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INPE-0000-TDI/000
EVOLU ¸C
˜
AO DE GRUPOS COMPACTOS ATRAV
´
ES DE
SIMULA¸C
˜
OES NUM
´
ERICAS
Cl´audio Soriano de Souza Brand˜ao
Disserta¸c˜ao de Mestrado em Astrof´ısica, orientada pelo Dr. Hugo V. Capelato.
INPE
S˜ao Jos´e dos Campos
2006
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Livros Grátis
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Aprovada pela Banca Examinadora
em cumprimento a requisito exigido
para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre
em Astrof´ısica.
Dr. Hugo Vicente Capelato
Orientador
INPE, SJCampos (SP)
Dr. Reinaldo Ramos de Carvalho
Membro da Banca
INPE, SJCampos (SP)
Dr. Oswaldo Duarte Miranda
Membro da Banca
INPE, SJCampos (SP)
Dra. Cl´audia Mendes de Oliveira
Membro da banca – convidado –
IAG, S˜ao Paulo (SP)
Candidato: Cl´audio Soriano de Souza Brand˜ao
S˜ao Jos´e dos Campos, 25 de Maio de 2006.
“Moving waves, the wind has left you and you are still in commotion.
We are still repeating the word it has taught us, It moves our whole
being to ecstasy.
Waves, why do you all become excited and then all calm together?
Because behind our individual action there is one impulse working.
Rising waves, what motive is behind your impulse?
The desire to reach upwards”.
Inayat Khan
A todos aqueles que valorizam o seu semelhante.
AGRADECIMENTOS
Agrade¸co a Deus e ao Seu Filho Jesus Cristo.
Aos meus queridos av´os e pais, pela minha educa¸c˜ao e pelo suporte pecuni´ario na
cidade de S˜ao Jos´e dos Campos, na primeira fase da pesquisa.
`
A minha esposa, por sua incans´avel dedica¸c˜ao nos bastidores durante a elabora¸c˜ao
desta pesquisa.
Aos meus grandes amigos do grupo musical Crescendo com Cristo.
Aos meus m´edicos e amigos Dr. Elson Marcos, Dr. Eus´ınio Lavigne Neto e Dr. Irani
Salom˜ao.
Ao Doutor Hugo Vicente Capelato, pela orienta¸c˜ao e incentivo intelectual `a realiza-
¸c˜ao este trabalho.
Ao Doutor Reinaldo Ramos de Carvalho pelas sugest˜oes e cr´ıticas.
Ao pessoal do Suporte T´ecnico dos Clusters do IAG: Huang Sen Yann, Laercio
Alves Nogueira e Ulisses Manzo Castello. Sem a ajuda incans´avel destas pessoas, as
simula¸c˜oes n˜ao poderiam ter sido realizadas.
Ao Dr. Marcio Ramos de Oliveira, da UFRGS, que gentilmente colaborou com este
trabalho.
`
As secret´arias da DAS: Valdirene e Nilda.
Agradecimentos especiais `a Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel
Superior - Capes, pelo apoio financeiro.
RESUMO
Neste trabalho, estudamos algumas das principais quest˜oes correntes sobre os gru-
pos compactos de gal´axias. Estes grupos s˜ao pequenos sistemas de gal´axias nos quais
as separa¸c˜oes angulares entre os seus membros ´e da mesma ordem de grandeza da
dimens˜ao angular do grupo. Atualmente, os astrˆonomos ainda se questionam como ´e
poss´ıvel que se observem tantos grupos compactos no Universo, enquanto simula¸c˜oes
num´ericas de N-corpos indicam que esses devam se fundir em apenas poucos per´ıodos
orbitais de suas gal´axias-membros. Em contrapartida, algumas observa¸c˜oes sugerem
que estes grupos s˜ao sistemas fisicamente ligados e que as suas gal´axias constituintes
est˜ao imersas num halo de mat´eria escura comum. Estudamos esta ´ultima hip´otese,
no caso particular em que as gal´axias se encontram em equil´ıbrio dinˆamico com o
halo hospedeiro, originado segundo o cen´ario de forma¸c˜ao hier´arquica de estruturas.
Alguns estudos mostram que, neste caso, as gal´axias destes grupos n˜ao coalescem,
mantendo as suas caracter´ısticas primevas por muitos per´ıodos orbitais, durante
um tempo de Hubble. Nesta Disserta¸c˜ao, fazemos cr´ıticas a este cen´ario simplifi-
cado, investigando a sua compatibilidade com os seguintes aspectos observacionais:
o grande n ´umero de grupos nos quais as duas gal´axias dominantes possuem pequena
diferen¸ca de magnitudes (∆M
12
), a popula¸c˜ao de gal´axias de baixa luminosidade, a
segrega¸c˜ao de luminosidades de suas gal´axias e a emiss˜ao de luz difusa emitido pelo
material intragrupo. Estes aspectos s˜ao importantes, porque constituem evidˆencias
de intera¸c˜oes por for¸cas de mar´e e coalescˆencias entre as gal´axias, decorrentes de ins-
tabilidades dinˆamicas, contradizendo o cen´ario analisado. Portanto, estudamos estes
aspectos e as caracter´ısticas dinˆamicas destes sistemas auto-gravitantes, realizando
cinco simula¸c˜oes num´ericas de grupos compactos modelados por um conjunto de
gal´axias representadas por part´ıculas e por um halo de mat´eria escura, cujo campo
gravitacional ´e representado por uma fun¸c˜ao anal´ıtica. Assim, verificamos a evolu-
¸c˜ao dinˆamica dos grupos modelados, integrando as equa¸c˜oes de movimento das suas
part´ıculas com o aux´ılio de um c´odigo num´erico paralelizado. Deste modo, encon-
tramos que este cen´ario n˜ao explica porque existem tantos grupos com pequenos
valores de ∆M
12
. Mostramos tamb´em que a segrega¸c˜ao de luminosidades se mani-
festa transientemente, n˜ao sendo, pois, explicada por este cen´ario, embora o grupo
conserve a sua popula¸c˜ao de gal´axias com baixa luminosidade por um per´ıodo de
10 Ganos. Conclu´ımos que, `a luz deste simples cen´ario, a quantidade de luz difusa
emitida pelo meio intragrupo depende das caracter´ısticas dinˆamicas de todo o grupo.
Dentre cinco grupos simulados, em apenas dois reproduzimos a fra¸c˜ao de material
intragrupo observada em dois grupos compactos de Hickson (H79 e H95).
EVOLUTION OF COMPACT GROUPS BY NUMERICAL
SIMULATIONS
ABSTRACT
In this work, we study the main questions about the compact groups of galaxies.
These groups are small systems of galaxies in apparent close proximity in the sky.
Nowadays, astronomers question why too many groups are seen in the Universe,
because some N-body numerical simulations suggest that compact groups should
not persist for a time longer that 10% of the Hubble time, due to mergers of their
galaxies in a few orbital perio ds. On the other hand, some observations suggest that
these groups are physically bound systems in which the galaxies are embedded in
a common dark matter halo. We verify this hypothesis, in which the galaxies are
in dynamical equilibrium with a common halo originated in hierarchical scenario
of structure formation. In this case, some numerical simulations show that galaxies
don’t merger, maintaining their original properties for a time period equal to or
longer than a Hubble time. In this work, we critisize this simple scenario, examining
its compability with the following observational aspects: i) the excess of groups for
which the first and second ranked galaxies have small magnitude differences (the
∆M
12
problem); ii) the presence of a faint galaxy population; iii) the existence of a
luminosity segregation of galaxies and, iv) the detection of a diffuse intragroup light.
These aspects are important, because their presence suggests strong tidal interacti-
ons and mergers of galaxies due to dynamical instabilities, which may contradict our
simple scenario. Our approach is based on numerical simulations, in which the gala-
xies are treated as particles embedded in the dark matter halo, whose gravitational
field is represented by an analytical function. The dynamical evolution of the simu-
lated groups is studied by evaluating the equation of motion of their particles with
a numerical code. In this way, we find that our adopted scenario can’t explain the
∆M
12
problem. We also show that the luminosity segregation seldom have ocourred
in the simulations. So, our simple scenario can’t explain the luminosity segregation
in compact groups, although, in our simulations, the faint galaxy population can
persist for a time period equal to 10 Gyears. We conclude that the quantity of the
diffuse intragroup light depends on the group dinamical properties. Only two groups
(among five simulated groups) have fractions of intragroup material similar to what
is observed in Hickson Compact Groups H79 and H95.
SUM
´
ARIO
P´ag.
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE TABELAS
CAP
´
ITULO 1 - Introdu¸c˜ao 25
1.1 - Panorama Hist´orico e Principais Levantamentos . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 - Aspectos Observacionais dos Grupos Compactos . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.1 - Redshifts Discordantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.2 - O Tempo de Cruzamento – Crossing Time . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.3 - Aspectos Morfol´ogicos e Dinˆamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.4 - Intera¸c˜oes e Forma¸c˜ao Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.5 - Gal´axias de Baixa Luminosidade e Segrega¸c˜ao de Luminosidades em
GCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.6 - A Fun¸c˜ao de Luminosidade dos GCH’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.7 - Atividade Nuclear em Gal´axias de GC’s . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.8 - GCs: Uma Natureza Peculiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.9 - Massas Dinˆamicas – Teorema do Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.10 -Massas Dinˆamicas – Emiss˜ao em Raios-X . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3 - Estado da Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.1 - Principais Hip´oteses Sobre A Natureza dos GC’s . . . . . . . . . . . . 45
1.4 - Objetivos desta Disserta¸c˜ao de Mestrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
CAP
´
ITULO 2 - Os Modelos Simulados 55
2.1 - Das Condi¸c˜oes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.1 - Aspectos Gerais das Condi¸c˜oes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.2 - As Gal´axias-Membros e Suas Massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2 - As Fam´ılias de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.1 - O Modelo Arbitr´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.2 - Os Modelos Determinados por Mar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.3 - O Modelo MGFDT-E: Implementa¸c˜oes ao Modelo MGFDT . . . . . 73
2.2.4 - Modelos Derivados do Modelo MGFDT-E . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 - Compara¸c˜ao entre os Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
CAP
´
ITULO 3 - Das Simula¸c˜oes 81
3.1 - O C´odigo GADGET-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 - Simula¸c˜oes de Sistemas F´ısicos Autogravitantes . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.2 - O Algoritmo em
´
Arvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.3 - A Paraleliza¸c˜ao – Uma Breve Explica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.4 - Estrutura do Arquivo de Instantˆaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2 - Principais Parˆametros Usados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.1 - O Parˆametro de Amolecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 - Parˆametro de Tolerˆancia e o Passo Temporal . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.3 - Sistema de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 - Dos Equipamentos Usados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
CAP
´
ITULO 4 - Resultados das Simula¸c˜oes 95
4.1 - Principais T´ecnicas Usadas para Obten¸c˜ao dos Resultados . . . . . . . . 95
4.1.1 - C´alculo da Energia Total e do Coeficiente Virial . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.2 - Das Gal´axias ou Objetos Transientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 - Principais Resultados das Simula¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.1 - Resultados do modelo MRAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.2 - Resultados do Modelo MGFDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.3 - Resultados do Modelo MGFDT-E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.4 - Resultados do Modelo MGFDT-E-RAD . . . . . . . . . . . . . . . . 116
CAP
´
ITULO 5 - An´alises e Resultados Finais das Simula¸c˜oes 123
5.1 - Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1 - Estimativas de Canibaliza¸c˜ao e Interpenetra¸c˜ao entre Membros . . . . 123
5.1.2 - Evolu¸c˜ao Temporal dos Valores de ∆M
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.3 - Estimativas da Segrega¸c˜ao de Luminosidades . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.4 - Dispers˜ao de Velocidades dos Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.5 - Separa¸c˜ao M´edia Interpares e Separa¸c˜ao Projetada . . . . . . . . . . . 126
5.2 - Evolu¸c˜ao dos Observ´aveis nos Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.1 - Evolu¸c˜ao do Modelo MRAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.2 - O Modelo MGFDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.3 - Resultados dos Modelos MGFDT-E, MGFDT-E-RES e MGFDT-
E-RAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3 - An´alises Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.1 - Estimativas do Perfil Radial do Brilho Superficial . . . . . . . . . . . . 135
5.3.2 - An´alises do Percentual do Material Intragrupo . . . . . . . . . . . . . . 142
CAP
´
ITULO 6 - Discuss˜oes Finais 145
REFER
ˆ
ENCIAS BIBLIOGR
´
AFICAS 149
AP
ˆ
ENDICE A - Convers˜ao do Sistema de Magnitudes 157
AP
ˆ
ENDICE B - Principais M´etodos Usados em Simula¸c˜oes Num´e-
ricas 163
AP
ˆ
ENDICE C - Esferas de King
169
AP
ˆ
ENDICE D - Esferas de Hernquist 173
AP
ˆ
ENDICE E - Das Figuras de Instantˆaneo 177
LISTA DE FIGURAS
P´ag.
1.1 Fra¸c˜ao de Espirais versus a dispers˜ao de velocidades. . . . . . . . . . . . 30
1.2 A fun¸c˜ao de luminosidades ajustada para a amostra de grupos compactos
de
de Carvalho et al. (1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3 Fun¸c˜ao de luminosidades do grupos obtida no levantamento na banda R
por Hunsberger et al. (1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Histogramas dos valores de ∆M
12
para 734 GCs. . . . . . . . . . . . . . 40
2.1 Perfis de Hernquist e de NFW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Distribui¸c˜ao do n´umero de GCs em fun¸c˜ao de suas massas totais. . . . . 59
2.3 Perfis radiais de densidade dos modelos de King e de Hernquist. . . . . . 60
2.4 Distribui¸c˜ao da Separa¸c˜ao Interpares das gal´axias de um t´ıpico modelo
simulado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Trajet´orias ideais dos centros de massa das gal´axias do modelo MRAND. 66
2.6 Valores do parˆametro de concentra¸c˜ao c em fun¸c˜ao dos valores de W
0
. . . 70
2.7 Sup erposi¸c˜ao das ´orbitas ideais dos centros de massa das vinte gal´axias
do Modelo MGFDT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.8 Sup erposi¸c˜ao das ´orbitas ideais dos centros de massa das vinte gal´axias
do Modelo MGFDT-E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.9 Trajet´orias ideiais seguidas pelos centros de massa das gal´axias do modelo
MGFDT-E-RAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1 Dois instantˆaneos do modelo MRAND, com distintos valores de . . . . 84
3.2 Representa¸c˜ao da ´arvore octal de Barnes e Hut em duas dimens˜oes. . . . 85
3.3 Divis˜ao recursiva do dom´ınio computacional para quatro processadores
em duas dimens˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Divis˜ao recursiva do dom´ınio computacional bidimensional seguindo uma
curva de Peano-Hilbert com a forma de .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Divis˜ao recursiva do dom´ınio computacional por uma curva de Peano-
Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1 Evolu¸c˜ao temporal do coeficiente virial, da energia total e do n´umero de
objetos-FOFs do modelo MRAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Evolu¸c˜ao dos remanescentes do modelo MRAND. . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Instantˆaneos do modelo MRAND em proje¸c˜ao no plano-xy. . . . . . . . 108
4.4 Evolu¸c˜ao temporal do coeficiente virial, da energia total e do n´umero de
objetos-FOFs do modelo MGFDT.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Evolu¸c˜ao temporal do n´umero de part´ıculas dos objetos remanescentes
do modelo MGFDT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6 Instantˆaneos em proje¸c˜ao no plano−xy do modelo MGFDT. Os instan-
tes est˜ao indicados nos quadros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.7 Evolu¸c˜ao do coeficiente virial, da energia total normalizada e do n´umero
de objetos-FOFs do modelo MGFDT-E. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8 Evolu¸c˜ao dos objetos remanescentes do modelo MGFDT-E. . . . . . . . 113
4.9 Instantˆaneos do modelo MGFDT-E em proje¸c˜ao no plano−xy. . . . . . 114
4.10 Evolu¸c˜ao do coeficiente virial, da energia total normalizada e do n´umero
de objetos-FOFs do modelo MGFDT-E-RES. . . . . . . . . . . . . . . 115
4.11 Evolu¸c˜ao dos objetos remanescentes do modelo MGFDT-E-RES. . . . 116
4.12 Visualiza¸c˜ao das part´ıculas do modelo MGFDT-E-RES no plano−xy. . 117
4.13 Visualiza¸c˜ao das part´ıculas do modelo MGFDT-E-RES no plano−xz. . 118
4.14 Visualiza¸c˜ao das part´ıculas do modelo MGFDT-E-RES no plano−yz. . 119
4.15 Evolu¸c˜ao do coeficiente virial, da energia total normalizada e do n´umero
de objetos-FOFs do modelo MGFDT-E-RAD. . . . . . . . . . . . . . . 120
4.16 Evolu¸c˜ao dos remanescentes do modelo MGFDT-E-RAD. . . . . . . . 121
4.17 Visualiza¸c˜ao das part´ıculas do modelo MGFDT-E-RAD no plano−xy. 122
5.1 Evolu¸c˜ao das caracter´ısticas do modelo MRAND. . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Visualiza¸c˜ao das gal´axias do modelo MRAND no instante de 2,0 Ganos. 129
5.3 Evolu¸c˜ao das caracter´ısticas do modelo MGFDT. . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 Evolu¸c˜ao dos aspectos observacionais do modelo MGFDT. . . . . . . . 132
5.5 Evolu¸c˜ao dos aspectos observacionais do modelo MGFDT-E-RES. . . . 133
5.6 Evolu¸c˜ao de parˆametros globais para o modelo MGFDT-E-RAD. . . . 134
5.7 Visualiza¸c˜ao das gal´axias do modelo MRAND no instante de 9,9 Ganos. 136
5.8 Estimativas do perfil radial do brilho superficial na banda V do material
intragrupo do modelo MRAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.9 Estimativas do perfil radial do brilho superficial na banda V do objeto
central do modelo MRAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.10 Perfil radial do brilho superficial na banda V para a gal´axia cD 1413 do
aglomerado de Abell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.11 Perfis radiais do brilho superficial na banda V para gal´axias de diversas
luminosidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.1 Correla¸c˜ao entre os valores de magnitude obtidos no sistema fotom´etrico
usado p or Hickson et al. (1989) (R) e os respectivos valores obtidos no
sistema usado pelo SDSS (r
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
LISTA DE TABELAS
P´ag.
2.1 Modelo MRAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 Modelo MGFDT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3 O Modelo MGFDT-E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4 N´umero de Part´ıculas do Modelo MGFDT-E-RES. . . . . . . . . . . . 76
2.5 O Modelo MGFDT-E-RAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6 Principais Caracter´ısticas dos Modelos Simulados. . . . . . . . . . . . . . 79
3.1 Representa¸c˜ao esquem´atica da estrutura de um arquivo de instantˆaneo. . 90
3.2 Valores de para os modelos simulados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1 Estrutura t´ıpica de um arquivo de relat´orio. . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2 Modelo de estrutura do arquivo contendo a an´alise completa dos dados
dos objetos-FOFs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1 Caracter´ısticas das Principais Simula¸c˜oes Discutidas Nesta Disserta¸c˜ao. . 147
A.1 Dados de 48 gal´axias de GCHs, disponbilizados pelo banco de dados do
SDSS.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
CAP
´
ITULO 1
Introdu¸c˜ao
1.1 Panorama Hist´orico e Principais Levantamentos
Grupos compactos de gal´axias (GCs) s˜ao pequenos sistemas de gal´axias nos quais
a separa¸c˜ao angular entre seus membros ´e da ordem de grandeza de suas pr´oprias
dimens˜oes. O estudo de tais objetos remonta `as observa¸c˜oes de Stephan (STEPHAN,
1877), seguidas por aqueles realizados por Seyfert (SEYFERT, 1948) quase um s´eculo
ap´os.
Os primeiros cat´alogos de GCs eram intrinsecamente subjetivos, pois eram elabora-
dos com base em inspe¸c˜oes visuais de placas fotogr´aficas que indicavam presen¸ca de
peculiaridades. O Atlas of Interacting Galaxies (VORONTSOV-VELYAMINOV, 1959) e
o Atlas of Peculiar Galaxies (
ARP, 1966) s˜ao exemplos cl´assicos deste procedimento.
Somente na d´ecada de 70 ´e que cat´alogos baseados em crit´erios de sele¸c˜ao quanti-
tativos come¸caram a aparecer (ROSE, 1977). Neste trabalho, Rose identifica grupos
com trˆes ou mais gal´axias mais brilhantes que a magnitude limite de 17, 5
m
e com
contraste de densidade superficial de 1000 em rela¸c˜ao ao campo. No entanto, Hickson
(1982) foi o pioneiro na elabora¸c˜ao de um cat´alogo baseado em crit´erios de sele¸c˜ao
objetivos, usando placas fotogr´aficas de um levantamento fotogr´afico homogˆeneo e
completo, o POSS-I (Palomar Observatory Sky Survey). Tais crit´erios foram:
• Riqueza. n ≥ 4, onde n ´e o n´umero de gal´axias no intervalo de magnitudes
m
f
−m
b
≤ 3
m
. m
f
representa a magnitude da gal´axia menos luminosa do
grupo e m
b
, a da gal´axia mais luminosa.
• Isolamento. θ
iso
≥ 3θ
g
, onde θ
g
´e o diˆametro angular do menor c´ırculo que
cont´em os centros geom´etricos das gal´axias do grupo. θ
iso
´e o diˆametro an-
gular do maior c´ırculo concˆentrico desprovido de gal´axias com magnitudes
m
e
tais que m
e
− m
b
≤ 3
m
.
• Compacticidade. µ
g
< 26, 0 mag arcsec
−2
na banda E (que corres-
ponde aproximadamente `a banda R do sistema fotom´etrico de John-
son), onde µ
g
´e o brilho superficial m´edio do grupo, calculado como
µ
g
= −2, 5log
P
i
10
−0,4m
i
πθ
2
g
, com m
i
representando as magnitudes das ga-
l´axias membros.
25
Utilizando tais crit´erios, Hickson (1982) catalogou exatos 100 GCs, que passaram
a ser conhecidos como Grupos Compactos de Hickson (GCHs), cobrindo uma ´area
que corresponde a 67% do c´eu.
Posteriormente, outros trabalhos definiram amostras de GCs a partir de imagens
digitalizadas e crit´erios objetivos. Prandoni et al. (1994), usando um cat´alogo di-
gitalizado de gal´axias (COSMOS/UKST Southern Galaxy Catalogue) e os mesmos
crit´erios de sele¸c˜ao adotados por Hickson, catalogaram 59 GC’s no Hemisf´erio Sul
(Southern Compact Groups – SCG’s). Barton et al. (1996), baseados num levanta-
mento completo de redshifts limitados por magnitude, definem um cat´alogo de GC’s
selecionados por redshifts, no qual os grupos foram detectados atrav´es da aplica¸c˜ao de
um algoritmo “amigos-dos-amigos” (friends-of-friends). Os crit´erios utilizados para
selecionar os grupos incluem separa¸c˜oes projetadas m´aximas de 50 h
−1
kpc e diferen-
¸cas entre as velocidades da linha de visada de at´e 1000 km.s
−1
. Mais recentemente,
Iovino et al. (2003) definiram, com base nos dados do DPOSS, uma amostra de 84
GC’s sobre 2000 graus quadrados no c´eu do Hemisf´erio Norte, usando os seguintes
crit´erios de sele¸c˜ao:
• Riqueza. n ≥ 4, onde n ´e o n´umero de gal´axias no intervalo de magnitudes
m
f
− m
b
≤ 2 mag.
• Isolamento. θ
iso
≥ 3θ
g
, θ
iso
´e a distˆancia entre o centro do menor c´ırculo
que define o grupo e a gal´axia n˜ao-membro mais pr´oxima, com magnitude
m
lim
≤ 0, 5 + m
f
.
• Compacticidade. µ
g
< µ
lim
, onde µ
lim
= 24, 0 mag arcsec
−2
na banda r.
Lee et al. (2004) selecionam uma amostra de 175 GC’s, a partir dos dados do Le-
vantamento Digital do Sloan (SDSS – Sloan Digital Sky Survey), com o redshift
fotom´etrico mediano de 0, 13, usando os seguintes crit´erios de sele¸c˜ao:
• Limita¸c˜ao em magnitude. 14, 0
m
≤ r
∗
≤ 21, 0
m
, onde a banda r
∗
´e medida
no sistema fotom´etrico dos dados preliminares (Early Dala Release) do
SDSS.
• Riqueza, com n´umero m´aximo de membros. 10 ≥ N ≥ 4.
• Isolamento. θ
iso
> 3θ
G
.
26
• Compacticidade. µ
G
< 24, 0 mag arcsec
−2
, na banda r
∗
.
Utilizando os mesmos crit´erios de sele¸c˜ao usados por Iovino et al. (2003), de Carvalho
et al. (2005) definem um cat´alogo de GC’s distantes (redshift mediano, 0,12 ) usando
os dados do DPOSS e selecionando 459 GCs numa ´area de 6260 graus quadrados do
c´eu.
1.2 Aspectos Observacionais dos Grupos Compactos
Desde a divulga¸c˜ao dos primeiros cat´alogos de GCs definidos de forma objetiva,
questiona-se a natureza destes grupos. Conforme veremos em mais detalhes na Se-
¸c˜ao 1.3.1, v´arias hip´oteses foram propostas, por´em sempre em torno da quest˜ao
principal se os GCs s˜ao realmente sistemas f´ısicos ligados ou simples alinhamentos
casuais. Segundo a hip´otese de alinhamentos casuais, as dimens˜oes das gal´axias que
comp˜oem um dado GC seriam muito menores do que as suas separa¸c˜oes reais. Na
nossa linha de visada, eles constituiriam um sistema compacto devido a efeitos de
proje¸c˜ao. Logo, intera¸c˜oes gravitacionais poderiam ocorrer apenas entre pares de
gal´axias ocasionalmente pr´oximas (MAMON, 1995). Por outro lado, a hip´otese de
sistemas gravitacionalmente ligados, como o pr´oprio nome sugere, admite que as
gal´axias de um dado GC est˜ao gravitacionalmente ligadas, portanto, suscept´ıveis `as
for¸cas de mar´e decorrentes das intera¸c˜oes m´utuas. Embora muito discutida, como
veremos neste Cap´ıtulo, a hip´otese de sistemas ligados ´e a mais aceita entre os pes-
quisadores, porque explica melhor os dados obtidos das observa¸c˜oes. Nesta Se¸c˜ao,
estudaremos os principais aspectos dos GC’s obtidos das observa¸c˜oes astrof´ısicas. Ve-
remos de que modo as observa¸c˜oes tˆem contribu´ıdo para a formula¸c˜ao das hip´oteses
aqui discutidas.
1.2.1 Redshifts Discordantes
A medida do redshift z = V/c de um objeto distante permite estimar a sua distˆan-
cia, D, desde que a sua velocidade peculiar, v ≡ V − V
exp
, seja muito menor que a
velocidade decorrente da expans˜ao universal, v << V
exp
= H
o
· D (H
o
= h × 100
km.s
−1
.Mpc
−1
, sendo h ∼ 0.75). Um GC cujas gal´axias apresentem redshifts com
valores pr´oximos po de ser entendido como uma entidade f´ısica lo calizada espacial-
mente. Entretanto, um GC pode ser um alinhamento casual de gal´axias do campo.
Neste caso, o GC seria composto por objetos cujos redshifts possuem diferen¸cas
significativas, evidenciando distˆancias discrepantes. Por isto, uma das fontes de con-
27
trov´ersia a respeito da natureza dos GCs foi a existˆencia de gal´axias com redshifts
discordantes nestes grupos. Antes da ado¸c˜ao de uma defini¸c˜ao objetiva dos redshifts
discordantes, conforme veremos abaixo, alguns pesquisadores questionaram se ha-
via ou n˜ao uma rela¸c˜ao entre a frequˆencia de gal´axias com redshifts discordantes
com a estat´ıstica de proje¸c˜oes casuais (SULENTIC, 1987) e (HICKSON et al., 1988a).
Para esclarecer esta quest˜ao, Hickson realizou um estudo meticuloso de sua amos-
tra, posto que o seu crit´erio de sele¸c˜ao n˜ao prevˆe a rejei¸c˜ao de grupos por redshifts
discordantes. Neste estudo, Hickson et al. (1992) definem os redshifts discordantes
objetivamente. Eles apresentam os valores das velocidades radiais de praticamente
toda a amostra de 462 gal´axias dos GCH’s, concluindo que ela ´e caracterizada por
uma distribui¸c˜ao gaussiana de velocidades peculiares, v
p
≡ V − V
med
, onde V
med
´e
velocidade de expans˜ao m´edia do grupo, com desvio padr˜ao σ ∼ 250 km.s
−1
. Deste
modo, usando argumentos relacionados `a dinˆamica esperada dos grupos, i.´e, que os
CG’s sejam sistemas ligados e em equil´ıbrio, eles estabelecem um crit´erio de exclu-
s˜ao cinem´atico: excluem-se gal´axias com velocidades peculiares tais que v
p
> 1000
km.s
−1
, i. ´e, 4× a dispers˜ao de velocidade t´ıpica dos grupos, σ. As gal´axias exclu´ıdas
por este crit´erio s˜ao aquelas com redshifts discordantes. Por este crit´erio, cerca de
16% das gal´axias analisadas foram exclu´ıdas do cat´alogo original, de modo que 8
dos GCHs foram considerados esp´urios, i.e, proje¸c˜oes casuais.
1.2.2 O Tempo de Cruzamento – Crossing Time
Conforme veremos na Se¸c˜ao 1.3.1.1, estudos baseados em simula¸c˜oes num´ericas su-
gerem que GCs duram uma fra¸c˜ao do tempo de Hubble (
MAMON, 1986), (MAMON,
1987) e (BARNES, 1989). Estes resultados refor¸cam a hip´otese de alinhamentos ca-
suais, porque, segundo
Mamon (1986), torna-se dif´ıcil conciliar o n´umero de grupos
observados com a sua curta dura¸c˜ao. De fato, admitindo que GCs s˜ao sistemas fisica-
mente ligados, as suas gal´axias deveriam encontrar-se muito pr´oximas, favorecendo
as intera¸c˜oes por for¸cas de mar´e e mesmo a coalescˆencia entre elas. O n´umero de
encontros pr´oximos sofridos por uma dada gal´axia, num intervalo de tempo T , de-
pende, al´em da se¸c˜ao de choque para tais encontros, do n´umero de vezes em que a
gal´axia, na sua ´orbita, cruza o grupo, isto ´e, T/T
orb
, onde T
orb
´e o per´ıodo orbital
t´ıpico das gal´axias no grupo, T
orb
∼ 2πt
c
, sendo t
c
o tempo de cruzamento do grupo,
dado por t
c
= R/V , onde R ´e um raio caracter´ıstico do grupo, e V , a sua disper-
s˜ao de velocidades. Como as propriedades orbitais das gal´axias s˜ao essencialmente
determinadas pelo campo gravitacional global – coletivo – do sistema, a escala de
28
tempo dada pelo tempo de cruzamento est´a intimamente relacionada com a escala
de tempo de relaxa¸c˜ao global – a virializa¸c˜ao – do sistema. Por esta raz˜ao, o tempo
de cruzamento tamb´em ´e denominado tempo dinˆamico. As simula¸c˜oes num´ericas in-
dicam que o tempo de virializa¸c˜ao dos sistemas tais como os grupos de gal´axias ´e
da ordem de 5 a 7 vezes o tempo de cruzamento, ou dinˆamico. Para a amostra de
GCHs estudada por Hickson et al. (1992) (cf. se¸c˜ao anterior), o valor mediano do
tempo de cruzamento ´e de t
cMED
= 0, 016H
−1
0
. Com este resultado, conclui-se que
as gal´axias cruzem muitas vezes os GCs aos quais perten¸cam, refor¸cando a hip´otese
de que coalescˆencias ou fortes intera¸c˜oes ocorram continuamente. Entretanto, em
se¸c˜oes a seguir, veremos que este cen´ario pode n˜ao ser necessariamente correto.
1.2.3 Aspectos Morfol´ogicos e Dinˆamicos
Um aspecto importante a ser discutido a respeito dos GCs diz respeito `a morfologia
de suas gal´axias.
´
E bem sabido que as intera¸c˜oes entre gal´axias tem o efeito de al-
terar sua estrutura interna, produzindo desde distor¸c˜oes na sua morfologia e no seu
campo de velocidades interno (cf. discuss˜ao in Binney e Tremaine (1987), cap. 7),
at´e a transmuta¸c˜ao completa do seu tipo morfol´ogico, como indicam as simula¸c˜oes
num´ericas de coalescˆencia entre gal´axias de tipo disco, das quais resultam gal´axias
de tipo esferoidal (vd. por exemplo, Barnes (1989)). Assim, espera-se que ambi-
entes mais densos, tais como os GC’s, que favore¸cam as intera¸c˜oes intergal´acticas,
apresentem gal´axias com morfologias e campos de velocidades peculiares, al´em de
uma distribui¸c˜ao de tipos morfol´ogicos caracter´ıstica, diferente dos ambientes mais
rarefeitos.
V´arios estudos sobre a abundˆancia relativa dos tipos morfol´ogicos das gal´axias nos
GCs apontam para uma fra¸c˜ao de espirais (f
s
) menor dentro dos GCs em rela¸c˜ao
`as amostras do campo. O valor de f
s
= 0, 49 encontrado por Hickson et al. (1988b)
e o de 0,59 por Prandoni et al. (1994) s˜ao menores do que o valor encontrado para
as amostras do campo, f
s
∼ 0, 82 (GISLER, 1980), por´em significativamente maiores
do que as encontradas nas regi˜oes centrais densas dos aglomerados ricos, f
s
≤ 0, 4
(DRESSLER, 1980) e (DRESSLER et al., 1997). Outros estudos examinam poss´ıveis
correla¸c˜oes com parˆametros globais de GCs (e.g. Hickson et al. (1988b)):
• A fra¸c˜ao de gal´axias espirais se anti-correlaciona com a dispers˜ao de velo-
cidades, conforme exibimos na Figura 1.1.
Esta figura, extra´ıda do trabalho de Ribeiro et al. (1998), e que confirma o
29
FIGURA 1.1 - Gr´afico exibindo a fra¸c˜ao de espirais versus a dispers˜ao de velocidades para amostras de
p equenos grupos de gal´axias. A amostra ´e composta por GCH’s, por grupos compactos
estudados por Ribeiro et al. (1998) (RGCs) e por grupos esparsos catalogados por Maia
et al. (1989).
resultado anterior de Hickson et al. (1988b), mostra que, apesar dos CG’s
seguirem a mesma tendˆencia de diminui¸c˜ao da fra¸c˜ao de espirais exibida
pelos grupos esparsos, a taxa de diminui¸c˜ao ´e significativamente maior no
caso do CG’s. A mudan¸ca de comportamento observada em σ ∼ 300 km.s
−1
´e provavelmente devida `a contamina¸c˜ao da amostra de CG’s por sistemas
maiores, grupos esparsos ou mesmo aglomerados pobres; cf. discuss˜ao in
Ribeiro et al. (1998).
Para Hickson et al. (1988b), a anti-correla¸c˜ao observada nesta figura est´a
em desacordo com a id´eia de que as gal´axias espirais deveriam ser destru´ı-
das em intera¸c˜oes pr´oximas com outras gal´axias, pois tais processos seriam
mais efetivos em encontros lentos. Em vista disto, e da observa¸c˜ao da ine-
xistˆencia, nos grupos compactos, de uma correla¸c˜ao morfologia-densidade
tal como ´e observada nos grupos esparsos e nos aglomerados de gal´axias,
confirmada pelo estudo posterior de Ribeiro et al. (1998), Hickson et al.
concluem que, nos CG’s, as morfologias n˜ao foram significativamente al-
teradas pela evolu¸c˜ao dinˆamica do grupo, devendo estar relacionadas `as
30
caracter´ısticas do ambiente do grupo num per´ıodo anterior, durante sua
forma¸c˜ao. No entanto, como apontamos acima, os grupos esparsos apre-
sentam um comportamento semelhante ao dos CG’s, com a fra¸c˜ao de es-
pirais diminuindo com o aumento da dispers˜ao de velocidades do grupo,
contradizendo a id´eia que a destrui¸c˜ao das gal´axias espirais seja favorecida
em encontros lentos.
Vale a pena notar que esta hip´otese de favorecimento da destrui¸c˜ao das
gal´axias espirais em encontros lentos ´e estritamente v´alida apenas para
intera¸c˜oes isoladas. No caso de ambientes densos, as for¸cas de mar´e de-
vido `as outras gal´axias, assim como a fric¸c˜ao dinˆamica no material estelar
eventualmente disperso, pode mudar bastante a dinˆamica das gal´axias em
intera¸c˜ao e tornar mais eficiente mesmo encontros mais r´apidos. Os resul-
tados mostrados na Figura 1.1 para os grupos esparsos (os quais obedecem
a rela¸c˜ao morfologia-densidade), refor¸cam esta possibilidade.
Em qualquer hip´otese, no entanto, ´e bastante claro que, se considerarmos
um cen´ario em que os CG’s constituem sistemas f´ısicos, com densidades
tipicamente da ordem de 10
3,5
gals.Mpc
−3
, muito semelhantes `aquelas pre-
valescentes nas regi˜oes mais centrais, dos aglomerados ricos de gal´axias,
fica bem estabelecido que os CG’s apresentam uma super-abundˆancia de
gal´axias espirais, inconsistente com as altas densidades e baixas dispers˜oes
de velocidades que apresentam.
• O tipo morfol´ogico da gal´axia mais brilhante n˜ao difere significativamente
do tipo da popula¸c˜ao geral. Os autores analisam o tipo morfol´ogico da gal´a-
xia mais brilhante (first-ranked) de cada grupo compacto e tamb´em o tipo
morfol´ogico de todas as gal´axias existentes nos grupos (popula¸c˜ao geral),
totalizando uma amostra homogˆenea de 98 GCH’s. Com isso, concluem
que 49% das gal´axias da popula¸c˜ao geral s˜ao espirais, enquanto 48% das
gal´axias mais brilhantes s˜ao tamb´em deste mesmo tipo. Se os processos de
fus˜oes entre as gal´axias dos grupos compactos constitu´ıssem o cen´ario evo-
lutivo dominante, ent˜ao a fra¸c˜ao de espirais da popula¸c˜ao de gal´axias mais
brilhantes dos GCH’s deveria ser menor, porque as gal´axias originadas de
fus˜oes s˜ao el´ıpticas.
• Gal´axias de um mesmo grupo tˆem a tendˆencia de pertencer a um mesmo
tipo morfol´ogico.
31
A interpreta¸c˜ao deste conjunto de resultados num ´unico quadro evolutivo ´e dif´ıcil.
Para
Hickson et al. (1988b), eles refor¸cariam a hip´otese de que o tipo morfol´ogico
estaria relacionado principalmente com o ambiente de forma¸c˜ao do grupo (Vide
discuss˜ao ao fim da Se¸c˜ao 1.3.1.1).
1.2.4 Intera¸c˜oes e Forma¸c˜ao Estelar
Os GC’s apresentam muitas evidˆencias da ocorrˆencia de intera¸c˜oes entre as suas
gal´axias constituintes. Uma das evidˆencias pode ser encontrada em estudos de curvas
de rota¸c˜ao peculiares das gal´axias espirais. Nestes estudos, comparam-se as curvas de
rota¸c˜ao de gal´axias em GC’s com as curvas de gal´axias do campo, supostas isoladas e
sem intera¸c˜ao. Baseados nesta t´ecnica, Rubin et al. (1991) obtˆem espectros e imagens
na banda R de uma amostra de gal´axias pertencentes a 21 GCHs, estudando as linhas
de emiss˜ao H
α
e [N
II
]. Com isto, eles analisam as curvas de rota¸c˜ao das gal´axias
espirais da amostra. Assim, Rubin et al. (1991) encontram que 2/3 das 32 gal´axias
espirais estudadas mostram altera¸c˜oes nas curvas de rota¸c˜ao. Mais recentemente,
Mendes de Oliveira et al. (1997) usam um dispositivo de Fabry Perot para obter os
mapas de velocidade de 26 gal´axias espirais em GCH’s. Eles encontram que apenas
1/3 das gal´axias da sua amostra possui curvas de rota¸c˜ao alteradas. Para eles, a
discrepˆancia entre os seus resultados e os resultados de Rubin et al. (1991) decorrem
da maior precis˜ao inerente `a obten¸c˜ao das curvas de rota¸c˜ao a partir dos mapas de
velocidade em duas dimens˜oes.
