( PDF ) Fenômenos não lineares de transporte elétrico induzidos por geração recombinação em semicondutores

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FENÔMENOS NÃO-LINEARES DE

TRANSPORTE ELÉTRICO INDUZIDOS POR

GERAÇÃO-RECOMBINAÇÃO EM

SEMICONDUTORES

HOLOKX ABREU ALBUQUERQUE

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FENÔMENOS NÃO-LINEARES DE TRANSPORTE ELÉTRICO INDUZIDOS POR

GERAÇÃO-RECOMBINAÇÃO EM SEMICONDUTORES

HOLOKX ABREU ALBUQUERQUE

ORIENTADOR: ALFREDO GONTIJO DE OLIVEIRA

CO-ORIENTADORES: RERO MARQUES RUBINGER

GERALDO MATHIAS RIBEIRO

Tese apresentada à Universidade Federal de

Minas Gerais como requisito parcial para

obtenção do grau de DOUTOR EM FÍSICA.

BELO HORIZONTE

DEZEMBRO DE 2005

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iii

AGRADECIMENTOS

• Ao professor Alfredo Gontijo de Oliveira, por sua orientação, acompanhamento e atenção

permanentes, pelo constante debate e pelo seu compromisso no meu processo de

formação científica.

• Um especial agradecimento ao professor Rero Marques Rubinger por ter se

disponibilizado na co-orientação desse trabalho e pelas enriquecedoras discussões que

foram fundamentais na elaboração deste.

• Ao professor Geraldo Mathias Ribeiro, por sua constante colaboração, participação e

amizade.

• Ao amigo Rodrigo Lacerda da Silva pelas discussões científicas, amizade e

companheirismo ao longo desse período.

• Aos colegas de curso, que contribuíram com a amizade e discussões enriquecedoras.

• Aos funcionários do Departamento de Física da UFMG, pela sua colaboração na

disponibilidade da infra-estrutura, necessária ao desenvolvimento desse trabalho.

• À Karine, por seu Amor, apoio e compreensão incondicional que tem me estimulado nos

momentos mais difíceis.

• Um especial agradecimento ao meu pai e minha mãe por tudo que fizeram por mim.

• Aos meus irmãos pela solidariedade e apoio ao meu desenvolvimento.

• Ao Seu Luiz, D. Conceição, Cássia e Camila pelo companheirismo e incentivo.

• Aos amigos Antônio de Pádua Magalhães e Kilder Leite Ribeiro pela amizade e

companheirismo ao longo desse período.

• Ao CNPq, que proporcionou minha disponibilidade integral à implementação desse

projeto.

• E a Deus ...

ÍNDICE

Resumo ......................................................................................................................................... vi

Abstract ........................................................................................................................................ vii

Introdução ...................................................................................................................................... 1

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-Isolante ........................................ 4

1.1 – Domínios de Campo Elétrico em GaAs SI ............................................................... 4

1.2 – Oscilações de Baixa Freqüência e Caos em GaAs SI ............................................... 9

1.3 – LFO e Caos em Amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE ............................... 11

Referências ....................................................................................................................... 21

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de Geração e Recombinação

em Semicondutores ...................................................................................................................... 23

2.1 – Transporte Elétrico em Semicondutores ................................................................. 23

2.1.1 – Equações Clássicas para Semicondutores ............................................................ 24

2.1.2 – Semicondutores como Sistemas Fora do Equilíbrio Termodinâmico .................. 25

2.2 – Processos de Geração e Recombinação em Semicondutores................................... 26

2.3 – Equações de Taxas para os Processos de Geração e Recombinação ..................... 29

2.3.1 – Modelo para um Único Portador .......................................................................... 29

2.4 – Oscilações Induzidas por Ionização por Impacto ................................................... 32

2.5 – Análise das Séries Temporais ................................................................................. 38

2.6 – O Modelo de Ionização por Impacto com a Captura Assistida por Campo ............ 49

Referências ....................................................................................................................... 54

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-Isolante ............................... 56

3.1 – Condutividade Diferencial Negativa ....................................................................... 56

3.2 – Mecanismos para NDC em GaAS do tipo SI e do tipo-n ...................................... 60

3.2.1 – Instabilidade de Drift ........................................................................................... 61

3.2.2 – Instabilidades de Geração-Recombinação ........................................................... 63

3.3 – Condutividade Diferencial Negativa do tipo-N em Amostras de GaAs Crescidas a

Baixas Temperaturas por MBE .............................................................................. 65

3.3.1 – Captura Assistida por Campo Elétrico ................................................................. 69

3.3.2 – Um Modelo para as Curvas Características I(V) em GaAs SI ............................. 72

Referências ....................................................................................................................... 79

Conclusões ................................................................................................................................... 81

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais ...................................................................... 84

I.1 – Dinâmica Não-Linear e Caos ................................................................................... 84

I.2 – Caracterização da Dinâmica Caótica ....................................................................... 85

I.2.1 – Definição de Atrator ............................................................................................. 86

I.2.2 – Expoentes de Lyapunov .........................................................................................87

I.2.3 – Dimensões de um Atrator ..................................................................................... 89

I.2.4 – Teorema de Reconstrução de Takens ................................................................... 94

I.3 – Considerações Finais ............................................................................................... 98

Referências ....................................................................................................................... 99

RESUMO

Neste trabalho, estudamos modelos teóricos com vistas a explicar o comportamento não-

linear do transporte de carga em semicondutores. Nossa abordagem consistiu em realizar

integrações numéricas das equações diferenciais para estudarmos a dinâmica do transporte. Para

tanto, consideramos os mais importantes processos de geração e recombinação (g-r) dos

portadores de carga presentes em amostras de GaAs semi-isolantes (SI) crescidas por epitaxia

por feixe molecular a baixa temperatura (LTMBE): ionização por impacto (a geração) e captura

assistida por campo elétrico (a recombinação). Esses dois processos foram incluídos em um

modelo de equações de taxas para os processos de g-r para simular as oscilações espontâneas de

corrente elétrica de baixa freqüência presentes em amostras de GaAs SI. Os resultados das

simulações produziram as características específicas dos dados experimentais, sugerindo que o

modelo microscópico das equações de taxas para esses processos de g-r é adequado para explicar

o comportamento não-linear da corrente elétrica no circuito contendo amostras de GaAs SI.

Além disso, propomos uma equação para a característica j(E) das amostras de GaAs SI crescidas

por LTMBE. Esta equação incorpora os dois processos de g-r mencionados acima. Merece

registro o fato de que a interpretação e a descrição do processo de recombinação, via captura

assistida por campo elétrico, realizada por nosso grupo de pesquisa são contribuições para o tema

aqui delineado, evidenciada através de publicações com resultados inéditos.

vii

ABSTRACT

In this work, we studied theoretical models to explain the non-linear behavior of the

electric transport of charge carriers in semiconductors. We focused the studies in the numerical

integrations of differential equations to obtain the dynamics of the electric transport. In the

models, we considered the most important processes of generation and recombination (g-r) of the

charge carriers in semi-insulating (SI) GaAs samples grown by low-temperature molecular-beam

epitaxy (LTMBE): impact ionization (generation) and field enhanced trapping (recombination).

These two processes were included in a model of rate equations for the g-r processes to simulate

the spontaneous low frequency electric current oscillations presented in GaAs SI samples grown

by LTMBE. The simulation results showed the specific features of the experimental data,

suggesting the microscopic model of the rate equations for the g-r processes is adequate to

explain the non-linear behavior of the electric current in a circuit with GaAs SI samples. In

addition, we proposed an equation for the j(E) characteristics of GaAs SI samples. This equation

incorporates the two g-r processes mentioned above.

Introdução

INTRODUÇÃO

Sob efeito de um alto campo elétrico externo, irradiação ou injeção de corrente em

regime fora do equilíbrio termodinâmico, os materiais semicondutores comportam-se como

sistemas dinâmicos complexos que, em muitos casos, apresentam instabilidades elétricas tais

como quedas bruscas de corrente, chaveamento entre estados não condutores e condutores,

oscilações espontâneas de corrente ou de tensão. Há uma grande variedade de mecanismos

físicos que levam a essas instabilidades, mas o fenômeno observado com mais freqüência

envolve a formação espontânea de padrões espaço-temporais tais como distribuições não-

homogêneas de corrente e domínios de campo elétrico. Estes últimos têm a propriedade de se

propagarem entre os contatos da amostra, produzindo oscilações espontâneas de corrente

detectáveis em um circuito externo. Essas oscilações espontâneas apresentam, em função de um

bias externo, rota de bifurcação para o caos, ou seja, elas podem ser temporalmente organizadas

na forma de ciclos periódicos ou regime caótico. A maneira usual de estudar e caracterizar os

fenômenos de bifurcação em materiais semicondutores é através da aplicação do formalismo da

dinâmica não-linear aos processos de condução elétrica, advindos da geração e da recombinação

de portadores de carga livres.

Uma linha de estudos que tem se mostrado bastante produtiva consiste na análise de

fenômenos não-lineares de transporte elétrico em semicondutores devido aos processos de

geração-recombinação (g-r) dos portadores de carga do material. Um processo de geração

bastante conhecido e estudado é o de ionização por impacto. Neste caso, o mecanismo de

geração de cargas livres ocorre quando portadores quentes (elétrons livres de alta energia)

colidem com as impurezas do material resultando em um processo de avalanche

(retroalimentação) que se manifesta como um aumento acentuado na densidade dos portadores

livres. No caso de recombinação, a captura assistida por campo elétrico, os portadores quentes

estimulam a captura dos portadores de carga por um processo não radiativo, envolvendo a

emissão de múltiplos fônons. Esse cenário é interessante para os nossos estudos pois os elétrons

quentes, que dependem de um único parâmetro externo que é o campo elétrico externo aplicado,

nos permitem trabalhar em situações limítrofes em que os dois fenômenos estarão competindo

em pés de igualdade para gerar uma dinâmica dependendo dos dois fenômenos simultaneamente.

Embora não iremos considerar em nossas simulações teóricas, esse sistema é ainda mais versátil

Introdução

se considerarmos que se pode também interferir na dinâmica por outros parâmetros de sintonia

fina como temperatura, iluminação, campo magnético, etc.

Vindo de altos para baixos valores do campo elétrico aplicado, o primeiro efeito

dominante é o de ionização por impacto. Reduzindo o valor do campo, tem-se uma redução na

relevância da ionização por impacto e começa a aparecer o fenômeno de captura assistida por

campo e, nessa situação temos uma efetiva competição entre os dois fenômenos. Continuando a

reduzir o campo externo, chegamos até o regime linear, que não é interessante para os nossos

estudos. Como mencionado, parâmetros físicos, como a temperatura da medida e iluminação, são

também importantes para sintonizar a competição entre os dois fenômenos. A dependência com

a temperatura é mais relevante na captura assistida por campo. Por outro lado, a iluminação

tende a influenciar mais fortemente a ionização por impacto.

A presença de regiões de condutividade diferencial negativa (NDC) é vista como um

indicador importante no estudo das instabilidades presentes nas curvas j(E) características das

amostras semicondutoras. Os estados independentes do tempo são geralmente instáveis nas

regiões de NDC e a resposta elétrica real depende do circuito elétrico ligado ao dispositivo. NDC

permite uma diferenciação quanto à forma da curva característica j(E), usualmente denominada

SNDC e NNDC, em função da semelhança da curva característica com as letras S e N. Esses

dois casos estão associados, respectivamente, com instabilidades na tensão e na corrente, quando

cada um desses parâmetros é controlado. No caso de NNDC puro, a densidade de corrente é

uma função unívoca do campo, mas o campo apresenta três valores distintos para alguns valores

da densidade de corrente. O caso SNDC puro é o inverso, no sentido de que E e j trocam de

papel. A ocorrência simultânea dos dois fenômenos também é possível. Em sistemas que

apresentam NNDC é comum observar a formação de domínios de campo elétrico estacionários e

de domínios que se movem através do material. Em sistemas que apresentam SNDC, o comum é

a formação de filamentos de corrente.

As amostras semi-isolantes (SI) de GaAs crescidas por epitaxia por feixe molecular a

baixa temperatura (LTMBE) apresentam regiões de condutividade diferencial negativa (NDC),

devido aos processos de g-r mencionados acima. Essas características foram associadas a

defeitos que geram níveis profundos tornando possível a observação dos fenômenos mesmo a

altas temperaturas. Quando as amostras são perturbadas próximo à região de NDC, por exemplo

com a temperatura, iluminação ou um campo magnético, o sistema está sujeito a fazer transições

Introdução

de fase, bem como apresentar efeitos não-lineares de transporte e, inclusive, chegar até o regime

de condução caótica, gerado por duplicação de períodos sucessivas no espaço de estados.

A essência do presente trabalho, de fundamentação teórica, consiste em estudar o

comportamento desses sistemas a partir de equações dinâmicas para os processos de g-r e utilizar

técnicas da dinâmica não-linear envolvendo, normalmente, cálculos computacionais em virtude

da dificuldade (impossibilidade prática) de resolvê-las analiticamente. Assim, a realização de

modelagem teórica para esses sistemas é uma boa opção de estudos, tendo como objetivo a

previsão de pontos de operação do sistema, ciclos e estabilidade. É também objetivo, estudar as

possíveis rotas para o caos contidas nas equações.

A motivação para realizar este trabalho teórico surgiu quando foram observadas

experimentalmente as oscilações de corrente elétrica de baixa freqüência (LFO – low frequency

oscillations) nas amostras de GaAs semi-isolantes crescidas por LTMBE. Através de um modelo

simplificado de equações de taxas para os processos de g-r procuramos apresentar um modelo

para interpretar as LFO observadas.

Esta tese está dividida em três capítulos, conclusões e um apêndice. Para fundamentar a

motivação para os nossos trabalhos teóricos, apresentamos, no capítulo 1, alguns resultados da

literatura e provenientes do nosso grupo de trabalho com relação ao fenômeno de oscilações de

baixa freqüência (LFO) em medidas experimentais de corrente elétrica. No capítulo 2,

apresentamos os resultados das análises no contexto da teoria do caos no modelo de equações de

taxas para os processos de g-r. Este modelo visa explicar as oscilações de corrente elétrica

presentes nas amostras de GaAs SI. Os resultados do modelo, que inclui a dependência do

processo de captura com o campo elétrico, são apresentados na forma de diagramas de

bifurcação similares aos obtidos experimentalmente. No capítulo 3, apresentamos os resultados

dos ajustes de curvas I(V) para amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE. Neste caso, a

equação utilizada contempla os dois principais processos de g-r mencionados. A identificação

desses processos de g-r na curva característica I(V) é importante para formular um modelo para

as oscilações de corrente elétrica que possam reproduzir os dados experimentais. Nas

conclusões, sintetizamos os principais resultados inéditos obtidos e, no Apêndice I, apresentamos

alguns conceitos relativos à teoria do caos e análises de séries temporais não-lineares com vistas

a disponibilizar para o leitor os ingredientes básicos dessa consolidada teoria.

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

CAPÍTULO 1 – OSCILAÇÕES DE BAIXA FREQÜÊNCIA EM GaAs SEMI-

ISOLANTE

Neste capítulo mostraremos alguns resultados experimentais de oscilações de corrente

elétrica de baixa freqüência (low frequency oscillations - LFO) presentes em circuitos com

amostras semi-isolantes (SI) de GaAs crescidas por epitaxia por feixe molecular a baixas

temperaturas (LTMBE). Esses resultados experimentais são as motivações para realizarmos os

estudos teóricos contidos nessa tese. Faremos aqui uma breve descrição dos resultados

experimentais e para uma descrição mais detalhada dos experimentos recomendamos as

referências contidas nesse capítulo.

1.1 – Domínios de Campo Elétrico em GaAs SI

Oscilações de corrente elétrica em semicondutores surgem quando se aplica uma alta

tensão dc na amostra. Essas oscilações são conhecidas desde a década de 60 [1-9] e em vários

trabalhos são discutidas as causas das oscilações como sendo a formação de domínios de campo

elétrico que atravessam a amostra do catodo ao anodo [10-14]. Enquanto o domínio está

propagando na amostra mas em regiões longe dos contatos, a corrente elétrica tem um baixo

valor. Quando o domínio atinge o anodo e desaparece, a corrente no circuito sofre um aumento e

um novo domínio é formado no catodo. Nesse momento, a corrente volta a diminuir. A formação

de domínios de campo elétrico está relacionada com a presença de regiões de condutividade

diferencial negativa (NDC) na curva característica I(V) da amostra. Um exemplo desse tipo de

comportamento, pode ser encontrado no caso do efeito Gunn [15]. A origem física para a

presença da região de NDC, advém da transferência de elétrons de um vale na banda de

condução com baixa energia e alta mobilidade para outro com alta energia e baixa mobilidade.

Essa transferência leva à formação da região de NDC e à formação de domínios de campo. O

efeito Gunn ocorre, por exemplo, em amostras de GaAs tipo-n altamente dopadas [15]. Em

amostras de GaAs SI, ao contrário, os domínios de campo são de propagação muito mais lenta

do que os observados em GaAs tipo-n, sugerindo que o efeito Gunn possa não ser o fenômeno

dominante para a formação de domínios nesse tipo de amostra [12,16]. De fato, as regiões de

NDC e os domínios de campo em GaAs SI são formados pela captura assistida por campo

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

elétrico nos defeitos [12-14]. Alguns trabalhos tratam os defeitos que são responsáveis pela

captura de elétrons como os defeitos EL2 [10,11,17].

Na figura 1.1, mostramos uma curva I(V) característica, obtida da literatura, para uma

amostra de GaAs SI crescida por LEC (Liquid Encapsulated Czochralski) [18]. A medida foi

realizada no escuro a uma temperatura de 313 K. O espaçamento entre os contatos, l, foi de 7

mm. Podemos observar que para baixas tensões na amostra, a lei de Ohm é obedecida. Para

voltagens ligeiramente abaixo da voltagem crítica, V

, emergem oscilações de pequena

amplitude na corrente e, para voltagens maiores que V

, a amplitude cresce. Para voltagens

muito acima de V

tem-se a ruptura elétrica, que não é mostrado na figura.

Figura 1.1: Característica I(V) para uma amostra de GaAs SI crescida por LEC. A medida foi

realizada no escuro a 313 K. A região hachurada é a região de oscilação. A linha superior

representa o máximo da corrente e a linha inferior representa o mínimo da corrente [18].

Uma aproximação para o campo elétrico crítico, E

, pode ser obtido de:

= . (2.1)

No caso mostrado tem-se E

da ordem de 1 kV/cm. Valores próximos foram encontrados em

outros trabalhos [3,9,19,20]. Esse valor de E

é cerca de três vezes menor que o valor encontrado

para o efeito Gunn [21]. Para as amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE, foram encontrados

valores de E

em cerca de 0,62 kV/cm [9(a)] e 1,0 kV/cm [9(b)], que concordam com os dados

disponíveis na literatura.

Na figura 1.1, para tensões acima de V

, tem-se o regime de NDC e surgem as oscilações

espontâneas de corrente como mostrado na figura 1.2 [18]. A freqüência de oscilação para esta

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

amostra é de 56 Hz e a velocidade de propagação do domínio é 39 cm/s. Tais valores de

velocidade são comuns em amostras de GaAs SI [9,16,20,22] e eles são incompatíveis com os

valores observados no efeito Gunn [21]. Ridley [23] argumentou que a mobilidade do domínio,

bem como a sua velocidade, depende da mobilidade efetiva de todos os portadores ativos. Isso

significa que devemos considerar não somente os portadores que estão livres durante o intervalo

de tempo de propagação do domínio, mas também portadores que estão livres somente uma parte

do tempo já que, por exemplo, um elétron pode estar livre na banda de condução ou capturado

num defeito. No estado capturado, ele não responde ao campo elétrico aplicado não contribuindo

para os fenômenos de transporte. Isso implica que a mobilidade efetiva de um elétron

temporariamente capturado é menor do que a mobilidade efetiva de um elétron que está livre o

tempo todo. Assim, a captura de elétrons por defeitos deve ser considerada neste processo.

Figura 1.2: Oscilações espontâneas de corrente em GaAs SI. As medida foram realizadas no

escuro e a 318 K. A tensão aplicada foi de 1400 V [18].

Nas amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE [9], a velocidade de propagação do

domínio de campo é cerca de 35 cm/s [9(a)] e 63 cm/s [9(b)]. Esses valores são compatíveis com

o descrito acima para amostras de GaAs SI.

Utilizando técnicas para observar os domínios de campo elétrico, vários resultados foram

obtidos com relação à gênese dos domínios, sua propagação através da amostra e suas

correlações com as oscilações espontâneas de corrente elétrica [12,13,19,24].

Um resultado importante descrito na ref. [19] tem relação com o campo elétrico crítico,

, que é um parâmetro relacionado com o aparecimento dos domínios de campo elétrico. Os

resultados experimentais indicam a presença de duas faixas de campo crítico. A primeira faixa de

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

campo crítico, E

, que varia de 0,5 a 1,25 kV/cm e está relacionada com o aparecimento das

oscilações de corrente e onde elas apresentam pequenas amplitudes. Essas oscilações são

causadas por domínios que surgem e rapidamente desaparecem no catodo sem percorrer grandes

distâncias no interior da amostra. A segunda faixa de campo crítico, E

C2,

que varia de 3,1 a 8,8

kV/cm é fundamental para a formação de domínios estáveis com envergadura para poderem se

mover ao longo de toda a amostra, do catodo para o anodo. O ciclo de um domínio se inicia com

o seu nascimento no catodo que é instável pela presença de regiões de NDC. O domínio não

pode nascer em regiões intermediárias da amostra, entre o catodo e o anodo, pois a distribuição

de cargas é homogênea e estável, caracterizando uma condição de equilíbrio. Portanto, são as

instabilidades na proximidade do catodo que levam à formação de um domínio no catodo.

