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ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS NO
MODELO PARA DEGRADABILIDADE
IN
SITU
DE MERTENS E LOFTEN
TACIANA VILLELA SAVIAN
2005
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TACIANA VILLELA SAVIAN
ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS NO MODELO PARA
DEGRADABILIDADE
IN SITU
DE MERTENS E LOFTEN
Dissertação apresentada à Universidade Federal
de Lavras como parte das exigências do Curso de
Mestrado em Agronomia, área de concentração
em Estatística e Experimentação Agropecuária,
para a obtenção do título de "Mestre".
Orientador
Prof. Joel Augusto Muniz
LAVRAS
MINAS GERAIS - BRASIL
2005
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TACIANA VILLELA SAVIAN
ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS NO MODELO PARA
DEGRADABILIDADE
IN SITU
DE MERTENS E LOFTEN
APROVADA em 25 de fevereiro de 2005
Prof. Dr. Idalmo Garcia Pereira FAFEID
Prof. Dr. Ruben Delly Veiga UFLA
Prof. Dr. Augusto Ramalho de Morais UFLA
Prof. Joel Augusto Muniz
UFLA
(Orientador)
LAVRAS
MINAS GERAIS - BRASIL
Dissertação apresentada à Universidade Federal de
Lavras como parte das exigências do Curso de
Mestrado em Agronomia, área de concentração em
Estatística e Experimentação Agropecuária, para a
obtenção do título de “Mestre”.
Os números acompanham o desenvolvimento da humanidade e se
comunicam em qualquer idioma. Não são frios, estáticos ou neutros e
sua finalidade é bem mais ampla do que um simples cálculo
matemático. Eles disciplinam o tempo, fazendo com que a vida diária se
torne mais produtiva.
Autor desconhecido.
À minha mãe, Maria Angela, pelo amor, amizade, confiança, equilíbrio, força e
fé, em todos os momentos;
Ao meu pai, Ferrante (in memorian), por ter me ajudado enquanto pôde;
OFEREÇO
À minha irmã, Mareska e ao meu cunhado, Cyro, pelo apoio, confiança,
paciência e pelo maior tesouro de minha vida, sua filha Lara.
DEDICO
AGRADECIMENTOS
A DEUS, por ter me concedido a graça da vida e por me amparar em todos os
momentos.
À Universidade Federal de Lavras e ao Programa de Pós-Graduação em
Agronomia/Estatística e Experimentação Agropecuária.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES), pelo suporte financeiro concedido para a realização deste trabalho.
Ao professor Joel Augusto Muniz, por ter me honrado com sua
orientação e por, muitas vezes, ter sido meu segundo pai.
Ao professor Luiz Henrique de Aquino, pelo incentivo e por ter
acreditado em mim.
Ao professor Daniel Furtado Ferreira, pela co-orientação e
ensinamentos.
Aos professores Idalmo Garcia Pereira, Ruben Delly Veiga e Augusto
Ramalho de Morais, pela valiosa contribuição.
Aos demais professores do Departamento de Ciências Exatas, pelos
ensinamentos e por terem me preparado profissionalmente.
Aos colegas do Departamento, Fabyano, Cirillo, Denismar, Janser, Luiz
Alberto, Waldemar e Washington, por servirem de exemplo.
Aos colegas de curso, Nilson (e a “dona da pensão”, Maria José), Eric,
Roberta, Deive, Maria Imaculada, Gisele, Antônio, Rômulo, Devanil, Regilson,
Luciane, Mônica e Rejane, pela paciência e pela troca de conhecimentos.
À Maristela, Maria, Selminha e Edila, pela atenção e pelos cafezinhos.
Aos amigos Sarita, Paulo (Poeira), Ariana, Alessandra, Felinha, Tatiana,
Cleube, Simone, Cláudio, Amâncio, Adalberto, Denílson, enfim, a todos os
amigos, pelos dias felizes e por tornarem a minha estada em Lavras um grande
prazer.
Aos amigos Fábio, Vera, Luiz Carlos, Thaís, Ana Márcia e Eduardo que
mesmo de longe, torceram por mim e me apoiaram.
Aos meus tios Maria Izaura (minha segunda mãe), Júnior e Simone, Luiz
e Miriam, Guido e Cristina, pelo amor, confiança e apoio. Sempre serei grata.
SUMÁRIO
RESUMO
................................
................................
................................
..............
i
ABSTRACT
................................
................................
................................
.........
ii
1 INTRODUÇÃO
................................
................................
................................
1
2 REFERENCIAL TEÓRICO
................................
................................
.............
3
2.1 Modelos não-lineares
................................
................................
....................
3
2.1.1 Métodos de estimação de parâmetros dos modelos não-lineares
...............
5
2.1.1.1 Método dos quadrados mínimos ordinários
................................
............
7
2.1.1.2 Método dos quadrados mínimos ponderados
................................
...........
9
2.1.1.3 Método dos quadrados mínimos generalizados
................................
.....
11
2.2 Método de reamostragem: jackknife
................................
...........................
16
2.3 Modelos matemáticos que descrevem a cinética de degradação ruminal
....
16
3 MATERIAL E MÉTODOS
................................
................................
...........
22
3.1 Material
................................
................................
................................
.......
22
3.2 Métodos
................................
................................
................................
.......
22
3.2.1 Processo numéricos iterativos
................................
................................
...
22
3.2.2 Ajuste dos modelos não-lineares
................................
...............................
24
3.2.3 Derivadas parciais e elementos da matriz X e X`X do modelo não-linear
de Mertens e Loften
................................
................................
..........................
25
3.2.4 Método jackknife para estimação da variância dos estimadores
...............
29
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
................................
................................
....
31
4.1 Análise exploratória dos dados
................................
................................
....
31
4.2 Ajuste das curvas, média e individual, para o modelo não ponderado sem
estrutura de erros auto-regressivos
................................
................................
.....
36
4.3 Ajuste da curva individual para o modelo não ponderado com estrutura de
erros auto-regressivos
................................
................................
.........................
38
4.4 Ajuste das curvas, média e individual, para o modelo ponderado sem
estrutura de erros auto-regressivos
................................
................................
.....
41
5 CONCLUSÕES
................................
................................
...............................
47
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
................................
...............................
48
ANEXOS
................................
................................
................................
...........
51
i
RESUMO
SAVIAN, Taciana Villela.
Estimação dos parâmetros no modelo para
degradabilidade
in situ
de Mertens e Loften.
2005. 55p. Dissertação
(Mestrado em Agronomia/Estatística e Experimentação Agropecuária)-
Universidade Federal de Lavras, Lavras.
∗
Objetivou-se avaliar o comportamento dos parâmetros do modelo de
degradação proposto por Mertens & Loften (1980) ajustado aos resultados de
um ensaio de degradabilidade
in situ.
O experimento avaliou o resíduo
potencialmente degradável da fibra em detergente neutro (FDN) da gramínea
coast-cross (
Cynodon dactylon
x
Cynodon nlemfunensis
) submetida a três idades
de corte (30, 60, 90 dias), com três repetições. Em cada idade de corte, o resíduo
potencialmente degradável da FDN foi estudado utilizando quinze tempos de
incubação (0; 0,5; 1; 3; 6; 9; 12; 18; 24; 36; 48; 56; 72; 96 e 120 horas). A
unidade experimental foi constituída por uma vaca não lactante, com fístula
ruminal permanente. Foram obtidos ajustes médios e individuais para os
animais, em três diferentes configurações: ponderado pelo inverso da variância
sem erros auto-regressivos; não ponderado com erros auto-regressivos (AR) e
não ponderado sem erros auto-regressivos. Obtiveram-se também as variâncias
dos estimadores dos parâmetros por meio da matriz de variância e covariância
dos parâmetros e pelo método jackknife, propondo-se expressões para a
estimação do intervalo de confiança para os parâmetros do modelo. Os
resultados mostraram que a ponderação do modelo, pelo inverso da variância,
proporcionou estimativas estatisticamente iguais a zero para o tempo de latência.
A consideração de uma estrutura de erros auto-regressivos de segunda ordem
melhorou o ajuste do modelo de Mertens & Loften (1980), promovendo
estimativas mais precisas para os parâmetros. O método de jackknife
apresentou
maior estimativa de variância para os parâmetros do modelo de Mertens &
Loften (1980), para todas as idades de corte, nos ajustes individuais e médios.
∗
Comitê Orientador: Joel Augusto Muniz-UFLA (Orientador), Daniel Furtado
Ferreira (Co-orientador) -UFLA.
ii
ABSTRACT
SAVIAN, Taciana Villela.
Parameters estimation in the model for
in situ
degradability of Mertens and Loften.
2005. 55p. Dissertation (Master
Program in Agronomy/Major in Statistics and Agricultural Experimentation)
Federal University of Lavras, Lavras.
∗
We proposed evaluating the parameters of degradation model developed
by Mertens & Loften (1980) adjusted for data come from a trial of
in situ
degradability. The experiment has evaluated the coast-cross’s (
Cynodon
dactylon
x
Cynodon nlemfunensis
) potentially degradable residues of neutral
detergent fiber (NDF) on three cutting ages (30, 60, 90 days), with three
replications. At each cutting age, NDF potentially degraded residues was
investigated by utilizing fifteen incubation times (0; 0.5; 3, 6, 12, 24, 48, 72, 96
and 120 hours). Non-lactating cows with permanent rumen cannula constituted
the experimental unit
.
The animal’s individual and mean adjustments were
obtained by using the following models: weighted by the inverse of variance
without autoregressive error (AR), non-weighted with AR and non-weighted
without AR. It was estimated the variances of the parameters estimators by
covariance matrix and by jackknife method. It was calculated expressions for the
confidence interval for the model parameters. The results showed that the model
weighted by the inverse of variance provided estimates equally to zero for the
lag time. The consideration of second order autoregressive error improved the
fit of Mertens & Loften (1980) model, promoting more accurate estimates of the
parameters. The jackknife method showed larger variance estimates, for all
cutting ages, both individual and mean adjustments.
∗
Guidance Commitee: Joel Augusto Muniz-UFLA (Major Professor), Daniel
Furtado Ferreira -UFLA.
1
1
INTRODUÇÃO
O termo carboidrato é derivado do alemão
Kohlenhydrat
e significa uma
composição contendo carbono e água do tipo C
x
(H
2
O)
y,
os quais são sintetizados
a partir da fixação do dióxido de carbono do ar, que se junta à água do solo pelo
processo de fotossíntese, mediante a conversão da energia solar em energia
química, a qual é armazenada nas moléculas de carboidratos.
Esses carboidratos podem ser classificados de diversas maneiras. Uma
delas é quanto à sua função na célula vegetal, segundo a qual divide-se em
carboidratos estruturais (parede celular) e não-estruturais (conteúdo celular). A
parede celular é composta basicamente por celulose, hemicelulose, pectina,
lignina e outros. Os componentes mais importantes são a celulose e a lignina,
pois estes não podem ser digeridos pelos ruminantes e, em plantas com idade
avançada, há uma perda de água e a lignina complexa fortemente com os
componentes da parede celular.
