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GILSON FINOTTI
CÁLCULO EXPLÍCITO DOS TORQUES DOS
ATUADORES DE UM ROBÔ PARALELO PLANO
EMPREGANDO O MÉTODO DE KANE
Dissertação apresentada à Escola
Politécnica da Universidade de
São Paulo para a obtenção do
Título de Mestre em Engenharia.
São Paulo
2008
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GILSON FINOTTI
CÁLCULO EXPLÍCITO DOS TORQUES DOS
ATUADORES DE UM ROBÔ PARALELO PLANO
EMPREGANDO O MÉTODO DE KANE
Dissertação apresentada à Escola
Politécnica da Universidade de
São Paulo para a obtenção do
Título de Mestre em Engenharia.
Área de Concentração:
Engenharia Mecânica
Orientador:
Prof. Dr. Tarcisio Antonio Hess
Coelho
São Paulo
2008
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Aos meus pais Mário e Tereza.
À minha esposa Eliane.
Aos meus filhos Marcelo e Luís Renato.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Tarcisio Antonio Hess Coelho por sua valiosa orientação, nobreza
e dedicação.
Ao Prof. Dr. Luís Renato Abib Finotti, professor assistente de Matemática
da Universidade do Tennessee, por todo apoio e ensinamentos matemáticos.
E, sobretudo, agradeço a Deus.
RESUMO
Há mais de uma década os robôs paralelos têm atraído a atenção das comu-
nidades acadêmica e industrial devido às suas vantagens potenciais sobre as ar-
quiteturas predominantes - as seriais. Dentre estas vantagens, pode-se citar a
leveza, as elevadas velocidades e acelerações e a capacidade de carga. A aplicação
industrial mais promissora para estas arquiteturas alternativas de robôs são as
operações “pega-e-põe”, necessárias nas indústrias alimentícia, farmacêutica e de
componentes eletrônicos. Neste trabalho apresenta-se um robô paralelo, conce-
bido com a finalidade de realizar operações “pega-e-põe” no espaço bidimensional
(plano). O objetivo principal é a análise dinâmica deste mecanismo, empregando
o método de Kane, para a determinação dos torques dos atuadores e das forças
de reação, causados pelo efeito dinâmico de sua movimentação, quando a garra
esteja sujeita a esforços externos e realizando uma trajetória retilínea ou circular
em movimento uniforme ou uniformemente variado. Para tanto, desenvolveu-se
nesta dissertação a análise cinemática do robô, um estudo de possíveis trajetórias
para a garra, o levantamento do espaço de trabalho, bem como a análise dinâmica
correspondente. Incluiu-se também diversas simulações para caracterizar melhor
suas propriedades.
Palavras-chave: Método de Kane. Robô paralelo. Cinemática. Estática. Dinâmica.
ABSTRACT
For over a decade parallel robots have attracted the interest from academic and
industrial communities due to their potential advantages over the predominant
serial architecture. Among these advantages are the lighter weight and higher
speeds, accelerations, and load capacity. The most promising industrial applica-
tion for these alternative architectures are the pick-and-place operations, which
are needed in food, pharmaceutical and electronics industries. We show here a
parallel robot designed to perform pick-and-place operations in two dimensions
, i.e., on a plane. The main goal is the dynamical analysis of this mechanism
by means of the Kane method. We determine the torques of the actuators and
the reaction forces caused by the dynamical effects of its movement, when its
end-effector is subject to external load. The cases of uniform and accelerated
movements, with either straight or circular trajectory, are considered. Therefore,
in this dissertation we present the kinematics analysis of the robot, an analysis
of possible end-effector trajectories, the workspace development, and the cor-
responding dynamical analysis. A few simulations are also included to better
describe its properties.
Keywords: Kane method. Parallel robot. Statics. Kinematics. Dynamics.
7
LISTA DE FIGURAS
1.1 Diagrama cinemático do mecanismo 2R
¯
RR+RP . . . . . . . . . 20
2.1 Mecanismo paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Robô Delta da ABB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Tipos de juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Diagrama cinemático do manipulador robótico paralelo espacial
3GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Fluxograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1 Mecanismo: coordenada dos vértices. . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Diagrama do mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Espaço de trabalho método discretização . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Curva externa do espaço de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Curva interna e área de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Otimização do espaço de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Trajetória retilínea: curva tempo x velocidade. . . . . . . . . . 51
5.2 Trajetória retilínea: curva espaço x velocidade. . . . . . . . . . 53
5.3 Trajetória circular com centro do arco na origem dos eixos de
coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Trajetória circular caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5 Trajetória circular, detalhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 Diagrama cinemático do mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Dimensões e ângulos dos elos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Diagrama auxiliar para determinação das acelerações . . . . . . 72
7.1 Forças e momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Diagrama de corpo livre: elo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3 Diagrama de corpo livre: elo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4 Diagrama de corpo livre: elo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.5 Diagrama de corpo livre: elo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.6 Diagrama de corpo livre: elo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.7 Diagrama de corpo livre: elo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.8 Determinação dos contrapesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1 Diagrama cinemático do mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2 Diagramas de corpo livre dos elos A e B . . . . . . . . . . . . . 89
8.3 Diagramas de corpo livre dos elos D e E . . . . . . . . . . . . . 96
8.4 Diagramas de corpo livre dos elos H e J . . . . . . . . . . . . . 101
8.5 Mecanismo: reações finais nos atuadores . . . . . . . . . . . . . 111
8.6 Exemplo 3: trajetória da garra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.7 Exemplo 3: curvas dos torques nos atuadores . . . . . . . . . . 114
9.1 Diagramas dos elos H e J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2 Exemplo 1: curvas dos torques com e sem atrito . . . . . . . . . 120
9.3 Exemplo 2: curvas dos torques com e sem atrito . . . . . . . . . 121
10.1 Posições das juntas A e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.2 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.3 Interseção das retas PQ e RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.4 Balanceamento com contrapesos . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.1 Anexo A: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.2 Anexo B: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.3 Anexo E: trajetória circular com centro na origem . . . . . . . . 148
11.4 Anexo F: trajetória circular geral . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11.5 Anexo G: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.6 Anexo H: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.7 Anexo I: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.8 Anexo J: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.9 Anexo J: diagramas de corpo livre . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.10 Anexo K: diagrama de corpo livre do elo A . . . . . . . . . . . 171
11.11 Anexo L: diagrama de corpo livre do elo D . . . . . . . . . . . . 173
11.12 Anexo M: diagrama de corpo livre da cadeia passiva . . . . . . 175
11.13 Anexo N: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
11.14 Anexo O: diagramas de corpo livre . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.15 Anexo P: diagrama de corpo livre da cadeia passiva . . . . . . . 183
11.16 Anexo Q: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.17 Anexo S: diagrama cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
LISTA DE TABELAS
3.1 Exemplo cinemática inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.1 Exemplo de aplicação 1. Análise dinâmica . . . . . . . . . . . . 111
8.2 Exemplo de aplicação 2. Análise dinâmica . . . . . . . . . . . . 112
8.3 Exemplo de aplicação 3. Análise dinâmica . . . . . . . . . . . . 113
9.1 Exemplo de aplicação 1. Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.2 Exemplo de aplicação 2. Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.1 Comparação entre formulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.2 Influência dos contrapesos conforme a velocidade . . . . . . . . 128
10.3 Torques com e sem acelerações e v=1m/s . . . . . . . . . . . . 128
10.4 Torques com e sem acelerações e v=4m/s . . . . . . . . . . . . 129
10.5 Acelerações tangenciais e de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.6 Influência da aceleração de Coriolis em T1D . . . . . . . . . . . 130
10.7 Influência da aceleração de Coriolis em T1 . . . . . . . . . . . . 131
10.8 Exemplo de aplicação 1 sem e com atrito . . . . . . . . . . . . . 132
10.9 Torque e atrito na guia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.10 Influência do atrito em T1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.11 Influência do atrito em T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.12 Influência do atrito com carga externa em T1 . . . . . . . . . . 133
10.13 Influência do atrito com carga externa em T1D . . . . . . . . . 133
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CG — Centro de gravidade
GL — Graus de liberdade
GM — Graus de mobilidade
TMA — Teorema do momento angular
TMB — Teorema do movimento do baricentro
LISTA DE SÍMBOLOS
−→
A
i
aceleração linear do centro de massa do corpo i
−→
A
J
aceleração linear do CG do elo J (se o índice for A refere-se
ao elo A, etc. Isto é válido para os demais símbolos que se
seguem)
A
n
J
módulo da componente de
−→
A
J
na direção normal à curva
A
t
J
módulo da componente de
−→
A
J
na direção tangente à curva
−→
a aceleração linear
−→
a
x
,
−→
a
y
componentes da aceleração do mecanismo
−→
α
i
aceleração angular do centro de massa do corpo i
β ângulo de inclinação da força
−→
F
C junta cilíndrica, módulo da força de atrito de Coulomb
C
k
conectividade da cadeia ativa k
C
n+1
conectividade da cadeia passiva
c coeficiente de atrito viscoso
cθ
n
, c
n
coseno do ângulo θ
n
d diâmetro da junta de rotação
d
p
comprimento da junta prismática
−→
F força externa aplicada à garra
F
a
módulo da resultante da força de atrito
−→
F
1
,
−→
F
2
componentes da força de reação no atuador O
6
−−→
F
1D
,
−−→
F
2D
componentes da força de reação no atuador O
2
−−→
F
1H
,
−−→
F
2H
componentes da força de reação na junta O
7
F
pr
módulo da força de atrito da proteção da junta prismática
φ ângulo de inclinação da trajetória
I
i
momento de inércia do corpo i em relação ao seu eixo baricên-
trico
J
x
matriz jacobiana da cinemática direta
Jq matriz jacobiana da cinemática inversa
k coeficiente de atrito de Coulomb
k
p
coeficiente de atrito da junta prismática
k
r
coeficiente de atrito de rolamento
L lagrangeana
L
n
comprimento do elo n
L
nG
posição do CG do elo n
L
nP
posição do CG do contrapeso elo n
λ número de movimentos independentes que uma peça pode ex-
ecutar num determinado espaço sem vínculos
M mobilidade do mecanismo, ou quantidade de variáveis de movi-
mento de Kane
−→
M momento externo aplicada à garra
m
i
massa do corpo i
n número de peças de um mecanismo ou quantidade de corpos
de um sistema
n
ji
número de juntas com grau de liberdade i
−→
ω
i
velocidade angular do centro de massa do corpo i
P junta prismática
Q
k
força generalizada
q
k
coordenada generalizada
R junta de rotação
−→
R
i
resultante das forças atuantes no corpo i
S junta esférica
s
AB
espaço percorrido entre os pontos A e B da trajetória (se o
índice for BC, refere-se ao espaço entre os potos B e C, etc)
sθ
n
, s
n
seno do ângulo θ
n
−→
T
i
momento resultante dos momentos atuantes no corpo i
−→
T
1
torque no atuador O
6
−−→
T
1D
torque no atuador O
2
T
4
módulo do torque agente na junta prismática
t
A
instante no ponto A da trajetória (se o índice for B temos o
instante no ponto B, etc.)
θ
n
ângulo de inclinação do elo n
U junta universal
u
r
variável de movimento de Kane
−→
V
J
velocidade linear do CG do elo J (se índice for A refere-se ao
elo A, etc. Isto é válido para os demais símbolos que se seguem)
V
Jx
módulo da componente de
−→
V
J
na direção do eixo x
V
Jy
módulo da componente de
−→
V
J
na direção do eixo y
−→
v
A
velocidade linear no instante t
A
(se o índice for B temos o
instante no ponto B, etc.)
−→
v
i
velocidade linear do centro de massa do corpo i
−→
v
x
,
−→
v
y
componentes da velocidade do mecanismo
−→
W
n
peso do contrapeso do elo n
14
SUMÁRIO
1 Introdução 19
1.1 Considerações preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Descrição do mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Sobre a divisão do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Revisão bibliográfica e metodologia empregada 22
2.1 Mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Mecanismo serial e paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Componentes dos mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Mobilidade do mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Análise cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Espaço de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8 Análise dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9 Métodos para análise dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9.1 Método de Newton-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9.2 Método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.3 Método de Kane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.10 Síntese. Método da adição de uma cadeia passiva. . . . . . . . . . 30
2.11 Metodologia empregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Análise cinemática: posições 35
3.1 Cinemática inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Cinemática direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Determinação das matrizes jacobianas . . . . . . . . . . . 39
4 Estudo do espaço de trabalho 42
4.1 Método por discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Método geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Curva externa da área de trabalho. . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Curva interna da área de trabalho . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Otimização do espaço de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Trajetórias da garra 50
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Deslocamentos retilíneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.1 Primeira condição: s
BC
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.2 Segunda condição: s
BC
< 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Deslocamento retilíneo numa direção qualquer . . . . . . . . . . . 54
5.3.1 Primeira condição: s
BC
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.2 Segunda condição: s
BC
< 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Deslocamento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Centro do arco na origem dos eixos de coordenadas . . . . . . . . 58
5.5.1 Primeira condição: s
BC
0 . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.2 Segunda condição: s
BC
< 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6 Centro do arco fora da origem dos eixos de coordenadas. Caso geral. 63
6 Análise cinemática: velocidades e acelerações 68
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Velocidades e acelerações angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.1 Cadeia passiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.2 Cadeia ativa direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.3 Cadeia ativa esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Acelerações dos CG dos elos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.1 Elo A: A
n
A
e A
t
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.2 Elo B: A
n
B
e A
t
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3.3 Elo D: A
n
D
e A
t
D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.4 Elo E: A
n
E
e A
t
E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.5 Elo H: A
n
H
e A
t
H
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.6 Elo J: A
n
J
e A
t
J
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Análise estática 76
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.1 Listagem do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3 Determinação dos contrapesos para momentos de reação nulos . . 82
8 Análise dinâmica 85
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 Aplicação do método de Kane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2.1 Especificação das variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2.2 Elos A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2.3 Elo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.2.4 Elo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.2.5 Resultado para os elos A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.6 Elos D e E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.7 Elo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.8 Elo E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.9 Resultado para os elos D e E . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2.10 Elos H e J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2.11 Elo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.12 Elo J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2.13 Resultado para os elos H e J . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2.14 Resultado geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.3 Determinação dos torques e forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.3.1 Torques de reação T
1
e T
D
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.3.2 Forças de reação F
1
e F
2
. . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3.3 Forças de reação F
D
1
e F
D
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3.4 Forças e torque de reação na cadeia passiva . . . . . . . . 108
8.4 Roteiro de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.4.1 Aglutinação dos programas. Anexo Q . . . . . . . . . . . . 110
8.4.2 Exemplo de aplicação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.4.3 Exemplo de aplicação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.4.4 Exemplo de aplicação 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9 Efeito do atrito nas juntas 115
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.2 Desenvolvimento das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.2.1 Elo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.2.2 Elo J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2.3 Resultado para os elos H e J . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.2.4 Força de atrito na junta prismática . . . . . . . . . . . . . 118
9.2.5 Resultado geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.2.6 Exemplo de aplicação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.2.7 Exemplo de aplicação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10 Discussão 122
10.1 Análise cinemática: posições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.1.1 Cinemática inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.1.2 Cinemática direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.2 Análise dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2.1 Comparação entre o método de Kane com os de Newton-
Euler e Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2.2 O balanceamento com contrapesos . . . . . . . . . . . . . 126
10.2.3 Influência das acelerações dos CG dos elos. . . . . . . . . . 128
10.2.4 A influência da aceleração de Coriolis . . . . . . . . . . . . 129
10.3 Efeito do atrito nas juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11 Conclusões 135
Anexo A: Programa cinemática inversa 136
Anexo B: Programa cinemática direta 140
Anexo C: Programa espaço de trabalho 144
Anexo D: Progr. vel. e acel., traj. ret. 146
Anexo E: Progr. vel. e acel., traj. circ. e centro na origem 148
Anexo F: Prog. vel. e acel., traj. circ. geral 152
Anexo G: Programa equações das velocidades e acelerações 158
Anexo H: Programa cálculo velocidades e acelerações 161
Anexo I: Programa análise estática 165
Anexo J: Programa equações dinâmica 1 168
Anexo K: Programa equações dinâmica 2 171
Anexo L: Programa equações dinâmica 3 173
Anexo M: Programa equações dinâmica 4 175
Anexo N: Programa dos torques dinâmicos de reação 176
Anexo O: Programa das forças dinâmicas nas cadeias ativas 179
Anexo P: Progr. forças e torque dinâmicos na cadeia passiva 183
Anexo Q: Programa total dos torques e forças de reação 185
Anexo R: Programa equações dinâmica 5 189
Anexo S: Programa dos torques de reação com atrito 190
Referências Bibliográficas 197
19
Capítulo 1: INTRODUÇÃO
1.1 Considerações preliminares
Embora a arquitetura predominante em robôs manipuladores ainda seja a
do tipo serial, tem-se observado nas últimas décadas uma diminuição pequena
mas gradativa nesta preferência em favor da arquitetura paralela. Pelo fato
desta ser constituída de várias cadeias (pernas) atuando simultaneamente sobre a
plataforma móvel (órgão terminal) em vez de uma só, como na arquitetura serial,
ela possui algumas vantagens potenciais como leveza, velocidades e acelerações
elevadas, e maior capacidade de carga. Suas principais desvantagens, entretanto,
referem-se ao espaço de trabalho inferior e à maior complexidade mecânica de
seus componentes, ou seja, maior número de elos e de juntas. Os mecanismos
paralelos começaram a ser desenvolvidos na década de 60 por Gough e Whitehall
numa máquina de teste de pneus e em seguida por Stewart como simulador de
vôos. No entanto, apenas nas duas últimas décadas outras aplicações, como robôs
manipuladores e máquinas ferramentas, passaram a interessar o desenvolvimento
conduzido em universidades, centros de pesquisa e indústrias.
A grande maioria dos artigos sobre os mecanismos paralelos se dedicam mais
à abordagem cinemática do que dinâmica. Neste nosso trabalho, entretanto, en-
fatizaremos a análise dinâmica e nesta análise utilizaremos o método de Kane
para o caso específico de um mecanismo paralelo plano tipo 2RRR + RP, esque-
maticamente mostrado na fig.1.1 e descrito adiante. Este mecanismo é derivado
de um manipulador robótico paralelo espacial de 3 GM para operações "pega-
e-põe"(Pick-And-Place), mostrado na fig.2.4 e criado pelo Prof. Dr. Tarcisio
Antonio Hess Coelho, do qual tomamos sua principal característica na versão
plana para focar nossa análise[1].
1.2 Objetivos
Um dos objetivos deste trabalho é o estudo cinemático-dinâmico do mecan-
ismo acima referido nas situações mais diversas quando sua garra está sujeita a
esforços (torque e força) e a movimentação uniforme ou variada. Faz parte deste
estudo não só sua análise teórica como também a elaboração de algoritmos para a
solução numérica de cada tópico abordado, principalmente para a determinação
dos torques nos atuadores e das forças de reação na base do mecanismo quando o
1.3. Descrição do mecanismo 20
mesmo realiza uma tarefa, isto é, nas condições de carga e de movimentação, seja
em trajetória reta ou circular, seja em movimento uniforme ou uniformemente
variado, definido por rampas de aceleração e desaceleração.
É também nosso propósito mostrar uma aplicação prática do método de Kane
e termos uma idéia de suas vantagens e desvantagens sobre os demais métodos.
1.3 Descrição do mecanismo
Conforme mostra a fig.1.1 o mecanismo 2RRR + RP é composto de duas
cadeias ativas O
2
AB e O
6
DC e de uma cadeia passiva O
7
G. As cadeias ativas
possuem atuadores respectivamente localizados nas articulações O
2
e O
6
, e todas
suas juntas são de rotação. A cadeia passiva possui uma junta de rotação próxima
à base e uma junta prismática no meio de seu comprimento. A parte superior
da cadeia passiva é engastada na plataforma móvel em G segundo um ângulo de
90
◦
. Desta forma a cadeia passiva pode sofrer uma rotação em torno de O
7
e seu
comprimento L
7
é variável. A finalidade deste mecanismo é ser utilizado como
um manipulador robótico cujo ponto de referência da garra (efetuador) é o ponto
G.
Figura 1.1: Diagrama cinemático do mecanismo 2R
¯
RR+RP
1.4. Sobre a divisão do trabalho 21
1.4 Sobre a divisão do trabalho
Já vimos neste Capítulo 1 os nossos objetivos e uma descrição do mecanismo
que abordaremos.
O Capítulo 2 tratará de uma revisão bibliográfica e da metodologia que
empregaremos neste trabalho.
No Capítulo 3 desenvolveremos a análise cinemática direta e inversa de
posições e um estudo de singularidades.
No Capítulo 4 estudaremos o espaço de trabalho pelo método por discretiza-
ção e pelo método geométrico; e em seguida desenvolveremos um estudo da
otimização do espaço de trabalho.
No Capítulo 5 realizaremos um estudo sobre a trajetória retilínea e circu-
lar da garra do mecanismo, considerando as fases de aceleração, de movimento
uniforme e desaceleração.
No Capítulo 6 desenvolveremos um estudo da análise cinemática para a
determinação das velocidades e acelerações dos elos.
No Capítulo 7 desenvolveremos a análise estática das forças e momentos
atuantes e resultantes do mecanismo inclusive considerando a existência de con-
trapesos para o balanceamento estático.
No Capítulo 8 desenvolveremos a análise dinâmica utilizando o método de
Kane, explicando roteiro de cálculo e apresentando exemplos de aplicação.
No Capítulo 9 trataremos de um estudo dinâmico do mecanismo, considerando
a existência de atrito de Coulomb na junta prismática da cadeia passiva.
E finalmente o Capítulo 10 apresentará uma discussão sobre vários tópicos
de nosso trabalho e o Capítulo 11 a conclusão.
Nos Anexos de A até S apresentaremos os programas elaborados no software
Mathematica para o desenvolvimento de equações e aplicações numéricas das
teorias apresentadas nos capítulos acima.
22
Capítulo 2: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E
METODOLOGIA EMPREGADA
2.1 Mecanismos
Podemos dizer que um mecanismo é um dispositivo inventado pelo homem
para substituir seu trabalho braçal principalmente nas atividades repetitivas. Ele
é capaz de aumentar a força aplicada, a velocidade de operação, melhorar a
precisão de posicionamento, pode trabalhar em ambientes inóspitos e inacessíveis
ao homem, enfim é capaz de sobrepujar sobejamente a nossa eficiência manual.
Trata-se, portanto, de um recurso cada vez mais aprimorado e aplicado nas mais
diversas áreas graças não só ao seu retorno econômico como tecnológico.
Releaux define o mecanismo como uma combinação de corpos rígidos ou re-
sistentes de tal forma conectados que se movem um em relação ao outro com
movimento relativo definido[2]. Segundo Suh e Radcliffe "o mecanismo é desti-
nado tipicamente para criar um determinado movimento de um corpo rígido em
relação a um membro de referência"[3].
2.2 Mecanismo serial e paralelo
Basicamente os mecanismos são classificados em duas categorias: serial e
paralelo. O serial possui uma única cadeia cinemática aberta. Uma de suas
extremidades é fixada numa base e a outra extremidade possui uma garra ou
punho para prender uma ferramenta e se movimenta para realizar o trabalho
programado. Os mecanismos paralelos possuem várias cadeias cinemáticas for-
mando o que se chama de cadeia fechada, como mostrado esquematicamente na
fig.2.1. Do mesmo modo que o mecanismo serial, de um lado possui a garra ou
punho os quais são fixados na plataforma móvel (ou órgão terminal) que pode
se movimentar para a realização do trabalho. Esta plataforma móvel está ligada
à base por pelo menos duas cadeias cinemáticas. Segundo Merlet, a estrutura
cinemática paralela é definida como um mecanismo de cadeia fechada em que a
plataforma móvel (ou órgão terminal) encontra-se conectada a uma base fixa por,
pelo menos, duas cadeias cinemáticas independentes[4].
O fato dos atuadores poderem estar localizados na base ou próximos dela, é
um fator positivo dos mecanismos paralelos pois isto lhes confere maior rigidez
já que a inércia das partes diminui. A maior rapidez é também outra vantagem
2.2. Mecanismo serial e paralelo 23
Base
Junta
Plataforma Móvel
Barra
Base
Junta
Plataforma Móvel
Barra
Figura 2.1: Mecanismo paralelo
dos mecanismos paralelos. Entre suas desvantagens podemos citar a limitação
do espaço de trabalho, a maior complexidade da cinemática direta e a maior
probabilidade de ocorrências de singularidades.
A fig. 2.2 mostra um exemplo de robô industrial para operações Pick-And-
Place, com arquitetura paralela, desenvolvido pela Asea Brown Boveri denomi-
nado FlexPicker ou robô Delta.
Figura 2.2: Robô Delta da ABB
2.3. Componentes dos mecanismos 24
2.3 Componentes dos mecanismos
A base do mecanismo é sua parte fixa sobre a qual são montadas as cadeias
cinemáticas. A cadeia cinemática é um conjunto de peças ou elos conectados por
juntas ou pares cinemáticos. A cadeia cinemática é chamada de ativa quando
possui um ou mais atuadores, senão, ela é chamada de passiva. As juntas ou
pares cinemáticos são caracterizados pelos seus graus de liberdade. A fig.2.3 de
Suh e Radcliffe mostra os tipos de juntas mais utilizados com seus respectivos
graus de liberdade e representação esquemática [3]. As juntas de rotação (repre-
sentadas por R) e as juntas prismáticas (representadas por P) possuem somente
um grau de liberdade. As juntas cilíndricas (representadas por C) e as juntas
universais (representadas por U) possuem dois graus de liberdade e as juntas es-
féricas (representadas por S) possuem três graus de liberdade. Os atuadores são
dispositivos que transmitem movimento às cadeias ativas. A plataforma móvel
(ou órgão terminal) é a parte do mecanismo que está ligada à base pelas cadeias
cinemáticas e é ela que realiza o movimento de saída programado.
Nome do par cinemático Forma geométrica
Representações
esquemáticas
Graus de
liberdade
1. Rotação (R) 1
2. Cilíndrico (C) 2
3. Prismático (P) 1
4. Esférico (S) 3
5. Universal (U) 2
6. Helicoidal (H) 1
Figura 2.3: Tipos de juntas
2.4. Nomenclatura 25
2.4 Nomenclatura
A notação literal que identifica um mecanismo é feita utilizando-se as letras
que representam as juntas, na seqüência em que estão montadas em cada cadeia
cinemática, começando pela junta mais próxima da base[5]. Se a junta é ativa,
ou seja, se está acoplada a um atuador, então a letra que a representa deve
ser sublinhada. O conjunto de letras que representa uma determinada cadeia
cinemática deve ser precedido pelo número referente à quantidade da respectiva
cadeia cinemática existente no mecanismo. No caso, por exemplo, do mecanismo
objeto de nosso estudo, temos duas cadeias ativas constituídas de três juntas de
rotação sendo que a primeira é ativa e temos ainda uma cadeia passiva constituída
de uma junta de rotação e uma junta prismática. Sua nomenclatura é então:
2RRR + RP .
2.5 Mobilidade do mecanismo
A mobilidade de um mecanismo refere-se ao número de movimentos indepen-
dentes possíveis que o órgão terminal do mecanismo pode executar, no seu espaço
de movimentação. A mobilidade corresponde geralmente ao número mínimo de
atuadores necessários para a movimentação do órgão terminal.
Para o cálculo da mobilidade utilizamos o critério de Kutzbach-Gruebler[6]:
M = λ (n − 1) −
λ−1
i=1
(λ − i) n
ji
Onde M é a mobilidade, λ é o número de movimentos independentes que
uma peça pode executar num determinado espaço sem vínculo (λ = 3 se for
mecanismo plano e λ = 6 para mecanismo tridimensional), n é o número de
peças do mecanismo incluindo a base fixa e n
ji
é o número de juntas com grau
de liberdade i.
Então para o mecanismo plano temos:
M = 3 (n − 1) − 2n
j1
− n
j2
No caso do mecanismo 2RRR + RP objeto de nosso trabalho, temos n = 7,
λ = 3, n
j1
= 8 e n
j2
= 0 donde concluímos que sua mobilidade é 2.
2.6. Análise cinemática 26
2.6 Análise cinemática
A cinemática estuda o movimento dos corpos independentemente de suas
causas. Com a utilização da análise cinemática podemos avaliar deslocamentos,
velocidades e acelerações dos componentes de um mecanismo. Estas avaliações
serão importantes para o desenvolvimento da análise dinâmica.
A análise cinemática pode ser direta ou inversa. Na cinemática direta são
conhecidas as coordenadas das juntas ativas e propomos determinar as coorde-
nadas do órgão terminal. Na cinemática inversa conhecemos a posição do órgão
terminal e propomos determinar as coordenadas das juntas ativas.
O problema da cinemática inversa é que poderão existir inúmeras soluções
para uma determinada posição do órgão terminal, criando a necessidade de esta-
belecermos outros critérios para a definição de um resultado final não disperso.
Ao desenvolvermos as equações da cinemática inversa verificaremos que as
mesmas são não-lineares e independentes, enquanto que na cinemática direta
as suas equações são também não-lineares, todavia dependentes, o que torna
a cinemática direta mais complexa[7]. Enquanto que no caso dos mecanismos
paralelos a solução da cinemática direta é mais difícil que a da cinemática inversa,
no caso dos mecanismos seriais ocorre o contrário.
2.7 Espaço de trabalho
O espaço de trabalho basicamente é o espaço no qual o órgão terminal do
mecanismo pode alcançar[8]. A análise do espaço de trabalho de um mecanismo
é muito importante pois é através dela que podemos determinar sua capacidade
de movimentação e, em conseqüência, os limites de sua aplicação[9][10].
Merlet faz algumas ponderações interessantes sobre o espaço de trabalho
em[11]:
"A principal dificuldade da análise do espaço de trabalho para mecanismos
paralelos é que, como as posições alcançáveis pelo órgão terminal dependem de
sua orientação, uma representação completa do espaço de trabalho deve ser en-
globada num espaço de 6 dimensões para o qual não é possível uma ilustração
gráfica. Somente subconjuntos do espaço de trabalho podem, conseqüentemente,
ser representados."
No caso de mecanismos seriais de 6 graus de liberdade o espaço de trabalho
é normalmente representado pelo espaço alcançável pelo centro do pulso, isto é,
pelo espaço alcançado pelas translações do centro do pulso. Os três últimos graus
de liberdade apenas orientam o órgão terminal.
2.8. Análise dinâmica 27
No caso de mecanismos paralelos não podemos fazer esta distinção pois as
translações dependem da rotação do órgão terminal.
Face ao exposto, o espaço de trabalho para mecanismos paralelos pode ser
classificado em:
1. Espaço de trabalho de translação ( ou espaço de trabalho de orientação
constante) é o espaço definido pelo conjunto de pontos que podem ser alcançados
pelo ponto de referência do órgão terminal ( P
R
) quando a orientação do órgão
terminal é fixa. É o mais utilizado e na sua determinação podemos usar tanto a
abordagem geométrica como a algébrica onde a primeira é mais rápida e a última
mais geral[11].
2. Espaço de trabalho de orientação é o espaço definido pelo conjunto de
pontos que podem ser alcançados por P
R
com as possíveis rotações do órgão
terminal em torno de um ponto nele situado[12].
Outros tipos de espaço de trabalho também podem ser de interesse como o
espaço de trabalho alcançável (todas as localizações que podem ser alcançadas
por P
R
com pelo menos uma orientação do órgão terminal), espaço de trabalho
de orientação total (localizações alcançadas por P
R
com todas as orientações
pertencentes a um dado conjunto de orientações).
A movimentação dos mecanismos paralelos está sujeita a várias restrições
como limitações mecânicas das juntas passivas, limitações próprias dos atuadores,
possibilidades de interferência entre suas partes móveis além, logicamente, de suas
limitações dimensionais.
A determinação do espaço de trabalho pode ser feita por vários métodos: o
geométrico, por discretização e utilizando-se a otimização.
2.8 Análise dinâmica
Num mecanismo atuam forças e momentos internos e externos. Dentre as
forças e momentos externos citamos as forças gravitacionais, as forças originadas
pelo processo de fabricação (como, por exemplo, as forças de usinagem) as forças
e torques dos atuadores, etc.
No que se refere a forças e momentos internos podemos citar aqueles que
agem nas articulações do mecanismo, os efeitos das propriedades de distribuição
(massa, momento de inércia, baricentro), os efeitos das propriedades cinemáticas
(comprimento da barra, posição relativa, etc.), o efeito do atrito, etc. Os efeitos
dos esforços de deformações e vibrações não serão considerados neste trabalho.
A grande finalidade da análise dinâmica é, conhecendo-se as forças e momen-
2.9. Métodos para análise dinâmica 28
tos aplicados no mecanismo, podermos calcular as forças e momentos internos
para que se possa dimensionar adequadamente as sua peças. Outra finalidade
é a geração do modelo dinâmico para ser utilizado no sistema de controle do
mecanismo.
Semelhantemente à análise cinemática a análise dinâmica pode ser apresen-
tada de duas formas: dinâmica inversa e dinâmica direta. Na dinâmica inversa o
movimento do mecanismo é conhecido e busca-se determinar as força e momen-
tos nos atuadores. Na dinâmica direta são conhecidos as forças e momentos dos
atuadores e busca-se determinar seu movimento.
Neste trabalho só trataremos da dinâmica inversa e com a imposição dos
corpos serem rígidos.
2.9 Métodos para análise dinâmica
Existem vários métodos para resolver a análise dinâmica e dentre eles desta-
camos o de Newton-Euler e o de Lagrange. Em nosso trabalho, entretanto, empre-
garemos um outro método mais recente e menos conhecido mas muito eficiente:
o método de Kane.
2.9.1 Método de Newton-Euler
É um método que relaciona forças e momentos. Quando o movimento é com-
posto de translação e rotação empregamos o Teorema do Movimento do Baricen-
tro (TMB) para resolver a parte da translação e a parte rotação é resolvida pelo
Teorema do Momento Angular (TMA).
Através deste método é possível calcular os esforços de reação em todas as
peças do mecanismo e, portanto, é um método muito bom quando se precisa
dimensionar as suas peças. A aplicação do método é relativamente fácil, mas sua
resolução é trabalhosa, pois as equações originadas por este método são complexas
e em grande número, logo sua eficiência computacional é baixa.
As fórmulas de Newton-Euler para a solução de um sistema de n corpos são:
−→
R
i
= m
i
−→
A
i
−→
T
i
= I
i
·
−→
w
i
+
−→
w
i
∧I
i
−→
w
i
(i = 1, ..., n)
Sendo,
−→
R
i
: resultante das forças externas atuantes no corpo i
2.9. Métodos para análise dinâmica 29
m
i
: massa do corpo i
−→
A
i
: aceleração do centro de massa do corpo i
−→
T
i
: momento resultante dos momentos externos atuantes no corpo i
I
i
: momento de inércia do corpo i em relação ao seu eixo baricêntrico
−→
w
i
e
·
−→
w
i
: velocidade angular do centro de massa do corpo i e sua derivada
temporal.
2.9.2 Método de Lagrange
Este método leva em conta a energia cinética e potencial de cada peça. Ele
faz a avaliação utilizando as chamadas coordenadas generalizadas (geralmente
representadas por q
k
) que correspondem aos graus de liberdade do sistema. Como
este método elimina os esforços internos a sua eficiência computacional é ótima
e, portanto, mais interessante para sistemas de controle em tempo real. Porém
a dedução das equações com coordenadas generalizadas independentes é muito
difícil, exigindo às vezes, a adição de coordenadas extras. Além disso, como este
método lida com energia, não transparece o discernimento físico que o método de
Newton-Euler apresenta.
A fórmula de Lagrange é a seguinte:
d
dt
∂L
∂
·
q
k
−
∂L
∂q
k
= Q
k
(k = 1, ..., M)
Sendo L a lagrangeana, isto é, a diferença entre a energia cinética e poten-
cial do sistema, q
k
é a coordenada generalizada, M é a quantidade de graus de
liberdade, ou seja, é a mobilidade do mecanismo e Q
k
é a força generalizada.
2.9.3 Método de Kane
O método de Kane em seu início também relaciona forças e momentos e utiliza
o TMB e o TMA como no método de Newton-Euler mas depois deve-se especificar
as variáveis de movimento, normalmente representadas por u
r
. As equações de
Kane são deduzidas a partir do produto escalar das equações obtidas pelo método
de Newton-Euler (ou equações do TMB e TMA), pelas derivadas parciais, respec-
tivamente das velocidades lineares e angulares dos centros de gravidade de cada
peça, em relação às variáveis de movimento. Com isto obtemos equações escalares
que deverão ser reunidas membro a membro, respectivamente para cada par de
peças conectadas e para cada índice r da variável de movimento, obtendo-se um
conjunto final de equações. A quantidade destas equações normalmente coincide
2.10. Síntese. Método da adição de uma cadeia passiva. 30
com a mobilidade do mecanismo, o que dá uma idéia da redução do número de
equações ao se comparar com o método de Newton-Euler.
Por este método é possível também calcular os esforços de reação em todas as
peças do mecanismo. O método de Kane apresenta uma sistemática de solução
bem estruturada e, além disso, oferece bom discernimento físico por lidar com
forças e momentos. Entretanto tem a desvantagem em primeiro lugar de ser pouco
conhecido e depois pela dificuldade da determinação das variáveis de movimento.
As fórmulas empregadas no método de Kane são:
F
r
+ F
∗
r
= 0 (r = 1, ..., M)
Onde
F
r
=
n
i=1
−→
R
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
+
−→
T
i
·
∂
−→
w
i
∂u
r
F
∗
r
= −
n
i=1
m
i
−→
A
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
+ (I
i
−→
α
i
+
−→
w
i
∧ I
k
−→
w
i
) ·
∂
−→
w
i
∂u
r
Sendo
−→
v
i
: velocidade linear do centro de massa do corpo i
−→
α
i
=
·
−→
w
i
: aceleração angular do centro de massa do corpo i
u
r
: variável de movimento de Kane
M : quantidade de variáveis de movimento de Kane
n : quantidade de corpos do sistema
Demais símbolos são iguais aos da seção Método de Newton-Euler acima.
