Download PDF
ads:
ESTUDO DO DESEMPENHO DE MÉTODOS DE LENTH
NA ANÁLISE DE PLANOS DO TIPO SPLIT-PLOT NA
AUSÊNCIA DE RÉPLICAS
CARLOS RAPHAEL ARAÚJO DANIEL
Orientador: Prof. Cristiano Ferraz
Co-Orientadora: Prof
a
Carla Almeida Vivacqua
Área de Concentração: Estatística Aplicada
Dissertação submetida como requerimento parcial
para obtenção do grau de Mestre em Estatística
pela Universidade Federal de Pernambuco
Recife, fevereiro de 2008
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ads:
Agradecimentos
Apesar de saber que estarei inevitavelmente cometendo injustiças não citando todos os nomes
que gostaria e deveria citar, espero que se sintam reconhecidos todos os que colaboraram com o
meu progresso até este ponto. Agradeço:
A Deus por me dar uma vida surpreendente, ainda que eu não me esforce muito para isso;
Aos meus pais, Carlos Roberto e Maria Luzinete e à minha irmã Carla Danielle que estão sempre
comigo onde quer que eu esteja e, cada um do seu jeito, me ajudam a crescer;
Aos meus tios e tias, especialmente t io Valdir e tia Célia, d os quais sou mais próximo; e avós,
principalmente vovó Almira que me acompanha mais de perto;
Aos professores que se empenham em transmitir da melhor forma possível os seus conhecimentos;
em pa rticu lar aos orientadores Cristiano Ferraz e Carla Vivacqua, que merecem um reconheci-
mento especial por este trabalho , sou grato pela valiosa orientação, paciência e amizade;
Aos professores da UFRN, gra nde s responsáveis pelo meu desempenho na gra dua ção , especial-
mente ao professor Formiga que me p roporcionou a oportunidade de fazer parte do PET;
Aos professores da UFPE, por me mostrarem o significado de dedicação exclusiva; em especial
Renato, Leandro e Sylvio por tornarem o desafio do mestrado “perigosamente” mais motivante;
Ao grupo de estudo, Lídia, Juliana e Lilian pela amizade, paciência e alto astral (e pelos almoços!);
e também Larissa e Carlos que a dois anos se esforçam para me faze r “acordar para a vida”;
Aos “monstros sagrados”, Fábio e Abraão, aos “verdadeiros exemplos” de amizade , Hemílio e
Marcelo e, “obviamente”, também a Valmir, pela afinidade, convivência , pelas intermináveis
discussões amistosas e por rirem comigo até das coisas que ninguém mais acha graça;
Aos demais colegas do mestrado e do doutorado, Rejane, Kátia, Leo, Ênio, Silvia, Edwin, Wagner,
Alice, Olga, Manoel, Andréa, Izabel, Wilton, Cícero, Ângela, Josemir, Marcelo, Daniel, Jeane,
Tarciana, Tatiene e Líliam, ainda que meu contato com estes não tenha sido tão próximo;
Aos colegas da turma que não seguiram no mestrado, Andrea, Cacio, Alexandra, Cecílio e Allan,
principalmente este último, que me acompanhou na graduação e veio comigo para o mestrado;
A Geraldo pelas informações e ajuda quando ingressei no mestrado (e pelas caron as para Natal!);
A Valéria pela a ten ção, gentileza e igualdade com que trata a todos na pós-graduação;
À banca examinadora por dedicar um pouco do seu tempo à avaliação do meu trabalho;
A Dulce, Karol, Rodrigo e Gustavo p o r tornar divertida (às vezes) a experiência de morar longe
da família e por terem suportado a minha implicância durante estes dois anos;
A Cibele pela simpatia, paciência e por tudo que ela me ensinou;
A Julianne que, sempre preocupada comigo, foi determinante para o meu ingresso no mestrado;
a Rita pelo imenso carinho e confiança que deposita em mim e por gostar tanto de me ouvir; e
a Darllanne pela amizade e pelo valor que ela vê na minh a simples presença;
A Eliza, pela amizade, incentivo e porque eu devo muito a ela; a Pâmela pela alegria que
demonstra quando me vê; e aos outros bolsistas e ex-bolsistas do PET que me tratam tão bem;
Ao pessoal da graduação, Paulina, Bagda, Valclécia, Carlito, e especialmente a Nelson e Clemer,
pelo entusiasmo e pelos bons momentos de estudo e descontração que compartilharam comigo;
A Mirley, André, Michell, Dany, Núbia, Davi, Evaldo, Micheline, Rosângela, Ianne, e vários
outros que, mesmo me conhecendo tão pouco, se afeiçoaram tanto a mim;
Ao pessoal do CEFET, e m especial Alberto e Elíria pela nossa amizade inabalável;
A Hugo, Diogo, Chander, João, e principamente Ricardo, pela amizade fortalecida pelo tempo;
Aos que fizeram um esforço para estar aqui e assistir a minha defesa, como Juscilésio, Raquel,
Josimar e a turma que acabou de ingressar na pós-graduação ;
À CAPES pelo apoio financeiro;
A todos os que me procuram para estudar, pois sem eles, dificilmente eu ocuparia tanto do meu
tempo com listas de exercício...
E a todos ao meu redor que acreditam no meu potencial bem mais do que eu julgo merecer...
iii
Resumo
No meio industrial é comum a utilização de experimentos como parte de programas d e qua-
lidade. Devido a restrições de custo, tais experimentos precisam ser cuidadosamente planejados
de forma a atender aos objetivos com o mínimo de recursos. Para tanto, frequentemente são
executados experimentos sem réplicas, com planos experimentais complexos e estruturas fatoriais
de tratamentos que torn am a execução e análise do experimento mais desafiadora.
A adoção de planos da classe split-plot, que envolvem mais de uma etapa de aleatoriz açã o,
acomodando vários estágios du rante sua execução, leva a uma redução no custo relativo à apli-
cação dos tratamentos. Por outro lado, experimentos com estruturas fatoriais de tratamentos,
realizados sem réplicas, podem ser analisados através de gráficos de probabilidade normal ou
half-normal dos efeitos, como proposto por Daniel (1959). A interpretação destes gráficos, no
entanto, está sujeita à subjetividade. Lenth (1989) propôs um método objetivo de an álise para
esses experimentos. O método de Lenth foi depois r eformulado por Ye et al. (2001) com o objetivo
de aperfeiçoar o método original, dando origem ao método step-down Lenth.
Melo (2007) investigou a eficiência dos métodos de Lenth e step-down Lenth n a análise de
experimentos strip-plot com estruturas fatoriais 2
k
na ausência de réplicas. Esta dissertação dá
continuidade ao trabalho desenvolvido por Melo (2007) observando se o desempenho dos métodos
é afetado quando o número de provas no experimento strip-plot é muito reduzido, o número de
efeitos ativos aumenta, e as diversas fontes de variabilidade contribuem com diferentes valores,
através de um estudo de simulação de Monte Carlo.
Palavras-chave: Planejamento de experimentos, Experimentos não replicados, Planos experimen-
tais complexos, Método de Lenth.
iv
Abstract
In the industry setting, exper iments are frequently used as part of quality programs. Due to
cost restrictions, such experiments should be carefully planned in order to achieve their objectives
using the minimum amount of resources. For that purpose, experiments without replicates, using
complex designs and factorial structure of treatments are often run, making the implementation
and analysis of the experiment more challenging.
Experimental designs such as split-plot, involving more than one step of rand omizat ion a nd
having various stages, lead to cost reduction of treatment’s application. Furthermore, unrepli-
cated factorial designs can be analysed using normal and half-normal plots of effects, as proposed
by Daniel (1959). The interpretation of th ese graphics, however, is subjective. Lenth (1989)
proposed an objective method of analysis for such exp e riments. Lenth’s method was later re-
formulated by Ye et al. (2001) in an attempt to improve the original method, thus creating the
step-down Lenth method.
Melo (200 7) investigated the efficiency of Lenth’s and step-down Lenth’s methods in the analy-
sis of non-replicated strip-plot experiments with 2
k
factorial structures. This master’s dissertation
continues the work Melo (2007) started, observing if the methods’ performances are affected
by using a few number of tests in the strip-plot experiment, an increasing number of active
effects, and a different c ontribution from the various sources of variability, trough a Monte Carlo
simulation.
Keywords: Design of experiments, Unreplicated experiments, Complex experimental designs,
Lenth’s Method.
v
Sumário
Lista de Figuras viii
Lista de Tabelas x
1 Introdução 1
1.1 Objetivos da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Organização da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Plataforma Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Revisão Conceitual 5
2.1 Estruturas Fatoriais 2
k
de Tratamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Planos Experimentais da Classe Split-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Plano Split-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Plano Split-Split-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Plano Strip-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.4 Plano Split-Lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
vi
2.3 Métodos de Lenth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Método de Lenth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Método Step-Down Lenth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Métodos de Lenth em Planos Strip-Plot com Estruturas Fatoriais 2
k
32
3.1 Análise de um Experimento Strip-Plot com Estrutura Fatorial 2
k
pelos Métodos
de Lenth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Análise de Desempenho dos Métodos de Lenth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Estudo de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Resultados do Estudo de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Considerações Finais 72
A Código do R para geração e análise de um experimento strip-plot 75
Apêndice 75
Referências Bibliográficas 81
vii
Lista de Figuras
2.1 Primeiro exemplo de possíveis unidades experimentais em um plano Split-Plot . . 11
2.2 Segundo exemplo de possíveis unidades experimentais em um plano Split-Plot . . 11
2.3 Exemplo de diferentes unidades experimentais presentes em um plano Split-Split-Plot 16
2.4 Primeiro exemplo de possíveis unidades experimentais em um plano Strip-Plot . . 19
2.5 Segundo exemplo de possíveis unidades experimentais em um plano Strip-Plot . . 19
2.6 Primeira etapa de aleatorização, com a atribuição dos níveis do fator A às respec-
tivas unidades experimentais em um e xemplo de plano Split-Lot . . . . . . . . . . 22
2.7 Segunda etapa de aleatorização, com a atribuição dos níveis do fator B às respec-
tivas unidades experimentais sob uma nova aleatorização em u m exemplo de plano
Split-Lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Terceira etapa de aleatorização, com a atribuição dos níveis do fator C às resp ec -
tivas unidades experimentais sob uma terceira aleatorização em um exemplo de
plano Split-Lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Gráfico de Lenth para os Dados da Ta bela 2 .9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Exemplo de utilização do gráfico de Lenth (Grupo 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 36
viii
3.2 Exemplo de utilização do gráfico de Lenth (Grupo 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Exemplo de utilização do gráfico de Lenth (Grupo 3) . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Valores do Pode r sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação . . . 48
3.5 Valores do Pode r sob o Método de Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação . . . 49
3.6 Valores do Pode r sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação . . . 51
3.7 Valores do Poder sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação 52
3.8 Valores do Poder sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação 54
3.9 Valores do Poder sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação 55
3.10 Valores do IER sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação . . . . 57
3.11 Valores do IER sob o Método de Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação . . . . 58
3.12 Valores do IER sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação . . . . 59
3.13 Valores do IER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação 61
3.14 Valores do IER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação 63
3.15 Valores do IER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação 64
3.16 Valores do EER sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação . . . . 66
3.17 Valores do EER sob o Método de Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação . . . . 67
3.18 Valores do IER sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação . . . . 69
3.19 Valores do EER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação 70
3.20 Valores do EER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação 71
3.21 Valores do EER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação 71
ix
Lista de Tabelas
2.1 Estrutura de um Fatorial 2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 ANOVA simplificada para o plano split-plot do primeiro exemplo . . . . . . . . . 14
2.3 ANOVA simplificada para a contribuição dos plots . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 ANOVA simplificada para a contribuição dos subplots . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 ANOVA para o plano Split-Plot do primeiro exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Esboço de ANOVA para um plano Split-Split-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 ANOVA para um plano Strip-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Esboço de ANOVA para um plano Split-Lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9 Dados do exemplo encontrado em Montgomery(1991) . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.10 Contrastes, valores para t
i
e valores críticos associados a cada efeito no exemplo
de Montgomery(2005, p.271) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Grupos de efeitos e interações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Efeitos estimados para dados de simulação (Grupo 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Efeitos estimados para dados de simulação (Grupo 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Efeitos estimados para dados de simulação (Grupo 3) . . . . . . . . . . . . . . . . 35
x
3.5 Contrastes, valores para t
i
e valores críticos da tabela t associados a cada efeito
no primeiro grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Contrastes, valores para t
i
e valores críticos da tabela t associados a cada efeito
no segundo grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Contrastes, valores para t
i
e valores críticos da tabela t associados a cada efeito
no terceiro grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
xi
CAPÍTULO 1
Introdução
No meio industrial, a competitividade faz necessária a busca pelo aperfeiçoamento constante
de pro d uto s e serviços, assim como a inovação dos métodos utilizados. Existem programas de
melhoria da qualidade que estabelecem metas e acompanham todas as diversas fases da produção.
Nesta procura por uma melhor maneira de produzir, é comum a utilização de experimentos que
visam o aperfeiçoamento do processo observado.
Quando um experimento tem um alto custo, sua execução demanda relativamente muito
tempo, ou o experimento acarreta a destruição de objetos observados na investigação, é do maior
interesse para o pesquisador a diminuição do número de provas. Muitos desses experimentos
envolvem estruturas fatoriais de tratamento (Ye et al. (2001)) devido à sua eficiência, e para
que o número de provas seja tão reduzido quanto possível, são utilizados planos experimentais
complexos como os da classe split-plot. Além disso, nesse contexto ind ustrial, de urgência de
respostas e necessidade de economia, é frequente a realização de experimentos sem a presença
de réplicas. Em um experimento sem réplicas, a análise precisa ser cuidadosa e os métodos mais
difundidos para tanto, como o s gráficos de probabilidade normal e half-normal (Daniel (1959)),
1
dependem da subjetividade para a obtenção de conclusões. Insatisfeito com a utilização de méto-
dos subjetivos para a análise de experimentos, Lenth (1989) foi o pioneiro no desenvolvimento de
um método objetivo de análise, o u seja, uma forma de analisar na qual as conclusões não estão
sujeitas ao ponto de vista do pesquisador. O método de Lenth, mesmo na ausência de réplicas,
utiliza uma fórmula simples para obter uma estimativa do erro padrão dos contrastes estimados,
e este método foi depois reformulado por Ye et al. (2001), dando origem ao método Step-Down
Lenth.
Melo (2007) estudou o de sempenho do método de Lenth e Step-Down Lenth na análise de
experimentos realizados segundo um plano strip-plot. No estudo realizado por Melo (2007) foi
observado se os métodos eram influenciados pelo número de fatores presentes no experimento,
pela magnitude dos efeitos e pela distribuição dos erros.
No presente estudo é observada a robustez dos métodos de Lenth quanto a mudanças de
variabilidade presentes em um plano strip-plot não-replicado, e também é feita comparação da
eficiência dos 2 métodos considerados em situações críticas nas quais podem surgir gráficos com
apenas 3 pontos, tornando mais difícil a obtenção de qualquer conclusão. A investigação destas
características se d eve ao fato de que os casos estudados anteriormente mantinham a mesma
variabilidade devido aos plots e aos subplots, o que geralmente não é observado na prática em
experimentos strip-plot, e à necessidade de estimar efeitos quando se tem grupos pequenos de
efeitos homoscedásticos. Assim esta dissertação dá prosseguimento ao estudo realizado por Melo
(2007), utilizando o Método de Lenth e o Step-Down Lenth para a nalisar e xperimentos strip-plot
não-replicados, mas considerando diferentes cenários de análise.