A fibra em detergente neutro (FDN) é constituída basicamente de
celulose, hemicelulose e lignina, e a fibra em detergente ácido (FDA) é
constituída principalmente de lignina e celulose (Van Soest, 1994), daí a estar
mais associada com a digestibilidade dos alimentos, enquanto a FDN com a
ingestão, taxa de enchimento e passagem do alimento no sistema digestivo dos
ruminantes.
A microflora bacteriana começa a se desenvolver no rúmen do bezerro,
logo após o nascimento, por meio do contato com outros animais,
principalmente com a mãe e pelas diferentes fontes de alimentos. A presença de
microrganismos no rúmen dos bovinos é fundamental no processo digestivo,
pois ele não é capaz de degradar a celulose da forragem, realizada por enzimas
específicas que só são produzidas por microrganismos e plantas.
2
Por muito tempo, a alimentação dos ruminantes foi inadequada, pois
baseava-se apenas na quantidade e não na qualidade dos alimentos. Hoje, a
caracterização dos alimentos de acordo com sua composição química e
constituição de suas diferentes frações degradáveis ou não no rúmen é um dos
principais objetivos dos nutricionistas ao balancear rações que proporcionem
nutrientes para o crescimento e desenvolvimento dos microrganismos do rúmen
e, por conseguinte, do animal.
As primeiras avaliações de processos de digestão, que dependiam de
tempos de retenção, eram qualitativas e baseavam-se na interpretação visual de
curvas de digestão. A descrição do processo era difícil porque as curvas de
digestão mostravam comportamentos não-lineares e a seleção de um modelo
para descrever a degradabilidade depende da coerência deste modelo com os
eventos biológicos e de computadores para ajuste dos modelos às observações.
O presente trabalho teve o objetivo de avaliar o comportamento da
estimativa dos parâmetros de degradabilidade do modelo proposto por Mertens
& Loften (1980), bem como obter expressões para a variância dos estimadores
de seus parâmetros, possibilitando a construção de intervalos de confiança,
considerando uma estrutura de erros auto-regressivos e ponderação pelo inverso
da variância quando necessários.
3
2
REFERENCIAL TEÓRICO
2.1
Modelos não-lineares
Avaliar uma possível relação entre uma variável dependente e uma
variável independente é uma tarefa comum em análises estatísticas e pode ser
feita por meio dos modelos de regressão.
Para Ratkowsky (1983), um modelo de regressão não-linear é aquele no
qual os parâmetros apresentam não linearidade, por exemplo:
t
t
t
XY
ε
+
=
θ
em
que
θ
é o parâmetro a ser estimado. De forma semelhante aos modelos lineares,
o processo de estimação do parâmetro
θ
pode ser obtido pela minimização da
soma de quadrados dos resíduos, obtendo-se o sistema de equações normais não-
linear, o qual não apresenta uma solução explícita para
θ
ˆ
, que é obtida por
processos iterativos.
Draper & Smith (1998) classificam os modelos de regressão como:
a) modelos lineares: aqueles que são lineares em relação aos parâmetros, isto é;
( , ) ( )
i
j
f X g X
θ
θ
∂
=
∂
com i = 1, 2,...,n e j = 1, 2, ..., p
em que
i
f (X,
é a função resposta, n é o número de observações e p o número
de parâmetros do modelo;
b) modelos linearizáveis: aqueles que, por meio de alguma transformação,
tornam-se lineares. Considerando o modelo:
.
X
Y e
θ
=
4
em que
θ
é o parâmetro a ser estimado e o erro é dito multiplicativo. Aplicando-
se logaritmo à igualdade, tem-se:
ln ln( . )
X
Y e
θ
=
ln ln ln
X
Y e
θ
= +
ln ln ln
Y X e
θ
= +
sendo Z= ln Y; b= ln
θ
; e
*
=(ln e) o modelo fica:
*
Z bX e
= +
que é linear, pois
( )
Z
X g X
b
∂
= =
∂
,
que independe do parâmetro, mostrando que o modelo original é linearizável;
c) modelos não-lineares: são modelos em que pelo menos uma das derivadas
parciais depende de algum parâmetro do modelo. Por exemplo:
1 2
X
Y e
θ θ
= + +
,
em que
1
θ
e
2
θ
são os parâmetros a serem estimados e o erro é dito aditivo e não
existe transformação capaz de tornar o modelo linear. As derivadas parciais de Y
são:
1
1
Y
θ
∂
=
∂
e
1
2 2
2
( , )
X
Y
X g X
θ θ
θ
−
∂
= =
∂
,
5
portanto, o modelo é dito não-linear.
Souza (1998) considera o modelo de regressão não-linear na forma
0
( , )
t t t
y f x
θ ε
= +
onde t = 1, 2, ..., n.
A função resposta
)
,x(f
0
t
θ
tem forma funcional conhecida:
t
x
é um
vetor k dimensional formado por observações em variáveis exógenas,
Θ
∈
θ
0
é
um parâmetro p dimensional e
t
ε
é um erro experimental não observável
diretamente.
2.1.1
Métodos de estimação de parâmetros dos modelos não-lineares
Chiacchio (1993) distingue a caracterização da regressão em função das
suposições do vetor de erros
εε
da seguinte maneira: a) modelos ordinários:
aqueles cuja estrutura dos erros não viola nenhuma das pressuposições. Pode ser
escrito, de forma mais eficiente, como
εε
~N(
φφ
;
I
σ
2
); b) modelos ponderados:
são aqueles cuja estrutura dos erros viola a pressuposição de homogeneidade de
variâncias. Nesse caso, diz-se que os erros são heteroscedásticos. Escreve-se
D
;
(N~
φφ
εε
σ
2
), em que D é uma matriz diagonal, positiva definida, que pondera
a variância
2
σ
; c) modelos generalizados: são aqueles cuja estrutura dos erros
viola a pressuposição de independência dos erros e, possivelmente, a de
homogeneidade de variâncias. Diz-se que os erros são correlacionados (e
possivelmente heteroscedásticos). Escreve-se
W
;
(N~
φφ
εε
σ
2
) em que W é uma
matriz simétrica, positiva definida, que representa as variâncias e covariâncias
dos erros.
Souza (1998) considera o modelo de regressão não-linear na forma
6
0
( )
Y f
θ ε
= +
em que Y é um vetor de componentes y
t
,
)(f
0
θ
tem componentes
)
,x(f
0
t
θ
e
ε
tem componentes
t
ε
. Considere F(
θ
) a matriz de derivadas parciais de f
)(
θ
e F=
).(F
0
θ
O estimador
θ
ˆ
de mínimos quadrados de
0
θ
é obtido mediante a
minimização (em
Θ
) da soma de quadrados residuais (
SSE
).
(
)
2
1
[( ( , )] [ ( )]'[ ( )]
n
t t
t
SSE y f x Y f Y f
θ θ θ θ
=
= − = − −
∑
Por analogia com o modelo linear, como estimador de
2
σ
toma-se
.
p
n
)
ˆ
(
SSE
ˆ
2
−
θ
=
σ
O estimador de mínimos quadrados
θ
ˆ
satisfaz a equação
0
)
(
)
(
SSE
=
θ
∂
θ
∂
. Portanto, deve-se ter
0
)]
ˆ
(
f
Y
)[
ˆ
(
'
F
2
=
θ
−
θ
−
.
Resulta que o vetor residual
)
ˆ
(
f
Ye
ˆ
θ
−
=
satisfaz
0
e
ˆ
)
ˆ
('F
=
θ
e é,
portanto, ortogonal às colunas da matriz jacobiana
)(F
θ
calculada em
θ
=θ
ˆ
.
Em regressão linear F=F
)
ˆ
(
θ
=X, a identificação entre X no caso linear e F no
caso não-linear vale em geral, isto é, as expressões utilizadas no estudo da
inferência do modelo linear e com erros normais têm uma relação para o caso
não-linear, obtida por intermédio da substituição da matriz X por F. A razão
disto é que a teoria de inferência estatística que se desenvolve para o modelo de
regressão não-linear baseia-se essencialmente na aproximação linear por série de
Taylor
(
)
(
)
(
)
0 0
f f F
θ θ θ θ
≈ + −
.
7
De acordo com o mesmo autor, o método de mínimos quadrados
generalizados representa um conjunto de idéias extremamente importante para o
estudo de modelos lineares e não-lineares. A abordagem se torna necessária,
particularmente, na presença de heterogeneidade de variâncias.
Quando a matriz de variância dos resíduos é da forma
Ω
σ
2
com
I
≠
Ω
,
o estimador dos mínimos quadrados de
β
não é o mais eficiente. Se
Ω
é uma
matriz positiva definida, existe uma matriz P não-singular tal que
P
'
P
1
=
Ω
−
.
Na maioria das aplicações que exigem o uso de mínimos quadrados
generalizados, a matriz
Ω
não será conhecida. Nestas circunstâncias,
tipicamente
),
(
γ
Ω
=
Ω
em que
γ
tem dimensão finita e um estimador
consistente de
γ
estará disponível. Seja
γ
este estimador
)
(
ˆ
γ
Ω
=
Ω
, utiliza-se
Y
ˆ
'
X
)
X
ˆ
'
X
(
ˆ
1
1
1
E
−
−
−
Ω
Ω
=
β
. Sob certas condições de regularidade adicionais,
que devem ser verificadas em cada caso,
E
ˆ
β
será mais eficiente do que o
estimador de mínimos quadrados ordinários, consistente e normal.
2.1.1.1
Métodos dos quadrados mínimos ordinários
O método de quadrados mínimos ordinários consiste em minimizar a
soma de quadrados do erro do modelo.
Draper & Smith (1998) consideram o modelo não-linear da seguinte
forma:
1 2 1 2
( , ,..., ; , ,..., )
k p
Y f
ξ ξ ξ θ θ θ ε
= +
,
o qual pode ser reescrito como
8
( ; )
Y f
ξ θ ε
= +
,
em que
(
)
1 2
, ,...,
k
ξ ξ ξ ξ
=
e
(
)
1 2
, ,...,
p
θ θ θ θ
=
Os autores assumem que
(
)
(
)
,
E Y f
ξ θ
=
e que os erros são não
correlacionados, ou seja, independentes com
(
)
2
0,
N I
ξ σ
.