Quando a tensão aplicada é alta o suficiente para formar uma região de NDC também no bulk, a

região do catodo torna-se estável e a região de bulk instável e, em decorrência, o domínio pode

propagar. Numa analogia com uma tsunami que aumenta sua amplitude ao se aproximar da

praia, o valor da corrente que chega no anodo é alto gerando um pico na corrente do circuito com

o conseqüente desaparecimento do domínio de campo elétrico. Enquanto o domínio está

desaparecendo no anodo, simultaneamente começa a surgir e a mover um segundo domínio, o

qual causa a queda de corrente.

Outros trabalhos confirmam os resultados descritos acima [12,13]. Além disso, a forma

do domínio varia durante um tempo inicial, constituindo um transiente nas vizinhanças do

catodo. Durante esse tempo de formação, o domínio cresce e diminui sua velocidade de

propagação, mas já estando em regime de propagação. Nessa condição de estado estacionário, a

forma do domínio não muda e a sua velocidade torna-se constante, dependendo linearmente com

a tensão na amostra. Nesses experimentos, foi observado que para tensões acima de 2,2 kV os

domínios não conseguiam atingir o regime estacionário, pois eles chegavam ao anodo antes da

estabilização e suas velocidades são, nesses casos, muito altas. Isto influencia a forma dos

domínios, causando oscilações aperiódicas na corrente elétrica, caracterizando um regime

caótico. A largura do domínio no estado estacionário é independente da tensão aplicada na

amostra, enquanto a altura do domínio cresce linearmente com a tensão.

Na figura 1.3, mostramos um domínio de campo elétrico obtido por diferenciação da

distribuição da voltagem medida [13]. O gráfico do campo elétrico é mostrado em função do

tempo e da posição. Como já descrito, o domínio forma-se no catodo e, nas fases iniciais de

propagação ele cresce, sua velocidade de propagação diminui atingindo o estado estacionário

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

para a velocidade e a forma. Quando o domínio atinge o anodo ele desaparece e outro é formado

no catodo e o processo recomeça. Nesse caso, domínios estáveis com a mesma largura mas com

amplitude e velocidade que variam linearmente com a tensão foram observados no intervalo de

1,3 – 1,9 kV. Para voltagens acima deste valor o domínio atinge o anodo e desaparece antes de

atingir o sua forma estável e um comportamento caótico surge [13].

Figura 1.3: Domínio de campo elétrico em função do tempo e da distância entre os contatos a

partir do catodo. A linha fina representa a distribuição do campo elétrico em função da posição

[13].

Utilizando a equação de Poisson, os autores [13] obtiveram também a distribuição

espacial da densidade de carga. Na figura 1.4 mostramos esta distribuição bem como a densidade

de portadores livres e a densidade de portadores capturados nos defeitos. Pode-se concluir dos

resultados que a distribuição espacial de carga forma um dipolo e tem um máximo em

102× cm

-3

. Este valor é muito maior que a densidade de elétrons livres na banda de condução,

e segundo os autores, isto pode ser explicado se considerarmos os processos de geração-

recombinação dos elétrons nos defeitos. Assim, os domínios de campo elétrico formam-se de

uma pequena variação em torno do equilíbrio do número de elétrons capturados.

A alta resistividade do domínio é a responsável pela alta porcentagem de repulsão dos

elétrons da banda de condução, enquanto o dipolo de carga, que é necessário para sustentar o

domínio, está quase todo dentro do domínio devido às flutuações na ocupação dos níveis dos

defeitos. Apesar de

ser quatro ordens de grandeza maior que n, é ainda cinco ordens de

grandeza menor que a densidade de defeitos, que neste caso foi estimado em

103,1 × cm

-3

Portanto, a variação na razão entre a densidade de elétrons na banda de condução e a densidade

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

de elétrons nos defeitos é praticamente determinada por

n e a redução de n na região do domínio

é uma evidência direta da captura assistida por campo (

field-enhanced trapping). Além disso, os

autores [13] argumentam que na equação para o cálculo de

n em função da posição, o baixo

valor da velocidade dos domínios e a pequena contribuição da difusão faz com que a corrente de

deslocamento seja irrelevante para a formação dos domínios, ao contrário dos domínios

formados pelo efeito Gunn, onde a corrente de deslocamento é relevante. Resultados similares

também foram encontrados na ref. [12].

Figura 1.4: Na parte superior tem-se a distribuição do campo elétrico e da densidade de carga em

função da posição e na parte inferior tem-se a densidade de elétrons na banda de condução,

n, e a

densidade de elétrons capturados no defeito,

, em função da posição [13].

1.2 – Oscilações de Baixa Freqüência e Caos em GaAs SI

Comportamento caótico vem sendo estudado de maneira significativa em semicondutores

como por exemplo GaAs tipo-

n a baixas temperaturas e Ge tipo-p, onde filamentos de corrente

causam as oscilações de corrente [25,26]. Em semicondutores semi-isolantes, onde os domínios

de campo causam as oscilações de corrente, por exemplo, GaAs, InP e Si, também vêm sendo

estudados de maneira significativa [8,18,25,26].

Com relação ao GaAs SI, Smith [27] foi um dos primeiros a observar o comportamento

caótico das oscilações de corrente elétrica. Ele observou que para tensões elevadas e na presença

de iluminação, dois domínios aparecem simultaneamente na amostra. Como cada domínio é

responsável por um pico na corrente, o comportamento geral das oscilações de corrente torna-se

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

complexo. Willing [19,24] observou que para tensões elevadas, um domínio atravessa a amostra

e ao desaparecer no anodo encontra com outro domínio ainda desaparecendo no contato,

resultando em oscilações caóticas de corrente. Piazza [12,13] observou que os domínios

precisam de um certo tempo para atingir o seu estado estacionário em relação à forma e

velocidade de propagação na amostra. Para tensões acima de 2,2 kV, ele observou que os

domínios formados não têm o tempo necessário para atingir os seus estados estacionários. Isto

influência a formação dos demais domínios, tendo todos formas diferentes, gerando oscilações

aperiódicas na corrente elétrica da amostra.

A seguir descreveremos alguns resultados da literatura sobre o comportamento caótico

das oscilações de corrente elétrica em GaAs SI e utilizaremos alguns termos relativos à

Dinâmica Caótica e à Análise de Séries Temporais. Para uma descrição resumida sobre os

conceitos envolvidos nestas duas áreas, consulte o Apêndice I deste trabalho e para uma

descrição mais detalhada consulte as referências [28-32].

Knap

et al. [4], utilizou o método da transformada rápida de Fourier nas oscilações de

corrente de uma amostra iluminada. O mapa da freqüência, isto é, o gráfico das freqüências

obtido do espectro de Fourier para as oscilações em função da tensão aplicada na amostra,

mostrou que a amostra atingiu o comportamento caótico por uma rota via duplicação de período.

Para baixas tensões, suficiente para produzir alguma oscilação de corrente, foi encontrada

somente uma única freqüência característica. Para tensões um pouco mais elevadas, foram

encontradas duas freqüências características e as oscilações são quasi-periódicas. Para tensões

ainda maiores, estas duas freqüências fundiram-se em uma única freqüência e surgiu uma outra

freqüência igual à metade desta nova freqüência (bifurcação via duplicação de período). Com

tensões ainda mais elevadas, surgiu uma freqüência principal e duas outras com freqüências

iguais a um terço e dois terços da freqüência principal. Continuando a aumentar a tensão foram

encontradas oscilações de quasi-periodicidade e bifurcações via duplicação de período até atingir

o comportamento caótico.

Pozela

et al. [5], não só trabalhou com o espectro de Fourier para as oscilações como

também trabalhou com os espaços de fase. O espaço de fase foi obtido quando fizeram uma

representação gráfica de dois sinais independentes, um em função do outro. No presente caso,

Pozela utilizou a corrente elétrica e sua derivada temporal. A curva resultante é chamada de

atrator e representa os estados do sistema. No caso de oscilações periódicas, o espaço de fase é

uma curva em ciclo (atrator periódico ou ciclo limite) em duas dimensões. O comportamento

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

caótico observado por Pozela resultou em um atrator altamente irregular que não pode ser

representado de maneira ideal em duas dimensões. Para caracterizar este comportamento de

maneira mais quantitativa, eles determinaram a dimensão mínima para o espaço de fase de

maneira a representar corretamente este atrator. Geralmente em sistemas caóticos, o atrator desse

sistema tem uma dimensão não inteira (fractal). A dimensão mínima que Pozela estava

procurando para este atrator fractal é o próximo inteiro acima do valor da dimensão fractal.

Pozela encontrou que a dimensão aumenta de 1 (sistema estável sem nenhuma oscilação), para 2

(oscilações periódicas), para 4 e valores acima de 10 (caos).

Maracas

et al. [6], utilizou a integral de correlação, C(I), para calcular a dimensão de

correlação (uma aproximação da dimensão fractal) das oscilações de corrente elétrica. Para uma

de suas amostras, eles encontraram uma dimensão em torno de 1,17, o que significa que o atrator

neste caso é estranho e que as oscilações de corrente são caóticas.

Neumann

et al. [33] estudou o comportamento das oscilações de corrente em função do

campo magnético. Como nestes experimentos a corrente é a única variável independente

acessível, os atratores foram construídos pela técnica de Takens. Esta técnica consiste em

representar graficamente a corrente no tempo t +

τ em função da corrente no tempo t, onde τ é

uma constante a ser determinada. Para campos magnéticos baixos, as oscilações de corrente são

periódicas, apresentando uma única freqüência característica no espectro de Fourier e atratores

periódicos em duas dimensões no espaço de fase. Para campos magnéticos superiores a 4 T, onde

medidas ópticas mostraram que os domínios desaparecem no interior da amostra, as oscilações

mudam de periódicas para quasiperiódicas. Para campos iguais ou superiores a 6 T, o espectro de

potência é ruidoso sugerindo que os atratores são caóticos. Os cálculos das integrais de

correlação,

C(I), levam ao resultado da dimensão de correlação igual a 0,95.

Nesta seção vimos alguns resultados da literatura para o comportamento caótico das

oscilações de baixa freqüência da corrente elétrica em amostras de GaAs SI. Na próxima seção

iremos apresentar alguns resultados obtidos pelo nosso grupo de pesquisa ao estudar o

comportamento oscilatório da corrente elétrica em amostras de GaAs SI crescidas pela técnica de

MBE a baixas temperaturas (LTMBE).

1.3 – LFO e Caos em amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

Foram observadas oscilações de corrente elétrica em amostras de GaAs SI crescidas pela

técnica de MBE a baixas temperaturas [9(a)]. As oscilações de corrente elétrica observadas

foram gravadas em forma de séries temporais e a partir dessas séries temporais foram realizadas

análises baseadas na Teoria do Caos e de Sistemas Não-lineares para caracterizar a dinâmica das

oscilações de corrente. Para essas análises utilizou-se o pacote TISEAN [29,34]. Como resultado

desses estudos, foi observada uma rota de bifurcação para as séries de corrente elétrica levando o

sistema ao comportamento caótico. A seguir, iremos apresentar resumidamente esse trabalho

desenvolvido e suas conclusões. Os vários termos técnicos relativos à análise de séries temporais

e suas interpretações, bem como a teoria de sistemas dinâmicos não-lineares, podem ser

encontradas no Apêndice I e nas referências citadas [28-32].

Nesse estudo [9(a)] foi utilizada uma amostra de GaAs SI crescida a 315

C por MBE

sobre um substrato de GaAs SI crescido por LEC. A figura 1.5 mostra a curva

I(V) da amostra

com as seguintes condições experimentais: temperatura de medida 200 K e iluminação do LED

LED

= 30 mA. Podemos observar uma região de NDC acentuada em torno de 30 a 40 V. Esta

região está associada ao processo de recombinação do portador de carga (

field enhanced

trapping) que será discutido no capítulo 3. Em torno de 55 V foi observada uma ruptura na

corrente elétrica, associada ao processo de geração do portador de carga (

impact ionization). Os

círculos na região de NDC indicam os pontos onde a tensão foi mantida fixa para medir as

oscilações de corrente em função do tempo,

I(V,t). A figura 1.6 mostra as séries temporais para

as tensões 31 V, 32 V, 33 V e 34 V. Cada um destes valores equivale a um ponto na curva

I(V)

da figura 1.5.

Para se obter uma análise mais precisa nas medidas de oscilações de corrente elétrica, foi

utilizado um algoritmo de redução de ruído, cujo objetivo é limpar as séries temporais o máximo

possível, sem prejudicar a dinâmica do sistema. Na figura 1.6, podemos observar para a tensão

de 31 V uma periodicidade nas oscilações de corrente elétrica, cuja freqüência é constante. Para

a tensão de 32 V, observamos também uma periodicidade nas oscilações de corrente, mas ao

contrário do caso anterior, existem duas freqüências características. Para a tensão de 33 V e 34

V, a periodicidade das oscilações de corrente desaparece, sendo impossível identificar

freqüências características.

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

Figura 1.5: Curva

I(V) para uma temperatura de 200 K e i

LED

= 30 mA. A região entre as duas

setas indica os pontos onde a tensão foi mantida fixa para medir as séries temporais da corrente.

Figura 1.6: Series temporais da corrente elétrica para a amostra de GaAs SI crescida por LTMBE

a 200 K. A tensão foi mantida constante em 31 V, 32 V, 33 V e 34 V.

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

A figura 1.7 mostra os atratores reconstruídos a partir das séries temporais apresentadas

na figura 1.6 para os quatro valores da tensão. A técnica utilizada para a reconstrução está

discutida no Apêndice I. O eixo horizontal é o valor da corrente em um dado intervalo de tempo

enquanto o eixo vertical é o valor da corrente atrasada de um certo tempo

τ. Foi utilizado um

espaço bidimensional para a reconstrução do atrator, apesar de esta dimensão somente ser

aceitável para o atrator de 31 V (ciclo-1). Os demais atratores requerem um espaço de

reconstrução maior que dois. Observamos, para uma tensão de 31 V, um ciclo limite de período-

1 seguido de um ciclo limite de período-2, para 32 V, seguido de um comportamento transitório

para o caos, 33 V, e por fim o comportamento caótico para uma tensão de 34 V.

Na figura 1.8 mostramos as dimensões de correlação para os quatro atratores. A dimensão

de correlação é uma aproximação da dimensão fractal do atrator. Os valores das dimensões de

correlação encontrados foram

1,09,0 ±

1,03,1

2,05,1

1,04,2

para os atratores relativos

às tensões de 31 V, 32 V, 33 V e 34 V, respectivamente.

Na figura 1.9 mostramos o cálculo dos maiores expoentes de Lyapunov para as quatro

séries temporais de corrente elétrica. Para a tensão de 31 V e 32 V, encontramos o maior

expoente igual a zero, seguido de 0,095 bits/s para 33 V e 0,57 bits/s para 34 V.

Combinando a dimensão de correlação e o expoente de Lyapunov, concluímos que para

os valores de tensão igual a 31 V e 32 V, as respectivas séries temporais não são caóticas, ou

seja, apresentam um comportamento periódico. Para a tensão de 33 V, encontramos uma

transição para o comportamento caótico com um valor positivo do expoente de Lyapunov mas

uma dimensão de correlação inferior a 2. Para a tensão de 34 V encontramos uma dinâmica

caótica com um expoente de Lyapunov positivo e dimensão de correlação maior que dois.

A seguir, iremos mostrar outro resultado obtido por nosso grupo de pesquisa, onde foi

obtido um diagrama de bifurcação para as oscilações de corrente elétrica com alto grau de

resolução [9(b)]. Neste estudo, foram observadas oscilações de corrente de ciclo-4 em uma

amostra de GaAs SI crescida por LTMBE a 315

C. Para visualizar este ciclo, foi aplicada

novamente a técnica de redução de ruído no sinal experimental. A figura 1.10 mostra os

diagramas de bifurcação antes (fig. 1.10(a)) e depois (fig. 1.10(b)) da remoção do ruído. Esses

diagramas foram obtidos a partir dos mínimos das séries temporais,

, para cada tensão na

amostra. Como podemos observar nesta figura, a seqüência de bifurcação nas oscilações de

corrente é: período-1, período-2, período-4, período-2 e caos. Só foi possível observar o ciclo de

período-4 após a remoção do ruído nas respectivas séries temporais. Para analisar esta dinâmica,

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

foram reconstruídos os espaços de fase do sistema utilizando a técnica do atraso temporal e

depois foram feitos a transformada de Fourier para as séries temporais de corrente elétrica.

Figura 1.7: Atratores para (a) 31 V, (b) 32 V, (c) 33 V e (d) 34 V. Atratores sem redução de

ruído estão em cinza e depois da redução de ruído estão em preto.

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

Figura 1.8: Dimensão de correlação para (a) 31 V, (b) 32 V, (c) 33 V e (d) 34 V.

Figura 1.9: Expoentes de Lyapunov em função da dimensão de imersão para (a) 31 V, (b) 32 V,

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

As figuras 1.11, 1.12 e 1.13 apresentam os cinco atratores reconstruídos seguido das

transformadas de Fourier das séries temporais antes e depois da redução de ruído. As

transformadas de Fourier nos permitem identificar as freqüências fundamentais das séries

temporais. As freqüências fundamentais encontradas foram: 315,2 Hz, 156,9 Hz, 76,9 Hz e

152,3 Hz para os quatro atratores periódicos mostrados nestas figuras. Estas freqüências

correspondem ao inverso do período do atrator. Por exemplo, o ciclo de período-2 tem por volta

de duas vezes o período do ciclo de período-1. Estas freqüências mantêm uma relação

aproximada de 1:1/2:1/4:1/2. Os outros picos do espectro de Fourier correspondem aos múltiplos

das freqüências fundamentais.

Figura 1.10: Diagramas de bifurcação: (a) sem redução de ruído e (b) com redução de ruído. As

setas indicam os atratores das figuras 1.11-13.

significa os mínimos da corrente na respectiva

série temporal.

Um regime possivelmente caótico foi observado na figura 1.13. Observamos que o

espectro de freqüências para esta série temporal tem uma mudança pouco significativa em

relação à série antes e depois da redução de ruído. A transformada de Fourier para esta série

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

temporal não apresenta uma freqüência característica. O espectro de freqüências é todo

preenchido, característico de comportamento caótico.

Através desses estudos, foram observados que as LFO’s da corrente elétrica em amostras

de GaAs SI crescidas por LTMBE são fenômenos com alto grau de não-linearidade. A primeira

evidência da não-linearidade surge nas curvas

I(V) dessas amostras, que apresentam regiões de

NNDC (condutividade diferencial negativa tipo-

N). Esta não-linearidade surge dos processos de

g-r do portador de carga que são dependentes do campo elétrico (Capítulo 3). Outra evidência de

não-linearidade foi apresentada através das oscilações de corrente elétrica de baixa freqüência

(LFO). Vimos que o comportamento dessas oscilações segue uma rota de bifurcação culminando

num regime caótico. Esta rota foi caracterizada através de métodos de dinâmica não-linear e

diagramas de bifurcação foram encontrados.

Figura 1.11: Atratores para 51,6 V de tensão na amostra em (a) e para 55,0 V em (b). Os

atratores sem redução de ruído estão representados em cinza e após redução de ruído estão

representados em preto, seguidos pelas respectivas transformadas de Fourier.

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

Figura 1.12: Atratores para 57,5 V em (c) e para 60,0 V em (d). Os atratores sem redução de

ruído estão representados em cinza e após redução de ruído estão representados em preto,

seguidos pelas respectivas transformadas de Fourier.

Os resultados da literatura apresentados neste capítulo, sobre a formação de domínios de

campo elétrico de baixas velocidades e oscilações de corrente elétrica em amostras de GaAs SI

crescidas por LEC e MBE, supõem que a formação desses domínios é devido à formação de

regiões de NDC por causa do processo de recombinação assistida por campo elétrico e o

principal defeito responsável seria o EL2 com seu estado excitado EL2

. Outra conclusão é que

estes domínios são os responsáveis pelas oscilações de corrente elétrica de baixa freqüência

presentes nessas amostras.

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

Figura 1.13: Atrator para 64,0 V. O atrator sem redução de ruído está representado em cinza e

após redução de ruído estão representados em preto, seguidos pelas respectivas transformadas de

Fourier.

Nas amostras de GaAs crescidas por MBE a baixas temperaturas, a densidade de defeitos

profundos é da ordem de 10

-3

[17]. Estas amostras apresentam comportamentos não-

lineares nas curvas

I(V) (regiões de NDC) que podem ser explicadas através dos processos de

geração-recombinação (g-r) do portador de carga entre o defeito e a banda de condução

(Capítulo 3). Baseado em resultados experimentais e teóricos, provavelmente o principal

fenômeno para a ocorrência de regiões de NDC nessas amostras é a captura assistida por campo

elétrico (

field enhanced trapping), um processo de recombinação do portador de carga. Foram

observadas também nessas amostras oscilações de corrente elétrica de baixa freqüência. Com os

resultados obtidos para essas amostras e comparados com os resultados da literatura, podemos

inferir que nessas amostras também existem domínios de campo elétrico de baixas velocidades

que atravessam a amostra de um contato para outro gerando oscilações de corrente elétrica. Os

Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

resultados são compatíveis com os resultados da literatura em relação ao campo crítico para a

formação de domínios de baixa velocidade, em torno de 1 kV/cm. Numa estimativa, a velocidade

de propagação dos domínios nas amostras é em torno de 35 cm/s [9(a)] e 63 cm/s [9(b)], que

também são compatíveis com as velocidades dos domínios medidas na literatura.

