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Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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Diretrizes
Capítulo 1 para a Prova
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Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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A Comissão do Curso de
Matemática para o ENC/2000
As diretrizes para o ENC/2000 de Matemática foram estabelecidas por comissão, composta a partir
de indicações do Conselho de Reitores das Universidades Brasileiras (Crub), da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática (SBEM), da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e da Secretaria de Educação
Superior (SESu/MEC), com a atribuição de definir:
a) a abrangência e os objetivos do Exame de Matemática;
b) o perfil que se espera do graduando de Matemática;
c) os conteúdos e as habilidades a serem verificados no Exame de Matemática; e
d) todas as especificações e orientações necessárias à elaboração da prova para o Exame
Nacional dos Cursos de Matemática.
A Comissão de Matemática do ENC/2000 foi nomeada pelo Ministro de Estado da Educação, por
meio da Portaria n
o
1.623, de 3 de novembro de 1999, composta pelos seguintes professores:
• Astréa Barreto, da Universidade Federal do Rio de Janeiro;
• Celius Antonio Magalhães, da Universidade de Brasília;
• Denise Trindade Moreira, da Universidade Estadual de Londrina;
• Geraldo Severo de Souza Ávila, da Universidade Federal de Goiás;
• Manoel José Machado Soares Lemos, da Universidade Federal de Pernambuco;
• Maria Elasir Seabra Gomes, da Universidade Federal de Minas Gerais; e
• Tânia Maria Mendonça Campos, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
As Diretrizes para o ENC/2000 de
Matemática
As diretrizes são expressas nos objetivos específicos que a Comissão coloca para o Exame dos
Cursos de Matemática, no perfil que se espera dos egressos desses cursos de graduação, nas habilidades
cujo desenvolvimento esses cursos devem estar propiciando, nos conteúdos essenciais que os graduandos
de Matemática devem dominar ao final do curso, no formato da prova que será aplicada e nas
recomendações para sua elaboração.
Objetivos
a) contribuir para um diagnóstico dos cursos de graduação em Matemática;
b) contribuir para a melhoria da qualidade dos cursos de graduação em Matemática;
c) contribuir para o aprimoramento dos processos de ensino e aprendizagem de Matemática;
d) induzir a valorização dos cursos de graduação em Matemática;
e) avaliar o domínio dos conteúdos básicos de Matemática pelos graduandos; e
f) dar oportunidade ao graduando de avaliar seu desempenho e o de seu curso, em comparação
com outros.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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Perfil
a) visão abrangente do papel social do educador;
b) capacidade de expressar-se com clareza, precisão e objetividade;
c) capacidade de trabalhar em equipes multidisciplinares e de exercer liderança;
d) capacidade de aprendizagem continuada, e de aquisição e utilização de novas idéias e
tecnologias;
e) visão histórica e crítica da Matemática, tanto no seu estado atual como nas várias fases de
sua evolução;
f) capacidade de avaliar livros-textos, estruturação de cursos e tópicos de ensino de Matemática;
g) capacidade de estabelecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento,
visando a uma melhor compreensão de mundo; e
h) capacidade de compreensão e utilização dos conhecimentos matemáticos.
Habilidades
a) compreender e elaborar conceitos abstratos e argumentações matemáticas;
b) interpretar dados, elaborar modelos e resolver problemas, integrando os vários campos da
Matemática;
c) fazer uso apropriado de novas tecnologias;
d) compreender e utilizar definições, teoremas, exemplos, propriedades, conceitos e técnicas
matemáticas;
e) analisar criticamente textos matemáticos e redigir formas alternativas;
f) elaborar, representar e interpretar gráficos;
g) visualizar formas geométricas espaciais;
h) utilizar adequadamente grandezas numéricas;
i) estimular o hábito do estudo independente, despertando a curiosidade e a criatividade de seus
alunos; e
j) trabalhar diferentes métodos pedagógicos na sua prática profissional.
