( PDF ) Contribuição da rigidez à flexão das lajes para a estabilidade global de edifícios

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CONTRIBUIÇÃO DA RIGIDEZ À FLEXÃO DAS LAJES PARA A ESTABILIDADE

GLOBAL DE EDIFÍCIOS

Mauricio dos Santos Sgarbi Goulart

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM

ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

________________________________________

Prof Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph.D.

________________________________________

Profª Lídia da Conceição Domingues Shehata, Ph.D.

________________________________________

Profº Giuseppe Barbosa Guimarães, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

MARÇO DE 2008

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GOULART, MAURICIO DOS SANTOS

SGARBI

Contribuição da rigidez à flexão das lajes

para a estabilidade global de edifícios. [Rio de

Janeiro] 2008

XII, 115p. 29,7 cm (COPPE/ UFRJ, M.SC.,

Engenharia Civil, 2008)

Dissertação – Universidade Federal do Rio

de Janeiro, COPPE

1. Estabilidade global

I. COPPE/ UFRJ II. Título (série)

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Dedicatória

Dedico este trabalho aos meus pais, Maria

Eugênia dos Santos Goulart e Carlos Alberto

Sgarbi Goulart (em memória).

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por me abençoar com saúde e perseverança, essenciais para o

desenvolvimento deste trabalho.

Ao meu orientador, Professor Ibrahim Shehata, pela dedicação e paciência durante a

orientação e excelentes aulas durante o curso.

Ao professor Cesar Pinto, pela idéia do tema desta dissertação e constante auxílio

durante sua elaboração.

Às professoras Lídia Shehata, Michele Pfiel e Eliane Maria Carvalho, pelas excelentes

aulas e dedicação durante o mestrado.

À minha amada noiva Thaís, pelo apoio, compreensão e amor durante os anos de

mestrado.

À minha irmã Mariana e toda a família pelo constante incentivo.

Aos meus amigos da UFF, Eduardo, Alan e Aline, e amigos da COPPE, Raphael e

Daniel pela ajuda e companheirismo.

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/ UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

CONTRIBUIÇÃO DA RIGIDEZ À FLEXÃO DAS LAJES PARA A ESTABILIDADE

GLOBAL DE EDIFÍCIOS

Mauricio dos Santos Sgarbi Goulart

Março/ 2008

Orientador: Ibrahim Adb El Malik Shehata

Programa: Engenharia Civil

O projeto de edifícios cada vez mais esbeltos é uma realidade na construção civil.

Para determinados casos, é fundamental a consideração de todos os elementos

estruturais participando do contraventamento, para que a estrutura se apresente estável

frente a ações horizontais combinadas com ações verticais.

Neste trabalho analisa-se a contribuição da rigidez à flexão das lajes para três

edifícios. Dois destes edifícios possuem sistema estrutural de lajes nervuradas com

partes maciças circundando os pilares. Uma das estruturas apresenta núcleo rígido na

região dos elevadores. O terceiro edifício apresenta estrutura convencional, com laje

maciça e pórticos rígidos formados por vigas e pilares.

Foram elaborados modelos estruturais tridimensionais através do programa

SAP2000, baseados no método dos elementos finitos. Foram obtidos esforços e

deslocamentos de 1ª ordem, através dos quais foi calculado o parâmetro γ

. Tal

procedimento foi adotado para cada uma das variações de rigidez dos elementos

estruturais propostas pela NBR 6118:2003, para análise do estado limite último.

Os resultados obtidos mostram a importância da contribuição da rigidez à flexão das

lajes para os dois edifícios sem pórticos rígidos de vigas e pilares. São apresentados

esforços de 2ªordem, deslocamentos e valores de γ

z ,

mostrando grandes diferenças entre

as análises com e sem a contribuição da laje para o contraventamento destes edifícios.

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

CONTRIBUTION OF BENDING STIFFNESS OF SLABS TO GLOBAL STABILITY

OF BUILDING

Mauricio dos Santos Sgarbi Goulart

March /2008

Advisor: Ibrahim Adb El Malik Shehata

Department: Civil Engineering

Nowadays, with the great development of structural analyses, structural elements

have become more slender and ,consequently, lateral stability is becoming an important

aspect for design. The consideration of all structural elements to define the lateral

rigidity of the structure is fundamental to assure the overall structure stability.

In this work three buildings are analyzed to evaluate the contribution of the slab

flexural rigidity on the overall building stability. Two of these buildings have a structure

system composed of ribbed flat slabs with solid panels on the top of the columns and

one of those has a rigid elevator shaft. The third building has a traditional beam-column

spatial frame system with solid slabs.

The analyses of those buildings to obtain the first order bending moments and

displacements were performed using a finite elements model (SAP 2000) with which

the parameter γ

defined by the Brazilian code NBR6118:2003 for simplified analysis

was calculated, considering the contribution of slabs rigidities or not.

The obtained results showed that the contribution of slab rigidity in the first two

buildings validated the use the γ

method to evaluate the 2

order effects. It is also

shown the great differences in structural deformation of the two buildings considering

the contribution of slab rigidity or not.

vii

Índice

00H0H1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 129H129H129H129H1

1H1H1H1H2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................................. 130H130H130H130H3

2H2H2H2H2.1) Contraventamento e a contribuição das lajes................................................... 131H131H131H131H3

3H3H3H3H2.2) Deslocabilidade e efeitos de 2ªordem................................................................. 132H132H132H132H5

4H4H4H4H2.3) Métodos para Consideração da Não-Linearidade Geométrica....................... 133H133H133H133H5

5H5H5H5H2.3.1) MÉTODO REFINADO ................................................................................. 134H134H134H134H6

6H6H6H6H2.3.2) MÉTODO P-DELTA ..................................................................................... 135H135H135H135H6

7H7H7H7H2.3.3) COEFICIENTE γ

........................................................................................ 136H136H136H136H11

8H8H8H8H2.3.4) PARÂMETRO α .......................................................................................... 137H137H137H137H14

9H9H9H9H2.4) Rigidez dos elementos estruturais.................................................................... 138H138H138H138H15

10H10H10H10H2.4.1) MÓDULO DE ELASTICIDADE ................................................................ 139H139H139H139H15

11H11H11H11H2.4.2) INÉRCIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS........................................ 140H140H140H140H16

12H12H12H12H2.5) Ações de Vento................................................................................................... 141H141H141H141H18

13H13H13H13H3. DESCRIÇÃO DAS ESTRUTURAS E METODOLOGIA.................................. 142H142H142H142H20

14H14H14H14H3.1) Características gerais........................................................................................ 143H143H143H143H20

15H15H15H15H3.1.1) EDIFÍCIO 1.................................................................................................. 144H144H144H144H20

16H16H16H16H3.1.2) EDIFÍCIO 2.................................................................................................. 145H145H145H145H25

17H17H17H17H3.1.3) EDIFÍCIO 3.................................................................................................. 146H146H146H146H31

18H18H18H18H3.2) Carregamentos .................................................................................................. 147H147H147H147H35

19H19H19H19H3.2.1) VENTO ........................................................................................................ 148H148H148H148H35

20H20H20H20H3.2.2) CARGAS VERTICAIS............................................................................... 149H149H149H149H42

21H21H21H21H3.3)Modelagem.......................................................................................................... 150H150H150H150H42

22H22H22H22H3.3.1) VIGAS E LAJES.......................................................................................... 151H151H151H151H42

23H23H23H23H3.3.4) PILARES..................................................................................................... 152H152H152H152H44

24H24H24H24H3.3.5) FUNDAÇÕES.............................................................................................. 153H153H153H153H45

25H25H25H25H3.4)Representação das estruturas no estado limite último ................................... 154H154H154H154H45

26H26H26H26H3.4.1) MÓDULO DE ELASTICIDADE ................................................................ 155H155H155H155H45

27H27H27H27H3.4.2) RIGIDEZ DOS ELEMENTOS.................................................................... 156H156H156H156H46

28H28H28H28H3.4.3) COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO DE ESFORÇOS.............................. 157H157H157H157H46

29H29H29H29H3.4.4) COMBINAÇÕES......................................................................................... 158H158H158H158H46

30H30H30H30H3.5) Representação gráfica dos modelos numéricos .............................................. 159H159H159H159H46

31H31H31H31H4. DESCRIÇÃO DAS ANÁLISES REALIZADAS E RESULTADOS .................. 160H160H160H160H53

viii

32H32H32H32H4.1) Caracterização das análises variando a rigidez dos elementos estruturais . 161H161H161H161H53

33H33H33H33H4.1.1) ESTADO LIMITE ÚLTIMO....................................................................... 162H162H162H162H53

34H34H34H34H4.1.2) ESTADO LIMITE DE SERVIÇO ............................................................... 163H163H163H163H54

35H35H35H35H4.2) Resultados das análises..................................................................................... 164H164H164H164H55

36H36H36H36H4.2.1)EDIFÍCIO 1................................................................................................... 165H165H165H165H55

37H37H37H37HDISCUSSÃO DOS RESULTADOS...................................................................... 166H166H166H166H73

38H38H38H38H4.2.2) EDIFÍCIO 2.................................................................................................. 167H167H167H167H74

39H39H39H39HDISCUSSÃO DOS RESULTADOS...................................................................... 168H168H168H168H90

40H40H40H40H4.2.3) EDIFÍCIO 3.................................................................................................. 169H169H169H169H91

41H41H41H41HDISCUSSÃO DOS RESULTADOS.................................................................... 170H170H170H170H108

42H42H42H42H5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS................ 171H171H171H171H109

LISTA DE FIGURAS

43H43H43H43HFigura 2.1:Idéia básica do método P-delta ....................................................................... 172H172H172H172H8

44H44H44H44HFigura 2.2:Equivalência das carga do método P-delta ................................................... 173H173H173H173H10

45H45H45H45HFigura 2.3: Método γ

..................................................................................................... 174H174H174H174H13

46H46H46H46HFigura 3.1:Forma do Pavimento Tipo-Edifício 1 ........................................................... 175H175H175H175H21

47H47H47H47HFigura 3.2: Ampliação da Forma do Pavimento Tipo-Edifício 1................................... 176H176H176H176H22

48H48H48H48HFigura 3.3:Detalhe da forma da laje ATEX 180............................................................. 177H177H177H177H23

49H49H49H49HFigura 3.4: Esquema Vertical- Edifício 1....................................................................... 178H178H178H178H24

50H50H50H50HFigura 3.5: Forma do pavimento tipo- Edifício 2........................................................... 179H179H179H179H26

51H51H51H51HFigura 3.6: Detalhe DET A- Edifício 2 .......................................................................... 180H180H180H180H27

52H52H52H52HFigura 3.7: Detalhe DET B- Edifício 2........................................................................... 181H181H181H181H28

53H53H53H53HFigura 3.8: Detalhe da forma da laje ATEX 800............................................................ 182H182H182H182H29

54H54H54H54HFigura 3.9: Esquema vertical- Edifício 2........................................................................ 183H183H183H183H30

55H55H55H55HFigura 3.10-Forma do Pavimento tipo- Edifício 3 ......................................................... 184H184H184H184H32

56H56H56H56HFigura 3.11-Esquema Vertical- Edifício 3...................................................................... 185H185H185H185H34

57H57H57H57HFigura 3.12: Vista 3D-Edifício 1.................................................................................... 186H186H186H186H48

58H58H58H58HFigura 3.13: Piso e teto da casa de Máquinas-Edifício 1 ............................................... 187H187H187H187H48

59H59H59H59HFigura 3.14: Teto tipo-Edifício 1.................................................................................... 188H188H188H188H48

60H60H60H60HFigura 3.15: Edifício 2.................................................................................................... 189H189H189H189H49

61H61H61H61HFigura 3.16: Teto tipo-Edifício 2.................................................................................... 190H190H190H190H50

62H62H62H62HFigura 3.17: Caixa d´ água-Edifício 2 ............................................................................ 191H191H191H191H50

63H63H63H63HFigura 3.18: Edifício 3.................................................................................................... 192H192H192H192H51

64H64H64H64HFigura 3.19: Pavimento tipo-Edifício 3.......................................................................... 193H193H193H193H52

65H65H65H65HFigura 3.20: Casa de Máquinas-Edifício 3..................................................................... 194H194H194H194H52

66H66H66H66HFigura 4.1: Edifício 1- Deslocamentos horizontais-Análise 1-ELU- Direção X.......... 195H195H195H195H56

67H67H67H67HFigura 4.2: Edifício 1- Deslocamentos horizontais-Análise 1-ELU -Direção Y.......... 196H196H196H196H58

68H68H68H68HFigura 4.3: Edifício 1- Deslocamentos horizontais-Análise 2-ELU- Direção X.......... 197H197H197H197H60

69H69H69H69HFigura 4.4: Edifício 1- Deslocamentos horizontais-Análise 2-ELU- Direção Y.......... 198H198H198H198H62

70H70H70H70HFigura 4.5: Edifício 1- Deslocamentos horizontais-Análise 3-ELU- Direção X.......... 199H199H199H199H64

71H71H71H71HFigura 4.6: Edifício 1- Deslocamentos horizontais-Análise 3-ELU- Direção Y.......... 200H200H200H200H66

72H72H72H72HFigura 4.7: Edifício 2- Deslocamentos horizontais-Análise 1-ELU- Direção X.......... 201H201H201H201H74

73H73H73H73HFigura 4.8: Edifício 2- Deslocamentos horizontais-Análise 1-ELU -Direção Y.......... 202H202H202H202H76

74H74H74H74HFigura 4.9: Edifício 2- Deslocamentos horizontais-Análise 2-ELU- Direção X.......... 203H203H203H203H78

75H75H75H75HFigura 4.10: Edifício 2- Deslocamentos horizontais-Análise 2-ELU- Direção Y.......... 204H204H204H204H80

76H76H76H76HFigura 4.11: Edifício 2- Deslocamentos horizontais-Análise 3-ELU- Direção X.......... 205H205H205H205H82

77H77H77H77HFigura 4.12: Edifício 2- Deslocamentos horizontais-Análise 3-ELU- Direção Y.......... 206H206H206H206H84

78H78H78H78HFigura 4.13: Edifício 3- Deslocamentos horizontais-Análise 1-ELU- Direção X.......... 207H207H207H207H91

79H79H79H79HFigura 4.14: Edifício 3- Deslocamentos horizontais-Análise 1-ELU- Direção Y.......... 208H208H208H208H93

80H80H80H80HFigura 4.15: Edifício 3- Deslocamentos horizontais-Análise 2-ELU- Direção X.......... 209H209H209H209H95

