ads:
Fenomenologia de
neutrinos atmosf´ericos
Diego Rossi Gratieri
Orientador: Prof. Orlando L. G. Peres
Instituto de F´ısica Gleb Wataghin - UNICAMP
10 de abril de 2006
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ads:
GURI
Das roupas velhas do pai queria que a m˜ae fizesse
Uma mala de g arupa e uma bombacha e me desse
Queria boinas e alpargatas e um cachorro companheiro
Pra me ajudar a botar as vacas no meu peti¸co sogueiro
Hei de ter uma tabuada e o meu livro queres ler
Vou aprender a fazer contas e algum bilhete escrever
PraqueafilhadoseuBentosaibaqueela´emeubemquerer
Esen˜ao for por escrito eu n˜ao me animo a dizer
Quero gaita de oito baixos pra ver o ronco que sai
Botas feitio do Alegrete e esporas do Ibirocai
Len¸co vermelho e guaiaca compradas l´anoUruguai
Que ´e pra que digam quando eu passe sai igualzito ao pai
EseDeusn˜ao achar muito tanta coisa que eu pedi
N˜ao deixe que eu me separe deste rancho onde nasci
Nem me desperte t˜aocedodomeusonhodeguri
E de l ambuja permita que eu nunca saia daqui
Cezar Passarinho
Agradecimentos
Aos meus pais Narcizo Gratieri e Reni Inˆes Rossi, pelo apoio incondicional que recebi,
pela educa¸c˜ao r´ıgida, e pelo sacrif´ıcio que sempre fizeram para que eu pudesse estudar.
A minha namorada Danuce Marcele Dudek, por tudo de bom que j´a passamos juntos e
pelo que podemos vir a construir.
`
A FAPESP pelo apoio financeiro.
Aos professores, amigos e colegas que de alguma forma contribu´ıram e contribuem para
a minha forma¸c˜ao de f´ısico tanto da UNICAMP como da Federal de Pelotas, em especial ao
Dr. Prof. Victor Paulo Barros Gon¸calves, bom amigo e orientador de inicia¸c˜ao.
E´e claro, ao meu orientador, Dr. Prof. Orlando Luis Goulart Peres, pela cobran¸ca, pelo
incentivo, pela paciˆencia, pela amizade, e por tudo o que aprendi durante os dois anos que
pude trabalhar em sua companhia na realiza¸c˜ao desta disserta¸c˜ao de mestrado.
Resumo
Neste trabalho buscamos entender o fenˆomeno de oscila¸c˜oes de neutrinos e como ex-
emplo tentamos descrever os dados dos neutrinos atmosf´ericos. Nossa motiva¸c˜ao principal
´e descrever o excesso de eventos do tipo neutrino eletrˆonico encontrado nos dados do de-
tector SuperKamiokande (SK) a baixas energias quando comparados com o formalismo de
oscila¸c˜ao de sabores de neutrinos em duas gera¸c˜oes,oqualresolveoproblemadaassimetria
up-down para os neutrinos atmosf´ericos do tipo muˆonico. Para isso generalizamos o modelo
de oscila¸c˜ao de sabores para trˆes gera¸c˜oes de neutrinos, abrindo dessa forma a possibilidade
de oscila¸c˜ao entre o neutrino eletrˆonico e os demais sabores. Obtemos uma solu¸c˜ao semi
anal´ıtica para o problema nos valendo dos limites impostos pela fenomenologia de neutrinos
para os parˆametros de oscila¸c˜ao, diferen¸cas quadr´aticas de massas e ˆangulos de mistura.
Al´em disso levamos em conta os efeitos de mat´eria atuando sobre o neutrino eletrˆonico
quando este cruza o interior terrestre e tem seu padr˜ao de oscila¸c˜ao alterado.
Palavras Chave: neutrinos massivos,
Ar´ea de conhecimento: 1.05.03.00-5, 1.05.03.03-0
Abstract
In this work we try to understand the phenomena of neutrino oscillations, and use this to
describe more precisely the atmospheric neutrino data. Our main motivation is to describe
the excess of events of electron-neutrino type found in the SuperKamiokande results at
low energies when compared with the predictions of the two-generation neutrino oscillation
which solves the problem of the up-down muon neutrino asymmetry very successfully. To
do this we generalize the oscillationmodel from two to three neutrino flavors, opening the
possibility of oscillation between the electron neutrino type and the others. Then we obtain
a semi-analytic solution of the three flavors problem using the neutrino phenomenological
limits on oscillation parameters, squared masses differences and mixing angles. We also take
into account matter effects on the electronic neutrino when it crosses the Earth and has it’s
oscillation pattern changed.
Keywords: massive neutrinos,
PACS:
14.60.P q neutrino mass and mixing
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1Neutrinosatmosf´ericos 4
1.1 O fluxo de neutrinos atmosf´ericos ........................ 9
1.2 Caracter´ısticas do fluxo e RC’s prim´arios.................... 11
1.3 Simula¸c˜ao do fluxo de neutrinos atmosf´ericos.................. 12
1.4 O problema dos neutrinos atmosf´ericos ..................... 13
1.5 ResultadosdeSuperKamiokande ........................ 16
2 Oscila¸c˜ao de sabores induzida por massa 23
2.1 Oscila¸c˜ao no v´acuo ................................ 23
2.1.1 Oscila¸c˜ao de sabores em duas gera¸c˜oesdeneutrinos.......... 28
2.2 Efeitos de mat´eria ................................ 31
2.2.1 Altera¸c˜oes nas propriedades intr´ınsecasdoneutrino .......... 40
3 Generaliza¸c˜ao do modelo para trˆes gera¸c˜oes 46
3.1 Sub-sistema 2 × 2 ................................ 52
3.2 O sistema 3 × 3.................................. 58
3.3 RelevˆanciaExperimental............................. 69
4Conclus˜oes 75
AAintera¸c˜ao eletrofraca 77
i
A.1 O lagrangiano de intera¸c˜ao............................ 80
BF´ormulas matem´aticas 84
ii
Lista de Figuras
1.1 Representa¸c˜ao de uma poss´ıvel configura¸c˜ao para um chuveiro de RC na at-
mosfera mostrando as principais fases de sua evolu¸c˜ao e o detector SK[1],
tendo como fonte o site http://hep.bu.edu/ superk/atmnu/........... 5
1.2 Figura retirada do site http://www.pheno.info/hottopics/neutrinoshavemass/,
a qual representa neutrinos produzidos em toda a atmosfera atingindo SK[1]. 7
1.3 Distˆancia percorrida pelo neutrino produzido na atmosfera terrestre at´eatin-
gir o experimento SK em fun¸c˜ao de θ
z
. ..................... 9
1.4 Perfil de densidade terrestre, ρ dada em g/cm
3
, em fun¸c˜ao da distˆancia radial
ao centro da Terra, d0. Com rela¸c˜ao `avaria¸c˜ao de densidade, podemos iden-
tificar a priori trˆes regi˜oes principais, 0 <d0 < 1000 km, 1000km<d0 < 3500
km, e 3500 <d0 < 6731 km, sendo que na transi¸c˜ao entre elas ocorrem as
maioresdescontinuidadesnoperfildedensidade................. 10
1.5 Perfil de densidade eletrˆonica ρ
e
sentida pelo neutrino eletrˆonico ao atravessar
as diferentes regi˜oes do interior terrestre, em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida
L, para diferentes valores de θ
z
. ......................... 11
1.6 Resultados das simula¸c˜oes computacionais de Honda et al. (2004) [3], para
o perfil zenital do fluxo de neutrinos atmosf´ericos para os diferentes sabores
de neutrinos, para trˆes intervalos de energia, da esquerda para a direita, 0, 1
GeV <E
ν
< 0, 32 GeV, 0.32 GeV <E
ν
< 1GeV,e1GeV<E
ν
< 3, 2GeV,
durante o per´ıodo de m´aximaatividadesolar. ................. 14
iii
1.7 Os resultados de SuperKamiokande [20] (pontos) para o n´umero de eventos
de neutrinos atmosf´ericos em fun¸c˜ao do cosseno do ˆangulo zenital, para, da
esquerda para a direita, neutrinos eletrˆonicos, e eventos de neutrinos muˆonicos
e neutrinos muˆonicos detectados por ’multi-ring’ de cima para baixo, P<400
MeV, 400 MeV <P<1, 3GeV,eP>1, 3 GeV, onde P ´e o momentum
do l´epton carregado produzido. Em todos os gr´aficos, os resultados de SK
s˜ao comparados com a previs˜ao te´orica, com e sem oscila¸c˜ao de sabores, linha
cheiaecaixinhas,respectivamente. ....................... 21
1.8
`
A esquerda ´e mostrado o espa¸co de parˆametros, ∆m
2
atm
e sen
2
2θ
atm
,permiti-
dos por SK [20] obtidos da oscila¸c˜ao ν
µ
↔ ν
τ
.................. 22
2.1 Compara¸c˜ao entre a Eq.(2.27), linha cheia, e os dados de SK, pontos, para o
fluxo de neutrinos muˆonicos retirada da referˆencia[6].............. 30
2.2
Apenas o ν
e
pode sofrer intera¸c˜ao via CC com os el´etrons do meio, enquanto que
todos, ν
e
, ν
µ
e ν
τ
, podem in teragir via CN com todos os constituintes do meio. .32
2.3 Altera¸c˜oes no comprimento de oscila¸c˜ao na mat´eria, L
mat
em fun¸c˜ao da distˆancia
L para diferentes valores de δ, em unidades de (10
−4
eV
2
). .......... 45
3.1 Probabilidade de convers˜ao de sabor na base de propaga¸c˜ao, P
(ν
e
→ν
µ
)
,em
fun¸c˜ao da distˆancia L percorrida pelo neutrino eletrˆonico com energia E =1
GeV, quando este cruza toda a Terra, cosθ
z
= −1, para diferentes valores
de δ, em unidades de (10
−10
eV). A linha cheia refere-se `a oscila¸c˜aoem dois
sabores no v´acuo.................................. 55
3.2 Probabilidade de convers˜ao de sabor na base de propaga¸c˜ao, P
(ν
e
→ν
µ
)
,em
fun¸c˜ao de cosθ
z
, para um neutrino eletrˆonico, quando este cruza toda a Terra,
para diferentes valores de δ, em unidades de (10
−10
eV)............. 56
3.3 Probabilidade de convers˜ao de sabor na base de propaga¸c˜ao, 1−
¯
P
2
, em fun¸c˜ao
de cosθ
z
, para um anti-neutrino eletrˆonico, para diferentes valores de δ,em
unidades de (10
−10
eV). ............................. 57
iv
3.4 Probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico dada pela Eq (3.46),
juntamente com cada uma das parcelas. Usamos os seguintes valores para os
parˆametros envolvidos, c
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆ = 1.210
−11
eV........ 60
3.5 Aqui usamos os seguintes valores para os parˆametros envolvidos, c
13
=0.98,
s
12
=0.88, ∆ = 1.210
−11
eV, e mostramos a probabilidade de sobrevivˆencia
do neutrino eletrˆonico em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida para diferentes val-
ores de δ, em unidades de (10
−10
eV)....................... 61
3.6 Aqui mostramos a probabilidade de sobrevivˆencia de ν
e
em fun¸c˜ao de cosθ
z
para c
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆m
2
21
=810
−5
eV
2
,∆m
2
32
=310
−3
eV
2
,bem
como as parcelas que a comp˜oem......................... 62
3.7 Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, P
e→e
,deconvers˜ao
neutrino eletrˆonico para neutrino muˆonico, P
e→µ
, e de convers˜ao neutrino
eletrˆonico para neutrino tauˆonico, P
e→τ
em fun¸c˜ao do cosseno do ˆangulo zen-
ital, cosθ
z
,parac
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆ = 1.210
−11
eV. A linha constante
em 1 refere-se `asomadestastrˆes quantidades, confirmando a unitariedade do
sistema. ...................................... 65
3.8 Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, P
e→e
,deconvers˜ao
neutrino eletrˆonico para neutrino muˆonico, P
e→µ
, em fun¸c˜ao do cosseno do
ˆangulo zenital, cosθ
z
,parac
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆ = 1.210
−11
eV, e
diferentes valores de δ em unidades de (10
−10
eV)................ 66
3.9 Probabilidades de sobrevivˆencia, P
ee
edeconvers˜ao, P
eµ
em fun¸c˜ao da distˆancia
percorrida L,parac
13
=0.98, s
12
=0.88, E =0.4 GeV , cosθ
z
= −0.31. . . . 67
3.10 Probabilidades de sobrevivˆencia para anti-neutrino eletrˆonico,
¯
P
e→e
,decon-
vers˜ao anti-neutrino eletrˆonico para anti-neutrino muˆonico,
¯
P
e→µ
, e de con-
vers˜ao anti-neutrino eletrˆonico para anti-neutrino tauˆonico,
¯
P
e→τ
em fun¸c˜ao
do cosseno do ˆangulo zenital, cθ
z
,parac
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆m
2
32
=310
−3
eV
2
,e∆m
2
21
=810
−5
eV
2
. A linha constante em 1 refere-se `asomadestas
trˆesquantidades,confirmandoaunitariedadedosistema. ........... 68
v
3.11 Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neutrino
eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
para cos
2
θ
23
=0.49................................. 71
3.12 Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neutrino
eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
para cos
2
θ
23
=2/3................................. 72
3.13 Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neutrino
eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
para cos
2
θ
23
=1/3................................. 73
3.14 Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neutrino
eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
para cos
2
θ
23
=0.49................................. 74
vi
Introdu¸c˜ao
Neutrinos atmosf´ericos s˜ao provenientes das colis˜oes de raios c´osmicos (RC’s) com um n´ucleo
de nitrogˆenio ou oxigˆenio presentes na atmosfera terrestre, dando in´ıcio a uma s´erie de rea¸c˜oes
e decaimentos respons´aveis pela produ¸c˜ao de uma enorme quantidade de part´ıculas. Estes
neutrinos podem cruzar toda a Terra sem interagir, e foram detectados pela primeira vez em
experimentos subterrˆaneos realizados por Reines e Cowan na d´ecada de 60. Nas duas d´ecadas
que se seguiram, foram propostos v´arios experimentos que buscavam registrar o decaimento
do pr´oton, e para esses experimentos os neutrinos atmosf´ericos atuariam como ru´ıdo. Em
1984, Ayres propˆos que estes experimentos poderiam ser utilizados para medi¸c˜oes do fluxo
de neutrinos atmosf´ericos. As duas principais t´ecnicas de medi¸c˜ao fizeram uso de detectores
de radia¸c˜ao Cherenkov e calor´ımetros de ferro. Os detectores de Cherenkov utilizados eram
constitu´ıdos de um grande volume de ´agua rodeada por c´elulas fotomultiplicadoras que
amplificam o sinal da radia¸c˜ao Cherenkov. A reconstitui¸c˜ao dos tra¸cos de Cherenkov permite
adistin¸c˜ao entre el´etrons e m´uons produzidos em rea¸c˜oes do tipo decaimento beta inverso
que se d˜ao no interior do detector.
Devido `abaixase¸c˜ao de choque neutrino-n´ucleon a baixas energias, era esperado que o
fluxo de neutrinos atmosf´ericos fosse isotr´opico na dire¸c˜ao vertical com rela¸c˜ao ao detector,
pois como os neutrinos vindos de baixo praticamente n˜ao interagiriam com a Terra, n˜ao eram
esperadas redu¸c˜oes significativas no fluxo de neutrinos atmosf´ericos para grandes valores do
ˆangulo formado com a dire¸c˜ao zenital. Experimentos preliminares que usavam o princ´ıpio
da radia¸c˜ao Cherenkov, tais como Kamiokande e IMB, detectaram no in´ıcio da d´ecada de
90 que a raz˜ao entre n´umero de eventos induzidos do tipo neutrino muˆonico e o n´umero de
eventos induzidos do tipo eletrˆonico era menor que o esperado por um fator 0.6. Esta foi a
1
primeira formula¸c˜ao do chamado ”problema do neutrino atmosf´erico”. Isso significa que a
redu¸c˜ao na raz˜ao das raz˜oes entre o n´umero de neutrinos muˆonicos e eletrˆonicos medidos e
esperados pelos c´alculos de Monte Carlo, est´a associada ou ao desaparecimento de neutrinos
muˆonicos, ou ao aparecimento de neutrinos eletrˆonicos. O detector Kamiokande tamb´em j´a
havia previsto uma dependˆencia do d´eficit de neutrinos do tipo muˆonicos com o cosseno do
ˆangulo formado pelo neutrino com a dire¸c˜ao zenital com rela¸c˜ao ao detector. O detector
SuperKamiokande aumentou em muito a precis˜ao e a estat´ıstica dos dados a respeito da
assimetria ”up-down” para neutrinos atmosf´ericos. Al´em disso, este pode distinguir entre
eventos de neutrinos do tipo eletrˆonico e do tipo muˆonico, verificando que a assimetria
neutrinos ”up-down” ocorre em primeira aproxima¸c˜ao apenas para eventos do tipo neutrino
muˆonico. Para solucionar este problema foi feita a hip´otese de que os neutrinos est˜ao sujeitos
`a chamada oscila¸c˜ao de sabores de neutrinos induzida por massa, modelo este proposto para
o setor de neutrinos por Pontecorvo baseado no trabalho sobre oscila¸c˜ao no setor de K´aons
de Gell-Mann e Pais.
Neste trabalho, iniciaremos nossa discuss˜ao sobre oscila¸c˜ao de sabores pelo caso mais
simples, que se refere a quando o neutrino se propaga em um meio material com densidade
t˜ao baixa que podemos descrever sua propaga¸c˜ao sem levar em conta nenhum tipo de efeito
de intera¸c˜ao do neutrino com a mat´eria, ou seja, tudo acontece como se o neutrino estivesse
no v´acuo. Esta simplifica¸c˜ao ´e aplicada com sucesso para neutrinos se propagando pela
atmosfera terrestre e para neutrinos que deixam o Sol e viajam at´e a Terra por exemplo.
Em primeira aproxima¸c˜ao, o problema do neutrino atmosf´erico ´e resolvido atrav´es da
oscila¸c˜ao em dois sabores de neutrinos, no caso neutrino muˆonico e neutrino tauˆonico, no
v´acuo. Contudo, conforme demonstrado primeiramente por Wolfenstein, se os neutrinos
possuem massa, e as oscila¸c˜oes de sabor ocorrem, estas podem ser modificadas quando neu-
trinos atravessam a mat´eria.Paraocasodoneutrinoeletrˆonico, estas modifica¸c˜oes ocorrem
mesmo quando este neutrino for descrito pelo formalismo sem oscila¸c˜ao de sabores, uma vez
que o espalhamento el´astico coerente apresenta forma n˜ao diagonal nos sabores de neutrino .
Com base neste fato, nosso trabalho tem por objetivo generalizar o formalismo de oscila¸c˜ao
de sabores para trˆes gera¸c˜oes de neutrinos, e dessa forma incluir na solu¸c˜ao do problema do
2
neutrino atmosf´erico a possibilidade de oscila¸c˜ao ν
e
→ ν
µ
, inserindo efeitos de mat´eria sobre
o neutrino eletrˆonico, numa tentativa de descrever o excesso de neutrinos eletrˆonicos que ´e
verificado nos dados do detector SuperKamiokande [1] para baixas energias. A modelagem
do problema consiste em um sistema de trˆes equa¸c˜oes diferenciais acopladas que pode ser
resolvido via c´alculo num´erico. Em vez de proceder desta maneira, nossa estrat´egia consiste
primeiramente em encontrar uma rota¸c˜ao apropriada para a base de propaga¸c˜ao dos autoes-
tados de massa dos neutrinos que torne o sistema bloco-diagonal, tornando, nesta base de
propaga¸c˜ao, a evolu¸c˜ao do neutrino tauˆonico independente da evolu¸c˜ao dos demais neutri-
nos. Obtemos ent˜ao a matriz das amplitudes de probabilidade de oscila¸c˜ao entre neutrino
eletrˆonico e neutrino muˆonico na base de propaga¸c˜ao. A terceira fase da nossa estrat´egia
consiste em aplicar a rota¸c˜ao inversa nesta matriz, obtendo desta forma a desejada matriz
de evolu¸c˜ao em trˆes gera¸c˜oes na base de sabor que j´a inclui os efeitos de mat´eria. A partir
deste ponto passamos a analisar quais s˜ao as conseq¨uˆencias deste formalismo sobre o padr˜ao
de oscila¸c˜ao dos neutrinos atmosf´ericos.
Este trabalho de mestrado tem por objetivo estudar o mecanismo de oscila¸c˜ao de sabores
de neutrinos na presen¸ca de mat´eria, em particular o problema dos neutrinos atmosf´ericos
cruzando a Terra, e est´a organizado da seguinte forma: no cap´ıtulo 1 fazemos uma introdu¸c˜ao
`af´ısica dos neutrinos atmosf´ericos, sua origem nas colis˜oes de raios c´osmicos, o que sabe-
mos sobre o fluxo destes neutrinos, principalmente devido `as simula¸c˜oes computacionais, e
introduzimos o problema do neutrino atmosf´erico atrav´es da an´alise dos resultados do exper-
imento SuperKamiokande. No cap´ıtulo2fazemosumarevis˜ao sobre o modelo de oscila¸c˜ao
de sabores de neutrinos induzida por massa. Iniciamos pela oscila¸c˜ao no v´acuo e derivamos o
caso limite da oscila¸c˜ao em duas gera¸c˜oes de neutrinos, a qual soluciona o problema do neu-
trino atmosf´erico em sua formula¸c˜ao mais simples em dois sabores de neutrinos. Passamos
ent˜ao a discutir qual a influˆencia dos efeitos de mat´eria sobre o padr˜ao de oscila¸c˜ao dos
neutrinos atmosf´ericos, e generalizamos o formalismo para trˆes sabores de neutrinos. Neste
ponto obtemos uma solu¸c˜ao semianal´ıtica para o problema da oscila¸c˜ao em trˆes sabores com
efeitos de mat´eria, atrav´es da diagonaliza¸c˜ao em bloco da hamiltoniana de evolu¸c˜ao deste
sistema. No cap´ıtulo 3 discutimos os resultados que obtivemos com o nosso formalismo.
