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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - UFSC
CENTRO DE CI
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ENCIAS F
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ISICAS E MATEM
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ATICAS - CFM
CURSO DE P
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OS-GRADUAC¸
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AO EM F
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ISICA
A importˆancia dos m´esons estranhos nas
propriedades das estrelas de nˆeutrons
Rafael Cavagnoli
Orientadora: Prof
a
. Dr
a
. Debora Peres Menezes
Disseta¸c˜ao apresentada ao Programa do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), como parte dos requisitos para
obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica.
UFSC - Florian´opolis
mar¸co de 2005
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A importˆancia dos m´esons estranhos nas
propriedades das estrelas de nˆeutrons
Rafael Cavagnoli
Esta Disserta¸c˜ao foi julgada adequada para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
F´ısica, na ´area de concentra¸c˜ao F´ısica Nuclear e aprovada em sua forma final pelo
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade Federal de Santa Catarina.
Prof. Dr. Marcelo Henrique Romano Tragtenberg
(Coordenador do Curso)
Banca Examinadora
Prof. Dr. Sidney dos Santos Avancini Prof. Dr. Antonio Delfino Junior
(FSC - UFSC) (IF - UFF)
Prof. Dr. Antˆonio Nemer Kanaan Neto Prof. Dr. Jos´e Ricardo Marinelli
(FSC - UFSC) (FSC - UFSC - Suplente)
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iii
Agradecimentos
Agrade¸co
`a Deus, `a minha fam´ılia, pela ajuda em todas as horas, e a todos aqueles que
direta ou indiretamente fizeram parte deste trabalho.
`
A Prof
a
. Debora Peres Menezes pela paciente e atenciosa orienta¸c˜ao desde a ini-
cia¸c˜ao cient´ıfica.
Aos meus professores da gradu¸c˜ao e p´os-gradu¸c˜ao e funcion´arias do Departamento
de F´ısica da UFSC, aos professores do Grupo de F´ısica Nuclear, pela aten¸c˜ao e colabo-
ra¸c˜ao. Ao Prof. Sidney dos Santos Avancini pelos momentos finais deste trabalho.
Aos meus amigos cujos nomes s˜ao muitos, por estarem presentes em todas as
horas. Obrigado pelo conv´ıvio, por todos os conselhos e as boas conversas.
Ao CNPq e ao povo brasileiro pelo suporte financeiro.
iv
...`a todos aqueles que amam o conhecimento...
v
Resumo
Nesta disserta¸c˜ao constru´ımos a equa¸c˜ao de estado (EOS) para mat´eria nuclear
densa e assim´etrica que descreve mat´eria hadrˆonica no interior de estrelas de nˆeutrons.
Uma vez obtida a EOS, as equa¸c˜oes diferenciais de Tolman-Volkoff-Oppenheimer, ob-
tidas a partir das equa¸c˜oes de Einstein para a relatividade geral, s˜ao resolvidas. As
solu¸c˜oes descrevem as propriedades estelares mais importantes, como massa, raio e
densidade central. Utilizamos o modelo de Walecka relativ´ıstico e n˜ao-linear, em tem-
peratura zero (T = 0), com o octeto bariˆonico, mais os m´esons σ, ω e ρ, considerando
equil´ıbrio β e comparando os resultados com o mesmo modelo incluindo os m´esons es-
tranhos σ
∗
e φ, que fazem as equa¸c˜oes de estado endurecer. Neste trabalho, a inclus˜ao
destes m´esons na equa¸c˜ao de estado e sua influˆencia nas propriedades das estrelas de
nˆeutrons s˜ao investigadas e discutidas.
vi
Abstract
In the present work we build the equation of state (EOS) for asymmetric dense
matter which describes hadronic matter in the interior of neutron stars. Once the EOS
is obtained, the Tolman-Volkoff-Oppenheimer differential equations are solved. The
solutions describe the most important stellar quantities, as its radius, mass and central
density. We have used the relativistic non-linear Walecka model, at zero temperature
(T = 0), with the baryon octet plus mesons σ, ω and ρ, considering β equilibrium
and comparing the results with the same model plus strange meson fields, σ
∗
and φ,
which make the equations of state harder. In this work the inclusion of these mesons
in the equation of state and their influence on the properties of the neutron stars are
investigated and discussed.
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 11
2 Fundamenta¸c˜ao Te´orica 14
2.1 A evolu¸c˜ao de uma estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Porque um modelo hadrˆonico para as estrelas de nˆeutrons? . . . . . . . 23
2.3 Equil´ıbrio qu´ımico em estrelas de nˆeutrons . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Estrela de nˆeutrons: um sistema fermiˆonico . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Formula¸c˜ao para campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Aplica¸c˜ao em Astrof´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Hadrodinˆamica Quˆantica 41
3.1 Hadrodinˆamica Quˆantica - I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Aproxima¸c˜ao de campo m´edio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Modelo de Walecka n˜ao-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Hadrodinˆamica Quˆantica - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Octeto Bariˆonico nas estrelas de neutrˆons 58
4.1 Algumas caracter´ısticas das estrelas de nˆeutrons . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Intera¸c˜oes hadrˆonicas em estrelas de nˆeutrons . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Conclus˜oes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 A influˆencia dos m´esons estranhos 70
5.1 Conclus˜oes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Conclus˜oes e Perspectivas 77
vii
viii
A Conven¸c˜oes e nota¸c˜oes 82
A.1 Conven¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.2 Nota¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B Considera¸c˜oes sobre o formalismo lagrangiano 85
C Tensor do campo eletromagn´etico 89
Lista de Figuras
2.1 Evolu¸c˜ao estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Energia de liga¸c˜ao por nucleon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Ilustra¸c˜ao de alguns objetos celestes, fora de escala. . . . . . . . . . . . 23
2.4 Po¸co quadrado T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Distribui¸c˜ao de Fermi para T = 0 e T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Equa¸c˜oes de estado (EOS) com e sem h´ıperons. . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Fra¸c˜oes de part´ıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Fam´ılia de estrelas, no modelo com o octeto bariˆonico. . . . . . . . . . 69
5.1 Equa¸c˜oes de estado (EOS) e o efeito dos m´esons estranhos (σ
∗
, φ). . . . 73
5.2 Fra¸c˜oes de part´ıculas com e sem (σ
∗
, φ). . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 Fam´ılia de estrelas com h´ıperons e (σ
∗
, φ). . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.1 Campos mesˆonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 A influˆencia dos m´esons estranhos nos campos dos m´esos σ, ω e ρ . . . 79
6.3 Equa¸c˜oes de estado em fun¸c˜ao da densidade . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 familia de estrelas com medidas de red-shift . . . . . . . . . . . . . . . 81
ix
Lista de Tabelas
2.1 Compara¸c˜ao entre as propriedades m´edias das nuvens moleculares e o Sol 15
2.2 Compara¸c˜oes entre An˜a Branca e Estrela de Nˆeutrons. . . . . . . . . . 31
3.1 Campos da QHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Problemas com QHD-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1 Octeto bariˆonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Algumas propriedades da estrela. (M
= M
sol
) . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1 Valores m´aximos para raio (R) e massa (M) de estrelas de nˆeutrons. . 73
x
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
A f´ısica nuclear nasceu dos trabalhos de Ernest Rutherford, nos prim´ordios do s´eculo
XX. Ap´os a descoberta do nˆeutron (1932) foi proposta a existˆencia de estrelas de
nˆeutrons, por Lev D. Landau (1932), e por Walter Baade e Fritz Zwicky em 1934.
Estes ´ultimos propuseram que as estrelas de nˆeutrons surgiriam ap´os uma explos˜ao de
supernova. Tais objetos seriam muito compactos e possuiriam um campo gravitacional
mais intenso do que o das estrelas conhecidas at´e ent˜ao. Alguns c´alculos sobre a
estrutura de estrelas muito densas tamb´em foram realizados por Oppenheimer e outros
em 1939 [1].
Pelas previs˜oes de suas caracter´ısticas, seria muito dif´ıcil a detec¸c˜ao de tais ob-
jetos, e isto n˜ao estimulou os astrof´ısicos experimentais a buscar por tais estrelas. A
partir do final da d´ecada de 1950 alguns astrof´ısicos retomaram os trabalhos sobre
estrelas de nˆeutrons, tamb´em motivados pela descoberta de fontes de raios-X fora do
sistema solar. Por´em, o principal fator desencadeador de novas pesquisas na ´area foi a
descoberta de pulsos de r´adio extremamente peri´odicos por Joselyn Bell em 1967 [2].
Pela periodicidade desses pulsos chegou-se a cogitar que poderiam ser sinais en-
viados por alguma civiliza¸c˜ao extraterrestre. Contudo, tais pulsos eram gerados por
um objeto com um intenso campo magn´etico girando a uma velocidade fant´astica, que
recebeu o nome de pulsar. Em 1968 propˆos-se que os pulsares eram estrelas de nˆeutrons
[3].
A descoberta de pulsares em locais com ind´ıcios de que eram remanescentes de
explos˜oes de supernova, como nas constela¸c˜oes de Caranguejo e Vela, levaram os as-
trof´ısicos a trabalhar com a hip´otese de que estrelas de nˆeutrons eram o resultado de
11
12
uma supernova. Hoje acredita-se que as estrelas de nˆeutrons sejam o resultado da
explos˜ao de supernova caracterizada como tipo II. Desde ent˜ao foram descobertos no-
vos pulsares, inclusive em sistemas bin´arios do tipo pulsar/pulsar e pulsar/an˜a-branca,
com emiss˜oes nas faixas de r´adio, raios-X e no ´otico.
A determina¸c˜ao das massas de tais objetos ´e dif´ıcil, pois ´e necess´ario observar um
sistema bin´ario que geralmente emite radia¸c˜ao na freq¨uˆencia de raios-X ou r´adio. Um
outro fator que gera problemas ´e o fato de nem sempre o observador estar no plano da
´orbita do sistema bin´ario.
Mas por outro lado, com modelos te´oricos, as massas tamb´em podem ser calcu-
ladas atrav´es da determina¸c˜ao de equa¸c˜oes de estado para estrelas de nˆeutrons e sua
aplica¸c˜ao em equa¸c˜oes derivadas da teoria da relatividade geral. O estudo da forma¸c˜ao
dessas estrelas indica que s˜ao compostas basicamente por h´adrons, part´ıculas que in-
teragem atrav´es da for¸ca nuclear forte. Dentre os v´arios constituintes, como veremos
adiante, as estrelas de nˆeutrons s˜ao basicamente formadas por um g´as de Fermi cuja
intera¸c˜ao ´e a nuclear forte, com densidades da ordem de 10 vezes a densidade de sa-
tura¸c˜ao da mat´eria nuclear.
Para tal estudo, utiliza-se uma generaliza¸c˜ao do modelo de Walecka [4], desen-
volvido para descri¸c˜ao de n´ucleos atˆomicos, conhecido como Quantum Hadrodynamics
(QHD), um modelo quˆantico relativ´ıstico aplicado a um sistema de muitos corpos.
Neste modelo, a intera¸c˜ao nuclear entre pr´otons e nˆeutrons, ou nucleons, deve-se a
troca de m´esons, conhecidos como σ, ω e ρ.
Colis˜oes de ´ıons pesados evidenciam que em certas condi¸c˜oes ocorre o surgimento
de novos b´arions mais massivos do que os nucleons, tamb´em chamados de h´ıperons.
Num n´ıvel mais fundamental, n˜ao abordado pelo modelo de Walecka, o aparecimento
desses b´arions deve-se ao aparecimento de um novo quark chamado “estranho”, al´em
daqueles que comp˜oem os nucleons. Condi¸c˜oes semelhantes s˜ao encontradas em estrelas
de nˆeutrons o que nos leva a incluir esses outros b´arions na descri¸c˜ao de tais objetos
estelares.
A contribui¸c˜ao original desta disserta¸c˜ao est´a na inclus˜ao de dois novos m´esons,
σ
∗
e φ, conhecidos por m´esons estranhos, que s˜ao mediadores da intera¸c˜ao forte en-
tre os h´ıperons, al´em dos m´esons do modelo de Walecka. Analisa-se o efeito desses
novos m´esons sobre as equa¸c˜oes de estado e as propriedades das estrelas de nˆeutrons
13
em temperatura zero, sem o aprisionamento de neutrinos, importante em estrelas de
protonˆeutrons.
A disserta¸c˜ao est´a estruturada da seguinte forma: no cap´ıtulo 2 h´a uma breve
descri¸c˜ao da origem das estrelas de nˆeutrons, desde a forma¸c˜ao de uma estrela at´e a
explos˜ao de supernova que origina o nosso objeto de estudo. Isto permite justificar o
aparecimento de b´arions no interior das estrelas de nˆeutrons, al´em de contribuir para
o entendimento da origem dos elementos qu´ımicos no Universo. As condi¸c˜oes para o
equil´ıbrio qu´ımico nesses objetos tamb´em s˜ao estudadas, atrav´es da termodinˆamica.
Em seguida, fazemos uma simples descri¸c˜ao de um sistema de Fermi, e a explica¸c˜ao
do porquˆe tratarmos a estrela de nˆeutrons com temperatura zero apesar de possuir
temperaturas de 10
6
a 10
8
K. Depois estabelece-se uma ponte com a Astrof´ısica,
atrav´es do uso das equa¸c˜oes de estado em equa¸c˜oes apropriadas, oriundas das equa¸c˜oes
de Einstein da relatividade geral.
No cap´ıtulo 3 ´e apresentada uma descri¸c˜ao do modelo de Walecka (Hadrodinˆami-
ca Quˆantica), aplicado `a mat´eria nuclear e como, a partir dele, obtˆem-se as equa¸c˜oes
de estado. Como em muitos problemas em f´ısica, chegamos em equa¸c˜oes acopladas
ou transcendentais que necessitam de algum m´etodo de aproxima¸c˜ao. Pelo fato de
trabalharmos com a aproxima¸c˜ao de campo m´edio, na qual o m´eson π tem contribui¸c˜ao
nula, ele n˜ao ´e considerado neste trabalho.
No cap´ıtulo 4 estendemos o modelo de Walecka com a inclus˜ao de h´ıperons e
fazemos uma aplica¸c˜ao desse modelo em mat´eria hadrˆonica em equil´ıbrio β, condi¸c˜oes
semelhantes `as que espera-se encontrar nas estrelas de nˆeutrons. Obtemos as equa¸c˜oes
de estado e atrav´es delas uma rela¸c˜ao entre raios e massas poss´ıveis para estrelas
de nˆeutrons. O mesmo ´e feito com a inclus˜ao dos m´esons estranhos no cap´ıtulo 5.
Finalmente, as conclus˜oes e perspectivas futuras s˜ao apresentadas no cap´ıtulo 6.
Cap´ıtulo 2
Fundamenta¸c˜ao Te´orica
Neste cap´ıtulo ser´a descrito o processo que origina uma estrela de nˆeutrons e apresen-
tadas brevemente algumas ferramentas que ser˜ao utilizadas no estudo de tais objetos
estelares. N˜ao ser˜ao discutidos os diferentes modelos sobre evolu¸c˜ao estelar, e nem
abordadas as suas limita¸c˜oes. Por isso, os dados aqui apresentados devem ser tomados
como um valor de referˆencia, dadas as diferen¸cas que encontramos na literatura.
2.1 A evolu¸c˜ao de uma estrela
O elemento qu´ımico mais abundante no Universo ´e o hidrogˆenio, ´e encontrado na
propor¸c˜ao de pouco mais de 90% em todo o Universo conhecido, seja em nebulosas
1
,
seja em estrelas. Ele ´e o constituinte b´asico das estrelas. Uma estrela ´e um corpo
celeste que emite luz e em seu interior ocorrem rea¸c˜oes termonucleares
2
. Verifica-se
que na maior parte da sua vida, uma estrela passa queimando
3
hidrogˆenio e ao tra¸car-
se a trajet´oria evolutiva das estrelas, num diagrama de Hertzprung-Russell
4
, H-R, esta
fase ´e chamada seq¨uˆencia principal. Mas, como nasce uma estrela?
Existem muitas regi˜oes no Universo chamadas de ber¸c´arios de estrelas, pois ali
encontram-se imensas massas gasosas contendo hidrogˆenio (formado num tempo ap´os
o Big Bang), conhecidas como nuvens moleculares. Dos restos de uma estrela tamb´em
pode formar-se uma nuvem de g´as e poeira quente e ao misturar-se com g´as interes-
1
- Nuvem de g´as e poeira da qual formam-se muitas estrelas ou ´e originada por certo tipo de
estrela quando atinge a fase final da sua vida.
2
- Isto ´e, fus˜ao nuclear, como conseq¨uˆencia da alta temperatura.
3
- Este termo ser´a utilizado com sinˆonimo para fus˜ao nuclear, ou termonuclear.
4
- Luminosidade (potˆencia emitida) em fun¸c˜ao da temperatura superficial
14
15
telar frio, pode dar origem a novas estrelas, como ocorre na t˜ao conhecida nebulosa
da constela¸c˜ao de Orion. Na tabela 2.1, apresentamos uma compara¸c˜ao de algumas
propriedades m´edias das regi˜oes centrais de nuvens moleculares e de uma estrela como
o Sol [5].
Propriedades Nuvem molecular Sol
Densidade (part´ıculas/cm
3
) 10
4
10
24
Temperatura - T (K) 10 - 30 10
7
Campo magn´etico - B (µG) 20 - 30 10
6
Raz˜ao de g´as ionizado (por raios
c´osmicos) para g´as neutro 10
−7
1
a
Raio - R (cm) 10
17
10
11
Velocidade angular de rota¸c˜ao - Ω (rad/s) 10
−14
10
−6
a - Exceto na atmosfera.
Tabela 2.1: Compara¸c˜ao entre as propriedades m´edias das nuvens moleculares e o Sol
Supondo que uma estrela nasce a partir de uma nuvem molecular, se em algum
lugar da nuvem ocorrer instabilidade gravitacional, isto ´e, flutua¸c˜oes na densidade,
elevando-a momentaneamente at´e um certo valor, no qual a for¸ca de gravidade seja
respons´avel por manter essa regi˜ao com maior densidade, pela conserva¸c˜ao do momento
angular, esse novo aglomerado vai rotacionar com maior velocidade, sendo ent˜ao for-
mado um disco de acr´escimo (o formato de disco deve-se `a conserva¸c˜ao do momento
angular).
