0
(Figura 4.15), para j=0,1,...,N-1.
Atribuindo então ao índice k da equação (4.45) o valor zero, obtém-se o termo
genérico da Coluna Implícita de Fourier:
∑
−
=
=
1
0
.
2
.
0
][][
N
n
jn
N
i
nnj
eHe
π
(4.46)
Esta propriedade representa mais um ganho computacional, visto que a Matriz
Implícita de Fourier não precisa mais ser construída com o cálculo de seus N
2
termos,
mas sim com operações matemáticas que envolvem a montagem de seu primeiro vetor.
Lembra-se que no contexto da respostas de S termos, apresentado anteriormente,
naturalmente apenas os S termos iniciais desta primeira coluna precisariam ser avaliados
para permitir a solução do deslocamento numa posição S.
Comparando a equação (4.46) com a equação (4.35), se deduz que [e]
j0,
com
j=0,1,..., N-1, equivale a resposta do deslocamento de um sistema (h(t
j
)) submetido a
uma força
δ
(t), função impulso unitária, multiplicada pelo período T da transformada
( Tthe
jj
).(][
0
= ). Isto significa que, levando em conta o princípio da causalidade, a
resposta do sistema só deixará de sofrer o efeito da periodicidade quando a série de
termos harmônicos h(t
j
) (4.35) também deixar de sofrer, independendo agora da forma
zero
[e] =
[e]
j0
78
do carregamento externo {Ft}. Para isso, o período T da série transformada tem que ser
longo o suficiente apenas para que os valores dos termos finais de [e]
j0
(ou de h(t
j
) )
sejam desprezíveis.
Isto fica mais claro ao se observar que a multiplicação do lado direito da equação
(4.43) representa a convolução entre a função de Green h(t) do sistema e o vetor de
carga externa F(t), que equivale a solução analítica do problema (4.36).
Esta conclusão é extremamente importante, pois representa uma grande vantagem
frente a Transformada Discreta de Fourier (e analogamente, a Fast Fourier Transform -
FFT) que é limitada a análises dinâmicas com funções de entrada F(t) com período
estendido (definição apresentada na seção 4.2).
Deve-se reforçar que o efeito da peridiocidade continua a existir na Coluna
Implícita de Fourier, mas o período T para evitar este efeito é significativamente menor
do que aquele necessário para estender o período da força externa. Basta que a resposta
da coluna implícita de Fourier (ou da função de Green) do sistema decaia totalmente, e
não mais a resposta do sistema (exigido pela DFT e FFT).
Neste ponto, deve-se destacar que como a resposta da coluna implícita de Fourier
é conhecida analiticamente (através da função de Green), seu período T, pelo qual a
transformada deve ser realizada, pode ser definido de maneira prática e simples.
Recorda-se que a resposta de um sistema com um grau de liberdade em oscilação livre
decai exponencialmente (e
-
ξω
t
) (Figura 4.16); então, o período T da transformada ImFT
deve ser tal que esta exponencial tenda a zero, assim:
n
erro
erro
T
t
erro
T
erroe
e
n
n
ξω
ξω
ξω
+
+
→
→
−
−
−
=
=
→
0
0
)ln(
)ln()ln(
0
(4.47)
Através de estudos de casos avaliados nesta tese, observou-se que erro=0.001
pôde ser utilizado com segurança. Este valor, no entanto, depende naturalmente das
características físicas do problema estudado. Recomenda-se, portanto um estudo de
sensibilidade do erro para que a equação anterior satisfaça o decaimento total da função
de Green do problema. Uma vez que isto ocorra, o período T da ImFT pode ser
estabelecido sem maiores preocupações. Na DFT (ou FFT), por exemplo, seu período é
normalmente estimado; mas a partir da equação (4.47), fica mais claro que ele deve
79
englobar o tempo em que a força F(t) age sobre o sistema, t
p
, e o tempo em que o
sistema amortece livremente (4.47). Isto significa que a DFT (ou FFT) exige
naturalmente um maior número de pontos para a avaliação adequada de uma resposta
transiente.
A seguir, o mesmo sistema exemplificado na seção 4.2, submetido à função de
entrada {Ft} indicada na Figura 4.10, terá sua equação de movimento solucionada pela
aplicação da ImFT (com as propriedades descritas até agora), conforme é mostrado a
seguir:
{Ft}
COLUNA IMPLÍCITA DE FOURIER
-0.00001
-0.000005
0
0.000005
0.00001
0.000015
0 500 1000 1500 2000 2500
INDICE (j)
[e]j0
Figura 4.16 – Resposta da Coluna Implícita de Fourier x n. termos da série (índice j).
Montagem da Coluna
Implícita de Fourier
∑
−
=
=
1
0
.
2
.
0
][][
N
n
jn
N
i
nnj
eHe
π
Função de saída, deslocamento
{x} do sistema.
}].{.[
1
}{ Fte
N
x =
e
-
ξ
ω
t
80
Figura 4.17 – Resposta do deslocamento {u} pela utilização da ImFT.
Analisando o gráfico da Figura 4.16, se observa que a Coluna Implícita de
Fourier, ou a resposta do sistema submetido a uma função impulso unitário (função de
Green), decaiu totalmente. Com isso, o efeito da periodicidade na função de saída não
se faz mais presente, conforme é mostrado na Figura 4.17. Esta resposta de
deslocamento é igual à apresentada na Figura 4.7, no intervalo 0<t<20s, solucionada
pela Transformada Discreta de Fourier com período estendido (T
DFT
>>T
ImFT
).
-0.000005
0
0.000005
0.00001
0.000015
0.00002
0.000025
0.00003
0.000035
0.00004
0.000045
0 5 10 15 20 25
TEMPO (s)
FUNÇÃO DE SAÍD
A
Função de saída
81
4.3.5 TRANSFORMADA IMPLÍCITA COM CONDIÇÕES INICIAIS
Nesta seção, apresentam-se novas expressões da ImFT contendo parcelas que
representam o tratamento de condições iniciais de um problema dinâmico.
Deslocamento Inicial:
Sabendo que a resposta do deslocamento para condições iniciais nulas em forma
matricial é:
}].{].[].[.[
1
}{
*
FtEHE
N
u =
equivalente a:
}].{.[
1
}{ Fte
N
u =
e recordando que a resposta dinâmica de um sistema linear, com deslocamento inicial
u
0
, pode ser encontrada pela superposição de efeitos indicados a seguir:
Figura 4.18 – Esquema mostrando o princípio da superposição de efeitos em um
sistema linear com condição inicial u
0
.
u
0
k
c
m
u
k
c
m
u
m
f
0
=u
0
.k
f
0
=u
0
.k
u
u
0
(A)
(B)
(C)
=
+
u(t)
u(t)
u(t)
u
0
u
0
t
t
t
=
+
82
Acompanhando o esquema anterior, pode-se escrever:
}1.{})1.{].(.[
1
}{
00
ufe
N
u +−=
(4.48)
onde {1} é um vetor unitário (Sx1) e f
0
é a força elástica pela aplicação u
0
ao sistema. Se
a rigidez obedecer à lei de Hook, f
0
=k.u
0
.
Velocidade Inicial:
O deslocamento de um sistema com velocidade inicial v
0
corresponde a gerada ao
impulso associado a mv
0
, que é obtida da função de resposta a um impulso unitário, isto
é:
u(t)=m.v
0
.h(t) (4.49)
onde h(t) é a função de resposta ao impulso unitário, que expressa pelos termos
harmônicos da Transformada Discreta de Fourier, conforme já apresentado, fica:
∑
−
=
=
1
0
...
.
1
)(
N
n
tni
nj
j
eH
T
th
ω
Substituindo esta última na equação (4.49), o deslocamento do sistema pode ser
rescrito:
)
.2
..(.
1
0
0
.
1
=)(
N
inj
N
n
nj
eHvm
T
tu
π
∑
−
=
(4.50)
Passando para forma matricial e lembrando que o somatório de (4.50) corresponde
a coluna implícita de Fourier (4.46), tem-se:
}].{.[..
.
1
}{
0
δ
evm
DtN
u = (4.51)
onde T=N.Dt e
δ
é um vetor (S x 1) com 1 na primeira posição e zero nas outras.
Resposta completa:
Finalmente, a resposta completa da ImFT, incluindo as contribuições das
condições iniciais, soma direta entre as equações (4.43), (4.48) e (4.51), é:
0
0
0
}).{
.
}1.{}].({.[
1
}{ u
Dt
vm
fFte
N
u ++−=
δ
(4.52)
Observe que a terceira parcela de (4.52) representa uma força impulsiva aplicada
no instante inicial.
83
Resposta completa passo-a-passo:
Num processo de solução passo-a-passo não-linear, a equação (4.52) pode ser
rescrita da seguinte forma:
n
n
nnnnn
u
Dt
vm
fFtefFte
N
u +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−=
++
)
.
.(][).(][.
1
0,110,01
(4.53)
Na qual os dois termos de ][e (
0,0
][e e
0,1
][e ) podem ser reavaliados sempre que
necessário para representar uma não-linearidade física do sistema. Este procedimento
requer um elevado custo computacional, sendo indicado apenas quando as propriedades
físicas variam significativamente. Será apresentado na próxima seção a ImFGA para
minimizar o esforço computacional no cálculo da função de Green do sistema, ou seja,
de ][e /T, permitindo que a reavaliação de ][e se torne computacionalmente mais barata.
Destaca-se que a equação anterior pode ser modificada pare representar a resposta
passo-a-passo a cada S termos, ficando:
()
Sp
Sp
SpSpS
Sj
j
SpjSjSSp
u
Dt
vm
fFte
N
fFte
N
u ++−+−=
∑
−=
=
−+
)
.
.(][
1
).(][.
1
0,
1
0
0,
(4.54)
Onde [e]
j,0
é definido na equação (4.46). De forma esquemática, tem-se:
Figura 4.19 – Esquema mostrando o princípio da integração passo-a-passo a cada S
termos usando a ImFT.
t=S
p
.Δt t=(S
p+
S).Δt
S.Δt
u
n
0
j=S
[e]
p,0
S
j
N
(para que a função de Green amorteça totalmente)
t
n
84
4.3.6 RESPOSTA DA VELOCIDADE PELA DERIVADA DA IMFT
O histórico da velocidade de resposta de um sistema pode ser encontrado pela
derivada da função deslocamento. Quando se utiliza a Transformada Discreta de
Fourier para solucionar a equação de movimento de uma estrutura, sua velocidade pode
ser expressa por:
∑
−
=
===
1
0
...
.....
)(
)()(
N
n
tni
nnjj
j
eFHni
dt
tdu
tutv
ϖ
ϖ
&
(4.55)
Sobre a forma matricial, a equação (4.55) é apresentada como segue:
}].{].[].[.[
1
}{
*
FtEHE
N
u
&
&
= (4.56)
onde cada termo genérico de ][H
&
é definido por:
2
)..(...
..
ϖϖ
ϖ
nmnick
ni
H
n
−+
=
&
(4.57)
sendo ][E , ][
*
E e {Ft} definidos anteriormente.
Fazendo a multiplicação [E]. ][H
&
.][
*
E ser representada pela matriz ][e
&
,
derivada da Matriz Implícita de Fourier, a resposta da velocidade pode ser escrita de
forma semelhante a expressão do deslocamento apresentado anteriormente:
}].{.[
1
}{ Fte
N
u
&&
= (4.58)
Assim, considerando condições iniciais não nulas, derivando a equação (4.52), o
vetor velocidade pode ser expresso por:
}).{
.
}1.{}].({.[
1
}{
0
0
δ
Dt
vm
fFte
N
u +−=
&&
(4.59)
É importante observar que todas as propriedades da ImFT discutidas na seção
anterior continuam sendo válidas para sua derivada.
Assim sendo, a derivada da Coluna Implícita de Fourier,
0
][
j
e
&
, corresponderá
analogicamente ao histórico da velocidade do sistema quando uma força externa função
impulso unitária
δ
(t) é aplicada.
85
A seguir é apresentada a resposta dos termos de
0
][
j
e
&
com j=0,1,...,N-1 para um
sistema massa-mola-amortecedor com as seguintes características físicas:
Figura 4.20 – Derivada da Coluna Implícita de Fourier,
0
][
j
e
&
.
DERIVADA DA COLUNA IMPLICITA
-0.00004
-0.00003
-0.00002
-0.00001
0
0.00001
0.00002
0.00003
0.00004
0.00005
0 102030405060708090100
INDICE (j)
Derivada da Coluna Implícita
Figura 4.21 – Destaque dos 100 termos iniciais de
0
][
j
e
&
.
A discretização numérica adotada é caracterizada por:
Número de termos utilizados (N): 2048
Intervalo de tempo (Dt): 0.01 s
Período total de análise (T): 20.48 s
m=5,0 . 10
5
kg
k=5,0 . 10
6
N/m
ζ
=0,15 (15,0 %)
DERIVADA DA COLUNA IMPLICITA
-0.00004
-0.00003
-0.00002
-0.00001
0
0.00001
0.00002
0.00003
0.00004
0.00005
0 500 1000 1500 2000 2500
INDICE (j)
Derivada da Coluna Implícita
86
Na Figura 4.20 o termo inicial da derivada da Coluna Implícita de Fourier não é
nulo, o que já é esperado, uma vez que uma força definida por uma função impulso
unitária equivale a aplicação de uma velocidade inicial não nula ao sistema.
A Figura 4.20 constata que o trecho final da resposta
0
][
j
e
&
volta a oscilar, o que
seria fisicamente impossível. Esta oscilação é conseqüência do efeito da periodicidade
da série transformada, que se torna aparente quando uma série é descontínua. Veja que o
trecho inicial de
0
][
j
e
&
, em destaque na Figura 4.21, também é perturbado pelo efeito da
periodicidade. Este má representação de regiões próximas as descontinuidades de uma
série periódica é matematicamente conhecida no estudo de séries de Fourier como
Efeito Gibbs.
Isto significa que este efeito não permitirá que valores precisos da velocidade
sejam encontrados nos instantes iniciais do processo de solução de um sistema
dinâmico, o que pode comprometer a marcha no tempo, passo-a-passo da ImFT.
Se um sistema for submetido somente a uma velocidade inicial v
0
, o primeiro
termo do vetor resposta de velocidade deverá ser obrigatoriamente igual a v
0
. Assim, se
}].{.[..
.
1
}{
0
δ
evm
DtN
u
&&
= , (4.60)
para que
0
}{u
&
= v
0
seja satisfeito, o primeiro termo da matriz ][e
&
deve ser:
m
DtN
e
.
][
00
=
&
(4.61)
como era de se esperar,
00
][e
&
corresponde à velocidade inicial da função de Green,
inverso da massa do sistema, multiplicado pelo o período T da transformada.
Substituindo na equação (4.61) os dados do sistema massa-mola-amortecedor
mencionado, o valor de
00
][e
&
para este sistema deveria ser:
00004096.0
100.5
01.0.2048
][
5
00
==
x
e
&
No entanto, devido ao Efeito Gibbs, o primeiro termo converge para a média da
descontinuidade da série transformada e os termos iniciais de
][e
&
oscilam em torno do
valor esperado (4.61). Ver Figura 4.21.
87
Isto significa que o processo para se encontrar a velocidade a partir da derivada da
ImFT não é indicado se deseja-se fazer uso de um procedimento passo-a-passo, em que
o deslocamento e velocidade ao final de um passo são condições iniciais do passo
seguinte. Dependendo do passo avaliado, as velocidades ainda podem estar sujeitas ao
Efeito Gibbs prejudicando a marcha no tempo do processo de integração.
Uma técnica matemática pode ser aplicada para tornar a série contínua, bastando
reescrever o vetor
0,
][
j
e
&
como segue, a relacionando com
0,
][
j
e , separando inclusive o
termo n=0:
0,
1
1
1
.
2
..
111
0,
].[..
.
2
..
...)
2
1
(][
j
N
n
j
N
ni
n
j
emce
t
N
ni
H
mkmkcmN
N
j
e
−
−
=
−−−
−
Δ
−+−=
∑
π
π
&
(4.62)
As descontinuidades de
0,
][
j
e
&
estão agora incorporadas no primeiro termo entre
parênteses da última equação, tornando seu somatório representação de uma série
periódica contínua. A convergência da série é mais rápida, podendo agora a velocidade
ser utilizada no procedimento passo-a-passo apresentado anteriormente.
88
4.3.7 APLICAÇÃO
A ImFT é indicada para resolver problemas com um grau de liberdade ou com
vários graus expressos em coordenadas modais. Neste último caso a solução acontece
em outro subespaço, modal, através do uso de um procedimento de transformação de
base que desacopla suas equações de movimento. Cada equação é então resolvida
isoladamente usando a ImFT apresentada anteriormente.
O uso da ImFT em problemas em coordenadas nodais, ou seja, no espaço
tridimensional em que a estrutura se encontra, não é indicado pelo alto custo
computacional envolvido. Para este fim, desenvolveu-se a ImFGA que será apresentada
a seguir.
Recorda-se que a ImFT, assim como a ImFGA, proporciona um avanço no
processo de solução de sistemas submetidos a efeitos hidrodinâmicos, uma vez que
algumas propriedades físicas do acoplamento fluido-estrutura podem variar com a
freqüência, como a massa adicionada; e outras podem variar não-linearmente com o
tempo, como a força de arrasto viscosa. As propriedades físicas que variam com a
freqüência, podendo incluir inclusive a própria rigidez da estrutura, seriam
representadas na própria função de transferência do sistema (e conseqüentemente, em
sua função de Green), enquanto as forças não-lineares temporais seriam representadas
no lado direito das equações que definem as transformadas híbridas tempo-freqüência.
Finalmente destaca-se que o uso da ImFT, em análises determinísticas, é
condicionado a avaliação de sistemas amortecidos, uma vez que o período da
transformada está relacionado ao tempo de decaimento total da função de Green do
sistema, para que o efeito da periodicidade da transformada não invalide a resposta do
sistema nos instantes iniciais e finais do histórico de resposta. Será visto a seguir que a
ImFGA não deixa de ser um avanço da ImFT; o sistema analisado pode ser amortecido
ou não, contornando os efeitos da periodicidade da transformada de Fourier.
89
5 TRANSFORMADA IMPLÍCITA DE FOURIER
COM APROXIMAÇÃO DE GREEN: ImFGA
5.1 INTRODUÇÃO
Na seção anterior foi apresentada a Transformada Implícita de Fourier, ImFT,
como ferramenta híbrida de solução de equações de movimento de sistemas
amortecidos. Foi constatado que a primeira coluna da matriz implícita de Fourier se
relaciona à resposta de um sistema submetido a uma função impulso unitário, ou seja, a
função de Green discreta do sistema. Mostrou-se então que de fato a ImFT corresponde
à integral de convolução padrão de um problema dinâmico, cujas propriedades
dependentes da freqüência estão implícitas na função de Green do sistema.
Neste capítulo, inicia-se o estudo da ImFGA (Implicit Fourier Green Approach),
que também é um algoritmo derivado da DFT, mas que se baseia no cálculo da função
de Green do sistema implicitamente no domínio da freqüência fazendo agora uso de
uma técnica de correção da Transformada Discreta de Fourier, ainda mais avançada do
que as apresentadas na ImFT, para acabar com efeitos indesejáveis da periodicidade, ou
seja, para permitir a correta avaliação da resposta transiente de um sistema.
Esta técnica foi inicialmente apresentada por Veletsos e Ventura em 1984/1985
[54,55] para resolver sistemas com um grau de liberdade em coordenadas modais,
eliminando a necessidade de se estender o período da transformada. Ela foi aperfeiçoada
em 2005, como será apresentada aqui, para solucionar sistemas com múltiplos graus de
liberdade em coordenadas nodais [22], sendo eficientemente aplicada em problemas
lineares e não-lineares com baixa deformação. Adianta-se que seu uso em problemas
fortemente
não-lineares envolve um custo computacional mais alto do que nos métodos
tradicionais de integração numérica (MDC, Newmark, etc), mas é indicado quando se
necessita resolver um problema com variáveis dependentes da freqüência
(amortecimento, rigidez ou massa).
90
5.2 DESENVOLVIMENTO
5.2.1 FORMA ANALÍTICA
Para desenvolver a ImFGA, recorda-se que a equação de movimento de um
sistema é dada por:
)()()()( tttt
FKUUCUM =++
&&&
(5.1)
As respostas analíticas do vetor de deslocamento
U(t) e velocidade )(tU
&
que
atende ao equilíbrio dinâmico são dadas pela convolução entre a função de Green
G(t)
do sistema e o vetor de carga externa
F(t), podendo ser expressa por:
)()()( ttt
FGU •= (5.2)
)()()( ttt
FGU •=
&
&
(5.3)
Para sistemas submetidos a condições iniciais, a forma analítica de sua resposta
fica:
)()()0().()0().()0().()( tttttt FGUM.GM.UGC.UGU •+++=
&
&
(5.4)
)()()0().()0().()( ttttt FGUM.GΚ.UGU •++−=
&
&
&
&
(5.5)
A coluna j de G(t), g
j
(t), anteriormente chamada de h(t) para um grau de liberdade
(5.0), é obtida através da solução da equação de movimento quando um carregamento
impulsivo é aplicada no grau de liberdade j do sistema:
)0(1)( −= tt
j
δ
F (5.6)
onde )0( −t
δ
é a função delta Dirac (5.0, 5.0) e 1
j
é um vetor base unitário.
Aqui,
g
j
(t) pode ser computado mais convenientemente considerando um vetor
velocidade inicial de tal forma que a igualdade impulso = variação de movimento seja
válida:
dtt
jj
∫
∞
∞−
−= )0(1)0(
δ
gM
&
(5.7)
então, de acordo com a equação (5.0),
jj
1)0(
1−
= Mg
&
(5.8)
91
desta forma,
11
MMG
−−
== 1)0(
&
e
G(0) = 0, (5.9)
uma vez que na função de Green o sistema está inicialmente em repouso no momento
da aplicação da carga impulsiva (t=0).
O método de integração considerado aqui, ImFGA, utiliza, conforme já
mencionado, um procedimento para calcular implicitamente no domínio da freqüência a
matriz de funções de Green e sua derivada.
Para este desenvolvimento, é preciso escrever antes a solução analítica para um
intervalo Δt para que se estabeleça um procedimento de integração passo-a-passo no
domínio do tempo:
τττ
dttttt
t
.)().()0().()0().()0().()(
0
∫
Δ
−Δ+Δ+Δ+Δ=Δ FGUM.GM.UGC.UGU
&
&
(5.10)
τττ
dtttt
t
.)().()0(.).()0().()(
0
∫
Δ
−Δ+Δ+Δ−=Δ FGUMGΚ.UGU
&
&
&
&
(5.11)
5.2.2 INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO NUMÉRICA
Numericamente, é correto representar a integral de convolução das duas últimas
equações através da regra dos trapézios, assumindo que o intervalo de interesse é
pequeno, ou seja, que )().(
τ
τ
FG −Δt e )().(
ττ
FG −Δt
&
são funções lineares a serem
integradas dentro do intervalo Δt. Assim, a seguinte aproximação pode ser considerada
no lugar da integral de convolução das duas últimas equações:
2/)).0().()().0((.)().(
2/)).0().()().0((.)().(
0
0
tttdt
tttdt
t
t
ΔΔ+Δ≈−Δ
ΔΔ+Δ≈−Δ
∫
∫
Δ
Δ
FGFGFG
FGFGFG
&&&
τττ
τττ
(5.12)
Estas equações (5.12) estão sendo apresentadas nesta tese como uma primeira
evolução das simplificações adotadas em [22], que considerava a integral de convolução
aproximada da seguinte forma:
92
ttdt
ttdt
t
t
ΔΔ≈−Δ
ΔΔ≈−Δ
∫
∫
Δ
Δ
).().0(.)().(
).().0(.)().(
0
0
FGFG
FGFG
&&
τττ
τττ
(5.13)
Isto significa que a expressão que rege os deslocamentos (5.4) daquela referência
[22], deixa de considerar explicitamente o efeito da carga, visto que G(0) = 0, estando
ela incorporada apenas implicitamente, através do cálculo da velocidade do instante de
tempo imediatamente anterior. Isto condiciona o método ao uso de intervalos de tempo
consideravelmente pequenos para que as igualdades de (5.13) sejam válidas. Já as
equações expressas em (5.12) permitem que a ImFGA desenvolvida nesta tese
apresente-se mais precisa do que o algoritmo original apresentado em [22]. Isto será
comprovado mais adiante (seção 5.3) através de um exemplo numérico com um grau de
liberdade, que compara a resposta exata de um sistema massa-mola, submetido a uma
força externa, integrada com diferentes intervalos de tempo com o uso da aproximação
da integral de convolução original [22] e a apresentada nas equações (5.12).
Além disto, nesta tese a integral de convolução foi também transformada em uma
integral numérica ainda mais precisa do que as apontadas nas equações (5.12), capazes
de gerar resultados de movimento dinâmico extremamente precisos
, mesmo quando faz-
se uso de intervalos de integração elevados, na ordem de um quarto do período natural
(Tn/4). Isto significa um avanço ainda maior sobre os métodos de integração direta
disponíveis.
Para se chegar à expressão final destas novas integrais numéricas de convolução,
considerou-se que as funções )().(
τ
τ
FG
−
Δ
t e )().(
ττ
FG −Δt
&
podem ser estabelecidas
nos intervalos considerados como uma função parabólica At + Bt
2
. Por simplificação
matemática ela é subtraída das funções )().0( t
Δ
FG e )().0( tΔFG
&
, já que a integral
destas funções no intervalo considerado é conhecida ( )().0( t
Δ
FG .Δt e )().0( tΔFG
&
.Δt).
A seguir, Figura 5.1, apresenta-se o esquema da integração numérica proposta,
considerando primeiramente a integral da função )().(
ττ
FG −Δt
&
.
93
Figura
5.1 – Esquema apontando a Integração Numérica de Convolução
Assim, a solução exata da integral
τττ
dt
t
.)().(
0
∫
Δ
−Δ FG
&
fica:
τττ
dt
t
.)().(
0
∫
Δ
−Δ FG
&
=
τ
dtt
t
.''
2
0
∫
Δ
+BA
+)().0( tΔFG
&
.Δt
32
32
tt Δ
+
Δ
=
BA
+)().0( tΔFG
&
.Δt
(5.14)
No qual, A e B são encontrados igualando a função parabólica aos valores
discretos da convolução (ver Figura 5.1):
=Δ+Δ
2
tt BA
−Δ )0().( FG t
&
)().0( tΔFG
&
e (5.15)
=Δ+Δ 4/2/
2
tt BA
−ΔΔ )2/().2/( tt FG
&
)().0( tΔFG
&
(5.16)
Manipulando as duas últimas equações, encontram-se A e B:
(
)
4/)()0(34/)0()()2/()2/(/4 ttttt Δ−Δ−ΔΔΔ= FGFGFGA
&&&
(5.17)
(
)
2/)()0(2/)0()()2/()2/(/4
2
ttttt Δ−Δ+ΔΔ−Δ= FGFGFGB
&&&
(5.18)
Substituindo A e B na equação (5.14), reescreve-se a integral de convolução da
velocidade como segue:
τττ
dt
t
.)().(
0
∫
Δ
−Δ FG
&
=Δt()().0(.6/1)0().(.6/1)().2/(3/2 tttt Δ+Δ+ΔΔ FGFGFG
&&&
) (5.19)
Analogamente, a integral de convolução do deslocamento pode ser expressa por:
)().(
ττ
FG −Δt
&
t
τ
=0
τ
=
Δ
t
)().0( tΔFG
&
−ΔΔ )2/().2/( tt FG
&
)().0( tΔFG
&
τ
=
Δ
t/2
−Δ )0().( FG t
&
)().0( tΔFG
&
t
´
At’ + Bt’
2
94
τττ
dt
t
.)().(
0
∫
Δ
−Δ FG
=Δt()0().(.6/1)2/().2/(3/2 FGFG ttt
Δ
+
Δ
Δ ) (5.20)
uma vez que, G(0) = 0.
A fim de evitar cálculos adicionais para encontrar F(Δt/2), é razoável fazer F(Δt/2)
= 1/2.( F(0)+ F(Δt) ), ou, dependendo do tipo de problema, simplesmente fazer F(Δt/2)=
F(Δt).
Mais adiante também será apresentado um gráfico de resposta de um sistema
massa-mola mostrando o relevante ganho de precisão gerado pelo uso destas duas
integrais de convolução (5.19) e (5.20), sobre as aproximações descritas anteriormente
(Equações (5.12) e (5.13) ).
5.2.3 FORMA FINAL DISCRETA DO DESLOCAMENTO E DA VELOCIDADE
Dando continuidade ao desenvolvimento, adotando por enquanto apenas as novas
expressões que aproximam a integral de convolução pela regra dos trapézios (5.12)
(mais adiante apresenta-se a forma final do deslocamento e velocidade também com o
uso de (5.19) e (5.20)), supondo que a análise começa em um intervalo de tempo t, a
resposta do vetor de deslocamento e velocidade da ImFGA pode ser definida por:
(
)
2/)).0().()().0(()(.).()(.).().()( tttttttttt ΔΔ+Δ+Δ+Δ+Δ=Δ+ FGFGUMGUMGCGU
&
&
(5.21)
2/)).0().()().0(()(.).()(.).()( tttttttt
t ΔΔ+Δ+Δ+Δ−=Δ+ FGFGUMGUΚGU
&&
&
&
&
(5.22)
É de se notar que o termo )().0( t
Δ
FG do lado direito da equação que rege os
deslocamentos é nulo, pois conforme já comprovado, )0(G =0, e que na equação (5.21)
o deslocamento U(Δt) se iguala naturalmente a G(Δt) quando aplica-se em t = 0 apenas
o vetor de velocidade M
-1
. Além disto, )0(G
&
é conhecido,
1
MG
−
=)0(
&
,
Com o objetivo de desenvolver a ImFGA, deve-se então obter as matrizes G(t) e
)(tG
&
implicitamente no domínio da freqüência. Em outras palavras, a função de Green
que se caracterizada no domínio do tempo deve ser expressa em termos de componentes
harmônicos, pela transformada de Fourier.
Conforme mencionado, a ImFGA é capaz de solucionar U(t) sem a necessidade de
se expandir o período da transformada, independente da taxa de amortecimento do
sistema. Ou seja, o efeito da periodicidade abordado nas seções anteriores deixa de
95
existir. Isto significa que o período da transformada deste método pode corresponder
exatamente à janela de tempo de interesse na resposta, nas quais os movimentos e
esforços são investigados. Para isto, G(t) e )(tG
&
, expressa por componentes
harmônicos, não podem sofrer efeitos da periodicidade para qualquer período
fundamental considerado, o que é possível somente se estas forem calculadas
considerando parcelas corretoras, como será visto a seguir.
5.2.4 CORREÇÃO DA FUNÇÃO DE GREEN EXPRESSA POR COMPONENTES
HARMÔNICOS
Antes de prosseguir, deve-se estabelecer um conceito fundamental do método de
correção da função de Green que será utilizado adiante.
A resposta de um sistema submetido a um carregamento externo depende das
características deste carregamento, das propriedades físicas do sistema e das condições
iniciais de movimento. Se um mesmo sistema é submetido a um carregamento
transiente (não periódico) e ao mesmo carregamento periódico, de período T, a
diferença entre os resultados de resposta de movimento do sistema com estes dois
carregamentos idênticos, no período T, é gerada pelas diferentes “condições iniciais” de
movimento no tempo zero. Isto significa que a resposta transiente (não periódica) pode
ser determinada pela superposição da resposta periódica com a resposta de movimento
em oscilação livre gerada por condições iniciais corretivas (Figura 2).
96
PeríodoTnãoestendido
Fun
ç
ãodeentradaF
(
t
)
t
p
t
u
(
t
)
=
Fun
ç
ãodesaídau
(
t
)
T
efeitoda
periodicidade
efeitoda
periodicidade
t
+
u
0
,
corretivo
v
0
corretivo
t
Figura 5.2 – Esquema de aplicação de condições iniciais corretivas sobre a
resposta periódica para se chegar a solução sem efeito da periodicidade da força
.
Seguindo este raciocínio, a partir de agora a função de Green, )(tG , e sua
derivada, )(tG
&
(incógnitas do sistema), serão expressas por uma parcela de resposta
“estacionária”, ou periódica (
)(t
v
G
e
)(t
v
G
&
) e outra “corretiva” (
t(G
) e
)(tG
&
), que
corrige efeitos de condições iniciais não satisfatórias existentes na transformada discreta
de Fourier.
Ou seja,
)()()( ttt
v
GGG += (5.23)
)()()( ttt
v
GGG
&&&
+= (5.24)
O esquema gráfico a seguir ilustra as informações contidas nas equações
anteriores, às relacionando a uma série de movimento de resposta de um sistema
qualquer.
u(t) periódico
u(t)
97
Figura
5.3 – Esquema de resposta “estacionária” e “corretiva”.
As funções corretivas de deslocamento e de velocidade ( )(tG e )(tG
&
,
respectivamente) também podem ser expressas como resultado de operações de
respostas estacionárias (periódicas) conforme indicado a seguir:
)()()( tctct
vvuc
GGG += (4.25)
)()()( tctct
vvuc
GGG
&&&
+= (4.26)
onde
)(t
u
G é o deslocamento no intervalo 0<t<T devido a aplicação de deslocamentos
unitários periódicos aplicados nos intervalos T e
)(t
v
G é o deslocamento devido a
aplicação de velocidades unitárias periódicas aplicadas no mesmo intervalo. As
constantes c
c
e c
v
são encontradas através das condições iniciais sobre a Matriz de
funções de Green
)0()0()0( GGG +=
v
e )0()0()0( GGG
&&&
+=
v
. Manipulando estas
duas equações e lembrando que G(0) = 0 e
1
)0(
−
= MG
&
encontram-se facilmente c
c
e c
v
.
U(t) – Resposta de deslocamento sem a periodicidade do carregamento
Assim, o erro entre a resposta correta e a periódica é E(t) = U(t) – Up(t);
U(t) = Up(t) + E(t)
De modo equivalente:
)()()( ttt
v
GGG +=
)
(
)
(
)
(
ttt
v
GGG
&&&
+
=
t
t
t
Up (t) – Resposta de deslocamento sob o efeito da periodicidade
T
2T
T
2T
T
2T
F(t) - Força Externa
98
Substituindo estas constantes nas equações (5.25) e (5.26), )(tG e )(tG
&
podem agora
ser expressos por:
[
]
)().0().0()()(
1
ttt
uuvv
GGGGΘG
−
−= (5.27)
[
]
)().0().0()()(
1
ttt
uuvv
GGGGΘG
&&&
−
−= (5.28)
onde
[
]
)0().0().0()0(
1
1
uuvv
GGGGMΘ
&&
−
−
−= (5.29)
Uma vez que se conhece )(tG e )(tG
&
para um tempo t, pode-se obter )( tΔG e
)( tΔG
&
das equações (5.21) e (5.22), uma vez que
)0(
u
G, )0(
u
G
&
, )0(
v
G, )0(
v
G
&
,
)( t
u
ΔG, )( t
u
ΔG
&
, )( t
v
ΔG e )( t
v
ΔG
&
são conhecidos através de uma generalização dos
conceitos apresentados por Veletsos e Ventura [54, 55].
5.3 CÁLCULO OTIMIZADO DA FUNÇÃO DE GREEN NO
DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
De forma detalhada, de acordo com as equações (5.4) e (5.5), pode-se expressar
)(t
u
G
e )(t
v
G , assim como suas derivadas, )(t
u
G
&
e
)(t
v
G
&
, com relação a função de
Green do sistema. Para isto, basta aplicar naquelas equações deslocamentos unitários
para encontrar
)(t
u
G e )(t
u
G
&
e velocidades unitárias para encontrar
)(t
v
G
e
)(t
v
G
&
,
todas estas, até aqui, encontradas analiticamente, ficando:
MGCGG ).().()( ttt
u
&
+= (5.30)
MGG ).()( tt
v
= (5.31)
ΚGG ).()( tt
u
−=
&
(5.32)
MGG ).()( tt
v
Δ=
&&
ou )(.)()( ttt
uv
GCGG −=
&
(5.33)
Que recorrendo à equação (5.0) que expressa a função de Green por termos
harmônicos (agora em forma matricial) reescreve-se as prescritas equações efetivamente
sob a forma estacionária (periódica):
99
∑∑
−
=
−
=
+=
1
0
.
2
..
1
0
.
2
..
.
2
..
1
.
1
)(
N
n
t
T
ni
n
N
n
t
T
ni
nu
e
T
ni
T
e
T
t
ππ
π
HMHCG (5.34)
∑
−
=
=
1
0
.