3
Cap´ıtulo 1
Neutrinos atmosf´ericos
Neutrinos atmosf´ericos s˜ao provenientes das colis˜oes de raios c´osmicos (RC’s) com um n´ucleo
de nitrogˆenio ou oxigˆenio presentes na atmosfera terrestre, dando in´ıcio a uma s´erie de rea¸c˜oes
e decaimentos respons´aveis pela produ¸c˜ao de uma enorme quantidade de part´ıculas. Esta
estrutura ´e conhecida como chuveiro atmosf´erico de part´ıculas. Inicialmente s˜ao produzidos
h´adrons, part´ıculas que se caracterizam por interagirem via for¸ca nuclear forte al´em da
for¸ca nuclear fraca e for¸ca eletromagn´etica, e que na sua maioria s˜ao inst´aveis, tendo p´ıons,
(π
0
, π
±
), como produto final de seus decaimentos. P´ıons carregados apresentam como modo
principal de decaimento a rea¸c˜ao π
±
→ µ
±
+ν
µ
(¯ν
µ
), (99, 98%)[2]. Por sua vez, m´uons decaem
principalmente atrav´es de µ
±
→ e
±
+ ν
e
(¯ν
e
)+ν
µ
(¯ν
µ
), (≈ 100%), e por isso esper-se-ia que o
n´umero de neutrinos muˆonicos, ν
µ
, medidos fosse o dobro do n´umero de neutrinos eletrˆonicos,
ν
e
, medidos. Definimos R como sendo a raz˜ao entre o fluxo de neutrinos muˆonicos, φ(ν
µ
+¯ν
µ
),
eon´umero de neutrinos eletrˆonicos, φ(ν
e
+¯ν
e
), medidos[18], ou seja,
R =
φ
(ν
µ
+¯ν
µ
)
φ
(ν
e
+¯ν
e
)
≈ 2 . (1.1)
Esta quantidade apresenta dependˆencia energ´etica, uma vez que m´uons com energia da
ordem de alguns GeV ou superior podem alcan¸car o solo antes de decair, suprimindo a
produ¸c˜ao de neutrinos eletrˆonicos, e sendo assim, esperamos um aumento em R com o au-
mentodaenergia. NaFig.(1.1)est˜ao representados o pr´oton incidente na atmosfera, os
p´ıons carregados gerados no est´agio final da evolu¸c˜ao da cascata hadrˆonica, e seus decaimen-
4
tos, em m´uons e neutrinos.
Figura 1.1: Representa¸c˜ao de uma poss´ıvel configura¸c˜ao para um chuveiro de RC na atmos-
fera mostrando as principais fases de sua evolu¸c˜ao e o detector SK[1], tendo como fonte o
site http://hep.bu.edu/ superk/atmnu/.
K´aons carregados, K
±
, apresentam massa igual a m
K
∼ 493, 7MeV,que´e aproximada-
mente trˆes vezes maior que a massa de p´ıons carregados, m
π
∼ 139, 4 MeV, o que sugere
que sua produ¸c˜ao ocorra de forma significativa apenas em chuveiros muito energ´eticos, os
quais s˜ao mais raros. Sendo assim, a contribui¸c˜ao dos neutrinos oriundos do modo principal
de decaimento K
±
→ µ
±
+ ν
µ
(¯ν
µ
), (63, 43%) s´oser´a importante para a regi˜ao de maior en-
ergia do espectro dos neutrinos atmosf´ericos. Salientamos que na atmosfera s˜ao produzidos
tanto neutrinos quanto anti-neutrinos, por´em, os detectores de neutrinos atmosf´ericos que
tomamos como referˆencia, tais como o SuperKamiokande (SK)[1], n˜ao s˜ao capazes de distin-
5
guir a carga do l´epton carregado produzido, e sendo assim, n˜ao h´a como distinguirmos entre
neutrinos e anti-neutrinos. Deixamos sempre impl´ıcito quando nos referimos a neutrinos que
tamb´em s˜ao produzidos anti-neutrinos, e ambos s˜ao levados em conta para medidas do fluxo
de neutrinos atmosf´ericos.
Como neutrinos interagem apenas por intera¸c˜ao fraca, seu caminho m´edio de intera¸c˜ao ´e
extremamente grande quando comparado com o diˆametro terrestre para as energias t´ıpicas
com as quais estes s˜ao produzidos na atmosfera terrestre, da ordem de GeV. Isso se deve ao
fato de que a baixas energias, a se¸c˜ao de choque neutrino-n´ucleon, σ
ν−N
,´e extremamente
baixa, [30]
σ
ν−N
≈ 10
−42
cm
2
. (1.2)
Isso implica em uma probabilidade muito pequena de ocorrˆencia da chamada rea¸c˜ao de
decaimento beta inverso,
ν
l
(¯ν
l
)+p → n + l (
¯
l) , (1.3)
onde l refere-se a um l´epton carregado e ν
l
ao neutrino associado a este l´epton. Esta ´e
araz˜ao pela qual detectores de neutrinos atmosf´ericos que funcionem atrav´es desse pro-
cesso, tais como o SuperKamiokande, SK, [1], precisam ser extremamente grandes, contendo
toneladas de ´agua, uma vez que esta se¸c˜ao de choque t˜ao baixa deve ser compensada por um
n´umero muito grande de n´ucleons no detector, para que haja uma boa estat´ıstica de eventos
observados.
Outra conseq¨uˆencia da reduzida se¸c˜ao de choque neutrino-n´ucleon ´eofatodequeos
neutrinos atmosf´ericos podem com facilidade cruzar a Terra toda sem que se dˆearea¸c˜ao
descrita pela Eq.(1.3). Sendo assim, um detector tal como o SK ´esens´ıvel n˜ao apenas
aos neutrinos produzidos em regi˜oes atmosf´ericas acima deste, mas a todos os neutrinos
produzidos na atmosfera terrestre na dire¸c˜ao de SK, conforme ilustrado na Fig. (1.2).
Como os neutrinos que s˜ao produzidos diretamente acima do detector se propagam verti-
calmente para baixo at´e atingirem-no, estes s˜ao chamados down-going neutrinos,damesma
6
Figura 1.2: Figura retirada do site http://www.pheno.info/hottopics/neutrinoshavemass/,
a qual representa neutrinos produzidos em toda a atmosfera atingindo SK[1].
forma que os neutrinos que s˜ao produzidos em uma regi˜ao diametralmente oposta ao detector
e atravessam toda a Terra antes de o atingirem, apresentam trajet´oria verticalmente para
cima quando vistos do mesmo, e por isso s˜ao chamados de up-going neutrinos. Definimos
oˆangulo zenital, θ
z
,comooˆangulo em rela¸c˜ao `adire¸c˜ao normal ao detector, e dessa forma
cosθ
z
= 1 corresponde a neutrinos que chegam ao SK com trajet´orias verticalmente para
baixo, e cosθ
z
= −1 corresponde a neutrinos com trajet´orias verticalmente para cima.
Assumimos em nosso trabalho que os neutrinos atmosf´ericos s˜ao todos produzidos a uma
altitude m´edia de 15 km, muito embora saibamos que a regi˜ao atmosf´erica onde ocorre a
maior parte dos decaimentos dos p´ıons e m´uons que produzem estes neutrinos se estenda por
uma faixa de 10 a 30 km de altitude [3]. Em fun¸c˜ao de cosθ
z
,adistˆancia percorrida por um
7
neutrino produzido na atmosfera terrestre at´e atingir SK ´e dada pela Eq. (1.4), cuja solu¸c˜ao
mostramos na Fig. (1.3). Destacamos por ’ATM’ a distˆancia percorrida apenas na atmosfera,
por ’ Terra’ a distˆancia percorrida na Terra e por ’Terra +ATM’ a distˆancia total percorrida.
Esta apresenta como casos limites a distˆancia m´ınima percorrida igual a R
atm
= R
T
+15 km
e R
T
= 6371 ´e o raio da Terra , para neutrinos com θ
z
=0
o
,eadistˆancia m´axima percorrida
como sendo o diˆametro terrestre mais a distˆancia percorrida na atmosfera antes de adentrar
a Terra, 2R
T
+15 km.Tamb´em destacamos na figura a distˆancia percorrida na atmosfera,
aproximadamente 437, 4 km, para o caso onde o neutrino incide a θ
z
=90
o
.Arela¸c˜ao para
adistˆancia percorrida em fun¸c˜ao do ˆangulo zenital escreve-se
d = −R
T
cos(θ
z
) −
R
2
T
cos
2
(θ
z
) − R
2
T
− R
2
atm
. (1.4)
Uma vez que estamos nos referindo `a Terra, faremos agora considera¸c˜oes sobre o perfil de
densidade terrestre, pois embora a probabilidade do decaimento beta inverso seja pequena,
esse n˜ao ´eo´unico efeito ao qual o neutrino pode estar sujeito ao cruzar a Terra. Quando
descrevemos a onda associada ao neutrino se propagando desde o ponto de produ¸c˜ao do
neutrino at´e o detector, devemos levar em considera¸c˜ao os efeitos de refra¸c˜ao devidos `a
varia¸c˜oes na densidade eletrˆonica no meio no qual o neutrino se propaga. Estes efeitos s˜ao
diretamente dependentes da densidade eletrˆonicadomeioemquest˜ao e portanto ´e necess´ario
que conhe¸camos o perfil de densidade eletrˆonica terrestre. O perfil de densidade de mat´eria
terrestre foi obtido por [4] atrav´es da an´alise da propaga¸c˜ao de ondas s´ısmicas e pode ser
visto na Fig. (1.4). A partir deste ponto, pode-se obter uma express˜ao anal´ıticaparaoperfil
de densidade eletrˆonica [5] sentido pelo neutrino ao atravessar a Terra.
Exceto para o caso em que cosθ
z
= −1, neutrinos ao atravessarem a Terra percorrem
uma corda diferente de um diˆametro exato. Essa diferen¸ca altera de forma significativa
o perfil de densidade sentida pelo neutrino ao longo de seu deslocamento pelo interior da
Terra. Na Fig. (1.5) mostramos o perfil de densidade eletrˆonica, ρ
e
=
N
e
N
e
+N
N
ρ = Y
e
ρ,sentido
pelo neutrino eletrˆonico, ν
e
, ao cruzar a Terra para diferentes valores do ˆangulo azimutal,
θ
z
em fun¸c˜ao da densidade de mat´eria ρ, e da distˆancia percorrida L.AquiN
e
e N
N
s˜ao
respectivamente o n´umero de el´etronseden´ucleons presentes no meio.
8
Figura 1.3: Distˆancia percorrida pelo neutrino produzido na atmosfera terrestre at´eatingir
o experimento SK em fun¸c˜ao de θ
z
.
Obtivemos este perfil utilizando os resultados de [4] para a parametriza¸c˜ao da densidade
terrestre. Para valores grandes de θ
z
,pr´oximos a 180
o
, o neutrino percorre uma distˆancia
relativamente grande cruzando regi˜oes com alta densidade. Por outro lado, para valores de θ
z
pr´oximos a 90
o
, correspondendo a neutrinos que incidam quase tangencialmente, a distˆancia
percorrida ´e pequena e o neutrino atravessa apenas a regi˜ao de menor densidade. Sendo
assim, esperamos que qualquer efeito vindo da intera¸c˜ao do neutrino com o meio material
seja sentido de forma mais intensa para neutrinos que cruzarem o centro da Terra.
1.1 O fluxo de neutrinos atmosf´ericos
O fluxo de neutrinos atmosf´ericos pode ser obtido atrav´es de uma convolu¸c˜ao do fluxo de
RC’s prim´arios com uma produ¸c˜ao de Y neutrinos por prim´ario, levando em conta que, como
segue ainda nesse cap´ıtulo, para alcan¸car a atmosfera e interagir, os RC’s prim´arios devem
cruzar o campo magn´etico terrestre [?]. Nesse sentido, podemos escrever o fluxo de neutrinos
9
do tipo iφ
i
atrav´es de
φ
i
= φ
p
⊗ R
p
⊗ Y
p→ν
i
+
A
φ
A
⊗ R
A
⊗ Y
A→ν
i
, (1.5)
Figura 1.4: Perfil de densidade terrestre, ρ dada em g/cm
3
, em fun¸c˜ao da distˆancia radial ao
centro da Terra, d0. Com rela¸c˜ao `avaria¸c˜ao de densidade, podemos identificar a priori trˆes
regi˜oes principais, 0 <d0 < 1000 km, 1000km<d0 < 3500 km, e 3500 <d0 < 6731 km,
sendo que na transi¸c˜ao entre elas ocorrem as maiores descontinuidades no perfil de densidade.
onde φ
p
(φ
A
)´e o fluxo de pr´otons (n´ucleons) prim´arios e R
p
(R
A
) representa a barreira im-
posta pelo campo geomagn´etico aos pr´otons (n´ucleos atˆomicos) prim´arios respectivamente.
Y
p→ν
i
(Y
A→ν
i
)representaon´umero de neutrinos produzidos em chuveiro iniciado por um
pr´oton (n´ucleo) prim´ario. Sendo assim, o fluxo de neutrinos atmosf´ericos depende direta-
mentedofluxodeRC’sprim´arios. A seguir, ressaltamos algumas caracter´ısticas interessantes
do fluxo de prim´arios que s˜ao transmitidas ao fluxo de neutrinos atmosf´ericos.
10
Figura 1.5: Perfil de densidade eletrˆonica ρ
e
sentida pelo neutrino eletrˆonico ao atravessar as
diferentes regi˜oes do interior terrestre, em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida L, para diferentes
valores de θ
z
.
1.2 Caracter´ısticas do fluxo e RC’s prim´arios
Os resultados experimentais mais recentes de [6] para o fluxo de RC’s prim´arios confirmam
queestefluxo´e dependente de diversos fatores, tais como ˆangulo de incidˆencia, fase do ciclo
solar, e, principalmente, da energia do raio c´osmico prim´ario. Segundo [3], para energias
inferiores a 100 GeV, este fluxo pode ser ajustado atrav´es da Eq. (1.6)
φ(E
k
)=K ×
E
k
+ bexp[−c
E
k
]
−α
, (1.6)
onde α , K, b, c s˜ao parˆametrosdeajusteeE
k
´e a energia do RC prim´ario. Especificamente
falando, α ´eoparˆametro que informa a dependˆencia energ´eticadaredu¸c˜ao no fluxo de RC’s.
11
Dos experimentos [6] sabemos que a dependˆencia energ´etica da Eq.(1.6) pode ser ajustada
aos dados de RC’s fazendo α ≈ 2paraenergiasdeat´e 100 GeV. Contudo o fluxo de neutrinos
atmosf´ericos n˜ao obedece esta rela¸c˜ao com a energia. Em analogia `a Eq.(1.6), a dependˆencia
energ´etica do fluxo de neutrinos atmosf´ericos pode ser modelada fazendo α ≈ 3.5. Ou seja,
o fluxo de neutrinos cai mais rapidamente com a energia do que o fluxo de raios c´osmicos
prim´arios que o originou, sendo estatisticamente significativo at´e energias em torno de 10
GeV. O fluxo de neutrinos est´a centrado em valores de energia bem menores, da ordem de
1 GeV. Uma raz˜ao para isso ´e que, para energias elevadas, m´uons alcan¸cam o solo antes de
decair.
Tamb´em ´e importante salientar os efeitos do ciclo de atividade solar sobre o fluxo de
raios c´osmicos prim´arios de baixas energias, tipicamente da ordem de 10 GeV, e, conseq¨uen-
temente, sobre o fluxo de neutrinos a baixas energias. Tanto a emiss˜ao luminosa como a
emiss˜ao das part´ıculas alfa obedecem a este ciclo de atividade, o qual apresenta um per´ıodo
de aproximadamente onze anos. Estas ´ultimas constituem o vento solar, e, ao interagirem
com o campo magn´etico terrestre, podem ficar presas nos chamados cintur˜oes de Van-Hallen,
funcionando como uma blindagem que impede que raios c´osmicos atinjam a atmosfera, mod-
ulando dessa forma o fluxo de neutrinos.
Outra assimetria no fluxo de neutrinos ´edevida`aintera¸c˜ao do campo magn´etico terrestre
com os raios c´osmicos prim´arios, pois o campo magn´etico terrestre atua sobre o fluxo de RC’s
prim´arios mesmo antes destes atingirem a atmosfera. Dessa forma o campo magn´etico da
Terra acaba funcionando como um filtro, impedindo que RC’s com baixa energia atinjam a
atmosfera. Al´em disso, apenas aquelas part´ıculas que interagem com a atmosfera antes de
ter sua trajet´oria curvada de volta para o espa¸co podem contribuir para o fluxo de neutrinos
atmosf´ericos [6].
1.3 Simula¸c˜ao do fluxo de neutrinos atmosf´ericos
O fluxo de neutrinos atmosf´ericos apresenta forte dependˆencia na energia do neutrino, E
ν
enoˆangulo zenital, θ
z
. Mesmo hoje, modelar exatamente qual ´e o fluxo de neutrinos
12
atmosf´ericos ainda ´e um problema em aberto, muito embora grandes progressos tenham sido
obtidos atrav´es de simula¸c˜oes computacionais [3], as quais recentemente experimentaram
avan¸cos significativos na busca da descri¸c˜ao dos dados experimentais quando passaram a
tratar a colis˜ao tridimensionalmente. O fluxo de neutrinos obtido atrav´es de simula¸c˜oes em
trˆes dimens˜oes difere do fluxo obtido em uma dimens˜ao principalmente para baixas energias
epr´oximo `a linha do horizonte.
Em uma dimens˜ao, a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao de m´uons ´e considerada a mesma da dire¸c˜ao
de propaga¸c˜ao dos p´ıons que lhes deram origem. J´aemtrˆes dimens˜oes este v´ınculo n˜ao
precisa ser levado em conta, o que possibilita melhoras na descri¸c˜ao dos resultados. Como
os p´ıons produzidos na atmosfera s˜ao os produtos do decaimento dos h´adrons produzidos na
colis˜ao do RC prim´ario, os fluxos de neutrinos atmosf´ericos apresentam forte dependˆencia
com a evolu¸c˜ao dinˆamicadacascatahadrˆonica.
Na Fig . (1.6) est˜ao os resultados de [3] para o perfil do fluxo zenital tanto para neutri-
nos como para antineutrinos eletrˆonicos e muˆonicos. As linhas cheias s´olidas referem-se a
simula¸c˜oes em trˆes dimens˜oes, pontos referem-se a simula¸c˜oes em uma dimens˜ao, e as linhas
s´olidas finas levam em conta o campo magn´etico terrestre, modelado na forma de um dipolo.
Os fatores multiplicativos foram inseridos unicamente para afastar as curvas umas das outras
e´efeitaumam´edia na componente azimutal. Na nota¸c˜ao que foi usada na figura, θ refere-se
ao ˆangulo zenital ao qual estamos nos referindo por θ
z
. Podemos verificar a dependˆencia do
fluxo de neutrinos atmosf´ericos com rela¸c˜ao a θ
z
. Ocorre um aumento no fluxo para valores
de |cosθ
z
| pr´oximos a zero. Este aumento depende fortemente da energia, sendo que, para
ocasodaregi˜ao de multi-GeV, a qual ´e caracterizada por neutrinos com energia E
ν
> 1.3
GeV, se d´a uma grande intensifica¸c˜ao do fluxo.
1.4 O problema dos neutrinos atmosf´ericos
Neutrinos atmosf´ericos foram detectados pela primeira vez na d´ecada de 60 em experimentos
subterrˆaneos, conhecidos na literatura como underground experiments [7]. Nas d´ecadas de
70 e 80 foram propostos experimentos para medir o decaimento do pr´oton, por exemplo pela
13
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ν
e
ν
e
ν
e
ν
e
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ν
e
ν
e
(m
−2
sec
−1
sr
−1
)
−Flux
νIntegrated
(m
−2
sec
−1
sr
−1
)
−Flux
νIntegrated
(m
−2
sec
−1
sr
−1
)
−Flux
νIntegrated
x 2
.32 −− 1 GeV.1 −− .32 GeV
1 −− 3.2 GeV
x 15
x 5
x 3
x 1.2
x 1.5
x 2
x 4
θθθ
coscoscos
100
50
20
−1.0 −0.6 0.2 0.6 1.0
10
3
10
4
−0.2 −1.0 −0.6 0.2 0.6 1.0
10
2
10
3
−1.0 −0.6 −0.2 0.2 0.6 1.0−0.2
Figura 1.6: Resultados das simula¸c˜oes computacionais de Honda et al. (2004) [3], para o
perfil zenital do fluxo de neutrinos atmosf´ericos para os diferentes sabores de neutrinos, para
trˆes intervalos de energia, da esquerda para a direita, 0, 1GeV<E
ν
< 0, 32 GeV, 0.32 GeV
<E
ν
< 1GeV,e1GeV<E
ν
< 3, 2GeV,duranteoper´ıodo de m´axima atividade solar.
14
rea¸c˜ao p → π
0
+ e
+
+¯ν
e
. Nestes experimentos os neutrinos atmosf´ericos atuariam em
princ´ıpio como ru´ıdo, ou seja, eram detectados mas seu sinal n˜ao era o desejado pois poderia
em princ´ıpio ser confundido com o sinal do decaimento do pr´oton. Foi proposto por Ayres
et al. [8], usar estes experimentos para tentar medir os efeitos da oscila¸c˜ao de neutrinos
atmosf´ericos. Dedicamos os pr´oximos cap´ıtulos ao estudo deste fenˆomeno, bem como aos
aspectos fenomenol´ogicos com ele relacionados.
A contribui¸c˜ao mais relevante para as medidas da oscila¸c˜ao de sabores de neutrinos at-
mosf´ericos foi obtida atrav´es de detectores que usavam o efeito Cherenkov, que ´e a emiss˜ao
de radia¸c˜ao por uma part´ıcula carregada quando esta se propaga por um meio material
com velocidade superior `a velocidade da luz naquele meio, ou seja, quando el´etrons ou
m´uonsprovenientes de rea¸c˜oes do tipo conhecido como decaimento beta-inverso, ¯ν
l
+ p → n +
¯
l,
onde l = e
−
,µ
−
, cruzam o meio material (´agua) no interior do detector com yais veloci-
dades, s˜ao produzidos f´otons da radia¸c˜ao Cherenkov, os quais s˜ao detectados por c´elulas
fotomultiplicadoras que amplificam este sinal. A distin¸c˜ao entre el´etrons e m´uons ´efeita
atrav´es do tra¸co de Cherenkov deixado no detector, pois devido a sua maior massa, m´uons
deixam como sinal de sua passagem um cone mais alongado que o sinal dos el´etrons, j´aque
estes s˜ao absorvidos pelo meio com mais facilidade, como conseq¨encia, o anel de Cherenkov
para el´etrons ´e mais difuso.
