( PDF ) Estimação de canais de HF usando o algoritmo LMS para aplicação em equalização DFE

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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CAP CLAUDIO CANTO DOS SANTOS

ESTIMAÇÃO DE CANAIS DE HF USANDO O ALGORITMO

LMS PARA APLICAÇÃO EM EQUALIZAÇÃO DFE

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de

Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar

de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do

título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Ernesto Leite Pinto, D.C.

Co-orientador: Maj Juraci Ferreira Galdino, D.C.

Rio de Janeiro

2007

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c2007

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

Praça General Tibúrcio, 80-Praia Vermelha

Rio de Janeiro-RJ CEP 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo

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comercial e que seja feita a referência bibliográﬁca completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)

orientador(es).

S194 Santos, Claudio Canto dos

Estimação de Canais de HF Usando o Algoritmo

LMS para Aplicação em Equalização DFE / Claudio

Canto dos Santos. – Rio de Janeiro: Instituto Militar de

Engenharia, 2007.

69 p.: il., graf., tab.

Dissertação (mestrado) – Instituto Militar de Engen-

haria – Rio de Janeiro, 2007.

1. Algoritmo LMS. 2. Estimação de Canal. 3. Co-

municações em HF. 4. Canais WSS-US. 5. Equalização.

CDD 005.1

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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CAP CLAUDIO CANTO DOS SANTOS

ESTIMAÇÃO DE CANAIS DE HF USANDO O ALGORITMO LMS

PARA APLICAÇÃO EM EQUALIZAÇÃO DFE

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica

do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de

Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Ernesto Leite Pinto, D.C.

Co-orientador: Maj Juraci Ferreira Galdino, D.C.

Aprovada em 21 de Dezembro de 2007 pela seguinte Banca Examinadora:

Ernesto Leite Pinto, D.C. do IME - Presidente

Maj Juraci Ferreira Galdino, D.C. do IME

Marco Antônio Grivet Mattoso Maia, Ph.D. da PUC-Rio

Maj Alberto G aspar G uimarães, D.C. do IME

Rio de Janeiro

2007

Aos meus pais, Carlos e Cleuza, aos quais devo tudo

que sou.

À minha esposa, Roberta, por todo seu amor,

carinho e compreensão.

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Carlos Ribeiro dos Santos e Cleuza do Canto Santos, por toda a base

e estrutura que me proporcionaram durante a minha vida, tornando possível a minha

chegada até aqui, por toda a sua paciência, pelo seu apoio, pelos conselhos e por sua

experiência, que incentivaram a minha busca contínua de crescimento.

À minha querida esposa, Roberta de Lima Santos, por seu amor, incentivo e com-

panheirismo incondicionais.

Ao meu orientador, Dr. Ernesto Leite Pinto, por todo o apoio e incentivo durante

todo o curso de mestrado e por todo o ensinamento e o tempo disponibilizados em prol

da conclusão deste trabalho.

Ao professor Dr. Juraci Ferreira Galdino, por todo o valioso apoio e tempo disponi-

bilizados, orientando-me e contribuindo de várias maneiras para a realização e conclusão

desta pesquisa.

A todos os meus professores do mestrado, pela rica convivência e ensinamentos pre-

ciosos, que, signiﬁcativamente, contribuíram para a minha formação proﬁssional como

acadêmico, abrindo novos horizontes de compreensão e realidade.

Aos amigos Stefan e David, por sua amizade, por sua disponibilidade e prontidão em

ajudar, por seu apoio irrestrito, por sua paciência, por suas reﬂexões críticas, por seus

ensinamentos, por toda a colaboração teórica e prática durante todo o curso de mestrado.

Aos colegas Flávio Duarte, Jorge Frederico, Sebastian, Gilberto e Arthur, p or sua

amizade, companheirismo, so lidariedade, ensinamentos e, além de tudo, por seu apoio

irrestrito em todos os momentos em que precisei.

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 MODELO DO SISTEMA DE COMUNICAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Sistema de Comunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Modelagem de Canais de HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Modelo do Canal de Propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Modelo de Canal de HF em Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 DESEMPENHO DO ALGORITMO LMS NA ESTIMAÇÃO DE

CANAIS DE HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 O Algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 MSWE na Estimação de Canais Variantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 MSWE na Estimação de Canais de HF em Regime Permanente . . . . . . . . . . . 29

3.5 Efeitos dos Filtros de Transmissão e R ecepção no MSWE em Regime

Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 EQUALIZAÇÃO DFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 O Equalizador DFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Método de Ajuste Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Método de Ajuste Indireto Para Canal Conhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5 Método de Ajuste Indireto Para Canal Estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Condições Básicas de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Inﬂuência do Passo no MSWE em Regime Permanente para Modelos

ITU-R Modiﬁcados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4 Inﬂuência do Passo no MSWE em Regime Permanente para Modelos

ITU-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 Desempenho do algoritmo LMS na Estimação de Canais de HF uti-

lizando o Passo Ótimo Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.6 Inﬂuência do Passo no Desempenho de um Equalizador DFE Aplicado

a Canais de HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4

8 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

8.1 APÊNDICE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG.2.1 Diagrama de blocos simpliﬁcado do sistema de comunicação. . . . . . . . . . . 20

FIG.2.2 Diagrama de blocos da representação em banda básica do modu-

lador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

FIG.2.3 Diagrama de bloco em banda básica do receptor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

FIG.2.4 Ilustração da Resposta ao Impulso Conjunta do Canal. . . . . . . . . . . . . . . . 25

FIG.3.1 Conﬁguração Básica de um Filtro Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

FIG.3.2 Modelo aproximado para associação em cascata de ﬁltros e canal. . . . . . 3 3

FIG.4.1 Estrutura do Equalizador DFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

FIG.4.2 Conﬁguração de uma estrutura DFE utilizando o método de ajuste

direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

FIG.4.3 Conﬁguração de uma estrutura DFE utilizando o método de ajuste

indireto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

FIG.5.1 MSWE em regime permanente em função do pa sso para o canal

ITU-R moderado modiﬁcado obtido por análise e simulação, com

RSR de 10, 20 e 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

FIG.5.2 MSWE em regime permanente em função do valor de passo do

algoritmo LMS para o modelo mo diﬁcado de canal ITU-R pobre.

São mostrados resultados analíticos e de simulação para RSR de

10, 20 e 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

FIG.5.3 MSWE e m regime permanente em função do passo para o mo delo

ITU-R bom, obtido por análise e simulação, para RSR de 10 e 30

dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

FIG.5.4 MSWE em regime permanente em função do passo do algoritmo

LMS para o canal ITU-R moderado. Obtidos por análise e simu-

lação, para RSR de 10 e 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

FIG.5.5 MSWE e m regime permanente em função do passo para o mo delo

ITU-R pobre, obtidos por análise e simulação, para RSR de 10 e

30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

FIG.5.6 MSWE em regime permanente em função do passo obtido ana-

liticamente, para o mo delo ITU-R bom. Em destaque os pontos

correspondentes ao passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

FIG.5.7 MSWE em regime permanente obtido analiticamente para o mo-

delo ITU-R moderado. Em destaque os pontos correspondentes

ao passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

FIG.5.8 MSWE em regime permanente obtido analiticamente para o mo-

delo ITU-R pobre. Em destaque os pontos correspondentes ao

passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

FIG.5.9 Curvas de Aprendizagem (MSWE) para canal ITU-R moderado

modiﬁcado e RSR = 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

FIG.5.10 Curvas de Aprendizagem (MSWE) para canal ITU-R pobre modi-

ﬁcado e RSR = 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

FIG.5.11 EQM na saida do equalizador em função do passo para o canal

ITU-R bom. Em destaque os valores correspondentes ao passo

ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

FIG.5.12 EQM na saida do equalizador em função do passo para o canal

ITU-R moderado. Em destaque os valores correspondentes ao

passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

FIG.5.13 EQM na saida do equalizador em função do passo para o modelo

de canal ITU-R pobre. Em destaque os valores correspondentes

ao passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

FIG.5.14 BER na saida do equalizador em função do passo para o modelo

ITU-R bom. Em destaque os valores correspondentes ao passo

ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

FIG.5.15 BER na saida do equalizador em função do passo para o modelo

canal ITU-R moderado. Em destaque os valores correspo ndentes

ao passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

FIG.5.16 BER na saida do equalizador em regime permanente utilizando o

modelo de canal ITU-R pobre. Em destaque os valores de BER

para o passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

FIG.5.17 MSWE e EQM na saida do equalizador em regime permanente,

para o modelo ITU-R moderado com RSR = 20 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . 58

FIG.5.18 MSWE e EQM na saida do equalizador em regime permanente,

para o modelo ITU-R pobre com RSR = 20 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

FIG.5.19 EQM na saida do equalizador em função do MSWE para os mo-

delos do ITU-R pobre e moderado, com RSR = 20 dB. . . . . . . . . . . . . . . 59

FIG.5.20 EQM na saida do equalizador em função do passo para o modelo

ITU-R pobre e RSR = 10 dB. A curva contínua foi levantada

utilizando o método de ajuste indireto para canal estimado. . . . . . . . . . . 60

FIG.5.21 EQM na saida do equalizador em função do passo, pa ra o mo-

delo ITU-R bom e RSR = 10 dB. A curva contínua foi levantada

utilizando o método de ajuste indireto para canal estimado. . . . . . . . . . . 61

LISTA DE TABELAS

TAB.2.1 Parâmetros dos canais de teste previstos pelo ITU-R. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

ABREVIATURAS

BER - Bit Error Rate

BLOS - Beyond Line Of Sight

BPSK - Binary Phase Shift Keying

CC - Canal Conhecido

CE - Canal Estimado

CV - Canal Variante no Tempo

DFE - Decision Feedback Equalizer

EMQ - Erro Médio Quadrático

FIR - Finite Impulse Response

HF - High Frequency

IES - Interferência Entre Símbolos

IIR - Inﬁnite Impulse Response

IME - Instituto Militar de Engenharia

ITU - International Telecommunications Union

ITU-R - ITU Radiocommunication Sector

LMS - Least Mean-Square Error

MLSE - Maximum Likelihood Sequence Estimator

MMSE - Minimum Mean-Square Error

MSWE - Mean Squared Weight estimation Error

QPSK - Quadrature Phase Shift Keying

RI - Resposta ao Impulso

RSR - Relação Sinal-Ruído

RLS - Recursive Least Square

WSS-US - WideSense Stationary - Uncorrelated Scattering

SÍMBOLOS

 - igual, por deﬁnição

k - índice de tempo

n - vetor com parcela de ruído presente nos símbolos recebidos

r - vetor sinal de entrada do equalizador

- vetor de símbolos transmitidos

- variância dos símbolos transmitidos

- variância do ruído aditivo

- variância do canal

m - quantidade de bits associados a cada símbolo da modulação

- resposta ao impulso do canal

- resposta ao impulso conjunta do canal

ν - quantidade de coeﬁcientes da resposta ao impulso do canal

L - quantidade de coeﬁcientes da resposta ao impulso conjunta do canal

- quantidade de coeﬁcientes do estimador de canais

- duração de símbolo

- duração de bit

- taxa de transmissão de símbolo

H - matriz de convolução

H - matriz de convolução estimada

Y - matriz de autocorrelação do sinal de entrada

- vetor de correlação cruzada

Q - conjunto de símbolos de uma constelação

- coeﬁcientes do ﬁltro avante do equalizador

- taxa de desvanecimento

- quantidade de coeﬁcientes do ﬁltro avante

- quantidade de coeﬁcientes do ﬁltro de realimentação

µ - passo de adaptação do algoritmo LMS

- matriz de autocorrelação dos coeﬁcientes do canal

D - erro médio quadrático dos coeﬁcientes

- densidade espectral de potência dos coeﬁcientes

 - retardo do sistema de comunicação

d - retardo de decisão

i×j

- matriz de dimensão i × j com todos os elementos de valor unitário

i×j

- matriz de dimensão i × j com todos os elementos de valor nulo

- matriz identidade de dimensão i × i

E(·) - valor esperado de um vetor de variáveis aleatórias

RESUMO

A transmissão digital na faixa de HF viabiliza características tais como mobilidade de

transceptores, baixo custo operacional, baixa demanda de tempo para operação, cober-

tura de longas distâncias (milhares de quilômetros) por reﬂexão ionosférica, assim como

cobertura de distâncias de até uma centena de quilômetros a través de ondas terrestres,

sem a necessidade de visada direta. Por outro lado, também se caracteriza pela ocorrência

de interferência intersimbólica severa e ruído aditivo, apresentando ainda características

de desvanecimento variante no tempo, diﬁcultando seu uso eﬁciente.