2
..
.
1
)(
N
n
t
T
ni
nv
e
T
t
π
HMG (5.35)
∑
−
=
−=
1
0
.
2
..
.
1
)(
N
n
t
T
ni
nu
e
T
t
π
HΚG
&
(5.36)
∑
−
=
−=
1
0
.
2
..
.
1
.)()(
N
n
t
T
ni
nuv
e
T
tt
π
HCGG
&
(5.37)
Recordando que
)(t
u
G
e
)(t
v
G
&
são descontínuas,
1)()0()0()0( =−=−
−+
T
uuuu
GGGG (5.38)
1)()0()0()0( =−=−
−+
T
vvvv
GGGG
&&&&
, (5.39)
seus valores no início e ao final do período T são afetados pelo efeito Gibbs. Este
problema é contornado ao se reescrever a equação (5.34) como segue, separando
inclusive o termo n=0 [54]:
∑
−
=
−
−+−=
1
1
.
2
..
1
.
2
..
1.
)
2
1
()(
N
n
t
T
ni
n
u
e
T
ni
TTT
t
t
π
π
H
K
KC
IG
(5.40)
onde
I é a matriz identidade.
As descontinuidades de
)(t
u
G e, conseqüentemente, de )(t
v
G
&
estão agora
incorporadas no primeiro termo entre parênteses de (5.40), tornando os somatórios de
sua equação representações de uma série periódica contínua.
Na expressão acima (5.40), o denominador de sua última parcela acaba permitindo
que a série convirja rapidamente, inclusive mais rápido do que
)(t
v
G .
Como a convergência da série
∑
−
=
1
0
.
2
..
.
1
N
n
t
T
ni
n
e
T
π
H não é rápida, como a que sucede K
de (5. 5.40), os valores de
)(t
v
G , )(t
u
G
&
e
)(t
v
G
&
obtidos com um numero finito de
termos será geralmente menos precisa do que os valores correspondentes de
)(t
u
G . Os
valores das constantes c
c
e c
v
apresentadas anteriormente, que estabelece a expressão
100
corretiva de
)(tG e )(tG
&
são sensíveis aos valores iniciais de
)(t
v
G
,
)(t
u
G
e suas
derivadas. É importante então que uma técnica matemática seja introduzida para
melhorar a precisão das séries que definem
)0(
v
G , )0(
u
G
&
e
)0(
v
G
&
.
5.3.1 TÉCNICA MATEMÁTICA PARA RÁPIDA CONVERGÊNCIA DA FUNÇÃO DE
GREEN
Reescrevendo primeiramente a expressão (5.35) com os termos das séries
harmônicas variando de –∞ a ∞, tem-se:
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
==
n
n
n
T
ni
nv
T
e
T
HMHMG
1
.
1
)0(
0.
2
..
π
(5.41)
Como a resposta
)0(
v
G
é real e Re(
n
H ) é uma função par, pode-se escrever:
∑∑
∞
+=−=
+=
1
)Re(
21
)0(
Mn
n
M
Mn
nv
TT
HMHMG (5.42)
Recordando que
12
))..(...(
−
−+=
ϖϖ
nni
n
MCKH e
ϖ
= 2π/T, para um elevado
valor de n esta equação pode ser aproximada por:
22
12
*
.4
.
n
T
n
π
−
−≅
M
H
(5.43)
Substituindo em (5.42), fica:
∑∑
∞
+=
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
1
22
12
.4
.2
)Re(
1
)0(
Mn
M
Mn
nv
n
T
TT
π
M
MHMG
(5.44)
∑∑
∞
+=−=
−=
1
22
1
2
)Re(
1
)0(
Mn
M
Mn
nv
n
T
T
π
IHMG (5.45)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
∑∑∑
∞
==−=
11
222
11
2
)Re(
1
)0(
n
M
n
M
Mn
nv
nn
T
T
π
IHMG (5.46)
Matematicamente, a série
∑
∞
=
1
2
1
n
n
corresponde a
6
2
π
, assim:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
∑∑
=−=
M
n
M
Mn
nv
n
T
T
1
2
2
2
1
6
2
)Re(
1
)0(
π
π
IHMG
(5.47)
101
Isto significa que os componentes harmônicos superiores que representam
)0(
v
G
estão sempre incorporados e que o valor de M será responsável pela precisão de
sua resposta. Geralmente baixos valores de M permitem uma rápida convergência da
série. Adianta-se que quanto menor o período fundamental T da transformada com
relação ao menor período natural da estrutura, menor será o número de termos M para
que a série convirja rapidamente no instante inicial. Fica claro também que as
freqüências da série devem incluir todas as freqüências que fisicamente contribuem para
a resposta do sistema.
Seguindo o mesmo raciocino para encontrar,
)0(
u
G
&
,
)0(
v
G
&
e
)0(
u
G , tem-se:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
∑∑
=
−
−=
M
n
M
Mn
nu
n
T
T
1
2
2
2
1
1
6
2
.
1
)0(
π
π
MΚHΚG
&
(5.48)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
∑∑
=
−
−=
M
n
M
Mn
nuv
n
T
T
1
2
2
2
1
1
6
2
.
1
.)0()0(
π
π
MCHCGG
&
(5.49)
∑
≠
−=
−
−+=
M
m
Mn
n
u
T
ni
TT
0
1
2
..
1.
2
1
)0(
π
H
K
KC
IG (5.50)
Nesta última equação (5.50), considera-se que o somatório de ordem superior que
sucede K tende a zero.
5.3.2 FORMA FINAL DA IMFGA PARA SISTEMAS COM PROPRIEDADES
FÍSICAS CONSTANTES
Para se finalizar o desenvolvimento do procedimento passo-a-passo da ImFGA, é
necessário encontrar, conforme já mencionado,
)( t
u
ΔG
,
)( t
u
ΔG
&
,
)( t
v
ΔG
e
)( t
v
ΔG
&
.
Para isso, recordando que T não precisa mais ser estendido, pois a correção do efeito da
periodicidade já está incorporada nas equações (5.27), (5.28) e (5.29), faz-se então
T=
tΔ ; o período da série coincide com intervalo de integração. Isto permite que,
recorrendo as equações (5.34) a (5.40), as seguintes equações sejam estabelecidas:
∑
−
=
Δ
Δ
−
Δ
Δ
−
Δ
+
Δ
Δ
−=Δ
1
1
.
2
..
1
.
2
..
1.
)
2
1
()(
N
n
t
t
ni
n
u
e
t
ni
ttt
t
t
π
π
H
K
KC
IG (5.51)
Uma vez que
π
2..ni
e = 1, )( t
u
ΔG fica:
102
IG
H
K
KC
IG −=
Δ
Δ
−
Δ
+−=Δ
∑
−
=
−
)0(
2
..
1.
)1
2
1
()(
1
1
1
u
N
n
n
u
t
ni
tt
t
π
(5.52)
e,
)0(
1
.
1
)(
1
0
1
0
2..
v
N
n
n
N
n
ni
nv
t
e
t
t
GHMHMG
∑∑
−
=
−
=
=
Δ
=
Δ
=Δ
π
(5.53)
IGHCIGHCGG −=
Δ
−−=
Δ
−Δ=Δ
∑∑
−
=
−
=
)0(
1
.)0(.
1
.)()(
1
0
1
0
2..
v
N
n
nu
N
n
ni
nuv
t
e
t
tt
&&
π
(5.54)
)0(
1
.
1
)(
1
0
1
0
2..
u
N
n
n
N
n
ni
nu
t
e
t
t
GHΚHΚG
&&
=
Δ
−=
Δ
−=Δ
∑∑
−
=
−
=
π
(5.55)
De um modo mais compacto, as equações anteriores podem ser rescritas como
segue:
ΙM.ΩG .)0(
α
+=
v
(5.56)
ΩΚC.ΚΙG −Δ+=
−1
)./1().2/1()0( t
u
(5.57)
1
.)0()0(
−
−−= C.MC.ΩGG
α
uv
&
(5.58)
1
.)0(
−
−−= Κ.MΚ.ΩG
α
u
&
(5.59)
)0()(
vv
t GG =Δ (5.60)
ΙGG −=Δ )0()(
uu
t
(5.61)
ΙGG −=Δ )0()(
vv
t
&&
(5.62)
)0()(
uu
t GG
&&
=Δ (5.63)
onde,
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−Δ=
∑
=
6/1/1/12/
1
22
M
n
nt
πα
(5.64)
103
∑
−=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−Δ=
M
Mn
t
in
t
n
t
1
2
..2.2
./1
ΚCMΩ
ππ
(5.65)
∑
≠
−=
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−Δ=
M
n
Mn
t
in
t
in
t
n
t
0
1
2
..2
1
.
..2.2
./1
π
ππ
ΚCMΩ (5.66)
Calculado )( t
Δ
G e )( tΔG
&
através das equações (5.27), (5.28) e (5.29), a solução
do deslocamento e velocidade do sistema de equações de movimento dinâmico pode
agora ser resolvido da seguinte forma:
2/).().()()()(
21
ttttttt ΔΔ++=Δ+ FGUΦUΦU
&
(5.67)
2/)).0().()(()()()(
1
21
tttttttt ΔΔ+Δ+++=Δ+
−
FGFMUΦUΦU
&
&&&&
(5.68)
Ou com maior precisão, de acordo com as equações (5.19) e (5.20):
))()(.6/1)2/().2/(3/2.()()()(
21
ttttttttt ΔΔ+ΔΔΔ++=Δ+ FGFGUΦUΦU
&
(5.69)
))(..6/1)0().(.6/1)2/().2/(3/2()()()(
1
21
tttttttttt Δ++Δ+ΔΔΔ++=Δ+
−
FMFGFGUΦUΦU
&&
&&&&
(5.70)
nas quais,
[
]
MGCGΦ )()(
1
tt Δ+Δ=
&
ΚGΦ )(
1
tΔ−=
&
(5.71)
MGΦ )(
2
tΔ=
MGΦ )(
2
tΔ=
&
&
Os termos das matrizes
1
Φ
,
2
Φ
,
1
Φ
&
e
2
Φ
&
, pelo princípio da causalidade, possui a
mesma banda da matriz de rigidez do sistema. Isto significa que, de acordo com (5.67)/
(5.68) e (5. 5.69)/( 5.70), o deslocamento e velocidade de um nó não podem ser
influenciados pelo deslocamento e velocidade em um instante imediatamente anterior de
um nó não adjacente. Esta propriedade é de suma importância para a eficiência do
algoritmo.
104
5.3.3 ESTABILIDADE E PRECISÃO DO MÉTODO
A priori, para solucionar corretamente )( t
Δ
G e )( tΔG
&
é necessário a escolha de
um valor apropriado para o termo máximo M das séries truncadas. Pode-se mostrar que
M =1 é adequado para gerar respostas precisas em uma grande gama de casos; o que irá
depender das propriedades físicas e do intervalo de tempo utilizado [22]. Nesta mesma
referência, mostra-se, como reproduzido a seguir (Figura 5.4), que o raio espectral da
matriz de amplificação da ImFGA de um sistema com um grau de liberdade é mais
próximo do da resposta analítica do que o da regra trapezoidal da família de Newmark,
mesmo para baixos valores de M (M= 1 e M=2), mostrando que o algoritmo é
incondicionalmente estável.
No entanto, deve-se destacar que o raio espectral reproduzido de [22]
naturalmente não leva em conta a parcela de carregamento do método (operador de
carga), apenas a matriz de amplificação, ou seja, a imprecisão associada ao tratamento
da parcela da integral de convolução não aparece nestes gráficos. O raio espectral define
principalmente a estabilidade do método.
Isto significa que os resultados das ImFGAs modificadas até aqui nesta tese serão
idênticos aos da ImFGA original para sistemas em vibração livre (amortecido ou não).
A precisão associada à resposta devido ao carregamento externo é o que difere os
métodos. Pode-se adiantar que há um relevante ganho de precisão sobre a ImFGA
original [22] ao se representar numericamente a integral de convolução de acordo com
as novas equações apresentadas nesta tese; estabelecidas pela regra trapezoidal (5.12) e,
um ganho ainda maior de precisão, pelas equações (5.19) e (5.20), que aproximam a
integral de convolução pela integral de uma função parabólica.
105
Figura 5.4 – Raio Espectral da matriz de amplificação de um sistema com 1gl x
intervalo de integração (ρ x Δt) considerando diferentes freqüências naturais e taxas de
amortecimento; (a) w = 2π, ζ=1%, (b) w = 4π, ζ=1%, (c) w = 2π, ζ=10%, (d) w = 4π, ζ=10%.
Metodologias empregadas: Analítica (
), Regra Trapezoidal ( ), ImFGA com M = 1(-----),
ImFGA com M = 2 ( ).
106
5.3.4 EXEMPLOS
Sistema Massa-Mola Submetido a uma Força Constante
Para ilustrar as informações anteriores, a seguir apresentam-se resultados de
movimento de um sistema massa-mola submetido a uma força externa constante quando
diferentes intervalos de integração são utilizados, solucionados pelo método de
Newmark Regra Trapezoidal (
β
=1/2 e
α
=1/4), pela ImFGA original e pelas duas formas
finais da ImFGA apresentadas nesta tese: (5.67)/ (5.68) e (5.69)/( 5.70). Neste exemplo,
em todas as ImFGAs considerou-se o número M da série de Green igual a 1.
A Figura 5.5 apresenta inicialmente os resultados gerados pelo método de
Newmark Regra Trapezoidal (
β
=1/2 e
α
=1/4) enquanto as Figuras 5.6, 5.7 e 5.8
apresentam as respostas de deslocamento dos demais algoritmos mencionados
anteriormente.
Este sistema é caracterizado por uma rigidez K = 2,5E+07kN/m, massa M =
5,0E+04t, força externa constante F = 1,5E+05kN e condições iniciais nulas.
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tempo (s)
Deslocamento (m)
U_Exata Newmark_DT=0.0075
Newmark_DT=0.015 Newmark_DT=0.030
Newmark__DT=0.045 Newmark__DT=0.07025
Figura 5.5 – Deslocamento solucionado por Newmark - Regra Trapezoidal
107
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tempo (s)
Deslocamento (m)
U_Exata ImFGA (Orig.)_DT=0.0075
ImFGA (Orig.)_DT=0.015 ImFGA (Orig.)_DT=0.030
ImFGA (Orig.)_DT=0.045 ImFGA (Orig.)_DT=0.07025
Figura 5.6 – Deslocamento solucionado pela ImFGA original, ref. [22]
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tempo (s)
Deslocamento (m)
U_Exata ImFGA (Trap.)_DT=0.0075
ImFGA (Trap.)_DT=0.015 ImFGA (Trap.)_DT=0.030
ImFGA (Trap.)_DT=0.045 ImFGA (Trap.)_DT=0.07025
ImFGA (Trap.)_DT=0.1405
Figura 5.7 – Deslocamento solucionado pela ImFGA desta Tese (integral de
convolução representada numericamente pela regra trapezoidal
(5.67)/ (5.68)).
108
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tempo (s)
Deslocamento (m)
U_Exata ImFGA (parab.)_DT=0.015
ImFGA (parab.)_DT=0.030 ImFGA (parab.)_DT=0.045
ImFGA (parab.)_DT=0.07025
Figura 5.8 – Deslocamento solucionado pela ImFGA desta Tese (integral de
convolução associada a integral de uma função parabólica
(5.69)/( 5.70)).
Através das Figuras 5.5, 5.6, 5.7 e 5.8, fica claro que as ImFGAs modificadas
nesta tese (integral de convolução representada numericamente por regra trapezoidal ou
por aproximação parabólica) são mais precisas do que a ImFGA original [22], e ainda
mais precisa do que o método de Newmark Regra trapezoidal, se mostrando uma
poderosa ferramenta de integração numérica.
Fica claro também através da Figura 5.8 que as expressões (5.69)/( 5.70) que
definem a ImFGA com aproximação da integral de convolução por uma integral de uma
função parabólica são extremamente precisas. O cálculo adicional de G(Δt/2) contribui
para o ganho de precisão adquirido pelo método quando submetido a um carregamento
externo.
No entanto, o custo computacional envolvido neste cálculo, diante das demais
operações matemáticas do método, ainda precisa ser mais bem investigado. Pode-se,
contudo afirmar que se o tipo de problema estudado for linear ou fracamente não-linear
(seção 5.4), o cálculo de G(Δt/2) não acrescentará custo computacional expressivo, visto
que nestes tipos de problema, a função de Green só precisa ser calculada uma única vez.
Em problemas fortemente não-lineares, em que a reavaliação da função de Green se faz
necessária várias vezes, é onde se precisa investigar melhor o acréscimo computacional
109
pelo cálculo de G(Δt/2). Mais detalhes sobre critérios para reavaliação da função de
Green são encontrados mais adiante, na seção 5.4.
A precisão do processo de integração das ImFGAs também pode ser observada na
Figura 5.9, que registra a resposta do mesmo sistema (solucionadas apenas pelas
equações (5.67)/ (5.68)) com mais tempo de simulação e com intervalos gerados como
razão inteira do período natural do sistema (Tn = 0,281s), iguais a Tn/40 (0.007s),
Tn/20 (0.01405s), Tn/10 (0.0281s) e Tn/5 (0.0562s); não sendo constatado qualquer
característica de decaimento de amplitude e alongamento de período (o que significa
que a função de Green deste sistema está adequadamente calculada com M=1 e com os
intervalos mencionados). Ao passo que, segundo [27], o método de Newmark Regra
Trapezoidal apresenta uma percentagem de alongamento do período da resposta acima
de 11% quando o intervalo de integração utilizado é Tn/20, e aproximadamente 0,4%
para o intervalo de Tn/40.
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0123456
Tempo (s)
Deslocamento (m)
U_Exata U_ImFGA (tese)_DT=0.007
U_ImFGA (tese)_DT=0.01405 U_ImFGA (tese)_DT=0.0281
U_ImFGA (tese)_DT=0.0562
Figura 5.9 – Deslocamento solucionado pela ImFGA desta Tese (integral de
convolução integrada numericamente pela regra trapezoidal
(5.67)/ (5.68)).
Note que os erros advindos das ImFGAs são intrínsecos a perda de precisão do
processo de integração numérica da integral de convolução do sistema (regra
trapezoidal) e/ou ao cálculo impreciso da função de Green (inadequado parâmetro M da
série associado ao Δt).
110
Se a função de Green estiver adequada, o algoritmo não gera qualquer
alongamento de período ou decaimento numérico da amplitude de resposta, fonte de
imprecisão característica de métodos de integração temporais baseado em diferenças
finitas, como por exemplo, o método de Newmark Regra Trapezoidal (apenas
alongamento de período), o método de Wilson θ, o método de Houbolt [27], dentre
outros. Caso contrário, se a função de Green é calculada com o parâmetro M da série
inapropriado, o tipo de imprecisão (alongamento de período e decaimento numérico)
ainda precisa ser mais bem investigado.
Sistema Massa-Mola Submetido a uma Condição Inicial
A seguir (Figura 5.10) apresenta-se resultados de deslocamento do mesmo sistema
avaliado anteriormente, agora submetido apenas a um deslocamento inicial de 0.012m.
Este exemplo mostra que a ImFGA é capaz de integrar perfeitamente a equação de
movimento de sistemas sem carregamento externo, mesmo se o intervalo de integração
for superior ao período natural da estrutura (0.28s).
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
00.511.52
Tempo (s)
Deslocamento (m)
ImFGA_DT=0.0075 M=1 ImFGA_DT=0.045 M=1
ImFGA_DT=0.45 M=1 ImFGA_DT=0.45 M=2
ImFGA_DT=0.45 M=3 ImFGA_DT=0.45 M=5
ImFGA_DT=0.45 M=10 ImFGA_DT=0.72 M=10
Figura 5.10 – Deslocamento solucionado pelas ImFGAs
Fica claro que nas respostas com intervalo de integração de 0.45s da Figura 5.10,
em que se fez um estudo com a variação do número de termos (M) da série da Função
de Green, o valor elevado de M é o responsável pela precisão do método quando
intervalos de integração são superiores ao período natural da estrutura. Na mesma
111
figura, a resposta com intervalo de 0.72s (2.56 x T
n
) adere perfeitamente à resposta
exata com apenas 10 (dez) termos da série. Algoritmos numéricos baseados em
diferenças finitas (Família de Newmark, método de Wilson Teta, etc.) não são capazes
de avaliar a resposta do sistema com intervalos de integração nesta ordem. Mais uma
vez a ImFGA se mostra vantajosa frente a tais algoritmos.
Cabe ressaltar que em estruturas modeladas por malhas de elementos finitos, o
intervalo de integração usualmente utilizado (normalmente um vigésimo do menor
período natural excitado pelo carregamento externo) pode ser bem superior aos menores
períodos naturais da malha considerada. Isto significa que os métodos de integração
numérica baseados em diferenças finitas são incapazes de avaliar adequadamente a
resposta nesta faixa de período, gerando algumas vezes, respostas de altas freqüências
espúrias. Conforme mencionado no Capítulo 3, uma estratégia para contornar este tipo
de problema é utilizar algoritmos com dissipação numérica.
Neste ponto, a ImFGA se apresenta como uma ótima ferramenta para uma precisa
avaliação das baixas e altas freqüências do problema, uma vez que seu intervalo de
integração, conforme visto na Figura 5.10, pode ser maior do que o menor período
natural da estrutura; basta que a função de Green esteja corretamente avaliada (número
M da série adequado).
112
5.4 PROBLEMAS NÃO-LINEARES
Em uma análise não-linear, conforme já apresentado, a equação de movimento
dinâmico pode ser escrita como segue:
)())(()()( tttt FURUCUM =++
&&&
(5.72)
onde
))(( tUR
é um vetor de forças elásticas (ou elastoplásticas), que depende das
incógnitas deslocamentos U(t). Ou seja,
))(( tUR
representa o estado atual de tensões do
sistema.
Para que a ImFT possa ser utilizada de maneira eficiente, a contribuição não-
linear deve ser estimada através de pseudo-forças. Desta forma, a equação de
movimento passa a ser escrita como:
)()()()()( ttttt
L
RFUKUCUM +=++
&&&
(5.73)
Onde R(t) representa o vetor pseudo-força, R(t) = -K
NL
(U(t)).U(t), e K
NL
representa a contribuição elástica não-linear dependente do deslocamento nodal U(t) da
estrutura. Desta forma, as equações que regem a ImFGA são facilmente adaptadas para
tratar esta parcela, como segue:
2/)).()().(()()()(
21
tttttttt Δ+Δ++=Δ+ RFGUΦUΦU
&
(5.74)
2/))).()().(())()(()()()(
1
21
tttttttttttt ΔΔ+ΔΔ+Δ++Δ+++=Δ+
−
RFGRFMUΦUΦU
&
&&&&
(5.75)
Estas últimas duas equações mostram que não há necessidade de um processo
iterativo, ou seja, o deslocamento no instante t+Δt não depende das forças internas neste
intervalo. O deslocamento é de fato dependente do deslocamento, velocidade e força do
instante anterior (a força no tempo presente não influencia o deslocamento no mesmo
instante).
Em problemas não-lineares a ImFGA se mostra eficiente e com boa precisão [22].
Isto também poderá ser verificado nos estudos de casos apresentado no Capítulo 9.
Observe que até aqui as equações da ImFGA foram desenvolvidas para solucionar
problemas com propriedades físicas de rigidez, massa e amortecimento constantes.
Conforme mencionado, a ImFGA pode ser adaptada para solucionar problemas não-
lineares com propriedades físicas dependentes da freqüência. Esta característica é
113
comum em problemas estruturais-hidrodinâmicos, sendo então de grande relevância
para uma solução adequada e precisa de modelos numéricos offshore.
A ImFGA, assim como na ImFT também pode tratar problemas fortemente não-
lineares. Isto irá exigir a reavaliação das matrizes
1
Φ ,
2
Φ ,
1
Φ
&
e
2
Φ
&
que requer
significativo custo computacional. Para contornar esta desvantagem, basta que este
procedimento seja realizado poucas vezes, mas que ainda assim assegure resultados
adequados.
Por exemplo, nos problemas offshore abordados nesta tese, as não linearidades
geométricas do sistema estão relacionadas ao passeio horizontal da unidade flutuante,
que possui períodos naturais altos, acima de, por exemplo, 200s. Isto significa que a
reavaliação da função de Green pode ser realizada a cada um vigésimo deste período
para atender a um compromisso com a reavaliação geométrica da estrutura, ou seja, 10s.
Como o intervalo de integração do sistema costuma ser na ordem de 0.01s, percebe-se
que esta reavaliação só será necessária, neste exemplo, a cada 1000 passos da marcha no
tempo, garantindo assim uma eficiência computacional. Nos demais passos, o estratégia
do uso de pseudo-forças pode permanecer.
114
5.5 MASSA, AMORTECIMENTO E RIGIDEZ DEPENDENTES DA
FREQÜÊNCIA
5.5.1 REPRESENTAÇÃO DE ALTAS FREQÜÊNCIAS
Quando a massa, amortecimento e rigidez variam com a freqüência, pode-se
deduzir que suas matrizes devem ser incorporadas no somatório que define a série
harmônica da função de Green, ou seja:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Δ
−
Δ
=
∑∑
=−=
M
n
MM
MMn
nnv
n
t
t
1
2
2
2
1
6
2
1
)0(
π
π
IHMG
(5.76)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Δ
−
Δ
−=
∑∑
=
−
−=
M
n
MK
MKn
nnu
n
t
t
1
2
2
2
max
1
max
1
62
.
1
)0(
π
π
ω
ω
MΚHΚG
&
(5.77)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Δ
−
Δ
−=
∑∑
=
−
−=
M
n
MC
MCn
nnuv
n
t
t
1
2
2
2
max
1
max
1
62
.
1
)0()0(
π
π
ω
ω
MCHCGG
&
(5.78)
∑
≠
−=
−
Δ
Δ
−
Δ
+=
MK
m
MKn
nn
u
t
ni
tt
0
1
00
2
..
1
.
2
1
)0(
π
HKKC
IG
(5.79)
onde
max
ω
M ,
max
ω
C e
max
ω
K correspondem aos valores assintóticos na freqüência da
massa, amortecimento e rigidez do sistema, respectivamente.
As demais equações que regem a ImFGA, apresentadas anteriormente,
permanecem as mesmas.
Deve-se destacar que em um problema offshore, a massa adicionada e o
amortecimento viscoso potencial de freqüências mais altas de unidades flutuantes,
tendem assintoticamente, respectivamente, a um valor constante (
max
ω
M ) e a zero
(0
max
=
ω
C ); a rigidez do casco não varia com a freqüência (puramente hidrostática).
As equações (5.76) a (5.79) são gerais e devem ser naturalmente manipuladas
caso a caso, bastando conhecer a tendência de
max
ω
M ,
max
ω
C e
max
ω
K de cada
problema. Note que naquelas expressões o número máximo e mínimo de termos (MM,
MC e MK) que define a série que precede a massa (
∑
−=
MM
MMn
nn
HM ), amortecimento
115
(
∑
−=
MC
MCn
nn
HC ) e rigidez (
∑
−=
MK
MKn
nn
HΚ ) podem ser diferentes, visando otimizar o método
através do alcance de freqüências significativas de cada propriedade física.
5.5.2 REPRESENTAÇÃO DE BAIXAS FREQÜÊNCIAS
Reforça-se que como o período da transformada T das equações padrão da
ImFGA é igual ao intervalo de integração, Δt, a freqüência fundamental da série é
2π/Δt. Isto significa que a série envolverá componentes harmônicos múltiplos de alta
freqüência. Desta forma, em problemas estruturais em que as propriedades físicas são
determinantes em freqüências mais baixas, deve-se ter o cuidado de nas expressões
anteriores fazer uso de um período T mais longo, múltiplo de Δt. Ou seja, as equações
que regem
)0(
u
G, )0(
u
G
&
, )0(
v
G, )0(
v
G
&
, )( t
u
ΔG, )( t
u
ΔG
&
, )( t
v
ΔG e )( t
v
ΔG
&
devem
ser reescritas como segue:
∑
≠
−=
−
Δ
Δ
−
Δ
+=
MK
m
MKn
nn
u
tk
ni
tktk
0
1
00
2
..
1
.
2
1
)0(
π
HKKC
IG
(5.80)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Δ
−
Δ
=
∑∑
=−=
M
n
MM
MMn
nnv
n
tk
tk
1
2
2
2
1
6
2
1
)0(
π
π
IHMG (5.81)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Δ
−
Δ
−=
∑∑
=
−
−=
M
n
MK
MKn
nnu
n
tk
tk
1
2
2
2
max
1
max
1
62
.
1
)0(
π
π
ω
ω
MΚHΚG
&
(5.82)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Δ
−
Δ
−=
∑∑
=
−
−=
M
n
MC
MCn
nnuv
n
tk
tk
1
2
2
2
max
1
max
1
62
.
1
)0()0(
π
π
ω
ω
MCHCGG
&
(5.83)
Em que k é uma constante inteira e k.Δt corresponde ao período da transformada
que garanta uma freqüência fundamental adequada (2π/ k.Δt) para varrer o espectro em
freqüência das propriedades físicas da estrutura avaliada.
Analogamente,
t
tk
ni
MK
m
MKn
nn
u
e
tk
ni
tktktk
t
t
Δ
Δ
≠
−=
−
∑
Δ
Δ
−
Δ
+
Δ
Δ
−=Δ
.
2
..
0
1
00
2
..
1
.
)
2
1
()(
π
π
HKKC
IG (5.84)
116
Uma vez que
tk
t
ni
e
Δ
Δ
π
2
..
não é mais unitário, já que )( t
u
ΔG não corresponde mais a
resposta
)(t
u
G
ao final do período avaliado, escreve-se:
k
ni
MK
m
MKn
nn
u
e
tk
ni
tktkk
t
π
π
2
..
0
1
00
2
..
1
.
)
1
2
1
()(
∑
≠
−=
−
Δ
Δ
−
Δ
+−=Δ
HKKC
IG (5.85)
e,
∑
−=
Δ
=Δ
MM
MMn
k
ni
nnv
e
tk
t
π
2
..
.
1
)( HMG (5.86)
∑
−=
Δ
−=Δ
MK
MKn
k
ni
nnu
e
tk
t
π
2
..
.
1
)( HΚG
&
(5.87)
∑
−=
Δ
−Δ=Δ
MC
MCn
k
ni
nnuv
e
tk
tt
π
2
..
.
1
)()( HCGG
&
(5.88)
Novamente, de um modo mais compacto, as equações anteriores podem ser
rescritas como segue:
k
u
tk
K
Ω.ΚCΙG −Δ+=
−1
00
)./1().2/1()0( (5.89)
ΙΩG
M
.)0(
kk
v
α
+=
(5.90)
max
1
max
..)0()0(
ω
ω
α
−
−−= MCΩGG
C kk
uv
&
(5.91)
max
1
max
..)0(
ω
ω
α
−
+−= MΚΩG
K kk
u
&
(5.92)
ke
v
t
M
ΩG =Δ )( (5.93)
ke
u
tktkk
t
K
Ω
KC
IG
Δ
−
Δ
+−=Δ
−
1
.
)
1
2
1
()(
1
00
(5.94)
keu
t
K
ΩG −=Δ )(
&
(5.95)
keuv
tt
C
ΩGG −Δ=Δ )()(
&
(5.96)
onde,
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−Δ=
∑
=
6/1/1/12/
1
22
M
n
k
ntk
πα
(5.97)
117
∑
−=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
=
MM
MMn
nnnnk
tk
in
tk
n
tk
1
2
..2.2
.
1
ΚCMMΩ
M
ππ
(5.98)
∑
−=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
=
MC
MCn
nnnnk
tk
in
tk
n
tk
1
2
..2.2
.
1
ΚCMCΩ
C
ππ
(5.99)
∑
−=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
=
MK
MKn
nnnnk
tk
in
tk
n
tk
1
2
..2.2
.
1
ΚCMKΩ
K
ππ
(5.100)
∑
≠
−=
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
=
MK
n
MKn
nnnnk
tk
in
tk
in
tk
n
tk
0
1
2
..2
1
.
..2.2
.
1
π
ππ
ΚCMKΩ
K
(5.101)
∑
−=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
=
MM
MMn
k
ni
nnnnke
e
tk
in
tk
n
tk
π
ππ
2
..
1
2
.
..2.2
.
1
ΚCMMΩ
M
(5.102)
∑
−=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
=
MC
MCn
k
ni
nnnnke
e
tk
in
tk
n
tk
π
ππ
2
..
1
2
.
..2.2
.
1
ΚCMCΩ
C
(5.103)
∑
−=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
=
MK
MKn
k
ni
nnnnke
e
tk
in
tk
n
tk
π
ππ
2
..
1
2
.
..2.2
.
1
ΚCMKΩ
K
(5.104)
∑
≠
−=
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ
=
MK
n
MKn
k
ni
nnnnke
e
tk
in
tk
in
tk
n
tk
0
2
..
1
2
.
..2
1
.
..2.2
.
1
π
π
ππ
ΚCMKΩ
K
(5.105)
Reforça-se que este método representa implicitamente na freqüência os
parâmetros físicos e ao mesmo tempo permite que não-linearidades temporais quaisquer
sejam consideradas através de forças incorporadas do lado direito de sua equação de
movimento. Sistemas com grandes não-linearidades físicas ou geométricas também
podem ser tratados pela ImFGA através da reavaliação da função de Green do sistema
(computacionalmente mais caro).
118
5.5.3 APLICAÇÃO NO CONTEXTO DA METODOLOGIA FRACAMENTE
ACOPLADA DE ANÁLISE DE SISTEMAS OFFSHORE
Conforme apresentado na seção 4.1, em problemas que envolvam a interação
fluido-estrutura, uma relevante parcela de força hidrodinâmica corresponde a de arrasto
viscoso quadrático, que é calculada pela equação de Morison. Esta força pode ser
tratada do lado direito da equação (5.68) da ImFGA, como uma força externa, sem
qualquer simplificação que envolva a linearização de seu termo quadrático, comumente
utilizada para solucionar um problema dinâmico no domínio da freqüência com
métodos tradicionais (DFT e FFT).
A ImFGA é fortemente indicada para solucionar equações de movimento de
unidades flutuantes, no lugar do tradicional algoritmo de Runge Kutta de Quarta Ordem.
Recorda-se que a integração da equação de movimento de um sistema flutuante
por um algoritmo tradicional temporal exige que a força de amortecimento potencial
(que depende da freqüência) seja calculada a cada instante de tempo através de
procedimentos de convolução. Mais especificamente, para incluir as forças de
amortecimento potencial em uma simulação no domínio do tempo, os seguintes
procedimentos são necessários:
1)
A partir de uma matriz de coeficientes de amortecimento dependente da
freqüência, avaliada através de um programa baseado na Teoria Potencial
como, por exemplo, o WAMIT, calcular as respostas impulso ou função de
memória no tempo através da transformada de Fourier;
2)
O valor da força de amortecimento em um dado instante de tempo é então
obtido por meio de uma integral de convolução da função de memória sobre a
história no tempo dos movimentos [56].
O primeiro passo (cálculo da resposta de impulso do amortecimento ou função de
memória) é usualmente realizado tomando a transformada de Fourier em cossenos da
matriz de coeficientes de amortecimento (
λ
(
ω
)):
L
ij
(
τ
) =
2
π
⌡
⌠
0
∞
λ
ij
(
ω
) cos(
ω
)
τ
d
ω
(5.106)
119
No segundo passo, o valor da força de amortecimento potencial na direção i e no
tempo t é então obtido como a convolução sobre a história passada da velocidade do
corpo.
f
PD
(t) =
⌡
⌠
0
∞
L
ij
(τ) v
b
(t-τ) dτ (5.107)
Esta força f
PD
é incorporada no lado direito da equação de movimento do sistema,
integrado por um procedimento de integração temporal tradicional, como o método de
Runge Kutta de Quarta Ordem mencionado anteriormente.
Outro ponto relevante é que no procedimento de integração direta no tempo
apenas a massa adicionada de baixa freqüência do sistema flutuante é comumente
considerada e incorporada na matriz de massa da estrutura, desprezando então a parcela
referente às demais freqüências.
A ImFGA, por ser um algoritmo hibrido tempo-freqüência, é capaz de tratar
implicitamente na freqüência o amortecimento potencial e a massa adicional do sistema
flutuante, evitando que procedimentos tradicionais de convolução sejam realizados a
cada instante de tempo para encontrar a força de amortecimento viscoso potencial e que
as simplificações relacionadas a incorporação da massa adicionada no lado esquerdo da
equação de movimento sejam evitadas.