2.10 Síntese. Método da adição de uma cadeia
passiva.
Existem vários métodos para a geração da arquitetura de mecanismos parale-
los como, por exemplo, o método da enumeração das cadeias ativas, o método da
adição de uma cadeia passiva, etc.
No método da adição de uma cadeia passiva o movimento da plataforma móvel
é restringido pela cadeia passiva. Assim sendo, se quisermos um mecanismo com
uma determinada mobilidade M (ou grau de mobilidade GM) devemos criar uma
cadeia passiva que possua uma conectividade correspondente à esta mobilidade.
A conectividade de uma cadeia é determinada pela soma dos graus de liber-
dade (GL) das juntas existentes nesta cadeia. Chamando de C
n+1
à conectividade
2.10. Síntese. Método da adição de uma cadeia passiva. 31
da cadeia passiva podemos então colocar
C
n+1
= M
As conectividades C
k
(sendo k = 1, ..., m) das m cadeias ativas do mecanismo
devem ser iguais ao número de movimentos independentes λ que o mecanismo
pode executar no seu espaço de funcionamento, isto é, λ = 3 para o espaço plano
e λ = 6 para o espaço tridimensional, então temos
C
k
= λ (k = 1, ..., m)
O número de cadeias ativas deve ser igual à mobilidade do mecanismo, donde
m = M
O manipulador robótico paralelo espacial de 3 GM para operações Pick-And-
Place, 3RUS + CP , mostrado na fig.2.4 e que serviu de base para o mecanismo
plano objeto desta dissertação, foi criado à partir de uma cadeia passiva que
permite translação e rotação da plataforma móvel. A conectividade desta cadeia
passiva é C
n+1
= 3 pois a mesma é composta de uma junta cilíndrica (GL = 2)
e de uma junta prismática (GL = 1). Portanto a mobilidade M do mecanismo é
3 e em conseqüência o número m de cadeias ativas deve ser 3.
Figura 2.4: Diagrama cinemático do manipulador robótico paralelo espacial 3GM
Como λ = 6, o mecanismo deverá possuir 3 cadeias ativas com conectividade
2.11. Metodologia empregada 32
igual a 6 e no nosso caso foram escolhidas as cadeias ativas compostas de uma
junta de rotação com atuador (R), uma junta universal (U) e uma junta esférica
(S).
2.11 Metodologia empregada
A metodologia empregada nesta pesquisa seguirá a seqüência mostrada no
fluxograma da fig.2.5. Neste procuramos mostrar os respectivos dados de entrada
e resultados a serem obtidos em cada etapa. Para cada etapa elaboramos um
programa de cálculo desenvolvido através do software Mathematica, os quais
estão mostrados nos Anexos, para serem utilizados nas aplicações numéricas.
Tomamos como ponto de partida o mecanismo paralelo plano 2RRR + RP ,
conforme já descrito anteriormente. Admitiremos como conhecidos todos os seus
parâmetros: comprimento das barras, massas, etc.
Análise cinemática: posições. Nesta análise relacionamos as coordenadas
dos atuadores com as coordenadas da garra. Fornecendo-se os parâmetros do
mecanismo, na cinemática inversa obteremos as coordenadas dos atuadores e na
cinemática direta obteremos as coordenadas da garra. Estes resultados serão
utilizados em primeiro lugar na verificação se o espaço de trabalho do mecanismo
atende as posições impostas; em segundo lugar na Análise cinemática: velocidades
e acelerações; em terceiro lugar nas Análises dinâmicas; e em quarto lugar no
Efeito do atrito.
Espaço de trabalho. Nesta etapa tendo-se os parâmetros podemos verificar
se o espaço de trabalho atende as posições requeridas do mecanismo.
Trajetória da garra. Nesta etapa devemos fornecer os dados de projeto
referentes à velocidade máxima, aceleração e desaceleração e tipo de trajetória
para obtermos como resultados a velocidade e aceleração finais da garra. Estes
resultados serão utilizados nas etapas Analises dinâmicas I e II, e Efeito do atrito.
Análise cinemática: velocidades e acelerações. Nesta etapa devemos
fornecer os parâmetros, os resultados obtidos na Análise cinemática: posições
(ângulos dos elos) e os resultados obtidos na etapa Trajetória da garra (velocidade
e aceleração da garra). Com a entrada destes dados teremos como resultados as
velocidades e acelerações angulares dos elos e as acelerações dos baricentros (CG)
dos elos, os quais serão utilizados posteriormente nas etapas Análises dinâmicas
I e II, e Efeito do atrito.
Análise estática. Nesta etapa devemos fornecer os pesos dos elos e dos
contrapesos, as posições dos seus CG, força e momento atuantes na garra, etc. e
2.11. Metodologia empregada 33
obteremos como resultados as reações estáticas.
Análise dinâmica I. Nesta etapa devemos fornecer os parâmetros mais os
resultados das etapas Análise cinemática: posições, Trajetória da garra, Análise
cinemática: velocidades e acelerações, aceleração da gravidade e obteremos as
reações dinâmicas sem levar em conta os esforços externos na garra e o atrito.
Análise dinâmica II. Nesta etapa devemos fornecer os mesmos dados da
Análise dinâmica I mais os resultados da Análise estática e obteremos as reações
dinâmicas, levando em conta os esforços externos na garra mas sem considerar o
atrito.
Efeito do atrito. Nesta última etapa devemos fornecer os mesmos dados
da Análise dinâmica I, com os esforços externos atuantes na garra e os dados
de atrito. Como resultado obteremos as reações dinâmicas levando em conta os
esforços na garra e o atrito.
2.11. Metodologia empregada 34
Figura 2.5: Fluxograma
35
Capítulo 3: ANÁLISE CINEMÁTICA: POSIÇÕES
3.1 Cinemática inversa
Nosso objetivo nesta análise é obtermos uma relação matemática entre a
posição da garra (ponto G) com as coordenadas dos atuadores. Isto será muito
importante no estudo do espaço de trabalho, trajetórias, análise estática, etc.
Vamos chamar de L
n
o comprimento do elo n e de θ
n
o ângulo que ele forma
com a horizontal e vamos adotar as seguintes simplificações de notação: sen θ
n
=
sθ
n
= s
n
e cos θ
n
= cθ
n
= c
n
.
A Fig.3.1 apresenta o diagrama cinemático do mecanismo com as coordenadas
dos seus vértices e os ângulos dos elos com a horizontal.
Na cinemática inversa L
7
e θ
7
são conhecidos, e θ
2
e θ
6
são incógnitas. Nosso
objetivo, portanto, é determinar estes ângulos.
Figura 3.1: Mecanismo: coordenada dos vértices.
Coordenadas dos pontos
Em primeiro lugar vamos determinar as coordenadas dos pontos G, B e C.
3.1. Cinemática inversa 36
G : {a
7
, b
7
} = {
L
1
2
+ L
7
c
7
, L
7
s
7
} (3.1)
B : {a
3
, b
3
} =
L
4
2
{−s
7
, c
7
} + {a
7
, b
7
} (3.2)
C : {a
5
, b
5
} =
L
4
2
{s
7
, −c
7
} + {a
7
, b
7
} (3.3)
O ponto A é a interseção das circunferências com centro em O
2
e raio L
2
e
centro em B e raio L
3
:
x
2
+ y
2
= L
2
2
(3.4)
(x − a
3
)
2
+ (y − b
3
)
2
= L
2
3
(3.5)
Resolvendo estas duas equações em x e y obteremos as coordenadas do ponto
A(a
2
, b
2
).
O ponto D é a interseção das circunferências com centro em O
6
e raio L
6
e
centro em C e raio L
5
:
(x − L
1
)
2
+ y
2
= L
2
6
(3.6)
(x − a
5
)
2
+ (y − b
5
)
2
= L
2
5
(3.7)
Com estas equações determinamos D(a
6
, b
6
).
Mas temos duas soluções para cada vértice A e D. Ou seja, para o vértice
A temos como soluções os pontos A
′
e A
′′
que são simétricos em relação à reta
O
2
B. Do mesmo modo, quanto ao vértice D temos as soluções D
′
e D
′′
que
são simétricos em relação à reta O
6
C. No programa que fizemos no Anexo A
impomos as condições de A estar sempre à esquerda do segmento O
2
B e D à
direita de O
6
C, utilizando a propriedade do produto vetorial (ver mais detalhes
no Capítulo 10, seção 10.1.1).
Conclusão
No Anexo A apresentamos o programa do software Mathematica para solução
da cinemática inversa
Fornecendo-se os seguintes dados:
• Comprimento dos elos: L
1
a L
6
.
• Comprimento da cadeia passiva e seu ângulo de inclinação: L
7
e θ
7
.
3.2. Cinemática direta 37
O programa determina:
• Os ângulos de entrada: θ
2
e θ
6
.
• Os ângulos dos elos 3 e 5: θ
3
e θ
5
.
• Verifica a existência de singularidades e informa seus tipos (conforme de-
senvolvido na seção adiante).
• Traça o gráfico do mecanismo
Exemplo de aplicação
A tabela 3.1 foi feita considerando um mecanismo onde todos os lados têm
comprimento unitário (L
1
= L
2
= .... = L
7
= 1) e variamos o ângulo da cadeia
passiva θ
7
para ver qual é a variação dos ângulos θ
2
, θ
3
, θ
5
e θ
6
.
θ
7
90
◦
75
◦
60
◦
45
◦
15
◦
θ
2
150
◦
131, 5
◦
114, 3
◦
98, 3
◦
69
◦
θ
3
30
◦
20, 25
◦
11, 8
◦
4, 07
◦
348
◦
θ
5
150
◦
138
◦
122, 8
◦
102, 9
◦
50
◦
θ
6
30
◦
9, 7
◦
−13
◦
−38, 4
◦
268
◦
Tabela 3.1: Exemplo cinemática inversa.
3.2 Cinemática direta
Neste caso são dados os ângulos de entrada θ
2
e θ
6
e vamos determinar L
7
e
θ
7
.
Coordenadas dos pontos A e D:
A : {a
2
, b
2
} = {L
2
c
2
, L
2
s
2
}
D : {a
6
, b
6
} = {L
1
+ L
6
c
6
, L
6
s
6
}
As coordenadas de B e C serão calculadas em função de L
7
e θ
7
:
B : {a
3
, b
3
} =
L
1
2
, 0
+ L
7
{c
7
, s
7
} +
L
4
2
{−s
7
, c
7
}
C : {a
5
, b
5
} =
L
1
2
, 0
+ L
7
{c
7
, s
7
} +
L
4
2
{s
7
, −c
7
}
3.3. Singularidades 38
Mas como
s
2
7
+ c
2
7
= 1,
então
s
7
=
1 − c
2
7
.
E s
7
é sempre positivo porque θ
7
∈ [0, π], pois uma das condições que estamos
impondo ao mecanismo é que a cadeia passiva nunca avance para baixo da base
L
1
. Então as coordenadas dos pontos B e C podem ser escritas assim:
B : {a
3
, b
3
} =
L
1
2
, 0
+ L
7
c
7
,
1 − c
2
7
+
L
4
2
−
1 − c
2
7
, c
7
,
C : {a
5
, b
5
} =
L
1
2
, 0
+ L
7
c
7
,
1 − c
2
7
+
L
4
2
1 − c
2
7
, −c
7
.
Por outro lado, como a distância entre A e B é L
3
e entre C e D é L
5
, podemos
escrever:
(a
2
−a
3
)
2
+ (b
2
−b
3
)
2
= L
2
3
,
(a
5
−a
6
)
2
+ (b
5
−b
6
)
2
= L
2
5
.
Com estas equações podemos calcular os valores de a
3
, b
3
, a
5
, b
5
, L
7
e θ
7
.
No Anexo B apresentamos o programa do software Mathematica para solução
da cinemática direta onde consideramos as seguintes condições:
• L
7
0
• 0 θ
7
π
• A plataforma nunca deve cruzar com a base L
1
ou com os elos inferiores L
2
e L
6
(ver mais detalhes no Capítulo 10, seção 10.1.2).
Fornecendo-se o comprimento dos elos L
1
a L
6
e os ângulos de entrada θ
2
e θ
6
, o programa calcula o comprimento da cadeia passiva L
7
e seu ângulo de
inclinação θ
7
, e mostra um gráfico do mecanismo.
3.3 Singularidades
3.3.1 Introdução
Segundo Merlet [4] as singularidades são posições particulares nas quais o
mecanismo perde sua rigidez e o órgão terminal passa a apresentar graus de liber-
dade adicionais tornando-se incontrolável. Existem outras situações nas quais o
3.3. Singularidades 39
mecanismo pode perder graus de liberdade quando, por exemplo, a plataforma
móvel se aproxima dos limites de seu espaço de trabalho.
Uma maneira de detectar as singularidades é através da matriz jacobiana. Se
o determinante da matriz jacobiana é zero, o sistema de equações, que transforma
as forças aplicadas na plataforma móvel em forças nos atuadores, não pode mais
ser resolvido. Consequentemente ou a rigidez da plataforma móvel se anula em
alguma direção ou o esforço em uma das juntas é infinito [13]. Conforme Gosselin
e Angeles [14] a matriz jacobiana pode ser separada em uma matriz que está
associada à cinemática inversa e outra que está associada à cinemática direta.
Exemplos de aplicação poderão ser vistos em [15] e [16].
Chamando de
−→
x o vetor das coordenadas do órgão terminal e de
−→
q o vetor
das coordenadas dos atuadores, podemos relacioná-los através da equação:
f (
−→
x ,
−→
q ) =
0
Diferenciando-se esta equação em relação ao tempo e colocando o resultado
na forma matricial, temos:
J
x
·
−→
x + J
q
·
−→
q =
0
Nesta equação J
x
e J
q
são as matrizes jacobianas;
·
−→
x e
·
−→
q são respectivamente
os vetores das velocidades do órgão terminal e dos atuadores.
Se det J
x
= 0 temos a singularidade direta. Neste caso o órgão terminal
adquire graus de liberdade adicionais, isto é, o órgão terminal pode se movimentar
mesmo com os atuadores parados. É um tipo de singularidade que ocorre no
interior do espaço de trabalho.
Se det J
q
= 0 temos a singularidade inversa. Neste caso o órgão terminal
perde graus de liberdade, isto é, o órgão terminal não pode se movimentar em
determinadas direções. Este tipo de singularidade ocorre nas fronteiras do espaço
de trabalho.
Quando tanto det J
x
quanto det J
q
são nulos temos as singularidades combi-
nadas.
3.3.2 Determinação das matrizes jacobianas
Considerando a cadeia O
2
AB podemos escrever:
(a
2
− a
3
)
2
+ (b
2
−b
3
)
2
= L
2
3
3.3. Singularidades 40
Isto é,
L
2
2
+
L
7
c
7
−
L
4
s
7
2
+
L
1
2
2
− 2
L
7
c
7
−
L
4
s
7
2
+
L
1
2
L
2
c
2
+
L
7
s
7
+
L
4
c
7
2
2
−2
L
7
s
7
+
L
4
c
7
2
L
2
s
2
= L
2
3
Derivando em relação ao tempo e rearranjando chegamos a
(−2 L
2
c
2
c
7
+ L
1
c
7
−2 L
2
s
2
s
7
+ 2 L
7
)
·
L
7
+
(2 L
2
L
7
c
2
s
7
+ L
2
L
4
s
2
s
7
− L
1
L
7
s
7
+ L
2
L
4
c
2
c
7
− 2 L
2
L
7
s
2
c
7
−L
1
L
4
c
7
/2)
·
θ
7
+
(2 L
2
L
7
s
2
c
7
− L
2
L
4
c
2
c
7
− L
2
L
4
s
2
s
7
− 2 L
2
L
7
c
2
s
7
− L
1
L
2
s
2
)
·
θ
2
= 0
Colocando
(−2 L
2
c
2
c
7
+ L
1
c
7
−2 L
2
s
2
s
7
+ 2 L
7
) = p
11
(2 L
2
L
7
c
2
s
7
+ L
2
L
4
s
2
s
7
− L
1
L
7
s
7
+ L
2
L
4
c
2
c
7
− 2 L
2
L
7
s
2
c
7
−L
1
L
4
c
7
/2) = p
12
(2 L
2
L
7
s
2
c
7
− L
2
L
4
c
2
c
7
− L
2
L
4
s
2
s
7
− 2 L
2
L
7
c
2
s
7
− L
1
L
2
s
2
) = q
11
as equações acima podem ser escritas assim
p
11
·
L
7
+ p
12
·
θ
7
+ q
11
·
θ
2
= 0 (3.8)
Considerando agora a cadeia O
6
DC temos:
(a
5
− a
6
)
2
+ (b
5
−b
6
)
2
= L
2
5
Isto é,
L
7
c
7
+
L
4
s
7
2
−
L
1
2
2
− 2
L
7
c
7
+
L
4
s
7
2
−
L
1
2
L
6
c
6
+
L
7
s
7
−
L
4
c
7
2
2
−
2
L
7
s
7
−
L
4
c
7
2
L
6
s
6
+ L
2
6
= L
2
5
Derivando em relação ao tempo e rearranjando chegamos a
(−2 L
6
c
6
c
7
− L
1
c
7
−2 L
6
s
6
s
7
+ 2 L
7
)
·
L
7
+
(2 L
6
L
7
c
6
s
7
−L
6
L
4
s
6
s
7
+ L
1
L
7
s
7
− L
6
L
4
c
6
c
7
− 2 L
6
L
7
s
6
c
7
− L
1
L
4
c
7
/2)
·
θ
7
+
3.3. Singularidades 41
(2 L
6
L
7
s
6
c
7
+ L
6
L
4
c
6
c
7
+ L
6
L
4
s
6
s
7
−2 L
6
L
7
c
6
s
7
− L
1
L
6
s
6
)
·
θ
6
= 0
Colocando
(−2 L
6
c
6
c
7
− L
1
c
7
− 2 L
6
s
6
s
7
+ 2 L
7
) = p
21
(2 L
6
L
7
c
6
s
7
−L
6
L
4
s
6
s
7
+ L
1
L
7
s
7
− L
6
L
4
c
6
c
7
− 2 L
6
L
7
s
6
c
7
− L
1
L
4
c
7
/2) = p
22
(2 L
6
L
7
s
6
c
7
+ L
6
L
4
c
6
c
7
+ L
6
L
4
s
6
s
7
−2 L
6
L
7
c
6
s
7
− L
1
L
6
s
6
) = q
22
as equações acima podem ser escritas assim
p
21
·
L
7
+ p
22
·
θ
7
+ q
22
·
θ
6
= 0 (3.9)
As equações 3.8 e 3.9 podem ser escritas na forma matricial
p
11
p
12
p
21
p
22
·
L
7
·
θ
7
+
q
11
0
0 q
22
·
θ
2
·
θ
6
= 0
Então as matrizes jacobianas são
J
x
=
p
11
p
12
p
21
p
22
e
J
q
=
q
11
0
0 q
22
No Anexo A utilizamos estas matrizes jacobianas para a determinação das
singularidades.
42
Capítulo 4: ESTUDO DO ESPAÇO DE TRABALHO
4.1 Método por discretização
O método por discretização para determinação do espaço de trabalho é um
método que desenvolve um domínio (um reticulado) de pontos com espaçamentos
previamente definidos e que devem satisfazer todas as restrições impostas.
Podemos definir o nosso espaço de trabalho como o lugar geométrico que o
ponto G (ponto de referência da garra do mecanismo) poderá atingir quando a
plataforma móvel é movimentada para qualquer posição que o mecanismo per-
mita, limitado inferiormente pela reta que passa pelos pontos O
2
e O
6
. Portanto
conforme a fig. 4.1 a primeira restrição que estamos impondo é:
0 θ
7
π.
Figura 4.1: Diagrama do mecanismo
A segunda restrição se refere aos limites que a cadeia passiva L
7
poderá se
estender ou contrair. Ao limite de extensão chamaremos de LL. Vamos então
considerar os seguintes limites para L
7
:
0 L
7
LL.
4.1. Método por discretização 43
As outras restrições se referem aos limites de extensão ou contração das pernas
do mecanismo:
|L
2
−L
3
| B −O
2
L
3
+ L
2
,
|L
6
−L
5
| C − O
6
L
5
+ L
6
.
As coordenadas dos vértices do mecanismo são:
B (−
L
4
2
s
7
+
L
1
2
+ L
7
c
7
,
L
4
2
c
7
+ L
7
s
7
),
O
2
(0, 0),
C (
L
4
2
s
7
+
L
1
2
+ L
7
c
7
, −
L
4
2
c
7
+ L
7
s
7
),
O
6
(L
1
, 0).
Então,
B − O
2
=
(−
L
4
2
s
7
+
L
1
2
+ L
7
c
7
)
2
+ (
L
4
2
c
7
+ L
7
s
7
)
2
,
C − O
6
=
(
L
4
2
s
7
+
L
1
2
+ L
7
c
7
−L
1
)
2
+ (−
L
4
2
c
7
+ L
7
s
7
)
2
.
No anexo C apresentamos a listagem do programa Mathematica que constrói
o gráfico da área de trabalho. Nesta listagem as coordenadas do ponto G serão
designadas por (x, y).
A menor abscissa do ponto G acontece quando θ
7
= 180
◦
e vale
x
min
=
L
1
2
− LL.
A maior abscissa de G acontece quando θ
7
= 0
◦
e vale
x
max
=
L
1
2
+ LL.
Por outro lado, a menor ordenada de G é zero e a maior é LL.
Então podemos colocar
L
1
2
− LL x
L
1
2
+ LL,
0 y LL.
4.2. Método geométrico 44
Figura 4.2: Espaço de trabalho método discretização
O comprimento da cadeia passiva é calculado por:
L
7
=
(x −
L
1
2
)
2
+ y
2
.
Mas
c
7
=
x −
L
1
2
L
7
,
e assim temos c
7
e s
7
.
Se levarmos em conta as condições acima apresentadas podemos montar um
vetor de coordenadas {x, y} que as satisfaçam e construir um gráfico como o da
fig.4.2 que foi feito utilizando-se o programa do Anexo C para os seguintes dados:
L
1
= 1, 5, L
2
= L
4
= L
6
= 1, L
3
= L
5
= 2 e as distâncias entre os pontos
do gráfico são iguais a 0, 05 · L
1
tanto na direção x como na direção y.
4.2 Método geométrico
4.2.1 Curva externa da área de trabalho.
A curva externa ocorre quando estendemos ao máximo as cadeias ativas do
mecanismo, de forma que alcancem os comprimentos L
2
+ L
3
e L
5
+ L
6
.
A fig. 4.3 mostra a construção da curva externa na qual consideramos um
4.2. Método geométrico 45
mecanismo tal que
L
3
= L
5
,
L
2
= L
6
,
L
3
> L
2
e L
5
> L
6
.
O ponto 1 é a posição do ponto G do mecanismo quando este está totalmente
estendido de forma simétrica em relação à vertical que passa por O
7
. O ponto
2 e demais pontos da curva externa direita ocorrem quando inclinamos a cadeia
passiva para a direita mantendo-se estendidos e alinhados os elos da cadeia es-
querda. Logicamente estamos supondo que a cadeia passiva tem curso suficiente
para isto. A curva externa esquerda é o espelho da curva externa direita já que
estamos considerando um mecanismo simétrico
Determinação dos pontos da curva externa
O ponto 2 é a posição do ponto G do mecanismo quando inclinamos de um
ângulo qualquer α a sua cadeia passiva, mantendo os elos L
2
e L
3
estendidos e
alinhados. Para sua determinação devemos:
1) Com centro em O
2
e raio L
2
+ L
3
traçamos a circunferência C
1
.
2) Por O
7
traçamos a semi-reta r
2
inclinada de α em relação à vertical O
7
1.
3) A uma distância L
4
/2 traçamos do lado esquerdo uma paralela à semi-reta
r
2
e denominamos de 2e o ponto de interseção desta paralela com a circunferência
C
1
.
4) Pelo ponto 2e traçamos uma perpendicular à semi-reta r
2
. A interseção
destas nos dá o ponto 2 procurado.
Seguindo o mesmo raciocínio determinamos os demais pontos da curva ex-
terna.
.
4.2. Método geométrico 46
Figura 4.3: Curva externa do espaço de trabalho
4.2.2 Curva interna da área de trabalho
Figura 4.4: Curva interna e área de trabalho
A curva interna da área de trabalho dá o limite que o ponto G pode atingir
quando retraímos as cadeias ativas para | L
2
− L
3
| e | L
5
− L
6
|.
A fig. 4.4 mostra como foi feita a construção da curva interna da área de
trabalho. O espaço compreendido entre a curva externa e a curva inferna é a área
4.3. Otimização do espaço de trabalho 47
de trabalho deste mecanismo.
O ponto 1 é a posição do ponto G quando o mecanismo está totalmente
contraído de forma simétrica em relação à vertical que passa por O
7
. Quando
inclinamos a cadeia passiva para direita obtemos o ponto 2 e demais pontos.
Determinação dos pontos da curva interna
1) Com centro em O
6
e raio | L
5
−L
6
| traçamos a circunferência C
2
.
2) Por O
7
traçamos a semi-reta r
2
com inclinação de α em relação à vertical
O
7
1.
3) A uma distância de L
4
/2 para direita traçamos uma paralela a r
2
e de-
nominamos por 2d o ponto de interseção desta paralela com a circunferência C
2
.
4) Pelo ponto 2d traçamos uma perpendicular à semi-reta r
2
e na interseção
com esta temos o ponto 2.
Os demais pontos da curva são determinados de forma análoga.
4.3 Otimização do espaço de trabalho
Interessa-nos agora determinar os comprimentos dos elos das cadeias ativas
de forma a otimizar o espaço de trabalho do mecanismo em relação ao espaço de
trabalho específico da cadeia passiva.
Vamos impor inicialmente as seguintes condições:
• Mecanismo simétrico em relação à cadeia passiva, isto é, L
2
= L
6
e L
3
= L
5
.
Deste modo podemos fazer o estudo só para um lado do mecanismo.
• São fornecidos os comprimentos da base (L
1
), da plataforma móvel (L
4
),
da cadeia passiva totalmente estendida (L
7E
), totalmente contraída (L
7C
)
bem como os limites de inclinação da cadeia passiva, isto, é 0 θ
7
π.
Conforme podemos ver pela fig.4.5 o espaço de trabalho alcançado pela cadeia
passiva isoladamente é a área da semi-coroa G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
G
6
cujo raio externo é
L
7E
e cujo raio interno é L
7C
.
4.3. Otimização do espaço de trabalho 48
Figura 4.5: Otimização do espaço de trabalho
Quando a cadeia passiva está totalmente estendida a garra descreve o arco
G
1
G
2
G
3
e o ponto B (extremidade esquerda da plataforma móvel) descreve o
arco B
1
B
2
B
3
de raio O
7
B
1
.
A maior distância entre o ponto B e a junta O
2
ocorre quando B está em B
1
.
Assim sendo podemos escrever:
O
2
B
1
= L
2
+ L
3
=
O
2
G
1
2
+ B
1
G
1
2
mas
O
2
G
1
= L
7E
+
L
1
2
B
1
G
1
=
L
4
2
donde
L
2
+ L
3
=
L
7E
+
L
1
2
2
+
L
4
2
2
(4.1)
A menor distância entre o ponto B e a junta O
2
ocorre quando B está em B
3
,
isto é,
O
2
B
3
=
O
2
G
3
2
+ B
3
G
3
2
mas
O
2
G
3
= L
7E
−
L
1
2
B
3
G
3
=
L
4
2
4.3. Otimização do espaço de trabalho 49
donde
O
2
B
3
=
L
7E
−
L
1
2
2
+
L
4
2
2
(4.2)
Quando a cadeia passiva está totalmente contraída a garra descreve o arco
G
4
G
5
G
6
e o ponto B descreve o arco B
4
B
5
B
6
de raio O
7
B
4
.
A menor distância entre o ponto B e a junta O
2
ocorre quando B está em B
5
ou em B
6
. Então temos:
O
2
B
5
=
O
2
R
2
+ B
5
R
2
mas
O
2
R =
L
1
2
−
L
4
2
B
5
R = L
7C
donde
O
2
B
5
=
L
1
2
−
L
4
2
2
+ L
2
7C
(4.3)
e
O
2
B
6
=
O
2
G
6
2
+ B
6
G
6
2
mas
O
2
G
6
=
L
1
2
− L
7C
B
6
G
6
=
L
4
2
donde
O
2
B
6
=
L
1
2
−L
7C
2
+
L
4
2
2
(4.4)
Então |L
2
−L
3
| será a menor das distâncias O
2
B
3
, O
2
B
5
e O
2
B
6
.
Conclusão: Para otimizarmos o espaço de trabalho devemos determinar os
comprimentos dos elos tal que a soma dos elos L
2
+L
3
seja determinada conforme
a equação 4.1 e o módulo de sua diferença |L
2
− L
3
| seja igual ao menor dos valores
encontrados pelas equações 4.2, 4.3 e 4.4.
50
Capítulo 5: TRAJETÓRIAS DA GARRA
5.1 Introdução
Na robótica busca-se sempre melhorar a eficiência das operações tanto no que
se refere à precisão dos movimentos como também à sua rapidez. Mas, acima
de um determinado nível de velocidade, tanto a partida como a parada de um
mecanismo não pode ser feita de forma brusca, pois isto fatalmente levará a
efeitos indesejáveis como solavancos, vibrações, golpes bruscos ou até ao próprio
colapso do mecanismo. Uma forma de minimizar estes efeitos indesejáveis é fazer
com que o mecanismo inicie o movimento, acelerando uniformemente, até atingir
sua velocidade máxima. Da mesma forma quando tiver que parar em determi-
nado ponto o mecanismo deverá previamente reduzir sua velocidade de maneira
gradativa até sua parada total. As rampas de aceleração e desaceleração são jus-
tamente estes movimentos uniformemente variados que impomos ao mecanismo
nos extremos de seu deslocamento para suavizar sua operação.
É importante ressaltar que o movimento que tratamos aqui se refere sempre
ao centro de gravidade da plataforma móvel, o qual definimos como ponto de
referência da garra do mecanismo, como já dissemos anteriormente.
A aceleração, a desaceleração e a velocidade máxima são variáveis de projeto.
Um problema que devemos considerar no estudo da trajetória realizada pelo
mecanismo é que a mesma deve estar contida no espaço de trabalho e que não
haja singularidades que possam afetar esta trajetória. Conforme Koren o plane-
jamento da trajetória significa a determinação da trajetória real, ou caminho
("path") ao longo do qual o órgão terminal do robô se moverá[17]. Com base
neste livro de Koren desenvolvemos nosso trabalho sobre as rampas de aceleração
e desaceleração, porem consideramos sempre uma trajetória regular e contínua
dentro do espaço de trabalho, isto é, sem variações bruscas de trajeto impostas
por descontinuidades do espaço de trabalho ou por qualquer tipo de singularidade.
5.2 Deslocamentos retilíneos
O deslocamento deve ser realizado conforme mostrado na fig. 5.1 onde do
instante t
A
a t
B
temos um movimento uniformemente acelerado, de t
B
a t
C
ocorre
a velocidade máxima (constante) e de t
C
a t
D
temos o movimento uniformemente
retardado. Considerando que a aceleração e a desaceleração têm o mesmo módulo
5.2. Deslocamentos retilíneos 51
a, e que no instante t
A
a velocidade é nula (o mecanismo parte do repouso),
podemos escalarmente escrever:
t
A
t < t
B
, v = a(t − t
A
)
t
B
t t
C
, v = v
max
, a = 0
t
C
t < t
D
, v = v
max
−a(t − t
C
)
Figura 5.1: Trajetória retilínea: curva tempo x velocidade.
O espaço percorrido é dado pela área da curva com o eixo horizontal.
Então o espaço percorrido no tempo t entre t
A
e t
B
é:
s =
v (t − t
A
)
2
=
a (t −t
A
)
2
2
Portanto no instante t
B
o espaço percorrido é dado por:
s
AB
=
v
max
(t
B
− t
A
)
2
=
a (t
B
− t
A
)
2
2
No trecho BC a velocidade é constante e, portanto, a aceleração é nula. Então
para um tempo t entre os instantes t
B
e t
C
o espaço percorrido no regime de
velocidade constante será de:
s = v
max
(t − t
B
)
5.2. Deslocamentos retilíneos 52
Logo o espaço total percorrido durante todo o regime de velocidade constante
é:
s
BC
= v
max
(t
C
− t
B
)
E o espaço total percorrido durante o regime de desaceleração é:
s
CD
=
v
max
(t
D
− t
C
)
2
Então o espaço total percorrido é:
s
t
= s
AB
+ s
BC
+ s
CD
=
v
max
(t
B
− t
A
)
2
+ v
max
(t
C
− t
B
) +
v
max
(t
D
− t
C
)
2
isto é,
s
t
=
v
max
(t
D
+ t
C
−t
B
− t
A
)
2
Existem casos em que o espaço a ser percorrido é tão pequeno que o mecanismo
nem chega a atingir a velocidade máxima e já terá que desacelerar para parar. É
o caso mostrado na fig. 5.1 quando o mecanismo parte de A e acelera até o ponto
E e desacelera até parar em F.
A velocidade no instante t
E
tem o valor de
v
E
= a (t
E
− t
A
)
e como estamos impondo que o módulo da aceleração é igual ao da desaceleração,
o espaço total percorrido pelo mecanismo é calculado por:
s
AF
= a (t
E
−t
A
)
2
Como nos interessa trabalhar mais com o espaço percorrido do que com o
tempo, a partir de agora vamos lançar mão da fórmula de Torricelli para de-
senvolver nossos cálculos. A fig. 5.2 mostra a curva da velocidade em função
do espaço para as três fases do movimento: aceleração, velocidade máxima e
desaceleração.
5.2. Deslocamentos retilíneos 53
Figura 5.2: Trajetória retilínea: curva espaço x velocidade.
Vamos dividir nosso problema em duas condições: a primeira condição é
quando o mecanismo atinge a velocidade máxima, isto é, s
BC
> 0 e a segunda
condição é quando o mecanismo não chega a atingir a velocidade máxima. Para
cada uma destas condições analisaremos as particularidades de cada fase.
5.2.1 Primeira condição: s
BC
0
Trecho AB: 0 < s < s
AB
A velocidade é calculada por
v =
√
2 a s
Trecho BC: s
AB
< s < s
AB
+ s
BC
A aceleração é nula e a velocidade é constante e igual a
v = v
max
Trecho CD: s
AB
+ s
BC
< s < s
t
A velocidade é calculada por
v =
2 a (s
t
− s)
5.3. Deslocamento retilíneo numa direção qualquer 54
5.2.2 Segunda condição: s
BC
< 0
Trecho AE: s < s
t
/2
A velocidade é calculada por
v =
√
2 a s
Trecho EF: s > s
t
/2
A velocidade é calculada por
v =
2 a (s
t
− s)
5.3 Deslocamento retilíneo numa direção qual-
quer
Vamos supor agora que o deslocamento AD do mecanismo seja numa direção
que forma um ângulo ϕ com a horizontal. Nosso objetivo é obter as componentes
escalares das velocidades e acelerações em relação aos eixos de coordenas, isto é
v
x
, v
y
, a
x
e a
y
as quais serão utilizadas no cálculo dos torques e forças de reação
(Análise Dinâmica).
5.3.1 Primeira condição: s
BC
0
Trecho AB: 0 < s < s
AB
As componentes da velocidade são:
v
x
=
√
2 a s cϕ
v
y
=
√
2 a s sϕ
As componentes da aceleração são:
a
x
= a cϕ
a
y
= a sϕ
5.3. Deslocamento retilíneo numa direção qualquer 55
Trecho BC: s
AB
< s < s
AB
+ s
BC
As componentes da velocidade são:
v
x
= v
max
cϕ
v
y
= v
max
sϕ
Não há componentes da aceleração.
Trecho CD: s
AB
+ s
BC
< s < s
t
As componentes da velocidade são:
v
x
=
2 a (s
t
− s) cϕ
v
y
=
2 a (s
t
− s) sϕ
As componentes da aceleração são:
a
x
= −a cϕ
a
y
= −a sϕ
5.3.2 Segunda condição: s
BC
< 0
Trecho AE: s < s
t
/2
As componentes da velocidade são:
v
x
=
√
2 a s cϕ
v
y
=
√
2 a s sϕ
As componentes da aceleração são:
a
x
= a cϕ
a
y
= a sϕ
5.3. Deslocamento retilíneo numa direção qualquer 56
Trecho EF: s > s
t
/2
As componentes da velocidade são:
v
x
=
2 a (s
t
− s) cϕ
v
y
=
2 a (s
t
− s) sϕ
As componentes da aceleração são:
a
x
= −a cϕ
a
y
= −a sϕ
Consequentemente quando acionamos o mecanismo para percorrer uma tra-
jetória reta, dentro da sua área de trabalho, podemos, utilizando as equações
acima, calcular as componentes da velocidade e aceleração, as quais serão necessárias
para o cálculo dos torques dos atuadores em qualquer ponto percurso.
No AnexoD mostramos a listagem de programa do software Mathematica que
calcula v
x
, v
y
, a
x
e a
y
para qualquer ponto situado na trajetória.
Neste programa consideramos os dados de projeto:
-Velocidade máxima: v
max
= 1, 0 m/s
-Módulo da aceleração igual da desaceleração: a = 10, 0 m/s
2
Consequentemente o espaço percorrido na aceleração (s
AB
) e desaceleração
(s
CD
) tem o mesmo comprimento, isto é:
s
AB
= s
CD
=
v
2
max
2 a
t
= 0, 05 m
então
S
BC
= s
t
− 0, 1
Devemos entrar com os seguintes dados:
-Deslocamento total: s
t
-Inclinação deste deslocamento em relação ao eixo x: ϕ
-Deslocamento do ponto onde queremos achar os resultados: s.
O programa mostra o resultado na forma de um vetor: {v
x
, v
y
, a
x
, a
y
}.
5.4. Deslocamento circular 57
5.4 Deslocamento circular
Vamos considerar que a garra do mecanismo parte do ponto A e sofre um
deslocamento circular de raio r até parar no ponto D, conforme mostra a fig.5.3.