No capítulo seguinte, iremos estudar um modelo para interpretar as oscilações de corrente

elétrica em semicondutores. Este modelo é geral no sentido de não especificar o tipo de

semicondutor que esta sendo modelado e é baseado nos processos de g-r do portador de carga no

material.

Referências do Capítulo 1

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Capítulo 1 – Oscilações de Baixa Freqüência em GaAs Semi-isolante

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[34] http://www.mpipks-dresden.mpg.de/~tisean.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

CAPÍTULO 2 – UM MODELO DE EQUAÇÕES DE TAXAS PARA OS

PROCESSOS DE GERAÇÃO E RECOMBINAÇÃO EM

SEMICONDUTORES

Neste capítulo iremos estudar e propor uma modificação em um modelo de equações de

taxas para os processos de geração e recombinação do portador de carga em um material

semicondutor. Este modelo se presta a explicar as oscilações espontâneas em semicondutores. É

importante esclarecer que este modelo é um conjunto de equações diferenciais acopladas de

primeira ordem no tempo, não considerando as variações espaciais das variáveis. Primeiramente,

a partir do modelo padrão, iremos aplicar técnicas de análise de dinâmica não-linear nas séries

temporais de campo elétrico geradas pelo modelo. Após este estudo, modificaremos este modelo

numa primeira tentativa na sua adequação à realidade das amostras de GaAs semi-isolantes (SI)

crescidas por epitaxia de feixe molecular (MBE) e aos dados experimentais. Com essa

modificação obtivemos resultados que reproduziram alguns aspectos dos resultados

experimentais que não apareciam em modelos anteriores, indicando que estamos seguindo em

um caminho adequado.

2.1 – Transporte Elétrico em Semicondutores

A teoria de transporte elétrico em semicondutores descreve como os portadores de cargas

se movem sob a influência de campos elétrico e magnético externos. Assim, esta teoria pode ser

usada para se construir uma explicação quantitativa da condutividade diferencial negativa.

Existem várias teorias nas quais o fenômeno de transporte elétrico em semicondutores pode ser

modelado, entre elas são:

1- Equações diferenciais clássicas para as densidades médias de portadores e campos;

2- Equações de balanço semiclássicas para o número médio de partículas, energia média

e momento dos portadores;

3- Equação de Boltzmann para as funções distribuição do momento e posição dos

portadores;

4- Teoria de transporte quântico baseado na equação de Neumann para a matriz

densidade;

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

5- Simulação Monte Carlo da dinâmica de portadores individuais.

Neste trabalho, utilizamos a aproximação 1, observando os limites de validade na qual

negligenciamos flutuações estatísticas como também efeitos quânticos. Todas as alternativas são

não-lineares para regime de campo elétrico alto onde instabilidades e condutividade diferencial

negativa ocorrem. Para as demais teorias recomendamos a referência [1,2] para um maior

detalhamento.

2.1.1 – Equações Clássicas para Semicondutores

Estas equações são dadas pelas equações da continuidade para as densidades de elétrons

na banda de condução (n), de buracos na banda de valência (p) e de elétrons capturados nos

vários níveis de impureza (n

, n

,...,n

: escritos numa notação compacta

),,,(

Enpnfj

tnn

=⋅∇−

(2.1)

),,,(

Enpnfj

tpp

=⋅∇+

(2.2)

),,,( Enpnfn

ttt

= (2.3)

Elas são suplementadas pelas equações de Maxwell para o campo elétrico

e campo magnético

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−−=⋅∇

∑

∗

pnnN

tiD

(2.4)

−=×∇ (2.5)

0=⋅∇ H

(2.6)

()

++=×∇

(2.7)

em unidades gaussianas e admitindo um material homogêneo, isotrópico, não magnético

caracterizado por uma constante dielétrica

. Os pontos referem-se a derivadas em relação ao

tempo,

e > 0 é a carga elétrica elementar e

ADD

NNN −=

∗

: é a concentração efetiva de doadores,

onde

e N

são as concentrações de doadores e aceitadores, respectivamente. As densidades de

corrente de elétrons e buracos,

, respectivamente, são as componentes de “drift” e

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

difusão (assumindo temperaturas espacialmente homogêneas e negligenciando correntes

eletrotérmicas, bem como correntes de transporte magnético):

neDEnej

nnn

∇+=

(2.8)

peDEpej

ppp

∇−=

(2.9)

onde

são as mobilidades de elétrons e buracos, e D

e D

são as constantes de difusão

para elétrons e buracos. O sinal negativo em (2.1) resulta do fato de que a densidade de corrente

de elétrons

é oposta ao fluxo de portadores por causa da carga negativa dos elétrons.

As funções

, f

e f

, f

,...,f

) em (2.1-3) são as taxas de geração e recombinação; elas

dependem não-linearmente das densidades dos portadores envolvidas nos respectivos processos

de g-r, e, através dos coeficientes de g-r, do campo elétrico. Como os processos de g-r

conservam o número total de portadores,

=+−

∑

tipn

fff (2.10)

a equação (2.10) é sempre válida. As equações (2.1 – 2.9) representam equações diferenciais

parciais não-lineares que devem ser resolvidas para condições iniciais e de contorno adequadas.

2.1.2 – Semicondutores como Sistemas fora do equilíbrio Termodinâmico

Para que um semicondutor apresente comportamentos não-lineares, devemos estudá-lo

como um sistema fora do equilíbrio termodinâmico. No equilíbrio termodinâmico, isto é, na

ausência de campos elétrico e magnético externos ou excitações óticas, o semicondutor

caracteriza-se: (a) pela uniformidade entre a distribuição de defeitos e cargas livres; (b) pelo

equilíbrio térmico – mesma temperatura entre os portadores de cargas (elétrons e buracos) e a

rede cristalográfica (fônons); (c) pelo equilíbrio químico – um potencial eletroquímico uniforme

dos portadores, nível de Fermi E

. Fora do equilíbrio termodinâmico, o semicondutor pode se

apresentar nas seguintes formas:

há uma distribuição espacial da temperatura no semicondutor;

ii.

há uma dependência espacial para o nível de Fermi;

iii.

a temperatura dos portadores livres e da rede é diferente;

iv.

o nível de Fermi se divide em quase níveis de Fermi distintos para elétrons

e buracos.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Ou, numa combinação destas opções.

Ocorrendo os casos (i) ou (ii) para gradientes de temperatura não muito altos, o sistema

pode ser estudado como sendo próximo ao equilíbrio. O caso (i) se aplica ao aquecimento local

devido ao efeito Joule e, o caso (ii) se aplica aos casos de injeção de corrente, que resulta em alta

corrente de difusão.

O caso (iii) ocorre quando os portadores recebem energia cinética, do campo elétrico ou

por excitação óptica, mais rápido do que a transferência desta energia para a rede. A energia

média dos elétrons, ou buracos, é então maior do que o valor de equilíbrio: (3/2)kT

, então

define-se a temperatura do elétron T

> T

como:

kTE

= . (2.11)

O caso (iv) ocorre quando os elétrons e buracos não estão em equilíbrio entre si, mas

estão em quase equilíbrio com as bandas. Desta forma temos E

≠ E

(Quase-energia de Fermi

para elétrons e buracos respectivamente) e, conseqüentemente, temos T

≠ T

(temperatura de

elétrons livres e temperatura de buracos livres).

O caso (iv) é a condição de não-equilíbrio fundamental para as instabilidades de geração-

recombinação que iremos tratar neste trabalho, apesar dele estar acoplado em muitas situações

com os casos (iii) e (ii). Se estados de impurezas nas amostras semicondutoras estiverem

envolvidos nos processos de g-r, um quase-nível de Fermi deverá também ser associado a cada

nível de impurezas.

Assim, os processos de geração e recombinação de elétrons e buracos em amostras

semicondutoras que geram as suas instabilidades, caso estas estejam fora do equilíbrio

termodinâmico, são os pontos de partida para entendermos os fenômenos não-lineares e caóticos

apresentados nestas amostras. Na seção seguinte aborda-se os processos de g-r.

2.2 – Processos de Geração e Recombinação em Semicondutores

Os processos mais comuns de recombinação de portadores envolvendo a banda de

condução, de valência, e níveis de impurezas estão representados esquematicamente na figura

2.1.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

As setas representam transições de elétrons; nos casos em que são envolvidos buracos

, B

, T

) a transição deles é oposta às setas. Os três primeiros processos são processos

de um único elétron: recombinação banda-banda (B

), e captura banda-defeito (T

, T

). Os

processos contrários são geração banda-banda (Y

) ativados por processos óticos, térmicos ou

assistidos por campo e emissão de elétrons capturados (X

) ou buracos (X

). Os outros são

processos de 2 elétrons: recombinação Auger envolvendo duas bandas (B

, B

), ou uma banda e

um nível de captura (T

, T

), e os contrários, chamados de ionização por impacto (Y

, Y

;

, X

) [3]. As taxas de geração e recombinação para os processos da figura 2.1 podem

ser inferidas em forma de equação de reação como mostra a tabela 2.1.

Figura 2.1: Processos de geração e recombinação em semicondutores. As setas representam

transições que envolvem elétrons. Os símbolos B

, T

representam processos envolvendo 1

elétron e os símbolos B

, B

, T

→T

processos envolvendo 2 elétrons. Os símbolos citados se

referem a processos de recombinação e os símbolos correspondentes (linha de baixo) são os

coeficientes de geração.

As taxas de geração e recombinação f

, f

e f

, f

,...,f

) introduzidas nas equações da

continuidade (2.1-3) incluem os vários termos da tabela 2.1. Eles são não-lineares nas

concentrações dos portadores. Somente se as concentrações de portadores estiverem próximas

dos seus valores de equilíbrio n

, p

, n

, p

, as equações de taxas podem ser linearizadas em

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

torno do equilíbrio, e uma constante chamada tempo de vida (

) de elétrons (

) ou buracos (

)

pode ser definida por:

−=

(2.12)

onde

:,: pppnnn −

−=

. Entretanto, se o semicondutor está fora do equilíbrio

termodinâmico como no caso (iv) da seção 2.1.2, as não-linearidades das taxas de g-r são

essenciais, e o conceito de tempo de vida não é útil. Este caso se aplica às instabilidades de g-r

que serão abordados neste capítulo.

Tabela 2.1: O subscrito t se refere a portadores de carga capturados em defeitos. Os coeficientes

e Y

se referem à transição banda-banda, que no equilíbrio se igualam e, fora do equilíbrio, a

reação de geração é favorecida, quando a excitação ótica possui energia maior ou igual a do gap

do semicondutor.

Coeficiente de

recombinação / geração

Equação de balanço

de cargas

Taxas de

recombinação / geração

e + h → γ (fóton)

np --- Y

/ X

e + h

--- X

/ X

h + e

--- X

/ Y

2e + h e B

p --- Y

/ Y

2h + e h B

n --- Y

/ X

2e + h

e + e

p --- X

/ X

e + h + h

h + e

npp

--- X

/ X

e+ h + e

e + h

npn

---

/ X

2h+ e

h+h

--- X

Além disso, os coeficientes de g-r dependem, em geral, do campo elétrico E. Esta

dependência é particularmente pronunciada no caso dos coeficientes de ionização por impacto

, Y

, X

. A dependência mais simples é dada pelo modelo de Shockley [4]:

, Y

; X

, X

~ exp[-E

/(e

E)]

onde E

é uma energia de ionização limite característica e

é o livre caminho médio dos

portadores.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

2.3 – Equações de Taxas para os Processos de Geração e Recombinação

Nesta seção veremos um mecanismo de geração-recombinação que dá origem a três

estados estacionários homogêneos (dois dos quais são estáveis) em um certo intervalo de campo

elétrico e parâmetros do material. Isto resulta numa relação SNDC para a densidade de corrente e

campo elétrico. A ionização por impacto torna-se um processo essencial para este fenômeno.

2.3.1 – Modelo para um único portador

Consideraremos um modelo onde é envolvido somente um tipo de portador (elétrons ou

buracos). Neste trabalho, iremos considerar semicondutores do tipo-n. Assim, todas as fórmulas

são dadas para o caso de elétrons, mas a extensão para o caso de um semicondutor tipo-p não

apresenta dificuldades, observando que as concentrações de elétrons e de doadores devem ser

trocadas pelas concentrações de buracos e aceitadores e trocando as constantes de geração-

recombinação.

Podemos assumir que o semicondutor tipo-n tem N

doadores, parcialmente

compensados com N

aceitadores (< N

). Para baixas temperaturas podemos desprezar os

processos de g-r envolvendo a banda de valência. Também podemos supor que os aceitadores

estão todos ocupados, assim não entram explicitamente nos processos de g-r. Os elétrons podem

ser capturados pelas impurezas da amostra: um átomo doador, ou – para altas temperaturas onde

todos doadores estão ionizados termicamente – por um defeito profundo. Incluímos também a

possibilidade de um elétron ser capturado pelo estado fundamental do defeito ou por um estado

excitado deste.

As soluções espacialmente homogêneas das equações de transporte (2.1-9) tornam n e n

independentes da posição e

eLVeEE

)/(

, onde E

é o campo elétrico aplicado na

amostra ao longo do eixo Z, V é a voltagem aplicada na amostra e L é o comprimento da amostra.

Assim, a partir de (2.8), as equações de transporte são reduzidas a:

000

)( EEnej

= (2.13)

Supondo a independência da mobilidade pelo campo elétrico no intervalo de campo elétrico

usado. A equação de Maxwell (2.4) reduz à condição de neutralidade local,

=−−

∑

∗

tiD

nnN (2.14)

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

onde N

:= N

– N

é a densidade de doadores efetiva. De (2.14) uma das densidades de

elétrons capturados, n

, pode ser eliminada em (2.1-3). Então, teremos as equações de taxa para

os processos de g-r:

),,...,,(

0110

Ennngn

tMt −

(2.15)

),,...,,(

011

Ennngn

tMtiti −

i = 1,..., M-1 (2.16)

onde

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−==

∑

−

−−

11011

,,,...,,:),,...,,( EnnNnnnnfEnnng

tiDtMtMtttMt

λλ

λ =

0, 1,..., M-1; t

≡ n (2.17)

Os estados estacionários homogêneos n(E

) são dados pela solução simultânea do sistema de M

equações não-lineares:

),,...,,(0

011

Ennng

tMt −

λ =

0, 1,..., M-1 (2.18)

Logo, (2.13) representa a característica j(E) da amostra.

No que se segue, iremos ilustrar esse procedimento para um caso específico de processo

de geração-recombinação.

Um modelo de geração-recombinação com dois níveis de defeitos (o estado fundamental

e o primeiro estado excitado) é mostrado na figura 2.2.

Segundo a figura 2.2, as equações de taxas (2.15-16) são dadas por:

112

1121 ttt

nnXnnXnpTnXn ++−=

(2.19)

112

1 tttt

nnXnTnXn −+−=

(2.20)

12 tt

nnn

&&&

−−= (2.21)

Eliminando p

e n

pela condição de conservação de impurezas e neutralidade das cargas:

tttt

Nnnp =

, nNnn

Dtt

−=+

(2.22)

obtemos duas equações de taxas para as duas variáveis independentes n e n

4131210

nannananaan

++++=

(2.23)

1312101 ttt

nnbnbnbbn ++

(2.24)

com

NXa =

NTb =

)(

NNTXNXa −−−=

Tb −=

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

−= )(

XTb +−=

113

XXa −=

−

)(

114

XTa

+−= (2.25)

No estado estacionário, 0;0

, obtemos:

nXXT

nNT

)(

−

(2.26)

dcnbnannP +++==

)(0 (2.27)

com

)( XXTa

+−=

)(])([

XTTXXXTNNTXNXXb

+−−+−+−=

))(()(

***

XTNNTXXXNXXNTXc

+−−−++=

NXXd = (2.28)

Assim, dependendo dos valores dos coeficientes podemos ter três valores reais, ou três valores

físicos para

Figura 2.2: Modelo de geração-recombinação envolvendo a banda de condução (CB) e o defeito

– estado fundamental (GS) e o primeiro estado excitado (FIS).

A ocorrência de uma curva tipo-S para

j(E) não está ligada a nenhuma dependência

particular dos coeficientes de ionização por impacto com o campo elétrico, apesar de

) e

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

) serem funções crescentes de E

. Como já foi mencionado, utilizamos o modelo de

Shockley [3-5] para os coeficientes:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

exp

(2.29)

onde

e E

são as energias do estado fundamental e do nível excitado dos doadores,

é o

livre caminho médio dos elétrons e

, X

são constantes aproximadas.

2.4 – Oscilações Induzidas por Ionização por Impacto

Iremos estudar nesta seção um mecanismo de oscilações de campo elétrico e de

densidade de corrente originadas na amostra [3,5]. Essas oscilações são devidas às instabilidades

geradas pelos processos de geração-recombinação dos portadores de carga da amostra. A

ionização por impacto é o fator principal para a ocorrência deste processo, uma vez que os

coeficientes de ionização por impacto

, Y

, X

têm uma dependência não-linear com

o campo elétrico. Para o estudo destas oscilações, iremos trabalhar com uma amostra com dois

níveis de impurezas e a banda de condução. Além de uma das bandas, dois níveis de impurezas é

o mínimo que um sistema deve ter para apresentar as oscilações espontâneas [3,5].

Antes de darmos continuidade, retornaremos às equações de transporte (2.1-3) e

densidade de corrente (2.8) para um único portador majoritário,

n, na amostra semicondutora

tipo-

n e definiremos algumas grandezas adimensionais [3,5] que serão utilizadas no restante

deste capítulo. Para isto, normalizaremos todas as concentrações pela concentração efetiva de

doadores:

ADD

NNN −=

∗

(2.30)

),...,(:

tMt

≡=

(2.31)

e introduziremos uma variável de tempo e espaço adimensionais:

=: (2.32)

(2.33)

onde,

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

µπ

= (2.34)

é o tempo efetivo de relaxação-dielétrica, e

2/1

)(:

= (2.35)

é o comprimento efetivo de Debye. Os termos D

são respectivamente, a constante de

difusão e mobilidade para campos baixos, e constante dielétrica. Usando a relação de Einstein:

kT, definimos o campo elétrico adimensional

como,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(2.36)

Com estas definições, as equações de transporte (2.1-3) para as concentrações de elétrons

livres e capturados na forma adimensional são:

),,()(

εννϕννεν

=∇+⋅∇−

∂

(2.37)

),,(

εννϕν

ttt

∂

(2.38)

supondo que

, D

= D

, sejam independentes do campo. As concentrações e o campo

estão acoplados pela equação de Maxwell para a densidade de cargas (2.4) adimensional,

∑

−−=⋅∇

ννε

(2.39)

são as taxas de geração e recombinação. Estas taxas dependem implicitamente do campo

elétrico

através dos coeficientes de ionização por impacto. Reescrevendo a densidade de

corrente para os elétrons j

, equação (2.8), de maneira mais completa, onde introduzimos a

corrente de deslocamento e a velocidade de drift V(

) [3,5],

νεεν

∂

+∇+=

)()( DVj (2.40)

Assim, para o caso de dois níveis de impurezas, as equações (2.37-40), podem ser

reduzidas a um sistema de três equações diferenciais ordinárias não-lineares. Supondo um campo

elétrico espacialmente homogêneo temos, a partir de (2.39),

−−−= (2.41)

Supondo também uma homogeneidade espacial dos portadores de cargas, temos de (2.37-38-40)

que,

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

),,(

(2.42)

),,(

111

(2.43)

)(

Vj −=

(2.44)

onde as taxas de geração-recombinação são:

),1,,(:),,(

121010

tttt

−

= (2.45)

),1,,(:),,(

121111

ttttt

−

= (2.46)

Note que

é agora uma variável dependente das demais concentrações.

Para uma densidade de corrente independente do tempo, (2.42-44) representa um sistema

dinâmico autônomo, independe explicitamente do tempo e o estado estacionário é determinado

por:

0),,(),,(

011010

(2.47)

)(

Vj = (2.48)

A equação (2.48) representa a curva característica

) da amostra.

Para o sistema de dois níveis de impurezas (estado fundamental e o primeiro estado

excitado) estudados na seção 2.3., reconstruiremos o espaço de fase das trajetórias do sistema

não-linear (2.42-44). As taxas de g-r (2.45-46) serão dadas por:

νννννντψ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−++=

111

)(/

tDM

NTNXXNX

(2.49)

)(/

ttDM

TNXX

ννντψ

++−= (2.50)

com

−−= . Os coeficientes de ionização por impacto para os estados fundamental e

excitado são dados pela formula de Shockley (2.29) [4,5],

)/6exp(

EXX −= , )/5.1exp(

EXX −= (2.51)

é a energia do estado fundamental da impureza normalizada. Os outros coeficientes são

aproximações independentes do campo. A velocidade de drift é dada pela forma empírica [6]:

)(arctan

)(

(2.52)

a qual cresce linearmente com o campo para pequenos

e satura em v(

/(2r

) para grandes

. Na equação (2.52) r

é um parâmetro de saturação adimensional dado por

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

:=(

πµ

kT)/(2v

), onde

é a mobilidade para campos baixos e v

é a velocidade de

saturação em unidades físicas.

Integrando numericamente o sistema (2.42-44), utilizando o método Runge-Kutta de 4º

ordem, usando (2.49-52) e (2.48) no estado estacionário, para os valores numéricos da tabela 2.2

[3], obtemos a figura 2.3.

Tabela 2.2 – Parâmetros de g-r adimensionais usados na figura 2.3.