Conteúdos
I. Conteúdos Gerais:
a) Números inteiros, divisibilidade. Números racionais e propriedades. Grandezas incomensuráveis
e números irracionais. Números reais;
b) Funções reais, propriedades e gráficos. Função afim e função quadrática. Função logarítmica
e sua inversa, a função exponencial. Funções trigonométricas;
c) Números complexos;
d) Polinômios, operações algébricas e raízes;
e) Equações, desigualdades e inequações;
f) Sistemas lineares;
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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g) Geometria plana e espacial;
h) Trigonometria;
i) Análise combinatória e probabilidades;
j) Seqüências numéricas. Progressões aritmética e geométrica;
k) Geometria analítica;
l) Cálculo diferencial e integral das funções de uma e de várias variáveis reais;
m) Equações diferenciais ordinárias;
n) Teoria dos números, indução matemática, divisibilidade e congruências;
o) Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos;
p) Álgebra linear: vetores e matrizes, transformações lineares, projeções, reflexões e rotações no
plano;
q) Análise matemática: seqüências e séries infinitas, funções, limite e continuidade, incluindo o
Teorema de Bolzano-Weierstrass, a teoria das funções contínuas em intervalos fechados,
derivadas e aplicações;
r) Cálculo numérico;
s) Noções de Estatística; e
t) Física geral.
II. Conteúdos específicos para o Bacharelado:
a) Integral de Riemann;
b) Seqüências e séries de funções. Convergência uniforme;
c) Integrais de linha e superfície. Teoremas de Green, Gauss e Stokes;
d) Diferenciação de funções de várias variáveis;
e) Teorema das funções implícita e inversa;
f) Geometria diferencial: estudo local de curvas e superfícies, curvatura, primeira e segunda
formas fundamentais;
g) Funções de variáveis complexas: equações de Cauchy-Riemann, fórmula integral de Cauchy,
séries de funções e resíduos;
h) Topologia dos espaços métricos;
i) Equações diferenciais ordinárias: existência e unicidade de soluções, sistemas lineares;
j) Equações diferenciais parciais: equações das ondas, do calor e de Laplace;
k) Extensão de corpos e teoria de Galois; e
l) Matrizes simétricas e redução à forma diagonal. Forma canônica de Jordan.
III. Conteúdos específicos para a Licenciatura:
a) Organização dos conteúdos de Matemática em sala de aula: visão psicológica e visão
filosófica;
b) Avaliação e educação matemática: formas e instrumentos;
c) Teorias da cognição e sua relação com a sala de aula de Matemática; Metodologia do ensino
de Matemática: uso de material concreto, de calculadora e de computador; e
d) Tendências em educação Matemática.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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Formato da Prova
A prova, com 4 (quatro) horas de duração, constou de duas partes. A primeira parte, comum a
todos os graduandos, abordou os conteúdos gerais e foi composta de 25 (vinte e cinco) questões de
múltipla escolha e 5 (cinco) questões abertas. A segunda parte compreendeu outras 5 (cinco) questões
abertas, distintas para o Bacharelado e para a Licenciatura.
Recomendações
Dentre as recomendações da Comissão para a elaboração da prova, destacam-se as seguintes:
a) As questões do Exame devem testar a compreensão e interpretação de textos matemáticos;
conhecimentos e aplicações dos conceitos da Matemática; raciocínio lógico; análise crítica;
situações do cotidiano; interdisciplinaridade, conjugando conhecimentos de diferentes áreas;
b) Além disso, as questões devem testar a leitura e interpretação de gráficos; estimular a
criatividade e levar o graduando a usar a Matemática para comunicar suas idéias,
demonstrando-as via argumentação matemática;
c) Alguma questão deve envolver um enunciado de teorema, em que se poderá verificar a
redação matemática e testar a capacidade de entender um conceito matemático;
d) As questões discursivas não devem ser extensas em sua resolução; devem ser claras,
abrangendo conteúdos essenciais e podendo admitir mais de uma resolução;
e) Devem ser evitadas as questões que possam caracterizar-se como viés cultural,
discriminação, preconceito e as que avaliem apenas memorização;
f) Em relação aos aspectos técnicos de elaboração da prova, as questões devem ser originais e
inéditas; ter enunciados claros, objetivos e corretos; não induzir a erros; ser impossíveis de se
responder imediatamente, com o simples uso da calculadora;
g) As questões de múltipla escolha devem contemplar todos os conteúdos gerais determinados
pela Comissão; e
h) As questões devem ser atraentes, motivadoras e desafiadoras. A resolução da prova deve ser
uma atividade gratificante e convidativa para um aluno de Matemática que, a Comissão
acredita, tem prazer em resolver problemas bem propostos.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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Subsídios para
Interpretação
Capítulo 2 dos Resultados
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
15
Introdução
Para proceder à análise técnica da prova, é preciso esclarecer alguns conceitos que serão
mencionados na análise dos resultados. É preciso explicitar, primeiramente, que a análise foi realizada
computando-se somente provas válidas, retirando-se as provas em branco, ou seja, aquelas em que
nenhuma das questões foi respondida. Também são excluídas da análise as provas de alunos formados em
anos anteriores que, segundo a Portaria n
o
963/97, não são computadas na avaliação dos cursos.
