( PDF ) Estudo analítico-numérico de freios de estampagem em chapas metálicas

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ÉCIO NAVES DUARTE

ESTUDO ANALÍTICO-NUMÉRICO DE FREIOS DE

ESTAMPAGEM EM CHAPAS METÁLICAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

2007

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ÉCIO NAVES DUARTE

ESTUDO ANALÍTICO-NUMÉRICO DE FREIOS DE ESTAMPAGEM EM

CHAPAS METÁLICAS

Tese apresentada ao Programa de Pós-

graduação em Engenharia Mecânica da

Universidade Federal de Uberlândia, como

parte dos requisitos para a obtenção do título

de DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Área de Concentração: Mecânica dos Sólidos

e Vibrações.

Orientadora: Sonia A. G. Oliveira

Co-orientador : Prof. Dr. Rafael Weyler

UBERLÂNDIA-MG

2007

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

D812e

Duarte, Écio Naves, 1962-

Estudo analítico-numérico de freios de estampagem em chapas metá-

licas / Écio Naves Duarte. - 2007.

117 f. : il.

Orientadora: Sonia A.G. Oliveira.

Co-orientador: Rafael Weyler.

Tese (doutorado) – Universidade Federal de Uberlândia, Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.

Inclui bibliografia.

1. Estampagem (Trabalhos em metal) - Teses. 2. Método dos elemen-

tos finitos - Teses. I. Oliveira, Sonia Aparecida Goulart de. II. Weyler,

Rafael. III. Universidade Federal de Uberlândia. Programa de Pós-Gradua-

ção em Eng

enharia Mecânica. III. Título.

CDU: 621.983

Elaborada pelo Sistema de Bibliotecas da UFU / Setor de Catalogação e Classificação

iii

Para minha esposa, Ledisley.

AGRADECIMENTOS

A esta tese foram aportadas muitas e inestimáveis colaborações. Como forma de

reconhecer as imprescindíveis contribuições das pessoas e instituições com as quais pude

contar durante este trabalho, gostaria de fazer constar aqui meus mais sinceros

agradecimentos:

À Professora Sonia A. G. Oliveira, idealizadora do tema e visionaria da metodologia

empregada nesta tese, com a qual realmente pude contar para nortear estes estudos, mas

principalmente por ter sido mestra e amiga;

À Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Uberlândia, que

me possibilitou fazer a graduação, mestrado e agora esta tese de doutorado;

À CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, de

onde vieram os recursos para a bolsa do Programa de Doutorado com Estagio no Exterior

(PDEE), no período durante o qual foram feitas as pesquisas referentes à contribuição desta

tese ao programa STAMPACK

, em Barcelona, Espanha;

A Eugenio Oñate, chefe do CIMNE – Centro Internacional de Métodos Numéricos em

Engenharia – departamento vinculado à Universitat Politècnica de Catalunya;

À Quantech ATZ, empresa que comercializa e desenvolve o STAMPACK

, vinculada

ao CIMNE e em cujas dependências tive o suporte de toda a natureza para desenvolver

estas investigações no exterior. Especiais e inestimáveis foram, entretanto, as contribuições

do Dr. Fernando Rastellini, Gerardo Socorro e Albert Forgas a este trabalho;

Ao Dr. Laurentiu Neamtu, gerente de Desenvolvimento de Software da Quantech

ATZ e ao Dr. Rafel Weyler, co-orientador desta tese, pelo sem número de orientações

inestimáveis e de toda natureza;

Aos meus filhos, Mel e Jedai, por serem a minha fonte de inspiração;

Associados, diretores e colegas da APEC – Associação dos Pesquisadores e

Estudantes Brasileiros na Catalunha, por terem me confiado não só a presidência da

associação, mas também suas amizades imprescindíveis;

À Sra. Tatiana Diwo, por sua dedicação aos trabalhos de formatação desta tese e ao

Sr. Márcio Melazzo pelo auxílio na execução de alguns desenhos;

Aos colegas e funcionários da Uniminas. Muito especiais agradecimentos, todavia,

ao Professor Dieter Sergei Sardeli de Paiva, coordenador do curso de Administração e ao

Prof. Fernando Antonio Ferreira, diretor acadêmico da Uniminas;

Por último, gostaria de agradecer a quem me fez pleno das energias necessárias

para vencer desafio desta estatura; pela sua inequívoca fidelidade, por sua paciência

inesgotável e por ser o motivo de tudo, sempre: minha esposa, Ledisley.

DUARTE, E. N. Estudo Analítico-numérico de Freios de Estampagem em Chapas

Metálicas. 2007. 133 f. Tese de Doutorado, Universidade Federal de Uberlândia,

Uberlândia.

Resumo

Para se obter peças com a melhor qualidade possível em um processo de estampagem de

chapas metálicas, a taxa de fluxo de material para dentro da matriz deve ser eficientemente

controlada. Este controle é feito por uma força de retenção (FR) originada no prensa-

chapas, nos freios de estampagem ou em ambos. Quando a FR requerida é muito alta, o

uso dos freios se torna ainda mais necessário, embora excessivas deformações possam

ocorrer na peça estampada por causa do contato com os freios. Outros tipos de efeitos

indesejáveis decorrentes do uso deste tipo de dispositivos ainda podem ocorrer, tais como

dificuldades para se determinar o valor adequado da FR, o que pode consumir muito tempo.

Para se resolver estes problemas e reduzir o número das tentativas de ajustes, são

necessários conceitos mais precisos sobre os freios de estampagem. Com a finalidade de

se avaliar a influência dos parâmetros mais importantes na FR e de se estabelecer uma

teoria para se fazer a predição da FR, desenvolveu-se neste estudo uma metodologia

híbrida, empregando-se a teoria da similitude com bases de dados gerados através de

simulações numéricas pelo Método dos Elementos Finitos (MEF). Os resultados foram

comparados com os experimentos de Nine (1978, 1982) e com o modelo analítico de

Stoughton (1988). A média dos desvios absolutos com respeito aos dados experimentais foi

de 6% e, para os casos estudados, a discrepância máxima foi sempre menor ou igual a

11%. Em relação ao modelo analítico, a média dos desvios absolutos foi de 5% e, para os

casos estudados, o desvio máximo nunca foi superior a 7%. Predições feitas com esta

abordagem tiveram, portanto, uma boa precisão, quando comparadas com o modelo

analítico e com os dados experimentais. Por este motivo, esta teoria foi aceita como

contribuição para o programa STAMPACK

, um código de solução explícita utilizado na

simulação de processos de estampagem de chapas metálicas.

Palavras-chave: Freios de estampagem. Força de retenção de freios. Elementos finitos.

DUARTE, E. N. A Hybrid Approach for Estimating the Drawbead Restraining Force in

Sheet Metal Forming. 2007. 133 f. Doctoring Thesis, Universidade Federal de Uberlândia,

Uberlândia.

Abstract

In order to get a better part quality in sheet metal forming, the rate of the material flow into

the die cavity must be efficiently controlled. This control is made by a restraining force

supplied either by the blankholder, the drawbeads or both. When the restraining force

required is too high, the use of drawbeads is necessary, although excessive deformations

may be produced. Some others disadvantages, such as difficulties of adjustment during die

try-outs in order to determine the actual Drawbead Restraining Force (DBRF), may also be

emphasized. To solve these problems and to reduce the number of die try-outs, which are

very time consuming, accurate enough drawbeads concepts are necessary.

Aiming to understand the influence of the most important parameters on the DBRF and to

establish a pre-estimate DBRF theory, in this study a methodology has been developed

using similitude. The data bases were achieved by Finite Element (FE) simulations done with

an explicit code. Two different materials were used: A-K Steel and 2036-T4 Aluminum.

The results have been compared with experimental databases of Nine(1978, 1982) and with

the analytical model of Stoughton(1988). The average of absolute error with respect to

experimental data bases was about 6 % and, for those cases studied, the maximum

discrepancy was found to be less than 11%. For analytical ones, the average of absolute

error was about 5 % and, for the cases studied, the maximum error was about 7%.

Predictions made with this approach have a very good precision when compared with

analytical and experimental results. For this reason, it was used as a contribution for

STAMPACK®, an explicit finit element code used to simulate forming process.

Keywords: Drawbead. Restraining force. Finite element method. Sheet metal forming.

Similitude.

vii

LISTA DE SÍMBOLOS

Área da Seção Transversal de uma Barra

Área Inicial

a Aceleração

1 2 3,

, , , ...,

a a a a

Magnitudes das Quantidades Primárias

′

Vetor de Incógnitas Nodais

B Largura do Freio de Seção Circular

′

Matriz de Flexão

BPT Triângulo Básico de Placa

BST Triângulo Básico de Lâmina

C Constante de Amortecimento

c Folga Horizontal entre o Freio e a Chapa

Constante em Função dos Grupos de Variáveis Adimensionais

CST Triângulo de Deformação Constante

Matriz das Velocidades de Deformações



Vetor das Velocidades de Translação Nodais



Vetor das Acelerações de Translação Nodais

d(t)

Vetor de Deslocamentos Nodais

Módulo de Elasticidade (Young)

EF Elementos Finitos

EPG Equação de Predição Geral

EPT Estado Plano de Tensão

F Força

F, L e T Quantidades Primárias Apropriadas

FLC Curva Limite de Conformabilidade

FLD Diagrama Limite de Conformação

FP Força do Prensa-chapas

FR Força de Retenção

)f( td,

Forças Externas

H Módulo de Plasticidade

viii

Módulo de Encruamento Cinemático

h Altura da Penetração do Freio

K Constante de Encruamento da Lei de Hollomon

Matriz de Rigidez

L Comprimento do Freio de Estampagem

Comprimento de uma Barra

M Massa Associada a cada Ponto

M Matriz de Massa da Estrutura

MEF Método dos Elementos Finitos

n Expoente de Encruamento

PFV Princípio das Forças Virtuais

PDV Princípio dos Deslocamentos Virtuais

)dp(d,



Forças das Resistências Internas

Q Carga Elétrica

R Parâmetro que mede a Anisotropia Plástica

Raio da Seção do Freio Circular

Raio de Arredondamento do Ombro da Matriz

r Raio de Flexão da Chapa

Média dos Coeficientes de Lankford

Tensão Limite de Elasticidade

Tensão Limite de Proporcionalidade

Tensão de Escoamento

T Tempo

Matriz de Transformação

Espessura da Chapa

Folga Vertical

Energia Potencial Externa

Energia de Deformação Interna

W Trabalho

Deslocamento

Ângulo em Radianos

Quantidade Secundária

∆

Deformação da Barra

∆

Tempo Crítico

∆

Intervalo de Tempo

∆

Vetor de Incrementos dos Deslocamentos

u∆ e

u∆

Incrementos de Deslocamentos

Deformação Elástica Reversível

Deformação Plástica



Taxa de Deformação Plástica Efetiva

Deformação Plástica Efetiva

Penetração de Contato Segundo a Normal Definida

Coeficientes de Lankford a 0º, 45º e 90º

Vetor das Forças de Contato

Coeficiente de Atrito

Coeficiente de Poisson

Pi termo

Temperatura

Tensor Tensão Real

Tensão Equivalente do Material

Tensão Limite de Escoamento do Material

max

Freqüência Angular Máxima do Sistema

∈

Parâmetro de Perturbação

SUMÁRIO

CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO--------------------------------------------------------------------------------1

CAPÍTULO II – ESTAMPAGEM DE CHAPAS METÁLICAS -----------------------------------------7

2.1 Introdução------------------------------------------------------------------------------------------------7

2.2 Conformação de chapas metálicas --------------------------------------------------------------7

2.3 Equipamentos e ferramentas para estampagem ------------------------------------------ 11

2.4 Freios de estampagem----------------------------------------------------------------------------- 14

2.4.1 Generalidades ----------------------------------------------------------------------------------- 14

2.4.2 Projeto de freios de estampagem ----------------------------------------------------------- 14

2.4.3 Modelos propostos para a FR --------------------------------------------------------------- 21

2.4.4 Modelos em EF para a FR ------------------------------------------------------------------- 25

CAPÍTULO III – SIMILITUDE EM ENGENHARIA MECÂNICA------------------------------------- 27

3.1 Introdução---------------------------------------------------------------------------------------------- 27

3.2 Características das observações e seleção das quantidades------------------------- 28

3.3 Análise Dimensional-------------------------------------------------------------------------------- 29

3.4 Obtenção das Equações Preditivas------------------------------------------------------------ 31

3.4.1 Condições para a Função ser um Produto------------------------------------------------ 34

3.4.2 Condições para a função ser uma soma -------------------------------------------------- 36

3.4.3 Condições Suplementares para mais de três Pi termos ------------------------------- 38

CAPÍTULO IV – O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS----------------------------------------- 40

4.1 Introdução---------------------------------------------------------------------------------------------- 40

4.1.1 A Notação Matricial ----------------------------------------------------------------------------- 41

4.1.2 Fundamentos da Análise Estrutural -------------------------------------------------------- 42

4.1.3 O Princípio dos Deslocamentos Virtuais e o Método da Energia-------------------- 43

4.1.4

A Etapa de Pré-processamento ------------------------------------------------------------- 44

4.1.5

A Etapa de Processamento ------------------------------------------------------------------ 46

4.1.6

A Etapa de Pós-processamento ------------------------------------------------------------ 47

4.2 As soluções Explícita e Implícita --------------------------------------------------------------- 48

4.2.1

A solução explícita ----------------------------------------------------------------------------- 48

4.2.2

A solução implícita------------------------------------------------------------------------------ 50

4.3 As abordagens 2D e 3D---------------------------------------------------------------------------- 52

4.3.1

2D ou 3D no código STAMPACK----------------------------------------------------------- 52

4.3.1.1

Formulação do Elemento BST utilizado no STAMPACK----------------------- 53

4.3.1.2

Formulação do Elemento Quadrilateral 2D utilizado no STAMPACK-------- 54

4.3.2

Análise do Problema de Contato ------------------------------------------------------------ 58

4.3.2.1

O Algoritmo de Contato no STAMPACK-------------------------------------------- 61

4.3.3

Validações do STAMAPCK ------------------------------------------------------------------- 62

CAPÍTULO V – ASPECTOS DE PLASTICIDADE E MODELOS DE MATERIAIS ------------ 64

5.1 Introdução---------------------------------------------------------------------------------------------- 64

5.2 A caracterização do material--------------------------------------------------------------------- 65

5.3 O Comportamento Elástico----------------------------------------------------------------------- 66

5.4 O Comportamento Plástico----------------------------------------------------------------------- 67

5.5 Anisotropia -------------------------------------------------------------------------------------------- 69

5.6 A Deformação plástica efetiva------------------------------------------------------------------- 71

5.7 As Leis de Encruamento Isotrópico ----------------------------------------------------------- 71

5.8 O Diagrama do Limite de Conformação – FLD --------------------------------------------- 73

CAPÍTULO VI – METODOLOGIA ------------------------------------------------------------------------- 75

6.1 Introdução---------------------------------------------------------------------------------------------- 75

6.2 Validações do Modelo em EF -------------------------------------------------------------------- 77

6.2.1 Bases de Dados Experimentais ------------------------------------------------------------- 77

6.2.1.1 Experimentos ------------------------------------------------------------------------------ 77

6.2.2 O Modelo em EF -------------------------------------------------------------------------------- 84

6.2.3 Ajuste do Modelo: Influência dos Parâmetros Numéricos na Força de

Freio (FR)------------------------------------------------------------------------------------------------- 85

6.2.3.1 Número de Elementos na Espessura da Chapa ---------------------------------- 85

6.2.3.2 Número de Elementos no Comprimento da Chapa------------------------------- 86

6.2.3.3 Tempo Crítico------------------------------------------------------------------------------ 87

6.2.3.4 Amortecimento ---------------------------------------------------------------------------- 88

6.2.4 O Modelo em EF Definitivo ------------------------------------------------------------------- 89

6.3 Desenvolvimentos da Equação Preditiva Geral-------------------------------------------- 89

6.3.1 Parâmetros Geométricos --------------------------------------------------------------------- 89

6.3.1.1 Raio de curvatura efetivo da chapa -------------------------------------------------- 89

6.3.1.2 Espessura da Chapa -------------------------------------------------------------------- 90

6.3.2 Parâmetros de Materiais ---------------------------------------------------------------------- 91

6.3.3 Atrito------------------------------------------------------------------------------------------------ 91

6.3.4 Outros Parâmetros------------------------------------------------------------------------------ 92

xii

6.4 Definições dos Pi termos-------------------------------------------------------------------------- 92

6.5 Obtenção das Equações Componentes ------------------------------------------------------ 95

6.6 Programando a Interface Gráfica em STAMPACK

--------------------------------------- 96

CAPÍTULO VII – RESULTADOS E DISCUSSÕES --------------------------------------------------- 98

7.1 Introdução---------------------------------------------------------------------------------------------- 98

7.2 Das equações componentes --------------------------------------------------------------------- 99

7.3 Validações da EPG com dados experimentais------------------------------------------- 102

7.4 Validações da EPG com a solução analítica de Stoughton (1988)----------------- 105

7.5 Testes suplementares da EPG com simulações bidimensionais em EF--------- 107

CAPÍTULO VIII – CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS---------- 109

8.1 Conclusões ------------------------------------------------------------------------------------------ 109

8.2 Sugestões de trabalhos futuros--------------------------------------------------------------- 111

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ----------------------------------------------------------- 115

ANEXO ------------------------------------------------------------------------------------------------- 118

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

A qualidade das peças produzidas em um processo de estampagem de chapas

metálicas é muito dependente do controle do fluxo de material conformado para dentro da

matriz. Este controle é feito utilizando-se a Força de Retenção (FR) produzida pelo prensa-

chapas, pelos freios de estampagem ou por ambos. Quando se necessita de uma

magnitude muito grande para esta força, geralmente se utilizam os freios de estampagem.

Trincas, dobras ou rugas na peça podem ser evitadas por meio deste controle feito através

de uma FR adequadamente estipulada.

Em alguns casos, a força requerida no prensa-chapas pode até ultrapassar a

capacidade da prensa. Isto pode causar desgastes excessivos nas ferramentas e até

mesmo soldas pontuais por contato, decorrentes dos altos valores de pressões envolvidos,

segundo Xu (1998). O freio de estampagem, no entanto, pode ajudar na obtenção de altas

FR’s, mesmo em níveis de pressões mais baixos.

Em face do exposto, na estampagem de peças com geometria complexa – ver Figs.

1.1 a 1.3 – ou em grandes peças automotivas, quando são requeridas altas FR’s, o uso dos

freios é quase imperativo, segundo Tufekci et al., (1994).

Figura 1.1 – Peça a ser estampada – “s-rail”, Cortesia Quantech ATZ.

Definem-se freios de estampagem, de acordo com a ASM (1988), como uma saliência

localizada na superfície do prensa-chapas que penetra numa ranhura da matriz – ver Fig.

1.4 – para ajudar no controle da taxa de fluxo do material estampado.

Para se reduzir o número de tentativas de ajustes desta força devida aos freios de

estampagem, conceitos mais precisos sobre estes freios são muito importantes para os

projetistas.

Figura 1.2 – Ferramentas utilizadas no processo de estampagem - Cortesia Quantech ATZ

Figura 1.3 – Posição dos freios de estampagem na matriz - Cortesia Quantech ATZ

O uso dos freios de estampagem, no entanto, possui alguns inconvenientes, como a

dificuldade de se encontrar um valor adequado para a FR, o que, via tentativa e erro, pode

consumir muito tempo. Além disto, deformações excessivas podem ocorrer na chapa que

passa pelos freios, comprometendo o acabamento superficial da peça estampada.

Freios de estampagem

Prensa-chapas

Punção

Chapa

Matriz

A geometria da seção transversal dos freios mais usual é a circular, ainda que outras

geometrias também possam ser utilizadas, como a retangular, trapezoidal, triangular e

assimétrica. Neste estudo, somente a forma circular será investigada – ver Fig. 1.4.

Figura 1.4 – Freio de estampagem de seção circular

Geralmente, um grande esforço é despendido em ajustes no projeto de uma matriz de

estampagem por causa do grande número de variáveis, tais como geometria, atrito, freios de

estampagem etc. Por isto, nos últimos trinta anos, vários autores estudaram este problema.

Abordagens analíticas, numéricas e empíricas foram desenvolvidas. O primeiro estudo

analítico do tema foi de Swift (1948). Nine (1978) fez experimentos para estudar a influência

da deformação por flexão da chapa e do atrito no valor da FR. Seu trabalho considerou a

sucessão de flexão e flexão inversa enquanto a chapa está sob a ação do freio. A força do

prensa-chapas (FP) – Fig. 1.4 – e a FR foram medidas para chapas em aço e em alumínio. Os

dados experimentais de Nine (1978) foram utilizados nas validações desta tese.

Levy (1983) fez um estudo parcialmente empírico para estimar a FR com uma

equação fechada. Nesta equação, parâmetros de materiais, de geometria da chapa e dos

freios foram considerados. Stoughton (1988) partiu deste modelo de Levy para desenvolver

uma formulação analítica para a predição da FR. As hipóteses de Stoughton incluem a Lei

de Atrito de Coulomb e o critério anisotrópico de fluência de Hill. A equação de Stoughton foi

obtida através da integração do trabalho de deformação ao longo de todo o freio e através

da espessura da chapa. Seu modelo pode ser aplicado a freios circulares, no entanto tem

potencial para estimar a FR em freios com outras geometrias.

Os estudos que envolvem uma solução numérica em Elementos Finitos (EF) para a

estampagem de chapas metálicas têm crescido muito nos últimos anos. Não há mais

dúvidas com respeito ao potencial das técnicas numéricas. No entanto, a simulação 3D em

EF da estampagem de peças complexas ainda tem um custo computacional alto, em termos

de tempo de simulação. Por este motivo, têm sido feitas pesquisas com o objetivo de se

investigar o problema da estimação da FR e a redução destas limitações para um nível mais

aceitável.

Força de

Estampagem

Força do

Prensa-chapas (FP)

Para se alcançar este objetivo, necessitam-se de uma redução da quantidade de

memória utilizada nas simulações e do tempo de processamento destas simulações. Por

este motivo, muitos estudos sobre simulações 2D em EF também foram feitos nos últimos

anos. Um modelo 3D de um freio de estampagem, perfeitamente bem definido em EF, pode

não ser uma boa opção por várias razões. Primeiramente, pelo fato de a malha na região do

freio ter que ser muito mais refinada que em outras partes da chapa, devido ao pequeno raio

de curvatura do freio. As mudanças abruptas de formas também fazem com que haja fortes

gradientes para se descrever as evoluções associadas com a seqüência de flexões/

deslizamentos/flexões inversos que são impostas pela passagem da chapa pelo freio de

estampagem.

Utilizando-se simulações 2D em Elementos Finitos (EF), Carleer et al. (1994)

estabeleceram uma abordagem com a qual as distribuições da FR na chapa são

inicialmente calibradas com funções dos deslocamentos que são aplicadas como condições

de contorno para produzir efeitos similares no modelo 3D do mesmo problema. Geralmente,

o freio é modelado como uma linha ao longo da qual uma força de resistência é aplicada. A

espessura de deformação resultante da passagem da chapa através do freio pode também

ser incluída no modelo do freio equivalente, conforme Carleer (1996). Esta metodologia é

definida como o “método do freio equivalente”. You et al. (1998) propuseram também um

modelo numérico para o cálculo da FR, levando em conta, em seu modelo, o encruamento

cinemático e o efeito de Bauschinger.

Em que pese a boa concordância dos resultados das simulações feitas com o

programa STAMPACK

, este código possui algumas características indesejáveis que estão

relacionadas com o fato de ser um programa de solução explícita, isto é: dependendo do

problema, o tempo de simulação pode ser alto; além disto, no caso específico deste

programa, há a necessidade de uma simulação 2D para se estimar a FR no freio de

estampagem, antes de se iniciar a simulação tridimensional da peça.

Para se eliminar estas características indesejáveis, uma equação analítica seria

relevante, já que, uma vez obtidos os valores dos parâmetros necessários para a estimação

da FR, os cálculos seriam praticamente instantâneos, se comparados ao tempo de uma

simulação.

Na validação dos modelos em EF e nos testes dos resultados da equação

desenvolvida nesta pesquisa, foram utilizados os resultados experimentais de Nine (1978) e

os resultados analíticos de Stoughton (1988), além de algumas simulações 2D utilizadas

para verificação da conveniência da implementação desta equação como contribuição ao

STAMPACK

Os objetivos desta pesquisa podem ser divididos em duas frentes, quais sejam:

estudar a influência dos parâmetros mais importantes na FR e estabelecer uma equação

fechada para a predição da FR, para esta finalidade, uma metodologia híbrida foi

desenvolvida por meio da utilização de similitude em engenharia. Este procedimento foi

adotado ao se constatar os bons resultados das simulações 2D em EF da FR para freios

circulares feitas no código comercial STAMPACK

, cujas validações se encontram no

capítulo IV, relativo ao tema de Elementos Finitos.

Estes objetivos estão assim definidos em função da relevância de se entender, com

maior acurácia, a influência de parâmetros de natureza geométrica, de materiais e do atrito

sobre a FR.

Convém ainda mencionar que a contribuição científica deste estudo também repousa

sobre a metodologia desenvolvida para a obtenção da equação de estimação da FR, via

similitude. Pois, neste caso, utilizou-se uma base de dados gerados numericamente para a

determinação das equações componentes de uma Equação de Predição Geral (EPG) e não

dados experimentais, como usualmente se faz nesta teoria. Esta metodologia foi

programada em FORTRAN 90.

A média dos erros absolutos obtidos nos testes experimentais da equação aqui

proposta foi de cerca de 6%. E, para os casos estudados, a maior discrepância encontrada,

seja em relação aos dados experimentais ou analíticos, foi de 11%. As estimativas da FR

feitas com este estudo foram consideradas suficientemente precisas para serem aceitas

como contribuição ao STAMPACK

, sob a forma de um módulo de cálculo rápido da FR nos

freios de estampagem convencionais.

Os capítulos II, III, IV e V desta tese tratam da fundamentação teórica deste estudo,

respectivamente, divididos em Estampagem de Chapas Metálicas, Similitude, Elementos

Finitos e Aspectos de Plasticidade e Modelos de Materiais.

O capítulo VI discute detalhadamente a metodologia desenvolvida neste estudo para

obtenção da EPG, bem como da metodologia utilizada na obtenção dos dados

experimentais utilizados nas validações e ajustes dos modelos em EF através dos quais se

gerou a base de dados numéricos.

O capítulo VII trata da apresentação e discussão dos resultados e dos testes com a

EPG, bem como da apresentação da interface gráfica que foi projetada e programada no

STAMPACK.

O capítulo VIII expõe, com certa concisão, as conclusões que foram sendo coletadas

ao longo de todo este tempo de investigação.

O Anexo I desta tese traz ainda o tutorial destinado ao usuário do programa para

melhor orientá-lo na utilização da interface gráfica projetada e implementada para se estimar

a FR.

matriz

punção

matriz

chapa

CAPÍTULO II

ESTAMPAGEM DE CHAPAS METÁLICAS

2.1 Introdução

Projetar uma matriz para estampagem de chapas metálicas é um processo

relativamente complexo. Em diversas ocasiões, passam-se várias etapas de ajustes até que

se consigam definir as condições geométricas das ferramentas adequadas às condições de

lubrificação e de propriedades mecânicas das chapas a serem estampadas com a qualidade

e a quantidade desejadas.