-2

/τ

-5

/τ

5x10

-6

/ τ

5x10

-6

/ τ

5x10

-4

/ τ

-2

/τ

1 0.5 0.3

Figura 2.3: Ciclo limite e série temporal para: (a) e (b)

= 180.0, (c) e (d)

= 190.0. Os

atratores foram reconstruídos usando o método do delay, onde δ = 10. O campo elétrico

está

um unidades de kTE

/(eL

) e o tempo em unidades de τ

Observa-se na figura 2.3 as oscilações de ciclo limite para o campo elétrico normalizado

. O parâmetro de controle é o campo elétrico estático

, relativo à característica j(

) do

sistema, equação (2.48). Para os valores listados na tabela 2.2, encontramos somente oscilações

de ciclo limite sem rota de bifurcação [3]. Os atratores foram reconstruídos utilizando o método

0,51,01,52,02,53,03,54,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

(c)

ε−δ (x10

)

ε (x10

)

0246

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

(d)

ε (x10

)

(

x10

)

0,81,01,21,41,61,82,02,22,42,62,83,0

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

(a)

ε−δ (x10

)

ε (x10

)

0123456

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

(b)

ε (x10

)

t (x10

)

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

do atraso temporal (delay) na série do campo elétrico (ver Apêndice I para mais detalhes desta

técnica de análise). Também podemos observar o transiente do campo elétrico, a partir das

condições iniciais, antes de atingir o ciclo limite.

Mostramos acima que as equações de taxas para os processos de g-r do portador de carga

em um semicondutor hipotético apresentam um comportamento oscilatório para uma faixa do

campo elétrico estático

e para certos valores dos coeficientes de g-r. Mostraremos agora um

estudo que realizamos neste modelo com o intuito de aplicar as técnicas de análise de dinâmica

não-linear de dados experimentais nos dados gerados pela integração do sistema dado pelas

equações (2.42-44). Para isto, reproduziremos a dinâmica deste sistema para certos valores do

parâmetro de controle e dos coeficientes de g-r. Schöll [5] propôs este modelo com o intuito de

fornecer uma pista teórica sobre a origem das oscilações de corrente observadas em amostras

semicondutoras [7-9].

Reescreveremos o modelo para as variáveis normalizadas n, n

, mantendo os fatores

de normalização (2.30-35). Assim, o modelo [2] é escrito como:

111121

nnXnnXnpTnXn

++−=

(2.53)

111

nnXnXnTn −−=

(2.54)

).(

nVJ −=

(2.55)

Uma curva J-

característica do sistema é apresentada na figura 2.4. Observamos nesta

curva uma condutividade diferencial negativa tipo-S (SNDC). Este modelo gera curvas J-

estáticas tipo-S.

Figura 2.4: Curva característica para a densidade corrente em função do campo elétrico estático

para o sistema (2.53-55) no estado estacionário. J está em unidades de e

* e

em V/cm.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Os métodos de análise de dinâmica não-linear em sistemas físicos experimentais, como

por exemplo, as análises realizadas nas medidas experimentais de corrente elétrica em amostras

de GaAs descritas no capítulo 2 [9], são baseados nas séries temporais experimentais de alguma

variável do sistema. Os procedimentos de análises de séries temporais experimentais funcionam

bem em sistemas no qual não temos acesso direto às equações dinâmicas do sistema. Em geral, o

primeiro procedimento na investigação de sistemas não-lineares experimentais é a reconstrução

do atrator via as séries temporais experimentais aplicando a técnica dos vetores de atraso

temporal [10] (ver apêndice I). Após este procedimento, é possível estimar a dimensão de

correlação do atrator e os expoentes de Lyapunov. A dimensão de Kaplan-Yorke também pode

ser estimada, pois é uma correlação entre os expoentes de Lyapunov. A presença de um atrator

com dimensão fractal e um expoente de Lyapunov positivo são características de sistemas

caóticos [11]. Por isto a importância de realizar estes cálculos. Devemos, entretanto, ter cuidado

nestas análises, uma vez que a dinâmica de alguns sistemas é altamente sensível a efeitos

estocásticos levando a uma falsa identificação da dinâmica caótica. Como exemplo, expoentes de

Lyapunov positivos podem ocorrer mesmo para sistemas não-caóticos que estejam contaminados

com ruído [12,13]. Assim, é necessário um baixo nível de ruído nas séries temporais

experimentais para uma análise mais confiável. Em dados experimentais [9], foram obtidas

séries temporais de corrente elétrica contaminadas com uma certa porcentagem de ruído, mesmo

desenvolvendo um aparato experimental para a sua redução. Assim, técnicas de redução de ruído

foram utilizadas nas séries temporais medidas para obter resultados das análises de dinâmica

não-linear mais confiáveis. Uma outra maneira de evitar interpretações errôneas nas análises é

descrever o sistema físico por um modelo de equações diferenciais não-lineares incluindo os

processos mais relevantes de geração-recombinação dos portadores de carga do sistema real e

aplicar nesse modelo as técnicas de análise de séries temporais não-lineares. Este procedimento é

válido, uma vez que as séries temporais para as variáveis deste modelo são livres de ruídos,

tornando as análises mais confiáveis.

Neste primeiro momento, iremos trabalhar com o modelo original [5] e gerar séries

temporais de campo elétrico, ou seja, para a variável

, e aplicar as técnicas de análises de séries

temporais não-lineares (Apêndice I). Schöll [2,3,5] focou o estudo do modelo principalmente na

análise de bifurcação em torno dos pontos fixos do sistema (2.53-55) e a dependência da matriz

Jacobiana com o parâmetro de controle. Assim, iremos ampliar estes estudos, realizando cálculos

baseados em análises de séries temporais não-lineares nas séries temporais do campo elétrico,

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

geradas pela integração numérica do sistema (2.53-55). Nós calculamos as dimensões de

correlação e os expoentes de Lyapunov para os atratores em função do parâmetro de controle do

sistema. Além de estarmos trabalhando com análises de dinâmica não-linear, este estudo pode

ser visto como um teste da eficiência dos algoritmos de análises de séries temporais

experimentais em séries provenientes de medidas elétricas em materiais semicondutores uma vez

que, foram realizados estes cálculos em séries temporais experimentais [9] e, neste trabalho, em

séries livres de efeitos externos como ruídos. Assim, podemos comparar os resultados obtidos

neste estudo teórico com os resultados obtidos nos estudos experimentais de uma maneira

qualitativa.

2.5 – Análise das Séries Temporais

Como já mencionado utilizamos o conjunto de equações nas variáveis normalizadas n, n

, dado pelo sistema (2.53-55). Neste sistema de equações, a densidade de portadores no estado

excitado, n

, foi eliminada segundo a condição da neutralidade das cargas: nnNn

−−=

. A

densidade de defeitos não ocupados, p

, é dado por: p

= N

+ n. A densidade de doadores

efetivos e a densidade de aceitadores são representados por

N e N

, respectivamente. Os

coeficientes

são os coeficientes de ionização térmica e captura, respectivamente (fig.

2.2).

são os coeficientes de transição do estado fundamental para o estado excitado e

vice-versa, respectivamente. Os coeficientes

X e

X são os coeficientes de geração via

ionização por impacto do estado fundamental e excitado, respectivamente, os quais são

dependentes do campo elétrico seguindo o modelo de Schockley, enquanto os demais são

independentes do campo elétrico.

Integrando o sistema de equações (2.53-55) utilizando o método Runge-Kutta de 4º

ordem, ajustando o parâmetro de controle

com os coeficientes de g-r adequados, a rota para o

caos por duplicação de período encontrado por Schöll também foi observada por nós. A partir

deste ponto, nós realizamos análises de dinâmica não-linear nas séries temporais de campo

elétrico. As análises seguem o procedimento padrão de análises de séries temporais não-lineares,

isto é, primeiramente reconstruímos o atrator do sistema no espaço de fase pelo método do vetor

atraso temporal [10,12,13] na série temporal do campo elétrico; depois calculamos os expoentes

de Lyapunov [14,15] e a partir deles, calculamos a dimensão de Kaplan-Yorke (D

);

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

calculamos também a dimensão de correlação (D

) [16,17] no espaço de fase (D

) e na seção de

Poincaré (D

Os valores dos coeficientes de g-r usados para integrar o sistema (2.53-55) e os valores

dos demais parâmetros encontram-se na tabela 2.3. Os coeficientes de ionização por impacto

X seguem a relação:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0.6

exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

5.1

exp

. A energia E

é o

valor normalizado da energia da impureza no estado fundamental. A razão

é o fator de

compensação. O parâmetro r

é um valor de saturação que está relacionado com a velocidade de

drift empírica [6] V(

) como:

()

arctan

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. Estes parâmetros e coeficientes

dependem do material semicondutor. Schöll [2,3,5] trabalhou com um conjunto de parâmetros

para um material tipo-n de gap direto que apresenta uma condutividade diferencial negativa

(NDC) tipo-S (fig. 2.4) e com doadores rasos a baixa temperatura.

Tabela 2.3 – Coeficientes de g-r e parâmetros para o sistema (2.53-55). Os coeficientes estão em

unidades de τ

[2,3,5].

−

105

−

105

−

105

−

3.0 3.0

A figura 2.5 mostra as séries temporais do campo elétrico geradas pela integração

numérica do sistema (2.53-55). A figura 2.6 mostra os atratores construídos a partir das variáveis

do sistema (2.53-2.55). Optamos no presente estudo dar enfoque nas técnicas de análise via a

série temporal de uma única variável e calcular os parâmetros de interesse via essa série. As

figuras 2.7 a 2.9 mostram os atratores reconstruídos para seis valores do parâmetro de controle

: 102, 105, 105.3, 105.42, 105.5 e 105.9. A dimensão de correlação D

para os atratores e o

espectro dos expoentes de Lyapunov também são mostrados. A variável do eixo vertical é a

mesma do eixo horizontal, mas atrasada de um valor constante que está em parênteses. Este valor

foi obtido pelo algoritmo da informação mútua [10] (Apêndice I) que nos fornece o atraso

temporal que devemos fazer na série temporal para a reconstrução do atrator. Podemos observar

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

nestas figuras que a rota de bifurcação para o regime caótico é por duplicação de período. De

fato, um ciclo de período-1, fig. 2.7(a), é seguido por um ciclo de período-2, fig. 2.7(b), seguido

por um ciclo de período-4, fig. 2.8(a), seguido por um ciclo de período-8, fig. 2.8(b), e por fim

seguido por um regime caótico, fig. 2.9. Após o ciclo de período-8, existem ciclos de períodos

maiores antes de atingir o regime caótico. Porém, o passo utilizado no parâmetro de controle não

é suficiente para identificar tais ciclos e a diferença entre os máximos das séries temporais torna-

se muito pequena dificultando a visualização de tais períodos nos atratores reconstruídos. Assim,

não visualizamos ciclos de períodos superiores a 8 antes de atingir o regime caótico. A figura

2.10 mostra o diagrama de bifurcação. O eixo horizontal é o parâmetro de controle

e o eixo

vertical é a seqüência de máximos das séries temporais de campo elétrico. Na tabela 2.4,

apresentamos um resumo dos resultados obtidos, como o espectro dos expoentes de Lyapunov e

as dimensões de correlação para os fluxos (D

) e para os mapas (D

), bem como a dimensão

de Kaplan-Yorke (D

) para os parâmetros de controle

Tabela 2.4 – Dimensão de correlação e expoentes de Lyapunov para o parâmetro de controle

, D

, λ

e D

são a dimensão de correlação para o atrator, a dimensão de correlação para a

seção de Poincaré, o i-ézimo expoente de Lyapunov e a dimensão de Kaplan-Yorke,

respectivamente.

102.0

002.0000.1 ±

0 0.00 -0.07 -0.57 1.12

105.0

001.0001.1 ±

0 -0.02 -0.13 -0.54 1.30

105.3

001.0003.1 ±

0 0.03 -0.09 -0.32 1.41

105.42

01.002.1 ±

0 0.04 -0.05 -0.20 1.77

105.5

02.078.1 ± 02.084.0 ±

0.17 0.01 -0.39 2.44

105.7

02.080.1 ± 02.080.0 ±

0.13 0.01 -0.31 2.45

105.8

01.092.1 ± 01.095.0 ±

0.13 0.01 -0.30 2.48

105.9

02.097.1 ± 02.097.0 ±

0.15 0.02 -0.34 2.49

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Figura 2.5: Séries temporais do campo elétrico para o parâmetro de controle

igual 102 (a), 105

(b), 105.3 (c), 105.42 (d) e para 105.5 (e). O campo elétrico

está em unidades de (kTE

)/(eL

) e

t está em unidades de

(a)

(e)

(d)

(c)

(b)

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Figura 2.6: Atratores do sistema (2.53-55) nas variáveis campo elétrico

e densidade de

portadores

n com parâmetro de controle

igual 102 (a), 105 (b), 105.3 (c), 105.42 (d) e para

105.5 (e).

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Figura 2.7: Os atratores reconstruídos para

igual 102 (a) e 105 (b), seguidos pela dimensão de

correlação e pelos expoentes de Lyapunov para cada atrator.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Figura 2.8: Os atratores reconstruídos para

igual 105.3 (a) e 105.42 (b), seguidos pela

dimensão de correlação e pelos expoentes de Lyapunov para cada atrator.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Figura 2.9: Os atratores reconstruídos para

igual 105.5 (a) e 105.9 (b), seguidos pela dimensão

de correlação e pelos expoentes de Lyapunov para cada atrator.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Figura 2.10: Diagrama de bifurcação para o sistema.

é o parâmetro de controle e

Max

é o

máximo da série temporal do campo elétrico.

Nós observamos a evolução da dimensão de correlação e dos expoentes de Lyapunov em

função do parâmetro de controle

. O valor da dimensão de correlação (D

) para os ciclos

limites de periodicidade 1, 2, 4 e 8 mostrados na figura 2.7 e 2.8, aumenta com a periodicidade

dos atratores mas permanece dentro do intervalo de 1.00 a 1.02 de tal maneira que pode ser

considerado constante. A dimensão de Kaplan-Yorke (D

) está no intervalo de 1.12 a 1.77. As

dimensões de correlação (D

), calculadas via o mapa (seção de Poincaré), dos atratores

periódicos são nulas, como esperado, por consistirem de um conjunto finito de pontos. O maior

expoente de Lyapunov para os atratores periódicos são praticamente nulos, e os outros dois

expoentes são negativos. O mais negativo dos expoentes de Lyapunov aumenta com a

periodicidade do atrator resultando no aumento de D

. A soma dos três expoentes é sempre

negativa, indicando um sistema dissipativo limitado em uma certa região do espaço de estados.

Assim, estes atratores são altamente estáveis e os resultados sugerem que suas dimensões

topológicas (D

) são 1 com uma dimensão de imersão (D

) igual a 3, o qual é necessário para a

obtenção de atratores com trajetórias que não se cruzam.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Os atratores da figura 2.9 correspondem ao

igual a 105.5 e 105.9 e têm um valor de

igual a 1.78 e 1.97, respectivamente, os quais são quase duas vezes maiores que os valores

de D

para os atratores periódicos. Isto é razoável uma vez que os atratores caóticos são mais

densos no espaço de estados do que os periódicos. Apesar de que D

aumenta de valor, ele

ainda permanece um pouco abaixo de 2.00, devido a uma distribuição não-uniforme de pontos

no atrator como podemos observar na figura 2.9. Por outro lado, existe uma tendência dos

métodos usuais de cálculos da dimensão de correlação em subestimar a dimensão real do sistema

[17]. Entretanto, é conhecido que D

é um limite inferior para a dimensão fractal da mesma

maneira que D

é um limite superior [18,19].

Comparando os atratores que têm um expoente de Lyapunov nulo com os mapas (seções

de Poincaré), Eckmann e Ruelle [11] encontraram uma diferença entre as dimensões fractais do

fluxo e do mapa igual a 1, o qual foi associado com o fato de que a dimensão associada com a

direção do espaço de estados que tem um expoente de Lyapunov nulo é 1. Ao fazermos a seção

de Poincarè do atrator (fluxo), eliminamos esta direção. De fato, na tabela 2.4, observamos que

as análises realizadas para D

de todos os atratores caóticos, diferem praticamente de 1 das

análises realizadas para D

, o qual indica que estes valores são cálculos confiáveis.

A exigência de que D

≥ 3 pode ser claramente observado nas figuras 2.7(b), 2.8 e 2.9,

que foram representadas em duas dimensões. Estes atratores apresentam trajetórias que se

cruzam em alguns pontos, violando o princípio dinâmico do não-cruzamento das trajetórias.

Usamos um espaço bi-dimensional para os atratores por motivos práticos, representando as

projeções dos atratores em três dimensões em um espaço 2D. Observamos que para obtermos os

atratores, integramos um conjunto de três equações diferenciais, sugerindo um espaço de estados

3D.

Se fizermos a diferença de D

e D

entre os atratores para

igual a 105.42 e 105.5,

(105.5) – D

(105.42) = ∆D

] e [D

(105.5) – D

(105.42) = ∆D

], obtemos

∆D

= 0.67 e ∆D

= 0.74. Ambas as diferenças não são nulas pois um regime é periódico e

outro caótico. A diferença entre

∆D

e ∆D

é pequena, indicando que ambas as medidas são,

de maneira semelhante, sensitivas à mudança de regime. D

, entretanto, apresenta algumas

diferenças em relação a D

. D

cresce de maneira significativa para os atratores periódicos e é

bem acima de 2 para os atratores caóticos. Os valores de D

estão relacionados com a redução

do módulo do expoente de Lyapunov mais negativo. Esta mudança afeta D

sem estar

relacionado com uma mudança significativa da forma do atrator. O conceito de forma do atrator

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

significa que o caráter de ser uma trajetória fina e fechada é preservada para regimes periódicos.

Para o regime caótico, D

está relacionado com a dimensão fractal do atrator, apesar de não ser

uma medida direta dele. D

pode ser considerado como um limite superior para qualquer atrator

que tenha o mesmo espectro dos expoentes de Lyapunov [16].

A figura 2.11 mostra a curva característica

) do sistema de equações (2.53-55) para os

valores dos coeficientes e parâmetros da tabela 2.3. Observamos uma curva com região de NDC

tipo-S. O intervalo do parâmetro de controle do sistema (2.53-55),

, no qual encontramos a rota

de bifurcação apresentada nas figuras 2.6-10, é uma pequena região na curva

). Observe que

pode haver até três pontos de operação possíveis nesta curva, mas somente o ponto que está na

região de NDC é instável para a ocorrência das oscilações. Nos

insets da figura, mostramos a

região instável, NDC, e a região estável, PDC (condutividade diferencial positiva).

Figura 2.11: Curva característica para a densidade corrente em função do campo elétrico estático

para o sistema (2.53-55) no estado estacionário.

J está em unidades de e

* e

em V/cm. Esta

curva foi gerada com os valores dos coeficientes da tabela 2.3.

Neste estudo aplicamos técnicas de análises de séries temporais não-lineares

experimentais em séries geradas por um modelo teórico. Este método nos permitiu inferir

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

questões importantes a respeito do espectro dos expoentes de Lyapunov e da dimensão de

correlação dos atratores. Além disso, testamos a validade da técnica de análise de dinâmica não-

linear aplicada em sistemas experimentais no modelo de equações de taxas para os processos de

g-r do portador de carga em um semicondutor hipotético. Observamos uma concordância dos

resultados obtidos com a teoria de dinâmica não-linear. Este tipo de abordagem também foi

utilizado num estudo de dinâmica não-linear em dados experimentais [9] (capítulo 1) obtendo

também resultados compatíveis com a teoria do caos. Com isto, a técnica de análise de dinâmica

não-linear se aplica tanto aos dados experimentais quanto aos dados teóricos de comportamento

oscilatório em sistemas semicondutores.

O estudo realizado nesta seção está publicado no periódico Physica D [23].

2.6 – O modelo de Ionização por Impacto com a Captura Assistida por Campo Elétrico

Nesta seção, iremos apresentar um estudo preliminar realizado no modelo de equações de

taxas descrito nas seções anteriores. Este estudo consiste em alterar o coeficiente de

recombinação

, que no modelo original é constante para a região de campo elétrico utilizado.

A modificação consiste em fazer com que este coeficiente seja dependente do campo elétrico. A

dependência segue o fenômeno de captura assistida por campo elétrico (

field-enhanced trapping)

que será descrito no capítulo 3 desta tese [20-21]. O objetivo é incorporar no modelo de

equações de taxas para os processos de g-r descrito nas seções anteriores, os principais

fenômenos de g-r do portador de carga do sistema GaAs SI crescido por LT-MBE que julgamos

essenciais para a ocorrência de oscilações de baixa freqüência.

Com esta alteração do modelo de equações de taxas, geramos uma série de diagramas de

bifurcação para o campo elétrico em função do parâmetro de controle. Observamos que os

diagramas de bifurcação são dependentes da energia do defeito. Assim, geramos um conjunto de

diagramas de bifurcação para um intervalo de valores da energia e do parâmetro de controle, que

como no caso da seção anterior, é o campo elétrico estático

O modelo de equações é o mesmo descrito na seção 2.4, ou seja, o sistema composto das

eqs. (2.53-55). A modificação proposta é a troca do coeficiente

, que é constante na faixa do

campo elétrico estático usado, por

, que assume uma dependência com o campo elétrico

segundo o modelo de captura assistida por campo elétrico, que será discutido no capítulo 3 [20-

21]. Assim, esta dependência com o campo elétrico pode ser escrita como:

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−∝

exp

, onde E

é uma energia de captura limite, e é a carga do elétron e λ é o

livre caminho médio. Como descrito nas seções anteriores, iremos trabalhar com variáveis

normalizadas. Assim, o coeficiente

é escrito como:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

exp

. Todos os valores

dos outros coeficientes e parâmetros foram mantidos iguais aos utilizados na seção anterior. No

caso da tabela 2.3, a única mudança é a troca do coeficiente

por

T mantendo-se o valor

numérico.