Portanto a trajetória é um arco AD e, no caso, o seu sentido é anti-horário e o seu
centro está na origem dos eixos de coordenadas. No trecho da rampa de aceleração
que vai de A até B temos uma aceleração tangencial constante que denominaremos
de
−→
a
t
. No trecho BC a velocidade tangencial é constante, portanto
−→
a
t
= 0. No
trecho da rampa de desaceleração CD temos uma desaceleração cujo módulo é o
mesmo da aceleração.
Conforme vimos no caso da trajetória reta podemos ter situações nas quais o
percurso é tão pequeno que o mecanismo nem chega a atingir a velocidade máxima
e já tem que desacelerar para parar. Vamos então considerar em primeiro lugar
a condição de que o mecanismo atinge a velocidade máxima e depois vamos
considerar a condição na qual o mecanismo não chega a atingir esta velocidade.
Como agora lidaremos com ângulos, vamos estabelecer que todos os ângulos
serão medidos no sentido anti-horário à partir do eixo horizontal de coordenadas.
Inicialmente desenvolveremos a teoria considerando o centro da trajetória co-
incidindo com a origem dos eixos de coordenadas, como mostrado na fig5.3 e
depois o desenvolvimento será feito para o caso mais geral, em que o centro da
trajetória não coincide com a origem dos eixos de coordenadas.
Figura 5.3: Trajetória circular com centro do arco na origem dos eixos de coor-
denadas.
5.5. Centro do arco na origem dos eixos de coordenadas 58
É importante observar que no caso geral (fig.5.4), em sendo dados o ponto
de início de movimento (A) e o ponto do final do movimento (D), podemos ter
quatro arcos de mesmo raio que vai de A até D, isto é:
-Arco AD com centro à esquerda da corda AD e sentido horário.
-Arco AD com centro à esquerda da corda AD e sentido anti- horário.
-Arco AD com centro à direita da corda AD e sentido horário.
-Arco AD com centro à direita da corda AD e sentido anti-horário.
Do mesmo modo que no caso do deslocamento retilínio, consideraremos nos
exemplos de aplicação os seguintes dados de projeto:
-Velocidade tangencial máxima: v
max
= 1m/s
-Aceleração tangencial: a
t
= 10m/s
2
-Módulo da aceleração tangencial igual ao da desaceleração.
Consequentemente o trecho de aceleração e desaceleração têm o mesmo com-
primento, isto é,
s
AB
= s
CD
=
v
2
max
2 a
t
= 0, 05m
Onde s
AB
e s
CD
são os comprimentos dos arcos que vão de A até B e de C
até D respectivamente.
5.5 Centro do arco na origem dos eixos de co-
ordenadas
5.5.1 Primeira condição: s
BC
0
Nesta condição o mecanismo chega a atingir a velocidade máxima e com
esta velocidade percorre o trecho que vai de B até C, cujo comprimento esta-
mos chamando de s
BC
.
O espaço total a ser percorrido pelo mecanismo do ponto de partida até a
parada é dado por:
s
t
= r (γ
D
− γ
A
)
O espaço a ser percorrido no trecho onde a velocidade é constante é dado por:
s
BC
= s
t
−s
AB
− s
CD
= r (γ
D
− γ
A
) − s
AB
− s
CD
O espaço a ser percorrido até um ponto qualquer da trajetória a partir do
ponto inicial A é dado por:
s = r (γ − γ
A
)
5.5. Centro do arco na origem dos eixos de coordenadas 59
Temos três casos a considerar nesta primeira condição:
1 - O ponto onde queremos determinar a velocidade e aceleração está situado
no trecho de aceleração: AB.
2 - O ponto está no trecho de velocidade constante: BC.
3 - O ponto está no trecho de desaceleração: CD.
Trecho AB: 0 s s
AB
A velocidade tangencial em um ponto qualquer neste trecho é dada por:
−→
v = v
−→
h
2
onde
v =
√
2 a
t
s
então
−→
v =
√
2 a
t
s
−→
h
2
A aceleração tangencial é
−→
a
t
= a
t
−→
h
2
A aceleração centrípeta é
−→
a
c
= −a
c
−→
h
1
onde
a
c
=
v
2
r
=
2 a
t
s
r
então
−→
a
c
= −
2 a
t
s
r
−→
h
1
= −2 a
t
(γ − γ
A
)
−→
h
1
As componentes da velocidade tangencial são:
−→
v
x
= v(
−→
h
2
.
−→
n
1
)
−→
n
1
= −v sγ
−→
n
1
ou seja,
−→
v
x
= −
√
2 a
t
s sγ
−→
n
1
e
−→
v
y
= v(
−→
h
2
.
−→
n
2
)
−→
n
2
= v cγ
−→
n
2
ou seja,
−→
v
y
=
√
2 a
t
s cγ
−→
n
2
5.5. Centro do arco na origem dos eixos de coordenadas 60
As componentes da aceleração tangencial são:
−→
a
tx
= a
t
(
−→
h
2
.
−→
n
1
)
−→
n
1
= −a
t
sγ
−→
n
1
−→
a
ty
= a
t
(
−→
h
2
.
−→
n
2
)
−→
n
2
= a
t
cγ
−→
n
2
As componentes da aceleração centrípeta são:
−→
a
cx
= −a
c
(
−→
h
1
.
−→
n
1
)
−→
n
1
= −a
c
cγ
−→
n
1
ou seja,
−→
a
cx
= −
2 a
t
s
r
cγ
−→
n
1
= −2 a
t
(γ −γ
A
) cγ
−→
n
1
e
−→
a
cy
= −a
c
(
−→
h
1
.
−→
n
2
)
−→
n
2
= −a
c
sγ
−→
n
2
ou seja,
−→
a
cy
= −
2 a
t
s
r
sγ
−→
n
2
= −2 a
t
(γ − γ
A
) sγ
−→
n
2
Consequentemente as componentes finais das acelerações são:
−→
a
x
=
−→
a
tx
+
−→
a
cx
ou seja,
−→
a
x
= [−a
t
sγ − 2 a
t
(γ − γ
A
) cγ]
−→
n
1
e
−→
a
y
=
−→
a
ty
+
−→
a
cy
ou seja,
−→
a
y
= [a
t
cγ −2 a
t
(γ − γ
A
) sγ]
−→
n
2
Trecho BC: s
AB
s s
AB
+ s
BC
Neste trecho a velocidade tangencial é constante e máxima. Não há aceleração
tangencial, mas somente a aceleração centrípeta. Temos então:
−→
v = v
max
−→
h
2
−→
a
t
= 0
−→
a
c
= −
v
2
max
r
−→
h
1
5.5. Centro do arco na origem dos eixos de coordenadas 61
Componentes da velocidade tangencial
−→
v
x
= v
max
(
−→
h
2
.
−→
n
1
)
−→
n
1
= −v
max
sγ
−→
n
1
−→
v
y
= v
max
(
−→
h
2
.
−→
n
2
)
−→
n
2
= v
max
cγ
−→
n
2
As componentes da aceleração são constituídas somente pelas componentes
da aceleração centrípeta já que não existe aceleração tangencial. Então
−→
a
x
= −
v
2
max
r
cγ
−→
n
1
−→
a
y
= −
v
2
max
r
sγ
−→
n
2
Trecho CD: s
AB
+ s
BC
s s
t
Com raciocínio análogo ao que fizemos para o trecho AB temos:
Velocidade tangencial:
−→
v =
√
2 a
t
s
−→
h
2
Componentes da velocidade tangencial
−→
v
x
= −
2 a
t
r [γ
D
− γ] sγ
−→
n
1
−→
v
y
=
2 a
t
r [γ
D
− γ] cγ
−→
n
2
Aceleração tangencial:
−→
a
t
= a
t
−→
h
2
Aceleração centrípeta
−→
a
c
= −2 a
t
(γ
D
−γ)
−→
h
1
Componentes das acelerações
−→
a
x
= [a
t
sγ − 2 a
t
(γ
D
− γ) cγ]
−→
n
1
−→
a
y
= [−a
t
cγ − 2 a
t
(γ
D
−γ) sγ]
−→
n
2
5.5.2 Segunda condição: s
BC
< 0
Nesta condição o mecanismo antes de atingir a velocidade máxima começa a
desacelerar até parar. Temos então somente duas fases: fase de aceleração e fase
5.5. Centro do arco na origem dos eixos de coordenadas 62
de desaceleração.
Fase aceleração: s < s
t
/2
São as mesmas equações do trecho AB da condição anterior:
Velocidade tangencial:
−→
v =
√
2 a
t
s
−→
h
2
Componentes da velocidade tangencial
−→
v
x
= −
√
2 a
t
s sγ
−→
n
1
−→
v
y
=
√
2 a
t
s cγ
−→
n
2
Aceleração tangencial
−→
a
t
= a
t
−→
h
2
Aceleração centrípeta
−→
a
c
= −2 a
t
(γ − γ
A
)
−→
h
1
Componentes das acelerações
−→
a
x
= [−a
t
sγ − 2 a
t
(γ − γ
A
) cγ]
−→
n
1
−→
a
y
= [a
t
cγ −2 a
t
(γ − γ
A
) sγ]
−→
n
2
Fase desaceleração: s > s
t
/2
São as mesmas equações do trecho CD da condição anterior.
Velocidade tangencial e componentes:
−→
v =
√
2 a
t
s
−→
h
2
−→
v
x
= −
2 a
t
r [γ
D
− γ] sγ
−→
n
1
−→
v
y
=
2 a
t
r [γ
D
− γ] cγ
−→
n
2
Aceleração tangencial
−→
a
t
= a
t
−→
h
2
5.6. Centro do arco fora da origem dos eixos de coordenadas. Caso geral. 63
Aceleração centrípeta
−→
a
c
= −2 a
t
(γ
D
−γ)
−→
h
1
Componentes das acelerações
−→
a
x
= [a
t
sγ − 2 a
t
(γ
D
− γ) cγ]
−→
n
1
−→
a
y
= [−a
t
cγ − 2 a
t
(γ
D
−γ) sγ]
−→
n
2
O anexoE é utilizado para o caso em que o centro do arco coincide com a
origem dos eixos de coordenadas principal. Nele devemos entrar com o raio do
arco , a aceleração tangencial (módulo) , o ângulo do raio que corresponde ao
ponto P (ponto no qual queremos achar as componentes da velocidade e aceler-
ação), o ângulo do raio que corresponde ao ponto inicial do movimento (ponto
A), o ângulo do raio que corresponde ao ponto final do movimento (ponto D) e
com o sentido (sinal) do arco (horário ou anti-horário).
O resultado será um vetor com as componentes da velocidade e aceleração
para o ponto P
5.6 Centro do arco fora da origem dos eixos de
coordenadas. Caso geral.
No caso geral temos duas circunferências de mesmo raio r que passam por A
e D cujos centos são O
1
e O
2
. Para irmos de A até D existem 4 arcos trajetórias
conforme ilustrados na fig. 5.4. Enquanto que no caso anterior eram dados os
ângulos γ
A
e γ
D
, e definíamos apenas o sentido do arco, agora são dados o ponto
inicial do movimento A(x
A
, y
A
) e o ponto final D(x
D
, y
D
) e devemos definir não
só o sentido do arco, como também o seu centro. Para usar as mesmas fórmulas
anteriores devemos agora determinar as coordenadas dos dois centros dos arcos,
os ângulos γ
A
e γ
D
, o sentido do arco, e se o seu centro está à direita ou esquerda
da corda AD.
5.6. Centro do arco fora da origem dos eixos de coordenadas. Caso geral. 64
Figura 5.4: Trajetória circular caso geral
O ponto A em relação ao sistema O é igual ao ponto A em relação ao sistema
O
1
(ou O
2
) mais o vetor (O
1
−O) (ou (O
2
−O)). O mesmo se aplica para o D
ou qualquer outro ponto.
Então para o centro O
1
podemos escrever:
0
A =
1
A + (O
1
− O)
0
D =
1
D + (O
1
− O)
Para o centro O
2
temos:
0
A =
2
A + (O
2
− O)
0
D =
2
D + (O
2
− O)
5.6. Centro do arco fora da origem dos eixos de coordenadas. Caso geral. 65
Figura 5.5: Trajetória circular, detalhe
Como relacionamos os pontos com os eixos de coordenadas principal O, podemos
de agora em diante trabalharmos somente neste sistema.
Chamando de M (x
m
, y
m
) o ponto médio da corda AD, de d a metade da
corda AD, e de r o raio do arco AD, como mostrado na fig. 5.5, os centros O
1
e O
2
, respectivamente à direita e á esquerda da corda AD, são definidos pelos
vetores:
−→
O
1
=
−→
M +
√
r
2
− d
2
−→
h
1
−→
O
2
=
−→
M −
√
r
2
− d
2
−→
h
1
Onde
d =
D − A
2
−→
h
2
=
(D − A)
D − A
= h
2x
+ j h
2y
O versor
−→
h
1
é o versor
−→
h
2
rotacionado de 90
◦
, isto é, multiplicado por j :
−→
h
1
= j (h
2x
+ j h
2y
) = −h
2y
+ j h
2x
O vetor
−→
M é calculado por:
−→
M =
−→
A + d
−→
h
2
5.6. Centro do arco fora da origem dos eixos de coordenadas. Caso geral. 66
Ou seja,
(x
m
+ j y
m
) = (x
A
+ j y
A
) + d (h
2x
+ j h
2y
)
Portanto com esta equação achamos as coordenadas do ponto M. Observe
que todas as coordenadas se referem ao sistema principal O.
Consequentemente ficaram determinados os centros O
1
e O
2
dos arcos, bas-
tando apenas definirmos se queremos o da direita O
1
ou o da esquerda O
2
em
relação à corda AD.
Conhecendo-se O
1
ficam determinados os vetores (A − O
1
) e (D − O
1
) e,
portanto, ficam também determinados seus argumento γ
A1
e γ
D1
. A diferença
∆γ
1
= γ
D1
− γ
A1
permite-nos definir qual é o sentido do arco que queremos:
-Sentido anti-horário: ∆γ
1
> 0
-Sentido horário: ∆γ
1
< 0
Da mesma forma fazemos para o centro O
2
:
A diferença ∆γ
2
= γ
D2
−γ
A2
permite-nos definir qual é o sentido do arco que
queremos:
-Sentido anti-horário: ∆γ
2
> 0
-Sentido horário: ∆γ
2
< 0
Como queremos calcular as velocidades e acelerações para vários pontos igual-
mente espaçados da trajetória, vamos então dividir o ângulo ∆γ
1
(independen-
temente se for ∆γ
1
ou ∆γ
2
o desenvolvimento é idêntico ) em n ângulos iguais a
∆θ, isto é,
∆θ =
∆γ
1
n
Então para um ponto qualquer P
i
das subdivisões da trajetória, o vetor
−→
P
i
será determinado pela soma do vetor do centro do arco
−→
O
1
mais o vetor (A − O
1
)
rotacionado de (i − 1) ∆θ, onde o índice i varia de 1 até n. Isto é,
−→
P
i
= (O
1
−O) + (A − O
1
) e
j ∆θ (i−1)
Então para i = 1 não há rotação e P
1
coincide com A.
Para i = n + 1 teremos a rotação n ∆θ = ∆γ
1
e P
n+1
coincide com D.
No anexo F apresentamos o programa desenvolvido no software Mathematica
que calcula as componentes da velocidade e da aceleração para um ponto ou para
vários pontos igualmente espaçados da trajetória.
Na elaboração deste programa os centros dos arcos são determinados com as
equações:
(x
A
− x
i
)
2
+ (y
A
− y
i
)
2
= r
2
5.6. Centro do arco fora da origem dos eixos de coordenadas. Caso geral. 67
(x
D
− x
i
)
2
+ (y
D
− y
i
)
2
= r
2
Estas duas equações calculam dois centros (x
i
, y
i
) onde i = 1 ou 2.
Os ângulos dos raios que dão os pontos inicial e final do arco são determinados
por
γ
A
= arccos
x
A
− x
i
r
γ
D
= arccos
x
D
− x
i
r
Definimos no programa que o sentido do arco é positivo quando ele cresce
no sentido anti-horário. Para a escolha do centro do arco utilizamos o produto
vetorial do vetor que vai do meio da corda AD até o centro do arco com o vetor
que vai de A até D.
O anexo F é utilizado para o caso em que o centro do arco não coincide
como a origem dos eixos de coordenadas principal. Nele devemos entrar com
o raio do arco, com a aceleração tangencial (módulo), com o ângulo do raio
que corresponde ao ponto P (ponto no qual queremos achar as componentes da
velocidade e aceleração) ou com o número de pontos onde queremos achar as
componentes da velocidade e aceleração, com as coordenadas cartesianas de A e
D, com o sentido (sinal) do arco (horário ou anti-horário) e com a definição se
queremos o arco cujo centro está à direita ou esquerda da corda AD.
Neste caso teremos dois resultados:
a) Um vetor com as componentes da velocidade e aceleração para o ponto P.
b) n vetores com as componentes da velocidade e aceleração para n pontos
intermediários do arco AD.
68
Capítulo 6: ANÁLISE CINEMÁTICA: VELOCIDADES
E ACELERAÇÕES
6.1 Introdução
Nas equações que desenvolveremos pelo método de Kane no Capítulo 8: Análise
dinâmica, necessitaremos dos valores das velocidades e acelerações angulares dos
elos, u
1
=
·
θ
1
,
·
u
1
=
··
θ
1
, u
2
=
·
θ
2
,
·
u
2
=
··
θ
2
, etc.; bem como precisaremos dos valores
das acelerações lineares dos centros de gravidade dos elos e suas componentes,
isto é, A
n
A
, A
t
A
, A
n
B
, A
t
B
, etc. Então vamos adotar a mesma simbologia e nomen-
clatura que serão usadas naquele capítulo e conforme mostrado na fig.6.1, onde
as letras com asterisco indicam a posição do centro de gravidade (CG) dos elos.
Figura 6.1: Diagrama cinemático do mecanismo
6.2 Velocidades e acelerações angulares
Nosso objetivo é a determinação das velocidades u
1
, u
2
, u
3
, u
4
, u
5
, u
6
e das
acelerações
·
u
1
,
·
u
2
,
·
u
3
,
·
u
4
,
·
u
5
e
·
u
6
, supondo conhecidas a velocidade e aceleração
do ponto J
∗
(CG da plataforma móvel) as quais podem ser determinadas con-
forme o Capítulo 5. Em nosso trabalho consideraremos este ponto como ponto de
referência da movimentação do mecanismo. Logicamente o ponto de referência da
movimentação do mecanismo vai estar na garra do mecanismo e, portanto, a uma
6.2. Velocidades e acelerações angulares 69
certa distância fixa do ponto J
∗
. Mas esta é uma simplificação que adotaremos,
pois a situação real deste ponto dependerá de cada aplicação prática.
Consideraremos também como sendo dados os ângulos θ
1,
θ
2
,θ
3
, θ
4
, θ
5
e o
deslocamento q
6
já que os podemos calcular usando as equações da cinemática
inversa ou direta que vimos anteriormente no Capítulo 3.
6.2.1 Cadeia passiva
Determinação de u
5
=
·
θ
5
e u
6
=
·
q
6
.
Figura 6.2: Dimensões e ângulos dos elos
Conforme a fig.6.2 vemos que (J
∗
− O
7
) = q
6
e
j θ
5
, portanto, a velocidade
linear da garra é
−→
V
J
=
•
(J
∗
− O
7
) isto é:
V
Jx
+ j V
Jy
=
·
q
6
e
j θ
5
+ q
6
j
·
θ
5
e
j θ
5
=
·
q
6
(c
5
+ j s
5
) + q
6
·
θ
5
(−s
5
+ j c
5
)
que desenvolvendo chegamos a
V
Jx
= c
5
·
q
6
−q
6
s
5
·
θ
5
= c
5
u
6
− q
6
s
5
u
5
(6.1)
V
Jy
= s
5
·
q
6
+ q
6
c
5
·
θ
5
= s
5
u
6
+ q
6
c
5
u
5
(6.2)
6.2. Velocidades e acelerações angulares 70
Determinação de
·
u
5
e
·
u
6
.
As componentes da aceleração linear da garra são a
Jx
=
·
V
Jx
e a
Jy
=
·
V
Jy
que desenvolvendo chegamos a
a
Jx
= −q
6
s
5
··
θ
5
+ c
5
··
q
6
−2
·
θ
5
·
q
6
s
5
−q
6
·
θ
5
2
c
5
ou seja,
a
Jx
= −q
6
s
5
·
u
5
+ c
5
·
u
6
−2 u
5
u
6
s
5
− q
6
(u
5
)
2
c
5
(6.3)
Por outro lado
a
Jy
= q
6
c
5
··
θ
5
+ s
5
··
q
6
+ 2
·
θ
5
·
q
6
c
5
− q
6
·
θ
5
2
s
5
ou seja,
a
Jy
= q
6
c
5
·
u
5
+ s
5
·
u
6
+ 2 u
5
u
6
c
5
− q
6
(u
5
)
2
s
5
(6.4)
6.2.2 Cadeia ativa direita
Determinação de u
1
=
·
θ
1
e u
2
=
·
θ
2
Conforme a fig. 6.2 podemos escrever:
(J
∗
− O
7
) = (O
6
− O
7
) + (A − O
6
) + (B − A) + (J
∗
−B)
(J
∗
− O
7
) = (O
6
− O
7
) + L
A
e
j θ
1
+ L
B
e
j (θ
1
+θ
2
)
+ L
J
j e
j θ
5
Mas
−→
V
J
=
•
(J
∗
− O
7
)
então
−→
V
J
= L
A
j
·
θ
1
e
j θ
1
+ L
B
j
·
θ
1
+
·
θ
2
e
j( θ
1
+θ
2
)
− L
J
·
θ
5
e
j θ
5
que desenvolvendo chegamos a
V
Jx
= −L
A
s
1
·
θ
1
−L
B
s
12
·
θ
1
+
·
θ
2
− L
J
c
5
θ
5
isto é,
V
Jx
= −L
A
s
1
u
1
−L
B
s
12
(u
1
+ u
2
) − L
J
c
5
u
5
(6.5)
6.2. Velocidades e acelerações angulares 71
Por outro lado temos
V
Jy
= L
A
c
1
·
θ
1
+ L
B
c
12
·
θ
1
+
·
θ
2
− L
J
s
5
·
θ
5
isto é,
V
Jy
= L
A
c
1
u
1
+ L
B
c
12
(u
1
+ u
2
) − L
J
s
5
u
5
(6.6)
Determinação de
·
u
1
e
·
u
2
Sabemos que a
Jx
=
·
V
Jx
e a
Jy
=
·
V
Jy
então desenvolvendo chegamos a
a
Jx
= −L
A
c
1
·
θ
1
2
−L
A
s
1
··
θ
1
− L
B
c
12
·
θ
1
+
·
θ
2
2
−
L
B
s
12
··
θ
1
+
··
θ
2
+ L
J
s
5
·
θ
5
2
− L
J
c
5
··
θ
1
ou seja,
a
Jx
= −L
A
c
1
(u
1
)
2
− L
A
s
1
·
u
1
− L
B
c
12
(u
1
+ u
2
)
2
−
L
B
s
12
·
u
1
+
·
u
2
+ L
J
s
5
(u
5
)
2
− L
J
c
5
·
u
5
(6.7)
Por outro lado,
a
Jy
= −L
A
s
1
·
θ
1
2
+ L
A
c
1
··
θ
1
−L
B
s
12
·
θ
1
+
·
θ
2
2
+
L
B
c
12
··
θ
1
+
··
θ
2
− L
J
c
5
·
θ
5
2
− L
J
s
5
··
θ
1
ou seja,
a
Jy
= −L
A
s
1
(u
1
)
2
+ L
A
c
1
·
u
1
− L
B
s
12
(u
1
+ u
2
)
2
+
L
B
c
12
·
u
1
+
·
u
2
− L
J
c
5
(u
5
)
2
− L
J
s
5
·
u
5
(6.8)
6.2.3 Cadeia ativa esquerda
Determinação de u
3
=
·
θ
3
e u
4
=
·
θ
4
.
Mutatis mutandis em relação à cadeia ativa direita, podemos escrever:
V
Jx
= −L
D
s
3
u
3
− L
E
s
34
(u
3
+ u
4
) + L
J
c
5
u
5
(6.9)
6.3. Acelerações dos CG dos elos 72
V
Jy
= L
D
c
3
u
3
+ L
E
c
34
(u
3
+ u
4
) + L
J
s
5
u
5
(6.10)
Determinação de
·
u
3
e
·
u
4
.
Mutatis mutandis em relação à cadeia ativa direita, podemos escrever:
a
Jx
= −L
D
c
3
(u
3
)
2
−L
D
s
3
·
u
3
−L
E
c
34
(u
3
+ u
4
)
2
−
L
E
s
34
·
u3 +
·
u
4
− L
J
s
5
(u
5
)
2
+ L
J
c
5
·
u
5
(6.11)
a
Jy
= −L
D
s
3
(u
3
)
2
+ L
D
c
3
·
u
3
−L
E
s
34
(u
3
+ u
4
)
2
+
L
E
c
34
·
u
3
+
·
u
4
− L
J
c
5
(u
5
)
2
−L
J
s
5
·
u
5
(6.12)
No Anexo G apresentamos o programa Mathematica que, utilizando as equações
acima, deduz as equações para o cálculo das velocidades
·
θ
1
= u
1
,
·
θ
2
= u
2
,
·
θ
3
= u
3
,
·
θ
4
= u
4
,
·
θ
5
= u
5
e
·
q
6
= u
6
e as acelerações
··
θ
1
=
·
u
1
,
··
θ
2
=
·
u
2
,
··
θ
3
=
·
u
3
,
··
θ
4
=
·
u
4
,
··
θ
5
=
·
u
5
e
··
q
6
=
·
u
6
. O Anexo H calcula seus valores numéricos.
6.3 Acelerações dos CG dos elos
6.3.1 Elo A: A
n
A
e A
t
A
Figura 6.3: Diagrama auxiliar para determinação das acelerações
6.3. Acelerações dos CG dos elos 73
A
n
A
é a componente da aceleração linear do ponto A
∗
(CG do elo A) na direção
−→
a
1
, enquanto que A
t
A
é a componente da mesma aceleração na direção
−→
a
2
(ver
fig. 6.3).
Temos
−→
A
A
=
d
−→
V
A
dt
e sendo
−→
V
A
= L
GA
u
1
−→
a
2
então
−→
A
A
= L
GA
·
u
1
−→
a
2
−L
GA
( u
1
)
2
−→
a
1
Isto é
A
n
A
= −L
GA
( u
1
)
2
(6.13)
A
t
A
= L
GA
·
u
1
(6.14)
6.3.2 Elo B: A
n
B
e A
t
B
A
n
B
é a componente da aceleração linear do ponto B
∗
(CG do elo B) na
direção
−→
b
1
, enquanto que A
t
B
é a componente da mesma aceleração na direção
−→
b
2
.
Temos então
−→
A
B
=
d
−→
V
B
dt
e sendo
−→
V
B
= L
A
u
1
−→
a
2
+ L
GB
(u
1
+ u
2
)
−→
b
2
então
−→
A
B
= L
A
·
u
1
−→
a
2
− L
GA
( u
1
)
2
−→
a
1
+ L
GB
·
u
1
+
·
u
2
−s
12
−→
n
1
+ c
12
−→
n
2
−
L
GB
(u
1
+ u
2
)
2
c
12
−→
n
1
+ s
12
−→
n
2
Mas A
n
B
=
−→
A
B
.
−→
b
1
.
Fazendo este produto escalar e desenvolvendo chegamos a
A
n
B
= L
A
·
u
1
s
2
−L
A
(u
1
)
2
c
2
− L
GB
(u
1
+ u
2
)
2
(6.15)
6.3. Acelerações dos CG dos elos 74
Por outro lado A
t
B
=
−→
A
B
.
−→
b
2
.
Fazendo este produto escalar e desenvolvendo chegamos a
A
t
B
= L
A
·
u
1
c
2
−L
A
(u
1
)
2
s
2
+ L
GB
·
u
1
+
·
u
2
(6.16)
6.3.3 Elo D: A
n
D
e A
t
D
Mutatis mutandis em relação ao elo A temos:
A
n
D
= −L
GD
( u
3
)
2
(6.17)
A
t
D
= L
GD
·
u
3
(6.18)
6.3.4 Elo E: A
n
E
e A
t
E
Mutatis mutandis em relação ao elo B temos:
A
n
E
= L
D
·
u
3
s
4
−L
D
(u
3
)
2
c
4
− L
GE
(u
3
+ u
4
)
2
(6.19)
A
t
E
= L
D
·
u
3
c
4
−L
D
(u
3
)
2
s
4
+ L
GE
·
u
3
+
·
u
4
(6.20)
6.3.5 Elo H: A
n
H
e A
t
H
Temos
−→
V
H
= L
GH
·
−→
h
1
= L
GH
u
5
−→
h
2
−→
A
H
=
d
−→
V
H
dt
que desenvolvendo chegamos a
−→
A
H
= −L
GH
(u
5
)
2
−→
h
1
+ L
GH
·
u
5
−→
h
2
Portanto concluímos
A
n
H
= −L
GH
(u
5
)
2
(6.21)
A
t
H
= L
GH
·
u
5
(6.22)
6.3.6 Elo J: A
n
J
e A
t
J
Temos
−→
A
J
=
d
−→
V
J
dt
6.3. Acelerações dos CG dos elos 75
e sendo
−→
V
J
= u
6
−→
h
1
+ q
6
u
5
−→
h
2
então
−→
A
J
=
·
u
6
− q
6
(u
5
)
2
−→
h
1
+
2 u
6
u
5
+ q
6
·
u
5
−→
h
2
portanto, concluímos
A
t
J
=
·
u
6
− q
6
(u
5
)
2
(6.23)
A
n
J
= 2 u
6
u
5
+ q
6
·
u
5
(6.24)
No Anexo H apresentamos o programa elaborado no software Mathematica
que com as equações 6.1 a 6.12 determina os valores numéricos das velocidades
·
θ
1
= u
1
,
·
θ
2
= u
2
,
·
θ
3
= u
3
,
·
θ
4
= u
4
,
·
θ
5
= u
5
e
·
q
6
= u
6
e das acelerações
··
θ
1
=
·
u
1
,
··
θ
2
=
·
u
2
,
··
θ
3
=
·
u
3
,
··
θ
4
=
·
u
4
,
··
θ
5
=
·
u
5
e
··
q
6
=
·
u
6
; e com as equações 6.13 a 6.24
determina as acelerações dos CG dos elos, isto é, A
n
A
, A
t
A
, A
n
B
, A
t
B
, A
n
D
, A
t
D
, A
n
E
,
A
t
E
, A
n
H
, A
t
H
, A
n
J
e A
t
J
.
76
Capítulo 7: ANÁLISE ESTÁTICA
7.1 Introdução
Como a finalidade do mecanismo que estamos estudando é ser utilizado como
manipulador robótico, vamos considerar o ponto G (ponto central da plataforma
móvel) como ponto de referência da garra, ou seja, todo esforço de manipulação
do mecanismo será concentrado neste ponto.
Conforme ilustrado na fig.7.1 vamos considerar que no ponto G atua um
momento
−→
M e a força de manipulação
−→
F , a qual tem uma inclinação β em relação
à horizontal.
Nesta situação,
−→
M e
−→
F darão origem às reações de momento e força nos apoios
O
2
e O
6
, onde estão os atuadores. No apoio O
7
haverá somente reação de força,
pois neste ponto existe uma junta de rotação sem atuador.
Figura 7.1: Forças e momentos
Para a determinação dos torques nos atuadores e das forças de reação vamos
construir os diagramas de corpo livre de cada elo e aplicar as equações de equi-
líbrio da estática. Os pesos próprios dos elos serão representados por
−→
P
i
e seus
comprimentos L
i
, sendo i = 1, ..., 7 respectivamente os números das peças. Con-
sideraremos também que os centros de gravidade dos elos estarão situados a uma
distância L
iG
de sua extremidade inferior, exceto no caso da plataforma móvel
que o consideraremos situado no ponto G. A fim de generalizarmos um pouco
7.2. Equações de equilíbrio 77
mais nosso estudo vamos introduzir também os contrapesos
−→
W
i
distanciados L
iP
das juntas dos elos conforme mostram as figuras seguintes.
7.2 Equações de equilíbrio
Elo 7
O diagrama de corpo livre do elo 7 é mostrado na fig.7.2 e as equações escalares
de equilíbrio são:
H = −F
7x
+ F
4
sθ
7
= 0
V = F
7y
− F
4
cθ
7
−P
7
−W
7
= 0
M
G
= −F
7y
L
7
cθ
7
−F
7x
L
7
sθ
7
+ P
7
(L
7
−L
7G
) cθ
7
+
M
4
+ W
7
(L
7
+ L
7P
) cθ
7
= 0
Figura 7.2: Diagrama de corpo livre: elo 7
Elo 4
O diagrama de corpo livre do elo 4 é mostrado na fig.7.3 e as equações escalares
de equilíbrio são:
7.2. Equações de equilíbrio 78
H = −F
3x
− F
4
sθ
7
+ F cβ + F
5x
= 0
V = −F
3y
+ F
4
cθ
7
+ F sβ − F
5y
−P
4
= 0
M
B
= F
5x
L
4
cθ
7
−F
5y
L
4
sθ
7
+ (F cβ −F
4
sθ
7
)
L
4
2
cθ
7
+
(F sβ + F
4
cθ
7
−P
4
)
L
4
2
sθ
7
−M
4
+ M = 0
Figura 7.3: Diagrama de corpo livre: elo 4
Elo 3
O diagrama de corpo livre do elo 3 é mostrado na fig.7.4 e as equações escalares
de equilíbrio são:
H = −F
2x
+ F
3x
= 0
V = −F
2y
+ F
3y
−P
3
− W
3
= 0
M
B
= F
2y
L
3
cθ
3
− F
2x
L
3
sθ
3
+ P
3
(L
3
− L
3G
) cθ
3
+ W
3
(L
3
+ L
3P
) cθ
3
= 0
7.2. Equações de equilíbrio 79
Figura 7.4: Diagrama de corpo livre: elo 3
Elo 2
O diagrama de corpo livre do elo 2 é mostrado na fig.7.5 e as equações escalares
de equilíbrio são:
H = F
2x
− F
1x
= 0
V = F
2y
−F
1y
− P
2
− W
2
= 0
M
A
= F
1y
L
2
cθ
2
− F
1x
L
2
sθ
2
+ P
2
(L
2
−L
2G
) cθ
2
+ M
2
+ W
2
(L
2
+ L
2P
) cθ
2
= 0
7.2. Equações de equilíbrio 80
Figura 7.5: Diagrama de corpo livre: elo 2
Elo 5
O diagrama de corpo livre do elo 5 é mostrado na fig.7.6 e as equações escalares
de equilíbrio são:
H = −F
5x
+ F
6x
= 0
V = F
5y
−F
6y
− P
5
− W
5
= 0
M
C
= F
6y
L
5
cθ
5
+ F
6x
L
5
sθ
5
+ P
5
(L
5
− L
5G
) cθ
5
+ W
5
(L
5
+ L
5P
) cθ
5
= 0
7.2. Equações de equilíbrio 81
Figura 7.6: Diagrama de corpo livre: elo 5
Elo 6
O diagrama de corpo livre do elo 6 é mostrado na fig.7.7 e as equações escalares
de equilíbrio são:
H = −F
6x
+ F
8x
= 0
V = F
6y
− F
8y
− P
6
− W
6
= 0
M
B
= F
8y
L
6
cθ
6
+ F
8x
L
6
sθ
6
+ P
6
(L
6
−L
6G
) cθ
6
+ M
8
+ W
6
(L
6
+ L
6P
) cθ
6
= 0
7.3. Determinação dos contrapesos para momentos de reação nulos 82
Figura 7.7: Diagrama de corpo livre: elo 6
7.2.1 Listagem do programa
De posse destas equações elaboramos um programa no software Mathematica
apresentado no Anexo I, o qual foi desenvolvido para a determinação dos torques
nos atuadores e das forças de reação, considerando-se que conhecemos a configu-
ração do mecanismo, os ângulos de inclinação dos elos, os comprimento dos elos,
seus pesos próprios, as posições dos centros de gravidade, os contrapesos, suas
posições, a força externa e momento externo na garra.
7.3 Determinação dos contrapesos para momen-
tos de reação nulos
Nosso objetivo agora é determinarmos os valores dos contrapesos que anulem
estaticamente os torques nos atuadores quando consideramos somente os pesos
próprios dos elos. Neste caso vamos estabelecer que a distância dos contrapesos
até a articulação seja igual a 1/4 do comprimento do respectivo elo. Vamos
considerar também que os centros de gravidade dos elos estejam situados no
meio dos seus comprimentos.
Na fig.7.8 isolamos os elementos do mecanismo com seus respectivos contrape-
sos para podermos calcular os valores dos contrapesos que equilibram os pesos
próprios dos elos.
7.3. Determinação dos contrapesos para momentos de reação nulos 83
-Elo 7.
W
7
(
L
7
4
) cθ
7
= P
7
(
L
7
2
) cθ
7
donde
W
7
= 2 P
7
(7.1)
Figura 7.8: Determinação dos contrapesos
-Elo 5
W
5
L
5
4
= P
5
L
5
2
+
P
4
2
L
5
então
W
5
= 2 P
5
+ 2 P
4
(7.2)
e
R
D
=
P
4
2
+ P
5
+ W
5
então
R
D
=
5
2
P
4
+ 3 P
5
-Elo 6
W
6
L
6
4
= P
6
L
6
2
+ R
D
L
6
então
W
6
= 2 P
6
+ 10 P
4
+ 12 P
5
(7.3)
7.3. Determinação dos contrapesos para momentos de reação nulos 84
Considerando a simetria do mecanismo podemos colocar:
W
3
= 2 P
3
+ 2 P
4
(7.4)
W
2
= 2 P
2
+ 12 P
3
+ 10 P
4
(7.5)
Utilizando, portanto, os contrapesos calculados de acordo com as equações
acima e empregando o programa do Anexo I podemos verificar que anulamos os
momentos de reação, isto, logicamente sem considerar o efeito dinâmico e carga
externa.
O balanceamento estático usando contrapesos elimina os momentos de reação,
mas em contra partida, aumenta o efeito dinâmico devido ao aumento da inércia.
Portanto para cada caso deve-se verificar a vantagem ou não de seu uso.