A viscosidade do disco ir´a contribuir para o acr´escimo de mat´eria, da nuvem para
o n´ucleo. Inicia-se um longo per´ıodo no qual ocorrer´a um lento aumento de densidade,
e por conseq¨uˆencia de temperatura, esta ´e a proto-estrela (um embri˜ao de estrela),
num est´agio de evolu¸c˜ao chamado pr´e-seq¨uˆencia principal. Por um longo tempo,
o intervalo de temperatura em que estar´a a proto-estrela implicar´a em emiss˜ao de
radia¸c˜ao na faixa do infravermelho. Com o passar do tempo, `a medida que a densidade
aumenta, o objeto fica cada vez mais opaco, e a radia¸c˜ao emitida nas regi˜oes centrais
n˜ao sair´a diretamente como antes, implicando em diminui¸c˜ao de sua luminosidade.
Como resultado do teorema do virial, metade da energia potencial gravitacional (U)
ser´a convertida em energia cin´etica (K) das part´ıculas do g´as na proto-estrela:
16
2 K − U = 0 ⇒ K =
U
2
, (2.1)
e o aumento na energia cin´etica, corresponde a um aumento na temperatura (T ):
K =
3
2
k
B
T . (2.2)
A agita¸c˜ao t´ermica implica numa press˜ao de dentro para fora que tende a diminuir
a densidade da proto-estrela e aumentar seu tamanho, mas esta press˜ao, numa situa¸c˜ao
de equil´ıbrio, ser´a contrabalan¸cada pela a¸c˜ao da gravidade. Inicia-se ent˜ao, um “jogo
de for¸cas” entre a gravidade e uma for¸ca cuja origem est´a na press˜ao t´ermica, cau-
sando v´arias situa¸c˜oes de equil´ıbrio, desequil´ıbrio, novo equil´ıbrio, e assim por diante.
O desequil´ıbrio inicialmente ´e causado pelo incremento de massa no n´ucleo, que leva
a um aumento na for¸ca de gravidade (elevando a press˜ao gravitacional), que aumenta
a densidade e a temperatura. Com maior temperatura, aumenta a press˜ao t´ermica
(gradiente de temperatura), que contrabalan¸ca a press˜ao gravitacional, impedindo o
colapso da nuvem, estabelecendo uma nova situa¸c˜ao de equil´ıbrio, por´em, com densi-
dade e temperatura m´edia maiores que na situa¸c˜ao anterior. Este ciclo contribui para
elevar a densidade e a temperatura da proto-estrela.
Existem modelos te´oricos para dar suporte `a descri¸c˜ao anterior:
“Richard B. Larson publicou em 1969, no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,
145, 271, c´alculos do colapso de uma nuvem originalmente homogˆenea com uma massa so-
lar. Na fase inicial, a nuvem colapsante ´e oticamente fina (transparente) e aproximadamente
isot´ermica, com T 10 K. Durante o colapso, a densidade central aumenta rapidamente, en-
quanto a densidade nas partes externas permanece praticamente constante. A regi˜ao central
se torna opaca quando a densidade central atinge cerca de 10
−13
g/cm
3
∼ 10
−25
MeV fm
−3
, e
subsequente aumento na densidade produz aumento adiab´atico na temperatura. Desta forma
a press˜ao aumenta e o colapso em queda livre chega ao fim, formando um n´ucleo central em
equil´ıbrio hidrost´atico, com densidade central de cerca de 10
−10
g/cm
3
∼ 10
−22
MeV fm
−3
, e
temperatura central T
c
170 K. As camadas externas continuam sendo acretadas ao n´ucleo...
Quando a temperatura central atinge cerca de 2000 K, o hidrogˆenio, que estava na forma mo-
lecular (H
2
), dissocia-se e como parte da energia de contra¸c˜ao ´e utilizada na dissocia¸c˜ao, o
17
equil´ıbrio hidrost´atico n˜ao ´e mais mantido, e a proto-estrela colapsa novamente. Quando pra-
ticamente todo o hidrogˆenio central est´a na forma atˆomica, o n´ucleo torna-se dinamicamente
est´avel novamente, atingindo uma densidade de cerca de 2 × 10
−2
g/cm
3
∼ 10
−14
MeV f m
−3
e T
c
2 × 10
4
K.” [5]
5
.
Quando a temperatura alcan¸car um valor em torno de 1, 6 × 10
5
K (13,6 eV),
ocorre ioniza¸c˜ao do hidrogˆenio, aparecendo um g´as de el´etrons livres, que contribuir´a
para a press˜ao t´ermica. Chegando a T 10
7
K, a energia cin´etica de muitos pr´otons
(n´ucleos de hidrogˆenio) ser´a suficiente para que ocorra tunelamento na barreira de
potencial coulombiano, iniciando a fus˜ao termonuclear, caracterizada pela libera¸c˜ao
de grande quantidade de energia (que provoca expans˜ao da estrela), e produ¸c˜ao de
h´elio. Ao iniciar este processo a proto-estrela torna-se uma estrela, e ao alcan¸car novo
equil´ıbrio hidrost´atico (com temperatura e tamanho pr´oprios para o equil´ıbrio nessa
nova fase) a estrela entra na seq¨uˆencia principal, onde passar´a a maior parte de sua
vida. O tempo de permanˆencia em cada est´agio na evolu¸c˜ao das estrelas depende da
massa inicial da proto-estrela.
H´a estimativas [6] de que proto-estrelas de massa 15 M
(isto ´e, 15 vezes a massa
do Sol) gastariam 10 mil anos para entrar na seq¨uˆencia principal, enquanto uma proto-
estrela de 1 M
demoraria milh˜oes de anos. J´a proto-estrelas de 0.08 M
n˜ao chegariam
na fase da queima de hidrogˆenio (tornando-se an˜as marrons). O destino final de uma
estrela depende de sua massa inicial, portanto, a massa ´e o parˆametro mais importante
na evolu¸c˜ao estelar. Quanto mais massiva for a estrela, maior a temperatura em seu
interior, mais rapidamente ela vai consumir seu combust´ıvel, tendo uma vida mais
curta.
Atrav´es dos espectros da radia¸c˜ao emitida pelas estrelas, verifica-se que h´a nelas
uma certa abundˆancia de elementos qu´ımicos, indicando que as estrelas s˜ao as respon-
s´aveis pela forma¸c˜ao dos elementos qu´ımicos encontrados na natureza. A fim de explicar
como ocorre sua forma¸c˜ao, s˜ao propostas algumas cadeias de rea¸c˜oes, como pr´oton-
pr´oton, ciclo do carbono, tripo-alfa, etc. A figura 2.1 ´e um resumo de como pode
evoluir uma estrela dependendo da massa inicial da proto-estrela:
5
- Os intervalos de tempo entre cada est´agio na evolu¸c˜ao da nuvem e depois juntamente da nuvem
com a proto-estrela, variam da ordem de 10
7
anos para o caso em que se originar´a uma estrela com
massa da ordem da massa do Sol.
18
Figura 2.1: Evolu¸c˜ao estelar
As trˆes primeiras seq¨uˆencias da figura 2.1 s˜ao semelhantes. Independente da
massa das estrelas, ocorrer´a a queima de hidrogˆenio em h´elio (apenas os tempos em
cada fase ser˜ao diferentes). A partir de agora vamos nos concentrar na descri¸c˜ao que
levar´a a uma estrela de nˆeutrons, isto ´e, proto-estrelas com massa inicial entre 8 e 25
M
. A queima de hidrogˆenio processa-se em camadas mais internas, iniciando pelo
ciclo pr´oton-pr´oton
6
(p-p):
p + p → d + e
+
+ ν
e
, (2.3)
d + p →
3
He + γ , (2.4)
3
He +
3
He →
4
He + 2p , (2.5)
com a libera¸c˜ao de 26,73 MeV de energia, e aos poucos aumenta a concentra¸c˜ao de
h´elio, chegando a um momento em que se tem um caro¸co central de h´elio envolto em
hidrogˆenio. Quando o hidrogˆenio deixa de queimar no n´ucleo, a temperatura ainda
n˜ao ´e suficiente para iniciar a queima do h´elio, ent˜ao a gravidade acaba provocando
nova contra¸c˜ao da estrela (pois n˜ao h´a mais energia nuclear para contrabalan¸c´a-la), a
temperatura aumenta pela contra¸c˜ao, o h´elio ´e completamente ionizado, e os el´etrons
liberados contribuem para aumentar a press˜ao interna.
6
- p - pr´oton, n´ucleo de hidrogˆenio; d - deuteron; e
+
- p´ositon; ν
e
- neutrino eletrˆonico; γ - f´oton.
19
A temperatura de fus˜ao do hidrogˆenio ´e de aproximadamente 8×10
6
K, enquanto
para o h´elio ´e de T ∼ 10
8
K, portanto com o aumento de temperatura, antes de iniciar
a queima do h´elio no caro¸co ocorre a queima do hidrogˆenio que envolve o coro¸co e
novamente a libera¸c˜ao de energia, respons´avel pelo aumento no tamanho da estrela,
assim inicia-se a fase de gigante vermelha. Com temperatura suficiente, inicia-se a
fus˜ao nuclear do h´elio no caro¸co e a estrela entra na seq¨uˆencia principal do h´elio.
3
He +
4
He →
7
Be + γ , (2.6)
7
Be + e
−
→
7
Li + ν
e
, (2.7)
7
Li + p → 2
4
He . (2.8)
O
7
Be tamb´em pode capturar um pr´oton, originando outra cadeia de rea¸c˜oes:
7
Be + p →
8
B + γ , (2.9)
8
B →
8
Be + γ . (2.10)
A queima de dois
4
He pode resultar em
8
Be que ´e inst´avel, e decai em dois h´elios,
assim:
4
He +
4
He
8
Be , (2.11)
e o ber´ılio pode ainda reagir com outro h´elio, originando carbono:
8
Be +
4
He
12
C + γ . (2.12)
No entanto, a maior parte do carbono numa estrela ´e oriundo de um estado
excitado do sistema
8
Be +
4
He, e este reagindo com h´elio origina oxigˆenio. Deste
modo, muitas rea¸c˜oes de fus˜ao com h´elio processam-se sintetizando diversos elementos
qu´ımicos. Ao cessar a queima do h´elio no caro¸co, a estrela cont´em uma camada mais
20
externa de hidrogˆenio, uma camada intermedi´aria de h´elio e o n´ucleo de carbono e
oxigˆenio, resultantes da fus˜ao do h´elio.
Sem a fus˜ao nuclear para contrabalan¸car a gravidade, ocorre nova compress˜ao e
conseq¨uente aumento de temperatura, e de maneira an´aloga ao processo anterior, antes
de iniciar a fus˜ao no n´ucleo tem in´ıcio a queima do h´elio e do hidrogˆenio que envolvem
o caro¸co
7
. A libera¸c˜ao de energia provoca nova expans˜ao da estrela, que entra na
fase de supergigante vermelha. Com o tempo, a eleva¸c˜ao na temperatura do caro¸co
permite a fus˜ao do carbono e do oxigˆenio e com sucessivas cadeias de rea¸c˜oes de fus˜ao
s˜ao formados elementos qu´ımicos at´e o
56
Fe.
Os estudos em f´ısica nuclear mostram que a energia de liga¸c˜ao por part´ıcula, nos
n´ucleos, aumenta at´e o elemento
56
Fe. Ap´os o ferro, esta energia diminui linearmente
com o aumento do n´umero de part´ıculas no n´ucleo.
Figura 2.2: Energia de liga¸c˜ao por nucleon.
Em outras palavras, isto quer dizer que a queima de elementos qu´ımicos at´e o
grupo de ferro, ´e exot´ermica, isto ´e, implica na libera¸c˜ao de energia, que contrabalan¸ca
a gravidade, no caso da estrela. A queima de qualquer elemento mais massivo que
7
- A camada mais pr´oxima do n´ucleo ´e a camada de h´elio e a camada mais externa cont´em
hidrogˆenio.
21
o ferro absorve energia. Assim, o processo de fus˜ao nuclear explica o surgimento de
elementos qu´ımicos at´e o ferro.
A partir de ent˜ao, a estrela encontra-se com um n´ucleo de ferro e algumas camadas
com v´arios outros constituintes, tendo tamb´em el´etrons, pr´otons e nˆeutrons livres,
sendo o ´ultimo, subproduto de algumas rea¸c˜oes de fus˜ao nuclear, principalmente as
que envolvem oxigˆenio. Pode ocorrer fus˜ao nuclear na fronteira entre o n´ucleo (caro¸co)
da estrela e a camada subseq¨uente, provocando um acr´escimo de massa no caro¸co,
aumentando sua densidade. A captura eletrˆonica leva `a contra¸c˜ao do caro¸co, que
tamb´em aumenta a densidade.
Nesse est´agio com temperaturas e densidades relativamente altas, v´arios outros
processos come¸cam a ocorrer (que sintetizam elementos mais pesados), como captura
r´apida e lenta de pr´otons
8
al´em da captura de nˆeutrons:
(Z, N, A) + n → (Z, N + 1, A + 1) + γ , (2.13)
esta ´ultima provocando a neutroniza¸c˜ao dos n´ucleos (e libera¸c˜ao de energia), que podem
sofrer decaimento beta, originando outro elemento qu´ımico mais est´avel. Numa estrela
com massa 15 M
, quando a temperatura nas camadas centrais atingir T 10
9
K
e densidade de ρ 10
8
g/cm
3
∼ 10
−4
MeV fm
−3
[7], ocorre, entre outras rea¸c˜oes, a
foto-dissocia¸c˜ao do ferro:
γ +
56
F e → 13α + 4n , (2.14)
que reduz a press˜ao interna, provocando contra¸c˜ao do n´ucleo. O aumento na densidade
eleva a energia de fermi dos el´etrons, e os pr´otons nos n´ucleos passam a capturar esses
el´etrons (decaimento beta inverso),
(Z, N, A) + e
−
→ (Z − 1, N + 1, A) + ν
e
, (2.15)
esta rea¸c˜ao tamb´em provoca neutroniza¸c˜ao dos n´ucleos, at´e o limite em que n˜ao seja
mais poss´ıvel comportar um aumento de nˆeutrons em cada n´ucleo (satura¸c˜ao). Ent˜ao,
8
- (Z, N, A) representa um n´ucleo com Z pr´otons, N nˆeutrons, e A nucleons, isto ´e, A = Z + N.
22
cada nova rea¸c˜ao implicar´a no aparecimento de um nˆeutron livre. A diminui¸c˜ao do
n´umero de el´etrons no interior estelar, pela captura eletrˆonica, provoca diminui¸c˜ao na
press˜ao interna. Os neutrinos liberados na rea¸c˜ao acima escapam levando muita energia
para fora da estrela, diminuindo ainda mais a press˜ao, e em conseq¨uˆencia, inicia-se uma
r´apida contra¸c˜ao. A estrela est´a `a beira de um colapso, na fase de pr´e-supernova.
Os neutrinos podem levar at´e 10s para escapar da estrela, de acordo com o tamanho
do astro, estes ´ultimos eventos processam-se rapidamente.
Como a taxa de captura eletrˆonica ´e fun¸c˜ao crescente da densidade, rea¸c˜oes do
tipo (2.15) ocorrem em quantidades cada vez maiores, acelerando a contra¸c˜ao do caro¸co
t˜ao rapidamente que as camadas externas caem violentamente sobre ele em queda livre.
O caro¸co est´a muito denso e por isso, pouco compress´ıvel, e quando as camadas externas
chocam-se contra ele, este impacto produz ondas de choque que provocam uma invers˜ao
no movimento das camadas externas, culminando com uma explos˜ao lan¸cando tais
camadas para o espa¸co interestelar, com velocidades ∼ 10
3
a 10
4
Km/s, correspondendo
a uma energia cin´etica da ordem
9
de 10
50
a 10
51
ergs.
´
E a explos˜ao de supernova.
Origina-se uma imensa nebulosa e a luminosidade
10
causada pela explos˜ao chega a
muitas ordens de grandeza acima da luminosidade do Sol (10
9
a 10
10
L
), podendo
em alguns casos ser vista a olho nu, inclusive durante o dia, tamanha a libera¸c˜ao de
energia. H´a casos conhecidos na hist´oria como o fenˆomeno observado por astrˆonomos
chineses em 1054 d. C., por Tycho Brahe em 1572 e Kepler em 1604, que hoje sabemos
tratar-se de supernovas. Recentemente foi observada uma supernova, em 1987, na
Grande Nuvem de Magalh˜aes que ´e uma gal´axia an˜a, sat´elite da Via L´actea.
As supernovas s˜ao classificadas como do tipo I e do tipo II. Acredita-se que as do
tipo I ocorram em sistemas bin´arios, onde geralmente d´a-se um processo de acr´escimo
de mat´eria de uma certa estrela para uma an˜a branca. Quando a massa da an˜a branca
supera o limite de Chandrasekhar
11
, ocorre o colapso gravitacional e isso inicia outros
processos (como a queima explosiva do carbono) geralmente levando a uma explos˜ao
de supernova. As do tipo II s˜ao est´agios finais de estrelas massivas, s˜ao mais luminosas
que as do tipo I, e aquelas que originam uma estrela de nˆeutrons. Por isso, a descri¸c˜ao
9
- 1 erg ∼ 10
6
MeV
10
- A luminosidade ´e a potˆencia emitida, isto ´e, energia emitida por unidade de tempo. A lumino-
sidade do sol ´e de L
= 3, 9 × 10
33
ergs/s = 2, 44 × 10
39
MeV/s
11
- Comentado no pr´oximo par´agrafo.
23
que conduzimos at´e aqui trata apenas de supernovas do tipo II.
Ap´os a explos˜ao e libera¸c˜ao das camadas externas ao n´ucleo, o caro¸co tornou-se
t˜ao denso e compacto que chega a atingir densidades da ordem da densidade m´edia dos
n´ucleos dos ´atomos pesados, ou mais, isto ´e ∼ 10
14
g/cm
3
∼ 10
2
MeV fm
−3
, massa
∼ 1 M
e um raio da ordem de 10 Km
12
com uma consider´avel popula¸c˜ao de nˆeutrons.
Esse objeto remanescente da explos˜ao ´e agora chamado de estrela de nˆeutrons, em-
bora em seu interior n˜ao ocorra fus˜ao nuclear. Por ser uma estrela n˜ao ativa, cessaram
as rea¸c˜oes de fus˜ao nuclear. Contudo, sem este tipo de rea¸c˜ao, porque a estrela de
nˆeutrons n˜ao colapsa por a¸c˜ao da gravidade? H´a um efeito que contrabalan¸ca a gravi-
dade quando a massa da estrela est´a abaixo de uma massa limite
13
(acima deste valor,
n˜ao h´a como impedir o colapso e a conseq¨uˆencia ´e o surgimento de um buraco negro).
Este efeito ser´a explicado na se¸c˜ao 2.4. A figura 2.3 mostra uma compara¸c˜ao entre
os tamanhos de alguns corpos celestes, apenas para nos dar uma leve id´eia dos seus
tamanhos, pois est´a fora de escala.
Figura 2.3: Ilustra¸c˜ao de alguns objetos celestes, fora de escala.