Neste capítulo se fará uma abordagem mais geral de alguns processos de confor-

mação mecânica, bem como uma ilustração dos equipamentos comumente utilizados na

estampagem de chapas metálicas. Além disto, será feita uma abordagem mais detalhada dos

freios de estampagem, desde sua definição e tipologias até os parâmetros que mais influem

no projeto das matrizes de estampagem equipadas com este dispositivo cuja principal função

é a de melhorar o acabamento das peças metálicas obtidas pelo processo de estampagem.

2.2 Conformação de chapas metálicas

Muitas operações de conformação em chapas metálicas são empregadas na indústria

mecânica. Alguns exemplos destes processos serão ilustrados a seguir:

Figura 2.1 – Conformação de chapa em ângulo, “Air bending”,

[

]

Inc. Schuler,

Na Figura 2.1 pode-se observar a conformação de uma chapa em ângulo, enquanto

na Fig. 2.2 se verificam os tipos de processos de estampagem denominados “hemming”, no

qual a aresta da chapa metálica é dobrada sobre si mesma:

Figura 2.2 – Diferentes etapas de conformação tipo “hemming”,

[

]

Inc. Schuler,

Figura 2.3 – Flangeamento de chapa em ângulo,

[

]

Inc. Schuler, .

Costura plana

Costura aberta Costura em forma de conta

Costura radial plana

Costura radial plana modificada

Costura em forma de laço

Costura em forma de laço modificada

Punção

Inicial

Final

Matriz

Recuperação elástica

PUNÇÃO

Prensa

chapas

MATRIZ

Base

Chapa

Rolamentos

Peça suporte

Chapa

Ferramenta de flexão

Prensa-chapas curvo

Figura 2.4 – Conformação circular de chapa,

[

]

Inc. Schuler, .

Figura 2.5 – Conformação de chapa por rolamentos,

[

]

Inc. Schuler, .

As Figuras 2.3, 2.4 e 2.5 esquematizam outros processos de conformação mecânica,

respectivamente denominados de flangeamento de chapa em ângulo, conformação circular

de chapa e conformação de chapa por rolamentos.

Os freios de estampagem são freqüentemente utilizados, entretanto, no processo

conhecido por estampagem profunda ou “deep drawing” de chapas metálicas, como se vê

na Fig. 2.6, são utilizados para controlar o fluxo de material estampado para dentro da

matriz em peças grandes e/ou com geometria complexa.

As Figuras 2.6 e 2.7 ilustram também a aplicação destes processos com algumas

peças prontas e a utilização dos freios na conformação de chapas metálicas,

respectivamente:

Figura 2.6 Estampagem profunda de chapas metálicas,

[

]

Inc. Schuler, .

Figura 2.7 – Aspecto de uma prensa e uma matriz com os sulcos dos freios de estampagem, Cortesia

Quantech ATZ.

Figura 2.8 – Estampagem de chapas metálicas com freios de estampagem.

Vaso

semi-esférico

estampado

Pára-lamas estampado

Peça retangular

estampada

Uma vasta gama de processos de estampagem de chapas ainda poderia ser

destacada. Entretanto, objetivando delimitar o tema desta tese, somente estes casos

permitem situar a aplicação dos freios de estampagem neste contexto. A próxima seção

dedica-se a ilustrar alguns equipamentos utilizados nos processos de estampagem de

chapas metálicas.

2.3 Equipamentos e ferramentas para estampagem

O tipo de equipamento e as ferramentas que se utilizam em uma linha de produção

são afetados em grande parte pelo tamanho da peça estampada, pelo volume de produção

e pelo equipamento disponível na fábrica.

Os equipamentos e ferramentas típicos utilizados nas operações de estampagem são:

• Matrizes progressivas em prensas automáticas;

• Matrizes individuais de processo em prensas convencionais;

• Prensas contínuas (tipo “transfer”) com várias matrizes;

• Linha de prensas com distintas matrizes (tipo “tandem”).

As matrizes progressivas, Fig. 2.9, são recomendadas para uma produção com

elevado número de peças pequenas, isto é, acima de 200.000 peças. Geralmente possuem

um baixo custo por serem de produção automática.

Figura 2.9 – Matriz progressiva – Cortesia QUANTECH - ATZ

As matrizes individuais em prensas convencionais – Fig. 2.10 – são utilizadas

geralmente para produção de baixo volume de peças com tamanhos médios e grandes. Os

custos para este tipo de ferramenta são menores quando comparados aos custos das

prensas tipo “transfer”, mas os custos de mão de obra aumentam por não serem

automatizadas.

Figura 2.10 – Prensa convencional – Cortesia QUANTECH - ATZ

As prensas tipo “transfer”, Fig. 2.11, são as que melhor se ajustam aos níveis

elevados de produção de peças de tamanho médio. Uma prensa deste tipo tem valores

predeterminados para as alturas e distâncias de transferências entre matrizes, o que faz

com que o projeto das matrizes tenha que levar em conta estas limitações.

Figura 2.11 – Prensas “Transfer” – Cortesia QUANTECH - ATZ

As prensas tipo “tandem”, Fig. 2.12, são utilizadas principalmente para peças grandes

que não possam ser abarcadas por uma prensa tipo “transfer”.

Figura 2.12 – Prensa do tipo “Tandem” – Cortesia QUANTECH - ATZ

Na estampagem de chapas metálicas executada por uma prensa, um movimento

duplo é requerido para a execução da operação completa: no primeiro movimento, o prensa-

chapas é baixado em direção à periferia da chapa para sujeitá-la na posição adequada. No

segundo movimento, o punção é movimentado de encontro à matriz, levando consigo a

chapa a ser conformada na cavidade da matriz que dará a forma da peça estampada,

conforme ilustra a Fig. 2.13:

Figure 2.13 – Esquema de uma estampagem profunda com freios.

Na Figura 2.14 pode-se visualizar separadamente, cada uma das ferramentas típicas

utilizadas numa estampagem, respectivamente representadas, de cima para baixo, pelo

punção, pelo prensa-chapas, pela chapa e pela matriz:

Figura 2.14 – Ferramentas usadas numa estampagem profunda – Cortesia QUANTECH – ATZ

Matriz

Chapa

Prensa-chapas

Punção

Prensa-chapas

Freio de estampagem

matriz

Chapa metálica

Punção

2.4 Freios de estampagem

2.4.1 Generalidades

A obtenção de peças estampadas com uma boa qualidade está fortemente associada

ao controle adequado do fluxo de material estampado para dentro da cavidade da matriz. Trin-

cas, dobras ou rugas na peça podem ser evitadas por meio deste controle feito através de

uma força de retenção (FR). Esta força, como já visto, provém ou do prensa-chapas, ou dos

freios ou de ambos. Do prensa-chapas resulta a FR oriunda da fricção entre a chapa e a

ferramenta. Quando uma alta FR é requerida para a obtenção de uma peça estampada sem

defeitos, então altos valores de força do prensa-chapas são requeridos. Isto pode causar

desgaste excessivo nas ferramentas e/ou defeitos nas peças estampadas. Como em alguns

casos, a força requerida no prensa-chapas pode até ultrapassar a capacidade da prensa,

desgastes excessivos podem ocorrer nas ferramentas.

Por estes motivos, na estampagem de peças com geometria complexa, tais como

grandes peças automotivas, onde se requerem altas FR’s, o uso dos freios se faz

necessário na obtenção de altas FR’s, em níveis de pressões mais baixos na prensa, de

acordo com Tufekci et al. (1994).

2.4.2 Projeto de freios de estampagem

Um freio de estampagem convencional de seção circular consiste de dois componen-

tes: uma saliência de seção transversal circular e uma ranhura que se localiza na matriz de

estampagem na qual se projeta a referida saliência – ver Fig. 2.15.

Figura 2.15 – Diagrama de flexão e flexão inversa em um freio de estampagem – Xu et al., 1998.

A Figura 2.15 ilustra o desenvolvimento da deformação e fricção em um freio de

seção circular. À medida que a chapa passa através do freio, vai se deformando a partir do

ponto A, flexão. Neste ponto, a chapa começa a se deformar com o raio de entrada da

matriz. O deslizamento que se desenvolve em seguida, entre os pontos A e B, é

responsável pela origem das forças de fricção. A partir do ponto B, a chapa se endireita e

deixa de curvar-se com o raio de entrada da matriz, flexão inversa. Esta seqüência de

flexão, deslizamento e flexão inversa contribui para aquela parcela da FR referente ao

primeiro ombro de entrada da matriz. Similarmente, o mesmo processo se passa nos

trechos CD e EF. O valor total da FR se compõe das contribuições devidas ao trabalho

realizado nas três seqüências de flexão, flexão inversa e deslizamento mais a força de atrito

entre o freio de estampagem e a chapa estampada.

A Figura 2.16 traz as geometrias convencionais das seções dos freios de

estampagem, as quais podem ser: circular, retangular, triangular, trapezoidal ou assimétrica.

Quando um freio de seção retangular – flat bottom – é utilizado, há quatro seqüências

de flexão e flexão inversa sobre os raios de arredondamentos, na ranhura da matriz.

Teoricamente, este tipo de freio tem potencial para aumentar a contribuição à FR por causa

de uma flexão extra em uma das regiões curvas do macho do freio. Porém, este aumento

vai depender de outros parâmetros como as condições de lubrificação e da folga entre a

chapa e o freio.

De acordo com Nine (1978), se mais flexões podem ser adicionadas com um único

freio, ao invés de se adicionar outros freios, então os possíveis danos na peça decorrentes

da FR podem ser amenizados. Isto poderia, em tese, resultar em peças com melhor

acabamento.

O desempenho dos freios com maior número de saliências é relativamente mais

insensível às condições de lubrificação, segundo Wang et al. (1991). Então, dependendo

destas condições, os freios retangulares são mais adequados àquelas situações em que o

atrito varia, enquanto a FR se mantém constante.

Pode-se observar na Fig. 2.16 que a largura do freio de seção circular é determinada

pelo raio do freio, isto é, B = 2R. Para se sobrepor a esta limitação, um freio triangular pode

ser utilizado, alternativamente. Este tipo de freio é uma modificação do freio convencional de

seção circular e possibilita quase a mesma FR para um mesmo raio. A base mais larga

deste freio, no entanto, permite uma melhor resistência aos esforços cisalhantes oriundos da

força que puxa a chapa através do freio, segundo Tufekci, (1993). Além disto, o raio R do

freio triangular pode ser tão pequeno quanto maior se queira a FR. Contudo, um raio muito

pequeno pode aumentar a possibilidade de danos, tanto na chapa, quanto nas

ferramentas.

a) Semicircular b) Retangular c) Triangular

d) Trapezoidal

e) Assimétrica

Figura 2.16 – Geometrias das seções de freios mais usuais. a) Semicircular; b) Retangular;

c) Triangular d) Trapezoidal; e) Assimétrica – Xu et al., 1998.

A Figura 2.16 (d) ilustra ainda que, se B = 0, o freio trapezoidal se transforma em

triangular. Todavia, se B é maior que zero, o desgaste da superfície inferior do freio é

bastante reduzida, em decorrência da baixa pressão da chapa ao deslizar sobre o freio

nesta região. Neste sentido, o freio de seção trapezoidal pode ser considerado melhor que o

triangular.

O freio de seção trapezoidal pode também ser considerado como uma modificação do

freio retangular. Enquanto um freio retangular não possui limitação na largura de sua base

quando se usam pequenos raios de arredondamentos, o aumento de sua largura para se

obter maior robustez em uma seção transversal pode acarretar num aumento do arranque

de partículas da chapa. Mas, se um freio trapezoidal é usado com a mesma largura de base

que a de um freio retangular, então é possível que se evite a perda de material da chapa

estampada, sem o comprometimento da resistência do freio.

A Figura 2.16(e) ilustra também a geometria de um freio assimétrico típico.

Dependendo do ângulo

, é possível se criar seis ou oito seqüências de flexão e deflexão.

Quando

= 0, este freio se torna um freio de seção retangular. Assim, um freio assimétrico

é uma combinação de um retangular e um triangular e seu ângulo de contato  pode ter

qualquer valor entre 0 e 180 graus. A vantagem desta geometria de freio é a de possuir uma

maior facilidade de ser usinada que a geometria triangular. Além disto, esta geometria

possibilita um amplo espectro de valores para a FR.

Os freios de estampagem estão geralmente posicionados nas bordas da matriz ou na

região interna do prensa-chapas. A ranhura onde penetra o macho do freio de estampagem

pode ou não ter a mesma geometria do freio. Se a geometria é a mesma, então há uma

compressão mais justa da chapa contra a ranhura localizada na matriz. Neste caso, ainda

há o fato de um aumento na FR em decorrência do atrito adicional da chapa contra a face

oposta da ranhura que acompanha a geometria da saliência do freio. Além disto, este tipo

de ranhura previne contra possíveis rugas que possam ocorrer na peça estampada. Por

outro lado, a usinagem deste tipo de ranhura consome muito tempo e o ajuste da folga entre

a chapa e o freio é mais complicado, sendo, portanto um fator limitador do uso mais geral

das ranhuras com geometrias que acompanham as geometrias da saliência do freio.

A grande maioria das formas das ranhuras, entretanto, não possui usualmente a

forma complementar das saliências dos freios de estampagem. A chapa estampada quase

sempre está em contato efetivo somente com a face do macho do freio de estampagem. A

vantagem deste tipo de ranhura é a sua facilidade de usinagem e de ajuste. A ranhura mais

amplamente utilizada – e por isso a escolhida para o modelo desta tese – possui uma seção

retangular que não entra em contato direto com a chapa estampada. Há outros tipos de

geometrias para a seção transversal de ranhuras menos usuais em Zharkov (1995).

O freio de estampagem pode ser montado ou na parte superior do prensa-chapas ou

na inferior. Esta opção depende de diversas considerações, de acordo com Weidemann

(1978) e Tufekci et al. (1994), as quais dependem de fatores como instalação, ajuste e

manutenção do freio e da ranhura, condições de trabalho e aporte de material de chapa na

prensa.

Os materiais utilizados na usinagem dos freios são preferencialmente aços com

fração volumétrica de carbono em torno de 1%, de maneira a possibilitar a obtenção do

endurecimento e acabamento superficiais mais adequados às superfícies de contato,

segundo Waller (1978). Entretanto, o material do freio também depende de requisitos

específicos do processo de estampagem. Aços com 0,5% de carbono também têm sido

utilizados como materiais de usinagem dos freios.

Um projeto típico de um freio está publicado em "SME Die Design Handbook" (1990),

no qual são feitas as especificações técnicas de projetos para freios de estampagens

comumente usados na indústria norte-americana para médias e grandes peças estampadas.

De acordo com Herderich (1990), a dimensão B do freio – ver Fig. 2.16 – pode assumir

valores tão pequenos quanto 6,4 mm. Parâmetros de freios utilizados na indústria russa

podem ser encontrados em Zharkov (1995). Os parâmetros de projeto dos freios de

estampagem utilizados na indústria alemã estão padronizados em VDI 3141(1990).

Genericamente, numa comparação entre os parâmetros correspondentes utilizados

no projeto dos freios de estampagem de peças de médios e grandes portes, é possível

perceber que os maiores valores são os da indústria russa, os da indústria americana são os

menores enquanto que os valores alemães estão entre ambos.

A Tabela 2.1 traz alguns valores recomendados pela norma alemã VDI 3141(1990)

para os parâmetros dos freios de estampagem, em caráter ilustrativo:

Tabela 2.1 – Parâmetros para freios de acordo com VDI 3141, em mm, Xu et al.(1998).

2R = B h e t

a Rosca

-0,036

8 20 4 32 M5x12

-0,043

10 25 5 38 M6x20

-0,043

13 32 6 45 M6x25

A Figura 2.17 ilustra o significado geométrico de cada um dos parâmetros da Tab. 2.1.

No processo de estampagem profunda de chapas metálicas, há parâmetros que são

controláveis e outros não. Os requisitos de projetos para os freios de uma matriz não são

geralmente intercambiáveis, o que torna a experiência prática durante a execução do projeto

relativamente importante. Isto significa que, atualmente, os dados constantes em livros

sobre este tema ainda são utilizados apenas como referência no projeto de matrizes em

estampagem. Assim, algumas informações experimentais se tornam relevantes no projeto

de freios, por exemplo, no que tange aos fixadores dos freios na matriz. O principal fator que

determina o número de fixadores para os freios na matriz é a curvatura dos freios de

estampagem, de acordo com Zharkov (1995):

• Para freios planos, a distância entre fixadores para os freios deve ser de até 100 mm;

• Para freios com raio de curvatura superior a 150 mm, a distância entre fixadores

deve estar entre 60-70 mm;

• Para freios com raio de curvatura menor que 150 mm, recomenda-se que a

máxima distância entre fixadores esteja entre 25 e 40 mm.

( a )

Figura 2.17 – a) Desenho esquemático dos parâmetros da Tabela 2.1– Xu et al., 1998.

( b )

Figura 2.17 – b) região final do freio de estampagem – Xu et al., 1998.

Um projeto inadequado para a região terminal do freio pode afetar a formabilidade da

chapa metálica, segundo Xu et al. (1995). Objetivando-se reduzir a ocorrência de

deformações excessivas e trincas na peça estampada, deve-se projetar a parte final do freio

tendo-se em conta as seguintes características, segundo Weidemann (1978) e VDI 3141

(1990):

• A ranhura onde se insere a saliência do freio deve possuir uma pequena folga t

entre a chapa e o freio (Fig. 2.17a):

Figura 2.18 – A ranhura com a mesma forma do freio – Xu et al., 1998.

• A parte final do freio deve possuir uma projeção l

em torno de 50 mm – linha con-

tínua – ou um grande raio R

– linha tracejada – como se pode ver na Fig. 2.17 b.

Às vezes mais de uma fila de freios pode ser posicionada em regiões onde há a

necessidade de um grande controle de fluxo de metal para dentro da cavidade da matriz. De

acordo com Zharkov (1995), diversas considerações podem ser feitas acerca do número de

filas de freios, a saber:

• Para a estampagem de peças grandes, duas ou mais filas de freios podem ser

necessárias em função das especificidades de cada caso e da necessidade de

fazer o controle da recuperação elástica após a estampagem;

• Para o adequado controle de rugas nas peças estampadas, pode ser necessário

um aumento no número de filas de freios com uma conseqüente redução da

espessura da chapa;

• Para um melhor controle local do fluxo de material para dentro da matriz, filas de

freios mais curtos podem ainda ser utilizados em associação aos freios mais

longos, onde se necessita um aumento da FR, localmente;

• De acordo com Herderich et al.(1990), estima-se que a FR e a FP (Força do

Prensa-chapas) aumentam proporcionalmente com o quadrado ou o cubo do

número de filas de freios.

O Método do Freio Equivalente é utilizado porque os raios que definem a curvatura

dos freios de estampagem são geralmente muito pequenos, se comparados às curvaturas

das demais ferramentas de estampagem. Destes altos gradientes de geometria usualmente

se originam problemas numéricos, como dificuldades na convergência da integração da

equação que governa este fenômeno ou ainda altos custos computacionais para a

simulação do problema tridimensional. Por isso, nos procedimentos numéricos para

solucionar a integração da referida equação, STAMPACK

, e também outros códigos de

simulação de estampagem de chapas, consideram os freios como outra ferramenta e os

modela com maior simplicidade, isto é, como se fossem uma linha sobre a qual existe uma

FR distribuída ao longo de seu comprimento.

Em algumas indústrias ainda se podem encontrar os freios de estampagem ativos,

providos de sensores que comandam certos ajustes às diferentes condições de trabalho sob

as quais se desenvolvem as estampagens de chapas. Estas condições são influenciadas

pelas propriedades das chapas, lubrificação, dimensões do blank, desgaste e condições de

acabamento da matriz e temperatura ambiente, as quais estão constantemente variando de

chapa para chapa, fornecedores, etc. O valor da FR requerido para um bom acabamento da

peça estampada pode variar durante a estampagem. Isto faz com que o freio tenha que se

adaptar às diferentes condições, freqüente e rapidamente. Além disto, para se melhorar a

formabilidade e evitar sulcos de deformação oriundos da passagem da chapa através dos

freios, o estado de tensão da mesma pode ser controlado durante o processo, manipulando-

se o valor da FR. Um sistema, portanto, que pudesse detectar tais condições importantes

neste processo, compará-las com as condições desejadas, determinar as discrepâncias e

ajustar-se adequadamente aos valores ótimos em tempo real, seria um sistema desejável

para uma matriz “inteligente”.

2.4.3 Estado da arte dos modelos propostos para a FR

O projeto de um freio de estampagem requer um modelo para se estimar a FP que

leve em conta quatro tipos de influências: da geometria do freio, da geometria da chapa

metálica, das propriedades de materiais e das condições de contorno. Para este objetivo,

diversos modelos para a predição da FR foram desenvolvidos. A Tab. 2.2 traz um resumo

cronológico dos modelos propostos para a FR e FP, sintetizando o estado da arte referente

ao tema desta tese.

Weidemann (1978), em seu modelo, assume que a tensão devida à flexão ao longo

da seção transversal da chapa é constante sempre, negligenciando variação de tensões

trativas e compressivas em diferentes fibras, e que a tensão de flexão média ao longo da

espessura da chapa é dada por:

σσ

med

(2.1)

onde

representa a tensão de escoamento do material que encrua devido à deformação

em cada flexão pela qual passa a chapa.

Tabela 2.2 – Modelos propostos para a FR e FP, de acordo com Xu et al.(1998).

MODELO HIPÓTESES APLICAÇÕES CARACTERÍSTICAS

PRECISÃO

WEIDEMANN

(1978)

- Material: rígido-

plástico, isotrópico,

efeito Bauschinger;

- Atrito: lei de

Coulomb;

- Sem variação de

tensão ou

deformação ao longo

da espessura da

chapa;

- Nenhum efeito de

tensão sobre o

momento fletor.

Somente calcula a

FR;

- Freios circulares,

retangulares e freios

de contorno;

- Uma ou mais fila

de freios;

- Forma simples e

de fácil aplicação;

- Requer uma

estimativa da FP e

do angulo de

curvatura da chapa;

- Raio de flexão da

chapa igual ao raio

da ferramenta;

Em torno de

40% para

alumínios e

uma

subestimação

de 60 % para

o aços.

MODELO HIPÓTESES APLICAÇÕES CARACTERÍSTICAS

PRECISÃO

N. M. WANG

(1982)

- Material: rígido-

plástico, isotrópico,

sem efeito

Bauschinger, critério

de escoamento

anisotrópico de Hill;

- Atrito: lei de

Coulomb.

- FR e FP rígido-

plástico, isotrópico,

efeito Bauschinger;

- Uma ou mais filas

de freios;

- Qualquer

geometria de freio.

- Procedimento nu-

mérico step by step;

- Modelo baseado

em equilíbrio de

momentos;

- Raio da ferramenta

igual ao raio de

flexão da chapa;

Cerca de

15% para

A-k steel e

20% para

alumínio

B.S. LEVY

(1983,1985)

- Mesmas hipóteses

de Wang;

- Atrito: lei de

Coulomb.

- Somente calcula a

FR;

- Uma fila de freios

circulares com

penetração

completa;

- Forma explícita

semi-empírica;

- Parâmetro determi-

nado por dados

experimentais;

- Derivação baseada

no princípio dos

trabalhos virtuais;

Aproximada-

mente 10%

J. M. YELLUP

(1984,1985)

- Mesmas hipóteses

de Wang;

- Chapa está

dividida em fibras ao

longo da espessura.

- FR e FP iso-

plástico, isotrópico,

efeito Bauschinger;

- Distribuição de

tensão e

deformação;

- Freios circulares,

de contorno,

retangulares, etc.

- Solução com

procedimentos

numéricos;

- Possibilidade de

incorporação de

diferentes leis de

materiais;

- Uso da forma real

da chapa no modelo;

Menos de

10%

T.B.STOUGH

TON

(1988)

- Material para a FR:

mesmas de Wang;

- Material para a FP:

elastoplástico

- FR e FP;

- Uma ou mais filas

de freios;

- Freios circulares

- Potencial para se

usar também em

outras geometrias;

- Formulação

analítica completa de

fácil aplicação;

- Uso de um raio de

flexão efetivo;

- Uso do princípio

dos trabalhos virtuais

na obtenção da

equação;

Subestima a

FR em torno

de 10% com

relação aos

dados expe-

rimentais de

Nine (1978) e

em 13% ou

menos a FP.

S. KLUGE

(1992)

- Material: similar ao

modelo de

Weideman, com

encruamento a cada

flexão.

- Somente calcula a

FR;

- Freios

semicirculares;

- Uma ou duas filas

de freios;

- Formulações

analítica e semi-

empírica completas

e de fácil aplicação;

- Necessidade de

estimação da FP;

- Raio de flexão da

chapa igual ao raio

da ferramenta;

Na forma

analítica,

subestima

aços entre 20

e 30%.

Melhor

precisão para

a forma semi-

empírica.

L.R.

SANCHEZ e

K.J.

WEIMANN

(1988)

- Material para a FR:

mesmas de Wang;

- Inclui efeito

Bauschinger.

- FR e FP;

- Distribuição de

tensão e

deformação;

- Freios circulares e

outros;

- Solução iterativa

numérica;

- Divide a chapa em

varias fibras ao

longo da sua

espessura;

- Determinação da

geometria da chapa

pelo modelo;

- Ferramentas e

freios considerados

circulares;

Em torno de

10 % ou

menos.

O trabalho de plastificação devido à flexão é o produto entre

med

e a deformação

média devida à flexão, dada pela Eq.(2.2) a seguir:

med

 

 

 

(2.2)

onde

são, respectivamente, a espessura da chapa e o raio de flexão da chapa em

torno da ferramenta. Ao se computar adicionalmente a isto as contribuições devidas à força

de flexão e de atrito, a FR pode ser estimada, aproximadamente. Os erros devidos às

simplificações inerentes a este modelo redundam em uma subestimação da FR em torno de

40-60%, quando comparada aos dados experimentais.

Wang (1982) propôs um modelo que considera um material mais realista com

anisotropia e que segue a lei de encruamento de Hollomon – Lei de Potência de

Encruamento. Neste modelo leva-se em conta a influência das tensões e deformações ao

longo da espessura da chapa na flexão e flexão inversa – unbending – e uma equação de

equilíbrio de momentos em torno de um centro de flexão instantâneo é utilizado para

modelar o processo sob o qual se passa o fenômeno físico em questão. Neste modelo, um

Procedimento numérico é aplicável a diferentes geometrias de freios. O número de freios

pode ser arranjado em mais de uma fila de freios de estampagem. Utilizando esta mesma

abordagem, Karima (1989) desenvolveu um programa denominado DRAWBEAD para

simulações 2-D em projetos de matrizes de estampagem.