Estas vantagens, aliadas ao pequeno número de equações de movimento do
sistema flutuante (seis: surge, sway, heave, roll, pitch e yaw), tornam a ImFGA um
excelente algoritmo para solucionar este tipo de problema, permitindo inclusive que a
reavaliação da função de Green seja realizada sempre que necessário para representar
uma forte não-linearidade física ou hidrodinâmica.
Além disto, no contexto de uma análise fracamente acoplada, em que a unidade ao
longo do processo de integração prescreve deslocamento no topo das linhas e estas
devolvem forças à unidade, a ImFGA também se destaca frente ao método de Runge
Kutta de Quarta Ordem. Na ImFGA, as linhas conectadas à unidade precisam ser
calculadas uma única vez a cada passo de tempo do processo de integração do casco,
pois a equação que rege o deslocamento deste método irá depender apenas das forças de
topo F
Linhas
(t) no instante de tempo passado, enquanto o método de Runge Kutta exige
que as mesmas sejam calculadas quatro vezes dentro do processo iterativo do método.
120
Isto significa que a ImFGA exigiria 4 vezes menos operações matemáticas
envolvendo o processo de solução das linhas e do casco, otimizando assim o esquema
de solução fracamente acoplado de sistemas offshore.
Embora a ImFGA tenha sido desenvolvida aqui para tratar inclusive este tipo de
problema, conforme mencionado na introdução deste tese, sua implementação como
ferramenta de solução de equações de movimento de unidades flutuantes com
parâmetros físicos dependentes da freqüência não foi realizada, sendo recomendada
como atividade de trabalhos futuros.
121
5.5.4 APLICAÇÃO NO CONTEXTO DA METODOLOGIA FORTEMENTE
ACOPLADA DE ANÁLISE DE SISTEMAS OFFSHORE
Recorda-se que a ImFGA foi estabelecida para solucionar problemas em
coordenadas nodais, o que permite sua utilização para resolver problemas estruturais
com vários graus de liberdade.
Embora possa ser utilizada para solucionar sistemas offshore modelado pela
metodologia fortemente ou fracamente acoplada, no contexto da metodologia
fortemente acoplada, a ImFGA será empregada nesta tese associada ao método de
redução de base, sem propriedades físicas dependentes da freqüência como será descrito
no Capítulo 7. Isto permitirá comparar seus resultados com os gerados pela integral de
Duhamel que também foi implementado para resolver o sistema de equações reduzido.
Fica assim indicado para desenvolvimentos futuros, que a ImFGA seja
implementada para resolver os mesmos problemas dinâmicos estudados aqui sem que
haja redução, procedendo a solução no sistemas de coordenadas nodais em que se
encontra a estrutura.
Em um desenvolvimento futuro, também poderá levar em conta propriedades
variando com a freqüência, esteja ela no sistema de coordenadas nodal ou modal,
bastando fazer uso das equações desenvolvidas e apresentadas nas seções anteriores.
122
5.6 VANTAGENS DA IMFGA
De maneira geral, destaca-se resumidamente que:
¾ A ImFGA não necessita expansão do período fundamental (definição na seção
4.2), como exigidos pela DFT/FFT e ImFT.
¾ Trata adequadamente problemas não-amortecidos, que também não podem ser
solucionados adequadamente pela DFT/FFT e ImFT;
¾ Envolve resultados mais seguros, com resultados incondicionalmente estáveis e
precisos (como em métodos de integração implícitos), ainda melhores do que os
derivados da regra trapezoidal da Família de Newmark, mesmo para valores
pequenos de M da série de Green, como 1, 2 ou 3, em problemas com
propriedades físicas constantes;
¾ É capaz de avaliar corretamente a resposta do sistema quando integrado com
intervalo
Δt superior aos períodos naturais da estrutura;
¾ Solução rápida, sem necessidade de triangularizar e retrosubstituir a cada
intervalo de tempo (característica de um método de integração explícito);
¾ Representa rigorosamente a parcela de força de arrasto e inercial fluido-
estrutura;
¾ Representa outras parcelas não-lineares, como interação solo-estrutura, pelo lado
direito de sua equação;
¾ Isto tudo aliado à velocidade de processamento, podendo superar a própria FFT.
5.6.1 TEMPO DE PROCESSAMENTO POR UMA FFT:
Para confirmar esta última afirmação, recorda-se que no processo de solução da
FFT resolve-se principalmente o seguinte problema:
nn
nni FMCΚU =−++ ).).1.(...(
22
ϖϖ
ou seja, soluciona-se para cada freqüência o sistema efetivo de equações
nn
FΑU = ; o
que significa triangularizar por Gauss a matriz efetiva A (n.g.l x n.g.l), por exemplo, e
retrosubstituir (para cada uma das N freqüências; 2048, por exemplo).
123
Isto permite concluir que o tempo total de processamento (CPU
total
) pode ser
aproximadamente medido pelo número de vezes (número de freqüências) que se
procede a triangularização (CPU
triang.)
, ou seja:
CPU
total
≅ CPU
triang.
N
5.6.2 TEMPO DE PROCESSAMENTO POR UMA IMFGA:
Já na ImFGA, o custo computacional significativo está na solução de:
∑
−=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−Δ=
M
Mn
t
in
t
n
t
1
2
..2.2
./1 ΚCMΩ
ππ
e
∑
≠
−=
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−Δ=
M
n
Mn
t
in
t
in
t
n
t
0
1
2
..2
1
.
..2.2
./1
π
ππ
ΚCMΩ
no qual M pode ser 1 ou 2, por exemplo.
Isto significa que é preciso inverter uma matriz (n.g.l x n.g.l) para cada valor de n:
MM
Ω
+Ω+Ω=Ω
−−
...
1
onde cada termo de
Ω
é invertido fazendo:
1−
=Ω
nn
A
⇒ Ι=Ω
nn
A
Então, para cada grau de liberdade j do sistema discreto resolve-se,
j
j
nn
Ι
=ΩA
solucionando
j
n
Ω
por Gauss, por exemplo. Assim o tempo de CPU envolvido na solução
de
Ω e Ω é:
CPU
total
≅ n.g.l. x CPU
triang.
[(2.M +1) + 2.M (solução de
Ω
)]
Por exemplo, assumindo um problema com 100 graus de liberdade:
CPU
total_FFT
≅ CPU
triang.
2048 (sem garantir resultados adequados sobre uma resposta
transiente determinística!)
Se M=1,
CPU
total_ImFGA
≅ CPU
triang.
(2x1+1+2)100 ≅ CPU
triang
.500
124
Assim, CPU
total_ImFGA
< CPU
total_FFT
no exemplo considerado.
Naturalmente, a FFT supera a ImFGA em tempo de processamento a medida que
o número de equações se eleva. Neste caso, todas as vantagens da ImFGA abordadas
anteriormente são as responsáveis pela adesão ao método. Sua aplicação para solucionar
sistemas flutuantes offshore (com parcelas não-lineares temporais e parcelas
dependentes da freqüência) é fortemente indicada porque nessas aplicações consideram-
se apenas seis graus de liberdade.
125
6 ANÁLISE DE PERÍODOS NATURAIS DE
SISTEMAS FLUTUANTES ACOPLADOS
6.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, será apresentada de maneira geral a aplicação do esquema de
solução de problemas de autovalores e autovetores em engenharia, mais
especificamente, em problemas de vibração. Uma breve discussão sobre os métodos de
Jacobi padrão e generalizado, que resolvem estes problemas, também será foco desta
seção.
O objetivo é empregar formulações fracamente acopladas para investigar períodos
naturais específicos de sistemas flutuantes, que podem variar durante sua movimentação
estática e dinâmica devido a efeitos não-lineares de variações da rigidez e massa
adicional do sistema.
O mais simples problema de análise modal pode ser descrito pela seguinte
equação:
λφ
φ
=Κ
(6.1)
onde
Κ corresponde à matriz de rigidez de todo o corpo discreto e
λ
e
φ
correspondem a
um autovalor e autovetor associados. Neste tipo de problema,
λ
significa o coeficiente
de rigidez do sistema quando o mesmo possui os modos de deslocamentos
φ
. Ou seja,
relata o quão rígido é o sistema para uma determinada configuração deformada. As
figuras a seguir, foram reproduzidas de [27] e esquematizam os autovalores e
autovetores de um elemento finito plano de 4 nós.
126
Figura 6.1 – Autovalores e Autovetores de um elemento finito plano de 4 nós
* Valores obtidos para lados, espessura, módulo de elasticidade unitários e Poisson 0,3.
Outros problemas de autovalor e autovetor estão, por exemplo, associados às
análises de vibração, flambagem e de transferência de calor. Estes são denominados
como problemas generalizados.
Como o estudo de vibração é o foco de atenção deste trabalho, o problema de
autovalor e autovetor considerado é definido por:
Κ
φ
=
λ
M
φ
(6.2)
Onde M representa a matriz de massa do sistema,
λ
corresponde ao quadrado da
freqüência natural do sistema e
φ
a amplitude de deslocamento do mesmo associado
àquela freqüência.
Pode-se provar facilmente a equação (6.2) acima observando que a equação de
movimento de um sistema não amortecido é dado por:
1
o
modo de corpo
rígido λ
1
= 0
2
o
modo de corpo
rígido λ
2
= 0
3
o
modo de corpo
rígido λ
3
= 0
modo de flexão λ
4
= 0.495* modo de flexão λ
5
= 0.495*
modo de cisalhamento λ
6
= 0.769*
modo de alongamento
λ
7
= 0.769*
modo de alongamento
uniforme
λ
8
= 1.43*
127
Κ.U(t) + M.
U
&&
(t) = 0 (6.3)
Onde U(t) e U
&&
(t) correspondem aos vetores de deslocamento e aceleração
temporais respectivamente.
Sabendo que a resposta de deslocamento deste sistema é harmônica, pode-se
assumir,
U(t) =
φ.sen(ω (t-t
0
)) (6.4)
onde
φ é uma matriz contendo os autovetores do problema e ω, uma matriz diagonal
contendo as freqüências naturais do sistema.
Substituindo na equação de movimento, tem-se:
Κ.φ.sen(ω (t-t
0
))+ M. φ.ω
2
.sen(ω (t-t
0
)) = 0 (6.5)
Manipulando esta equação,
Κφ = ω
2
M φ (6.6)
Que equivale ao problema de autovalor mencionado, onde os autovetores são M
ortonormalizados e K ortogonalizados. Ou seja:
φ
i
M φ
j
= 0 e φ
i
K φ
j
= 0, se i ≠ j (6.7)
e
φ
i
M φ
j
= 1 e φ
i
K φ
j
= λ
i
, se i = j (6.8)
Neste caso, o autovetor descreve a direção da amplitude de resposta, o que
significa que α.
φ
i
ainda é um autovetor correspondente ao autovalor λ
i
. Percebe-se
então, através da equação (6.6) que qualquer amplitude de resposta do sistema α.
φ
i
,
sempre oscila na freqüência
ω
i
. Os valores de α e t
0
de (6.4) são encontrados pelas
condições iniciais do sistema.
Uma vez conhecido o problema de autovalor e autovetor de um sistema em
vibração livre, deve-se escolher um algoritmo para solução de
φ e ω
2
.
Visto que o objetivo deste trabalho na tese é utilizar um algoritmo para encontrar
os modos de vibração de unidades flutuantes (6 graus de liberdade) e sabendo que o
método de Jacobi Generalizado é rápido e eficiente para solução de sistemas com
poucos graus de liberdade e que contenham matrizes de massa e rigidez completas
128
(generalizadas), o mesmo foi escolhido para ser implementado como uma rotina no
programa Prosim.
Antes, porém de se descrever o método de Jacobi Generalizado, o método de
Jacobi Padrão (ou simplesmente Método de Jacobi) será apresentado de maneira
introdutória.
6.2 MÉTODO DE JACOBI
O método de Jacobi foi proposto como forma de solucionar problemas de
autovalores e autovetores padrão, como aquele apresentado no início desta seção, onde a
matriz M corresponderia a uma matriz identidade. Este método é considerado um
método simples e estável e por isto vem sendo bastante usado.
A idéia básica de todos os métodos de solução modal é transformar as matrizes
K e M em matrizes diagonais (ou o mais próximo possível da forma diagonal,
denominado aqui por K
d
e M
d
) através de sucessivas pré e pós-multiplicações por
matrizes A
k
T
e A
k
respectivamente. Assim, os autovalores seriam encontrados pela
razão dos termos diagonais de K
d
por M
d
, e os autovetores seriam resultantes da
multiplicação A
1
A
2
...A
n
.(1/(M
d
)
1/2
), sendo n a última iteração que faça A
k
T
K
k
A
k
se
aproximar da forma diagonal.
Observe que se o número de iterações tendesse a infinito, as matrizes K
d
e M
d
resultantes das sucessivas n iterações seriam as matrizes de autovalores e identidade,
respectivamente. Neste caso, a matriz de autovetores seria resultante da multiplicação
A
1
A
2
...A
n
.
No método de Jacobi a matriz A
k
é uma matriz de rotação ortogonal que busca
zerar os termos (i,j) de K
k+1
, i ≠ j, a cada iteração k, sendo K
k+1
simétrica.
K
k+1
= A
k
T
K
k
A
k
(6.9)
Onde A
k
é dado por:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=Α
1
1
cos
cos
...
1
θθ
θθ
sen
sen
k
(6.10)
129
onde, A
k
(i,i) = A
k
(j,j) = cos
θ
, A
k
(i,j) = sen
θ
, A
k
(j,i) = -sen
θ
e
θ
é tal que faça o elemento
K
k+1
(i,j) ser zero. Assim,
tan(2
θ
) = 2 K
k
(i,j)/( K
k
(i,i) – K
k
(j,j) ) para K
k
(i,i) ≠ K
k
(j,j) (6.11)
e
θ
= π/4 para K
j
(i,i) = K
j
(j,j) (6.12)
Destaca-se que embora após a primeira operação o elemento K
k+1
(i,j) tenha se
tornado zero, a próxima iteração que zera outro elemento fora da diagonal (por
exemplo, K
k+2
(i,j+3) ) fará com que K
k+2
(i,j) deixe de ser nulo. Desta forma, após
completo o ciclo de iterações, que percorre todos os elementos fora da diagonal, novas
varreduras de iterações serão necessárias até que todos os elementos não diagonais
sejam nulos. Estes ciclos de iterações são conhecidos como ciclos de Jacobi.
É fato que o procedimento seria computacionalmente caro, com um número de
ciclos elevados, se não houvesse um critério de parada que permitisse a presença de
elementos não-diagonais de valor desprezível.
Assim, para que ocorra a última iteração n que faça K
n+1
≈ λ, onde λ é a matriz
diagonal de autovalores, é necessário que se defina a precisão s da solução. Esta
precisão s significa dizer que:
|K
n+1
(i,i) – K
n
(i,i)| / K
n+1
(i,i) ≤ 10
-s
; i = 1, …, m (m, dimensão da matriz) (6.13)
e
[(K
n+1
(i,j))
2
/ (K
n+1
(i,i) - K
n+1
(j,j))]
1/2
≤ 10
-s
; todos i, j; i < j (matriz simétrica) (6.14)
Usualmente define-se o fator s dependente do ciclo de Jacobi c, por exemplo, s =
2c. A convergência do método é então alcançada quando as relações acima são
obedecidas. Caso contrário, um novo ciclo iterativo de Jacobi deve ser realizado.
130
6.3 MÉTODO DE JACOBI GENERALIZADO
O Método de Jacobi Generalizado é uma extensão do Método de Jacobi capaz de
resolver um problema generalizado, como
Κφ = λ M φ. Para tal, ele opera diretamente
com as matrizes
Κ e M através de constantes numéricas.
Deste modo, durante o processo iterativo deste método, a matriz A
k
é definida
através de uma nova forma:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
1
1
1
1
k
γ
α
...
Α
Onde agora a matriz A
k
possui termos diagonais unitários, A
k
(i,j) = α e A
k
(j,i) =
γ
, de forma que os valores de α e
γ
são aqueles capazes de zerar simultaneamente o
termo (i, j) das matrizes
Κ e M através das operações A
k
T
K
k
A
k
e A
k
T
M
k
A
k
.
Assim, para que o termo K
k+1
(i,j) e M
k+1
(i,j) sejam nulos, onde k é a iteração
corrente, as seguintes equações devem ser obedecidas:
α K
k
(i,i) + (1+ α
γ
) K
k
(i,j) +
γ
K
k
(j,j) = 0 (6.15)
e
α M
k
(i,i) + (1+ α
γ
) M
k
(i,j) +
γ
M
k
(j,j) = 0 (6.16)
Fazendo,
),( ii
k
Κ = K
k
(i,i) M
k
(i,j) – M
k
(i,i) K
k
(i,j)
),( jj
k
Κ = K
k
(j,j) M
k
(i,j) – M
k
(j,j) K
k
(i,j) (6.17)
k
Κ = K
k
(i,i) M
k
(j,j) – K
k
(j,j)M
k
(i,i)
μ=
k
Κ /2+sinal(
k
Κ ).[(
k
Κ /2)
2
+ ),( ii
k
Κ . ),( jj
k
Κ ]
1/2
(6.18)
Encontra-se o valor de α e
γ
pelas seguintes relações:
131
α =
),( jj
k
Κ /μ (6.19)
γ
= - ),( ii
k
Κ /μ (6.20)
De maneira semelhante que no método de Jacobi, é necessário que se defina um
critério de convergência. Com a diferença de que agora o fator de acoplamento de
massa precisa ser observado [(M
k
(i,j))
2
/ (M
k
(i,i).M
k
(j,j)].
A convergência é então alcançada testando se os autovalores entre iterações
consecutivas estão próximos e se os elementos fora da diagonal da iteração corrente são
desprezíveis, de forma que:
|
λ
i
n+1
- λ
i
n
|/ λ
i
n+1
≤ 10
-s
, i = 1, …, m (m, dimensão da matriz) (6.21)
onde,
λ
i
n
= K
n
(i,i) / M
n
(i,i) e λ
i
n+1
= K
n+1
(i,i) / M
n+1
(i,i) (6.22)
e
[(K
n+1
(i,j))
2
/ (K
n+1
(i,i) - K
n+1
(j,j))]
1/2
≤ 10
-s
; todos i, j; (6.23)
sendo n a última iteração e s a precisão estabelecida.
Destaca-se que o método de Jacobi generalizado resolve ao mesmo tempo os
autovalores e autovetores correspondentes. Por isso, em análises de elementos finitos
com muitos graus de liberdade, nas quais apenas alguns autovetores e autovalores são
de interesse, o método de Jacobi generalizado se torna ineficiente. Neste caso, faz-se
necessário o uso de outros métodos de solução. No entanto, para problemas como o
estudado neste trabalho, em que se pretende encontrar os modos de vibração de
unidades flutuantes representadas por 6 graus de liberdade, o método de Jacobi é bem
eficiente.
6.4 IMPLEMENTAÇÃO DO PROCEDIMENTO DE ANÁLISE DE
MODOS DE VIBRAÇÃO DE SISTEMAS ACOPLADOS
A novidade da aplicação do Método de Jacobi Generalizado descrita neste
trabalho está na análise das freqüências naturais de uma unidade flutuante ao longo de
uma simulação dinâmica não-linear acoplada, quando a mesma é submetida a
determinadas combinações ambientais. Desta maneira, leva-se em consideração a massa
adicional do fluido sobre a estrutura, a rigidez hidrostática não-linear do casco (presente
132
em corpos modelados por membros cilíndricos) e a rigidez tangencial das próprias
linhas de ancoragens e risers, quando presentes no modelo.
Esta implementação foi pensada com base nas questões existentes sobre a
variação das freqüências naturais com o passeio estático e dinâmico das embarcações, e
para quais graus de liberdade as freqüências naturais teriam maior variação.
Assim, o algoritmo foi implementado para gerar modos de vibração tanto numa
simulação não-linear estática como dinâmica. No caso da análise dinâmica, o problema
de autovalor e autovetor é resolvido a intervalos de tempo especificados pelo usuário.
6.4.1 CÁLCULO DA MATRIZ DE MASSA ADICIONADA
Para tal, a matriz de massa utilizada no método de Jacobi generalizado precisa
levar em conta a matriz de massa estrutural, podendo ou não ser somada com a matriz
de massa adicional (a critério do usuário).
A montagem da matriz de massa adicional já era realizada no código do Prosim,
de acordo com [57]. De forma resumida, pode-se afirmar que a matriz de massa
adicionada da unidade flutuante, modelada pela formulação híbrida DFKM deste
programa [13] é montada como somatório das parcelas das massas adicionadas dos
cilindros submersos durante a elevação da onda em cada instante de tempo. As parcelas
de massa adicionada translacional de um cilindro submerso são dadas por:
CA
x
.4/3.
ρ
.R
3
para a área do extremo do cilindro (6.24)
e
CA
l
.
ρ
w
π
R
2
2
.L
sub
para a área longitudinal do cilindro (6.25)
onde CA
x
é 1 quando toda a área do extremo do cilindro está em contado com o fluido,
CA
l
é o coeficiente de massa adicional que depende da forma da seção, conforme
especificado pela DNV [58]; R é o raio do cilindro;
ρ
w
é a densidade da água; e L
sub
é o
comprimento molhado do cilindro.
Já as parcelas de massas adicionadas rotacionais são obtidas facilmente [59],
conhecida a massa adicionada de translação do cilindro, seu momento de inércia e a
distância (d) do centro do eixo molhado do cilindro até o CG da unidade, no qual a
equação de movimento é montada.
133
6.4.2 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ TANGENTE
Uma vez conhecida a matriz de massa da unidade flutuante (M = M
estrutural
+
M
adicional
), para o cálculo dos períodos naturais fica faltando o cálculo e montagem da
matriz de rigidez tangencial global do sistema. Este procedimento, entretanto, não era
realizado pelo código do Prosim e por isso foi codificado neste trabalho.
Primeiramente armazena-se o vetor de forças F
0
contendo as forças e momentos
estáticos da embarcação no instante em que a análise modal for disparada. Em seguida
aplicam-se deslocamentos nas 6 direções correspondentes aos graus de liberdade da
embarcação (surge, sway, heave, roll, pitch e yaw). As respostas estáticas de força e
momento do corpo devidas ao deslocamento u
i
, no grau de liberdade i, são então
armazenadas, F
ij
, j=1, 2,..,6 (vale recordar que estas forças incorporam todas as
parcelas: carregamento ambiental no casco, hidrostática, a resposta estrutural das linhas
modeladas por elementos finitos).
Em seguida, os termos da matriz de rigidez, gerados pelo deslocamento imposto
u
i
, são calculados, K
ij
= (F
ij
- F
0i
)/u
i
, j = 1, 2,..,6, formando uma matriz não-simétrica.
Repete-se esta operação seis vezes, um para cada grau de liberdade (i=1,2,..,6),
encontrando-se por fim a matriz de rigidez completa do sistema (K = K
i,j
, i e j = 1,
2,..,6).
Ressalta-se que o deslocamento u
i
deve ser pequeno o bastante para que a rigidez
do sistema se aproxime da rigidez tangente. Por exemplo, para os casos estudados neste
trabalho, os deslocamentos de translação foram de 0,1m e de rotação de 0,1 graus.
134
6.4.3 ASPECTOS DA IMPLEMENTAÇÃO
O algoritmo utilizado para cálculo das forças de topo das linhas que agem na
embarcação é estático e por isso as únicas componentes de força externa que foram
desconsideradas na análise modal correspondem à parcela de força dinâmica de onda e à
parcela inercial das linhas do sistema; todas as outras componentes de força externa,
incluído o arrasto nas linhas, foram levadas em consideração.
Observe que um cuidado especial teve que ser tomado ao realizar a
implementação de análise modal ao longo de uma simulação dinâmica, uma vez que a
cada passo de tempo em que for disparada a análise modal, o programa passa de um
algoritmo de solução dinâmica para outro de solução estática, voltando em seguida para
a dinâmica.
Assim, para que a análise dinâmica não seja perturbada pela análise modal, foi
necessário implementar um recurso de “step-back” que armazena o vetor de
deslocamento das linhas de E.F, assim como o posicionamento do casco a cada instante
de tempo da simulação dinâmica. Com isto, ao final da análise modal os mesmos são
recuperados e a dinâmica prossegue sem qualquer perturbação, com a mesma
configuração inicial deformada das linhas do passo de tempo anterior.
É importante observar também que embora o algoritmo para calcular a rigidez
instantânea do sistema seja estático, as elevações das ondas são consideradas e o cálculo
do empuxo do corpo que leva em consideração o volume submerso à superfície da onda
permanece correto. Além disto, o comprimento de linha submerso à elevação da onda
continua sendo o mesmo encontrado na dinâmica (Figura
6.2).
Figura 6.2 – Carregamentos atuantes na análise dinâmica e análise modal
Linhas: K
l
u
l
+M
l
a
l
+C
l
v
l
= F
onda
+F
corrente
Casco:
K
c
u
c
+M
c
a
c
= F
onda
+F
corrente
+F
vento
Linhas: K
l
u
l
= F
corrente
Casco:
K
c
u
c
= F
corrente
+F
vento
ANÁLISE MODAL
ANÁLISE DINÂMICA
135
Por outro lado, o uso do algoritmo estático das linhas usando a configuração
deformada vinda da dinâmica, pode gerar problemas de convergência, uma vez que a
configuração dinâmica da linha (que leva em consideração a parcela inercial) pode estar
longe de sua configuração estática. Assim, com intuito de o processamento não ser
interrompido, quando o algoritmo que calcula a rigidez instantânea do sistema sofrer
instabilidade numérica, esta é identificada e o cálculo dos modos de vibração naquele
instante de tempo não é realizado, voltando para a dinâmica, para que haja no próximo
passo de análise modal uma nova tentativa de cálculo de rigidez instantânea.
Este problema de instabilidade numérica pode ser encontrado em simulações de
sistemas instalados em LDA rasas, onde a amplitude de movimento agindo no topo de
uma linha é alta com relação ao comprimento suspenso, podendo fazer com que sua
configuração apresente modos de deslocamento não condizentes com uma resposta
estática (Figura 3).
Figura 6.3 – Desenho esquemático mostrando diferenças entre configurações
deformada estática e dinâmica das linhas.
Outro item importante sobre a implementação do cálculo de períodos naturais
deve ser destacado.
A solução dos deslocamentos dos graus de liberdade de translação da equação de
movimento da unidade flutuante é montada sobre o eixo coordenado local inicial da
mesma, enquanto a solução dos deslocamentos dos graus de liberdade de rotação é
realizada sobre o eixo local que acompanha a plataforma [57].
Assim, as forças de translação são calculadas no eixo local inicial, enquanto os
momentos e as massas rotacionais são por sua vez calculados no eixo local que
acompanha a plataforma.
ANÁLISE DINÂMIC
A
ANÁLISE MODAL
Deformada Dinâmica
Deformada Estática Final.
(difícil convergência)
Deformada Estática
Inicial.
136
Por esta razão, os períodos naturais de translação e rotação do casco também
obedecem esta convenção. Note então que quando os resultados de surge, sway e heave
forem apresentados nos estudos de casos, lembra-se que os mesmos estão na verdade
relacionados com o eixo coordenado local inicial da plataforma (o da posição de
projeto) e não com o eixo local que acompanha a unidade flutuante. Para sistemas
ancorados com pouca rotação de yaw, os períodos naturais de surge e sway calculados
sobre o sistema de coordenadas inicial praticamente coincidirão com os calculados em
seus eixos locais móvel.
137
7 MÉTODO DE REDUÇÃO DE BASE
7.1 INTRODUÇÃO
O método de redução de base foi amplamente utilizado principalmente na década
de 80 e início da década de 90 para solucionar problemas dinâmicos lineares com
muitos graus de liberdade, buscando contornar o elevado custo computacional
envolvido no processo de solução nos computadores disponíveis na época. Em
problemas offshore, era utilizado principalmente para solucionar as equações de
movimento de jaquetas de produção, que eram modeladas numericamente por centenas
de elementos finitos de pórtico.
Sua aplicação está sendo agora indicada e utilizada pela primeira vez para
solucionar problemas dinâmicos offshore de sistemas flutuantes modernos com diversas
linhas de ancoragem e risers, que compõem um sistema numérico discreto com
milhares de graus de liberdade, buscando da mesma forma que no século passado obter
um balanço entre precisão de resposta e velocidade computacional, aliado aos novos
procedimentos de integração desenvolvidos nesta tese: Duhamel, ImFT e ImFGA.
Mais especificamente, o método de redução busca aqui a obtenção de respostas
precisas de movimento da unidade flutuante no contexto da metodologia híbrida de
análise apresentada no Capítulo 2. Isto significa que a redução de base é aplicada sobre
um modelo fortemente acoplado para reduzir drasticamente o número de incógnitas do
sistema efetivo de equações, mas que ainda assim sejam capazes de representar
apropriadamente os movimentos da unidade flutuante. Estes, por sua vez, serão
utilizados como dados de entrada de simulações isoladas de linhas para avaliação
precisa dos esforços localizados em sua estrutura.
7.2 DEFINIÇÃO
Os métodos de redução consistem genericamente em aplicar uma transformação
de coordenadas às equações de movimento, a fim de reduzí-las e solucioná-las em outro
subespaço vetorial.
Recordando que a equação de movimento pode ser expressa em coordenadas
nodais por:
)()()()( tttt FKUUCUM
=++
&&&
(7.1)
138
Sua forma pode ser reduzida à seguinte equação:
)()()()( tttt FXKXCXM =++
&
v
&&
(7.2)
Na qual os vetores X e
F representam, respectivamente, o deslocamento da
estrutura e a força externa neste novo subespaço, assim como a massa
M , o
amortecimento C
v
e rigidez K correspondem às características físicas da estrutura após
a transformação de coordenadas.
O vetor de deslocamentos U de ordem n do sistema original (7.1) pode ser
expresso como uma combinação linear em termos do vetor de “deslocamentos
generalizados” X de ordem m do sistema reduzido (7.2), fazendo:
)1()()1( mxnxmnx
XΨU = (7.3)
Esta expressão (7.3) define a transformação de coordenadas no qual
Ψ representa
a matriz de transformação com m colunas compostas por vetores
i
Ψ de ordem n,
linearmente independentes que constituem uma base no espaço n-dimensional.
Substituindo esta última expressão (7.3) na equação de movimento (7.1) e pré-
multiplicando todos os termos por
T
Ψ , tem-se:
)()()()( tttt
FΨKΨΨΨXCΨΨXMΨΨ
TTTT
=++
&&&
(7.4)
O que significa que as matrizes reduzidas de ordem m são definidas por:
MΨΨM
T
= ; CΨΨC
T
= ;
K
ΨΨ
K
T
=
(7.5)
e o vetor de cargas reduzido
)(tF é expresso como:
FΨF
T
= (7.6)
Considerando que os vetores
i
Ψ podem sempre ser tomados como ortonormais à
matriz de massa
M, fazendo
i
Ψ =
i
Ψ / (
i
Ψ
T
M
i
Ψ ), tem-se:
IMΨΨM
T
== (7.7)
Os vetores
i
Ψ que compõem a matriz de transformação Ψ costumam ser
chamados simplesmente de vetores de Ritz, e, por extensão, a matriz
Ψ é denominada
base de Ritz. Esta terminologia é tradicional e pode ser justificada observando-se que a
expressão (7.3) é uma forma particular de uma análise de Ritz, como a que compõe a
139
análise de Rayleigh-Ritz para a solução aproximada do problema de autovalor
generalizado não amortecido associado a equação de movimento (7.1).
Neste ponto, destaca-se que a eficiência do método naturalmente irá depender da
redução considerável do número de incógnitas, m << n, fazendo com que a ordem das
matrizes de (7.5) seja muito menor do que a ordem correspondente ao sistema original.
Além disto, elas devem garantir a qualidade dos resultados, o que irá depender da
seleção dos vetores que compõe a matriz de transformação
Ψ . Esta seleção é o que vai
caracterizar cada classe particular dos métodos de redução.
Uma vez encontrado
Ψ , a equação (7.2) é então integrada por um esquema
semelhante aos métodos diretos, e em alguns casos pode-se utilizar integração analítica.
Durante a integração, as incógnitas originais
U são calculadas a cada passo de tempo de
interesse a partir das generalizadas
X, empregando a expressão da transformação de
coordenadas (7.3).
A seguir, descrevem-se dois grupos de métodos de redução de base,
tradicionalmente empregado em problemas lineares, cada um deles caracterizado pela
seleção e processo de obtenção da matriz
Ψ . O primeiro é o método de superposição
modal, apresentado aqui para introduzir o leitor ao procedimento de transformação
clássico, e o segundo corresponde ao método de Ritz Wilson. Este último corresponde
ao método de redução implementado nesta tese para otimizar a ferramenta de análise
fortemente acoplada de sistemas offshore do programa Prosim.
140
7.3 MÉTODO DE SUPERPOSIÇÃO MODAL
O método de superposição modal é um método de transformação em que os
vetores de Ritz
i
Ψ correspondem aos modos de vibração de freqüências mais baixas Φ
i
do sistema estrutural avaliado. Estes modos são obtidos por técnicas de solução de um
problema de autovalor generalizado, como o método de Jacobi Generalizado
apresentado no Capítulo 6, ou de Lamczos, dentre outros.
A matriz de transformação formada pelos autovetores
Φ
i
é também ortogonal a
matriz de rigidez do sistema,
K. Conforme mencionado no Capítulo 6, a matriz de
rigidez reduzida
K
ΦΦ
K
T
=
é diagonal, composta pelos autovalores
λ
i
do sistema, que
são quadrados das m freqüências naturais
ω
i
mais baixas do sistema estrutural:
K
─
= Φ
T
KΦ = diag [
ω
2
1
………
ω
2
m
] (7.8)
Como
M
─
e K
─
são diagonais, é conveniente obter uma matriz de amortecimento
reduzida
C
─
também diagonal, de modo que as equações de movimento reduzidas sejam
desacopladas. Para isso, assume-se o conceito de amortecimento proporcional que de
acordo com a equação apresentada no Capítulo 4 (4.54), substituindo a massa unitária,
tem-se:
φ
Τ
i
C φ
j
=
C
(
ω
i
) = 2
ω
i
ξ
i
para i = j (7.9)
= 0 para i
≠
j
onde
ξ
i
é percentagem de amortecimento crítico associado ao modo i
A matriz de amortecimento reduzida
C
─
fica:
C
─
= Φ
T
C Φ = diag [2
ω
1
ξ
1
……… 2
ω
m
ξ
m
] (7.10)
ou seja,
Φ é ortogonal também a C.
Assim, obtém-se um conjunto de m equações independentes, correspondentes a
cada modo de vibração i do sistema reduzido:
)()()()(2)(
2
ttttt
iiiiii
FXXX =++
ωζω
&&&
(7.11)
Isto significa que cada equação desacoplada pode ser solucionada por um método
de integração direta, ou por um método analítico, como a integral de Duhamel
apresentada no Capítulo 3, que foi implementada nesta tese. Além disto, cada equação
pode ter um intervalo de integração
Δt apropriado para integrar numericamente com
precisão sua resposta.
141
O método de superposição modal (MSM) em sua forma original pode não ser
capaz de avaliar corretamente os esforços elásticos, já que estes dependem da
contribuição dos modos de vibração de freqüências mais altas, que devem ser excluídos
da matriz de transformação
Φ para que a eficiência computacional seja garantida. Isto
fica claro ao
se observar a terceira parcela do lado direito da equação (7.11), que indica
que a força interna do problema reduzido tende à parcela elástica à medida que
ω
aumenta, devido a presença do termo quadrático. A ausência das freqüências naturais de
ordem superior prejudicará conseqüentemente a avaliação dos esforços internos do
sistema estrutural no espaço nodal.
Para recuperar a contribuição dos modos superiores no cálculo dos esforços, é
necessário um procedimento de correção estática, o que significa aplicar um termo de
correção obtido a partir da solução estática dos deslocamentos nodais considerando a
matriz original e a matriz reduzida (truncada) reexpandida. Ou seja, a equação (7.3)
deve ser reescrita como:
)()(
1
1
t
r
FKKΦXU
−
−
−+= (7.12)
onde,
K
-1
r
representa a reexpansão da inversa da matriz de rigidez reduzida:
K
-1
r
=
Φ diag[ω
2
1
…… ω
2
m
]-1
Φ
T
(7.13)
Este procedimento considera que a resistência do sistema estrutural na faixa de
freqüência correspondente aos modos superiores é essencialmente elástica. A parcela
estática da solução que havia sido truncada é então acrescentada à resposta.
