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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
A HISTÓRIA DOS PROBLEMAS
DA TAUTÓCRONA E DA BRAQUISTÓCRONA
Rejeane Alexandre Coelho
Orientador: Prof. Dr. Marcos Vieira Teixeira
Dissertação de Mestrado elaborada junto
ao Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, Área de
concentração em Ensino e Aprendizagem
da Matemática e seus Fundamentos
Filosófico-Científicos.
Rio Claro, SP
2008
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1
Comissão Examinadora
_____________________________________
Prof. Dr. Marcos Vieira Teixeira
_____________________________________
Prof. Dr. Sérgio Nobre
_____________________________________
Prof. Dr. Iran Abreu Mendes
Rejeane Alexandre Coelho
Aluno (a)
Rio Claro, 25 de abril de 2008
Resultado: APROVADA
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2
A Paulo e Murilo pelo amor, apoio e
compreensão em todas as fases de minha
vida.
3
AGRADEÇO
Meu orientador Marcos, pela compreensão, amizade e carinho;
Prof. Sérgio Nobre pelo incentivo (apesar das piadas de loira);
Prof.ª Rosa, pela contribuição no meu trabalho;
Minha amiga do peito, Fêo, pelo incentivo, por acreditar na minha capacidade e
estar sempre por perto quando preciso;
Minha prima, Miriam, pelos papos de sábado à noite e almoços de domingo;
Carla e Luciele pela amizade e cumplicidade;
Casa das Sete Mulheres, pelo acolhimento caloroso;
A todos os meus colegas da pós, pelos almoços divertidos no RU, pelas conversas
descontraídas, por criarem este ambiente harmonioso.
4
Resumo
O objetivo deste trabalho é analisar a forma como Huygens e os irmãos Bernoulli,
propuseram e resolveram, respectivamente, os problemas do Isocronismo do
Pêndulo (Tautócrona) e da Braquistócrona, Buscando, assim, contribuir para o
entendimento dos métodos utilizados pelos eruditos para essas demonstrações.
Trata-se de uma pesquisa de cunho histórico-analítico, centrada no século XVII, que
fez-se uso de bibliografias que transcreviam os originais dos dois cientistas.
Observou-se que para o sucesso da resolução dos problemas propostos, muitos
conceitos matemáticos conhecidos até então foram usados, contudo os que mais
deram suporte ao sucesso dos trabalhos em questão foram as teorias de Galileu e
as contribuições de Mersenne. Tanto os Bernoulli quanto Huygens concluíram no
final de seus trabalhos, que a curva procurada era uma Ciclóide. A Braquistócrona é
um problema que faz parte de todo o desenvolvimento do Cálculo de Variações e o
Isocronismo contribuiu para a construção de relógios de pêndulo mais precisos e dos
marítimos.
Palavras-chave: História da Matemática, Isocronismo, Braquistócrona, Ciclóide.
5
Abstract
The goal of this essay is analyzing the way how Huygens and the Bernoulli brothers,
proposed and solved, respectively, the problems of the Pendulum Isocronism
(tautochrone) and the brachistochrone. Intending, this way, to contribute for the
understanding of the methods used for the erudites to these demonstrations. It is a
research of a historical aspect, centered in the XVIII century, and it was made use of
the bibliography which transcribed the originals of both scientists. It was observed
that for the success of the resolution of the suggested problems, lots of mathematical
concepts known at that time were used, however, the ones that had support to the
success of the resolution of the suggested problems were Galileu´s theory and
Mersenne´s contribution. As Bernoulli´s as Huygens concluded at the end of their
works that the curve searched was a Cycloid. The Braquistócrona is a problem that is
part of all the development of the Calculus of Variations and the Isocronism
contributed to the construction of the most accurate pendulum clocks and the
maritime ones.
Key-words: Mathematic History, Isocronism, Brachistochrone, Cycloid
6
S U M Á R I O
1- CONSIDERAÇÕES INICIAIS..................................................................................7
2- OS BERNOULLI e a BRAQUISTÓCRONA...........................................................14
Família Bernoulli ...................................................................................................14
Jacob Bernoulli (1654-1705).............................................................................16
Johann Bernoulli (1667-1748)...........................................................................19
Braquistócrona......................................................................................................22
3- CHRISTIAAN HUYGENS e o ISOCRONISMO DO PÊNDULO ............................34
O Problema do Isocronismo do Pêndulo...............................................................39
4- CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................64
5- REFERÊNCIAS.....................................................................................................66
6- ANEXOS ...............................................................................................................68
Anexo 1- Publicações de Mersenne......................................................................68
Anexo 2- Ciclóide..................................................................................................70
Anexo 3- Indice da Acta Eruditorum......................................................................73
Anexo 4- Tomo XVI (p.392 a 413).........................................................................82
Anexo 5- Testamento ..........................................................................................104
7
1- CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Para compreender o avanço matemático do século XVII é necessário fazer um
breve relato dos seus aspectos históricos que influenciaram esse período,
representado por monarcas e pela nobreza - o chamado “regime feudal”, onde a
política é comandada pelo valor da terra, na figura do senhor feudal, tendo o dinheiro
como símbolo do poder econômico. Assim, com o apoio de monarcas e nobres a
cultura e a ciência puderam obter um desenvolvimento expressivo.
Foi, então, uma época de grandes cientistas, em todas as áreas, sendo alguns
deles: Thomas Harriot (1560-1648), John Napier (1550-1617), Jobst Bürgi (1552-
1632), Henri Briggs (1561-1631), Galileu Galilei (1564-1642) Johann Kepler (1571-
1630), Gregory Saint-Vicent (1584-1667), Marin Mersenne (1588-1648), Girard
Desargues (1591-1661), Albert Girard (1595-1632), René Descartes (1596-1650),
Bonaventura Cavalieri (1598-1647), Pierre Fermat (1601-1665), Gilles Persone de
Roberval (1602-1675), Evangelista Torricelli (1608-1647), Frans van Schooten (1615-
1660), John Walllis (1616-1703), Alfonso Antonio de Sarasa (1618-1667), Nicolaus
Mercantor (1620-1687), René Françoise de Sluse (1622-1685), Blaise Pascal (1623-
1662) Jan Witt (1623-1672), Christian Huygens (1629-1695), Isac Barrow (1630-
1677), James Gregory (1638-1675), Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716), Guillaume François l’Hopital (1661-1704), Jacob Bernoulli
(1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), entre tantos outros que também
escreveram a história do século XVII.
8
É nessa época que está centrado o trabalho aqui apresentado, que tem por
objetivo analisar a forma como Huygens propôs e resolveu o problema do
Isocronismo do Pêndulo e os irmãos Bernoulli o da Braquistócrona, a pesquisa
busca contribuir para o entendimento dessas demonstrações.
Tendo em vista os trabalhos dos eruditos
acima citados, foi investigado os procedimentos
utilizados por esses matemáticos, em seus
trabalhos sobre Braquistócrona e Isocronismo,
observou-se que eles utilizaram recursos
baseados na teoria de Galileu
1
sobre o
movimento acelerado da queda livre –
publicada em 1638, sob o título de Discursi e
Demonstrazioni Matematiche intorno a Due
Nuove Scienzie attenenti Allá Mecanica Ed ai
Movimenti Locali.
Galileu se interessava em comparar
velocidades, tempos e distâncias para o
movimento ao longo de planos inclinados, bem
como para a queda livre. Assim, ele apresentou um
postulado dizendo que a velocidade adquirida por
um objeto deslizando por um plano inclinado, sem
atrito, depende somente da altura
2
do plano e não
do ângulo de inclinação conforme representação
ao lado (figura 1).
1
Galileu Galilei nasceu em 18 de fevereiro de 1564, na cidade de Pisa. Por influência da família, estudou medicina entre
1581 e 1585, na Universidade de Pisa. Decidiu seguir a carreira de matemático, e em 1859, tornou-se professor em
Pádua. Em 1592, foi convidado para ser o professor titular de Matemática em Pádua, onde desenvolveu seus trabalhos
científicos mais importantes. Foi um grande astrônomo e físico, tendo construído o primeiro telescópio “satisfatório”, um
microscópio moderno e um extenso trabalho em física. Faleceu em Florença, no dia 8 de janeiro de 1642.
2
Galileu chama altura de um plano inclinado à perpendicular que, traçada do ponto superior desse plano, cai sobre a linha
horizontal que é traçada pelo ponto inferior desse mesmo plano inclinado, ou seja, AB // horizonte, 2 planos inclinados
CA e CD; a perpendicular CB é a altura. Ele supõe que os graus de velocidade de um mesmo móvel que desce pelos
planos inclinados CA e CD, adquiridos nos pontos finais A e D, são iguais, por ser sua altura CB a mesma; e o mesmo é o
grau de velocidade que alcançaria o mesmo móvel, se caísse do ponto C ao ponto B. (GALILEI, 19??, p.133)
B D A
C
Altura de CA e CD é CB
Fig.1
Galileu Galilei (1564-1642)
9
-
AD e AE são intervalos de tempo
-HI a linha segundo a qual o
móvel partindo de H cairá com
um Movimento Uniformemente
Acelerado.
-HL o espaço percorrido – 1º
intervalo AD e
-HM o espaço percorrido no
tempo AE
2
AD
AE
HL
HM
C
B
D
Fig. 3
Na mesma obra, Galileu deduz resultados
semelhantes sobre o tempo de queda de um
determinado objeto ao longo de dois planos
inclinados distintos, de mesma altura, que estão
entre si na proporção inversa das raízes
quadradas de suas respectivas alturas (fig. 2).