81H81H81H81HFigura 4.15: Edifício 3- Deslocamentos horizontais-Análise 2-ELU- Direção Y.......... 210H210H210H210H97

82H82H82H82HFigura 4.16: Edifício 3- Deslocamentos horizontais-Análise 3-ELU- Direção X.......... 211H211H211H211H99

83H83H83H83HFigura 4.17: Edifício 3- Deslocamentos horizontais-Análise 3-ELU- Direção Y........ 212H212H212H212H101

LISTA DE TABELAS

84H84H84H84HTabela 3.1: Cargas horizontais do Edifício 1-Direções X e Y ...................................... 37

85H85H85H85HTabela 3.2: Cargas horizontais do Edifício 2-Direção X............................................... 38

86H86H86H86HTabela 3.3: Cargas horizontais do Edifício 2-Direção Y............................................... 39

87H87H87H87HTabela 3.4: Cargas horizontais do Edifício 3-Direção X............................................... 40

88H88H88H88HTabela 3.5: Cargas horizontais do Edifício 3-Direção Y............................................... 41

89H89H89H89HTabela 3.6: Cargas utilizadas nos pavimentos............................................................... 42

90H90H90H90HTabela 4.1: Edifício 1-Cálculo de γ

- Análise 1-Direção X ......................................... 57

91H91H91H91HTabela 4.2: Edifício 1- Cálculo de γ

- Análise 1-ELU -Direção Y .............................. 59

92H92H92H92HTabela 4.3: Edifício 1-Cálculo de γ

- Análise 2-ELU -Direção X ............................... 61

93H93H93H93HTabela 4.4: Edifício 1-Cálculo de γ

- Análise 2-ELU- Direção Y ............................... 63

94H94H94H94HTabela 4.5: Edifício 1- Cálculo de γ

- Análise 3-ELU- Direção X .............................. 65

95H95H95H95HTabela 4.6: Edifício 1- Cálculo de γ

- Análise 3-ELU-Direção Y ............................... 67

96H96H96H96HTabela 4.7: Edifício 1- Análise 1-ELS- Direção X ...................................................... 68

97H97H97H97HTabela 4.8: Edifício 1- Análise 1-ELS- Direção Y ...................................................... 69

98H98H98H98HTabela 4.9: Edifício 1- Análise 2-ELS- Direção X ...................................................... 70

99H99H99H99HTabela 4.10: Edifício 1- Análise 2-ELS- Direção Y ...................................................... 72

100H100H100H100HTabela 4.11: Edifício 1- Resumo das Análises de ELU ................................................. 72

101H101H101H101HTabela 4.12: Edifício 1- Comparações percentuais dos resultados de ELU.................. 72

102H102H102H102HTabela 4.13: Edifício 1- Resumo das Análises de ELS.................................................. 75

103H103H103H103HTabela 4.14: Edifício 2-Cálculo de γ

- Análise 1-Direção X ......................................... 75

104H104H104H104HTabela 4.15: Edifício 2-Cálculo de γ

- Análise 1-ELU -Direção Y ............................... 77

105H105H105H105HTabela 4.16: Edifício 2- Cálculo de γ

- Análise 2-ELU -Direção X .............................. 79

106H106H106H106HTabela 4.17: Edifício 2- Cálculo de γ

- Análise 2-ELU-Direção Y ............................... 81

107H107H107H107HTabela 4.18: Edifício 2-Cálculo de γ

- Análise 3-ELU- Direção X ............................... 83

108H108H108H108HTabela 4.19: Edifício 2-Cálculo de γ

- Análise 3-ELU-Direção Y ................................ 85

109H109H109H109HTabela 4.20: Edifício 2-Análise 1-ELS- Direção X ....................................................... 86

110H110H110H110HTabela 4.21: Edifício 2-Análise 1-ELS- Direção Y ....................................................... 87

111H111H111H111HTabela 4.22: Edifício 2-Análise 2-ELS- Direção X ....................................................... 88

112H112H112H112HTabela 4.23: Edifício 2- Análise 2-ELS- Direção Y ...................................................... 88

113H113H113H113HTabela 4.24: Edifício 2- Resumo das Análises de ELU ................................................. 89

114H114H114H114HTabela 4.25: Edifício 2- Comparações percentuais dos resultados de ELU.................. 89

xii

115H115H115H115HTabela 4.26: Edifício 2-Resumo das Análises de ELS................................................... 89

116H116H116H116HTabela 4.27: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 1-Direção X ......................................... 92

117H117H117H117HTabela 4.28: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 1-DireçãoY .......................................... 94

118H118H118H118HTabela 4.29: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 2-DireçãoX .......................................... 96

119H119H119H119HTabela 4.30: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 2- DireçãoY ......................................... 98

120H120H120H120HTabela 4.31: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 3- Direção X ...................................... 100

121H121H121H121HTabela 4.32: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 3- Direção Y ...................................... 102

122H122H122H122HTabela 4.33: Edifício 3- Análise 1-ELS- Direção X .................................................... 103

123H123H123H123HTabela 4.34: Edifício 3- Análise 1-ELS- Direção Y .................................................... 104

124H124H124H124HTabela 4.35: Edifício 3- Análise 2-ELS- Direção X .................................................... 105

125H125H125H125HTabela 4.36: Edifício 3- Análise 2-ELS- Direção Y .................................................... 106

126H126H126H126HTabela 4.37: Edifício 3- Resumo das Análises de ELU ............................................... 107

127H127H127H127HTabela 4.38: Edifício 2- Comparações percentuais dos resultados de ELU................ 107

128H128H128H128HTabela 4.39: Edifício 3- Resumo das Análises de ELS................................................ 107

Tabela 4.40: Resumo das análises de ELU- Direção X................................................109

Tabela 4.41: Resumo das análises de ELU- Direção Y................................................109

1. INTRODUÇÃO

Com o surgimento de edifícios cada vez mais altos e esbeltos, há uma preocupação cada

vez maior no meio técnico com a estabilidade global das estruturas. O engenheiro deve

conceber um projeto de forma a dotar a estrutura de elementos de contraventamento que

garantam sua estabilidade frente a ações horizontais, especialmente aquelas oriundas do

vento.

Sob a ação das cargas verticais e horizontais de projeto, os nós da estrutura de um

edifício deslocam-se lateralmente, provocando efeitos de 2ª ordem, que podem ter

grande importância.

Na análise da estabilidade global, há diversos aspectos a serem considerados e que

interferem diretamente nos resultados:

• As combinações de ações de cálculo.

• O valor do módulo de elasticidade.

• A estrutura de contraventamento adotada, com a definição dos elementos

estruturais que a compõem.

• A consideração da não-linearidade física do concreto armado, mediante redução

das inércias brutas dos diferentes elementos estruturais de contraventamento.

• As características do modelo representativo da estrutura, de modo a contemplar

suas características físicas e geométricas.

Esta dissertação tem como foco a investigação da importância da laje na estabilidade

global das estruturas. A laje, além de ser um elemento com rigidez infinita no seu plano

(efeito de diafragma rígido), apresenta rigidez à flexão para resistir a esforços oriundos

do vento. Assim, lajes, vigas e pilares constituem o pórtico espacial onde todos os

elementos formam a estrutura de contraventamento.

A motivação deste trabalho vem da dificuldade dos projetistas em cumprir as

prescrições da NBR 6118-2003, no que diz respeito à comprovação da estabilidade

global das estruturas, com atendimento aos estados limites último e de utilização.

Com o avanço tecnológico constante, os sistemas computacionais possibilitam ao

engenheiro projetar estruturas cada vez mais esbeltas e econômicas, por meio de

considerações que tornam a simulação das mesmas, cada vez mais próxima da situação

real. Como exemplos, podem-se citar a representação das ligações monolíticas viga-

pilar de forma mais realística, através da utilização de ligações semi-rígidas e a

consideração da interação solo-estrutura. Porém, essas considerações tornam a estrutura

mais flexível, prejudicando a rigidez a esforços horizontais e a estabilidade global.

Portanto, nota-se a necessidade da consideração de todos os elementos para compor a

estrutura de contraventamento. Temos, assim, a consideração da laje como um subsídio

importante para uma análise mais favorável da estrutura frente a esforços horizontais.

Imposições arquitetônicas e aumento do cobrimento das armaduras na nova norma,

muitas vezes impossibilitam que o projetista utilize vigas com altura desejável ou forme

pórticos com vigas e pilares. Logo, é cada vez maior o número de projetos cujo sistema

estrutural é de lajes nervuradas ou lisas com capitéis ou mesmo o convencional com

pórticos pouco rígidos de vigas e pilares. Para esses casos, a consideração da laje na

estrutura de contraventamento é fundamental.

Em edifícios altos cujos pavimentos têm sistema estrutural sem pórticos de vigas e

pilares, os núcleos rígidos das caixas de elevador e escada são essenciais para a

estabilidade global. Porém, em edifícios baixos, como por exemplo, shoppings de até

cerca de 25 metros de altura, muitas vezes não existem esses elementos. Logo, a

consideração da rigidez à flexão da laje é fundamental para a comprovação da

estabilidade global da estrutura.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1) Contraventamento e a contribuição das lajes

O contraventamento de estruturas, para as quais a teoria de 1ª ordem não é aplicável, é

tratado na cláusula 6.6 do CEB-FIP MC90.

O CEB-FIP MC 90, em 6.6.1.2, tratando da classificação das estruturas e dos elementos

estruturais, inicialmente classifica as estruturas “como contraventadas ou não-

contraventadas, dependendo da existência de elementos de contraventamento ou não”.

Porém, como é necessário que toda estrutura seja dotada de tais elementos para suportar

os carregamentos laterais, essa classificação parece significar que uma estrutura pode ter

ou não uma subestrutura especial de contraventamento, projetada para resistir a todas as

cargas laterais. Se esta subestrutura não existir, toda a estrutura deve resistir à ação dos

carregamentos laterais. Os elementos que pertencem a essa subestrutura são chamados

de elementos de contraventamento; os demais são os elementos contraventados.

Segundo FRANCO(1995), num edifício alto, cada elemento estrutural deve contribuir

para a estabilidade lateral em grau maior ou menor. No passado, eram encontradas

situações em que a presença de pilares com rigidez elevada levava a supor que estes

fossem os únicos elementos de contraventamento, desprezando-se o restante da

estrutura, que deveria então ser considerada “contraventada”. Atualmente, porém, com

o enorme progresso da análise matricial em computador, tornou-se claro que a

consideração de um grande número de elementos, mesmo esbeltos, é de fundamental

importância para a eficiência e a economia do sistema de contraventamento. Assim,

considera-se a estrutura toda como sendo “o contraventamento”.

FRANCO (1995) encontrou vários casos em que o uso do modelo espacial abrangente,

que incluía não somente os pilares-parede (elevadores e escadas), mas também pórticos

esbeltos, alguns dos quais formados por pilares solidarizados a faixas de lajes, aumentou

a rigidez global do edifício de um fator 4, com relação a rigidez devida apenas a pilares-

parede. Segundo Franco (1995), uma pesquisa efetuada por Zalka (1993) mostrou

resultados semelhantes.

BEZERRA(1995), verificou a contribuição das lajes, com sua rigidez à flexão, em

estrutura convencional. Mostrou que os deslocamentos horizontais têm redução

significativa ao se considerar a laje na estrutura de contraventamento. Os estudos foram

apenas no âmbito da análise em primeira ordem.

MARTINS (1998) verificou a importância da contribuição da rigidez à flexão das lajes

na estabilidade global em teoria de segunda ordem. Foram feitas análises de uma

estrutura convencional, e foram encontradas diferenças sensíveis no comportamento da

estrutura com e sem a consideração da laje. Além da diferença de esforços significativa

nos elementos estruturais, os deslocamentos laterais diminuem sensivelmente quando

considera-se a rigidez à flexão das lajes. Verificou-se que, para alguns casos, a

influência da rigidez da laje foi tão significativa que, quando os efeitos de 2ªordem

foram levados em conta considerando a rigidez da laje, os deslocamentos foram

menores do que os de 1ª ordem calculados sem a consideração dessa rigidez.

MENON et al. (2000) analisaram uma estrutura convencional, modelada no SAP2000,

e mostraram que os esforços de flexão nas lajes provocados pelo vento não são

desprezíveis e devem ser considerados no dimensionamento. Também mostra o ganho

de rigidez lateral no edifício, com redução no deslocamento máximo ao se considerar a

laje no contraventamento.

MARTINS(2001), analisou uma estrutura constituída de núcleos rígidos. Chegou a

mesma conclusão do seu trabalho anterior, acerca da importância da rigidez a flexão das

lajes para a estabilidade global de edifícios de andares múltiplos. Os resultados

mostraram que, sem a consideração da laje, elementos estruturais podem estar tanto

superdimensionados como sub-dimensionados, pois os esforços se distribuem de acordo

com rigidez dos elementos presentes no modelo, e a presença da laje tem influência

direta nessa distribuição.

Assim, mostra-se que a adoção do modelo completo, com a presença da laje, é indicado

como modelo mais adequado para análise estrutural de edifícios de andares múltiplos.

Além de contribuir para aumentar a rigidez lateral, é importante para melhor

distribuição de esforços entre os elementos estruturais (vigas , lajes e pilares) .

Os trabalhos citados analisaram estruturas convencionais, com quantidade razoável de

pórticos de vigas e pilares. A inclusão da laje propiciou um modelo estrutural mais

representativo do funcionamento real da estrutura. Ao desprezar sua rigidez à flexão, a

distribuição de esforços é alterada e os deslocamentos são maiores, porém estes são, em

geral, admissíveis comparados aos limites de norma e a estabilidade da estrutura não é

muito prejudicada.

Nesta dissertação, além de uma estrutura convencional, são apresentados sistemas

estruturais não convencionais, sem um conjunto de pórticos formados por vigas e

pilares, e a contribuição da rigidez das lajes é fundamental. Sem a laje, as estruturas têm

comportamento muito desfavorável, tendo parâmetros de estabilidade global e

deslocamentos muito discrepantes quando comparados aos obtidos através da

consideração do modelo completo.

2.2) Deslocabilidade e efeitos de 2ªordem

Segundo FRANCO (1985), sob ação de cargas verticais e especialmente horizontais, os

deslocamentos laterais dos nós de uma estrutura podem causar apreciáveis efeitos de

2ªordem; no caso de valores significativos desses efeitos, a estrutura é considerada de

“nós móveis”; caso contrário, de “nós fixos”.