Em casos onde o vetor de cargas
F(t) tem uma distribuição espacial constante ao
longo do tempo, a parcela de correção estática precisa ser calculada apenas uma vez,
assumindo que o problema que está se tratando corresponde a de um sistema linear,
onde a matriz de rigidez
K não varia com o tempo. Desta forma, a solução estática é
calculada uma vez antes do processo de integração e em cada instante aplica-se a
correção afetada por um fator de amplitude do carregamento externo.
Em outras situações é necessário retrosubstituições de )()(
1
1
t
r
FKK
−
−
− a cada
instante de tempo, anulando-se a vantagem do processo de redução.
Naturalmente, quanto maior o número de modos de vibração a ser considerado no
MSM, mais precisos serão os esforços; no entanto, a eficiência computacional fica
comprometida.
142
É importante destacar que o método de redução é vantajoso apenas em problemas
de caráter inercial, o que irá exigir a seleção dos modos de vibração de freqüências mais
baixas. Problemas de propagação de onda exigem que as freqüências mais altas sejam
rigorosamente consideradas e por isso, a matriz de transformação
Φ
deverá ser
completa, n x n, ocasionando ineficiência computacional. Ou seja, o desacoplamento
das equações deixa de ser vantajoso.
Uma questão que ainda não foi levantada corresponde ao número de modos de
vibração do método de redução de base que seria recomendado para avaliação dinâmica
de um sistema estrutural de caráter inercial. Para isso, primeiramente deve-se conhecer a
força externa que atuará sobre o sistema. Isto significa que é preciso saber qual a maior
freqüência de excitação do carregamento e escolher os modos de freqüências naturais
próximas e abaixo desta maior freqüência de excitação para compor a base de
transformação. Isto, no entanto, não exclui a necessidade do procedimento de correção
estática para avaliação precisa dos esforços internos da estrutura, conforme mencionado
anteriormente.
143
7.4 MÉTODO DE RITZ WILSON
O método de Ritz Wilson (MRW) é um método mais moderno e mais eficiente do
que o de superposição modal para solução de problemas dinâmicos. O procedimento
para encontrar os vetores de Ritz que irão compor sua base de transformação é o ponto
forte do método. Estes vetores são encontrados levando em consideração a distribuição
do carregamento espacial associado a um esquema de iteração inversa complementada
por uma estratégia de ortogonalização; ou seja, ele é capaz de selecionar vetores que
efetivamente contribuem para a resposta dinâmica do sistema, ao contrário do método
de superposição modal (MSM) que ignora este tipo de informação, podendo conter em
sua base modos de vibração ortogonais ao carregamento, que não influenciam a resposta
dinâmica.
A característica importante do método de Ritz-Wilson consiste na seleção do vetor
de partida do algoritmo de geração dos vetores de Ritz. Para isso, considera-se que o
vetor de cargas externas
F(t) pode ser escrito como:
F(t) = Σ
j
f
j
ε
j
(t) (7.14)
que representa a combinação linear de j vetores constantes
f
j
ao longo do tempo que
definem a distribuição espacial do carregamento, variando no tempo apenas por um
fator escalar
ε
j
(t) que define a amplitude do carregamento.
No caso particular em que o vetor de distribuição espacial é único
f, o vetor de
partida é a resposta estática de deslocamento da estrutura, ou seja,
K
-1
f. Isto garante
que os vetores que compõem a base de Ritz resultam em aproximações ou combinações
dos modos de vibração excitados pelos componentes harmônicos significativos do
carregamento. Este procedimento foi utilizado para se encontrar a base de Ritz-Wilson
implementado nesta tese no Prosim, se mostrando apropriado por ser prático e eficiente.
Para isso, o vetor de partida corresponde inicialmente à resposta estática do modelo
devido ao peso próprio da estrutura, às reações do solo e as parcelas médias do
carregamento externo de vento, onda e correnteza, ou seja, a todas as parcelas estáticas
de força que agem sobre o sistema. Ao longo da simulação dinâmica, caso o vetor de
partida precise ser atualizado, verificou-se nesta tese ser adequado assumir
f como a
carga instantânea externa de todas as forças estáticas e dinâmicas que agem sobre o
sistema.
144
O método de Ritz Wilson (MRW) apresenta então vantagens significativas com
relação ao método de superposição modal (MSM):
¾ O custo de geração dos vetores de Ritz é muito inferior ao de um número
correspondente de modos de vibração;
¾ O MSM ignora as informações do carregamento externo, conforme mencionado
anteriormente, enquanto o MRW tira proveito destas informações, podendo ser
capaz de representar a resposta dinâmica com um número menor de vetores.
¾ Para um número m de vetores de Ritz, que compõe a base do MSM, que seja
muito menor do que n (dimensão do problema nodal), pode ser necessário o
procedimento de correção estática; uma vez que dos m modos escolhidos, alguns
podem ser ortogonais ao carregamento e aqueles que não são podem deixar de
alcançar às freqüências naturais mais elevadas da estrutura, impedindo uma
correta avaliação dos esforços elásticos.
Já no MRW, a mesma quantidade m de vetores que compõe sua base de
transformação, por não conter vetores ortogonais ao carregamento, é capaz de abranger
mais freqüências, ainda mais altas, podendo evitar um processo de correção estática.
A correção estática no MRW irá depender naturalmente, assim como no MSM, do
número m de vetores adotado. Num problema inercial, se m for pequeno e abranger
somente as freqüências próximas e abaixo das que efetivamente são excitadas pelo
carregamento inercial, não se garante, ainda assim, que os esforços elásticos estarão
bem representados. Para isso, os m vetores de Ritz devem compor modos de freqüências
mais elevadas.
Recorda-se que o objetivo da implementação de Ritz-Wilson recai sobre a correta
avaliação dos resultados de movimento de unidades flutuantes de sistemas offshore
modelados pela formulação fortemente acoplada. Como será visto no estudo de casos no
Capítulo 9, mesmo que o número de vetores não atenda ao compromisso de garantir
esforços precisos, eles são capazes de avaliar corretamente as respostas de movimento
da embarcação, que se relacionam com os modos inferiores (freqüências baixas) que
compõem a base de transformação de Ritz-Wilson. Esta é a maior vantagem de se
utilizar o procedimento de redução no modelo fortemente acoplado
na primeira fase da
metodologia híbrida de análise apresentada no Capítulo 2.
145
Recorda-se que no modelo fracamente acoplado
(Capítulo 2), no processo de
integração casco-linhas, a cada passo de tempo as linhas transmitem forças ao casco e
este, por sua vez, transferem deslocamentos ao topo das linhas. Isto significa que
resultados imprecisos dos esforços de todas as linhas podem comprometer uma correta
avaliação dos movimentos da unidade flutuante. Neste caso, o procedimento de redução
de base deve ocorrer linha-a-linha com um número suficiente de vetores Ritz para não
introduzir erros nas respostas elásticas. Este processo se torna menos eficiente e reforça
a escolha do modelo fortemente acoplado
para avaliação dos movimentos da unidade
flutuante.
7.4.1 FORMULAÇÃO DESACOPLADA DE RITZ-WILSON
Até então não se mencionou sobre a esparsidade da matriz de rigidez reduzida
K
ΨΨ
K
T
= no método de Ritz-Wilson. A forma tradicional do método corresponde à
formulação “cheia” em que aquela matriz não apresenta nenhuma característica
partícula de esparcidade. Isto significa que o sistema após a redução permanece
acoplado, sendo necessário o uso de procedimentos de triangularização e
retrosubstituição quando um procedimento de integração direta é utilizado para resolver
o sistema reduzido.
Uma extensão/otimização da formulação cheia corresponde à formulação
tridiagonal apresentada em [18], mas que não será abordada aqui.
Conforme mencionado anteriormente, o objetivo principal do método em voga é
avaliação adequada e eficiente das respostas de movimento de sistemas flutuantes que
possuem caráter puramente inercial. Como estas respostas são influenciadas pelos
períodos naturais mais elevados de todo o sistema, entende-se que desacoplar o sistema
de equações reduzidos do método de Ritz-Wilson, embora seja uma tarefa que envolve
um maior custo computacional, permite uma integração numérica mais rápida das
poucas equações individuais exigidas para avaliar adequadamente o movimento do
sistema. Cada equação poderá ser integrada numericamente com um intervalo particular
para a obtenção de resultados precisos em cada modo de vibração individual (vantagem
também presente no MSM). Além disto, se as propriedades físicas do sistema são
constantes, a solução das equações de movimento é eficientemente encontrada através
do uso da integral de Duhamel, apresentada no Capítulo 3, mais rápida e precisa do que
qualquer outro procedimento de integração numérica. Se as propriedades físicas variam
146
com a freqüência, pode-se fazer uso de um processo de integração tempo-freqüência,
como o eficiente algoritmo ImFGA apresentado no Capítulo 4.
Por estas razões, o método de Ritz-Wilson desacoplado foi implementado no
Prosim e os novos procedimentos de integração utilizados para solucionar as equações
de movimento individuais no subespaço m-dimensional correspondem a integral de
Duhamel e ImFGA apresentados nos capítulos anteriores. Embora a ImFGA seja uma
evolução da ImFT, esta última foi implementada para participar dos estudos
comparativos de resultados apresentados no Capítulo 4, não participando dos estudos de
casos do Capítulo 9.
Para desacoplar as equações reduzidas, resolve-se o problema de autovalor
reduzido não-amortecido associado às expressões reduzidas derivada de (7.2):
(K
─
− λ
*
i
M
─
)z
i
= 0 (7.15)
Cuja solução fornece uma matriz
Z
(m x m)
contendo os m autovetores do problema
de autovalor reduzido.
Obtém-se assim uma nova base
Φ
*
, K-ortogonal, calculando-se uma aproximação
dos autovetores no espaço n dimensional, efetuando uma combinação linear dos vetores
de Ritz (
Ψ
i
), tomando Z como uma matriz com “multiplicadores”. Em outras palavras,
associa-se que cada coluna de
Z representa o deslocamento modal no sistema reduzido e
cada coluna de
Φ
*
representa este deslocamento modal no espaço nodal do problema;
uma generalização da expressão (7.3),
)1()()1( mxnxmnx
XΨU
=
, ficando:
Φ
*
(n x m)
= Ψ
( n x m)
Z
(m x m)
(7.16)
onde
Φ
*
é a nova matriz de transformação ortogonal às matrizes reduzidas originais.
Isto significa que
K
─
agora está desacoplado:
K
─
= Φ
*
T
KΦ
*
= diag [
ω
*2
1
………
ω
*2
m
] (7.17)
onde
ω
*2
i
corresponde aos autovalores λ
*
i
do problema reduzido.
O procedimento de integração é agora realizado sobre as equações dinâmicas
isoladas.
147
7.4.2 PROBLEMAS NÃO-LINEARES
Os Métodos de Redução são fortemente indicados para solucionar problemas
inerciais lineares, com carregamentos de média e longa duração, que podem excitar as
freqüências mais baixas do sistema estrutural. A vantagem do método em problemas
lineares é devida ao fato de que a matriz de transformação de coordenadas e as matrizes
reduzidas (7.5) serem calculadas uma única vez, antes do início do processo de
integração no tempo. Assim, o custo do processo de integração do sistema linear
reduzido está associado ao tamanho destas matrizes. O vetor de força reduzido (7.19)
normalmente precisa ser calculado a cada passo de tempo, ou a cada instante que sofre
variação significativa; assim como o deslocamento da estrutura no sistema de
coordenadas nodais (7.3) precisa ser encontrado a cada instante de tempo de interesse.
Em problemas fracamente não-lineares, ou com não-linearidade localizada,
técnicas de pseudo-força podem ser empregadas, e facilmente tratadas através da
integral de Duhamel, assim como nos algoritmos híbridos de integração tempo-
freqüência, ImFT e ImFGA apresentados no Capítulo 4. Assim, as matrizes
mencionadas no parágrafo anterior continuam podendo ser calculadas apenas uma única
vez, no início do processo de integração.
Em problemas fortemente não-lineares, este esquema deixa de ser válido,
necessitando que as matrizes de transformação, assim como as matrizes reduzidas (7.5)
sejam reavaliadas, em princípio, a cada passo do processo de transformação de domínio.
Isto anula a vantagem do método de redução frente aos métodos clássicos de integração
nodal.
Para que a vantagem dos métodos de redução prevaleça, o problema não-linear
estudado deve permitir que a reavaliação da rigidez do sistema e, conseqüentemente, da
matriz de transformação ocorram em intervalos mais espaçados. Desta forma, o custo da
reavaliação destas matrizes deverá ser compensado pela maior velocidade do processo
de integração do problema reduzido entre os passos de reavaliação. Inclusive, a técnica
de pseudo-forças pode continuar sendo utilizada entre estes passos.
Recorda-se que nos problemas offshore abordados nesta tese, as não linearidades
geométricas do sistema (linhas de ancoragens e risers) estão relacionadas ao passeio
horizontal da unidade flutuante, que possui períodos naturais altos, próximos de, por
exemplo, 200s. Isto significa que a reavaliação da matriz de rigidez/transformação pode
148
se mostrar adequada a cada um vigésimo do menor período natural horizontal da
unidade, para atender a um compromisso de uma correta representação da variação
geométrica estrutural, que no citado exemplo corresponde a 10s (= 200s/20). Como o
processo de integração de sistemas offshore costuma ser na ordem de 0.01s, percebe-se
que esta reavaliação só seria necessária a cada 1000 passos da marcha no tempo,
garantindo assim uma eficiência computacional do processo de transformação de
coordenadas.
Estratégias adaptativas também podem ser utilizadas para fornecer um mecanismo
para avaliar a necessidade de reavaliação da matriz de transformação ao longo do
processo de integração. Estas técnicas se baseiam na observação do comportamento da
freqüência característica do sistema e estão bem definidas em [18]. No entanto, elas não
são necessárias para o procedimento de reavaliação da matriz de rigidez/transformação
do tipo de problema em estudo nesta tese, pois conforme mencionado no parágrafo
anterior, uma vez conhecido o menor período natural do sistema flutuante no plano
horizontal, a reavaliação se mostra adequada em intervalos correspondentes a um
vigésimo deste período dominante. Recordando que o cálculo deste período natural é
obtido de maneira simples e eficiente através da avançada ferramenta de análise de
modos de vibração acoplada de sistemas flutuantes implementada nesta tese,
apresentada no Capítulo6.
7.4.3 CRITÉRIO DE TERMINAÇÃO
Basicamente, três critérios de terminação foram utilizados no algoritmo de
geração da base de Ritz Wilson: o primeiro ligado ao erro da representação do
carregamento; o segundo, ao erro de representação da massa; e o terceiro
correspondente ao erro limite do denominador de normalização dos vetores de Ritz em
relação à massa.
Representação do Carregamento
Para a avaliação do erro do carregamento durante o processo de redução,
reescreve-se a expressão para o lado direito das equações de movimento reduzidas
(7.19):
FΨF
T
= (7.18)
onde o vetor
F representa o vetor do lado direito das equações de movimento originais,
nodais.
149
Desta forma, cada componente do vetor reduzido
F pode ser expresso por:
FΨf
T
ii
= (7.19)
onde
i
Ψ é um vetor de Ritz.
Sabendo que
MΨΨ
T
atende a condição de ortonormalidade conforme a equação
(7.20), pode-se reescrever a equação (7.18):
FΨFMΨΨ
TT
= (7.21)
O que permite escrever de outra forma
F com relação ao vetor reduzido F :
FMΨF = (7.22)
Esta relação pode ser expressa em termos dos componentes do vetor reduzido
i
f :
∑
=
=
m
i
ii
1
fMΨF (7.23)
Substituindo (7.19) em (7.23), tem-se:
)(
1
*
∑
=
=
m
i
ii
FΨMΨF
T
(7.24)
Nesta expressão, o vetor
F está assinalado com um * para indicar que a
reexpansão de
F só será exata apenas quando m=n, ou seja, quando não há
efetivamente qualquer redução (o número de vetores de Ritz corresponde ao número de
graus de liberdade n do sistema de equações original).
O erro associado ao componente e Ritz que expressa o truncamento da
representação do carregamento no processo de redução pode ser baseado em uma norma
euclidiana:
(
)
j
jj
F
FF
*
j
ε
−
= (7.25)
onde j representa o índice do grau de liberdade da estrutura.
Observe que é mais conveniente avaliar o erro em cada grau de liberdade
separadamente devido à possibilidade do vetor força conter valores de ordem de
grandeza significativamente diferentes entre si.
150
Se o erro da última expressão for menor do que, por exemplo, 0.1 para pelo menos
a metade dos graus de liberdade do problema em questão, considera-se que o número de
vetores de Ritz que compõe a base de transformação é suficiente, terminando o processo
de geração da base.
Representação da Massa
O segundo critério de terminação adotado para geração da base de Ritz nesta tese
corresponde à avaliação do truncamento da “massa efetiva” distribuída nos nós do
sistema.
Se uma estrutura for submetida a uma excitação nodal em uma ou mais direções
globais, estas influenciarão o movimento dos demais nós da estrutura. Considerando a
excitação em cada direção global j separadamente, o carregamento equivalente possui
distribuição espacial expressa por:
jj
Mip = (7.26)
onde
j
i é o vetor de influência contendo os deslocamentos de cada grau de liberdade da
estrutura, correspondentes a deslocamentos unitários no grau de liberdade j de aplicação
da excitação.
A massa efetiva total atuando no grau de liberdade j pode ser obtida pré-
multiplicando-se (7.26) pelo vetor de influência
j
i transposto:
jjj
m Mii
T
= (7.27)
Esta massa efetiva também pode ser encontrada através da representação de
j
p
no
subespaço reduzido, ou seja:
jj
pΨp
T
.= (7.28)
As componentes
ij,
p
deste vetor reduzido
j
p
costumam ser denominadas como
fator modal de excitação, ou fator de participação de massa. Sabendo que
MΨΨ
T
atende a condição de ortonormalidade, pode-se reescrever a equação (7.28) pré-
multiplicando-a por
MΨΨ
T
e substituindo
j
p da equação (7.26):
).(
jjj
MiΨpMΨΨp
TT
== (7.29)
151
de onde se deduz que:
jj
pΨi =
(7.30)
A massa efetiva pode então ser encontrada através dos procedimentos de
transformação. Substituindo a equação (7.30) em (7.27), obtém-se:
jjjjj
m pppMΨΨp
T
T
T
== (7.31)
Novamente, esta expressão é exata apenas quando o número de vetores de Ritz
corresponde ao número de graus de liberdade n do sistema de equações original. Caso
contrário, esta expressão fornece o valor da massa efetiva total do processo de
reexpansão, que pode ser reescrita pelo somatório da contribuição das massas efetivas
de cada vetor de Ritz:
∑∑
==
==
m
i
ij
m
i
ijmj
mm
1
,
2
1
,,
p
(7.32)
Isto significa que o critério de terminação do algoritmo de geração de vetores de
Ritz deve respeitar que a massa efetiva gerada pelo processo de redução e reexpansão se
aproxime da massa efetiva total exata de cada grau de liberdade j do problema.
Se:
jijij
mmEr /
,,
= (7.33)
deve-se interromper a geração dos vetores de Ritz quando o valor acumulado de
Er
se
aproxima de 1 com uma certa tolerância.
Através da referência [60], pode-se deduzir que o vetor de influência
j
i pode ser
tomado unitário para um problema submetido a uma excitação externa, como a
considerada aqui. Isto significa que a expressão (7.29) pode ser rescrita como:
mΨp
T
.=
j
(7.34)
onde
m é um vetor que representa em cada índice o somatório dos termos de cada linha
da matriz de massa. Para um sistema com matriz de massa diagonal, naturalmente cada
termo de
m representará um termo de massa diagonal de M.
O critério de terminação pode então ser reescrito como segue:
152
()
tot
1
2
m/.
∑
=
=
m
i
i
Er mΨ
T
(7.35)
onde m
tot
representa a soma de todos os elementos do vetor m.
Em problemas offshore, que envolvem massas rotacionais com grandezas físicas
diferentes, é mais conveniente proceder de modo análogo ao apresentado no erro de
representação do carregamento externo, aplicando um critério a cada grau de liberdade j
do problema. Definindo-se ainda o indicador de erro
j
Er-1ε
j
=
, através da expressão
(7.35), tem-se:
()
j
m
i
jij
m/1ε
1
2
∑
=
−= MiΨ
T
(7.36)
onde
i
j
é um vetor com coeficientes 1 nas posições correspondentes aos graus de
liberdade j e 0 nas demais posições, e m
j
é a massa efetiva total na direção j.
Como no critério de terminação para representação do carregamento, se o erro da
última expressão for menor do que, por exemplo, 0.1 para pelo menos a metade dos
graus de liberdade do problema em questão, considera-se que o número de vetores de
Ritz que compõe a base de transformação é suficiente para representar a massa efetiva
total, terminando o processo de geração de vetores.
Representação da Normalização dos Vetores de Ritz
Por fim, o último critério adotado na implementação consiste na avaliação do
“comportamento” do algoritmo. Este critério é simples e sem custo significativo já que
utiliza quantidades disponíveis no algoritmo.
Durante o processo de geração da base de Ritz, os vetores são normalizados com
relação a massa para que a expressão
IMΨΨ
T
=
seja satisfeita. Isso significa fazer:
()
2/1
ii
i
i
ΨMΨ
Ψ
Ψ
T
T
= (7.37)
O critério abordado aqui consiste em verificar se o denominador da expressão
(7.37) é menor que um valor
ε, próximo ao erro de arredondamento do computador
(pode-se usar 1x10
-12
).
Se
()
2/1
ii
ΨMΨ
T
T
< ε , interrompe-se o processo de geração dos vetores de Ritz.
153
7.4.4 ALGORÍTMO DE RITZ-WILSON
A seguir encontra-se o algoritmo de Ritz-Wilson [18] implementado no Prosim. A
geração de cada vetor de Ritz compreende uma iteração inversa a partir do vetor estático
atualizado, complementada por ortogonalização em relação aos vetores anteriores e
normalização com relação à matriz de massa. Em seguida, a atualização do vetor
estático consiste em ortogonaliza-lo contra o vetor de Ritz que acabou de ser gerado.
Observe que neste procedimento os vetores de Ritz assim gerados representam a
contribuição dinâmica que é obtida no processo de iteração inversa com multiplicações
pela matriz de massa.
1)
Cálculo do Primeiro Vetor de Ritz
1.1)
Cálculo do vetor estático inicial
FKU
1
0
−
= (7.38)
W
1
=
0
U
1.2)
Primeiro vetor de Ritz
1
1
1
WKΨ
−
= (7.39)
1.3)
Normaliza com relação a massa
()
2/1
11
1
1
ΨMΨ
Ψ
Ψ
T
= (7.40)
1.4)
Verifica Critérios de Terminação apresentados anteriormente
2)
Cálculo dos demais vetores
Ciclo i=2, m-1
2.1) Vetor de Ritz
i
i
i
WKΨ
1−
=
(7.41)
2.2) Ortogonaliza com os demais vetores
Ciclo j=2,i-1
j
ijji
ΨMΨc
T
=
,
(7.42)
jji
j
i
j
i
ΨcΨΨ
,
1
−=
+
(7.43)
154
Fim do Ciclo j
2.3) Normaliza com relação a massa
(
)
2/1
i
i
i
i
i
i
ΨMΨ
Ψ
Ψ
T
= (7.44)
2.4) Verifica Critérios de Terminação apresentados anteriormente
Fim do Ciclo i
A Base de Ritz-Wilson está formada.
7.4.5 ALGORÍTMO DE INTEGRAÇÃO USANDO A BASE DE RITZ-WILSON
Nesta seção, mostra-se resumidamente em onze passos o algoritmo de integração
implementado no Prosim para solucionar as equações de movimento de sistemas
offshore. O procedimento de integração utilizado é incremental não-iterativo (ou
totalmente incremental), fazendo uso da Integral de Duhamel, e ImFGA.
Ciclo n=1, Ntempos
1) Cálculo da Força Externa F
n
Engloba as forças peso
, hidrodinâmicas e de reação do solo sobre as linhas do
modelo;
2)
Cálculo da Força Residual V
n-1
=F
n-1
– R
n-1
(força elástica do passo anterior);
3)
Cálculo da Base de Ritz-Wilson
Ψ
conforme seção anterior, utilizando F
n
para
encontrar a resposta estática do sistema, ou vetor de partida (7.38);
4)
Cálculo de
K
, fazendo:
WΨKΨΨK
TT
==
Da Equação (7.41), os vetores que compõem
W são encontrados implicitamente
ao longo do processo de geração da base,
i
ii
ΨKW = , efetuando-se sobre eles as
operações equivalentes às m-normalizações e ortogonalizações de Gram-Schmidt
realizadas sobre os vetores
i
i
Ψ
.
5)
Desacoplamento do sistema de equações reduzidas:
155
Através do cálculo dos autovetores e autovalores da matriz reduzida
K
, fazendo
uso do método de Jacob padrão apresentado no Capítulo 6.2. A nova base de Ritz
que desacopla o sistema reduzido
Φ é encontrada através da Equação (7.16).
6)
Cálculo do vetor de deslocamentos e velocidades reduzidas (m dimensional) no
tempo anterior t
n-1
:
11
1
1
1
1
)(
−−
−
−
−
−
===
nnnn
MUΦUΦMΦΦUΦX
TT
(7.45)
11
1
1
1
1
)(
−−
−
−
−
−
===
nnnn
UMΦUΦMΦΦUΦX
TT
&&&&
(7.46)
7) Cálculo do vetor de Força Residual V
n
(=F
n
-R
n-1
) reduzido (7.19):
nn
VΦV
1−
=
(7.47)
8)
Cálculo da força externa reduzida
n
F , conhecida a força elástica
1−n
R no espaço
reduzido m-dimensional:
1
22
11
]...[
−−
+=+=
nmnnnn
diag XVRVF
ωω
(7.48)
Esta última equação garante que a parcela elástica linear intrínseca na função de
Green (tanto da integral de Duhamel quanto da ImFGA) não será considerada
duas vezes, do lado esquerdo e do lado direito da equação de movimento. Ao
mesmo tempo, garante que se houver alguma parcela elástica não-linear
considerada no vetor de força elástica
R
n-1
(logo, em
n
V ) do sistema de
coordenadas nodal, esta será incorporada do lado direito da equação reduzida, em
n
F , representando uma pseudo-força. Este raciocínio permitiu que ótimos
resultados fossem encontrados no processo de integração das equações reduzidas,
conforme será visto no Capítulo 9.
9) Procedimento de solução das m Equações de Movimento Reduzidas
(desacopladas) por um dos seguintes esquemas de integração que foram descritos
nos capítulos anteriores (em que a força externa do problema obedece (7.48) e a
rigidez de cada i equação desacoplada é
2
i
ω
):
9.1) Integral de Duhamel (observações adicionais):
156
Encontram-se
n
X e
n
X
&
, respectivamente, através da Equação (3.53) e de sua
derivada analítica;
9.2) ImFGA (observações adicionais):
Integral de Convolução aproximada pela regra dos trapézios. A aproximação pela
função parabólica foi implementada, mas após os estudos de casos apresentados
no Capítulo 9.
Caso o período natural da equação desacoplada i (T
i
=2π/ω
i
) seja menor do que o
intervalo de integração global, procede-se um esquema de subsciclagem com
Δt
s
=
T
i
/20;
Encontra-se
n
X e
n
X
&
, respectivamente, através das Equações (4.54) e (4.54);
10)
Encontra-se
n
U e
n
U
&
no intervalo de tempo de interesse através das
transformações:
nn
ΦXU = (7.49)
nn
XΦU
&&
= (7.50)
11) Cálculo das Forças Elásticas R
n
.
Fim do Ciclo n=1, Ntempos
OBS: A base de transformação e a resposta do sistema reduzido são guardados em
vetores globais. Os passos 3), 4) 5) e 6) são necessário apenas no processo de
reavaliação de base.
Neste procedimento, pode-se fazer a reavaliação da matriz de rigidez global e
analogamente de
Φ a cada intervalo de tempo definido pelo usuário. Deve-se procurar
um balanço entre qualidade da resposta e eficiência computacional. Para a solução de
Sistemas Offshore, reforça-se que a reavaliação é indicada a cada um vigésimo do
menor período natural no plano horizontal da unidade flutuante. Este período natural
pode ser calculado automaticamente, mas externamente pelo usuário, através do
algoritmo de análise modal acoplada implementado no Prosim (Capítulo 6). Se, por
exemplo, este período for da ordem de 200s, a reavaliação deve ser feita apenas a cada
10s. Isto significa que se o intervalo de integração dinâmica for de 0.01s, a reavaliação
se torna necessária a cada 1000 passos de integração.
157
No estudo de casos, descritos mais adiante no Capítulo 9, apresentam-se
resultados numéricos do processo de solução das equações de movimento apontadas no
esquema anterior. Comparam-se seus resultados com os obtidos pelo procedimento de
integração não-linear no espaço nodal através do algoritmo alfaB de Newmark presente
no Prosim, comparando inclusive os tempos de CPU requeridos por cada processo de
integração.
Adianta-se que o procedimento de solução com redução de base aliado a
integração de Duhamel e ImFGA, em alguns exemplos com comportamento fracamente
não- linear, apresentou respostas de deslocamento mais precisas (melhor qualidade na
resposta com alto intervalo de integração) do que o procedimento de integração não-
linear nodal alfaB de Newmark do Prosim. O custo computacional em simulações de
sistemas offshore também se mostrou menor através do uso da técnica de redução. Mais
observações são levantadas no Capítulo 9.
158
8 ESTUDOS DE CASOS COM A FERRAMENTA
DE ANÁLISE DE MODOS DE VIBRAÇÃO DE
SISTEMAS ACOPLADOS
8.1 INTRODUÇÃO
Três modelos foram estudados neste trabalho para avaliação dos períodos naturais
de sistemas offshore solucionados pelo método de Jacobi Generalizado implementado
no Prosim. Todos eles utilizando o modelo hidrodinâmico híbrido do Prosim [13].
O primeiro modelo estudado corresponde à plataforma semi-submersível
padronizada no 17
o
Comitê de Engenharia Oceânica ITTC, pela qual existem resultados
de ensaios de modos de vibração em tanques de prova e que poderão ser comparados
com resultados do módulo de analise modal implementado no programa Prosim.
O segundo se refere a uma plataforma semi-submersível de produção, semelhante
às utilizadas em lâminas d’águas profundas na Bacia de Campus, possuindo 48 risers e
16 linhas de ancoragem.
O terceiro e último exemplo corresponde a um modelo de monobóia CALM, de
15m de diâmetro, situado em uma lâmina d’água de 400 m. A definição do sistema
CALM será visto no item relacionado à descrição do problema.
Em especial, nos modelos ITTC e monobóia CALM, foram realizadas simulações
de decaimento numérico [2, 9 e 10] para observar a concordância de alguns períodos
naturais deste método com o calculado com o módulo de análise modal do Prosim.
159
8.2 MODELO ITTC
O modelo ITTC compreende uma plataforma semi-submersível padronizada no
17
o
Comitê de Engenharia Oceânica ITTC, para comparações de resposta de movimento
entre diversos programas, como também a verificação das diferenças dos mesmos com
os resultados obtidos nos ensaios conduzidos no tanque de provas físico de modelo
reduzido no Japão [61,62].
Alguns dos ensaios, descritos em [61], mostram os períodos naturais de Heave e
Sway para alguns arranjos de linhas de ancoragem e para algumas lâminas d’água. Um
daqueles arranjos (sistema de ancoragem por amarras com pré-tração baixa) foi
escolhido para ser modelado na interface gráfica do programa Prosim, SITUA.
O modelo ITTC é então o primeiro exemplo deste trabalho em que os períodos
naturais de uma estrutura offshore foram solucionados pela análise de modos de
vibração implementada no programa PROSIM. Aqui, os períodos naturais de Heave e
Sway do modelo reportados no 17
o
Comitê de Engenharia Oceânica ITTC poderão ser
comparados com os obtidos pelo Método de Jacobi Generalizado implementado no
Prosim, assim como comparados com os obtidos através de testes de decaimento
realizados neste mesmo programa.
Figura 8.1 – Vista 3D do sistema ITTC
160
O modelo escolhido para as análises comparativas é situado em uma lâmina
d’água de 1050m (escala real), fundo plano horizontal, quando amarrado por quatro
linhas idênticas compostas por um único trecho de amarra com peso seco de 0,274 t/m e
com tração de topo de projeto de 290 t, conforme relatado na Tabela 8.4.
Quanto à disposição do sistema no espaço, a unidade possui aproamento de 90
graus com o Norte e suas linhas encontram-se alinhadas transversalmente a plataforma,
conforme mostra a Figura 8.2.
Figura 8.2 – Vista superior do sistema ITTC
Reforça-se que o modelo hidrodinâmico para o tratamento deste casco no Prosim
será o modelo híbrido DFKM mencionado no Capítulo 2, porém diante da falta dos
dados da resposta da embarcação sob o efeito de onda de segunda ordem, provenientes
de um programa de difração, apenas a parcela de força de onda de primeira ordem
atuará na unidade flutuante.
161
8.2.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E HIDRODINÂMICAS DA UNIDADE
FLUTUANTE
As principais características geométricas da plataforma estão expostas na Tabela
8.1. Em seqüência, a Tabela 8.2 mostra o modelo geométrico da semi-submersível no
Prosim. Para construção do mesmo, foi preciso fazer uso de 30 cilindros dimensionados
de forma a representar as dimensões reais da estrutura da semi-submersível (Figura 8.3)
garantindo o mesmo volume dos membros estruturais reais.
35.0
R
2
.
0
8.0
15.0 45.0
15.0
Z
R
2
.
0
24.0
CG
115.0
24.0
21.5
10.0
8.0
24.0
21.5
10.0
8.0
Ø2.0
X
Ø
8
.
0
Ø
1
0
.
0
CG
115.0
24.024.0
21.5
R
7
.
5
24.0
21.5
Ø3.0
Ø
2
.
0
X
Y
Z
75.0
45.0
CG
35.0
15.0
8.0
R
2
.
0
Ø
2
.
0
11.0
15.0
Ø3.0
Y
75.0
Figura 8.3 – Vista superior do sistema ITTC
Tabela 8.1 – Principais características Geométricas da semi-submersível ITTC.
Propriedade
V
alores (escala real)
Comprimento (M) 115,00
Calado (M) 20.00
Boca (M) 60,00
Altura (M) 43.00
Cg X (M) 0,0
Cg Y (M) 0,0
Cg Z (M) 17,5
Raio de Giração (Roll) (M) 34,30
Raio de Giração (Pitch) (M) 35,58
Raio de Giração (Yaw) (M) 40,58
Empuxo (T) 35.157,00
162
Tabela 8.2 – Dimensões Geométricas da semi-submersível ITTC modelada por
cilindros no Prosim.
Cilindro X1 (m) Y1 (m) Z1 (m) X1 (m)
Y1
(m)
Z1
(m)
Diâm. Horiz
(m)
Diâm. Vertical
(m)
Área
(m2)
1 -50 -30 4 50 -30 4 18.552 8 117
2 -50 30 4 50 30 4 18.552 8 117
3 -50 -30 4 -56.366 -30 4 16.72 8 105
4 50 -30 4 56.366 -30 4 16.72 8 105
5 -50 30 4 -56.366 30 4 16.72 8 105
6 50 30 4 56.366 30 4 16.72 8 105
7 -36 -30 8 -36 -30 43 10 10 79
8 36 -30 8 36 -30 43 10 10 79
9 -36 30 8 -36 30 43 10 10 79
10 36 30 8 36 30 43 10 10 79
11 -12 -30 8 -12 -30 43 8 8 50
12 12 -30 8 12 -30 43 8 8 50
13 -12 30 8 -12 30 43 8 8 50
14 12 30 8 12 30 43 8 8 50
15 -36 -25 11 -36 25 11 3 3 7
16 -12 -26 11 -12 26 11 3 3 7
17 12 -26 11 12 26 11 3 3 7
18 36 -25 11 36 25 11 3 3 7
19 -32.88 -26.1 11 -13.5 -1.87 11 2 2 3
20 -32.88 26.1 11 -13.5 1.87 11 2 2 3
21 32.88 -26.1 11 13.5 -1.87 11 2 2 3
22 32.88 26.1 11 13.5 1.87 11 2 2 3
23 -36 -25 15.83 -36 0 40 2 2 3
24 -36 25 15.83 -36 0 40 2 2 3
25 -12 -26 15.83 -12 0 40 2 2 3
26 -12 26 15.83 -12 0 40 2 2 3
27 36 -25 15.83 36 0 40 2 2 3
28 36 25 15.83 36 0 40 2 2 3
29 12 -26 15.83 12 0 40 2 2 3
30 12 26 15.83 12 0 40 2 2 3
163
Figura 8.4 – Modelo de Cilindros do programa Prosim
Os coeficientes hidrodinâmicos de arraste e massa adicional foram calibrados
como recomendado pela DNV [58] e são apresentados na Tabela 8
.3.