Levy (1983) e Levy (1985), utilizando-se do Princípio dos Trabalhos Virtuais, obteve

uma fórmula relativamente simples para a predição da FR:

(

)

0 1 2 1

FR a a a m x

= + +

(2.3)

na qual,

(

)

, , , , , , ,

x f w t R n m r

ε ε



(2.4)

é uma função das propriedades de materiais e da geometria do freio e da chapa. Os

parâmetros

são determinados através da calibração da equação com base em

dados experimentais. Utilizando-se a base de dados de Nine (1978), este modelo pode fazer

uma predição da FR com um erro médio em torno de 10%. Ressalte-se, entretanto que este

modelo possui uma natureza semi-empírica e que sua precisão está associada à qualidade

dos dados experimentais. Este modelo possui ainda a restrição de ter

maior que zero

sempre, o que faz com que não tenha bons resultados quando x

se aproxima de zero.

O modelo de Levy pode ser considerado uma boa primeira aproximação e por isto foi

ponto de partida para o Modelo de Stoughton (1988) que obteve um modelo mais geral com

uma equação analítica fechada para o problema. Isto foi feito integrando-se o “Trabalho de

Deformação” ao longo da espessura da chapa e através do freio. Este procedimento

também se baseia no Princípio dos Trabalhos Virtuais. Adotando-se considerações

cuidadosamente elaboradas para o processo de flexão sob o qual a chapa está submetida,

geometria do freio e da chapa, o modelo de Stoughton logrou eliminar a necessidade dos

parâmetros experimentais do modelo de Levy. Uma característica importante deste modelo

é a adoção do raio efetivo de flexão da chapa com o qual se pode, mesmo com pequenas

penetrações, manter a precisão para os casos onde há grandes penetrações do freio na

ranhura da matriz. O erro percentual dos resultados deste modelo, se comparados aos

dados experimentais de Nine (1978), é de aproximadamente 5 %, de acordo com Xu (1998).

Semelhantemente ao modelo de Weidemann, o modelo de Kluge calcula o momento

fletor a cada flexão, desconsiderando a influência da tensão. A FR é computada pela soma

de todas as contribuições das forças de flexão, flexão inversa e do atrito. O efeito do

encruamento é levado em conta calculando-se a média das deformações a cada flexão.

Consideram-se iguais os ângulos de curvatura do freio e dos ombros da matriz. Negligencia-

se ainda a redução da espessura da chapa devida à flexão e à tensão. Todas estas

simplificações deste modelo levam a resultados que subestimam a FR em torno de 20 a

30%, quando comparados a dados experimentais.

O modelo de Yellup (1984) é semelhante ao modelo desenvolvido por Wang. O

equilíbrio de momentos com respeito ao centro de flexão é considerado como o ponto de

partida para o modelo do freio de estampagem. Entretanto, a chapa no modelo de Yellup

está dividida em um número discreto de fibras ao longo da espessura da chapa, em relação

às quais se determinam o campo de tensões e de deformações para cada fibra. A força e o

momento total para a chapa é calculada integrando-se ao longo de todas as fibras que

compõem sua espessura, o que permite a utilização de diferentes modelos de materiais.

Com este modelo, Yellup pôde demonstrar que, para pequenas penetrações do freio, ao se

utilizar o raio da matriz, ao invés do raio efetivo de flexão da chapa, pode-se superestimar a

FR em até 40%. No modelo de Yellup (1985) o que se faz é propor um método geométrico

puro para se estimar este raio efetivo de flexão da chapa que passa pelo freio de

estampagem, donde se obtiveram melhores resultados para a predição da FR.

O modelo de Sanchez e Weinmann (1988), baseado nos modelos de Yellup e de

Wang, é um modelo mais geral na simulação da deformação mecânica da chapa ao passar

por um freio que adota o conceito de análise iterativa do modelo de Wang. A chapa é

dividida em um determinado número de fibras virtuais ao longo de sua espessura, que difere

das camadas do modelo de Yellup.

O efeito de Bauschinger é o fenômeno durante o qual um corpo de prova submetido

a um carregamento de tensão ou compressão na região plástica, ao ser submetido

novamente a um carregamento no sentido inverso, possui uma tensão de escoamento

substancialmente menor que a tensão de escoamento no sentido original. Este efeito é

levado em consideração neste modelo.

Além disto, ao contrário de outros modelos onde a geometria da chapa e o arco de

contato devem ser determinados a priori, neste modelo se faz a predição da geometria da

chapa deformada durante a iteração numérica. Esta geometria deformada é afetada por

todos os parâmetros do processo, sejam geométricos ou físicos. Tais características

possibilitam um grande potencial de aplicabilidade na predição da FR em freios ativos, nos

quais a penetração do freio é controlada durante o processo. Possui ainda a vantagem de

uma boa acessibilidade aos parâmetros usuais em projetos de matrizes.

2.4.4 Modelos em EF para a FR

O Método dos Elementos Finitos, por ter se mostrado cada vez mais uma ferramenta

poderosa na análise dos problemas em diversas áreas, incluso em estampagem de chapas

metálicas, tem dado origem a um crescente número de modelos para melhor estimar a FR e

a FP. Entretanto, a simulação deste tipo de problema através de uma abordagem

tridimensional ainda possui um custo computacional elevado. Disto redundaram vários

modelos em 2-D para a simulação dos freios de estampagem em EF, objetivando reduzir os

custos computacionais, além de abordar os seguintes temas influentes na predição da FR:

• Desenvolvimento de modelos em EF para adequadamente computar o problema

do contato dinâmico com atrito entre os freios de estampagem e a chapa metálica,

Cao e outros (1992) e Chabrand (1992, 1996);

• Uma caracterização detalhada do comportamento do campo de deformações da

chapa ao passar por um freio de estampagem pode ser de difícil obtenção – ainda

que possível. Entretanto, modelos para o campo de tensões e deformações para

uma chapa que passa por um freio de estampagem podem ser encontrados em

Cao e outros (1992). Modelos da distribuição da pressão de contato entre a chapa

e o freio estão descritos em Chabrand e outros (1992) e ainda em Carleer e outros

(1994). Os modelos em EF demonstram que altas pressões de contato ocorrem em

uma pequena zona de contato localizada próxima ao ponto do início desta região

de contato, o que está em consonância com as observações experimentais de

Nine (1978), apesar destes mesmos modelos também predizerem que as

distribuições de pressões de contato são não homogêneas. Isto não está de

acordo com as hipóteses de distribuição uniforme da pressão de contato ou de

crescimento linear da pressão de contato que poderia aplicar-se aos freios de

estampagem, segundo o mesmo autor destes experimentos;

• Geração da FR e das deformações ao longo da espessura da chapa que devem

ser aplicadas como condições de contorno em um modelo tridimensional em EF,

em Carleer e outros (1994, 1996). Nesta abordagem, as distribuições da FR ao

longo do comprimento do freio de estampagem e das deformações da chapa

através de uma simulação 2-D em EF são inicialmente feitas através do ajuste de

uma curva como função do deslocamento do punção. Posteriormente, no modelo

tridimensional, estas funções são aplicadas nas regiões onde se localizariam os

freios, como condições de contorno, de maneira a se obter um efeito similar àquele

que se obteria ao se simular um freio tridimensional – de alto custo computacional.

Este abordagem é denominada Método do Freio Equivalente.

O Capítulo Metodologia desta tese destina-se a se estabelecer os detalhes da

metodologia proposta para a predição da FR. Esta metodologia emprega o Teorema Pi

de Buckingham para estabelecer uma equação de predição da FR que se utiliza de

simulações numéricas feitas para parâmetros de natureza geométrica, de materiais e de

atrito em um código explícito de EF.

Nesta abordagem, durante as simulações, as seguintes hipóteses foram

consideradas: critério de escoamento anisotrópico de Hill para os valores simulados, lei de

atrito de Coulomb, velocidade de deslocamento do punção constante e igual 0,90 m / min,

aplicável aos freios de seção transversal circular. O erro médio nas predições com a

equação obtida por esta metodologia está próximo dos 5 % para os dados experimentais de

Nine (1978), utilizados na validação e nas provas com o modelo proposto.

CAPÍTULO III

SIMILITUDE EM ENGENHARIA MECÂNICA

3.1 Introdução

A metodologia desenvolvida nesta investigação utilizou-se de uma abordagem a qual

associa similitude em engenharia com bases de dados obtidos via simulações em elementos

finitos (EF). Neste capítulo se detalharão os principais conceitos da teoria de similitude que

fundamentaram a metodologia proposta nesta tese.

Os principais objetivos da teoria da similitude são estabelecer as relações necessárias

para permitir predições confiáveis do comportamento de um modelo físico e a definição do

tipo de relação existente entre os parâmetros envolvidos em qualquer fenômeno físico.

A teoria da similitude é desenvolvida pela análise dimensional, a qual está baseada

nos conceitos de medida e nos métodos de medições e de observações de um problema

físico qualquer. Nesta teoria se inclui a consideração das condições sob as quais dois

sistemas físicos separados se comportariam similarmente.

Nos últimos séculos, princípios gerais foram desenvolvidos resultando em três

ferramentas confiáveis para a predição de estruturas, máquinas e outros sistemas físicos.

Cada uma delas se complementa com a experiência e o bom senso do projetista, quais

sejam:

a) A partir de uma série de observações, pode-se estabelecer um conjunto de

equações, uma hipótese ou ainda uma lei, a qual é suficientemente geral para

permitir predições com a acuracidade desejada;

b) A partir das observações diretas da estrutura real e das hipóteses de que suas

características básicas não se alterarão durante o processo de investigação, seu

comportamento no futuro pode ser previsto com um razoável nível de

confiabilidade. Este procedimento, ainda que mais direto e mais adaptável, é,

obviamente, mais aplicável a pequenas estruturas, principalmente se os primeiros

resultados não forem satisfatórios. Isto requereria alterações experimentais antes

de o modelo se encontrar funcionando apropriadamente;

c) As observações experimentais podem alternativamente ser feitas em modelos

menores que a estrutura real, mais baratos, e mais facilmente ajustáveis que

aqueles em escala real. A partir destas observações, as performances do protótipo,

ou da estrutura real, podem ser preditas desde que protótipo e modelo possuam

comportamentos similares qualitativamente e que relações quantitativas possam

ser estabelecidas entre ambos;

d) Um modelo físico pode ainda ser simulado numericamente para ser objeto destas

observações, valendo-se de códigos computacionais desenvolvidos especifica-

mente para este fim.

De acordo com Murphy (1950), há três classes gerais de modelos:

1. Geometricamente similar: o modelo é uma reprodução em escala do protótipo;

2. Distorcido: o modelo é uma reprodução do protótipo com duas ou mais escalas

utilizadas diferentemente;

3. Dissimilar: Não há nenhuma ligação direta entre modelo e protótipo. Como quando

se utiliza um circuito elétrico para simular um sistema mecânico sujeito a vibrações.

A utilização dos modelos pode ajudar no projeto dos mais diferentes tipos de

situações. Entretanto, a obtenção de resultados satisfatórios nesse procedimento requer

uma clara compreensão dos princípios físicos envolvidos nas relações entre modelo e

protótipo.

3.2 Características das observações e seleção das quantidades

As observações dos modelos podem ser classificadas genericamente em

quantitativas e qualitativas. As características qualitativas das observações podem ser

descritas em termos de operações padronizadas que identificam classes de quantidades tais

como comprimento (L), força (F) ou tempo (T). Estas características qualitativas são

denominadas dimensões da quantidade observada. Sob o ponto de vista da engenharia,

estas três quantidades são mais apropriadas.

A descrição quantitativa envolve tanto um número quanto um padrão de comparação,

como 3 m, 9 Kg ou 16,7 s. Estes padrões de comparação, como o Kg, m ou s, são

arbitrariamente escolhidos e denominados unidades. A velocidade, por exemplo, é expressa

nas dimensões LT

-1

e em unidades de Km por hora ou metro por segundo.

Pode-se demonstrar, segundo Murphy (1950), que com o nosso padrão de medidas

técnicas é possível se expressar qualquer quantidade em termos do produto destas

quantidades elevadas a expoentes de potências adequadamente escolhidos. Assim,

qualquer grandeza puramente mecânica pode ser expressa dimensionalmente como se

segue:

1 2

c c

A F L T

(3.1)

na qual A é a quantidade dependente, F, L e T são as quantidades primárias apropriadas e

, c

e c

são os expoentes apropriados.

Em problemas onde há calor ou eletricidade, quantidades básicas adicionais são

geralmente utilizadas: Temperatura indica-se geralmente com

, quantidade de calor com H

e carga elétrica com Q. Estas três últimas grandezas complementam quantidades

denominadas primárias. As quantidades secundárias são, por exemplo, a aceleração

(a = LT

), o Trabalho (W = FL), etc. Há ainda as quantidades dimensionais, como o

comprimento e a velocidade e as quantidades adimensionais, como o coeficiente de atrito e

a razão de Poisson.

3.3 Análise Dimensional

A teoria da similitude, sobre a qual o projeto do modelo é baseado, pode ser

desenvolvida através de uma análise dimensional, a qual, por sua vez, se fundamenta em

dois axiomas:

1. Igualdades numéricas absolutas de quantidades existem somente quando estas

quantidades são qualitativamente similares. Isto significa que uma lei geral entre

duas quantidades só pode ser estabelecida se estas duas quantidades possuírem

as mesmas dimensões;

2. A razão entre a magnitude de duas quantidades é independente das unidades

usadas, desde que se tenham unidades compatíveis. Por exemplo: a razão entre a

largura e a altura de uma tabela é a mesma, independentemente se ambas foram

medidas em milímetros, centímetros ou metros.

As aplicações da Análise Dimensional são relativamente abrangentes e podem se dar

nos seguintes âmbitos:

1. Classificação de equações: as equações podem ser classificadas em não-

homogêneas e homogêneas. As primeiras são geralmente equações empíricas

com pequena faixa de aplicação, enquanto nas equações homogêneas, todos os

termos se reduzem à mesma dimensão;

2. Conversão de equações ou dados oriundos de um sistema de equações para

outro, como na conversão de unidades do Sistema Inglês para o Sistema

Internacional de unidades;

3. Desenvolvimento de equações: pode-se determinar a forma das equações

dimensionais;

4. Sistematização da coleta de dados em um experimento e redução do número de

variáveis a ser investigado;

5. Adequação e estabelecimento do princípio de modelagem, operação e

interpretação do fenômeno estudado.

Pormenorizando-se o item três, relativo ao desenvolvimento da forma das equações,

deve-se registrar que, em geral, qualquer quantidade pode ser expressa dimensionalmente

em termos de quantidades primárias adequadamente escolhidas, resultando na forma da

equação dimensional, Eq.(3.1).

Pode-se ainda afirmar, em decorrência dos dois axiomas supracitados, que,

geralmente, qualquer grandeza secundária mensurável (

) pode ser expressa

dimensionalmente em termos de quantidades primárias (a

), apropriadamente escolhidas.

Estas últimas afetam a magnitude das quantidades secundárias. É possível, portanto,

estabelecer-se a relação geral entre α e as quantidades primárias como se segue:

(

)

1 2 3,

, , , ...,

a a a a

(3.2)

Onde:

•

é o número que denota a magnitude da quantidade secundária;

•

1 2 3,

, , , ...,

a a a a

são os números denotando as magnitudes das quantidades primárias

significativamente envolvidas.

O problema agora passa a ser o estabelecimento da natureza da função.

Segundo Murphy (1950), utilizando-se procedimento análogo ao utilizado

anteriormente para outra grandeza

da mesma quantidade secundária, avaliada em termos

das mesmas quantidades primárias, é possível demonstrar ainda, que:

(

)

1 2

1 2 3,

, , , ...,

1 2 3

a a a a . . . ...

c c c

f C a a a a

(3.3)

Onde:

• C

é um coeficiente adimensional, que pode ser determinado experimentalmente;

•

1 2 3,

, , , ...,

c c c c

são os expoentes a serem obtidos, podendo ser determinados

experimentalmente e/ou via análise dimensional.

A determinação dos expoentes c

, utilizando a análise dimensional, pode ser feita

desde que o número de quantidades primárias não exceda o número de dimensões

envolvidas no problema. Isto porque não haveria equações auxiliares suficientes para

avaliar todos os expoentes c

3.4 Obtenção das Equações Preditivas

Dois métodos gerais são utilizados no desenvolvimento de equações preditivas. O

primeiro método, o experimental, consiste em se estabelecer, através de observações

cuidadosas e de medições, o efeito das variáveis pertinentes sobre a grandeza a ser predita

pela equação. O outro método, o analítico, consiste na aplicação das leis naturais que são

pertinentes ao problema estudado. Há ainda um terceiro método, o numérico, empregado

em situações de alta complexidade em que uma solução analítica fechada é inviável ou

mesmo impossível. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um exemplo de uma técnica

de análise numérica que tem por objetivo obter soluções aproximadas de problemas regidos

por equações diferenciais. O crescente aumento da capacidade de processamento dos

computadores tem possibilitado como alternativa às soluções analíticas, a preservação da

complexidade do modelo e a utilização de técnicas aproximadas de resolução, nas quais se

insere o MEF.

A análise dimensional nem sempre, por si mesma, é suficiente para a determinação

e, em muitos casos, nem mesmo dos expoentes da Eq.(3.3). Nestes casos, então,

necessita-se recorrer aos métodos experimentais para se completar a solução e determinar

a equação preditiva.

No âmbito dos procedimentos básicos a serem adotados na determinação das

equações preditivas, o primeiro passo é a determinação das variáveis pertinentes – de longe

o mais importante de todos os passos – uma vez que a validade dos resultados depende da

adequação com que estes fatores são escolhidos. A quantidade secundária, então, é

expressa como uma função das quantidades primárias. Nesta etapa, pode-se chegar a

falsas conclusões enquanto muito tempo pode ser concomitantemente consumido. Há ainda

dificuldades adicionais quando a quantidade secundária se relaciona com mais de três

quantidades primárias. Assim, acumulações aleatórias de dados nunca são recomendadas.

No segundo procedimento, a relação entre as variáveis pode ser obtida pela análise

dimensional, levando a uma expressão, do tipo:

1 2

. . .

c c

s C V g t

(3.4)

Nesta equação acima, por exemplo, há quatro incógnitas,

. Quatro séries

de observações podem ser feitas para se medir tais parâmetros e estas séries de valores

substituídas na Eq.(3.4) para a conseqüente eliminação de

através da divisão das

equações entre si. Este procedimento envolve algumas dificuldades, especialmente se

função de todas as quantidades primárias. Um aperfeiçoamento deste procedimento

consiste na sistematização da obtenção dos dados por meio da manutenção das variáveis

primárias constantes, enquanto uma delas é variada para se estudar seu efeito sobre a

quantidade secundária. E assim, sucessivamente com as outras variáveis primárias,

determinando-se o efeito de cada uma delas sobre a quantidade secundária.

No terceiro procedimento, uma continuação da análise dimensional da Eq.(3.4) para

se obter a Eq.(3.5) podem-se eliminar quantidades desconhecidas e reduzir-se o número de

experimentos. Como

, na Eq.(3.5), são quantidades mensuráveis e

é conhecida,

somente

permanecem desconhecidas.













(3.5)

Assim, neste caso, duas quantidades desconhecidas são eliminadas e a quantidade

de observações necessárias se torna bem menor. Em caso de

ser constante, somente

duas séries de observações serão necessárias. Caso contrário, se

for dependente das

variáveis primárias, uma série de medidas deverá ser coletada. Desta série de observações,

pode-se construir um gráfico onde valores de

v t

 

 

 

podem ser utilizados como ordenadas e

, como abscissas. Deste gráfico é possível se obter

O termo

pode ser expresso como uma função de grupos de variáveis

adimensionais que influenciam o fenômeno em estudo, os quais são conhecidos como Pi

termos e são usualmente expressos por π

. Assim, um determinado fenômeno pode ser

expresso, em termos gerais, da seguinte maneira:

1 2 3 4

( , , ,..., )

π π π π π

(3.6)

onde s denota o número total de grupos adimensionais – ou Pi termos – que afetam o

fenômeno. O número de Pi termos necessários para se expressar um fenômeno pode ser

determinado pelo Teorema dos Pi termos de Buckingham, o qual declara que este número –

s – é igual ao número de quantidades envolvidas –

– menos o número de dimensões

básicas envolvidas –

s n b

= −

(3.7)

Vale lembrar que as únicas restrições referentes aos Pi termos são as de que sejam

adimensionais e linearmente independentes. Isto posto, é possível afirmar ainda que um

novo Pi termo pode ser obtido pela combinação de outros Pi termos, através de

multiplicações ou divisões mútuas, possibilitando assim maior simplicidade nas

observações.

A aplicação do Teorema dos Pi termos leva à formulação de um tipo de equação que

envolve uma função desconhecida. Antes mesmo da determinação da equação preditiva, a

natureza desta função pode ser estabelecida através das observações do comportamento

do fenômeno, experimentalmente. A principal vantagem da análise dimensional repousa no

fato de que o número de variáveis que devem ser investigadas pode ser reduzido, além da

possibilidade de se formular as variáveis adimensionais convenientemente vantajosas, de

maneira a facilitar a observação do fenômeno e, por conseguinte, a coleta dos dados.

Presumivelmente, o procedimento mais vantajoso na análise da função está na

possibilidade de se estudar o comportamento dos parâmetros de tal sorte que todos os Pi

termos envolvidos na função, exceto um, sejam mantidos constantes, enquanto se varia

aquele em relação ao qual se estabelecerá a relação com π

. Recorre-se a este

procedimento para cada Pi termo da função e a relação resultante entre π

e os demais Pi

termos, individualmente, são combinadas para se obter uma relação geral. Esta combinação

nem sempre é simples, mas, sob certas condições, a sua obtenção pode ser razoavelmente

direta. Entretanto, necessita-se investigar as condições necessárias ou suficientes para a

sua existência.

Nas seções seguintes, poder-se-á constatar que equações componentes oriundas da

avaliação da contribuição específica de cada parâmetro poderão ser combinadas por soma

ou produto, com a finalidade de se obter uma equação geral que relaciona todos os

parâmetros envolvidos no fenômeno físico em estudo.

3.4.1 Condições para a Função ser um Produto

Para se estabelecer as condições sob as quais duas ou mais equações componentes

podem ser combinadas na forma de um produto, a seguir se utilizará de uma situação

hipotética onde três Pi termos estão envolvidos num fenômeno em estudo, ou seja:

1 2 3

( , )

π π π

(3.8)

Experimentos deverão ser conduzidos, variando-se

e mantendo-se

constante.

Do gráfico de

versus

, obtém-se a relação:

1 1 2

( ) ( , )

π π π

(3.9)

na qual a barra denota os valores constantes estabelecidos para

. De outra série de

experimentos, com

constante e

variável, segue-se:

1 2 3

( ) ( , )

π π π

(3.10)

As Equações do tipo (3.9) e (3.10) são denominadas equações componentes, as

quais, sob certas condições, podem ser multiplicadas entre si, resultando numa equação de

predição mais geral:

1 1 1

3 2

.( ) .( )

π π π

(3.11)

Para se estabelecer tais condições, inicialmente determina-se a constante C na

Eq.(3.11), assumindo-se que:

3 3

2 3 1 2 2 2

( , ) ( , ). ( , )

F f f

π π π π π π

(3.12)

De acordo com Murphy (1950), pode-se demonstrar, utilizando-se algumas

combinações das Eq.(3.8) a Eq.(3.11), que:

3 2

2 3

( , ). ( , )

( , )

F F

π π π π

π π

(3.13)

A Equação (3.13) indica que a constante C, em Eq.(3.11), pode ser calculada por

2 3

( , )

π π

e que as duas equações componentes devem ter a mesma forma.

Um teste de validade destas equações componentes pode ser desenvolvido por meio

de uma terceira equação componente obtida de uma terceira série de dados, onde um dos

Pi termos é mantido constante em um valor diferente daqueles da primeira série de dados.

Exemplificando: se a Eq. geral (3.13) tiver sido obtida, mantendo-se constante

em um

valor

, então deve ser válida também se for determinada de uma série de dados na qual

π π

, resultando:

3 2

2 3

( , ). ( , )

( , )

F F

π π π π

π π

(3.14)

Igualando-se as Eq.(3.13) e Eq.(3.14), obtêm-se as seguintes equações que servirão

para se testar a validade da Eq.(3.13):

2 2

3 3

2 3

( , ) ( , )

( , )

F F

π π π π

π π

(3.15)

3 3

2 2

2 3

( , ) ( , )

( , )

F F

π π π π

π π

(3.16)

Assim, se uma série de dados suplementares satisfaz uma das Eq.(3.15) ou

Eq.(3.16), então a equação geral pode ser obtida pela multiplicação das equações

componentes entre si e pela multiplicação da constante C, conforme estabelecido na

Eq.(3.13).

3.4.2 Condições para a função ser uma soma

Se se assume que a equação preditiva geral pode ser obtida pela soma das equações

componentes, segue-se então que:

2 3 2 3

( , ) ( ) ( )

F f g

π π π π

= + (3.17)

Logo, mantendo-se

constante em um valor

, analogamente ao caso discutido na

seção 3.4.1, tem-se que:

2 2

3 3

( , ) ( ) ( )

F f g

π π π π

= + (3.18)

2 2

3 3

( ) ( , ) ( )

g F f

π π π π

= − (3.19)

e de maneira semelhante:

3 3

2 2

( ) ( , ) ( )

f F g

π π π π

= − (3.20)

Disto resulta o seguinte desenvolvimento:

2 2 3 3

2 3 2 3 3 2

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

F f g F f F g

π π π π π π π π π π

= + = − + −

(3.21)

Ao se substituir as Eq.(3.19) e Eq.(3.20) em Eq.(3.18), obtém-se:

2 3 2 3

2 3 3 2

( , ) ( , ) ( , ) [ ( ) ( )]

F F F f g

π π π π π π π π

= + − +

(3.22)

Mas o último termo da equação acima equivale a

2 3

( , )

π π

. Disto resulta:

2 3 2 3

2 3 3 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

F F F F

π π π π π π π π

= + −

(3.23)

Na Equação (3.23), evidentemente, os sinais de soma e a subtração indicam

operações algébricas.

Tendo sido obtida a equação geral resultante da soma das componentes, deve-se

estabelecer um teste de validade desta combinação por adição das equações componentes.

Contudo, não se deve perder de vista que um grupo de dados suplementar deverá ser

utilizado neste teste. Neste grupo suplementar de dados, um dos Pi termos é mantido

constante, mas em um valor diferente daquele da equação componente original.

Adotando-se

π=π , neste outro grupo de dados, segue-se que:

2 3 2 3

2 3 3 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

F F F F

π π π π π π π π

= + −

(3.24)

Ao se igualar as Eq.(3.23) e Eq.(3.24), obtém-se a seguinte expressão:

),F(),F(),F(),F(

232

ππππππππ

−=− (3.25)

Alternativamente, poder-se-ia ainda obter outro grupo de dados, com um novo valor

para

π π

, investigando-se também a validade da seguinte equação:

3 2 3 3 2 3

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

F F F F

π π π π π π π π

− = −

(3.26)

Em se satisfazendo as Eq.(3.25) e Eq.(3.26), nas condições supra descritas, a

equação de predição geral poderá ser constituída pela soma das equações componentes,

conforme Eq.(3.23).

Grupos de dados obtidos diretamente de fenômenos físicos, ao serem descritos em

um gráfico tridimensional, geralmente resultam em uma superfície curva no espaço. Mas,

para o caso em estudo, isto é,

1 2 3

( , )

π π π

, quando os logaritmos de

são

plotados, usualmente resultam num plano. Se uma superfície for obtida em um espaço

logarítmico, então as equações componentes têm a seguinte forma:

1 3

( ) .