Neste trabalho será investigado o desempenho do algoritmo Least Mean Square

(LMS) na estimação de canais com tais características, tendo como indicador de desem-

penho, o erro médio quadrático nos co eﬁcientes (MSWE, de Mean Square Weight estima-

tion Error) em regime permanente. A análise aqui desenvolvida contempla a otimização

do passo (no sentido de minimizar o valor de MSWE em regime permanente) e os efeitos

dos ﬁltros de transmissão e de recepção na estimação do canal em tempo discreto.

É também discutido o desempenho de equalizadores DFE (Decision Feedback Equal-

izer) com ajuste de coeﬁcientes baseado numa estimativa dos coeﬁcientes da resposta ao

impulso do canal em tempo discreto.

Além disso, este trabalho visa analisar o impacto dos erros de estimação de canal

no desempenho do equalizador assim ajustado, particularmente para canais de HF, uti-

lizando o critério de erro quadrático médio (EQM) na saída do equalizador e empregando

o algorimto LMS na estimação de canais.

Finalmente, propõe-se o uso de um novo mapeamento como um possível caminho

para melhorar a adaptação dos coeﬁcientes do DFE baseada na estimação do canal de

comunicação.

ABSTRACT

Digital transmission over the HF band has several advantages such as mobility, low

operational cost, fast deployment equipment, communications coverage of long distances

(thousand of kilometers) through ionospheric reﬂection (skywaves), as well as coverage

of distances up to a hundred kilometers or more through ground wave propa ga tion. On

the other hand, this band is also characterized by the occurrence of time-varying and

frequency-selective fading that causes severe inter-symbol interference, besides noises

and interferences of several types.

This work addresses a performance analysis of the LMS algorithm in the estimation

of HF channels, taking as performance index the mean square error estimation weight

(MSWE) under steady state conditions. An approximate analytical expression is derived

for the optimum value of the LMS step-size parameter, in the sense of minimizing the

steady-state MSWE. The role of transmission and reception ﬁlters in the establishment

of the FIR model used for channel estimation is also analyzed. Besides, a p erformance

evaluation of a Decision Feedback Equalizer (DFE) adjusted on the basis of HF channel

estimates obtained with the LMS algorithm is presented. Among other indexes, the mean

square error (MSE) in the output of the equalizer as a function of the LMS step-size

parameter is carefully evaluated. Finally, a simple alternative is presented for including

the MSWE in the mapping of channel estimates into DFE coeﬃcients, as a means to

improve the equalizer performance.

1 INTRODUÇÃO

A comunicação rádio na faixa de HF (High Frequency), caracterizada pelo uso de

frequências na faixa de 3 a 30 MHz, oferece um forte atrativo por ser capaz de cobrir

grandes distâncias devido aos diferentes modos de propagação presentes. Em particular,

o interesse nesta faixa surge devido à propagação por ondas celestes (ionosféricas) que,

através do fenômeno de reﬂexão virtual (múltiplas refrações) permite a comunicação

BLOS (Beyond Line of Sight).

Porém a ionosfera é um canal físico que a presenta diversas limitações à comunicação

rádio, tais como propagação multipercurso, desvanecimento e ruídos aditivos.

O sinal que chega ao receptor passa por diversos caminhos oriundos de múltiplas

reﬂexões na ionosfera, ou até mesmo no solo. Isto faz com que o tempo de propagação

referente a cada caminho seja diferente, podendo o espalhamento temporal chegar à ordem

de vários milissegundos (TÜCHLER,2002). Além disso, ao longo do dia as alturas das

camadas ionosféricas variam, o que introduz variações de retardo. Em cada componente

multicaminho ocorre ainda desvanecimento variante no tempo, devido a variações na

ionização, produzindo o efeito de espalhamento Doppler.

O espalhamento temporal entre as componentes multicaminho provoca interferência

entre símbolos (IES), degradando a qualidade do sinal recebido e levando à necessidade

de técnicas eﬁcazes de equalização para evitar a ocorrência de taxas de erro de bit (BER,

de Bit Error Rate) excessivamente elevadas.

Diversas técnicas de equalização têm sido propostas ao longo das últimas décadas,

destacando-se, pela s suas características de desempenho, os equalizadores não lineares,

tais como os do tipo MLSE (de Maximum Likelihood Sequence Estimator) e do tipo DFE

(de Decision Feedback Equalizer) (ELEFTHERIOU,1987). Tem sido mais freqüente o

interesse pela equalização DFE, pelo fato de requerer menor complexidade computacional

do que os equalizadores MLSE, com perda de desempenho considerada compensadora

diante da redução de complexidade (TÜCHLER,2002).

Uma técnica comumente empregada para ajuste dos coeﬁcientes do equalizador DFE

advém da aplicação da teoria de ﬁltragem de Wiener, supondo conhecidos os coeﬁcientes

da resposta ao impulso (RI) do canal em tempo discreto (BENVENUTO, 2002; SHUKLA,

1991). O impacto dos erros de estimação de canal no desempenho do equalizador assim

ajustado pode ser signiﬁcativo, especialmente quando se trata de canais variantes no

tempo, como é o caso das transmissões em HF.

O algoritmo LMS (Least Mean Square) é bastante interessante para aplicação na es-

timação de canais. Além de ter complexidade computacional muito baixa, este algoritmo

apresenta rápida convergência quando a seqüência de entrada do ﬁltro empregado para

adaptação é um processo estocástico branco . Isto efetivamente ocorre na estimação de

canais, pois na grande maioria dos sistemas de comunicações os símbolos transmitidos po-

dem ser considerados perfeitamente descorrelacionados. Essa aﬁrmação é particularmente

verdadeira no caso das transmisssões em HF, devido ao freqüente uso de entrelaçadores

e desentrelaçadores associados a esquemas de codiﬁcação para correção automática de

erros.

As características de desempenho do algoritmo LMS são controladas pelo valor do

seu passo de adaptação, o qual determina as propriedades de convergência, a estabili-

dade e o nível de erro médio quadrático em regime permanente. O desenvolvimento de

ferramentas analíticas que permitam a escolha criteriosa deste valor de passo é de grande

interesse, sendo tema de diversos trabalhos publicados (GALDINO, 2004; YOUSEF, 2001;

LINDBOM, 2001, 2002).

Em (GALDINO, 2004) é feita uma análise de desempenho do algoritmo LMS na es-

timação de canais modelados como WSS-US (PARSONS, 1992). São obtidas expressões

analíticas para a s curvas de erro quadrático médio nos coeﬁcientes (MSWE, de Mean

Square Weight estimation Error) em regime p ermanente, em função de valores do passo e

de parâmetros típicos de sistemas de comunicação. Além disso, são apresentados aprox-

imações analíticas para o cálculo do valor ótimo do passo no sentido de minimizar o

MSWE na condição de regime permanente para alguns modelos de espectro Doppler,

dentre os quais o modelo de Jakes.

O presente trabalho busca estender a aná lise apresentanda em (GALDINO, 2004)

para o contexto de canais de HF e do ajuste de equalizadores DFE com base na estimação

de canal.

Em particular, considera-se aqui o modelo especíﬁco de Espalhamento Doppler usual-

mente associado à propagação ionosférica em HF, e também o efeito dos ﬁltros de trans-

missão e recepçã o na composição do modelo em tempo discreto utilizado para estimação

de cana l e posterior ajuste dos coeﬁcientes do equalizador. São obtidas e validadas ex-

pressões analíticas para o MSWE em regime permantente para estas condições, bem

como se obtém uma aproximação do valor de passo ótimo no sentido da minimização do

MSWE. Além disso, o trabalho também apresenta uma alternativa simples para incluir

o valor de MSWE no ajuste dos coeﬁcientes do equalizador DFE.

O trabalho está dividido em 6 capítulos e um apêndice.

No Capítulo 2 é descrito o modelo do sistema de comunicação, introduzindo-se a

notação empregada. Algumas características do modelo do canal de propagação na faixa

de HF são apresentadas, além do modelo do canal, tendo como base a modelagem ap-

resentada em (WATTERSON,1970). Os blocos constituintes do sistema são descritos,

salientando-se características e importância de cada um deles.

No Capítulo 3 são sumarizados resultados da análise de desempenho do algoritmo

LMS na estimação de canais variantes no tempo, realizadas em (GALDINO, 2004 ). Tam-

bém é apresentada uma extensão deste trabalho, utilizando-se modelos de canal de HF,

culminando na obtenção analítica do valor de passo ótimo no sentido de minimizar o

MSWE em regime permanente. Por ﬁm, é realizada uma análise dos efeitos dos ﬁltros

de transmissão e de recepçã o na composição do modelo de ﬁltro FIR (Finite Impulse

Response) usado para estimação do canal em tempo discreto.

O Capítulo 4 apresenta, de forma sucinta, o funcionamento de um equalizador com

estrutura DFE (Decision Feedback Equalization), discutindo-se métodos usuais de ajuste

de seus coeﬁcientes. Em seg uida, é mostrada uma proposta simples de utilização do

conhecimento prévio do MSWE na determinação dos coeﬁcientes do equalizador com

base numa estimativa da RI do canal.

O Capítulo 5 apresenta os resultados de simulação realizadas para validar as análises

aqui apresentadas, tendo por base o padrão MIL-STD-188-110/B para modems de HF e

os modelos de canais ionosféricos do ITU-R.

Por ﬁm, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho e s ugeridos temas

para a sua continuação. No Apêndice sã o a presentados alguns detalhes da análise.

2 MODELO DO SISTEMA DE COMUNICAÇÃO

2.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo é descrito o modelo de sistema de comunicação adotado no trabalho,

apresentando a notação utilizada ao longo do texto e as características básicas de cada

um dos blocos constituintes do sistema. Por ﬁm, algumas características do modelo do

canal de propagação na faixa de HF são discutidas.

2.2 SISTEMA DE COMUNICAÇÃO

De forma a facilitar o aco mpanhamento do texto, introduz-se agora a notação a ser

utilizada. Vetores são representados por letras minúsculas em negrito e matrizes por

letras maiúsculas também em negrito. Quantidades variantes no tempo são denotadas

por um índice de tempo subscrito. A notação E(·) representa o operado r esperado, I

a matriz identidade ordem N, enquanto 0

N×M

e 1

N×M

são, respectivamente, uma matriz

nula e uma matriz cujos elementos são todos iguais a 1, ambas de dimensão N por M.