A metodologia de análise da qualidade da prova aplicada envolveu a verificação de sua validade
de conteúdo, o índice de fidedignidade e a caracterização das questões segundo os índices de facilidade e
de discriminação alcançados. Completam os elementos para a análise técnica dados referentes às
estatísticas básicas da prova como um todo, das partes da prova (questões de múltipla escolha e
discursivas) e de cada uma das questões discursivas.
Validade de Conteúdo
Assegurar a validade de conteúdo de uma prova implica garantir que esse instrumento constitui-se
amostra adequada dentro de um universo desejado de conhecimentos e habilidades.
Conforme o que preceitua Gronlund,
1
uma prova será tão mais adequada quanto maior for a
representatividade da amostra de conhecimentos e habilidades selecionada. Nesse sentido, a principal
qualidade a se exigir do instrumento é a sua validade de conteúdo.
No caso do ENC, em que a prova aplicada é de âmbito nacional, os procedimentos que visam
assegurar a validade de conteúdo do instrumento de medida são os descritos a seguir.
Em primeiro lugar, o universo tomado como referência, quanto aos conteúdos e habilidades a
serem verificados, deve ser representativo do que foi efetivamente ministrado aos graduandos das
diferentes instituições de ensino superior (IES) que se submetem ao Exame. Assim, a Comissão de Curso
que estabelece as diretrizes do ENC, entre as quais os conteúdos e habilidades a serem verificados, é
formada por docentes de diferentes regiões geográficas, com atuação em IES públicas e privadas.
Além desse cuidado com a composição da Comissão de Curso, o Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais (Inep) solicita das IES, para subsidiar a Comissão na tarefa de estabelecimento
das diretrizes, os projetos pedagógicos dos cursos a serem avaliados, que incluem seus objetivos e
aspectos dos conteúdos e habilidades propostos nos respectivos currículos, bem como o perfil
profissiográfico dos seus egressos. A par desses projetos pedagógicos, a Comissão tem, ainda, como
subsídios, sugestões enviadas por coordenadores de curso sobre conteúdos e habilidades a serem
avaliados.
Fixadas as diretrizes para o ENC, a Comissão de Curso estabelece recomendações à Banca
Examinadora, encarregada de elaborar a prova, quanto à abordagem a ser dada no instrumento de
avaliação e à proporção de questões relativamente aos tópicos de conteúdo relacionados, para garantir a
validade da prova.
1
GRONLUND, Norman E. Measurement and evaluation in teaching. New York: The Macmillan Company, 1971. p. 78.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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Essa Banca Examinadora, tal qual a Comissão, é composta por professores com pós-graduação
stricto sensu na área, atuantes no ensino de graduação, provenientes de diferentes regiões do País e de
instituições públicas e privadas.
A partir da relação de conteúdos e habilidades estabelecidos como diretrizes do Exame e das
recomendações para a elaboração da prova, a Banca Examinadora constrói uma tabela de especificação,
ferramenta básica que visa garantir a representatividade da amostra de conteúdos e habilidades
desenvolvidos no processo de ensino-aprendizagem dos graduandos. Trata-se de uma tabela de dupla
entrada, na qual se cruzam os tópicos de conteúdos e as habilidades e se registra o número de questões,
em termos de sua importância relativa na prova como um todo.