85
Capítulo 8: ANÁLISE DINÂMICA
8.1 Introdução
O desenvolvimento da análise dinâmica será feito, como já dissemos, através
do método de Kane, portanto, nesta Introdução apresentaremos algumas noções
teóricas sobre este método. Em seguida faremos o desenvolvimento deste método
para o caso específico do mecanismo objeto deste trabalho. Descreveremos e
mostraremos então um diagrama deste mecanismo com seus parâmetros e versores
de referência. Seguem-se as especificações das variáveis, o desenvolvimento das
equações que o método de Kane fornece, um roteiro de cálculo e três exemplos
de aplicação.
A fim de termos uma noção deste método, apresentaremos no parágrafo
seguinte, de forma resumida, alguns tópicos abordados por R. Brent Gillespie
em [18] :
No método de Kane as variáveis de movimento u
r
(r = 1, ..., M) são em geral
funções lineares das variáveis de movimento de Lagrange
·
q
r
(r = 1, ..., l) e o
número de variáveis de movimento de Kane (M) é igual ao número de variáveis
de movimento de Lagrange (l) menos o número de vínculos de movimento (m),
isto é, M = l − m. Portanto, o uso das variáveis de movimento de Kane (tam-
bém chamadas de generalized speeds em contra-partida às variáveis de movimento
de Lagrange denominadas de generalized velocities) geralmente produz equações
compactas. No caso de sistemas vinculados não holomicamente o emprego das
variáveis de movimento de Kane leva-nos a uma equação diferencial ordinária en-
quanto que, quando usamos as variáveis de movimento de Lagrange, precisamos
usar o método dos multiplicadores independentes.
Para deduzir as equações de Kane vamos considerar um sistema com n corpos
P i, (i = 1, 2, ..., n). Seja
−→
R
i
a resultante das forças que agem no corpo P
i
e
aplicada em seu centro de gravidade. Seja
−→
T
i
a soma de todos os momentos
aplicados em P
i
. Então, como já vimos no Capítulo 2, Seção 2.9.1 as equações de
Newton-Euler podem ser escritas assim:
−→
R
i
−m
i
−→
A
i
=
−→
0
−→
T
i
− (I
i
−→
α
i
+
−→
w
i
∧ I
i
−→
w
i
) =
−→
0
Sendo,
8.1. Introdução 86
m
i
: massa do corpo P
i
−→
A
i
: aceleração do centro de massa do corpo P
i
I
i
: momento de inércia do corpo P
i
em relação ao seu eixo baricêntrico
−→
w
i
: velocidade angular do centro de massa do corpo P
i
−→
α
i
=
·
−→
w
i
: a aceleração angular do centro de massa do corpo P
i
Para produzir equações escalares vamos fazer o produto escalar da primeira
equação acima por
∂
−→
v
i
∂u
r
e da segunda por
∂
−→
w
i
∂u
r
, isto é,
−→
R
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
− m
i
−→
A
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
= 0
−→
T
i
·
∂
−→
w
i
∂u
r
− (I
i
−→
α
i
+
−→
w
i
∧ I
k
−→
w
i
) ·
∂
−→
w
i
∂u
r
= 0
Sendo
−→
v
i
a velocidade linear do centro de gravidade do corpo Pi, u
r
a variável
de movimento de Kane (generalized speed) e r = 1, 2, ..., M o seu número.
Somando membro a membro as equações acima e estendendo para n corpos,
temos
n
i=1
−→
R
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
+
−→
T
i
·
∂
−→
w
i
∂u
r
−
m
i
−→
A
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
+ (I
i
−→
α
i
+
−→
w
i
∧I
k
−→
w
i
) ·
∂
−→
w
i
∂u
r
= 0
Então colocando:
F
r
=
n
i=1
−→
R
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
+
−→
T
i
·
∂
−→
w
i
∂u
r
temos o que se chama de força ativa generalizada do sistema. E
F
∗
r
=
n
−
i=1
m
i
−→
A
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
+ (I
i
−→
α
i
+
−→
w
i
∧ I
k
−→
w
i
) ·
∂
−→
w
i
∂u
r
temos o que se chama de força de inércia generalizada do sistema. De modo
que as equações diferenciais dinâmicas de Kane podem ser escritas simplesmente
assim:
F
r
+ F
∗
r
= 0 (r = 1, 2, ..., M)
No caso específico do nosso trabalho, se desenvolvermos as equações do Teo-
rema do Movimento do Baricentro e do Teorema do Momento Angular para o
8.2. Aplicação do método de Kane 87
corpo P i , isto é, (T MB)
i
e (T MA)
i
podemos então colocar:
n
i=1
(T MB)
i
·
∂
−→
v
i
∂u
r
+ (T MA)
i
·
∂
−→
w
i
∂u
r
= 0 (r = 1, 2, ..., M) (8.1)
8.2 Aplicação do método de Kane
Na fig. 8.1 apresentamos o mecanismo esquematicamente desenhado onde
mostramos todos os vetores unitários que usaremos para o desenvolvimento da
análise, bem como as forças e torques de reação na base. Conforme vimos no
Capítulo 6 a base do mecanismo O
2
O
6
tem comprimento L
1
, a plataforma móvel
EB (doravante denominada de elo J) tem comprimento 2 L
J
e seu centro de
gravidade é J
∗
. A cadeia ativa direita é composta dos elos O
6
A ( ou elo A) e AB
(ou elo B) cujos respectivos comprimentos são L
A
e L
B
, e os respectivos CG são
A
∗
e B
∗
. A cadeia ativa esquerda é composta dos elos O
2
D ( ou elo D) e DE
(ou elo E) cujos respectivos comprimentos são L
D
e L
E
, e os respectivos CG são
D
∗
e E
∗
. A cadeia passiva tem comprimento variável q
6
porém o elo H , parte
inferior da cadeia passiva, tem o CG a uma distância L
GH
do ponto O
7
.
Desprezaremos qualquer efeito das forças de atrito, resistência do ar, defor-
mações e vibrações. Consideraremos todos os corpos como rígidos e situaremos
o mecanismo no plano vertical para que o efeito dos pesos próprios dos corpos
sejam considerados.
Para o desenvolvimento do método de Kane dividiremos o mecanismo em
pares de elos interconectados e utilizaremos então a equação 8.1 para cada par,
isto é, o primeiro par será constituído dos elos A e B (cujos índices da variável
u
r
são r = 1 e r = 2), o segundo par será constituído dos elos D e E (cujos
índices da variável u
r
são r = 3 e r = 4), e o terceiro par será constituído dos
elos H e J (cujos índices da variável u
r
são r = 5 e r = 6). Vamos assumir
que as variáveis u
r
sejam independentes, de modo que o produto escalar dos
vetores TMB e TMA com as derivadas parciais das velocidades em relação a u
r
dos demais elos, não pertencentes ao par, se anulem. Desta forma, no final,
chegaremos a 6 equações que nos possibilitarão calcular 6 incógnitas e através de
uma manipulação algébrica podemos chegar a somente 2 equações cujas incógnitas
são os torques do atuadores.
8.2. Aplicação do método de Kane 88
Figura 8.1: Diagrama cinemático do mecanismo
8.2.1 Especificação das variáveis.
Consideraremos como variáveis de movimento de Kane (generalized speeds) as
derivadas temporais dos ângulos θ
1
, θ
2
, θ
3
, θ
4
, θ
5
, e da distância q
6
, quais sejam:
·
θ
1
,
·
θ
2
,
·
θ
3
,
·
θ
4
,
·
θ
5
e
·
q
6
, que passaremos também a indicá-las respectivamente por
u
1
, u
2
, u
3
, u
4
, u
5
e u
6
.
Portanto suas derivadas segundas em relação ao tempo são:
··
θ
1
=
·
u
1
,
··
θ
2
=
·
u
2
,
··
θ
3
=
·
u
3
,
··
θ
4
=
·
u
4
,
··
θ
5
=
·
u
5
e
··
q
6
=
·
u
6
.
Como já dissemos anteriormente, vamos desenvolver o método de Kane ad-
mitindo que estas variáveis sejam independentes entre si. A dependência entre
elas só vai se manifestar quando a trajetória da garra e a cinemática de posição
forem definidas. Ou seja, a dependência entre as variáveis existe, mas na dedução
do método de Kane usaremos o artifício da não dependência entre as variáveis.
8.2.2 Elos A e B
A fig.8.2 mostra os diagramas de corpo livre dos elos A e B. A partir deles
poderemos aplicar o Teorema do Movimento do Baricentro (TMB) e o Teorema
do Momento Angular (TMA) para cada elo.
8.2. Aplicação do método de Kane 89
Figura 8.2: Diagramas de corpo livre dos elos A e B
8.2.3 Elo A
TMB do elo A.
Aplicando o Teorema do Movimento do Baricentro ao elo A, considerando
as forças atuantes conforme representadas no seu diagrama de corpo livre fig.8.2
chegaremos à seguinte equação:
(F
1
+ F
3
)
−→
a
1
+ (F
2
+ F
4
)
−→
a
2
−m
A
g
−→
n
2
= m
A
(A
n
A
−→
a
1
+ A
t
A
−→
a
2
) (8.2)
Onde g é a aceleração da gravidade, m
A
massa do elo A; A
n
A
e A
t
A
são as com-
ponentes da aceleração do centro de gravidade A
∗
do elo A (os índices inferiores
se referem à denominação do respectivo elo), respectivamente normal e tangencial
ao seu deslocamento, cuja determinação já vimos no Capítulo 6.
TMA do elo A
Aplicando agora o Teorema do Momento Angular ao elo A chegaremos à
seguinte equação:
8.2. Aplicação do método de Kane 90
T
1
−→
a
3
+ (O
6
−A
∗
) ∧ F
2
−→
a
2
+ (A − A
∗
) ∧ F
4
−→
a
2
= I
A
α
A
−→
a
3
Onde I
A
é o momento de inércia do elo A em relação ao seu centro de gravidade
e α
A
é o módulo de sua aceleração angular que calcularemos adiante (os índices
se referem à denominação do respectivo elo).
Desenvolvendo chegamos a
[T
1
−L
GA
F
2
+ (L
A
−L
GA
) F
4
]
−→
a
3
= I
A
α
A
−→
a
3
(8.3)
Velocidades referentes ao CG do elo A
A velocidade linear do ponto A
∗
(CG do elo A) é obtida por:
−→
V
A
= L
GA
·
θ
1
−→
a
2
= L
GA
u
1
−→
a
2
A velocidade angular de A
∗
é determinada por:
−→
w
A
=
·
θ
1
−→
a3 = u
1
−→
a3
A aceleração angular de A
∗
é determinada por:
−→
α
A
=
··
θ
1
−→
a3 =
·
u
1
−→
a3
Derivadas parciais para r = 1.
As derivadas parciais para r = 1 são as derivadas parciais da velocidade
linear e da velocidade angular de A
∗
em relação à variável de índice r = 1, isto
é, variável u
1
. São as seguintes:
∂
−→
V
A
∂u
1
= L
GA
−→
a
2
∂
−→
w
A
∂u
1
=
−→
a
3
Derivadas parciais para r = 2
As derivadas parciais para r = 2 são as derivadas parciais da velocidade
linear e da velocidade angular de A
∗
em relação à variável de índice r = 2, isto
8.2. Aplicação do método de Kane 91
é, variável u
2
. São as seguintes:
∂
−→
V
A
∂u
2
= 0
∂
−→
w
A
∂u
2
= 0
Equações de Kane para o elo A e r = 1
1. Equação (AF1)
Para construir esta equação, que estamos chamando de (AF1), devemos pegar
a equação TMB do elo A, eq.8.2, e multiplicar escalarmente seus dois membros
pela derivada parcial
∂
−→
V
A
∂u
1
acima determinada. Doravante vamos simplificar esta
descrição adotando a seguinte representação:
T MB
eloA
·
∂
−→
V
A
∂u
1
isto é,
(F
1
+ F
3
)
−→
a
1
+ (F
2
+ F
4
)
−→
a
2
− m
A
g
−→
n
2
·L
GA
−→
a
2
=
m
A
(A
n
A
−→
a
1
+ A
t
A
−→
a
2
)
·L
GA
−→
a
2
que desenvolvendo chegamos a
F
2
L
GA
+ F
4
L
GA
−m
A
g L
GA
c
1
= m
A
L
GA
A
t
A
(8.4)
2. Equação (AM1)
Para construir esta equação, que estamos chamando de (AM1), devemos pegar
a equação TMA do elo A, eq.8.3, e multiplicar escalarmente seus dois membros
pela derivada parcial
∂
−→
w
A
∂u
1
acima determinada. Doravante vamos simplificar esta
descrição adotando a seguinte representação:
T MA
eloA
·
∂
−→
w
A
∂u
1
isto é,
[T
1
−L
GA
F
2
+ (L
A
− L
GA
) F
4
]
−→
a
3
·
−→
a
3
= I
A
α
A
−→
a
3
·
−→
a
3
8.2. Aplicação do método de Kane 92
que desenvolvendo chegamos a
T
1
− L
GA
F
2
+ L
A
F
4
− L
GA
F
4
= I
A
·
u
1
(8.5)
Equações de Kane do elo A e r = 2
As equações que construiremos agora são similares às anteriores, porém, agora
as derivadas parciais serão em relação à variável de índice r = 2, ou seja, variável
u
2
.
1. Equação (AF2)
T MB
eloA
·
∂
−→
V
A
∂u
2
= 0
Portanto não há equação.
2. Equação (AM2)
T MA
eloA
·
∂
−→
w
A
∂u
2
= 0
Também não há equação.
8.2.4 Elo B
Identicamente ao que fizemos com o elo A vamos fazer para o elo B.
TMB do elo B
− F
3
−→
a
1
−F
4
−→
a
2
+ F
5
−→
b
1
+ F
6
−→
b
2
− m
B
g
−→
n
2
= m
B
A
n
B
−→
b
1
+ A
t
B
−→
b
2
(8.6)
TMA do elo B
(A − B
∗
) ∧
−F
3
−→
a
1
+ (A −B
∗
) ∧
−F
4
−→
a
2
+ (B − B
∗
) ∧
F
6
−→
b
2
= I
B
α
B
−→
b
3
Desenvolvendo esta equação chegamos a
[−L
GB
F
3
s
2
+ L
GB
F
4
c
2
+ (L
B
−L
GB
) F
6
]
−→
b
3
= I
B
α
B
−→
b
3
(8.7)
8.2. Aplicação do método de Kane 93
Velocidades referentes ao CG do elo B
−→
V
B
= L
A
·
θ
1
−→
a
2
+ L
GB
·
θ
1
+
·
θ
2
−→
b
2
= L
A
u
1
−→
a
2
+ L
GB
(u
1
+ u
2
)
−→
b
2
−→
w
B
=
·
θ
1
+
·
θ
2
−→
a
3
= (u
1
+ u
2
)
−→
a
3
−→
α
B
=
··
θ
1
+
··
θ
2
−→
a
3
=
·
u
1
+
·
u
2
−→
a
3
Derivadas parciais para r = 1.
∂
−→
V
B
∂u
1
= L
A
−→
a
2
+ L
GB
−→
b
2
∂
−→
w
B
∂u
1
=
−→
a
3
Derivadas parciais para r = 2.
∂
−→
V
B
∂u
2
= L
GB
−→
b
2
∂
−→
w
B
∂u
2
=
−→
a
3
Equações de Kane para o elo B e r = 1.
1. Equação (BF1)
T MB
eloB
·
∂
−→
V
B
∂u
1
isto é,
−F
3
−→
a
1
− F
4
−→
a
2
+ F
5
−→
b
1
+ F
6
−→
b
2
−m
B
g
−→
n
2
·
L
A
−→
a
2
+ L
GB
−→
b
2
= m
B
A
n
B
−→
b
1
+ A
t
B
−→
b
2
·
L
A
−→
a
2
+ L
GB
−→
b
2
8.2. Aplicação do método de Kane 94
Desenvolvendo esta equação chegamos a
F
3
L
GB
s
2
− F
4
L
A
− F
4
L
GB
c
2
+ F
5
L
A
s
2
+ F
6
L
A
c
2
+
F
6
L
GB
−m
B
g L
A
c
1
− m
B
g L
GB
c
12
= m
B
A
n
B
L
A
s
2
+ A
t
B
L
A
c
2
+ A
t
B
L
GB
(8.8)
onde c
12
= cos(θ
1
+ θ
2
).
2. Equação (BM1)
T MA
eloB
·
∂
−→
w
B
∂u
1
isto é,
[−L
GB
F
3
s
2
+ L
GB
F
4
c
2
+ (L
B
− L
GB
) F
6
]
−→
b
3
·
−→
a
3
= I
B
α
B
−→
b
3
·
−→
a
3
que desenvolvendo chegamos a
−L
GB
F
3
s
2
+ L
GB
F
4
c
2
+ (L
B
− L
GB
) F
6
= I
B
·
u
1
+
·
u
2
(8.9)
Equações de Kane para o elo B e r = 2.
1. Equação (BF2)
T MB
eloB
·
∂
−→
V
B
∂u
2
isto é,
−F
3
−→
a
1
− F
4
−→
a
2
+ F
5
−→
b
1
+ F
6
−→
b
2
− m
B
g
−→
n
2
· L
GB
−→
b
2
=
m
B
A
n
B
−→
b
1
+ A
t
B
−→
b
2
· L
GB
−→
b
2
que desenvolvendo chegamos a
L
GB
F
3
s
2
−L
GB
F
4
c
2
+ L
GB
F
6
−m
B
g L
GB
c
12
= m
B
L
GB
A
t
B
(8.10)
8.2. Aplicação do método de Kane 95
2. Equação (BM2)
T MA
eloB
·
∂
−→
w
B
∂u
2
isto é,
[−L
GB
F
3
s
2
+ L
GB
F
4
c
2
+ (L
B
− L
GB
) F
6
]
−→
b
3
−→
a
3
= I
B
α
B
−→
b
3
·
−→
a
3
que desenvolvendo chegamos a
− L
GB
F
3
s
2
+ L
GB
F
4
c
2
+ (L
B
− L
GB
) F
6
= I
B
·
u
1
+
·
u
2
(8.11)
8.2.5 Resultado para os elos A e B
Agora utilizando a fórmula 8.1 podemos montar as equações de Kane do par
de elos A e B para r = 1, que vamos chamar de equação (AB1) e r = 2, que
chamaremos de equação (AB2).
1. Equação (AB1)=(AF1)+(AM1)+(BF1)+(BM1)
A equação (AB1) é obtida somando membro a membro as equações
8.4, 8.5, 8.8 e 8.9. O resultado após as simplificações é o seguinte:
T
1
+ F
5
L
A
s
2
+ F
6
L
A
c
2
+ F
6
L
B
−m
A
g L
GA
c
1
−m
B
g L
A
c
1
− m
B
g L
GB
c
12
= (I
A
+ I
B
)
·
u
1
+ I
B
·
u
2
+ m
A
L
GA
A
t
A
+ m
B
A
n
B
L
A
s
2
+ A
t
B
L
A
c
2
+ A
t
B
L
GB
(8.12)
2. Equação (AB2)=(AF2)+(AM2)+(BF2)+(BM2)
A equação (AB2) é obtida somando membro a membro as equações
8.10 e 8.11. O resultado após as simplificações é o seguinte:
F
6
L
B
− m
B
g L
GB
c
12
= m
B
L
GB
A
t
B
+ I
B
·
u
1
+
·
u
2
(8.13)
8.2.6 Elos D e E
Tudo que fizemos para o par A e B vamos semelhantemente fazer para o par
D e E.
8.2. Aplicação do método de Kane 96
A fig.8.3 mostra os diagramas de corpo livre dos elos D e E.
Figura 8.3: Diagramas de corpo livre dos elos D e E
8.2.7 Elo D
TMB do elo D
(F
D
1
+ F
D
3
)
−→
d
1
+ (F
D
2
+ F
D
4
)
−→
d
2
− m
D
g
−→
n
2
= m
D
(A
n
D
−→
d
1
+ A
t
D
−→
d
2
) (8.14)
TMA do elo D
T
D
1
− L
GD
F
D
2
+ (L
D
− L
GD
) F
D
4
−→
d
3
= I
D
α
D
−→
d
3
(8.15)
Velocidades referentes ao CG do elo D
−→
V
D
∗
= L
GD
·
θ
3
−→
d
2
= L
GD
u
3
−→
d
2
−→
w
D
∗
=
·
θ
3
−→
d
3
= u
3
−→
d
3
−→
α
D
∗
=
··
θ
3
−→
d
3
=
·
u
3
−→
d
3
8.2. Aplicação do método de Kane 97
Derivadas parciais para r = 3
∂
−→
V
D
∂u
3
= L
GD
−→
d
2
∂
−→
w
D
∂u
3
=
−→
d
3
Derivadas parciais para r = 4
∂
−→
V
D
∂u
4
= 0
∂
−→
w
D
∂u
4
= 0
Equações de Kane para o elo D e r = 3
1. Equação (DF3)
T MB
eloD
·
∂
−→
V
D
∂u
3
isto é,
F
D
2
L
GD
+ F
D
4
L
GD
− m
D
g L
GD
c
3
= m
D
L
GD
A
t
D
(8.16)
2. Equação (DM3)
T MA
eloD
·
∂
−→
w
D
∂u
3
isto é,
T
D
1
−L
GD
F
D
2
+ (L
D
− L
GD
) F
D
4
= I
D
·
u
3
(8.17)
Equações de Kane do elo D e r = 4
1. Equação (DF4)
T MB
eloD
·
∂
−→
V
D
∂u
4
= 0
8.2. Aplicação do método de Kane 98
Portanto não há equação.
2. Equação (DM4)
T MA
eloD
·
∂
−→
w
D
∂u
4
= 0
Também não há equação.
8.2.8 Elo E
TMB do elo E
−F
D
3
−→
d
1
−F
D
4
−→
d
2
+ F
D
5
−→
e
1
+ F
D
6
−→
e
2
−m
E
g
−→
n
2
= m
E
A
n
E
−→
e
1
+ A
t
E
−→
e
2
(8.18)
TMA do elo E
−L
GE
F
D
3
s
4
+ L
GE
F
D
4
c
4
+ (L
E
− L
GE
) F
D
6
−→
e
3
= I
E
α
E
−→
e
3
(8.19)
Velocidades referentes ao CG do elo E
−→
V
E
∗
= L
D
·
θ
3
−→
d
2
+ L
GE
·
θ
3
+
·
θ
4
−→
e
2
= L
D
u
3
−→
d
2
+ L
GE
(u
3
+ u
4
)
−→
e
2
−→
w
E
∗
=
·
θ
3
+
·
θ
4
−→
d
3
= (u
3
+ u
4
)
−→
d
3
−→
α
E
∗
=
··
θ
3
+
··
θ
4
−→
d
3
=
·
u
3
+
·
u
4
−→
d
3
Derivadas parciais para r = 3.
∂
−→
V
E
∂u
3
= L
D
−→
d
2
+ L
GE
−→
e
2
∂
−→
w
E
∂u
3
=
−→
d
3
Derivadas parciais para r = 4.
∂
−→
V
E
∂u
4
= L
GE
−→
e
2
8.2. Aplicação do método de Kane 99
∂
−→
w
E
∂u
4
=
−→
d
3
Equações de Kane para o elo E e r = 3.
1. Equação (EF3)
T MB
eloE
·
∂
−→
V
E
∂u
3
isto é,
F
D
3
L
GE
s
4
− F
D
4
L
D
−F
D
4
L
GE
c
4
+ F
D
5
L
D
s
4
+ F
D
6
L
D
c
4
+
F
D
6
L
GE
− m
E
g L
D
c
3
−m
E
g L
GE
c
34
= m
E
A
n
E
L
D
s
4
+ A
t
E
L
D
c
4
+ A
t
E
L
GE
(8.20)
onde c
34
= cos(θ
3
+ θ
4
).
2. Equação (EM3)
T MA
eloE
·
∂
−→
w
E
∂u
3
isto é,
−L
GE
F
D
3
s
4
+ L
GE
F
D
4
c
4
+ (L
E
− L
GE
) F
D
6
= I
E
·
u
3
+
·
u4
(8.21)
Equações de Kane para o elo E e r = 4.
1. Equação (EF4)
T MB
eloE
·
∂
−→
V
E
∂u
4
isto é,
L
GE
F
D
3
s
4
−L
GE
F
D
4
c
4
+ L
GE
F
D
6
− m
E
g L
GE
c
34
= m
E
L
GE
A
t
E
(8.22)
8.2. Aplicação do método de Kane 100
2. Equação (EM4)
T MA
eloE
·
∂
−→
w
E
∂u
4
isto é,
− L
GE
F
D
3
s
4
+ L
GE
F
D
4
c
4
+ (L
E
− L
GE
) F
D
6
= I
E
·
u
3
+
·
u
4
(8.23)
8.2.9 Resultado para os elos D e E
1. Equação (DE3)=(DF3)+(DM3)+(EF3)+(EM3)
A equação (DE3) é obtida somando membro a membro as equações
8.16, 8.17, 8.20 e 8.21. O resultado após as simplificações é o seguinte:
T
D
1
+ F
D
5
L
D
s
4
+ F
D
6
L
D
c
4
+ F
D
6
L
E
−m
D
g L
GD
c
3
−m
E
g L
D
c
3
−m
E
g L
GE
c
34
= (I
D
+ I
E
)
·
u
3
+ I
E
·
u
4
+ m
D
L
GD
A
t
D
+ m
E
A
n
E
L
D
s
4
+ A
t
E
L
D
c
4
+ A
t
E
L
GE
(8.24)
2. Equação (DE4)=(DF4)+(DM4)+(EF4)+(EM4)
A equação (DE4) é obtida somando membro a membro as equações
8.22 e 8.23. O resultado após as simplificações é o seguinte:
F
D
6
L
E
−m
E
g L
GE
c
34
= m
E
L
GE
A
t
E
+ I
E
·
u
3
+
·
u
4
(8.25)
8.2.10 Elos H e J
A fig.8.4 mostra os diagramas de corpo livre dos elos H e J. Podemos então
desenvolver o TMB e TMA de cada elo. Entretanto é importante observarmos
que as variáveis de configuração neste caso são o ângulo θ
5
e o comprimento q
6
.
As variáveis de movimento de Kane são u
5
=
·
θ
5
e u
6
=
·
q
6
.
8.2. Aplicação do método de Kane 101
Figura 8.4: Diagramas de corpo livre dos elos H e J
8.2.11 Elo H
TMB do elo H.
F
H
1
−→
h
2
+ F
H
2
−→
h
2
+ F
H
3
−→
h
1
− m
H
g
−→
n
2
= m
H
A
n
H
−→
h
1
+ A
t
H
−→
h
2
(8.26)
TMA do elo H
T
4
−→
h
3
+ (O
7
− H
∗
) ∧ F
H
1
−→
h
2
+ (J
∗
− H
∗
) ∧ F
H
2
−→
h
2
= I
H
α
h
−→
h
3
Desenvolvendo esta equação chegamos a:
T
4
−L
GH
F
H
1
+ ( q
6
− L
GH
) F
H
2
−→
h
3
= I
H
α
h
−→
h
3
(8.27)
Velocidades referentes ao CG do elo H
−→
V
H
∗
= L
GH
·
θ
5
−→
h
2
= L
GH
u
5
−→
h
2
−→
w
H
∗
=
·
θ
5
−→
h
3
= u
5
−→
h
3
−→
α
H
∗
=
··
θ
5
−→
h
3
=
·
u
5
−→
h
3
8.2. Aplicação do método de Kane 102
Derivadas parciais para r = 5.
∂
−→
V
H
∂u
5
= L
GH
−→
h
2
∂
−→
w
H
∂u
5
=
−→
h
3
Derivadas parciais para r = 6.
∂
−→
V
H
∂u
6
= 0
∂
−→
w
H
∂u
6
= 0
Equações de Kane do elo H e r = 5.
1. Equação (HF5)
T MB
eloH
·
∂
−→
V
H
∂u
5
isto é,
F
H
1
−→
h
2
+ F
H
2
−→
h
2
+ F
H
3
−→
h
1
−m
H
g
−→
n
2
·L
GH
−→
h
2
=
m
H
A
n
H
−→
h
1
+ A
t
H
−→
h
2
·L
GH
−→
h
2
Desenvolvendo esta equação chegamos a
L
GH
F
H
1
+ L
GH
F
H
2
− L
GH
m
H
g c
5
= L
GH
m
H
A
t
H
(8.28)
2. Equação (HM5)
T MA
eloH
·
∂
−→
w
H
∂u
5
isto é,
T
4
− L
GH
F
H
1
+ ( q
6
−L
GH
) F
H
2
−→
h
3
·
−→
h
3
=
I
H
·
u
5
−→
h
3
·
−→
h
3
8.2. Aplicação do método de Kane 103
Desenvolvendo esta equação chegamos a
T
4
−L
GH
F
H
1
+ ( q
6
−L
GH
) F
H
2
= I
H
·
u
5
(8.29)
Equações de Kane do corpo H e r = 6
1. Equação (HF6)
T MB
eloH
·
∂
−→
V
H
∂u
6
= 0
isto é, não existe equação.
1. Equação (HM6)
T MA
eloH
·
∂
−→
w
H
∂u
6
= 0
Portanto também não existe equação.
8.2.12 Elo J
TMB do elo J
− F
D
6
−→
e
2
− F
D
5
−→
e
1
−F
H
2
−→
h
2
−F
5
−→
b
1
− F
6
−→
b
2
− m
J
g
−→
n
2
= m
J
A
n
J
−→
h
2
+ A
t
J
−→
h
1
(8.30)
TMA do elo J
(E − J
∗
) ∧
−F
D
6
−→
e
2
+ (E − J
∗
) ∧
−F
D
5
−→
e
1
+ (B − J
∗
) ∧
−F
5
−→
b
1
+
(B −J
∗
) ∧
−F
6
−→
b
2
− T
4
−→
h
3
= I
J
α
J
−→
h
3
Desenvolvendo esta equação chegamos a
−T
4
+ L
J
F
D
6
s
λ
+ L
J
F
D
5
c
λ
−L
J
F
5
c
α
+ L
J
F
6
s
α
−→
h
3
= I
J
α
J
−→
h
3
(8.31)
onde
s
λ
= sen(θ
5
− θ
4
−θ
3
) c
λ
= cos(θ
5
−θ
4
− θ
3
)
s
α
= sen(θ
1
+ θ
2
−θ
5
) c
α
= cos(θ
1
+ θ
2
−θ
5
)
8.2. Aplicação do método de Kane 104
Velocidades referentes ao CG do elo J
−→
V
J
∗
=
·
q
6
−→
h
1
+ q
6
·
θ
5
−→
h
2
= u
6
−→
h
1
+ q
6
u
5
−→
h
2
−→
w
J
∗
=
·
θ
5
−→
h
3
= u
5
−→
h
3
−→
α
J
∗
=
··
θ
5
−→
h
3
=
·
u
5
−→
h
3
Derivadas parciais para r = 5.
∂
−→
V
J
∂u
5
= q
6
−→
h
2
∂
−→
w
J
∂u
5
=
−→
h
3
Derivadas parciais para r = 6.
∂
−→
V
J
∂u
6
=
−→
h
1
∂
−→
w
J
∂u
6
= 0
Equações de Kane do elo J e r = 5.
1. Equação (JF5)
T MB
eloJ
·
∂
−→
V
J
∂u
5
isto é,
−F
D
6
−→
e
2
−F
D
5
−→
e
1
−F
H
2
−→
h
2
−F
5
−→
b
1
− F
6
−→
b
2
− m
J
g
−→
n
2
· q
6
−→
h
2
=
m
J
A
n
J
−→
h
2
+ A
t
J
−→
h
1
· q
6
−→
h
2
Desenvolvendo esta equação chegamos a
−F
D
6
q
6
c
λ
+F
D
5
q
6
s
λ
−F
H
2
q
6
−F
5
q
6
s
α
−F
6
q
6
c
α
−m
J
g q
6
c
5
= m
J
q
6
A
n
J
(8.32)
8.2. Aplicação do método de Kane 105
2. Equação (JM5)
T MA
eloJ
·
∂
−→
w
J
∂u
5
isto é,
− T
4
+ L
J
F
D
6
s
λ
+ L
J
F
D
5
c
λ
− L
J
F
5
c
α
+ L
J
F
6
s
α
= I
J
·
u
5
(8.33)
Equações de Kane do elo J e r = 6.
1. Equação (JF6)
T MB
eloJ
·
∂
−→
V
J
∂u
6
isto é,
−F
D
6
−→
e
2
−F
D
5
−→
e
1
−F
H
2
−→
h
2
−F
5
−→
b
1
− F
6
−→
b
2
−m
J
g
−→
n
2
·
−→
h
1
=
m
J
A
n
J
−→
h
2
+ A
t
J
−→
h
1
·
−→
h
1
Desenvolvendo chegamos a
−F
D
6
s
λ
−F
D
5
c
λ
−F
5
c
α
+ F
6
s
α
− m
J
g s
5
= m
J
A
t
J
(8.34)
2. Equação (JM6)
T MA
eloJ
·
∂
−→
w
J
∂u
6
= 0
Portanto não há equação.
8.2.13 Resultado para os elos H e J
1. Equação (HJ5)=(HF5)+(HM5)+(JF5)+(JM5)
A equação (HJ5) é obtida somando membro a membro as equações
8.28, 8.29, 8.32 e 8.33. O resultado após as simplificações é o seguinte:
−F
5
(L
j
c
α
+ q
6
s
α
) + F
D
5
(L
j
c
λ
+ q
6
s
λ
) + F
6
(L
j
s
α
−q
6
c
α
) +
F
D
6
(L
j
s
λ
−q
6
c
λ
) − L
GH
m
H
g c
5
−m
J
g q
6
c
5
8.3. Determinação dos torques e forças 106
= L
GH
m
H
A
t
H
+ m
J
q
6
A
n
J
+ (I
H
+ I
J
)
·
u
5
(8.35)
2. Equação (HJ6)=(HF6)+(HM6)+(JF6)+(JM6)
A equação (HJ6) será, portanto, a equação 8.34, isto é,
− F
D
6
s
λ
− F
D
5
c
λ
− F
5
c
α
+ F
6
s
α
− m
J
g s
5
= m
J
A
t
J
(8.36)
8.2.14 Resultado geral
Com isto completamos as 6 equações que o método de Kane nos fornece que
são as equações (AB1), (AB2), (DE3), (DE4), (HJ5) e (HJ6) que estão respec-
tivamente numeradas por 8.12, 8.13, 8.24, 8.25, 8.35 e 8.36.
8.3 Determinação dos torques e forças
8.3.1 Torques de reação T
1
e T
D
1
Os torques de reação dos atuadores, T
1
e T
D
1
, e as forças F
5
, F
D
5
, F
6
e F
D
6
que
atuam nas juntas da plataforma móvel, são exatamente as seis incógnitas das seis
equações 8.12, 8.13, 8.24, 8.25, 8.35 e 8.36 que deduzimos na seção 8.2.
No Anexo J apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
de cada uma destas incógnitas.
A equação do momento de reação no atuador O
2
é:
T
D
1
= m
D
L
GD
A
t
D
+ g c
3
+m
E
L
D
A
t
E
c
4
+ A
n
E
s
4
+ g c
3
+m
E
L
GE
A
t
E
+ g c
34
+
I
D
·
u
3
+I
E
·
u
3
+I
E
·
u
4
+
(L
D
c
4
+ L
E
)
−m
E
L
GE
A
t
E
− m
E
L
GE
g c
34
− I
E
·
u
3
− I
E
·
u
4
L
E
+
L
D
s
4
{
q
6
m
B
L
GB
A
t
B
+ m
B
L
GB
g c
12
+ I
B
·
u
1
+ I
B
·
u
2
L
B
(−2 L
J
c
α
c
λ
− q
6
s
αλ
)
+
(−2L
J
c
α
s
λ
+ q
6
c
αλ
)
m
E
L
GE
A
t
E
+ m
E
L
GE
g c
34
+ I
E
·
u
3
+ I
E
·
u
4
L
E
(−2 L
J
c
α
c
λ
−q
6
s
αλ
)
+
(−c
α
L
J
− q
6
s
α
) ( m
J
A
t
J
+ m
J
g s
5
)
−2 L
J
c
α
c
λ
− q
6
s
αλ
+
c
α
m
H
A
t
H
L
GH
+ m
J
A
n
J
q
6
+ m
H
L
GH
g c
5
+ m
J
q
6
g c
5
+ I
H
·
u
5
+ I
J
·
u
5
−2 L
J
c
α
c
λ
− q
6
s
αλ
}
A equação do momento de reação no atuador O
6
é:
8.3. Determinação dos torques e forças 107
T
1
= m
A
L
GA
A
t
A
+ g c
1
+ m
B
L
A
A
t
B
c
2
+ A
n
B
s
2
+ g c
1
+
m
B
L
GB
A
t
B
+ g c
12
+ I
A
·
u
1
+ I
B
·
u
1
+ I
B
·
u
2
+
(L
A
c
2
+ L
B
)
−m
B
L
GB
A
t
B
− m
B
L
GB
g c
12
−I
B
·
u
1
−I
B
·
u
2
L
B
+
L
A
s
2
(A
t
H
c
λ
L
GH
m
H
L
B
L
E
+ c
5
c
λ
g L
GH
m
H
L
B
L
E
+ A
t
B
c
α
c
λ
L
E
L
GB
m
B
q
6
+
c
12
c
α
c
λ
g L
E
L
GB
m
B
q
6
+ A
t
E
c
2
λ
L
B
L
GE
m
E
q
6
+ c
34
c
2
λ
g L
B
L
GE
m
E
q
6
+
A
n
J
c
λ
L
B
L
E
m
J
q
6
+ c
5
c
λ
g m
J
q
6
L
B
L
E
+ c
λ
g L
B
L
E
L
J
m
J
s
5
−
2 A
t
B
c
λ
L
E
L
GB
L
J
m
B
s
α
− 2 c
12
c
λ
g L
E
L
GB
L
J
m
B
s
α
+ A
t
J
L
B
L
E
m
J
q
6
s
λ
+
g L
B
L
E
m
J
q
6
s
5
s
λ
− A
t
B
L
E
L
GB
m
B
q
6
c
α
s
λ
− c
12
g L
E
L
GB
m
B
q
6
s
α
s
λ
+
A
t
E
L
B
L
GE
m
E
q
6
s
2
λ
+ c
34
g L
B
L
GE
m
E
q
6
s
2
λ
+ c
α
c
λ
I
B
L
E
q
6
·
u
1
−
2 c
λ
I
B
L
E
L
J
s
α
·
u
1
−I
B
L
E
q
6
s
α
s
λ
·
u
1
+ c
α
c
λ
I
B
L
E
q
6
·
u
2
− 2 c
λ
I
B
L
E
L
J
s
α
·
u
2
−
I
B
L
E
q
6
s
α
s
λ
·
u
2
+ c
2
λ
I
E
L
B
q
6
·
u
3
+ s
2
λ
I
E
L
B
q
6
·
u
3
+ c
2
λ
I
E
L
B
q
6
·
u
4
+
s
2
λ
I
E
L
B
q
6
·
u
4
+ c
λ
I
H
L
B
L
E
·
u
5
+ c
λ
I
J
L
B
L
E
·
u
5
)/
L
B
L
E
(2 L
J
c
α
c
λ
+ q
6
c
λ
s
α
+ q
6
c
α
s
λ
)
8.3.2 Forças de reação F
1
e F
2
Para a determinação das forças de reação no atuador O
6
, isto é, F
1
e F
2
, e
das forças F
3
e F
4
que atuam na junta A, utilizamos as equações 8.4, 8.5, 8.8 e a
quarta equação foi obtida multiplicando-se escalarmente a equação 8.2 pelo vetor
unitário
−→
a
1
. Isto é:
(F
1
+ F
3
)
−→
a
1
+ (F
2
+ F
4
)
−→
a
2
− m
A
g
−→
n
2
−→
a
1
=
m
A
(A
n
A
−→
a
1
+ A
t
A
−→
a
2
)
−→
a
1
que desenvolvendo chegamos a
F
1
+ F
3
−m
A
g s
1
= m
A
A
n
A
No AnexoK apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
destas forças.