Para que uma estrutura seja considerada de nós fixos, os deslocamentos dos nós devem

resultar em acréscimos totais de até 10% nos momentos fletores de 1ªordem. Deve-se

frisar que, para essas estruturas, os pilares podem apresentar esbeltez tal que se faça

necessária a análise dos efeitos locais de 2ªordem.

2.3) Métodos para Consideração da Não-Linearidade Geométrica

O método escolhido para análise da deslocabilidade da estrutura varia em função de

alguns fatores, entre os quais: a importância da obra, a sensibilidade da estrutura aos

efeitos de 2ªordem e os algoritmos computacionais disponíveis.

A seguir, são apresentadas as características de alguns métodos.

2.3.1) MÉTODO REFINADO

Esse método é o mais completo, uma vez que contempla a não-linearidade física e

geométrica do concreto armado. Os passos listados a seguir são processados para cada

nível de carregamento da estrutura.

As etapas deste método são:

1) Atribuem-se aos elementos estruturais rigidezes à flexão (EI) e axial (EA), obtidas

através da geometria e características físicas das seções, incluindo as armações

existentes. É feita uma análise de 2ªordem, através da qual obtêm-se esforços

solicitantes Normal (N) e momento fletor(M) e deslocamentos.

2) Obtêm-se nova rigidez EI através das relações momento-curvatura para cada peça,

com seu respectivo esforço normal e armadura.

3) Retorna-se à etapa 1.

O processo é repetido até que se obtenha uma diferença menor do que a tolerância pré-

estabelecida entre deslocamentos obtidos em análises consecutivas.

Existem rotinas computacionais que permitem a utilização desse método. Porém, para a

maioria das estruturas encontradas na prática, com número grande de barras e placas,

ainda não é possível sua aplicação, pelo elevado custo e tempo de processamento.

2.3.2) MÉTODO P-DELTA

Esse método é relativamente simples para aplicação em sistemas computacionais.

FRANCO (1985) mostra a metodologia de aplicação do método. Inicialmente, é feita

uma análise linear de 1ªordem da estrutura, obtendo-se os deslocamentos horizontais

dos nós da estrutura. Cada barra vertical da estrutura apresenta uma configuração

deformada em relação ao seu eixo original, conforme mostra a Figura 2.1. Esta figura

mostra também uma situação estática equivalente à excentricidade da força normal,

representada pelo binário V

(2.3)

Assim, os efeitos dos deslocamentos laterais dos nós podem ser implementados

aplicando nas barras da estrutura indeformada esses binários.

Figura 2.1: Idéia básica do método P-delta

Nas estruturas da prática, onde há centenas ou milhares de barras, o método consiste em

encontrar os esforços horizontais fictícios nas barras em cada pavimento. A seguir,

deve-se determinar a diferença entre esses esforços nas barras superior e inferior em um

determinado nível estrutural, conforme as equações 2.4 e 2.5, que é aplicada na

estrutura. Essa metodologia é ilustrada na figura 2.2.

Figura 2.2:Equivalência das carga do método P-delta

⋅

(2.4)

H´

ii 1−

−=

(2.5)

Através dessas forças horizontais fictícias sobrepostas às reais, obtêm-se novos

deslocamentos. Repete-se esse processo até que a diferença entre os deslocamentos para

duas iterações consecutivas seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida, quando

tem-se os esforços e deslocamentos finais da estrutura procurados.

2.3.3) COEFICIENTE γ

O coeficiente γ

foi introduzido por FRANCO (1991) apud VASCONCELOS &

FRANÇA (1997), com o objetivo de levar em conta os efeitos de 2ªordem de forma

simplificada sem necessidade de efetuar análise não-linear da estrutura e estimar os

esforços oriundos dos efeitos de 2ªordem globais. Esse coeficiente representa um

amplificador dos esforços de 1ªordem.

A grande vantagem desse método é a necessidade de uma única análise linear de

1ªordem da estrutura.

O coeficiente γ

foi implementado na revisão da norma brasileira NBR-6118/2003. Ele

pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de 1ªordem, para

cada combinação de carregamentos de estado limite último.

A expressão que dá o valor de γ

para cada caso de carregamento é:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

(2.6)

onde:

• M

é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as

forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em

relação à base da estrutura.

⋅=

∑

(2.7)

Onde:

representa a altura do pavimento i em relação a base da edificação.

é a força horizontal no pavimento i devido ao vento.

é o coeficiente de majoração das cargas horizontais.

• M

é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na

combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos

horizontais dos seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de

1ªordem.

⋅=

∑

(2.8)

Onde:

representa o deslocamento horizontal do pavimento i em relação à base, obtido

utilizando o carregamento de vento no estado limite último.

representa o somatório de cargas verticais no pavimento i.

representa o coeficiente de majoração das cargas verticais.

Figura 2.3: Grandezas usadas no cálculo de γ

O item 15.7.2 da NBR 6118/2003 apresenta uma quantificação dos esforços finais na

estrutura mediante aplicação de γ

. Os esforços globais finais (1ªordem+2ªordem) são

determinados a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de

carregamento considerada por 0,95 γ

. Esse processo é válido para γ

<1,30. Para

valores de γ

< 1,10, a estrutura pode ser considerada de nós fixos, dispensando-se,

portanto, os efeitos de 2ªordem globais.

2.3.4) PARÂMETRO α

Esse parâmetro surgiu com os estudos de BECK & KONIG (1967) apud FRANCO &

VASCONCELOS (1991). Desde o seu surgimento, esse parâmetro foi largamente

utilizado para avaliar a sensibilidade da estrutura à presença de esforços horizontais.

Ele indica se há necessidade de considerar os esforços adicionais na estrutura devido ao

deslocamento lateral dos nós, mas não quantifica os esforços de 2ªordem, havendo,

portanto, a necessidade da aplicação de outro método que forneça os esforços na

estrutura devido à não-linearidade geométrica.

A NBR-6118/2003 estabelece limites para α até os quais a estrutura analisada pode ser

considerada de nós fixos. Vale ressaltar que tal análise vale para estruturas reticuladas

simétricas, ou seja, aquelas em que não há deslocamentos horizontais devido a cargas

verticais. A expressão que fornece α e os valores de α

que correspondem ao limite

superior para a consideração da estrutura como de nós fixos são:

tot

7,0

(2.9)

= 0,2+0.1 n se n < 3 (2.10)

= 0,6 se n > 4 (2.11)

onde:

n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de

nível pouco deslocável.

tot

é a altura total da estrutura, medida a partir da fundação ou de um nível

pouco deslocável do subsolo.

é o somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do

nível considerado para o cálculo de H

tot

), com seu valor característico.

representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção

considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com

pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor o

valor da expressão E

de um pilar equivalente de seção constante.

O valor de I

deve ser calculado considerando as inércias brutas dos elementos dos

pilares.

A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma:

• calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação

do carregamento horizontal;

• calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base

e livre no topo, de mesma altura H

tot

, tal que, sob a ação do mesmo

carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo.

O valor limite α

= 0,6 prescrito para n>4 é, em geral, aplicável a estruturas usuais de

edifícios. Pode ser adotado para associações de pilares-parede e para pórticos associados

a pilares-parede. Pode ser aumentado para α

= 0,7 no caso de contraventamento

constituído exclusivamente por pilares-parede e deve ser reduzido para α

= 0,5 quando

só houver pórticos.

2.4) Rigidez dos elementos estruturais

2.4.1) MÓDULO DE ELASTICIDADE

A NBR-6118/2003 estabelece para a análise da estabilidade global a utilização do

módulo de elasticidade tangente inicial:

5,0

5600

×=

(2.12)

onde :

são dados em MPa.

O valor adotado para o módulo de elasticidade na análise estrutural é fundamental para

a análise da estabilidade global. Portanto, é valido ressaltar que essa fórmula é apenas

uma estimativa. Há casos em que essa fórmula não apresenta bons resultados para o

módulo de elasticidade de um concreto com determinado

Isso ocorre pelo fato do módulo de elasticidade depender de um conjunto de fatores,

como, por exemplo, o tipo de agregado utilizado. Como cada região tem disponibilidade

de um determinado tipo de agregado, muitas vezes o módulo de elasticidade estimado

não corresponde ao real. Assim, deve-se ter em mente que a adoção de um valor

inadequado do módulo pode contribuir para a determinação menos confiável dos

deslocamentos.

2.4.2) INÉRCIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS

A maneira mais correta para representar a não-linearidade física do concreto armado foi

explicada no item 2.3.1

Conforme explicado anteriormente, essa metodologia é de difícil aplicação em

estruturas da prática, devido ao grande número de barras/placas existentes no modelo

numérico representativo da estrutura.

A nova norma NBR-6118 propõe uma consideração da não linearidade física de

maneira aproximada tomando-se para a rigidez dos elementos estruturais os seguintes

valores:

Lajes:

cci

××=

3,0

)(

sec

(2.13)

Vigas:

cci

××=

4,0

)(

sec

para As’≠As (2.14)

cci

××=

5,0

)(

sec

para As’=As (2.15)

Pilares:

cci

××=

8,0

)(

sec

(2.16)

onde:

é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o

caso, as mesas colaborantes.

é o módulo de elasticidade tangente inicial do concreto.

Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e

pilares e γ

for menor do que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por:

cci

××=

7,0

)(

sec

(2.17)

Esses valores adotados são baseados em estudos de diversos autores. Para a

consideração simplificada da não-linearidade física dos elementos, os valores propostos

são razoáveis para estruturas usuais da prática da engenharia estrutural.

2.5) Ações de Vento

As forças horizontais oriundos da ação do vento são as mais importantes no estudo da

estabilidade global de uma estrutura. Em estruturas de carregamento ou geometria

assimétrica, cargas verticais também provocam deslocamentos horizontais e afetam sua

estabilidade.

Na realidade, a ação do vento constituiu uma ação dinâmica. Porém, é permitida uma

simplificação na norma brasileira, na qual essa carga pode ser considerada estática.

Segundo a norma NBR-6123:1988 item 4.2, as forças estáticas devidas ao vento são

determinadas do seguinte modo:

a)Define-se a velocidade básica do vento V

, adequada ao local onde a estrutura será

construída, de acordo com um mapa de isopletas. A velocidade básica V

é a velocidade

de uma rajada de 3s, excedida em média uma vez em 50 anos, a 10 metros acima do

terreno, em campo aberto e plano.

b) Calcula-se a velocidade característica do vento

conforme a expressão:

ok 321

(2.18)

onde:

S1 é o fator que leva em conta a topografia do terreno.

S2 é o fator que considera a rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura

acima do terreno.

S3 leva em conta o grau de segurança requerido e vida útil da edificação.

c)Calcula-se a força estática da ação do vento, conforme a equação:

(2.19)

onde:

613,0

q ×=

(2.20)

é o coeficiente de arrasto conforme NBR 6123:1988.

é a área frontal efetiva: área de projeção ortogonal da edificação, estrutura ou

elemento estrutural sobre um plano perpendicular à direção do vento( “área

sombra”).

q é a pressão estática em N/m² para

em m/s

3. DESCRIÇÃO DAS ESTRUTURAS E METODOLOGIA

Neste capítulo são apresentados três edifícios em concreto armado, localizados na

cidade do Rio de Janeiro-RJ, para os quais é feita análise da estabilidade global, focando

principalmente a contribuição da rigidez à flexão das lajes.

3.1) Características gerais

3.1.1) EDIFÍCIO 1

Edifício em concreto armado localizado na Barra da Tijuca no município do Rio de

Janeiro, projetado com concreto de resistência à compressão característica

35MPa.

3.1.1.1) Forma dos pavimentos-tipo

O sistema estrutural é de lajes nervuradas diretamente apoiadas em pilares tendo parte

maciça ao redor deles e vigas apenas na periferia. A estrutura ainda conta com núcleos

rígidos formados pelas caixas dos elevadores. A figura 3.1 mostra a forma do pavimento

tipo. A forma de laje utilizada é a ATEX180 (ver figura 3.3).

Figura 3.1:Forma do Pavimento Tipo-Edifício 1

Figura 3. 2: Ampliação da Forma do Pavimento Tipo-Edifício 1

Figura 3.3:Detalhe da forma da laje ATEX 180

3.1.1.2) Esquema Vertical

O edifício 1 é constituído pelo subsolo, térreo e quinze pavimentos-tipo, mais cobertura

e casa de máquinas, totalizando vinte níveis estruturais, sendo todos os pavimentos

sujeitos à ação de vento, exceto o piso do subsolo. A figura 3.4 mostra o esquema

vertical do edifício.

Figura 3.4: Esquema Vertical- Edifício 1

3.1.2) EDIFÍCIO 2

Edifício em concreto armado localizado na Barra da Tijuca no município do Rio de

Janeiro, projetado com concreto de resistência à compressão característica

35MPa .

3.1.2.1) Forma dos pavimentos-tipo

O sistema estrutural é de lajes nervuradas diretamente apoiadas em pilares tendo parte

maciça ao redor deles e vigas apenas na periferia.. Diferentemente do edifício 1, não

apresenta os núcleos rígidos das caixas de elevador. A figura 3.5 mostra a forma do

pavimento tipo. A forma de laje utilizada é a ATEX 800 (ver figura 3.8).

