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Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica - Departamento de Engenharia Elétrica
Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica
Dissertação de Mestrado
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável
Bilinear, com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Autor:
Sylvio José de Oliveira Laurandi
Dissertação submetida ao Programa de Pós-
graduação da Universidade Federal da Bahia
como parte dos requisitos para obtenção do
título de Mestre em Engenharia Elétrica
Orientador:
Prof: Dr. Adhemar de Barros Fontes
SALVADOR / BAHIA
Outubro / 2006
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Sylvio José de Oliveira Laurandi
CONTROLADOR PREDITIVO DA FAMÍLIA GPC,
MULTIVARIÁVEL, BILINEAR COM
COMPENSAÇÃO ITERATIVA: APLICAÇÃO
E AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO
Dissertação submetida ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da
Universidade Federal da Bahia, como parte dos requisitos necessários para obtenção do
grau de Mestre em Ciências.
Aprovada por:
____________________________________________
Prof. Dr. Adhemar de Barros Fontes
____________________________________________
Prof. Dr. André Laurindo Maitelli
____________________________________________
Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dórea
____________________________________________
Dr. Mário César Mello Massa de Campos
Salvador, BA - Brasil.
Outubro de 2006
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“Quando uma mente se abre a uma nova idéia, ela jamais
voltará a ter o mesmo tamanho”
Albert Einstein
iii
Dedicatória
Aos meus avós, que conheci em vida e muito me orientaram em meus
primeiros passos.
A meu pai e minha mãe, que vindos de uma escolaridade básica,
entenderam e decidiram que seus filhos deveriam concluir um nível
superior. A partir daí, tudo fizeram, cada um com uma tarefa específica,
para permitir que esta meta fosse alcançada, sem medir esforços.
A minha irmã Cristina pelo apoio durante toda a vida e pelo incentivo desde
os primeiros momentos que abracei este desafio.
Aos meus filhos Diogo e Gabriel, para que compreendam que não se chega
a lugar algum sem esforço e dedicação.
iv
Agradecimentos
À Deus, pela nossa existência,
Ao professor Dr. Adhemar de Barros Fontes pela orientação, apoio,
compreensão, dedicação e amizade sempre demonstrada desde os
primeiros momentos dessa trajetória.
Ao Mestre Gilberto Barros da Rocha, por todo a apoio e incentivo
demonstrado.
Ao futuro engenheiro Felipe Sponzel, pela valiosa ajuda no
desenvolvimento dos programas Matlab utilizados nas aplicações
desta dissertação.
Aos amigos de profissão que me incentivaram nos momentos críticos dessa
caminhada.
A todos os pesquisadores cujos trabalhos serviram-me de consulta.
A todos os que direta ou indiretamente contribuíram com este
trabalho.
v
“No porto de antes, apreensivo, eu tentava imaginar as dificuldades e lutas futuras. No
de agora, dono do tempo que eu conquistara, simplesmente admirava o que estava ao
redor e desfrutava do que estava feito. Não era a sensação de uma batalha ganha, de
uma luta em que os obstáculos foram vencidos. Muito mais do que isso, era o prazer
interior de ter realizado algo que tanto desejei, de ter feito e visto o que fiz e vi. O
profundo prazer de poder resumir minha maior viagem num simples círculo sobre papel.
De terminar o desenho desse círculo num lugar como esse (...).”
Amyr Klink
(Mar sem Fim, p. 195)
vi
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
SUMÁRIO
Dedicatória iv
Agradecimentos v
Mensagem vi
Sumário vii
Lista de símbolos e abreviaturas xi
Lista de figuras xiv
Lista de Tabelas xvi
Resumo xvii
Abstract xviii
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO........................................................................... 1
I.1. Introdução ............................................................................................... 1
I.2. Estrutura da Dissertação ....................................................................... 6
CAPÍTULO II – DESCRIÇÃO DO PROCESSO E DESAFIOS DE
CONTROLE............................................................................. 8
II.1. Introdução .............................................................................................. 8
II.2. Descrição do Processo ......................................................................... 9
II.2.1. Definições e Conceitos...................................................................... 9
II.2.1.1. Ponto de Bolha ........................................................................... 9
II.2.1.2. Ponto de Orvalho...................................................................... 10
II.2.1.3. Carga Térmica.......................................................................... 10
II.2.1.4. Coluna de Destilação................................................................ 10
II.2.1.5. Equilíbrio................................................................................... 11
II.2.1.6. Estágio Teórico......................................................................... 11
II.2.1.7. Condensador ............................................................................ 11
II.2.1.8. Vaso de topo............................................................................. 11
II.2.1.9. Produto de topo ........................................................................ 12
II.2.1.10. Refluxo ................................................................................... 12
II.2.1.11. Pratos ou Bandejas ................................................................ 12
II.2.1.12. Área de Borbulhamento.......................................................... 13
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
II.2.1.13. Carga de uma coluna ............................................................. 13
II.2.1.14. Prato de carga ........................................................................ 13
II.2.1.15. Refervedor.............................................................................. 13
II.2.1.16. Produto de fundo .................................................................... 13
II.2.2. Esquemático de uma coluna de destilação..................................... 13
II.3. Características de Comportamento ................................................... 14
II.3.1. Comportamento não Linear............................................................. 14
II.3.2. Acoplamento e Interação ................................................................ 15
II.3.3. Dinâmica Complexa ........................................................................ 16
II.4. Problemas Operacionais..................................................................... 17
II.4.1. Composição de Entrada.................................................................. 17
II.4.2. Vazão de Carga .............................................................................. 18
II.4.3. Subresfriamento do Refluxo............................................................ 18
II.4.4. Pressão da Coluna.......................................................................... 18
II.5. Objetivos de Controle.......................................................................... 19
II.6. Restrições ............................................................................................ 20
II.7. A Simulação da Coluna Debutanizadora no HYSYS......................... 21
II.7.1. Coluna Debutanizadora................................................................... 21
II.7.2. Simulação em regime Estático e Dinâmico..................................... 23
II.8. Balanço de Material em uma Coluna de Destilação.......................... 26
II.9. Considerações ..................................................................................... 28
CAPÍTULO III – CONTROLADORES PREDITIVOS ....................................... 29
III.1. Introdução ........................................................................................... 29
III.2. Controle Preditivo............................................................................... 30
III.2.1. Conceito......................................................................................... 30
III.2.2. Histórico ......................................................................................... 33
III.2.3. Modelos e Preditores monovariáveis de entrada e saída............... 36
III.2.3.1 Modelo paramétrico ARIMAX ou CARIMA ............................... 36
III.2.3.2 Preditor para o modelo ARIMAX ou CARIMA em sistemas com
retardo...................................................................................... 37
III.3. Considerações .................................................................................... 42
CAPÍTULO IV – CONTROLADOR PREDITIVO MULTIVARIÁVEL ................ 43
IV.1. Introdução........................................................................................... 43
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
IV.2. Formulação do Controlador Preditivo Generalizado Bilinear
Multivariável sem Restrições ............................................................ 45
IV.2.1. Modelo Linear ARIMAX para processos multivariáveis. ................ 45
IV.2.2. Modelo Bilinear NARIMAX para processos multivariáveis............. 51
IV.2.3. A Função Objetivo. ........................................................................ 55
IV.2.3. Obtenção da Lei de Controle. ........................................................ 56
IV.3. Considerações.................................................................................... 63
CAPÍTULO V – CONTROLADOR PREDITIVO GENERALIZADO
MULTIVARIÁVEL BILINEAR COM COMPENSAÇÃO
ITERATIVA SUJEITO A RESTRIÇÕES................................ 64
V.1. Introdução............................................................................................ 64
V.2. Justificativa do Método Iterativo........................................................ 66
V.3. Desenvolvimento do Controlador Preditivo Generalizado
Multivariável Bilinear com Compensação Iterativa sem Restrições
............................................................................................................. 68
V.4. Implementação do algoritmo.............................................................. 74
V.4.1. Critério de convergência e parada.................................................. 76
V.5. Considerações..................................................................................... 78
CAPÍTULO VI – IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PREDITIVO
MULTIVARIÁVEL BILINEAR COM COMPENSAÇÃO
ITERATIVA............................................................................ 79
VI.1. Introdução........................................................................................... 79
VI.2. Controle preditivo multivariável bilinear aplicado na coluna
debutanizadora................................................................................... 80
VI.2.1. Identificação dos Modelos ............................................................. 81
VI.2.2. Implementação do Sistema de Controle........................................ 85
VI.2.3. Respostas dos Controladores Preditivos Multivariáveis ................ 87
VI.3. Controle preditivo multivariável bilinear aplicado a modelos
teóricos ............................................................................................... 90
VI.3.1. Modelos utilizados e respostas obtidas ......................................... 91
VI.3.1.1. Primeiro Modelo Bilinear: ........................................................ 91
VI.3.1.2. Segundo Modelo Bilinear: ....................................................... 94
VI.3.1.3. Terceiro Modelo Bilinear: ........................................................ 97
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
VI.3.2. Mapeamento dos Resultados Qualitativos Obtidos ....................... 99
VI.3.2.1. Tempos de acomodação....................................................... 100
VI.3.2.2. Convergência ........................................................................ 100
VI.3.2.3. Custo computacional............................................................. 103
VI.3.3. Análise Quantitativa dos Resultados Obtidos .............................. 104
VI.4. Considerações.................................................................................. 107
CAPÍTULO VII – CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES..................... 109
VII.1. Considerações Finais ..................................................................... 109
VII.2. Sugestões ........................................................................................ 110
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................. 112
APÊNDICE A ............................................................................................. 118
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
ARX Auto-regressivo com sinal exógeno;
ARIX Auto-regressivo Integral com sinal exógeno;
ARMAX Auto-regressivo, Média Móvel, com sinal Exógeno;
ARMAX Auto-regressivo, Média Móvel, com sinal Exógeno;
ARIMAX Auto-regressivo, Integral, Média Móvel, com sinal Exógeno;
d Representa o retardo, em múltiplos do período de amostragem
(d ≥ 0);
()ek Representa um ruído “branco” e gaussiano, com média zero e
variância σ
2
;
Representa o vetor de ruído branco, gaussiano, de média zero e
matriz covariância
DMC Controle por Matriz Dinâmica (Dynamic matrix control);
FIR Modelo Impulsivo de Resposta (Finite Impulse Response);
FSR Passo Finito de Resposta (Finite Step Response);
GMV Variância Mínima Generalizada (Generalised Minima Variance);
GPC Controle Preditivo Generalizado (Generalised Predictive Control);
GPCB Controlador Preditivo Generalizado Bilinear, Quasilinear por Degrau
de Tempo;
GPCBIC Controlador Preditivo Generalizado Bilinear, Quasilinear por Degrau
de Tempo com Compensação Iterativa;
MPC Controle Preditivo baseado em Modelo (Model Predictive Control);
MAC Controle de Algoritmo em Modelo (Model Algorithm Control);
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
MIMO Múltiplas Entradas e Múltiplas Saídas (Multi-input multi-output);
MQR Mínimos Quadrados Recursivo;
Mínimo de ε em relação a r
NARMAX Não linear, Auto-regressivo, Média Móvel, com sinal Exógeno;
NARIMAX Não linear, Auto-regressivo, Integral, Média Móvel, com sinal
Exógeno;
NU Horizonte de controle;
NY Horizonte de predição;
N
1
Horizonte mínimo de predição;
Kp Constante de erro de posição;
p Número de entradas em um processo multivariável;
PLC Controlador Lógico Programável;
PRBS Sinal Binário Pseudo-Aleatório (Pseudo Randomic Binary Signal);
q Número de saídas em um processo multivariável;
1
q
−
Operador atraso unitário;
()rk j+ Representa a trajetória de referência futura;
SQP Programação quadrática sucessiva;
SBPA Sinal Binário Pseudo Aleatório;
SDCD Sistema Digital de Controle Distribuído;
SISO Única Entrada e Única Saída (Single Input Single Output);
t
d
Tempo morto do processo;
T
a
Período de amostragem;
()uk Representa a saída do controlador;
Representa o vetor de controle do processo com p elementos;
u(.) Representa uma seqüência qualquer do sinal de entrada aplicada
no modelo bilinear e utilizada pelo preditor i passos à frente
baseado na aproximação quasilinear;
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
k
u Representa o vetor de ações de controle calculado no instante k
com NUp elementos;
k
∆u Representa o vetor de incrementos das ações de controle calculado
no instante k com NUp elementos;
()yk Representa a saída do processo;
Representa o vetor de saída do processo com q elementos ;
ˆ
()yk j+
Predição j-passos à frente da saída baseada em informações
disponíveis até o instante k;
z Representa a variável no domínio da freqüência da transformada Z;
ε{ x } Representa o valor esperado de x;
ρ Ponderação do controle;
Representa a resposta de um sistema ao pulso unitário;
Representa o número de elementos não nulos da resposta de um
sistema ao pulso;
nh Representa o número de elementos hi da resposta de um
sistema ao degrau;
δ(i) e λ(i) Representa seqüências de ponderação sobre o sinal de erro e o de
controle, respectivamente em um sistema SISO;
Wy e Wu
Representa matrizes diagonais positivo definidas de ponderação
sobre o vetor sinal de erro e o vetor de controle, respectivamente;
H
2
ou
`2
Norma quadrática;
l
v Norma l de v
2
Q
v
T
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
FIGURAS
Capítulo II
2.1 Unidade de Destilação Típica 14
2.2 Comportamento não linear de um sistema de destilação 15
2.3 Acoplamento de um sistema de destilação 16
2.4 Comportamento dinâmico de um sistema de fase não mínima 17
2.5 Coluna Debutanizadora no HYSYS 22
Capítulo III
3.1 Conceito de Horizonte Preditivo 30
3.2 Estrutura básica do MPC 32
3.3 Diagrama de Blocos do Modelo ARIMAX do Processo 37
Capítulo IV
4.1 Diagrama de Blocos do Processo MIMO 46
Capítulo V
5.1 Fluxo do processo iterativo 77
Capítulo VI
6.1 Resposta da concentração de i-pentano para um PRBS nas
entradas 1 e 2 com modelo linear 83
6.2 Resposta da concentração de i-buteno para um PRBS nas
entradas 1 e 2 com modelo linear 83
6.3 Resposta da concentração de i-pentano para um PRBS nas
entradas 1 e 2 com modelo bilinear 84
6.4 Resposta da concentração de i-buteno para um PRBS nas
entradas 1 e 2 com modelo bilinear 84
6.5 Interface para comunicação Hysys x Matlab 86
6.6 Saída 1 para degrau no setpoint da saída 1 (problema servo) 87
6.7 Saída 2 para degrau no setpoint da saída 1 (problema regulador) 88
6.8 Ação de controle da variável 1 para degrau no setpoint da saída 1 88
6.9 Ação de controle da variável 2 para degrau no setpoint da saída 1 89
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
6.10 Saída 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1
(problema servo) 92
6.11 Saída 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1
(problema regulador) 92
6.12 Ação de controle da variável 1 para degrau unitário no setpoint
da saída 1 93
6.13 Ação de controle da variável 2 para degrau unitário no setpoint
da saída 1 93
6.14 Saída 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1
(problema servo) 95
6.15 Saída 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1
(problema regulador) 95
6.16 Ação de controle da variável 1 para degrau unitário no setpoint
da saída 1 96
6.17 Ação de controle da variável 2 para degrau unitário no setpoint
da saída 1 96
6.18 Saída 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1
(problema servo) 98
6.19 Saída 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1
(problema regulador) 98
6.20 Ação de controle da variável 1 para degrau unitário no setpoint
da saída 1 99
6.21 Ação de controle da variável 2 para degrau unitário no setpoint
da saída 1 99
6.22 Convergência das ações de controle para a debutanizadora 101
6.23 Convergência das ações de controle para o primeiro modelo 101
6.24 Convergência das ações de controle para o segundo modelo 102
6.25 Convergência das ações de controle para o terceiro modelo 102
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
TABELAS
Capítulo II
2.1 Dados de processo da coluna debutanizadora 25
Capítulo VI
6.1 Variação na vazão de refluxo com a temperatura constante 80
6.2 Variação na temperatura com a vazão de refluxo constante 80
6.3 Tempo de acomodação 82
6.4 Resumo dos tempos de acomodação para os testes realizados 90
6.5 Resumo dos tempos de acomodação para um degrau unitário 100
6.6 Valores das variações das ações de controle 103
6.7 Comparativo dos custos computacionais 104
6.8 Índices de desempenho de Goodhart 106
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
RESUMO
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável Bilinear, com Compensação
Iterativa: Aplicação e Avaliação de Desempenho
Este trabalho propõe a aplicação em uma coluna debutabizadora,
simulada fenomenologicamente e em três modelos teóricos de um Controlador
Preditivo Generalizado Bilinear Multivariável com Compensação Iterativa
(GPCBIC) submetido a uma avaliação de desempenho. Este controlador é
baseado no Controlador Preditivo Generalizado Bilinear, que utiliza o modelo
NARIMAX quasilinear por degrau de tempo. Nesta aproximação, o erro de
predição existe, e cresce com o horizonte de predição, prejudicando o
desempenho do controlador. Desta forma, a abordagem proposta utiliza um
método de compensação iterativa, em que a compensação depende do
horizonte de controle. A avaliação de desempenho do método da compensação
iterativa evidenciou que o GPCBIC apresenta melhor desempenho que o
controlador multivariável baseado nos modelos quasilinear por degrau de
tempo quando o processo apresenta menores ganhos, necessitando de
maiores ações de controle por parte do controlador.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
ABSTRACT
Bilinear Multivariable Generalized Predictive Control with Iterative
Compensation: Application and Performance Evaluation
The present work proposes the application on a phenomenological
simulated debutanizer column and three other theorical models of the Bilinear
Multivariable Generalized Predictive Control with Iterative Compensation
(GPCBIC) submitted by a performance evaluation. This controller is based on
the Bilinear Generalized Predictive Control that uses a time-step quasilinear
NARIMAX model. In that approach, a prediction error exists and this increases
with the prediction horizon, degrading the controller performance. In this sense,
a new approach of the bilinear predictive control uses a method of iterative
compensation witch depends on the prediction horizon. The performance
evaluation of the iterative compensation method evidenced that the new
approach presents a better performance than the controller based on the
quasilinear model for process with low gains, that means, when more control
actions is necessary.
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CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
I.1. Introdução
A evolução da microeletrônica digital e da informática, trouxe o
desenvolvimento dos controladores digitais conhecidos como SDCDs e
PLCs, com uma oferta variada de algoritmos PID, que permitiram a
implementação de diferentes estratégias de controle, um pouco mais
elaboradas, na indústria de um modo geral. Esta evolução se deu de forma
acelerada e foi de certa forma acompanhada de perto pelo Brasil. Nas
universidades brasileiras as pesquisas têm se intensificado e em nossas
indústrias observa-se um movimento positivo na adoção de estratégias de
controle avançado.
As expectativas mundiais quanto às soluções para os problemas de
controle continuam as mesmas da última década. A implementação de
técnicas de controle avançado e otimização são vistas como as soluções de
melhor custo/benefício.
Embora algumas de nossas indústrias ainda estejam utilizando
técnicas de controle simples, a globalização, com a disputa acirrada de
mercado, não permite que essas indústrias permaneçam ignorando as
vantagens que estas técnicas trazem na melhoria da qualidade do produto,
na redução dos custos e no aumento da produção. Desta forma, espera-se
um aumento cada vez maior na procura de soluções mais elaboradas para
os problemas de controle.
Nosso país tende, desta forma, a aprofundar as pesquisas nestas
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técnicas. Vemos já há algum tempo nas universidades brasileiras um grande
fomento ao estudo e desenvolvimento de conhecimento na área dos
chamados controles avançados, estando incluídos nesta os controles
preditivos, lineares e não lineares, adaptativos, controles por lógica Fuzzy e
redes neuronais, controle ótimo, entre outras.
As necessidades se apresentam, as opções existem e se encontram
ao alcance de quem estiver interessado em competir com seus produtos no
mercado globalizado. As vantagens oferecidas pelas diferentes estratégias
de controle e a busca contínua pela eficiência dos processos são motivações
que justificam a busca do conhecimento e norteiam o desenvolvimento desta
dissertação.
Acreditando que essas técnicas de controle são ferramentas de
engenharia que representam um alto potencial de ganho combinado a um
baixo custo de aplicação e com a certeza de que não existe uma solução
única para todos os problemas, este trabalho realiza um estudo para a
aplicação de uma técnica de controle preditivo não linear, a um processo, no
caso uma coluna de destilação, que está presente em mais da metade das
aplicações na indústria química e petroquímica.
Os processos químicos e petroquímicos apresentam características
que requerem soluções de controle diferentes dos demais sistemas. A
dinâmica lenta e complexa, o alto grau de acoplamento entre as variáveis e
as não linearidades são algumas das principais razões para esta diferença.
Uma coluna de destilação é um bom exemplo dessa diferenciação. A
operação de um processo desse tipo, caracteristicamente multivariável, que
possui restrições, requer na maioria dos casos um controle também
multivariável que considere o acoplamento entre as diversas variáveis e
também as restrições, tanto das variáveis controladas quanto das
manipuladas. De fato, um melhor controle permite que muitos processos
sejam projetados e operem próximo ao regime ótimo (Aström & Wittenmark,
1995).
Um controlador preditivo utiliza de forma explícita modelos
matemáticos que representem o sistema a ser controlado. A maioria dos
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controladores preditivos utiliza largamente modelos lineares para a
representação de processos não lineares, devido a sua maior simplicidade,
por permitir a utilização de ferramentas de sistemas lineares. Contudo, esta
abordagem tem a sua limitação destacada, tendo em vista que modelos
simples são freqüentemente inadequados, quando uma aproximação mais
realística torna-se necessária, (Doyle III, et al. 1995). Além disso, é notório
que muitos processos são não lineares, o que é largamente documentado na
literatura (Buckley, 1981; Garcia & Prett, 1986; Morari, 1986; Fleming, 1988;
Bequette, 1991; Kane, 1993). Pesquisas comprovam que alguns processos
que apresentam alto grau de não linearidade são insuficientemente
representados e controlados por modelos lineares que utilizam algoritmos de
controle preditivo. Nestes casos, mesmo quando o processo está operando
na vizinhança de um ponto de equilíbrio, a representação deste por um
modelo linear é inadequada, chegando a comprometer a estabilidade em
malha fechada e constituindo uma grave deficiência (Camacho & Bordons,
1999). Em tais situações, podem ser utilizados modelos não lineares, de
modo que o controlador preditivo não linear será essencial para melhorar o
desempenho ou simplesmente garantir operação estável.
Conforme dito anteriormente, controladores preditivos baseados em
modelos lineares são largamente empregadas na indústria química e
petroquímica mundialmente. No entanto, para alcançar um melhor
desempenho, algumas vezes a simplicidade das técnicas lineares é
sacrificada e o controlador preditivo não linear é utilizado, com um modelo
do processo não linear, por ser considerado mais realista (Eaton e Rawlings,
1990 e Beigler e Rawlings, 1991). A extensão das idéias do “Model
Predictive Control” (MPC), como é conhecida a família dos controladores
preditivos, para processos não lineares é direta. No entanto, embora não
exista qualquer argumentação no conceito básico do MPC contra a utilização
de um modelo não linear, o seu desenvolvimento não é trivial e existem
algumas questões em aberto, (Camacho & Bordons, 1999). Algumas destas
questões são: pouca disponibilidade de modelos não lineares devido à
escassez de técnicas de identificação para estes processos, a complexidade
computacional para resolver o algoritmo de controle preditivo baseado em
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modelos não lineares e a falta de resultados teóricos no que se refere a
robustez, para o caso de sistemas não lineares.
Como caso particular da técnica de controle preditivo baseado em
sistemas não lineares, aqueles baseados em modelos bilineares, tema
central da presente Dissertação, têm despertado interesse, uma vez que:
• apresentam a vantagem de serem geralmente mais simples
que os não lineares e mais representativos que os lineares;
• são mais tratáveis matematicamente que outros modelos não
lineares mais gerais;
• a bilinearidade está presente em muitos sistemas físicos,
especialmente em processos químicos, em que tal
característica se apresenta de forma intrínseca. Nestes, o
balanço de massa e de energia contém produtos de fluxos, que
são normalmente utilizados como variáveis manipuladas, e
temperatura ou concentração, que são freqüentemente as
variáveis controladas do processo;
• o modelo matemático bilinear, utilizado pelo controlador, é
linear nos parâmetros, fato que permite a utilização das
técnicas de estimação dos parâmetros através do algoritmo dos
mínimos quadrados recursivo, ou ainda, pode-se utilizar quase
a totalidade das técnicas de identificação desenvolvidas para
sistemas lineares;
Diversas pesquisas têm sido realizadas, objetivando desenvolver
controladores preditivos baseados em modelos bilineares, com a mesma
abordagem desenvolvida para sistemas lineares, sempre procurando
acompanhar o desenvolvimento destes últimos.