O modelo pode ser reescrito como:
1 2 1 2
( , ,..., ; , ,..., )
u u u ku p u
Y f
ξ ξ ξ θ θ θ ε
= +
,
em que
u
ε
é o u-ésimo erro, com u=1, 2,...,n. Este modelo não-linear pode ser
abreviado para:
( ; )
u u u
Y f
ξ θ ε
= +
,
em que
(
)
1 2
, ,...,
u u u ku
ξ ξ ξ ξ
=
. A pressuposição de normalidade e independência
dos resíduos pode agora ser escrita como
(
)
2
0,
u
N
ξ σ
. Os autores definem a
soma de quadrados do resíduo para o modelo não-linear como:
(
)
(
)
2
1
,
n
u u
u
S Y f
θ ξ θ
=
= −
∑
A estimativa de mínimos quadrados de
θ
, denotada pelo vetor
ˆ
θ
, é o
valor de
θ
que minimiza a soma de quadrados de resíduo,
(
)
S
θ
. Draper &
9
Smith (1998) afirmam que, para encontrar as estimativas de mínimos quadrados,
ˆ
θ
, é necessário derivar
(
)
S
θ
com relação ao vetor de parâmetros
θ
. Isto
fornece “p” equações normais:
(
)
(
)
(
)
1
ˆ
,
ˆ
2 , 0
n
u
u u
u
i i
S f
Y f
θ θ
θ ξ θ
ξ θ
θ θ
=
=
∂ ∂
= − − =
∂ ∂
∑
, com i=1, 2,..p.
Não existe uma solução explícita para o Sistema de Equações Normais
(SEN) não-linear; as soluções são obtidas por intermédio de métodos iterativos
que serão apresentados posteriormente.
2.1.1.2
Métodos dos quadrados mínimos ponderados
De acordo com Hoffman & Vieira (1998), em presença de
heterogeneidade de variâncias, o método dos quadrados mínimos ponderados é
mais adequado por fornecer estimadores não tendenciosos e de mínima
variância.
Seja o modelo linear
Y X u
β
= +
,
supondo-se que
2
~ (0; )
u N V
σ
, em que V é uma matriz diagonal, positiva
definida, que representa as variâncias associadas a cada
i
u
, com
( ) 0
E u
=
e
1
2
2 2
0 0
0 0
( ')
0 0
n
V
V
E uu V
V
σ σ
= =
10
O fato de serem nulos os elementos fora da diagonal principal da matriz
V significa que é válida a pressuposição de independência das observações, isto
é,
( ) 0
j h
E u u
=
para j
≠
h.
Define-se uma matriz diagonal
Λ
, cujos elementos são dados por
j
j
V
1
=
λ
ou seja,
1
2
0 0
0 0
0 0
n
λ
λ
λ
Λ =
Desta forma, tem-se que:
1
V
−
ΛΛ =
e V=
1 1
− −
Λ Λ
.
Multiplicando-se cada um dos termos de
Y X u
β
= +
por
Λ
, obtém-se
o modelo:
Y X u
β
Λ = Λ + Λ
Portanto, percebe-se que, no modelo
Y X u
β
Λ = Λ + Λ
, o vetor de erros
é dado por
u
ε
= Λ
. Assim, uma vez que E(u)=0, tem-se que E(
ε
)=0 e ainda:
2
( ') ( ' )
E E uu V
εε σ
= Λ Λ = Λ Λ
de acordo com: V=
1 1
− −
Λ Λ
,
11
1 1 2 2
( ')
E I
εε σ σ
− −
= ΛΛΛΛ =
.
O modelo
Y X u
β
Λ = Λ + Λ
é homoscedástico. O método dos
quadrados mínimos ponderados fornece o SEN dado por:
1 1
ˆ
' '
X V X X V Y
β
− −
=
.
A solução do SEN leva ao estimador
1 1 1
ˆ
( ' ) '
X V X X V Y
β
− − −
=
.
2.1.1.3
Métodos dos quadrados mínimos generalizados
Hoffman & Vieira (1998) consideram que, em presença de
heterogeneidade de variâncias e autocorrelação dos resíduos, o método dos
quadrados mínimos generalizado é mais eficiente do que o método dos
quadrados mínimos ponderados e ordinários.
Geralmente, em modelos básicos de regressão, assume-se que os erros
não estão correlacionados, isto é, que os erros sejam independentes, o que não é
apropriado quando se trabalha com séries cronológicas de dados, em que o erro
da observação relativa a um período está correlacionado com o erro da
observação anterior (Hoffmann & Vieira, 1998). Segundo Morettin & Toloi
(2004), a característica geral da autocorrelação dos resíduos é a de existir uma
variação sistemática dos valores em observações sucessivas. Quando isso ocorre,
diz-se que os resíduos são serialmente correlacionados ou autocorrelacionados.
Souza (1998) afirma que o procedimento estatístico adequado ao modelo
não-linear subordinado à estrutura do AR(1) (autocorrelação de 1
a
ordem)
12
envolve a determinação de um estimador consistente
Ω
ˆ
de
Ω
e a busca de um
estimador de
0
θ
mais eficiente do que o de mínimos quadrados ordinários.
Neste contexto, procura-se pelo mínimo da soma de quadrados residual
“ponderada”.
O valor de
θ
que minimiza esta soma de quadrados é o estimador de
mínimos quadrados generalizados
G
ˆ
θ
. Este vetor é determinado pela fatoração
P
'
P
ˆ
1
=
Ω
−
e pela regressão não-linear
( )
PY Pf v
θ
= +
em que a matriz P é determinada a partir dos resíduos de mínimos quadrados
ordinários não-lineares e da solução do sistema de equações de Yule-Walker. O
auto ressalta que, após as primeiras p observações, a transformação P induz o
modelo
t
t
t
v
)]
(
Pf
[
)
PY
(
+
θ
=
, em que:
(
)
1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ
...
t t t p t p
t
PY y y y y
φ φ φ
− − −
= + + + +
e
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ
, , , ... ,
t t t p t p
t
Pf f x f x f x f x
θ θ φ θ φ θ φ θ
− − −
= + + + +
No caso do estudo de modelos não-lineares que descrevem a degradação
ruminal é bastante razoável incorporar a autocorrelação, tendo em vista que as
medidas de degradação de determinado componente nutricional de interesse são
tomadas em um mesmo animal, estando, portanto, provavelmente
correlacionadas.
Hoffman & Vieira (1998) consideram o seguinte modelo de regressão:
13
Y X u
β
= +
supondo que
2
~ (0; )
u N W
σ
, em que W é uma matriz simétrica, positiva
definida, que representa as variâncias e covariâncias dos erros. Admitindo-se
que os erros são autocorrelacionados na forma de um processo auto-regressivo
estacionário de primeira ordem AR(1),
1 1
t t t
u u
φ ε
−
= +
em que:
t
ε
é o ruído branco,
0
)(E
t
=
ε
,
2
2
t
)(E
ε
σ
=
ε
,
0
)
(
E
h
t
t
=
ε
ε
−
se h
≠
0.
O modelo u
t
será estacionário se:
1
1
1
+
≤
φ
≤
−
para t = 1, 2, ... , n, pois o problema da autocorrelação dos resíduos surge,
geralmente, quando se trabalha com séries cronológicas de dados. Então, cada
observação corresponde a um certo período de tempo (ano, mês, semanas ou
horas).
Nestas condições,
2
1
2
2
u
1
φ
−
σ
=
σ
ε
e Cov
u
=
h
1
2
u
h
1
2
1
2
.
1
φ
σ
=
φ
φ
−
σ
ε
.
De maneira análoga ao método dos quadrados mínimos ponderados,
encontra-se
β
ˆ
1 1 1
ˆ
( ' ) '
X W X X W Y
β
− − −
=
, onde
14
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
−
σ
=
−
−
−
−
−
−
ε
1
1
1
1
1
3
n
1
2
n
1
1
n
1
3
n
1
1
2
1
2
n
1
1
1
1
n
1
2
1
1
2
1
2
W
A relação
1
t t t
u u
φ ε
−
= +
mostra que o erro da observação relativa a um
período está relacionado com o erro da observação anterior. Se
0
φ
>
, diz-se
que os erros estão positivamente autocorrelacionados e, se
0
φ
<
, diz-se que há
autocorrelação negativa. Para o caso em que
0
φ
=
, podem-se aplicar mínimos
quadrados ordinários, ou seja, os erros são independentes.
Se os erros forem autocorrelacionados na forma de um processo auto-
regressivo estacionário de segunda ordem AR(2) (Morettin & Toloi, 2004),
t
2
t
2
1
t
1
t
u
u
u
ε
+
φ
+
φ
=
−
−
em que u
t
é estacionário se:
1
1
1
1
2
1
2
2
1
<
φ
<
−
<
φ
−
φ
<
φ
+
φ
em que,
2
1
e
φ
φ
são os parâmetros de autocorrelação.
Logo, tem-se que:
2
2
1
1
2
2
u
1
ρ
φ
−
ρ
φ
−
σ
=
σ
ε
,
15
enquanto as funções de autocorrelação são dadas por
0
j
.
2
j
2
1
j
1
j
>
ρ
φ
+
ρ
φ
=
ρ
−
−
,
em que
2
2
2
1
2
2
1
1
1
e
1
φ
+
φ
−
φ
=
ρ
φ
−
φ
=
ρ
Outros modelos possíveis são o de médias móveis (MA) e o modelo
misto, auto-regressivo e médias móveis (ARMA).
Vários métodos iterativos são propostos na literatura para a obtenção das
estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros de um modelo de regressão
não-linear. Os mais utilizados são: o método de Gauss-Newton, o método
“Steepest-Descent” ou método do Gradiente e o método de Marquardt, os quais
fazem uso das derivadas parciais da função esperança
(
)
θ
;xf
i
com relação a
cada parâmetro. Um método bastante similar ao de Gauss-Newton, exceto pelo
fato de não exigir a especificação das derivadas parciais da função esperança, é
chamado método de DUD (doesn’t use derivates) (Mazuchelli & Achcar, 1997).
Um outro método iterativo bastante utilizado é o de Gauss-Newton modificado
ou método de linearização, o qual usa o resultado de mínimos quadrados lineares
em uma sucessão de passos, convertendo o problema de uma regressão não-
linear para uma série de regressões lineares. Para isso, faz uma expansão em
série de Taylor até 1º grau e depois minimiza a soma de quadrados residual
(Ogliari, 1998).
A rapidez na convergência depende da complexidade do modelo em
estudo e, principalmente, da qualidade dos valores iniciais, necessários em
qualquer método iterativo. Ratkowsky (1983) discute procedimentos para a
obtenção de bons valores iniciais para algumas classes de modelos (modelos de
16
crescimento, modelos de regressão assintóticos, entre outros). Segundo Souza
(1998), ao contrário do modelo linear, a determinação numérica da estimativa
dos parâmetros pode ser problemática no caso não-linear. O sucesso na
utilização do algoritmo de Gauss-Newton vai depender da escolha apropriada da
função resposta e de bons valores iniciais. Embora existam algumas orientações
gerais para a determinação de valores iniciais, o processo de escolha é um
procedimento decidido pelo pesquisador. Várias alternativas para a
determinação desses valores são apresentadas em Draper & Smith (1998) e
Gallant (1987).