2
1.1 Objetivos da Dissertação
Os objetivos da presente dissertação são:
• Promover uma revisão da t eoria de planejamento e análise de experimentos envolvendo os
planos split-plot, split-split-plot, strip-plot e split-lot, esclarecendo as peculiaridades envolvi-
das em um experimento com restrições na aleatorização destes tipos e os problemas que
podem surgir na sua análise; e
• Investigar o desempenho, possibilitando recomendações sobre a utilização dos métodos
de Lenth e Step-Down Lenth em planos strip-plot com estruturas fatoriais 2
k
em que se
observam possíveis influências devido a:
– a presença de poucas provas no experimento, devido à utilização de poucos fatores
(menos de 7);
– as mudanças na contribuição devido às várias fontes de variabilidade desse tip o de
experimento; e
– o aumento do número de efeitos ativos (efeitos significativos, diferentes de zero) no
experimento.
Espera-se, desta forma, contribuir para a divulgação dos planos da classe split-plot e dos métodos
de Lenth como altern ativas para a análise de experimentos sem réplica.
Para a familiarização com a teoria de planejamento de experimentos utilizada constante-
mente durante esta dissertação, o leitor interessado pode consultar, por exemplo, Kempthorne
& Hinkelmann (1994), Montgomery (2005) ou Box et al. (2005), que apresentam conceitos e
definições fundamentais não descritas neste texto.
3
1.2 Organização da Dissertação
A presente dissertação enc ontra-se dividida em quatro capítulos. O primeiro faz uma breve
introdução dos temas discutidos e objetivos do trabalho. O segundo capítulo se propõe a fazer
uma revisão da teoria de planejamento e análise de e xperimentos envolvendo os planos split-
plot, split-split-plot, strip-plot e split-lot, e apresenta os dois métodos objetivos de análise de
planos não-replicados considerados no estudo. O terceiro capítulo apresenta os resultados da
comparação entre o método de Lenth e o step-down Lenth obtidos através da simulação realizada
para verificar a ad equa bilida de do s métodos em experimentos strip-plot sem réplicas e com poucas
provas, analisando a influência da estrutura peculiar de variabilidade destes exp erimentos na
eficiência do s métodos. O último capítulo apresenta as conclusões obtidas no estudo e in dica
sugestões para trabalhos futuros.
1.3 Plataforma Computacional
Esta dissertação foi digitad a utilizando o sistema de tipografia LATEX que con siste em uma
série de macros ou rotinas do sistema TEX que facilitam a ediç ão do texto. Detalhes sobre o sis-
tema de tipografia LATEX podem ser encontrados no site http://www.tex.ac.uk/CTAN/latex.
Para a realização das simulações e obtenção dos resultados numéricos foi utilizado o ambiente
de programação, análise de dados e gráficos R (R Development Core Team (2007)) para sis-
tema operacional Microsoft Windows, que se encontra disponível gratuitamente através do site
http://www.R-project.org.
4
CAPÍTULO 2
Revisão Conceitual
O planejamento de um experimento é primordial para a obtenção de r esultad os úteis da forma
mais eficiente possível. De acordo com Kempthorne & Hinkelmann (1994), o planejamento de
um experimento pode ser dividido em três partes: a seleção dos tratamentos, a d efin ição do plano
experimental, e a definição do plano observacional. A parte de seleção dos tratamentos envolve a
determinação de quantos e quais tratamentos serão aplicados no experimento. Em experimentos
com estrutura fatorial, selecionar os tratamentos implica em definir quantos e quais fatores devem
ser considerados, in clu indo a escolha de níveis a serem utilizados. Esta seleção vai depender dos
objetivos e peculiaridades de cada experimento. A seleção de tratamentos está relacionada com o
plano e xperimental, já que dependendo do plano as unidades experimentais podem ser diferentes
e isso pode tornar mais conveniente a utilização de certas quantidades de tratamentos.
A definição de um p lan o experimental depende da disponibilidade de unidades experimentais,
das características destas unidades e da precisão desejada para as estimativas. Por exemplo, caso
as unida des possam ser agrupadas em conjuntos mais homogêneos, então pode ser vantajoso
utilizar um plano aleatorizado em blocos, ou podem ocorrer as mais variadas situações em que
5
outros planos, como o de quadrados latinos ou os p lano s da classe split-plot, sejam mais eficientes.
Realizar um plano observacional significa estabelecer os tipos de medição a serem observa-
dos, definindo se existe diferença entre unidade experimental e unidade observacional, e se as
observações serão de uma ou mais variáveis.
2.1 Estruturas Fatoriais 2
k
de Tratamentos
Existem várias formas de se realizar um experimento para verificar o que p ode afetar o resul-
tado final de um dado proce sso. Uma maneira eficiente de fazer isto é através de um experimento
com tratamentos definidos por uma estrutura fatorial. Uma estrutura de trat amentos é chamada
fatorial quando possui no mínimo duas características (fatores), cada u ma com uma quantidade
enumerável de níveis especificados, que podem ser alterados independentemente uns dos outros,
e as combinações dos níveis dos fatores definem os tratamentos que , se alterados, podem influ-
enciar o resultado final do experimento. Se um experimento fatorial tem k fatores e cada fator
tem l
i
níveis (i=1,...,k), então o número de tratamentos será dado por t = Π
k
i=1
l
i
. Para o caso
específico em que todos os fatores têm apenas dois níveis (definidos como níveis “alto” e “baixo”),
o experimento é chamado fatorial com dois níveis e denotado por fator ial 2
k
, sendo k o número
de fatores. Cada tratamento é determinado pela combinação de níveis “alto” e “baixo” de cada
fator, denotados usualmente pelos símbolos “+” e “-”, respectivamente.
Por exemplo, u m pro cesso químico pode ser afetado pela temperatura e pela pressão que
atuam durante uma reação. Um pesquisador pode estar interessado em realizar um experimento
para ob servar o resultado da reação quando esta ocorre em duas temperaturas diferentes e em
duas condições de pressão. Os fatores associados a este experimento seriam temperatura (A),
com os níveis “temperatura baixa” (-) e “temperatura alta” (+), e pressão (B) cujos níveis seriam
definidos como “pressão baixa” (-) e “pressão alta”(+). Este seria um exemplo de uma estrutura
fatorial 2
2
cujos qu atro tratamentos seriam definidos pelas combinações dos níveis de temperatura
6
Tabela 2.1: Estrutura de um Fatorial 2
2
Fatores e Interação
Tratamentos A B AB Resposta
(1) - - + y
1
a
+ - - y
2
b
- + - y
3
ab
+ + + y
4
e pressão como descrito na Tabela 2.1. A presença das letras “a” e “b” indica que os fatores “A”
e “B” estão no nível alto para aquele determinado tratamento e o símbolo “(1)” representa o
tratamento no qual todos os fatores estão no seu nível baixo. As colunas correspondentes às
interações são obtidas através da multiplicação das colunas associadas aos fatores envolvidos, e
as respostas em cada linha correspondem às ob servadas para o tr ata mento presente na respectiva
linha. Dessa forma, a segund a linha corresponde ao tratamento aplicado com temperatura alta
e pressão baixa, por exemplo.
Os tratamentos são aplicados em unidades experimentais, a fim de medir certas variáveis,
chamadas respostas, e cada vez que um tratamento é aplicado trata-se de uma prova. Em alguns
casos é possível que a resposta seja afetada por u ma variação nos níveis de um fator dependendo
do nível de outro fator, ou seja, a influência se deve à interação entre os dois fatores. O objetivo de
um experimento fatorial é avaliar a possível influência dos fatores e suas interações nas variáveis
respostas, que é medida através dos efeitos. O efeito de um fator ou interação é calculado pela
diferença entre a média das respostas dos tratamentos que foram executados com o nível alto e
a média das respostas obtidas naqueles tratamentos em que este mesmo fator ou interação foi
aplicado no nível baixo. Para exemplificar os cálculos dos efeitos e suas interações, o caso da
Tabela 2.1 será u sado, fornecendo as fórmulas:
7
Ef
A
= y(A
+
) − y(A
−
)
Ef
B
=
y(B
+
) − y(B
−
)
Ef
AB
=
y(AB
+
) − y(AB
−
)
em que
• Ef
A
denota o efeito do fator A,
• Ef
B
representa o efeito do fator B, e
• Ef
AB
é o efeito da interação entre estes dois fatores,
e além disso,
y(A
+
) = (y
2
+ y
4
)/2, y(A
−
) = (y
1
+ y
3
)/2,
y(B
+
) = (y
3
+ y
4
)/2, y(B
−
) = (y
1
+ y
2
)/2,
y(AB
+
) = (y
1
+ y
4
)/2, e y(AB
−
) = (y
2
+ y
3
)/2.
Seguindo esta idéia é possível obter quaisquer efeitos em um fatorial 2
k
através das respostas
observadas.
Quando cada tratamento é aplic ado em apen as uma unidade experimental, e esta unidade
experimental é ob servada somente uma vez, esta única observação pode não conter informações
suficientes para atend er aos objetivos do estudo. Portanto, do ponto de vista teórico, é recomen-
dada a aplicação de um mesmo tratamento em várias unidades e xperimentais sob as mesmas
condições, ou seja, a realização de ré plica s, para que se possa ter uma idéia não apena s de
um valor médio que a resposta pode assumir, mas também da variação que existe entre uma
aplicação e outra do mesmo tratamento. As réplicas também podem motivar a investigação de
8
resultados inesperados, obtidos devido a algum imprevisto durante o experimento. Porém, na
prática, quando o número de fatores ou o custo da execução é alto, a replicação pode tornar-se
impraticável.
Experimentos replicados permitem que seja realizada uma análise de variância (ANOVA),
que pode ser resumida em uma tabela na qual são destacadas as várias fontes de variação do
experimento e sua participação na variação total. A ANOVA faz com que as conclusões sejam
tomadas com base em testes estatísticos, que comparam a variabilidade que se deve a cada
tratamento com a própria variação aleatória inerente aos dados. Na ausência de réplicas não é
possível realizar a ANOVA e, sem ter idéia da variab ilida de, é p reciso algum outro critério para
julgar se as estimativas observadas para os efeitos devem realmente ser consideradas razoáveis.
Diante de situações como essas, Daniel (1959) propôs a utilização de gráficos de probabilidade
normal e half-normal para identificar a presença de efeitos ativos em um estudo envolvendo
estrutura fatorial de tratamentos. Nestes gráficos, os efeitos ativos são identificados pelos pontos
mais claramente afastados da reta imaginária formada pelos pontos restantes. Mas o gráfico
se baseia na suposição de que apenas uma pequena por ção dos contrastes deve ser ativa, e as
estimativas dos efeitos precisam ter a mesma variância. Ainda que todas estas suposições sejam
satisfeitas, a d esvantagem deste método é a subjetividade presente na análise, que levou Lenth
a sugerir um método objetivo de análise que é discutido mais adiante.
2.2 Planos Experimentais da Classe Split-Plot
Em todos os exemplos de experimentos da classe split-plot discutidos daqui em diante será
considerada a estrutura fatorial 2
k
de tratamentos. Quando existe uma restrição na aleatorizaç ão,
caso de experimentos da classe split-plot, a análise dos resultados de um experimento precisa ser
diferente da análise de um experimento completamente aleatorizado. Se por algum motivo a
aplicação dos tratamentos passar por mais de um processo de aleatorização, haverá diferentes
9
tipos de unidades exp er imentais e isto vai afetar a precisão das estimativas. Em experimentos
da classe split-plot é necessário uma atenção especial quanto aos diferentes tip o s de unidades
experimentais envolvidos, pois o próprio número de unidades experimentais associadas a um
dado fator pode ser diferente do número associado a outro fato r ou suas interações.
2.2.1 Plano Split-Plot
Em um plano split-plot tem-se unidades experimentais de um tamanho para os níveis de um
fator e estas unidad es são subdivididas em unidade menores às quais são atribuídos os níveis
do segundo fator. Assim existem os chamados fatores de plot (ou fatores de whole-plot), e as
unidades experimentais (plots ou whole plots) às quais os níveis destes fatores são aleatoriamente
aplicados. Existem também os fatores de subplots (ou split-plots) e seus níveis são atribuídos aos
subplots seguindo uma nova aleatorização, em que cada plot tem tantos subplots quantos forem
as combinações de níveis dos fatores de subplots.
Para exemplificar, con sidere u m experimento com três fatores A, B e C, cada um com dois
níveis. A seguir, as Figuras 2.1 e 2.2 ilustram uma réplica desse experimento. A Figura 2.1,
representa as diferentes etapas de aleatorização, mostrando que os níveis do fator A são aplicados
em unidades experimentais maiores (os p lots), enquanto os níveis dos fatores B e C são aplicados
em unidades menores (os subplots), caracterizan do o fator A como fator de plot e os fatores B e
C como fatores de subplot. Por outro lado, a Figura 2 .2 apresenta os mesmos fatores e mesmos
níveis sendo aplicados de maneira diferente em unidades exp erimentais diferentes. Neste caso os
fatores A e B são fatores de plot e apenas o fator C é fator de subplot.
10
Figura 2.1: Primeiro exemplo de possíveis unidad es e xperimentais em um plano Split-Plot
A maneira como o experimento é realizado vai levar não apenas a diferentes precisões para
as compara ções entre os níveis do fator de plot e entre os n íveis do fator de subplot devido ao
diferente número de unidades experimentais associad as a cada um, mas o fato de que os fatores
estão relacionados com diferentes tipos de unidades experimentais leva também a diferentes
variâncias do erro experimental relacionadas com estas comparações.
Figura 2.2: Segu ndo exemplo de possíveis unidades experimentais em um plano Split-Plot
11
O modelo linear associado ao plano split-plot do primeiro exe mplo pode ser escrito segundo
a forma:
y
ijkl
= µ + r
i
+ α
j
+ e
A
ij
+ β
k
+ γ
l
+ (αβ)
jk
+ (αγ)
jl
+ (βγ)
kl
+ (αβγ)
jkl
+ e
BC
ijkl
(2.1)
na qual:
y
ijkl
é a resposta observada na i-ésima réplica sob o j-ésimo nível do fator A, k-ésimo
nível do fator B e l-ésimo nível do fator C;
µ é a média geral;
r
i
é o efeito da i-ésima réplica;
α
j
é o efeito do j-ésimo nível do fator A;
e
A
ij
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica do j-ésimo nível
do fator A, e está relacionado ao plot;
β
k
é o efeito do k-ésimo nível do fator B;
γ
l
é o efeito do l-ésimo nível do fator C;
(αβ)
jk
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A e o k-ésimo nível do fator B;
(αγ)
jl
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A e o l-ésimo nível do fator C;
(βγ)
kl
é o efeito da interação entre o k-ésimo nível do fator B e o l -ésimo nível do fator C;
(αβγ)
jkl
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A, o k-ésimo nível d o fator B e
o l -é simo nível do fator C; e
e
BC
ijkl
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica sob o j-ésimo nível
do fator A, k-ésimo nível do fator B e l-ésimo nível do fator C, e está associado
ao subplot.