Segundo Katz (1998), Galileu também fez
progressos com a solução do problema da curva
de descida mais rápida e demonstrou que em um
determinado círculo, o tempo gasto por um corpo
para descer ao longo de uma corda de um ponto
qualquer para outro mais baixo do círculo, por
exemplo DC é maior do que o tempo para descer
ao longo de duas cordas DB e BC, a primeira
iniciando no mesmo ponto da corda original e a
segunda terminada no mesmo ponto mais baixo.
Com DC subtendido num arco não maior que 90º
(fig. 3). Por estender esses resultados para mais e
mais cordas Galileu concluiu, erroneamente, que
a trajetória de descida mais rápida é um arco
circular.
Também tentou encontrar a área sob um
arco de ciclóide
3
, geometricamente, não obtendo
sucesso. Porém, chamou a atenção dos
matemáticos para esta curva, recomendando o
estudo de suas propriedades e a indicou para ser
usado em construções de pontes.
3
A ciclóide foi estudada primeiramente por Cusa (1401-1464) quando estava tentando encontrar a área de um círculo pela
integração. Nicholas de Cusa era um padre alemão que se interessava por Geometria e Lógica e também por Filosofia e
Astronomia. Foi Galileu quem deu esse nome a curva em 1599. (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007)
A H
O
P
C
D
E
B
L
M
I
Fig.2
10
Mersenne
4
, um padre francês que
admirava as obras de Galileu e que sabia dos
problemas deste com a Igreja e das
dificuldades dele em divulgar sua obra na Itália,
trouxe os trabalhos do italiano para Paris.
Centrados em Mersenne havia um grande
círculo de matemáticos, e ele realizava
regularmente reuniões para discutir novas
idéias na Matemática e na Física.
Mersenne fazia registros de descobertas
e correspondências e, concomitantemente,
copiava-os e os distribuía para serem lidos
pelo grupo
5
. Em 1627, Roberval
6
chega a Paris
e se junta ao grupo de Mersenne, que
reconhece seu talento e o incentiva a trabalhar
com a ciclóide.
Mersenne também foi orientador dos estudos de Christiaan Huygens durante
muito tempo, através de correspondências com Constantin Huygens – pai e
educador – sugerindo os temas para investigações, tendo inclusive, sugerido o
pêndulo como mecanismo para o primeiro relógio construído por Huygens.
Segundo Yoder (1991), Mersenne estudou a ciclóide, não obtendo sucesso na
questão do centro de oscilação de um corpo vibrando. Propôs, então, o problema da
ciclóide a Huygens, através de uma carta, que também enviou a Torricelli
7
. Huygens
4
Marin Mersene nasceu em 8 de setembro de 1588, na pequena cidade de Oizé, na província de Maine, na França.
Estudou Gramática, Teologia e Filosofia. Foi ordenado padre, em julho de 1612, passou algum tempo nos monastérios de
Nigeon e Meaux e, em 1614 se fixou no monastério de Nevers, onde ensinou filosofia e teologia. Em 1616, foi transferido
para o monastério de Royale, em Paris e, a partir daí, a Matemática tornou-se centro de seus interesses. Faleceu em 1º de
setembro de 1648, na cidade de Paris e, desejou que seu corpo fosse doado a pesquisa biológica. (O'CONNOR e
ROBERTSON, 2007
5
Este centro de estudos era conhecido como Acadèmie Parisiensis ou, entre amigos, por Acadèmie de Mersenne.
6
Gilles Roberval (1602 - 1675) era um cientista francês que desenvolveu métodos eficazes no estudo da integração.
Mersenne lhe propôs o problema do cálculo da área da ciclóide em 1628. Roberval, em 1634, demonstrou que a área sob
o arco é 3πa². (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007
7
Evangelista Torricelli (1608 - 1647) foi um cientista italiano, o primeiro a criar uma teoria sustentável sobre o vácuo e
Marin Mersene (1588
–
1648)
11
se interessou pela proposta em 1658, devido aos desafios feitos por Pascal
8
. Após
resolver o problema, o estudioso reconheceu sua dívida com Mersenne, sobre esse
assunto, na introdução da quarta parte de sua obra Horologium Oscillatorum.
Mersenne teve dificuldades quando tentou verificar as afirmações de Galileu a
respeito da queda livre. Primeiro quis encontrar o comprimento do pêndulo que
completasse o balanço (de um lado para o outro) em 1 segundo e, então, usá-lo
como um cronômetro para determinar a distância percorrida em 1 segundo, por um
corpo, em queda livre. Não ficou satisfeito com os valores que encontrou, pois sabia
que a vibração variava porque o pêndulo não era verdadeiramente isócrono e estava
sujeito a resistência do ar (KATZ, 1998).
Após a morte de Mersenne foram encontradas, em seus aposentos, cartas de
78 correspondentes, entre eles, Fermat
9
, Huygens, Galileu e Torricelli. Havia
também diversos instrumentos de Física e trabalhos que foram publicados em 1651.
Mais tarde foram publicadas as cartas que Mersenne enviou e recebeu dos eruditos.
Segundo OConnor e Robertson (2007) essas correspondências trazem uma visão
do que foi a ciência no século XVII e mostram que Mersenne
10
estava ciente dos
assuntos que interessavam os cientistas.
No século XVII, eram constantes os desafios entre matemáticos, nos quais o
desafiador mandava problemas, por ele já solucionados, ao desafiado, e em
algumas ocasiões, os desafios eram lançados em forma de concurso com
premiações. Governos da Europa, interessados em progressos científicos que
trouxessem benefícios, ofereciam grandes prêmios.
descobrir o princípio do barômetro. Conseguiu também alguns resultados importantes no desenvolvimento do Cálculo.
(O'CONNOR e ROBERTSON, 2007)
8
Blaise Pascal era matemático e filósofo francês muito influente que contribuia com muitas áreas da Matemática.
Trabalhou com secções cônicas e na geometria projetiva. Na correspondência com Fermat escreveu as fundamentações
para a teoria da probabilidade.(O'CONNOR e ROBERTSON, 2007)
9
Pierre de Fermat (1601 – 1665) era advogado e oficial do governo francês, recordado mais por seu trabalho na teoria do
número; e pelo Teorema de Fermat. É também importante nas fundamentações do cálculo.
10
No Anexo 1 apresenta-se uma lista das publicações de Mersenne.
12
Ainda, nesse mesmo século, eram
comuns os estudos sobre curvas, em
geral, problemas de valores extremos.
Três problemas deste período têm
como solução a Ciclóide
11
. Estes
problemas são a Isócrona
12
que é
definida como a curva ao longo da qual
um corpo cairá com velocidade vertical
uniforme; a Tautócrona
13
que é a curva
plana ao longo da qual uma partícula
material atinge um ponto dado da
trajetória num espaço de tempo que não
depende do ponto de onde ela saiu; a
Braquistócrona
14
que é a curva de
descida mais rápida.
Como já foi ressaltado, nosso
estudo interessa-se em analisar os
trabalhos de Huygens e Bernoulli sobre
a Braquistócrona e o Isocronismo do
Pêndulo, na tentativa de contribuir para
o entendimento dessas demonstrações,
sem o uso do Cálculo Diferencial e
Integral. Assim, o trabalho se divide em
dois capítulos assim apresentados: no
primeiro encontra-se um breve histórico
da família Bernoulli, a biografia de Jacob
Bernoulli e a de seu irmão Johann,
11
Ciclóide é a curva descrita por um ponto da circunferência de um círculo que rola sobre uma reta sem deslizar. No Anexo
2 encontra-se uma breve descrição histórica dessa curva.
12
Iso = igual e crono = tempo
13
Tauto = o mesmo
14
Braqui = descida
Ciclóide
Isócrona
B
A
Tautócrona
Braquistócrona
13
descreve-se sobre seus principais estudos e o desafio proposto por Johann, na Acta
Eruditorum
15
, em junho de 1696, à comunidade matemática, para que se
demonstrasse a curva de descida mais rápida: a Braquistócrona. Vários
matemáticos responderam a tal desafio, inclusive Newton, que o resolveu em,
aproximadamente, 24 horas. Mas a solução publicada como sendo a correta, foi a de
Jacob Bernoulli. E é essa demonstração que se apresenta nesta parte do trabalho,
com notações e comentários.
No capítulo seguinte, fez-se uma breve biografia de Huygens, seus estudos e
inventos. Abordou-se também, o modo pelo qual Huygens propôs a si um problema
envolvendo a ciclóide (isocronismo do pêndulo), que foi publicado em 1659, e
também publicado pela Sociedade Holandesa de Ciências em 1629, no Tomo XVI de
Œuvres Complètes
16
. E, com fundamento nessa obra, mais especificamente em seu
capítulo III, da página 392 a 400, que foram feitas as análises das demonstrações
originais de Huygens, fazendo complementações com notações e comentários para
um melhor entendimento da Matemática utilizada.
15
No Anexo 3 encontra-se parte do índice geral da Acta Eruditorum, entre os períodos de 1692 a 1701.
16
Essa obra pode ser encontrada na íntegra, ou seja, 22 tomos, com comentários feitos pela Sociedade Holandesa de
Ciências, no site da Biblioteca Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
14
2- OS BERNOULLI e a BRAQUISTÓCRONA
Família Bernoulli
A família Bernoulli de religião protestante, originária da Holanda chega a
Basiléia, na Suíça, fugida da fúria espanhola que ocorria nos Países Baixos por ser
protestante, na época da perseguição dos espanhóis aos não católicos, em 1583.
Nicolaus Bernoulli (1623-1708) era negociante de especiarias, casou-se com
Margaretha e teve três filhos, Jacob, Nicolaus e Johann, dos quais apenas o
segundo seguiu a profissão do pai. Os irmãos, bem como várias outras gerações
dos Bernoulli se dedicaram à Matemática, tendo como os mais renomados, Jacob e
Johann Bernoulli.