Al´em destes estudos, a an´alise das morfologias da quase totalidade da amostra de
gal´axias dos HCG’s (Mendes de Oliveira e Hickson (1994)), mostrou que 43% das
gal´axias apresentam sinais de intera¸c˜ao ou coalescˆencia e que 32% destes possuem
trˆes ou mais gal´axias em intera¸c˜ao. No entanto, como mostram estes autores, a fra¸c˜ao
de gal´axias interagentes dos grupos n˜ao se correlaciona com parˆametros globais dos
grupos como a velocidade de dispers˜ao ou o tempo de cruzamento.
A a¸c˜ao das for¸cas de mar´e entre gal´axias pode deformar as suas estruturas ou extirpar
uma fra¸c˜ao significativa de suas massas. Neste caso, o material gal´actico passa a
ocupar o meio intragrupo, emitindo uma d´ebil luminosidade difusa. Pildis et al.
(1995) haviam detectado evidˆencias de luz difusa em CGH’s com emiss˜ao em raios-
X (cf. Se¸c˜ao
1.2.10). Mais recentemente, novas observa¸c˜oes revelaram a existˆencia
de luz difusa emitida do meio intergal´atico de diversos GCH’s. da Rocha e Mendes
de Oliveira (2005) estudam trˆes GCH’s. Dois deles apresentam uma emiss˜ao de luz
32
difusa. O Grupo H95 apresenta uma luz difusa de cor proeminentemente vermelha,
possivelmente devida a uma popula¸c˜ao estelar antiga, sem taxas significativas de
forma¸c˜ao estelar. O Grupo H79 tem um material intragrupo cuja cor ´e mais azul do
que a cor m´edia de grupos de gal´axias. da Rocha e Mendes de Oliveira sugerem que
esta emiss˜ao ´e devida a por¸c˜oes de mat´eria originadas do esfacelamento de gal´axias
an˜as pelas for¸cas de mar´e exercidas por um halo massivo que englobaria todo o
grupo.
Ind´ıcios de surtos de forma¸c˜ao estelar foram identificados em GC’s. Sugere-se que
estes surtos s˜ao causados por intera¸c˜oes de mar´e entre gal´axias de um mesmo GC.
Tais intera¸c˜oes deformam a estrutura das gal´axias, pela convers˜ao da energia orbital
em energia interna. Subsistemas individuais, tais como as nuvens moleculares, podem
ganhar parte deste aporte de energia fragmentando-se. O subseq
¨
uente colapso dos
fragmentos induziria uma forma¸c˜ao estelar coletiva, cujas regi˜oes emitem tamb´em
no infravermelho distante
1
.
Zepf (1993) obteve os fluxos de radia¸c˜ao infravermelha de gal´axias pertencentes a trˆes
amostras: de GC’s, do campo e de ambientes com gal´axias supostamente coalescentes
(merger). Comparando os valores dos fluxos, Zepf conclui que a amostra de GC’s ´e
diferente das demais amostras e que cerca de um ter¸co dos GC’s possui cores mais
quentes no infravermelho, i.e., maiores valores para a raz˜ao F
60µm
/F
100µm
, onde os
´ındices nos fluxos denotam bandas do espectro eletromagn´etico, sendo compat´ıveis
com os valores obtidos para as gal´axias supostamente coalescentes. Deste modo, ele
conclui que apenas 7% das gal´axias em GCHs est˜ao coalescendo.
As observa¸c˜oes em r´adio tamb´em permitem estimar a taxa de forma¸c˜ao estelar. A
emiss˜ao em r´adio deve-se ao mecanismo de emiss˜ao s´ıncroton por el´etron relati-
v´ısticos que interagem com o campo magn´etico.
Menon (1991) afirma que a forte
correla¸c˜ao entre a emiss˜ao de radia¸c˜ao infravermelha e a emiss˜ao em r´adio indica
que tais emiss˜oes se originam de uma mesma regi˜ao, sugerindo que a densidade de
el´etrons relativ´ısticos est´a relacionada com as regi˜oes de forma¸c˜ao estelar, caracteri-
zadas pela presen¸ca de estrelas quentes. As suas observa¸c˜oes mostram que a emiss˜ao
nuclear das gal´axias espirais em GC’s ´e maior do que a emiss˜ao das gal´axias isola-
das mas que, de maneira geral, as gal´axias de GC’s emitem menos em r´adio do que
1
Em regi˜oes gal´acticas com forma¸c˜ao estelar, as estrelas de grande massa (tipo espectral O e
B) emitem fortemente radia¸c˜ao ultravioleta. A poeira absorve parte desta radia¸c˜ao e reemite no
infravermelho distante. Portanto, pode-se estimar a taxa desta forma¸c˜ao atrav´es de observa¸c˜oes
nesta banda do espectro eletromagn´etico.
33
as do campo. Em rela¸c˜ao aos GCs, tais emiss˜oes est˜ao relacionadas o aumento da
taxa de forma¸c˜ao estelar e da atividade nuclear (AGN) na maior parte das gal´axias
espirais dos GC’s. Estes resultados s˜ao consistentes com o cen´ario de intera¸c˜oes gra-
vitacionais entre as gal´axias, que induziriam um afluxo de g´as das regi˜oes externas
das gal´axias para as suas regi˜oes nucleares, resultando no aumento da sua taxa de
forma¸c˜ao estelar e tamb´em alimentando um buraco negro central.
1.2.5 Gal´axias de Baixa Luminosidade e Segrega¸c˜ao de Luminosidades
em GCs
A delimita¸c˜ao do grup o apenas `a ´area que engloba as gal´axias mais brilhantes pode
subestimar o n´umero de gal´axias menos luminosas (d´ebeis) e, portanto, o n´umero
total de objetos que realmente possam pertencer a ele. O crit´erio de sele¸c˜ao em mag-
nitudes adotado por Hickson obviamente exclui popula¸c˜oes de gal´axias com baixa
luminosidade. Por outro lado, se confirmada a presen¸ca deste tipo de popula¸c˜ao na
maioria dos GC’s, o cen´ario de coalescˆencia proposto por Barnes (1989) deveria ser
revisto. Neste cen´ario, as gal´axias canibalizam-se m´utua e continuamente em pou-
cos per´ıodos orbitais, consumindo rapidamente a popula¸c˜ao de baixa luminosidade,
formando em seguida uma gal´axia el´ıptica gigante em 4 Ganos (BARNES, 1989).
Os primeiros estudos a este respeito foram realizados por de Carvalho et al.
(1994)(ver tamb´em Ribeiro et al. (1994)), a partir de um levantamento fotom´etrico
de gal´axias at´e a magnitude limite de 19,5, na banda B, em regi˜oes de 0, 5
o
× 0, 5
o
em torno de 22 grupos compactos de Hickson. Eles encontram que as gal´axias d´e-
beis distribuem-se difusamente, com excessos significativos nas regi˜oes em torno da
maioria do grupos estudados. Isto indica que, estatisticamente, estas gal´axias de-
veriam estar associadas aos grupos, fato que foi confirmado posteriomente por um
levantamento espectrosc´opico de 17 GCH’s realizado por de Carvalho et al. (1997).
Posteriormente, Zabludoff e Mulchaey (1998) estudaram 12 pequenos grupos de ga-
l´axias, usando espectroscopia de multifibras. Eles verificam que 9 grupos, com um
n´umero de membros ∼ 20 − 50, apresentam gal´axias de magnitudes absolutas t˜ao
fracas quanto M
B
∼ −14 + 5l og
10
h
100
, a´ı incluindo alguns grupos de Hickson com
forte emiss˜ao em raios-X (H42, o H62 e o H90). Estes estudos indicam que a presen¸ca
de uma popula¸c˜ao de baixa luminosidade pode ser freq
¨
uente em pequenos grupos
de gal´axias que constituem o Universo local.
O fenˆomeno de segrega¸c˜ao de luminosidades, num sistema de gal´axias – grupos ou
34
aglomerados – caracteriza-se pelo fato das gal´axias mais brilhantes distribuirem-
se de maneira mais concentrada, em torno da regi˜ao central do sistema, do que as
gal´axias mais fracas. Zepf et al. (1997), usando os dados de redshifts do levantamento
de de Carvalho et al. (1997), verificaram que a popula¸c˜ao de baixa luminosidade dos
GCH’s tem separa¸c˜ao projetada m´edia maior do que as gal´axias mais brilhantes.
Isto mostra a ocorrencia da segrega¸c˜ao de luminosidades nos GC’s, o que j´a havia
sido notado no trabalho de Ribeiro et al. (1994)
1.2.6 A Fun¸c˜ao de Luminosidade dos GCH’s
As compara¸c˜oes entre GC’s e outros ambientes podem revelar alguns aspectos imp or-
tantes destes grupos. Por exemplo, cen´arios de coalescˆencias explicariam escassez de
popula¸c˜oes de baixa luminosidade ou predominˆancia de gal´axias el´ıpticas na amostra
em estudo. Uma destas compara¸c˜oes ´e realizada atrav´es do estudo da distribui¸c˜ao de
luminosidades dos objetos que comp˜oem uma amostra representativa destes grupos.
Com isto, pode-se comparar esta distribui¸c˜ao com as respectivas distribui¸c˜oes obti-
das em outros ambientes, e ent˜ao conhecer a influˆencia do ambiente sobre as proprie-
dades das gal´axias dos GC’s. Assim, Mendes de Oliveira e Hickson (1991) utilizando
unicamente a amostra de gal´axias do cat´alogo original de Hickson, encontram uma
fun¸c˜ao de luminosidade caracterizada por uma significativa deficiˆencia de gal´axias
d´ebeis. Estudos posteriores utilizando amostras incluindo a popula¸c˜ao de gal´axias
d´ebeis (cf. Se¸c˜ao 1.2.5), mostram uma fun¸c˜ao de luminosidade similar `a de ambien-
tes com baixa densidade superficial de gal´axias (cf. Ribeiro et al. (1994) e Zepf et al.
(1997). Em termos da parametriza¸c˜ao introduzida pela fun¸c˜ao de Schechter (Vide
Se¸c˜ao 2.1.2 para mais detalhes), os ajustes obtidos por Zepf et al. fornecem (com
magnitudes calibradas no sistema fotom´etrico de Johnson) M
∗
B
= −19, 5 + 5logh,
α = −1, 0 e Φ
∗
= 2 ×10
−4
gals Mpc
−3
. No entanto, quando a amostra ´e separada em
amostra de gal´axias com ou sem linhas de emiss˜ao H
α
, nota-se uma clara deficiˆencia
de gal´axias d´ebeis com linhas de emiss˜ao, como mostra a Figura 1.2, o que estaria
em desacordo com os estudos baseados em amostras de gal´axias do campo (ZEPF et
al., 1997).
Outro trabalho importante de ser mencionado ´e o levantamento realizado por Huns-
berger et al. (1998), que estudam a regi˜ao intragrupo de 39 GCHs na banda-R. Este
trabalho levou `a detec¸c˜ao de uma popula¸c˜ao de gal´axias an˜as, as quais, segundo
os autores, supostamente se originaram no interior dos grupos, devido `as for¸cas de
mar´e que atuam no material gal´atico, “extirpando-o” nas intera¸c˜oes intergal´aticas.
35
FIGURA 1.2 - A fun¸c˜ao de luminosidades ajustada para a amostra de grupos compactos de de Carvalho
et al. (1997). A linha cont´ınua representa a totalidade da amostra. A linha tracejada,
gal´axias“com emiss˜ao”, linha pontilhada,“sem emiss˜ao”(Figura 3 de Zepf et al. (1997)).
A Figura 1.3 mostra a fun¸c˜ao de luminosidade dos GCs estudados por Hunsberger
e colaboradores. Duas fun¸c˜oes de Schechter superp ostas, com diferentes parˆametros
(vd. figura), foram utilizadas para ajustar as contagens obtidas, uma representando o
grupo de Hickson original (“normais”) e outra a popula¸c˜ao de gal´axias an˜as (“an˜as”).
Verifica-se que α = −0, 52, ou seja, o grupo possui uma deficiˆencia em gal´axias com
magnitudes intermedi´arias (“gal´axias d´ebeis”), i.e, com M
R
∼ −17, 5, relativamente
ao resultados de Zepf et al. (1997), que obtiveram α = −1, 0. Esta discrepˆancia
ocorre porque Hunsb erger et al. (1998) inspecionam os grupos delimitando-os por
um c´ırculo com raio m´aximo de 2×R
g
, onde R
g
´e o raio do grupo definido por Hick-
son, enquanto que o levantamento de Zepf et al. (1997) cobre regi˜oes freq
¨
uentemente
bem maiores (e.g., 4 − 5 × R
g
).
1.2.7 Atividade Nuclear em Gal´axias de GC’s
A evolu¸c˜ao de GC’s pode ser estudada a partir da an´alise espectral de suas gal´axias.
Isto ´e poss´ıvel porque as intera¸c˜oes de mar´e entre as gal´axias, al´em de aumentar as
36
FIGURA 1.3 - Fun¸c˜ao de luminosidades do grupos obtida no levantamento na banda R por Hunsberger
et al. (1998). Duas fun¸c˜oes de Schechter superp ostas, com diferentes parˆametros (vd.
figura), foram utilizadas para ajustar as contagens obtidas, uma representando o GCH
original (”normais”) e outra a popula¸c˜ao de gal´axias an˜as (”an˜as”). Os dados desta
figura referem-se `a amostra obtida dos levantamentos realizados em regi˜oes de raio
1, 5 × R
g rupo
em torno do centro nominal do grupos.
suas chances de coalescˆencia, podem aumentar tamb´em a sua atividade nuclear e
desencadear surtos de forma¸c˜ao estelar, como discutimos na se¸c˜ao anterior. Em cada
um destes eventos, uma quantidade consider´avel de energia ´e dissipada na forma de
radia¸c˜ao eletromagn´etica pelas estrelas formadas durante os surtos ou pelo g´as in-
teragente com o AGN. Assim, somados com as an´alises morfol´ogicas, dinˆamicas e
de metalicidade das gal´axias de GC’s, os estudos espectrosc´opicos permitem deduzir
quais foram os principais eventos ocorridos durante a evolu¸c˜ao destes grupos. Por
exemplo, Coziol et al. (1998) estudam a amostra de 17 GCH’s do levantamento de de
Carvalho et al. (1997), realizando a classifica¸c˜ao espectral das 86 gal´axias, estudadas
37
de acordo com a sua atividade nuclear: gal´axias com linhas de emiss˜ao, gal´axias com
surtos de forma¸c˜ao estelar, AGNs luminosos (incluindo Seyfert e LINERs) e AGNs
de baixa luminosidade (LLAGNs). Eles descobrem que n´ucleos ativos de gal´axias
(AGN), ambos os de baixa luminosidade (LLAGNs) e os normais, residem princi-
palmente nas gal´axias el´ıpticas mais luminosas dos GC’s. Segundo estes autores, a
probabilidade de encontrar um AGN aumenta com a luminosidade da gal´axia e as
gal´axias AGN tendem a se concentrar nos n´ucleos dos grupos. Eles argumentam que
esta concentra¸c˜ao ´e uma conseq
¨
uˆencia da segrega¸c˜ao de luminosidades descrita na
Se¸c˜ao 1.2.5. Por outro lado, Coziol et al. mostram que a fra¸c˜ao de gal´axias com sur-
tos de forma¸c˜ao estelar diminui gradativamente desde o halo at´e o centro dos grupos.
Assim, sugerem a existˆencia de um tipo de rela¸c˜ao atividade-morfologia-densidade:
as regi˜oes de baixa densidade de gal´axias, localizadas na periferia dos grupos, s˜ao ca-
racterizadas por maiores fra¸c˜oes de gal´axias com surtos de forma¸c˜ao estelar. Regi˜oes
com grande densidade de gal´axias possuem fra¸c˜oes maiores de gal´axias LLAGN.
Esta rela¸c˜ao sugere que as gal´axias de GC’s tˆem evolu¸c˜oes semelhantes, influenci-
adas pelo ambiente. Deste modo, eles prop˜oem um cen´ario evolucion´ario para os
GCH’s: gal´axias massivas se formariam por subseq
¨
uentes processos de coalescˆencia
de sistemas de massa menos ricos em g´as. Ambientes mais densos acelerariam este
processo, de modo que as gal´axias mais massivas se formariam primeiro nas regi˜oes
mais ricas. A freq
¨
uˆencia e intensidade das fus˜oes determinariam as morfologias e as
gal´axias mais massivas evoluiriam no sentido de uma morfologia mais el´ıptica. Isto
poderia justificar porque nos GCH’s as gal´axias mais luminosas s˜ao tamb´em as mais
concentradas e possuem um tipo morfol´ogico mais el´ıptico. Este cen´ario pode ser
resumido do seguinte modo: coalescˆencias desencadeiam surtos de forma¸c˜ao estelar.
Quando a quantidade de massa da gal´axia for suficiente ou quando uma grande
quantidade de g´as estiver dispon´ıvel, o g´as sofre um processo de colapso central,
originando ou alimentando um n´ucleo ativo.
1.2.8 GCs: Uma Natureza Peculiar
Conforme vimos na Se¸c˜ao 1.2.7, Coziol et al. (1998) sugerem que as gal´axias das re-
gi˜oes centrais de GC’s seriam mais evolu´ıdas do que as gal´axias das regi˜oes perif´ericas
destes grupos. Em outras palavras, coalescˆencias ocorridas primitivamente origina-
riam as gal´axias das regi˜oes centrais, enquanto as gal´axias do halo ainda deveriam
passar por este processo. Segue que as coalescˆencias podem ocorrer continuamente
na hist´oria dos GC’s. Fisicamente, coalescˆencias de gal´axias ocorrem numa taxa que
38
depende das suas velocidades relativas e de suas se¸c˜oes de choque. Deste modo,
espera-se que as gal´axias massivas “canibalizem” um n´umero maior de gal´axias do
que as menos massivas. De qualquer modo, coalescˆencias modificam o n´umero de
gal´axias e as suas massas. Assim, a fun¸c˜ao de luminosidade dos GC’s (Vide Se¸c˜ao
2.1.2) ´e alterada por este processo. Portanto, poder-se-ia deduzir, pelo menos em
aspectos gerais, de que maneira as coalescˆencias ocorrem nos GC’s, mediante a com-
para¸c˜ao entre as luminosidades de suas gal´axias mais massivas. Esta investiga¸c˜ao ´e
realizada atrav´es da an´alise estat´ıstica dos valores de ∆m
12
= m
2
− m
1
, onde m
2
´e a magnitude (numa dada banda fotom´etrica) da segunda gal´axia mais brilhante
do GC estudado e m
1
, a da gal´axia mais brilhante. Em outras palavras, analisa-
mos a distribui¸c˜ao do n´umero de GC’s em fun¸c˜ao destas diferen¸cas de magnitudes
calculadas.
Desta maneira, realizamos medidas estat´ısticas de ∆m
12
de todos os GCs catalogados
por Hickson et al. (1989), por Lee et al. (2004) (GCSDSS) e por (de Carvalho et al.,
2005) (GCDPOSS). Tal escolha se justifica do seguinte modo: os trˆes cat´alogos foram
definidos por distintos crit´erios de sele¸c˜ao e cada um deles tem n ≥ 100, onde n ´e
o n´umero de grupos catalogados, aumentando o grau de certeza das respectivas
an´alises estat´ısticas (por esta raz˜ao, n˜ao estudamos os SCGs). Entretanto, os trˆes
cat´alogos s˜ao definidos em sistemas fotom´etricos distintos: Hickson et al. usam o
sistema fotom´etrico B
T
; Lee et al. usam o sistema u
∗
g
∗
r
∗
i
∗
z
∗
, caracter´ıstico dos
dados preliminares do SDSS (pr´e-DR1), que, segundo eles, possui uma diferen¸ca
percentual desprez´ıvel em rela¸c˜ao ao sistema ugriz adotado pelo SDSS; de Carvalho
et al. usam o sistema fotom´etrico do DPOSS, que coincide com o sistema gri de
Gunn. Para compararmos os GCHs e os GCDPOSS com os GCSDSS, uniformizamos
o sistema fotom´etrico da amostra para o sistema fotom´etrico usado pelo SDSS.
Atrav´es da equa¸c˜ao de convers˜ao proposta por Lopes (2003): r
DP OSS
= −0, 20 +
1, 02r
SD SS
− 0, 08(g − r)
SD SS
, convertemos o sistema fotom´etrico do DPOSS para
o sistema fotom´etrico do SDSS, nas bandas de interesse . Nesta equa¸c˜ao, g e r
representam as magnitudes nas bandas fotom´etricas utilizadas. Em primeira apro-
xima¸c˜ao, considera-se o termo do ´ındice de cor, (g − r), desprez´ıvel e resolve-se a
equa¸c˜ao para determinar r
SD SS
. Com isto, as magnitudes de todas as 459 gal´axias
do cat´alogo de de Carvalho et al. (2005) foram convertidas para o sistema do SDSS.
Para a convers˜ao do sistema fotom´etrico B
T
para o sistema fotom´etrico do SDSS,
nas bandas de interesse, ´e preciso deduzir a respectiva equa¸c˜ao de transforma¸c˜ao.
39
A partir das magnitudes das gal´axias dos GCHs dispon´ıveis no banco de dados
do SDSS (SDSS-DR3). Assim, encontramos a equa¸c˜ao de transforma¸c˜ao: r
SD SS
=
1, 14 + 0, 95R
Hickson
, onde R
Hickson
´e a magnitude medida na banda R do sistema
B
T
. (Os detalhes sobre a dedu¸c˜ao desta equa¸c˜ao est˜ao no Apˆendice A).
0 1 2 3
0
0.1
0.2
0.3
FIGURA 1.4 - Histogramas dos valores de ∆M
12
para os GCs dos cat´alogos de de Carvalho e colabo-
radores (de Carvalho et al., 2005), representado por uma linha cheia, de Hickson, por uma
linha tracejada, e de Lee e colaboradores (LEE et al., 2004), por uma linha pontilhada.
A distribui¸c˜ao dos grupos fict´ıcios est´a representada por uma linha vermelha.
Deste modo, calculamos, para cada subamostra, a histograma de freq
¨
uˆencias dos
valores de ∆m
12
, que exibimos na Figura 1.4. Observando esta figura, conclu´ımos que
a maioria dos GCH’s e dos GCDPOSS’s possui ∆m
12
≤ 1. Em rela¸c˜ao a estes grupos,
as distribui¸c˜oes de ∆m
12
tˆem comportamentos similares, com m´aximos situados no
intervalo 0 ≤ ∆m
12
≤ 0, 20 e decaindo `a medida que ∆m
12
cresce. Ao contr´ario,
para os GCSDSS’s, a distribui¸c˜ao de ∆M
12
apresenta um pequeno n´umero de grupos
no intervalo 0 ≤ ∆m
12
≤ 0, 25. Embora esta distribui¸c˜ao seja caracterizada por
um grande n´umero de flutua¸c˜oes locais, levando em conta os erros de medida de
40
natureza poissoniana, pode-se consider´a-la aproximadamente constante em torno do
valor F ∼ 0, 1, pelo menos at´e ∆m
12
∼ 1, 6, quando a distribui¸c˜ao come¸ca a decair.
Portanto, pode-se afirmar que a distribui¸c˜ao dos GCSDSS possui um comportamento
distinto das demais.
O estudo proposto por de Carvalho et al. (2005) pode nos fornecer explica¸c˜oes para
as distribui¸c˜oes mostradas na Figura 1.4. Estes autores construiram um cat´alogo de
36000 grupos fict´ıcios, usando gal´axias do campo com magnitudes compat´ıveis com
as gal´axias dos GCDPOSS. A distribui¸c˜ao de ∆m
12
resultante pode ser comparada
com a dos grupos reais, como mostramos na Figura 1.4. Constata-se que os grupos
reais GCH e GCDPOSS possuem propriedades que os distinguem significativamente
de quaisquer efeitos aleat´orios. Portanto, as distribui¸c˜oes mostradas na Figura 1.4
argumentam fortemente a favor da natureza distinta dos GC’s, p orque as gal´axias
dos grupos fict´ıcios, por constru¸c˜ao, n˜ao interagem entre si. O mesmo n˜ao se pode
dizer dos GCSDSS’s, cuja distribui¸c˜ao de ∆m
12
´e semelhante `aquela dos grupos fic-
t´ıcios. Isto argumenta contra a realidade dos GCSDSS’s, sugerindo que eles possuam
uma taxa de de contamina¸c˜ao por gal´axias do campo maior do que a dos demais
cat´alogos. Provavelmente, o ´unico mecanismo plaus´ıvel que explique as distribui¸c˜oes
dos GCH’s e dos GCDPOSS’s ´e o de intera¸c˜oes entre as gal´axias destes grupos.
1.2.9 Massas Dinˆamicas – Teorema do Virial
Al´em do m´etodo de lentes gravitacionais que, no caso do GC’s, est´a al´em dos li-
mites observacionais atuais, ´e poss´ıvel estimar a massa de um GC conhecendo as
suas propriedades dinˆamicas. O conhecimento das massas de grupos de gal´axias ´e
importante, porque muitas das gal´axias no Universo se encontram em grupos. Al´em
disso, conforme veremos na Se¸c˜ao 1.3.1.1, alguns resultados obtidos em simula¸c˜oes
num´ericas de GC’s mostram que as taxas de intera¸c˜ao entre as gal´axias destes gru-
pos depende de suas massas e do modo como estas se distribuem nos grupos. Em
vista disto, descrevamos sucintamente um dos m´etodos usados na estimativa das
massas de grupos de gal´axias, supondo que estes grupos sejam reais, i.e., sistemas
de gal´axias fisicamente ligadas.
Gal´axias s˜ao sistemas de part´ıculas acolisionais (BINNEY; TREMAINE, 1987). As inte-
ra¸c˜oes entre suas part´ıculas s˜ao devidas ao potencial gravitacional global do sistema,
que predomina largamente sobre o potencial gravitacional decorrente de intera¸c˜oes
bin´arias. Binney e Tremaine mostram que um sistema auto-gravitante acolisional
41
com massa M e em equil´ıbrio estacion´ario satisfaz o Teorema do Virial, expresso
por:
2K + W = 0, (1.1)
onde W ´e a energia potencial total do sistema e K ´e a energia cin´etica do sistema
de part´ıculas dada por K =
1
2
Mv
2
, sendo v
2
a velocidade quadr´atica m´edia. W
´e dado por |W | =
GM
2
r
g
, onde r
g
´e o raio gravitacional, que depende da configura¸c˜ao
geom´etrica do sistema em estudo. Se supusermos que GC’s reais s˜ao sistemas em
equil´ıbrio dinˆamico, podemos aplicar o Teorema do Virial para calcular suas massas.
Neste caso, as gal´axias podem ser representadas pelos seus centros de massa, sim-
plificando a aplica¸c˜ao do teorema. Uma conseq
¨
uˆencia do Teorema do Virial, ´e que,
conforme demonstrado p or Heisler et al. (1985), se as N part´ıculas de um sistema
auto-gravitante apresentam ´orbitas isotr´opicas, a massa total M do sistema ´e dada
por:
M =
3πN
2G
i
v
z,i
2
i<j
1/R
⊥,ij
, (1.2)
onde v
2
z,i
representa a velocidade, medida ao longo da dada linha de visada z, da
i−´esima gal´axia relativamente `a velocidade do centr´oide das gal´axias, R
⊥,ij
repre-
senta a distˆancia projetada entre a i−´esima e a j−´esima gal´axia. Usando um m´etodo
an´alogo a este, Hickson et al. (1992) calculam as massas dos grupos compactos e
depois estimam a rela¸c˜ao entre a massa dinˆamica, i.´e, calculada pela eq. (1.2) e
a massa “luminosa” dos grupos. A massa luminosa ´e a massa estimada atrav´es da
luminosidade total dos objetos, numa dada banda fotom´etrica. Neste caso, os auto-
res a calculam na banda−B. Hickson et al. obtˆem que o valor mediano da rela¸c˜ao
massa-luminosidade dos GCH’s ´e 50h (M/L)
(h = H
0
/100 km.s
−1
Mpc
−1
). O va-
lor m´aximo desta rela¸c˜ao para a amostra ´e cerca de 1000(M/L)
. Isto sugere que
∼ 85% da massa de um grupo pode ser composta de mat´eria escura (HICKSON et al.,
1992).
42
1.2.10 Massas Dinˆamicas – Emiss˜ao em Raios-X
Conforme vimos na Se¸c˜ao
1.2.9 existem ind´ıcios de que GC’s contˆem mat´eria escura
em quantidades muito maiores do que a de mat´eria comum. Por´em, tais resultados
n˜ao s˜ao conclusivos: foram obtidos a partir da hip´otese de sistemas gravitacional-
mente ligados. De fato, Mamon (1995) critica esta hip´otese, afirmando que os ind´ıcios
de intera¸c˜oes (entre as gal´axias de GC’s) poderiam ser explicados pela hip´otese de
alinhamentos casuais, supondo que a maioria dos GC’s possuisse pelo menos 1 par
de gal´axias interagentes. Entretanto, conforme veremos abaixo, estudos posteriores
refor¸caram a hip´otese de sistemas gravitacionalmente ligados.
Al´em do m´etodo baseado no Teorema do Virial, pode-se determinar as massas de
grupos de gal´axias, atrav´es de observa¸c˜oes da emiss˜ao em raios-X destes grupos. A
an´alise espectral desta emiss˜ao indica que ela se deve ao mecanismo de bremsstrah-
lung t´ermico, ocorrendo num g´as ionizado e opticamente fino que permeia o grupo,
com temp eraturas T ∼ 1 − 2 KeV. Al´em disto, o modelo usado na determina¸c˜ao
da massa total do grupo assume que o g´as intragrupo pode ser considerado como
um fluido
2
em equil´ıbrio hidrost´atico com o potencial gravitacional total do grupo.
Partindo destas hip´oteses e supondo que o g´as ´e isot´ermico e com distribui¸c˜ao esfe-
ricamente sim´etrica, calcula-se a massa total M(r) do sistema dentro do raio r com
origem no seu centro:
M(r) = −
kT
g
r
Gµm
p
r
ρ
g
dρ
g
dr
. (1.3)
Nesta equa¸c˜ao, k ´e a constante de Boltzmann. T
g
´e a temperatura do g´as, suposta
constante. G ´e a constante gravitacional, m
p
´e a massa do pr´oton, µ ´e o peso molecu-
lar m´edio do g´as emissor e ρ
g
´e a densidade do g´as. A temperatura ´e estimada a partir
de ajustes de espectros de raios-X observados ao modelo de emiss˜ao bremsstrahlung
de um plasma quente.
O estudo mais completo sobre a emiss˜ao em raios-X dos GC’s deve-se a Ponman et
al. (1996). Analisando uma amostra de 85 GCH’s, Ponman et al. verificam uma emis-
s˜ao difusa, originada do meio intragrupo, em 75% dos grupos estudados e encontram
2
Na realidade, demonstra-se que o tempo de resfriamento do g´as ´e muito maior do que o seu
tempo de relaxa¸c˜ao e que o caminho livre-m´edio de suas part´ıculas ´e da mesma ordem de grandeza
que a das dimens˜oes das gal´axias. Assim, numa aproxima¸c˜ao, pode-se consider´a-lo como um fluido.
43
uma ausˆencia de correla¸c˜ao entre a luminosidade em raios-X e a luminosidade ´op-
tica destes grup os, sugerindo que o g´as intragrupo ´e primordial. Estes resultados s˜ao
confirmados pelas an´alises de metalicidade da amostra. Ajustando os dados obtidos
nas observa¸c˜oes com um modelo de plasma quente e isot´ermico, os autores encon-
tram uma metalicidade correspondente a 0,2 da metalicidade solar. Estes resultados,
juntamente com os discutidos na Se¸c˜ao anterior, sugerem o seguinte cen´ario para a
natureza dos GCs: suas gal´axias est˜ao imersas numa distribui¸c˜ao de mat´eria escura
comum que det´em cerca de ∼ 85% da massa total do grupo (PONMAN et al., 1996).
Esta distribui¸c˜ao ´e denominada halo de mat´eria escura comum.
Enfim, as compara¸c˜oes entre os valores das massas totais obtidos com os dois m´eto-
dos descritos acima (equa¸c˜oes (1.2) e (1.3)) mostra consistˆencia dentro de um fator 2.
Al´em desta constata¸c˜ao, usamos os dados disponibilizados por Hickson et al. (1992)
para verificar que 37% dos GCHs possuem massas viriais totais M
tot
> 5 ×10
12
M
.
Isto est´a de acordo com as constata¸c˜oes de Mulchaey et al. (1996). Eles se baseam
em observa¸c˜oes em raios-X para afirmar que um grande n´umero de grupos possui
massas M
tot
∼ 10
13
M
. De qualquer forma, estas estimativas parecem confirmar a
hip´otese de que os GC’s s˜ao, de fato, sistemas ligados.
1.3 Estado da Arte
A natureza dos GC’s ainda n˜ao ´e perfeitamente conhecida. Por exemplo, os resul-
tados discutidos nas Se¸c˜oes 1.2.10 e 1.2.9 n˜ao informam de que modo estes grupos
se originaram ou como eles evolu´ıram at´e chegar `a configura¸c˜ao que atualmente ob-
servamos. Um dos m´etodos usados para sondar a evolu¸c˜ao de grupos de gal´axias
consiste em represent´a-las por muitas part´ıculas e integrar numericamente as suas
equa¸c˜oes de movimento com o aux´ılio de c´odigos num´ericos executados em com-
putadores. Assim, torna-se poss´ıvel testar diferentes hip´oteses sobre a origem e a
natureza dos GC’s, estudando em detalhes todas as vari´aveis f´ısicas que os caracte-
rizam em qualquer instante de temp o de sua existˆencia. Por exemplo, nas pr´oximas
subse¸c˜oes, veremos que simula¸c˜oes representando a evolu¸c˜ao de GC’s abrigados por
um halo massivo comum, obtˆem menores taxas de coalescˆencia entre as gal´axias, do
que naquelas nas quais os halos massivos est˜ao ligados `as pr´oprias gal´axias. Assim,
hip´otese de que GC’s possuem um halo comum pode explicar as baixas taxas de co-
alescˆencia observadas em GCH’s, conforme discutimos nas Se¸c˜oes anteriores. A este
respeito, convem tamb´em ressaltar o fato que, apesar das v´arias evidˆencias da ocor-
rˆencia de intera¸c˜oes entre as gal´axias dos grupos compactos (cf. e.g. Sec¸c˜oes 1.2.3,
44
1.2.4, 1.2.7 e 1.2.8), a fra¸c˜ao de gal´axias com sinais claros de intera¸c˜ao ou de fus˜oes,
n˜ao se correlaciona, ou se correlaciona muito fracamente, com parˆametros globais
dos grupos compactos, tais como a densidade central, a dispers˜ao de velocidades ou
a luminosidade em raios-X (PILDIS et al., 1995).
Muitas pesquisas baseadas em simula¸c˜oes computacionais foram realizadas nos ´ul-
timos 20 anos. Entretanto, como iremos discutir, tais simula¸c˜oes desconsideraram
certos aspectos importantes de GC’s, ou foram realizadas com recursos computaci-
onais obsoletos. Nesta Se¸c˜ao, estudamos o Estado da Arte concernente `as pesquisas
sobre GC’s. Exibimos as principais hip´oteses que procuram explicar a sua natureza.
Em seguida, realizamos um breve estudo sobre as principais simula¸c˜oes num´ericas
descritas na literatura cient´ıfica, tentando discutir seus pontos positivos e negativos.
Demonstramos que a maioria das gal´axias de GC’s tˆem natureza distinta das gal´a-
xias observadas em ambientes de baixa densidade superficial. Por fim, discutiremos
as hip´oteses assumidas para a realiza¸c˜ao desta pesquisa, descrevendo os principais
m´etodos utilizados na sua realiza¸c˜ao.
1.3.1 Principais Hip´oteses Sobre A Natureza dos GC’s
As observa¸c˜oes astrof´ısicas s˜ao limitadas quanto `as informa¸c˜oes dispon´ıveis. Por
exemplo, para um dado objeto astrof´ısico, mede-se apenas um componente do vetor
velocidade, ao longo da linha de visada e dois valores para a sua posi¸c˜ao, pois
dispomos apenas de imagens projetadas. Em face destas limita¸c˜oes, n˜ao se pode
conhecer a natureza dos GC’s atrav´es de simples inspe¸c˜oes de suas imagens em
placas fotogr´aficas. Segundo Hickson (1997), as diversas hip´oteses propostas sobre a
natureza dos GCs podem ser assim resumidas:
a) Alinhamentos casuais em grupos esparsos (MAMON, 1986), (MAMON,
1995), (WALKE; MAMON, 1989).
b) Alinhamentos casuais em estruturas filamentares (HERNQUIST et al., 1995).
c) Configura¸c˜oes densas transientes (ROSE, 1977).
d) Configura¸c˜oes densas ligadas e isoladas, em quase-equil´ıbrio dinˆamico (SU-
LENTIC, 1987), (HICKSON; ROOD, 1988), (G´oMEZ-FLECHOSO; DOM´ıNGUEZ-
TENREIRO, 2001a).
e) Configura¸c˜oes densas ligadas dentro de grupos esparsos (DIAFERIO et al.,
1994), (GOVERNATO et al., 1996).
45
Como haviamos mencionado anteriormente, os argumentos suportando a hip´otese
de que os CG’s seriam produto de alinhamentos casuais de gal´axias formando confi-
gura¸c˜oes compactas em proje¸c˜ao, surgiram dos resultados das primeiras simula¸c˜oes
num´ericas por Mamon (1986). Estas mostraram que, fossem os CG’s sistemas espa-
cialmente densos, o seu tempo de vida t´ıpico n˜ao deveria ultrapassar uma fra¸c˜ao do
tempo de Hubble, de modo que, ou os GC’s observados no universo pr´oximo teriam
sido formados recentemente ou ent˜ao n˜ao constituem sistemas f´ısicos ligados. Estu-
dos mais detalhados como o de Barnes (1989) (cf. Se¸c˜ao 1.3.1.1) confirmaram, em
linhas gerais, os resultados obtidos por Mamon. A dificuldade de se entender em qual
cen´ario cosmol´ogico poderiam surgir sistemas de gal´axias t˜ao densos como seriam os
CG’s, se reais fossem, muito contribuiu para a id´eia dos alinhamentos casuais. Assim,
Hernquist et al. (1995), a partir de simula¸c˜oes cosmol´ogicas de forma¸c˜ao de estru-
turas, prop˜oem a hip´otese alternativa pela qual os alinhamentos casuais resultariam
de filamentos vistos ao longo de seus eixos ou em ˆangulos ligeiramente obl´ıquos.
No entanto, como discutimos detalhadamente em se¸c˜oes anteriores (1.2.4 e 1.2.7),
diversas evidˆencias da ocorrˆencia de intera¸c˜ao entre as gal´axias ap ontam fortemente
para a hip´otese de que os CG’s sejam realmente sistemas densos e n˜ao meros ali-
nhamentos casuais.