2.2 Porque um modelo hadrˆonico para as estrelas
de nˆeutrons?
A descri¸c˜ao est´a baseada nos elementos que constituem tais estrelas que s˜ao basica-
mente h´adrons. Veremos que n˜ao s˜ao apenas nˆeutrons. Para este grupo de part´ıculas o
12
- O raio m´edio da Terra ´e aproximadamente 6370 Km, e sua massa ´e da ordem de 3 × 10
−6
M
.
13
- No caso de estrelas do tipo an˜as brancas, a massa limite ´e conhecida como limite de Chandra-
sekhar.
24
efeito dominante ´e o da intera¸c˜ao nuclear forte, pois entre alguns h´adrons h´a intera¸c˜ao
coulombiana, como entre os pr´otons. Vamos tratar as estrelas de nˆeutrons como cons-
titu´ıdas por um g´as de Fermi com intera¸c˜ao hadrˆonica, atrav´es de uma generaliza¸c˜ao
do modelo de Walecka. Sendo assim, deve ser poss´ıvel partir de uma descri¸c˜ao mi-
crosc´opica a fim de obter propriedades macrosc´opicas das estrelas de nˆeutrons, como
raio, massa e densidade.
2.3 Equil´ıbrio qu´ımico em estrelas de nˆeutrons
Como vimos anteriormente, ao longo da evolu¸c˜ao de uma estrela muitos elementos
qu´ımicos s˜ao criados, bem como part´ıculas livres que podem escapar ou n˜ao da estrela.
Ap´os a explos˜ao de uma supernova, que origina uma estrela de nˆeutrons, ocorrer´a o
estabelecimento de um estado de equil´ıbrio qu´ımico dinˆamico entre os elementos que
permaneceram na estrela. Precisamos encontrar as condi¸c˜oes que caracterizam esse
equil´ıbrio.
Considerando a estrela como composta por K diferentes tipos de componentes
qu´ımicos, tratando como um sistema termodinˆamico, podemos caracterizar a energia
da estrela por:
dU = T dS −pdV +
K
i=1
µ
i
dN
i
, (2.16)
e podemos escrever:
dS =
dU
T
+
p
T
dV −
1
T
K
i=1
µ
i
dN
i
, (2.17)
onde, T ´e a temperatura, S a entropia, P ´e a press˜ao, V o volume, µ
i
´e o potencial
qu´ımico da part´ıcula do tipo i e N
i
´e o n´umero de part´ıculas do tipo i.
Considerando uma certa rea¸c˜ao qu´ımica que pode ser substitu´ıda por um decai-
mento de part´ıculas, que ocorre em grande quantidade dentro das estrelas:
a
1
A
1
+ a
2
A
2
+ ··· b
1
B
1
+ b
2
B
2
+ ··· , (2.18)
25
onde temos a
1
part´ıculas do tipo A
1
reagindo com a
2
part´ıculas do tipo A
2
e assim
por diante, para formar b
1
part´ıculas do tipo B
1
, etc, onde a
1
, a
2
,... , b
1
, b
2
,... s˜ao os
coeficientes estequiom´etricos na qu´ımica. Muitas rea¸c˜oes, como a anterior, ocorrem em
ambos os sentidos, estabelecendo-se um equil´ıbrio dinˆamico. Os n´umeros a
i
e b
i
est˜ao
relacionados entre si e com os n´umeros N
A
1
, N
A
2
, ... , N
B
1
, N
B
2
, ..., atrav´es da equa¸c˜ao
acima, por isso n˜ao podem assumir quaisquer valores.
Um certo n´umero de rea¸c˜oes do tipo (2.18) ocorrem, analisando num sentido da
rea¸c˜ao, o n´umero de part´ıculas do tipo A
1
, isto ´e, N
A
1
, diminui por a
1
em cada rea¸c˜ao
(assim como a
2
, a
3
, etc.) enquanto aumentam os n´umeros de part´ıculas do tipo B
i
,
ou seja, N
B
1
, N
B
2
, etc. Estes n´umeros est˜ao relacionados pela equa¸c˜ao e dependem do
n´umero de rea¸c˜oes. Sendo assim, considerando um certo n´umero de rea¸c˜oes do tipo
(2.18), podemos relacionar os coeficientes por:
dN
A
1
= −a
1
dX
dN
A
2
= −a
2
dX
.
.
.
dN
B
1
= b
1
dX
dN
B
2
= b
2
dX
.
.
.
(2.19)
onde o sinal de menos indica diminui¸c˜ao do n´umero de part´ıculas. O fator dX ´e a
indica¸c˜ao de que as equa¸c˜oes acima est˜ao relacionadas e que os coeficientes n˜ao podem
assumir quaisquer valores. Considerando um sistema isolado, a condi¸c˜ao de equil´ıbrio
ocorre quando a entropia atinge o m´aximo, assim:
dS = 0 , (2.20)
(pois S ≥ 0), anulando a express˜ao dada em (2.17).
Se a energia (U) e o volume (V ) forem constantes, ou variarem muito lentamente
em rela¸c˜ao a escala de tempo da vida da estrela, de (2.17) e (2.20) obtemos:
K
i=1
µ
i
dN
i
= 0 . (2.21)
26
Usando as rela¸c˜oes (2.19) em (2.21):
−µ
A
1
a
1
dX − µ
A2
a
2
dX − ··· + µ
B1
b
1
dX + µ
B2
b
2
dX ··· = 0 . (2.22)
Cancelando os termos em comum (dX), podemos escrever:
i
a
i
µ
A
i
=
i
b
i
µ
B
i
, (2.23)
que ´e a condi¸c˜ao para o equil´ıbrio qu´ımico da rea¸c˜ao (2.18).
Com as considera¸c˜oes das se¸c˜oes precedentes, ap´os um certo est´agio, a escala de
tempo da estrela de nˆeutrons permite-nos aplicar estas rela¸c˜oes para equil´ıbrio qu´ımico
entre seus constituintes. Por exemplo:
n p + e
−
+ ¯ν
e
. (2.24)
Como os neutrinos e f´otons escapam da estrela, pois n˜ao consideraremos aprisio-
namento de neutrinos [8], o antineutrino no decaimento acima n˜ao deve aparecer em
(2.17) e (2.23), portanto escrevemos:
µ
¯ν
e
= 0 . (2.25)
Aplicando a rela¸c˜ao (2.23) em (2.24), obtemos:
µ
n
= µ
p
+ µ
e
, (2.26)
que ´e uma das condi¸c˜oes de equil´ıbrio qu´ımico que ocorrem nas estrelas de nˆeutrons.
Voltaremos a este assunto mais a frente quando tratarmos outros constituintes das
estrelas de nˆeutrons.
27
2.4 Estrela de nˆeutrons: um sistema fermiˆonico
Consideramos estas estrelas como constitu´ıdas basicamente de um g´as de F´ermi, cujas
part´ıculas obedecem `a estat´ıstica de Fermi-Dirac. A terminologia f´ermions, b´osons, e
o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli (PEP), surgem da observa¸c˜ao experimental do com-
portamento das part´ıculas (comportamento quˆantico). Os f´ermions de um sistema n˜ao
podem ocupar um mesmo estado quˆantico (ter n´umeros quˆanticos idˆenticos), e isto ´e
expresso atrav´es do PEP. J´a os b´osons podem estar em diferentes estados com diferen-
tes n´umeros de part´ıculas em cada estado ou todas as part´ıculas num mesmo estado.
Por isso n˜ao obedecem ao PEP. Isto acarreta numa grande diferen¸ca de comportamento
do sistema.
Como exemplo, consideremos dois sistemas separados, um constitu´ıdo de 5 f´ermi-
ons de spin 1/2 e o outro de 5 b´osons, conforme a figura 2.4. Para simplificar, conside-
ramos os sistemas num po¸co de potencial quadrado (unidimensional), de tamanho L.
Baixamos a temperatura para T = 0, assim ambos os sistemas v˜ao para o estado fun-
Figura 2.4: Po¸co quadrado T = 0
damental (de mais baixa energia)
14
. Num
c´alculo quˆantico simples, obt´em-se que a
energia ´e quantizada, possui apenas cer-
tos valores, chamados n´ıveis. A energia de
cada n´ıvel ´e E
n
= E
0
n
2
, onde n repre-
senta o n´ıvel de energia (1, 2, 3, ...), E
0
´e
a energia do n´ıvel mais baixo, e a energia
do sistema ´e dada por:
E =
n
N
n
E
n
, (2.27)
onde N
n
´e o n´umero de part´ıculas no n´ıvel n (n´umero de ocupa¸c˜ao do n´ıvel n).
Pelo fato desses f´ermions terem spin
1
2
, que possui duas proje¸c˜oes (m
s
= +
1
2
e -
1
2
), podemos ter apenas 2 f´ermions num mesmo n´ıvel de energia, com proje¸c˜oes de spin
(m
s
) diferentes, assim os f´ermions v˜ao ocupando os n´ıveis de energia 2 a 2, mesmo que
a energia do sistema seja a m´ınima (esta observa¸c˜ao levou ao PEP).
14
- Em ambos os sistemas, neste exemplo, as part´ıculas n˜ao interagem entre si.
28
Com os b´osons ocorre diferente. No estado fundamental todos podem ocupar
o n´ıvel mais baixo de energia e por isso n˜ao est˜ao sujeitos ao PEP. Esta diferen¸ca de
comportamento reflete-se na energia dos dois sistemas. Para o sistema de b´osons, como
todos est˜ao no n´ıvel 1, ent˜ao:
E =
1
n = 1
N
n
E
n
= N
1
E
1
= 5 E
0
1
2
= 5 E
0
, (2.28)
e para os f´ermions, temos 2 em n = 1, mais 2 f´ermions em n = 2 e 1 em n = 3, assim:
E =
3
n = 1
N
n
E
n
= N
1
E
1
+ N
2
E
2
+ N
3
E
3
= 2 E
0
1
2
+ 2 E
0
2
2
+ 1 E
0
3
2
E = 19 E
0
,
(2.29)
onde h´a uma grande diferen¸ca em rela¸c˜ao ao sistema de b´osons.
O comportamento dos f´ermions de estar num mesmo estado de energia, apenas
com proje¸c˜oes de spin diferentes ´e chamado degenerescˆencia de spin, que gera uma
press˜ao de spin (devido ao PEP), e esta, at´e um certo limite, contrabalan¸ca a for¸ca
gravitacional em algumas estrelas (objeto muito denso, for¸ca gravitacional intensa),
n˜ao permitindo o colapso (virar um buraco negro). No caso da estrela de nˆeutrons, s˜ao
f´ermions degenerados que, atrav´es do princ´ıpio da exclus˜ao de Pauli, contrabalan¸cam
a press˜ao gravitacional, atrav´es da press˜ao de spin.
Sistema de Fermi em T = 0
´
E mais simples, num primeiro momento, estudar os sistemas em temperatura
T = 0. Vamos nos concentrar no sistema de f´ermions. Continuando a analisar o sistema
anterior (figura 2.4), o ´ultimo n´ıvel preenchido que no caso, est´a semi-preenchido, ´e
chamado n´ıvel de Fermi. A energia deste n´ıvel ´e chamada energia de Fermi E
F
e
n˜ao depende do n´umero de part´ıculas nesse n´ıvel. Esta defini¸c˜ao ´e importante como
veremos logo mais, quando comparamos a energia de Fermi com a energia m´edia de
cada n´ıvel do sistema.
Dado um n´umero muito grande de part´ıculas, N, elas ocupar˜ao N/2 n´ıveis, de
29
n = 1 at´e n = N/2, at´e o n´ıvel de Fermi.
15
Um c´alculo unidimensional para E
0
resulta
em:
E
0
=
h
2
8 m L
2
, (2.30)
onde h ´e a constante de Plank, m a massa do f´ermion (considerando um g´as de
part´ıculas idˆenticas) e L ´e a largura do po¸co de potencial. A energia de Fermi ser´a a
energia no n´ıvel n = N/2, ( E
n
= E
0
n
2
):
E
F
=
h
2
32 m
N
L
2
, (2.31)
que depende da densidade linear de part´ıculas ( N/L ). A energia m´edia, ´e a energia
total dividida pelo n´umero de part´ıculas:
E
m
=
1
N
N/2
n = 1
2 E
0
n
2
, (2.32)
que para N/2 1 resulta em:
E
m
=
1
3
E
F
. (2.33)
Quando N for grande, os n´ıveis de energia ficam muito pr´oximos uns dos outros
e isto permite-nos aproximar por um cont´ınuo. Assim n˜ao mais teremos n´ıveis de
energia bem definidos (n = 1, n = 2, etc), mas um certo n´umero de part´ıculas num
intervalo dE com energia entre E e E + dE. Ent˜ao h´a a necessidade de se definir uma
densidade de estados, e o n´umero de ocupa¸c˜ao (que dava o n´umero de part´ıculas
num certo n´ıvel) agora ter´a um sentido probabil´ıstico, e ser´a uma fun¸c˜ao, tamb´em
chamada fator de Fermi ou distribui¸c˜ao de Fermi.
Em T = 0, como vimos, todos os n´ıveis abaixo do n´ıvel de Fermi est˜ao ocupados,
e os n´ıveis acima n˜ao s˜ao ocupados, assim, o n´umero de ocupa¸c˜ao abaixo de E
F
ser´a 1
(isto ´e, 100%) e acima de E
F
igual a 0 (T = 0 ´e um caso simples).
15
- Se N for ´ımpar, neste caso calcule com (N + 1)/2, pois o n´umero de n´ıveis ´e o mesmo para o
´ultimo n´ıvel preenchido ou semi-preenchido.
30
N
n
=
1 , E
n
< E
F
0 , E
n
> E
F
(2.34)
Quando T = 0 as part´ıculas nas vizinhan¸cas abaixo do n´ıvel de Fermi s˜ao exci-
tadas e ocupam os n´ıveis acima, ent˜ao o fator de Fermi ´e alterado como pode ser visto
na figura (2.5). Para T = 0 (agora E
n
depende de T ) o n´umero de ocupa¸c˜ao do n´ıvel
n ´e:
N
n
=
1
e
(E
n
− E
F
)/k
B
T
+ 1
, (2.35)
e a energia de Fermi em trˆes dimens˜oes (T = 0):
E
F
=
h
2
8 m
3 N
π V
2/3
, (2.36)
que analogamente ao caso unidimensional, depende da densidade de part´ıculas que
agora ´e densidade volum´etrica.
Figura 2.5: Distribui¸c˜ao de Fermi para T = 0 e T = 0
Com T = 0 ´e importante definir a temperatura de Fermi:
E
F
= k
B
T
F
⇒ T
F
=
E
F
k
B
. (2.37)
31
Vamos ilustrar sua utilidade. Se em (2.35) E
n
< E
F
, obtemos:
N
n
=
1
e
− E
F
/k
B
T
+ 1
=
1
e
− T
F
/ T
+ 1
, (2.38)
e se T T
F
, N
n
→ 1 como em (2.34), ent˜ao o sistema com T = 0 comporta-se
como se estivesse em T = 0. Vejamos um exemplo pr´atico. Se estivermos interessados
em uma teoria para a condu¸c˜ao el´etrica, podemos considerar os el´etrons num fio de
cobre como um g´as de Fermi, na temperatura ambiente, T ≈ 300 K, em que est´a o fio.
Sabendo que o n´umero de el´etrons por volume, N/V do cobre, para el´etrons livres, ´e
8, 47 ×10
22
, e substituindo esse valor em (2.36) a energia de Fermi ´e E
F
= 7, 04 eV . A
temperatura de Fermi ser´a de T
F
= 81700 K.
16
Qualquer temperatura em que o cobre permanece s´olido (como o nosso fio por
exemplo) ´e muito menor do que a temperatura de Fermi calculada. Ent˜ao, mesmo
estando o fio de cobre em T ≈ 300 K, como T
F
T , podemos aplicar a esse sistema
as equa¸c˜oes desenvolvidas para o g´as de Fermi em T = 0. Neste caso o g´as de el´etrons
´e um g´as de Fermi degenerado, em outras palavras, a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao para T = 0
fica muito pr´oxima daquela para T = 0.
Sendo assim, antes de fazer qualquer c´alculo com g´as de Fermi em temperatura
finita (T = 0) em estrelas de nˆeutrons, ser´a muito ´util comparar a temperatura da
estrela com sua temperatura de Fermi. Isto pode ser verificado na tabela abaixo:
T
central
(K) T
F
(K) Raio (Km) Massa (M
)
An˜a Branca 10
7
10
11
10
4
∼ 1
Estrela de Nˆeutrons 10
6
a 10
8
10
11
10 a 12 ∼ 1
Tabela 2.2: Compara¸c˜oes entre An˜a Branca e Estrela de Nˆeutrons.
Nota-se que, T
F
T para os dois casos e assim, podemos aplicar as equa¸c˜oes
para T = 0 e desde j´a sabemos que o efeito da temperatura n˜ao ser´a significativo
16
- Como a temperatura de Fermi, T
F
calculada ´e alta, em rela¸c˜ao a T , n˜ao faz muita diferen¸ca
utilizarmos a express˜ao para E
F
(T = 0) ou E
F
(T ). Optamos por (2.36), deduzida para T = 0 por ser
mais simples.
32
nas propriedades macrosc´opicas dessas estrelas, quando comparado com os c´alculos
efetuados para T = 0.
2.5 Formula¸c˜ao para campos
O dom´ınio em que trabalhamos ´e de altas energias e grandes massas. Sendo assim, n˜ao
podemos desprezar os efeitos relativ´ısticos. Podemos utilizar modelos n˜ao-relativ´ısticos,
introduzindo ad hoc as corre¸c˜oes necess´arias (como o spin ´e introduzido na eq. de
Schr¨odinger), como pode ser verificado na referˆencia [14]. Todavia, para utilizar mode-
los n˜ao-relativ´ısticos h´a a necessidade de introduzir na descri¸c˜ao, termos de trˆes corpos,
o que torna o procedimento mais trabalhoso a fim de obter bons resultados com tais
modelos. Por isso optamos por um modelo relativ´ıstico.
