( PDF ) Desenvolvimento e implementação de um procedimento numérico para cálculo de conjuntos asa-empenagens de geometria complexa em regime de vôo subsônico, assimétrico e não linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERIAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA MECÂNICA

DESENVOLVIMENTO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM

PROCEDIMENTO NUMÉRICO PARA CÁLCULO DE

CONJUNTOS ASA-EMPENAGENS DE GEOMETRIA

COMPLEXA EM REGIME DE VÔO SUBSÔNICO,

ASSIMÉTRICO E NÃO LINEAR.

LUIZ AUGUSTO TAVARES DE VARGAS

Belo Horizonte 18 de Dezembro de 2006

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Luiz Augusto Tavares de Vargas

DESENVOLVIMENTO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM

PROCEDIMENTO NUMÉRICO PARA CÁLCULO DE

CONJUNTOS ASA-EMPENAGENS DE GEOMETRIA

COMPLEXA EM REGIME DE VÔO SUBSÔNICO,

ASSIMÉTRICO E NÃO LINEAR.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Minas Gerais,

como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Área de concentração: Projetos Mecânicos

Linha de Pesquisa: Aerodinâmica Aplicada

Orientador: Prof. Dr. Paulo Henriques Iscold Andrade de Oliveira

(Universidade Federal de Minas Gerais)

Belo Horizonte

Escola de Engenharia da UFMG

2006

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Agradecimentos

À Deus por cada passo dado ao longo da vida e pelas pessoas que encontro

na minha caminhada.

Ao Professor Paulo Henriques Iscold Andrade de Oliveira pelos

ensinamentos e confiança. Mais que um orientador, um grande amigo.

Ao Professor Cláudio Pinto de Barros, por ter plantado uma semente que

hoje se tornou uma árvore da qual tive a honra de experimentar um de seus frutos.

Aos demais professores e amigos do Centro de Estudos Aeronáuticos da

UFMG pelos conhecimentos adquiridos e experiências vividas.

Aos meus pais pelo carinho e amor incondicional.

Aos meus irmãos e padrinhos pelo apoio e conselhos.

À Marcela por sua companhia ao longo dos anos, pelo seu incentivo e por

ser minha fonte de força e inspiração.

"Nosso maior desejo na vida é encontrar

alguém que nos faça fazer o melhor que pudermos."

(Ralph Waldo Emerson)

INDICE

INDICE................................................................................................................................. I

LISTA DE FIGURAS....................................................................................................... IV

LISTA DE TABELAS .....................................................................................................VII

LISTA DE SIMBOLOS................................................................................................. VIII

RESUMO.............................................................................................................................X

ABSTRACT....................................................................................................................... XI

INTRODUÇÃO.........................................................................................................1

1.1 OBJETIVOS E JUSTIFICATIVAS .................................................................................2

1.2 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO.......................................................................................3

REVISÃO BILIOGRÁFICA ...................................................................................4

2.1 INTRODUÇÃO ..........................................................................................................4

2.2 ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL...............................................................................7

2.2.1 Região Potencial do Escoamento ....................................................................9

2.2.2 Região Viscosa do Escoamento .....................................................................10

2.3 ESCOAMENTO TRIDIMENSIONAL ...........................................................................13

2.3.1 Método da Linha Sustentadora......................................................................15

2.3.2 Método dos Painéis e Método de Vortex-Lattice...........................................16

2.3.3 Navier-Stokes.................................................................................................18

METODOLOGIA...................................................................................................20

3.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................20

3.2 ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL.............................................................................20

3.2.1 Tratamento do escoamento potencial ............................................................21

3.2.1.1 Hess e Smith........................................................................................................ 21

3.2.1.2 Distribuição Linear de Vórtices........................................................................... 25

3.2.2 Tratamento da Região Viscosa......................................................................28

3.2.2.1 Caracterização da Camada Limite....................................................................... 28

3.2.2.1.1 Espessura da Camada Limite ...................................................................... 28

3.2.2.1.2 Espessura de Deslocamento ........................................................................ 29

3.2.2.1.3 Espessura de Quantidade de Movimento ou Espessura de Momentum....... 30

3.2.2.1.4 Espessura de Energia .................................................................................. 30

3.2.2.1.5 Fator de Forma da Espessura de Deslocamento .......................................... 30

3.2.2.1.6 Fator de Forma da Espessura de Energia .................................................... 30

3.2.2.1.7 Números de Reynolds ................................................................................. 31

3.2.2.2 Modelos de Camada Limite ................................................................................ 31

3.2.2.2.1 Inicio do Desenvolvimento da Camada Limite........................................... 31

3.2.2.2.2 Modelo Laminar: Thwaites......................................................................... 32

3.2.2.2.3 Modelo de Transição: Michel ..................................................................... 34

3.2.2.2.4 Modelo de Turbulência: Head..................................................................... 34

3.2.2.3 Estimativa do Arrasto.......................................................................................... 36

3.2.2.4 Correção no coeficiente de sustentação devido ao descolamento: Estol.............. 38

3.3 ESCOAMENTO TRIDIMENSIONAL ...........................................................................39

3.3.1 O método Vortex-Lattice Linear....................................................................40

3.3.1.1 Sistema de Coordenadas...................................................................................... 46

3.3.1.2 Tipos de Malha Possíveis.................................................................................... 48

3.3.2 O Método Não Linear....................................................................................48

3.3.3 O Arrasto Induzido ........................................................................................53

3.3.4 Esteira livre ...................................................................................................55

O SOFTWARE IMPLEMENTADO.....................................................................58

4.1 CEA- 2D...............................................................................................................58

4.2 CEA-VLM............................................................................................................58

4.3 AMBIENTES DE PRÉ E PÓS PROCESSAMENTO ........................................................59

RESULTADOS........................................................................................................62

5.1 ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL.............................................................................62

5.1.1 Comparação entre as formulações de Método dos Painéis bidimensionais..62

5.1.2 Comparação com outros softwares e resultados experimentais....................64

5.2 ESCOAMENTO TRIDIMENSIONAL ...........................................................................75

5.2.1 Comparação com outros softwares disponíveis.............................................75

5.2.2 Comparação entre a teoria linear e a não linear ..........................................82

5.2.3 Comparação entre as Técnicas de Medição do Arrasto Induzido.................85

5.2.4 Comparação com resultados experimentais..................................................89

5.2.4.1 Asa retangular simples ........................................................................................ 89

5.2.4.2 Deflexão de comando.......................................................................................... 90

5.2.5 Geometria da esteira .....................................................................................93

5.2.6 Resultados ao longo da corda .......................................................................96

5.2.7 Aplicação em uma aeronave real e comparação com o método tradicional.98

5.2.8 Tempo de processamento.............................................................................100

CONCLUSÕES.....................................................................................................102

6.1 QUANTO AO SOFTWARE BIDIMENSIONAL ............................................................102

6.2 QUANTO AO SOFTWARE TRIDIMENSIONAL ..........................................................103

6.3 QUANTO À PLATAFORMA COMPUTACIONAL ESCOLHIDA .....................................103

6.4 CONCLUSÃO FINAL..............................................................................................104

III

SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS...............................................105

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................106

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2-1 FORMULAÇÃO DE CAMADA LIMITE PROPOSTA POR PRANDTL.....................................................5

FIGURA 2-2 DESENVOLVIMENTO DO ESCOAMENTO SOBRE UM PERFIL AERODINÂMICO.................................7

FIGURA 2-3 CONDIÇÃO DE KUTTA ..............................................................................................................10

FIGURA 2-4 FLUXO DE AR PARALELO À DIREÇÃO DE VÔO. ..........................................................................13

FIGURA 2-5 FORMAÇÃO DE VÓRTICE DE PONTA DE ASA. .............................................................................13

FIGURA 2-6 VÓRTICE DE PONTA DE ASA EM UMA AERONAVE AGRÍCOLA NO MOMENTO DA LIBERAÇÃO DO

AGROTÓXICO

. ....................................................................................................................................14

FIGURA 2-7 CARACTERÍSTICAS AERODINÂMICAS TÍPICAS EM UMA ASA RETANGULAR................................14

FIGURA 2-8 DISTRIBUIÇÃO DO COEFICIENTE DE SUSTENTAÇÃO TÍPICA EM UMA ASA TRAPEZOIDAL. ..........15

FIGURA 2-9 RESULTADO DE DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÃO OBTIDA COM MÉTODO DOS PAINÉIS PARA A

AERONAVE

CEA 308 (OLIVEIRA, 2001).............................................................................................17

FIGURA 2-10 RESULTADO DE DIFERENCIAL DE PRESSÃO OBTIDA COM O MÉTODO DE VORTEX-LATTICE ....17

FIGURA 2-11 MODELO EM VOLUMES FINITOS DE UMA AERONAVE ..............................................................18

FIGURA 3-1 DISCRETIZAÇÃO DE UM PERFIL ATRAVÉS DE PAINÉIS ...............................................................22

FIGURA 3-2 SISTEMAS DE COORDENADAS ...................................................................................................22

FIGURA 3-3 DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO

..............................................................................................24

FIGURA 3-4 CARACTERÍSTICAS DAS DISTRIBUIÇÕES DE SINGULARIDADES EM CADA MÉTODO. ...................25

FIGURA 3-5 NOMENCLATURA UTILIZADA NA FORMULAÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE VÓRTICE LINEAR ...........26

FIGURA 3-6 DESENVOLVIMENTO DA CAMADA LIMITE .................................................................................28

FIGURA 3-7 ESPESSURA DE DESLOCAMENTO ..............................................................................................29

FIGURA 3-8 ESPESSURA DE DESLOCAMENTO...............................................................................................29

FIGURA 3-9 FORMULAÇÃO DE CAMADA LIMITE PROPOSTA POR HEAD ........................................................34

FIGURA 3-10 ARRASTO DE PRESSÃO ...........................................................................................................37

FIGURA 3-11 RELAÇÕES GEOMÉTRICAS PARA O MODELO DE DESCOLAMENTO............................................39

FIGURA 3-12 REPRESENTAÇÃO DO VÓRTICE FERRADURA ..........................................................................41

FIGURA 3-13 FILAMENTO DE VÓRTICE ........................................................................................................41

FIGURA 3-14 VELOCIDADE INDUZIDA POR UM FILAMENTO DE VÓRTICE......................................................42

FIGURA 3-15 DISTRIBUIÇÃO DE VÓRTICES FERRADURA UTILIZADO NO MÉTODO PROPOSTO........................43

FIGURA 3-16 SISTEMA DE VÓRTICE ADOTADO.............................................................................................44

FIGURA 3-17 FORMAS DE ALINHAMENTO DO VÓRTICE COM O ESCOAMENTO NA ESTEIRA FIXA ...................44

FIGURA 3-18 TEOREMA DE KUTTA-JOUKOWSKI .........................................................................................46

FIGURA 3-19 FORÇAS ATUANTES EM UMA AERONAVE DURANTE UMA MANOBRA .......................................46

FIGURA 3-20 SISTEMAS DE COORDENADAS UTILIZADOS .............................................................................47

FIGURA 3-21 TIPOS DE MALHA DISPONÍVEIS ...............................................................................................48

FIGURA 3-22 VARIAÇÃO DA CIRCULAÇÃO EM FUNÇÃO DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO...................52

FIGURA 3-23 VARIAÇÃO DA CIRCULAÇÃO EM FUNÇÃO DO COEFICIENTE DE DISSIPAÇÃO ............................52

FIGURA 3-24 VOLUME DE CONTROLE UTILIZADO PARA MEDIR O ARRASTO INDUZIDO.................................53

FIGURA 3-25 CÁLCULO DO ARRASTO INDUZIDO NO CEA-VLM..................................................................55

FIGURA 3-26 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS DE ESTEIRA PLANA E ESTEIRA LIVRE...............................56

FIGURA 3-27 EVOLUÇÃO DAS LINHAS DE CORRENTE E DOS VÓRTICES FERRADURA ....................................56

FIGURA 4-1 AMBIENTE BIDIMENSIONAL DESENVOLVIDO ............................................................................60

FIGURA 4-2 AMBIENTE TRIDIMENSIONAL DESENVOLVIDO ..........................................................................61

FIGURA 5-1 COMPARAÇÃO ENTRE AS FORMULAÇÕES DE MÉTODO DOS PAINÉIS BIDIMENSIONAIS ...............63

FIGURA 5-2 DIFERENÇA ENTRE AS FORMULAÇÕES POTENCIAIS NO COEFICIENTE DE PRESSÃO. ...................63

FIGURA 5-3 RESULTADOS PARA O PERFIL NACA 0012...............................................................................66

FIGURA 5-4 RESULTADOS PARA O PERFIL NACA 4415...............................................................................66

FIGURA 5-5 RESULTADOS PARA O PERFIL NACA 23015.............................................................................67

FIGURA 5-6 RESULTADOS PARA O PERFIL NACA 632415...........................................................................67

FIGURA 5-7 RESULTADOS PARA O PERFIL NLF(1)-0215F ...........................................................................68

FIGURA 5-8 PONTUAÇÃO NORMALIZADA OBTIDA NA DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE SUSTENTAÇÃO.69

FIGURA 5-9 PONTUAÇÃO NORMALIZADA OBTIDA NA DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE MOMENTO

AERODINÂMICO

.................................................................................................................................70

FIGURA 5-10 PONTUAÇÃO NORMALIZADA OBTIDA NA DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE ARRASTO.......70

FIGURA 5-11 COMPARAÇÃO ENTRE A DISTRIBUIÇÃO DO COEFICIENTE DE PRESSÃO. ...................................72

FIGURA 5-12 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS POTENCIAL E VISCOSO PARA O COEFICIENTE DE

PRESSÃO

. ...........................................................................................................................................73

FIGURA 5-13 COMPARAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE CAMADA LIMITE ..................................................74

FIGURA 5-14 MODELO CRIADO NOS TRÊS SOFTWARES EM QUESTÃO...........................................................77

FIGURA 5-15 RESULTADOS EQUIVOCADOS ENCONTRADOS COM O SOFTWARE TORNADO............................78

FIGURA 5-16 COMPARAÇÃO ENTRE O CEA-VLM E O AVL EM FUNÇÃO DO ÂNGULO DE ATAQUE. .............79

FIGURA 5-17 COMPARAÇÃO ENTRE O CEA-VLM E O AVL EM FUNÇÃO DO ÂNGULO DE DERRAPAGEM. ....80

FIGURA 5-18 COMPARAÇÃO ENTRE O CEA-VLM E O AVL EM FUNÇÃO DO ÂNGULO DA VELOCIDADE DE

ROLAMENTO

. .....................................................................................................................................80

FIGURA 5-19 COMPARAÇÃO ENTRE O CEA-VLM E O AVL EM FUNÇÃO DO ÂNGULO DA VELOCIDADE DE

ARFAGEM

...........................................................................................................................................81

FIGURA 5-20 COMPARAÇÃO ENTRE O CEA-VLM E O AVL EM FUNÇÃO DO ÂNGULO DA VELOCIDADE DE

GUINADA

. ..........................................................................................................................................81

FIGURA 5-21 CARACTERÍSTICAS AERODINÂMICAS DO PERFIL NACA 0012 ................................................82

FIGURA 5-22 DISTRIBUIÇÃO DE CL EM UMA ASA RETANGULAR TÍPICA.......................................................83

FIGURA 5-23 DISTRIBUIÇÃO DE CL EM UMA ASA TRAPEZOIDAL TÍPICA. .....................................................83

FIGURA 5-24 POLAR AERODINÂMICA DA ASA RETANGULAR EM QUESTÃO OBTIDA COM O SOFTWARE

IMPLEMENTADO

.................................................................................................................................84

FIGURA 5-25 POLAR AERODINÂMICA DA ASA TRAPEZOIDAL EM QUESTÃO OBTIDA COM O SOFTWARE

IMPLEMENTADO

.................................................................................................................................84

FIGURA 5-26 ARRASTOS INDUZIDOS OBTIDOS COM O MÉTODO LINEAR EM PERFIL SIMÉTRICO....................86

FIGURA 5-27 ARRASTOS INDUZIDOS OBTIDOS O MÉTODO NÃO LINEAR EM PERFIL SIMÉTRICO ....................86

FIGURA 5-28 ARRASTOS INDUZIDOS OBTIDOS O MÉTODO NÃO LINEAR EM PERFIL ASSIMÉTRICO ................86

FIGURA 5-29 ESTUDO DO ARRASTO INDUZIDO NO TREFFTS-PLANE EM CONJUNTO COM O MODELO DE

ESTEIRA LIVRE NO SOFTWARE

CEA-VLM.........................................................................................88

FIGURA 5-30 CURVAS POLARES OBTIDAS NUMERICAMENTE E EXPERIMENTALMENTE PARA DIVERSAS ASAS

RETANGULARES

, UTILIZANDO O PERFIL NACA 4415.........................................................................89

FIGURA 5-31 ASA UTILIZADA PARA COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS NUMÉRICO E EXPERIMENTAL. ..........90

FIGURA 5-32 RESULTADOS EXPERIMENTAIS OBTIDOS COM O PERFIL NACA 23012....................................91

FIGURA 5-33 ÂNGULOS DE ATAQUES EFETIVOS ATUANTES NA ASA. ...........................................................91

FIGURA 5-34 RESULTADOS PARA ASA RETANGULAR COM 10º DE ÂNGULO DE ATAQUE...............................92

FIGURA 5-35 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS NUMÉRICOS E EXPERIMENTAIS ..................................93

FIGURA 5-36 COMPARAÇÃO ENTRE AS ESTEIRAS GERADAS PELOS SOFTWARES ..........................................94

FIGURA 5-37 INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DA ESTEIRA NA CURVA DE SUSTENTAÇÃO. ................................94

FIGURA 5-38 SITUAÇÕES ONDE A GEOMETRIA DA ESTEIRA TORNA-SE FUNDAMENTAL................................95

FIGURA 5-39 ENROLAMENTO DOS VÓRTICES AO LONGO DA ENVERGADURA DEVIDO AO ESTOL, VISTA POR

DE TRÁS DA ASA

.................................................................................................................................96

FIGURA 5-40 RECUPERAÇÃO DAS INFORMAÇÕES AO LONGO DA CORDA E DO INTRADORSO E EXTRADORSO

ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DOS RESULTADOS BIDIMENSIONAIS

...........................................................97

FIGURA 5-41 DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÃO NO INTRADORSO E NO EXTRADORSO ATUANTE EM CADA SEÇÃO DA

ASA

....................................................................................................................................................98

FIGURA 5-42 UTILIZAÇÃO DO CEA-VLM NA AERONAVE TRIATHLON........................................................99

FIGURA 5-43 – TEMPO DE PROCESSAMENTO E PRECISÃO NOS RESULTADOS EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE

PAINÉIS COM ESTEIRA FIXA..............................................................................................................101

FIGURA 5-44 – TEMPO DE PROCESSAMENTO E PRECISÃO NOS RESULTADOS EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE

PAINÉIS COM ESTEIRA LIVRE............................................................................................................101

VII

LISTA DE TABELAS

TABELA 3-1 INFLUÊNCIA DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO ................................................................52

TABELA 3-2 INFLUÊNCIA DO COEFICIENTE DE DISSIPAÇÃO .........................................................................52

TABELA 5-1 COMPARAÇÃO ENTRE AS FORMULAÇÕES DE MÉTODO DOS PAINÉIS BIDIMENSIONAIS ..............62

TABELA 5-2 SOFTWARES DISPONÍVEIS PARA A COMPARAÇÃO BIDIMENSIONAL .........................................64

TABELA 5-3 INCLINAÇÕES DA CURVA DE SUSTENTAÇÃO (1/RADIANOS) .....................................................68

TABELA 5-4 ÂNGULO DE SUSTENTAÇÃO NULA (GRAUS).............................................................................68

TABELA 5-5 SOFTWARES DISPONÍVEIS PARA A COMPARAÇÃO TRIDIMENSIONAL .......................................76

VIII

LISTA DE SIMBOLOS

Letras Gregas

Ângulo de incidência do escoamento no plano ,

y no caso

bidimensional e no plano ,

z no caso tridimensional, conhecido como

ângulo de ataque.