Por outro lado, a hip´otese de Rose (1977) admite que um grupo compacto possa ser
um grupo esparso no qual muitos dos seus membros alcancaram o centro do grupo
simultaneamente, formando um subsistema denso mas n˜ao dinamicamente ligado.
No entanto, a existencia de halos de mat´eria escura, evidenciada pelos estudos da
massa dinˆamica dos CG’s e da sua emiss˜ao em raios-X (vd. Se¸c˜oes 1.2.9 e 1.2.10),
indica que esta hip´otese tamb´em deve ser descartada e que os CG’s formam, em sua
maioria, sistemas fisicamente ligados.
Se GCs s˜ao entidades fisicamente ligadas, eles poderiam ser classificados em cate-
gorias dinˆamicas dependendo do grau de intera¸c˜ao entre as suas gal´axias membro.
Ribeiro et al. (1998), baseados no estudo das propriedades dinˆamicas e estruturais
de uma amostra de GCH’s, sugerem que eles ser representados por trˆes categorias
dinˆamicas distintas:
a) Grupos esparsos ou pelo menos parte dos esparsos.
b) Sistemas n´ucleo + halo.
46
c) Grupos verdadeiramente compactos.
Com cada uma delas apresentando um perfil de densidade superficial t´ıpico distinto.
Esta vis˜ao parece conciliar as hip´oteses supracitadas. Se correspondessem a est´agios
evolutivos distintos destes grupos, estariam de acordo com as simula¸c˜oes propostas
por Diaferio e colaboradores (DIAFERIO et al., 1994), conforme abordaremos na Se¸c˜ao
1.3.1.1.
1.3.1.1 Principais Resultados Obtidos via Simula¸c˜oes Num´ericas
O problema de N−Corpos interagentes por for¸cas centrais n˜ao pode ser resolvido
analiticamente. Entretanto, po de ser tratado por m´etodos num´ericos, nos quais as
derivadas que conduzem `as acelera¸c˜oes e velocidades, s˜ao substitu´ıdas por diferen¸cas
finitas. No caso em que s˜ao estudados os movimentos de milhares de part´ıculas, o
n´umero de c´alculos envolvidos ´e enorme
3
, de modo que diversas aproxima¸c˜oes s˜ao
necess´arias a fim de resolver o problema. Diversos m´etodos s˜ao usados, os principais
sendo descritos no Apˆendice B.
As primeiras simula¸c˜oes num´ericas da evolu¸c˜ao de GC’s foram realizadas por Ma-
mon (1986). Ele conclui que os GC’s seriam alinhamentos casuais de gal´axias dentro
de grupos esparsos. Esta conclus˜ao ´e obtida ap´os a realiza¸c˜ao de 1000 simula¸c˜oes
num´ericas de modelos representando pequenos grupos de gal´axias, sendo estas re-
presentadas por part´ıculas puntuais dotadas de uma prescri¸c˜ao semi-emp´ırica de
coalescˆencia. Deste modo, ele conclui que apenas 15% dos GCH’s contendo pelo
menos quatro gal´axias, poderiam ser fisicamente densos. Mamon (1987) refaz estas
simula¸c˜oes, observando que os grupos simulados possuiam curtos tempo de cruza-
mento, da ordem de 1/30 a 1/8 do tempo de Hubble, de modo que nenhum deles
conseguiu durar mais do que a metade deste tempo. A sua conclus˜ao ´e que se os
GC’s fossem configura¸c˜oes fisicamente densas, jamais poder´ıamos observ´a-los na
propor¸c˜ao que observamos hoje. Posteriormente, Mamon (1995) realiza novas simu-
la¸c˜oes, por´em sempre usando a mesma metodologia muito simplificada de prescri¸c˜oes
semi-emp´ıricas para representar as intera¸c˜oes coalescentes. Entre outras coisas, as
intera¸c˜oes de mar´e, dinˆamicamente importantes na evolu¸c˜ao do sistema, n˜ao s˜ao
levadas em conta nesta descri¸c˜ao. Al´em disso suas simula¸c˜oes n˜ao levam em conta a
presen¸ca de um halo de mat´eria escura no grupo.
Em meados da d´ecada de 80, a introdu¸c˜ao, por Barnes e Hut (1986), de um c´odigo
3
Da ordem de N
2
c´alculos por passo de tempo, onde N ´e o n´umero de part´ıculas.
47
baseado num algor´ıtmo de ´arvore recursiva (Vide Apˆendice B) permitiu aumentar
o n´umero de part´ıculas nas simula¸c˜oes num´ericas e, conseq
¨
uentemente, a resolu¸c˜ao
dos detalhes f´ısicos das gal´axias simuladas
4
. Barnes (1989) faz uso deste c´odigo para
simular 65, 536 part´ıculas representando um pequeno grupo de gal´axias disc´oides.
As gal´axias foram modeladas com duas componentes, um halo de mat´eria escura
e uma componente ”luminosa”. As simula¸c˜oes mostraram que elas coalesciam num
´unico objeto central (central merger remnant) em poucos per´ıodos orbitais (∼ 4 Ga-
nos), o que, segundo Barnes, seria uma caracter´ıstica geral de sistemas aglomerados
auto-gravitantes. O objeto central ´e identificado como uma gal´axia el´ıptica dinami-
camente ordin´aria. Isto se justifica porque os processos de coalescˆencia ocorrem com
a desacelera¸c˜ao eficiente das part´ıculas ”luminosas”nos pr´oprios halos de mat´eria es-
cura. Este frenamento produz objetos de baixo momento angular e com perfil de
luminosidade caracter´ıstico das gal´axias el´ıpticas gigantes. Os resultados de Barnes
corroboraram os resultados anteriores de Mamon (1986), a respeito das curtas du-
ra¸c˜oes dos GC’s. Assim, os GC’s observados no universo pr´oximo, ou resultariam de
alinhamentos casuais na linha de visada, ou teriam sido formados recentemente, sem
se constitu´ırem res´ıduos de uma popula¸c˜ao muito maior. Assim como as simula¸c˜oes
de Mamon discutidas antes, estas simula¸c˜oes n˜ao consideraram o caso em que as ga-
l´axias est˜ao imersas num halo de mat´eria comum, como discutimos na Se¸c˜ao 1.2.10.
De fato, elas ocorreram anos antes do trabalho de Ponman et al. (1996). Mesmo as-
sim, estas simula¸c˜oes influenciaram de tal modo a comunidade cient´ıfica que ainda
hoje aceita-se a id´eia de que GC’s fisicamente ligados durem apenas poucos Ganos.
Em se¸c˜oes a seguir, mostraremos que esta afirma¸c˜ao precisa ser revista.
Com uma abordagem diferente, Diaferio et al. (1994) realizam novas simula¸c˜oes
utilizando um c´odigo de ´arvore, para mostrar que configura¸c˜oes compactas formam-
se natural e freq
¨
uentemente no interior de grupos esparsos de gal´axias ainda n˜ao
completamente formados e virializados. Estas configura¸c˜oes seriam transientes, com
um tempo de vida t´ıpico de ∼ 1 Gano. Embora as gal´axias participantes destes
subsistemas densos, sejam progressivamente destruidas por efeito das coalescencias
m´utuas, tal como ocorria nas simula¸c˜oes de Mamon e de Barnes, novas gal´axias,
origin´arias do grupo esparso hospedeiro, ainda pr´e-virializado, s˜ao eventualmente
acrescentadas a ele, realimentando-o constantemente. A maioria destas configura¸c˜oes
compactas s˜ao tripletos e quartetos, formando subsistemas ligados semelhantes aos
GCH’s, inclusive obedecendo aos crit´erios originais de Hickson, quando vistos em
4
Neste caso, o n´umero de c´alculos por passo de tempo cai de N
2
para N log N .
48
proje¸c˜ao. Um suporte observacional para o modelo ´e a constata¸c˜ao de que pelo
menos 66% dos 38 GCH’s situados na regi˜ao do levantamento de redshifts do CfA
(Center for Astrophysics) situam-se em estruturas maiores e mais ricas (cf. Ramella
et al. (1994)). Por outro lado, diversos estudos (p. ex., Diaferio et al. (1993) e suas
referˆencias) mostraram evidˆencias de que os grupos esparsos, em sua maioria, ainda
n˜ao se encontram virializados, isto ´e ainda est˜ao em fase de colapso. Num trabalho
posterior, Diaferio et al. (1995) continuam a explora¸c˜ao deste modelo de forma¸c˜ao
dos GC’s, mas agora juntando uma componente gasosa, dissipativa, `as gal´axias.
Para isso utilizam um c´odigo de ´arvore acoplado a um c´odigo hidrodinˆamico SPH.
As intera¸c˜oes intergal´acticas arrancam o material gasoso para o meio intragrupo que
´e aquecido a temperaturas compar´aveis `aquelas observadas atrav´es da emiss˜ao de
raios-X dos GC’s. Os resultados mostram de maneira geral, um razo´avel acˆordo com
as observa¸c˜oes.
Desta forma este modelo consegue conciliar as evidencias que os GC’s s˜ao de fato
sistemas densos e ligados, ainda que sofrendo a instabilidade por coalescencia dos sis-
temas densos demonstrada nos estudos de Mamon e Barnes. Neste modelo, os GC’s
seriam sistemas 3-D que se formaram recentemente no interior de grupos esparsos,
e, desta forma, n˜ao constituem uma escala t´ıpica do modelo de forma¸c˜ao hier´arquica
de estruturas. Notar que as simula¸c˜oes de Diaferio et al. (1994), tˆem resolu¸c˜ao muito
menor dos que aquelas do estudo de Barnes (1989), sendo cada gal´axia representada
por poucas centenas de part´ıculas, num total de 8192 por simula¸c˜ao (em apenas uma
simula¸c˜ao eles usam o total de 16384 part´ıculas).
Governato et al. (1996) seguem a id´eia b´asica do modelo de Diaferio et al. (1994),
i.´e, de que os GC’s seriam sistemas continuamente realimentados por novas gal´axias.
Por´em, em constraste com o trabalho anterior, propoem que os CG’s se originem do
colapso de uma regi˜ao esf´erica sobre-densa, o qual ´e seguido pela acre¸c˜ao (colapso se-
cund´ario) das massas circunvizinhas, num universo cr´ıtico, i.e., com Ω
materia
= 1. Os
resultados de suas simula¸c˜oes num´ericas
5
mostram que os processos de coalescˆencias
s˜ao mais efetivos durante a fase de colapso inicial (correspondente a 1 ≤ z ≤ 0, 35),
diminuindo, at´e tornarem-se desprez´ıveis, na fase de colapso secund´ario. Analisado
`a luz do formalismo de Press & Schechter, o modelo prevˆe que o cen´ario do colapso
5
Nestas simula¸c˜oes os grupos s˜ao inicialmente constituidos por oito gal´axias e por uma com-
p onente difusa representando um halo de mat´eria escura e uma popula¸c˜ao de gal´axias menores
n˜ao resolvidas. As gal´axias seguem um modelo de duas componentes: um halo de mat´eria escura,
representado por 760 part´ıculas, e as estrelas, representadas por 320 part´ıculas, totalizando 20000
part´ıculas para cada grupo.
49
secund´ario ´e consistente com a abundˆancia dos GCH’s, levando os autores a arg
¨
uir
que a existˆencia atual de muitas associa¸c˜oes densas e pequenas de gal´axias, como
os GCH’s, aponta na dire¸c˜ao de um Universo de densidade cr´ıtica de mat´eria. Po-
r´em sabemos que o modelo atualmente aceito possui uma componente de energia de
v´acuo e isto poderia alterar os resultados.
Athanassoula et al. (1997) realizaram simula¸c˜oes num´ericas para estudar a taxa
de fus˜oes em grupos compactos constitu´ıdos de cinco gal´axias el´ıpticas idˆenticas. Os
autores consideraram dois casos: no primeiro, as gal´axias possuem seus pr´oprios halos
de mat´eria escura individuais. No segundo caso, um halo de mat´eria escura engloba
todo o grupo. As simula¸c˜oes procuraram explicar porque um n´umero consider´avel de
grupos compactos ´e observado, apesar de estudos, como o de Barnes (1989), terem
indicado uma curta existˆencia, em compara¸c˜ao com a idade do Universo. Modelando
as gal´axias como simples esferas de Plummer (BINNEY; TREMAINE, 1987), os autores
encontraram os seguintes resultados:
• Para os grupos com halo comum, a taxa de fus˜oes entre as gal´axias depende
da raz˜ao entre a massa do halo e a massa total do grupo. A medida que
esta raz˜ao aumenta, a taxa de fus˜oes diminui, desde que a mat´eria escura
n˜ao esteja excessivamente concentrada na regi˜ao central do grupo.
• Grupos com halos individuais fundem-se mais r´apido do que grupos com
halos comuns, se a configura¸c˜ao do grupo for centralmente concentrada.
Assim, os autores concluem que, em certas condi¸c˜oes, que dependem da massa con-
tida no halo de mat´eria escura, da sua concentra¸c˜ao central, e tamb´em das ´orbitas
iniciais das gal´axias, os grupos compactos poderiam ter um tempo de vida conside-
ravelmente maior do que os estudos anteriores indicavam, podendo ser da ordem ou
at´e maior que a idade estimada do Universo
G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a) exploraram a proposta de Athanas-
soula et al. (1997), considerando o caso em que as gal´axias dos CG’s s˜ao modeladas
como esferas de Michie-King
6
, cujos raios s˜ao determinados pela a¸c˜ao das for¸cas
de mar´e produzidas pelo halo de mat´eria escura que abriga o grupo. Nestas no-
vas simula¸c˜oes, o halo de mat´eria escura foi modelado conforme as observa¸c˜oes em
raios-X mencionadas na Se¸c˜ao 1.2.10. As gal´axias foram representadas por esferas
6
No Apˆendice C encontra-se uma descri¸c˜ao das esferas de Michie-King.
50
de Michie-King limitadas por mar´e, com um tensor de dispers˜ao de velocidades iso-
tr´opico. Nestes modelos, portanto, as gal´axias s˜ao sat´elites do halo massivo comum,
tal como no mo delo de Athanassoula et al. (1997), mas, em contraste, seus raios s˜ao
determinados a priori pela a¸c˜ao de mar´e do campo produzido pelo halo.
As simula¸c˜oes foram realizadas com grupos de quatro gal´axias, cuja evolu¸c˜ao cor-
respondente a um per´ıodo de 10
10
anos
7
foi estudada. Os resultados mostraram
que as gal´axias podem ser individualmente est´aveis em rela¸c˜ao `as for¸cas de mar´e,
cujo efeito principal ´e o de arrancar material das gal´axias para o halo de mat´eria
escura comum (tidal stripping). Neste caso a estabilidade significa que: (a) a perda
relativa de massa n˜ao supera ∼ 25%; (b) o perfil de densidade de massa assim como
a distribui¸c˜ao de velocidades interna, n˜ao sofrem modifica¸c˜oes significativas.
Os resultados destas simula¸c˜oes sugerem, portanto, a viabilidade de um modelo no
qual CG’s seriam sistemas ligados em equil´ıbrio e est´aveis.
´
E interessante notar que
este modelo ´e consistente com um cen´ario hier´arquico de forma¸c˜ao de estruturas,
no qual os halos de mat´eria escura que abrigam os CG’s seriam formados a partir
da fus˜ao de halos menores contendo mat´eria bariˆonica j´a colapsada, na forma de
gal´axias normais ou an˜as, ou mesmo de nuvens de hidrogˆenio neutro. Estes halos
seriam capazes de sobreviver ao processo de relaxa¸c˜ao violenta na fase de virializa¸c˜ao
final do sistema, passando a orbitar no interior do halo massivo, rec´em formado e
em equilibrio.
Como ap ontam G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a), alguns aspectos ob-
servacionais dos CG’s que discutimos anteriormente, podem ser imediatamente in-
terpretados `a luz deste cen´ario evolutivo:
• A ausˆencia de correla¸c˜oes entre a taxa de intera¸c˜oes entre as gal´axias e os
parˆametros globais de GC’s. Neste modelo, se o halo comum, em equil´ıbrio,
for suficientemente massivo, as gal´axias tendem a orbitar como sat´elites no
potencial global, de modo que as intera¸c˜oes bin´arias passam a representar
pequenas pertuba¸c˜oes, independentes das suas propriedades globais (e.g
massa total e densidade de massa) do halo.
Por outro lado, como a taxa de intera¸c˜oes e fus˜oes ´e fun¸c˜ao, principalmente,
da massa do halo comum, a considera¸c˜ao de um intervalo de massas para o
halo de mat´eria escura dos CG’s, po de ser a explica¸c˜ao para as diferentes
7
Equivalente a 100 tempos de cruzamento, para as massas e velocidades iniciais utilizadas.
51
categorias dinˆamicas sugeridas no estudo de Ribeiro et al. (1998).
• A ausˆencia de fus˜oes no interior dos halos massivos, na sua fase de equi-
l´ıbrio, sugere que as gal´axias el´ıpticas dos CG’s tenham se formado antes
desta fase. Isto poderia explicar a anticorrela¸c˜ao entre a fra¸c˜ao de espirais
e a dispers˜ao de velocidades dos grupos mencionada na Sec¸c˜ao 1.2.3.
• As el´ıpticas observadas nos CG’s n˜ao podem ter sido formadas na sua
fase de equil´ıbrio.
´
E plausivel supor que elas tenham sido formadas antes,
durante a fase de forma¸c˜ao do halo comum, seguindo a mesma ´arvore de
fus˜oes que lhe deu origem. Por outro lado, como os processos de fus˜oes,
num cen´ario hier´arquico, s˜ao mais eficientes em ambientes mais densos,
seria natural supor que os CG’s tem mais chances de se originar no interior
de grupos esparsos do que em ambientes isolados, o que vai de encontro
com diversas observa¸c˜oes a este respeito (e.g. de Carvalho et al. (1997),
Barton et al. (1998)).
• Neste cen´ario, a fase de forma¸c˜ao do halo massivo que abriga os CG’s, d´a
origem `a fus˜oes e `a intera¸c˜oes violentas capazes de gerar grande fluxos de
g´as nas gal´axias, dando origem a epis´odios de forma¸c˜ao estelar intensa,
i.´e, a gal´axias starburst, que, tendo posteriormente, esgotado o seu g´as,
evoluiriam para um n´ucleo ativo de baixa luminosidade, tal como ´e pre-
dominantemente observado nas regi˜oes centrais dos CG’s. Este mecanismo
poderia explicar a rela¸c˜ao densidade-morfologia-atividade nuclear discu-
tida na Sec¸c˜ao 1.2.7.
1.4 Objetivos desta Disserta¸c˜ao de Mestrado
Como vimos na se¸c˜ao anterior, as simula¸c˜oes de Barnes (1989) ajudaram na formula-
¸c˜ao de um paradigma que influenciaram as demais pesquisas. Deste modo, a maioria
das simula¸c˜oes se preocupou com a dura¸c˜ao dos grupos. Por isto, o cen´ario proposto
por Diaferio et al. (1994) constituiu numa solu¸c˜ao alternativa, por´em dentro dos as-
pectos dinˆamicos de coalescˆencias proposto por Barnes. Por outro lado, os cen´arios
propostos por Athanassoula et al. (1997) e G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro
(2001a) podem resolver o problema levantado pelas simula¸c˜oes de Barnes, porque
os GCs poderiam durar por um tempo de Hubble. Entretanto, ao nosso ver, o cen´a-
rio proposto pelas simula¸c˜oes de G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro precisa ser
estudado em detalhes, porque trˆes quest˜oes importantes deixaram de ser aborda-
52
das nas suas simula¸c˜oes: i) qual a influˆencia da popula¸c˜ao de gal´axias “d´ebeis” e da
segrega¸c˜ao de luminosidades na evolu¸c˜ao do modelo; ii) qual a origem do material
difuso observado no CG’s; iii) qual a origem da distribui¸c˜ao dos valores de ∆m
12
que ´e observada.
Deste modo, objetivamos executar simula¸c˜oes num cen´ario an´alogo ao proposto por
G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a), conforme descrito na se¸c˜ao anterior,
para estudar a quest˜ao da segrega¸c˜ao de luminosidades, a evolu¸c˜ao dos valores de
∆m
12
, a presen¸ca da popula¸c˜ao de baixa luminosidade e as caracter´ısticas do ma-
terial difuso no meio intragrupo, entre outros aspectos. Para isso, consideraremos
que os GCs s˜ao entidades astrof´ısicas gravitacionalmente ligadas constitu´ıdas por
gal´axias, imersas num halo de mat´eria escura comum e sujeitas `a for¸cas de mar´e
originadas do halo. As gal´axias s˜ao representadas por esferas de Michie-King, con-
forme Apˆendice C, i.e., as gal´axias s˜ao inicialmente modeladas por um conjunto de
part´ıculas cuja fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao no espa¸co de fase cont´em todas a informa-
¸c˜oes dinˆamicas de que precisamos para mantˆe-las em equil´ıbrio com o halo externo.
Assim, ao representarmos as gal´axias por esferas de King, estamos assegurando a
possibilidade de existirem sistemas auto-gravitantes que n˜ao se destroem, pelo menos
abruptamente, mediante `a a¸c˜ao de um campo gravitacional externo.
Diferentemente do modelo explorado por G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro
(2001a), nos incluiremos, al´em das gal´axias usualmente admitidas como pertencen-
tes aos GC’s, um n´umero representativo de gal´axias d´ebeis (cf. veremos no Cap´ıtulo
2), que desempenhar˜ao o papel da popula¸c˜ao de baixa luminosidade, conforme dis-
cutimos na Se¸c˜ao 1.2.5.
De um modo geral, al´em de analisar os aspectos dinˆamicos das simula¸c˜oes, realiza-
remos as seguintes an´alises:
a) Evolu¸c˜ao dos valores de ∆M
12
.
b) Separa¸c˜ao tridimensional m´edia entre membros.
c) Separa¸c˜ao projetada m´edia entre membros mais massivos, ajudando na
identifica¸c˜ao da segrega¸c˜ao de luminosidades,
d) Separa¸c˜ao projetada m´edia entre membros menos massivos, analogamente
ao item anterior.
53
e) Estudo da evolu¸c˜ao dos remanescentes,
f) Estudo da taxa de coalescˆencias entre as gal´axias.
g) Verifica¸c˜ao de material difuso intragrupo.
h) Verifica¸c˜ao da consistˆencia do modelo perante `as principais caracter´ısticas
dos GCs citadas na literatura.
´
E importante observar que, embora estas simula¸c˜oes sejam realizadas fora de um
contexto cosmol´ogico, elas podem se inserir corretamente num cen´ario de forma¸c˜ao
hier´arquica de estruturas, no qual os halos de mat´eria escura que abrigam os CG’s
seriam formados a partir da fus˜ao de halos menores contendo mat´eria bariˆonica j´a
colapsada, como mencionamos acima.
No Cap´ıtulo 2 descreveremos de que maneira as condi¸c˜oes iniciais dos GCs simulados
foram geradas. Discutiremos nos Cap´ıtulos 3 e 4 como executamos um c´odigo num´e-
rico para integrar as equa¸c˜oes de movimento das part´ıculas, obtendo os seus dados
em instantes posteriores da evolu¸c˜ao dos grupo simulados. No Cap´ıtulo 5, estuda-
mos em detalhes estes instantes, analisando os aspectos observacionais itemizados
acima. Finalmente, verificaremos se o cen´ario abordado nesta Disserta¸c˜ao explica,
pelo menos em parte, as principais caracter´ısticas astrof´ısicas observadas nos GCHs
e nos GCDPOSS.
54
CAP
´
ITULO 2
Os Modelos Simulados
2.1 Das Condi¸c˜oes Iniciais
Nesta Disserta¸c˜ao, decidimos investigar em maior detalhe as propriedades evolutivas
do modˆelo de grupos compactos de gal´axias (GC’s) proposto por G´omez-Flechoso
e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a), utilizando resultados a serem obtidos atrav´es de si-
mula¸c˜oes num´ericas. Um tal estudo requer, previamente, a modelagem de todos os
componentes do grupo: o halo comum, est´atico, de mat´eria escura, e as gal´axias cons-
tituintes do grupo, num certo instante, quando ´e iniciada a integra¸c˜ao (num´erica)
das equa¸c˜oes de movimento do sistema.
Para realizar esta modelagem, n´os iremos supor, diferentemente que G´omez-Flechoso
e Dom´ınguez-Tenreiro
(2001a), que os GC’s, inicialmente, isto ´e logo ap´os o colapso e
virializa¸c˜ao do seu halo escuro comum, se assemelhariam aos grupos esparsos em v´a-
rios de seus aspectos observacionais: massa, perfil de densidades do halo, dimens˜oes
t´ıpicas e a separa¸c˜ao m´edia e a fun¸c˜ao de luminosidades de suas gal´axias-membros.
Com isto estamos implicitamente supondo que a compacticidade atualmente obser-
vada deve originar-se, principalmente, da a¸c˜ao de for¸cas de mar´e do halo e tamb´em
da a¸c˜ao m´utua entre as gal´axias-membros, durante a evolu¸c˜ao do grupo.
2.1.1 Aspectos Gerais das Condi¸c˜oes Iniciais
Para estabelecer as condi¸c˜oes iniciais, ´e importante determinar o n´umero de gal´axias
por grupo que represente o n´umero de gal´axias observados em grupos esparsos.
Escolhemos em to dos os modelos o n´umero de 20 gal´axias componentes para o
grupo esparso primordial, de modo a tornar poss´ıvel a inclus˜ao de uma popula¸c˜ao de
gal´axias de baixa luminosidade, conforme mencionamos no Cap´ıtulo 1. Este n´umero
representa uma quantidade de gal´axias observada em grupos esparsos mais ricos,
conforme os estudos de Zabludoff e Mulchaey (1998) e de Tucker et al. (2000).
Os demais procedimentos, seguidos no estabelecimento das condi¸c˜oes iniciais, s˜ao
mais complexos e merecer˜ao um estudo `a parte nas pr´oximas se¸c˜oes. Por esta raz˜ao,
s˜ao sucintamente descritos abaixo:
• Adota-se o modelo do perfil de densidades para o halo.
55
• Distribuem-se as luminosidades das gal´axias a partir da fun¸c˜ao de lumino-
sidade obtida das observa¸c˜oes de grupos esparsos.
• Calculamos a massa de cada gal´axia a partir de suas luminosidades atribu´ı-
das. Usamos uma luminosidade padr˜ao para calibrar as massas, assumindo
uma raz˜ao massa-luminosidade uniforme para todo o grupo (detalhes na
Se¸c˜ao 2.1.2).
• Escolhemos o n´umero total de part´ıculas usado na simula¸c˜ao, distribuindo-
as nas gal´axias conforme as suas massas.
• Fazemos uma s´erie de procedimentos num´ericos, usando o m´etodo de Mon-
teCarlo, para distribuir vinte part´ıculas que representem os centros de
massa das gal´axias, seguindo uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de posi¸c˜oes e
velocidades que caracterize o Halo do grupo esparso.
• Para cada centro de massa calculado no item anterior, construimos uma
gal´axia, distribuindo part´ıculas conforme um modelo de King esf´erico, com
raios de mar´e calculados em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao da gal´axia no interior do
halo.
Nas simula¸c˜oes que realizamos, s˜ao computadas apenas as for¸cas gravitacionais.
Portanto, n˜ao consideramos os efeitos astrof´ısicos dissipativos, i.e., inerentes a um
componenete gasoso, tais como: forma¸c˜ao estelar, choques e realimenta¸c˜ao energ´etica
do sistema por supernovas.
2.1.1.1 Modelando o Halo de Mat´eria Escura
A eficiˆencia com que se faz uma simula¸c˜ao num´erica depende, principalmente, do
n´umero de c´alculos efetuados, o qual, por sua vez, depende do n´umero de part´ı-
culas usado pelo modelo simulado. Pensando nisto, decidimos realizar o c´alculo do
potencial gravitacional originado do halo de mat´eria escura utilizando uma fun-
¸c˜ao anal´ıtica, eliminando, pois, a necessidade do uso de part´ıculas, aumentando a
eficiˆencia de nossas simula¸c˜oes. Usando simula¸c˜oes computacionais,
Navarro et al.
(1997) prop˜oem um perfil radial de densidades que representa os halos formados por
fus˜oes de halos menores segundo o cen´ario de forma¸c˜ao hier´arquica de estruturas.
Este perfil ´e popularmente conhecido como perfil de NFW, descrito pela seguinte
equa¸c˜ao:
ρ(r) =
δ
c
ρ
crit
(r/r
s
)(1 + r/r
s
)
2
, (2.1)
56
onde ρ(r) ´e a densidade de mat´eria escura em fun¸c˜ao do raio, r
s
´e uma escala
caracter´ıstica, ρ
crit
´e a densidade cr´ıtica do Universo, dada por ρ
crit
= 3H
2
/8πG,
e δ
c
, um contraste de densidade adimensional caracter´ıstico. Entretanto, conforme
apontado por Lokas e Mamon (2001), este perfil tem a desvantagem, do ponto de
vista f´ısico, de que a massa total do modelo ´e divergente para grandes valores de r, o
que exige a introdu¸c˜ao do raio de corte para a sua caracteriza¸c˜ao f´ısica. Uma fun¸c˜ao
analiticamente mais simples que descreve perfis radiais de densidade foi proposta
por Hernquist (1990):
ρ(r) =
M
2π
a
r
1
(r + a)
3
. (2.2)
Nesta equa¸c˜ao, M ´e a massa total do halo e a ´e uma escala caracter´ıstica. Assim, o
perfil radial de densidades depende apenas destes dois parˆametros, que podem ser
ajustados a partir dos dados observacionais. Este perfil representa uma classe de mo-
delos esfericamente sim´etricos, conhecido como Esferas de Hernquist, cuja descri¸c˜ao
f´ısica se econtra no Apˆendice
C. A equa¸c˜ao 2.2 foi proposta com o objetivo inicial
de recuperar teoricamente o perfil radial de luminosidades observado de gal´axias
el´ıpticas e de bojos. Segundo Navarro et al. (1997), o perfil de NFW difere do perfil
de Hernquist apenas no comportamento assint´otico, ou seja, para grandes valores
de r, conforme podemos observar na figura 2.1. Neste regime de grandes distˆancias
ao centro da distribui¸c˜ao, o perfil de Hernquist diminui com r
−4
, enquanto o perfil
de NFW diminui com r
−3
. Assim, por sua simplicidade anal´ıtica e sua grande simi-
laridade com o perfil de NFW, o perfil de Hernquist foi escolhido para modelar a
distribui¸c˜ao de mat´eria do halo de mat´eria escura.
Uma descri¸c˜ao da realiza¸c˜ao MonteCarlo
1
de esferas de Hernquist se encontra no
Apˆendice D. A realiza¸c˜ao MonteCarlo de uma esfera de Hernquist requer o conhe-
cimento de dois parˆametros: a massa total M
tot
e o comprimento de escala a. Nas
pr´oximas se¸c˜oes discutimos os fundamentos da escolha e aceita¸c˜ao dos valores destes
parˆametros.
2.1.1.2 A massa do Grupo
Decidimos usar um valor para a massa total do halo de acordo com os resultados das
observa¸c˜oes em Raios-X, conforme explicamos na Se¸c˜ao 1.2.10. Segundo Mulchaey et
1
Nesta disserta¸c˜ao, a express˜ao “realiza¸c˜ao Montecarlo” significa executar uma s´erie de pro-
cedimentos computacionais num´ericos, baseados no m´etodo de MonteCarlo. Estes procedimentos
visam `a modelagem f´ısica dos sistemas de interesse. Apesar de constituir um abuso de linguagem,
consideramos de f´acil entendimento para o leitor.
57
0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
Perfil de NFW
Perfil de Hernquist
FIGURA 2.1 - Perfis radiais de densidade ρ, normalizada pela densidade central ρ
0
, em fun¸c˜ao da
coordenada radial r normalizada por uma escala caracter´ıstica comum r
c
. Os perfis
est˜ao representados em escala logar´ıtmica.
al., as medidas do ROSAT indicam que as massas totais dos grupos assumem valores
distribu´ıdos num pequeno intervalo, se calculadas em escala logar´ıtmica, conforme
podemos observar na Figura 2.2. Analisando esta Figura, notamos que a distribui¸c˜ao
das massas dos GCs observados possui um valor modal em torno de 2 × 10
13
M
.
Desta forma, decidimos usar uma massa representativa de M
grupo
= 2×10
13
M
para
o halo.
2.1.1.3 O Comprimento de Escala “a”
Usando dados observacionais, Ribeiro et al. (1998) exibem perfis de densidade pro-
jetada para os trˆes tipos caracter´ısticos de grupos, na sua classifica¸c˜ao (compactos,
sistemas n´ucleo+halo e esparsos). Embora eles tenham usado um modelo diferente
do modelo de Hernquist para ajustar os perfis de densidade projetada dos grupos
analisados, ´e poss´ıvel recuperar o tamanho do raio caracter´ıstico a que seria obtido
se esses grupos compactos fossem representados por uma esfera de Hernquist. Ri-
58
FIGURA 2.2 - Distribui¸c˜ao do n´umero de GCs em fun¸c˜ao de suas massas totais, em unidades solares.
Os valores das massas foram calculados em escala logar´ıtmica.
beiro et al. (1998) encontram um raio caracter´ıstico de r
c
= 68 ± 16 kpc, usando
perfis de King, para ajustar o perfil de densidade superficial dos grupos. Para isto,
eles usam o perfil de Hubble modificado, que se aproxima do perfil de King para
r
r
c
≤ 2, onde r
c
representa um comprimento caracter´ıstico (cf. Binney e Tremaine
(1987)):
ρ
K
=
ρ
0
(1 +
r
r
c
)
3
2
, (2.3)
onde ρ
K
representa a densidade de mat´eria e ρ
0
a respectiva densidade na regi˜ao
central do sistema considerado. Assim, com este perfil de densidades, recuperamos
o raio caracter´ıstico de um modelo de Hernquist, comparando as curvas do perfil
de densidades de ambos os modelos e variando o parˆametro a at´e que as curvas
possuam um mesmo intervalo de densidades, exceto na regi˜ao central. Na Figura
2.3, podemos verificar esta estimativa.
A Figura 2.3 nos mostra que, para distˆancias razo´aveis do centro, o p erfil de den-
sidades de uma esfera de Hernquist delimita o mesmo intervalo de densidades de
um perfil de King, desde que a esfera de Hernquist possua um fator multiplicativo
de dois, ou seja, o seu raio caracter´ıstico deve ter cerca de duas vezes o raio ca-
racter´ıstico de uma esfera de King. Com isso, adotamos um valor de a ≥ 140 kpc.
59
-2 -1 0 1 2
-15
-10
-5
0
5
Perfil de Hernquist
Perfil de King
FIGURA 2.3 - Perfis radiais de densidade dos modelos de King e de Hernquist. No eixo das ordenadas,
os valores da densidade. No eixo das abscissas, os valores das coordenadas, normalizadas
p or um mesmo fator r/r
c
. As medidas est˜ao exibidas em escala logar´ıtmica (log).
Entretanto, esta seria a escala t´ıpica de distribui¸c˜ao de mat´eria vis´ıvel, sendo pois,
plaus´ıvel supor que o halo de mat´eria escura tenha escalas maiores. Assim, decidi-
mos adotar ad hoc o valor de 300 kpc para o comprimento caracter´ıstico do halo.
Justificamos que, `a medida que as gal´axias orbitam o halo r´ıgido, uma fra¸c˜ao sig-
nificativa de suas massas ´e extirpada, devido `as for¸cas de mar´e originadas do halo,
e concentrada gradativamente no centro do sistema, onde as for¸cas gravitacionais
s˜ao mais intensas. Por causa desta concentra¸c˜ao, observa-se um menor comprimento
caracter´ıstico nos GCs mais evolu´ıdos.
2.1.2 As Gal´axias-Membros e Suas Massas
Os valores das massas luminosas individuais das gal´axias s˜ao calculados supondo-se
que elas s˜ao caracterizadas por uma mesma rela¸c˜ao massa-luminosidade. Ent˜ao o
c´alculo das massas das gal´axias requer o c´alculo de suas respectivas luminosidades,
sendo necess´ario o conhecimento da fun¸c˜ao de luminosidade (SCHECHTER, 1976) que
60
atribua as luminosidades das gal´axias modeladas. A fun¸c˜ao de luminosidade fornece
a densidade num´erica de gal´axias face `as suas magnitudes absolutas numa dada
banda.
´
E, portanto, uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de luminosidades ou magnitudes
de objetos de uma amostra. Seja dn(M) a densidade num´erica de gal´axias com
magnitudes entre M e M + dM numa dada banda. A fun¸c˜ao de luminosidade φ(M)
pode definida como:
φ(M) =
dn(M)
dM
. (2.4)
Este equa¸c˜ao pode ser escrita em termos da luminosidade L:
φ(L) =
dn(L)
dL
. (2.5)
O n´umero total de objetos n
tot
´e calculado mediante a realiza¸c˜ao da integral sobre
todas as magnitudes M ou sobre todas as luminosidades L:
n
tot
=
∞
0
φ(L)dL =
∞
−∞
φ(M)dM. (2.6)
Schechter (1976) introduziu a seguinte fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao:
φ(L)dL = φ
(
L
L
)
α
e
−
L
L
dL
L
, (2.7)
Esta fun¸c˜ao pode ser rescrita em termos das magnitudes absolutas:
φ(M)dM = 0, 4ln10φ
10
−0,4(α+1)(M−M
)
exp
−10
−0,4(α+1)(M−M
)
dM (2.8)
O parˆametro φ
representa uma constante de normaliza¸c˜ao medida em unidades
de inverso de volume (Mpc
−3
). O parˆametro L
´e a luminosidade correspondente a
uma magnitude absoluta M
e corresponde a um ponto de inflex˜ao da curva definida
pela fun¸c˜ao Logφ(L). O parˆametro α representa a taxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao de
luminosidade no plano-(Logφ, M) quando M M
(L L
).
Usando esta t´ecnica, para atribuirmos luminosidades representativas `as gal´axias mo-
deladas, ´e necess´ario o conhecimento dos valores dos parˆametros α e M
da fun¸c˜ao
de luminosidade que caracteriza os GCs em est´agios primordiais de sua evolu¸c˜ao.
Como esta fun¸c˜ao em particular n˜ao ´e conhecida, admitimos a hip´otese de que, no
est´agio primordial da evolu¸c˜ao dos grupos compactos, a sua fun¸c˜ao de luminosidade
61
n˜ao difere significativamente da fun¸c˜ao de luminosidade representativa do campo,
porque, por hip´otese, espera-se que nestes ambientes as fus˜oes e intera¸c˜oes entre as
gal´axias ocorram raramente. Mesmo para um cen´ario com um halo est´atico, seria er-
rˆoneo tomar os parˆametros da fun¸c˜ao de luminosidade dos grupos compactos, posto
que, no nosso cen´ario evolutivo, estes representariam o ´ultimo est´agio evolucion´ario
dos esparsos.