Na Mecˆanica Quˆantica, passamos a ver os entes como “part´ıculas-onda”. Sendo
assim, as part´ıculas possuem um campo associado a elas. Mas na descri¸c˜ao quˆantica,
utiliza-se a fun¸c˜ao de onda, que ´e complexa (isto ´e, ∈ C, e /∈ R), ent˜ao n˜ao podemos
trat´a-la como um observ´avel. Por exemplo, em Mecˆanica Quˆantica n˜ao-relativ´ıstica,
resolvendo a equa¸c˜ao de Schr¨odinger obtemos a fun¸c˜ao de onda que descreve uma
part´ıcula ou um sistema de part´ıculas. H´a um campo associado com a part´ıcula, e a
fun¸c˜ao de onda ´e utilizada para descrever a part´ıcula, por´em a fun¸c˜ao de onda n˜ao ´e
o campo propriamente dito. No entanto, n˜ao devemos nos esquecer que a fun¸c˜ao de
onda, matematicamente, tem caracter´ısticas de campo, por ser uma fun¸c˜ao do espa¸co
e do tempo, cont´ınua, etc, por isso as vezes a fun¸c˜ao de onda ´e chamada de “campo”,
pois, representa o campo. Esta semelhan¸ca permite-nos utilizar um formalismo de-
senvolvido para campos. No modelo relativ´ıstico com o qual trabalhamos, utilizamos
teoria quˆantica de campos porque o “campo” obedece certas rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao
com seu momento conjugado, e isto em outras palavras, ´e a quantiza¸c˜ao.
Quando um sistema cl´assico apresenta muitos graus de liberdade, o formalismo
newtoniano geralmente n˜ao se mostra adequado para descrevˆe-lo. Nesse caso existem
os formalismos lagrangiano e o hamiltoniano, nos quais constru´ımos fun¸c˜oes (lagran-
giana, L ou a hamiltoniana, H) que aplicadas em certas equa¸c˜oes d˜ao como resultado
as equa¸c˜oes de movimento do sistema, que ´e a maneira pela qual conhecemos sua
evolu¸c˜ao. Estas fun¸c˜oes s˜ao constru´ıdas a partir das express˜oes para energia cin´etica
33
(K) e potencial (U). Assim:
L = K − U , (2.39)
H = K + U . (2.40)
Atrav´es do C´alculo Variacional, obt´em-se as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange, que d˜ao
as equa¸c˜oes de movimento para L:
d
d t
∂ L
∂ ˙q
i
−
∂ L
∂ q
i
= 0 , (2.41)
onde os q
i
’s s˜ao as coordenadas generalizadas (uma para cada grau de liberdade). No
caso de optar-se pelo formalismo hamiltoniano, utilizam-se as equa¸c˜oes de Hamilton:
˙q
i
=
∂H
∂p
i
; ˙p
i
= −
∂H
∂q
i
. (2.42)
Existe uma generaliza¸c˜ao destas formula¸c˜oes para campos, onde o campo passa a
ser o “grau de liberdade”. Podemos utilizar este formalismo para descrever uma onda
numa corda, o campo eletromagn´etico, etc.
No dom´ınio cl´assico, precisamos nos preocupar com a invariˆancia de Galileu,
de maneira que o mesmo sistema f´ısico possa ser descrito em diferentes referenciais.
Em outras palavras, diferentes observadores devem observar o mesmo fenˆomeno. No
dom´ınio relativ´ıstico o sistema deve ser invariante de Lorentz, e neste caso fica mais f´acil
verificar a invariˆancia de Lorentz utilizando o formalismo lagrangiano ou hamiltoniano.
Por isso em alta energia, utiliza-se teoria de campos com um destes formalismos.
A generaliza¸c˜ao de (2.41) para campos pode ser encontrada em livros de mecˆanica
anal´ıtica, teoria cl´assica de campos e teoria quˆantica de campos, como em [15], [16]
e [17]. As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange para campos e em nota¸c˜ao quadrivetorial (ver
Apˆendice A) ficam:
∂
µ
∂L
∂(∂
µ
φ
i
)
−
∂L
∂φ
i
= 0 , (2.43)
34
onde os φ
i
’s s˜ao os v´arios campos poss´ıveis num sistema, e L ´e a densidade lagrangiana
(a partir de agora apenas trabalharemos com densidade lagrangiana):
L =
d
3
x L . (2.44)
Como construir uma densidade lagrangiana? Devemos conhecer as equa¸c˜oes de
movimento para os casos livres (sem intera¸c˜ao) que s˜ao mais simples e ent˜ao intro-
duzimos a intera¸c˜ao. Fazemos analogias com sistemas cl´assicos quando poss´ıvel. No
Apˆendice B h´a uma breve apresenta¸c˜ao que elucidar´a um pouco esse processo, assim
como o desenvolvimento apresentado a seguir.
Quando trabalhamos com intera¸c˜oes fortes, n˜ao conhecemos as express˜oes anal´ıticas
para os potenciais, ent˜ao n˜ao podemos utilizar o procedimento cl´assico. A energia do
sistema ´e obtida de maneira diferente, atrav´es do tensor energia-momentum, proveni-
ente dos estudos de mecˆanica dos meios cont´ınuos [18]:
T
µν
=
i
∂
ν
φ
i
∂L
∂(∂
µ
φ
i
)
− g
µν
L , (2.45)
onde o ´ındice i soma todas as coordenadas generalizadas e g
µν
´e o tensor m´etrico
(ver Apˆendice A). Para mais detalhes sobre o tensor energia-momentum consultar a
referˆencia [19]. A partir dele, conhecendo a densidade lagrangiana, podemos obter a
densidade de energia ε e a press˜ao P do sistema, calculando [20]:
ε = T
00
, (2.46)
P =
1
3
T
ii
, (2.47)
onde i = 1, 2, 3 (ver nota¸c˜ao no Apˆendice A). No caso de duas part´ıculas, A e B, que
interagem, fica relativamente f´acil escrever a lagrangiana do sistema:
L = L
A
+ L
B
+ L
int
, (2.48)
35
onde escrevemos as lagrangianas para as part´ıculas livres e uma para a intera¸c˜ao que
mistura informa¸c˜oes das duas part´ıculas. O potencial da intera¸c˜ao est´a representado no
termo de intera¸c˜ao. Vamos detalhar a constru¸c˜ao da lagrangiana com simples exemplo.
Precisamos conhecer as equa¸c˜oes que descrevem as part´ıculas livres (sem in-
tera¸c˜ao). Na mecˆanica quˆantica n˜ao-relativ´ıstica, todas as part´ıculas s˜ao descritas
pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger, que para part´ıcula livre tem a forma:
−
2
2m
∇
2
Ψ = i
∂Ψ
∂t
, (2.49)
e a ´unica diferen¸ca entre um tipo de part´ıcula e outro em (2.49), est´a no termo de massa,
que muda de acordo com a massa de cada part´ıcula. No dom´ınio da mecˆanica quˆantica
relativ´ıstica, tamb´em temos que levar em conta a diferen¸ca b´asica entre f´ermions e
b´osons que se reflete no spin. Ent˜ao existem v´arias equa¸c˜oes de movimento.
A equa¸c˜ao mais simples ´e obtida de maneira an´aloga a equa¸c˜ao de Schr¨odinger,
partindo da express˜ao para energia relativ´ıstica e aplicando os operadores para energia
e momento:
E
2
= p
2
c
2
+ m
2
c
4
, (2.50)
p → −i
∇ ; E → i
∂
∂t
, (2.51)
resultando em:
−
2
∂
2
φ
∂t
2
= m
2
c
4
φ −
2
c
2
∇
2
φ , (2.52)
ou
+
m
2
c
2
2
φ = 0 , (2.53)
que ´e conhecida como equa¸c˜ao de Klein-Gordon e vale para b´osons de spin 0. A
densidade lagrangiana que aplicada em (2.43) resulta nesta equa¸c˜ao ´e dada por:
36
L =
1
2
(∂
µ
φ∂
µ
φ) +
1
2
mc
2
φ
2
, (2.54)
e no sistema natural de unidades (c = = 1) o qual usaremos daqui em diante, ´e
escrita como:
L =
1
2
(∂
µ
φ∂
µ
φ) +
1
2
m
2
φ
2
. (2.55)
Dirac obteve uma equa¸c˜ao compat´ıvel com (2.50) de maneira an´aloga `a equa¸c˜ao
de Schr¨odinger, que fosse linear no tempo, resultando numa equa¸c˜ao que descreve
f´ermions de spin
1
2
:
17
(i γ
µ
∂
µ
− m) ψ = 0 , (2.56)
que ´e uma equa¸c˜ao matricial, onde γ
µ
´e matriz 4 x 4 e com a massa m h´a uma matriz
identidade oculta na nota¸c˜ao, Ψ ´e um vetor escrito na forma de matriz coluna com
quatro componentes. Lembre-se que a amplitude de probabilidade ´e Ψ
†
Ψ, na multi-
plica¸c˜ao de matrizes resultar´a em n´umero (semelhante ao procedimento com a equa¸c˜ao
de Schr¨odinger, Ψ
∗
Ψ resulta n´umero real). Nesta equa¸c˜ao o spin “aparece” natural-
mente por ser um efeito quˆantico-relativ´ıstico. A densidade lagrangiana para a eq. de
Dirac tem a seguinte forma
18
:
L =
ψ (iγ
µ
∂
µ
− m) ψ . (2.57)
Existe um b´oson com spin 1 e sem massa que ´e o f´oton. N˜ao ´e descrito pela
equa¸c˜ao de Klein-Gordon. Deve ser descrito pelas equa¸c˜oes de Maxwell. Manipulando
as equa¸c˜oes de Maxwell e escrevendo em termos dos potenciais escalar e vetor, ϕ e
A,
obtemos duas equa¸c˜oes:
17
- Para f´ermions com spin 3/2, 5/2, etc, utiliza-se uma generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Dirac.
18
-
Ψ = Ψ
†
γ
0
, ver Apˆendice A.
37
∇
2
ϕ −
∂
∂t
∇ ·
A
= −ρ ,
(2.58)
∇
2
A −
∂
2
A
∂t
2
−
∇
∇ ·
A +
∂ϕ
∂t
= −
j ,
e utilizando o calibre de Lorentz,
∇ ·
A = −
∂ϕ
∂ t
, (2.59)
obtemos duas equa¸c˜oes de onda:
∇
2
ϕ −
∂
2
ϕ
∂ t
2
= −ρ ⇒ ϕ = ρ ,
(2.60)
∇
2
A −
∂
2
A
∂ t
2
= −
j ⇒
A =
j .
As equa¸c˜oes em (2.58) podem ser compactadas em uma equa¸c˜ao, em nota¸c˜ao
relativ´ıstica:
A
ν
− ∂
ν
(∂
µ
A
µ
) = j
ν
, (2.61)
onde j
0
= cρ, (usaremos c = 1), j
ν
= (j
0
,
j) e A
µ
=
ϕ,
A
. Com o calibre de Lorentz
(2.59) obtemos:
A
ν
= j
ν
. (2.62)
Para um f´oton livre (no v´acuo, sem cargas e sem correntes reais):
A
ν
= 0 , (2.63)
que ´e (2.60) para ρ e
j iguais a zero. Esta ´e a equa¸c˜ao de movimento para um f´oton livre.
38
Deve-se desenvolver uma lagrangina que aplicada em (2.43) resulte nesta equa¸c˜ao. Tal
densidade lagrangiana, invariante por transforma¸c˜oes de Lorentz ´e dada por:
L = −
1
4
F
µ ν
F
µ ν
, (2.64)
e para o caso (2.62), isto ´e, com as fontes (obedecendo a invariˆancia de calibre):
L = −
1
4
F
µν
F
µν
− j
µ
A
µ
, (2.65)
onde F
µ ν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
(ver Apˆendice C).
A generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao do f´oton para uma part´ıcula que possua massa (e
como o f´oton, seja um b´oson vetorial com spin 1), ´e chamada equa¸c˜ao de Proca. O
termo de massa ´e constru´ıdo em analogia com a lagrangiana da eq. de Klein-Gordon
(2.55), sendo agora o campo vetorial. Esta lagrangiana para o caso livre ´e dada por:
L = −
1
4
G
µν
G
µν
+
1
2
m
2
V
µ
V
µ
, (2.66)
sendo G
µ ν
= ∂
µ
V
ν
−∂
ν
V
µ
, an´alogo ao caso para o f´oton, mas n˜ao tendo rela¸c˜ao com o
campo eletromagn´etico (apenas nota¸c˜ao semelhante). Para o caso com intera¸c˜ao:
L = −
1
4
G
µν
G
µν
+
1
2
m
2
V
µ
V
µ
− j
µ
V
µ
. (2.67)
Uma lagrangiana de intera¸c˜ao pode ser constru´ıda por acoplamento simples, com
derivadas, etc (utilizaremos apenas acoplamentos simples), devendo tamb´em respeitar
invariˆancias e simetrias. Dados dois campos interagentes, φ (escalar, da eq. de Klein-
Gordon) e Ψ (matriz, da eq. de Dirac), o acoplamento simples teria a seguinte forma:
gΨφΨ , (2.68)
onde g ´e uma constante, e para o acoplamento do campo Ψ com outro campo vetorial,
do tipo A
µ
:
39
gΨγ
µ
ΨA
µ
. (2.69)
Com isso podemos construir, para ilustra¸c˜ao, a densidade lagrangiana para a
intera¸c˜ao entre um f´ermion de spin
1
2
com carga el´etrica q e representado pelo campo
Ψ, e um f´oton:
L =
Ψ (iγ
µ
∂
µ
− m) Ψ −
1
4
F
µν
F
µν
− j
µ
A
µ
, (2.70)
onde, j
µ
= q
Ψγ
µ
ΨA
µ
e podemos identificar a lagrangiana para o f´ermion livre, para o
f´oton livre que s˜ao respons´aveis pela propaga¸c˜ao das part´ıculas e tamb´em o termo de
intera¸c˜ao.
Fazendo uma s´ıntese do que vimos at´e aqui, conhecemos as densidades lagrangia-
nas para descrever b´osons de spin 0, b´osons de spin 1 com e sem massa, e para f´ermions
de spin
1
2
. Agora sabemos quais lagrangianas aplicar em alguns tipos de part´ıculas.
2.6 Aplica¸c˜ao em Astrof´ısica
A ponte entre a mecˆanica estat´ısica e a f´ısica de h´adrons ´e feita atrav´es da fun¸c˜ao de
parti¸c˜ao ou do potˆencial termodinˆamico do sistema. E a ponte entre estes e a astrof´ısica
´e feita atrav´es da equa¸c˜ao de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV), [13]. Esta equa¸c˜ao
´e deduzida apartir das equa¸c˜oes de Einstein da Relatividade Geral e, portanto, ´e uma
equa¸c˜ao relativ´ıstica para o equil´ıbrio hidrost´atico numa estrela:
dP
dr
= −
G
r
[ε + P ] [M + 4πr
3
P ]
(r − 2GM)
, (2.71)
onde:
M =
r
0
4πr
2
εdr . (2.72)
onde P ´e a press˜ao, M ´e a massa e ε ´e a densidade de energia, todos fun¸c˜ao do raio r
da estrela. G ´e a constante gravitacional.
40
Para a dedu¸c˜ao de (2.71) considera-se a estrela como um corpo esfericamente
sim´etrico, sem rota¸c˜ao, composto por um fluido perfeito e est´atico. O nosso trabalho
ser´a obter uma equa¸c˜ao de estado hadrˆonica (ε , P) e aplicar em (2.71) a fim de obter
o raio e a massa da estrela.
Cap´ıtulo 3
Hadrodinˆamica Quˆantica
Sendo a estrela de nˆeutrons em primeira instˆancia composta por b´arions interagindo
atrav´es da for¸ca forte, apresentaremos neste cap´ıtulo um modelo aplicado `a intera¸c˜ao
nucleon-nucleon, a fim de exemplificar o formalismo que ser´a utilizado e algumas fer-
ramentas auxiliares. Devemos lembrar que part´ıculas que interagem atrav´es da for¸ca
forte s˜ao chamadas de h´adrons. Assim os nucleons, que s˜ao b´arions, e os m´esons,
tamb´em s˜ao chamados de h´adrons.
Em 1974 John Dirk Walecka [4] propˆos um modelo quˆantico relativ´ıstico, para
um sistema de muitos corpos, conhecido como QHD (Quantum Hadrodynamics) a fim
de descrever a intera¸c˜ao entre h´adrons atrav´es da troca de m´esons, incluindo assim, os
graus de liberdade dos b´arions e m´esons.
Este modelo ´e utilizado na f´ısica nuclear, mas faz parte de algo mais amplo, no
dom´ınio das intera¸c˜oes hadrˆonicas. Com efeito, n˜ao vamos aplicar f´ısica nuclear em
estrelas de nˆeutrons, pelo fato da mat´eria das estrelas de nˆeutrons ser diferente da
mat´eria nuclear, na densidade e nos constituintes. Por isso, aplicaremos as intera¸c˜oes
hadrˆonicas em estrelas de nˆeutrons, atrav´es de uma generaliza¸c˜ao do modelo de Wa-
lecka.
H´a duas subdivis˜oes da QHD, que diferenciam-se pelos m´esons admitidos no
sistema:
Modelo M´esons
QHD-I σ , ω
QHD-II σ , ω , π , ρ
41
42
Campos Spin Isospin Part´ıculas Massa
Ψ
1
2
1
2
Nucleon m
B
σ 0 0 M´eson escalar-isoscalar m
σ
ω 1 0 M´eson vetorial-isoscalar m
ω
π 0 1 M´eson pseudoscalar-isovetorial m
π
ρ 1 1 M´eson vetorial-isovetorial m
ρ
Tabela 3.1: Campos da QHD
Estes modelos ser˜ao utilizados para obten¸c˜ao de uma equa¸c˜ao de estado para a
mat´eria bariˆonica `a temperatura zero, isto ´e, no estado fundamental, no contexto da
aproxima¸c˜ao de campo m´edio, que reduz as equa¸c˜oes de um sistema de muitos corpos
para um sistema de poucas equa¸c˜oes.
3.1 Hadrodinˆamica Quˆantica - I
Na hadrodinˆamica quˆantica considera-se que os nucleons n˜ao possuem estrutura in-
terna, ou seja, eles s˜ao vistos como part´ıculas fundamentais. Por isso a intera¸c˜ao entre
nucleons ´e descrita por acoplamento dos campos dos nucleons com os campos dos
m´esons.
Pelo fato dos m´esons σ e ω possuirem isospin zero, eles n˜ao distinguem entre
pr´otons e nˆeutrons. Por isso vamos utilizar a terminologia “nucleon”, pelo fato de
estas part´ıculas (pr´otons e nˆeutrons) terem massas muito pr´oximas e a menos da carga
el´etrica, elas s˜ao muito semelhantes. Neste modelo o m´eson σ ´e o respons´avel pela parte
atrativa da for¸ca nuclear, que domina a longa distˆancia (na escala nuclear) e o m´eson ω
pela parte repulsiva, em curtas distˆancias. A fim de construir a densidade lagrangiana
para esse sistema, devemos observar as caracter´ısticas das part´ıculas na tabela acima.
