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Universidade Estadual Paulista “J´ulio de Mesquita Filho”
Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas
Campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto
Estudo dos Aspectos
Eletrost´aticos da Intera¸c˜ao entre
Polieletr´olitos e Macro´ıons
Sidney Jurado de Carvalho
Orientador: Prof. Dr. Fernando Lu´ıs Barroso da Silva
S˜ao Jos´e do Rio Preto - SP
2008
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Livros Grátis
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SIDNEY JURADO DE CARVALHO
Estudo dos Aspectos Eletrost´aticos da Intera¸c˜ao entre Polieletr´olitos e Macro´ıons
Tese apresentada para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em
Biof´ısica Molecular, ´area de Biof´ısica Molecular, junto
ao Programa de P´os–Gradua¸c˜ao em Biof´ısica Molecular
do Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas
da Universidade Estadual Paulista “J´ulio de Mesquita
Filho”, Campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Fernando Lu´ıs Barroso da Silva
Professor Doutor
USP – Ribeir˜ao Preto
Orientador
Dr. Laurent Emmanuel Dardenne
Tecnologista Pleno 2
LNCC
Prof. Dr. Marco Antonio Alves da Silva
Professor Associado
USP – Ribeir˜ao Preto
Prof. Dr. Jos´e Roberto Ruggiero
Professor Adjunto
UNESP – S˜ao Jos´e do Rio Preto
Prof. Dr. Marcio Jos´e Tiera
Professor Assistente Doutor
UNESP – S˜ao Jos´e do Rio Preto
S˜ao Jos´e do Rio Preto, 25 de junho de 2008.
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Dedicado a Em´ılio e Aparecida.
A compreens˜ao humana n˜ao ´e um exame desinteressado, mas recebe in-
fus˜oes da vontade e dos afetos; disso se originam ciˆencias que podem
ser chamadas “ciˆencias conforme a nossa vontade”. Pois um homem
acredita mais facilmente no que gostaria que fosse verdade. Assim, ele
rejeita coisas dif´ıceis pela impaciˆencia de pesquisar; coisas sensatas, por-
que diminuem a esperan¸ca; as coisas mais profundas da natureza, por
supersti¸c˜ao; `a luz da experiˆencia, por arrogˆancia e orgulho; coisas que
n˜ao s˜ao comumente aceitas, por deferˆencia `a opini˜ao do vulgo. Em
suma, in´umeras s˜ao as maneiras, e `as vezes impercept´ıveis, pelas quais
os afetos colorem e contaminam o entendimento.
Francis Bacon, Novum organom (1620)
Agradecimentos
Muitas pessoas foram de extrema importˆancia para o desenvolvimento deste traba-
lho. Seja pela amizade e apoio em momentos em que minhas for¸cas pareciam ter
se esgotado, ou contribu´ındo de maneira direta na discuss˜ao de id´eias, estas pessoas
me deram o privil´egio de conviver com elas durante este grande momento de minha
vida. Voceis estar˜ao sempre em meu c ora¸c˜ao.
Gostaria de iniciar agradecendo aos org˜aos de fomento FAPESP e CNPq que for-
neceram o aux´ılio financeiro necess´ario `a minha dedica¸c˜ao ao doutoramento. Em
particular, agrade¸co aos assessores que avaliaram o projeto e confiaram em sua
execu¸c˜ao.
Agrade¸co tamb´em ao meu orientador Prof. Dr. Fernando Lu´ıs Barroso da Silva,
quem me iniciou na ´area de simula¸c˜ao computacional e forneceu todo o conheci-
mento necess´ario para o desenvolvimento deste trabalho. Reconhe¸co e agrade¸co a
oportunidade, apoio, dedica¸c˜ao, paciˆencia e confian¸ca.
Aos meus amigos do departamento de f´ısica do IB ILCE M´arcia, M´arcio, Priscila,
Sabrina, Andr´e, Ana Helena, Magno, Diego, Diogo e Luciana que participaram
comigo deste trajeto. Muito obrigado pela amizade e companheirismo.
Aos amigos da Rep´ublica TranQra Thiago e Ricardo. Muit´ıssimo obrigado pela
excelente convivˆe ncia nos anos que estivemos juntos em Rio Preto. Sinto muitas
i
saudades deste per´ıodo e espero que p ossamos por muitas e muitas vezes relembr´a-
los juntos (“TranQra na Balada”).
Ao meu grande amigo Jos´e Esio. Muit´ıssimo obrigado pelas palavras de apoio nos
momentos dif´ıceis, pela leitura e discuss˜ao da Tese e pela amizade sincera que sempre
demonstrou. Foi um privil´egio para mim nossa agrad´avel convivˆencia nestes ´ultimos
6 anos.
Ao meu grande amigo Leandro Cristante pela amizade e apoio. Nossas idas ao
Chal´e, partidas de sinuca e xadrez, saltos do carro em movimento (lembra da cara
do Paul), idas `a rep´ublica da medicina com troca de pneu no final da noite, Vila
Dion´ısio finalizando com Habibb’s, resgate do Esio perdido na Baddit Bassit, entre
outras aventuras, s˜ao lembran¸cas que n˜ao sair˜ao da minha mem´oria.
Aos grandes amigos Ronaldo e Isadora pelos almo¸cos agrad´aveis, conversas, comida
japonesa, baladas e pela amizade que voceis sempre demonstraram. Gostaria de
fazer um agradecimento espec ial ao Ronaldo por me esclarecer que o Martin McFly
foi para o futuro e comprou o manual da Telesena.
A todo Departamento de F´ısica pela confian¸ca e muita paciˆencia. Gostaria de agra-
decer principalmente aos professores Jorge Chahine, Jo˜ao Ruggiero, Elso, Augusto
e Marcelo pela ajuda e apoio. Aos funcion´arios Ilva, Paulinho, Barbosa e M arcelino
por toda ajuda que sempre me prestaram. Me sinto honrado por ter sido durante
alguns anos professor substituto deste departamento. Independente de onde eu es-
tiver, meu cora¸c˜ao estar´a com voceis.
Ao professor Vitor Barbanti Pereira Leite pela disponibiliza¸c˜ao de seus recursos
computacionais.
A todos os funcion´arios da se¸c˜ao de p´os–gradua¸c˜ao. Em particular agrade¸co a
Rosemar que sempre foi extremamente prestativa e paciente.
Aos membros da banca do exame geral de qualifica¸c˜ao Prof. Dr. Jorge Chahine e
Prof. Dr. Jo˜ao Ruggiero Neto e da banca de defesa Prof. Dr. Pedro Pascutti, Dr.
Laurent Emmanuel Dardenne, Prof. Dr. Marco Antonio Alves da Silva, Prof. Dr.
Jos´e Roberto Ruggiero, Prof. Dr. Marcio Jos´e Tiera, Profa. Dra. Rosˆangela Itri
e Prof. Dr. Luis Gustavo Dias pela disponibilidade em ler, criticar e fazer valiosas
sugest˜oes para melhoria deste trabalho.
Finalizando, gostaria de agradecer a toda minha fam´ılia pelo amor, carinho e com-
preens˜ao durante todo o tempo de realiza¸c˜ao da minha p´os–gradua¸c˜ao. Durante
muito tempo meu interesse pela ´area de exatas foi atribu´ıdo a uma influˆencia here-
dit´aria do interesse de meu pai nesta mesma ´area. Entretanto, quanto mais observo
as id´eias geniais de meu avˆo Em´ılio me conven¸co do qu˜ao fui privilegiado em ser seu
neto.
Sum´ario
Lista de S´ımbolos 1
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 12
Resumo 13
Abstract 14
Introdu¸c˜ao 15
1 Modelo do Sistema 20
1.1 Modelo da C´elula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Macro´ıon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Polieletr´olito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Solu¸c˜ao Eletrol´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Ferramentas Computacionais 28
2.1 Mecˆanica Estat´ıstica Cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 M´etodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Desenvolvimentos Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 C´odigo B´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iv
2.3.2 Propriedades M´edias Calculadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 A Fase de Equilibra¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Propriedades da Cadeia Isolada 50
3.1 Cadeia Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Intera¸c˜oes de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Cadeia Semiflex´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Polieletr´olitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Conforma¸c˜ao do Pol´ımero Complexado 60
4.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Transi¸c˜ao Conformacional 70
5.1 Desenvolvimentos Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Regula¸c˜ao de Carga 83
6.1 Aproxima¸c˜ao Perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Condi¸c˜ao Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Detalhes da Simula¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Conclus˜oes 99
Referˆencias Bibliogr´aficas 101
0
Lista de S´ımbolos
T Temperatura do sistema.
s
Constante diel´etrica do solvente.
N
c
N´umero de mol´eculas do pol´ımero.
R
c
Raio da c´elula.
u
conf
(r) Energia de confinamento dos monˆomeros no interior da c´elula.
R
m
Raio do macro´ıon.
Q
m
Carga do macro´ıon.
Z
m
Valˆencia do macro´ıon.
e Carga elementar.
m
Constante diel´etrica do interior do macro´ıon.
N
p
N´umero de monˆomeros.
R
p
Raio dos monˆomeros.
Q
p
Carga dos monˆomeros.
Z
p
Valˆencia dos monˆomeros.
u
p
(r) Energia de conex˜ao entre dois monˆomeros consecutivos.
k Constante de for¸ca do potencial harmˆonico u
p
(r).
r
o
Distˆancia m´edia entre dois monˆomeros consecutivos na ausˆencia de qualquer
perturba¸c˜ao.
o
Permissividade el´etrica do v´acuo.
β Inverso da energia t´ermica k
B
T .
1
u
p
el
(r) Energia eletrost´atica entre dois monˆomeros.
l
B
Comprimento de Bjerrum.
κ Inverso do comprimento de Debye.
k
B
Constante de Boltzmann.
n
i
Densidade num´erica da esp´ecie i.
Z
i
Valˆencia da esp´ecie i.
u
m
el
(r) Energia eletrost´atica entre um monˆomero e o macro´ıon.
N N´umero total de monˆomeros no interior da c´elula.
U Energia potencial total de uma determinada configura¸c˜ao do sistema.
q
i
Coordenadas generalizadas da part´ıcula i.
p
i
Momentos canˆonicamente conjugados da part´ıcula i.
q Conjunto das coordenadas generalizadas das part´ıculas do sistema.
p Conjunto dos momentos canˆonicamente conjugados das part´ıculas do sistema.
ρ(q, p) Densidade de probabilidade do sistema assumir a configura¸c˜ao caracterizada
pelo conjunto de coordenadas q e p.
Γ(p, q) Grandeza f´ısica qualquer.
Γ Valor m´edio de Γ(p, q).
H(q, p) Hamiltoniana do sistema.
Q Fun¸c˜ao de parti¸c˜ao.
h Constante de Plank.
N
i
N´umero de part´ıculas da esp´ecie i.
E Energia total do sistema.
Ω(E) Densidade de estados em fun¸c˜ao de E.
A Energia Livre de Helmholtz.
r
i
Vetor posi¸c˜ao da i–´esima part´ıcula.
r Conjunto dos vetores posi¸c˜ao de todas as part´ıculas do sistema.
Λ
i
Comprimento de onda t´ermico de uma part´ıcula da esp´ecie i.
2
m
i
Massa de uma part´ıcula da esp´ecie i.
Z Integral de configura¸c˜ao.
M N´umero de configura¸c˜oes geradas em uma dada simula¸c˜ao.
P (r
i
|r
j
) Probabilidade de transi¸c˜ao da configura¸c˜ao r
j
para a configura¸c˜ao r
i
.
P (r
i
) Probabilidade do sistema assumir a configura¸c˜ao r
i
.
∆U Diferen¸ca da energia potencial entre duas configura¸c˜oes.
∆X Deslocamento aleat´orio realizado por uma part´ıcula na dire¸c˜ao X.
∆Y Deslocamento aleat´orio realizado por uma part´ıcula na dire¸c˜ao Y.
∆Z Deslocamento aleat´orio realizado por uma part´ıcula na dire¸c˜ao Z.
g
i
(r) Fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial das part´ıculas da esp´ecie i.
P
i
(r) Probabilidade de uma part´ıcula da esp´ecie i se localizar na posi¸c˜ao r.
ρ
i
Densidade num´erica das part´ıculas da esp´ecie i.
V Volume total da c´elula.
n
k
i
N´umero de part´ıculas da esp´ecie i localizadas na k–´esima “fatia”.
V
k
Volume da k–´esima “fatia”.
δ Largura das fatias.
C
p
(r) Concentra¸c˜ao m´edia de monˆomeros `a distˆancia r do macro´ıon.
g
p
(r) Fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial dos monˆomeros.
n
p
(r) N´umero m´edio de monˆomeros `a distˆancia r do macro´ıon.
ρ
p
(r) Densidade de monˆomeros `a distˆancia r do macro´ıon.
w
i
(r) Potencial da for¸ca m´edia agindo em uma part´ıcula da esp´ecie i.
w
cm
(r) Potencial da for¸ca m´edia agindo no centro de massa do polieletr´olito.
U
∗
(r) Fun¸c˜ao penaliza¸c˜ao.
P
cm
(r) Probabilidade do centro de massa do pol´ımero se localizar `a distˆancia r do
macro´ıon.
P
∗
cm
(r) Probabilidade do centro de massa do pol´ımero se localizar `a distˆancia r do
macro´ıon sendo introduzida a fun¸c˜ao penaliza¸c˜ao.
3
ξ Parˆametro de ordem arbitr´ario.
M
i
N´umero de configura¸c˜oes da i–´esima simula¸c ˜ao.
T
i
Temperatura adotada na i–´esima simula¸c˜ao.
β
i
Inverso da energia t´ermica k
B
T
i
da i–´esima simula¸c ˜ao.
Ω
i
(ξ) Densidade de estados da i–´esima simula¸c˜ao.
H
i
(ξ) Histograma de ξ na i–´esima simula¸c˜ao.
A
i
Energia Livre da i–´esima simula¸c ˜ao.
f
i
Energia Livre adimensional β
i
A
i
da i–´esima simula¸c ˜ao.
P
β
(ξ) Probabilidade do sistema assumir uma configura¸c˜ao com valor ξ para o
parˆametro de ordem na temperatura β.
l Comprimento do segmento efetivo de uma cadeia ideal.
R Vetor end-to-end.
P (R) Probabilidade de uma cadeia assumir uma conforma¸c˜ao com dimens˜oes
caracterizadas pelo vetor end–to–end R.
R Valor m´edio de R.
R
2
Valor quadr´atico m´edio de R.
R
ij
Vetor unindo o i–´esimo e o j–´esimo segmento de uma cadeia.
R
2
ij
Valor quadr´atico m´edio de R
ij
.
R
2
g
Valor quadr´atico m´edio do raio de gira¸c˜ao.
r Parˆametro de extens˜ao da cadeia r = R
2
/R
2
g
.
p(r
i
, r
j
) Probabilidade condicional do j–´esimo segmento assumir a posi¸c˜ao r
j
,
estando o i–´esimo segmento na posi¸c˜ao r
i
.
Q
N
(r
o
, r
N
) Fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de uma cadeia contendo N segmentos com extremos fixos
nas posi¸c˜oes r
0
e r
N
.
φ
m
(r) Autofun¸c˜oes do operador Υ = −(l
2
/6)∇
2
+ βV .
E
m
Autovalores do op erador Υ = −(l
2
/6)∇
2
+ βV .
n(r) Concentra¸c˜ao m´edia de monˆomeros na posi¸c˜ao r.
4
V
ef
(r) Potencial efetivo agindo nos segmentos de uma cadeia.
B Segundo coeficiente do virial.
r(s) Vetor que determina a posi¸c˜ao de um elemento da cadeia em rela¸c˜ao
`a distˆancia s ao longo do seu contorno.
u(s) Vetor unit´ario tangente `a curva que determina a conforma¸c˜ao de uma cadeia,
em rela¸c˜ao `a distˆancia s ao longo do seu contorno.
l
ij
Comprimento de uma se¸c˜ao da cadeia limitada pelos i–´esimo e j–´esimo
segmentos.
θ
ij
ˆ
Angulo formado entre os versores u(s
i
) e u(s
j
).
L Comprimento total de uma cadeia.
L
p
Comprimento de persistˆencia.
L
o
p
Comprimento de persistˆencia “intr´ınsico”.
L
el
p
Contribui¸c˜ao eletrost´atica do comprimento de persistˆencia.
λ Densidade num´erica de carga do pol´ımero.
Z
t
Carga cr´ıtica respons´avel em induzir a transi¸c˜ao conformacional em que o
pol´ımero deixa de tocar o macro´ıon em apenas um ponto e passa a toc´a-lo com
comprimento finito.
Z
w
Carga cr´ıtica respons´avel em induzir a transi¸c˜ao conformacional em que o
pol´ımero passa a envolver o macro´ıon.
r
mm
Comprimento m´edio de um segmento da cadeia.
N
∗
p
N´umero m´ınimo de monˆomeros necess´arios para existˆencia de cauda(s).
Z
cpx
Carga l´ıquida do complexo.
N
T
(r) N´umero total de monˆomeros localizados aquem da distˆancia r do centro do
macro´ıon.
σ
c
Densidade superficial de carga cr´ıtica do macro´ıon.
ξ
c
Densidade linear de carga cr´ıtica do polieletr´olito.
q Carga de um segmento da cadeia.
5
σ Densidade superficial de carga de uma sup erf´ıcie plana.
V (x) Energia potencial de intera¸c˜ao entre a superf´ıcie plana e um segmento da
cadeia.
J
ν
Fun¸c˜oes de Besse l do primeiro tipo.
κ
∗
Valor de κ no qual ocorre o surgimento do estado dissociado.
E
L
Valor m´edio da energia de intera¸c˜ao entre o polieletr´olito e o macro´ıon.
p(i) N´umero de res´ıduos que comp˜oe o patch centralizado do i–´esimo res´ıduo.
U([r
i
] , r
α
) Energia de intera¸c˜ao entre uma macromol´ecula descrita pelo conjunto de
vetores [r
i
] e uma outra representada por uma esfera localizada em r
α
.
µ Vetor momento de dipolo.
µ Valor m´edio do m´odulo do momento de dipolo.
C Capacitˆancia da prote´ına.
K
a
Constante de equil´ıbrio da rea¸c˜ao GH + H
2
O G + H
3
O
+
.
pK
a
Forma logar´ıtmica de K
a
.
α Grau de dissocia¸c˜ao.
N
R
N´umero de res´ıduos ioniz´aveis de uma prote´ına.
N
+
R
N´umero de grupos b´asicos de uma prote´ına.
N
−
R
N´umero de grupos ´acidos de uma prote´ına.
pK
i
o
Constante de equil´ıbrio intr´ınsica do i–´esimo grup o.
α
i
o
Grau de dissocia¸c˜ao do i–´esimo grupo desconsiderando o efeito dos outros
res´ıduos.
Z
m
id
Valor m´edio da carga l´ıquida da prote´ına desconsiderando a correla¸c˜ao entre
os res´ıduos.
Z
i
Valor m´edio da carga do i–´esimo res´ıduo.
(Z
i
)
2
Valor quadr´atico m´edio da carga do i–´esimo res´ıduo.
C
id
Capacitˆancia da prote´ına desconsiderando a correla¸c˜ao entre os res´ıduos.
η
i
Valˆencia do i–´esimo res´ıduo.
6
U
el
Componente eletrost´atica das intera¸c˜oes res´ıduo–res´ıduo, prote´ına–monˆomeros e
prote´ına–´ıons da solu¸c˜ao.
∆U
el
Varia¸c˜ao de U
el
devida a mudan¸ca do estado de protona¸c˜ao de um res´ıduo.
R
pc
Metade da distˆancia end-to-end de um pol´ımero neutro.
7
Lista de Figuras
1.1 Representa¸c˜ao do modelo da c´elula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Fluxograma do programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial para o sistema composto apenas por esferas
r´ıgidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Concentra¸c˜ao m´edia de monˆomeros em fun¸c˜ao da distˆancia ao centro
do macro´ıon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 N´umero m´edio de monˆomeros em fun¸c˜ao da distˆancia ao centro do
macro´ıon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Potencial da for¸ca m´edia agindo no centro de massa do pol´ımero para
cada uma das etapas da simula¸c˜ao: pr´e–equilibra¸c˜ao, equilibra¸c˜ao e
produ¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Representa¸c˜ao esquem´atica das trˆes configura¸c˜oes iniciais utilizadas
no processo de equilibra¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Evolu¸c˜ao da energia total do sistema com o decorrer da fase de equi-
libra¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8
3.1 Representa¸c˜ao esquem´atica de uma cadeia ideal composta por cinco
segmentos efetivos de comprimento l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Representa¸c˜ao esquem´atica do modelo persistente. . . . . . . . . . . . 48
3.3 Efeito da for¸ca iˆonica nas propriedades conformacionais do pol´ımero
isolado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1 Raio de gira¸c˜ao em fun¸c˜ao do grau de polimeriza¸c˜ao do polieletr´olito
e n´umero m´edio de monˆomeros em fun¸c˜ao da distˆancia ao centro do
macro´ıon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 N´umero m´edio de monˆomeros em fun¸c˜ao da distˆancia ao centro do
macro´ıon para cadeias com diferentes n´umeros de monˆomeros. . . . . 57
4.3 N´umero m´edio de monˆomeros em fun¸c˜ao da distˆancia ao centro do
macro´ıon com diferentes valˆencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 N
∗
p
em fun¸c˜ao da valˆencia do macro´ıon. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 N´umero total de monˆomeros localizados aqu´em da distˆancia r do
centro do macro´ıon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 Diagrama de fases conformacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1 Energia m´edia da intera¸c˜ao macro´ıon–polieletr´olito. . . . . . . . . . . 69
5.2 Evolu¸c˜ao da energia da intera¸c˜ao polieletr´olito–macro´ıon e da energia
total do sistema com o decorrer da simula¸c˜ao e histograma da energia
total do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9
5.3 N´umero m´edio de monˆomeros e n´umero total de monˆomeros localiza-
dos `a distˆancia r do centro do macro´ıon em condi¸c˜oes correspondentes
`a κ
∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Raio de gira¸c˜ao de uma cadeia na presen¸ca de um macro´ıon com
diferentes valˆencias e n´umero m´edio de monˆomeros em fun¸c˜ao da
distˆancia ao centro de um macro´ıon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Parˆametro de extens˜ao do polieletr´olito na presen¸ca do macro´ıon e
concentra¸c˜ao m´edia de monˆomeros em fun¸c˜ao da distˆancia ao centro
do macro´ıon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6 Energia Livre do sistema em fun¸c˜ao do raio de gira¸c˜ao do polieletr´olito. 74
5.7 Diagrama de fases para dissocia¸c˜ao do complexo. . . . . . . . . . . . 75
6.1 N´umero de res´ıduos p(i) compondo o patch centralizado no res´ıduo i
para α–lactalbumina e β–lactoglobulina. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Representa¸c˜ao pict´orica do maior patch de carga existente na β–
lactoglobulina e dos dois maiores patches existente na α–lactalbumina. 79
6.3 Valˆencia m´edia e capacitˆancia da α–lactalbumina e β–lactoglobulina. 87
6.4 Potencial da for¸ca m´edia agindo no centro de massa do polieletr´olito
devido `a intera¸c˜ao com a α–lactalbumina e β–lactoglobulina em seus
respectivos pontos isoel´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5 Valor m´ınimo do potencial da for¸ca m´edia agindo no centro de massa
do polieletr´olito devido a sua intera¸c˜ao com a α–lactalbumina e β–
lactoglobulina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10
6.6 Resultados da intera¸c˜ao do polieletr´olito com a α–lactalbumina na
sua forma selvagem e mutante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11
Lista de Tabelas
3.1 Rela¸c˜ao dos dados solicitados pelo programa no in´ıcio de sua execu¸c˜ao. 29
5.1 Especifica¸c˜oes dos modelos simulados por diferentes grupos. . . . . . 54
7.1 Raio m´edio e n´umero de res´ıduos ioniz´aveis da α–lactalbumina e β–
lactoglobulina com os correspondentes valores de pK
o
. . . . . . . . . . 84
7.2 Informa¸c˜oes referentes `a α–lactalbumina nas formas selvagem e mu-
tante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12
Resumo
O entendimento da forma¸c˜ao de complexos compostos por polieletr´olitos e macro´ıons
´e fundamental para o estudo de v´arios processos biol´ogicos e tecnol´ogicos. Neste tra-
balho foram investigados os aspectos eletrost´aticos da complexa¸c˜ao, verificando os
efeitos da for¸ca iˆonica, da carga macromolecular e do grau de polimeriza¸c˜ao do
pol´ımero na estabilidade do complexo e nas caracter´ısticas conformacionais da ca-
deia. Com o objetivo de obter conclus˜oes gerais para este tipo de sistema, um modelo
simplificado foi utilizado. O pol´ımero foi representado por um conjunto de esferas
r´ıgidas carregadas conectadas por um potencial harmˆonico, enquanto o macro´ıon
seguiu um modelo esf´erico com distribui¸c˜ao de carga homogˆenea. A intera¸c˜ao entre
as esp´ecies carregadas foi tratada de acordo com a aproxima¸c˜ao de Debye-H¨uckel.