164
Tabela 8.3 – Coeficientes Hidrodinâmicos da semi-submersível ITTC modelada por
cilindros no Prosim.
Cilindro CD1 CD2 CA1 CA2 CDaxial1 CDaxial2 CAaxial1 CAaxial2
1 0.54 1.38 1.2 0.7 0 0 0 0
2 0.54 1.38 1.2 0.7 0 0 0 0
3 0.45 1.38 1.2 0.7 0 0.5 0 0.5
4 0.45 1.38 1.2 0.7 0 0.5 0 0.5
5 0.45 1.38 1.2 0.7 0 0.5 0 0.5
6 0.45 1.38 1.2 0.7 0 0.5 0 0.5
7 0.63 0.63 0.99 0.99 0 0 0 0
8 0.63 0.63 0.99 0.99 0 0 0 0
9 0.63 0.63 0.99 0.99 0 0 0 0
10 0.63 0.63 0.99 0.99 0 0 0 0
11 0.63 0.63 1 1 0 0 0 0
12 0.63 0.63 1 1 0 0 0 0
13 0.63 0.63 1 1 0 0 0 0
14 0.63 0.63 1 1 0 0 0 0
15 0.63 0.63 1 1 0 0 0 0
16 0.63 0.63 1 1 0 0 0 0
17 0.63 0.63 1 1 0 0 0 0
18 0.63 0.63 1 1 0 0 0 0
19 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
20 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
21 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
22 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
23 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
24 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
25 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
26 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
27 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
28 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
29 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
30 0.58 0.58 1 1 0 0 0 0
8.2.2 CARACTERÍSTICAS DAS LINHAS
O modelo ITTC escolhido para os estudos deste trabalho possui um número total
de quatro linhas de ancoragem. Todas elas apresentam comprimentos iguais e
características físicas idênticas, descritas na Tabela 8.4. A Tabela 8.5 aponta seus
parâmetros de geração de catenária.
Tabela 8.4 – Características físicas e geométricas das linhas de ancoragem do
modelo ITTC.
Segmento
Comprimento
(m)
Diâm.
Nominal
(m)
Diâm.
Hidrod.
(m)
EA
(t)
Peso
Seco
(t/m)
Peso
Molhado
(t/m)
CD CM
Amarra 3100 0,117 0.205 96925.37 0.2734 0.2381 1,7 2,0
165
Tabela 8.5 – Parâmetros para a geração das catenárias.
Sistema
Pré-Tensão das
Linhas de
Ancoragens (t)
LDA=1050m 290
8.2.3 SIMULAÇÕES REALIZADAS
Dois tipos de simulações foram realizados com o modelo ITTC: estática e
dinâmica. A simulação estática foi realizada sem qualquer aplicação de carregamento
externo, visando apenas avaliar os modos de vibração de Heave e Sway da plataforma
em sua posição original de projeto (já equilibrada). Com estes resultados, puderam-se
realizar comparações com os períodos naturais obtidos nos ensaios em tanque de provas
[61] e com as simulações numéricas de teste de decaimento.
Em seqüência, duas simulações dinâmicas adicionais foram realizadas visando
apresentar os primeiros resultados da variação dos períodos naturais ao longo de uma
análise dinâmica acoplada, não somente de heave e sway, mas dos seis graus de
liberdade da unidade.
Foram estudados então dois casos de carregamento onde cargas externas de onda
e corrente agiam no modelo. O primeiro caso difere do segundo apenas quanto ao tipo
de onda aplicada sobre o sistema. Ou seja, na primeira simulação dinâmica a parcela de
carregamento de onda foi representada por uma série regular, enquanto na segunda,
ondas irregulares foram geradas obedecendo ao spectro de energia de onda de Pierson
Moskowitz [1, 13].
A seguir descrevem-se os dados de carregamento ambiental atuantes nestas duas
simulações dinâmicas.
8.2.4 DADOS DO CARREGAMENTO AMBIENTAL
Conforme mencionado anteriormente, além de uma análise modal estática, na
posição de projeto, duas simulações dinâmicas foram realizadas através de dois casos de
carregamento aplicados no sistema, conforme apresenta a Tabela 8.6. Nestes dois casos
os sentidos da onda e corrente são os mesmos, atuando transversalmente à unidade
flutuante.
166
Percebe-se pela Figura 8.2 que as linhas do modelo ITTC são orientadas para
gerar rigidez em sway e por isso todos os casos de carregamento ensaiados neste modelo
atuam nesta direção.
Tabela 8.6 – Condições ambientais aplicadas aos sistemas.
Correnteza
(m/s)
Direção
(graus)
Onda Direção (graus)
CASO 1
1,15 (superfície)
0,0 (fundo)
0
(indo para
Norte)
Regular
Hs = 3,0m
Período de zeros Tp=11,0 s
180
(vindo de Sul)
CASO2
1,15 (superfície)
0,0 (fundo)
0
(indo para
Norte)
Pierson Moskowitz
Altura significativa Hs = 5,1m
Período de zeros Tp=13,26 s
180
(vindo de Sul)
8.2.5 COMPARAÇÕES: ENSAIO ITTC X ANALISE MODAL X TESTE DE
DECAIMENTO
O objetivo desta seção é apresentar os resultados dos períodos naturais de Heave
e Sway obtidos através do ensaio em tanque de prova do modelo ITTC, de simulações
de decaimento e através dos resultados de análise modal do modelo, estes dois últimos
realizados no programa Prosim.
Os testes de decaimento numérico compreendem simulações dinâmicas
realizadas sobre um modelo equilibrado, livre de qualquer carregamento ambiental,
quando o mesmo é submetido a um deslocamento inicial capaz de gerar uma resposta
dinâmica correspondente a de uma oscilação livre amortecida.
Como resultado deste teste de decaimento, a taxa de amortecimento do sistema
pode ser encontrada a partir do decaimento das amplitudes sucessivas de resposta [2, 10,
9 e 5] e o período natural amortecido da direção do desequilíbrio pode ser avaliado
através do tempo decorrido de um ciclo de movimento da unidade flutuante.
No modelo ITTC do Prosim, aplicou-se deslocamentos iniciais de 1m e 3m para
os testes de decaimento de heave e sway respectivamente. Os históricos de
deslocamento são apresentados nas Figuras 8.5 e 8.6. Em seqüência, a Tabela 8.7 aponta
os resultados dos períodos obtidos nestes testes de decaimento, assim como o resultado
do ensaio do ITTC em tanque de provas [61] e o resultado obtido pela análise modal do
método de Jacobi Generalizado implementado no programa Prosim.
167
Decaimento em HEAVE
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 102030405060708090100
HEAVE
Figura 8.5 – Teste de decaimento de Heave no programa Prosim
Decaimento em SWAY
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
SWAY
Figura 8.6 – Teste de decaimento em sway no programa Prosim
Tabela 8.7 – Períodos Naturais do ensaio ITTC, teste de decaimento e análise modal
no Prosim
Período Natural - Posição de Projeto (s)
Ensaio tanque Decaimento - Prosim Jacobi G.- Prosim
Heave
24,25 22,8 23,62
Sway
524,8 459 459,86
Observando a Tabela 8.7 percebe-se que o período natural do método de Jacobi
Generalizado, se aproxima do período natural amortecido do teste de decaimento,
168
estando este último um pouco abaixo do primeiro em virtude do período natural do
sistema diminuir quanto maior a taxa de dissipação de energia do meio (
ω=ω
n
(1-ζ
2
)).
Note que o método de Jacobi Generalizado, conforme explicado no Capítulo 4 resolve o
problema de análise modal, onde apenas as parcelas de massa e rigidez são
consideradas, e por isso os autovalores solucionados nada mais são do que o quadrado
das freqüências naturais do sistema, sem qualquer tipo de amortecimento.
Percebe-se também que embora os períodos encontrados no teste de decaimento e
através do método de Jacobi ficaram muito próximos, eles se afastaram em sway da
resposta obtida no ensaio ITTC. Diferenças desta ordem foram encontradas também na
referência [61] em que se utilizou um método analítico para o cálculo de períodos
naturais com a finalidade de comparar com os resultados medidos nos ensaios. Este
método nada mais é do que a aplicação da hipótese de que o período natural do sistema
pode ser encontrado simplificadamente por T = 2
π [(M
estrutural
+ M
adicionada
)/K]
1/2
. Sendo
K o coeficiente de rigidez do sistema na direção de sway, medido no tanque. Segundo a
referência [61], a massa adicionada foi calculada segundo a norma DNV [58].
Observe que considerar que o período natural T depende apenas da rigidez e
massa adicionada naquela direção é uma simplificação que acaba resultando (pela perda
de acoplamento entre os graus de liberdade) no cálculo de menores períodos naturais. E
aí está mais uma vantagem de se usar o Método de Jacobi Generalizado: levar em
consideração, para cálculo dos períodos naturais, todos os termos da matriz de rigidez e
da matriz de massa de um modelo.
A Tabela 8.8 reproduz os resultados encontrados naquela referência, e mais uma
vez aponta os resultados gerados pelo Método de Jacobi Generalizado.
Tabela 8.8 – Períodos Naturais do ensaio ITTC x modelo analítico de [61] x Jacobi G.
Período Natural - Posição de Projeto (s)
Ensaio tanque Método Analítico Jacobi G.- Prosim
Heave
24,25 23,92 23,62
Sway
524,8 431,7 459,86
Ainda na referência [61], nota-se que ensaios de testes de decaimento de heave e
roll sem amarração foram realizados no tanque para três profundidades diferentes. E os
resultados de massa adicional aferida nestas duas direções variaram consideravelmente
nos três ensaios, chegando a 10% de diferença entre os ensaios em lâmina d’água de
1050 m e 224 m (Tabela 8.4 de [61]). Isto, no entanto, não deveria ocorrer, uma vez que
169
o modelo do casco dos três ensaios era o mesmo e ele encontrava-se sem amarração
(configuração “free floating”).
Conclui-se então que se erros desta ordem ocorreram com o sistema sem
amarração, não haveria justificativas para diferenças significativas não ocorrerem no
modelo com amarração (mais complexo), ou em outras palavras, não haveria
justificativa para que não tivessem ocorrido erros na montagem do modelo reduzido
e/ou na aquisição de resultados dos ensaios experimentais.
Não ficou claro, também naquela refêrencia, quais valores de massas
adicionadas que se correlacionam com os períodos naturais experimentais das Tabelas
8.7 e 8.8.
No entanto, supondo que a diferença entre a massa adicional da plataforma do
modelo experimental e do método de Jacobi Generalizado seria o maior responsável
pelas diferenças entre os períodos naturais, e admitindo hipoteticamente que o resultado
experimental apresentado na Tabela 8.7 representa rigorosamente o modelo em escala
real, pode-se ajustar facilmente os parâmetros de massa adicional do casco do modelo
do Prosim de forma que seus resultados de períodos naturais se aproximem do ensaio.
Redefinindo no Prosim os coeficientes hidrodinâmicos de massa adicional dos
cilindros que compõem o pontoon e as colunas (Tabela 8.10), novos períodos naturais
de heave e sway são encontrados, Tabela 8.9.
Tabela 8.9 – Períodos Naturais do ensaio ITTC e análise modal Prosim (novo CA)
Período Natural - Posição de Projeto (s)
Ensaio tanque
Analise Modal - Prosim
Heave
24,25 24,83
Sway
524,8 524,69
Tabela 8.10 – Coeficientes Hidrodinâmicos alterados no modelo do Prosim.
Cilindro CA1 CA2
1
2.4 0.85
2
2.4 0.85
3
2.4 0.7
4
2.4 0.7
5
2.4 0.7
6
2.4 0.7
7
1.2 1.2
8
1.2 1.2
9
1.2 1.2
10
1.2 1.2
170
Observe que este artifício de manipulação de coeficientes de massa adicional só
é recomendado quando se conhece os valores de massa adicional da unidade flutuante
em questão, seja por ensaios, seja através de resultados de um programa de difração.
É bom reafirmar que independente dos resultados experimentais, fica claro que
os testes de decaimento numérico geram períodos de oscilação que de fato se
aproximam dos calculados pelo método de Jacobi Generalizado implementado no
Prosim.
A seguir iniciam-se os itens relacionados aos resultados de períodos naturais do
Prosim calculados ao longo de uma simulação dinâmica onde o CASO 1 e 2 de
combinação ambiental, Tabela 8.6, age sobre o sistema (permanecendo os valores de
coeficientes hidrodinâmicos da Tabela 8.3).
8.2.6 RESPOSTAS DOS PERÍODOS NATURAIS AO LONGO DE UMA
SIMULAÇÃO DINÂMICA
Nesta seção, apresentam-se resultados de duas simulações dinâmicas acopladas,
nas quais o CASO 1 e 2 de carregamento ambiental, apresentados na Tabela 8.6, atua
sobre o sistema. O objetivo aqui é mostrar a variação dos períodos naturais do mesmo
ao longo da simulação dinâmica.
Recorda-se, como apresentado no Capítulo 4, que a cada passo de tempo da
simulação dinâmica é possível encontrar o período natural do sistema. Naquele instante,
a solução dinâmica é interrompida, entra-se num algoritmo de solução estática,
encontra-se um vetor de força estática resultante no casco com o sistema na
configuração vinda da dinâmica e um vetor de força estática resultante da aplicação de
um pequeno deslocamento em um dos graus de liberdade da unidade. A diferença entre
estes dois vetores de força, dividido pelo deslocamento imposto, resulta no vetor de
rigidez (correspondente à linha da matriz de rigidez global do grau de liberdade em que
foi imposto o deslocamento).
Repetindo a operação de aplicação de um deslocamento estático em todos os
graus de liberdade monta-se a matriz de rigidez global do sistema. Depois de montada e
conhecida a matriz de massa do casco proveniente daquele instante da simulação
dinâmica, entra-se no algoritmo de solução de Jacobi Generalizado para cálculo de
autovalores e autovetores, e conseqüentemente, dos períodos naturais do sistema. Volta-
se então para a análise dinâmica com a mesma configuração do passo dinâmico anterior,
171
dando continuidade ao processo até o final da simulação. Os resultados obtidos na etapa
de solução do problema de autovalor e autovetor serão apresentados a seguir.
Antes, porém, de se apresentar as respostas de períodos naturais, um item
específico será aberto para apresentar os gráficos de movimento de surge e sway da
unidade flutuante, bem como o gráfico de deslocamento de heave e de elevação de onda
atuante na unidade flutuante.
Após a apresentação das repostas do modelo ITTC sobre os casos de
carregamento 1 e 2, comentários finais sobre a variação dos períodos naturais ao longo
da simulação dinâmica serão expostos. E como complemento a esta abordagem, as
respostas de rigidez e massa dos termos fora da diagonal, cujos históricos não foram
mostrados, serão apresentadas através de tabelas estatísticas presentes ao final desta
seção.
172
Resultados do Modelo ITTC: CASO 1
Apenas a simulação dinâmica foi realizada sobre este modelo. O tempo total de
análise e o intervalo de integração do sistema (casco e das linhas) foram
respectivamente de 2000s e 0.1s, e o método utilizado para a integração do casco foi o
de Runge-Kuta de quarta ordem, enquanto para as linhas fez-se uso do método de
Newmark com o parâmetro alfaB de -0.3 [13, 27].
O trecho suspenso das linhas foi discretizado em elementos finitos de treliça de
10m, enquanto o trecho apoiado foi discretizado em elementos que variaram em
progressão aritmética de 20m a 30m, gerando um total de 202 elementos por linha.
O deslocamento aplicado em cada grau de liberdade para análise da rigidez do
sistema foi de 0,1m nos graus de liberdade de translação (surge, sway e heave) e 0,1
graus nos de rotação (roll, pitch e yaw).
Note que embora o tempo total tenha sido de 2000s, a janela de tempo dos
gráficos varia para destacar melhor os resultados.
Movimento da Unidade Flutuante: Caso 1
Movimento Surge e Sway
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Tempo (s)
Movimento (m)
SURGE
SWAY
Figura 8.7 – Movimentos de surge e sway do modelo ITTC para o CASO 1
173
Elevação da Onda e Movimento de Heave
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Movimento (m)
WAVE-EL
HEAVE
Figura 8.8 – Movimentos de heave e elevação de onda do modelo ITTC para o
CASO1
174
Resultados de Surge: Caso 1
Rigidez: SURGE
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig.Surge
Figura 8.9 – Rigidez em surge do modelo ITTC para o CASO 1
Massa: Surge
40000
40500
41000
41500
42000
42500
43000
43500
44000
44500
45000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Surge
Figura 8.10 – Massa estrutural mais massa adicional em surge do modelo ITTC para o
CASO 1
175
Período Natural de Surge
1410
1420
1430
1440
1450
1460
1470
1480
1490
1500
1510
1520
1530
1540
1550
1560
1570
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Surge
Figura 8.11 – Período natural em surge do modelo ITTC para o CASO 1
Resultados de Sway: Caso 1
Rigidez: SWAY
0
2
4
6
8
10
12
14
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig.Sway
Figura 8.12 – Rigidez em sway do modelo ITTC para o CASO 1
176
Massa Sway
50000
50500
51000
51500
52000
52500
53000
53500
54000
54500
55000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Sway
Figura 8.13 – Massa estrutural mais massa adicional em sway do modelo ITTC para o
CASO 1
Período Natural de Sway
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (s)
Período Natural (s)
Sway
Figura 8.14 – Período natural em sway do modelo ITTC para o CASO 1
177
Resultados de Heave: Caso 1
Rigidez: HEAVE
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig. Heave
Figura 8.15 – Rigidez em heave do modelo ITTC para o CASO 1
Masas Heave
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Masas Heave
Figura 8.16 – Massa estrutural mais massa adicional em heave do modelo ITTC para
o CASO 1
178
Período Natural de Heave
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (s)
Período Natural (s)
Heave
Figura 8.17 – Período natural em heave do modelo ITTC para o CASO 1
Resultados de Roll: Caso 1
Rigidez: ROLL
0.00E+00
1.00E+05
2.00E+05
3.00E+05
4.00E+05
5.00E+05
6.00E+05
7.00E+05
8.00E+05
9.00E+05
1.00E+06
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Roll
Figura 8.18 – Rigidez em roll do modelo ITTC para o CASO 1
179
Massa Roll
0
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Massa Roll
Figura 8.19 – Massa estrutural mais massa adicional em roll do modelo ITTC para o
CASO 1
Período Natural de Roll
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Roll
Figura 8.20 – Período natural em roll do modelo ITTC para o CASO 1
180
Resultados de Pitch: Caso 1
Rigidez: PITCH
0.00E+00
5.00E+05
1.00E+06
1.50E+06
2.00E+06
2.50E+06
3.00E+06
3.50E+06
4.00E+06
4.50E+06
5.00E+06
5.50E+06
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Pitch
Figura 8.21 – Rigidez em pitch do modelo ITTC para o CASO 1
Masas Pitch
0
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
100000000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Masas Pitch
Figura 8.22 – Massa estrutural mais massa adicional em pitch do modelo ITTC para o
CASO 1
181
Período Natural de Pitch
0
5
10
15
20
25
30
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Pitch
Figura 8.23 – Período natural em pitch do modelo ITTC para o CASO 1
Resultados de Yaw: Caso 1
Rigidez:YAW
0.00E+00
1.00E+04
2.00E+04
3.00E+04
4.00E+04
5.00E+04
6.00E+04
7.00E+04
8.00E+04
9.00E+04
1.00E+05
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Yaw
Figura 8.24 – Rigidez em yaw do modelo ITTC para o CASO 1
182
Massa Yaw
0
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Massa Yaw
Figura 8.25 – Massa estrutural mais massa adicional em yaw do modelo ITTC para o
CASO 1
Período Natural de Yaw
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (s)
Período Natural (s)
Yaw
Figura 8.26 – Período natural em yaw do modelo ITTC para o CASO 1
183
Resultados do Modelo ITTC: CASO 2
Todas as informações descritas para o caso 1, com respeito ao tempo total de
análise, algoritmo de integração, malha de E.F utilizada se repetem no estudo deste
caso, uma vez que o modelo é idêntico e a única variável alterada é o carregamento
externo.
Novamente note que embora o tempo total tenha sido de 2000s, a janela de tempo
dos gráficos varia para destacar melhor os resultados.
Movimento da Unidade Flutuante: Caso 2
Movimento de Surge e Sway
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Movimento (m)
SURGE
SWAY
Figura 8.27 – Movimentos de surge e sway do modelo ITTC para o CASO 2
184
Elevação da Onda e Movimento de Heave
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (s)
Movimento (m)
WAVE-EL
HEAVE
Figura 8.28 – Movimentos de heave e elevação de onda do modelo ITTC para o
CASO 2
185
Resultados de Surge: Caso 2
Rigidez: SURGE
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig.Surge
Figura 8.29 – Rigidez em surge do modelo ITTC para o CASO 2
Massa Surge
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Surge
186
Figura 8.30 – Massa estrutural mais massa adicional em surge do modelo ITTC para o
CASO 2
Período Natural de Surge
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Surge
Figura 8.31 – Período natural em surge do modelo ITTC para o CASO 1
Resultados de Sway: Caso 2
Rigidez: SWAY
0
5
10
15
20
25
30
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig.Sway
Figura 8.32 – Rigidez em sway do modelo ITTC para o CASO 2
187
Massa Sway
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Sway
Figura 8.33 – Massa estrutural mais massa adicional em sway do modelo ITTC para o
CASO 2
Período Natural de Sway
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Sway
Figura 8.34 – Período natural em sway do modelo ITTC para o CASO 2
188
Resultados de Heave: Caso 2
Rigidez: HEAVE
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig. Heave
Figura 8.35 – Rigidez em heave do modelo ITTC para o CASO 2
Masas Heave
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Massa (t)
Masas Heave
Figura 8.36 – Massa estrutural mais massa adicional em heave do modelo ITTC para
o CASO 2
189
Período Natural de Heave
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Heave
Figura 8.37 – Período natural em heave do modelo ITTC para o CASO 2
Resultados de Roll: Caso 2
Rigidez: ROLL
0.00E+00
2.00E+05
4.00E+05
6.00E+05
8.00E+05
1.00E+06
1.20E+06
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Roll
Figura 8.38 – Rigidez em roll do modelo ITTC para o CASO 2
190
Massa Roll
0
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Massa Roll
Figura 8.39 – Massa estrutural mais massa adicional em roll do modelo ITTC para o
CASO 2
Período Natural de Roll
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Roll
Figura 8.40 – Período natural em roll do modelo ITTC para o CASO 2
191
Resultados de Pitch: Caso 2
Rigidez: PITCH
0.00E+00
1.00E+06
2.00E+06
3.00E+06
4.00E+06
5.00E+06
6.00E+06
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Pitch
Figura 8.41 – Rigidez em pitch do modelo ITTC para o CASO 2
Masas Pitch
0
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
100000000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Masas Pitch
Figura 8.42 – Massa estrutural mais massa adicional em pitch do modelo ITTC para o
CASO 2
192
Período Natural de Pitch
0
5
10
15
20
25
30
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Pitch
Figura 8.43 – Período natural em pitch do modelo ITTC para o CASO 2
Resultados de Yaw: Caso 2
Rigidez | Momento Atual e Anterior:YAW
0.00E+00
1.00E+04
2.00E+04
3.00E+04
4.00E+04
5.00E+04
6.00E+04
7.00E+04
8.00E+04
9.00E+04
1.00E+05
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Momento (kN.m) | Rigidez (kN)
Rig. Yaw
Figura 8.44 – Rigidez em yaw do modelo ITTC para o CASO 2
193
Massa Yaw
0
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Massa Yaw
Figura 8.45 – Massa estrutural mais massa adicional em yaw do modelo ITTC para o
CASO 2
Período Natural de Yaw
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Tempo (s)
Período Natural (s)
Yaw
Figura 8.46 – Período natural em yaw do modelo ITTC para o CASO 2
194
8.2.7 CONCLUSÕES SOBRE AS ANÁLISES DINÂMICAS DO MODELO ITTC
Nas seções anteriores, foram apresentados os gráficos de variação da rigidez,
massa total da unidade flutuante e, conseqüentemente, do período natural do modelo
ITTC, quando o mesmo foi submetido à ação de ondas regulares (CASO 1) e irregulares
(CASO 2); em ambos os casos um mesmo perfil de correnteza foi considerado (Tabela
8.6).
As Tabelas 8.11 e 8.12 mostram os resultados estatísticos dos gráficos
apresentados nas análises do CASO 1 e CASO 2, respectivamente.
Tabela 8.11 – Estatística de períodos naturais: CASO 1
Períodos Naturais: CASO 1
Direção
Posição Projeto
Média* Desvio Padrão* Máximo* Mínimo*
Surge 1560.88 1428.49 2.35 1433.09 1424.84
Sway 459.86 477.40 46.56 570.46 407.84
Heave 23.62 23.58 0.10 23.73 23.46
Roll 60.29 59.66 0.30 60.14 59.15
Pitch 27.32 27.27 0.33 27.73 26.81
Yaw 214.84 210.36 4.38 216.42 203.54
* após 800 segundos de simulação
Tabela 8.12 – Estatística de períodos naturais: CASO 2
Períodos Naturais: CASO 2
Direção
Posição Projeto
Média* Desvio Padrão* Máximo* Mínimo*
Surge 1560.88 1424.66 4.63 1440.61 1409.30
Sway 459.86 416.94 2.19 422.96 410.74
Heave 23.62 23.58 0.02 23.62 23.53
Roll 60.29 59.53 0.65 62.32 57.56
Pitch 27.32 27.28 0.25 28.11 26.37
Yaw 214.84 212.21 7.43 247.54 196.45
* após 800 segundos de simulação
Estes resultados mostram que os períodos naturais de surge e sway da unidade
flutuante variaram significativamente entre a posição de projeto e a posição média de
equilíbrio da simulação dinâmica (após 800s de simulação). Já os períodos naturais dos
outros graus de liberdade da unidade não sofreram muitas variações quando se compara
o resultado da posição de projeto com a média estatística.
Nota-se também que o desvio padrão de sway do CASO 1 é de 46.56 segundos,
enquanto no CASO 2 é de apenas 2.19 segundos. A razão desta variação pode ser
entendida observando o gráfico de rigidez de sway destes dois casos (Figuras 8.12 e
8.32). Observe que o histórico de rigidez da Figura 8.12 apresenta amplitude de resposta
195
próxima a 20% de sua média, gerando, conseqüentemente, o alto valor de desvio padrão
do período natural de sway.
Desvios padrões significativos podem também ser observados em surge e yaw
nos dois casos estudados. É interessante notar também que o movimento angular de roll
do CASO 2, embora tenha apresentado desvio padrão de 0,65 segundos, durante a
simulação ele adquiriu valores máximos e mínimos de 62,32 segundos e 57,56
segundos, respectivamente. Ou seja, apresentou diferenças de picos extremos próximas
a 5 segundos, ou 8% com relação ao período médio. Embora o modelo esteja longe de
entrar em ressonância, esta observação é importante, pois não deixa de ser um
parâmetro indicador das não linearidades do modelo, justificando a importância de se
considerar as variações de rigidez e massa adicionada do mesmo.
Como complemento dos estudos de análise modal, resultados estatísticos da
variação da rigidez e massa total do modelo ITTC ao longo da dinâmica acoplada são
apontados nas tabelas seguintes. A Tabela 8.13 apresenta a matriz de rigidez do modelo
em sua posição de projeto. Já as Tabelas 8.14 e 8.15 mostram os valores estatísticos da
matriz de rigidez variante ao longo das simulações dinâmicas do CASO 1 e 2,
respectivamente. E por fim, as Tabelas 8.16, 8.17 e 8.18 equivalem às Tabelas 8.13,
8.14 e 8.15, porém sob o aspecto da massa total da unidade flutuante (massa estrutural
mais massa adicional).
196
Tabela 8.13 – Matriz de Rigidez do Modelo ITTC na posição de Projeto
Matriz de Rigidez na Posição de Projeto
1 2 3 4 5 6
1 0.69 0.00 0.01 -0.02 -2.41 0.95
2 0.00 10.26 0.33 -274.67 0.00 0.00
3 0.00 31.03 5565.14 -37.71 0.00 0.00
4 0.00 -279.08 2818.74 873957.65 0.00 0.00
5 -2.41 -0.06 -11.66 28.00 4664927.57 -27427.61
6 552.09 1.45 0.41 17.58 2410.28 70928.18
Tabela 8.14 – Matriz de Rigidez do Modelo ITTC pela simulação dinâmica do CASO1
Matriz de Rigidez Estatística
Estatística* 1 2 3 4 5 6
Média
1
0.829 0.006 0.010 -0.108 -2.903 19.756
Desv. Pad. 0.001 0.001 0.001 0.018 0.004 0.041
Máximo 0.831 0.007 0.012 -0.078 -2.892 19.810
Mínimo 0.826 0.004 0.009 -0.135 -2.909 19.618
Média
2
0.000 12.275 4.636 -322.398 0.000 0.000
Desv. Pad. 0.000 0.669 36.767 1384.945 0.000 0.000
Máximo 0.000 13.279 56.877 1743.187 0.000 0.000
Mínimo 0.000 11.199 -47.240 -2174.398 0.000 0.000
Média
3
0.000 37.202 5572.074 1848.021 0.000 0.000
Desv. Pad. 0.000 10.257 45.403 1506.776 0.000 0.000
Máximo 0.000 52.788 5635.833 3966.532 0.000 0.000
Mínimo 0.000 23.451 5507.388 -305.698 0.000 0.000
Média
4
0.000 -564.428 3244.663 890075.231 0.000 0.000
Desv. Pad. 0.000 332.951 2920.582 12576.713 0.000 0.000
Máximo 0.000 -97.281 7276.401 904386.556 0.000 0.000
Mínimo 0.000 -1050.823 -1021.277 867925.443 0.000 0.000
Média
5
130.310 0.033 -12.102 74.392 4667614.081 -249710.238
Desv. Pad. 462.963 0.270 1.935 44.250 112583.478 2234.920
Máximo 801.644 0.476 -8.974 139.396 4827348.853 -244043.384
Mínimo -534.040 -0.306 -17.140 -7.293 4509261.122 -252990.930
Média
6
600.885 1.786 0.201 7.552 -7215.270 87560.864
Desv. Pad. 288.646 0.679 0.184 83.594 48883.629 2938.906
Máximo 1063.278 2.853 0.466 127.212 62199.575 92255.220
Mínimo 247.264 0.924 -0.138 -111.341 -76330.550 83611.799
197
Tabela 8.15 – Matriz de Rigidez do Modelo ITTC pela simulação dinâmica do CASO2
Matriz de Rigidez Estatística
Estatística* 1 2 3 4 5 6
Média
1
0.834 0.006 0.010 -0.113 -2.917 20.036
Desv. Pad. 0.003 0.001 0.002 0.027 0.011 0.193
Máximo 0.841 0.010 0.019 -0.015 -2.882 20.456
Mínimo 0.824 0.001 0.004 -0.202 -2.944 19.491
Média
2
0.000 12.496 4.960 -296.894 0.000 0.000
Desv. Pad. 0.000 0.123 0.137 7.661 0.000 0.000
Máximo 0.000 12.758 5.310 -276.391 0.000 0.000
Mínimo 0.000 12.112 4.514 -321.125 0.000 0.000
Média
3
0.000 38.075 5574.414 1907.554 0.000 0.000
Desv. Pad. 0.000 14.001 4.338 515.575 0.000 0.000
Máximo 0.000 101.707 5590.651 3418.735 0.000 0.000
Mínimo 0.000 8.518 5563.866 324.029 0.000 0.000
Média
4
0.000 -582.570 3321.827 897014.331 0.000 0.000
Desv. Pad. 0.000 468.613 1306.892 19540.117 0.000 0.000
Máximo 0.000 874.281 10151.406 959653.803 0.000 0.000
Mínimo 0.000 -2749.806 705.816 817127.147 0.000 0.000
Média
5
138.341 0.090 -11.949 71.920 4660869.354 -256472.816
Desv. Pad. 616.893 0.765 3.151 65.207 84435.517 45649.889
Máximo 2883.907 12.002 -5.497 141.065 4983344.916 -110805.206
Mínimo -1933.290 -0.615 -52.413 -1010.501 4397773.654 -397317.719
Média
6
612.434 1.830 0.239 6.307 -7661.427 87596.031
Desv. Pad. 320.788 0.792 0.554 24.651 839.025 1164.731
Máximo 2187.177 6.591 1.364 104.384 -3668.236 90520.805
Mínimo 56.498 0.391 -12.294 -385.943 -9753.083 83161.869
* após 800 segundos de simulação
198
Tabela 8.16 – Matriz de Massa do Modelo ITTC na posição de Projeto
Matriz de Massa na Posição de Projeto
1 2 3 4 5 6
1 42566.22 0 0 0 -40306.8 4.515
2 0 54329.26 -0.358 213030.4 0 0
3 0 -0.358 78622.93 3.038 0 0
4 0 213030.4 3.038 81520909 0 0
5 -40306.8 0 0 0 88206297 13.715
6 4.515 0 0 0 13.715 82731163
Tabela 8.17 – Matriz de Massa do Modelo ITTC pela simulação dinâmica do CASO 1
Matriz de Massa Estatística: CASO 1
Estatística* 1 2 3 4 5 6
Média
1
42603.37 0.00 0.00 0.00 -39592.34 22055.80
Desv. Pad. 187.70 0.00 0.00 0.00 667.81 9418.24
Máximo 42866.12 0.00 0.00 0.00 -38644.83 35422.92
Mínimo 42335.19 0.00 0.00 0.00 -40550.47 8642.97
Média
2
0.00 54419.20 -1109.71 212115.78 0.00 0.00
Desv. Pad. 0.00 176.59 247.26 435.91 0.00 0.00
Máximo 0.00 54663.79 -754.24 212722.67 0.00 0.00
Mínimo 0.00 54163.62 -1461.04 211454.73 0.00 0.00
Média
3
0.00 -1109.71 78570.14 9223.32 0.00 0.00
Desv. Pad. 0.00 247.26 25.04 2432.90 0.00 0.00
Máximo 0.00 -754.24 78604.23 12677.05 0.00 0.00
Mínimo 0.00 -1461.04 78532.54 5735.40 0.00 0.00
Média
4
0.00 212115.78 9223.32 81523375.91 0.00 0.00
Desv. Pad. 0.00 435.91 2432.90 5509.41 0.00 0.00
Máximo 0.00 212722.67 12677.05 81531063.05 0.00 0.00
Mínimo 0.00 211454.73 5735.40 81515452.30 0.00 0.00
Média
5
-39592.34 0.00 0.00 0.00 88210191.85 69351.82
Desv. Pad. 667.81 0.00 0.00 0.00 9619.65 31722.05
Máximo -38644.83 0.00 0.00 0.00 88223742.36 116010.92
Mínimo -40550.47 0.00 0.00 0.00 88196542.41 25454.03
Média
6
22055.80 0.00 0.00 0.00 69351.82 82793673.13
Desv. Pad. 9418.24 0.00 0.00 0.00 31722.05 307669.85
Máximo 35422.92 0.00 0.00 0.00 116010.92 83223537.29
Mínimo 8642.97 0.00 0.00 0.00 25454.03 82353285.93
* após 800 segundos de simulação
199
Tabela 8.18 – Matriz de Massa do Modelo ITTC pela simulação dinâmica do CASO 2
Matriz de Massa Estatística: CASO 2
Estatística* 1 2 3 4 5 6
Média
1
42576.31 0.00 0.00 0.00 -39542.02 22786.10
Desv. Pad. 292.01 0.00 0.00 0.00 947.16 11144.69
Máximo 43484.95 0.00 0.00 0.00 -35672.36 55941.21
Mínimo 41555.91 0.00 0.00 0.00 -41668.64 -15166.05
Média
2
0.00 54397.16 -1147.29 212027.24 0.00 0.00
Desv. Pad. 0.00 283.26 273.30 772.64 0.00 0.00
Máximo 0.00 55274.47 -290.97 213657.73 0.00 0.00
Mínimo 0.00 53395.84 -1924.16 208669.43 0.00 0.00
Média
3
0.00 -1147.29 78565.12 9520.51 0.00 0.00
Desv. Pad. 0.00 273.30 28.12 2639.77 0.00 0.00
Máximo 0.00 -290.97 78645.01 17017.52 0.00 0.00
Mínimo 0.00 -1924.16 78458.19 1530.72 0.00 0.00
Média
4
0.00 212027.24 9520.51 81523095.47 0.00 0.00
Desv. Pad. 0.00 772.64 2639.77 6917.15 0.00 0.00
Máximo 0.00 213657.73 17017.52 81550432.81 0.00 0.00
Mínimo 0.00 208669.43 1530.72 81501826.34 0.00 0.00
Média
5
-39542.02 0.00 0.00 0.00 88209872.20 70758.74
Desv. Pad. 947.16 0.00 0.00 0.00 11369.11 39084.77
Máximo -35672.36 0.00 0.00 0.00 88249188.04 195249.53
Mínimo -41668.64 0.00 0.00 0.00 88178005.83 -58602.31
Média
6
22786.10 0.00 0.00 0.00 70758.74 82747972.00
Desv. Pad. 11144.69 0.00 0.00 0.00 39084.77 492636.91
Máximo 55941.21 0.00 0.00 0.00 195249.53 84278701.38
Mínimo -15166.05 0.00 0.00 0.00 -58602.31 81012430.68
200
8.3 MODELO SEMI-SUB
O modelo SEMI-SUB é o segundo exemplo deste trabalho em que seus modos de
vibração foram solucionados pelo método de Jacobi Generalizado implementado no
programa Prosim Aqui, ao contrário do modelo ITTC, não existem resultados
experimentais, e por isso, apenas os resultados de períodos naturais do Prosim serão
apresentados.