15
Por mais de um século essa família contribuiu para o avanço da Ciência. A
Árvore Genealógica dos Bernoulli's
17
mostra os membros que se dedicaram aos
estudos de temas em Matemática e Física.
Os dois irmãos Bernoulli entraram em contato com o Cálculo através da revista
Acta Eruditorum. Envolvidos profundamente pelos artigos de Leibniz
18
, tornaram-se
seus discípulos, e abandonadas outras ocupações, dedicaram-se exclusivamente à
Matemática. Discípulo e admirador fervoroso de Leibniz, Jacob começou a se
corresponder com ele e se interessou pelas obras de Wallis
19
e Barrow
20
sobre
infinitésimos. Sugeriu ao mestre a adoção do termo “integral”. Jacob trocava
correspondência com muitos matemáticos e estava inteirado dos problemas
existentes na época. Entre esses estavam os de achar as equações catenária, da
tratiz e da isócrona, que já vinham sendo estudados por Huygens e Leibniz (BOYER,
1996).
Os dois irmãos também estavam interessados em encontrar solução para o
cálculo de variações, e juntamente com Leibniz procuravam solução para o
problema da Braquistócrona. Jacob e Johann Bernoulli deram grandes contribuições
à Matemática. É importante observar que o foco principal dos matemáticos do século
XVII tinha como objetivo o estudo e ampliação dos conceitos de Cálculo vinculados
à Mecânica e à Astronomia.
17
BOYER (1996, p.286).
18
Gottfried Leibniz (1646 – 1716) matemático alemão que desenvolveu a notação atual para o Cálculo Diferencial e
Integral apesar de nunca ter pensado derivada como um limite. Sua filosofia também é importante e inventou uma
máquina de calcular. (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007)
19
John Wallis (1616 – 1703) matemático inglês que utilizou o método de Cavalieri dos indivisíveis para construir um
método de interpolação. Usando o conceito de Kepler da continuidade descobriu métodos para avaliar integrais.
(O'CONNOR e ROBERTSON, 2007)
20
Isaac Barrow (1630 – 1677) matemático inglês que desenvolveu um método para determinar as tangentes, e foi o
primeiro a reconhecer que a integração e a diferenciação são operações inversas.(O'CONNOR e ROBERTSON, 2007)
16
Jacob
21
Bernoulli (1654-1705)
Fonte: The MacTutor History of Mathematics archive
22
21
Jacob também pode ser encontrado como Jaques, James ou Jakob.
22
Imagem retirada do site http://www-history.mcs.st-and.ac.uk
17
Jacob Bernoulli nasceu na Basiléia (Suíça), em 27 de dezembro de 1654.
Primeiro estudou Teologia, e contra a vontade de seu pai, Matemática. Foi o primeiro
da família a atingir alguma reputação nesse campo. Jacob viajou pela França,
Holanda, Bélgica e Inglaterra com o propósito de devotar seu tempo para os estudos
e tornar-se um erudito. No retorno à sua terra natal, em 1683, foi nomeado como
professor de Física, na Universidade da Basiléia (KATZ, 1998). Em 1684, casou-se
com Judith Stupanus. Tiveram um casal de filhos, que ao contrário de muitos
membros da família de Bernoulli, não se tornaram matemáticos ou físicos. Em 1687,
foi nomeado professor de Matemática, cargo que ocupou até o fim de sua vida.
Escreveu um grande número de artigos para a Acta Eruditorum (1683-1701).
Foi o primeiro matemático a utilizar o termo integral (termo que foi sugerido a
Leibiniz). As primeiras contribuições importantes de Jacob Bernoulli foram um
paralelo entre a lógica e a álgebra (1685), probabilidade (1685) e geometria
23
(1687).
Em 1689 publicou um trabalho importante sobre série infinita e também sua lei de
“números grandes”
24
na teoria de probabilidade. Publicou cinco tratados sobre séries
infinitas
25
entre 1682 e 1704. Em maio 1690, publicou na Acta Eruditorum, um artigo
que mostrava que o problema de determinar a isócrona é equivalente a resolver uma
equação diferencial não-linear de primeira ordem.
Jacob Bernoulli descobriu também um método
geral para determinar evolutas de uma curva como
o envelope de suas circunferências. Investigou
curvas cáusticas
26
e também essas curvas
associadas à parábola, à espiral logarítmica e as
epiciclóides (1692) e descobriu o Lemniscate de
23
Esse trabalho mostra a construção para dividir qualquer triângulo em quatro partes iguais com duas retas perpendiculares.
24
A interpretação da probabilidade diz que se uma experiência for repetida um grande número vezes então a freqüência
relativa com que um evento ocorre é igual a probabilidade do evento.
25
O dois primeiros continham o resultado fundamental de que a série Σ(1/n) diverge. Não encontrou uma solução exata para a
série Σ(1/n²) mas mostrou que convergia para um limite finito menor do que 2.
26
Curva formada pela intersecção dos raios luminosos que uma superfície curva reflete ou refrata. A ciclóide é a catacáustica
de um círculo quando os raios de luz vêm de um ponto na circunferência. A cáustica da ciclóide, onde os raios estão paralelos
ao eixo y é uma ciclóide duas vezes maior. Mostrado por Jacob e por Johann Bernoulli em 1692.
Curva Cáustica
18
Bernoulli
27
(1694). Estudou a catenária
28
, foi um dos primeiros a utilizar coordenadas
polares, em 1696 resolveu a equação y' = p(x)y + q(x)y
n
, hoje conhecida como
“Equação de Bernoulli”. Seu trabalho mais original foi Ars Conjectandi
29
(1713).
Ele e o irmão Johann estudaram juntos os primeiros trabalhos de Leibniz,
porém, entre eles havia disputas de vaidades matemáticas e o problema da
Braquistócrona foi uma delas – Johann propôs o problema na Acta Eruditorum, em
1696, e Jacob respondeu ao desafio, e foi esta a solução publicada na mesma
revista em 1697 (KATZ, 1998).
Jacob Bernoulli faleceu na Basiléia (Suíça), em 16 de agosto de 1705.
27
É a curva que tem forma similar ao numeral 8 e ao símbolo
∞
.
28
Catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma corda suspensa pelas suas
extremidades e sujeitas à ação da gravidade. Este problema foi proposto por Galileu, que a conjectura de que a curva
fosse uma parábola. A resolução do problema foi publicada independentemente em 1691 por Johann Bernoulli, Leibniz e
Huygens, que estavam respondendo a um desafio feito por Jacob Bernoulli, em 1690, para encontrar a equação ' da
corrente-curva '. (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007)
29
O trabalho estava incompleto, porém um trabalho significativo para a teoria da probabilidade. Nesse livro reviu o
trabalho de outros estudiosos na probabilidade, tais como o de von Schooten, de Leibniz e de Prestet. Os números de
Bernoulli aparecem no livro em uma discussão da série exponencial. (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007)
19
Johann
30
Bernoulli (1667-1748)
Fonte: The MacTutor History of Mathematics archive
31
30
Johann também pode ser encontrado como Jean ou John.
31
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk
20
Johann Bernoulli nasceu no dia 27 de julho de 1667, na Basiléia (Suíça), era o
décimo filho de Nicolaus e Margaretha Bernoulli e irmão de Jacob, 12 anos mais
velho. O desejo de seu pai era de que seguisse a carreira empresarial, contudo o
filho não obteve sucesso (KATZ, 1998).
Quanto a sua educação, freqüentou a Universidade da Basiléia, cursando
Medicina. Influenciado por seu irmão Jacob, que dava aulas de Física na
Universidade da Basiléia, começou a desenvolver seu gosto pela Matemática,
dedicando-se, principalmente, aos estudos realizados por Leibniz sobre Cálculo.
(BOYER, 1996). Junto com seu irmão Jacob, fizeram diversas colaborações aos
trabalhos de Leibniz, trabalharam em curvas cáusticas (1692-93) embora não
publicassem conjuntamente. (KATZ, 1998).
Casou-se com Drothea Falkner e pouco tempo depois se mudou para a
Holanda, em 1 setembro 1695. Seus filhos Nicolaus (II), Daniel Bernoulli, e Johann
(II) Bernoulli tornaram-se matemáticos, também teve uma filha que faleceu aos seis
meses (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007).
Segundo Katz (1998), Johann desenvolveu as técnicas de Leibniz
32
com mais
detalhes em vários artigos nos anos de 1690, o que lhe proporcionou, através da
ajuda de Huygens, uma cadeira de Matemática, em 1695, na Universidade de
Gröningen, na Holanda. Propôs o problema da Braquistócrona em junho 1696 e
desafiou Jacob. A já sabida rivalidade dos irmãos fez então com que Jacob também
desafiasse Johann propondo o problema isoperimétrico, minimizando a área incluída
por uma curva.
Foi mais prolífico que seu irmão, escrevendo sobre uma extensa variedade de
tópicos, incluindo curvas cáusticas (1692), equações diferenciais (1694), a
retificação e quadratura de curvas por série, a ciclóide (1695), catóptricas e
dióptricas (1701), curvas isócronas e curvas de descida rápida (1718) entre outros
(SMITH, 1958).
32
Quando l'Hôpital descobriu que Johann Bernoulli compreendeu os métodos do Cálculo que Leibniz tinha publicado,
pediu-lhe que o ensinasse. Johann concordou e as lições foram dadas em Paris e também na casa de país de l'Hôpital em
Oucques. Depois que Bernoulli retornou a Basiléia continuou suas lições do Cálculo por correspondência.