π π

(3.27)

1 2

( ) .

π π

Se as equações das curvas descritas forem para dois valores de

, isto é,

ππ

= e

ππ

= , e se forem testadas por multiplicação, substituindo-se em Eq.(3.15), tem-se:

3 3

. .

m m

A C

π π

(3.28)

Mas, se o teste for para saber da validade da formação da equação geral por adição

das equações componentes, aplicado aos dados com os quais se plota uma linha num

espaço logarítmico, este teste, utilizando o logaritmo da Eq.(3.28) acima, resulta em:

3 3

. . . .

m m

A A C C

π π π π

− = −

(3.29)

A Equação (3.29) evidencia que o teste só é satisfeito se

A C

, o que implica dizer

que os Pi termos devem ser independentes. Como conseqüência disto, se ambos os grupos

de dados das equações componentes são plotados como uma reta com inclinação diferente

de zero, em uma escala logarítmica, então estas equações componentes não podem ser

combinadas por adição. Poderiam, entretanto, ser combinados por multiplicação, no caso

em que o gráfico do grupo de dados suplementar é paralelo ao gráfico da componente que a

ele corresponde.

3.4.3 Condições Suplementares para mais de três Pi termos

Sem prejuízo ao rigor do Teorema dos Pi termos de Buckingham, é possível aplicá-lo

independentemente da quantidade de Pi termos. Se um sistema requer uma equação geral

cuja combinação deve ser obtida pela multiplicação das equações componentes de “s” Pi

termos, então, segundo Murphy (1950), pode-se demonstrar que:

(

)

(

)

(

)

( )

[ ]

5432

543254

2543

−

πππππ

πππππππππππππππ

,...,,,,F

,...,,,,F.....,...,,,,F,...,,,,F

(3.30)

onde, cada valor que se mantém constante em um Pi termo, num determinado grupo de

dados, deve ser o mesmo também em todos os outros grupos de dados. Assim,

deve ser

o mesmo em cada grupo de dados de cada equação componente,

, também, e assim

sucessivamente até

Um teste geral para se separar um Pi termo dos demais e combinar duas equações

componentes por multiplicação pode ser desenvolvido utilizando-se a mesma técnica

empregada e descrita na seção 3.4.1.

Obviamente que, se cada equação componente passa pelo teste, a equação geral

pode ser desenvolvida através de uma série de produtos de equações componentes de uma

variável.

Entretanto, se a equação geral para um sistema de s Pi termos é formada pela adição

de equações componentes, segundo Murphy (1950), pode-se demonstrar que sua forma é a

seguinte:

3 4 2 4 2 3

1 2 3 4

2 3 4 2 3 4

( , , ,..., ) ( , , ,..., ) ( , , ,..., )

... ( , , ,..., ) ( 2). ( , , ,..., )

s s s

F F F

F s F

π π π π π π π π π π π π π

π π π π π π π π

= + +

+ − −

(3.31)

O teste de validade das equações componentes por adição também se desenvolve

termo a termo. Sendo possível isolar o termo contendo

, tem-se que:

3 4 2 2 3 4

1 2 3 4

( , , ,..., ) ( , , ,..., ) ( , , ,..., )

s s

F F F

π π π π π π π π π π π π π

= + −

(3.32)

De um grupo de dados suplementar, no qual

tem um valor diferente, dever-se-ia

obter o mesmo valor para

. Assim,

3 4 2 3 4

( , , ,..., ) ( , , ,..., )

s s

F F

π π π π π π π π

−

= +

(3.33)

A Equação (3.33) estabelece o teste para a combinação da equação componente de

, contendo outras variáveis por adição.

É possível que aconteça ainda que algumas equações componentes sejam

combinadas por multiplicação, enquanto outras requeiram adição na formação da equação

de predição resultante.

Independentemente do fato de a equação de predição resultante geral ser obtida por

multiplicação ou por adição, há um termo constante a se levar em conta:

2 3 4

( , , ,..., )

π π π π

(3.34)

O valor do termo acima pode ser avaliado de qualquer uma das equações

componentes e deveria ser o mesmo. Caso contrário, pode haver erros e as equações

devem ser novamente checadas.

CAPÍTULO IV

O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

4.1 Introdução

Imputar ao esforço de uma única pessoa os créditos de uma invenção em qualquer

área resulta, na grande maioria das vezes, em uma inverdade ou, no mínimo, numa

injustiça. Particularmente, o Método dos Elementos Finitos (MEF) não foge a esta regra. A

idéia original foi, sem dúvida, utilizada pelo renomado matemático Courant em 1943 no

“Bulletin of the American Mathematical Society” e praticamente ignorada pelos analistas

clássicos mais puristas e inclusive pelos técnicos de engenharia, conforme NAFEMS (2003).

Até que, no início dos anos 1950, alguns pesquisadores, quase todos da área aeronáutica,

começaram a explorar este método que remonta da era inicial da computação digital. Este

setor da indústria tinha fortes interesses técnicos em avaliar estruturas de grande

complexidade do ponto de vista técnico além de possuir o capital necessário para fazer

frente aos custos das pesquisas e da aquisição dos computadores da época. E foi

precisamente em função da arquitetura destas máquinas de calcular que descreviam

estruturas de complexidade geométrica elevada que se adotou a linguagem matricial como

língua franca neste tema. Esta linguagem impactou fortemente a forma com que os

problemas estruturais passaram a ser abordados em engenharia desde então.

O conceito básico do MEF é realmente muito simples e pode ser visualizado a partir

da descrição de duas etapas completamente distintas. Primeiramente, a estrutura é

virtualmente dividida – ou discretizada – em elementos muito pequenos, de tal sorte que a

forma do campo de tensões e deslocamentos possa ser obtida qualitativamente, sem

prejuízos ao rigor da análise, deixando a magnitude destas variáveis por ser calculada

posteriormente. Estas formas podem ser descritas por funções polinomiais, trigonométricas

ou aquela que se lhe aprouver.

Em segundo lugar, todos os elementos individualmente constituídos devem ser

dispostos de tal forma que haja continuidade de tensões e de deslocamentos ao longo da

interface destes elementos, que as cargas aplicadas e as tensões internas de uns estejam

em equilíbrio com as dos outros e que as condições de contornos sejam satisfeitas.

A primeira parte do processo do MEF envolve, teoricamente, a escolha dos tipos

corretos e mais apropriados de cada elemento com suas respectivas propriedades, embora

a maioria dos códigos comerciais em Elementos Finitos (EF) restrinja cada vez mais a

participação do usuário nesta fase. A real compreensão desta etapa, no entanto, possibilita

um juízo de valor por parte do analista muito importante quando se está modelando o

problema.

Na segunda parte é quando se faz a disposição mais adequada dos elementos para

então se proceder à solução do problema para a estrutura completa. Se a estrutura estiver

inconvenientemente representada segundo a combinação dos elementos proposta nesta

etapa, o processo de análise pode-se tornar ineficiente, segundo NAFEMS (2003).

4.1.1 A Notação Matricial

Tendo sido o comportamento da estrutura em estudo descrito por um grande número

de deslocamentos discretos, pode-se hipoteticamente imaginar estes pontos como nós de

uma malha ao longo de uma superfície ou de um volume. O deslocamento individual em um

destes pontos, ou seja, no i-ésimo nó, poderia ser representado pela notação r

. Ou ainda,

em notação matricial, poder-se-ia expressar todos estes pontos através da expressão r = r[ i ].

Supondo-se, adicionalmente, que há uma série de forças concentradas nos nós da

referida estrutura, denotadas por R

, R

, ... , R

,... R

, de acordo com NAFEMS (2003),

todas atuando no mesmo sentido de deslocamento; que o problema é linear – isto é, todos

os deslocamentos, tensões e deformações são proporcionais às cargas aplicadas – então,

pode-se calcular o trabalho realizado por todas estas forças , em notação matricial,

utilizando-se a seguinte relação:

. .

W R r

(4.1)

Adicionalmente, considerando-se que estes coeficientes de proporcionalidade são

denotados por

, pode-se sumarizar estas relações em notação matricial da seguinte

maneira:

(4.2)

onde,

[

]

ji,F F=

1,2,3..., ; 1,2,3...,

i n j n

= =

, é também conhecida por Matriz Flexibilidade.

Finalmente, antecipando-se as formas das equações produzidas pelo método dos

deslocamentos de elementos finitos, pode-se derivar um grupo de equações relacionando-

se r com K na seguinte relação:

(4.3)

onde K é, obviamente, uma medida de rigidez, pois um incremento em K, resulta

necessariamente em maiores carregamentos requeridos para uma mesma deflexão na

estrutura em questão. Por este motivo, esta matriz é conhecida por Matriz de Rigidez. Antes,

porém, de se encontrar os valores para tensões e deformações internas, há que se resolver

equações da forma Eq.(4.3). Motivo pelo qual este é um caminho que pode ser

alternativamente mais barato, em termos de um esforço computacional - se for pertinente ao

que se quer avaliar, obviamente. Freqüentemente, se expressa a solução da Eq.(4.3) da

seguinte forma:

1−

(4.4)

sendo que

−

é a matriz inversa de K e é, evidentemente, a mesma matriz F.

Poder-se-ia ainda expressar a Eq.(4.4) em termos da matriz adjunta de K e do seu

determinante, porém esta formulação aqui empregada para a matriz de rigidez, Eq.(4.3),

está mais adequada ao MEF.

4.1.2 Fundamentos da Análise Estrutural

Na solução de qualquer tipo de problema estrutural, qualquer que seja o tipo de

estrutura ou de carregamento, seja este estático ou dinâmico e para qualquer natureza do

material da estrutura em análise, haverá sempre três tipos de argumentos que se podem

empregar. Estes três argumentos são muito bem separados e distintos e é muito importante

compreender a sua simplicidade, quais sejam:

1. Equilíbrio: nestes tipos de abordagens, relacionam-se tensões com os

carregamentos sob os quais a estrutura esteja submetida ou – freqüentemente,

dependendo de haver ou não carregamentos – relacionam-se tensões com outras

tensões. Se há excitação dinâmica da estrutura, então se podem inserir forças de

inércia nas equações de equilíbrio, como se o problema ainda fosse estático. Se os

deslocamentos são pequenos, isto é de ordem inferior com relação aos demais

termos da equação de equilíbrio, então se pode considerar que as equações de

equilíbrio são lineares.

2. Compatibilidade: nestes tipos de abordagens, relacionam-se deformações com

deslocamentos e são argumentos puramente geométricos, os quais dependem do

tipo da deformação e da geometria particular da estrutura. Se os deslocamentos

são pequenos, então as equações de compatibilidades também são lineares.

3. Equações constitutivas: estas relações oriundas da Lei Tensão-deformação são

empíricas e dependem de evidências experimentais. Podem-se aqui incluir efeitos

térmicos e relações elasto-plásticas para materiais ferrosos com deformações

irreversíveis. Para a grande maioria dos materiais em uso, aliás, estas leis também

podem ser consideradas lineares, de acordo com NAFEMS (2003).

4.1.3 O Princípio dos Deslocamentos Virtuais e o Método da Energia

Para se ilustrar uma técnica alternativa – ainda que indiretamente uma forma de

aplicação dos supracitados argumentos de equilíbrio ou compatibilidade – utiliza-se o

artifício de se transformar uma equação de equilíbrio em uma de trabalho. Nesta

abordagem, a Lei de Tensão-deformação é irrelevante, principalmente no caso não-linear.

Por isso, não se pode utilizar aqui Trabalho real ou energia de deformação, já que, estes

sim, dependem desta lei (ver Fig. 4.1). Assim, supondo-se que r seja o deslocamento devido

à força R que atua sobre o corpo deslocado, utiliza-se o produto

r R

, como se fosse um

trabalho virtual, ao invés do Trabalho real, definido por

W Rdr

∫

Figura 4.1 – Trabalho Real e Virtual, graficamente.

Ressalte-se que, no caso linear, evidentemente,

W R r

, isto é, a metade do

trabalho virtual.

O Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV) , na verdade, simplesmente iguala o

trabalho interno ao trabalho externo, utilizando o produto das forças reais e os

deslocamentos virtuais

. O PDV deve, entretanto, satisfazer ainda à equação de

Trabalho Real

Trabalho Virtual

compatibilidade. Pode-se, todavia, substituir estes deslocamentos por forças e, assim, obter-

se o Princípio das Forças Virtuais (PFV). Baseando-se nisto, o Método dos Elementos

Finitos pôde ser desenvolvido ainda no início dos anos 1950, quando ainda era conhecido

por “Matrix Force Method”.

Contudo, a forma mais fácil de solucionar estes problemas estruturais é utilizar o

conceito do Princípio dos Trabalhos Virtuais. Este conceito, aliás, é uma ferramenta

poderosa para solucionar os problemas que envolvem barras, chapas e cascas ou qualquer

tipo de sólido. Além do mais, o “Princípio dos Trabalhos Virtuais” possibilita aproximações

que são, em última análise, o núcleo do MEF.

Em alguns livros-texto ou manuais de Elementos Finitos, utiliza-se o argumento dos

trabalhos virtuais como um equivalente ao Princípio da Energia Potencial Mínima. Esta

energia consiste de duas partes: a interna (Energia de Deformação -

), a qual em uma

barra simples obedecendo à Lei de Hooke poderia ser expressa por:

2 2

U N

= ∆ = ∆

(4.5)

onde,

∆

é a deformação da barra,

é a força que a solicita,

é a área da seção

transversal da barra,

é o seu comprimento e

seu Módulo de Elasticidade (Young).

A energia potencial externa (

), a qual é usualmente expressa por

e i i

U R r

= −

∑

Para o caso de uma força gravitacional,

R mg

= −

, que atua no sentido oposto ao

deslocamento vertical

r h

, resulta-se que em

U mgh

O Princípio da Energia simplesmente estabelece que

i e

U U U

= +

é o valor mínimo de

energia necessário para um equilibro estável. Pode-se ainda demonstrar que ao se resolver

as equações diferenciais parciais

0, 1,2,...,

para i n

∂

= =

∂

, obter-se-ão as mesmas

equações desenvolvidas utilizando-se o argumento do equilíbrio.

4.1.4

A Etapa de Pré- processamento

Para se proceder a uma análise em EF, a estrutura em estudo deve ser, a priori,

virtualmente descrita na forma de uma malha. A arte de se obter bons resultados em EF

repousa na escolha do elemento associado à malha mais adequada. Uma vez que se tenha

em mente que este é um método aproximado, há que se ter uma boa idéia da solução que

se espera do problema.

Concomitantemente a isto, importa uma boa compreensão das conseqüências das

hipóteses inerentes ao tipo de elemento escolhido, pois isto permite que se minimizem os

efeitos indesejáveis da aproximação, via ajuste do modelo projetado à situação real. Quando

se especificam estes elementos, quatro grupos de informações se especificam:

• Coordenadas nodais;

• Topologia nodal – interconexão entre elementos;

• Propriedades geométricas dos elementos – elementos de barra, lâmina, etc.

• Propriedades de materiais – como módulo de Young, razão de Poisson, densidade,

coeficiente de expansão térmica, etc.

Esta compreensão geralmente requer certa experiência oriunda do trato com este tipo

de problema de tal sorte que se alcance um bom compromisso entre uma solução próxima à

real e um custo computacional razoavelmente aceitável.

Antes, porém da especificação da malha, o problema em análise deve ser identificado

através de quatro blocos de informação:

• Geometria;

• Condições de contorno;

• Carregamentos;

• Resultados requeridos.

Os tipos de carregamentos e as condições de contorno podem afetar a escolha do

tipo de elemento ou as posições nodais, ainda que não sejam especialmente críticos para a

definição da malha mais adequada. Na Fig. 4.2 se mostra uma malha de 427.600 elementos

finitos triangulares de três nós utilizada para a simulação de uma estampagem em uma

lateral de um carro. A malha está representada sobre a superfície da peça no final do

processo de estampagem.

Figura 4.2 – Malha de elementos finitos sobre uma peça deformada (Cortesia STAMPACK).

Os resultados requeridos são a razão pela qual se está procedendo a uma análise em

EF. E, por este motivo, é importante se ter claramente definido o que se busca antes de se

proceder qualquer cálculo. Estes resultados requeridos sempre afetam a escolha da malha,

do tipo de elemento e sempre afetarão o custo computacional da análise.

4.1.5

A Etapa de Processamento

Uma vez determinada a malha mais adequada à estrutura em questão, então o

cálculo propriamente dito pode ser feito. Para um usuário de um código em EF, neste

estágio não há muito que se fornecer ao software.

O MEF possui uma natureza modular a qual permite que se façam checagens

enquanto os cálculos vão se desenvolvendo. A maioria dos códigos comerciais explora esta

natureza modular de sorte que cada um pode ser escrito e testado quase como se fora uma

entidade independente com uma interação mínima entre si. Assim, o mesmo módulo pode

ser utilizado repetidas vezes em aplicações distintas e em códigos desenvolvidos para

problemas específicos também distintos. Em uma maneira geral, estes módulos podem ser

delineados em uma série de passos subseqüentes, quais sejam: especificação de malhado,

formulação dos elementos, escolha dos elementos, escalonamento matricial, especificação

dos carregamentos, solução por deslocamentos, obtenção de tensões e deformações a

partir dos deslocamentos e disponibilização das tensões.

Esta natureza modular também permite que uma análise seja interrompida e

reiniciada em vários estágios diferentes, usualmente entre os módulos. Há três fases para

que se façam estas checagens em uma análise em EF:

1. Antes da análise e durante a geração da malha;

2. Checagens durante a análise poderão diagnosticar dois tipos de erros: fatal, nos

quais a execução do programa é terminada sumariamente ou avisos que indicam

inconsistências nos cálculos;

3. Pós-análise, que são feitas depois de concluída a análise: são geralmente cálculos

manuais ou outros cálculos mais elementares que objetivam comprovar se a magnitude dos

resultados está correta.

O principal objetivo da análise é verificar se a estrutura em estudo pode ou não fazer

seu trabalho. E isto geralmente significa que limites de tensões ou deformações devem ser

satisfeitos. Nem sempre isto está diretamente disponível na lista de resultados

disponibilizados pelo código. Neste caso é conveniente que o usuário tenha um pós-

processo que o permita realizar tais checagens dos resultados para a estrutura em estudo.

4.1.6

A Etapa de Pós-processamento

Infelizmente, com a natureza de aproximação que tem o MEF, há uma chance

razoável de que a malha projetada para a análise em questão não dê resultados

suficientemente acurados, mesmo depois de exaustivas checagens e ajustes. É uma prática

prudente, neste caso, considerar que um grupo de resultados está equivocado até que

tenham sido realmente comprovados, ou validados, analítica ou experimentalmente. Na

prática despende-se mais tempo na checagem dos resultados e no processamento da

análise do que na etapa prévia de geração da malha.

Figura 4.3 – Resultados para a espessura final da peça relativa à peça inicial - cortesia STAMPACK

Um resultado básico obtido do MEF é a deflexão da estrutura nos pontos nodais.

Outros tipos de resultados podem ainda ser obtidos (ver Fig. 4.3). As deflexões são

diferenciadas para se obter as deformações e a partir disto é possível se obter o campo de

tensões. Pode-se ainda utilizar a rigidez estrutural em conjunção com os deslocamentos

para se obter as forças de reação nos pontos de apoio estruturais. Pode-se alternativamente

ainda lançar-se mão da rigidez elementar para se obter as forças internas elementares.

Há várias maneiras de se apresentar estes resultados e cabe ao analista fazer uma

adequação de uma delas ou uma combinação destas para que se possa checar a validade

da análise, consistentemente.

Peça final

Contorno mínimo

da chapa

4.2 As soluções Explícita e Implícita

O momento de se escolher a ferramenta para a simulação numérica mais adequada é

de importância ímpar, assim como a capacidade de compreensão da natureza do problema

a ser simulado pelo método escolhido. Há que se conhecer, além disto, as limitações das

ferramentas de simulação que se vão empregar, já que a mesma equação dinâmica que

governa o processo se resolve de duas maneiras distintas, numericamente: implícita e

explicitamente. Dentro de um contexto de custo computacional e cargas dinâmicas, a

solução implícita, em geral, costuma ser mais rápida. Mas, a solução explícita costuma estar

mais próxima da solução real, no que tange a visualização de defeitos na conformação de

chapas, como rugas e trincas na peça estampada, por exemplo. Uma solução implícita

melhorada neste sentido poderia ser desenvolvida, em que pese ter seu custo

computacional, neste caso, aproximando-se daquele da solução explícita. Os requisitos de

memória também são distintos: a solução explícita requer relativamente menos memória

durante cada passo de cálculo (NAFEMS, 1992).

Ainda não existe uma solução que se poderia chamar onipotente, pois, dependendo

dos dados que se introduzem, a solução via simulação pode-se distanciar muito da

realidade. Neste ponto também há que se ressaltar a importância da caracterização do

material que, com as informações experimentais disponíveis, não são, geralmente,

suficientes para se alcançar uma solução numérica próxima do desejável.

Uma vez completada a discretização espacial da estrutura a ser estudada, uma

equação para esta forma discretizada pode ser representada como se segue:

t)(d,)d(d,d.M fp =+



(4.6)

onde M é uma matriz massa da estrutura, d, d



e d



são os vetores deslocamentos,

velocidades e aceleração, )d(d,



p são as forças internas e t)(d,f , as externas.

4.2.1

A solução explícita

A integração explícita da Eq.(4.6) no domínio do tempo envolve uma discretização

automática. Os métodos explícitos são condicionalmente estáveis. Isto significa que os

cálculos são instáveis quando o intervalo de tempo não é suficientemente pequeno.

Entretanto, a estabilidade da integração pode ser garantida através da condição de

que o incremento de tempo não exceda um determinado valor crítico, valor este que pode

ser estimado. Esta estimação passa por uma avaliação das propriedades elásticas do

material, tais como densidade e o tamanho mínimo do elemento da malha. Tais

considerações de estabilidade levam a um passo de tempo de integração no domínio do

tempo limitado pela expressão que calcula o tempo crítico a cada iteração e o atualiza

automaticamente, segundo a equação:

max

t t

∆ ≤ ∆ =

(4.7)

onde

max

é a freqüência angular máxima do sistema e

∆

é o tempo crítico. Esta equação

é obtida com amortecimento zero – já que o amortecimento aumenta o tempo crítico.

Usualmente, utiliza-se uma margem de incerteza para o tempo crítico de 25%, de acordo

com STAMPACK Theory Manual (2001), um programa de simulação em EF que possui

solução explícita.

A integração explícita no domínio do tempo é feita lançando-se mão do algoritmo das

diferenças finitas. Desta maneira, a Eq.(4.6) determina a configuração da estrutura no

instante

1 1

n n n

t t t

+ +

= + ∆

, a partir de uma configuração conhecida no instante n.

∆

é o

intervalo de tempo empregado na integração das equações de movimento e n é o número

de passos utilizados nesta integração.

Ilustrando-se o caso da integração das equações de translação de um determinado

ponto nodal, o seguinte algoritmo pode ser utilizado:

Passo um:

)r)d(d,t))(d,(

nnnn





Cpf −−= (4.8)

Passo dois:

)∆tt(d

n1nn

+∆+=

−

−+



(4.9)

Passo três:

n1n

∆t.ddd



(4.10)

sendo que d



é o vetor das velocidades de translação nodais, d



é o vetor das acelerações

de translação nodais e M é a massa associada a cada ponto. O termo r



C representa a

componente de amortecimento. A configuração angular é obtida seguindo o mesmo

algoritmo, porém aplicado às equações de movimento angular. Embora a influência dos

termos inerciais neste tipo de processo seja relativamente pequena, o método explícito

requer sua utilização.

4.2.2

A solução implícita

O método implícito requer um escalonamento de matriz. Entretanto, é possível

selecionar-se um algoritmo implícito incondicionalmente estável no qual o tamanho do passo

de tempo de integração na equação de movimento é governado somente por considerações

de precisão dos cálculos. Isto possibilita ajustar o esforço computacional para este método à

acuracia de resultados desejada.

A equação de movimento semi-discretizada pode ser descrita na forma residual geral

como:

0t)(d,)d(d,(t)d.Mr(d) =−+= fp



(4.11)

onde r é o vetor força residual n-dimensional e

( , )

p d d



são as forças de resistências internas

que podem ser dependentes dos deslocamentos e velocidades.

Quando não-linearidades estão presentes utilizam-se os métodos numéricos de

Newton-Raphson ou a solução de Newton modificada – ver Geradin (1983) – para resolver a

equação de movimento semi-discretizada, descrita da seguinte forma:

0)r(d =

+1n

(4.12)

No método de Newton–Raphson a linearização da expansão da série de Taylor do

vetor força residual é assumido estar na vizinhança da solução prévia

1n+

d , onde i é o

número da iteração. Assim, de acordo com NAFEMS (1992), as forças residuais em

podem ser aproximadas por:

0d)(d

)r(d)r(d =∆+=

+++

K (4.13)

sendo que

[

]

)r(d)(dK

1n +

−

=∆ (4.14)

onde a matriz de rigidez efetiva é:

M)(dC)(dKK

∆

(4.15)

sendo que:

são parâmetros livres que controlam a precisão do método e dp/K

∂∂= e

dp/C



∂∂= . O bem conhecido método de Newmark também inclui:

1. Aceleração média,

=1/4,

= 1/2 com estabilidade condicional;

2. Aceleração linear,

=1/6,

=1/2 com estabilidade condicional;

3. Fox-Goodwin,

=1/12,

=1/2 com estabilidade condicional.

A nova solução pode ser então escrita como se segue:

1n ++

∆+= ddd (4.16)

Este processo se repete até que uma norma apropriada do vetor de forças residuais

satisfaça a um critério de convergência tal como:

≤

)(d

r (4.17)

Note-se que













∑

rr . O processo iterativo em geral se inicia com a seguinte

condição inicial:

dd =

(4.18)

onde

é a solução após convergência referente ao passo de iteração anterior.

Neste trabalho, entretanto, as simulações serão feitas com um programa que possui

solução explícita para a equação diferencial que governa o problema em estudo.

4.3 As abordagens 2D e 3D

Nos modelos em EF, em um processo de estampagem, por exemplo, as superfícies

não deformáveis da matriz e do punção podem ser aproximadas por segmentos retos em

modelos 2D ou por faces triangulares ou quadrilaterais nos modelos 3D. Algoritmos

específicos reproduzem o contato entre o punção e a chapa e entre esta e a matriz.

Na interação entre a matriz e o punção suas deformações são negligenciadas, já que

são muito pequenas quando comparadas às deformações que ocorrem na chapa. Assim, no

modelo discreto, seja bi ou tridimensional, a matriz está completamente fixa ao se restringir

os movimentos de seus nós e o movimento do punção é governado segundo uma curva de

velocidade.

A abordagem bi ou tridimensional do MEF se faz de acordo com a necessidade de se

resolver 2 ou 3 graus de liberdade de translação por cada nó – em consonância com a

dimensionalidade do problema ou pela simetria de cada análise.