Existem em essência, dois métodos representativos adotados na
solução de controle preditivo não linear. Um dos métodos é o da abordagem
da programação não linear que utiliza um algoritmo de otimização não linear,
como por exemplo, a Programação Quadrática Sucessiva (SQP). O outro
método é o que utiliza técnicas distintas de linearização, destacando-se a
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utilização de séries de Volterra, a linearização através de realimentação de
saída e a utilização do modelo denominado "quasilinear por degrau de
tempo". Utilizando este último modelo, Goodhart et al., em 1994,
apresentaram uma extensão do GPC e a aplicaram em uma planta
industrial, obtendo resultados animadores.
Em 2002, Fontes apresentou uma nova abordagem para o controlador
preditivo generalizado, baseado em sistemas bilineares, utilizando o modelo
NARIMAX quasilinear por degrau de tempo, compensado, mono e
multivariável. Nesta nova abordagem, um termo de compensação é
adicionado ao modelo quasilinear por degrau de tempo objetivando diminuir
o erro de predição, devido à aproximação do modelo utilizado, e
conseqüentemente, melhorar o desempenho do controlador. No curso de
sua tese de doutorado, Fontes sugeriu a busca por uma forma que
generalizasse o cálculo dos termos de compensação.
Em 2003, Rocha apresentou duas aplicações SISO desta abordagem,
sem restrições, em uma coluna de fracionamento de butadieno 1,3. O
modelo bilinear compensado obtido mostrou-se eficiente na representação
das não linearidades da coluna e na resposta em regime transitório,
comprovando a vantagem da utilização do termo de compensação, conforme
os resultados apresentados.
Em 2005, Ângelo apresentou uma aplicação SISO, sem restrições, na
mesma coluna de fracionamento de butadieno 1,3 utilizada por Rocha em
2003, com resultados novamente animadores. O controlador bilinear com
compensação iterativa mostrou-se eficiente, comprovando a vantagem
computacional da utilização da compensação iterativa, conforme os
resultados apresentados.
Esta dissertação trata da aplicação de um controlador preditivo,
multivariável bilinear com compensação iterativa, a uma coluna
debutanizadora. Sua maior contribuição é o desenvolvimento e
implementação da compensação iterativa, além da avaliação de seu
desempenho, para um controlador preditivo generalizado multivariável
(MIMO), utilizando-se do modelo bilinear, com aproximação “quasilinear por
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degrau de tempo”. A compensação iterativa visa diminuir o erro de predição,
melhorando o desempenho do controlador. A aplicação desta abordagem a
um processo MIMO comprova a vantagem e a exeqüibilidade computacional
do método.
I.2. Estrutura da Dissertação
A dissertação está dividida em sete capítulos. Neste primeiro capítulo
foram apresentadas a motivação da dissertação e sua estrutura.
No segundo capítulo é apresentada uma breve descrição do processo
de fracionamento. Com foco neste tipo de processo, são abordados os
problemas encontrados no controle tais como: análise das características do
processo; definição das variáveis controladas, manipuladas e perturbação;
objetivos de controle e restrições. É apresentada ainda a simulação do
processo, realizada utilizando-se o programa HYSYS, descrevendo as
variáveis de controle e os parâmetros utilizados além da comunicação deste
com o MATLAB, utilizado para a implementação do controlador.
No terceiro capítulo é apresentada a teoria geral de controladores
preditivos, a apresentação de conceitos relacionados, um breve histórico, o
modelo, o preditor e o controlador da família GPC por ser esta, base do
controlador preditivo bilinear compensado.
No quarto capítulo é apresentada a teoria do controlador preditivo
multivariável baseado em modelos lineares e bilineares com a abordagem
da aproximação quasilinear por degrau de tempo.
No quinto capítulo é desenvolvida a extensão da teoria do controlador
preditivo baseados em modelos bilineares à abordagem multivariável com a
compensação iterativa e a implementação das restrições nas variáveis
controladas e manipuladas do controlador multivariável.
No sexto capítulo é apresentada a implementação do Controlador
Preditivo Generalizado Bilinear com a compensação iterativa (GPCBIC), na
coluna debutanizadora, incluindo a técnica de identificação utilizada e os
resultados da aplicação de cada controlador. Com base na comparação dos
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resultados de simulações com modelo linear, bilinear e bilinear com
compensação iterativa, decidiu-se avaliar o desempenho da compensação
iterativa, utilizando-se modelos teóricos, em função da sensibilidade do
sistema. Nesta avaliação, verificaram-se as vantagens do método.
Para finalizar, o sétimo capítulo apresenta as considerações finais do
trabalho e sugestões para trabalhos futuros.
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CAPÍTULO II
DESCRIÇÃO DO PROCESSO E DESAFIOS DE CONTROLE
II.1. Introdução
Neste capítulo é feita uma breve descrição do processo de destilação e
a apresentação de definições e conceitos com o objetivo de formalizar o
conhecimento da aplicação. São apresentados os problemas encontrados no
controle, a definição das variáveis controladas e manipuladas, perturbações e
restrições do processo. O correto entendimento da aplicação é fundamental
para o engenheiro de controle. Ainda no capítulo são abordadas a simulação
no HYSYS e a implementação do controlador no MATLAB, com a conseqüente
comunicação entre os dois softwares.
O comportamento não linear do processo aparece como um grande
desafio de controle, justificando a pesquisa por soluções de melhor
desempenho. Embora os algoritmos de controle linear continuem sendo os
mais utilizados na indústria mundial, já com um grande parque instalado, seu
desempenho é satisfatório em uma faixa estreita de operação em que as não
linearidades pouco influenciam. Dentro desta opção, as aplicações
multivariáveis predominam, e os resultados indicam a necessidade do
desenvolvimento de técnicas não lineares para a obtenção de um incremento
no desempenho destas aplicações.
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
II.2. Descrição do Processo
Destilação é o processo de separação mais amplamente usado na
indústria química e petroquímica. Consiste em um processo no qual uma
mistura de duas ou mais substâncias, no estado líquido ou vapor, são
separadas em frações com composições diferentes da mistura original, por
meio da transferência simultânea de massa do líquido pela vaporização, e do
vapor pela condensação. O efeito final é o aumento da concentração do
componente mais volátil no vapor e do componente menos volátil no líquido.
O processo de destilação contribui com mais de 50% dos custos
operacionais de uma planta industrial, devido ao elevado consumo de energia
para aquecimento e resfriamento. Desta forma, a melhor maneira de reduzir os
custos operacionais é aumentar sua eficiência e operação, através da
otimização e controle do processo (Rocha, 2003).
II.2.1. Definições e Conceitos
Em sua dissertação de 2003, Rocha apresentou algumas definições que
contribuem para o entendimento das transformações que ocorrem no processo
de separação por destilação e representam conhecimento mínimo para o
entendimento da aplicação.
II.2.1.1. Ponto de Bolha
É a temperatura na qual uma mistura líquida de vários componentes,
quando aquecida, começa a vaporizar, isto é, há formação da primeira bolha de
vapor. Esta condição ocorre, no instante em que a soma das pressões de
vapor exercidas individualmente pelos componentes torna-se igual à pressão a
qual a mistura está submetida. A temperatura durante a vaporização não é
constante. Isto ocorre pelo fato de os componentes mais voláteis serem mais
rapidamente desprendidos que os mais pesados, e conseqüentemente, a
temperatura aumentar à medida que a vaporização se procede.
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II.2.1.2. Ponto de Orvalho
É a temperatura na qual uma mistura vapor de vários componentes,
quando resfriada, começa a condensar, isto é, há formação da primeira gota de
líquido. A temperatura durante a condensação não é constante. Isto ocorre pelo
fato de os componentes mais pesados tenderem a condensar mais
rapidamente que os mais leves, e conseqüentemente, a temperatura diminuir à
medida que a condensação se procede.
II.2.1.3. Carga Térmica
É a quantidade de calor fornecida a um sistema, necessária para ser
efetuada uma determinada troca térmica.
II.2.1.4. Coluna de Destilação
É um equipamento usado para promover a separação de componentes
de uma mistura, através das diferenças de volatilidades desses componentes.
A volatilidade relativa entre os componentes indica a facilidade de separação
por destilação, entre os compostos. Quanto maior for seu valor, maior a
facilidade em separar os compostos. Quando a volatilidade relativa for igual a 1
(um), os compostos não podem ser separados por destilação. A destilação é
usada, quando essas diferenças são adequadas para fornecer a faixa de
concentração desejada para os produtos.
Durante o processo de destilação, dois fluxos internos movem-se em
contracorrente através de "dispositivos de contato". O fluxo de líquido no
sentido descendente (por gravidade), enquanto o fluxo de vapor é forçado a
subir através de orifícios da bandeja, resultando no contato pela ação do
borbulhamento formado.
Os componentes leves que estão na fase líquida tendem a se
intercambiar com os componentes pesados que estão na fase vapor. Sempre
que um componente pesado na fase vapor se condensa, um componente leve
na fase líquida utiliza imediatamente o calor liberado na condensação para se
vaporizar e escapar da fase líquida.
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II.2.1.5. Equilíbrio
Nas operações de transferência de massa, ocorre a distribuição dos
componentes do sistema entre as fases envolvidas.
Quando duas fases de composição diferentes são postas em contato, há
transferência dos diversos componentes de uma fase para outra até que a
velocidade de transferência de cada componente seja a mesma em ambos os
sentidos.
No equilíbrio líquido-vapor também se chega a uma situação de
equilíbrio semelhante quando as velocidades de vaporização e liquefação de
cada componente se igualam. O líquido num estágio de equilíbrio está no ponto
de bolha e o vapor está no ponto de orvalho, cujos valores são determinados
pela pressão e composição do líquido e vapor no estágio.
II.2.1.6. Estágio Teórico
É o estágio onde as transferências de massa e energia que ocorrem
durante o equilíbrio líquido-vapor têm 100% de eficiência.
II.2.1.7. Condensador
O condensador é um trocador de calor que tem como função remover
calor e condensar o vapor do topo de uma coluna de separação. Existem dois
tipos de condensadores: condensador total e parcial.
Um condensador é total quando todo o vapor do topo da coluna é
condensado. Se a carga térmica para o condensador for exatamente igual ao
calor latente do vapor, o condensado será um líquido saturado. Caso a carga
térmica seja maior que o calor latente, o condensado será um líquido sub-
resfriado.
Um condensador é parcial quando condensa somente parte do vapor do
topo da coluna. O líquido e o vapor produzidos podem ser considerados em
equilíbrio e, portanto, o condensador equivale a um estágio de equilíbrio.
II.2.1.8. Vaso de topo
Vaso de topo é um reservatório que mantém a corrente condensada no
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topo da coluna, de modo que uma parte do líquido formada possa ser retirada
como Produto de Topo, e/ou reciclada de volta à coluna, sob a forma de
refluxo.
II.2.1.9. Produto de topo
Produto de topo é o líquido condensado ou a parte do vapor não
condensado, no caso do condensador parcial.
II.2.1.10. Refluxo
Este líquido é resultante da condensação dos vapores dos componentes
mais voláteis no condensador de topo da coluna e que serve para remover ou
absorver os componentes menos voláteis da mistura.
A relação entre as vazões do refluxo e do produto destilado é
denominada razão de refluxo(RR):
RR = L / D (2.1)
Em que: L é a vazão de refluxo;
D é a vazão de destilado.
II.2.1.11. Pratos ou Bandejas
Pratos ou bandejas são dispositivos onde se realiza o contato líquido-
vapor na coluna de destilação. Esses são classificados de acordo com o
encaminhamento do fluxo líquido. Há dois tipos mais comuns de pratos: os de
passe simples e os de passe duplo. O prato de passe simples é o tipo mais
comum. Nesse caso, há um maior percurso do líquido através do prato, o que
contribui para uma alta eficiência. No entanto, nesse caso, a perda de carga
tende a ser maior comparada com o prato de passe duplo.
No prato de passe duplo, o fluxo líquido é dividido em duas partes, cada
uma fluindo através da metade do prato. Com isso, o percurso do líquido no
prato é menor, acarretando uma redução na eficiência, quando comparada com
a do passe simples.
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II.2.1.12. Área de Borbulhamento
É a região do prato, contendo válvulas, furos ou borbulhadores, onde é
promovido o contato líquido-vapor.
II.2.1.13. Carga de uma coluna
Carga é a mistura a ser separada pela coluna.
II.2.1.14. Prato de carga
Prato de carga é o prato onde é introduzida a carga na coluna.
II.2.1.15. Refervedor
O refervedor é um trocador de calor que tem como função fornecer
energia (carga térmica) ao processo de destilação, vaporizando parcialmente o
líquido de fundo da coluna.
Existem vários tipos de refervedores: refervedor kettle; refervedor
termo-sifão; refervedor casco-tubo, refervedor interno ou tipo baioneta; etc.
II.2.1.16. Produto de fundo
Produto de fundo é o líquido removido do refervedor ou diretamente do
fundo da coluna.
II.2.2. Esquemático de uma coluna de destilação
Um esquema de uma unidade de destilação típica, com uma corrente de
carga única e duas correntes de produtos, apresentando os principais
componentes é mostrado na figura 2.1.
Observa-se que a carga flui do prato de carga para a parte inferior da
coluna, sendo coletada no fundo pelo refervedor. O calor fornecido ao
refervedor, normalmente através de uma corrente de vapor d’água, vaporiza
parte do líquido oriundo da carga. O vapor formado no refervedor forma a
corrente ascendente de vapor no interior da coluna. O líquido não vaporizado
no refervedor é removido como produto de fundo. O vapor ascendente é
resfriado por um condensador. O líquido condensado é armazenado no vaso
de topo. Parte do líquido formado é reciclada de volta ao topo da coluna como
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vazão de refluxo. O líquido condensado ou a parte do vapor não condensado é
removido do sistema como destilado ou produto de topo.
Figura 2.1 - Unidade de Destilação Típica
II.3. Características de Comportamento
II.3.1. Comportamento não Linear
Um sistema Linear se caracteriza por apresentar resposta a uma
perturbação degrau de maneira uniforme, independentemente da amplitude e
do sentido das perturbações. Numa coluna de destilação, as respostas a uma
perturbação degrau, em geral dependem da amplitude e sentido da
perturbação da variável manipulada, e também do ponto de operação (Luyben,
1983).
A figura 2.2 ilustra o resultado da aplicação de um degrau positivo no
setpoint do controlador PID de temperatura do prato sensível na
debutanizadora utilizada nesta dissertação. Como se observa, a resposta da
fracionadora é típica de um processo de primeira ordem. Também nesta figura,
observa-se a resposta a um degrau negativo, de mesma amplitude, a qual tem
característica tipicamente de um sistema de segunda ordem.
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Figura 2.2 – Comportamento não linear de um sistema de destilação
II.3.2. Acoplamento e Interação
O acoplamento entre as malhas de controle de um dado sistema impõe
que este seja tratado como um sistema multivariável. Este acoplamento ocorre
porque, por exemplo, a ação de controle na vazão de refluxo para a correção
da composição de topo, também tem grande influencia na malha de
composição de fundo, e vice e versa (Riggs, 1998). Na figura 2.3 pode-se
observar, também na debutanizadora que será utilizada nesta dissertação, que
a vazão de refluxo está constante, em 40 m3/h. No entanto, um degrau de 3ºC,
elevando a temperatura de 147ºC para 150ºC, aplicado no fundo da
fracionadora, provocou alteração na composição de fundo e ao mesmo tempo
na composição do topo da fracionadora.
Setpoint
Variável de
processo
150ºC
155ºC
145ºC
Tempo (min) 0 30 60
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Figura 2.3 – Acoplamento de um sistema de destilação
II.3.3. Dinâmica Complexa
A dinâmica do vapor é usualmente mais rápida que a dinâmica do
líquido. Esta é a maior razão da complexidade da dinâmica da composição
(Riggs, 1998). Observa-se claramente nas colunas de destilação que o efeito
das variações no refervedor são observadas muito mais rapidamente na
composição de fundo que na composição de topo. Da mesma forma, variações
na vazão de refluxo têm seus efeitos observados mais rapidamente na
composição de topo que na composição de fundo. A resposta hidráulica de um
prato depende do acúmulo de líquido neste e depende do projeto dos pratos.
Como exemplo do efeito das diferenças entre as dinâmicas do vapor e
do líquido, considere o efeito do aumento do calor do refervedor na impureza
do produto de topo (Riggs, 1998). O aumento do calor aparece no topo da
coluna sob a forma de um aumento de composição de pesados. Por outro lado,
a vazão de refluxo permanece constante em função da ação do controle
regulatório, em malha fechada, por exemplo, com o nível do vaso de topo.
Após um tempo, o nível no vaso subirá, fazendo aumentar a vazão de refluxo.
O aumento na vazão de líquido descendo a coluna terá que percorrer todos os
pratos desta, até que cause uma redução dos pesados no topo. O resultado
Composição de topo
Composição de fundo
Temperatura de fundo
Vazão de Refluxo
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destes fenômenos opostos é um comportamento típico de uma resposta
inversa, ou zeros positivos numa análise no domínio da freqüência, o que é
denominado de comportamento de fase não mínima. A figura 2.4 a seguir,
ilustra este comportamento.
Figura 2.4 – Comportamento dinâmico de um sistema de fase não mínima
II.4. Problemas Operacionais
Em um processo auto-regulado, em estado estacionário e na ausência
de perturbações, a presença de um sistema de controle seria necessária
apenas para fazer a saída do processo seguir um determinado valor de
setpoint. Esta hipótese é, no entanto ideal, não representando a realidade, já
que as perturbações estão sempre presentes em um processo real. Estas
perturbações precisam ser avaliadas e seus efeitos considerados no projeto de
controle para que o mesmo rejeite tais perturbações. No caso de uma coluna
de destilação as diversas perturbações têm seus efeitos nas composições dos
produtos de topo e fundo afetando a operação da coluna e a qualidade do
produto final.
II.4.1. Composição de Entrada
Mudanças na composição da carga são as mais significativas
perturbações que o controle de uma coluna deve enfrentar durante sua
operação contínua. Este tipo de perturbação desloca o perfil de composição da
coluna, afetando a composição dos produtos de topo e de fundo. Se existir
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analisador de composição da carga, esta perturbação pode ser identificada e
inserida em um controlador multivariável, caso contrário, esta perturbação vai
aparecer como uma perturbação não medida e que deve ser rejeitada pelo
controle.
II.4.2. Vazão de Carga
O estado estacionário de uma coluna, considerando uma eficiência de
pratos constante, está diretamente relacionado com a vazão de carga (Riggs,
1998). A utilização de relações das variáveis com a carga no lugar do uso
direto das variáveis manipuladas, são um meio de controlar este distúrbio no
controle regulatório. No entanto, é necessário utilizar compensações dinâmicas
tais como, filtros de primeira ordem, para levar em conta a dinâmica entre a
perturbação e seus efeitos nas composições de topo e de fundo. No controle
multivariável esta perturbação é de fácil tratamento, uma vez que, em geral, a
vazão de carga é medida e desta forma podem ser identificados modelos para
cada efeito.
II.4.3. Subresfriamento do Refluxo
Em certas situações como mudanças climáticas repentinas, provocadas
por uma chuva de verão por exemplo, a temperatura do refluxo pode cair
repentinamente. Isto ocorre, tendo em vista que a área da superfície da coluna
de destilação, do condensador e do vaso de topo estão em geral expostas,
causando rápido aumento no refluxo interno da coluna, e por conseguinte,
grande perturbação na composição dos produtos.
II.4.4. Pressão da Coluna
A pressão da coluna tem um efeito imediato na volatilidade relativa dos
componentes-chave. O controle da pressão é normalmente implementado ao
nível do controle regulatório e deve manter a pressão da coluna o mais próxima
possível do “setpoint”, com o mínimo de variações.
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II.5. Objetivos de Controle
Em geral são quatro os objetivos de controle de uma coluna de
destilação (Jesus, 2000):
• manter estável as condições de operação da coluna;
• manter os produtos de topo e fundo dentro dos limites da
especificação;
• alcançar os objetivos anteriores de forma mais eficiente possível. Isto
significa maximizar a recuperação dos produtos e minimizar o
consumo de energia;
• manter o processo dentro dos limites das restrições.
Para atingir os objetivos listados, é necessário controlar a pressão da
coluna, os níveis do vaso de topo e do fundo da coluna e as composições dos
produtos de topo e de fundo.
Obtém-se a estabilidade operacional da coluna controlando três destas
variáveis, o chamado controle de inventário: a pressão, o nível do vaso de topo
e o nível do fundo da coluna. O atendimento das especificações desejadas dos
produtos, o chamado controle de qualidade, é obtida controlando-se a
composição de topo e de fundo. Este controle pode ser obtido de forma direta,
através do uso de analisadores nas correntes de topo e fundo ou de forma
indireta através de propriedades físicas que tenham uma relação,
preferencialmente linear, com a composição do produto. A temperatura de um
prato sensível é a propriedade mais comumente utilizada (Kister, 1990).
Esquemas de controle avançado, tal como controle preditivo, permitem a
operação do processo de forma otimizada e a sua manutenção dentro dos
limites operacionais. Utilizam-se, no caso, funções custo, que podem ser
programadas para atender as restrições operacionais.
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
II.6. Restrições
Restrições estão sempre presentes em qualquer situação de controle na
vida real. É um fato bastante conhecido que o ponto de operação que satisfaz
os objetivos econômicos globais de um processo, em geral, está na interseção
de restrições (Garcia et al., 1989, Garcia e Prett, 1987). Ignorar as restrições
significa, portanto, operar o sistema longe dos limites operacionais para não
correr o risco de violá-los, e desta forma trabalhar de modo sub-otimizado.
Entre as restrições mais comuns na operação de colunas de destilação,
incluem-se (Riggs, 1998):
• capacidade do refervedor – esta restrição pode ser conseqüência de: (1)
um aumento na pressão da coluna que reduza o diferencial de
temperatura para a troca térmica; (2) fouling (entupimento) de tubos no
refervedor; (3) aumento da carga processada de modo que a carga
térmica requerida ao refervedor seja maior que a disponível; (4) limitação
da válvula de controle de admissão de vapor para o refervedor;
• capacidade do condensador – esta restrição pode ser conseqüência de:
(1) uma alteração nas condições do fluido refrigerante que diminua o
diferencial de temperatura necessário à troca térmica; (2) fouling de
tubos do condensador; (3) aumento da carga processada que ultrapasse
a capacidade do condensador; (4) limitação da válvula de controle de
admissão do fluido refrigerante para o condensador;
• inundação da coluna (flooding) – inundação é definido como o acúmulo
excessivo de líquido dentro da coluna. Ela pode ser originada por
diversas causas, dependendo das vazões de líquido e vapor internas.
Em Kister (1990), pode-se encontrar um capítulo específico, com uma
discussão detalhada sobre os diferentes tipos de inundação.
• gotejamento (weeping) – este fenômeno ocorre quando a vazão de
vapor é tão baixa que o gotejamento da massa líquida nas bandejas da
coluna não é evitado (Jesus, 2000);
• temperatura de controle máxima – as temperaturas são limitadas a
certos valores para evitar que sejam alcançadas as temperaturas
críticas, em que ocorre a reação de polimerização e conseqüentemente
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deposição de polímeros no refervedor, reduzindo sua capacidade de
troca térmica (Jesus, 2000).
II.7. A Simulação da Coluna Debutanizadora no HYSYS
II.7.1. Coluna Debutanizadora
A Debutanizadora é uma fracionadora largamente encontrada na
indústria petroquímica e de petróleo. Recebendo uma carga de C4 e mais
pesados, em geral ricos em C5, separa os componentes C4 no topo, retirando
os componentes mais pesados ricos em C5 no fundo. O C4 pode ser
hidrogenado e retornar, por exemplo, para ser craqueado em fornos de pirólise,
para se obter eteno, ou seguir para separação de butadieno 1,3. Este
hidrocarboneto é largamente utilizado na indústria petroquímica como matéria-
prima na produção de pneus, calçados, televisores, geladeiras, carpetes,
asfalto, impermeabilizantes e, até mesmo, goma de mascar.
Na indústria petroquímica, em geral, o C5 após hidrogenado, retorna a
refinaria como gasolina de pirólise, uma gasolina de excelente qualidade, com
alta octanagem.
A coluna em estudo possui 15 pratos simulados, com duas correntes de
carga, sendo a primeira corrente 26% líquida e 74% vapor, é alimentada no
oitavo estágio simulado e é composta de aproximadamente 45% de compostos
C4, 28% de compostos C5 e 26% de compostos mais pesados C6, C7 e C8. A
segunda corrente, inteiramente líquida, alimentada no quarto estágio simulado
é composta de aproximadamente 68% de compostos C4 e 32% de compostos
C5. Seu condensador de topo é do tipo parcial. O refervedor é do tipo “Kettle”.
A figura 2.5 representa esquematicamente a coluna, com as suas malhas de
controle regulatório PID, de qualidade e de inventário.
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Figura 2.5 – Coluna Debutanizadora no HYSYS
As malhas de controle regulatório PID, de qualidade, responsáveis pela
especificação dos produtos de topo e fundo são:
• qualidade do produto de topo é controlada pela vazão de refluxo da
coluna (PV), manipulada pela própria vazão de refluxo (MV);
• qualidade do produto de fundo é controlada pela temperatura no prato
15 (PV), manipulada pela quantidade de calor fornecida pelo refervedor
(MV).