Os termos e
A
ij
e e
BC
ijkl
são tratados como variáveis aleatórias (v.a.) ind ependentes (apesar de
ser impossível observar cada uma delas separadamente, supõe-se que as contribuições se so-
12
mam gerando os resíduos observados) com médias 0 e variâncias σ
2
eA
e σ
2
eBC
, e isto permite a
obtenção dos Quadrados Médios Esperados (Expected Mean Squares - E(MS)) na construção
da ANOVA. Geralmente usa-se um plano split-plot por praticidade já que os níveis de um fator
podem ser aplicados em unidades experimentais que podem ser subdivididas par a a aplicação
dos tratamentos definidos por outros fatores. Mas pode-se comparar o desempenho de um plano
split-plot com relação a um plano completamente aleatorizado em blocos com r blocos. É possível
mostrar (Kempt horn e & Hinkelmann (19 94) ) que a informação obtida para todas as compara-
ções de tratamentos em um experimento co mpleta mente aleato rizado em blocos é proporcional
a 1/MS(E), em que MS(E) indica o quadrado médio do erro (Mean Square(Error)), enquanto
em um experimento split-plot, a informação para as comparações referentes ao p lot é propor-
cional a 1/MS(E
plot
) e aquela obtida para as comparações referentes ao subplot e interações é
proporcional a 1/MS(E
subplot
). Mas o valor de MS(E) é uma média ponderada de MS(E
plot
) e
MS(E
subplot
), e tem-se que MS(E
plot
) geralmente é maior que MS(E
subplot
), portanto MS(E) é
um valor intermediário. Com isso verifica-se que a informação obtida em ambos os planos é, em
média, a mesma, mas a informação obtida para os tratamentos de plot em um plano split-plot é
menor que em um completamente aleatorizado em blo cos e o inverso ocorre para os tratamentos
de subplot e interações. Assim, pode-se preferir utilizar um plano split-plot se algum dos fat ores
for de maior interesse para o pesquisador.
Como duas aleatorizações independentes são usadas, esta estrutura sugere a partição dos
graus de liberdade disponíveis a partir das rabc observações, como na Tabela 2.2 mostrada a
seguir. Percebe-se, no entanto, que as diferenças entre plots em uma réplica são devido às
mudanças nos níveis do fator de plot (no caso, o fator A). Isto e o fato de que cada réplica
funciona como um bloco para a aplicação do fator A (já que todos os níveis do fator A são
atribuídos uma vez em cada réplica) permitem que os graus de liberdade sejam subdivididos
como na Tabela 2.3 mais adiante.
13
Tabela 2.2: ANOVA simplificada para o plano split-plot do primeiro exemplo
Fonte g.l.
Plots ra − 1
Subplots
bc − 1
Resíduo (BC)
(ra − 1)(bc − 1)
Total rabc − 1
Tabela 2.3: ANOVA simplificada para a contribuição dos plots
Fonte g.l.
Réplicas r − 1
Fator A
a − 1
Erro A
(r − 1)(a − 1)
Plots ra − 1
E a p artir daí ainda é possível particionar os graus de liberdade para o resíduo d os subplots como
na Tabela 2.4.
Tabela 2.4: ANOVA simplificada para a contribuição dos subplots
Fonte g.l.
Réplicas ×BC (r − 1)(bc − 1)
A × BC
(a − 1)(bc − 1)
Erro (A)×BC
(r − 1)(a − 1)(bc − 1)
Resíduo (BC)
(ra − 1)(bc − 1)
Assumindo não haver a interação Réplicas ×BC (pressupondo aditividade entre unidade e trata-
mentos) tem-se a partição completa dos graus de liberdade e as somas de quadrados como na
ANOVA da Tabela 2.5.
14
Tabela 2.5: ANOVA para o plano Split-Plot do primeiro exemplo
Fonte g.l. (SS) E(MS)
Réplicas r − 1 abc
i
(¯y
i...
− ¯y
....
)
2
Fator A a − 1 rbc
j
(¯y
.j..
− ¯y
....
)
2
σ
2
eBC
+ bcσ
2
eA
+ rbc
j
α
2
j
/(a − 1)
Erro (A)
(r − 1)(a − 1) bc
i,j
(¯y
ij..
− ¯y
i...
− ¯y
.j..
+ ¯y
....
)
2
σ
2
eBC
+ bcσ
2
eA
Fator B
(b − 1) rac
k
(¯y
..k.
− ¯y
....
)
2
σ
2
eBC
+ rac
k
β
2
k
/(b − 1)
Fator C
(c − 1) rab
l
(¯y
...l
− ¯y
....
)
2
σ
2
eBC
+ rab
l
γ
2
l
/(c − 1)
A × B
(a − 1)(b − 1) r
j,k
(¯y
.jk.
− ¯y
.j..
− ¯y
..k.
+ ¯y
....
)
2
σ
2
eBC
+ rc
j,k
(αβ)
2
jk
/
/[(a − 1)(b − 1)]
A × C
(a − 1)(c − 1) r
j,l
(¯y
.j.l
− ¯y
.j..
− ¯y
...l
+ ¯y
....
)
2
σ
2
eBC
+ rb
j,l
(αγ)
2
jl
/
/[(a − 1)(c − 1)]
B × C
(b − 1)(c − 1) r
k,l
(¯y
..kl
− ¯y
..k.
− ¯y
...l
+ ¯y
....
)
2
σ
2
eBC
+ ra
k,l
(βγ)
2
kl
/
/[(b − 1)(c − 1)]
A × B × C
(a − 1)(b − 1) r
j,k,l
(¯y
.jkl
− ¯y
.jk.
− ¯y
.j.l
− ¯y
..kl
+
σ
2
eBC
+ r
j,k,l
(αβγ)
2
jkl
/
(c − 1) +¯y
.j..
+ ¯y
..k.
+ ¯y
...l
− ¯y
....
)
2
/[(a − 1)(b − 1)(c − 1)]
Erro (BC)
(r − 1)a(bc − 1)
i,j,k,l
(y
ijkl
− ¯y
ij..
− ¯y
.jkl
+ ¯y
.j..
)
2
σ
2
eBC
Total rabc − 1
i,j,k,l
(y
ijkl
− ¯y
....
)
2
2.2.2 Plano Split-Split-Plot
O princípio utilizado em um plano split-plot (parcelas subdivididas) pode ser utilizado mais
de uma vez, gerando assim um experimento split-split-plot (parcelas sub-subdivididas). Neste
caso, tem-se 3 aleatorizações diferentes: uma para a atribuição dos tratamentos de plot aos plots
em cada réplica, outra para a definição dos níveis do fator de subplot que irão para cada subplot
em cada plot, e ainda uma terceira aleatorização para designar os tratamentos de sub-subplot
que serão aplicados em cada sub-subplot dentro de cada subplot.
A Figura 2.3 mostra como um experimento com os mesmos níveis e fatores observados nas
Figuras 2.1 e 2.2 pode ser executado com mais uma aleatorização e, com isso, outro tipo de
unidade experimental. Neste caso, o fator A é o fator de plot, o fator B é o fator de subplot e o
fator C é fator de sub-sub plot .
15
Figura 2.3: Exemplo de d iferentes un idad es experimentais presentes em um plano Split-Split-Plot
O modelo linear para o plano split-split-plot do exemplo segue o mesmo raciocínio daquele
utilizado para a obtenção do modelo para um experimento split-plot e pode ser dado por:
y
ijkl
= µ + r
i
+ α
j
+ e
A
ij
+ β
k
+ (αβ)
jk
+ e
B
ijk
+ γ
l
+ (αγ)
jl
+ (βγ)
kl
+ (αβγ)
jkl
+ e
C
ijkl
(2.2)
sendo que, neste caso:
y
ijkl
é a resposta observada na i-ésima réplica sob o j-ésimo nível do fator A, k-ésimo
nível do fator B e l-ésimo nível do fator C;
µ é a média geral;
r
i
é o efeito da i-ésima réplica;
α
j
é o efeito do j-ésimo nível do fator A;
e
A
ij
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica do j-ésimo nível
do fator A, e está relacionado ao plot;
β
k
é o efeito do k-ésimo nível do fator B;
(αβ)
jk
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A e o k-ésimo nível do fator B;
16
e
B
ijk
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica sob o j-ésimo
nível do fator A e k-ésimo nível d o fator B;
γ
l
é o efeito do l-ésimo nível do fator C;
(αγ)
jl
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A e o l-ésimo nível do
fator C;
(βγ)
kl
é o efeito da interação entre o k-ésimo nível do fator B e o l -ésimo nível do
fator C;
(αβγ)
jkl
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível de A, o k-ésimo nível do fator B
e o l-ésimo nível do fator C;
e
C
ijkl
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica sob o j-ésimo
nível do fator A, k-ésimo nível do fato r B e l-ésimo nível do fator C;
Os componentes do modelo possuem a mesma interpretação que apresentavam no caso split-plot
e os termos de erro são independentes com médias 0 e variâncias σ
2
eA
, σ
2
eB
e σ
2
eC
, respectivamente.
Um esboço da ANOVA para um experimento deste tipo é apresentada a seguir na Tabela 2.6.
A economia no número de provas durante a execuç ão é ainda maio r mas o número de possíveis
comparações também aumenta e existem três diferentes termos p a ra o erro, tornando a análise
mais complexa. Da mesma forma, este conceito pode ser aplicado quantas vezes for preciso,
através de várias aleatorizações seg uida s, mas a análise deve ser feita com cuidado para identificar
quais efeitos estão associados a quais erros e deve-se ter consciência da menor precisão nas
estimativas de efeitos para fatores cujos níveis forem aplicados às maiores unidades experimentais.
17
Tabela 2.6: Esboço de ANOVA para um plano Split-Split-Plot
Fonte g.l. E(MS)
Réplicas r − 1
Fator A a − 1 σ
2
eC
+ cσ
2
eB
+ bcσ
2
eA
+ rbc
α
2
j
/(a − 1)
Erro (A)
(r − 1)(a − 1) σ
2
eC
+ cσ
2
eB
+ bcσ
2
eA
Fator B
(b − 1) σ
2
eC
+ cσ
2
eB
+ rac
β
2
k
/(b − 1)
A × B
(a − 1)(b − 1) σ
2
eC
+ cσ
2
eB
+ rc
(αβ)
2
jk
/(a − 1)(b − 1)
Erro (B)
(r − 1)a(b − 1) σ
2
eC
+ cσ
2
eB
Fator C
(c − 1) σ
2
eC
+ rab
γ
2
l
/(c − 1)
A × C
(a − 1)(c − 1) σ
2
eC
+ rb
(αγ)
2
jl
/(a − 1)(c − 1)
B × C
(b − 1)(c − 1) σ
2
eC
+ ra
(βγ)
2
kl
/(b − 1)(c − 1)
A × B × C
(a − 1)(b − 1)(c − 1) σ
2
eC
+ r
(αβγ)
2
jkl
/(a − 1)(b − 1)(c − 1)
Erro (C)
(r − 1)ab(c − 1) σ
2
eC
Total rabc − 1
2.2.3 Plano Strip-Plot
Ainda é possível realizar o experimento de outra forma, na qual duas restrições são aplicadas
de forma cruzada. Neste caso o experimento é chamado experimento strip-plot (experimento
em duas faixas, strip-block, ou ainda split-block), devido à superposição de restrições, e as
estimativas mais uma vez são afetadas pelas restrições. No caso strip-plot, os níveis dos fatores são
aplicados em conjuntos de plots ortogonais e os efeitos das interaçõ es entre fatores de diferentes
plots são estimados com maior precisão que os próprios efeitos principais. O experimento se divide
em duas partes e, em cada u ma, as unidades são agrupadas de forma diferente para receber o
tratamento, ou seja, as duas restrições na aleatorização estão cruza das (diferente de um split-
split-plot, em que cada aleatorização é feita nos grupos formados na aleatorização anterior).
Seguindo o mesmo raciocínio utilizado anteriormente, é possível mostrar que havendo três
fatores, com d ois níveis cada, po d e-se realizar um experimento utilizando um plano strip-plot.
Na Figura 2.4 os níveis do fator A são atribu ídos a unidades experimentais diferentes daquelas
às quais os tratamentos gerad os pelas combinações de níveis dos fatores B e C são atribuídos.
18
Figura 2.4: Primeiro exemplo de possíveis unidad es e xperimentais em um plano Strip-Plot
E a Figura 2.5 mostra uma situação semelhante, mas na qual os fatores A e B são aplicados
às mesmas unid ad es experimentais enquanto os níveis do fator C são atribuídos em unid ade s
diferentes.
Figura 2.5: Segu ndo exemplo de possíveis unidades experimentais em um plano Strip-Plot
19
Os dois casos representam experimentos segundo um plano strip-plot, e o modelo adequado
para um experimento como o d o primeiro exemplo tem a seguinte estrutura:
y
ijkl
= µ + r
i
+ α
j
+ e
A
ij
+ β
k
+ γ
l
+ (βγ)
kl
+ e
BC
ikl
+ (αβ)
jk
+ (αγ)
jl
+ (αβγ)
jkl
+ e
ABC
ijkl
(2.3)
incluindo um componente do erro para a interação e ntre os fatores associados a cada conjunto
de plots e, com isso:
y
ijkl
é a resposta observada na i-ésima réplica sob o j-ésimo nível do fator A, k-ésimo
nível do fator B e l-ésimo nível do fator C;
µ é a média geral;
r
i
é o efeito da i-ésima réplica;
α
j
é o efeito do j-ésimo nível do fator A;
e
A
ij
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica do j-ésimo nível
do fator A, e está relacionado ao primeiro plot;
β
k
é o efeito do k-ésimo nível do fator B;
γ
l
é o efeito do l-ésimo nível do fator C;
(βγ)
kl
é o efeito da interação entre o k-ésimo nível do fator B e o l -ésimo nível do fator C;
e
BC
ikl
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica do k-ésimo nível
do fator B e l-ésimo nível do fator C, estando relacionado ao segundo plot;
(αβ)
jk
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A e o k-ésimo nível do fator B;
(αγ)
jl
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A e o l-ésimo nível do fator C;
(αβγ)
jkl
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível de A, o k-ésimo nível do fator B e o
l-ésimo nível do fator C;
e
ABC
ijkl
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica sob o j-ésimo
nível do fator A, k-ésimo nível do fato r B e l-ésimo nível do fator C;
20
Os efeitos principais possuem a mesma interpretação do caso split-plot e os termos de erro po-
dem ser considerados variáveis aleatórias i.i.d. com médias 0 e variâncias σ
2
eA
, σ
2
eBC
e σ
2
eABC
,
respectivamente. A ANOVA para o experimento strip-plot do primeiro exemplo é apresentada a
seguir na Tabela 2.7.
Tabela 2.7: ANOVA para um plano Strip-Plot
Fonte g.l. E(MS)
Réplicas r − 1
Fator A a − 1 σ
2
eABC
+ bcσ
2
eA
+ rbc
α
2
j
/(a − 1)
Erro (A)
(r − 1)(a − 1) σ
2
eABC
+ bcσ
2
eA
Fator B
(b − 1) σ
2
eABC
+ aσ
2
eBC
+ rac
β
2
k
/(b − 1)
Fator C
(c − 1) σ
2
eABC
+ aσ
2
eBC
+ rab
γ
2
l
/(c − 1)
B × C
(b − 1)(c − 1) σ
2
eABC
+ ra
(βγ)
2
kl
/[(b − 1)(c − 1)]
Erro (BC)
(r − 1)(bc − 1) σ
2
eABC
+ aσ
2
eBC
A × B
(a − 1)(b − 1) σ
2
eABC
+ rc
(αβ)
2
jk
/[(a − 1)(b − 1)]
A × C
(a − 1)(b − 1) σ
2
eABC
+ rb
(αγ)
2
jl
/[(a − 1)(c − 1)]
A × B × C
(a − 1)(b − 1)(c − 1) σ
2
eABC
+ r
(αβγ)
2
jkl
/[(a − 1)(b − 1)(c − 1)]
Erro (ABC)
(r − 1)(a − 1)(bc − 1) σ
2
eABC
Total rabc − 1
2.2.4 Plano Split-Lot
O conceito de um experimento split-lot, como visto em Mee & Bates (1998), é alcançad o
através da generalização da idéia que caracteriza um plano strip-plot. Este tipo de experimento
possui várias etapas durante o processo de aleatorizaç ão e em cada etapa as unidades experi-
mentais são agrupadas conforme alguma restrição diferente. Experimentos strip-plot são um
caso par ticula r dos planos split-lot em que existem apenas duas etapas, ou seja, duas restrições
sobrepostas, enquanto no split-lot teoricamente não há limite para o número de aleatorizações
envolvidas.