Utilizando simula¸c˜oes Monte Carlo no ensemble canˆonico, verificou-se que a disso-
cia¸c˜ao do complexo possui caracter´ısticas de transi¸c˜ao de fase. Condi¸c˜oes cr´ıticas
foram obtidas em concordˆancia com o comportamento observado empiricamente.
Resultados da intera¸c˜ao de polieletr´olitos com prote´ınas no seu ponto isoel´etrico
mostraram que a contribui¸c˜ao devido apenas `a regula¸c˜ao de carga ´e suficiente para
estabilizar o complexo e pode ser aumentada atrav´es de muta¸c˜oes que diminuam a
heterogeneidade de carga da prote´ına.
13
Abstract
The understanding of macro´ıon–polielectrolyte complex formation is fundamental
for the biological and technological process studies. In this work the electrostatic
issues on the complexation were inves tigated, verifying the effects of ionic strenght,
macromolecular charge, and degree of polimerization on the complex stability and
the chain conformational features. With the purpose of obtain general conclusions
for this system, a simplified model was adopted. The polymer was represented by
a set of rigid charged spheres connected by a harmonic potential, and the macroion
was represented by a rigid sphere with homogeneous charge distribution. The in-
teraction among macromolecules was described by the Debye-H¨uckel theory. Using
Monte Carlo simulations within the canonical ensemble, it was verified that complex
dissociation has phase–like transition behaviour. Numerical values for critical condi-
tions were obtained in agreement with the ones experimentally observed. Results of
interaction among polyeletrolyte and proteins on their isoelectric point showed that
the charge regulation contribuition only is sufficient to make the complex stable. Is
is also shown that charge regulation contribution is increased by mutations which
promote a lower protein charge density heterogenity.
14
Introdu¸c˜ao
Polieletr´olitos s˜ao macromol´eculas que possuem grupos ioniz´aveis [1, 2]. Em deter-
minadas condi¸c˜oes da solu¸c˜ao, a distribui¸c˜ao de carga que estas mol´eculas adquirem
´e suficiente para que a energia de intera¸c˜ao eletrost´atica entre elas supere a energia
t´ermica, formando complexos est´aveis [3]. Um dos exemplos s˜ao as prote´ınas [4, 5],
cujos amino´acidos cont´em grupos COO
−
ou NH
+
em suas cadeias laterais. Para
essa classe de biomol´eculas, assim como para outras part´ıculas coloidais, a forma¸c˜ao
do complexo promove apenas pequenas modifica¸c˜oes em sua estrutura, de forma
que a contribui¸c˜ao `a energia livre de liga¸c˜ao causada pela varia¸c˜ao de sua entropia
conformacional pode ser desprezada. Neste trabalho, polieletr´olitos com essa carac-
ter´ıstica ser˜ao denominados macro´ıons. Em outro extremo est˜ao pol´ımeros lineares
com alto grau de flexibilidade, como os ´acidos nucleicos [1, 6] e algumas macro-
mol´eculas sint´eticas [7], cujo grande n´umero de graus de liberdade leva a existˆencia
de uma contribui¸c˜ao repulsiva de natureza entr´opica causada pela perda de entro-
pia conformacional da cadeia quando de sua proximidade `a superf´ıcie do macro´ıon
(intera¸c˜ao de deple¸c˜ao) [8–10], al´em de v´arios estados conformacionais para o com-
plexo [11, 12].
A intera¸c˜ao entre cadeias polim´ericas e macro´ıons op ostamente carregados ´e um
assunto que vem sendo amplamente abordado atualmente [3, 11, 13, 14]. Sua im-
portˆancia biol´ogica est´a, por exemplo, na compacta¸c˜ao do DNA atrav´es de sua in-
tera¸c˜ao com prote´ınas histonas [6,15–17], e na intera¸c˜ao de glicosaminoglicanos com
15
a prote´ına antitrombina para o controle da coagula¸c˜ao sangu´ınea [18,19]. Dentre as
aplica¸c˜oes tecnol´ogicas, o controle da reologia de suspens˜oes na ´area aliment´ıcia [20],
a promo¸c˜ao da taxa de coagula¸c˜ao/flocula¸c˜ao para o tratamento de ´agua [21–23],
a c onstru¸c˜ao de dispositivos de multicamadas de carga oscilante [24, 25], e a com-
plexa¸c˜ao de pol´ımeros catiˆonicos com DNA para terapia gˆenica [26] tem tamb´em
motivado o estudo de tal tema. A principal quest˜ao que se coloca ´e como as condi¸c˜oes
f´ısico–qu´ımicas da solu¸c˜ao (concentra¸c˜ao das esp´ecies, for¸ca iˆonica e pH) afetam a
tendˆencia de pol´ımeros carregados aderirem na superf´ıcie de macro´ıons, e como a
conforma¸c˜ao do complexo influencia na estabilidade da solu¸c˜ao e na capacidade das
mol´eculas executarem sua fun¸c˜ao.
Observa-se empiricamente [27–29] que em condi¸c˜oes nas quais o complexo adquire
carga l´ıquida suficientemente baixa, ou seja, quando a carga do pol´ımero compensa,
quase que totalmente, a carga do macro´ıon, contribui¸c˜oes de segunda ordem pas-
sam a dominar a intera¸c˜ao entre os complexos, ocosionando agrega¸c˜ao. A solu¸c˜ao
ent˜ao se separa em uma fase, denominada coacervado, com alta concentra¸c˜ao destas
duas esp´ecies, e outra fase altamente dilu´ıda [27]. Entretanto, flocula¸c˜ao e coa-
gula¸c˜ao podem tamb´em ser observadas em condi¸c˜oes em que a carga do macro´ıon
n˜ao ´e balanceada pela carga do pol´ımero, quando uma ´unica cadeia pode interagir
com mais de uma part´ıcula coloidal formando algo semelhante a uma “ponte” entre
elas [13,30]. A conectividade entre os segmentos ´e resp ons´avel pela intera¸c˜ao atrativa
entre os macro´ıons (polyelectrolyte bridging interactions) que pode tamb´em promo-
ver a forma¸c˜ao de agregados. A descri¸c˜ao te´orica destes dois fenˆomenos envolve a
resolu¸c˜ao de um complexo problema de muitos corp os. Neste trabalho tratamos uma
vers˜ao simplificada do problema com o objetivo de descrever a forma¸c˜ao de com-
plexos sol´uveis compostos por apenas um macro´ıon e uma mol´ecula do pol´ımero,
reduzindo consideravelmente o n´umero de corpos envolvidos no sistema.
A conforma¸c˜ao de polieletr´olitos adsorvidos ´e fortemente dependente de v´arios parˆa-
16
metros do sistema [11]. Sua influˆencia ´e direta na intera¸c˜ao entre dois complexos e,
consequentemente, na estabilidade da solu¸c˜ao [31]. Resultados obtidos por modelos
analiticamente sol´uveis [32] e atrav´es de tratamentos num´ericos [15, 16] mostraram
que o aumento da carga do macro´ıon faz com que a cadeia deixe de simplesmente
toc´a-lo e passe a envolvˆe-lo. Quando isto ocorre, pol´ımeros flex´ıveis assumem es-
truturas macromoleculares tipo “bola de tˆenis”. Com o aumento da sua rigidez,
estruturas tipo “solen´oide” e “rosettte” podem tamb´em ser obtidas [11, 12, 33]. Em
alto grau de polimeriza¸c˜ao apenas parte do polieletr´olito se mant´em em contato
com a part´ıcula coloidal, com o restante formando conforma¸c˜oes semelhantes `a
“caudas” [8, 12]. Entretanto, estudos por simula¸c˜ao computacional apontam dis-
cordˆancias em rela¸c˜ao ao n´umero de caudas. Resultados obtidos por A. Akinchina
e P. Linse [12, 34] demonstram duas caudas se extendendo em dire¸c˜oes opostas, ao
contr´ario dos trabalhos de P. Chodanowski e S. Stoll [8, 11, 33, 35, 36], nos quais
apenas uma cauda ´e observada.
Estudos experimentais [11, 37, 38] e te´oricos [2, 15, 16] mostraram que complexos
sol´uveis s˜ao est´aveis apenas em concentra¸c˜oes intermedi´arias de sal. Em baixa for¸ca
iˆonica, a energia livre de liga¸c˜ao cont´em uma componente altamente desfavor´avel
devido ao trabalho necess´ario para curvar o polieletr´olito sobre a superf´ıcie do ma-
cro´ıon. Nestas condi¸c˜oes, a adi¸c˜ao de sal pode contribuir para a complexa¸c˜ao blin-
dando a intera¸c˜ao repulsiva entre os grupos carregados do pol´ımero. No limite de
alta concentra¸c˜ao salina, observa-se varia¸c˜oes abruptas nas grandezas experimentais
relacionadas `a conforma¸c˜ao da cadeia [39–44], caracterizando a dissocia¸c˜ao do com-
plexo. Segundo F. W. Wiegel [45], este comportamento caracter´ıstico de transi¸c˜ao
de fase pode ter grande importˆancia na regula¸c˜ao do metabolismo celular, uma vez
que pequenas varia¸c˜oes na composi¸c˜ao qu´ımica da c´elula po dem causar mudan¸cas
significativas no comportamento de diversas biomol´eculas.
Embora exista um grande n´umero de trabalhos por simula¸c˜ao computacional abor-
17
dando este problema [8, 12,33–36, 46, 47], a dependˆencia da for¸ca iˆonica cr´ıtica com
a densidade de carga das macromol´eculas tem se mostrado dependente do crit´erio
adotado para caracterizar a transi¸c˜ao, al´em de n˜ao apresentar concordˆancia com
resultados emp´ıricos.
Complexos sol´uveis tem sido tamb´em observados em condi¸c˜oes onde as macro-
mol´eculas possuem carga de mesmo sinal [7, 27, 46, 48]. Este fenˆomeno, conhecido
como complexa¸c˜ao do lado errado do ponto isoel´etrico, pode ser explicado assumindo
que a heterogeneidade da densidade de carga da prote´ına ´e suficiente para gerar
contribui¸c˜oes atrativas de segunda ordem [7, 49]. De acordo com esta abordagem, o
pol´ımero deve se ligar em regi˜oes com alta densidade de carga oposta denomindas
patches de carga. Outro mecˆanismo recentemente sugerido ´e o de regula¸c˜ao de carga.
Segundo ele, em condi¸c˜oes onde a macromol´ecula possui baixa carga l´ıquida (pH ≈
pI) a presen¸ca de outros corpos carregados influncia significativamente no grau de
ioniza¸c˜ao dos res´ıduos, modificando a distribui¸c˜ao de carga e causando o surgimento
de uma carga induzida que favorece a intera¸c˜ao. Segundo F. L. B. da Silva e cola-
boradores [50], a contribui¸c˜ao causada pela regula¸c˜ao de carga ´e dominante e pode
ser a driving force para a complexa¸c˜ao.
Baseado neste cen´ario, o objetivo geral do trabalho ´e contribuir para o maior enten-
dimento da complexa¸c˜ao entre macro´ıons e polieletr´olitos em condi¸c˜oes da solu¸c˜ao
ainda n˜ao suficientemente exploradas. Do ponto de vista metodol´ogico, novas ferra-
mentas computacionais foram desenvolvidas, as quais ser˜ao descritas no cap´ıtulo 2.
No cap´ıtulo 4 ser´a realizada a investiga¸c˜ao do efeito da carga do macro´ıon e do grau
de polimeriza¸c˜ao da cadeia nas propriedades conformacionais de polieletr´olitos ad-
sorvidos. Este estudo possibilitar´a elucidar as divergˆencias existentes na literatura
apontadas acima. O comportamento de fase deste sistema ser´a abordado no cap´ıtulo
5, utilizando um diferente crit´erio para caracteriza¸c˜ao das condi¸c˜oes cr´ıticas. O raio
de gira¸c˜ao do pol´ımero ser´a adotado como parˆametro de ordem e o m´etodo de mul-
18
tiplos histogramas [51,52] ser´a aplicado para o c´alculo da energia livre. No cap´ıtulo
6, um modelo simplificado ser´a proposto para estudar o efeito da for¸ca iˆonica na
contribui¸c˜ao devida `a regula¸c˜ao de carga da intera¸c˜ao entre poliˆanions e prote´ınas
do leite, al´em de verificar o efeito de muta¸c˜oes em alguns res´ıduos da α–lactalbumina
apontados [46] como fundamentais para estabilidade do complexo.
19
Cap´ıtulo 1
Modelo do Sistema
O tratamento te´orico de solu¸c˜oes polieletrol´ıticas n˜ao ´e trivial devido `a consider´avel
intera¸c˜ao entre todos seus componentes (macromol´eculas, ´ıons de sal, contra´ıons e
solvente). Este problema de muitos corpos imp˜oe limita¸c˜oes de ordem matem´atica,
al´em de inviabilizar o tratamento num´erico devido ao alto custo computacional
ocasionado pelo grande n´umero de graus de liberdade. Isto sugere a utiliza¸c˜ao de
modelos simplificados que possam capturar as principais caracter´ısticas f´ısicas destes
sistemas e possibilitar uma formula¸c˜ao matem´atico-computacional trat´avel, em um
tempo de esp era razo´avel. Estas simplifica¸c˜oes s ˜ao realizadas substitu´ındo o com-
portamento expl´ıcito de algumas esp´ecies pelo seu comportamento m´edio [53, 54].
A escolha do grau de simplifica¸c˜ao adequado a cada aplica¸c˜ao est´a relacionada com
as propriedades que se deseja calcular e com os recursos matem´aticos e computacio-
nais existentes. Enquanto c´alculos de propriedades espectrosc´opicas exigem modelos
com detalhamento atˆomico [55, 56], trabalhos tˆem mostrado que a intera¸c˜ao entre
mol´eculas biol´ogicas pode ser estudada utilizando modelos com precis˜ao em escala
mesosc´opica [57–59].
Seguindo a sugest˜ao de H. L. Friedman [53, 54], os modelos podem ser classifica-
20
dos de acordo com o seu grau de detalhamento. No n´ıvel mais fundamental, de-
nominado n´ıvel de Schr¨odinger [53, 54], a Hamiltoniana do sistema ´e fun¸c˜ao das
coordenadas dos el´etrons e n´ucleos, e a intera¸c˜ao entre as part´ıculas ´e obtida de
primeiros princ´ıpios. Nestas condi¸c˜oes, a equa¸c ˜ao de Schr¨odinger deve ser resolvida,
na maioria dos casos, por m´etodos aproximativos ou computacionais [60–62]. No
n´ıvel de Bohr–Oppenheimer
1
, o comportamento expl´ıcito dos el´etrons ´e substitu´ıdo
pelo seu comportamento m´edio, e o modelo ´e resolvido em fun¸c˜ao das coordenadas
dos ´atomos [53, 54]. Entretanto, nesta aproxima¸c˜ao o potencial de intera¸c˜ao n˜ao ´e
conhecido, necessitando da utiliza¸c˜ao de camp os de for¸ca parametrizados empirica-
mente ou atrav´es de c´alculos quˆanticos [63]. Em sistemas envolvendo predominan-
temente intera¸c˜oes de longo alcance, a estrutura microsc´opica do solvente pode ser
desprezada e o comportamento molecular expl´ıcito do meio aquoso pode ser subs-
titu´ıdo por um meio cont´ınuo com propriedades determinadas por sua constante
diel´etrica [54, 64–66]. Este n´ıvel de aproxima¸c˜ao ´e denominado n´ıvel de McMillan–
Mayer e foi adotado neste trabalho. A temperatura do sistema foi mantida fixa
em T = 298,15 K e a constante diel´etrica do solvente
s
assumiu o valor obtido
experimentalmente de 78, 7.
1.1 Modelo da C´elula
Em solu¸c˜oes suficientemente dilu´ıdas pode-se considerar que as esp´ecies macromole-
culares se comportam independentemente umas das outras. Isto permite a utiliza¸c˜ao
do modelo da c´elula [67–70]. De acordo com esta aproxima¸c˜ao, o volume total da
solu¸c˜ao pode ser dividido em regi˜oes compostas por um macro´ıon e N
c
mol´eculas do
pol´ımero, al´em de ´ıons de sal e contra´ıons. Devido `a geometria da part´ıcula coloi-
1
N˜ao deve-se confundir o n´ıvel de Bohr–Oppenheimer, classifica¸c˜ao adotada por H. L. Friedman
para o estudo de solu¸c˜oes coloidais, com a aproxima¸c˜ao de Bohr–Oppenheimer para c´alculos de
estrutura eletrˆonica [60–62].
21
Figura 1.1: Representa¸c˜ao do modelo da c´elula. Os ´ıons de sal e contra´ıons n˜ao s˜ao inclu´ıdos na
c´elula pois s˜ao tratados implicitamente como descrito na se¸c˜ao 1.4.
dal, ´e conveniente definir estas regi˜oes como c´elulas esf´ericas de raio R
c
, consistente
com a concentra¸c˜ao macromolecular, como mostrado na figura 1.1. Na maior parte
deste trabalho, exceto nos resultados referentes `a regula¸c˜ao de carga apresentados
no cap´ıtulo 6, foi adotado R
c
= 158,26 nm referente `a concentra¸c˜ao macromolecular
de 0,1 µM. No cap´ıtulo 6 foram utilizados R
c
= 340,97
˚
A (0,01 mM) e R
c
= 199,40
˚
A (0,05 mM).
A intera¸c˜ao entre quaisquer esp´ecies ocupando diferentes c´elulas ´e completamente
22
desprezada. Is to exige que cada c´elula seja el´etricamente neutra e que n˜ao existam
flutua¸c˜oes do n´umero de part´ıculas em seu interior. Por isso, qualquer part´ıcula
de raio R localizada a uma distˆancia de r do centro da c´elula deve estar sujeita ao
potencial confinante
u
conf
(r) =
∞ , r > (R
c
− R)
0 , caso contr´ario.
(1.1)
1.2 Macro´ıon
Recentemente, resultados emp´ıricos mostraram a importˆancia da distribui¸c˜ao de
carga do macro´ıon na sua afinidade `a polieletr´olitos flex´ıveis [7, 49, 71, 72]. Por
isso, um modelo com detalhamento microsc´opico seria desej´avel e perfeitamente
poss´ıvel [46, 50, 73]. Entretanto, com o intuito de generalizar as an´alises realizadas
neste trabalho, foi adotada uma representa¸c˜ao simplificada. Apenas a contribui¸c˜ao
de primeira ordem da expans˜ao multipolar do potencial eletrost´atico gerado pelo
macro´ıon foi considerada, tratando o mesmo como uma esfera r´ıgida de raio R
m
e
carga l´ıquida Q
m
= Z
m
e, sendo e a carga elementar, localizada no centro.
Parece razo´avel assumir que a polarizabilidade do interior do macro´ıon seja con-
sideravelmente diferente da polarizabilidade do solvente [65, 74]. I sso ocasionaria
a existˆencia de cargas de polariza¸c˜ao na superf´ıcie macromolecular e, consequente-
mente, a necessidade de definir um baixo valor para a constante diel´etrica do interior
do macro´ıon (
m
). Entretanto, n˜ao existe um consensso na literatura [75–79] sobre
a lo caliza¸c˜ao da interface diel´etrica e o valor correto de
m
, sendo muitas vezes
definidos de forma a obter resultados concordantes com dados experimentais [80].
Previs˜oes te´oricas da constante de liga¸c˜ao de ´ıons met´alicos `a prote´ınas da fam´ılia
23
da Calmodulina, mostraram concordˆancia com resultados experimentais apenas para
altos valores da constante diel´etrica do interior prote´ıco [77]. A utiliza¸c˜ao de baixos
valores fornece resultados sem coerˆencia f´ısica para a previs˜ao de efeitos mutacio-
nais [79]. Por outro lado, no caso da intera¸c˜ao do radial superoxido (O
−
2
) com a
prote´ına Superoxido Dismutase [81], a utiliza¸c˜ao de baixos valores para
m
´e ne-
cess´aria para explica¸c˜ao dos dados emp´ıricos. Diante destas divergˆencias, alguns
trabalhos afirmam que a escolha da constante diel´etrica macromolecular depende da
aplica¸c˜ao e das grandezas f´ısicas que se deseja calcular [75, 82].
Seguindo ent˜ao a proposta de v´arios trabalhos [8, 70, 83, 84] que investigaram a
intera¸c˜ao de pol´ımeros carregados com prote´ınas e nanopart´ıculas, ser´a adotada uma
atitude pragm´atica na qual as cargas de polariza¸c˜ao ser˜ao desprezadas assumindo
m
=
s
. Esta aproxima¸c˜ao tem o intu´ıto principal de manter o modelo com grau de
simplifica¸c˜ao apropriado para o tratamento computacional.
1.3 Polieletr´olito
O modelo adotado para o polieletr´olito seguiu as especifica¸c˜oes necess´aria para re-
produzir o comportamento de cadeias Gaussianas [10,85]. Al´em de possuir alto grau
de generalidade, esta forma de tratar o pol´ımero tem se mostrado compat´ıvel com
abordagens te´oricas mais detalhadas. De fato, simula¸c˜oes por dinˆamica molecular
considerando detalhamento atˆomico mostraram que a distˆancia entre amino´acidos
consecutivos de homopept´ıdeos carregados satisfaz aproximadamente a distribui¸c˜ao
Gaussiana [86]. O pol´ımero foi ent˜ao representado simplesmente por um conjunto
de N
p
esferas r´ıgidas de raio R
p
= 2
˚
A e carga l´ıquida Q
p
= Z
p
e = e, conectadas
pelo potencial harmˆonico
24
u
p
(r) =
1
2
kr
2
, (1.2)
onde r ´e a distˆancia entre dois monˆomeros consecutivos. Na ausˆencia de qualquer
perturba¸c˜ao externa, a distˆancia m´edia r
o
´e determinada pelo equil´ıbrio entre a for¸ca
eletrost´atica repulsiva e a for¸ca harmˆonica atrativa. Definindo ent˜ao um valor para
o parˆametro r
o
´e poss´ıvel obter a constante k atrav´es da rela¸c˜ao [69, 86]
kr
o
=
e
2
4π
o
s
r
2
o
, (1.3)
onde
o
´e a permissividade el´etrica do v´acuo. A rigidez estrutural da cadeia foi
desprezada, considerando que a componente eletrost´atica do comprimento de per-
sistˆencia ´e predominantemente respons´avel pela sua flexibilidade (a defini¸c˜ao de
comprimento de persistˆencia ser´a dada na se¸c˜ao 3.3). Em todas as simula¸c˜oes re-
alizadas neste trabalho o valor do parˆametro r
o
foi fixado em 4.5
˚
A, resultando
na distˆancia m´edia monˆomero–monˆomero de aproximadamente 7.5
˚
A. Este valor ´e
compat´ıvel com as distˆancias entre amino´acidos de uma cadeia polipept´ıdica.