No caso do método implícito, resolve-se o problema reiteradamente como um

problema de equilíbrio estático. Por isso sua utilização necessita restringir certo número de

graus de liberdade até se obter no mínimo um sistema isostático, onde se impeça o

movimento de sólido rígido como um todo. Na prática, o que ocorre na verdade em um

problema 3D, para se evitar o deslocamento de corpo rígido, é que se restringe o movimento

de 3 nós não alinhados ou de 2 nós, no caso de um problema 2D.

O método explícito, no entanto, resolve um problema de equilíbrio dinâmico, em

ausência de gravidade, o que torna desnecessária a aplicação de restrições sobre os graus

de liberdade.

4.3.1

2D ou 3D no código STAMPACK

O programa de simulação em EF STAMPACK

possibilita a execução de ambas as

análises: bi ou tridimensional para grandes deformações em problemas que envolvem

contato, com ou sem atrito, entre os corpos. Pode-se considerar contato entre corpos

deformáveis bem como entre corpos rígidos e deformáveis.

Para a simulação de conformação de chapas metálicas finas pelo MEF, muitos

pesquisadores desenvolveram estudos para se investigar a adequação dos modelos de

membrana que negligenciam o comportamento de flexão e de cortante na deformação da

chapa estampada.

Modelos baseados em lâminas que incluem os efeitos de membrana e flexão para

geometrias de revolução foram desenvolvidos por Oñate e Zienkiewicz (1983), entre outros.

Oñate et al.(1990), compararam ainda o uso de elementos de casca e de membrana

para problemas de embutimento e de conformação superplástica de chapas metálicas

delgadas em 2D e apresentaram uma formulação mista seletiva de cascas. Este modelo

utiliza elementos de membrana e de cascas de forma combinada, selecionando

automaticamente as zonas adequadas ao uso de cada um, visando a economia de tempo

de processamento em CPU.

4.3.1.1

Formulação do Elemento BST utilizado no STAMPACK

Como se sabe, o tempo de processamento em CPU é fator limitante dos códigos

explícitos. Objetivando-se alcançar vantagens de caráter numérico, um novo elemento

denominado Triângulo Básico de Lâmina (BST) foi desenvolvido a partir da combinação dos

elementos BPT (Triângulo Básico de Placa) e do CST (Triângulo de Deformação Constante)

– ver as referências seguintes para maiores detalhes da formulação de cada elemento,

respectivamente: Oñate (1997), Oñate e Zienkiewicz (1983). Esta nova formulação do

elemento BST facilita a programação computacional, pois somente as massas de translação

associadas a cada nó são consideradas na matriz de massa concentrada.

Entretanto, a principal característica desta nova formulação de lâmina delgada (casca)

é que possibilita representar os efeitos acoplados de membrana e de flexão de placas

considerando somente três graus de liberdade de translação por cada nó.

Para esta nova formulação de lâmina delgada, o vetor de deformações locais totais se

expressa da seguinte maneira:

′′





















′

′′

′

ε (4.19)

, onde

′

é a matriz de flexão; o vetor de incógnitas nodais a’ só contém graus de liberdade

de translações associados à parcela de elementos, conforme Fig. 4.4.

A relação entre as variáveis de deslocamentos locais e globais é dada por:

Taa =

′

(4.20)

onde

corresponde à matriz de transformação de (18 x 18), conforme Oñate (1997).

u,v,w

(c)

(e)

(b)

(a)

Figura 4.4 – Elemento BST – Triângulo Básico de Casca.

A partir do princípio das velocidades virtuais, pôde-se obter a expressão da matriz de

rigidez elementar para um sistema de referencia local na seguinte forma:

∫

′′

′

(e)

dABD

BK (4.21)

, onde

é matriz das velocidades de deformações no modelo de fluxo e B’ é a matriz de

flexão, de acordo com Oñate (1995).

4.3.1.2

Formulação do Elemento Quadrilateral 2D utilizado no STAMPACK

O elemento quadrilateral utilizado nas simulações bidimensionais deste estudo é um

elemento 2D padronizado de barra clássico. Nas simulações onde foram estudadas as

contribuições dos diversos parâmetros na composição da Força de Retenção (FR) do freio

de estampagem, estes elementos quadrilaterais foram dispostos conforme Fig. 4.5:

Figura 4.5 – Elemento de placa quadrilateral 2D utilizado nas simulações com STAMPACK

Para se definir as funções de forma deste elemento quadrilateral, inicialmente,

considere-se um elemento de placa retangular ijkl coincidente com o plano xy, conforme

representado na Fig. 4.6, de acordo com Zienkiewicz (2004):

Figura 4.6 – Elemento quadrilateral de chapa.

Em cada nó n, se introduzem os movimentos a

compostos por três componentes: um

deslocamento na direção

, w

; uma rotação em torno do eixo

)

(

e uma rotação em

torno do eixo

)

(

Os vetores de movimentos nodais se definem como

a . Os movimentos do elemento

são dados por um vetor que possui doze componentes:









































(4.22)

É conveniente usar uma expressão polinomial para definir as funções de forma dos

doze parâmetros. Escrevendo-se o polinômio na forma da Eq.(4.23), é possível

conseguir algumas vantagens. Particularmente, ao longo de qualquer reta com x constante

ou com y constante, o deslocamento w irá variar segundo uma expressão do terceiro grau.

Os contornos do elemento ou os limites de separação se compõem de retas como as

mencionadas e, já que um polinômio de terceiro grau fica definido univocamente mediante

quatro constantes, os dois valores das rotações definirão de maneira única os movimentos

ao longo dos referidos contornos. Isto garantirá a continuidade de w ao longo do limite de

separação entre elementos adjacentes.

(

)

(

)

(

)

Forças e deslocamentos

correspondentes

ααααα

αααααααα

Pxyyxyxy

yxxyxyxyxw

≡++++

++++++++=

432

(4.23)

Pode-se escrever na forma matricial, agrupando-se as doze equações que relacionam

w e suas derivadas nos nós, da seguinte maneira:

.Ca

= (4.24)

onde C é uma matriz 12 x 12, função das coordenadas nodais e

é um vetor formado pelas

doze constantes incógnitas. Explicitando-se

, tem-se que:

aC .

1−

(4.25)

Esta inversão pode ser feita algebricamente, se se deseja uma expressão explícita

para as rigidezes, etc., como efetuado por Zienkiewicz e Cheung (1964). Pode-se agora

escrever a expressão para o interior de um elemento, de forma geral, como se segue:

aCPaNwu ...

1−

==≡ (4.26)

onde:

(

)

33322322

,,,,,,,,,,,1 xyyxyxyyxxyxyxyxP = (4.27)

Melosh (1963) deduziu uma fórmula explícita para as funções de forma N, as quais

podem ser escritas em função das coordenadas normalizadas, isto é:

( )( )

( )





















−−

−

−−++

++=

ξξ

ηη

ηξηξ

ηξ

bN (4.28)

Onde as coordenadas normalizadas valem:

( )

ηηηη

ξξξξ

−

)(

(4.29)

Esta forma evita a inversão explícita de C . No entanto, é preferível o uso direto dos

polinômios para a dedução das matrizes de rigidez.

A matriz de rigidez que relaciona as forças nodais dadas por uma força lateral e dois

momentos em cada nó, com os deslocamentos nodais correspondentes, é:

∫

Ω

dydxDBBK

(4.30)

Retirando-se para fora da integral os termos independentes de x e y, lembrando que

C.QB

−

= , a Eq.(4.30) se transforma em:

1−

−













∫ ∫

= CDQQCK

dydx (4.31)

O integrando se pode multiplicar e integrar com facilidade, no caso em que

é constante.

As contribuições das forças externas para cada nó, de acordo com Zienkiewicz (2004),

podem ser assim avaliadas:

∫ ∫

−=

−

qPCf dydx (4.32)

onde o vetor q de forças nodais é dado pelas seguintes expressões:





















−=









































−

−=





















−

qab

4321

f,f,f,f (4.33)

Pode-se encontrar de maneira similar o vetor de forças nodais devido a deformações

iniciais e a tensões iniciais. Normalmente, ainda são introduzidas deformações diretas no

plano da placa e, neste caso, o problema completo somente poderá ser resolvido

considerando-se estado plano de tensão (EPT), segundo Zienkiewicz (2004).

4.3.2

Análise do Problema de Contato

Há na literatura atual e nos programas comerciais de EF dois métodos estabelecidos

de considerar o contato de dois sólidos: o método dos multiplicadores de Lagrange e o

método de penalização. Seja do ponto de vista numérico ou de implementação

computacional, ambos têm vantagens e inconvenientes.

No método dos multiplicadores de Lagrange – ver Bathe (1985), Cook (1974) e Taylor

et al. (1985) – obriga-se que as restrições de contacto se verifiquem de forma exata através

do uso dos multiplicadores de Lagrange. Alguns dos principais inconvenientes deste método

são: o aumento do número de incógnitas na diagonal principal da matriz de rigidez

associada com os multiplicadores de Lagrange, em função dos contatos que se produzam e

dos contatos que se liberem (os multiplicadores de Lagrange representando as forças de

contato). Isto poderia levar a dificuldades em um método de solução direta. Entretanto,

pode-se evitar isto, utilizando-se de partições que façam um uso da estrutura especial do

sistema global de equações. Contudo, a introdução de novas variáveis é um problema que

não se deve perder de vista.

No método de penalização, obriga-se que as restrições de contato se verifiquem

mediante uma aproximação, lançando-se mão, para este objetivo, de um fator de

penalização. Neste método, porém, se conduz a um mau condicionamento da matriz de

rigidez tangente devido a um crescimento ilimitado do número de condições, à medida que

cresce o fator de penalização. Alternativamente, um fator de penalização muito pequeno

pode levar a penetrações inaceitáveis de um sólido em outro. Desta maneira, o problema

prático reside na escolha de um valor ótimo do fator de penalização, o qual, em geral,

depende da precisão do computador, do número total de incógnitas do sistema de equações

e da menor rigidez dos dois elementos envolvidos no contato. Por outro lado, este método

não conduz a um aumento do número de incógnitas.

Ambos os métodos, no entanto, podem ser apresentados em uma formulação

unificada e ao mesmo tempo elegante por meio de um funcional Lagrangiano perturbado, de

acordo com Taylor et al.(1985). O método dos multiplicadores de Lagrange poderia, assim,

ser obtido a partir da formulação unificada fazendo tender ao infinito o parâmetro de

perturbação. Alternativamente, se poderia considerar um parâmetro de perturbação finito e,

através de uma condensação estática dos multiplicadores de Lagrange, obterem-se as

expressões correspondentes ao método de penalização.

Pode-se estabelecer a formulação do problema de contato como a minimização de

um funcional Lagrangiano perturbado incremental (no total) definido como a soma do

potencial incremental (no total) clássico correspondente a um problema de contato e do

potencial incremental devido às forças de contato. De uma forma geral se pode escrever

para o problema discreto a seguinte expressão, de acordo com Oñate (1997):

( ) ( )

λλλπλπ

∈

−+∆=∆

∈

ruu (4.34)

onde

(

)

λπ

,u∆

∈

é o funcional Lagrangiano perturbado incremental,

(

)

u∆

é o potencial

incremental usual de um problema sem contato, u

∆

é o vetor de incrementos dos

deslocamentos,

é o vetor das forças de contato (multiplicadores de Lagrange),

é o vetor

das restrições a serem impostas em cada nó em contato e

∈

é o parâmetro de perturbação.

Ainda de acordo com a mesma referencia bibliográfica, para cada nó em contato, a equação

de restrição pode ser escrita como:

≥

−

∆

ubr (4.35)

onde b depende do tipo de modelo de contato considerado – de Coulomb, no caso deste

estudo.

As forças de contato deverão satisfazer a seguinte condição:

≤

(4.36)

As Equações (4.35) e (4.36) podem ser combinadas na forma da condição de Kuhn-

Tucker para se obter a seguinte expressão:

(

)

0. =−∆

γλ

ub (4.37)

Pode-se demonstrar, segundo Oñate (1997), que a equação de restrição

correspondente ao caso de deslizamento livre (“slip”) pode ser obtida projetando-se segundo

a normal (n), a equação de restrição para o caso de deslizamento impedido (“stick”).

Analogamente, o operador b correspondente ao caso de deslizamento “slip” também pode

ser obtido projetando-se segundo a normal (n) o operador b correspondente ao caso de

deslizamento “stick”.

Exemplificando-se o caso de um problema de contato 2D, onde os sólidos estão

discretizados com elementos planos: neste caso, a equação de restrição para um nó s

associado à superfície que está em contato com um segmento m

– m

, pertencente à

superfície principal – ver Fig. 4.7 – pode-se expressar para o caso do deslizamento livre, na

forma de Kuhn-Tucker, da seguinte maneira:

(

)

0≥−−

uu.n ∆∆ (4.38)

≤

(4.39)

(

)

[

]

0=−− .uu.n

γλ

∆∆ (4.40)

onde n é a normal ao segmento,

é a penetração segundo a normal definida por:

(

)

nxx

−−=

(4.41)

u∆ e

u∆ são os incrementos de deslocamentos dos pontos s e m, respectivamente,

sendo o ponto do segmento da superfície principal que se obtém como projeção de s,

segundo a normal n.

Figura 4.7 – Cinemática do contato – nó s sobre o segmento m

– m

Impondo-se a estacionaridade do funcional Lagrangiano perturbado incremental na

Eq.(4.34), obtêm-se as seguintes equações variacionais:

0).(... =+=

∈

ηληπηπ

DrDD

(4.42)

. =













∈

−=

∈

δλλδλπ

rD (4.43)

A derivada direcional do vetor de restrições

na direção

, onde

é uma direção

virtual definida no campo de deslocamentos incrementais, considerando-se uma cinemática

linear, é:

( )

[ ]

ηαη

Bur

Dr =+∆=

(4.44)

Substituindo-se a Eq.(4.44) na Eq.(4.42), obtém-se o seguinte sistema de Equações,

de acordo com Oñate (1997):

0.).(. =+=

∈

ηλπηπ

BDD

(4.45)

0.)

(. =

∈

−=

∈

δλλδλπ

rD (4.46)

Vale observar que quando o parâmetro de perturbação

∈

tende a infinito, a Eq.(4.46)

se reduz a 0.

δλ

r , para a qual a restrição se cumpre exatamente, recuperando-se o

método dos multiplicadores de Lagrange. Neste caso, o funcional Lagrangiano é

(

)

ruu .)(,

λπλπ

+∆=∆ .

Ressalte-se, entretanto, que quando o parâmetro de perturbação é finito, a Eq.(4.46)

pode resolver-se em

e, substituindo r.

=∈

na Eq.(4.45), recupera-se o método de

penalização. Substituindo-se a expressão de

no funcional Lagrangiano perturbado, obtém-

se, neste caso, o funcional correspondente a um método de penalização, isto é,

)()( rruu ∈+=

∈

ππ

4.3.2.1

O Algoritmo de Contato no STAMPACK

No algoritmo 2D, as interfaces das superfícies de contato estão discretizadas com

dois nós através de segmentos retos (m

– m

)

sobre as mesmas, conforme Fig. 4.7. Já no

algoritmo 3D, as interfaces das superfícies de contato estão interpoladas com segmentos de

planos triangulares ou quadrilaterais. Uma das superfícies de contato é designada como

superfície de contato mestre e outra escrava, master e slaves surfaces, respectivamente.

Em geral, seja para 2D ou 3D, pode-se dizer que o algoritmo de contato faz duas

tarefas: busca de contato e cálculo das forças de contato. Em linhas gerais, no código

STAMPACK, cada uma destas tarefas passa como se segue:

I. Busca do contato:

• Para cada nó escravo, um nó mestre mais próximo, em relação ao passo

anterior, é encontrado;

• O candidato a segmento mestre com um dado nó escravo é determinado e

uma penetração simples se procede;

• A magnitude da penetração é calculada.

II. Cálculo das forças de contato:

• Uma determinada força é aplicada ao nó escravo. De acordo com a lei de ação

e reação, as forças são aplicadas ao segmento de nós mestres. Utiliza-se

nesta etapa o método de penalização padrão, isto é, a magnitude da força de

contato normal é proporcional à quantidade de penetração e a um coeficiente

de penalização. O atrito é calculado assumindo-se a lei de Coulomb.

Alguns critérios são utilizados como sugestões para se escolher as superfícies de

contato, em função de:

• Uma ou outra superfície possuir uma malha mais refinada que outra;

• A superfície mestre pertencer a um corpo rígido;

• Necessitar-se menor precisão de resultados.

Além do algoritmo para superfícies de contato arbitrárias há um algoritmo alternativo

neste código para problemas de contato com um lado pertencendo a uma parede rígida

adotada como um plano infinito, definido por um vetor originário em um ponto arbitrário

sobre o mesmo.

4.3.3

Validações do STAMPACK

Uma das formas de validação do STAMPACK foi através da comparação dos seus

resultados com experimentos propostos nos “benchmarks”. Neste tipo de evento, é usual a

proposição de problemas aos diversos participantes para serem resolvidos via simulação

numérica de um caso prático cujos resultados experimentais serão apresentados somente

no dia do congresso, para uma comparação com os valores obtidos e medidos

experimentalmente. Realizados periodicamente, alguns destes eventos possuem grande

credibilidade nas pesquisas desta área – como os “Numisheet” que acontecem a cada dois

anos. A Fig. 4.8 mostra alguns destes resultados obtidos no Numisheet realizado no ano de

2005.

Figura 4.8 – Espessura de chapa em pontos selecionados ao longo de uma seção – “Benchmark” do

Numisheet do ano de 2005.

Os resultados na Fig. 4.8 referem-se a simulações feitas pelos seguintes programas

de simulações e pesquisadores, respectivamente:

• BM1.EXP: resultados experimentais para as comparações;

• BM1.09: resultados das simulações feitas com LS-DYNA pela General Motors

Corporation;

• BM1.10: resultados das simulações feitas com STAMPACK

V-6.0 pela Quantech

ATZ;

• BM1.11: resultados das simulações feitas com LS-DYNA V 970 rev 3858 Double

precision Shared Memory Parallel pela Daimler Chrysler Research;

• BM1.13: resultados das simulações feitas com PAM-STAMP pelo “Department of

Metallurgical Engineering and Materials Science, IIT-Bombay”, India;

Pode-se verificar que, para o teste feito na Fig. 4.8, o programa STAMPACK

obteve

melhores resultados em 10 dos 12 pontos experimentais. Maiores detalhes sobre estes

testes e outros resultados do Numisheet de 2005, podem ser verificados em Buranathiti

(2005).

Número da Posição ao longo de uma seção

(mm)

CAPÍTULO V

ASPECTOS DE PLASTICIDADE E MODELOS DE MATERIAIS

5.1 Introdução

O comportamento mecânico dos materiais é complexo e a maioria das características

mais relevantes necessita estar estabelecida em modelos numéricos ou analíticos. A

modelagem do comportamento de materiais deve, portanto, estar previamente estabelecida

para, a posteriori, se proceder à simulação em EF propriamente dita, de acordo com

STAMPACK

Basic Concepts Theory Manual (2003). Neste capítulo se fará uma breve

apresentação de alguns aspectos conceituais de modelos de materiais e de plasticidade.

Especialmente, se abordarão aqueles modelos de materiais empregados nas simulações

numéricas realizadas para a aquisição das bases de dados para as equações componentes

– ver capítulo III, que trata de similitude.

Ao se modelar matematicamente o comportamento mecânico de materiais faz-se uma

caracterização de cada material através de uma equação constitutiva que descreve um

campo de tensões como uma função do histórico das deformações deste mesmo material.

De acordo com Belytschko et al. (2000), diferentes relações constitutivas permitem,

portanto, fazer a distinção entre materiais tão dissímiles como a borracha, um fluido viscoso

ou o concreto, por exemplo. Há uma extensa literatura sobre este tema. Entretanto, uma

abordagem mais especifica sobre os aspectos computacionais de plasticidade pode ser

encontrada em Simo et al. (1998).

As simulações numéricas envolvem uma avaliação quantitativa de um problema e os

módulos de cálculos – “solvers” – dos programas em Elementos Finitos (EF) disponibilizam

os resultados requeridos para se estabelecer uma relação entre a cinemática e a dinâmica

do problema sob investigação. Esta relação é estabelecida pelo conhecimento adequado

das leis físicas que governam o comportamento dos materiais, o que se passa a detalhar em

seguida.

5.2 A caracterização do material

Os materiais são geralmente ensaiados em uma máquina de teste universal – ver

esquema na Fig. 6.3. Importa sempre estabelecer-se uma caracterização independente da

geometria do corpo de prova usado.

Em face do exposto acima, torna-se imperiosa a obtenção de uma relação para a

descrição do comportamento mecânico do material onde os parâmetros envolvidos nesta

caracterização dependam exclusivamente do material. Uma relação que atende a estes

pressupostos é a curva “tensão-deformação” da Fig. 5.1.

Figura 5.1 – Curva tensão-deformação.

A força F aplicada pela máquina de teste causa uma elongação no corpo de prova de

comprimento l, na direção de aplicação da força, ver Fig. 5.1. Há ainda uma redução da área

inicial A

da seção transversal para uma área final A. Se a força F possui suficiente

magnitude, grandes deformações geométricas podem ocorrer no espécime ensaiado. Na

Fig. 5.1, as tensões S

e S

são as tensões limites de proporcionalidade e de elasticidade,

respectivamente.

Os modelos numéricos são descritos por um parâmetro de tensão real e um tensor de

grandes deformações, o que implica dizer que as deformações geométricas ocorridas na

peça durante o ensaio devem ser levadas em conta.

A curva “tensão-deformação” da Fig. 5.2 mostra a existência de uma deformação

elástica reversível (

) e uma deformação (

), irreversível. A deformação plástica é

causada quando a tensão sob a qual o material ensaiado está submetido excede o limite

elástico de tensão (S

). Isto também significa que, quanto maior a deformação elástica,

=σ

Região modelada

Tensão real

maior ainda será a recuperação elástica do material, após seu descarregamento, isto é,

após a retirada do carregamento sob o qual está submetido no teste ou em uma situação

real similar.

Um acréscimo no limite elástico ou uma redução na rigidez elástica tenderão a

aumentar esta recuperação elástica da peça. Em contrapartida, quanto maior é o potencial

do material para se deformar plasticamente, maior será sua conformabilidade.

Figura 5.2 – Comportamento elastoplástico.

De maneira geral, aços mais duros possuem menor conformabilidade e maior

resistência, enquanto os aços com menor dureza têm alta conformabilidade e uma baixa

resistência. Encontrar um compromisso ótimo entre estas duas características antagônicas

dos materiais pode ser, muitas vezes, um grande desafio tecnológico.

5.3 O Comportamento Elástico

Freqüentemente, atribui-se exclusivamente à componente plástica, a anisotropia de

um material. De acordo com a hipótese adotada, o modelo elástico pode ser caracterizado

por dois parâmetros: o módulo de elasticidade, E, e o coeficiente de Poisson,

ν.

Ambos

podem ser avaliados em um teste de tração unidirecional dentro da zona elástica, adotando-

se as seguintes hipóteses:

• As propriedades elásticas deverão ser consideradas constantes durante o teste;

• Pequenas deformações estarão envolvidas – o que significa negligenciar os termos

de ordem superior nas equações diferenciais constitutivas;

> S

Descarregamento

Carregamento

• Propriedades elásticas isotrópicas;

• Coincidência dos limites de proporcionalidade e de elasticidade, isto é:

≅ S

);

• Na eventualidade de haver dificuldade na determinação do limite elástico

convencional, (S

), avaliá-lo para o valor correspondente a 0,2% da deformação

plástica.

Ao se considerar iguais a tensão limite de proporcionalidade (S

), a tensão limite

elástica (S

) e o limite convencional de escoamento (S

), a rigor, assume-se uma pequena

divergência entre as curvas numérica e a real (ou efetiva).

De acordo com as hipóteses acima descritas, a zona elástica é linear e o coeficiente

de Poisson possui valores que estão num intervalo que vai de 0 a 0,5. Nos metais, o

coeficiente de Poisson caracteriza a compressibilidade do material da seguinte forma: o

coeficiente 0 indica alta compressibilidade do material e o coeficiente 0,5 indica

incompressibilidade do material.

Uma vez que as deformações elásticas dos metais são geralmente pequenas, as

mudanças geométricas no corpo de prova durante o ensaio são usualmente desprezadas.

5.4 O Comportamento Plástico

Durante um processo de estampagem, grandes deformações do material estão

envolvidas. Isto requer a utilização de um tensor de grandes deformações, já que as

deformações elásticas são geralmente muito pequenas e, por isso, as deformações

decorrentes deste processo de conformação mecânica sobre os metais são

predominantemente plásticas.

O estado de tensão-deformação na prática é geralmente tridimensional, o que requer

a introdução do conceito de um tensor equivalente de tensão uniaxial para se modelar mais

facilmente o comportamento do material. A tensão equivalente σ

é um estado de tensão

uniaxial no qual o carregamento empregado seria o equivalente ao estado de tensão tri axial

completo, conforme esboçado na Fig. 5.3.

Para isto, há que se definir uma função matemática que relacione biunivocamente

estes dois estados de tensão, isto é, o uniaxial - ao qual pertence a tensão equivalente – e o

estado triaxial real. Esta metodologia envolve, portanto, uma extensão do caso

unidimensional da curva tensão-deformação que corresponda a um estado de tensão

diretamente comparável à tensão equivalente.

Figura 5.3 – A tensão equivalente.

A tensão equivalente – em que pese ser aproximada – é uma função matemática

complexa que pode ser expressa em termos de tensões e de parâmetros de materiais.

Alguns exemplos destas funções estão listados a seguir e serão detalhados paulatinamente

neste mesmo capítulo:

Tabela 5.1 – Modelos para tensões equivalentes no estado plano, de acordo com STAMPACK

Basic

Concepts Theory Manual.

Tensão

Equivalente

Função

Von Mises

( )

2211

.3.

σσσσσσ

+−+=

Hill 48

( )

( )( )

( )

090

90045

2211

090

900

.2.













−

σσσσσσ

rrr

Hill 79

( )

22112211

).(4

)1(2













+−

σσσσσσ

Nos modelos de Hill, os parâmetros do material

r ,

r e

r são conhecidos como

coeficientes de Lankford e servem para se determinar a anisotropia plástica do material; r é

considerado, no modelo de Hill 79, como a média dos coeficientes de Lankford. Este se

determina por meio da seguinte relação:

(

)

4.2

90450

rrrr ++= ;

é a tensão limite de

escoamento do material, medida num ensaio de tração, conforme Fig. 5.1; a constante m

está relacionada com a estrutura cristalina básica do material da chapa. Para altos valores

de m, os critérios de Mises e de Hill tendem a se aproximar dos critérios de Tresca, segundo

Marciniak (1992).

Conceitualmente, usa-se uma superfície de escoamento para se definir o

comportamento plástico do material. Esta superfície de escoamento determina quando o

material está na zona elástica e quando ele está na zona plástica. Sua forma depende da

definição da tensão equivalente. Por outro lado, seu tamanho depende do limite elástico do

material. Em resumo, a forma, o tamanho e a evolução da superfície de escoamento é uma

identidade de cada material que pode ser isotrópico ou anisotrópico.

As tensões

correspondem a direções específicas, as quais, no código

STAMPACK, por exemplo, são as direções de laminação da chapa e a direção transversal,

respectivamente, conforme esquema da Fig. 5.4, a seguir:

Figura 5.4 – As direções na chapa a ser estampada.