Figura 3.5: Forma do pavimento tipo-Edifício 2

-7

-7 -7

-7

V4-14x80

h=16

V2-12x80

h=16

V9-20x80

P205

P204

25x80

P203

25x80

P202

80x20

P201

25x65

P206

20x65

P209

75x25

P207

111x54

P212

20x80

P211

25x60

P214

65x20

P213

65x20

P210

25x65

P218

65x25

P217

65x25

P216

20x80

P215

35x60

P219

85x25

P223

65x25

P222

65x25

P221

20x80

P220

35x60

P224

65x20

P225

65x20

P228

20x80

P227

25x60

P226

25x65

P231

75x25

P229

111x54

P232

20x65

P237

20x70

P236

25x80

P235

25x80

P234

80x20

P233

25x65

P208

25x65

P230

25x65

h=25

V1-12x80

V3-14x80

V5-14x80 V6-14x80

V7-14x80

V8-14x80

V10-14x80

V11-14x80

V12-14x80 V13-14x80

V15-14x80V14-14x80

V17-12x80

V16-12x80

V18-12x80

V19-25x80

V24-20x80

V23-14x80V22-14x80

V25-14x80 V26-14x80

V27-14x80 V28-14x80

V29-15x80

V31-14x73V30-14x80 V32-14x80

V33-14x80 V34-14x80

20x70

DET A DET B

-7

h=16

V9-20x80

P203

25x80

P202

80x20

P201

25x65

P209

75x25

P207

111x54

P216

20x80

P215

35x60

P219

85x25

P221

20x80

P220

35x60

P226

25x65

P231

75x25

P229

111x54

P235

25x80

P234

80x20

P233

25x65

P208

25x65

P230

25x65

V3-14x80

V7-14x80

V11-14x80

V14-14x80

V18-12x80

V19-25x80

V24-20x80

V23-14x80V22-14x80

V25-14x80 V26-14x80

Figura 3.6: Detalhe DET A- Edifício 2

-7

-7 -7

V4-14x80

h=16

V2-12x80

h=16

P205

P204

25x80

P206

20x65

P212

20x80

P211

25x60

P214

65x20

P213

65x20

P210

25x65

P218

65x25

P217

65x25

P223

65x25

P222

65x25

P224

65x20

P225

65x20

P228

20x80

P227

25x60

P232

20x65

P237

20x70

P236

25x80

h=25

V1-12x80

V5-14x80 V6-14x80

V8-14x80

V10-14x80

V12-14x80 V13-14x80

V15-14x80

V17-12x80

V16-12x80

V27-14x80 V28-14x80

V29-15x80

V31-14x73V30-14x80 V32-14x80

V33-14x80 V34-14x80

20x70

Figura 3.7: Detalhe DET B- Edifício 2

Figura 3.8: Detalhe da forma da laje ATEX 800

3.1.2.2)Esquema Vertical

No edifício 2, tem-se subsolo, térreo, cinco pavimentos tipo, cobertura, telhado com

casa de máquinas e caixa d´água, totalizando dez níveis estruturais, sendo todos sujeitos

à ação de vento, com exceção do piso do subsolo. A figura 3.9 mostra o corte

esquemático do edifício.

Figura 3.9: Esquema vertical- Edifício 2

3.1.3) EDIFÍCIO 3

Edifício em concreto armado localizado na Barra da Tijuca no município do Rio de

Janeiro, projetado com concreto de resistência à compressão característica

35MPa .

3.1.3.1) Forma dos pavimentos-tipo

O sistema estrutural é o convencional, com lajes maciças apoiadas em vigas, que se

apóiam em pilares.

Figura 3.10-Forma do Pavimento tipo- Edifício 3

3.1.2.2) Esquema Vertical

O edifício 3 é composto por subsolo, térreo, onze pavimentos-tipo, cobertura e telhado

com casa de máquinas, totalizando quinze níveis estruturais, sendo todos sujeitos a ação

de vento, com exceção do piso dos subsolo. Na figura 3.11 tem-se o corte esquemático

do edifício.

Figura 3.11-Esquema Vertical- Edifício 3

3.2) Carregamentos

3.2.1) VENTO

As cargas horizontais que representam a ação do vento são calculadas de acordo com a

norma NBR-6123. O mapa de isopletas dado nesta norma indica uma velocidade básica

do vento para a região de 35m/s. Para o cálculo da velocidade característica foi adotado

para os fatores topográficos (S

) e probabilístico (S

) o valor de 1,0. Os valores do fator

, que dependem da rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura acima do

terreno, são dados pelas equações 3.1 e 3.2. A rugosidade do terreno é correspondente

a categoria IV para todos os prédios e as dimensões da edificação às classes C , B e B

para os edifícios 1 ,2 e 3, respectivamente.

Para o cálculo das forças aplicadas nos pavimentos foi considerada somente a pressão

estática obtida para a velocidade característica do vento, cuja determinação já foi

abordada no item 2.5.4.

Edifícios 1 e 3

b = 0,84

= 0,95

p = 0,135

135,0

95,084,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

(3.1)

Edifício 2

b = 0,85

= 0,98

p = 0,125

125,0

98,085,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

(3.2)

Consequentemente, as velocidade características do vento são:

Edifícios 1e 3:

= 27,93

135,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(3.3)

Edifício 2:

= 29,155

125,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(3.4)

onde z é a altura sobre o terreno.

Conforme os procedimentos dados na NBR-6123 para definição do coeficiente de

arrasto, os referidos coeficientes para os dois edifícios nas duas direções são (ver anexo

1):

Edifício 1:

= C

=1,24

Edifício 2:

= 1,00

=1,15

Edifício 3:

= 0,96

=1,15

Considerando, portanto, as pressões estáticas do vento para cada altura, os coeficientes

de arrasto e as áreas de exposição por pavimento, as forças laterais foram calculadas e

são dadas nas tabelas 3.1-3.3 para os dois edifícios.

Tabela 3.1:Cargas horizontais do Edifício 1-Direções X e Y

Nível estrutural

(piso)

Altura

z(m)

Altura da

área

frontal(m)

Dimensão

frontal(m)

Área(m²)

Velocidade

(m/s)

Pressão

p(kN/m²)

Força

(kN)

Térreo

2,88 2,88 32,11 92,48 23,61 0,34 1,20 37,92

1ºpavimento

5,76 4,36 32,11 140,00 25,93 0,41 1,20 69,22

2ºpavimento

8,72 2,96 32,11 95,05 27,42 0,46 1,20 52,56

3ºpavimento

11,68 2,96 32,11 95,05 28,52 0,50 1,20 56,88

4ºpavimento

14,64 2,96 32,11 95,05 29,40 0,53 1,20 60,45

5ºpavimento

17,60 2,96 32,11 95,05 30,14 0,56 1,20 63,53

6ºpavimento

20,56 2,96 32,11 95,05 30,78 0,58 1,20 66,26

7ºpavimento

23,52 2,96 32,11 95,05 31,35 0,60 1,20 68,71

8ºpavimento

26,48 2,96 32,11 95,05 31,85 0,62 1,20 70,94

9ºpavimento

29,44 2,96 32,11 95,05 32,31 0,64 1,20 73,00

10ºpavimento

32,40 2,96 32,11 95,05 32,73 0,66 1,20 74,91

11ºpavimento

35,36 2,96 32,11 95,05 33,12 0,67 1,20 76,70

12ºpavimento

38,32 2,96 32,11 95,05 33,48 0,69 1,20 78,39

13ºpavimento

41,28 2,96 32,11 95,05 33,82 0,70 1,20 79,98

14ºpavimento

44,24 2,96 32,11 95,05 34,14 0,71 1,20 81,49

15ºpavimento

47,20 3,17 32,11 101,79 34,44 0,73 1,20 88,81

Cobertura

50,58 3,17 32,11 101,79 34,76 0,74 1,20 90,48

Casa de

Máquinas

53,54 3,23 13,82 44,64 35,03 0,75 1,20 40,29

Teto da Casa de

máquinas

57,04 1,75 13,82 24,19 35,33 0,77 1,20 22,21

Tabela 3.2:Cargas horizontais do Edifício 2-Direção X

Nível

estrutural(piso)

Altura

z(m)

Altura da

área

frontal(m)

Dimensão

frontal(m)

Área(m²)

Velocidade

(m/s)

Pressão

p(kN/m²)

Força

(kN)

Térreo

2,42 2,42 27,25 65,95 24,42 0,37 1,00 24,10

1ºpavimento

4,84 4,09 27,25 111,32 26,63 0,43 1,00 48,38

2ºpavimento

8,17 3,33 27,25 90,74 28,43 0,50 1,00 44,95

3ºpavimento

11,50 3,33 27,25 90,74 29,67 0,54 1,00 48,96

4ºpavimento

14,83 3,33 27,25 90,74 30,63 0,58 1,00 52,18

5ºpavimento

18,16 3,42 27,25 93,06 31,41 0,60 1,00 56,29

Cobertura

21,66 3,42 27,25 93,06 32,11 0,63 1,00 58,82

Telhado

24,99 2,17 27,25 59,00 32,69 0,66 1,00 38,65

Caixa d´água

25,99 1,43 21,00 29,93 32,85 0,66 1,00 19,80

Caixa

d´água(topo)

27,84 0,93 11,35 10,50 33,14 0,67 1,00 7,07

Tabela 3.3: Cargas horizontais do Edifício 2-Direção Y

Nível estrutural

(piso)

Altura

z(m)

Altura da

área

frontal(m)

Dimensão

frontal(m)

Área(m²)

Velocidade

(m/s)

Pressão

p(kN/m²)

Força

(kN)

Térreo

2,42 2,42 36,00 87,12 24,42 0,37 1,15 36,61

1ºpavimento

4,84 4,09 36,00 147,06 26,63 0,43 1,15 73,50

2ºpavimento

8,17 3,33 36,00 119,88 28,43 0,50 1,15 68,29

3ºpavimento

11,50 3,33 36,00 119,88 29,67 0,54 1,15 74,39

4ºpavimento

14,83 3,33 36,00 119,88 30,63 0,58 1,15 79,27

5ºpavimento

18,16 3,42 36,00 122,94 31,41 0,60 1,15 85,52

Cobertura

21,66 3,42 36,00 122,94 32,11 0,63 1,15 89,37

Telhado

24,99 2,17 36,00 77,94 32,69 0,66 1,15 58,72

Caixa d´água

25,99 1,43 36,00 51,30 32,85 0,66 1,15 39,03

Caixa

d´água(topo)

27,84 0,93 36,00 33,30 33,14 0,67 1,15 25,77

Tabela 3.4: Cargas horizontais do Edifício 3-Direção X

Nível

estrutural(piso)

Altura

z(m)

Altura da

área

frontal(m)

Dimensão

frontal(m)

Área(m²)

Velocidade

Vk(m/s)

Pressão

p(KN/m²)

Força

Fa(KN)

Térreo

2,22 2,22 26,74 59,36 22,79 0,32 0,96 18,15

1ºpavimento

4,45 3,63 26,74 96,93 25,04 0,38 0,96 35,76

2ºpavimento

7,25 2,80 26,74 74,87 26,74 0,44 0,96 31,51

3ºpavimento

10,05 2,80 26,74 74,87 27,95 0,48 0,96 34,42

4ºpavimento

12,85 2,80 26,74 74,87 28,89 0,51 0,96 36,78

5ºpavimento

15,65 2,80 26,74 74,87 29,67 0,54 0,96 38,79

6ºpavimento

18,45 2,80 26,74 74,87 30,34 0,56 0,96 40,55

7ºpavimento

21,25 2,80 26,74 74,87 30,92 0,59 0,96 42,13

8ºpavimento

24,05 2,80 26,74 74,87 31,44 0,61 0,96 43,56

9ºpavimento

26,85 2,80 26,74 74,87 31,91 0,62 0,96 44,88

10ºpavimento

29,65 2,80 26,74 74,87 32,34 0,64 0,96 46,09

11ºpavimento

32,45 2,80 26,74 74,87 32,74 0,66 0,96 47,23

12ºpavimento

35,25 2,80 26,74 74,87 33,11 0,67 0,96 48,30

Cobertura

38,25 2,80 26,74 74,87 33,48 0,69 0,96 49,37

Telhado

41,15 3,30 15,93 52,57 33,81 0,70 0,96 35,36

Teto da Casa de

máquinas

44,85 1,85 5,87 10,86 34,20 0,72 0,96 7,48

Tabela 3.5: Cargas horizontais do Edifício 3-Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Altura

z(m)

Altura da

área

frontal(m)

Dimensão

frontal(m)

Área(m²)

Velocidade

Vk(m/s)

Pressão

p(KN/m²)

Força

Fa(KN)

Térreo

2,22 2,22 45,60 101,23 22,79 0,32 1,15 37,08

1ºpavimento

4,45 3,63 45,60 165,30 25,04 0,38 1,15 73,05

2ºpavimento

7,25 2,80 45,60 127,68 26,74 0,44 1,15 64,37

3ºpavimento

10,05 2,80 45,60 127,68 27,95 0,48 1,15 70,31

4ºpavimento

12,85 2,80 45,60 127,68 28,89 0,51 1,15 75,13

5ºpavimento

15,65 2,80 45,60 127,68 29,67 0,54 1,15 79,24

6ºpavimento

18,45 2,80 45,60 127,68 30,34 0,56 1,15 82,84

7ºpavimento

21,25 2,80 45,60 127,68 30,92 0,59 1,15 86,06

8ºpavimento

24,05 2,80 45,60 127,68 31,44 0,61 1,15 88,99

9ºpavimento

26,85 2,80 45,60 127,68 31,91 0,62 1,15 91,67

10ºpavimento

29,65 2,80 45,60 127,68 32,34 0,64 1,15 94,16

11ºpavimento

32,45 2,80 45,60 127,68 32,74 0,66 1,15 96,48

12ºpavimento

35,25 2,80 45,60 127,68 33,11 0,67 1,15 98,66

Cobertura

38,25 2,80 45,60 127,68 33,48 0,69 1,15 100,86

Telhado

41,15 3,30 39,20 129,36 33,81 0,70 1,15 104,23

Teto da Casa de

máquinas

44,85 1,85 16,40 30,34 34,20 0,72 1,15 25,02

3.2.2) CARGAS VERTICAIS

No cálculo das cargas devido ao peso próprio foi considerado para o concreto armado

um peso específico de 25kN/m³, e para as alvenarias por unidade de área o peso de

1,5kN/m².

Para outras cargas permanentes e sobrecargas, a tabela 3.6 mostra os valores adotados

para cada pavimento:

Tabela 3.6: Cargas utilizadas nos pavimentos

Pavimento

Carga

Permanente(kN/m²)

Carga

Acidental(kN/m²)

Subsolo 1,0 3,0

Térreo 2,0 3,0

Tipo 1,0 1,5

Cobertura 2,0 1,5

Casa de Máquinas 5,0 1,5

3.3)Modelagem

A modelagem dos edifícios foi feita através do software SAP2000, baseado no método

dos elementos finitos.

3.3.1) VIGAS E LAJES

No caso dos edifícios em estudo, foram considerados para as vigas elementos de barras.

A adoção desse tipo de elemento finito é justificada pelo fato de todas as vigas terem

uma relação altura/vão baixa. Nos casos de vigas-parede, se faz necessária a modelagem

através de elementos de casca. Apenas no edifício 2 foi utilizado o elemento de casca

para representar as vigas-parede da caixa d´ água.

As lajes foram analisadas usando elementos de casca. Neste caso, deve-se atentar para

algumas peculiaridades. As lajes nervuradas têm características geométricas peculiares

quando comparadas às lajes maciças: são compostas pela capa e pelas vigotas. Usando-

se elementos de casca, não é possível representar sua rigidez e seu peso próprio através

de uma única altura, como na laje maciça.