As malhas de inventário ou controle de estoque utilizadas na coluna são:
• nível do vaso de topo, controlado pela vazão de destilado. Parte da
corrente líquida acumulada no tambor de condensado é retornada como
refluxo líquido de topo e parte é removida como destilado produto. Uma
pequena parte do destilado desta coluna é removido sob a forma de
vapor, conseqüência de um condensador do tipo parcial;
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• nível de fundo da coluna, controlado pela vazão do produto de fundo;
• pressão da coluna, controlada por dois controladores, um controle pelo
calor do condensador, manipulando-se a própria corrente de topo e um
controle do tipo “hot by-pass”;
II.7.2. Simulação em regime Estático e Dinâmico
A coluna de destilação debutanizadora utilizada nesta dissertação pode
ser encontrada no diretório de demonstração do “Simulador Dinâmico
HYSYS”, que tem capacidade de alcançar uma grande abrangência, conforme
manual do HYSYS versão 1.5, oferecendo as seguintes características
requeridas pelas Indústrias (Rocha, 2003):
• exatidão - o modelo dinâmico do HYSYS fornece resultados precisos,
baseado no equilíbrio, nas reações, nas operações unitárias, e em
modelos de controladores, que comprovam a confiabilidade e a utilidade
do programa.
• facilidade de uso – o simulador HYSYS dinâmico usa o mesmo ambiente
gráfico interativo do simulador HYSYS estático. Todas as informações
referentes a correntes e operações unitárias do fluxograma, do caso de
simulação estática, podem ser facilmente transferidas para o ambiente
de simulação dinâmica.
• velocidade - as opções de modelagem dinâmica no HYSYS foram
desenvolvidas para fornecer um compromisso entre exatidão e
velocidade. O programa HYSYS usa o método de integração de Euler,
de passo fixo implícito. Os balanços de volume, energia e composição
são resolvidos em passos de integração diferentes. Os balanços de
volume são padronizados para serem calculados a cada intervalo de
tempo, enquanto que os balanços de energia e composição são
padronizados para serem resolvidos a cada segundo e um décimo do
passo de integração. Esta solução permite que o HYSYS execute
rapidamente cálculos precisos e estáveis durante a simulação.
• projeto detalhado – detalhes específicos de cada parte do equipamento
da planta podem ser fornecidos ao HYSYS. Além disso, é possível
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confirmar se o equipamento especificado é capaz de obter o produto na
qualidade desejada. A informação inclui as dimensões do equipamento,
a geometria, a colocação dos pontos de alimentação e retirada e a
posição relativa ao nível do solo. Um modelo detalhado do acúmulo de
produtos internamente aos equipamentos, permite o cálculo de níveis,
perda de calor, contribuições da altura estática, e composições de
produto baseados na informação de cada parte do equipamento.
• realismo - Um novo nível de realismo, com relação ao fluxo material na
simulação, é conseguido com a utilização do sistema de cálculo de
pressão ao longo de todos os equipamentos, incluindo-se as linhas.
Com a adoção do fluxo da pressão, a taxa de fluxo através de qualquer
unidade de operação depende das pressões das partes circunvizinhas
dos equipamentos. O fluxo material através de uma planta real pode
mais precisamente ser modelado através da pressão em todos os fluxos
de produtos.
O interesse desta dissertação é a aplicação de um controlador preditivo
multivariável bilinear a um processo não linear, geralmente encontrado na
prática. As considerações acima apresentadas justificam a escolha do HYSYS
e nos permitem afirmar que a simulação da coluna de destilação
debutanizadora apresentada no referido simulador, representa de forma
satisfatória uma coluna de destilação tanto do ponto de vista estático quanto
dinâmico.
A coluna é simulada utilizando-se quinze estágios teóricos,
representando os pratos de uma coluna real e o condensador parcial que é
equivalente a um estágio. Deve-se observar que o refervedor, do tipo “Kettle”,
não equivale a um estágio.
Apresentamos a seguir algumas condições de simulação da coluna,
utilizando-se o programa de simulação de processo HYSYS, versão 1.5:
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Carga 1 Carga 2 Prod. Topo Prod. Fundo Refluxo
Vazão kh/h 8.164,70 4.082,40 4869,00 6792,00 22971,00
Temp. C 148,89 60,00 68,31 158,83 68,46
Pressão kPa 1.445,90 1.443,60 1200,00 1449,70 1481,70
Composição
propano 0,019763 0,027975 0,042867 0,000003 0,042869
i-butano 0,212413 0,201627 0,388034 0,004207 0,388041
n-butano 0,212413 0,212239 0,373130 0,029441 0,373116
i-buteno 0,010355 0,241852 0,179029 0,001910 0,179033
i-pentano 0,140921 0,136782 0,011592 0,353190 0,011592
n-pentano 0,140921 0,179526 0,005346 0,284705 0,005346
n-hexano 0,092701 0,000000 0,000000 0,124699 0,000002
n-heptano 0,094220 0,000000 0,000000 1,126745 0,000000
n-octano 0,076293 0,000000 0,000000 0,102629 0,000000
Tabela 2.1: Dados de processo da coluna debutanizadora
A simulação dinâmica de um processo possibilita avaliar seu
comportamento em regime transitório entre dois estados. Os resultados da
simulação estática servem como ponto de partida para o desenvolvimento da
simulação dinâmica, na medida em que estes estabelecem as condições
iniciais. Ainda nesta simulação, também foi utilizado o programa HYSYS 1.5
em conjunto com o programa MATLAB versão 6.0.
As malhas de inventário já descritas, que são a malha de nível de fundo
da coluna, nível do vaso de topo e pressão da coluna, são controladas por
meio de controladores PID, cujo algoritmo é residente no programa HYSYS, os
quais foram sintonizados utilizando-se o método IMC (Riviera et al., 1986).
Para as malhas de controle de qualidade, composição de topo e fundo,
utilizaram-se dois níveis: no primeiro nível, o regulatório, por meio de
controladores PID, da mesma forma residentes no HYSYS. Para a qualidade
do topo, um controlador de vazão de refluxo, e para a qualidade do fundo, um
controlador da temperatura do prato sensível da coluna. Este atua na fonte de
calor do refervedor; no segundo nível, superior, para permitir uma comparação,
utilizou-se separadamente, um controlador preditivo multivariável bilinear com
compensação iterativa, um controlador preditivo multivariável bilinear
quasilinear por degrau de tempo e um controlador preditivo multivariável linear.
Todos os controladores foram implementados no programa MATLAB, que se
comunica com o HYSYS por meio de comunicação DDE. Esta comunicação,
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assíncrona é um ponto falho que provavelmente já foi superada em versões
mais atualizadas de ambos os programas, aos quais não tivemos acesso.
As variáveis do controlador preditivo que compõe as malhas de controle
de qualidade do nível hierárquico mais elevado, responsáveis pela
especificação dos produtos de topo e fundo da são:
• concentração de C5+ na corrente de topo da coluna (PV) que é uma
variável controlada;
• concentração de Butanos na corrente de fundo da coluna (PV) que é
uma variável controlada;
• “setpoint” do controlador da vazão de refluxo, da coluna simulada no
HYSYS, que é uma variável manipulada;
• “setpoint” do controlador de temperatura do prato sensível da
debutanizadora, que atua na quantidade de calor fornecida pelo
refervedor. Esta é a segunda variável manipulada.
O objetivo do controle na composição de topo é manter o teor máximo
dos contaminantes C5+ pela corrente de topo em 1,5 %, com a menor
variabilidade possível. Isso significa que se deve operar a referida malha o
mais próximo do limite de especificação, possibilitando a operação da coluna
com menor vazão de refluxo e, conseqüentemente, menor custo energético no
refervedor. O objetivo do controle na composição de fundo é manter o teor
máximo de Butanos em 1400 ppm na corrente de fundo para reduzir as perdas.
II.8. Balanço de Material em uma Coluna de Destilação
A Coluna Debutanizadora foi simulada com os seguintes componentes:
propano; i-butano; n-butano; i-buteno; n-buteno; i-pentano; n-pentano;
n-hexano; n-heptano e n-octano .
Em Rocha (2003), foi mostrado o balanço de massa no estado transitório
para uma coluna de destilação, em que ficou caracterizada a existência de um
termo bilinear nas diversas equações de balanço ao longo de cada prato de
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uma coluna. Em sua dissertação, Rocha (2003) destacou a equação 2.2 do
condensador, mas deixou claro que em todas as equações de balanço de
massa, por componente, existe sempre um termo que multiplica a saída total
do produto pela concentração de cada componente. Observa-se assim que
existe um termo bilinear, justificando desta forma a necessidade de um modelo
bilinear para a coluna. Algumas das equações são mostradas a seguir:
Balanço de massa por componente no Condensador:
(2.2)
Balanço de massa global e por componente para um prato genérico
da Coluna
(2.3)
Balanço de massa global e por componente para o Refervedor da
Coluna
(2.4)
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II.9. Considerações
Neste capítulo foram discutidos os conceitos básicos do processo de
destilação e, em seguida, uma descrição detalhada do processo operacional da
coluna debutanizadora.
Os objetivos de controle, a definição das variáveis controladas e
manipuladas dentro de cada estratégia de controle, no nível do controle
regulatório e no nível do controlador preditivo multivariável estão explicitamente
demonstrada neste capítulo. Também as restrições impostas pelo sistema
foram discutidas. O bom desempenho do controle está diretamente relacionado
com o bom entendimento do processo.
Foi apresentada ainda uma descrição da simulação do processo, que
utilizou os programas HYSYS e MATLAB, descrevendo as características do
simulador, as variáveis de controle e os parâmetros utilizados.
Por meio do balanço de massa por componente no estado transitório,
mostrou-se a existência da bilinearidade, justificando a representação de uma
coluna de destilação através de um modelo bilinear.
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CAPÍTULO III
CONTROLADORES PREDITIVOS
III.1. Introdução
O nome Controle Preditivo é utilizado em virtude do modo pelo qual a lei
de controle é calculada. A classe de algoritmos preditivos calcula uma
seqüência de ajustes no sinal de controle, baseada em um modelo matemático,
de forma a otimizar o comportamento futuro da saída de uma planta.
Originalmente desenvolvido para atender à necessidade de controle
especializado de refinarias de petróleo, a técnica de controle obteve grande
aceitabilidade no ambiente industrial. Encontrou aplicabilidade em várias áreas,
incluindo indústria química, processamento de alimentos, automotiva,
aeroespacial, metalúrgica e de papel, devido a sua eficácia destacada no
controle de plantas multivariáveis, com retardo, de fase não mínima e instáveis.
Diferentemente da técnica de controle clássica, os controladores preditivos
baseiam-se na predição do comportamento futuro da(s) saída(s) do processo a
ser controlado. Esta predição, por sua vez, é obtida por meio de um modelo
matemático do processo, cujas variáveis supõem-se disponíveis. Utilizam-se,
então, os valores futuros preditos da(s) saída(s) para calcular a ação de
controle. Em contraste com outros métodos, os controladores preditivos têm-se
mostrado intrinsecamente robustos (Morari, 1986) com relação a erros de
modelagem.
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III.2. Controle Preditivo
III.2.1. Conceito
O controle preditivo é uma técnica de controle discreta no tempo, que
utiliza um modelo explícito do processo para calcular uma seqüência de
controle futura, fazendo com que a saída predita siga uma dada trajetória de
referência (Fontes, 2002). Esse conceito pode ser ilustrado para o caso SISO,
através da Figura 3.1, em que se considera o sinal de referência constante.
Figura 3.1 – Conceito de Horizonte Preditivo
As variáveis u(k), y(k) e r(k) representam os valores no instante atual k
da variável manipulada ou sinal de controle, da variável controlada ou saída do
processo e do sinal de referência ou “setpoint”, respectivamente. Os valores
futuros dessas variáveis são definidos pelos seguintes vetores:
[
]
[]
[]
=+−
=+ +
=+ +
L
L
L
() ( 1)
ˆˆ ˆ
(1) ( )
(1) ( )
T
T
T
uuk ukNU
yyk ykNY
rrk rkNY
(3.1)
Em que:
+
ˆ
()yk j
representa o valor estimado de y(k) j-passos à frente;
NY representa o horizonte de predição;
NU representa o horizonte de controle.
A predição, isto é, o comportamento futuro do processo é calculado
dentro do horizonte de predição NY definido, usando um modelo previamente
L
L
a
a
u
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r
r
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n
n
d
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i
,
,
S
S
–
–
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0
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31
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
determinado e validado do processo e levando em consideração ações de
controle calculadas para o horizonte de controle NU, também previamente
definido.
Um índice de desempenho norteia o cálculo das ações de controle de
forma que a saída predita apresente determinadas características desejadas
em relação ao sinal de referência utilizado. O sinal de referência, também
conhecido como “trajetória de referência”, pode ser considerado tanto um
valor constante, como uma trajetória filtrada por um modelo de referência,
normalmente de primeira ou de segunda ordem. Somente o primeiro elemento
da seqüência de controle calculada é aplicado ao processo, sendo
desconsiderados os demais. No instante de amostragem seguinte, todo o
procedimento é repetido, utilizando as informações medidas mais recentes.
Esta metodologia é conhecida como “Princípio do Horizonte Móvel”,
(Receding Horizon) foi proposta por Propoi (1963) e é o que confere
características de robustez ao controlador preditivo.
Uma “Função Objetivo” é utilizada com a finalidade de se quantificar a
qualidade de rastreamento da saída predita do processo em relação à trajetória
de referência, a qual relaciona as variáveis y, u e r. A função objetivo
normalmente utilizada no desenvolvimento de controladores preditivos é:
[]
λ
==
=
+− + + +
∑∑
2
2
11
ˆ
()() ()
NY NU
jN i
Jrkjykj uki (3.2)
Em que:
N1 representa o horizonte mínimo de predição;
NU e NY são como já definidos em 3.1.
A minimização dessa função objetivo em relação a u gera a seqüência
de ações de controle para um determinado horizonte de predição. A seqüência
encontrada é ótima com relação à função objetivo, que é minimizada a cada
instante. Dessa forma, os valores futuros da diferença entre y e r são
minimizados. Portanto, para a hipótese de um modelo perfeito do processo e
para um sistema não sujeito a distúrbios nem restrições, a saída do processo
acompanhará a “trajetória de referência” em NY passos nos instantes de
amostragem. Isto, considerando uma ponderação nas ações de controle
λ
,
L
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
exatamente conforme previsto em 3.2. Caso contrário, haverá um erro,
compensado pelo novo cálculo, no instante seguinte.
A estrutura básica da estratégia de Controle Preditivo é implementada
conforme figura 3.2 a seguir. Nesta estrutura, o modelo é utilizado para
predizer os valores futuros das saídas da planta, baseados em valores
presentes e passados e nas ações futuras de controle ótimas. Estas são
calculadas pelo otimizador que garante a minimização da função objetivo. Esta
função considera o erro de rastreamento futuro, os incrementos das ações de
controle futuras e pode considerar também restrições impostas.
+
-
Otimizador
Modelo
Processo
u(k)
y(k)
y(k)
Controlador
Função
Objetivo Restrições
Trajetória de
Referência
Figura 3.2 – Estrutura básica do MPC
Se o processo em questão tiver tempo morto, t
d
, associado, o
procedimento a ser utilizado deve ser o mesmo, exceto que o limite inferior do
somatório da função objetivo, correspondente ao horizonte mínimo de predição,
deve ser mudado. Sendo este um múltiplo do período de amostragem, T
a
,
então os limites passarão a ser de t
d
/ T
a
até NY.
Um outro aspecto a ser observado é que o cálculo da seqüência de
ações de controle é um problema de otimização ou, mais especificamente, um
problema de minimização. Normalmente, sua solução requer um procedimento
iterativo, que, no entanto, é evitado quando o critério é quadrático, o modelo é
linear e não existem restrições. Neste caso, existe uma solução analítica.
Deve-se observar, no entanto, que a função objetivo ideal necessitaria ser
baseada em especificações de projeto, tais como: “tempo de estabilização”;
“sobresinal”; “tempo de subida”; “margem de ganho”; etc. Neste contexto, o
problema de otimização resultante seria de difícil solução. Por este motivo, os
L
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n
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,
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
controladores preditivos utilizam uma função quadrática como função objetivo.
Com isso, as especificações de projeto devem ser transladadas para os
parâmetros da função objetivo quadrática, de forma que, quando esta é
minimizada, as especificações acima mencionadas sejam atendidas.
III.2.2. Histórico
O conceito de controle preditivo foi introduzido na mesma época, de
forma independente, por Richalet (1978) e por Cutler e Ramaker (1979),
embora os estudos relativos a esta abordagem de controle tenham sido
iniciados nos anos 60 por Smith (1958). Este, propôs um controlador baseado
na utilização de um modelo de predição e de uma lei de controle clássica. A
partir de então, os controladores preditivos têm recebido contínuo
aperfeiçoamento e se tornado motivo de grande interesse industrial e
acadêmico, sendo ressaltado, na maioria da literatura especializada, seu
excelente desempenho nas mais diversas aplicações.
Como o Controle Preditivo traz, implicitamente, a necessidade da
existência de um modelo matemático que descreva bem o comportamento
dinâmico do processo, para a predição, estes são denominados de
Controladores Preditivos baseados em Modelo – MPC. Esses controladores
têm sido muito explorados na literatura e se tornado uma poderosa técnica de
controle nos últimos anos, com extensa publicação de resultados.
Os diversos algoritmos MPC existentes até o momento baseiam-se
todos no mesmo procedimento. Estes utilizam um modelo matemático, para a
predição do valor futuro da saída e calcula as ações de controle futuras que
minimizam um critério de desempenho. O modelo matemático é obtido
utilizando ferramentas de identificação. O que difere basicamente um dado
controlador preditivo de outro é basicamente o tipo de modelo matemático
utilizado na predição e a função objetivo que calcula as ações futuras de
controle.
Os controladores que fazem uso de modelos lineares e que utilizam a
minimização da norma
2
H para obtenção das ações de controle, dispõem, na
L
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
ausência de restrições, de uma solução analítica explícita. No entanto, os
controladores com modelos não lineares ou que minimizam outras normas, a
exemplo da H
∞
ou ainda que imponham restrições de cálculo, necessitam
utilizar ferramentas de otimização mais complexas.
Uma das primeiras e mais importantes propostas de controladores da
família MPC foi apresentada com o nome de controle de Variância Mínima
[Aström 73]. Este controlador foi desenvolvido para aplicação em uma indústria
de papel de celulose, objetivando controlar a homogeneidade da espessura do
papel fabricado. O algoritmo proposto, baseado na predição d passos à frente,
sendo d
o atraso de transporte do sistema, supostamente conhecido, utiliza um
modelo ARMAX. Neste caso, a ação de controle é calculada de forma a
minimizar a variância do sinal de saída. Este controlador é inadequado para
sistemas de fase não mínima, e apresenta baixo desempenho para sistemas
com zeros próximos ao círculo unitário, além de só atender ao problema
regulador.
A partir do controlador de variância mínima, Clarke e Gawthrop (1975)
propuseram melhorias, dando-lhe o nome de Variância Mínima Generalizada
(GMV). No GMV, o modelo utilizado é também o ARMAX e a lei de controle é
obtida minimizando, a cada instante, um critério quadrático em que se pondera
a saída predita d passos à frente, a trajetória de referência e o vetor de
controle. Isto permite que a saída predita apresente a mínima variância
possível, mesmo na presença de ruído contaminante, além de dar ao
controlador capacidade de rastreamento.
Em 1978, Richalet apresentou um algoritmo denominado Controle
Preditivo Baseado em Modelo Heurístico - MPHC, que utiliza um modelo de
resposta ao impulso para calcular a ação de controle. Esta é determinada de
forma que a saída predita siga uma dada trajetória de referência, utilizando
ainda, o conceito de horizonte estendido. O software foi comercializado com o
nome de IDCOM, utilizado com muito sucesso em plantas industriais como
colunas de destilação, de craqueamento catalítico, gerador de vapor e planta
de PVC. Posteriormente, Rouhani & Mehra (1982), desenvolveram uma nova
proposta, baseados não na resposta ao impulso, mas na resposta ao degrau,
L
L
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,
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
que denominaram Algoritmo de Controle Baseado em Modelo - MAC.
Em 1980, Cutler publica um artigo com um algoritmo da família MPC,
baseado em um modelo de resposta ao degrau, utilizando o conceito do
horizonte estendido de controle, que denominou de Controle por Matriz
Dinâmica (DMC). Este controlador teve enorme sucesso na indústria de todo o
mundo, alavancado pelo fato de, na época, seu desenvolvimento ter sido
patrocinado pela Shell Oil (Houston, Texas) que o utilizou em suas refinarias de
petróleo com enorme sucesso.
Em 1987, Clarke publicou o Controle Preditivo Generalizado (GPC), e
neste, preferiu utilizar um modelo paramétrico de entrada-saída, incluindo uma
modelagem estruturada do ruído inserido na medição. Isto torna o controlador
mais robusto a erros de modelagem, além de manter o conceito do horizonte
estendido de controle.
Foram também desenvolvidos outros controladores, utilizando o modelo
de representação não mais na forma de resposta ao impulso ou ao degrau,
inviáveis para processos instáveis em malha aberta, mas sim na forma de
espaço de estados, a exemplo dos propostos por Ricker (1990) e Bitmead
(1990). Estes permitem a generalização para casos mais complexos, trazendo
porém em contrapartida, uma maior complexidade numérica.
A necessidade de modelagem, intrínseca à predição, traz em si uma
perda de robustez, quando se faz uma escolha indevida do modelo do
processo. Todos os controladores citados têm suas deficiências, sendo o GPC,
o primeiro que se propõe a controlar processos de fase não mínima, plantas
instáveis em malha aberta, plantas com tempo morto desconhecido ou variável
(Fontes, 2002).
Deve-se observar ainda que os algoritmos citados anteriormente podem
ser dotados de mecanismos de adaptação e de tratamento de restrições de
desigualdade nas variáveis de entrada e saída. Isto os torna mais eficientes,
desde que sejam acrescentadas aos algoritmos básicos as rotinas de
adaptação e de otimização mais adequadas.
L
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,
,
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
III.2.3. Modelos e Preditores monovariáveis de entrada e saída
Existem diversas famílias de modelos matemáticos que podem ser
utilizadas para representar matematicamente o comportamento dinâmico de
um processo. Dentre eles encontram-se: modelos de entrada-saída
paramétricos e não-paramétricos; mono e multivariáveis, modelos via espaço
de estados, etc. (Goodwin e Sin, 1984). Neste capítulo será enfocado apenas o
modelo linear ARIMAX, na forma monovariável de entrada e saída, utilizado
pelo algoritmo GPC, base do desenvolvimento do controlador Bilinear. Detalhes
do desenvolvimento de outros modelos poderão ser encontrados em Fontes
(2002), Rocha (2003) e Ângelo (2005). No capítulo IV desta dissertação, será
apresentado o caso multivariável em mais detalhe.
III.2.3.1 Modelo paramétrico ARIMAX ou CARIMA
O modelo linear paramétrico, ARIMAX – Auto Regressivo, Integral,
Média Móvel com sinal Exógeno, pode ser representado por meio da
expressão geral:
−− −
−−−
=−+
11
111
() ()
() ( 1) ()
() ()()
d
qBq Cq
yk uk ek
Aq Dq Aq
(3.3)
[-----parte determinística---] [---modelo do ruído--]
Em que: - q
-1
representa o operador atraso unitário;
y(k) é a saída do processo;
d é o retardo, em múltiplos do período de amostragem
(d
≥
0);
u(k) é a saída do controlador;
e(k) é um ruído “branco” e gaussiano, com média zero e
variância
σ
2
.
Os polinômios A(q
-1
), B(q
-1
), C(q
-1
) e D(q
-1
), são dados por:
−
−− −
−−
−−− −
=+ + + +
=+ + ++
=+ + + +
=+ + + +
112
12
112
01 2
111
12
111
12
)1
1
)1
-- -na
na
-nb
nb
--nc
nc
nd
nd
A(q a q a q . . . a q
B(q ) b b q b q . . . b q
C(q ) c q c q . . . c q
D ( q d q d q . . . d q
(3.4)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
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n
n
d
d
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,
,
S
S
–
–
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,
,
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/
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,
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2
0
0
0
0
6
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p
.
.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Em que: na, nb, nc e nd
são graus dos polinômios A(q
-1
), B(q
-1
), C(q
-1
) e
D(q
-1
), respectivamente e que neste caso são:
=
≤ 01na n ; nb n, nc > e nd = ,
que corresponde a
−
==∆
11
1
-
D(q ) - q . Com isso, tem-se que:
−−
−
=−+
∆
11
11
1
d-
-
q B(q ) C(q )
y(k) u(k ) e(k)
A(q ) A(q )
(3.5)
ou ainda,
−−
∆∆−+
11 1
1)
-d -
A(q )y(k) = q B(q ) u(k ) C(q )e(k (3.6)
Em termos de diagrama de blocos, tem-se que:
Figura 3.3 – Diagrama de Blocos do Modelo ARIMAX do Processo
III.2.3.2 Preditor para o modelo ARIMAX ou CARIMA em sistemas com
retardo
Em controle preditivo, para se efetuar o cálculo das ações futuras de
controle, é necessário que se faça uma predição da saída do processo, isto é,
da variável controlada. Para tanto, utiliza-se um modelo pré-definido do
processo a ser controlado. Este modelo permite predizer a saída em t=k+j,
usando as informações passadas, conhecidas, das ações de controle e/ou
saídas do processo, e as saídas futuras do controlador a serem calculadas. Os
algoritmos que efetuam esse cálculo são denominados preditores
j-passos à
frente.