Figura 8.47 – Vista 3D do modelo
O modelo proposto aqui é genérico, visando representar uma plataforma de
produção similar às instaladas em águas profundas.
Este modelo possui uma lâmina d’água de 1800m e fundo plano horizontal. A
unidade possui aproamento de 90 graus com o Norte e suas linhas de ancoragem
apresentam azimutes diferenciados, diferente do modelo ITTC descrito anteriormente,
de forma a garantir o posicionamento da plataforma próximo a sua posição de projeto
para qualquer sentido de ação de carregamento ambiental.
Mais uma vez reforça-se que o modelo hidrodinâmico para o tratamento deste
casco no Prosim será o modelo híbrido (DFKM) apresentado no Capitulo 2, porém,
diante da falta de dados de difração, apenas a parcela de força de onda de primeira
201
ordem será avaliada pelo programa. Ressalta-se que a parcela de força de segunda
ordem desconsiderada aumentaria o passeio sofrido pela plataforma pela ação de ondas,
no entanto, isto não influencia nas conclusões gerais deste trabalho.
8.3.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E HIDRODINÂMICAS DA UNIDADE
As principais características geométricas da plataforma estão expostas nas Tabelas
8.19 e 8.20. A Figura 8.48 destaca a geometria submersa da plataforma através de uma
malha de painéis. Em seqüência, a Tabela 8.21 descreve as dimensões geométricas dos
cilindros que representam a semi-submersível modelada no Prosim. Neste modelo,
apenas 8 cilindros foram necessário para fechar a geometria de suas quatro colunas e
quatro pontoons. A Figura 8.49 apresenta então o modelo do casco no Prosim pela
composição dos cilindros.
Tabela 8.19 – Características Geométricas da semi-submersível ITTC.
Propriedade
V
alores (escala real)
Comprimento (M) 91,5
Calado (M) 20,5
Boca (M) 88,4
Altura (M) 43,0
Cg X (M) 0,0
Cg Y (M) 0,0
Cg Z (M) 24,0
Raio de Giração (Roll) (M) 35,0
Raio de Giração (Pitch) (M) 35,0
Raio de Giração (Yaw) (M) 37,0
Empuxo (T) 65922
Área de Vento x Coef. Forma 2500
Altura do Cetróide da Área de Vento 37,6
Observe que os valores de raio de giração e CG da Tabela 8.19 representam
apenas estimativas baseadas em unidades similares, não tendo sido derivados de
condição de carregamento.
Tabela 8.20 – Geometria das colunas e pontoons
Coluna Circula
r
Pontoon Longitudinal Pontton Transversal
Número 4 2 2
Altura (m) 40 10 10
Diâmetro (m) 20.742 - -
Largura (m) - 20 20
Raio de Adoçamento (m) - 1 1
Comprimento (m) - 50 46.9
202
Figura 8.48 – Modelo em painéis, destacando a parte inferior da plataforma (ponttons
e o início das colunas)
203
Tabela 8.21 – Dimensões Geométricas da semi-submersível modelada por cilindros
no Prosim.
Cilindro
X1 (m) Y1 (m) Z1 (m) X1 (m) Y1 (m)
Z1
(m)
Diâm. Horiz
(m)
Diâm. Vertical
(m)
Área
(m2)
1
33.75 -25 5 33.75 25 5 24.955 10
117
2
-33.75 -25 5 -33.75 25 5 24.955 10
117
3
33.75 33.75 0 33.75 33.75 40 20.742 20.742
105
4
-33.75 33.75 0 -33.75 33.75 40 20.742 20.742
105
5
-33.75 -33.75 0 -33.75 -33.75 40 20.742 20.742
105
6
33.75 -33.75 0 33.75 -33.75 40 20.742 20.742
105
7
-23.45 33.75 5 23.45 33.75 5 24.955 10
79
8
-23.45 -33.75 5 23.45 -33.75 5 24.955 10
79
Figura 8.49 – Modelo de Cilindros do programa Prosim
Os coeficientes hidrodinâmicos de arraste e massa adicional foram calibrados
como recomendado pela DNV [58] e são apresentados na Tabela 8.22.
204
Tabela 8.22 – Coeficientes Hidrodinâmicos da semi-submersível modelada por
cilindros no Prosim.
Cilindro CD1 CD2 CA1 CA2 CDaxial1 CDaxial2 CAaxial1 CAaxial2
1
1.69 2 0.8 1.45 0 0 0 0
2
1.69 2 0.8 1.45 0 0 0 0
3
1.69 2 0.8 1.45 1 0 1 0
4
1.69 2 0.8 1.45 1 0 1 0
5
1.69 2 0.8 1.45 1 0 1 0
6
1.69 2 0.8 1.45 1 0 1 0
7
1.69 2 0.8 1.45 0 0 0 0
8
1.69 2 0.8 1.45 0 0 0 0
8.3.2 CARACTERÍSTICAS DAS LINHAS DE ANCORAGENS E RISERS
Este modelo é composto por 16 linhas de ancoragens e 48 risers. O sistema de
ancoragem possui configuração de catenária convencional com quatro linhas por corner,
como ilustrado na Figura 8.50.
Figura 8.50 – Modelo de Cilindros do programa Prosim
205
Cada linha é composta por trechos de amarra e cabo de aço. As características das
linhas podem ser observadas nas Tabelas 8.23, 8.24 e 8.25. Já os risers, foram
modelados conforme a Tabela 8.26.
206
Tabela 8.23 – Características geométricas das linhas de ancoragem do modelo SEMI-
SUB.
Modelo1
Comprimentos Pagos (m)
Azimute
(graus)
Pré-tração
(kN)
Amarra de Fundo Cabo de
Aço
Amarra de Topo
Linha 1 1400 1800 195,3 37.5 3190
Linha 2 1400 1800 195,3 52.5 3190
Linha 3 1400 1800 195,3 47.5 3190
Linha 4 1400 1800 195,3 42.5 3190
Linha 5 1400 1800 195,3 322.5 3190
Linha 6 1400 1800 195,3 317.5 3190
Linha 7 1400 1800 195,3 312.5 3190
Linha 8 1400 1800 195,3 307.5 3190
Linha 9 1400 1800 195,3 232.5 3190
Linha 10 1400 1800 195,3 227.5 3190
Linha 11 1400 1800 195,3 222.5 3190
Linha 12 1400 1800 195,3 217.5 3190
Linha 13 1400 1800 195,3 142.5 3190
Linha 14 1400 1800 195,3 137.5 3190
Linha 15 1400 1800 195,3 132.5 3190
Linha 16 1400 1800 195,3 127.5 3190
Tabela 8.24 – Características físicas dos materiais utilizados.
Amarra R3 -sem malhete Cabo de Aço
Diâmetro Externo Nominal (m) 0.122 0.108
Rigidez Axial (EA -kN) 1102309 1029725
Carga de Ruptura (MBL - kN) 11365 9583
Peso no Ar (kN/m) 2.92 0.62
Peso na
Á
gua (kN/m) 2.54 0.49
Tabela 8.25 – Coordenadas dos Fairleads.
Linha X Y Z
#1 38,39 -44,31 12,00
#2 38,39 -44,31 12,00
#3 38,39 -44,31 12,00
#4 38,39 -44,31 12,00
#5 38,41 44,29 12,00
#6 38,41 44,29 12,00
#7 38,41 44,29 12,00
#8 38,41 44,29 12,00
#9 -38,39 44,31 12,00
#10 -38,39 44,31 12,00
#11 -38,39 44,31 12,00
#12 -38,39 44,31 12,00
#13 -38,40 -44,30 12,00
#14 -38,40 -44,30 12,00
#15 -38,40 -44,30 12,00
#16 -38,40 -44,30 12,00
207
Tabela 8.26 – Características dos Risers.
Nome XAnc YAnc ZAnc
A
zim Tração(kN) Seg Topo Raio Anc.
Exp. Óle 107 -2352 -1800.0 88.4 4700.5 120.0 2333.7
Prod 8" 2247 277 -1800.0 353.1 1571.1 120.0 2240.3
Prod 8" 236 -2250 -1800.0 84.1 1551.8 120.0 2239.1
Prod 8" -109 -2259 -1800.0 92.9 1551.8 120.0 2239.1
Prod 8" -308 -2242 -1800.0 97.9 1580.2 120.0 2240.2
Prod 8" -806 -2114 -1800.0 110.9 1588.0 120.0 2239.2
Prod 8" -957 -2052 -1800.0 115.0 1588.1 120.0 2239.2
Prod 8" -1103 -1978 -1800.0 119.1 1588.1 120.0 2239.2
Prod 8" -2071 -921 -1800.0 156.1 1580.1 120.0 2240.1
Prod 8" -2137 -753 -1800.0 160.6 1575.8 120.0 2240.4
Prod 8" -2180 -615 -1800.0 164.3 1571.3 120.0 2240.5
Prod 8" -2255 -200 -1800.0 175.0 1565.0 120.0 2240.3
Prod 8" -2263 37 -1800.0 181.0 1565.0 120.0 2240.3
Prod 8" -2256 184 -1800.0 184.7 1565.1 120.0 2240.3
Prod 8" -2025 1021 -1800.0 206.6 1559.0 120.0 2240.1
Prod 8" 522 2205 -1800.0 283.1 1572.1 120.0 2240.9
Anul 5" 1954 153 -1800.0 355.6 884.3 120.0 1936.6
Anul 7" 1875 -670 -1800.0 19.6 1340.1 120.0 1967.0
Inj 8" 6 2042 -189 -1800.0 5.4 2184.4 120.0 2028.4
Inj 8" 1 713 -2022 -1800.0 70.6 2338.9 120.0 2095.2
Inj 8" 2 383 -2108 -1800.0 79.8 2346.3 120.0 2095.8
Inj 8" 3 -1125 -1720 -1800.0 123.2 2201.2 120.0 2027.7
Inj 8" 3 -1805 -986 -1800.0 151.5 2195.2 120.0 2028.2
Inj 8" 4 -2028 -421 -1800.0 168.3 2196.3 120.0 2024.9
Inj 8" 4 -2028 307 -1800.0 188.6 2184.5 120.0 2028.5
Inj 8" 5 -1763 1060 -1800.0 210.9 2175.4 120.0 2028.1
Inj 8" 5 -906 1842 -1800.0 243.8 2175.1 120.0 2028.0
Inj 8" 6 -785 1896 -1800.0 247.4 2175.2 120.0 2028.0
Inj 8" 6 -647 1946 -1800.0 251.5 2175.3 120.0 2028.0
Inj 8" 6 -497 1989 -1800.0 255.9 2175.3 120.0 2028.1
Prod7" 8 2224 -561 -1800.0 14.2 1340.2 120.0 2271.0
Prod7" 1 2100 -928 -1800.0 23.8 1340.4 120.0 2271.1
Prod7" 2 -463 -2247 -1800.0 101.7 1360.9 120.0 2271.2
Anul7" 1 1751 -952 -1800.0 28.4 1336.4 120.0 1966.6
Anul7" 3 -552 -1930 -1800.0 105.9 1330.2 120.0 1961.0
Anul5" 6 376 1929 -1800.0 280.8 901.1 120.0 1941.5
GL7" 14 971 -1742 -1800.0 60.9 1336.2 120.0 1966.4
GL7" 23 70 -2007 -1800.0 88.1 1340.6 120.0 1962.8
GL7" 50 -1942 516 -1800.0 194.8 1340.9 120.0 1963.0
Umb_56 1 570 -1074 -1800.0 62.1 794.4 1000.0 1190.0
Umb_56 4 -1178 291 -1800.0 193.8 794.4 1000.0 1190.0
GL8" 16 842 -1864 -1800.0 65.6 1734.0 120.0 1995.9
Umb_88 2 20 -1212 -1800.0 89.3 741.9 1000.0 1189.1
Umb_88 5 -558 1079 -1800.0 242.6 741.9 1000.0 1189.3
ExpG 64 -224 2029 -1800.0 263.5 2409.4 120.0 2019.2
Inj 8" 6 152 2151 -1800.0 274.0 2189.4 120.0 2133.7
Prod7" 5 -2163 769 -1800.0 199.5 1334.0 120.0 2270.3
Prod7" 5 -2111 903 -1800.0 203.0 1334.1 120.0 2270.4
O sistema com risers é representado pelo seguinte diagrama unifilar:
208
Figura 8.51 – Diagrama unifilar do modelo
É importante notar que o sistema de ancoragem utilizado é simétrico, de iguais
pré-trações, ao contrário do arranjo dos risers. Desta forma, o modelo se encontra
inicialmente desequilibrado. Isto justifica a presença de transientes iniciais nas respostas
dinâmicas do modelo, que serão apresentados adiante.
8.3.3 SIMULAÇÃO REALIZADA
Apenas uma simulação dinâmica foi realizada com o modelo SEMI-SUB. O
modelo partiu de sua posição de projeto e com isto será observada toda a trajetória da
variação dos resultados dos períodos naturais da unidade ao longo da simulação
dinâmica, até que uma posição média de equilíbrio do sistema seja atingida pela atuação
de carregamentos externos.
Nesta simulação, os carregamentos externos que atuam sobre o sistema são o de
corrente, vento e onda. Este último obedecendo ao espectro de energia de onda de
Jonswap [13, 1]. Os dados de carregamento ambiental atuantes na simulação dinâmica
são descritos a seguir.
209
8.3.4 DADOS DO CARREGAMENTO AMBIENTAL
Um único caso de carregamento atuou sobre o sistema, correspondente a
condições anuais, conforme apresenta a Tabela 8.27.
Tabela 8.27 – Condições ambientais aplicadas ao sistema
Perfil de Correnteza
Prof. (m) Vel. (m/s) Indo para Azimute (graus)
0 0.72 E 90
100 0.61 E 90
350 0.62 N 0
500 0.72 N 0
1000 0.55 N 0
1250 0.41 N 0
1500 0.27 NNE 22.5
2000 0.33 NE 45
2500 0.22 NE 45
Onda
Hs Tp Vindo de Azimute (graus)
4 8.14 W 90
Vento
Vel (nós) Vindo de Azimute (graus)
46.77 W 90
8.3.5 RESPOSTAS DOS PERÍODOS NATURAIS AO LONGO DE UMA
SIMULAÇÃO DINÂMICA
Nesta seção, apresentam-se resultados de uma simulação dinâmica acoplada do
modelo SEMI-SUB, na qual o carregamento ambiental da Tabela 8.27 atua sobre o
sistema. O objetivo aqui é mostrar a variação dos períodos naturais dos seis graus de
liberdade da unidade flutuante ao longo da simulação dinâmica acoplada do sistema.
O procedimento para o cálculo dos períodos naturais, realizado através do
método de Jacobi Generalizado, é apresentado no Capítulo 4.
Quanto aos resultados obtidos pela simulação, primeiramente um item específico
será aberto para apresentar os gráficos de movimento de surge e sway da unidade
flutuante, bem como o gráfico de deslocamento de heave e de elevação de onda atuante
na unidade flutuante.
Será mostrado a seguir, para cada grau de liberdade da unidade flutuante, o
histórico de rigidez, seguido do histórico de massa adicional e por fim, apresenta-se o
histórico do período natural solucionado.
210
Após a apresentação das repostas do modelo SEMI-SUB, comentários finais
sobre a variação dos períodos naturais ao longo da simulação dinâmica serão expostos.
As respostas dos termos fora da diagonal das matrizes de rigidez e massa do sistema,
embora tenham sido utilizadas no processo de solução do problema de autovalor e
autovetor, não serão apresentados através de gráficos, mas através de tabelas estatísticas
presentes ao final desta seção.
211
Resultados do Modelo SEMI-SUB
Na simulação dinâmica realizada sobre este modelo, o tempo total de análise e o
intervalo de integração do sistema (casco e das linhas) foram respectivamente de 2450s
e 0.1s, e o método utilizado para a integração do casco foi o de Runge-Kutta de quarta
ordem, enquanto para as linhas fez-se uso do método de Newmark com o parâmetro
alfa-B de -0.3 [13, 27].
Todas as linhas foram discretizadas em elementos finitos de treliça que variam de
5 a 50m, onde os menores elementos se concentram no topo e nas regiões de maiores
curvaturas. Observe que o foco deste trabalho está em avaliar os períodos naturais do
sistema flutuante, e para tal, não há necessidade de se gerar um modelo com malhas de
E.F. muito refinadas. Elas devem ser suficientes apenas para receber com precisão o
carregamento de correnteza e gerar respostas confiáveis de tração dinâmica no topo das
linhas.
O deslocamento aplicado em cada grau de liberdade para análise da rigidez do
sistema foi de 0,1m nos graus de liberdade de translação (surge, sway e heave) e 0,1
graus nos de rotação (roll, pitch e yaw).
Embora o tempo total tenha sido de 2450s, a janela de tempo dos gráficos varia
para destacar melhor os resultados.
212
Movimento da Unidade Flutuante
Movimento de Surge e Sway
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Movimento (m)
SURGE
SWAY
Figura 52 – Movimentos de surge e sway do modelo SEMI-SUB
Elevação da Onda e Movimento de Heave
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Tempo (s)
Movimento (m)
WAVE-EL
HEAVE
Figura 53 – Movimentos de heave e elevação de onda do modelo SEMI-SUB
213
Resultados de Surge
Rigidez: SURGE
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig.Surge
Figura 8.54 – Rigidez em surge do modelo SEMI-SUB
Massa Surge
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Surge
Figura 8.55 – Massa estrutural mais massa adicional em surge do modelo SEMI-SUB
214
Período Natural de Surge
0
50
100
150
200
250
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Período Natural (s)
Surge
Figura 8.56 – Período natural em surge do modelo SEMI-SUB
Resultados de Sway
Rigidez: SWAY
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig.Sway
Figura 8.57 – Rigidez em sway do modelo SEMI-SUB
215
Massa Surge
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Surge
Figura 8.58 – Massa estrutural mais massa adicional em sway do modelo SEMI-SUB
Período Natural de Sway
0
50
100
150
200
250
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Período Natural (s)
Sway
Figura 8.59 – Período natural em sway do modelo SEMI-SUB
216
Resultados de Heave
Rigidez | Força Atual e Anterior: HEAVE
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Força (kN) | Rigidez (kN/m)
Rig. Heave
Figura 8.60 – Rigidez em heave do modelo SEMI-SUB
Masas Heave
0
50000
100000
150000
200000
250000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Masas Heave
Figura 8.61 – Massa estrutural mais massa adicional em heave do modelo SEMI-SUB
217
Período Natural de Heave
0
5
10
15
20
25
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Período Natural (s)
Heave
Figura 8.62 – Período natural em heave do modelo SEMI-SUB
Resultados de Roll
Rigidez | Momento Atual e Anterior: ROLL
0.00E+00
1.00E+06
2.00E+06
3.00E+06
4.00E+06
5.00E+06
6.00E+06
7.00E+06
8.00E+06
9.00E+06
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Momento (kN) | Rigidez (kN)
Rig. Roll
Figura 8.63 – Rigidez em roll do modelo SEMI-SUB
218
Massa Roll
165000000
165200000
165400000
165600000
165800000
166000000
166200000
166400000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Massa Roll
Figura 8.64 – Massa estrutural mais massa adicional em roll do modelo SEMI-SUB
Período Natural de Roll
0
5
10
15
20
25
30
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Período Natural (s)
Roll
Figura 8.65 – Período natural em roll do modelo SEMI-SUB
219
Resultados de Pitch
Rigidez: PITCH
0.00E+00
1.00E+06
2.00E+06
3.00E+06
4.00E+06
5.00E+06
6.00E+06
7.00E+06
8.00E+06
9.00E+06
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Pitch
Figura 8.66 – Rigidez em pitch do modelo SEMI-SUB
Masas Pitch
165000000
165500000
166000000
166500000
167000000
167500000
168000000
168500000
169000000
169500000
170000000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Masas Pitch
Figura 8.67 – Massa estrutural mais massa adicional em pitch do modelo SEMI-SUB
220
Período Natural de Pitch
0
5
10
15
20
25
30
35
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Período Natural (s)
Pitch
Figura 8.68 – Período natural em pitch do modelo SEMI-SUB
221
Resultados de Yaw
Rigidez | Momento Atual e Anterior:YAW
0.00E+00
2.00E+05
4.00E+05
6.00E+05
8.00E+05
1.00E+06
1.20E+06
1.40E+06
1.60E+06
1.80E+06
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Momento (kN.m) | Rigidez (kN)
Rig. Yaw
Figura 8.69 – Rigidez em yaw do modelo SEMI-SUB
Massa Yaw
0
20000000
40000000
60000000
80000000
100000000
120000000
140000000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Massa Yaw
Figura 8.70 – Massa estrutural mais massa adicional em yaw do modelo SEMI-SUB
222
Período Natural de Yaw
0
10
20
30
40
50
60
70
0 500 1000 1500 2000 2500
Tempo (s)
Período Natural (s)
Yaw
Figura 8.71 – Período natural em yaw do modelo SEMI-SUB
8.3.6 CONCLUSÕES SOBRE A ANÁLISE DINÂMICA DO MODELO SEMI-SUB
Nas seções anteriores foram apresentados os gráficos de variação da rigidez,
massa total da unidade flutuante e dos períodos naturais do modelo SEMI-SUB, quando
o mesmo foi submetido à ação de correnteza, vento e ondas irregulares.
Para melhor observação da variação dos períodos naturais ao longo da simulação
dinâmica acoplada realizada, a Tabela 8.28 foi construída.
Tabela 8.28 – Estatística dos períodos naturais do modelo SEMI-SUB
Períodos Naturais
Direção
Posição Projeto
Média* Desvio Padrão* Máximo* Mínimo*
Surge 203,042 199,87 1,00 202,96 194,61
Sway 194,27 190,64 0,90 193,38 185,89
Heave 23,68 23,67 0,01 23,68 23,63
Roll 28,31 28,22 0,07 28,39 27,80
Pitch 29,21 29,13 0,08 29,34 28,65
Yaw 57,87 56,50 0,45 58,41 54,54
* após 800 segundos de simulação
De acordo com esta tabela, nota-se que os períodos naturais dos seis graus de
liberdade variaram pouco de sua posição de projeto para a posição média de equilíbrio
223
dinâmico pela ação das cargas ambientais. De todos os graus de liberdade, as maiores
variações foram de apenas 4 segundos e ocorreram nas direções de surge e sway.
Da mesma forma, baixos valores de desvios padrões puderam ser observados
após 800 segundos de análise. Nota-se que daqueles, os maiores desvios padrões
ocorreram nas direções de surge, sway e yaw, e que as diferenças entre os valores
máximos e mínimos alcançados pelos seus períodos naturais foram de aproximadamente
8 segundos em surge e sway (ou 4% em relação ao período médio), e 4 segundos em
yaw (ou 7% em relação ao período médio).
Pode-se especular que uma maior variação dos períodos poderia ser observada
para uma condição ambiental mais severa do que a considerada nestas análises (por
exemplo, uma condição extrema centenária). Essa questão poderá ser analisada
posteriormente, em trabalhos futuros.
Note que a observação dos períodos naturais de surge, sway e yaw do sistema
offshore também é uma forma de se avaliar o quão rígido está o arranjo de ancoragem,
sendo uma boa ferramenta complementar de projeto.
Estudos complementares da variação dos períodos naturais pelo rompimento de
linhas de ancoragem, ou mesmo o estudo de um novo arranjo de risers com maior
número de linhas, contendo mais SCRs, ou mesmo estando elas localizadas em apenas
um lado da plataforma, embora não tenham sido realizados, são recomendados.
Como complemento dos estudos de análise modal, resultados estatísticos da
variação da rigidez e massa total do modelo SEMI-SUB ao longo da dinâmica acoplada
são apontados nas tabelas seguintes.
A Tabela 8.29 apresenta a matriz de rigidez do modelo em sua posição de
projeto. Já a Tabela 8.30 mostra os valores estatísticos encontrados pela variação da
matriz de rigidez ao longo da simulação dinâmica. E por fim, as Tabelas 8.31 e 8.32
equivalem às Tabelas 8.29 e 8.30, porém sob o aspecto da massa total da unidade
flutuante (massa estrutural mais massa adicional).
É interessante notar que a plataforma, após a atuação do carregamento
ambiental, adquiriu na posição média de equilíbrio dinâmico valores de roll e pitch de
aproximadamente 0,9 graus e 0,3 graus, respectivamente. Por esta razão, a matriz de
massa da Tabela 8.32 está com os termos médios significativamente diferentes dos
224
termos da matriz de massa da configuração de projeto, Tabela 8.31. Isto ilustra mais
uma vez a importância de se tratar as não linearidades de massa adicional.
Tabela 8.29 – Matriz de Rigidez do Modelo SEMI-SUB na posição de Projeto
Matriz de Rigidez na Posição de Projeto
1 2 3 4 5 6
1 80,39 1,26 -1,36 135,09 599,02 -75,96
2 1,03 84,47 -6,58 -932,81 19,35 198,07
3 8,78 -40,85 13728,88 437,43 -1014,20 -149,29
4 130,56 -942,65 -99,39 8066394,10 -29018,51 -16181,91
5 607,01 12,77 -1075,26 4008,31 7700449,32 -256161,69
6 -284,18 359,25 -137,89 -54296,92 -113610,77 1498122,53
Tabela 8.30 – Matriz de Rigidez do Modelo SEMI-SUB pela simulação dinâmica
Matriz de Rigidez Estatística
Estatística* 1 2 3 4 5 6
Média
1
83,14 2,05 1,82 25,73 624,50 -131,04
Desv. Pad. 0,07 0,05 0,07 2,35 5,45 20,93
Máximo 83,47 2,22 1,95 34,17 643,48 -41,32
Mínimo 82,97 1,96 1,58 16,49 598,58 -202,70
Média
2
2,05 87,40 -19,32 -992,70 50,27 183,48
Desv. Pad. 0,02 0,10 0,16 9,25 6,50 1,85
Máximo 2,14 87,78 -18,87 -953,13 70,61 190,11
Mínimo 1,84 87,15 -19,81 -1027,81 15,86 174,81
Média
3
11,20 -56,91 13731,45 2502,10 -220,84 -4,38
Desv. Pad. 2,23 15,72 1,50 1193,27 56,45 35,58
Máximo 18,36 -21,34 13743,37 6644,71 -36,19 132,46
Mínimo 4,69 -114,62 13729,07 -2609,63 -425,35 -138,54
Média
4
7,60 -983,29 708,42 8119888,24 -44543,81 -41057,37
Desv. Pad. 31,08 57,20 824,67 40822,90 2311,06 5662,23
Máximo 115,06 -465,32 3641,55 8365017,09 -34095,44 -6099,30
Mínimo -101,30 -1680,65 -4558,53 8022954,27 -54954,20 -64346,46
Média
5
617,66 52,24 -625,54 -43486,33 7758274,94 -91477,72
Desv. Pad. 148,92 22,64 61,02 2292,68 43914,50 17669,52
Máximo 1642,11 140,89 -407,59 -25394,47 8014615,77 -29900,51
Mínimo -300,10 -47,65 -913,14 -59030,57 7650559,72 -183544,60
Média
6
-410,15 287,96 4,51 -70380,14 7182,39 1558235,20
Desv. Pad. 186,46 26,53 87,09 1596,47 8471,83 7877,27
Máximo 77,14 384,80 274,46 -63964,41 32725,76 1605949,19
Mínimo -1269,32 193,35 -219,12 -80288,98 -21606,23 1500752,52
225
Tabela 8.31 – Matriz de Massa do Modelo SEMI-SUB na posição de Projeto
Matriz de Massa na Posição de Projeto
1 2 3 4 5 6
1 83550.77 0.0 0.0 0.0 -449588 0.0
2 0.0 80720.1 0.0 407354 0.0 0.0
3 0.0 0.0 195027.9 0.0 0.0 0
4 0.0 407354 0.0 1.66E+08 0.0 0.0
5 -449588 0.0 0.0 0.0 1.69E+08 0.0
6 0.0 0.0 0 0.0 0.0 1.26E+08
Tabela 8.32 – Matriz de Massa do Modelo SEMI-SUB pela simulação dinâmica
Matriz de Massa Estatística
Estatística* 1 2 3 4 5 6
Média
1
83429,84 82,01 582,67 -13091,21 -448093,13 19540,47
Desv. Pad. 819,87 7,50 52,60 362,47 4042,27 26234,54
Máximo 85988,31 111,76 740,74 -11493,60 -422595,83 127807,63
Mínimo 79364,43 54,70 388,14 -14606,70 -457775,66 -79880,86
Média
2
82,01 80648,28 -1674,15 405960,07 -14481,97 6310,00
Desv. Pad. 7,50 730,98 1014,38 3618,45 395,65 1699,46
Máximo 111,76 82920,58 2716,25 414644,49 -12748,48 13584,46
Mínimo 54,70 77035,42 -5193,06 383095,73 -16094,88 495,53
Média
3
582,67 -1674,15 194991,40 5999,16 2122,79 -9,86
Desv. Pad. 52,60 1014,38 32,19 3595,27 162,89 147,65
Máximo 740,74 2716,25 195026,40 18321,13 2610,51 695,90
Mínimo 388,14 -5193,06 194788,81 -9565,70 1564,30 -639,94
Média
4
-13091,21 405960,07 5999,16 166136208,14 35,20 26225,29
Desv. Pad. 362,47 3618,45 3595,27 19304,03 0,00 8544,72
Máximo -11493,60 414644,49 18321,13 166171263,76 35,20 72470,99
Mínimo -14606,70 383095,73 -9565,70 165986564,89 35,20 164,15
Média
5
-448106,68 -14411,06 2151,61 35,20 169338605,34 -91236,82
Desv. Pad. 4042,27 395,65 162,89 0,00 21590,03 125711,32
Máximo -422595,83 -12748,48 2610,51 35,20 169377650,51 529710,91
Mínimo -457775,66 -16094,88 1564,30 35,20 169171079,41 -634320,86
Média
6
19540,47 6310,00 -9,86 26225,29 -91232,17 125858887,86
Desv. Pad. 26234,54 1699,46 147,65 8544,72 125711,32 1769530,53
Máximo 127807,63 13584,46 695,90 72470,99 529710,91 131379569,06
Mínimo -79880,86 495,53 -639,94 164,15 -634320,86 117084220,08
* após 800 segundos de simulação
226
8.4 MODELO MONOBÓIA CALM
O modelo CALM é o terceiro e último exemplo deste trabalho em que seus
períodos naturais foram solucionados pelo algoritmo de análise de modos de vibração
implementado no programa PROSIM.
O sistema CALM consiste numa bóia de grandes dimensões, como terminal
oceânico para operações de carga de navios tanque. É fixada através de um sistema de
ancoragem em catenária. Seus risers são presos na parte inferior da bóia. Um cabo
sintético faz a amarração entre a bóia e o navio durante a operação de carga e um
mangote os conectam para o transporte do petróleo. Este sistema é limitado em sua
capacidade de resistir às condições ambientais quando a reação da bóia for totalmente
diferente da resposta do navio sob influência da onda. Assim, quando as condições do
mar alcançam certa magnitude, é necessário desconectar o navio.
LINHA DE
ANCORAGEM
H
AWSER
BÓIA
Figura 8.72 – Desenho esquemático de uma ancoragem tipo CALM com hawser
O sistema CALM proposto para estudo nesta seção será livre de risers e
mangote, conforme a Figura 8.73, e a força do hawser será tratada apenas como força
externa estática em algumas análises. Assim, as primeiras análises realizadas nesta
seção compreendem ao cálculo dos períodos naturais da monobóia quando apenas
forças estáticas externas são aplicadas à mesma para representar a força média dos
hawsers.
227
Em seqüência, foram realizadas simulações de teste de decaimento em surge,
sway e heave sobre a posição de projeto (sem qualquer carga externa) para que seus
resultados sejam comparados mais uma vez (como no modelo ITTC) com os obtidos
pela aplicação do método de Jacobi Generalizado.
E por fim, analisam-se os resultados de períodos naturais da monobóia através de
uma simulação dinâmica, quando ela está submetida aos únicos carregamentos externos
de onda e correnteza (equivalente ao sistema desconectado do navio).
Figura 8.73 – Vista 3D do modelo
Este modelo possui uma lâmina d’água de 400m e fundo plano horizontal. A
unidade possui aproamento de 90 graus com o Norte e suas linhas de ancoragem são
distribuídas igualmente ao redor da monobóia.
O modelo hidrodinâmico híbrido do Prosim (DFKM) apresentado no Capitulo 2,
continua sendo usado e a parcela de força de segunda ordem é descartada, como nos
exemplos anteriores.
Os itens seguintes descrevem as características físicas e geométricas da monobóia
e suas linhas de ancoragens.
228
8.4.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E HIDRODINÂMICAS DA MONOBÓIA
As principais características geométricas da monobóia estão expostas na Tabela
8.33. Neste modelo, apenas um cilindro foi necessário para representar adequadamente
o corpo da monobóia.
Tabela 8.33 – Características Geométricas da Monobóia
Propriedade
V
alores (escala real)
Calado (m) 2,36
Altura (m) 4,60
Diâmetro (m) 15,0
Cg X (m) 0,0
Cg Y (m) 0,0
Cg Z (m) 2,50
Raio de Giração (Roll) (m) 4,0
Raio de Giração (Pitch) (m) 4,0
Raio de Giração (Yaw) (m) 5,2
Empuxo (t) 427,5
Os coeficientes hidrodinâmicos de arraste e massa adicional foram calibrados
como recomendado pela DNV [58] e são apresentados na Tabela 8.34.
Tabela 8.34 – Coeficientes hidrodinâmicos da monobóia modelada no Prosim.
Cilindro CD1 CA1 CDaxial1 CAaxial1
1 0,7 1,03 1 1
8.4.2 CARACTERÍSTICAS DAS LINHAS DE ANCORAGENS
Este modelo é composto por 6 linhas de ancoragens. O sistema de ancoragem é
igualmente distribuído ao redor da monobóia, como ilustrado na Figura 8.74.
229
Figura 8.74 – Vista superior do modelo
Cada linha é composta por trechos de amarra e cabo de aço. As características das
linhas podem ser observadas nas Tabelas 8.35, 8.36 e 8.37.
Tabela 8.35 – Características geométricas das linhas de ancoragem do modelo
monobóia CALM.
Modelo1
Comprimentos Pagos (m)
Azimute
(graus)
Pré-tração (t)
Amarra de Fundo Cabo de Aço Amarra de Topo
Linha 1 927 363 8 0 34,9
Linha 2 927 363 8 60 34,9
Linha 3 927 363 8 120 34,9
Linha 4 927 363 8 180 34,9
Linha 5 927 363 8 240 34,9
Linha 6 927 363 8 300 34,9
Tabela 8.36 – Características físicas dos materiais utilizados.
Segmento
Diâm.
Nominal
(m)
EA
(t)
Peso
Seco
(t/m)
Peso
Molhado
(t/m)
CD CM
Amarra 0,076 51220,88 0,1162 0,1157 2,1 2,0
Cabo de Aço 0,086 47519,37 0,0214 0,0205 1 2,0
Tabela 8.37 – Coordenadas dos Fairleads.