Os resultados de dois detectores de Cherenkov, IMB [9] e Kamiokande [10], apontaram
uma raz˜ao
R
data
R
MC
, onde R =
N
µ
N
e
menor do que a esperada. O sub-´ındice data refere-se aos
dados obtidos experimentalmente, enquanto que MC refere-se `asimula¸c˜ao de Monte Carlo
para os mesmos. Este d´eficit no n´umero de neutrinos medidos ficou conhecido como anomalia
do neutrino atmosf´erico. O experimento Kamiokande, [10], apontou um d´eficit de 0.6para
araz˜ao
R
data
R
MC
, tanto para as regi˜oes de Sub-GeV, nas quais a energia do l´epton carregado
produzido na rea¸c˜ao ´e E
l
< 1, 3 GeV, como para Multi-GeV, onde a energia do l´epton
carregado ´e E
l
> 1, 3 GeV, bem como uma dependˆencia zenital do d´eficit para a regi˜ao de
Multi-GeV. Esta observa¸c˜ao j´a indicava que a redu¸c˜ao no n´umero de eventos era maior para
neutrinos que atravessaram a Terra toda antes de chegar ao detector, ou seja, cosθ
z
= −1,
o que significa que a redu¸c˜ao aumenta com a distˆancia percorrida entre a produ¸c˜ao e a
15
dete¸c˜ao do neutrino. Lembramos que em detectores de radia¸c˜ao Cherencov ´e detectado o
l´epton carregado produzido no detector, o que significa que a energia medida ´eadol´epton
carregado e n˜ao a do neutrino que o originou.
1.5 Resultados de SuperKamiokande
O detector SuperKamiokande [1], aumentou em muito a estat´ıstica e a precis˜ao dos dados
referentes `a anomalia no fluxo de neutrinos atmosf´ericos. O detector consiste de 50000
toneladas de ´agua rodeadas por c´elulas fotomultiplicadoras que captam a luz Cherenkov e
est´a localizado em uma mina subterrˆanea no Monte Ikenohama, no Jap˜ao. Sabemos que o
sinal de m´uons vindos diretamente de raios c´osmicos pode, a princ´ıpio, ser confundido com o
sinal de um el´etron ou m´uon produzido pela intera¸c˜ao de um neutrino com o detector. Sendo
assim, a constru¸c˜ao de SK em uma mina subterrˆanea sob uma montanha ´e proposital pois
a rocha da montanha oferece uma blindagem para estes m´uons vindos diretamente de RC’s
e portanto permite a medi¸c˜ao do fluxo de down-neutrinos. Ainda assim, os vetos impostos
para eliminar estes ru´ıdos descartam a regi˜ao mais externa do detector, restando ap´os estes
vetos um volume efetivo usado para a an´alise de neutrinos atmosf´ericos de 22500 toneladas
de ´agua.
Estes cortes s˜ao necess´arios pois desejamos ter certeza de que o l´epton carregado detec-
tado prov´em da intera¸c˜ao de um neutrino no interior do detector. Na realidade, para se
obter informa¸c˜oes precisas a respeito da energia e do ˆangulo do l´epton carregado produzido,
´e necess´ario que todo o cone de Cherenkov esteja contido no interior do detector. Deve-
mos ressaltar que SK ´e incapaz de distinguir entre neutrinos e anti-neutrinos, e desse modo,
quando dizemos que SK registrou um evento do tipo eletrˆonico, estamos dizendo que no in-
terior do detector foi registrada a forma¸c˜ao de um l´epton carregado com a massa eletrˆonica,
mas n˜ao sabemos se ´eumel´etron ou um p´ositron, e sendo assim, n˜ao podemos afirmar se este
sinal ´e proveniente de um neutrino ou de um anti-neutrino. O mesmo vale para neutrinos e
anti-neutrinos muˆonicos.
A contribui¸c˜ao de SK na medida do n´umero de eventos de neutrinos atmosf´ericos ´e
16
mostrada na Fig. (1.7). Existe uma quantidade muito grande de informa¸c˜ao nestes re-
sultados. Nos pr´oximos par´agrafos destacamos os aspectos que acreditamos s˜ao os mais
importantes para a realiza¸c˜ao do nosso trabalho.
Em primeiro lugar, chamamos a aten¸c˜ao para a segunda coluna da Fig. (1.7), na qual ´e
mostrado o n´umero de eventos (pontos) do tipo neutrino muˆonico medidos para diferentes
intervalos de energia, juntamente com as previs˜oes te´oricas com e sem levar em conta os
efeitos da oscila¸c˜ao de sabores, (linha s´olida e caixinhas, respectivamente). Comparando o
n´umero de eventos medidos com a previs˜ao sem efeitos de oscila¸c˜ao observamos uma redu¸c˜ao
no n´umero de eventos medidos, a qual depende tanto da dire¸c˜ao zenital, quanto da energia do
neutrino. Sobre a dependˆencia zenital, observamos que a redu¸c˜ao se intensifica para valores
de cosθ
z
≈−1 , ou seja, a redu¸c˜ao aumenta com a distˆancia percorrida. A diferen¸ca entre o
n´umero de eventos para cosθ
z
=1ecosθ
z
= −1´e conhecida como assimetria up-down para
neutrinos atmosf´ericos.
J´asobreadependˆencia energ´etica, verificamos que a redu¸c˜ao no n´umero de neutrinos
muˆonicos medidos aumenta com a energia, chegando a ser da ordem de 50% para a regi˜ao
de multi-GeV, a qual ´e definida para energias superiores a 1, 3 GeV. Sendo maior a energia
do l´epton carregado, a regi˜ao cinem´atica permitida para a sua dire¸c˜ao ´e significativamente
maior, e sendo assim, o efeito se torna mais evidente com o aumento da energia. O fato
da redu¸c˜ao no n´umero de neutrinos medidos apresentar dependˆencia tanto zenital quanto
energ´etica exclui a possibilidade de que se trate de um problema de normaliza¸c˜ao dos dados
e favorece a id´eia de que neutrinos muˆonicos estejam desaparecendo.
Em primeira ordem, o problema do neutrino atmosf´erico pode ser solucionado pelo for-
malismo de oscila¸c˜ao de sabores de neutrinos induzida por massa, o qual ´e descrito no
cap´ıtulo 3. Levando em conta as considera¸c˜oes anteriores, podemos descrever os resultados
de SK em termos da oscila¸c˜ao ν
µ
→ ν
τ
dada por,
P
µ→τ
(L, E
ν
)=|<ν
τ
|ν
µ
(L) >|
2
= sen
2
(2θ
atm
)sen
2
∆m
2
atm
4E
L
, (1.7)
onde ∆m
2
´e a diferen¸ca entre o quadrado dos autovalores de massa envolvidos no prob-
lema dos neutrinos atmosf´ericos, e θ ´eoˆangulo de mistura entre estes autoestados. Estes
17
parˆametros tˆem seus valores ajustados de modo a reproduzir os dados. Os efeitos de oscila¸c˜ao
levam `a linha s´olida na Fig. (1.7). Observamos que esta descreve de maneira satisfat´oria o
n´umero de neutrinos muˆonicos medidos. Para tal, o espa¸co de parˆametros permitidos por
SuperKamiokande ´e mostrado na Fig. (1.8), juntamente com as regi˜oes permitidas por outros
experimentos, Kamiokande [10], Soudan [11] e MACRO [12]. Al´em de impor limites mais
precisos para os parˆametros da oscila¸c˜ao de neutrinos atmosf´ericos, SK tamb´em reduziu o
valor de ∆m
2
atm
referente ao ponto de melhor ajuste de forma significativa, quando com-
parado com experimentos, tais como Kamiokande [10], Soudan [11], e MACRO [12]. Desta
regi˜ao podemos afirmar com n´ıvel de confian¸ca, NC, de 99%, que o espa¸co de parˆametros
permitidos na Fig .(1.8) ´e,
1, 310
−3
<
∆m
2
atm
eV
2
< 310
−3
,sen
2
(2θ
atm
) > 0, 89 , (1.8)
e para N.C.=90% o espa¸co de parˆametros passa a ser,
0, 910
−3
<
∆m
2
atm
eV
2
< 2, 210
−3
,sen
2
(2θ
atm
) > 0, 925 , (1.9)
e o ponto de melhor ajuste para os dados de SK [1] para neutrino atmosf´erico se d´apara
∆m
2
atm
≈ 310
−3
eV
2
,sen
2
(2θ
atm
)=1 . (1.10)
Aqui faremos um parˆentese para introduzir as outras diferen¸casdemassaseˆangulos de
mistura de neutrinos, parametrizados atrav´es de experimentos de neutrinos solares como,
SNO[13], aceleradores de part´ıculas [14], e reatores nucleares, como [15]. Experimentos de
neutrinos solares fornecem a regi˜ao de parˆametros permitida para N.C.=90% dada por
510
−5
<
∆m
2
eV
2
< 810
−5
, 0.2 <tan
2
(2θ
) < 0, 5 , (1.11)
e o ponto de melhor ajuste,
∆m
2
≈ 810
−5
eV
2
,tan
2
(2θ
)=0, 4 . (1.12)
18
Ainda, experimentos de reatores nucleares e aceleradores de part´ıculas [15] estabelecem
limites para θ
13
,por´em bem menos precisos que para θ
e θ
atm
. Tudo o que sabemos at´e
agora sobre θ
13
´eque,
sen
2
(2θ
13
) < 0, 1 . (1.13)
Resumindo os dados fenomenol´ogicos, podemos afirmar que
∆m
2
<< ∆m
2
atm
,sen
2
θ
13
<< sen
2
θ
, e sen
2
θ
13
<< sen
2
θ
atm
. (1.14)
Voltando ao problema do neutrino atmosf´erico, vamos olhar para as conseq¨uˆencias da
regi˜ao permitida apresentar um valor m´ınimo e um valor m´aximo. Devido ao fato do
parˆametro ∆m
2
atm
estar no numerador do argumento de uma fun¸c˜ao seno, a imposi¸c˜ao ex-
perimental de um limite inferior para ∆m
2
atm
significa que ´e necess´ario um efeito m´ınimo
diferente de zero devido ao mecanismo de oscila¸c˜ao para se descrever os dados no intervalo
de energia dos neutrinos atmosf´ericos. Ainda, este limite inferior para ∆m
2
atm
, quando inter-
pretado `a luz do modelo de oscila¸c˜ao de sabores, (veja o cap´ıtulo 3), implica que pelo menos
um dos autoestados de massa do neutrino possui autovalor diferente de zero, contribuindo
para a confirma¸c˜ao experimental da existˆencia da massa dos neutrinos.
Pela mesma raz˜ao que no caso anterior, se ∆m
2
atm
apresentar valores muito elevados, a
fase de oscila¸c˜ao tamb´em ser´a alta, o que implica que a oscila¸c˜ao se aproximar´a do valor
m´edio, pois <sen
2
(
∆m
2
4E
L) >=
1
2
. Nesse sentido, a existˆencia de um limite superior para
∆m
2
atm
implica que os efeitos de oscila¸c˜ao, e n˜ao apenas um valor m´edio desta, s˜ao necess´arios
para a descri¸c˜ao dos dados experimentais. Da´ı vemos que os resultados de SuperKamiokande
exigem efeitos devidos `a oscila¸c˜ao de sabores induzida por massa, confirmando dessa forma a
existˆencia da mesma. Citando [3], a descoberta do fenˆomeno de oscila¸c˜ao de neutrinos atrav´es
do estudo dos neutrinos atmosf´ericos ´e um dos mais importantes resultados da pesquisa
recente em f´ısica.
Como segundo ponto destacamos que, embora o modelo de oscila¸c˜ao de sabores em
duas gera¸c˜oes de neutrinos descreva de maneira muito satisfat´oria os dados referentes a
19
neutrinos muˆonicos, o mesmo sucesso na descri¸c˜ao do n´umero de neutrinos medidos n˜ao
ocorre para neutrinos eletrˆonicos. Est´aexpl´ıcito na Fig. (1.7) um excesso no n´umero de
neutrinos eletrˆonicos medidos para a regi˜ao de mais baixas energias e depende fortemente
do ˆangulo zenital, se intensificando para cosθ
z
→−1. Este excesso rapidamente desaparece
com aumentos na energia, ou em cosθ
z
, e caracteriza, de certa forma, uma assimetria up-
down para neutrinos eletrˆonicos. Como os dados j´a foram normalizados com o intuito de
descrever o fluxo de neutrinos muˆonicos, este excesso tamb´em n˜ao pode ser eliminado por
uma renormaliza¸c˜ao, j´a que esta colocaria em discordˆancia os dados para neutrinos muˆonicos
easprevis˜oes do modelo de oscila¸c˜ao de sabores. Temos por motiva¸c˜ao principal de nosso
trabalho a descri¸c˜ao deste excesso no n´umero de neutrinos eletrˆonicos medidos para baixas
energias.
20
Figura 1.7: Os resultados de SuperKamiokande [20] (pontos) para o n´umero de eventos de
neutrinos atmosf´ericos em fun¸c˜ao do cosseno do ˆangulo zenital, para, da esquerda para a
direita, neutrinos eletrˆonicos, e eventos de neutrinos muˆonicos e neutrinos muˆonicos detec-
tados por ’multi-ring’ de cima para baixo, P<400 MeV, 400 MeV <P<1, 3GeV,e
P>1, 3 GeV, onde P ´e o momentum do l´epton carregado produzido. Em todos os gr´aficos,
os resultados de SK s˜ao comparados com a previs˜ao te´orica, com e sem oscila¸c˜ao de sabores,
linha cheia e caixinhas, respectivamente.
21
Figura 1.8:
`
A esquerda ´e mostrado o espa¸co de parˆametros, ∆m
2
atm
e sen
2
2θ
atm
,permitidos
por SK [20] obtidos da oscila¸c˜ao ν
µ
↔ ν
τ
.
22
Cap´ıtulo 2
Oscila¸c˜ao de sabores induzida por
massa
Part´ıculas sub-atˆomicas se comportam de uma maneira quando est˜ao sozinhas
e de outra maneira diferente quando estamos olhando para elas, assim como as
pessoas. L.F. Ver´ıssimo.
2.1 Oscila¸c˜ao no v´acuo
Iniciaremos nossa discuss˜ao sobre oscila¸c˜ao de sabores pelo caso mais simples, que se
refere a quando o neutrino se propaga em um meio material com densidade t˜ao baixa que
podemos descrever sua propaga¸c˜ao sem levar em conta nenhum tipo de efeito de intera¸c˜ao do
neutrino com a mat´eria, ou seja, tudo acontece como se o neutrino estivesse no v´acuo. Esta
simplifica¸c˜ao ´e aplicada com sucesso para neutrinos se propagando pela atmosfera terrestre
e para neutrinos que deixam o Sol e viajam at´e a Terra, por exemplo.
Dada a base de autoestados de massa {|ν
i
>: ν
1
,ν
2
,ν
3
} que diagonaliza a Hamiltoniana
H de massas para os neutrinos, a evolu¸c˜ao temporal destes autoestados pode ser expressa
por uma equa¸c˜ao `alaSchr¨odinger
∗
∗
No limite relativ´ıstico, a evolu¸c˜ao do neutrino deve obedecer a equa¸c˜ao de Dirac. Contudo, esta pode
ser reduzida a uma equa¸c˜ao `alaSchr¨odinger sem que o corram perdas significativas.
23
H|ν
i
>= E
i
|ν
i
>, (2.1)
onde E
i
´e o autovalor de energia para o autoestado i.Nestabaseaevolu¸c˜ao dos autoestados
de um operador que n˜ao comuta com a hamiltoniana de massas, tais como os autoestados
da hamiltoniana da intera¸c˜ao fraca, ou seja, os autoestados de sabor, {|ν
α
>: ν
e
,ν
µ
,ν
τ
}
associados aos l´eptons carregados e, µ,eτ respectivamente, devem ser descritos como uma
combina¸c˜ao linear (mistura) dos autoestados de massa, tal que,
|ν
α
>=
3
i=1
U
∗
αi
|ν
i
>. (2.2)
Sendo assim, a propaga¸c˜ao de um autoestado de sabor pode ser entendida como a
propaga¸c˜ao de uma combina¸c˜ao linear de autoestados de massas. Assumindo agora que
os neutrinos tenham massa e que o espectro de autoestados de massa seja n˜ao degenerado,
autoestados de massa diferente se propagar˜ao com velocidades de fase diferentes, o que causa
ainterferˆencia entre as fun¸c˜oes de onda associadas aos diferentes autoestados de massa que
formam o autoestado de sabor. Esta interferˆencia ´e capaz de alterar a combina¸c˜ao dos au-
toestados de massa, fazendo com que a probabilidade de medirmos um autoestado de sabor
β ortonormal ao estado α na base de sabor seja n˜ao nula. Este efeito ´e conhecido como
oscila¸c˜ao de sabores de n eutrinos, e o modelo que o descreve foi proposto para o setor de
neutrinos por Bruno Pontecorvo em 1957 [19], baseando-se no setor de K´aons [22].
Na Eq .(2.2), U ´e a matriz de mistura para o setor de neutrinos introduzida por Maki,
Nakagawa e Sakata em 1962 [21] para trˆes gera¸c˜oes. A parametriza¸c˜ao mais aceita ´e a ado-
tada pelo Particle Data Group [2], obtida atrav´es de rota¸c˜oes consecutivas, U = U
23
U
13
U
12
,
ou explicitamente,
U =
10 0
0 c
23
s
23
0 −s
23
c
23
c
13
0 s
13
e
−iφ
010
s
13
e
−iφ
0 c
13
c
12
s
12
0
−s
12
c
12
0
001
. (2.3)
24
Aqui θ
12
´eoˆangulo de mistura entre os autoestados de massa 1 e 2 c
12
= cosθ
12
,
s
12
= senθ
12
, θ
13
´eoˆangulo de mistura entre os autoestados de massa 1 e 3, c
13
= cosθ
13
,
s
13
= senθ
13
,2,eθ
23
´eoˆangulo de mistura entre os autoestados de massa 2 e 3, c
23
= cosθ
23
,
s
23
= senθ
23
, totalizando trˆes ˆangulos de mistura e uma fase. Da esquerda para a direita,
a primeira matriz refere-se `a oscila¸c˜aoν
µ
↔ ν
τ
, a segunda `a oscila¸c˜aoν
e
↔ ν
τ
e a terceira
`a ν
e
↔ ν
µ
. Ainda, a fase φ ´erespons´avel pela viola¸c˜ao CP para o setor leptˆonico, e para
facilitar os c´alculos, ser´a assumida como zero.
Para obter a evolu¸c˜aotemporal de ν
α
,nov´acuo, aplicamos a equa¸c˜ao de Schr¨odinger ao
autoestado ν
i
H|ν
i
,t
0
; t
i
>= i
d
dt
|ν
i
,t
0
>. (2.4)
Estamos descrevendo autoestados no v´acuo, e sendo assim o Hamiltoniano n˜ao cont´em
nenhum termo associado `a energia potencial, apenas termos referentes `aenergiacin´etica. A
solu¸c˜ao da Eq .(2.4) ´e,
|ν
i
,t
0
; t
i
>= e
−i(E
i
t−p
i
L)
|ν
i
,t
0
>, (2.5)
onde E e L s˜ao os autovalores dos operadores de evolu¸c˜ao temporal e transla¸c˜ao espacial
respectivamente dados por,
e
−iHt
e
ipL
, (2.6)
pois como os neutrinos s˜ao part´ıculas relativ´ısticas, pode-se aproximar sem maiores preju´ızos
que a distˆancia percorrida L pelo tempo de percurso, L ≈ t(c = 1). Dessa forma podemos
escrever,
|ν
i
,L>= e
−i(E
i
−p
i
)L
|ν
i
>. (2.7)
Mas para part´ıculas relativ´ısticas
25
E
i
=
p
2
i
+ m
2
i
= p
i
1+
m
2
i
p
2
i
≈ p
i
+
m
2
i
2p
i
. (2.8)
Sendo E ≈ p aenergiam´edia dos autoestados de massa que comp˜oem o autoestado de sabor.
Sendo assim, podemos escrever,
|ν
i
,L> ≈ e
−i
m
2
i
2p
i
L
|ν
i
> ≈ e
−i
m
2
i
2E
L
|ν
i
>. (2.9)
Dessa forma,
|ν
α
,L>=
3
i=1
U
∗
αi
|ν
i
,L> ≈
n
i=1
U
∗
αi
e
−i
m
2
i
2E
L
|ν
i
>. (2.10)
Substituindo a Eq. (2.2) na Eq. (2.9),
|ν
α
,L> ≈
β
3
i=1
U
∗
αi
e
−i
m
2
i
2E
L
U
βi
|ν
β
>. (2.11)
Usaremos a defini¸c˜ao de [16] da matriz S como sendo a matriz das amplitudes de prob-
abilidade de transi¸c˜ao de um estado de sabor α(L) para outro estado de sabor β,
S
αβ
=<β||α(L) >. (2.12)
Dessa forma, a probabilidade de um dado neutrino de sabor inicial α apresentar sabor β
ap´os ter se propagado por uma distˆancia L ´e dada por,
P
ν
α
→ν
β
≡ P
α→β
= |S
αβ
|
2
= |<ν
β
|ν
α
,L>|
2
=
n
j=1
n
i=1
<ν
j
|U
∗
βj
U
αi
e
i
m
2
i
2E
L
|ν
i
>
2
. (2.13)
Se CP ´e conservada, U ´e Hermitiana, o que implica que os elementos de U devem ser
reais, e dessa forma,
26
P
α→β
=
n
j=k=1
U
2
αk
U
2
βk
+
n
j=k
U
αk
U
βk
U
αj
U
βj
− 2
n
j=k
U
αk
U
βk
U
αj
U
βj
sen
2
∆m
2
jk
4E
L
. (2.14)
Quando ´efeitaaconvers˜ao da massa para eV ¯h =
h
2π
=
6,64.10
−34
J.s
2π
=6, 6.10
−16
eV.s.
Logo, ¯hc =1, 978.10
−7
eV.m , onde ∆m
2
jk
´edadoemeV
2
, L em km e E em GeV, podemos
escrever,
∆m
2
jk
(kg)
4E(J)
L(m)
≈ 1, 27
∆m
2
jk
(eV
2
)L(km)
E(GeV )
, (2.15)
e sendo assim,
P
α→β
=
n
j=k=1
U
2
αk
U
2
βk
+
n
j=k
U
αj
U
βk
U
αk
U
βj
− 2
n
j=k
U
αj
U
βk
U
αk
U
βj
sen
2
1, 27
∆m
2
jk
(eV
2
)L(km)
E(GeV )
. (2.16)
Ou seja, a probabilidade de oscila¸c˜ao de sabor ν
α
→ ν
β
apresenta um comportamento
oscilat´orio. Vamos definir o chamado comprimento de oscila¸c˜ao, como sendo a distˆancia para
que o argumento da oscila¸c˜ao seja igual a 2π,
L
osc
jk
=
2π
ω
=
4πE
∆m
2
jk
(km) (2.17)
Isto reflete o fato de que a oscila¸c˜ao´e induzida pela diferen¸ca de massa, j´aqueseesta
´ultima fosse zero, n˜ao haveria oscila¸c˜ao, pois isto implicaria em L
osci
jk
= ∞.