1.4 Solu¸c˜ao Eletrol´ıtica
Os pequenos ´ıons m´oveis da solu¸c˜ao, ou seja, ´ıons de sal e contra´ıons dissociados
das esp´ecies macromoleculares, s˜ao comumente tratados de acordo com o Modelo
Primitivo [87]. Esta forma tem se mostrado adequada para a descri¸c˜ao da forma¸c˜ao
de complexos moleculares [12, 50, 88–90]. Entretanto, em regimes de alta concen-
tra¸c˜ao salina, onde o n´umero de part´ıculas se torna suficientemente grande, o tempo
computacional necess´ario para obter a convergˆencia das propriedades m´edias torna
o seu emprego proibitivo. Na verdade, em concentra¸c˜oes moderadas de sal (100
25
mM) este problema j´a est´a presente. Uma alternativa para reduzir o tempo com-
putacional ´e considerar os pequenos ´ıons da solu¸c˜ao implicitamente. Em contato
com o potencial el´etrico gerado pelo macro´ıon e pelas cadeias polieletrol´ıticas, os
´ıons de sal e contra´ıons se distribuir˜ao atenuando a intera¸c˜ao entre os outros cons-
titu´ıntes do sistema.
´
E poss´ıvel ent˜ao estabelecer um potencial efetivo determinado
pelo comportamento m´edio dos ´ıons. Este potencial pode ser obtido atrav´es da te-
oria de Debye-H¨uckel [91, 92], onde a intera¸c˜ao entre duas part´ıculas carregadas ´e
dada pelo potencial de Coulomb blindado. Introduzindo uma contribui¸c˜ao de curto
alcance dada apenas por uma barreira infinita de potencial respons´avel em evitar
a sobreposi¸c˜ao dos monˆomeros (potencial de esfera–r´ıgida), a e nergia de intera¸c˜ao
entre quaisquer dois deles ´e ent˜ao expressa por
βu
p
el
(r) =
∞ , r < 2 R
p
l
B
Z
2
p
r
exp(−κ r) , caso contr´ario,
(1.4)
onde β = (k
B
T )
−1
, sendo k
B
a constante de Boltzmann, e l
B
=
e
2
4π
o
s
k
B
T
´e cha-
mado comprimento de Bjerrum [1, 92].
A constante κ
−1
´e o comprimento de Debye [91, 93]. Tradicionalmente, esta gran-
deza ´e relacionada apenas com a concentra¸c˜ao salina. Entretanto, desde a d´ecada de
80, trabalhos mostraram que a inclus˜ao dos contra´ıons respons´aveis em compensar
a carga macromolecular torna a teoria de Debye-H¨uckel adequada para descrever
os efeitos da concentra¸c˜ao macromolecular em solu¸c˜oes coloidais [93–96]. Recente-
mente, isto tamb´em se verificou no estudo da intera¸c˜ao entre ligantes e prote´ınas [97].
Seguindo esta abordagem, o κ modificado ´e dado por
κ
−1
=
o
s
k
B
T
e
2
3
i=1
n
i
(Z
i
)
2
1/2
, (1.5)
26
onde e n
i
e Z
i
s˜ao a densidade num´erica e valˆencia da esp´ecie i, respectivamente. O
´ındice i representa os c´ations e ˆanions do sal e os ´ıons respons´aveis pela eletroneu-
tralidade da c´elula.
A energia de intera¸c˜ao entre o macro´ıon e um dado monˆomero ´e dada pelo potencial
de Verwey-Overbeek [98]
βu
m
el
(r) =
∞ , r < (R
m
+ R
p
)
l
B
Z
m
Z
p
(1 + κR
m
)
exp[−κ(r − R
m
)] , caso contr´ario.
(1.6)
Sendo N = N
c
N
p
o n´umero total de monˆomeros no interior da c´elula, a energia
total de uma determinada configura¸c˜ao do sistema ´e dada por
U =
N
i=1
u
conf
(r
i
) +
N
i=1
u
m
el
(r
i
) +
N−1
i=1
N
j=i+1
u
p
el
(r
i,j
) +
N
c
i=1
N
p
−1
j=1
u
p
(r
i
j,j+1
), (1.7)
onde r
i
´e a distˆancia entre um determinado monˆomero i e o centro do macro´ıon, r
i,j
´e a distˆancia entre quaisquer dois monˆomeros i e j, e r
i
j,j+1
´e a distˆancia entre os
monˆomeros j e j + 1 da i–´esima cadeia. O primeiro termo refere-se a intera¸c˜ao de
confinamento dos monˆomeros no interior da c´elula (rela¸c˜ao 1.1), os dois pr´oximos s˜ao
referentes a intera¸c˜ao eletrost´atica monˆomero–macro´ıon (rela¸c˜ao 1.6) e monˆomero–
monˆomero (rela¸c˜ao 1.4), respectivamente, e o ´ultimo termo refere-se ao potencial
que mant´em a conex˜ao entre os monˆomeros (rela¸c˜ao 1.2).
27
Cap´ıtulo 2
Ferramentas Computacionais
Devido a complexidade da fun¸c ˜ao energia potencial definida no cap´ıtulo anterior,
o tratamento matem´atico anal´ıtico do modelo se torna imposs´ıvel. Em geral, a
solu¸c˜ao de problemas envolvendo muitos corpos interagentes exige uma abordagem
num´erica [91,99–103]. B´asicamente, duas t´ecnicas de simula¸c˜ao computacional tem
sido amplamente empregadas para o estudo de sistemas biomoleculares: uma de-
las, o m´etodo Monte Carlo (MC), [100, 102, 103] ´e baseado na gera¸c˜ao de confi-
gura¸c˜oes aleat´orias que s˜ao utilizadas, com a probabilidade adequada, para o c´alculo
de propriedades termodinˆamicas e estruturais m´edias, de acordo com os fundamen-
tos da Mecˆanica Estat´ıstica. Por outro lado, a t´ecnica de Dinˆamica Molecular
(DM) [100, 102, 104, 105] realiza a integra¸c˜ao num´erica das equa¸c˜oes da Mecˆanica
Cl´assica atribu´ıdas a cada constitu´ınte do sistema. Como consequˆencia, proprieda-
des dinˆamicas s˜ao obtidas naturalmente em conjunto com grandezas m´edias efetua-
das sobre o tempo. Embora a hip´otese erg´odica [100,106,107] sugira a equivalˆencia
entre as propriedades m´edias obtidas com as duas metodologias, estudos [82] apon-
tam que o m´etodo MC ´e mais apropriado para simula¸c˜oes no n´ıvel de McMillan-
Mayer, ao contr´ario da t´ecnica de DM que vem se mostrando mais eficiˆente na abor-
dagem de problemas envolvendo pro ces sos de hidrata¸c˜ao em escala microsc´opica.
28
2.1 Mecˆanica Estat´ıstica Cl´assica
Assumindo a validade dos limites da Mecˆanica Cl´assica, o estado de um sistema
f´ısico contendo n graus de liberdade ´e completamente determinado, em um dado
instante, pelo valor assumido pelas coordenadas generalizadas {q
1
, q
2
, . . . , q
n
} e mo-
mentos canˆonicamente conjugados {p
1
, p
2
, . . . , p
n
}. A evolu¸c˜ao temporal pode ser
obtida atrav´es da solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento (equa¸c˜oes de Hamilton) [108].
Conhecendo ent˜ao o estado em um instante qualquer, as condi¸c˜oes iniciais ficam
estabelecidas e o comportamento dinˆamico do sistema se torna univocamente deter-
minado.
Entretanto, algumas situa¸c˜oes n˜ao permitem a obten¸c˜ao de todo o conhecimento
necess´ario para a aplica¸c˜ao do formalismo tradicional da Mecˆanica Cl´assica. N˜ao ´e
poss´ıvel, por exemplo, conhecer o estado microsc´opico de um fluido em algum ins-
tante. Nestes casos, ´e razo´avel assumir que em intervalos de tempo suficientemente
grandes, compar´aveis ao tempo necess´ario para realiza¸c˜ao de medidas emp´ıricas, o
sistema assuma todos os estados acess´ıveis e suas propriedades se tornem indepen-
dentes do tempo. Esta situa¸c˜ao caracteriza o equil´ıbrio termodinˆamico [106, 109].
Isto possibilita o tratamento te´orico atrav´es de uma abordagem estat´ıstica, onde
grandezas f´ısicas podem ser calculadas como m´edias sobre todas as configura¸c˜oes
do sistema, independente do seu comportamento dinˆamico. Para isso, ´e conveniente
introduzir um tratamento geom´etrico atrav´es da constru¸c˜ao de um espa¸co cartesi-
ano de dimens˜ao 2n, denominado espa¸co de fase [107, 109], onde cada estado seja
representado por um ponto de coordenadas (q
1
, q
2
, . . . , q
n
, p
1
, p
2
, . . . , p
n
). Em geral,
a distribui¸c˜ao de pontos no espa¸co de fase n˜ao ´e homogˆenea, tornando necess´aria
a defini¸c˜ao de uma fun¸c˜ao densidade de probabilidade ρ(q
1
, q
2
, . . . , q
n
, p
1
, p
2
, . . . , p
n
)
que determina o n´umero de estados no interior de um elemento de volume [106]. O
conjunto das configura¸c˜oes representadas pelos pontos no espa¸co de fase ´e chamado
29
ensemble.
Denotando q ≡ {q
1
, q
2
, . . . , q
n
} e p ≡ {p
1
, p
2
, . . . , p
n
}, a m´edia de uma determinada
grandeza f´ısica Γ pode ser calculada atrav´es da express˜ao [109]
Γ =
Γ(q, p) ρ(q, p) dq dp. (2.1)
A fun¸c˜ao ρ ´e determinada pelos v´ınculos impostos a alguns parˆametros macrosc´opi-
cos. De acordo com o modelo de scrito no cap´ıtulo anterior, as configura¸c˜oes que
determinam o comportamento do sistema est˜ao restritas ao mesmo n´umero de
part´ıculas N e ao mesmo volume V. Considera-se ainda a c´elula em equil´ıbrio t´ermico
com o restante da solu¸c˜ao `a temperatura T. O conjunto das configura¸c˜oes sujeitas a
N, V e T constantes ´e denominado ensemble canˆonico. Neste caso, a densidade de
probabilidade ´e dependente apenas da fun¸c˜ao Hamiltoniana H(q, p):
ρ(q, p) =
exp [−βH(q, p)]
exp [−βH(q, p)] dq dp
. (2.2)
Toda a informa¸c˜ao necess´aria para a caracteriza¸c˜ao termodinˆamica do sistema,
a partir de suas propriedades microsc´opicas, esta contida na fun¸c˜ao de parti¸c˜ao
canˆonica [106, 109]
Q =
1
h
3N
(N
i
!)
exp [−βH(q, p)] dq dp, (2.3)
onde h ´e a constante de Plank. A produt´oria ´e realizada sobre todas as esp´ecies de
part´ıculas distingu´ıveis, sendo N
i
o n´umero de part´ıculas da esp´ecie i. Em termos da
densidade de estados Ω(E), ou seja, do n ´umero de estados microsc´opicos acess´ıveis
ao sistema com energia E, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao pode ser escrita como
30
Q =
Ω(E) exp(−βE) dE. (2.4)
Pode-se mostrar que a energia livre de Helmholtz ´e calculada atrav´es da express˜ao
A = −k
B
T ln Q [106, 109], de onde qualquer outra grandeza termodinˆamica pode
ser obtida.
Em situa¸c˜oes onde a energia potencial depende apenas das coordenadas, como no
caso do modelo apresentado no cap´ıtulo anterior, a rela¸c˜ao 2.3 pode ser simplificada
integrado-a nos momentos. Adotando o conjunto de coordenadas generalizadas como
as componentes cartesianas dos vetores que indicam a posi¸c˜ao de cada uma das N
part´ıculas (r ≡ {r
1
, r
2
, . . . , r
N
}), a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao pode ser reescrita como
Q =
Z
Λ
3N
i
i
(N
i
!)
, (2.5)
onde Z =
exp [ − βU(r)] dr ´e a componente configuracional de Q, denominada
integral de configura¸c˜ao, e Λ
i
=
h
√
2πm
i
k
B
T
´e o comprimento de onda t´ermico de
uma part´ıcula da esp´ecie i com massa m
i
.
Caso Γ tamb´em dependa apenas das coordenadas, a mesma integra¸c˜ao pode ser
realizada na rela¸c˜ao 2.1, obtendo
Γ =
Γ(r)ρ(r) dr, (2.6)
onde a densidade de probabilidade passa a depender apenas da posi¸c˜ao das part´ıculas:
ρ(r) =
exp [−βU(r)]
Z
. (2.7)
31
Poucos s˜ao os modelos onde as integrais definidas acima podem ser resolvidas
exatamente por m´etodos anal´ıticos. Entretanto, al´em do tratamento num´erico,
m´etodos aproximativos baseados em teoria de perturba¸c˜ao [91] ou expans˜ao em
“cluster” [110], por exemplo, podem ser utilizados.
2.2 M´etodo Monte Carlo
O princ´ıpio b´asico do c´alculo num´erico de integrais ´e estabelecer um conjunto de
valores discretos para a vari´avel, de forma que o resultado da integral possa ser
obtido, dentro da precis˜ao desejada, ap enas pelos referentes valores assumidos pelo
integrando. Este procedimento de discretiza¸c˜ao ´e inerente a m´etodos computacionais
devido a imposi¸c˜ao de um limite finito para a precis˜ao de qualquer grandeza num´erica
[107]. Os valores da vari´avel podem ser es tabelecidos a priori e homogeneamente
distribu´ıdos pelo intervalo definido pelos limites da integral. Este ´e o caso do m´etodo
de Simpson [111], por exemplo.
Esta metodologia se torna invi´avel para a solu¸c˜ao de integrais multidimensionais,
como no caso da rela¸c˜ao 2.6. Uma formula¸c˜ao alternativa ´e tratar o conjunto das
coordenadas que definem a configura¸c˜ao do sistema de maneira estoc´astica [112].
Configura¸c˜oes aleat´orias podem ser geradas computacionalmente formando uma ca-
deia Markoviana [112]. Neste caso, uma determinada configura¸c˜ao r
i
depender´a
apenas da configura¸c˜ao anterior r
i−1
. Se a distribui¸c˜ao de probabilidades destas
configura¸c˜oes satisfazer a rela¸c˜ao 2.7, a m´edia de qualquer grandeza Γ pode ser
calculada simplesmente por
Γ =
1
M
i
Γ
i
, (2.8)
32
onde Γ
i
´e o valor assumido por Γ quando o sistema assume a configura¸c˜ao r
i
e
M ´e o n´umero total de configura¸c˜oes. O problema ent˜ao est´a em se definir um
crit´erio de aceita¸c˜ao para as configura¸c˜oes criadas computacionalmente, de forma a
satisfazer a distribui¸c˜ao de probabilidades apropriada. Isto ´e realizado fazendo uso
da condi¸c˜ao de balan¸co detalhado [106,112]. Denotando por P (r
i
|r
j
) a probabilidade
de transi¸c˜ao da configura¸c˜ao r
j
para a configura¸c˜ao r
i
e por P (r) a probabilidade
do sistema assumir a configura¸c˜ao r, esta condi¸c˜ao ´e matematicamente expressa por
P (r
i
|r
i−1
)P (r
i−1
) = P (r
i−1
|r
i
)P (r
i
). (2.9)
Utilizando a distribui¸c˜ao 2.7, a raz˜ao entre as probabilidade de transi¸c˜ao se torna
apenas dependente da diferen¸ca de energia ∆U das duas configura¸c˜oes em quest˜ao:
P (r
i
|r
i−1
)
P (r
i−1
|r
i
)
= exp (−β∆U) . (2.10)
Resolvendo a equa¸c˜ao acima, determina-se as probabilidades de transi¸c˜ao e conse-
quentemente se obtem o crit´erio de aceita¸c˜ao desejado. A equa¸c˜ao 2.10 n˜ao possui
solu¸c˜ao ´unica. Uma delas, proposta por N. A. Metropolis e colaboradores [100,113],
foi adotada para este trabalho. Esta solu¸c˜ao ´e dada por
P (r
i
|r
i−1
) =
exp (−β∆U) , ∆U > 0
1 , ∆U < 0.
(2.11)
O algoritmo computacional para implementa¸c˜ao da proposta de Metr´opolis segue o
seguinte procedimento:
33
1. A partir de uma configura¸c˜ao r
i
cria-se uma nova configura¸c ˜ao r
i
realizando
movimentos aleat´orios nas part´ıculas.
2. Calcula-se a diferen¸ca de energia entre as duas configura¸c˜oes
∆U = U(r
i
) − U(r
i
).
3. Se ∆U ≤ 0 a nova configura¸c˜ao ´e aceita (r
i+1
= r
i
).
4. Se ∆U > 0 um n´umero aleat´orio η homogeneamente distribu´ıdo no intervalo
[0,1] ´e criado.
5. Se η ≤ exp [−β∆U] a configura¸c˜ao ´e aceita (r
i+1
= r
i
).
6. Se η > exp [−β∆U] a configura¸c˜ao ´e rejeitada (r
i+1
= r
i
).
7. Repete-se todo processo a partir do passo 1.
2.3 Desenvolvimentos Computacionais
Os c´odigos computacionais foram escritos especificamente para este trabalho, ado-
tando a liguagem de programa¸c˜ao Fortran 77 e implementando o m´etodo M onte
Carlo em conjunto com o algoritmo de Metr´opolis, como descrito na se¸c˜ao ante-
rior. Primeiramente, foi desenvolvido um c´odigo b´asico res pons´avel em realizar a
simula¸c˜ao do modelo descrito no cap´ıtulo 1, calculando as propriedades conforma-
cionais m´edias da cadeia e a distribui¸c˜ao dos monˆomeros. Uma implementa¸c˜ao adi-
cional foi realizada posteriormente com o objetivo de estudar o efeito da regula¸c˜ao
de carga [50, 59, 114]. Detalhes sobre esta segunda etapa de desenvolvimento s˜ao
apresentados no cap´ıtulo 6.
34
2.3.1 C´odigo B´asico
Inicialmente, o programa solicita os parˆametros referentes ao modelo, juntamente
com as informa¸c˜oes relacionadas com a execu¸c˜ao da simula¸c˜ao. Estes dados s˜ao apre-
sentados na tabela 2.3.1. As configura¸c˜oes do sistema s˜ao geradas atrav´es de 2 tipos
de movimentos. Em cada passo da simula¸c˜ao estes movimentos s˜ao selecionados e
realizados de acordo com a descri¸c˜ao abaixo:
1. Transla¸c˜ao de um monˆomero: Um monˆomero ´e es colhido aleat´oriamente
e as co ordenadas X, Y e Z que determinam sua posi¸c˜ao no interior da c´elula
s˜ao acrescidas de um deslocamento ∆X, ∆Y e ∆Z , respectivamente. A mag-
nitude destes deslocamentos s˜ao obtidas randomicamente, sendo, entretanto,
necessariamente menores do que o valor definido no in´ıcio da execu¸c˜ao do
programa. Esta restri¸c˜ao determina o n´umero de configura¸c˜oes aceitas no
Tabela 2.1: Re la¸c˜ao dos dados solicitados pelo programa no in´ıcio de sua execu¸c˜ao. As grandezas
entre parˆenteses indicam a forma como os parˆametros s˜ao denotados no cap´ıtulo 1.
Parˆametros de entrada Informa¸c˜oes de entrada relacionados
relacionados com o modelo com a execu¸c˜ao da simula¸c˜ao
Raio do Macroion (R
m
) N´umero de passos para equilibra¸c˜ao
Valˆe ncia do Macroion (Z
m
) N´umero de passos para a produ¸c˜ao
Concentra¸c˜ao do macroion Semente do gerador de n´umeros aleat´orios
N´umero de cadeias (N
c
) Deslocamento m´aximo dos monˆomeros
N´umero de monˆomeros por cadeia (N
p
) Des locamento m´aximo das cadeias
Raio dos monˆomeros (R
p
) Probabilidade de deslo car a cadeia
Valˆe ncia dos monˆomeros (Z
p
) N´umero de configura¸c˜oes independentes
Separa¸c˜ao de eq. dos monˆomeros (r
0
) Ler a configura¸c˜ao da simula¸c˜ao anterior ?
Concentra¸c˜ao de sal Executar produ¸c˜ao ?
Temperatura (T)
35
crit´erio de Metr´opolis. O valor adotado foi de 4,5
˚
A, ocasionando a aceita¸c˜ao
de aproximadamente 35% das configura¸c˜oes. Esta escolha se mostrou es-
tat´ısticamente eficiˆente, ou seja, as propriedades m´edias relacionadas a posi¸c˜ao
dos monˆomeros, como o raio de gira¸c˜ao e a distˆancia end-to-end, convergiram
com o menor n´umero de passos.
2. Transla¸c˜ao de uma cadeia: Uma cadeia ´e escolhida aleat´oriamente e todos
os monˆomeros s˜ao deslocados conforme descrito no ´ıtem acima. O valor ado-
tado para o deslocamento m´aximo, e consequentemente a aceita¸c˜ao deste mo-
vimento, ´e fortemente dependente da magnitude da intera¸c˜ao entre o pol´ımero
e o macro´ıon. Em baixas concentra¸c˜oes de sal, o deslocamente m´aximo deve
ser de poucos Angstr¨ons para obter aceita¸c˜ao em torno de 5%. Com valores
t˜ao baixos corre–se o risco do sistema se manter em estados correspondentes `a
m´ınimos de energia locais. Este problema ´e evitado atrav´es do procedimento
descrito na se¸c˜ao 2.4. Em regimes de alta blindagem eletrost´atica, aproxi-
madamente metade das configura¸c˜oes s˜ao aceitas adotando o deslocamento
m´aximo igual `a metade do raio da c´elula.
A execu¸c˜ao do movimento de um monˆomero ou de toda a cadeia ´e determinada no
in´ıcio de cada passo atrav´es da cria¸c˜ao de um n´umero aleat´orio η. Se η for menor
do que a probabilidade de deslocar a cadeia, informada no in´ıcio da execu¸c˜ao do
programa, a transla¸c˜ao da cadeia ´e efetuada. Caso contr´ario, o movimento de um
monˆomero ´e realizado. O valor da probabilidade depende do grau de polimeriza¸c˜ao
da cadeia e foi definida de forma a resultar em boa eficiˆencia estat´ıstica.
As posi¸c˜oes iniciais dos monˆomeros s˜ao determinadas de duas formas. Se n˜ao for
indicado ao programa para ler a configura¸c˜ao da simula¸c˜ao anterior, as posi¸c˜oes s˜ao
definidas aleat´oriamente. No final da fase de equilibra¸c˜ao um arquivo ´e gerado com
as ´ultimas coordenadas obtidas. Os dados contidos neste arquivo podem determinar
36
Figura 2.1: Fluxograma do programa.
a configura¸c˜ao inicial de uma nova simula¸c˜ao, caso esta op¸c˜ao seja selecionada.