Assim, utilizamos uma fun¸c˜ao de luminosidade de Schechter (1976) ajustada para o
campo, conforme Trentham et al. (2005). Segundo eles, tal fun¸c˜ao de luminosidade
´e caracterizada pelos valores α = −1, 29 e M
r
= −22, 0. Usando uma equa¸c˜ao de
transforma¸c˜ao de magnitudes em banda R para a banda B, i.e., M
B
= M
R
+ 1, 4
(TRENTHAM et al., 2005), encontramos M
B
= −20, 6. Usando tais valores de α e de
M
B
, efetuamos uma realiza¸c˜ao MonteCarlo, atribuindo luminosidades e magnitudes
para uma amostra representativa de gal´axias. Usando estes procedimentos, para
cada gal´axia convertemos a sua magnitude atribu´ıda M
B
i
em massa m
i
, mediante
a suposi¸c˜ao ad hoc de que todas as gal´axias s˜ao caracterizadas por uma mesma
raz˜ao massa-luminosidade M/L ∼ 6 (este valor est´a em acordo com os dados de 37
gal´axias el´ıpticas, conforme apontado por van der Marel (1991)). Deste modo, um
objeto com magnitude absoluta M
B
= −20, 0 possui massa m = 1, 00 × 10
11
M
:
m
i
= (1, 00 ×10
11
M
)(10
−0,4(M
B
+20)
). (2.9)
2.1.2.1 O N´umero de Part´ıculas na Simula¸c˜ao
O n´umero de part´ıculas usado na simula¸c˜ao ´e escolhido principalmente por quest˜oes
concernentes `as nossas disponibilidades computacionais. Escolhemos uma quanti-
dade de part´ıculas ∼ 10
5
, sendo todas com a mesma massa. Estas part´ıculas foram
distribu´ıdas entre as gal´axias de acordo com as massas individuais das mesmas. A
massa m
p
de cada part´ıcula ´e igual a m
p
=
m
total
N
P
, onde m
total
representa a soma das
massas m
i
das gal´axias e N
P
denota o n´umero total de part´ıculas da simula¸c˜ao.
2.1.2.2 Dos Centros de Massa das Gal´axias-Membros
Os centros de massa das gal´axias s˜ao encontrados mediante uma realiza¸c˜ao Monte-
Carlo de uma esfera de Hernquist que modela o halo de mat´eria escura, conforme
Apˆendice
D. Como j´a dissemos, os principais parˆametros usados s˜ao a massa total
62
e o raio caracter´ıstico. Apresentamos na Figura 2.4 a distribui¸c˜ao das separa¸c˜oes
interpares das gal´axias de um modelo simulado t´ıpico. Por constru¸c˜ao, impomos que
todos os modelos devem possuir uma separa¸c˜ao m´edia ∼ 500 kpc, em concordˆancia
com os valores obtidos em estudos sobre grupos esparsos realizados por Tucker et
al. (2000).
200 400 600 800 1000 1200
0
0.05
0.1
Separacao Interpares
media=511.77 kpc
FIGURA 2.4 - Distribui¸c˜ao da Separa¸c˜ao Interpares das gal´axias de um t´ıpico modelo simulado. No
eixo das abscissas, a distˆancia intepares, fornecida em kpc. No eixo das ordenadas, as
respectivas freq
¨
uˆencias. O valor m´edio da Separa¸c˜ao Interpares ´e exibido no “canto”
superior direito da imagem.
Para cada centro de massa, ou seja, para cada gal´axia, gerou-se uma esfera de King,
conforme o Apˆendice C. Esta esfera possu´ıa uma massa total igual `a massa cal-
culada previamente usando a t´ecnica de distribui¸c˜ao de luminosidades, conforme
descrevemos na Se¸c˜ao 2.1.2.
63
2.2 As Fam´ılias de Modelos
Foram simulados dois tipos principais de modelos: o modelo que chamamos de
arbitr´ario e o modelo de gal´axias limitadas por mar´e, segundo G´omez-Flechoso e
Dom´ınguez-Tenreiro (2001a). Vamos, nesta se¸c˜ao, explicitar os principais aspectos
destes modelos. Para o modelo de gal´axias limitadas por mar´e, realizamos quatro
simula¸c˜oes variando alguns aspectos do modelo.
2.2.1 O Modelo Arbitr´ario
O modelo que chamamos de arbitr´ario (tecnicamente chamado de MRAND) ´e
determinado do modo mais simples poss´ıvel. Ele ´e chamado de arbitr´ario porque
os valores de W
0
dos modelos (cf. Apˆendice C) s˜ao gerados aleatoriamente, usando
como valores padr˜oes os disponibilizados por G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro
(2001a). Na Tabela 2.1, fornecemos os principais detalhes das gal´axias no modelo
MRAND. ID ´e o r´otulo de identifica¸c˜ao da gal´axia, N representa o n´umero de
part´ıculas da gal´axia, a massa bariˆonica M ´e dada em unidades de 10
10
M
, X
CM
,
Y
CM
e Z
CM
s˜ao as coordenadas dos centros de massa das gal´axias, exibidos em
kpc. As velocidades dos centros de massa V X
CM
, V Y
CM
e V Z
CM
s˜ao medidas em
km.s
−1
. Conforme explicamos anteriormente, as posi¸c˜oes e velocidades dos centros
de massa s˜ao simulados atrav´es de um modelo de Hernquist, com as especifica¸c˜oes
que j´a citamos. Ao distribuirmos as part´ıculas nas gal´axias, a massa total M da
gal´axia deve corresponder `a massa total das resp ectivas part´ıculas distribu´ıdas. Esta
distribui¸c˜ao segue um modelo de King, cujos parˆametros se encontram na Tabela
2.1. Conforme exibimos no Apˆendices C, W
0
´e o potencial central adimensional, r
c
,
o raio do caro¸co em kpc, r
t
, o raio de mar´e em kpc e σ ´e a dispers˜ao de velocidades
em km.s
−1
. Os demais valores r
c
, r
t
e σ s˜ao parˆametros livres, calculados depois de
gerada toda a distribui¸c˜ao de part´ıculas.
64
TABELA 2.1 - Modelo MRAND.
ID N M X
CM
Y
CM
Z
CM
V X
CM
V Y
CM
V Z
CM
W
0
r
c
r
t
σ
1 3492 6,98 154,153 -60,348 -138,378 17,023 59,092 0,313 7,600 0,073 3,760 418,000
2 1875 3,75 143,381 21,992 201,829 13,414 -4,452 -53,314 8,500 0,038 3,690 334,000
3 28104 56,21 344,227 -41,589 -242,798 6,354 -23,271 -21,000 7,800 0,064 3,810 1210,000
4 6237 12,47 234,194 60,696 -402,203 12,303 -22,678 8,684 8,600 0,035 3,640 617,000
5 2673 5,35 23,723 -8,144 -3,543 -18,180 162,576 133,686 7,900 0,060 3,820 375,000
6 962 1,92 -345,528 -377,726 246,443 -2,890 -15,816 5,656 8,800 0,030 3,530 248,000
7 2005 4,01 -367,395 123,817 -168,668 27,091 17,099 -2,400 8,500 0,038 3,690 346,000
8 11425 22,85 197,826 309,341 463,331 -5,657 5,023 -12,715 7,400 0,082 3,680 747,000
9 3102 6,20 242,389 334,690 -261,998 15,319 -10,873 17,302 8,200 0,048 3,790 417,000
10 5456 10,91 91,049 79,712 134,043 -63,365 27,558 11,256 8,000 0,056 3,820 541,000
11 11588 23,18 -200,902 227,097 433,631 -16,862 5,750 -12,370 7,300 0,087 3,630 748,000
12 3545 7,09 -30,025 290,765 -222,816 -11,866 -26,887 -24,920 8,200 0,048 3,800 445,000
13 1747 3,49 450,534 -67,717 166,227 4,559 22,929 -11,666 7,400 0,082 3,680 292,000
14 640 1,28 -94,108 196,654 -584,654 -5,342 -1,682 -9,825 8,300 0,044 3,770 191,000
15 745 1,49 210,264 236,133 4,433 8,015 -14,423 41,973 7,600 0,073 3,770 193,000
16 2890 5,78 401,672 319,508 159,978 13,514 8,884 13,720 7,300 0,087 3,630 374,000
17 478 0,96 25,664 319,421 -417,246 4,852 -8,125 -20,315 7,700 0,068 3,790 156,000
18 10677 21,35 -106,375 42,566 449,901 12,309 -1,507 25,715 8,600 0,035 3,640 807,000
19 1117 2,23 -238,007 166,342 -42,699 8,517 -44,435 17,174 8,300 0,044 3,770 252,000
20 1241 2,48 4,713 -277,573 -2,177 -19,546 9,585 45,981 7,600 0,073 3,770 249,000
65
Os centros de massa das gal´axias deste modelo descrevem ´orbitas radiais. A Figura
2.5 nos revela as trajet´orias esperadas destas ´orbitas, obtidas mediante a consecu¸c˜ao
de simula¸c˜oes preliminares com 20 part´ıculas, representando os centros de massa.
A energia cin´etica de cada ´orbita foi gerada aleatoriamente, durante a “realiza¸c˜ao”
da esfera de Hernquist, o que levou naturalmente a uma maior probabilidade de se
gerarem ´orbitas radiais.
-400 -200 0 200 400
-400
-200
0
200
400
x(kpc)
-400
-200
0
200
400
-400 -200 0 200 400
z(kpc)
MRAND
FIGURA 2.5 - Trajet´orias ideais dos centros de massa das gal´axias do modelo MRAND. As posi¸c˜oes
est˜ao dadas em kpc e as proje¸c˜oes est˜ao indicadas nos eixos.
2.2.2 Os Modelos Determinados por Mar´e
O modelo MGFDT faz parte de uma fam´ılia de modelos conhecidos como Modelos
Determinados pelo Campo de Mar´e, descritos em detalhes por G´omez-Flechoso e
Dom´ınguez-Tenreiro (2001b). Neste cen´ario, a distribui¸c˜ao da mat´eria bariˆonica das
gal´axias possui suas propriedades primordiais determinadas pelo campo de mar´e
66
originado pelo halo de mat´eria escura. Este ´e o caso em que as condi¸c˜oes iniciais
aqui expostas representem um est´agio evolutivo imediatamente ap´os uma fase de
relaxa¸c˜ao violenta sofrida pelo halo. Assim, as gal´axias orbitariam numa configura¸c˜ao
de quase-equil´ıbrio com o halo hospedeiro. Este cen´ario n˜ao ´e bem compreendido.
Por isto, uma investiga¸c˜ao posterior da gˆenese destes sistemas poderia revelar estes
detalhes, mediante a realiza¸c˜ao de ressimula¸c˜oes cosmol´ogicas.
2.2.2.1 Procedimentos para a Elabora¸c˜ao dos Modelos Determinados
por Mar´e
Uma vez escolhidas as posi¸c˜oes e velocidades dos centros de massa e tamb´em as
massas individuais das gal´axias, os demais parˆametros listados na Tabela 2.2 ficam
determinados, conforme as diretrizes exibidas a seguir e demonstradas por
G´omez-
Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001b).
Quando determinada a esfera de Hernquist, disp˜oem-se apenas dos centros de massa
das gal´axias. Cada um destes ´e caracterizado pelas seguintes informa¸c˜oes: massa
total m
i
, posi¸c˜ao descrita pelo vetor r = X
CM
i + Y
CM
j + Z
CM
k e velocidade re-
presentada por v = V X
CM
i + V Y
CM
j + V Z
CM
k, onde
i,
j e
k s˜ao os versores de
um sistema de coordenadas cartesiano. Com estas informa¸c˜oes, para cada gal´axia,
deve-se calcular o valor do pericentro de sua ´orbita. Com isto, s˜ao determinadas as
caracter´ısticas f´ısicas da gal´axia analisada, para que ela permane¸ca em equil´ıbrio
dinˆamico com o halo r´ıgido, conforme veremos ainda nesta se¸c˜ao. O estudo mais
profundo das ´orbitas foge aos objetivos desta Disserta¸c˜ao. Mas, quando determina-
mos os centros de massa, fixamos de antem˜ao a condi¸c˜ao de que as gal´axias est˜ao
fisicamente ligadas ao halo hospedeiro, ou seja, a energia total de cada gal´axia ´e
negativa. A seguir, listamos os principais procedimentos para calcular o pericentro
das ´orbitas.
• Uma vez escolhida uma gal´axia, desprezam-se as intera¸c˜oes com as demais e
calcula-se o p otencial gravitacional que o halo exerce sobre ela. O potencial
´e dado por:
Φ(r) =
−GM
r + a
, (2.10)
onde G ´e a constante gravitacional, M ´e a massa total do halo, r ´e o
m´odulo do vetor posi¸c˜ao e a ´e um comprimento caracter´ıstico da esfera de
Hernquist.
67
• Calculam-se L, o m´odulo do momento angular orbital da gal´axia e E, a
energia total, ambos por unidade de massa.
• O pericentro ´e encontrado com a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao c´ubica:
r
3
+ (a +
GM
E
)r
2
+ (
−L
2
2E
)r + (−a
L
2
2E
) = 0. (2.11)
Em geral, as ra´ızes de uma equa¸c˜ao polinomial s˜ao complexas. Mas, para
´orbitas ligadas, verificamos que a equa¸c˜ao (2.11) possui trˆes ra´ızes reais:
uma negativa e duas positivas. As duas ra´ızes positivas fornecem o peri-
cento e o apocentro das ´orbitas. O menor valor para as ra´ızes fornece o
pericentro, ou seja, o r
peri
.
• Calculamos a velocidade angular orbital Ω da gal´axia e um termo α que
quantifica indiretamente a intensidade da a¸c˜ao gravitacional do halo sobre
a gal´axia sat´elite. Eles s˜ao dados pelas express˜oes:
Ω =
L
r
2
peri
, (2.12)
α(r
peri
) =
−GM
(r
peri
+ a)
3
−
Ω
2
2
. (2.13)
• Calculamos o raio de mar´e r
t
da gal´axia, dado por:
r
t
=
2x
e
3
. (2.14)
No qual x
e
representa
x
e
= (
−GM
2α
)
1
3
. (2.15)
Alguns autores preferem adotar x
e
como o pr´oprio raio de mar´e r
t
. Entretanto,
segundo G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001b), os modelos determinados
atrav´es destes procedimentos s˜ao os mais est´aveis, i.e., as gal´axias modeladas deste
modo s˜ao as que perdem a menor quantidade de mat´eria, em decorrˆencia da a¸c˜ao
de for¸cas de mar´e do halo r´ıgido.
Com os procedimentos descritos acima, conhecemos os raios de mar´e r
t
das gal´axias
simuladas. A modelagem de uma dada gal´axia ´e finalizada ap´os a determina¸c˜ao do
68
seu parˆametro de concentra¸c˜ao. Isto depende da sua massa (previamente conhecida),
conforme mostraremos abaixo. Para uma dada gal´axia, o parˆametro concentra¸c˜ao ´e
definido por:
c = Log
10
(
r
t
r
c
), (2.16)
onde r
t
´e o raio de mar´e e r
c
´e o raio do caro¸co central. Adotamos um procedimento
segundo o qual o parˆametro de concentra¸c˜ao de uma dada gal´axia ´e estimado em
fun¸c˜ao de sua massa (BINNEY; TREMAINE, 1987). Neste caso, o valor do parˆametro c
depende da massa da respectiva gal´axia. Deste modo, uma gal´axia el´ıptica an˜a, com
magnitude na banda B pertencente ao intervalo −17, 5 < M
B
< −10, 0 possui um
parˆametro de concentra¸c˜ao no intervalo 0, 5 < c < 0, 8. Uma gal´axia el´ıptica normal
ou maior, isto ´e com magnitudes M < −17, 5 possui os valores do parˆametro de
concentra¸c˜ao no intervalo 2, 0 < c < 2, 4, conforme Binney e Tremaine (1987). Uma
vez escolhido o valor de c, calcula-se r
c
, porque o valor de r
t
foi previamente deter-
minado. Para obter o valor de W
0
, usamos um ajuste emp´ırico, que determinamos
previamente a partir das solu¸c˜oes num´ericas das equa¸c˜oes do modelo de King:
W
0
= 4, 42c + 0, 10. (2.17)
Para calcularmos o ajuste 2.17, usamos o m´etodo dos m´ınimos quadrados. Os p ontos
de interesse, a partir dos quais tal ajuste foi obtido, est˜ao apresentados na Figura
2.6.
Usando estes procedimentos, dispomos de todos os parˆametros necess´arios para fazer
uma realiza¸c˜ao MonteCarlo de esferas de King. Para cada gal´axia, conhecemos os
seguintes valores: o n´umero de part´ıculas, a massa destas part´ıculas e os valores de
W
0
e de r
c
.
Usamos este algoritmo para fixar as condi¸c˜oes iniciais das gal´axias do modelo
MGFDT. Descrevamos todos os demais sucintamente.
69
0 1 2 3 4
0
5
10
15
20
FIGURA 2.6 - Valores do parˆametro de concentra¸c˜ao c em fun¸c˜ao dos valores de W
0
. Apresentamos
tamb´em a equa¸c˜ao da reta definida pelo ajuste.
2.2.2.2 O Modelo MGFDT
O modelo MGFDT foi gerado rigorosamente seguindo os procedimentos descritos
na se¸c˜ao anterior. Numa simula¸c˜ao preliminar, verificamos que as ´orbitas dos centros
de massa das gal´axias, cf. exibimos na Figura 2.7, s˜ao em maioria radiais. A Tabela
2.2 resume as principais caracter´ısticas do modelo MGFDT. R
peri
representa o
pericentro da ´orbita de cada objeto. A massa total bariˆonica deste modelo ´e igual a
4, 72 ×11
10
M
2
, sendo o n´umero total de part´ıculas simuladas igual a 2 ×10
5
. Para
este modelo e os seguintes, simulamos um halo de mat´eria escura com parˆametros
M = 2 × 10
13
M
e um comprimento caracter´ıstico de a = 300 kpc, conforme
2
A precis˜ao de 2 algarismos significativos para o valor da massa bariˆonica decorre do uso da
equa¸c˜ao 2.9.
70
descrevemos na Se¸c˜ao 2.1.1.3.
-400 -200 0 200 400
-400
-200
0
200
400
x(kpc)
-400
-200
0
200
400
-400 -200 0 200 400
z(kpc)
MGFDT
FIGURA 2.7 - Superposi¸c˜ao das ´orbitas ideais dos centros de massa das vinte gal´axias do Modelo
MGFDT. Esta figura exibe os resultados de uma simula¸c˜ao realizada com os centros
de massa das gal´axias. As unidades de distˆancia est˜ao exibidas em kpc. As devidas
proje¸c˜oes est˜ao explicitamente indicadas nos eixos.
71
TABELA 2.2 - Modelo MGFDT.
ID N M X
CM
Y
CM
Z
CM
V X
CM
V Y
CM
V Z
CM
R
peri
W
0
r
c
r
t
σ
1 2137 0,50 188,984 -109,248 64,079 -7,537 -38,817 6,086 18,333 2,742 0,544 2,149 102,000
2 3194 0,75 379,446 66,205 -93,186 11,617 8,826 17,931 15,626 2,704 0,512 1,985 130,000
3 1784 0,42 23,369 -496,397 -153,283 13,256 -1,403 4,107 12,404 3,500 0,229 1,342 119,000
4 2016 0,48 250,342 111,420 -168,956 -6,798 -22,591 -17,768 18,328 2,840 0,474 1,970 104,000
5 1527 0,36 237,611 -306,426 -129,073 -0,547 5,941 21,465 14,086 3,217 0,284 1,438 106,000
6 10001 2,36 79,139 -64,439 69,315 34,667 -31,970 38,535 1,858 10,096 0,005 0,853 439,000
7 13817 3,26 361,482 -107,139 -355,269 4,266 -13,268 -2,912 10,570 10,672 0,010 2,380 306,000
8 3656 0,86 -76,035 210,773 -395,394 11,144 -15,261 0,522 13,143 2,822 0,438 1,806 146,000
9 1741 0,41 -201,893 -72,729 -238,654 12,991 -25,461 7,967 17,749 2,784 0,454 1,835 99,800
10 1665 0,39 233,620 -483,556 -275,806 -5,380 3,948 1,792 3,259 3,217 0,103 0,521 183,000
11 4602 1,09 -277,995 146,029 49,218 -25,043 -4,756 -15,810 15,043 10,649 0,009 2,264 181,000
12 45742 10,80 -305,271 18,953 -170,069 -12,790 -3,272 23,683 18,026 10,599 0,023 5,433 368,000
13 1867 0,44 -25,197 145,133 305,421 -6,678 -6,072 26,571 11,212 2,403 0,408 1,353 122,000
14 1396 0,33 256,811 -319,818 -133,531 13,720 -14,754 -4,703 1,697 2,365 0,102 0,330 213,000
15 1107 0,26 -323,427 32,544 -74,031 16,398 13,613 -19,048 17,038 3,161 0,310 1,523 87,400
16 4032 0,95 -545,122 25,774 149,341 -3,457 -8,411 -5,764 10,117 3,174 0,306 1,515 167,000
17 10622 2,51 -59,825 -260,214 323,878 -7,054 20,417 -2,029 12,947 10,254 0,013 2,579 260,000
18 68971 16,28 61,484 -91,696 -316,757 -18,886 -3,575 21,099 11,147 10,203 0,023 4,496 502,000
19 17435 4,12 -112,599 349,642 -100,548 -10,507 16,561 -15,418 7,571 10,220 0,011 2,138 366,000
20 2688 0,63 -488,316 -2,133 52,309 16,390 4,126 0,998 4,070 2,742 0,184 0,727 197,000
72
2.2.3 O Modelo MGFDT-E: Implementa¸c˜oes ao Modelo MGFDT
Apresentamos na Tabela
2.3 as principais caracter´ısticas do modelo MGFDT-E.
Seguimos as nota¸c˜oes e defini¸c˜oes apresentadas nos modelos anteriores. Este modelo
possui duas particularidades :
• Conforme exibimos na Figura 2.8, as ´orbitas dos centros de massa das
gal´axias s˜ao el´ıpticas, cujas excentricidades s˜ao bem menores do que as
dos modelos anteriores. Escolhemos as velocidades cujos m´odulos s˜ao no
m´ınimo 80% da velocidade circular de um objeto submetido a um poten-
cial de Hernquist (HERNQUIST, 1990). Esta velocidade circular ´e dada em
fun¸c˜ao das posi¸c˜ao inicial r:
v
c
=
√
GMr
r + a
(2.18)
As ´orbitas do modelo MGFDT-E s˜ao apresentadas na Figura
2.8. Ana-
lisando esta figura, percebemos que a maioria das gal´axias n˜ao passa pelo
centro do halo, o que diminui a freq
¨
uˆencia de encontros pr´oximos entre
elas.
• Os raios f´ısicos das gal´axias ob edecem a um compromisso entre o raio de
mar´e calculado pelo m´etodo descrito na se¸c˜ao anterior e os raios isofotais
t´ıpicos de gal´axias el´ıpticas para os quais o brilho superficial ´e menor ou
igual a 28 magnitudes por segundo de arco quadrado, conforme a Figura
4.26 de Binney e Merrifield (1998). Deste modo, reescalonamos os raios
das gal´axias para os valores obtidos em observa¸c˜oes. Com isto, desejamos
verificar de que modo as gal´axias maiores interagem no cen´ario que estu-
damos. Se estes raios de mar´e tivessem sido calculados conforme o modelo
MGFDT, eles seriam em geral menores, conforme explicaremos na pr´o-
xima se¸c˜ao.
O modelo MGFDT-E possui 10
5
part´ıculas e simula uma massa total bariˆonica de
9, 10 × 10
11
M
.
73
-400 -200 0 200 400
-400
-200
0
200
400
x(kpc)
-400
-200
0
200
400
-400 -200 0 200 400
z(kpc)
MGFDT-E
FIGURA 2.8 - Superposi¸c˜ao das ´orbitas ideais dos centros de massa das vinte gal´axias do Modelo
MGFDT-E. Esta figura exibe os resultados de uma simula¸c˜ao realizada com os centros
de massa das gal´axias. As unidades de distˆancia est˜ao exibidas em kpc. As devidas proje¸c
˜oes est˜ao explicitamente indicadas nos eixos.
74
TABELA 2.3 - O Modelo MGFDT-E.
ID N M X
CM
Y
CM
Z
CM
V X
CM
V Y
CM
V Z
CM
R
peri
W
0
r
c
r
t
σ
1 2799 2,52 13,071 -146,128 -398,003 210,854 54,788 77,530 259,807 10,565 0,015 3,529 240,000
2 715 0,64 -175,021 -290,036 -376,579 -67,656 217,276 30,017 252,560 3,272 0,618 3,219 103,000
3 3012 2,71 16,206 -372,508 103,857 6,792 238,062 6,795 51,482 10,435 0,018 3,799 241,000
4 776 0,70 -195,472 -17,672 42,436 -17,509 236,822 -17,557 168,850 3,433 0,617 3,493 103,000
5 18036 16,25 -152,089 -77,959 196,221 -42,452 237,457 -43,125 182,349 10,435 0,112 24,369 233,000
6 790 0,71 118,860 -103,707 -333,865 -66,030 227,944 -68,745 308,308 3,433 0,628 3,559 103,000
7 2665 2,40 68,087 29,526 598,841 -83,237 202,307 -90,007 390,967 10,435 0,015 3,361 241,000
8 1024 0,92 -258,270 410,424 41,947 -104,266 189,151 -119,057 138,471 3,433 0,815 4,614 103,000
9 7149 6,44 -160,796 -192,021 378,622 -119,188 165,240 -146,958 227,916 10,435 0,044 9,659 233,000
10 1915 1,73 -184,261 -290,254 -316,362 -126,366 133,568 -173,958 334,692 10,435 0,011 2,415 241,000
11 8871 7,99 308,114 -175,406 136,547 -126,118 98,041 -205,489 106,619 10,435 0,055 11,986 233,000
12 1040 0,94 -105,999 101,708 11,188 -100,451 50,973 -221,984 109,266 3,433 0,827 4,684 103,000
13 2330 2,10 26,020 -100,447 170,928 -28,478 3,131 -260,586 56,887 10,435 0,014 2,938 241,000
14 8032 7,23 -231,775 380,092 -235,897 81,119 38,425 189,492 245,799 10,435 0,050 10,852 233,000
15 976 0,88 200,930 272,951 60,436 104,957 78,312 175,508 123,899 3,433 0,776 4,397 103,000
16 19407 17,48 -538,724 110,444 -140,897 105,671 108,039 147,814 252,705 10,435 0,121 26,221 233,000
17 2609 2,35 -183,965 -203,838 417,592 104,331 140,206 130,046 345,977 10,435 0,015 3,289 241,000
18 4114 3,71 55,978 150,148 -104,600 95,479 167,722 109,866 110,452 10,435 0,024 5,188 241,000
19 10965 9,88 -60,913 -258,133 -145,968 83,187 194,949 90,443 23,261 10,435 0,068 14,814 233,000
20 2774 2,50 230,448 -468,767 -112,167 62,157 204,954 64,952 176,207 10,435 0,016 3,499 241,000
75
2.2.4 Modelos Derivados do Modelo MGFDT-E
Determinamos dois modelos complementares ao modelo MGFDT-E.
2.2.4.1 O Modelo MGFDT-E-RES
Este mo delo ´e uma vers˜ao do MGFDT-E com maior resolu¸c˜ao. Para representar
as gal´axias modeladas, determinamos o n´umero total de 4 ×10
5
part´ıculas, aumen-
tando, pois, a resolu¸c˜ao do modelo MGFDT-E em quatro vezes. Decidimos com
este modelo investigar em linhas gerais de que modo o n´umero de part´ıculas pode
influenciar nos resultados de uma simula¸c˜ao. Dispomos na Tabela 2.4 o n´umero ini-
cial de part´ıculas por gal´axia do modelo MGFDT-E-RES. As demais vari´aveis que
caracterizam este modelo s˜ao iguais `as do modelo MGFDT-E e est˜ao exibidas na
Tabela 2.3.
TABELA 2.4 - N´umero de Part´ıculas do Modelo MGFDT-E-RES.
ID N ID N
1 11194 11 35484
2 2859 12 4160
3 12049 13 9319
4 3102 14 32129
5 72144 15 3906
6 3161 16 77629
7 10662 17 10434
8 4098 18 16457
9 28596 19 43858
10 7661 20 11098
2.2.4.2 O Modelo MGFDT-E-RAD
Este modelo constitui uma vers˜ao modificada do modelo MGFDT-E: as ´orbitas
das gal´axias do modelo MGFDT-E s˜ao fixadas como radiais, estabelecidas de um
modo similar aos modelos MRAND e MGFDT. Mantivemos os mesmos valores
dos raios de mar´e para as gal´axias, seguindo os mesmos passos usados para definir os
parˆametros que definem o modelo MGFDT-E. A seguir, mostramos a Tabela 2.5
76
com os detalhes das ´orbitas do presente modelo. Nesta tabela, r
t
O
/r
t
C
representa a
raz˜ao entre o raio de mar´e definido e fixado no modelo MGFDT-E e o raio de mar´e
calculado atrav´es da dinˆamica das ´orbitas das gal´axias, seguindo o algoritmo usado
pelo modelo MGFDT. Mostramos, portanto, que, em geral, r
t
O
> r
t
C
. Isto sugere
que a maioria das gal´axias observadas n˜ao estejam em equil´ıbrio com o campo de
mar´e do halo que as hospeda.
TABELA 2.5 - O Modelo MGFDT-E-RAD.
X
CM
Y
CM
Z
CM
V X
CM
V Y
CM
V Z
CM
R
peri
r
t
O
/r
t
C
13,071 -146,128 -398,003 -19,198 -3,945 7,147 15,272 1,220
-175,021 -290,036 -376,579 7,445 11,745 -4,855 11,827 2,145
16,206 -372,508 103,857 0,142 -8,722 22,134 13,437 1,381
-195,472 -17,672 42,436 -16,005 -21,557 -34,835 19,360 1,365
-152,089 -77,959 196,221 0,564 -4,431 -35,658 13,140 4,626
118,860 -103,707 -333,865 13,581 0,495 -21,524 6,217 3,399
68,087 29,526 598,841 2,253 -3,186 -5,879 4,047 3,053
-258,270 410,424 41,947 -5,194 2,117 -15,675 13,850 2,433
-160,796 -192,021 378,622 -16,712 -8,685 2,782 11,847 2,940
-184,261 -290,254 -316,362 0,004 -14,374 -10,965 6,195 1,781
308,114 -175,406 136,547 -17,877 0,286 16,971 16,275 2,654
-105,999 101,708 11,188 -42,049 -19,296 -28,808 19,522 1,531
26,020 -100,447 170,928 -34,958 17,018 21,133 19,878 0,780
-231,775 380,092 -235,897 -10,711 10,527 3,967 9,436 3,765
200,930 272,951 60,436 22,036 -14,127 -9,037 18,200 1,849
-538,724 110,444 -140,897 0,883 -10,476 -2,069 9,931 6,645
-183,965 -203,838 417,592 9,397 11,231 6,101 13,482 1,299
55,978 150,148 -104,600 -1,296 -20,860 40,650 10,054 1,824
-60,913 -258,133 -145,968 -28,934 -5,719 11,280 18,650 2,674
230,448 -468,767 -112,167 1,685 12,311 5,241 6,771 2,184
As trajet´orias dos centros de massa foram seguidas numa simula¸c˜ao pr´evia, ana-
logamente aos modelos anteriores, conforme a Figura 2.9. Nos pr´oximos cap´ıtulos,
discutiremos os m´etodos usados para a realiza¸c˜ao das simula¸c˜oes e os resultados
obtidos.
77
-400 -200 0 200 400
-400
-200
0
200
400
x(kpc)
-400
-200
0
200
400
-400 -200 0 200 400
z(kpc)
MGFDT-E-RAD
FIGURA 2.9 - Trajet´orias ideiais seguidas pelos centros de massa das gal´axias do modelo MGFDT-
E-RAD. A escala ´e dada em kpc e os eixos do Sistema Cartesiano Ortogonal est˜ao
explicitamente representados.
2.3 Compara¸c˜ao entre os Modelos
Apresentamos a seguir a Tabela
2.6, na qual citamos as principais caracter´ısticas
dos modelos simulados nesta Disserta¸c˜ao.
Uma vez fixadas as condi¸c˜oes iniciais dos modelos de interesse, ou seja, uma vez
calculadas as posi¸c˜oes, velocidades e massas para todas as part´ıculas do modelo
em quest˜ao, dois arquivos s˜ao criados: o primeiro, um arquivo bin´ario contendo as
informa¸c˜oes f´ısicas das part´ıculas. O segundo ´e escrito em formato ASCII com os
principais parˆametros computacionais usados, que ser˜ao discutidos no pr´oximo ca-
p´ıtulo. Com estes dois arquivos de entrada, as simula¸c˜oes foram realizadas com uma
vers˜ao modificada do c´odigo GADGET-2 (SPRINGEL, 2005), conforme veremos no
pr´oximo cap´ıtulo.
78
TABELA 2.6 - Principais Caracter´ısticas dos Modelos Simulados. O termo “Aleat´orio” indica que as
gal´axias s˜ao geradas em desequil´ıbrio com o halo r´ıgido. Para isto, usamos um gerador
de n´umeros aleat´orios. A designa¸c˜ao “Formal” indica que as gal´axias foram contru´ıdas
conforme os procedimentos descritos na Se¸c˜ao 2.2.2.1. A designa¸c˜ao“Obs”indica que os
raios de mar´e das gal´axias foram escalonados de modo que possuem valores compat´ıveis
com os obtidos em observa¸c˜oes, conforme descrevemos na Se¸c˜ao 2.2.3.
Nome Natureza das
´
Orbitas Natureza do Modelo
MRAND Radial Aleat´oria
MGFDT Radial Formal
MGFDT-E El´ıtica Formal-Obs
MGFDT-E-RES El´ıptica Formal-Obs
MGFDT-E-RAD Radial Formal-Obs
79
CAP
´
ITULO 3
Das Simula¸c˜oes
A evolu¸c˜ao dinˆamica de sistemas de part´ıculas ´e obtida atrav´es da integra¸c˜ao das
suas equa¸c˜oes de movimento. Como vimos no Cap´ıtulo 1, isto ´e realizado com o au-
x´ılio de c´odigos num´ericos, conforme descrevemos no Apˆendice B. Embora existam
muitos c´odigos, escolhemos aquele que realizasse os devidos c´alculos e disponibili-
zasse os arquivos de an´alise de maneira eficiente. Assim, adotamos o GADGET-2
como ferramenta computacional para o c´alculo das for¸cas e para a integra¸c˜ao das
equa¸c˜oes de movimento de todas as part´ıculas das condi¸c˜oes iniciais descritas no
cap´ıtulo anterior.
Este cap´ıtulo ´e composto de duas partes: a primeira explora os principais conceitos
usados na formula¸c˜ao do c´odigo e a segunda comenta os principais parˆametros usados
e fornecidos ao c´odigo para a consecu¸c˜ao das simula¸c˜oes.
3.1 O C´odigo GADGET-2
O GADGET-2 (SPRINGEL, 2005) ´e um c´odigo num´erico paralelizado (este conceito
ser´a explicado adiante) elaborado especialmente para simula¸c˜oes cosmol´ogicas hidro-
dinˆamicas. A vers˜ao utilizada nesta pesquisa foi modificada por Dr. M´arcio Ramos
de Oliveira da UFRGS (comunica¸c˜ao privada) e inclui, nos cˆomputos do potencial
gravitacional, uma fun¸c˜ao anal´ıtica que representa o potencial gravitacional de um
halo r´ıgido de mat´eria, quantificado de acordo com a equa¸c˜ao 2.10
1
. O GADGET-2
realiza a integra¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento de sistemas constitu´ıdos de part´ı-
culas acolisionais e g´as, por´em pode ser usado para estudar opcional e unicamente
intera¸c˜oes entre part´ıculas de mat´eria, como um caso particular, ou seja, sem a pre-
sen¸ca de g´as. Este c´odigo tanto pode ser usado para realizar simula¸c˜oes de sistemas
isolados como de sistemas que levam em conta a expans˜ao do Universo. Como reali-
zamos apenas simula¸c˜oes sem expans˜ao universal, sem g´as, e sem forma¸c˜ao estelar,
muitos recursos complexos do c´odigo foram desativados. Por isso, conv´em que nos
fixemos somente aos recursos explorados para a consecu¸c˜ao desta Disserta¸c˜ao.
Neste cap´ıtulo, primeiro explicitamos alguns conceitos subjacentes ao c´odigo, b em
como algumas t´ecnicas usadas para a constru¸c˜ao de uma ´arvore de dados durante o
1
Verificamos a confiabilidade desta vers˜ao modificada do GADGET-2, realizando uma s´erie
de simula¸c˜oes-testes antes da realiza¸c˜ao das principais simula¸c˜oes descritas nesta Disserta¸c˜ao.
81
funcionamento do mesmo. Depois, discutiremos mais alguns parˆametros de entrada
importantes.
3.1.1 Simula¸c˜oes de Sistemas F´ısicos Autogravitantes
O c´odigo GADGET-2 foi desenvolvido para a realiza¸c˜ao de simula¸c˜oes cosmol´ogicas
de forma¸c˜ao de estruturas. Estas simula¸c˜oes descrevem o comportamento de um sis-
tema de part´ıculas acolisionais em intera¸c˜ao com um componente gasoso (g´as ideal),
imersos num espa¸co-tempo em expans˜ao. O componente acolisional representa a
mat´eria escura, as estrelas que comp˜oem as gal´axias, ou as pr´oprias gal´axias, depen-
dendo do tipo de simula¸c˜ao realizado. O componente gasoso representa os diversos
modos segundo os quais o g´as observado no meio intergal´atico ou interestelar pode
se apresentar, por exemplo, nuvens moleculares de hidrogˆenio e h´elio. Entretanto, as
nossas simula¸c˜oes n˜ao incluem o g´as, que ´e tratado com um formalismo adicional, o
SPH (Smoothed particle hydrodynamics). Por isso, limitemo-nos apenas ao forma-
lismo pertinente ao componente acolisional do c´odigo, que representa as mat´erias
escura e bariˆonica. As intera¸c˜oes entre as part´ıculas de mat´eria escura e estrelas s˜ao
descritas pelo acoplamento da equa¸c˜ao acolisional de Boltzmann com a equa¸c˜ao de
Poisson num modelo de Friedman-Lamaitre. O Hamiltoniano do sistema ´e dado por:
H =
i
p
2
i
2m
i
a(t)
2
+
1
2
ij
m
i
m
j
φ(x
i
− x
j
)
a(t)
, (3.1)
onde H = H(p
i
, . . . , p
N
, x
i
, . . . , x
N
, t), ou seja, o Hamiltoniano ´e fun¸c˜ao dos vetores
coordenadas com´oveis x
i
e dos momentos canˆonicos p
i
dados por p
i
= a
2
m
i
˙x
2
i
. A
dependˆencia do Hamiltoniano com t vem da evolu¸c˜ao temporal do fator de escala
a(t), expresso na equa¸c˜ao 3.1. φ ´e o potencial gravitacional entre as i− e j−´esimas
part´ıculas, sendo x
i
−x
j
o vetor distˆancia entre as part´ıculas. O modelo de Friedman-
Lamaitre baseia-se na hip´otese de que o Universo ´e homogˆeneo e isotr´opico. Ent˜ao,
uma simula¸c˜ao cosmol´ogica pode ser realizada num cubo que mantenha estas pro-
priedades do Universo. Este cubo ´e modelado em coordenadas com´oveis, i.e., um
sistema de coordenadas situadas no referencial que se expande com o Universo.
Por isso, para realizar o c´alculo do potencial gravitacional neste volume com´ovel,
assumem-se condi¸c˜oes de contorno peri´odicas nas faces deste cubo. No caso em que
se modelam sistemas f´ısicos desacoplados da expans˜ao universal, como exemplo, pe-
quenos sistemas de gal´axias em colis˜ao, pode-se impedir que o GADGET-2 calcule
os efeitos da expans˜ao do Universo, fixando o valor do fator de escala a(t) = 1.