Usualmente caracteriza-se cada experimento pela distˆancia da fonte ao detector, L,e
pelo espectro de energia do neutrino, E
ν
, e sendo ent˜ao a diferen¸ca quadr´atica de massas
∆m
2
jk
eoˆangulo de mistura entre os autoestados j e k envolvidos, θ
jk
,parˆametros do modelo,
os quais podem ser determinados pelos experimentos.
27
2.1.1 Oscila¸c˜ao de sabores em duas gera¸c˜oes de neutrinos
Como vimos no cap´ıtulo 1, para o caso dos neutrinos atmosf´ericos, os dados obtidos pelos
detectores indicam uma redu¸c˜ao de at´e 50% no fluxo de neutrinos muˆonicos quando com-
parados com a teoria padr˜ao, enquanto que que o fluxo de neutrinos eletrˆonicos permanece
aproximadamente constante. Sendo assim, em primeira aproxima¸c˜ao a oscila¸c˜ao se d´aen-
tre ν
µ
→ ν
τ
. Pode-se ent˜ao descrever o fenˆomeno de oscila¸c˜ao para neutrinos atmosf´ericos
utilizando oscila¸c˜ao em dois sabores, a qual ´e um caso particular mais simples do modelo.
Os autoestados de sabor ν
µ
e ν
τ
s˜ao descritos como combina¸c˜ao linear dos autoestados
de massa ν
2
,ν
3
. Podemos escrever,
ν
µ
ν
τ
=
cosθ senθ
−senθ cosθ
ν
2
ν
3
, (2.18)
onde θ ´eoˆangulo de mistura e a matriz de mistura com dois sabores, U
2×2
pode ser escrita
como
U =
cosθ senθ
−senθ cosθ
. (2.19)
Aplicamos a equa¸c˜aode Schr¨odinger para se obter a evolu¸c˜aotemporal do estado
i
d
dt
ν
µ
ν
τ
= UHU
†
ν
µ
ν
τ
, (2.20)
onde na base de autoestados de massa, o Hamiltoniano ´e diagonal e pode ser escrito em
termos dos seus autovalores de energia, E
i
. Como desejamos aplicar este formalismo de
oscila¸c˜ao em dois sabores ao problema do neutrino atmosf´erico, trataremos da evolu¸c˜ao
temporal dos autoestados de massa 2 e 3,
H =
E
2
0
0 E
3
. (2.21)
28
Desenvolvendo a Eq .(2.20) obtemos,
i
d
dt
ν
µ
ν
τ
= UHU
†
ν
µ
ν
τ
=
cosθ senθ
−senθ cosθ
E
2
0
0 E
3
cosθ −senθ
senθ cosθ
ν
µ
ν
τ
=
E
2
cos
2
θ + E
3
sen
2
θ
1
2
(E
3
− E
2
)sen(2θ)
1
2
(E
3
− E
2
)sen(2θ) E
3
cos
2
θ + E
2
sen
2
θ
ν
µ
ν
τ
. (2.22)
Em um problema de duas esp´ecies de neutrinos ´e´util fazer uso das matrizes de Pauli,
σ
1
e σ
3
, definidas pela Eq .(B.2). Em termos destas matrizes e da matriz identidade I,o
Hamiltoniano pode ser escrito como:
¯
H = UHU
†
=
(E
2
+ E
3
)I
2
+
E
2
− E
3
2
(σ
1
sen2θ − σ
3
cos2θ) (2.23)
Novamente usando L ≈ t,aevolu¸c˜ao temporal de um autoestado de sabor ´e dada, em
termos dos dois sabores que comp˜oem a base, (ν
µ
ν
τ
)
T
= |ν
µ
,ν
τ
>, como,
|ν
µ
; L>= e
−i
¯
HL
|ν
µ
; L =0>= e
(E
2
−E
3
)
2
(σ
1
sen2θ−σ
3
cos2θ)L
|ν
µ
, ; L =0> (2.24)
e,
|ν
τ
; L>= e
−i
¯
Ht
|ν
τ
; L =0>= e
(E
2
−E
3
)
2
(σ
1
sen2θ−σ
3
cos2θ)L
|ν
τ
; L =0> (2.25)
Ou seja, a probabilidade de oscila¸c˜ao pode ser escrita como:
P
µ→τ
(L, E)=|<ν
τ
|ν
µ
(L) >|
2
=
−isen2θsen
∆E
32
2
L
<ν
τ
|ν
µ
>
2
= sen
2
2θsen
2
∆E
32
2
L
, (2.26)
onde ∆E = E
3
− E
2
. Sendo o neutrino uma part´ıcula relativ´ıstica, podemos agora atrav´es
da Eq.(2.8) e assumindo que p
2
≈ E
2
e p
3
≈ E
3
,oup
2
≈ P
3
, escrever a Eq .(2.26) como
29
Figura 2.1: Compara¸c˜ao entre a Eq.(2.27), linha cheia, e os dados de SK, pontos, para o
fluxo de neutrinos muˆonicos retirada da referˆencia [6].
P
µ→τ
(L, E)=sen
2
2θsen
2
∆m
2
32
4E
L
. (2.27)
Que ´eaequa¸c˜ao mostrada na Eq .(1.7).
Lembramos que a Eq.(2.27) foi obtida ao se assumir dois sabores e est´aemboacon-
cordˆancia com os dados experimentais. Esta equa¸c˜ao descreve os efeitos do mecanismo
dominante na oscila¸c˜ao de neutrinos atmosf´ericos, a propaga¸c˜ao de ν
µ
e ν
τ
sem efeitos de
mat´eria. Sendo assim, os efeitos descritos por ela s˜ao devidos apenas `a diferen¸ca quadr´atica
de massas entre os autoestados, `aenergiae`adistˆancia percorrida. Em outras palavras,
atrav´es do mecanismo de oscila¸c˜ao de sabores de neutrinos, podemos interpretar a assime-
tria up-down como sendo devida apenas `a maior distˆancia percorrida pelos neutrinos up, e
nenhum efeito de intera¸c˜ao com a mat´eria ´e necess´ario para descrever os dados de SK refer-
entes a esta assimetria. A Fig. (2.1) mostra o comportamento da Eq .(2.27) em compara¸c˜ao
30
com os dados de neutrinos atmosf´ericos.
Oprimeirom´ınimo da oscila¸c˜ao de neutrinos atmosf´ericos se d´a quando estes percorrem a
distˆancia L ≈ 400 km, o que implica em neutrinos chegando a SK vindos horizontalmente, e
como conseq¨uˆencia, pequenas varia¸c˜oes angulares resultam em grande varia¸c˜ao da distˆancia
percorrida pelos neutrinos. Isto afeta de forma significativa P
µ→τ
, pois a oscila¸c˜aode sabores
depende diretamente distˆancia percorrida.
2.2 Efeitos de mat´eria
Conforme [23], se os neutrinos possuem massa, e as oscila¸c˜oes de sabor ocor-
rem, estas podem ser modificadas quando neutrinos atravessam a mat´eria. Para
ocasodoneutrinoeletrˆonico, estas m odifica¸c˜oesocorremmesmoquandoeste
neutrino for descrito pelo formalismo sem oscila¸c˜ao de sabores, uma vez que
o espalhamento el´astico coerente apresenta forma n˜ao diagonal nos sabores de
neutrino .
Passamos ent˜ao agora a nos preocupar com os efeitos da intera¸c˜ao do neutrino com a
mat´eria contida no interior terrestre. Estes efeitos se d˜ao atrav´es de duas formas diferentes
de espalhamento, coerente e incoerente.
Vamos come¸car pelo espalhamento coerente. Como mostrado pela primeira vez por
Wolfenstein (1978) [23], neutrinos podem sofrer espalhamento el´astico coerente devido `a
intera¸c˜ao fraca, dada tanto atrav´es de corrente neutra, CN, a qual ´emediadaporumb´oson
massivo eletricamente neutro, Z
o
, quanto via corrente carregada, CC, que ´emediadapor
b´osons massivos eletricamente carregados, W
±
, como segue na referˆencia [25], ou vide o
apˆendice A. Ambas as formas de intera¸c˜ao dos neutrinos de sabor com o meio s˜ao mostradas
na Fig .(2.2).
Existe uma assimetria no conte´udo de sabor dos l´eptons carregados que constituem a
mat´eria usual, pois ao contr´ario de el´etrons, n˜ao existem m´uons e taus livres no interior da
Terra. Esta assimetria faz com que apenas o neutrino eletrˆonico possa interagir via corrente
31
carregada com os el´etrons no meio, por´em, todos os sabores de neutrinos podem interagir
via corrente neutra com qualquer constituinte do meio.
W
±
e
ν
e
e
ν
e
Z
0
ν
e,µ,τ
p, n, ep, n, e
ν
e,µ,τ
Figura 2.2: Apenas o ν
e
pode sofrer intera¸c˜ao via CC com os el´etrons do meio, enquanto que
todos, ν
e
, ν
µ
e ν
τ
, podem interagir via CN com todos os constituin tes do meio.
Sobre o espalhamento el´astico coerente, sabemos que este tem por caracter´ıstica preservar
acoerˆencia das ondas incidentes e espalhadas (n˜ao h´aaltera¸c˜ao no momentum da part´ıcula),
e descreve dessa forma todos os fenˆomenos ´oticos, como a refra¸c˜ao. Nesse caso, os estados
inicial e final do meio devem ser obrigatoriamente o mesmo, pois qualquer mudan¸ca em
seus autoestados leva a ondas incoerentes, as quais n˜ao poder˜ao interferir com as ondas n˜ao
espalhadas [28]. Seguiremos agora a estrat´egia adotada na referˆencia [24] para obter o ´ındice
de refra¸c˜ao dos neutrinos atmosf´ericos no interior terrestre. Sabemos que uma onda plana
se propagando em uma dada dire¸c˜ao x em um meio material, apresenta uma dependˆencia
de fase do tipo,
Ψ(x)=Ψ(0)e
inpx
, (2.28)
onde Ψ(0) ´e a onda que descreve o estado inicial do neutrino, e p ´e o momentum associado,
o que significa que varia¸c˜oes no ´ındice de refra¸c˜ao n de um determinado meio em rela¸c˜ao
ao v´acuo implicam em varia¸c˜oes na fase de oscila¸c˜ao do neutrino. Para uma onda que
apresente momentum p no v´acuo (n
v´acuo
= 1), esta apresentar´amomentump
= np em um
meio material, mas dever´a manter sua energia constante. Essa exigˆencia de que a energia
portada pela onda seja a mesma no v´acuo ou em meios materiais implica que a intera¸c˜ao
do neutrino com o meio adiciona uma constante V em sua energia com rela¸c˜ao `a energia no
32
v´acuo:
(E(np)+V )
v´acuo
=(E(p))
meio
. (2.29)
Todososefeitos´oticos aos quais os neutrinos atmosf´ericos est˜ao sujeitos, ou seja, os efeitos
macrosc´opicos do meio, s˜ao descritos pelo espalhamento coerente. Antes de seguir com este
racioc´ınio e obter V atrav´es da teoria de campos, gostar´ıamos de analisar a contribui¸c˜ao do
espalhamento incoerente dos neutrinos atmosf´ericos. Como vimos no cap´ıtulo 1, neutrinos
atmosf´ericos s˜ao basicamente neutrinos eletrˆonicos e muˆonicos cujas energias se concentram
em torno de alguns GeV, fazendo com que a se¸c˜ao de choque destes neutrinos com um n´ucleon
terrestre, σ
ν−N
[30], seja extremamente baixa. Isto implica que os neutrinos atmosf´ericos
devem atravessar uma quantidade muito grande de mat´eria antes de interagir. Calculamos
o livre caminho m´edio de intera¸c˜ao, L
int
, em unidades de densidade equivalente `ada´agua,
ou ”water equivalent” (W.E.) . Esta unidade nada mais ´edoqueadistˆancia percorrida
ponderada pela densidade de mat´eria em unidades de densidade da ´agua, e informa qual
seria a distˆancia necess´aria para que ocorra a intera¸c˜ao dada pela Eq (1.3) caso o neutrino
se propagasse na ´agua. Podemos escrever
L
int
=
i
N
i
σ
i
=2N
n
σ
νn
+ N
e
σ
νe
≈ 10
14
cm W.E. . (2.30)
Ou seja, para interagir com um constituinte do meio, um neutrino com energia pr´oxima a
1 GeV precisa atravessar uma distˆancia de 10
14
cent´ımetros de ´agua. Aqui N
i
´eon´umero
de part´ıculas do tipo i presentes no meio, i = e(el´etrons), n(n´ucelons). Em contra partida,
ponderando pela densidade o diˆametro da Terra em unidades de densidade equivante a da
´agua ´e dado por,
d
T erra
=
2R
Terra
0
ρdl ≈ 10
12
cm W.E. . (2.31)
Logo, o comprimento de intera¸c˜ao dos neutrinos atmosf´ericos ´e da ordem de 100 vezes
maior que o diˆametro terrestre e por isso esperamos que os neutrinos cruzem toda a Terra
sem que ocorra a intera¸c˜ao do tipo beta-inverso com os constituintes do meio. Isto implica
que efeitos microsc´opicos da intera¸c˜ao dos neutrinos atmosf´ericos com o meio podem ser
33
desprezados. Ou seja, devida `abaixase¸c˜ao de choque dos neutrinos atmosf´ericos, pode-
mos desconsiderar efeitos de absor¸c˜ao ou espalhamento incoerente destes neutrinos pelos
constituintes do meio.
Passamos agora ao c´alculo do potencial de mat´eria sentido pelos neutrinos atmosf´ericos
no interior da Terra. Para tal, tomemos o Hamiltoniano de intera¸c˜ao fraca do neutrino
eletrˆoniconov´acuo [25], o qual denotaremos por H
Weak
,ousimplesmenteH
W
,
H
W
(x)=
G
F
√
2
J
(+)µ
(x)J
(−)
µ
(x)+
1
4
J
(N)µ
(x)J
(N)
µ
(x)
, (2.32)
onde J
±µ
(x)s˜ao dadas na Eq. (A.7). A parte leptˆonica de J
N
µ
´e constru´ıda em analogia `a
Eq. (A.40), mas aqui esta deve incluir correntes hadrˆonicas,
J
N
µ
(x)=
α
¯ν
α
(x)γ
µ
(1 − γ
5
)ν
α
(x)
− ¯e(x)[γ
µ
(1 − γ
5
) − 4sin
2
θ
W
γ
µ
]e(x)
+¯p(x)[γ
µ
(1 − g
p
A
γ
5
) − 4sin
2
θ
W
γ
µ
]p(x)
+¯n(x)[γ
µ
(1 − g
n
A
γ
5
)]n(x) , (2.33)
onde g
p
A
,eg
n
A
s˜ao as constantes de acoplamento axial da intera¸c˜ao forte associadas ao pr´oton
e ao neutron, respectivamente.
Desejamos obter o potencial efetivo que atua sobre ν
e
. Conforme [29], [30], fazemos isso
atrav´es do c´alculo das amplitudes de probabilidade efetivas para o espalhamento el´astico
coerente no limite relativ´ıstico. Lembramos que condi¸c˜ao de coerˆencia implica que os estados
inicial e final devem ser estritamente os mesmos. Inicialmente ent˜ao, podemos escrever o
potencial de intera¸c˜ao via corrente carregada, V
C
, em termos da parte do Hamiltoniano fraco
respons´avel por esta intera¸c˜ao, H
C
, na base dos autoestados de sabor que interagem via CC,
el´etron e neutrino eletrˆonico,
V
C
=<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|H
C
|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
> (2.34)
onde p ´emomentumes ´e o spin da part´ıcula.
34
Contudo, a Terra ´e um meio material `a temperatura T>0, e sabemos que a temperatura
finita, valores esperados de um operador devem conter o car´ater estat´ıstico representado pela
matriz densidade, ρ,detalformaque,
<A>= Tr[ρA] . (2.35)
N˜ao temos nenhuma informa¸c˜ao a respeito dos estados de spin, tanto dos neutrinos como
dos el´etrons do meio, e sendo assim, assumimos um meio totalmente n˜ao polarizado. Por
causa disso, devemos proceder uma soma em spins iniciais e m´edia em spins finais. Nesse
sentido, a parte de H
W
respons´avel pela intera¸c˜ao via CC pode ser escrita da seguinte forma,
<H
e
C
(x) > =
G
F
√
2
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
p
e
f(E
e
,T)
1
2
2
s=1
¯e
s
(x)γ
µ
(1 − γ
5
)ν
s
e
(x) ×
× ¯ν
s
e
(x)γ
µ
(1 − γ
5
)e
s
(x)|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >. (2.36)
Aqui f(E
e
,T)´e a fun¸c˜ao estat´ıstica que descreve a distribui¸c˜ao energ´etica de el´etrons
num meio homogˆeneo e isotr´opico a temperatura T ,e´e normalizada por,
f(E
e
,T)d
3
p
e
=1 . (2.37)
Trabalhamos no formalismo de segunda quantiza¸c˜ao, em que ambos os campos fermiˆonicos,
de el´etrons e de neutrinos, s˜ao representados em fun¸c˜ao dos operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao
ψ(x)=
s,p
1
2VE
p
a
s
(p)u
s
(p)e
−ipx
+ b
†
s
(p)v
s
(p)e
ipx
(2.38)
¯
ψ(x)=
s,p
1
2VE
p
b
s
(p)¯u
s
(p)e
−ipx
+ a
†
s
(p)¯v
s
(p)e
ipx
. (2.39)
onde s ´eospineV ´eovolumenoqual´efeitaaquantiza¸c˜ao. Agora escrevemos a corrente
eletrˆonica da Eq .(2.36), que ´e a condi¸c˜ao de coerˆencia atrav´es das Eq .(2.38, 2.39). Levando
em conta que os estados inicial e final devem ser iguais, o ´unico termo que sobrevive ´e
a
†
s
2
(p
2
)¯u
s
2
a
s
2
(p
2
)u
s
2
(p
2
) , (2.40)
35
onde podemos identificar o operador n´umero, N
s
2
(p
2
) para o neutrino com momentum p
2
e
spin s
2
como sendo,
N
s
2
(p
2
)=a
†
s
2
(p
2
)a
s
2
(p
2
) (2.41)
Dessa forma podemos escrever o potencial devido `a CC,
V
e
C
=
G
F
√
2
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
xd
3
p
2
f(E
e
,T)
N
s
2
(p
2
)
2Vω
p
×
×
1
2
2
s=1
¯u
s
(x)γ
µ
(1 − γ
5
)ν
s
e
(x)¯ν
s
e
(x)γ
µ
(1 − γ
5
)u
s
(x)|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >.(2.42)
Dada agora a transforma¸c˜ao de Fierz, Eq .(B.1), escrevemos V
C
(x) em fun¸c˜ao de uma
corrente eletrˆonica pura, e outra corrente referente apenas a neutrinos, e escrevemos a m´edia
sobre spin para os estados eletrˆonicos em fun¸c˜ao do tra¸co de matrizes γ de Dirac, as quais
s˜ao dadas pelas Eqs .(B.3, B.4, B.5),
s
a
u
e
(p
e
)γ
µ
(1 − γ
5
)u
e
(p
e
)=Tr[m
e
+ γ.pγ
µ
(1 − γ
5
)])
= m
e
(Tr(γ
µ
)+Tr(γ
µ
γ
5
))
+(p
e
)
ν
(Tr(γ
ν
γ
µ
)+Tr(γ
ν
γ
µ
γ
5
))
=4(p
e
)
µ
. (2.43)
Substituindo este resultado na Eq .(2.42) obtemos,
V
e
c
=
G
F
√
2
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
xd
3
p
2
f(E
e
,T)
N
s
2
(p
2
)
E
e
×
×
s
¯ν
s
e
(x)γ
µ
(1 − γ
5
)ν
s
e
(x)(p
2
)
µ
|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >. (2.44)
Agora o produto escalar γ
µ
(p
2
)
µ
pode ser escrito como γ
0
(p
2
)
0
− γ.p, e escrevemos
(p
2
)
0
= E
e
.
36
V
e
c
=
G
F
√
2
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
xd
3
p
2
f(E
e
,T)
N
s
2
(p
2
)
E
e
×
×
s
¯ν
s
e
(x)(γ
0
E
e
+ γ.p
2
)(1 − γ
5
)ν
s
e
(x)|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >. (2.45)
Sendo o espa¸co isotr´opico, a integral do vetor momentum eletrˆonico pode ser considerada
nula,
p
2
f(E
e
,T)d
3
p
2
=0 , (2.46)
e a integral da densidade de n´umero eletrˆonico tem como resultado,
N
s
2
(p
2
)f(E
e
,T)d
3
p
2
= N
e
, (2.47)
onde N
e
nos fornece o n´umero de el´etrons. Dessa maneira podemos escrever o potencial
sentido pelo neutrino eletrˆonico devido `a corrente carregada como,
V
e
C
=
G
F
√
2
N
e
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
x
s
a
¯ν
s
e
(x)γ
0
(1 − γ
5
)ν
s
e
(x)|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >.
(2.48)
Escrevemos os campos associados aos neutrinos no formalismo de segunda quantiza¸c˜ao,
da mesma maneira que foi feita para a corrente eletrˆonica, e aplicamos agora a Eq .(2.43)
na Eq .(2.48),
V
e
C
=
G
F
√
2
N
e
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
x
Tr
2VE
ν
e
[p
ν
e
.γ+ m
ν
e
]γ
0
(1 − γ
5
) ×
× a
†
s
1
(p
1
)a
s
1
(p
1
)|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >
=
G
F
√
2
N
e
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
x
4E
ν
e
2VE
ν
e
|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >
=
G
F
√
2
N
e
2
V
d
3
x<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)||ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >
=
√
2G
F
N
e
V
d
3
x =
√
2G
F
N
e
. (2.49)
37
Este potencial pode ser escrito em fun¸c˜ao da densidade de mat´eria, ρ
14
,aqual´e definida
como
ρ
14
≡
ρ
10
14
g
cm
3
, (2.50)
tendo ent˜ao V
c
aforma,
V
e
C
=
√
2G
F
N
e
≈ 7.6Y
e
ρ
14
eV , (2.51)
onde Y
e
=
N
e
N
p
+N
n
´e a densidade de n´umero relativa. Esta fornece a densidade de n´umero
de el´etrons com rela¸c˜ao `a densidade de n´umero dos demais constituintes do meio material,
pr´otons e neutrons. Como se trata de um meio eletricamente neutro, N
p
= N
e
.