Escrevendo os termos para cada part´ıcula, bem como termos de intera¸c˜ao, obtemos:
L =
¯
ψ (iγ
µ
∂
µ
− m
B
) ψ −
1
2
[(∂
µ
σ) (∂
µ
σ) − m
2
σ
σ
2
]
−
1
4
F
µν
F
µν
+
1
2
m
2
ω
ω
µ
ω
µ
− g
ω
¯
ψγ
µ
ψω
µ
+ g
σ
¯
ψψσ .
(3.1)
Nesta lagrangiana, podemos distinguir um termo para os nucleons livres, um
para os m´esons σ e outro para os m´esons ω, al´em dos termos de intera¸c˜ao, g
ω
¯
ψγ
µ
ψω
µ
,
43
g
σ
¯
ψψσ. Al´em disso,
F
µν
= ∂
µ
ω
ν
− ∂
ν
ω
µ
, (3.2)
´e um tensor antissim´etrico. Aplicando (3.1) em (2.43), onde as coordenadas generali-
zadas s˜ao, ψ, σ e ω
µ
, obtemos as equa¸c˜oes de movimento:
∂
µ
∂
µ
σ + m
2
σ
σ = g
σ
¯
ψ ψ , (3.3)
∂
µ
F
µν
+ m
2
ω
ω
ν
= g
ω
¯
ψγ
ν
ψ , (3.4)
[γ
µ
(i∂
µ
− g
ω
ω
µ
) − (m
B
− g
σ
σ)] ψ = 0 . (3.5)
A partir da equa¸c˜ao de Dirac livre ou com intera¸c˜ao [4], ´e poss´ıvel obter a ex-
press˜ao:
∂
µ
(
¯
Ψγ
µ
Ψ) = 0 , (3.6)
ou seja:
∂
µ
J
µ
= 0 , (3.7)
que ´e a equa¸c˜ao da continuidade, portanto o termo entre parˆentesis ´e uma corrente
bariˆonica que ´e conservada. Analisando as equa¸c˜oes anteriores, vemos que (3.3) ´e uma
equa¸c˜ao de Klein-Gordon com fonte escalar, e (3.4) ´e uma equa¸c˜ao de Proca cuja fonte
´e a corrente bariˆonica conservada:
j
ν
= g
ω
¯
ψγ
ν
ψ , (3.8)
pois obedece a equa¸c˜ao da continuidade:
∂
ν
j
ν
= 0 . (3.9)
44
J´a (3.5) ´e uma equa¸c˜ao de Dirac com intera¸c˜ao. As equa¸c˜oes (3.3) , (3.4) e (3.5)
s˜ao equa¸c˜oes diferenciais acopladas sem solu¸c˜ao exata, sendo necess´ario utilizar algum
m´etodo de aproxima¸c˜ao. Utilizaremos a aproxima¸c˜ao de campo m´edio. Por´em, antes
desse procedimento vamos obter o tensor energia-momento (2.45) desse sistema:
T
µν
=
1
2
−∂
λ
σ∂
λ
σ + m
2
σ
σ
2
+
1
2
F
λρ
F
λρ
− m
2
ω
ω
λ
ω
λ
g
µν
+i
¯
Ψγ
µ
∂
ν
Ψ + ∂
µ
σ∂
ν
σ + ∂
ν
ω
λ
F
λµ
.
(3.10)
Conhecendo os campos poderemos obter a press˜ao (2.47) e a densidade de energia
(2.46), que s˜ao as equa¸c˜oes de estado do sistema.
Apartir da equa¸c˜ao de Dirac, obtem-se uma solu¸c˜ao geral para ψ que no forma-
lismo de segunda quantiza¸c˜ao tem a seguinte forma:
ˆ
ψ(x, t) =
1
√
V
α
f
α
A
α
+
˜
f
α
B
†
α
, (3.11)
onde V ´e o volume do sistema, A
α
´e o operador de aniquila¸c˜ao para part´ıculas, B
†
α
´e
o operador de cria¸c˜ao para antipart´ıculas, f
α
e
˜
f
α
s˜ao bases escolhidas de acordo com
a conveniˆencia de cada problema. Para a equa¸c˜ao (3.5) uma base adequada ´e a onda
plana. Pelo fato de estudarmos apenas o estado fundamental (T = 0), n˜ao levaremos
em considera¸c˜ao as antipart´ıculas. A nota¸c˜ao utilizada
ˆ
ψ(x, t) deixa claro que ψ ´e um
operador, e a quantiza¸c˜ao ´e proveniente das regras de anticomuta¸c˜ao obedecidas pelos
operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao:
{A
α
, A
†
α‘
} = {B
α
, B
†
α‘
} = δ
αα‘
, (3.12)
{A
α
, B
α‘
} = {A
†
α
, B
†
α‘
} = 0 . (3.13)
Isto tamb´em pode ser aplicado aos campos dos m´esons, com as devidas modifi-
ca¸c˜oes mas n˜ao ser´a feito porque utilizaremos a aproxima¸c˜ao de campo m´edio, e como
veremos, ela apenas quantiza o campo dos nucleons.
O estado fundamental do sistema |F ´e constru´ıdo arranjando os nucleons nos
n´ıveis de energia at´e o n´ıvel de Fermi, de acordo com o princ´ıpio da exclus˜ao de Pauli:
45
|F =
p
F
α
A
†
α
|0 , (3.14)
onde p
F
´e o momento de Fermi e |0 ´e o estado de v´acuo ou estado de mais baixa
energia, tal que:
A
α
|0 = B
α
|0 = 0 . (3.15)
Deste modo, para calcularmos o valor m´edio de um certo observ´avel, um operador
ˆ
O no estado fundamental, fazemos:
O =
ˆ
O = F |
ˆ
O |F . (3.16)
3.2 Aproxima¸c˜ao de campo m´edio
Na literatura encontramos diferentes procedimentos denominados de “aproxima¸c˜ao de
campo m´edio”ou “mean field theory” (MFT - teoria de campo m´edio), por isso vamos
descrever o que utilizaremos.
Quando a densidade de b´arions aumenta, tal que o n´umero de quanta troca-
dos entre os nucleons for intenso o suficiente para que as flutua¸c˜oes quˆanticas sejam
desprez´ıveis, os campos mesˆonicos comportam-se como campos cl´assicos. Assim, os
nucleons movem-se como part´ıculas independentes e interagem atrav´es de um campo
m´edio comum a todos. Com isto, o problema de muitos corpos reduz-se a um problema
de um corpo sob a influˆencia de um potencial efetivo.
No modelo utilizado, os observ´aveis s˜ao os nucleons, enquanto os m´esons s˜ao
virtuais, e isso implica na inexistˆencia de correntes mesˆonicas. Por isso, os campos
dos m´esons n˜ao s˜ao quantizados, s˜ao eliminadas as flutua¸c˜oes quˆanticas, e sem tais
flutua¸c˜oes eles tornam-se cl´assicos. Os campos mesˆonicos s˜ao substitu´ıdos por campos
m´edios que n˜ao dependem do espa¸co-tempo, apenas da densidade bariˆonica. Consi-
derando simetria esf´erica, n˜ao deve haver dire¸c˜ao preferencial na mat´eria bariˆonica
(espa¸co isotr´opico). Assim, para que haja simetria por transla¸c˜ao e rota¸c˜ao devemos
46
remover os componentes vetoriais do campo ω
µ
= (ω
0
, ω) , tal que:
ω = 0 . (3.17)
Tamb´em considera-se que o sistema seja est´atico para os campos mesˆonicos (isto
remove a dinˆamica do problema):
∂
0
σ = 0 ,
∂
0
ω
µ
= 0 .
(3.18)
Estas considera¸c˜oes eliminam as correntes mesˆonicas, mas devemos lembrar que
elas n˜ao se aplicam aos b´arions, n˜ao eliminando a corrente bariˆonica, que como vimos
´e conservada. O campo dos nucleons ´e tratado como um operador e ´e quantizado.
Assim, o resultado ´e:
σ(x
µ
) → σ(x
µ
) ≡ σ
0
,
ω
µ
(x
µ
) → ω
µ
(x
µ
) ≡ δ
µ0
ω
0
.
(3.19)
onde a nota¸c˜ao evidencia a n˜ao dependˆencia do espa¸co-tempo
1
e δ
µ0
´e apenas para
eliminar a parte vetorial quando o quadri-vetor ω
µ
aparecer nas equa¸c˜oes, restando
apenas o campo ω
0
.
Com efeito, nessa aproxima¸c˜ao de campo m´edio, a densidade lagrangiana (3.1)
torna-se:
L
MF T
=
¯
ψ
iγ
µ
∂
µ
− g
ω
γ
0
ω
0
− (m
B
− g
σ
σ)
ψ −
1
2
m
2
σ
σ
2
0
+
1
2
m
2
ω
ω
2
0
, (3.20)
e o tensor energia-momento:
T
MF T
µν
=
1
2
m
2
σ
σ
2
0
− m
2
ω
ω
2
0
g
µν
+ i
¯
ψγ
µ
∂
ν
ψ . (3.21)
A densidade de energia (2.46) e a press˜ao (2.47) ficam:
1
- N˜ao confundir esta nota¸c˜ao com o valor m´edio de uma fun¸c˜ao, que resulta em n´umero, isto ´e,
uma constante.
47
ε
MF T
=
i
¯
ψγ
0
∂
0
ψ
+
1
2
m
2
σ
σ
2
0
−
1
2
m
2
ω
ω
2
0
, (3.22)
P
MF T
= −
1
3
i
¯
ψ(γ ·
∇)ψ −
1
2
m
2
σ
σ
2
0
+
1
2
m
2
ω
ω
2
0
. (3.23)
As equa¸c˜oes de movimento obtidas anteriormente (3.3), (3.4) e (3.5), agora tornam-
se:
m
2
σ
σ
0
= g
σ
¯
ψ ψ
, (3.24)
m
2
ω
ω
0
= g
ω
¯
ψγ
0
ψ
, (3.25)
[(iγ
µ
∂
µ
− g
ω
γ
0
ω
0
) − (m
B
− g
σ
σ
0
)] ψ = 0 , (3.26)
onde:
ρ
s
≡
¯
ψψ
=
ψ
†
γ
0
ψ
= F |ψ
†
γ
0
ψ |F , (3.27)
´e chamado densidade escalar, e
ρ
B
≡
¯
ψγ
0
ψ
=
ψ
†
ψ
= F |ψ
†
ψ |F , (3.28)
densidade bariˆonica (n´umero de b´arions por volume). Isto implica que (3.24) e (3.25) po-
dem ser escritas como:
σ
0
=
g
σ
m
σ
2
ρ
s
, (3.29)
ω
0
=
g
ω
m
ω
2
ρ
B
, (3.30)
onde est´a expl´ıcito que os m´esons devem ser massivos (m
σ
e m
ω
= 0) e mostra sua
dependˆencia com a densidade.
Podemos verificar em (3.26) que o campo σ
0
atua na massa do nucleon, diminuindo-
a com a intera¸c˜ao, por isso,
48
m
∗
B
= m
B
− g
σ
σ
0
, (3.31)
´e chamada massa efetiva. O primeiro termo das equa¸c˜oes (3.22) e (3.23) ´e calculado
atrav´es de (3.26) conforme [4], assim:
i
¯
ψγ
0
∂
0
ψ =
¯
ψ[iγ ·
∇ + g
ω
γ
0
ω
0
+ m
∗
B
]ψ ,
=
¯
ψ(iγ ·
∇ + m
∗
B
)ψ +
¯
ψ(g
ω
γ
0
ω)ψ ,
= ψ
†
(iγ
0
γ ·
∇ + γ
0
m
∗
B
)ψ + ψ
†
(g
ω
ω
0
)ψ ,
= F |ψ
†
(iγ
0
γ ·
∇ + γ
0
m
∗
B
)ψ|F + F |ψ
†
(g
ω
ω
0
)ψ|F .
(3.32)
Os quais resultam em
2
:
F |ψ
†
(iγ
0
γ ·
∇ + γ
0
m
∗
B
)ψ|F = γ
p
F
0
d
3
p
(2π)
3
p
2
+ m
∗ 2
B
, (3.33)
F |ψ
†
(g
ω
ω
0
)ψ|F
= g
ω
ω
0
F |ψ
†
ψ|F
= g
ω
ω
0
ρ
B
, (3.34)
onde γ ´e a degenerescˆencia de spin e isospin, que para mat´eria sim´etrica
3
(n´umero igual
de pr´otons e nˆeutrons) vale 4. Como o sistema est´a no estado fundamental (T = 0),
a densidade bariˆonica, no cont´ınuo, ´e simplesmente a integral de uma fun¸c˜ao degrau
(ver figura 2.5):
ρ
B
= γ
∞
0
d
3
p
(2π)
3
Θ(p
2
F
− p
2
) =
γ
2π
2
p
F
0
p
2
dp =
γ p
3
F
6π
2
. (3.35)
O c´alculo do primeiro termo da press˜ao em (3.23) de acordo com [4] resulta em:
2
- Lembre-se de que no sistema natural de unidades, p → −i
∇
3
- Este modelo n˜ao permite a descri¸c˜ao de mat´eria assim´etrica, veremos em momento oportuno
que para isso ´e necess´ario incluir o m´eson ρ.
49
− i
¯
ψ(γ ·
∇)ψ =
ψ
†
(γ
0
γ · p)ψ
=
γ
(2π)
3
p
F
0
p
2
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p , (3.36)
e a densidade escalar:
ρ
s
=
γ
(2π)
3
p
F
0
d
3
p
m
∗
B
p
2
+ m
∗ 2
B
. (3.37)
Com (3.29), (3.30) e (3.31), podemos escrever (3.22) e (3.23) como:
ε
MF T
=
m
2
ω
2
ω
2
0
+
m
2
σ
2
σ
2
0
+
γ
(2π)
3
p
F
0
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p , (3.38)
P
MF T
=
m
2
ω
2
ω
2
0
−
m
2
σ
2
σ
2
0
+
γ
3(2π)
3
p
F
0
p
2
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p , (3.39)
ou:
ε
MF T
=
g
2
ω
2m
2
ω
ρ
2
B
+
m
2
σ
2g
2
σ
(m
B
− m
∗
B
)
2
+
γ
(2π)
3
p
F
0
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p , (3.40)
P
MF T
=
g
2
ω
2m
2
ω
ρ
2
B
−
m
2
σ
2g
2
σ
(m
B
− m
∗
B
)
2
+
γ
3(2π)
3
p
F
0
p
2
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p . (3.41)
Para determinar a massa efetiva podemos efetuar dois tipos de c´alculo: atrav´es
da minimiza¸c˜ao de ε em rela¸c˜ao a σ
0
:
∂ε
∂σ
0
ω
0
,p
F
= 0 , (3.42)
ou atrav´es da substitui¸c˜ao de (3.29) e (3.37) em (3.31). Em ambos os casos, obt´em-se:
m
∗
B
= m
B
−
g
2
σ
m
2
σ
γ
(2π)
3
p
F
0
m
∗
B
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p , (3.43)
50
que ´e uma equa¸c˜ao transcendental (deve ser resolvida numericamente). E ent˜ao pode-
mos numericamente encontrar os valores da densidade de energia e press˜ao.
As constantes g
σ
e g
ω
s˜ao ajustadas utilizando-se as propriedades da mat´eria
nuclear no ponto de satura¸c˜ao [4]: a energia de liga¸c˜ao por nucleon (B/A) e o momento
de Fermi (p
F
):
−B/A = −
ε
ρ
B
− m
B
= 15, 75 MeV , (3.44)
p
F
= 1, 42 fm
−1
, (3.45)
Tamb´em s˜ao importantes a incompressibilidade nuclear (K) e a energia de simetria
(ε
sym
):
K(ρ
0
) = 9ρ
2
0
∂
2
ε
∂ρ
2
B
ρ
B
=ρ
0
, (3.46)
ε
sym
=
1
2
ρ
B
∂
2
ε
∂ρ
2
3
ρ
B
ρ
3
=0
=
1
6
p
2
F
p
2
F
+ m
∗ 2
B
, (3.47)
onde:
ρ
3
= ρ
p
− ρ
n
, (3.48)
´e igual a zero para a mat´eria sim´etrica, do modelo QHD-I, sendo ρ
p
e ρ
n
as densidades
de pr´otons e nˆeutrons.
A tabela 3.2 apresenta uma compara¸c˜ao entre os resultados obtidos com QHD-I
e os valores esperados:
m
∗
B
/m
B
K (MeV) ε
sym
(MeV)
Esperado 0, 7 a 0, 8 210 ± 30 27 a 36
QHD-I 0, 556 540 22, 1
Tabela 3.2: Problemas com QHD-I
Percebe-se discrepˆancia nos valores da massa efetiva, incompressibilidade e ener-
gia de simetria, indicando que o modelo QHD-I precisa ser melhorado.
51
3.3 Modelo de Walecka n˜ao-linear
A fim de corrigir o valor da incompressibilidade K e da massa efetiva m
∗
B
, no ponto
de satura¸c˜ao, s˜ao introduzidos na lagrangiana do modelo QHD-I termos n˜ao lineares
no campo do m´eson σ, conforme [21]. Em termos do formalismo de Feynmann, isso
significa incluir termos de auto-intera¸c˜ao desse campo, que s˜ao corre¸c˜oes quˆanticas. A
lagrangiana n˜ao-linear (NL) tem a seguinte forma:
L
NL
= −
1
3!
kσ
3
−
1
4!
λσ
4
, (3.49)
onde k e λ s˜ao constantes ajustadas a fim de obterem-se melhores valores para K e
m
∗
B
no ponto de satura¸c˜ao da mat´eria nuclear. Esta modifica¸c˜ao altera a equa¸c˜ao de
movimento (3.3) para:
∂
µ
∂
µ
σ + m
2
σ
σ +
1
2
kσ
2
+
1
6
λσ
3
= g
σ
¯
ψ ψ . (3.50)
Usando a aproxima¸c˜ao de campo m´edio:
σ
0
= −
k
2m
2
σ
σ
2
0
−
λ
6m
2
σ
σ
3
0
+
g
σ
m
2
σ
ρ
s
, (3.51)
ω
0
=
g
ω
m
2
ω
ρ
B
. (3.52)
A densidade de energia e press˜ao do sistema tornam-se:
ε
MF T
=
m
2
ω
2
ω
2
0
+
m
2
σ
2
σ
2
0
+
k
6
σ
3
0
+
λ
24
σ
4
0
+
γ
(2π)
3
p
F
0
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p , (3.53)
P
MF T
=
m
2
ω
2
ω
2
0
−
m
2
σ
2
σ
2
0
−
k
6
σ
3
0
−
λ
24
σ
4
0
+
γ
3(2π)
3
p
F
0
p
2
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p , (3.54)
alteradas em rela¸c˜ao a (3.38) e (3.39), e a massa efetiva:
52
m
∗
B
= m
B
+
k
2m
2
σ
g
σ
(m
B
− m
∗
B
)
2
+
λ
6m
2
σ
g
σ
(m
B
− m
∗
B
)
3
−
g
2
σ
m
2
σ
ρ
s
, (3.55)
um valor diferente, comparando com (3.43).