Se houver coincidência dos três coeficientes de Lankford, no caso isotrópico em que r

é igual a 1, então o modelo de Hill 48 se degenera para a superfície de Mises, como se pode

verificar na Tab. 5.1.

5.5 Anisotropia

Durante a laminação a frio da chapa a ser utilizada no processo de estampagem, os

grãos do material se alinham em direções preferenciais e o material adquire uma

determinada textura. Disto resulta que o comportamento mecânico do corpo de prova a ser

conformado será diferente em cada uma das direções nas quais suas propriedades são

medidas. Esta divergência de comportamentos mecânicos em diferentes direções é

conhecida como anisotropia.

As propriedades mecânicas deste mesmo material ao longo da espessura da chapa

também podem ser diferentes das propriedades no plano da chapa. Se um comportamento

isotrópico é atribuído ao plano da chapa, mas há um comportamento diferente na direção da

espessura, segundo a direção normal na Fig. 5.4., tem-se neste caso uma anisotropia

normal. Neste caso, rrrr ===

90450

. Este tipo de anisotropia é uma aproximação inicial

Laminação

Transversal

Normal

que não se deve utilizar quando a orientação da chapa a ser estampada tem influência

sobre os resultados do processo de estampagem.

Se houver variações no comportamento mecânico em alguma direção no plano da

chapa, há o que se denomina de anisotropia planar da chapa, isto é,

90450

rrr ≠≠ . A

relação entre as tensões medidas nos testes de tração nas três direções (

)

e a tensão de escoamento, S

, são as descritas na Eq.(5.1), de acordo com STAMPACK

Basic Concepts Theory Manual (2003):

)1)((

)1(2

45900

09045

rrr

)1(

900

09090

(5.1)

Esta anisotropia deve ser levada em conta quando a orientação do blank sob

conformação afeta os resultados finais do processo de estampagem.

Nos modelos de Hill, não se leva em conta a anisotropia normal. Testes de tração nas

direções de 0

, 45

e 90

em relação à direção de laminação da chapa podem resultar em

três diferentes limites elásticos, os quais estão relacionados por meio da superfície de

escoamento.

Convencionalmente, mas sem nenhuma perda de generalidade, o limite elástico da

superfície de escoamento é considerado igual ao limite elástico obtido do teste de tração a

O coeficiente de Lankford também mede a capacidade do material de se conformar,

isto é, há um aumento na conformabilidade à medida que se aumenta o coeficiente de

Lankford.

De maneira geral, os aços similares laminados a frio têm maior anisotropia que

aqueles laminados a quente. Por isto, há que se empregar aços previamente preparados

para os processos de estampagem, evitando-se os resultados indesejáveis decorrentes da

anisotropia nas chapas não preparadas para estampagem.

A significância para os coeficientes de Lankford em relação à anisotropia é a que

segue: o valor 1 significa que o material é isotrópico, isto é, 1

90450

=== rrr ; um valor

acima de 1 indica que o material tende a se deformar mais no plano que ao longo da sua

espessura; um valor menor que 1 indica que o material tende a se deformar ao longo da sua

espessura, isto é, 1rrrr

90450m

<=== . O material ainda pode se comportar com uma

anisotropia planar, isto é,

9045090450

),,,( rrrrrrfr

≠≠= .

Em estampagens profundas, o material necessita ter valor acima de 1, já que a

conformabilidade aumenta com este tipo de anisotropia. Já a conformabilidade do material,

aumenta com a média

dos coeficientes de Lankford.

5.6 A Deformação plástica efetiva

De acordo com Belytschko et al.(2000), na plasticidade dos metais o histórico das

deformações plásticas é freqüentemente caracterizado pela deformação plástica efetiva, a

qual pode ser avaliada por:

εεε,εε





∫

= dt (5.2)

onde ε



é a taxa de deformação plástica efetiva e

é a deformação plástica efetiva.

A deformação plástica efetiva não deve ser utilizada diretamente para se avaliar as

mudanças nas propriedades do material, já que não representa com precisão os ciclos de

carregamentos e descarregamentos aos quais o material foi submetido. A deformação

plástica efetiva é uma variável cumulativa que é, por isto, usada para descrever somente as

variações nas deformações do material, independentemente dos ciclos de carregamentos.

Fisicamente, pode-se interpretá-la como a somatória total das deformações acumuladas

pelo material.

5.7 As Leis de Encruamento Isotrópico

Três leis de encruamento de materiais são mais comumente empregadas na literatura

que aborda os temas de estampagem, isto é, a lei de Hollomon, Ludwick-Nadai, e a lei de

Voce, cujas expressões são as que se seguem, respectivamente, nas Eq.(5.3), (5.4) e (5.5):

K ).(

εσ

= ; (5.3)

psps

K ).(

εεσ

+= ; (5.4)

eKSS

).(

−

−−= . (5.5)

Estas três leis descrevem a evolução da superfície de escoamento. Importa saber

ainda que K, n,

0ps

ε ,

S são parâmetros de materiais que devem ser obtidos

experimentalmente, por meio de um teste de tração até a ruptura do material, sem

descarregamento intermediário. O parâmetro K é o módulo de encruamento, n é conhecido

como o expoente de encruamento e caracterizam a ductilidade do material. Estas equações

devem ser ajustadas de maneira que, quando 0

ε , obtém-se

Sσ = . Já a

deformação plástica efetiva é avaliada a partir dos dados obtidos do teste de tração e,

subseqüentemente, feita uma calibração para a obtenção da lei de encruamento adequada.

O comportamento do material em relação ao seu escoamento é denominado

encruamento isotrópico: os seus limites de escoamento em relação à tensão e à

compressão, neste caso, são sempre iguais e são dadas por )ε(σ

. Uma curva de

encruamento típica, segundo Belytschko et al.(2000), está mostrada na Fig. 5.5:

Figura 5.5 – Curva típica de encruamento.

A inclinação desta curva da Fig. 5.5 é o módulo de plasticidade H, isto é,

ε/)ε(σH

dd= . Para a avaliação da contribuição da velocidade de deformação no

processo de encruamento do material, uma nova variável tensorial freqüentemente é

introduzida pra modificar o efeito do tensor tensão, isto é:

−

(5.3)

onde

é o tensor tensão real. A variável q pode ser determinada pela seguinte expressão:

pqpσεHq



−= (5.4)

sendo que

é o módulo de encruamento cinemático e

é o valor de saturação, ambos

também definidos como parâmetros de materiais. Esta lei é não-linear e reproduz

corretamente a evolução do módulo de encruamento para carregamentos cíclicos e

monotônicos.

σσ

(

)

εd

5.8 O Diagrama do Limite de Conformação – FLD

A deformação plástica durante um processo de estampagem pode ser medida através

de um processo experimental composto de uma análise de rede de círculos adequadamente

superpostos sobre a superfície estampada, também conhecida por “photogrid”. A

deformação plástica oriunda do processo de estampagem causa deformações nestes

círculos que irão se transformar em elipses. As deformações plásticas podem ser avaliadas

por meio da comparação entre as deformações dos maiores e menores diâmetros das

elipses e o diâmetro de cada um dos círculos iniciais, conforme Fig 5.6.

Figura 5.6: Círculos deformados usados na análise de “photogrid”.

O diagrama limite de conformação (FLD) indica com clareza e simplicidade quais são

as regiões potencialmente ameaçadas de falhas na chapa estampada. Neste diagrama, é

muito comum utilizar-se uma curva que delimita as regiões de segurança de operação do

processo de estampagem, denominada Curva Limite de Conformabilidade (FLC).

Entretanto, a FLC é um critério relativamente restrito, já que sua determinação é

dependente não apenas dos parâmetros de materiais, senão também da espessura da

chapa em questão. Isto o torna válido apenas para um problema específico.

Todas as curvas limites de conformabilidade (FLC) para os aços usualmente

empregados na indústria automobilística têm essencialmente a mesma forma, isto é,

semelhantes àquelas do diagrama da Fig. 5.7:

Círculo original

Círculo deformado

Menor deformação positiva

Menor deformação negativa

Figura 5.7: Diagrama Limite de Conformação (FLD).

Uma curva paralela traçada dez por cento abaixo da FLC é geralmente adotada. Para

deformações da chapa estampada abaixo destes valores, o material conformado estará em

região segura e livre da possibilidade de falhas decorrentes de deformações excessivas.

A diferença entre uma e outra curva de diferentes materiais é sua posição vertical no

diagrama FLD. Influem na variação da posição vertical o expoente de encruamento, n, e a

espessura da chapa estampada. Aços com altos valores para o FLD possuem uma melhor

conformabilidade que aqueles com menores valores para o FLD.

Níveis de deformações dentro da zona de transição podem ser evitados. Pequenas

variações nos padrões do aço utilizado ou alterações nas condições de lubrificação podem

ser utilizadas como recursos para se evitar danos indesejáveis na peça estampada.

Maior deformação %

–40 –20 0 20 40

Menor deformação %

70-

60-

50-

40-

30-

20-

10-

Falha

Zona de Transição

Zona de Segurança

FLC

CAPÍTULO VI

METODOLOGIA

6.1 Introdução

Nos últimos vinte anos, o uso dos computadores em engenharia tem resultado em

profundas mudanças práticas na engenharia. Atualmente, é virtualmente impossível, por

exemplo, o projeto de carros modernos sem o auxílio da simulação computacional na

obtenção de produtos cada vez melhores com preços competitivos. Recentemente, a FORD

afirmou através de um informe de Gavine (2001) que as simulações numéricas ajudaram na

criação de uma fábrica virtual em conjunto com seus fornecedores. Isto reduziu o tempo de

produção do Ford Fiesta, desde o projeto inicial até sua fase final, para 23 meses. E este

processo está ainda em fase de otimização, de acordo com semelhante informe da

companhia Hyundai, feito por Kim (2002).

As pesquisas em andamento também devem ter em conta todo este cenário, de

maneira a se posicionar em sintonia com estes avanços. Especificamente no caso deste

trabalho, o que se desenvolve essencialmente, além de uma equação de predição de um

fenômeno físico, é uma metodologia que compatibiliza as principais vantagens de duas

teorias: a Similitude em Engenharia Mecânica – mais especificamente o teorema Pi de

Buckingham para uma análise adimensional – e a simulação numérica em Elementos Finitos

para o cálculo da força dos freios de estampagem de chapas metálicas.

Usualmente, tem-se utilizado a Similitude para o planejamento experimental e a

conseqüente redução do número de testes necessários para se estabelecer uma lei que

relaciona distintos parâmetros que governam um determinado fenômeno físico. Neste

trabalho, utiliza-se a mesma teoria para se estabelecer uma relação entre a força de freio

em estampagem e diversos parâmetros, entre os quais, o atrito, os geométricos e as

propriedades de materiais. Porém, aplica-se a Similitude aqui para dados obtidos

numericamente, isto é, através da simulação numérica para diversos valores de cada

parâmetro, objetivando-se estabelecer a contribuição de cada uma destas variáveis na força

de freio a ser estimada, independentemente das demais variáveis. Isto foi feito,

evidentemente, de acordo com a teoria da Similitude – e do teorema supra mencionado,

detalhadamente descrita no capítulo III desta tese – sem existir a necessidade do dispêndio

de recursos, às vezes vultosos, na parte experimental da investigação.

A teoria da Similitude, em linhas gerais, preconiza que, enquanto se estuda a

contribuição de um determinado parâmetro à variável a ser estimada, todas as outras

variáveis envolvidas devem ser mantidas constantes. No mínimo sete pontos para cada

parâmetro são obtidos e uma função a eles se ajusta, de tal sorte que se obtenha a melhor

correlação possível. No caso deste estudo, em função da previsibilidade de cada dado

simulado, somente uma observação de cada ponto foi feita. Onze parâmetros – cinco de

propriedades de materiais e cinco geométricos, além da força de prensa-chapas – estão

combinados em nove Pi termos (ou grupos adimensionais) distintos. A combinação destas

oito curvas que se relacionam com o nono Pi termo da força de freio de estampagem –

adimensionalizada em relação à força de prensa-chapas – deve resultar em uma equação

de predição da força de freio, seguindo os conceitos estipulados pela teoria da Similitude.

No que tange à simulação para a obtenção dos dados para cada um dos Pi

termos, diversas teorias se encontram envolvidas neste tema: desde o conhecimento dos

aspectos de comportamento elástico e plástico de materiais, até a escolha do melhor

ajuste possível de cada parâmetro numérico para o modelo em Elementos Finitos

projetado para se simular o experimento. Utilizou-se nas simulações um código

comercial em Elementos Finitos (EF), denominado STAMPACK

, o qual possui uma

solução explícita para a equação dinâmica que governa o fenômeno físico em estudo,

conforme se detalhou no capítulo IV desta tese. A natureza desta solução explícita

requer mais cuidado ainda com os resultados obtidos das simulações, já que seu

algoritmo está estabelecido de maneira a ser incondicionalmente estável e quase

sempre converge para uma determinada solução, uma vez estipulado um valor de tempo

crítico suficientemente pequeno para tal. Assegurar-se de que estes resultados estão ou

não próximos da realidade, passa então ser de fundamental importância para a eficiência

do modelo em EF e, conseqüentemente, da metodologia aqui proposta. Com esta

abordagem, deseja-se aproveitar da boa precisão dos resultados deste programa – ver

Fig. 1.5 – com a finalidade de se contribuir na redução do seu custo computacional por

meio da obtenção de uma equação fechada para a FR.

Isto posto, faz-se mister esclarecer que esta metodologia utilizou-se de alguns

procedimentos que validassem o modelo em EF. Isto se fez com base em alguns dados

experimentais cuja confiabilidade se expressa através dos numerosos trabalhos que os

utilizaram como referência. Adicionalmente, parâmetros numéricos com relativa influência

nas simulações foram investigados no decorrer do processo de ajuste do modelo em EF, de

sorte a conduzir as simulações aos resultados mais próximos da realidade, sem perder de

vista, todavia, que as aproximações, em última análise, são o núcleo do MEF. Ressalte-se

ainda a importância de se compatibilizar custos computacionais à necessidade de uma

maior ou menor precisão de resultados, já que dezenas de simulações se fizeram

necessárias ao ajuste do modelo, além das simulações para a obtenção das equações

componentes.

6.2 Validações do Modelo em EF

As seções seguintes passarão a tratar dos detalhes de todo o processo de ajuste dos

modelos em EF para aquisição das bases de dados numéricos bem como das validações

destes modelos.

6.2.1 Bases de Dados Experimentais

Os únicos dados experimentais utilizados aqui para a validação do modelo em EF e

para os testes com a equação desenvolvida foram os experimentos amplamente

referenciados em trabalhos relativos a este tema, isto é, Nine (1978) e Nine (1982). Estes

experimentos foram desenvolvidos nos laboratórios da General Motors, Inc., em Warren,

Michigan, nos Estados Unidos. Estes experimentos foram projetados para se compreender

separadamente a importância das contribuições à força de retenção do freio (FR) oriundas

da deformação da chapa e do atrito desta com a matriz e o prensa-chapas.

6.2.1.1 Experimentos

Para se projetar uma matriz com freios de estampagem, necessita-se conhecer a

força necessária para se vencer as deformações da chapa ao passar pelos freios bem como

aquelas devidas à fricção. Além disto deve-se conhecer a força necessária para que o

prensa-chapas consiga manter a peça adequadamente posicionada durante o processo de

estampagem. Esta força do prensa chapas também é a responsável pela profundidade de

penetração da saliência do freio na ranhura posicionada na matriz.

Uma das chaves destes experimentos foi estudar a contribuição das forças de

deformação na FR, sem a influência do atrito. Para este objetivo, um freio “sem atrito” foi

desenvolvido, no qual se utilizaram rolamentos em lugar da ponta do freio e dos raios de

arredondamento da matriz, conforme Fig. 6.1, Nine (1978):

Figura 6.1 – Aparato com freios rolantes, Nine (1978)

Como as superfícies dos freios rolantes estão livres para girar juntamente com a

chapa, então não há atrito devido ao movimento relativo entre a chapa e o freio e entre esta

e a matriz. Evidentemente que o sistema não está completamente desprovido de fricção,

uma vez que uma pequena força é necessária para se vencer o atrito nos pequenos

rolamentos do freio. Dependendo das condições de lubrificação, no entanto, o coeficiente de

atrito para estes rolamentos foi medido entre 0,001 e 0,002, resultando desprezível,

portanto, quando comparado com a magnitude da fricção nos freios normais.

O dispositivo da Fig. 6.1 está projetado de forma que a folga horizontal entre a

chapa e a matriz e entre esta e o freio seja regulável, conforme se pode verificar também

na Fig. 6.2. Isto, em tese, permitiria manter uma folga apertada e constante durante todos

os experimentos.

Rolamentos

guias

Rolamento

da matriz

Rolamento

do freio

Rolamento

suporte

Eixos suportes

Regulagem

da folga

Figura 6.2 – Esquema de montagem dos freios rolantes, Nine (1978).

Para bomba

Cilindro hidráulico

Célula de força

Dial

Para o computador

Célula de medição

da força do

prensa-chapas

Espécime de chapa

Suporte do aparato

Peça suporte

do freio

rolante

Peça suporte do

ombro rolante

Parafuso

Para o computador

RAM

Figura 6.3 – Aparato de medição das forças do prensa-chapas e de retenção do freio de

estampagem, Nine (1978).

Os freios incorporados a este dispositivo foram projetados de maneira a serem

introduzidos em uma máquina de teste universal MTS, para simular a ação do prensa-

chapas em uma prensa e possibilitar as medições da força do prensa-chapas e da força de

retenção do freio de estampagem, conforme Fig. 6.3. Um cilindro hidráulico move a peça

que sustenta o freio, conduzindo a ponta do freio para dentro da ranhura da matriz. A

posição da ponta do freio pode ser lida por um sensor que a indica através de um painel

analógico. No lado de trás da ranhura se encontra uma peça que prende a matriz contra

uma célula de carga posicionada entre o atuador da MTS e uma chave que pode aportar

corpos de prova de chapa com larguras de até 50 mm.

Os materiais utilizados nos experimentos foram um aço laminado a frio e outro a

quente, além do alumínio 2036-T4, respectivamente caracterizados na Tab. 6.1:

Tabela 6.1 – Propriedades mecânicas dos materiais nos experimentos

Espessura inicial (mm)

K (MPa) n R

0,76 576 0,18 1,09

Aço laminado a frio 0,86 559 0,23 1,05

0,99 519 0,19 1,15

0,76 529 0,24 1,53

Aço laminado a quente 0,86 491 0,21 1,62

0,97 529 0,23 1,61

Alumínio 0,81 643 0,26 0,69

2036 – T4 0,89 643 0,24 0,67

Os valores da Tab. 6.1 foram obtidos em testes de tração. K e n foram obtidos da

curva tensão-deformação, assumindo-se a lei de encruamento de potência – Lei de

Hollomon. R é o parâmetro que mede a anisotropia plástica e foi obtido medindo-se a

mudança na forma dos círculos através da técnica photogrid em corpos de provas

submetidos a um teste de tração com deformação uniforme.

Corpos de prova de 400 mm de comprimento e de 50 mm de largura foram retirados

da matéria-prima e cortados na direção de laminação de cada um deles. Os corpos de

provas então foram puxados a uma velocidade de 85 mm/s, por uma distância de 125 mm.

Esta é a velocidade média estimada que se utiliza mais usualmente nas prensas utilizadas

em produções desta natureza. A força de retenção do freio de estampagem e do prensa-

chapas versus deslocamento do punção foi obtida em gráficos com coordenadas x-y,

diretamente da máquina de teste. Os valores para cada força foram lidos somente depois

que estas encontraram um valor estável, calculando-se a média de três medições para cada

experimento.

Os valores das forças de retenção do freio para os três tipos de materiais foram

medidos para o caso em que um cilindro de 11 mm de diâmetro simula a estampagem

através de um freio de seção circular e um diâmetro de mesma magnitude para a entrada da

matriz. Todos estes valores experimentais foram obtidos para a mesma velocidade de

85 mm/s.

A fim de se medir a força total de retenção dos freios, incluindo as contribuições da

deformação da chapa e do atrito, um grupo de freios foi produzido com dimensões iguais às

da Fig. 6.2 e fixado no dispositivo, cujo esquema está representado na Fig. 6.4:

Freios de

estampagem

Regulagem de

folgas

Rolamentos

guias

Ombros da

matriz

Figura 6.4 – Aparato utilizado na montagem dos freios de estampagem.

Cuidados foram tomados no sentido de se substituir as peças que se encontravam

desgastadas demasiadamente. Para se simular um freio sem atrito utilizou-se o que se

passa a chamar de freios rolantes e para simular um freio com atrito, o que se passa a

chamar de freios fixos com fricção. Em ambos os freios, os mesmos ajustes de folga foram

estabelecidos.

Os freios fixos foram montados sobre o mesmo aparato que os freios rolantes sem

fricção, sob as mesmas condições de modo a se medir as forças de retenção do freio de

estampagem e da força do prensa-chapas. Todos os parâmetros experimentais, tais como

as propriedades de materiais, tamanhos e espessuras dos corpos de prova e velocidade de

deslocamento do punção foram mantidos constantes, sejam para os freios rolantes – sem

fricção – sejam para os fixos – com atrito. As medições foram feitas sempre da mesma

maneira.

As forças de retenção dos freios foram medidas para os aços com dois tipos de

lubrificantes, no caso de freios fixos com atrito: "Mill oil" e lubrificante à base de sabão. Para

os alumínios, além destes dois lubrificantes, um terceiro lubrificante específico para este

material foi utilizado com o intuito de se obter um terceiro nível de fricção. Os valores

experimentais utilizados na validação do modelo em EF e da equação desenvolvida estão

nas Tab. 6.2 e 6.3.

Tabela 6.2 – Forças de retenção dos freios e coeficientes de atrito para chapas de aço, Nine (1978).

Espessura de chapa (mm)

Aço lam. a quente Aço lam. a frio

Forças (KN) Tipo de freio

0,76 0,86 0,99 0,76 0,86 0,99

Força de freio Rolantes 3,3 3,9 5,3 3,3 3,7 5,0

Força de prensa-chapas Rolantes 3,0 3,5 4,7 2,7 3,2 4,0

Força de freio Fixos 5,7 6,4 8,4 5,6 6,4 8,0

Força de prensa-chapas Fixos 4,2 4,8 5,8 4,2 4,8 5,8

Atrito

0,206

0,184 0,200 0,192 0,171 0,178

Força de freio Fixos 4,1 4,9 6,3 4,1 4,6 5,7

Força de prensa-chapas Fixos 3,4 4,2 5,2 3,4 4,0 4,9

Atrito

0,070

0,070 0,059 0,069 0,052 0,061

Segundo Nine (1978), na obtenção dos valores dos coeficientes de atrito da Tab. 6.2,

pôde-se constatar experimentalmente a aplicabilidade da Lei de Coulomb para freios de

estampagem. A Tab. 6.3 traz os resultados experimentais de Nine (1978) para as forças de

retenção dos freios e do prensa-chapas para chapas em Alumínio 2036-T4:

Tabela 6.3 – FR e coeficientes de atrito para chapas de alumínio, Nine (1978).

Esp. de chapa (mm)

Alumínio 2036-T4

Forças (KN) Tipo de freio

0,81 0,89

Força de freio Rolantes 2,6 3,2

Força de prensa-chapas Rolantes 2,2 2,8

Força de freio Fixos 4,7 5,7

Força de prensa-chapas Fixos 3,6 4,8

Atrito

0,198 0,171

Força de freio Fixos 3,0 3,9

Força de prensa-chapas Fixos 2,9 3,5

Atrito

0,044 0,065

Força de freio Fixos 3,3 4,0

Força de prensa-chapas Fixos 3,3 3,4

Atrito

0,069 0,077

Importa lembrar que todos os corpos de prova utilizados experimentalmente foram de

50 mm de largura. Parte destes dados foi utilizada na validação do modelo em EF, numa

primeira fase e, posteriormente, outros dados ainda não utilizados anteriormente, foram

empregados nas provas com a equação geral de predição em desenvolvimento, em etapas

distintas da Metodologia. As simulações foram feitas em 2-D, sendo, portanto, a terceira

dimensão considerada unitária, no Sistema Internacional de medidas (SI). Por este motivo

os dados acima devem ser multiplicados por 20, para se obter a proporção de um metro de

largura no freio simulado para 50 mm da largura utilizada nas chapas dos experimentos.

6.2.2 O Modelo em EF

Para se obter o valor mais efetivo da força de retenção dos freios circulares (FR), dois

diferentes tipos de modelos em EF foram concebidos: no primeiro deles, como se vê na Fig.

6.5, uma chapa passa através de um prensa-chapas, por um freio de seção circular e sua

ranhura na matriz. Sua malha está estruturada com elementos quadrilaterais contando com

três elementos ao longo da espessura da chapa. Sete simulações foram feitas para sete

espessuras diferentes de chapas, mantendo-se as demais características constantes. Na

mesma Fig. 6.5 pode-se verificar o sentido da aplicação da força do prensa-chapas, o

sentido de deslocamento do punção e a saliência do freio que penetra na ranhura da matriz.

Figura 6.5 – Malha do Modelo 1 e os parâmetros geométricos do freio de seção circular.

O segundo modelo foi projetado similarmente ao primeiro, mas sem o freio, de

acordo com a Fig. 6.6. O objetivo deste procedimento foi o de se calcular somente a

contribuição do freio para a FR, descontando-se aquela parcela devida ao atrito ao longo

de toda a extensão da chapa com os prensa-chapas. Esta contribuição foi simulada no

Modelo 2 e, subseqüentemente, subtraída da FR calculada no Modelo 1, com freio de

estampagem.

Espessura de chapa (t)

Folga (c)

Raio do freio (R

)

Raio da matriz (R

)

Punção

Matriz

Penetração (h)

Prensa-chapas

Figura 6.6 – Malha do Modelo 2, sem freio de estampagem.

Analisando-se o percurso de um determinado elemento de chapa, pôde-se calcular

um deslocamento de punção mínimo necessário para simular um processo completo de

flexão, deslizamento e flexão inversa da chapa. E, além disto, assegurar-se de obter uma

região de estabilidade da FR para ser lida nos gráficos gerados pelo código em EF.

6.2.3 Ajuste do Modelo: Influência dos Parâmetros Numéricos na Força de Freio (FR)

A natureza de aproximação do MEF associada às características do tipo de solução

explícita adotada para a equação que governa este fenômeno de estampagem de chapas

metálicas torna este procedimento de ajuste do modelo em EF aos dados experimentais um

passo fundamental.

De que maneira foi investigada neste trabalho a influência de parâmetros numéricos

tais como amortecimento, número de elementos na longitude e na espessura da chapa e o

tempo crítico para diversas situações é o que se descreverá a seguir.

6.2.3.1 Número de Elementos na Espessura da Chapa

Partindo-se de um modelo com 80 elementos ao longo da chapa e dois elementos na

sua espessura, diversas combinações de números de elementos foram estudadas. O

objetivo foi estudar a influência da razão de aspecto – relação entre a altura e a largura do

elemento quadrilateral – no valor simulado para a FR.