Paraoc´alculo do potencial devido `aintera¸c˜ao via corrente neutra dos neutrinos eletrˆonicos
com os el´etrons do meio, V
e,µ,τ
N
, calcularemos inicialmente V
e
N
. Procedendo da mesma
maneira que para o caso anterior, levando em conta inicialmente os dois primeiros ter-
mos da Eq .(2.33), a distribui¸c˜ao eletrˆonica de Fermi, e fazendo a m´edia sobre os spins, a
Hamiltoniana devida `a corrente neutra, H
e
N
,temaforma,
H
e
N
(x)=
G
F
√
2
d
3
xd
3
p
2
f(E
e
,T) ×
1
2
s
¯ν
e
(x)γ
µ
(1 − γ
5
)ν
e
(x) ×
× ¯e(x)[γ
µ
(1 − γ
5
) − 4sin
2
θ
W
γ
µ
]e(x)d
3
p
e
. (2.52)
Da mesma maneira que na Eq .(2.48), para V
e,n
N
temos,
V
e
N
= −
G
F
N
e
2
√
2
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
x(1 − 4sin
2
θ
W
)γ
µ
s
¯ν
e
(x)γ
0
(1 − γ
5
)ν
e
(x)
= −
G
F
N
e
2
√
2
1
2VE
ν
e
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
x(1 − 4sin
2
θ
W
)Tr[p
ν
e
.γ+ m
ν
e
]
× γ
0
(1 − γ
5
)a
†
s
1
(p
1
)a
s
1
(p
1
)|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >
= −
G
F
N
e
2
√
2
1
2VE
ν
e
<ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|
d
3
x(1 − 4sin
2
θ
W
)4E
ν
e
|ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >
= −
G
F
N
e
√
2
(1 − 4sin
2
θ
W
) . (2.53)
Em analogia com a Eq .(2.51), em termos da densidade relativa de n´ucleos podemos
escrever V
e
N
como,
38
V
e
N
= −
G
F
N
e
√
2
(1 − 4sin
2
θ
W
) ≈−3.8Y
n
ρ
14
. (2.54)
Como nas Eqs .(2.32, 2.33) n˜ao ocorrem modifica¸c˜oes caso o neutrino eletrˆonico seja
substitu´ıdo por um neutrino de outro sabor, esperamos que a intera¸c˜ao via corrente neutra
seja descrita pelo mesmo potencial efetivo para ambos os sabores de neutrino, V
e
N
= V
µ
N
=
V
τ
N
= V
e,µ,τ
N
,
V
e,µ,τ
N
= −
G
F
N
e
√
2
(1 − 4sin
2
θ
W
) ≈−3.8Y
n
ρ
14
. (2.55)
Podemos concluir da´ıqueaintera¸c˜ao via corrente neutra ´e diagonal com respeito aos
diferentes sabores de neutrinos. Isto implica que a corre¸c˜ao devida `aintera¸c˜ao por corrente
neutra aos autoestados de sabor ser´a uma fase global, comum a todos os sabores de neutrinos,
portanto sem significado f´ısico e que esta forma de intera¸c˜ao n˜ao promove mistura entre os
autoestados.
Para o c´alculo do potencial para anti-neutrinos, tomemos por exemplo
¯
V
e
N
,
¯
V
e
N
= < ¯ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
)|H
N
|¯ν
e
(p
1
,s
1
)e(p
2
,s
2
) >. (2.56)
Para escrever termos n˜ao nulos devemos comutar os operadores de campo, e sendo assim,
da rela¸c˜ao de anti-comuta¸c˜ao entre eles, {b
s
j
(p),b
†
s
j
(p)} = δ
(3)
(p
1
− p
2
)δ(j − j
), podemos
escrever,
< 0|b
s
(p)b
†
s
(p
)|0 > = < 0|b
s
(p)
k,k
b
†
s
(
k)b
s
(
k
)
b
†
s
(p
)|0 >
→−< 0|b
s
(p)
k,k
b
s
(
k
)b
†
s
(
k)
b
†
s
(p
)|0 >, (2.57)
o que implica que, de maneira geral, por causa da anti-comuta¸c˜ao entre os operadores de
campo, o potencial para neutrinos difere por um sinal do potencial para anti-neutrinos,
V
C,N
= −
¯
V
C,N
. (2.58)
39
Resumindo, o neutrino eletrˆonico est´a sujeito a ambos os potenciais, V
C
devido `aintera¸c˜ao
via CC, e V
N
devido `aintera¸c˜ao via CN. Os outros dois sabores de neutrinos, ν
µ
e ν
τ
s´o
est˜ao sujeitos `a V
N
. Sendo assim, as oscila¸c˜oes entre ν
e
e ν
µ
e entre ν
e
e ν
τ
s˜ao modificadas
pelo meio material no interior da Terra.
2.2.1 Altera¸c˜oes nas propriedades intr´ınsecas do neutrino
Uma conseq¨uˆencia da propaga¸c˜ao do neutrino em um meio denso ´e a modifica¸c˜ao da rela¸c˜ao
de dispers˜ao no v´acuo,
E
2
ν
= p
2
ν
+ m
2
ν
(2.59)
Para o neutrino de Dirac se movendo em um meio com densidade constante, lembrando
queapenasosestadosdem˜o esquerda interagem com o meio
†
,asequa¸c˜oes de movimento
s˜ao,
(∂
µ
γ
µ
+ Vγ
0
)ν
L
+ mν
R
= 0 (2.60)
∂
µ
γ
µ
ν
R
+ mν
L
= 0 (2.61)
onde L e R se referem a estados de m˜ao esquerda e direita respectivamente. Para neutrinos
relativ´ısticos, sendo v´alida a condi¸c˜ao|V
e
| << p
ν
,temosE
ν
≈ p
ν
,easolu¸c˜ao das Eqs. (2.60,
2.61), conforme [28], [30], [31], leva a rela¸c˜ao de dispers˜ao para o neutrino de Dirac dada
por
(E
ν
−
V
e
2
)
2
=(p
ν
+
V
e
2
)
2
+ m
2
ν
→ E
2
ν
= p
2
ν
+ m
2
ν
+2p
ν
V
e
. (2.62)
Pode-se afirmar ent˜ao, que o efeito do meio atuando sobre o neutrino eletrˆonico resulta
em uma modifica¸c˜ao na massa efetiva m
ef
ν
e
a qual depende de V
e
e, por conseq¨uˆencia, da
†
Como apenas os autoestados de m˜ao esquerda interagem com o meio, o potencial ´e multiplicado por um
fator
1
2
(1 − γ
5
), que tem como resultado o fator
1
2
V
e
na rela¸c˜aode dispser¸c˜ao.
40
densidade eletrˆonica do meio em quest˜ao, conforme a Eq. (2.64)
(m
ef
ν
e
)
2
= m
2
ν
+2pV
e
. (2.63)
Da Eq. (2.17) vemos que o comprimento de oscila¸c˜ao do neutrino depende da diferen¸ca
quadr´atica de massas entre os autoestados envolvidos. Para neutrinos se propagando na
mat´eria, a massa efetiva gerada pode ser atribu´ıda tanto ao potencial de intera¸c˜ao via cor-
rente carregada, quanto via corrente neutra, e escrevemos
A = A
C
+ A
N
=2p(V
C
+ V
N
) (2.64)
Conforme [28], para obtermos os autovalores de massa efetiva na mat´eria µ
1
e µ
2
,em
duas gera¸c˜oes de neutrinos, precisamos diagonalizar a matriz
M =
m
2
1
cos
2
θ + m
2
2
sen
2
θ + A
C
+ A
N
1
2
∆
0
sen(2θ)
1
2
∆
0
sen(2θ) m
2
2
cos
2
θ + m
2
1
sen
2
θ + A
N
, (2.65)
onde simplesmente adicionamos A
N
aos termos diagonais e A
C
ao termo M
11
da matriz
de massas que fornece a equa¸c˜ao de movimento para neutrinos no v´acuo. A solu¸c˜ao desta
diagonaliza¸c˜ao fornece,
µ
2
1
=
m
2
1
+ m
2
2
2
+
A
C
+2A
N
2
−
1
2
(∆m
2
21
cos
2
(2θ) − A
C
)
2
+(∆m
2
21
sen
2
(2θ)) (2.66)
µ
2
2
=
m
2
1
+ m
2
2
2
+
A
C
+2A
N
2
+
1
2
(∆m
2
21
cos
2
(2θ) − A
C
)
2
+(∆m
2
21
sen
2
(2θ)) , (2.67)
e sendo assim, a diferen¸ca quadr´atica de massas na mat´eria pode ser expressa por,
˜
∆m
2
21
= µ
2
2
− µ
2
1
=
(∆m
2
21
cos
2
(2θ) − A
C
)
2
+(∆m
2
21
sen
2
(2θ)) . (2.68)
Aqui salientamos que
˜
∆m
2
21
n˜ao depende de A
N
e, sendo assim, os efeitos de oscila¸c˜ao
na mat´eria s˜ao devidos exclusivamente a intera¸c˜oes mediadas via corrente carregada. Assim
41
como a interferˆencia entre as ondas associadas aos autoestados de massa ´erespons´avel pela
mudan¸ca no conte´udo de um determinado autoestado de massa na composi¸c˜ao de um au-
toestado de sabor, caracterizando desta maneira a oscila¸c˜ao no v´acuo, a interferˆencia devida
ao efeito de meio tamb´em altera esta composi¸c˜ao. Dessa forma, o perfil de oscila¸c˜ao se torna
dependente do potencial efetivo no meio [23]. Lembramos que, como s˜ao os autoestados
de sabor que interagem com o meio e sentem os efeitos do potencial efetivo, as altera¸c˜oes
provocadas pelo meio material recaem sobre estes autostados, e n˜ao sobre os autoestados de
massa. Veremos agora como as massas efetivas alteram o padr˜ao de oscila¸c˜ao dos neutrinos
quando estes cruzam a Terra.
Como uma primeira conseq¨uˆencia da altera¸c˜ao do espectro de massas na mat´eria temos
amodifica¸c˜ao do ˆangulo de mistura entre os autoestados de sabor. Dado que os valores
das massas s˜ao alterados quando o neutrino se propaga em um meio, em termos das massas
efetivas e do ˆangulo de mistura no v´acuo, θ, podemos escrever o ˆangulo de mistura na
mat´eria, φ, como,
tan(2φ)=
tan(2θ)
1 −
A
C
A
R
, (2.69)
ou de outra forma,
sen
2
(2φ)=
sen
2
(2θ)
cos
2
(2θ)(1 − A
C
/A
R
)
2
+ sen
2
(2θ)
, (2.70)
onde A
R
=∆m
2
21
cos(2θ).
Podemos agora obter uma express˜ao anal´ıtica aproximada para a probabilidade de os-
cila¸c˜ao na mat´eria, assumindo densidade constante. Nesse caso os valores de
˜
∆m
2
21
e sen
2
(2φ)
ser˜ao constantes, e sendo assim, em analogia `a probabilidade de oscila¸c˜ao no v´acuo podemos
escrever,
˜
P = sen
2
(2φ)sen
2
δ
sen(2θ)
sen(2φ)
, (2.71)
Esta rela¸c˜ao fornece o padr˜ao de oscila¸c˜ao para regi˜oes com densidade constande e diferente
de zero, e reproduz o perfil de oscila¸c˜ao no v´acuo quando ´e atribu´ıda densidade nula. Aqui
42
usamos a defini¸c˜ao do parˆametro δ como sendo:
δ ≡
∆m
2
21
4E
. (2.72)
Contudo, o problema em que estamos interessados n˜ao ´et˜ao simples assim, pois esper-
amos efeitos vindos das transi¸c˜oes entre regi˜oes com densidades diferentes, os quais n˜ao
podem ser descritos pela Eq (2.71).
Uma das conseq¨uˆencias dos efeitos de mat´eria sobre a probabilidade de oscila¸c˜ao ´ea
altera¸c˜ao no comprimento de oscila¸c˜ao. Da mesma forma que para o caso do v´acuo, onde
definimos o comprimento de oscila¸c˜ao no v´acuo, L
vacuo
, dado na Eq .(2.17), o comprimento
de oscila¸c˜ao na mat´eria pode ser dado por
L
mat
=
4πE
˜
∆m
2
21
=
4πE
∆m
2
21
(cos
2
(2θ) −
A
c
∆m
2
21
)
2
+ sen
2
(2θ)
=
L
vacuo
cos
2
(2θ)(1 − A
C
/A
R
)
2
+ sen
2
(2θ)
=
L
vacuo
cos
2
(2θ)(1 −
2
√
2EG
F
N
e
∆m
2
21
cos
2
(2θ
)+sen
2
(2θ)
(2.73)
onde N
e
´eon´umero de el´etrons dado pela Eq. (2.47), e G
f
´e a constante de Fermi. Podemos
analisar a priori trˆes casos limites de interesse.
Quando
A
C
A
R
→ 0, ou seja 2
√
2EG
F
N
e
<< ∆m
2
21
cos
2
(2θ
12
), reproduzimos a oscila¸c˜ao no
v´acuo,
L
mat
≈
L
v´acuo
cos
2
(2θ)(1)
2
+ sen
2
(2θ)
= L
vacuo
. (2.74)
Por outro lado, quando A
C
→ A
R
,ouseja2
√
2EG
F
N
e
→ ∆m
2
21
cos
2
(2θ
12
), encontramos
a condi¸c˜ao de ressonˆancia,
L
Ress
mat
≈
L
v´acuo
cos
2
(2θ)(1 − 1)
2
+ sen
2
(2θ)
=
L
v´acuo
sen(2θ)
. (2.75)
43
Nesse caso, devido `as caracter´ısticas do meio e intr´ınsecas do neutrino coincidirem, o
efeito de mat´eria amplifica os efeitos de oscila¸c˜ao, pois ocorre uma redu¸c˜ao dr´astica no
comprimento de oscila¸c˜ao, fazendo com que o neutrino oscile v´arias vezes enquanto essa
condi¸c˜ao for v´alida. A regi˜ao na qual ocorre a coincidˆencia entre as caracter´ısticas intr´ınsecas
do neutrino com as do meio ´e chamada regi˜ao de ressonˆancia.
Outro caso limite ´e quando A
C
>> A
R
,ouseja,
2
√
2EG
F
N
e
∆m
2
21
c2θ
12
>> 1. Nesse caso, temos
L
mat
≈
L
vacuo
2
√
2EG
F
N
e
∆m
2
21
2
+ sen
2
2θ
=
1
2
√
2G
F
N
e
. (2.76)
Para esse limite o comprimento de oscila¸c˜ao tende a ser independente de ∆m
2
21
. Ilustramos
na Fig. (2.3) o efeito das altera¸c˜oes no perfil de densidade da Terra sobre o comprimento de
oscila¸c˜ao do neutrino eletrˆonico, em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida L para diferentes valores
da diferen¸ca quadr´atica de massas ∆m
2
21
.
Podemos observar que para as regi˜oes da crosta e do n´ucleo, devido ´adominˆancia de
2
√
2EG
F
N
e
, L
mat
praticamente n˜ao depende do valor de δ. Os valores destacados no gr´afico,
2751km e 10939km referem-se ao ponto de menor e de maior comprimento de oscila¸c˜ao
apresentado, respectivamente.
Observamos que para as regi˜oes do n´ucleo e da crosta nos aproximamos do ´ultimo caso
limite que tratamos, com o comprimento de oscila¸c˜ao praticamente independente de δ.
44
0 2000 4000
6000
8000 10000 12000
L(km)
2000
4000
6000
8000
10000
L
osci
(km)
δ=0.8
δ=2.2
δ=3
δ=4
δ=0.5
10939
2751
Figura 2.3: Altera¸c˜oes no comprimento de oscila¸c˜ao na mat´eria, L
mat
em fun¸c˜ao da distˆancia
L para diferentes valores de δ, em unidades de (10
−4
eV
2
).
45
Cap´ıtulo 3
Generaliza¸c˜ao do modelo para trˆes
gera¸c˜oes
Nosso trabalho tem por objetivo generalizar o formalismo de oscila¸c˜ao de sabores para trˆes
gera¸c˜oes de neutrinos, tal como feito em [27], e dessa forma incluir na solu¸c˜ao do problema
do neutrino atmosf´erico a possibilidade de oscila¸c˜ao ν
e
→ ν
µ
, inserindo efeitos de mat´eria
sobre o neutrino eletrˆonico, numa tentativa de descrever o pequeno excesso de neutrinos
eletrˆonicos que, embora dentro do limite dos erros estat´ısticos, ´e verificado nos dados do
detector SuperKamiokande [1] para baixas energias.
O modelo de oscila¸c˜ao de sabores est´a baseado na hip´otese de mistura de sabores de
neutrinos, que nos diz que a descri¸c˜ao do neutrino de sabor ao se propagar, deve ser feita
atrav´es de uma combina¸c˜ao linear de autoestados de massa, {ν
1
,ν
2
,ν
3
},
|ν
α
>=
3
i=1
U
∗
αi
|ν
i
>, (3.1)
A evolu¸c˜ao temporal de um autoestado de sabor |ν>´e dada por uma equa¸c˜ao do tipo,
i
d
dt
|ν>= H|ν> , onde | ν>=
ν
e
ν
µ
ν
τ
. (3.2)
46
Lembramos que na Eq (3.2) deve estar inclu´ıdo no Hamiltoniano um termo referente ao
potencial efetivo, V , sentido pelo neutrino eletrˆonico devido ao efeito de meio, ou seja,
H =
UM
2
U
†
2E
+ V
. (3.3)
Aqui E ´e a energia portada pelo neutrino e M
2
´e a matriz de massa, dada por,
M
2
=
00 0
0∆m
2
21
0
00∆m
2
31
. (3.4)
No modelo padr˜ao sem oscila¸c˜ao de sabores existe conserva¸c˜ao do n´umero leptˆonico
individual, o que implica que n˜ao pode haver mistura entre l´eptons pertencentes a diferentes
gera¸c˜oes de mat´eria, e por causa disso, a representa¸c˜ao matricial de V n˜ao pode apresentar
termos n˜ao diagonais. Al´em disso, sabendo que apenas ν
e
sente os efeitos da intera¸c˜ao via
CC, a matriz V deve ter a forma:
V =
V
e
00
000
000
.
(3.5)
Atrav´es das Eqs. (3.2), (3.4), (3.5), a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao de um autoestado de sabor ν
pode ser escrita como,
i
d
dt
|ν>=
U
23
U
13
U
12
M
2
U
†
12
U
†
13
U
†
23
2E
+ V
|ν>, (3.6)
onde
U
ij
=
c
ij
s
ij
−s
ij
c
ij
.
(3.7)
47
O sistema dado pela Eq (3.6) pode ser resolvido exatamente via c´alculo num´erico sem
grandes complica¸c˜oes. Contudo seguiremos uma estrat´egia que acreditamos seja mais in-
teressante. Da mesma forma que em [27], buscaremos uma solu¸c˜ao semi-anal´ıtica para o
problema, pois esperamos obter uma interpreta¸c˜ao mais intuitiva dos resultados. Para isso
vamos transformar o sistema de equa¸c˜oes diferenciais acopladas de dimens˜ao 3 em dois outros
sistemas equivalentes ao primeiro, um de dimens˜ao2eooutrode1.
Agora vamos efetuar uma rota¸c˜ao na base de autoestados, com o intuito de transformar
o sistema original em dois subsistemas e ent˜ao resolvˆe-los separadamente. Definimos a base
rodada, ν
por, | ν>= U
23
U
13
|ν
>,eaequa¸c˜ao de evolu¸c˜ao temporal nesta nova base pode
ser escrita como,
i
d
dt
|ν
>= H
|ν
>, (3.8)
onde
H
=
1
2E
U
12
M
2
U
†
12
+ U
13
V
e
U
†
13
=
s
2
12
δ + V
e
c
2
13
s
2
12
c
2
12
δV
e
s
13
c
13
s
2
12
c
2
12
δs
2
12
δ 0
V
e
s
13
c
13
0∆+V
e
s
2
13
. (3.9)
Em analogia com a Eq (2.72), definimos:
∆m
2
31
2E
=∆. (3.10)
Analisando o H
dado pela Eq.( 3.9) ´ef´acil perceber que se de alguma forma os elementos
H
13
e H
31
forem eliminados, a evolu¸c˜ao temporal de ν
τ
se torna independente das demais.
Para isso procede-se uma rota¸c˜ao adicional de forma que a nova base rodada esteja rela-
cionada com a antiga base rodada por ν
= U
13
ν
, aonde U
13
est´a associado a uma rota¸c˜ao
na base de autoestados por um ˆangulo θ
13
a ser definido. Nessa nova base ν
,aevolu¸c˜ao
temporal do sistema tem a forma,
48
i
d
dt
|ν
>= H
|ν
>= U
†
13
H
U
13
|ν
>, (3.11)
que fornece,
H
=
M
2×2
A
2×1
B
1×2
C
1×1
, (3.12)
onde X
m×n
representa uma matriz m × n. Explicitamente,
M
2×2
=
c
13
s
2
12
δ + V
e
c
13
(c
13
c
13
− s
13
s
13
) s
12
c
12
δ
s
12
c
12
δc
13
s
12
c
12
δ
, (3.13)
est´a relacionada com a escala de evolu¸c˜ao do neutrino solar. Os outros elementos de H
s˜ao:
A
2×1
=
V
e
(s
13
c
13
c
13
+ s
13
c
2
13
+ s
13
s
2
12
δ)
s
13
s
12
c
12
δ
, (3.14)
B
1×2
=
−s
13
∆+c
13
V
e
s
13
c
13
− s
13
V
e
s
2
13
0
, (3.15)
e
C
1×1
=
c
13
∆+c
13
V
e
s
2
13
+ s
13
s
13
V
e
c
13
.
(3.16)
Exigindo-se que B
1×2
seja nulo pode-se obter o ˆangulo θ
13
pelo qual o sistema deve ser
rodado a fim de que se diagonalize H
:
tgθ
13
=
s
13
c
13
2EV
e
2EV
e
s
2
13
+∆m
2
31
(3.17)
A rota¸c˜ao adicional ´e muito menor que a devida a θ
13
, e sendo assim, fizemos uma
aproxima¸c˜ao em θ
13
ignorando termos de O(θ
13
)
2
, o que resulta em,
49
s
13
=
s
13
c
13
2EV
e
2EV
e
s
2
13
+∆m
2
31
∼
2θ
13
EV
e
∆m
2
31
+2EV
e
θ
2
13
.