A simula¸c˜ao cont´em duas fases principais. A fase de equilibra¸c˜ao tem como obje-
tivo levar o sistema ao estado de equil´ıbrio, de acordo com os crit´erios especificados
na se¸c˜ao 2.4. Quando estes crit´erios s˜ao satisfeitos, ´e indicado ao programa que se
execute a fase de produ¸c˜ao, na qual as propriedades m´edias s˜ao calculadas. Tendo
37
adquirido uma determinada configura¸c˜ao, depois de um n´umero suficiente de mo-
vimentos tem-se outra estatisticamente independente, a qual fornecer´a informa¸c˜oes
para o c´alculo das m´edias. A cada passo da fase de produ¸c˜ao o programa realiza
esse n´umero de movimentos e armazena essas informa¸c˜oes. Em geral foram utili-
zados 1x10
7
passos na fase de produ¸c˜ao, n´umero suficiente para a convergˆencia de
todas as propriedades m´edias calculadas. Para simula¸c˜oes com cadeias contendo
100 monˆomeros, este n´umero de passos consome aproximadamente 96 horas de si-
mula¸c˜ao em um microcomputador com processador Dualcore AMD64 com 2.2 GHz.
Este tempo cai para aproximadamente 38 e 22 horas quando o grau de polimeriza¸c˜ao
da cadeia ´e 60 e 40, respectivamente. O fluxograma completo do c´odigo ´e mostrado
na figura 2.1.
2.3.2 Propriedades M´edias Calculadas
Como j´a afirmado na se¸c˜ao anterior, durante a execu¸c˜ao da fase de produ¸c˜ao v´arias
grandezas f´ısicas s˜ao acumuladas pelo programa, para que no t´ermino da simula¸c˜ao
as m´edias possam ser calculadas atrav´es da express˜ao 2.8. Entretanto, o c´alculo de
algumas propriedades exigem procedimentos mais elaborados, os quais s˜ao descritos
a seguir.
Fun¸c˜ao Distribui¸c˜ao Radial
O desvio da idealidade causado pela intera¸c˜ao entre os constitu´ıntes de um sistema
f´ısico pode ser quantitativamente avaliado pela fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial (fdr) [91,
99]. Esta grandeza ´e uma propriedade estrutural relacionada com a localiza¸c˜ao
m´edia relativa entre as part´ıculas, pass´ıvel de ser medida experimentalmente por
difra¸c˜ao de raio-X [115] e espalhamente de neutrons [116]. Aplicando ao problema
espec´ıfico deste trabalho, pode-se verificar o efeito do campo eletrost´atico criado
38
pelo macro´ıon sobre as outras esp´ecies carregadas da solu¸c˜ao, como o polieletr´olito
ou seus monˆomeros. Neste caso, a fdr pode ser definida como
g
i
(r) =
P
i
(r)
ρ
i
, (2.12)
onde P
i
(r) ´e a probabilidade de uma part´ıcula qualquer da esp´ecie i se localizar
na posi¸c˜ao r, independente da posi¸c˜ao das outras N − 1 part´ıculas, e ρ
i
=
N
i
V
´e a
densidade num´erica das part´ıculas da esp´ecie i. Devido `a isotropia do sistema em
rela¸c˜ao `a esfera c entral, a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial ´e dependente apenas de |r| ≡ r.
A fun¸c˜ao P
i
(r) pode ser expressa como N
i
P
j
i
(r), onde P
j
i
(r) ´e a probabilidade de
uma determinada part´ıcula j da esp´ecie i se localizar na posi¸c˜ao especificada acima:
P
j
i
(r) =
1
Z
exp [ − βU(r)] δ (r
j
− r) dr. (2.13)
Para calcular a fdr computacionalmente, a c´elula foi dividida em “fatias” concˆentricas
ao macro´ıon de largura δ = 1
˚
A. No final da simula¸c˜ao, o n´umero m´edio n
k
i
de
part´ıculas da esp´ecie i localizadas no interior da k–´esima fatia ´e calculado. Sendo
V
k
o volume da fatia, a probabiliade P
i
(r) ´e dada por
P
i
(r) =
n
k
i
V
k
, (2.14)
onde r = kδ+
δ
2
−1. O valor de δ n˜ao deve ser muito alto em rela¸c˜ao `as dimens˜oes das
part´ıculas, uma vez que isto po de comprometer a precis˜ao da fdr. Ao mesmo tempo,
um valor muito baixo pode acarretar problemas de natureza estat´ıstica pois se torna
necess´ario um n´umero muito grande de configura¸c˜oes para garantir a convergˆencia
em cada fatia. Algumas simula¸c˜oes com δ = 0, 5 e 1, 5
˚
A foram realizadas e verificou-
39
Figura 2.2: Fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial g(r) para o sistema composto apenas por esferas r´ıgidas
em concentra¸c˜ao de aproximadamente 7,2 M.
se a eficiˆencia do valor adotado.
A figura 2.2A apresenta a fun¸c˜ao dis tribui¸c˜ao radial g(r) t´ıpica de um flu´ıdo como
argˆonio l´ıquido [99]. Estes resultados foram obtidos com o modelo descrito no
cap´ıtulo anterior, na ausˆencia de intera¸c˜oes eletrost´aticas e de conex˜ao entre os
monˆomeros. O raio do macro´ıon foi reduzido para 2
˚
A de forma a representar
uma part´ıcula qualquer do flu´ıdo. Devido `a alta concentra¸c˜ao (7,2 M aproximada-
mente), os efeitos causados pelas dimens˜oes dos constitu´ıntes do sistema se mani-
festam atrav´es de um certo ordenamento estrutural de curto alcance. Pode-se iden-
tificar uma regi˜ao com alta probabilidade das part´ıculas serem encontradas, onde o
valor m´aximo de g(r) se localiza em r aproximadamente igual `a distˆancia de m´ınima
aproxima¸c˜ao (σ = 4
˚
A). Essa regi˜ao ´e conhecida como primeira camada de coor-
dena¸c˜ao. Em decorrˆencia disto, a repuls˜ao causada pelo potencial de esfera–r´ıgida
diminui a tendˆencia das part´ıculas se localizarem imediatemente ap´os esta regi˜ao.
A segunda camada de coordena¸c˜ao pode ser observada em r ≈ 2σ. Em distˆancias
suficientemente grandes, os desvios do comportamento ideal se tornam desprez´ıveis
ocasionando g(r → ∞) → 1.
40
Figura 2.3: Concentra¸c˜ao m´edia de monˆome ros C
p
(r) na presen¸ca de um macro´ıon de valˆencia
Z
m
= −60 em concentra¸c˜ao salina nula. (A) O raio do macro´ıon ´e R
m
= 50
˚
A e o raio da c´elula ´e
R
c
= 100
˚
A. (B) R
m
= 18
˚
A e R
c
= 30
˚
A. Os c´ırculos pretos mostram resultados para uma cadeia
com grau de polimeriza¸c˜ao N
p
= 60, enquanto os brancos se referem ao sistema composto por 5
cadeias com N
p
= 12.
Seja C
p
a concentra¸c˜ao total de monˆomeros. A concentra¸c˜ao m´edia C
p
(r) `a distˆancia
r do macro´ıon pode ser obtida atrav´es da rela¸c˜ao
C
p
(r) = C
p
g
p
(r), (2.15)
onde o ´ındice “p” se refere aos monˆomeros. Esta fun¸c˜ao ´e mostrada na figura 2.3, se-
guindo as especifica¸c˜oes da referˆencia 58. Primeiramente, po de -se afirmar excelente
concordˆancia com os resultados exibidos em tal trabalho. Uma das curvas apresenta
resultados para uma cadeia com grau de polimeriza¸c˜ao N
p
= 60, enquanto a outra
´e referente a 5 cadeias com N
p
= 12. O macro´ıon possui valˆencia Z
m
= −60 em
for¸ca iˆonica nula. Observa-se atrav´es da figura 2.3A que no sistema composto por
apenas uma cadeia, a conex˜ao entre todos os monˆomeros causa um aumento da con-
centra¸c˜ao destes na vizinhan¸ca do macro´ıon, al´em de um estreitamento da camada
de coordena¸c˜ao. O alto confinamento causado pela diminui¸c˜ao do raio da c´elula
(gr´afico 2.3B) faz com que todos os monˆomeros se mantenham, praticamente, em
contato com o macro´ıon, independente do n´umero de cadeias. Neste caso, a largura
da camada de coordena¸c˜ao ´e aproximadamente igual ao diˆametro dos monˆomeros.
41
Figura 2.4: N´umero de coordena¸c˜ao n
p
(r) em fun¸c˜ao da distˆancia r ao centro do macro´ıon com
valˆencia Z
m
= −15. O pol´ımero cont´em N
p
= 100 monˆomeros. Os resultados foram obtidos em
concentra¸c˜ao salina nula e concentra¸c˜ao macromolecular de 0,1 µM (R
c
= 158,26 nm).
O n´umero m´edio de monˆomeros n
p
(r) `a distˆancia r do macro´ıon pode ser calculado
atrav´es da express˜ao
n
p
(r) = 4πr
2
ρ
p
g
p
(r). (2.16)
Na figura 2.4 esta grandeza ´e exibida para o s istema formado por um macro´ıon com
valˆencia Z
m
= −15 e um pol´ımero possu´ındo 100 monˆomeros, em concentra¸c˜ao sa-
lina nula. Al´em da camada de coordena¸c˜ao, observa-se a existˆencia de monˆomeros
em regi˜oes afastadas da vizinhan¸ca do macro´ıon (r > 40
˚
A), caracterizando con-
forma¸c˜oes tipo cauda.
Potencial da For¸ca M´edia
O potencial da for¸ca m´edia w
i
(r) de uma part´ıcula da esp´ecie i pode ser definido
como o trabalho isot´ermico revers´ıvel em trazer esta part´ıcula de uma separa¸c˜ao
infinita at´e `a distˆancia r do macro´ıon. Quando isto ´e realizado nas condi¸c˜oes que
42
caracterizam o ensemble canˆonico, esta grandeza ´e a varia¸c˜ao da energia livre de
Helmholtz neste processo. Pode-se mostrar que [99]
βw
i
(r) = −ln g
i
(r) = −ln P
i
(r) + C, (2.17)
onde C ´e uma constante arbitr´aria que pode ser definida considerando que o po-
tencial de for¸ca m´edia se anula em regi˜oes suficientemente afastadas da part´ıcula
coloidal. Neste trabalho, o interesse est´a e m verificar o efeito do macro´ıon sobre
toda a cadeia.
´
E conveniente ent˜ao calcular o potencial da for¸ca m´edia agindo sobre
seu o centro de massa (indicado pelo ´ındice “cm”). A probabilidade do centro de
massa da cadeia se localizar `a distˆancia r do macro´ıon ´e dada por
P
cm
(r) =
1
Z
exp [ − βU(r)] δ
1
N
p
N
p
i=1
r
i
− r
dr. (2.18)
Entretanto, devido ao grande potencial atrativo que o macro´ıon exerce sobre o
pol´ımero, a probabilidade deste se localizar em regi˜oes afastadas da part´ıcula co-
loidal ´e muito pequena. Por isso, o tempo computacional necess´ario para obter a
convergˆencia de P
cm
(r) torna o c´alculo de w
cm
(r) impratic´avel. Uma alternativa ´e
utilizar o m´etodo da fun¸c˜ao penaliza¸c˜ao [50, 117, 118]. Este m´etodo se baseia
em adicionar uma fun¸c˜ao U
∗
(r) `a energia potencial U(r), fazendo com que a pro-
babilidade do polieletr´olito se localizar em qualquer p onto no interior da c´elula seja
igualmente prov´avel. Introduzindo a fun¸c˜ao “penaliza¸c˜ao” U
∗
(r) a probabilidade se
torna
P
∗
cm
(r) =
1
Z
∗
exp { − β[U(r) + U
∗
(r)]}δ
1
N
p
N
p
i=1
r
i
− r
dr. (2.19)
43
´
E poss´ıvel mostrar que P
cm
(r) ∝ P
∗
cm
(r) exp [βU
∗
(r)]. Ent˜ao, se for encontrada uma
fun¸c˜ao U
∗
(r) que resulte em P
∗
cm
(r) constante, a fun¸c˜ao penaliza¸c˜ao coincide com o
potencial da for¸ca m´edia:
w
cm
(r) = −U
∗
(r). (2.20)
O procedime nto computacional para obten¸c˜ao de w
cm
(r) ´e dividido em trˆes etapas:
1. Pr´e–equilibra¸c˜ao: Nesta etapa o potencial da for¸ca m´edia ´e calculado atrav´es
da express˜ao 2.17 com U
∗
(r) = 0. A figura 2.5A mostra w
cm
(r) obtida em
uma situa¸c˜ao exemplo. O pol´ımero cont´em 20 monˆomeros e o macro´ıon possui
Figura 2.5: Potencial da for¸ca m´edia w
cm
(r) agindo no ce ntro de massa do pol´ımero. Os resulta-
dos foram obtidos em cada uma das etapas da simula¸c˜ao: (A) pr´e–equilibra¸c˜ao, (B) equilibra¸c˜ao
e (C) produ¸c˜ao.
44
valˆencia Z
m
= −6 em concentra¸c˜ao salina nula e concentra¸c˜ao macromolecular
de 20 µM. Pode-se verificar que o centro de massa da cadeia possui probabili-
dade nula de se encontrar al´em de, aproximadamente, 90
˚
A do macro´ıon.
2. Equilibra¸c˜ao: A probabilidade P
cm
(r) obtida na etapa anterior ´e utilizada
como a fun¸c˜ao penaliza¸c˜ao U
∗
(r). As sim, regi˜oes onde o pol´ımero teve alta
probabilidade de se encontrar na simula¸c˜ao anterior ser˜ao “penalizadas” e as
regi˜oes afastadas do macro´ıon se tornam estatisticamente privilegiadas, tor-
nando a fun¸c˜ao P
cm
(r) aproximadamente constante em todo o volume da
c´elula. O potencial de for¸ca m´edia obtido nesta etapa ´e mostrado na figura
2.5B.
3. Produ¸c˜ao: Da mesma forma que na etapa anterior, a probabilidade P
cm
(r)
obtida na etapa anterior ´e utilizada como U
∗
(r) e o potencial de for¸ca m´edia
atinge a convergˆencia desejada conforme mostrado na figura 2.5C. Neste caso
a curva foi transladada impondo que w
cm
(R
c
) = 0.
Energia Livre
A relativa estabilidade dos estados conformacionais assumidos por uma macro-
mol´ecula pode ser investigada analisando a varia¸c˜ao da energia livre com respeito
a grandezas f´ısicas relacionadas `as suas propriedades estruturais. Entretanto, o
c´alculo da energia livre por simula¸c˜ao computacional envolve muitas dificuldades,
uma vez que a entropia n˜ao pode ser obtida simplesmente atrav´es da m´edia sobre o
ensemble. Realizando uma simula¸c˜ao em temperatura fixa T, a distribui¸c˜ao de pro-
babilidades de um dado parˆametro de ordem conformacional ξ pode n˜ao apresentar
boa convergˆencia para regi˜oes de alta energia, uma vez que a energia t´ermica pode
ser insulficiente para superar as barreiras energ´eticas que levam a tais estados.
Um dos m´etodos desenvolvidos para calcular a energia livre ´e o m´etodo de m´ulti-
45
plos histogramas [51, 52]. Este se baseia em aumentar as informa¸c˜oes referente
ao sistema de interesse combinando resultados de diferentes simula¸c˜oes. Seja ent˜ao
R simula¸c˜oes, sendo a i–´esima delas contendo M
i
configura¸c˜oes obtidas em tempe-
ratura T
i
=
1
k
B
β
i
. Segundo S. Kumar e colaboradores [52], a densidade de estados
Ω
i
(ξ) obtida de cada simula¸c˜ao ´e dada por
Ω
i
(ξ) = H
i
(ξ) exp(β
i
U − f
i
), (2.21)
onde H
i
(ξ) ´e o histograma de ξ e f
i
= β
i
A
i
´e a energia livre adimensional. A
densidade de estados real Ω(ξ) pode ser expressa pela m´edia ponderada de Ω
i
:
Ω(ξ) =
R
i=1
c
i
Ω
i
(ξ), (2.22)
onde os pesos estat´ısticos c
i
podem ser obtidos minimizando o erro de cada histo-
grama. De acordo com C. H. Bennett [119]
c
i
=
M
i
exp(f
i
− β
i
U)
R
j=1
M
j
exp(f
j
− β
j
U)
. (2.23)
Substitu´ındo 2.23 em 2.22 ´e poss´ıvel mostrar que a probabilidade do sistema na
temperatura T assumir o valor ξ para parˆametro de ordem ´e dada por
P
β
(ξ) =
R
i=1
H
i
(ξ) exp(β
i
U)
R
i=1
M
i
exp(f
i
− β
i
U)
onde exp(−f
j
) =
P
β
(ξ). (2.24)
As equa¸c˜oes 2.24 s˜ao resolvidas atribu´ındo valores iniciais arbitr´arios para f
i
e reali-
zando um processo interativo at´e se obter a convergˆencia desejada. Esta metodologia
46
foi implementada atrav´es da utiliza¸c˜ao do programa WHAM desenvolvido por A.
Grossfield (http://dasher.wustl.edu/alan/).
2.4 A Fase de Equilibra¸c˜ao
A fun¸c˜ao da fase de equilibra¸c˜ao ´e fazer com que o sistema alcance o estado de
equil´ıbrio, perdendo a mem´oria da configura¸c˜ao inicial. Para isso, trˆes execu¸c˜oes
foram realizadas com diferentes valores para a semente do gerador de n´umeros
Figura 2.6: Representa¸c˜ao esquem´atica das trˆes configura¸c˜oes iniciais utilizadas no processo de
equilibra¸c˜ao. Res ultados para o sistema composto por um macro´ıon com valˆencia Z
m
= −10 e
uma cadeia com 20 m onˆomeros. A concentra¸c˜ao de sal ´e nula.
47
aleat´orios e diferentes configura¸c˜oes iniciais: uma delas com o pol´ımero comple-
tamente em contato com o macro´ıon, uma outra com o pol´ımero proximo da borda
da c´elula, e a terceira com os monˆomeros posicionados aleat´oriamente. O sistema ´e
considerado em equil´ıbrio quando a energia das trˆes simula¸c˜oes convergirem para um
valor m´edio comum. A figura 2.6 mostra a evolu¸c˜ao da energia total de um sistema
composto por uma cadeia de 20 monˆomeros e um macro´ıon de valˆencia Z
m
= −10,
em concentra¸c˜ao salina nula. Em todas elas foram utilizados 1x10
6
passos. Caso
este n´umero n˜ao seja suficiente para alcan¸car o equil´ıbrio, novas simula¸c˜oes foram
realizadas utilizando como configura¸c˜ao inicial a ´ultima configura¸c˜ao da execu¸c˜ao
anterior.
Na figura 2.7A ´e apresentado os primeiros 1x10
6
passos da equilibra¸c˜ao do mesmo
sistema abordado na figura 2.6, mas em concentra¸c˜ao salina de 10 mM, proximo
das condi¸c˜oes que levam `a transi¸c˜ao. Na primeira simula¸c˜ao, onde a cadeia inicia
em contato com o macro´ıon, o sistema assume configura¸c˜oes com baixa energia, ca-
racterizando o estado complexado. As duas outras se mant´em com energia m´edia
compat´ıveis com o estado dissociado. As trˆes simula¸c˜oes foram realizadas com des-
locamento m´aximo da cadeia de 100
˚
A. Nos proximos 1x10
6
passos este valor foi
Figura 2.7: (A) Primeiros 1x10
6
passos de equilibra¸c˜ao do sistema composto por um macro´ıon
com valˆencia Z
m
= −10 e uma cadeia com 20 monˆomeros em concentra¸c˜ao salina de 10 mM. (B)
Fase final do processo de equilibra¸c˜ao. As cores se referem `as mesmas situa¸c˜oes apresentadas na
figura 2.6.
48
aumentado para 500
˚
A, possibilitando ao sistema vencer a barreira de potencial e
assumir configura¸c˜oes de mais baixa energia, conforme mostrado na figura 2.7B.
49
Cap´ıtulo 3
Propriedades da Cadeia Isolada
Observa-se experimentalmente que as propriedades de solu¸c˜oes compostas por pol´ıme-
ros s˜ao fortemente dependentes de sua concentra¸c˜ao [10,120,121]. Quando a fra¸c˜ao
de volume ocupada pelas macromol´eculas ´e suficientemente baixa para que as mes-
mas se mantenham distantes umas das outras (solu¸c˜ao dilu´ıda), as propriedades da
solu¸c˜ao s˜ao diretamente relacionadas com o comportamento individual do seus cons-
titu´ıntes [10]. Embora nestas condi¸c˜oes o tratamento te´orico se torne simplificado,
uma vez que as intera¸c˜oes intercadeias podem ser desprezadas, detalhes qu´ımicos
e estruturais em pequena escala, espec´ıficos de cada grupo molecular presente no
pol´ımero, tornam sua descri¸c˜ao ainda complicada. A despeito desta complexidade,
algumas caracter´ısticas conformacionais universais podem ser obtidas atrav´es de
modelos simplificados que exploram apenas as consequˆencias estat´ısticas da conec-
tividade entre os monˆomeros [9, 10, 85].
50
3.1 Cadeia Ideal
A mais simples forma de tratar te´oricamente um pol´ımero ´e consider´a-lo uma cadeia
ideal, ou seja, um conjunto de segmentos livremente articulados, cujo comprimento
l , denominado comprimento efetivo [122], ´e definido pela por¸c˜ao da macromol´ecula
que se comporta orientacionalmente descorrelacionada das demais [9, 10, 85]. Esta
grandeza ´e o ´unico parˆametro do modelo e depende da estrutura atˆomica detalhada
dos monˆomeros, da natureza do solvente, da concentra¸c˜ao do eletr´olito, e de quais-
quer outras caracter´ısticas que determinem a flexibilidade da mol´ecula.
Figura 3.1: Representa¸c˜ao esquem´atica de uma cadeia ideal composta por cinco segmentos
efetivos de comprimento l.
Seja ent˜ao uma cadeia composta por N segmentos cujas posi¸c˜oes, em rela¸c˜ao a um
sistema de coordenadas arbitr´ario, s˜ao indicadas pelo conjunto de vetores {r
0
. . . r
N
},
conforme mostrado na figura 3.1. De acordo com o teorema do limite central, ´e
poss´ıvel mostrar que para N 1 a distribui¸c˜ao de probabilidades do vetor end-to-
end R = r
N
− r
0
satisfaz a distribui¸c˜ao Gaussiana
P (R) =
3
2πNl
2
3/2
exp
−
3R
2
2Nl
2
. (3.1)
51
Sua simplicidade matem´atica permite o c´alculo exato de todos os seus momentos,
bem como de algumas propriedades estruturais pass´ıveis de serem medidas e xperi-
mentalmente, como o raio de gira¸c˜ao e o raio hidrodinˆamico [10], fornecendo um
formalismo geral para a descri¸c˜ao do comp ortamento de cadeias polim´ericas, in-
dependente do seu detalhamento em pequena es cala. Devido `a isotropia espacial ´e
poss´ıvel verificar que R = 0. A mais simples propriedade estrutural que caracteriza
as dimens˜oes da cadeia ´e ent˜ao o valor quadr´atico m´edio da distˆancia end-to-end
R
2
=
R
2
P (R) dR = Nl
2
. (3.2)
A distˆancia m´edia entre os dois segmentos extremos do pol´ımero R
2
1/2
= N
1/2
l ´e
muito menor do que o comprimento da cadeia Nl. Isto ocorre porque, como n˜ao h´a
intera¸c˜ao entre os monˆomeros, as propriedades de equil´ırio da macromol´ecula s˜ao da-
das pelas conforma¸c˜oes mais compactas que contem maior entropia conformacional.
O expoente 1/2 ´e universal e caracter´ıstico de cadeias ideais.
Uma importante propriedade da distribui¸c˜ao Gaussiana ´e a invariˆancia de escala.