O modelo do sistema de comunicação em banda básica aqui considerado tem seu

diagrama em blocos representado na FIG. 2.1. Nele destacam-se três blocos principais:

o modulador, o canal de comunicação e o receptor, os quais serão discutidos a seguir de

forma bastante suscinta.

FIG. 2.1: Diagrama de blocos simpliﬁcado do sistema de comunicação.

A estrutura do modulador, que é mostrado na FIG. 2.2, é composta basicamente de

dois blocos : o mapeamento bit/símbolo e o ﬁltro de transmissão. Assume-se que a fonte

FIG. 2.2: Diagrama de blocos da representação em banda básica do modulador.

de informaçã o gera dígitos binários (bits) estatisticamente independentes e identicamente

distribuídos, numa taxa de R

bits por segundo.

No modulador é realizado primeiramente um mapeamento bit/símbolo, de modo que

cada grupo de B bits da seqüência binária gerada é associado a um símbolo s

. Os sím-

bolos podem assumir Q = 2

valores e ao seu conjunto é dado o nome de constelação.

Considerando que cada bit p o ssui uma duração de T

= 1/R

segundos, o símbolo cor-

respondente a uma quantidade M de bits será gerado a cada T

= T

× M, ou seja, a

uma taxa de R

= 1/T

símbolos por segundo.

Com a ﬁnalidade de gerar o sinal contínuo a ser transmitido, o modulador utiliza

uma forma de onda g

(t), aqui chamada de pulso básico de transmissão ou de resposta

ao impulso do ﬁltro de transmissão. A envoltória complexa do sinal de saída deste ﬁltro,

aqui denotada por x(t), é dada por:

x(t) =



(t − kT

) (2.1)

O canal de comunicação é modelado como um ﬁltro linear variante no tempo com ν

coeﬁcientes e resposta a o impulso h(t, τ). Especiﬁcamente h(t, τ) é a resposta do canal

no instante t a um impulso aplicado no instante t − τ.

O sinal na entrada do ﬁltro de recepção é da forma:

y(t) =

ν−1



j=0

h(t)x(t − τ

) + n(t) (2.2)

onde n(t) é um ruído aditivo modelado por um processo estocástico Gaussiano de média

nula e densidade espectral de potência plana em toda a faixa de freqüências, estatistica-

mente independente do sinal transmitido e do canal de comunicação.

O modelo de canal de HF a ser investigado nesta dissertação é discutido com maiores

detalhes na Seção 2.3.

A estrutura do receptor, que é mostrado a FIG. 2.3, é composta p elo ﬁltro de re-

cepção, pelo amostrador, por um equalizador, pelo detector e pelo mapeador símbo lo/ bit.

FIG. 2.3: Diagrama de bloco em banda básica do receptor.

O ﬁltro de recepção, cuja resposta ao impulso é g

(t), é casado com o ﬁltro de

transmissão, sendo ambas do tipo raiz do cosseno levantado. O amostrador opera na

taxa de símbolos R

e gera a entrada do equalizador.

O equalizador procura compensar a maior parte das degradações e perdas introduzi-

das devido a atrasos por múltiplos percursos e variações temporais do canal. Adota-se

neste trabalho a estrutura de equalização DFE, que é abordada no Capítulo 4.

O decisor, por sua vez, tem a ﬁnalidade de prover a cada intervalo de símbolo uma

decisão sobre o símbolo transmitido

, aqui denotada por ˆs

k−

, utilizando o critério de

mínima distância euclidiana , sendo  o retardo provocado pelo sistema de comunicação

e p elo próprio equalizador. Por ﬁm, o mapeamento símbolo/bit gera um grupo de bits

associados ao símbolo estimado ˆs

k−

2.3 MODELAGEM DE CANAIS DE HF

Esta seção discute a modelagem empregada para o canal de propagação e ainda um

modelo discreto no tempo, incorp o rando o efeito conjunto dos ﬁltros de transmissão e

Note-se que, no caso do DFE, a saída do decisor também é realimentada para o equalizador.

recepção.

2.3.1 MODELO DO CANAL DE PROPAGAÇÃO

O canal de HF é modelado como um sistema linear, cuja resposta ao impulso é

caracterizada por ganhos variantes no tempo associados a diferentes valores de retardos.

Estes ganhos são usualmente modelados como processos estocásticos, estacionários em

sentido amplo e descorrelacionados entre si (modelo WSS-US, de Wide Sense Stationary

- Uncorrelated Scattering).

Deﬁne-se o espectro Doppler S

(λ, τ

) do ganho h(t, τ

) do i-ésimo caminho como

sendo a transformada de Fourier da função autocorrelação R

(l , τ

)  E(h(t, τ

∗

(t −

l, τ

)). Logo, são válidas as relações:

(λ, τ

) =



∞

−∞

(l , τ

−j2πλl

dl (2.3)

(l , τ

) =



∞

−∞

(λ, τ

j2πλl

dλ (2.4)

Como acontece com a maior parte dos modelos WSS-US usuais, os ganhos do ca nal

de HF são modelados por process os estocásticos com o mesmo formato de espectro de

potência. Um modelo especíﬁco ﬁca então caracterizado pelo formato de espectro (que

modela o efeito de espalhamento Doppler), e pelo perﬁl de intensidade de múltiplos

percursos, que deﬁne as potências dos diferentes ganhos e modela o efeito de espalhamento

de atrasos.

A largura aproximada do espectro Doppler é chamada de espalhamento Doppler ou

taxa de desvanecimento. O espectro Doppler pode ainda ser visto como uma densidade

de probabilidade dos desvios Doppler introduzidos por um canal.

Conforme veriﬁcado experimentalmente em (WATTERSON, 1970), o desvio Doppler

em canais na faixa de HF possui uma distribuição Gaussiana. Devido à impo rtância desta

veriﬁcação, a modelagem correspondente passou-se a ser chamada modelo de Watterson,

em referência ao primeiro autor deste trabalho.

Um espectro Doppler Gaussiano de média

λ e variância σ

é aqui expresso por:

(λ) =



2πσ

−(λ−

λ)

2σ

(2.5)

Para tal espectro, o espalhamento Doppler B

é deﬁnido como sendo duas vez es o

desvio padrão do espectro Doppler:

= 2σ

(2.6)

Considerando

λ sendo nulo, e lembrando que a transformada Fourier de uma função

Gaussiana é também Gaussiana tem-se:

(l ) =



πB



∞

−∞

−2λ

j2πλl

dλ = e

−(πB

(2.7)

Para realização de testes de desempenho na faixa de HF existem modelos padroniza-

dos internacionalmente. Alguns destes padrões foram estabelecidos pelo setor de comuni-

cações via rádio da International Telecommunications Union (ITU-R, sucessor do antigo

CCIR). A norma ITU-R F.520 (ITU-R,1992) previa três mo delos de canal: ITU-R bom,

ITU-R moderado e ITU-R pobre, os quais têm sido usados há vários anos e são até hoje

conhecidos como "canais CCIR". Esta norma foi substituída no ano de 2000 pela ITU-R

F.1487(ITU-R,2000), que prevê dez canais de teste, incluindo os três citados da norma

F.520.

Todos os canais de teste possuem apenas dois caminhos. Cada coeﬁciente do canal

é modelado p or um processo Gaussiano complexo, com espectro Doppler de formato

Gaussiano centrado na origem. O espalhamento Doppler B

= 2σ é o mesmo para os

dois coeﬁcientes, e τ

representa o retardo do segundo raio em relação ao primeiro. A

Tabela 2.1 apresenta o s pa râmetros dos canais previstos nas duas normas.

TAB. 2.1: Parâmetros dos canais de teste previstos pelo ITU-R.

Norma Canal τ

ITU-R bom 0,5 ms 0,1 Hz

F.520 ITU-R moderado 1 ms 0,5 Hz

ITU-R pobre 2 ms 1 Hz

Baixa Lat. quieto 0,5 ms 0,5 Hz

Baixa Lat. moderado 2 ms 1,5 Hz

Baixa Lat. perturbado 6 ms 10 Hz

Média Lat. quieto 0,5 ms 0,1 Hz

F.1487 Média Lat. moderado 1 ms 0,5 Hz

Média Lat. perturbado 2 ms 1 Hz

Média Lat. perturbado NV IS 7 ms 1 Hz

Alta Lat. quieto 1 ms 0,5 Hz

Alta Lat. moderado 7 ms 10 Hz

Alta Lat. perturbado 3 ms 30 Hz

2.3.2 MODELO DE CANAL DE HF EM TEMPO DISCRETO

Neste trabalho denomina-se de resposta ao impulso (RI) conjunta ou equivalente do

canal, a resposta ao impulso do sistema composto p elo canal e pelos ﬁltros de transmissão

e de recepção, de acordo com a FIG. 2.4.

FIG. 2.4: Ilustração da Resposta ao Impulso Conjunta do Cana l.

Para ﬁns de operação do estimador de canal, admite-se que a RI conjunta do ca nal

em tempo discreto é modelada por um ﬁltro FIR com L coeﬁcientes variantes no tempo

denotados pelo vetor

= [h

k,0

k,1

. . . h

k,L−1

]

(2.8)

A seqüência de amostras na entrada do equalizador é modelada por:

L−1



i=0

k,i

k−i

+ n

(2.9)

onde n

são amostras do ruído Gaussiano complexo ﬁltrado e s

= [s

k−1

···s

k−L+1

]

é o vetor de símbolos transmitidos.

3 DESEMPENHO DO ALGORITMO LMS NA ESTIMAÇÃO DE CANAIS

DE HF

3.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo é apresentada de forma resumida, uma análise de desempenho do al-

goritmo LMS na estimação de canais variantes no tempo do tipo WSS-US. Em seguida é

realizada uma extensão desta análise para modelos de canais de HF. Por ﬁm, é apresen-

tada uma avaliação dos efeitos do ﬁltros de transmissão e de recepção na composição do

modelo de canal em tempo discreto usado para ﬁns de estimação, quando os coeﬁcientes

da RI do canal não apresentam valores de retardos múltiplos do período de transmissão

de símbolos.

3.2 O ALGORITMO LMS

Uma conﬁguração básica de um ﬁltro adaptativo discreto no tempo está ilustrada

na FIG. 3.1. Nela observa-se que r

é o sinal de entrada representado na forma vetorial,

é o sinal de referência, z

é a saída do ﬁltro adaptativo e ξ

é o erro medido entre o

sinal de referência e a saída do ﬁltro. Este sinal de erro é utilizado para ajustar o vetor

de coeﬁcientes do ﬁltro,

, por meio de um algoritmo de adaptação.

O algoritmo LMS é amplamente utilizado em aplicações práticas por duas razões

principais: a sua simplicidade, implicando em um baixo custo computacional, e a garantia

de sua convergência, para escolha apropriada do seu passo de adaptação. Este algoritmo é

baseado no algoritmo Steepest−Descent, para o qual a adaptação do vetor de coeﬁcientes

ﬁca dada por (DINIZ, 2002; PROAKIS, 1995; HAYKIN, 199 6):

k+1

− µ∇

, (3.1)

onde µ é o passo de adaptação utilizado para ponderar o gradiente do erro (∇

ξ(k)), que

por sua vez é dado por −2c + 2Y

, sendo Y a matriz de autoc orrelação do sinal de

entrada e c o vetor de correlação cruzada entre o sinal desejado e o de entrada. Na prática

este gradiente não pode ser obtido com exatidão, uma vez que a matriz de autocorrelaçã o

Y e o vetor de correlação cruzada c são desconhecidos e devem ser estimados. O algoritmo

LMS usa estimativas simples e despolarizada do gradiente, dada por

FIG. 3.1: Conﬁguração Básica de um Filtro Adaptativo

∇

ξ(k) = −2ξ

∗

. (3.2)

Substituindo esta estimativa na Equação 3.1 do algoritmo Steepest −Descent obte-

mos a seguinte regra de atualização do vetor de coeﬁcientes:

k+1

+ 2µξ

∗

, (3.3)

que é a equação de adaptação do algoritmo LMS.