82
O c´alculo do potencial entre duas part´ıculas, designadas pelos ´ındices i e j, obedece
`a equa¸c˜ao:
φ(x) =
i
m
i
−G
|x
j
− x
i
|
2
+
2
, (3.2)
que ´e o chamado potencial “amolecido” e ´e o parˆametro de amolecimento. A equa-
¸c˜ao 3.2 ´e introduzida para for¸car a acolisionalidade do sistema, representado nas
simula¸c˜oes por um n´umero de part´ıculas muito menor do que o n´umero estimado
de estrelas em gal´axias reais. Isto ´e necess´ario porque as colis˜oes bin´arias tornam-se
tanto mais frequentes quanto menor for o n´umero de part´ıculas do sistema. A intro-
du¸c˜ao do potencial amolecido, desta forma, reduz a importˆancia destas intera¸c˜oes
pr´oximas. O fator de amolecimento evita que apare¸cam problemas num´ericos devido
a regimes assint´oticos divergentes do potencial para distˆancias muito pequenas. Este
´e o caso em que ocorrem encontros pr´oximos entre part´ıculas interagentes.
Vale salientar que as equa¸c˜oes de movimento das part´ıculas s˜ao deduzidas a partir da
“equa¸c˜ao-mestre” 3.2. Ent˜ao, conclue-se que os resultados de simula¸c˜oes realizadas
com o GADGET-2 dependem do valor do parˆametro de“amolecimento” escolhido.
Em vista desta quest˜ao, para verificar a influˆencia do valor de na evolu¸c˜ao dinˆamica
dos modelos de sistemas autogravitantes, realizamos duas simula¸c˜oes preliminares
do modelo MRAND com distintos valores de , mantendo os demais parˆametros
computacionais constantes (sobre estes parˆametros, Vide Se¸c˜ao 3.2). Apresentamos
na Figura 3.1 dois instantˆaneos destas simula¸c˜oes preliminares, correspondentes a
um mesmo instante de tempo simulado. Verificamos que, quando se usa = 0, 2,
o n´umero de part´ıculas que “escapam” das gal´axias ´e maior, pois o potencial gra-
vitacional calculado ´e menor do que no caso em que = 0, 004, de acordo com o
previsto pela equa¸c˜ao 3.2. Nesta figura, observamos tamb´em que, quando = 0, 004,
as part´ıculas iniciam um processo de escape mais tardio, em rela¸c˜ao ao outro caso.
De qualquer modo, veremos na Se¸c˜ao 3.2.1 que o valor de n˜ao ´e determinado por
simula¸c˜oes preliminares, mas por m´etodos anal´ıticos.
3.1.2 O Algoritmo em
´
Arvore
A aplica¸c˜ao do m´etodo de
´
Arvore em simula¸c˜oes de N−Corpos deve-se a Barnes e
Hut (BARNES; HUT, 1986). Segundo este m´etodo, as part´ıculas s˜ao organizadas numa
hierarquia de grupos, conforme as suas separa¸c˜oes espaciais m´utuas ou suas aglome-
ra¸c˜oes. Neste algoritmo, o dom´ınio computacional ´e definido por um n´o raiz c´ubico
que engloba toda a distribui¸c˜ao de mat´eria. A raiz ´e consecutiva e hierarquicamente
83
FIGURA 3.1 - Dois instantˆaneos do modelo MRAND, tomados em instantes iguais de tempo simu-
lado, por´em com distintos valores de . As devidas proje¸c˜oes est˜ao exibidas nos eixos
e as distˆancias est˜ao determinadas em kpc. Em cada quadro se encontra o valor de
usado na respectiva simula¸c˜ao.
dividida em cubos virtuais, que cont´em agrupamentos de part´ıculas. Dentro de cada
cubo virtual existem oito cubos menores de igual tamanho. De fato, as “arestas”
destes cubos menores teriam a metade do tamanho da “aresta” do respetivo cubo
progenitor. Cada cubo progenitor corresponde a um n´o de uma ´arvore octal e hos-
peda um grupo de part´ıculas. Logo, a ´arvore ´e constru´ıda de tal modo que, ou cada
n´o contenha mais oito n´os subordinados, ou contenha apenas uma part´ıcula. Neste
´ultimo caso, temos a ´ultima hierarquia de organiza¸c˜ao da ´arvore, em que os n´os
contˆem uma ´unica part´ıcula, sendo chamados de folhas. Uma mesma sequˆencia de
subdivis˜oes sucessivas constitui um ramo. Uma representa¸c˜ao esquem´atica de ´arvore
bidimensional pode ser vista na Figura 3.2.
Depois de constru´ıda a ´arvore hier´arquica, para se efetuarem os c´alculos da for¸ca
segundo o algoritmo tradicional de Barnes e Hut (1986), realiza-se uma varredura
na ´arvore. Durante esta varredura, somam-se as contribui¸c˜oes das for¸cas sobre uma
dada part´ıcula a partir dos n´os, caracterizados por um comprimento l e um centro
de massa. Sejam r a distˆancia entre uma part´ıcula e o centro de massa de um n´o e
θ um parˆametro livre determinado pr´evia e arbitrariamente, denominado parˆametro
de acur´acia. Se r satisfaz a desigualdade
r >
l
θ
, (3.3)
84
FIGURA 3.2 - Representa¸c˜ao da ´arvore octal de Barnes e Hut em duas dimens˜oes. Da esquerda para
a direita: primeiro, as part´ıculas s˜ao agrupadas no n´o raiz, correspondendo ao quadrado
maior da figura. Este ´e dividido em quatro quadrados com metade do tamanho original,
os quais, por sua vez, s˜ao recursivamente subdivididos, at´e a obten¸c˜ao do ´ultimo est´agio
de hierarquiza¸c˜ao, no qual existe apenas uma part´ıcula por c´elula. As c´elulas-folhas
vazias n˜ao precisam ser computadas. Figura extra´ıda de (SPRINGEL et al., 2001).
ent˜ao realiza-se uma expans˜ao multipolar, tomando o total das part´ıculas contidas
no n´o como se fosse uma ´unica entidade f´ısica que as represente. Ent˜ao a varredura
ao longo de um mesmo “ramo” da ´arvore termina, continuando em outros ramos.
Caso a desigualdade 3.3 n˜ao seja satisfeita, a varredura continua ao longo de um
mesmo ramo, com todas as suas subdivis˜oes.
Entretanto, o c´odigo GADGET-2 n˜ao realiza expans˜oes multipolares, mas apenas
as monopolares. Isto significa que mais c´alculos entre as part´ıcula e os n´os precisam
ser efetuados, para se evitarem as poss´ıveis perda de acur´acia. Tal inova¸c˜ao tecnol´o-
gica foi vi´avel, pois os c´alculos monopolares s˜ao menos onerosos computacionalmente
do que os c´alculos de quadrupolo ou octupolo efetuados no c´odigo original de Bar-
nes e Hut (1986). Adiciona-se a esta vantagem o fato de que ´arvores octais com
momentos monopolares podem ser constru´ıdas eficientemente, em termos de mem´o-
ria. Grosso modo, aproveitando os conceitos aqui abordados, podemos resumir como
funciona o algoritmo em ´arvore do GADGET-2 :
• Numa primeira estapa da constru¸c˜ao da ´arvore octal, as part´ıculas s˜ao
inseridas uma por uma na ´arvore, com cada n´o interno mantendo o arma-
zenamento para os ´ındices de oito n´os progenitores ou part´ıculas. Para as
folhas, correspondentes ao ´ultimo n´ıvel da organiza¸c˜ao da ´arvore, n˜ao h´a
a necessidade de armazenamento de n´os.
• Numa segunda etapa, computam-se os potenciais gravitacionais recursiva-
85
mente pela varredura completa da ´arvore de uma s´o vez. Deve-se notar que
os oito ´ındices j´a usados para uma part´ıcula n˜ao ser˜ao mais necess´arios na
varredura atual, porque o que apenas ´e necess´ario para cada n´o interno ´e a
informa¸c˜ao sobre o pr´oximo n´o da hierarquia, para saber se este precisa ser
aberto, ou alternativamente, se o respectivo c´alculo dos momentos mono-
polares ser˜ao usados. Logo, pode-se reciclar a mem´oria usada para os oito
´ındices, nela armazenando dois ´ındices para a varredura, e os demais ´ındi-
ces, para os momentos monopolares, para o comprimento do cubo e mais
uma para a paraleliza¸c˜ao. Este processo consome no m´aximo 21 bytes por
part´ıcula.
Com este m´etodo, o n´umero de opera¸c˜oes computacionais ´e da ordem de N log N e
a reconstru¸c˜ao da ´arvore torna-se mais eficiente, em cada ciclo computacional.
3.1.2.1 Da Cria¸c˜ao das C´elulas
Os n´os s˜ao abertos mediante crit´erios quantitativos. O processo de cria¸c˜ao de n´os
chama-se abertura de c´elulas. Uma c´elula de massa M, comprimento l a uma distˆan-
cia r do ponto no qual se quer calcular a for¸ca gravitacional resultante s´o ´e aberta
se a seguinte condi¸c˜ao for satisfeita:
GM
r
2
(
l
r
)
2
≤ α|a|, (3.4)
na qual |a| ´e o m´odulo da acelera¸c˜ao obtido no ´ultimo la¸co e α ´e um parˆametro de
tolerˆancia.
3.1.3 A Paraleliza¸c˜ao – Uma Breve Explica¸c˜ao
A paraleliza¸c˜ao ´e uma t´ecnica que permite o estabelecimento de um sistema de
computadores trabalhando ordenadamente em conjunto, com mem´oria distribu´ıda
e conectados entre si, dividindo as tarefas de processamento. Usando este conceito,
o GADGET-2 efetua os cˆomputos da for¸ca gravitacional com o aux´ılio do c´odigo
MPI (Message Passing Interface), um programa de distribui¸c˜ao gratuita e dispon´ı-
vel em muitas plataformas que efetiva e gerencia a comunica¸c˜ao entre distintos e di-
versos processadores. Podemos entender melhor este conceito nos exemplos de como
os processadores interagem para realizar uma decomposi¸c˜ao em dom´ınios nas subse-
¸c˜oes seguintes.
´
E importante lembrar que a explica¸c˜ao detalhada do funcionamento
86
da paraleliza¸c˜ao do c´odigo fica al´em dos objetivos desta Disserta¸c˜ao. Entretanto,
torna-se importante conhecer os conceitos substanciais da t´ecnica usada pelo c´odigo
GADGET-2 para classificar o dom´ınio computacional e estruturar uma ´arvore de
dados.
3.1.3.1 Decomposi¸c˜ao em Dom´ınios e Ordena¸c˜ao de Peano-Hilbert
Paralelizar processadores significa decompor o volume computacional numa s´erie de
dom´ınios, cada um gerenciado pelo seu respectivo processador. Esquemas antigos,
como o algoritmo ortogonal de bise¸c˜ao hier´arquico ilustrado na figura 3.3, s˜ao sus-
cept´ıveis a uma dependˆencia da precis˜ao do c´alculo da for¸ca gravitacional com o
n´umero de processadores usados (SPRINGEL, 2005).
FIGURA 3.3 - Divis˜ao recursiva do dom´ınio computacional para quatro processadores em duas dimen-
s˜oes. Esta t´ecnica foi usada por Springel et al. (2001) e se chama algoritmo ortogonal
de bise¸c˜ao hier´arquico. A primeira divis˜ao do dom´ınio ocorre numa dire¸c˜ao do espa¸co,
p or exemplo, o eixo-x, separando os processadores em dois grupos. A segunda divis˜ao
ocorre no eixo-y, dividindo os processadores (PE) em quatro grupos. Depois, cada pro-
cessador monta a sua ´arvore octal. De 1 para 2, temos a decomposi¸c˜ao em dom´ınios e
de 2 para 3 temos a constru¸c˜ao das ´arvores pelos processadores.
Para decompor o dom´ınio computacional, o GADGET-2 usa um algoritmo sofis-
ticado, cf. veremos a seguir, evitando que a acur´acia cometida no c´alculo da for¸ca
n˜ao varie com o n´umero de processadores, que era a principal inconsistˆencia do al-
87
goritmo ortogonal de bise¸c˜ao hier´arquico, usado pela primeira vers˜ao do c´odigo. O
GADGET-2 utiliza uma t´ecnica baseada nas propriedades matem´aticas da curva
de Peano-Hilbert, para mapear um espa¸co tridimensional numa curva unidimensi-
onal. Deste modo, o volume computacional ´e dividido em pequenos peda¸cos que
definem os dom´ınios computacionais individuais.
Uma curva de Peano bidimensional pode ser constru´ıda recursivamente pela sua
forma b´asica em “”, que preenche uma malha 2 × 2. Observando os quadrados da
Figura 3.4, da esquerda para a direita, ilustramos como o algoritmo mapeia o espa¸co
bidimensional numa curva de Peano-Hilbert:
• No primeiro quadrado da esquerda, o “” define a orienta¸c˜ao espacial de
todas as subdivis˜oes.
• A barra superior de um “” deve ser substitu´ıda por duas c´opias menores,
com a mesma orienta¸c˜ao espacial do original jazendo em suas extremidades,
conforme segundo quadrado.
• Ainda no segundo quadrado, percebemos que as extremidades laterais pos-
suem duas c´opias menores do “” maior. Elas s˜ao dispostas uma contra a
outra e fixadas na extremidade inferior de cada barra original maior, com
suas aberturas voltadas para fora do “”.
• Cada “” da figura originada pelos dois processos anteriores sofre o mesmo
recurso de divis˜oes, originando o padr˜ao observado nos terceiro e quarto
quadrados, e assim em diante. A divis˜ao pode ser feita recursivamente at´e
que todo o dom´ınio esteja coberto pelo fractal.
FIGURA 3.4 - Divis˜ao recursiva do dom´ınio computacional bidimensional seguindo uma curva de
Peano-Hilbert com a forma de . Figura extra´ıda de Springel (2005).
Na realidade, cada “” define o n´umero de divis˜oes do dom´ınio computacional. Na
88
Figura 3.4, cada quadrado corresponde a uma hierarquia da divis˜ao em dom´ınios.
Da esquerda para a direita, o segundo quadrado corresponde `a segunda hierarquia,
com quatro regi˜oes do dom´ınio computacional cobertos pela curva de Peano. No ter-
ceiro quadrado, correspondente `a terceira hierarquia, h´a dezesseis partes do dom´ınio
cobertas pela curva de Peano e assim em diante. Em trˆes dimens˜oes o processo ´e an´a-
logo, por´em mais complicado, cuja descri¸c˜ao foge aos nossos objetivos. Entretanto,
ilustramos o processo na Figura 3.5, como um exemplo.
FIGURA 3.5 - Divis˜ao recursiva do dom´ınio computacional tridimensional segundo uma curva de
Peano-Hilbert. Figura extra´ıda de Springel (2005).
O mapeamento do espa¸co por este fractal possui as seguintes propriedades:
• A curva possui uma auto-similaridade. Isto significa que as posi¸c˜oes de al-
gumas c´elulas podem ser conhecidas a partir de outras. Por ser constru´ıda
recursivamente, ´e poss´ıvel “contrair” matematicamente a curva inteira, ob-
tendo uma curva de ordem menor, optimizando o esfor¸co computacional.
• Pontos pr´oximos entre si numa curva de Peano-Hilbert tamb´em est˜ao pr´o-
ximos no espa¸co. O mapeamento do espa¸co pelo fractal de Hilbert preserva
a localidade.
• Existe uma correspondˆencia entre a decomp osi¸c˜ao espacial obtida por uma
curva de Peano-Hilbert e a decomposi¸c˜ao obtida por um esquema de ´arvore
octal, sobre a qual j´a comentamos. Por exemplo, consideremos uma curva
de Peano-Hilbert preenchendo uma caixa inteira, constituindo um n´o raiz,
englobando todo o dom´ınio computacional de um conjunto de part´ıculas.
89
Ao cortar esta curva em oito peda¸cos de comprimentos iguais e em seguida
cada peda¸co em mais oito partes iguais, pode-se recuperar a estrutura octal
da ´arvore de Barnes e Hut (BARNES; HUT, 1986).
Usando a divis˜ao recursiva do espa¸co conforme explicitamos, pode-se designar um
segmento arbitr´ario da curva de Peano-Hilbert a um processador, tornando o volume
computacional correspondente resultante compat´ıvel com a estrutura de n´os de uma
´arvore de Barnes e Hut cobrindo o volume inteiro. Designar fragmentos de curva de
Peano-Hilbert a um processador ´e computacionalmente equivalente a designar um
ramo de uma ´arvore octal ao mesmo (SPRINGEL, 2005). Com isto, obtˆem-se uma
´arvore cuja geometria independe do m´etodo de paraleliza¸c˜ao e os resultados para o
c´alculo das for¸cas independem do n´umero de processadores usados.
3.1.4 Estrutura do Arquivo de Instantˆaneo
Os arquivos de instantˆaneo s˜ao aqueles que possuem os dados f´ısicos de todas as
part´ıculas do modelo simulado e correspondem ao instante da simula¸c˜ao em que
foram gerados. Com isto, pode-se recome¸car a simula¸c˜ao a partir de um dado instante
para o qual o referido arquivo foi gerado. Para ler as condi¸c˜oes iniciais das part´ıculas
e produzir os seus arquivos referentes aos instantˆaneos da simula¸c˜ao, o GADGET-
2 trabalha com a formata¸c˜ao bin´aria. Com isso, o fluxo dos dados ´e mais r´apido e
consome menos mem´oria. Os arquivos bin´arios de instantˆaneo s˜ao constitu´ıdos de
blocos de dados, seguindo a ordem apresentada na Tabela 3.1. No caso em que o
componente dissipativo (g´as) ´e modelado, o arquivo conteria mais blocos de dados,
relacionados com os aspectos f´ısicos do g´as.
TABELA 3.1 - Representa¸c˜ao esquem´atica da estrutura de um arquivo de instantˆaneo em blocos de
dados. O arquivo de condi¸c˜oes iniciais n˜ao necessita dos dados da energia potencial.
1 Cabe¸calho
2 Posi¸c˜oes
3 Velocidades
4 R´otulos de Identifica¸c˜ao
5 Energia Potencial
O cabe¸calho cont´em o n´umero de part´ıculas usadas na simula¸c˜ao, e as massas das
90
part´ıculas, entre outras informa¸c˜oes de uso t´ecnico do c´odigo. Por exemplo, os r´otulos
s˜ao n´umeros inteiros que identificam as part´ıculas ao longo da simula¸c˜ao, tornando
poss´ıvel encontr´a-las em qualquer arquivo de instantˆaneo e, com isto, fazer as an´a-
lises, porque cada r´otulo permance o mesmo ao longo de toda a simula¸c˜ao.
3.2 Principais Parˆametros Usados
Os parˆametros usados pelo c´odigo s˜ao n´umeros que permitem a realiza¸c˜ao dos c´al-
culos citados na se¸c˜ao anterior, estipulam os erros percentuais envolvidos nestes
c´alculos e fixam o intervalo de tempo entre os quais os arquivos de instantˆaneo s˜ao
escritos. Muitos s˜ao os parˆametros definidos por SPRINGEL no Manual do Usu´ario
do c´odigo GADGET -2. Os principais s˜ao:
• O fator de amolecimento .
• O parˆametro de tolerˆancia θ.
• O passo temporal m´aximo da integra¸c˜ao ∆t.
• N´umeros de rescalonamento do sistemas de unidades.
O conhecimento destes parˆametros e a consecu¸c˜ao dos arquivos de instantˆaneos s˜ao
suficientes para a inicializa¸c˜ao das simula¸c˜oes.
3.2.1 O Parˆametro de Amolecimento
O parˆametro de amolecimento , j´a definido na se¸c˜ao
3.1.1, pode ser estimado para
cada modelo. Para isto, partimos das seguintes hip´oteses:
• Detalhes estruturais menores do que ∼ 10 podem n˜ao corresponder `a
realidade (BARNES; HUT, 1989). Logo, a resolu¸c˜ao espacial λ deve obedecer
`a condi¸c˜ao λ > 10.
• Definimos a resolu¸c˜ao espacial a partir do raio que contem metade da
massa (r
half
) do objeto (e.g. gal´axia) inicialmente mais denso, e tal forma
que λ = fr
half
, com f < 1.
• O sistema ´e acolisional. Desta forma, o parˆametro de impacto para desvios
de 90
◦
, representado por p
90
deve ser menor que uma fra¸c˜ao do parˆametro
91
de amolecimento, isto ´e,satisfazer a condi¸c˜ao p
90
= (Gm
p
/(6σ
2
)) < /C,
na qual m
p
´e a massa de uma part´ıcula da gal´axia, sendo C ∼ 50 − 100
conforme indicam Barnes & Hut.
Com isto, elaboramos um crit´erio que permite realizar estas estimativas de . Ele
est´a incluso nas diretrizes listadas abaixo e seguidas para a sua realiza¸c˜ao:
a) Procura pela gal´axia mais densa. Quanto maior a sua densidade, menor a
distˆancia m´edia entre part´ıculas que a comp˜oem. Deste modo, uma maior
resolu¸c˜ao ´e requerida para estimar as for¸cas entre elas. A densidade central
de uma gal´axia modelada conforme os nossos crit´erios ´e quantificada no
Apˆendice C.
b) C´alculo do raio dentro do qual est´a contida a metade de toda a massa da
gal´axia mais densa, chamado de r
half
.
c) O ´e estimado pela desigualdade
CGM
tot
6Nσ
2
< <
fr
half
10
, (3.5)
onde C ´e um n´umero pertencente ao intervalo 50 − 100, G ´e a constante
da gravita¸c˜ao universal, M
tot
, a massa total da gal´axia mais densa, N o
n´umero total de estrelas da gal´axia e σ, a dispers˜ao de velocidades.
d) Rearranjando a desigualdade acima, temos uma condi¸c˜ao sobre o N, o
n´umero de part´ıculas representando a gal´axia:
N >
10C
2f
M
tot
σ
2
r
half
(3.6)
Supondo que a gal´axia encontre-se inicialmente em equil´ıbrio, ent˜ao a apli-
ca¸c˜ao do Teorema do Virial nos d´a:
σ
2
= γG
M
tot
Rhalf
(3.7)
Onde γ ∼ 0, 4, para uma extensa classe de perfis de densidade. Substi-
tuindo acima obtemos uma condi¸c˜ao sobre o fator f que permite estimar
a resolu¸c˜ao espacial:
f > 12, 5
C
N
(3.8)
92
Com estes procedimentos, podemos estimar o valor de para um mesmo sistema de
gal´axias modeladas. Para este fim, usamos C = 100. Na Tabela
3.2, fornecemos os
valores de dos modelos que simulamos nesta Disserta¸c˜ao:
TABELA 3.2 - Valores de para os modelos simulados.
MRAND MGFDT MGFDT-E MGFDT-E-RES MGFDT-E-RAD
0,004 0,0015 0,02 0,005 0,02
3.2.2 Parˆametro de Tolerˆancia e o Passo Temporal
O passo temporal ∆t ´e um intervalo de tempo usado pelo c´odigo para realizar a
integra¸c˜ao num´erica das equa¸c˜oes de movimento. Conforme apontado por Dantas
(2001), o c´alculo da for¸ca atrav´es do parˆametro de tolerˆancia ´e mais importante do
que a ado¸c˜ao de um passo temporal extremamente pequeno. Portanto, seguimos a
sugest˜ao de Springel (2005), usando um valor de m´aximo de ∆t = 0, 025, que ´e
razoavelmente bom para muitas simula¸c˜oes.
´
E importante mencionar que, de um modo geral, a viola¸c˜ao da conserva¸c˜ao da energia
total para um θ = 0, 7 n˜ao ultrapassa o valor de 1%, conforme apontado por Dantas
(2001). Assim, o uso de θ = 0, 8, conforme sugerido por Springel (2005), assegura
um bom desempenho na execu¸c˜ao do c´odigo.
3.2.3 Sistema de Unidades
As unidades usadas na simula¸c˜ao foram:
• Massa dadas em 10
10
M
.
• Distˆancias dadas em kpc.
• Velocidades em km.s
−1
.
• Constante da Gravita¸c˜ao Universal dada por G = 43007, 1
km/s
2
kpc
10
10
M
.
3.3 Dos Equipamentos Usados
Todas as simula¸c˜oes descritas neste trabalho foram realizadas em dois sistemas de
processamento paralelo (cluster) construidos no Depto. de Astronomia do IAG/USP,
93
no ˆambito de um projeto Tem´atico FAPESP ( Evolu¸c˜ao das Gal´axias em Grupos
e Aglomerados, processo no. 01/07342-7) do qual o Dr. Hugo Capelato ´e membro).
Tratam-se de dois sistemas independentes. O primeiro (o “pmc”) ´e um cluster de 8
nodos sem discos internos, controlados por um servidor bi-processado com 160Gb
em discos r´ıgidos e placa de rede Dlink Card DGE 550T. Tanto o servidor como
o nodos s˜ao dotados de processadores Athlon 2000+ em placas m˜ae KT400, com
512Kb de mem´oria RAM. As comunica¸c˜oes entre os nodos s˜ao realizadas atrav´es
de um switch Gigabit 3Com. O segundo sistema (o “hpc64”) ´e um cluster de 20
nodos de arquitetura semelhante, mas com processadores 64 bits (Athlon64 3000+,
1Gb RAM, em placas m˜ae ASUS K8V-X, placas de rede D-Link 10/100). Ambos
os clusters s˜ao gerenciados por implementa¸c˜oes atualizadas do sistema LINUX: o
“pmc” ´e gerenciado pelo Debian e o “hpc64”, pelo Ubuntu, vers˜ao 64 bits.
94
CAP
´
ITULO 4
Resultados das Simula¸c˜oes
Neste cap´ıtulo, discutiremos as principais caracter´ısticas f´ısicas dos modelos simula-
dos de GCs: a energia total do sistema de part´ıculas, o coeficiente virial do sistema,
o n´umero de gal´axias e o n´umero de objetos remanescentes, cujas defini¸c˜oes se en-
contram a seguir. Deste modo, apresentamos os principais resultados obtidos direta-
mente dos dados contidos nos arquivos de instantˆaneo, definidos no cap´ıtulo anterior.
Informaremos as t´ecnicas usadas para a obten¸c˜ao dos resultados e estudaramos a
evolu¸c˜ao temporal dos GCs simulados, apresentando a visualiza¸c˜ao das part´ıculas
dos modelos em instantes de tempo padronizados, permitindo a compara¸c˜ao direta
entre eles.
4.1 Principais T´ecnicas Usadas para Obten¸c˜ao dos Resultados
Os procedimentos seguidos para a obten¸c˜ao dos resultados obedecem a um protocolo
computacional, i.e., a uma s´erie de procedimentos aplicados a todos os instantˆaneos
da simula¸c˜ao e padronizados para todos os modelos. Ap´os o t´ermino de uma dada
simula¸c˜ao, o primeiro procedimento adotado ´e calcular as energias potencial, cin´e-
tica e total de todo o grupo compacto em cada instantˆaneo. A contagem do n´umero
de gal´axias em cada um de todos os instantˆaneos requer a pr´evia defini¸c˜ao computa-
cional de gal´axia. Desta maneira, pode-se contar o n´umero de part´ıculas dispersas
para o meio intergal´atico e o n´umero de part´ıculas ainda “aprisionadas” em gal´axias.
Com estes n´umeros, calculamos as massas, as coordenadas da posi¸c˜ao e os compo-
nentes do vetor velocidade do centro de massa das gal´axias definidas, permitindo a
aplica¸c˜ao de alguns algoritmos que estudem em detalhes o grupo compacto simulado,
conforme estudaremos no pr´oximo cap´ıtulo.
Os principais resultados concernentes aos instantˆaneos dos grupos compactos simu-
lados envolvem os seguintes aspectos:
a) Evolu¸c˜ao da energia total e do coeficiente virial associados ao grupo com-
pacto.
b) Representa¸c˜ao gr´afica da evolu¸c˜ao do n´umero de gal´axias ou objetos tran-
sientes.
c) Representa¸c˜ao gr´afica da evolu¸c˜ao temporal dos remancescentes primor-
95
diais, ou seja, dos objetos que permaneceram com 70% de suas massas
inalteradas e das aproxima¸c˜oes m´utuas entre as gal´axias.
d) Representa¸c˜ao pict´orica dos instantˆaneos da simula¸c˜ao.
Nas pr´oximas se¸c˜oes discutimos o m´etodo seguido para a consecu¸c˜ao de cada um
destes itens.
4.1.1 C´alculo da Energia Total e do Coeficiente Virial
O GADGET-2 calcula a energia potencial total decorrente de todas as intera¸c˜oes
gravitacionais bin´arias entre as part´ıculas e tamb´em a a sua energia cin´etica total. Ao
longo da simula¸c˜ao, um arquivo denominado energy.txt ´e “escrito” pelo c´odigo e con-
t´em os valores do tempo decorrido da simula¸c˜ao e destas energias. Entretanto, para
armazenar os dados da energia potencial total das part´ıculas no arquivo energy.txt,
o algoritmo do GADGET-2 n˜ao inclue os cˆomputos do potencial gravitacional
proveniente do halo r´ıgido. Este impasse decorre do modo de estrutura¸c˜ao e de
programa¸c˜ao do c´odigo, de maneira que se torna invi´avel reestrutur´a-lo para este
fim. Em vista desta dificuldade, escrevemos um programa em linguagem C chamado
energy.c, que obt´em a energia potencial total de intera¸c˜oes bin´arias entre as part´ıcu-
las a partir dos arquivos de instantˆaneo e concomitantemente inclui a contribui¸c˜ao
do halo, dada pela equa¸c˜ao 2.10. O energy.c tamb´em calcula a energia cin´etica total,
valendo-se dos pr´oprios instantˆaneos escritos pelo GADGET-2. A energia total ´e a
soma alg´ebrica das energias potencial total (part´ıculas e halo) e da energia cin´etica
total. Com estas informa¸c˜oes, investigamos o estado dinˆamico dos GCs simulados,
atrav´es do coeficiente virial V ir dado por V ir = |
2T
W
|, onde W representa a energia
potencial total e T , a energia cin´etica total.
4.1.2 Das Gal´axias ou Objetos Transientes
As an´alises das simula¸c˜oes dependem do m´etodo segundo o qual as gal´axias s˜ao de-
finidas, no ˆambito computacional, pois os instantˆaneos cont´em apenas n´umeros que
representam posi¸c˜oes, velocidades, massas, r´otulos e energias potenciais de part´ıculas
(as defini¸c˜oes s˜ao totalmente arbitr´arias). Por exemplo, pode-se definir uma gal´a-
xia como um sistema astrof´ısico cujas part´ıculas est˜ao ligadas gravitacionalmente.
Entretanto, esta defini¸c˜ao pode excluir uma razo´avel quantidade de mat´eria situada
nas fronteiras geom´etricas da gal´axia, mas em pleno processo de escape, por causa de
atra¸c˜oes gravitacionais decorrentes das intera¸c˜oes de mar´e. Embora existam algorit-
96
mos sofisticados usados na identifica¸c˜ao de objetos gravitacionalmente ligados, neste
trabalho decidiu-se pela aplica¸c˜ao de um algoritmo simples que leva em conta apenas
os aspectos geom´etricos de sistemas de part´ıculas. A vantagem deste m´etodo reside
em incluir quaisquer outros objetos dentro das fronteiras do objeto definido, iden-
tificando processos de coalescˆencia entre dois objetos distintos ou encontros casuais
entre eles. As part´ıculas em processo de escape e situadas nas fronteiras geom´etricas
dos respectivos objetos hospedeiros tamb´em s˜ao inclu´ıdas. O algoritmo para tal fina-
lidade se chama amigos-dos-amigos, do inglˆes Friends-of-Friends (algoritmo FOFs
ou simplesmente FOFs).
4.1.2.1 Do Algoritmo FOFs
O algoritmo FOFs ´e um c´odigo num´erico de classifica¸c˜ao de dados de posi¸c˜oes de
part´ıculas. A sua aplica¸c˜ao permite encontrar objetos (gal´axias) previamente defi-
nidos satisfazendo dois crit´erios:
a) O objeto encontrado deve ter um n´umero m´ınimo de membros, isto ´e, o
objeto deve ter um n´umero de part´ıculas n˜ao menor do que um dado N
min
.
b) O objeto deve ter um comprimento de liga¸c˜ao caracter´ıstico l, ou seja,
suas part´ıculas n˜ao podem estar separadas mutuamente por uma distˆancia
maior do que l.
O nome amigos-dos-amigos vem da seguinte aprecia¸c˜ao: o algoritmo “aceita” uma
part´ıcula como pertencente ao objeto encontrado se ela tem uma part´ıcula “amiga”
dentro de uma distˆancia menor ou igual `a especificada pelo comprimento de liga¸c˜ao
caracter´ıstico l.
Para a obten¸c˜ao dos resultados, padronizamos o comprimento de liga¸c˜ao caracter´ıs-
tico l e o n´umero m´ınimo de membros N
min
para todos os modelos simulados, porque
o n´umero de objetos “encontrados” atrav´es da aplica¸c˜ao do FOFs (objetos-FOFs)
varia em fun¸c˜ao destes parˆametros. Portanto, a padroniza¸c˜ao permite compara¸c˜oes
equitativas entre os diversos modelos. Desta maneira, os valores usados para a con-
secu¸c˜ao dos resultados foram de l = 5kpc e de N
min
= 4 ×10
2
. O primeiro assegura
que os limites geom´etricos dos objetos-FOFs sejam diferenciados do material inter-
gal´atico, caracterizado por apresentar pequenos valores de brilho superficial (cf. ve-
remos no Cap´ıtulo 5) e tamb´em assegura que as gal´axias definidas tenham dimens˜oes
97
compat´ıveis (em ordens de grandeza) com as respectivas dimens˜oes estimadas em
observa¸c˜oes astrof´ısicas. Em outras palavras, uma gal´axia tem suas fronteiras esta-
belecidas quando suas part´ıculas perif´ericas est˜ao a uma distˆancia maior do que 5kpc
de qualquer outra part´ıcula ou objeto externos. O segundo crit´erio define o n´umero
m´ınimo de part´ıculas necess´ario para compor um dado objeto-FOF. Baseamo-nos
no n´umero t´ıpico de part´ıculas da gal´axia com ID=17 do modelo MRAND, porque
esta ´e a gal´axia com o menor n´umero de part´ıculas dentre todas as modeladas neste
trabalho.
A aplica¸c˜ao do algoritmo FOFs para um grande n´umero de instantˆaneos requer pro-
cedimentos automatizados. Por isto, desenvolvemos programas em linguagem Tcl,
com uma s´erie destes procedimentos que convertessem os instantˆaneos escritos na
formata¸c˜ao padr˜ao do GADGET-2 para a devida formata¸c˜ao usada pelo algoritmo
FOFs.
4.1.2.2 Aplica¸c˜oes Imediatas do FOFs
Uma vez que o algoritmo ´e aplicado, cada part´ıcula recebe um r´otulo que identifica a
qual objeto-FOF ela pertence. Por exemplo, todas as part´ıculas com r´otulo num´erico
“12” pertencem a um ´unico objeto-FOF rotulado numericamente como “12”. Uma
part´ıcula com r´otulo “0” n˜ao tem v´ınculos com quaisquer objetos-FOFs, ou seja,
´e considerada livre, representando o material intragrupo originado dos efeitos de
mutila¸c˜ao por for¸cas de mar´e, conforme explicaremos em se¸c˜oes a seguir. Usando
estes procedimentos para definir e catalogar gal´axias em arquivos de instantˆaneo,
constru´ımos as formas gr´aficas contendo a evolu¸c˜ao do n´umero de objetos-FOFs
(gal´axias ou objetos transientes) ao longo da simula¸c˜ao. As se¸c˜oes seguintes exploram
em detalhes os recursos dispon´ıveis do algoritmo FOFs.
4.1.2.3 Dos Remanescentes
Nesta Se¸c˜ao, definimos as gal´axias remanescentes e apontamos quais as vantagens e
os defeitos impl´ıcitos neste tipo de formula¸c˜ao. As gal´axias remanescentes (“remanes-
centes”) s˜ao definidas como aqueles objetos-FOFs compostos principalmente por um
mesmo tipo primordial de part´ıculas, quer dizer, por uma mesma gal´axia primordial.
Isto implica que os remanescentes s˜ao gal´axias primordiais que permaneceram com
a maior parte de suas massas originais agrupadas num mesmo objeto-FOF e que n˜ao
sofreram fus˜oes ou mutila¸c˜oes significativas por efeitos de mar´e. Vale lembrar que
98
um mesmo objeto-FOF pode receber r´otulos diferentes em dois intantˆaneos distintos,
dificultando as nossas investiga¸c˜oes. Para recuperarmos os remanescentes, escreve-
mos um c´odigo em linguagem C, denominado analisador.c. Para cada instante de
tempo da simula¸c˜ao, o analisador.c acessa os dados pertinentes a trˆes arquivos: um
arquivo de instantˆaneo, um arquivo com os dados dos objetos-FOFs e uma tabela
que cont´em os IDs e o n´umero de part´ıculas das gal´axias primordiais do modelo
em quest˜ao. Por exemplo, as duas primeiras colunas da Tabela 2.1 e das tabelas
an´alogas dos demais modelos nos informam a estrutura dos dados de uma tabela
usada pelo analisador.c. Com estes dados, o c´odigo fornece trˆes arquivos:
a) Um relat´orio com os dados das posi¸c˜oes, velocidades e massas dos centros
de massas dos objetos-FOFs e com as separa¸c˜oes interpares destes objetos.
b) Um arquivo com os dados de an´alise de cada objeto-FOF. Para cada um
destes objetos, o arquivo cont´em dados com valores do percentual de suas
part´ıculas primordiais sobre a massa total do objeto e do percentual de
part´ıculas primordiais sobre a massa total da gal´axia primordial, conforme
veremos abaixo. No cabe¸calho deste arquivo h´a o valor do n´umero total de
estrelas que escaparam das gal´axias, rotuladas com ´ındice “0”.
c) Um arquivo utilizado no estudo da evolu¸c˜ao temporal dos remanescentes.
Em resumo, o algoritmo seguido pelo analisador.c realiza o seguinte roteiro:
a) Identifica¸c˜ao do instante de tempo correspondente ao arquivo de instantˆa-
neo analisado. Estrutura¸c˜ao dos dados na Mem´oria de Acesso Aleat´orio,
incluindo os dados das p osi¸c˜oes, das velocidades, dos r´otulos e das energias
potenciais das part´ıculas.
b) Acesso ao arquivo que cont´em os dados de IDs e do n´umero de part´ıculas
das gal´axias primordiais. Armazenamento destes dados na mem´oria. Lei-
tura do arquivo com as informa¸c˜oes dos objetos-FOFs, com a estrutura¸c˜ao
destes dados.
c) Realiza¸c˜ao de um la¸co no qual se identificam as part´ıculas n˜ao vinculadas
`as gal´axias.
99
d) Realiza¸c˜ao de uma s´erie de la¸cos hierarquizados que “analisam” todos os
objetos-FOFs, um a um e consecutivamente. Para cada objeto-FOFs, os
seguintes procedimentos s˜ao adotados:
1) Identifica¸c˜ao das part´ıculas pertencentes ao objeto-FOFs analisado
e do ID da gal´axia primordial `a qual elas pertenciam no primeiro
instantˆaneo. Isto ´e realizado com todas as part´ıculas.
2) C´alculo percentual das part´ıculas primordiais encontradas no item an-
terior. Duas contagens percentuais s˜ao efetuadas. A primeira, sobre a
massa total do objeto-FOF. A segunda, sobre a massa da gal´axia pri-
mordial. As duas contagens servem como indicadores de fus˜oes entre
gal´axias ou encontros casuais.
3) Identifica¸c˜ao dos remanescentes, definidos pelo seguinte crit´erio ad
hoc: o remanescente ´e aquele objeto-FOFs que possui uma fra¸c˜ao
maior ou igual a 70% da massa de um dado objeto primordial.
e) Gera¸c˜ao dos seguintes arquivos: o de relat´orio, o de an´alise dos objetos-
FOFs e o de evolu¸c˜ao dos remanescentes.
Exemplificamos com uma exibi¸c˜ao de tabelas com o conte´udo parcial destes arquivos.