(3.18)
nde s
13
e c
13
foram expandidos em s´erie de potˆencia de θ
13
, e ignorados termos de O(θ
13
)
3
,
ou maior. Vamos definir
2EV
e
∆m
2
31
= α. (3.19)
Ent˜ao usando ∆m
2
31
=3.10
−3
eV
2
, E ∼ 1GeV,V
e
∼ 10
−14
eV temos que,
α =
2.10
−14
.10
9
3.10
−3
∼ 10
−1
. (3.20)
Consideramos o ˆangulo θ
13
como uma pequena corre¸c˜ao em θ
13
, e levando em conta que,
V
e
∼ 10
−14
eV s
13
<< 1, e tamb´em ∆m
2
21
∼ 10
−5
eV
2
,∆m
2
31
∼ 10
−3
eV
2
, e que a energia
caracter´ıstica seja E ∼ 1GeV,
¯
θ = θ
13
+ θ
13
= θ
13
1+
0.1
1+0.1 θ
2
13
. (3.21)
Comparando agora os termos de H
13
para energias pr´oximas a 1 GeV, e usando os valores
atuais de ∆m
2
21
e∆m
2
31
podemos escrever,
H
13
= V
e
(s
13
c
13
c
13
+ s
13
c
2
13
)+
s
13
s
2
12
∆m
2
21
2E
∼O(10
−14
eV)s
13
∼ 0, (3.22)
uma vez que s
13
<s
13
<< 1. Da mesma forma, para o elemento H
23
,
H
23
=
1
2E
s
13
c
12
s
12
∆m
2
21
∼ θ
13
(1 +
2EV
e
∆m
2
31
)
1
2E
c
12
s
12
∆m
2
21
∼ θ
13
(O(10
−14
)+O(10
−16
)) eV ∼ 0. (3.23)
Tamb´em se verifica que a corre¸c˜ao em H
11
pode ser vista como um corre¸c˜ao apenas do
potencial,
H
11
=
1
2E
c
13
s
2
12
∆m
2
21
+ V
e
(c
13
c
2
13
− s
13
c
13
s
13
)
∼
1
2E
s
2
12
∆m
2
21
+ V
e
(c
2
13
−
θ
2
13
∆m
2
31
+2EV
e
θ
2
13
) . (3.24)
50
A corre¸c˜ao para H
33
pode ser ignorada, pois
H
33
=
1
2E
c
13
∆m
2
31
+ c
13
V
e
s
2
13
+ s
13
s
13
V
e
c
13
∼
∆m
2
31
2E
+ V
e
s
2
13
. (3.25)
Tendo como base os resultados anteriores, H
pode ser escrito de forma aproximada como,
H
∼
s
2
12
δ + V
e
c
2
13
s
12
c
12
δ ∼ 0
s
12
c
12
δc
2
12
δ ∼ 0
00∆+V
e
s
2
13
,
(3.26)
o que implica no desacoplamento da componente ν
τ
.
Ao serem combinadas as rota¸c˜oes, identifica-se
¯
U = U
23
U
13+13
= U
23
U
¯
θ
como sendo,
¯
U =
c
13
c
13
− s
13
s
13
0 c
13
s
13
+ s
13
c
13
−s
23
(c
13
s
13
+ s
13
c
13
) c
23
s
23
(c
13
c
13
− s
13
s
13
)
−c
23
(c
13
s
13
+ s
13
c
13
) −s
23
c
23
(c
13
c
13
− s
13
s
13
)
. (3.27)
A base de propaga¸c˜ao ν
est´a relacionada com a base ν atrav´es de |ν>=
¯
U|ν
>.Nesta
base ocorre o desacoplamento da componente ν
τ
das demais, e o sistema de equa¸c˜oes para a
evolu¸c˜ao temporal de um autoestado de sabor pode ser escrito segundo as Eqs. (3.11, 3.26)
i
d
dt
ν
e
ν
µ
=
1
2E
s
2
12
∆m
2
21
+2EV
e
c
2
13
s
12
c
12
∆m
2
21
s
12
c
12
∆m
2
21
c
2
12
∆m
2
21
ν
e
ν
µ
(3.28)
Definindo agora
H
2
=
U
12
M
2
U
†
12
2E
+ Vc
2
13
diag(1, 0) , (3.29)
onde
M
2
=
00
0∆m
2
21
, (3.30)
a Eq. (3.28) pode ser escrita como,
i
d
dt
ν
e
ν
2
= H
2
ν
e
ν
2
, (3.31)
51
onde a evolu¸c˜ao temporal do sub-sistema acima ´e determinada pelos parˆametros solares de
oscila¸c˜ao, ∆m
2
21
, tg
2
θ
12
,eV ∼ V
e
c
2
13
.
Por outro lado, a evolu¸c˜ao de ν
τ
se tornou independente das demais, sendo dada por
i
d
dt
ν
τ
=(s
13
s
13
c
13
V
e
+
∆m
2
21
2E
+ V
e
s
2
13
)ν
τ
(3.32)
Fisicamente falando, as duas escalas de oscila¸c˜ao, atmosf´erica e solar, apresentam ordem
de grandeza diferentes, e sendo assim, uma evolui mais rapidamente do que a outra. Quando
a oscila¸c˜ao associada `a escala atmosf´erica est´a influenciando o sistema, a oscila¸c˜ao devida `a
escala solar ainda n˜ao se manifestou, por outro lado, ap´os decorrer um tempo suficiente para
que os efeitos da escala solar sejam sentidos, o mecanismo de oscila¸c˜ao associado `aescala
atmosf´erica j´a oscilou tantas vezes que pode ser efetuada uma m´edia sobre seus efeitos. Dessa
forma, a interferˆencia entre as duas escalas de oscila¸c˜ao pode ser completamente desprezada.
At´e aqui cumprimos a primeira etapa da nossa estrat´egia de solu¸c˜ao do sistema dado pela
Eq .(3.6), que foi bloco-diagonalizar a Hamiltoniana que governa a evolu¸c˜ao dos neutrinos
de sabor, tendo para isso, efetuado duas rota¸c˜oes e obtido o que chamamos de base de
propaga¸c˜ao, na qual a evolu¸c˜ao de ν
τ
se tornou independente das demais. Nas pr´oximas
se¸c˜oes fazemos uma an´alise das altera¸c˜oes no padr˜ao de oscila¸c˜ao dos neutrinos atmosf´ericos
devidas aos efeitos da mat´eria terrestre. Iniciamos mostrando nossos resultados vindos do
c´alculo num´erico para o sub-sistema 2 × 2, e portanto se referem `a base de propaga¸c˜ao.
3.1 Sub-sistema 2 × 2
Como visto na se¸c˜ao anterior, podemos introduzir uma solu¸c˜ao num´erica para o sub-sistema
2× 2. A segunda etapa da nossa estrat´egia consiste em analisar esta solu¸c˜ao num´erica obtida
para o sub-sistema 2 × 2, buscando compreender a maneira pela qual os efeitos de mat´eria
podem alterar as probabilidades de convers˜aoedesobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico na
base de propaga¸c˜ao.
Definiremos a matriz das amplitudes de probabilidade na base de propaga¸c˜ao de tal forma
que S
αβ
=<ν
β
||ν
α
(L) >, ou explicitamente,
52
S
=
A
ee
A
µe
0
A
µe
A
µµ
0
00A
ττ
=
√
1 − P
2
e
iφ
2
√
P
2
e
iφ
1
0
√
P
2
e
iφ
1
√
1 − P
2
e
iφ
4
0
00e
iφ
3
, (3.33)
onde A
ee
, A
µe
, A
µµ
s˜ao obtidos solucionando atrav´es de c´alculo num´erico o sistema 2×2dado
na Eq. (3.31). Podemos escrever A
ee
≡
√
1 − P
2
e
iφ
2
, A
µe
≡
√
P
2
e
iφ
1
, A
µµ
≡
√
1 − P
2
e
iφ
4
,e
A
ττ
≡ e
iφ
3
, onde φ
2
, φ
1
, φ
4
,eφ
3
s˜ao as respectivas fases de evolu¸c˜ao.
Na base de propaga¸c˜ao, a probabilidade de oscila¸c˜ao de sabores para o sistema 2 × 2´e
simplesmente
P
(α
→β
)
≡|S
αβ
|
2
= |A
αβ
|
2
. (3.34)
Ainda, na Eq. (3.33) usamos a defini¸c˜ao de P
2
,
P
2
≡|A
eµ
|
2
=1−|A
ee
|
2
. (3.35)
Explicitamente, as probabilidades de convers˜ao neutrino muˆonico-neutrino eletrˆonico,
P
(µ
→e
)
, e de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, P
(e
→e
)
, na base de propaga¸c˜ao tem a
forma
P
(µ
→e
)
= |S
µτ
|
2
= |A
eµ
|
2
= P
2
,P
e
→e
= |S
ee
|
2
= |A
ee
|
2
=1− P
2
. (3.36)
Para a probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino tauˆonico, da Eq. (3.32), observamos
que na base de propaga¸c˜ao a solu¸c˜ao que descreve a evolu¸c˜ao temporal deste autoestado
pode ser determinada de forma anal´ıtica como sendo uma fun¸c˜ao exponencial,
|ν
τ
(t) >= e
iφ
3
(x)dx
|ν
τ
(0) >, onde φ
3
(x)=(s
13
s
13
c
13
V
e
+∆+s
2
13
V
e
) , (3.37)
e portanto, como φ
3
(x)´eumafase,
53
P
(ν
τ
→ν
τ
)
=1 , (3.38)
o que implica que o sistema 3 × 3 pode ser escrito em termos do sub-sistema 2 × 2.
Para exemplificar as modifica¸c˜oes no padr˜ao de oscila¸c˜ao induzidas pelas varia¸c˜oes no
perfil de densidade sentidas pelo neutrino quando este atravessa as diferentes regi˜oes do in-
terior da Terra, mostramos na Fig . (3.1) a solu¸c˜ao num´erica do sistema dado pela Eq .(3.31),
que nos d´aaevolu¸c˜ao da probabilidade de convers˜ao na base de propaga¸c˜ao, P
(ν
e
→ν
µ
)
= P
2
,
em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida, L, para neutrinos com energia E = 1 GeV, incidindo de
baixo para cima, cruzando dessa forma toda a Terra, o que implica em cosθ
z
= −1, para
diferentes valores de δ. A linha cheia refere-se `a probabilidade de convers˜ao para o caso
V
e
=0,eδ =210
−5
eV. Verificamos que a transi¸c˜ao entre regi˜oes com densidades diferentes,
a grosso modo, manto, crosta e n´ucleo, altera de forma significativa o padr˜ao de oscila¸c˜ao,
gerando mudan¸cas tanto na fase quanto na amplitude.
De modo geral, podemos dizer que quanto maior o valor da densidade eletrˆonica no
meio, maior ´eafaseemenor´e a amplitude da oscila¸c˜ao. Vemos tamb´em que a dependˆencia
de P
(ν
e
→ν
µ
)
com ∆m
2
21
´e sentida de forma mais intensa como um aumento na amplitude
de oscila¸c˜ao, mantendo a fase menos dependente de ∆m
2
21
, pois para a regi˜ao do n´ucleo
terrestre, a qual ´erespons´avel pela maior contribui¸c˜ao dos efeitos de mat´eria, o comprimento
de oscila¸c˜ao, L
mat
dos neutrinos atmosf´ericos se aproxima da condi¸c˜ao dada pela Eq (2.76),
e tende a ser independente de ∆m
2
21
, conforme mostra a Fig . (2.3).
Em fun¸c˜ao de cosθ
z
,aevolu¸c˜ao da probabilidade de convers˜ao na base de propaga¸c˜ao,
P
(ν
e
→ν
µ
)
´e mostrada na Fig. (3.2) para diferentes valores de ∆m
2
21
. Como o esperado, para
valores de cosθ
z
menores que aproximadamente −0.85, equivalente ao caso do neutrino que
cruza o n´ucleo da Terra, a oscila¸c˜ao ´e muito mais r´apida do que para as demais regi˜oes do
gr´afico, e al´em disso, ambas as curvas mantˆem-se praticamente em fase nesta regi˜ao. Para
valores de cosθ
z
maiores que −0.85, o que equivale a neutrinos que n˜ao atravessam o n´ucleo,
a oscila¸c˜ao torna-se mais lenta e as curvas devidas a diferentes valores de ∆m
2
21
passam a
estar fora de fase.
54
0 2000 4000
6000
8000 10000 12000
L(km)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
P
2
δ=2
δ=2.2
δ=3
δ=4
δ=0.6
δ=0.9
crosta
núcleo
crosta
Figura 3.1: Probabilidade de convers˜ao de sabor na base de propaga¸c˜ao, P
(ν
e
→ν
µ
)
, em fun¸c˜ao
da distˆancia L percorrida pelo neutrino eletrˆonico com energia E = 1 GeV, quando este cruza
toda a Terra, cosθ
z
= −1, para diferentes valores de δ, em unidades de (10
−10
eV). A linha
cheia refere-se `a oscila¸c˜aoem dois sabores no v´acuo.
As transi¸c˜oesentre regi˜oes do interior terrestre que apresentam densidades diferentes, as
quais s˜ao mostradas na Fig .(1.4), tamb´em ´erespons´avel pela forma¸c˜ao de pequenos picos nas
curvas de probabilidade, tal como acontece na Fig. (3.2) para cosθ
z
= −0.85, por exemplo.
Conforme visto na Eq .(2.58), como o efeito de mat´eria atua de forma contr´aria para
anti-neutrinos, V
e
→−V
e
,asaltera¸c˜oes no padr˜ao de oscila¸c˜ao nesse caso diferem das
altera¸c˜oes sofridas no padr˜ao de oscila¸c˜ao de neutrinos. Na Fig. (3.3) mostramos a evolu¸c˜ao
da probabilidade de convers˜ao na base de propaga¸c˜ao para anti-neutrinos,
¯
P
(ν
e
→ν
µ
)
=1−
¯
P
2
,
onde
¯
P
2
´e a probabilidade da oscila¸c˜ao entre anti-neutrino eletrˆonico e anti-neutrino muˆonico
na base de propaga¸c˜ao, ¯ν
e
→ ¯ν
µ
, para os valores de ∆m
2
21
utilizados na Fig . (3.2). Podemos
55
Figura 3.2: Probabilidade de convers˜ao de sabor na base de propaga¸c˜ao, P
(ν
e
→ν
µ
)
, em fun¸c˜ao
de cosθ
z
, para um neutrino eletrˆonico, quando este cruza toda a Terra, para diferentes valores
de δ, em unidades de (10
−10
eV).
observar o aumento da amplitude e a diminui¸c˜ao da fase quando ocorre a transi¸c˜ao para as
camadas menos densas da Terra, da mesma forma que para o caso da Fig. (3.1).
A primeira particularidade do padr˜ao de oscila¸c˜ao para anti-neutrinos a ser ressaltada ´e
que este apresenta menor intensidade que para o caso de neutrinos. Esta redu¸c˜ao se deve,
conforme a Eq (2.58), ao potencial de mat´eria para anti-neutrinos apresentar sinal oposto ao
sinal para neutrinos. Se olharmos para o caso mais simples da oscila¸c˜ao em duas gera¸c˜oes de
neutrinos com efeitos de mat´eria presentes, o sinal negativo na Eq .(2.65) faz com que o efeito
do potencial reduza o efeito do termo de oscila¸c˜ao no v´acuo, e devido a isto, esperamos que os
56
Figura 3.3: Probabilidade de convers˜ao de sabor na base de propaga¸c˜ao, 1−
¯
P
2
, em fun¸c˜ao de
cosθ
z
, para um anti-neutrino eletrˆonico, para diferentes valores de δ, em unidades de (10
−10
eV).
efeitos de oscila¸c˜ao na mat´eria sejam sempre diferentes para neutrinos e anti-neutrinos, sendo
que para estes ´ultimos, o efeito de mat´eria contribui para a redu¸c˜ao do padr˜ao de oscila¸c˜ao,
como facilmente verificamos ao compararmos o perfil de oscila¸c˜ao dados nas Figs .(3.2, 3.3).
Outra conseq¨uˆencia desta diferen¸ca de sinal ´e que para anti-neutrinos n˜ao existe regi˜ao
na qual todas as curvas estejam em fase, tal como ocorre para neutrinos na regi˜ao do n´ucleo
terrestre, o que demonstra a dependˆencia de
¯
P
(ν
e
→ν
µ
)
com ∆m
2
21
.
Neste ponto, chamamos a aten¸c˜ao para as altera¸c˜oes em P
2
devidas `adistˆancia percorrida
na atmosfera, a qual foi assumida como sendo v´acuo em nossos c´alculos. Observamos na
57
Fig .(3.2) que as linhas pontilhadas referentes a cada valor espec´ıfico do parˆametro δ,que
levam em conta estes efeitos da oscila¸c˜ao atmosf´erica, s´o diferem das respectivas curvas de
probabilidade sem os efeitos da atmosfera para valores de cosθ
z
pr´oximos a zero. Como o
esperado, este caso se refere a neutrinos que incidem pr´oximos `a linha do horizonte, portanto
percorrendo uma distˆancia relativamente pequena no interior da Terra, e passando por por
regi˜oes aonde a densidade ´ebaixa.
3.2 O sistema 3 × 3
Tendo em m˜aos a matriz de evolu¸c˜ao na base de propaga¸c˜ao, Eq .(3.33), entramos na terceira
fase da nossa estrat´egia, a qual consiste em aplicar a rota¸c˜ao inversa nesta matriz, obtendo
destaformaadesejadamatrizdeevolu¸c˜ao em trˆes gera¸c˜oes na base de sabor que j´ainclui
os efeitos de mat´eria,
S
sabor
= U
23
U
13+13
S
U
†
13+13
U
†
23
. (3.39)
Em nossa nota¸c˜ao c
13
= c
13
+ c
13
, ..., e θ
13
´eoˆangulo de rota¸c˜ao que bloco-diagonaliza o
sistema 3 ×3. Explicitamente temos,
S
sabor
=
(c
13
)
2
A
ee
+(s
13
)
2
A
ττ
c
13
s
13
s
23
D + c
23
A
µµ
c
13
(s
13
c
23
D + s
23
)
c
13
s
13
s
23
D + c
23
A
µµ
S
22
S
23
c
13
s
13
c
23
D + c
13
s
23
S
23
S
33
, (3.40)
onde
S
22
=(s
13
)
2
s
2
23
A
ee
− 2s
13
s
23
c
23
A
eµ
+ c
2
23
A
µµ
+ c
13
s
2
23
A
ττ
, (3.41)
S
23
=(s
13
)
2
c
23
s
23
A
ee
+ s
13
(s
2
23
− (c
2
23
)A
eµ
− s
23
c
23
A
µµ
+(c
13
)
2
s
23
c
23
A
ττ
, (3.42)
S
33
=(s
13
)
2
c
23
s
23
A
ee
+2s
13
s
23
c
23
A
eµ
+ s
2
23
A
µµ
+(c
13
)
2
(c
2
23
)c
2
23
A
ττ
, (3.43)
58
D =(A
ττ
− A
ee
) , (3.44)
aonde A
ij
pode ser escrito como na Eq .(3.33).
Procedendo da mesma maneira que para o caso de duas gera¸c˜oes, obtemos as probabili-
dades de oscila¸c˜ao na base de sabor atrav´es de
P
αβ
= |S
sabor
αβ
|
2
. (3.45)
Como conseq¨uˆencia direta, abrimos a possibilidade de oscila¸c˜ao entre o neutrino eletrˆonico
e os neutrinos de outros sabores, ou seja, P
ν
e
→ν
µ
=0,P
ν
e
→ν
τ
= 0. Isso porque ao se pro-
ceder a rota¸c˜ao inversa, retornando da base de propaga¸c˜ao para a base de sabor, obtemos
elementos da matriz S
sabor
12
= S
sabor
21
=0,eS
sabor
13
= S
sabor
31
= 0 . Substituindo os coeficientes
S
αβ
da Eq .(3.33) na Eq .(3.45) obtemos,
P
e→e
= |S
sabor
11
|
2
= |c
13
A
ee
+ s
13
A
ττ
|
2
=1− (c
13
)
4
P
2
− 2(c
13
)
2
(s
13
)
2
(1 −
1 − P
2
cosφ
23
) . (3.46)
Definimos cosφ
12
= cosφ
1
cosφ
2
− senφ
1
senφ
2
, ... onde as fases φ
i
foram definidas na
Eq. (3.33). Neste ponto se torna interessante fazermos uma interpreta¸c˜ao da equa¸c˜ao de
probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, Eq .(3.46). Salientamos que:
• P
2
´e a probabilidade de convers˜ao entre os neutrinos eletrˆonico e muˆonico na base de
propaga¸c˜ao, ν
e
→ ν
µ
,aqualest´a relacionada com a escala solar.
• θ
13
´eoˆangulo respons´avel pela oscila¸c˜ao entre os neutrinos eletrˆonico e tauˆonico.
Chamamos a aten¸c˜ao para o fato de que esta aparece multiplicando P
2
,juntamente
com a fase φ
23
= φ
2
− φ
3
.
• A oscila¸c˜ao ν
µ
→ ν
τ
descrita por S
sabor
23
domina o problema dos neutrinos atmosf´ericos.
Por´em, na probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, seus efeitos n˜ao s˜ao
sentidos.
59
Resumindo, a probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico na base de sabor ´e igual `a
unidade ( o que equivale `a oscila¸c˜ao em dois sabores para neutrinos atmosf´ericos), diminu´ıda
de termos que dependem da escala solar, P
2
,masques˜ao ponderados tanto pela amplitude
(θ
13
)quantopelafase,(φ
23
), da oscila¸c˜ao entre 1 → 3. Ainda, os efeitos da interferˆencia entre
os neutrinos eletrˆonico e tauˆonico, descritos pelo termo de interferˆencia, φ
23
, caracterizam-se
por uma oscila¸c˜ao consideravelmente mais r´apida e de maior amplitude do que a oscila¸c˜ao
devida a P
2
. Contudo na Eq .(3.46), esses efeitos s˜ao modulados por fatores que dependem
de θ
13
, os quais reduzem significativamente a amplitude da interferˆencia.
0 2000 4000
6000
8000 10000 12000
L(km)
-1
-0.5
0
0.5
1
P
ee
c
4
13
P
2
cosφ
23
interferência
Figura 3.4: Probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico dada pela Eq (3.46),
juntamente com cada uma das parcelas. Usamos os seguintes valores para os parˆametros
envolvidos, c
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆ = 1.210
−11
eV.