21
No exemplo a seguir, os níveis do fator A são atribuídos a diferentes unidades, representadas
nas diferentes profundidades (Figura 2.6), os níveis do fator B são aplicados nas colunas (Figura
2.7) e os níveis do fator C são atribuídos às linhas (Figura 2.8), então a atribuição dos níveis
de cada fator sofre uma diferente ale ato rizaçã o, e assim temos várias aleatorizações supe rpostas,
caracterizando um plano split-lot. Deve-se ressaltar que tanto a Figura 2.6, quanto a Figura 2.7
e a Figura 2.8 representam etapas de um mesmo experimento.
Figura 2.6: Primeira etap a de aleatorização, com a atribuição dos níveis do fator A às respe ctivas
unidades experimentais em um e xemplo de plano Split-Lot
Figura 2.7: Segunda etapa de aleatorização, co m a atribuição dos níveis do fator B às respectivas
unidades experimentais sob uma nova aleatorização em um exemplo de plano Split-Lot
22
Figura 2.8: Terceira etapa de aleatorização, com a atribuição dos níveis do fator C às respectivas
unidades experimentais sob uma ter ceira aleatorização em um exemplo de plan o Split-Lot
Um modelo linear para o plano split-lot com três diferentes etapas de aleatorizaçã o, como o
do exemplo é da forma:
y
ijkl
= µ + r
i
+ α
j
+ e
A
ij
+ β
k
+ e
B
ik
+ γ
l
+ e
C
il
+ (αβ)
jk
+ (αγ)
jl
+ (βγ)
kl
+ (αβγ)
jkl
+ e
ABC
ijkl
(2.4)
no qual aparece mais outro componente do erro para as interações e assim te m-se:
y
ijkl
é a resposta observada na i-ésima réplica sob o j-ésimo nível do fator A, k-ésimo
nível do fator B e l-ésimo nível do fator C;
µ é a média geral;
r
i
é o efeito da i-ésima réplica;
α
j
é o efeito do j-ésimo nível do fator A;
e
A
ij
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica do j-ésimo nível
do fator A, e está relacionado ao primeiro plot;
β
k
é o efeito do k-ésimo nível do fator B;
e
B
ik
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica do k-ésimo
nível do fator B, rela cion ado ao segundo plot;
23
γ
l
é o efeito do l-ésimo nível do fator C;
e
C
il
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica do l-ésimo
nível do fator C, correspondendo ao terceiro plot;
(αβ)
jk
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A e o k-ésimo nível do fator B;
(αγ)
jl
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível do fator A e o l-ésimo nível do fator C;
(βγ)
kl
é o efeito da interação entre o k-ésimo nível do fator B e o l -ésimo nível do fator C;
(αβγ)
jkl
é o efeito da interação entre o j-ésimo nível de A, o k-ésimo nível do fator B e o
l-ésimo nível do fator C;
e
ABC
ijkl
é o termo residual relativo ao valor observado na i-ésima réplica sob o j-ésimo
nível do fator A, k-ésimo nível do fato r B e l-ésimo nível do fator C, associado
às interações envolvendo fatores de difer entes plots;
Os termos de erro podem ser tratados como v. a . independentes com médias 0 e variâncias σ
2
eA
,
σ
2
eB
, σ
2
eC
e σ
2
eABC
, respectivamente. Um esboço da ANOVA para o experimento split-lot com 3
etapas de aleatorização como o do exemplo é apresentado a seguir na Tabela 2.8.
Como nas situ ações anteriores, a precisão será maior p ara as interações que envolverem fatores
cujas unidades experimentais são distintas. Para o caso com 3 fatores e 3 etapas de aleatorização,
todas as interações são avaliadas da mesma forma, mas caso houvessem, por exemplo, 4 fatores e
3 restrições, então 2 fatores e sua interação seriam observados de acordo com o erro do respectivo
plot para o qual os tratamentos envolvendo estes 2 fatores foram aplicados.
24
Tabela 2.8: Esboço de ANOVA para um plano Split-Lot
Fonte g.l. E(MS)
Réplicas r − 1
Fator A a − 1 σ
2
eABC
+ bcσ
2
eA
+ rbc
α
2
j
/(a − 1)
Erro (A)
(r − 1)(a − 1) σ
2
eABC
+ bcσ
2
eA
Fator B
(b − 1) σ
2
eABC
+ acσ
2
eB
+ rac
β
2
k
/(b − 1)
Erro (B)
(r − 1)(b − 1) σ
2
eABC
+ acσ
2
eB
Fator C
(c − 1) σ
2
eABC
+ abσ
2
eC
+ rab
β
2
k
/(c − 1)
Erro (C)
(r − 1)(c − 1) σ
2
eABC
+ abσ
2
eC
A × B
(a − 1)(b − 1) σ
2
eABC
+ rc
(αβ)
2
jk
/[(a − 1)(b − 1)]
A × C
(a − 1)(c − 1) σ
2
eABC
+ rb
(αγ)
2
jl
/[(a − 1)(c − 1)]
B × C
(b − 1)(c − 1) σ
2
eABC
+ ra
(βγ)
2
kl
/[(b − 1)(c − 1)]
A × B × C
(a − 1)(b − 1)(c − 1) σ
2
eABC
+ r
(αβγ)
2
jkl
/[(a − 1)(b − 1)(c − 1)]
Erro (ABC)
(r − 1)(abc − a − b − c + 2) σ
2
eABC
Total rab − 1
2.3 Métodos de Lenth
2.3.1 Método de Lenth
Com o objetivo de analisar experimentos em situações nas quais não há réplicas, Lenth (1989)
desenvolveu uma maneira re lativamente simples de análise que permite expressar os resultados
graficamente mas não depende da subjetividade do pesquisador, ou seja, u ma metodologia formal
para a análise de tais experimentos. Quando se trata de um experimento fatorial, é possível que
existam muitos fatores e seja necessário calcular estimativas para um g ran de número de contrastes
e, no caso completamente aleatoriz ado , todas a s estimativas têm a mesma variância.
A base do método é o princípio da esparsidade dos efeitos, que sugere que geralmente apenas
um pequeno número dos contrastes deve ser diferente de zero no processo observado. Existindo
em um experimento fatorial efeitos principais e interações de ord em cada vez maior, tem-se
observado empiricamente que os efeitos principais e interações de baixa ordem são significativos
com uma maior frequência, porém estes repre sentam apenas uma parte do grupo composto por
25
todos os efeitos, ou seja, interações de alta ordem envolvendo 3 o u mais fatores são mais raras e,
sendo assim, a quantidade de efeitos estatisticamente significativos em um experimento fatorial
não deve ser grande. Para verificar a ocorrência desta condição, o método u tiliza-se de uma
fórmula simples para o erro padrão das estimativas dos contrastes .
Sejam k
1
, k
2
, ..., k
m
os efeitos dos contrastes de interesse e c
1
, c
2
, ..., c
m
suas respectivas esti-
mativas. Geralmente os c
i
são tratados como rea lizações independentes de variáveis aleatórias
N(k
i
, τ
2
); ou seja, as distribu ições amostrais dos c
i
são (aproximadamente) Normais com mé-
dias k
i
possivelmente diferentes, mas variâncias iguais τ
2
. Define-se s
0
a partir da mediana das
estimativas c
j
s
0
= 1, 5 × mediana|c
j
| (2.5)
e ain da o pseudo erro padrão (P SE) dos contrastes como uma fórmula, que se baseia apenas na
mediana de uma parte das estimativas c
j
, dada por:
P SE = 1, 5 × mediana
(|c
j
|<2,5s
0
)
|c
j
|. (2.6)
Note que (2.5) e (2.6) são idênticas exceto pelo fato de a mediana em (2.6) ser tomada para um
conjunto mais restrito de |c
j
|’s, removendo-se efeitos claramente ativos. O resultado (2.6) é uma
estimativa razoável de τ quando os efeitos são bem distribuídos, como seria esperado supondo
esparsidade, e pode ser utilizado normalmente. Com isso é possível definir uma margem de erro:
ME = t
(1−
α
2
;d)
× P SE
onde t
(1−
α
2
;d)
é o quantil da distribuição t com d graus de liberdade (Lenth realizou simulações e
sugere a utilização de d = m/3), sendo m o número de efeitos comparados. M E é uma margem
de erro para c
i
com aproximadamente 1 − α de confiança. No entanto deve-se atentar para o
26
fato de que várias inferências estão sendo feitas simultaneamente e, para levar em consideração
a possibilidade de que algumas das estimativas de contrastes inativos excedam a ME e gerem
conclusões erradas, define-se também uma margem de erro simultânea (SME):
SME = t
(γ;d)
× P SE
onde γ = (1 + 0, 95
(1/m)
)/2. Esta fórmula é originada utilizando-se o fato de que as estimativas
são independentes.
Os resultados podem ser observados através de um gráfico de barras mostra ndo os contrastes e
linhas de referência em ±ME e ±SME. Um contraste que exceda a lin ha de SME é claramente
ativo, um que não ultrapasse a linha de ME não deve ser considerado ativo, e um contraste que
fique entre as duas linhas está em uma zona de incerteza e pode ser tanto ativo quanto inativo.
A importância de um determinado efeito é julgada com base na comparaç ão deste efeito com
a margem de erro simultânea (SME) no método de Lenth. Outra forma de decidir se um efeito
deve ser considerado ativo é comparar a estatística de Lenth, dada por t
Lenth;i
= |c
i
|/P SE, com
o quantil da distribuição t
γ;d
. É possível verificar a igualdade entre as d uas formas descritas,
inicialmente tem-se a comparação do |c
i
| com a SME, mas SME = t
γ;d
×P SE, logo, dividindo-
se ambos os membros pelo P SE tem-se a comparação entre o |c
i
|/P SE e o quantil t
γ;d
. Portanto,
a comparação do efeito com a SME é idêntica à comparação da estatística t
Lenth;i
com o quantil
t
γ;d
.
Para ilu strar a análise, o método de Lenth foi aplicado a um exemplo encontrado em Mont-
gomery (2005, p. 271). O exemplo trata de um experimento com qu atro fatores de dois n íveis
cada, e com isso 16 tratamentos, e observa a taxa de filtragem de um determinado p roduto
químico como variável resposta. A Tabela 2.9 mostra os dados e é possível realizar os cálculos
necessários para a utilização do método. Primeiramente obtém-se a mediana dos efeitos (2,625)
e com isso o valor de s
0
= 1, 5 × 2, 625 = 3, 938 então, removendo os cinco efeitos cujos va-
27
lores absolutos ult rap assam 2, 5 × s
0
= 9, 844, calcula-se a nova mediana (1,75) e o valor do
P SE = 1, 5 × 1, 75 = 2, 625. Baseando-se nos quantis t
(0,975;5)
= 2, 57 e t
(γ;5)
= t
(0,998;5)
= 5, 22
calcula-se enfim as quantidades ME e SME dadas por ME = 2, 57 × 2, 625 = 6, 746 e SME =
5, 22 × 2, 625 = 13, 703, respectivamente.
Tabela 2.9: Dados do exemplo encontrado em Montgomery(1991)
efeito valor
A 21,625
B
3,125
C
9,875
D
14,625
AB
0,125
AC
-18,125
AD
16,625
BC
2,375
BD
-0,375
CD
-1,125
ABC
1,875
ABD
4,125
ACD
-1,625
BCD
-2,625
ABCD
1,375
De acordo com o gráfico de Lenth da Figura (2.9), apenas quatro efeitos são julgados ativos
pois ultrapassam a linha correspondente a SME (sendo eles A, D, AC e AD). O efeito C ficou
situado entre a ME e a SME, podendo também ser considerado ativo se os valores observados
forem avaliados como incomuns pelo p esquisado r, mas, como a interação AC foi julgada ativa, a
atenção deve se voltar principalmente para os efeitos de interação AC e AD.
Lenth (1989) realizou simulações de Monte Carlo em que os resultados são observados para ex-
perimentos com diferentes tamanhos d e amostra, variando a quantidade de efeitos significativos,
utilizando diferentes magnitudes para estes efeitos e verificando o desempenho do método para
28
Figura 2.9: Gráfico de Lenth para os Dados da Tabela 2.9
diferentes níveis de significância. O método funciona cada vez melhor quando o tamanho da
amostra cresce, porém em amostras pequenas (n menor que 15) os resultados podem não valer.
Nos casos em que não existem contrastes ativos a diferença entre s
0
e P SE é pequena (devido ao
cálculo das diferentes medianas), mas na presença de contrastes ativos essa diferença passa a ser
bem mais perceptível. Além disso, as esperanças e limites tanto do s
0
quanto do P SE excedem o
valor utilizado para τ em to do s os casos da simulação, sugerindo que o método é conservador, ou
seja, ele trabalha com uma estimativa exagerada da variância, e assim, diminui a probabilidade
de rejeitar a hipótese nula de que os efeitos não são significativos quando estes realmente não são
29
(Lenth (1989)). Outra informação que se obteve foi a razão entre a média observada do PSE
dividida pelos valores assintóticos. Verificou-se que, para amostras de tamanho m maior ou igual
a 15, o valor esperado de P SE já se aproxima razoavelmente de τ, estando a razão entre 1, 01 e
1, 03 para o caso de m = 15, e entre 0, 99 e 1, 03 para m = 31.
2.3.2 Método Step-Down Lenth
Após o surgimento do método de Lenth, Ye et al. (2001) buscaram aperfeiçoar esta técnica de
forma a captar efeitos ativos que não pudessem ser detectados devido a presença de outros efeitos
ainda mais claramente ativos, já que a presença destes últimos exigiria que os efeitos estivessem
relativamente mais afastados para que o método origina l os julgasse ativos. O objetivo destes
autores é o mesmo, ou seja, analisar planos de estrutura fatorial na ausência de réplicas.
O Método Step-Down Lenth calcula o pseudo erro padrão e, se utilizando deste resultado,
remove o maior efeito ativo para em seguida recalcular o pseudo erro padrão utilizando somente
os efeitos restantes, e este procedimento é repetido até que o maior dentre os efeitos não seja
declarado ativo. Assim, o método se baseia na estatística
t
i
=
|c
i
|
P SE
i
em que P SE
i
é o pseudo erro padrão baseado nos i contrastes presentes.
No estudo realizado por Ye et al. (200 1) foram obtidos valores críticos através de simulação
que, para o método step-down Lenth, apresentaram melhores resultados que os obtidos utilizando-
se os valores tabelados da distribuição t. Foram obtidos valores críticos (C
m
α
) para um número
m de 4 até 35 contrastes e vários valores de α, partindo de 0,01 até 0,4.
O método step-down Lenth foi aplicado aos dados do mesmo exemplo citado anteriormente,
vindo de Montgomery (200 5, p. 271) e a Tabela 2.10 apresenta os valores dos contrastes, da
estatística t
i
e do valor crítico correspondente (C
m
α
)para os quinze efeitos fatoriais.