O software utilizado possibilita a caracterização de uma seção com definição de uma

altura para cálculo do peso próprio e outra para a rigidez da seção.

Para o cálculo dessas alturas para a laje nervurada da forma dos edifícios, cuja

caracterização geométrica já foi feita, utilizou-se o catálogo do fabricante ATEX. Neste

catálogo, tem-se os valores de peso próprio (kN/m²) e da inércia à flexão (m

) para

diversas formas de laje nervurada. Para as lajes em questão tem-se os valores dados a

seguir:

Edifício 1- ATEX 180

Peso próprio- 2,65 kN/m²

Inércia à flexão- 1,87 x10

-4

Assim, podem-se obter as alturas através das quais podem-se modelar uma laje maciça

equivalente à laje nervurada:

- Altura equivalente ao peso próprio

flex

- Altura equivalente à inércia a flexão.

106,0

65,2

Como o momento de inércia I de uma seção retangular:

flex

155,0

60,0

.10 1,8712

Edifício 2- ATEX 800

Peso próprio- 2,85 kN/m²

Inércia à flexão- 3,44 x10

-4

Utilizando metodologia similar ao edifício 1, encontramos os seguintes valores:

114,0

flex

173,0

A rigidez à torção das nervuras constitui outro fator relevante nesta modelagem das

lajes nervuradas. Considerando que as nervuras têm rigidez à torção muito baixa e esta

rigidez tem pouca importância para a estrutura de contraventamento dos edifícios

analisados, desprezou-se a rigidez à torção.

3.3.4) PILARES

Existem dois tipos possíveis de modelagem para pilares: elementos finitos de barra ou

casca. Para pilares onde a razão entre a base e a altura da seção transversal é baixa, a

representação com elemento de barra é satisfatória. Apenas os pilares-parede necessitam

ser modelados com elementos de casca. A norma NBR-6118 preconiza que pilares com

seção transversal em que a base excede cinco vezes a altura, devem ser considerados

pilares-parede, para os quais os efeitos de 2ºordem localizados devem ser considerados.

Porém, a modelagem com elementos de casca é necessária para alguns pilares que não

são pilares-parede, visando garantir boa representatividade da estrutura. Por exemplo,

um pilar-parede de 0,20m x 1,05m deve ser representado como casca. Se as dimensões

desse pilar fossem 0,20m x 0,95m a modelagem seria diferente pelo fato de não ser mais

um pilar-parede segundo a definição de NBR-6118? O bom senso indica para esse

elemento a mesma necessidade de modelagem com elemento de casca.

No presente trabalho, foram adotados elementos de casca para pilares retangulares que

têm uma das dimensões maior do que três vezes a outra.

3.3.5) FUNDAÇÕES

Conforme citado na introdução deste trabalho, com a crescente evolução dos softwares

de análise estrutural, a consideração da interação solo-estrutura já pode ser

implementada nos projetos. Porém, neste trabalho isso não foi feito, devido à

necessidade de estudos que fogem ao seu foco principal.

Os pilares são considerados engastados nas fundações, ou seja, com restrição total à

rotação e translação. Levando em conta a interação solo-estrutura, os resultados

indicariam estruturas mais flexíveis.

3.4)Representação das estruturas no estado limite último

Para a análise das estruturas, foi utilizado o método do parâmetro γ

, já descrito no

capítulo 2

. Ele é o método mais utilizado para análise da estabilidade global de

edifícios de concreto armado é o parâmetro

. Esta larga utilização se deve as seguintes

características deste método:

•

Possibilita determinar se a estrutura é de nós fixos ou móveis.

•

Em caso de nós móveis, quantifica os esforços finais na estrutura devido aos

efeitos de 2ªordem globais.

•

Necessidade de apenas uma análise linear de 1ªordem.

Conforme mostrado no item 2.3.3, o parâmetro

tem um limite de aplicação. Caso γ

exceda o valor de 1,30, um método mais refinado deve ser utilizado para a avaliação da

estabilidade global da estrutura e quantificação dos esforços de 2ªordem.

3.4.1) MÓDULO DE ELASTICIDADE

Conforme explicado no item 2.4.1 (equação 2.12), foi utilizado o módulo tangente

inicial para as análises no estado limite último. Para os três edifícios, tem-se f

35MPa. Assim, pela equação 2.12:

MPa

33130355600 =×=

3.4.2) RIGIDEZ DOS ELEMENTOS

Para verificações de estado limite último quanto à estabilidade global de uma estrutura

de concreto armado, considera-se o estado fissurado dos elementos. A NBR-6118

estabelece um tratamento simplificado para a não-linearidade física do concreto armado,

reduzindo a rigidez dos elementos estruturais conforme citado no item 2.4.1.

3.4.3) COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO DE ESFORÇOS

De acordo com a NBR-6118-2003, o coeficiente

deve ser calculado utilizando os

esforços de cálculo. É indicado que o valor do coeficiente de majoração de esforços

deve ser

/ γ

f 3

, com γ

=1,4 e γ

=1,1:

27,1

3.4.4) COMBINAÇÕES

No presente trabalho, apenas o carregamento de vento foi considerado no cálculo dos

deslocamentos horizontais utilizados para calcular os momentos de 2ª ordem. Assim, o

parâmetro

calculado apresenta valores mínimos, uma vez que configurações

assimétricas de geometria e carga também geram deslocamentos horizontais, os quais

não foram considerados . Para as cargas verticais adotadas no cálculo dos momentos de

2ªordem, não foram consideradas reduções de sobrecarga.

3.5) Representação gráfica dos modelos numéricos

A seguir constam figuras que ilustram os modelos adotados para a análise dos três

edifícios. São mostradas vistas tridimensionais dos edifícios completos e de partes

deles.

Figura 3.12: Vista 3D-Edifício 1

Figura 3.13: Piso e teto da casa de Máquinas-Edifício 1

Figura 3.14: Teto tipo-Edifício 1

Figura 3.15: Edifício 2

Figura 3.16: Teto tipo-Edifício 2

Figura 3.17: Caixa d´ água-Edifício 2

Figura 3.18: Edifício 3

Figura 3.19: Pavimento tipo-Edifício 3

Figura 3.20: Casa de Máquinas-Edifício 3

4. DESCRIÇÃO DAS ANÁLISES REALIZADAS E RESULTADOS

4.1) Caracterização das análises variando a rigidez dos elementos estruturais

A análise da estabilidade global das estruturas foi feita variando as rigidezes dos

elementos, visando quantificar a importância da presença da laje no sistema de

contraventamento os casos investigados. O procedimento ideal consiste em calcular as

rigidezes das peças estruturais para níveis crescentes de carregamento, considerando os

esforços atualizados e armaduras existentes. Porém, foi adotado o procedimento que é

usualmente utilizado na prática dos projetos de edifício em concreto armado, que

considera os valores aproximados para as rigidezes dos elementos. A adoção desta

metodologia é satisfatória para o objetivo deste trabalho, que é verificar a importância

da laje para a estabilidade global das estruturas estudadas.

A variação de rigidez nos elementos foi feita mediante a consideração aproximada da

não-linearidade física do concreto armado, conforme os item 2.4.2. Utilizou-se a seção

retangular das vigas para o cálculo do momento de inércia.

4.1.1) ESTADO LIMITE ÚLTIMO

Análise 1- ELU

A estrutura de contraventamento é formada apenas por vigas e pilares. A rigidez (EI)

sec

destes elementos é :

cci

7,0

)(

sec

Análise 2- ELU

A estrutura de contraventamento é formada apenas por vigas e pilares. A rigidez (EI)

sec

destes elementos é :

Vigas:

cci

4,0

)(

sec

Pilares:

cci

8,0

)(

sec

Análise 3- ELU

A estrutura de contraventamento é formada vigas, pilares e lajes. A rigidez (EI)

sec

destes

elementos é :

Vigas:

cci

4,0

)(

sec

Pilares:

cci

8,0

)(

sec

Lajes:

cci

3,0

)(

sec

4.1.2) ESTADO LIMITE DE SERVIÇO

Para aferição do estado limite de serviço, quanto à verificação do deslocamento

horizontal máximo, a NBR-6118 permite a consideração da inércia bruta de concreto

dos elementos da estrutura e o módulo de elasticidade secante.

A importância da consideração da laje na estrutura também foi aferida. Conforme a

NBR-6118, o valor limite para o deslocamento horizontal é H/1700, onde H é a altura

total do edifício. O carregamento utilizado para a aferição do ELS correspondeu a 30%

do carregamento total do vento, conforme prescreve a NBR-6118 para combinações

freqüentes.

Análise 1-ELS

Consideração apenas de vigas e pilares

Análise 2-ELS

Consideração de lajes, vigas e pilares

4.2) Resultados das análises

4.2.1)EDIFÍCIO 1

Nas tabelas 4.1-4.6 apresentam-se cargas horizontais e verticais, deslocamentos

horizontais máximos, momentos de 1ªordem, momentos de 2ªordem globais e o cálculo

do parâmetro

para cada análise de ELU nas duas direções para edifício 1.

Figura 4.1-Edifício 1- Deslocamentos horizontais do pórtico Análise 1-ELU- Direção X

Unidade: metro

Tabela 4.1: Edifício 1-Cálculo de γ

- Análise 1-Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

8,22 10036 38 0,21 312 8510

1ºpavimento

11,10 8749 69 0,81 768 8489

2ºpavimento

14,06 8749 53 1,25 739 8419

3ºpavimento

17,02 8749 57 1,79 968 8309

4ºpavimento

19,98 8749 60 2,40 1208 8152

5ºpavimento

22,94 8749 64 3,09 1457 7941

6ºpavimento

25,90 8749 66 3,81 1716 7671

7ºpavimento

28,86 8749 69 4,60 1983 7337

8ºpavimento

31,82 8749 71 5,28 2257 6935

9ºpavimento

34,78 8749 73 6,04 2539 6473

10ºpavimento

37,74 8749 75 6,89 2827 5944

11ºpavimento

40,70 8749 77 7,67 3122 5341

12ºpavimento

43,66 8749 78 8,43 3422 4670

13ºpavimento

46,62 8749 80 8,98 3729 3933

14ºpavimento

49,58 8749 81 9,73 4040 3147

15ºpavimento

52,54 8749 89 9,92 4666 2296

Cobertura

55,92 9864 90 10,64 5060 1428

Casa de

Máquinas

58,88 2216 40 11,95 2372 379

Teto da Casa de

máquinas

62,38 947 22 12,46 1385 114

∑ 44571

(kN.m)= 44571

(kN.m)= 8510

32,1

44571

851027,1

−

Figura 4.2- Edifício 1-Deslocamentos horizontais do pórtico Análise 1-ELU - Direção Y

Unidade: metro

Tabela 4.2: Edifício 1- Cálculo de γ

- Análise 1-ELU -Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

8,22 10036 38 0,31 312 12685

1ºpavimento

11,10 8749 69 1,40 768 12654

2ºpavimento

14,06 8749 53 2,16 739 12531

3ºpavimento

17,02 8749 57 3,02 968 12342

4ºpavimento

19,98 8749 60 3,95 1208 12078

5ºpavimento

22,94 8749 64 4,96 1457 11732

6ºpavimento

25,90 8749 66 5,99 1716 11298

7ºpavimento

28,86 8749 69 7,07 1983 10774

8ºpavimento

31,82 8749 71 8,09 2257 10156

9ºpavimento

34,78 8749 73 9,17 2539 9448

10ºpavimento

37,74 8749 75 10,15 2827 8646

11ºpavimento

40,70 8749 77 11,06 3122 7758

12ºpavimento

43,66 8749 78 12,19 3422 6790

13ºpavimento

46,62 8749 80 13,00 3729 5724

14ºpavimento

49,58 8749 81 14,03 4040 4587

15ºpavimento

52,54 8749 89 14,75 4666 3359

Cobertura

55,92 9864 90 16,08 5060 2069

Casa de

Máquinas

58,88 2216 40 16,67 2372 483

Teto da Casa de

máquinas

62,38 947 22 17,52 1385 114

∑ 44571

(kN.m)= 44571

(kN.m)= 12685

57,1

44571

1268527,1

−

Figura 4.3: Edifício 1-Deslocamentos horizontais do pórtico Análise 2-ELU- Direção X

Unidade: metro

Tabela 4.3: Edifício 1-Cálculo de γ

- Análise 2-ELU -Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

8,22 10036 37,92 0,20 312 8214

1ºpavimento

11,10 8749 69,22 0,78 768 8194

2ºpavimento

14,06 8749 52,56 1,21 739 8125

3ºpavimento

17,02 8749 56,88 1,73 968 8019

4ºpavimento

19,98 8749 60,45 2,32 1208 7868

5ºpavimento

22,94 8749 63,53 2,98 1457 7665

6ºpavimento

25,90 8749 66,26 3,68 1716 7404

7ºpavimento

28,86 8749 68,71 4,44 1983 7082

8ºpavimento

31,82 8749 70,94 5,09 2257 6694

9ºpavimento

34,78 8749 73,00 5,83 2539 6249

10ºpavimento

37,74 8749 74,91 6,65 2827 5739

11ºpavimento

40,70 8749 76,70 7,40 3122 5157

12ºpavimento

43,66 8749 78,39 8,13 3422 4509

13ºpavimento

46,62 8749 79,98 8,66 3729 3798

14ºpavimento

49,58 8749 81,49 9,39 4040 3040

15ºpavimento

52,54 8749 88,81 9,57 4666 2219

Cobertura

55,92 9864 90,48 10,26 5060 1382

Casa de

Máquinas

58,88 2216 40,29 11,53 2372 370

Teto da Casa de

máquinas

62,38 947 22,21 12,02 1385 114

∑ 44571

(kN.m)= 44571

(kN.m)= 8211

32,1

44571

821127,1

−

Figura 4.4: Edifício 1-Deslocamentos horizontais do pórtico Análise 2-ELU- Direção Y