Vale ress altar que o LMS apresenta convergência lenta em relação a outros algoritmos

mais complexos, como o RLS, e sensibilidade ao problema de espalhamento de autovalores

da matriz de autocorrelação dos dados de entrada Y. Por outro lado apresenta baixa

complexidade computacional (DINIZ, 2002; PROAKIS, 1995; HAYKIN, 1996).

3.3 MSWE NA ESTIMAÇÃO DE CANAIS VARIANTES NO TEMPO

O algoritmo LMS é largamente utilizado em diversas aplicações que envolvem canais

de comunicações móveis, a ﬁm de estimar a resposta ao impulso de canais variantes no

tempo. A análise de seu desempenho e a escolha de passo são freqüentemente obtidos

por simula ção computacional, sendo que um indicador de desempenho muito utilizado

para realizar esta escolha é o erro quadrático médio nos coeﬁcientes (MSWE, de Mean

Square Weight estimation Error).

Em primeiro lugar, o valor de µ deve ser escolhido de tal forma que garanta a con-

vergência do algoritmo. Um valor alto de passo gera um MSWE em regime permanente

elevado, enquanto que um valor pequeno faz com que a convergência seja lenta, além de

prejudicar o rastreio de parâmetros que variam rapidamente com o tempo. Assim, o passo

de a daptaçã o utilizado pelo algoritmo LMS determina as propriedades de convergência,

a estabilidade e o nível de MSWE em regime permanente.

Diversos trabalhos na literatura realizaram análise do LMS na identiﬁcação de canais

variantes no tempo (EWEDA, 1994; YOUSEF, 2001; L. LINDBOM, 2001, 2002).

A referência (GALDINO,2004) apresenta expressões analíticas para as curvas de

MSWE em função dos valores do passo e de parâmetros típicos de sistemas de comu-

nicações, admitindo canais WSS-US variantes no tempo do tipo WSS-US (PARSONS,

1992) com retardos discretos, múltiplos do intervalo de símbolos e com L coeﬁcientes.

Em particular, mostra-se nesta referência que o MSWE, no instante (k +1) denotado por

D(k + 1, µ)  E||h(k + 1, µ) −

h(k + 1, µ)||

, pode ser recursivamente dado por

D(k + 1, µ) = (1 − 2µσ

+ µ

Lσ

)D(k, µ) + µ

L +

2µσ

∞



l=0

(1 − µσ

)

[R(l) − R(l + 1)], (3.4)

onde R(l) ≡ R(lT

) e R(.) denota a função autocorrelação normalizada dos coeﬁcientes

do canal. A soma das variâncias dos co e ﬁcientes do canal é denotada por σ

, os símbolos

de entrada são considerados independentes e equiprováveis com média zero e variância

e o ruído é modelado por um processo gaussiano branco complexo com variância σ

Sob condições de regime estacionário, mostra-se que a expressão analítica do MSWE

em termos de µ ﬁca dada por

D(µ) =

(2 − µLσ

)



µσ

L + 2σ

∞



l=0

(1 − µσ

)

[R(l) − R(l + 1)]



, (3.5)

Além disso, são apresentados em (GALDINO, 2004) aproximações analíticas para o

cálculo do valor ótimo do passo no sentido de minimizar o MSWE na condição de regime

permanente, para alguns modelos de espectro Doppler.

O trabalho aqui proposto estende o trabalho realizado em (GALDINO, 2004) para

canais de comunicações na faixa de HF, utilizando o modelo de canal discutido na

Seção 2.3.

3.4 MSWE NA ESTIMAÇÃO DE CANAIS DE HF EM REGIME PERMANENTE

Nesta seção se analisa o desempenho do alg oritmo LMS na estimação de canais de

HF, tendo como indicador de desempenho o MSWE em regime permanente. A análise

contempla a otimização do passo, no sentido de minimizar o valor de MSWE atingido

após a convergência do LMS.

A partir da Equação 2.7 veriﬁca-se que a função de autocorrelação referente ao modelo

do canal de HF aqui adotado pode ser escrito como

(l ) = e

−(πB

(3.6)

em que T

é o intervalo de símbolo e B

é o espalhamento Doppler.

Substituindo a Equação 3.6 na Equação 3.5, o valor de MSWE em regime permanente,

como função do passo, ﬁca dado por:

D(µ) =

(2 − µLσ

)



µσ

L + 2σ

∞



l=0



−αl

− e

−α(l+1)





(3.7)

onde

β = 1 − µσ

(3.8)

α =

(πB

)

(3.9)

Para ﬁns de obtenção do passo ótimo, a expressão de D(µ) acima pode ser apresen-

tada como:

D(µ) =

(2 − µLσ

)



µσ

L +

2σ

−

2σ

µσ



(3.10)

onde

∞



l=0

−αl

(3.11)

Denotando por S

(λ) a densidade espectral de potência dos coeﬁcientes do canal,

como discutido na Seção 2.3.1, tem-se

∞



l=0

R(l)

∞



l=0



∞

−∞

(λ)e

j2πλT

dλ



∞

−∞

(λ)

∞



l=0



βe

j2πλT



dλ (3.12)

Considerando que |β| < 1 tem-se no somatório da Equaçã o 3.12 uma progressão

geométrica inﬁnita decrescente, logo:



∞

−∞

(λ)p(λ)dλ (3.13)

sendo

p(λ) =

1 − βe

j2πλT

(3.14)

Como S

(λ) tem formato gaussiano e é normalizado, a expressão de P

dada acima

pode ser vista como o valor esperado de uma função de variável aleatória.

Especiﬁcamente, P

corresponde ao valor esperado da variável aleatória p(λ), sendo

λ vista como uma variável aleatória gaussiana com função densidade de probabilidade

(λ).

Supondo que p(λ) pode ser bem aproximada por uma expansão em Série de Taylor

truncada no termo de ordem a, dada por:

p(λ)

∼

p(η) + p



(η)(λ − η) + . . . + p

(η)

(λ − η)

(3.15)

obtém-se a seguinte aproximação para o valor esperado de p(λ), dada em termos dos

momentos de variável aleatória λ até a ordem a

= E[p(λ)]

∼

p(η) + p”(η)

+ . . . + p

(η)

(3.16)

No caso em questão, o valor do espalhamento Doppler (duas vezes o desvio padrão

da variável aleatória λ) é usualmente bem menor que a taxa de símbolos, e por isso é

razoável supor que S(λ) pode ser bem aproximada com a = 2.

Considerando que tem média nula e variância

(Seção 2.3.1) tem-se

= E[p(λ)]

∼

p(0) + p”(0)

(3.17)

Utilizando a Equação 3.17 na Equação 3.10, calculando a derivada parcial de D (µ)

com relação a µ e igualando o resultado a zero, obtém-se seguinte polinômio (ver

APÊNDICE 1)

+ A

µ + A

= 0 (3.18)

cujos coeﬁcientes são dados por:

= σ

Lσ

= −2σ

= 2σ

K + 6Lσ

= −8σ

K (3.19)

onde

K = (πT

)

. (3.20)

Veriﬁca-se que o passo ótimo pode ser obtido encontrando-se as raízes do polinômio

da Equação 3.18. É importante mencionar que esta equação tem apenas uma solução

real e positiva, que é o valor aproximado do passo ótimo (µ

ot.aprox

) e pode ser expressa

como:

ot.aprox

√

−



−



√

−

= 36A

− 108A

− 8A

+ 12

√



− A

− 18A

+ 27A

+ 4A

(3.21)

Diversos resultados de avaliação numérica em condições típicas das transmissões em

HF foram levantados e mostraram ser esta uma aproximação bastante útil para obtenção

do passo ótimo, no sentido de minimização do MSWE em regime permanente. Alguns

desses resultados são discutidos no Capítulo 5.

3.5 EFEITOS DOS FILTROS DE TRANSMISSÃO E RECEPÇÃO NO MSWE EM

REGIME PERMANENTE

Na análise desenvolvida em (GALDINO, 2004) admite-se que o canal é modelado

por um perﬁl de intensidade de múltiplos percursos discreto, com retardos múltiplos do

intervalo de símbolo. Nas condições de transmissão consideradas neste trabalho esta

hipótese nem sempre é válida, o que leva à necessidade de uma extensão da análise

anterior, visando a considerar o efeito conjunto do canal de propagação e dos ﬁltros de

transmissão e recepção no estabelecimento de um modelo de canal em tempo discreto a

ser utilizado no receptor, para ﬁns de estimação e equalização.

No presente trabalho, os ﬁltros de transmissão e de recepção têm resposta a o im-

pulso raiz de cosseno levantado, apresentando um decaimento assintótico com o tempo

e gerando uma resposta ao impulso conjunta do canal de mesma natureza. No entanto,

devido a limitações de implementação no receptor, o estimador de canal opera com um

modelo de canal em tempo discreto de duração ﬁnita, com uma quantidade de coeﬁcientes

muitas vezes bastante limitada. Ocorre assim um "truncamento" no modelo de canal

a ser estimado, gerando um acréscimo de erro no MSWE, que será aqui denominado de

erro de truncamento, e denotado por .

Para se obter uma aproximação analítica deste erro de truncamento, considera-se que

a associação em cascata do ﬁltro de recepção e do canal pode ser alterada, obtendo-se o

modelo equivalente mostrado na FIG. 3.2. Nesta ﬁgura, g(t) é uma respo sta cosseno le-

vantado resultado da convolução entre as respostas impulsionais dos ﬁltros de transmissão

(t) e de recepção g

(t).

Em (PINTO, 1999) veriﬁcou-se que esta aproximação é satisfatória, quando a res-

posta ao impulso do canal de propagação pode ser considerada aproximadamente invari-

ante em intervalos de tempo de ordem da duração efetiva

da resposta ao impulso do

ﬁltro de recepção. Uma análise dos parâmetros dos sistemas de transmissão e dos mo-

delos do canal de propagação aqui adotados mostra ser esta condição satisfatoriamente

atendida nos ambientes de transmissão investigados neste trabalho, que estão descritos

em detalhe no Capítulo 5.

Note-se a go ra, com base na Figura 3.2, que a resposta ao impulso conjunta do canal é

uma soma de impulsos co m atrasos múltiplos do intervalo de símbolo. Estes impulsos são

ponderados por coeﬁcientes (pesos) determinados pelos ganhos do canal de propagação

Por duração efetiva de um pulso de duração ilimitada entende-se a largura de uma janela de tempo

no qual estão contidos 99% de sua energia.

FIG. 3.2: Modelo aproximado para associaçã o e m casca ta de ﬁltros e canal.

e pela resposta ao impulso dos ﬁltros de transmissão e recepção.

Denota-se por h(m, n) um destes coeﬁcientes (arbitrário), o qual pode ser associado à

resposta observada no instante t = nT

(na saída do amostrador) a um impulso aplicado

em t = (n − m)T

. Com base na aproximação mostrada na Figura 3.2 veriﬁca-se que

h(m, n) pode ser expresso por:

h(m, n) =

ν−1



j=0

(nT

)g(mT

− τ

) (3.22)

onde g(t) ≡ g

(t) ∗ g

(t) é um pulso do tipo cosseno levantado.