Ângulo de sustentação nula do perfil.

Ângulo de incidência do escoamento no plano ,

y , só existindo no

caso tridimensional, conhecido como ângulo de derrapagem; ângulo

entre o centro do painel i e os nós do painel j.

Espessura da camada limite.

Espessura de deslocamento.

Espessura de momentum.

Espessura de energia.

Circulação.

Intensidade dos vórtices

,,,

φφφ

∞

Função Potencial, os subscritos referem-se ao escoamento não

perturbado, fontes e vórtices respectivamente.

Adimensional utilizado na solução da camada limite, afilamento.

Viscosidade Dinâmica.

Fator de dissipação.

Densidade do fluido.

Ângulo formado por

r e a horizontal ou o sistema de coordenadas

local, dependendo da formulação de método dos painéis a que se refere.

Tensão de cisalhamento no fluido e na parede respectivamente.

Sistema de coordenadas local, sendo

tangente e

normal à

superfície.

Ω



Velocidade angular de manobra.

Letras Latinas

AR Alongamento.

i,j Índices de que identificam os painéis.

Corda do perfil aerodinâmico.

Coeficiente de dissipação.

Coeficiente de arrasto.

Coeficiente de arrasto induzido.

Coeficiente de atrito.

Coeficiente de sustentação.

Coeficiente de Pressão

Arrasto.

ind

Arrasto Induzido.



Força.

,,,

xyz

gg g g

Aceleração gravitacional, campo gravitacional nas direções

respectivamente.

Índice dos elementos de uma matriz ou vetor

Fator de forma da espessura de deslocamento.

Fator de forma da espessura de energia.

Fator de amortecimento.

Sustentação.



Normal do painel.

Pressão; velocidade angular de rolamento.

Velocidade angular de arfagem; intensidade das fontes.

Vazão volumétrica dentro da camada limite.



Velocidade induzida por cada segmento de vórtice.

Velocidade angular de guinada; vetor entre o ponto de controle e o

ponto onde está sendo calculada a velocidade induzida.

Re ,

, Re

Número de Reynolds, baseado nas dimensões características ,

c ,

respectivamente.

s Distância percorrida sobre a superfície do perfil.

Tempo.

,,uvw

Campo de velocidade nas direções

respectivamente.

Sistema de coordenadas globais.

Velocidade na fronteira da camada limite.

∞

Velocidade do escoamento não perturbado.

Velocidade tangente nos pontos de controle.

RESUMO

Este trabalho apresenta o desenvolvimento e a implementação

computacional de um procedimento numérico para a estimativa das características

aerodinâmicas de perfis e conjuntos asa-empenagens em regime subsônico. O

procedimento bidimensional é baseado no Método dos Painéis utilizando modelos

empíricos de camada limite. O procedimento tridimensional é baseado no Método de

Vortex-Lattice, porém, sua formulação permite a predição das características

aerodinâmicas de maneira não linear, abaixo e acima do estol, através da utilização das

características bidimensionais dos perfis da asa e da empenagem e em condições

assimétricas de vôo. Foi incluído ainda modelos de esteira livre e medição de arrasto

induzido através da variação de

Momemtum. Através da comparação com outros

softwares similares e com resultados experimentais são demonstradas suas vantagens,

confiabilidade e flexibilidade. Este procedimento se mostrou altamente recomendável

para a solução dos problemas típicos em projeto de aeronaves subsônicas, suprindo as

necessidades desde as fases iniciais até fases mais avançadas de projeto, podendo ser

utilizado inclusive para otimização e simulação de vôo, devido ao baixo custo

computacional necessário.

ABSTRACT

This work presents the development and computer implementation of a

numeric procedure for estimation of aerodynamic characteristics of wing-tail groups in

subsonic environments. The bi-dimensional procedure is based on the Panel Method

using empirical models of boundary layers. The tri-dimensional procedure is based on

the Vortex-Lattice Method; however, its formulation permits the prediction of the

aerodynamic characteristics in a non-linear way, below and above the stall, through the

utilization of the bi-dimensional airfoil characteristics that composes the wing and tail

and in non-symmetrical flight conditions. It’s also included a free wake model and

induced drag measurement through the

Momentum variation. Through the comparison

with similar others softwares and experimental results is demonstrated its advantages,

trustworthiness and flexibility. This procedure was showed as highly recommendable

for the solution of the typical problems in project of subsonic aircrafts, supplying the

necessities since the initial phases until more advanced phases of project, being able

also to be used for optimization and flight simulation, due to the necessary low

computational cost.

INTRODUÇÃO

Sabe-se que o desempenho e as características de vôo de uma aeronave são

bastante afetados pelo seu projeto aerodinâmico, o qual pode ser feito, atualmente, com

o auxílio de diversas ferramentas. Dentre as principais, podem-se ser citados os ensaios

em túnel de vento e as simulações computacionais, mais conhecidas como CFD

(Computational Fluid Dynamics).

Os testes em túneis de vento podem apresentar maior confiabilidade nos

resultados em relação aos métodos numéricos, entretanto, ainda são procedimentos

demorados, com custos bastante elevados e também possuem uma série de erros e

incertezas associados ao experimento que devem ser estudados com cautela. Já os

métodos computacionais permitem análises mais rápidas e com custos inferiores,

sobretudo devido ao aumento da capacidade de processamento que se observou nas

ultimas décadas. Para efeito comparativo, um método de cálculo aerodinâmico

relativamente simples, levava cerca de um dia inteiro de processamento na década de

1950 (Ganer e Bryant, 1952), enquanto que nos dias atuais esse mesmo cálculo é feito

em milésimos de segundo, justificando assim a rápida expansão da utilização de

simulações computacionais.

No entanto, vale ressaltar que, devido à complexidade física envolvida no

escoamento, os métodos numéricos em dinâmica de fluidos se referem normalmente a

fenômenos específicos e, em geral, não apresentam resultados completamente fieis à

realidade, podendo existir uma discrepância que pode variar de sutil ao absurdo,

cabendo ao programador e ao usuário a validação do resultado baseado em

experimentos similares anteriores, no bom senso e na coerência física envolvida. Ainda

devido à complexidade física, o tempo gasto com o processamento do modelo numérico

regente pode variar de milésimos de segundos até dias ou semanas, dependendo do nível

de detalhamento do modelo e da precisão desejada.

Particularmente, para o projeto aerodinâmico de uma aeronave, é desejável

que se tenham, de acordo com a conveniência, diferentes níveis de detalhamento do

modelo para cada uma das etapas específicas do projeto.

Nas etapas iniciais de concepção e projeto onde diversas configurações de

asas e empenagens são avaliadas, é interessante a obtenção dos resultados de maneira

rápida, visando uma boa precisão no cálculo das forças aerodinâmicas resultantes

(sustentação e arrasto), sem necessidade de se conhecer em detalhes todo o campo do

escoamento.

Nas etapas finais de projeto, onde já foi estabelecida a configuração básica

da aeronave e se deseja fazer ajustes finos em sua configuração, pode ser necessária a

utilização de um modelo matemático mais complexo que, apesar de demandar um

grande tempo de processamento, fornece informações mais detalhadas de todo o campo

do escoamento.

Já nas etapas de simulação de vôo, onde também não é necessário um

grande detalhamento dos resultados, mas o volume de informações é elevado (tabelas

multidimensionais dos coeficientes aerodinâmicos em função dos ângulos de incidência

do escoamento e velocidades angulares da aeronave e atitude), o método de geração das

características aerodinâmicas de vôo deve ser o mais rápido possível, sendo desejável

até mesmo um procedimento de cálculo em tempo real.

1.1 Objetivos e Justificativas

Tendo em vista as necessidades das etapas de concepção, projeto e

simulação de vôo de aeronaves leves, o objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de

um método de cálculo aerodinâmico rápido, robusto e flexível, que permita níveis de

detalhamento, velocidades de processamento, precisão de resultados e condições de

contorno, compatíveis com os requisitos de cada uma das etapas do desenvolvimento

aeronáutico.

Este trabalho se justifica pela necessidade da sociedade científica brasileira

ter uma ferramenta desenvolvida no país, portanto com código aberto aos pesquisadores

brasileiros, que possa ser utilizada nas fases de concepção, projeto e simulação de vôo

de aeronaves leves subsônicas.

Recentemente, tem-se observado ainda que, vários grupos de pesquisas

relacionados ao desenvolvimento de aeronaves não tripuladas autônomas (UAV) estão

utilizando softwares estrangeiros da década de 1970 ou, até mesmo códigos mais

recentes, porém com documentação falha e problemas de programação, para o

desenvolvimento dos modelos aerodinâmicos necessários para o projeto dos sistemas de

controle. Com este trabalho, espera-se oferecer a estes pesquisadores uma alternativa

mais eficaz e robusta.

1.2 Organização do Texto

Nos capítulos que se seguem neste trabalho serão apresentados os seguintes

assuntos:

• No capítulo 2 serão apresentadas e discutidas as principais metodologias

utilizadas em aerodinâmica computacional que visam suprir as

necessidades de projeto de aeronaves, possibilitando assim a escolha das

metodologias mais adequadas para a realização deste trabalho.

• No capítulo 3 as metodologias eleitas como sendo as mais adequadas ao

trabalho proposto serão discutidas detalhadamente, formando assim todo

o equacionamento necessário para a solução do problema.

• No capitulo 4 serão discutidas brevemente as necessidades

computacionais para implementação do software e será determinada da

linguagem de programação a ser utilizada.

• No capítulo 5 serão apresentados e discutidos os resultados obtidos com

o software implementado.

• No Capitulo 6 serão apresentadas as conclusões e realizados os

comentários finais sobre o software implementado e a metodologia

utilizada.

• No Capitulo 7 serão apresentados sugestões para trabalhos futuros.

REVISÃO BILIOGRÁFICA

2.1 Introdução

Segundo White (1999), as equações que regem o escoamento de um fluido

newtoniano, com densidade e viscosidade constantes, são conhecidas como Equações de

Navier-Stokes (equação 2.1), assim chamadas em homenagem a Claude-Louis Navier

Sir George G. Stokes

, aos quais se atribui o crédito por tê-las deduzido.

222

p uuu u u u u

guvw

xxyz txyz

pvvv vvvv

guvw

yxyz txyz

www w w w w

guvw

zxyz txyz

ρµ ρ

⎛⎞

∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

−+ + + = + + +

⎜⎟

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

⎝⎠

⎛⎞

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

−+ + + = + + +

⎜⎟

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

⎝⎠

⎛⎞

∂

∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

−+ + + = + + +

⎜⎟

∂

∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎝⎠

2.1

Nestas equações

denota a densidade do fluido, ,,

yz o sistema de

coordenadas,

xyz

ggg, o campo gravitacional nas direções ,,

yz respectivamente,

a pressão,

a viscosidade dinâmica do fluido, ,,uvw as velocidades do escoamento

nas direções

yz respectivamente e t o tempo.

No entanto, as equações de Navier-Stokes são bastante complexas de serem

resolvidas, principalmente em geometrias arbitrárias e onde os efeitos viscosos são

intensos. Uma alternativa para esse problema foi proposta por Ludwig Prandtl

que

através da sua teoria conhecida como camada limite, sugere que o campo de escoamento

possa ser dividido em duas regiões distintas, conforme mostrado na Figura 2-1, que

podem ser resolvidas separadamente (White, 1999):

Claude-Louis Navier (1785 – 1836) nasceu em Paris, e formou-se em engenharia civil. Apesar de não

ser sua área de atuação, sua mais importante contribuição foi a dedução da equação que leva seu nome.

Sir. George Stokes (1819 - 1903) nasceu na Irlanda e formou-se em matemática. Proporcionou diversas

contribuições na área da física, óptica e da dinâmica de fluidos.

Ludwig Prandtl (1875-1953) nasceu na Alemanha em 1875, e é conhecido como o pai da aerodinâmica

moderna devido a suas importantes contribuições, que entre as diversas destacam-se a teoria da camada

limite e a teoria da linha sustentadora.

• Região viscosa: Uma região próxima ao corpo, na qual as forças viscosas

governam o escoamento (

≠

• Região potencial: Uma região afastada do corpo, na qual as forças

inerciais governam o escoamento ( 0

≈

Figura 2-1 Formulação de camada limite proposta por Prandtl

As equações que regem a região potencial do escoamento são conhecidas

como equações de Euler

, que podem ser obtidas através da equação de Navier-Stokes

desconsiderando-se o termo viscoso conforme mostrado na equação 2.2 (White, 1999).

uuu u

guvw

txyz

vvv v

guvw

ytxyz

www w

guvw

ztxyz

ρρ

⎛⎞

∂∂∂∂∂

−= + + +

⎜⎟

∂∂∂∂∂

⎝⎠

⎛⎞

∂∂∂∂∂

−= + + +

⎜⎟

∂ ∂∂∂ ∂

⎝⎠

⎛⎞

∂∂∂∂∂

−= + + +

⎜⎟

∂∂∂∂∂

⎝⎠

2.2

Ou em notação vetorial:

ρρ

−∇ =









2.3¨

No entanto, em aerodinâmica computacional subsônica, uma forma mais

prática para a solução da região potencial do escoamento pode ser feita considerando o

Leonhard Euler (1707- 1783) nasceu na Suíça, e é considerado o maior matemático do século dezoito, e

entre suas contribuições destacam-se além da área de dinâmica de fluidos e mecânica, importantes

notações e soluções matemáticas.

fluido como sendo incompressível e irrotacional, levando à equação conhecida como

equação de Laplace

conforme mostrado na equação 2.4 (White, 1999).

222

xyz

φφφ

∂∂∂

∇= + + =

∂∂∂

2.4

Onde

é chamada função potencial, de tal forma que:

uvw

φφ

∂

∂∂

=− =− =−

∂

∂∂

2.5

Sendo

u , v e w a velocidade do escoamento nas direções

, y e z

respectivamente.

Já a região viscosa do escoamento é mais complexa de ser solucionada,

sendo que em geral, não é usado em aerodinâmica computacional um modelo teórico, e

sim um modelo empírico, ou semi-empírico, baseado em medições experimentais,

utilizando a solução do escoamento potencial como condição de contorno.

Além da separação do escoamento em potencial e viscoso, uma segunda

distinção bastante usual em aerodinâmica, sobretudo no calculo de superfícies

sustentadoras como asas e empenagens, consiste em distinguir o escoamento em função

da sua geometria:

• Escoamento Bidimensional: É o escoamento que ocorre em torno do

perfil aerodinâmico da asa, desconsiderando o fluxo de massa na direção

da envergadura. Pode ser interpretado também como o escoamento que

ocorre em cada sessão de uma asa com envergadura infinita, não

possuindo efeitos tridimensionais associados às pontas de asa.

• Escoamento Tridimensional: É o escoamento que ocorre em torno de

uma asa finita, onde surgem diversos efeitos associados com o término

das superfícies sustentadoras.

Pierre Simon Laplace (1749-1827), nasceu na Normandia atuando nas áreas matemática, astronomia e

física. Além da Equação de Laplace, apresentada nesse texto, outro famoso trabalho é sua transformada,

para solução de equações diferenciais.

Para o projeto de aeronaves se faz frequentemente uso destas distinções,

aproveitando informações obtidas através de condições ou modelos bidimensionais para

calcular ou estimar os fenômenos que ocorrem em condições tridimensionais.

2.2 Escoamento Bidimensional

Um resumo do desenvolvimento do escoamento sobre um perfil

aerodinâmico, do ponto de vista bidimensional, pode ser visto na Figura 2-2.