30
Tabela 2.10: Contrastes, valores para t
i
e valores críticos asso cia dos a cada efeito no exemplo de
Montgomery(2005, p.271)
Efeito Contraste t
i
C
m
0,05
A 21,625 8,217 4,24
AC
-18,125 6,887 4,33
AD
16,625 6,317 4,33
D
14,625 5,557 4,45
C
9,875 3,753 4,45
ABD
4,125 - -
B
3,125 - -
BCD
-2,625 - -
BC
2,375 - -
ABC
1,875 - -
ACD
-1,625 - -
ABCD
1,375 - -
CD
-1,125 - -
BD
-0,375 - -
AB
0,125 - -
Inicialmente observou-se o maior contraste em valor absoluto (referente ao efeito do fator A)
e foi calculada a estatística t
i
, obtendo o valor de 8,217 que, por ser maior que o valor crítico
(C
15
0,05
= 4, 24) associado a um teste com 15 efeitos e α = 0, 05, foi removido do grupo e seu efeito
foi declarado ativo. Após a remoção do primeiro contraste, o P SE é recalculado e o novo valor
da estatística t
i
é obtido, levando à remoç ão do segundo maior contraste (AC), por ser superior
mais uma vez ao valor tabelado cor respondente. Este processo é repetido até o momento em
que o valor de t
i
não ultrapassa o valor crítico, associado ao efeito do fator C neste caso. Dessa
forma os efeitos de A, AC, AD e D são julg ado s ativos pelo método step-down Lenth, ou seja,
o resultado é semelhante ao que foi obtido através do método original de Lenth.
31
CAPÍTULO 3
Métodos de Lenth em Planos Strip-Plot com Estruturas Fatoriais 2
k
3.1 Análise de um Experimento Strip-Plot com Estrutura Fatorial
2
k
pelos Métodos de Lenth
Antes de discutir a simulação e observar os r esultad os o btid os, espera-se ilustrar como é o
procedimento realizado após a execução de um experimento strip-plot não -replic ado para analisá-
lo u tiliza ndo os métodos de Lenth. Para tanto, foi gerado um exemplo no qual existem dois fatores
(A e B) associados a um plot e mais três fatores (C, D e E) associados ao outro, ou seja, como
se tratam de cinco fatores e não há replicas, o experimento possui 32 tratamentos e, com isso, 31
efeitos. Estes efeitos estão separados em três grupos, um deles com apenas três efeitos envolvendo
os fatores do primeiro plot e sua interação, outro grupo com sete efeitos correspondentes aos três
fatores e suas interações associados ao segundo plot, e o outro grupo com os 21 efeitos restantes
é formado pelas interações que envolvem fatores dos dois p lots diferentes, como na Tabela 3.1.
32
Tabela 3.1: Grupos de efeitos e interações
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
A C AC ABD BDE
B
D AD ABE ABCD
AB
E AE ACD ABCE
CD BC ACE ABDE
CE BD ADE ACDE
DE BE BCD BCDE
CDE ABC BCE ABCDE
Na geração das observações foram atribuídas diferentes magnitudes aos seguintes efeitos: A,
C, D, e BE. O efeito utiliz ado para o fator A foi de 20, os efeitos dos fatores C e D foram 20
e 10, respectivamente e o efeito da interação BE é dado por 10. Deve-se observar que A faz
parte do primeiro grupo, C e D fazem parte do segundo e BE é uma interação que faz parte do
terceiro grupo de efeitos, que compartilham da mesma variância. As observações foram gerada s
segundo o modelo:
y
ijkl
= (A/2)x
i
+ ǫ
i
+ (C/2)x
j
+ (D/2)x
k
+ ε
jk
+ (BE/2)x
l
+ η
l
Em que
y
ijkl
é a resposta observada sob i-ésimo nível do fator A, j-ésimo nível do fator C,
k-ésimo nível do fator D, e l-ésimo nível da interação BE;
A é o efeito do fator A;
C é o efeito do fator C;
D é o efeito do fator D;
BE é o efeito do interação BE;
x
i
assume -1 se o fator A estiver no nível baixo, e 1 se estiver no nível alto;
x
j
assume -1 se o fator C estiver no nível baixo, e 1 se estiver no nível alto;
33
x
k
assume -1 se o fator D estiver no nível baixo, e 1 se estiver no nível alto;
x
l
assume -1 se a interação BE estiver no nível baixo, e 1 se estiver no nível alto;
ǫ
i
é o termo residual relativo ao primeiro plot e segue uma distribuição N(0, 2);
ε
j
k é o termo residual relativo ao segundo plot e segue uma distribuição N(0, 2);
η
l
é o termo residual relativo ao grupo das interações entre fatores dos diferentes
plots e segue uma distribuição N (0, 1);
E os termos ǫ, ε e η são não-correlacionados.
Para analisar os resultados, é preciso separar os dados nos grupos homoscedásticos da Tabela
3.1, e assim, utilizando o Método de Lenth, foram construídos três gráficos diferentes. Utilizando
o Step-Down Lenth também é necessário realizar todo o procedimento em cada um dos três
grupos. As Ta belas 3.2, 3.3 e 3.4 ap resentam os efeitos estimados a partir das observações
geradas.
Tabela 3.2: Efeitos estimados para dados de simulação (Grupo 1)
efeito valor
A 19,790
B
-2,058
AB
0,246
Tabela 3.3: Efeitos estimados para dados de simulação (Grupo 2)
efeito valor
C 20,477
D
10,409
E
0,752
CD
-1,158
CE
0,316
DE
-1,522
CDE
-1,826
34
Tabela 3.4: Efeitos estimados para dados de simulação (Grupo 3)
efeito valor
AC -0,715
AD
0,214
AE
0,499
BC
0,139
BD
-0,488
BE
9,816
ABC
0,174
ABD
-0,069
ABE
-0,850
ACD
0,614
ACE
-0,062
ADE
-0,080
BCD
-0,106
BCE
-0,372
BDE
-0,348
ABCD
-0,264
ABCE
-0,252
ABDE
0,144
ACDE
-0,198
BCDE
0,051
ABCDE
-0,053
Com estes efeitos, foram construíd os gráficos de Lenth e foram realizados os cálculos do
método step-down Lenth. Ye et al. (2001) fornece apenas valores críticos para m maior que 3.
Por isso foi utilizado o valor da tabela t neste exemplo e na simulação apresentada adiante. Pelo
método de Lenth observa-se o gráfico da Figura 3.1 para o primeiro grupo, no qual nenhum efeito
ultrapassa os limites.
Na Figura 3.2 já é possível ver um dos efeitos (efeito C) ultrapassando o limite das du as
margens de erro e outro (efeito D) situado entre os dois limites, o que pode gerar suspeitas
35
Figura 3.1: Exemplo de utilização do gráfico de Lenth (Grupo 1)
Figura 3.2: Exemplo de utilização do gráfico de Lenth (Grupo 2)
36
dependendo da situação e deve ser discutido com o pesquisador. Na Figura 3.3 é evidente que
o efeito BE é um efeito ativo. Deve-se estar atento à diferença de escala entre os gráficos, que
pode gerar a idéia de que o efeito BE é maior e o efeito do fator A é menor, quando acontece
exatamente o inverso.
Figura 3.3: Exemplo de utilização do gráfico de Lenth (Grupo 3)
Pelo step-down, no primeiro grupo, o va lor do maior efeito (A) foi dividido pelo P SE (dado
por 1,728 ), mas o resultado obtido não foi superior ao valor t tabelado (37,544) e, portanto, não
foi julgado ativo (como pode ser visto n a Tabela 3.5), e assim o processo realizado nos cálculos do
método teve apenas um passo. No segundo grupo, o valor do efeito C quando dividido pelo P SE
(1,738), resultando e m 11,784 superou o valor tabelado (9,207) e, com isso, o P SE foi recalculado,
levando a mais uma etapa de cálculos. Porém na etapa seguinte, o segundo maior valor (D) não
ultrapassou o valor tabelado ao ser dividido pelo P SE e não foi declarado significativo (dados
da Tabela 3.6 ). No terceiro grupo, o efeito BE superou o valor tabelado (4,615) após a divisão
pelo PSE (resultando em 0,297), e foi o único efeito julgado ativo dentro do grupo (Tabela 3.7).
37
Tabela 3.5: Contrastes, valores para t
i
e valores críticos da tabela t associados a cada efeito no
primeiro grupo
Efeito Contraste t
i
t
γ;d
A 19,790 11.451 37,544
B
-2,058 - -
AB
0,246 - -
Tabela 3.6: Contrastes, valores para t
i
e valores críticos da tabela t associados a cada efeito no
segundo grupo
Efeito Contraste t
i
t
γ;d
C 20,477 11.784 9,207
D
10,409 5.990 10.769
CDE
-1,826 - -
DE
-1,522 - -
CD
-1,158 - -
E
0,752 - -
CE
0,316 - -
Dessa forma é possível suspeitar que o número de efeitos no gráfico, assim como no teste rea-
lizado pelo método step-down, afeta a capacidade de detecção dos efeitos ativos mas os métodos
apresentam conclusões semelhantes. Nos dois métodos o efeito ativo do primeiro grupo (co m 3
efeitos), ap esar de sua magnitude (o efeito A é de 20 unidades), não foi detectado como efeito
ativo. No segundo grupo, com mais pontos (7 efeitos), já é possível captar um dos efeitos
ativos (efeito C, com 20 unidades de magnitude), porém o outro (efeito D) que não tinha uma
magnitude tão alta (10 unidades) não foi detectad o, apesar de ser ativo. No terceiro grup o,
o único efeito ativo (BE com 10 unidades de magnitude) foi julgado corretamente pelos dois
métodos e se destaca dos outros efeitos dentro do grup o.
38
Tabela 3.7: Contrastes, valores para t
i
e valores críticos da tabela t associados a cada efeito no
terceiro grupo
Efeito Contraste t
i
t
γ;d
BE 9,816 33.102 4,615
ABE
-0,850 3.047 4.708
AC
-0,715 - -
ACD
0,614 - -
AE
0,499 - -
BD
-0,488 - -
BCE
-0,372 - -
BDE
-0,348 - -
ABCD
-0,264 - -
ABCE
-0,252 - -
AD
0,214 - -
ACDE
-0,198 - -
ABC
0,174 - -
ABDE
0,144 - -
BC
0,139 - -
BCD
-0,106 - -
ADE
-0,080 - -
ABD
-0,069 - -
ACE
-0,062 - -
ABCDE
-0,053 - -
BCDE
0,051 - -
3.2 Análise de Desempenho dos Métodos de Lenth
Apesar dos Métodos de Lenth funcionarem adequadamente em experimentos com grande
número de efeitos agrupados em um mesmo gráfico e em situações e m que não existe diferen-
ça de variância nos dados, este não é o contexto em que se enquadram os experimentos do
tipo split-plot. Como foi observado anteriormente, nos experimentos da classe split-plot existem
várias fontes de variabilidade e determinados efeitos estão sujeitos a diferentes delas, formando
39
assim g rupos menores dentro dos quais os efeitos são homoscedásticos, mas entre os quais existe
diferença de variância. Melo (2007) observou o desempenho do método em planos strip-plot
separando os efeitos de um plot em um grupo, os de outro plot em outro grupo, e os efeitos
das interações envolvendo fatores dos dois plots em um terceiro grupo, ou seja, o método foi
aplicado a três grupos de dados diferentes em cada experimento. A separação dos efeitos em
grupos homoscedásticos foi apresentada em Vivacqua & Bisgaard (2004), sugerindo a aplicação de
gráficos de probabilidade normal em cada grupo. Na geração d os dados, Melo (2007) considerou
o caso em que a contribuição na variabilidade devido apenas ao plot é igual a contribuição devido
aos subplots, e o número de efeito s ativos foi mantido fixo em cada uma das situações de mesmo
número de fatores. No presente estudo são observados os dese mpenhos dos métodos de Lenth
em situações não investigadas po r Melo (2007).
3.2.1 Objetivos Gerais
Os objetivos do presente estudo de simulação são verificar:
• se diferentes variâncias realmente afetam o desempenho do método;
• até que ponto o número de efeitos presentes no gráfico influi nos resultados;
• como o surgimento de efeitos significativos em cada um dos grupos pode alterar o resultado
obtido.
Para tanto foi desenvolvido um programa utilizando o software R (R Development Core Team
(2007)), (o código para a geração de uma das situações está disponível no apêndice), para gerar
observações sujeitas a diferentes fontes de variação simulando um experimento strip-plot.
3.2.2 Estudo de Simulação
As característica s que definem os cenários considerados para a realização das simulaçõ es
foram as seguintes:
40
• Quantidade de fatores pr esentes no experimento e associados a cada plot, definindo também
com isso o número de efeitos em cada grupo;
• Número de efeitos significativos e suas respectivas posições nos grupos de efeitos;
• Magnitude dos efeitos significativos;
• Desvio padrão entre plots; e
• Desvio padrão dentro das plots (entre os subplots).
Dado que Melo (2007) já havia observado o comportamento do grá fico quando o experimento
possuía mais de seis fatores, o número de fatores foi mantido menor ou igual a seis, para verificar
se, mesmo com poucos pontos no gráfico, o método ainda apresentava um b o m desempe nho .
Porém não foi observado o caso com quatro fatores, pois um experimento strip-plot com 4 fatores
teria um fator associado a um plot e um grupo com os outros três associados a outro plot, ou
dois grupos de dois fatores para cada plot. O caso em que só se tem um fator associado a um
plot faz com que o gráfico apresente um único ponto e é impossível realizar comparação. Quando
se tem um grupo com dois fatores, o gráfico apresenta pontos para apenas três efeitos e, dessa
forma qualquer comparação é prejudicada. Ainda assim, foi simulado um experimento com cinco
fatores em que dois deles estão associados a um plot e, dessa forma foi p o ssível verificar o que
ocorre em um grupo com uma quantidade mínima de efeitos. O número de fatores estabelece
a quantidade de efeitos, porém a definição de quantos fatores estão agrupados em cada plot
é que determina quantos efeitos serão avaliados em um mesmo gráfico. Foi dada uma grande
importância ao número de fatores pois os exemplos considerados foram tod os de experimentos
fatoriais não fracionados e, com isso, o número de provas é d efinid o simplesmente pela quantidade
de fatores presentes. Em um experimento fatorial fracionado, ainda que existam muitos fatores,
o número de provas pode vir a ser reduzido dependendo d a fração dos tratamentos utilizada, e
41
isso leva da mesma forma a ocorrência de gráficos com poucos pontos. Levando em consideração
todas estas limitações, foram considerados três casos:
• Caso 1 - Um experimento com 5 fatores, estando dois em um plot e três no outro (definindo
assim três grupos: um co m 3 efeitos, devido aos primeiros dois fatores e sua interação, outro
com 7 efeitos, devido aos três fatores e as interações envolvendo apenas estes, e mais um
grupo com 21 efeitos formado pelas interações que envolvem fator es dos dois grupos);
• Caso 2 - Um experimento com 6 fatores, sendo três em um plot e três no outro (fazendo
com que o primeiro e o segundo grupo tenham 7 efeitos cada um, formados pelos fatores
e interações associados a cada plot, e um terceiro grupo com 49 efeitos decorrentes das
interações entre fatores de plot diferentes); e
• Caso 3 - Mais um experimento com 6 fatores, p o rém desta vez distribuídos de forma a
manter 2 em um plot e 4 no outro (produzindo com isso um grupo de apenas 3 efeitos, um
com 15 efeitos, e um com os 45 efeitos produzidos pelas interações entre os fatores dos dois
plots).