2.2
Método de reamostragem: jackknife
Em muitas situações, torna-se inviável a obtenção de uma expressão
explícita para o erro-padrão de um estimador. Neste caso, uma alternativa é
realizar inferências com base nos processos de reamostragens, os quais, segundo
Manly (1998), constituem os métodos bootstrap e jackknife. O método jackknife
consiste na estimação de um parâmetro
α
numa amostra de n elementos, por
meio de n estimativas
ˆ
α
, cada uma delas calculada ao ser extraída das n
observações. É uma técnica trabalhosa e geralmente utilizada em estatísticas que
descrevem uma aproximação geral para teste de hipótese e cálculo do intervalo
de confiança. O método jackknife tem sido largamente empregado na Biologia
em análises de espécies, genética, evolução, seleção natural e em ecologia
comunitária. Manly (1998) cita vários trabalhos que fizeram uso da técnica nas
décadas de 60 a 80.
2.3
Modelos matemáticos que descrevem a cinética de degradação
ruminal
17
As principais técnicas utilizadas para determinar o aproveitamento das
diferentes frações dos alimentos são as técnicas:
in vivo, in situ
e
in vitro.
A técnica
in vivo
consiste na utilização direta de animais e determinam a
degradação dos alimentos pela medida da quantidade do nutriente que atinge o
abomaso ou duodeno, através de cânulas, considerando-se a quantidade do
nutriente ingerido. É um método que requer a utilização de alguns animais,
grande quantidade de alimentos e disponibilidade de tempo.
A técnica
in vitro
consiste de métodos laboratoriais com utilização de
enzimas, que podem ser de origem bacteriana ou não. Ela oferece vantagens
como menor tempo de execução e a não manutenção de animais fistulados.
A técnica
in situ
é hoje utilizada como técnica de referência e consiste
em determinar o desaparecimento do componente nutritivo do alimento
analisado que permanece acondicionado em sacos de náilon, em diferentes
períodos de tempo. A popularidade desta técnica deve-se à sua fácil e rápida
execução, além de requerer pequenas quantidades de amostra do alimento e
possibilitar o contato íntimo deste alimento com o ambiente ruminal. Esta
técnica já era conhecida na década de 1930, quando Quinn et al. (1938)
utilizaram este método para avaliar a digestão dos alimentos no rúmen de
ovelhas fistuladas.
Existem diversos modelos matemáticos elaborados para descrever os
processos digestivos no rúmen e, desse modo, predizer os seus efeitos sobre a
eficiência de utilização dos alimentos pelo animal. Alguns modelos quantificam
aspectos parciais do processo de digestão no rúmen, ao passo que outros
apresentam um caráter de simulação mais complexo, em que o meio é
considerado de forma global e os eventos representados por diversas equações
relacionadas entre si (Sampaio, 1997).
A utilização de determinados modelos implica a realização de ensaios de
incubação do substrato em determinadas seqüências e em vários tempos (Nocek,
18
1988; Mertens, 1993). Em seguida, ajustam-se os modelos matemáticos aos
dados, cujas estimativas dos parâmetros correspondem aos valores da cinética de
degradação do alimento, ou de seus componentes bromatológicos, que se deseja
quantificar.
Segundo Mertens (1993), as primeiras avaliações de processos de
digestão e conversão, que dependem de tempos de retenção, eram qualitativas e
baseavam-se na interpretação visual de curvas de digestão. A descrição do
processo era difícil porque as curvas de digestão mostravam comportamentos
não lineares e parecia não se ajustarem às cinéticas de reações químicas típicas.
O autor relata que Waldo, em 1970, foi o primeiro a relatar que perfis de
degradação eram combinações de material digestível e indigestível, especulando
que, se o resíduo indigestível fosse subtraído, a fração potencialmente digestível
seguiria uma cinética de primeira ordem. Sendo esta uma inovação conceitual,
serviu como base para uma nova visão dos modelos matemáticos relacionados
com a cinética de digestão, com os quais se pretendia uma quantificação real do
fato.
Waldo et al. (1972) descreveram a técnica de degradabilidade para
avaliação de nutrientes incubados no rúmen usando a seguinte equação:
( ) ( ) ,
ct
R t D e I
−
= +
em que:
( )
R t
é o resíduo após a incubação no rúmen no tempo t (%);
D
é a fração degradável (%);
c
é a taxa de degradação (horas
-1
);
t
é o tempo de incubação (horas);
I
é a fração insolúvel e não degradável (%).
19
Apresenta-se, na Figura 1, o modelo com uma fração D, que decresce a
uma taxa c (h
-1
), que atinge uma assíndota
I
em determinado tempo.
FIGURA 1 Representação gráfica das estimativas dos parâmetros do modelo de
Waldo et al. (1972), em função do tempo de incubação ruminal.
Os modelos desenvolvidos estão fundamentados em um esquema geral
comum, em que é estabelecida uma divisão do substrato em diversas frações,
cada uma delas digerida no rúmen, a uma determinada amplitude e ritmo. Se o
suprimento de substrato em um sistema puro excede a capacidade da população
microbiana e seu aparato enzimático, a taxa de degradação tende a ser de ordem
zero e a quantidade digerida por unidade de tempo menor do que seria se a
concentração de enzimas fosse adequada. Em um sistema microbiano, o
crescimento da população causa o incremento da produção enzimática e,
finalmente, irá saturar o substrato, tendo como efeito final o tempo de latência,
ou tempo de colonização (L).
Mertens (1977) relatou que a digestão da fibra em detergente neutro
(FDN) apresentou um período em que efetivamente não ocorreu degradação do
0
10
20
30
40
50
60
0
20
40
60
80
100
120
Tempo de incubação (h)
Resíduo potencialmente degradável (%)
I
( )
ct
R t De I
−
= +
20
componente (
0
t L
≤ ≤
). Mertens & Loften (1980) sugeriram a inclusão do
parâmetro L para as estimativas dos parâmetros do modelo de primeira ordem de
Waldo et al. (1972) para degradabilidade
in vitro
e
in situ
da FDN, matéria seca
(MS) e nitrogênio (N), como indicado na equação adiante e ilustrado na Figura
2:
0
( )
0
0
( )
c t L
D I para t L
R t
D e I para t L
− −
+ ≤ ≤
=
+ >
em que:
0
D
é a fração degradável (
t L
≤
,
0
D R I
= −
)
( )
R t
é o resíduo após a incubação no rúmen no tempo t (%);
c
é a taxa de degradação (horas
-1
);
t
é o tempo de incubação (horas);
I
é a fração insolúvel e não degradável (%)
L
é o tempo de latência ou tempo de colonização (horas).
FIGURA 2 Representação gráfica das estimativas dos parâmetros do modelo de
Mertens & Loften (1980), em função do tempo de incubação no
rúmen.
0
10
20
30
40
50
60
0
20
40
60
80
100
120
Tempo de incubação (h)
Resíduo potencialmente degradável (%)
I
L
0
( )
0
0
( )
c t L
D I para t L
R t
D e I para t L
− −
+ ≤ ≤
=
+ >
21
Hoffmann et al. (1993) determinaram a digestibilidade de vários
alimentos, pelo modelo de Mertens & Loften (1980), para observar o efeito na
fração solúvel, na fração não degradada, na taxa de degradação e na
degradabilidade ruminal da MS, PB e FDN. Os autores definiram os parâmetros
da equação anterior, como: R – resíduo da MS, da PB e da FDN remanescente
no tempo t; D
0
– fração potencialmente digestível, que corresponde a (100 – I)
na taxa fracional k, k>0; I – fração indigestível após 72 horas. Este mesmo
procedimento foi seguido por Corley III et al. (1998), para estudar as frações de
matéria seca e nitrogênio.
Vieira (1995) comparou três modelos estatísticos, dentre eles o modelo
de Mertens & Loften (1980), para estimativa da cinética de degradação ruminal
in vitro
e
in situ
do capim-elefante (
Pennisetum purpureum
, Schum., cv.
mineiro), cortado nas idades 61, 82, 103, 124 e 145 dias após o plantio. Também
Feitosa (1999) utilizou o mesmo modelo para descrever a degradação da MS, PB
e FDN do feno de capim coast-cross.
Lira (2000), estudando diferentes modelos e marcadores para simulação
da cinética digestiva e de trânsito do capim braquiária (
Brachiaria decumbens
Stapf.) fez uso do modelo de Mertens & Loften (1980) para predizer a
degradação da FDN da gramínea citada, em duas épocas (seca e chuva).
Newman et al. (2002) determinaram os parâmetros de degradação da
matéria seca e proteína bruta do capim Hemartria (
Hemarthria altissima
(Poir.)
Stapf & Hubb.), em diversas alturas de pastejo, por meio do modelo de Mertens
& Loften (1980).
22
3
MATERIAL E MÉTODOS
3.1
Material
Para ilustrar a metodologia utilizaram-se dados experimentais (Reis,
2000) do resíduo potencialmente degradável, da fibra em detergente neutro
(FDN), da gramínea coast-cross (
Cynodon dactylon
x
Cynodon nlemfunensis
),
submetida a três diferentes idades de corte (30; 60 e 90 dias). Em cada idade de
corte o perfil de degradação foi avaliado em quinze tempos de incubação (0; 0,5;
1; 3; 6; 9; 12; 18; 24; 36; 48; 56; 72; 96 e 120 horas), tendo a unidade
experimental sido constituída por uma vaca, não lactante, com fístula ruminal
permanente.
A gramínea coast-cross foi lançada no estado da Geórgia, EUA, no ano
de 1997 e, por não apresentar rizomas, torna-se sensível a temperaturas baixas e
possui colmos finos com boa relação folha/colmo. No Brasil, esta gramínea foi
introduzida há algum tempo e vem sendo utilizada em alguns sistemas de
produção de leite e para a alimentação de eqüinos (Rocha et al., 2001).
3.2
Métodos
3.2.1
Processos numéricos iterativos
Conforme visto anteriormente, o SEN (não-linear) não apresenta solução
explícita, devendo-se utilizar processos iterativos para a obtenção das
estimativas dos parâmetros.
O software Satatistical Analysis System (SAS
) apresenta, no módulo
proc model, dois métodos iterativos implementados (SAS/ETS, 1995): Gauss-
Newton e Marquardt.
23
De acordo com Gallant (1987), o método de Gauss-Newton, na forma
original, consiste no desenvolvimento em série de Taylor até o termo de
primeira ordem da função
)
;X(f
i
θ
em torno do ponto
0
θ
.
Considerando o modelo não-linear
( ; )
i i i
Y f X e
θ
= +
,
a expansão em série de Taylor é dada por:
0 0 0
( ) ( ) ( )( )
f f F
θ θ θ θ θ
= + −
.
Assim, o SEN (não-linear),
ˆ
' ( ) '
X f X Y
θ
=
pode ser escrito como:
0 0 0
'[ ( ) ( )( )] ' .