Figura 2-2 Desenvolvimento do escoamento sobre um perfil aerodinâmico

Segundo Drela e Giles (1987), e conforme já foi dito anteriormente, a

grande variedade de procedimentos para cálculo de perfis aerodinâmicos pode ser

dividida em:

• Algoritmos que resolvem o escoamento completo (equações de Navier-

Stokes)

• Algoritmos que resolvem separadamente as regiões viscosas e potenciais

(baseados na teoria de camada limite).

Em seu trabalho Drela e Giles (1987) afirmam também que os métodos

baseados nas equações de Navier-Stokes são muito mais lentos sem apresentar

vantagens na precisão dos resultados em relação aos métodos que resolvem

separadamente as regiões viscosas e potenciais. Por esta razão, tem sido consenso que

os métodos que resolvem separadamente as regiões viscosas e potenciais são mais

adequados para análise bidimensional de perfis aerodinâmicos.

Neste ponto é importante lembrar que o a possibilidade da utilização do

conceito e modelos de camada limite deve-se ao alto número de Reynolds associado ao

escoamento em torno dos perfis aerodinâmicos, pois caso ocorra descolamento do

escoamento, o conceito de camada limite não faz mais sentido.

Particularmente, também tem sido consenso que a utilização de métodos de

elementos de contorno (Método dos Painéis) para a solução da região potencial do

escoamento traz resultados precisos e confiáveis. No entanto, para a solução da região

viscosa e sua interação com a região potencial, ainda existem questionamentos a

respeito da melhor metodologia a ser utilizada.

Segundo Moran (1984), a solução da camada limite sobre um perfil

aerodinâmico pode ser feita através de duas formulações:

• Formulação diferencial: as equações simplificadas de Navier-Stokes para

camada limite são resolvidas através de técnicas numéricas, como

diferenças finitas, resultando num perfil de velocidades detalhado dentro

da camada limite, tanto na direção tangente à superfície quanto na

direção normal.

• Formulação integral: as equações simplificadas de Navier-Stokes são

resolvidas com o auxílio de perfis de camada limite pré-estabelecidos,

obtidos, em geral, a partir de informações experimentais, ou seja, a

camada limite é resolvida numericamente somente na direção tangente à

superfície, e na direção normal à superfície são usados perfis de

velocidades empíricos.

Moran afirma que os métodos integrais possuem solução mais simples, são

mais rápidos e com boa precisão, devendo ser a primeira escolha para análise de

escoamentos em perfis aerodinâmicos. Apenas nos casos de escoamentos

tridimensionais ou em casos onde os métodos integrais não se mostrem apropriados, a

forma diferencial de camada limite deve ser utilizada.

Segundo Dini, Coiro e Tangler (1992) as relações existentes entre as

soluções da região viscosa e potencial do escoamento podem ser divididas em:

• Interação Fraca: também conhecida como método direto, onde primeiro

calcula-se a região potencial do escoamento e depois a região viscosa é

calculada separadamente, utilizando como condição de contorno os

resultados potenciais.

• Interação Forte: onde as formulações para a região potencial e viscosa do

escoamento são resolvidas simultaneamente, permitindo que uma região

influencie nos resultados da outra, e essa interação ocorre até convergir

para um resultado que satisfaça ambas as formulações (viscosa e

potencial).

2.2.1 Região Potencial do Escoamento

Conforme dito anteriormente, a técnica mais comum em aerodinâmica

computacional para o cálculo da região potencial de perfis aerodinâmicos é o método

dos painéis.

Trata-se de um Método de Elementos de Contorno, que teve seu

desenvolvimento fortemente impulsionado com o trabalho de Hess e Smith (1966) e que

hoje possui diversas variações na busca de uma maior robustez e maior velocidade de

solução.

A formulação bidimensional do método dos painéis consiste em resolver a

equação de Laplace (equação 2.4) na sua forma bidimensional (equação 2.6) através da

superposição de escoamentos elementares (singularidades) distribuídos ao longo da

superfície do corpo. Essa característica que torna o método rápido, pois não é necessário

discretizar e resolver todo o domínio do escoamento.

∂φ ∂φ

∂∂

2.6

Onde

denota o potencial de velocidades.

Os escoamentos elementares utilizados na formulação do Método dos

Painéis podem ser fontes, vórtices ou dipolos, com intensidades únicas que, quando

combinadas, atendem às condições de contorno pré-estabelecidas de impermeabilidade

(velocidade normal à superfície do corpo nula) e Condição de Kutta

(velocidades no

Martin Wilhelm Kutta (1867-1944), nasceu na Alemanha, tendo realizado importantes contribuições na

área de aerodinâmica com suas teorias de perfis, e na área da matemática com seu método de solução de

equações diferencias.

bordo de fuga iguais e finitas tanto no extradorso quanto no intradorso, para que o

escoamento deixe o corpo suavemente, conforme mostrado na Figura 2-3).

Figura 2-3 Condição de Kutta

O problema final a ser resolvido é um sistema de equações lineares

conforme a equação 2.7.

[

]

{

}

{

}

Aq b×= 2.7

Onde

[]

denota a matriz dos coeficientes de influência geométricos;

{}

q as

intensidades dos escoamentos elementares e

{

}

as condições de contorno.

2.2.2 Região Viscosa do Escoamento

As equações de Navier-Stokes simplificadas que são utilizadas na solução

de camada limite na forma integral são conhecidas como Equações de Von Kármán

Equação da Energia (Equações 2.8 e 2.9 respectivamente).

()

dV d

δδ

ξξ

++ = 2.8

ddV

dVd

ξξ

+= 2.9

Onde: ,

é o sistema de coordenadas local, sendo

tangente e

normal

à superfície,

V a velocidade na fronteira da camada limite,

a Espessura de

Momentum,

a Espessura de Energia,

H o fator de forma da Espessura de

Theodore Von Kármán (1881-1963), nasceu na Hungria e é considerado um dos oito maiores gênios da

humanidade, sendo conhecido como pai da aerodinâmica supersônica. Formado em engenharia mecânica

trabalhou com Ludwig Prandtl nas teorias de limite camada, aerofólios e asa.

Deslocamento definido como

= ,

c o coeficiente de atrito (equação 2.10),

o coeficiente de dissipação (equação 2.11).

2.10

ρη

∂

∫

2.11

Onde

é a tensão de cisalhamento,

é a tensão de cisalhamento na

parede, ou seja, quando

(equações 2.12).

;

τµ τ µ

ηη

∂∂

2.12

Diversos modelos matemáticos e relações experimentais foram

desenvolvidos nas últimas décadas visando à solução da equação de Von Kármán e da

Equação da Energia (Moran, 1984). Cada um destes modelos é aplicável a tipos

particulares de escoamento. Ainda hoje diversos trabalhos estão sendo realizados

objetivando novos modelos para situações específicas (Dini, Coiro e Bertolucci, 1995).

Lembrando-se que o escoamento sobre perfis aerodinâmicos geralmente se

desenvolve do bordo de ataque até o bordo de fuga em quatro regiões distintas, sendo:

i) região laminar

ii) região de transição

iii) região turbulenta.

iv) escoamento descolado.

Normalmente, em aerodinâmica de perfis têm-se para uma destas regiões

modelos matemáticos e ou experimentais de camada limite distintos. Particularmente, a

região de transição não é completamente modelada sendo considerada apenas com o

objetivo de alterar o modelo matemático de acordo com o regime de escoamento

(laminar ou turbulento).

Para o cálculo de perfis aerodinâmicos, os modelos matemáticos integrais

mais utilizados na literatura são:

i) o proposto por Eppler e Somers (1980)

ii) o proposto por Drela e Giles (1987)

iii) uma combinação proposta por Moran (1984) que utiliza as relações de

camada limite laminar propostas por Thwaites, as relações de camada limite turbulenta

propostas por Head e o critério de transição proposto por Michel.

Deve-se lembrar ainda que, ao longo do escoamento sobre o perfil

aerodinâmico, podem ocorrer outros fenômenos que afetam sensivelmente o

desenvolvimento da camada limite, como, por exemplo, o descolamento do escoamento

antes do bordo de fuga, ou mesmo, o descolamento do escoamento seguido pelo seu

recolamento, fenômeno conhecido como bolha laminar. A ocorrência de tais fenômenos

pode ser considerada a causa da não linearidade da curva de sustentação do perfil, sendo

importante a sua previsão, sobretudo quando se objetiva o projeto de uma aeronave.

Segundo Eppler e Somers (1980) e Moran (1984) seus modelos são válidos

somente para o escoamento colado, enquanto que, segundo Drela e Giles (1987), suas

relações são válidas mesmo para os casos nos quais ocorrem descolamentos ou

ocorrência de bolha laminar, tornando assim, seu código mais robusto.

Os códigos de interação fraca não sendo capazes de trabalhar com o

escoamento descolado, forçam a transição do escoamento de laminar para turbulento no

caso de descolamento laminar e, interrompem o cálculo da camada limite quando é

previsto o descolamento turbulento. Estas deficiências causam dois efeitos no cálculo

das características de perfis aerodinâmicos:

i) O cálculo do arrasto do perfil pode se tornar incompleto.

ii) A não-linearidade da curva de sustentação não é possível de ser prevista.

Com o objetivo de contornar essas deficiências, Eppler e Somers (1980)

sugerem modelos adicionais capazes de estimar o efeito do descolamento turbulento na

curva de arrasto e sustentação do perfil aerodinâmico.

Portanto, observa-se que, geralmente, os códigos computacionais para

cálculo de perfis aerodinâmicos utilizam modelos de camada limite integral utilizando

relações empíricas para os fatores de forma, coeficientes de atrito e de dissipação, que

são solucionadas através de interações fortes ou fracas (depende do código) com o

escoamento potencial, que geralmente é solucionado através do Método dos Painéis.

2.3 Escoamento Tridimensional

Em uma asa finita, ao contrário do que ocorre em uma asa infinita, existem

efeitos associados às extremidades das superfícies, ou seja, às pontas de asa.

Em uma asa infinita, ou na parte mais interna de uma asa finita, o fluxo de

ar ocorre geralmente do bordo de ataque para o bordo de fuga, paralelamente ao

escoamento, como visto na Figura 2-4.

Figura 2-4 Fluxo de ar paralelo à direção de vôo.

No entanto, nas pontas de asa, o ar flui diretamente do intradorso para o

extradorso, por fora da superfície, devido à diferença de pressão (Figura 2-5), causando

assim uma série de fenômenos específicos como, por exemplo, a formação de um

vórtice na ponta da asa, como pode ser visto na Figura 2-6.

Figura 2-5 Formação de vórtice de ponta de asa.

Figura 2-6 Vórtice de ponta de asa em uma aeronave agrícola no momento da

liberação do agrotóxico.

Esses vórtices que se formam nas pontas da asa, estão diretamente

associados aos ângulos de ataque induzidos, à forma da distribuição de sustentação ao

longo da asa e ao arrasto induzido, sendo todos esses efeitos correlacionados. A Figura

2-7 mostra como é a distribuição de sustentação e ângulo de ataque induzido típico em

uma asa retangular devido a esses efeitos tridimensionais.

Figura 2-7 Características aerodinâmicas típicas em uma asa retangular

Para o projeto de uma aeronave, no início do seu desenvolvimento, não é

relevante o conhecimento detalhado de todo o escoamento em torno da aeronave, sendo

de interesse para o projetista somente as forças aerodinâmicas resultantes (arrasto,

sustentação e momentos entre outros), enquanto que em estágios avançados de projeto,

pode ser de grande utilidade a obtenção de informações detalhadas sobre todo o campo

do escoamento. Por isso observa-se o surgimento de diversas técnicas numéricas para

atender necessidades específicas de cada etapa do desenvolvimento de uma aeronave.

As equações de Navier-Stokes (equação 2.1) são ainda mais complexas de

serem solucionadas no escoamento tridimensional. Por isso, assim como é feito no caso

bidimensional, o campo de escoamento pode ser dividido em escoamento potencial e

viscoso, surgindo assim uma infinidade de técnicas de solução.

Dentre os principais métodos de solução para uma asa finita, utilizados em

aerodinâmica computacional destacam-se:

i) Método da Linha Sustentadora

ii) Método dos Painéis e Vortex-Lattice

iii) Navier-Stokes

2.3.1 Método da Linha Sustentadora

Desenvolvido por Prandtl (1921), foi o primeiro método analítico capaz de

calcular com precisão a distribuição de sustentação (Figura 2-8) e o arrasto induzido em

uma asa finita, tendo um profundo impacto no desenvolvimento na aerodinâmica

moderna, sendo um método largamente utilizado até nos dias de hoje (Phillips, 2004 e

Phillips, Alley e Goodrich, 2004).

Figura 2-8 Distribuição do Coeficiente de sustentação típica em uma asa

trapezoidal.

O método soluciona o escoamento potencial através da distribuição de

singularidades do tipo vórtice ferradura ao longo da asa, sendo o mais rápido dos

métodos quando solucionado numericamente, devido ao volume reduzido de equações a

serem resolvidas.

Sua solução numérica é feita normalmente com expansões em série de

Fourier ou através do método desenvolvido por Multhopp (apud Thwaites, 1960). A

solução proposta por Multhopp, leva em consideração as características do perfil

aerodinâmico na região linear da curva de sustentação, como a variação do coeficiente

de sustentação em função do ângulo de ataque (

dCL

) e o ângulo de sustentação nula

do perfil (

Apesar de o método aceitar torção geométrica, torção aerodinâmica e

variações na corda, sua forma clássica possui sérias limitações como, por exemplo: i)

ser aplicável a somente uma única superfície sustentadora de geometria simples não

permitindo diedro ou enflechamento; ii) não permite velocidades angulares da aeronave;

iii) o escoamento precisa ser paralelo ao plano de simetria da asa, não permitindo o

ângulo de derrapagem (

). Tais limitações inviabilizam sua utilização no presente

trabalho.

2.3.2 Método dos Painéis e Método de Vortex-Lattice

Tanto o Método dos Painéis (Hess e Smith, 1966) quanto o Método de

Vortex-Lattice (Miranda, Elliott e Baker, 1977) mostrados na Figura 2-9 e na Figura

2-10 respectivamente, solucionam o escoamento potencial através da solução da

Equação de Laplace, distribuindo singularidades (escoamentos elementares) ao longo do

corpo que atendem a condição de impermeabilidade (o escoamento não pode atravessar

uma superfície sólida não porosa) e a Condição de Kutta.

Figura 2-9 Resultado de distribuição de pressão obtida com método dos painéis

para a aeronave CEA 308 (Oliveira, 2001).

Figura 2-10 Resultado de diferencial de pressão obtida com o método de Vortex-

Lattice

A diferença básica entre ambos os métodos é o tipo de singularidade

utilizada em cada formulação.

Devido a sua característica peculiar de resolver o campo de escoamento

somente sobre a superfície do corpo (métodos dos elementos de contorno), são métodos

rápidos e com boa robustez, permitindo múltiplas superfícies e calculando a

interferência entre elas. Permitem também geometrias bastante complexas, velocidades

angulares, e o escoamento não precisa estar paralelo ao plano de simetria da asa,

permitindo o ângulo de derrapagem.

Às suas formulações clássicas podem ainda ser incluídos diversos modelos

adicionais como camada limite, correções devido à compressibilidade e cálculo da

esteira.

Tais características fazem com que esses métodos sejam bastante utilizados

em aerodinâmica computacional. O método adotado neste trabalho para solução do

escoamento tridimensional é uma adaptação do método de Vortex-Lattice.

2.3.3 Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes podem ser solucionadas diretamente através

de métodos numéricos Direct Numerical Simulations (DNS) ou podem ser resolvidas

em diferentes escalas utilizando as mais diversas técnicas como Reynolds-Averaged

Navier-Stokes (RANS) ou Large Eddy Simulation (LES), em conjunto com diversas

técnicas de discretização espacial como Volumes Finitos, Elementos Finitos ou

Diferenças Finitas (Figura 2-11) associados a modelos de camada limite e turbulência.

Figura 2-11 Modelo em volumes finitos de uma aeronave

Suas principais vantagens são a robustez e o fornecimento de resultados

detalhados de todo o campo do escoamento, sendo possível sua utilização em qualquer

tipo de escoamento.

Segundo Silveira Neto (2006) o números de graus de liberdade necessário

para representar toda a multiplicidade de escalas de turbulência em um escoamento

pode ser calculado através da equação 2.13.

N = 2.13

Logo percebe-se a impraticabilidade da simulação numérica direta (DNS),

pois para escoamentos típicos em aeronáutica (

Re 5

≈

) é necessário uma sistema de

com aproximadamente

1, 2 graus de liberdade para se resolver todas as escalas de

turbulência até a dissipação de Kolmogorov.

Apesar dos métodos alternativos como as Equações Médias de Reynolds

(RANS) ou Simulações de Grandes Escalas (LES) reduzirem bastante o número de

equações a serem resolvidas (por representaram os comportamentos médios das

menores escalas), ainda são técnicas impraticáveis para cumprir objetivo proposto no

tocante ao tempo de processamento necessário (o processamento pode demorar dias ou

semanas).

METODOLOGIA

3.1 Introdução

Tendo em vista que o objetivo proposto esta voltado para as atividades de

projeto de aeronaves e trabalhos correlatos, considera-se que um procedimento de

análise é eficiente quando, além de fornecer resultados coerentes com a realidade, é

também rápido e robusto, podendo ser aplicado a uma grande variedade de casos.

O método linear proposto é baseado em uma versão modificada do Método

de Vortex-Lattice (Miranda, Elliott, Baker, 1977), tornando-se similar ao método de

Weissinger (1947), também conhecido como linha Sustentadora Estendida (Schlichting,

Truchenbrodt e Ramm, 1979) ou Linha Sustentadora Moderna (Phillips e Snyder, 2000)

onde a distribuição de singularidades é feita apenas ao longo da envergadura.