8.3.3 Forças de reação F
D
1
e F
D
2
Para a determinação das forças de reação no atuador O
2
, isto é, F
D
1
e F
D
2
,
e das forças F
D
3
e F
D
4
que atuam na junta D, utilizamos as equações 8.16, 8.17,
8.4. Roteiro de cálculo 108
8.20 e a quarta equação foi obtida multiplicando-se escalarmente a equação 8.14
pelo vetor unitário
−→
d
1
. Isto é:
(F
D
1
+ F
D
3
)
−→
d
1
+ (F
D
2
+ F
D
4
)
−→
d
2
− m
D
g
−→
n
2
−→
d
1
=
m
D
(A
n
D
−→
d
1
+ A
t
D
−→
d
2
)
−→
d
1
que desenvolvendo temos
F
D
1
+ F
D
3
− m
D
g s
3
= m
D
A
n
D
No AnexoL apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
destas forças.
8.3.4 Forças e torque de reação na cadeia passiva
Para a determinação das forças e torque de reação na cadeia passiva, isto é,
F
H
1
, F
H
2
, F
H
3
e T
4
utilizamos as equações 8.28, 8.29 , 8.31 e a quarta equação é
obtida pelo produto escalar entre 8.26 e o vetor unitário
−→
h
1
, que dá:
F
H
3
= m
H
g s
7
+ m
H
A
n
H
No AnexoM apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
destes esforços.
8.4 Roteiro de cálculo
Agora que temos a nossa disposição os recursos e as equações necessárias para
o cálculo das reações nos atuadores e nas juntas do mecanismo, podemos resumir
nosso roteiro de cálculo, conforme os seguintes passos:
Primeiro passo: Ângulos dos elos. Anexo A ou B.
Neste primeiro passo devemos usar os programas que foram desenvolvidos
anteriormente no Capítulo 3: Análise cinemática: posições. É importante salien-
tar, entretanto, que as designações então usadas para os dados e variáveis do
mecanismo são diferentes das que estamos usando agora na análise dinâmica. In-
felizmente isto foi necessário para dar maior clareza na aplicação do método de
Kane. Temos duas situações a serem consideradas neste primeiro passo:
a) - Na cinemática inversa devemos entrar com os comprimentos dos elos L
1
a
L
6
e com a posição da garra dada pelo comprimento L
7
e o ângulo θ
7
. O programa
8.4. Roteiro de cálculo 109
que calcula os demais ângulos dos elos é mostrado no Anexo A .
b) - Na cinemática direta são dados os ângulos de entrada e calculamos a
posição da garra dada pelo comprimento L
7
e o ângulo θ
7
. Neste caso devemos
usar o programa mostrado no Anexo B.
Segundo passo: Espaço de trabalho. Anexo C.
Através do programa do Anexo C podemos verificar se o espaço de trabalho
atende nossas necessidades.
Terceiro passo: Trajetória e movimento da garra. Anexos D, E e F.
Com os programas dos Anexos D, E e F determinamos as componentes da
velocidade e aceleração da garra do mecanismo em trajetória retilínea ou circular.
Estes resultados serão úteis para o desenvolvimento do próximo passo.
Quarto passo: Velocidades e acelerações dos elos. Anexo H
No Anexo H temos o programa onde entrando-se com os ângulos e dimensões
do mecanismo, posições dos CG e dados do movimento da garra, calculamos todas
velocidades e acelerações angulares dos elos, u
1
=
·
θ
1
,
·
u
1
=
··
θ
1
, u
2
=
·
θ
2
,
·
u
2
=
··
θ
2
,
etc. e as acelerações dos CG dos elos, A
n
A
, A
t
A
, A
n
B
, etc. Estes resultados serão
necessários no desenvolvimento do Anexo N.
Quinto passo: Reações estáticas. Anexo I
No Anexo I temos o programa que, fornecendo-se as dimensões do mecanismo,
os pesos das peças e dos contrapesos, as posições dos seus centros de gravidade, a
força externa e o momento externo aplicados, determina estaticamente as forças e
torques dos atuadores bem como a força de reação na junta de rotação da cadeia
passiva. Além disso, o programa verifica e informa as singularidades eventual-
mente existentes e traça um gráfico do mecanismo.
Sexto passo: Torques dinâmicos de reação nos atuadores. Anexo N
No Anexo N entramos com os dados determinados em passos anteriores e o
programa calcula os torques de reação T
1
e T
D
1
. Neste caso devemos acrescentar
os dados de entrada: aceleração da gravidade, massas e momentos de inércia dos
elos, os quais serão também necessários nos passos seguintes.
8.4. Roteiro de cálculo 110
Sétimo passo: Forças dinâmicas de reação das cadeias ativas. Anexo
O
O Anexo O mostra o programa que calcula as forças F
1
a F
6
e F
D
1
a F
D
6
.
São forças de reação dinâmica nos atuadores as forças F
1
, F
2
, F
D
1
e F
D
2
. Todas
demais são forças nas juntas. Neste programa devemos entrar também com os
torques calculados no passo anterior.
Oitavo passo: Forças e torque dinâmicos na cadeia passiva. Anexo P
No Anexo P temos o programa que calcula os valores numéricos das forças de
reação F
H
1
e F
H
3
na junta de rotação da cadeia passiva, alem da força F
H
2
e do
torque T
4
que atuam na extremidade superior da cadeia passiva. Neste programa
devemos acrescentar a entrada das seguintes forças calculadas no passo anterior:
F
5
, F
D
5
, F
6
e F
D
6
.
8.4.1 Aglutinação dos programas. Anexo Q
Para o cálculo dos torques e forças de reação nos atuadores agrupamos vários
passos anteriores (utilizando a opção Cinemática Inversa) em uma só listagem,
conforme apresentado no Anexo Q . Salientamos, entretanto, que este programa
não leva em conta os contrapesos.
Para usar este programa devemos entrar com os seguintes dados:
-Comprimento, massa, momento de inércia e posição do CG dos elos.
-Posição da garra (ponto J
∗
), sua velocidade e aceleração.
-Momento externo aplicado na garra.
-Força externa aplicada na garra e seu ângulo com a horizontal.
-Valor da aceleração da gravidade.
Este programa determina entre outros esforços os seguintes:
1- (M
2
, M
8
) : Torques estáticos de reação respectivamente nos atuadores O
2
e O
6
levando-se em conta somente os esforços na garra (F e M) .
2- (T
1D
, T
1
) : Torques dinâmicos de reação respectivamente nos atuadores O
2
e O
6
levando-se em conta somente os efeitos das massas dos elos.
3- (M
O2
, M
O6
) : Torques finais (soma dos torques anteriores) respectivamente
nos atuadores O
2
e O
6
conforme mostra a fig. 8.5.
8.4. Roteiro de cálculo 111
Figura 8.5: Mecanismo: reações finais nos atuadores
8.4.2 Exemplo de aplicação 1
Afim de melhor ilustrarmos o problema vamos usar o programa do Anexo Q
para determinar os torques de reação dinâmicos T
D
1
e T
1
em função da variação
discreta da posição garra (ponto J
∗
). Neste exemplo vamos supor que a garra se
desloque verticalmente com velocidade constante de 1 m/s.
Os dados de entrada são os seguintes:
-Comprimento dos elos: 0, 4 m
-Massa de cada elo: 1 kg
-Momento de inércia dos elos em relação aos seus CG: 0.013 kg.m
2
-Posições do ponto J
∗
: consideraremos o ângulo θ
5
=
π
2
e q
6
variando de 0, 4m
a 0, 7m em intervalos de 0, 1m.
-Velocidade de J
∗
: V
y
J
= 1 m/s (não há componente horizontal)
-Aceleração de J
∗
: inexistente.
-Força e momento na garra: inexistentes.
-Aceleração da gravidade: g = 10 m/s
2
.
Os torques resultantes (em Nm) foram:
q
6
0,4 0,5 0,6 0,7
T
D
1
-10,52 -9,58 -8,37 -7,09
T
1
10,52 9,58 8,37 7,09
Tabela 8.1: Exemplo de aplicação 1. Análise dinâmica
8.4. Roteiro de cálculo 112
No próximo capítulo, na fig. 9.2, mostramos as curvas correspondentes a
estes valores e também as curvas para a mesma situação, mas considerando-se a
existência de força de atrito na junta prismática.
8.4.3 Exemplo de aplicação 2
No exemplo anterior mantivemos constante o ângulo da cadeia passiva e vari-
amos seu comprimento; e consideramos também que a garra (ponto J
∗
) possuía
uma velocidade vertical unitária. Neste exemplo 2 vamos manter constante o
comprimento da cadeia passiva e vamos variar o seu ângulo de inclinação.
Então todos os dados de entrada são os mesmos do exemplo anterior, exceto
os seguintes:
-Posições do ponto J
∗
: consideraremos q
6
= 0, 5 e o ângulo θ
5
inicialmente
igual a 90
◦
e em seguida decrescendo de 10
◦
em 10
◦
.
O resultado dos torques de reação dinâmicos foi o seguinte:
θ
5
90
◦
80
◦
70
◦
60
◦
50
◦
T
D
1
-9,58 -8,53 -7,01 -5,11 -2,96
T
1
9,58 10,13 10,15 9,71 8,97
Tabela 8.2: Exemplo de aplicação 2. Análise dinâmica
Veja no próximo capítulo na fig.9.3 as curvas correspondentes.
8.4.4 Exemplo de aplicação 3
Neste exemplo vamos considerar que a garra descreva uma trajetória circu-
lar passando pelas três fases de movimento: aceleração, velocidade constante e
desaceleração.
Suponhamos um mecanismo onde cada elo tem massa de 1kg, comprimento
de 0, 4m e momento de inércia em relação ao seu centro de gravidade igual a
0, 013kg.m
2
, e aceleração da gravidade 10m/s
2
. São dados de projeto a velocidade
tangencial máxima de 1m/s e o módulo de aceleração e desaceleração tangencial
de 10m/s
2
. Suponhamos ainda que a garra do mecanismo, não sujeita a força
externa, parta do ponto A(0, 211; 0, 453) e pare no ponto D(0; 0, 5) descrevendo
um arco no sentido anti-horário de raio 0, 5m com centro na origem dos eixos de
coordenadas conforme a fig. 8.6. Pede-se determinar os momentos de reação nos
atuadores, T
1D
e T
1
, para 9 pontos intermediários da trajetória AD, igualmente
distantes entre si.
8.4. Roteiro de cálculo 113
Figura 8.6: Exemplo 3: trajetória da garra
Para a solução deste problema primeiro devemos determinar as componentes
das velocidades e acelerações dos 9 pontos igualmente espaçados da trajetória
AD, utilizando o Anexo F. Utilizando o Anexo Q, para cada posição da garra,
calculamos os torques nos atuadores, conforme mostrado na tabela seguinte:
Pos. θ
5
v
Jx
v
Jy
a
Jx
a
Jy
T
1D
T
1
Regime
1 67.5
◦
-0,61 0,25 -9,57 3,02 1,82 18,69 acel.
2 70
◦
-0,88 0,32 -9,99 1,78 2,09 18,03 acel.
3 72.5
◦
-0,95 0,30 -0,60 -1,91 -5,32 9,26 v=cte.
4 75
◦
-0,96 0,26 -0,52 -1,93 -5,75 9,15 v=cte.
5 77.5
◦
-0,97 0,22 -0,43 -1,95 -6,17 9,01 v=cte.
6 80
◦
-0,98 -0,17 -0,35 -1,97 -6,56 8,84 v=cte.
7 82.5
◦
-0.99 0,13 -0,26 -1,98 -6,93 8,64 v=cte.
8 85
◦
-0,93 0,08 9,81 -2,61 -15,19 0,51 desac.
9 87.5
◦
-0,66 0,03 9,95 -1,31 -16,25 0,99 desac.
Tabela 8.3: Exemplo de aplicação 3. Análise dinâmica
Lançando os resultados dos torques T
1D
e T
1
num gráfico, obteremos as
seguintes curvas:
8.4. Roteiro de cálculo 114
Figura 8.7: Exemplo 3: curvas dos torques nos atuadores
115
Capítulo 9: EFEITO DO ATRITO NAS JUNTAS
9.1 Introdução
A força de atrito é a força que se opõe ao movimento dos corpos, causada
pela força de contato entre eles e pelas propriedades de suas áreas de contato
no que se refere á rugosidade, rigidez dos materiais, lubrificação, bem como de
suas velocidades relativas. Face a esta diversidade de propriedades que influem
na determinação do atrito definem-se vários tipos de força de atrito.
O atrito estático é a força necessária para iniciar o movimento. O atrito
de Coulomb é a componente do atrito que não depende da magnitude da ve-
locidade, enquanto que o atrito viscoso depende da magnitude da velocidade.
Existe ainda um modelo de força de atrito chamado de Karnopp que leva em
conta o afundamento (stick) e o escorregamento (slip) correspondentes ao início
do movimento do corpo e sua velocidade posterior. O efeito de Stribeck é a
diminuição do atrito com o aumento da velocidade em baixas velocidades.
Uma avaliação da força de atrito pode ser obtida pela soma do atrito de
Coulomb e do atrito viscoso, isto é:
F
a
= C.sign(
·
q) + V
Onde F
a
é a resultante da força de atrito; C é o atrito de Coulomb, V o atrito
viscoso e
·
q a velocidade. Sendo
C = k N
para juntas de translação.
C = k
r
d
2
N
para juntas de rotação. E
V = c
·
q
Onde
k é o coeficiente de atrito de Coulomb,
k
r
é o coeficiente de atrito de rolamento,
d é o diâmetro da junta de rotação e
c é o coeficiente de atrito viscoso.
O artigo [19] de Itul; Pisla desenvolve o estudo de um modelo de atrito para
um robô paralelo considerando os efeitos do atrito de Coulomb e do atrito viscoso.
Neste artigo é mencionado que poucos autores têm considerado o efeito do atrito
9.2. Desenvolvimento das equações 116
e que este efeito pode representar cerca de 25% das forças/torques necessários
para a movimentação de um manipulador em situações típicas [20]. O trabalho
de Farhat; Diaz; Mata [21] apresenta um modelo de atrito não linear: são consid-
erados os atritos de Coulomb, o atrito estático, o atrito viscoso e a parcela não
linear referente à velocidade de Stribeck
Asada; Slotine [22] e Craig [20] destacam que a preponderância do atrito é
devida à redução por pares de engrenagens entre o motor e o braço do mecanismo.
Não há menção a respeito do atrito nas juntas, dando a entender que sua influência
é pequena.
No nosso trabalho, entretanto, estamos interessados na determinação dos
torques diretamente atuantes nos braços do mecanismo. Assim sendo vamos con-
siderar a existência de atrito na junta prismática e vamos desprezar o atrito nas
juntas de rotação já que o atrito nestas é normalmente muito menor que naquela.
Vamos também desprezar a parcela de atrito viscoso, enfatizando somente o atrito
de Coulomb.
9.2 Desenvolvimento das equações
Como vamos considerar somente o efeito da força de atrito da junta prismática
(F
a
), podemos utilizar todas equações deduzidas no capítulo anterior exceto às
referentes à cadeia passiva (elos H e J).
Para maior abrangência vamos considerar também o efeito do torque (
−→
M) e
força (
−→
F ) atuantes na garra, além dos pesos próprios das partes.
A fig. 9.1 mostra os novos diagramas de corpo livre dos elos H e J, tendo em
vista as considerações acima e a seguir desenvolveremos as novas equações para
estes elos.
9.2.1 Elo H
Em relação ao capítulo anterior só houve mudança no TMB do elo H que ficou
assim:
TMB do elo H
F
H
1
−→
h
2
+ F
H
2
−→
h
2
+ F
H
3
−→
h
1
− F
a
−→
h
1
sign
·
q
6
−m
H
g
−→
n
2
= m
H
A
n
H
−→
h
1
+ A
t
H
−→
h
2
9.2. Desenvolvimento das equações 117
Figura 9.1: Diagramas dos elos H e J
9.2.2 Elo J
Em relação ao elo J as seguintes equações foram alteradas:
TMB do elo J
−F
D
6
−→
e
2
− F
D
5
−→
e
1
− F
H
2
−→
h
2
− F
5
−→
b
1
−F
6
−→
b
2
− m
J
g
−→
n
2
+ F cβ
−→
n
1
+
F sβ
−→
n
2
− sign
·
q
6
F
a
−→
h
1
= m
J
A
n
J
−→
h
2
+ A
t
J
−→
h
1
TMA do elo J
−T
4
+ L
J
F
D
6
s
λ
+ L
J
F
D
5
c
λ
−L
J
F
5
c
α
+ L
J
F
6
s
α
+ M
−→
h
3
= I
J
·
u
5
−→
h
3
onde
s
λ
= sen(θ
5
− θ
4
−θ
3
) c
λ
= cos(θ
5
−θ
4
− θ
3
)
s
α
= sen(θ
1
+ θ
2
−θ
5
) c
α
= cos(θ
1
+ θ
2
−θ
5
)
Equação (JF5)
−F
D
6
q
6
c
λ
+ F
D
5
q
6
s
λ
− F
H
2
q
6
− F
5
q
6
s
α
− F
6
q
6
c
α
−m
J
g q
6
c
5
−
F cβ q
6
s
5
+ F sβ q
6
c
5
= m
J
q
6
A
n
J
9.2. Desenvolvimento das equações 118
Equação (JM5)
−T
4
+ L
J
F
D
6
s
λ
+ L
J
F
D
5
c
λ
− L
J
F
5
c
α
+ L
J
F
6
s
α
+ M = I
J
·
u
5
Equação (JF6)
−F
D
6
s
λ
−F
D
5
c
λ
−F
5
c
α
+ F
6
s
α
− m
J
g s
5
+ F cβ c
5
+
F sβ s
5
−sign
·
q
6
F
a
= m
J
A
t
J
9.2.3 Resultado para os elos H e J
Em conseqüência das alterações acima, as equações (HJ5) e (HJ6) modificaram-
se.
1. Equação (HJ5)=(HF5)+(HM5)+(JF5)+(JM5)
−F
5
(L
j
c
α
+ q
6
s
α
)+F
D
5
(L
j
c
λ
+ q
6
s
λ
)+F
6
(L
j
s
α
− q
6
c
α
)+F
D
6
(L
j
s
λ
−q
6
c
λ
) −
−L
GH
m
H
g c
5
− m
J
g q
6
c
5
− F cβ q
6
s
5
+ F sβ q
6
c
5
+ M
= L
GH
m
H
A
t
H
+ m
J
q
6
A
n
J
+ (I
H
+ I
J
)
·
u
5
(9.1)
2. Equação (HJ6)=(HF6)+(HM6)+(JF6)+(JM6)
−F
D
6
s
λ
− F
D
5
c
λ
− F
5
c
α
+ F
6
s
α
− m
J
g s
5
+
F cβ c
5
+ F sβ s
5
− sign
·
q
6
F
a
= m
J
A
t
J
(9.2)
9.2.4 Força de atrito na junta prismática
Como no nosso caso a junta prismática está sujeita somente ao torque T
4
, a
força de atrito nesta junta é calculada por
F
a
=
T
4
d
p
k
p
+ F
pr
(9.3)
Onde T
4
é o torque atuante na junta prismática, d
p
e k
p
respectivamente seu
comprimento e seu coeficiente de atrito; e F
pr
é a força de atrito da proteção da
junta prismática.
9.2. Desenvolvimento das equações 119
9.2.5 Resultado geral
Ajuntando-se as equações (AB1), (AB2), (DE3) e (DE4) do capítulo anterior
mais as equações (HJ5), (HJ6) que deduzimos neste capítulo e a equação da força
de atrito acima, isto é, agrupando-se as equações 8.12, 8.13, 8.24, 8.25, 9.1, 9.2 e
9.3 podemos determinar os torques T
1
e T
1D
nos atuadores, o torque T
4
na junta
prismática e as forças F
a
, F
5
, F
6
, F
5D
e F
6D
.
No Anexo R apresentamos o programa que deduz as equações para o cálculo
destas incógnitas.
No Anexo S apresentamos o programa que, utilizando as equações deduzidas
no Anexo R, calcula os torques de reação nos atuadores, T
1
e T
1D
. Neste pro-
grama além dos parâmetros do mecanismo, velocidades e acelerações da garra e
propriedades do atrito da junta prismática, podemos entrar também com força e
momento atuantes na garra.
9.2.6 Exemplo de aplicação 1
Vamos pegar o exemplo de aplicação 1 do capítulo anterior e vamos calcular os
torques T
1D
e T
1
nos atuadores, porém agora considerando a existência de atrito
na junta prismática com as seguintes características:
-Comprimento da junta prismática d
p
= 0, 07m
-Coeficiente de atrito na junta prismática k
p
= 0, 2
-Força de atrito da proteção da junta prismática F
prot
= 5N
Utilizando o Anexo S chegamos ao seguinte resultado:
q
6
0,4 0,5 0,6 0,7
T
1D
-12,25 -11,15 -9,69 -8,05
T
1
12,25 11,15 9,69 8,05
Tabela 9.1: Exemplo de aplicação 1. Atrito
A fig. 9.2 mostra as curvas dos torques acima e dos
torques sem o atrito na junta prismática determinados no capítulo anterior.
9.2. Desenvolvimento das equações 120
Figura 9.2: Exemplo 1: curvas dos torques com e sem atrito
9.2.7 Exemplo de aplicação 2
Vamos pegar o exemplo de aplicação 2 do capítulo anterior e vamos calcular
os torques T
1D
e T
1
nos atuadores, porém agora, considerando a existência de
atrito na junta prismática com as mesmas características acima. Utilizando o
Anexo S chegamos ao seguinte resultado:
θ
5
90
◦
80
◦
70
◦
60
◦
50
◦
T
1D
-11,15 -10,26 -8,93 -7,27 -5,40
T
1
11,15 11,73 11,78 11,40 10,74
Tabela 9.2: Exemplo de aplicação 2. Atrito
A fig. 9.3 mostra as curvas dos torques acima e dos torques sem o atrito
na junta prismática determinados no capítulo anterior.
9.2. Desenvolvimento das equações 121
Figura 9.3: Exemplo 2: curvas dos torques com e sem atrito
122
Capítulo 10: DISCUSSÃO
10.1 Análise cinemática: posições
10.1.1 Cinemática inversa
No estudo da cinemática inversa nós vimos que na determinação dos ângulos
θ
2
e θ
6
teríamos duas soluções para cada ângulo, ou seja, o vértice A poderia estar
em A
′
ou A
′′
que são simétricos em relação à reta O
2
B, o mesmo acontecendo
com o vértice D em relação à reta O
6
C (fig.10.1).
Figura 10.1: Posições das juntas A e D
Quando desenvolvemos o programa do Anexo A impomos a condição de que
seja escolhido, para ambos os casos, somente o ponto situado do lado de fora
em relação àquelas retas e, desta forma, estaremos evitando qualquer possível
interferência das cadeias ativas com a cadeia passiva. E para isto, adotamos a
propriedade do produto vetorial a qual nos parece muito útil para a solução de
problemas de interferência de elos nos mecanismos e que explicaremos a seguir.
10.1. Análise cinemática: posições 123
Figura 10.2: Propriedades do produto vetorial
Sejam dois vetores
−→
A = A
x
−→
i + A
y
−→
j + A
z
−→
k e
−→
B = B
x
−→
i + B
y
−→
j + B
z
−→
k no
plano xy, ou seja, com A
z
= B
z
= 0. Assim, temos:
−→
A ∧
−→
B = (A
x
B
y
− A
y
B
x
)
−→
k
Sendo θ o ângulo entre
−→
A e
−→
B , medido de
−→
A para
−→
B na direção anti-horária
(fig.10.2). Assim sendo, como
−→
A e
−→
B estão no plano, as propriedades geométricas
do produto vetorial nos dão:
−→
A ∧
−→
B = A B senθ
−→
k
Onde A é o comprimento do vetor
−→
A e B o comprimento do vetor
−→
B .
Comparando as equações acima, temos:
A
x
B
y
−A
y
B
x
= A B senθ
Portanto:
1. Se A
x
B
y
−A
y
B
x
= 0, então
−→
B está na reta determinada por
−→
A .
2. Se A
x
B
y
− A
y
B
x
> 0, então
−→
B está à esquerda, relativa a um observador
voltado para a direção apontada por
−→
A , da reta determinada por
−→
A .
3. Se A
x
B
y
− A
y
B
x
< 0, então
−→
B está à direita, relativa a um observador
voltado para a direção apontada por
−→
A , da reta determinada por
−→
A .
10.1. Análise cinemática: posições 124
10.1.2 Cinemática direta
No caso da cinemática direta nós impomos além da condição de que a cadeia
passiva não avance para baixo da base, impomos uma segunda condição de que a
plataforma móvel não deve interferir com a base ou com os elos adjacentes a ela.
No desenvolvimento do Anexo B resolvemos isto adotando a teoria seguinte.
Consideramos dois segmentos de reta, por exemplo, P Q e RS e desenvolvemos
as equações que passam por estes dois pontos. Se não houver solução para o
sistema destas duas equações, isto quer dizer que elas são paralelas. Mas havendo
solução então teremos um ponto de interseção I das duas retas. Entretanto esta
interseção pode ocorrer de 3 formas diferentes (fig.10.3):
1. O ponto de interseção pertence aos dois segmentos de reta P Q e RS.
2. O ponto de interseção pertence a um segmento de reta e ao prolongamento
do outro segmento.
3. O ponto de interseção está situado nos prolongamentos dos dois segmentos
de reta, portanto, não pertence a nenhum dos dois segmentos de reta.
Figura 10.3: Interseção das retas PQ e RS
Para nós só interessa o primeiro caso, pois queremos justamente evitar que
um elo de comprimento P Q cruze como o outro elo de comprimento RS. E para
que o ponto de interseção pertença aos dois segmentos é necessário que a sua
abscissa (ou ordenada) esteja entre as abscissas (ou ordenadas) dos extremos dos
segmentos P Q e RS.
10.2. Análise dinâmica 125
10.2 Análise dinâmica
10.2.1 Comparação entre o método de Kane com os de
Newton-Euler e Lagrange
Desenvolvemos a análise dinâmica inversa admitindo que os elos sejam corpos
rígidos. Assim, não consideramos deslocamentos devidos à deformação elástica
bem como vibrações mecânicas. Nosso intento foi a determinação dos torques nos
atuadores ou dos esforços nas partes do mecanismo quando a garra do mesmo
estivesse sujeita a movimentação e ação externa.
Adotamos o método de Kane na nossa análise dinâmica com o objetivo de
conhecê-lo e termos uma idéia comparativa com os demais métodos.
Primeiramente vamos fazer a comparação com o método de Newton-Euler.
Observamos que o modelo dinâmico do mecanismo, empregando o método de
Newton-Euler, corresponde a um sistema linear contendo 18 equações e 18 incóg-
nitas, a saber: 14 componentes de força nas juntas de rotação, 2 torques de reação
(um para cada atuador) um torque e uma força na junta prismática da cadeia
passiva. Ao adotarmos o método de Kane tivemos que desenvolver as equações do
TMB e TMA para todas as partes do mecanismo, da mesma forma que faríamos
se tivéssemos adotado o método de Newton-Euler.
A vantagem que pudemos observar no método de Kane em relação ao método
de Newton-Euler foi que no final daquele método apareceram simplificações, re-
sultando somente 6 equações e 6 incógnitas. Estas incógnitas eram os torques
nos atuadores e as componentes das forças nas juntas de rotação da plataforma
móvel. Portanto, se o nosso objetivo for somente o cálculo destes esforços não
precisaremos desenvolver e resolver o sistema de 18 equações que o método de
Newton-Euler exige.
Por outro lado, se pretendemos determinar somente os torques nos atuadores,
podemos através de uma manipulação simbólica reduzir as seis equações obtidas
pelo método de Kane em somente duas que nos fornecerão os dois torques.
Se o nosso objetivo for determinarmos todas as 18 incógnitas, pelo método de
Kane já teríamos 6 incógnitas determinadas e utilizando as demais equações do
TMB e TMA chegaremos às incógnitas restantes como, aliás, fizemos neste nosso
trabalho.
Em resumo, no método de Kane utilizamos todas as equações do método
de Newton-Euler e efetuamos o produto escalar com as derivadas parciais das
velocidades lineares e angulares dos centros de massa de cada elo, em relação às
variáveis de movimento e em seguida os agruparmos segundo estas variáveis. Isto
10.2. Análise dinâmica 126
pode parecer à primeira vista uma desvantagem em relação ao método de Newton-
Euler, mas graças a este artifício esforços internos serão eliminados de forma
idêntica ao que acontece com o método de Lagrange. Além disso, a experiência
na aplicação do método de Kane vai fazer com que possamos perceber de antemão
estas simplificações e o seu desenvolvimento poderá tornar-se ainda mais simples.
No desenvolvimento que fizemos para o método de Kane vimos que temos 6
peças móveis. Portanto tratamos o problema como se eu tivesse r variando de
1 a 6 e estas 6 variáveis (5 são ângulos de elos e uma se refere ao comprimento
da cadeia passiva) foram consideradas como independentes, de modo que não
precisamos de aplicar a equação 8.1 para todos os elos mas somente para aqueles
que implicitamente sabemos não serem nulos. Mas na realidade elas não são
independentes e o vínculo entre elas é estabelecido pela trajetória da garra, ou
seja, estarão vinculadas pela cinemática inversa de posição. Portanto quando
calcularmos as acelerações dos baricentros elas irão respeitar esta condição de
dependência. No final, com o método de Kane chegamos a seis equações.
Se aplicarmos o método de Kane a um sistema de duas peças móveis teríamos
então duas variáveis. Ao calcularmos a aceleração do baricentro em função destas
variáveis vamos chegar a duas equações do mesmo modo que chegaríamos se
empregássemos o método de Lagrange. Podemos ver aí uma equivalência entre
estes dois métodos.
Entretanto, ao empregarmos o método de Lagrange para o caso do nosso
mecanismo, temos que desenvolver tudo em função de duas variáveis (ângulos
dos atuadores). Inclusive a energia cinética e potencial dos seis elos devem ser
desenvolvidas em função destas duas variáveis. Isto nos parece um problema
verdadeiramente complexo ao contrário do que vimos no método de Kane.
Na tabela 10.1 apresentamos uma síntese comparativa entre os três métodos.
Newton-Euler Lagrange Kane
N
o
de equações 18 2 6*
Custo computacional Elevado Pequeno Médio
Dificuldade de obtenção Fácil Difícil Média
* N
o
de equações igual a 2, com manipulação simbólica
Tabela 10.1: Comparação entre formulações
10.2.2 O balanceamento com contrapesos
No Capítulo 7, Seção 7.3, desenvolvemos as equações do cálculo dos contrape-
sos que anulam estaticamente os torques nos atuadores para a condição de que os
10.2. Análise dinâmica 127
braços dos contrapesos sejam iguais a 1/4 dos comprimentos dos respectivos elos.
Entretanto, embora estaticamente possamos anular estes torques, dependendo
das condições dinâmicas o efeito dos contrapesos poderá aumentá-los em vez de
reduzi-los. É o que podemos verificar utilizando o Exemplo de aplicação 1 do
Capítulo 8. Neste exemplo foi considerado que não existem nem contrapesos e
nem esforços externos na garra e que a cadeia passiva permanece perpendicular
à base, tendo porém seu comprimento variando conforme a velocidade dada. Va-
mos agora introduzir os contrapesos conforme definidos pelas equações da Seção
7.3.
Temos então:
Massas dos elos (fig.10.4):
m
A∗
= 1kg, m
B∗
= 1kg, m
D∗
= 1kg, m
E∗
= 1kg, m
H∗
= 1kg e m
J∗
= 1kg
Massas dos contrapesos:
m
wA
= 24kg, m
wB
= 4kg, m
wD
= 24kg, m
wE
= 4kg e m
wH
= 2kg.
Massas dos elos com contrapesos:
m
A
= 25kg, m
B
= 5kg, m
D
= 25kg, m
E
= 5kg, m
H
= 3kg e m
J
= 1kg.
Posição dos CG dos elos com contrapesos:
L
GA
= −0, 088m, L
GB
= −0, 04m, L
GD
= −0, 088m, L
GE
= −0, 04m e
L
GH
= 0.
Momentos de Inércia dos elos com contrapesos em relação ao novo CG:
I
A
= 0, 0994 kg m
2
, I
B
= 0, 085kg m
2
, I
D
= 0, 0994 kg m
2
,
I
E
= 0, 085 kg m
2
, I
H
= 0, 073 kg m
2
e I
J
= 0, 013 kg m
2
.
Figura 10.4: Balanceamento com contrapesos
10.2. Análise dinâmica 128
Utilizando os programas do Anexo Q ou Anexo S que fazem o cálculo dinâmico,
vamos pegar a configuração do mecanismo tal que a sua cadeia passiva tenha o
comprimento q
6
= 0, 5 m e vamos determinar os torques T
1
no atuador O
6
para
várias velocidades da garra, considerando primeiro o mecanismo sem contrapesos
e depois com contrapesos, conforme a tabela seguinte:
V
Jy
(m/s) 0 1 2 3 4
T
1
sem contrapesos (N m) 9,37 9,58 10,24 11,33 12,85
T
1
com contrapesos (N m) 0 2,76 11,05 24,87 44,21
Tabela 10.2: Influência dos contrapesos conforme a velocidade
Portanto podemos concluir por esta tabela que o balanceamento através de
contrapesos é favorável até velocidades inferiores a 2m/s. A partir daí o cresci-
mento do torque, quando existem os contrapesos, é cada vez mais acentuado em
relação ao crescimento do torque sem a existência de contrapesos. A grande van-
tagem do balanceamento pela utilização de molas é justamente pelo fato destas
reduzirem as massas e, consequentemente, os seus efeitos de inércia, ao contrário
do que acontece com os contrapesos.
10.2.3 Influência das acelerações dos CG dos elos.
Na seção anterior pudemos ter uma idéia da influência das massas e da ve-
locidade sobre o valor dos torques nos atuadores. Surgem então outras questões.
E quanto às acelerações dos CG dos elos? Até que ponto podemos desprezá-las
nos nossos cálculos?
No Exemplo de aplicação 1 do Capítulo 8 foi considerado que a garra
possui uma velocidade vertical de 1 m/s, que não existe nem força e nem momento
externo atuando na garra, que a massa dos elos é de 1kg, etc. Para esta condição
vamos construir a tabela seguinte que mostra os torques no atuador com e sem
as acelerações do CG dos elos, para vários comprimentos q
6
da cadeia passiva.
q
6
(m) 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7
T
1
com acel. (N m) 10,52 9,58 8,36 7,09
T
1
sem acel. (N m) 10,42 9,42 8,04 6,12
∆ 0,10 0,16 0,32 0,97
% 0,95 1,70 3,98 15,85
Tabela 10.3: Torques com e sem acelerações e v=1m/s
10.2. Análise dinâmica 129
Portanto vemos que quanto maior for o comprimento da cadeia passiva maior
a influência das acelerações e acima de 0, 5m já não mais podemos desprezar sua
influência.
Vamos agora construir a tabela seguinte com os mesmos parâmetros da tabela
anterior, mas mudando a velocidade da garra para 4 m/s :
q
6
(m) 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7
T
1
com acel. (N m) 12,43 12,85 14,80 26,25
T
1
sem acel. (N m) 10,89 10,22 9,62 10,82
∆ 1,54 2,63 5,18 15,43
% 14,14 25,73 53,84 142,60
Tabela 10.4: Torques com e sem acelerações e v=4m/s
Agravou-se muito mais a influência das acelerações não havendo condição de
desprezá-la em nenhum dos casos.