60
Aplicamos a Eq (3.46) para um neutrino eletrˆonico com energia E =0.4 GeV, vindo de
baixo, atravessando toda a Terra, ou seja, com cosθ
z
= −1. Os resultados que obtivemos
para a probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, juntamente com cada uma das
parcelas da Eq (3.46) s˜ao mostrados na Fig . (3.4) em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida L,e
para o valor de melhor ajuste da diferen¸ca quadr´atica de massas solar. Tamb´em ´e mostrada
afasedeinterferˆencia cos(φ
23
).
0 2000 4000
6000
8000 10000 12000
L(km)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P
ee
δ=0.6
δ=0.8
δ=0.9
Figura 3.5: Aqui usamos os seguintes valores para os parˆametros envolvidos, c
13
=0.98,
s
12
=0.88, ∆ = 1.210
−11
eV, e mostramos a probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino
eletrˆonico em fun¸c˜ao da distˆancia percorrida para diferentes valores de δ, em unidades de
(10
−10
eV).
A fim de verificarmos a dependˆencia de P
ee
com o parˆametro δ, comparamos na Fig .(3.5)
as curvas de probabilidade P
ee
,paratrˆes valores diferentes de ∆m
2
21
e E =0.4GeV.O
61
queseverificademodogeral´e que, quanto maior o valor de δ, menor a probabilidade de
sobrevivˆencia de ν
e
,oqueest´adeacordocomaid´eia de que quanto maior o valor deste
parˆametro, mais intensos ser˜ao os efeitos da oscila¸c˜ao no canal ν
e
→ ν
µ
,devidosaP
2
.Por
outro lado, a fase da interferˆencia n˜ao depende da escala atmosf´erica e por causa disso as trˆes
curvas mantˆem-se em fase quando procedemos mudan¸cas no parˆametro δ. O que acontece
´e que o termo de interferˆencia tem sua amplitude modulada por
√
1 − P
2
e sendo assim,
quando alteramos o parˆametro δ, encontramos diferentes modula¸c˜oes deste termo.
Figura 3.6: Aqui mostramos a probabilidade de sobrevivˆencia de ν
e
em fun¸c˜ao de cosθ
z
para
c
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆m
2
21
=810
−5
eV
2
,∆m
2
32
=310
−3
eV
2
, bem como as parcelas que
acomp˜oem.
Contudo, resultados que relacionem a probabilidade de oscila¸c˜ao com a distˆancia per-
62
corrida pelo neutrino logicamente n˜ao podem ser verificados pelos detectores terrestres, fato
que n˜ao os desmerece, pois estes resultados favorecem uma boa interpreta¸c˜ao da dependˆencia
da probabilidade de oscila¸c˜ao com cosθ
z
, a qual pode ser verificada experimentalmente de
maneira indireta, atrav´es do n´umero de neutrinos medidos para diferentes intervalos de ener-
gia e ˆangulo zenital. Sendo assim, na Fig . (3.6) mostramos a probabilidade de sobrevivˆencia
do neutrino eletrˆonico em fun¸c˜ao de cosθ
z
. Sendo c
4
13
constante e pr´oximo a 1, a linha verde
tracejada refere-se basicamente a P
2
. Podemos verificar que, em fun¸c˜ao de cosθ
z
, o termo
de interferˆencia mant´em-se com pequena amplitude mas n˜ao apresenta uma oscila¸c˜ao t˜ao
r´apida.
Quando cosθ
z
> −0.85 este se encontra quase em fase com c
4
13
P
2
, o que mostra que
apenas temos acesso a sua modula¸c˜ao devida a
√
1 − P
2
.Observamostamb´em que, assim
como o termo de interferˆencia, P
e→e
oscila de maneira mais r´apida e apresenta menor am-
plitude para valores de cosθ
z
inferiores a aproximadamente −0.85, que equivale a neutrinos
que atravessaram o n´ucleo terrestre. N˜ao ´edif´ıcil notar que nessa regi˜ao a probabilidade
de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico ´e praticamente o espelho do termo (c
4
13
)P
2
,oque
significa que os efeitos devidos `a escala solar dominam o padr˜ao de oscila¸c˜ao de neutrinos
que atravessam o n´ucleo terrestre. Para valores de cosθ
z
maiores do que aproximadamente
−0.85 ocorre uma mudan¸ca no padr˜ao de oscila¸c˜ao, aumentando a amplitude e diminuindo
afasedaoscila¸c˜ao, portanto aproximando-se do comportamento esperado para a oscila¸c˜ao
no v´acuo, o que ´e razo´avel uma vez que estes percorrem uma distˆancia relativamente menor
no interior da Terra, Eq .(1.3), e n˜ao cruzam regi˜oes de alta densidade. Assim como na
Fig .(3.1), os picos na probabilidade do convers˜ao neutrino eletrˆonico-neutrino muˆonico s˜ao
devidos `as transi¸c˜oes entre regi˜oes com densidades diferentes, sendo mais intensos quanto
maior for a diferen¸ca na densidade entre as regi˜oes nas quais se d´a a transi¸c˜ao.
Da mesma forma que fizemos para a probabilidade de sobrevivˆencia de ν
e
,podemos
calcular a sua probabilidade de oscila¸c˜ao para os outros dois sabores,
P
e→µ
= |S
sabor
12
|
2
= |c
13
(s
13
s
23
D + c
23
A
µµ
)|
2
(c
13
)
2
(s
13
)
2
s
2
23
1 − 2
1 − P
2
cosφ
23
+(1− P
2
)
63
+2(c
13
)
2
s
13
s
23
c
23
P
2
cosφ
13
−
(1 − P
2
)P
2
cosφ
12
+(c
13
)
2
c
2
23
P
2
, (3.47)
P
e→τ
= |S
sabor
13
|
2
=(c
13
)
2
(s
13
)
2
c
2
23
1 − 2
1 − P
2
cosφ
23
+(1− P
2
)
+2(c
13
)
2
s
13
s
23
c
23
(1 − P
2
)P
2
cosφ
12
−
P
2
cosφ
13
+(c
13
)
2
s
2
23
P
2
. (3.48)
As fases que aparecem, φ
ij
,s˜ao definidas na Eq .(3.33). Analisando estas duas equa¸c˜oes
de probabilidade podemos destacar que,
• A dependˆencia com a escala solar est´a presente nos termos que contˆem
√
P
2
,
√
1 − P
2
e(1− P
2
).
• A escala atmosf´erica se manifesta atrav´es de θ
23
, que multiplica todos os termos devidos
`a escala solar.
• Aqui novamente θ
13
e φ
23
se referem `a amplitude e `afasedaoscila¸c˜ao entre ν
e
e ν
µ
.
• Al´em da fase de interferˆencia entre ν
e
e ν
τ
, φ
23
, existem outras duas, φ
12
,eφ
13
,asquais
se referem `ainterferˆencia entre a mistura
1
√
2
[|ν
e
> +|ν
µ
>]eν
e
e ν
µ
, respectivamente.
Estas fases tamb´em aparecem multiplicando P
2
, e sendo assim, modulam os efeitos da
escala solar.
Fazendo agora uso das Eqs. (3.46, 3.47, 3.48), mostramos na Fig . (3.7) a dependˆencia
com o ˆangulo zenital das probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, convers˜ao
entre neutrino eletrˆonico e neutrino muˆonico, e neutrino eletrˆonico e neutrino tauˆonico,
juntamente com a soma das mesmas, comprovando a unitariedade do sistema.
Podemos ver o efeito da escala solar fazer com que a probabilidade de convers˜ao ν
e
→ ν
µ
seja significativamente grande. Al´em disso, para neutrinos que atravessam o n´ucleo terrestre,
ou seja cosθ
z
< −0.85, a probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico mant´em
umafasede90
o
com rela¸c˜ao `a probabilidade de convers˜ao para neutrino muˆonico, o que
mostra que nesta regi˜ao a escala solar domina as altera¸c˜oes da probabilidade de oscila¸c˜ao.
Este cen´ario se modifica para neutrinos que n˜ao atravessam o n´ucleo terrestre, pois para
64
Figura 3.7: Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, P
e→e
,deconvers˜ao
neutrino eletrˆonico para neutrino muˆonico, P
e→µ
, e de convers˜ao neutrino eletrˆonico para
neutrino tauˆonico, P
e→τ
em fun¸c˜ao do cosseno do ˆangulo zenital, cosθ
z
,parac
13
=0.98,
s
12
=0.88, ∆ = 1.210
−11
eV. A linha constante em 1 refere-se `asomadestastrˆes quanti-
dades, confirmando a unitariedade do sistema.
cos θ
z
> −0.85aconvers˜ao ν
e
→ ν
τ
passa a ser a mais importante. Destacamos que
em cosθ
z
= −0.31 est´a centrado um m´aximo de convers˜ao neste canal, acompanhado por
m´ınimos tanto na probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, quanto na proba-
bilidade de convers˜ao ν
e
→ ν
µ
.
Na Fig . (3.8) fazemos uma compara¸c˜ao entre as probabilidades de sobrevivˆencia de ν
e
edetransi¸c˜ao ν
e
→ ν
µ
em fun¸c˜ao do ˆangulo zenital para diferentes valores de δ.Obser-
vamos que a fase das oscila¸c˜oes independe de ∆m
2
21
, dependendo apenas de cosθ
z
, sendo
que para valores desta grandeza menores que aproximadamente −0.85, devido a intera¸c˜ao
65
Figura 3.8: Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, P
e→e
,deconvers˜ao neu-
trino eletrˆonico para neutrino muˆonico, P
e→µ
, em fun¸c˜ao do cosseno do ˆangulo zenital, cosθ
z
,
para c
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆ = 1.210
−11
eV, e diferentes valores de δ em unidades de
(10
−10
eV).
com o n´ucleo, a fase das oscila¸c˜oes ´e grande se comparada com as outras regi˜oes do gr´afico,
respeitando o mesmo padr˜ao de oscila¸c˜ao seguido por P
2
.Al´em disso, nessa regi˜ao, as prob-
abilidades de sobrevivˆencia e de convers˜ao est˜ao defasadas por um fator π,oque´edevido
`a contribui¸c˜ao do termo
√
1 − P
2
cosφ
23
,aqual´e dominante nessa regi˜ao, ser positiva para
P
e→e
, e negativa para P
e→µ
. Para valores de cosθ
z
maiores as contribui¸c˜oes dos outros termos
em P
e→µ
se tornam mais importantes, fazendo com que esta j´an˜ao esteja mais com a fase
exatamente oposta `adeP
e→e
. Mesmo assim, para os valores de cosθ
z
> −0.6ecosθ
z
=0
esta condi¸c˜ao tende a ser satisfeita. O ´unico sen˜ao ´edevidoaom´aximo na probabilidade
de oscila¸c˜ao ν
e
→ ν
τ
mostrado na Fig .(3.7). Por outro lado, a amplitude da oscila¸c˜ao ´e
66
completamente dependente da diferen¸ca quadr´atica de massas, sendo maior quanto maior for
∆m
2
21
, exceto para a regi˜ao onde cosθ
z
apresenta valores entre −0.34 e −0.26, na qual esta
rela¸c˜ao de proporcionalidade se inverte. Tal fato pode ser entendido como um favorecimento
na produ¸c˜ao de neutrino tauˆonico nesta regi˜ao. Sendo assim, uma diferen¸ca quadr´atica de
massas maior favorece a convers˜ao do neutrino eletrˆonico, n˜ao para neutrino muˆonico mas
sim tauˆonico. Fazendo uma r´apidadaan´alise na Fig . (3.7) verificamos ser exatamente esta
asitua¸c˜ao, ficando evidente que no intervalo em quest˜ao ocorre redu¸c˜ao na probabilidade de
sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico, redu¸c˜ao na probabilidade de convers˜ao para neutrino
muˆonico e um grande aumento na probabilidade de convers˜ao para neutrino tauˆonico.
0 1000 2000 3000 4000
L(km)
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
P
eµ
, ∆m
2
21
=0.6
c
2
13
s
2
13
(1-P
2
)
-2c
2
13
s
13
s
23
((1-P
2
)P
2
)
1/2
cos(φ
12
)
-2c
2
13
s
13
s
23
(1-P
2
)
1/2
cos(φ
23
)
2c
2
13
s
2
13
s
23
c
23
(P
2
)
1/2
cos(φ
13
)
cos(θ
z
)=-0.31
0 1000 2000 3000 4000
L(km)
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
P
eµ
, ∆m
2
21
=0.9
c
2
13
s
2
13
(1-P
2
)
-2c
2
13
s
13
s
23
((1-P
2
)P
2
)
1/2
cos(φ
12
)
-2c
2
13
s
13
s
23
(1-P
2
)
1/2
cos(φ
23
)
2c
2
13
s
2
13
s
23
c
23
(P
2
)
1/2
cos(φ
13
)
cosθ
z
=-0.31
Figura 3.9: Probabilidades de sobrevivˆencia, P
ee
edeconvers˜ao, P
eµ
em fun¸c˜ao da distˆancia
percorrida L,parac
13
=0.98, s
12
=0.88, E =0.4 GeV , cosθ
z
= −0.31.
Examinando cada uma das componentes de P
e→µ
separadamente, em fun¸c˜ao da distˆancia
percorrida, para cosθ
z
= −0.31, como feito na Fig. (3.9) para ∆m
2
21
=610
−5
eV
2
e
∆m
2
21
=910
−5
eV
2
, podemos atribuir a redu¸c˜ao na probabilidade P
e→µ
`a contribui¸c˜ao das
componentes
√
P
2
cosφ
13
e
(1 − P
2
)P
2
cosφ
12
, contribui¸c˜oes estas que tˆem sua amplitude
aumentada com o crescimento de ∆m
2
21
. Olhando novamente para as Eq. (3.47), verificamos
que estes dois termos apresentam sinais negativos, contr´arios aos sinais que apresentam na
Eq. (3.48), ou seja, nesta ´ultima ocorre um crescimento destes dois termos justificando o
aumento na probabilidade de convers˜ao P
e→τ
. Dessa forma tamb´em fica clara a dependˆencia
das probabilidades de convers˜ao e de sobrevivˆencia de ν
e
na base de sabor com rela¸c˜ao `a
67
probabilidade de convers˜ao na base de propaga¸c˜ao, P
2
.
Figura 3.10: Probabilidades de sobrevivˆencia para anti-neutrino eletrˆonico,
¯
P
e→e
,decon-
vers˜ao anti-neutrino eletrˆonico para anti-neutrino muˆonico,
¯
P
e→µ
, e de convers˜ao anti-
neutrino eletrˆonico para anti-neutrino tauˆonico,
¯
P
e→τ
em fun¸c˜ao do cosseno do ˆangulo zenital,
cθ
z
,parac
13
=0.98, s
12
=0.88, ∆m
2
32
=310
−3
eV
2
,e∆m
2
21
=810
−5
eV
2
. A linha constante
em 1 refere-se `asomadestastrˆes quantidades, confirmando a unitariedade do sistema.
No caso de anti-neutrinos, a probabilidade de sobrevivˆencia de ¯ν
e
´e mostrada na Fig. (3.10),
juntamente com as probabilidades de convers˜ao
¯
P
ν
e
→ν
µ
,e
¯
P
ν
e
→ν
τ
.Comoj´a mencionamos
anteriormente, os efeitos de mat´eria atuam de forma diferente para anti-neutrinos, e diferem
por um sinal do caso para neutrinos. Este sinal faz com que os efeitos de mat´eria sobre
P
2
sejam brandos para o caso de anti-neutrinos, conforme Fig (3.3). Mesmo assim, a de-
pendˆencia em P
2
faz com que o comportamento da fase de oscila¸c˜ao para anti-neutrinos seja
semelhante `a oscila¸c˜ao para neutrinos, sendo maior para a regi˜ao em que cosθ
z
< −0.85.
68
3.3 Relevˆancia Experimental
Agora que generalizamos o formalismo de oscila¸c˜ao de sabores para trˆes gera¸c˜oes de neutri-
nos, incluindo efeitos de mat´eria na evolu¸c˜ao do neutrino eletrˆonico no interior da Terra, e
obtivemos como conseq¨uˆencia direta altera¸c˜oes nas probabilidades de sobrevivˆencia e con-
vers˜ao entre este e os demais sabores, passamos a nos perguntar se estes efeitos podem ser
sentidos pelo detector SK, ou seja, desejamos estimar o n´umero de eventos gerados em SK
devidos a estas corre¸c˜oes. Segundo [30], o n´umero de eventos para neutrinos do tipo ν
i
→ ν
j
em SK pode ser escrito como
N
ij
= n
t
T
d
2
φ
i
dE
ν
d(cosθ
z
)
dσ
νN
dE
j
(E
j
) dE
ν
dE
j
d(cosθ
z
) , (3.49)
aqui, n
t
´eon´umero de part´ıculas no alvo, T [e o tempo de tomada de dados, E
ν
´e a energia
do neutrino, E
j
´e a energia do l´epton carregado produzido na rea¸c˜ao de detec¸c˜ao, (E
j
)´e
aeficiˆencia do detector. Utilizamos como fluxos iniciais de neutrinos atmosf´ericos, φ
i
(E,θ
z
)
dados por [3].
Para sabermos se este excesso previsto por nosso formalismo pode ser verificado por SK,
ou seja, se o n´umero de eventos excedentes ´e maior do que a magnitude dos erros associados `as
m´edias de SK, calculamos agora o n´umero de eventos de neutrinos up, cosθ
z
≈−1, e energia
em torno de 1 GeV em SK, para o tempo T de um ano de tomada de dados, considerando a
massa de SK como sendo de 2.510
10
gdeH
2
O. Com boa aproxima¸c˜ao, esta massa de ´agua
cont´em aproximadamente 5.410
36
pr´otons e 4.32 10
36
neutrons. Ainda, devemos levar em
considera¸c˜ao as rea¸c˜oes (ν
i
+ n → l
−
i
+ p), e (¯ν
i
+ p → l
+
i
+ n), uma vez que o detector
n˜ao faz a distin¸c˜ao entre neutrinos e anti-neutrinos. O n´umero de eventos para neutrinos e
anti-neutrinos somados para neutrinos eletrˆonicos e muˆonicos, N
e
,emuˆonicos, N
µ
´eent˜ao
dado por
N
e
≈ T (φ
ν
e
σ
νn
× n
neutrons
+ φ
¯ν
e
σ
¯νp
× n
protons
) , (3.50)
N
µ
≈ T
φ
ν
µ
σ
νn
× n
neutrons
+ φ
¯ν
µ
σ
¯νp
× n
protons
. (3.51)
69
O erro estat´ıstico associado ao n´umero de eventos ´e,
Er(N
ij
)=
N
ij
N
ij
. (3.52)
Na Tab .(3.1) mostramos os valores para o fluxo inicial dados na referˆencia [3], o resultado
para a se¸c˜ao de choque integrada obtido por [26], o n´umeroeotipodealvo(pr´oton ou
neutron), uma estimativa para o n´umero de eventos para neutrinos eletrˆonicos e muˆonicos,
juntamente com o erro estat´ıstico associado. Ao c´alculo do erro associado aos dados de SK
deve ser adicionado um valor de 30% devido a erros sistem´aticos.
Tabela 3.1: N´umero de eventos em SK para o per´ıodo de um ano, <E>=1GeVe
cosθ
z
≈−1.
ν
i
φ
0
(m
2
ssrGeV)
−1
<σ>(cm
2
) n
t
n/p N
i
erro (%)
ν
e
58 8.210
−39
4.32 10
36
n 240 0.06
¯ν
e
50 310
−39
5.4 10
36
p
ν
µ
116 8.210
−39
4.32 10
36
n 480 0.05
¯ν
µ
100 310
−39
5.4 10
36
p
Na presen¸ca de oscila¸c˜oes, o fluxo de neutrinos eletrˆonicos pode ser escrito como,
φ
ν
e
= φ
0
ν
e
P
(ν
e
−>ν
e
)
+ φ
0
ν
µ
P
(ν
µ
−>ν
e
)
= φ
0
ν
e
(P
(ν
e
−>ν
e
)
+ R(E, θ
ν
)P
(ν
µ
−>ν
e
)
) , (3.53)
onde φ
0
ν
e
e φ
0
ν
µ
s˜ao os fluxos iniciais dos neutrinos eletrˆonicos e muˆonicos respectivamente,
e R ´earaz˜ao entre os fluxos iniciais, dada pela Eq .(1.1). Uma simples inspe¸c˜ao na
Fig .(1.6) nos mostra que R depende tanto da energia quanto do ˆangulo θ
z
. Contudo,
paraaregi˜ao de Sub-GeV, esta dependˆencia ´ebaixaeR est´a contida no intervalo 2.04-
2.06 [27]. Adotamos por simplicidade R = 2. Ainda, P
(ν
e
−>ν
e
)
e P
(ν
µ
−>ν
e
)
s˜ao dadas pelas
Eqs .(3.46, 3.47). Nesse sentido, a Fig .(3.11) mostra as probabilidades de sobrevivˆencia
do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neutrino eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a
soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
. Na Fig .(3.14) s˜ao mostradas as mesmas curvas para o caso
70
de anti-neutrinos. Destacamos a existˆencia de uma tendˆencia de que para valores de cosθ
z
menores que 0, a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
exceda a unidade, o que pode levar a um ex-
cesso de neutrinos eletrˆonicos medidos por SK quando comparado com o formalismo sem a
oscila¸c˜ao de sabores.
Figura 3.11: Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neutrino
eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
para cos
2
θ
23
=
0.49.
Como pode ser verificado, a probabilidade de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico n˜ao ´e
alterada pela varia¸c˜ao do parˆametro θ
23
, vide Eq .(3.46), mas apenas de θ
13
e da diferen¸ca
de fase φ
23
, a qual relaciona a evolu¸c˜ao dos sabores eletrˆonico e tauˆonico.
Com a varia¸c˜ao do parˆametro θ
23
alteramos de forma significativa a probabilidade de
oscila¸c˜ao entre o neutrino eletrˆonico e o neutrino muˆonico. Esta dependˆencia em θ
23
´e
71
Figura 3.12: Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neu-
trino eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
para
cos
2
θ
23
=2/3.
maior para valores de θ
23
menores que 45
o
e menor para valores de θ
23
maiores que 45
o
,
como podemos verificar nas Figs .(3.12, 3.13). Como principal conseq¨uˆencia destes efeitos,
verificamos a tendˆencia de excesso de neutrinos eletrˆonicos para valores de cosθ
z
< 0eque
se intensifica para cosθ
z
→−1. Esta forte dependˆencia em cosθ
z
exclui a possibilidade
deste excesso de neutrinos eletrˆonicos poder ser ajustado aos dados de SK atrav´es de uma
renormaliza¸c˜ao. Al´em disso, existem limites r´ıgidos para renormaliza¸c˜oes dos dados de SK
vindos dos resultados para neutrinos do tipo muˆonico, vide Fig .(1.7).