Para os valores da tabela 2.3 e para

igual a 1.7E

, obtemos o diagrama de bifurcação

mostrado na figura 2.12. O eixo horizontal é o parâmetro de controle

e o eixo vertical é a

seqüência de máximos das séries temporais do campo elétrico geradas pelo sistema (2.53-55)

com as modificações descritas acima. No intervalo do parâmetro de controle

mostrado na

figura 2.12, encontramos somente oscilações de campo elétrico com um período fundamental, ou

seja, oscilações de período-1. Para valores de

abaixo de 38 e acima de 43, o sistema converge

para pontos fixos.

Figura 2.12: Diagrama de bifurcação para

= 1.7E

A figura 2.13 mostra o diagrama de bifurcação para

igual a 1.55E

. Neste caso, o

sistema bifurca de período-1 para período-2, com duas freqüências fundamentais, e retorna para

período-1 no intervalo de

entre 50.0 a 55.2. A figura 2.14 mostra o diagrama de bifurcação

para

igual a 1.50E

. Neste caso, o sistema apresenta uma rota de bifurcação em cascata por

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

duplicação de período, seguida de uma cascata inversa (figura 2.14(a)). A figura 2.14(b) mostra

uma ampliação da figura 2.14(a) no intervalo de 56.15 a 57.20 para

. Observamos nesta

ampliação rotas de bifurcação por duplicação de período e crise do tipo interior. Este tipo de

bifurcação é caracterizado por uma mudança abrupta de um comportamento caótico para um

ciclo de período-1.

Figura 2.13: Diagrama de bifurcação para

= 1.55E

Figura 2.14: Diagrama de bifurcação para

= 1.50E

. Em (b) uma ampliação de (a).

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

A figura 2.15 mostra o diagrama de bifurcação para para

= 1.00E

. Neste caso o

sistema bifurca de um ciclo de período-1 para período-2 seguido de um ciclo de período-4 e

retorna para um ciclo de período-2 seguindo uma rota de bifurcação por duplicação de período.

Esta seqüência de bifurcação, período-1 -> período-2 -> período-4 -> período-2, é observada nas

medidas experimentais de oscilações de corrente de amostras de GaAs SI como pode ser

observado na figura 1.10(b) do capítulo 1 [9].

Figura 2.15: Diagrama de bifurcação para

= 1.00E

A figura 2.16 mostra o diagrama de bifurcação para

= 0.1E

. Neste caso a seqüência de

bifurcação vista na figura 2.15 desaparece do segundo braço de bifurcação, surgindo no terceiro

braço seguida de uma bifurcação por duplicação de período comum.

Neste modelo, nós geramos oscilações de campo elétrico ao invés de oscilações de

corrente elétrica como nas medidas experimentais [9]. Entretanto, a relação entre as variáveis

pode ser obtida da relação

)()(

VnJ =

, onde n(ε) é a variável dinâmica dos sistema (2.53-55)

V(ε) é a velocidade de drift dinâmica como definida na seção anterior. Todas as variáveis e

parâmetros são normalizados como no caso da seção 2.5, e os fatores de normalização são dados

pelas equações (2.30-36). Assim, como exemplo, para a amostra da figura 1.10(b), capítulo 1 [9],

na temperatura de 300 K com

= 670 cm

/Vs, ε

= 12.9, N

= 10

-3

e o nível do defeito

em 0.7 eV, teremos

~ 10 µs e kTE

/eL

~ 1V/cm.

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

Observamos através dos resultados apresentados nesta seção que, ao incluir a

dependência do coeficiente de recombinação

com o campo elétrico no modelo de equações de

taxas, o sistema (2.53-55) apresentou uma rica variedade de comportamento periódico e caótico.

Vimos estes resultados através de diagramas de bifurcação. Esta complexidade nos diagramas de

bifurcação, além de ser dependente do parâmetro de controle, também depende do nível de

energia do defeito responsável pelo efeito da captura assistida por campo elétrico. Podemos

observar este fato nas figuras 2.12-16. Por exemplo, para altos valores de

, fig. 2.12, o sistema

apresentou um comportamento periódico para todos os valores de campo elétrico estático.

Podemos inferir que neste caso o efeito de captura assistida por campo elétrico não é um efeito

predominante para a faixa de campo elétrico utilizado. Para valores entre 1.55

≤ E

≤ 0.3E

figuras 2.13-15, encontramos um variedade de bifurcação incluindo duplicação de período, crise

e uma seqüência da forma: período-1 – período-2 – período-4 – período-2. Podemos inferir que

nesta faixa de valores para

, o efeito de captura domina ou compete com o efeito de ionização.

Abaixo de 0.3

, figura 2.16, o sistema apresenta uma bifurcação por duplicação de período, no

qual podemos inferir que o efeito de ionização domina.

Figura 2.16: Diagrama de bifurcação para

= 0.1E

Os resultados apresentados nesta seção são preliminares necessitando de uma maior

investigação para melhor compreender a relação do modelo descrito acima com os dados

experimentais. Entretanto, podemos inferir destes resultados que o efeito de captura dependente

do campo elétrico tem um papel importante na dinâmica dos portadores de carga do modelo,

Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

como no caso experimental, onde o efeito de captura assistida por campo elétrico tem um papel

importante nas oscilações de corrente elétrica em amostras de GaAs SI [22]. O efeito de

ionização também tem um papel importante na dinâmica, de fato a grande riqueza de oscilações

está na competição entre os fenômenos de captura assistida por campo elétrico e ionização por

impacto.

O estudo apresentado nessa seção foi apresentado no

Brazilian Workshop on

Semiconductor Physics

e aceito para publicação no Proceedings do encontro que sairá no

periódico

Brazilian Journal of Physics.

Referências do Capítulo 2

[1] K. Aoki,

Nonlinear dynamics and Chaos in Semiconductors, Series in Condensed Matter

Physics, Institute of Physics Publishing, Bristol, 2001.

[2] E. Schöll,

Nonlinear Spatio-Temporal Dynamics and Chaos in Semiconductors, Cambridge

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(1985); G. N. Maracas

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Rodrigues and M. V. B. Moreira, Chaos

13, 457 (2003); R. L. da Silva, H. A. Albuquerque,

R. M. Rubinger, A. G. de Oliveira, G. M. Ribeiro and W. N. Rodrigues, Physica D

194, 166

(2004).

[10] A. M. Fraser and H. L. Swinney, Phys. Rev. A

33, 1134 (1986).

[11] J.-P. Eckmann and D. Ruelle, Rev. Mod. Phys.

57, 617 (1985).

[12] H. D. I. Abarbanel, R. Brown, J. J. Sidorowich and L. Sh. Tsimring, Rev. Mod. Phys.

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Capítulo 2 – Um Modelo de Equações de Taxas para os Processos de g-r em Semicondutores

(1986).

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[20] R. M. Rubinger, A. G. de Oliveira, G. M. Ribeiro, J. C. Bezerra, M. V. B. Moreira, and H.

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[21] H. A. Albuquerque, A. G. de Oliveira, G. M. Ribeiro, R. L. da Silva, W. N. Rodrigues, M.

V. B. Moreira and R. M. Rubinger, J. Appl. Phys.

93, 1647 (2003).

[22] A. Neumann, J. Appl. Phys.

90, 1 (2001).

[23] H. A. Albuquerque, R. L. da Silva, R. M. Rubinger, A. G. de Oliveira, G. M. Ribeiro, and

W. N. Rodrigues, Physica D

208, 123 (2005).

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

CAPÍTULO 3 – CONDUTIVIDADE DIFERENCIAL NEGATIVA EM GaAs

SEMI-ISOLANTE

Neste capítulo iremos estudar o principal fenômeno responsável pelas instabilidades

apresentadas em amostras de GaAs semi-isolantes (SI) crescidas por epitaxia por feixe molecular

a baixa temperatura (LTMBE) e em outros semicondutores. Esse fenômeno é a condutividade

diferencial negativa (NDC). Iremos apresentar alguns resultados obtidos na interpretação desse

fenômeno.

3.1 – Condutividade Diferencial Negativa

As propriedades elétricas de um semicondutor podem ser observadas diretamente na

relação corrente versus voltagem, I(V), em condições independentes do tempo (cc = corrente

contínua). Esta relação é originada pelas propriedades microscópicas do bulk do material

semicondutor que fornecem a densidade de corrente, j

, em função do campo elétrico local,

Se a característica

()

apresenta um regime de condutividade diferencial negativa (NDC)

0<≡

dif

, (3.1)

isto é, se a densidade de corrente diminui com o aumento do campo elétrico, ou vice-versa,

instabilidades podem ocorrer na amostra, como por exemplo, formação de domínios de campo

elétrico ou de densidade de corrente [1,2].

Para uma descrição mais detalhada, considere um semicondutor com uma densidade de

elétrons livres n. Para uma grande faixa de campo elétrico

, a densidade de corrente j

que flui

através da amostra obedece a lei de Ohm

= , (3.2)

onde

σ é dado por

, (3.3)

e é a carga elétrica elementar e

é a mobilidade elétrica. Na ausência de campo elétrico, os

elétrons livres estão em equilíbrio térmico com a rede cristalina. Este equilíbrio é mantido

através de colisões entre os elétrons e os átomos da rede. O campo elétrico acelera os elétrons

entre as colisões, o que lhe confere uma certa quantidade de energia. Parte desta energia é

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

perdida em calor durante as colisões (efeito Joule), e a outra parte deixa a “temperatura” do

elétron um pouco maior do que a temperatura da rede. Se o campo elétrico for muito alto, a

“temperatura” do elétron aumenta muito em relação à temperatura da rede e os elétrons são

denominados de “quentes”. Neste regime de campo elétrico alto, a relação entre

torna-se

não-ôhmica e surgem fenômenos não-lineares.

No regime ôhmico,

n e

são independentes do campo elétrico. Mas na presença de

campo elétrico elevado um destes parâmetros ou ambos pode variar.

n pode variar devido à

ionização por impacto ou captura de elétrons. No caso de

, este é influenciado pela

transferência de elétrons de um vale da banda de condução para outro vale com massa efetiva

diferente (efeito Gunn). Assim, para campos elétricos bem elevados, longe do efeito ôhmico, o

produto

nE ou

E diminui ou aumenta, gerando regiões de NDC, eq. (3.1). Na seção seguinte,

3.2, iremos estudar com mais detalhes estes casos.

O fenômeno de NDC permite uma diferenciação quanto à forma da curva característica

j(E); genericamente, ela pode ser SNDC e NNDC. Essa notação decorre da semelhança da curva

característica com as letras S e N no sentido de que a região de derivada negativa é a perna

central do S ou do N. Isso é ilustrado na Figura 3.1.

Figura 3.1: Densidade de corrente

j em função do campo elétrico E para os dois tipos de NDC:

(a) NNDC e (b) SNDC.

Os fenômenos de NNDC e SNDC estão associados, respectivamente, com instabilidades

de tensão ou corrente, quando cada um desses parâmetros é controlado. No caso de NNDC, a

densidade de corrente é uma função unívoca do campo, mas o campo apresenta três valores

distintos para alguns valores de

j. O caso SNDC é o inverso, no sentido que E e j trocam de

papel. A ocorrência simultânea dos dois fenômenos também é possível de acontecer. Em

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

sistemas que apresentam NNDC é comum observar a formação de domínios de campo elétrico

estacionários ou que se movem através do material. Já em sistemas que apresentam SNDC, o

comum é a formação de filamentos de alta corrente com vizinhança em baixa corrente.

Para o caso específico de NNDC, a lei de Ohm é válida para campos elétricos abaixo de

um valor crítico

, figura 3.2(a). Para uma tensão muito alta, a amostra sofre um “colapso”

elétrico e a corrente cresce abruptamente. A instabilidade na região de NDC pode ser estudada

analisando a estabilidade elétrica. Por exemplo, considere a equação da continuidade para a

densidade de elétrons livres,

=⋅∇−

∂

. (3.4)

Suponha que exista uma pequena flutuação local da densidade espacial de carga em torno do

valor de equilíbrio n

. A equação de Poisson pode ser escrita como

(

)

nne

−

−=⋅∇

, (3.5)

onde

é a permissividade (supondo que seja constante para qualquer flutuação do campo

elétrico). A densidade de corrente é dado por

neDEj ∇+=

, (3.6)

onde D é o coeficiente de difusão. Tomando o divergente da equação (3.6) e usando a equação

(3.5), encontramos

(

)

∇+

−

−=⋅∇

. (3.7)

Esta equação junto com a equação (3.4), torna-se

(

)

=∇−

−

∂

. (3.8)

A solução temporal da equação (3.8) é

(

)

/exp ntenn

−

∝

− . (3.9)

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

Podemos observar que uma NDC faz com que o desequilíbrio inicial de carga cresça

exponencialmente com o tempo, o que significa que a amostra é instável na região de NDC.

Figura 3.2: (a) NNDC; (b) Dependência com o campo da resistividade diferencial local.

Conforme a amostra é levada para perto da região de NDC, a resistividade diferencial

positiva local aumenta com o campo aplicado, como é mostrado na figura 3.2 (b). Isto significa

que se em uma região da amostra houver uma pequena flutuação do campo elétrico, sua

resistividade aumenta. Com isso, a corrente que flui através desta região diminui, permitindo que

a região de alta resistividade aumente. A figura 3.3 mostra que devido a este fato, geralmente há

uma formação de domínio de campo de alta resistividade. O domínio cresce até a largura total da

amostra para depois mover do catodo para o anodo em virtude da presença do campo elétrico

externo. A velocidade dos elétrons livres em amostras de GaAs tipo-n é em torno de 10

cm/s, o

qual limita a velocidade dos domínios na amostra nesse valor.

Nas considerações acima, mostramos que sob certas circunstâncias a aplicação de um

campo elétrico elevado em materiais semicondutores, pode surgir regiões de NDC e domínios de

campo elétrico dentro da amostra. Na próxima seção iremos estudar os mecanismos que levam à

formação de regiões de NDC em amostras de GaAs tipo-n e SI.

Resistividade local

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

Figura 3.3: Formação de domínio iniciando em uma pequena região de alto campo elétrico.

3.2 – Mecanismos para NDC em GaAs do tipo SI e do tipo-n

Nesta seção estudaremos os mecanismos que levam a formação de regiões de NDC em

amostras de GaAs semi-isolante (SI) e tipo-n. Ambas apresentam curvas I(V) do tipo NNDC e

formação de domínios de campo elétrico no seu interior. Conseqüentemente ambas apresentam

oscilações de corrente elétrica. Contudo, existem diferenças nessas oscilações. No caso de

amostras de GaAs tipo-n a velocidade dos domínios de campo elétrico que são formados no

interior das amostras é da ordem de 10

cm/s, gerando oscilações de corrente da ordem de GHz.

Enquanto em amostras de GaAs SI, as oscilações de corrente são da ordem de poucas centenas

de Hz e a velocidade dos domínios de campo elétrico é da ordem de 10

cm/s. Portanto, os

principais mecanismos responsáveis pelas instabilidades elétricas nestas amostras são de

natureza física diferentes.

As regiões de NDC nestas amostras podem ser divididas em duas classes de mecanismos,

todos dependentes do campo elétrico:

•

Não-linearidade da mobilidade (instabilidade de drift);

•

Não-linearidade da densidade dos portadores de carga (instabilidade de

geração-recombinação).

contato

região de alto campo elétrico

fluxo de cor

rente

domínio

região de baixo campo elétrico

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

3.2.1 – Instabilidade de drift

O efeito responsável por este tipo de instabilidade em GaAs tipo-n e em outros

semicondutores III-V é conhecido como efeito Gunn [3]. Ele é utilizado no diodo Gunn, por

exemplo, para gerar e amplificar freqüências além de 1GHz. O mecanismo é baseado na

transferência de elétrons entre dois vales da banda de condução, no espaço dos k’s, com massas

efetivas diferentes [4]. Por exemplo, a transferência de elétrons de um estado com pequena

massa efetiva, alta mobilidade, para um estado com alta massa efetiva, baixa mobilidade, para

campo elétrico intenso (E

> 3 kV/cm), ver figura 3.4.

Figura 3.4: Transferência de elétrons do vale-Γ para o vale-L na banda de condução.

A baixos campos elétricos os elétrons estão praticamente no mínimo do vale-Γ, o qual

corresponde a uma pequena massa efetiva m

(para o GaAs m

= 0.07m

) e assim uma alta

mobilidade. Conforme o campo elétrico E aumenta, os elétrons “aquecidos” ganham energia

suficiente para serem transferidos para o vale-L com um mínimo de energia maior do que no

vale-Γ, mas com um massa efetiva maior (m

= 0.55m

) e assim com uma mobilidade menor.

Quanto mais elétrons são transferidos, a mobilidade média

diminui intensamente tal que a

densidade de corrente

()

EEenj

= também diminui com o aumento do campo, resultando em

uma mobilidade diferencial negativa

(

)

dEEd

(NDM). Quando a maioria dos elétrons

estiver no vale-L, a densidade de corrente j cresce novamente. Assim uma região de NNDC na

curva característica j(E) é formada.

Aplicando um campo elétrico intenso o suficiente para haver uma transferência de

elétrons entre vales (~ 3 kV/cm para o GaAs), um domínio de campo elétrico é formado no

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

interior da amostra em uma região de não-homogeneidade. Sendo a mobilidade de drift dos

elétrons no vale-L pequena, elétrons do vale-Γ tendem a acumular atrás do domínio, enquanto os

portadores à frente do domínio são repelidos, gerando o perfil da densidade de portadores e

conseqüentemente o perfil do campo elétrico da figura 3.5.

Figura 3.5: Diagrama esquemático do campo elétrico e da densidade de elétrons em função da

posição para o domínio de campo movendo-se em direção ao anodo.

No efeito Gunn, o domínio de campo elétrico gerado no catodo move-se em direção ao

anodo, que se encontra num potencial positivo relativo ao catodo, com uma velocidade

scmv

dom

/10

≈ . Durante a propagação, a amplitude do domínio é uma função crescente. Ao

atingir o anodo, como mostrado na figura 3.6, o domínio em propagação desaparece e,

simultaneamente, um novo domínio é formado no catodo. Esse processo ocorrendo de forma

repetitiva é que conduz às conhecidas oscilações Gunn, que constituem uma característica

intrínseca da amostra. A freqüência de oscilação cresce com a distância entre o catodo e o anodo,

já que o tempo de transito é aproximadamente

dom

vL /

. Assim, para uma oscilação de 5 GHz

e para um L = 0,1 mm, tem-se uma velocidade de scmv

dom

/102

×= .

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

Na literatura, o efeito Gunn é também identificado pela sigla TEE que significa efeito da

transferência de elétrons e foi previsto por Ridley e Watkins [5] e Hilsum [6] há mais de 40 anos.

Imediatamente após, Kroemer [7] mostrou que esses dois trabalhos explicam os dados

experimentais que haviam sido obtido por Gunn [3].

Figura 3.6: Ilustração do crescimento da intensidade de um domínio de campo elétrico durante a

sua propagação do catodo para o anodo.

Experimentalmente, aplica-se uma tensão dc, V

, em uma amostra de GaAs tipo-n a

temperatura ambiente e mede-se a corrente I. Para baixos valores de tensão, a lei de Ohm é

obedecida. Para valores de tensão acima de um valor crítico, V

, a corrente oscila em uma

freqüência de gigahertz, correspondendo ao tempo de transito dos elétrons livres movendo

através da amostra [1]. Estas oscilações são causadas, como discutido acima, por domínios de

campo que atravessam o bulk da amostra [1].

3.2.2 – Instabilidades de Geração-Recombinação

As instabilidades advindas dos processos de geração-recombinação (g-r) estão

relacionadas com a dependência não-linear da densidade de portadores n com o campo elétrico

E, o qual leva a uma relação não-monotônica entre a densidade de corrente e o campo elétrico,

()

EEenj

= , que levam às presenças de regiões de condutividade diferencial negativa (NDC)

que podem ser na forma de um N ou um S estilizados. A presença de regiões de NDC é devida a

uma redistribuição de elétrons entre a banda de condução e os defeitos (e possivelmente a banda

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

de valência) com o aumento do campo elétrico. As probabilidades de transições microscópicas

dos portadores entre estados diferentes, os coeficientes de geração-recombinação (g-r),

geralmente dependem do campo elétrico. Os principais processos de g-r que dependem

fortemente do campo elétrico são: captura assistida por campo (field-enhanced trapping) e

emissão Poole-Frenkel (Poole-Frenkel emission) dos centros de impureza, os quais geralmente

levam a formação de regiões do tipo NNDC; e a ionização por impacto, o qual é o principal

processo para a formação de regiões do tipo SNDC.

A captura assistida por campo elétrico ocorre, por exemplo, no semicondutor Ge dopado

com Au [9]. Os átomos de Au formam níveis profundos de impureza, correspondendo a íons

simples ou duplamente carregados negativamente. A captura de elétrons nestes níveis requer

uma penetração da barreira de potencial Coulombiano. Portanto, o coeficiente de captura

aumenta com o campo E enquanto a emissão (térmica) de elétrons é praticamente independente

do campo, para valores abaixo do campo limiar para a ocorrência de ionização. Assim, a

densidade de portadores livres decai com o aumento do campo:

0/ <dEdn

, e a condutividade

diferencial

()

dEEdnnedEdj // +=

torna-se negativa. Para campos ainda maiores, o

coeficiente de ionização aumenta e a densidade de portadores continua a aumentar com o campo,

levando a uma condutividade diferencial positiva. Assim uma curva característica j(E) na forma

de um N estilizado é formada.

As oscilações de baixa freqüência (LFO) em amostras de GaAs semi-isolante (SI) [10-15]

foram explicadas como advindas de domínios de campo elétrico que atravessam a amostra [16].

Esses domínios são induzidos pelo fenômeno de captura assistida por campo elétrico, e eles são

observados experimentalmente por técnicas eletro-ópticas [17].