Como os ganhos do canal de propagação são por hipótese estacionários em sentido

amplo, mutuamente descorrelacionados e de média nula, a potência (variância) do coeﬁ-

ciente h(m, n) não depende de n e pode ser dada por

≡ E[|h(m, n)|

] =

ν−1



j=0

(mT

− τ

), (3.23)

onde σ

é a potência do j -ésimo ganho do modelo WSS-US do canal de propagaçã o.

Cabe notar neste ponto que, como g(t) é ilimitado no tempo, há em princípio um

número inﬁnito de coeﬁcientes h(m, n) com variância σ

não nula.

Note-se ainda que, para estabelecimento de um bom modelo em tempo discreto, é

interessante escolher o índice do primeiro coeﬁciente (aqui denotado por m

) de modo a

maximizar a soma das variâncias dos coeﬁcientes.

Admitindo que o canal de propagação e a resposta em cosseno levantado g(t) são

normalizados, o erro de truncamento  correspondente a um modeldo com L coeﬁcientes

ﬁca dado por:

 = 1 −

+L−1



m=m

, (3.24)

sendo σ

dado em (3.23).

Note-se que  representa de fato a contribuição de um erro de modelagem na com-

posição do MSWE, e, como tal, deve ser levado em conta na avaliação de desempenho

de qualquer estimador de canal, nas condições aqui analisadas.

Portanto, para contemplar o efeito de truncamento no mo delo de canal em tempo

discreto, é necessário que o valor  seja adicionado ao valor de MSWE analisado nas seções

anteriores. Para um determinado canal, quanto menor a quantidade de coeﬁcientes L,

maior será a inﬂuência do valor do erro de truncamento  no MSWE.

Cabe notar qua análise acima se aplica a qualquer modelo de canal WSS-US com

perﬁl de retardos discutidos, desde que a aproximação ilustrada na Figura 3.2 seja satis-

fatória.

Resultados numéricos de validação desta análise do efeito do erro de truncamento

na composição do MSWE produzido pelo LMS na estimação de de canais de HF são

apresentados no Capítulo 5. Excelentes ajustes entre resultados analíticos e de simulação

são obtidos, sob diferentes condições do meio de transmissão.

4 EQUALIZAÇÃO DFE

4.1 INTRODUÇÃO

Na maioria dos sistemas de comunicação digital ocorre a dispersão temporal do sinal

transmitido, fazendo com que dados transmitidos num certo instante venham a interferir

com dados transmitidos em outros instantes. Esse fenômeno, chamado de interferência

intersimbólica (IES), provoca a redução da conﬁabilidade e/ou da taxa com as quais os

dados são transmitidos. A ﬁm de minorar a IES, faz-se uso de equalizadores.

Todavia, tendo em vista a necessidade de equalizar canais desconhecidos ou variantes

no tempo, faz-se imperativo o uso de equalizadores adaptativos. Esses equalizadores são

usualmente implementados na forma de ﬁltros digitais com resposta ao impulso ﬁnita

(FIR - Finite Impulse Response) e/ou resposta inﬁnita ao impulso (IIR - Inﬁnite Impulse

Response). Estes ﬁltros são comumente adaptados usando uma sequência de treinamento

conhecida no receptor, que é tida como resposta desejada do equalizador. A diferença

entre a sequência de treinamento e a saída do equalizador é utilizada para ajustar seus

coeﬁcientes.

Neste capítulo, aborda-se a estrutura de equalização DFE (Decision Feedback Equa-

lization) e algumas formas de adaptação de seus coeﬁcientes, com ênfase na adap-

tação baseada na estimação de canal, que usualmente é feita usando expressões obtidas

supondo-se que o canal é perfeitamente estimado. Com base na análise do MSWE reali-

zada no capítulo anterior, propõe-se uma maneira simples de levar em conta os erros de

estimação do canal no ajuste dos coe ﬁcientes do DFE.

4.2 O EQUALIZADOR DFE

O objetivo desta seção é descrever de forma sucinta o funcionamento de um equali-

zador DFE.

Este tipo de equalizador é mostrado na Figura 4.1. Ele é composto basicamente de

dois ﬁltros adaptativos de duração ﬁnita (ﬁltros transversais): um ﬁltro avante com N

coeﬁcientes, aqui representados pelo vetor w

, que opera sobre as amostras do sinal na

entrada do receptor, e um ﬁltro de realimentação com N

coeﬁcientes b

, que opera sobre

símbolos que foram detectados previamente. Os vetores de coeﬁcientes destes ﬁltros são

FIG. 4.1: Estrutura do Equalizador DFE

dados explicitamente por:

= [w

, w

, . . . , w

−1

]

= [b

, b

, . . . , b

]

(4.1)

Conjuntamente, estes ﬁltros permitem combater o efeito de IES sem implementar

uma aproximação do tipo "canal inverso", como ocorre para os equalizadores lineares, o

que provocaria o conhecido efeito de fortalecimento do ruído em canais que a presentam

severas atenuações dentro da faixa de passagem.

Nas próximas seções são mostradas duas formas de realizar o ajuste dos coeﬁcientes

do equalizador DFE. No primeiro método, os coeﬁcientes são adaptados no sentido de

minimizar o valor quadrático médio do erro entre o símbolo transmitido s

e o sinal

de saída do equalizador ˜s

, utilizando algum tipo de algoritmo adaptativo, como por

exemplo o algoritmo RLS (Recursive Least Square). Aqui este método é chamado de

método de ajuste direto.

No segundo método, o algoritmo adaptativo é utilizado para obter uma estimativa de

RI do canal e a partir desta estimativa é realizado o ajuste dos coeﬁcientes do equalizador.

Aqui este processo é chamado de método de ajuste indireto.

Nas seções 4.3 e 4.4, os dois procedimentos são descritos de forma mais detalhada.

Na seção 4.5 é apresentada um nova forma de mapeamento, que procura melhorar o

método de ajuste indireto, utilizando o valor do MSWE analisado no capítulo anterior.

Em (SHUKLA, 1991) comparou- se o desempenho de um equalizador DFE num canal

de HF utilizando os dois métodos. Os critérios utilizados para a avaliação de desempenho

foram a probabilidade de erros de símbolos e o erro quadrático médio na saída do equa-

lizador em regime permanente. Veriﬁcou-se que o método indireto não apenas apresenta

um desempenho superior nestes critérios, como também apresenta convergência mais

rápida do que o método convencional.

Além disso, apesar do artigo supracitado utilizar o algoritmo RLS, foram realizadas

simulações computacionais que mostraram que o desempenho dos algoritmos RLS e LMS

são semelhantes utilizando o método indireto.

4.3 MÉTODO DE AJUSTE DIRETO

Nesta seção, discute-se o método que utiliza a minimização do valor quadrático médio

do erro entre o símbolo transmitido s

e o sinal de saída do equalizador ˜s

como critério

de ajuste dos coeﬁcientes do DFE.

Note-se primeiramente que o sinal equalizado é dado pela soma dos sinais de saída

dos ﬁltros avante e de realimentação, ou seja

˜s

Nw−1



i=0

k−i



i=1

ˆs

k−∆−j

(4.2)

sendo ∆ o retardo global do sistema.

O erro em relação à saída do decisor ˆs

k−∆

é dado por:

= ˆs

k−∆

− ˜s

. (4.3)

O algoritmo adaptativo, por sua vez, tem por objetivo minimizar o valor quadrático

médio deste erro. Este procedimento é ilustrado na FIG. 4.2.

Para melhor exempliﬁcar o méto do , é mostrada esta forma de ajuste dos c oeﬁcientes

do equalizador utilizando o algoritmo LMS.

Deﬁnindo o vetor de coeﬁcientes

= [w

, w

, . . . , w

−1

, b

, . . . , b

]

(4.4)

e o vetor de entrada

= [r

, r

k−1

, . . . , r

k−N

, ˆs

k−∆−1

, ˆs

k−∆−2

, . . . , ˆs

k−∆−N

]

(4.5)

tem-se que a Equação 4.2 pode ser expressa da seguinte forma

˜s

= ϕ

. (4.6)

FIG. 4.2: Conﬁguração de uma estrutura DFE utilizando o método de ajuste direto

A adaptação dos coeﬁcientes pelo método de ajuste direto utilizando o algoritmo

LMS é dado por:

k+1

= ϕ

+ µe

∗

(4.7)

4.4 MÉTODO DE AJUSTE INDIRETO PARA CANAL CONHECIDO

Nesta seção, apresenta-se o método baseado no conhecimento da RI do canal para

adaptar os coeﬁcientes do equalizador DFE.

O objetivo deste procedimento é otimizar os coeﬁcientes do equalizador no sentido

de minimizar um critério de desempenho e, ao mesmo tempo, expressá-los em função da

RI do canal. Aqui foi adotado o critério de minimização do erro quadrático médio entre

o sinal recebido r

e saída do estimador de canal ˆr

como ilustrado na FIG. 4.3.

Apesar do interesse em canais variantes no tempo nas expressões a seguir, não se

explicita na notação a dependência da RI do canal com o tempo.

Considerando h como sendo a RI do canal de comunicação, deﬁnindo o vetor sinal de

entrada do ﬁltro avante r

, o vetor de símbolos transmitidos s

e o vetor de ruído aditivo

da seguinte forma,

= [r

, r

k−1

, . . . , r

k−N

]

FIG. 4.3: Conﬁguração de uma estrutura DFE utilizando o método de ajuste indireto

= [s

k+L

, . . . , s

k−L

−N

]

= [n

, n

k−1

, . . . , n

k−N

]

(4.8)

onde L

e L

são as quantidades de pré-cursores e pós-cursores da RI do canal, respecti-

vamente, o vetor r

pode ser expresso como:

= Hs

+ n

(4.9)

onde

H =







−L

··· h

0 ··· 0

0 h

−L

··· h

0 ··· 0

0 0 0 ··· h

−L

··· h







×(L

)

(4.10)

é uma Matriz Toeplitz (Matriz de Convolução).

Supondo que as decisões realimentadas são corretas, é possível expressar as operações

do ﬁltro de realimentação assumindo como entrada o vetor s

, dado pela Equação 4.8.

Com essa ﬁnalidade é deﬁnido um vetor b



tal que



= [0

1×(L

+d+1)

, b

, 0

1×N

]

(4.11)

onde d é o retardo de decisão e N

= N

+ L

− d − 1 − N

Logo, a entrada do decisor pode ser expressa como

˜s

= w

+ b



= w

+ b



+ w

= (w

H + b



+ w

(4.12)

Para se obter o cancelamento da parcela da IES devida aos símbolos s

k−d−i

, i =

1, . . . , N

, os coeﬁcientes do ﬁltro de realimentação devem ser dados por



= [0

1×(L

+d+1)

, −(w

+d+N

+d+2

, 0

1×N

]

(4.13)

Usando as Equações 4.12 e 4.13, a entrada do decisor ﬁca dada por

˜s

= w



+ n

) (4.14)

onde



= [H

+d+1

•,1

, 0

×N

, H

•,L

+d+N

] (4.15)

ou seja,









−L

··· h

0 ··· 0 0 ··· 0

0 h

−L

··· h

d−1

0 ··· 0 0 ··· 0

0 ··· 0 0 ··· 0 h

−N

··· h







(4.16)

Os coeﬁcientes do ﬁltro avante são determinados pela minimização do erro médio

quadrático, dado por

J = E[|˜s

− s

k−d

] (4.17)

Da Teoria de Filtragem de Wiener, sabe-se que para encontrar a solução deve-se computar

a matriz de autocorrelação R

do sinal de entrada e o vetor de correlação cruzada p entre

o sinal de saída desejado e o sinal de entrada. Temos portanto:

= E[(H



+ n

)

∗



+ n

)

] (4.18)

Admitindo que os símbolos s

são descorrelacionados, de média nula e variância σ

que os coeﬁcientes do canal h

são conhecidos que o ruído n

é branco e descorrelacionado

de s

, com variância σ

, tem-se:

= σ



∗



+ σ

I (4.19)

p = E[s

k−d



+ n

)

∗

] = H



∗

E[s

k−d

∗

] (4.20)

Nessas condições o vetor E[s

k−∆

∗

] tem todos os elementos igua is a zero, exceto na

posição N

+ D + 1, logo

p = σ



∗

•,L

+d+1

(4.21)

O vetor de coeﬁcientes do ﬁltro avante que minimiza J é dado por

opt

= R

−1

= (σ



∗



+ σ

−1



∗

•,L

+d+1

(4.22)

O vetor de coeﬁcientes do ﬁltro de realimentação é obtido substituindo a Equação 4.22

na Equação 4.13.