3.4 Hadrodinˆamica Quˆantica - II
At´e o presente, as equa¸c˜oes apresentadas apenas descrevem intera¸c˜oes entre nucle-
ons, mais especificadamente, intera¸c˜oes do tipo pr´oton-pr´oton e nˆeutron-nˆeutron. Os
m´esons σ e ω n˜ao fazem distin¸c˜ao entre pr´otons e nˆeutrons, por isso n˜ao descrevem a
intera¸c˜ao pr´oton-nˆeutron. Para tal, deve-se incluir o m´eson ρ, que permite a descri¸c˜ao
da mat´eria assim´etrica, sendo o respons´avel por corrigir o valor da energia de simetria
do modelo QHD-I.
O m´eson π na aproxima¸c˜ao de campo m´edio tem contribui¸c˜ao nula, de acordo
com [4], por isso n˜ao ser´a considerado. O m´eson ρ ´e um vetor-isovetor, o termo corres-
pondente na lagrangiana para a propaga¸c˜ao ´e uma lagrangiana de Proca:
−
1
4
B
µν
.
B
µν
+
1
2
m
2
ρ
ρ
µ
. ρ
µ
, (3.56)
e para a intera¸c˜ao deve conter o isospin a fim de permitir a intera¸c˜ao entre pr´otons e
nˆeutrons, ou de maneira mais geral, entre part´ıculas em diferentes estados de isospin:
g
ρ
¯
ψγ
µ
(τ . ρ
µ
)ψ , (3.57)
onde τ ´e a matriz de isospin,
B
µν
= ∂
µ
ρ
ν
− ∂
ν
ρ
µ
− g
ρ
(ρ
µ
x ρ
µ
) e a nota¸c˜ao ρ
µ
indica
ser um quadri-vetor no espa¸co-tempo e vetor no espa¸co de isospin (isospin = 1), pois
o m´eson ρ ´e um tripleto
4
de quadrivetores:
ρ
µ
=
ρ
0
1
ρ
x
1
ρ
y
1
ρ
z
1
ρ
0
2
ρ
x
2
ρ
y
2
ρ
z
2
ρ
0
3
ρ
x
3
ρ
y
3
ρ
z
3
. (3.58)
4
- Isto ´e, existem trˆes estados de carga, positivo, negativo e neutro.
53
A lagrangiana do modelo QHD-II com termos n˜ao-lineares, sem o m´eson π ´e dada
por:
L =
¯
ψ [γ
µ
(i ∂
µ
− g
ω
ω
µ
− g
ρ
τ.ρ
µ
) − (m
B
− g
σ
σ)] ψ
+
1
2
(∂
µ
σ∂
µ
σ −m
2
σ
σ
2
) −
1
3!
kσ
3
−
1
4!
λσ
4
−
1
4
F
µν
F
µν
+
1
2
m
2
ω
ω
µ
ω
µ
−
1
2
B
µν
.
B
µν
+
1
2
m
2
ρ
ρ
µ
. ρ
µ
.
(3.59)
Aplicando (3.59) nas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (2.43) obtemos as seguintes
equa¸c˜oes de movimento:
∂
µ
∂
µ
σ + m
2
σ
σ +
1
2
kσ
2
+
1
6
λσ
3
= g
σ
¯
ψ ψ , (3.60)
∂
µ
F
µν
+ m
2
ω
ω
ν
= g
ω
¯
ψγ
ν
ψ , (3.61)
∂
µ
B
µν
+ m
2
ρ
ρ
ν
= g
ρ
¯
ψγ
ν
τψ , (3.62)
[γ
µ
(i∂
µ
− g
ω
ω
µ
− g
ρ
τ . ρ
µ
) − (m
B
− g
σ
σ)] ψ = 0 . (3.63)
Seguindo o mesmo procedimento a fim de aplicar a aproxima¸c˜ao de campo m´edio,
a invariˆancia por transla¸c˜ao e rota¸c˜ao implica em:
ω = ρ
µ
(i)
= 0 , (3.64)
onde i, µ = 1, 2, 3 (parte espacial), e a invariˆancia por rota¸c˜ao em rela¸c˜ao ao eixo ˆz no
espa¸co de isospin:
τ
1
= τ
2
= 0 , (3.65)
54
restando apenas τ
3
, assim:
ρ
0
1
=
ρ
0
2
= 0 , (3.66)
e a opera¸c˜ao de τ
3
em |F resulta em:
τ
3
|F =
1
2
(N
p
− N
n
) |F , (3.67)
Com efeito, a aproxima¸c˜ao de campo m´edio simplifica o problema porque efeti-
vamente apenas leva em conta a parte temporal do m´eson ρ neutro, onde definimos
ρ
3
0
≡ ρ
03
. Ent˜ao:
σ(x
µ
) → σ(x
µ
) ≡ σ
0
,
ω
µ
(x
µ
) → ω
µ
(x
µ
) ≡ δ
µ0
ω
0
,
ρ
(j)
µ
(x
µ
) → ρ
(j)
µ
(x
µ
) ≡ δ
µ0
δ
j3
ρ
03
.
(3.68)
Com isto as equa¸c˜oes de movimento (3.60) a (3.63) s˜ao simplificadas:
m
2
σ
σ
0
+
1
2
kσ
2
0
+
1
6
λσ
3
0
= g
σ
¯
ψ ψ , (3.69)
m
2
ω
ω
0
= g
ω
¯
ψγ
0
ψ , (3.70)
m
2
ρ
ρ
03
= g
ρ
¯
ψγ
0
τ
3
ψ , (3.71)
iγ
µ
∂
µ
− g
ω
γ
0
ω
0
− g
ρ
γ
0
τ
3
ρ
03
− (m
B
− g
σ
σ
0
)
ψ = 0 . (3.72)
Por´em agora temos
5
:
ρ
s
≡
¯
ψψ
=
¯
ψ
p
ψ
p
+
¯
ψ
n
ψ
n
= ρ
p
s
+ ρ
n
s
, (3.73)
5
- Os ´ındices p e n referem-se a pr´otons e nˆeutrons.
55
ρ
i
s
=
γ
(2π)
3
p
F
i
0
m
∗
B
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p , i = p, n , (3.74)
ρ
B
≡
¯
ψγ
0
ψ
=
ψ
†
p
ψ
p
+
ψ
†
n
ψ
n
= ρ
p
+ ρ
n
, (3.75)
ρ
i
=
γ
6π
2
p
3
F
i
, i = p, n , (3.76)
estando (3.76) em acordo com (3.35) apenas com a diferen¸ca de que agora temos duas
distribui¸c˜oes, uma para pr´otons e outra para nˆeutrons, e tamb´em:
ρ
3
≡
¯
ψγ
0
τ
3
ψ =
1
2
(
ψ
†
p
ψ
p
−
ψ
†
n
ψ
n
) =
1
2
(ρ
p
− ρ
n
) , (3.77)
sendo (3.77) de acordo com (3.67) e (3.48).
Com isto, as equa¸c˜oes para os campos podem ser escritas:
σ
0
= −
k
2m
2
σ
σ
2
0
−
1
6m
2
σ
λσ
3
0
+
g
σ
m
2
σ
ρ
s
, (3.78)
ω
0
=
g
ω
m
2
ω
ρ
B
, (3.79)
ρ
03
=
g
ρ
m
2
ρ
ρ
3
. (3.80)
Novamente podemos escrever a lagrangiana de campo m´edio e atrav´es do tensor
energia-momentum (2.45) obtemos as equa¸c˜oes de estado:
ε
MF T
=
γ
(2π)
3
i = n,p
p
F
i
0
p
2
+ m
∗ 2
B
d
3
p
+
m
2
ω
2
ω
2
0
+
m
2
ρ
2
ρ
2
03
+
m
2
σ
2
σ
2
0
+
k
6
σ
3
0
+
λ
24
σ
4
0
,
(3.81)
P
MF T
=
γ
3(2π)
3
i = n,p
p
F
i
0
p
2
d
3
p
p
2
+ m
∗2
B
+
m
2
ω
2
ω
2
0
+
m
2
ρ
2
ρ
2
03
−
m
2
σ
2
σ
2
0
−
k
6
σ
3
0
−
λ
24
σ
4
0
. (3.82)
56
lembrando que neste caso γ = 2, referindo-se somente `a degenerescˆencia de spin.
Com a inclus˜ao do m´eson ρ, h´a uma modifica¸c˜ao no c´alculo da energia de simetria:
ε
sym
=
1
2
ρ
B
∂
2
ε
∂ρ
2
3
ρ
B
ρ
3
=0
=
g
2
ρ
12 π
2
m
2
ρ
p
3
F
+
1
6
p
2
F
p
2
F
+ m
∗ 2
B
, (3.83)
onde g
ρ
e m
ρ
deixam em evidˆencia a importˆancia do m´eson ρ neste c´alculo, se comparar-
mos com (3.47). Como o n´umero de parˆametros aumentou, agora ´e poss´ıvel melhorar
os resultados do modelo em rela¸c˜ao aos valores esperados, mesmo sendo a energia de
simetria calculada para mat´eria sim´etrica, onde o m´eson ρ n˜ao atua. Este modelo ´e
aplicado em n´ucleos atˆomicos para descrever a intera¸c˜ao forte entre os nucleons, que
s˜ao b´arios. Pelo fato de numa estrela de nˆeutrons haver b´arions interagindo atrav´es
da for¸ca nuclear forte, ser´a feita uma generaliza¸c˜ao da hadrodinˆamica quˆantica com o
intuito de aplic´a-la em tais objetos celestes.
Os momenta de Fermi dos nucleons s˜ao obtidos atrav´es do potencial termo-
dinˆamico (Ω):
Ω = E − T S −
i =p,n
µ
i
N
i
, (3.84)
onde E ´e a energia, T a temperatura, S a entropia, µ o potencial qu´ımico e N o n´umero
de part´ıculas. Os ´ındices referem-se a pr´otons e nˆeutrons. O potencial termodinˆamico
tamb´em pode ser obtido atrav´es do c´alculo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao. No estado funda-
mental, T = 0 e tendo apenas part´ıculas, a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao degrau.
De acordo com [22]:
Ω =
1
2
(∇σ
0
)
2
− (∇ω
0
)
2
− (∇ρ
03
)
2
− V
ef
d
3
r , (3.85)
onde:
V
ef
= −
1
2
m
2
σ
σ
2
0
+
2
3!
kσ
3
0
+
2
4!
λσ
4
0
− m
2
ω
ω
2
0
− m
2
ρ
ρ
2
03
+
i
µ
i
ρ
i
− γ
d
3
p
(2π)
3
p
2
+ m
∗2
i
+ g
ω
ω
0
+ g
ρ
τ
3i
ρ
03
.
(3.86)
57
Minimizando Ω em rela¸c˜ao a p
F
p
e p
F
n
, obtem-se:
p
2
F
p
(
p
2
F
p
+ m
∗ 2
p
+ g
ω
ω
0
+
g
ρ
2
ρ
03
− µ
p
) = 0 , (3.87)
p
2
F
n
(
p
2
F
n
+ m
∗ 2
n
+ g
ω
ω
0
−
g
ρ
2
ρ
03
− µ
n
) = 0 , (3.88)
onde p
F
p
= p
F
n
= 0 ou para p
F
p
e p
F
n
diferentes de zero, obtemos:
µ
p
=
p
2
F
p
+ m
∗ 2
p
+ g
ω
ω
0
+
g
ρ
2
ρ
03
, (3.89)
µ
n
=
p
2
F
n
+ m
∗ 2
n
+ g
ω
ω
0
−
g
ρ
2
ρ
03
, (3.90)
ou:
p
F
p
=
(µ
p
− g
ω
ω
0
−
g
ρ
2
ρ
03
)
2
− m
∗ 2
p
, (3.91)
p
F
n
=
(µ
n
− g
ω
ω
0
+
g
ρ
2
ρ
03
)
2
− m
∗ 2
n
, (3.92)
Cap´ıtulo 4
Octeto Bariˆonico nas estrelas de
neutrˆons
4.1 Algumas caracter´ısticas das estrelas de nˆeutrons
Quando uma estrela colapsa e da explos˜ao de supernova que se segue, surgir uma
estrela de nˆeutrons, temos neste processo um est´agio intermedi´ario, uma estrela de
protonˆeutrons
1
. Antes de iniciar a fuga dos neutrinos, a temperatura da estrela de
protonˆeutrons ´e da ordem de 10
11
a 10
12
K (10 a 100 MeV), ou mais. Os neutrinos
escapam num tempo em torno de 10s e em 20s a temperatura da estrela chega a 10
10
K
(∼1MeV) [8]. Esta ´e a ordem de grandeza da temperatura na qual nasce uma estrela
de nˆeutrons.
Durante o colapso e ap´os, ocorrem algumas rea¸c˜oes envolvendo nucleons e el´etrons
livres, em fun¸c˜ao das densidades e energias envolvidas, a fim de estabelecer-se novo
equil´ıbrio entre os constituintes da estrela. Em experimentos de colis˜oes de ´ıons pe-
sados, observa-se o surgimento de outros b´arions, constitu´ıdos por um quark diferente
daqueles que formam os nucleons (o up e o down) esse quark ´e chamado strange (estra-
nho), e introduz-se um novo n´umero quˆantico, a estranheza. Estes b´arions que possuem
o quark estranho, s˜ao tamb´em chamados de h´ıperons. Em termos de quarks, podemos
formar oito b´arions com os trˆes quarks mais leves, (up, down, strange, ou, u, d, s),
sendo dois nucleons e seis h´ıperons (ver tabela 4.1).
Nas densidade e energias das estrelas de nˆeutrons, espera-se o aparecimento des-
1
- Uma proto-estrela de nˆeutrons, ou seja, uma pr´e-estrela de nˆeutrons.
58
59
B´arion Massa (MeV) Composi¸c˜ao
J
s
τ τ
3
S carga
p 938,28 uud 1/2 1/2 +1/2 0 1
n 939,57 udd 1/2 1/2 −1/2 0 0
Λ 1115,6 uds 1/2 0 0 −1 0
Σ
+
1189,4 uus 1/2 1 +1 −1 −1
Σ
0
1192,5 uds 1/2 1 0 −1 0
Σ
−
1197,3 dds 1/2 1 −1 −1 1
Ξ
0
1314,9 uss 1/2 1/2 +1/2 −2 0
Ξ
−
1321,3 dss 1/2 1/2 −1/2 −2 −1
J
s
- spin; τ - isospin; τ
3
- 3
a
componente do isospin; S - estranheza.
Tabela 4.1: Octeto bariˆonico
ses outros b´arions. Exemplos de colis˜oes que resultam em b´arions mais pesados (no
laborat´orio):
¯p + p →
¯
Λ + Λ , (4.1)
K
−
+ p → Σ
−
+ π
+
, (4.2)
π
−
+ p → Λ + K
0
, (4.3)
e algumas das rea¸c˜oes anteriormente citadas, incluindo exemplos das que permitem o
surgimento de outros b´arions nas estrelas de nˆeutrons:
• os nˆeutrons livres sofrem decaimento β, por´em nas densidades em que isso se
processa, a rea¸c˜ao tamb´em ocorre ao contr´ario, restaurando-os,
n p + e
−
+ ¯ν
e
, (4.4)
assim, estabelece-se uma situa¸c˜ao de equil´ıbrio envolvendo decaimento β, a qual
´e chamada equil´ıbrio β.
60
• uma rea¸c˜ao envolvendo el´etrons, contribui para povoar de muons as estrelas de
nˆeutrons:
e
−
µ
−
+ ν
e
+ ¯ν
µ
. (4.5)
• como inicialmente os nˆeutrons n˜ao est˜ao degenerados (alto momento de Fermi),
rea¸c˜oes envolvendo a for¸ca nuclear forte s˜ao poss´ıveis, tais como:
n + n n + Λ + K , (4.6)
p + p p + Λ + K
+
, (4.7)
n + n n + Σ
+
+ K
−
, (4.8)
e os k´aons (m´esons K), podem decair:
K → 2γ , (4.9)
K
−
→ µ
−
+ ¯ν
µ
, (4.10)
K
+
+ µ
−
→ µ
−
+ µ
+
+ ν
µ
→ 2γ + ν
µ
, (4.11)
que contribuem para o resfriamento da estrela de nˆeutrons. Com o abaixamento
da temperatura, muitas das rea¸c˜oes atrav´es da for¸ca forte deixam de ocorrer
2
, no
entanto, h´ıperons continuam a aparecer atrav´es da intera¸c˜ao fraca:
n + p + µ
−
→ p + Σ
−
+ 2γ + ν
µ
, (4.12)
2
- Neste sistema a intera¸c˜ao forte sempre est´a presente entre os h´adrons, mas rea¸c˜oes atrav´es desta
intera¸c˜ao ocorrem apenas em certas temperaturas.
61
n + n + µ
−
→ n + Σ
−
+ 2γ + ν
µ
, (4.13)
Devemos levar em conta a ocorrˆencia de espalhamentos e sucessivos decaimentos
que produzem novas part´ıculas, completando a lista do octeto bariˆonico. Muitos dos
neutrinos nessas rea¸c˜oes escapam, tamb´em ocorre emiss˜ao de raios X, e a temperatura
da estrela de nˆeutrons pode baixar para 10
8
K em um mˆes [8], um tempo muito curto
comparado com a escala de tempo de uma estrela. Com a emiss˜ao de f´otons, em menos
de um milh˜ao de anos a temperatura na superf´ıcie alcan¸ca 10
5
K.
Com as considera¸c˜oes da se¸c˜ao 2.3, a partir das rea¸c˜oes acima e outras que ori-
ginam demais h´ıperons, obtemos as condi¸c˜oes para equil´ıbrio qu´ımico nas estrelas de
nˆeutrons, considerando que os neutrinos
3
e f´otons escapam da estrela. De (4.5), obte-
mos:
µ
µ
−
= µ
e
−
, (4.14)
e a partir de (4.4):
µ
n
= µ
p
+ µ
e
−
. (4.15)
Mesmo n˜ao considerando os k´aons neste trabalho, a partir de (4.9) a (4.11) ob-
temos:
µ
K
= 0 ,
µ
K
−
= µ
e
−
, (4.16)
µ
K
+
= −µ
e
−
,
os quais em (4.6) levam-nos a:
3
- Como mencionado anteriormente, neste trabalho n˜ao consideraremos aprisionamento de neutri-
nos.
62
µ
Λ
= µ
n
, (4.17)
e em (4.8):
µ
Σ
+
= µ
n
− µ
e
−
= µ
p
. (4.18)
Usando (4.13) encontramos:
µ
Σ
−
= µ
n
+ µ
e
−
, (4.19)
e com outras rea¸c˜oes obtemos as demais condi¸c˜oes:
µ
Σ
0
= µ
Ξ
0
= µ
n
,
(4.20)
µ
Ξ
−
= µ
n
+ µ
e
−
.
Temos ent˜ao:
µ
n
= µ
p
+ µ
e
−
, µ
µ
−
= µ
e
−
,
µ
Σ
0
= µ
Ξ
0
= µ
Λ
= µ
n
,
µ
Σ
−
= µ
Ξ
−
= µ
n
+ µ
e
−
,
µ
Σ
+
= µ
p
= µ
n
− µ
e
−
.
(4.21)
4.2 Intera¸c˜oes hadrˆonicas em estrelas de nˆeutrons
As estrelas de nˆeutrons observadas at´e o momento, possuem massas entre 1,2 a 1,8 M
e raios da ordem de 10 Km [7]. O raio de Schwarshild para uma estrela de nˆeutrons
´e de cerca de 3 Km, compar´avel com o raio do objeto, e isto significa que os efeitos
relativ´ısticos s˜ao dominantes, cen´ario ideal para aplicarmos teoria quˆantica de campos.
63
Vamos aplic´a-la em estrelas de nˆeutrons que est˜ao num estado no qual sua tempera-
tura m´edia ´e muito menor que a temperatura de Fermi, o que pode ser tratado como
temperatura zero, como visto anteriormente.
O modelo que vamos construir vai levar em conta o octeto bariˆonico, a presen¸ca
de dois l´eptons (e
−
e µ
−
) como um g´as de Fermi n˜ao interagente, considerando o
equil´ıbrio β generalizado
4
, e os m´esons σ, ω e ρ, respons´aveis pela intera¸c˜ao entre os
b´arions. Utilizaremos tamb´em os termos n˜ao-lineares do campo σ e a aproxima¸c˜ao de
campo m´edio. O pr´oximo passo ´e construir uma densidade lagrangiana, com termos
que levem em conta os f´ermions e os b´osons com diferentes spins e isospins:
L =
8
j=1
¯
ψ
j
[γ
µ
(i ∂
µ
− g
ωj
ω
µ
− g
ρj
τ
j
. ρ
µ
) − (m
j
− g
σj
σ)] ψ
j
+
1
2
(∂
µ
σ ∂
µ
σ − m
2
σ
σ
2
) −
1
3!
kσ
3
−
1
4!
λσ
4
−
1
4
F
µν
F
µν
+
1
2
m
2
ω
ω
µ
ω
µ
−
1
2
B
µν
.
B
µν
+
1
2
m
2
ρ
ρ
µ
. ρ
µ
+
2
l=1
¯
ψ
l
(iγ
µ
∂
µ
− m
l
) ψ
l
,
(4.22)
onde g
ij
= x
j
g
i
e i = σ, ω, ρ. Escolhemos x
j
=
2/3, para os h´ıperons, de acordo
com [11] e x
j
= 1 para os nucleons.
Seguindo a prescri¸c˜ao, aplicando (4.22) nas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (2.43), e
utilizando a aproxima¸c˜ao de campo m´edio, obtemos:
σ
0
= −
k
2m
2
σ
σ
2
0
−
λ
6m
2
σ
σ
3
0
+
j
g
σ
m
2
σ
x
j
ρ
j
s
, (4.23)
ω
0
=
j
g
ω
m
2
v
x
j
ρ
j
B
, (4.24)
ρ
03
=
j
g
ρ
m
2
ρ
x
j
τ
3j
ρ
j
B
, (4.25)
4
Equil´ıbrio com respeito a todas as rea¸c˜oes que levam a transmuta¸c˜ao de b´arions atrav´es da for¸ca
fraca, ou, rea¸c˜oes pela for¸ca forte que levam a um abaixamento da energia, sendo consistente com as
leis de conserva¸c˜ao relevantes; neutralidade de carga no caso das estrelas [8].
64
onde τ
3j
´e dado na Tabela 4.1 para cada b´arion, e tamb´em::
ρ
j
s
=
m
∗
j
π
2
p
F
j
0
p
2
dp
p
2
+ m
∗ 2
j
, (4.26)
e de acordo com (3.35), generalizando ρ
B
para o octeto bariˆonico (j = 1, 2.., 8):
ρ
j
B
=
1
3π
2
p
3
F
j
. (4.27)
Para os l´eptons temos:
ρ
l
=
1
3π
2
p
3
F
l
, l = e
−
, µ
−
. (4.28)
O potencial qu´ımico e o momento de F´ermi de cada b´arion ´e dado por:
µ
j
=
p
2
F
j
+ m
∗ 2
j
+ g
ωj
ω
0
+ g
ρj
τ
3j
ρ
03
, (4.29)
p
F
j
=
(µ
j
− g
ωj
ω
0
− g
ρj
τ
3j
ρ
03
)
2
− m
∗ 2
j
, (4.30)
e para os l´eptons:
µ
l
=
p
2
F
l
+ m
2
l
. (4.31)
Das rela¸c˜oes entre os potenciais qu´ımicos (4.21) vemos que a partir dos potenciais
qu´ımicos do nˆeutron e do el´etron obt´em-se os demais, e isto tamb´em relaciona os
momenta de Fermi das part´ıculas. Considerando a estrela de nˆeutrons eletricamente
nula, isto implica que:
ρ
p
+ ρ
Σ
+
+ ρ
Σ
−
+ ρ
Ξ
−
+ ρ
e
−
+ ρ
µ
−
= 0 . (4.32)
65
Atrav´es do tensor energia-momento (2.45) obtemos as seguintes equa¸c˜oes de es-
tado:
ε
MF T
a
=
1
π
2
i=j,l
p
F
i
0
p
2
dp
p
2
+ m
∗2
i
+
m
2
ω
2
ω
2
0
+
m
2
ρ
2
ρ
2
03
+
m
2
σ
2
σ
2
0
+
k
6
σ
3
0
+
λ
24
σ
4
0
,
(4.33)
P
MF T
a
=
1
3π
2
i=j,l
p
F
i
0
p
4
dp
p
2
+ m
∗2
i
+
m
2
ω
2
ω
2
0
+
m
2
ρ
2
ρ
2
03
−
m
2
σ
2
σ
2
0
−
k
6
σ
3
0
−
λ
24
σ
4
0
. (4.34)
onde neste caso, m
∗
l
= m
l
´e a massa dos l´eptons, apenas para compactar a equa¸c˜ao,
em rela¸c˜ao `a massa efetiva dos b´arions.
4.3 Conclus˜oes Parciais
Os resultados num´ericos das equa¸c˜oes foram obtidos com os seguintes parˆametros
5
extra´ıdos da referˆencia [8]:
g
s
= 8, 910 , g
v
= 10, 626 , g
ρ
= 8, 208 , (4.35)
k = −6, 426 × 10
−4
, λ = 5, 530 . (4.36)
Massas em MeV
m
s
= 512 m
Λ
= 1116
m
v
= 738 m
Σ
±0
= 1193
m
ρ
= 770 m
e
−
= 0, 511
m
σ
∗
= 975 m
µ
−
= 105, 66
m
φ
= 1020 m
Ξ
−
= 1318
m
N
= 938 m
Ξ
0
= 1318
Tabela 4.2:
5
- As contantes referentes a σ
∗
e φ ser˜ao utilizadas no pr´oximo cap´ıtulo.
66
A figura 4.1
6
´e um gr´afico da press˜ao (P) em fun¸c˜ao da densidade de energia (ε)
que apresenta uma compara¸c˜ao entre as equa¸c˜oes de estado com e sem h´ıperons, com
o intuito de mostrar a importˆancia desse conjunto de part´ıculas.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P (fm
-4
)
ε (fm
-4
)
(II)
(I)
com hiperons (II)
sem hiperons (I)
Figura 4.1: Equa¸c˜oes de estado (EOS) com e sem h´ıperons.
Verifica-se que os h´ıperons suavisam as equa¸c˜oes de estado. Com a densidade
total de part´ıculas podemos obter as fra¸c˜oes (Y
i
) de cada part´ıcula na estrela. A
figura 4.2 (a) mostra estas fra¸c˜oes em fun¸c˜ao de ρ/ρ
0
, para um modelo sem h´ıperons
7
.
A neutralidade de carga exigida no modelo pode ser verificada tra¸cando-se uma reta
paralela ao eixo das ordenadas (Y
i
), em cada valor da densidade relativa, onde:
Y
i
=
ρ
i
B
j
ρ
j
B
(4.37)
Ao incluir os h´ıperons, percebemos novamente uma consider´avel altera¸c˜ao em
rela¸c˜ao ao caso sem estas part´ıculas, como pode ser verificado na figura 4.2 (b). A me-
dida que h´ıperons com carga aparecem, ocorre uma diminui¸c˜ao das fra¸c˜oes de pr´otons,
el´etrons e m´uons, a fim de manter a neutralidade de carga na estrela. Conforme a
6
- 1 fm = 10
−15
m ; 1 MeV fm
−3
= 1/197 fm
−4
; 1MeV = 1, 602 × 10
−13
J
7
- ρ =
j
ρ
j
B
, e ρ
0
´e a densidade de part´ıculas no ponto de satura¸c˜ao da mat´eria nuclear,
ρ
0
= 0.145 fm
−3
67
figura 4.2 (b), em densidades acima de 4, 5 ρ
0
a fra¸c˜ao de h´ıperons supera a fra¸c˜ao de
nucleons, tornando a nomenclatura “estrela de nˆeutrons” inadequada, podendo ceder
lugar ao termo “estrela de h´ıperons” (opini˜ao do autor desta disserta¸c˜ao).
68
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
i
ρ/ρ
0
e
-
µ
-
n
p
(a) Fra¸c˜oes de part´ıculas sem a presen¸ca de h´ıperons. (ρ =
j
ρ
j
B
)
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
i
ρ/ρ
0
e
-
µ
-
n
p
Λ
Σ
-
Σ
0
Σ
+
Ξ
-
Ξ
0
(b) Fra¸c˜oes de part´ıculas incluindo os h´ıperons. (ρ =
j
ρ
j
B
)
Figura 4.2: Fra¸c˜oes de part´ıculas.
69
Com as equa¸c˜oes de estado, podemos aplic´a-las nas equa¸c˜oes de Tolmann-Oppenheimer-
Volkoff (2.71) e o resultado da integra¸c˜ao ´e mostrado na figura 4.3.
8
9
10
11
12
13
14
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
R (Km)
M / M
sol
Figura 4.3: Fam´ılia de estrelas, no modelo com o octeto bariˆonico.
Para melhor visualisa¸c˜ao dos dados da figura 4.3, apresentamos na tabela 4.3 os
valores m´aximos de raio e massa, assim como a densidade central de energia (ε
0
):
M
max
/M
1,93
R (Km) 11,30
ε
0
(fm
−4
) 6,39
R
max
(Km) 13,33
M/M
1,39
ε
0
(fm
−4
) 1,75
Tabela 4.3: Algumas propriedades da estrela. (M
= M
sol
)
Cap´ıtulo 5
A influˆencia dos m´esons estranhos
No espalhamento Λ −Λ observa-se uma intera¸c˜ao fortemente atrativa que n˜ao ´e expli-
cada utilizando-se apenas os m´esons do modelo QHD. Uma diferen¸ca entre os nucleons
e a part´ıcula Λ est´a no fato de esta ´ultima possuir uma composi¸c˜ao diferente, al´em dos
quarks up e down, possui o quark strange ou estranho, como pode ser visto na tabela
4.1. Em fun¸c˜ao disso, para explicar a intera¸c˜ao Λ − Λ s˜ao inclu´ıdos no modelo dois
m´esons que seriam respons´aveis por intermediar uma intera¸c˜ao adicional entre par´ıculas
contitu´ıdas pelo quark estranho. Por isso esses m´esons tamb´em s˜ao conhecidos como
“m´esons estranhos”.
No entanto, devemos lembrar que a hadrodinˆamica quˆantica n˜ao ´e uma teoria
fundamental, pelo fato de n˜ao trabalhar diretamente com os quarks. A QHD ´e uma
teoria efetiva e apenas lida com trocas de part´ıculas entre os h´adrons sem ter acesso ao
que ocorre no interior deles. Portanto, o conhecimento da presen¸ca do quark estranho
´e um fato externo `a QHD.
Vimos anteriormente a importˆancia de considerar os h´ıperons nas estrelas de
nˆeutrons. Portanto, vamos incluir nas intera¸c˜oes entre os h´ıperons os m´esons estranhos
e estudar o seu efeito nas propriedades das estrelas de nˆeutrons. Vamos introduzir um
m´eson escalar-isoescalar, σ
∗
e o m´eson φ que ´e vetor-isoescalar. Basta adicionar em
(4.22) os seguintes termos:
70
71
L
=
1
2
∂
µ
σ
∗
∂
µ
σ
∗
− m
2
σ
∗
σ
∗2
−
1
4
S
µν
S
µν
+
1
2
m
2
φ
φ
µ
φ
µ
(5.1)
+
j
g
σ
∗
j
¯
ψ
j
ψ
j
σ
∗
−
j
g
φ j
¯
ψ
j
γ
µ
ψ
j
φ
µ
,
que s˜ao an´alogos aos termos dos m´esons σ e ω, onde:
S
µν
= ∂
µ
φ
ν
− ∂
ν
φ
µ
. (5.2)
A densidade lagrangiana resulta:
L =
8
j=1
¯
ψ
j
[γ
µ
(i ∂
µ
− g
ωj
ω
µ
− g
φj
φ
µ
− g
ρj
τ
j
. ρ
µ
) − (m
j
− g
σj
σ − g
σ
∗
j
σ
∗
)] ψ
j
+
1
2
(∂
µ
σ ∂
µ
σ − m
2
σ
σ
2
) −
1
3!
kσ
3
−
1
4!
λσ
4
−
1
4
F
µν
F
µν
+
1
2
m
2
ω
ω
µ
ω
µ
−
1
2
B
µν
.
B
µν
+
1
2
m
2
ρ
ρ
µ
. ρ
µ
+
1
2
(∂
µ
σ
∗
∂
µ
σ
∗
− m
2
σ
∗
σ
∗2
)
−
1
4
S
µν
S
µν
+
1
2
m
2
φ
φ
µ
φ
µ
+
2
l=1
¯
ψ
l
(iγ
µ
∂
µ
− m
l
) ψ
l
,
(5.3)
Para a intera¸c˜ao atrav´es dos m´esons estranhos, consideramos as seguintes cons-
tantes de acoplamento, juntamente com as constantes anteriormente apresentadas:
g
σ
∗
N
= g
φN
= 0 , g
σ
∗
Ξ
−
= g
σ
∗
Ξ
0
= 9, 38 , (5.4)
g
σ
∗
Λ
= g
σ
∗
Σ
−
= g
σ
∗
Σ
0
= g
σ
∗
Σ
+
= 5, 11 . (5.5)
Aplicando (5.3) nas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (2.43) e utilizando aproxima¸c˜ao
de campo m´edio dos campos dos m´esons:
σ
0
= −
k
2m
2
σ
σ
2
0
−
λ
6m
2
σ
σ
3
0
+
j
g
σ
m
2
σ
x
j
ρ
j
s
, (5.6)
72
ω
0
=
j
g
ω
m
2
v
x
j
ρ
j
B
, (5.7)
ρ
03
=
j
g
ρ
m
2
ρ
x
j
τ
3j
ρ
j
B
, (5.8)
σ
∗
0
=
j
g
σ
∗
m
2
σ
∗
x
j
ρ
j
s
, (5.9)
φ
0
=
j
g
φ
m
2
φ
x
j
ρ
j
B
, (5.10)
sendo as densidades ρ
j
s
e ρ
j
B
dadas por (4.26) e (4.27), por´em a massa efetiva dos
b´arions agora ´e dada por:
m
∗
j
= m
j
− g
σj
σ
0
− g
σ
∗
j
σ
∗
0
. (5.11)
A densidade de energia e a press˜ao do sistema s˜ao dadas por:
ε
MF T
= ε
MF T
a
+
m
2
σ
∗
2
σ
∗2
0
+
m
2
φ
2
φ
2
0
, (5.12)
P
MF T
= P
MF T
a
−
m
2
σ
∗
2
σ
∗ 2
0
+
m
2
φ
2
φ
2
0
, (5.13)
sendo ε
MF T
a
e P
MF T
a
dadas por (4.33) e (4.34).
5.1 Conclus˜oes Parciais
Na figura 5.1 podemos verificar uma compara¸c˜ao com o caso anterior (figura 4.1) e o
efeito dos m´esons estranhos, que endurecem um pouco as equa¸c˜oes de estado (EOS)
em densidades de energia acima de 5 fm
−4
≈ 987 MeV fm
−3
.
A popula¸c˜ao de part´ıculas tamb´em sofre altera¸c˜oes com a inclus˜ao dos m´esons
estranhos. Comparando as figuras 5.2 (a) e (b) evidenciamos que o efeito mais signifi-
cativo ocorre com os h´ıperons mais massivos, em densidades em torno de 4ρ
0
e acima.
73
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P (fm
-4
)
ε (fm
-4
)
(II)
(III)(I)
com (σ
*
, φ) (III)
com hiperons (II)
sem hiperons (I)
P = ε
Figura 5.1: Equa¸c˜oes de estado (EOS) e o efeito dos m´esons estranhos (σ
∗
, φ).
Sob a influˆencia dos m´esons estranhos, tais h´ıperons come¸cam a aparecer em densida-
des um pouco menores, alteram-se as fra¸c˜oes de part´ıculas, influenciando tamb´em na
fra¸c˜ao de nucleons e de l´eptons, devido ao v´ınculo da neutralidade de carga.
O resultado da integra¸c˜ao das equa¸c˜oes de Tolmann-Oppenheimer-Volkoff (2.71)
´e mostrado na figura 5.3. Podemos notar que os m´esons estranhos n˜ao causam al-
tera¸c˜ao significativa nas propriedades macrosc´opicas das estrelas de nˆeutrons, como
raio e massa. Isto ´e melhor visualizado na tabela 5.1.
sem (σ
∗
, φ) com (σ
∗
, φ)
M
max
/M
1,93 1,92
R (Km) 11,30 10.91
ε
0
(fm
−4
) 6, 39 7, 01
R
max
(Km) 13, 33 13, 33
M/M
1,39 1,39
ε
0
(fm
−4
) 1, 75 1, 78
Tabela 5.1: Valores m´aximos para raio (R) e massa (M) de estrelas de nˆeutrons.