Outro fenômeno que pode levar á formação de regiões de NDC, diferente da captura

assistida por campo elétrico, é o de ionização por impacto de portadores de impurezas, como

doadores rasos, aceitadores ou defeitos profundos ou ainda através de transições interbandas. Se

um portador livre ganhar energia cinética suficiente do campo elétrico, ele pode transferir esta

energia em uma colisão para um portador ligado, que passa para a banda de condução. Portanto

um portador livre é gerado e este pode ionizar outros portadores quando for acelerado e colidir

com um portador ligado. Assim, este processo leva a um rápido aumento da densidade de

portadores livres. O coeficiente de ionização por impacto aumenta muito com o campo elétrico

E. Se este campo estiver acima do limiar necessário para “esquentar” os portadores livres, estes

ganham energia suficiente para ionizar outros portadores. Modelos para este tipo de processo de

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

geração são relevantes para uma variedade de materiais e para várias faixas de temperatura [18].

Estes modelos podem explicar a formação de regiões de NDC tipo-S (SNDC) em curvas

características j(E) em regime de baixa temperatura para vários semicondutores [19].

3.3 – Condutividade diferencial negativa do tipo-N em amostras de GaAs crescidas a baixas

temperaturas por MBE

Amostras de GaAs semi-isolantes (SI), não-dopadas intencionalmente, são materiais que

apresentam curva característica I(V) da forma de NNDC como pode ser visto na figura 3.7, em

que apresentamos algumas curvas da literatura.

Na figura 3.7 (d), apresentamos uma curva I(V) característica para uma amostra de GaAs

SI crescida por epitaxia por feixe molecular a baixas temperaturas (LTMBE). A temperatura de

crescimento T

para esta amostra foi de 315

C. Para amostras de GaAs crescidas por MBE,

quanto menor a temperatura de crescimento maior é, em princípio, a concentração de defeitos

profundos [21], que são responsáveis pelas características semi-isolantes (SI) das amostras [22].

Em geral, quanto mais próximo do meio do gap estiver o nível do defeito, maior a sua

capacidade de capturar portadores livres da banda de condução e, em conseqüência, a de

produzir um aumento considerável na resistividade do semicondutor gerando o caráter SI. Este

tipo de defeito torna-se, então, um instrumento relevante para aqueles casos em que se pretende

obter um material base, o substrato, sobre o qual se deseja construir estruturas com propriedades

elétricas específicas, mas sem que o substrato participe ativamente do processo de condução.

No caso específico de GaAs crescido por LTMBE, o defeito responsável pela

característica SI é um defeito de anti-sítio, com o átomo de As ocupando a posição

cristalográfica do Ga, representado por As

, e sua concentração pode chegar a 10

-3

. Esse

defeito, em alguns trabalhos e em algumas situações específicas, tem sido também identificado

como o Centro EL2 [21,23]. Essa confusão advém do fato de ainda existir dúvidas quanto à

natureza química do Centro EL2. Entretanto, parece conclusivo que o EL2 contém um As

Esse defeito de anti-sítio é encontrado em GaAs crescido pela técnica de Liquid-Encapsulated

Czochralski (LEC) em virtude de características próprias da técnica. Sua geração pode também

ser induzida em GaAs preparados por MBE, reduzindo a temperatura de crescimento de forma a

diminuir a migração dos átomos de As na camada epitaxial. Dessa forma, a chance dos átomos

de As ficarem no sítio do Ga pode ser aumentada significativamente.

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

Figura 3.7: Curvas I(V) para amostras de GaAs SI obtidas na literatura: (a) Ref. [12], (b) Ref.

[20], (c) Ref. [10] e (d) Ref. [15].

As medidas de corrente em função da voltagem, I(V), nos permitem obter uma série de

informações sobre os centros de recombinação presentes em amostras de GaAs SI crescidas por

LTMBE. A partir dessas medidas, podemos obter informações sobre o tipo de processos de g-r e

suas dependências com iluminação e temperatura. Podemos identificar processos como ionização

por impacto (geração) e captura assistida pelo campo elétrico (field-enhanced trapping -

recombinação). Em geral, tais processos de g-r estão associados às oscilações de baixa

freqüência (LFO) e aos domínios de campo elétrico que são formados em um dos contatos

elétricos e que se movem em direção ao outro, produzindo pulsos na corrente [1,2,10-15]. A

figura 3.8 mostra um circuito esquematizado que é utilizado para os estudos de curvas I(V) em

amostras semicondutoras que apresentam regiões NDC. É mostrado também o gráfico I(V).

Sendo I a corrente do circuito e V

a voltagem da amostra, temos:

VRIV +

, ou explicitando

para I temos: I = (V-V

)/R. Essa é a equação para a linha de carga também representada na figura

3.8. Sua intercessão com a curva característica I(V) da amostra define os pontos de operação do

circuito. Para amostras apresentando SNDC e NNDC podem existir até três pontos de operação

(a)

(b)

(c)

(d)

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

para o circuito, dependendo de como se varia V e R. Para R constante V torna-se o parâmetro

para variar a linha de carga e os pontos de operação movem-se ao longo da curva I(V). Para V

constante, R torna-se o parâmetro de controle. O ponto de operação que corta a curva

característica I(V) na região de NDC é geralmente instável para a formação de padrões de

densidade de corrente e campo e efeitos oscilatórios do circuito. Os outros dois são pontos de

operação estáveis no sentido de que não há formação de padrões e nem comportamento

oscilatório do sistema. Assim, o ponto de operação instável está relacionado com a presença de

oscilações espontâneas e com o regime caótico do sistema [1,2,18].

Figura 3.8: (a) Circuito esquemático utilizado em montagens experimentais para medidas I(V) de

amostras com NDC. (b) Análise por linhas de carga para as curvas do tipo SNDC e NNDC.

Como suporte experimental para nossos trabalhamos teóricos, nos apoiamos em curvas

I(V) experimentais de amostras semi-isolantes de GaAs crescidas por LTMBE (low-temperature

molecular-beam epitaxy) sobre um substrato de GaAs semi-isolante crescido por LEC (Liquid

encapsulated Czochralski). É conhecido que em tais amostras existem defeitos rasos e profundos

[24] e elas apresentam propriedades elétricas fortemente dependentes da temperatura e de

condições de iluminação. As curvas I(V) foram medidas em várias amostras e em várias

condições de temperatura e iluminação onde se puderam identificar as regiões em que os

principais processos de g-r dominam. Para temperaturas acima de 200 K as curvas I(V)

apresentaram um comportamento ôhmico para um amplo domínio de valores do campo elétrico

aplicado e acima de um valor crítico, encontrou-se um comportamento super-linear caracterizado

por um aumento abrupto da corrente. Este comportamento é apresentado na figura 3.9. Este tipo

de comportamento sugere a presença do efeito de ionização por impacto. De fato, Paracchini et

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

al. [20] observou este efeito em amostras de GaAs SI para uma faixa de temperatura entre 200 a

300 K (figura 3.7b). Entretanto, sob iluminação e com o abaixamento da temperatura, um

comportamento sub-linear foi observado. Este comportamento é apresentado na figura 3.10. De

uma forma geral, podemos dizer que a sub-linearidade aumenta com a iluminação e com o

abaixamento da temperatura. Este comportamento sugere a presença do efeito de captura

assistida por campo elétrico (field enhanced trapping).

Figura 3.9: Curva I(V) característica para uma amostra de GaAs SI crescida por LTMBE. A

medida foi realizada a 200 K com uma iluminação do LED produzida por passar uma corrente de

10 mA. Para voltagens até o ponto indicado por 1, observamos o comportamento ôhmico da

corrente. Do ponto 2 em diante, um comportamento não-linear na corrente.

Figura 3.10: Curva I(V) característica para uma amostra de GaAs SI crescida por LTMBE. A

medida foi realizada a 175 K com uma iluminação pelo LED com 1 mA. As setas definem a

região de sub-linearidade.

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

3.3.1 – Captura Assistida por Campo Elétrico

Nesta seção iremos apresentar uma descrição fenomenológica para o efeito e um modelo

baseado no aumento da captura por um processo não radioativo, envolvendo a emissão de

múltiplos fônons (multiple phonon emission – MPE), induzida pelo campo elétrico aplicado [25].

De uma forma geral, transições envolvendo defeitos profundos em semicondutores

resultam na criação ou destruição de fônons e, por isso, dizemos que são transições assistidas por

fônons. Esse tipo de transição é usualmente descrito, de uma maneira simples, num diagrama de

energia potencial em função das coordenadas configuracionais (CC) que envolvem o defeito e

sua vizinhança. A justificativa para trabalhar com CC advém do fato da energia dos níveis

profundos depender da posição relativa dos átomos que constituem o defeito em relação à rede.

Na descrição de CC, o eixo das abscissas representa o defeito e a suas vizinhanças e, o eixo das

ordenadas representa a combinação das energias potenciais vibracionais (fônons) e eletrônicas. A

energia potencial vibracional é representada pelas linhas horizontais igualmente espaçadas de

. A figura 3.11 (Ref [26]) representa o processo de Franck-Condon (a) e o processo de MPE

(b). Para o processo de Franck-Condon, a energia de fotoionização hν

é maior que a de

relaxação radiativa hν

em 2Sh ω. Esta diferença de energia deve-se ao fato de que os elétrons

emitem fônons ao relaxar da posição U

para U

e novamente de L

para L

. Esta emissão de

fônons deve-se ao fato de os mínimos da energia potencial do defeito vazio e ocupado não

coincidirem no diagrama de coordenadas configuracionais.

Figura 3.11: Diagrama de coordenada configuracional para fotoionização e recombinação por (a)

Franck-Condon (radiativa) e (b) por MPE (não radiativa). O eixo das abscissas representa a

coordenada configuracional do defeito e o eixo das ordenadas a energia potencial eletrônica e

vibracional (veja a ref. 26).

(

)

(

)

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

Em algumas situações, a relaxação que ocorre após a fotoionização é completamente não

radiativa pois toda a energia que é convertida em fônons. A emissão de fônons em cascata, que

ocorre durante o amortecimento de vibrações, é conhecida como emissão de múltiplos fônons

MPE e está representada na figura 3.11(b). Em algumas situações particulares, que é o caso de

GaAs, a taxa de captura por MPE é bem mais eficiente que a de Franck-Condon devido a um

forte acoplamento elétron-fônon que ocorre em virtude do cruzamento das energias potenciais do

estado vazio e ocupado do defeito em Q

[27]. Devido a este cruzamento e às vibrações da rede,

o defeito pode ser encontrado em Q

e, quando isto ocorre, ele pode capturar um elétron sem que

haja emissão de fótons. Quando o defeito captura um elétron, ele adquire um estado quântico

vibracional bastante elevado, comparado ao equilíbrio térmico e passa, portanto, por forte

amortecimento das vibrações, seguido pela emissão de fônons múltiplos. Como a amplitude das

vibrações da rede é proporcional à temperatura, a probabilidade de ocorrer captura por MPE

cresce com a temperatura. Esta dependência com a temperatura é exatamente o inverso do que

ocorre para a captura por Franck-Condon. Para esta última, a probabilidade de um elétron ir de

para U

e recombinar sem absorver fônons da rede cresce com a redução de fônons

disponíveis, ou seja, cresce para temperaturas decrescentes. A dependência da recombinação por

MPE com a temperatura é, portanto, a razão de termos semicondutores com característica SI à

temperatura ambiente. Este é exatamente o caso de GaAs com elevadas densidades de defeitos

de anti-sítio (As

A figura 3.12 ilustra o processo de captura por MPE. Antes da captura, o defeito vibra

com a amplitude da seta menor esquerda, no instante imediatamente posterior à captura, o

defeito vibra com amplitude representada pela seta maior sendo amortecida até a condição de

equilíbrio caracterizada pela seta menor da direita.

De acordo com o relatado na ref. [27], a dependência da seção de choque de

recombinação de MPE com a temperatura é proporcional a exp{-E

/kT

}, onde:

= (1/2)(

)coth(

/2kT) e T

é a temperatura efetiva para a combinação de fônons

térmicos com os fônons de ponto zero e ε

é a barreira de energia para a recombinação MPE

(veja E

na figura 3.11). Esta relação representa o equilíbrio térmico dos elétrons com a rede a

uma temperatura T.

Para valores de E

pequenos, o processo de MPE domina em toda a faixa de temperatura

e, para valores de E

crescentes, existe uma temperatura abaixo da qual a recombinação de

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

Franck-Condon se torna mais intensa. Num caso limite em que as duas parábolas não se cruzam

ocorre somente a recombinação via o processo de Franck-Condon.

Figura 3.12: Diagrama ilustrando como ocorre a captura não radiativa de um elétron. As

posições de equilíbrio da coordenada da rede e os níveis de energia antes e depois da captura são

indicados pelas linhas pontilhadas. A região em cinza no interior do gap indica como a energia

dos níveis muda com a vibração da rede. As setas duplas menores representam a amplitude das

vibrações térmicas antes e depois da captura de um elétron. A seta dupla maior representa a

amplitude das vibrações da rede na nova posição de equilíbrio imediatamente após a captura.

Nosso maior interesse é em estabelecer a dependência da relaxação não radiativa por

MPE com a aplicação de campo elétrico externo E. Neste caso, os elétrons na banda de condução

são acelerados pelo campo elétrico e transferem energia para a rede ao colidirem com as

impurezas ionizadas (mecanismo de espalhamento predominante em baixas temperaturas). A

energia média transferida por um elétron para a impureza com que colide é dada por e

E onde

“e” é a carga do elétron,

o livre caminho médio ou distância média entre colisões e E o módulo

do campo elétrico aplicado.

Ao colidir com uma impureza ionizada (que pode ser um centro As

carregado

positivamente uma vez) o elétron transfere momento para a impureza que então passa a vibrar

com amplitude em CC determinada pela fração da energia que recebeu. Podemos chamar esta

fração de e

E, para efeito de simplificação. Nessa situação, a impureza vibra fortemente,

Antes da

captura

Depois da

captura

Coordenada de rede

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

podendo atingir a coordenada de cruzamento Q

várias vezes até que capture um elétron e relaxe

por MPE. Para este modelo, temos uma dependência da taxa de recombinação com o campo

elétrico mais relevante do que com a temperatura, de forma a caracterizar o processo de field

enhanced trapping. O conhecimento da forma funcional desta dependência é de grande

importância para o estudo de fenômenos de dinâmica não-linear como as oscilações LFO e suas

rotas para o caos.

Assim, devido ao fato do sistema se encontrar em equilíbrio com as colisões entre elétrons

quentes e impurezas, ao invés de equilíbrio termodinâmico, é razoável trocar-se a eqüipartição de

energia kT por e

E na dependência da seção de choque de recombinação. Desta forma, em

analogia com Shockley [28], obtemos uma taxa de recombinação na forma

() () ()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

TET

exp0exp0

111

(3.10)

onde E

é o campo elétrico crítico.

Assim, mostramos o efeito do campo elétrico no processo de recombinação por MPE a

baixas temperaturas, em uma amostra de GaAS SI crescida por LTMBE. Esta é uma amostra rica

em defeitos de anti-sítio, As

. Acreditamos que a redução na densidade de elétrons livres em

baixas temperaturas sob iluminação e em função do aumento do campo elétrico aplicado deve-se

a uma ativação da recombinação por MPE.

O conhecimento da forma funcional da dependência do efeito de field enhanced trapping

é de extrema importância na formulação de modelos para simular e prever o comportamento de

oscilações de baixa freqüência (LFO) e suas rotas para o regime caótico. Uma discussão mais

detalhada sobre este efeito e sua primeira interpretação com dados experimentais pode ser

encontrada na Ref. [25].

3.3.2 – Um modelo para as curvas características I(V) em GaAs SI

Nesta seção iremos apresentar os resultados que obtivemos no estudo de curvas

características I(V) de amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE ajustando nestas curvas

expressões analíticas. O objetivo deste estudo foi identificar simultaneamente os processos de

recombinação (captura assistida por campo) e de geração (ionização por impacto), descritos nas

seções anteriores, nas curvas I(V) dessas amostras. Isso foi feito ajustando nessas curvas uma

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

expressão analítica para j(E) que considerou as formas de dependência com o campo E desses

dois processos. Estudos de ajustes de curvas j(E) com expressões analíticas considerando estes

dois processos simultaneamente são inéditos e apenas estudos considerando os dois processos

isoladamente foram realizados [20,25]. Assim, essa é uma contribuição inédita do nosso

trabalho.

Nesse estudo, partimos de medidas I(V) já realizadas em amostras de GaAs SI crescidas

entre 215 e 315

C por MBE sobre substratos semi-isolantes de GaAs crescidos por LEC (Liquid

encapsulated Czochralski). A densidade de corrente j foi obtida a partir da medida de corrente

nas amostras dividida pela sua seção transversal. O campo elétrico E foi obtido dividindo a

tensão nas amostras pela distância entre os contatos. Desta forma, temos a chance de trabalhar

com parâmetros intensivos através das curvas j(E).

Versões simplificadas para as características j(E) em sistemas que apresentam regiões de

NDC foram propostas com objetivos específicos de estudar os comportamentos oscilatórios

desses sistemas [29-31]. Nesses trabalhos, o modelo para a curva j(E) é constituído de três

regiões lineares. Uma para o regime ôhmico, outra para a região de inclinação negativa e outra

para a região de inclinação positiva. Um modelo geral para a característica j(E), onde considera a

fenomenologia dos processos microscópicos de g-r dos portadores de carga, não tinha sido

considerado até o presente estudo. No nosso modelo para a característica j(E), consideramos o

regime ôhmico para campos elétricos baixos, o regime de NDC para campos intermediários, no

qual incluímos a relação matemática proposta na literatura [25] para o processo de recombinação

(captura assistida por campo), e o regime de avalanche para campos intensos, no qual incluímos

a relação matemática proposta na literatura [28] para o processo de geração (ionização por

impacto). Assim, a expressão analítica proposta neste estudo tem a forma

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

expexp)(

σσσ

. (3.11)

O primeiro termo é a lei de Ohm, enquanto o segundo e o terceiro termos são, respectivamente,

os fenômenos de captura assistida por campo e ionização por impacto. Nesta expressão, σ

, σ

são constantes de proporcionalidade positivas. E

e E

são os campos críticos.

De acordo com Shockley [28], a dependência do coeficiente de ionização por impacto

com o campo elétrico é dada por

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

XEX

011

exp)( . (3.12)

Onde X

1-0

é o limite máximo para a taxa de geração, isto é, o valor assintótico para alto campo

elétrico.

De acordo com o modelo proposto na Ref. [25], a dependência do coeficiente de captura

assistida por campo elétrico é dada por

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

−

TET

exp)(

. (3.13)

onde

−

T é o limite máximo para a taxa de recombinação. Para obter esta equação, foi utilizado

E ao invés da eqüipartição da energia

T na relação proposta por Henry e Lang [27]. O

parâmetro

é a energia de recombinação, e é a carga do elétron e

é o livre caminho médio dos

portadores de carga. A justificativa é de que em baixas temperaturas a presença de fônons

termicamente excitados é desprezível e, portanto, as colisões de elétrons quentes com impurezas

produzem oscilações amortecidas e fônons gerando o processo de recombinação dependente do

campo. Os campos críticos E

e E

estão relacionados com as energias de ativação

pelas

expressões E

e E

/eλ, onde o parâmetro

é a energia de ativação para a ionização

dos defeitos.

Na figura 3.13 mostramos duas curvas geradas pela eq. (3.11). Em (a), os coeficientes de

g-r utilizados foram:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0.6

exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

5.1

exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

0.1

exp

. Os valores para as constantes estão na tabela 2.3 do capítulo 2. Em

(b), utilizamos valores para os coeficientes baseados no ajuste da figura 3.14:

()

(

)()

EEEj /4000exp006.0/2000exp0025.00003.0

−

−−= . As unidades da fig. 3.13(a) para

j e E são

e V/cm, respectivamente, e para a fig. 3.13(b) são A/cm

e V/cm,

respectivamente.

Observamos que a eq. (3.11) gera curvas j(E) do tipo-N. Observamos que a competição

entre os coeficientes de g-r na eq. (3.11) pode aumentar ou diminuir a inclinação da região de

NDC nessas curvas. Portanto, o modelo de curva j(E), representado pela eq. (3.11), gera curvas

características semelhantes às curvas j(E) experimentais. O conhecimento da relação dos

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

coeficientes de g-r, ionização por impacto (g) e captura assistida por campo (r), na curva j(E) de

amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE é importante para implementar o modelo de

equações de taxas para os processos de g-r vistos no capítulo 2 (eqs. 2.53-55).

Figura 3.13: Curvas j(E) geradas pela eq. (3.11). (a) Os coeficientes de g-r utilizados foram os da

tabela 2.3 do capítulo 2 e com as equações para

X ,

X e

T . (b) Os coeficientes de g-r

utilizados foram baseados na fig. 3.14.

As figuras 3.14, 3.15 e 3.16 mostram os resultados obtidos dos ajustes via a eq. (3.11) nas

curvas características j(E) das amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE. Os valores

encontrados para os parâmetros

, E

e E

estão descritos nas figuras. O resultado do

ajuste para as medidas em 150 K e i

LED

= 1 mA esta representado na figura 3.14. Na figura 3.15

mostramos o ajuste para j(E) em 175 K e i

LED

= 20 mA. Na figura 3.16 mostramos o ajuste para

j(E) em 200 K e i

LED

= 10 mA. Podemos observar nas figuras que a inclinação das regiões de

NDC está diminuindo.