Para 80 elementos ao longo da chapa, foram simulados casos com 2, 3, 4, e 6

elementos na espessura. Não só a precisão do modelo se levou em conta, mas também o

custo computacional. Isto porque, com seis elementos na espessura da chapa, a

aproximação do valor experimental não é muito melhor que com três ao ponto de justificar o

tempo gasto para uma única simulação em 2-D: 14 horas em um PC Pentium III, 866 Mega

Hertz e com 512 MB de memória RAM. O caso com menor número de elementos no total,

incluindo espessura e longitude da chapa, necessita de 140 minutos, em média,

dependendo de alguns outros parâmetros numéricos, como o tempo crítico, por exemplo.

Punção

Prensa chapas

Matriz

Figura 6.7 – Gráfico típico da FR para diferentes números de elementos na espessura da chapa.

A Figura 6.7 ilustra uma simulação típica ilustrativa destes casos simulados na etapa

de ajuste do modelo para 80 elementos ao longo da chapa com 2, 3, 4, ou 6 elementos na

espessura da chapa, totalizando 480 elementos neste último caso.

6.2.3.2 Número de Elementos no Comprimento da Chapa

Também se investigou a influência da quantidade de elementos ao longo da chapa,

mantendo-se constante o número de elementos na espessura. Isto conduziu a uma

constatação muito importante nesta etapa que foi a percepção da flexibilidade que o modelo

adquire ao se aumentar muito o número de elementos na longitude da chapa. Isto é, há

realmente uma sensibilidade importante do modelo a este parâmetro referente ao número

de elementos ao longo da chapa, o que, dentro de certos limites, permite ajustar o modelo

em EF aos dados experimentais com uma precisão aceitável.

Ressalte-se, todavia, que as simulações destes casos ilustrados nas Fig. 6.7 e 6.8

são para o modelo 1, com freio, de cujo valor há ainda que se subtrair o valor simulado no

modelo 2, sem freio.

Face aos custos e benefícios devidos ao ajustes destes parâmetros, optou-se por

adotar o modelo que possui 80 elementos na longitude e três elementos na espessura, ao

se levar em conta não só a precisão dos resultados obtidos pelo modelo em EF como

também o custo computacional para cada simulação.









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



FORÇA (N)

A Figura 6.8 traz outros resultados típicos obtidos para a investigação da influência do

número de elementos na longitude da chapa em relação ao valor da FR simulados para 80,

105, 130, 160 e 320 elementos na longitude da chapa.

Figura 6.8 – Gráfico típico da FR para diversos números de elementos na longitude da chapa.

6.2.3.3 Tempo Crítico

Conforme abordado na seção (4.2.1), Eq.(4.7), que define o cálculo do tempo crítico,

este é mais um parâmetro importante na equação que governa este problema de

estampagem. Assim, algumas simulações se fizeram necessárias para se investigar sua

influência na FR simulada.

O procedimento adotado foi o de se utilizar o mesmo exemplo simulado para

diferentes valores de tempo crítico, o que se fez para o valor (em segundos) adotado

automaticamente pelo código, 0.00010 e ainda para 0.00008, 0.00004 e 0.00002, cujos

resultados típicos estão na Fig. 6.9.

Excetuando-se o tempo de duração de cada simulação na Fig. 6.9, não houve

influência no valor de FR com importância tal que merecesse um ajuste diferente daquele

utilizado automaticamente pelo código para o tempo crítico. Desta maneira, assumiu-se o

valor de 0.00010s para o tempo crítico em todas as simulações, neste trabalho.

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

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

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FORÇA (N)

Figura 6.9 – Gráfico típico da FR para diversos valores de tempo crítico.

6.2.3.4 Amortecimento

O amortecimento abordado na seção (4.2) também foi estudado do ponto de vista

numérico nas simulações da FR. O gráfico da Fig. 6.10 traz os resultados para este estudo,

cujo procedimento foi análogo ao adotado para se estudar a influência do tempo crítico na

seção anterior:

Figura 6.10 – Gráfico típico da FR para diferentes valores de amortecimento.



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FORÇA (N)

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



FORÇA (N)

Ficou patente no estudo da influência deste parâmetro na simulação da FR que o

melhor valor para o ajuste do modelo também se deu com o estipulado automaticamente

pelo código, isto é, igual a cinco. Isto porque este foi o valor de amortecimento para o qual o

modelo em EF melhor se ajustou ao dado experimental da FR.

6.2.4 O Modelo em EF Definitivo

O modelo em EF definitivo, portanto, resultou de todos estes ajustes para os

parâmetros numéricos, tendo sido feitas as especificações para cada parâmetro numérico

de acordo com os procedimentos detalhados nos subitens (6.2.3.1) a (6.2.3.4).

6.3 Desenvolvimentos da Equação Preditiva Geral

No desenvolvimento da equação preditiva geral (EPG), adotaram-se 12 variáveis a

serem relacionadas entre si, incluindo-se a FR e a força do prensa-chapas (FP): a

espessura da chapa (t), o raio de arredondamento do ombro da matriz (R

), o raio da seção

do freio circular (R

), a folga entre o freio e a chapa (c), a altura da penetração do freio (h),

além das propriedades mecânicas importantes nos fenômenos de plasticidade: módulo de

elasticidade (E), tensão limite de escoamento (S

), constante de encruamento da lei de

Hollomon (K), coeficiente da lei de potência de encruamento (n), bem como o coeficiente de

atrito µ. De acordo com o Teorema Pi de Buckingham, seção (3.4), estes parâmetros foram

arranjados em nove grupos adimensionais, conhecidos como Pi termos e em seguida

investigados quanto a sua influência na FR individualmente. Equações componentes para

cada Pi termo foram estabelecidas e ajustadas para um mínimo de sete pontos simulados e

posteriormente combinadas por multiplicação, conforme descrito na seção (3.4.1). A

justificativa para a escolha de cada um destes parâmetros é o que se passa a descrever nos

subitens deste tópico.

6.3.1 Parâmetros Geométricos

6.3.1.1 Raio de curvatura efetivo da chapa

Em um freio de estampagem convencional de seção circular, a FR em sua totalidade

se compõe das contribuições da fricção e da deformação em torno dos raios dos ombros da

matriz e da saliência circular do freio. A magnitude da contribuição devida à flexão é

determinada pelo raio de flexão da chapa, pois a força de flexão, a sua vez, é inversamente

proporcional ao raio de curvatura com que a chapa é fletida em torno do freio.

Importa notar por esses motivos então, que o raio efetivo de curvatura, isto é, o raio

com que é fletida a chapa, não é necessariamente igual aos raios da matriz (R

) e do freio

circular (R

Se a altura da saliência do freio (h) é pequena ou se a folga (c) é grande, o raio

efetivo da chapa pode ser consideravelmente maior que o raio da ferramenta. Por outro

lado, se a penetração (h) é mais profunda, a FR aumenta porque o metal é forçado a se

conformar mais proximamente ao raio da ferramenta e, conseqüentemente, há uma redução

do raio efetivo de curvatura da chapa.

A FR alcança seu máximo valor para pequenos valores de folga quando a saliência do

freio está penetrada dentro da ranhura na matriz até a posição onde o centro de curvatura

dos raios dos ombros da matriz está alinhado com o centro de curvatura da saliência do

freio. Neste limite de penetração, a chapa está fletida com o raio mínimo de flexão, isto é, o

raio de cada uma das ferramentas. Penetrações maiores que estas não podem aumentar a

FR sem que a chapa seja esmagada, tendo sido esta afirmação comprovada em trabalhos

experimentais, como os de Nine (1978).

Em face destas constatações se podem estabelecer os parâmetros geométricos com

maior influência na FR a serem investigados nas simulações e seus respectivos intervalos

de validade.

6.3.1.2 Espessura da Chapa

Das forças de deformação surge uma complexa combinação de fatores geométricos e

de materiais. Um dos fatores que afetam o valor destas forças de deformação é a taxa de

deformação local e esta, por sua vez, é determinada também pelos fatores geométricos

anteriormente descritos e, evidentemente, pela espessura da chapa estampada.

Quando uma chapa está sujeita à ação de um freio, seu processo de deformação é

muito complexo por causa das quatro inversões no sentido da flexão, as quais ocorrem à

medida que a chapa é estampada pelo freio. Deformações compressivas e trativas ocorrem

ao mesmo tempo em ambos os lados da chapa, variando desde zero na linha neutra até seu

máximo valor na superfície da chapa. A Fig. 6.11 a seguir ilustra bem esta afirmação.

Formular uma equação analítica adequada a este caso pode ser difícil, dada a

complexidade do problema. Assim, investigar e quantificar a influência deste parâmetro

individualmente sobre a FR também se justifica em função da importante contribuição da

espessura neste processo, conforme ficou demonstrado por Duarte e Oliveira (2005).

Figura 6.11 – Variações relativas na espessura de uma chapa em um freio de estampagem.

6.3.2 Parâmetros de Materiais

Alguns parâmetros utilizados para a caracterização dos materiais possuem importante

contribuição no cálculo da força requerida para se deformar metais. Os parâmetros n,

coeficiente de encruamento isotrópico, e K, constante de encruamento, ainda que obtidos de

ensaios uniaxiais devem ser levados em conta, já que as deformações a que está sujeita

uma chapa que passa por um freio de estampagem é cíclica, isto é, varia desde tração até

compressão. Ghosh e Laukonis (1976) demonstraram que n e K são dependentes do estado

de deformação e que as forças de estampagem são diretamente proporcionais aos valores

de K e inversamente aos valores de n.

A magnitude das deformações plásticas comparadas às deformações elásticas

determina a hipótese assumida para a plasticidade (isto é, elastoplástico, viscoplástico,

etc.). Sendo assim, investigar a influência do limite de fluência S

e do módulo de Young E

se supõe que seja relevante neste fenômeno, o que se pôde constatar tanto nos

experimentos de Nine (1978), como nas simulações para cada um destes parâmetros.

6.3.3 Atrito

A magnitude da contribuição devida ao atrito é determinada pelo coeficiente de atrito e

pela pressão normal à superfície de contato na interface da ferramenta com a chapa. Esta

força de fricção, como se sabe, é diretamente proporcional ao coeficiente de atrito e à

pressão normal às superfícies de contato. Porém, para se obter o coeficiente de atrito para

este fenômeno, aquela parte da força de estampagem devida exclusivamente à fricção deve

ser subtraída do total, excluindo-se assim a contribuição devida às forças de deformação.

Isto foi feito experimentalmente, conforme detalhes na seção (6.2.1.1).

Nos experimentos utilizados na validação deste trabalho foi possível se constatar que,

dependendo das condições de lubrificação no processo de estampagem, de 15 a 35% do

total da FR se devem à contribuição das forças de fricção. Isto seguramente demonstra a

importância deste parâmetro no cômputo da FR, tendo sido especificamente um dos

números adimensionais, ou Pi termos, estudados nas simulações e para o qual se

estabeleceu uma das equações componentes.

6.3.4 Outros Parâmetros

Outros parâmetros seguramente podem ter maior ou menor influência no valor da FR.

Entretanto, por motivos de simplificação e redução do número de variáveis no modelo

proposto, somente aqueles de maior importância foram considerados. Para se testar a

influência da taxa de deformação, por exemplo, nos experimentos de Nine (1978) utilizaram-

se corpos de prova de chapas em aço e alumínio a velocidades de deslocamento do punção

situadas entre 0,42 mm/s e 420 mm/s. Os valores da FR para aços aumentaram em até

25% com respeito ao aumento da velocidade do punção. Entretanto, para os corpos de

prova em alumínio, não se verificou influência deste parâmetro no cômputo da FR. Por este

motivo, adotou-se uma velocidade de 85 mm/s, usual neste tipo de processo, para todos os

experimentos e, neste estudo, todos os resultados obtidos são válidos para esta velocidade.

O parâmetro que avalia a anisotropia plástica, R, também foi considerado constante e

igual a 1,58 em todas as simulações e sua influência, portanto, em face de contribuição dos

demais, foi negligenciada.

6.4 Definições dos Pi termos

Após a definição das variáveis mais importantes no calculo da FR, resta a tarefa de se

fazer os arranjos dos grupos adimensionais denominados Pi termos. Isto se fez à luz do

Teorema Pi de Buckingham, detalhado na seção (3.4) desta tese.

Vale lembrar que este procedimento tem o objetivo de se reduzir a quantidade de

observações necessárias, mas que um mínimo de sete simulações para todos os Pi termos

foram feitas.

Depois de verificadas as restrições quanto ao número e à independência dos Pi

termos, segundo o supracitado teorema, foram estabelecidos nove Pi termos com seus

respectivos intervalos de validade para a equação preditiva geral, quais sejam:

•

, onde

é a variável dependente da seguinte equação que, de agora em

diante, será denominada equação preditiva geral (EPG), obtida a partir da Eq.(3.30):

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

. ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( )

C f f f f f f f f

π π π π π π π π π

= (6.1)

a qual relaciona a força de freio FR com a força do prensa-chapas, FP, ambas em KN. As

funções f

, i= 2, 3, ..., 9, são as funções componentes que descrevem a contribuição à FR

de cada Pi termo, individualmente, da seguinte maneira:

•

, que é a razão entre a espessura da chapa (t) com relação ao raio do

freio circular (R

), ambos em mm, donde resulta que

0,10 0,35

≤ ≤

. Estes limites

foram assim estabelecidos em função das espessuras de chapas mais usuais

neste tipo de processo, isto é, de 0,50 mm a 1,70 mm, aproximadamente, divididos

por um raio de freio constante para todas as simulações e igual a 4,75 mm.

• Coeficiente de atrito,

0,30

π µ

= ≤

, que são os valores mais recorrentes na

prática.

• Expoente de encruamento,

, onde

0,10 0,30

≤ ≤

. Estes limites também

foram estabelecidos com base nos valores mais usuais para os tipos de aço e

alumínio utilizados nestes processos de estampagem.

•

: razão entre o Módulo de Young – isotrópico (E) e a constante de

encruamento (K), ambos em MPa. Os limites de validade para este grupo

adimensional foram estabelecidos para os menores valores usuais de E dos

alumínios até os maiores valores desta propriedade mecânica para os aços,

mantendo-se constante o valor de K igual a 570 MPa, donde resulta que

100 500

≤ ≤

•

= , que relaciona o limite convencional de escoamento S

e a constante de

encruamento, K, ambos em MPa. Os limites deste grupo adimensional foram

estabelecidos sob o mesmo critério do Pi termo anterior, resultando que

0,15 1,20

≤ ≤

•

, que relaciona a penetração do freio na matriz (h) com relação ao raio do

freio circular (R

), ambos em mm. Os limites para este Pi termo foram

determinados de acordo com as justificativas da seção (6.3.1.1) para o parâmetro

da penetração do freio, donde resulta que

0,70 2,50

≤ ≤

•

, que relaciona a folga horizontal (c) entre o freio e a chapa com o raio do

freio circular (R

), ambos em mm. O limite para o intervalo de validade deste

parâmetro foi obtido do fato de que tolerâncias para folgas inferiores a 0,50 mm

para peças grandes da indústria automotiva, como o teto de um carro, por

exemplo, são impraticáveis. Disto resulta que

0,030 0,300

≤ ≤

•

, que relaciona o raio de arredondamento da matriz (

) e o raio do freio

circular (R

), ambos em mm. Os limites para estes parâmetros também foram

obtidos para as geometrias mais comuns nas estampagens de chapas metálicas,

donde resultou que

0,30 1,50

≤ ≤

A constante C, obtida a partir do denominador da Eq.(3.30), pode ser assim descrita

para mais de três Pi termos:

2 3 4

( , , ,..., )

π π π π

−

 

 

(6.2)

donde, para nove Pi termos, resulta:

2 3 4 9

( , , ,..., )

π π π π

 

 

(6.3)

Aplicar a Eq.(6.3) ao caso específico do problema em estudo requer a determinação

das equações componentes respectivas para cada Pi termo, o que se passa a determinar a

seguir.

6.5 Obtenção das Equações Componentes

Conforme estabelecido na seção (3.4), para se obter as equações componentes de

cada um destes Pi termos, todos os demais parâmetros foram mantidos constantes,

enquanto um mínimo de sete valores distintos e igualmente distribuídos dentro do intervalo

de validade foram escolhidos para se avaliar a contribuição à FR do parâmetro em questão.

Desta maneira se pode obter o valor para a FR para distintos valores de cada Pi termo e

ajustar-se uma função com a melhor correlação possível.

As funções escolhidas para se efetuar estes ajustes foram funções potenciais de tipo

1 1

.( )

π π

ou exponenciais do tipo

( . )

1 3

c e

, as quais, em última análise, têm a mesma

natureza e, por este motivo, foram combinadas por produtos, de acordo com os testes

detalhados na seção (3.4.1).

Na obtenção destas equações componentes, a cada Pi termo foi atribuído um valor

que se manteve constante para todas as simulações dos outros pi termos, valores estes

representados por

(i = 2, 3,..., 9), e utilizados nos testes da Eq. (4.13), excetuando-se,

evidentemente, as simulações referentes aos distintos valores do próprio pi termo.

Os valores escolhidos para serem constantes e utilizados para cada um dos Pi termos nas

diversas simulações são os que estão na Tab. 6.4:

Tabela 6.4 – Valores constantes para cada Pi termo utilizados nas simulações.

ππ

Valores constantes adotados

= t / R

t / R

= 0,76 mm / 4,75mm = 0,16

= µ µ = 0,17

= n

n = 0,23

= E / K

E / K = 206.000 MPa / 516 Mpa = 400

= S

/ K

/ K = 171,7 MPa / 516 Mpa = 0,33

= h / R

h / R

= 7,7 mm / 4,75 mm = 1,62

= c / R

c / R

= 0,76 mm / 4,75 mm = 0,16

= R

/ R

= 4,75 mm / 4,75 mm = 1

As justificativas para as escolhas dos dados acima estão na seção (6.4). Acresça-se

a estas justificativas, ainda, o fato de serem estes os valores experimentais utilizados nos

primeiros ajustes do modelo em EF.

6.6 Programando a Interface Gráfica em STAMPACK

Acima de tudo, o que se propõe aqui não é somente uma equação fechada para este

problema como solução definitiva do fenômeno em estudo, mas sim uma metodologia de

obtenção de uma equação para a predição da FR, nas condições estipuladas neste capítulo.

Tendo isto se tornado claro durante o desenvolvimento deste estudo, o passo

seguinte foi passar-se à programação, em FORTRAN 90, da EPG para a implementação no

programa STAMPACK, em uma interface gráfica, cujo aspecto pode ser verificado na Fig.

6.20.

Figura 6.20 – Interface para o cálculo da DBRF programada para o STAMPACK

Na interface gráfica programada no STAMPACK, três categorias de parâmetros

devem ser aportadas para o cálculo da FR:

• Parâmetros geométricos: a folga horizontal, os raios da matriz e do freio circular, a

penetração do freio na matriz, e a espessura da chapa;

• Parâmetros de materiais: módulo de Young, limite convencional de escoamento,

constante de encruamento e o expoente de encruamento;

• Parâmetros de processo: coeficiente de atrito e a força do prensa-chapas, todos

estes descritos na seção (6.3.5).

Além da programação da equação para a predição da FR, também foi feita uma

programação em FORTRAN 90 da Metodologia utilizada na obtenção da referida equação.

Desta maneira, se generalizam os procedimentos e se possibilita inclusive, após alguns

ajustes de novos grupos adimensionais adequados, extrapolar-se a aplicação desta

metodologia para freios com geometrias distintas da convencional seção circular.

Desta sorte, o que passa a se tornar fundamental é a obtenção de cada ponto

simulado com a maior aproximação possível dos dados experimentais disponíveis.

CAPÍTULO VII

RESULTADOS E DISCUSSÕES

7.1 Introdução

Um dos resultados deste trabalho, talvez o de maior relevância, é a Metodologia de

abordagem deste tema, desenvolvida neste estudo. Os resultados aqui apresentados são

uma confirmação da aplicabilidade desta metodologia. No capítulo destinado à descrição da

metodologia empregada nesta tese estão descritos os procedimentos de ajustes e

validações dos modelos em Elementos Finitos (EF) utilizados na obtenção dos dados que

foram utilizados na calibração das equações componentes. Além disto, detalhes dos

experimentos de Nine (1978) utilizados na obtenção dos dados empregados nestes testes

com a EPG (Equação de Predição Geral) e nos ajustes preliminares do modelo em EF

também estão descritos neste mesmo capítulo. Adicionalmente a estes procedimentos, três

tipos diferentes de testes de precisão foram feitos com a EPG.

Neste capítulo, estão os resultados obtidos nas calibrações das funções potenciais e

exponenciais dos dados simulados. Destas calibrações resultaram as equações

componentes que, combinadas de acordo com o Teorema Pi de Buckingham, resultaram na

EPG, objetivo último desta tese.

Posteriormente, são examinadas e discutidas detidamente as comparações feitas em

três tipos de testes com a EPG, quais sejam: primeiramente, um contraste com os dados

experimentais de Nine (1978); em seguida, contrastes foram feitos com a solução analítica

proposta por Stoughton (1988). E, em terceiro lugar, simulações em EF 2-D foram feitas de

maneira a se poderem contrastar seus resultados com aqueles pré-estimados pela equação

obtida neste trabalho de investigação, possibilitando-se fazer um terceiro grupo de testes

com a teoria proposta por esta pesquisa.

7.2 Das equações componentes

Tendo sido estipulados os valores e os intervalos de validade para todos os Pi termos,

conforme descrito no capítulo que trata da Metodologia desta tese, se puseram em marcha

as simulações para cada parâmetro. Com um mínimo de sete pontos simulados para cada

Pi termo, foram obtidas as seguintes equações componentes, respectivamente:

• Equação componente para

Pi1 x Pi2

π1 = 0,6347e

3,6628

= 0,9792

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

t / Rdb

FR / FP

Pi1 x Pi3

π1= 1,0345e

1,2362

= 0,9222

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

0,00 0,10 0,20 0,30

Atrito

FR / FP

Figura 7.1 – Simulações para

versus

. Figura 7.2 – Simulações para

versus

• Equação componente para

Pi1 x Pi4

π1= 1,6109.e

-1,298π4

= 0,9949

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

FR / FP

Pi1 x Pi5

π1 = 0,8947(π5)

0,0466

= 0,9903

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

0,0 200,0 400,0 600,0

E / K

FR / FP

Figura 7.3 – Simulações para

versus

. Figura 7.4 – Simulações para

versus

• Equação componente para

Pi x Pi6

π1 = 0,9344e

0,5165.

(π 6)

= 0,9667

0,9

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Sy / K

FR / FP

Pi x Pi7

= 0,9122(

)

0,461

= 0,9956

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

0,60 1,10 1,60 2,10

h / Rd

FR / FP

Figura 7.5 – Simulações para

versus

. Figura 7.6 – Simulações para

versus

100

• Equação componente para

: • Equação componente para

Pi1 x Pi8

1 = 1,2534e

-0,5633(

= 0,97

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

c / Rd

FR / FP

Pi1 x Pi9

π1 = 2,8409e

-0,9286(

)

= 0,9762

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000

Rm / Rd

Fr / FP

Figura 7.7 – Simulações para

versus

. Figura 7.8 – Simulações para

versus

Substituindo-se na Eq.(6.3) os dados da Tab. 6.4 e utilizando-se as equações

componentes obtidas dos Gráficos das Fig. (7.1) a (7.8), pôde-se, enfim, calcular o valor da

constante C da Eq. (7.1), isto é, C = 1,1738, a qual também será necessária para se

estabelecer a EPG.

Finalmente, determinou-se a EPG através da substituição na Eq. (6.1), do valor da

constante C, acima, e das equações componentes dos Gráficos das Fig. (7.1) a (7.8).

Genericamente, poder-se-ia estabelecer a EPG da seguinte forma:

3 4

8 9

2 3 4 5

6 7 8 9

db db

b b n

b b

R R

FR C FP a e a e a e a

a e a a e a e

 

 

 

 

 

⋅ ⋅

 

   

   

   

 

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

 

 

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

 

(7.1)

Os valores das constantes acima vêm das equações resultantes das calibrações dos

dados simulados nos Gráficos das Fig. (7.1) a (7.8), ou seja:

82 4 6

2 4 8

3 5 9

3 5

7 9

1,1738

1,2534

0,6347 1,6109 0,9344

3,6628 -1,298 -0,5633

0,5165

1,0345 0,8947

2,8409

0,9122

1,2362 0,0466

0,4610 -0,9286

a a a

b b bb

a a

b b b b

= = =

= = ==

= =

= = = =

(7.2)

Efetuadas as multiplicações das constantes de cada equação componente pela

constante da EPG, obtém-se uma equação um pouco mais compacta para a FR, como se

vê a seguir:

101

3 4

8 9

db db

b n

b b

R R

e e

e e e

FR k FP e

 

 

 

 

 

⋅

 

   

   

   

 

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

 

 

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

 

(7.3)

onde:

2 3 4 5 6 7 8 9

3,3715

k C a a a a a a a a

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Disto resultando, por fim, a seguinte equação para a predição da FR:

0,5165.

db db

0,461

0,0466

3,6628. .

1,2362. -1,298.n

-0,5633. -0,9286.

R R

3,3715 . . .e .e . .e . .

.e .e

FR FP e

 

 

 

 

 

 

   

   

   

 

 

 

(7.4)

Enfim, o objetivo primeiro desta abordagem, portanto, é encontrar os valores ótimos para

as constantes C, a

e b

para a Eq. (7.1) resultar na Eq. (7.4). Como as constantes a

e b

(i = 2,

3, ... , 9) vêm das funções ajustadas aos dados obtidos das simulações numéricas, também por

este motivo, a metodologia desenvolvida nesta pesquisa foi programada em FOR-TRAN 90. Isto

permitiria operacionalizar mais facilmente uma otimização das constantes obtidas da base de

dados adquiridos via simulações com melhores precisões, em um futuro trabalho.

Pode-se verificar nas Fig. 7.1 a 7.8 que, em relação à sensibilidade da FR aos

parâmetros de materiais, em ordem decrescente de importância, tem-se que a maior

influência é de n, seguido pelo Limite convencional de elasticidade (S

) e, por último, o grupo

adimensional que relaciona o Módulo de Young (E) com a constante de encruamento (K).

Pode-se ainda constatar que o coeficiente de atrito está entre os parâmetros que possuem

uma influência direta em sua relação com a FR.

Uma análise de sensibilidade em relação aos parâmetros de materiais conduz à

conclusão de que a FR possui a maior sensibilidade em relação ao grupo adimensional da

espessura de chapa. Seguem-se em relação a este, em ordem decrescente de importância,

os grupos adimensionais que relacionam os raios da matriz e do freio de estampagem, a

folga e, por último, a profundidade de penetração do freio.

A folga horizontal, entretanto, é um parâmetro que pode ter uma influência importante

na FR, pois, como a FR aumenta quando o metal é forçado a se conformar mais

proximamente ao raio da ferramenta, então, em decorrência de uma redução do raio efetivo,

a FR alcança seu máximo valor para pequenos valores de folga, como já se disse.

102

Alguns parâmetros utilizados para a caracterização dos materiais possuem importante

contribuição no cálculo da força requerida para se deformar metais, pois a magnitude das

deformações plásticas comparadas às deformações elásticas determina a hipótese

assumida para a plasticidade (isto é, elastoplástico, viscoplástico, etc.).