X f F X Y
θ θ θ θ
+ − =
Mas F(
0
θ
) é a matriz de derivadas parciais X. Logo, substituindo-se no
SEN, obtém-se:
0 0
'[ ( ) ( )] '
X f X X Y
θ θ θ
+ − =
Fazendo-se o produto matricial e reagrupando-se termos semelhantes,
encontra-se:
0 1
( ' ) '
X X X e
θ θ
−
− =
.
24
Portanto, a fórmula iterativa conhecida como Método de Gauss-Newton
é dada por:
1 0 1
( ' ) '
X X X e
θ θ
−
= +
Este processo é repetido colocando
1
θ
no lugar de
0
θ
vetor de
estimativas iniciais) até que algum critério de convergência seja aceito, isto é:
ˆ
n
θ θ
→
em que n é o número de vezes que o processo foi repetido.
3.2.2
Ajuste dos modelos não-lineares
Foram obtidas estimativas dos parâmetros para as curvas individuais e
estimativas dos parâmetros para uma curva média do modelo em questão,
considerando a estrutura de autocorrelação residual e heterogeneidade de
variância.
Para verificar a existência de heterogeneidade de variâncias foi
calculada, para cada tempo de incubação, a variância dos resíduos
potencialmente degradáveis, em cada uma das idades de corte da gramínea,
possibilitando o cálculo do F máximo de Hartley obtido pelo quociente entre a
maior e menor variância residual, em que a não significância mostra que não há
heterogeneidade de variâncias. O inverso dessas variâncias foi utilizado, no caso
dos modelos não-lineares ponderados, com o objetivo de se considerar a
heterogeneidade. Para este ajuste, utilizou-se a opção “Weight” do proc model
e, para verificar a presença de autocorrelação residual, utilizou-se a macro
%AR(y,p), implementada neste mesmo módulo (SAS/ETS, 1995), juntamente
com a análise dos correlogramas.
25
As estimativas iniciais, necessárias à obtenção das estimativas dos
parâmetros pelo do processo iterativo, foram retiradas da literatura (Sampaio,
1997).
3.2.3
Derivadas parciais e elementos da matriz X e X’X do modelo não-
linear de Mertens e Loften (1980)
O modelo utilizado para descrever o resíduo potencialmente degradável
foi o de Mertens & Loften (1980), dado por:
0
( )
( )
D I para t L
R t
c t L
De I para t L
+ ≤ ≤
=
− −
+ >
cujos parâmetros já foram descritos anteriormente.
Este modelo é considerado não linear e segmentado, pois as derivadas
parciais em relação aos parâmetros, para os tempos maiores que o tempo de
latência, continuam em função dos próprios parâmetros, como mostrado a
seguir:
( )
( )
R t
c t L
e
D
∂
− −
=
∂
,
( )
( )
( )
c t L
R t
t L De
c
− −
∂
= − −
∂
( )
( )
c t L
R t
cDe
L
− −
∂
=
∂
,
( )
1
R t
I
∂
=
∂
Para o ajuste desses modelos segmentados é necessário verificar a
continuidade das curvas no ponto t=L (SAS,1995), ou seja, a função R será
contínua em t=L se:
26
R(L) é definida;
lim ( )
t L
R t
→
existe;
lim ( ) ( )
t L
R t R L
→
=
Desse modo, tem-se que:
( )
R L D I
= +
lim ( )
t L
R t D I
−
→
= +
( )
lim ( ) lim
c t L
t L t L
R t De I D I
+ +
− −
→ →
= + = +
A matriz de derivadas parciais é dada por
(
)
n p
F F X
θ
= =
, sendo n o
número de tempos de incubação (n=15) e p o número de parâmetros do modelo
(p=4).
(
)
1 2 3 4
X a a a a
m m m m
=
,
sendo a
m1
, a
m2
, a
m3
e a
m4
vetores coluna de tipo 15x1 e m assume os seguintes
valores: 0; 0,5; 1; 3; 6; 9; 12; 18; 24; 36; 48; 56; 72; 96 e 120.
Se m
≤
L:
( )
1
1
R t
a
m
D
∂
= =
∂
,
( )
1
2
R t
a
m
I
∂
= =
∂
,
( )
0
3
R t
a
m
c
∂
= =
∂
e
( )
0
4
R t
a
m
L
∂
= =
∂
Se m>L:
( )
( )
1
R t
c t L
a e
m
D
∂
− −
= =
∂
;
( )
1
2
R t
a
m
I
∂
= =
∂
;
( )
( )
( )
3
R t
c t L
a t L De
m
c
∂
− −
= =− −
∂
e
( )
( )
4
R t
c t L
a cDe
m
L
∂
− −
= =
∂
Neste caso a matriz X’X é uma matriz (4x4) simétrica e seus elementos
podem ser escritos da seguinte forma, ressaltando que o índice contador ( i ), do
27
símbolo de somatório (
∑
), pertence ao conjunto dos números naturais (
i
∈
)
e
= >
é a função maior inteiro, ou seja,
= >
x
=
é o maior inteiro não superior a x.
a11=
(
)
=
>
= >
120
2
1
1
i
n
c t L
i i
L
L
e
=
− −
= >
+
∑ ∑
a12=a21=
(
)
=
>
= >
120
1
1
i
n
c t L
i i
L
L
e
=
− −
= >
+
∑ ∑
a13=a31=
(
)
(
)
120
2
i
n
c t L
i
i L
t L D e
=
− −
>
− −
∑
a14=a41=
(
)
120
2
i
n
c t L
i L
D c e
=
− −
>
∑
a22=
n
a23=a32=
(
)
(
)
120
i
n
c t L
i
i L
t L D e
=
− −
>
− −
∑
a24=a42=
(
)
=
>
120
i
n
c t L
i L
Dc e
=
− −
>
∑
a33=
(
)
(
)
120
2
2
2
i
n
c t L
i
i L
t L D e
=
− −
>
− −
∑
a34=a43=
(
)
(
)
120
2
2
i
n
c t L
i
i L
D c t L e
=
− −
>
− −
∑
28
a44=
(
)
12 0
2
2 2
i
n
c t L
i L
D c e
=
− −
>
∑
Draper & Smith (1998) apresentam as estimativas da matriz assintótica
de variâncias e covariâncias da seguinte forma:
(
)
(
)
(
)
1 1
2
ˆ
ˆ
ˆ
' '
V X X X X QME
θ σ
− −
= =
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
(
)
n
(
)
n
(
)
n
(
)
(
)
n
(
)
n
(
)
n
(
)
(
)
1 1 2 1
1 2 2 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
, ,
j
j
j j j
V Cov Cov
Cov V Cov
Cov Cov V
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
=
com j = 1, 2, ...,p, em que p é o número de parâmetros.
Logo, o erro padrão da estimativa do parâmetro
j
θ
é dado por:
(
)
(
)
ˆ ˆ
ˆ
j j
s V
θ θ
=
Dessa forma, define-se o intervalo de confiança para
j
θ
como:
(
)
(
)
(
)
. . ,
2
ˆ ˆ
ˆ
j j j
g l erro
IC t V
α
θ θ θ
= ±
29
3.2.4
Método jackknife para a estimação da variância do estimador
Foi utilizado o método jackknife para construir o intervalo de confiança
para as estimativas dos parâmetros do modelo de Mertens & Loften (1980), uma
vez que não há expressões exatas para os estimadores da variância dos
parâmetros do modelo em estudo.
O intervalo de confiança para os parâmetros do modelo de Mertens &
Loften (1980), pelo método jackknife, foi construído do seguinte modo:
primeiramente, foram obtidas as estimativas dos parâmetros, por meio do
programa SAS (1995), utilizando-se o conjunto de dados sem o primeiro tempo
de incubação. Em seguida, repetiu-se o processo considerando os dados originais
sem o segundo tempo de incubação e, assim, sucessivamente, até que todas as
estimativas parciais jackknife fossem calculadas, obtendo-se um conjunto de 15
estimativas parciais dos parâmetros. As estimativas parciais foram aplicadas à
seguinte fórmula:
* * *
( 1) ,
j j
E nE n E
−
= − −
com j = 1,...,15.
em que
*
j
E
é a estimativa do pseudo-valor para o parâmetro quando se excluiu o
j-ésimo tempo de incubação, n é o número de observações,
*
E
é a estimativa dos
parâmetros com todos os tempo de incubação e
*
j
E
−
é o valor da estimativa
parcial do parâmetro obtido pelo ajuste do modelo pelo programa SAS (1995)
quando se excluiu o j-ésimo tempo de incubação.
Em seguida, obteve-se a média (
*
E
), que representa o estimador
jackknife e a variância (
2
S
) deste estimador, de forma convencional, aplicando
a fórmula:
30
2
*
1
*2
1
2 *
( ) ,
1
n
j
n
j
j
j
E
E
n
S V E
n
=
=
−
= =
−
∑
∑
Depois de obtida a variância, o intervalo de confiança para os parâmetros
foi construído da seguinte forma:
*
100(1 )% ( / 2; 1)
,
n
S
IC E t
n
α α
− −
= ±
em que:
( / 2; 1)
n
t
α
−
é o percentil superior
α
/2 da distribuição t de Student com n-1
graus de liberdade e S é o desvio padrão dos pseudo-valores
*
j
E
.
31
4
RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1
Análise exploratória dos dados
Tal como em regressão linear, é extremamente importante, em regressão
não-linear, ter à disposição ferramentas que permitam uma avaliação do ajuste
do modelo em uma dada aplicação. As representações típicas de diagnóstico
informal em regressão não-linear envolvem os gráficos de resíduos (ou seus
valores absolutos) em relação às variáveis independentes e os valores preditos,
na tentativa de detectar atipicidades como erros de especificação na função
resposta e heteroscedasticidade.
Nas Figuras 1 a 3 encontram-se os gráficos dos resíduos contra a
seqüência ordenada da variável independente (tempo de incubação) em cada
uma das idades de corte, para os ajustes individuais dos animais. Nota-se que a
plotagem de resíduos, para o corte da gramínea aos 30 e 60 dias (Figuras 1 e 2),
não demonstra evidências de nenhum padrão de heteroscedasticidade, enquanto
que, para o corte aos 90 dias (Figura 3), há indícios de heterogeneidade.
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
0
3
6
9
12
15
Tempo ordenado
Resíduo
Animal 1
Animal 2
Animal 3
FIGURA 1 Gráfico de resíduos versus tempo ordenado, para cada animal, da
gramínea cortada aos 30dias.
32
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
0
3
6
9
12
15
Tempo ordenado
Resíduo
Animal 1
Animal 2
Animal 3
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
0
3
6
9
12
15
Tempo ordenado
Resíduo
Animal 1
Animal 2
Animal 3
FIGURA 2 Gráfico de resíduos versus tempo ordenado, para cada animal, da
gramínea cortada aos 60dias.
FIGURA 3 Gráfico de resíduos versus tempo ordenado, para cada animal, da
gramínea cortada aos 90dias.