Para o instantˆaneo de n´umero 7 proveniente da simula¸c˜ao do modelo MRAND,
apresentamos as Tabelas 4.1 e 4.2. Todos os arquivos dos demais modelos seguem
um mesmo padr˜ao.
TABELA 4.1 - Estrutura t´ıpica de um arquivo de relat´orio. Para gerar este arquivo, usamos os dados
do s´etimo arquivo de instantˆaneo do modelo MRAND (correspondendo ao instante
de 0.7 Ganos de simula¸c˜ao deste modelo).
FOF-ID X
CM
Y
CM
Z
CM
V X
CM
V Y
CM
V Z
CM
N
M
1 -55,372 -44,964 -52,538 -340,569 -193,279 -154,202 5366 10,73
2 211,752 23,068 -414,028 -31,220 -43,571 56,908 6145 12,29
3 -0,813 17,767 -8,563 -407,067 -47,674 265,852 6031 12,06
4 348,656 -64,595 -259,060 31,617 -55,295 -78,611 27950 55,90
5 -97,313 194,920 -566,551 -10,725 -17,408 75,809 590 1,18
6 -21,493 241,493 -254,919 -38,543 -167,603 -54,492 3476 6,95
7 30,230 280,173 -419,326 0,408 -103,103 41,514 437 0,87
A Tabela 4.1 corresponde ao relat´orio com os dados dos centros de massa das gal´axias
definidas. Nesta tabela, FOF-ID denota o r´otulo fornecido pelo algoritmo FOFs.
100
X
CM
, Y
CM
e Z
CM
representam as coordenadas do centro de massa. V X
CM
, V Y
CM
e
V Z
CM
s˜ao os comp onentes do vetor velocidade do centro de massa e N
´e o n´umero
de part´ıculas do objeto-FOF. M representa a massa em unidades de 10
10
M
.
TABELA 4.2 - Modelo de estrutura do arquivo contendo a an´alise completa dos dados dos objetos-
FOFs.
FOF-ID NFOF N
P rm
ID
P rm
N
P rm
/N
T P
N
P rm
/N
F OF
NP COND
1 5366 5366 10 0,98350 1,00000 5366 0
2 6145 6145 4 0,98525 1,00000 6145 0
3 6031 3422 1 0,97995 0,56740 3422 1
3 6031 1 2 0,00053 0,00017 3422 0
3 6031 2607 5 0,97531 0,43227 3422 1
3 6031 1 10 0,00018 0,00017 3422 0
4 27950 27950 3 0,99452 1,00000 27950 0
5 590 590 14 0,92188 1,00000 590 0
A Tabela 4.2 corresponde ao relat´orio de an´alise das part´ıculas dos objetos-FOFs.
Para gerar os dados apresentados na tabela, um t´ıpico arquivo de instantˆaneo do
modelo MRAND foi utilizado. Nesta tabela, FOF-ID representa o r´otulo estabe-
lecido pelo algoritmo FOFs. NFOF ´e o n´umero total de part´ıculas do objeto-FOF.
N
P rm
´e o n´umero de part´ıculas primordiais de um mesmo tipo, cujo r´otulo original
´e descrito por ID
P rm
.
´
E importante observar que ID
P rm
n˜ao ´e necessariamente igual
a FOF-ID
1
. N
P rm
/N
T P
representa a raz˜ao entre N
P rm
e N
T P
(N
T P
denota o
n´umero total inicial de part´ıculas da gal´axia primordial). N
P rm
/N
F OF
representa
a raz˜ao entre N
P rm
e N
F OF
. Se N
P rm
/N
F OF
> 70%, o objeto ´e considerado
remanescente. NP representa o n´umero de part´ıculas primordiais N
P rm
que mais
contribui para o n´umero de part´ıculas do objeto-FOF. COND ´e um r´otulo que in-
dica a ocorrˆencia de fus˜oes ou interpenetra¸c˜oes de gal´axias. Neste caso, objetos com
COND = 1 est˜ao suficientemente pr´oximos uns dos outros, de modo que o algoritmo
FOFs os encontra como um ´unico objeto com FOF-ID= 3. Notemos que as quatro
linhas com o valor de FOF-ID=3 (Vide primeira coluna da Tabela 4.2) indicam
que o respectivo objeto-FOF ´e composto por quatro tipos de part´ıculas primordiais.
De fato, este objeto foi o resultado de um encontro entre as gal´axias primordiais
1
A uma dada gal´axia primordial, atribui-se um dado valor constante de ID
P rm
, para que se
p ossa “encontr´a-la” em qualquer instante de simula¸c˜ao. Como o algoritmo FOFs n˜ao fixa os valores
dos r´otulos de um mesmo objeto “encontrado” em instantes distintos, um mesmo remanescente
p ode ter diferentes valores de FOF-ID em dois instantˆaneos consecutivos de uma simula¸c˜ao.
101
indicadas por ID
P rm
= 1 e ID
P rm
= 5 (ver a quarta coluna da Tabela 4.2). As-
sim, a multiplicidade de objetos-FOFs com COND = 1 pode gerar ambig
¨
uidades.
Por exemplo, m´ultiplas fus˜oes e interpenetra¸c˜oes podem o correr simultaneamente,
de maneira que v´arios objetos-FOFs possuem o r´otulo COND = 1. Entretanto, este
problema ´e solucionado da seguinte maneira: a identifica¸c˜ao das gal´axias primordiais
correspondentes aos objetos coalescidos ou interpenetrados ´e realizada por inspe¸c˜oes
diretas de tabelas similares `a Tabela 4.2.
Do ponto de vista dinˆamico, os objetos-FOFs correspondem `as seguintes categorias:
• Coalescidos, quando dois remanescentes constituem um ´unico objeto-FOFs
durante todos os instantˆaneos.
• Interpenetrados, quando dois remanescentes constituem um ´unico objeto-
FOFs identificado em apenas um arquivo de instantˆaneo, ou em dois ar-
quivos gerados consecutivamente.
• Descaracterizados, quando possuem N
P rm
/N
F OF
< 70% ou quando
compostos por diversos tipos de part´ıculas, sem a predominˆancia de um
dado tipo.
4.1.2.4 Visualiza¸c˜ao de Part´ıculas
Vimos que os arquivos de instantˆaneo s˜ao escritos em formata¸c˜ao bin´aria. A dispo-
nibiliza¸c˜ao dos dados contidos nestes arquivos depende de uma pr´evia convers˜ao dos
dados em formata¸c˜ao bin´aria para a forma ASCII, bem como de subseq
¨
uentes mani-
pula¸c˜oes com programas de constru¸c˜ao de gr´aficos, que permitam a visualiza¸c˜ao das
part´ıculas no espa¸co. Definimos um sistema de visualiza¸c˜ao no qual as part´ıculas s˜ao
representadas nas trˆes proje¸c˜oes de um sistema cartesiano ortogonal em quatro ins-
tantˆaneos da simula¸c˜ao, em intervalos de tempo iguais, incluindo o instante inicial.
O sistema das cores visualizadas obedece ao seguinte padr˜ao:
a) Vermelho: representa as part´ıculas perdidas para o meio intergal´atico, ou
seja, estrelas com r´otulos nulos obtidos pelo FOFs.
b) Azul: representa as part´ıculas cujas gal´axias primordiais possu´ıam mas-
sas maiores ou iguais do que 10, 0 × 10
10
M
. Portanto, as gal´axias azuis
primordiais s˜ao as mais massivas.
102
c) Ciano: exibe as part´ıculas cujas gal´axias primordiais possuem massas no
intervalo 1, 0 ×10
10
M
≤ M
gal
< 10, 0 ×10
10
M
. M
gal
denota a massa da
gal´axia.
d) Amarelo: neste caso, as gal´axias primordiais possuem massas menores do
que 1, 0 ×10
10
M
.
No Apˆendice E, apresentamos as figuras padronizadas e coloridas de todos os ins-
tantˆaneos. Nas pr´oximas se¸c˜oes apresentaremos as figuras de interesse.
4.2 Principais Resultados das Simula¸c˜oes.
Conforme descrevemos anteriormente, a execu¸c˜ao dos c´odigos energy.c, FOFs e ana-
lisador.c gera um enorme conjunto de dados, que nos p ermitem estudar os principais
aspectos f´ısicos dos modelos simulados. Os principais resultados imediatos obtidos
das simula¸c˜oes dizem respeito `a evolu¸c˜ao temporal da energia total, do coeficiente
virial e do n´umero de objetos-FOFs e `a visualiza¸c˜ao das part´ıculas dos modelos,
cujos dados est˜ao dispon´ıveis nos arquivos de instantˆaneo. O estudo da evolu¸c˜ao
da energia total nos permite averiguar a confiabilidade das simula¸c˜oes realizadas,
porque a energia total do sistema de part´ıculas que modelamos deve se conservar
2
.
A interpreta¸c˜ao dos valores do coeficiente virial ´e direta, informando de que modo o
sistema de part´ıculas est´a pr´oximo do equil´ıbrio dinˆamico. Al´em disto, levando em
considera¸c˜ao as caracter´ısticas do cen´ario de G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro
(2001a), entendemos que a conserva¸c˜ao do n´umero de objetos-FOFs nos informa
indiretamente sobre a estabilidade do modelo simulado, porque, neste caso, coales-
cˆencias ou descaracteriza¸c˜oes de gal´axias inexistem ao longo da simula¸c˜ao.
4.2.1 Resultados do modelo MRAND.
Na Figura 4.1, exibimos a evolu¸c˜ao do coeficiente virial |2T/W |, da energia total
normalizada em fun¸c˜ao da energia total inicial E
0
e do n´umero de objetos-FOFs
encontrados. Analisando esta figura, percebemos que ocorrem pequenas flutua¸c˜oes
do n´umero de objetos-FOFs com dura¸c˜ao de 10
8
anos. Ao longo da simula¸c˜ao, o
n´umero dos objetos-FOFs diminui. Para explicar tais flutua¸c˜oes e o decr´escimo do
n´umero de objetos-FOFs, fizemos uma an´alise detalhada da evolu¸c˜ao das massas dos
objetos remanescentes. Resumimos esta an´alise segundo o gr´afico exibido na Figura
4.2. Estudando este gr´afico, percebemos que as flutua¸c˜oes negativas ocorrem por
2
As nossas simula¸c˜oes n˜ao modelam efeitos dissipativos.
103
interpenetra¸c˜oes tempor´arias sofridas pelas gal´axias, ao longo de suas ´orbitas. Neste
caso, o algoritmo FOFs calculou as posi¸c˜oes das part´ıculas das gal´axias pr´oximas,
de modo que elas s˜ao rotuladas como um ´unico objeto. Percebe-se uma diminui¸c˜ao
do n´umero de objetos-FOFs observando um intervalo de tempo igual a 10 Ganos,
conforme apresentamos na Figura 4.1.
As flutua¸c˜oes positivas do n ´umero de objetos-FOFs s˜ao explicadas ap´os a an´alise dos
arquivos de relat´orio. Verifica-se que as gal´axias capturam constantemente part´ıculas
dispersas no meio intragrupo. Em geral, ao perderem as suas part´ıculas, as gal´axias
menos massivas adquirem uma quantidade menor do que N
min
, n˜ao sendo, portanto,
classificadas como objetos-FOFs, conforme explicamos anteriormente. Entretanto, `a
medida que orbitam as regi˜oes ricas em part´ıculas previamente dispersas, os objetos-
FOFS recapturam-nas, de modo que eles s˜ao novamente dectados pelo algoritmo
FOFs.
Analisando a curva exibida no gr´afico do Coeficiente Virial, percebemos que ela ´e
caracterizada por uma s´erie de varia¸c˜oes no valor deste coeficiente. Estas flutua-
¸c˜oes coincidem com as varia¸c˜oes negativas no n´umero de objetos FOFs definidos
e indicam as fases evolutivas do sistema nas quais a maioria das part´ıculas possui
grandes valores de energia cin´etica T . Algumas gal´axias perdem a maior parte de
suas part´ıculas para o meio intragrupo at´e se descaracterizarem, embora ainda sejam
consideradas como objetos-FOFs. Isto ´e percebido quando as curvas representam o
valor N
norm
= 0, conforme apresentamos na Figura 4.2.
O modelo MRAND apresenta duas peculiaridades:
• A energia total das part´ıculas n˜ao se conserva, pois a energia final do
sistema corresponde a 20% da inicial. Isto pode ser explicado atrav´es do
pequeno parˆametro de amolecimento usado na simula¸c˜ao. Este parˆame-
tro pode ter sido estimado indevidamente, porque o modelo MRAND
pertence a uma gera¸c˜ao de modelos elaborados para fins de testes, anteri-
ores aos demais citados nesta obra. Um pequeno valor para o implicaria
numa maior resolu¸c˜ao para a simula¸c˜ao, permitindo que o c´odigo com-
putasse os encontros pr´oximos entre as part´ıculas. Quanto mais colisional
for um sistema, menos exato ser´a o c´odigo, cujo integrador n˜ao consegue
resolver as colis˜oes, originando os erros no c´alculo da energia das part´ıcu-
las, implicando na n˜ao-conserva¸c˜ao da energia. As devidas corre¸c˜oes ser˜ao
104
0.8
0.9
1
1.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
14
16
18
20
MRAND
FIGURA 4.1 - No gr´afico superior, apresentamos a evolu¸c˜ao do Virial |2T/W |. No gr´afico do meio,
a evolu¸c˜ao da energia total E normalizada pela energia total inicial E
0
. No gr´afico
inferior, o n´umero de objetos-FOFs N
F OF s
encontrados em fun¸c˜ao do tempo decorrido
da simula¸c˜ao, em bilh˜oes de anos.
implementadas em breve.
• O valor do coeficiente virial est´a compreendido entre 0,8 e 1,0. Isto indica
que, ao longo da simula¸c˜ao, o sistema se encontrava pr´oximo do equil´ıbrio
dinˆamico global e que as part´ıculas se encontravam ligadas ao halo r´ıgido.
Na Figura 4.2, apresentamos a evolu¸c˜ao temporal do n´umero de remanescentes do
modelo MRAND e da quantidade relativa de part´ıculas de cada um deles. Cada
linha cont´ınua exibida nesta figura representa o n´umero normalizado de part´ıculas
105
remanescentes de uma dada gal´axia N
norm
(n´umero de part´ıculas remanescentes da
referida gal´axia dividido pelo n´umero total de part´ıculas da simula¸c˜ao). Quando
N
norm
= 0, significa que o objeto ´e n˜ao remanescente. Entretanto, o fato de que
um dado objeto-FOF apresente N
norm
= 0 n˜ao indica que ele deixou de ser definido
pelo algoritmo FOFs, apenas n˜ao ´e considerado como um remanescente. Observamos
tamb´em que a perda de part´ıculas ocorreu com todos os objetos-FOFs, em quase
todos os instantes de simula¸c˜ao, independentemente de suas massas. Para este mo-
delo, algumas linhas s˜ao interrompidas em est´agios mais avan¸cados da simula¸c˜ao.
O final destas linhas indica o valor N
norm
= 0 e ocorrem antes do instante de 10,0
Ganos. Por vezes, tais interrup¸c˜oes s˜ao precedidas de oscila¸c˜oes abruptas do valor
de N
norm
, as quais, por sua vez, correspondem aos pequenos “picos” exibidos por
estas linhas. Estes “picos” s˜ao percebidos pelas linhas poligonais presentes na Figura
4.2. A presen¸ca destes “picos” indica que o valor de N
P rm
/N
T P
flutua em torno
de 70%. Neste caso, os objetos remanescentes perdem e ganham part´ıculas alterna-
damente, explicando porque s˜ao reconsiderados remanescentes, ap´os terem perdido
esta condi¸c˜ao.
´
E importante salientar que, em intervalos de tempo ∼ 10
8
anos, o n´u-
mero de part´ıculas varia muito pouco. Entretanto, estas varia¸c˜oes s˜ao confirmadas
atrav´es da inspe¸c˜ao dos arquivos gerados pelos programas de an´alises. Em rela¸c˜ao
`as intera¸c˜oes entre as gal´axias, os quadrados exibidos na Figura 4.2 representam
interpenetra¸c˜oes de objetos-FOFs (gal´axias). Veremos, em se¸c˜oes a seguir, que uma
seq
¨
uˆencia initerrupta de quadrados constitui um ind´ıcio convincente de coalescˆen-
cias. Para saber se as for¸cas de mar´e alteraram as gal´axias, realizamos a contagem
do n´umero de part´ıculas dispersas para o material intragrupo. A evolu¸c˜ao temporal
deste n´umero ´e representada por uma linha tracejada na Figura 4.2
Na Figura 4.3, exibimos a representa¸c˜ao pict´orica das part´ıculas do modelo
MRAND em quatro instantˆaneos da simula¸c˜ao, intercalados em intervalos de
tempo iguais a 3, 3 Ganos. Projetamos o sistema no plano−xy de um sistema car-
tesiano ortogonal. O sistema das cores obedece ao esquema padr˜ao j´a explicado.
Analisando esta figura, percebemos que apenas as gal´axias mais massivas possuem
as suas estruturas definidas no final da simula¸c˜ao, enquanto que as gal´axias menos
massivas se descaracterizam e perdem definitivamente as suas part´ıculas para todo
o volume do espa¸co correspondente `as regi˜oes centrais do halo r´ıgido de mat´eria
escura.
106
MRAND
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sistemas Ligados
0 2 4 6 8 10
0
0.02
0.04
0.06
Objetos Com Pequena Massa
FIGURA 4.2 - Evolu¸c˜ao dos remanescentes para o modelo MRAND. A linha tracejada representa o
n´umero de part´ıculas perdidas para o meio intergal´atico.
4.2.2 Resultados do Modelo MGFDT
Conforme
G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a) demonstram, o modelo
MGFDT possui mais equil´ıbrio dinˆamico: menor taxa de fus˜oes, menos mutila¸c˜oes
por efeitos das for¸cas de mar´e, correspondente ao “esfacelamento” das gal´axias mais
d´ebeis. Nesta se¸c˜ao, mostraremos as evidˆencias sobre estas assertivas.
Na Figura
3
4.4, exibimos as formas gr´aficas da evolu¸c˜ao do coeficiente virial, da
3
Adotamos o padr˜ao de exibi¸c˜ao de figuras do modelo MRAND para todas as figuras dos
demais modelos.
107
FIGURA 4.3 - Representa¸c˜ao pict´orica das part´ıculas do modelo MRAND. A proje¸c˜ao ´e feita no
plano−xy e os instantes de tempo simulado est˜ao indicados nos quadros.
energia total normalizada e do n´umero de objetos-FOFs. Percebemos que a maioria
das varia¸c˜oes positivas do coeficiente virial (picos) correspondem `as interpenetra¸c˜oes
sofridas por algumas gal´axias. Entretanto, n˜ao ocorrem coalescˆencias: o n´umero de
objetos-FOFs permanece constante, ocorrendo apenas varia¸c˜oes negativas, quando
os objetos se interpenetram. De acordo com a Figura 4.4, o coeficiente virial ´e menor
do que 1 em todos os instantes de simula¸c˜ao, sendo caracterizado por 6 varia¸c˜oes
positivas abruptas. O sistema est´a em quase-equil´ıbrio dinˆamico, caracterizado da
seguinte forma: as gal´axias que comp˜oem este modelo s˜ao atra´ıdas pelo halo. As suas
´orbitas s˜ao perturbadas constantemente pela presen¸ca de gal´axias vizinhas, porque
as passagens pelos pericentros (localizados no centro do halo) ocorrem simultanea-
mente entre diversos objetos-FOFs. Nestas ocasi˜oes, os objetos de um modo geral
est˜ao submetidos a m´aximas acelera¸c˜oes e velocidades, o que poderia explicar os
“picos” do coeficiente virial. As velocidades das gal´axias no apocentro s˜ao muito
pequenas, em rela¸c˜ao `as do pericentro. O comportamento global deste processo ´e
percebido na alternˆancia entre os m´aximos e m´ınimos do coeficiente virial, o que
108
produz o padr˜ao de “picos” intercalados. A energia ´e conservada em torno de 80%,
indicando que este modelo ´e mais confi´avel do que o modelo MRAND. O n´umero de
objetos-FOFs permanece constante, apesar de variar por causa das interpenetra¸c˜oes.
0.6
0.7
0.8
0.9
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18
20
MGFDT
FIGURA 4.4 - Evolu¸c˜ao temporal do coeficiente virial, da energia total e do n´umero de objetos-FOFs
do modelo MGFDT. No gr´afico superior: evolu¸c˜ao temporal do coeficiente virial. No
gr´afico do meio: a evolu¸c˜ao da energia total. Abaixo: N´umero de objetos-FOFs definidos
no decorrer da simula¸c˜ao.
A Figura 4.5 exibe o comportamento global do sistema de part´ıculas do modelo
MGFDT, ao longo de toda a simula¸c˜ao. Analisando esta figura, percebemos que o
modelo em quest˜ao ´e dinamicamente est´avel, pelas seguintes raz˜oes:
109
• O n´umero de remanescentes ´e constante e eles perdem uma quantidade de
part´ıculas desprez´ıvel.
• As gal´axias menos massivas n˜ao s˜ao destru´ıdas pelas intera¸c˜oes de mar´e.
• Observamos que, no final da simula¸c˜ao, h´a uma pequena quantidade de
material intragrupo, mosstrando que as gal´axias est˜ao em equil´ıbrio com
as for¸cas de mar´e oriundas do potencial gravitacional do halo r´ıgido.
MGFDT
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sistemas Ligados
0 2 4 6 8 10
0
0.01
0.02
0.03
Objetos com Pequena Massa
FIGURA 4.5 - Evolu¸c˜ao temporal do n´umero de part´ıculas dos objetos remanescentes do modelo
MGFDT. Apresentamos a evolu¸c˜ao temporal do n´umero de part´ıculas do material
intragrupo e o n´umero de interpenetra¸c˜oes ocorridas nos devidos instantes. Cada inter-
p enetra¸c˜ao ´e representada por um pequeno quadrado.
110
Na Figura 4.6, apresentamos a visualiza¸c˜ao dos instantˆaneos da simula¸c˜ao em quatro
instantes de tempo igualmente intercalados, incluindo o instante inicial. Os demais
modelos seguir˜ao este padr˜ao de exibi¸c˜ao. As gal´axias do modelo MGFDT n˜ao se
descaracterizaram e o GC simulado permaneceu est´avel at´e o final da simula¸c˜ao.
FIGURA 4.6 - Instantˆaneos em proje¸c˜ao no plano−xy do modelo MGFDT. Os instantes est˜ao indi-
cados nos quadros.
4.2.3 Resultados do Modelo MGFDT-E
Em rela¸c˜ao ao modelo MGFDT, o modelo MGFDT-E exibiu os seguintes resul-
tados, conforme percebemos atrav´es da an´alise das Figuras 4.7, 4.8 e 4.9:
a) Maior conserva¸c˜ao da energia total, ficando aproximadamente em torno de
92%.
b) Menor n´umero de varia¸c˜oes do coeficiente virial. Isto pode ser explicado
como uma maior estabilidade das ´orbitas estabelecidas para as gal´axias
do modelo. Estas ´orbitas s˜ao definidas de tal mo do que os seus pericentros
111
permanecem distantes do centro do halo, de maneira que as acelera¸c˜oes das
gal´axias s˜ao menores do que aquelas ocorridas quando as ´orbitas possuem
trajet´orias predominantemente radiais.
c) Menor n´umero de interpenetra¸c˜oes, porque, em decorrˆencia da natureza
das ´orbitas estabelecidas para este modelo, o n´umero de gal´axias que pas-
sam pelo centro do halo r´ıgido ´e menor, diminuindo a freq
¨
uˆencia de encon-
tros pr´oximos.
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18
20
MGFDT-E
FIGURA 4.7 - Evolu¸c˜ao do coeficiente virial, da energia total normalizada e do n´umero de objetos-
FOFs do modelo MGFDT-E. Esta figura segue o padr˜ao adotado para os modelos
anteriores.
112
MGFDT-E
0
0.1
0.2
0.3
Sistemas Ligados
0 2 4 6 8 10
0
0.02
0.04
0.06
Objetos Com Pequena Massa
FIGURA 4.8 - Evolu¸c˜ao dos objetos remanescentes do modelo MGFDT-E. Esta figura segue o pa-
dr˜ao adotado para os modelos anteriores.
4.2.3.1 Resultados do Modelo MGFDT-E-RES
Apresentamos a seguir os resultados do modelo MGFDT-E-RES. Conforme exi-
bimos na Figura 4.10, a evolu¸c˜ao temporal do coeficiente virial ´e semelhante `a apre-
sentada pelo modelo MGFDT-E. Este modelo apresenta uma maior conserva¸c˜ao
da energia total e uma maior resolu¸c˜ao de detalhes estruturais em rela¸c˜ao ao modelo
original, por causa da inclus˜ao de mais part´ıculas. De um modo similar ao ocorrido
em modelos anteriores, alguns m´aximos locais do coeficiente virial coincidem com as
aproxima¸c˜oes relativas entre as gal´axias.
113
FIGURA 4.9 - Instantˆaneos do modelo MGFDT-E em proje¸c˜ao no plano−xy. Esta figura segue o
padr˜ao adotado para os modelos anteriores.
Analisamos tamb´em a evolu¸c˜ao do n´umero de objetos-FOFs. Entretanto, de acordo
com o que exibimos na Figura 4.10, alguns arquivos de instantˆaneo n˜ao foram gerados
pelo GADGET-2, por raz˜oes t´ecnicas, o que dificulta uma an´alise mais detalhada.
Mesmo assim, este problema t´ecnico n˜ao impossibilita as nossas an´alises, vez que
apenas 5% do n´umero total de arquivos n˜ao est˜ao dispon´ıveis. Por possuir maior
resolu¸c˜ao, o modelo MGFDT-E-RES exibe resultados diferentes do modelo origi-
nal. Por exemplo, no modelo MGFDT-E-RES ocorrem mais interpenetra¸c˜oes do
que no modelo MGFDT-E (original). Al´em disto, elas duram mais tempo do que
as ocorridas no modelo original.
O modelo MGFDT-E-RES ´e dinamicamente est´avel, conforme percebemos na
Figura 4.11. Todos os objetos mantiveram a maior parte de suas massas inalteradas,
perdendo uma quantidade muito pequena de part´ıculas para o meio intragrupo.
Estudando a Figura 4.11, vale salientar que a quantidade de part´ıculas que constitue
o material intagrupo ´e desprez´ıvel, corroborando a nossa afirma¸c˜ao de que o presente
114
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18
20
Pontos Incertos
MGFDT-E-RES
FIGURA 4.10 - Evolu¸c˜ao do coeficiente virial, da energia total normalizada e do n´umero de objetos-
FOFs do modelo MGFDT-E-RES. Mantemos o mesmo padr˜ao de exibi¸c˜ao dos
modelos anteriores. Os dados dos instantes 0,7, 3,5, 3,7, 3,9 e 4,1 Ganos inexistem.
Representamos estas lacunas por pequenos quadrados.
modelo ´e dotado de estabilidade dinˆamica.
A compara¸c˜ao direta entre as Figuras 4.9 e 4.12 nos permite concluir que o aumento
da resolu¸c˜ao altera os resultados da simula¸c˜ao, de modo que as trajet´orias descritas
pelas gal´axias s˜ao diferentes nos dois modelos, alterando os eventos ocorridos. Isto
ocorre porque as ´arvores hier´arquicas das part´ıculas dos dois modelos, constru´ıdas
pelo GADGET-2, armazenam diferentes quantidades de dados, alterando a ma-
neira com a qual os dados s˜ao estruturados para o c´alculo das for¸cas gravitacionais.
115
MGFDT-E-RES
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sistemas Ligados
0 2 4 6 8 10
0
0.01
0.02
0.03
Objetos com Pequena Massa
FIGURA 4.11 - Evolu¸c˜ao dos objetos remanescentes do modelo MGFDT-E-RES. Mantivemos o
padr˜ao exibido nas figuras dos mo delos estudados anteriormente. No detalhe: as ga-
l´axias de baixa massa mant´em as suas massas quase inalteradas.
Exibimos a visualiza¸c˜ao das part´ıculas do modelo em quest˜ao em trˆes proje¸c˜oes nas
Figuras 4.12, 4.13 e 4.14.
4.2.4 Resultados do Modelo MGFDT-E-RAD
Conforme exibimos na Figura 4.15, a evolu¸c˜ao do coeficiente virial deste mo delo
apresenta um comportamento diferente da respectiva evolu¸c˜ao do modelo MGFDT-
E embora a conserva¸c˜ao da energia total ocorra do mesmo modo. Comparando estes
modelos, percebemos que os valores do coeficiente virial do modelo MGFDT-E-
116
FIGURA 4.12 - Representa¸c˜ao das part´ıculas do modelo MGFDT-E-RES, de acordo com a padro-
niza¸c˜ao adotada para os modelos anteriores. A proje¸c˜ao ´e realizada no plano−xy.
RAD apresentam mais varia¸c˜oes locais, intercalados por pequenos n´ınimos locais
do que no outro modelo. A natureza das ´orbitas radiais fornece uma explica¸c˜ao para
o aumento de “picos” do coeficiente virial, analogamente ao explicado no caso do
modelo MGFDT. O n´umero de objetos-FOFs encontrados ´e inferior ao do modelo
MGFDT-E, em quase toda a simula¸c˜ao. Ocorrem mais encontros pr´oximos entre
as gal´axias no modelo MGFDT-E-RAD do que no MGFDT-E, por causa da
natureza das ´orbitas impostas `as gal´axias, lembrando que elas possuem as mesmas
posi¸c˜oes iniciais nos dois modelos.
A Figura 4.16 revela que o modelo MGFDT-E-RAD apresentou o n´umero de 19
objetos-FOFs devido a uma fus˜ao ocorrida entre duas gal´axias no instante de tempo
simulado ∼ 0.4 Ganos: aplicando o algoritmo analisador.c, encontramos um objeto-
FOF composto por dois tipos dominantes de part´ıculas primordiais. Esta coalescˆen-
cia ´e identificada na Figura
4.16 atrav´es de duas seq
¨
uˆencias initerruptas de quadrados
superpostos que jazem nas curvas de dois remanescentes, indicando que dois objetos
117
FIGURA 4.13 - Representa¸c˜ao das part´ıculas do modelo MGFDT-E-RES, de acordo com a padro-
niza¸c˜ao adotada para os modelos anteriores. A proje¸c˜ao ´e realizada no plano−xz.
remanescentes constituem um ´unico objeto-FOFs. As an´alises baseadas nas Figuras
4.16 e 4.15 nos permitem concluir que as gal´axias do modelo MGFDT-E-RAD
est˜ao sujeitas a mais interpenetra¸c˜oes do que as gal´axias do modelo MGFDT-E.
Dois remanescentes do modelo MGFDT-E-RAD se descaracterizam no final da
simula¸c˜ao, perdendo suas part´ıculas para o material intragrupo.
A maior frequˆencia de interpenetra¸c˜oes ocorridas no modelo MGFDT-E-RAD ´e
uma consequˆencia natural de se fixarem ´orbitas com trajet´orias predominantemente
radiais para as suas gal´axias, nas quais os pontos de peri´elio se localizam bem pr´o-
ximo do centro do halo, onde as for¸cas de mar´e provenientes do halo s˜ao as mais
intensas, se comparadas com as regi˜oes distantes do seu centro. Assim, dentre as
vinte gal´axias simuladas, a maioria delas possuem trajet´orias que convergem prefe-
rencialmente para o centro do halo r´ıgido, aumentando as suas chances de colis˜ao e
favorecendo a ocorrˆencia de mutila¸c˜oes por for¸cas de mar´e. Isto explica porque os
nossos modelos com ´orbitas predominantemente radiais apresentam uma tendˆencia
118
FIGURA 4.14 - Representa¸c˜ao das part´ıculas do modelo MGFDT-E-RES, de acordo com a padro-
niza¸c˜ao adotada para os modelos anteriores. A proje¸c˜ao ´e realizada no plano−yz.
maior de hospedarem o material intragrupo nas regi˜oes centrais dos respectivos ha-
los simulados durante a evolu¸c˜ao destes sistemas. Para o presente modelo, a Figura
4.17 exemplifica esta caracter´ıstica.
119
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
18
20
MGFDT-E-RAD
FIGURA 4.15 - Evolu¸c˜ao do coeficiente virial, da energia total normalizada e do n´umero de objetos-
FOFs do modelo MGFDT-E-RAD. Mantemos o padr˜ao de exibi¸c˜ao adotado para
modelos anteriores. O n´umero de objetos-FOFs diminui para 19 membros em t ∼ 0, 4
Ganos, enquanto as oscila¸c˜oes tempor˜arias no n´umero de membros refletem encontros
pr´oximos ou colis˜oes.
120
MGFDT-E-RAD
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Sistemas Ligados
0 2 4 6 8 10
0
0.01
0.02
0.03
Objetos com Pequena Massa
FIGURA 4.16 - Evolu¸c˜ao dos remanescentes do modelo MGFDT-E-RAD. A despeito de uma fus˜ao
ocorrida logo ap´os a simula¸c˜ao acontecer, o n´umero total de objetos remanescentes
do modelo MGFDT-E-RAD ´e praticamente constante at´e o fim. Dois objetos se
fundiram mutuamente, sendo percebidos no gr´afico superior e no inferior, indicados
p ela sequˆencia cont´ınua de pequenos quadrados ao longo de uma mesma linha.
121
FIGURA 4.17 - Visualiza¸c˜ao das part´ıculas do modelo MGFDT-E-RAD no plano−xy em quatro
instantes de simula¸c˜ao indicados nos quadros.
122
CAP
´
ITULO 5
An´alises e Resultados Finais das Simula¸c˜oes
5.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo, realizamos uma s´erie de an´alises dos GCs simulados, usando os dados
gerados pelo c´odigo analisador.c, cuja descri¸c˜ao se encontra no cap´ıtulo anterior.
Usando estes dados, realizamos as estimativas dos seguintes aspectos astrof´ısicos
dos GCs simulados:
a) Freq
¨
uˆencia de coalescˆencias entre os membros dos grupos.
b) Evolu¸c˜ao temporal dos valores de ∆M
12
.
c) Estimativas do ´ındice de segrega¸c˜ao de luminosidades.
d) Evolu¸c˜ao temporal da dispers˜ao de velocidades, da distˆancia interpares
m´edia e da distˆancia m´edia projetada interpares.
e) Presen¸ca ou n˜ao de gal´axias gigantes, originadas de fus˜oes entre gal´axias.
Assim, estudamos de que mo do estes aspectos se revelam no cen´ario proposto por
G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a). Ao nosso ver, eles constituem im-
portantes v´ınculos observacionais, a partir dos quais fazemos cr´ıticas a este cen´ario.
Nas subse¸c˜oes seguintes, explicaremos em detalhes os conceitos subjacentes aos itens
supracitados, exceto para o item “a”, cuja explica¸c˜ao foi descrita no cap´ıtulo anterior.
5.1.1 Estimativas de Canibaliza¸c˜ao e Interpenetra¸c˜ao entre Membros
Analisando as Figuras 4.2, 4.5, 4.8, 4.11 e 4.16 conclu´ımos que:
a) O modelo MRAND ´e o que apresenta o maior n´umero de part´ıculas dis-
persas para o meio intragrupo em rela¸c˜ao ao respectivo n´umero apresen-
tado pelos demais modelos. As gal´axias deste modelo perderam as suas
part´ıculas gradativamente e a maioria delas se descaracterizou.
b) De um modo geral, as interpenetra¸c˜oes ocorrem raramente. Nos modelos
em que elas mais ocorrem, estimamos uma taxa m´axima de uma interpe-
netra¸c˜ao a cada 10
8
anos por objeto remanescente.
123
c) A ´unica figura que exibe uma sequˆencia cont´ınua de quadrados ´e a Fi-
gura
4.16.
1
Portanto, em todas as simula¸c˜oes que realizamos, registramos
apenas um ´unico evento de coalescˆencias. Este evento ocorreu entre duas
gal´axias do modelo MGFDT-E-RAD nos instantes iniciais de simula¸c˜ao.
d) Os modelos constru´ıdos conforme os procedimentos propostos G´omez-
Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a), bem como os modelos reescalo-
nados, s˜ao os que conservam todos os seus remanescentes por mais tempo,
a despeito dos reescalamentos dos raios das gal´axias estabelecidos para
a fam´ılia de modelos MGFDT-E e da ´unica fus˜ao ocorrida entre duas
gal´axias no modelo MGFDT-E-RAD, conforme explicamos.
Portanto, em todos os modelos que simulamos, constituindo um total de 100 gal´a-
xias simuladas, ocorreu um ´unico evento de coalescˆencia. Isto sugere que sistemas
compostos de gal´axias imersas em um mesmo halo de mat´eria escura comum e em
quase-equil´ıbrio com ele possuem pequenas taxas de coalescˆencias. Elas perdem de-
generativamente as suas estrelas primordiais para o material intragrupo numa taxa
que depende das condi¸c˜oes dinˆamicas iniciais, estabelecidas logo ap´os o surgimento
do grupo.
5.1.2 Evolu¸c˜ao Temporal dos Valores de ∆M
12
.
Partindo da equa¸c˜ao 2.9, podemos deduzir uma express˜ao matem´atica cujo resultado
fornece o valor da diferen¸ca de magnitudes entre as duas gal´axias mais brilhantes de
cada grupo:
∆M
12
= M
2
− M
1
= −2, 5 log
m
2
m
1
, (5.1)
sendo M
2
a magnitude da segunda gal´axia mais luminosa e M
1
a da gal´axia mais
luminosa. m
2
e m
1
representam, respectivamente, as massas da segunda gal´axia mais
massiva e a da mais massiva
2
.
1
´
E importante mencionar que os quadrados exibidos nas figuras em quest˜ao est˜ao sempre su-
p erpostos e aos pares, ou seja, se for tra¸cada uma reta perpendicular ao eixo das abscissas (eixo
dos tempos), um dado quadrado dever´a ter o seu quadrado-imagem, p orque duas gal´axias rema-
nescentes estariam dentro de um mesmo objeto-FOF (interpenetra¸c˜ao).
2
Note-se que assumimos a mesma rela¸c˜ao massa-luminosidade para todas as gal´axias do grupo,
conforme explicamos no Cap´ıtulo 2.
124
5.1.3 Estimativas da Segrega¸c˜ao de Luminosidades
Na Se¸c˜ao
1.2.5, estabelecemos um conceito para a segrega¸c˜ao de luminosidades. Para
estudar este aspecto observacional em GCs simulados, definimos um ´ındice de segre-
ga¸c˜ao representativo, como explicaremos abaixo, baseado nas caracter´ısticas de GCs
reais, i.e., pertencentes a uma amostra previamente definida. Deste modo, escolhe-
mos a amostra de GCHs para estabelecer os nossos crit´erios de defini¸c˜ao, porque ,
conforme vimos na Se¸c˜ao 1.2.5, os estudos sobre a segrega¸c˜ao de luminosidades se
basearam nesta amostra. Usando os dados disponibilizados por Hickson et al. (1992),
estimamos que cerca de 64% dos GCHs originalmente catalogados possuem quatro
gal´axias. Estas gal´axias constituem a popula¸c˜ao de gal´axias ditas massivas. Por isto,
escolhemos as quatro gal´axias mais massivas de cada modelo para representar este
tipo de popula¸c˜ao. Assumimos que as demais gal´axias simuladas representam a po-
pula¸c˜ao de baixa luminosidade, n˜ao catalogadas por Hickson e estudadas por de
Carvalho et al. (1994) e de Carvalho et al. (1997). Assim, definimos o ´ındice de se-
grega¸c˜ao como a raz˜ao entre a distˆancia m´edia interpares das gal´axias mais d´ebeis
da amostra r
ot
e a distˆancia interpares das quatro gal´axias mais brilhantes de cada
grupo r
4
:
I
3
=
r
ot
r
4
. (5.2)
Se I
3
> 1, 00, afirmamos que as gal´axias mais d´ebeis est˜ao mais separadas do que as
mais massivas, ou seja, o grupo est´a segregado.