Os efeitos significativos foram distribuídos tentando-se contemplar várias situações distintas,
em que o número de efeitos significativos é alterado. E observa-se também, para casos em que
o número de efeito s significativos é o mesmo, como a detecção pode ser afetada pelo grupo de
origem do efeito. Ou seja, observou-se desde o caso em que só existe um efeito significativo em
todo o experimento, verificando como se dá sua detecção em cada grupo diferente, até situações
em que cada grup o apresenta mais de um efeito significativo, e simultaneamente. Em todos
os casos, o terceiro grupo de efeitos (que corresponde ao grupo com interações entre fatores de
grupos distintos) apresenta um maior número de pontos que os outros grupos (contendo efeitos
principais), portanto quando o número de efeitos significativos em cada grupo era diferente, a
42
maior parte destes foi atribuída ao terceiro grupo. Para o caso 1, que tem menos efeitos por se
tratar de um experimento com cin co fatores, observou-se 6 situações:
• Situação 1 - (0,0,1)- Apena s um efeito significativo, presente no terceiro grupo, relacionado
às interações entre os plots;
• Situação 2 - (0,1,0)- Apenas um efeito significativo, presente no segundo grupo, relacionado
aos efeitos do segundo plot;
• Situação 3 - (1,0,0)- Apenas um efeito significativo, presente no primeiro grupo, relacionado
aos efeitos do primeiro plot;
• Situação 4 - (1,1,1)- Três efeitos significativos, sendo um em cada grupo;
• Situação 5 - (0,1,2)- Três efeitos significativos, um no segundo grupo e os outros dois no
terceiro; e
• Situação 6 - (1,0,2)- Três efeitos significativos, um no primeiro grupo e os outros dois no
terceiro;
Os números entre parênteses representam o número d e efeitos ativos nos gru pos 1, 2 e 3,
respectivamente, e serão utilizados para identificar as situaçõ es mais facilmente nos gráficos a-
presentados adiante. As situações de análise mais simples são aquelas em que os efeitos ativos
pertencem a grupos com maior número de efeitos. Com isso em mente foram definidas as situ-
ações, partindo das que apre sentam menor número de efeito s ativos, igual distribuição de efeitos
ativos em cada grup o se possível e, dentro destas condições, começando pelas mais simples de
analisar.
Para os casos 2 e 3, em que o número de efeitos é maior, foram observadas situações semelhan-
tes, mas incluindo mais efeitos significativos. Como foram observadas situações com apena s um e
43
com três fatores significativos no primeiro caso, e desejava-se também verificar os resultados com
mais fatores significativos, optou-se por utilizar o dobro destas quantidades nos demais casos.
Assim, mantendo a maior ia dos efeitos significativos no grupo com mais efeitos sempre que a
quantidade de efeitos significativos for diferente entre os grupos, foram consideradas as seguintes
situações:
• Situação 7 - (0,1,1)- Dois efeitos significativos, um no segu nd o e um no terceiro grupo;
• Situação 8 - (1,0,1)- Dois efeitos significativos, um no p rimeiro e um no terceiro grupo;
• Situação 9 - (1,1,0)- Dois efeitos significativos, um no p rimeiro e um no segundo grupo;
• Situação 10 - (2,2,2)- Seis efeitos significativos, sendo dois em cada grupo;
• Situação 11 - (0,2,4)- Seis efeitos significativos, dois no segundo grupo e quatro no terceiro;
• Situação 12 - (2,0,4)- Seis efeitos significativos, dois no primeiro grupo e quatro no ter ceiro ;
Em cada uma destas situações verificou-se o que ocorre com o desempenho do método quando
a magnitude dos efeitos significativos varia. Foi observado o desempenho quando o efeito ativo
não se destaca muito dos outros efeitos e quando ele é mais claramente significativo, mas man-
tendo uma mesma magnitude para todos os efeitos significativos, ou seja, quando a magn itud e
muda em um experimento, isto ocorre para todos os efeitos significativos presentes. Para isso
foram utilizadas duas magnitudes distintas para os efeitos significativos:
• 5 unidades de medida; e
• 15 unidades de medida.
Porém, o que determina se uma dada magnitude é mais facilmente perceptível ou não é a
variabilidade das observações. Com isso em mente, foram selecionados diferentes desvios-padrão
44
na geração das observaçõ e s, e como o experimento possui mais de uma fonte de variação, é
necessário diferenciar o desvio-padrão devido aos plots do devio-padrão devido aos subplots.
Assim para o desvio padrão entre os plots utilizou-se um desvio maior e um menor para verificar
se, de alguma forma este desvio, que afeta apenas as estimativas de efeitos associados ao plot,
poderia encobrir efeitos significativos. Os desvios utilizados foram:
• 2 unidades de medida; e
• 3 unidades de medida.
E, da mesma forma, para o desvio dentro dos plots (entre os subplots), foram utilizados
dois valores de desvio-padrão, sendo ambos menores que os desvios utilizados entre os plots,
considerando que, como os subplots estão dentro de um mesmo plot, é razoável supor que a
diferença entre elas seja menor. Este d esvio foi definido como um dos valores:
• 0,5 unidades de medida; e
• 1 unidade de medida.
Com isso, existem 3 × 6 × 2 × 2 × 2 = 144 cenários a serem comparados. Após a definição dos
cenários, foi realizado um estudo de simulação de Monte Carlo no qual são geradas observações
para cada cenário 10000 vezes e, em cada uma dessa réplicas de Monte Carlo são estimados os
contrastes e observadas as conclusões provenientes de cada método. A comparação dos métodos
em cada cenário foi feita com base em três propriedades que seriam interessantes para a avaliação
do desempenho:
• O poder do método, que é medido neste caso como a proporção de efeitos ativos que são
corretamente declarados ativos, ou seja, uma medida da capa cidade do gráfico em detectar a
presença de um efeito realmente significativo e identificá-lo entre os vários efeitos presentes.
Quanto maior a pr oporção ob servada para o poder, melhor a avaliação d o método;
45
• A fração de efeitos in ativos incorret amente declarados at ivos (IER - Individual Error Rate),
que mede a proporção de efeitos que o método julgou serem ativos, mas na verdade não são
significativos. Esta variável deve assumir valores tão próximos de zero quanto possível p ara
que o método seja considerado eficaz, pois é uma pr oporção que te m a mesma interpretação
do chamado erro do tipo I, ou seja, o erro que se comete ao rejeitar uma hipótese quando
ela é verdadeira; e
• A fração de experimentos e m que ao menos um efeito inativo é declarado incorretamente
como ativo (EER - Experimentwise Error Rate), isto é, se em um experimento houver
algum efeito não significativo que o gráfico destacou como ativo. A diferença entre o IER e
o EER é que o primeiro verifica quantas vezes o erro é co metido em um me smo experimento,
enquanto o segundo ob serva em quantos experimentos aquele tipo de erro ocorreu.
Estas três características são obtidas através de proporções entre o valor observado e o total
das 10.000 réplicas.
3.2.3 Resultados do Estudo de Simulação
Análise do Poder do Teste
Em se tratan do do Método de Lenth, antes de analisar os gráficos que apresentam as variaçõ es
no poder, deve-se destacar que na Situação 1 do Caso 1, nenhuma variação na magnitude dos
efeitos, nem nos desvios dentro dos plots e entre os plots interferiu no poder do gráfico. O
poder de acerto foi de 100% para esta situação, independentemente dos valores atribuídos para
as dadas características, mas isto pode ser explicado pelo comportamento observad o nas outras
situações. As Figuras 3.4 co m os resultados referentes à s outras situaç ões deste mesmo caso
mostram que o aumento de 5 para 15 na magnitud e dos efeitos significativos e a redução de 3
para 2 unidades no desvio padrão devido aos plots ocasionam o aumento do poder, porém o
grupo ao qual o efeito pertence afeta visivelmente esta relação. Por exemplo, comparando-se as
46
Figuras 3.4 a) e 3.4 b) percebe-se que a segunda apresenta valores menores em todas as con dições,
e o mesmo pode ser percebido quando se compara as Figuras 3.4 d) e 3.4 e). Ou seja, quando o
efeito significativo vem de um grupo com meno s pontos o poder é prejudicado, o que explica o
fato de ter se observado poder máximo quando se tem apenas um efeito ativo e este provém do
grupo com maior número de pontos. A Figura 3.4 c), por exemplo, apresenta valores próximos
de 2/3 em todos os pontos, o que pode ser atribuído ao fato de possuir dois efeitos ativos no
grupo 3 (com 21 pontos) e apenas um no grupo 1 (com 3 pontos) e, tratando dos dois extremos,
provavelmente quaisquer mudanças não prejudicam a detecção no grande grupo, mas também
não são suficientes para incrementar a detecção dentro do grupo menor e, com isso, o gráfico
aparentemente capta os dois efeitos do maior grupo e não consegue distinguir o efeito no menor,
produzindo valores próximos a 2/3. As mudanças de 0,5 unidade para 1 unidade no desvio dentro
dos plots não produzem variações tão nítidas no poder e é difícil afirmar que esta alteração seja
realmente capaz de afetar os resultados.
A análise do poder no Caso 2 demonstra conclusões semelhantes, e como neste caso todo o
experimento contém mais fatores, é possível notar que, mesmo incluindo um maior número de
efeitos ativos, o poder continua maior quando os efeitos ativos se encontram em grupos de muitos
pontos. As Figuras 3.5a), 3.5b), 3.5c) e 3.5d), mostram mais uma vez a interferência positiva
da magnitude dos efeitos ativos, e a interferência negativa do desvio asso ciad o ao s p lots sobre o
poder, e também não deixam evidências para acreditar que a mudança de 0,5 para 1 unidade de
medida no desvio entre plots afeta o poder do método. Comparando, por exemplo, as Figuras
3.5 a) e 3.5 b) é possível ver que os resultados são todos muito próximos, pois um dos efeitos
ativos está presente em um grupo diferente, mas o número de efeitos destes grupos é o mesmo
e, portanto, o poder não se altera. O mesmo pode ser visto quando se compara as Figuras 3.5
e) e 3.5 f), já que mais uma vez ocorre a mudança de grupo de um efeito ativo, mas este grupo
contém o mesmo número de pontos.
47
Figura 3.4: Valores do Poder sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação
48
Figura 3.5: Valores do Poder sob o Método de Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação
49
O Caso 3 te m o mesmo número de fatores envolvidos que o Caso 2, porém estes se distribuem
de outra forma entre os grupos e, assim não se obtém o mesmo resultado que foi observado no
Caso 2 quando um efeito ativo passa de um grupo para outro, pois desta vez o número de efeitos
em cada gru po é diferente. As Figuras 3.6 a ) e 3.6 e) apresentam altos valores para o poder,
quando comparados com as Figuras 3.6 b) e 3.6 f), respectivamente, devido a esta difer ente
distribuição de fatores por grupos, que faz com que o primeiro grupo possua apenas três efeito s e
o segundo tenha 1 5, facilitando a detecção de efeitos ativos quando estes se encontram no grupo
maior. Além das diferenças devido ao grupo de onde os efeitos ativos são provenientes, existe
ainda a variação decorrente do aumento da magnitude dos efeito s ativos, que produz um maior
poder, e o aumento no desvio entre os plots que prejudica o poder do método. Mais uma vez
não se percebe variação devido a mudança no desvio entre subplots. A Figura 3.6 f) demonstra
resultados semelhantes aos observados na Figura 3.6 f) do Caso 1, e os mesmos comentários
valem para esta.
Quando se compara estes resultados com aqueles obtidos pelo Método Step-Down Le nth,
pode-se notar que, com este último o poder é bem menor, os valores são muito baixos, não
chegando nem a 5% até mesmo nas condições mais favoráveis, ou seja, o método Step-Down
Lenth é muito pior nas situações observadas, por ser extremamente conservador, pois a maior
parte dos efeitos significativos passa desp erc ebid o. Nas Situações 2 e 3 do Caso 1, o poder foi
de 0%, ou seja, quando se tem só um efeito ativo e ele está nos grupos menores, o método
simplesmente não conseguiu detectar sua presença nenhuma vez, e mesmo na Situação 1, o
poder se encontra entre 2% e 3%, como se pode ver na Figura 3.7 a). As Figuras 3.7 d), e) e
f) apresentam valores entre 0,7% e 1%, e não se percebe diferença no poder quando se altera a
magnitude nem os desvios entre plots ou subplots.
Para o Caso 2 observa-se novamente que o poder é insensível à mudança na magnitude de
efeitos ativos de 5 para 15, assim como às mudanças de 2 para 3 unidades no desvio entre plots e
50
Figura 3.6: Valores do Poder sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação
51
Figura 3.7: Valores do Poder sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação
52
de 0,5 para 1 entre subplots, independentemente de quantos efeitos ativos existem no experimento
e de quais grupos eles são provenientes. Porém a Figura 3.8 sugere que o poder diminui a medida
que se inclui mais efeitos ativos no experimento, sendo esta a única diferença entre 3.8 a), b)
e 3.8 c), d), e e). A Situação 9 no Caso 2 não possibilitou a detecção de nenhum efeito ativo,
estando os efeitos localizados mais uma vez nos grupos menores e, portanto apresentou um poder
de 0%.
No Caso 3 já se percebe uma diferença devido ao grupo de origem dos efeitos ativos, qu e
pode ser observada ao comparar a Figura 3.9 c) com as Figuras 3.9 d) e e). A primeira tem um
menor poder, mas as outras duas, que possuem mais efeitos ativos no maior grupo, mostram um
maior poder. A Situação 9 no Caso 3 mostrou os mesmos resultados que foram obtidos no Caso
2, apesar de neste caso um do s grupos ser maior que o outro. As Figuras 3.9 a) e b) indicam
que estando o fator no grupo com 15 pontos ou com 3 pontos não é suficiente para que o poder
seja modificado, e é p o ssível tirar a mesma conclusão observando as Figuras 3.9 d) e e). Assim, é
razoável admitir que o número de efeitos ativos no grupo 3 (com 45 efeitos) e o número de efeitos
ativos no experimento como um todo são as características que influenciam mais decisivamente
no poder do teste para estes casos.
53
Figura 3.8: Valores do Poder sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação
54
Figura 3.9: Valores do Poder sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação
55
Análise do IER
Observando o IER obtido com o Método de Lenth verifica-se que no Caso 1 todos os valores se
encontram entre 0,14% e 0,23%, ou seja, entre os efeitos não ativos no experimento existe ainda
uma pequena fração que o gráfico declara como ativo, mas esta proporção n ão chega a 0,25%
efeitos declarados erroneamente ativos. A Figura 3.10 mostra que a variação na magnitude dos
efeitos não gera nenhuma tendência de crescimento ou de diminuição do IER, assim como as
mudanças no desvio padrão entre os plots e também entre os subplots não são suficientes para
interferir na resposta.
Fazendo a comparação com os resultados para o Caso 2, pode-se ver que o IER passa a
assumir valores ainda menores, ficando entre 0,09% e 0,14%. Seja com dois efeitos ativos, c omo
nas Figuras 3.11 a), b) e c), ou com seis efeitos ativos no expe rimento, como nas Figuras 3.11
d), e) e f), os resultados obtidos são aproximadamente os mesmos, e não importa os valores
atribuídos à magnitude dos efeitos ou aos desvios padrão, a r esposta permanece com o mesmo
comportamento.
No caso 3 é possível reconhecer as mesmas propriedades observadas anteriormente para o
IER, ou seja, os pequenos valores, obtidos em todas as situações, não são afetados por mudanças
de magnitude dos efeitos ou desvios associados aos plots e subplots. Também não é notável
qualquer variação devido ao grupo de origem do efeito ativo e ao número de efeitos ativos do
experimento. Isto pode ser visto através dos valores do IER ob tidos quando o experimento tem
2 efeitos ativos, que ficaram entre 0,11% e 0,16%, como se vê nas Figuras 3.12 a), b), e c), sendo
este praticamente o mesmo intervalo (de 0,10% a 0,16%) em que varia o IER nas Figuras 3.12
d), e) e f), com 6 efeitos ativos.