74
Observa-se apenas uma pequena varia¸c˜ao no raio (R) e na densidade de enerigia
central (ε
0
) para estrelas de maior massa. A partir de 1, 4M
a medida que a massa
aumenta o raio diminui e isso implica no aumento da densidade da estrela. Vimos ante-
riormente que as propriedades microsc´opicas da estrela sofrem mudan¸cas significativas
em densidades mais altas sob influˆencia dos m´esons estranhos. Talvez isso explique a
pequena varia¸c˜ao no raio das estrelas com massas maiores, pois tamb´em devemos levar
em conta a precis˜ao do programa para obten¸c˜ao dos resultados num´ericos.
75
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
i
ρ/ρ
0
e
-
µ
-
n
p
Λ
Σ
-
Σ
0
Σ
+
Ξ
-
Ξ
0
sem (σ
*
, φ)
(a) Fra¸c˜oes de part´ıculas sem (σ
∗
, φ). (ρ =
j
ρ
j
B
)
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
i
ρ/ρ
0
e
-
µ
-
n
p
Λ
Σ
-
Σ
0
Σ
+
Ξ
-
Ξ
0
com (σ
*
, φ)
(b) Fra¸c˜oes de part´ıculas com (σ
∗
, φ). (ρ =
j
ρ
j
B
)
Figura 5.2: Fra¸c˜oes de part´ıculas com e sem (σ
∗
, φ).
76
8
9
10
11
12
13
14
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
R (Km)
M / M
sol
sem (σ
*
, φ)
com (σ
*
, φ)
Figura 5.3: Fam´ılia de estrelas com h´ıperons e (σ
∗
, φ).
Cap´ıtulo 6
Conclus˜oes e Perspectivas
Atrav´es do modelo de Walecka generalizado, obtemos equa¸c˜oes de estado para estrelas
de nˆeutrons, as popula¸c˜oes de part´ıculas em seu interior al´em de um intervalo de raios
e massas poss´ıveis, tamb´em levando-se em conta a presen¸ca dos m´esons estranhos.
Nas figuras 6.1 (a) e 6.1 (b) podemos comparar as intensidades dos campos
mesˆonicos, verificando que em torno da densidade de satura¸c˜ao da mat´eria nuclear
(ρ
0
), o campo do m´eson σ, que tem um efeito atrativo, ´e o mais intenso, o que ´e espe-
rado para o regime nuclear (nessa ordem de densidade). Podemos verificar tamb´em que
acima de 4, 5ρ
0
o campo do m´eson ω cujo efeito ´e repulsivo, come¸ca a ficar mais intenso
do que o campo do m´eson σ, crescendo praticamente de forma linear com a densidade.
A repuls˜ao mediante a for¸ca nuclear forte combinada com a press˜ao de degenerescˆencia
devido ao princ´ıpio da exclus˜ao de Pauli, contrabalan¸cam a press˜ao provocada pelo
campo gravitacional, at´e um certo limite de massa, impedindo o colapso da estrela,
que originaria um buraco negro. Na figura 6.2 mostramos a influˆencia dos m´esons
estranhos nos campos dos m´esons σ, ω e ρ, n˜ao tendo um efeito muito significativo.
No caso das equa¸c˜oes de estado anteriormente apresentadas, podemos agora ve-
rificar o seu comportamento em fun¸c˜ao da densidade, nas figuras 6.3 (a) e 6.3 (b). A
densidade de energia aumenta de maneira quase linear com o aumento da densidade
da estrela, e no caso da press˜ao, novamente verificamos uma ligeira mudan¸ca em den-
sidades mais elevadas, com a inclus˜ao dos m´esons estranhos. Na figura 5.1 notamos
que as equa¸c˜oes de estado est˜ao abaixo do limite causal (P = ε) significando que a
velocidade do som ´e menor que a velocidade da luz nesse meio, o que ´e esperado para
boas equa¸c˜oes de estado.
77
78
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8
campos (MeV)
ρ/ρ
0
σ
0
ω
0
ρ
03
(a) Campos dos m´esons σ, ω e ρ
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8
campos (MeV)
ρ/ρ
0
σ
0
ω
0
ρ
03
σ
*
0
φ
0
(b) Campos dos m´esons σ, ω, ρ, σ
∗
e φ
Figura 6.1: Campos mesˆonicos
79
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8
campos (MeV)
ρ/ρ
0
−−−− sem (σ
*
, φ)
------ com (σ
*
, φ)
σ
0
ω
0
ρ
03
Figura 6.2: A influˆencia dos m´esons estranhos nos campos dos m´esos σ, ω e ρ
A determina¸c˜ao de massas limites para estrelas de nˆeutrons n˜ao est´a t˜ao bem
definida como ocorre no caso de estrelas do tipo an˜a branca. Atrav´es de medidas
em 19 sistemas de radio pulsares bin´arios [23], a massa m´edia calculada foi de M =
1, 35 ±0, 04 M
, e levando-se em conta a barra de erro, as massas limites encontram-se
entre 0, 8 e 2, 2 M
. H´a outras observa¸c˜oes que corroboram com o valor de 1, 4 M
como um valor m´edio para massas de estrelas de nˆeutrons, [24] e [25]. No caso de
um limite superior de massa, an´alogo ao limite de Chandrasekhar das an˜as brancas,
existem estimativas de que a massa m´axima para estrelas de nˆeutrons seja da ordem
de 3, 2 M
de acordo com [24] e [26].
Os valores encontrados no nosso trabalho est˜ao de acordo com tais observa¸c˜oes,
conforme tabela 5.1. Inclu´ımos na figura 5.3 2 medidas recentes de redshift apresentadas
na figura 6.4. Uma delas [27] ´e proveniente da an´alise do espectro de raios-X do sistema
bin´ario EXO0748-676, com um redshift de 0, 35 que corresponde a uma rela¸c˜ao massa-
raio de M/R = 0, 15 M
/Km, representado na figura 6.4 pela reta (I).
A outra medida [28] refere-se a estrela de nˆeutrons 1E 1207.4-5209, que est´a
no centro do remanescente da supernova PKS 1209-51/52, cujo redshift medido com-
preende o intervalo entre 0, 12 e 0, 23, o que corresponde a raz˜ao massa-raio entre
M/R = 0, 069 M
/Km e M/R = 0, 115 M
/Km. Esta segunda medida cobre o
80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8
ε (fm
-4
)
ρ/ρ
0
sem (σ
*
, φ)
com (σ
*
, φ)
(a) densidade de energia × ρ/ρ
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P (fm
-4
)
ρ/ρ
0
sem (σ
*
, φ)
com (σ
*
, φ)
(b) Press˜ao × ρ/ρ
0
Figura 6.3: Equa¸c˜oes de estado em fun¸c˜ao da densidade
81
8
9
10
11
12
13
14
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
R (Km)
M / M
sol
−−−− sem (σ
*
, φ)
------ com (σ
*
, φ)
(III) (II) (I)
Figura 6.4: familia de estrelas com medidas de red-shift
intervalo limitado pelas retas (II) e (III) na figura 6.4.
Esses dados experimentais permitem-nos testar se a rela¸c˜oes massa-raio para
estrelas de nˆeutrons, por n´os obtidas, s˜ao adequadas. As curvas devem cruzar em
algum ponto a reta (I) e passar pela regi˜ao delimitada pelas retas (II) e (III). Pela figura
6.4 evidenciamos que as rela¸c˜oes massa-raio obtidas para estrelas de nˆeutrons com e
sem m´esons estranhos cumprem as exigˆencias das medidas anteriormente mencionadas.
Com efeito, obtivemos resultados satisfat´orios neste trabalho, mesmo tendo utilizado
diversas simplifica¸c˜oes. Conclu´ımos que os m´esons estranhos alteram as propriedades
microsc´opicas das estrelas de nˆeutrons, isto ´e, alteram as fra¸c˜oes de part´ıculas em
densidades acima de 4 ρ
0
, n˜ao implicando em altera¸c˜oes significativas nas propriedades
macrosc´opicas como raio e massa.
Como perspectivas futuras, pretendemos estudar estrelas de protonˆeutrons onde
devem ser considerados os efeitos da temperatura e o aprisionamento de neutrinos. E
tamb´em abordar t´opicos como, transi¸c˜oes de fase, e a poss´ıvel existˆencia de uma fase
de quarks livres em densidades mais altas. Dada a grande variedade de constantes pro-
postas para parametrizar as equa¸c˜oes que descrevem estrelas de nˆeutrons, ´e importante
testar conjuntos de parˆametros a fim de verificar quais constantes retornam melhores
resultados.
Apˆendice A
Conven¸c˜oes e nota¸c˜oes
A.1 Conven¸c˜oes
Tensor m´etrico:
g
µν
= g
µν
=
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
. (A.1)
Coordenadas contravariantes de um quadrivetor:
x
µ
=
x
0
, x
1
, x
2
, x
3
= (t, x, y, z) = (t, x) . (A.2)
Coordenadas covariantes:
x
µ
= g
µν
x
ν
= (x
0
, −x
1
, −x
2
, −x
3
) = (t, −x, −y, −z) = (t, −x) . (A.3)
Produto escalar entre quadrivetores:
A
µ
B
µ
= A
µ
g
µν
B
ν
= A
0
B
0
−
A ·
B . (A.4)
82
83
Quando ocorrerem ´ındices repetidos, h´a um somat´orio na express˜ao, por´em ele
fica omitido na nota¸c˜ao relativ´ıstica, assim:
A
µ
B
µ
→
3
µ=0
A
µ
B
µ
= A
0
B
0
+ A
1
B
1
+ A
2
B
2
+ A
3
B
3
, (A.5)
A
µ
B
µ
= A
0
B
0
− A
1
B
1
− A
2
B
2
− A
3
B
3
= A
0
B
0
−
A ·
B . (A.6)
Deviradas contravariante e covariante:
∂
µ
≡
∂
∂x
µ
=
∂
∂t
, −
∇
, (A.7)
∂
µ
≡
∂
∂x
µ
=
∂
∂t
,
∇
, (A.8)
onde:
∇ =
∂
∂x
ˆ
i +
∂
∂y
ˆ
j +
∂
∂z
ˆ
k =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
. (A.9)
Quadri-divergˆencia:
∂
µ
A
µ
=
∂A
0
∂t
+
∇ ·
A , (A.10)
∂
µ
∂
µ
=
∂
2
∂t
2
− ∇
2
. (A.11)
Matrizes de Pauli:
σ
1
= σ
x
=
0 1
1 0
, σ
2
= σ
y
=
0 −i
−i 0
, σ
3
= σ
z
=
1 0
0 −1
,
(A.12)
σ = (σ
1
, σ
2
, σ
3
) . (A.13)
84
Matrizes de Dirac:
γ
0
=
I 0
0 I
4x4
, γ =
0 σ
−σ 0
4x4
, (A.14)
γ
µ
=
γ
0
, γ
, γ
µ
= (γ
0
, −γ) , (A.15)
onde I ´e a matriz identidade:
I =
1 0
0 1
, (A.16)
A.2 Nota¸c˜oes
Seja um operador observ´avel
ˆ
B que atua num vetor de estado |F . O valor esperado
desse operador ´e a m´edia de
ˆ
B, que ´e dada por:
B = F |
ˆ
B | F ≡
ˆ
B . (A.17)
No caso da press˜ao (P ) e da densidade de energia (ε) definidas ao longo do texto
em (2.46) e (2.47), devemos lembrar que:
ε = T
00
= F|T
00
|F , (A.18)
P =
1
3
T
ii
=
1
3
F |T
ii
|F =
1
3
(F |T
11
|F + F |T
22
|F + F |T
33
|F ) . (A.19)
Apˆendice B
Considera¸c˜oes sobre o formalismo
lagrangiano
Queremos chamar a aten¸c˜ao para o fato de que nem sempre a lagrangiana ´e constru´ıda
como L = K −U. Isto ocorre (L = K −U), em geral, na mecˆanica cl´assica. Mas como
podemos descrever um sistema em que n˜ao conhecemos as express˜oes anal´ıticas para
K e U, como um sistema nuclear? Conhecemos as express˜oes anal´ıticas para as for¸cas
gravitacional e eletromagn´etica, mas n˜ao conhecemos as express˜oes anal´ıticas para as
for¸cas nucleares fraca e forte.
Para mostrar como isto ´e feito, primeiramente apresentaremos um exemplo em
relatividade restrita. Vamos construir uma lagrangiana que descreve uma part´ıcula
que se movimenta com energia relativ´ıstica, de massa m. Vamos assumir que temos
um campo conservativo, o que nos permite escrever:
F = −
∇V (r) . (B.1)
O momento relativ´ıstico ´e dado por:
p =
m
0
v
1 − β
2
, β =
v
c
. (B.2)
Assim:
85
86
F =
dp
dt
=
d
dt
m
0
v
1 − β
2
= −∇V (r) . (B.3)
Comparando com as eqs. de Euler-Lagrange em (2.41), podemos fazer:
m
0
˙x
1 − β
2
=
m
0
˙x
1 −
( ˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
)
c
2
=
∂
∂ ˙x
−m
0
c
2
1 − β
2
, (B.4)
Ent˜ao:
F
x
=
d
dt
m
0
˙x
1 − β
2
=
d
dt
∂
∂ ˙x
−m
0
c
2
1 − β
2
= −
∂V (r)
∂x
, (B.5)
e
d
dt
∂
∂ ˙x
−m
0
c
2
1 − β
2
+
∂V (r)
∂x
= 0 . (B.6)
Se V n˜ao depende do tempo e nem da velocidade, podemos escrever L como:
L = −m
0
c
2
1 − β
2
− V (r) , (B.7)
que n˜ao est´a na forma L = K − U, pois a energia cin´etica relativ´ıstica ´e dada por:
K =
m
0
c
2
1 − β
2
− m
0
c
2
. (B.8)
A lagrangiana obtida leva-nos `a equa¸c˜ao de movimento (B.3), que ´e a equa¸c˜ao
para a for¸ca relativ´ıstica. Veja um exemplo semelhante na F´ısica Cl´assica, onde cons-
tru´ımos a lagrangiana de maneira usual (L = K − U) e obtemos express˜oes an´alogas
as da Relatividade Restrita. Dada uma part´ıcula em movimento, numa regi˜ao de po-
tencial central V (r):
F = −
∇V (r) , (B.9)
87
F
x
= −
∂V (r)
∂x
. (B.10)
A energia ´e dada por:
E =
mv
2
2
+ V (r) , (B.11)
assim:
L =
mv
2
2
− V (r) , v
x
= ˙x . (B.12)
Aplicando esta lagrangiana nas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (2.41), para x e ˙x
resulta em:
d
dt
(m ˙x) +
∂V (r)
∂x
= 0 , (B.13)
m ˙x = −
∂V (r)
∂x
= F
x
. (B.14)
que ´e a equa¸c˜ao de Newton para a for¸ca (equa¸c˜ao de movimento).
Como vimos, mesmo que L n˜ao seja constru´ıda como L = K − U, o princ´ıpio
utilizado ´e o mesmo, a lagrangiana aplicada em (2.41) deve levar `as equa¸c˜oes de mo-
vimento. A diferen¸ca est´a apenas na maneira de construir a lagrangiana. Em teoria
quˆantica de campos, trabalharemos com densidade lagrangiana L mas aplicaremos o
mesmo princ´ıpio pois L n˜ao ser´a constru´ıda da maneira cl´assica.
A constru¸c˜ao de uma densidade lagrangiana ´e feita a partir de uma equa¸c˜ao de
movimento no caso livre, como exemplo a equa¸c˜ao de Klein-Gordon (KG). Envolve um
processo de tentativa e erro, pois pode-se propor mais de uma express˜ao para L
KG
tal que aplicada nas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (para o cont´ınuo) leva `a equa¸c˜ao de
KG. Contudo, existem certos requisitos que devem ser cumpridos e que atuam como
regras de sele¸c˜ao para definir uma lagrangiana. No dom´ınio relativ´ıstico, como ´e o
caso da equa¸c˜ao de KG, a lagrangiana proposta deve ser invariante de Lorentz por
exemplo. Tamb´em exige-se invariˆancia por transforma¸c˜ao de calibre local e global, e
88
outras. Assim, o n´umero de express˜oes poss´ıveis para L
KG
vai sendo limitado cada vez
mais at´e encontrar-se uma express˜ao final.
Apˆendice C
Tensor do campo eletromagn´etico
Com o tensor do campo eletromagn´etico pode-se reduzir as 4 equa¸c˜oes de Maxwell
para 2 equa¸c˜oes expressas em nota¸c˜ao quadri-vetorial. Em termos dos campos el´etrico
(E) e magn´etico (B), o tensor ´e:
F
µ ν
=
0 −E
1
−E
2
−E
3
E
1
0 −B
3
B
2
E
2
B
3
0 −B
1
E
3
−B
2
B
1
0
, (C.1)
talque as equa¸c˜oes de Maxwell podem ser escritas como:
∂
µ
F
µ ν
= j
ν
, (C.2)
∂
λ
F
µ ν
+ ∂
ν
F
λ ν
+ ∂
µ
F
ν λ
= 0 , (C.3)
onde j
0
= ρ, sendo ρ a densidade de carga. Os potenciais escalar ϕ e vetor
A podem
ser escritos numa ´unica equa¸c˜ao:
F
µ ν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
, A
µ
=
ϕ , −
A
. (C.4)
Como exemplo, podemos deduzir a equa¸c˜ao:
89
90
∇ ·
E = ρ , (C.5)
fazendo ν = 0 em (C.2) e lembrando que na nota¸c˜ao relativ´ıstica h´a um somat´orio
oculto nos ´ındices repetidos:
∂
µ
F
µ ν
→
3
µ=0
∂
µ
F
µ ν
= j
ν
, (C.6)
e para ν = 0:
∂
µ
F
µ 0
= j
0
, (C.7)
∂
µ
F
µ 0
→
3
µ=0
∂
µ
F
µ 0
= j
0
, (C.8)
∂
0
F
0 0
+ ∂
1
F
1 0
+ ∂
0
F
2 0
+ ∂
0
F
3 0
= ρ , (C.9)
∂
∂t
0 +
∂E
1
∂x
+
∂E
2
∂y
+
∂E
3
∂z
= ρ , (C.10)
∇ ·
E = ρ . (C.11)
A equa¸c˜ao de Proca possui uma parte que ´e escrita de maneira an´aloga `a equa¸c˜ao
para o f´oton, por´em ´e apenas uma semelhan¸ca de nota¸c˜ao, pois na equa¸c˜ao de Proca
n˜ao h´a os campos el´etrico e magn´etico como em F
µν
.
Referˆencias Bibliogr´aficas
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- Tese de doutorado. Universidade Federal da Para´ıba, Centro de Ciˆencias Exa-
tas e da Natureza, Coordena¸c˜ao dos Cursos de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica, Jo˜ao
Pessoa, Para´ıba, 2000.
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