Segundo ela a distˆancia entre dois pontos quaisquer da cadeia, n˜ao apenas o m´odulo
do vetor R, obedecem a mesma distribui¸c˜ao de probabilidades. Ent˜ao, uma parte
da macromol´ecula definina p elo vetor R
ij
= r
i
− r
j
tamb´em satisfaz a rela¸c˜ao 3.2,
ou seja, R
ij
2
= |i − j|l
2
. Com isso ´e poss´ıvel calcular o valor quadr´atico m´edio do
raio de gira¸c˜ao
R
2
g
=
1
2N
2
N
i=1
N
j=1
(r
i
− r
j
)
2
=
1
6
Nl
2
. (3.3)
O grau de extens˜ao do pol´ımero pode ser determinado pela grandeza r = R
2
/R
2
g
.
Utilizando os resultados 3.2 e 3.3 ´e poss´ıvel verificar que cadeias ideais s˜ao caracte-
52
rizadas por r = 6. Valores distintos refletem o efeito da a¸c˜ao de campos externos ou
de intera¸c˜oes entre os segmentos.
3.2 Inter a¸c˜oes de Volume
Do ponto de vista energ´etico, o comportamento de cadeias ideais s˜ao determinados
apenas pelas liga¸c˜oes covalentes existente entre monˆomeros vizinhos. Quaisquer
outras intera¸c˜oes entre os segmentos s˜ao denominadas intera¸c˜oes de volume [10]. A
repuls˜ao el´etrica entre monˆomeros carregados suficientemente afastados ao longo da
cadeia representam um exemplo de tais intera¸c˜oes.
Seguindo o mesmo modelo simplificado descrito na se¸c˜ao anterior, a probabilidade
condicional p(r
i−1
, r
i
) de um determinado segmento i, sujeito ao potencial V (r
i
),
assumir a posi¸c˜ao r
i
, estando o segmento i − 1 na posi¸c˜ao r
i−1
´e dada por
p(r
i−1
, r
i
) =
1
4πl
2
δ(|r
i
− r
i−1
| − l) exp [−βV (r
i
)] . (3.4)
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Q
N
(r
0
, r
N
) ´e dada pela soma de todas as conforma¸c˜oes poss´ıveis
contendo N segmentos com os extremos fixos nas posi¸c˜oes r
0
e r
N
:
Q
N
(r
0
, r
N
) =
N
i=1
p(r
i−1
, r
i
)
dr
1
. . . dr
N−1
. (3.5)
Para sistemas fracamente interagentes (βV 1) ´e poss´ıvel mostrar que Q
N
(r
0
, r
N
)
satisfaz a equa¸c˜ao de difus˜ao
∂
∂N
−
l
2
6
∇
2
+ βV
Q
N
(r
0
, r
N
) = 0, (3.6)
53
com condi¸c˜ao de contorno lim
N→0
Q
N
(r
0
, r
N
) = δ(r
N
− r
0
).
Em geral, a solu¸c˜ao de 3.6 pode ser expressa em termos dos autovalores E
m
e das
respectivas autofun¸c˜oes φ
m
do correspondente operador Υ = −
l
2
6
∇
2
+βV , na forma
da s´erie bilinear [9,10]
Q
N
(r
0
, r
N
) =
m
φ
m
(r
N
)φ
∗
m
(r
0
) exp(−E
m
N). (3.7)
No limite de longas cadeias (N 1) ´e poss´ıvel verificar que o estado fundamental,
caracterizado pelo menor autovalor E
0
, domina a soma 3.7 [9]. Neste caso
Q
N
(r
0
, r
N
) ≈ φ
0
(r
N
)φ
∗
0
(r
0
) exp(−E
0
N). (3.8)
A concentra¸c˜ao m´edia de monˆomeros n(r) pode ser expressa por
n(r) = C
N
m=1
Q
m
(r
0
, r)Q
N−m
(r, r
N
) dr
0
dr
N
, (3.9)
onde a constante C ´e obtida atrav´es da condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao
n(r) dr = N.
Substitu´ındo 3.8 em 3.9 pode-se verificar que
n(r) = |φ
0
(r)|
2
. (3.10)
Em 1965 S. F. Edwards [123] abordou o problema de uma cadeia sujeita `a intera¸c˜oes
respons´aveis em evitar a sobreposi¸c˜ao dos segmentos. Para isso, foi considerado que
qualquer um deles, localizado na posi¸c˜ao r, est´a sujeito `a a¸c˜ao de todos os outros
atrav´es de um potencial efetivo V
ef
(r) = Bn(r) proporcional `a concentra¸c˜ao n(r).
54
A constante B ´e determinada pelo segundo coeficiente do virial [91]
B =
1
2
1 − exp [−βU(r)]
dr, (3.11)
onde U(r) ´e a energia potencial de intera¸c˜ao entre dois segmentos. No caso apenas de
repuls˜oes est´ericas, onde U pode ser dado por uma barreira de potencial, B resulta
no volume exclu´ıdo a um segmento devido a presen¸ca de outro (no trabalho original
de S. F. Edwards foi utilizado um potencial escrito em termos da fun¸c˜ao delta).
Configura¸c˜oes compactas que n˜ao satisfazem esta restri¸c˜ao possuir˜ao probabilidade
nula. Isto exige uma corre¸c˜ao na rela¸c˜ao 3.2 que leva a R
2
∼ N
6/5
e r = 6, 3.
3.3 Cadeia Semiflex´ıvel
Segundo a se¸c˜ao 3.1, pode-se definir um se gmento efetivo para o pol´ımero de forma
que seu comportamento seja compat´ıvel com o de uma cadeia ideal. Para isso, ´e
necess´ario que o comprimento dos segmentos seja grande o suficiente para garantir
orienta¸c˜oes completamente descorrelacionadas, e que a macromol´ecula se ja suficien-
temente longa para possuir um grande n´umero de tais segmentos e n˜ao haver desvios
significativos do comportamento Gaussiano. Entretanto, em alguns casos estas res-
tri¸c˜oes n˜ao podem ser satisfeitas pois a cadeia se comporta de maneira semi-flex´ıvel.
Um exemplo seria um pol´ımero cuja conforma¸c˜ao de equil´ıbrio seja r´ıgida, e efeitos
Figura 3.2: Representa¸c˜ao esquem´atica do modelo persistente.
55
t´ermicos produzem apenas pequenas deforma¸c˜oes em sua estrutura. Neste caso, ´e
matematicamente conveniente tratar a mol´ecula como uma curva cont´ınua, de com-
primento L, determinada pelo vetor r(s), onde s ´e dado pela distˆancia ao longo
do seu contorno. Este modelo ´e conhecido como modelo de cadeia persistente ou
continuamente curva [109]. Para cada ponto s pode ser definido um vetor unit´ario
u(s) =
∂r(s)
∂s
, tangente `a curva, conforme ilustrado na figura 3.2.
A curvatura no interior de uma dada se¸c˜ao de comprimento l
ij
= s
i
− s
j
´e carac-
terizada por cos θ
ij
, onde θ
ij
´e o ˆangulo entre u(s
i
) e u(s
j
). Se este segmento
possuir alta rigidez, as dire¸c˜oes dos dois vetores ser˜ao altamente correlacionadas e
cos θ
ij
≈ 1. No limite oposto de alta flexibilidade cos θ
ij
≈ 0.
´
E poss´ıvel mostrar
que [10, 109]
cos θ
ij
= exp
−
|s
j
− s
i
|
L
p
, (3.12)
onde L
p
, denominado comprimento de persistˆencia, ´e o parˆametro que caracteriza a
flexibilidade da macrol´ecula na aproxima¸c˜ao cont´ınua. Esta express˜ao mostra que a
correla¸c˜ao orientacional entre os vetores tangente `a cadeia decai exponencialmente
com a distˆancia ao longo do seu contorno, tornando-se aproximadamente nula em
comprimentos maiores que L
p
.
Nesta aproxima¸c˜ao, o valor quadr´atico m´edio da distˆancia end-to-end pode ser es-
crito como
R
2
=
L
0
ds
i
L
0
ds
j
u(s
i
) · u(s
j
) (3.13)
=
L
0
ds
i
L
0
ds
j
exp
−
|s
j
− s
i
|
L
p
(3.14)
56
= 2LL
p
− 2L
2
p
1 − exp
−
L
L
p
. (3.15)
No limite de L L
p
, a mol´ecula se comporta como um segmento r´ıgido fazendo com
que a distˆancia end-to-end se torne aproximadamente igual ao seu comprimento de
contorno (R
2
1/2
≈ L). Cadeias suficientemente longas (L L
p
) devem recuperar
o comportamento de cadeia ideal, onde R
2
= Nl
2
= Ll. Realizando o limite
na rela¸c˜ao 3.15 verifica-se que R
2
→ 2LL
p
, mostrando que o comprimento do
segmento efetivo de pol´ımeros tratados de acordo com o modelo persistente ´e dado
por l = 2L
p
. No caso da mol´ecula de DNA, por exemplo, L
p
≈ 50 nm (150 pares de
base aproximadamente) em condi¸c˜oes fisiol´ogicas, demonstrando forte dependˆencia
com a for¸ca iˆonica [124, 125].
3.4 Polieletr´olitos
Seguindo a defini¸c˜ao apresentada no cap´ıtulo introdut´orio, polieletr´olitos s˜ao macro-
mol´eculas que possuem grupos ioniz´aveis. Em decorrˆencia da intera¸c˜ao eletrost´atica
entre os segmentos, o pol´ımero assume um comportamento semiflex´ıvel com sua con-
forma¸c˜ao dependendo fortemente da fra¸c˜ao de grupos carregados e da for¸ca iˆonica
da solu¸c˜ao [1]. O comprimento de persistˆencia pode ser particionado em duas con-
tribui¸c˜oes [10]:
L
p
= L
o
p
+ L
el
p
, (3.16)
onde L
o
p
´e o comprimento de persistˆencia “intr´ınseco” da macromol´ecula, consi-
derando apenas a contribui¸c˜ao conformacional, e L
el
p
´e a componente devido `as
57
intera¸c˜oes eletrost´aticas. T. Odijk [126] e, independentemente, J. Skolnick e M.
Fixman [127] desenvolveram a teoria acerca do comprimento de persistˆencia ele-
trost´atico, normalmente conhecida como teoria OSF (Odijk–Skolnick–Fixman), tra-
tando a solu¸c˜ao eletrol´ıtica de acordo com a teoria de Debye–H ¨uckel. A seguinte
express˜ao foi obtida:
L
el
p
=
l
B
λ
2
4κ
2
, (3.17)
onde λ ´e a densidade num´erica de carga do pol´ımero em unidade do inverso de
comprimento.
Intera¸c˜oes entre s egmentos separados por distˆancias maiores que L
p
podem ser clas-
sificada como intera¸c˜oes de volume, conforme apontado na se¸c˜ao 3.2. A repuls˜ao
entre grupos carregados mais pr´oximos determina a rigidez eletrost´atica da cadeia
e, consequentemente, o comprimento de persistˆencia. No limite de for¸ca iˆonica nula,
L
el
p
→ ∞ e o pol´ımero s e comporta como um segmento r´ıgido. Este comportamento
foi confirmado empregando o procedimento descrito no cap´ıtulo 3.7, na ausˆencia
do macro´ıon. O gr´afico 3.3A mostra o raio de gira¸c˜ao em rela¸c˜ao ao n´umero de
monˆomeros, em dois regimes extremos de for¸ca iˆonica: concentra¸c˜ao salina nula e
1 M de sal. No primeiro caso pode-se verificar a dependˆencia linear entre estas
duas grandezas. Como o modelo n˜ao inclui nenhum tipo de mecanismo de per-
sistˆencia al´em do eletrost´atico, na situa¸c˜ao oposta onde as intera¸c˜oes eletrost´aticas
s˜ao totalmente blindadas, L
el
p
→ 0 e as dimens˜oes da cadeia s˜ao determinadas ape-
nas pelo efeito de volume exclu´ıdo. Neste caso, assim como a distˆancia end-to-end,
R
2
g
1/2
∼ N
6/5
.
O gr´afico 3.3B mostra a varia¸c˜ao do grau de extens˜ao r com a concentra¸c˜ao sa-
lina para um pol´ımero contendo 60 monˆomeros.
´
E poss´ıvel mostrar que cadeias
58
Figura 3.3: (A) Raio de gira¸c˜ao R
2
g
1/2
em rela¸c˜ao ao n´umero de monˆomeros N. A linha
cont´ınua (coeficente angular aproximadamente igual a 1) e tracejada (c oeficiente angular aproxi-
madamente igual a 0,6) se refere a concentra¸c˜ao salina nula e 1 M, respectivamente. (B) Varia¸c˜ao
de r em rela¸c˜ao `a c oncentra¸c˜ao de sal C
s
para uma cadeia de 60 monˆomeros.
r´ıgidas possuem r = 12 no limite de N 1. Entretanto, isto n˜ao ´e observado
em concentra¸c˜ao de sal nula devido ao comprimento finito da mesma. Com o au-
mento da for¸ca iˆonica, as dimens˜oes da macromol´ecula diminuem at´e assumir um
comportamento proximo do ideal (r = 6, 3) em 1 M de sal. Estes resultados demons-
tram a consistˆencia do c´odigo desenvolvido e sua eficiˆencia em explorar o espa¸co de
conforma¸c˜oes do pol´ımero, mesmo realizando apenas movimentos locais para gerar
novas configura¸c˜oes.
59
Cap´ıtulo 4
Conforma¸c˜ao do Po l´ımero
Complexado
Estudos te´oricos da conforma¸c˜ao de polieletr´olitos adsorvidos em superf´ıcies vem
sendo realizados desde 1984, quando H. A. Van der Schee e J. Lyklema [128] de-
senvolveram o primeiro trabalho baseado em primeiros princ´ıpios. Neste modelo,
as configura¸c˜oes da cadeia s˜ao restritas a uma rede quadrada e a intera¸c˜ao entre os
segmentos e a superf´ıcie plana, opostamente carregada, ´e dada, em ˆambito de campo
m´edio, pela solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson-Boltzmann. Embora muito simples, o
modelo se mostrou eficiˆente na previs˜ao do comportamento da adsor¸c˜ao em rela¸c˜ao
a varia¸c˜ao da concentra¸c˜ao salina e do grau de polimeriza¸c˜ao da cadeia.
Caracter´ısticas conformacionais de complexos formados por pol´ımeros carregados e
part´ıculas coloidais esf´ericas foram estudadas por diversas metodologias te´oricas. R.
R. Netz e J. F. Joanny [32] abordaram o problema da intera¸c˜ao de uma cadeia infinita
semiflex´ıvel com uma esfera r´ıgida de carga oposta. O funcional da energia livre foi
minimizado atrav´es de uma aproxima¸c˜ao perturbativa e as fases conformacionais
foram obtidas em fun¸c˜ao de um amplo conjunto de vari´aveis do sistema. Utilizando
60
Tabela 4.1: Especifica¸c˜oes dos modelos simulados por diferentes grupos.
Mateescu e Nguyen e Chodanowski Akinchina Este
colaboradores [129] Shklovskii [130] e Stoll [8] e Linse [12] trabalho
R
m
(
˚
A)
9,2 – 10,7 28,4 35,7 20 20
Z
m
(e) -50 -100 -100 -40 -5 – -40
R
p
(
˚
A) 0,71 1,42 3,57 2 2
Z
p
(e) 1 1 1 0,25 – 1 1
N
p
100 130 – 180 25 – 200 40 – 160 20 – 100
uma abordagem num´erica, R. R. Netz e colaboradores [15, 16, 31] resolveram este
mesmo modelo exatamente (considerando as limita¸c˜oes computacionais), aplicando-
o ao estudo de part´ıculas nucleossomais. Em geral, trˆes estados poss´ıveis foram
identificados para o complexo: (1) pol´ımero em contato com a esfera em apenas um
ponto, (2) por¸c˜ao da cadeia tocando a esfera com comprimento finito e (3) pol´ımero
envolvendo a esfera. As valˆencias da part´ıcula coloidal Z
t
e Z
w
necess´arias para
induzir a transi¸c˜ao (1) → (2) e (2) → (3), respectivamente, podem ser calculadas
atrav´es das express˜oes
Z
t
=
L
o
p
l
B
ln
l
B
λ
2
L
o
p
κ
2
1/2
e Z
w
= λR
m
ln
1
R
m
κ
. (4.1)
Simula¸c˜oes computacionais utilizando o m´etodo de Monte Carlo foram extensiva-
mente realizadas por diversos grupos, seguindo as especifica¸c˜oes mostradas na tabela
4. Os modelos s˜ao semelhantes ao descrito no cap´ıtulo 1, com algumas varia¸c˜oes
nas contribui¸c˜oes do potencial que determinam a flexibilidade da cadeia e no trata-
mento do eletr´olito. E. M. Mateescu e colaboradores [129] estudaram este problema
na ausˆencia de sal e verificaram que o n´umero de monˆomeros complexados cresce com
o aumento do raio do macro´ıon, podendo superar o necess´ario para neutralizar o com-
61
plexo. Este fenˆomeno, conhecido como invers˜ao de carga [131], tem sido verificado
experimentalmente [132] e atrav´es de v´arias abordagens te´oricas [8, 35,70, 129,130].
Resultados semelhantes foram obtidos por T. T. Nguyen e B. I. Shklovskii [130] e
por P. Chodanowski e S. Stoll [8,33, 35,36], os quais tamb´em estudaram o efeito da
concentra¸c˜ao de sal, incorporada no modelo atrav´es da teoria de Debye–H¨uckel, e do
grau de polimeriza¸c˜ao do polieletr´olito. Verificou-se que a carga l´ıquida do complexo,
de sinal oposto `a do macro´ıon, cresce com o aumento do n´umero de monˆomeros at´e
atingir um valor m´aximo. Neste ponto, o sistema sofre uma transi¸c˜ao de primeira
ordem caracterizada pelo surgimento de uma cauda.
Um rico comportamento estrutural foi tamb´em observado por A. Akinchina e P.
Linse [12, 34], considerando contra´ıons expl´ıcitamente de acordo com o modelo
pri-mitivo. Em certas condi¸c˜oes observou-se a e xistˆencia de duas caudas, em dis-
cordˆancia com os trabalhos citados no parˆagrafo acima. Como pode ser verificado
na tabela 4, as simula¸c˜oes foram realizadas em diferentes condi¸c˜oes, fato que pode
explicar tais divergˆencias. Portanto, com o objetivo de fornecer resultados que pos-
sam contribuir para o melhor entendimento da conforma¸c˜ao de pol´ımeros carregados
adsorvidos, este problema foi revisitado com ˆenfase no efeito da varia¸c˜ao da carga
da part´ıcula coloidal e do grau de polimeriza¸c˜ao da cadeia.
4.1 Resultados
O raio de gira¸c˜ao do polieletr´olito ´e apresentado na figura 4.1A, em fun¸c˜ao do n´umero
de monˆomeros, para quatro valores de Z
m
. Os resultados s˜ao referentes ao sistema
em concentra¸c˜ao salina nula e concentra¸c˜ao macromolecular suficientemente baixa
para n˜ao haver influˆencia da localiza¸c˜ao da borda da c´elula nas configura¸c˜oes do
pol´ımero. Observa-se que a presen¸ca de macro´ıons pouco carregados n˜ao introduzem
62
Figura 4.1: (A) Raio de gira¸c˜ao R
2
g
em fun¸c˜ao do grau de polimeriza¸c˜ao do polieletr´olito N
p
.
A valˆencia do macro´ıon ´e Z
m
= −5 (linha sem s´ımbolos), −10 (s´ımbolos pretos), −20 (s´ımb olos
cinzas) e −30 (s´ımbolos brancos). A linha tracejada mostra o comportamento da cadeia isolada.
(B) N´umero m´edio de monˆomeros n
p
(r) em fun¸c˜ao da distˆancia r ao centro do macro´ıon com
valˆencia Z
m
= −5. O pol´ımero cont´em N
p
= 20 (linha cont´ınua), 30 (tracejado longo), 40 (tra-
cejado curto) ou 50 (linha pontilhada) monˆomeros. Os re sultados foram obtidos em concentra¸c˜ao
salina nula e concentra¸c˜ao macromolecular de 0,1 µM (R
c
= 158,26 nm).
varia¸c˜oes significativas nas dimens˜oes do polieletr´olito. No caso de Z
m
= −5, o maior
desvio relativo ´e de aproximadamente 0,04 para N
p
= 100. Entretanto, verifica-se
atrav´es da figura 4.1B a existˆencia de uma camada de coordena¸c˜ao, independente do
grau de polimeriza¸c˜ao da cadeia, indicando a forma¸c˜ao do complexo. Isto permite
inferir que apenas uma pequena por¸c˜ao do pol´ımero se mant´em em contato com a
part´ıcula coloidal, conforme mostrado na ilustra¸c˜ao da figura.
´
E importante salientar
que n˜ao h´a garantia que uma dada configura¸c˜ao obtida aleat´oriamente da simula¸c˜ao
seja estatisticamente representativa. Por isso, as propriedades conformacionais de
v´arias delas foram comparadas com os respectivos valores m´edios, constatando que
esta ilustra¸c˜ao exibe o comportamento mais prov´avel da cadeia.
Comportamento semelhante foi obtido no caso de macro´ıons com valˆencia Z
m
= −10
e −15, conforme observa-se nas figuras 4.2A e 4.2B, respectivamente. Devido ao
aumento da intera¸c˜ao entre o polieletr´olito e a part´ıcula coloidal, o n´umero de
monˆomeros em sua vizinhan¸ca cresce. Isto indica que uma por¸c˜ao cada vez maior do
pol´ımero toca a esfera acompanhando sua curvatura. Mesmo em baixos valores de
Z
m
, a energia de intera¸c˜ao ´e suficiente para superar a diminui¸c˜ao da entropia trans-
63
Figura 4.2: N´umero m´edio de monˆomeros n
p
(r) em fun¸c˜ao da distˆancia r ao centro do macro´ıon
com valˆencia (A) Z
m
= −10 e (B) −15. O pol´ımero cont´em N
p
= 20 (linha cont´ınua), 30
(tracejado longo), 40 (tracejado curto) ou 50 (linha pontilhada) monˆomeros.
lacional da cadeia, mas compenssa apenas parcialmente sua rigidez eletrost´atica,
n˜ao possibilitando ao pol´ımero se envolver sobre a superf´ıcie macromolecular. Ex-
ceto pelo reduzido n´umero de monˆomeros complexados, os demais mant´em a mesma
liberdade que teriam caso o polieletr´olito estivesse isolado.
Dois regimes distintos para o raio de gira¸c˜ao podem ser identificados (figura 4.1A)
para maiores valores da carga do macro´ıon (|Z
m
| ≥ 20). Cadeias com grau de
polimeriza¸c˜ao suficientemente baixos possuem raio de gira¸c˜ao com valores proximos
da distˆancia de m´axima aproxima¸c˜ao dos monˆomeros (R
m
+ R
p
= 22
˚
A). Nestas
condi¸c˜oes, o macro´ıon determina as dimens˜oes do polieletr´olito, uma vez que a
intera¸c˜ao ´e suficiente para manter todos os monˆomeros proximos `a sua superf´ıcie,
envolvendo-o.
Adaptando os parˆametros do modelo `as equa¸c˜oes 4.1, pode-se verificar a concordˆancia
entre o tratamento computacional e a abordagem anal´ıtica citada acima [32]. Entre-
tanto, de acordo com o modelo apresentado na se¸c˜ao 1.3, n˜ao existe, al´em daquele
causado pelas intera¸c˜oes eletrost´aticas entre os monˆomeros, nenhum outro meca-
nismo de persistˆencia associado ao polieletr´olito. Uma vez que as express˜oes citadas
foram obtidas considerando uma cadeia semiflex´ıvel, ´e necess´ario encontrar uma
64
grandeza equivalente a L
o
p
. Como na ausˆencia de repuls˜ao entre os monˆomeros dois
segmentos consecutivos s˜ao orientacionalmente descorrelacionados, a metade do va-
lor m´edio de seu comprimento r
mm
se torna apropriada. A densidade de carga do
pol´ımero ´e dada por λ =
N
p
e
(N
p
− 1)r
mm
. Com isso, ´e poss´ıvel obter Z
t
≈ −2, 7 e
Z
w
≈ −14, 9 em concordˆancia com as previs˜oes obtidas pelas simula¸c˜oes.
