2 GENERALIDADES 19
Para demonstrar (d), usaremos (a), e escreveremos:
(X, Y, Z, T) + (Y, Z, X, T) + (Z, X, Y, T) = 0
(Y, Z, T, X) + (Z, T, Y, X) + (T, Y, Z, X) = 0
(Z, T, X, Y ) + (T, X, Z, Y) + (X, Z, T, Y) = 0
(T, X, Y, Z) + (X, Y, T, Z) + (Y, T, X, Z) = 0 .
Somando-se as equac¸˜oes acima, obtemos
2(Z, X, Y, T) + 2(T, Y, Z, X) = 0.
Portanto,
(Z, X, Y, T) = (Y, T, Z, X).
Lema 2.32. Seja V um espac¸o vetorial de dimens˜ao ≥ 2, munido de um produto interno , .
Sejam R : V ×V ×V −→ V e R
: V ×V ×V −→ V aplicac¸˜oes tri-lineares tais que as condic¸˜oes
(a), (b), (c) e (d) da proposic¸˜ao (2.31) sejam satisfeitas para
(x, y, z, t) = R(x, y)z, t,
(x, y, z, t)
= R
(x, y)z, t,
Se x, y s˜ao dois vetores linearmente independentes, escrevamos,
K(σ) =
(x, y, x, y)
|x ∧ y|
2
,
K
(σ) =
(x, y, x, y)
|x ∧ y|
2
,
onde σ ´e o subespac¸o bi-dimensional gerado por x e y. Se para todo σ ⊂ V, K(σ) = K
(σ), ent˜ao
R = R
.
Demonstrac¸
˜
ao: Provando (x, y, z, t) = (x, y, z, t)
para quaisquer x , y, z, t ∈ V o
resultado acima estar´a demonstrado . Observemos primeiramente que, por hip´otese, temos que
(x, y, x, y) = (x, y, x, y)
, para todo x, y ∈ V. Ent˜ao (x + z, y, x + z, y) = (x + z, y, x + z, y)
,
donde (x, y, x, y) + 2(x, y, z, y) + (z, y, z, y) = (x, y, x, y)
+ 2(x, y, z, y)
+ (z, y, z, y)
e, portanto
(x, y, z, y) = (x, y, z, y)
para todo x , y, z, t ∈ V.