Vieira (1995) cita que, na avaliação final dos modelos, foram obtidos,
para cada tempo de incubação, dentro de cada idade de corte, a média e o desvio
padrão dos resíduos e que a escolha do melhor modelo foi baseada nos valores
das médias dos desvios que mais se aproximavam de zero, para cada tempo de
incubação, bem como para os respectivos menores desvios padrões residuais. O
33
mesmo autor verificou que o modelo de Mertens & Loften (1980), linearizado
por transformação logarítmica, tendeu a apresentar médias de desvios que se
aproximavam de zero nos primeiros tempos de incubação, diminuindo essa
precisão para os maiores tempos. Comportamento semelhante foi encontrado
para a gramínea cortada aos 90 dias (Figura 3).
Na Tabela 1 constam os valores de degradação média de FDN, em
porcentagem e suas variâncias, para cada idade de corte da gramínea. Observa-
se que, com o aumento do tempo de incubação das amostras no rúmen, houve
um decréscimo nas variâncias residuais da degradação de FDN da gramínea
coast-cross.
TABELA 1 Valores médios observados do resíduo potencialmente degradável
da FDN (%), em cada uma das idades de corte, no decorrer do
tempo de incubação e suas respectivas variâncias.
Tempo
(horas)
30 dias
(%)
Variância
(%
2
)
60 dias
(%)
Variância
(%
2
)
90 dias
(%)
Variância
(%
2
)
0 70,99 476,1567 70,37 478,6579 72,92 373,9185
0,5 70,96 476,7667 70,35 479,4626 72,86 374,4880
1 70,93 476,4194 70,33 479,1908 72,80 374,6088
3 70,85 477,2406 70,22 485,4286 72,46 385,1181
6 66,31 401,8949 69,50 473,7060 71,91 398,3022
9 64,64 382,2124 69,13 484,3708 69,58 365,5008
12 63,44 351,7139 63,38 410,1034 65,92 282,5570
18 58,30 322,7611 59,31 462,6418 60,22 190,2345
24 52,56 199,1552 57,37 435,5934 57,86 186,6237
36 49,40 193,8924 54,25 420,5319 49,88 86,9305
48 46,20 188,0589 51,10 405,7405 46,56 53,2182
56 45,25 199,4191 49,70 430,7698 45,07 55,5179
72 44,64 217,8108 48,30 456,5694 43,23 43,6195
96 42,74 236,6482 45,34 420,9427 40,59 43,6382
120 40,89 206,6642 42,78 415,5607 37,63 61,7197
2 2
m ax m in
s s
2,5377 1,1964 9,1313
A relação entre a maior e a menor variância foi de 2,54 e 1,20 para a
gramínea cortada aos 30 e 60 dias, respectivamente, não demonstrando a
presença de heterogeneidade. Já para a gramínea cortada aos 90 dias, esta
34
relação sobe para 9,13, ou seja, a menor variância é 9,13 vezes menor que a
maior variância, relação esta significativa para 3 grupos experimentais (3
animais) e 14 graus de liberdade, com um nível de significância de 5%, segundo
o teste F máximo de Hartley (Pearson & Hartley, 1970).
A razão entre a máxima e mínima variância também foi utilizada por
Mazzini (2001), ao estudar curvas de crescimento de bovinos da raça Hereford.
Este autor relata que, à medida que a idade dos animais aumentou, houve um
incremento nas variâncias dos pesos corporais, sendo este também um outro
padrão de heteroscedasticidade.
Tão importante quanto a detecção de heterogeneidade de variâncias é o
problema da autocorrelação dos resíduos, que surge, geralmente, quando se
trabalha com séries cronológicas de dados. No caso do estudo de modelos que
descrevem a degradação ruminal, é bastante razoável incorporar a
autocorrelação, tendo em vista que as medidas de degradação, de determinado
componente nutricional de interesse, são tomadas em um mesmo animal,
estando, portanto, provavelmente correlacionadas.
Na Tabela 2 observa-se que os parâmetros de autocorrelação (
1
φ
e
2
φ
)
somente foram significativos considerando um nível de significância de 5%,
para o animal 2, no corte da gramínea aos 30 dias, ajustando, então, uma
estrutura de erros auto-regressivos de segunda ordem AR(2). Mazzini (2001),
Mazzini et al. (2003) e Mazzini et al. (2005), ao estudarem curvas de
crescimento de bovinos por meio de várias funções, considerando autocorrelação
dos resíduos, encontraram que, ao comparar o ajuste das curvas individuais com
o ajuste das curvas médias, observou-se que a função logística e Richards não
ajustaram um modelo auto-regressivo de 1ª ou de 2ª ordem; porém, no ajuste das
curvas individuais, houve animais que apresentaram estas estruturas de erros.
35
TABELA 2 Significância dos parâmetros de autocorrelação para os ajustes
individual e médio, em cada uma das idades de corte,
considerando uma estrutura de erros auto-regressivos de primeira
e segunda ordem.
AR (2)
Ajustes individual e
médio
AR (1)
1
φ
1
φ
2
φ
30 dias
Animal 1 0,9725 0,8728 0,2269
Animal 2 0,1026 0,0020 0,0040
Animal 3 0,8526 0,6677 0,0599
Ajuste médio 1,0000 0,9281 0,0591
60 dias
Animal 1 0,7527 0,6799 0,2946
Animal 2 0,4165 0,0750 0,0628
Animal 3 0,7538 0,6814 0,2949
Ajuste médio 0,5437 0,2708 0,1438
90 dias
Animal 1 0,0759 0,1153 0,7132
Animal 2 0,7761 0,5307 0,1575
Animal 3 0,5347 0,4765 0,3779
Ajuste médio 0,8849 0,5124 0,2134
Pode-se observar, na Figura 4, por meio da função de autocorrelação
parcial para o modelo de Mertens & Loften (1980) sem ponderação e sem AR,
que os resíduos apresentam uma estrutura de erros AR(2). Para esta mesma
configuração, ajustando a mesma função e considerando estrutura de erros
AR(2), observa-se, pela da função de autocorrelação, que os resíduos tornam-se
independentes (Figura 5).
36
Partial Autocorrelation Function
Conf. Limit
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Lag
FIGURA 4 Função de autocorrelação parcial ajustada para o modelo não
ponderado sem AR, para o animal 2, com corte da gramínea aos
30 dias.
Autocorrelation Function
Conf. Limit
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
00
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Lag
FIGURA 5 Função de autocorrelação ajustada para o modelo não ponderado
com AR(2), para o animal 2, com corte da gramínea aos 30 dias.
4.2
Ajuste das curvas, média e individual, para o modelo não ponderado
sem estrutura de erros auto-regressivos
Na Tabela 3, observa-se a estimativa dos parâmetros do modelo de
degradação proposto por Mertens & Loften (1980), sem considerar a ponderação
e a estrutura de erros correlacionados, para cada animal e para a média deles.
37
Nota-se que, para o ajuste das curvas médias, a fração degradável (parâmetro D)
de FDN apresentou uma menor estimativa para a gramínea cortada aos 60 dias,
enquanto que um comportamento inverso foi observado para a fração insolúvel e
não degradável (parâmetro I). Estes resultados estão de acordo com os
encontrados por Vieira (1995), estudando a cinética de degradação do capim-
elefante em diferentes idades de corte, porém, a menor estimativa para a fração
degradável foi obtida para o corte processado aos 145 dias e a maior estimativa
para a fração insolúvel e não degradável para o corte processado aos 135 dias.
Observou-se, também, para o ajuste da curva média (Tabela 3), um
aumento no valor da estimativa do tempo de colonização (parâmetro L) para os
cortes realizados mais tardios, provavelmente porque, em plantas com idade
avançada, há uma perda de água e a lignina complexa fortemente com os
componentes da parede celular. Sabe-se que, para se processar a digestão, os
microrganismos devem penetrar as barreiras resistentes da superfície das
partículas de alimentos para alcançarem seus substratos preferidos e o grau no
qual os microrganismos se fixam e penetram estas barreiras físicas reflete no
tempo de colonização.
Quanto aos valores das estimativas dos parâmetros, Feitosa (1999),
estudando comparação de modelos em ensaios de degradabilidade
in situ
com
feno de capim coast-cross, observou que o modelo de McDonald (1981),
também corrigido para o tempo de colonização, resultou nas mesmas estimativas
para o modelo de Mertens & Loften (1980). Este autor relata valores de 43,26%
para fração insolúvel e não degradável; 4,4%.h
-1
para a taxa de degradação
(parâmetro c) e 2,45 horas para o tempo de colonização. Este modelo também
foi utilizado por Lira (2000) para predizer a degradação da FDN do capim
braquiária (
Brachiaria decumbens
Stapf.), em duas épocas (seca e chuva),
encontrando valores médios de 51,32% para a fração degradável; 38,08% para
38
fração insolúvel e não degradável; 2,5%.h
-1
para a taxa de degradação
(parâmetro c) e 7,64 horas para o tempo de colonização, na estação chuvosa.
TABELA 3 Estimativa dos parâmetros para o modelo sem ponderação e sem
estrutura de erros auto-regressivos.
Parâmetros
D I C L
Animal 1 31,686 49,251 0,047 3,472
Animal 2 22,898 23,026 0,024 1,996
Animal 3 34,689 51,308 0,044 2,721
30 Dias
Ajuste médio 29,367 41,593 0,039 2,746
Animal 1 27,369 52,596 0,032 4,432
Animal 2 25,599 19,629 0,028 4,742
Animal 3 27,369 58,401 0,032 4,431
60 Dias
Ajuste médio 26,774 43,547 0,031 4,512
Animal 1 17,552 32,975 0,029 2,172
Animal 2 38,088 46,249 0,045 7,001
Animal 3 50,885 32,607 0,024 4,933
90 Dias
Ajuste médio 34,706 38,054 0,032 5,361
4.3
Ajuste da curva individual para o modelo não ponderado com
estrutura de erros auto-regressivos
De acordo com os valores de significância das estimativas dos
parâmetros de autocorrelação (Tabela 2), somente para o animal 2, no corte da
gramínea aos 30 dias, foi ajustado o modelo com uma estrutura de erros auto-
regressivos de segunda ordem AR(2).
Na Tabela 4, são apresentadas as estimativas dos parâmetros do modelo
de Mertens & Loften (1980), sem e com a estrutura de erros correlacionados,
com as respectivas estimativas de variância obtidas pela matriz de variância e
covariância dos parâmetros e pelo método jackknife. Na Figura 6 é possível
observar o ajuste dos dados ao modelo de Mertens & Loften (1980) quando se
utilizou ou não a estrutura de erros auto-regressivos de segunda ordem.
39
Os resultados, na Tabela 4, mostram que os valores das estimativas dos
parâmetros, ao considerar a estrutura de erros AR(2), não sofreram grandes
alterações. Já a estimativa da variância da estimativa dos parâmetros, obtida pela
matriz de variância e covariância, para esta mesma configuração, apresentou
reduções significativas em seus valores, resultando em intervalos de confiança
de menor amplitude e estimativas dos parâmetros mais precisas.