10.2.4 A influência da aceleração de Coriolis
A aceleração de Coriolis só aparece no CG da plataforma móvel (ponto J
∗
)
devido ao movimento de alongamento e rotação da cadeia passiva e corresponde
à parcela 2
·
q
6
·
θ
5
da equação 6.24 do Capítulo 6:
A
n
J
= 2
·
q
6
·
θ
5
+ q
6
··
θ
5
A segunda parcela desta equação, q
6
··
θ
5
, corresponde ao que chamamos de
aceleração tangencial. A aceleração de Coriolis e esta têm a direção normal à
cadeia passiva e sua soma nos dá a aceleração total, A
n
J
, do ponto J
∗
nesta
direção. Podemos então escrever a equação na forma
A
n
J
= A
cor
+ A
tg
Pegando o mecanismo estudado no Exemplo de aplicação 1 para o caso no
qual o comprimento da cadeia passiva é igual a 0, 4m e variando as componentes
da velocidade e da aceleração do ponto J
∗
construímos a seguinte tabela
10.2. Análise dinâmica 130
Sit. V
Jx
V
Jy
a
Jx
a
Jy
·
q
6
·
θ
5
A
cor
··
θ
5
A
tg
A
n
J
= A
cor
+ A
tg
1 1 0 0 0 0 -2,5 0 0 0 0
2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
3 0 0 1 0 0 0 0 -2,5 -1 -1
4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
5 0 0 1 1 0 0 0 -2,5 -1 -1
6 1 0 1 0 0 -2,5 0 -2,5 -1 -1
7 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0
8 1 0 1 1 0 -2,5 0 -2,5 -1 -1
9 0 1 1 1 1 0 0 -2,5 -1 -1
10 1 1 0 0 1 -2,5 -5 12,5 5 0
11 1 1 1 0 1 -2,5 -5 10 4 -1
12 1 1 0 1 1 -2,5 -5 12,5 5 0
13 1 1 1 1 1 -2,5 -5 10 4 -1
Tabela 10.5: Acelerações tangenciais e de Coriolis
Conforme a tabela acima somente nas situações 10 a 13 houve influência da
aceleração de Coriolis. Ou seja, somente nos casos em que o ponto J
∗
está sujeito
a velocidade constante ou variável cuja direção não seja nem coincidente e nem
perpendicular à direção da cadeia passiva, existirá aceleração de Coriolis. Mas
qual é o peso desta influência no torque dos atuadores?
Vamos então fazer as tabelas seguintes para as situações 10 a 13 mostrando
os torques nos atuadores, considerando em primeiro lugar o efeito da aceleração
de Coriolis e em segundo lugar vamos eliminar o efeito desta aceleração.
Sit. 10 11 12 13
T
1D
com A
cor
(N m) -8,09 -8,90 -8,93 -9,75
T
1D
sem A
cor
(N m) -7,32 -8,13 -8,16 -8,98
|∆| (N m) 0,77 0,77 0,77 0,77
% 10,52 9,47 9,44 8,57
Tabela 10.6: Influência da aceleração de Coriolis em T1D
10.3. Efeito do atrito nas juntas 131
Sit. 10 11 12 13
T
1
com A
cor
(N m) 12,78 11,97 13,63 12,81
T
1
sem A
cor
(N m) 13,55 12,74 14,40 13,58
|∆| (N m) 0,77 0,77 0,77 0,77
% 5,68 6,04 5,35 5,67
Tabela 10.7: Influência da aceleração de Coriolis em T1
Consequentemente o incremento do torque nos atuadores devido à aceleração
de Coriolis é sempre igual, pois esta não variou para os quatro casos e porcentual-
mente vemos que sua influência não é desprezível.
10.3 Efeito do atrito nas juntas
Neste estudo consideraremos somente o efeito do atrito na junta prismática
porque nos rolamentos radiais o coeficiente de atrito é aproximadamente 0,001,
enquanto que numa guia linear leve como a tipo LHK20AN do fabricante NSK
e que tem somente 20mm de trilho e 69,8mm de comprimento, o seu coeficiente
de atrito é de 0,004 e a força de atrito de sua proteção contra pó é de aprox-
imadamente 6N. Lògicamente haverá situações nas quais a influência do atrito
nas juntas de rotação, devido à sua quantidade que é 7 e principalmente se for
tipo bucha em vez de rolamento, poderá ser maior que a da guia linear. Outra
particularização do nosso trabalho é que só abordaremos o atrito de Coulomb.
Nos exemplos de aplicação que fizemos no capítulo anterior adotamos uma
guia linear sem esferas, isto é, construída de aço e bronze e, portanto, com coefi-
ciente de atrito igual a 0,2 e força de atrito da proteção igual a 5N. Vamos então
discutir estes exemplos.
No Exemplo de aplicação 1 o mecanismo tem uma posição simétrica em re-
lação ao seu eixo vertical central (cadeia passiva perpendicular à base) e variamos
somente o comprimento da cadeia passiva. Desta forma, para cada comprimento
da cadeia passiva, os torques nos atuadores têm o mesmo módulo e não existe
torque na junta prismática. Portanto o incremento do torque nos atuadores de-
vido à influência do atrito será causado somente pela força de atrito da proteção
contra pó da guia linear. Pela tabela seguinte vemos que à medida que a cadeia
passiva aumenta diminui o incremento do torque devido ao atrito.
10.3. Efeito do atrito nas juntas 132
q
6
(m) 0,4 0,5 0,6 0,7
T
1
com atrito (N m) 12,25 11,15 9,69 8,05
T
1
sem atrito (N m) 10,52 9,58 8,37 7,09
∆ (N m) 1,73 1,57 1,32 0,96
% 16,44 16,38 15,77 13,54
Tabela 10.8: Exemplo de aplicação 1 sem e com atrito
Nesta tabela não consideramos o efeito de forças na garra, mas tão somente
os pesos dos elos do mecanismo. Se considerarmos agora a aplicação de uma
força vertical de 100N na garra, o incremento do torque nos atuadores, devido ao
atrito, para a posição q
6
= 0, 4m será de (46, 89 − 45, 16) = 1, 73N m. Ou seja, o
incremento do torque devido ao atrito não varia com o aumento da força na garra
para um dado comprimento da cadeia passiva. Isto é compreensível, pois como
não há torque na guia linear o incremento devido ao atrito se refere somente à
força de atrito da proteção de pó, que é uma força constante. Evidentemente
quando alteramos o comprimento da cadeia passiva este incremento variará, pois
devido às novas posições dos elos os torques nos atuadores modificarão.
No Exemplo de aplicação 2 mantivemos o comprimento da cadeia passiva
e variamos sua inclinação. Quando a cadeia passiva sai de sua posição vertical
começa a surgir torque, e consequentemente força de atrito, na guia linear, os
quais vão se aumentando com a inclinação da cadeia passiva em relação à vertical,
conforme mostra a tabela seguinte:
θ
5
90
◦
80
◦
70
◦
60
◦
50
◦
Torque na guia linear: T
4
(N m) 0 0,14 0,35 0,67 1,16
Força de atrito na guia linear: F
a
(N) 5 5,41 6,0 6,94 8,30
Tabela 10.9: Torque e atrito na guia linear
Portanto o incremento |∆| do torque em ambos os atuadores também aumenta
à medida que aumenta a inclinação da cadeia passiva, conforme vemos nas tabelas
seguintes:
10.3. Efeito do atrito nas juntas 133
θ
5
80
◦
70
◦
60
◦
50
◦
T
1D
com atrito (N m) -10,26 -8,93 -7,27 -5,40
T
1D
sem atrito (N m) -8,53 -7,01 -5,11 -2,96
|∆| (N m) 1,73 1,92 2,16 2,44
% 20,28 27,39 42,27 82,24
Tabela 10.10: Influência do atrito em T1D
θ
5
80
◦
70
◦
60
◦
50
◦
T
1
com atrito 11,73 11,78 11,40 10,74
T
1
sem atrito 10,13 10,15 9,71 8,97
|∆| 1,60 1,63 1,69 1,77
% 15,79 16,06 17,4 19,73
Tabela 10.11: Influência do atrito em T1
Nas tabelas acima consideramos somente o peso dos elos. Não houve ação de
força na garra. Nas próximas tabelas incluiremos uma força vertical de 100 N na
garra.
θ
5
80
◦
50
◦
T
1D
com atrito (N m) -39,12 -21,16
T
1D
sem atrito (N m) -36,99 -15,34
∆ (N m) -2,13 -5,82
% 5,75 37,94
Tabela 10.12: Influência do atrito com carga externa em T1
θ
5
80
◦
50
◦
T
1
com atrito (N m) 44,54 42,40
T
1
sem atrito (N m) 42,59 38,05
∆ (N m) 1,95 4,35
% 4,58 11,43
Tabela 10.13: Influência do atrito com carga externa em T1D
Pelas tabelas acima podemos concluir que, aumentando-se a carga na garra
o porcentual do incremento do torque nos atuadores, devido ao atrito na guia
linear, diminui. Ou seja, a influência da força de atrito no torque dos atuadores
não aumenta na mesma razão do aumento da força externa atuante na garra. E
10.3. Efeito do atrito nas juntas 134
isto é explicável, pois na força de atrito existe uma parcela fixa referente ao atrito
da proteção contra pó. Logo, a sua razão de crescimento é menor que a razão de
crescimento da força externa e, consequentemente, dos torques nos atuadores.
135
Capítulo 11: CONCLUSÕES
Nesta dissertação, apresentamos um robô paralelo, concebido com a finalidade
de realizar operações "pega-e-põe"no espaço bidimensional (plano).
De modo a caracterizar, tanto cinematicamente quanto dinamicamente, o
mecanismo selecionado para o robô, desenvolvemos sua correspondente mode-
lagem matemática da forma mais abrangente possível.
Com relação à cinemática, realizamos as análises de posições, velocidades e
acelerações, a investigação de ocorrência de singularidades, o levantamento do
espaço de trabalho disponível, bem como a avaliação dos movimentos da garra
do robô, segundo dois tipos possíveis de trajetórias, retilínea e circular.
Com relação à estática efetuamos sua análise, realizando inclusive o balancea-
mento do mecanismo com a adição de contrapesos.
Com relação à dinâmica, obtivemos as expressões explícitas dos torques dos
atuadores empregando o método de Kane. Efetuamos a análise considerando
também o efeito do atrito de Coulomb.
Observamos algumas vantagens na formulação de Kane sobre os métodos clás-
sicos como o de Newton-Euler e de Lagrange.
Como temas para futuros trabalhos podemos sugerir:
• Adoção de técnicas de balanceamento sem a adição de massa, utilizando
molas.
• Consideração do efeito do atrito viscoso na junta prismática bem como nas
juntas de rotação.
• Comparação de maior profundidade entre os métodos de Kane e Lagrange.
• Simular o comportamento do robô para uma trajetória qualquer.
• Estender o desenvolvimento realizado no espaço bidimensional para o tridi-
mensional.
136
Anexo A: PROGRAMA CINEMÁTICA INVERSA
Neste anexo apresentamos o programa do software Mathematica para solução
da cinemática inversa e verificação de singularidades.
Fornecendo-se os seguintes dados:
• Comprimento dos elos: L
1
a L
6
.
• Comprimento da cadeia passiva e seu ângulo de inclinação: L
7
e θ
7
.
O programa determina:
• Os ângulos de entrada: θ
2
e θ
6
.
• Os ângulos dos elos L
3
e L
5
: θ
3
e θ
5
.
• Verifica a existência de singularidades e informa seus tipos.
• Traça o gráfico do mecanismo
No programa impomos as condições de A estar sempre à esquerda do segmento
O
2
B e D à direita de O
6
C.
Figura 11.1: Anexo A: diagrama cinemático
*
Anexo A: Programa cinemática inversa 137
*
LISTA DO PROGRAMA
(* ANEXO A: CINEMATICA INVERSA e det. de singularidades *)
(* Resultado: {t2,t3,t5,t6,sing,{hex,barra}} *)
FctA[L1_,L2_,L3_,L4_,L5_,L6_,L7_,t7_]:=
Module[{a7,b7,a5,b5,a3,b3,sol6,sol2,
a61,b61,a62,b62,a21,b21,a22,b22,fsol,sing,
s7,c7,s2,c2,s6,c6},
s7=Sin[t7];c7=Cos[t7];
(* Coordenadas de G *)
{a7,b7}={L1/2+L7*c7,L7*s7};
(* Coordenadas de B *)
{a3,b3}=L4/2*{-s7,c7}+{a7,b7};
(* Coordenadas de C *)
{a5,b5}=L4/2*{s7,-c7}+{a7,b7};
(* Coordenadas de A *)
sol2=Solve[{x^2+y^2==L2^2,(x-a3)^2+(y-b3)^2==L3^2},{x,y}];
{a21,b21}=ReplaceAll[{x,y},sol2[[1]]];
{a22,b22}=ReplaceAll[{x,y},sol2[[2]]];
(* Coordenadas de D *)
sol6=Solve[{(x-L1)^2+y^2==L6^2,(x-a5)^2+(y-b5)^2==L5^2},{x,y}];
{a61,b61}=ReplaceAll[{x,y},sol6[[1]]];
{a62,b62}=ReplaceAll[{x,y},sol6[[2]]];
(* Achar os pontos A e D que satisfazem a condicao de estarem
sempre para fora *)
If[((a61-a62)*b5-(b61-b62)*(a5-L1))>=0&& ((a21-a22)*
b3-(b21-b22)*a3)>=0,fsol={{a61,b61},{a22,b22}},
Anexo A: Programa cinemática inversa 138
If[((a62-a61)*b5-(b62-b61)*(a5-L1))>=0&& ((a21-a22)*
b3-(b21-b22)*a3)>=0,
fsol={{a62,b62},{a22,b22}},
If[((a61-a62)*b5-(b61-b62)*(a5-L1))>=0&& ((a22-a21)*
b3-(b22-b21)*a3)>=0,
fsol={{a61,b61},{a21,b21}},
If[((a62-a61)*b5-(b62-b61)*(a5-L1))>=0&& ((a22-a21)*
b3-(b22-b21)*a3)>=0,
fsol={{a62,b62},{a21,b21}}]]]];
{a6,b6}=fsol[[1]];
{a2,b2}=fsol[[2]];
(* Calculo dos angulos *)
If[b2>=0,t2=ArcCos[a2/L2],t2=2*Pi-ArcCos[a2/L2]];
If[b3>=b2,t3=ArcCos[(a3-a2)/L3],t3=2*Pi-ArcCos[(a3-a2)/L3]];
If[b5>=b6,t5=ArcCos[(a5-a6)/L5],t5=2*Pi-ArcCos[(a5-a6)/L5]];
If[b6>=0,t6=ArcCos[(a6-L1)/L6],t6=2*Pi-ArcCos[(a6-L1)/L6]];
(* Verificacao das singularidades *)
s2=Sin[t2];c2=Cos[t2];s6=Sin[t6];c6=Cos[t6];
p11=-2*L2*c2*c7+L1*c7-2*L2*s2*s7+2*L7;
p12=2*L2*L7*c2*s7+L2*L4*s2*s7-L1*L7*s7+L4*L2*c2*c7-
2*L2*L7*s2*c7-L1*L4*c7/2;
q11=2*L2*L7*s2*c7-L2*L4*c2*c7-L4*L2*s2*s7-2*L2*L7*c2*s7-
L2*L1*s2;
p21=-2*L6*c6*c7-L1*c7-2*L6*s6*s7+2*L7;
p22=2*L6*L7*c6*s7-L6*L4*s6*s7+L1*L7*s7-L4*L6*c6*c7-
2*L6*L7*s6*c7-L1*L4*c7/2;
q22=2*L6*L7*s6*c7+L6*L4*c6*c7+L4*L6*s6*s7-2*L6*L7*c6*s7-
L6*L1*s6;
sing=0;
Jq={{q11,0},{0,q22}};
Anexo A: Programa cinemática inversa 139
If[Det[Jq]==0,sing=1];
Jx={{p11,p12},{p21,p22}};
If[Det[Jx]==0,If[sing==1,sing=3,sing=2]];
barra=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Line[{{L1/2,0},{a7,b7}}]}];
vertices={{0,0},{a2,b2},{a3,b3},{a5,b5},{a6,b6},{L1,0},{0,0}};
hex=Graphics[Line[vertices]];
Return[{t2,t3,t5,t6,sing,{hex,barra}}];]
140
Anexo B: PROGRAMA CINEMÁTICA DIRETA
Neste anexo apresentamos o programa do software Mathematica para solução
da cinemática direta.
Fornecendo-se os seguintes dados:
• Comprimento dos elos L
1
a L
6
• Ângulos de entrada θ
2
e θ
6
O programa determina:
• Comprimento da cadeia passiva L
7
• Ângulo de inclinação θ
7
Foram impostas as seguintes condições:
• L
7
0
• 0 θ
7
π
• A plataforma móvel nunca deve cruzar com a base L
1
ou com os elos infe-
riores L
2
e L
6
.
Figura 11.2: Anexo B: diagrama cinemático
Anexo B: Programa cinemática direta 141
LISTA DO PROGRAMA
(* ANEXO B : CINEMATICA DIRETA *)
(* Resultado : {{L7_1, t7_1, graf_1}, {L7_2, t7_2, graf_2}, ... } *)
(* Funcao auxiliar : se o SEGMENTO de P a Q cruza o SEGMENTO de
R a S, entao nos da "True". Senao, nos da "False". *)
Cruza[P_, Q_, R_, S_] := Module[{line1, line2, sol, a, b, x, y},
line1 = (P[[2]] - Q[[2]])*(x - Q[[1]]) - (P[[1]] -
Q[[1]])*(y - Q[[2]]);
line2 = (R[[2]] - S[[2]])*(x - S[[1]]) - (R[[1]] -
S[[1]])*(y - S[[2]]);
sol = Solve[{line1 == 0, line2 == 0}, {x, y}];
If[Length[sol] == 0, Return[False]];
{a, b} = ReplaceAll[{x, y}, sol[[1]]];
If[a <= Max[P[[1]], Q[[1]]] && a >= Min[P[[1]], Q[[1]]] &&
b <= Max[P[[2]], Q[[2]]] && b >= Min[P[[2]], Q[[2]]] &&
a <= Max[R[[1]], S[[1]]] && a >= Min[R[[1]], S[[1]]] &&
b <= Max[R[[2]], S[[2]]] && b >= Min[R[[2]], S[[2]]],
Return[True], Return[False]];]
FctB[L1_, L2_, L3_, L4_, L5_, L6_, t2_, t6_] :=
Module[{a2, b2, a3, b3, a5, b5, L7, t7, c7, sol, fsol,
ffsol, ta3, tb3, ta5, tb5, tL7, tt7, res},
(* coordenadas dos pontos *)
a2 = L2*Cos[t2];
b2 = L2*Sin[t2];
a6 = L1 + L6*Cos[t6];
b6 = L6*Sin[t6];
(* Queremos achar (a3, b3) e (a5, b5).*)
(* c7 = Cos[t7]; note q. Sin[t7] > 0, ja q. t7 esta
Anexo B: Programa cinemática direta 142
entre 0 e 180 graus. *)
{a5, b5} = {L1/2, 0} + L7*{c7, Sqrt[1 - c7^2]} +
L4/2*{Sqrt[1 - c7^2], -c7};
{a3, b3} = {L1/2, 0} + L7*{c7, Sqrt[1 - c7^2]} -
L4/2*{Sqrt[1 - c7^2], -c7};
sol = NSolve[{(a3 - a2)^2 + (b3 - b2)^2 == L3^2,
(a5 - a6)^2 + (b5 - b6)^2 == L5^2}, {L7, c7}, 5];
fsol = {};
For[i = 1, i <=Length[sol], i++,
{ta5, tb5} = ReplaceAll[{L1/2, 0} + L7*{c7, Sqrt[1 -c7^2]}+
L4/2*{Sqrt[1 - c7^2], -c7}, sol[[i]]];
{ta3, tb3} = ReplaceAll[{L1/2, 0} + L7*{c7, Sqrt[1 -c7^2]}-
L4/2*{Sqrt[1 - c7^2], -c7}, sol[[i]]];
tL7 = ReplaceAll[L7, sol[[i]]];
tt7 = ArcCos[ReplaceAll[c7, sol[[i]]]];
fsol = Append[fsol, {{ta3, tb3}, {ta5, tb5}, tL7, tt7}];
Clear[ta3, tb3, ta5, tb5, tL7, tt7];];
(* Agora verificamos se a barra L4 cruza L1 ou L2 ou L6. *)
ffsol = {};
For[i = 1, i <= Length[fsol], i++,
If[fsol[[i]][[3]] > 0 && fsol[[i]][[4]] > 0 &&
fsol[[i]][[4]] < Pi && Not[Cruza[fsol[[i]][[1]],
fsol[[i]][[2]], {0, 0}, {L1, 0}] ||
Cruza[fsol[[i]][[1]], fsol[[i]][[2]],
{0, 0}, {a2, b2}] ||
Cruza[fsol[[i]][[1]], fsol[[i]][[2]],
{L1, 0}, {a6, b6}]],
ffsol = Append[ffsol, fsol[[i]]]];];
res = {};
(* Acha e imprime o L7 e t7 *)
For[i = 1, i <= Length[ffsol], i++,
Anexo B: Programa cinemática direta 143
t7 = ffsol[[i]][[4]];
L7 = ffsol[[i]][[3]];
M = 1/2*(ffsol[[i]][[1]] + ffsol[[i]][[2]]);
vertices = {{0, 0}, {a2, b2}, ffsol[[i]][[1]],
ffsol[[i]][[2]], {a6, b6}, {L1, 0}, {0, 0}};
hex = Graphics[Line[vertices], AspectRatio -> Automatic];
barra = Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], Line[{{L1/2, 0}, M}]},
AspectRatio -> Automatic];
res = Append[res, {L7, t7, {hex, barra}}];];
Return[res];];
144
Anexo C: PROGRAMA ESPAÇO DE TRABALHO
Neste anexo apresentamos o programa executado no software Mathematica
que plota o espaço de trabalho do mecanismo.
Os dados a serem fornecidos são os comprimentos dos elos do mecanismo (L
1
a L
6
) e o comprimento da cadeia passiva totalmente estendida (LL). Também
devemos definir, na listagem do programa, qual deve ser o espaçamento entre
pontos nas direções x e y.
As seguintes condições são impostas:
0 L
7
LL,
|L
2
−L
3
| B −O
2
L
3
+ L
2
,
|L
6
−L
5
| C − O
6
L
5
+ L
6
,
LISTA DO PROGRAMA
(* ANEXO C: ESPACO DE TRABALHO *)
(* Retorna: graf *)
FctC[L1_,L2_,L3_,L4_,L5_,L6_,LL_]:=Module[{pontos,x,y,L7,t7,s7,c7},
pontos={};
For[x=(L1/2-LL),x<=(L1/2+LL),x=x+0.05*L1,
For[y=0,y<=LL,y=y+0.05*L1,
L7=Sqrt[(x-L1/2)^2+y^2];
t7=ArcCos[(x-L1/2)/L7];
s7=Sin[t7];
c7=Cos[t7];
If[L7<=LL&&Abs[L3-L2]<=
Sqrt[(-L4/2*s7+L1/2+L7*c7)^2+(L4/2*c7+L7*s7)^2] &&
Sqrt[(-L4/2*s7+L1/2+L7*c7)^2+(L4/2*c7+L7*s7)^2] <=
L2+L3 &&Abs[L5-L6]<=
Sqrt[(L4/2*s7+L1/2+L7*c7-L1)^2+(-L4/2*c7+L7*s7)^2] &&
Anexo C: Programa espaço de trabalho 145
Sqrt[(L4/2*s7+L1/2+L7*c7-L1)^2+(-L4/2*c7+L7*s7)^2] <=
L5+L6,
pontos=Append[pontos,{x,y}]];]];
Return[ListPlot[pontos,AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{0,LL},
AspectRatio->Automatic]];]
146
Anexo D: PROGRAMA DAS VELOCIDADES E
ACELERAÇÕES, TRAJETÓRIA RETILÍNEA
Neste anexo apresentamos o programa desenvolvido no software Mathematica
para calcular as componentes da velocidade e da aceleração da garra para qualquer
ponto situado numa trajetória linear do mecanismo.
Neste programa consideramos os seguintes dados de projeto:
-Velocidade máxima: v
max
= 1, 0 m/s
-Módulo da aceleração igual da desaceleração: a = 10, 0 m/s
2
Devemos entrar com os seguintes dados:
-Deslocamento total: s
t
-Inclinação deste deslocamento em relação ao eixo x: ϕ
-Deslocamento do ponto onde queremos achar os resultados: s.
O programa mostra os resultados na forma de um vetor: {v
x
, v
y
, a
x
, a
y
}.
LISTA DO PROGRAMA
(*Determinacao das componentes da velocidade e aceleracao para
qualquer ponto do deslocamento de uma trajetoria retilinea.*)
(* O resultado e’ um vetor com {vx, vy, ax, ay}. *)
AcelVel[s_, st_, fi_] := Module[{sBC},
sBC = st - 0.1;
If[sBC >= 0,
If[s >= 0 && s <= 0.05,
Return[{Sqrt[20*s]*Cos[fi], Sqrt[20*s]*Sin[fi], 10*Cos[fi],
10*Sin[fi]}]];
If[s > 0.05 && s <= 0.05 + sBC,
Return[{Cos[fi], Sin[fi], 0, 0}]];
If[s > 0.05 + sBC && s <= st,
Return[{Sqrt[20*(st - s)]*Cos[fi],
Sqrt[20*(st - s)]*Sin[fi], -10*Cos[fi], -10*Sin[fi]}]];
If[s > st,
Print["s > st!!"]; Return[{}]];];
Anexo D: Progr. vel. e acel., traj. ret. 147
If[sBC < 0,
If[s <= st/2,
Return[{Sqrt[20*s]*Cos[fi], Sqrt[20*s]*Sin[fi], 10*Cos[
fi], 10*Sin[fi]}]];
If[s >= st/2,
Return[{Sqrt[20*(st - s)]*Cos[
fi], Sqrt[20*(st - s)]*Sin[fi], -10*Cos[fi],
-10*Sin[fi]}]];]];
148
Anexo E: PROGR. VEL. E ACEL., TRAJETÓRIA
CIRCULAR E CENTRO NA ORIGEM
Neste anexo apresentamos o programa desenvolvido no software Mathematica
que calcula as componentes da velocidade e da aceleração da garra para qualquer
ponto situado numa trajetória circular, cujo centro está na origem dos eixos de
coordenadas principal.
Neste programa consideramos os seguintes dados de projeto:
-Velocidade máxima: v
max
= 1, 0 m/s
-Módulo da aceleração igual da desaceleração: 10, 0 m/s
2
Devemos entrar com os seguintes dados:
-Raio do arco trajetória: r
-Aceleração tangencial: a
t
= 10
-Ângulo do raio referente ao ponto onde queremos achar os resultados: γ
-Ângulo do raio referente ao ponto A, ponto inicial da trajetória: γ
A
-Ângulo do raio referente ao ponto D, ponto final da trajetória: γ
D
-Orientação do arco: sinal =1 (sentido anti-horário), sinal = -1(sentido horário)
O programa mostra os resultados na forma de um vetor: {{v
x
, v
y
}, {a
x
, a
y
}}.
Figura 11.3: Anexo E: trajetória circular com centro na origem
LISTA DO PROGRAMA
(*Determinacao das componentes da velocidade e aceleracao para
Anexo E: Progr. vel. e acel., traj. circ. e centro na origem 149
qualquer ponto de uma trajetoria circular, COM CENTRO COINCIDENTE
COM A ORIGEM dos eixos de coordenadas.*)
(*Obs. : Todos os angulos devem ser no
sentido antihorario a partir do eixo horizontal*)
(* O resultado e’ um vetor com {{vx, vy}, {ax, ay}}. *)
(* Calculo de angulos com a horizontal no sentido anti - horario.
O e’ o centro e A e’ um ponto na semireta.*)
AngF[O_, A_] := Module[{ta, P},
P = (A - O);
ta = ArcCos[P[[1]]/Norm[P]];
If[P[[2]] >= 0, Return[ta], Return[2*Pi - ta]];]
(* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ***** ** *)
(* Essa funcao computa o angulo do arco entre alpha e beta no
sentido desejado.
E’ usada no calculo dos comprimentos dos arcos. *)
(* alpha e beta sao os angulos e sinal da’ o sentido ... *)
AjustAng[alpha_, beta_, sinal_] :=
If[sinal > 0,
If[beta > alpha, Return[beta - alpha],
Return[2*Pi - (alpha - beta)]],
If[beta < alpha, Return[alpha - beta],
Return[2*Pi - (beta - alpha)]]]
(* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ***** ** *)
(* A variavel sinal da’ a orientacao : 1 = anti - horario;
-1 = horario. *)
(* O at TEM Q. SER POSITIVO!!!! *)
(* gam, gamA e gamD tem q. estar entre 0 e 2*Pi!!!! *)
VelAc[r_, at_, gam_, gamA_, gamD_, sinal_] := Module[{sBC, st, s,
vmax, tang, norm, sat},
vmax = sinal*Sqrt[0.1*at];
Anexo E: Progr. vel. e acel., traj. circ. e centro na origem 150
(* calculo dos comprimentos *)
st = r*AjustAng[gamA, gamD, sinal];
s = r*AjustAng[gamA, gam, sinal];
sBC = st - 0.1;
(* Para simplificar, vamos introduzir os vetores tangente
e normal. *)
tang = {-Sin[gam], Cos[gam]};
norm = {Cos[gam], Sin[gam]};
(* sat e’ at com o sinal apropriado. *)
If[sBC >= 0,
If[s <= 0.05,
sat = sinal*at;
Return[{sinal*Sqrt[2*at*s]*tang,
sat*tang - 2*at*AjustAng[gamA, gam, sinal]*norm}];];
If[s > 0.05 && Abs[s] <= 0.05 + sBC,
Return[{vmax*tang, -vmax^2/r*norm}];];
If[s > 0.05 + sBC && Abs[s] <= Abs[st],
(* aqui mudamos o sinal de at, ja’ q. e’ desacelaracao.*)
sat = -sinal*at;
Return[{sinal*Sqrt[2*at*r*AjustAng[gam, gamD, sinal]]*tang,
sat*tang - 2*at*AjustAng[gam, gamD, sinal]*norm}];];
If[Abs[s] > Abs[st],
Print["s > st!!"]; Return[{}]];];
If[sBC < 0,
If[s <= st/2,
sat = sinal*at;
Return[{sinal*Sqrt[2*sat*s]*tang,
sat*tang - 2*at*AjustAng[gamA, gam, sinal]*norm}]];
If[s > st/2,
(* aqui mudamos o sinal de at, ja’ q. e’ desacelaracao.*)
Anexo E: Progr. vel. e acel., traj. circ. e centro na origem 151
sat = -sinal*at;
Return[{sinal*Sqrt[2*at*r*AjustAng[gam, gamD, sinal]]*tang,
sat*tang - 2*at*AjustAng[gam, gamD, sinal]*norm}]];]];
(*Dados de entrada:[r_,at_,gam_,gamA_,gamD_,sinal_]*)
(*r e’ o raio do arco trajetoria;
at e’ a aceleracao, e’ um dado de projeto;
gam e’ o angulo do raio referente ao ponto de calculo;
gamA e gamD sao angulos dos raios referentes aos pontos
inicial efinal da trajetoria;
e ’sinal’ fornece a orientacao do arco:
1 = anti-horario, -1 = horario. *)
152
Anexo F: PROGRAMA DAS VELOCIDADES E
ACELERAÇÕES PARA TRAJETÓRIA CIRCULAR
GERAL
Neste anexo apresentamos o programa desenvolvido no software Mathematica
que calcula as componentes da velocidade e da aceleração da garra para qualquer
ponto, ou vários pontos igualmente espaçados, situados numa trajetória circular
qualquer.
Figura 11.4: Anexo F: trajetória circular geral
Neste programa consideramos os seguintes dados de projeto:
-Velocidade máxima: v
max
= 1, 0 m/s
-Módulo da aceleração igual da desaceleração: 10, 0 m/s
2
Para a determinação das componentes da velocidade e aceleração em um ponto
específico da trajetória devemos entrar com os seguintes dados:
-Raio do arco trajetória: r
-Aceleração tangencial: a
t
= 10
-Ângulo do raio referente ao ponto onde queremos achar os resultados: γ
-Coordenadas do ponto A, ponto inicial da trajetória: (x
A
, y
A
)
-Coordenadas do ponto D, ponto inicial da trajetória: (x
D
, y
D
)
-Orientação do arco: sinal = 1 (sentido anti-horário), sinal = -1 (sentido
horário)
Anexo F: Prog. vel. e acel., traj. circ. geral 153
-Posição do centro do arco em relação à corda AD: dir = 1 (para centro do
arco à direita de AD), dir = -1 (centro do arco à esquerda)
O programa mostra os resultados na forma de um vetor: {{v
x
, v
y
}, {a
x
, a
y
}}.
Para a determinação das componentes da velocidade e aceleração em n pontos
internos e igualmente espaçados da trajetória, devemos entrar com os seguintes
dados:
-Raio do arco trajetória: r
-Aceleração tangencial: a
t
= 10
-Número de pontos internos e igualmente espaçados onde queremos achar os
resultados: n
-Coordenadas do ponto A, ponto inicial da trajetória: (x
A
, y
A
)
-Coordenadas do ponto D, ponto inicial da trajetória: (x
D
, y
D
)
-Orientação do arco: sinal = 1 (sentido anti-horário), sinal = -1 (sentido
horário)
-Posição do centro do arco em relação à corda AD: dir = 1 (para centro do
arco à direita de AD), dir = -1 (centro do arco à esquerda de AD)
O programa mostra os resultados na forma de n vetores: {{v
x
, v
y
}, {a
x
, a
y
}}.
LISTA DO PROGRAMA
(*Determinacao das componentes da velocidade e aceleracao para
qualquer ponto de uma trajetoria circular, COM CENTRO NAO
COINCIDENTE COM A ORIGEM dos eixos de coordenadas.*)
(*Obs. : Todos os angulos devem ser no sentido antihorario
a partir do eixo horizontal*)
(* O resultado e’ um vetor com {{vx, vy}, {ax, ay}}. *)
(* Calculo de angulos com a horizontal, no sentido anti-horario.
O e’ o centro e A e’ um ponto na semireta. *)
AngF[O_, A_] := Module[{ta, P},
P = (A - O);
ta = ArcCos[P[[1]]/Norm[P]];
If[P[[2]] >= 0, Return[ta], Return[2*Pi-ta]];]
(* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *)
(* Essa funcao computa o angulo do arco entre alpha e beta no
Anexo F: Prog. vel. e acel., traj. circ. geral 154
sentido desejado. E’ usada no calculo dos comprimentos dos arcos.*)
(* alpha e beta sao os angulos e sinal da’ o sentido ... *)
AjustAng[alpha_, beta_, sinal_] :=
If[sinal > 0,
If[beta > alpha, Return[beta - alpha],
Return[2*Pi - (alpha - beta)]],
If[beta < alpha, Return[alpha - beta],
Return[2*Pi - (beta - alpha)]]]
(* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *)
(* A variavel sinal da’ a orientacao :
1 = anti-horario; -1 = horario. *)
(*O at TEM Q. SER POSITIVO!!!! *)
(* gam, gamA e gamD tem q. estar entre 0 e 2*Pi!!!! *)
VelAc[r_, at_, gam_, gamA_, gamD_, sinal_] :=
Module[{sBC, st, s, vmax, tang, norm, sat},
vmax = sinal*Sqrt[0.1*at];
(* calculo dos comprimentos *)
st = r*AjustAng[gamA, gamD, sinal];
s = r*AjustAng[gamA, gam, sinal];
sBC = st - 0.1;
(* Para simplificar, vamos introduzir os vetores
tangente e normal. *)
tang = {-Sin[gam], Cos[gam]};
norm = {Cos[gam], Sin[gam]};
(* sat e’ at com o sinal apropriado. *)
If[sBC>= 0,
If[s <= 0.05,
sat = sinal*at;
Return[{sinal*Sqrt[2*at*s]*tang,
Anexo F: Prog. vel. e acel., traj. circ. geral 155
sat*tang -
2*at*AjustAng[gamA, gam, sinal]*norm}];];
If[s > 0.05 && Abs[s] <= 0.05 + sBC,
Return[{vmax*tang, -vmax^2/r*norm}];];
If[s > 0.05 + sBC && Abs[s] <= Abs[st],
(* aqui mudamos o sinal de at,
ja’ que e’ desacelaracao. *)
sat = -sinal*at;
Return[{sinal*Sqrt[2*at*r*
AjustAng[gam, gamD, sinal]]*tang, sat*tang -
2*at*AjustAng[gam, gamD, sinal]*norm}];];
If[Abs[s] > Abs[st],
Print["s > st!!"]; Return[{}]];];
If[sBC < 0,
If[s <= st/2,
sat = sinal*at;
Return[{sinal*Sqrt[2*sat*s]*tang,
sat*tang -
2*at*AjustAng[gamA, gam, sinal]*norm}]];
If[s > st/2,
(* aqui mudamos o sinal de at, ja’ que e’ desacelaracao.*)
sat = -sinal*at;
Return[{sinal*Sqrt[2*at*r*AjustAng[gam,gamD,sinal]]*tang,
sat*tang - 2*at*AjustAng[gam, gamD, sinal]*norm}]];]];
(* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *)
(* Calculo dados apenas A e D. *)
(* dir = 1 se o centro esta’ ‘a direita
e dir = -1 se ‘a esquerda de AD. *)
VelAc2[r_, at_, gam_, A_, D_, sinal_, dir_] :=
Module[{O, sol, gamA, gamD, O1, O2, M},
(* Primeiro, achamos o centro. *)
sol = Solve[{(x -A[[1]])^2 + (y - A[[2]])^2 == r^2,
(x - D[[1]])^2 + (y - D[[2]])^2 == r^2}, {x, y}];
If[Length[sol] == 1,
Anexo F: Prog. vel. e acel., traj. circ. geral 156
O = ReplaceAll[{x, y}, sol[[1]]];,
O1 = ReplaceAll[{x, y}, sol[[1]]];
O2 = ReplaceAll[{x, y}, sol[[2]]];
M = (A + D)/2;
If[((O1[[1]] - M[[1]])*(D[[2]] - A[[2]]) - (O1[[2]] -
M[[2]])*(D[[1]] - A[[1]]))*dir > 0,
O = O1;,
O = O2;];];
(* Agora, os angulos. *)
gamA = AngF[O, A];
gamD = AngF[O, D];
(* Chamamos a funcao anterior*)
Return[VelAc[r, at, gam, gamA, gamD, sinal]]]
(* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *)
(*CALCULO PARA UM PONTO P NA TRAJETORIA*)
(*Dados de entrada : [r_, at_, gam_, {xA, yA},
{xD, yD}, sinal_, dir_]*)
(*onde, r e’ o raio do arco trajetoria;
at e’ a aceleracao - e’ um dado de projeto, sempre positivo;
gam e’ o angulo do raio do ponto P, em relacao a horizontal;
A(xA, yA) e’ o ponto inicial e D(xD,yD) e’ o ponto final
do arco trajetoria;
’sinal’ fornece a orientacao do arco : 1 = anti - horario,
-1 = horario;*)
(*’dir’ e’ 1 se o centro do arco esta a direita da
corda AD e e’ - 1 se estiver a esquerda*)
VelAc2[r, at, gam, {xA, yA}, {xD, yD}, sinal, dir]
(*Desenvolvimento do programa para n pontos internos
a trajetoria e igualmente espacados*)
(*Usamos uma proporcao do ang. total ao inves de gama.*)
VelAc3[r_, at_, prop_, A_, D_, sinal_, dir_] :=
Anexo F: Prog. vel. e acel., traj. circ. geral 157
Module[{O, sol, gamA, gamD, O1, O2, M},
(* Primeiro, achamos o centro. *)
sol = Solve[{(x - A[[1]])^2 + (y - A[[2]])^2 == r^2,
(x - D[[1]])^2 + (y - D[[2]])^2 == r^2}, {x, y}];
If[Length[sol] == 1,
O = ReplaceAll[{x, y}, sol[[1]]];,
O1 = ReplaceAll[{x, y}, sol[[1]]];
O2 = ReplaceAll[{x, y}, sol[[2]]];
M = (A + D)/2;
If[((O1[[1]] - M[[1]])*(D[[2]] - A[[2]]) -
(O1[[2]] - M[[2]])*(D[[1]] - A[[1]]))*dir > 0,
O = O1;,
O = O2;];];
(* Agora, os angulos. *)
gamA = AngF[O, A];
gamD = AngF[O, D];
(* Achamos o gama correspondente. *)
gam = sinal*AjustAng[gamA, gamD, sinal]*prop + gamA;
(* Chamamos a funcao anterior*)
Return[VelAc[r, at, gam, gamA, gamD, sinal]]]
(* Aqui vai como calcular nos n pontos intermediarios
(dividimos em (n + 1) partes, e calculamos em 1/(n + 1),
3/(n + 1), ... , n/(n + 1) do angulo total).