A predição baseada no modelo dinâmico refere-se à previsão da saída
futura em um determinado instante de tempo maior que o instante de tempo
atual, a partir de informações disponíveis até o instante k presente.
L
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r
r
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S
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,
,
,
,
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,
,
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0
0
0
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p
p
.
.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Em um sistema com um retardo de d
instantes de amostragem, uma
entrada u(k), gerada em
=tk tem efeito na saída y somente a partir do
instante
=++1tkd
. Então, na estratégia de controle preditivo, a seqüência de
controle
+−−L(), ,( 1)uk uk NY d deve ser calculada de forma que a saída
predita do processo
++ +L
ˆˆ
(1)()
yk d yk NY
alcance a trajetória desejada
definida por ++ +
L(1),,()rk d rk NY . Desta forma, utilizando preditores
j-passos à frente, na presença de retardo, será efetuada a predição +
ˆ
()
yk j
como função de +− −(1)uk j d , com
=
+ L1, ,
j
dNY
, sendo
NY
o “horizonte
de predição”. Isto significa que na existência de retardo, o horizonte de
predição deve satisfazer:
≥+1NY d . Considere, então, o modelo ARIMAX
descrito anteriormente em (3.5) com
−
=
=∆
11
1
-
D(q ) - q e fazendo
11
() ()Aq Aq
−−
∆=
%
:
−−
−
−−
=∆−+
%%
11
11
() ()
() ( 1) ()
() ()
d
Bq Cq
yk q uk ek
Aq Aq
(3.7)
A saída ( )yk
j-passos à frente, com
j
d≥ é dada por:
−−
−−
+
=∆−+−+ +
%%
11
11
() ()
() ( 1) ()
() ()
Bq Cq
yk j uk d j ek j
Aq Aq
(3.8)
Observa-se nesta equação, que
+
y
(k j) depende de valores passados
e/ou futuros das variáveis envolvidas, isto é:
y, u e e. Por outro lado, sabe-se
que a melhor estimativa de
+
,y(k j) isto é
+
ˆ
,
y
(k j) satisfaz a condição a seguir:
ε
+= +−
2
ˆ
min [
s
y (k j) { y (k j) s] }
(3.9)
cuja solução é:
{
}
ε
=+= +
ˆ
() ()sykj ykj (3.10)
Este estimador é conhecido como estimador de Bayes ou “estimador de
risco quadrático mínimo”. Assim, quando e(k) é um ruído “branco”, gaussiano,
de média zero, a melhor estimativa de y(k+j), é o seu valor determinístico.
Então, com o objetivo de separar a dependência de y(k+j), das informações
passadas e futuras, introduz-se a seguinte identidade polinomial, conhecida
como equação diofantina:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
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,
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0
0
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p
.
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
−
−
−−
−−
=+
%%
1
1
1
11
()
()
()
() ()
j
j
j
Fq
Cq
Eq q
Aq Aq
(3.11)
sendo o grau
−1
{( )}
j
Eq = j-1 e grau
−
=
−+−
1
{( )} max( , 1)
jcad
Fq n jn n .
A solução desta equação, pela sua relevância, é apresentada no
Apêndice A, e pode ser obtida usando uma divisão polinomial, ou por meio de
relações recursivas entre soluções sucessivas.
Assim, substituindo a equação 3.11 na equação 3.8, tem-se que:
−
−
−−
−−
⎡⎤
+= ∆ −+−+ + +
⎢⎥
⎣⎦
%%
1
1
1
11
()
()
() ( 1) () ( )
() ()
j
i
j
Fq
Bq
yk i uk d j E q q ek j
Aq Aq
(3.12)
Que pode ser reescrita na forma:
−
−
−
−−
+= ∆ −+−+ + +
%%
1
1
1
11
()
()
() ( 1) ()()( )
() ()
j
j
Fq
Bq
yk i uk d j ek E q ek j
Aq Aq
(3.13)
Da equação (3.7) tem-se que:
−− −
=∆−−+
%
11 1
()() ()( 1) ()()
A
qyk Bq ukd Cqek (3.14)
De modo que:
−−
−−
=−∆−−
%
11
11
() ()
() () ( 1)
() ()
Aq Bq
ek yk uk d
Cq Cq
(3.15)
Substituindo na equação (3.13), resulta em:
−
−
−
−−
−−
−
−
+= ∆ −+−+
⎡⎤
+−∆−−+
⎢⎥
⎣⎦
+
+
L
%
%
LL
%
L
1
1
1
11
11
1
1
()
() ( 1)
()
()
() ()
() ( 1)
() ()
()
()( )
j
j
Bq
yk j uk d j
Aq
Fq
Aq Bq
yk uk d
Cq Cq
Aq
Eq ek j
(3.16)
Ou ainda,
−−
−
−−−
−
−
−
+= ∆ −+−− ∆ −+
+
++
L
%%
L
11
1
111
1
1
1
()()
()
() ( 1) (1)
() ()()
()
() ( )( )
()
j
j
j
Fq Bq
Bq
yk j uk d j uk
Aq Aq Cq
Fq
y
kEqekj
Cq
(3.17)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
I
I
I
I
40
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Esta equação pode ser reescrita na forma:
−
−−
−
−
−−
−
−
−
⎤
⎡
+= − ∆ −+−+
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
+
++
L
%%
L
1
11
1
11
1
1
1
()
()()
() ( 1)
()
() ()
()
() ( )( )
()
j
i
j
j
Fq
Bq Cq
yk j q uk d j
Cq
Aq Aq
Fq
y
kEqekj
Cq
(3.18)
Tendo em vista a equação (3.11), tem-se que:
−− −
−−
−
+= ∆ −+−+ +
++
L
L
11 1
11
1
()() ()
() ( 1) ()
() ()
()( )
jj
j
Bq E q F q
yk j uk d j yk
Cq Cq
Eq ek j
(3.19)
Observando-se a equação (3.19), verifica-se que todo o ruído e(k)
aparece somente com valores futuros. Tendo em vista o que já foi mencionado
anteriormente, o valor estimado de
()yk j
+
é
{
}
ε
+= +
ˆ
() ()
y
kj ykj. Sendo
assim, o preditor j-passos à frente é dado por:
{}
ε
−− −
−−
+= ∆−+−+
11 1
11
()() ()
() ( 1) ()
() ()
jj
Bq E q F q
yk j uk d j yk
Cq Cq
(3.20)
ou ainda, a equação do preditor é da forma:
−− −
−−
+= ∆ −+−+
11 1
11
()() ()
ˆ
() ( 1) ()
() ()
jj
Bq E q F q
yk j uk d j yk
Cq Cq
(3.21)
Utilizando-se agora a seguinte identidade polinomial:
−
−−
−−
=+
1
1
11
()
1
()
() ()
j
j
j
Nq
Mq q
Cq Cq
(3.22)
em que
−1
()
j
Mq e
−1
()
j
Nq são polinômios de graus j -1 e max +−(,1)
bdc
nnn ,
respectivamente, e substituindo-se em (3.21), tem-se que:
−
−− − −
−
−
⎡⎤
⎡
+= + ∆ −+−+
⎢⎥
⎣
⎢⎥
⎣⎦
⎤
+
⎦
L
L
1
111
1
1
()
ˆ
( ) () ()()( 1)
()
()()
j
j
jj
j
Nq
yk j M q q Bq E q uk d j
Cq
Fq yk
(3.23)
Esta equação pode também ser reescrita na forma:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
I
I
I
I
41
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
−− −
−−
−
−
−−
−−
+= ∆ −+−+
++
⎡⎤
+∆−−+−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
LL
L
11 1
11
1
1
11
11
ˆ
( ) ()()()( 1)
()()()
()
()
() ()( 1) ( )
() ()
jj
jj
j
jj
yk j MqBqEq ukd j
Mq Fq yk
Fq
Bq
Nq Eq uk d yk j
Cq Cq
(3.24)
Tendo em vista a equação (3.21), verifica-se que:
−− −
−−
=∆−−+−
11 1
11
()() ()
ˆ
() ( 1) ( )
() ()
jj
Bq E q F q
yk uk d yk j
Cq Cq
(3.25)
e como
ˆ
() ()yk yk
= , tem-se que:
−− −
−− −
+
=∆−+−+
⎡⎤
++
⎣⎦
L
L
11 1
11 1
ˆ
( ) ()()()( 1)
()() ()()
jj
jj j
yk j M q Bq E q uk d j
Mq Fq Nq yk
(3.26)
Definindo:
−−−−
=
1111
() ()()()
jj j
Hq Mq Bq Eq (3.27)
e
−−−−
=+
1111
() ()() ()
jjjj
Fq Mq Fq Nq (3.28)
Finalmente obtém-se a seguinte expressão para o preditor:
−−
+= ∆ −+−+
11
ˆ
() ()( 1)()()
jj
yk i H q uk d j F q yk
(3.29)
Neste caso, a expressão do erro de predição é dada por:
ε
−
+= +− += +
1
ˆ
()()()()()
j
kj ykj ykJ Eqekj
(3.30)
Como
−1
()
j
Eq é um polinômio mônico de grau j -1 definido por:
−−− −−
−
=+ + + +L
112 (1)
12 1
()1
j
jj
E q eq eq e q
então,
ε
−
+
=++ +−++ +L
11
()() ( 1) (1)
j
kj ekj eekj eek (3.31)
Se e(k) é um ruído “branco”, com
{
}
+
=()0Eek j , (3.32)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
I
I
I
I
42
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
e variância unitária, então a variância do erro de predição é dada por:
Var
−
+=++++L
2222
12 1
{( )} 1
j
ek j e e e (3.33)
Este resultado mostra que, à medida que o horizonte de predição
cresce, a variância do erro de predição aumenta.
III.3. Considerações
Neste capítulo foram apresentados os conceito do controle preditivo, do
horizonte móvel, da trajetória de referência e outros conceitos importantes,
além da estrutura básica do controle preditivo, um breve histórico, o modelo e o
preditor linear ARIMAX na forma monovariável.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
43
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
CAPÍTULO IV
CONTROLADOR PREDITIVO GENERALIZADO MULTIVARIÁVEL
IV.1. Introdução
A grande maioria dos processos industriais apresenta múltiplas variáveis
que devem ser controladas e múltiplas variáveis que podem ser manipuladas.
Em alguns casos, a alteração em uma variável manipulada afeta
especificamente uma variável controlada, sem causar, ou causando pouca
influência nas demais variáveis controladas. Este comportamento caracteriza
um par entrada-saída essencialmente monovariável no sistema. Isto permite
que o sistema, ou que este par específico, possa ser controlado de forma
independente, em uma representação monovariável.
Um processo multivariável que possua diversas malhas relacionadas
independentemente uma das outras, de forma par a par, pode ser considerado
um caso multivariável plenamente desacoplado. No entanto, a grande maioria
dos processos apresenta um comportamento em que o acoplamento se
manifesta explicitamente. Neste caso, quando uma variável manipulada é
modificada, não apenas uma variável controlada sofre alteração, mas também
diversas outras. Este acoplamento entre as diversas variáveis de um processo,
em geral é responsável por um comportamento pobre do controle, se este for
aplicado de forma monovariável. Mesmo quando técnicas de desacoplamento
são utilizadas, não raro o comportamento continua ineficiente. Isto porque,
entre outros motivos, os desacopladores necessitam de alguma técnica de
identificação do modelo. Na maioria das vezes, por simplicidade, propõe-se um
modelo de primeira ordem, que por ser insuficiente para representar o
processo, torna difícil a sintonia dos parâmetros do desacoplador. Deve-se
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
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o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
44
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
salientar também que em muitos casos, o modelo ideal do desacoplador não é
realizável. Além disso, se considerarmos um processo com mais de dois pares
entrada-saída, todas acopladas, pode-se facilmente imaginar a complexidade
da rede de desacopladores.
Um aspecto muito importante a ser considerado em um processo
multivariável com acoplamento, é a análise da seleção dos pares que deve ser
criteriosa, considerando controlabilidade, observabilidade e retardo. Por vezes,
apesar da escolha criteriosa dos pares entrada-saída, as interações se
mostram presentes. A contínua elevação dos custos de energia no mundo tem
desencadeado uma intensa atividade de revisão dos arranjos dos sistemas de
destilação, buscando projetos mais eficientes do ponto de vista energético
Langerhorst (2001). Esta integração energética traz cada vez mais a
necessidade de se considerar a planta como um processo com múltiplas
entradas e múltiplas saídas (MIMO) ao invés de um conjunto de processos
monovariáveis.
Os controladores preditivos, por seu tratamento matricial possuem,
intrinsecamente, como extensão do caso SISO, grande facilidade para
aplicação a processos multivariáveis, sendo esta uma de suas grandes
vantagens.
Quanto aos modelos lineares utilizados, as pesquisas vêm mostrando
que estes são muitas vezes insuficientes para representar processos que
possuam determinado grau de não-linearidade. Nestes casos, mesmo quando
operando na vizinhança de um ponto de equilíbrio, sua representação por
modelos lineares é inadequada e insuficiente. Assim, a utilização de modelos
não-lineares em um controlador preditivo não linear poderá melhorar o
desempenho ou simplesmente garantir a operação estável do processo.
Embora não exista qualquer argumentação, no conceito básico do MPC, contra
a utilização de um modelo não-linear, seu desenvolvimento não é trivial e
existem algumas questões em aberto (Camacho & Bordons, 1999). Desta
forma, o MPC com o uso de modelos não lineares, é atualmente um campo de
intensa pesquisa e se tornará cada vez mais comum, à medida que a indústria
demande alto desempenho dos controladores preditivos.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
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.
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S
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.
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,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
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B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
45
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Como caso particular do controle preditivo baseado em modelos não
lineares, aqueles baseados em
modelos bilineares têm despertado grande
interesse. Os modelos bilineares apresentam a vantagem de serem mais
simples que os não lineares em geral, mais representativos que os lineares,
serem linear nos parâmetros e a bilinearidade estar presente em muitos
sistemas físicos (Fontes, 2002).
A obtenção de uma lei de controle explícita que minimize um critério
quadrático sujeito a um modelo não linear, é um problema de otimização não
linear, e portanto, uma solução analítica para o problema não pode ser obtida
(Fontes, 2002). Técnicas de programação não linear como a Programação
Quadrática Sucessiva (SQP) é uma abordagem possível. Outra abordagem é a
linearização através do modelo “timestep” quasilinear. Utilizando esta
abordagem, Goodhart et al., em 1994 apresentaram uma extensão do GPC e
aplicaram em uma planta industrial, obtendo resultados encorajadores.
IV.2. Formulação do Controlador Preditivo Generalizado Bilinear
Multivariável sem Restrições
O controlador preditivo generalizado para o caso multivariável também
utiliza um modelo paramétrico, multivariável, de entradas e saídas. Este
modelo é também denominado ARIMAX ou CARIMA, para um processo com
p
entradas e
q saídas.
Para facilitar o entendimento, apresenta-se a seguir o modelo linear
ARIMAX para processos multivariáveis, que é utilizado no desenvolvimento do
GPC.
IV.2.1. Modelo Linear ARIMAX para processos multivariáveis.
Considere um processo de múltiplas entradas e múltiplas saídas
(MIMO), ilustrado em diagrama de blocos através da figura 4.1 a seguir:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
46
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 4.1 – Diagrama de Blocos do Processo MIMO
Sendo
p o número de entradas (u) do processo e q o número de saídas
(y) do processo.
Considere também que este processo pode ser descrito pelo modelo
matemático linear, paramétrico, discreto no tempo, conforme apresentado a
seguir:
11 11 1
()()() ()()(1) ()()
qp
A
qqykBqqukCqek
−− −− −
∆=∆−+
(4.1)
As matrizes
A(q
-1
), B(q
-1
) e C(q
-1
) são matrizes polinomiais no operador
atraso
q
-1
definidas por:
11
1
( ) ....
na
na
A
qIAq Aq
−− −
=+ + +
(4.2)
11
01
( ) ....
−− −
=+ ++
nb
nb
B
qBBq Bq
(4.3)
11
1
()
nc
nc
Cq I Cq C q
−− −
=+ + +L
(4.4)
Em que: -
qq-pq-qq
R) e C(qR); B(qR)A(q
×××−
∈∈∈
111
-
→∈
q
)( Rky
vetor de saída do processo com q
elementos;
-
→∈ )(
p
Rku
vetor de controle do processo com p
elementos;
-
→∈
q
Re(k)
vetor de ruído branco, gaussiano, de
média zero e matriz covariância
2
()Ediag
σ
= ;
-
∆
j
(q
-1
) = (1- q
-1
)I
j
é o operador matricial, de ordem j, que
corresponde a inclusão da ação integral do controlador na
u
p
u
2
u
1
y
q
y
2
y
1
Sistema
Multivariável
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
47
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
equação;
Fazendo
A(q
-1
) ∆
q
(q
-1
) = Ã(q
-1
), o modelo resultante é:
11 1
()() ()(1) ()()
A
qyk Bq uk Cqek
−− −
=∆−+
%
(4.5)
Considerando a matriz de interação de um sistema multivariável,
introduzida por Wolovich em 1976, em Fontes (2002), que está diretamente
relacionada com o atraso de transporte de um sistema monovariável e é
descrita da seguinet forma:
“Seja
()
qxp
Gz R∈ a matriz de transferência, estritamente própria, de um
sistema multivariável, com
det[ ( )] 0, 0G z para z
≠
≠ . Então, existe uma
matriz polinomial
~
()
qxp
zR
ξ
∈ , com () () ()zHzDz
ξ
=
,
Em que:
21
12
10000
() 1 0 0
10
()
0
() () 1
qq
hz
Hz
hz hz
=
L
ML L
MLLO
LL
(4.6)
com
()
ij
hz divizível por z ou nulo e,
1
1
3
1
0000
000
00 0
() [ ]
000 0
0000
q
q
f
f
f
f
f
f
z
z
z
Dz diagz z
z
==
L
L
L
O
(4.7)
tal que
lim ( ) ( )
z
zGz K
ξ
→∞
= , com
K
uma matriz não singular”
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
48
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
A matriz interação pode ser vista como o análogo multivariável do atraso
de transporte para sistemas “SISO”. De uma forma direta, considere a seguinte
função de transferência monovariável:
11
01
11
1
()
()
() 1
nb
dd
nb
na
na
bz b bz b z
gz z z
az az a z
−−−
−−
−−−
⎛⎞
+++
==
⎜⎟
+++
⎝⎠
L
L
(4.8)
Sabe-se, previamente, da definição de atraso de transporte que esta
função de transferência representa um processo com retardo
d, pois:
1
01
1
1
()
() 1
nb
d
nb
na
na
yz b bz b z
z
uz az a z
−−
−
−−
⎛⎞
+++
=
⎜⎟
+++
⎝⎠
L
L
(4.9)
que resulta no domínio do tempo, na seguinte equação a diferença:
1
0
() ( 1) ( )
() ( )
na
nb
yk ayk a yk na
bu k d b u k d nb
+−++ −=
−++ −−
LL
LL
(4.10)
ou ainda,
1
0
() ( 1) ( )
() ( )
na
nb
yk d ayk d a yk d na
bu k b u k nb
+ + +−+ + +− =
++ −
LL
LL
(4.11)
Observa-se desta forma que o retardo é
d. No entanto, da definição de
“matriz de interação”, deve-se determinar, então, o polinômio
()z
ξ
que atenda
a condição:
lim ( ) ( )
z
zGz K
ξ
→∞
= , com 0
K
≠
. No caso monovariável, ()z
ξ
é um
polinômio em
z, na forma:
1
01
()
nb nb
nb
zz z
ξξ
ξ
ξ
ξξ ξ
−
=+ ++L (4.12)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
49
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Calculando-se o limite de () ()zGz
ξ
, tem-se que:
1
01
0
1
1
lim ( ) ( ) lim ( )
1
nb
nb d d
nb
nb
na
zz
na
bbz bz
zgz z z
az a z
ξ
ξ
ξξξ
−−
−−
−−
→∞ →∞
⎡⎤
⎛⎞
+++
=++
⎢⎥
⎜⎟
+++
⎝⎠
⎣⎦
L
L
L
(4.13)
000
1
1
()()
lim
1
nb d d nb d d
nb nb nb
na
z
na
zzbzzb
az a z
ξξ
ξξ
ξξ ξξ
−− −−
−−
→∞
++ ++ ++
=
+++
LLL
L
(4.14)
000
1
1
lim( ) lim( )
lim1
nbdd nbdd
nb nb nb
zz
na
na
z
zzbzzb
az a z
ξξ
ξξ
ξξ ξξ
−− −−
→∞ →∞
−−
→∞
++ ++ ++
=
+++
LL L
L
(4.15)
000
lim( ) lim( ) 0
nb d d nb d d
nb nb nb
zz
zzbzzbK
ξξ
ξξ
ξξ ξξ
−− −−
→∞ →∞
++ ++ ++ =≠LL L
(4.16)
A análise da equação (4.16) permite concluir que, o polinômio mínimo
que atende a esta condição é
()
d
zz
ξ
=
, de forma que o
0
lim ( ) ( ) 0
z
zgz b
ξ
→∞
=≠. Isto mostra que o polinômio ()z
ξ
está diretamente
relacionado ao atraso de transporte do sistema monovariável.
Em processos multivariáveis, é comum assumir que a matriz interação
tenha a forma simples
[
]
ij
i
q
dddddiagz mind sendo )(
j21
=
=
L
ξ
, desde
que
lim ( ) ( )
z
zGz K
ξ
→∞
= , com
K
não singular.
Esta simplificação considera atrasos diferentes entre os diferentes pares
entrada/saída, em que
ji
d representa o retardo entre a i-ésima entrada e a j-
ésima saída e
j
d o atraso da j-ésima saída. Desta forma, com min
jji
dd=
assume-se o menor atraso relacionado entre todas as entradas para cada
saída.
Assim, para cada saída
()
j
yk admite-se um atraso de transporte
j
d em
relação a todas as entradas e com isso o processo pode ser modelado de
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
50
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
acordo com a seguinte equação:
1
111
()() [ ]()(1) ()()
−
−
−−−
=∆−+
%
L
q
d
d
A
qyk diagq q Bq uk Cqek
(4.17)
Considera-se com a finalidade de simplificar os cálculos de saídas
preditas, a matriz polinomial
11
12
() ()
−−
⎡⎤
=
⎣⎦
L
d
q
B q diag d d d B q
e com isso
o modelo a ser utilizado para a predição resulta em:
11 1
()() ()(1) ()()
d
Aq yk B q uk Cq ek
−− −
=∆−+
%
(4.18)
Conforme mencionado em Fontes (2002), vale ressaltar que quando
existe uma diferença significativa entre o retardo mínimo e o máximo, tem-se
como conseqüência o aparecimento de elementos nulos nos coeficientes da
matriz polinomial
1
()
d
B
q
−
.
Considerando que, as matrizes polinomiais
1
()
−
Aq e
1
()
−
Cq são
matrizes diagonais, sem perda de generalidade, uma vez que, cada saída do
processo somente exerce influência em si própria, assim como o ruído de
medição de uma saída à própria saída, e para ilustrar a forma de
representação multivariável encontrada na expressão (4.18), esta é reescrita
na forma:
()
(
)
(
)
LL
=
−
++−+ ankyakyaky
an
~
~
1
~
111
~
11111
()
(
)
LLL
+
−
∆
+
+−∆
−
nbkubkub
nb 111)1(1011
1
(
)
(
)
LLL
+
−
∆
+
+
−
∆+
−
nbkubkub
nb 212)1(2012
1
(
)
(
)
nbkubkub
ppnbpp
−
∆
+
+
−
∆
+
− 1)1(01
1 LL
(
)
(
)
(
)
1 111 1 11 1
1
nc
ek cek c ek nc+−++ −L
() ( )
(
)
=
−
++−+ ankyakyaky
an
~
~
1
~
222
~
21222
L
()
(
)
LLL
+
−
∆
+
+−∆
−
nbkubkub
nb 121)1(1021
1
(
)
(
)
LLL
+
−
∆
+
+
−
∆+
−
nbkubkub
nb 222)1(2022
1
(
)
(
)
nbkubkub
ppnbpp
−
∆
+
+
−
∆
+
− 2)1(02
1 LL
(4.19)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
51
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
(
)
(
)()
2 122 2 22 2
1
nc
ek cek c eknc+−++ −L
. . .