21
Johann obteve grande fama durante sua vida, recebendo muitos convites de
diversas universidades, os quais recusou. Em 1699 tornou-se membro da Academia
de Ciências de Paris, e após a morte de seu irmão, em 1705, voltou para a Basiléia
ocupando a cadeira que fora de Jacob (KATZ, 1998).
Johann Bernoulli faleceu na Basiléia (Suíça), em 1º de janeiro de 1748.
22
Braquistócrona
Johann Bernoulli, professor de matemática em Gröningen, requereu na Acta
Eruditorum, que matemáticos determinassem a curva de descida mais rápida, a
Braquistócrona. Desse modo, propôs em junho de 1696, o seguinte problema:
PROBLEMA NOVUM,
ad cujus Solutionem Mathematici invitantur.
“Datis in plano verticali duobus punctis A et B, assignare mobili M viam AMB, per
quam gravitate sua descendens, et moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore
perveniant ad alterum punctum B.”
33
Fonte: Woodhouse (1810, p.3)
A solução publicada foi a de Jacob Bernoulli, em maio de 1697, na Acta
Eruditorum. Há também uma tradução para o inglês, de autoria de Woodhouse,
publicada em 1810, a qual foi utilizada para a elaboração deste trabalho. Os
traduções para o português que aqui aparecem são de responsabilidade dos autores
33
Dados um plano vertical e dois pontos A e B sobre o plano, com A mais alto do que B, e um ponto móvel M, determinar
uma curva ao longo da qual uma partícula material desliza no menor tempo possível de A até B, considerando apenas a
ação da gravidade, sem atrito. (BARON, 1985)
23
do presente texto e serão transcritas em itálico. Em seguida, é apresentado a
solução proposta por Jacob Bernoulli e apresentados nossos comentários e as
análises acerca da demonstração de Bernoulli.
Dada a curva OGD, considere uma porção de CGD, dividida em duas partes CG,
GD; e acrescente o elemento para a curva CLD, dividida também em duas partes
CL, LD, e indefinidamente próximo de CGD: temos por hipótese, que o tempo
completo de CG + GD, é mínimo, e desde que as quantidades ou proximidades de
seu estado mínimo podem ser consideradas constantes (para seus incrementos ou
decrementos sejam muito pequenos)
34
, temos
LDCLGDCG
tttt
[
CG
t
,representa o tempo completo de CG]
35
34
Bernoulli utiliza a seguinte notação t.CG, que no texto foi substituído por t
CG
.
35
E assim, reciprocamente, para todas as outras representações de tempo.
24
e
GDLDCLCG
tttt
porém
CGCE
t:t::CG:CE
[considerando CG em um plano inclinado]
e
CLCE
t:t::CL:CE
consequentemente,
CLCGCE
tt:t::MGCLCG:CE
mas
CG:EG::LG:MG
[por semelhança dos triângulos LMG, GCE]
CLCGCE
ttxCG:txEG::LG:CE
analogamente
)tt(xGD:txGI::LG:EF
GDLDEF
Disso, igualando os dois valores de LG, temos
CGxCExtxGIGDxEFxtxEG
EFCE
ou
CGxCEx
HE
GD
xGIGDxEFx
HC
CG
xEG
[substituindo t
CE
, t
EF
]
25
ou
GD:CG::EF:CE::
HE
GI
:
HC
EG
como é uma propriedade da ciclóide
36
: conseqüentemente a curva de descida mais
rápida, ou braquistócrona, é uma ciclóide.
A proporção [1] pode ser assim expressa como :
HE:HC::
GD
GI
:
GC
EG
ou
Gemvel:Cemvel::HE:HC::GDIsen:ECGsen
yy
,
ou o seno do ângulo formado por um vértice e um elemento da curva é proporcional
à velocidade.
Depois dessa apresentação e para compreender melhor as afirmações de Bernoulli,
faz-se uma retomada da demonstração com comentários e complementos sobre o
trabalho do matemático
LDCLGDCG
tttt
GDLDCLCG
tttt
36
“Isto aparecerá facilmente construindo a figura com seu círculo gerando; ou, a equação sabida da ciclóide pode assim ser
deduzida: seja
GDHE
GI
CGHC
EG
temos
'dz'y
'dx
dzy
dx
, e
'dz,'y,'dx
são os valores respectivos de
dz,y,dx
, segue da equação acima, que
dzy
dx
é sempre a mesma, ou é constante, e pode conseqüentemente ser
posto
a
1
. Daqui
222
dyydxyadx
e
dy
)ya(
y
dx
, a equação para uma ciclóide”. (tradução nossa)
(WOODHOUSE, 1810, p.5)
[1]
26
Segue, do Teorema III, Proposição III de Galileu (1935, p. 146) que afirma
Se sobre um plano inclinado ou segundo uma
vertical, tendo ambos a mesma altura, um
móvel se movimenta a partir do repouso, os
tempos do movimento estarão entre si na
mesma proporção dos comprimentos do plano
inclinado e da vertical.
Disso tem-se que,
CG
CE
t
t
CG
CE
e
CL
CE
t
t
CL
CE
Assim temos que CE . t
CG
= CG. t
CE
e CE . t
CL
= CL . t
CE
, donde se conclui que:
CE ( t
CG
- t
CL
)= (CG – CL) t
CE
Em outras palavras:
CLCG
CE
tt
t
MGCLCG
CE
][
Mas
CG
EG
LG
MG
Para entender essa ultima afirmação pode-se construir um ponto M, tal que
MGCLCG
, fazendo-se assim, a comparação entre os triângulos
37
MLG e CEG
nos leva a observar que:
37
Esta demonstração é feita por aproximações e as construções são feitas sobre triângulos “curvos” e, somente assim, as
equivalências são válidas.
27
CELM
EGMG
ou seja,
CE
EG
LM
MG
Desse modo os triângulos MLG e ECG são semelhantes e portanto
CG
EG
LG
MG
Portanto,
)tt(
t
)CLCG(
CE
CLCG
CE
ou seja,
MG
CE
t
t
MG
CE
podendo-se chegar à seguinte demonstração:
MG
CE
LG
MG
LG
CE
LC
comuméG
ME
ˆ
ˆ
ˆ
90
ˆˆ
0
28
Ainda utilizando o teorema de Galileu sobre planos inclinados tem-se que CE = t
CE
e,
consequentemente, MG = t
MG
, então
MG
CE
t
t
LG
MG
LG
CE
MG
CE
t
t
CG
LG
CGMG
LG
CE
Como MG=CG – CL, então t
MG
= t
CG
– t
CL
e assim
)tt(
t
CG
EG
LG
CE
CLCG
CE
E assim Jacob chega aos seguintes resultados
CLCG
CE
ttxCG
txEG
LG
CE
e
)tt(xGD
txGI
LG
EF
GDLD
EF
ele iguala os dois valores de LG, para se obter o seguinte:
EF
GDLD
CE
CLCG
txGI
)tt(xGDEFx
LG
txEG
)tt(xGCxCE
LG
EF
GDLD
CE
CLCG
txGI
)tt(xGDEFx
txEG
)tt(xGCxCE
Como Bernoulli constrói, por hipótese, que
GDLDCLCG
tttt
. Tem-se que
CGxCExtxGIGDxEFxtxEG
EFCE
29
e usando o teorema de Galileu que diz que a velocidade de corpo em queda é igual
a raiz quadrada de sua altura
HC
CG
t
HC
CG
t
t
CG
HC
CE
CE
CE
2
2
2
e analogamente tem-se que
HE
GD
t
HE
GD
t
t
GD
HE
EF
EF
EF
2
2
2
o que Bernoulli conclui
CGxCEx
HE
GD
xGIGDxEFx
HC
CG
xEG
simplificando
CGxCEx
HE
GI
xGDGDxEFx
HC
EG
xCG
tem-se
CEx
HE
GI
EFx
HC
EG
30
e assim,
EF
CE
HE
GI
HC
EG
logo
EF
CE
HC
HE
x
GI
EG
Através do teorema de Tales, pode-se fazer a seguinte relação: Sejam EG e FD
retas paralelas e CD e CF retas transversais a elas, podemos afirmar que
Com essa demonstração pode-se chegar aos resultado de Jacob
GD
CG
EF
CE
HC
HE
x
GI
EG
onde se pode afirmar que
GD
CG
HC
HE
x
GI
EG
e
HE
HC
GD
CG
GI
EG
GD
CG
EF
CE
31
assim
HE
HC
GD
CG
x
GI
EG
Logo chega-se ao resultado encontrado por Bernoulli de que
HE
HC
GD
GI
CD
EG
:
considerando os triângulos retângulos ECG e GDI, pode-se afirmar a seguinte
relação
EG
CG
=
cateto oposto a C
hipotenusa CG
,
pode-se afirmar então que é seno do ângulo C, analogamente para o seno do ângulo
D, assim sendo
HE
HC
Dsen
Csen
GD
GI
CG
EG
e retomando o conceito de Galileu de que a velocidade de um corpo em queda livre
é igual a raiz quadrada da sua altura, Bernoulli finaliza sua demonstração
32
Gemvel
Cemvel
HE
HC
GDIsen
ECGsen
y
y
Assim Bernoulli conclui sua demonstração, que futuramente veio trazer
grandes contribuições ao desenvolvimento do cálculo, mais tarde conhecido como
Cálculo de Variações.
33
Christiaan Huygens (1629 – 1695)
Fonte: The MacTutor History of Mathematics archive
38
38
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk
34
3- CHRISTIAAN HUYGENS e o ISOCRONISMO DO PÊNDULO
Christiaan Huygens nasceu em Haia, na Holanda, em 14 de abril de 1629.