Como discutido no cap´ıtulo 2, para anti-neutrinos o sinal do potencial V
e
difere do sinal
do potencial para anti-neutrinos, e dessa forma contribui para que os efeitos de oscila¸c˜ao
72
Figura 3.13: Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neu-
trino eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
para
cos
2
θ
23
=1/3.
de sabores para anti-neutrinos sejam atenuados. Dessa forma n˜ao esperamos verificar a
mesma tendˆencia de excesso para anti-neutrinos eletrˆonicos, fato que podemos verificar na
Fig .(3.14).
73
Figura 3.14: Probabilidades de sobrevivˆencia do neutrino eletrˆonico e convers˜ao neutrino
eletrˆonico-neutrino muˆonico, juntamente com a soma P
(ν
e
−>ν
e
)
+2P
(ν
µ
−>ν
e
)
para cos
2
θ
23
=
0.49.
74
Cap´ıtulo 4
Conclus˜oes
Neste trabalho mostramos o procedimento realizado para generalizar o modelo de oscila¸c˜ao
de sabores para trˆes gera¸c˜oes de neutrinos, permitindo a oscila¸c˜ao do neutrino eletrˆonico
para com os demais sabores de neutrinos. Este procedimento est´a baseado na fenomenologia
conhecida hoje para os parˆametros de oscila¸c˜ao envolvidos, a qual implica na dominˆancia
da escala atmosf´erica sobre a escala solar, ∆m
2
31
>> ∆m
2
21
, θ
13
<< θ
12
e θ
13
<< θ
23
.Com
isso, nosso pr´oximo passo foi incluir os efeitos de mat´eria sentidos pelo neutrino eletrˆonico
ao cruzar a Terra e mostramos como estes efeitos afetam a probabilidade de sobrevivˆencia
edeconvers˜ao de sabor do neutrino eletrˆonico. A seguir relatamos de forma sucinta as
modifica¸c˜oes mais relevantes no padr˜ao de oscila¸c˜ao de ν
e
.
• O modelo de oscila¸c˜ao em dois sabores de neutrinos, ν
µ
→ ν
τ
,n˜ao altera as probabil-
idades de sobrevivˆencia e convers˜ao do neutrino eletrˆonico, e sendo assim a probabil-
idadedesobrevivˆencia de ν
e
nesse caso ´e igual a 1. A generaliza¸c˜ao do modelo para
trˆes gera¸c˜oes de neutrinos por si s´oj´a altera este cen´ario.
• As Figs .(3.7, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13 ) sumarizam os resultados que obtivemos quando
inclu´ımos os efeitos de oscila¸c˜ao em trˆes gera¸c˜oes e efeitos de mat´eria.
• Quando introduzimos os efeitos de mat´eria, alteramos de forma significativa o padr˜ao
de oscila¸c˜ao dos neutrinos quando estes se propagam no interior da Terra. Estas
75
altera¸c˜oes dependem da densidade das regi˜oes que o neutrino cruza. De forma geral,
quanto maior a densidade do meio, menor a amplitude de oscila¸c˜ao e maior a fase.
• Nas Figs .(3.11, 3.12, 3.13 ) verificamos que o procedimento que adotamos em nosso tra-
balho na tentativa de resolver o problema dos neutrinos atmosf´ericos em trˆes gera¸c˜oes
enapresen¸ca de mat´eria teve como resultado a tendˆencia de excesso para o n´umero de
eventos do tipo neutrino eletrˆoniconaregi˜ao de Sub-GeV para valores de cosθ
z
< 0, a
qual se intensifica para valores de cosθ
z
→−1. Portanto este excesso que obtivemos
apresenta forte dependˆencia com o ˆangulo zenital θ
z
,en˜ao pode ser ajustado aos re-
sultados de SK por uma simples renormaliza¸c˜ao nos dados. Al´em disso existe um forte
limite para renormaliza¸c˜oes nos dados de SK impostos pelos resultados de eventos do
tipo neutrino muˆonico.
• Esta tendˆencia de excesso para o n´umero de eventos do tipo neutrino eletrˆonico que
encontramos para a regi˜ao de Sub-GeV para valores de cosθ
z
< 0nospermiteinter-
pretar de maneira qualitativa a discordˆancia entre os dados experimentais de SK e as
previs˜oes de Monte Carlo para o n´umero de eventos do tipo neutrino eletrˆonico para a
regi˜ao de Sub-GeV, a qual ´e mostrada na Fig .(1.7).
• Tamb´em mostramos atrav´es das Figs .(3.11, 3.12, 3.13 ) que a tendˆencia de excesso
de eventos do tipo neutrino eletrˆonico ´e modificada com a varia¸c˜ao do do ˆangulo de
mistura entre os autoestados de massa 2 e 3, θ
23
, sendo maior para valores de θ
23
menores do que 45
0
e menor para valores de θ
23
maiores do que 45
0
.
76
Apˆendice A
Aintera¸c˜ao eletrofraca
´
E fato experimentalmente estabelecido que as intera¸c˜oes dos neutrinos com a mat´eria s˜ao
descritas corretamente pela Teoria Eletrofraca [25], a qual est´a baseada no grupo de calibre
SU(2)
L
×U(1)
Y
, que fora proposto por Glashow em 1961, e estendido por Weinberg e Salam
para acomodar os b´osons massivos de calibre W
±
e Z
0
em 1967. Como veremos, o sub-´ındice
L refere-se a m˜ao esquerda, que designa estados nos quais a proje¸c˜ao do spin ´e anti-paralela
adire¸c˜ao de propaga¸c˜ao, e Y refere-se `a hipercarga. Como segue em [28] e [32], isto implica
que os neutrinos de sabor (i.e. os que interagem fisicamente) s˜ao componentes de isospin
I
3
=
1
2
dos trˆes dubletos de l´eptons de m˜ao esquerda que fazem parte do conte´udo fermiˆonico
do modelo padr˜ao,
χ
L
=
ν
e
e
L
,
ν
µ
µ
L
,
ν
τ
τ
L
, (A.1)
Tamb´em fazem parte do conte´udo fermiˆonico os trˆes singletos de l´eptons carregados de
m˜ao direita,
e
R
,µ
R
,τ
R
, (A.2)
uma vez que n˜ao se tem not´ıcia de neutrinos de m˜ao direita. Falamos aqui de isospin fraco,
o qual , assim como a carga hiperfraca, foi proposto em analogia ao esquema de Gell-Mann-
77
Nishijima para as part´ıculas estranhas nos multipletos de isospin hadrˆonicos, ou seja, o
operador de isospin tem a forma,
I =
τ
2
, (A.3)
e os operadores escada s˜ao dados por
τ
±
=
1
2
(σ
1
± σ
2
) . (A.4)
Aqui σ
i
s˜ao as matrizes de Pauli definidas na Eq. (B.2).
Por sua vez, devido ao fato de que a corrente fraca carregada,
J
µ
= J
+
µ
=¯u
ν
l
γ
µ
(1 − γ
5
)u
l
=¯ν
l
L
γ
µ
l
L
, (A.5)
conter o fator γ
µ
(1 − γ
5
),aintera¸c˜ao fraca apresenta estrutura vetor-vetor axial, (V-A). O
´ındice l refere-se aos l´eptons carregados e L lembraqueapenasosespinoresdem˜ao esquerda
se acoplam fracamente. A corrente carregada conjugada tem a forma
J
†
µ
= J
−
µ
=¯u
l
L
γ
µ
(1 − γ
5
)u
ν
L
= l
L
γ
µ
ν
l
L
. (A.6)
Usando os operadores escada podemos escrever estas correntes carregadas em termos dos
dubletos de m˜ao esquerda em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao x como,
J
±
µ
(x)=¯χ
L
γ
µ
τ
±
χ
L
. (A.7)
Al´em de correntes carregadas, a intera¸c˜ao fraca tamb´em pode se dar atav´es de corrente
neutra,
J
3
µ
(x)=¯χ
L
γ
µ
σ
3
χ
L
=¯ν
l
L
γ
µ
ν
L
−
¯
l
L
γ
µ
σ
3
l
L
. (A.8)
Dessa forma, foi definido um tripleto de correntes de isospin fracas,
J
i
µ
(x)=¯χ
L
γ
µ
σ
3
χ
L
. (A.9)
78
Estas por sua vez apresentam carga associada dada por
T
i
=
J
i
0
(x)d
3
x. (A.10)
Contudo esperamos que a corrente neutra apresente uma componente de m˜ao direita.
Para isso ´einclu´ıda a esta a corrente eletromagn´etica. Primeiramente definimos
j
e.m.
µ
(x)=−
¯
lγ
µ
l = −
¯
l
R
γ
µ
l
R
−
¯
l
L
γ
µ
l
L
, (A.11)
e a corrente eletromagn´etica tem ent˜aoaforma
j
µ
(x)=ej
e.m.
µ
= −e
¯
lγ
µ
Ql , (A.12)
onde Q ´e o operador de carga. Por defini¸c˜ao, Q = −1paraoel´etron.
Devemos notar que nem J
3
µ
,nemj
e.m.
µ
respeitam a simetria SU(2)
L
, mas sim com-
bina¸c˜oes ortogonais destas. Podemos obtˆe-las adicionando ao tripleto de correntes de isospin,
Eq. (A.9), um singleto de corrente de isospin,
j
Y
µ
=
¯
l
L
γ
µ
Y
2
l
L
+
¯
l
R
γ
µ
Y
2
l
R
, (A.13)
onde a hipercarga Y ´e definida por
Q = T
3
+
Y
2
, (A.14)
de tal forma que
j
e.m.
µ
= J
3
µ
+
1
2
j
Y
µ
. (A.15)
Assim como Q ´e o gerador do grupo U(1)
e.m.
, Y gera o grupo de simetria U(1)
Y
,edesta
forma obtemos o grupo de calibre SU(2)
L
× U(1)
Y
paraaintera¸c˜ao eletrofraca.
No eletromagnetismo o acoplamento da corrente eletromagn´etica com o f´oton ´e dado por
−iej
µ
(x)=e(j
e.m.
)
µ
A
µ
, (A.16)
79
enomodelopadr˜ao, o tripleto de isospin de campos vetoriais massivos, W
i
µ
se acopla `as
correntes isoespinoriais J
i
µ
, e o singleto de isospin de campo vetorial, B
µ
,seacoplacom
a corrente de hipercarga J
Y
µ
, de tal maneira que as intensidades destes acoplamentos s˜ao
dadas pelos fatores g e g
/2, respectivamente. Da´ı o acoplamento b´asico eletrofraco pode ser
representado por
−ig(J
i
)
µ
W
i
µ
− i
g
2
(J
Y
)
µ
B
µ
, (A.17)
onde os b´osons massivos carregados, W
±
s˜ao descritos pelos campos
W
±
µ
=
1
2
(W
1
µ
∓ iW
2
µ
) , (A.18)
enquanto que W
3
µ
,eB
µ
s˜ao os campos neutros. O mecanismo de gera¸c˜ao de massas baseia-
se na quebra de simetria. Para tal, deve existir uma mistura destes campos neutros de tal
maneira que os estados f´ısicos sejam,
A
µ
= B
µ
cos θ
W
+ W
3
µ
sin θ
W
, (A.19)
Z
µ
= −B
µ
sin θ
W
+ W
3
µ
cos θ
W
. (A.20)
Aqui θ
W
´eoˆangulo de Weinberg, o qual ´e definido por
cos θ
W
=
M
W
M
Z
. (A.21)
A.1 O lagrangiano de intera¸c˜ao
O Lagrangeano deve ser invariante por transforma¸c˜oes de calibre SU(2)
L
× U(1)
Y
,eapre-
sentar quebra espontˆanea de simetria atrav´es do mecanismo de Higgs [16], de tal forma que
o Lagrangeano final seja invariante sob transforma¸c˜oes de calibre do tipo U(1)
e.m.
.Paraa
primeira gera¸c˜ao de l´eptons, tal Lagrangeno tem a forma
80
L
0
= −
¯
l
L
γ
µ
.D
µ
l
L
−
¯
l
R
γ
µ
.D
µ
l
R
−
1
4
F
µν
.
F
µν
−
1
4
G
µν
G
µν
(A.22)
onde os estados envolvidos s˜ao,
χ
L
=
ν
e
e
L
,χ
L
= e
R
, (A.23)
e a derivada covariante tem a forma
D
µ
= ∂
µ
− ig
I.
A
µ
− ig
Y
2
B
µ
. (A.24)
Aqui o tensor eletromagn´etico ´e dado por,
F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
+ g(
A
µ
×
A
ν
) (A.25)
onde
A
µ
´e um vetor no espa¸co de isospin,
A
µ
=(A
(1)
µ
,A
(2)
µ
,A
(3)
µ
) , (A.26)
e em analogia, para os campos escalares temos,
G
µν
= ∂
µ
B
ν
− ∂
ν
B
µ
(A.27)
Na Eq. (A.22), os dois primeiros termos se referem `aenergiacin´etica e massa de l,e
os dois restantes referem-se `as energias cin´eticas dos b´osons n˜ao massivos, vetorial e escalar
respectivamente. Contudo, sabemos que os b´osons mediadores da intera¸c˜ao fraca devem ser
massivos, e sendo assim, necessitamos adicionar neste Lagrangeano o campo de Higgs, cujo
lagrangeano ´e dado por,
L
S
= −|D
µ
ϕ|
2
− µ
2
|ϕ|
2
− λ|ϕ|
4
, (A.28)
onde
81
ϕ =
ϕ
+
ϕ
0
. (A.29)
Aqui ϕ
+
, ϕ
0
s˜ao campos escalares complexos, µ e λ s˜ao parˆametros reais a determinar.
Logo, o Lagrangeano total tem a forma,
L = L
0
+ L
S
(A.30)
Este Lagrangeano descreve a intera¸c˜ao de f´ermios sem massa e b´osons de calibre, e
campos escalares auto-interagentes de massa µ que obedecem exatamente a simetria de
calibre SU(2)
L
× U(1)
Y
. Na natureza esta simetria ´e quebrada, uma vez que os b´osons da
intera¸c˜ao fraca, W
±
e Z
0
, possuem massa. Analisando agora o primeiro par´agrafo desta
se¸c˜ao, levando em conta que o f´oton n˜ao possui massa, entendemos porque esta simetria
deve ser quebrada de tal forma que U(1)
e.m.
seja preservada.
Para a quebra espontˆanea de simetria, escolhemos µ
2
< 0. Esta escolha faz com que o
m´ınimo no potencial da Eq. (A.31),
V = µ
2
|ϕ|
2
+ λ|ϕ|
4
, (A.31)
que ocorre quando |ϕ| =0,sedesloquepara
|ϕ|
2
=
−µ
2
2λ
=
v
2
2
. (A.32)
Isto representa um c´ırculo no plano de |ϕ|. Escolhemos um ponto neste c´ırculo como
sendo o estado fundamental, o que implica em fazermos,
ϕ → ϕ =
0
1
√
2
(v + H)
. (A.33)
Finalmente, ao se substituir a Eq. (A.33) na Eq. (A.30), obtemos o Lagrangeano do
modelo padr˜ao, o qual representa a intera¸c˜ao leptˆonica atrav´es de
82
L
int
= ig(
¯
l
L
γ
µ
τ
2
l
L
) .
A
µ
+ ig
(
¯
l
L
γ
µ
Y
2
l
L
)B
µ
+ ig
(
¯
l
R
γ
µ
Y
2
l
R
)B
µ
(A.34)
Utilizando a Eq. (A.18), juntamente com Eq. (A.19) e Eq. (A.20), o Lagrangeano de
intera¸c˜ao pode ser escrito como,
L
int
= i
g
√
2
(J
+
µ
W
µ
+ J
−
µ
W
†
)+i(g sin θ
W
j
3
µ
+ g
cos θ
W
j
Y
µ
)A
µ
+ i(g cos θ
W
j
3
µ
−g
cos θ
W
j
Y
µ
)Z
µ
,
(A.35)
onde o primeiro termo refere-se `aintera¸c˜ao via corrente caregada, na qual a carga dos
l´eptons ´e modificada em unidades de ±|e|,eW ´e o operador cria¸c˜ao (aniquila¸c˜ao) dos
b´osons massivos carregados, W
±
. O segundo termo refere-se `as intera¸c˜oes de corrente neutra
de natureza eletromagn´etica, e o terceiro `as de natureza fraca mediadas pelo b´oson neutro
Z
0
. Como o segundo termo descreve o eletromagnetismo, esperamos que
g sin θ
w
j
3
µ
+ g
cos θ
W
j
Y
µ
= e(j
(3)
µ
+ j
(Y )
µ
)=ej
e.m.
µ
, (A.36)
implicando em
e = g sin θ
W
= g
cos θ
W
(A.37)
Atrav´es das Eqs. (A.36, A.37), o ´ultimo termo de L
int
pode ser escrito como,
i
g
cos θ
w
(j
3
µ
− sin
2
θ
w
j
e.m.
µ
)Z
µ
(A.38)
e a lagrangeana relevante para a intera¸c˜ao fraca tem a forma final dada por,
L
int
= i
g
√
2
(J
+
µ
W
µ
+ J
−
µ
W
†
)+i
g
cos θ
w
(j
3
µ
− sin
2
θ
w
j
e.m.
µ
)Z
µ
. (A.39)
Ainda podemos escrever a corrente neutra fraca como,
j
Z
µ
=2i
g
cos θ
w
(j
3
µ
− sin
2
θ
w
j
e.m.
µ
)=¯ν
e
L
γ
µ
ν
e
L
− ¯e
L
γ
µ
e
L
+4sin
2
θ
w
¯eγ
µ
e. (A.40)
83
Apˆendice B
F´ormulas matem´aticas
A transformada de Fierz, tal qual a referˆencia [16], ´e dada por:
¯u
1
γ
µ
(1 − γ
5
)u
2
¯u
3
γ
µ
(1 − γ
5
)u
4
= −¯u
1
γ
µ
(1 − γ
5
)u
4
¯u
3
γ
µ
(1 − γ
5
)u
2
, (B.1)
Da mesma referˆencia usamos as matrizes de Pauli, as quais podem ser escritas como,
σ
1
=
01
10
,σ
2
=
0 i
−i 0
,σ
3
=
10
0 −1
. (B.2)
As matrizes γ de Dirac s˜ao definidas em fun¸c˜ao das matrizes de Pauli [16] , σ
i
atrav´es
de,
γ
i
=
0 σ
i
σ
i
0
, (B.3)
e,
γ
0
=
I 0
0 −I
, (B.4)
onde I ´eamatrizidentidade2×2. Al´em dessas, podemos definir a matriz γ
5
como sendo o
seguinte produto entre matrizes γ,
γ
5
= iγ
0
γ
1
γ
2
γ
3
. (B.5)
84
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Colabora¸c˜ao Super-Kamiokande, S.Fukuda, et al., Phys.Rev.Lett. 81 1158 (1999); ibid,
85 3999 (2000).
[2] Particle Data Group, S. Eidelman et al., Phys. Lett. B 592,1 (2004).
[3] M.Honda, T. Kajita, arXiv:astro-ph/0404457.
[4] A.M. Dziewonski, D.L. Anderson, Physics of the Earth and Planetary Interiors, 25
297 (1981).
[5] E. Lisi, D. Montanino, Phys.Rev.D 56,1792 (1997).
[6] T. K. Gaisser and M. Honda, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 52, 153 (2002)
[7] F. Reines et al., Phys. Rev. Lett. 15, 429 (1965).
[8] D. Ayres et al.,Phys. Rev. D 29, 902 (1984).
[9] Collab. IMB, R. Becker Szendy et al., Phys. Rev. Lett. 69, 1010 (1992).
[10] Kamiokande Collaboration, H. S. Hirata et al., Phys. Lett. B 205 416 (1988); ibid.
280 146; Y. Fukuda et al., ibid. 335 237 (1994).
[11] Colab. Soudan, W. W. M. Allison et al.,, Phys.Rev. D72 (2005) 052005.
[12] Colab. MACRO, D. Michael et al., in TAUP 93, Proceedings of the Third International
Workshop on Theoretical and Phenomenological Aspects of Underground Physics, As-
sergi, Italy, edited by C. Arpesella et al. [Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 35 (1994)]
85
[13] Colab. SNO, B. Aharmim et al.,, Phys. Rev. C 72, 055502 (2005).
[14] Colab. MINOS. E. Ables et al., Addendum To P-875, A Long Baseline Neutrino Oscil-
lation Experiment At Fermilab, FERMILAB-PROPOSAL-P-875-ADD, NUMI-L-79,
Apr 1995. 241pp.
[15] Colab. CHOOZ, M. Apollonio et al. Phys. Lett. B 466, 415
(1999); Veja informa¸c˜oes sobre outros experimentos em http://www.e-
science.unicamp.br/nangra/publicacoes/publicacoes.php
[16] M. E. Peskin, D. V. Schr¨oder, Addison-Wesley Publishing Company, An introduction
to quantum field theory.
[17] V. Berezinsky, M. Kachelriess, A. Vilenkin, Phys.Rev.Lett. 79, 4302 (1997).
[18]M.C.Gonzalez-Garcia,H.Nunokawa,O.L.G.Peres,T.Stanev,,J.W.F.Valle.
Phys. Rev. D58, 033004 (1998).
[19] B. Pontecorvo, J. Exptl. Theoret. Phys. 33, 549 (1957); ibid. 34, 247 (1958).
[20] Colab SuperKamiokande, Y. Ashie et al., Physical Review D71 112005, (2005).
[21] Z. Maki, M. Nakagawa, S. Sakata, Prog. Theor. Phys. 28, 870 (1962).
[22] M. Gell-Mann, A. Pais, Phys. Rev. 97, 1387 (1955).
[23] L. Wolfenstein, Phys. Rev. D 17, 2369(1978).
[24] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol. 1 Cambridge University Press
(1983).
[25] S. Weinberg. Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967); A. Salam Proceedings of the Eight
Nobel Symposium (1968); S.L. Glashow, Nucl. Phys. 22, 579 (1961).
[26] C.H.L. Smith, Phys. Rep. C 3 (1972).
[27] O. L. G. Peres, A. Yu. Smirnov, Nucl. Phys. B 680, 479(2004).
86
[28] C. W. Kim, A. Pevsner. Neutrinos in Physics and Astrophysics, Hardwood, (1995).
[29] C.Giunti, C.W.Kim, U.W.Lee, Phis. Rev. D45, 1557 (1992).
[30] M. C. Gonzelez-Garcia. arXiv:hep-ph hep-ph/0504364.
[31] J. Pantaleone, Phis. Rev. D46, 510 (1992).
[32] F.Halzen; A. D. Martin, Quarks e Leptons, John Wiley and Sons, (1976).
87
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