() ( )
(
)
LL
=
−
++−+ ankyakyaky
qqqanqqqq
~~
1
~
~
1
()
(
)
LLL
+
−
∆
+
+−∆
−
nbkubkub
qnbq 11)1(110
1
(
)
(
)
LLL
+
−
∆
+
+
−
∆+
−
nbkubkub
qnbq 22)1(220
1
(
)
(
)
nbkubkub
pqpnbpqp
−
∆
+
+
−
∆
+
− )1(0
1 LL
(
)
(
)()
1
1
qqqq ncqqq
ek cek c eknc+−++ −L
A forma matricial da representação acima, é como segue:
1
11
1
22
1
1
() 0 0
0() 0
00 ()
qq
qx
qxq
aq
y
aq
y
aq
y
−
−
−
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
×
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
%
L
%
L
L LLL
L
%
L
11 1
11 12 1
11 1
21 22 2
11 1
12
1
() () ()
() () ()
() () ()
p
p
pp qp
px
qxp
bq bq b q
u
bq bq b q
u
bq bq bq
u
−− −
−− −
−− −
⎡⎤
∆
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
∆
⎢⎥
⎢⎥
×
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
∆
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
L
L
LL
L LLL
L
L
1
11
1
22
1
1
() 0 0
0() 0
00 ()
qq
qx
qxq
cq
e
cq
e
cq
e
−
−
−
⎡⎤
⎡
⎤
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
+×
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎣
⎦
⎣⎦
L
L
L
LLLL
L
L
(4.20)
sendo: grau {
1
()
jj
aq
−
%
} = 1+na , com 1jq
=
L ,
IV.2.2. Modelo Bilinear NARIMAX para processos multivariáveis.
A extensão da estrutura do modelo padrão linear ARIMAX para um
processo com
p entradas e q saídas com a adição do termo bilinear conduz a
representação não linear ARIMAX ou NARIMAX. Esta representação não
linear, que difere da apresentada por Goodhart et. al. em 1994, que utilizaram o
modelo NARMAX, é conhecida como representação polinomial de sistemas
bilineares. A opção pelo modelo NARIMAX é devido a ser este último, mais
apropriado para garantir erro nulo de regime a uma mudança em degrau em
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
52
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
um sinal referência.
Considere agora que o processo ilustrado na figura 4.1 é representado
por um modelo paramétrico, bilinear, discreto, de
p entradas e q saídas,
descrito pela seguinte equação:
[]
11 1 1
111
1
()()() ()()(1)
() (1) ()()(1)
()()
qp
edq
Aq q yk Bq q uk
Dq Duk Dq q yk
Cq ek
−− −−
−−−
−
∆=∆−+
−
∆−+
L
L
(4.21)
As matrizes
111 1 1
(),(),(),() ()
ed
A
qBqCqDqeDq
−−− − −
são matrizes polinomiais
no operador atraso
q
-1
definidas por:
11-na
1na
( ) .... A q
qxq
Aq I A q
−−
=+ ++
(4.22)
-nb1
10
1
q ....)(
nb
BqBBqB +++=
−−
(4.23)
-nc1
1
1
q )(
ncqxq
CqCIqC +++=
−
L
(4.24)
11
01
( ) ....
nb
eee enb
D
qDDq Dq
−−−
=+ ++
(4.25)
11
01
( ) ....
nb
ddd dnb
D
qDDq Dq
−−−
=+ ++
(4.26)
Em que:
11 1 1 1
;;
qq - q p - qxp - pxq - qq
ed
A
(q) R ; B(q) R D(q) R D(q) R e C(q) R
−× × ×
∈∈ ∈ ∈ ∈
→∈
q
)( Rky
vetor de saída do processo com q elementos;
→∈ )(
p
Rku
vetor de controle do processo com p elementos;
→∈
q
Re(k)
vetor de ruído branco, gaussiano, de média zero e
matriz covariância
)(
2
σ
diagE = ;
1
[ ( 1)] [ ( 1) ( 1)]
p
Duk diagu k u k−= − −L
Passando os termos em
y para o lado esquerdo da equação obtém-se:
[]
11
11 11
11 1
()()()
{( ) () ( )( )()}
()()(1) ()()
q
edq
p
Aq q yk
qDqDukDq qyk
Bq q uk Cq ek
−−
−− −−
−− −
∆−
−∆=
∆−+
L
L
(4.27)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
53
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
A aproximação quasilinear por degrau de tempo consiste em reescrever
este modelo na forma:
[
]
()
1111 11
11 1
{( )( ) ( ) () ( )( )}
()()(1) ()()
qe dqq
pp q
A
qqqDqDukDqqyk
Bq q u k Cq e k
−−−− −−
−− −
∆− ∆ =
∆−+
(4.28)
Definindo:
[
]
11111 11
( ,) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
−−−−− −−
=∆− − ∆
qe dq
A
qu Aq q qDqDukdDq q
, (4.29)
obtém-se o modelo:
(
)
11 11 1
(,)() ()()(1) ()()
qp
A
qu qyk Bq quk Cqek
−− −− −
∆=∆−+
(4.30)
em que:
11
1
( , ) ( ) .... ( )
na
na
Aq u I A u q A u q
−−−
=+ + + (4.31)
Fazendo:
1111111
( ,) ( ,) ( ) ( ,) ( ,) ( )
pp
A
q u Aq u q Aq u q Aq u q
−−−−−−−
=∆=− ∆
%
(4.32)
em que:
11 (1)
11
( , ) ( ) .... ( )
na
na
Aq u I A u q A u q
−− −+
+
=+ + +
%% %
(4.33)
tem-se o seguinte modelo:
()
11 1
(,) ()(1) ()()
A
quyk Bq uk Cqek
−− −
=∆−+
%
(4.34)
Semelhantemente ao caso linear, considerando a matriz interação (4.6)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
54
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
e utilizando-se a seguinte representação simplificada da matriz polinomial,
11
12
() ()
d
q
B
qdiagdd dBq
−−
⎡⎤
=
⎣⎦
L
, o modelo utilizado para a predição
resulta em:
()
11 1
(,) ()(1) ()()
d
A
quyk Bq uk Cqek
−− −
=∆−+
%
(4.35)
Como a cada instante
k os valores passados de u(k) são conhecidos, os
coeficientes da matriz
()
j
A
u da matriz polinomial
1
(,)Aq u
−
podem ser
determinados e considerados constantes até o instante seguinte (k+1), quando
nova atualização é realizada. O modelo assim obtido é denominado modelo
NARIMAX quasilinear por degrau de tempo multivariável. A partir deste
modelo, válido para o instante
k, efetua-se a predição da saída j-passos à
frente.
Vamos considerar aqui uma simplificação a fazer, quando se considera
que os termos bilineares ocorrem somente entre entradas e saídas
correspondentes, não havendo portanto bilinearidade referente a termos
cruzados. Neste caso, a matriz polinomial
1
(,)Aq u
−
e portanto também
1
(,)Aq u
−
%
são matrizes diagonal, então, o modelo apresentado em (4.35) é como segue:
1
1
11
1
2
22
1
1
(,) 0 0
0(,) 0
00 (,)
q
qq
qx
qxq
y
aqu
y
aqu
y
aqu
−
−
−
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
×
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
%
L
%
L
L
LLLL
%
L
L
L
L
LLLL
L
L
L +
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∆
∆
∆
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−−
1
2
1
11
2
1
1
1
2
1
22
1
21
1
1
1
12
1
11
)()()(
)()()(
)()()(
px
p
qxp
qppp
p
p
u
u
u
qbqbqb
qbqbqb
qbqbqb
1
2
1
1
1
22
1
11
)(00
0)(0
00)(
qx
q
xqq
qq
e
e
e
qc
qc
qc
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
L
L
LLLL
L
L
L
(4.36)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
55
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
sendo: grau {
1
(,)
jj
aqu
−
%
} = 1+na , com 1
j
q
=
L ,
Deve-se observar, portanto, que nesta dissertação, foi considerado um
caso particular de modelos bilineares, porém mais comum, em que os termos
bilineares ocorrem somente entre entradas e saídas correspondentes, ou seja,
todos os termos bilineares são da forma
()();
−
−
ij
uk myk m
com
1;1==LLipjq
e
<mk.
IV.2.3. A Função Objetivo.
De forma similar ao que já foi mencionado no capítulo anterior para o
caso SISO, o algoritmo GPC multivariável consiste em calcular as seqüências
de ações futuras do vetor de controle. Estas seqüências são tais que
minimizam uma função objetivo multi-passo definida sobre um horizonte de
predição, com ponderação das ações de controle e dos erros de predição. Para
modelos lineares e causais, o valor predito é também considerado como a
superposição das respostas livre e forçada. Para o caso bilinear, utiliza-se a
técnica da linearização no tempo, descrita no item anterior.
Considere a seguinte função objetivo:
1
2
2
1
ˆ
()() ( 1)
NY NU
jj
Wu
Wy
iN i
Jrkiyki uki
==
=+−++∆+−
∑∑
(4.37)
Em que:
()rk i+
é o vetor trajetória de referência futura;
ˆ
()yk i+
é uma predição sub-ótima i-passos à frente do
vetor de saída do sistema baseada em informações
disponíveis até o instante k;
)1( −+∆ iku
é o vetor das ações de controle futuras;
N
1
representa o horizonte mínimo de predição;
NY representa o horizonte máximo de predição;
NU representa o horizonte de controle;
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
56
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Wy são matrizes diagonais, positivo definidas, de
ponderação sobre o vetor de erro;
Wu são também matrizes diagonais, positivo definidas, de
ponderação sobre o vetor ações de controle;
Para minimizar a função objetivo de um processo multivariável cujos
modelos são lineares, deverá ser obtida a predição ótima da saída,
j-passos à
frente, no intervalo
NYjN ≤≤
1
. Assim, sendo os modelos lineares e causais,
o valor predito é também considerado como a superposição das respostas livre
e forçada. Para processos bilineares contudo, deve-se observar que
)(
ˆ
iky +
representa uma predição
sub-ótima, uma vez que o modelo quasilinear
representado em (4.35) utilizado na predição, é uma aproximação do modelo
bilinear apresentado em (4.21). Desta forma, para minimizar a função objetivo
acima, deverá ser obtida a predição sub-ótima da saída,
j-passos à frente, no
intervalo
NYjN
≤
≤
1
. Embora o modelo da planta seja não-linear, a
aproximação quasilinear por degrau de tempo permite que se utilize o mesmo
procedimento empregado no GPC Linear. Assim sendo, o conceito de resposta
livre e resposta forçada são também empregados.
IV.2.3. Obtenção da Lei de Controle.
Considerando o modelo representado pela equação (4.35), na hipótese
de ruído branco, isto é:
qxq
IqC =
−
)(
1
e a seguinte equação diofantina:
11 1
(,)(,) (,)
j
jj
IEquAquqFqu
−−−−
=+
%
(4.38)
Em que: E
j
(q
-1
,u) é uma matriz polinomial única de ordem j-1, dada por:
11(1)
,0 ,1 , 1
(,) () () ()
j
jjj jj
Eq u E u E uq E uq
−−−−
−
=+ ++L
(4.39)
F
j
(q
-1
,u) é uma matriz polinomial única de ordem na, na forma:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
57
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
11
,0 ,1 ,
(,) () () ()
na
jjj jna
F
qu Fu Fuq F uq
−−−
=+ ++L
(4.40)
111
(,) (,)()
A
qu Aqu q
−−−
=∆
%
(4.41)
e pré-multiplicando a equação (4.35), com
qxq
IqC =
−
)(
1
, por
1
(,)
j
E
qu
−
obtém-
se:
()
11 1 1 1
(,)(,) (,)()(1) (,)()
d
jj j
Eq uAq uyk Eq uBq uk Eq uek
−− − − −
=∆−+
%
(4.42)
Esta equação, para o instante k+j resulta em:
()
11 1 1
(,)(,)( ) (,)() 1
d
jj
Eq uAq uyk j Eq uBq uk j
−− − −
+= ∆ +−+
%
L
(
)
1
(,)
j
Eq uek j
−
+
(4.43)
Tendo em vista que;
11 1
(,)(,) (,)
j
jj
Eq uAq u I qFq u
−− −−
=−
%
(4.44)
Tem-se que:
()
(
)
(
)
111
(,) (,)() 1
d
jj
yk j F q uyk E q uB q uk j
−−−
+= + ∆ +−+L
(
)
1
(,)
j
Eq uek j
−
+
+L
(4.45)
Como o grau de
1
{( ,)} 1
j
Eq u j
−
=
−
, então o termo referente ao ruído, na
expressão anterior, refere-se ao futuro, de forma que a melhor predição de
)( jky +
é como segue:
()
(
)
(
)
111
ˆ
(,) (,)() 1
d
jj
yk j F q uyk E q uB q uk j
−−−
+
=+ ∆+−
(4.46)
Fazendo
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
58
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
11 1
(,)() (,)
d
jj
EquBq Haqu
−− −
=
, (4.47)
que pode ser expresso como:
1111
,11 11 12 1
1111
,22 21 22 2
1111
,12
(,) 0 0 () () ()
0(,)0 ()()()
00 (,)()()()
j p
j p
jqq q q qp
qxq qxp
Equ bq bq bq
Equ bq bq bq
Equ bq bq bq
−−−−
−−−−
−−−−
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
×
=
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
LL
LL
LLLL LLLL
LL
11 1
,11 ,12 ,1
11 1
,21 ,22 ,2
11 1
,1 , 2 ,
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
jj jp
jj jp
jq jq jqp
qxp
Ha qu Ha qu Ha qu
Ha q u Ha q u Ha q u
Ha qu Ha qu Ha qu
−− −
−− −
−− −
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
LLLL
L
(4.48)
sendo
111
,,
(,) (,)()
j mn j mm mn
Ha q u E q u b q
−−−
=
com 1mq
=
L e 1np
=
L (4.49)
Cada elemento da matriz polinomial
Ha
j
(q
-1
,u) é um polinômio de grau
máximo igual a nb+j-1. Esta matriz pode ser interpretada como a soma de duas
matrizes,
H
j
(q
-1
,u) com grau < j, e q
-j
H
jpa
(q
-1
,u) conforme apresentado a seguir:
11 1
,11 ,12 ,1
11 1
,21 ,22 ,2
11 1
,1 ,2 ,
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
jj jp
jj jp
jq jq jqp
qxp
HquHqu Hqu
HquHqu H qu
HquHqu Hqu
−− −
−− −
−− −
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
L
LLLL
L
11 1
,11 ,12 ,1
11 1
,21 ,22 ,2
11 1
,1 ,2 ,
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
jpa jpa jpa p
jpa jpa jpa p
j
jpa q jpa q jpa qp
qxp
HquHqu H qu
HquHqu H qu
q
HquHqu Hqu
−− −
−− −
−
−− −
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
L
LLLL
L
(4.50)
Com isso, a equação de predição pode agora ser escrita como segue:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
59
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
()
()
(
)
()
1
11
ˆ
,1
(,)(1) (,)
j
jpa j
yk j H q u uk j
H
quuk Fquyk
−
−−
+= ∆ +−+
+∆−+
L
L
(4.51)
Observando-se que os últimos dois termos da equação anterior
dependem somente de valores passados, tanto da saída do processo quanto
da entrada, tem-se, portanto, que esta parcela corresponde à resposta livre do
processo. Por outro lado, o primeiro termo depende somente de valores futuros
do sinal de controle, e podendo assim ser interpretado como a resposta
forçada. Com isto, tem-se que:
()
(
)
(
)
1
ˆ
,1
j
j
yk j H q u uk j yl
−
+= ∆ +−+
(4.52)
sendo,
11
(,)(1) (,)()
jjpa j
yl H q u u k F q u y k
−−
=∆−+
(4.53)
Considerando agora a equação do preditor; o conjunto de NY predições
sub-ótimas é da forma:
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
1
11
1
22
1
ˆ
1,
ˆ
2,1
ˆ
,1
NY NY
yk H q u uk yl
yk H q u uk yl
yk NY H q u uk NY yl
−
−
−
+= ∆ +
+= ∆ ++
+= ∆+−+
M
(4.54)
Tendo em vista que:
()
1
11(1)
01 1
0
,()() () ()
j
j
i
jji
i
Hqu Hu Huq H uq Huq
−
−−−−−
−
=
=+ ++ =
∑
L
(4.55)
então o conjunto de NY predições sub-ótimas pode ser reescrito na seguinte
forma matricial:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
60
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
0
10
12 0
1 1
ˆ
() 0 0
(1) ()
ˆ
() () 0
(2) (1)
ˆ
() () ()
() ( 1)
NY NY
NYqx NUpx
NYqxNUp
Hu
yk uk
Hu Hu
yk uk
HuHu Hu
y k NY u k NY
−−
+∆
⎡⎤
⎡⎤ ⎡ ⎤
⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥
+∆+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥
=×+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥
+∆+−
⎣⎦ ⎣ ⎦
⎣⎦
L
L
L
MMOL
MM
L
1
2
1
NY
NYqx
yl
yl
yl
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
M
4.56)
ou,
()u
=
+yH ∆u
y
l
(4.57)
Com:
NYq x 1
R∈y
;
NYq x NUp
R∈H
;
NUp x 1
R∈∆u
e
NYq x 1
R∈yl
Deve-se observar que os coeficientes dos elementos polinomiais das
matrizes do modelo bilinear, também podem ser obtidos através das mesmas
técnicas de estimação de parâmetros, visto que os modelos são lineares nos
parâmetros. Deve-se observar ainda que, a matriz polinomial
1
(,)
A
qu
−
%
é
também diagonal, tal que as matrizes
1
(,)
j
E
qu
−
e
1
(,)
j
Fq u
−
também são
matrizes diagonais. Com isto,
1
(,)
j
Eq u
−
e
1
(,)
j
Fq u
−
são obtidos resolvendo-se
recursivamente n equações diofantina escalares.
Uma outra importante observação a ser feita é que se um degrau
unitário é aplicado na primeira entrada, no instante k então temos:
[]
T
ku 001)( L=∆ ,
[
]
T
ku 000)1( L=+∆
,
[]
T
NUku 000)1(, LL =−+∆
de
forma que a seqüência de saída esperada do processo
[]
T
NYdkydkydky )(
ˆ
)2(
ˆ
)1(
ˆ
++++++ L
é igual a primeira coluna da
matriz
H . A i-ésima coluna da matriz H , 1ip
=
L , pode ser calculada de forma
similar aplicando um degrau unitário na
i-ésima entrada.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
61
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
A lei de controle pode então ser obtida, observando-se no entanto, que a
solução é sub-ótima, uma vez que o preditor também é sub-ótimo.
Como o sinal de controle é mantido constante após o horizonte de
controle
NU , com o objetivo de reduzir a dimensão do problema de otimização
e avaliar o efeito das ações de controle sobre a evolução da saída da planta,
()(1)()()()uk uk uk NU uk NU uk NU⎡+ + + +⎤
⎣⎦
LL
então o conjunto de
predições que afetam a função objetivo pode ser expresso como:
11 1
11 1
12
1
11
1
12 0
12
() () ()
ˆ
() ()
ˆ
() () ()
(1) (1)
ˆ
()
() () ()
ˆ
()
() () ()
NN NNU
NN NNU
NU NU
NY NY NY NU
HuHu H u
yk N uk
Hu H u H u
yk N uk
yk NU
HuHu Hu
yk NY
HuHu H u
−− −
−+−
−−
−− −
⎡⎤
+∆
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
++ ∆ +
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=×
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+∆
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
L
L
MM
MMMM
M
O
MM
MMMM
L
1
1
1
(1)
N
N
NU
NY
yl
yl
yl
uk NU
yl
+
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+−
⎣⎦
⎣⎦
M
M
(4.58)
com
0
j
H = para j < 0.
De forma compacta, pode-se escrever que:
11 1
()
YYU Y
NNNUN
u=+yH ∆u
y
l (4.59)
Com:
NUq x 1
R∈y
;
NUq x NUp
R∈H
;
NUp x 1
R∈∆u
e
NUq x 1
R∈yl
Assim a função objetivo pode ser reescrita na seguinte forma:
(() )(() )
TT
JuWyu Wu=− − − − +rH ∆u
y
lrH∆u
y
l ∆u ∆u
(4.60)
Em que:
[
]
21 q
WyWyWydiagWy L=
e
[
]
p21
WuWuWudiagWu L
=
,
conforme definido para 4.37.
A minimização da função objetivo, que é única, embora sub-ótima,
assumindo-se que não há restrições no sinal de controle, é obtida através do
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
62
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
gradiente de J em relação a ∆u . Igualando-se este a zero, produz-se a
seguinte expressão analítica para a lei de controle:
1
(() () ) () ( )
TT
uWy u Wu uWy
−
=+ −
l
∆uH H H r
y
(4.61)
Chamando
1
(() () ) ()
TT
uW
y
uWu uW
y
−
=+GH H H
, temos:
()
=
−
l
∆uGr
y
(4.62)
Lembrando que, baseado na estratégia dos controladores preditivos, o
vetor sinal de controle, que é de fato enviado ao processo corresponde, neste
caso, aos
p primeiros elementos do vetor ∆u , que é dado por:
(1) ( ) ( 1)
() ( )
p
x pxNup Nupx
uk∆= −
l
Kry
(4.63)
com
K
composta das p primeiras linhas de G:
1
2
()
1ª
()
2ª
()
()
ª
p
uk
linha de
uk
linha de
uk
uk
p linha de
∆
⎡⎤
⎡
⎤⎡ ⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
∆
⎢⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
∆= = ×
⎢⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
∆
⎢⎥
⎣
⎦⎣ ⎦
⎣⎦
l
G
Gr-
y
G
LL
LL
M
MMO
LL
(4.64)
A matriz a ser invertida foi reduzida da dimensão
NYp x NYp
para
NUp x NUp
, conforme definido para a equação 4.58, utilizando-se o conceito
de horizonte de controle, o que reduziu substancialmente o esforço
computacional, uma vez que o sinal de controle é constante após
Nu Ny< .
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
I
I
V
V
63
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
IV.3. Considerações
Neste capítulo foram apresentados a formulação do controlador preditivo
generalizado (GPC) para processos multivariáveis baseados em modelos
bilineares com aproximação quasilinear por degrau de tempo. A importância do
algoritmo GPC bilinear, quasilinear por degrau de tempo neste trabalho, está
relacionada ao fato deste algoritmo estabelecer as bases para o entendimento
do desenvolvimento do tema central desta dissertação.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
64
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
CAPÍTULO V
CONTROLADOR PREDITIVO GENERALIZADO MULTIVARIÁVEL
BILINEAR COM COMPENSAÇÃO ITERATIVA
V.1. Introdução
Tradicionalmente, os controladores lineares são os mais encontrados
nas plantas industriais. Eles são de simples entendimento e sua teoria é
bastante desenvolvida (Balasubramhanya e Doyle, 1997). As desvantagens
associadas com os modelos lineares, contudo, são que eles são válidos
somente em uma vizinhança estreita do ponto de operação, não tendo
capacidade de representar o comportamento não linear dos processos
(Balasubramhanya e Doyle, 1997). Desta forma, a utilização de
controladores lineares pode limitar o desempenho do sistema de controle, se
o processo for altamente não linear (Bequette, 1991).
No capitulo anterior, foi apresentado o desenvolvimento do
controlador multivariável preditivo generalizado, baseado em modelos
bilineares com aproximação por degrau de tempo. Foi evidenciado que, em
virtude de ser o processo não linear, a lei de controle que se apresenta como
a minimização de uma função objetivo quadrática, possui solução analítica,
porém é sub-ótima. Observou-se também que o erro da predição sub-ótimo
aumenta com o horizonte de predição, e é resultante da aproximação
quasilinear, que calcula os coeficientes da matriz
()
j
Au
%
da matriz polinomial
1
(,)Aq u
−
%
com os valores conhecidos de u(k), considerados constantes até o
instante seguinte. Em 2002, Fontes apresentou uma nova abordagem para o
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
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i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
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ç
ç
ã
ã
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o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
65
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Controlador Preditivo Generalizado Bilinear, com a introdução de um termo
de compensação polinomial, obtendo excelentes resultados. Contudo, o
termo de compensação apresenta o inconveniente de necessitar ser
calculado analiticamente para um horizonte de predição. Nas conclusões de
sua tese de doutorado, Fontes recomendou estudos que buscassem uma
forma de generalizar a determinação dos termos de compensação, já que
estes eram resultado de cálculos analíticos. O mesmo Fontes, em 2004,
sugeriu uma proposta de cálculo iterativo para os parâmetros do modelo,
que foi apresentada na forma monovariável por Ângelo, 2005.
Uma das principais vantagens do controle multivariável, em particular
os controladores da família MPC (Model Predictive Control), está em permitir
tratar as restrições nas variáveis manipuladas e de estado, de maneira
explícita (Embiruçu, 1993). Na indústria em geral, a prática usual é tratar a
questão das restrições de uma maneira “ad hoc”, ou seja, não genérica, por
exemplo, utilizando controladores split-range e override (Garcia et al., 1989,
Morari, 1987). Isto implica em um grande ônus nos custos de projeto e de
manutenção das malhas. Garcia et al., (1989) e Morari (1987) afirmam que a
técnica MPC fornece a única maneira de tratar as restrições de uma forma
sistemática durante o projeto e implementação do controlador, oferecendo
uma alternativa para os esquemas “override / split-range”, embora estes, em
nível reguratório, sejam uma solução plausível.