Note que nao incluimos A e D. *)
(*CALCULO PARA n PONTOS DA TRAJETORIA
IGUALMENTE ESPACADOS*)
(*Dados de entrada : [r_, at_, i/(n + 1), {xA, yA},
{xD, yD}, sinal_, dir_]*)
n = 19; (* exemplo, com 19 pontos*)
For[i = 1, i <= n, i++,
Print[VelAc3[r, at, i/(n + 1), {xA, yA}, {xD, yD}, sinal, dir]]]
158
Anexo G: PROGRAMA EQUAÇÕES DAS
VELOCIDADES E ACELERAÇÕES
Neste anexo apresentamos o programa executado no software Mathematica
que deduz as equações para o cálculo das velocidades angulares
·
θ
1
= u
1
,
·
θ
2
= u
2
,
·
θ
3
= u
3
,
·
θ
4
= u
4
,
·
θ
5
= u
5
e
·
q
6
= u
6
e das acelerações angulares
··
θ
1
=
·
u
1
,
··
θ
2
=
·
u
2
,
··
θ
3
=
·
u
3
,
··
θ
4
=
·
u
4
,
··
θ
5
=
·
u
5
e
··
q
6
=
·
u
6
utilizando as seguintes expressões:
Determinação de u
5
e u
6
V
Jx
= c
5
·
q
6
−q
6
s
5
·
θ
5
= c
5
u
6
− q
6
s
5
u
5
V
Jy
= s
5
·
q
6
+ q
6
c
5
·
θ
5
= s
5
u
6
+ q
6
c
5
u
5
Determinação de
·
u
5
e
·
u
6
.
a
Jx
= −q
6
s
5
·
u
5
+ c
5
·
u
6
−2 u
5
u
6
s
5
− q
6
(u
5
)
2
c
5
a
Jy
= q
6
c
5
·
u
5
+ s
5
·
u
6
+ 2 u
5
u
6
c
5
− q
6
(u
5
)
2
s
5
Determinação de u
1
e u
2
V
Jx
= −L
A
s
1
u
1
−L
B
s
12
(u
1
+ u
2
) − L
J
c
5
u
5
V
Jy
= L
A
c
1
u
1
+ L
B
c
12
(u
1
+ u
2
) − L
J
s
5
u
5
Determinação de
·
u
1
e
·
u
2
a
Jx
= −L
A
c
1
(u
1
)
2
− L
A
s
1
·
u
1
− L
B
c
12
(u
1
+ u
2
)
2
−
L
B
s
12
·
u
1
+
·
u
2
+ L
J
s
5
(u
5
)
2
− L
J
c
5
·
u
5
a
Jy
= −L
A
s
1
(u
1
)
2
+ L
A
c
1
·
u
1
− L
B
s
12
(u
1
+ u
2
)
2
+
L
B
c
12
·
u
1
+
·
u
2
− L
J
c
5
(u
5
)
2
− L
J
s
5
·
u
5
Determinação de u
3
e u
4
.
V
Jx
= −L
D
s
3
u
3
− L
E
s
34
(u
3
+ u
4
) + L
J
c
5
u
5
V
Jy
= L
D
c
3
u
3
+ L
E
c
34
(u
3
+ u
4
) + L
J
s
5
u
5
Determinação de
·
u
3
e
·
u
4
.
Anexo G: Programa equações das velocidades e acelerações 159
a
Jx
= −L
D
c
3
(u
3
)
2
−L
D
s
3
·
u
3
−L
E
c
34
(u
3
+ u
4
)
2
−
L
E
s
34
·
u3 +
·
u
4
− L
J
s
5
(u
5
)
2
+ L
J
c
5
·
u
5
a
Jy
= −L
D
s
3
(u
3
)
2
+ L
D
c
3
·
u
3
−L
E
s
34
(u
3
+ u
4
)
2
+
L
E
c
34
·
u
3
+
·
u
4
− L
J
c
5
(u
5
)
2
−L
J
s
5
·
u
5
Figura 11.5: Anexo G: diagrama cinemático
LISTA DO PROGRAMA
(*Kane5. Determinacao das equacoes das velocidades e aceleracoes *)
(* Determinacao de t71 e q81 *)
Solve[{VJx==q81*c7-q8*s7*t71,
VJy==q81*s7+q8*c7*t71},{t71,q81}]
(* Determinacao de t72 e q82 *)
Solve[{aJx == q82*c7 - 2*
q81*s7*t71 - q8*c7*t71^2 - q8*s7*t72, aJy == q82*
s7 + 2*q81*c7*t71 - q8*s7*t71^2 + q8*c7*t72}, {t72, q82}]
(*Determinacao de t11 e t21 *)
Solve[{VJx == -LA*s1*t11 - LB*s12*(t11 + t21) - LJ*c7*t71,
Anexo G: Programa equações das velocidades e acelerações 160
VJy == LA*c1*t11 + LB*c12*(t11 + t21) - LJ*s7*t71}, {t11, t21}]
(* Determinacao de t12 e t22 *)
Solve[{aJx == -LA*c1*t11^2 - LA*s1*t12 - LB*c12*(t11 + t21)^2 - LB*
s12*(t12 + t22) + LJ*s7*t71^2 - LJ*c7*t72, aJy == -LA*
s1*t11^2 + LA*c1*t12 - LB*s12*(t11 + t21)^2 +
LB*c12*(t12 + t22) - LJ*c7*t71^2 - LJ*s7*t72}, {t12, t22}]
(* Determinacao de t31 e t41 *)
Solve[{VJx == -LD*s3*t31 - LE*s34*(t31 + t41) + LJ*c7*t71, VJy ==
LD*c3*t31 + LE*c34*(t31 + t41) + LJ*s7*t71}, {t31, t41}]
(* Determinacao de t32 e t42 *)
Solve[{aJx == -LD*c3*t31^2 - LD*s3*t32 - LE*c34*(t31 +t41)^2 -
LE*s34*(t32 + t42) - LJ*s7*t71^2 + LJ*c7*t72,
aJy == -LD*s3*t31^2 + LD*c3*t32 - LE*s34*(t31 + t41)^2 +
LE*c34*(t32 + t42) + LJ*c7*t71^2 + LJ*s7*t72}, {t32, t42}]
161
Anexo H: PROGRAMA CÁLCULO VELOCIDADES E
ACELERAÇÕES
Neste anexo apresentamos o programa elaborado no software Mathematica
que, com as equações deduzidas no anexo G, determina os valores numéricos das
velocidades
·
θ
1
= u
1
,
·
θ
2
= u
2
,
·
θ
3
= u
3
,
·
θ
4
= u
4
,
·
θ
5
= u
5
e
·
q
6
= u
6
e das acelerações
··
θ
1
=
·
u
1
,
··
θ
2
=
·
u
2
,
··
θ
3
=
·
u
3
,
··
θ
4
=
·
u
4
,
··
θ
5
=
·
u
5
e
··
q
6
=
·
u
6
; e com as equações 6.13 a
6.24 determina as acelerações dos CG dos elos, isto é, A
n
A
, A
t
A
, A
n
B
, A
t
B
, A
n
D
, A
t
D
,
A
n
E
, A
t
E
, A
n
H
, A
t
H
, A
n
J
e A
t
J
.
Os dados de entrada são:
-Ângulos dos elos: θ
1
, θ
2
, θ
3
, θ
4
e θ
5
. (Sentido anti-horário é positivo)
-Comprimento dos elos: L
A
,L
B
,L
D
,L
E
,L
J
, e q
6
.
-Distâncias dos CG: L
GA
, L
GB
, L
GD
, L
GE
e L
GH
.
-Componentes da velocidade da garra: V
Jx
e V
Jy
-Componentes da aceleração da garra: a
Jx
e a
Jy
.
Figura 11.6: Anexo H: diagrama cinemático
LISTA DO PROGRAMA
(*ANEXO H : Det. das Velocidades e Acel. dos elos *)
(* Resultado : {t11, t12, t21, t22, t31, t32, t41, t42,
t51, t52, q61, q62, AAn, AAt, ABn, ABt,
ADn, ADt, AEn, AEt, AHn, AHt, AJn, AJt} *)
Anexo H: Programa cálculo velocidades e acelerações 162
(* CONVERSAO :
(novo (Kane) : velho)
LA : L6;
LB : L5;
LD : L2;
LE : L3;
LJ : L4/2;
q6 : L7;
LGA : L6G;
LGB : L5G;
LGD : L2G;
LGE : L3G;
LGH : L7G;
t1 : t6;
t2 : t5;
t3 : t2;
t4 : t3;
t5 : t7; *)
FctH[t1_, t2_, t3_, t4_, t5_,
LA_, LB_, LD_, LE_, LJ_, q6_,
LGA_, LGB_, LGD_, LGE_, LGH_,
VJx_, VJy_, aJx_, aJy_] :=
Module[{c1, c2, c3, c4, c5, s1, s2, s3, s4, s5,
s12, s34, c12, c34, calf, salf, clam, slam, sol,
t51, t52, q61, q62, t11, t12, t21, t22, t31, t32, t41, t42,
AAn, AAt, ABn, ABt, ADn, ADt, AEn, AEt, AHn, AHt, AJn, AJt},
c1 = Cos[t1]; c2 = Cos[t2]; c3 = Cos[t3]; c4 = Cos[t4];
c5 = Cos[t5];s1 = Sin[t1]; s2 = Sin[t2]; s3 = Sin[t3];
s4 = Sin[t4]; s5 = Sin[t5];s12 = Sin[t1 + t2];
s34 = Sin[t3 + t4]; c12 = Cos[t1 + t2];
c34 = Cos[t3 + t4];calf = Cos[t1 + t2 - t5];
salf = Sin[t1 + t2 - t5];clam = Cos[t5 - t4 - t3];
Anexo H: Programa cálculo velocidades e acelerações 163
slam = Sin[t5 - t4 - t3];
(* Determinaccao de t51 e q61 *)
sol = Solve[{VJx == q61*c5 - q6*s5*t51,
VJy == q61*s5 + q6*c5*t51}, {t51, q61}];
{t51, q61} = ReplaceAll[{t51, q61}, sol[[1]]];
(* Determinacao de t52 e q62 *)
sol = Solve[{aJx == q62*c5 - 2*q61*s5*t51 - q6*c5*t51^2 -
q6*s5*t52, aJy == q62*s5 + 2*q61*c5*t51 - q6*s5*t51^2 +
q6*c5*t52}, {t52, q62}];
{t52, q62} = ReplaceAll[{t52, q62}, sol[[1]]];
(*Determinacao de t11 e t21 *)
sol = Solve[{VJx == -LA*s1*t11 - LB*s12*(t11 + t21) -
LJ*c5*t51,VJy == LA*c1*t11 + LB*c12*(t11 + t21) -
LJ*s5*t51}, {t11, t21}];
{t11, t21} = ReplaceAll[{t11, t21}, sol[[1]]];
(* Determinacao de t12 e t22 *)
sol = Solve[{aJx == -LA*c1*t11^2 - LA*s1*t12 - LB*c12*(t11 +
t21)^2 - LB*s12*(t12 + t22) + LJ*s5*t51^2 - LJ*c5*t52,
aJy == -LA*s1*t11^2 + LA*c1*t12 - LB*s12*(t11 + t21)^2 +
LB* c12*(t12 + t22) - LJ*c5*t51^2 - LJ*s5*t52},
{t12, t22}];
{t12, t22} = ReplaceAll[{t12, t22}, sol[[1]]];
(* Determinacao de t31 e t41 *)
sol = Solve[{VJx == -LD*s3*t31 - LE*s34*(t31 + t41) + LJ*c5*t51,
VJy == LD*c3*t31 + LE*c34*(t31 + t41) + LJ*s5*t51},
{t31, t41}];
{t31, t41} = ReplaceAll[{t31, t41}, sol[[1]]];
(* Determinacao de t32 e t42 *)
sol = Solve[{aJx == -LD*c3*t31^2 -
LD*s3*t32 - LE*c34*(t31 + t41)^2 - LE*s34*(t32 + t42) -
LJ*s5*t51^2 + LJ*c5*t52,aJy == -LD*s3*t31^2 + LD*c3*t32 -
Anexo H: Programa cálculo velocidades e acelerações 164
LE*s34*(t31 + t41)^2 + LE*c34*(t32 + t42) + LJ*c5*t51^2 +
LJ*s5*t52}, {t32, t42}];
{t32, t42} = ReplaceAll[{t32, t42}, sol[[1]]];
(* CALCULO DAS ACELERACOES DOS CORPOS *)
(* Corpo A : Calculo de AAn e AAt *)
AAn = -LGA*t11^2;
AAt = LGA*t12;
(* Corpo B : Calculo de ABn e ABt *)
ABn = LA*t12*s2 - LA*t11^2*c2 - LGB*(t11 + t21)^2;
ABt = LA*t12*c2 + LA*t11^2*s2 + LGB*(t12 + t22);
(* Corpo D : Calculo de ADn e ADt *)
ADn = -LGD*t31^2;
ADt = LGD*t32;
(* Corpo E : Calculo de AEn e AEt *)
AEn = LD*t32*s4 - LD*t31^2*c4 - LGE*(t31 + t41)^2;
AEt = LD*t32*c4 + LD*t31^2*s4 + LGE*(t32 + t42);
(* Corpo H : Calculo de AHn e AHt *)
AHn = -LGH*t51^2;
AHt = LGH*t52;
(* Corpo J : Calculo de AJn e AJt *)
AJn = 2*q61*t51 + q6*t52;
AJt = q62 - q6*t51^2;
Return[{t11, t12, t21, t22, t31, t32,
t41, t42, t51, t52, q61, q62,
AAn, AAt, ABn, ABt, ADn, ADt,
AEn, AEt, AHn, AHt, AJn, AJt}];]
165
Anexo I: PROGRAMA ANÁLISE ESTÁTICA
Neste anexo apresentamos o programa feito no software Mathematica para o
qual devem ser fornecidos os seguintes dados:
-Comprimento dos elos: L
1
a L
6
.
-Comprimento da cadeia passiva e seu ângulo de inclinação: L
7
e θ
7
.
-Pesos dos elos: P
1
a P
7
.
-Posições dos centros de gravidade: L
2G
, L
3G
, L
5G
, L
6G
,e L
7G
.
-Os pesos dos contrapesos: W
2
, W
3
, W
5
, W
6
e W
7
.
-As posições dos contrapesos: L
2P
, L
3P
, L
5P
, L
6P
e L
7P
.
-Força externa F e sua inclinação β
-O torque externo M.
.
O programa determina:
-Os ângulos de entrada: θ
2
e θ
6
.
-Os ângulos dos elos L
3
e L
5
: θ
3
e θ
5
.
-As componentes das forças de reação: F
1x
, F
1y
, F
7x
, F
7y
, F
8x
e F
8y
.
-Os momentos de reação: M
2
e M
8
.
-Verifica a existência de singularidades e informa seus tipos.
-Traça o gráfico do mecanismo
Figura 11.7: Anexo I: diagrama cinemático
.
Anexo I: Programa análise estática 166
.
LISTA DO PROGRAMA
(*ANEXO I : ANALISE ESTATICA *)
(* Resultado : {F1x, F1y, F2x, F2y, F3x,
F3y, F4, F5x, F5y, F6x, F6y, F7x, F7y, F8x, F8y, M2, M4, M8} *)
FctI1[t2_, t3_, t5_, t6_, t7_,
L1_, L2_, L3_, L4_, L5_, L6_, L7_,
L2G_, L3G_, L5G_, L6G_,L7G_,
L2P_, L3P_, L5P_, L6P_,
F_, b_, M_,
P2_, P3_, P4_, P5_, P6_, P7_,
W2_, W3_, W5_, W6_, W7_] := Module[{F1x, F1y, F2x, F2y,
F3x, F3y, F4,F5x, F5y, F6x, F6y, F7x, F7y, F8x, F8y, M2,
M4, M8, sol},
sol = NSolve[{-F7x + F4*Sin[t7] == 0,
F7y - F4*Cos[t7] - P7 - W7 == 0,
-F7y*L7*Cos[t7] - F7x*L7*Sin[t7] + P7*(L7-L7G)*Cos[t7] +
M4 + W7*(L7 + L7P)*Cos[t7] == 0,
-F3x - F4*Sin[t7] + F*Cos[b] + F5x == 0,
-F3y + F4*Cos[t7] + F*Sin[b] - F5y - P4 == 0,
F5x*L4*Cos[t7] - F5y*L4*Sin[t7] + (F*Cos[b] -
F4*Sin[t7])*L4*Cos[t7]/2 + (F4*Cos[t7] + F*Sin[b] -
P4)*L4*Sin[t7]/2 - M4 + M == 0,
-F2x + F3x == 0, -F2y + F3y - P3 - W3 == 0,
-F2x*L3*Sin[t3] + F2y*L3*Cos[t3] + P3*(L3 -L3G)*Cos[t3]+
W3*(L3 + L3P)*Cos[t3] == 0, F2x - F1x == 0,
F2y - F1y - P2 - W2 == 0,
-F1x*L2*Sin[t2] + F1y*L2*Cos[t2] + P2*(L2 -L2G)*Cos[t2]+
M2 + W2*(L2 + L2P)*Cos[t2] == 0, -F5x + F6x == 0,
F5y - F6y - P5 - W5 == 0,
F6y*L5*Cos[t5] + F6x*L5*Sin[t5] + P5*(L5 - L5G)*Cos[t5]+
W5*(L5 + L5P)*Cos[t5] == 0, -F6x + F8x == 0,
F6y - F8y - P6 - W6 == 0,
Anexo I: Programa análise estática 167
F8y*L6*Cos[t6] + F8x*L6*Sin[t6] + P6*(L6 - L6G)*Cos[t6]+
M8 + W6*(L6 + L6P)*Cos[t6] ==0},
{F1x, F1y, F2x, F2y, F3x, F3y, F4, F5x, F5y, F6x, F6y,
F7x, F7y, F8x, F8y, M2, M4, M8}];
Return[ReplaceAll[{F1x, F1y, F2x,F2y, F3x, F3y, F4, F5x, F5y,
F6x, F6y, F7x, F7y, F8x, F8y, M2, M4, M8}, sol[[1]]]];]
(* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *)
(* Retorna : {F1x, F1y, F2x, F2y, F3x, F3y, F4, F5x, F5y, F6x,
F6y, F7x, F7y, F8x, F8y, M2, M4, M8, t2, t3, t5, t6, sing, graf}*)
FctI2[L1_,L2_, L3_, L4_, L5_, L6_,L7_, t7_,
L2G_, L3G_, L5G_, L6G_,
L2P_, L3P_, L5P_, L6P_,
F_, b_, M_,
P2_, P3_, P4_, P5_, P6_, P7_,
W2_,W3_,W5_,W6_,W7_] := Module[{t2, t3, t5, t6, sing, graf, v},
{t2,t3,t5,t6,sing,graf} = FctA[L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7, t7];
v = FctI1[t2, t3, t5, t6, t7,
L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7,
L2G, L3G, L5G, L6G,
L2P, L3P, L5P, L6P,
F, b, M,
P2, P3, P4, P5, P6, P7,
W2, W3, W5, W6, W7];
Return[Join[v, {t2, t3, t5, t6, sing, graf}]];]
168
Anexo J: PROGRAMA EQUAÇÕES DINÂMICA 1
Neste anexo apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
dos torques de reação dos atuadores, T
1
e T
D
1
, e as forças F
5
, F
D
5
, F
6
e F
D
6
que
atuam nas juntas da plataforma móvel.
Figura 11.8: Anexo J: diagrama cinemático
Figura 11.9: Anexo J: diagramas de corpo livre
.
Anexo J: Programa equações dinâmica 1 169
Utilizamos as equações deduzidas pelo método de Kane:
1. Equação (AB1)
T
1
+ F
5
L
A
s
2
+ F
6
L
A
c
2
+ F
6
L
B
− m
A
g L
GA
c
1
− m
B
g L
A
c
1
−m
B
g L
GB
c
12
= (I
A
+ I
B
)
·
u
1
+ I
B
·
u
2
+ m
A
L
GA
A
t
A
+ m
B
A
n
B
L
A
s
2
+ A
t
B
L
A
c
2
+ A
t
B
L
GB
2. Equação (AB2)
F
6
L
B
− m
B
g L
GB
c
12
= m
B
L
GB
A
t
B
+ I
B
·
u
1
+
·
u
2
3. Equação (DE3)
T
D
1
+ F
D
5
L
D
s
4
+ F
D
6
L
D
c
4
+ F
D
6
L
E
−m
D
g L
GD
c
3
−m
E
g L
D
c
3
−m
E
g L
GE
c
34
= (I
D
+ I
E
)
·
u
3
+ I
E
·
u
4
+ m
D
L
GD
A
t
D
+ m
E
A
n
E
L
D
s
4
+ A
t
E
L
D
c
4
+ A
t
E
L
GE
4. Equação (DE4)
F
D
6
L
E
−m
E
g L
GE
c
34
= m
E
L
GE
A
t
E
+ I
E
·
u
3
+
·
u
4
5. Equação (HJ5)
−F
5
(L
j
c
α
+ q
6
s
α
) + F
D
5
(L
j
c
λ
+ q
6
s
λ
) + F
6
(L
j
s
α
−q
6
c
α
) +
F
D
6
(L
j
s
λ
− q
6
c
λ
) − m
H
g L
GH
c
5
− m
J
g q
6
c
5
= m
H
L
GH
A
t
H
+ m
J
q
6
A
n
J
+ (I
H
+ I
J
)
·
u
5
6. Equação (HJ6)
−F
D
6
s
λ
− F
D
5
c
λ
− F
5
c
α
+ F
6
s
α
− m
J
g s
5
= m
J
A
t
J
.
.
.
.
.
.
Anexo J: Programa equações dinâmica 1 170
LISTA DO PROGRAMA
((*KANE1, Det. das equas dos torques T1 e T1D e forcas F5, F5D,
F6 e F6D *)
AB1 = T1 + F5*LA*s2 + F6*LA*c2 + F6*LB - mA*g*LGA*c1 - mB*g*LA*c1 -
mB*g*LGB*c12 - (IA + IB)*t12 - IB*t22 - mA*LGA*AAt -
mB*(ABn*LA*s2 + ABt*LA*c2 + ABt*LGB);
AB2 = F6*LB - mB*g*LGB*c12 - mB*LGB*ABt - IB*(t12 + t22);
DE3 = T1D + F5D*LD*s4 + F6D*LD*c4 + F6D*LE - mD*g*LGD*c3 -
mE*g*LD*c3 - mE*g*LGE*c34 - (ID + IE)*t32 - IE*t42 - mD*
LGD*ADt - mE*(AEn*LD*s4 + AEt*LD*c4 + AEt*LGE);
DE4 = F6D*LE - mE*g*LGE*c34 - mE*LGE*AEt - IE*(t32 + t42);
HJ1 = F6D*(LJ*slam - q6*clam) + F5D*(LJ*clam + q6*slam) +
F6*(LJ*salf - q6*calf) - F5*(LJ*calf + q6*salf) - mH*g*LGH*c5 -
mJ*g*q6*c5 - mH*LGH*AHt - IH*t52 - mJ*q6*AJn - IJ*t52;
HJ2 = -F6D*slam - F5D*clam - F5*calf + F6*salf - mJ*g*s5 - mJ*AJt;
Solve[{AB1 == 0, AB2 == 0, DE3 == 0, DE4 == 0, HJ1 == 0, HJ2 == 0},
{T1, T1D, F5, F6, F5D, F6D}]
171
Anexo K: PROGRAMA EQUAÇÕES DINÂMICA 2
Neste anexo apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
das componentes de reação F
1
e F
2
no atuador O
6
, e das componentes F
3
e F
4
que atuam na junta A. Para isto utilizamos as equações 8.4, 8.5, 8.8 e a quarta
equação foi obtida multiplicando-se escalarmente a equação 8.2 pelo vetor unitário
−→
a
1
. Isto é:
F
2
L
GA
+ F
4
L
GA
−m
A
g L
GA
c
1
= m
A
L
GA
A
t
A
T
1
− L
GA
F
2
+ L
A
F
4
− L
GA
F
4
= I
A
·
u
1
F
3
L
GB
s
2
− F
4
L
A
− F
4
L
GB
c
2
+ F
5
L
A
s
2
+ F
6
L
A
c
2
+
F
6
L
GB
−m
B
g L
A
c
1
− m
B
g L
GB
c
12
= m
B
A
n
B
L
A
s
2
+ A
t
B
L
A
c
2
+ A
t
B
L
GB
e
F
1
+ F
3
−m
A
g s
1
= m
A
A
n
A
Figura 11.10: Anexo K: diagrama de corpo livre do elo A
.
.
.
Anexo K: Programa equações dinâmica 2 172
LISTA DO PROGRAMA
(*KANE2 : Determinacao das equacoes das forcas F1, F2, F3 e F4*)
A1F = F2*LGA + F4*LGA - mA*g*LGA*c1 - mA*LGA*AAt;
A1M = T1 - LGA*F2 + LA*F4 - LGA*F4 - IA*t12;
B1F = F3*LGB*s2 - F4*LA - F4*LGB*c2 + F5*LA*s2 + F6*LA*c2 +
F6*LGB - mB*g*LA*c1 - mB*g*LGB*c12 - mB*(ABn*LA*s2 +
ABt*LA*c2 + ABt*LGB); A1a = F1 + F3 - mA*g*s1 - mA*AAn;
Solve[{A1F == 0, A1M == 0, B1F == 0, A1a == 0}, {F1, F2, F3, F4}]
173
Anexo L: PROGRAMA EQUAÇÕES DINÂMICA 3
Neste anexo apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
das componentes de reação no atuador O
2
, isto é, F
D
1
e F
D
2
e das componentes
F
D
3
e F
D
4
que atuam na junta D. Utilizamos as equações 8.16, 8.17, 8.20 e
a quarta equação foi obtida multiplicando-se escalarmente a equação 8.14 pelo
vetor unitário
−→
d
1
. Isto é:
F
D
2
L
GD
+ F
D
4
L
GD
− m
D
g L
GD
c
3
= m
D
L
GD
A
t
D
T
D
1
−L
GD
F
D
2
+ (L
D
− L
GD
) F
D
4
= I
D
·
u
3
F
D
3
L
GE
s
4
− F
D
4
L
D
−F
D
4
L
GE
c
4
+ F
D
5
L
D
s
4
+ F
D
6
L
D
c
4
+
F
D
6
L
GE
− m
E
g L
D
c
3
−m
E
g L
GE
c
34
= m
E
A
n
E
L
D
s
4
+ A
t
E
L
D
c
4
+ A
t
E
L
GE
e
F
D
1
+ F
D
3
− m
D
g s
3
= m
D
A
n
D
Figura 11.11: Anexo L: diagrama de corpo livre do elo D
.
.
.
Anexo L: Programa equações dinâmica 3 174
.
LISTA DO PROGRAMA
(*KANE3 : Determinacao das equacoes das forcas F1D, F2D,
F3D e F4D *)
D3F = F2D*LGD + F4D*LGD - mD*g*LGD*c3 - mD*LGD*ADt;
D3M = T1D - LGD*F2D + LD*F4D - LGD*F4D - ID*t32;
E3F = F3D*LGE*s4 - F4D*LD - F4D*LGE*c4 + F5D*LD*s4 +F6D*LD*c4 +
F6D*LGE - mE*g*LD*c3 - mE*g*LGE*c34 -
mE*(AEn*LD*s4 + AEt*LD*c4 + AEt*LGE);
D1d = F1D + F3D -mD*g*s3 - mD*ADn;
Solve[{D3F == 0, D3M == 0, E3F == 0, D1d == 0},
{F1D, F2D, F3D, F4D}]
175
Anexo M: PROGRAMA EQUAÇÕES DINÂMICA 4
Neste anexo apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
para a determinação das forças e torque de reação na cadeia passiva, isto é, F
H
1
,
F
H
2
, F
H
3
e T
4
. Utilizamos as seguintes equações:
L
GH
F
H
1
+ L
GH
F
H
2
− L
GH
m
H
g c
5
= L
GH
m
H
A
t
H
T
4
−L
GH
F
H
1
+ (q
6
−L
GH
) F
H
2
= I
H
·
u
5
−T
4
+ L
J
F
D
6
s
λ
+ L
J
F
D
5
c
λ
−L
J
F
5
c
α
+ L
J
F
6
s
α
= I
J
α
J
F
H
3
= m
H
g s
7
+ m
H
A
n
H
Figura 11.12: Anexo M: diagrama de corpo livre da cadeia passiva
LISTA DO PROGRAMA
(*KANE4 : Det. das equs forcas F1H, F2H F3H, e torque T4 *)
H1F = F1H*LGH + F2H*LGH - mH*g*LGH*c5 - mH*LGH*AHt;
H1M = T4 - LGH*F1H + q6*F2H - LGH*F2H - IH*t52;
H3F = F3H - mH*g*s5 - mH*AHn;
J2 = -T4 + F6D*LJ*slam + F5D*LJ*clam - F5*LJ*calf +
F6*LJ*salf - IJ*t52;
Solve[{H1F == 0, H1M == 0, H3F == 0, J2 == 0}, {F1H, F2H, F3H, T4}]
176
Anexo N: PROGRAMA DOS TORQUES DINÂMICOS
DE REAÇÃO
Este programa utiliza as equações deduzidas no Anexo J e calcula os valores
numéricos dos torques de reação T
1
e T
D
1
.
Neste programa devemos entrar com os seguintes dados:
-Ângulos dos elos: θ
1
, θ
2
, θ
3
, θ
4
e θ
5
. (Sentido anti-horário é positivo)
-Comprimento dos elos: L
A
,L
B
,L
D
,L
E
,L
J
, e q
6
.
-Distâncias dos CG: L
GA
, L
GB
, L
GD
, L
GE
e L
GH
.
-Componentes da velocidade da garra: V
Jx
e V
Jy
-Componentes da aceleração da garra: a
Jx
e a
Jy
.
-Aceleração da gravidade: g.
-Massas dos elos: m
A
, m
B
, m
D
, m
E
, m
H
e m
J
.
-Momento de inércia dos elos: I
A
, I
B
, I
D
, I
E
, I
H
e I
J
.
-Acelerações angulares:
··
θ
1
,
··
θ
2
,
··
θ
3
,
··
θ
4
e
··
θ
5
.
-Acelerações dos CG dos elos calculadas no anexo H: A
n
A
, A
t
A
, A
n
B
, A
t
B
, A
n
D
,
A
t
D
, A
n
E
, A
t
E
, A
n
H
, A
t
H
, A
n
J
e A
t
J
.
Figura 11.13: Anexo N: diagrama cinemático
.
.
.
.
Anexo N: Programa dos torques dinâmicos de reação 177
LISTA DO PROGRAMA
(*ANEXO N : KANE1a. Calculo dos torques de reacao T1 e T1D*)
(* Retorna : {T1D, T1} *)
FctO[t1_, t2_, t3_, t4_, t5_,
LA_, LB_, LD_, LE_, LJ_, q6_,
LGA_, LGB_, LGD_, LGE_,LGH_,
g_, mA_, mB_, mE_, mD_, mH_, mJ_,
t52_, t12_, t22_, t32_, t42_,
IA_, IB_, ID_, IE_, IH_, IJ_,
AAt_, AAn_, ABt_, ABn_, ADt_, ADn_,
AEt_, AEn_, AHt_, AHn_, AJt_, AJn_] :=
Module[{c1, c2, c3, c4, c5,
s1, s2, s3, s4, s5, c12, c34,
calf, salf, clam, slam, T1, T1D},
c1 = Cos[t1]; c2 = Cos[t2]; c3 = Cos[t3]; c4 = Cos[t4];
c5 = Cos[t5];s1 = Sin[t1]; s2 = Sin[t2]; s3 = Sin[t3];
s4 = Sin[t4]; s5 = Sin[t5];c12 = Cos[t1 + t2];
c34 = Cos[t3 + t4];calf = Cos[t1 + t2 - t5];
salf = Sin[t1 + t2 - t5];clam = Cos[t5 - t4 - t3];
slam = Sin[t5 - t4 - t3];
T1D = ADt*LGD*mD + c3*g*LGD*mD + c3*g*LD*mE +
c34*g*LGE*mE + mE*(AEt*c4*LD + AEt*LGE + AEn*LD*s4) +
(ID + IE)*t32 + IE*t42 + ((c4*LD + LE)*
((-AEt)*LGE*mE - c34*g*LGE*mE - IE*t32 -IE*t42))/LE +
LD*s4*(-((((- calf)*((- calf)*q6 + LJ*salf) -
salf*((-calf)*LJ - q6*salf))*((-ABt)*LGB*mB -
c12*g*LGB*mB - IB*t12 - IB*t22))/(LB*(-2*calf*clam*LJ -
clam*q6*salf - calf*q6*slam))) - ((((-calf)*LJ -
q6*salf)*slam - calf*((-clam)*q6 + LJ*slam))*
Anexo N: Programa dos torques dinâmicos de reação 178
((-AEt)*LGE*mE - c34*g*LGE*mE - IE*t32 - IE*t42))/
(LE*(-2*calf*clam*LJ - clam*q6*salf - calf*q6*slam)) +
((-(-((AHn*mH)/2) - AJt*mJ - (g*mH*s5)/2 - g*mJ*s5))*
((-calf)*LJ - q6*salf) - calf*((-(1/2))*AHt*mH*q6 -
(1/2)*c5*g*mH*q6 - AJn*mJ*q6 - c5*g*mJ*q6 - IH*t52 -
IJ*t52))/(-2*calf*clam*LJ - clam*q6*salf - calf*q6*slam));
T1 = AAt*LGA*mA + c1*g*LGA*mA + c1*g*LA*mB + c12*g*LGB*mB +
mB*(ABt*c2*LA + ABt*LGB + ABn*LA*s2) + (IA + IB)*t12 +
IB*t22 + ((c2*LA + LB)*((-ABt)*LGB*mB - c12*g*LGB*mB -
IB*t12 - IB*t22))/LB + LA*s2*(-((-((AHn*mH)/2) - AJt*mJ -
(g*mH*s5)/2 - g*mJ*s5)/calf) + (salf*((-ABt)*LGB*mB -
c12*g*LGB*mB - IB*t12 - IB*t22))/(calf*LB) - (slam*((-AEt)*
LGE*mE - c34*g*LGE*mE - IE*t32 - IE*t42))/(calf*LE) -
(1/calf)*( clam*(-((((-calf)*((-calf)*q6 + LJ*salf) -
salf*((-calf)*LJ -q6*salf))*((-ABt)*LGB*mB - c12*g*LGB*mB -
IB*t12 - IB*t22))/(LB*(-2*calf*clam*LJ - clam*q6*salf -
calf*q6*slam))) - ((((-calf)*LJ - q6*salf)*slam -
calf*((-clam)*q6+LJ*slam))*((-AEt)*LGE*mE - c34*g*LGE*mE -
IE*t32 - IE*t42))/(LE*(-2*calf*clam*LJ - clam*q6*salf -
calf*q6*slam)) + ((-(-((AHn*mH)/2) - AJt*mJ - (g*mH*s5)/2 -
g*mJ*s5))*((-calf)*LJ - q6*salf) - \calf*((-(1/2))*
AHt*mH*q6 - (1/2)*c5*g*mH*q6 - AJn*mJ*q6 - c5*g*mJ*q6 -
IH*t52 - IJ*t52))/(-2*calf*clam*LJ - clam*q6*salf -
calf*q6*slam))));
Return[{T1D, T1}];]
179
Anexo O: PROGRAMA DAS FORÇAS DINÂMICAS
NAS CADEIAS ATIVAS
O programa deste anexo utiliza as equações deduzidas nos Anexos K e L e
calcula as reações de apoio F
1
, F
2
, F
D
1
e F
D
2
e as forças F
3
, F
4
, F
5
, F
6
,F
D
3
, F
D
4
,
F
D
5
e F
D
6
, que atuam nas juntas.
Neste programa, além dos dados de entrada vistos no Anexo N devemos entrar
também com os torques de reação T
1
e T
D
1
calculados neste mesmo anexo.
Portanto devemos entrar com os seguintes dados:
-Ângulos dos elos: θ
1
, θ
2
, θ
3
, θ
4
e θ
5
. (Sentido anti-horário é positivo)
-Comprimento dos elos: L
A
,L
B
,L
D
,L
E
,L
J
, e q
6
.