Os valores das estimativas dos parâmetros, obtidas pelo método
jackknife, ao considerar a estrutura de erros AR(2), também não sofreram
grandes alterações. Já a estimativa da variância da estimativa dos parâmetros,
obtida por este método, para esta mesma configuração, apresentou aumentos
significativos em seus valores, resultando em intervalos de confiança de maior
amplitude e estimativas dos parâmetros menos precisas.
Este aumento na estimativa da variância da estimativa dos parâmetros,
não só quando foi considerada a estrutura de correlação residual AR (2), mas
também, quando comparadas com as estimativas obtidas pela matriz de
variância e covariância dos parâmetros, pode ser explicada pelo fato de que, ao
excluir a j-ésima observação amostral, o programa convergiu para valores
discrepantes de estimativas parciais, afetando diretamente a estimativa do
pseudo-valor do parâmetro e de sua variância.
Esta metodologia também foi utilizada por Pereira (2004), estudando a
predição do nitrogênio mineralizado em Latossolo por meio de modelos não-
lineares. Ao comparar intervalos de confiança obtidos por meio da matriz de
variância e covariância dos parâmetros e via jackknife, o autor também
constatou que este segundo método levou a maiores estimativas da variância dos
parâmetros.
O parâmetro L (tempo de colonização) apresentado na Tabela 4,
estimado pelo método jackknife
,
quando não foi considerada a estrutura de
correlação residual AR(2), foi não significativo, pois o seu intervalo de
40
confiança contém o valor zero. Isso eqüivale a dizer que o resíduo
potencialmente degradável de FDN da gramínea coast-cross começa a sofrer
perdas substanciais assim que incubado no rúmen do animal.
TABELA 4 Estimativa da variância da estimativa dos parâmetros para o modelo
com e sem AR (2) - (30 dias – Animal 2), obtida pela matriz de
variância e covariância dos parâmetros e pelo método jackknife,
respectivamente.
Matriz de variância e covariância jackknife
Parâmetros
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
D (s/ AR2)
22,898
0,478 21,375
24,421
22,932
3,745
21,861
24,004
D (c/ AR2)
22,701
0,075 22,099
23,304
22,611
8,468
20,999
24,223
I (s/ AR2)
23,026
0,395 21,643
24,409
22,992
3,738
21,921
24,066
I (c/ AR2)
23,223
0,045 22,757
23,688
23,313
8,461
21,924
24,924
C (s/ AR2)
0,024
3,0.10
-6
0,020 0,028 0,024
3,6.10
-5
0,021 0,028
C (c/ AR2)
0,025
3,0.10
-7
0,023 0,026 0,025
4,3.10
-5
0,021 0,028
L (s/ AR2)
1,996
0,663 0,204 3,788 1,557
ns
9,756 -0,172 3,287
L (c/ AR2)
1,954 0,125 1,177 2,731 1,828 4,135 0,701 2,954
1
φ
(s/ AR2)
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
1
φ
(c/ AR2)
-0,918
0,046 -1,389 -0,448 -1,593 6,018 -2,952 -0,235
2
φ
(s/ AR2)
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
2
φ
(c/ AR2)
-0,853
0,053 -1,358 -0,347 -2,776 5,222 -4,042 -1,511
1-LI (limite inferior), LS (limite superior), ns (não significativo)
41
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100 120
Tempo de incubação ( hor as)
Resíduo potencialmete degradável (%)
FDN (A R 2)
FDN (sem A R )
22,701 23,223 0 1,954
( )
0,025( 1,954)
22,701 23,223 1,954
t
R t
t
e t
+ < <
=
− −
+ >
22,898 23,026 0 1,996
( )
0,024( 1,996)
22,898 23,026 1,996
t
R t
t
e t
+ < <
=
− −
+ >
FIGURA 6 Modelo de Mertens e Loften com e sem estrutura de erros auto-
regressivos de segunda ordem, para o animal 2.
4.4
Ajuste das curvas, média e individual, para o modelo ponderado sem
estrutura de erros auto-regressivos
Conforme visto na Tabela 1, com o aumento do tempo de incubação das
amostras no rúmen, houve um decréscimo nas variâncias residuais da FDN do
resíduo potencialmente degradável, da gramínea coast-cross, para o corte
processado aos 90 dias. Observou-se também que a menor variância é 9,13 vezes
menor que a maior variância, relação esta significativa, justificando o ajuste do
modelo ponderado pelo inverso da variância. Nas Tabelas 5 a 8 são apresentadas
as estimativas dos parâmetros do modelo de Mertens & Loften (1980), sem e
com ponderação, com as respectivas estimativas de variância obtidas pela matriz
de variância e covariância dos parâmetros e pelo método jackknife, para cada
animal (Tabelas 5 a 7) e para média deles (Tabela 8).
Os ajustes dos dados ao modelo de Mertens & Loften (1980), quando se
utilizou ou não a ponderação, podem ser visualizados nas Figuras 7 a 10, para
cada um dos animais e para a média deles, respectivamente.
42
Observa-se que, no ajuste da curva dos animais 1 e 3 (Tabelas 5 e 7 ), os
valores das estimativas dos parâmetros referentes à fração não degradável
(parâmetro I), taxa de degradação (parâmetro c) e tempo de colonização
(parâmetro L) sofreram reduções quando foi introduzida a ponderação no
modelo. Para este último parâmetro, a redução junto ao aumento da estimativa
de sua variância levou à não significância, o que significa dizer que o resíduo
potencialmente degradável de FDN da gramínea coast-cross começa a sofrer
perdas substanciais assim que incubado no rúmen destes animais, ou seja, para
um tempo de incubação igual a zero.
TABELA 5 Estimativa da variância da estimativa dos parâmetros para o modelo
com e sem ponderação (90 dias – Animal 1), obtida pela matriz de
variância e covariância dos parâmetros e pelo método jackknife,
respectivamente.
Matriz de variância e covariância Jackknife
Parâmetros
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
D (s/pond)
17,552
0,1368
16,738
18,366
17,636
1,449
16,969
18,303
D (c/pond)
17,566
0,2523
16,406
18,672
17,655
1,866
16,898
18,411
I (s/pond)
32,975
0,104
32,266
33,684
32,890
1,413
33,549
32,232
I (c/pond)
32,961
0,095
32,283
33,639
32,872
1,830
32,123
33,622
C (s/pond)
0,029 2,3.10
-6
0,025 0,032 0,028 0,0001 0,024 0,032
C (c/pond)
0,028 2,9.10
-6
0,024 0,032 0,027 0,0001 0,023 0,033
L (s/pond)
2,172 0,3311 0,906 3,438 2,029 5,263 0,759 3,299
L (c/pond)
1,948
ns
1,420 -0,675 4,571 1,813 5,887 0,469 3,157
1-LI (limite inferior), LS (limite superior), ns (não significativo)
Para o ajuste da curva do animal 2 (Tabela 6), comportamento inverso
foi observado mediante a ponderação, tendo os valores das estimativas dos
parâmetros referentes à fração não degradável (parâmetro I), taxa de degradação
(parâmetro c) e tempo de colonização (parâmetro L) sofrido aumentos, enquanto
que as estimativas de suas variâncias foram menores, resultando em intervalos
de confiança com menor amplitude.
43
TABELA 6 Estimativa da variância da estimativa dos parâmetros para o modelo
com e sem ponderação (90 dias – Animal 2), obtida pela matriz de
variância e covariância dos parâmetros e pelo método jackknife,
respectivamente.
Matriz de variância e covariância Jackknife
Parâmetros
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
D (s/pond)
38,088 0,543 36,466 39,709 33,606 7,009 32,139 35,072
D (c/pond)
37,771 0,534 36,163 39,379 37,733 1,538 37,046 38,412
I (s/pond)
46,249 0,387 44,879 47,618 46,304 4,701 45,103 47,505
I (c/pond)
46,571 0,141 45,745 47,396 46,611 1,308 45,977 47,244
C (s/pond)
0,045 8,7.10
-6
0,039 0,052 0,045 0,0004 0,034 0,056
C (c/pond)
0,049 6,6.10
-6
0,043 0,054 0,049 0,0001 0,042 0,055
L (s/pond)
7,001 0,303 5,790 8,212 6,982 1,666 6,267 7,697
L (c/pond)
7,378 0,481 5,851 8,904 7,282 2,738 6,366 8,198
1-LI (limite inferior), LS (limite superior)
TABELA 7 Estimativa da variância da estimativa dos parâmetros para o modelo
com e sem ponderação (90 dias – Animal 3), obtida pela matriz de
variância e covariância dos parâmetros e pelo método jackknife,
respectivamente.
Matriz de variância e covariância Jackknife
Parâmetros
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
D (s/pond)
50,885 6,359 32,888 36,525 52,076 639 38,075 66,077
D (c/pond)
52,372 12,709 32,181 37,102 54,257 890 37,729 70,784
I (s/pond)
32,607 5,587 36,453 39,654 31,415 638 17,415 45,415
I (c/pond)
31,180 7,414 36,589 39,652 29,518 877 13,108 45,927
C (s/pond)
0,024 8,2,10
-6
0,028 0,037 0,021 0,0010 0,004 0,038
C (c/pond)
0,021
8,7,10
-6
0,027 0,037 0,016
ns
0,0014 -0,005 0,036
L (s/pond)
4,933 1,591 2,157 7,709 4,992 23 2,339 7,646
L (c/pond)
2,913
ns
8,518 -3,511 9,337 0,963
ns
120 -5,098 7,026
1-LI (limite inferior), LS (limite superior), ns (não significativo)
44
Na Tabela 8 estão apresentadas as estimativas dos parâmetros e suas
variâncias, para o ajuste da curva média dos animais. Os valores mostram que,
apenas para a fração não degradável (parâmetro I), a ponderação resultou em
uma menor estimativa da variância, conseqüentemente, em um intervalo de
confiança de menor amplitude. Para os demais parâmetros do modelo,
considerando a ponderação, houve um aumento nas estimativas da variância e
intervalos com maior amplitude.
TABELA 8 Estimativa da variância da estimativa dos parâmetros para o modelo
com e sem ponderação (90 dias – Ajuste médio), obtida pela matriz
de variância e covariância dos parâmetros e pela técnica jackknife,
respectivamente.
Matriz de variância e covariância Jackknife
Parâmetros
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
ˆ
θ
(
)
ˆ
ˆ
V
θ
LI
1
LS
1
D (s/pond) 34,706 0,683 32,888 36,525 35,054 40,58 31,526 38,582
D (c/pond)
34,642 1,250 32,181 37,102 34,798 46,87 31,006 37,590
I (s/pond) 38,054 0,529 36,453 39,654 37,707 40,38 34,187 41,226
I (c/pond) 38,121 0,484 36,590 39,652 37,965 46,68 34,181 41,749
C (s/pond) 0,032 4,3.10
-6
0,028 0,037 0,031 0,0003 0,022 0,040
C (c/pond) 0,032 5,7.10
-6
0,027 0,037 0,031 0,0004 0,019 0,042
L (s/pond) 5,361 0,385 3,994 6,727 5,303 3,603 4,252 6,252
L (c/pond) 4,933 1,722 2,045 7,821 4,897 13,260 2,880 6,914
1-LI (limite inferior), LS (limite superior).