Adicionalmente, definimos o ´ındice de segrega¸c˜ao projetado: dada uma proje¸c˜ao de-
corrente de uma observa¸c˜ao realizada ao longo de uma linha de visada k, calculamos
as separa¸c˜oes projetadas m´edias das quatro gal´axias mais brilhantes e as das de-
mais gal´axias, usando a equa¸c˜ao I
P,k
=
r
ot
r
4
, onde os termos r
ot
e r
4
mant´em os
mesmos significados dos estabelecidos na equa¸c˜ao 5.2. Por exemplo, assumindo um
sistema de coordenadas cartesiano, um ´ındice de separa¸c˜ao projetada I
P,x
indica que
o grupo ´e observado na linha de visada ao longo do eixo-x e os eixos-y e -z definem
as coordenadas a partir das quais se calculam as distˆancias projetadas.
5.1.4 Dispers˜ao de Velocidades dos Grupos
Definimos a dispers˜ao de velocidades radiais σ
k
, medida ao longo da k−´esima linha
de visada, atrav´es da express˜ao:
σ
k
= 0, 7415(Q
75
− Q
25
), (5.3)
125
onde Q
25
representa o primeiro quartil do conjunto dos dados, representando a me-
diana da sua metade inferior e Q
75
representa o terceiro quartil, que identifica a
mediana da sua metade superior. Enfatizamos que os dados usados na equa¸c˜ao 5.3
representam as velocidades dos cent´oides das gal´axias (objetos-FOFs).
5.1.5 Separa¸c˜ao M´edia Interpares e Separa¸c˜ao Projetada
Para cada GC simulado, calculamos a evolu¸c˜ao de sua dimens˜ao f´ısica (tamanho)
ao longo da simula¸c˜ao. Para isto, definimos a separa¸c˜ao m´edia interpares de suas
gal´axias, medida em kpc, calculada atrav´es da m´edia aritm´etica de todas distˆancias
calculadas entre as gal´axias, usando trˆes coordenadas do vetor posi¸c˜ao. A distˆancia
interpares m´edia ´e calculada pela express˜ao:
Sep =
2(N − 2)!
N!
i>j
i,j
r
ij
k
, (5.4)
Onde r
ij
representa a distˆancia entre a i−´esima e a j−´esima gal´axias, calculada em
trˆes dimens˜oes, e os fatoriais calculam o n´umero de opera¸c˜oes efetuadas.
A distˆancia projetada m´edia interpares ´e calculada usando duas coordenadas do
vetor posi¸c˜ao, determinadas pela proje¸c˜ao escolhida. Deste modo, usamos a seguinte
f´ormula:
δ
k
=
2(N − 2)!
N!
i>j
i,j
r
⊥,ij
k
. (5.5)
A equa¸c˜ao
5.5 ´e an´aloga `a 5.4, por´em ⊥ denota que a distˆancia entre as part´ıculas
deve ser calculada usando as duas coordenadas que definem o plano de proje¸c˜ao e o
sub´ındice k informa a linha de visada ao longo da qual a proje¸c˜ao ´e realizada. Por
exemplo, se k indica que “observamos” um dado sistema numa linha de visada ao
longo do eixo−z, ent˜ao os eixos projetados s˜ao os eixos−x e −y.
5.2 Evolu¸c˜ao dos Observ´aveis nos Modelos
Exibimos nas Figuras 5.1, 5.3, 5.4, 5.5 e 5.6 as formas gr´aficas da evolu¸c˜ao dos
observ´aveis definidos desde o in´ıcio deste Cap´ıtulo. As figuras s˜ao padronizadas.
Seguindo a ordem de cima para baixo, temos os seguintes gr´aficos:
a) Separa¸c˜ao interpares m´edia, medida em kpc, designada por Sep.
126
b) Separa¸c˜ao projetada interpares m´edia, em kpc, designada por δ
k
e calculada
nas trˆes proje¸c˜oes, identificadas pelo ´ındice k.
c)
´
Indice de segrega¸c˜ao I
3
e ´ındice de segrega¸c˜ao projetado I
P,k
.
d) ∆M
12
, explicado na Se¸c˜ao 5.1.2.
e) Dispers˜ao de velocidades, medida em km.s
−1
e calculada nas proje¸c˜oes
definidas pelas trˆes linhas de visada, indicadas pelos ´ındices x , y e z.
5.2.1 Evolu¸c˜ao do Modelo MRAND
Observando a Figura 5.1 e as demais relacionadas ao modelo MRAND (exibidas
no cap´ıtulo anterior), pode-se afirmar que as part´ıculas deste modelo iniciam um
processo de escape cont´ınuo e irrevers´ıvel para o meio intragrupo. No intervalo 1, 6 <
t < 2, 1 Ganos, a maioria das gal´axias deste modelo, incluindo as massivas, passa
pela regi˜ao central do halo r´ıgido. Na Figura 5.2, visualizamos as gal´axias num
instante caracter´ıstico deste evento. A passagem simultˆanea de gal´axias pelo centro
do grupo favorece a ocorrˆencia de “mutila¸c˜oes”, devidas `as intensas for¸cas de mar´e do
halo e aos encontros pr´oximos que desestabilizam a estrutura interna das gal´axias,
iniciando um processo irrevers´ıvel de escape das part´ıculas das gal´axias para o meio
intragrupo. Deste maneira, as duas gal´axias mais massivas deste modelo perdem as
suas part´ıculas, de tal modo que a diferen¸ca entre as suas massas torna-se menor e,
conseq
¨
uentemente, ∆M
12
adquire o valor m´ınimo de 0, 4 mags. Em t = 2, 0 Ganos,
Sep ∼ 250 km.s
−1
, i.e., a distˆancia interpares m´edia adquire o menor valor em toda a
simula¸c˜ao. Esta constata¸c˜ao confirma a ocorrˆencia da aproxima¸c˜ao conjunta entre os
membros mais massivos do grupo naquele instante, aumentando significativamente
o ´ındice de segrega¸c˜ao. Ap´os este evento, o valor de ∆M
12
cresce novamente, porque
a segunda gal´axia mais massiva perde part´ıculas numa taxa superior `a da gal´axia
mais massiva.
Observando a Figura 5.1, notamos que a evolu¸c˜ao da separa¸c˜ao projetada m´edia
interpares se comporta de um modo similar `a da separa¸c˜ao m´utua tridimensional
dos membros do grupo. O mesmo ocorre com o ´ındice de segrega¸c˜ao projetado em
rela¸c˜ao ao seu an´alogo obtido em trˆes dimens˜oes. Esta constata¸c˜ao sugere que as
estimativas das separa¸c˜oes projetadas (obtidas em observa¸c˜oes diretas de grupos de
gal´axias) representem devidamente, no geral, as separa¸c˜oes reais destes sistemas.
Ap´os o instante de 2,0 Ganos, as gal´axias mais d´ebeis s˜ao destru´ıdas e as gal´axias
127
400
600
800
1000
1200
400
800
1200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.5
1
0 2 4 6 8 10
0
100
200
300
400
MRAND
FIGURA 5.1 - Evolu¸c˜ao das caracter´ısticas do modelo MRAND. De cima para baixo, respectiva-
mente: Separa¸c˜ao interpares m´edia, medida em kpc, designada por Sep. Separa¸c˜ao
projetada interpares m´edia, em kpc, designada por δ
i
e calculada nas trˆes proje¸c˜oes,
identificadas pelo ´ındice i.
´
Indice de segrega¸c˜ao I
3
e ´ındice de segrega¸c˜ao projetado
I
P,k
. ∆M
12
. Dispers˜ao de velocidades, medida em km.s
−1
e calculada nas proje¸c˜oes
definidas pelas trˆes linhas de visada, indicadas pelos ´ındices x, y e z.
mais massivas se distanciam do centro do halo, de modo que os valores dos ´ındices de
segrega¸c˜ao aumentam, ou seja, o grupo gradativamente “antisegrega-se”. As part´ıcu-
las das gal´axias destru´ıdas e as que escaparam dos objetos de massa intermedi´aria
preenchem a maior parte do material intragrupo, conforme veremos na Se¸c˜ao 5.3.
5.2.2 O Modelo MGFDT
A an´alise deste modelo ´e imediata, porque ele ´e dinamicamente bem-comportado,
se comparado com o modelo MRAND. Analisando as Figuras 4.5 e 5.3, podemos
afirmar que a evolu¸c˜ao do modelo MGFDT ´e caracterizada pelas seguintes peculi-
aridades:
• Varia¸c˜ao desprez´ıvel do n´umero de part´ıculas por gal´axia. Todos os objetos
128
FIGURA 5.2 - Visualiza¸c˜ao das gal´axias do modelo MRAND no instante de 2,0 Ganos.
primordiais persistem quase intactamente at´e o fim da simula¸c˜ao.
• Ocorrem dois eventos caracterizados pelos menores valores da distˆancia
m´edia interpares, correspondendo a aproxima¸c˜oes m´utuas entre as gal´axias,
nos instantes de 2,0 e 8,0 Ganos. Entretanto, Sep(2,0 Ganos) < Sep(8,0
Ganos).
• M´aximos locais dos valores da segrega¸c˜ao de luminosidades, correspon-
dendo aos instantes de t ∼ 2, 0, t ∼ 5, 3 e t ∼ 9, 3 Ganos. Entre estes
instantes, o grupo se encontra antisegregado.
• Quantidade desprez´ıvel de part´ıculas componentes do material intragrupo.
• Valor de ∆M
12
constante, exceto em alguns instantes de simula¸c˜ao, con-
forme exibimos na Figura
5.3. As varia¸c˜oes mais significativas dos valores
de ∆M
12
ocorrem nos instantes de 1,6 e 5,8 Ganos. No primeiro caso, a
segunda gal´axia mais massiva se interpenetra com uma de massa inter-
medi´aria. Portanto, o valor de ∆M
12
diminui. No segundo caso, a gal´axia
mais massiva se interpenetra com uma outra, adquirindo massa maior e
aumentando o valor de ∆M
12
.
• Dispers˜ao de velocidades t´ıpica `a dos GCHs, conforme medida por Hickson
129
et al. (1992).
´
E importante mencionar que todos os modelos exibiram este
comportamento.
• Ausˆencia de coalescˆencias, analogamente ao modelo MRAND, consti-
tuindo num contra-exemplo ao paradigma de que grupos compactos n˜ao
durariam mais do que um tempo de Hubble.
200
400
600
200
400
600
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.4
0.8
0 2 4 6 8 10
0
100
200
300
MGFDT
FIGURA 5.3 - Evolu¸c˜ao das caracter´ısticas do modelo MGFDT. De cima para baixo, respectiva-
mente: Separa¸c˜ao interpares m´edia, medida em kpc, designada por Sep. Separa¸c˜ao
projetada interpares m´edia, em kpc, designada por δ
i
e calculada nas trˆes proje¸c˜oes,
identificadas pelo ´ındice i.
´
Indice de segrega¸c˜ao I
3
e ´ındice de segrega¸c˜ao projetado
I
P,k
. ∆M
12
. Dispers˜ao de velocidades, medida em km.s
−1
e calculada nas proje¸c˜oes
definidas pelas trˆes linhas de visada, indicadas pelos ´ındices x, y e z.
5.2.3 Resultados dos Modelos MGFDT-E, MGFDT-E-RES e MGFDT-
E-RAD
A evolu¸c˜ao do modelo MGFDT-E ´e caracterizada do seguinte modo:
130
• Ocorre apenas um evento de aproxima¸c˜ao global entre as suas gal´axias no
instante de 2 Ganos, quando o valor da distˆancia m´edia interpares atinge
o seu valor m´ınimo. Em seguida, o grupo mant´em uma separa¸c˜ao m´edia
quase constante ∼ 600 kpc.
• Diferentes valores da separa¸c˜ao projetada m´edia nas trˆes linhas de visada,
com δ
y
representando melhor o valor de Sep em 2,0 Ganos, correspondendo
`a aproxima¸c˜ao explicada no item anterior.
• No intervalo 0, 7 < t < 1, 9 Ganos, I
3
> 1, 00, ou seja, o grupo se encontra
segregado. No instante de 1,5 Ganos, o ´ındice de segrega¸c˜ao apresenta o
valor m´aximo, ou seja, I
3
= 1, 40, de modo que o grupo encontra-se mais
segregado do que nos demais instantes. Entretanto, este evento deve-se
a uma configura¸c˜ao geom´etrica transiente do grupo. Al´em disto, o grupo
n˜ao se encontraria segregado, se observado ao longo da linha de visada
z, porque I
P,z
< 1, 00. Em quase to dos os instantes, o grupo se encontra
antisegregado, i.e., o sistema apresenta I
3
< 1, 00.
• No instante de t = 7, 6 Ganos, ∆M
12
adquire o valor m´aximo de 0,4,
porque a segunda gal´axia mais massiva se interpenetra com uma de massa
intermedi´aria. As duas gal´axias passam a constituir um objeto-FOF com
a maior massa do sistema. Depois, os objetos se afastam, de modo que
os objetos-FOFs adquirem as massas originais e ∆M
12
assume o valor de
0,09, que o caracterizava antes da interpenetra¸c˜ao.
• A disp ers˜ao de velocidades possui valores compat´ıveis com os obtidos em
observa¸c˜oes.
Analisando a Figura 5.5, podemos estudar de que modo o aumento da resolu¸c˜ao
estabelecido para o modelo MGFDT-E modifica a sua evolu¸c˜ao. Portanto, o mo-
delo MGFDT-E-RES apresentou os seguintes aspectos n˜ao observados no modelo
original:
• Um ponto de m´ınimo local do valor da separa¸c˜ao interpares m´edia, corres-
pondendo a uma pequena reaproxima¸c˜ao entre as gal´axias no instante de
7,8 Ganos.
• Varia¸c˜ao negativa do valor do ´ındice de segrega¸c˜ao no instante 7,5 Ganos.
131
400
600
400
600
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0
0.4
0 2 4 6 8 10
0
100
200
300
MGFDT-E
FIGURA 5.4 - Evolu¸c˜ao dos aspectos observacionais do modelo MGFDT. De cima para baixo, res-
p ectivamente: Separa¸c˜ao interpares m´edia, medida em kpc, designada por Sep. Se-
para¸c˜ao projetada interpares m´edia, em kpc, designada por δ
i
e calculada nas trˆes
proje¸c˜oes, identificadas pelo ´ındice i.
´
Indice de segrega¸c˜ao I
3
e ´ındice de segrega¸c˜ao
projetado I
P,k
. ∆M
12
. Dispers˜ao de velocidades, medida em km.s
−1
e calculada nas
proje¸c˜oes definidas pelas trˆes linhas de visada, indicadas pelos ´ındices x, y e z.
• Um maior n´umero de varia¸c˜oes dos valores de ∆M
12
, devido ao maior
n´umero de interpenetra¸c˜oes ocorridas.
Deste modo, percebemos que o aumento da resolu¸c˜ao altera o modelo inicial em
alguns asp ectos observacionais particulares, conforme itemizamos logo acima. En-
tretanto, os aspectos mais gerais n˜ao sofrem altera¸c˜oes. Por exemplo, em ambos
os modelos as gal´axias n˜ao coalescem e os aspectos observacionais discutidos neste
cap´ıtulo n˜ao sofrem altera¸c˜oes substanciais.
A evolu¸c˜ao do modelo MGFDT-E-RAD ´e caracterizada pelas seguintes peculiari-
dades, conforme a Figura 5.6:
132
400
600
400
600
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0.2
0.4
0 2 4 6 8 10
0
100
200
300
MGFDT-E-RES
FIGURA 5.5 - Evolu¸c˜ao dos aspectos observacionais do modelo MGFDT-E-RES. De cima para
baixo, respectivamente: Separa¸c˜ao interpares m´edia, medida em kpc, designada por
Sep. Separa¸c˜ao projetada interpares m´edia, em kpc, designada por δ
i
e calculada nas
trˆes proje¸c˜oes, identificadas pelo ´ındice i.
´
Indice de segrega¸c˜ao I
3
e ´ındice de segrega¸c˜ao
projetado I
P,k
. ∆M
12
. Dispers˜ao de velocidades, medida em km.s
−1
e calculada nas
proje¸c˜oes definidas pelas trˆes linhas de visada, indicadas pelos ´ındices x, y e z.
• M´axima aproxima¸c˜ao entre os membros do grupo, no instante t = 2, 3
Ganos, correspondendo a Sep = 200 kpc. Em seguida, os membros se
afastam mutuamente, at´e que a distˆancia m´edia entre os eles atinge o
valor ∼ 400 kpc. A partir de t ∼ 6, 0 Ganos, a distˆancia m´edia diminui
gradativamente, at´e atingir o valor de 300 kpc.
• O grupo se apresenta antisegregado na maior parte do tempo simulado,
exceto nos instantes 3,0, 7,2, 7,4 e 8,5 Ganos.
• Um maior n´umero de flutua¸c˜oes dos valores de ∆M
12
, devido ao maior
n´umero de interpenetra¸c˜oes ocorridas em rela¸c˜ao aos demais modelos es-
calonados.
133
200
400
600
200
400
600
0.4
0.8
1.2
1.6
0.2
0.4
0 2 4 6 8 10
0
100
200
300
MGFDT-E-RAD
FIGURA 5.6 - Evolu¸c˜ao de parˆametros globais para o modelo MGFDT-E-RAD. De cima para
baixo, respectivamente: Separa¸c˜ao interpares m´edia, medida em kpc, designada por
Sep. Separa¸c˜ao projetada interpares m´edia, em kpc, designada por δ
i
e calculada nas
trˆes proje¸c˜oes, identificadas pelo ´ındice i.
´
Indice de segrega¸c˜ao I
3
e ´ındice de segrega¸c˜ao
projetado I
P,k
. ∆M
12
. Dispers˜ao de velocidades, medida em km.s
−1
e calculada nas
proje¸c˜oes definidas pelas trˆes linhas de visada, indicadas pelos ´ındices x, y e z.
Baseados nas an´alises apresentadas nesta se¸c˜ao e nos resultados exibidos no cap´ıtulo
anterior, podemos resumir de modo os aspectos evolutivos do modelo MGFDT-E-
RAD diferem dos aspectos evolutivos do modelo MGFDT-E:
• O modelo MGFDT-E-RAD apresenta uma quantidade de part´ıculas dis-
persas para o meio intragrupo cerca de duas vezes maior.
• As interpenetra¸c˜oes ocorrem com uma freq
¨
uˆencia cerca de dez vezes maior.
• Ocorre um evento de coalescˆencia entre duas gal´axias no in´ıcio da simula-
¸c˜ao.
• Os valores de ∆M
12
e dos ´ındices de segrega¸c˜ao variam mais vezes.
134
Face `as diferen¸cas discutidas acima, conclu´ımos que as gal´axias do modelo
MGFDT-E constituem um sistema dinˆamico mais est´avel do que o sistema com-
posto pelas gal´axias do modelo MGFDT-E-RAD. Em outras palavras, a imposi¸c˜ao
de ´orbitas radiais torna o modelo MGFDT-E dinamicamente mais complexo.
5.3 An´alises Adicionais
Analisando a Figura 4.3, que exibe as gal´axias do modelo MRAND, nota-se que, nos
instantes t = 6, 5 e t = 9, 7 Ganos, a regi˜ao central do halo r´ıgido ´e preenchida com
uma grande quantidade de part´ıculas livres, i.e., desvinculadas dos objetos-FOFs
(na figura, coloridas em vermelho), constituindo o material intragrupo. Observando
os dados exibidos na Figura 4.2, conclu´ımos que, no instante de tempo t = 7, 5
Ganos, o material intragrupo ´e composto por uma quantidade de part´ıculas cuja
massa total corresponde a 48% da massa total de todas as part´ıculas simuladas.
Em particular, observamos na Figura 4.3, tamb´em referente ao modelo MRAND,
uma distribui¸c˜ao centralizada de part´ıculas de material intragrupo, compondo um
objeto com a forma aproximadamente circular (colorido em vermelho), cujo centro de
massa possui coordenadas (0, 0), quando definidas no plano−xy. Neste caso, an´alises
baseadas na visualiza¸c˜ao das part´ıculas deste objeto (cf. exibimos na Figura 4.3) n˜ao
nos permite afirmar se ele representa uma gal´axia el´ıptica gigante, conhecida como
gal´axia cD, ou n˜ao. Para responder a quest˜oes an´alogas a esta, realizamos uma
estimativa do perfil radial do brilho superficial do material intragrupo dos modelos
que simulamos, nas trˆes linhas de visada x, y e z. Em seguida comparamos com
valores obtidos em observa¸c˜oes de GCs.
5.3.1 Estimativas do Perfil Radial do Brilho Superficial
Estimamos o perfil radial do brilho superficial das “imagens projetadas” dos obje-
tos de interesse. Para simplificar o problema, estudamos cada objeto adotando um
sistema de coordenadas cartesiano com origem no seu centro. Neste sistema de co-
ordenadas, cada eixo indica uma dire¸c˜ao do espa¸co associada `a linha de visada na
qual se observaria o objeto. Por exemplo, observando o objeto ao longo do eixo−z,
obtˆem-se a sua imagem projetada no plano−xy, conforme exibimos na Figura
5.7.
Nesta proje¸c˜ao, estimamos o perfil radial do brilho superficial do objeto do seguinte
modo (Vide Figura 5.7): definimos uma regi˜ao retangular do plano com largura e
comprimento fixos. Estabelecemos um valor t´ıpico para a largura de 10 kpc. O com-
primento ´e definido p or um segmento de reta colateral ao eixo−x, com origem no
135
centro do objeto e com extremidade a uma distˆancia de 1000 kpc da sua origem.
Portanto, a raz˜ao entre os lados de menor tamanho e de maior tamanho desta regi˜ao
´e de 1:100. Em seguida, ela ´e dividida em pequenos quadrados idˆenticos, com ´areas
iguais a 100 kpc
2
. Na Figura 5.7, os quadrados est˜ao exibidos com dimens˜oes maio-
res do que as definidas nos c´alculos, para que sejam visualizados com mais nitidez.
Neste exemplo, os segmentos que definem a largura dos quadrados s˜ao paralelos ao
eixo−y. Depois de definidas, as regi˜oes s˜ao analisadas, uma a uma e consecutiva-
mente, come¸cando no quadrado central e finalizando no quadrado situado a uma
distˆancia de 800 kpc da origem.
FIGURA 5.7 - Visualiza¸c˜ao das gal´axias do modelo MRAND no instante de 9,9 Ganos. Esta Figura
corresponde quadro inferior direito da Figura 4.3 visto em perspectiva. Os pequenos
quadrados que definem os elementos de ´area s˜ao colaterais ao eixo−x e est˜ao ampliados
para melhor visualiza¸c˜ao. A “varredura”´e realizada ao longo do eixo−x.
136
Durante cada an´alise, contam-se o n´umero de part´ıculas em cada quadrado, conforme
discutiremos abaixo. A este procedimento denominamos varredura, que ´e realizada ao
longo do eixo colateral ao segmento que define o comprimento da regi˜ao retangular.
Neste exemplo, a varredura ´e feita ao longo da dire¸c˜ao paralela ao eixo−x, conforme
exibimos na figura. Rotulamos o brilho superficial calculado nesta proje¸c˜ao como
µ
z
Xy
. O primeiro ´ındice indica a linha de visada que define o tipo de proje¸c˜ao,
o segundo, em letra mai´uscula, denota o eixo do sistema cartesiano ao longo da
qual se realiza a “varredura”. O terceiro, o eixo que define a largura das regi˜oes
retangulares. Usando a mesma proje¸c˜ao, pode-se definir um retˆangulo com largura
paralela ao eixo-x e realizando a varredura ao longo do eixo−y, estimamos o perfil
radial do brilho superficial rotulado como µ
z
Y x
. Em outras proje¸c˜oes, as nota¸c˜oes
seguem o mesmo crit´erio de procedimentos.
Em cada varredura, definimos cem quadrados. Em cada um deles, realizamos a con-
tagem do n´umero de part´ıculas situadas dentro de suas fronteiras. Definindo quadra-
dos menores, regi˜oes “vazias” s˜ao encontradas, dificultando as estimativas do brilho
superficial. A partir destas contagens, calculamos o brilho superficial em unidades de
mag.arcsec
−2
na banda-B, como descreveremos a seguir. Calculamos a luminosidade
total das part´ıculas contadas
3
e dividimo-la pela ´area de cada quadrado, obtendo
a luminosidade superficial de cada elemento de ´area I
B
, medida em L
.pc
−2
. Es-
tas estimativas s˜ao convertidas em brilho superficial µ
B
medido em mag.arcsec
−2
(com pr´evia convers˜ao de kpc
2
para pc
2
) conforme a equa¸c˜ao (BINNEY; MERRIFI-
ELD, 1998):
µ
B
= 27, 05 −2, 5log(I
B
) (5.6)
Este c´alculo pode ser aplicado porque o conhecimento da luminosidade total do
modelo permite calcular a luminosidade de uma s´o part´ıcula. Convertemos todas as
magnitudes para a banda V , a fim de compararmos com alguns valores obtidos das
observa¸c˜oes.
5.3.1.1 Compara¸c˜ao com as Observa¸c˜oes: MRAND
Conforme explicamos, nos instantes finais da simula¸c˜ao, aproximadamente metade
das part´ıculas do modelo MRAND se distribuem em volta da regi˜ao central do halo
r´ıgido, constituindo o objeto gigante central com raio aproximado de 800 kpc, exibido
3
Conhecemos o valor das massas das part´ıculas. As suas luminosidades s˜ao calculadas com o
aux´ılio da equa¸c˜ao 2.9.
137
em cor vermelha na Figura 4.3. Na Figura 5.8, apresentamos os valores estimados
do brilho superficial deste objeto, calculado na banda V , em fun¸c˜ao da coordenada
radial R, incluindo somente a contribui¸c˜ao do material intragrupo (MIG).
35
30
25
Xy
Yx
35
30
25
Xz
Zx
10 100 1000
35
30
25
Yz
Zy
R(kpc)
MIG
FIGURA 5.8 - Estimativas do perfil radial do brilho superficial na banda V , ao longo das linhas de
visadas x, y e z, incluindo somente o material intragrupo do modelo MRAND. Os
brilhos superficiais s˜ao dados em mag.arcsec
−2
e a coordenada radial ´e exibida em
escala logar´ıtmica.
Na Figura 5.9, exibimos o perfil radial do brilho superficial do grupo, incluindo todas
138
as part´ıculas ligadas a objetos-FOFs.
35
30
25
Xy
Yx
35
30
25
Xz
Zx
10 100 1000
35
30
25
Yz
Zy
R(kpc)
G + MIG
FIGURA 5.9 - Estimativas do perfil radial do brilho superficial m´edio na banda V ao longo das linhas
de visadas x, y e z, incluindo os objetos-FOFs, na figura designada por G. Os brilhos
superficiais s˜ao dados em mag.arcsec
−2
.
Em contrapartida, nas Figuras 5.10 e 5.11 (publicadas por Schombert (1986)) exi-
bimos respectivamente o perfil radial de uma gal´axia el´ıptica gigante, no centro do
aglomerado de Abell 1413 e v´arios perfis para gal´axias de diversas luminosidades.
139
FIGURA 5.10 - Perfil radial do brilho sup erficial na banda V para a gal´axia cD 1413 do aglome-
rado de Abell. Os brilhos superficiais s˜ao dados em mag.arcsec
−2
. Figura extra´ıda de
(SCHOMBERT, 1986).
Comparando as Figuras 5.10 e 5.11 com as Figuras 5.8 e 5.9, conclu´ımos que:
• O perfil radial do brilho superficial estimado para o objeto gigante do
modelo MRAND n˜ao ´e compat´ıvel com os respectivos perfis de gal´axias
gigantes.
• No intervalo correspondente a 10kpc < R < 100 kpc, o brilho superficial
m´edio possui valores inferiores aos valores t´ıpicos de uma gal´axia cD ou de
uma gal´axia muito luminosa com magnitude absoluta M
V
= −22, 5.
• Para os valores de R tais que R ∼ 100 kpc, o brilho superficial do objeto
em estudo ´e ∼ 30, 0 mag.arcsec
−2
, para quaisquer proje¸c˜oes escolhidas.
Para R > 200 kpc, o briho superficial possui valores t˜ao pequenos quanto
33, 0 mag.arcsec
−2
. Analisando as Figuras 5.8 e 5.9, percebemos que os va-
lores do brilho superficial apresentam varia¸c˜oes significativas no intervalo
100 < R < 1000 kpc. Estas flutua¸c˜oes s˜ao caracterizadas por sucessivas
ocorrˆencias de m´aximos e m´ınimos locais intercalados entre si. Elas de-
correm da natureza do modelo simulado. Por ser composto de part´ıculas,
em pequenas escalas de tamanho ∼ 1 kpc, encontram-se regi˜oes do espa¸co
destitu´ıdas de part´ıculas. Logo, a distribui¸c˜ao de mat´eria do objeto em es-
tudo n˜ao ´e uniforme, o que explica a irregularidade nos procedimentos de
contagem das regi˜oes de baixa densidade. Isto dificulta inferir o valor do
brilho superficial nas regi˜oes menos densas com maior exatid˜ao. Por isto,
140
estabelecemos que, nestas regi˜oes, o brilho superficial m´edio µ pertence ao
intervalo µ > 30, 0 mag.arcsec
−2
.
Estas an´alises sugerem fortemente que o objeto central do mo delo MRAND n˜ao
´e uma gal´axia el´ıptica gigante originada por acr´escimo de material intragrupo. O
objeto em estudo possui uma quantidade de material intragrupo cujo brilho super-
ficial calculado possui valores compat´ıveis com os obtidos em observa¸c˜oes de GCs
(da Rocha; Mendes de Oliveira, 2005). Portanto, consideramo-lo como um objeto com
brilho difuso.
FIGURA 5.11 - Perfis radiais do brilho superficial na banda V para gal´axias de diversas luminosidades.
Os brilhos superficiais s˜ao dados em mag.arcsec
−2
. Figura extra´ıda de (SCHOMBERT,
1986).
5.3.1.2 Compara¸c˜ao com as Observa¸c˜oes: Demais Modelos
Usando t´ecnicas similares `as citadas anteriormente, observamos que os demais mo-
delos apresentaram valores de brilho superficial maiores do que aqueles apresentados
pelo modelo MRAND. As part´ıculas do meio intragrupo dos demais modelos cons-
tituem sistemas de pequena massa. As regi˜oes mais densas do meio intergal´atico
simulado nestes modelos apresentam as seguintes estimativas de µ
V
:
a) 33,7 mag.arcsec
−2
(MGFDT).
b) 32,229 mag.arcsec
−2
(MGFDT-E).
c) 35,430 mag.arcsec
−2
(MGFDT-E-RES).
141
d) 28,26 mag.arcsec
−2
(MGFFDT-E-RAD).
Portanto, isto sugere que o ´unico modelo que exibiria uma emiss˜ao difusa detect´avel
(sobre o limite de detec¸c˜ao na banda−B, Vide Se¸c˜ao 5.3.2), conforme explicamos
no item anterior, seria o MGFDT-E-RAD. Entretanto, esta emiss˜ao estaria con-
centrada numa regi˜ao do espa¸co delimitada por uma esfera com 100 kpc de raio e
centrada nas coordenadas espaciais (x, y , z) dadas por (20,20,120).
5.3.2 An´alises do Percentual do Material Intragrupo
Em se¸c˜oes anteriores, vimos que os encontros pr´oximos entre as gal´axias, bem como
as suas passagens pelo peri´elio de suas ´orbitas (onde as for¸cas de mar´e s˜ao mais
intensas), favorecem a dispers˜ao de part´ıculas para o meio intragrupo. A fim de
estudar este aspecto dos modelos simulados, nesta se¸c˜ao, apresentamos a fra¸c˜ao
de part´ıculas dispersas para o meio intragrupo de todos os modelos. Em seguida,
fazemos uma compara¸c˜ao com os resultados obtidos por da Rocha e Mendes de
Oliveira (2005) na banda−B.
Apresentamos, logo abaixo, a fra¸c˜ao percentual de part´ıculas dispersas para o meio
intragrupo em rela¸c˜ao ao n´umero total de part´ıculas de cada um dos modelos simula-
dos, no instante de 10 Ganos decorridos de simula¸c˜ao. A contrapartida observacional
desta an´alise ´e a fra¸c˜ao percentual de luz difusa em rela¸c˜ao `a luminosidade total na
banda−B.
• MRAND: 47,81 %.
• MGFDT: 4,79 %.
• MGFDT-E: 2,38 %.
• MGFDT-E-RES: 2,16 %.
• MGFDT-E-RAD: 8,99 %.
Segundo
da Rocha e Mendes de Oliveira (2005), a fra¸c˜ao de luz difusa proveniente do
meio intragrupo do GC H79 ´e de 46%. De acordo com os autores, o grupo H88 n˜ao
apresenta luminosidade difusa (no trabalho apresentado pelos autores, o limite de
detec¸c˜ao ´e de µ
B
= 29.1 mag.arcsec
−1
na banda−B). Assim, eles argumentam que o
142
grupo H88 ´e um sistema filamentar que se encontra num est´agio inicial de evolu¸c˜ao,
ou seja , ´e um sistema que se constituiu recentemente. O grupo H95 apresenta uma
fra¸c˜ao de luz difusa de 10%. Os autores sup˜oem que, no caso do grupo H79, uma
parte do seu material difuso pode se originar da destrui¸c˜ao de gal´axias an˜as, devido
`as for¸cas de mar´e do grupo.
Observando os resultados das simula¸c˜oes apresentados nesta se¸c˜ao, conclu´ımos que
os modelos MRAND e MGFDT-E-RAD apresentam fra¸c˜oes de material intra-
grupo semelhantes `as dos GCs reais H79 e H95, respectivamente. No caso do modelo
MRAND, as gal´axias de baixa massa foram destru´ıdas e passaram a compor o
material intragrupo. Isto corrobora a hip´otese levantada por da Rocha e Mendes
de Oliveira (2005), cf. explicamos no par´agrafo anterior. Os modelos mais est´aveis,
tais como o MGFDT, MGFDT-E e MGFDT-E-RES, possuem as suas gal´axias
an˜as intactas durante longos per´ıodos de tempo simulado (∼ 10 Ganos). Por causa
desta estabilidade, eles apresentam pequenas fra¸c˜oes de luz difusa, se comparadas
com as respectivas fra¸c˜oes dos modelos MRAND e MGFDT-E-RAD. Os grupos
simulados est´aveis tˆem a sua contrapartida observacional ou em GCs desprovidos de
luz difusa, ou em grupos nos quais a quantidade de luz difusa est´a abaixo do limiar
de detec¸c˜ao, tal como o grupo H88.
143
CAP
´
ITULO 6
Discuss˜oes Finais
Face aos resultados e an´alises discutidos respectivamente nos Cap´ıtulos 4 e 5, che-
gamos `as seguintes conclus˜oes a respeito do cen´ario evolutivo de GCs proposto por
G´omez-Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a):
• Coalescˆencias entre as gal´axias ocorrem raramente. Totalizando 100 gal´a-
xias simuladas em cinco grupos, apenas uma coalescˆencia ocorreu.
• Quando as gal´axias dos GCs simulados n˜ao se encontram inicialmente em
equil´ıbrio com o halo r´ıgido, as gal´axias de pequena massa duram cerca
de 2,0 Ganos, porque elas perdem as suas part´ıculas gradativa e irreversi-
velmente para o meio intragrupo, devido ao intenso campo gravitacional
do halo comum. As gal´axias mais massivas duram mais tempo do que as
menos massivas, embora tamb´em percam as suas part´ıculas para o meio
intragrupo.
• Os resultados sugerem que a freq
¨
uˆencia de encontros pr´oximos entre as ga-
l´axias depende das caracter´ısticas das suas ´orbitas estabelecidas nas con-
di¸c˜oes iniciais do grupo.
• A maior parte das part´ıculas que escapam das gal´axias passa a ocupar a
regi˜ao central do halo r´ıgido e constitui o material intragrupo. Por cons-
tru¸c˜ao, os nossos modelos s˜ao compostos de part´ıculas “luminosas”. Por-
tanto, sugerimos que o material intragrupo composto por part´ıculas fugi-
dias emita luz difusamente (vide cap´ıtulo anterior). Entretanto, n˜ao con-
sideramos efeitos de dissipa¸c˜ao de energia, tais como surtos de forma¸c˜ao
estelar, comuns em nuvens de g´as perturbadas por for¸cas gravitacionais
externas, e, portanto, n˜ao po demos estimar qual a sua contribui¸c˜ao para a
luz difusa observada nos GCs.
• Os grupos podem manter as suas caracter´ısticas originais por um per´ıodo
de 10 bilh˜oes de anos. O cen´ario de um halo de mat´eria escura comum
sugere uma existˆencia mais duradoura para os grupos compactos.
• Um dos nossos objetivos era o de estudar a evolu¸c˜ao do valor de ∆M
12
de
cada grupo simulado. Verificamos que a natureza dinˆamica dos modelos
145
pode influenciar transientemente no valor de ∆M
12
. No caso do modelo
MRAND, a varia¸c˜ao percentual entre os valores inicial e final de ∆M
12
´e muito pequena, ∼ 1%. Constatamos que os demais modelos tamb´em
apresentam varia¸c˜oes transientes de ∆M
12
. Logo, os modelos demonstram
que, no cen´ario em quest˜ao, ∆M
12
mant´em um valor aproximadamente
constante durante a hist´oria do grupo, a despeito dos efeitos transientes.
Segue que, `a luz deste cen´ario, n˜ao podemos explicar porque ∆M
12
≤ 1, 5
na maioria dos grupos catalogados.
• Se futuros estudos confirmarem que a segrega¸c˜ao de luminosidades carac-
teriza a maioria dos grupos compactos, ent˜ao o cen´ario em discuss˜ao ser´a
incapaz de explicar este fenˆomeno, porque, nas nossas simula¸c˜oes, verifica-
mos que a segrega¸c˜ao ocorre transientemente. Assim, modelos de gal´axias
coalescentes e realimentadas por gal´axias circunvizinhas ao grupo, como
proposto por Diaferio et al. (1994), podem esclarecer esta quest˜ao.
A natureza dos grupos compactos ainda ´e mat´eria de discuss˜ao. Enquanto objetos
fisicamente ligados, eles podem resultar de um processo coletivo de fus˜oes de halos
primordiais de mat´eria escura, que hospedavam co´agulos de mat´eria bariˆonica. O
halo originado por este processo estaria, pois, virializado, depois de ter sofrido um
processo de relaxa¸c˜ao violenta ocorrido logo ap´os a fus˜ao dos objetos originais, e a
mat´eria bariˆonica“coagulada”orbitaria de um modo similar ao exibido pelos modelos
mais est´aveis simulados nesta Disserta¸c˜ao.
Em rela¸c˜ao aos estudos realizados por Athanassoula et al. (1997) e por G´omez-
Flechoso e Dom´ınguez-Tenreiro (2001a), inovamos na simula¸c˜ao de 20 gal´axias, ou
seja, quando levamos em considera¸c˜ao a popula¸c˜ao de baixa luminosidade. Do mesmo
modo, as an´alises da segrega¸c˜ao de luminosidades e dos valores de ∆M
12
em GCs
simulados s˜ao inovadoras. Na Tabela 6.1, apresentamos um quadro sin´optico com
as principais caracter´ısticas das simula¸c˜oes realizadas no presente trabalho e com as
respectivas caracter´ısticas de algumas simula¸c˜oes discutidas na literatura cient´ıfica.
146
TABELA 6.1 - Caracter´ısticas das Principais Simula¸c˜oes Discutidas Nesta Disserta¸c˜ao.