Coordenadas do Fairleads
X Y Z
Linha1 6 0 0
Linha2 3 -5,2 0
Linha3 -3 -5,2 0
Linha4 -6 0 0
Linha5 -3 -5,2 0
Linha6 3 -5,2 0
230
8.4.3 SIMULAÇÕES REALIZADAS
Como mencionado anteriormente, cinco simulações estáticas foram realizadas
inicialmente. A diferença entre elas está apenas na intensidade da carga externa
concentrada aplicada no CG da monobóia: 0 kN, 860kN, 1163kN, 1647kN e 2305kN.
Todas as cargas foram aplicadas para Leste. No final do equilíbrio estático de cada caso
foi realizada a análise modal. O conjunto de resultados é encontrado na Tabela 8.38.
Em seguida, testes de decaimento foram realizados nas direções de surge, sway e
heave, através da aplicação de deslocamento iniciais de 15m em surge e sway e 0,64m
em heave. Como o amortecimento hidrodinâmico do sistema foi levado em
consideração, o sistema estará em oscilação livre amortecida. Os períodos desta
oscilação são relatados na Tabela 8.39 e seus gráficos, nas Figuras 8.75, 8.76 e 8.77.
E por fim, uma simulação dinâmica é realizada com o modelo sob a ação de ondas
regulares e correnteza. Assim como nos outros exemplos estudados, o modelo partiu de
sua posição de projeto e com isto é possível observar toda a variação dos períodos
naturais da unidade ao longo da simulação dinâmica.
8.4.4 RESULTADOS DAS ANÁLISES ESTÁTICAS E DOS TESTES DE
DECAIMENTO
Nesta seção serão mostrados os resultados dos períodos naturais da monobóia
CALM após a mesma adquirir cinco configurações de equilíbrio estático, obtidas pela
aplicação de forças externas estáticas que representam a força média exercida por um
hawser.
Os períodos naturais do modelo sem carga externa (primeira linha de resultados
da Tabela 8.38) poderão ser então comparados com os períodos naturais amortecidos
provenientes dos testes de decaimento em surge, sway, e heave (Tabela 8.39).
Tabela 8.38 – Períodos Naturais das cinco simulações Estáticas
Força
(kN)
Períodos Naturais (s) - Jacobi G. - Prosim
Surge Sway Heave Roll Pitch Yaw
0 54,11 54,11 4,75 8,87 8,87 6,62
860 37,98 46,89 6,44 2,95 2,94 5,64
1163 33,28 44,67 6,82 2,99 2,83 5,29
1647 27,27 41,87 7,03 2,98 2,68 4,94
2305 23,92 40,07 4,61 2,43 2,45 4,17
231
Observe na Tabela 8.38 que os períodos naturais mudam significativamente, em
todos os graus de liberdade, para cada caso de carregamento estático. Percebe-se que
quanto maior a carga, maior é a rigidez do conjunto e conseqüentemente, os períodos
naturais diminuem.
A seguir, Tabela 8.39 aponta os resultados dos períodos gerados pelos testes de
decaimento e os obtidos pelo uso do método de Jacobi Generalizado do modelo em sua
posição de projeto, sem qualquer carregamento externo. Em seqüência, os históricos de
decaimento são expostos pelas Figuras 8.75, 8.76 e 8.77.
Tabela 8.39 – Períodos Naturais dos testes de decaimento x Jacobi Generalizado
Período Natural - Posição de Projeto (s)
Decaimento - Prosim Jacobi G.- Prosim
Surge
52,0 54,11
Sway
51,5 54,11
Heave
4,5 4,75
Teste de decaimento em Surge
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tempo (s)
Deslocamento (m
SURGE
Figura 8.75 – Teste de decaimento de surge no programa Prosim
232
Teste de decaimento em Sway
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Tempo (s)
Deslocamento (m
)
SWAY
Figura 8.76 – Teste de decaimento de sway no programa Prosim
Teste de decaimento em Heave
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Tempo (s)
Deslocamento (m
)
HEAVE
Figura 8.77 – Teste de decaimento de heave no programa Prosim
Observando a Tabela 8.39 percebe-se que o período natural do método de Jacobi
Generalizado se aproxima do período natural amortecido do teste de decaimento. Note
233
que neste exemplo as amplitudes de resposta decaem mais rápidas do que no exemplo
ITTC (primeiro caso estudado neste trabalho), mostrando por sua vez que a taxa de
amortecimento do sistema monobóia é maior, e por isso seus períodos naturais
amortecidos (
ω) se afastam ainda mais do período natural não amortecido (ω
n
),
(
ω=ω
n
(1-ζ
2
)).
A seguir é apresentada a condição ambiental que irá atuar no modelo monobóia,
quando o mesmo encontra-se livre de forças externas concentradas (de hawsers). Este
será o último estudo realizado com este sistema neste trabalho.
8.4.5 DADOS DO CARREGAMENTO AMBIENTAL
Um único caso de carregamento atuou sobre o sistema, conforme apresenta a
Tabela 8.40. Neste caso os sentidos da onda e velocidade de corrente na superfície
atuam para Norte.
Tabela 8.40 – Condições ambientais aplicadas ao sistema
Perfil de Correnteza
Prof. (m) Vel. (m/s) Indo para Azimute (graus)
0 1,78 N 0
400 0 N 0
Onda Regular
H Tp Vindo de Azimute (graus)
3 10 S 0
8.4.6 RESPOSTAS DOS PERÍODOS NATURAIS AO LONGO DE UMA
SIMULAÇÃO DINÂMICA
Nesta seção, apresentam-se resultados de uma simulação dinâmica acoplada do
modelo monobóia CALM, na qual o carregamento ambiental da tabela 40 atua sobre o
sistema. O objetivo aqui é mostrar a variação dos períodos naturais dos seis graus de
liberdade da unidade flutuante ao longo da simulação dinâmica acoplada do sistema.
Seguindo o mesmo padrão de apresentação dos exemplos anteriores, antes de se
apresentar as respostas de períodos naturais, um item específico será aberto para
apresentar os gráficos de movimento de surge e sway da unidade flutuante, bem como o
gráfico de deslocamento de heave e de elevação de onda atuante na unidade flutuante.
234
Será mostrado a seguir, para cada grau de liberdade da unidade flutuante, o
histórico de rigidez, seguido do histórico de massa adicional e por fim, apresenta-se o
histórico do período natural solucionado.
Após a apresentação das repostas do modelo monobóia CALM, comentários
finais sobre a variação dos períodos naturais ao longo da simulação dinâmica serão
expostos. E como complemento a esta abordagem, tabelas estatísticas de períodos
naturais, bem como da rigidez e da massa total do sistema serão apresentadas.
Resultados do Modelo monobóia CALM
Na simulação dinâmica realizada sobre este modelo, o tempo total de análise e o
intervalo de integração do sistema (casco e das linhas) foram respectivamente de 300s e
0.05s, e, como em todos os exemplos deste trabalho, o método utilizado para a
integração do casco foi o de Runge-Kuta de quarta ordem, enquanto para as linhas fez-
se uso do método de Newmark com o parâmetro alfaB de -0.3 [13 e 27].
Todas as linhas foram discretizadas em elementos finitos de treliça que variam de
4m a 47,5m, onde os menores elementos se concentram no topo e nas regiões de
maiores curvaturas. Como já comentado no exemplo anterior, o foco deste trabalho está
em avaliar os períodos naturais do sistema flutuante, e para tal, não há necessidade de se
gerar um modelo com malhas de E.F. muito refinadas. Elas devem ser suficientes
apenas para receber com precisão o carregamento de correnteza e gerar respostas
confiáveis de tração dinâmica no topo das linhas.
O deslocamento aplicado em cada grau de liberdade para análise da rigidez do
sistema foi de 0,1m nos graus de liberdade de translação (surge, sway e heave) e 0,1
graus nos de rotação (roll, pitch e yaw).
235
Movimento da Unidade Flutuante
Movimento de Surge e Sway
-5
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Movimento (m)
SURGE
SWAY
Figura 78 – Movimentos de surge e sway do modelo monobóia CALM
Elevação da Onda e Movimento de Heave
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Movimento (m)
WAVE-EL
HEAVE
Figura 79 – Movimentos de heave e elevação de onda do modelo monobóia CALM
236
Resultados de Surge
Rigidez | Força Atual e Anterior: SURGE
0
5
10
15
20
25
30
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Força (kN) | Rigidez (kN/m)
Rig.Surge
Figura 8.80 – Rigidez em surge do modelo monobóia CALM
Massa Surge
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Surge
Figura 8.81 – Massa estrutural mais massa adicional em surge do modelo monobóia
CALM
237
Período Natural de Surge
0
50
100
150
200
250
300
150 170 190 210 230 250 270 290
Tempo (s)
Período Natural (s)
Surge
Figura 8.82 – Período natural em surge do modelo monobóia CALM
238
Resultados de Sway
Rigidez: SWAY
0
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig.Sway
Figura 8.83 – Rigidez em sway do modelo monobóia CALM
Massa Sway
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Sway
Figura 8.84 – Massa estrutural mais massa adicional em sway do modelo monobóia
CALM
239
Período Natural de Sway
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Período Natural (s)
Sway
Figura 8.85 – Período natural em sway do modelo monobóia CALM
Resultados de Heave
Rigidez: HEAVE
1700
1750
1800
1850
1900
1950
2000
2050
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Rigidez (kN/m)
Rig. Heave
Figura 8.86 – Rigidez em sway do modelo monobóia CALM
240
Massa Heave
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t)
Massa Heave
Figura 8.87 – Massa estrutural mais massa adicional em heave do modelo monobóia
CALM
Período Natural de Heave
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Período Natural (s)
Heave
Figura 8.88 – Período natural em heave do modelo monobóia CALM
241
Resultados de Roll
Rigidez: ROLL
0.00E+00
5.00E+02
1.00E+03
1.50E+03
2.00E+03
2.50E+03
3.00E+03
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Roll
Figura 8.89 – Rigidez em roll do modelo monobóia CALM
Massa Roll
4800
4810
4820
4830
4840
4850
4860
4870
4880
4890
4900
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Massa Roll
Figura 8.90 – Massa estrutural mais massa adicional em roll do modelo monobóia
CALM
242
Período Natural de Roll
0
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Período Natural (s)
Roll
Figura 8.91 – Período natural em roll do modelo monobóia CALM
Resultados de Pitch
Rigidez: PITCH
0.00E+00
5.00E+02
1.00E+03
1.50E+03
2.00E+03
2.50E+03
3.00E+03
3.50E+03
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Pitch
Figura 8.92 – Rigidez em pitch do modelo monobóia CALM
243
Masas Pitch
4800
4810
4820
4830
4840
4850
4860
4870
4880
4890
4900
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Masas Pitch
Figura 8.93 – Massa estrutural mais massa adicional em pitch do modelo monobóia
CALM
Período Natural de Pitch
0
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Período Natural (s)
Pitch
Figura 8.94 – Período natural em pitch do modelo monobóia CALM
244
Resultados de Yaw
Rigidez:YAW
0.00E+00
1.00E+03
2.00E+03
3.00E+03
4.00E+03
5.00E+03
6.00E+03
7.00E+03
8.00E+03
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Rigidez (kN)
Rig. Yaw
Figura 8.95 – Rigidez em yaw do modelo monobóia CALM
Massa Yaw
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Massa (t.m2)
Massa Yaw
245
Figura 8.96 – Massa estrutural mais massa adicional em yaw do modelo monobóia
CALM
Período Natural de Yaw
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 50 100 150 200 250 300
Tempo (s)
Período Natural (s)
Yaw
Figura 8.97 – Período natural em yaw do modelo monobóia CALM
8.4.7 CONCLUSÕES SOBRE A ANÁLISE DINÂMICA DO MODELO MONOBÓIA
CALM
Nas seções anteriores, foram apresentados os gráficos de variação da rigidez,
massa total da unidade flutuante e dos períodos naturais do modelo monobóia CALM,
quando o mesmo foi submetido à ação de correnteza e ondas regulares.
A Tabela 8.41 resume os resultados estatísticos dos históricos de resposta dos
períodos naturais apresentados anteriormente, após 150 segundos de análise.
Tabela 8.41 – Estatística dos períodos naturais do modelo monobóia CALM
Períodos Naturais
Direção
Posição Projeto
Média* Desvio Padrão* Máximo* Mínimo*
Surge 54.09 63.82 28.07 132.80 35.85
Sway 54.09 53.23 1.73 56.81 50.45
Heave 4.25 3.96 0.06 4.06 3.86
Roll 8.87 8.88 0.69 9.98 7.90
Pitch 8.87 8.28 0.63 9.34 7.48
Yaw 6.62 6.56 0.24 6.98 6.27
* após 150 segundos de simulação
246
Estes resultados mostram que principalmente os períodos naturais de surge
(direção na qual o carregamento ambiental está aplicado) mudaram significativamente
entre a posição de projeto e a posição média de equilíbrio dinâmico.
Percebe-se também que durante a simulação dinâmica os períodos naturais nesta
direção também sofreram grandes variações, ficando seu desvio padrão em 28,07
segundos. Esta alta variação no período natural em surge não é explicada pela variação
dos termos diagonais da matriz de rigidez e massa, mas sim pela variação dos termos
cruzados. Observe, por exemplo, o desvio padrão do termo (1,3) da matriz de rigidez
exposta na Tabela 8.43.
Isto reafirma a importância de levar em conta o acoplamento de todos os termos
da matriz de rigidez, como também da matriz de massa, para o cálculo dos períodos
naturais de um sistema. Seria um erro fazer simplesmente T
surge
= 2.
π
(M
surge
/K
surge
)
1/2
.
Já o período natural de Yaw praticamente não mudou, pela própria simetria do
problema (carregamento aplicado simetricamente com relação ao sistema de
ancoragem).
Quanto aos períodos de roll e pitch, veja que os valores médios dos períodos
naturais nestas duas direções estão um pouco acima de 8 segundos, e conseqüentemente,
estão dentro da faixa de períodos de ondas da Bacia de Campus. A partir daí percebe-se
mais uma vez a importância de se avaliar e conhecer os períodos naturais de sistemas
acoplados.
Ainda sobre os períodos de roll e pitch, note que embora seus valores de desvio
padrão estejam próximos de 0,65 segundos, percebe-se uma oscilação em torno da
média de aproximadamente 2 segundos (diferença entre os valores máximos e
mínimos).
Estes resultados se tornam interessantes quanto ao aspecto de que um corpo,
quando submetido a ondas com período igual ao período natural médio de um dos graus
de liberdade, pode deixar de sofrer ressonância em decorrência da característica não
linear de massa e rigidez do sistema. Ou seja, quando ele começa a se elevar na onda,
seu período natural muda e o sistema deixa de ter seus movimentos amplificados pelo
fator de amplificação máximo (correspondente ao comportamento de ressonância), que
ocorreria se o sistema tivesse um comportamento totalmente linear.
247
Novamente, como complemento dos estudos de análise de períodos naturais,
resultados estatísticos da variação da rigidez e massa total do modelo monobóia CALM
ao longo da dinâmica acoplada são apontados nas tabelas seguintes. A Tabela 8.42
apresenta a matriz de rigidez do modelo em sua posição de projeto. Já a Tabela 8.43
mostra os valores estatísticos da matriz de rigidez variante ao longo da simulação
dinâmica. E por fim, as Tabelas 44 e 45 equivalem às Tabelas 8.42 e 8.43, porém sob o
aspecto da massa total da unidade flutuante (massa estrutural mais massa adicional).
248
Tabela 8.42 – Matriz de Rigidez do modelo monobóia CALM na posição de Projeto
Matriz de Rigidez na Posição de Projeto
1 2 3 4 5 6
1 9.65 0.00 0.00 0.00 21.39 0.00
2 0.00 9.65 0.00 -21.42 0.00 0.00
3 0.00 0.00 1794.17 0.00 0.00 0.00
4 0.00 -21.42 3.07 2164.03 0.00 0.00
5 21.39 0.00 3.07 0.00 2161.43 0.00
6 0.00 0.00 0.80 0.00 0.00 6194.49
Tabela 8.43 – Matriz de Rigidez do modelo monobóia CALM pela simulação dinâmica
Matriz de Rigidez Estatística
Estatística* 1 2 3 4 5 6
Média
1
15.10 0.00 0.83 0.00 17.32 0.00
Desv. Pad. 7.59 0.00 87.43 0.00 7.37 0.00
Máximo 25.14 0.00 121.79 0.00 25.30 0.00
Mínimo 2.05 0.00 -121.49 0.00 0.15 0.00
Média
2
0.00 10.05 0.01 -16.10 -0.01 18.18
Desv. Pad. 0.02 0.21 0.04 2.90 0.10 5.24
Máximo 0.08 10.42 0.04 -11.56 0.66 25.72
Mínimo -0.09 9.57 -0.33 -20.45 -0.17 9.88
Média
3
14.96 0.00 1960.99 0.00 -71.96 0.00
Desv. Pad. 97.16 0.00 35.74 0.00 133.06 0.00
Máximo 147.21 0.00 2004.47 0.00 139.04 0.00
Mínimo -125.46 0.00 1893.65 0.00 -295.20 0.00
Média
4
1.07 -113.95 -0.23 2312.13 1.66 358.15
Desv. Pad. 1.49 115.12 2.30 382.56 2.98 393.04
Máximo 3.93 -6.68 3.80 2842.51 8.19 871.37
Mínimo -0.66 -323.71 -4.08 1707.71 -2.78 -214.74
Média
5
200.38 0.00 -281.48 0.00 2626.09 0.00
Desv. Pad. 194.82 0.00 227.21 0.00 400.66 0.00
Máximo 547.27 0.00 21.28 0.00 3188.01 0.01
Mínimo -10.32 0.00 -566.42 0.00 2000.83 -0.01
Média
6
1.09 -38.87 -0.35 1078.52 10.16 6176.78
Desv. Pad. 1.18 58.05 1.25 272.05 5.21 365.71
Máximo 3.40 13.21 1.07 1492.65 17.27 6740.92
Mínimo -0.01 -151.65 -2.68 693.63 2.69 5577.84
* após 150 segundos de simulação
249
Tabela 8.44 – Matriz de Massa do modelo monobóia CALM na posição de Projeto
Matriz de Massa na Posição de Projeto
1 2 3 4 5 6
1 684.75 0 0 0 -581.1 0
2 0 684.75 0 581.1 0 0
3 0 0 821.662 0 0 0
4 0 581.1 0 4893.116 0 0
5 -581.1 0 0 0 4893.116 0
6 0 0 0 0 0 6884.857
Tabela 8.45 – Matriz de Massa do modelo monobóia CALM pela simulação dinâmica
Matriz de Massa Estatística
Estatística* 1 2 3 4 5 6
Média
1
718.27 0.00 -46.60 0.00 -527.88 0.00
Desv. Pad. 28.38 0.00 21.23 0.00 28.40 0.00
Máximo 763.25 0.00 -13.60 0.00 -487.43 0.00
Mínimo 666.51 0.00 -78.11 0.00 -565.13 0.00
Média
2
0.00 695.39 0.00 578.21 0.00 0.00
Desv. Pad. 0.00 39.22 0.00 5.32 0.00 0.00
Máximo 0.00 759.92 0.00 583.02 0.00 0.00
Mínimo 0.00 632.19 0.00 566.16 0.00 0.00
Média
3
-46.65 0.00 798.75 0.00 -225.55 0.00
Desv. Pad. 21.21 0.00 14.81 0.00 63.95 0.00
Máximo -13.60 0.00 818.59 0.00 -127.12 0.00
Mínimo -78.11 0.00 776.53 0.00 -315.93 0.00
Média
4
0.00 578.21 0.00 4892.53 0.00 0.00
Desv. Pad. 0.00 5.33 0.00 1.62 0.00 0.00
Máximo 0.00 583.02 0.00 4894.39 0.00 0.00
Mínimo 0.00 566.16 0.00 4888.52 0.00 0.00
Média
5
-527.82 0.00 -225.55 0.00 4892.53 0.00
Desv. Pad. 28.39 0.00 63.95 0.00 1.62 0.00
Máximo -487.43 0.00 -127.12 0.00 4894.39 0.00
Mínimo -565.13 0.00 -315.93 0.00 4888.52 0.00
Média
6
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6884.86
Desv. Pad. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Máximo 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6884.86
Mínimo 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6884.86
* após 150 segundos de simulação
250
9 ESTUDOS DE CASOS COM O MÉTODO DE
REDUÇÃO DE BASE
9.1 INTRODUÇÃO
Neste Capítulo, apresentam-se estudos de casos para avaliação da resposta de
sistemas offshore através do processo de transformação de base de Ritz-Wilson
associado aos métodos de integração dinâmica implementados no Prosim: Integral de
Duhamel e ImFGA.
Embora a DFT e ImFT tenham sido implementadas em fase inicial da Tese para
apresentar resultados comparativos e permitir as discussões abordadas no Capítulo 4,
apenas a ImFGA, que não deixa de ser uma evolução da ImFT, foi escolhida como
algoritmo híbrido tempo-freqüência para solucionar os problemas apresentados no
presente capítulo.
Além da Integral de Duhamel e ImFGA, soluciona-se também aqui os mesmos
problemas através do método de integração nodal não-linear alfa-B de Newmark,
presente no Prosim. O objetivo é comparar os três procedimentos de solução, em termos
de qualidade de resposta e tempo de processamento.
Três exemplos serão estudados. Os dois primeiros problemas são básicos,
escolhidos para permitir uma melhor avaliação dos algoritmos implementados;
enquanto o último corresponde a um sistema offshore, foco de estudo desta tese.
O primeiro exemplo a ser estudado corresponde a uma viga biengastada
submetida a um carregamento externo vertical em seu centro. A característica do
carregamento e as propriedades físicas da viga foram escolhidas para que o
comportamento da mesma seja praticamente linear.
O segundo exemplo corresponde a uma linha flexível vertical, submetida apenas a
um carregamento de correnteza (força de arrasto quadrático), permitindo que sua
geometria varie com o tempo, adquirindo, portanto um caráter de carregamento e
rigidez fortemente não-linear.
O terceiro e último problema corresponde ao sistema ITTC descrito no Capítulo
anterior.
Em todos os exemplos estudados aqui, os parâmetros físicos (rigidez,
amortecimento e massa) não variam com a freqüência, embora a ImFGA possua a
251
vantagem de tratar perfeitamente este tipo de variação, conforme discutido no Capítulo
5. O objetivo aqui é mostrar que a ImFGA foi adequadamente implementada e que seus
resultados são precisos e estáveis. Estudos envolvendo propriedades físicas dependentes
da freqüência são indicados como trabalho futuro. Recorda-se que no Capítulo 5 a
ImFGA foi modificada e estabelecida pela primeira vez para tratar adequadamente
problemas envolvendo variação de massa, rigidez e amortecimento na freqüência, sendo
indicada inclusive para solucionar equações de movimento de unidades flutuantes que
possuem massa adicionada e amortecimento viscoso potencial dependentes da
freqüência e outras parcelas de forças não lineares temporais pelo lado direito de sua
equação. Sua aplicação para resolver este tipo de problema é inovadora e por isso
recomendado como trabalho futuro.
252
9.2 VIGA BIENGASTADA
O primeiro problema estudado corresponde a uma viga biengastada de 20m
(Figura 9.2) submetida a um carregamento vertical em seu centro cuja função é
caracterizada na Tabela 9.1 e na Figura 9.1.
Tabela 9.1 – Função da Força Externa F
Tempo(s) F(kN)
0 0
0.003 0.0064
0.1 0.0064
0.101 0
1 0
Figura 9.1 – Força Externa F
As características físicas da viga são: E = 1.E+07kN/m2; Densidade:
0.3077121kN/m2; Ax = 0.2 m2 ; I = 0 6.67E-04 m4. Desconsidera-se qualquer tipo de
amortecimento estrutural ou externo neste primeiro problema. Por simetria, o modelo
construído foi truncado de forma que a metade da viga e do carregamento
F descrito
anteriormente represente o comportamento de toda a viga, conforme esquematizado na
Figura 9.3.
Figura 9.2 – Viga Biengastada
F
X
Y
Z
253
Figura 9.3 – Modelo construído, representando a simetria do problema
A viga foi discretizada espacialmente por apenas 10 elementos finitos
tridimensionais de pórtico com as respectivas condições de contorno:
Tabela 9.2 – Condições de Contorno do Modelo
Nó CC.X CC.Y CC.Z CC.RX CC.RY CC.RZ
1 1 1 0 1 1 1
2 0 1 0 1 0 1
3 0 1 0 1 0 1
4 0 1 0 1 0 1
5 0 1 0 1 0 1
6 0 1 0 1 0 1
7 0 1 0 1 0 1
8 0 1 0 1 0 1
9 0 1 0 1 0 1
10 0 1 0 1 0 1
11 1 1 1 1 1 1
Este exemplo possui 28 graus de liberdade e a base de Ritz-Wilson é composta
por 15 autovetores, calculados apenas no instante inicial da simulação (Tabela 9.3) pela
aplicação do peso próprio para cálculo do vetor de partida.
Os resultados de deslocamento do nó 1 por cada método considerado (Alfa-B
Newmark Não-Linear no espaço nodal, integração de Duhamel e ImFGA no subspaço
reduzido) são indicados na Figura 9.4. Todos os métodos foram integrados com
intervalo
Δt = 0.00005s. Destaca-se que nos resultados do método Alfa-B de Newmark
apresentados na Figura 9.4, o parâmetro B adotado foi -0,33.
Recorda-se que a ImFGA foi implementada para fazer uso de subsciclagem
automática e neste exemplo é integrada com intervalo mínimo de um vigésimo do
período natural de cada grau de liberdade desacoplado do problema reduzido. Se este
intervalo for ainda maior que
Δt, a integração segue com o intervalo de Δt definido pelo
usuário, pelo qual ocorre reexpansão dos deslocamentos e velocidades do espaço
reduzido para que os esforços internos e forças externas sejam caclulados. O número M
do somatório de freqüências para o cálculo implícito da Função de Green da ImFGA é 1
e se mostra suficiente para avaliação precisa dos resultados.
F/2
nó 1
nó 11
254
‐8.00E‐05
‐6.00E‐05
‐4.00E‐05
‐2.00E‐05
0.00E+00
2.00E‐05
4.00E‐05
6.00E‐05
8.00E‐05
1.00E‐04
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Tempo(s)
Desloca mento(m)
Al fa‐B‐Newmark Re d.Duhamel Red.ImFGA
Figura 9.4 – Deslocamento Vertical do nó 1, Δt = 0.00005s.
A Figura 9.4 indica que todos os métodos geraram resultados exatos, não
apresentando alongamento de período ou decaimento de aplitude que caracterize perda
de precisão dos algorítmos para o intervalo de integração adotado. É importante
destacar mais uma vez que a ImFGA é capaz de solucionar perfeitamente problemas
não-amortecidos, conforme comprova-se neste exemplo. A DFT e a ImFT não seria
capaz de solucionar corretamente este simples problema, conforme mencionado no
Capítulo 4.
Tabela 9.3 – Base de Ritz-Wilson
Base de Ritz-Wilson
Vetor Freqüência Período
1 361.79 1.74E-02
2 1953.9 3.22E-03
3 4818.2 1.30E-03
4 8933.1 7.03E-04
5 14247 4.41E-04
6 20625 3.05E-04
7 27747 2.26E-04
8 34923 1.80E-04
9 40943 1.53E-04
10 44371 1.42E-04
11 1.93E+05 3.26E-05
12 2.08E+05 3.03E-05
13 2.33E+05 2.70E-05
14 2.68E+05 2.34E-05
15 3.06E+05 2.05E-05
A Tabela 9.4 aponta o tempo de processamento de cada simulação. Fica claro a
vantagem da aplicação do método de redução em problemas lineares (três vezes e meio
255
mais rápido que o procedimento de integração não-linear nodal). O mais interessante é
que a ImFGA, mesmo com subsciclagem, se apresentou um pouco mais eficiente do que
a própria integral de Duhamel. Isto se deve ao fato da Função de Green da ImFGA ser
calculada e armazenada na memória no instante de reavaliação da rigidez, que neste
exemplo ocorre apenas no tempo inicial da simulação; enquanto na integral de Duhamel
(3.53), embora sua exponencial também tenha sido calculada e armazenada no instante
inicial, as demais operações com senos e cossenos, continuam sendo calculadas ao
longo da marcha no tempo, gerando um maior custo computacional sobre as simples
operações de multiplicação e soma envolvidos na equação final que rege o cálculo de
deslocamentos e velocidades da ImFGA.
Tabela 9.4 – Tempo de Processamento
Método Tempo de CPU (s)
Nodal - Alfa-B de Newmark Não-Linear 13.81s
Redução - Duhamel 3.95s
Redução - ImFGA 3.86s
A seguir encontram-se os resultados de deslocamento do nó 1 do mesmo
problema, avaliado agora com intervalo de integração de 0.001s (Figura 9.5 e 9.6).
Percebe-se que o processo de integração não-linear no espaço nodal (Alfa-B de
Newmark) com B igual a -0.33 perde precisão na resposta quanto ao alongamento de
período e decaimento da amplitude de resposta. Estudou-se também o mesmo processo
de integração com B igual a 0.00. Como era de se esperar, o método de Newmark torna-
se padrão, apresentando imprecisão apenas quanto ao alongamento no período da
resposta [27]. Tanto a integral de Duhamel quanto a ImFGA continuam integrando
adequadamente as equações de movimento do problema.
256
‐8.00E‐05
‐6.00E‐05
‐4.00E‐05
‐2.00E‐05
0.00E+00
2.00E‐05
4.00E‐05
6.00E‐05
8.00E‐05
1.00E‐04
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
Tempo(s)
Desloca mento(m)
Al fa‐BNewmark Red.Duh amel Red.ImFGA Exata Al fa‐B0Newmark
Figura 9.5 – Deslocamento Vertical do nó 1, Δt = 0.001s.
0.00E+00
1.00E‐05
2.00E‐05
3.00E‐05
4.00E‐05
5.00E‐05
6.00E‐05
7.00E‐05
8.00E‐05
9.00E‐05
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Tempo(s)
Deslocamento(m)
Al fa‐BNewmark Red.Duhamel Red.ImFGA Exata Al fa‐B0Newmark
Figura 9.6 – Deslocamento Vertical do nó 1, Δt = 0.001s (janela de tempo menor).
A Tabela 9.5 aponta o tempo de processamento de cada simulação. Mais uma
vez fica claro a vantagem da aplicação do método de redução em problemas lineares.
Aqui a ImFGA ficou apenas um pouco menos eficiente do que a integral de Duhamel
por exigir naturalmente mais passos de subsciclagem do que no exemplo anterior para
poder integrar adequadamente os períodos naturais do problema reduzido (1/20.
ω
n
).
Conforme já mencionado, a integral de Duhamel não exige subsciclagem por
representar a resposta analítica de um problema dinâmico. Sua imprecisão estaria
apenas vinculada a uma má representação da variação do carregamento externo no
intervalo de integração em questão; mas isto é ponto comum em todos os métodos
257
numéricos de integração, não sendo portanto uma desvantagem frente aos demais
algorítmos.
Tabela 9.5 – Tempo de Processamento
Método Tempo de CPU (s)
Nodal - Alfa-B de Newmark Não-Linear 0.78s
Redução - Duhamel 0.20s
Redução - ImFGA 0.27s
Deve-se reforçar que a análise nodal com o algoritmo Alfa-B de Newmark está
sempre, a cada passo de tempo, reavaliando a rigidez do problema, exigindo por isso um
número maior de operações matemáticas, independente se o problema possui
característica puramente linear. O uso deste algoritmo no estudo comparativo deste e
dos demais exemplos estudados a seguir visa permitir que haja uma melhor avaliação
dos resultados quanto à representação da não-linearidade do problema pelos novos
algoritmos implementados.
Se o mesmo problema que foi integrado com
Δt = 0.00005s, tiver a matriz de
Rigidez, função de Green e a base de Ritz-Wilson reavaliada a cada intervalo, o tempo
de processamento do processo de redução e integração cresce consideravelmente
(Tabela 9.6).
Tabela 9.6 – Tempo de Processamento reavaliando a base e a função de Green a
cada Δt= 0.00005s (20000 reavaliações em 1s de simulação)
Método Tempo de CPU (s)
Nodal - Alfa-B de Newmark Não-Linear 13.81s
Redução - Duhamel 55.77s
Redução - ImFGA 55.03s
A reavaliação da função de Green e da base de Ritz-Wilson a cada intervalo de
integração, embora permita avaliar precisamente um problema fortemente não-linear, é
indesejável pelo elevado custo computacional. Busca-se com estes métodos proceder a
reavaliação em intervalos suficientes para uma representação adequada da resposta de
problemas fracamente não-lineares, caminhando assim para solução de problemas
offshore; mais especificamente, para análise de movimento de unidades flutuantes
ancoradas que compõe a primeira etapa da metodologia híbrida de análise acoplada
apresentada no Capítulo 2.
258
9.3 LINHA VERTICAL
Neste segundo exemplo, uma linha flexível vertical de 100m engastada em seu
topo é submetida a um carregamento de correnteza, ou seja, a uma força viscosa
quadrática (equação de Morison) aplicado integralmente desde o instante inicial. O
objetivo é avaliar os resultados de um problema geometricamente não-linear com
característica quase-estática, diferentemente da viga biengastada estudada no problema
anterior.
As características físicas da linha são: E = 1.67E+06 kN/m2; Densidade: 8.39
kN/m2; Ax= 1.169E-02 m2; I = 6.00E-05 m4. Desconsidera-se qualquer tipo de
amortecimento estrutural, mas o arrasto hidrodinâmico é considerado. O perfil da
correnteza é constante com velocidade de 0.1m/s e o diâmetro hidrodinâmico e o
coeficiente de arrasto são 0.122m e 1.2, respectivamente.
O intervalo de integração utilizado é 0.01s e a malha é composta por elementos
finitos de pórtico de 10m de comprimento (total de 60 graus de liberdade).
As Figuras 8.7, 8.8 apresentam, respectivamente, os resultados durante 100s de
simulação de deslocamento horizontal e deslocamento vertical do nó inferior da linha,
enquanto as Figuras 8.9 e 8.10 apresentam, respectivamente, os resultados de força axial
e momento em seu topo. As curvas de resposta da ImFGA (M=1) e Duhamel se
superpõem em todos os gráficos indicando que a ImFGA está sendo corretamente
avaliada com M=1.
Nestas simulações a base de Ritz-Wilson é composta por 16 vetores e é montada
apenas no instante inicial. Com isso, as respostas de deslocamento encontradas pelo
processo de redução começam a se afastar da resposta não-linear do sistema à medida
que a linha se deforma pela ação da correnteza. Já a força axial de topo, por variar muito
pouco com o tempo, e o momento fletor, por possui baixa magnitude, são bem
representados pelo método de redução sem que haja reavaliações da base ao longo do
tempo.
259
0.00E+00
1.00E‐01
2.00E‐01
3.00E‐01
4.00E‐01
5.00E‐01
6.00E‐01
7.00E‐01
8.00E‐01
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00
Tempo(s)
Deslocamento(m)
Al fa‐B‐Newma rk_ Desl .X Re d.Duhamel_Desl.X Red.ImFGA_Desl .X
Figura 9.7 – Deslocamento X do nó inferior (sem reavaliação da base).
‐7.00 E‐03
‐6.50 E‐03
‐6.00 E‐03
‐5.50 E‐03
‐5.00 E‐03
‐4.50 E‐03
‐4.00 E‐03
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00
Tempo(s)
Deslocamento(m )
Al fa‐B‐Ne wmark_Desl.Z Red.Duhamel _Desl.Z Red.ImFGA_Desl .Z
Figura 9.8 – Deslocamento Z do nó inferior (sem reavaliação da base).
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 10 0.00 120.00
Tempo(s)
Força(k N.m )
Al fa‐B‐Newmark_Fa xia l Red.Duhamel_Faxial
Red.I mFGA_Faxial
Figura 9.9 – Força Axial no Topo (sem reavaliação da base).
260
0.00E+00
2.00E‐02
4.00E‐02
6.00E‐02
8.00E‐02
1.00E‐01
1.20E‐01
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00
Tempo(s)
Momento(k N.m)
Al fa ‐B‐Newmark_Momento Red.Duhamel_Momento
Red.ImFGA_Momento
Figura 9.10 – Momento no Topo (sem reavaliação da base).
A Tabela 9.7 aponta o tempo de processamento de cada simulação. Os
procedimentos de solução com técnica de redução e integração de Duhamel e ImFGA
são, neste exemplo, aproximadamente três vezes e meio mais rápidos do que o
procedimento de integração não-linear nodal (Alfa-B de Newmark).