Nos casos analisados acima, verifica-se que a altura da camada de coordena¸c˜ao varia
n˜ao monotˆonicamente com a carga do macro´ıon. No caso de Z
m
= −5, observa-se
que esta grandeza assume o valor aproximado de 1,1 para N
p
= 20, apresentando
pequeno aumento para N
p
= 30, e decrescendo para cadeias mais extensas. Isto
pode ser atribu´ıdo `a competi¸c˜ao e ntre dois efeitos. Com o aumento de N
p
a entro-
pia conformacional do p ol´ımero cresce, contribu´ındo para a diminui¸c˜ao do n´umero
de monˆomeros complexados. Em contrapartida, a intera¸c˜ao entre a esfera e o po-
lieletr´olito aumenta, favorecendo a complexa¸c˜ao. Quando a cadeia ´e pequena, os
monˆomeros adicionados localizam-se proximos da part´ıcula coloidal e o segundo
efeito ´e dominante, ao contr´ario do que acontece para pol´ımeros maiores. Este fato
sugere a existˆencia de um grau de polimeriza¸c˜ao ideal que otimiza o contato dos
monˆomeros com a esfera.
Prolongando as retas referentes aos dois regimes observados na figura 4.1A, o ponto
de intersec¸c˜ao determina o n´umero de monˆomeros N
∗
p
no qual o comportamento
do raio de gira¸c˜ao se altera. Quando N
p
> N
∗
p
obtem-se o comportamento equiva-
lente ao de cadeias isoladas. Isso ocorre porque parte do pol´ımero sofre o efeito do
volume exclu´ıdo eletrost´atico, formando uma ou duas caudas [8, 130] que passam
a dominar a estat´ıstica da cadeia. As figuras 4.3A a 4.3F apresentam o n´umero
m´edio de monˆomeros n
p
(r) para Z
m
= −20, −30 e −40 e quatro distintos valores
do grau de polimeriza¸c˜ao. O aumento da carga do macro´ıon ocasiona a diminui¸c˜ao
da largura da camada de coordena¸c˜ao devido a maior intera¸c˜ao eletrost´atica com
os monˆomeros. As figuras da direita demonstram claramente o surgimento da(s)
65
Figura 4.3: N´umero m´edio de monˆomeros n
p
(r) em fun¸c˜ao da distˆancia r ao centro do macro´ıon
com valˆencia Z
m
= −20 (A) e (B), −30 (C) e (D) e −40 (E) e (F). O pol´ımero cont´em N
p
= 40
(linha cont´ınua), 60 (tracejado longo), 80 (tracejado curto) e 100 (linha pontilhada).
cauda(s). Observa-se que este fato esta associado com o decr´escimo do n ´umero de
monˆomeros na camada de coordena¸c˜ao. Quando a carga l´ıquida do complexo (ma-
cro´ıon + monˆomeros na camada de coordena¸c˜ao) atinge um determinado valor, a
adi¸c˜ao de um novo monˆomero n˜ao ´e mais energ´eticamente favor´avel. Por isso, esta
66
por¸c˜ao da extremidade se mant´em com mobilidade compar´avel a de uma cadeia iso-
lada, trazendo parte do pol´ımero, antes complexado, para a solu¸c˜ao. Este fato esta
em plena concordˆancia com o modelo fenomenol´ogico proposto por T. T. Nguyen e
B. I. Shklovskii [130].
O valor de N
∗
p
´e mostrado na figura 4.4 em fun¸c˜ao da carga do macro´ıon. Pode-se
verificar que N
∗
p
> |Z
m
|, confirmando a invers˜ao de carga.
´
E interessante notar
que a valˆencia do complexo Z
cpx
= Z
m
+ N
∗
p
independe da carga do macro´ıon, em
consistˆencia com os resultados observados em outros trabalhos [129,133]. Para todos
os casos verificados neste trabalho Z
cpx
= 27 em concentra¸c˜ao salina nula.
A figura 4.5 mostra o n´umero total de monˆomeros vizinhos ao macro´ıon N
T
(r), em
fun¸c˜ao da distˆancia r, conforme a seguinte defini¸c˜ao (ver rela¸c˜ao 2.16):
N
T
(r) =
r
0
n
p
(r
)dr
(4.2)
Em geral, observa-se alta taxa de varia¸c˜ao desta grandeza na regi˜ao correspondente
Figura 4.4: N
∗
p
em fun¸c˜ao da valˆencia do macro´ıon Z
m
. A linha cont´ınua ´e a fun¸c˜ao linear
ajustada aos pontos.
67
`a camada de coordena¸c˜ao, diminu´ındo significativamente para maiores valores de r.
Como pode ser observado nos gr´aficos 4.5A e 4.5B, para Z
m
= −40 e N
p
= 40 e 60 o
coeficiente angular da reta correspondente a esta segunda regi˜ao ´e nulo. Isso ocorre
pois todos os monˆomeros da cadeia se mant´em complexados. Nos outros casos, a in-
clina¸c˜ao fornece informa¸c˜oes sobre o n´umero de caudas. Como j´a verificado, quando
Z
m
= −15 apenas um segmento da cadeia toca o macro´ıon. Ent˜ao, este pode ser
utilizando como referˆencia para o estado com duas caudas. No gr´afico 4.3B, referente
a N
p
= 60, o coeficiente angular ´e aproximadamente o mesmo para todos os valores
de Z
m
, exceto para Z
m
= −40 pelas raz˜oes j´a citadas acima. Aumentando o grau
de polimeriza¸c˜ao, a inclina¸c˜ao para Z
m
= −20, −30 e −40 diminui, indicando que o
Figura 4.5: N´umero total de monˆomeros N
T
(r) localizados aquem da distˆancia r do centro do
macro´ıon com valˆencia Z
m
= −15 (linha cont´ınua), −20 (tracejado longo), −30 (tracejado curto)
e −40 (linha pontilhada). O grau de polimeriza¸c˜ao da cadeia ´e (A) N
p
= 40, (B) 60, (C) 80 e
(D) 100.
68
Figura 4.6: Diagrama de estados conformacionais para o sistema composto por um macro´ıon
com valˆencia Z
m
e grau de polimeriza¸c˜ao N
p
em concentra¸c˜ao salina nula e concentra¸c˜ao macro-
molecular de 0,1 µM (R
c
= 158,26 nm).
estado com apenas uma cauda passa a predominar. Esta dependˆencia do n´umero de
caudas com o grau de polimeriza¸c˜ao da cadeia pode explicar as divergˆencias entre
os resultados obtidos por P. Chodanowski e S. Stoll [8] e por A. Akinchina e P.
Linse [12]. O primeiro deles n˜ao demonstra a existˆencia de conforma¸c˜oes com duas
caudas pois se limitou ao estudo de macro´ıons com alta carga l´ıquida (|Z
m
| = 100),
que necessitam de pol´ımeros com alto grau de p olimeriza¸c˜ao para forma¸c˜ao destas,
enquanto nas simula¸c˜oes realizadas no segundo foi considerado |Z
m
| = 40.
Baseando-se nos resultados apresentados acima ´e poss´ıvel sugerir o diagrama de
estados conformacionais esquem´atico mostrado na figura 4.6. Para valores de Z
m
al´em da linha pontilhada n˜ao verifica-se conforma¸c˜oes com duas caudas, devido ao
n´umero de monˆomeros necess´arios para saturar o complexo.
69
Cap´ıtulo 5
Transi¸c˜ao Co nform acio nal
De acordo com os resultados apresentados no cap´ıtulo anterior, as propriedades
conformacionais de polieletr´olitos adsorvidos s˜ao distintas daquelas que estes teriam
quando livres em solu¸c˜ao. Is to sugere que a dissocia¸c˜ao do complexo pode se ma-
nifestar atrav´es de modifica¸c˜oes na conforma¸c˜ao do pol´ımero. De fato, resultados
obtidos por modelos analiticamente sol´uveis [134–137] mostraram que esta varia¸c˜ao
conformacional ocorre abruptamente e possui caracter´ısticas de transi¸c˜ao de fase.
Em temperatura constante, as condi¸c˜oes cr´ıticas que levam `a dissocia¸c˜ao seguem a
rela¸c˜ao
σ
c
ξ
c
∼ κ
a
, (5.1)
onde σ
c
´e a densidade superficial de carga cr´ıtica do macro´ıon e ξ
c
´e a densidade
linear de carga cr´ıtica do polieletr´olito. O expoente a ´e dependente das aproxima¸c˜oes
utilizadas [134, 135] e de algumas caracter´ısticas do sistema, como a geometria do
macro´ıon [136] e o regime de for¸ca iˆonica [135–137]. Comportamento semelhante
foi observado e m estudos experimentais envolvendo a intera¸c˜ao de polieletr´olitos
70
sint´eticos com prote´ınas [41, 42, 44] ou micelas [39, 40, 43] opostamente carregadas.
Utilizando um amplo conjunto de t´ecnicas, tais como medidas de turbidez [40,42,43],
espalhamento dinˆamico de luz [40,41] e titula¸c˜ao potenciom´etrica [39,44], a validade
da express˜ao 5.1 foi verificada para a = 1.
Simula¸c˜oes Monte Carlo realizadas por P. Chodanowski e S. Stoll [8, 33,35, 36] per-
mitiram avaliar o efeito de v´arios parˆametros do sistema na dissocia¸c˜ao do complexo
formado por uma esfera e uma cadeia polim´erica de carga oposta. A varia¸c˜ao do
n´umero de monˆomeros carregados do polieletr´olito resultou em mudan¸cas dr´asticas
na probabilidade de contato destes com a esfera [36]. Entretanto, a dependˆencia da
densidade linear de carga cr´ıtica com a for¸ca iˆonica se mostrou concordante com a
rela¸c˜ao 5.1 para a = 2, em desacordo com a previs˜ao experimental.
Em 2004 R. de Vries [46] verificou o efeito da densidade de carga de pequenos
poliˆanions na sua complexa¸c˜ao com as prote´ınas do leite α–lactalbumina e β–
lactoglobulina. Atribu´ındo cargas fracion´arias aos monˆomeros da cadeia, n˜ao foram
observadas varia¸c˜oes abruptas na energia de intera¸c˜ao entre as duas macromol´eculas.
Segundo a argumenta¸c˜ao do autor, este fato est´a relacionado com o pequeno n´umero
de liga¸c˜oes eletrost´aticas (da ordem de 10) que estabilizam o complexo, sugerindo
que pol´ımeros com maior densidade de carga levariam a tal comportamento. Va-
lores cr´ıticos para a for¸ca iˆonica foram ent˜ao obtidos em condi¸c˜oes onde a energia
de intera¸c˜ao ´e igual a energia t´ermica k
B
T . Com este crit´erio o comportamento
experimental (a = 1) foi recuperado.
Estudos por simula¸c˜ao computacional abordando o efeito da carga da part´ıcula
coloidal foram desenvolvidos por P. Linse e colaboradores [83,138], embora a ˆenfase
dos trabalhos n˜ao tenha sido na transi¸c˜ao conformacional do pol´ımero.
Este assunto ser´a ent˜ao revisitado com o objetivo principal de explorar o comporta-
mento do sistema em condi¸c˜oes proximas `as condi¸c˜oes cr´ıticas dadas p e la express˜ao
71
5.1. Os dois exemplos citados nos par´agrafos acima mostram como peculiaridades do
modelo e mudan¸cas no crit´erio para caracteriza¸c ˜ao dos estados que o polieletr´olito
pode assumir, podem levar a conclus˜oes conflitantes. Entretanto, parece razo´avel
tratar o problema atrav´es da defini¸c˜ao de um parˆametro de ordem relacionado di-
retamente com a conforma¸c˜ao do pol´ımero, e verificar o comportamento da energia
livre em rela¸c˜ao a esta grandeza. O m´etodo de m´ultiplos histogramas, descrito na
se¸c˜ao 2.3.2, ser´a utilizado para realiza¸c ˜ao de tal procedimento.
5.1 Desenvolvimentos Te´oricos
Em 1977 F. W. Wiegel [45, 134] estudou a adsor¸c˜ao de um polieletr´olito em uma
superf´ıcie plana opostamente carregada com densidade superficial de carga σ. O
pol´ımero foi considerado uma cadeia ideal composta por N segmentos de compri-
mento l e carga q. Tratando o eletr´olito de acordo com a teoria de Debye-Huckel, a
energia de intera¸c˜ao entre a superf´ıcie e um segmento da cadeia ´e dada por
V (x) =
qσ
2
o
s
κ
exp (−κx) , (5.2)
onde x ´e a distˆancia do segmento `a superf´ıcie.
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para este problema pode ser expressa pela expans˜ao bilinear
3.8. Cada autofun¸c˜ao ´e o produto de trˆes fun¸c˜oes de apenas uma coordenada.
Como V (x) depende apenas da coordenada normal `a superf´ıcie, as componentes nas
coordenadas paralelas y e z possuir˜ao comportamento Gaussiano de cadeia isolada,
enquanto a componente na coordenada normal ´e dada em termos das autofun¸c˜oes
φ
m
(x) e dos autovalores E
m
da equa¸c˜ao
72
−
l
2
6
d
2
dx
2
− β
|qσ|
2
o
s
κ
exp (−κx)
φ
m
(x) = E
m
φ
m
(x), (5.3)
com condi¸c˜oes de contorno φ
m
(x = 0) = lim
x→∞
φ
m
(x) = 0.
A equa¸c˜ao 5.3 ´e equivalente `a equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo
para uma part´ıcula em um po¸co unidimensional com energia potencial βV (x) =
−β
|qσ|
2
o
s
κ
exp (−κx). Atrav´es da analogia com o problema quˆantico, dois compor-
tamentos distintos podem ser obtidos:
1. Se βV for maior que um determinado valor cr´ıtico (βV )
c
n˜ao ser´a observado
nenhum estado ligado. A solu¸c˜ao de 5.3 ser´a caracterizada por um espec-
tro cont´ınuo de autovalores E
m
≥ 0 e autofun¸c˜oes φ
m
(x) possuindo compor-
tamento peri´odico. Neste caso a energia de intera¸c˜ao entre o pol´ımero e a
superf´ıcie n˜ao ´e suficiente para superar a entropia da cadeia, mantendo-a dis-
sociada.
2. Se βV < (βV )
c
ser´a obtido um espectro discreto com, ao menos, um autovalor
E
m
< 0 caracterizando o estado adsorvido. Nestas condi¸c˜oes, ´e conveniente
realizar as substitui¸c˜oes
ϕ
ν
(η) = φ
m
(x) , η =
24β|qσ|
2
o
s
κ
3
l
2
1/2
exp
−
1
2
κx
e −ν
2
=
24E
m
κ
2
l
2
,
(5.4)
formulando o problema em termos da equa¸c˜ao de Bessel
d
2
dη
2
+
1
η
d
dη
+
1 −
ν
2
η
2
ϕ
ν
(η) = 0, (5.5)
com condi¸c˜oes de contorno
73
ϕ
ν
η =
24β|qσ|
2
o
s
κ
3
l
2
1/2
= ϕ
ν
(η = 0) = 0. (5.6)
As autofun¸c˜oes s˜ao dadas por ϕ
ν
(η) = AJ
ν
(η), onde J
ν
(η) s˜ao as fun¸c˜oes de Bessel
do primeiro tipo, e os autovalores s˜ao determinados pelas raizes da equa¸c˜ao
J
ν
24β|qσ|
2
o
s
κ
3
l
2
= 0. (5.7)
Existem tanto estados ligados quanto solu¸c˜oes poss´ıveis para 5.7 com ν > 0. A
transi¸c˜ao para o estado dissociado ocorre quando ν = 0. Neste caso
24β|qσ|
2
o
s
κ
3
l
2
1/2
≈
2, 4048. Ent˜ao, a dependˆencia do comprimento de Debye κ com a densidade de carga
superf´ıcial cr´ıtica σ
c
segue a rela¸c˜ao
σ
c
∼ κ
3
. (5.8)
M. Muthukumar e colaboradores ab ordaram o problema da adsor¸c˜ao de polie-
letr´olitos `a sup erf´ıcies opostamente carregadas planas [135] e curvas [136] tratando
o pol´ı-mero de maneira mais realista. Utilizando um procedimento variacional, o
segmento efetivo da cadeia isolada foi calculado incorporando efeitos da intera¸c˜ao
eletrost´atica entre os segmentos. As condi¸c˜oes cr´ıticas foram obtidas de maneira
semelhante ao apresentado acima, considerando uma cadeia Gaussiana composta
por N segmentos efetivos. Segundo es tes trabalhos, al´em de enfraquecer a intera¸c˜ao
entre a superf´ıcie e o polieletr´olito, a adi¸c˜ao de sal tamb´em contribui para a disso-
cia¸c˜ao do complexo aumentando a entropia conformacional da cadeia. No limite de
baixa blindagem eletrost´atica (κ → 0) o pol´ımero ´e mais r´ıgido e, consequentemente,
possui menor entropia conformacional que no caso flex´ıvel onde κ → ∞. Isto leva a
leis de escala distintas neste dois limites:
74
σ
c
∼
κ
3
, κ → 0
κ
11/5
, κ → ∞.
(5.9)
O mesmo procedimento foi aplicado `a intera¸c˜ao do pol´ımero com uma esfera de raio
R e densidade superficial de carga σ. Neste caso, a cadeia deve se “dobrar” para
haver o contato dos monˆomeros com a superf´ıcie do macro´ıon. A intera¸c˜ao macro´ıon-
polieletr´olito, al´em de superar a entropia da cadeia, deve tamb´em compensar a
rigidez da mesma. No limite de alta curvatura (κR 1)
σ
c
∼
κ
2
, κ → 0
κ
6/5
, κ → ∞.
(5.10)
Em 2006, R. G. Winkler e A. G. Cherstvy [137] apontaram para a limita¸c˜ao do
procedimento variacional utilizado por M. Muthukumar e revisitaram o problema da
adsor¸c˜ao em part´ıculas coloidais esf´ericas. A solu¸c˜ao exata foi obtida aproximando
o potencial de Coulomb blindado pelo potencial de Hulth´en, e o comportamento
emp´ırico foi reproduzido em baixos valores de for¸ca iˆonica:
σ
c
∼
κ, κ → 0
κ
3
, κ → ∞.
(5.11)
5.2 Resultados
Os res ultados apresentados na figura 5.1A se referem ao sistema composto por uma
cadeia polim´erica carregada e um macro´ıon com valˆencia Z
m
= −10, em baixa
concentra¸c˜ao, como no cap´ıtulo anterior. A energia m´edia da intera¸c˜ao entre estes
dois corpos E
L
´e mostrada em fun¸c˜ao do inverso do comprimento de Debye. Em
75
for¸ca iˆonica suficientemente baixa para que o pol´ımero se mantenha complexado, a
intera¸c˜ao entre os monˆomeros e a esfera ´e enfraquecida devido ao aumento da blinda-
gem eletrost´atica. Como consequˆencia, em baixo grau de polimeriza¸c˜ao (N
p
= 20),
E
L
assume o comportamento dado pela fun¸c˜ao E
L
= A exp(κB), indicada pela
linha tracejada no gr´afico, onde A ≈ −50, 71 k
B
T e B ≈ −23, 95
˚
A s˜ao parˆametros
ajust´aveis relacionados ao n´umero de monˆomeros complexados e `a distˆancia m´edia
destes ao centro da part´ıcula coloidal, respectivamente. Cadeias maiores n˜ao seguem
esta mesma concordˆancia quantitativa devido `a dependˆencia n˜ao trivial do n´umero
de monˆomeros complexados com a concentra¸c˜ao salina.
Quando o inverso do comprimento de Debye atinge um determinado valor cr´ıtico
κ
∗
, a varia¸c˜ao de E
L
em rela¸c˜ao a κ cresce significativamente. Al´em de ser geral,
n˜ao apresentando dependˆencia com o n´umero de monˆomeros do polieletr´olito (figura
5.1A) nem com a carga do macro´ıon (figura 5.1B), esta mudan¸ca de comportamento
esta associada com o surgimento de um pico nas flutua¸c˜oes na energia de intera¸c˜ao
entre as duas macromol´eculas. Este fato pode ser observado no gr´afico interno da
figura 5.1B, sugere que o aumento de
∂E
L
∂κ
´e decorrente de uma transi¸c˜ao de fase
Figura 5.1: Energia m´edia da intera¸c˜ao E
L
entre um macro´ıon com valˆencia Z
m
e um polie-
letr´olito com grau de polimeriza¸c˜ao N
p
. (A) Z
m
= −10 e N
p
= 20 (c´ırculos), 40 (triˆangulos)
e 60 (quadrados). A linha tracejada mostra a curva E
L
= A exp(κB) com A ≈ −50, 71 k
B
T
e B ≈ −23, 95
˚
A. (B) N
p
= 20 e Z
m
= −10 (s´ımbolos pretos), −20 (s´ımbolos cinzas) e −30
(s´ımbolos brancos). O gr´afico interno `a figura (B) mostra o valor quadr´atico da flutua¸c˜ao da
energia de intera¸c˜ao.
76
Figura 5.2: (A) Evolu¸c˜ao da energia da intera¸c˜ao polieletr´olito–macro´ıon E
L
e da energia total
E com o decorrer da simula¸c˜ao para Z
m
= −10, N
p
= 20 e concentra¸c˜ao salina de 22 mM. (B)
Histograma da energia total para Z
m
= −10 e N
p
= 20. As linhas cont´ınua e pontilhada mostram
resultados para concentra¸c˜ao salina de 22 e 28 mM, respectivamente.
promovida pela adi¸c˜ao de sal.
A figura 5.2A apresenta a evolu¸c˜ao de E
L
com o decorrer da simula¸c˜ao em condi¸c˜oes
onde κ > κ
∗
. O sistema ´e composto por um macro´ıon de valˆencia Z
m
= −10 e uma
cadeia contendo 20 monˆomeros em concentra¸c˜ao salina de 22 mM (κ ≈ 0, 048
˚
A
−1
).
Podem ser identificadas transi¸c˜oes revers´ıveis entre dois estados distintos: o estado
complexado, onde a energia m´edia da intera¸c˜ao entre o pol´ımero e a esfera segue
a fun¸c˜ao E
L
= A exp(κB), e o est ado dissociado com E
L
≈ 0. As mesmas
transi¸c˜oes existentes em E
L
podem tamb´em ser observadas na energia total do sis-
tema E. Este fato indica que n˜ao existe nenhum tipo de transi¸c˜ao conformacional
induzida exclusivamente por intera¸c˜oes intracadeia.
Os histogramas de E apresentados na figura 5.2B para dois valores distintos de con-
centra¸c˜ao salina (22 e 28 mM) seguem uma distribui¸c˜ao bimodal. O pico em me nor
energia corresponde ao estado complexado, enquanto o segundo ´e referente ao estado
dissociado. Com o enfraquecimento da intera¸c˜ao entre as macromol´eculas causada
pela adi¸c˜ao de sal, a popula¸c˜ao de configura¸c˜oes no estado dissociado aumenta oca-
sionando a invers˜ao da altura dos picos. O surgimento do estado dissociado e sua
contribui¸c˜ao para a m´edia de E
L
est´a associado `a mudan¸ca de comportamento ob-
77
servadas nas figuras 5.1A e 5.1B. O mesmo comportamento pode ser verificado para
maiores valores de Z
m
.