As Equações 4.22 e 4.13 constituem então a ess ência deste método de ajuste de

coeﬁcientes do DFE.

Note-se mais uma vez que as referidas equações fora m obtidas supondo que o canal

em tempo discreto é conhecido, ou seja, supondo que a estimação do canal é perfeita. Na

prática o mesmo equacionamento é usado para mapea r estimativas imperfeitas de RI do

canal nos coeﬁcientes do DFE, desconsiderando a ocorrência de erros de estimação.

4.5 MÉTODO DE AJUSTE INDIRETO PARA CANAL ESTIMADO

Nesta seção, propõe-se o uso de um novo mapeamento, utilizando o conhecimento do

MSWE analisado no Capítulo 3, como um possível caminho para melhorar o ajuste dos

coeﬁcientes e, por conseqüência, o desempenho do equalizador DFE.

Primeiramente, considerando H a matriz de convolução do canal,

H a matriz de

convolução do canal estimado e denotando por 

a matriz de erro (diferença entre

e H), tem-se

= Hs

+ n

= (

H + 

+ n

+ 

+ n

+ ˜n

(4.23)

onde

˜n

= 

+ n

(4.24)

Admitindo a descorrelação entre 

e s

, e que a média de 

é uma matriz nula,

a matriz de autocorrelação do vetor de entrada do ﬁltro avante ﬁca dada por

= E[(

∗

+ ˜n

∗

)(

+ ˜n

)]

= σ

∗

+ R

˜n

(4.25)

onde

˜n

= E[(

∗

+ n

∗

)(

+ n

)]

= σ

E[

∗



] + σ

I (4.26)

Nota-se na expressão acima a necessidade de se conhecer a matriz de correlação do

erro de estimação do canal para determinar a matriz E[

∗



] e, conseqüentemente,

determinar R

˜n

. Uma expressão extremamente simples para R

˜n

pode ser obtida supondo

que a matriz E[

∗



] seja dada por

E[

∗



] = σ

I (4.27)

onde σ

é o valor do MSWE dividido pela quantidade de coeﬁcientes L

do estimador de

canal, ou seja

MSW E

(4.28)

Obtém-se o novo mapeamento dos coeﬁcientes do equalizador DFE, substituindo os

resultados das Equações 4.25, 4.26, 4.27 e 4.28 nas Equações 4.22 e Equação 4.1 3.

Trata-se de fato de uma pequena modiﬁcação do mapeamento usual, que tem como

aspecto interessante o fato de incorporar um indicador de qualidade das estimativas de

canal empregadas, qual seja, o valor do MSWE.

Este método é interessante para uso em conjunto com os resultados analíticos antes

apresentados, relativos à análise do MSWE na estimação de canais WSS-US, e de canais

de HF em particular.

Note-se que uma versão um pouco mais elaborada deste mapeamento pode ser em-

pregada, utilizando a expressão da Equação. 4.26, desde que se dispo nha da matriz au-

tocorrelação do vetor erro de estimação do canal.

Por ﬁm, como citado anteriormente, em situações práticas o canal de comunicação é

desconhecido e os coeﬁcientes do equalizador devem ser ajustados antes que o process o de

deteção de informação transmitida seja iniciado. No entanto, quando o canal é variante no

tempo, esses coeﬁcientes devem ser adaptados durante a fase de detecção de informação,

do contrário a taxa de erro do sistema de comunicação pode aumentar.

4.6 RESUMO

Neste capítulo foi discutido o funcionamento de um equalizador com estrutura DFE

e algumas formas de ajuste de seus coeﬁcientes. Além disso, foi proposto um novo tipo de

ajuste, bastante simples, como uma forma de utilizar o conhecimento do valor de MSWE

analisado no capítulo anterior para se tentar melhorar o desempenho do equalizador DFE

quando do emprego de estimativas imperfeitas do canal para ajuste de seus coeﬁcientes.

5 RESULTADOS

5.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo são apresentados alguns resultados de avaliação de desempenho obti-

dos através de simulações e com o uso das análises descritas anteriormente, utilizando o

software Matlab.

Quatro conjuntos de resultados são apresentados e discutidos. Os três primeiros

procuram validar os resultados analíticos apresentados no Capítulo 3 por meio de simu-

lação computacional, enquanto que o quarto contempla a inﬂuência da escolha do passo

no desempenho de um equalizador DFE utilizando os métodos de ajuste indireto, tanto

para canal conhecido quanto para canal estimado, conforme discutido no Capítulo 4.

5.2 CONDIÇÕES BÁSICAS DE SIMULAÇÃO

Utilizou-se em geral os três modelos de cana l de HF da norma ITU-R F.520 (ITU-

R bom, ITU-R moderado e ITU-R pobre). A taxa de símbolos R

foi de 2400 baud e

empregou-se um esquema de modulação Quadrature Phase Shift Keying (QPSK), e ﬁltros

de transmissão e de recepção casados do tipo raiz quadrada de cosseno levantado, com

fator de rool oﬀ igual a 0,5.

Como os valores de retardo do modelo de canal de propagação não são, em geral,

múltiplos do intervalo de símbolos, utiliza-se superamostragem para viabilizar a sua si-

mulação. Os símbolos de entrada s

são interpolados por um fator M através de inserção

de M − 1 zeros entre símbo los sucessivos. A seqüência assim obtida passa então por um

ﬁltro de transmissão que possui resposta raiz de cosseno levantado, e sofre efeito do canal

simulado aproximando-se o intervalo entre coeﬁcientes por múltiplos de

. Finalmente

a seqüência passa pelo ﬁltro de recepção, que po ssui a mesma resposta que o de trans-

missão. A seqüência na saída deste ﬁltro é, então, decimada por um fator M antes de

ser somado o ruído.

Para gerar os modelos de canais de teste previstos pela ITU-R são necessários apenas

dois coeﬁcientes de igual potência, com espalhamento Doppler e retardos entre os raios

de acordo com a Tabela 2.1.

Para ﬁns de simpliﬁcação, algumas vezes se utiliza uma modiﬁcação do valor de re-

tardo entre os raios dos modelos de canais da ITU-R F.520. Esta alteração tem como ob-

jetivo aproximar a este valor de retardo por um múltiplo do período de símbolo. Quando

isto ocorre, os ﬁltros de transmissão e de recepção não inﬂuenciam na obtenção da RI

conjunta do canal, e assim a IES resulta apenas do efeito do canal de comunicação. Para o

caso do canal ITU-R pobre, por exemplo, tem-se retardo entre os raios de 2 ms. Para uma

taxa de símbolos de 2400bps, o canal pode ser aproximado para um retardo de 2,1 ms,

ﬁcando o vetor de coeﬁcientes da RI conjunta do ca nal da forma h

= [h

k,0

0 0 0 0 h

k,1

]

Aqui estes modelos são aqui denominados de canais ITU-R modiﬁcados.

A geração de cada raio do canal foi feita através do método de Monte-Carlo

(MÜLLER,1994). Cada coeﬁciente simulado é da fo rma

h(t) =



N−1



k=0

j2πθ

(5.1)

onde N é a ordem de simulação do modelo, a

são variáveis aleatórias complexas Gaus-

sianas com variância unitária e média nula, e θ

são variáveis aleatórias Gaussianas de

média nula e desvio padrão igual à metade do espalhamento Doppler, de acordo com a

Equação(2.6).

O valor de N na Equação 5.1 tem impo rtância fundamental para que a resposta do

canal possua, instantaneamente, componentes em quadratura com distribuição aproxi-

madamente gaussiana para qualquer valor ﬁxo de atraso entre os coeﬁcientes do canal. O

trabalho apresentado em (GUIMARÃES,1 997 ) avalia a escolha adequada deste parâmetro

e, com base nele, N foi tomado como 20.

O canal foi normalizado multiplicando-se cada componente h

(t) por



, fornecendo

um perﬁl de intensidade de múltiplos percursos com raios de mesma potência, adotado

nos modelos de canal do ITU-R.

Para gerar uma realização de um raio do canal são sorteadas N variáveis a

e θ

k = 1, . . . , N. Com este conjunto de variáveis gera-se um raio ao longo do tempo,

variando-se apenas a variável t. As realizações de cada raio são g erada s através de

sorteios similares (independentes).

5.3 INFLUÊNCIA DO PASSO NO MSWE EM REGIME PERMANENTE PARA MO-

DELOS ITU-R MODIFICADOS

Nesta seção são mos trados as curvas de MSWE em regime permanente em função

do passo . Foram utilizados os modelos modiﬁcados de canais de HF, onde se utiliza raios

FIG. 5.1: MSWE em regime permanente em função do passo para o canal ITU-R

moderado modiﬁcado obtido por análise e simulação, com RSR de 10, 20 e 3 0 dB .

com valores de retardo múltiplos do período de símbolos T

e os ﬁltros de transmissão e

de recepção não exercem inﬂuência na resposta ao impulso conjunta do canal em tempo

discreto.

Para obtenção dos resultados de simulação foram geradas 1000 realizações estatis-

ticamente independentes de todos os processos estocásticos envolvidos na modelagem,

utilizando blocos de 1000 símbolos para cada transmissão.

No estimador de canais foram utilizados 2 coeﬁcientes. As curvas contínuas repre-

sentam os valores analíticos de MSWE, enquanto os asteriscos indicam valores empíricos,

obtidos por simulação. Os resultados foram levantados com valor de RSR igual a 10, 20

e 30 dB.

A FIG. 5.1 se refere ao modelo de canal ITU-R moderado e a FIG. 5.2 é ilustrado o

mesmo procedimento anterior para o modelo de canal ITU-R pobre. Pode-se observar em

ambas as ﬁguras uma aproximação muito boa entre os resultados analíticos e os obtidos

por simulação computacional.

FIG. 5.2: MSWE em regime permanente em função do valor de passo do algoritmo

LMS para o modelo modiﬁcado de canal ITU-R pobre. São mostrados resultados

analíticos e de simulação para RSR de 10, 20 e 30 dB.

5.4 INFLUÊNCIA DO PASSO NO MSWE EM REGIME PERMANENTE PARA MO-

DELOS ITU-R

Nesta seção são apresentadas curvas de MSWE em regime permanente em função do

passo do algoritmo LMS, obtidas analiticamente por simulação computacional.