As estimativas das variâncias, obtidas pelo método jackknife, para todos
os parâmetros, foram maiores tanto para o modelo sem ponderação como para o
modelo com ponderação, para o ajuste individual (Tabelas 5 a 7) e médio dos
animais (Tabela 8). A explicação para este aumento é que, ao excluir a j-ésima
observação amostral, o programa convergiu para valores discrepantes de
estimativas parciais, afetando diretamente a estimativa do pseudo-valor do
parâmetro e de sua variância.
45
FIGURA 7 Modelo de Mertens e Loften, com e sem ponderação, para o animal
1.
FIGURA 8 Modelo de Mertens e Loften, com e sem ponderação, para o
animal 2.
30
35
40
45
50
55
0
20
40
60
80
100
120
Tempo de incubação (horas)
Resíduo potencialmente degradável (%)
FDN (sem pond)
FDN (com pond)
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
0
20
40
60
80
100
120
Tempo de incubação (horas)
Resíduo potencialmente degradável (%)
FDN (sem pond)
FDN (com pond)
38,088 46,249 0 7,001
( )
0,045( 7,001)
38,088 46,249 7,001
t
R t
t
e t
+ < <
=
− −
+ >
37,771 46,571 0 7,378
( )
0,049( 7,378)
37,771 46,571 7,378
t
R t
t
e t
+ < <
=
− −
+ >
0,029( 2,172)
17,552 32,975 0 2,172
( )
17,552 32,975 2,172
t
t
R t
e t
− −
+ < <
=
+ >
0,028( )
( ) 17,566 32,961
t
R t e
−
= +
46
FIGURA 9 Modelo de Mertens e Loften, com e sem ponderação, para o animal
3.
FIGURA 10 Modelo de Mertens e Loften, com e sem ponderação, para a média
dos 3 animais.
35
40
45
50
55
60
65
70
75
0
20
40
60
80
100
120
Tempo de incubação (horas)
Resíduo potencialmente degradável (%)
FDN (sem pond)
FDN (com pond)
30
40
50
60
70
80
90
0
20
40
60
80
100
120
Tempo de incubação (horas)
Resíduo potencialmente degradável (%)
FDN (sem pond)
FDN (com pond)
50,885 32,607 0 4,933
( )
0,024( 4,933)
50,885 32,607 4,933
t
R t
t
e t
+ < <
=
− −
+ >
0,021( )
( ) 52,372 31,180
t
R t e
−
= +
34,706 38,054 0 5,361
( )
0,032( 5,361)
34,706 38,054 5,361
t
R t
t
e t
+ < <
=
− −
+ >
34,642 38,121 0 4,933
( )
0,032( 4,933)
34,642 38,121 4,933
t
R t
t
e t
+ < <
=
− −
+ >
47
5
CONCLUSÕES
Segundo os resultados obtidos, conclui-se que:
i.
a ponderação do modelo, pelo inverso da variância, proporcionou
estimativas estatisticamente iguais a zero para o tempo de latência,
quando o corte da gramínea coast-cross foi processado aos 90 dias;
ii.
a consideração de uma estrutura de erros auto-regressivos de
segunda ordem melhorou o ajuste do modelo de Mertens & Loften
(1980), promovendo estimativas mais precisas para os parâmetros;
iii.
os ajustes das curvas médias apresentaram estimativas dos
parâmetros mais condizentes com a literatura;
iv.
o método de jackknife
apresentou maior estimativa de variância para
os parâmetros do modelo de Mertens & Loften (1980), resultando
em intervalos de confiança de maior amplitude e estimativas dos
parâmetros menos precisas, para todas as idades de corte, nos ajustes
individuais e médios.
48
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51
ANEXOS
TABELA 1 A Estimativas dos erros padrões para o ajuste das curvas, individual
e média, no modelo não ponderado sem estrutura de erros auto-regressivos, para
cada idade de corte da gramínea, obtida por meio da matriz de variância e
covariância dos parâmetros..................................................................................52
TABELA 2 A Estimativas dos erros padrões para o ajuste das curvas, individual
e média, no modelo não ponderado sem estrutura de erros auto-regressivos, para
cada idade de corte da gramínea, obtida por meio do método
jackknife..............................................................................................................52
TABELA 3
A Estimativas dos erros padrões para o ajuste da curva individual
(animal 2) no modelo não ponderado com estrutura de erros auto-regressivos
(AR 2), para gramínea cortada aos 30 dias
,
obtidas por meio da matriz de
variância e covariância dos parâmetros e pelo método jackknife..........
............
53
TABELA 4 A Estimativas dos erros padrões para o ajuste das curvas, individual
e média, no modelo ponderado sem estrutura de erros auto-regressivos, para
cada idade de corte da gramínea, obtidas por meio da matriz de variância e
covariância dos parâmetros e pelo método jackknife
.............................................................................................................................53
TABELA 5 A Rotina SAS, programa utilizado para a obtenção das estimativas
dos parâmetros para o modelo com estrutura de erros auto-regressivos ............54
TABELA 6 A Rotina SAS, programa utilizado para a obtenção das estimativas
dos parâmetros para o modelo ponderado...........................................................55
52
TABELA 1A Estimativas dos erros padrões para o ajuste das curvas, individual
e média, no modelo não ponderado sem estrutura de erros auto-
regressivos, para cada idade de corte da gramínea, obtida por
meio da matriz de variância e covariância dos parâmetros.
Parâmetros
Ajustes
D I C L
Animal 1 0,975 0,778 0,0048 0,906
Animal 2 0,692 0,628 0,0017 0,814
Animal 3 1,391 1,050 0,0049 0,976
30 Dias
Ajuste médio 0,857 0,672 0,0031 0,736
Animal 1 1,506 1,331 0,0048 1,525
Animal 2 1,286 1,166 0,0037 1,349
Animal 3 1,507 1,332 0,0048 1,525
60 Dias
Ajuste médio 1,376 1,227 0,0043 1,413
Animal 1 0,369 0,322 0,0015 0,575
Animal 2 0,737 0,622 0,0029 0,550
Animal 3 2,522 2,364 0,0029 1,261
90 Dias
Ajuste médio 0,826 0,727 0,0021 0,621
TABELA 2A Estimativas dos erros padrões para o ajuste das curvas, individual
e média, no modelo não ponderado sem estrutura de erros auto-
regressivos, para cada idade de corte da gramínea, obtida por
meio do método jackknife.
Parâmetros
Ajustes
D I C L
Animal 1 0,705 0,705 0,0080 1,645
Animal 2 0,500 0,500 0,0015 0,806
Animal 3 1,790 1,763 0,0083 1,226
30 Dias
Ajuste médio 0,955 0,947 0,0049 1,112
Animal 1 2,410 2,407 0,0088 2,078
Animal 2 1,993 1,984 0,0065 1,561
Animal 3 2,409 2,408 0,0089 2,078
60 Dias
Ajuste médio 2,287 2,280 0,0081 2,015
Animal 1 0,311 0,307 0,0019 0,592
Animal 2 0,684 0,560 0,0050 0,333
Animal 3 6,527 6,527 0,0080 1,237
90 Dias
Ajuste médio 1,645 1,641 0,0041 0,490
53
TABELA 3
A Estimativas dos erros padrões para o ajuste da curva individual
(animal 2) no modelo não ponderado com estrutura de erros
auto-regressivos (AR 2), para gramínea cortada aos 30 dias,
obtidas por meio da matriz de variância e covariância dos
parâmetros e pelo método jackknife.
.Parâmetros
Matriz de variância e covariância
Método jackknife
D 0,274 0,751
I 0,211 0,751
C 0,0006 0,0017
L 0,353 0,525
1
φ
0,214 0,633
2
φ
0,229 0,590
TABELA 4 A Estimativas dos erros padrões para o ajuste das curvas, individual
e média, no modelo ponderado sem estrutura de erros auto-
regressivos, para cada idade de corte da gramínea, obtidas por
meio da matriz de variância e covariância dos parâmetros e pelo
método jackknife.
Parâmetros
Matriz de variância e
covariância
Método jackknife
D 0,502 0,353
I 0,308 0,349
C 0,0017 0,0024
Animal 1
L 1,192 0,626
D 0,731 0,320
I 0,375 0,295
C 0,0026 0,0028
Animal 2
L 0,694 0,427
D 3,565 7,705
I 2,723 7,650
C 0,0029 0,0095
Animal 3
L 2,918 2,826
D 1,118 1,768
I 0,696 1,764
C 0,0024 0,0053
Ajuste Médio
L 1,312 0,940
54
TABELA 5 A Rotina SAS, programa utilizado para a obtenção das estimativas
dos parâmetros para o modelo com estrutura de erros auto-
regressivos
/*Modelo de degrabilidade*/
DATA B;
INPUT T fdn;
CARDS;
0.00 45.959011
0.50 45.915600
1.00 45.898080
3.00 45.794080
6.00 43.284162
9.00 42.158900
12.00 41.908421
18.00 37.636103
24.00 36.363784
36.00 33.400597
48.00 30.437411
56.00 29.114086
72.00 27.790762
96.00 25.022668
120.00 24.291348
;
proc model covb data=b;
parms L=1.996062 D=22.898213 I=23.026018 c=0.024271;
if t<=L then fdn=D+I;
else fdn=D*exp(-c*(t-L))+I;
fit fdn/outresid out=teste;
%AR(fdn,2);
run;
proc print data=teste;run;
55
TABELA 6 A Rotina SAS, programa utilizado para a obtenção das estimativas
dos parâmetros para o modelo ponderado.
/*Modelo de degrabilidade*/
DATA B;
INPUT T fdn IV @@;
CARDS;
0.00 50.600807 0.002674
0.50 50.520707 0.002670
1.00 50.459259 0.002669
3.00 49.804361 0.002597
6.00 48.877113 0.002511
9.00 47.516659 0.002736
12.00 46.516659 0.003539
18.00 44.307221 0.005257
24.00 42.097784 0.005358
36.00 39.128337 0.011503
48.00 38.158889 0.018791
56.00 36.480599 0.018012
72.00 35.802309 0.022926
96.00 34.107170 0.022916
120.00 33.460920 0.016202
;
proc model COVB data=b;
parms L=1.948110 D=17.565867 I=32.961102 c=0.028118;
if t<=L then fdn=D+I;
else fdn=D*exp(-c*(t-L))+I;
fit fdn/outresid prl=wald out=teste;
weight iv;
run;
proc print data=teste;run;
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