Neste capítulo, será mostrada a extensão do cálculo iterativo para os
parâmetros do modelo bilinear para o caso multivariável. O algoritmo é
desenvolvido como a extensão do GPC quasilienar por degrau de tempo
apresentado por Goodhart et al., em 1994.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
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t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
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U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
66
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
V.2. Justificativa do Método Iterativo
Inicialmente, nesta seção será mostrada a necessidade do método
de compensação iterativa em sua extensão multivariável. O algoritmo
quasilinear por degrau de tempo apresentado por Goodhart (1994),
apresenta a predição de saída
j-passos à frente, procedimento característico
dos controladores preditivos, considerando-se os coeficientes
()
jj
au
%
,
1, , ( 1)jna=+L
, dependendo somente dos valores conhecidos de u, ou
seja, até o instante k-1. O erro de predição advindo desta abordagem,
conforme mencionado, aumenta com o horizonte, degradando o
desempenho do controlador. Este erro, no instante k, para uma predição
j-passos à frente, depende de u(.) e do horizonte. Como exemplo, considere
o seguinte modelo multivariável bilinear de primeira ordem, com
p entradas e
q saídas:
=− −+ −+ − −+
100
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )yk Ayk Buk Duk yk ek (5.1)
O modelo quasilinear por degrau de tempo para o modelo bilinear
acima é como segue:
−
=−+
1
0
(,)() ( 1) ()Aq uy k Buk ek (5.2)
em que ,
−−−
=+ −
111
10
(,) ()Aq u I Aq q Duk
Com a introdução do operador
11
()(1 )
jj
qqI
−−
∆=−
que corresponde à
ação integral no controlador, resulta em:
−
=−+
%
1
0
(,)() ( 1) ()Aq uy k Buk ek (5.3)
Sendo
−−−
=+ −− + −
%
112
10 0 1
(,) [ ()] [ () ]
A
q u I A I Duk q Duk A q
O modelo acima,
j-passos à frente baseada no modelo quasilinear, é
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
67
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
como segue:
−
+= +−+ +
%
1
0
(,)( ) ( 1) ( )
A
quyk j Buk j ek j
(5.4)
Neste caso, devido à aproximação quasilinear por degrau de tempo,
em que se considera somente a ação de controle até o instante k-1
, a matriz
polinomial
−
%
1
(,)Aq u é como segue:
−−−
=+ −− − + − −
%
112
10 0 1
(,) [ ( 1)] [ ( 1) ]Aq u I A I Duk q Du k A q (5.5)
Observa-se que o polinômio acima, não utilizando a aproximação
quasilinear, teria a seguinte forma:
−−−
=+ −− + + + −
%
112
10 0 1
(,) [ ()][()]Aq u I A I Duk j q Duk j A q (5.6)
Verifica-se, na comparação com os dois polinômios apresentados acima,
que existe um erro de predição, que depende do horizonte.
Como observado no capítulo anterior, a aproximação quasilinear,
permite o uso da Equação Diofantina, pois o modelo torna-se linear a cada
instante. Também é possível usar o princípio da superposição e desta forma
as respostas livre e forçada podem ser calculadas. Mas para as predições
reais, baseadas no modelo bilinear, devem ser utilizadas as ações de
controle futuras, que consideram a natureza não linear do sistema. No
entanto, a solução analítica, que é a solução ótima para o preditor utilizado
no controlador preditivo generalizado baseado no algoritmo desenvolvido por
Clarke (1987), não existe em tal caso.
Para reforçar a idéia da compensação iterativa e sua necessidade,
serão apresentadas a seguir as expressões que definem as predições da
saída para a equação (5.1), do instante (k+1) até o instante (k+j)
+=−+ + + +
+=−+ + ++ ++ +
+ =− + +− +− + +− + +
M MMMMMMMMM
10 0
10 0
10 0
(1)[ ()]() ()(1)
(2)[ (1)](1) (1)(2)
( ) [ ( 1)] ( 1) ( 1) ( )
yk A Duk yk Buk ek
yk A Duk yk Buk ek
ykjADukjykjBukjekj
(5.7)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
68
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Observa-se que o termo correspondente à matriz
1
()
A
u , da matriz
polinomial
−
%
1
(,)Aq u , do modelo acima, varia com o horizonte de predição
dependendo claramente do valor futuro da ação de controle, conforme a
expressão a seguir:
=− + + −
110
() [ ( 1)]Au A Duk j (5.8)
Uma vez que uma solução analítica para o preditor
j-passos à frente,
característico dos controladores preditivos generalizados bilineares não
existe, foi proposto então, o cálculo de forma iterativa, de uma nova
seqüência de ações futuras de controle, com o objetivo de reduzir o erro de
predição. No cálculo desta nova seqüência quasilinear é efetuada, em cada
iteração, a correção dos coeficientes
1
()Au.
V.3. Desenvolvimento do Controlador Preditivo Generalizado
Multivariável Bilinear com Compensação Iterativa sem Restrições
Do mesmo modo que o algoritmo GPC multivariável linear e o GPC
multivariável bilinear quasilinear por degrau de tempo, o Controlador
Preditivo Generalizado Multivariável Bilinear com Compensação Iterativa
(GPCBIC) também calcula uma seqüência de ações de controle de forma a
minimizar uma função objetivo, multi-passo, definida sobre um horizonte de
predição, com ponderação das ações de controle e dos erros de predição.
Então, conforme visto no capítulo anterior, seja a função objetivo
apresentada a seguir:
1
2
2
1
ˆ
()() ( 1)
NY NU
jj
Wu
Wy
iN i
Jrkiyki uki
==
=+−++∆+−
∑∑
(5.9)
Em que:
()rk i+
é o vetor trajetória de referência futura;
ˆ
()yk i+
é uma predição sub-ótima j-passos à frente do
vetor de saída do sistema baseada em informações
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
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e
r
r
t
t
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a
ç
ç
ã
ã
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o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
69
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
disponíveis até o instante k;
)1( −+∆ iku
é o vetor das ações de controle futuras;
N
1
representa o horizonte mínimo de predição;
NY representa o horizonte máximo de predição;
NU representa o horizonte de controle;
Wy são matrizes diagonais, positivo definidas, de
ponderação sobre o vetor de erro;
Wu são também matrizes diagonais, positivo definidas, de
ponderação sobre o vetor ações de controle;
É importante observar que a predição da saída
j-passos à frente,
+
ˆ
()yk j , obtida com o processo iterativo, ainda vai representar uma predição
sub-ótima, uma vez que esta é uma aproximação da predição exata que seria
obtido pelo modelo bilinear. No entanto, é esperado que a predição com a
compensação iterativa apresente um erro menor do que aquela obtida pelo
modelo quasilinear por degrau de tempo. Para minimizar a função objetivo
(5.6), deverá ser obtida a predição sub-ótima da saída, j-passos à frente, no
intervalo
NYjN ≤≤
1
. Ainda que o modelo matemático da planta seja não-
linear, a linearização do modelo iterativo permite que o valor predito seja obtido
com a aplicação da superposição, com o conceito de resposta livre e resposta
forçada. Portanto, considerando o modelo bilinear acima mencionado, modelo
este obtido de forma similar ao da equação 4.17, a saída predita
j-passos à
frente, com
dj ≥
é dada por:
−− −
+= ∆ +−+ +
%
11 1
(,)( ) ()( 1) ()( )
d
Aquykj Bq ukj Cqekj (5.10)
em que os coeficientes da matriz
%
()
j
Au
,
()
jj
au
%
, com 1, , ( 1)jna
=
+L da matriz
polinomial
−
%
1
(,)Aq u são corrigidos de forma iterativa conforme será descrito na
seção a seguir.
Para o desenvolvimento do GPCBIC, vamos analisar o caso mais geral,
em que se considera a matriz polinomial do ruído da equação (5.10), com
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
70
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
1
()Cq I
−
≠ e por hipótese com raízes de qualquer elemento (i,j) desta matriz
polinomial, no interior do círculo unitário, isto é, por hipótese o ruído é
estacionário. Deve-se observar que a consideração
1
()Cq I
−
≠ , altera
substancialmente o desenvolvimento do algoritmo de predição. A diferença
fundamental reside no fato de que as operações com as matrizes polinomiais
não são comutativas. Portanto, os cálculos envolvidos em sistemas MIMO são
mais complexos do que os envolvidos em sistemas SISO. Para o
desenvolvimento, estabelecem-se a seguir algumas definições relacionadas a
“identidades de matrizes polinomiais”, as quais ajudarão na elaboração do
preditor
j-passos à frente.
Com o objetivo de separar as informações passadas e futuras de y(k+j),
introduz-se a seguinte equação Diofantina:
−−−−−
=+
%
111 1
,, ,
j
ij
C(q ) E (q u)A(q u) q F (q u) (5.11)
em que,
1
(,)
j
Eq u
−
é uma matriz polinomial única de ordem j-1, dada por:
−−−−
−
=+ ++
111
,0 ,1 , 1
,()() ()
(j )
jjj jj
E (q u ) E u E u q . . . E u q (5.12)
1
(,)
j
F
qu
−
é uma matriz polinomial única de ordem na, na forma:
−−−
=+ ++L
11
,0 ,1 ,
,()() ()
na
iii ina
F(q u) F u F u q F u q (5.13)
Observa-se que as matrizes polinomiais
1
(,)
j
Eq u
−
e
1
(,)
j
Fq u
−
são
calculadas iterativamente em cada instante k, utilizando-se os valores dos
coeficientes da matriz
%
()
j
Au da matriz polinomial
−
%
1
(,)Aq u .
Considere então agora as matrizes polinomiais
1
(,)
j
Eq u
−
e
1
()Cq
−
as
quais guardam entre si a seguinte propriedade:
−− −−
=
11 11
,,
jj
E (q u)C(q ) C(q )E (q u) (5.14)
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
71
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Com
=
=00
j
jq
E( ) C( ) I ;
(
)
(
)
−−
=
11
det det
j
C(q ) C(q ) , o grau de
−1
,E(q u) =
grau de
−1
,E(q u) e o grau de
−1
,C(q u) = grau de
−1
,C(q u) .
As condições de existência e de unicidade de solução são apresentadas
em Wolowich, (1974).
Definindo
−−−−
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
%
1111
,,,
j
jjj
F(qu)qC(q)E(qu)A(qu) (5.15)
e pré-multiplicando a equação 5.10 do modelo por
1
(,)
j
Eq u
−
, resulta em:
−−
−−
−−
+=
∆
+− +
+
%
L
LL
11
11
11
(,)(,)( )
(,)()( 1)
(,)()( )
j
d
j
j
Eq uAq uyk j
Eq uB q uk j
Eq uCq ek j
(5.16)
Tendo em vista a identidade polinômio-matricial (5.14) e a definição
apresentada em (5.15), isto é:
−−− − −
−=
%
1111
,,,
j
ji
C(q ) q F (q u) E (q u)A(q u) (5.17)
então, substituindo na equação (5.16), resulta em:
−−− − −
−−
−
+= ∆ +−+
++
L
L
11 11
11
[( ) ( ,)]( ) ( ,) ( ) ( 1)
(,)()( )
jd
jj
j
Cq qFquyk j EquBq uk j
Eq uCq ek j
(5.18)
ou ainda,
−−−
−−−
+= ∆ +−+
+
++
L
L
111
111
()( ) (,)()( 1)
(,)]() (,)()( )
d
j
jj
Cq yk j E q uB q uk j
Fq uyk Eq uCq ek j
(5.19)
que, fazendo uso de (5.14), resulta em:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
72
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
−−−
−−−
+= ∆ +−+
+
++
L
L
111
111
()( ) (,)()( 1)
(,)]() ()(,)( )
d
j
jj
Cq yk j E q uB q uk j
Fq uyk Cq E q uek j
(5.20)
Esta equação pode ser reescrita na forma:
−−
−− −
+− + =
∆+−+
L
L
11
11 1
()[( ) (,)( )]
(,)()( 1) (,)]()
j
d
jj
Cq yk j E q uek j
Eq uB q uk j Fq uyk
(5.21)
Como o grau de
1
(,) 1
j
Eq u j
−
=
−
, então o termo referente ao ruído, na
expressão anterior, refere-se ao futuro, de forma que a melhor predição de
ˆ
()yk j+
pode ser gerada pela equação:
−−− −
+= ∆ +−+
111 1
ˆ
()( ) (,)()( 1) (,)()
d
jj
Cq
y
kj EquBq ukj Fqu
y
k
(5.22)
Considere agora a seguinte equação diofantina:
−−−−
=+
11 1
()() ()
j
jj
IJqCq qKq
(5.23)
com grau de
1
()
j
J
qj
−
<
.
Multiplicando a equação (5.22) por
1
()
j
J
q
−
e utilizando a equação
diofantina definida em (5.23), tem-se que:
−− −− −
−−
−+= ∆+−+
+
L
L
1111
11
ˆ
()( ) ()(,)()( 1)
()(,)()
jd
jj
jj
IqKq yk j JqEquBq uk j
Jq Fq uyk
(5.24)
ou ainda,
−− −
−−−
+= ∆ +−+
⎡⎤
+
⎣⎦
L
L
11 1
111
ˆ
()()(,)()( 1)
() ()(,)()
d
j
jjj
yk j J q Eq uB q uk j
Kq Jq Fq u
y
k
(5.25)
Fazendo:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
73
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
−− − − − −
=+
11 1 1 1
()(,)() (,) (,)
dj
jjjpa
JqEquBq Hqu qH qu
(5.26)
−−−−
=+
1111
(,) () ()(,)
jjj
Fq u K q J q F q u (5.27)
com grau de
1
(,)
j
H
qu j
−
<
, então a predição sub-ótima j-passos à frente pode
ser expressa como:
−−−
+= ∆+−+ ∆−+
111
ˆ
( ) (,)( 1) (,)( 1) (,)()
jjpaj
yk j H q u uk j H q u uk F q uyk
(5.28)
Observa-se que esta equação é similar a equação (4.51) obtida para o
controlador bilinear multivariável com aproximação quasilinear por degrau de
tempo para
1
()
qxq
Cq I
−
=
. Deve-se observar que, o primeiro termo, que relaciona
os incrementos futuros, corresponde à
resposta forçada, enquanto os últimos
dois termos correspondem à
resposta livre, na medida em que estes são
gerados por incrementos de controle passados e saídas passadas.
Tem-se então que o vetor de
resposta livre é dado por:
−−−−
⎡⎤
+= ∆ −+ +
⎣⎦
1111
( ) (,)( 1) (,) (,)(,)()
jpa j j j
yl k j H q u u k K q u J q u F q u y k
(5.29)
Portanto, a partir de então, utiliza-se o mesmo procedimento realizado
anteriormente, produzindo a mesma lei de controle, isto é:
1
[() () ] () ( )
TT
uWy u Wu uWy
−
=+
l
∆uH H H r-
y
(5.30)
Chamando
1
(() () ) ()
TT
pq qp qq qp pp qp qq
uWy u Wu uWy
−
×× ×× ×× ×
=+GH H H
, temos:
11
()
ppq q
×
××
=
l
∆uGr-y
(5.31)
Lembrando sempre que, baseado na estratégia dos controladores
preditivos, o vetor sinal de controle, que é de fato enviado ao processo
corresponde, também neste caso, aos
p primeiros elementos do vetor ∆u , que
é dado por:
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
74
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
(1) ( ) ( 1)
() ( )
p
x pxNup Nupx
uk∆= −
l
Kry
(5.32)
com
K
composta das p primeiras linhas de G:
1
2
()
1ª
()
2ª
()
()
ª
p
uk
linha de
uk
linha de
uk
uk
p linha de
∆
⎡⎤
⎡
⎤⎡ ⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
∆
⎢⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
∆= = ×
⎢⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
∆
⎢⎥
⎣
⎦⎣ ⎦
⎣⎦
l
G
Gr-
y
G
LL
LL
M
MMO
LL
(5.33)
V.4. Implementação do algoritmo
Nesta seção, com o objetivo de melhor detalhar o algoritmo
anteriormente proposto, apresenta-se a seguir a sua implementação. Como
mencionado, o referido algoritmo utiliza as ações de controle futuras para
corrigir as matrizes
()
j
Auda matriz polinomial
1
(,)Aq u
−
%
definida em 4.23. Desta
forma, a matriz polinomial
1
(,)Aq u
−
%
não será mais constante dentro do
horizonte de predição. Seja então
k
∆u , o vetor que contém os NU vetores de
incrementos futuros das
p entradas para um dado instante k, inicialmente
fornecido pelo controlador preditivo que se baseia no modelo quasilinear por
degrau de tempo, como mostrado a seguir:
[
]
()(1)()(1)
T
k
uk uk uk i uk NU=∆ ∆+ ∆+ ∆+ −∆u LL , (5.34)
em que:
()uk i∆+ representa o vetor de incrementos das p entradas que seriam
aplicadas no instante k+i, calculadas no instante k.
Utilizando esta seqüência de incrementos, calculam-se as
NUp ações
de controle futuras que irão corrigir os polinômios da matriz polinomial de
1
(,)Aq u
−
%
para o instante k, somando-se os referidos incrementos, referentes à
i-ésima entrada, 1ip
=
L , às NU ações de controle calculadas no instante k-1
para a
i-ésima entrada. Sejam então as NU ações de controle futuras
referentes à
i-ésima entrada para o instante k-1, definidas por
(1),ki−
u . Assim, o
vetor de ações de controle futuras para o instante k, referente à entrada i,
,ki
u é
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
75
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
determinado como mostrado a seguir:
, ( 1), ( 1),
(1),
[() ()(1)
() ( 1) ( 1)]
ki k i i k i i i
T
ki i i i
u uk u uk uk
uukuk ukNU
−−
−
=
+∆ +∆ +∆ +
+∆ +∆ + + +∆ + −
u L
LK
(5.35)
De forma semelhante, pode-se escrever que:
,, , , ,
[() (1) ( ) ( 1)]
T
ki ki ki ki ki
uk uk ukj ukNU=+++−u LL (5.36)
em que
,(1),
() () (1) ()
ki k i i i i
u k j u uk uk uk j
−
+ = +∆ +∆ + + +∆ +K
Finalmente, determina-se o vetor completo de ações de controle futuras,
a partir dos vetores
,
,1
ki
ip=u L definido como segue:
,1 , ,1 ,
,1 ,
[() () ( ) ( )
(1)(1)]
kk kp k kp
T
kkp
uk u k ukj u kj
ukNU u kNU
=
++
+− +−
u LL L L
LL
(5.37)
Com este vetor de controle, atualizam-se os polinômios da matriz
polinomial
1
(,)Aq u
−
%
e utiliza-se o algoritmo de controle preditivo bilinear com
compensação iterativa descrito na seção anterior para calcular um novo vetor
de incrementos
k
∆
u . Este novo vetor de incrementos atualizará o vetor
k
u ,
conforme equação anterior. Deve-se observar que na implementação do
controlador preditivo bilinear com compensação iterativa, precisam-se dos
NUp
valores das ações de controle futuras, calculadas para corrigir os polinômios da
matriz polinomial acima mencionada. O processo iterativo repete-se até que
sejam atingidas as condições de convergência descritas na seção a seguir.
É interessante observar que o GPCBIC calcula, de forma iterativa,
utilizando a Equação Diofantina, para cada nova predição, as matrizes
polinomiais
1
(,)
i
E
qu
−
e
1
(,)
i
Fq u
−
. Com os novos valores de
1
(,)
i
E
qu
−
e
1
(,)
i
Fq u
−
determina-se a matriz
()
j
uH
e, de forma semelhante ao algoritmo de
controle quasilinear por degrau de tempo, calcula-se o novo vetor de
incrementos de controle.
Vale ainda lembrar que o princípio do horizonte móvel é utilizado e,
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
76
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
portanto, depois que o algoritmo converge para um determinado instante k,
somente
1
() [ () ()]
T
p
uk u k u k= L é enviado ao controlador. Para o instante k+1,
todo o procedimento citado nesta seção se repete.
V.4.1. Critério de convergência e parada
O critério de convergência utilizado no algoritmo iterativo é baseado na
norma da variação do vetor
k
∆u . O procedimento iterativo deverá continuar até
que a variação entre a norma calculada na iteração (r-1) e aquela calculada na
iteração (r), para a i-ésima entrada,
i
∀
, seja menor que um valor previamente
estabelecido (CP). Desta forma, o critério de parada será representado da
seguinte maneira:
∀∆u ∆u L
i,r i,r -1
2
(- )<CP, i, i=1p (5.38)
Dependendo dos parâmetros de sintonia ajustados no controlador
preditivo, isto é, dependendo do horizonte de controle, do horizonte de
predição, da ponderação dos esforços de controle e dos erros de predição, a
taxa de convergência do algoritmo pode tornar-se pequena ou, até mesmo, não
convergir. Com o objetivo de prover o algoritmo com alguma proteção,
adotaram-se os seguintes critérios de parada, evitando-se assim que o
algoritmo apresente falhas e que estas degradem os resultados desejados:
Caso a convergência se dê muito lentamente, um contador forçará a
saída do processo iterativo quando um determinado número de iterações for
atingido. Neste caso, o valor a ser enviado ao processo é o resultado da
aproximação quasilinear. O valor a ser estabelecido para o contador dependerá
do grau de melhoria desejado do algoritmo de controle preditivo bilinear
iterativo em face do quasilinear. Neste caso, deve-se ter em mente que há um
compromisso entre a quantidade de iterações e o esforço de cálculo
despendido pelo algoritmo;
Caso o algoritmo não convirja nas iterações de um dado instante k, isto
é, a norma calculada na iteração (r) não seja menor que a norma calculada na
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
77
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
iteração (r-1), para a i-ésima entrada, i
∀
, utiliza-se para este instante a ação
determinada pelo algoritmo do controle preditivo quasilinear por degrau de
tempo. Desta forma garante-se o comportando monotonicamente decrescente
da norma, segundo equação (5.39) a seguir,
∀∆u ∆u L
i,r i,r -1
22
-<0, i, i=1p (5.39)
A figura 5.1 ilustra o fluxo do processo.
Figura 5.1 – Fluxo do processo iterativo
Em resumo, a cada instante k, o algoritmo de controle preditivo bilinear
com compensação iterativa executa os seguintes passos:
Calcula os incrementos de controle da mesma maneira que o
algoritmo de controle preditivo baseado no modelo quasilinear por degrau de
tempo;
Com os incrementos de controle, calcula as ações de controle futuras
e atualiza os polinômios da matriz polinomial
1
(,)Aq u
−
%
;
Com a nova matriz, efetua os cálculos das novas matrizes polinomiais
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
78
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
1
(,)
i
E
qu
−
e
1
(,)
i
Fq u
−
através da solução da Equação Diofantina para se obter
as novas predições das saídas. Com essas predições obtêm-se os novos
vetores de incrementos de controle;
Repete-se o procedimento até que o critério de parada seja atingido de
acordo com a equação 5.39.
V.5. Considerações
Neste capítulo, apresentou-se de uma forma detalhada o algoritmo de
controle preditivo generalizado bilinear, no caso multivariável com
compensação iterativa, considerando-se ainda o ruído colorido, destacando-se
as diferenças para o caso monovariável.
A importância do algoritmo preditivo bilinear multivariável com
compensação iterativa, além da sua relevância acadêmica, deve-se também ao
seu aspecto conceitualmente consistente, e principalmente pela destacada
aplicabilidade em controle de processos, nos mais variados setores industriais.
Por outro lado, deve ser observado que a solução embora semelhante ao caso
multivariável linear e bilinear quasilinear por degrau de tempo, requer um
esforço computacional que, somado à introdução do tratamento de restrições é
bem maior, além de ser bem mais complexa sob o ponto de vista matemático.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
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r
r
t
t
a
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ã
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M
M
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.
S
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,
,
,
D
D
E
E
E
E
/
/
U
U
F
F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
I
I
79
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
CAPÍTULO VI
IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PREDITIVO
MULTIVARIÁVEL BILINEAR COM COMPENSAÇÃO ITERATIVA
VI.1. Introdução
Neste capítulo, apresenta-se o controle preditivo multivariável bilinear
com compensação iterativa aplicado a modelos simulados, multivariáveis,
com dinâmica bilinear e grau de acoplamento que justifica a aplicação do
controle multivariável. Entre os modelos estudados, apresenta-se o já
mencionado no capítulo II, representado pela simulação fenomenológica da
coluna debutanizadora. Neste caso, o controlador preditivo generalizado
multivariável baseado em modelos lineares é aplicado, após a identificação
de um modelo linear adequadamente validado. Implementa-se também o
controlador preditivo multivariável utilizando a abordagem quasilinear, após a
identificação de um modelo bilinear também validado. Por último,
implementa-se o controlador multivariável bilinear com a compensação
iterativa, de formas a se obter uma comparação de desempenho.
Inicialmente é realizada a identificação dos modelos linear e bilinear;
em seguida os controladores são implementados, submetendo-se os
sistemas a respostas tanto ao problema servo quanto ao problema
regulador.