A Banca Examinadora elabora questões conforme definido nessa tabela de especificação e
analisa, seleciona, aperfeiçoa as que compõem a prova em sua versão definitiva. A própria Banca, com a
assessoria de especialistas em medidas educacionais, julga e aperfeiçoa as questões quanto aos aspectos
relativos ao seu formato e à sua consistência em relação aos conteúdos e habilidades definidos.
O procedimento de concepção do Exame e de construção do instrumento, conforme descrito,
assegura a validade do conteúdo da prova, visto que o processo permite:
a) identificar comportamentos relevantes, representativamente amostrados; e
b) identificar áreas de conteúdo, também representativamente amostradas.
2
Dessa forma, considera-se que a prova tem validade de conteúdo, no sentido de que ela reflete o
universo de conhecimentos e habilidades que se espera que os graduandos tenham adquirido após sua
experiência educacional em nível de graduação.
Índice de Fidedignidade
Foi estimado o índice de fidedignidade das questões de múltipla escolha da prova, a fim de
caracterizar o teste quanto à sua capacidade de produzir resultados precisos. Para as questões de múltipla
escolha, foi adotado o método de Kuder-Richardson (KR
20
). Este índice é fortemente influenciado pela
variância de desempenho do grupo e pelo número de itens aplicados, sendo que, quanto mais próximo de 1
(um), maior precisão o instrumento possui.
Índice de Facilidade
O índice de facilidade de cada questão é representado pelo resultado da divisão do número de
pontos obtidos na questão por todos os respondentes pelo produto do valor total da questão pelo número
total de respondentes.
3
A escala utilizada para a classificação e posterior análise do índice de facilidade foi
adaptada de Lafourcade,
4
Pasquali
5
e Vianna.
6
As questões de dificuldade média são aquelas que se
encontram entre os índices 0,41 e 0,60. A partir de um índice igual ou menor que 0,40, a questão é
2
VIANNA, Heraldo M. Testes em educação. São Paulo: Ibrasa, 1973. p. 173.
3
UNIVERSITY OF IOWA. Evaluation and Examination Service. Improving essay examination III. Use of item analysis. (Tech. Bull. nº
11) Iowa City.
4
LAFOURCADE, Pedro D. Evaluación de los aprendizajes. Buenos Aires: Kapelusz, 1969. p. 211.
5
PASQUALI, Luiz (Org.). Medida psicométrica. In: TEORIA e métodos de medida em ciências do comportamento. Brasília:
Laboratório de Pesquisa em Avaliação e Medida/Instituto de Psicologia/UnB: Inep, 1996. p. 83.
6
VIANNA, Heraldo M. Testes em Educação. São Paulo: Ibrasa, 1973. p. 192.
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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considerada difícil e muito difícil. Questões fáceis ou muito fáceis são as que alcançam índice superior a
0,60.
Índice de Discriminação
A discriminação refere-se ao poder de uma questão de diferenciar sujeitos que têm melhores
resultados daqueles cujo desempenho se caracteriza como mais deficiente. Uma questão muito fácil, por
exemplo, pode não atingir um índice de discriminação desejável, porque quase todos os examinandos
conseguem acertá-la. Situação semelhante pode ocorrer com uma questão muito difícil, onde a grande
maioria erra. Especificamente nas questões objetivas, em itens muito difíceis, há, ainda, maior probabilidade
de acerto casual.
Para se obter o cálculo do índice de discriminação das questões de múltipla escolha, inicialmente
os graduandos foram ordenados segundo a nota obtida na parte objetiva da prova. Efetuou-se,
posteriormente, a separação dos indivíduos em três grupos de desempenho: o grupo superior, constituído
pelos 27% de graduandos cujos desempenhos foram os mais elevados; o grupo intermediário, composto
por 46% do total de graduandos; e o grupo inferior, formado pelos 27% de graduandos com resultados mais
baixos. O índice de discriminação foi calculado, para cada questão, através da diferença entre a proporção
de acerto do grupo superior e a do grupo inferior. Quanto mais próximo o índice de discriminação de uma
questão estiver de 1 (um), mais discriminativa ela é, indicando que houve mais acertos no grupo superior
(aqueles que alcançaram melhor desempenho) do que no grupo inferior (aqueles que demonstraram
desempenho mais fraco).
O índice de discriminação também evidencia a qualidade da questão em relação à população
examinada. Para a classificação dos itens utilizou-se uma escala adaptada de Ebel.