Segundo filho do grande poeta alemão e diplomata Constantin Huygens
39
, foi
instruído até os 16 anos por professores particulares, com os quais aprendeu
geometria, a fazer modelos mecânicos e habilidades sociais. Sua instrução
matemática foi influenciada por Descartes que era um visitante ocasional na casa
dos Huygens. Ainda jovem, foi levado ao conhecimento erudito e rapidamente
distinguiu sua própria matemática e astronomia observacional (O'CONNOR e
ROBERTSON, 2007).
Christiaan Huygens estudou Direito e Matemática na Universidade de Leiden
de 1645 até 1647. Frans Van Schooten
40
, foi seu professor em Leiden. De 1647 até
1649 estudou no College Orange em Breda. Através do contato de seu pai com
Mersenne, uma correspondência entre Christiaan e Mersenne começou nessa
época. Mersenne o desafiou a resolver inúmeros problemas
41
.
Em 1654, junto com seu irmão Constantin, descobriu uma nova forma de polir
lentes que contribuiu para seus estudos sobre os anéis de Saturno (EVES, 1997).
Seus primeiros empreendimentos incluindo estudos tradicionais na matemática
foram uma aproximação de pi, a primeira edição do tratado de probabilidade, a
39
Constantin Huygens fez com que o filho tivesse acesso aos círculos científicos da época. Teve muitos contatos na
Inglaterra, correspondeu-se regularmente com Mersenne e foi amigo de Descartes. (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007).
40
Frans Van Schooten nasceu em Leiden, em 1615 e faleceu em 29 de maio de 1660, na mesma cidade (BOYER, 1996).
41
Chistiaan Huygens em suas primeiras publicações, a de 1651, o Cyclometriae, mostrou o erro nos métodos propostos
por Gregory de Saint-Vincent, que tinha reivindicado ter feito a quadratura do círculo, e a de 1654, De Circuli
Magnitudine Inventa, abordava temas similares.
35
descoberta de uma lua de Saturno (Titan), a correta explanação da variação do
contorno de Saturno (sua hipótese circular) e um tratado de mecânica de impacto
não publicado. Cientista renomado, estudou e publicou sua teoria ondulatória da luz.
(YODER, 2004). Em 1655, foi pela primeira vez a Paris e lá, informou aos
matemáticos a respeito de suas descobertas e, por sua vez, conheceu um trabalho
sobre probabilidade, através de uma correspondência entre Pascal e Fermat. Em
seu retorno a Holanda, Huygens escreveu o De Ratiociniis in Ludo Aleae sobre
cálculo de probabilidades sendo este o primeiro impresso sobre assunto.
No ano seguinte descobriu a forma verdadeira dos anéis de Saturno e os
resultados foram relatados ao grupo de Paris. Em Systema Saturnium, de 1659
explicou as fases e as mudanças na forma do anel. O trabalho em astronomia o
levou a inventar o relógio de pêndulo, para obter meios mais precisos de medir o
tempo e em 1656 patenteou o primeiro relógio de pêndulo, que aumentou
extremamente a exatidão dessa medida (EVES, 1997).
Huygens tinha conhecimento de que as oscilações simples não são isócronas,
provavelmente pelos trabalhos de Galileu (BOYER, 1996). Usou infinitesimais para
descobrir, e geometria para provar, que a curva ao longo da qual um objeto desce,
sem a influência da gravidade, leva o mesmo tempo para alcançar o ponto mais
baixo, independente do ponto em que se inicia a trajetória, é uma ciclóide (KATZ,
1998).
Huygens percebeu que o pêndulo obtém um movimento num arco cicloidal e
que descrevia o tempo perfeitamente, para qualquer comprimento da oscilação
(KATZ, 1998). Essa descoberta foi importante para determinar que a involuta
42
de
uma ciclóide é uma ciclóide ou inversamente, que a evoluta
43
de uma ciclóide é uma
ciclóide (BOYER, 1996).
Seu trabalho sobre o pêndulo está relacionado a um outro trabalho matemático
42
Involuta: curva traçada pelo ponto de extremidades de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel
fixo.
43
A evoluta de uma curva é o envelope das normais da curva. Ela pode ainda ser pensada como o locus (lugar geométricos)
dos centros de curvatura
36
que fez sobre ciclóide em conseqüência do desafio proposto por Pascal
44
(EVES,
1997). Huygens acreditou que um pêndulo longo seria mais útil no mar e inventou o
pêndulo cicloidal (1673). Construiu diversos relógios de pêndulo para determinar a
longitude no mar, fazendo experimentações no mar em 1662 e em 1686. No seu
trabalho Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum, publicado em 1673,
descreveu a teoria do movimento do pêndulo e também a lei da força centrífuga para
o movimento circular uniforme
45
. (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007).
Embora seja conhecido, principalmente, como um dos grandes físicos de seu
tempo, particularmente em relação ao estudo do pêndulo, à invenção do relógio de
pêndulo e às leis de quedas de corpos, Huygens foi importante no progresso da
geometria e mostrou a importância do cálculo. O Horologium Oscillatorium, além do
pêndulo, prova que a ciclóide é tautócrona e resolve também o problema do pêndulo
composto. Nessa mesma publicação descreve a descida dos corpos em um vácuo,
verticalmente ou ao longo das curvas.
Define evolutas e involutas das curvas, e após ter dado algumas propriedades
elementares, encontra as evolutas do ciclóide e da parábola. Nesse trabalho tenta
pela primeira vez estudar a dinâmica dos corpos melhor que partículas (O'CONNOR
e ROBERTSON, 2007).
Ele também retificou a cissóide
46
, investigou a forma e as propriedades da
catenária
47
, escreveu sobre a curva logarítmica, deu uma nova regra para encontrar
máximos e mínimos da função integral e contribuiu extensamente para a aplicação
da Matemática na Física (SMITH, 1958)
44
Blaise Pascal, nasceu em 19 junho 1623, em Clermont, Auvergne, França. foi matemático e filósofo muito influente, fez
várias contribuições em diversas áreas da Matemática. Trabalhou em seções cónicas e na geometria projetiva e na
correspondência com Fermat discutiu sobra a teoria da probabilidade. Faleceu em 19 agosto 1662 em Paris.
45
Em conseqüência deste trabalho de Huygens, Hooke, Halley e Wren formularam a lei do inverso-quadrado (inverse-
square) da atração gravitacional.
46
Esta curva foi inventada por Diocles em aproximadamente 180 a.C. em relação a sua tentativa de duplicar o cubo por
métodos geométricos. O nome parece primeiramente no trabalho de Geminus aproximadamente 100 anos mais tarde.
Fermat e Roberval construíram sua tangente em 1634. Huygens e Wallis encontraram, em 1658, que a área entre a curva e
sua assintota era 3πa². De um ponto dado há uma ou três tangentes ao cissóide. cissóide em grego significa: Kissós (hera)
eidos (forma). (O'CONNOR e ROBERTSON, 2007 )
47
Catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma corda suspensa pelas suas
extremidades e sujeitas à ação da gravidade.
37
Christiaan Huygens faleceu em Haia, no dia 8 de julho de 1695.
Membros da Sociedade Holandesa de Ciências (SHC) propuseram em 1882,
eternizar a memória de Huygens, em uma homenagem pública, erguendo-lhe uma
estátua e ao mesmo tempo prestar um serviço à Ciência fazendo uma nova edição
das suas obras, publicando seus escritos, bem como sua correspondência. Tal
homenagem foi editada em 22 tomos, datados de 1889 a 1950. Os 10 primeiros são
somente de cartas trocadas por Huygens com diversos eruditos, depois 11 tomos
tratam de suas obras matemáticas, entre outros temas como Física, Astronomia e
Música e o último é uma biografia de Huygens, contendo também seu testamento
48
.
No tomo I há uma introdução, assinada pelos Diretores da Sociedade
Holandesa de Ciências, descrevendo os objetivos de tal publicação. Assim,
esclarecem que Huygens, em testamento, deixou seus escritos matemáticos,
tratados inéditos, observações, notas e cálculos, bem como a sua correspondência
com diversos cientistas para a Biblioteca de Leiden, desejando que os professores
de Volder (de Leiden) e Fullenius (de Franeker), estudassem e publicassem os
manuscritos que julgassem estar corretos
48
O testamento encontra-se na íntegra no anexo 5.
38
Fonte: Tomo XVI
49
49
No tomo XVI encontram-se o problema proposto por Huygens e sua solução que foram publicados pela Sociedade
Holandesa de Ciências (Anexo 4).
39
O Problema do Isocronismo do Pêndulo
No século XVII a medição do tempo era de extrema importância para a
navegação devido à necessidade de determinar de modo preciso as longitudes,
durante as viagens (BURROWES e FARINA, 2005). Nessa época os governantes de
vários países europeus ofereciam excelente remuneração por esses estudos.
O estudo do pêndulo, como ferramenta para medição do tempo inicia-se com
Galileu, que percebeu que o pêndulo simples é não isócrono e por essa razão a
posição na qual o pêndulo é “solto” é importante para a determinação do tempo de
oscilação do pêndulo. Assim, considerando um arco mínimo de oscilação, por meio
do qual o círculo é aproximadamente uma isócrona, Huygens teve possibilidade de
determinar uma relação entre a queda livre independente do comprimento do arco.
Além disso, com seu contumaz talento como geômetra,
foi capaz de estender sua solução para a ciclóide, sem a
restrição para uma mínima oscilação, e o resultado para
sua nova investigação foi sua descoberta do isocronismo
da ciclóide (YODER, 1998, p.50, tradução nossa).
Segundo Yoder (1998), em 1º de dezembro de 1659, Huygens propôs a si
mesmo um problema sobre o isocronismo do pêndulo. Ele confiou que o resolveria
imediatamente e escreveu a questão nos cantos de uma página já desordenada com
outro trabalho e com um pequeno espaço para um extensivo cálculo. (Veja figura a
seguir)
40
Fonte: YODER, G. J. Unrolling Time – Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature.
Cambrigde: Cambrigde University Press, 1988. p. 49
41
O problema proposto por Huygens é o segunte:
“Quaeritur quam rationem habeat tempus minimae oscillationis penduli ad tempus
casus pendularis ex penduli altitudine”.
50
Ilustração 1
51
– Fonte: Tomo XVI
No tomo XVI, membros da SHC fizeram anotações e são nelas que esta parte
do trabalho se pauta. Não terá como na primeira parte uma tradução do original em
50
Qual a razão entre o tempo de uma oscilação mínima de um pêndulo e o tempo da queda livre perpendicular à altura do
pêndulo.(tradução nossa)
51
Esta ilustração e todas as que aparecem nesse capítulo são do Tomo XVI, publicado pela Sociedade Holandesa de Ciências,
1929.
42
latim, uma tradução e interpretação dos cálculos e conclusões da comissão
responsável por esta publicação.
Esse problema proposto por Huygens, considera o período de oscilação de
acordo com uma particulam
52
de arco de círculo que conduziu às investigações das
quais saiu a descoberta do tautocronismo
53
da queda de acordo com arcos
cicloidais.
Ilustração 2
Huygens inicia sua demonstração fazendo algumas construções, explicadas
nos comentários da Sociedade Holandesa de Ciências. Ele considera um ponto T,
como sendo o centro de um quarto de circunferência de raio TZ, um ponto K
qualquer, onde o arco KZ da circunferência coincide com o arco KZ de uma
parábola. Os dois arcos interceptam-se em K. KZא com extremo em Z e intercepta o
“latus rectum”
54
TZ. Constrói QΣ de tal forma, que é uma parábola congruente a
parábola KZא tendo como extremo o ponto A.
52
Partículam neste trabalho será considerado como parte ínfima ou infinitesimal.
53
Segundo a Sociedade Holandesa de Ciências, esse problema trata do tautocronismo da ciclóide que se encontra nas páginas
72-74 da obra “Chartæ Mechanicæ” (a numeração das folhas desta obra data de 1928) e as páginas 187-188 do
Manuscrito A. (Tomo XVI, p. 396, tradução nossa)
54
Latus rectum foi traduzido aqui como lado ortogonal TZ em relação à ZM.
43
Figura 1
Sendo assim, E é uma parte ínfima pertencente ao arco KZ e B é a projeção
ortogonal na reta AZ. Huygens, então, compara o tempo de queda (t
1
) ao longo de
E, quando o móvel parte de K com uma velocidade nula e sob efeito da aceleração
da gravidade, com o tempo (t
2
) correspondente a um movimento uniforme de queda
de ao longo de B com velocidade igual a que o móvel teria em Z, ao partir em queda
livre de A com velocidade nula, sob a ação da força de gravidade. Esta última
velocidade será denotada por v
z
. (fig. 2)
Figura 2
Considerando a ordenada BX medindo o tempo t
1
, tal que F é uma projeção
ortogonal do ponto K na reta BX. (Fig. 3), temos a seguinte razão:
BF
BX
t
t
2
1
44
Figura 3
O tempo de queda através do arco KZ é considerado como a soma de todos os
tempos t
1
, isso corresponde à superfície ASPR ... NΥ ... HVZA (Fig. 4), considerada
como a soma de todas as ordenadas BX
Figura 4 – superfície
Portanto,
BF
BX
)v(t
KZquedadetempo
z2
(1)
BF
BF
vt
vAZquedadetempo
z
)(
)(
22
(2)
fazendo a razão entre (1) e (2), tem-se
55
KZ
HVZANYASPR
BF
BX
vAZquedadetempo
KZquedadetempo
z
......
)(
56
55
v
z
significa o tempo de percurso de um elemento determinado B com velocidade v
z
.
56
[ ] KZ significa o retângulo AKΣZ
P
Σ
45
Huygens utilizando o Teorema da Velocidade Média, de Galileu, que reza que
“o tempo de queda AZ de um corpo em movimento com velocidade uniforme é a
metade do tempo da queda AZ com aceleração gravitacional”, concluí que
KZ
HVZA...NY...ASPR
2
1
AdepartindocorpoumdeAZquedadetempo
)v(AZquedadetempo
z
][)]([2 AdepartindocorpoumdeAZquedadetempovAZquedadetempo
z
Que é a afirmação que Huygens faz no final da página 393 e inicio da 394 de
seu trabalho: Et tempus per KZ ad tempus per AZ ut spatium infinitum
ASPRLNYHVMZA ad 2 [ ] KZ, ou seja
57
KZ2
HVZA...NY...ASPR
tAZ
tKZ
Ilustração 3 - parte da superior da p.394
Considerando F e G pontos de intersecção da reta CN com as KΣ e SM,
respectivamente
58
. A definição de BX, aplicada no ponto C, muito próximo de B, tem-
se que:
CN
CF
CG.CF
CQ.CQ
57
SE TZ = b; AZ = c então CN = 2 TZ , ou seja, CN = 2b
58
F e G são utilizados tanto para a reta B quanto para a C (na horizontal).
46
CN
CF
CG
CQ
22
Ou
222
CF
2
1
K
2
1
CQ
Sendo assim,
2222
CFCQ2CF
2
1
CQ
E como
CN
CF
CG.CF
CQ
2
Tem-se
CN
CQ2
CG
CQ
CN
CF
CG
CQ
2222
onde se conclui que
CG2CN
A partir daí, Huygens constrói uma reta CO como a terceira proporcional à CF e
à CQ, ou seja CO é tal que
CO
CQ
CQ
CF
ou
2
. CQCFCO
47
como
2
1
CF
CQ
2
2
,
obtemos
CF
2
1
CO
,
Ilustração 4 – parte central da p.394
Verifica-se, então, no original acima, que Huygens retoma a suposição de que a
circunferência de raio TZ tangencia a parábola ZKא no ponto Z.
Ilustração 5
Huygens constrói uma ordenada Bα qualquer da semicircunferência AIZ,
determinando Bβ de tal modo que
B
CI
CI
B
A proposição citada afirma que a superfície compreendida entre a curva assim
construída, as assíntotas AR, ZH e a reta AZ está para aquela do retângulo AW
numa razão igual àquela da semicircunferência p para o diâmetro q.
A'
48
Chamando esta superfície de O
2
e o espaço infinito AR...N...HZA de superfície,
considerado anteriormente, O
1
, temos que
Figura 6
KZ2
O
AdepartindomóvelumdeAZpercurso
KZquedadetempo
1
E, de acordo com a proposição anteriormente citada
q
p
AW
O
2
Temos também que
KZ2
AW
.
AW
O
.
O
O
KZ2
O
2
2
11
Figura 6
Pode-se notar que as ordenadas correpondentes BX e Bβ estão a uma razão
constante igual àquela das superfícies O
1
e O2, tem-se a relação
49
CI
B
CQ
BD.BE
2
Substituindo-se o valor obtido de BE.BD da expressão acima em BX teremos
B.CQ
CI.BG.BF
BD.BE
BG.BF
BX
2
22
Como
B
CI
B
2
Ilustração 6 – ultima parte da p.394
Então na razão
B
BX
, a única grandeza variável Bα desaparece. Para determinar
essa razão constante, toma-se o ponto B em C, o que resulta em:
CI
CN
O
O
2
1
50
A equação
KZ2
AW
.
AW
O
.
O
O
KZ2
O
2
2
11
Resulta em
AK2.q
p.CN
AK2
CI
.
q
p
.
CI
CN
.
KZ2
O
1
Figura 6
Considerando entre as ordenadas BX e Bβ uma razão constante igual a das
superfícies O
1
e O
2,
tem-se a relação
CI
B
CQ
BDBE
2
.
Multiplicando por BF
2
e BG, tem-se
CI
B.BF
CQ
BD.BE.BF
2
2
2
CI
B.BG.BF
CQ
BD.BE.BG.BF
2
2
2
51
De tal forma que BX seja
B.CQ
CI.BG.BF
BD.BE
BG.BF
BX
2
22
figura 6
E assim, concluir que
B
CI
B
2
B
CI
B.CQ
CI.BG.BF
B
BX
2
2
2
22
2
CI
B
.
B.CQ
CI.BG.BF
B
BX
CI
B
B.CQ
BG.BF
B
BX
2
2
Como
B
CI
CI
B
B
CI
B.CQ
BG.BF
B
BX
2
2
52
B.CQ
CI.BG.BF
BD.BE
BG.BF
BX
2
22
Ilustração 3 - parte da superior da p.394
E como TZ = b e AZ = c, então CN = 2TZ = 2b
AK.
p
q2
b2
AK2.q
p.b2
AK2.q
p.CN
considera-se AK como ordenada da parábola ZKא. Logo
TZ2.AZAK
Ou seja
KZ2
O
bc2.
p
q2
b2
AK2.q
P.CN
1
,
Huygens se utiliza das Relações de Euclides e, de acordo com esta teoria
pode-se concluir que:
53
h:fg:e
f:de:b
d:cb:a
Logo, a:g=c:h.
Ou seja,
CF:CIKZ:AW
q:pAW:O
CI:CNO:O
2
21
Portanto,
CF:CNKZ:O
1
Fazendo uma transformação da segunda equação de tal forma que seu terceiro
termo torne-se CI ou
c
2
1
, tem-se
C:c
2
1
q:p
,
logo
p
q.c.
2
1
C
Foi necessário a seguir transformar a terceira equação de tal maneira que seu
terceiro termo torne-se
C
.