Primeiramente, alguns testes empíricos foram realizados a ﬁm de se avaliar o mínimo

de coeﬁcientes signiﬁcativos da RI conjunta do canal em tempo discreto, para os 3 modelos

de canal de propagação aqui utilizados. Para tanto, simulou-se a convolução de um

impulso em temp o discreto δ

com o conjunto formado pelo canal e pelos ﬁltros de

transmissão e de recepção. Realizou-se amostragem da saída do ﬁltro de recepção na

taxa de símbolos. Veriﬁcou-se que a RI conjunta apresenta uma quantidade aproximada

de 9, 9 e 14 coeﬁcientes signiﬁcativos para os canais ITU-R bom, moderado e pobre,

respectivamente.

Os resultados apresentados em cada uma das ﬁguras que se seguem foram obtidos

com valor de RSR igual a 10 e 30 dB. Para obtenção destes resultados foram gerados 1000

realizações estatisticamente independentes de todos os proc essos estocásticos envolvidos

na modelagem, utilizando blocos de 600 símbolos em cada transmissão.

No estimador de canais, foram utilizados 5, 5 e 7 coeﬁcientes para estimar os canais

ITU-R bom, moderado e pobre, respectivamente. Estas quantidades de coeﬁcientes foram

deﬁnidas para uma melhor visualização do erro de truncamento nas ﬁguras subseqüentes.

A FIG. 5.3 ilustra os valores analíticos e empíricos de MSWE em regime permanente

para o modelo de canal ITU-R bom. As curvas contínuas representam valores analíticos

de MSWE obtidos com o erro de truncamento incorporado, enquanto as curvas tracejadas

indicam valores analíticos de MSWE levantados sem o acréscimo deste erro.

FIG. 5.3: MSWE em regime permanente em função do passo para o modelo ITU-R

bom, obtido por análise e simulação, para RSR de 10 e 30 dB.

Nesta ﬁgura ﬁca evidenciado o efeito do erro de truncamento devido ao limitado

número de coeﬁcientes empregados no modelo utilizado para estimação de canal.

A FIG. 5.4 ilustra os valores analíticos e empíricos de MSWE em regime permanente

para o modelo de canal ITU-R moderado. Observa-se nesta curva uma degradação de

desempenho em relação ao modelo de canal ITU-R bom, em virtude do espalhamento

doppler deste modelo ser um pouco maior, ocasionando uma maior diﬁculdade de ras-

treamento dos parâmetros do canal.

A FIG. 5.5 ilustra os resultados obtidos com o modelo de canal ITU-R pobre. Veriﬁca-

se que o efeito do erro de truncamento é mais intenso neste modelo. Isto se deve ao fato

do valor de retardo (2 ms) entre os raios ser maior do que o dos outros dois modelos

(ITU-R bom e ITU-R moderado), causando um aumento da quantidade de coeﬁcientes

signiﬁcativos da resp os ta ao impulso conjunta do canal. Assim sendo, observa-se uma

FIG. 5.4: MSWE em regime permanente em função do passo do algoritmo LMS para o

canal ITU-R moderado. Obtidos por análise e simulação, para RSR de 10 e 30 dB.

FIG. 5.5: MSWE em regime permanente em função do passo para o modelo ITU-R

pobre, obtidos por análise e simulação, para RSR de 10 e 30 dB.

maior intensidade de erro de truncamento em relação aos casos anteriores, mesmo com o

aumento (de 5 para 7) no número de coeﬁcientes do modelo empregado para estimação

do canal equivalente em tempo discreto.

Por ﬁm, pode-se observar nessas três ﬁguras uma aproximação muito boa entre os

resultados analíticos e os obtidos por simulação computacional, indicando a validade

das análises desenvolvidas e a pertinência das suposições adotadas. Em particular, cabe

destacar que a avaliação da co ntribuição do erro de truncamento na compo sição do MSWE

viabilizou que se alcançasse um excelente nível de aproximação entre valores empíricos e

analíticos, em todos os casos considerados.

5.5 DESEMPENHO DO ALGORITMO LMS NA ESTIMAÇÃO DE CANAIS DE HF

UTILIZANDO O PASSO ÓTIMO APROXIMADO

Nesta seção são apresentados resultados numéricos relacionados com a questão da

otimização do passo do LMS, no sentido de minimizar o MSWE em regime permanente.

As condições de simulação da seção anterior foram mantidas nesta avaliação.

As FIG. 5.6, FIG. 5.7 e FIG. 5.8 ilustram os valores analíticos de MSWE em regime

permanente para cada tipo de modelo de canal de HF da norma ITU-R F.520, con-

siderando valores de RSR iguais a 10, 20 e 30 dB. Os valores de MSWE correspondentes

aos valores do passo ótimo aproximado são destacados em asterisco nestas ﬁguras.

Os resultados numéricos apresentados indicam que o procedimento proposto fornece

valores próximos dos efetivos valores de passo ótimo, que s e pode depreender de análise

das curvas mostradas.

Analisando as ﬁguras citadas, percebe-se que o valor de pa sso que minimiza o MSWE

é diferente para cada modelo de canal. Como era esperado, quanto maior o valor do

parâmetro B

, maior a velocidade de variação do canal e, maior deve ser o valor de

passo, a ﬁm de rastrear melhor o canal.

Observa-se nos resultados apresentados nas FIG. 5.6, FIG. 5.7 e FIG. 5.8 que o valor

de passo ótimo aproximado analiticamente é sempre um pouco maior que o valor do

passo ótimo correspondente. Esta pequena diferença pode ser vista como uma vantagem,

pois o uso do valor do passo ótimo aproximado p ermite obter uma maior velocidade de

convergência sem, no entanto, provocar um aumento considerável do MSWE em regime

permanente.

Isto é ilustrado na FIG. 5.9, que foi obtida usando o modelo ITU-R moderado mo-

diﬁcado, com RSR = 30 dB. Foram empregados quatro valores de passo para estimar o

canal: o passo ótimo obtido de forma empírica a partir da curva analítica, o passo ótimo

aproximado o btido de acordo com o procedimento proposto nesta dissertação, um valor

quatro vezes menor do que o pass o ótimo e um com valor de passo quatro vezes maior

FIG. 5.6: MSWE em regime permanente em função do passo obtido analiticamente,

para o modelo ITU-R bom. Em destaque os pontos correspondentes ao passo ótimo

aproximado.

FIG. 5.7: MSWE em regime permanente obtido analiticamente para o modelo ITU-R

moderado. Em destaque os pontos correspondentes ao passo ótimo aproximado.

do que o ótimo.

Nota-se na FIG. 5.9 que a curva de aprendizagem produzida pelo algoritmo utilizando

FIG. 5.8: MSWE em regime permanente obtido analiticamente para o modelo ITU-R

pobre. Em destaque os pontos correspondentes ao passo ótimo aproximado.

FIG. 5.9: Curvas de Aprendizagem (MSWE) para canal ITU-R moderado modiﬁcado e

RSR = 30 dB.

o passo ótimo, converge após o processamento de 55 amostras, aproximadamente, com

nível de MSWE em regime permanente muito próximo do obtido com o uso do passo

ótimo aproximado. O uso deste, no entanto, produz convergência mais rápida, que se

FIG. 5.10: Curvas de Aprendizagem (MSWE) para canal ITU-R pobre modiﬁcado e

RSR = 30 dB.

dá após o processamento de 40 amostras, aproximadamente. Comportamentos similares

foram veriﬁcados para outras situações, como por exemplo, mostrada na FIG. 5.10, que

foi obtida com o modelo ITU-R pobre modiﬁcado, e demais condições idênticas às da

FIG. 5.10.

Outra observação acerca das FIG. 5.9 e FIG. 5.10 é que, o uso de valores mais elevados

do que o passo ótimo aproximado, pode aumentar a velocidade de convergência em casos

onde o período de treinamento é reduzido. A conseqüência disto, no entanto, é o aumento

de nível de MSWE que, por sua vez, acarretaria uma degradação de desempenho de um

equalizador baseado na estimação do canal.

O impacto do MSWE no desempenho de um sistema utilizando um equalizador DFE

no receptor é discutido na próxima seção.

5.6 INFLUÊNCIA DO PASSO NO DESEMPENHO DE UM EQUALIZADOR DFE

APLICADO A CANAIS DE HF

Nesta seção avalia-se o efeito do ajuste do passo do algoritmo LMS aplicado à esti-

mação do canal sobre o desempenho de um equalizador DFE com coeﬁcientes ada ptados

através do método de ajuste indireto para canal conhecido, discutido na Seção 4.4. As

medidas de desempenho aqui utilizadas foram o EMQ na saída do e qualizador e a taxa

de erro de bits (BER).

Como nas simulações anteriores, foi avaliado o desempenho do referido equalizador

empregando os modelos de canais de HF da ITU-R F.520. A estrutura dos blocos de

transmissão de dados para o levantamento das curvas de desempenho foi baseada no

MIL-STD-188-110A/B, tendo sido feitas algumas pequenas adaptações em função do

interesse em fazer simulações mais eﬁcientes e focados nos objetivos especíﬁcos deste

trabalho.

FIG. 5.11: EQM na saida do equalizador em função do passo para o canal ITU-R bom.

Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

Para treinamento inicial é feita a transmissão de um preâmbulo composto de 400

símbolos conhecidos. Após o preâmbulo, são transmitidos alternadamente quadros de

dados e quadros de símbolos conhecidos para retreinamento. Os quadros de dados são

formados por 32 símbolos e os de retreinamento têm 16 símbolos conhecidos.

Foram simuladas pelo menos 10000 realizações estatisticamente independentes de to-

dos os processos estocásticos envolvidos na modelagem para obtenção de ca da estimativa

das medidas de desempenho.

As amostras correspondentes ao preâmbulo e aos períodos de retreinamento são uti-

lizados para estimação do canal. Na recepção dos quadros de dados, o mapeamento de

coeﬁcientes do equalizador é atualizado a ca da intervalo de símbolo e a estimação do

canal é realizada com símbolos decididos.

FIG. 5.12: EQM na saida do equalizador em função do passo para o canal ITU-R

moderado. Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

No estimador de canais, foram utilizados 9, 9 e 14 coeﬁcientes para identiﬁcar e

canais ITU-R bom, moderado e pobre, respectivamente. Estes valores foram estabelecidos

com base nos testes empíricos descritos anteriormente (Seção 5.4) procurando manter,

o erro de truncamento em níveis que não inﬂuenciem signiﬁcativamente avaliações de

desempenho do equalizador.

No equalizador DFE implementado empregou-se 24 coeﬁcientes, com N

= 15 e

= 8 e utilizou-se um retardo de decisão de 13, 13, e 15 intervalos de símbolo para

canais ITU-R bom, moderado e pobre, respectivamente.

Nas FIG. 5.11, FIG. 5.12 e FIG. 5.13 são mostradas as curvas de estimativas do

EQM na saída do equalizador para cada tipo de modelo de canal de HF da ITU-R F.250

(ITU-R bom, ITU-R moderado e ITU-R pobre), considerando valores de RSR iguais a 10

e 20 dB. As curvas em linhas tracejadas correspondem a valores de EMQ obtidos através

do uso de símbolos corretos tanto na identiﬁcação do canal quanto na entrada do ﬁltro

de realimentação. As curvas contínuas foram obtidas utilizando-se símbolos decididos.

Como esperado, o uso de símbolos corretos ao invés de símbolos decididos, propo rcionou

um melhor desempenho do receptor em relação aos valores de EMQ.