-Distâncias dos CG: L
GA
, L
GB
, L
GD
, L
GE
e L
GH
.
-Componentes da velocidade da garra: V
Jx
e V
Jy
-Componentes da aceleração da garra: a
Jx
e a
Jy
.
-Aceleração da gravidade: g.
-Massas dos elos: m
A
, m
B
, m
D
, m
E
, m
H
e m
J
.
-Momento de inércia dos elos: I
A
, I
B
, I
D
, I
E
, I
H
e I
J
.
-Acelerações angulares:
··
θ
1
,
··
θ
2
,
··
θ
3
,
··
θ
4
e
··
θ
5
-Acelerações dos CG dos elos calculadas no anexo H: A
n
A
, A
t
A
, A
n
B
, A
t
B
, A
n
D
,
A
t
D
, A
n
E
, A
t
E
, A
n
H
, A
t
H
, A
n
J
e A
t
J
.
-Torques de reação T
1
e T
D
1
Figura 11.14: Anexo O: diagramas de corpo livre
Anexo O: Programa das forças dinâmicas nas cadeias ativas 180
LISTA DO PROGRAMA
(*ANEXO O : KANE2a e 3a. Calculo das forcas F1 a F6, F1D
a F6D *)
(* Resultado : {F1, F1D, F2, F2D, F3, F3D, F4, F4D, F5, F5D,
F6, F6D} *)
FctP[t1_, t2_, t3_, t4_, t5_,
LA_, LB_, LD_, LE_, LJ_, q6_,
LGA_, LGB, LGD_, LGE_,LGH_,
g_, mA_, mB_, mD_, mE_, mH_, mJ_,
t52_, t12_, t22_, t32_, t42_,
IA_, IB_, ID_, IE_, IH_, IJ_,
AAt_, AAn_, ABt_, ABn_, ADt_, ADn_,
AEt_, AEn_, AHt_, AHn_, AJt_, AJn_,
T1_, T1D_] :=
Module[{c1, c2, c3, c4, c5, s1, s2, s3, s4, s5, c12, c34,
calf, salf, clam, slam,
F1, F1D, F2, F2D, F3, F3D, F4, F4D, F5, F5D, F6, F6D},
c1 = Cos[t1]; c2 = Cos[t2]; c3 = Cos[t3]; c4 = Cos[t4];
c5 = Cos[t5];s1 = Sin[t1]; s2 = Sin[t2]; s3 = Sin[t3];
s4 = Sin[t4]; s5 = Sin[t5];c12 = Cos[t1 + t2];
c34 = Cos[t3 + t4];calf = Cos[t1 + t2 - t5];
salf = Sin[t1 + t2 - t5];clam = Cos[t5 - t4 - t3];
slam = Sin[t5 - t4 - t3];
F5 = (-((AHn*mH)/2) - AJt*mJ - (g*mH*s5)/2 - g*mJ* s5)/calf -
(salf*((-ABt)*LGB*mB - c12*g*LGB*mB - IB*t12 - IB*t22))/
(calf*LB) + (slam*((-AEt)*LGE*mE - c34*g*LGE*mE - IE*t32 -
IE*t42))/(calf*LE) + (1/calf)*(clam*(-((((-calf)*
((-calf)*q6 + LJ*salf) - salf*((-calf)*LJ - q6*salf))*
((-ABt)*LGB*mB - c12*g*LGB*mB -IB*t12 - IB*t22))/
(LB*(-2*calf*clam*LJ - clam*q6*salf -calf*q6*slam))) -
Anexo O: Programa das forças dinâmicas nas cadeias ativas 181
((((-calf)*LJ - q6*salf)*slam -calf*((-clam)*q6 +
LJ*slam))*((-AEt)*LGE*mE - c34*g*LGE*mE - IE*t32 -
IE*t42))/(LE*(-2*calf*clam*LJ - clam*q6*salf -
calf*q6*slam)) + ((-(-((AHn*mH)/2) - AJt*mJ -
(g*mH*s5)/2 - g*mJ*s5))*((-calf)*LJ - q6*salf) -
calf*((-(1/2))*AHt*mH*q6 - (1/2)*c5*g*mH*q6 - AJn*mJ*q6 -
c5*g*mJ*q6 - IH*t52 - IJ*t52))/(-2*calf*clam*LJ -
clam*q6*salf - calf*q6*slam)));
F5D = (((-calf)*((-calf)*q6 + LJ*salf) - salf*((-calf)*LJ -
q6*salf))*((-ABt)*LGB*mB - c12*g*LGB*mB - IB*t12 -
IB*t22))/(LB*(-2*calf*clam*LJ - clam*q6*salf -
calf*q6*slam)) + ((((-calf)*LJ - q6*salf)*slam -
calf*((-clam)*q6 + LJ*slam))*((-AEt)*LGE*mE -
c34*g*LGE*mE - IE*t32 - IE*t42))/(LE*(-2*calf*clam*LJ -
clam*q6*salf - calf*q6*slam)) - ((-(-((AHn*mH)/2) -
AJt*mJ - (g*mH*s5)/2 - g*mJ*s5))*((-calf)*LJ - q6*salf) -
calf*((-(1/2))*AHt*mH*q6 - (1/2)*c5*g*mH*q6 - AJn*mJ*q6 -
c5*g*mJ*q6 - IH*t52 - IJ*t52))/(-2*calf*clam*LJ -
clam*q6*salf - calf*q6*slam);
F6 = -(((-ABt)*LGB*mB - c12*g*LGB*mB - IB*t12 - IB*t22)/LB);
F6D = -(((-AEt)*LGE*mE - c34*g*LGE*mE - IE*t32 - IE*t42)/LE);
F1 = AAn*mA + g*mA*s1 +(c2*F6*LA + F6*LGB - c1*g*LA*mB -
c12*g*LGB*mB + F5*LA*s2 - mB*(ABt*c2*LA + ABt*LGB +
ABn*LA*s2))/(LGB*s2) - ((-LA - c2*LGB)*((-AAt)*LGA*mA -
c1*g*LGA*mA + T1 - IA*t12))/(LA*LGB*s2);
F1D = ADn*mD + g*mD*s3 + (c4*F6D*LD + F6D*LGE - c3*g*LD*mE -
c34*g*LGE*mE + F5D*LD*s4 - mE*(AEt*c4*LD + AEt*LGE +
AEn*LD*s4))/(LGE*s4) - ((-LD - c4*LGE)*((-ADt)*LGD*mD -
c3*g*LGD*mD + T1D - ID*t32))/(LD*LGE*s4);
F2 = -(((-AAt)*LA*mA - c1*g*LA*mA + AAt*LGA*mA + c1*g*LGA*mA -
T1 + IA*t12)/LA);
Anexo O: Programa das forças dinâmicas nas cadeias ativas 182
F2D = -(((-ADt)*LD*mD - c3*g*LD*mD + ADt*LGD*mD + c3*g*LGD*mD -
T1D + ID*t32)/LD);
F3 = -((c2*F6*LA + F6*LGB - c1*g*LA*mB - c12*g*LGB*mB +
F5*LA*s2 - mB*(ABt*c2*LA + ABt*LGB + ABn*LA*s2))/
(LGB*s2)) + ((-LA - c2*LGB)*((-AAt)*LGA*mA - c1*g*LGA*mA +
T1 - IA*t12))/(LA*LGB*s2);
F3D = -((c4*F6D*LD + F6D*LGE - c3*g*LD*mE - c34*g*LGE*mE +
F5D*LD*s4 -mE*(AEt*c4*LD + AEt*LGE + AEn*LD*s4))/
(LGE*s4)) + ((-LD - c4*LGE)*((-ADt)*LGD*mD -
c3*g*LGD*mD + T1D - ID*t32))/(LD*LGE*s4);
F4 = -(((-AAt)*LGA*mA - c1*g*LGA*mA + T1 - IA*t12)/LA);
F4D = -(((-ADt)*LGD*mD - c3*g*LGD*mD + T1D - ID*t32)/LD);
Return[{F1, F1D, F2, F2D, F3, F3D, F4, F4D, F5, F5D,
F6, F6D}];]
183
Anexo P: PROGRAMA DAS FORÇAS E TORQUE
DINÂMICOS NA CADEIA PASSIVA
O programa deste anexo utiliza as equações deduzidas no Anexo M e calcula
as forças F
H
1
, F
H
2
, F
H
3
e o torque T
4
.
Neste programa, além dos dados de entrada vistos no Anexo O devemos entrar
também com as forças F
5
, F
6
, F
D
5
e F
D
6
, calculadas neste mesmo anexo.
Figura 11.15: Anexo P: diagrama de corpo livre da cadeia passiva
LISTA DO PROGRAMA
(* Anexo P: KANE4a: Calculo das forcas F1H, F2H, F3H e torque T4 *)
(* Atencao: simbologia nova. *)
(* Resultado: {F1H, F2H, F3H, T4}. *)
FctQ[t1_, t2_, t3_, t4_, t5_, LA_, LB_, LD_, LE_, LJ_,
q6_, LGA_, LGB_, LGD_, LGE_,LGH_,
g_, mA_, mB_, mD_, mE_, mH_, mJ_,
t52_, t12_, t22_, t32_, t42_,
IA_, IB_, ID_, IE_, IH_, IJ_,
AAt_, AAn_, ABt_, ABn_, ADt_, ADn_, AEt_, AEn_,
AHt_, AHn_, AJt_, AJn_,
Anexo P: Progr. forças e torque dinâmicos na cadeia passiva 184
T1_, T1D_, F5_, F5D_, F6_, F6D_] :=
Module[{c1, c2, c3, c4, c5, s1, s2, s3, s4, s5,
c12, c34, calf, salf, clam,
slam, F1H, F2H, F3H, T4},
c1 = Cos[t1]; c2 = Cos[t2]; c3 = Cos[t3];
c4 = Cos[t4]; c5 = Cos[t5]; s1 = Sin[t1]; s2 = Sin[t2];
s3 = Sin[t3]; s4 = Sin[t4]; s5 = Sin[t5]; c12 = Cos[t1 + t2];
c34 = Cos[t3 + t4]; calf = Cos[t1 + t2 - t5];
salf = Sin[t1 + t2 - t5]; clam = Cos[t5 - t4 - t3];
slam = Sin[t5 - t4 - t3];
F3H = AHn*mH + g*mH*s5;
F1H = -((1/(2*q6))*(2*calf*F5*LJ - 2*clam*F5D*LJ -
AHt*mH*q6 - c5*g*mH*q6 - 2*F6*LJ*salf - 2*F6D*LJ*slam +
2*IH*t52 + 2*IJ*t52));
F2H = -((1/(2*q6))*(-2*calf*F5*LJ + 2*clam*F5D*LJ -
AHt*mH*q6 - c5*g*mH*q6 + 2*F6*LJ*salf + 2*F6D*LJ*slam -
2*IH*t52 - 2*IJ*t52));
T4 = (-calf)*F5*LJ + clam*F5D*LJ + F6*LJ*salf + F6D*LJ*slam -
IJ*t52;
Return[{F1H, F2H, F3H, T4}]; ]
185
Anexo Q: PROGRAMA TOTAL DOS TORQUES E
FORÇAS DE REAÇÃO
Este programa aglutina os programas anteriores e calcula diretamente os
torques de reação nos atuadores além de outros esforços.
Os seguintes dados de entrada são necessários:
-Comprimentos dos elos L
1
, L
A
, L
B
, L
D
, L
E
e L
J
.
-Posição dos CG nos elos: L
GA
, L
GB
, L
GD
, L
GE
e L
GH
.
-Posição da garra (ponto J∗): q
6
e θ
5
.
-Componentes da velocidade do ponto J∗: V
x
J
e V
y
J
.
-Componentes da aceleração do ponto J∗: a
x
J
e a
y
J
.
-Aceleração da gravidade: g.
-Massas dos elos: m
A
, m
B
, m
D
, m
E
, m
H
e m
J
.
-Momento de inércia dos elos: I
A
, I
B
, I
D
, I
E
, I
H
e I
J
.
-Força externa aplicada na garra e seu ângulo de posição: F e β.
-Torque externo aplicado na garra: M.
Figura 11.16: Anexo Q: diagrama cinemático
Este programa determina, entre outros esforços, os seguintes:
1- (M
2
, M
8
) : Torques estáticos de reação respectivamente nos atuadores O
2
e O
6
levando-se em conta somente os esforços na garra (F e M) .
2- (T
1D
, T
1
) : Torques dinâmicos de reação respectivamente nos atuadores O
2
e O
6
levando-se em conta somente os efeito das massas dos elos.
Anexo Q: Programa total dos torques e forças de reação 186
3- (M
O2
, M
O6
) : Torques finais (soma dos torques anteriores).respectivamente
nos atuadores O
2
e O
6
.
LISTA DO PROGRAMA
(* ANEXO Q : KANE TOTAL *)
(*Atencao : simbologia nova*)
(* CONVERSAO :
(novo (Kane) : velho)
LA : L6; LB :
L5; LD : L2; LE : L3; LJ : L4/2; q6 = L7;
LGA : L6G; LGB : L5G; LGD : L2G; LGE : L3G; LGH = L7G;
WA = W6; WB = W5; WD = W2; WE = W3;
WH = W7;
LPA = L6P; LPB = L5P; LPD = L2P; LPE = L3P;
LPH = L7P;
t1 : t6;
t3 : t2;
t5 : t7;
t2 : t5 - t6; isto e’, t2novo = t5velho - t1novo, pois
t6velho = t1novo
t4 : t3 - t2; isto e’, t4novo = t3velho - t3novo, pois
t2velho = t3novo *)
FctR[L1_, LA_, LB_, LD_, LE_, LJ_,
LGA_, LGB_, LGD_, LGE_, LGH_,
F_, b_, M_, q6_, t5_,
g_, mA_, mB_, mD_, mE_, mH_, mJ_,
IA_, IB_, ID_, IE_, IH_, IJ_,
VJx_, VJy_, aJx_, aJy_] :=
Module[{t1, t2, t3, t4,
F1x, F1y, F2x, F2y, F3x, F3y, FF4, F5x, F5y,
F6x, F6y, F7x, F7y, F8x, F8y, M2, M4, M8, sing, graf,
t11, t12, t21, t22, t31, t32, t41, t42, t51, t52, q61, q62,
AAn, AAt, ABn, ABt, ADn, ADt, AEn, AEt, AHn, AHt, AJn, AJt,
T1D, T1,
F1, F1D, F2, F2D, F3, F3D, F4, F4D, F5, F5D, F6, F6D,
Anexo Q: Programa total dos torques e forças de reação 187
MO2, MO6, FO2x, FO2y, FO6x, FO6y, tt4, tt2},
LPA = 0; LPB = 0; LPD = 0; LPE = 0; LPH = 0; WA = 0; WB = 0;
WD = 0; WE = 0; WH = 0;
{F1x, F1y, F2x, F2y, F3x, F3y, FF4, F5x, F5y, F6x, F6y, F7x,
F7y, F8x, F8y, M2, M4, M8, t3, tt4, tt2, t1, sing, graf} =
FctI2[L1, LD, LE, 2*LJ, LB, LA,
q6, t5,
LGD, LGE, LGB, LGA, LGH,
LPD, LPE, LPB, LPA, LPH,
F, b, M,
0, 0, 0, 0, 0, 0,
WD, WE, WB, WA, WH];
t4 = tt4 - t3;
t2 = tt2 - t1;
{t11, t12, t21, t22, t31, t32, t41, t42, t51, t52, q61, q62,
AAn, AAt, ABn, ABt, ADn, ADt, AEn, AEt, AHn, AHt,
AJn, AJt}=
FctH[t1, t2, t3, t4, t5,
LA, LB, LD, LE, LJ, q6,
LGA, LGB, LGD, LGE, LGH,
VJx, VJy, aJx, aJy];
{T1D, T1} =
FctO[t1, t2, t3, t4, t5,
LA, LB, LD, LE, LJ, q6,
LGA, LGB, LGD, LGE, LGH,
g, mA, mB, mE, mD, mH, mJ,
t52, t12, t22, t32, t42,
IA, IB, ID, IE, IH, IJ,
AAt, AAn, ABt, ABn, ADt, ADn, AEt,
AEn, AHt, AHn, AJt, AJn];
{F1, F1D, F2, F2D, F3, F3D, F4, F4D, F5, F5D, F6, F6D} =
FctP[t1, t2, t3, t4, t5,
LA, LB, LD, LE, LJ, q6,
Anexo Q: Programa total dos torques e forças de reação 188
LGA, LGB, LGD, LGE, LGH,
g, mA, mB, mD, mE, mH, mJ,
t52, t12, t22, t32, t42,
IA, IB, ID, IE, IH, IJ,
AAt, AAn, ABt, ABn, ADt, ADn,
AEt, AEn, AHt, AHn, AJt, AJn,
T1, T1D];
(* resultados *)
MO2 = M2 + T1D;
MO6 = M8 + T1;
FO2x = F2D*Cos[t3 + Pi/2] + F1D*Cos[t3] + F1x;
FO2y = F2D*Sin[t3 + Pi/2] + F1D*Sin[t3] + F1y;
FO6x = F2*Cos[t1 + Pi/2] + F1*Cos[t1] + F8x;
FO6y = F2*Sin[t1 + Pi/2] + F1*Sin[t1] + F8y;
(* calcular FO2x, FO2y, FO6x, FO6y *)
Return[{MO2, MO6, FO2x, FO2y, FO6x, FO6y,
F1x, F1y, F2x, F2y, F3x, F3y, FF4, F5x, F5y, F6x, F6y, F7x,
F7y,F8x, F8y, M2, M4, M8, t3, t4, t2, t1, sing, graf,
t11, t12, t21, t22, t31, t32, t41, t42, t51, t52, q61, q62,
AAn, AAt, ABn, ABt, ADn, ADt, AEn, AEt, AHn, AHt, AJn, AJt,
T1D, T1,F1, F1D, F2, F2D, F3, F3D, F4, F4D, F5, F5D,
F6, F6D}];]
(* ***************************************************************)
189
Anexo R: PROGRAMA EQUAÇÕES DINÂMICA 5
Neste anexo apresentamos o programa Mathematica que deduz as equações
dos torques de reação T
1
e T
D
1
considerando-se a atuação da força de atrito (F
a
)
na junta prismática, da força (F ) e torque (M) na garra.
LISTA DO PROGRAMA
(* Eqs dos torques T1, T1D, considerando e atrito na
junta prismatica e esforcos na garra *)
AB1 = T1 + F5*LA*s2 + F6*LA*c2 + F6*LB - mA*g*LGA*c1 - mB*g*LA*c1-
mB*g*LGB*c12 - (IA + IB)*t12 - IB*t22 - mA*LGA*AAt -
mB*(ABn*LA*s2+ ABt*LA*c2 + ABt*LGB);
AB2 = F6*LB - mB*g*LGB*c12 - mB*LGB*ABt - IB*(t12 + t22);
DE3 = T1D + F5D*LD*s4 + F6D*LD*c4 + F6D*LE - mD*g*LGD*c3 -
mE*g*LD*c3 - mE*g*LGE*c34 - (ID + IE)*t32 - IE*t42 -
mD*LGD*ADt - mE*(AEn*LD*s4 + AEt*LD*c4 + AEt*LGE);
DE4 = F6D*LE - mE*g*LGE*c34 - mE*LGE*AEt - IE*(t32 + t42);
HJ1 = F6D*(LJ*slam - q8*clam) + F5D*(LJ*clam + q8*slam) +
F6*(LJ*salf - q8* calf) - F5*(LJ*calf + q8*salf) -
mH*g*LGH*c7 - mJ*g*q8*c7 - mH*LGH*AHt - IH*t72 - mJ*q8*AJn -
IJ*t72 - F*cb*q8*s7 + F*sb*q8*c7 + M;
HJ2 = -F6D*slam -F5D*clam - F5*calf + F6*salf - mJ*g*s7 -
mJ*AJt + F*cb*c7 + F*sb*s7 - Sign[q81]*Fa;
JM5 = -T4 + LJ*F6D*slam + LJ*F5D*clam - LJ*F5*calf +
LJ*F6*salf + M - IJ*t72;
FAT = Fa - T4*kp/dp - Fpr;
Solve[{AB1 == 0, AB2 == 0, DE3 == 0, DE4 == 0, HJ1 == 0,
HJ2 == 0, JM5 == 0, FAT == 0}, {T1, T1D, F5, F6, F5D,
F6D, T4, Fa}]
190
Anexo S: PROGRAMA DOS TORQUES DE REAÇÃO
COM ATRITO
Este programa calcula diretamente os torques nos atuadores, levando em conta
o atrito na junta prismática e os esforços na garra..
Os seguintes dados de entrada são necessários:
-Comprimentos dos elos L
1
, L
A
, L
B
, L
D
, L
E
e L
J
.
-Posição dos CG nos elos: L
GA
, L
GB
, L
GD
, L
GE
e L
GH
.
-Posição da garra (ponto J∗): q
6
e θ
5
.
-Componentes da velocidade do ponto J∗: V
x
J
e V
y
J
.
-Componentes da aceleração do ponto J∗: a
x
J
e a
y
J
.
-Aceleração da gravidade: g.
-Massas dos elos: m
A
, m
B
, m
D
, m
E
, m
H
e m
J
.
-Momento de inércia dos elos: I
A
, I
B
, I
D
, I
E
, I
H
e I
J
.
-Força externa aplicada na garra e seu ângulo de posição: F e β.
-Torque externo aplicado na garra: M.
-Comprimento da junta prismática: d
p.
-Coeficiente de atrito na junta prismática: k
p.
-Força de atrito da proteção da junta prismática: F
pr.
Figura 11.17: Anexo S: diagrama cinemático
.
.
Anexo S: Programa dos torques de reação com atrito 191
LISTA DO PROGRAMA
(* Dados *)
(* Comprimento dos elos *)
L1 = 0.4; LA = 0.4; LB = 0.4; LD = 0.4; LE = 0.4; LJ = 0.2;
(*Posicao dos CG dos elos*)
LGA = 0.2; LGB = 0.2; LGD = 0.2; LGE = 0.2; LGH = 0.2;
(*Massa dos elos*)
mA = 1; mB = 1; mE = 1; mD = 1; mH = 1; mJ = 1;
(*Momento de inercia dos elos*)
IA = 0.013; IB = 0.013; ID = 0.013; IE = 0.013; IH = 0.013;
IJ = 0.013;
(* Posicao da Plataforma *)
q8 = 0.4; t7 = Pi/2;
(*Velocidade e aceleracao da garra*)
VJx = 0; VJy = 1;
aJx = 0; aJy = 0;
(*Aceleracao da gravidade*)
g = 10;
(* Forca e momento aplicados na garra*)
F = 0; b = Pi/2; M = 0;
(*Comprimento, coeficiente de atrito e forca de atrito
da protecao da junta prismatica *)
dp = 0.07; kp = 0.2; Fpr = 10;
(*Calculos*)
c1 = Cos[t1]; c2 = Cos[t2]; c3 = Cos[t3]; c4 = Cos[t4];
c7 = Cos[t7]; s1 = Sin[t1]; s2 = Sin[t2]; s3 = Sin[t3];
s4 = Sin[t4]; s7 = Sin[t7]; s12 = Sin[t1 + t2];
s34 = Sin[t3 + t4]; c12 = Cos[t1 + t2]; c34 = Cos[t3 + t4];
calf = Cos[t1 + t2 - t7]; salf = Sin[t1 + t2 - t7];
clam = Cos[t7 - t4 - t3];slam = Sin[t7 - t4 - t3];
sb = Sin[b]; cb = Cos[b];
(*Anexo A : Cinematica inversa com nova simbologia*)
(* Limpar as variaveis *)
Clear[a7, b7, a5, b5, a3, b3, sol6, sol2, a61, b61, a62, b62,
a21, b21, a22, b22, fsol, barra];
Anexo S: Programa dos torques de reação com atrito 192
(* Ponto na barra de cima *)
{a7, b7} = {L1/2 + q8*Cos[t7], q8*Sin[t7]};
(* calculo dos pontos nas extremidades da barra de cima *)
{a5, b5} = LJ*{Sin[t7], -Cos[t7]} + {a7, b7};
{a3, b3} = LJ*{-Sin[t7], Cos[t7]} + {a7, b7};
(* calculo dos pontos de conexao das barras verticais *)
sol6 = Solve[{(x - L1)^2 + y^2 == LA^2, (x - a5)^2 +
(y - b5)^2 == LB^2}, {x, y}];
sol2 = Solve[{x^2 + y^2 == LD^2, (x - a3)^2 +
(y - b3)^2 == LE^2}, {x, y}];
{a61, b61} = ReplaceAll[{x, y}, sol6[[1]]];
{a62, b62} = ReplaceAll[{x, y}, sol6[[2]]];
{a21, b21} = ReplaceAll[{x, y}, sol2[[1]]];
{a22, b22} = ReplaceAll[{x, y}, sol2[[2]]];
(* achar os pontos q. dao certo *)
fsol = {};
If[((a61 - a62)*b5 - (b61 - b62)*(a5 - L1)) >= 0 &&
((a21 - a22)*b3 - (b21 - b22)*a3) >= 0,
fsol = Append[fsol, {{a61, b61}, {a22, b22}}]];
If[((a62 - a61)*b5 - (b62 - b61)*(a5 - L1)) >= 0 &&
((a21 - a22)*b3 - (b21 - b22)*a3) >= 0,
fsol = Append[fsol, {{a62, b62}, {a22, b22}}]];
If[((a61 - a62)*b5 - (b61 - b62)*(a5 - L1)) >= 0 &&
((a22 - a21)*b3 - (b22 - b21)*a3) >= 0,
fsol = Append[fsol, {{a61, b61}, {a21, b21}}]];
If[((a62 - a61)*b5 - (b62 - b61)*(a5 - L1)) >= 0 &&
((a22 - a21)*b3 - (b22 - b21)*a3) >= 0,
fsol = Append[fsol, {{a62, b62}, {a21, b21}}]];
barra = Graphics[{RGBColor[1, 0, 0],
Line[{{L1/2, 0}, {a7, b7}}]}];
For[i = 1, i <= Length[fsol], i++,
(* Limpar variaveis *)
Clear[a6, b6, a2, b2, vertices, ssol, OE, EC, F34, F54,
F17, F12, F16, M12, M16, t3, kt3, kt5, t1, hex];
{a6, b6} = fsol[[i]][[1]];
{a2, b2} = fsol[[i]][[2]];
vertices = {{0, 0}, {a2, b2}, {a3, b3}, {a5, b5},
Anexo S: Programa dos torques de reação com atrito 193
{a6, b6}, {L1, 0}, {0, 0}};
(* Calculo dos angulos *)
If[b2 >= 0, t3 = ArcCos[a2/LD], t3 = 2*Pi -
ArcCos[a2/LD]];
If[b3 >= b2, kt3 = ArcCos[(a3 - a2)/LE], kt3 = 2*Pi -
ArcCos[(a3 - a2)/LE]];
If[b5 >= b6, kt5 = ArcCos[(a5 - a6)/LB], kt5 = 2*Pi -
ArcCos[(a5 - a6)/LB]];
If[b6 >= 0, t1 = ArcCos[(a6 - L1)/LA], t1 = 2*Pi -
ArcCos[(a6 - L1)/LA]];
(* Comprimentos auxiliares *)
OE = L1/2 + LA*Cos[t1] + LB*Cos[kt5];
EC = LB*Sin[kt5] + LA*Sin[t1];
t2 = kt5 - t1;
t4 = kt3 - t3;
t1 = N[t1];
t2 = N[t2];
t3 = N[t3];
t4 = N[t4];
Print["t1 = ", N[t1], "rad=", N[180*t1/Pi], "graus"];
Print["t2 = ", N[t2], "rad=", N[180*t2/Pi], "graus"];
Print["t3= ", N[t3], "rad=", N[180*t3/Pi], "graus"];
Print["t4 = ", N[t4], "rad=", N[180*t4/Pi], "graus"];
Print["kt3 = ", N[kt3], "rad=", N[180*kt3/Pi], "graus"];
Print["kt5 = ", N[kt5], "rad=", N[180*kt5/Pi], "graus"];
hex = Graphics[Line[vertices]];
Show[{hex, barra}, AspectRatio -> Automatic];
(*Anexo H : Calculo das velocidades e aceleracoes*)
sol1 = Solve[{VJx == q81*c7 - q8*s7*t71, VJy == q81*s7 +
q8*c7*t71}, {t71, q81}]
{t71, q81} = ReplaceAll[{t71, q81}, sol1[[1]]];
sol2 = Solve[{aJx == q82*c7 - 2*q81*s7*t71 - q8*c7*t71^2 -
q8*s7*t72, aJy == q82*s7 + 2*q81*c7*t71 - q8*s7*t71^2 +
q8*c7*t72}, {t72, q82}]
Anexo S: Programa dos torques de reação com atrito 194
{t72, q82} = ReplaceAll[{t72, q82}, sol2[[1]]];
sol3 = NSolve[{VJx == -LA*s1*t11 - LB*s12*(t11 + t21) -
LJ*c7*t71,VJy == LA*c1*t11 + LB*c12*(t11 + t21) -
LJ*s7*t71}, {t11, t21}]
{t11, t21} = ReplaceAll[{t11, t21}, sol3[[1]]];
sol4 = Solve[{aJx == -LA*c1*t11^2 - LA*s1*t12 -
LB*c12*(t11 + t21)^2 - LB*s12*(t12 + t22) + LJ*s7*t71^2 -
LJ*c7*t72, aJy == -LA*s1*t11^2 + LA*c1*t12 - LB*s12*(t11 +
t21)^2 + LB*c12*(t12 + t22) - LJ*c7*t71^2 - LJ*s7*t72},
{t12, t22}]
{t12, t22} = ReplaceAll[{t12, t22}, sol4[[1]]];
sol5 = Solve[{VJx == -LD*s3*t31 - LE*s34*(t31 + t41) + LJ*c7*t71,
VJy == LD*c3*t31 + LE*c34*(t31 + t41) + LJ*s7*t71}, {t31, t41}]
{t31, t41} = ReplaceAll[{t31, t41}, sol5[[1]]];
sol6 = Solve[{aJx == -LD*c3*t31^2 -LD*s3*t32 -LE*c34*(t31 + t41)^2-
LE*s34*(t32 + t42) - LJ*s7*t71^2 + LJ*c7*t72,
aJy == -LD*s3*t31^2 + LD*c3*t32 - LE*s34* t31 + t41)^2 +
LE*c34*(t32 + t42) + LJ*c7*t71^2 + LJ*s7*t72}, {t32, t42}]
{t32, t42} = ReplaceAll[{t32, t42}, sol6[[1]]];
(* CALCULO DAS ACELERACOES DOS CORPOS *)
AAn = -LGA*t11^2
AAt = LGA*t12
ABn = LA*t12*s2 - LA*t11^2*c2 - LGB*(t11 + t21)^2
ABt = LA*t12*c2 + LA*t11^2*s2 + LGB*(t12 + t22)
ADn = -LGD*t31^2
ADt = LGD*t32
AEn = LD*t32*s4 - LD*t31^2*c4 - LGE*(t31 + t41)^2
AEt = LD*t32*c4 + LD*t31^2*s4 + LGE*(t32 + t42)
AHn = -LGH*t71^2
AHt = LGH*t72
AJn = 2*q81*t71 + q8*t72
AJt = q82 - q8*t71^2
(*Anexo O : Cálculo de T1, T1D*)
T1D = ADt LGD mD + c3 g LGD mD + c3 g LD mE + c34 g LGE mE +
mE (AEt c4 LD + AEt LGE + AEn LD s4) +(ID + IE) t32 + IE t42 +
Anexo S: Programa dos torques de reação com atrito 195
(c4 LD + LE) (-AEt LGE mE - c34 g LGE mE - IE t32 - IE t42)/LE +
LD s4 (-((-ABt LGB mB - c12 g LGB mB - IB t12 - IB t22)
((-calf q8 + LJ salf)(-calf +calf kp LJ Sign[q81]/dp)-
(-calf LJ - q8 salf) (salf -kp LJ salf Sign[q81]/dp)))/
(LB (-2 calf clam LJ - clam q8 salf - calf q8 slam -
(clam kp LJ q8 salf Sign[q81])/dp)calf kp LJ q8 slam Sign[q81]/
dp)) - ((-AEt LGE mE - c34 g LGE mE - IE t32 - IE t42)
((-clam q8 + LJ slam) (-calf +calf kp LJ Sign[q81]/dp) -
(-calf LJ - q8 salf) (-slam -kp LJ slam Sign[q81]/dp)))/(LE
(-2 calf clam LJ - clam q8 salf - calf q8 slam -
clam kp LJ q8 salf Sign[q81]/dp+calf kp LJ q8 slam Sign[q81]/dp))
+ ((M -AHt LGH mH - c7 g LGH mH - AJn mJ q8 - c7 g mJ q8 -
cb F q8 s7 + c7 F q8 sb - IH t72 - IJ t72) (-calf +)) + ((M -
AHt LGH mH - c7 g LGH mH - AJn mJ q8 - c7 g mJ q8 - cb F q8 s7 +
c7 F q8 sb - IH t72 - IJ t72) (-calf +calf kp LJ Sign[q81]/dp) -
(-calf LJ - q8 salf) (c7 cb F - AJt mJ - g mJ s7 + F s7 sb +
(-Fpr -kp (M - IJ t72)/dp) Sign[q81]))/(-2 calf clam LJ -
clam q8 salf - calf q8 slam -clam kp LJ q8 salf Sign[q81]/dp+
calf kp LJ q8 slam Sign[q81]/dp))
T1 = AAt LGA mA + c1 g LGA mA + c1 g LA mB + c12 g LGB mB + mB (
ABt c2 LA + ABt LGB + ABn LA s2) + (IA + IB) t12 + IB t22 +
(c2 LA + LB) (-ABt LGB mB - c12 g LGB mB - IB t12 - IB t22)/LB+
LA s2 (-(-ABt LGB mB - c12 g LGB mB - IB t12 - IB t22)(salf -
kp LJ salf Sign[q81]/dp)/LB (-calf +calf kp LJ Sign[q81]/dp)-
(-AEt LGE mE - c34 g LGE mE - IE t32 - IE t42) (-slam -
kp LJ slam Sign[q81]/dp)/LE (-calf +calf kp LJ Sign[q81]/dp)+
c7 cb F - AJt mJ - g mJ s7 + F s7 sb + (-Fpr -kp (M - IJ t72)/
dp) Sign[q81]/(-calf +calf kp LJ Sign[q81]/dp)-1/(-calf +
calf kp LJ Sign[q81]/dp)((-clam -clam kp LJ Sign[q81]/dp)
(-((-ABt LGB mB - c12 g LGB mB - IB t12 - IB t22) ((-calf q8 +
LJ salf) (-calf +calf kp LJ Sign[q81]/dp) - (-calf LJ - q8 salf)
(salf -kp LJ salf Sign[q81]/dp)))/(LB (-2 calf clam LJ -
clam q8 salf - calf q8 slam -clam kp LJ q8 salf Sign[q81]/dp+
calf kp LJ q8 slam Sign[q81]/dp)) - ((-AEt LGE mE -
c34 g LGE mE - IE t32 - IE t42) ((-clam q8 + LJ slam)
(-calf +calf kp LJ Sign[q81]/dp) - (-calf LJ - q8 salf)
(-slam -kp LJ slam Sign[q81]/dp)))/(LE (-2 calf clam LJ -
Anexo S: Programa dos torques de reação com atrito 196
clam q8 salf - calf q8 slam -clam kp LJ q8 salf Sign[q81]/dp+
calf kp LJ q8 slam Sign[q81]/dp)) + ((M -AHt LGH mH -
c7 g LGH mH - AJn mJ q8 - c7 g mJ q8 - cb F q8 s7 +
c7 F q8 sb - IH t72 - IJ t72) (-calf +
calf kp LJ Sign[q81]/dp) - (-calf LJ - q8 salf) (c7 cb F -
AJt mJ - g mJ s7 + F s7 sb + (-Fpr -kp (M - IJ t72)/dp)
Sign[q81]))/(-2 calf clam LJ - clam q8 salf - calf q8 slam -
clam kp LJ q8 salf Sign[q81]/dp+
calf kp LJ q8 slam Sign[q81]/dp))))
197
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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family of 3-DOF parallel robot manipulators for pick-and-place
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Universidade de São Paulo, São Paulo, 2005.
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[9] GOSSELIN, C. M.; ANGELES, J. The optimum kinematic design of a
planar three-degree-of-freedon parallel manipulator. Journal of Mechanisms,
Transmissions and Automation in Design, v. 110, n
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1, p 35-41, 1988.
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DOF translational platform for well-conditioned workspace. In: INT. CONF.
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<http://www.inria.fr/coprin/merlet/merlet_eng.html>. Acesso em: 4 mar.
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6-DOF parallel manipulators. Mecanism and machine theory, v. 36, n. 01,
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[13] KNAPP, W. ; COBET, M. The IWF hexaglide: a new concept for
high speed machining. IWF, Zürich, nov., 2000.
[14] GOSSELIN, C.; ANGELES, J. Singularity analysis of closed-loop
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[15] MALVEZZI, F. Avaliação do comportamento cinemático de um
mecanismo paralelo tridimensional. 2006. 135f. Dissertação (Mestrado)
- Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2006.
[16] TARTARI FILHO, S. C. Modelagem e otimização de um robô de ar-
quitetura paralela para aplicações industriais. 2006, 205 f. Dissertação
(Mestrado) - Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2006.
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pany, 1985
[18] GILLESPIE, R.B. Kane’s equations for haptic display of multibody
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[19] ITUL, T. P.; PISLA, D. L.; PISLA, A. Dynamic model of a 6-DOF
parallel robot by considering friction effects. In: IFTOMM WORL
CONGRESS, 12., Besançon. Proceedings ...Besançon (France), p.18-21,
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sterdam: Addison-Wesley, 1989.
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friction models.In: IFTOMM WORL CONGRESS, 12., Besançon. Pro-
cedings ... Besançon (France), 2007.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 199
[22] ASADA, H. ; SLOTINE, J. E. Robot analysis and control. New York:
Jonh Willey and Sons, 1986.
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