O campo crítico para a captura assistida por campo E

e o campo crítico para a ionização

por impacto E

em função dos parâmetros experimentais, temperatura de medida e corrente no

LED, são apresentados na Tabela 3.1. Na tabela podemos observar que E

é maior que E

, como

era de se esperar, pois o processo de ionização por impacto ocorre para campos mais elevados do

que para o processo de captura assistida por campo. Para uma temperatura fixa, E

aumenta com

a iluminação, com exceção em 175 K e i

LED

= 10 mA. Também para uma temperatura fixa, E

aumenta com a iluminação. Ou seja, a iluminação tem um papel importante nos processos de g-r,

alterando os campos críticos para estes processos.

(a)

(b)

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

Figura 3.14: Ajuste da curva experimental j(E) com a eq. (3.11). A curva foi obtida em 150 K e

LED

= 1 mA.

Figura 3.15: Ajuste da curva experimental j(E) com a eq. (3.11). A curva foi obtida em 175 K e

LED

= 20 mA.

Em algumas faixas de campo elétrico, principalmente na região de NDC, as curvas j(E)

apresentam grandes oscilações. Nas figuras 3.14 – 3.16 são pouco visíveis estas oscilações

porque o tipo de símbolo utilizado para representar os dados experimentais não permite tal

observação. Mas na fig. 3.7(d), podemos ver com mais clareza estas oscilações. Estas oscilações

são os fenômenos de LFO (oscilações de baixa freqüência). Estas medidas foram realizadas

numa escala de tempo de poucos minutos, que permitiu observações simultâneas da

característica estática j(E) e LFO.

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

Figura 3.16: Ajuste da curva experimental j(E) com a eq. (3.11). A curva foi obtida em 200 K e

LED

= 10 mA.

Tabela 3.1. Valores dos campos críticos em função da temperatura e iluminação. E

está

associado com a captura assistida por campo e E

com a ionização por impacto.

TEMPERATURE

(K)

LED

(mA)

(kV/cm)

150 1.0 1.71 ± 0.02 4.23 ± 0.03

150 1.5 1.82 ± 0.03 7.56 ± 0.02

150 2.0 1.95 ± 0.05 8.60 ± 0.07

175 5.0 0.40 ± 0.02 8.90 ± 0.04

175 10.0 0.55 ± 0.01 8.32 ± 0.05

175 20.0 0.71 ± 0.01 9.55 ± 0.05

200 10.0 1.72 ± 0.07 8.3 ± 0.2

As curvas características j(E) de amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE ricas em

defeitos profundos (anti-sítio de As) são altamente dependentes da temperatura e iluminação.

Portanto, estes dois parâmetros experimentais afetam as taxas (coeficientes) dos processos de g-r

do portador de carga. A equação (3.11) contempla somente dois processos de g-r: a captura

assistida por campo elétrico (recombinação) e ionização por impacto (geração). Demais

processos que envolvem a banda de condução-defeito ou banda-banda ou até condução por

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

hopping não são considerados neste modelo. Portanto, para temperaturas entre 150 e 175 K e

iluminação entre 1 e 20 mA, obtemos os melhores ajustes com o modelo descrito pela equação

(3.11). Enquanto para temperaturas de 200 K e acima, obtivemos resultados menos satisfatórios

com o modelo. Isto sugere que na faixa de temperatura acima de 200 K e para iluminação acima

de 20 mA existam outros processos de g-r não considerados pelo modelo da eq. (3.11). É

conhecido que sob iluminação com um LED de GaAs, a contribuição para as propriedades de

transporte via processos banda-banda não pode ser desconsiderada [32]. Além disso, em altas

temperaturas há muitos fônons que auxiliam o processo de recombinação por MPE (multiple

phonons emission) além do campo elétrico [25,26]. É possível também que outros defeitos

intrínsecos presentes nas amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE sejam ativados em certas

faixas de temperatura e iluminação, contribuindo nos processos de g-r do portador de carga. E

estes processos podem afetar a forma da curva j(E), conseqüentemente influenciando na

qualidade do ajuste. Assim, para temperaturas e iluminações nas quais vários processos de g-r,

além daqueles considerados no modelo, estejam presentes a eq. (3.11) é inadequada, uma vez

que ela considera apenas dois processos de g-r via banda de condução-defeito. Incluir mais

termos na eq. (3.11) introduziria mais parâmetros de ajuste, tornando o valor destes pouco

confiável. Assim decidimos concentrar nossos esforços em dados experimentos nos quais o

modelo, baseado nos dois processos dominantes de g-r, seja suficiente para reproduzir estes

dados. Com isso, para não aumentar a complexidade da eq. (3.11), decidimos não incluir mais

termos nesta equação e apresentamos os resultados obtidos para 150 e 175 K como os mais

ilustrativos.

Outro ponto relevante é que o modelo utilizado para os ajustes considera somente

processos estáticos. Como já foi mencionado, algumas curvas j(E) apresentam oscilações devido

ao fenômeno de LFO e dependendo das condições experimentais são muito intensas, interferindo

também nos ajustes.

Com este estudo mostramos que em certas faixas de temperatura e iluminação, os

principais processos de g-r em amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE são: a captura

assistida por campo elétrico (field enhanced trapping) – processo de recombinação; e a ionização

por impacto – processo de geração. Em estudos anteriores [25] foi mostrado que a região de

NDC presentes nas curvas I(V) destas amostras são devido ao fenômeno de captura assistida por

campo elétrico por um processo não-radiativo envolvendo emissão de múltiplos fônons. Isto não

exclui outros processos de formação de regiões de NDC, como por exemplo o efeito Gunn. Mas

Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

esse processo não é dominante nessas amostras, principalmente por ser ativado para campos

elétricos bem mais altos, desempenhando, portanto, um papel desprezível. É importante ressaltar

também que, nas faixas de temperatura e iluminação onde obtivemos os melhores ajustes, são

também as melhores condições experimentais para observar o fenômeno de oscilações de baixa

freqüência (LFO) [15]. O conhecimento da forma funcional da dependência do efeito de field

enhanced trapping com o campo elétrico é de extrema importância na formulação de modelos

para simular e prever o comportamento de oscilações de baixa freqüência (LFO) e suas rotas

para o regime caótico (Capítulo 2). O modelo proposto no estudo aqui descrito nos fornece

também uma visão útil dos mecanismos que afetam o transporte de carga nessas amostras.

Os resultados apresentados nesta seção estão publicados no periódico Journal of Applied

Physics [33].

Referências do Capítulo 3

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Capítulo 3 – Condutividade Diferencial Negativa em GaAs Semi-isolante

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62, 1859 (2000).

[33] H. A. Albuquerque, A. G. de Oliveira, G. M. Ribeiro, R. L. da Silva, W. N. Rodrigues, M.

V. B. Moreira and R. M. Rubinger, J. Appl. Phys.

93, 1647 (2003).

Conclusões

CONCLUSÕES

No período de realização deste trabalho, estudamos instabilidades elétricas com um

enfoque teórico. Para validação dos nossos resultados teóricos, utilizamos as medidas elétricas

experimentais de amostras de GaAs semi-isolantes (SI) crescidas por epitaxia por feixe

molecular à baixa temperatura (LTMBE), comparando qualitativamente com os resultados

gerados pelos modelos. Nas medidas experimentais, as instabilidades surgem como uma

descontinuidade na curva I(V), apresentando uma região de NDC (condutividade diferencial

negativa), fazendo surgir as oscilações de corrente elétrica de baixa freqüência (LFO), cujo

comportamento segue uma rota de bifurcação para o caos. Essas instabilidades estão

relacionadas com os processos de geração e recombinação (g-r) dos portadores de carga nas

amostras. Dois importantes processos de g-r podem ser identificados nessas amostras, quais

sejam: a ionização por impacto (a geração) e a captura assistida por campo elétrico (a

recombinação).

No nosso trabalho teórico, propusemos um modelo baseado nos dois processos descritos

com vistas a descrever o comportamento da curva I(V) das amostras de GaAs SI crescidas por

LTMBE (Capítulo 3). Conseguimos bons ajustes para as curvas I(V) numa condição no qual

podemos entender que, nitidamente, os dois processos de g-r estão presentes.

Experimentalmente, esse modelo é útil para localizar a faixa de temperatura e iluminação onde

os dois processos de g-r acima mencionados são relevantes. Como as instabilidades nessas

amostras originam principalmente desses dois processos de g-r, torna-se fundamental inferir

sobre as faixas de temperatura e iluminação para as quais estes processos são dominantes. E,

além disso, teoricamente, o conhecimento da curva característica j(E) dessas amostras é

importante para implementar o modelo de equações de taxas para os processos de g-r numa

tentativa de descrever as oscilações de corrente elétrica presentes em amostras de GaAs SI

(Capítulo 2). Este trabalho está publicado no periódico Journal of Applied Physics [J. Appl.

Phys. 93, 1647 (2003)].

Como já foi mencionado, a instabilidade elétrica presente nas amostras de GaAs SI

crescidas por LTMBE são as LFO de corrente elétrica. Medidas experimentais de LFO foram

realizadas nessas amostras e foram observados comportamentos não-lineares nas séries

temporais de corrente elétrica. Análises realizadas nessas séries temporais, baseadas na teoria do

caos, mostram que os comportamentos das LFO apresentam uma rota de bifurcação para o caos.

Conclusões

Estas séries temporais foram caracterizadas e cálculos de expoentes de Lyapunov, dimensão de

correlação e diagrama de bifurcação foram feitos para estas séries temporais. Esses resultados

originaram em dois artigos, um publicado no periódico Chaos [Chaos 13, 457 (2003)] e outro no

Physica D [Physica D 194, 166 (2004)], nos quais participei como co-autor. As oscilações estão

diretamente relacionadas com os processos de g-r já mencionados via a região de NDC das

curvas I(V) tipo-N dessas amostras. Por isso, é importante ter um conhecimento sobre as

características das curvas I(V) dessas amostras (Capítulo 3).

Na perspectiva de formulação de nosso modelo teórico, baseado nos processos de g-r do

portador de carga em materiais semicondutores, para simular temporalmente o comportamento

caótico apresentado nesses materiais, propusemos um conjunto de equações de taxas que

incorporam ingredientes que julgamos os principais para gerar, teoricamente, as principais

características do sistema. Nesse modelo, trabalhamos com a banda de condução e dois níveis de

defeitos – o estado fundamental e o primeiro estado excitado. Baseado nisso, escrevemos um

conjunto de três equações acopladas para as taxas de gerações e recombinação do portador de

carga. No capítulo 2, estudamos um dos modelos existente na literatura, e realizamos cálculos

via teoria do caos determinístico nas séries temporais. Cálculos de expoentes de Lyapunov,

dimensão de correlação e diagrama de bifurcação foram realizados, seguindo a metodologia de

análises de séries temporais não-lineares experimentais. Esse sistema apresenta uma rota de

bifurcação por duplicação de período. Resultados condizentes com a teoria do caos e com os

resultados experimentais disponíveis foram encontrados e como este tipo de abordagem em

modelos teóricos é pouco estudado, este trabalho está publicado no periódico Physica D [Physica

D 208, 123 (2005)]. Em suma, além de termos reproduzidos os resultados da literatura, tivemos a

necessidade de considerar os aspectos inéditos (trabalhar com séries temporais e encontrar

valores adequados para a dimensão de correlação) e avançamos na modelagem e criamos

condições para construir os modelos teóricos para explicar os resultados experimentais que são

observados no laboratório.

Este modelo é importante para tentarmos simular as oscilações de corrente presentes nas

amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE. Ele incorpora os processos de g-r do portador de

carga, mas somente o processo de ionização por impacto (a geração) tem uma dependência não-

linear com o campo elétrico e sabemos que, via resultados anteriores, não só a ionização por

impacto está presente nas amostras de GaAs SI crescidas por LT-MBE como também a captura

assistida por campo elétrico e este é também dependente do campo elétrico de forma não-linear.

Conclusões

Assim, num estudo preliminar, incluímos também a dependência não-linear do coeficiente de

recombinação (captura assistida por campo). Realizamos simulações com este modelo que, ao

nosso ver, incorpora os principais processos de g-r responsáveis pelas instabilidades

apresentadas nas amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE (capítulo 2). Obtivemos resultados

animadores quanto à validade desse novo modelo proposto, uma vez que nesse modelo

obtivemos padrões complexos nos diagramas de bifurcação. Padrões complexos significam aqui

que o sistema apresenta rotas de bifurcação, não só por duplicação de período, que se

assemelham bastante com os diagramas de bifurcação experimentais. Este estudo preliminar foi

apresentado no 12

Brazilian Workshop on Semiconductor Physics em abril desse ano e foi

aceito para publicação no Proceedings do encontro que será publicado no periódico Brazilian

Journal of Physics.

Portanto, obtivemos resultados importantes para a compreensão das instabilidades

apresentadas em amostras de GaAs SI crescidas por LTMBE. Conseguimos, através de ajustes

das curvas I(V) experimentais, interferir na escolha das condições experimentais (de iluminação

e temperatura) para obter curvas I(V) que apresentam os dois principais processos de g-r

(ionização por impacto e captura assistida por campo) responsáveis pelas oscilações de corrente

elétrica presentes nessas amostras. Além disso, através dos ajustes, obtivemos a forma funcional

da curva j(E) para implementar o modelo de equações de taxas para os processos de g-r numa

tentativa de simular as oscilações de corrente elétrica em amostras de GaAs SI. Estudamos um

modelo de equações de taxas para os processos de g-r proposto na literatura, via a série temporal

do campo elétrico, e obtivemos resultados que estão de acordo com a teoria do caos e com os

resultados experimentais. Este tipo de análise em sistemas teóricos tem sido muito pouco

utilizado e, dos nossos resultados, podemos inferir que este tipo de análise é também confiável

em modelos teóricos. Os resultados preliminares que obtivemos, na modificação do modelo de

equações de taxas para os processos de g-r, no qual incluímos a captura assistida por campo

elétrico, irá elucidar as origens das LFO, uma vez que os resultados preliminares indicam que o

modelo microscópico é adequado ao que se observa na corrente do circuito elétrico contendo a

amostra.

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

APÊNDICE I – CAOS E ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS

Neste apêndice, iremos revisar de maneira sucinta os principais procedimentos para

caracterização da dinâmica caótica de um sistema não-linear. Existe uma grande quantidade de

literatura sobre este tema e não queremos aqui fazer um trabalho inédito e sim uma revisão geral

sobre o assunto e fornecer referências para consultas mais detalhadas.

I.1 – Dinâmica não-linear e Caos

Um ponto importante em dinâmica não-linear é a noção da não-linearidade de um sistema

físico. Podemos desenvolver uma idéia intuitiva de não-linearidade em um sistema

caracterizando o seu comportamento em termos de estímulo e resposta. Em um sistema físico

real, composto de um circuito elétrico com um dispositivo eletrônico ôhmico (regido pela Lei de

Ohm) e uma fonte de voltagem, ao aplicarmos uma voltagem V (estímulo) medimos a corrente I

(resposta) que passa pelo dispositivo. No regime linear vale a relação:

RIV = (I.1)

onde R é a resistência do dispositivo e representa a constante de proporcionalidade do sistema.

Ou seja, se razão entre estímulo e resposta é constante e vale a Lei de Ohm.

Um sistema é dito não-linear quando o dispositivo apresenta um comportamento não-

ôhmico, ou seja, o comportamento entre V e I é não-linear. O estudo de comportamentos não-

lineares em sistemas físicos é chamado de dinâmica não-linear, isto é, o estudo do

comportamento dinâmico (dependência temporal) de um sistema não-linear. Um sistema não-

linear pode, assim, ser entendido como um sistema onde a evolução temporal das equações é não

linear, ou seja, as variáveis dinâmicas que descrevem as propriedades do sistema (por exemplo,

corrente elétrica, posição, velocidade, aceleração, etc.) e suas derivadas aparecem nas equações

de uma forma não-linear.

Mudanças feitas em sistemas não-lineares podem dar origem aos comportamentos

complexos que têm sido rotineiramente denominado sistemas complexos. O substantivo caos e o

adjetivo caótico são usados para descrever o comportamento temporal de um sistema quando

este comportamento é simultaneamente aperiódico (nunca se repetindo exatamente) e

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

determinístico. Esse comportamento pode parecer aleatório ou ruidoso, embora existam

características que o possam distinguir um do outro. Temos aqui uma aparente contradição - um

sistema é dito determinístico se tivermos três ingredientes para determinar o seu comportamento:

1- as equações temporais;

2- os valores dos parâmetros que descrevem o sistema;

3- as condições iniciais;

- este sistema não-linear apresenta equações que o descreve, assim, com os valores dos

parâmetros e as condições iniciais, podemos determinar completamente o comportamento

subseqüente deste sistema. Então como dizer que o comportamento do sistema não-linear é

aleatório se ele apresenta os três ingredientes para ser determinístico? Podemos esclarecer este

problema usando argumentos tradicionais. Ao vermos um sistema com comportamento

complexo, aleatório, podemos tentar explicar o comportamento tanto com um argumento

baseado na noção de ruído ou com um argumento baseado na complexidade. De acordo com a

definição de ruído, o comportamento complexo poderia ser devido à influência de efeitos

externos incontroláveis. Pelo fato destas influências externas mudarem de maneiras

incontroláveis é que o comportamento do sistema parece aleatório. De acordo com o argumento

baseado na complexidade, um sistema complexo tem vários graus de liberdade e é o movimento

relacionado com esses vários graus de liberdade que leva ao aparente comportamento aleatório.

Claro que em muitos casos, ruído e complexidade poderiam ser fatores que contribuem com a

aleatoriedade do sistema. Mas a importância crucial do caos é que ele fornece uma explicação

alternativa para esta aparente aleatoriedade – que não depende nem de ruído ou complexidade.

Comportamento caótico pode aparecer em sistemas relativamente simples, livres de ruídos e com

poucos graus de liberdade ativos. Para se certificar que um sistema se comporta caoticamente em

um experimento, precisamos estabelecer que o ruído não é um fator predominante e deve-se

conhecer o número de graus de liberdade ativos. A teoria de Caos nos fornece as ferramentas

para executarmos estas análises. Recomendamos as referências [1-2] como textos básicos para

uma introdução à Dinâmica não-linear e Teoria de Caos.

I.2 – Caracterização da Dinâmica Caótica

Em sistemas dissipativos, as trajetórias podem convergir para uma região limitada do

espaço de fase, chamada de atrator. Um sistema dinâmico, que apresenta comportamento

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

caótico, possui um atrator estranho, no seu espaço de fase. Ele é estranho porque apresenta

detalhes em escalas infinitesimais. Tal figura geométrica é chamada de fractal.

Nesta seção iremos definir os expoentes de Lyapunov, as dimensões fractal e de

correlação e o método de reconstrução do espaço de fase.

I.2.1 – Definição de atrator

Um conjunto fechado de pontos A, no espaço de fase de um sistema dinâmico, é definido

como atrator se:

• A é um conjunto invariante: ou seja, qualquer trajetória

(

)

que começa em A,

permanece em A por todo o tempo;

• A atrai um conjunto de condições iniciais: isto é, há um hiper-volume esférico B, que

contém A, tal que para qualquer condição inicial

(

)

pertencente a B, então a distância

entre a trajetória

()

e A tende a zero, quando

∞

→t . O maior conjunto de condições

iniciais que satisfaz essa propriedade é chamado bacia de atração de A.

• A é mínimo: ou seja, não há sub-conjunto de A que satisfaça as duas condições anteriores.

Num sistema dinâmico de tempo contínuo autônomo e bidimensional temos que a figura

atratora pode ser de dois tipos:

• o ponto de equilíbrio, que corresponde a uma solução cujo comportamento dinâmico é

independente do tempo;

• o ciclo-limite, que descreve um comportamento periódico no tempo, com amplitude e

período determinados pela forma das equações e pelos valores dos seus parâmetros.

Num sistema tridimensional, existem mais duas figuras atratoras, que são:

• a superfície toroidal, que representa um regime periódico ou quasi-periódico, com 2

freqüências fundamentais independentes;

• o atrator estranho, que apresenta dependência sensível às condições iniciais.

Um sistema dinâmico determinístico, cuja evolução temporal leva assintoticamente para

um atrator estranho, apresenta dinâmica caótica. Para que possa existir comportamento caótico

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

em sistemas contínuos dissipativos, é necessário que ele seja não-linear e pelo menos

tridimensional, como o sistema de Lorenz.

Caos advém de uma dependência sensível às condições iniciais. Diz-se que um mapa

)(

1 jj

xFx =

depende sensivelmente das condições iniciais se há um número ε > 0, tal que para

qualquer condição inicial x

e para qualquer número δ > 0, existe pelo menos um ponto

′

com

<−

′

xx , tal que

()

(

)

≥−

′

)(

xFxF

. Assim, não importa o valor de x

e nem a

vizinhança

δ, pode-se sempre encontrar um ponto

′

nessa vizinhança cuja órbita separa-se da

órbita de

de pelo menos ε. Além disso, essa distância ε independe de x

Esta definição de sensibilidade às condições iniciais não exige que a órbita de

′

afaste-

se da órbita de

em todas as iterações. Ela exige somente que o k-ésimo ponto da órbita de x

esteja afastando do

k-ésimo ponto da órbita de

′

por uma distância ε. Pode-se formular uma

definição equivalente de dependência sensível para sistemas de tempo contínuo. Tanto para

sistemas discretos, como para sistemas contínuos, a sensibilidade às condições iniciais é avaliada

através do cálculo dos expoentes de Lyapunov.

I.2.2 – Expoentes de Lyapunov

Seja um sistema de

n equações diferenciais ordinárias. Considere uma hiper-esfera de

condições iniciais centrada num ponto

(

)

. Conforme o tempo passa, esse volume se deforma.