Aspecto (Modelagem Detalhada) Presente Trabalho (G´oMEZ-FLECHOSO; DOM´ıNGUEZ-TENREIRO, 2001a) (ATHANASSOULA et al., 1997) (GOVERNATO et al., 1996) (DIAFERIO et al., 1994)
Halo Comum Virializado SIM SIM SIM N
˜
AO N
˜
AO
Popula¸c˜ao de Baixa Luminosidade SIM N
˜
AO N
˜
AO N
˜
AO N
˜
AO
Coalescˆencias RARAS N
˜
AO N
˜
AO SIM SIM
Cen´ario de Realimenta¸c˜ao N
˜
AO N
˜
AO N
˜
AO SIM - Objetos Circunvizinhos SIM - Em grupos esparsos
Dura¸c˜ao do Grupo 10 Ganos 10 Ganos 28 Ganos 10 Ganos 1 Gano
An´alise do Material Intragrupo(M.I.G.) SIM SIM N
˜
AO SIM N
˜
AO
Segrega¸c˜ao de Luminosidades SIM N
˜
AO N
˜
AO N
˜
AO N
˜
AO
∆M
12
e µ
V
do M.I.G. SIM N
˜
AO N
˜
AO N
˜
AO N
˜
AO
147
No entanto, a compara¸c˜ao das observa¸c˜oes mais caracter´ısticas dos Grupos Compac-
tos com os resultados que obtivemos at´e aqui, n˜ao se mostra inteiramente compat´ıvel
com este cen´ario simplificado, a menos que consideremos os grupos compactos como
configura¸c˜oes transit´orias, uma hip´otese pouco satisfat´oria dada a universalidade
destes sistemas.
Conv´em ressaltar, por outro lado, que ainda que n˜ao esgotamos todas as poss´ıveis
condic˜oes iniciais do nosso cen´ario simples. Assim, por exemplo, ser´a interessante
retomar casos como o exemplificado pelo modelo MRAND, mas com resolu¸c˜ao se-
melhante `aquela utilizada no caso MGFDT-E-RES. Como vimos, neste caso pode
ser poss´ıvel realizar um sistema bastante compacto (e, provavelmente segregado),
com uma distribui¸c˜ao de luz difusa qualitativamente semelhante ao observado em
alguns GC’s.
Em qualquer caso, no entanto, ´e importante lembrar que apenas atrav´es de futuras
ressimula¸c˜oes num´ericas cosmol´ogicas que poderemos definitivamente esclarecer a
origem e a freq
¨
uˆencia observada destes objetos.
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155
AP
ˆ
ENDICE A
Convers˜ao do Sistema de Magnitudes
No Cap´ıtulo 1, levantamos a quest˜ao das diferen¸cas de magnitudes entre as duas
gal´axias mais brilhantes de cada grupo compacto (∆M
12
) e das distribui¸c˜oes de
∆M
12
dos GCs catalogados por Hickson et al. (1989), por Lee et al. (2004) e por de
Carvalho et al. (2005). Para comparamos estas distribui¸c˜oes, ´e necess´aria a convers˜ao
dos diversos sistemas fotom´etricos adotados para um s´o sistema. Nesta pesquisa,
decidimos converter todas as magnitudes para o sistema fotom´etrico usado pelo
SDSS (e que, portanto, Lee et al. (2004) usaram), por duas raz˜oes: na primeira,
o banco de dados do SDSS disponibiliza os dados de 11 GCHs. Com estes dados,
definimos uma amostra composta de 89 gal´axias. Assim, calculamos uma fun¸c˜ao de
convers˜ao do sistema adotado na defini¸c˜ao dos GCHs para o sistema usado por Lee
et al.
(2004). Na segunda, a equa¸c˜ao de convers˜ao do sistema usado por de Carvalho
et al. (2005) para o sistema do SDSS foi encontrada por Lopes (2003). Portanto,
apenas o sistema fotom´etrico usado na defini¸c˜ao do cat´alogo de GCHs requereu
nossas an´alises de ajuste.
Na Tabela A.1, apresentamos, como um exemplo, os dados das magnitudes de 48
gal´axias disponibilizados pelo banco de dados do SDSS, representando uma fra¸c˜ao
de 54% do n´umero total de gal´axias de nossa amostra. Os erros cometidos na medida
destes dados s˜ao desprez´ıveis, cf. apresentamos na tabela. Usando todos os dados de
nossa amostra, encontramos a seguinte equa¸c˜ao de convers˜ao do sistema fotom´etrico
adotado por Hickson et al. (1989) para o sistema usado por Lee et al. (2004), atrav´es
do m´etodo de m´ınimos quadrados:
r
= 1, 14 + 0, 95 ∗ R (A.1)
Sendo r
e R as magnitudes do sistema do SDSS e do Cat´alogo de Hickson, respec-
tivamente. Os desvios-padr˜oes calculados foram de 0,485 e 0,033, respectivamente,
para o termo independente e para o coeficiente angular da equa¸c˜ao A.1. Na Figura
A.1, apresentamos a correla¸c˜ao entre as magnitudes r
e R, bem como a reta defi-
nida pela equa¸c˜ao A.1. O diagrama de res´ıduos, exibido nesta figura, mostra uma
distribui¸c˜ao razoavelmente uniforme dos res´ıduos em torno do valor r
− R = 0, 00.
´
E imediato notar que o c´alculo de ∆M
12
depende apenas do coeficiente de R, que
157
possui o valor igual a 0,95.
´
E importante lembrar que alguns pontos foram previa-
mente exclu´ıdos, porque, ou representavam valores de magnitudes medidos no regime
de n˜ao-linearidade de detec¸c˜ao do CCD usado, ou se tratavam de casos extremos,
conhecidos como outliers, que representam erros de origem desconhecida.
Para convertermos os dados do DPOSS para o sistema fotom´etrico utilizado pelo
SDSS, usamos a equa¸c˜ao de convers˜ao encontrados por Lopes (LOPES, 2003), con-
forme descrevemos no Cap´ıtulo 1.
O erro intr´ınseco cometido no c´alculo da distribui¸c˜ao dos valores de ∆M
12
´e de
natureza poissoniana, sendo calculado por:
Err =
√
n, (A.2)
onde Err representa o erro da contagem de n grupos com um dado valor para a
diferen¸ca de magnitudes M
2
−M
1
entre as duas gal´axias mais brilhantes por grupo.
Convertemos este valor no espa¸co das freq
¨
uˆencias f:
f =
√
n
N
. (A.3)
Na equa¸c˜ao A.3, N representa o n´umero total de grupos observados.
158
14
16
18
12 14 16 18
-1
0
1
R
FIGURA A.1 - Correla¸c˜ao entre os valores de magnitude obtidos no sistema fotom´etrico usado por
Hickson et al. (1989) (R) e os respectivos valores obtidos no sistema usado pelo
SDSS (r
). Usamos os dados de 89 gal´axias catalogadas por Hickson et al. (1989) e
disponibilizados pelo banco de dados do SDSS. Abaixo: diagrama dos res´ıduos.
159
TABELA A.1 - Dados de 48 gal´axias de GCHs, disponbilizados pelo banco de dados do SDSS. As
colunas representam, da esquerda para a direita, respectivamente: Nome da gal´axia,
tal como catalogada p or Hickson et al. (1989), ascen¸c˜ao reta (em graus), declina¸c˜ao
(em graus), magnitude no sistema fotom´etrico do SDSS (banda r
), erro na medida
de r
e magnitude no sistema fotom´etrico usado por Hickson et al. (1989).
Nome A.R. Dec r’ Erro R
HCG07a 9,806 +0,864 12,582 1,668E-3 11,980
HCG07b 9,824 +0,913 13,074 1,746E-3 12,580
HCG07c 9,895 +0,860 13,198 1,976E-3 11,710
HCG07d 9,828 +0,892 18,159 2,000E-2 13,990
HCG16a 32,352 -10,134 12,302 1,616E-3 12,170
HCG16b 32,337 -10,133 12,647 1,682E-3 12,670
HCG16c 32,411 -10,147 12,820 1,900E-2 12,360
HCG17a 33,521 +13,311 15,358 2,817E-3 14,870
HCG17b 33,516 +13,313 15,310 2,882E-3 14,900
HCG17c 33,521 +13,317 15,832 3,442E-3 15,820
HCG17d 33,537 +13,307 16,998 5,238E-3 16,930
HCG17e 33,517 +13,319 17,915 7,627E-3 17,360
HCG25a 50,179 -1,109 14,057 2,302E-3 13,340
HCG25b 50,189 -1,045 13,446 1,853E-3 13,100
HCG25c 50,180 -1,002 14,910 2,634E-3 14,470
HCG25d 50,161 -1,035 14,949 2,512E-3 14,780
HCG25e 50,178 -1,006 15,890 8,063E-3 14,920
HCG25f 50,189 -1,054 15,175 2,721E-3 15,740
HCG25g 50,217 -1,063 15,718 4,485E-3 15,550
HCG35a 131,338 +44,521 15,404 2,758E-3 14,340
HCG35b 131,335 +44,509 14,277 2,067E-3 14,090
HCG35c 131,326 +44,528 14,828 2,314E-3 14,100
HCG35d 131,336 +44,540 15,745 3,143E-3 15,530
HCG35e 131,336 +44,503 16,488 3,753E-3 15,850
HCG35f 131,336 +44,533 17,102 5,414E-3 16,580
HCG41a 149,398 +45,230 13,559 1,882E-3 13,100
HCG41b 149,420 +45,260 14,171 2,288E-3 13,730
HCG41c 149,364 +45,239 15,625 3,069E-3 15,080
HCG41d 149,460 +45,229 16,616 4,257E-3 16,420
(continua)
160
TABELA A.1 - (continua¸c˜ao)
Nome A.R. Dec r’ Erro R
HCG43a 152,832 -0,023 14,765 2,401E-3 14,210
HCG43b 152,781 -0,042 15,273 2,884E-3 14,640
HCG43c 152,802 -0,068 14,755 2,321E-3 14,480
HCG43d 152,804 -0,087 16,145 3,628E-3 15,740
HCG43e 152,809 -0,051 15,922 3,466E-3 15,580
HCG43f 152,827 -0,008 17,596 8,754E-3 16,670
HCG45a 154,807 +59,131 14,406 2,279E-3 14,330
HCG45b 154,772 +59,106 15,255 2,823E-3 16,000
HCG45c 154,782 +59,085 17,908 7,417E-3 17,000
HCG45d 154,817 +59,138 16,223 3,645E-3 16,000
HCG49a 164,173 +67,185 15,347 3,261E-3 15,150
HCG49b 164,163 +67,180 16,476 4,261E-3 15,840
HCG49c 164,153 +67,181 16,956 6,429E-3 16,520
HCG49d 164,140 +67,178 16,684 4,344E-3 16,310
HCG50a 169,276 +54,917 16,418 5,075E-3 16,530
HCG50b 169,284 +54,917 16,986 5,568E-3 16,760
HCG50c 169,266 +54,921 17,219 9,079E-3 17,460
HCG50d 169,277 +54,924 17,409 1,700E-2 17,250
HCG50e 169,287 +54,920 18,179 9,160E-3 17,870
(Fim da Tabela)
FONTE: SDSS Data Release 3
161
AP
ˆ
ENDICE B
Principais M´etodos Usados em Simula¸c˜oes Num´ericas
Existem v´arios m´etodos de simula¸c˜oes num´ericas de N−corpos dispon´ıveis na lite-
ratura cient´ıfica. Os principais s˜ao os seguintes, em sua generalidade:
a) Part´ıcula-part´ıcula (m´etodo PP) –
´
E o mais simples conceitualmente. O
estado f´ısico do sistema ´e descrito por um conjunto de dados de posi¸c˜oes e
velocidades de todas as part´ıculas. Os c´alculos das posi¸c˜oes e velocidades
s˜ao feitos em etapas, denominadas de “la¸cos” computacionais. Para realizar
cada “la¸co”, o c´odigo possui um algoritmo que usa o tempo como vari´avel
independente. Assim, cada etapa ´e denominada de passo da vari´avel tem-
poral (passo temporal ou timestep). Neste m´etodo, em cada passo temporal
(la¸co), o c´odigo atualiza os valores para as velocidades e posi¸c˜oes, usando
como informa¸c˜oes as for¸cas de intera¸c˜ao e as equa¸c˜oes de movimento para
obter o estado do sistema num tempo imediatamente posterior. Cada la¸co
´e constitu´ıdo por trˆes etapas b´asicas:
1) C´alculo das for¸cas. Neste caso, todas as for¸cas calculadas em etapas
anteriores s˜ao apagadas da mem´oria e recalculadas. Encontra-se a
for¸ca da i−´esima part´ıcula exercida sobre a j−´esima part´ıcula. Isto ´e
feito com todas as part´ıculas.
2) Integra¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento.
´
E realizada uma integra¸c˜ao
num´erica das equa¸c˜oes de movimento para cada part´ıcula, a partir
do valor da for¸ca resultante exercida sobre ela. Com este dado, os
valores para as velocidades s˜ao calculados, para cada part´ıcula indivi-
dualmente. Depois, usando os valores das velocidades, as posi¸c˜oes s˜ao
calculadas.
3) Atualiza¸c˜ao do contador temporal. Isto significa que o valor do tempo
´e atualizado.
Logo abaixo, exibimos o algoritmo que caracteriza este m´etodo. Para uma
dada i−´esima part´ıcula, as vari´aveis apresentadas s˜ao:
−→
F
i
, a for¸ca resul-
tante. F
ij
, a for¸ca sentida por esta part´ıcula devido `a a¸c˜ao da j−´esima
part´ıcula. m
i
, a massa.
−→
v
i
, a velocidade e
−→
x
i
, a posi¸c˜ao. N
P
representa o
n´umero total de part´ıculas e t, o tempo. Os termos novo e velho informam
em que la¸co as suas respectivas vari´aveis foram calculadas.
163
Para i = 1 a N
P
, fa¸ca:
−→
F
i
= 0; (B.1)
Para i = 1 a N
P
− 1 e j = i + 1 a N
P
, fa¸ca:
−→
F
i
=
−→
F
i
+
−→
F
ij
(B.2)
−→
F
j
=
−→
F
j
+
−→
F
ij
; (B.3)
Para i = 1 a N
P
, fa¸ca:
−→
v
novo
i
=
−→
v
velho
i
+
−→
F
i
m
i
dt (B.4)
−→
x
novo
i
=
−→
x
velho
i
+
−→
v
i
dt (B.5)
t
novo
= t
velho
+ dt (B.6)
A evolu¸c˜ao do sistema ´e obtida mediante a aplica¸c˜ao de la¸cos sucessivos
destes trˆes passos. Obviamente, os m´etodos baseados neste esquema s˜ao
mais complexos, com muitos detalhes t´ecnicos aqui n˜ao estudados. Por
exemplo, existem c´odigos que utilizam um polinˆomio de quarta ordem para
a for¸ca por unidade de massa sobre cada part´ıcula num dado tempo t:
−→
F =
−→
F
0
+
−→
B t
r
+
−→
C t
2
r
+
−→
Dt
3
r
+
−→
E t
4
r
(B.7)
Os coeficientes
−→
F
0
,
−→
B ,
−→
C ,
−→
D e
−→
E podem ser deduzidos atrav´es do forma-
lismo do c´alculo num´erico.
O la¸co ´e realizado sobre cada part´ıcula individualmente. Cada part´ıcula
possui o valor do instante de tempo t
i
e tamb´em o valor “atual” do seu
´ultimo passo temporal ∆t
i
. Primeiro, encontra-se a part´ıcula que possui o
menor valor de (∆t
i
+t
i
). Ela ´e avan¸cada no tempo de um pequeno intervalo
∆t
α
. O polinˆomio B.7 ´e usado para predizer as novas posi¸c˜oes, velocidades e
o pr´oximo passo temporal. Depois disto, as demais part´ıculas s˜ao tratadas
de modo similar. O m´etodo PP ´e o mais direto dos trˆes descritos neste
164
apˆendice, entretanto necessita de um enorme esfor¸co computacional para
ser aplicado em modelos mais sofisticados, como os que tratam milhares de
part´ıculas interagentes. O esfor¸co computacional ´e da ordem de O(N
2
), p ois
N
2
opera¸c˜oes s˜ao requeridas para se calcularem todas as for¸cas sentidas
por todas as N part´ıculas.
b) M´etodo Part´ıcula-C´elula (particle-mesh, ou P-M) – Este m´etodo vale-se
de duas equa¸c˜oes de campo: na primeira, relaciona-se a for¸ca gravitacional
com o respectivo potencial, mediante a aplica¸c˜ao do operador gradiente
sobre uma fun¸c˜ao representativa do potencial. Na segunda, utiliza-se a
equa¸c˜ao de Poisson, que veremos logo abaixo. Os operadores diferenciais
nestas equa¸c˜oes s˜ao substitu´ıdos por aproxima¸c˜oes de diferen¸cas finitas em
c´elulas, que dividem o espa¸co em regi˜oes de resolu¸c˜ao limitada. As quan-
tidades do campo, que permeiam todo o espa¸co num sistema f´ısico, s˜ao
representados por valores numa “grade” (array) regular de pontos-c´elulas.
Em suma, o m´etodo part´ıcula-c´elula trata a for¸ca como uma quantidade
do campo, aproximando-a em valores discretos do espa¸co (c´elulas), e mo-
delando o espa¸co como uma grade tridimensional. Os potenciais e as for¸cas
calculados na posi¸c˜ao da part´ıcula s˜ao obtidos pela interpola¸c˜ao dos va-
lores definidos nas c´elulas que definem na grade. As densidades definidas
nas c´elulas (mesh-defined densities) s˜ao obtidas pelo processo oposto, o de
designar aos pontos-c´elulas os atributos das part´ıculas contidas nestas re-
gi˜oes (ex.“massa”), a fim de criar valores definidos por c´elula (densidade de
mat´eria). Designamos assim, n corpos para cada c´elula. O la¸co temporal
(timestep loop) deste m´etodo difere daquele do m´etodo anterior (PP) no
c´alculo das for¸cas. Eis aqui os passos:
1) Designa¸c˜ao de “massas” `as c´elulas – a massa das “part´ıculas” torna-se
“densidade das malhas” (grid density). Trata-se de um procedimento
de contagem de part´ıculas dentro de cada regi˜ao previamente deli-
mitada do espa¸co, ou seja, de calcular as densidades em cada malha
previamente definida.
2) Resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson na c´elula.
−→
∇
2
φ = 4πGρ (B.8)
onde φ ´e o potencial gravitacional, ρ, a densidade de mat´eria e G, a
165
constante gravitacional.
3) C´alculo das for¸cas a partir das energias potenciais definidas nas c´elulas
e interpola¸c˜ao das for¸cas nas posi¸c˜oes da part´ıcula.
−→
F =
−→
∇φ (B.9)
4) Integra¸c˜ao das for¸cas para obten¸c˜ao das posi¸c˜oes e velocidades, ana-
logamente `as equa¸c˜oes B.5 e B.4.
5) Atualiza¸c˜ao do contador do timestep.
Este m´etodo ´e mais r´apido do que o PP, por´em a redu¸c˜ao do custo com-
putacional tem o pre¸co da perda de resolu¸c˜ao espacial. Isto significa que o
movimento de apenas uma part´ıcula do sistema n˜ao pode ser seguido indi-
vidualmente. Se fossem calculados os encontros pr´oximos (close encounters,
definidos por encontros entre duas part´ıculas separadas por distˆancias t´ı-
picas `as de colis˜ao), dever-se-ia resolver uma malha t˜ao fina cujo timestep
superaria ao do m´etodo PP. Por isso, este m´etodo ´e razo´avel para se mode-
larem gal´axias e aglomerados globulares, por possu´ırem um grande n´umero
de part´ıculas.
c) M´etodo Part´ıcula-Part´ıcula / Part´ıcula-C´elula (particle-particle/particle-
mesh P3M) – Este m´etodo procura minimizar o principal defeito do P-M,
que ´e o da baixa resolu¸c˜ao no c´alculo das for¸cas entre part´ıculas pr´oxi-
mas, combinando o m´etodo PP com o P-M. O m´etodo P3M suplementa
as for¸cas interpart´ıculas com uma soma direta sobre pares separados por
menos que uma distˆancia padr˜ao, que pode ser de trˆes vezes o valor dos
espa¸camentos entre as c´elulas (grids). As for¸cas entre as part´ıculas podem
ser classificadas em duas: for¸cas de curto alcance variando rapidamente,
tratadas com o m´etodo PP, e for¸cas de longo alcance variando lentamente,
tratadas com o m´etodo P-M. Duas malhas s˜ao usadas: uma malha carga-
potencial (charge-potential mesh), usada em diferentes est´agios do c´alculo
PM para armazenar os dados pertinentes `as densidades das cargas e aos do
potencial, e outra malha “chaining”, constitu´ıda por uma “grade”de c´elulas
usadas para localizar pares de part´ıculas vizinhas no c´alculo de intera¸c˜ao a
curta distˆancia. O la¸co ´e constitu´ıdo grosseiramente dos seguintes passos:
1) In´ıcio com a posi¸c˜ao e o momento das part´ıculas.
166
2) Atualiza¸c˜ao do timestep.
3) C´alculo de for¸cas PM - designa¸c˜ao de cargas `as malhas, solu¸c˜oes para
os potenciais, interpola¸c˜ao de for¸cas, incremento dos momentos.
4) C´alculo de for¸cas PP preenchimento completo da “malha em cadeias”
(chaining mesh) e atualiza¸c˜ao dos momentos.
5) Cria¸c˜ao de equa¸c˜oes de movimento atualiza¸c˜ao de posi¸c˜oes, aplica¸c˜ao
de condi¸c˜oes de contorno da part´ıcula e atualiza¸c˜ao dos acumuladores
de energia.
6) Integra¸c˜ao para obten¸c˜ao da posi¸c˜ao e momento.
O n´umero de opera¸c˜oes ´e da ordem N + Ng, com N sendo o n´umero de
part´ıculas e Ng o n´umero de grids. Foi largamente usado em simula¸c˜oes
cosmol´ogicas e ´e o melhor indicado quando as for¸cas podem ser classificadas
em for¸cas de curto alcance e for¸cas de longo alcance.
d) O M´etodo Hier´arquico – Este m´etodo tem v´arios algoritmos a ele associa-
dos, entre elas o C´odigo de
´
Arvore de Barnes-Hut (Barnes, 1986). Devido
ao fato de utilizarmos um c´odigo an´alogo a este ´ultimo como ferramenta nas
simula¸c˜oes, atentemo-nos a ele. De um modo geral, os c´odigos em ´arvore
abordam as simula¸c˜oes de N-corpos usando alguns conceitos impl´ıcitos no
algoritmo P3M, embora use um m´etodo completamente distinto. A for¸ca
total agindo sobre um elemento do sistema tem trˆes origens: externa, de
vizinhos mais pr´oximos e de part´ıculas distantes. As for¸cas externas podem
ser calculadas para cada part´ıcula independentemente. A for¸ca oriunda de
vizinhos mais pr´oximos pressup˜oe intera¸c˜ao entre os vizinhos mais pr´o-
ximos de fato. As for¸cas oriundas de objetos distantes s˜ao mais compu-
tacionalmente onerosas, porque a for¸ca sobre cada part´ıcula depende de
todas as demais. O c´odigo de Barnes direciona os ´arduos c´alculos de for¸cas
distantes mediante os seguintes passos :
1) Contru¸c˜ao de uma ´arvore quadrada (quadtree). Isto significa a cons-
tru¸c˜ao de uma hierarquia de “caixas” que dividem o dom´ınio computa-
cional em regi˜oes menores e cada vez menores. Numa hierarquia mais
alta, tem-se o dom´ınio por inteiro. O refinamento do n´ıvel ´e obtido
recursivamente, desde o primeiro n´ıvel pela subdivis˜ao de cada caixa
em duas partes iguais em cada dire¸c˜ao do espa¸co.
167
2) Para cada subquadrado dentro da quadtree, realiza-se o c´alculo do
centro de massa e da massa total para todas as part´ıculas que ela
cont´em. Neste caso, a ´arvore estrutura a parti¸c˜ao da distribui¸c˜ao da
massa numa hierarquia de regi˜oes localizadas, de modo que, quando
calculada a for¸ca numa dada part´ıcula, a regi˜ao da ´arvore pr´oxima
a ela ´e explorada em detalhes, e as regi˜oes mais distantes s˜ao explo-
radas mais grosseiramente, pelo tratamento de aglomerados distantes
de part´ıculas como pseudo-part´ıculas simples e massivas.
3) Para cada part´ıcula, ocorre a varredura da ´arvore para se calcular a
for¸ca total sobre ela.
Os c´odigos em ´arvore s˜ao desprovidos de grids ou malhas, n˜ao tˆem geome-
tria preferida e podem incorporar condi¸c˜oes de contorno peri´odicas. N˜ao
desperdi¸cam tempo simulando regi˜oes destitu´ıdas de mat´eria. Por isso, os
c´odigos em ´arvore s˜ao ideais para a simula¸c˜ao de colis˜oes entre gal´axias.
O custo computacional ´e da ordem de NlogN opera¸c˜oes, embora estes c´o-
digos requeiram uma grande quantidade de mem´oria para armazenamento
auxiliar durante as simula¸c˜oes.
168
AP
ˆ
ENDICE C
Esferas de King
As esferas de Michie-King, conforme (BINNEY; TREMAINE, 1987), constituem uma
fam´ılia de modelos esfericamente sim´etricos elaborados com a finalidade de se des-
crever perfis de densidades observados em gal´axias el´ıpticas. Para a realiza¸c˜ao destes
sistemas, seguimos os passos de Binney e Tremaine (1987). A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao
que descreve as part´ıculas destas esferas, no espa¸co de fase, ´e dada por:
f(ε) =
ρ
1
1
√
(2πσ
2
)
3
(e
ε
σ
2
− 1), se ε > 0.
0, se ε ≤ 0.
(C.1)
Sendo ρ
1
uma constante caracterizando uma densidade para o sistema, σ a dispers˜ao
de velocidades das part´ıculas que comp˜oem o sistema e ε a diferen¸ca entre as energias
potencial relativa e cin´etica, ambas por unidade de massa: ε = Ψ−
v
2
2
, com Ψ ≡ −Φ+
Φ
0
representando o potencial relativo, satisfazendo Ψ(r −→ ∞) = Φ
0
. Claramente
o que estamos fazendo ´e definir um sistema f´ısico no qual o n´umero as part´ıculas em
pleno processo de escape seja nulo. A densidade total pode ser encontrada fazendo a
integral da equa¸c˜ao C.1 no espa¸co de velocidades: ρ(r) =
f(ε)dv. Esta integra¸c˜ao
´e feita porque f(ε) =⇒ f(r, v), ou seja, toda a informa¸c˜ao est´a contida em f(ε).
Uma vez realizada a integra¸c˜ao, obtemos:
ρ(r) = ρ
1
e
ε
σ
2
h
ε
σ
2
, (C.2)
onde a fun¸c˜ao h(u) ´e dada por:
h(u) = erf(
√
u) −
2
√
π
1 +
2u
3
√
ue
−u
, (C.3)
sendo erf(x) a fun¸c˜ao erro. Com ρ(r), podemos resolver numericamente a equa¸c˜ao
de Poisson:
d
d˜r
˜r
2
d(ε/σ
2
)
d˜r
= −9˜r
2
e
ε/σ
2
h
ε
σ
2
, (C.4)
onde ˜r = r/r
0
´e o raio adimensional, ou o raio normalizado em fun¸c˜ao do raio de
King r
0
. O raio de King ´e definido pela seguinte equa¸c˜ao:
r
0
=
9σ
2
4πGρ
0
, (C.5)
169
no qual ρ
0
≡ ρ(0) ´e a densidade central. A equa¸c˜ao diferencial C.4 ´e integrada nume-
ricamente pelo m´etodo de Runge-Kutta. As condi¸c˜oes de contorno s˜ao as seguintes:
a) A esfera est´a em equil´ıbrio, a for¸ca l´ıquida sentida pelas part´ıculas no centro
deve ser nula:
dΨ
dr
(r = 0) = 0; (C.6)
b) Ψ(r = 0) = −Φ(r = 0) + Φ
0
;
c) O potencial diminui para distˆancias mais afastadas do centro. Isto ´e dado
por d
2
Ψ/dr
2
< 0.
d) Numa dada distˆancia r
t
ao centro, a densidade de part´ıculas se anula,
ou seja, Ψ(r = r
t
) = 0 ´e condi¸c˜ao necess´aria para que o sistema tenha
tamanho definido. Esta distˆancia ´e conhecida como raio de mar´e. Com
isso, Ψ(r = r
t
) = −Φ(r = r
t
) + Φ
0
= 0 ⇒ Φ(r
rt
) = Φ
0
.
e) A condi¸c˜ao anterior implica que Ψ(0) = −Φ(0) + Φ(r
t
). Onde o potencial
de mar´e ´e escrito como:
Φ(r
t
) = −
GM(r < r
t
)
r
t
. (C.7)
Decorre destas condi¸c˜oes que o modelo de King fica completamente definido, a menos
de alguns parˆametros de entrada, como o potencial relativo central, a dispers˜ao
de velocidades e a densidade central ρ
0
. Na literatura, alguns autores geralmente
chamam o termo
Ψ(0)
σ
2
de W
0
. Ele ´e serve como parˆametro de entrada para alguns
c´odigos que realizam esferas de King. Com o perfil de densidades e o n´umero total de
part´ıculas da simula¸c˜ao, realizam-se sorteios de posi¸c˜oes e velocidades, desde a regi˜ao
central da esfera at´e o raio de mar´e, gradativamente e em cascas que componham a
esfera Os passos seguidos s˜ao:
a) Sorteiam-se primeiro as componentes da posi¸c˜ao de uma amostra de par-
t´ıculas de uma dada casca.
b) Calcula-se o potencial gravitacional na distˆancia da referida casca ao cen-
tro, baseado em pr´evias intera¸c˜oes recursivas de cˆomputos do potencial
central, usando as condi¸c oes de contorno.
170
c) Com o potencial, as velocidades s˜ao sorteadas e atribu´ıdas assumindo que
no m´aximo elas ter˜ao a velocidade de escape local v ≤
2Φ(r).
d) Feito isto para todas as part´ıculas da amostra, passa-se para a pr´oxima
casca.
O fator de concentra¸c˜ao j´a foi definido na equa¸c˜ao
2.16.
´
E poss´ıvel construir esferas
de King usando o parˆametro c como um dado de entrada para o c´odigo. Isto requer
o uso de express oes emp´ıricas, como a equa¸c˜ao 2.17.
171
AP
ˆ
ENDICE D
Esferas de Hernquist
As esferas de Hernquist (HERNQUIST, 1990) s˜ao modelos de gal´axias em que a dis-
tribui¸c˜ao de densidades radial segue o seguinte perfil:
ρ(r) =
M
2π
a
r
1
(r + a)
3
. (D.1)
Na equa¸c˜ao D.1, M ´e a massa total e a ´e um comprimento de escala. A carac-
teriza¸c˜ao completa da esfera depende apenas destes dois parˆametros. Nas regi˜oes
pr´oximas ao centro da esfera de Hernquist, a distribui¸c˜ao radial de luminosidades
I(r) aproxima-se do comportamento observado em gal´axias elp´ıticas, descrito pela
lei de R
1
4
, tamb´em chamada Lei de de Vaucouleurs (HERNQUIST, 1990). O Modelo
tem as seguintes caracter´ısticas f´ısicas analiticamente expl´ıcitas:
a) A distribui¸c˜ao cumulativa de massa n˜ao diverge, sendo dada por:
M(r) = M
r
2
(r + a)
2
. (D.2)
b) O raio dentro do qual existe a metade de toda a massa, conhecido como
raio de meia-massa (r
1/2
), ´e bem definido e vale:
r
1/2
= (1 +
√
2a). (D.3)
c) O potencial gravitacional, calculado pela integra¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson
relativa ´a densidade D.1, ´e descrito por:
φ(r) = −
GM
r + a
. (D.4)
d) A velocidade de escape v
e
e a velocidade circular v
c
s˜ao dadas respectiva-
mente por:
v
e
=
2GM
r + a
, (D.5)
v
c
=
√
GMr
r + a
. (D.6)
173
A velocidade circular v
c
permite que um sat´elite do halo orbite em movi-
mento circular.
e) As energias cin´etica total T
tot
e potencial total W
tot
s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas
simples:
T
tot
=
GM
2
12a
, (D.7)
W
tot
= −
GM
2
6a
. (D.8)
Notemos que T
tot
e W
tot
expressos nas equa¸c˜oes D.7 e D.8 satisfazem o
teorema do virial, descrito matematicamente pela equa¸c˜ao 1.1.
A simula¸c˜ao MonteCarlo das part´ıculas em ´orbitas circulares ou quase circulares ´e
a mais simples do que em ´orbitas radiais em configura¸c˜ao de equil´ıbrio. Para tal,
devem ser conhecidos de antem˜ao a massa total M e o raio caracter´ıstico a. Os
seguintes passos s˜ao realizados:
a) Sorteam-se as posi¸c˜oes dos centros de massa das gal´axias, verificando a
separa¸c˜ao interpares m´edia.
b) Obtido o vetor posi¸c˜ao R
CM
do centro de massa, sorteam-se trˆes compo-
nentes cartesianos do vetor velocidade V X
CM
, V Y
CM
e V Z
CM
e se calcula
o seu m´odulo.
c) Verifica-se se o m´odulo da velocidade |V
CM
| satisfaz a seguinte condi¸c˜ao:
0, 8v
c
≤ |V
CM
| ≤ 1, 0v
c
. (D.9)
A condi¸c˜ao dada por D.9 n˜ao assegura que todos os objetos tenham necessariamente
´orbitas circulares. O m´etodo permite que as ´orbitas sejam fixadas aleatoriamente,
atrav´es de sorteios, usando subrotinas geradoras de n´umeros aleat´orios. Entretanto,
as possibilidades de se simularem ´orbitas puramente radiais nestas condi¸c˜oes ´e muito
pequena. De fato, testes para as ´orbitas destes modelos foram realizados. Os modelos
MGFDT-E e MGFDT-E-RES apresentaram em sua maioria ´orbitas el´ıpticas de
pequena excentricidade, comprovando a efic´acia deste m´etodo.
174
Descrevamos sucintamente os passos necess´arios `a gera¸c˜ao de modelos de Hernquist
com ´orbitas radiais. Conhecidos previamente M e a, estas ´orbitas aparecem natu-
ralmente numa simula¸c˜ao MonteCarlo que procedam segundo este algoritmo:
a) Sorteio das posi¸c˜oes das part´ıculas.
b) C´alculo do potencial via equa¸c˜ao D.4.
c) C´aculo da velocidade de escape v
e
, segundo D.5.
d) Sorteio de uma velocidade com m´odulo v
sort
≤ v
e
.
e) Realiza¸c˜ao do teste da f´ormula de Eddington (BINNEY; TREMAINE, 1987).
Esta f´ormula ´e definida por:
f() =
1
√
8π
2
d
d
0
dρ
dΨ
dΨ
√
− Ψ
, (D.10)
Na equa¸c˜ao D.10, f () ´e uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de part´ıculas no espa¸co de fase,
ρ ´e a densidade. Ψ = −Φ + Φ
0
´e o potencial gravitacional relativo por unidade de
massa e, porque Φ ´e o potencial gravitacional e Φ
0
, o potencial gravitacional de um
ponto de referˆencia. = v
2
/2 − Ψ ´e a energia total relativa por unidade de massa.
A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao conta o n´umero de part´ıculas existentes numa unidade
de volume hexadimensional do espa¸co de fase. Este teste necessita dos seguintes
procedimentos:
• C´alculo da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao f()
max
para as part´ıculas com velocida-
des de escape v
e
, realizando a integra¸c˜ao definida em D.10.
• Analogamente ao passo anterior, agora calculando f()
0
para part´ıculas
com as velocidades iguais a v
sort
.
• Sorteio de um n´umero α, satisfazendo 0 ≤ α ≤ 1.
• Aceita¸c˜ao da velocidade v
sort
se αf()
max
< f()
0
.
Estas simula¸c˜oes foram realizadas utilizando o c´odigo hh.c, originalmente desenvol-
vido por John Dubinski. As chances de obten¸c˜ao de uma ´orbita circular ou quase
circular usando estes procedimentos s˜ao pequenas por um motivo: a probabilidade
175
acumulada de se encontrar uma part´ıcula com grandes valores para a energia total
relativa ´e pequena. As velocidades s˜ao sorteadas, ent˜ao as chances de se encontrar
um valor ideal para s˜ao remotas. Estes valores ideais seriam aqueles nos quais a
velocidade da part´ıcula coincide com o crit´erio das velocidades (quase) circulares,
sobre o qual j´a discernimos. Os mo delos MRAND, MGFDT e MGFDT-E-RAD
usaram este m´etodo de realiza¸c˜ao de esferas de Hernquist.
176
AP
ˆ
ENDICE E
Das Figuras de Instantˆaneo
Os instantˆaneos s˜ao arquivos bin´arios. A visualiza¸c˜ao das part´ıculas depende de
uma pr´evia convers˜ao dos arquivos bin´arios para a forma ASCII e subsequentes
manipula¸c˜oes com um programa de elabora¸c˜ao de gr´aficos. Definimos um sistema
de visualiza¸c˜ao no qual as part´ıculas s˜ao dispostas nas trˆes proje¸c˜oes de um sistema
cartesiano ortogonal em quatro instantˆaneos da simula¸c˜ao de um dado modelo, em
intervalos de tempo iguais, incluindo o instante inicial. O sistema de cores obedece
ao seguinte padr˜ao:
a) Vermelho: representa as part´ıculas perdidas para o meio intergal´atico, ou
seja, estrelas com r´otulos nulos obtidos pelo FOFs.
b) Azul: representa as part´ıculas cujas gal´axias primordiais possu´ıam mas-
sas maiores ou iguais do que 10, 0 × 10
10
M
. Portanto, as gal´axias azuis
primordiais s˜ao as mais massivas.
c) Ciano: exibe as part´ıculas cujas gal´axias primordiais possuem massas no
intervalo 1, 0 × 10
10
M
≤ M
gal
< 10, 0 × 10
10
M
. Aqui M
gal
denota a
massa da gal´axia.
d) Amarelo: neste caso, as gal´axias primordiais possuem massas menores do
que 1, 0 ×10
10
M
.
Apresentamos, nas p´aginas seguintes, as imagens das part´ıculas de todos os modelos,
projetadas nos planos−xy, −xz e −yz. O nome de cada modelo est´a no topo de suas
respectivas imagens, os instantes est˜ao indicados nos quadros e as proje¸c˜oes est˜ao
apresentadas nos respectivos eixos.
177
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-1000 -500 0 500 1000
-1000
-500
0
500
1000
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-2000 -1000 0 1000 2000
-2000
-1000
0
1000
2000
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MRAND
FIGURA E.1 - Visualiza¸c˜ao das part´ıculas de todos os modelos, em imagens projetadas nos planos−xy,
−xz e −yz, apresentadas nesta p´agina e nas seguintes. O nome de cada modelo est´a
no topo de suas respectivas imagens, os instantes est˜ao indicados nos quadros e as
proje¸c˜oes est˜ao apresentadas nos respectivos eixos.
178
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-1000 -500 0 500 1000
-1000
-500
0
500
1000
y (kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-2000 -1000 0 1000 2000
-2000
-1000
0
1000
2000
y (kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MRAND
179
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT
180
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT
181
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT
182
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E
183
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E
184
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E
185
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E-RES
186
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E-RES
187
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E-RES
188
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E-RAD
189
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
x(kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E-RAD
190
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 0 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 3.234 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 6.468 Ganos
-500 0 500
-500
0
500
y (kpc)
Tempo = 9.702 Ganos
MGFDT-E-RAD
191
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