A Função de Green da ImFGA foi encontrada também com um número máximo
de termos M da série igual a 10, apresentando resultados idênticos, que se superpõem as
curvas de resposta da ImFGA apresentadas anteriormente, com M=1. Na Tabela 9.7
inclui-se também o tempo de processamento da ImFGA com M=10. Com a precisão
considerada (um centésimo de segundo), não foi possível constatar perda de tempo
computacional fazendo M=10 pelo fato da função de Green ter sido calculada apenas no
instante inicial de simulação.
Tabela 9.7 – Tempo de Processamento
Método Tempo de CPU (s)
Nodal - Alfa-B de Newmark Não-Linear 8.88s
Redução - Duhamel 2.70s
Redução – ImFGA (M=1) 2.47s
Redução – ImFGA (M=10) 2.47s
A seguir apresentam-se os resultados do processo de Redução e Integração de
Duhamel e ImFGA (M=1) com reavaliação da base de Ritz-Wilson e da função de
Green a cada 20s (a cada 2000 passos). As Figuras 9.11, 9.12 apresentam,
respectivamente, os resultados de deslocamento horizontal e deslocamento vertical do
nó inferior da linha, enquanto as Figuras 9.13 e 9.14 apresentam, respectivamente, os
resultados de força axial e momento fletor em seu topo.
261
0.00E+00
1.00E‐01
2.00E‐01
3.00E‐01
4.00E‐01
5.00E‐01
6.00E‐01
7.00E‐01
8.00E‐01
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00
Tempo(s)
Desloca mento(m)
Al fa‐B‐Newmark_ Desl .X Red.Duhamel_Desl.X Red.ImFGA_Desl.X
Figura 9.11 – Deslocamento X do nó inferior (Base reavaliada a cada 20s).
‐7.00E‐03
‐6.50E‐03
‐6.00E‐03
‐5.50E‐03
‐5.00E‐03
‐4.50E‐03
‐4.00E‐03
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00
Tempo(s)
Deslocamento(m )
Al fa ‐B‐Newmark_Des l .Z Red.Duhamel_Desl.Z Red.ImFGA_Des l.Z
Figura 9.12 – Deslocamento Z do nó inferior (Base reavaliada a cada 20s).
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00
Tempo(s)
Força (k N .m)
Al fa‐B‐Newmark_Faxi al Red.Duhamel_Fa x ia l
Red.ImFGA_Faxial
Figura 9.13 – Força Axial no Topo (Base reavaliada a cada 20s).
262
0.00E+00
2.00E‐02
4.00E‐02
6.00E‐02
8.00E‐02
1.00E‐01
1.20E‐01
0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00
Tempo(s)
Mome nt o(k N.m )
Al fa ‐B‐Newmark_Momento Red.Duhamel _Momento
Red.ImFGA_Momento
Figura 9.14 – Momento no Topo (Base reavaliada a cada 20s).
Os resultados anteriores mostram que a reavaliação da base a cada 20s (6 vezes
em 100s de simulação) se mostra adequada para representar o comportamento não-
linear geométrico e hidrodinâmico do exemplo em questão, sem, contudo, exigir um
elevado custo computacional frente ao método de integração Alfa-B de Newmark no
espaço nodal (ver Tabela 9.8).
Fica claro ao comparar a Tabela 9.7 e 9.8 que o custo computacional das
operações adicionais de reavaliação da base neste problema é pequeno frente ao custo
das operações de redução e expansão efetuadas a cada intervalo de tempo (0.01s). Na
Tabela 9.8, é apresentado também o tempo de CPU exigido pela ImFGA com M=10.
Tabela 9.8 – Tempo de Processamento
Método Tempo de CPU (s)
Nodal - Alfa-B de Newmark Não-Linear 8.88s
Redução - Duhamel 2.73s
Redução – ImFGA (M=1) 2.48s
Redução – ImFGA (M=10) 2.48s
263
9.4 ITTC
Neste terceiro e último exemplo, o sistema ITTC descrito na seção 8.2 é
submetido a uma combinação ambiental de fadiga. Esta combinação é composta por
carregamentos unidirecionais indo para sul, formados por um perfil de correnteza
triangular com velocidade superficial de 0.6m/s, e um carregamento de onda que
obedece a energia do espectro de Jonswap com Hs de 2.25m e Tp de 17.1s (gama 1.59).
O objetivo é verificar se o comportamento deste tipo de sistema offshore pode ser
avaliado adequadamente com o procedimento de redução de base associado aos novos
algoritmos implementados nesta tese: Integral de Duhamel e ImFGA; e saber qual o
ganho computacional envolvido.
O tempo total de simulação é de 1000s, o intervalo de integração utilizado é 0.05s
e a malha é composta por elementos finitos de treliça (linhas) e pórtico (apenas na
unidade flutuante), totalizando 1246 graus de liberdade.
Primeiramente, apresentam-se os resultados do sistema quando a base é avaliada
apenas no início da simulação, sendo formada por 29 vetores de Ritz. Os resultados de
movimento de translação da unidade e tração de topo das linhas não se mostraram
adequados sem o processo de reavaliação. No entanto, os movimentos verticais no topo
das linhas (gerado pelo acoplamento dos movimentos de heave, roll e pitch da unidade)
se aderiram perfeitamente aos movimentos calculados pelo método de integração Alfa-B
de Newmark no espaço nodal, confirmando que as respostas de movimento destes graus
de liberdade independem, neste tipo de sistema, da contribuição das linhas.
Em outras palavras, os elevados valores da rigidez hidrostática, amortecimento e
massa nos graus de liberdade de heave, roll e pitch da unidade flutuante comandam a
resposta deste tipo de sistema, apresentando as linhas, pequena ou nenhuma
participação. A contribuição destas últimas está diretamente ligada aos movimentos
horizontais não-lineares da unidade e por isso, no processo de redução, dependem
fortemente de uma reavaliação adequada da base de Ritz-Wilson.
Em seguida, estudou-se o mesmo sistema quando a base é reavaliada a cada um
vigésimo do período natural de sway da unidade flutuante (aproximadamente 400s/20 =
20s), direção pela qual incide o carregamento ambiental. Durante o processo de
reavaliação, o número de vetores que compõem a base aumentou e variou em torno de
43, respeitando os critérios de terminação apresentados na seção 7.4. Desta forma, os
264
resultados de deslocamentos, assim como os de tração de topo se aderiram aos
resultados gerados pelo processo de solução nodal integrado pelo método Alfa-B de
Newmark.
O estudo também foi estendido para avaliar a resposta do sistema com a base
transformação formada por apenas 10 vetores, deixando de atender assim os erros
limites estabelecidos para a formação da base de Ritz-Wilson (seção 7.4).
Com isso, a resposta de movimento do sistema continuou se aderindo aos
resultados gerados pelo método Alfa-B de Newmark nodal, porém os esforços
naturalmente deixaram de ser bem representados pela ausência da participação das
freqüências mais altas.
Por fim, estudou-se a resposta do sistema quando a base de transformação é
atualizada em um intervalo de tempo maior, correspondente a aproximadamente um
quinto do período natural de sway da unidade, ou seja, 80s. Mostra-se que os resultados
tanto de movimento, quanto de força de topo, não ficam bem representados. As bases
formadas ao longo do tempo por conseqüência da integração de Duhamel se afastaram
significativamente das geradas pela ImFGA. Conseqüentemente, os resultados dos dois
métodos deixaram de se aderir ao longo do tempo. Neste contexto, a ImFGA foi capaz
de garantir o aparecimento de resultados mais adequados enquanto o procedimento de
redução com integração de Duhamel se mostrou instável, impedindo que a simulação
continuasse após 720s.
Os resultados gerados em cada simulação mencionada nos parágrafos anteriores
são apresentados nas subseções seguintes. A Tabela 9.9 aponta o tempo de
processamento de cada uma delas, por cada método estudado.
Tabela 9.9 – Tempo de Processamento
MÉTODO
Tempo de CPU (s)
Simulação 1 Simulação 2 Simulação 3 Simulação 4
Base inicial
(29 vetores)
Base
Reavaliada a
cada 20s
(±43vetores)
Base
Reavaliada a
cada 20s
(10 vetores)
Base
Reavaliada a
cada 80s
(±43vetores)
Fully Coupled - Nodal -
Alfa-B de Newmark Não-
Linear
919.59s
Fully Coupled Redução -
Duhamel
753.75s 795.12s 720.88s ---
Fully Coupled Redução –
ImFGA (M=1)
752.67s 794.30s 719.45s 791.33s
265
O método de Redução aplicado para resolver o sistema offshore ITTC, mesmo
com o elevado número de equações do problema, que é reduzido e reexpandido a cada
intervalo de tempo global (0.05s), se mostrou mais rápido que o procedimento de
análise nodal baseado no procedimento de integração não-linear Alfa-B de Newmark.
Naturalmente o ganho computacional do método de redução está associado ao baixo
número de reavaliações da base (em conjunto com a reavaliação da matriz de rigidez e
função de Green).
A base reavaliada a cada 20s, quando aproximadamente 42 vetores a compõe, se
mostrou suficiente para representar corretamente tanto os resultados de movimento do
sistema quanto os esforços das linhas. O ganho computacional foi de 15,6%. Quando o
número de vetores que forma a base foi estabelecido em 10, o ganho computacional
aumentou para 27.8% e os resultados de movimentos da unidade flutuante
permaneceram precisos.
Na Tabela 9.9, é possível perceber também que aumentar ainda mais o espaço de
tempo (80s) para reavaliação da base não influencia significativamente o custo
computacional, mas, como será apresentado adiante, deixa de fornecer resultados
precisos de movimento e esforços. Isto reforça que um vigésimo do menor período
natural horizontal da unidade flutuante pode ser estabelecido como intervalo máximo de
reavaliação da base de transformação de um problema offshore, a fim de que as não-
linearidades geométricas do conjunto de linhas, geradas pelo passeio da unidade, sejam
adequadamente representadas.
266
9.4.1 BASE INICIAL, SEM REAVALIAÇÃO: 29 VETORES
Linha 1
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_1_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_1_V_Red. Duhamel
CXa8_105_1_V_Red. ImFGA
Figura 9.15 – Movimento Y do Topo da Linha 1
Linha 2
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_2_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_2_V_Red. Duhamel
CXa8_105_2_V_Red. ImFGA
Figura 9.16 – Movimento Y do Topo da Linha 2
267
Linha 3
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_3_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_3_V_Red. Duhamel
CXa8_105_3_V_Red. ImFGA
Figura 9.17 – Movimento Y do Topo da Linha 3
Linha 4
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_4_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_4_V_Red. Duhamel
CXa8_105_4_V_Red. ImFGA
Figura 9.18 – Movimento Y do Topo da Linha 4
268
Linha 1
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_1_W_Alfa-B-Newmark CXa8_105_1_W_Red. Duhamel
CXa8_105_1_W_Red. ImFGA
Figura 9.19 – Movimento Z do Topo da Linha 1
Linha 2
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_2_W_Alfa-B-Newmark CXa8_105_2_W_Red. Duhamel
CXa8_105_2_W_Red. ImFGA
Figura 9.20 – Movimento Y do Topo da Linha 2
269
Linha 3
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_3_W_Alfa-B-Newmark CXa8_105_3_W_Red. Duhamel
CXa8_105_3_W_Red. ImFGA
Figura 9.21 – Movimento Y do Topo da Linha 3
Linha 4
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_4_W_Alfa-B-Newmark CXa8_105_4_W_Red. Duhamel
CXa8_105_4_W_Red. ImFGA
Figura 9.22 – Movimento Y do Topo da Linha 4
270
Linha 1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_1_FAX2_Red. Duhamel 104_1_FAX2_Red. ImFGA
104_1_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.23 – Força no Topo da Linha 1
Linha 1
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_1_FAX2_Red. Duhamel 104_1_FAX2_Red. ImFGA
104_1_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.24 – Força no Topo da Linha 1 (janela de tempo menor)
271
Linha 2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_2_FAX2_Red. Duhamel 104_2_FAX2_Red. ImFGA
104_2_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.25 – Força no Topo da Linha 2
Linha 2
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_2_FAX2_Red. Duhamel 104_2_FAX2_Red. ImFGA
104_2_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.26 – Força no Topo da Linha 2 (janela de tempo menor)
272
Linha 3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_3_FAX2_Red. Duhamel 104_3_FAX2_Red. ImFGA
104_3_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.27 – Força no Topo da Linha 3
Linha 3
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_3_FAX2_Red. Duhamel 104_3_FAX2_Red. ImFGA
104_3_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.28 – Força no Topo da Linha 3 (janela de tempo menor)
273
Linha 4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_4_FAX2_Red. Duhamel 104_4_FAX2_Red. ImFGA
104_4_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.29 – Força no Topo da Linha 4
Linha 4
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_4_FAX2_Red. Duhamel 104_4_FAX2_Red. ImFGA
104_4_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.30 – Força no Topo da Linha 4 (janela de tempo menor)
274
9.4.2 BASE REVALIADA A CADA 20S: ± 43 VETORES
Linha 1
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_1_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_1_V_Red. Duhamel
CXa8_105_1_V_Red. ImFGA
Figura 9.31 – Movimento Y do Topo da Linha 1
Linha 2
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_2_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_2_V_Red. Duhamel
CXa8_105_2_V_Red. ImFGA
Figura 9.32 – Movimento Y do Topo da Linha 2
275
Linha 3
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_3_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_3_V_Red. Duhamel
CXa8_105_3_V_Red. ImFGA
Figura 9.33 – Movimento Y do Topo da Linha 3
Linha 4
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_4_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_4_V_Red. Duhamel
CXa8_105_4_V_Red. ImFGA
Figura 9.34 – Movimento Y do Topo da Linha 4
276
Linha 1
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_1_W_Alfa-B-Newmark CXa8_105_1_W_Red. Duhamel
CXa8_105_1_W_Red. ImFGA
Figura 9.35 – Movimento Z do Topo da Linha 1
Linha 2
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_2_W_Alfa-B-Newmark CXa8_105_2_W_Red. Duhamel
CXa8_105_2_W_Red. ImFGA
Figura 9.36 – Movimento Z do Topo da Linha 2
277
Linha 3
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_3_W_Alfa-B-Newmark CXa8_105_3_W_Red. Duhamel
CXa8_105_3_W_Red. ImFGA
Figura 9.37 – Movimento Z do Topo da Linha 3
Linha 4
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_4_W_Alfa-B-Newmark CXa8_105_4_W_Red. Duhamel
CXa8_105_4_W_Red. ImFGA
Figura 9.38 – Movimento Z do Topo da Linha 4
278
Linha 1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_1_FAX2_Red. Duhamel 104_1_FAX2_Red. ImFGA
104_1_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.39 – Força no Topo da Linha 1
Linha 1
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_1_FAX2_Red. Duhamel 104_1_FAX2_Red. ImFGA
104_1_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.40 – Força no Topo da Linha 1 (janela de tempo menor)
279
Linha 2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_2_FAX2_Red. Duhamel 104_2_FAX2_Red. ImFGA
104_2_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.41 – Força no Topo da Linha 2 (janela de tempo menor)
Linha 2
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_2_FAX2_Red. Duhamel 104_2_FAX2_Red. ImFGA
104_2_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.42 – Força no Topo da Linha 2 (janela de tempo menor)
280
Linha 3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_3_FAX2_Red. Duhamel 104_3_FAX2_Red. ImFGA
104_3_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.43 – Força no Topo da Linha 3
Linha 3
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_3_FAX2_Red. Duhamel 104_3_FAX2_Red. ImFGA
104_3_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.44 – Força no Topo da Linha 3 (janela de tempo menor)
281
Linha 4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_4_FAX2_Red. Duhamel 104_4_FAX2_Red. ImFGA
104_4_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.45 – Força no Topo da Linha 4 (janela de tempo menor)
Linha 4
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_4_FAX2_Red. Duhamel 104_4_FAX2_Red. ImFGA
104_4_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.46 – Força no Topo da Linha 4 (janela de tempo menor)
282
9.4.3 BASE REAVALIADA A CADA 20S: 10 VETORES
Linha 1
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_1_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_1_V_Red. Duhamel
CXa8_105_1_V_Red. ImFGA
Figura 9.47 – Movimento Y do Topo da Linha 1
Linha 2
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_2_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_2_V_Red. Duhamel
CXa8_105_2_V_Red. ImFGA
Figura 9.48 – Movimento Y do Topo da Linha 2
283
Linha 3
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_3_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_3_V_Red. Duhamel
CXa8_105_3_V_Red. ImFGA
Figura 9.49 – Movimento Y do Topo da Linha 3
Linha 4
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_4_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_4_V_Red. Duhamel
CXa8_105_4_V_Red. ImFGA
Figura 9.50 – Movimento Y do Topo da Linha 4
284
Linha 1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_1_FAX2_Red. Duhamel 104_1_FAX2_Red. ImFGA
104_1_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.51 – Força no Topo da Linha 1
Linha 1
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_1_FAX2_Red. Duhamel 104_1_FAX2_Red. ImFGA
104_1_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.52 – Força no Topo da Linha 1 (janela de tempo menor)
285
Linha 2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_2_FAX2_Red. Duhamel 104_2_FAX2_Red. ImFGA
104_2_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.53 – Força no Topo da Linha 2
Linha 2
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_2_FAX2_Red. Duhamel 104_2_FAX2_Red. ImFGA
104_2_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.54 – Força no Topo da Linha 2 (janela de tempo menor)
286
Linha 3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_3_FAX2_Red. Duhamel 104_3_FAX2_Red. ImFGA
104_3_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.55 – Força no Topo da Linha 3
Linha 3
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_3_FAX2_Red. Duhamel 104_3_FAX2_Red. ImFGA
104_3_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.56 – Força no Topo da Linha 3 (janela de tempo menor)
287
Linha 4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_4_FAX2_Red. Duhamel 104_4_FAX2_Red. ImFGA
104_4_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.57 – Força no Topo da Linha 4
Linha 4
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_4_FAX2_Red. Duhamel 104_4_FAX2_Red. ImFGA
104_4_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.58 – Força no Topo da Linha 4 (janela de tempo menor)
288
9.4.4 BASE REAVALIADA A CADA 80S: ± 43VETORES
Linha 1
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_1_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_1_V_Red. Duhamel
CXa8_105_1_V_Red. ImFGA
Figura 9.59 – Movimento Y do Topo da Linha 1
Linha 2
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_2_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_2_V_Red. Duhamel
CXa8_105_2_V_Red. ImFGA
Figura 9.60 – Movimento Y do Topo da Linha 2
289
Linha 3
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_3_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_3_V_Red. Duhamel
CXa8_105_3_V_Red. ImFGA
Figura 9.61 – Movimento Y do Topo da Linha 3
Linha 4
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0 200 400 600 800 1000
Tempo (s)
Deslocamento (m)
CXa8_105_4_V_Alfa-B-Newmark CXa8_105_4_V_Red. Duhamel
CXa8_105_4_V_Red. ImFGA
Figura 9.62 – Movimento Y do Topo da Linha 4
290
Linha 1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_1_FAX2_Red. Duhamel 104_1_FAX2_Red. ImFGA
104_1_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.63 – Força no Topo da Linha 1
Linha 1
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_1_FAX2_Red. Duhamel 104_1_FAX2_Red. ImFGA
104_1_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.64 – Força no Topo da Linha 1 (janela de tempo menor)
291
Linha 2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_2_FAX2_Red. Duhamel 104_2_FAX2_Red. ImFGA
104_2_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.65 – Força no Topo da Linha 2
Linha 2
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_2_FAX2_Red. Duhamel 104_2_FAX2_Red. ImFGA
104_2_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.66 – Força no Topo da Linha 2 (janela de tempo menor)
292
Linha 3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_3_FAX2_Red. Duhamel 104_3_FAX2_Red. ImFGA
104_3_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.67 – Força no Topo da Linha 3 (janela de tempo menor)
Linha 3
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_3_FAX2_Red. Duhamel 104_3_FAX2_Red. ImFGA
104_3_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.68 – Força no Topo da Linha 3 (janela de tempo menor)
293
Linha 4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
400 500 600 700 800 900 1000
Tempo (s)
Força (kN)
104_4_FAX2_Red. Duhamel 104_4_FAX2_Red. ImFGA
104_4_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.69 – Força no Topo da Linha 4
Linha 4
4500
4700
4900
5100
5300
5500
5700
5900
600 650 700 750 800
Tempo (s)
Força (kN)
104_4_FAX2_Red. Duhamel 104_4_FAX2_Red. ImFGA
104_4_FAX2_Alfa-B-Newmark
Figura 9.70 – Força no Topo da Linha 4 (janela de tempo menor)
294
10 CONCLUSÕES
10.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta as conclusões mais relevantes e algumas recomendações
de trabalhos futuros a respeito dos estudos realizados nesta tese. Para tal, as seções
seguintes se dividem em três. Apresentam-se inicialmente uma abordagem final sobre a
Análise de Modos de Vibração de Sistemas Acoplados; em seguida, o mesmo é feito
com o método de Redução de Base associado aos novos algoritmos de integração
desenvolvidos no Prosim; e por fim, abordam-se também os aspectos mais importantes,
assim como sugestões de trabalhos futuros, no contexto da inovadora ferramenta de
integração numérica tempo-freqüência ImFGA.
10.2 ANÁLISE DE MODOS DE VIBRAÇÃO DE SISTEMAS
OFFSHORE ACOPLADOS: CONCLUSÕES E TRABALHOS
FUTUROS
O estudo correspondente teve como objetivo apresentar uma nova aplicação do
Método de Jacobi Generalizado para solução de problemas de autovalores e autovalores
de unidades flutuantes offshore modeladas através do programa de simulação dinâmica
Prosim [11,12,13].
A escolha deste método deveu-se principalmente a sua estabilidade e velocidade
de solução em problemas com poucos graus de liberdade. O que se torna uma vantagem
para avaliação dos modos de vibração de unidades flutuantes que são modeladas por um
ponto nodal com apenas 6 graus de liberdade no esquema de integração hibrido
explícito-implícito (fracamente acoplado) do Prosim.
Na literatura, a aplicação deste método fica restrita a problemas estáticos. Nesta
tese, pelo contrário, o mesmo foi utilizado no contexto de simulações dinâmicas não-
lineares. Assim, modos de vibração podem ser avaliados passo-a-passo ao longo de toda
a integração dinâmica do sistema.
Sua aplicação em um problema offshore se torna importante quanto maior for a
não-linearidade geométrica das linhas de ancoragens e risers, e quanto mais o sistema
estiver suscetível às forças de ondas, uma vez que a massa adicional e hidrostática do
295
corpo pode variar com o tempo. Esta variação consegue ser numericamente avaliada no
contexto da formulação híbrida Morison + Froude Krylov + Difração do Prosim.
Para confirmar estas afirmações, foram estudados três casos. O primeiro
correspondente a uma plataforma semi-submersível clássica, ITTC, amplamente
ensaiada em tanques de provas, mundialmente conhecida na área offshore para aferição
de programas computacionais. O segundo caso compreende a uma plataforma semi-
submersível típica com uma grade capacidade de produção (grande número de risers),
semelhante as que são instaladas na Bacia de Campus. O terceiro e último caso
corresponde a uma monobóia CALM de 15m instalada em uma lâmina d’água de 400m.
A partir dos estudos realizados para a elaboração deste trabalho resumem-se as
seguintes conclusões:
10.2.1 MODELO ITTC
• Através do modelo ITTC, verificou-se que os resultados dos períodos naturais
calculados em sua posição de projeto através de testes de decaimento,
apresentaram correspondência aos resultados obtidos pelo método de Jacobi
Generalizado implementado programa Prosim. Isto significa que com este novo
método, testes de decaimento numérico deixam de ser necessários para avaliação
do período natural do sistema flutuante. Recorda-se que normalmente realizam-
se testes de decaimento para cada grau de liberdade da unidade flutuante através
de simulações dinâmicas acopladas, o que despende tempo de análise e pós-
processamento; a ferramenta implementada é capaz de avaliar os mesmos
resultados de maneira precisa e eficiente.
• Observou-se também que o período natural de heave obtido de ensaios em
tanques de provas [61] se aproximou do calculado pelo Método de Jacobi
Generalizado. Mostrou-se que ajustando-se a massa adicionada de sway,
consegue-se aderir perfeitamente os resultados numéricos aos experimentais.
• Em seguida, foram realizadas duas simulações dinâmicas com o modelo ITTC.
Foi mostrado que alguns períodos naturais da unidade flutuante variaram
significativamente ao longo da simulação dinâmica acoplada, e que a variação
do período natural pode ser entendida também como um parâmetro indicador
das não linearidades físicas, geométricas e/ou hidrodinâmicas do modelo.
296
• Ficou claro naquele exemplo que as variações de rigidez e massas adicionadas
dos cascos devidas à variação da superfície livre não deixam de ser relevantes e
devem, sempre que possível, serem consideradas em um modelo numérico.
10.2.2 MODELO SEMISUB
• Já no modelo SEMI-SUB, mostrou-se que o sistema adquiriu variações de
período natural nas direções de surge e sway (que chegaram a 4 segundos) ao
longo da simulação dinâmica realizada. Os maiores desvios padrões ocorreram
nas direções de surge, sway e yaw, e as diferenças entre os valores máximos e
mínimos alcançados pelos seus períodos naturais foram, para os dois primeiros
graus de liberdade, de 4% em relação ao seu respectivo período médio e, em
yaw, de 7%, também em relação ao seu período médio.
• Percebeu-se ali que a avaliação dos períodos naturais de surge, sway e yaw do
sistema offshore também é uma forma de se observar o quão rígido está o
arranjo de ancoragem, sendo uma boa ferramenta complementar de projeto.
• Apesar dos períodos naturais angulares não terem variado muito da posição de
projeto para a posição de equilíbrio dinâmico sob a ação do carregamento
considerado na análise apresentada, fica como sugestão a verificação destes
mesmos períodos quando condições ambientais mais severas (centenárias) atuam
sobre o sistema.
• Fica também como sugestão a verificação numérica dos períodos angulares de
plataformas tipo FPSO (Floating Production Storage Offload System) quando
um arranjo composto por um grande número de risers é instalado a bombordo,
por exemplo.
10.2.3 MODELO MONOBÓIA CALM
• Quanto ao modelo monobóia CALM, realizaram-se primeiramente 5 simulações
estáticas variando a força concentrada aplicada em seu CG. Observou-se que
todos os períodos naturais variam significativamente, conforme a carga
concentrada aumenta sua intensidade.
• Constatou-se também neste exemplo que os testes de decaimento realizados no
Prosim geraram períodos naturais amortecidos próximos, porém menores, dos
períodos calculados pelo Método de Jacobi Generalizado. Percebeu-se ali que as
297
pequenas diferenças encontradas estavam relacionadas com a alta taxa de
amortecimento hidrodinâmico do sistema que, como já era esperado, torna o
período natural amortecido menor do que o período natural propriamente dito.
• Em seqüência, foi realizada uma simulação dinâmica sobre o modelo submetido
apenas à correnteza e a ondas regulares. Notou-se que havia uma alta variação
dos períodos naturais de surge ao longo do tempo e que estes não estavam
relacionados à variação dos termos diagonais das matrizes de massa e rigidez,
mas sim com as variações dos termos cruzados. Demonstrou-se assim que é um
equívoco avaliar o período natural de uma estrutura offshore utilizando apenas
os termos diagonais da matriz de rigidez (desacoplamento dos termos das
matrizes), a não ser que haja simetria do sistema de amarração (e do conjunto de
risers) sobre o grau de liberdade estudado.
• Percebeu-se também naquela seção que a variação do período natural da unidade
flutuante durante sua elevação na onda pode impedir que o sistema entre em um
regime de ressonância. Este efeito não poderia ser captado por um modelo que
ignora o comportamento não-linear da rigidez e massa do sistema.
298
10.3 REDUÇÃO DE BASE: CONCLUSÕES E TRABALHOS
FUTUROS
A partir dos estudos realizados para a elaboração deste trabalho, considera-se
atingido os objetivos abordados na introdução desta tese. Procurando obter um
procedimento de análise acoplada com maior eficiência computacional
e que possa ser
usado mais intensivamente em atividades do dia-a-dia do projeto, o método de redução
de base de Ritz-Wilson associado a novos algoritmos de solução de equações reduzidas
modais se mostrou adequado. O caráter inercial dos sistemas offshore de explotação é o
maior aliado do método. A forte não-linearidade deste tipo de problema é gerada
principalmente pelas componentes estáticas do carregamento, de modo que a dinâmica
em torno da posição de equilíbrio estático possui não-linearidade menos acentuada. Sua
aplicação em problemas de impacto ou onde o comportamento dinâmico é fortemente
não-linear não é recomendada [18]
A eficiência computacional que se buscou com esta nova ferramenta visa atender
principalmente aos novos projetos de SCRs para os quais efetuam-se centenas e até
milhares de análises dinâmicas sob condições ambientais amenas para avaliação da
fadiga estrutural. Neste contexto, foi possível conseguir uma ferramenta numérica
eficiente que garante a qualidade da resposta de movimento
da unidade flutuante no
escopo da formulação fortemente acoplada e que pode ser utilizada como condição de
contorno de simulações desacopladas para os projetos estruturais das linhas de risers, ou
mesmo ancoragens. Este procedimento faz parte da metodologia híbrida de projeto
apresentada no Capítulo 2.
Destaca-se que os movimentos da unidade flutuante calculados pelo método de
redução não perdem a influência dinâmica/hidrodinâmica das demais linhas do sistema
que são modeladas por elementos finitos. Isso indica um avanço frente às análises de
movimentos desacopladas de unidades flutuantes, cujas linhas são tradicionalmente
representadas de maneira simplificada através de escalares, curvas de restauração, ou
catenárias analíticas. Estas representações simplificadas se mostram suficientes apenas
para simular a rigidez global do sistema, deixando de lado a representação rigorosa da
parcela hidrodinâmica e inercial das linhas.
Os estudos de casos apresentados confirmaram que o método de transformação de
base é capaz de reduzir substancialmente o tempo de processamento gerado por uma
299
simulação fortemente acoplada. Em sistemas simples, com número reduzido de graus de
liberdade o procedimento alcançou uma eficiência superior a três vezes o procedimento
de integração direta não-linear Alfa-B de Newmark. No sistema ITTC, atingiu-se uma
eficiência computacional de aproximadamente 30% com excelente qualidade nos
resultados de movimento, usando para isso apenas 10 vetores de Ritz graças ao caráter
inercial do problema.
A qualidade dos resultados também está ligada a precisão dos métodos de
integração implementados no Prosim para solucionar as equações dinâmicas reduzidas
desacopladas: Integral de Duhamel e ImFGA (Implicit Fourier Green Approach).
A integral de Duhamel, por ser derivada de uma forma analítica, permite que cada
equação desacoplada seja solucionada com o intervalo de integração global do
problema, mesmo que o período natural de cada sistema desacoplado seja menor do que
o intervalo estabelecido, garantindo sempre uma solução exata.
Já na ImFGA, por ser derivada de procedimentos numéricos aproximados para o
cálculo implícito da Função de Green e do processo de aproximação da integral de
convolução sobre as parcelas de forças não-lineares, a qualidade de seus resultados
depende do intervalo de integração adotado associado ao número M de suas séries
harmônicas.
Por esta razão, foi implementado um recurso de subciclagem que garante que o
intervalo de integração de cada sistema desacoplado seja igual a uma fração do período
natural, podendo assim ser definido M=1 sempre. Esta fração foi estabelecida nos
exemplos estudados como 1/20, apresentando resultados que se aderiram perfeitamente
aos gerados pela integral de Duhamel, também com excelente eficiência computacional.
O método utilizado para representar a integral de convolução no Capítulo 9 se
baseia na regra trapezoidal. Embora tenha-se desenvolvido nesta Tese um procedimento
de integração ainda mais preciso (integral de convolução representada pela integral de
uma função parabólica), mostrando-se suas vantagens, os exemplos apresentados no
Capítulo 9 foram estudados antes da concepção deste novo procedimento. Recomenda-
se em trabalhos futuros simular os mesmos exemplos com o uso deste novo método,
observando se o intervalo de integração do procedimento de subciclagem pode ser
elevado, sem comprometer a qualidade dos resultados.
300
Em suma, pode-se afirmar que o sistema computacional desenvolvido constitui
importante ferramenta para análise de movimento de sistemas offshore de exploração de
petróleo, garantindo a mesma precisão de resultados de uma análise fortemente
acoplada, aliada a uma melhor eficiência computacional, conforme encontrada nos
exemplos estudados.
No entanto, ainda se faz necessário conhecer o custo computacional envolvido na
solução de problemas com maior número de graus de liberdade. Desta forma, para
estudos futuros, recomenda-se verificar também a eficiência do método em mais
modelos offshore compostos inclusive por um número maior de linhas de ancoragem e
produção.
301
10.4 IMFGA: CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS
A ImFGA (Implicit Fourier Green Approach) apresentada no Capítulo 5 se baseia
no calculo da função de Green do sistema, implicitamente no domínio da freqüência,
fazendo uso de uma técnica de correção para acabar com efeitos indesejáveis da
periodicidade característico da Transformada Discreta de Fourier, ou seja, para permitir
a correta avaliação da resposta transiente de um sistema.
Mostrou-se que a ImFGA é uma poderosa ferramenta de simulação tempo-
freqüência nodal, capaz de tratar não somente os parâmetros físicos dependentes da
freqüência como também as não-linearidades hidrodinâmicas, geométricas e físicas
temporais de um sistema estrutural, sem exigir neste último caso que haja um processo
iterativo para tratar pseudo-forças.
Com os estudos realizados, pôde-se observar que a aproximação da integral de
convolução da referência [22] pode ser expressa de outras formas a fim de garantir
resultados de deslocamentos ainda mais precisos quando o sistema estiver submetido a
uma força externa. Mostrou-se que o uso da regra trapezoidal para representar a integral
de convolução é mais adequado do que a proposta em [22] e também que a aproximação
desta integral por uma integral de uma função parabólica garante resultados
extremamente precisos para intervalos de integração elevados.
Além disto, a ImFGA se mostrou adequada para ser integrada com intervalos de
tempo superiores aos menores períodos naturais de uma estrutura, propriedade esta
inconcebível por um método de integração direto baseado em diferenças finitas.
Mostrou-se também que a ImFGA pode tratar perfeitamente, com baixo custo
computacional, tanto problemas fracamente não-lineares quanto problemas fortemente
não-lineares (físicas e/ou geométricas), através da reavaliação da função de Green.
Neste último caso, o tempo computacional se relaciona diretamente ao número de vezes
em que a função precisa ser reavaliada. Mostrou-se que sistemas de exploração offshore
não exigem um número excessivo de reavaliações, o que torna o método
computacionalmente vantajoso para este tipo de problema.
A ImFGA também foi trabalhada nesta tese para resolver problemas dinâmicos
com parâmetros físicos dependentes de qualquer faixa de freqüência. Uma forma
aprimorada foi estabelecida para solucionar principalmente sistemas de equações de
302
unidades flutuantes, tradicionalmente integrados pelo método de Runge Kutta de Quarta
Ordem. Isto aliado a vantagem de tratar implicitamente na freqüência a massa adicional
e o amortecimento potencial do sistema, esperando-se resultados mais rápidos e
precisos.
Embora a ImFGA tenha sido implementada nesta tese para solucionar sistemas
offshore fortemente acoplados com propriedades físicas constantes, recomenda-se como
trabalho futuro que sua implementação seja realizada para solucionar apenas as
equações de movimento de unidades flutuantes no contexto da metodologia fracamente
acoplada. O baixo número de equações a serem resolvidas (6 equações: surge, sway,
heave, roll, pitch e yaw) permitirá que a função de Green seja reavaliada somente
quando necessário, despendendo um baixo custo computacional.
No contexto desta metodologia fracamente acoplada (procedimento de integração
híbrido explícito-implícito), enquanto o método de Runge-Kutta de Quarta Ordem exige
a solução do sistema de equações das linhas quatro vezes a cada passo de integração do
casco, a ImFGA permitirá que a solução do mesmo sistema ocorra uma única vez por
passo de tempo, se esperando um ganho computacional de 4 vezes sem que haja perda
de precisão de sua resposta.
Em resumo, a ImFGA se estabelece aqui como uma forte ferramenta híbrida
tempo-freqüência para solução de sistemas offshore, se mostrando um avanço frente as
demais ferramentas de integração direta, no domínio do tempo, pela capacidade de tratar
tanto parâmetros físicos dependentes da freqüência quanto todas as não-linearidades
físicas, geométricas e hidrodinâmicas que dependem do tempo; isto tudo aliado a um
baixo custo computacional.
303
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