CNocompriment
4
1
:CCF:CI
CN
4
1
p
q.c
2
1
CF
CI
54
CN
4
p
q.c
2
1
CF
CI
CI.p
q.c2
CF
CN
Como
KZ
O
CF
CN
1
CI.p
q.c2
KZ
O
1
CI.p
q.c
KZ2
O
1
bc2.
p
q2
b2
KZ2
O
1
Sabe-se que CN=2b, e assim tem-se a seguinte equação
bc2.
p
q2
CN
Sabendo que
bc2AZtempo
e que
bb2TZtempo
55
E como
bc2q
pb
ZAZ2
APRXNHVZA
KZ2
O
vAZpercurso
KZquedadetempo
1
z
Ilustração 7
E
bb2q
pb
vTZpercurso
KZquedadetempo
z
Sabe-se que o tempo de queda livre é proporcional a raiz quadrada da
distância (Galileu) e combinando as duas equações, temos
56
bb2q
pb
bc2q
pb
)v(TZpercurso
KZquedadetempo
)v(AZpercurso
KZquedadetempo
z
z
ou seja
bb2
cb2
bb2
bc2
)v(TZpercurso
)v(AZpercurso
z
z
Então,
b
c
)v(TZpercurso
)v(AZpercurso
z
z
,
Esta última equação contém a descoberta do tautocronismo da queda cicloidal.
O autor observa que o resultado obtido seria exato, se o ponto E se encontrasse
sobre a parábola ZKא e não sobre a circunferência. Porém, durante a demonstração,
E foi considerado uma única vez como ponto da circunferência, a relação entre os
elementos E e B foi substituída por
'BE
GB
ou
BE
TE
Figura 7
Assim foi substituída a circunferência por outra curva, de modo que TE
57
represente a normal em E, limitada pela vertical que passa por Z, não se tem mais a
igualdade TE = comprimento de GB (constante).
Coloca-se
'BE
GB
BE
TE
(GB com comprimento constante dado) e E' é situado
exatamente sobre a parábola ZKא, o raciocínio do texto continua sendo inteiramente
válido quando o tautocronismo encontrado advém de um tautocronismo exato.
Huygens observa que será assim, quando o ponto E encontra-se sobre uma
ciclóide e fará esta demonstração na segunda parte que se segue.
Ilustração 8
58
De uma parte da parábola as ordenadas são proporcionais aos quadrados das
abscissas, as distâncias percorridas por um móvel que cai a partir do repouso são
proporcionais aos quadrados dos tempos, por conseguinte também aos quadrados
das velocidades.
Como BK é uma constante, a proposição diz que BL é inversamente
proporcional à BD. Assim, dado que os tempos considerados são inversamente
proporcionais às velocidades. Estão também nessa proporção em relação às
ordenadas correspondentes da parábola, onde se tem que
CECHBDBL
Portanto, tem-se
)AOquedafinal.vel(vtetancons.velcomAOdepercursodetempo
repousodopartindomóvelumdeAOquedadatempo
1
2
0
AFerfíciesup
OFHLZAerfíciesup
OF
BL
Sendo assim,
OK
NF
KD.AK
FD.AF
KMKL
FHFG
59
Ilustração 9
Huygens compara os tempos nos quais um móvel percorre por um lado a
semicircunferência, por outro o diâmetro AB, com a mesma velocidade constante;
estes tempos estarão entre si como p (semicircunferência) : q (diâmetro). Portanto,
encontra-se outra expressão comparando um elemento F do arco AB com a sua
projeção D sobre diâmetro AB e observa-se que
VC
DM
DF
CV
DF
VF
Dpercursodetempo
Fpercursodetempo
sendo V o centro da circunferência. E conclui que
AQerfíciesup
ANMCOQBAerfíciesup
VC
DM
ABdiâmetropercursodetempo
ABnciacircunferêsemipercursodetempo
q
p
60
Figura 1
Este caso está apresentado na figura acima onde o “spatium infinitum” ASPR...
NY...HVZA é um "spatium datum"; ou seja, uma superfície de grandeza calculável.
Que pode ter demonstrado da seguinte forma: AA
1
o círculo gerador do arco
cicloidal ABB e B um ponto qualquer deste arco que corresponde à normal BD, têm-
se de acordo com a propriedade conhecida tangentes ao ciclóide: BD é paralelo a
GA
1
, quando BG é horizontal (paralelo a tangente no ponto A
1
da circunferência AA
1
)
e que G encontra-se sobre a circunferência AA
1
. Por conseqüência,
AC
AG
CG
GA
BC
BD
1
(por semelhança de triângulos)
61
Ilustração 10
59
Assim, toma-se um F, tal que:
CF
CE
BC
BD
ou CE é um comprimento arbitrário constante, que resulta em
CF
CE
AC
AG
ou
AC
AA
CE
ACAA
CEAC
AG
CEAC
CF
1
2
1
22
2
22
2
,
do que se conclui que o lugar do ponto F é uma parábola.
59
Os membros da Academia Holandesa de Ciências acrescentaram à figura acima os pontos A
1
e G.
62
Huygens continua sua demonstração do seguinte modo: admitiu que a curva
considerada possuía o vértice A e o eixo de simetria AD.
O "latus rectum" da parábola que deve provir da construção p, toma um
comprimento AA
1
como CE² = p. AA
1
; para que o círculo de diâmetro AA
1
possa
gerar o ciclóide rolando sobre uma perpendicular A
1
ao eixo AD. A tangente ao ponto
de intersecção do ciclóide com o prolongamento de CG é a paralela AG. Mas
tangente à curva primitiva (lugar dos pontos B) é igualmente paralelo à AG: com
efeito, tem-se que
1
2
2
AA
AC
CE
CF
,
por conseguinte
2
2
1
BD
BC
AA
AC
ou
BD
BC
AA
AG
1
ou
BD
BC
GA
CG
1
ou conclui-se que A
1
G é paralelo à DB, por conseguinte AG paralelo à tangente
de B
Do ponto A partem duas curvas que possuem tangentes paralelas entre elas os
seus pontos de intersecção com uma ordenada qualquer perpendiculares à AD.
63
Segundo os membros da SHC,
Huygens pode ter reconhecido intuitivamente que
estas curvas devem ser idênticas, e teria dado, se
fosse necessário, uma demonstração exata desta
identidade de acordo com um método análogo à
Prop.III da Parte II do Horologium Oscillatorium uma
proposição do mesmo tipo para duas curvas que
possuem normais comuns. (Tomo XVI, p.401,
tradução nossa)
Daqui em diante o trabalho de Huygens tem mais 4 partes (p.400 a 413), porém
todas se retratando ao trabalho Chartae Mechanicae que não será mostrado aqui,
pois tais partes consistem em demonstrações análogas as que já foram
apresentadas, nas quais o matemático demonstra o isocronismo da ciclóide
(tautócrona).
Como vimos, Huygens propõem a si próprio o problema do isocronismo do
pêndulo, preocupado em melhorar o desempenho do relógio de pêndulo já existente.
Ele resolve o problema com sucesso, porém um relógio de pêndulo, que ele
acreditava ser realmente eficiente para a utilização em navegação, só seria
construído em 1673.
64
4- CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com a parte histórica apresentada nesta pesquisa, observou-se que os irmãos
Bernoulli, quando propuseram o desafio, estavam preocupados com o
desenvolvimento da Matemática como Ciência, no caso da Braquistócrona, era o de
confirmar sua aplicação no desenvolvimento da matemática, mais tarde no Cálculo
de Variações.
Já Huygens se preocupou com a solução do Isocronismo do Pêndulo como um
meio de melhorar o relógio de pêndulo já existente, porém pouco eficiente para a
navegação. Com a descoberta do Tautocronismo da Ciclóide, pôde construir relógios
mais precisos, o que contribuiu na localização dos navios nas longitudes.
Pensando no objetivo aqui proposto, que era o de analisar como esses
matemáticos propuseram e resolveram os problemas do Isocronismo do Pêndulo e
da Braquistócrona, pôde-se observar a importância do papel desempenhado por
Mersenne ao disseminar a matemática produzida por grandes eruditos europeus,
como no caso de Galileu, pois tanto a primeira solução quanto a segunda partiram
do mesmo princípio norteador: a geometria grega e as teorias de Galileu sobre
corpos em movimento.
Mesmo que se trate de contextos distintos, a escolha de se trabalhar com
esses problemas deu-se porque, além de partirem do mesmo fundamento teórico,
65
ambos têm a mesma solução, a curva ciclóide. À época, essa curva era de interesse
de muitos eruditos, sendo chamada até mesmo de “Helena da Geometria” (BOYER,
1996).
Esses trabalhos desenvolvidos pelos Bernoulli e por Huygens em torno desse
“pomo da discórdia”, com comentários e complementos a seus cálculos, só faz
reforçar a validade da contribuição de tais matemáticos e torna acessível aos
contemporâneos a gênese dessas teorias, fundamentais para a compreensão do
desenvolvimento histórico e epistemológico das Equações Diferenciais.
Tal fato torna essa pesquisa de grande valia como material complementar para
um curso de Equações Diferenciais como, por exemplo, auxiliar na elaboração de
um conhecimento construído por meio da História da Matemática. Construído porque
não se trata de entregar ao aluno o conteúdo pronto, mas sim levá-lo a estabelecer
relações com o Cálculo diferencial, como é conhecido hoje, de forma que a História
seja parte do processo de fomento do raciocínio matemático.
Pode ainda ser um acionador de um a série de estudos e discussões acerca do
tema: Equações Diferenciais, conduzindo os graduandos s outros estudos.
66
5- REFERÊNCIAS
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Trad. de Elza F. São Paulo: Edgard
Blücher, 1996.