Como mencionado anteriormente, Ghosh e Laukonis (1976) demonstraram que n e K

são dependentes do estado de deformação e que as forças de estampagem evoluem

diretamente com os valores de K e inversamente com os valores de n. Os resultados desta

pesquisa coincidem com esta constatação, ao se verificar a evolução do parâmetro n em

relação à FR, no Gráfico 7.3. Não se investigou a influência do parâmetro K, isoladamente,

neste estudo.

Com relação à influência sobre a FR dos parâmetros de materiais, em ordem

decrescente de importância, pôde-se observar que a maior influencia é de n, seguido pelo

Limite convencional de elasticidade (S

) e, por último, o grupo adimensional que relaciona o

Módulo de Young (E) com a constante de encruamento (K).

Em relação ao coeficiente de atrito (µ), pôde-se observar que a concordância dos

dados simulados nesta pesquisa com os dados experimentais corroboraram a aplicabilidade

da Lei de Coulomb a este tipo de problema de estampagem, preconizada por Nine (1978).

Uma indicação de que a Lei de Coulomb se aplica aos freios de estampagem é embasada

pela boa concordância dos resultados obtidos pelos dois métodos utilizados por Nine (1978)

para calcular o coeficiente de atrito. Isto é, assumindo-se que a pressão devida ao atrito

aumenta linearmente ou fazendo-se uma analogia com o caso de atrito entre placas planas,

mas multiplicando a força de fechamento do prensa-chapas por π. O coeficiente de atrito

está no grupo daqueles parâmetros que possuem uma influência direta em sua relação com

a FR, conforme Fig. 7.2.

É muito importante ressaltar, todavia, que, sob a luz deste estudo, a Eq.(7.1) é uma

das infinitas possibilidades de obtenção para uma EPG. Isto se deve ao fato de que cada

ponto simulado pode ser obtido, em tese, com uma precisão tanto melhor quanto se queira

arcar com os custos computacionais para a obtenção de cada um deles. Respeitados,

evidentemente, não só os limites impostos pela natureza de aproximação do MEF,

eminentemente, mas também pela aproximação que qualquer modelo físico pressupõe.

7.3 Validações da EPG com dados experimentais

Nine (1978) realizou numerosos experimentos para investigar a influência dos

parâmetros geométricos, das propriedades dos materiais, da força do prensa-chapas (FP) e

103

do coeficiente de atrito sobre a FR. Estes experimentos são amplamente referenciados em

trabalhos sobre freios de estampagem e foram desenvolvidos nos laboratórios da

companhia General Motors, Inc., nos Estados Unidos, ainda nos anos 1970 e estão

detalhados na seção a eles pertinentes, dentro do capítulo de Metodologia desta tese.

A Tabela 7.1 a seguir traz uma comparação entre dezenove resultados experimentais

de Nine (1978) e as predições feitas com a EPG para estes mesmos experimentos. A média

dos valores absolutos das diferenças percentuais descritas na Tab. 7.1 está próxima de 6%.

E, para os casos estudados, o valor máximo para cada diferença de estimação da EPG, em

relação aos dados experimentais em questão, é igual a 11%. Como já foi dito, teoricamente,

estas diferenças ainda poderiam ser melhoradas.

Tabela 7.1 – Testes da EPG com os experimentos de Nine (1978).

do teste FR - Nine (KN) FR – Duarte (KN)

Diferença (%)

1 94 86 -8

2 60 57 -5

3 66 67 2

4 117 120 3

5 78 77 -1

6 80 76 -5

7 66 64 -4

8 114 114 0

9 82 79 -4

10 78 75 -4

11 98 98 0

12 168 186 11

13 82 74 -10

14 74 72 -2

15 128 134 4

16 100 94 -6

17 160 169 6

18 114 123 8

19 138 135 -2

A Tabela 7.2 traz os valores dos parâmetros usados em cada um dos experimentos,

todos eles executados com folga horizontal desprezível, isto é, aproximadamente igual a

zero. A simbologia empregada na Tab. 7.2 é a mesma utilizada no capítulo dedicado à

metodologia desta tese.

104

Tabela 7.2 – Características dos testes feitos com os experimentos de Nine (1978).

Teste

n E (Mpa)

K(MPa)

(Mpa)

µ t (mm)

(mm)

h (mm)

FP (KN)

1 0,26

70967 643,0 192,9 0,200

0,81 5,50 5,50 11,81 72

2 0,26

70967 643,0 192,9 0,040

0,81 5,50 5,50 11,81 58

3 0,26

70967 643,0 192,9 0,070

0,81 5,50 5,50 11,81 66

4 0,24

70967 643,0 192,9 0,001

0,89 5,50 5,50 11,89 56

5 0,24

70967 643,0 192,9 0,170

0,89 5,50 5,50 11,89 96

6 0,24

70967 643,0 192,9 0,070

0,89 5,50 5,50 11,89 70

7 0,24

70967 643,0 192,9 0,080

0,89 5,50 5,50 11,89 68

8 0,18

206000

576,0 171,7 0,001

0,76 5,50 5,50 11,76 60

9 0,18

206000

576,0 171,7 0,210

0,76 5,50 5,50 11,76 84

10 0,18

206000

576,0 171,7 0,080

0,76 5,50 5,50 11,76 68

11 0,23

206000

559,0 171,7 0,001

0,86 5,50 5,50 11,86 70

12 0,23

206000

559,0 171,7 0,070

0,86 5,50 5,50 11,86 84

13 0,19

206000

519,0 171,7 0,200

0,99 5,50 5,50 11,99 116

14 0,24

206000

529,0 171,7 0,070

0,76 5,50 5,50 11,76 68

15 0,21

206000

491,0 171,7 0,001

0,86 5,50 5,50 11,86 64

16 0,21

206000

491,0 171,7 0,170

0,86 5,50 5,50 11,86 96

17 0,23

206000

529,0 171,7 0,001

0,97 5,50 5,50 11,97 80

18 0,23

206000

529,0 171,7 0,180

0,97 5,50 5,50 11,97 116

19 0,23

206000

529,0 171,7 0,060

0,97 5,50 5,50 11,97 98

Para uma melhor visualização das comparações entre os resultados experimentais e

as predições feitas pela EPG, os mesmos estão plotados no gráfico da Fig. 7.9:

Cálculo da FR

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Número do teste

FR (KN)

Nine (1978) Duarte

Figura 7.9 – Validações da EPG com resultados analíticos e com dados experimentais de Nine (1978).

105

É possível se constatar no gráfico da Fig. 7.9, a relativa flexibilidade da EPG para

encontrar a solução com diferentes grupos de parâmetros experimentais e sua relativa

precisão, face à complexidade do tema.

7.4 Validações da EPG com a solução analítica de Stoughton (1988)

Stoughton (1988) utilizou os trabalhos de Levy (1983) e Levy (1985) como uma

primeira aproximação para se desenvolver o modelo analítico de predição da FR. Sua idéia

básica consiste na integração do trabalho de deformação ao longo da espessura da chapa,

em toda a extensão do freio, baseando-se no princípio dos trabalhos virtuais.

As principais características do modelo de Stoughton são: o uso de um raio efetivo de

flexão da chapa a fim de se obter melhores resultados para as estimações de estampagens

de penetrações mais rasas; fórmula fechada para a predição da FR sem necessidade de

pré-estimativas, como por exemplo, cálculos iterativos de algum parâmetro.

Um caso típico de um freio circular, conforme Fig. 6.5, está descrito em Guo et al.

(2000). Nesta referência bibliográfica há cinco testes feitos com o modelo de Stoughton e os

experimentos de Nine (1978). Utilizar-se-ão aqui estes mesmos casos para se testar os

resultados das predições da EPG desenvolvida nesta investigação.

Estes casos estão caracterizados por um módulo Young, E = 210 GPa, pela constante

de encruamento da Lei de Potência de Hollomon K = 516 Mpa, por um coeficiente de

encruamento n = 0,23 e pelo coeficiente médio de anistropia R = 1,6. Demais propriedades

dos ensaios se encontram na Tab. 7.3, em Nine (1978) e em Guo et al.(2000).

Tabela 7.3 – Parâmetros para cinco testes com freios circulares. [Dados disponíveis em Guo et al.(2000)].

Espécime de

freio

Raio do freio

(mm)

Espessura de

chapa (mm)

Coeficiente de

atrito

Força no Prensa

chapas (KN)

1 4,75 0,86 0,160 98

2 4,75 0,86 0,070 82

3 5,50 0,76 0,184 84

4 5,50 0,86 0,167 96

5 5,50 0,86 0,050 82

Usando-se os dados descritos na Tab. 7.3 e Tab. 7.4, estimativas para a FR foram

calculadas com o modelo de Stoughton (1988), com a EPG obtida nestes estudos e

comparados aos dados experimentais de Nine (1978).

106

Tabela 7.4 – Testes comparativos com os experimentos de Nine (1978) das estimativas feitas para a

FR pela EPG e por Stoughton (1988). [Dados disponíveis em Guo et al. (2000)].

Espécime

de freio

FR (Valor

experimental em N /

mm)

FR (Valor estimado

pela EPG em

N / mm)

FR (Valor estimado

por Stoughton em

N / mm)

Erro

Stoughton

(%)

Erro

EPG

(%)

1 138 135 122 –12 – 2

2 106 101 94 –11 – 5

3 112 105 103 – 8 – 6

4 128 133 121 – 5 4

5 92 98 80 –13 7

Como se pode ver na Tab. 7.4, as estimativas para a FR feitas com esta abordagem

estão mais próximos dos resultados experimentais que aqueles estimados como modelo

analítico de Stoughton (1988).

Cálculo da FR

100

110

120

130

140

150

0 1 2 3 4 5 6

Número do Teste

FR (KN)

Nine

Duarte

Stoughton

Figura 7.10 – Validações da EPG com resultados analíticos e com dados experimentais de Nine

(1978).

Pode-se notar ainda que, para esses cinco casos, o módulo do erro absoluto foi

inferior a 5% e para estes cinco casos estudados, o erro máximo foi de cerca de 7%. Para

melhor visualização, os resultados destes cinco testes estão no gráfico da Fig. 7.10.

107

7.5 Testes suplementares da EPG com simulações bidimensionais em EF

Adicionalmente às validações da EPG com resultados analíticos e experimentais

descritos nas seções anteriores, testes suplementares ainda foram feitos com simulações

2D no STAMPACK

. Estes testes foram realizados para diferentes grupos de parâmetros

geométricos, de materiais e de processos, como a FP e o coeficiente de atrito, para se

averiguar as vantagens de se utilizar a EPG como uma alternativa rápida no cálculo da FR.

Eliminou-se com esta contribuição a necessidade de se fazer uma simulação 2D, cujo

custo computacional costuma levar em torno de quase duas horas de processamento,

dependendo da configuração da estação de trabalho e da necessidade de precisão dos

resultados.

Cada parâmetro foi investigado, mantendo-se constante todos os demais para se

avaliar a evolução da FR.

As Figuras 7.11 a 7.18 mostram os resultados destes contrastes entre as predições

da EPG e as simulações 2D em EF:

Predição x Simulação

0,12 0,14 0,16 0,19 0,23 0,27 0,32

t / Rd

FR/FP

S TAMPA CK

Duar t e

Predição x Simulação

0,05 0,08 0,10 0,13 0,15 0,17 0,20 0,25

Atrito

FR / FP

STAMPACK

Duarte

Figura 7.11 – FR versus Espessura. Figura 7.12 – FR versus atrito.

Predição x Simulação

3,00

3,50

4,00

4,50

0,10 0,14 0,17 0,20 0,23 0,25 0,28 0,30

FR / FP

STAMPACK

Duarte

Predição x Simulação

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

100 150 200 250 300 350 400 450 500

E / K

FR / FP

STAMPACK

Duarte

Figura 7.13 – FR versus coef. de encruamento. Figura 7.14 – FR versus Módulo de Young.

108

Predição x Simulação

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0,15 0,33 0,45 0,60 0,75 0,90

Sy / K

FR / FP

STAMPACK

Duarte

Predição x Simulação

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,7 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,2

Penetração / Rb

FR/ FP

STAMPACK

Duarte

Figura 7.15 – FR versus Limite de Escoamento. Figura 7.16 – FR versus Penetração.

Predição x Simulação

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

0,034 0,063 0,097 0,131 0,160 0,189 0,221 0,253

c / Rd

FR /FP

STAMPACK

Duarte

Predição x Simulação

0,8 0,9 1,0 1,2 1,3 1,4 1,5

Rm / Rd

FR / FP

STAMPACK

Duarte

Figura 7.17 – FR versus folga. Figura 7.18 – FR versus Raio do Freio.

Em todos os casos simulados nesta pesquisa, o erro máximo foi de 11% para um erro

absoluto médio de 6%.

Está claro, entretanto, que há limites para se baixar o erro médio da equação, tendo-

se em vista que existem fontes de incertezas de toda natureza na Metodologia proposta,

divididas nos seguintes três grupos:

1. Nos dados experimentais utilizados na validação do modelo proposto;

2. Nos desvios decorrentes da natureza das funções escolhidas para serem

ajustadas em cada equação componente;

3. Erros numéricos diversos.

CAPÍTULO VIII

CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS

Em busca das respostas ao problema proposto no projeto de tese, onde se havia

estabelecido como meta principal a determinação de uma equação fechada para a

estimação da FR, e ao longo das pesquisas, várias conclusões foram vislumbradas.

Passa-se, neste momento, a discorrer sobre as sugestões para os trabalhos futuros

como continuidade deste estudo. Antes, porém, se discorrerá sobre as conclusões deste

estudo, a saber:

• Para se estudar com profundidade os conceitos referentes à estimação da FR,

modelos em EF foram projetados nesta tese para se simular o processo de

estampagem de chapas metálicas, mais especificamente focado na região

onde a chapa passa por um freio circular. Na validação dos modelos em EF e

nos testes dos resultados foram utilizados os resultados experimentais de Nine

(1978) e os resultados analíticos de Stoughton (1988). Para cada grupo de

parâmetros adimensionais, no mínimo sete pontos foram simulados para se

ajustar dois tipos de funções: potenciais e exponenciais, as quais foram

escolhidas em função de sua melhor correlação na calibração dos dados

numéricos;

• Destas simulações, pôde-se estudar a influência na FR de vários parâmetros,

divididos em três grupos: de materiais, geométricos e de processo;

• Constatou-se que alguns parâmetros geométricos têm uma influencia inversa e

outros direta no cálculo da FR: espessura e penetração estão nos grupos

daqueles que possuem uma influência direta no cálculo da FR, enquanto a

folga e a razão entre os raios da matriz e do freio circular possuem influência

inversa na evolução da FR;

• Uma análise de sensibilidade em relação a estes parâmetros conduz à

conclusão de que a FR possui a maior sensibilidade em relação ao grupo

110

adimensional da espessura de chapa. Seguem-se em relação a este, em

ordem decrescente, os grupos adimensionais que relacionam os raios da

matriz e do freio de estampagem, a folga e, por último, a profundidade de

penetração do freio;

• A FR alcança seu máximo valor para pequenos valores de folga, quando a

saliência do freio está penetrada dentro da ranhura na matriz até a posição

onde o centro de curvatura dos raios dos ombros da matriz está alinhado com

o centro de curvatura da saliência do freio. Neste limite de penetração, a chapa

está fletida com o raio mínimo de flexão, isto é, o raio de cada uma das

ferramentas. Penetrações maiores que estas não podem aumentar a FR sem

que a chapa seja esmagada, tendo sido esta constatação coincidente com os

resultados experimentais de Nine (1978);

• Em relação à sensibilidade da FR aos parâmetros de materiais, em ordem

decrescente de importância, tem-se que a maior influência é de n, seguido

pelo limite convencional de elasticidade (S

) e, por último, o grupo

adimensional que relaciona o Módulo de Young (E) com a constante de

encruamento (K);

• Em relação à FP, não se desenvolveu um estudo específico para se detectar

rigorosamente sua influência sobre a FR. Cabe ressaltar, no entanto, que a

determinação de um valor, via tentativa e erro, que fosse o mais adequado,

sem que houvesse um esmagamento da chapa, foi extremamente moroso, em

face dos procedimentos adotados nesta metodologia. Seria de bom alvitre que

um valor para a FP tivesse sido estimado analiticamente, segundo Stoughton,

por exemplo, antes que se iniciassem as simulações para se encontrar um

valor tal de FP que não se instabilizasse para pequenos valores de espessura

de chapa, mas que fosse suficiente para manter o prensa-chapas fechado

durante as estampagens feitas com maiores espessuras de chapa;

• Os parâmetros numéricos investigados com relação à sua influência sobre a

simulação da FR foram:

o O “aspect ratio” - razão entre a altura e a largura do elemento

quadrilateral – e sua influência sobre o valor simulado para a FR. Para

este parâmetro, o valor adotado no modelo em EF final foi de 80

elementos na longitude e três elementos na espessura. Cabe aqui

lembrar que a estabilidade da FR simulada foi alcançada com maior

êxito quando se tentou compatibilizar tamanhos dos elementos da

chapa que estão em contato com a matriz;

111

o Tempo Crítico: assumiu-se o valor de 0.00010 s para o tempo crítico

em todas as simulações neste trabalho;

o Amortecimento: o melhor valor para o ajuste do modelo em EF,

quando comparado o resultado simulado ao resultado experimental da

FR, também se deu com o valor 5 que é o valor da amplitude de

amortecimento estipulado automaticamente pelo código.

• A obtenção de uma equação fechada com erro inferior aos 10 % estava no

projeto desta tese como uma das metas mais preponderantes. Nos testes

experimentais, a média dos valores absolutos das diferenças percentuais

obtidas esteve próxima dos 6% e, para os casos estudados, o valor máximo da

diferença para cada teste da EPG foi igual a 11%. Teoricamente, estes erros

ainda poderiam ser melhorados, caso se fizessem simulações com custos

computacionais mais elevados;

• Além da programação da equação para a predição da FR, também se fez

uma programação em FORTRAN 90 da metodologia utilizada na obtenção da

referida equação. Como resultado disto, o que se torna fundamental, é a

otimização de todas as constantes da EPG, através do Método dos Mínimos

Quadrados, posteriormente à obtenção de cada ponto simulado com a maior

aproximação possível dos dados experimentais disponíveis.

8.2 Sugestões de trabalhos futuros

Com o objetivo de se generalizar e automatizar os procedimentos aqui adotados, fez-

se uma programação em FORTRAN 90 da metodologia desenvolvida nesta tese. Este

programa deve possibilitar alguns desdobramentos em trabalhos futuros, a saber:

• Após alguns ajustes de novos grupos adimensionais adequados, extrapolar-se a

aplicação desta metodologia para freios com geometrias distintas da convencional

seção circular aqui investigada, como por exemplo, seção retangular, em “step”,

etc.;

• Os bons resultados alcançados com esta metodologia indicam que sua utilização,

como de resto a teoria da similitude, pode ser aplicada a outros fenômenos físicos,

similares ou não a este problema. Para tal, não se podem prescindir de sólidos

fundamentos e conceitos físicos do problema estudado para se tirar proveito das

virtudes deste tipo de abordagem, cuja principal vantagem repousa na redução do

número de variáveis que devem ser investigadas. Além disto, há a possibilidade de

se agrupar as variáveis adimensionais adequadamente, de maneira a facilitar a

112

observação do fenômeno e, por conseguinte, a coleta dos dados – neste caso,

numéricos;

• Sistematizar a coleta dos dados simulados em EF para os grupos adimensionais

do problema em estudo, tornando automática a entrada dos números de grupos

adimensionais e dos dados simulados necessários para a calibração das equações

componentes no programa da metodologia.

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ββ

βwülste und Ziehstäbe in Stanzerei-Groβ

ββ

βwerkzeugen,

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ZIENKIEWICZ, O.C.; TAYLOR, R.L. El método de los elementos finitos. Mecánica de

sólidos, Vol. 2. 5. Ed., CIMNE, Barcelona, España, 2004.

ANEXO

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

STAMPACK

Quick Drawbeads Evaluation Module

In this STAMPACK

version, the Quick Drawbead Evaluation (

QDE

)

module is available with the purpose of estimating the Drawbead

Restraining Force (DBRF) value in an accurate and quick manner.

Default values for drawbeads may also be used (see Tutorial 03

However, in case that an accurate drawbeads characterisa

tion is

required, STAMPACK

offers two options

1. To carry out a 2-D Simulation (See Tutorial 05);

2. To use the “Quick Drawbeads Evaluation (QDE) module” ;

The aim of this Tutorial is to describe how to proceed with this

evaluation.

Important aspects : - Drawbead basic concepts;

- Overview of the QDE Module window;

- Details of drawbeads material parameters;

- Details of drawbeads geometry parameters;

Edificio Nexus, Gran Capitán, 2-4

08034 Barcelona, Spain

Tel: +34 93 204 7083 - Fax: +34 93 204 7256

http://www.quantech.es

Drawing

DBR

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

The most widely used geometrical form

of the drawbead cross section is

circular, although rectangular, triangular,

trapezoidal and unsymmetrical for

ms are

also employed. In the current module,

only the circular form is available.

A conventional drawbead is a device

which has a semi

-cylindrical bead

located on one binder face that fits into

a die groove.

Blank Holding

Force (BHF)

Drawing force

Die groove

shoulder

Restraining force(DBRF)

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 A general press set-up

A.3 Equivalent Drawbead Method

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Material properties parameters

B.3 Operation parameters

C) The DBRF estimated

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Position of the drawbead

A.3 Equivalent Drawbead Method

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Material properties parameters

B.3 Operation parameters

C) The DBRF estimated

Moving tool

die groove position for drawbeads

some real press

tools is shown

beside and a typical incremental simu

lation of a general press set-

up is

shown below (a virtual press).

Virtual position

of the

drawbead

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

In a 3D simulation, the drawbead radii are very small compared to the

other tool radii. To

model this problem completely would imply using a very fine blank mesh and this would

dramatically increase the computational cost.

To overcome this, in STAMPACK

a model considering the real drawbead as an

“equivalent drawbead” is used on the following assumptions:

1- the drawbead is replaced by a line depicted on the binder

(or blankholder) surface and

passing through the center of the drawbead cross-section

2- the magnitude of the DBRF (acting tangent to the blank and normal to the

drawbead

line) depends on the relative displacement of the blank with respect to the drawbead.

The DBRF

often is determined by means of experiments or by a 2D simulation of the

drawbead performance. This Tutorial presents another option to realize this e

valuation. It

explains how to use the QDE

module which was developed using a hybrid approach to

determine the DBRF – see Duarte (2006).

Equivalent drawbead

Line depicting the equivalent drawbead

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 A general press set-up

A.3 Equivalent Drawbead Method

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Material properties parameters

B.3 Operation parameters

C) The DBRF estimated

Using 2D simulations, Carleer et al (1995)

established an approach by which the

distributions of DBRF

of the sheet are initially

curve-fitted as a function

of displacement so that

these functions are applied as boundary

conditions to produce similar effects

in the 3D

modeling.

This approach has been named the

“equivalent drawbead method”.

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

The window shown below, which is used in

the QED module, has 11 input values to fill

with the drawbead parameters. They are

divided in three groups: Geometry para-

meters; Process parameters and Material

parameters.

In order to proceed the evaluation with accuracy,

special attention should be paid when filling the

input values. For this reason, the adequate

procedures necessary to determine the appropriate

parameter value will be explained for each group.

Geometry parameters:

Clearance:

Clearance must be filled with the gap va

lue measured

horizontally between the bead that fits into the die groove and the

vertical die shoulder edge,

discounting the sheet thickness.

(See the drawbead depicted in the below figure).

Drawing

force

Penetration [mm]

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

Geometry parameters:

Bead radius:

Bead radius

must be filled with the radius value measured

in mm on the circular cross section

of the bead which fits

into the die groove.

Drawing force

Penetration [mm]

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

Geometry parameters:

Die radius:

Die radius

must be filled with the die radius value, in mm,

measured on the die shoulder.

Drawing

force

Penetration [mm]

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

Drawing

force

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

Geometry parameters:

Sheet thickness:

Sheet thickness must be filled with the actual value of the sheet thickness

in mm.

Penetration [mm]

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

Geometry parameters:

Penetration:

Penetration must be filled with the sum

of the dimension

vertically measured on the Bead height and the

Sheet

thickness , in mm – see the below figure.

Drawing

force

Penetration [mm]

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

Several assumptions about process

and material properties parameters

were adopted in the QED module.

Some of these assumptions

considered as constants those

parameters which have less

influence on the DBRF than the

ones used here. For example: the

DBRF estimation in this module is

for a maximum punch velocity

constant and equal to 0.90 m/s and

the plastic anysotropic parameter R

was considered constant and equal

to 1.58.

Process parameters:

Blank holding force:

Blank holding force

must be filled with the

value of the Blank holding force in KN in

orde

r to determine the value of the DBRF

in the same unit, that is, KN.

Drawing force

Process parameters:

Friction coefficient:

Friction coefficient

must be filled with the stamping

process friction coefficient value as nearly to the

actual value as possible

. See Nine(1978) for more

details about obtaining a friction coefficient for

sheet metal being drawn through drawbeads.

Penetration [mm]

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

Material parameters:

Young´s modulus:

Young´s modulus force

must be filled with special

attention about its unit. In this input value, the

employment of the Young Modulus´ value in

MPa

is mandatory.

Drawing force

Material parameters:

Conventional elastic limit:

Conventional elastic limit

must be filled

with the value of the Yie

ld Stress, in MPa.

Penetration [mm]

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

Drawing force

Penetration [mm]

Material parameters:

Hardening exponent:

Hardening exponent

must be filled with the

exponent hardening value, both -

exponent and

hardening constant -

used in the power law

strain hardening.

Material parameters:

Hardening constant:

Hardening constant

must be filled with the

Hardening constant value, in MPa.

TUTORIAL 19

Stampack’s Quick Drawbeads Evaluation

A) Overviewing drawbead basic concepts

A.1 Introduction

A.2 Equivalent Drawbead Method

A.3 A general press set-up

B) Exploring the QED Module window

B.1 Geometry parameters

B.2 Process parameters

B.3 Material properties parameters

C) The DBRF estimated

REFERENCES:

[1] Carleer, B.D., P.T. Vreede, P. Drent, M.F.M. Louwes and J. Huetink, (1994), " Modeling Drawbeads with

Finite Elements and Verification", J. Mater. Process. Technol., Vol. 45, pp. 63-68;

[2] Duarte, E.D., (2006), " A Hybrid Approach for Estimating the Drawbead Restraining Force in Sheet Metal

Forming”, Doctoral Thesis, Unversidade Federal de Uberlândia, Brazil.

[3] Nine, H. D., (1978) , "Drawbead forces in sheet metal forming", in: D. P. Koistinen, N. M. Wang (Eds.),

Mechanics of Sheet Metal Forming, Plenum Press, N. York, 1978, pp.179-211;

[4] STAMPACK

, (2003), "Theory Manual", v. 54. Quantech ATZ S.A. Barcelona, Spain.

Finally, the

Drawbead restraining force value

is obtained in this QED module in the sa

unit of the Blank holding force, that is, KN. However, it must be remembered that this value is

divided by the drawbead length, in meters.

Drawing force

Penetration [mm]

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