Após os resultados da aplicação nos modelos da debutanizadora,
decidiu-se por aplicar os dois controladores bilineares a outros sistemas
multivariáveis, estritamente teóricos, com diferentes ganhos de processo. Os
resultados da aplicação são mostrados, comparados e avaliados.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
D
i
i
s
s
s
s
e
e
r
r
t
t
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
VI.2. Controle preditivo multivariável bilinear aplicado na coluna
debutanizadora
A debutanizadora é um processo multivariável, com determinado grau
de acoplamento entre a malha de topo e a malha de fundo, como verificado
a seguir, sendo representadas pelos pares entrada/saída, utilizados como
variáveis manipuladas e variáveis controladas, respectivamente. Como o
objetivo era avaliar o melhor desempenho do controlador preditivo
multivariável bilinear baseado no modelo quasilinear com compensação
iterativa face ao modelo quasilinear, em um processo que represente a
dinâmica multivariável bilinear, ambas as malhas tiveram suas dinâmicas
identificadas de forma multivariável.
Para verificação do acoplamento entre as malhas de controle foi
aplicado um degrau em uma variável, permanecendo a outra variável com
um “setpoint” constante. A amplitude do degrau aplicado foi de 10%. Os
resultados do teste de acoplamento são apresentados nas tabelas 6.1 e 6.2
a seguir:
Variação na vazão de refluxo com temperatura Constante
Variação
Percentual
Vazão de
refluxo (kg/h)
i-pentano no
topo (%)
i-buteno no
fundo (ppm)
10% 44,0 1,25 1377
SS 40,0 1,46 1319
-10% 36,0 1,73 1281
Tabela 6.1 – Variação na vazão de refluxo com a temperatura constante
Variação na temperatura com refluxo constante
Variação
Percentual
Temperatura
(ºC)
i-pentano no
topo (%)
i-buteno no
fundo (ppm)
0,68% 148,0 1,71 1034
SS 147,0 1,46 1319
-0,68% 149,0 1,29 1624
Tabela 6.2 – Variação na temperatura com a vazão de refluxo constante
L
L
a
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u
u
r
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Observa-se na tabela 6.1, que uma variação de 40,0 para 44,0 kg/h
na vazão de refluxo, corresponde a uma variação na malha de topo de
1,46% para 1,25% na concentração de i-pentano, equivalente a cerca de
14,4% de redução na taxa de concentração de i-pentano. Na malha de fundo
a mesma variação na vazão de refluxo provocou uma variação de 1319 ppm
para 1377 ppm de i-buteno correspondendo a 4,40% de elevação na taxa de
i-buteno. Da mesma forma, observa-se na tabela 6.2, que uma variação de
apenas 1,0 ºC no prato 15 da debutanizadora, correspondente a uma
variação de 0,68%, provoca uma variação na malha de fundo de 1319 para
1034 ppm na concentração e i-buteno. Isto corresponde a 21% na taxa de
concentração de i-buteno. Na malha de topo a mesma variação na
temperatura do prato 15 provoca uma variação de 1,46% para 1,71% na
concentração de i-pentano, correspondendo a uma variação na taxa de
concentração de i-pentano de 17%. Assim, pelos resultados apresentados,
verifica-se que de fato o acoplamento entre as malhas de topo e de fundo da
debutanizadora é grande, justificando a aplicação do controle multivariável.
VI.2.1. Identificação dos Modelos
Para a identificação dos modelos linear e bilinear, é necessário
selecionar o período de amostragem que é baseado no tempo de
acomodação. Assim, realizaram-se testes em degrau nos pares refluxo e
concentração de i-pentano no topo, refluxo e concentração de i-buteno no
fundo, temperatura do prato sensível e concentração de i-pentano no topo e
finalmente temperatura do prato sensível e concentração de i-butenos no
fundo. A tabela 6.3 mostra os tempos aproximados para o sistema atingir o
estado estacionário em cada caso. Adotou-se então o período de
amostragem de sete minutos e meio (7,5), que está entre 1/20 e 1/40 dos
tempos de acomodação encontrados.
L
L
a
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Tempo de acomodação em minutos
Degrau
Refluxo
Temperatura
Topo
Fundo Topo Fundo
Positivo 150 300 300 150
Negativo 175 300 300 150
Tabela 6.3 –Tempo de acomodação
Para a estimação dos parâmetros dos modelos, uma seqüência de
dados foi obtida a partir de testes de identificação, aplicando-se um sinal
pseudo-aleatório, persistentemente excitante (PRBS), adicionado ao sinal de
regime permanente. De posse da massa de dados, aplicou-se o algoritmo
dos Mínimos Quadrados Recursivos (MQR), cujos modelos obtidos são
mostrados a seguir:
Modelo Linear:
11 1 1
122
( ) 1.655 ( 1) 0.677 ( 2) 0.005 ( 1)
0.0005 ( 2) 0.006 ( 1) 0.001 ( 2)
yk yk yk uk
uk uk uk
=−−−−−+
+−+−+−
L
L
22 2 1
122
( ) 1.371 ( 1) 0.517 ( 2) 37.218 ( 1)
17.049 ( 2) 44.103 ( 1) 8.526 ( 2)
yk yk yk uk
uk uk uk
=−− −+ −−
−−− −−−
L
L
Modelo Bilinear:
11 1 1
122
11 1 1
( ) 1.5448 ( 1) 0.5820 ( 2) 0.0058 ( 1)
0.0013 ( 2) 0.0048 ( 1) 0.0027 ( 2)
0.0037 ( 1) ( 1) 0.0040 ( 2) ( 2)
yk yk yk uk
uk uk uk
uk yk uk yk
=−−−−−+
+−+−+ −−
−−−−−−
L
LL
L
22 2 1
122
22 2 2
( ) 1.3295 ( 1) 0.5511 ( 2) 39.2216 ( 1)
18.9016 ( 2) 40.7880 ( 1) 17.9629 ( 2)
0.0165 ( 1) ( 1) 0.0084 ( 2) ( 2)
yk yk yk uk
uk uk uk
uk yk uk yk
=−−−+ −−
−
−− −− −+
+−−−−−
L
LL
L
L
L
a
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u
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n
n
d
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,
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
A seguir, nas figuras 6.1 à 6.4, apresentam-se os gráficos
comparativos com o sinal de saída real e a saída identificada, tanto para o
modelo linear, quanto para o modelo bilinear, para o topo e para o fundo. O
valor do erro normalizado para modelo linear, para a saída y
1
do processo foi
de 7,65 e a variância foi de 0,029. Já para a saída y
2
, o erro foi de 2,62 e a
variância foi de 0,0058. Para o modelo bilinear o valor do erro normalizado
para a saída y
1
do processo foi de 6,73 e a variância foi de 0,028. Já para a
saída y
2
, o erro foi de 2,60 e a variância foi de 0,0062.
Figura 6.1 –Resposta da concentração de i-pentano para um PRBS nas entradas 1 e 2
com modelo linear
Figura 6.2 –Resposta da concentração de i-buteno para um PRBS nas entradas 1 e 2 com
modelo linear
Planta
Modelo
Planta
Modelo
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n
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.3 –Resposta da concentração de i-pentano para um PRBS nas entradas 1 e 2
com modelo bilinear
Figura 6.4 –Resposta da concentração de i-buteno para um PRBS nas entradas 1 e 2 com
modelo bilinear
Pode-se observar que os modelos bilineares, notadamente o referente
ao topo da debutanizadora, figura 6.3, apresentam maior fidelidade à planta
simulada no Hysys que os modelos lineares. Este resultado mostra que a
bilinearidade existente na coluna debutanizadora foi bem representada pelo
modelo. Espera-se deste modo que os controladores com estes modelos
Planta
Modelo
Planta
Modelo
L
L
a
a
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r
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n
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
respondam melhor aos problemas de controle da planta.
VI.2.2. Implementação do Sistema de Controle
A debutanizadora pode ser encontrada no diretório de demonstração
do simulador dinâmico HYSYS, versão 1.5 existente na UFBA. Por ter
capacidade de alcançar grande abrangência, efetuando os balanços de
volume, energia e composição em passos de integração diferentes, este
simulador fenomenológico permite que o modelo dinâmico utilizado seja o
mais completo e próximo possível da realidade de uma coluna
debutanizadora. Desta forma, o desempenho do controlador preditivo linear
e bilinear podem ser avaliados em um ambiente muito próximo da realidade.
Na implementação dos sistemas de controle, foram utilizadas duas soluções
a saber:
• os controladores do nível regulador, foram implementados no
próprio HYSYS, utilizando o algoritmo PID residente neste;
• os controladores preditivo multivariável linear, quasilinear por
degrau de tempo e quasilinear com compensação iterativa, foram
desenvolvidos e implementados em Matlab, comunicando-se com
HYSYS.
Para a implementação da comunicação, utilizou-se o módulo “DCS
Interface” do HYSYS, cuja janela de configuração pode ser observada na
Figura 6.5. Este módulo possibilita o controle da comunicação através de
uma série de facilidades, algumas entre as mais importantes são destacadas
abaixo:
• General Data – Nesta guia definem-se os programas Matlab que
serão disparados ao se acionar o botão Enable/Disable na
mesma janela ou os botões Start/Continue/Stop do integrador;
• PV Export – Nesta guia definem-se as variáveis do Hysys que
serão enviadas aos programas Matlab na forma de um vetor. São
em geral as variáveis controladas do controlador preditivo
L
L
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
multivariável. Pode ser um “setpoint” ou uma variável de processo
de um PID residente, um dado de processo ou simplesmente o
tempo de simulação;
• PV Import – Nesta guia definem-se as variáveis que o Hysys
receberá do Matlab. São em geral as variáveis manipuladas do
controlador multivariável, também lidas sob a forma de um vetor;
Figura 6.5 –Interface para comunicação Hysys x Matlab
O HYSYS se comunica a todo instante com o MATLAB, porém de
forma assíncrona. Desta maneira, a velocidade de comunicação é
influenciada pela velocidade do processador e cabe aos programas
desenvolvidos em Matlab ler e disponibilizar as variáveis nos períodos de
amostragem determinados. Para garantir que a execução do algoritmo do
controlador preditivo multivariável fosse efetuada no intervalo múltiplo do
período de amostragem, foi passado ao Matlab uma variável “tempo de
simulação” do Hysys e naquele foi criada uma variável que se encarregou de
contar o tempo de simulação e calcular o momento de ler e disponibilizar as
variáveis de interesse.
L
L
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
VI.2.3. Respostas dos Controladores Preditivos Multivariáveis
Foram aplicados testes no sistema de controle da debutanizadora,
nas duas variáveis controladas independentemente, para cada um dos
controladores. Desta forma, ao se aplicar uma mudança no valor desejado
da concentração de i-pentano no topo, observou-se o problema servo para
esta variável e ao mesmo tempo o problema regulador na concentração de i-
buteno no fundo. Do mesmo modo, ao se aplicar uma mudança no valor
desejado da concentração de i-buteno no fundo, observou-se o problema
servo para esta variável e ao mesmo tempo o problema regulador na
concentração de i-pentano no topo.
Para a avaliação eqüitativa dos controladores foi adotado como
critério, utilizar-se os mesmos parâmetros de sintonia tais como: horizonte
de predição (Nu=10), horizonte de controle (Ny=10) e as mesmas matrizes
de ponderação das ações de controle, formadas por
λ
1
=0.04 e λ
2
=0.085.
Para o algoritmo iterativo, foi adotado o valor CP=10
-6
e o número de
iterações máximo limitado a 40.
Os gráficos com as respostas dos sinais de saída e dos esforços de
controle são mostrados a seguir:
Figura 6.6 – Saída 1 para degrau no setpoint da saída 1 (problema servo)
_____ iterativo
_____ quasilinear
_____ linear
L
L
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.7 – Saída 2 para degrau no setpoint da saída 1 (problema regulador)
Figura 6.8 – Ação de controle da variável 1 para degrau no setpoint da saída 1
x10
-
3
_____ iterativo
_____ quasilinear
_____ linear
_____ iterativo
_____ quasilinear
_____ linear
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.9 – Ação de controle da variável 2 para degrau no setpoint da saída 1
Observa-se nas figuras 6.6 à 6.9 que o Controlador Preditivo
Generalizado Multivariável com Compensação Iterativa, baseado em um
modelo quasilinear, apresenta desempenho bastante semelhante ao
controlador quasilinear por degrau de tempo, tanto para o problema servo,
Figura 6.6, quanto para o problema regulador, Figura 6.7, quase não se
percebendo a diferença dos sinais, mesmo com o recurso de ampliação
aplicado em ambas as figuras, não justificando neste caso específico, o
maior esforço computacional requerido pelo algoritmo iterativo. Pode-se
também observar que o controlador linear apresenta o pior desempenho,
fato que já era esperado, inclusive pelo resultado obtido na validação dos
modelos.
A seguir mostra-se uma tabela resumo, comparando-se os tempos de
acomodação (98% do valor final), em minutos, para os testes realizados,
com degraus unitários, normalizados, nas variáveis de saída 1 e 2.
_____ iterativo
_____ quasilinear
_____ linear
L
L
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Tabela 6.4 – Resumo dos tempos de acomodação para os testes realizados
VI.3. Controle preditivo multivariável bilinear aplicado a modelos
teóricos
Em função dos resultados obtidos com a debutanizadora, os quais
não confirmaram a hipótese central desta dissertação, resolveu-se partir
para experiências com modelos estritamente teóricos, com acentuada
bilinearidade e diferentes ganhos de processo, para que o algoritmo fosse
melhor investigado. O objetivo aqui deixou de ser comparar o desempenho
do algoritmo com compensação iterativa também com modelos lineares.
Desta forma, aplicou-se a estes modelos bilineares apenas o controlador
quasilinear por degrau de tempo e o controlador quasilinear com
compensação iterativa.
Testes Realizados
Controlador
Linear
(min)
Controlador
Quasilinear
(min)
Controlador
Quasilinear com
Compensação
Iterativa (min)
Elevação da concentração
de i-pentano na corrente
de topo.
Reação no topo
307,5 157,5 150
PROBLEMA SERVO
Elevação da concentração
de i-buteno na corrente de
fundo.
Reação no fundo
52,5 45 45
Elevação da concentração
de i-pentano na corrente
de topo.
Reação no fundo
300 7,5 7,5
PROBLEMA REGULADOR
Elevação da concentração
de i-buteno na corrente de
fundo.
Reação no topo
217,5 210 210
L
L
a
a
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u
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r
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n
n
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2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
V
V
I
I
91
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
VI.3.1. Modelos utilizados e respostas obtidas
O primeiro modelo multivariável 2 x 2 foi um modelo de primeira
ordem com zeros dentro do círculo unitário conforme segue:
VI.3.1.1. Primeiro Modelo Bilinear:
11 1 1
2211
( ) 0.8 ( 1) 0.4 ( 1) 0.6 ( - 2)
0.4 ( 1) 0.4 ( 1) 0.8 ( 1) ( 1)
yk yk uk uk
uk uk uk yk
=− −+ −+ +
+−+−+−−
L
L
22 1 1
2222
( ) 0.8 ( 1) 0.4 ( 1) 0.4 ( 2)
0.4 ( 1) 0.6 ( 1) 0.8 ( 1) ( 1)
yk yk uk uk
uk uk uk yk
=− −+ −+ − +
+−+−+−−
L
L
Para a avaliação eqüitativa dos controladores foi adotado como
critério, utilizarem-se os mesmos parâmetros de sintonia tais como:
horizonte de predição (Nu=5), horizonte de controle (Ny=5) e as mesmas
matrizes de ponderação das ações de controle, neste caso formadas por
λ
1
=5,0 e λ
2
=5,0.
a) Respostas dos Controladores Preditivos Multivariáveis, Bilineares
Observa-se nas figuras 6.10 à 6.13 que o Controlador Preditivo
Generalizado Multivariável com Compensação Iterativa sem restrições,
baseado em um modelo quasilinear, novamente apresenta desempenho
bastante semelhante ao controlador quasilinear, quase não se distinguindo a
diferença de resposta entre ambos.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
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i
,
,
S
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–
–
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2
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0
0
0
6
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C
C
a
a
p
p
.
.
V
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I
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.10 – Saída 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1 (problema servo)
Figura 6.11 – Saída 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1 (problema regulador)
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
L
L
a
a
u
u
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2
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0
0
0
6
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C
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a
a
p
p
.
.
V
V
I
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.12 – Ação de controle da variável 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1
Figura 6.13 – Ação de controle da variável 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1
Uma vez que os resultados, aparentemente, não confirmavam a
premissa da dissertação, resolveu-se investigar os motivos pelos quais o
fato vinha ocorrendo. Uma primeira hipótese surgiu da avaliação dos
esforços de controle que tanto na debutanizadora quanto no primeiro modelo
de experimento, eram muito pequenos. Partiu-se então para experimentar
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
L
L
a
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u
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2
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0
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6
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p
.
.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
modelos com menores ganho de processo, que desta forma solicitassem
maiores ações de controle.
VI.3.1.2. Segundo Modelo Bilinear:
11 1 2
11
( ) 0.08 ( 1) 0.05 ( 1) 0.007 ( 1)
0.84 ( 1) ( 1)
yk yk uk u k
uk yk
=−−−− −−
−
−−
L
L
22 1 2
22
( ) 0.05 ( 1) 0.003 ( 1) 0.08 ( 1)
0.95 ( 1) ( 1)
yk yk uk uk
uk yk
=−− −−−−
−
−−
L
L
Para a avaliação eqüitativa dos controladores foi novamente adotado
como critério, utilizar-se os mesmos parâmetros de sintonia tais como:
horizonte de predição (Nu=5), horizonte de controle (Ny=5) e as mesmas
matrizes de ponderação das ações de controle, formadas neste caso por
λ
1
=5,0 e λ
2
=0,5.
a) Respostas dos Controladores Preditivos Multivariáveis, Bilineares
Observa-se nas figuras 6.14 à 6.17 que o Controlador Preditivo
Generalizado Multivariável com Compensação Iterativa sem restrições
(curva azul), baseado em um modelo quasilinear, desta vez apresenta
desempenho melhor. Este atingiu o regime de estado estacionário em
aproximadamente 3 períodos de execução anteriores para o problema servo
e aproximadamente 6 períodos de execução anteriores para o problema
regulador, comparado ao controlador quasilinear (curva magenta).
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
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,
,
S
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2
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p
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.14 – Saída 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1 (problema servo)
Figura 6.15 – Saída 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1 (problema regulador)
_____ iterativo
_____ quasilinear
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
L
L
a
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n
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C
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.16 – Ação de controle da variável 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1
Figura 6.17 – Ação de controle da variável 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1
Com os resultados animadores do segundo modelo, decidiu-se
continuar a investigação, escolhendo um terceiro modelo multivariável 2 x 2,
com um ganho de processo ainda menor com o objetivo de se obter mais
resultados, e que esses fossem mais conclusivos.
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
L
L
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.
V
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
VI.3.1.3. Terceiro Modelo Bilinear:
11 1 2
11
( ) 0.008 ( 1) 0.0005 ( 1) 0.0007 ( 1)
0.084 ( 1) ( 1)
yk yk uk uk
uk yk
=−− −− −−
−−−
L
L
22 1 2
22
( ) 0.005 ( 1) 0.0003 ( 1) 0.0008 ( 1)
0.095 ( 1) ( 1)
yk yk uk uk
uk yk
=−− −− −−
−−−
L
L
Os controladores foram sintonizados com os mesmos parâmetros:
horizonte de predição (Nu=5), horizonte de controle (Ny=5) e as mesmas
matrizes de ponderação das ações de controle, formadas por
λ
1
=0,0025 e
λ
2
=0,0025.
a) Respostas dos Controladores Preditivos Multivariáveis, Bilineares,
sem restrições
Observa-se nas figuras 6.18 à 6.21 que o Controlador Preditivo
Generalizado Multivariável com Compensação Iterativa sem restrições
(curva azul), baseado em um modelo quasilinear, apresenta desempenho
ainda mais destacado comparado ao controlador quasilinear (curva
magenta), alcançando o regime de estado estacionário em
aproximadamente 6 períodos de execução anteriores para o problema servo
e aproximadamente 8 períodos de execução anteriores para o problema
regulador.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
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,
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S
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.18 – Saída 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1 (problema servo)
Figura 6.19 – Saída 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1 (problema regulador)
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
L
L
a
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Figura 6.20 – Ação de controle da variável 1 para degrau unitário no setpoint da saída 1
Figura 6.21 – Ação de controle da variável 2 para degrau unitário no setpoint da saída 1
VI.3.2. Mapeamento dos Resultados Qualitativos Obtidos
Os modelos testados, principalmente os teóricos, apresentaram uma rica
fonte de informações, cujos resultados são a seguir comentados e mapeados:
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
_
______
_
iterativo
________
quasilinear
L
L
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.
.
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100
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
VI.3.2.1. Tempos de acomodação
Os valores dos tempos de acomodação são mostrados na tabela 6.5.
Pode-se observar novamente que o desempenho dos algoritmos para o
controle da debutanizadora são bastante semelhantes no GPCBIC e no
GPCB, o mesmo ocorrendo para o primeiro modelo. No entanto, para o
segundo modelo já se observa um desempenho melhor do GPCBIC em
relação ao GPCB. O GPCBIC alcança a estabilidade, aqui considerada entre
±2% do sinal de acomodação, em aproximadamente 2 períodos de
execução anteriores para o problema servo e 3 períodos de execução
anteriores para o problema regulador. Com relação ao terceiro modelo, o
valor para o problema servo é melhorado em 5 períodos de execução
anteriores. Isto significa que para o problema servo, houve no segundo
modelo uma diferença para mais de 6,45% no tempo de resposta e no
terceiro modelo uma diferença de 20% para mais no tempo de resposta do
controlador quasilinear em relação ao controlador iterativo. Já para o
problema regulador houve uma diferença para mais de 12,5% no tempo de
resposta e no terceiro modelo um aumento de 13,65% para o controlador
quasilinear em relação ao iterativo.
Modelos
Problema de
Controle
Nº Execuções
Controlador
Linear
Controlador
Quasilinear
Controlador Quasilinear
Iterativo
Servo 41 21 20
Regulatório 40 1 1
Servo N/A 10 10
Regulatório N/A 13 13
Servo N/A 33 31
Regulatório N/A 27 24
Servo N/A 30 25
Regulatório N/A 25 22
Debutanizadora 270
50
1º Modelo
2º Modelo
3º Modelo
25
100
Tabela 6.5 – Resumo dos tempos de acomodação para um degrau unitário
VI.3.2.2. Convergência
A convergência dos resultados das iterações efetuadas pelo algoritmo
bilinear com compensação iterativa para o cálculo das ações de controle é
apresentada nas figuras 6,22 à 6.25 a seguir, onde são comparadas com as
ações de controle calculadas pelo algoritmo quasilinear por degrau de
L
L
a
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u
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n
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S
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
tempo.
u1 - Problema servo u2 - Problema Regulador
Figura 6.22 – Convergência das ações de controle para a debutanizadora
u1 - Problema servo u2 - Problema Regulador
Figura 6.23 – Convergência das ações de controle para o primeiro modelo
Iterativo
Quasilinear
Iterativo
Quasilinear
Iterativo
Quasilinear
L
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
u1 - Problema servo u2 - Problema Regulador
Figura 6.24 – Convergência das ações de controle para o segundo modelo
u1 - Problema servo u2 - Problema Regulador
Figura 6.25 – Convergência das ações de controle para o terceiro modelo
Pode-se observar que no caso da debutanizadora, figura 6.22, e no
caso do primeiro modelo teórico, figura 6.23, a diferença entre os valores de
∆u do GPCBIC e os valores de ∆u do GPCB são muito pequenas, de tal
Iterativo
Quasilinear
Iterativo
Quasilinear
L
L
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103
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
forma que os valores das ações de controle enviados ao processo por
ambos os controladores são muito próximos. No caso do segundo modelo
teórico, figura 6.24, já se percebe que a diferença aumenta, e fica bem mais
caracterizada no terceiro modelo, figura 6.25. Outra observação é que como
a diferença entre os valores para o terceiro modelo foi mais acentuada, o
número de iterações também foi maior, mostrando a efetividade do algoritmo
iterativo. Como o valor do incremento do sinal de controle será dado pelo
primeiro termo de ∆u, os valores de ∆u(1) para as duas saídas do
controlador são mostrados na tabela 6.6 as seguir.
Modelos
Problema de
Controle
Controlador
Quasilinear
Controlador Quasilinear
Iterativo
∆u
1 (1)
0,26 0,2495
∆u
2 (1)
-0,005 0,05
∆u
1 (1)
0,079 -0,099
∆u
2 (1)
-0,01 -0,028
∆u
1 (1)
0,05 -1,2
∆u
2 (1)
3,28 0,5
1º Modelo
2º Modelo
3º Modelo
Tabela 6.6 – Valores das variações das ações de controle
VI.3.2.3. Custo computacional
Para os cálculos dos custos computacionais, foi utilizado o comando
“cputime” do Matlab. Os valores de cputime foram inicializados no instante
zero e computados ao final da execução dos programas.