No entanto serão adicionados ao método linear, diversos modelos

complementares visando uma maior robustez, flexibilidade e confiabilidade. Tais

modelos incluem correções da circulação em função das características bidimensionais

do perfil aerodinâmico, medição do arrasto induzido pela variação de Momentum no

infinito, cálculo da esteira livre e cálculo do momento aerodinâmico e arrasto parasita

causados pela perfilagem utilizada na asa, podendo ainda ser incluído o efeito da

deflexão de superfícies de comando.

3.2 Escoamento Bidimensional

Apesar do objetivo final ser a implementação de um método tridimensional,

o método proposto utiliza as informações bidimensionais para a correção das

características aerodinâmicas tridimensionais em função do perfil utilizado nas

superfícies sustentadoras.

As polares aerodinâmicas utilizadas como dados de entrada podem ser

curvas experimentais ou curvas calculadas numericamente através de algum software

disponível para esse fim.

Para tornar completo o pacote computacional implementado, dispensando

assim a necessidade do conhecimento das curvas experimentais do perfil e a utilização

de softwares de outros autores, além do método tridimensional foi implementado

também um método para avaliação das características bidimensionais do perfil.

Conforme citado anteriormente a abordagem bidimensional será feita pelo

tratamento distinto da região potencial e viscosa do escoamento em torno do perfil,

sendo que a região potencial será solucionada pelo método dos painéis enquanto que a

região viscosa será tratada com modelos semi-empíricos de camada limite integral,

ambos interagindo entre si através de um método de interação fraca.

3.2.1 Tratamento do escoamento potencial

Como existem muitas escolhas possíveis para a formulação do método dos

painéis no que se refere à distribuição dos escoamentos elementares (Katz e Plotkin,

1991), no algoritmo bidimensional desenvolvido estão disponíveis duas formulações:

i) Hess e Smith: Formulação clássica desenvolvida por Hess e Smith

(1966), seguindo a descrição feita por Moran (1984).

ii) Vórtice linear: Formulação mais moderna e largamente utilizada por

outros softwares bidimensionais, seguindo a formulação descrita por Katz e Plotkin

(1991).

3.2.1.1 Hess e Smith

A forma clássica desenvolvida por Hess e Smith (1966) é baseada na

distribuição de fontes e vórtices ao longo de toda a superfície do corpo. A intensidade

das fontes é constante ao longo de cada painel, mas pode variar de um painel para outro.

A intensidade dos vórtices é única para todo o perfil, ou seja, além de não variar ao

longo de cada painel, também não varia de um painel para outro.

A Figura 3-1 mostra como é feita a aproximação da geometria do perfil

através de painéis, e os pontos de controle que devem satisfazer às condições de

contorno estabelecidas, localizados no centro de cada painel.

Figura 3-1 Discretização de um perfil através de painéis

Com essas características, as intensidades das fontes são regidas pela

condição de tangência da velocidade em todo o corpo (ou impermeabilidade do corpo) e

a intensidade dos vórtices é regida pela Condição de Kutta.

A Figura 3-2 mostra como é o sistema de coordenadas que será adotado para

a implementação do método, onde ,

y é o sistema de coordenadas globais que

localizam um ponto no espaço,

s é a distância percorrida na superfície do corpo a partir

do bordo de ataque, r é a distância da superfície até o ponto ,

y , onde está sendo

calculada a velocidade induzida,

é o ângulo formado por

e a horizontal, V

∞

é a

velocidade do escoamento não perturbado e

é o ângulo entre o escoamento não

perturbado e a direção horizontal.

Figura 3-2 Sistemas de coordenadas

Hess e Smith (1966) decompõem o potencial de velocidades total como

sendo a soma das contribuições individuais do escoamento não perturbado e das

velocidades induzidas pelas fontes de intensidade q e pelos vórtices de intensidade

(

∞

respectivamente):

φφφ

∞

++ 3.1

Onde:

cos cos

ln r

Vx Vy

αα

φθ

∞∞ ∞

=−

∫

3.2

Ou seja:

()

cos cos ln

panel

Vx y r ds

φαα θ

ππ

∞

⎡

⎤

=++ −

⎢

⎥

⎣

⎦

∑

∫

3.3

Através de manipulações matemáticas e geométricas, chega-se ao sistema de

equações 3.4 que irá fornecer as intensidades das fontes e do vórtice no centro de cada

painel (pontos de controle) que satisfazem à condição de tangência da velocidade

(impermeabilidade) e a Condição de Kutta.

1,1 1, 1, 1, 1

,1 , , , 1

1,1 1, 1, 1, 1

iNN

iiiiNiN

NNiNNiN

NNiNNNN

AAAA

+++++

⎡⎤

⎡

⎤

⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

×=

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎣⎦

⎣

⎦

⎣⎦

……

 



…

 



…

3.4

Onde:

()

1, 1

2sin lncos

2coslnsin

2sin cosln

2sinlncos

ij i j ij

iN i j ij

Nj k j kj k

NN k j k kj

kNj

Aij

πθθ θθβ

πθθθθβ

πθθβθθ

θθ θθβ

=− + −

=−−−

=−+−

∑

∑∑

3.5

(

)

() ( )

sin

cos cos

bV V

θα

αθα

∞

+∞ ∞

=−

=− − − −

3.6

Sendo

o ângulo entre o centro do painel i (ponto de controle) e os nós do

painel j, conforme mostrado na Figura 3-3, onde

é o sistema de coordenadas local,

sendo

tangente à superfície e

normal à superfície.

Figura 3-3 Determinação do ângulo

Após a solução do sistema de equações lineares 3.4, com as intensidades das

fontes e vórtices, é possível calcular as velocidades tangenciais em cada ponto de

controle:

()

() ()

cos

sin cos ln

sin ln cos

ti i

jij

ijij ij

ij ijij

θα

θθβ θθ

θθ θθβ

∞

=−+

⎤

⎡

−

−− +

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡⎤

−+−

⎢⎥

⎣⎦

∑

3.7

A equação de Bernoulli

, que relaciona as pressões e velocidades locais com

a pressão e a velocidade do escoamento não perturbado para um fluido incompressível,

pode ser escrita como mostrado na equação 3.8:

iti

Vp V

∞

+=+ 3.8

Daniel Bernoulli (1700 - 1782) nasceu na Holanda, brilhante filósofo, físico, fisiologista, médico,

botânico e matemático, é considerado o pai da hidrodinâmica por teoria que relaciona a energia cinética

com a pressão de um fluido.

Na forma adimensional:

iti

∞

−

==− 3.9

As velocidades e coeficientes de pressão calculadas através das equações

3.7 e 3.9 são referentes aos pontos de controle (centro de cada painel), e são

consideradas como constantes ao longo de cada painel.

Os coeficientes de pressão podem então ser integrados sobre a superfície do

corpo obtendo-se o coeficiente de sustentação.

3.2.1.2 Distribuição Linear de Vórtices

Uma distribuição de singularidades moderna bastante utilizada no Método

dos Painéis bidimensional é a Distribuição Linear de Vórtices (Katz e Plotkin, 1991).

Diferentemente da forma clássica proposta por Hess-Smith (1966), a

Distribuição Linear de Vórtices utiliza somente vórtices como singularidade, sendo que

sua intensidade varia linearmente ao longo de cada painel, e a intensidade final do

vórtice sobre o painel

será igual à intensidade inicial do vórtice no painel 1i + . Logo a

intensidade dos vórtices, e consequentemente a distribuição de velocidade e pressão

sobre o perfil, será contínua, ao invés de discreta, como mostrado na Figura 3-4.

Figura 3-4 Características das distribuições de singularidades em cada método.

A formulação da Distribuição Linear de Vórtices é bastante semelhante

àquela proposta por Hess e Smith (1966), mudando apenas a matriz de influência

geométrica das velocidades induzidas.

Na formulação desse método, será adotada a nomenclatura mostrada na

Figura 3-5 (Katz e Plotkin, 1991).

Figura 3-5 Nomenclatura utilizada na formulação de distribuição de vórtice linear

A velocidade induzida no ponto P pelo painel

será, portanto, dada pela

equação 3.10, sendo esta velocidade induzida no sistema de coordenada local de cada

painel.

()()()

2( )

()

()()()

2( )

jjj

jj j

jj j j j j

jj jj

jj j j j j j

jj j

xx r

xx xx

xx z

xx xx r

xx r

ξη

γγ

γγγ

γγ

γγγ

⎛⎞

−

⎜⎟

−

⎝⎠

−+ − −

−

⎛⎞

−−

⎡

⎤

=×+−

⎜⎟

⎢

⎥

⎜⎟

−

⎣

⎦

⎝⎠

−+ − −

−

3.10

Onde

ξη

denotam as velocidades induzidas, no sistema de

coordenadas locais, nas direções

respectivamente,

a intensidade dos vórtices,

o ângulo formado pelo ponto P (pontos de controle) e o painel e r a distância do

ponto P ao vértice do painel.

Para transformar a matriz de velocidades do sistema de coordenadas locais

para o sistema de coordenadas globais utiliza-se a transformação mostrada na equação

3.11.

cos sin

sin cos

αα

⎛⎞

⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ ⎜⎟

−

⎝⎠ ⎝⎠

⎝⎠

3.11

A montagem do sistema de equações lineares a ser solucionado deve atender

à condição de impermeabilidade do corpo, ou seja, velocidades normais nulas nos

pontos de controle. Portanto, calcula-se as velocidades induzidas pelos vórtices e pelo

escoamento não perturbado em cada ponto de controle através da equação 3.12.

(

)

ij i

Auvn

bVn

∞

3.12

Onde ,uv denotam as velocidades induzidas no sistema de coordenadas

globais,

n um vetor unitário na direção da normal do painel e V

∞

o escoamento não

perturbado.

É importante notar que existem

pontos de controle e

1N +

intensidades

para os vórtices, resultando assim em um sistema com

N equações e 1N + incógnitas.

A equação adicional que torna o sistema solucionável é a Condição de Kutta que deve

ser satisfeita no bordo de fuga, ou seja:

= 3.13

Logo se chega ao sistema de equações lineares mostrado na equação 3.14.

1,1 1, 1, 1, 1 1

,1 , , , 1

10 01 0

iNN

iiiiNiN i

NNiNNiN N

AAAA b

⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

×=

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

……



  

…



  

…

3.14

Após a solução do sistema linear, conhecendo-se a intensidade de cada

vórtice e conseqüentemente a velocidade tangente em cada ponto de controle, é possível

calcular o coeficiente de pressão através da equação 3.9 e o coeficiente se sustentação

pode ser determinado pela sua integração sobre a superfície do corpo.

3.2.2 Tratamento da Região Viscosa

Após uma análise do estudo feito por Vargas et al. (2005) dos modelos

disponíveis de camada limite na forma integral optou-se pela utilização da combinação

de modelos sugerida por Moran (1984). Como esse é um modelo de interação fraca, será

utilizado um modelo adicional para corrigir a curva de sustentação e arrasto na região

não linear (estol), proposta por Eppler e Somers (1980).

3.2.2.1 Caracterização da Camada Limite

Os modelos matemáticos que descrevem a camada limite são formulados em

função de suas características geométricas, definições teóricas e números

adimensionais. Esses conceitos são descritos nas seções seguintes.

3.2.2.1.1

Espessura da Camada Limite

Defini-se a Espessura da Camada Limite (

) como sendo a distância

normal (

) da superfície do corpo até a região onde a velocidade do escoamento

viscoso é 99% da velocidade do escoamento potencial, conforme mostrado na Figura

3-6 e na equação 3.15.

Figura 3-6 Desenvolvimento da camada limite

0.99

eett

u V onde V V V

ηδ

==≈

3.15

Onde

denota a velocidade do escoamento dentro da camada limite,

denota a velocidade na fronteira da camada limite e

V denota a velocidade do

escoamento potencial.

3.2.2.1.2

Espessura de Deslocamento

A Espessura de Deslocamento

é a distância da qual a fronteira sólida

(superfície do corpo) teria que ser deslocada num escoamento sem atrito para fornecer o

mesmo déficit de vazão em massa que existe devido a presença da camada limite,

conforme mostrado na Figura 3-7 e na equação 3.16.

ηη

∞

⎛⎞ ⎛⎞

=− ≈−

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∫∫

3.16

Figura 3-7 Espessura de Deslocamento

Uma outra maneira de interpretar o significado físico da espessura de

deslocamento é através do deslocamento que ela provoca nas linhas de corrente do

escoamento potencial, conforme mostrado na Figura 3-8.

Figura 3-8 Espessura de deslocamento

3.2.2.1.3 Espessura de Quantidade de Movimento ou Espessura de

Momentum

De forma análoga ao déficit de vazão em massa devido ao efeito viscoso da

camada limite, existe uma redução do fluxo de quantidade de movimento em

comparação a um escoamento não viscoso.

A Espessura de Quantidade de Movimento

é definida como a espessura

da camada de fluido com velocidadeU

∞

, para a qual o fluxo de quantidade de

movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada

limite.

(1 ) (1 )

ee ee

uu uu

VV VV

ηη

∞

=− ≈−

∫∫

3.17

3.2.2.1.4

Espessura de Energia

De forma semelhante à Espessura de Deslocamento e à Espessura de

Quantidade de Movimento, pode-se definir também a Espessura de Energia, como

sendo a distância na qual a fronteira do sistema deveria ser deslocada para compensar o

déficit de energia devido aos efeitos viscosos.

ee ee

uu uu

VV VV

ηη

∞

⎛⎞⎛⎞

⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

=− ≈−

⎜⎟ ⎜⎟

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

⎝⎠⎝⎠

∫∫

3.18

3.2.2.1.5

Fator de Forma da Espessura de Deslocamento

Define-se o Fator de Forma da Espessura de Deslocamento como sendo a

razão entre a Espessura de Deslocamento e a Espessura de Momentum.

= 3.19

3.2.2.1.6

Fator de Forma da Espessura de Energia

Define-se o Fator de Forma da Espessura de Energia como sendo a razão

entre a Espessura de Energia e a Espessura de Momentum.

3.20

3.2.2.1.7

Números de Reynolds

Será definido aqui o conceito de número de Reynolds, que é a relação entre

a densidade do fluido

, sua viscosidade

, a velocidade do escoamento V e uma

dimensão característica

d (equação 3.21).

= 3.21

Logo podem ser obtidos diversos números de Reynolds, referentes a

dimensões características diferentes. As principais escolhas para a dimensão

característica, para caracterizar a camada limite são:

•

A corda do perfil em questão (

)

• A espessura de momentum (

)

•

À distância percorrida sobre o perfil aerodinâmico (

)

Essas dimensões características formam os números de Reynolds mostrados

nas equações 3.22, 3.23 e 3.24 respectivamente.

∞

= 3.22

= 3.23

= 3.24

3.2.2.2 Modelos de Camada Limite

3.2.2.2.1 Inicio do Desenvolvimento da Camada Limite

Conforme dito anteriormente, a solução das equações diferenciais que

regem a Camada Limite (equações 2.8 e 2.9) é feita através de uma integração numérica

em conjunto com relações empíricas ou semi-empíricas para os fatores de forma,

coeficientes de atrito e de dissipação.

Para se realizar a integração numérica dos modelos de camada limite na

forma integral, é necessária uma condição inicial que, em geral é tomada como a

condição do escoamento no ponto de estagnação próximo ao bordo de ataque do perfil.

Uma característica importante a ser notada é que no ponto de estagnação, as

velocidades locais são iguais a zero, mas a Espessura da Camada Limite, é diferente de

zero. Logo como condição inicial para o desenvolvimento da camada limite será

adotada a seguinte relação para a Espessura de Momentum no ponto de estagnação

(Moran, 1984):

0.075

(0)

∂

3.25

3.2.2.2.2

Modelo Laminar: Thwaites

O modelo desenvolvido por Thwaites (apud Moran, 1984), se baseia na

equação conhecida como a equação integral de momentum de Von Kármán (equação

2.8).

Segundo Moran (1984), é um método preciso e largamente utilizado para o

cálculo de desempenho de perfis aerodinâmicos.

Multiplicando a equação integral de momentum de Von Kármán por

obtem-se:

()

VdV

ρδ

δρδ

µξµ ξ

3.26

Onde:

= 3.27

Thwaites (apud Moran, 1984), define então um parâmetro adimensional

baseado no gradiente de velocidade ao longo do perfil aerodinâmico (equação 3.28):

ρδ

= 3.28

Logo, reescrevendo a equação 3.26:

()

2[ 2 ]

µξ

=−+ 3.29

Thwaites (apud Moran, 1984), através de observações experimentais e

analíticas, faz a seguinte aproximação, que segundo ele é excelente, com pouca

dispersão em relação a resultados experimentais:

(

)

2[ 2 ] 0.45 6lH

−+ ≈ − 3.30

Logo pode-se reescrever a equação 3.29 da seguinte forma:

0.45

VdV

δρδ

ξµξ

=−

3.31

Trazendo o termo

para o lado esquerdo da equação, e multiplicando-a

por

obtem-se:

()

625 265

60.45

ee ee

VV VV

ddd

δρρ

δδ

µξ ξµξ

⎛⎞

+= =

⎜⎟

⎝⎠

3.32

Logo para quaisquer valores ( )

, conhecido o valor inicial de

(0)

, é

possível calcular

()

, através de integração numérica.

Conhecidos os valores de

()

pode ser obtido através da equação 3.28

()l

()H

podem ser calculadas pelas fórmulas de correlação (equações 3.33 e

3.34), propostas por Cebeci e Brandshaw (apud Moran, 1984).

( ) 0.22 1.57 1.8 0 0.1

0.018

0.22 1.402 0.1 0

0.107

l para

para

λλλ λ

λλ

=+ − <<

=+ + −<<

3.33

( ) 2.61 3.75 5.24 0 0.1

0.0731

2.088 0.1 0

0.14

H para

para

λλλλ

=− + <<

=+ −<<

3.34

É importante notar que

-0.0842

≤

é um indicativo de ocorrência de bolha

laminar, e neste caso deve-se forçar a transição do escoamento para turbulento devido à

validade do modelo somente com o escoamento colado.