7
Coeficientes
superiores a 0,40 indicam questões altamente discriminativas (excelentes), enquanto índices abaixo de ou
iguais a 0,19 referem-se a questões com fraco poder de discriminação – em geral, são aquelas com algum
problema no enunciado ou na construção das alternativas ou com abordagens de conteúdo muito difíceis
ou, ao contrário, muito fáceis.
Estatísticas Básicas
Para sintetizar os resultados obtidos em termos de desempenho, utilizam-se medidas de tendência
central, sendo as mais comuns a média aritmética e a mediana. A média aritmética é a soma das notas
obtidas por todos os alunos em uma determinada prova, dividida pelo número de examinandos. A mediana
é o ponto que separa a distribuição das notas ao meio, isto é, 50% dos escores estão abaixo dela e 50%,
acima.
A média é uma medida menos estável, por ser afetada por notas muito baixas ou muito altas.
Utiliza-se a sua comparação com a mediana para se ter idéia de como ocorreu a distribuição das notas.
Assim, se numa determinada prova a média é mais baixa do que a mediana, presume-se que a maior parte
7
EBEL, Robert L. Essentials of educational measurement. New Jersey: Prentice Hall, 1972. p. 399
Relatório-Síntese 2000 ANEXO Matemática
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dos alunos alcançou notas altas; ao contrário, quando a média é maior do que a mediana, a interpretação a
ser dada é que a maior parte dos alunos obteve notas baixas.
Na análise das provas consideram-se, também, as medidas de variabilidade dos resultados, para
saber se o grupo de alunos obteve resultados homogêneos ou heterogêneos. A medida de variabilidade
utilizada nesta análise é o desvio-padrão, que indica como as notas variam em relação à média. Quanto
maior a variabilidade dos resultados, maior é o desvio e mais heterogêneo é o grupo.
Outras informações importantes referem-se às notas mínima e máxima alcançadas no grupo geral
e aos percentis 10 e 90 (P10 e P90), ou seja, as notas abaixo das quais estão 10% e 90% dos
desempenhos. Também foram assinalados os percentis 27 e 74 (P27 e P74) que separam os grupos
superior e inferior de desempenho.
A Correção da Prova
A correção das questões de múltipla escolha é feita mecanicamente, por meio de leitura óptica.
A correção das questões discursivas passa primeiramente por uma fase amostral, que consiste na
correção de uma amostra de provas, com o objetivo de verificar a pertinência do padrão de respostas
esperado, preliminarmente estabelecido pela banca, e homogeneizar a aplicação do critério de correção.
A constituição dessa amostra obedece aos critérios a seguir:
a) 1,5% de provas de graduandos de diferentes regiões geográficas; diferentes instituições,
diferentes dependências administrativas e de instituições que obtiveram diferentes conceitos, no
Exame anterior, quando não for a primeira participação;
b) 50 provas para as áreas em que o percentual de 1,5% for menor do que esse número,
obedecendo-se ao critério de heterogeneidade especificado no item acima.
Nessa fase são levantados dados de estatística básica (média, desvio-padrão, nota mínima, nota
máxima, entre outros), do desempenho geral e por questão. Os resultados amostrais são apresentados à
Comissão de Curso, para discussão e ajuste do padrão de respostas proposto, e só então inicia-se a
correção propriamente.
Na correção, atua uma equipe de professores com reconhecida experiência tanto na sua área
específica quanto na habilidade de proceder à correção de instrumentos discursivos de medida. Para
garantir uma avaliação mais justa e objetiva, os profissionais responsáveis pela correção das provas
analisam os padrões de resposta esperados e, em equipe, discutem cuidadosamente os critérios. Cada
dupla de avaliadores se responsabiliza pela correção de uma única questão, garantindo, assim, maior
consistência aos escores, homogeneidade de critérios, maior rapidez e confiabilidade de correção. Evita-se,
dessa forma, também, a influência do erro de halo, isto é, que o desempenho em uma questão influencie o
julgamento da questão seguinte.
O formulário adotado no Caderno de Respostas é de tal forma elaborado que assegura o
anonimato do graduando e de sua instituição de origem, passando por rigorosos procedimentos de controle
e conferência.
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