Unidade: metro

Tabela 4.4: Edifício 1-Cálculo de γ

- Análise 2-ELU- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

8,22 10036 38 0,30 312 12390

1ºpavimento

11,10 8749 69 1,37 768 12360

2ºpavimento

14,06 8749 53 2,11 739 12240

3ºpavimento

17,02 8749 57 2,95 968 12056

4ºpavimento

19,98 8749 60 3,86 1208 11798

5ºpavimento

22,94 8749 64 4,84 1457 11460

6ºpavimento

25,90 8749 66 5,85 1716 11037

7ºpavimento

28,86 8749 69 6,90 1983 10525

8ºpavimento

31,82 8749 71 7,90 2257 9921

9ºpavimento

34,78 8749 73 8,96 2539 9230

10ºpavimento

37,74 8749 75 9,91 2827 8446

11ºpavimento

40,70 8749 77 10,80 3122 7579

12ºpavimento

43,66 8749 78 11,90 3422 6634

13ºpavimento

46,62 8749 80 12,70 3729 5593

14ºpavimento

49,58 8749 81 13,70 4040 4482

15ºpavimento

52,54 8749 89 14,40 4666 3283

Cobertura

55,92 9864 90 15,70 5060 2023

Casa de

Máquinas

58,88 2216 40 16,28 2372 475

Teto da Casa de

máquinas

62,38 947 22 17,11 1385 114

∑ 44571

(kN.m)= 44571

(kN.m)= 12390

55,1

44571

1239027,1

−

Figura 4.5: Edifício 1-Deslocamentos horizontais do pórtico Análise

3-ELU- Direção X

Unidade: metro

Tabela 4.5: Edifício 1- Cálculo de γ

- Análise 3-ELU- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

8,22 10036 38 0,12 312 3711

1ºpavimento

11,10 8749 69 0,43 768 3699

2ºpavimento

14,06 8749 53 0,65 739 3661

3ºpavimento

17,02 8749 57 0,90 968 3604

4ºpavimento

19,98 8749 60 1,19 1208 3525

5ºpavimento

22,94 8749 64 1,48 1457 3422

6ºpavimento

25,90 8749 66 1,78 1716 3292

7ºpavimento

28,86 8749 69 2,08 1983 3137

8ºpavimento

31,82 8749 71 2,38 2257 2954

9ºpavimento

34,78 8749 73 2,67 2539 2746

10ºpavimento

37,74 8749 75 2,95 2827 2512

11ºpavimento

40,70 8749 77 3,22 3122 2255

12ºpavimento

43,66 8749 78 3,47 3422 1973

13ºpavimento

46,62 8749 80 3,70 3729 1670

14ºpavimento

49,58 8749 81 3,92 4040 1346

15ºpavimento

52,54 8749 89 4,12 4666 1003

Cobertura

55,92 9864 90 4,34 5060 643

Casa de

Máquinas

58,88 2216 40 4,54 2372 215

Teto da Casa

de máquinas

62,38 947 22 4,66 1385 114

∑ 44571

(kN.m)= 44571

(kN.m)= 3711

12,1

44571

371127,1

−

Figura 4.6: Edifício 1- Deslocamentos horizontais do pórtico Análise 3-ELU- Direção Y

Unidade: metro

Tabela 4.6: Edifício 1- Cálculo de γ

- Análise 3-ELU-Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

8,22 10036 38 0,22 312 5879

1ºpavimento

11,10 8749 69 0,79 768 5857

2ºpavimento

14,06 8749 53 1,16 739 5788

3ºpavimento

17,02 8749 57 1,58 968 5687

4ºpavimento

19,98 8749 60 2,02 1208 5549

5ºpavimento

22,94 8749 64 2,46 1457 5373

6ºpavimento

25,90 8749 66 2,92 1716 5157

7ºpavimento

28,86 8749 69 3,36 1983 4902

8ºpavimento

31,82 8749 71 3,86 2257 4608

9ºpavimento

34,78 8749 73 4,69 2539 4270

10ºpavimento

37,74 8749 75 4,69 2827 3860

11ºpavimento

40,70 8749 77 5,33 3122 3450

12ºpavimento

43,66 8749 78 5,51 3422 2984

13ºpavimento

46,62 8749 80 5,67 3729 2502

14ºpavimento

49,58 8749 81 6,04 4040 2006

15ºpavimento

52,54 8749 89 6,36 4666 1478

Cobertura

55,92 9864 90 6,61 5060 921

Casa de

Máquinas

58,88 2216 40 6,98 2372 269

Teto da Casa de

máquinas

62,38 947 22 7,25 1385 114

∑ 44571

(KN.m)= 44571

(KN.m)= 5879

20,1

4457

587927,1

−

Nas tabelas 4.7-4.10 são mostrados os deslocamentos obtidos nas análises do estado

limite de serviço.

Tabela 4.7: Edifício 1- Análise 1-ELS- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

8,22

11,38 0,05

1ºpavimento

11,10

20,77 0,20

2ºpavimento

14,06

15,77 0,31

3ºpavimento

17,02

17,06 0,44

4ºpavimento

19,98

18,14 0,60

5ºpavimento

22,94

19,06 0,77

6ºpavimento

25,90

19,88 0,94

7ºpavimento

28,86

20,61 1,14

8ºpavimento

31,82

21,28 1,30

9ºpavimento

34,78

21,9 1,49

10ºpavimento

37,74

22,47 1,70

11ºpavimento

40,70

23,01 1,89

12ºpavimento

43,66

23,52 2,08

13ºpavimento

46,62

23,99 2,21

14ºpavimento

49,58

24,45 2,40

15ºpavimento

52,54

26,64 2,44

Cobertura

55,92

27,14 2,62

Casa de

Máquinas

58,88 12,09

2,94

Teto da Casa de

máquinas

62,38 6,66

3,07

Tabela 4.8: Edifício 1- Análise 1-ELS- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

8,22

11,38

0,07

1ºpavimento

11,10

20,77

0,35

2ºpavimento

14,06

15,77

0,53

3ºpavimento

17,02

17,06

0,74

4ºpavimento

19,98

18,14

0,97

5ºpavimento

22,94

19,06

1,23

6ºpavimento

25,90

19,88

1,48

7ºpavimento

28,86

20,61

1,74

8ºpavimento

31,82

21,28

2,00

9ºpavimento

34,78

21,90

2,26

10ºpavimento

37,74

22,47

2,50

11ºpavimento

40,70

23,01

2,73

12ºpavimento

43,66

23,52

3,01

13ºpavimento

46,62

23,99

3,21

14ºpavimento

49,58

24,45

3,46

15ºpavimento

52,54

26,64

3,64

Cobertura

55,92

27,14

3,97

Casa de

Máquinas

58,88 12,09 4,11

Teto da Casa de

máquinas

62,38 6,66 4,32

Tabela 4.9: Edifício 1- Análise 2-ELS- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo 8,22 11,38 0,01

1ºpavimento 11,1 20,77 0,06

2ºpavimento 14,06 15,77 0,08

3ºpavimento 17,02 17,06 0,12

4ºpavimento 19,98 18,14 0,18

5ºpavimento 22,94 19,06 0,23

6ºpavimento 25,9 19,88 0,28

7ºpavimento 28,86 20,61 0,33

8ºpavimento 31,82 21,28 0,39

9ºpavimento 34,78 21,9 0,44

10ºpavimento 37,74 22,47 0,51

11ºpavimento 40,7 23,01 0,57

12ºpavimento 43,66 23,52 0,62

13ºpavimento 46,62 23,99 0,66

14ºpavimento 49,58 24,45 0,72

15ºpavimento 52,54 26,64 0,73

Cobertura 55,92 27,14 0,79

Casa de

Máquinas

58,88 12,09 0,88

Teto da Casa de

máquinas

62,38 6,66 0,91

Tabela 4.10: Edifício 1- Análise 2-ELS- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo 8,22 11,38 0,03

1ºpavimento 11,1 20,77 0,08

2ºpavimento 14,06 15,77 0,12

3ºpavimento 17,02 17,06 0,19

4ºpavimento 19,98 18,14 0,26

5ºpavimento 22,94 19,06 0,33

6ºpavimento 25,9 19,88 0,40

7ºpavimento 28,86 20,61 0,48

8ºpavimento 31,82 21,28 0,55

9ºpavimento 34,78 21,9 0,63

10ºpavimento 37,74 22,47 0,73

11ºpavimento 40,7 23,01 0,81

12ºpavimento 43,66 23,52 0,90

13ºpavimento 46,62 23,99 0,95

14ºpavimento 49,58 24,45 1,04

15ºpavimento 52,54 26,64 1,05

Cobertura 55,92 27,14 1,13

Casa de

Máquinas

58,88 12,09 1,28

Teto da Casa de

máquinas

62,38 6,66 1,32

Na tabela 4.11 é apresentado resumo das análises de estado limite último, mostrando

cada análise nas direções X e Y e seus respectivos deslocamentos horizontais máximos

e parâmetros

Tabela 4.11: Edifício 1- Resumo das Análises de ELU

Multiplicador da rigidez

)

Análise

Lajes Vigas Pilares

Direção

Deslocamento

máximo

(cm)

Direção X

12,46

1,32

1 0,00 0,70 0,70

Direção Y

17,52

1,57

Direção X

12,02

1,31

2 0,00 0,40 0,80

Direção Y

17,11 1,55

Direção X

4,66 1,12

Estado

limite

último

3 0,30 0,40 0,80

Direção Y

7,25 1,20

Tabela 4.12: Edifício 1- Comparações percentuais dos resultados de ELU

Razão entre

deslocamento máximo

Razão entre γ

Análise 1/

Análise 3

Análise 2/

Análise 3

Análise 1/

Análise 3

Análise 2/

Análise 3

Direção X

2,67 2,58 1,20 1,17

Direção Y

2,44 1,66 1,31 1,29

Na tabela 4.14, tem-se o resumo das análises no estado limite de serviço, nas duas

direções para os deslocamentos horizontais.

Tabela 4.13: Edifício 1- Resumo das Análises de ELS

Multiplicador da rigidez

)

Análise

Lajes Vigas Pilares

Direção

Deslocamento

máximo (cm)

H/1700

(cm)

Direção X

3,07

1 0,00 1,00 1,00

Direção Y

4,32

Direção X

0,91

Estado

limite

serviço

2 1,00 1,00 1,00

Direção Y

1,32

3,67

DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Na tabela 4.11, observa-se que, para as análises referentes ao ELU , quando foram

utilizadas apenas vigas e pilares, os valores de

ultrapassaram 1,30, limite

estabelecido para aplicação do método na quantificação dos efeitos de 2ª ordem.

Porém, quando foi considerada a contribuição da laje (análise 3), uma redução

significativa dos deslocamentos horizontais máximos foi obtida e, consequentemente,

dos valores de

. Nesta análise, os valores para este parâmetro ficaram situados do

limite de aplicação do método.

Portanto, para que se possa aplicar o método

para a análise da estabilidade global da

estrutura do edifício 1, é necessário considerar toda a estrutura como sendo “o

contraventamento”, ou seja, considerando a rigidez à flexão da laje.Tem-se poucas vigas

formando pórticos com os pilares, que estão, de modo geral, ligados diretamente aos

maciços, conforme o desenho de forma apresentado nas figuras 3.1 e 3.2. Essa ligação

dos pilares com os maciços torna-se fundamental para a análise da estabilidade global

desse tipo de estrutura. Mesmo que sua eficiência seja inferior à de pórticos formados

por pilares rígidos e vigas altas, constata-se sua grande importância para a estrutura de

contraventamento da estrutura do edifício 1, que não apresenta pórticos de vigas e

pilares.

Na análise do ELS, na direção Y da análise 1 é ultrapassado o limite de deslocamento

estabelecido pela NBR-6118. Porém, quando considera-se a rigidez à flexão da laje

(análise 2), isso não ocorre.

4.2.2) EDIFÍCIO 2

Figura 4.7: Edifício 2- Deslocamentos horizontais -Análise 1-ELU- Direção X

Unidade: metro

Tabela 4.14: Edifício 2-Cálculo de γ

- Análise 1-Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento (kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

6,47 10231 24 0,24 156 1292

1ºpavimento

8,89 7963 48 0,93 430 1268

2ºpavimento

12,22 7676 45 1,47 549 1194

3ºpavimento

15,55 7676 49 2,05 761 1081

4ºpavimento

18,88 7676 52 2,58 985 924

5ºpavimento

22,21 7676 56 3,07 1250 726

Cobertura

25,71 7676 59 3,53 1512 490

Telhado

29,04 4120 39 3,88 1122 219

Caixa d´água

30,04 750 20 3,94 595 59

Tampa da

Caixa d´água

31,89 745 7 3,97 225 30

∑

7587

(kN.m)= 7587

(kN.m)= 1292

28,1

7587

129227,1

−

Figura 4.8: Edifício 2- Deslocamentos horizontais -Análise 1-ELU - Direção Y

Unidade: metro

Tabela 4.15: Edifício 2-Cálculo de γ

- Análise 1-ELU -Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

6,47 10231 37 0,57 237 3002

1ºpavimento

8,89 7963 74 2,23 653 3002

2ºpavimento

12,22 7676 68 3,59 835 2943

3ºpavimento

15,55 7676 74 4,96 1157 2766

4ºpavimento

18,88 7676 79 5,69 1497 2490

5ºpavimento

22,21 7676 86 7,46 1899 2110

Cobertura

25,71 7676 89 8,62 2298 1673

Telhado

29,04 4120 59 8,82 1705 1100

Caixa d´água

30,04 750 39 9,10 1172 439

Tampa da

Caixa d´água

31,89 745 26 10,10 822 75

∑

12275

(kN.m)= 12275

(kN.m)= 3002

45,1

12275

300227,1

−

Figura 4.9: Edifício 2-Deslocamentos horizontais-Análise 2-ELU- Direção X

Unidade: metro

Tabela 4.16: Edifício 2- Cálculo de γ

- Análise 2-ELU -Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

6,47 10231 24 0,23 156 1284

1ºpavimento

8,89 7963 48 0,89 430 1261

2ºpavimento

12,22 7676 45 1,45 549 1190

3ºpavimento

15,55 7676 49 2,02 761 1078

4ºpavimento

18,88 7676 52 2,56 985 923

5ºpavimento

22,21 7676 56 3,06 1250 727

Cobertura

25,71 7676 59 3,55 1512 492

Telhado

29,04 4120 39 3,89 1122 219

Caixa d´água

30,04 750 20 3,95 595 59

Tampa da

Caixa d´água

31,89 745 7 3,98 225 30

∑

7587

(KN.m)= 7587

(KN.m)= 1284

27,1

7587

128427,1

−

Figura 4.10: Edifício 2- Deslocamentos horizontais - Análise 2-ELU- Direção Y

Unidade: metro

Tabela 4.17: Edifício 2- Cálculo de γ

- Análise 2-ELU-Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

6,47 10231 37 0,54 237 2987

1ºpavimento

8,89 7963 74 2,15 653 2987

2ºpavimento

12,22 7676 68 3,50 835 2932

3ºpavimento

15,55 7676 74 4,87 1157 2760

4ºpavimento

18,88 7676 79 6,20 1497 2492

5ºpavimento

22,21 7676 86 7,43 1899 2118

Cobertura

25,71 7676 89 8,13 2298 1642

Telhado

29,04 4120 59 9,06 1705 1072

Caixa d´água

30,04 750 39 9,24 1172 448

Tampa da

Caixa d´água

31,89 745 26 10,00 822 75

∑

12275

(kN.m)= 12275

(kN.m)= 2987

45,1

2987

1227527,1

−

Figura 4.11: Edifício 2-Deslocamentos horizontais-Análise 3-ELU- Direção X

Unidade: metro

Tabela 4.18: Edifício 2-Cálculo de γ

- Análise 3-ELU- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

6,47 10231 24 0,14 156 607

1ºpavimento

8,89 7963 48 0,51 430 592

2ºpavimento

12,22 7676 45 0,77 549 552

3ºpavimento

15,55 7676 49 1,00 761 493

4ºpavimento

18,88 7676 52 1,19 985 416

5ºpavimento

22,21 7676 56 1,35 1250 325

Cobertura

25,71 7676 59 1,49 1512 221

Telhado

29,04 4120 39 1,58 1122 107

Caixa d´água

30,04 750 20 1,59 595 42

Tampa da

Caixa d´água

31,89 745 7 1,60 225 30

∑

7587

(kN.m)= 7587

(kN.m)= 607

11,1

607

758727,1

−

Figura 4.12: Edifício 2-Deslocamentos horizontais -Análise 3-ELU- Direção Y

Unidade: metro

Tabela 4.19: Edifício 2-Cálculo de γ

- Análise 3-ELU-Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

6,47 10231 37 0,29 237 1119

1ºpavimento

8,89 7963 74 1,03 653 1119

2ºpavimento

12,22 7676 68 1,51 835 1089

3ºpavimento

15,55 7676 74 1,95 1157 1007

4ºpavimento

18,88 7676 79 2,31 1497 891

5ºpavimento

22,21 7676 86 2,61 1899 741

Cobertura

25,71 7676 89 2,84 2298 564

Telhado

29,04 4120 59 2,99 1705 364

Caixa d´água

30,04 750 39 3,01 1172 146

Tampa da

Caixa d´água

31,89 745 26 3,04 822 23

∑

12275

(KN.m)= 12275

(KN.m)= 1119

13,1

12275

111927,1

−

Tabela 4.20: Edifício 2-Análise 1-ELS- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal(KN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

6,47 7,23 0,06

1ºpavimento

8,89 14,51 0,23

2ºpavimento

12,22 13,49 0,37

3ºpavimento

15,55 14,69 0,51

4ºpavimento

18,88 15,65 0,64

5ºpavimento

22,21 16,89 0,76

Cobertura

25,71 17,65 0,87

Telhado

29,04 11,60 0,96

Caixa d´água

30,04 5,94 0,98

Tampa da Caixa

d´água

31,89 2,12 0,99

Tabela 4.21: Edifício 2-Análise 1-ELS- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal(KN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

6,47 10,98 0,14

1ºpavimento

8,89 22,05 0,55

2ºpavimento

12,22 20,49 0,89

3ºpavimento

15,55 22,32 1,23

4ºpavimento

18,88 23,78 1,40

5ºpavimento

22,21 25,66 1,84

Cobertura

25,71 26,81 2,13

Telhado

29,04 17,62 2,18

Caixa d´água

30,04 11,71 2,25

Tampa da Caixa

d´água

31,89 7,73 2,50

Tabela 4.22: Edifício 2-Análise 2-ELS- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal(KN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

6,47 7,23 0,01

1ºpavimento

8,89 14,51 0,06

2ºpavimento

12,22 13,49 0,10

3ºpavimento

15,55 14,69 0,14

4ºpavimento

18,88 15,65 0,17

5ºpavimento

22,21 16,89 0,21

Cobertura

25,71 17,65 0,23

Telhado

29,04 11,60 0,25

Caixa d´água

30,04 5,94 0,26

Tampa da Caixa

d´água

31,89 2,12 0,28

Tabela 4.23: Edifício 2- Análise 2-ELS- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal(KN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

6,47 10,98 0,03

1ºpavimento

8,89 22,05 0,10

2ºpavimento

12,22 20,49 0,15

3ºpavimento

15,55 22,32 0,21

4ºpavimento

18,88 23,78 0,23

5ºpavimento

22,21 25,66 0,32

Cobertura

25,71 26,81 0,36

Telhado

29,04 17,62 0,37

Caixa d´água

30,04 11,71 0,39

Tampa da Caixa

d´água

31,89 7,73 0,43

Tabela 4.24: Edifício 2- Resumo das Análises de ELU

Multiplicador da rigidez

)

Análise

Lajes Vigas Pilares

Direção

Deslocamento

máximo(10

-2

Direção X

3,97

1,28

1 0,00 0,70 0,70

Direção Y

10,10

1,45

Direção X

3,98

1,27

2 0,00 0,40 0,80

Direção Y

10,00 1,45

Direção X

1,60 1,11

Estado

limite

último

3 0,30 0,40 0,80

Direção Y

3,04 1,13

Tabela 4.25: Edifício 2- Comparações percentuais dos resultados de ELU

Razão entre

deslocamento máximo

Razão entre γ

Análise 1/

Análise 3

Análise 2/

Análise 3

Análise 1/

Análise 3

Análise 2/

Análise 3

Direção X

2,48 2,49 1,15 1,14

Direção Y

3,32 3,29 1,30 1,29

Tabela 4.26: Edifício 2-Resumo das Análises de ELS

Multiplicador da rigidez

)

Análise

Lajes Vigas Pilares

Direção

Deslocamento

máximo (10

-3

H/1700

(10

-3

Direção X

0,99

1 0,00 1,00 1,00

Direção Y

2,50

Direção X

0,28

Estado

limite de

serviço

2 1,00 1,00 1,00

Direção Y

0,43

1,63

DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Observando a tabela 4.24, também constata-se uma grande diferença entre os valores de

da estrutura para as diferentes análises de ELU. Nas análises 1 e 2 tem-se valores de

muito elevados para um edifício baixo, especialmente na direção Y, para a qual tem-

se valores de 1,45. Entretanto, na análise 3, quando a participação da laje no

contraventamento da estrutura foi levada em conta, os valores de

assumiram valores

bem inferiores, compatíveis com o padrão de esbeltez do edifício 2. Assim como no

edifício 1, tal resultado decorre do fato do sistema estrutural não apresentar pórticos de

vigas e pilares, tendo como conseqüência a grande importância da laje na estabilidade

global do edifício (figura 3.5).

Na análise do ELS, a análise 1 leva a valores de deslocamento superior ao limite

imposto pela NBR-6118, na direção Y. Porém, na análise 2, com contribuição da rigidez

transversal da laje, tal limite passa a ser respeitado.

4.2.3) EDIFÍCIO 3

Figura 4.13-Edifício 3-Deslocamentos horizontais - Análise 1-ELU- Direção

Unidade: metro

Tabela 4.27: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 1-Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

5,12 8569 18 0,14 93 1288

1ºpavimento

7,35 8569 36 0,32 263 1276

2ºpavimento

10,15 8098 32 0,46 320 1248

3ºpavimento

12,95 8098 34 0,61 446 1211

4ºpavimento

15,75 8098 37 0,76 579 1162

5ºpavimento

18,55 8098 39 0,90 720 1100

6ºpavimento

21,35 8098 41 1,04 866 1027

7ºpavimento

24,15 8098 42 1,18 1017 943

8ºpavimento

26,95 8098 44 1,30 1174 847

9ºpavimento

29,75 8098 45 1,42 1335 742

10ºpavimento

32,55 8098 46 1,52 1500 627

11ºpavimento

35,35 8098 47 1,61 1670 504

12ºpavimento

38,15 8098 48 1,69 1843 374

Cobertura

41,15 8962 49 1,76 2032 237

Telhado

44,05 3062 35 1,82 1558 79

Teto da Casa

de máquinas

47,75 1260 7 1,85 357 23

∑

15771

(kN.m)= 15771

(kN.m)= 1288

12,1

15771

128827,1

−

Figura 4.14-Edifício 3-Deslocamentos horizontais- Análise 1-ELU- Direção Y

Unidade:metro

Tabela 4.28: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 1-Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

5,12 8569 37 0,41 190 3827

1ºpavimento

7,35 8569 73 0,95 537 3792

2ºpavimento

10,15 8098 64 1,38 653 3710

3ºpavimento

12,95 8098 70 1,81 910 3599

4ºpavimento

15,75 8098 75 2,26 1183 3452

5ºpavimento

18,55 8098 79 2,68 1470 3269

6ºpavimento

21,35 8098 83 3,10 1769 3052

7ºpavimento

24,15 8098 86 3,50 2078 2801

8ºpavimento

26,95 8098 89 3,87 2398 2518

9ºpavimento

29,75 8098 92 4,21 2727 2205

10ºpavimento

32,55 8098 94 4,51 3065 1864

11ºpavimento

35,35 8098 96 4,78 3411 1498

12ºpavimento

38,15 8098 99 5,03 3764 1112

Cobertura

41,15 8962 101 5,24 4151 704

Telhado

44,05 3062 104 5,41 4591 235

Teto da Casa

de máquinas

47,75 1260 25 5,50 1195 69

∑

34092

(kN.m)= 34092

(kN.m)= 3827

17,1

34092

382727,1

−

Figura 4.15-Edifício 3-Deslocamentos horizontais -Análise 2-ELU- Direção X

Unidade: metro

Tabela 4.29: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 2-Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

5,12 8569 18 0,20 93 1843

1ºpavimento

7,35 8569 36 0,46 263 1826

2ºpavimento

10,15 8098 32 0,67 320 1786

3ºpavimento

12,95 8098 34 0,87 446 1732

4ºpavimento

15,75 8098 37 1,09 579 1662

5ºpavimento

18,55 8098 39 1,29 720 1573

6ºpavimento

21,35 8098 41 1,49 866 1469

7ºpavimento

24,15 8098 42 1,68 1017 1348

8ºpavimento

26,95 8098 44 1,86 1174 1212

9ºpavimento

29,75 8098 45 2,03 1335 1061

10ºpavimento

32,55 8098 46 2,17 1500 897

11ºpavimento

35,35 8098 47 2,30 1670 721

12ºpavimento

38,15 8098 48 2,42 1843 535

Cobertura

41,15 8962 49 2,52 2032 339

Telhado

44,05 3062 35 2,61 1558 113

Teto da Casa

de máquinas

47,75 1260 7 2,65 357 33

∑

15771

(kN.m)= 15771

(kN.m)= 1843

18,1

15771

184327,1

−

Figura 4.15-Edifício 3-Deslocamentos horizontais- Análise 2-ELU- Direção Y

Unidade: metro

Tabela 4.30: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 2- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

5,12 8569 37 0,48 190 4578

1ºpavimento

7,35 8569 73 1,14 537 4536

2ºpavimento

10,15 8098 64 1,65 653 4439

3ºpavimento

12,95 8098 70 2,16 910 4305

4ºpavimento

15,75 8098 75 2,70 1183 4130

5ºpavimento

18,55 8098 79 3,21 1470 3912

6ºpavimento

21,35 8098 83 3,71 1769 3652

7ºpavimento

24,15 8098 86 4,18 2078 3351

8ºpavimento

26,95 8098 89 4,63 2398 3013

9ºpavimento

29,75 8098 92 5,03 2727 2638

10ºpavimento

32,55 8098 94 5,40 3065 2230

11ºpavimento

35,35 8098 96 5,71 3411 1793

12ºpavimento

38,15 8098 99 6,02 3764 1331

Cobertura

41,15 8962 101 6,27 4151 843

Telhado

44,05 3062 104 6,48 4591 281

Teto da Casa

de máquinas

47,75 1260 25 6,58 1195 83

∑

34092

(kN.m)= 34092

(kN.m)= 4578

21,1

34092

457827,1

−

Figura 4.16-Edifício 3-Deslocamentos horizontais -Análise 3-ELU- Direção X

Unidade: metro

100

Tabela 4.31: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 3- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

5,12 8569 18 0,14 93 1308

1ºpavimento

7,35 8569 36 0,33 263 1296

2ºpavimento

10,15 8098 32 0,47 320 1268

3ºpavimento

12,95 8098 34 0,62 446 1230

4ºpavimento

15,75 8098 37 0,77 579 1179

5ºpavimento

18,55 8098 39 0,92 720 1117

6ºpavimento

21,35 8098 41 1,06 866 1042

7ºpavimento

24,15 8098 42 1,19 1017 957

8ºpavimento

26,95 8098 44 1,32 1174 860

9ºpavimento

29,75 8098 45 1,44 1335 753

10ºpavimento

32,55 8098 46 1,54 1500 637

11ºpavimento

35,35 8098 47 1,63 1670 512

12ºpavimento

38,15 8098 48 1,72 1843 380

Cobertura

41,15 8962 49 1,79 2032 241

Telhado

44,05 3062 35 1,85 1558 80

Teto da Casa

de máquinas

47,75 1260 7 1,88 357 24

∑

15771

(KN.m)= 15771

(KN.m)= 1308

12,1

15771

130827,1

−

101

Figura 4.17-Edifício 3-Deslocamentos horizontais -Análise 3-ELU- Direção Y

Unidade: metro

102

Tabela 4.32: Edifício 3-Cálculo de γ

- Análise 3- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância

às

fundações

z(m)

Carga

Vertical

(kN)

Carga

Horizontal

(kN)

Deslocamento

(cm)

por

pavimento

(kN.m)

acumulado

(kN.m)

Térreo

5,12 8569 37 0,37 190 3493

1ºpavimento

7,35 8569 73 0,87 537 3461

2ºpavimento

10,15 8098 64 1,26 653 3387

3ºpavimento

12,95 8098 70 1,65 910 3284

4ºpavimento

15,75 8098 75 2,06 1183 3151

5ºpavimento

18,55 8098 79 2,45 1470 2984

6ºpavimento

21,35 8098 83 2,83 1769 2786

7ºpavimento

24,15 8098 86 3,19 2078 2556

8ºpavimento

26,95 8098 89 3,53 2398 2298

9ºpavimento

29,75 8098 92 3,84 2727 2012

10ºpavimento

32,55 8098 94 4,12 3065 1701

11ºpavimento

35,35 8098 96 4,36 3411 1368

12ºpavimento

38,15 8098 99 4,59 3764 1015

Cobertura

41,15 8962 101 4,78 4151 643

Telhado

44,05 3062 104 4,94 4591 215

Teto da Casa

de máquinas

47,75 1260 25 5,02 1195 63

∑

34092

(KN.m)= 34092

(KN.m)= 3493

15,1

34092

349327,1

−

103

Tabela 4.33: Edifício 3- Análise 1-ELS- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal(KN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

2,22 5,45 0,03

1ºpavimento

4,45 10,73 0,08

2ºpavimento

7,25 9,45 0,12

3ºpavimento

10,05 10,33 0,15

4ºpavimento

12,85 11,03 0,19

5ºpavimento

15,65 11,64 0,23

6ºpavimento

18,45 12,17 0,26

7ºpavimento

21,25 12,64 0,30

8ºpavimento

24,05 13,07 0,32

9ºpavimento

26,85 13,46 0,36

10ºpavimento

29,65 13,83 0,38

11ºpavimento

32,45 14,17 0,41

12ºpavimento

35,25 14,49 0,43

Cobertura

38,25 14,81 0,44

Telhado

41,15 10,61 0,45

Teto da Casa de

máquinas

44,85 2,24 0,46

104

Tabela 4.34: Edifício 3- Análise 1-ELS- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal(kN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

2,22 11,12 0,10

1ºpavimento

4,45 21,92 0,24

2ºpavimento

7,25 19,31 0,34

3ºpavimento

10,05 21,09 0,45

4ºpavimento

12,85 22,54 0,56

5ºpavimento

15,65 23,77 0,67

6ºpavimento

18,45 24,85 0,78

7ºpavimento

21,25 25,82 0,87

8ºpavimento

24,05 26,70 0,97

9ºpavimento

26,85 27,50 1,05

10ºpavimento

29,65 28,25 1,13

11ºpavimento

32,45 28,94 1,20

12ºpavimento

35,25 29,60 1,26

Cobertura

38,25 30,26 1,31

Telhado

41,15 31,27 1,35

Teto da Casa de

máquinas

44,85 7,51 1,37

105

Tabela 4.35: Edifício 3- Análise 2-ELS- Direção X

Nível

estrutural(piso)

Distância às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal(kN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

2,22 18,15 0,03

1ºpavimento

4,45 35,76 0,06

2ºpavimento

7,25 31,51 0,10

3ºpavimento

10,05 34,42 0,12

4ºpavimento

12,85 36,78 0,15

5ºpavimento

15,65 38,79 0,18

6ºpavimento

18,45 40,55 0,21

7ºpavimento

21,25 42,13 0,23

8ºpavimento

24,05 43,56 0,26

9ºpavimento

26,85 44,88 0,28

10ºpavimento

29,65 46,09 0,30

11ºpavimento

32,45 47,23 0,32

12ºpavimento

35,25 48,30 0,35

Cobertura

38,25 49,37 0,35

Telhado

41,15 35,36 0,36

Teto da Casa de

máquinas

44,85 7,48 0,37

106

Tabela 4.36: Edifício 3- Análise 2-ELS- Direção Y

Nível

estrutural(piso)

Distância às

fundações

z(m)

Carga

Horizontal(kN)

Deslocamentos

(cm)

Térreo

2,22 37,08 0,07

1ºpavimento

4,45 73,05 0,15

2ºpavimento

7,25 64,37 0,23

3ºpavimento

10,05 70,31 0,30

4ºpavimento

12,85 75,13 0,37

5ºpavimento

15,65 79,24 0,44

6ºpavimento

18,45 82,84 0,52

7ºpavimento

21,25 86,06 0,58

8ºpavimento

24,05 88,99 0,65

9ºpavimento

26,85 91,67 0,69

10ºpavimento

29,65 94,16 0,75

11ºpavimento

32,45 96,48 0,80

12ºpavimento

35,25 98,66 0,84

Cobertura

38,25 100,86 0,87

Telhado

41,15 104,23 0,90

Teto da Casa de

máquinas

44,85 25,02 0,91

107

Tabela 4.37: Edifício 3- Resumo das Análises de ELU

Multiplicador da rigidez

)

Análise

Lajes Vigas Pilares

Direção

Deslocamento

máximo

(cm)

Direção X

1,85

1,12

1 0,00 0,70 0,70

Direção Y

5,50

1,17

Direção X

2,65

1,18

2 0,00 0,40 0,80

Direção Y

6,58 1,21

Direção X

1,88 1,12

Estado

limite

último

3 0,30 0,40 0,80

Direção Y

5,02 1,15

Tabela 4.38: Edifício 3- Comparações percentuais dos resultados de ELU

Razão entre

deslocamento máximo

Razão entre γ

Análise 1/

Análise 3

Análise 2/

Análise 3

Análise 1/

Análise 3

Análise 2/

Análise 3

Direção X

0,98 1,41 1,00 1,04

Direção Y

1,10 1,31 1,02 1,04

Tabela 4.39: Edifício 3- Resumo das Análises de ELS

Multiplicador da rigidez

)

Análise

Lajes Vigas Pilares

Direção

Deslocamento

máximo

(cm)

H/1700

(cm)

Direção X

0,46

1 0,00 1,00 1,00

Direção Y

1,37

Direção X

0,37

Estado

limite

serviço

2 1,00 1,00 1,00

Direção Y

0,91

2,65

108

DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

No edifício 3, embora a consideração da laje na análise leve a menores valores de γ

deslocamentos,em todas as análises tem-se valores dessas grandezas menores que os

limites indicados na NBR-6118:2003.

109

5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Nas tabelas 4.40 e 4.41 mostra-se a síntese dos resultados das três análises nos três

edifícios, nas direções X e Y.

Tabela 4.40: Resumo das análises de ELU- Direção X

Multiplicador da rigidez

)

Análise

Lajes Vigas Pilares

Deslocamento

máximo(cm)

1 0,00 0,70 0,70

12,46

1,32

2 0,00 0,40 0,80

17,52

1,32

Edifício 1

3 0,30 0,40 0,80

4,66 1,12

1 0,00 0,70 0,70

3,98

1,28

2 0,00 0,40 0,80

3,97

1,27

Edifício 2

3 0,30 0,40 0,80

1,60 1,11

1 0,00 0,70 0,70

1,85

1,12

2 0,00 0,40 0,80

2,65

1,18

Edifício 3

3 0,30 0,40 0,80

1,88 1,12

Tabela 4.41: Resumo das análises de ELU- Direção Y

Multiplicador da rigidez

)

Análise

Lajes Vigas Pilares

Deslocamento

máximo(cm)

1 0,00 0,70 0,70

17,52

1,57

2 0,00 0,40 0,80

17,11

1,55

Edifício 1

3 0,30 0,40 0,80

7,25 1,20

1 0,00 0,70 0,70

10,10

1,45

2 0,00 0,40 0,80

10,00

1,45

Edifício 2

3 0,30 0,40 0,80

3,04 1,13

1 0,00 0,70 0,70

5,50

1,17

2 0,00 0,40 0,80

6,58

1,21

Edifício 3

3 0,30 0,40 0,80

5,02 1,15

110

Observando os resultados, nota-se a importância da consideração da rigidez à flexão da

laje pro contraventamento de estruturas desprovidas de pórticos formados por vigas e

pilares. Nas estruturas dos edifícios 1 e 2, cujo sistema estrutural tem essa característica,

observa-se um incremento substancial na eficiência da estrutura de contraventamento

quando é considerada a contribuição da laje. Além de conferir maior rigidez à estrutura

de contraventamento, este modelo é mais realístico, pois a laje existe e está ligada

monoliticamente às vigas e pilares.

Deve-se destacar que é fundamental a existência dos núcleos rígidos na estrutura de

contraventamento do edifício 1. Devido à sua altura elevada, os pilares e lajes e os

poucos pórticos de vigas e pilares na fachada não constituiriam uma estrutura de

contraventamento eficiente e os parâmetros de estabilidade global e não satisfariam os

limites de norma. Com a consideração da laje os valores do parâmetro

ficam dentro

do limite para a utilização do método simplificado(Análise 3).

A estrutura do edifício 2 é de uma edificação baixa e não apresenta núcleo rígido.

Porém, essa ausência não impede que se tenham valores razoáveis para

. Para tal, é

fundamental a consideração da rigidez transversal da laje no contraventamento da

estrutura. Na análise 3, encontraram-se valores para

de 1,12 e 1,13 para as direções

X e Y respectivamente. Assim, com a consideração da laje, conferiu-se à estrutura uma

rigidez lateral que quase permitiu a dispensa da consideração dos efeitos de 2ªordem

globais (

<1.10),enquanto as análises nas quais as estruturas de contraventamento

tinham só vigas e pilares, os valores de

ultrapassaram o limite de 1,30 (1,45 nas

análises 1 e 2-Direção Y) .

No edifício 3 tem-se um sistema estrutural convencional, com pórticos rígidos formados

entre as vigas e pilares. Assim, desconsiderando-se ou não a laje, verificou-se diferenças

no parâmetro

. menores ou iguais a 4% A maior razão entre as análises de ELU com

e sem a laje para os valores de

é de 1,04. Ainda assim, é recomendável a utilização

do modelo de pórtico completo também nesse tipo de estrutura, uma vez ele é mais

realista.

111

Ressalte-se que, para a utilização deste modelo estrutural, o projetista deve atentar para

os esforços de flexão na laje devidos ao vento. Devem-se dimensionar as lajes para as

combinações de ELU envolvendo as cargas verticais, e horizontais de vento. Também é

importante lembrar que a NBR-6118/2003 prescreve que, uma vez considerada na

estrutura de contraventamento, a laje deve possuir armadura de punção tal que resista à

metade do esforço cortante existente na sua ligação com os pilares.

No estado limite de serviço, nos edifícios 1 e 2, o valor limite de deslocamento

horizontal máximo só foi respeitado, para as duas direções, quando se considerou a

rigidez à flexão da laje.

A consideração da rigidez à flexão da laje não influiu apenas na obtenção de parâmetros

de estabilidade global. Os esforços nas vigas e pilares podem apresentar reduções

significativas com a inclusão da laje na estrutura de contraventamento. Assim, têm–se

conseqüências diretas no dimensionamento desses elementos para combinações de

ELU. A laje passa a ter esforços a ter esforços de flexão para forças horizontais do

vento e devem obrigatoriamente ser armadas à punção.

Os valores apresentados pela NBR 6118/2003 para a rigidez dos elementos estruturais

na análise de ELU são aproximados. Tais valores têm sido largamente utilizados há

muitos anos em projetos. Porém, atualmente, tem-se ferramentas que possibilitam a

obtenção da rigidez das peças estruturais de forma mais exata, através da consideração

da não-linearidade física do concreto armado em cada elemento. Mesmo sem a

utilização deste método refinado, o método P-delta é mais indicado do que o método

para avaliação e quantificação dos efeitos de 2ªordem globais. Como o foco deste

trabalho foi a verificação da importância da laje, a adoção dos valores aproximados e

adoção do método

foram satisfatórios.

Outro fator que não é considerado pelos projetistas na análise da estabilidade global é a

contribuição dos painéis de alvenaria na estrutura de contraventamento. Assim,

sugerem-se estudos nesse sentido, através da introdução desses elementos no modelo

numérico tridimensional.

112

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1988). NBR-6123. Forças

devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, ABNT. 52p.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR-6118. Projeto

de estruturas de concreto-Procedimento. Rio de Janeiro, ABNT. 221p.

BEZERRA, D.P. (1995). Análise de estruturas tridimensionais de edifícios altos

considerando a rigidez transversal à flexão das lajes. São Carlos. Dissertação

(Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 138p.

CEB – Comité Euro-Internacional Du Béton. (1993). CEB-FIP Model Code 1990.

Bulletin d´information nº213/214, Lausanne, Switzerland.

FRANCO, M. (1985). Problema de estabilidade nos edifícios altos. In: Publicação

técnica do Instituto de Engenharia. Coletânea de trabalhos sobre estabilidade global e

local das estruturas de edifícios, 1997, São Paulo, p.17-38.

FRANCO, M; VASCONCELOS, A.C. (1991). O parâmetro de estabilidade nos

edifícios de concreto. In: REUNIÃO ANUAL DO IBRACON: Colóquio sobre

Estabilidade Global das Estruturas de Concreto Armado, São Paulo, 22-26 jul. Anais.

26p.

FRANCO, M. (1995). Instabilidade local e Global dos Edifícios Altos de concreto

armado. In: Publicação técnica do Instituto de Engenharia. Coletânea de trabalhos sobre

estabilidade global e local das estruturas de edifícios, 1997, São Paulo, p.57-68.

MARTINS, C.H. (1998). Contribuição da rigidez à flexão das lajes, na distribuição de

esforços em estruturas de edifícios de andares múltiplos, em teoria de segunda ordem.

Dissertação (mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São

Paulo.

113

MARTINS, C.H. (2001). Análise não linear de estruturas tridimensionais de edifícios

de andares múltiplos com núcleos resistentes, considerando a rigidez transversal à

flexão das lajes. Tese (doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade

de São Paulo.

VASCONCELOS, A.C; FRANÇA, R.L.S. (1997). Um método simplificado e muito

preciso para avaliação dos momentos de segunda ordem em edifícios altos usuais. In:

Publicação técnica do Instituto de Engenharia. Coletânea de trabalhos sobre

estabilidade global e local das estruturas de edifícios, 1997, São Paulo, p.79-97.

MENON, N.V.; PERALTA, A.C.; WUTZOW, W.W. (2000). Influência da rigidez

transversal das lajes no contraventamento de edifícios de concreto armado. In:

ENTECA -2000, Maringá- PR : Gráfica da UEM, p. 243-250.

114

ANEXO 1- Definição dos coeficientes de arrasto

Para o cálculo do coeficiente de arrasto, utilizaremos a figura 4 da norma NBR-6123,

para edificações paralelepipédicas em vento de baixa turbulência:

a) Edifício 1

Direção X:

= 32,19m l

= 32,19m h = 57,04 m

1,00

1,77

= 1,24

Direção Y:

Como l

= l

o coeficiente de arrasto é idêntico ao da direção X.

b) Edifício 2

Direção X:

= 27,25m l

= 36,00m h = 27,84 m

0,75

1,03

= 1,00

Direção Y:

= 36,00m l

= 27,00m h = 27,84 m

1,33

0,77

= 1,15

115

c) Edifício 3

Direção X:

= 26,74m l

=45,66m h = 45 m

0,58

1,68

= 0,96

Direção Y:

= 45,66 m l

= 26,76 m h = 45 m

1,72

0,98

= 1,15

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