56
Figura 3.10: Valores do IER sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação
57
Figura 3.11: Valores do IER sob o Método de Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação
58
Figura 3.12: Valores do IER sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação
59
Em se tratando dos resultados obtidos através do Método Step-Down Lenth, observa-se va-
lores mais altos na maioria das situações, e aparentemente o segundo método é mais sensível a
mudanças na magnitude e no desvio padrã o. No Caso 1, por exemplo, a Figura 3.13 a) apresenta
todos os valor es entre 4,2% e 4,3%, a Figura 3.13 b) mostra que o IER aumenta ap roximadamente
2,5% quando a magnitude dos efeitos ativos passa de 5 para 15, e diminui aproximadamente 0,5%
quando o desvio entre plots passa de 2 pa ra 3 unidades, enquanto a Figura 3.13 c) possui valores
no intervalo de 0,9% a 1,2%, variando algo próximo de 0,1% quando a magnitude aumenta. Ou
seja, neste caso é possível verificar a influência da magnitude dos efeitos e do desvio entre plots
no valor do IER, porém esta influência é mais perceptível dependendo do grupo em que o efeito
ativo se encontra. Quando o efeito está n o menor grupo (com 3 efeitos), a probabilidade de julgar
significativo um efeito inativo é menor e não sofre influência das características do experimento,
quando o efeito está no maior grupo (com 21 efeitos), a probab ilidade é maior e também não
se vê claramente interferência quando as propriedades do experimento mudam, mas na situação
intermediária, quando o efeito ativo está no segundo grupo (com 7 efeitos) é que se p e rcebe
a alteração no IER devido às mudanças de magnitude dos efeitos a tivos e desvio-padrão entre
plots, portanto o método é sensível a estas mudanças, mas isto está relacionado à quantidade de
pontos no gráfico.
As Figuras 3.13 d) e e) reforçam a idéia d e que existe influência no IER ao mudar a magnitude
e o desvio entre plots, mas em conjunto com a Figura 3.13 f) verifica-se novamente que esta
mudança só é notável dependendo do gr upo em que se encontram os efeitos ativos. O simples
fato de incluir 3 efeitos ativos no experimento também é suficiente para gerar resulta dos diferentes
no IER. Pode-se ver através da comparação da Figura 3.13 que em d), e) e f) observa-se um
valor ainda maior para a resposta, isto é, a presença de mais efeitos ativos faz com que o método
acabe apontando como ativo um número maior de efeitos inativos do que realmente existe no
contexto, chegando a mais de 10% de efeitos erroneamente julgados ativos em algumas situações.
60
Figura 3.13: Valores do IER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação
61
Para o Caso 2, as Figuras 3.14 a) e b) mostram resultados semelhantes, pois a única diferença
é o grupo de origem do efeito ativo e, nestas situações, os dois grupos possuem o mesmo número
de efeitos. É possível ver que uma maior magn itude do efeito ativo produz um maior IER
(gera um aumento de aproximadamente 1,2%), e um maior desvio padrã o entre plots diminui o
IER (gera uma redução de aproximadamente 0,2%). Os valores observados na Figura 3.14 c),
quando os efeitos ativos pertencem somente aos primeiros grupos (com 7 efeitos, neste caso) são
menores, mas somente para a magnitude de 5 unidades, e a influência da magnitude e do de svio
permanecem visíveis. O que se vê nas Figuras 3.14 e) e f) é o mesmo comportamento observado
entre as Figuras 3.14 a) e b), porém desta vez o IER assume valores maiores, provavelmente
devido a inclusão de mais efeitos ativos no experimento. Qu and o se tem dois efeitos ativos, o
IER fica entre 0,9% e 4,0% (Figura 3.14 a), b) e c)), e quand o o número passa para seis efeitos
ativos, a resposta obtida se encontra entre 4,0% e 12,0% (Figura 3.14 d), e) e f)).
No caso 3, observa-se nas Figuras 3.15 a), b) e c) que a influência, se existe, da magnitude dos
efeitos ativos e do desvio padrão dos plots sobre o IER não chega a mais de 1%. A Figura 3.15
a) possui valores entre 3,4% e 4 ,0%, já os valores obtidos na Figura 3.15 b) ficam entre 2,2% e
2,5%, e na Figura 3.15 c) observa-se valores n o intervalo de 1,9% a 2,4%, portanto a diminuição
nos valores ocorre quando um dos efeitos ativos está no grupo com poucos pontos (apenas 3
pontos, neste caso), ou seja, a probabilidade de apontar um efeito inativo como significativo
é maior quando o efeito ativo está nos gru pos com mais efeitos. As Figuras 3.15 d), e) e f)
exibem resultados semelh antes, não indicando influência da magnitude ou dos desvios no valor
do IER, mas mostrando mais uma vez valores inferiores quando existe algum efeito ativo no
grupo menor. O fato de o experimento possuir mais efeitos ativos produz resultados para o IER
maiores, estando entre 6,8% e 7,9% nas situações mais favoráveis, e pertencendo ao intervalo de
10,3% e 1 1,3% na situação em que todos os efeitos ativos estão nos maiores grupos (Figura 3.15
b)).
62
Figura 3.14: Valores do IER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação
63
Figura 3.15: Valores do IER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação
64
Análise do EER
A variável EER, quando obtida pelo Método de Lenth, assumiu valores entre 3,0% e 6 ,5%,
ou seja, o número de experimentos nos quais o gráfico erra, julgando a lgum efeito não significa-
tivo como sendo significativo, é relativamente baixo, estando sempre próximo de 5%. O EER
apresentou uma variação muito pequena, independente das mudanças sofridas pelo exp er imento.
Em todas as situações do Caso 1, os valores p er manec eram entre 3,0% e 4,3 % (Figura 3.16) não
sendo possível perceber nenhuma tendência de aumento ou diminuição decorrente das alterações
na magnitude dos efeitos ativos, nos desvios entre plot ou entre subplot, ou até mesmo na origem
dos efeitos ativos. A única mudança que se pode perceber, mas ainda assim não é algo muito
claro através dos gráficos, é uma possível diminuição do EER quando o experimento tem mais
efeitos significativos, não importando o grupo ao qual pertencem. Verifica-se que nas Figuras
3.16 a), b) e c) o EER está entre 3,4% e 4,3% para todas as configurações, enquanto nas Figuras
3.16 d), e) e f) este valor se encontra entre 3,0% e 3,8%, mas isto não é suficiente para se poder
afirmar que exista realmente alguma diferença e, caso exista, esta diferença deve não ser superior
a 0,5%.
Para o Caso 2, mais uma vez só se pode atribuir alguma interferência no valor do EER, devido
ao aumento de efeitos ativos envolvidos no experimento. Desta vez, comparando as Figuras 3.17
a), b) e c) com as Figuras 3.17 d), e) e f) verifica-se a ocorrência de valores no intervalo de
5,0% a 5,8% nos experimentos com 3 efeitos ativos, e estes valores aperentemente diminuem para
o intervalo de 4,3% a 5,2% quando o experimento possui 6 efeitos ativos, mas novamente esta
mudança é sutil e apenas sugere uma possível diminuição no EER. A própria passagem do Caso
1 para o Caso 2, também gerou valores maior es de EER, provavelmente pelo fato de o Caso
2 possuir mais efeitos ativos em todas as situações, mas podendo esta mudança ser atribuída
também aos grupos maiores onde os efeitos ativos estão presentes.
65
Figura 3.16: Valores do EER sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação
66
Figura 3.17: Valores do EER sob o Método de Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação
67
O Caso 3, que contém os mesmos números de efeitos ativos que o Caso 2, porém distribuídos
em grupos de tamanhos diferentes, apresenta resultados semelhantes, sugerindo que o tamanho
dos grupos não deve interferir na probabilidade do método declarar que um efeito inativo é
significativo para o experimento. Neste caso o EER ficou entre 5,3% e 6,4 % quando o experimento
tem 3 efeitos ativos (Figuras 3.18 a), b) e c), e entre 4,2% e 5,5% para os experimentos com 6
efeitos ativos (Figuras 3.18 d), e) e f), reforçando a sugestão de que o número de efeitos ativos
pode estar interferindo negativamente no EER. Outra possível alteração é observad a na Figura
3.18 b), que apresenta os menores valores, se comparado com as Figuras 3.18 a) e c), ou seja,
talvez a presença de efeitos ativos no grupo menor (3 efeitos) seja causa de um EER maior.
O Método Step-Down Lenth produziu resultados completamente diferentes daqueles obtidos
pelo Método de Lenth, no que diz respeito ao EER. Em todos os casos, todas as situações nas
quais existe um efeito ativo em um grupo com muitos efeitos (21 ou mais, para os cenários
obsevados) produziram um EER de 100,0%, ou seja, quando um experimento apresenta algum
efeito ativo em um grande grupo de pontos, o gráfico destacou como ativo pelo menos um efeito
inativo em todos os experimentos ob servados. No Caso 1, as Figuras 3.19 a) e b) mostram
claramente o aumento do EER quando a magnitude do efeito ativo passa de 5 para 1 5 unidades
e também uma diminuição decorrente da mudança de 2 para 3 unidades no desvio entre plots.
Todas as outras situações produziram EER de 100,0%, o que po de ser atribuído a presença de
pelo menos um efeito ativo no maior grupo deste caso. Mesmo as situações mais favoráveis
geraram valores de EER maiores que 15,5%.
68
Figura 3.18: Valores do IER sob o Método de Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação
69
Figura 3.19: Valores do EER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
3
por situação
No Caso 2, só uma situaçã o não apresentou EER igual a 100,0% para todas as configurações
(Figura 3.20 a)), mas ainda assim os resultados são todos maiores que 35,0%. É notável o aumento
da resposta devido ao acréscimo na magnitude dos efeitos ativos, assim como a diminuição
decorrente do acréscimo no desvio padrão entre plots, mas a mudança no desvio entre os subplots
não demonstra nenhuma influência positiva ou negativa nos valores do EER observados.
O Caso 3 também só produziu alguns resultados diferentes de 100% em uma situação (Figura
3.21 a)), sendo que desta vez todos os valores são superiores a 79,6% e chegam a 100% quando a
magnitude dos efeitos ativos é de 15 unidades, ou seja, o aumento na magnitude dos efeitos mais
uma vez causa um maior EER, e também se percebe que o aumento do desvio entre os plots
produz um EER menor. Comparando os resultados deste caso com o Caso 2 verifica-se que o
número de efeitos em cada grupo vai gerando valores maiores para o EER a medida que cresce.
O mesmo pode-se dizer obsevando o Caso 1, e isto está de acordo com o EER obsevado em todos
os casos para as situações em que o efeito ativo pertence a um grupo cada vez maior.
70
Figura 3.20: Valores do EER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
3
× 2
3
por situação
Figura 3.21: Valores do EER sob o Método Step-Down Lenth em um Plano 2
2
× 2
4
por situação
71
CAPÍTULO 4
Considerações Finais
Este trabalho estudou a análise de experimentos strip-plot não replica dos, fazendo uso do
método de Lenth e do Step-Down Lenth e verificando até que ponto a utilização destes métodos
é realmente adequada para situações em que o número de fatores é muito reduzido (menor que
7). O interesse em analisar especificamente estas situações se deve à economia e praticidade
proporcionadas pela utilização de planos strip-plot e pela ausência de réplicas. Foram realizadas
várias simulações e comparações dos resultados obtidos através de cada método.
Reutilizando a estratégia empregada por Melo (2007), de separar os efeitos em grupo s ho-
moscedásticos para, só então, aplicar os métodos de Lenth, foi possível perceber que nem sempre é
recomendável a utilização destes métodos para a análise de um experimento com essas restrições.
O método de Lenth demonstra um poder razoavelmente aceitável (acima de 85%) quando se
tem efeitos ativos relativamente altos e presentes em grupos com no mínimo sete efeitos com os
quais podem ser feitas as devidas comp araç ões. Verificou-se que quando a variabilidade existente
entre os plots do experimento for maior (o desvio entre plots obser vado assumiu os valores 2 e 3),
o desempenho do método também é prejudicado. A proporção de efeitos julgados ativos, apesar
72
de serem inativos, foi b aixa (inferior a 0,25%) e da mesma forma, a proporção de experimentos
nos quais esse tipo de erro ocorreu pelo menos uma vez não se distanciou de forma alarmante do
valor pré-estabelecido de 5% para o erro do tipo I.
O méto d o step-down mostrou resultados inadmissíveis para os casos considerados, obt end o
um poder inferior a 5% nas condiçõ e s mais favoráveis e não chegando nem a 1% em muitos
dos casos, indicando que o método não é adequado para situações críticas como as que foram
investigadas. Além do poder ter sido muito pequeno, o número de efeitos inativos que são
erroneamente julgados significativos chega a mais de 10% em alguns casos, e a proporção de
experimentos nos quais pelo menos um experimento é julgado ativo, apesar de ser inativo, é
superior a 15%, até nos casos mais favoráveis ao méto do. Esse percentual vai aumentando cada
vez mais quando o número de efeitos presentes cresce.
Assim, recomenda-se a utilização do Método de Lenth para planos Strip-Plot desde que o
experimento a ser investigado tenha pelo menos três fatores associad os a cada plot, originando
grupos com 7 efeitos ou mais, devido aos efeitos principais de cada fator e suas interações. O
método Step-Down Le nth não é adequado para as situações observadas, pois além de não detectar
os efeitos ativos que podem existir no experimento, também passa a julgar significativo e feitos
inativos à medida que o número de e feitos aumenta.
Caso o experimentador esteja mais interessado em observar o efeito de determinadas intera-
ções em particular, deve-se planejar o experimento de forma que os fato res envolvidos estejam
associados a plots diferentes, para que a interação p e rten ça ao m a ior grupo de efeitos e, da mesma
forma, se algum efeito principal for mais interessante para os objetivos do experimento, deve-se
sempre tentar associar o fato r ao plot com mais fatores e, com isso, o efeito ao maior grupo.
Não se detectou no estudo de simulação a influência da mudança na variabilidade dentro
dos plots, porém a diferença de variabilidade observada talvez não tenha sido suficiente, e pode
ser interessante verificar variações maiores na variabilidade entre subplots. Outro ponto não
73
investigado mas que acredita-se ter influência nas conclusões é a utilização dos valores críticos
sugeridos por Ye et al. (2001) no lugar dos valores da tabela t para o método Step-Down Lenth.
Futuramente espera-se comparar também o mét odo de Lenth com o método proposto por
Aboukalam (2005), que supostamente é ainda mais poderoso sem perder a simplicidade do
método de Lenth, mas n ão foi aplicado em experimentos do tipo split-plot.