3.2.2.2.3

Modelo de Transição: Michel

Para um escoamento incompressível sem transferência de calor, Michel

(apud Moran, 1984), através de observações experimentais, examinou uma série de

escoamentos e concluiu que, no caso de perfis aerodinâmicos, a transição do

escoamento laminar para turbulento ocorre quando:

0.46

22400

Re 1.174 1 Re

δξ

⎛⎞

>×+ ×

⎜⎟

⎝⎠

3.35

3.2.2.2.4

Modelo de Turbulência: Head

O método de Head (apud Moran, 1984) é baseado no conceito de

incremento de velocidade (Figura 3-9).

Figura 3-9 Formulação de camada limite proposta por Head

Se ( )

é a espessura da camada limite, a vazão volumétrica Q dentro da

camada limite é dada por:

()

()Qud

δξ

∫

3.36

Logo o incremento de velocidade E pode ser definido como a taxa com a

qual o fluxo Q varia com

(equação 3.37).

= 3.37

Combinando a definição de espessura de deslocamento (equação 3.16) com

a equação 3.36, obtem-se:

δδ

− 3.38

Logo:

()

EVH

= 3.39

Onde

H é dado por

−

= 3.40

Head (apud Moran, 1984) assumiu que o incremento de velocidade

adimensional /

EV depende apenas de

H , sendo este função de

H , pois

12 1 2

= . Novamente Cebeci e Bradshaw (apud Moran, 1984) interpolaram os

resultados experimentais através das equações 3.41 e 3.42:

* * 0.6169

( ) 0.0306( 3)

VH H

−

=− 3.41

*1.287

12 12

3.064

12 12

3.3 0.8234( 1.1) 1.6

3.3 1.5501( 0.6778) 1.6

H H para H

H para H

−

=+ − <

=+ − >

3.42

As equações 3.41 e 3.42 juntamente com a equação de momentum (equação

2.8) contêm 4 incógnitas

,, ,

HH c

em apenas 3 equações. Logo é preciso mais uma

relação para tornar o sistema determinado. Head (apud Moran, 1984) escolheu a lei de

atrito de Ludwieg-Tillmann (apud Moran, 1984), que é uma relação empírica baseada

em dados experimentais, dada pela fórmula:

0.678

0.268

0.246 10 Re

−

=× 3.43

2.4H ≥ é um indicativo da ocorrência de descolamento turbulento e o

procedimento de cálculo da camada limite é interrompido devido à validade do modelo

somente com o escoamento colado.

3.2.2.3 Estimativa do Arrasto

O arrasto total que atua sobre um corpo bidimensional é a soma das

contribuições individuais do arrasto de cisalhamento e do arrasto de forma (sendo um

tipo de arrasto de pressão).

É importante notar que só é possível estimar o arrasto de um corpo

bidimensional em um escoamento sem separação forçada e em regime permanente com

uma formulação viscosa, pois em uma formulação puramente potencial, tanto o arrasto

de cisalhamento quanto o arrasto de forma são iguais à zero, pois ambos os tipo de

arrasto só existem devido à presença da camada limite.

O arrasto de cisalhamento é a força obtida pela integração do coeficiente de

atrito (equação 2.10) por toda a superfície do corpo na direção do escoamento não

perturbado. Em uma formulação puramente potencial, não é computado o coeficiente de

atrito.

O arrasto de forma se deve à incapacidade do coeficiente de pressão voltar

ao seu valor original no bordo de fuga devido à presença da camada limite ou ao seu

descolamento, conforme mostrado na Figura 3-10. A força resultante da integração do

coeficiente de pressão recalculado sobre a camada limite, na direção do escoamento é o

arrasto de forma. Em uma formulação puramente potencial a pressão no bordo de fuga é

restaurada igualando-se a pressão no bordo de ataque, resultando assim em arrasto nulo

(fenômeno conhecido como Paradoxo de d’Alambert).

Figura 3-10 Arrasto de pressão

Uma maneira alternativa para o cálculo do arrasto do perfil é a utilização da

fórmula desenvolvida por Squire e Young (1938), que se baseia no fato dos arrastos de

cisalhamento e de forma se manifestarem juntos como sendo a perda de

Momentum da

esteira no infinito, logo o arrasto computado utilizando a fórmula de Squire e Young

(equação 3.44) já é ao arrasto total incluindo as contribuições do arrasto cisalhamento e

pressão.

bordo de fuga

∞

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

3.44

Entretanto, como dito anteriormente, o modelo de camada limite adotado,

não é válido para o escoamento descolado. Logo, caso seja detectado o descolamento

turbulento, o procedimento de cálculo é finalizado, obtendo-se os parâmetros da camada

limite somente até o ponto de descolamento.

A fórmula de Squire e Young (1938) refere-se às características da camada

limite no bordo de fuga. Para contornar esse problema, Eppler e Somers (1980),

relacionam o arrasto encontrado utilizando as características da camada limite no ponto

de descolamento com o arrasto que seria encontrado caso a camada limite fosse

calculada até o bordo de fuga (equação 3.45).

0.15

eseparação

e bordo de fuga

separação

∞

⎛⎞

=×

⎜⎟

⎝⎠

3.45

3.2.2.4 Correção no coeficiente de sustentação devido ao

descolamento: Estol

Como as formulações de camada limite de interação fraca são válidas

somente quando o escoamento está colado e o escoamento potencial não é recalculado

sobre a camada limite, é necessária uma formulação adicional para corrigir o coeficiente

de sustentação devido ao descolamento.

Eppler e Somers (1980) consideram que o estol reduz o ângulo de ataque

efetivo do perfil. Se

é o ângulo de ataque com sustentação nula e

é o ângulo de

ataque em relação à linha de corda, o coeficiente de sustentação sem separação, será

dado pela equação 3.46.

2( )

lsemsep c

αα

− 3.46

O termo

()

− é o ângulo de ataque medido em relação ao ângulo de

sustentação nula.

Se ocorrer separação a uma distancia

do bordo de fuga no extradorso, é

feita uma correção no ângulo de ataque (equação 3.47) e consequentemente no

coeficiente de sustentação (equação 3.48).

()

sep

us c

δα

−

∆≈ + 3.47

2()

sep

lusc

απ δα

∆= ∆=− + 3.48

Onde

é o ângulo de inclinação da superfície do bordo de fuga em

relação a linha de corda do perfil conforme mostrado na Figura 3-11.

Figura 3-11 Relações geométricas para o modelo de descolamento

Entretanto, observações mostraram que a inclusão de uma constante

pode

levar a curva de sustentação numérica na região do estol bem mais próxima das curvas

experimentais, assim o modelo modificado que será utilizado torna-se:

()

sep

lusc

δα

∆=−⋅ + 3.49

Sendo

uma constante arbitrária que depende das características

geométricas do perfil.

3.3 Escoamento Tridimensional

O escoamento bidimensional é uma idealização que ocorre numa asa

infinita, onde não existem fenômenos associados às pontas de asa, o escoamento está

sempre no plano do perfil (não existindo o ângulo de derrapagem conhecido como

) e

não existe interferência entre as diversas superfícies sustentadoras que compõem a

aeronave, como asas, empenagens e winglets.

No entanto, se tais considerações fossem utilizadas no projeto de uma

aeronave completa, o erro associado seria muito grande. Por isso torna-se necessária a

utilização de um método capaz de computar esses efeitos associados à

tridimensionalidade do escoamento.

A necessidade de ser aplicável a mais de uma superfície sustentadora de

geometria complexa, inviabiliza a utilização do método da Linha Sustentadora Clássica,

enquanto que a necessidade de possuir uma rápida velocidade de processamento

inviabiliza a utilização de métodos que solucionam as equações de Navier-Stokes,

tornando os métodos de elementos de contorno (Método dos Painéis e Vortex-Lattice)

as escolhas mais viáveis.

Optou-se pela utilização do método de Vortex-Lattice (Miranda, Elliott,

Baker, 1977) de maneira simplificada, onde a distribuição de singularidades é feita

somente ao longo da envergadura, com somente um vórtice do tipo ferradura ao longo

da corda (semelhante à distribuição proposta por Weissinger, 1947).

Para suprimir o lapso de informação das características aerodinâmicas da

asa ao longo da corda devido à distribuição de singularidades ser feita somente ao longo

da envergadura, o método proposto faz uso das características bidimensionais dos perfis

que compõem a asa (polares aerodinâmicas).

Com essa estratégia adotada, o método torna-se mais rápido, de maior

precisão, iterativo e não linear, sendo capaz de estimar, por exemplo, o comportamento

do conjunto além do estol, além da inclusão do arrasto parasita e do momento

aerodinâmico do perfil.

Desta forma, com o método proposto (distribuição de singularidades

somente ao longo da envergadura) têm-se na verdade, uma vantagem sobre o método de

Vortex-Lattice tradicional (distribuição de singularidades ao longo da envergadura e ao

longo da corda).

3.3.1 O método Vortex-Lattice Linear

No método de Vortex-Lattice a singularidade usada é chamada de Vórtice

Ferradura, e sua geometria parte do segundo Teorema de Helmholtz

, que determina que

um filamento de vórtice não possa simplesmente terminar no interior de um fluido, mas

deve se estender até a fronteira do sistema ou deve se fechar formando um anel. O

Hermann Ludwig Ferdinand Von Helmholtz (1821-1894), nasceu na Alemanha, além de ter sido o

primeiro pesquisador a usar filamentos de vórtices para analisar escoamentos não viscosos

incompressíveis, expressou a conservação de energia e a relação entre mecânica, calor, luz, eletricidade e

magnetismo como sendo todas, manifestações de uma única força.

Teorema de Helmholtz diz ainda que a intensidade do vórtice deva ser constante por

toda sua extensão.

A Figura 3-12 mostra um Vórtice Ferradura que possuiu três filamentos: um

segmento

B−

(chamado de vórtice colado), e dois filamentos semi-infinitos,

−∞

(chamados de vórtices de fuga), satisfazendo assim o Teorema de Helmholtz.

Figura 3-12 Representação do Vórtice Ferradura

A velocidade induzida por um filamento de vórtice de intensidade

(Figura 3-13) em um ponto do escoamento é dada pela lei de Bio-Savart (equação 3.50).

Figura 3-13 Filamento de vórtice

dl r



3.50

No entanto, segundo Phillips e Snyder (2000), uma maneira mais

conveniente de calcular a velocidade induzida por um segmento de vórtice que se inicia

no ponto

(,,)xyz

A e se estende até o ponto

(,,)xyz

B conforme mostrado na Figura 3-14 é a

utilização da equação de Bio-Savart trabalhada e apresentada na equação 3.51.

Figura 3-14 Velocidade induzida por um filamento de vórtice

12 1 2

rr r r

⎛⎞

×Γ

=−

⎜⎟

⎝⎠











3.51

Portanto, a velocidade induzida por um vórtice ferradura de intensidade

será a soma das contribuições de cada segmento de vórtice (

−

∞ e

−∞).

É importante lembrar que a formulação apresentada é válida para o

escoamento incompressível, não viscoso e irrotacional, que satisfazem à equação de

Laplace. Em um escoamento real, a intensidade do vórtice varia ao longo do filamento

devido à dissipação viscosa, tornando o teorema de Helmholtz (que considera a

vorticidade constante) impreciso quando comparado a um escoamento real (Mathias,

Ross e Cummings, 1995).

A distribuição de vórtice ao longo de cada superfície sustentadora ocorre

como mostrada na Figura 3-15, onde cada vórtice colado está a ¼ de corda e cada ponto

de controle está a ¾ de corda centrado com os vórtice de fuga. Esse posicionamento dos

vórtices e do ponto de controle é conhecido como regra de ¼ - ¾, e foi proposta

inicialmente por Enrico Pistolesi (apud Manson, 2004) e garante a condição de

tangência de velocidade na superfície. Esse posicionamento dos vórtices colados e dos

pontos de controle é exato para uma plana, sendo uma aproximação para perfis com

camber.

Figura 3-15 Distribuição de vórtices ferradura utilizado no método proposto

Assim como no método dos painéis, o escoamento deve atender a condição

de tangência de velocidade nos pontos de controle que neste caso estão localizados a ¾

de corda e obtemos um sistema de equações lineares como mostrado na equação 3.52.

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

mm mn n n

ww w B

⎡⎤⎧⎫⎧⎫

⎢⎥⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪⎪

⎢⎥

×=

⎨

⎬⎨⎬

⎢⎥

⎪

⎪⎪⎪

⎢⎥

⎪

⎪⎪⎪

⎣⎦⎩⎭⎩⎭



  



3.52

Onde

denota os coeficientes de influência geométricos das velocidades

induzidas a ¾ de corda, Γ denota a intensidade dos vórtices ferradura e

denota a

velocidade do escoamento não perturbado, incluindo as componentes de manobra

(rolamento, arfagem e guinada).

No entanto, segundo Miranda, Elliott e Baker (1977), uma opção mais

interessante para a distribuição dos vórtices ferraduras ocorre se ele for composto por

vários segmentos distintos (Figura 3-16) ao invés de apenas três como mostrado na

Figura 3-12. Tal configuração permite que o vórtice se mantenha colado sobre a

superfície, mas ao deixá-la no bordo de fuga, o vórtice pode se alinhar com o

escoamento sendo uma aproximação mais próxima do que ocorre na realidade, já que a

esteira como não pode oferecer resistência deve se tornar uma linha de corrente. Essa

formulação permite ainda a adoção de modelos adicionais de esteira livre.

Figura 3-16 Sistema de vórtice adotado

No entanto, na implementação do método, essa característica será opcional,

e o escoamento pode se alinhar em

e ou

ou não se alinhar com o escoamento,

cabendo ao usuário a escolha da configuração a ser adotada, conforme mostrado Figura

3-17.

Figura 3-17 Formas de alinhamento do vórtice com o escoamento na esteira fixa

Com essa configuração de vórtice ferradura adotada, w (equação 3.52), que

denota a influência geométrica de cada vórtice ferradura na velocidade induzida normal

à superfície a ¾ de corda, será a soma da contribuição de cada filamento que o compõe

(Figura 3-16), conforme a equação 3.53.

ij ijk i

wVn

⋅

∑





3.53

Onde



é a velocidade induzida por cada segmento de vórtice dado pela

equação 3.51, e



é o vetor unitário na direção normal a cada painel.

Os termos independentes da equação 3.52 são as influências do escoamento

não perturbado sobre cada painel adicionando às componentes devido à manobra

(velocidades angulares de rolamento, arfagem e guinada), conforme mostrado na

equação 3.54.

(

)

VVn

∞

+⋅



   

3.54

Onde:

V [cos( )cos( ) cos( )sin( ) sin( ) ]Vi jk

αβ αβ α

∞∞

=−+





3.55

3/4

×Ω



 

3.56

Onde

∞



è a velocidade do escoamento não perturbado,

é o ângulo de

ataque,

o ângulo de derrapagem, [ ]

qrΩ=





a velocidade angular de manobra,

com suas componentes [ ]

qr chamadas de rolamento, arfagem e guinada

respectivamente e

3/4



é a distância do ponto de controle até o centro de rotação da

aeronave (normalmente o centro de gravidade).

Uma vez determinada as intensidades dos vórtices (solucionando-se o

sistema linear 3.52), é possível calcular as forças aerodinâmicas (



) que atuam sobre a

superfície através do teorema de Kutta-Joukowski em sua forma vetorial (Katz e

Plotkin, 1991), conforme mostrado na Figura 3-18 e na equação 3.57.

Figura 3-18 Teorema de Kutta-Joukowski

×Γ



3.57

Onde



denota o vórtice colado,



é a velocidade total a ¼ de corda,

incluindo a velocidade induzida, o escoamento não perturbado e as velocidades

angulares devido à manobra e

a densidade do fluido.

É importante notar que a resultante da equação 3.57 será uma distribuição

de forças tridimensional como mostrado na Figura 3-19, ou seja, com as respectivas

componentes de arrasto, força lateral e sustentação.

Figura 3-19 Forças atuantes em uma aeronave durante uma manobra

3.3.1.1 Sistema de Coordenadas

É importante notar que as forças aerodinâmicas e os respectivos momentos

calculados com a equação 3.57 estão no sistema de coordenadas alinhado com o vento.

No entanto, em algumas situações é mais conveniente que as forças digam respeito a

outros sistemas de coordenadas, como o sistema de coordenada do corpo ou de

estabilidade, conforme pode ser visto na Figura 3-20.

Figura 3-20 Sistemas de coordenadas utilizados

As transformações de um sistema de coordenadas para outro é dado pelas

matrizes 3.58 e 3.59:

cos 0 sin

B2S= 0 1 0

-sin 0 cos

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

3.58

cos cos -sin sin cos

B2W= cos sin cos sin sin

-sin 0 cos

ββαβ

αα

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

3.59

Onde

B2S e B2W são as matrizes de transformação do sistema de

coordenadas do corpo para o sistema de coordenadas de estabilidade e do vento

respectivamente, e

são os ângulos de ataque e derrapagem respectivamente,

lembrando que para fazer a transformação no sentido inverso, basta inverter as matrizes

3.58 e 3.59.

3.3.1.2 Tipos de Malha Possíveis

Outra característica interessante é que diferentemente do método proposto

por Multhoop, no qual os vórtices ferraduras devem ser distribuídos ao longo da

envergadura seguindo uma configuração específica, no método de Vortex-Lattice pode-

se utilizar qualquer distribuição de vórtices ao longo da envergadura, resultando assim

em malhas elaboradas com maior nível de refinamento somente nas regiões da aeronave

onde se deseja maior precisão dos resultados, melhorando assim o tempo de

processamento. As malhas implementadas que podem ser aplicadas individualmente em

cada superfície sustentadora são apresentadas na Figura 3-21.

Figura 3-21 Tipos de malha disponíveis

3.3.2 O Método Não Linear

Como a distribuição de vórtices ferraduras no método implementado ocorre

somente ao longo da envergadura, possuindo apenas um ponto de controle ao longo da

corda e é desconsiderada a linha de camber do perfil, os resultados obtidos com o

método proposto seriam referentes a uma asa que utiliza um perfil simétrico. Como o

foi desconsidera também a espessura relativa do perfil, os resultados obtidos com o

método linear seriam sempre referentes a um perfil do tipo placa plana, trabalhando na

região linear da curva de sustentação com variação do coeficiente de sustentação em

relação ao ângulo de ataque (

dCL

) constante igual à 2

e o ângulo de sustentação

nula do perfil (

) igual à zero.

No entanto, na grande maioria dos casos, as superfícies sustentadoras das

aeronaves utilizam perfis aerodinâmicos bastante elaborados, com as características do

escoamento sobre eles completamente diferentes daquelas encontradas na placa plana.

Para contornar esse problema e computar os resultados tridimensionais do

escoamento em função das características aerodinâmicas do perfil, é necessária a

distribuição de singularidades sobre a linha da camber do perfil ou fornecer como dado

de entrada o ângulo de ataque cuja sustentação do perfil é nula (

) e a inclinação da

curva de sustentação (

dCL

), como o proposto por Multhoop. No entanto, sabe-se

que o valor de

dCL

não é constante em toda a faixa de sustentação do perfil levando

a uma situação de não linearidade.

Diversos métodos surgiram desde então na tentativa de tornar os métodos

lineares capazes de tratar as regiões não lineares do comportamento aerodinâmico de

asas, aumentando a caracterização do escoamento tridimensional em função dos dados

bidimensionais, como por exemplo, o trabalho de James e Robert (1947) e Anderson Jr.,

Corda e Van Wie (1980), ambos referentes a métodos baseados na correção da Linha

Sustentadora Clássica.

No entanto, devido às características do método linear adotado neste

trabalho (similar ao Vortex-Lattice) será utilizado um processo iterativo baseado no

trabalho de Mukherjee, Gopalarathnam e Kim (2003).

Esse algoritmo iterativo capaz de computar a influência das características

do escoamento bidimensional sobre escoamento tridimensional pode ser descrito através

dos seguintes passos:

(1) São atribuídos valores iniciais para

∆

para cada seção da asa.

Estas são variáveis auxiliares que serão explicadas ao longo da descrição deste

algoritmo.

(2) As características aerodinâmicas da asa são calculadas com o método

linear.

(3) O ângulo de ataque efetivo de cada seção (

_sece

) é calculado usando os

valores de sustentação local (

secL

C ) obtidas no passo (2) em conjunto com a equação

3.60.

sec

_sec

− 3.60

(4) Os valores de

C∆ para cada seção da asa são então calculados através

da equação 3.61

secLLviscL

CC C

∆

=− 3.61

Onde

Lvisc

C é o valor de sustentação obtido com a curva de sustentação

experimental do perfil aerodinâmico, para cada seção da asa em ângulos de ataque

efetivos distintos (

_sece

(5) Os novos valores de

são então calculados através da equação 3.62 e os

novos ângulos de ataque para cada seção da asa podem se calculados através de 3.63,

onde são consideradas as diferenças entre o ângulo de ataque original e o incremento

necessário para que aquela seção da asa forneça a sustentação esperada com o perfil

aerodinâmico.

δδ

∆

=+ 3.62

sec inicial

αδ

+ 3.63

(6) Retorna-se então para o passo (2), onde o novo valor de ângulo de

ataque a ser usado para cada seção será

sec

. Este processo é repetido até a

convergência de

secL

C .

Em seu trabalho, Mukherjee, Gopalarathnam e Kim, testaram seu algoritmo

somente em asas individuais em condições de vôo simples (sem velocidade de

rolamento, arfagem e guinada).

No entanto, para a utilização do algoritmo em uma aeronave completa, com

múltiplas asas e empenagens de geometria complexa e em condições de vôo com a

presença de movimentos de rolamento, arfagem e guinada, mostrou-se necessária a

utilização de coeficientes de amortecimento (equação 3.64) e dissipação (equação 3.65),

não incluídos no algoritmo original sugerido por Mukherjee, Gopalarathnam e Kim.

(, )

(, ) (, 1)

LiT

iT iT

δδ

−

3.64

(

)

( 1,) ( 1,)

(, )

iT iT

δδ

−+

⎛⎞

⎜⎟

+Π

⎜⎟

⎝⎠

+Π

3.65

Onde

i denota a seção ao longo da envergadura, T o número da iteração K

é o fator de amortecimento e Π é o fator de dissipação. É interessante notar que o

coeficiente de amortecimento atua de maneira temporal enquanto que o coeficiente de

dissipação age de maneira espacial.

A utilização dos fatores de dissipação e amortecimento traz mais

estabilidade ao modelo numérico, característica que se mostrou fundamental devido à

natureza instável do escoamento em regime não linear (estol).

É importante notar que com o aumento do coeficiente de amortecimento

K o resultado final não é alterado, apenas aumenta-se o numero de iterações necessárias

para a convergência, enquanto que com o aumento do coeficiente de dissipação Π , o

resultado é alterado, conforme mostrado na Tabela 3-1, na Tabela 3-2, na Figura 3-22 e

na Figura 3-23. Esses resultados foram obtidos para uma asa retangular com

alongamento 5, utilizando um perfil NACA-0012, com 22 graus de ângulo de ataque, ou

seja, a queda da circulação no centro das curvas representa a região de estol.

Tabela 3-1 Influência do coeficiente de amortecimento

Coeficiente de

amortecimento

Resultado, coeficiente de

sustentação

Número de iterações

0.0 0.98185 58

0.5 0.98185 86

2.0 0.98185 162

Figura 3-22 Variação da circulação em função do coeficiente de amortecimento

Tabela 3-2 Influência do coeficiente de dissipação

Coeficiente de dissipação

Resultado, coeficiente de

sustentação

Número de iterações

0.00 0.98185 58

0.01 0.98474 55

0.10 1.0034 36

0.50 1.0311 26

Figura 3-23 Variação da circulação em função do coeficiente de dissipação

3.3.3 O Arrasto Induzido

Devido à dificuldade associada ao cálculo do arrasto induzido presente em

uma superfície sustentadora, surgiram muitos métodos tentando estimá-lo, como por

exemplo, a componente da força na direção contrária ao movimento da aeronave obtido

com o teorema de Kutta-Joukowski (equação 3.57), uma modificação do método da

Linha Sustentadora proposta por Eppler que calcula o downwash no bordo de fuga, a

medição do downwash a ¾ de corda e a integração da pressão sobre a superfície do

corpo no caso do método dos painéis tridimensional, (Mortara, Straussfogel, Maughmer,

1992 e Katz e Plotkin, 1991).

Segundo Giles e Cummings (1999) uma maneira bastante eficiente de se

estimar o arrasto induzido de uma aeronave é pela variação que ela provoca na direção

da quantidade de movimento (

Momentum). Esse princípio é válido para qualquer tipo de

geometria de asa com múltiplas superfícies sustentadoras, qualquer geometria de esteira

e mesmo para uma aeronave completa incluindo sua fuselagem (Jie Li, Fengwei Li e

Qin E, 2003).

A variação na direção do

Momentum no plano S

da Figura 3-24 é o arrasto

causado pela aeronave, e pode ser calculado através da integral mostrada na equação

3.66. Essa técnica é conhecida como Trefftz-Plane ou análise do plano distante (Katz e

Plotkin, 1991).

Figura 3-24 Volume de controle utilizado para medir o arrasto induzido.

()

ind

Dvwdydz

∫∫

3.66

Onde

ind

D denota o arrasto induzido,

denota a densidade do fluido,

vewas componentes da velocidade do escoamento nas direções yezrespectivamente.

No entanto, existe uma forma mais conveniente de tratar a equação 3.66 ao

se utilizar um método baseado na distribuição de vórtice ferraduras. Utilizando o

teorema de Green que converte uma integral de área em uma integral de linha, a

equação 3.66 assume a forma apresentada na equação 3.67 (Katz e Plotkin, 1991).

ind n

DWds

ρφ

−

=∆⋅

∫

3.67

Onde

∆

denota a diferença de potencial de velocidades entre a face

superior e inferior da esteira, e

W é a velocidade do escoamento normal à esteira.

Como no método de distribuição de vórtices ferraduras, a diferença de

potencial na esteira é a circulação (

∆

=Γ

), o arrasto induzido pode se

convenientemente calculado através da equação 3.68.

ind i ni i

DWs

=Γ

∑

3.68

Onde Γ denota a intensidade do vórtice ferradura,

W a velocidade induzida

normal à esteira e

a largura do vórtice ferradura. Todos esses valores medidos em

pontos distantes da aeronave sobre a esteira, como mostrado na Figura 3-25. Essa

formulação é válida para qualquer geometria de esteira, mesmo com enrolamentos

encontrados nos modelos de esteira livre (Schlichting, H. e Truchenbrodt, 1979). É

importante notar que na Figura 3-25, a distância dos pontos de controle na esteira em

relação ao vórtice colado não é relevante, pois o valor da velocidade induzida por um

vórtice ferradura será constante em qualquer ponto central dos vórtices de fuga

suficientemente distante do vórtice colado.

Figura 3-25 Cálculo do arrasto induzido no CEA-VLM.

3.3.4 Esteira livre

O alinhamento do vórtice ferradura com o escoamento não perturbado

utilizando uma esteira fixa conforme descrito anteriormente (Figura 3-16 e Figura 3-17),

é uma ótima aproximação para o cálculo de uma única superfície sustentadora, pois para

pequenos ângulos de ataque a geometria da esteira possui pouca influência nos

resultados aerodinâmicos de interesse (coeficientes de sustentação e arrasto) da

superfície geradora da esteira.

No entanto, ao se considerar uma segunda superfície próxima à esteira da

primeira (como as empenagens), sob condições de altos ângulos de ataque e derrapagem

ou com altas velocidades angulares de manobra, a geometria da esteira pode afetar

significativamente os resultados aerodinâmicos.

Para solucionar tal problema foi adicionado ao software implementado um

modelo de esteira livre (Katz e Maskew, 1987). Este é um processo iterativo não linear

e transitório que demanda um grande tempo de processamento, pois a esteira é

discretizada e a sua utilização será opcional, cabendo ao usuário a avaliação da

necessidade de uso.

A principal característica observada na esteira de uma aeronave real é o seu

enrolamento nas extremidades das superfícies, como pode ser visto na Figura 3-26,

levando assim à formação dos vórtices de ponta de asa descritos anteriormente.

Figura 3-26 Comparação entre os modelos de esteira plana e esteira livre

O processo iterativo para o cálculo da esteira consiste em calcular a

trajetória de cada partícula fluida após o escoamento deixar a superfície sólida. Essas

trajetórias irão se tornar a próxima configuração de vórtices ferradura para uma nova

iteração, tornando assim a esteira coincidente com a linha de corrente, conforme pode

ser visto na Figura 3-27 (Katz, J. e Maskew, 1987).

Figura 3-27 Evolução das linhas de corrente e dos vórtices ferradura

O algoritmo utilizado para calculo da esteira pode ser descrito da seguinte

forma:

(1) Entrada da geometria inicial dos vórtices ferradura, onde os vórtices de

fuga se estendem sobre a superfície do corpo desde ¼ de corda até o bordo de fuga

(instante t = 0 na Figura 3-27).

(2) Utilizando o método de Vortex-Lattice calcula-se a intensidade dos

vórtices e a velocidade nos pontos de controle da esteira.

(3) Com as velocidades nos pontos de controle, calcula-se a trajetória de

uma partícula fluida localizada nesses pontos (linhas de corrente), usando um integrador

numérico, como mostrado nas equações 3.69 e 3.70.

(,,) (,,) ( , , )

tt t

yz xyz x y z

+∆

+∆ ∆ ∆ 3.69

Onde:

()

,, (,,)

yz uvwt∆∆∆ = ∆ 3.70

(4) O vórtice de fuga é então estendido sobre a trajetória da partícula fluida

calculada.

(5) Volta-se então para (2), até que o critério de convergência adotado seja

obtido (

dCL

tolerância

< , por exemplo), ou um número preestabelecido de iterações

seja atingido.

É importante notar que esse é um problema elíptico, ou seja, é preciso

recalcular toda a esteira em cada iteração, pois o segmento de vórtice mais distante da

asa modifica o início do desenvolvimento da esteira, mais próxima à asa.

Vale ressaltar ainda que no passo (2), as equações 3.69 e 3.70 dizem

respeito a um integrador de primeira ordem (Euler). É aconselhável a utilização de um

integrador numérico de ordem superior como o Runge-Kutta de segunda ou quarta

ordem, melhorando assim a precisão dos resultados.

O SOFTWARE IMPLEMENTADO

Como plataforma de desenvolvimento do software foi escolhida a

linguagem de programação MATLAB por apresentar as seguintes características:

•

Facilidade de programação.

•

Linguagem interpretada com ferramentas de depuração sofisticadas.

•

Grande quantidade de rotinas matemáticas disponíveis, como inversão de

matriz, interpolação de dados discretos e geração de gráficos,

dispensando assim a necessidade do desenvolvimento de tais rotinas.

•

Capacidade de gerar ambientes gráficos completos de pré-processamento

e pós-processamento em ambiente de janelas.

CEA-VLM 2,5 D será o nome do ambiente de projeto completo de

aeronaves, composto por dois aplicativos integrados, o CEA-2D (escoamento bi-

dimensional) e o CEA-VLM (escoamento tridimensional).

4.1 CEA- 2D

O CEA-2D é o software para cálculo dos perfis aerodinâmicos baseado no

método dos painéis em conjunto com um modelo semi-empírico de camada limite. Esta

implementação possui as seguintes características:

•

Método dos Painéis com duas formulações disponíveis: Hess-Smith e

Vortice Linear.

•

Cálculo da camada limite utilizando o modelo de Thwaites para a região

laminar, o critério de transição proposto por Michael e o modelo de

Head para a região Turbulenta.

•

Modelo adicional para correção da não linearidade da curva de

sustentação (estol) proposto por Eppler modificado.

4.2 CEA-VLM

O CEA-VLM é o software para cálculo da aeronave completa. É baseado no

método de Vortex-Lattice modificado, com somente uma singularidade ao longo da

linha de corda (assim como o método proposto por Weissinger), porém incorporando

uma série de modelos adicionais não disponíveis nos softwares similares, a saber:

•

Método de Vortex-Lattice modificado

•

Utilização das informações tabeladas bidimensionais do perfil

aerodinâmico, obtidas experimentalmente ou calculadas numericamente,

podendo assim calcular a região não linear da curva de sustentação

(estol) e incluir efeitos de arrasto parasita e momento aerodinâmico do

perfil.

•

Possibilidade de utilização de geometrias complexas com múltiplas

superfícies planas e não-planas, torção geométrica, diedro e

enflechamento (moderado).

•

Permite torção aerodinâmica.

•

Pode-se utilizar qualquer tipo de distribuição de malha, sendo que na

implementação desenvolvida estão disponíveis quatro tipos.

•

Cálculo das forças, momentos e seus respectivos coeficientes em três

sistemas de coordenadas diferentes (eixo do corpo, eixo de estabilidade

e eixo do vento).

•

Alinhamento da esteira fixa

•

Modelo adicional de esteira livre

•

Avaliação do campo de escoamento e Momentum no infinito para

cálculo do arrasto induzido (Trefftz-Plane).

•

Aceita diversas condições de vôo, com o escoamento alinhado em ângulo

de ataque ou derrapagem e velocidades angulares de rolamento, arfagem

e guinada.

4.3 Ambientes de Pré e Pós Processamento

Visando a facilidade de utilização do software por outros engenheiros, foi

desenvolvida uma interface gráfica amigável na qual através de janelas são fornecidas

todas as informações necessárias para o procedimento de cálculo e interpretação dos

resultados, tanto no ambiente bidimensional quanto tridimensional (Figura 4-1 e Figura

4-2 respectivamente).

Figura 4-1 Ambiente bidimensional desenvolvido

Figura 4-2 Ambiente tridimensional desenvolvido

RESULTADOS

5.1 Escoamento Bidimensional

5.1.1 Comparação entre as formulações de Método dos

Painéis bidimensionais

No software implementado estão disponíveis duas formulações potenciais

bidimensionais, Hess-Smith e Vórtice Linear (ou distribuição Linear de Vórtices),

cabendo ao usuário a escolha de qual formulação utilizar.

A formulação proposta por Hess e Smith (1966) necessita de um número

maior de painéis para obtenção da convergência, em relação ao método de Vórtice

Linear, conforme mostrado na Tabela 5-1 e na Figura 5-1. No entanto, devido a sua

formulação, acredita-se que a solução proposta por Hess e Smith (1966) seja menos

sensível em relação à qualidade dos pontos utilizados como dado de entrada para as

coordenadas que compõe o perfil aerodinâmico. Em algumas situações (como abertura

do bordo de fuga devido a existência de um gap entre o intradorso e o extradorso) pode

ser mais recomendada a sua utilização, por isso sua formulação é mantida no software

implementado, além de sua importância histórica.

Tabela 5-1 Comparação entre as formulações de método dos painéis

bidimensionais

Coeficiente de Sustentação Número

de Painéis Hess-Smith Vórtice Linear

6 0,18930 0,37345

8 0,28157 0,41645

10 0,33659 0,44330

16 0,41624 0,47641

20 0,44085 0,48654

50 0,49353 0,50837

100 0,50862 0,51507

150 0,51330 0,51731

200 0,51533 0,51827

Figura 5-1 Comparação entre as formulações de método dos painéis

bidimensionais

Como se pode notar pela Figura 5-2, ambas as formulações (Hess-Smith e

Vórtice Linear) convergem rigorosamente para a mesma distribuição de coeficiente de

pressão. Foi utilizado um perfil NACA 4415, com ângulo de ataque

0º

= e número de

painéis = 50.

Figura 5-2 Diferença entre as formulações potenciais no coeficiente de pressão.

5.1.2 Comparação com outros softwares e resultados

experimentais

Os resultados obtidos com o software bidimensional implementado (CEA-

2D), foi comparado com resultados experimentais disponíveis na literatura (Abbott e

von Doenhoeff, 1959 e Somers, 1981) e com os principais softwares utilizados

atualmente para a análise de perfis aerodinâmicos.

Os critérios de escolha de quais os softwares seriam utilizados na

comparação foram:

•

Boa documentação do software descrevendo os modelos utilizados,

preferencialmente com código fonte aberto para análise.

•

Utilizar método dos painéis para o tratamento da região potencial

•

Representação fiel dos modelos de camada limite descritos

•

Disponibilidade gratuita

•

Possuir versão compatível com o padrão IBM-PC

•

Relevância histórica e vasta utilização em projetos de aeronaves

Os softwares escolhidos contemplam os modelos e métodos conforme

apresentado na Tabela 5-2.

Tabela 5-2 Softwares Disponíveis para a Comparação Bidimensional

Software

Método

dos

Painéis

Modelo

Laminar

Critério

Transição

Modelo de

Turbulência

Tipo de

Interação

Escoamento

Descolado

JavaFoil**

Vórtice

linear

Eppler e

Somers

Eppler e

Somers

Eppler e

Somers

Fraca Válido*

Pablo***

Vórtice

linear

Thwaites Michel Head Fraca Não válido

XFoil****

Vórtice

linear

Drela e

Giles

Drela e

Giles

Drela e Giles Forte Válido

CEA 2D

Vórtice

linear

Hess-

Smith

Thwaites Michel Head Fraca Válido*

*Através de modelo adicional

**Hepperle (2006)

***Wauquiez (2000)

****Drela (2006)

Em todos os softwares, não foram utilizadas nenhuma correção disponível

para efeitos de compressibilidade e acabamento superficial.

Os softwares escolhidos foram então submetidos a uma bateria de

simulações, levantando-se as curva de coeficientes de sustentação, momento

aerodinâmico e arrasto de diferentes perfis aerodinâmicos.

Os perfis utilizados nos testes são subsônicos e com larga utilização no

projeto de aeronaves leves e de aviação geral, incluindo perfis simétricos, não

simétricos, turbulentos e laminares. Assim, os perfis analisados foram:

•

NACA 0012

•

NACA 4415

•

NACA 23015

•

NACA 632415

•

NLF(1)-0215F

Para todos os testes numéricos e para obtenção das informações

experimentais foi considerado um número de Reynolds igual a 3 milhões, deflexão de

flap nula e acabamento superficial polido. A geometria dos perfis em cada software foi

gerada a partir das mesmas coordenadas e utilizando o mesmo número de painéis (200

painéis). Os resultados são mostrados da Figura 5-3 a Figura 5-7.

Com base nas curvas polares apresentadas na Figura 5-3 à Figura 5-7, foram

determinadas ainda características aerodinâmicas secundárias, mas de fundamental

importância no projeto da aeronave, sendo: a inclinação da curva de sustentação

(

dCL

) e o ângulo de sustentação nula (

) sendo apresentados na Tabela 5-3 e na

Tabela 5-4.

Figura 5-3 Resultados para o perfil NACA 0012

Figura 5-4 Resultados para o perfil NACA 4415

Figura 5-5 Resultados para o perfil NACA 23015

Figura 5-6 Resultados para o perfil NACA 632415

Figura 5-7 Resultados para o perfil NLF(1)-0215F

Tabela 5-3 Inclinações da curva de sustentação (1/radianos)

Pablo Xfoil JavaFoil CEA 2D

Perfil

Túnel Valor E (%) Valor E (%) Valor E (%) Valor E (%)

NACA 0012 6.42 6.89 7.39 6.35 -1.01 6.86 6.96 6.88 7.20

NACA 4415 5.73 7.05 23.01 6.41 11.89 7.02 22.50 7.03 22.76

NACA 23015 6.07 7.05 16.08 6.36 4.72 7.04 15.85 6.97 14.83

NACA 63 2 415 6.88 6.94 0.95 6.67 -2.96 6.91 0.54 6.91 0.46

NLF(1)-0215F 6.45 6.93 7.45 6.73 4.29 6.80 5.42 6.86 6.36

Tabela 5-4 Ângulo de sustentação nula (Graus)

Pablo Xfoil JavaFoil CEA 2D

Perfil

Túnel Valor E (%) Valor E (%) Valor E (%) Valor E (%)

NACA 0012 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

NACA 4415 -4.00 -4.30 7.55 -4.36 8.93 -4.50 12.53 -4.22 5.46

NACA 23015 -1.08 -1.18 9.81 -1.21 12.82 -1.67 55.37 -1.19 10.27

NACA 63 2 415 -2.83 -3.25 14.71 -2.99 5.70 -3.13 10.34 -3.13 10.33

NLF(1)-0215F -5.74 -6.35 10.64 -5.61 -2.29 -6.33 10.27 -6.33 10.25

Nota-se da Figura 5-3 a Figura 5-7 um volume muito grande de

informações, dificultando assim a análise dos resultados de forma objetiva. Com o

intuído de determinar o melhor modelo para cálculo de perfis aerodinâmicos à luz do

projeto de aeronaves, foi atribuída uma pontuação a cada software, representando a

acuracidade dos seus resultados com os resultados experimentais. Esta pontuação foi

definida como mostrado na equação 3.71.

()

−

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

∑

3.71

Onde

S denota a pontuação, Y denota o valor experimental do coeficiente

em questão e

denota o valor do coeficiente em questão calculado numericamente.

A pontuação normalizada de cada software, obtida como descrito

anteriormente, para a polares de sustentação, momento aerodinâmico e arrasto são

mostrada na Figura 5-8, Figura 5-9 e Figura 5-10 respectivamente.

Figura 5-8 Pontuação normalizada obtida na determinação do coeficiente de

sustentação.

Figura 5-9 Pontuação normalizada obtida na determinação do coeficiente de

momento aerodinâmico

Figura 5-10 Pontuação normalizada obtida na determinação do coeficiente de

arrasto.

Pelos resultados apresentados na Figura 5-3 à Figura 5-10 e na Tabela 5-3 e

na Tabela 5-4 e observa-se uma discrepância entre os softwares analisados, mas em

geral observa-se que:

•

Na região linear da curva do coeficiente de sustentação, todos os

softwares obtiveram resultados bastante semelhantes, com erros médios

por volta 10%.

•

Na região não linear da curva de coeficiente de sustentação, nenhum

software conseguiu reproduzir o efeito do estol com fidelidade, enquanto

que o Pablo nem mesmo mudou a inclinação da curva de coeficiente de

sustentação, evidenciando assim a falta de um modelo de estol, nota-se

ainda no CEA-2D que o efeito da correção empírica utilizada foi

bastante satisfatória em alguns casos e insatisfatória em outros.

•

Na curva de coeficiente de arrasto, todos os softwares captaram o

comportamento da curva, mas a formulação utilizada pelo CEA-2D e

pelo Pablo foram as que mais se aproximaram da curva experimental.

•

Na curva de coeficiente de momento aerodinâmico observa-se, em todos

os softwares, que em alguns perfis os resultados são satisfatórios

(geralmente perfis com camber moderado), enquanto que em outros

existe um grande erro em relação aos resultados experimentais

(geralmente perfis com camber elevado).

•

De maneira geral observa-se um desempenho superior do software CEA-

2D em alguns dos perfis aerodinâmicos testados, na curva de coeficiente

de sustentação mas principalmente na curva de coeficiente de arrasto,

enquanto que na curva de momento aerodinâmico os resultados são mais

discrepantes.

Para compreender a diferença obtida entre os softwares, deve-se fazer uma

análise crítica e detalhada de suas soluções. A região linear da curva de sustentação é

regida principalmente pela solução potencial do método dos painéis. Pode-se ver na

Figura 5-11 (NACA 4415

0º

= ) que todos os softwares convergem para o mesmo

resultado de distribuição de coeficiente de pressão potencial. A região não linear da

curva de coeficiente de sustentação e a curva de coeficiente de arrasto são regidas pela

solução de camada limite, que, como pode-se observar na Figura 5-13 (NACA 4415

0º

= , Re=3x10

) , todos os softwares apresentam uma solução distinta.

Outro fator que deve ainda ser considerado como possível causador da

discrepância dos resultados é o tipo de iteração potencial-viscosa utilizada em cada

software, sendo que o Xfoil é o único software que calcula a distribuição de pressão

considerando a presença da camada limite, conforme mostrado na Figura 5-12 (NACA

4415

20º

= , Re=5x10

), o que justifica seu melhor desempenho nas curvas de

momento aerodinâmico em alguns perfis aerodinâmicos testados.

Figura 5-11 Comparação entre a distribuição do coeficiente de pressão.

Figura 5-12 Comparação entre os resultados potencial e viscoso para o coeficiente

de pressão.

Figura 5-13 Comparação entre os parâmetros de camada limite

5.2 Escoamento Tridimensional

Diferentemente do caso bidimensional no qual o software implementado

pôde ser confrontado com outros softwares disponíveis e com resultados experimentais

simultaneamente, no caso tridimensional, essa comparação simultânea não é coerente

devido a grandes diferenças entre as metodologias empregadas e limitações em cada

software, principalmente no tocante a distribuição de singularidades ao longo da corda e

a utilização das polares bidimensionais do perfil aerodinâmico, conforme mostrado na

Tabela 5-5. Por isso inicialmente serão comparados os resultados entre os softwares

fazendo os ajustes necessários para que todos representem o mesmo fenômeno físico

envolvido (mesmo tipo de perfil aerodinâmico e condição de vôo) e depois apenas o

CEA-VLM será comparado com resultados experimentais.

5.2.1 Comparação com outros softwares disponíveis

Os critérios de escolha de quais os softwares seriam utilizados na

comparação foram:

•

Boa documentação do software descrevendo os modelos utilizados,

preferencialmente com código fonte aberto para análise.

•

Utilizar método de Vortex-Lattice para o tratamento da região potencial

•

Disponibilidade gratuita

•

Possuir versão compatível com o padrão IBM-PC

•

Relevância histórica e vasta utilização em projetos de aeronaves

•

Permitir a inserção de ângulo de ataque (

), ângulo de derrapagem (

)

e velocidades angulares de rolamento, arfagem e guinada (

, q e r

respectivamente).

Os softwares escolhidos contemplam os modelos e métodos conforme

apresentado na Tabela 5-5.

Tabela 5-5 Softwares Disponíveis para a Comparação Tridimensional

Característica AVL* TORNADO** CEA-VLM

Múltiplas

Superfícies

sustentadoras

sim sim sim

Distribuição de

vórtices ao longo da

corda

sim sim não

Perfil Permitido Qualquer

Somente NACA 4

dígitos

Qualquer

Ângulo de

Derrapagem

sim sim sim

Velocidades de

rolamento, arfagem

e guinada.

sim sim sim

Tipos de malha

disponíveis

4 1 4

Numero sistemas de

coordenadas

3 3 3

Utilização de

polares

bidimensionais

não não sim

Tipo de esteira

disponível

Fixa desalinhada Fixa alinhada

Fixa desalinhada,

fixa alinhada,

esteira livre

Forma de calculo

do arrasto induzido

Vórtice Colado,

Treffts-Plane

Vórtice Colado

Vórtice Colado,

Treffts-Plane

*Drela (2006)

** Melin (2005)

O CEA-VLM é o único algoritmo utilizado nessa comparação que utiliza

polares bidimensionais dos perfis aerodinâmicos como dado de entrada, enquanto que

os outros softwares permitem a distribuição de singularidades ao longo da corda,

alinhando-as com a linha de camber do perfil.

Devido a essa diferença de metodologia, para que todos os softwares

reproduzam rigorosamente a mesma situação deve-se fornecer ao CEA-VLM uma curva

polar teórica as características mostradas no sistema de equações 3.72.

()

πα

−

3.72

Nos demais softwares devem ser utilizados perfis simétricos (qualquer perfil

simétrico no método de Vortex-Lattice tradicional possui polar semelhante à

apresentada no sistema de equações 3.72) e deve-se ainda utilizar somente um vórtice

ferradura ao longo da linha de corda.

Para tal comparação foi criado o modelo de uma aeronave completa,

utilizando mesmo número de vórtices ferraduras ao longo da envergadura e somente um

vórtice ao longo da linha de corda, conforme mostrado na Figura 5-1, além de se utilizar

a mesma geometria de esteira fixa em todos os softwares.

Figura 5-14 Modelo criado nos três softwares em questão

Entretanto, no decorrer das comparações foi abandonado o software

Tornado, devido à problemas de implementação (código fonte analisado), que geram

resultados equivocados principalmente quando a aeronave possui velocidade de

manobra, como mostrado na Figura 5-15. Além de incoerências nos coeficientes de

sustentação e momento aerodinâmico observam-se valores negativos de arrasto

induzido.

Figura 5-15 Resultados equivocados encontrados com o software Tornado.

Portanto, o único software disponível capaz de produzir resultados

consistentes em todas as condições analisadas para servir de referência ao CEA-VLM

foi o software AVL.

Os resultados obtidos com ambos os softwares foram comparados nas

seguintes condições:

1) Ângulo de ataque (

) variando de -20º a 20º, ângulo de derrapagem

constante igual a zero, velocidade de rolamento (p) constante igual a zero, velocidade de

arfagem (q) constante igual a zero, velocidade de guinada (r) constante igual a zero

(Figura 5-16).

Figura 5-16 Comparação entre o CEA-VLM e o AVL em função do ângulo de

ataque.

2) Ângulo de ataque (

) constante igual a 5º, ângulo de derrapagem

variando de -20º a 20º, velocidade de rolamento (p) constante igual a zero, velocidade

de arfagem (q) constante igual a zero, velocidade de guinada (r) constante igual a zero

(Figura 5-17).

Figura 5-17 Comparação entre o CEA-VLM e o AVL em função do ângulo de

derrapagem.

3) Ângulo de ataque (

) constante igual a 5º, ângulo de derrapagem

constante igual a zero, velocidade de rolamento (p) variando de -100 º/s a 100 º/s,

velocidade de arfagem (q) constante igual a zero, velocidade de guinada (r) constante

igual a zero (Figura 5-18).

Figura 5-18 Comparação entre o CEA-VLM e o AVL em função do ângulo da

velocidade de rolamento.

4) Ângulo de ataque (

) constante igual a 5º, ângulo de derrapagem

constante igual a zero, velocidade de rolamento (p) constante igual a zero, velocidade de

arfagem (q) variando de -100 º/s a 100 º/s, velocidade de guinada (r) constante igual a

zero (Figura 5-19).

Figura 5-19 Comparação entre o CEA-VLM e o AVL em função do ângulo da

velocidade de arfagem.

5) Ângulo de ataque (

) constante igual a 5º, ângulo de derrapagem

constante igual a zero, velocidade de rolamento (p) constante igual a zero, velocidade de

arfagem (q) constante igual a zero, velocidade de guinada (r) variando de -100 º/s a 100

º/s (Figura 5-20).

Figura 5-20 Comparação entre o CEA-VLM e o AVL em função do ângulo da

velocidade de guinada.

Nota-se que ambos os softwares comparados obtiveram resultados quase

idênticos em todas as situações, com diferenças sutis apenas em altas velocidades

angulares de guinada. A diferença média entre os softwares foi inferior a 1%

considerando todas as condições de vôo analisadas.

5.2.2 Comparação entre a teoria linear e a não linear

O método de Vortex-Lattice tradicional é linear e em sua formulação não é

considerada a espessura relativa do perfil. Logo, qualquer perfil simétrico possuirá

exatamente o mesmo comportamento da placa plana, ou seja

=−

∂

em toda

a curva de sustentação e

= , entretanto, como visto no caso bidimensional, e

confirmado pela Figura 5-21, a curva de sustentação de um perfil não possui inclinação

constante, sendo que, para altos ângulos de ataque observa-se os efeitos do

descolamento do escoamento, causando o efeito conhecido como estol.

Figura 5-21 Características aerodinâmicas do perfil NACA 0012

Neste ponto observa-se a primeira vantagem do software desenvolvido em

relação ao método de Vortex-Lattice tradicional, pois com a utilização da polar

bidimensional, além da influência da espessura relativa, é possível a detecção das não

linearidades da curva de sustentação, gerando o efeito conhecido como estol.

A Figura 5-22 e a Figura 5-23 comparam a distribuição do coeficiente de

sustentação obtido com o software CEA-VLM e suas respectivas curvas de coeficiente

de sustentação, arrasto e momento aerodinâmico em função do ângulo de ataque (Figura

5-24 e Figura 5-25) utilizando como dado de entrada a curva polar do perfil NACA

0012 apresentada na Figura 5-21, com a teoria de Vortex-Lattice linear clássica, em

configurações de asas típicas em aeronaves: uma asa retangular (AR=10) e uma asa

trapezoidal (AR=16.67,

=0.2).

Figura 5-22 Distribuição de CL em uma asa retangular típica.

Figura 5-23 Distribuição de CL em uma asa trapezoidal típica.

Figura 5-24 Polar aerodinâmica da asa retangular em questão obtida com o

software implementado.

Figura 5-25 Polar aerodinâmica da asa trapezoidal em questão obtida com o

software implementado.

É importante notar que, conforme esperado, o estol inicia-se nas regiões

com maior circulação (maior sustentação), conforme pode ser visto na Figura 5-22 e na

Figura 5-23.

As curvas apresentam resultados coerentes, sendo que a teoria linear e a não

linear são idênticas para pequenos ângulos de ataque, entretanto nota-se que para altos

ângulos de ataque os efeitos associados ao estol, como a redução no coeficiente de

sustentação e no arrasto induzido (Figura 5-24e Figura 5-25) são importantes.

È importante notar ainda que com o software implementado, além do arrasto

induzido, é possível computar o efeitos do arrasto parasita do perfil aerodinâmico.

5.2.3 Comparação entre as Técnicas de Medição do Arrasto

Induzido

Conforme dito anteriormente, devido à dificuldade de se medir o arrasto

induzido provocado pelas superfícies sustentadoras, diversas técnicas surgiram com esse

objetivo. Foram comparados os resultados obtidos com três técnicas para cálculo do

arrasto induzido bastante utilizadas (Katz e Plotkin,1991):

•

Teorema de Kutta-Joukowski no vórtice colado (equação 3.57).

•

Medição do Downwash a ¾ de corda

•

Treffts-Plane

Essas três técnicas de medição do arrasto induzido serão comparados

utilizando uma asa retangular (AR=5) com diferentes perfis aerodinâmicos e diferentes

técnicas de solução do escoamento tridimensional.

•

Perfil simétrico utilizando o método Linear de solução

•

Perfil simétrico utilizando o método Não Linear de solução

•

Perfil assimétrico utilizando o método Não Linear de solução

Figura 5-26 Arrastos Induzidos obtidos com o método linear em perfil simétrico

Figura 5-27 Arrastos Induzidos obtidos o método não linear em perfil simétrico

Figura 5-28 Arrastos Induzidos obtidos o método não linear em perfil assimétrico

Ao ser considerado apenas o método linear de solução em perfis simétricos

(através da utilização da polar mostrada na equação 3.72) as três metodologias de

cálculo do arrasto induzido apresentam resultados semelhantes. Entretanto, ao ser

considerado o método não linear de solução, o arrasto induzido obtido pelo teorema de

Kutta-Joukowski não foi adequado, não computando a diminuição do arrasto induzido

em função da diminuição da sustentação (ou seja, da circulação). Ao ser considerado

um perfil assimétrico, o teorema de Kutta-Joukowski chegou a inclusive produzir

resultados negativos para o arrasto induzido, o que é um equívoco.

Com teorema de Kutta-Joukowski o que é feito é a medição do arrasto

induzido em função do downwash a ¼ de corda. Esses resultados equivocados de

arrasto induzido são provocados pela falta de distribuição de singularidades ao longo da

linha de camber do perfil e consequentemente pelo não alinhamento correto das normais

dos painéis que formariam o perfil aerodinâmico. É fundamental notar ainda que toda a

circulação está concentrada num único ponto ao longo da corda, o que é uma

aproximação satisfatória para determinação da sustentação, mas não representa o

fenômeno físico associado ao arrasto induzido, principalmente em asas não retangulares

(Mortara, Straussfogel e Maughmer, 1992). A partir de tal efeito, Eppler inclusive

propôs uma modificação na linha sustentadora na qual os vórtices colados estariam no

bordo de fuga ao invés de ¼ de corda, para uma melhor medição do arrasto induzido

(Mortara, Straussfogel, Maughmer, 1992). Essa grande variedade de técnicas

apresentam resultados bastante distintos entre si, com variações de mais de 30 % nos

resultados (Dam e Nikfetrat, 1991).

O método do Treffts-Plane (variação de Momentum no infinito) é um

método bastante sofisticado, muito utilizado em trabalhos anteriores (Giles e

Cummings, 1999 e Jie Li, Fengwei Li e Qin E, 1999) e em diversos softwares (AVL,

Pmarc e VSaero) que independe da distribuição de singularidades ao longo da corda

(Figura 5-29) .

No software implementado estão disponíveis duas técnicas para a medição

do arrasto induzido: Kutta-Joukowski e Treffts-Plane, cabendo ao usuário a escolha de

qual técnica a ser utilizada.

Figura 5-29 Estudo do arrasto induzido no Treffts-Plane em conjunto com o

modelo de esteira livre no software CEA-VLM

5.2.4 Comparação com resultados experimentais

5.2.4.1 Asa retangular simples

Mukherjee e Gopalarathnam (2006), em seu trabalho sobre métodos não

lineares de linha sustentadora, apresentam resultados experimentais de asas retangulares

com diversos alongamentos utilizando o perfil NACA 4415. Esses resultados obtidos

experimentalmente foram comparados com os resultados obtidos numericamente

através do software CEA-VLM. Os resultados podem ser vistos na Figura 5-30.

Figura 5-30 Curvas polares obtidas numericamente e experimentalmente para

diversas asas retangulares, utilizando o perfil NACA 4415.

Os resultados mostrados na Figura 5-30 mostram que o método

implementado se aproxima bem dos resultados experimentais, mesmo na região não

linear da curva de sustentação, com um erro médio de cerca de 10% em toda a faixa

analisada. Ao ser considerada somente a região linear o erro médio diminui para cerca

de 6%, enquanto que ao ser considerada o região de estol, o erro foi da ordem de 15%.

5.2.4.2 Deflexão de comando

House (1939) apresenta em seu trabalho diversos resultados experimentais

para asas utilizando o perfil NACA 23012 com flap.

Foi selecionada uma asa (Figura 5-31) e os resultados obtidos

numericamente com o software CEA-VLM foram confrontados com os resultados

experimentais.

Figura 5-31 Asa utilizada para comparação dos resultados numérico e

experimental.

É importante notar que no CEA-VLM, o efeito da deflexão do flap e demais

superfícies de comando ou de hiper-sustentação ocorre devido à utilização de uma polar

diferenciada do restante da asa, que leva em consideração esta deflexão.

Para esta comparação foram utilizadas as curvas polares obtidas

experimentalmente para o perfil NACA 23012 com flap recolhido e com flap defletido

40º, obtidas por Wenzinger e Harrris (1939), mostradas na Figura 5-32.

Neste ponto, o software mostra mais uma vantagem em relação aos métodos

tradicionais de Vortex-Lattice, pois como são utilizadas curvas experimentais de

sustentação, arrasto e momento aerodinâmico, os efeitos associados ao gap (espaço

entre o perfil e o flap) serão computados, pois tais efeitos já então inseridos na curva

experimental do perfil.

Figura 5-32 Resultados experimentais obtidos com o perfil NACA 23012.

A única dificuldade encontrada nesta metodologia é a necessidade de uma

polar bidimensional extensa, com uma faixa de ângulos de ataque abrangente, devido à

grande dispersão dos ângulos de ataque efetivos, conforme mostrado na Figura 5-33,

resultantes dos grandes ângulos de ataque induzidos causados pela deflexão do flap,

como pode ser visto na Figura 5-34.

Figura 5-33 Ângulos de ataques efetivos atuantes na asa.

Figura 5-34 Resultados para asa retangular com 10º de ângulo de ataque.

É interessante notar que, no modelo criado, apesar de ter sido utilizado uma

troca abrupta da curva de coeficiente de sustentação na região do flap, os resultados de

circulação e sustentação apresentam uma transição suave, o que é coerente com os

resultados esperados.

A Figura 5-35 compara as curvas de coeficientes de sustentação, arrasto e

momentos aerodinâmicos obtidas com o software CEA-VLM com os resultados obtidos

experimentalmente por House (1939).

Figura 5-35 Comparação entre os resultados numéricos e experimentais

Os resultados mostrados na Figura 5-35 mostram que o método

implementado se aproxima bem dos resultados experimentais inclusive em asas com

dispositivos hiper-sustentadores ativados, apresentando um erro médio em torno de

12%. Ao se considerar apenas a região linear da curva de sustentação o erro é em torno

de 7%.

5.2.5 Geometria da esteira

Diversos softwares utilizam modelos de esteira livre como, por exemplo, o

Pmarc (Ashby, Dudley e Iguchi, 1988). A Figura 5-36 mostra a esteira gerada com o

software Pmarc comparada com a esteira gerada pelo software CEA-VLM, apenas em

caráter ilustrativo.

Figura 5-36 Comparação entre as esteiras geradas pelos softwares

Para avaliar a influência da geometria da esteira na curva de sustentação de

uma aeronave, os resultados obtidos com os três modelos de esteira disponíveis no

software CEA-VLM (esteira fixa não alinhada com o escoamento, esteira fixa alinhada

com o escoamento e esteira livre) foram comparados entre si. Foi adotada uma

configuração do tipo Canard, na qual a esteira do Canard atravessa a asa principal

Figura 5-37.

Figura 5-37 Influência da geometria da esteira na curva de sustentação.

Observa-se que a geometria da esteira possui uma influência discreta sobre a

polar da aeronave em relação ao ângulo de ataque. Entretanto, sua influência torna-se

fundamental em situações mais severas, como altas velocidades angulares como, por

exemplo, uma aeronave em manobra ou uma hélice, como mostrado na Figura 5-38.

Figura 5-38 Situações onde a geometria da esteira torna-se fundamental

Outra situação na qual a utilização de um modelo de esteira livre é vantajosa

é no estudo do enrolamento dos vórtices de pontas de asa ou vórtices ao longo da

envergadura devido ao estol, onde o aumento da pressão (evidenciada pela perda de

sustentação local) ocasiona o enrolamento dos vórtices, conforme mostrado na Figura

5-39.

Figura 5-39 Enrolamento dos vórtices ao longo da envergadura devido ao estol,

vista por de trás da asa.

5.2.6 Resultados ao longo da corda

Apesar de não ter sido utilizada uma distribuição de singularidades ao longo

da corda, optando-se pela utilização da polar aerodinâmica do perfil calculada através

do software bidimensional CEA-2D, é possível recuperar os resultados bidimensionais

ao longo da corda. Isto se deve ao fato de que cada seção da asa nada mais é que o perfil

aerodinâmico em ângulos de ataque distintos ao longo da envergadura. Em outras

palavras, conhecendo os ângulos de ataque efetivos em cada seção da asa (resultados

tridimensionais), é possível fazer o caminho inverso e calcular os resultados

bidimensionais para cada seção ao longo da envergadura (Figura 5-40 e Figura 5-41).

Figura 5-40 Recuperação das informações ao longo da corda e do intradorso e extradorso

através da utilização dos resultados bidimensionais

Figura 5-41 Distribuição de pressão no intradorso e no extradorso atuante em cada

seção da asa.

5.2.7 Aplicação em uma aeronave real e comparação com o

método tradicional

Resende (2006) utilizou com sucesso o software CEA-VLM em seu

trabalho, no qual propôs uma metodologia detalhada para utilização deste software no

projeto de uma aeronave completa incluindo os efeitos devido à fuselagem, trem de

pouso e demais componentes que alteram os resultados aerodinâmicos de uma aeronave

real.

Foi calculada a polar aerodinâmica da aeronave Triathlon (Barros, 2001),

utilizando o software CEA-VLM e a esses resultados foram adicionadas, através da

técnica conhecida como Drag Build-Up (na qual o arrasto total é a soma dos arrastos de

cada componente), os efeitos devido à fuselagem, trem de pouso, coleta de ar para o

motor e interferências aerodinâmicas.

Os resultados obtidos com esta metodologia híbrida (CEA-VLM acrescido

de correções experimentais) foram então comparados com os resultados obtidos por

Barros (2001) que utiliza os métodos tradicionais disponíveis na literatura e

aperfeiçoados no Centro de Estudos Aeronáuticos da Universidade Federal de Minas

Gerais (CEA-UFMG). Os resultados são mostrados na Figura 5-42.

Figura 5-42 Utilização do CEA-VLM na aeronave Triathlon

Observa-se na Figura 5-42 que a curva polar C

obtida com o software

CEA-VLM é mais otimista do que a esperada em uma aeronave real, devido à

incapacidade do software em computar os efeitos devido à fuselagem, trem de pouso,

coleta de ar para o motor e interferências aerodinâmicas na curva de arrasto da

aeronave. No entanto, nota-se que ao se adicionar as informações de arrasto desses

componentes obtidos de maneira empírica disponível na literatura (Etkin, 1959) obtém-

se uma curva polar muito próxima daquela obtida pelo método tradicional de projeto de

aeronaves. Entretanto, com a utilização do software CEA-VLM em conjunto com as

correções empíricas dos demais componentes é possível estudar de maneira muito mais

rápida e detalhada as características aerodinâmicas da aeronave, incluindo todas suas

derivadas de estabilidade (variações dos coeficientes de força e momento em função de

variações da condição do escoamento – ,

e de manobra ,

qer).

100

5.2.8 Tempo de processamento

Como o objetivo deste trabalho está voltado para as atividades de

concepção, projeto e otimização de aeronaves, onde diversas geometrias devem ser

avaliadas, e também para a simulação de vôo, onde o ideal é que o procedimento de

determinação das características aerodinâmicas ocorra em tempo real, o método

proposto deve ser o mais rápido possível, sem no entanto apresentar resultados

equivocados.

A Figura 5-43 e a Figura 5-44 mostram o tempo de processamento gasto

pelo software CEA-VLM para o cálculo de uma asa em função do número de painéis.

Em ambos os casos foi utilizada uma asa trapezoidal com 5º de ângulo de ataque e uma

polar aerodinâmica teórica conforme a equação 3.72, visando assim o menor número

possível de iterações (neste caso a convergência é obtida com duas iterações). No caso

da esteira livre foi utilizado um número de painéis na asa constante igual a 20 painéis e

um integrador de primeira ordem (Euler).

Observa-se pela Figura 5-43 que o método proposto é capaz de atender com

sucesso o objetivo proposto, possuindo uma rápida velocidade de processamento e

resultados próximos da convergência com um baixo número de painéis.

A relevância da utilização do modelo de esteira livre por parte do usuário é

fundamental, pois como se pode notar pela Figura 5-44 o uso do modelo de esteira livre

aumentou significativamente o tempo gasto no processamento sem trazer nenhum

benefício significativo para o resultado na configuração adotada.

101

Figura 5-43 – Tempo de processamento e precisão nos resultados em função do

número de Painéis com esteira fixa

Figura 5-44 – Tempo de processamento e precisão nos resultados em função do

número de Painéis com esteira livre

102

CONCLUSÕES

Através da análise de resultados decorrida no capítulo anterior, pode-se

apresentar as seguintes conclusões sobre este trabalho:

6.1 Quanto ao software bidimensional

• O Método dos Painéis apresentou valores de

ligeiramente

diferentes, na região linear da curva de coeficiente de sustentação, dos

resultados experimentais na maioria dos perfis aerodinâmicos testados.

Acredita-se que essa diferença deve-se aos erros associados com a

viscosidade, como o cálculo da camada limite e o tipo de interação entre

a região potencial e a viscosa.

•

Os algoritmos que utilizam interação do tipo fraca se mostraram

ligeiramente inferiores em relação ao algoritmo que utiliza uma

interação forte, apresentando erros maiores tanto em

quanto em

•

A formulação de estol proposta por Eppler, apesar de sua simplicidade, é

capaz de corrigir a curva de sustentação na região de descolamento,

fornecendo resultados mais próximos dos valores obtidos

experimentalmente.

•

A formulação de camada limite proposta por Moran mostrou-se

ligeiramente mais eficiente do que as demais formulações de camada

limite analisadas apesar de sua simplicidade e alto nível de empirismo,

fornecendo curvas de coeficiente de arrasto mais próximas dos

resultados experimentais na maioria dos perfis aerodinâmicos

analisados.

103

6.2 Quanto ao software Tridimensional

• A metodologia de cálculo utilizada se mostrou eficiente para as etapas de

projeto que se destina (projeto conceitual, otimização e simulação), pois

foram obtidos resultados coerentes com medições experimentais com

um tempo de processamento bastante baixo.

•

A utilização das informações da polar bidimensional proporciona ao

método resultados mais coerentes e precisos, tornando-o mais próximo

dos resultados experimentais, mesmo em condições não-lineares da

curva de sustentação, entretanto é preciso cuidado na avaliação da

validade da polar bidimensional utilizada, como por exemplo, em asas

com altos graus de enflechamento.

•

A utilização de um procedimento de esteira livre se mostrou adequada e

importante para a análise de geometrias com grande interferência e

durante manobras com grande velocidade angular.

•

O cálculo do arrasto induzido no Trefftz-Plane se mostrou bastante

robusto e confiável, fornecendo valores de arrasto induzido próximos

dos valores obtidos experimentalmente.

•

De maneira geral, os resultados das forças aerodinâmicas obtidas

numericamente com o software tridimensional são bem coerentes com

os resultados experimentais.

•

É possível calcular de uma aeronave completa (asas, empenagens e

demais superfícies sustentadoras) com aproximadamente 100 painéis em

menos de 2 segundos.

6.3 Quanto à plataforma computacional escolhida

• A linguagem de programação MATLAB possuindo ferramentas

poderosas de depuração do código e grande biblioteca de rotinas

matemáticas disponíveis tornam a tarefa de implementação numérica

bem mais fácil.

104

• O MATLAB por ser uma linguagem computacional interpretada de alto

nível, possui baixa eficiência de processamento sendo em geral mais

lenta do que linguagens compiladas como C e Fortran.

•

A impossibilidade de criar uma versão executável do código, obrigando o

usuário a possuir toda a plataforma de desenvolvimento para a sua

execução do software implementado pode ser uma barreira para a sua

distribuição.

6.4 Conclusão final

É importante se ter em mente que nenhuma formulação em aerodinâmica

computacional disponível até o momento, encontrada na literatura, é capaz de calcular

todas as situações possíveis de vôo, com baixo tempo de processamento e resultados

completamente fiéis aos resultados experimentais. Logo, é preciso aprender a conviver

com as incertezas e limitações associadas aos métodos numéricos.

105

SUGESTÕES PARA TRABALHOS

FUTUROS

São sugeridos como trabalhos futuros em continuidade a este trabalho:

•

A análise de viabilidade de utilização deste método em outras etapas do

projeto de aeronave, por exemplo, cálculo de cargas.

•

Inclusão de efeitos de interferência fluido-estrutura.

•

Inclusão dos efeitos da fuselagem.

•

Inclusão do efeito solo.

•

Implementação desta metodologia para solução das forças aerodinâmicas

quase em tempo real, objetivando a simulação de vôo.

106

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