Assuma que, ao longo de cada uma das

n dimensões, o raio inicial d

) tenha variado

exponencialmente no tempo, de maneira que a relação entre

) e o valor correspondente no

instante

t, dado por d

(t), valha:

() ( )

(

)

[

]

exp tttdtd

jjj

−

j = 1, 2 , ..., n

Essa relação pode ser escrita como:

(

)

(

)

[

]

tdtd

−

Os números

são chamados de expoentes de Lyapunov.

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

Num instante t > t

, o volume V(t) da hiper-esfera deve ser proporcional ao produto das

distâncias d

(t) que o caracterizam, isto é:

() () ( ) ( )

[

]

∑

∏

−∝∝

tttVtdtV

exp

sendo V(t

) o volume no instante inicial t

. Se o sistema é conservativo, então V(t) = V(t

) ou, em

termos dos expoentes de Lyapunov:

∑

Se é dissipativo, V(t) < V(t

), o que equivale a:

∑

Sobre uma solução periódica, a distância entre duas condições inicialmente vizinhas se

mantém constante, em média, de modo que o expoente de Lyapunov associado a essa direção é

nulo. Nas direções perpendiculares ao atrator periódico, há contração de volume no espaço de

fase. Portanto, os expoentes de Lyapunov correspondentes a essas direções são negativos.

Comportamento caótico é caracterizado pela divergência exponencial das trajetórias

vizinhas. Nesse caso, há pelo menos um expoente de Lyapunov positivo, o que implica

dependência sensível com as condições iniciais e a existência de um atrator estranho no espaço

de fase.

Num sistema tridimensional, existem quatro tipos de atratores, conforme foi descrito na

seção anterior. A tais atratores correspondem três expoentes de Lyapunov –

– com os

seguintes sinais:

para o ponto de equilíbrio, tem-se

< 0, já que o volume de condições iniciais

deve se contrair ao longo das três direções do espaço de fase, a fim de que a trajetória

convirja para o ponto;

para o ciclo-limite, tem-se

< 0 e

= 0, sendo que o expoente nulo corresponde

à direção ao longo da órbita fechada;

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

para o toro bidimensional, tem-se

< 0 e

= 0, de modo que as trajetórias

atratoras situam-se sobre uma superfície;

para o atrator estranho, tem-se

> 0,

= 0 e

< 0: um expoente deve ser positivo

para que exista dependência sensível com as condições iniciais; aquele ao longo da

trajetória deve ser nulo; e o outro deve ser negativo e maior do que o primeiro, para

que o sistema seja dissipativo, isto é, 0

<+=

∑

λλλ

Um atrator ocupa um volume finito no espaço de fase. No caso de um atrator estranho,

trajetórias que partem de condições iniciais vizinhas, além de permanecerem confinadas numa

certa região do espaço de fase, devem ainda se distanciar exponencialmente. Como trajetórias

podem se afastar exponencialmente e ocupar uma região limitada do espaço de fase? O

mecanismo responsável por isso envolve repetidos esticamentos e dobras das trajetórias.

O fluxo responsável pela geração de um atrator estranho normalmente contrai um volume

de condições iniciais numa direção, pois o sistema é dissipativo, e estica-o na outra, levando à

sensibilidade às condições iniciais. Como o atrator ocupa um volume finito, o processo de

esticamento das trajetórias deve ser concomitante ao processo de dobra.

I.2.3 – Dimensões de um atrator

A dimensão de um conjunto de pontos é o número mínimo de coordenadas necessárias

para localizar cada ponto do conjunto. Por exemplo, uma curva é unidimensional, porque cada

ponto é determinado por um único número, que é o comprimento do arco medido a partir de

algum ponto de referência fixo nessa curva.

Seja um conjunto de pontos A num espaço de fase de dimensão n. Esse conjunto de

pontos pode ser coberto por hiper-cubos iguais de lado

. Em 1958, Kolmogorov definiu a

dimensão de contagem de caixas (“box-counting dimension”) D

como:

(

)

()

1log

log

lim

→

) é o número mínimo de hiper-cubos idênticos de lado

necessário para cobrir todo o

conjunto de pontos A. Outro nome para D

é dimensão de capacidade.

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

Assim, se calcularmos a dimensão de um segmento de reta de comprimento L utilizando a

relação acima encontraríamos:

()

log2log

2log

lim

2log

lim

−

∞→∞→

pois, podemos cobrir o segmento de reta com uma caixa de comprimento L, ou por duas caixas

de comprimento L/2, ou por quatro caixas de comprimento L/4, ou generalizando, por 2

caixas

de comprimento L/2

. E podemos considerar que

0→

é equivalente a tomar

∞→n

Se aplicarmos a relação de D

para calcular a dimensão do conjunto de Cantor,

encontraríamos:

()

63.0

3log

2log

3log

2log

lim

≈==

∞→

Assim, o conjunto de Cantor é caracterizado por um valor de D

fracionário, ou seja, não-inteiro.

O conjunto de Cantor, figura I.1, é construído se considerarmos um intervalo S

= [0,1] e

removemos seu terço central. Isso produz o par de intervalos [0,1/3] e [2/3,1]. Removemos agora

os terços centrais de S

, produzindo S

. Repetimos esse procedimento infinitas vezes. O conjunto

limite

∞

S obtido é chamado de conjunto de Cantor, sendo formado por infinitos pedaços

infinitesimais separados por infinitos intervalos de vários tamanhos. Sua estrutura é auto-similar,

pois contém cópia de si próprio em todas as escalas.

Figura I.1: Construção do conjunto de Cantor.

N(ε)

1 L

2 L/3

4 L/9

. .

L/3

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

O termo fractal foi proposto por Mandelbrot, por volta de 1975. O que fractais têm a ver

com caos? Nada, quando o fractal é produzido por uma regra do tipo Cantor. Rotinas para

produzir figuras, cujo valor de D

é fractal, aparecem em livros de geometria do início do século

XX. Outros exemplos clássicos são a curva de Koch e o triângulo de Sierpinski, figura I.2.

Figura I.2: (a) Curva de Koch com sua regra de formação, D

≈ 1.26, e (b) triangulo de

Sierpinski também com sua regra de formação, D

≈ 1.58.

Fractais podem ser gerados pelo comportamento assintótico de um sistema dinâmico,

representado no espaço de fase correspondente. Ou seja, fractais podem ser atratores de sistemas

dinâmicos. E esses atratores podem ser caracterizados, por exemplo, pelo valor de D

. De fato, o

cálculo de D

é útil na caracterização de atratores. A dimensão dos atratores de processos não-

caóticos, em sistemas de tempo contínuo, é inteira. Por exemplo, para um sistema tridimensional,

tem-se como atratores: o ponto de equilíbrio, que possui D

= 0; o ciclo limite, com D

= 1; o

toro, com D

= 2. Para processos caóticos, os atratores possuem dimensão fracionária. Por

exemplo, o sistema de Lorenz:

YrXXZY

XYX

−

−+−=

−=

)(

(a)

(b)

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

para σ = 10, b = 8/3 e r = 28, possui D

≈ 2.06. Assim, o atrator que parece uma asa de borboleta,

figura I.3, é uma superfície com uma ligeira espessura. O valor de D

revela o número de

variáveis necessárias para se descrever o comportamento assintótico do sistema.

Figura I.3: Atrator de Lorenz representado em 3-D.

A dimensão de contagem de caixas é um caso especial da dimensão proposta por

Hausdorff, em 1918. Para o cálculo da dimensão de Hausdorff, D

, é necessário encontrar o

conjunto de hiper-cubos de lados ε

, com ε

≤ ε, que cubra o hiper-volume ocupado pelo atrator,

de modo que o número de hiper-cubos utilizados seja mínimo. É praticamente impossível

determinar o valor de D

para um atrator estranho, pois, de todas as maneiras possíveis para se

cobrir tal atrator, deve-se encontrar a solução ótima. Pode-se mostrar que D

≤ D

. Tanto D

quanto D

, costumam ser chamados de dimensão fractal.

Muitos atratores estranhos não são homogêneos, de maneira que algumas de suas regiões

são mais visitadas do que outras. Por isso, para se caracterizar um atrator, calculam-se outras

dimensões que levam em conta suas não-homogeneidades. Tais dimensões se baseiam na

freqüência relativa f

com que cada caixa j é visitada. A freqüência f

é definida simplesmente

como:

∞→

= lim

sendo N o número total de pontos que pertencem ao atrator e N

o número de pontos na caixa j.

Dentre as dimensões generalizadas, as mais relevantes (além de D

) são a dimensão de

informação D

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

()

∑

→

−=

)(

1log

log

lim

e a dimensão de correlação D

(

)

()

∑

→

)(

log

lim

(I.2)

Pode-se mostrar que:

012

DDD

≤

(I.3)

sendo que a igualdade só ocorre para atratores homogêneos.

O termo (f

)

que aparece em (I.2) representa a freqüência relativa com que dois pontos de

um atrator caem na j-ésima caixa de tamanho ε. Em 1983, Grassberger e Procacia [3] sugeriram

aproximar (f

)

pela freqüência relativa com que dois pontos estão separados por uma distância

menor ou igual a ε. Seja q(ε) a fração de pontos do atrator que está dentro de uma hiper-esfera de

raio ε, centrada em

. Essa fração é expressa pela relação:

()

(

)

∑

−−=

xxH

εε

sendo N o número de pontos no atrator. A função degrau H(y) é tal que H = 1 se y ≥ 0, e H = 0 se

y < 0.

Defini-se a função de correlação C(ε) como o valor médio de q(ε), calculado sobre todos

os pontos

. Assim:

() ()

∑

≠=

kjj

)(1

εε

Na prática, toma-se, aleatoriamente, N’ pontos

(N’ < N) e determina-se o número de pontos

que estão contidos na hiper-esfera de raio ε. Desse modo:

() ()

∑

′

≠=

′

≈

kjj

)(1

εε

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

O valor de C é proporcional a ε, se os pontos do atrator estão dispostos sobre uma reta;

proporcional a ε

, se tais pontos estão uniformemente espalhados num plano. No caso de estarem

sobre uma estrutura fractal, Grassberger e Procaccia [3] alegaram que C é proporcional a

, ou

seja:

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈

→∞→

log

limlim

Normalmente, calcula-se D

para vários ε e estima-se seu valor a partir da inclinação da parte

linear do gráfico logC(ε) em função de log(ε).

Qual é a utilidade prática de estimar D

? A resposta para essa questão tem duas partes. A

primeira refere-se à dificuldade computacional de se calcular D

. Numericamente, D

é calculado

usando-se um algoritmo de contagem de caixas. Tal algoritmo, entretanto, exige um esforço

computacional (memória e tempo de processamento) muito maior do que o algoritmo de

Grassberger e Procaccia [3], principalmente quando D

> 2. E, ao se estimar D

, obtém-se um

limite inferior para o valor de D

, pois a relação I.3 é verdadeira. Obter D

é importante para a

caracterização do atrator, já que este número revela quantas variáveis são necessárias para

descrever o comportamento assintótico do sistema. Entretanto, a principal razão para se estimar

aparece quando se trabalha com séries temporais reais.

I.2.4 – Teorema de reconstrução de Takens

Se as equações diferenciais que governam um sistema dinâmico são conhecidas, pode-se

caracterizar o atrator desse sistema calculando as dimensões D

, D

e os expoentes de

Lyapunov. Entretanto, em problemas reais, normalmente tem-se uma série temporal de dados

experimentais. Não sabe, de antemão, quais são as variáveis de estado desse sistema e nem a

forma das equações diferenciais que governam a evolução dessas variáveis.

O sistema de Rössler é composto pelas equações diferenciais:

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

()

zcxb

ayx

−+=

−−=

(I.4)

sendo a, b e c constantes. Para a = 0.2, b = 0.4 e c = 5.7, existe um atrator estranho no espaço de

fase desse sistema dinâmico. Esse espaço é, obviamente, formado pelo eixo-x, pelo eixo-y e pelo

eixo-z. Packard et al. [4] analisaram o comportamento desse sistema no espaço formado pelo

eixo-x, pelo eixo-dx/dt e pelo eixo-d

x/dt

. Eles mostraram que, nesse novo espaço, a figura

geométrica que caracteriza o comportamento assintótico do sistema é topologicamente

equivalente ao atrator estranho original. Essa figura é chamada de atrator reconstruído. Assim, o

atrator original, no espaço (x, y, z), e o atrator reconstruído, no espaço (x, dx/dt, d

x/dt

), são

caracterizados pelos mesmos valores de dimensões e expoentes de Lyapunov. Portanto, a partir

da evolução temporal de uma única variável, x(t) no caso, pode-se determinar as características

do atrator.

Como exemplo, seja um ciclo limite circular, assintoticamente estável no seu espaço de

fase, descrito pelas expressões x(t) = sin(t) e y(t) = cos(t). Suponha que seja conhecida apenas a

variação temporal de x(t). Para reconstruir o atrator, faremos o espaço de fase constituído pelos

eixos-x e –dx/dt, sendo o eixo-dx/dt aproximado por [x(t + h)-x(t)]/h. A figura I.4 ilustra o atrator

reconstruído, tomando-se alguns valores diferentes de h. Nos três casos, o atrator reconstruído é

topologicamente equivalente ao atrator original. Repare que para

0→h

, obtém-se o atrator

original, pois, para ele, dx/dt = y. Esse exemplo é bastante artificial. Em geral tem-se que

dx/dt = f(x,y) e dy/dt = g(x,y).

Como se sabe de antemão, qual a dimensão do espaço de fase no qual se fará a

reconstrução do atrator? Ou seja, como se pode determinar a dimensão que é adequada para se

fazer a reconstrução do atrator? Além disso, como descobrir qual o valor do passo h que é o mais

conveniente?

Na verdade, o método de reconstrução de atrator proposto por Packard et al. [4] é

ligeiramente diferente daquele que foi descrito acima. Sabe-se que dx/dt, d

x/dt

ou derivadas de

ordem superior podem ser representadas por equações de diferenças com passo infinitezimal.

Assim:

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

(

)

(

)

txhtx

−

≈

0→h

()

(

)

(

)

txhtxhtx

xd ++−+

≈

0→h

Figura I.4: Atrator reconstruído para

h igual a 1.0, 0.5 e 0.1.

Uma série temporal real consiste de um conjunto

= x(t

) de valores, obtidos nos

instantes de tempo

, para j = 1, ..., N. A determinação numérica de derivadas a partir de um

conjunto discreto de pontos é bastante sensível a ruído, o que torna seu cálculo muito impreciso.

Além disso, o passo

h possui um valor finito, de maneira que a qualidade da aproximação de

uma derivada por uma equação de diferença diminui com o aumento da ordem da derivada.

Em vez de usar

x(t), dx/dt, d

x/dt

... como as variáveis que formarão o espaço no qual o

atrator será reconstruído, Packard

et al. [4] sugeriram usar, diretamente, x(t), x(t + h), x(t + 2h)

... etc. Note que, no exemplo da figura I.3, o atrator original é perfeitamente reconstruído

tomando-se

x(t) e x(t + h) com h = π/2.

Takens [5] provou que, no espaço de fase formado pelo eixo-

x(t), pelo eixo-x(t+h), pelo

eixo-

x(t+2h) ... e pelo eixo-x(t + (m - 1)h), o atrator reconstruído é topologicamente equivalente

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

ao atrator real, sobre o qual conhece-se apenas a evolução em tempo discreto da variável de

estado

x. Na sua prova, Takens assumiu que a série é formada por infinitos pontos x

e que não há

ruído. Se essas condições são satisfeitas, as propriedades topológicas do atrator reconstruído são

preservadas, tomando-se

m ≥ 2D

+ 1, sendo D

a dimensão de contagem de caixas do atrator

real. Chama-se

espaço de imersão o espaço no qual realiza-se a reconstrução. Denomina-se m de

dimensão de imersão e h de passo da reconstrução. Note que h deve ser múltiplo do tempo de

amostragem do sinal contínuo

x(t).

Por exemplo, no caso do sistema de Lorenz, figura I.3, tem-se que a dimensão de

contagem de caixas do atrator real vale

= 2.06. Assim, segundo Takens [5], pode-se

reconstruir o atrator a partir de

x(t), tomando-se m > 2D

+ 1. Nesse caso, m = 6 parece ser

suficiente. Entretanto, num problema real, não se conhece o atrator original, nem seu valor de

. A seguir, mostra-se como m pode ser determinado, nesses casos.

Pelo

método dos atrasos temporais de Takens, a cada instante t

, assinala-se o ponto de

coordenadas

(

)

(

)

(

)

(

)

hmtxhtxtx

jjj

1,...,,

−

no espaço de imersão. Variando-se j de 1 até N,

obtém-se a trajetória reconstruída.

Assuma que

representa a posição do ponto no espaço de imersão, no instante t

Assim, a trajetória reconstruída é formada pela seqüência:

()

(

)

(

)

(

)()

()( ) ( )()()

hmtxhtxtx

1,...,,

2222

1111

−++=

αααα

com

α = 1, ..., M. As componentes m, h, N, M relacionam-se por N = M + (m – 1)h.

A partir dos valores de

, pode-se estimar a dimensão de correlação D

, calculando-se

C(ε) pela seguinte fórmula:

()

(

)

∑∑

=≠

−−=

1)(

αα

ξξεε

Não se sabe, previamente, que dimensão de imersão

m é conveniente para a reconstrução do

atrator. Para se encontrar o valor de

m mais adequado, calcula-se C(ε) para vários valores de ε,

variando

m, por exemplo, entre 2 e 7; e representam-se esses resultados num gráfico logC(ε) em

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

função de log(

ε). A inclinação da parte linear dos gráficos dá uma estimativa para o valor de D

para cada

m. O valor de m procurado é aquele acima do qual a inclinação da parte linear de

log

C(ε), em termos de log(ε), “praticamente” deixa de variar. Normalmente, D

aumenta com m,

e acaba saturando a partir de um valor crítico. Essa é a dimensão de imersão que permite

“desdobrar” o atrator adequadamente, de modo que suas trajetórias não se cruzem no espaço de

imersão.

É interessante dizer que se

x(t) é um sinal aleatório, D

não satura para m algum. Lembre

que o valor de saturação de

é uma estimativa para a dimensão D

do atrator real.

O trabalho de Takens, no qual se considera uma série infinita e sem ruídos, não impõe

restrições sobre o passo

h. Entretanto, ao se trabalhar com séries finitas e ruidosas, a escolha de h

torna-se crítica. Considere, por exemplo, o caso de

m = 2. Se h é muito pequeno, então x(t) e x(t

h) são praticamente idênticos, e o atrator fica comprimido ao longo da diagonal principal do

espaço de imersão. Se

h é muito grande, então x(t) e x(t + h) não apresentam correlação alguma.

Fraser e Swinney [6] sugeriram um método para a determinação de

h em séries temporais

experimentais.

I.3 – Considerações finais

Apresentamos neste apêndice uma descrição sucinta das principais análises realizadas em

séries temporais para a sua caracterização quanto à dinâmica caótica. Existe uma quantidade

grande de parâmetros além dos apresentados aqui que caracterizam a dinâmica caótica do

sistema. Além disso, existem vários algoritmos propostos na literatura para implementação

computacional destes parâmetros. Algumas referências podem ser consultadas para uma melhor

revisão deste assunto. No caso de artigos de revisão recomendamos as referências [7-10]. No

caso de livros temos as referências [2,11-13]

Focamos dois principais parâmetros, expoentes de Lyapunov e dimensão de correlação

neste apêndice. Assim, em um sistema caótico, deve haver pelo menos um expoente positivo e

uma dimensão fractal para a que a sua dinâmica seja considerada caótica. Esta dimensão está

relacionada com a dimensão de imersão do sistema. Por exemplo, no capítulo 1, descrevemos um

estudo realizado em análise de séries temporais para medidas de corrente elétrica em amostras de

GaAs semi-isolantes (SI). Em um dos estudos, encontramos uma dimensão de correlação do

atrator caótico aproximadamente igual a 2,4. Baseado no que foi exposto neste apêndice, para se

Apêndice I – Caos e Análise de Séries Temporais

construir um modelo do sistema dinâmico que gera as oscilações de corrente, devemos ter pelo

menos três equações diferenciais. Portanto, a partir de uma série temporal, pode-se estimar a

dimensão do sistema dinâmico que deve estar gerando a série. Essa é uma informação importante

para quem pretende fazer um modelo matemático sobre o sistema observado.

Referências do Apêndice I

[1] R. C. Hilborn,

Chaos and Nonlinear Dynamics. An introduction for Scientists and Engineers

(Oxford University Press, Oxford, 1994).

[2] N. Fiedler-Ferrara, C. P. C. do Prado,

Caos: Uma Introdução (Editora Edgard Blücher

Ltda, 1994).

[3] P. Grassberger, I. Procacia, Physica D

9, 189 (1983).

[4] N. Packard, J. Crutchfield, J. D. Farmer e R. Shaw, Physical Review Letters

45, 712 (1980).

[5] F. Takens, Lect. Notes Math.

898, 366 (1981).

[6] A. M. Fraser e H. L. Swinney, Phys. Rev. A

33, 1134 (1986).

[7] H. D. I. Abarbanel, R. Brown, J. J. Sidorowich, and L. Sh. Tsimring, Rev. Mod. Phys.

1331 (1993).

[8] R. Hegger, H. Kantz and T. Schreiber, Chaos

9, 413 (1999).

[9] Y.-C. Lai e N. Ye, Int. J. Bifurcation and Chaos

13, 1383 (2003).

[10] J.-P. Eckmann and D. Ruelle, Rev. Mod. Phys.

57, 617 (1985).

[11] H. D. I. Abarbanel,

Analysis of Observed Chaotic Data (Springer, New York, 1996).

[12] H. Kantz e T. Schreiber,

Nonlinear Time Series Analysis (Cambridge University Press,

Cambridge, 2004).

[13] J. C. Sprott,

Chaos and Time-Series Analysis (Oxford University Press, New York, 2004).

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