No caso de cadeias contendo 20 monˆomeros, κ
∗
´e aproximadamente 0,039
˚
A
−1
, cor-
respondendo a E
L
≈ −20 k
B
T, conforme pode ser observado pela linha pontilhada
da figura 5.1A. Isto indica que o estado dissociado surge quando a energia m´edia
da intera¸c˜ao de cada monˆomero com o macro´ıon ´e aproximadamente igual `a energia
t´ermica. Resultado semelhante foi obtido por P. Chodanowski e S. Stoll [8] uti-
lizando diferente crit´erio para determina¸c˜ao de κ
∗
. Entretanto, para cadeias com
maior grau de polimeriza¸c˜ao ´e poss´ıvel verificar o surgimento do estado dissociado
quando E
L
> −N
p
k
B
T. Isto ocorre pois alguns monˆomeros se localizam na parte
da cadeia que forma(m) cauda(s) (ver cap´ıtulo anterior), contribu´ındo pouco para
E
L
. A figura 5.3A apresenta o n´umero de coordena¸c˜ao em fun¸c˜ao da distˆancia ao cen-
tro do macro´ıon, nas mesmas condi¸c˜oes mostradas na figura 5.1A, em concentra¸c˜ao
salina referente a κ
∗
. A camada de coordena¸c˜ao se extende at´e aproximadamente 40
˚
A (indicado pela linha tracejada vertical dos gr´aficos). Embora este valor n˜ao seja
rigoroso, sua varia¸c˜ao dentro de um intervalo razo´avel n˜ao imp˜oe modifica¸c˜oes no
comportamento qualitativo do sistema. De acordo com a figura 5.3B o n´umero de
Figura 5.3: (A) N´umero m´edio de monˆomeros n
p
(r) e (B) n´umero total de monˆomeros N
T
(r)
localizados `a distˆancia r do centro do macro´ıon com valˆencia Z
m
= −10 em concentra¸c˜ao salina
correspondente a κ
∗
. As linhas cont´ınuas, tracejada e pontilhada apresentam resultados para N
p
= 20 (Cs = 14 mM), N
p
= 40 (Cs = 24 mM) e N
p
= 60 (Cs = 26 mM), respectivamente.
78
monˆomeros existente no interior desta regi˜ao, efetivamente ligados ao macro´ıon, ´e
aproximadamente 30, valor consistente com a energia na qual ocorre a mudan¸ca no
comportamento de E
L
. Ent˜ao, o estado dissociado surge quando a energia m´edia
da intera¸c˜ao correspondente a cada monˆomero complexado ´e aproximadamente
igual a k
B
T.
Os resultados apresentados acima indicam que os estados complexado e dis sociado
podem tamb´em ser caracterizados pela distˆancia do centro de massa do pol´ımero
ao macro´ıon. No estado complexado, o pol´ımero se mant´em proximo do macro´ıon
com alguns nomˆomeros em contato real com a esfera, enquanto no estado dissociado
a distˆancia polieletr´olito–macro´ıon ´e suficientemente grande para que a energia de
intera¸c˜ao seja nula. Distˆancias intermedi´arias s˜ao observadas com probabilidade
muito baixa. Neste caso, a energia eletrost´atica n˜ao ´e suficiente para superar a
intera¸c˜ao de deple¸c˜ao que tende a manter a cadeia afastada da superf´ıcie da esfera.
Flutua¸c˜oes t´ermicas po dem fazer com que o pol´ımero se aproxime suficientemente
do macro´ıon para que o complexo seja estabilizado, ou se afaste para regi˜oes onde a
intera¸c˜ao de deple¸c˜ao domine.
Figura 5.4: (A) Raio de gira¸c˜ao R
2
g
1/2
de uma cadeia com 60 monˆomeros na presen¸ca de
um macro´ıon com valˆencia Z
m
= −10 (s´ımbolos pretos), −20 (s´ımbolos cinzas) e −30 (s´ımbolos
brancos). A linha tracejada mostra o comportamento da cadeia isolada. (B) N´umero m´edio de
monˆomeros n
p
(r) em fun¸c˜ao da distˆancia r ao centro de um macro´ıon de valˆencia Z
m
= −20. As
linhas cont´ınuas, com tracejado longo, curto e pontilhada mostram resultados para concentra¸c˜ao
salina de 0, 5, 10 e 20 mM, respectivamente.
79
Figura 5.5: (A) Parˆametro de extens˜ao r para cadeias com 20 (c´ırculos), 40 (triˆangulos) e 60
(quadrados) monˆomeros na presen¸ca de um macro´ıon com valˆencia Z
m
= −10. (B) Concentra¸c˜ao
de monˆomeros para Z
m
= −10 e N
p
= 20. Linha s´olida, com tracejado longo e pontilhada mostram
resultados para concentra¸c˜ao de sal de 0, 10 e 30 mM, respectivamente.
A transi¸c˜ao para o estado dissociado se manifesta nas propriedades conformacio-
nais do pol´ımero. A figura 5.4A mostra o raio de gira¸c˜ao de uma cadeia com 60
monˆomeros, em fun¸c˜ao da concentra¸c˜ao salina, para trˆes valores de Z
m
. Em todos
os casos podem ser identificados trˆes regimes distintos: em baixa for¸ca iˆonica, as di-
mens˜oes do polieletr´olito decrescem com a adi¸c˜ao de sal assumindo valores menores
do que o mesmo teria isolado em solu¸c˜ao. Isto ocorre porque a rigidez eletrost´atica
da cadeia diminui devido `a blindagem da intera¸c˜ao entre os monˆomeros, permitindo
com que ela se “dobre” sobre a superf´ıce do macro´ıon. O aumento do n´umero de
monˆomeros nas vizinhan¸cas da part´ıcula coloidal pode ser observado na figura 5.4B
para Z
m
= −20. Quando a concentra¸c˜ao salina atinge um valor suficientemente alto,
dependente da carga do macro´ıon, esta tendˆencia se inverte e a adi¸c˜ao de sal passa
a contribuir para o aumento das dimens˜oes da cadeia. Nestas condi¸c˜oes, ocorre o
surgimento do estado dissociado e o sistema se encontra em coexistˆencia de estados.
Aumentando ainda mais a concentra¸c˜ao do eletr´olito observa-se o comportamento
equivalente ao de cadeias isoladas.
Modificando o grau de polimeriza¸c˜ao (figura 5.5A) observa-se que esta invers˜ao de
comportamento n˜ao ocorre para pequenas cadeias (N
p
= 20). Neste caso, to dos os
80
monˆomeros se encontram pr´oximos `a superf´ıcie da esfera, acompanhando sua cur-
vatura, mesmo em concentra¸c˜ao salina nula. A blindagem eletrost´atica da intera¸c˜ao
monˆomero–macro´ıon aumenta a liberdade de alguns monˆomeros, diminu´ındo a in-
fluˆencia das dimens˜oes da part´ıcula coloidal s obre o pol´ımero. Este comportamento
pode ser confirmado na figura 5.5B, onde a concentra¸c˜ao de monˆomeros C
p
(r) ´e
apresentada em diferentes regimes de for¸ca iˆonica. Verifica-se a queda dr´astica de
C
p
(r) quando a concentra¸c˜ao de sal aumenta de 10 para 30 mM, consequˆencia direta
da transi¸c˜ao para o estado dissociado.
Uma vez que o interesse principal deste cap´ıtulo esta na transi¸c˜ao conformacional
causada pela dissocia¸c˜ao do complexo, o raio de gira¸c˜ao do pol´ımero ser´a considerado
o parˆametro de ordem da transi¸c˜ao. A figura 5.6A apresenta a energia livre do
sistema em fun¸c˜ao desta grandeza. A cadeia cont´em 60 monˆomeros e o macro´ıon
possui valˆencia Z
m
= −20. Em concentra¸c˜ao salina de 160 mM, observa-se dois
estados com diferen¸cas significativas de flutua¸c˜oes, como obtido atrav´es de modelos
anal´ıticos [10]. O m´ınimo referente ao menor valor do raio de gira¸c˜ao corresponde ao
estado complexado, onde as flutua¸c˜oes s˜ao, de fato, pequenas pois a esfera determina
as dimens˜oes da cadeia. Com o aumento da concentra¸c˜ao de sal para 170 mM, a
Figura 5.6: Energia Livre em fun¸c˜ao do raio de gira¸c˜ao R
2
g
1/2
para o sistema composto por um
macro´ıon com valˆencia Z
m
e um polieletr´olito com grau de polimeriza¸c˜ao N
p
= 60. (A ) Z
m
= −20
em concentra¸c˜ao salina de 160 mM (linha tracejada) e 170 mM (linha cont´ınua). (B) Z
m
= −20
em concentra¸c˜ao salina de 170 mM (linha cont´ınua) e Z
m
= −30 em concentra¸c˜ao salina de 305
mM (linha tracejada).
81
barreira diminui devido `a maior blindagem da intera¸c˜ao eletrost´atica atrativa entre
as duas macromol´eculas. Com isso, a probabilidade do estado dissociado aumenta e
os dois m´ınimos da energia livre assumem valores iguais, caracterizando a condi¸c˜ao
cr´ıtica. Este perfil da energia livre ´e caracter´ıstico de transi¸c˜oes de primeira ordem,
assim como as transi¸c˜oes abruptas apresentadas na figura 5.2A.
O efeito do aumento da carga do macro´ıon na energia livre pode ser avaliado atrav´es
da figura 5.6B. O primeiro valor m´ınimo de A, referente ao estado complexado, se
desloca para menores valores do raio de gira¸c˜ao com o aumento de Z
m
, uma vez
que o crescimento intera¸c˜ao atrativa monˆomero–macro´ıon faz com que um maior
n´umero de monˆomeros se mantenham complexados e mais pr´oximos da esfera. Isto
tamb´em ocasiona um aumento da barreira que separa os dois estados de equil´ıbrio.
A figura 5.7 apresenta o diagrama de fases para os sistemas compostos por um
macro´ıon com valˆencia Z
m
e um pol´ımero contendo 20 ou 60 monˆomeros. Verifica-
se a dependˆencia linear de Z
m
com o comprimento de Debye, em acordo com os
resultados obtidos experimentalmente.
Figura 5.7: Diagrama de fases para os sistemas compostos por um macro´ıon com valˆencia Z
m
e
um pol´ımero contendo 20 (s´ımbolos brancos) ou 60 (s´ımbolos pretos) monˆomeros. A linha cont´ınua
´e a fun¸c˜ao linear ajustada aos pontos.
82
Cap´ıtulo 6
Regula¸c˜ao de Carga
Conhecer as condi¸c˜oes que determinam a estabilidade de complexos formados por
polieletr´olitos e prote´ınas ´e fundamental para o entendimento de processos intra-
celulares [16–18, 139]. Em v´arias situa¸c˜oes de interesse, os resultados experimen-
tais [27,49,140,141] mostram forte dependˆencia da constante de liga¸c ˜ao com o pH e
a for¸ca iˆonica da solu¸c˜ao, sugerindo que as intera¸c˜oes eletrost´aticas s˜ao as principais
respons´aveis pela complexa¸c˜ao.
No caso da intera¸c˜ao entre polieletr´olitos e prote´ınas do leite em seus pontos isoel´etri-
co, a estabilidade do complexo ´e comumente atribu´ıda `a existˆencia de patches
de carga. Este fenˆomeno foi estudado por R. de Vries [46] utilizando simula¸c˜oes
Monte Carlo. Ele mostrou que a causa da diferen¸ca na afinidade do pol´ımero `a
α–Lactalbumina (α–lac) e β–Lactoglobulina (β–lac) pode ser atribu´ıda a diferentes
distribui¸c˜oes dos patches de carga. A β–lac possui v´arios pequenos patches dis-
tribu´ıdos por sua s uperf´ıcie, enquanto que na α–lac uma grande regi˜ao de densidade
de carga positiva ´e respons´avel por um complexo mais est´avel, como demonstrado
por resultados experimentais [142, 143]. Esta forma de entender o fenˆomeno per-
mite identificar regi˜oes, ou at´e mesmo res´ıduos de amino´acidos, fundamentalmente
83
respons´aveis pela estabilidade do complexo.
Embora a identifica¸c˜ao dos res´ıduos que constituem o patch de carga seja arbitr´aria,
R. de Vries [144] desenvolveu um crit´erio para determin´a-los: o n´umero de res´ıduos
p(i) que formam o patch centralizado no res´ıduo i ´e dado por todos os vizinhos
contidos no interior de uma esfera com centro na posi¸c˜ao de i, e raio menor que
a distˆancia do mais pr´oximo vizinho de carga oposta. Desta forma, cinco res´ıduos
foram indicados como principais componentes do maior patch de carga encontrado
na α–lac: LYS62, HIS68, ARG70, LYS98 e LYS94. A figura 6.1 mostra p(i) para
as duas prote´ınas do leite citadas acima, considerando todos os grupos carregados.
´
E interessante notar que os maiores patches existentes na β–lac possuem carga
negativa, o que n˜ao ocorre para α–lac, onde observa-se dois grandes patches de
carga oposta. A disposi¸c˜ao estrutural dos res´ıduos que formam estas regi˜oes de alta
densidade de carga pode ser visualizada na figura 6.2.
O trabalho citado acima [46], bem como muitos outros que abordaram te´oricamente
a forma¸c˜ao de complexos moleculares [50, 58, 89, 145, 146], assumem a distribui¸c˜ao
de carga da prote´ına constante, aproxima¸c˜ao que exclui a componente devido `a re-
gula¸c˜ao de carga. Este mecˆanismo foi estudado primeiramente em 1952 por J. G.
Figura 6.1: N´umero de res´ıduos p(i) c ompondo o patch centralizado no res´ıduo i. Os resultados
s˜ao referentes `a (A) α–lactalbumina e (B) β–lactoglobulina. As setas indicam qual o res´ıduo
central do patch.
84
Figura 6.2: Representa¸c˜ao pict´orica do maior patch de carga existente na β–lactoglobulina,
centralizado no res´ıduo GLU158 da c adeia A, de acordo com PDB-ID 1BEB (figura da esquerda),
e dos dois maiores patches existente na α–lactalbumina, centralizados nos res´ıduos ARG70 (figura
superior da direita) e TYR18 (figura inferior da direita), de acordo com PDB- ID 1HFY. As esferas
azuis se localizam na posi¸c˜ao do carbono–α dos res´ıduos que constituem o patch.
Kirkwood e J. B. Shumaker [147], os quais calcularam a contribui¸c˜ao `a energia livre
de liga¸c˜ao utilizando teoria de perturba¸c˜ao. Recentemente, M. Lund e colaborado-
res [59, 114] mostraram que a suceptibilidade dos res´ıduos modificarem seu estado
de ioniza¸c˜ao devido a alguma perturba¸c˜ao eletrost´atica externa ´e diretamente rela-
cionada com a flutua¸c˜ao de carga da prote´ına, tamb´em denominada capacitˆancia.
F. L. B. da Silva e colaboradores [50] revisitaram o problema estudado por R. de
Vries adotando um modelo puramente eletrost´atico. Foi utilizado simula¸c˜oes Monte
Carlo para investigar a intera¸c˜ao entre um poliˆanion e trˆes prote´ınas: α–lac, β–lac
e Lisozima (lis). A compara¸c˜ao entre as contribui¸c˜oes carga–dipolo e carga–carga
85
induzida mostrou que nos trˆes casos estudados a contribui¸c˜ao causada pela regula¸c˜ao
de carga ´e dominante, principalmente no caso da lis, onde apenas a contribui¸c˜ao
dipolar n˜ao ´e suficiente para formar um complexo est´avel.
A proposta deste cap´ıtulo ´e primeiramente avaliar o efeito da for¸ca iˆonica no meca-
nismo de regula¸c˜ao de carga. Para isso, as prote´ınas do leite citadas acima foram
utilizadas como modelo. O segundo objetivo ´e mostrar que a diminui¸c˜ao da hetero-
geneidade da densidade de carga da α–lac favorece a intera¸c˜ao com o polieletr´olito
devido ao mecanismo de regula¸c˜ao de carga. Neste caso foram realizadas muta¸c˜oes
nos res´ıduos indicados por R. de Vries.
6.1 Aproxima¸c˜ao Perturbativa
A deriva¸c˜ao formal do potencial da for¸ca m´edia agindo no centro de massa do po-
lieletr´olito devido ao campo el´etrico criado pela prote´ına, pode ser realizada parti-
cionando a energia eletrost´atica em contribui¸c˜oes multipolares e aplicando m´etodos
perturbativos [50,147]. Seja ent˜ao uma prote´ına com centro de massa localizado na
origem de um sistema de coordenadas arbitr´ario, e distribui¸c˜ao de carga definida
por [Q
i
= Z
i
e, r
i
]. No caso da intera¸c˜ao com um polieletr´olito, pode-se utilizar um
modelo extremamente simples e trat´a-lo como uma esfera r´ıgida com carga central
Q
α
= Z
α
e localizada em r
α
. A energia eletrost´atica da intera¸c˜ao entre as duas
macromol´eculas ´e dada por
βU([r
i
], r
α
) = l
B
Z
α
i
Z
i
r
iα
exp(−κr
iα
), (6.1)
onde r
iα
= |r
i
−r
α
|. Assumindo que a distˆancia r = |r| entre o centro de massa das
duas macromol´eculas seja muito maior que |r
i
|, a expans˜ao multipolar de U pode
86
ser realizada at´e segunda ordem:
βU(r) ≈ l
B
Z
α
Z
m
r
+
µ.r
r
3
exp [−κ(r − R
m
)]
(1 + κR
m
)
, (6.2)
onde Z
m
=
i
Z
i
´e a valˆencia da prote´ına, µ =
i
Z
i
r
i
´e seu momento de dipolo,
em unidades de comprimento, definido em rela¸c˜ao ao centro de massa, e R
m
´e seu
raio m´edio.
Considerando que a prote´ına esteja em seu ponto isoel´etrico, ´e razo´avel assumir que
a energia de intera¸c˜ao seja muito menor do que a auto-energia das macromol´eculas
isoladas. Nestas condi¸c˜oes ´e poss´ıvel utilizar teoria de perturba¸c˜ao [91] e mostrar
que o potencial da for¸ca m´edia w
cm
(r) po de ser escrito como
βw
cm
(r) = −lnexp [−βU(r)]
o
≈ −ln
1 − βU(r)
o
+
1
2
(βU(r))
2
o
, (6.3)
onde . . .
o
denota a m´edia sobre os graus de liberdade de cada macromol´ecula
independentemente. Expandindo a rela¸c˜ao 6.3 at´e segunda ordem e combinando
com a equa¸c˜ao 6.2, obtem-se
βw
cm
(r) ≈ l
B
Z
α
Z
m
o
r
+
µ.r
o
r
3
exp [−κ(r − R
m
)]
(1 + κR
m
)
− l
2
B
Z
2
α
C
2r
2
+
µ
2
o
6r
4
exp [−2κ(r − R
m
)]
(1 + κR
m
)
2
,
(6.4)
onde C = Z
2
m
o
−Z
m
2
o
´e a capacitˆancia da prote´ına, uma propriedade intr´ınsica que
quantifica a suceptibilidade `a regula¸c˜ao de carga [50,59,114]. Esta grandeza depende
do n´umero de grupos ioniz´aveis, e alcan¸ca seu valor m´aximo quando pH ≈ pK
o
dos
res´ıduos mais abundantes. Nestas condi¸c˜oes, a probabilidade de protona¸c˜ao destes
87
res´ıduos ´e aproximadamente 0,5 (considerando pequenas intera¸c˜oes no interior da
macromol´ecula) e a flutua¸c˜ao de sua carga ´e m´axima.
O primeiro termo da rela¸c˜ao 6.4 cont´em a contribui¸c˜ao carga–carga e carga–dipolo.
Ambos se anulam pois Z
m
o
= 0 no ponto isoel´etrico e µ.r
o
= 0 devido `a m´edia
sobre todas as configura¸c˜oes orientacionais da prote´ına. Ent˜ao, w
cm
(r) ´e dado ape-
nas por contribui¸c˜oes de segunda ordem. Embora o termo dominante dependa da
magnitude de µ e C, ´e importante observar que a contribui¸c˜ao carga–carga indu-
zida ´e sempre de maior alcance.
6.2 Condi¸c˜ao Ideal
A distribui¸c˜ao de carga das prote´ınas tem origem na ioniza¸c˜ao dos grupos ´acidos
e b´asicos existentes nos res´ıduos de amino´acidos que a constituem [1, 2, 148]. Em
solu¸c˜ao aquosa, a probabilidade de um certo grupo estar ionizado ´e determinada
pelo equil´ıbrio qu´ımico [149, 150] (equil´ıbrio ´acido–base) entre a forma protonada
GH e dissociada G. No caso de um grupo ´acido, a forma protonada ´e neutra e a
forma dissociada ´e negativamente carregada (G
−
). Se o grupo ´e b´asico, a forma
protonada ´e o ´acido conjugado da base G carregado positivamente (GH
+
). Em
geral, o equil´ıbrio ´e descrito pela rea¸c˜ao
GH + H
2
O G + H
3
O
+
. (6.5)
A constante de equil´ıbrio K
a
´e definida de acordo com a lei de a¸c˜ao das massas
[2, 109]. Em baixa concentra¸c˜ao das esp´ecies carregadas
88
K
a
=
[G] [H
3
O
+
]
[GH]
, (6.6)
onde [. . .] denota a concentra¸c˜ao molar das esp´ecies. A probabilidade dos grupos
ioniz´aveis estarem na forma dissociada se manifesta no grau de dissocia¸c˜ao
α =
[G]
[G] + [GH]
. (6.7)
Combinando as express˜oes 6.6 e 6.7 a rela¸c˜ao entre α e o pH da solu¸c˜ao ´e obtida
atrav´es da equa¸c˜ao de Henderson-Hasselbalch [148, 149]
pK
a
= pH −log
α
1 − α
, (6.8)
onde pK
a
= −log K
a
, uma forma conveniente de expressar a constante de equil´ıbrio
devido `a magnitude das concentra¸c˜oes envolvidas.
A constante de equil´ıbrio ´e fortemente dep endende dos parˆametros do sistema que
determinam o ambiente eletrost´atico no qual o grupo ioniz´avel esta inserido. Quando
no interior de uma prote´ına, a intera¸c˜ao com outros res´ıduos carregados afeta a
probabilidade de ioniza¸c˜ao [148, 151, 152]. Uma forma de avaliar esta influˆencia ´e
verificar o desvio da carga m´edia e da capacitˆancia da prote´ına em rela¸c˜ao ao seu
comportamento ideal, onde nenhuma perturba¸c˜ao externa afeta o comportamento
dos grupos ioniz´aveis. Neste caso, a constante de equil´ıbrio ´e normalmente denotada
por K
o
, e depende apenas de propriedades intr´ınsicas do res´ıduo que cont´em o grupo.
Seja ent˜ao uma prote´ına composta por N
R
grupos ioniz´aveis, sendo N
+
R
grupos
b´asicos e N
−
R
grupos ´acidos. Assumindo que o i-´esimo grupo possui constante de
equil´ıbrio intr´ınsica pK
i
o
= −log K
i
o
, a valˆencia m´edia ideal pode ser expressa pela
89
rela¸c˜ao
Z
m
id
=
N
+
R
i=1
(1 − α
i
o
) −
N
−
R
i=1
α
i
o
, (6.9)
onde α
i
o
=
1 + 10
pK
i
o
−pH
−1
.