BARON, Margaret E. e BOS, H. J. M. Curso de História da Matemática: Origens e
desenvolvimento do Cálculo. Vol. 5. Trad. De José Raimundo Braga Coelho, Rudolf
Maier e Mª José M. M. Mendes. Brasília: Universidade de Brasília, 1985.
BURROWES,M.; FARINA, C. Sobre o pêndulo isócrono de Christiaan Huygens.
Revista Brasileira de Ensino de Física. Vol.7. no. 2. São Paulo, Abr/Jun 2005.
Disponível em: www.scielo.br/scielo.php Acessado em: 29/08/07.
COBRA, Rubens Queiroz. Filosofia Moderna: Resumos Biográficos. Site
www.cobra.pages.nom.br , INTERNET, Brasília, 1997. Acessado em 13/08/07.
EVES, Haword. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997.
GALILEI, Galileu. Duas Novas Ciências, incluindo: Da Força de Percussão. Tradução
de Letizio Mariconda e Pablo R. Mariconda. São Paulo: Nova Stella e Ched Editorial,
1935.
KATZ, Victor J. A History of Mathematics: an Introduction. 2
nd
ed. Addison-
WesleyEducational Publishers, Inc, 1998.
67
Œuvres Completes de Christiaan Huygens. Publiées par la Société Hollandaise des
Sciences: Martinus Nijhoff, La Haye, 1929, tomo XVI, pp 392-413. Disponível em:
http://gallica.bnf.fr
Œuvres Completes de Christiaan Huygens. Publiées par la Société Hollandaise des
Sciences: Martinus Nijhoff, La Haye, 1929, tomo XXII, pp 777-779. Disponível em:
http://gallica.bnf.fr
O'CONNOR, J. J. and ROBERTSON, E. F. The MacTutor History of Mathematics
archive. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk
SMITH, David E. History of Mathematics. Vol.1. New York: Dover Publicacions, INC,
1958.
STRUIK, D. J. A Source Book in Mathematics 1200 – 1800. Oxford: Princeton
University Press, 1990.
YODER, G. J. Unrolling Time – Christiaan Huygens and the Mathematization of
Nature. Cambrigde: Cambrigde University Press, 1988.
68
6- ANEXOS
Anexo 1- Publicações de Mersenne
60
1. L'usage de la raison (Paris 1623).
2. L'analyse de la vie spirituelle (Paris 1623) (still undiscovered).
3. Quaestiones celeberrimae in Genesim (Paris 1623) -- defended orthodox
theology against deists and atheists.
4. Observationes ... (Paris 1623) - Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim
-- second half of Quaestiones in Genesim that stopped after Chapter
6.Commentaire manuscript sur l'Evangile.
5. L'impiété des Déistes (Paris 1624)
6. De Gaferello judicium (Paris 1625).
7. La vérité des Sciences (Paris 1625) -- an account against Science Sceptics.
8. Synopsis mathematica (Paris 1626).
9. Traité de l'Harmonie Universelle (Paris 1627) -- a work on music, acoustics
and instruments which he continued to improve throughout his life.
Esquisse manuscrite d'un Traité de Son -- an outline of Traité du Son.
10. Petri Gassendi theology epistolica exercitatio (Paris 1630).
11. Questions inouyes (Paris 1634).
12. Questions Harmoniques (Paris 1634) -- includes many remarkable
findings in Physics, Ethics and other Sciences.
13. Les questions theologiques (Paris 1634) -- physics, ethics and
mathematics.
60
Lista retirada do site de História da Matemática: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk
69
14. Les mechaniques de Galilée (Paris 1634) (a translation into French of
Galileo's Dialogo).
15. Les préludes de l'Harmonie Universelle (Paris 1634) -- useful questions
for astrologers, theologians, doctors, philosophers and preachers.
16. Harmonicorum libri (Paris, 1635).
17. Harmonie universelle (Paris 1636) -- the theory and practice of music
including the nature of sound, movement, key, voice, mood and harmonic
instruments.
18. Les nouvelles pensées de Galilée (Paris 1639) -- a work on natural and
violent movement and the more subtle ideas of mechanics and physics (a
translation into French of Galileo's Discorsi).
19. Lettre à Naudé sur l'aimant (Paris 1639).
20. Universe Geometiae synopsis (Paris 1644).
21. Cogitata Physico-Mathematica (Paris 1644).
22. Novarum observationum physicomathematicorum (Paris 1647).
23. Liber Novus Praelusorius (Paris 1648).
24. Harmonicorum libri XII (Paris 1648).
25. L'optique et la catoptrique (Paris 1651).
26. Brouillon d'un ouvrage inachevé sur l'optique.
70
Anexo 2- Ciclóide
61
Equação Cartesiana Paramétrica
x = at - h sen(t), y = a - h cos(t)
A ciclóide é o lugar geométrico de um ponto na distância h do centro de um
círculo de raio a rolando ao longo de uma linha reta. Se h<a, então é curtate cycloid
enquanto que se h>a então é prolate cycloid. A curva extraída acima tem a=h.
A ciclóide foi estudada primeiramente por Cusa quando estava tentando
encontrar a área de um círculo pela integração.
Mersenne deu a primeira definição apropriada da ciclóide e indicou as
propriedades óbvias tais como o comprimento da base é igual ao do circulo que rola.
Tentou encontrar a área sob a curva pela integração mas falhou. Propôs essa
questão a outros matemáticos.
A curva foi nomeada por Galileu em 1599. Em 1639 escreveu a Torricelli sobre
a ciclóide, declarando que tinha estudado suas propriedades por 40 anos. Galileu
tentou encontrar a área comparando-a à área do círculo gerador. Depois que não
encontrou um método matemático recorreu pesar as partes de metal cortadas na
forma de ciclóide. Encontrou que a relação dos pesos era aproximadamente 3 para
1, mas decidido que não era exatamente 3, tal fato que supôs (errado) que a relação
não era racional.
61
Essa é uma tradução livre do texto de O'CONNOR e ROBERTSON, retirada da página da internet: http://www-
history.mcs.st-andrews.ac.uk
71
Mersenne propôs o problema da área a Roberval em 1628 e, embora falhasse
no início, foi resolvido por Roberval em 1634. Se a = h então a área sob um arco
será 3πa
2
. Roberval, orgulhoso de seu resultado, escreveu a Descartes narrando-o.
Descartes desafiou Roberval a encontrar um método de extrair uma tangente a
ciclóide que descobrisse como construir uma. Roberval falhou mas Fermat, que foi
incluído no desafio, obteve sucesso.
Vale a pena anotar que Torricelli descobriu a área da ciclóide e que Viviani
encontrou um método para construir uma tangente.
Em 1658 Pascal, após um período longo devotado à religião quando ignorou a
matemática, voltou a pensar sobre problemas matemáticos numa noite que não
conseguia dormir em conseqüência de dores. Resolveu o problema da área
qualquer segmento de ciclóide e do centro de gravidade de qualquer segmento.
Resolveu também os problemas do volume e da área de superfície do sólido de
revolução formado pela rotação da ciclóide sobre o eixo x. Pascal publicou suas
próprias soluções a seus problemas do desafio junto com uma extensão do
resultado encontrados por Wren.
Pascal publicou um desafio (não sob seu próprio nome mas sob o nome de
Dettonville) que oferecia dois prêmios pelas soluções destes problemas. Wallis e
Lalouère entraram mas a solução de Lalouère estava errada e Wallis não foi bem
sucedido também. Sluze, Ricci, Huygens, Wren e Fermat todos comunicaram suas
descobertas a Pascal sem entrar em competição. A contribuição de Wren foi o mais
notável porque encontrou o que o comprimento do arco é 8a.
A ciclóide tem a propriedade que uma partícula P que desliza em uma ciclóide
descreverá o movimento harmônico simples e o período será independente do ponto
de partida. Esta é a propriedade da tautócrona e foi descoberta por Huygens em
1673 (Horologium Oscillatorium). Ele construiu o primeiro relógio de pêndulo com
esse dispositivo para assegurar-se de que o pêndulo fosse isocrônico forçando o
pêndulo a balançar em um arco cicloidal. Entretanto apresentou muitos problemas
mecânicos para fazê-lo prático.
Desargues propôs dentes cicloidais para a engrenagem de roda por volta dos
72
anos 1630's.
Em 1696, Johann Bernoulli, no Acta Eruditorum, questionou qual a curva que
satisfaz à propriedade da braquistócrona. Já sabia a propriedade da braquistócrona
da ciclóide e publicou sua solução em 1697. Foi mostrada também por Leibniz,
Newton, Jacob Bernoulli e L'Hôpital. Era um dos problemas variacional avançado e
sua investigação era o ponto de partida para o desenvolvimento do cálculo de
variações.
A evoluta e a involuta de uma ciclóide são uma ciclóide idêntica. De fato, a
ciclóide foi estudada por Huygens e por causa de seu trabalho sobre ciclóide
desenvolveu uma teoria geral das evolutas das curvas.
73
Anexo 3- Indice da Acta Eruditorum
Figura
62
62
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1682 a 1693. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
74
Figura
63
63
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1682 a 1693. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
75
Figura
64
64
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1682 a 1693. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
76
Figura
65
65
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1682 a 1693. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
77
Figura
66
66
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1692 a 1701. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
78
Figura
67
67
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1692 a 1701. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
79
Figura
68
68
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1692 a 1701. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
80
Figura
69
69
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1692 a 1701. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
81
Figura
70
70
Índice da Acta Eruditorum de trabalhos publicados entre 1692 a 1701. Retirado do site da Biblioteca
Nacional da França - http://gallica.bnf.fr/
82
Anexo 4- Tomo XVI (p.392 a 413)
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
Anexo 5- Testamento
105
106
107
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