Os valores dos custos computacionais são desfavoráveis ao algoritmo
GPCBIC, como já era esperado, e podem ser observados na tabela 6.7. No
caso da debutanizadora o custo computacional do GPCBIC em relação ao
GPCB foi aproximadamente o dobro. Para os modelos teóricos a diferença
foi um pouco maior, sendo que no terceiro modelo cujo desempenho do
GPCBIC foi mais acentuadamente superior, seu custo computacional
superou em 4,44 vezes o custo computacional do GPCB.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
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i
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,
,
S
S
–
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ç
ã
ã
o
o
d
d
e
e
M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
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E
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U
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F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
C
C
a
a
p
p
.
.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Modelos Nº Execuções Controlador Linear
Controlador
Quasilinear
Controlador Quasilinear
Iterativo
Aumento do
Custo
Computacional
Debutanizadora 50 0,61 0,734 1,422 1,9373
1º Modelo 25 N/A 0,125 0,375 3,0000
2º Modelo 100 N/A 0,485 1,265 2,6082
3º Modelo 50 N/A 0,25 1,11 4,4400
Tabela 6.7 – Comparativo dos custos computacionais
VI.3.3. Análise Quantitativa dos Resultados Obtidos
Para uma análise quantitativa dos resultados obtidos, optou-se pela
utilização do índice de desempenho de Goodhart, publicado em 1984. Este
índice estabelece uma ponderação de três parcelas, baseadas em três
diferentes critérios de avaliação.
A primeira destas parcelas considera o esforço de controle médio total
realizado pelo controlador atingir uma dada resposta. Esta parcela é
representada pela seguinte equação:
1
1
()
T
k
uk
T
ε
=
∆
=
∑
(6.1)
em que T é um número inteiro e representa a quantidade de ações de
controle consumidas pelo controlador para obter a resposta desejada.
Para o caso multivariável adaptou-se a parcela para:
1
11
11
()
T
i
pp
k
i
ii
uk
T
εε
=
==
∆
==
∑
∑∑
(6.2)
em que
p é o número de entradas, ou variáveis manipuladas do sistema.
A segunda parcela do índice considera a variância do sinal de controle
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
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s
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M
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,
,
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2
0
0
0
0
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C
a
a
p
p
.
.
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105
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
em torno da média calculada no índice anterior. Esta parcela é representada
pela equação a seguir:
2
1
1
2
[() ]
T
k
uk
T
ε
ε
=
∆−
=
∑
(6.3)
Para o caso multivariável adaptou-se a parcela para:
2
1
1
22
11
[() ]
T
ii
pp
k
i
ii
uk
T
ε
εε
=
==
∆−
==
∑
∑∑
(6.4)
A terceira parcela do índice de Goodhart considera o desvio total da
variável de saída ou variável controlada, com relação ao valor do “setpoint”
desejado. Esta é a parcela de maior importância, já que está diretamente
relacionada com a qualidade da variável controlada, exercendo grande
influência na análise qualitativa do controlador e é calculada como segue:
1
3
() ()
T
k
rk yk
T
ε
=
−
=
∑
(6.5)
em que
r(k) é o valor de referência ou “setpoint”.
Para o caso multivariável adaptou-se esta parcela para:
1
33
11
() ()
T
ii
qq
k
i
ii
rk y k
T
εε
=
==
−
==
∑
∑∑
(6.6)
em que
q é o número de saídas, ou variáveis controladas do sistema.
O índice de desempenho de Goodhart representado por
ε
combina as
três parcelas
12 3
, e
ε
εε
em um único valor conforme segue:
11 2 2 3 3
ε
αε αε αε
=
++ (6.7)
em que
12 3
, e
α
αα
são as ponderações atribuídas individualmente a
cada parcela do índice. A tabela 6.8 a seguir indica os valores calculados para
cada parcela e o valor final do índice de performance de Goodhart para cada
um dos três modelos. Adotaram-se os pesos
12 3
, e
α
αα
como sendo
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
D
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s
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e
M
M
.
.
S
S
c
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.
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,
,
,
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,
,
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0
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p
.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
respectivamente 0,1; 0,3 e 0,6 por consideramos o desvio da variável
controlada a parcela de maior importância.
Observa-se que o controlador preditivo multivariável bilinear com
compensação iterativa apresenta um índice de desempenho final melhor para o
segundo e terceiro modelos. Este resultado é observado principalmente sob o
ponto de vista de resposta do processo. Nota-se que em termos de problema
de controle, a resposta foi melhor em todos os índices intermediários para o
problema regulador.
Variável
ε
1
ε
2
ε
3ε
1
0,0093 0,0000 0,1426 0,0865
2
0,0104 0,0000 0,0520 0,0322
Soma
0,0197 0,0000 0,1946
0,1187
1
0,0098 0,0000 0,1363 0,0827
2
0,0123 0,0000 0,8577 0,5159
Soma 0,0220 0,0000 0,9940
0,5986
1
0,0151 2,26E-06 0,2101 0,1276
2
0,0110 1,20E-06 0,0157 0,0105
Soma
0,0261 3,46E-06 0,2257
0,1381
1
0,0155 2,37E-06 0,1858 0,1131
2
0,0121 1,45E-06 0,0152 0,0103
Soma 0,0276 3,82E-06 0,2011 0,1234
1
0,3638 0,0026 0,3603 0,2533
2
0,4733 0,0044 0,0586 0,0838
Soma
0,8370 0,0070 0,4189
0,3372
1
0,4338 0,0037 0,2782 0,2114
2
0,5818 0,0066 0,0412 0,0849
Soma 1,0156 0,0103 0,3194
0,2963
Quasilinear
Compensação
Iterativa
Primeiro
Modelo
Segundo
Modelo
Terceiro
Modelo
Quasilinear
Compensação
Iterativa
Quasilinear
Compensação
Iterativa
Tabela 6.8 – Índices de desempenho de Goodhart
L
L
a
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u
u
r
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n
n
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,
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
VI.4. Considerações
No controlador preditivo generalizado com modelo linear, o cálculo da
matriz “
H” é executado apenas uma vez, e com ela, o cálculo da pseudo-
inversa. Com o modelo quasilinear, a matriz “
H” é calculada a cada período
de amostragem, o que aumenta substancialmente o esforço computacional.
Este aumento é, no entanto, aceitável, possibilitando que os cálculos sejam
efetuados dentro do período de amostragem, mesmo para processos com
resposta rápida e consequentemente períodos de amostragem pequenos
como um minuto ou menores.
O algoritmo quasilinear com compensação iterativa exige que a
solução da equação diofantina seja executada a cada iteração. Portanto, a
cada período de amostragem o algoritmo efetua todos os cálculos matriciais,
inclusive a pseudo-inversa, tantas vezes quantas forem as iterações
necessárias para convergir. Na hipótese de não convergência, o esforço
torna-se maior já que o algoritmo, neste caso, termina pelo número de
iterações.
O caso multivariável com restrições tornará o problema ainda mais
crítico, pois o algoritmo de otimização é também um algoritmo iterativo.
Desta forma, pode-se imaginar o esforço computacional necessário para
calcular a matriz “
H” e diversas iterações da otimização, a cada nova
iteração do algoritmo quasilinear com compensação iterativa, a cada período
de amostragem. Os cálculos de custo computacional efetuados no Simulink
mostraram que os processadores atuais conseguem resolver os cálculos a
contento.
Neste capítulo, o modelo bilinear da debutanizadora foi identificado,
mostrando ser mais eficiente na representação de sua não linearidade
devido a natureza não linear. Um algoritmo de controle preditivo
generalizado multivariável bilinear com compensação iterativa, um
quasilinear e um linear foram aplicados.
Os resultados evidenciam que o controlador preditivo multivariável
L
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Aplicação e Avaliação de Desempenho
bilinear baseado no algoritmo de compensação iterativa apresenta melhor
desempenho que o quasilinear na medida em que o ganho do processo é
menor, exigindo maior atuação do controlador. Esta progressão pôde ser
observada para os três casos de modelos teóricos avaliados. Esta melhoria
do desempenho da compensação iterativa em função do ganho do processo
pode ser explicada da seguinte forma: em processos com ganhos pequenos,
a variação do esforço de controle torna-se maior para alcançar os objetivos
de controle. Neste caso, a predição utilizando o modelo quasilinear tem erro
maior, justificando a melhoria da compensação iterativa. A situação oposta
possui a mesma explicação. Do resultado, pode-se argumentar que a
aplicação da abordagem quasilinear com compensação iterativa deve ser
avaliada e justificada, quanto ao seu potencial de vantagens para os
processos cujos ganhos sejam elevados.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
CAPÍTULO VII
CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES
VII.1. Considerações Finais
No desenvolvimento desta dissertação adquiriu-se um melhor
entendimento das questões que envolvem um controlador preditivo, seus
modelos, os preditores, as necessidades de desenvolver algoritmos que
compensem de alguma forma os problemas de identificação dos modelos.
Uma breve descrição do processo de fracionamento foi apresentada e
foram abordados os principais problemas de controle comumente
encontrados. Apresentaram-se também as variáveis controladas e
manipuladas neste tipo de processo, os balanços de massa e de energia.
Com esta introdução, procurou-se fornecer uma melhor compreensão do
processo.
Com o objetivo de preparar uma fundamentação teórica, apresentou-
se a teoria geral dos controladores preditivos, seus conceitos relacionados, o
modelo, o preditor e o controlador da família GPC com a linearização por
degrau de tempo, utilizado como base nesta dissertação.
Com base na teoria dos controladores preditivos apresentada na sua
forma monovariável, introduziu-se o desenvolvimento do caso multivariável,
para um modelo bilinear com a abordagem da aproximação quasilinear por
degrau de tempo, para finalmente se apresentar a estratégia da
compensação iterativa.
Aplicou-se a teoria desenvolvida, em um modelo identificado de uma
coluna de fracionamento, debutanizadora, simulada fenomenologicamente
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
no Hysys. A aplicação do programa desenvolvido em Matlab não foi aplicado
diretamente sobre a debutanizadora no Hysys, como inicialmente se
pretendeu, devido à dificuldade de se controlar a velocidade de simulação no
Hysys e à comunicação entre os dois softwares de forma síncrona e
determinística. Contudo, um modelo linear e outro bilinear foram
identificados, mostrando já na validação que o modelo bilinear foi mais
eficiente na representação das não linearidades da debutanizadora. A
aplicação do controlador totalmente no Matlab não invalida os resultados
obtidos.
Os resultados obtidos evidenciaram que o controlador preditivo
bilinear com a compensação iterativa apresenta melhores resultados em
processos onde a bilinearidade está presente e os ganhos do processo são
pequenos. Neste caso, exige-se do controlador maiores esforços de
controle, quando comparado com o controlador preditivo utilizando a
abordagem quasilinear por degrau de tempo e o modelo linear, tanto para o
problema servo quanto para o problema regulador.
VII.2. Sugestões
Da experiência nesta dissertação, sugerem-se os seguintes trabalhos
futuros:
a) Em continuidade a este trabalho, implementar as restrições nas variáveis
manipuladas e controladas, estabelecendo uma comparação entre os três
controladores;
b) Pesquisar em novas versões do Hysys a possibilidade de se controlar a
velocidade de simulação, preferencialmente ajustando esta velocidade para
o tempo real do processo. Isto permitirá testar a influência do maior esforço
computacional em processos em tempo real, com taxas de amostragem da
ordem de 20 a 30 segundos;
c) Testar o desenvolvimento multivariável com a compensação iterativa em
processos com maior número de variáveis controladas e manipuladas,
inclusive em processos em que o número de variáveis controladas e
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manipuladas seja diferente.
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
BIBLIOGRAFIA
Aguirre, L. A., Introdução à Identificação de Sistemas, Técnicas
Lineares e Não Lineares Aplicadas a Sistemas Reais. UFMG, Belo
Horizonte, 2000.
Ângelo, E. Desenvolvimento do Controle Preditivo Bilinear com
Compensação Iterativa e sua Aplicação a Uma Coluna de Fracionamento de
Butadieno 1,3, Dissertação de Mestrado, UFBa, Salvador/BA, 2005.
Arnaldo, M. C. M., Avaliação Comparativa de Desempenho entre
Controladores Preditivos Adaptativos GPC e DMC, Dissertação de Mestrado
em Engenharia Elétrica, UIFBa, Salvador, BA, Brasil, 1999
Aström K.J. and & Wittenmark B. Adaptive Control. Addison-Wesley
Publishing Company, 1995.
Balasubramhanya, L. S. and Doyle, F. J. III, Nonlinear Control of a
High-Purity Distillation Column Using a Traveling-Wave Model, AIChE
Journal, vol. 43, nº 3, 1997.
Bequette, B. W., Non Linear Control of Chemical Processes: A
Review", Ind. Eng. Chem. Res., vol 30, nº 7, pag. 1391-1413, 1991.
Bitmead R. R., Gevers M. and Wertz V. Adaptive Optimal Control. The
Thinking Main´s GPC. Prentice-Hall, 1990.
Bristol, E. H., On a New Measure of Interactions for Multivariable
Process Control, IEEE Trans. Autom. Control, AC-11, pag 133-134, 1996.
L
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113
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Buckley P. S., paper presented at the 2nd Eng. Found. On Cjemical
Process Control, Sea Island, GA, Jan, 1989.
Camacho E. F. and Bordons C. Model Predictive Control. Springer -
Verlag, New York, 1999.
Clarke D. W., Mohtadi C. and Tuffs P.S. Generalized Predictive
Control - Parts 1 and 2. Automática, vol 21, nº 2, 1987.
Clarke D. W. and P. J. Gawthrop. Self-tuning Control. Proceedings
IEEE, 123, pp. 633-640, 1979.
Cutler, C. R. e Morshedhi, A.M. e Haydel, J. J., Industrial Perspective
on Advanced Control, The National Meeting of The American Institute of
Chemical Engineers, Washington, D.C., U.S.A, 1983.
Cutler C. R. and Ramaker B. L. Dinamic Matrix Control - A Computer
Control Algorithm. Proc. Automatic Control Conference, Paper WP5-B, San
Francisco, 1980.
Doyle III F. J., Ogunnaike B. A. and Pearson Ronald K. Nonlinear
Model-Based Controle Using Second-Order Volterra Models .Automática:
Vol. 31, nº 5, pp. 679-714, 1995.
Eaton J. and Rawlings J. Feedback Control of Chemical Process
Using On-line Optimization Techniques, Computing Chemical Engineering,
vol. 14, pp. 469-479, 1980.
Embiruçu M., Controle de Processos Não Lineares, Tese de
Mestrado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ., Brasil, 1993.
Fontes A B., Rocha G. e Silva M. Análise de desempenho de dois
controladores, preditivo e clássico, em uma coluna de destilação, COBEQ
2000, S. Paulo, Brasil, 2000.
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114
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Fontes A. B., Duarte A. A. e Maitelli A. L. Identification of a Bilinear
Model for a Toluene Distillation Column, International Conference on
Systems Science, Systems Science XIV, Wroclaw, Polônia, setembro de
2001.
Fontes A. B. Desenvolvimento e Avaliação de Controladores
Preditivos baseados em Modelos Bilineares, Tese de Doutorado em
Engenharia Elétrica, Centro de Tecnologia, Universidade Federal do Rio
Grande do Norte, Natal-RN, Brasil, 2002.
Fontes A. B., Maitelli A. L. e Salazar A. O. Controlador Preditivo
Bilinear Aplicado a uma Coluna de Destilação: Algoritmos e Resultados.
COBEQ 2002, Natal - RN.
Fontes A. B., Maitelli A. L. e Salazar A. O. A New Bilinear Generalized
Predictive Control Approach: Algorithm and Results. IFAC’ 2002, Barcelona -
Espanha.
Fontes A. B., Maitelli A. L. e Salazar A. O. Controlador Preditivo
Bilinear Aplicado a uma Coluna de Destilação: Algoritmos e Resultados.
CBA 2002, Natal - RN.
Fontes A. B., Maitelli A. L. e Salazar A. O. A New Bilinear Generalized
Predictive Control Approach: Algorithm and Results. Artigo submetido ao
Instituite of Electrical Engineers - IEE, sob n° 32970.
Garcia C.E., Prett D. M. and Morari M. Model Predictive Control:
Theory and Practice – a Survey. Automática, Vol. 25, Nº. 3, pp. 335-
348,1989.
Garcia C.E., Prett D.M. “Design Methodology based on the
Fundamental Control Problem Formulation,” paper presented at the Shell
Process Control Workshop, Houston (1986).
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
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c
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,
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2
0
0
0
0
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6
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b
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f
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i
a
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115
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Goodhart, S. G., Burnham, K. J. and James, D. J., “Bilinear Self-tuning
Control of a High Temperature Heat Treatment Plant”. IEEE – Control Theory
Applications, vol. 141, No. 1, Jan, 1994.
Goodwin G. C. and Sin K. S. Adaptive Filtering Prediction and Control.
New Jersey, Prentice Hall, 1984.
Hyprotech Ltd, Manual do Hysys, vol. 1 e 2, 1996
Jesus, N. J. C., Modelagem e Controle de uma Superfracionadora
Industrial de Propeno, dissertação de Mestrado em Engenharia Química,
UNICAMP, Campinas, SP, Brasil, 2000
Kane J., How Combined Technologies Aid Model-Based Control, In
Control, VI(3), 6, 1993
Kister, H. Z., Distillation Operation, McGraw-Hill, New York, 1990
Kister, H. Z., Distillation Design, McGraw-Hill, New York, 1992
Langerhorst, M., Estudo do Comportamento Dinâmico de Uma Coluna
Insdustrial de Fracionamento de Tolueno com Integração Energética,
Dissertação de Mestrado em Engenharia Química, UFBa, Salvador, BA,
Brasil, 2001
Luyben W. L. Process Modeling, Simulation and Control of Chemical
Engineering , New York, McGraw-Hill, 1990.
Luyben W. L. Practical Distillation Control, Van Nostrand Reinhold,
1992.
Morari, M., “Integrated Plant Control" Chemical Process Control II pp
467-495, 1983.
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
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i
,
,
S
S
–
–
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e
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.
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B
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a
,
,
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0
0
0
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B
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g
g
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i
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a
116
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Morari, M., “Three Critiques of Process Control revisited a Decade
Later,” Shell Process Control Workshop, Houston, 1986.
Propoi A. I. Use of LP methods for synthesizing sampled-data
automatic systems.Automn Remote Control, 24, 1963.
Richalet, J., Rault A., Testud I. L. and Pappon J., Model Predictive
Heuristic Control: Applications to Industrial Processes, Automática, vol. 14,
413-418, 1978.
Riggs, J. B., Improve Distillation Column Control, Chemical
Engineering Process, pag. 31-47, 1998.
Riviera, D. E., Internal Model Control: A Comprehensive View.
Department of Chemical, Bio and Materials Engineering College of
Engineering and Applied Sciences, Arizona, 1999.
Rocha, G. B., Aplicação do Controle Preditivo Bilinear Compensado a
uma Coluna de Fracionamento de Butadieno 1,3, Dissertação de Mestrado
em Engenharia Elétrica, UFBa, Salvador, BA, Brasil, 2003.
Rouhani, R., Mehra, R. K., Automática, 18,401-414, 1982.
Shinskey, F. G., Distillation Control, 2nd ed., McGraw-Hill, New York,
1984
Smith M. O. J. Feedback Control Systems. Mc Graw Hill, 1958.
Smith C. A. and Corripio, A. B., Principles and Practice of Automatic
Process Control, John Wiley & Sons, 1985.
Svoronos S., Stephanopoulos G., On Bilinear Estimation and Control,
Int. J. Control: vol. 34, nº 4, pp. 651-684, 1981
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
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,
,
S
S
–
–
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s
s
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M
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,
,
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E
E
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F
B
B
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a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
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B
i
i
b
b
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l
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g
g
r
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a
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i
i
a
a
117
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
Wolowich, W. A., Linear Multivariable System, Series in Applied
Mathematical Sciences, Vol. 11, Springer-Verlang, New York, 1974
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
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i
,
,
S
S
–
–
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s
s
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S
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c
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,
,
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/
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U
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F
B
B
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,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
A
A
p
p
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ê
n
n
d
d
i
i
c
c
e
e
A
A
118
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
APÊNDICE A
SOLUÇÃO RECURSIVA DA EQUAÇÃO DIOFANTINA
Considere a seguinte identidade polinomial
1
1
1
11
()
()
()
() ()
j
j
j
Fq
Cq
Eq q
Aq Aq
−
−
−−
−−
=+ (A.1)
isto é:
111 1
() ()() ()
j
jj
Cq Aq E q q F q
−−−−−
=+ (A.2)
Sendo:
112
12
112
12
112
12
112 (1)
01 2 1
()1
()1
()1
()
n
n
n
n
n
Jn
n
Jn
Cq cq cq cq
Aq aq aq aq
Eq eq eq eq
Fq f fq fq f q
−−− −
−−− −
−−− −
−−− −−
−
=+ + + +
=+ + + +
=+ + + +
=+ + ++
L
L
L
L
(A.3)
Substituindo-se A.3 em A.2, tem-se que:
12 1 2
12 1 2
12
12
(1) ( 1)
01 1
(1 ) (1 )
(1 )
nn
nn
n
n
jj jn
n
cq cq cq aq aq aq
eq eq eq
fq fq f q
−− − −− −
−− −
−
−+ −+−
−
++ ++ =++ ++
++ ++ +
++ ++
LL
L
L
(A.4)
ou ainda
L
L
a
a
u
u
r
r
a
a
n
n
d
d
i
i
,
,
S
S
–
–
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s
s
s
s
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M
.
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S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
D
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F
B
B
a
a
,
,
2
2
0
0
0
0
6
6
A
A
p
p
ê
ê
n
n
d
d
i
i
c
c
e
e
A
A
119
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
112
112
12 (1)
111 1
(1) 1
111 1
1) 1)
01 1
(1 ) (1 )
()
()
nn
nn
n
n
jj jn
jjnj
jj jn
n
cq c q aq aq aq
eq aeq aeq
eq aeq aeq
fq fq f q
−− −− −
−− −+
−− − −−+
−− −
−−− −−+
−
+++ =++ ++ +
++ ++ +
+
+++ +
++ ++
LL
LL
L
L
(A.5)
Igualando-se os coeficientes dos polinômios, obtêm-se os coeficientes
dos diversos termos da identidade polinomial:
Grau 1:
111 111
cae eca=+⇒=−
Grau 2:
22112 22112
caaee ecaea=+ +⇒=− −
Grau 3:
3 321123 3321123
caaeaee ecaeaea=+++⇒=−−−
Grau 4:
4 43122134 4 43122134
caaeaeaee ecaeaeaea=+ + + +⇒=− − − −
Grau (j-1):
22
11 11 111 1
11
jj
jj ijij jjj iji
ii
c a ae e e c a ae
−−
− − −− − − − − −−
==
=+ +⇒=−−
∑∑
Análise de
j
q
−
até
n
q
−
. Cálculo dos (n-j+1) coeficientes de
1
j
Fq
−
.
Grau j:
11 2 2 1 1 0jjj j j
caaeae ae f
−− −
=+ + ++ +L
1
01111
1
j
jjj j jj jii
i
f
caae ae ca ae
−
−− −
=
⇒=−− −− =−−
∑
L
Grau (j+1):
11112 211jjjj j
caaeae aef
++ − −
=++ ++ +L
1
111 1
1
j
jj jii
i
f
ca ae
−
++ +−
=
⇒= − −
∑
MM M
Grau n:
11 2 2 1 1nnn n njj nj
caaeae a e f
−− −+−−
=+ + ++ +L
L
L
a
a
u
u
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r
a
a
n
n
d
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,
,
S
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–
–
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,
,
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,
,
2
2
0
0
0
0
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A
p
p
ê
ê
n
n
d
d
i
i
c
c
e
e
A
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120
Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
1
1
j
nj n n nii
i
f
ca ae
−
−−
=
⇒=−−
∑
A lei de recorrência portanto, nesta faixa, para o cálculo de
coeficientes de
1
j
F
q
−
, pode ser escrita como:
1
1
j
jjiji jiqq
q
f
ca ae
−
++ +−
=
=−−
∑
(A.6)
Análise de
(1)n
q
−+
até
(1)nj
q
−+−
⇒ cálculo dos (j-1) coeficientes de
1
()
j
Fq
−
.
Grau (n+1):
1
112 21 1 1 1
1
0
j
nn njjnj nj nii
i
ae a e a e f f a e
−
− −+ − −+ −+ −+
=
+++ +=⇒=−
∑
L
Grau (n+2):
1
231222
2
0
j
n nd j nj nj ni
i
ae a e f f c
−
−
+ − −+ −+ −+
=
++ + =⇒ =−
∑
L
MMM
Grau (n+j-1):
11 1 1
0
nj n n nj
ae f f ae
−− − −
+=⇒=−
L
L
a
a
u
u
r
r
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n
n
d
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,
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d
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M
M
.
.
S
S
c
c
.
.
,
,
,
,
D
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F
B
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a
a
,
,
2
2
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0
0
0
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Controlador Preditivo da Família GPC, Multivariável, Bilinear com Compensação Iterativa:
Aplicação e Avaliação de Desempenho
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