A flutua¸c˜ao da carga do i-´esimo grupo ioniz´avel ´e dada por (Z
i
)
2
− Z
i
2
, onde
Z
i
´e sua carga m´edia. Em condi¸c˜oes ideais, (Z
i
)
2
= α
i
o
e Z
i
2
= (α
i
o
)
2
para
grupos ´acidos, e (Z
i
)
2
= (1 − α
i
o
) e Z
i
2
= (1 −α
i
o
)
2
para grupos b´asicos. Ent˜ao,
em geral (Z
i
)
2
− Z
i
2
= α
i
o
− (α
i
o
)
2
. Somando sobre todos os grupos ioniz´aveis
obtem-se a capacitˆancia ideal da prote´ına [59]
C
id
=
N
R
i=1
10
pH−pK
i
o
(1 + 10
pH−pK
i
o
)
2
. (6.10)
6.3 Detalhes da Simula¸c˜ao
O modelo adotado para o estudo do efeito da regula¸c˜ao de carga na complexa¸c˜ao
de polieletr´olitos com prote´ınas ´e aquele descrito no cap´ıtulo 1. A prote´ına ´e tra-
tada como uma esfera r´ıgida de raio R
m
e carga l´ıquida central Z
m
e, eliminando
completamente contribui¸c˜oes causadas pela distribui¸c˜ao assim´etrica de carga. A
solu¸c˜ao eletrol´ıtica ´e descrita atrav´es da teoria de Debye-Huckel, desprezando con-
tribui¸c˜oes entr´opicas causadas pela redistribui¸c˜ao dos ´ıons da solu¸c˜ao (libera¸c˜ao de
contra´ıons). Tem sido apontado [3] que estas contribui¸c˜oes podem ser o driving force
para complexa¸c˜ao, e sua inclus˜ao no modelo p ode esconder o efeito da regula¸c˜ao de
carga. Embora estas aproxima¸c˜oes sejam mais grosseiras do que tem sido utilizado
em outros trabalhos [50, 114], onde o modelo primitivo [87] ´e adotado e detalhes em
90
escala atˆomica s˜ao considerados para a prote´ına, desta forma ´e poss´ıvel avaliar o
efeito da regula¸c˜ao de carga exclusivamente, al´em de permitir o estudo em regimes
de for¸ca iˆonica compat´ıveis com o ambiente fisiol´ogico devido a redu¸c˜ao do cus to
computacional.
Embora anteriormente as propriedades m´edias tenham sido calculadas sobre um
ensemble de configura¸c˜oes com Z
m
constante, neste cap´ıtulo a carga l´ıquida deve ser
determinada pelas condi¸c˜oes da solu¸c˜ao. Para isso, o pH foi um dos parˆametros de
entrada da simula¸c˜ao, bem como as posi¸c˜oes espaciais dos res´ıduos, os quais foram
obtidas da estrutura cristalogr´afica (PDB-ID 1HFY para α–lac e PDB-ID 1BEB
para β–lac em forma dim´erica), e o pK
o
de cada grupo ioniz´avel, definido de acordo
com Y. Nozaki e C. Tanford [153]. Algumas informa¸c˜oes espec´ıficas de cada prote´ına
s˜ao apresentadas na tabela 6.3.
De acordo com a se¸c˜ao 2.3, as configura¸c˜oes do sistema s˜ao criadas atrav´es de movi-
mentos translacionais da cadeia e dos monˆomeros. Para levar em conta o equil´ıbrio
´acido-base, a modifica¸c˜ao do estado de ioniza¸c˜ao dos res´ıduo deve tamb´em ser reali-
zada. A probabilidade de tal mudan¸ca ocorrer ´e especificada no in´ıcio da simula¸c˜ao.
Quando esta op¸c˜ao ´e escolhida, um amino´acido ´e selecionado aleat´oriamente e sua
valˆencia ´e modificada ( 0 ↔ -1, caso o res´ıduo possua um grupo ´acido, ou 0 ↔
1, caso o grupo seja b´asico). Sendo η
i
a valˆencia do res´ıduo i, a valˆencia total da
Tabela 6.1: Raio m´edio R
m
e n´umero de res´ıduos ioniz´aveis das prote´ınas estudadas neste
cap´ıtulo com os correspondentes valores de pK
o
.
N´umero de res´ıduos
Prote´ına R
m
(
˚
A) ASP GLU HIS TYR LYS CYS ARG
α–lactalbumina (1HFY) 27,5 14 4 3 4 13 0 1
β–lactoglobulina (1BEB) 42,0 20 32 2 8 30 2 6
pK
o
– 4,0 4,4 6,3 9,6 10,4 10,8 12,0
91
prote´ına em cada configura¸c˜ao ´e dada por
Z
m
=
i
η
i
. (6.11)
Normalmente, o estudo de macromol´eculas titul´aveis por simula¸c˜ao computacional
´e realizado no ensemble grande canˆonico, onde a mudan¸ca do estado de ioniza¸c˜ao
de um res´ıduo ´e acompanhada pela varia¸c˜ao do n ´umero de protons na solu¸c˜ao.
A aceita¸c˜ao de novas configura¸c˜oes ´e determinada tanto pela varia¸c˜ao da energia
como tamb´em pelo potencial qu´ımico do proton no bulk. Como neste trabalho os
contra´ıons e ´ıons de sal s˜ao tratados implicitamente, a simula¸c˜ao ´e ainda realizada
no ensemble canˆonico, de forma que a protona¸c˜ao/desprotona¸c˜ao de um res´ıduo ´e
acompanhada pela correspondente varia¸c˜ao do κ de Debye modificado (rela¸c˜ao 1.5),
mantendo a eletroneutralidade da c´elula. A aceita¸c˜ao de cada tentativa de alterar
o estado de ioniza¸c˜ao de um res´ıduo ´e determinada pela varia¸c˜ao da energia [154]
β∆U = β∆U
el
± ln 10 (pH −pK
o
) , (6.12)
onde o sinal positivo se aplica `a protona¸c˜ao e o sinal negativo `a desprotona¸c˜ao.
A componente eletrost´atica ∆U
el
cont´em uma contribui¸c˜ao dada pela intera¸c˜ao do
res´ıduo cuja carga foi modificada com os outros res´ıduos carregados da prote´ına,
uma outra contribui¸c˜ao devido `a intera¸c˜ao da prote´ına com os monˆomeros, e uma
terceira ocasionada pela varia¸c˜ao da concentra¸c˜ao iˆonica ao redor da prote´ına. A
energia eletrost´atica calculada antes e ap´os a modifica¸c˜ao de η
j
´e dada por
92
βU
el
=
N
R
i=1
l
B
η
i
η
j
r
ij
res´ıduo–res´ıduo
+
N
p
i=1
l
B
Z
m
Z
p
r
i
exp [−κ(r
i
− R
m
)]
(1 + κR
m
)
prote´ına–monˆomero
+ l
B
Z
2
m
κ
(1 + κR
m
)
prote´ına–´ıons
, (6.13)
onde r
ij
´e a distˆancia entre o i-´esimo e o j-´esimo res´ıduo, e r
i
´e a distˆancia do centro
da prote´ına ao i-´esimo monˆomero. A carga do amino´acido ´e atribu´ıda na posi¸c˜ao
do ´atomo no qual o pr´oton se liga.
6.4 Resultados
A valˆencia m´edia e a capacitˆancia da α–lac e β–lac, em trˆes valores de for¸ca iˆonica,
s˜ao apresentadas na figura 6.3. Estes resultados se referem `as prote´ınas isoladas,
na ausˆencia do polieletr´olito. Os c´ırculos pretos mostram resultados obtidos da
referˆencia 50, onde o modelo ´e mais realista (os ´ıons m´oveis da solu¸c˜ao s˜ao tra-
tados explicitamente e a macromol´ecula possui detalhes atˆomicos). Verifica-se a
concordˆancia entre as duas aproxima¸c˜oes, mesmo em baixa concentra¸c˜ao de sal (1
mM) e alta concentra¸c˜ao macromolecular (0,1 mM), onde a aproxima¸c˜ao de campo
m´edio linear ´e mais cr´ıtica devido ao alto potencial eletrost´atico gerado pela prote´ına
em extremos valores de pH, e `a contribui¸c˜ao expl´ıcita dos contra´ıons respons´aveis em
manter a eletroneutralidade do sistema. Como pode s er observado na rela¸c˜ao 6.13,
o efeito do eletr´olito ´e introduzido considerando a densidade de carga esf´ericamente
sim´etrica. Entretanto, mesmo em condi¸c˜oes onde os efeito dipolares se tornam domi-
nantes (pH ≈ pI) esta concordˆancia ´e tamb´em observada.
´
E razo´avel assumir ent˜ao
que o modelo proposto ´e eficiente em descrever o equil´ıbrio ´acido-base com mesma
acuracidade que se tem obtido com aproxima¸c˜oes mais real´ısticas [50, 59, 114].
A varia¸c˜ao da for¸ca iˆonica n˜ao promove mudan¸cas significativas no pI das prote´ınas,
93
Figura 6.3: Valˆencia m´edia Z
m
e capacitˆancia C da α–lactalbumina (gr´aficos (A) e (B), res-
pectivamente) e β–lactoglobulina (gr´aficos (C) e (D), res pectivamente). O comportamento ideal
´e apresentado por linhas vermelhas. As linhas pretas cont´ınuas e com tracejado longo mostram
resultados em concentra¸c˜ao macromolecular C
p
= 0,1 mM e concentra¸c˜oes salinas C
s
= 1 mM e
100 mM, respectivamente, enquanto a linha com tracejado curto apresenta resultados em baixa
concentra¸c˜ao macromolecular (7 µM) e concentra¸c ˜ao salina de 1 mM. Os c´ırculos pretos se re-
ferem aos resultados obtidos da referˆencia 50 em concentra¸c˜ao macromolecular C
p
= 0,1 mM e
concentra¸c˜ao de sal C
s
= 1 mM.
os quais s˜ao mantidos dentro do intervalo observado empiricamente (pI = 5,4 e 4,6
para α–lac e β–lac, respectivamente). A adi¸c˜ao de sal leva o sistema ao compor-
tamento ideal devido `a blindagem eletrost´atica exercida sobre a intera¸c˜ao entre os
res´ıduos, e os efeitos causados pela varia¸c˜ao da concentra¸c˜ao macromolecular s˜ao
observados apenas para alta carga macromolecular.
Como esperado, em condi¸c˜oes de baixa intera¸c˜ao intramolecular, os valores m´aximos
da capacitˆancia localiza-se em valores de pH aproximadamente iguais ao pK
o
dos
res´ıduos mais abundantes. Isto pode ser verificado atrav´es das informa¸c˜oes contidas
94
Figura 6.4: Potencial da for¸ca m´edia w
cm
(r) agindo do centro de massa do polieletr´olito devido `a
intera¸c˜ao com a prote´ına. A concentra¸c˜ao macromolecular ´e de 0,05 mM e a concentra¸c˜ao salina ´e
de 1 mM (linha cont´ınua), 2 mM (l´ınha tracejada) e 10 mM (linha pontilhada). Os resultados foram
obtidos para (A) α–lactalbumina e (B) β–lactoglobulina em seus respectivos pontos isoel´etrico.
na tabela 6.3. Em baixa for¸ca iˆonica, a intera¸c˜ao eletrost´atica entre os res´ıduos
altera a probabilidade de protona¸c˜ao ocasionando o deslocamento dos picos para
valores mais extremos de pH.
A figura 6.4 apresenta o potencial da for¸ca m´edia w
cm
(r) agindo no centro de massa
do polieletr´olito devido `a intera¸c˜ao com a α -lac (figura 6.4A) e β-lac (figura 6.4B),
em seus respectivos pontos isoel´etrico, para trˆes diferentes regimes de concentra¸c˜ao
salina. Observa-se que a adi¸c˜ao de sal promove o aumento do valor m´ınimo de
w
cm
(r) indicando a diminui¸c˜ao da afinidade entre as duas macromol´eculas.
´
E in-
teressante notar que isto ocorre mesmo quando as prote´ınas se encontram em seu
pI e a contribui¸c˜ao atrativa dipolar n˜ao ´e considerada (veja se¸c˜ao 6.3). T. Hattori
e colaboradores [7] verificaram o mesmo comportamento para a intera¸c˜ao de poli-
eletr´olitos aniˆonicos sint´eticos com a β–lac. Entretanto, a interpreta¸c˜ao do efeito
do sal ´e baseada na diferen¸ca de blindagem de regi˜oes da prote´ına com densidade
de carga negativa e positiva. Os resultados apresentados aqui sugerem um meca-
nismo de complexa¸c˜ao baseado exclusivamente em intera¸c˜oes eletrost´aticas, que n˜ao
depende da heterogeneidade da distribui¸c˜ao de carga da prote´ına.
A figura 6.5 mostra a varia¸c˜ao do valor m´ınimo do potencial da for¸ca m´edia em
95
Figura 6.5: Valor m´ınimo do potencial da for¸ca m´edia agindo do centro de massa do polieletr´olito
devido `a intera¸c˜ao com a prote´ına em concentra¸c˜ao de 0,05 mM. A linha cont´ınua preta se refere `a
resultados obtidos atrav´es do m´etodo Monte Carlo. A linha tracejada apresenta c´alc ulos utilizando
teoria de pertuba¸c˜ao e adotando a capacitˆancia obtida pelas simula¸c˜oes. Na linha vermelha s˜ao
mostrados os mesmos c´alculos utilizando teoria de perturba¸c˜ao mas adotando a capacitˆancia ideal.
Os resultados foram obtidos para (A) α–lactalbumina e (B) β–lactoglobulina em seus respectivos
pontos isoel´etrico.
rela¸c˜ao `a concentra¸c˜ao salina. A linha cont´ınua preta apresenta resultados obtidos
por simula¸c˜ao Monte Carlo (MC), confirmando o efeito de blindagem eletrost´atica j´a
observado na figura 6.4. Entretanto, como pode ser verificado no gr´afico interno, a
capacitˆancia cresce com a concentra¸c˜ao salina, compensando, apenas parcialmente,
a blindagem causada pela adi¸c˜ao de sal.
As outras curvas foram obtidas utilizando teoria de perturba¸c˜ao (rela¸c˜ao 6.4). Se-
guindo as es pecifica¸c˜oes da referˆencia 50, a estimativa da distˆancia prote´ına–poliele-
tr´olito ´e dada por r
min
= R
m
+ R
pc
, onde R
pc
foi considerado metade da distˆancia
end-to-end do correspondente pol´ımero neutro (30
˚
A), independente da concen-
tra¸c˜ao de sal. A linha tracejada apresenta resultados adotando as capacitˆancias
obtidas pelo m´etodo MC, exibidas no gr´afico interno. Observa-se que, em baixa
for¸ca iˆonica, o potencial da for¸ca m´edia calculado por m´e todos perturbativos subes-
tima as previs˜oes obtidas pela simula¸c˜ao. A invers˜ao deste comportamento ´e causada
pelo efeito da concentra¸c˜ao salina na distˆancia m´edia entre as duas macromol´eculas,
quando do c´alculo atrav´es do m´etodo MC.
96
Os dados apresentados pela linha vermelha foram calculados utilizando a capa-
citˆancia ideal (rela¸c˜ao 6.10). C
id
= 1,27 e 10,84 para α–lac e β–lac, respectivamente.
Comparando estes valores com as capacitˆancias obtidas por simula¸c˜ao, constata-se
que a distribui¸c˜ao de carga das prote´ınas, e a consequente intera¸c˜ao entre os res´ıduos,
inibe a troca de protons com a solu¸c˜ao diminu´ındo a flutua¸c˜ao de carga. A diferen¸ca
entre a capacitˆancia ideal e aquelas obtidas por MC mostra que este efeito ´e mais
significativo na β–lac, consequˆencia direta dos grandes patches mostrados na figura
6.1B. Por isso, a afinidade desta prote´ına pelo polieletr´olito ´e superestimada pelo
c´alculo perturbativo com C
id
, o que n˜ao ocorre para α–lac. Este fato sugere que
a diminui¸c˜ao dos patches de carga pode contribuir para a complexa¸c˜ao devido ao
aumento da capacitˆancia das prote´ınas.
A figura 6.6A mostra o efeito das muta¸c˜oes nos res´ıduos da α-lac indicados na re-
ferˆencia 46. Estes resultados foram obtidos atrav´es do modelo descrito na referˆencia
50, tratando os ´ıons da solu¸c˜ao explicitamente e considerando a prote´ına com deta-
lhamento atˆomico. A simples substitui¸c˜ao do LYS62 e LYS98 por res´ıduos neutros
Figura 6.6: Resultados da intera¸c˜ao entre o p olieletr´olito e a α–lactalbumina na sua forma
selvagem (sem simbolos), neutralizando o res´ıduo LYS98 (quadrados brancos), neutralizando o
res´ıduo LYS62 (triˆangulos brancos), e realizando muta¸c˜oes nos 5 res´ıduos indicados na referˆencia
46 (c´ırculos pretos). A prote´ına est´a em seu ponto isoel´etrico. (A) Potencial da for¸ca m´edia agindo
no centro de massa do pol´ımero em concentra¸c˜ao salina de 1 mM e concentra¸c˜ao macromolecular
de 60 mM, obtido com o modelo atom´ıstico da referˆencia 50. (B) Valor m´ınimo do potencial
da for¸ca m´edia agindo no centro de massa do polieletr´olito em fun¸c˜ao da concentra¸c˜ao salina. A
concentra¸c˜ao da prote´ına ´e 0,01 mM.
97
diminui a afinidade do pol´ımero pela prote´ına, em rela¸c˜ao `a forma selvagem. Entre-
tanto, quando os cinco res´ıduos (LYS62, HIS68, ARG70, LYS94 e LYS98) s˜ao alte-
rados, a afinidade aumenta, mesmo com a prote´ına possu´ındo cinco fontes de carga
a menos. Quando as muta¸c˜oes s˜ao realizadas, embora a densidade de carga positiva
(patche de carga) em determinadas regi˜oes da prote´ına diminua, a protona¸c˜ao dos
outros res´ıduos se torna mais prov´avel devido a diminui¸c˜ao do potencial eletrost´atico
que estaria agindo nos s´ıtios caso a prote´ına estivesse em sua forma selvagem. Isto
se reflete tamb´em na flutua¸c˜ao da carga destes res´ıduos e consequentemente na
capacitˆancia da prote´ına (ver tabela 6.4).
O mesmo comportamento ´e observado tratando a solu¸c˜ao eletrol´ıtica atrav´es da
teoria de Debye–H¨uckel. Entretanto, neste caso muta¸c˜oes simples em qualquer um
dos res´ıduos leva a um aumento na afinidade entre as duas macromol´eculas. Is to
ocorre devido a simplicidade do modelo que desconsidera contribui¸c˜oes dipolares.
De acordo com a tabela 6.4, muta¸c˜oes simples diminuem o momento de dipolo da
prote´ına ocasionando a diminui¸c˜ao da afinidade verificada na figura 6.6A.
Tabela 6.2: Informa¸c˜oes referentes `a α–lactalbumina nas formas selvagem e mutante. Os dados
apresentados na segunda coluna foram obtidos com o modelo descrito na referˆencia 50. Na terceira
coluna est˜ao os resultados obtidos no modelo descrito na se¸c˜ao 6.3.
Referˆencia 50 Se¸c˜ao 6.3
Muta¸c˜oes pI µ C C
Forma Selvagem 5,4 82,0 0,99 0,94
LYS62 5,0 77,7 1,3 1,2
LYS98 5,0 65,8 1,2 1,2
5 muta¸c˜oes 4,2 91,0 1,6 1,4
98
Cap´ıtulo 7
Conclus˜oes
A intera¸c˜ao eletrost´atica entre um polieletr´olito e um macro´ıon esf´erico foi estu-
dada utilizando simula¸c˜oes Monte Carlo. Primeiramente, aspectos conformacionais
relacionados com a varia¸c˜ao da carga do macro´ıon e do grau de polimeriza¸c˜ao da
cadeia foram investigados na ausˆencia de sal. Em baixa carga macromolecular o
pol´ımero apenas toca a part´ıcula coloidal, n˜ao sofrendo varia¸c˜oes conformacionais
significativas em rela¸c˜ao ao seu comportamento isolado em solu¸c˜ao. Com o au-
mento de Z
m
o macro´ıon passa a determinar as dimens˜oes do polieletr´olito, uma vez
que a intera¸c˜ao monˆomero–esfera ´e suficiente para que a cadeia passe a envolvˆe-lo.
Quando o n´umero de monˆomeros complexados atinge um determinado valor cr´ıtico
N
∗
p
observa-se a forma¸c˜ao de cauda(s). O n´umero de caudas se mostrou dependente
do grau de polimeriza¸c˜ao do polieletr´olito. Cadeias pequenas, at´e aproximadamente
80 monˆomeros, apresentaram estruturas com duas caudas se extendendo em dire¸c˜oes
opostas, ao contr´ario de pol´ımeros maiores no qual apenas uma cauda ´e observada.
Portanto, macro´ıons com carga suficientemente alta para que a forma¸c˜ao de caudas
necessite da complexa¸c˜ao com pol´ımeros com alto grau de polimeriza¸c˜ao apresen-
tar˜ao apenas uma cauda. Este fato mostra que as divergˆencias existentes na litera-
tura s˜ao decorrentes de diferentes especifica¸c˜oes do modelo. Observa-se tamb´em que
99
o valor de N
∗
p
´e suficiente para causar a invers˜ao de carga do macro´ıon, de forma
que a carga l´ıquida do complexo seja invariante em rela¸c˜ao `a carga da esfera e ao
n´umero de monˆomeros da cadeia. Isto sugere que esta grandeza deve depender das
propriedades geom´etricas do sistema.
Com a adi¸c˜ao de sal a blindagem da intera¸c˜ao repulsiva entre os segmentos da
cadeia promove o aumento do n´umero de monˆomeros complexados, at´e que a ener-
gia de intera¸c˜ao de cada monˆomero com o macro´ıon atinja o valor aproximado de
k
B
T . Quando isto ocorre, configura¸c˜oes nas quais o complexo ´e dissociado pas-
sam a contribuir significativamente para as propriedades conformacionais m´edias do
polieletr´olito. Isto causa uma transi¸c˜ao de primeira ordem caracterizada por va-
ria¸c˜oes abruptas nas propriedades conformacionais da cadeia. Utilizando o m´etodo
de m´ultiplos histogramas para calcular a energia livre do sistema em rela¸c˜ao ao raio
de gira¸c˜ao do pol´ımero, verificou-se a dependˆencia linear da carga macromolecular
cr´ıtica com a for¸ca iˆonica, em concordˆancia com resultados experimentias.
A estabilidade de complexos compostos por polieletr´olitos e prote´ınas foi tamb´em
estudada em condi¸c˜oes nas quais a prote´ına se encontra em seu ponto isoel´etrico.
Utilizando um modelo simplificado onde as contribui¸c˜oes dipolares s˜ao despreza-
das, verificou-se que apenas o mecanismo de regula¸c˜ao de carga ´e suficiente para
forma¸c˜ao de complexos est´aveis. Este mecanismo depende da susceptibilidade das
prote´ınas adquirirem carga l´ıquida induzida p ela presen¸ca de outras esp´ecies carre-
gadas. Quantitativamente, esta susceptibilidade pode ser medida atrav´es da capa-
citˆancia da prote´ına. Esta grandeza se mostrou fortemente depende da distribui¸c˜ao
de carga, uma vez que intera¸c˜oes intramoleculares podem inibir a troca de pro-
tons com a solu¸c˜ao. Portanto, como verificado para α –lactalbumina, muta¸c˜oes nos
res´ıduos localizados em regi˜oes de alta densidade de carga podem favorecer a com-
plexa¸c˜ao.
100
Com a adi¸c˜ao de sal observou-se a redu¸c˜ao da intera¸c˜ao atrativa entre as duas ma-
cromol´eculas, de acordo com o tradicional efeito de blindagem eletrost´atica. Entre-
tanto, esta contribui¸c˜ao ´e parcialmente compenssada pelo aumento da capacitˆancia
da prote´ına com a concentra¸c˜ao salina.
101
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