Os valores destacados em asterisco foram levantados através da utilização do passo

ótimo aproximado na estimação de canais, utilizando símbolos decididos na identiﬁcação

FIG. 5.13: EQM na saida do equalizador em função do passo para o modelo de ca nal

ITU-R pobre. Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

FIG. 5.14: BER na saida do equalizador em função do passo para o modelo ITU-R

bom. Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

do canal e na entrada do ﬁltro de realimentação.

Para as condições de simulação aqui descritas, pode-se observar através destas ﬁguras

que o uso do valor de passo ótimo aproximado proporciona um valor de EQM na saída do

FIG. 5.15: BER na saida do equalizador em função do passo para o modelo ca nal

ITU-R moderado. Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo a proximado.

equalizador próximo ao seu valor mínimo. Comportamentos similares foram veriﬁcados

para outras situações.

FIG. 5.16: BER na saida do equalizador em regime permanente utilizando o modelo de

canal ITU-R pobre. Em destaque os valores de BER para o passo ótimo aproximado.

Nas FIG. 5.14, FIG. 5.15 e FIG. 5.16 são mostradas as curvas de BER (de "bit error

rate") em função do passo, para cada modelo de canal, considerando valores de RSR

iguais a 10 e 20 dB. As curvas tracejadas correspondem a valores obtidos através do uso

de símbolos corretos (na identiﬁcação do canal e na entrada do ﬁltro de realimentação),

enquanto as curvas contínuas foram levantadas utilizando símbo los decididos. Como

esperado, o uso de símbolos corretos, ao invés de símbolos decididos, proporcionou um

melhor desempenho em relação à taxa de erros de bits (BER).

FIG. 5.17: MSWE e EQM na saida do equalizador em regime permanente, para o

modelo ITU-R moderado com RSR = 20 dB.

Os valores destacados em asterisco foram obtidos através da utilização do passo

ótimo aproximado e simbolos decididos (na identiﬁcação do canal e na entrada do ﬁltro

de realimentação).

Estas ﬁguras comprovam que o desempenho de BER do sistema é diretamente inﬂu-

enciado pela escolha do passo, como esperado. Mostram também que o uso do valor do

passo ótimo aproximado leva a valores de BER próximos dos valores mínimos correspon-

dentes, comprovando mais uma vez a utilidade da análise desenvolvida.

A FIG 5.17 mostra a relação entre os valores de MSWE e EQM na saída do equali-

zador com os valores de passo do algoritmo LMS. Utilizou-se para obtenção desta ﬁgura

o modelo ITU-R moderado com RSR = 20 dB. Nota-se que, minimizando o MSWE,

o EQM na saída do equalizador também é minimizado. Resultados semelhantes foram

FIG. 5.18: MSWE e EQM na saida do equalizador em regime permanente, para o

modelo ITU-R pobre com RSR = 20 dB.

obtidos sob outras condições de simulação, como por exemplo, na FIG 5.18 que ilustra

os resultados obtidos para o canal ITU-R pobre com RSR = 20 dB.

FIG. 5.19: EQM na saida do equalizador em função do MSWE para os modelos do

ITU-R pobre e moderado, com RSR = 20 dB.

Observa-se também que, no caso do uso de símbolos corretos (na identiﬁcação do

canal e na entrada do ﬁltro de realimentação), valores de passo diferentes que produzem

os mesmos níveis de MSWE em regime permanente também produzem níveis idênticos

de EQM na saída do equalizador. Pode-se aﬁrmar, desta forma, que o EQM é função do

MSWE, apenas, e isto é ilustrado na FIG 5.19. Esta ﬁgura foi obtida com os modelos de

canais ITU-R moderado e pobre para RSR = 20 dB e reforça a idéia de que, a o minimizar

o MSWE, o EQM também é minimizado.

FIG. 5.20: EQM na saida do equalizador em função do passo para o modelo ITU-R

pobre e RSR = 10 dB. A curva contínua foi levantada utilizando o método de ajuste

indireto para canal estimado.

Vale mencionar ainda que, no caso de uso de símbolos decididos (na identiﬁcação do

canal e na entrada do ﬁltro de realimentação) não se veriﬁca que o MSE é função apenas do

MSWE, pois utiliza- se valores analíticos de MSWE baseados no uso de símbolos corretos

na estimação de canais. Além disso, empregando-se o algoritmo LMS na estimação de

canal, o MSWE sofre menos inﬂuência de erros de decisão para valores pequenos de

passo, pois nestes casos o LMS é mais "conservador" na atualização dos co eﬁcientes das

estimativas de canal.

A FIG. 5.20 mostra o desempenho de EQM do equalizador DFE com coeﬁcientes

estabelecidos pelos métodos de ajuste indireto para canal conhecido e canal estimado,

utilizando o modelo de canal ITU-R pobre e RSR = 10 dB. Nota-se uma melhoria de

desempenho muito pequena, obtida co m acréscimo desprezível de co mplexidade com-

FIG. 5.21: EQM na saida do equalizador em função do passo, para o modelo ITU-R

bom e RSR = 10 dB. A curva contínua foi levantada utilizando o método de ajuste

indireto para canal estimado.

putacional associada a este procedimento. Veriﬁca-se resultados similares para outros

casos, como, por exemplo, as da FIG. 5.21, que foram obtidas utilizando modelo de canal

ITU-R bom e RSR = 10 dB.

Esta melhoria pouco siginiﬁcativa se deve, provavelmente, às aproximações realizadas

para se encontrar o valor da matriz de correlação do erro de estimação E[

∗



Em particular supôs-se que os elementos do vetor erro de estimação 

são des-

correlacionados, o que de fato não ocorre. Além disso, a co ntribuição dos L coeﬁcientes

deste vetor para o valor do MSWE não se dá de forma homogênea como foi admitido.

Uma maior elabo raçã o na análise desta matriz de correlação pode proporcionar melhoria

signiﬁcativa para o método de ajuste indireto para canal estimado.

A complexidade computacional não foi objeto de estudo deste trabalho. No entanto,

é importante salientar que em (TÜCHLER, 2002) veriﬁcou-se que, em casos de canais

variantes no tempo, a ordem da complexidade computacional do ajuste dos coeﬁcientes

do ﬁltro avante pode ser diminuída de N

para N

para cada intervalo de símbolo, sendo

a quantidade de coeﬁcientes do ﬁltro avante.

6 CONCLUSÕES

O presente trabalho teve como objetivos principais analisar matematicamente o prob-

lema de otimização do passo do algoritmo LMS (Least Mean Square) na estimação de

canais de propagação ionosféricos no sentido de minimização do MSWE em regime per-

manente, e aplicar essas estimativas no cálculo dos coeﬁcientes da técnica de equalização

DFE.

Estendeu-se a canais em HF a análise de desempenho do algoritmo LMS na estimação

de canais apresentada em (GALDINO, 2004), no que se refere a determinação do passo

ótimo. Considerou-se nesta otimização não apenas o canal de propagação propriamente

dito, mas também o efeito dos ﬁltros de transmissão e recepção no modelo de canal em

tempo discreto a ser estimado. A necessidade de limitar o número de coeﬁcientas deste

modelo implica um erro de modelagem, que foi aqui denominado erro de truncamento,

e tem impacto signiﬁcativo na avaliação analítica do MSWE de (Mean Square Weight

estimation Error).

Diversos resultados numéricos de avaliação do MSWE obtidos por simulação e via ex-

pressões analíticas foram apresentados, utilizando-se modelos de canais da ITU-R F.520

e parâmetros do MIL-STD-1 88 -11 0A/ B, que é um dos padrões internacionais para inter-

operabilidade de modems na faixa de HF. Estes resultados indicam a validade e utilidade

das análises desenvolvidas, tendo sido em geral observada uma aproximação muito boa

entre os resultados analíticos e de simulação.

A partir dos resultados numéricos apresentados, veriﬁcou-se que o valor de passo

ótimo aproximado obtido é um pouco maior que o valor do passo ótimo obtido a partir das

curvas analíticas de MSWE. Esta pequena diferença pode ser vista como uma vantagem,

pois o uso do valor do passo ótimo aproximado p ermite obter uma maior velocidade de

convergência sem produzir, no entanto, um aumento considerável do MSWE em regime

permanente.

Veriﬁcou-se, como esperado, que o uso dos valores do passo ótimo aproximado me-

lhora o dese mpenho de esquemas de recepção baseados em equalizadores DFE adaptativos

cujos coeﬁcientes são ajustados com base em estimativas da RI do canal equivalente em

tempo discreto.

Com base no conhecimento do MSWE, este trabalho ainda propõe uma forma muito

simples de ajuste dos coeﬁcientes do equalizador DFE, como um possível caminho para

incluir neste ajuste um indicador da qualidade das estimativas de canal empregadas e

assim obter alguma melhoria de desempenho.

Este trabalho pode ser prosseguida através dos seguintes temas, sugeridas para

pesquisas futuras:

• Investigação de uma nova forma de adaptação dos coeﬁcientes do equalizador DFE,

utilizando estimação de canais de HF, com base no conhecimento da matriz de

correlação do erro de estimação;

• Avaliação do desempenho de equalizadores DFE aqui apresenta dos usando outros

modelos de canais, previstos pelo ITU-R ou não;

• Avaliação de desempenho com utilização de outros padrões para modems em HF;

• Investigação da viabilidade de obter uma solução analítica para o erro médio

quadrático na sa ída do equalizador DFE, utilizando a análise de desempenho do

algoritmo LMS na estimação de canais de HF;

• Análise de desempenho do algoritmo LMS para canais de HF em regime transitório

com o propósito de obter o valor de passo ﬁxo que minimize o MSWE após um

período de treinamento bastante curto (inferior ao que seria necessário para atingir

o valor de MSWE mínimo em regime estacionário).

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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8 APÊNDICES

8.1 APÊNDICE 1

Da Equação 3.7 tem-se que o valor de MSWE em regime permanente, como função

do passo, ﬁca dado por:

D(µ) =

(2 − µLσ

)



µσ

L +

2σ

−

2σ

µσ



(8.1)

onde

= E[p(λ)]

∼

p(0) + p”(0)

(8.2)

p(λ) =

1 − βe

j2πλT

(8.3)

Desta forma tem-se que

µσ

+ K



−2β

(µσ

)

−

−β

(µσ

)



(8.4)

onde

K = (πT

)

. (8.5)

Substituindo a Equação 8.4 na Equação 8.1 obtém-se

D(µ) =

(2 − µLσ

)(µσ

)



µσ

L(µσ

)

+ 4σ

K − 2σ

K(µσ

)



= ε



µσ

L(µσ

)

+ 4σ

K − 2σ

K(µσ

)



(8.6)

onde

ε =

(2 − µLσ

)(µσ

)

(8.7)

Desta forma



−2

(2 − µLσ

)(σ

)

Lσ

(2 − µLσ

)

(8.8)



−2

Lσ

(2 − µLσ

)

(8.9)





−2

Lσ

(2 − µLσ

)



ε (8.10)

Derivando D(µ)



(µ) =



−2

Lσ

(2 − µLσ

)





µσ

L(µσ

)

+ 4σ

K − 2σ

K(µσ

)





3σ

L(µσ

)

− 2σ

Kσ



(8.11)



(µ) =

(2 − µLσ

)µ



(2σ

Lσ

)µ

+ (−4σ

KL)µ

+ (4σ

K + 12Lσ

Kµ) − 16σ



(8.12)

Igualando a zero a Equação 8.12, obtém-se o seguinte polinômio

+ A

µ + A

= 0 (8.13)

cujos coeﬁcientes são dados por:

= σ

Lσ

= −2σ

= 2σ

K + 6Lσ

= −8σ

K (8.14)

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