74
APÊNDICE A
Código do R para geração e análise de um experimento strip-plot
### Função que simula um experimento {\it strip-plot} completo com até 6 fatores ###
fact<-function(nfp=1,nfsp=0,nr=1,mi=0,ep1=1,ep2=1,esp=0,a=0,b=0,c=0,d=0,e=0,f=0,ab=0,ac=0,
ad=0,ae=0,af=0,bc=0,bd=0, be=0,bf=0,cd=0,ce=0,cf=0,de=0,df=0,ef=0,abc=0,abd=0,abe=0,abf=0,
acd=0,ace=0,acf=0,ade=0,adf=0,aef=0,bcd=0,bce=0,bcf=0,bde=0,bdf=0,bef=0,cde=0,cdf=0,cef=0,
def=0,abcd=0,abce=0,abcf=0,abde=0,abdf=0,abef=0,acde=0,acdf=0,acef=0,adef=0,bcde=0,bcdf=0,
bcef=0,bdef=0,cdef=0,abcde=0,abcdf=0,abcef=0,abdef=0,acdef=0,bcdef=0,abcdef=0)
{
nf=nfp+nfsp
### Gerando as colunas para o cálculo dos contrastes ###
x<-matrix(0,(2^nf)*nr,nf)
for (j in 1:nf)
{
nv<-2^(j-1)
co<-c(rep(-1,nv*nr),rep(1,nv*nr))
x[,j]<-co
}
### Gerando observações da variável resposta de acordo com um modelo hipotético ###
if(nfp==2)
{
y<-matrix(rep(c(
rnorm(nr,mi-a-b+ab,ep1),
rnorm(nr,mi+a-b-ab,ep1),
rnorm(nr,mi-a+b-ab,ep1),
rnorm(nr,mi+a+b+ab,ep1)),2^nfsp))
if(nfsp==3)
{
75
z<-matrix(c(
rep(rnorm(nr,-c-d-e+cd+ce+de-cde,ep2),2^nfp),
rep(rnorm(nr,+c-d-e-cd-ce+de+cde,ep2),2^nfp),
rep(rnorm(nr,-c+d-e-cd+ce-de+cde,ep2),2^nfp),
rep(rnorm(nr,+c+d-e+cd-ce-de-cde,ep2),2^nfp),
rep(rnorm(nr,-c-d+e+cd-ce-de+cde,ep2),2^nfp),
rep(rnorm(nr,+c-d+e-cd+ce-de-cde,ep2),2^nfp),
rep(rnorm(nr,-c+d+e-cd-ce+de-cde,ep2),2^nfp),
rep(rnorm(nr,+c+d+e+cd+ce+de+cde,ep2),2^nfp)))
w<-matrix(c(
rnorm(nr,+ac+ad+ae+bc+bd+be-abc-abd-abe-acd-ace-ade-bcd-bce-bde+abcd+abce+
abde+acde+bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,-ac-ad-ae+bc+bd+be+abc+abd+abe+acd+ace+ade-bcd-bce-bde-abcd-abce-
abde-acde+bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,+ac+ad+ae-bc-bd-be+abc+abd+abe-acd-ace-ade+bcd+bce+bde-abcd-abce-
abde+acde-bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,-ac-ad-ae-bc-bd-be-abc-abd-abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+abcd+abce+
abde-acde-bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,-ac+ad+ae-bc+bd+be+abc-abd-abe+acd+ace-ade+bcd+bce-bde-abcd-abce+
abde-acde-bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,+ac-ad-ae-bc+bd+be-abc+abd+abe-acd-ace+ade+bcd+bce-bde+abcd+abce-
abde+acde-bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,-ac+ad+ae+bc-bd-be-abc+abd+abe+acd+ace-ade-bcd-bce+bde+abcd+abce-
abde-acde+bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,+ac-ad-ae+bc-bd-be+abc-abd-abe-acd-ace+ade-bcd-bce+bde-abcd-abce+
abde+acde+bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,+ac-ad+ae+bc-bd+be-abc+abd-abe+acd-ace+ade+bcd-bce+bde-abcd+abce-
abde-acde-bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,-ac+ad-ae+bc-bd+be+abc-abd+abe-acd+ace-ade+bcd-bce+bde+abcd-abce+
abde+acde-bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,+ac-ad+ae-bc+bd-be+abc-abd+abe+acd-ace+ade-bcd+bce-bde+abcd-abce+
abde-acde+bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,-ac+ad-ae-bc+bd-be-abc+abd-abe-acd+ace-ade-bcd+bce-bde-abcd+abce-
abde+acde+bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,-ac-ad+ae-bc-bd+be+abc+abd-abe-acd+ace+ade-bcd+bce+bde+abcd-abce-
abde+acde+bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,+ac+ad-ae-bc-bd+be-abc-abd+abe+acd-ace-ade-bcd+bce+bde-abcd+abce+
abde-acde+bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,-ac-ad+ae+bc+bd-be-abc-abd+abe-acd+ace+ade+bcd-bce-bde-abcd+abce+
abde+acde-bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,+ac+ad-ae+bc+bd-be+abc+abd-abe+acd-ace-ade+bcd-bce-bde+abcd-abce-
abde-acde-bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,+ac+ad-ae+bc+bd-be-abc-abd+abe-acd+ace+ade-bcd+bce+bde+abcd-abce-
abde-acde-bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,-ac-ad+ae+bc+bd-be+abc+abd-abe+acd-ace-ade-bcd+bce+bde-abcd+abce+
abde+acde-bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,+ac+ad-ae-bc-bd+be+abc+abd-abe-acd+ace+ade+bcd-bce-bde-abcd+abce+
abde-acde+bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,-ac-ad+ae-bc-bd+be-abc-abd+abe+acd-ace-ade+bcd-bce-bde+abcd-abce-
76
abde+acde+bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,-ac+ad-ae-bc+bd-be+abc-abd+abe+acd-ace+ade+bcd-bce+bde-abcd+abce-
abde+acde+bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,+ac-ad+ae-bc+bd-be-abc+abd-abe-acd+ace-ade+bcd-bce+bde+abcd-abce+
abde-acde+bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,-ac+ad-ae+bc-bd+be-abc+abd-abe+acd-ace+ade-bcd+bce-bde+abcd-abce+
abde+acde-bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,+ac-ad+ae+bc-bd+be+abc-abd+abe-acd+ace-ade-bcd+bce-bde-abcd+abce-
abde-acde-bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,+ac-ad-ae+bc-bd-be-abc+abd+abe+acd+ace-ade+bcd+bce-bde-abcd-abce+
abde+acde+bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,-ac+ad+ae+bc-bd-be+abc-abd-abe-acd-ace+ade+bcd+bce-bde+abcd+abce-
abde-acde+bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,+ac-ad-ae-bc+bd+be+abc-abd-abe+acd+ace-ade-bcd-bce+bde+abcd+abce-
abde+acde-bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,-ac+ad+ae-bc+bd+be-abc+abd+abe-acd-ace+ade-bcd-bce+bde-abcd-abce+
abde-acde-bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,-ac-ad-ae-bc-bd-be+abc+abd+abe-acd-ace-ade-bcd-bce-bde+abcd+abce+
abde-acde-bcde+abcde,esp),
rnorm(nr,+ac+ad+ae-bc-bd-be-abc-abd-abe+acd+ace+ade-bcd-bce-bde-abcd-abce-
abde+acde-bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,-ac-ad-ae+bc+bd+be-abc-abd-abe-acd-ace-ade+bcd+bce+bde-abcd-abce-
abde-acde+bcde-abcde,esp),
rnorm(nr,+ac+ad+ae+bc+bd+be+abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+abcd+abce+
abde+acde+bcde+abcde,esp)))
}
}
f<-cbind(x,y+z+w)
f
}
#################################
realfun<-function()
{
nrep=2000 #Define o número de réplicas
result=matrix(NA,7,24)
for(l in 1:5)
{
poderlenth1=0 ### Primeiro Grupo (Efeitos do 1o Plot)
podersdlenth1=0
ierlenth1=0
iersdlenth1=0
eerlenth1=0
eersdlenth1=0
poderlenth2=0 ### Segundo Grupo (Efeitos do 2o Plot)
podersdlenth2=0
ierlenth2=0
iersdlenth2=0
eerlenth2=0
eersdlenth2=0
77
poderlenth3=0 ### Terceiro Grupo (Efeitos de Interações)
podersdlenth3=0
ierlenth3=0
iersdlenth3=0
eerlenth3=0
eersdlenth3=0
poderlenth4=0 ### Quarto Grupo (Análise de todos os efeitos)
podersdlenth4=0
ierlenth4=0
iersdlenth4=0
eerlenth4=0
eersdlenth4=0
for(k in 1:nrep)
{ #Inicio do loop de Monte Carlo
resps<-fact(nfp=2,nfsp=3,ep1=2,ep2=2,esp=0.5,a=0,c=0,ac=0,bd=5)[,6]
matriz=yates(5)
matriz=matriz*resps
contrastes=0
for(w in 1:31)
contrastes[w]=sum(matriz[,w])/16
ef=contrastes
bloco1<-c(ef[1],ef[2],ef[6])
bloco2<-c(ef[3:5],ef[13:15],ef[25])
bloco3<-c(ef[7:12],ef[16:24],ef[26:31])
quantis<-qtlenth(bloco1) ### Cálculo dos quantis (bloco 1)
quantil<-quantis$quantil
lenth<-as.array(quantis$lenth)
sdlenth<-as.array(quantis$sdlenth)
#Poder(Fração esperada de efeitos ativos que são julgados ativos)
#IER(Fração esperadas de efeitos inativos que são julgados ativos)
for(i in 1:3)
{
if(lenth[i]>quantil) {ierlenth1<-(ierlenth1+1) ;
ierlenth4<-(ierlenth4+1)}
if(sdlenth[i]>quantil) {iersdlenth1<-(iersdlenth1+1) ;
iersdlenth4<-(iersdlenth4+1)}
}
#EER(Fração de experimentos em que ao menos um efeito inativo é declarado ativo)
a=0
b=0
slenth=0
ssdlenth=0
for(i in 1:3)
{
if(lenth[i]>quantil) a<-a+1
if(sdlenth[i]>quantil) b<-b+1
}
if(a>0) {eerlenth1<-(eerlenth1+1) ; slenth<-(slenth+1)}
if(b>0) {eersdlenth1<-(eersdlenth1+1) ; ssdlenth<-(ssdlenth+1)}
78
quantis<-qtlenth(bloco2) ### Cálculo dos quantis (bloco 2)
quantil<-quantis$quantil
lenth<-as.array(quantis$lenth)
sdlenth<-as.array(quantis$sdlenth)
#Poder(Fração esperada de efeitos ativos que são julgados ativos
#IER(Fração esperadas de efeitos inativos que são julgados ativos
for(i in 1:7)
{
if(lenth[i]>quantil) {ierlenth2<-(ierlenth2+1) ;
ierlenth4<-(ierlenth4+1)}
if(sdlenth[i]>quantil) {iersdlenth2<-(iersdlenth2+1) ;
iersdlenth4<-(iersdlenth4+1)}
}
#EER(Fração de experimentos em que ao menos um efeito inativo é declarado ativo
a=0
b=0
for(i in 1:7)
{
if(lenth[i]>quantil) a<-a+1
if(sdlenth[i]>quantil) b<-b+1
}
if(a>0) {eerlenth2<-(eerlenth2+1) ; slenth<-(slenth+1)}
if(b>0) {eersdlenth2<-(eersdlenth2+1) ; ssdlenth<-(ssdlenth+1)}
quantis<-qtlenth(bloco3) ### Cálculo dos quantis (bloco 3)
quantil<-quantis$quantil
lenth<-as.array(quantis$lenth)
sdlenth<-as.array(quantis$sdlenth)
#Poder(Fração esperada de efeitos ativos que são julgados ativos)
for(i in c(5:5))
{
if(lenth[i]>quantil) {poderlenth3<-(poderlenth3+1) ;
poderlenth4<-(poderlenth4+1)}
if(sdlenth[i]>quantil) {podersdlenth3<-(podersdlenth3+1) ;
podersdlenth4<-(podersdlenth4+1)}
}
#IER(Fração esperadas de efeitos inativos que são julgados ativos)
for(i in c(1:4,6:21))
{
if(lenth[i]>quantil) {ierlenth3<-(ierlenth3+1) ;
ierlenth4<-(ierlenth4+1)}
if(sdlenth[i]>quantil) {iersdlenth3<-(iersdlenth3+1) ;
iersdlenth4<-(iersdlenth4+1)}
}
#EER(Fração de experimentos em que ao menos um efeito inativo é declarado ativo)
a=0
b=0
for(i in c(1:4,6:21))
{
if(lenth[i]>quantil) a<-a+1
79
if(sdlenth[i]>quantil) b<-b+1
}
if(a>0) {eerlenth3<-(eerlenth3+1) ; slenth<-(slenth+1)}
if(b>0) {eersdlenth3<-(eersdlenth3+1) ; ssdlenth<-(ssdlenth+1)}
if(slenth>0)
{
eerlenth4<-eerlenth4+1
}
if(ssdlenth>0)
{
eersdlenth4<-eersdlenth4+1
}
} ### Fim do loop de Monte Carlo
result[l,1]=poderlenth1/(0*nrep) ### 1o Grupo (Efeitos do Plot)
result[l,2]=podersdlenth1/(0*nrep)
result[l,3]=ierlenth1/(3*nrep)
result[l,4]=iersdlenth1/(3*nrep)
result[l,5]=eerlenth1/nrep
result[l,6]=eersdlenth1/nrep
result[l,7]=poderlenth2/(0*nrep) ### 2o Grupo (Efeitos do Plot)
result[l,8]=podersdlenth2/(0*nrep)
result[l,9]=ierlenth2/(7*nrep)
result[l,10]=iersdlenth2/(7*nrep)
result[l,11]=eerlenth2/nrep
result[l,12]=eersdlenth2/nrep
result[l,13]=poderlenth3/(1*nrep) ### 3o Grupo (Efeitos de Interações)
result[l,14]=podersdlenth3/(1*nrep)
result[l,15]=ierlenth3/(20*nrep)
result[l,16]=iersdlenth3/(20*nrep)
result[l,17]=eerlenth3/nrep
result[l,18]=eersdlenth3/nrep
result[l,19]=poderlenth4/(1*nrep) ### 4o Grupo (Análise de todos os efeitos)
result[l,20]=podersdlenth4/(1*nrep)
result[l,21]=ierlenth4/(30*nrep)
result[l,22]=iersdlenth4/(30*nrep)
result[l,23]=eerlenth4/nrep
result[l,24]=eersdlenth4/nrep
for(i in 1:24)
{
result[7,i]<-mean(result[1:5,i])
}
}
return(result)
}
xx<-t(realfun())
xA1B11C1D1E1<-xx[,7]
sink("C:\\Users\\Alunos\\Raphael\\Dissertação\\Resultados\\Tabelas\\resA1B11C1D1E1.txt")
xx
sink()
80
Referências Bibliográficas
Aboukalam, M. A. F. (2005), ‘Quick, easy, and powerful analysis of unreplicated factorial de-
signs’, Communications in Statistics-Theory and Methods 34, 1169–1175.
Box, G. E. P., Hunter, J. S. & Hunter, W. (2005), Statistics for Experimenters: Design, Innova-
tion, and Discovery, Wiley-Interscience.
Daniel, C. (1959), ‘Use of half-normal plots in interpreting factorial two-level experiments’, Tech-
nometrics 1, 311–340.
Kempthorne, O. & Hinkelmann, K. (1994), Design and Analysis of Experiments, Vol. I: Intro-
duction to Experimental Design, Wiley-Interscience.
Lenth, R. V. (1989), ‘Quick and easy analysis of unreplicated factorials’, Technometrics
31(4), 469–473.
Mee, R. W. & Bates, R. L. (1998), ‘Split-lot designs: Experiments for multistage batch processes’,
Technometrics 40(40), 127–140.
81
Melo, G. H. N. (2 007 ), Métodos de lenth para análise de planos strip-block com estruturas
fatoriais 2
k
não replicadas, Master’s thesis, Universidade Federal de Pernambuco.
Montgomery, D. C. (2005), Design and Analysis of Experiments, 6. ed. edn, Wiley-Interscience.
R Development Core Team (2007), R: A Language and Environment for Statistical Computing,
R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0.
*http://www.R-project.org
Vivacqua, C. A. & Bisgaard, S. (2004), ‘Strip-block experiments for pro ce ss improvement and
robustness’, Quality Engineering 16, 149–154.
Ye, K. Q., Hamada, M. & Wu, C. F. J. (2001), ‘A step -down lenth method for analyzing un-
replicated factorial designs’, Journal of Quality Technology 33, 140–152.
82
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo