( PDF ) Contextos para argumentar: uma abordagem para iniciação à prova no EM utilizando P.A

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

ANTONIO CARLOS EDUARDO

CONTEXTOS PARA ARGUMENTAR:

Uma abordagem para iniciação à prova no EM utilizando P.A.

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

2007

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

ANTONIO CARLOS EDUARDO

CONTEXTOS PARA ARGUMENTAR:

Uma abordagem para iniciação à prova no EM utilizando P.A.

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial

para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM

ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do(a) Prof(a).

Dr(a). Janete Bolite Frant.

São Paulo

2007

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iii

Banca Examinadora

________________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

DEDICATÓRIA

Dª. Ercy _ A sua benção, mãe - (fazendo estripulias em outro plano),

Sr. José _ A benção, pai – (ainda se convalescendo).

Pela doação e dedicação em fazer com que o estudo sempre fosse valorizado dentro de nossa casa e indicado como a

opção para se tornar uma pessoa digna e respeitável.

Tia Laia e tio Zé__ A benção. – ausências recentes; pelas incontidas vezes em que o apoio se fez necessário e pelas

palavras de incentivo que nunca faltaram.

Minha esposa e minhas filhas, com as quais compartilho a alegria e a satisfação em cumprir mais uma etapa desse

caminho iluminado por Deus:

Adorável vida simples,

Coisas do cotidiano, repetidas,

tão doces e boas

que não passam despercebidas.

Os risos das minhas filhas,

Ju e Ma.

O sorriso da minha mulher,

a bela Val.

AGRADECIMENTOS

A Deus e aos mentores de minha Fé por colocarem em meu caminho gente tão valorosa. A

começar pela professora Janete, minha Orientadora (assim mesmo, com o maiúsculo),

pelas agradáveis horas de conversa que renderam tantas e tantas páginas, pela confiança

depositada e pela segura condução deste seu aluno. Como é de seu conhecimento, às vezes

não conseguimos expressar em palavras os nossos sentimentos, portanto, considere essas

linhas como sinônimo de minha gratidão.

Agradeço a Profª Dra. Nielce pelo detalhado exame apresentado durante a etapa de

qualificação e principalmente pelas suas providenciais considerações, ambas valiosas na

consolidação deste estudo.

A Profª Lulu, por vários motivos: pela gentil colaboração com a tradução do resumo, pela

sua participação na banca de qualificação, sobretudo pelo respeito e igualdade no

tratamento dispensado em suas aulas e também no transcorrer do projeto AprovaMe.

Aos colegas de classe, o agradecimento pela oportunidade de compartilharmos juntos

muitos momentos de aprendizado e aos companheiros de jornada de todo o mestrado:

Farias, Oyama, Calhau, Solis e Hajnal, registro minha admiração e apreço a todos vocês.

Desse grupo, duas pessoas – o Ale e a Fabi – merecem meu reconhecimento pela

participação que tiveram não só nesta pesquisa, mas durante todo o mestrado: amigos de

discussão, de encontros nos finais de semana, de horas ao telefone, foram muito

importantes em minha trajetória. Transcenderam a amizade acadêmica para a pessoal.

Muito obrigado.

As Instituições: SEE-SP pelo apoio financeiro, PUC-SP por oferecer quadro docente de

muita competência e também pelo complemento financeiro, à E.E. Pastor Waldemar com

quadro diretivo e administrativo envolvidos com a melhoria dos aspectos educacionais;

todos corroborando para que a Educação de qualidade seja um bem comum e não um

privilégio.

A escola Pastor Waldemar foi palco de outras importantes contribuições para esta

pesquisa: primeiro com a amiga e professora Mariângela, pela oportuna e eficiente revisão

desta pesquisa; e depois pela cooperação da turma do 2º A durante a aplicação das

atividades, a ambos um carinhoso obrigado.

Muitos outros, dentre alunos, amigos e familiares participaram dessa conquista e, mesmo

que não mencionados, merecem os meus agradecimentos.

A minha irmã Valéria, pela compreensão e solicitude, a pai e mãe, pelos exemplos de

vida, a minha esposa, pela dedicação, companheirismo e incentivo e as minhas filhas, pela

inspiração. Afinal, quando a sala de aula se abre, penso na educação que queria para elas e

por extensão, procuro sempre fazer o melhor que posso.

vii

RESUMO

Esta pesquisa investe na proposição de ambiente de aprendizagem como possibilidade de

criar uma cultura na sala de aula que promova / favoreça a argumentação.

No transcorrer do projeto APROVAME

surgiu a opção em explorar tópicos do conceito

Progressão Aritmética para auxiliar no desenvolvimento de processos de iniciação à prova.

Na implementação deste ambiente de aprendizagem buscamos contribuições advindas dos

estudos de Ciência da Comunicação através de Bordenave, da Educação Matemática pelos

estudos de alguns pesquisadores voltados à argumentação, dentre os quais: Bolite Frant e

Castro, e estudos sobre desenvolvimento de provas de Maher. Estas contribuições

possibilitaram a elaboração de um ambiente interativo e propício à prática da mediação.

Um dos papéis de mediação exercido durante este estudo é apresentado à luz da

Comunicação, focando na ação do professor durante a negociação matemática que se

apresenta em sala de aula.

Corroboram para estes aspectos socializáveis do ambiente, interação e mediação, a

proposta construcionista de Papert, valorizada pela contribuição de outros estudiosos do

construcionismo. Através desses estudos, um dos usos da tecnologia nesta pesquisa volta-

se à elaboração de objetos visuais e possibilita o design das atividades sob a ótica do

desenvolvimento de alguns hábitos de pensamento matemáticos, segundo Goldenberg.

Este estudo qualitativo, emprega recursos didáticos como a dinâmica do jogo e o uso do

computador, para promover a interação e o surgimento de cenários de mediação.

Os instrumentos de coleta de dados – vídeo e blog – valorizam a interpretação dos diálogos

surgidos nesses cenários.

O uso do blog, ainda pouco difundido entre pesquisas da Educação Matemática, serve para

mostrar a evolução da fluência matemática na argumentação dos alunos, e também atua

como parâmetro da prática do educador.

A edição do vídeo permitiu a formatação dos registros de fragmentos dos diálogos na

forma de quadrinhos, o que veio a se constituir num produto com amplas possibilidades de

uso, tanto no tocante à interpretação dos diálogos, quanto na reflexão sobre a postura do

educador.

Os resultados obtidos por este estudo recomendam a criação de novos Contextos para

Argumentar.

Palavras-Chave: Argumentação e Prova Matemática, Progressão Aritmética,

cenários de mediação, blog, hábitos de pensamento.

Por extensor, coordenação de Lulu Healy.

viii

ABSTRACT

This research invests in the conception of learning environments aimed to contribute to the

creation of a culture of argumentation, proving and proof in mathematics classrooms.

It developed within the context of the project AProvaME as part of the exploration of how to

initiate students into aspects of the proving process in relation to the topic of Arithmetic

Progressions.

In designing this learning environment, we sought contributions from the studies of

Bordenave from the areas of the Communication Science and in the field of Mathematics

Education, from research relatied to argumentation and in particular the work of Bolite Frant

and Castro and of Maher. These contributions enabled the elaboration of an interactive

environment for the mediation of mathematical ideas.

One of the roles of mediation within the study focuses, in the light of Communication, on

the action of the teacher during the negotiation of the mathematics presented in the

classroom.

Aspects related to socialisation, interaction and mediation were inspired by the

constructionist proposal of Papert and other constructionist thinkers. On the basis of these

studies, an approach was adopted to the use of technology involving the conception of visual

objects embedded within activities aiming to support the development of certain habits of

mathematical thinking delineated by Goldenberg.

This qualitative study made use of didactic resources such as as the dynamic of games and

the use of the computer to promote interaction and the emergence of scenarios for

medication.

The instruments used in the collection of data – Blogs and video recordings – valorised the

interpretation of the dialogs which occurred within these scenarios.

The use of Blogs, still not well documented in research in Mathematics Education, served to

show the evolution of mathematical fluency in the arguments produced by the students and

also acted as a parameter on the practice of the educator.

Editing of the videos collected, permitted the formatting of fragments of registers from the

dialogs in the form of cartoon strips, which came to represent a product with a wide range of

possible uses both in the interpretation of dialogs and in reflections about the role of the

teacher.

The results obtained in this study led to recommendations for the creation of new contexts

for argumentation.

Keywords: Argumentation and Mathematical Proof, Arithmetic Progression,

Scenarios for mediation, Blog, thinking habits.

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES.....................................................................................................................xi

LISTA DE TABELAS E QUADROS INFORMATIVOS...................................................................... xiv

INICIALIZANDO ..........................................................................................................................15

1.1

APRESENTAÇÃO DO ESTUDO .....................................................................................................15

1.2

JUSTIFICATIVA .........................................................................................................................18

1.3

PROBLEMÁTICA .......................................................................................................................20

1.3.1

O projeto AprovaMe...........................................................................................................20

1.3.2

AprovaMe: ajustando os procedimentos para a pesquisa.....................................................21

1.3.3

AprovaMe: pequena amostra dos resultados da pesquisa.....................................................24

1.3.4

AprovaMe: elaborando as atividades. .................................................................................27

FILOSOFANDO.............................................................................................................................30

2.1

NOTAS DO HISTÓRICO DA ARGUMENTAÇÃO ..............................................................................30

2.2

A MATEMÁTICA CHEGA AOS BANCOS ESCOLARES .....................................................................31

2.3

PARA QUE SERVE O ENSINO DA MATEMÁTICA: PRÁTICA OU FORMATIVA ?...................................32

2.4

FILOSOFANDO E ARGUMENTANDO !..........................................................................................33

2.5

A MATEMÁTICA (A)PROVA A ARGUMENTAÇÃO ! (AO SEU MODO...)............................................ 41

2.6

DIFERENTES CONCEPÇÕES SOBRE PROVA E DEMONSTRAÇÃO ......................................................43

2.7

ARGUMENTOS PARA O NOSSO ESTUDO......................................................................................46

CONTEXTUALIZANDO...............................................................................................................48

3.1

ARGUMENTAÇÃO SEGUNDO A COMUNICAÇÃO E A NOVA RETÓRICA...........................................48

3.2

COMUNICAÇÃO COMO CIÊNCIA .................................................................................................49

3.3

A ARGUMENTAÇÃO NA COMUNICAÇÃO .....................................................................................52

3.4

A ARGUMENTAÇÃO NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .....................................................................53

3.5

PENSANDO O AMBIENTE DE APRENDIZAGEM ..............................................................................55

3.6

CONTEXTOS PARA ARGUMENTAR..............................................................................................59

FUNDAMENTANDO.....................................................................................................................63

4.1

ALICERCES TEÓRICOS ..............................................................................................................63

4.1.1

Construcionismo:................................................................................................................63

4.2

DESIGN DAS ATIVIDADES DO AMBIENTE DE APRENDIZAGEM .....................................................67

4.2.1

Hábitos de pensamento matemáticos...................................................................................67

4.2.2

Tarefas segundo objetivos...................................................................................................73

ANALISANDO...............................................................................................................................78

5.1

METODOLOGIA ........................................................................................................................78

5.1.1

Aspectos gerais da pesquisa de campo. ...............................................................................78

5.1.2

Constituição do material de estudo: coleta e tratamento de dados. ......................................79

5.2

O PAPEL DA MEDIAÇÃO ............................................................................................................80

5.3

CONSIDERAÇÕES INICIAIS PARA A ANÁLISE: ..............................................................................83

5.3.1

Outras considerações para a análise:..................................................................................84

5.4 CONSTRUÇÃO DE DADOS E ANÁLISE DAS QUESTÕES TRIANGULARES. .........................................88

5.4.1

Análise parcial da atividade 1 - Baralho PA.......................................................................88

5.4.2

Análise parcial da atividade 2 - Degraus...........................................................................104

5.4.3

Análise parcial da atividade 3 – Escada I.......................................................................... 117

5.4.4

Análise parcial da atividade 4 – Escada II......................................................................... 131

5.4.5

Análise parcial da atividade 5 – Triângulos (Cabri). ........................................................142

5.4.6

Análise parcial da atividade 6 – Quadriláteros..................................................................149

5.5

ANÁLISE DA QUESTÃO HEXAGONAL - O AMBIENTE DE APRENDIZAGEM. ..................................162

FINALIZANDO............................................................................................................................ 166

6.1

O COMEÇO DO FIM:.................................................................................................................166

6.2

O MEIO DO FIM:....................................................................................................................168

6.3 O FIM DO FIM: ........................................................................................................................ 170

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA. ......................................................................................................... 172

APÊNDICES........................................................................................................................................... 177

ANEXOS ................................................................................................................................................ 204

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 1 – EPISÓDIO: O JOGO ! .....................................................................91

DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 2 – CENÁRIOS DE MEDIAÇÃO COM AUXILIO DO

COMPUTADOR. .................................................................................................................................115

DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 3 - CENÁRIOS DE MEDIAÇÃO NO INÍCIO DA ATIVIDADE 3. .119

DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 4 – CENÁRIOS DE MEDIAÇÃO: ALUNOS CONCLUINDO

ATIVIDADE 3. ....................................................................................................................................127

DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 5 – CENÁRIO DE MEDIAÇÃO DA ATIVIDADE 4.........................139

DIÁLOGOS EM SALA DE AULA 6 – CENÁRIO DE MEDIAÇÃO: ALUNO FECHANDO ATIVIDADE

4. ...........................................................................................................................................................140

PAINEL ILUSTRATIVO 1 – ALUNOS PERFILADOS DURANTE A DINÂMICA DO JOGO DA 1ª

ATIVIDADE. .........................................................................................................................................89

PAINEL ILUSTRATIVO 2 – TABELA PREENCHIDA APÓS TÉRMINO DA DINÂMICA DO JOGO. ..90

PAINEL ILUSTRATIVO 3 – ALUNOS EM ATIVIDADE COM O USO DO CABRI II ...........................133

PAINEL ILUSTRATIVO 4 – ATIVIDADE 6 – FASE A.............................................................................150

PAINEL ILUSTRATIVO 5 – MOMENTOS DA 1ª ATIVIDADE – DINÂMICA DO JOGO E

PREENCHIMENTO DE PROTOCOLO .............................................................................................162

PAINEL ILUSTRATIVO 6 – MOMENTOS DA 2ª ATIVIDADE – INTERAGINDO COM O

COMPUTADOR ..................................................................................................................................163

PAINEL ILUSTRATIVO 7 – MOMENTOS DA 3ª ATIVIDADE – USO DO CABRI E DO BLOG .........163

PAINEL ILUSTRATIVO 8 – MOMENTOS DA 4ª ATIVIDADE – ARGUMENTAÇÃO COM

INTERAÇÃO E INTERATIVIDADE .................................................................................................164

PAINEL ILUSTRATIVO 9 – MOMENTOS DA 4ª ATIVIDADE – CONCENTRAÇÃO ..........................164

FIGURA 1 – TELA DO CABRI II COM A APRESENTAÇÃO DO OBJETO VISUAL – DEGRAUS

ÍMPARES.............................................................................................................................................108

FIGURA 2 - TELA DO CABRI II COM OBJETO VISUAL CONSTRUÍDO NA SEGUNDA ATIVIDADE.

..............................................................................................................................................................110

FIGURA 3 – TELA DO CABRI II COM ENUNCIADO DA TERCEIRA ATIVIDADE............................118

FIGURA 4 - OBJETO VISUAL CONSTRUÍDO PELAS ALUNAS PROTAGONISTAS DO DIÁLOGO 121

FIGURA 5 - TELA DO CABRI COM OBJETO VISUAL DA TERCEIRA ATIVIDADE .........................122

FIGURA 6 – OBJETO VISUAL DA SEGUNDA ATIVIDADE COM POUCAS EVIDÊNCIAS

LEVANTADAS. ..................................................................................................................................124

FIGURA 7 – OBJETO VISUAL COM VERIFICAÇÃO DE EVIDÊNCIAS APROPRIADAS À

ATIVIDADE ........................................................................................................................................124

FIGURA 8 - OBJETO VISUAL COM AS MEDIDAS IRREGULARES DEVIDO AO

ARREDONDAMENTO DO CABRI II ...............................................................................................126

FIGURA 9 – TELA DO CABRI II COM ENUNCIADO DA QUARTA ATIVIDADE...............................132

FIGURA 10– OBJETO VISUAL CONSTRUÍDO POR ALUNOS USANDO CABRI II NA QUARTA

ATIVIDADE ........................................................................................................................................133

FIGURA 11 – TELA DO CABRI II – ENUNCIADO ENCONTRADO PELO ALUNO AO ABRIR O

ARQUIVO TRIANGULO.FIG ............................................................................................................143

FIGURA 12 – TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

QUINTA ATIVIDADE ........................................................................................................................144

FIGURA 13 – TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

QUINTA ATIVIDADE ........................................................................................................................145

xii

FIGURA 14 - TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

QUINTA ATIVIDADE........................................................................................................................146

FIGURA 15 - TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

QUINTA ATIVIDADE........................................................................................................................147

FIGURA 16 - TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

QUINTA ATIVIDADE........................................................................................................................147

FIGURA 17 - TELA DO CABRI COM JUSTIFICATIVAS APRESENTADAS POR ALUNOS PARA A

QUINTA ATIVIDADE........................................................................................................................148

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 1...........................................................................95

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 2...........................................................................96

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 3...........................................................................97

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 4...........................................................................97

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 5...........................................................................98

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 6...........................................................................98

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 7...........................................................................99

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 8...........................................................................99

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 9...........................................................................99

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 10.......................................................................100

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 11.......................................................................100

RECORTES DA PRIMEIRA ATIVIDADE - EXEMPLO 12.......................................................................101

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 1.........................................................................108

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 2.........................................................................109

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 3.........................................................................109

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 4.........................................................................109

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 5.........................................................................110

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 6.........................................................................111

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 7.........................................................................111

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 8.........................................................................112

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 9.........................................................................112

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 10.......................................................................112

RECORTES DA SEGUNDA ATIVIDADE - EXEMPLO 11.......................................................................113

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 1 ...........................................................................134

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 2 ...........................................................................134

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 3 ...........................................................................134

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 4 ...........................................................................134

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 5 ...........................................................................134

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 6 ...........................................................................135

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 7 ...........................................................................135

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 8 ...........................................................................135

xiii

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 9 ...........................................................................136

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 10 .........................................................................136

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 11 .........................................................................136

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 12 .........................................................................136

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 13 .........................................................................137

RECORTES DA QUARTA ATIVIDADE - EXEMPLO 14 .........................................................................137

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 1 ........................................................................151

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 2 ........................................................................151

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 3 ........................................................................151

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 4 ........................................................................151

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 5 ........................................................................151

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 6 ........................................................................152

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 7 ........................................................................152

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 8 ........................................................................152

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 9 ........................................................................153

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 10 ......................................................................153

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 11 ......................................................................153

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 12 ......................................................................154

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 13 ......................................................................154

RECORTES FASE A SEXTA ATIVIDADE -EXEMPLO 14 ......................................................................155

RECORTES FASE B - EXEMPLO 1 - JUSTIFICATIVA DO TIPO 3 ........................................................155

RECORTES FASE B - EXEMPLO 2 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B........................................................156

RECORTES FASE B - EXEMPLO 3- JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B.......................................................156

RECORTES FASE B - EXEMPLO 4 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B........................................................156

RECORTES FASE B - EXEMPLO 5 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B........................................................156

RECORTES FASE B - EXEMPLO 6 JUSTIFICATIVA DO TIPO 3...........................................................157

RECORTES FASE B - EXEMPLO 7 JUSTIFICATIVA DO TIPO 3...........................................................157

RECORTES FASE B - EXEMPLO 8 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B........................................................157

RECORTES FASE B - EXEMPLO 9 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B........................................................157

RECORTES FASE B - EXEMPLO 10 JUSTIFICATIVA DO TIPO 3.........................................................158

RECORTES FASE B - EXEMPLO 11 JUSTIFICATIVA DO TIPO 3.........................................................158

RECORTES FASE B - EXEMPLO 12 JUSTIFICATIVA DO TIPO 1.........................................................158

RECORTES FASE B - EXEMPLO 13 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2A......................................................158

RECORTES FASE B - EXEMPLO 14 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2A......................................................158

RECORTES FASE B - EXEMPLO 15 JUSTIFICATIVA DO TIPO 1.........................................................159

RECORTES FASE B - EXEMPLO 16 JUSTIFICATIVA DO TIPO 1.........................................................159

RECORTES FASE B - EXEMPLO 17 JUSTIFICATIVA DO TIPO 3.........................................................159

RECORTES FASE B - EXEMPLO 18 JUSTIFICATIVA DO TIPO 3.........................................................159

RECORTES FASE B - EXEMPLO 19 JUSTIFICATIVA DO TIPO 3.........................................................160

RECORTES FASE B - EXEMPLO 20 JUSTIFICATIVA DO TIPO 2B......................................................160

xiv

LISTA DE TABELAS E QUADROS

QUADRO INFORMATIVO 1 – EXEMPLOS EXTRAÍDOS DO CADERNO DE ÁLGEBRA – QUESTÃO

A3 – FONTE: APROVAME..................................................................................................................24

QUADRO INFORMATIVO 2 – QUESTÕES DO PROTOCOLO DE ÁLGEBRA – FONTE: APROVAME

................................................................................................................................................................25

QUADRO INFORMATIVO 3 – DADOS P/ A3 - FONTE: APROVAME...................................................25

QUADRO INFORMATIVO 4 – DADOS P/ A4 – FONTE: APROVAME...................................................25

QUADRO INFORMATIVO 5 – QUESTÃO A5 DO PROTOCOLO DE ÁLGEBRA – FONTE:

APROVAME..........................................................................................................................................26

QUADRO INFORMATIVO 6 – QUESTÃO G4 DO PROTOCOLO GEOMETRIA – FONTE:

APROVAME..........................................................................................................................................27

QUADRO INFORMATIVO 7 – QUESTÃO G5 DO PROTOCOLO GEOMETRIA – FONTE:

APROVAME..........................................................................................................................................27

QUADRO INFORMATIVO 8 – EXEMPLOS DE SOFISMO MATEMÁTICO - FONTE: INTERNET....38

QUADRO INFORMATIVO 9 – EXEMPLO DE SOFISMO MATEMÁTICO 2 – FONTE: INTERNET....39

QUADRO INFORMATIVO 10 – EXEMPLOS UTILIZADOS POR MAHER EM SUAS ATIVIDADES –

FONTE: UNIV. STA URSULA.............................................................................................................56

QUADRO INFORMATIVO 11 – EXEMPLO DE VISUALIZAÇÃO – FONTE: PAUL GOLDENBERG .69

QUADRO INFORMATIVO 12 – INDICAÇÕES DE ALGUNS HÁBITOS DE PENSAMENTO – FONTE:

AUTOR ..................................................................................................................................................85

QUADRO INFORMATIVO 13 – INDICATIVO DAS ATIVIDADES DA PESQUISA – FONTE: AUTOR

................................................................................................................................................................87

QUADRO INFORMATIVO 14 - CABEÇALHO DA FOLHA DE ACOMPANHAMENTO DA

DINÂMICA DO JOGO – 1ª ATIVIDADE............................................................................................89

QUADRO INFORMATIVO 15 - INDICA OS HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO

ANALISADOS NA 1ª ATIVIDADE. ....................................................................................................95

QUADRO INFORMATIVO 16 - INDICA OS HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO

ANALISADOS NA 2ª ATIVIDADE. ..................................................................................................105

QUADRO INFORMATIVO 17 – ROTEIRO PARA CRIAÇÃO DO OBJETO VISUAL DA 2ª

ATIVIDADE COM CABRI II .............................................................................................................107

QUADRO INFORMATIVO 18 - INDICA OS HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO

ANALISADOS NA 3ª ATIVIDADE...................................................................................................118

QUADRO INFORMATIVO 19 – INDICA OS HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO

ANALISADOS NA 4ª ATIVIDADE...................................................................................................132

TABELA 1 TIPOS DE PROVA – BALACHEFF .........................................................................................22

TABELA 2 TIPOLOGIA DE JUSTIFICATIVAS – APROVAME .............................................................22

TABELA 3 TIPOLOGIA DE JUSTIFICATIVAS – APROVAME .............................................................85

1. INICIALIZANDO

1.1 A

PRESENTAÇÃO DO ESTUDO

Nascemos nos comunicando, e aprimoramos nossa comunicação com o uso de

signos e símbolos por imitação e acréscimos, vamos dando sentido a cada gesto, ruído,

signo, palavra, a cada substantivo conhecido ou não, à medida que vamos compreendendo

o seu significado, a sua forma, a sua ação, obtidos através da prática, do diálogo.

Comunicar é qualquer forma de ação que permita estabelecer relações, informar,

esclarecer, avisar, tratar, acessar.

A comunicação é a força que dinamiza a vida das pessoas e das

sociedades. Excita, ensina, vende, distraí, entusiasma, dá status, constrói

mitos, destrói reputações, orienta, desorienta, faz rir, faz chorar, inspira,

narcotiza, reduz a solidão...Porque comunicação significa, bem lá no

fundo comunhão...

Bordenave

A educação é, inquestionavelmente, um processo de comunicação complexo, mas

ainda assim, um processo de comunicação que negocia com

a necessidade e a vontade do

aluno; necessidade, porque algumas coisas ele precisa aprender e vontade, por que outras

ele gostaria de aprender. De alguma forma todos nós somos educados, senão por pais e

professores, seguramente pela vida.

O professor precisa de subsídios para que promova, em sala de aula, um ambiente

onde o aluno possa ser cada vez mais autônomo em sua aprendizagem e desenvolvimento.

Esta pesquisa tem como tema Contextos para argumentar e investe na proposição de

ambiente de aprendizagem, que estimule e favoreça o aprimoramento de hábitos do

pensamento matemático, relacionados com a argumentação que precede e auxilia no

processo de iniciação à prova e demonstração em tópicos de Progressão Aritmética (PA),

como seu principal objetivo. A investigação de qual é o papel da argumentação cotidiana

proferida por alunos e professor na negociação de significados matemáticos advindos de

BORDENAVE, J. E. D. Além dos meios e mensagens: Introdução à comunicação com processo, tecnologia, sistema e ciência. 2002.

“tarefas relacionadas a objetivos matemáticos”, especificamente com o conceito de

iniciação à prova e demonstração é o outro objetivo deste estudo.

Iniciamos nossa trajetória apresentando o AprovaMe

, um projeto idealizado e

desenvolvido por um grupo de pesquisas da PUC-SP para incitar o estudo da

Argumentação e prova na Matemática Escolar, e sua forte influência na escolha do

objetivo primeiro de nosso estudo. Ainda mostramos como outros fatores se somaram a

essa causa, nos instigando a buscar entender como a argumentação influencia no processo

de aprendizagem de modo global, mas limitando a tentar compreendê-la no universo da

matemática escolar, restringindo-nos à sala de aula, e é sobre isso que trataremos no

capítulo primeiro de nosso estudo.

No segundo capítulo, apresentamos ao leitor um breve histórico sobre a

argumentação e sua influência nos desígnios da Educação, como participa ativamente das

discussões que versavam sobre o ensino da matemática e ainda como os argumentos

servem para esclarecer os possíveis motivos que originaram os conceitos de prova e

demonstração, caracterizando a matemática como ciência hipotético-dedutiva.

Depois em nosso terceiro capítulo, com a implícita intenção de convencer o leitor,

recorremos à abertura que a Educação Matemática proporciona e buscamos o auxílio da

Ciência da Comunicação e da Nova Retórica para a causa da argumentação, por entendê-

las mais avançadas nesse estudo.

Nosso ponto de partida já encontra a Educação como uma forma de comunicação

intencional, daí seguimos analisando o desenvolvimento da argumentação neste contexto

comunicativo, apresentando alguns conceitos importantes que muito devem ser levados em

consideração pelo professor durante o planejamento de suas atividades, invocando o leitor

a uma breve reflexão dessas idéias.

Restabelecemos o curso matemático de nossa pesquisa no final desse terceiro

capítulo, auxiliados pelos trabalhos de alguns pesquisadores: Maher, Arcavi, Douek, Bolite

Frant e Castro, que se dedicam a investigar o papel da argumentação em processos de

ensino e aprendizagem da matemática, apresentando algumas premissas que devem

orientar a criação de ambientes de aprendizagem em Matemática.

Na abertura do quarto capítulo é apresentado o nosso alicerce teórico: primeiro com

o construcionismo de Papert que permite a edificação deste projeto nos auxiliando na

definição sucinta do que é um “ambiente de aprendizagem” dentro de nossas expectativas,

Projeto financiado pelo CNPq, processo nº 478272/2004-9

o que nos leva a admitir a contribuição construtivista em alguns compartimentos dessa

pesquisa. A interpretação construcionista de Valente e outros autores, fomentaram nossas

proposições para o uso do computador. A caracterização matemática desta pesquisa está

impregnada na adoção de design de atividades baseado no desenvolvimento de hábitos do

pensamento matemático apresentadas por Paul Goldenberg. É complementada com a

contribuição sobre tarefas relacionadas a objetivos, que capturamos da publicação francesa

do Grupo Nacional de Equipes de Pesquisas em Didática da Matemática:_IREMS de

Grenoble e de Rennes. Ambos, Goldenberg e os estudos dos IREMS, nos auxiliam no

enquadramento de nossas atividades.

Aproveitamos o quinto capítulo para descrever a metodologia que inspira essa

pesquisa qualitativa e os instrumentos de coleta de dados que iremos utilizar, dedicando

especial atenção ao uso da Internet através do Blog como um desses instrumentos e a

apresentação de diálogos em quadrinhos. Encerramos o quinto capítulo com a análise das

atividades, algumas sob o foco do desenvolvimento de hábitos de pensamento matemático

e outras, se valendo da tipologia de justificativas disponibilizadas pelo AprovaMe, por

entendê-la mais ajustada à realidade escolar encontrada.

No sexto capítulo, uma breve retrospectiva das várias contribuições que serviram a

esta pesquisa e seus desdobramentos, agrega-se as nossas considerações sobre os

resultados obtidos, primeiro com enfoque no ambiente de aprendizagem e depois versando

sobre a argumentação. Algumas recomendações sobre a importância na proposição de

novos Contextos para Argumentar fecham este estudo.

...

1.2 JUSTIFICATIVA

Este autor, principiante nas artes de escrever e pesquisar, pede licença ao leitor para

expor - em primeira pessoa - os motivos que culminaram com a escolha do tema de

investigação desta pesquisa.

Ao ingressar no programa de estudos pós-graduados em Educação Matemática, o

fiz por necessidade de aprofundar os conhecimentos, porém, seria preciso me reconhecer

apto a tal evolução, vem daí a opção pela modalidade do mestrado profissional.

O mestrado profissional em Educação Matemática deve diferir de seu co-irmão

acadêmico pelo produto final e pela contribuição que dele se espera para as causas da

matemática escolar e suas aplicações em salas de aula.

Analisando por essa ótica, a modalidade de estudo escolhida constituiu-se em

ferramental cognitivo de incalculável valor, visto que o resgate da condição formativa

propiciou-me momentos oportunos de reflexão como professor, aluno e pesquisador

iniciante.

Enquanto professor, a reflexão sobre a minha postura ao avaliar e criar situações de

aprendizagem; no papel de aluno, investigar a relação entre o aluno e o saber em

constituição; e começando na arte da pesquisa, primeiro pela participação como professor

colaborador do AprovaMe e depois sob forte influência deste, refletindo sobre a condição

de favorecer o trabalho do professor, particularmente no que tange à aplicabilidade e à

acessibilidade desta proposta de trabalho.

Nesse sentido, esta pesquisa foi idealizada para chamar a atenção à concepção de

modelos de atividades que levem em consideração o público que elas deverão atingir, sob a

ótica de quem quer se comunicar e se fazer entender, sem desconsiderar que o público em

questão é de modo algum homogêneo em seus anseios pessoais e profissionais.

Antecipo que há, impregnada nesse estudo uma certa vocação e, até mesmo

insistência em ressaltar a necessidade de convencer o aluno à apropriação da atividade que

lhe é proposta e, para tanto preocupo-me em adaptar situações de aprendizagem em

formatos mais contemporâneos, entendendo que por melhor que seja a atividade planejada,

não surtirá efeito algum se o aluno não se interessar por ela, simplesmente alegando não

querer fazê-la.

Tal realidade encontra-se bem retratada pelos resultados obtidos pela pesquisa

realizada pelos professores colaboradores do projeto AprovaME, junto a uma amostra - em

torno de 2000 alunos - significativa da população escolar do Estado de São Paulo, desta

considerados somente os alunos matriculados nas séries: 8ª série do Ensino Fundamental

(atualmente 9º ano) e 1ª série do Ensino Médio, classificados em sua maioria na faixa

etária entre 14 e 16 anos.

Nos resultados apresentados por essa pesquisa, evidencia-se a falta de justificativas

que complementassem as respostas apresentadas.

Como professor atuante em sala de aula, presto testemunho de que a maior parte

dos alunos não fornecem justificativas que complementem o algoritmo apresentado como

solução de um problema proposto, em que aquela se faça necessária.

Minha vivência profissional fez-me percorrer inúmeros NRTE’s

e também os

bastidores de algumas Diretorias de Ensino, concomitantemente ao meu trabalho em sala

de aula, e muitas, e frutíferas foram às discussões sobre o uso da informática por parte do

professor como recurso didático e sobre quais seriam as problemáticas para a sua

utilização, problemáticas que vão da formação do professor ao número de computadores,

da disponibilidade da sala à sua manutenção, da aplicabilidade do conteúdo didático à

forma de se avaliar esse tipo de proposta. E vejo, nessa pesquisa, a oportunidade de

contribuir, mostrando os resultados do trabalho com alunos de uma escola pública estadual,

localizada em zona periférica, região sul da cidade de São Paulo.

Neste trabalho, um dos usos da tecnologia ligado à Educação dar-se-á através da

utilização de Blog, editado pelo autor e gerenciado em conjunto com alguns alunos

envolvidos na pesquisa e que servirá ao objetivo do mesmo, como diário de bordo dos

alunos, enquanto da aplicação dos experimentos dessa pesquisa, bem como do

desenvolvimento e da apreciação dos resultados, segundo o ponto de vista dos alunos,

ressaltando que esse não será o único artefato de tecnologia a ser utilizado.

Serve de alerta que tal trabalho foi desenvolvido sob condições mínimas

necessárias e se não isenta de críticas aos que são responsáveis por pensar, propor e

executar projetos e propostas plausíveis nas esferas mais adiante da escala da Educação,

aponta-nos que a sensatez, o senso coletivo, a iniciativa e confiança mútua apresentados

por pessoas responsáveis por administrar uma escola estadual, colaboram em muito para o

trabalho docente, tornando o mais dinâmico e criativo, proporcionando ao aluno novas e

motivadoras experiências de aprendizagem, pois assim é a intenção.

Antes de apresentar o projeto AprovaMe, a mais forte influência na definição do

tema de investigação desta pesquisa, aproveito para expor outras motivações que também

NRTE: Núcleos regionais de tecnologia educacional ligados a Diretorias de Ensino mantidas pela SEE-SP.

me levaram a esse estudo. Começo por admitir que; seja no papel de professor, de pai, de

aluno ou de cidadão, gostaria de encontrar sempre pessoas que honrassem as questões de

valores tais como: honestidade, justiça, solidariedade, e fraternidade entre outras, por

entendê-los necessários à vida em sociedade.

E sigo, prenunciando a grata satisfação que teria ao adentrar uma sala de aula e

compartilhar um ambiente próspero em atitudes de iniciativa, liderança, criatividade,

respeito, cooperação, organização, e poder auxiliar na tradução destas em ações de saber:

do saber trabalhar em equipe, do saber se comunicar, do saber se expressar, que se

constituem em predicados muito valorizados pelo mercado de trabalho.

Acredito que tal empreita, certamente, será facilitada pela via da boa argumentação,

assim sendo, já devidamente expostas as demais influências dessa pesquisa, voltamos ao

tempo verbal usual desta pesquisa e vamos conhecer um pouco mais sobre o AprovaMe.

1.3 PROBLEMÁTICA

1.3.1 O projeto AprovaMe

O projeto AprovaMe objetiva, em grandes linhas, investigar as concepções de

alunos entre 14 e 16 anos sobre Argumentação e Prova. É de onde parte, pretendendo

fornecer subsídios aos seus professores colaboradores, visando à apresentação de situações

inovadoras de aprendizagem para a prova que incluam o uso de ambientes informatizados,

presumindo que a eficiência dessas situações implica na aceitação e na apropriação de uma

nova postura do educador. Ainda, o projeto pretende verificar se tais situações são

pertinentes à aplicação em salas de aula.

O projeto, sob a coordenação da Doutora Lulu Healy

e com o apoio do CNPq, é

uma iniciativa dos pesquisadores do TecMEM

, grupo que agrega em suas fileiras,

profissionais voltados às questões educacionais que envolvam o uso de tecnologia e meios

de expressão em Matemática. Com o interesse em incentivar o uso de ferramentas da

computação e tecnologia em sala de aula e, cientes das dificuldades que se apresentam na

utilização desses recursos pelo educador, na maior da vez, o responsável direto pela gestão

em sala de aula, vêem na abordagem das questões que envolvem esse estudo -

Argumentação e prova na Matemática Escolar - uma real oportunidade de conscientizar

LULU (SIOBHAN VICTORIA) HEALY é pesquisadora responsável pela coordenadação do projeto AprovaMe.

TecMEM - Tecnologias e Meios de Expressão em Matemática – Grupo de pesquisa da PUC-SP- Centro de estudos pós graduados

este profissional sobre a necessidade de refletir sobre sua formação, presumindo que uma

mudança na postura do educador possa contribuir para a efetiva evolução do aluno, seja

para esta, ou para qualquer outra questão que lhe proponham o estudo.

Este projeto estruturado em várias etapas, busca constituir uma sólida base de dados

no tocante às questões de Argumentação e Prova na Matemática Escolar da nossa

comunidade escolar. Ainda que o senso coletivo de profissionais da Educação Matemática

aponte, a priori, que dificuldades encontradas por alunos de outros países onde pesquisas

semelhantes foram realizadas, aqui também se manifestem , faz-se necessário assegurar

que essa fonte de informações seja bem fundamentada, permitindo, a partir do contexto

apresentado, fornecer insumos capazes de orientar ações adequadas às condições escolares

brasileiras.

Complementam o grupo de pesquisadores, professores colaboradores advindos dos

estudos pós-graduados da PUC-SP, notadamente do mestrado profissional, e com maciça

atuação junto ao magistério público do estado de São Paulo.

Apostando no incremento da literatura disponível em Argumentação e Prova na

Educação Matemática, é que esse grupo de colaboradores foi convidado a participar do

projeto, afinal, muitos poderiam se interessar pelo tema, se envolver nas discussões e

terminariam por produzir trabalhos que versassem sobre a questão, o que de fato já se

verifica.

1.3.2 AprovaMe: ajustando os procedimentos para a pesquisa.

A primeira fase do AprovaME se realizou através de encontros quinzenais entre

pesquisadores e professores colaboradores para discutir ações inerentes ao

desenvolvimento do projeto. Boa parte dessas reuniões foi dedicada à análise de

questionários-pilotos, aplicados em um pequeno grupo de alunos, e que nos serviu de pano

de fundo para ajustes de critérios relacionados ao enquadramento dos tipos de

justificativas, inicialmente baseados no modelo de concepção dos tipos de provas proposto

por Balacheff.

Conforme apresentado em estudo de Gravina

, a classificação apresentada por

Balacheff, considera a distinção entre provas pragmáticas e provas intelectuais, admitindo

para estas últimas somente validações que se enquadram no tipo experiência mental

GRAVINA, M.A. Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-dedutivo. Tese de Doutorado, 2001.

Ibid., p.67.

Tabela 1 TIPOS DE PROVA – BALACHEFF

TIPO

ESCRIÇÃO

EMPIRISMO

INGÊNUO

_ toma, para validação de uma propriedade, a sua verificação em alguns poucos casos,

sem questionamento quanto a particularidades, este modo de validação rudimentar,

reconhecidamente insuficiente, é uma das primeiras formas do processo de generalização,

e reside ao longo do processo de desenvolvimento do pensamento matemático;

EXPERIÊNCIA

CRUCIAL

_ é procedimento de validação em que é proposto, explicitamente, o problema da

generalização; ele intenta verificar a propriedade em caso particular mas sem considerá-lo

tão particular, de modo a permitir, não mais de forma peremptória, a generalização;

EXEMPLO

GENÉRICO

_ consiste na explicitação das razões que validam uma propriedade que encerra uma

generalidade, mesmo fazendo uso de um representante particular do objeto matemático;

EXPERIÊNCIA

MENTAL

_ é explicação depreendida de concretização em representante particular, a argumentação

flui através de pensamentos que controlam toda a generalidade da situação, e não mais

através de situações particulares, como no exemplo genérico.

Foram convidados ao debate, professores com dúvidas semelhantes e estilos

diferentes, apoiados em experiências pessoais, práticas e em literatura científica pertinente,

cada qual argumenta com as evidências que consegue encontrar e percebe-se que, muita

vez, não há o certo nem o errado, tais (dis)concordâncias levaram o grupo a encontrar

critérios distintos aos de Balacheff, que segundo Healy havia sido a fonte de referência

para a confecção dos protocolos.

Algumas singularidades são apontadas pelos participantes do projeto, antes,

ressaltamos que, para o bloco de questões destinado à construção de provas e apresentação

de justificativas, foi pequeno o número de registros. Ainda sim, analisados os registros

possíveis, surgiram discordâncias significativas entre os modos de enquadrá-los no modelo

inicialmente proposto pelo projeto. A busca de senso comum, somada à forte impressão

deixada pela ausência de justificativas, levou o colegiado a propor uma outra escala, ainda

fundamentada nas linhas daquele autor, mas mais ajustada à nossa realidade.

Apresentamos a escala idealizada pelos integrantes do projeto e utilizada para

classificação dos protocolos:

Tabela 2 TIPOLOGIA DE JUSTIFICATIVAS – APROVAME

TIPO DESCRIÇÃO

Respostas totalmente erradas, respostas que não apresentam justificativas ou exemplos, ou respostas

que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso.

Alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências – por exemplo, respostas que são

completamente empíricas

Alguma dedução / inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam

uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova.

2a: Falta muito para chegar à prova (mais próximo de 1)

2b: Falta pouco para chegar à prova (mais próximo de 3)

3C:_Respostas corretas, totalmente justificadas por meio de cálculos.

3P: Respostas corretas, totalmente justificadas com referência a propriedades pertinentes

Com o propósito de favorecer a compreensão do leitor, capturamos, do protocolo

de álgebra do AprovaMe, alguns exemplos de justificativas e suas tipificações , e que

serviram-nos de referência para a classificação das amostras que os professores

colaboradores ficaram responsáveis por aplicar.

A3. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma dois números ímpares quaisquer, o resultado é sempre par.

Justifique sua resposta.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 0

• Respostas que apresentam casos empíricos que não envolvem dois números ímpares:

RESPOSTAS QUE RECEBEM 1

• Respostas apresentando 1 ou mais exemplos

RESPOSTAS QUE RECEBEM 2A

• Respostas que menciona a “1” que sobra sem sendo muito claro sobre a estrutura de números

impares.

RESPOSTAS QUE RECEBEM 2B

• Respostas que dividem números impares em números pares +/- 1, mas usam o mesmo número duas

vezes (e.g. 3 + 3) em todos os exemplos.

Versões completas dos protocolos encontram-se nos anexos

RESPOSTAS QUE RECEBEM 3

• Respostas que explicam bem a estrutura de números impares em termos gerais, mesmo ilustrando

suas falas com dois números iguais.

Quadro Informativo 1 – Exemplos extraídos do caderno de álgebra – Questão A3 – Fonte: AprovaMe.

Esta escala retrata nuances negativas do ensino brasileiro, que permitem encontrar

registros que promovem qualquer tentativa ínfima de pronunciamento matemático como

uma evidência formal na tentativa de ganhar o entusiasmo de sua turma, fator bastante

prejudicial na formação de nossos alunos. Em outro extremo, vai encontrar uma exigência

de rigor como forma de apresentação precisa, ignorando que a metodologia precisa ser

adaptada às necessidades do aluno e às suas vocações.

Considerando que a demonstração é das mais qualificadas habilidades recorrentes a

um matemático, dá a amplitude e complexidade do que é se obter alunos que obtenham

grau de elevada compreensão sobre o assunto, lembrando que a evolução do aluno é fator

que muito deve ser levado em consideração para avaliar o sucesso de nossas propostas e

práticas de ensino.

A participação no projeto como um dos professores-colaboradores nos permitiu ao

longo da sua primeira etapa, a conscientização sobre como um tema de tal complexidade e

importância deve ser discutido. Dá-se a confiança necessária ao pesquisador envolvido no

projeto para que o mesmo interaja com autonomia apresentando suas dúvidas e argumentos

para o “colegiado” validar seu questionamento ou apresentar alternativas interessantes. Foi

a partir dessas discussões que tinham como foco tipificar algumas amostras de alunos, no

sentido de preparar os professores-colaboradores para a tabulação de dados dos protocolos

aplicados por eles, que foram tomando corpo o tema e o objetivo dessa pesquisa.

1.3.3 AprovaMe: pequena amostra dos resultados da pesquisa.

A coordenação do programa AprovaME é quem nos fornece os dados relacionados

às questões A3 e A4 do protocolo de álgebra:

A3. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma dois números ímpares quaisquer, o resultado é sempre par.

Justifique sua resposta.

A4. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma um múltiplo de três qualquer com um múltiplo de seis qualquer, o resultado é

sempre um múltiplo de três.

Justifique sua resposta.

Quadro Informativo 2 – Questões do protocolo de álgebra – Fonte: AprovaMe

Entendemos que é pequeno o número de registros de justificativas que contemplem

um certo encadeamento lógico das idéias matemáticas, o que segundo a classificação do

AprovaME deveria se verificar pelo registro de códigos maiores ou iguais a 2 (pouco mais

de 7% ), a concentração se dá em justificativas do tipo 1 em torno de 55 %.

Sem resposta 8,96 %

0 28,13%

1 55,76%

Quadro Informativo 3 – Dados p/ A3 - Fonte: AprovaMe.

Os números relativos à questão A4 mostram uma migração de valores do código 1

(acerto) para sem resposta, bastante significativa. No mais, continua muito pequeno o

registro de códigos maiores ou iguais a 2 ( 9,01 %).

Sem resposta 30,53%

0 32,93%

1 27,53%

Quadro Informativo 4 – Dados p/ A4 – Fonte: AprovaMe

A questão A5 foi trabalhada por Leandro (2006), que é um dos professores

colaboradores do AprovaMe que participou do grupo cujo foco estava direcionado ao

tratamento desses dados. Sobre os dados que tomamos conhecimento pela coordenação do

projeto e também pelos que vieram a público pelo estudo de Leandro, tecemos algumas

considerações que apresentamos a seguir, adiantando que o que surge como resultado é

preocupante:

A5: Sabendo que:

4! significa 4 x 3 x 2 x 1

5! significa 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Responda:

a) 5! é um número par?

Justifique

b) O que significa 8! ?

c) 8! é um múltiplo de 21 ?

Justifique

d) 62! é um múltiplo de 37 ?

Justifique

e) Pedro calculou 23!

Sem calcular, determine o último algarismo do resultado encontrado por Pedro.

Justifique

Quadro Informativo 5 – Questão A5 do protocolo de álgebra – Fonte: AprovaMe.

Enquanto as questões para as quais bastaria a aplicação e transcrição do algoritmo,

sem maiores detalhamentos, verifica-se percentual de acertos oscilando bem próximo dos

cinqüenta por cento: 53,13 % para o item (a) e 48,06 % para o item (b). Nas questões que

necessariamente envolvem a produção de argumentos, esse percentual cai abruptamente:

item (c) com 16,40%; item (d) com 10,74% e item (e) com 15,41% de acertos.

Tal preocupação manifesta-se também pelos resultados analisados por Doro (2007),

outro dos professores colaboradores do projeto responsáveis pela análise dos dados, ao

apresentar suas considerações acerca dos resultados obtidos a partir dos protocolos de

geometria que compuseram sua amostra, segue-se tal e qual:

Eis algumas informações sobre o desempenho de nossa amostra de 1816

alunos de 8ª série ou 1º ano do ensino médio, com relação a duas

questões do tema geometria de nosso questionário: 26,3%, tipicamente

alunos de 1º ano do ensino médio, não responderam nem justificaram

nenhuma das questões; 41,7 % apresentaram respostas erradas,

acompanhadas de justificativas sem qualquer informação pertinente, para

a questão considerada mais difícil; um pequeno grupo (1,9%),

tipicamente de alunos de 8º série, apresentou respostas corretas,

acompanhadas de justificativas pertinentes a ambas as questões

Para auxiliar o leitor na compreensão desses dados, tal como fizemos em relação ao

questionário de álgebra , apresentamos as questões que Doro faz referência em sua análise:

DORO, A.T. Argumentação e prova:análise de argumentos geométricos . Dissertação de Mestrado, 2007

G4: Dobre uma folha de papel, conforme o esquema abaixo. Obter o valor de x

Justifique sua resposta.

Quadro Informativo 6 – Questão G4 do protocolo geometria – Fonte: AprovaMe.

G5: A e B são dois quadrados idênticos. Um vértice do quadrado B está localizado no centro do quadrado

A. Qual fração da área do quadrado A está coberta pelo quadrado B?

Quadro Informativo 7 – Questão G5 do protocolo geometria – Fonte: AprovaMe.

Preparar o aluno para argumentar é também uma de nossas atribuições e as

maneiras como ele disponibilizará suas demonstrações precisam ser antes apresentadas aos

mesmos e trabalhadas de forma condizente ao objetivo que se busca, fazendo com que o

indivíduo perceba a necessidade de argumentar criticamente, fazendo uso da apresentação

de fatos conhecidos e propriedades já demonstradas. Vai surgindo desse questionamento,

daquelas singularidades, da ausência das justificativas, a nossa questão de investigação:

_Como trabalhar a argumentação em função da prova? Qual argumentação trabalhar?

1.3.4 AprovaMe: elaborando as atividades.

Assim, durante esta segunda etapa do AprovaME, os professores colaboradores

foram orientados a criar tais tipos de situações, utilizando ferramentas computacionais

como meio facilitador, fazendo com que o professor refletisse sobre a constante mutação

que é a educação (matemática), e a importância de promover o encontro da tecnologia com

a educação em plena sala de aula, servindo como motivação aos nossos alunos. O Teleduc,

uma plataforma de ensino à distância de amplos recursos - fórum, portifólios, Chat ,

agenda,...- nos serviu como ambiente interativo, o que, entre outras facilidades

possibilitou que as atividades criadas fossem analisadas pelos participantes dos demais

grupos, contribuindo em alguns casos para o aprimoramento da atividade com indicações

oportunas e observações criteriosas.

Não foram poucas as discussões sobre como possibilitar o gradativo

desenvolvimento da estrutura cognitiva do aluno_ do empírico ao dedutivo _ e

sinceramente, não nos convence a existência dessa possibilidade pelo atual quadro de

ensino da Matemática. Os processos de prova e demonstração são também conteúdos

matemáticos dos mais árduos e devem passar por uma criteriosa seleção, a fim de que se

possam eleger os mais indicados a serem bem sucedidos, quando de sua exposição.

É preciso levar em conta que nem todos os alunos serão futuros matemáticos. E

refletir sobre qual a motivação que nossos alunos têm em buscar provar o que já é

verdadeiro, o que já está provado?

Sabemos que para isso, o professor precisa investir tempo e dedicação na criação de

atividades que envolvam o aluno, que façam-no sentir desafiado, e é essa uma das

principais impressões deixadas pelo AProvaMe: levar o professor à reflexão sobre como

envolver o aluno em seus projetos. Para isso aponta para o uso dos computadores como

facilitador, como o avalista de uma empreitada, e concordamos com essas assertivas.

A participação nessa segunda fase implicou na reflexão da condição cognitiva de

cada um dos participantes em relação ao assunto abordado, mais especificamente, na

elaboração de tarefas que levassem a condição de demonstração e prova. No caso deste

pesquisador, tornou-se perceptível à necessidade de estar mais bem preparado para

atividade de tal cunho, e por conta disso, a opção no investimento em pesquisa que

considera a Argumentação como fator determinante para o tratamento positivo dessa

questão.

Dessa forma, entendendo a sala de aula como um local da prática da argumentação,

pois há a clara intenção em convencer um determinado público e admitindo que a

matemática que se pretende ensinar e aprender tem sua essência na demonstração, que por

sua vez tem regras específicas, pretendemos, através da negociação permitida pela

argumentação, auxiliar na constituição de um pertinente repertório matemático por parte de

nossos alunos, por meio da proposição de atividades que propiciem contextos para

argumentar, possibilitando que a lógica da argumentação - pertinência e encadeamento

lógico das idéias - em combinação com esse repertório de fatos e evidências matemáticas

consolidem-se em processos de iniciação a demonstração e prova.

Buscamos, principalmente nas contribuições de autores como Maher (1998), Bolite

Frant e Castro (2002), elementos que nos permitam admitir a participação da argumentação

cotidiana na constituição do conhecimento matemático escolar, ressaltando que a

argumentação matemática tem regras específicas, mas que partindo daquele estágio de

argumentação, podemos elaborar e implementar atividades de iniciação a prova, onde se

pratica a argumentação com propriedades matemáticas.

...

2 FILOSOFANDO

2.1 N

OTAS DO HISTÓRICO DA ARGUMENTAÇÃO

Nossa primeira intenção era promover um breve histórico que conseguisse mostrar

como a evolução do conceito de vida em sociedade implica em mudança substancial no

conceito de ensinar, chegando no período em que a educação adquire seu formato

intencional, mas deixaremos ao nosso leitor tal tarefa, e nos permitimos indicar a obra de

Miorim

como boa fonte.

Nos reportamos à idéia do saber constituindo-se como uma forma de privilégio. Em

boa parte, essa transformação deve-se a complexidade que a vida em sociedade vai

adquirindo, principalmente por conta do crescimento da população, daí o surgimento de

uma nova categoria de indivíduos - os funcionários - responsáveis pela organização de

algumas tarefas fundamentais para a aldeia. Entendemos que o ócio possibilitou a alguns

desses indivíduos o pensar sobre novas técnicas e instrumentos, traduzindo-se para a época

em produção de novos conhecimentos, implicando na apropriação desse saber por conta

de um grupo privilegiado.

A educação começa então a ser diferenciada, e os filhos dos

organizadores - os futuros dirigentes – passam a ter um tratamento

especial. É o início da educação intencional, sistemática, organizada,

violenta e sapiencial. Em princípio, apenas como complementação aos

conhecimentos práticos das técnicas, mas em seguida, como a única

forma de educação das classes dirigentes.

Miorim

A função desses governantes era a administração das questões básicas da cidade em

benefício de todos os habitantes, era! Para tanto, sentiu-se a necessidade de registrar as

transações realizadas, não apenas em quantidade, mas também relacionar a classe de

objetos que tal quantidade se referia. Desenhos e símbolos eram utilizados para tais tarefas,

como conta Miorim quando cita Bernal, acabaram por criar uma modalidade de escrita.

MIORIM, M.A. Introdução à história da Educação Matemática. S.Paulo, Atual editora, 1998

ibidem , p. 08.

Desta maneira, a escrita, a maior e mais importante de todas as

invenções manual-intelectuais do homem, foi emergindo da

contabilidade.

Como única forma de acesso à cultura, a escrita vai ganhando em importância e,

conseqüentemente, a profissão de escriba vai tornando-se mais valorizada. Com essa

valorização do trabalho intelectual ligado à escrita, que atingiu o auge na Grécia, temos as

primeiras distinções entre as classes de cultura: a cultura sapiencial e a cultura técnica,

considerada de menor valor, nessa última, incluem-se os estudos dos cálculos numéricos,

considerados técnicos, já que eram realizados com o auxílio do ábaco.

Será na Grécia que veremos surgir, também uma nova atitude com

relação à educação: a de formar um tipo ideal de cidadão. Nesse

momento, assistiremos a importantes discussões a respeito da importância

e do papel que a Matemática deveria desempenhar na formação do

indivíduo. Seria apenas um mero elemento técnico, como acreditavam os

povos antigos? Ou seria um elemento fundamental para o

desenvolvimento de alguma habilidade intelectual?

Miorim

2.2

A MATEMÁTICA CHEGA AOS BANCOS ESCOLARES

Historicamente, é por volta do século VI a.C que surgem os primeiros registros

sobre as mudanças de perspectivas em relação aos estudos de Matemática na Grécia, mais

precisamente, relacionadas às colônias de Mileto e Samos.

Tales de Mileto (c. 626-545 a.C) e Pitágoras de Samos (c.580-500 a.C.) são os

primeiros a serem considerados entre os matemáticos, embora a influência de Pitágoras

tenha sido maior e definitiva, principalmente devido a propagação de seus ensinamentos

através de seus seguidores e admiradores, entre eles: Platão.

A escola fundada por Pitágoras, considerava os números como os elementos

essenciais para a justificativa da existência de uma ordem universal, acreditando que a

purificação só poderia ser alcançada através do conhecimento puro. Essa escola foi

responsável por estudos de novos resultados a respeito dos números e da geometria,

sobretudo pelo “estabelecimento da matemática como uma disciplina racional”

BERNAL, apud MIORIM, M A . Introdução à história da Educação Matemática. S.Paulo, Atual editora, 1998. p,12.

MIORIM, idem. p.13.

BOYER C.B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. p.45.

Com relação ao aspecto educacional, podemos dizer que foi na escola

filosófica de Pitágoras, que a Matemática, pela primeira vez, foi

introduzida na educação grega e reconhecida como um elemento de

grande valor formativo. Miorim

Com relação às inovações pedagógicas, é preciso nos situarmos na segunda metade

do século V a.C, e acompanhar o surgimento dos sofistas, críticos e, sem se ater a correntes

filosóficas, mesmo com propostas de ensino divergentes entre si, tinham em comum o fato

de serem professores. Dentre os sofistas, Protágoras (c. 480-410 a.C), o mais antigo dos

sofistas, propunha-se a ensinar a arte da política, como afirma Miorim:

por meio da persuasão e da arte do discurso, a retórica. Sua arte

de persuasão baseava-se na hipótese de que em qualquer discussão, sobre

qualquer tema, é possível tanto defender quanto acusar, uma vez que

sempre existem os prós e os contras e que, portanto, é sempre possível

vencer. Para isso, utilizava-se de um método de discussão cuja base

provinha dos paradoxos de Zenão de Eléia.

Assim considerada, a importância dos sofistas para o ensino da matemática está

ligada ao grande valor que estes atribuíam à cultura geral, em que pese à ênfase à oratória

de sua proposta e até por conta desta condição, pois segundo eles, um bom orador, além

das regras da retórica e das técnicas de persuasão, deveria saber versar e conhecer sobre

todos os assuntos. Por tais razões, atribui-se a popularização da matemática - através da

inclusão desta em um ciclo normal de estudos - aos sofistas.

2.3 P

ARA QUE SERVE O ENSINO DA MATEMÁTICA: PRÁTICA OU FORMATIVA ?

Sócrates (c.469-399 a.C.) e os sofistas promovem uma verdadeira revolução na

educação grega ao distanciarem-se das origens guerreiras e cavalheirescas, semeiam

polêmicas e controvérsias sobre as vantagens e desvantagens de tais métodos em relação

aos antigos.

Segundo Miorim, essa discussão, levada ao longo dos anos, gera no século seguinte

o surgimento desse novo modelo de educação que , ainda nos dias de hoje, não está

totalmente resolvido:

Apesar de ter sido o século V a.C., com os sofistas e com

Sócrates, aquele que lançou as bases da nova educação grega, seria o

século seguinte, com Platão e Isócrates _ o primeiro, defensor de uma

formação filosófica, e o segundo, de uma formação retórica _ que

MIORIM, M.A. Introdução à história da Educação Matemática. S.Paulo, Atual editora, 1998. p. 15.

ibidem, p. 16

delinearia, de maneira nítida e definitiva, os quadros dessa nova

pedagogia.

Nos estudos filosóficos de Platão, as matemáticas ganham em importância, seja

pela sua recomendação para que os estudos matemáticos fossem desenvolvidos desde o

nível elementar, seja pelo novo enfoque não mais técnico / prático necessário às várias

profissões, e sim formativo, pois serviriam para despertar o pensamento do homem, o

espírito, fazendo o adquirir, segundo Marrou: “ desembaraço, memória e vivacidade.”

Acredita-se que esse importante e original valor cultural atribuído à Matemática

seja influência da escola pitagórica sobre Platão, principalmente por meio de seus contatos

com Teodoro de Cirene (c. 390 a.C).

Já com Isócrates, o maior representante da educação retórica, entende-se porque

não concordava que os estudos das matemáticas fossem desenvolvidos da maneira

profunda proposta por Platão, apesar de concordar com o valor formativo daquelas

ciências , já que nelas percebia a possibilidade de “habituar o espírito ao trabalho

disciplinado”, pelo fato de serem abstratas e difíceis. Isócrates voltava sua preocupação

para as coisas práticas, preferindo ensinar seus discípulos “... a formarem uma opinião

razoável sobre as coisas úteis, a fazê-los queimarem as pestanas em busca de certeza sobre

questões perfeitamente inúteis, como a duplicação do cubo.”

2.4 F

ILOSOFANDO E ARGUMENTANDO !

Ao olharmos pelo ponto de vista filosófico, que historicamente nos permite maior

fontes de consultas, podemos constatar que as contribuições advindas dessa polêmica em

torno do valor da retórica são, de fato, importantes à causa da demonstração.

Vejamos, Tales de Mileto é considerado o primeiro entre os pensadores ocidentais,

cujo berço, situado na região litorânea da Ásia Menor denominada Jônia, é pródigo em

outros ilustres pensadores. Segundo o que nos apresenta Oliveira em artigo eletrônico,

Tales é considerado por Aristóteles o fundador da filosofia e tal distinção é, em parte,

justificada pelo objetivo que esses primeiros filósofos ocidentais buscavam, ao tentarem

obter uma explicação racional e sistemática das características do universo, a cosmologia,

que se distinguia dos padrões da época fundamentados em mitos – cosmogonia.

MIORIM, M.A. Introdução à história da Educação Matemática. S.Paulo, Atual editora, 1998, p.17.

MARROU apud MIORIM, idem. p. 21

Tales, por exemplo, considerava a água como o princípio substancial do Universo.

Essa retomada ao período denominado na filosofia de pré-socrático, nos permite incluir

além de Pitágoras, cuja escola já tratamos anteriormente , outros nomes dentre esses

sábios que trouxeram intrínsecas relações com a Matemática: Anaxágoras de Clazomena

(500-428 a.C.) e Zenão de Eléia (floresceu cerca de 450 a.C.).

Anaxágoras, segundo Boyer representa bem o espírito de pesquisa racional iniciada

pelos jônicos, algo retratado quando nos apresenta os motivos pelo qual o filósofo grego

foi preso:

Anaxágoras, foi preso em Atenas por impiedade, ao assegurar

que o Sol não era uma divindade, mas uma grande pedra incandescente,

grande como todo o Peloponeso, e que a Lua era uma terra habitada que

emprestava do Sol a sua Luz.

Essa intensa busca no entendimento da natureza do Universo, o leva a publicar o

primeiro best seller cientifico – ‘Sobre a natureza’. Embora filósofo, Anaxágoras, dedicou-

se a algumas incursões matemáticas, dentre as quais a quadratura do círculo, registrando a

primeira aparição de um dos problemas “que exerceria fascínio nos matemáticos por mais

de 2000 anos.”

Parmênides (530 – 460 a.C.) é o primeiro filósofo a formular os princípios lógicos

de identidade e não-contradição, que depois seriam melhores desenvolvidos por

Aristóteles. Encontramos entre seus discípulos: Zenão de Eléia a quem se atribuiu à fama

de respeitado professor e de ser o mais eloqüente dentre os descobridores da dialética: ele,

Xenófanes e Parmênides.

A dicotomia, o Aquiles, a Flecha e o Estádio, são os paradoxos

tratados por

Zenão e, mais tarde, também analisados por Aristóteles. Exemplos de boa argumentação,

encontram-se em vasta literatura disponível sobre os paradoxos, dentre as quais retiramos

fragmentos de texto disponibilizado eletronicamente, para esclarecer de modo abreviado as

intenções de Zenão com suas proposituras:

Em dois dos paradoxos, a dicotomia e Aquiles, Zenão argumentou que se

o tempo e o espaço são divisíveis, o movimento seria impossível. Em

resumo, para alcançarmos B saindo de A, é necessário alcançar C (ponto

médio entre A e B); para alcançar C é necessário alcançar D (ponto

médio entre A e C); para alcançar D, é necessário alcançar E (ponto

BOYER C.B. História da Matemática.. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. p.47

ibidem p.48

extraído http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/estadio.htm, acesso em 02.07.2007

médio entre A e D); o argumento continua assim ad infinitum,

concluindo-se então que o movimento não pode começar !

A_____E_____D___________C_______________________B

No paradoxo de Aquiles e da tartaruga, o argumento é semelhante:

A________________B_____________C______D___E__

Se a tartaruga está em B e Aquiles em A, Aquiles nunca pega a tartaruga,

pois no momento em que Aquiles chega no

ponto B a tartaruga estará em algum ponto C adiante, e assim por diante

ad infinitum: a tartaruga estará sempre à frente.

Admitindo as similaridades entre a flecha e o estádio, capturamos também

eletronicamente, as explicações sobre esses outros dois paradoxos:

Nos outros dois paradoxos a flecha e o estádio, Zenão adota a hipótese

alternativa que o tempo e o espaço não são infinitamente indivisíveis, isto

é, existe uma menor unidade indivisível de tempo (um instante) e de

espaço (um ponto). Zenão considerava uma flecha e razoavelmente

assegura que a flecha deve estar em um certo ponto num dado instante:

como ela não pode estar em dois lugares no mesmo instante, não pode se

mover naquele instante; se, por outro lado, está em repouso naquele

instante, então, como o mesmo argumento se aplica para outros instantes,

ela não pode se mover de jeito nenhum !

O estádio é bem mais complicado, mas o argumento usado é semelhante.

Essa maneira de tratar a argumentação adotada por Zenão, guarda uma relação com

um importante recurso matemático, a redução ao absurdo, mesmo admitindo que,

historicamente, faça-se menção a uma suposta aplicação pioneira por Hipócrates de Chios

quando na investigação da quadratura de lunas , cujo teorema, segundo Boyer

, resume-

se: “Segmentos de círculos semelhantes estão na mesma razão que os quadrados de suas

bases.”

A prova dessa demonstração por via indireta é uma das possíveis introduções do

método da redução ao absurdo, conquanto a maneira como Zenão proferiu seus

argumentos para provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade

admitidos pelos pitagóricos, não deixa dúvidas quanto ao método, e por conta disso atribui-

se a Zenão a adoção desse recurso, que mais tarde viria a constar na pauta dos matemáticos

envolvidos em processos de demonstração, não sem antes absorver algo mais com

Aristóteles. Boyer relata que:

BOYER C.B. História da Matemática.. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. p.55

o método adotado por Zenão era dialético, antecipando Sócrates

nesse modo indireto de argumento: partindo das premissas de seus

oponentes, ele as reduzia ao absurdo.

Esses modos de pensar, de buscar razões para a existência, nos levam ao encontro

de Sócrates e Platão. As obras de Platão cuidam de trazer ao mundo os pensamentos

socráticos e, dentre essas obras, algumas são dedicadas à oposição aos sofistas. Sócrates

não guarda apreço pela Matemática, o que não se pode dizer de Platão, mas sua eterna

busca da verdade, notadamente pela contrariedade em que via o uso da retórica por parte

dos sofistas, traz à luz da Matemática, contribuições importantes quanto ao modo de

exposição de argumentos.

Sócrates utiliza-se da ironia e da maiêutica, para argumentar com seus debatedores,

entendendo essa ironia com o sentido da época do filósofo, muito diferente do uso que hoje

se faz do vocábulo.

A ironia adotada por Sócrates levava os seus debatedores - discípulos e opositores -

a confessarem suas próprias contradições e ignorâncias, pois entendia Sócrates que a partir

dessa suposta libertação do orgulho e da pretensão sobre o que sabiam, poderiam iniciar o

caminho da reconstrução de suas próprias idéias.

O segundo recurso utilizado por Sócrates a maiêutica, consistia em ajudar os seus

discípulos a conceberem suas próprias idéias. Não é por acaso que Sócrates sempre fazia

menção a frase inscrita no templo de Apolo: “Conhece-te a ti mesmo”.

Os sofistas, cuja denominação deriva do prefixo sophoi – sábios, apesar de

divulgadores do conhecimento como Sócrates, guardam diferenças para com esse:

Sócrates, embora não vendesse seus ensinamentos, levava estilo de vida semelhante aos

sofistas, porém, seus discursos, baseados na percepção que tinha de que a sabedoria

começa pelo reconhecimento da própria ignorância, ia sempre em busca da verdade.

Enquanto as lições sofísticas tinham como propósito o desenvolvimento da argumentação,

da habilidade retórica como forma de convencer a qualquer preço, não cabendo uma

verdade única, admitindo sempre possível diante da adequada combinação de fatores e

circunstâncias fazer valer determinada opinião.

Já, a doutrina socrática , segundo Oliveira, tem conseqüências diretas na educação:

O conhecimento tem por fim tornar possível a vida moral, o

processo para adquirir o saber é o diálogo, nenhum conhecimento pode

dogmaticamente, mas como condição para desenvolver a capacidade de

pensar, toda a educação é essencialmente ativa, e por ser auto-educação

BOYER C.B. História da Matemática.. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. p. 55

leva ao conhecimento de si mesmo, a análise radical do conteúdo das

discussões, retirado do cotidiano, leva ao questionamento do modo de

vida de cada um e, em última instância, da própria cidade.

Pombo

disponibiliza em endereço eletrônico, artigo baseado em Pinheiro (1999),

no qual descreve que essa condição de cobrar pelo ensinamento é um dos motivos das

críticas aos sofistas, feitas por Sócrates e Platão e indica um trecho do diálogo platônico

“Protágoras” como referência:

[...] aqueles que levam a ciência de cidade em cidade, vendendo-a a

retalho, elogiam sempre ao interessado tudo quanto vendem, mas talvez,

meu caro, desconheçam o que é que desses artigos que vendem é bom ou

mau para a alma[...]

No entanto, as maiores críticas sofridas pelos sofistas são proferidas aos métodos

que recorriam para cumprir a sua função: o primeiro, quando utilizavam-se de uma leitura

para iniciar suas aulas e depois baseavam-se nas mesmas para exercitar a retórica. O

segundo, quando apresentam quatro versões de um discurso, incluindo a do acusado, a do

acusador e os comentários aos mesmos; buscando treinar seus discípulos ao treino e a

imitação. E o terceiro, quando faziam uso de dois métodos de exposição: o breve através

de perguntas e respostas, tentando persuadir a contradições e o longo e expositivo, onde o

floreio e o discurso longo tornam muito difícil o seguir das idéias do orador, deixando com

que passem despercebidos importantes detalhes do discurso.

Por conta desses métodos, principalmente o último, é que os sofistas são

severamente criticados por Sócrates, Platão e Aristóteles. Outro diálogo de Protágoras

envolvendo este e Sócrates é utilizado por Pinheiro para situar tal contexto:

"Ó Protágoras, acontece que eu sou um homem esquecido e quando

alguém fala comigo demoradamente, esqueço qual era o conteúdo do

discurso. É como se me acontecesse ser surdo; nesse caso ias achar

necessário, se realmente estivesses disposto a dialogar comigo, falar bem

mais alto do que com os outros. Do mesmo modo, agora estás a lidar com

alguém esquecido, encurta as tuas respostas e torna-as mais breves, se

queres que eu possa acompanhar-te".

Ao que responde com orgulho e consciente da sua importância:

OLIVEIRA, G.M. C. [II] Filosofia Antiga: Aristóteles. Disponível na Internet em:

http://www.filosofiavirtual.pro.br/aristoteles.htm. Acesso em Jul. 2007.

POMBO Olga. Profissionais do ensino, disponível na Internet em:

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/hfe/momentos/escola/sofistas/profissionais.htm#metodos, acesso em 03.07.2007

PINHEIRO apud POMBO, idem

"Ó Sócrates, eu já travei combates verbais com muitos outros homens, e

se tivesse feito o que tu mandas, discutir assim, da maneira que o meu

antagonista me mandasse discutir, nem seria melhor que ninguém, nem o

nome de Protágoras se teria tornado conhecido entre os Helenos".

Para nossa pesquisa, presumimos que a apresentação de exemplos de sofismos

matemáticos seria apropriada para permitir ao leitor compreender como o uso de bons

argumentos aplicado de modo inadequado pode ser persuasivo e convincente.

8 é igual a 7 ?

Começamos com a seguinte igualdade, que supomos ser

verdadeira:

a + b = c

Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira:

( 8a - 7a ) + ( 8b - 7b ) = ( 8c - 7c )

Colocando todos os múltiplos de 7 de um lado e os de 8 do

outro, temos:

8a + 8b - 8c = 7a + 7b - 7c

Colocando em evidência o 7 de um lado e o 8 do outro

temos:

8 ( a + b - c ) = 7 ( a + b - c )

Dividindo ambos os lados por a + b - c temos:

8 = 7

Resolução

Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos:

8 ( a + b – c ) = 7 ( a + b – c )

Segundo a demonstração, a próxima etapa é dividir ambos os

lados por a + b - c.

Aí está o erro!!!

Pois se a + b = c como afirmamos no inicio, a + b - c = 0

2 = 1?

1. Supondo que a = b

2. a * a = a * b ( Multiplicando os dois membros por a )

3. a² = ab

4. a² - b² = ab – b² ( Subtrai-se b² dos dois membros )

5. ( a + b ) ( a - b ) = b ( a - b ) ( Produto da soma pela

diferença = b em evidência )

6. ( Dividindo-se os dois membros por ( a- b ))

a + b = b

7. a + a = a ( Isso é possível por a = b como suposto no

item 1 )

8. 2 a = a

10. 2 = 1

Pois bem, algo de errado deve ter acontecido nesta demonstração,

basta descobrir. O erro está no item 6, pois se a = b como foi

suposto no item 1, a - b = 0 e todos nós sabemos que esta divisão

não existe.

Quadro Informativo 8 – Exemplos de sofismo matemático - Fonte: Internet

Um outro exemplo mais elaborado:

Tudo certo como dois e dois são cinco ? 2 + 2 = 5

1) 16-36 = 25-45

2) 16-36+

= 25-45+ ( Somamos aos dois membros para não alterar a expressão )

3) ( 4 -

)

= ( 5 - )

( Fatorando os dois trinômios quadrados perfeitos situados e lados)

( Indicando a raiz quadrada dos dois membros )

5) 4 -

= 5 - ( Adicionando aos dois membros, fica assim )

6) 4 -

+ = 5 - + ( Como - + = 0 , temos )

7) 4 = 5 ( Sendo 4 = 2 + 2 teremos que : )

8) 2 + 2 = 5

Acontece que sabemos que isso não existe, portanto deve ter ocorrido algum erro pelo caminho nesta demonstração, basta

descobrir que erro está no item 4. Na verdade, só é possível extrair raiz quadrada de duas potências de 2 quando as bases dessas

potências estão expressas em módulos, da seguinte forma:

| 4 - |

= | 5 - |

pois se você reparar bem 4 - = - .

Quadro Informativo 9 – Exemplo de sofismo matemático 2 – Fonte: Internet

Diferentemente de Sócrates, Platão reservava à Matemática uma admiração

incontida, tanto que em sua escola situada em Atenas, no jardim dos Academos -- e por

isso, Academia -- havia escrito sobre suas portas:_“Que ninguém que ignore a geometria

entre aqui.”

Conta-nos Boyer, que a Academia de Platão tornou-se o centro matemático

do mundo daquela época – meados do séc. IV – e dela provieram os principais mestres e

pesquisadores matemáticos. Esta característica formadora de Platão é considerada como

uma importante contribuição à história da matemática:

Platão é importante na história da matemática principalmente por

seu papel com inspirador e guia de outros, e talvez a ele se deva a

distinção clara que se fez na Grécia antiga entre aritmética (no sentido de

teoria dos números) e logística (a técnica de computação).

Outras importantes contribuições de Platão contemplam aspectos mais gerais da

filosofia, dentre elas, vai nos interessar a distinção entre dialética e retórica proposta pelo

filósofo. Por ser contrário à finalidade com que retóricos faziam uso da argumentação,

Platão adota a dialética como a argumentação que se diferencia da retórica pelo fim que se

destina, assim entendendo, levar o ser humano a busca da verdade onde esta se encontra,

ou seja, no mundo das idéias.

Aristóteles, discípulo de Platão, é considerado um dos maiores pensadores da

história e assim como seu mestre Platão, volta-se às críticas aos sofistas, tanto que para

mostrar como estes – mestres da retórica e oratória – procediam para enganar os cidadãos

utilizando argumentos inadequados, aprofunda-se no estudo da argumentação.

A retórica é a outra face da dialética; pois ambas se ocupam de

questões mais ou menos ligadas ao conhecimento comum e não

correspondem a nenhuma ciência em particular. De fato, todas as pessoas

de alguma maneira participam de uma e de outra, pois todas elas tentam

em certa medida questionar e sustentar um argumento, defender-se ou

acusar.

BOYER C.B. História da Matemática.. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. p 62.

Ibidem, p. 64

ARISTÓTELES, Retórica I, 1354aIragmento de texto extraído de

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ret%C3%B3rica_%28Arist%C3%B3teles%29 Retórica (Aristóteles)

Ao investigar a estrutura da argumentação, admite tanto a retórica quanto a

dialética úteis em funções nas quais a argumentação e a persuasão se fazem importantes.

No entanto, entende que para alcançar o pensamento verdadeiro era preciso procedimentos

de prova e demonstração, e para isto propôs a analítica – o termo ‘lógica’ que acabou

sobrepondo-se é uma contribuição do estoicismo – como instrumento indispensável do

pensamento científico e filosófico.

Toda a didascália e toda a disciplina dianoética se adquirem de

um saber que precede o conhecimento. Isto é evidente seja qual for o

saber considerado: a ciência matemática adquire-se deste modo, tal como

as outras artes. O mesmo acontece com os raciocínios dialéticos, sejam

eles feitos por silogismo ou por indução, porque todos eles ensinam

através de um conhecimento anterior: no primeiro caso, assumindo que as

premissas são admitidas pelo outro, no segundo caso, demonstrando o

universal mediante o particular já conhecido. Por outro lado, é de análogo

modo que os argumentos retóricos persuadem, uma vez utilizarem, ou

paradigmas, o que é uma espécie de indução, ou entimemas, o que não

deixa de constituir um silogismo.

Não deixamos de reconhecer as importantes contribuições de Zenão, Sócrates e

Platão, mas Aristóteles, em sua obra define a lógica como um método de discurso

demonstrativo que utiliza três operações de inteligência: o conceito, o juízo e o raciocínio.

Fraga

, ao apresentar a definição de Aristóteles para silogismo: “O silogismo é um

razoamento em que, dadas certas premissas, se extrai uma conclusão conseqüente e

necessária, através das premissas dadas.”, complementa afirmando tratar-se de uma forma

perfeita do raciocínio dedutivo.

Essa forma de raciocínio pode ser exemplificada com silogismos, como o clássico

exemplo:

“ Todo homem é mortal.

Sócrates é homem.

Logo, Sócrates é mortal!”

Considera-se: homem, Sócrates e mortal como conceitos; todo homem é mortal,

Sócrates é mortal e Sócrates é homem, são considerados juízos; e o raciocínio é a linha de

pensamento que leva das premissas todo homem é mortal , Sócrates é homem à conclusão,

Sócrates é mortal.

ARISTÓTELES, Analíticos Posteriores, 71a . Fragmento de texto extraído de

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ret%C3%ADticos_posteriores_%28Arist%C3%B3teles%29”

FRAGA, E. A primeira operação do espírito/intelecto. Disponível na Internet em:

http://www.filonet.pro.br/logica/logica4.htm. Acesso em Jul. 2007.

Desse modo, a lógica é um instrumento para atingir o conhecimento cientifico,

entendendo ciência como o que é metódico e sistemático, daí o crédito a Aristóteles a

estruturação da forma dos trabalhos científicos como hoje são propostos. Contudo, se a

argumentação ganha essa estruturação lógica com Aristóteles, outras contribuições

importantes vieram de outras escolas: os megáricos e os estóicos.

Os megáricos, que receberam Platão após a morte de Sócrates, interessam-se pelo

procedimento lógico conhecido como paradoxo do mentiroso: quem diz “O que eu afirmo

agora é falso”, está mentindo ou falando a verdade, é verdadeiro ou falso? E também

contribuem com o estudo de lógica proposicional iniciando o uso de se e de então.

Sobre os estóicos, vamos buscar a contribuição de Marilena Chauí

, em sua obra

Convite à Filosofia, quando se refere à lógica após Aristóteles e apresentamos

resumidamente na lógica proposicional:

Raciocínio hipotético: onde se indica a relação entre um antecedente e um

conseqüente, do tipo Se ... então... Ex.:_ “Se há fumaça, então há fogo”;

Dele derivando os raciocínios:

Conjuntivo: Ex.:_ “É noite e está escuro”;

Disjuntivo: Ex.:_“Ou é dia ou é noite”;

Causal: Ex.:_Visto que está escuro, portanto, é noite;

Relativo: Ex.:_Está menos claro quando é mais noite.

Gostaríamos de continuar nessa linha investigativa sobre a argumentação pelo

modo como Aristóteles a fez conhecida, e que muitos séculos depois encontra em

Descartes, um opositor de primeira grandeza, retirando da argumentação sua condição de

convencimento, admitindo somente aquilo que se pode provar de forma racional. Porém

nossa pesquisa precisa caminhar em direção a prova e demonstração e não vamos nos

estender nesse caminho de re-estruturação da argumentação para esse período. Mais

adiante, quando abordamos a Nova Retórica e a teoria da Comunicação, faremos referência

a esse período aristotélico para dar continuidade da forma como se faz necessário.

2.5 A MATEMÁTICA (A)PROVA A ARGUMENTAÇÃO ! (AO SEU MODO...)

Vamos prosseguir um pouco mais em nosso percurso histórico para apresentar as

possíveis origens da transformação na matemática em ciência hipotético-dedutiva, na qual

POMBO Olga. Profissionais do ensino, disponível em extraído de

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fregerussel/logica.htm em 28.06.2007

a prova e a demonstração ocupam lugar privilegiado, por conta da forma como a

argumentação matemática apresenta-se como elemento essencial para tais práticas.

Garnica ressalta em seu tratado sobre a quase inexistência de estudos históricos

sobre o desenvolvimento da noção de prova rigorosa, e seu surgimento é delimitado pelo

que se pode apurar dos textos disponíveis, dessa forma, Euclides, século III a.C, Grécia,

são os nomes e o local que fornecem à matemática os elementos necessários para tratar do

surgimento da prova.

O mesmo autor, fundamentando-se em Arsac, apresenta-nos as possibilidades do

surgimento da prova sob a vertente de duas teses existentes: a tese clássica sobre o

surgimento da prova rigorosa é chamada de externalista por não envolver diretamente a

comunidade matemática, onde, a transformação da matemática em ciência hipotético-

dedutiva seria baseada na aplicação das regras do “debate argumentativo”

que governava

a vida política na cidade grega; A tese internalista, assim considerada por ter sido gerada

para responder a questão:_Que problema tornou indispensável à introdução da

demonstração em Matemática?

Arsac, segundo Garnica, considera que o surgimento da prova é contemporâneo ao

problema da irracionalidade, e descreve algumas considerações que ele faz a respeito da

questão:

[...] o problema será analisado por ARSAC num quadro

aritmético e num quadro geométrico. No primeiro, constata-se que o

número 2 não admite raiz quadrada racional enquanto que o quadro

geométrico constata a impossibilidade da diagonal de um quadrado

permitir partição comum com seu lado.[...] Por outro lado, as provas da

irracionalidade no domínio aritmético implicam o uso do raciocínio por

absurdo...

Uma outra possibilidade é vista por Arsac, entendendo que existem fatores que, por

não se verificarem dentro de uma ou da outra – externalista e internalista –, pressupõe a co-

existência das duas:

_ sem o problema da irracionalidade, a transformação da Matemática [em

ciência hipotético-dedutiva] não seria produzida, mesmo dentro da

sociedade grega;

- num outro contexto de sociedade, mesmo se confrontados com o mesmo

problema, a Matemática não seria transformada como o foi possível ser

na Grécia.

ARSAC apud GARNICA, A.V..M. Fascínio da técnica, declínio da crítica, um estudo sobre a prova rigorosa na formação do

professor de Matemática. Tese de Doutorado 1995.p. 16

ARSAC apud GARNICA, A.V..M. Fascínio da técnica, declínio da crítica, um estudo sobre a prova rigorosa na formação do

professor de Matemática. Tese de Doutorado 1995.p. 18

ibidem, p. 19

Dito anteriormente, a obra de Euclides, Os Elementos, constitui-se no primeiro

estudo pelo qual, entendem os matemáticos, é institucionalizado o conceito de prova e

demonstração, sua estrutura de axiomas, postulados, teoremas, sua ordenação lógica são os

pressupostos admitidos por seus seguidores, como os elementos que constituem uma prova

formal.

Para nosso estudo, voltaremos nossas atenções para o processo geral de prova,

partindo de como fora proposto em Os elementos, obra concebida sob influência platônica

e caracterizada pelo formalismo da estrutura. Arsac

ressalta que há autores críticos a esse

enfoque, por entender que alguns axiomas são tomados de forma implícita e que, por

muitas vezes, se faz recorrência ao uso de figuras para validar e convencer sobre

determinada afirmação.

Ao atrelar a aritmética à geometria, aos números e às figuras geométricas planas,

Euclides dá sustentação ao seu trabalho, notadamente por convencer, por exemplo, sobre a

existência de um dado número irracional através da visualização da diagonal do quadrado.

Esse tipo de argumento convence, valida e explica, portanto, nos interessa, sobretudo para

a aplicação em sala de aula.

O enfoque social, mostrado por Arsac como uma das influências da gênese do

conceito de prova, vai segundo Otte

, mostrar sua força em momentos como o da

Revolução Industrial, passando antes pela invenção da imprensa. A invenção da escrita

simboliza para o conhecimento um novo paradigma, pois ao permitir sua divulgação, o faz

perder a aura de segredo e o torna um objeto de mercado, fato que vai acabar por

caracterizar a produção de conhecimento como, cada vez mais, um fenômeno

individualista, com a adoção de mecanismos de ordenação da lógica para a divulgação de

resultados. Garnica refere-se a esse processo como sendo a mecanização da prova.

2.6 D

IFERENTES CONCEPÇÕES SOBRE PROVA E DEMONSTRAÇÃO

A filosofia da matemática apresenta-se representada por três grandes correntes: os

formalistas, os logicistas e os intuicionistas, ditas correntes fundacionais da matemática, as

quais estão mais fortemente ligadas às concepções regidas pelo realismo, conceitualismo e

nominalismo respectivamente.

ibidem, p. 20

OTTE apud GARNICA, A.V..M. Fascínio da técnica, declínio da crítica, um estudo sobre a prova rigorosa na formação do

professor de Matemática. Tese de Doutorado 1995.p. 22

• Os intuicionistas, nomeados pelo expoente de Kant, apontam a intuição como

base para o desenvolvimento da matemática e que, a partir dela (intuição), deve

se erguer o processo construtivo, apresentando suas demonstrações através de

uma quantidade finita de passos.

• Os logicistas, assim chamados aqueles que entendem ser a lógica a essência da

matemática, e de tal forma propõe refazer o corpo do conhecimento matemático

sem utilizar conceitos que não tenham sido decifrados em termos lógicos.

• Os formalistas, para os quais a matemática é a ciência que justifica sua

existência por si mesma e no desenvolvimento de suas próprias regras,

utilizando uma linguagem simbólica em sua sintaxe, sem que seja permitida

qualquer associação por uso de metáfora externa a esse contexto.

Para melhor compor esse enredo, faz-se necessária uma nota sobre conceitualismo,

realismo e nominalismo, baseando-nos na questão dos conceitos universais, assim

considerados:

• No nominalismo, esses conceitos referem-se a palavras a que não corresponde

qualquer realidade; são vocábulos genéricos que servem para designar entes

empíricos existentes fora do pensamento;

• O conceitualismo defende que esses conceitos são formulados a partir da

observação e abstração de particularidades dos entes.

• O realismo, ligado as leituras que se pode fazer de Platão, por onde se

concluiria que os universais existem como modelos ideais, apreendidos pela

mente.

Silva (1989) mostra em seu estudo que essa correlação entre as bases filosóficas e

bases fundacionais da Matemática tem outros e muitos desdobramentos, citando o autor:

/.../ nem tudo é tão simples. Há logiscistas realistas (Frege) e

logicistas nominalistas (Russel). Alguns construtivistas não concordam

entre si[...]Uns admitem como existente apenas o que se pode

efetivamente representar na intuição pura (os intuicionistas)[...] Outros

ainda, os predicavistas (logo construtivistas de alguma forma), adotam

uma noção formalista de existência (Poincaré). A questão se complica

ainda mais quando queremos justificar a adoção de uma lógica clássica

ou não para a matemática como conseqüência de uma postura

ontológica.

SILVA apud GARNICA, A.V..M. Fascínio da técnica, declínio da crítica, um estudo sobre a prova rigorosa na formação do professor

de Matemática. Tese de Doutorado 1995.p. 24

Paralelamente a esses conceitos, desenvolve-se uma ‘teoria pública” matemática,

assim entendendo o que Garnica formula a partir da reconstrução da história do rigor nas

provas e que, comparado ao que Euclides sistematizou:

não é seguida rigidamente na produção Matemática,

constituindo, se a aceitação de um resultado, entre os que produzem

matemática, em um processo social de negociação de significados dentro

do grupo de especialistas ao qual o resultado em questão se relaciona...

Bicudo

entende que o rigor não sofreu alterações na estrutura de seu significado.

O que se percebe, ao longo dos anos, é uma adaptação do sistema gramatical da

matemática, mas Garnica indica uma outra direção. Conta-nos que o pouco material

histórico disponível até o momento, é, em parte, justificado pelo lugar comum que o rigor

se assenta dentro da ciência matemática e, em complemento, pelas acentuadas dificuldades

que envolvem pesquisas de caráter histórico-arqueológico.

Estabelecidas as diferenças entre as diversas correntes e o não consenso a que se

chega sobre o conceito de prova, ainda vai reforçar essa idéia a de que:

os próprios matemáticos admitem que uma prova completa seria

demasiadamente enfadonha e sem sentido para, por exemplo, sua

divulgação. Mais ainda, sugerem a existência de diferentes graus de

validade formal em suas provas,obtendo o mesmo grau de aceitação

Hanna apresenta argumentos mais sintéticos a respeito desse conceito, que

resumimos do trabalho de Garnica:

O papel da prova no processo de aceitação é similar ao seu papel

na descoberta. As idéias matemáticas são descobertas por um ato de

criação no qual a lógica formal não está diretamente envolvida. Elas não

são derivadas ou deduzidas, mas desenvolvidas num processo cuja

significância para o corpo existente da Matemática e seu futuro potencial

são reconhecidos pela intuição informal. Embora a prova seja um pré-

requisito essencial para a publicação, ela não precisa ser rigorosa, nem

completa. /.../. Os matemáticos, mesmo os matemáticos ideais são hábeis

para fazer e conhecer Matemática somente por participarem de uma

comunidade matemática.

Apoiados nessas informações, presumem que a predominância das características

de uma tal corrente é forte e evidente na prática do indivíduo em sua forma de comunicar

GARNICA, A.V..M. idem.ps 24,25

BICUDO apud Garnica, idem p. 25

GARNICA, A.V..M. Fascínio da técnica, declínio da crítica, um estudo sobre a prova rigorosa na formação do professor de

Matemática. Tese de Doutorado 1995

, p25)

HANNA apud GARNICA, A.V..M. Fascínio da técnica, declínio da crítica, um estudo sobre a prova rigorosa na formação do

professor de Matemática. Tese de Doutorado 1995 GANRNICA. .p 27

matemática, sobremaneira em sala de aula. Todavia, não garante e ou limita a

exclusividade do estilo de cada qual, que pode, muita vez, se investir de uma outra

concepção para conseguir um melhor desempenho naquela sua tarefa, por conseguinte,

fundir-se-á tais concepções no modo de encarar a prova ou demonstração como o processo

de convencer, validar e verificar perante o auditório em que se apresenta, não obstante a

estrutura idealizada por essa ou aquela escola.

Em matemática, muitas são as definições sobre prova e demonstração, depende do

autor e das influências que este recebe no tocante à sua formação. Em grandes linhas,

concordamos com Garnica, ao escrever sobre a noção de prova que “a justificativa para a

existência da noção (de prova) permanece como a usual: convencer, validar, verificar.”

2.7 A

RGUMENTOS PARA O NOSSO ESTUDO

Tratamos da argumentação sob os enfoques que nos interessavam para essa

pesquisa, apresentamos o enfoque histórico que originou o conceito de prova e, já a partir

daí, a ambigüidade de suas origens e, na seqüência de nosso estudo, nos voltamos a uma

breve e pequena explanação sobre como entendemos o conceito de prova e demonstração,

dando luz aos pontos – argumentação e prova – pelas fontes que nos inspiram.

Vindo ao encontro de nossas idéias sobre a necessidade de estimular o

desenvolvimento da capacidade de argumentar, nos deparamos com os modos que a

matemática e a educação matemática, por alguns de seus pesquisadores e divulgadores,

classificam os argumentos e então os discutem, aceitando-os ou não como prova.

Vimos, de forma abreviada que, ao longo da sua história, a matemática vem sendo

classificada pela sua condição pragmática e pela sua essência abstrata. Caraça

no prefácio

de sua obra, emite parecer que retrata essa polarização:

Sem dúvida, a Matemática possui problemas próprios, que não

têm ligação imediata com os outros problemas da vida social . mas não

há dúvida também de que os seus fundamentos mergulham tanto como os

de outro qualquer ramo da Ciência, na vida real; uns e outros entroncam

na mesma madre.

Parece-nos muito atual essa forma de pensar sobre a matemática exposta por

Caraça, acrescentando que tanto o pragmatismo quanto o enfoque mais abstrato são

GARNICA, A.V..M. Fascínio da técnica, declínio da crítica, um estudo sobre a prova rigorosa na formação do professor de

Matemática. Tese de Doutorado 1995. p 12

CARAÇA, B. J..Conceitos Fundamentais da Matemática. 2000 - prefácio

ajustados aos nossos interesses, não havendo predileção por uma ou outra forma de

matemática, concordando que ambas são necessárias para o alcance de nossos objetivos.

Chegamos a um dos pontos que fundamenta essa pesquisa, a argumentação como

elemento forte da retórica, influenciou historicamente, desde o principio, as concepções

pedagógicas da educação, fazendo com que os estudos literários proliferassem

sobremaneira sobre as propostas com essência matemática, embora delas se utilizassem

para habituar o espírito ao trabalho disciplinado. Pretendemos utilizar o que a Nova

Retórica trata por argumentação, para propor situações de aprendizagem que possam

persuadir o aprendiz ao seu aprofundamento e, ao mesmo tempo, analisar como funciona a

argumentação não matemática em processos de conhecimento matemático.

...

3 CONTEXTUALIZANDO

A comunicação é uma das formas pelos quais os homens se

relacionam entre si. É a forma de interação humana realizada através do

uso de signos.

Bordenave

3.1 ARGUMENTAÇÃO SEGUNDO A COMUNICAÇÃO E A NOVA RETÓRICA

Tratamos, há pouco, de mostrar como os estudos impregnados pela força da retórica

tornaram-se predominantes nas práticas educacionais, sobretudo pela pujança que a escrita

lhes emprestou. Contudo, em momento algum houve quem desprezasse o ensino da

matemática após a sua inserção em ciclo normal de estudos e que se mantém até os dias

atuais.

Admitindo por hipótese, a argumentação da forma como é definida pela Ciência

da Comunicação e a Nova Retórica, buscaremos, através dessa pesquisa afirmá-la como

instrumento de comunicação, com inegável interferência nos desígnios da educação,

notadamente na área da educação matemática.

Entendendo que a argumentação em um dos enfoques utilizados em nosso estudo,

vai nos clarificar os meios de entender como mediarmos a transição entre os contextos

cotidiano e científico, faremos uma pequena incursão buscando compreender minimamente

as estruturas da comunicação, e aos modos de como a comunicação deve intervir no

planejamento de um ambiente de aprendizagem.

Iniciamos por reconhecer que a educação é uma forma intencional de comunicação

e apresentamos algumas considerações advindas dos estudos dessa área, com a intenção de

permitir a análise dos procedimentos relacionados à concepção do ambiente de

aprendizagem sob o mesmo prisma do autor.

BORDENAVE, J. E. D. Além dos meios e mensagens: Introdução à comunicação com processo, tecnologia, sistema e ciência. 2002-

,p.14

3.2 COMUNICAÇÃO COMO CIÊNCIA

Quem não se comunica, se trumbica!

A. Barbosa

Considerando a organização como todo conjunto de elementos ou partes que, de

algum modo, se relacionam reciprocamente, podemos entender que esses modos de se

relacionar são processos de informação que interagem entre esses elementos, esses

processos informativos podem ser verificados em níveis diferentes de organização,

Bordenave baseia-se em Boulding, para exemplificar como a informação cresce em

importância proporcionalmente ao aumento do nível de organização:

• Primeiro nível – o mecanismo, quando exemplifica o funcionamento de um

relógio ou das partes de uma máquina, que tem seus movimentos repetidos pela

influência da energia mecânica entre seus componentes.

• O segundo nível, no qual classifica os mecanismos homeostáticos, relata a ação

de uma bomba elétrica para levar a água até a caixa d’água e o cessar do

funcionamento quando finda seu ciclo, caracterizando um sistema de

informação mútuo entre a bomba e a caixa d’água, onde a mensagem é elétrica.

• No terceiro, Bordenave faz referência às células e a sua maior capacidade de

receber informações e de construir imagens baseadas nas informações que

recebe em relação ao sistema de mecanismo simples homeostático. Acrescenta

que para entender dessa forma, é preciso considerar que a célula possui certo

conhecimento de suas funções, o que lhe permite interpretar as informações que

recebe.

• O quarto nível inicia ao considerar a planta como um conjunto de células,

mostrando que o incremento de seu sistema de informação se dá pela interação

com o ambiente, e a comunicação através de meios físicos químicos, tomando

como exemplo, o seu ciclo de reprodução, que permite saber quando florescer,

quando frutificar e quando morrer. É chamado botânico.

José ABELARDO BARBOSA de Medeiros, o Chacrinha, o primeiro e um dos maiores comunicadores brasileiros, eternizou essa

expressão em seus programas de rádio e televisão, indicando com simplicidade e precisão o poder da comunicação via os meios de

comunicação de massa.

• No nível quinto, o zoológico, considera que o animal tem todas as

características da planta além da consciência e mobilidade. Os animais são

dotados de órgãos especializados para coletar dados do ambiente _ olhos,

orelhas, antenas _ evidenciando que a sua capacidade de processar informação é

enorme. Alguns animais conseguem, inclusive, se comunicar.

• O sexto nível: o do ser humano, que incorpora o que de melhor há em todos os

níveis anteriores, a saber:

_ é capaz de organizar a informação em grandes e complexas estruturas de

conhecimento;

_ localiza-se em um processo temporal e tem uma imagem de passado, presente e

futuro;

_ tem consciência das relações tais como causa e efeito, contigüidade e sucessão,

ciclos de variações e repetição;

_ tem consciência de si mesmo: “ Nós não somente sabemos, mas sabemos que

sabemos”;

_ pode reagir não somente a estímulos imediatos mas também a uma imagem de

futuro, filtrada através de um elaborado sistema de valores;

_ graças à linguagem e á sua capacidade de guardar informação codificada é capaz

de organizar sua experiência para estender ainda mais seu conhecimento (ciência,

método científico);

_ sua capacidade de aprender não tem limite e pode crescer internamente mesmo

sem receber mensagens de fora, por meio de sua imaginação;

_ devido á sua capacidade de comunicar-se de forma abstrata e de viver na

imaginação a vida dos outros (“empatia”), pode construir organizações muito

maiores e mais complexas que as das sociedades animais.

• O sétimo nível, o da organização social, enquadra a sociedade humana,

considerada como uma estrutura de atos e ações desempenhadas pelos seus

elementos constituintes, de forma dinâmica e plenamente consciente.

Priorizamos esses dois últimos níveis para seguir em nosso estudo no que se refere

ao processo da comunicação humana.

Consideremos dois indivíduos que não se conhecem e que ao se encontrarem pela

primeira vez em um dado local, exercem como primeiro ato dessa comunicação, a

faculdade da percepção. Entendemos que as percepções de um e de outro sobre o ambiente

ocorrem de modos distintos, devido essencialmente ao repertório que cada um traz em si.

O confronto que cada qual trava com seu repertório constitui-se no processo de

interpretação e resulta no significado que um indivíduo tem do outro e também em relação

ao ambiente.

BORDENAVE, J. E. D. idem pp 16,17

A troca de mensagens, que os indivíduos realizam através de seus processos de

percepção, codificação e interpretação, fornece novos significados que podem modificar,

confirmar ou não os significados anteriores. Nesse sentido, é muito importante ressaltar a

intenção com que as pessoas proferem seus processos de comunicação, entendendo que

basicamente, quando o fazem têm: a fonte emissora espera que o receptor selecione sua

mensagem, a compreenda, aceite e aplique sua mensagem. Já a fonte receptora vai

selecionar o que julgar importante, procurar entender, avaliar se aceita ou não e finalmente

aplicar o que acha válido.

Acrescentaremos algumas outras intenções específicas manifestas nos processos de

comunicação e que bem servem ao modo de encarar o processo de ensino-aprendizagem:

expressar-se, perguntar, responder, informar, ensinar, revelar, preparar, mostrar, despertar

e satisfazer curiosidade, chamar a atenção...

Contudo, não se deve entender que toda comunicação leve, necessariamente a um

senso comum, a uma comunhão, pois interfere sobremaneira a natureza de conflitos que

cerca o ser humano e os interesses fragmentados da sociedade.

Há situações que mediante manipulação persuasiva, assim considerados certos

artifícios como a sedução, a lavagem mental, a coação violenta, obrigam indivíduos a

modificarem seus significados, suas opiniões e aceitarem os de seus opressores. Um

clássico exemplo dessa falsa comunhão são as famosas falsas promessas de alguns

políticos, em momento de campanha política, com o intuito de elegê-los.

Para elaborar um ambiente de aprendizagem que comunique satisfatoriamente seu

intento é preciso considerar os efeitos da comunicação, embora estes sejam numerosos e

complexos. Seguem, endossados por nós, alguns importantes fatores apresentados por

Bordenave:

 A centralidade das crenças e valores da pessoa;

 A importância da mensagem para ... favorecer ou impedir a realização de seus

propósitos;

 A compatibilidade ou consonância da mensagem com as crenças e valores

prévios da pessoa e do grupo a que ela pertence;

 O prestígio e a credibilidade da fonte da mensagem;

 A relação percebida entre o esforço necessário para aceitar e aplicar a

mensagem e a recompensa ou a gratificação esperada;

 A empatia que a pessoa sente para o seu interlocutor, isto é, a capacidade de se

colocar no lugar do outro e ver o mundo como ela o vê;

 A maior ou menor flexibilidade mental da pessoa receptora, isto é, se ela é de

mente aberta ou mente fechada, dogmática ou liberal, autoritária ou

democrática.

Outra preocupação eminente do autor desta pesquisa e que encontra

representatividade através dos estudos de Bordenave, se relaciona com as mensagens

secundárias que acompanham a mensagem principal, as quais chama de paralinguagem e

que, para essa pesquisa, nada mais é do que os famosos: hum hum, aah, ahaa, putz, sei,

então é isso, sinais e representações carregadas de significados, somados aos gestuais e

cacoetes, tão comuns em sala de aula, e que ao prestarmos a devida atenção, acabam por

nos enriquecer levando-nos a entender quando nossa argumentação levou a apropriação

positiva de significado. Em nosso estudo, para algumas atividades serão selecionados

instrumentos de coletas de dados que permitam esse enquadramento para sua posterior

análise.

Outras orientações ditaram os rumos da evolução da ciência Comunicação,

inclusive a semiologia da qual a Matemática muito se vale para sua difusão, mas nossa rota

desvia-se aqui, com as duas especificidades que a argumentação será daqui por diante

tratada.

3.3 A

ARGUMENTAÇÃO NA COMUNICAÇÃO

um raciocínio pode convencer sem ser cálculo, pode ser rigoroso sem

ser científico

Perelman

Breton (1998) considera a argumentação como a forma de se fazer partilhar uma

opinião por outrem sem o abuso de artifícios, o que quando ocorre ele considera como

manipulação e por esse viés faz a distinção entre esta e a argumentação. Parte do princípio,

de que o ato da argumentação implica um emissor, uma mensagem e um receptor, outro,

chamado de público e também de auditório.

Não muda a essência da estrutura apresentada por Bordenave (2002), mas

acrescenta quando faz menção aos estudos de Perelman (1970), a quem chama de filósofo

do direito e a quem atribui a criação da Nova Retórica, que tem como projeto romper com

a razão e o raciocínio propostos por Descartes, buscando restabelecer a lógica

argumentativa de Aristóteles que bem separava o que era para ser tratado pela retórica e o

que era para ser investigado pelas ciências.

PERELMAN apud BRETON P. A Argumentação na comunicação. Lisboa:Publicações Dom Quixote.1998

Segundo Breton, para Perelman, “um raciocínio pode convencer sem ser cálculo,

pode ser rigoroso sem ser científico” e, desse modo, consegue renovar o interesse pela

causa da argumentação.

Quando estamos em processo de comunicação com a sala de aula, nos investimos

no papel de orador e nossa turma de alunos é o nosso auditório, nesse momento, embora

intencionalmente matemáticos, na maioria das vezes empregamos técnicas surradas de

comunicação, linguagem de signos ainda não decifrados pelo auditório e, mesmo assim,

queremos convencê-los a adotar nossa opinião, seja levando-os a executar uma tarefa, seja

obrigando-os a manterem-se atentos ao nosso discurso. Nossas mensagens encontram

muitas dificuldades para serem decodificadas e, quando isso acontece, a aceitação e a

aplicabilidade que delas se espera, pouco se verificam.

Mencionamos, anteriormente, que a argumentação neste trabalho é considerada sob

dois aspectos. Tratamos o primeiro deles, aquele que considera que cabe ao professor

estabelecer meios de comunicação eficazes com seus alunos, apresentando argumentos que

possam convencer o seu público a se interessar pela sua proposta. E, posteriormente, deve

o professor caminhar nesse sentido guiado pela sua intuição, percepção e pela sua

competência, com o objetivo de oferecer oportunidades de aprendizagem que possam criar

as condições necessárias para tal desenvolvimento.

Embora apresentemos mais adiante um ambiente de aprendizagem que esse autor

tem, por hipótese, como adequado às suas finalidades, ressaltamos que essa modelagem

deve ser feita fundamentada na postura de cada profissional e adaptada ao seu modo de

aula, levando em conta, evidentemente, as características mais gerais de sua turma.

3.4 A

ARGUMENTAÇÃO NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Vimos como Breton trata a argumentação à luz da Nova Retórica, contudo não nega

a distinção quando a argumentação utiliza-se somente da razão para buscar o

convencimento de outrem; a esse tipo de argumentação Breton trata por demonstração

científica. Parece-nos algo familiar e que pretendemos que nossos alunos também

compreendam, concordam?

Mas ainda precisamos preparar o cenário que deverá lhes inspirar em tal tarefa e

por isso continuaremos a tratar da argumentação, ora sob a perspectiva matemática

embasada no enfoque dado por Castro e Bolite Frant para a argumentação na sala de aula.

Não se trata de argumentação sobre provas e demonstrações formais, mas

da argumentação que entra em cena nos diálogos do cotidiano, sempre

que alguém quer convencer a um outro ou a si mesmo de alguma coisa.

Castro, Bolite_Frant

Essas autoras brasileiras são pesquisadoras matemáticas e, em artigo publicado em

periódico do GEPEM sob o título Argumentação e Educação Matemática (2002), colocam

a importância do coletivo, entendendo que quando falamos, desenvolvemos formas de

argumentar para convencer a um determinado grupo, ou parcela dele, fazendo uso de um

conjunto de argumentos produzidos e aceitos dentro do contexto social deste grupo, uma

vez que há uma propensão do grupo em aceitar argumentos que lhes sejam familiares.

Segundo as autoras, quando um indivíduo argumenta, existe, antes de tudo, uma

intencionalidade que pode se originar em diversos motivos, por exemplo convencer,

impressionar, manipular, seduzir, fazer propaganda, e continuando colocam que “ a

maneira como se conduz à argumentação depende da situação em que ela ocorre e sobre o

que ela versa.”

Acrescentam que a negociação de significados entre sujeitos pode

promover a aprendizagem de algo, e afirmam que “objetos de conhecimento são

constituídos na relação entre mais de um.”

Nesse artigo, argumentam sobre as evoluções no campo da linguagem, das

tentativas infrutíferas de se tentar resolver os problemas da aprendizagem matemática,

focando somente na aquisição de linguagem matemática.

Outra contribuição, que encontramos nos estudos de Bolite Frant e Castro, é o

modo com interpretam linguagem em sua abordagem, pois, segundo as pesquisadoras, “ a

linguagem não se reduz à comunicação

”, valorizando o estudo de implícitos e de outros

usos que os indivíduos fazem dela:

Se a linguagem natural se restringisse a códigos destinados a transmitir a

informação, todos os conteúdos seriam exprimidos de maneira explícita.

A existência de implícitos coloca em destaque dispositivos de convenções

e leis sociais que regulam a interação lingüística entre os indivíduos.

Alguns exemplos desses implícitos podem ser entendidos pelos: “ dizer o que não

pode ser dito”, ou do “ dizer parecendo não ter dito” e ainda “dizer defendendo-se do risco

de ser contestado”, muito praticado em ambiente de sala de aula.

CASTRO,M., BOLITE FRANT J. Argumentação e Educação Matemática. GEPEM, boletim n. 40. 2002 , p.53

ibidem, p.54

ibidem, p. 54

ibidem , p.54

ibidem , p. 60

Em sala de aula existem regras de conduta que regem o dialogo, assim o aluno ao

se dirigir ao professor, ainda que com vontade de dizer: “_Seu arrogante”, usará a

expressão “mestre ou professor” com uma entonação mais forte, assim diz o que não pode

dizer. O professor ao invés de dizer que fulano, nomeando o aluno, fez tal coisa, o diz

aqui:”_Ninguém faria isso, mas na outra escola um aluno fez assim.” E o aluno quando vai

afirmar uma sentença, diante de suas dúvidas e da ação interrogativa do professor, profere

um discurso esperando que o professor valide cada frase, sem o que, recorre á uma nova

formulação tentando obter novo significado, dizendo como “defendendo-se do risco de ser

contestado”.

Bolite Frant e Castro admitem que a Teoria da Argumentação baseada na Nova

Retórica podem oferecer contribuições importantes para a compreensão dos processos de

ensino-aprendizagem constituindo-se em boa ferramenta para educadores que queiram

compreender o pensamento de seus alunos quando estes estão construindo conhecimentos

matemáticos.

3.5 P

ENSANDO O AMBIENTE DE APRENDIZAGEM

E é sobre o modo de compreender o comportamento do aluno que continuamos

nosso enredo e enveredamos pelos trabalhos de Maher. Essa estudiosa americana dedica-

se, já há muito tempo, à pesquisa baseada em salas de aula, em busca de investigar e

estudar como crianças e adultos constroem o conhecimento matemático. Maher considera a

“construção de representações mentais como uma das principais atividades matemáticas”.

Através de suas investigações, apurou como aprendizes criam modelos para expressar

essas representações mentais:

Os aprendizes, aqueles que procuram dar sentido às suas experiências,

baseiam o seu conhecimento em suas ações coordenadas sobre objetos. A

partir das suas ações, aprendizes constroem uma representação dos

objetos. A representação desses dados-objetos é utilizada para construir a

representação do conhecimento, assim os aprendizes encontram sentido

em suas experiências. À medida que esse novo conhecimento vai sendo

assimilado, seus dados continuam a ser manipulados, podendo resultar

numa modificação ou rejeição da representação ‘primeira’ daquele

conhecimento.

Ainda, segundo Maher, ao analisar vídeos de crianças e adultos em situações de

aprendizagem matemática, encontram-se evidências de que esses personagens agem de

MAHER C. A. Professores podem ajudar seus alunos a construir argumentos convincentes? Um breve exame desse processo. 1998

p.13

modo semelhante, quando partem em busca de modelos de representação que julgam

apropriados para que os auxiliem na composição de suas justificativas.

A autora , avançando em suas pesquisas, realiza trabalhos com professores em salas

de aula e em oficinas e através desses encontros, onde são discutidos e analisados os

procedimentos de alunos em situações de aprendizagem que permitem o desenvolvimento

de ações e estratégias relacionadas a justificativas e provas em matemática.

Apresentamos dois exemplos utilizados com esse objetivo:

Construindo torres:

Construa todas as torres possíveis de quatro cubinhos de altura dadas duas cores de Cubos

Unifix; e elabore um argumento convincente de que realmente todas as torres possíveis de

serem construídas foram encontradas.

O Problema da Pizza

A Pizza Hut nos pede que determinássemos todos os tipos de pizza. Por exemplo, eles

oferecem uma pizza com queijo e molho de tomate. Um freguês pode então selecionar as

seguintes coberturas: pimentão, lingüiça, cogumelos e lingüiça calabresa.

1. Quantos tipos diferentes de pizza um freguês pode escolher;

2. Liste todas as alternativas possíveis;

3. Descubra um modo de convencer aos outros que você já listou todas as possíveis.

Quadro Informativo 10 – exemplos utilizados por Maher em suas atividades – Fonte: Univ. Sta Ursula

Ambos os problemas levaram os alunos a construir justificativas para a solução da

atividade de duas maneiras: prova por indução e prova por casos.

Maher e a comunidade matemática que está inserida, observam um paralelismo nos

processos de apreensão do conhecimento entre crianças, adultos, alunos de graduação e

pós, ao se apropriarem de uma dada representação que sirva para validar suas formulações,

que prove a correção de suas assertivas. Das suas observações surgiram as próximas

afirmações:

_Atividades matemáticas instigantes para serem investigadas pelas

crianças;

_Atenção a como as crianças expressam suas idéias (nem sempre

verbalmente ou por escrito, mas freqüentemente por ações sobre objetos

na construção de modelos);

_Habilidade na orquestração da comunicação em sala de aula;

_Avaliação permanente do aprendizado da criança;

_Conhecimento das idéias das crianças para elaborar seu trabalho a partir

daí;

_Negociação e renegociação do significado, feita através de

questionamentos do professor;

MAHER, C. A. op. cit., p. 21

Nossa interpretação de ambiente de aprendizagem inclui várias das assertivas de

Maher, além de concordarmos quando a autora aponta a complexidade na implementação

“de uma abordagem de ensino que incremente o desenvolvimento do significado

matemático dos estudantes”

. Contudo, baseada em sua experiência de longa data na

pesquisa dessas situações, Maher sinaliza com resultados amplamente positivos na adoção

desse modelo que, ao privilegiar o pensar na aprendizagem, proporciona o

desenvolvimento da capacidade de argumentação dos alunos.

Em busca de elementos complementares que trouxessem características que

entendemos como necessárias ao nosso ambiente de aprendizagem, nos pautamos na

experiência de Arcavi (2000) que cumpre uma outra e principal reivindicação concernente

a revisão curricular e a prática docente. Antes, justifica a adoção por um certo tipo de

planejamento que poderia opor-se à sua assumida gestão construtivista:

É indispensável propor uma certa estruturação externa das

atividades de ensino subordinadas às seguintes funções: ser trampolim

para que o aluno comece a gerar suas próprias perguntas;mostrar e

exemplificar o uso de ferramentas de trabalho neste campo (não significa

necessariamente procedimentos algorítmicos mas sobretudo, estratégias

de pensamento); propor modelos de perícia e colocar o aluno frente a

práticas de trabalho consistentes com as que atuam no campo.

(schoenfeld 1992b).

Arcavi

As idéias desse pesquisador sobre planejamento instrucional e ação construtivista,

que crê na necessidade de uma orientação adequada dos alunos, quer pela pouca chance de

que esses possuam uma visão global de determinado campo matemático, quer pela

dificuldade em saber o que perguntar, se tornam inteligíveis ao analisarmos os princípios

que Arcavi elege como necessários à consideração do professor, quando da proposição de

exercícios ou problemas. Apresentamos a compilação de alguns desses princípios:

_ que seja possível resolver o problema de mais de uma maneira para gerar um diálogo,

que conduza a conectar formas diferentes de pensar e o leve à elaboração de novas

perguntas, isto é, que a solução do mesmo desperte a curiosidade e o aluno, por si próprio,

em grupo ou com a ajuda do professor, abra a possibilidade de seguir explorando a

situação;

MAHER, C A. op. cit., p. 21

SCHOENFELD apud ARCAVI , A. E em Matemática, nós que ensinamos, o que construímos?. Traduzido por Janete Bolite Frant,

GEPEM, boletim n. 36 fev. 2000. p. 86

_ que a resposta não seja sempre o resultado de uma operação, mas seja a formulação de

uma argumentação, uma comparação, uma idéia, uma conexão entre conceitos, uma

tradução entre diferentes representações; que haja problemas da vida real, para os quais o

uso de ferramentas matemáticas ajude a compreender melhor os fenômenos que nos

rodeiam; que nem sempre haja uma única resposta ao problema

_ que o problema convide o aluno a rever uma idéia, um conceito ou uma operação numa

nova representação, para tratar de isolar, na medida do possível, o conceito e separá-lo de

suas representações típicas ou usuais;

_ que haja micro-mundos planejados por experts para que o aluno que trabalhe nele seja

quem decida e reformule que tipo de problema irá resolver.

Nesse momento, o rumo de nossa pesquisa aponta na direção da argumentação

matemática, entendendo-a como a contribuição da argumentação para essa causa como

possível, sobretudo pelo desenvolvimento de habilidades argumentativas, idéia que

enfatizamos em nosso estudo. A contribuição que vem da pesquisadora Nádia Douek

nos indica algumas boas razões para manter o interesse no estudo sobre argumentação e

argumentação matemática:

• Propostas de trabalhos que contemplem o desenvolvimento de habilidades

relevantes ao processo de elaboração de provas matemáticas;

• Exploração do potencial de interação social no desenvolvimento de habilidades e

conhecimento matemático;

• importância das habilidades argumentativas no currículo, visando intensificar a

autonomia intelectual dos alunos.

Douek afirma que o desenvolvimento das habilidades argumentativas não se dá

exclusivamente no domínio da matemática, é reconhecidamente mais amplo, estendendo-

se aos domínios de outras disciplinas e alerta que o ‘‘potencial argumentativo dos

estudantes precisa ser nutrido por diferentes atividades”.

Sintonizamos com Douek em dois aspectos essenciais dessa pesquisa, o primeiro

pelo uso intencional do substantivo “contexto” em situações educacionais, para o qual

adota as distinções propostas por Wedege (1999), a saber: “situação-contexto” como lugar,

contexto social, ambientes de aprendizagem virtuais, etc. e “contexto da atividade”

traduzido em enunciados e situações do dia a dia. O segundo aspecto está relacionado com

à argumentação matemática e refere-se a alguns atributos gerais da argumentação

DOUEK, Nadia. Do texto oral ao escrito: uma abordagem da argumentação matemática de longa duração nas séries iniciais, traduzido

por Mônica R. Castro. Vetor NeteClem, 2003

especialmente significativos no caso da argumentação matemática que Douek indica em

seu artigo, os quais apresentamos de forma abreviada:

i. A elaboração de uma tese será posta em discussão [...] e pode ser

produzida para iniciar uma argumentação_ ou aparecer mais tarde

como um resultado parcial da argumentação.

ii. A produção de justificações (“argumentos”) para validar a tese [...]

Elas podem ser expressas usando inúmeras representações (relato

verbal, indícios experimentais, rabiscos...) Elas podem dizer respeito:

ao uso de ferramentas peculiares ( no caso da discussão de um

projeto), à produção de contra-exemplos (no caso da discussão de

uma conjectura), etc.

iii. Os argumentos e a tese sob exame estão interconectados pelo

objetivo da argumentação, através de justificações [...], pelo desenho

de novas conclusões.

iv. Existe uma estrutura global que necessita ser mantida para que a

argumentação possa ser seguida pelo interlocutor e compreendida por

ele

v. A atividade cognitiva de um sujeito elaborando uma argumentação é

tanto consciente quanto voluntária; pressupõe a internalização de um

“outro” que está em posição de controlar ou regular a lógica do

raciocínio, a verdade dos fatos...

Influenciada por aquelas razões e baseada pelas assertivas do parágrafo anterior,

Douek estabelece uma hipótese de trabalho voltada à apropriação da linguagem escrita

através de orientação adequada como forma de desenvolvimento de habilidades relevantes

para a argumentação matemática por crianças em séries iniciais do ensino fundamental.

3.6 C

ONTEXTOS PARA ARGUMENTAR

A organização curricular deve criar um ambiente escolar que

possa ser caracterizado como um espaço que, além de buscar dados e

informações, as pessoas tenham possibilidade de construir seu

conhecimento e desenvolver sua inteligência com suas múltiplas

competências.

O ambiente de aprendizagem tal e qual propomos, busca na Comunicação a sua

funcionalidade e foca na argumentação como principal habilidade cognitiva a ser

desenvolvida. As inserções realizadas nos campos da Teoria das Comunicações e da Nova

Retórica pela causa da argumentação, já apresentadas nesse estudo, capturaram permissões

a tais acessos na essência da Educação Matemática, ciência que busca em co-irmãs, meios

de compreender e melhorar as condições de ensino-aprendizagem de matemática.

PLATIN apud DOUEK, 2003, idem. pp. 53-54

PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da organização linear a idéia de rede. 2000. p.203

Nas próximas linhas, nos voltamos ao aspecto do ambiente de aprendizagem

matemático, embora seja nossa pretensão que tal aplicabilidade não pertença somente a

essa ciência, e apresentamos as premissas que admitimos necessárias ao desenvolvimento

dos conteúdos e habilidades a serem tratados. Nesse sentido, caminharemos em busca de

situações que levem a procedimentos de iniciação à prova e demonstração através de

blocos de conteúdo versando sobre progressões.

Cuidamos anteriormente de esclarecer os modos de planejar um ambiente de

aprendizagem, no sentido de que este fosse eficiente no convencimento do aluno, seguido

da apresentação de contextos apropriados ao desenvolvimento da condição de argumentar

do mesmo. A intencionalidade didática do ambiente de aprendizagem pode ser visualizada

sob os seguintes ângulos de um mesmo prisma:

− O todo do ambiente permite investigar a evolução da capacidade argumentativa

do aluno quando:

− Torna possível, a partir do uso da linguagem natural e através da

argumentação, a negociação do contexto matemático, muita vez, apoiado pela

experimentação, onde poderá buscar significado para os termos e objetos

matemáticos em uso, adquirindo o que chamamos de fluência matemática.

Acredita-se que essa negociação possa levar o aluno à compreensão e à

assimilação do conceito argumentação matemática e prepara-o para uma

abordagem mais adiante.

As atividades desempenham função dupla:

− A primeira, mais imediata e pontual, cumpre o papel de comunicar uma idéia

matemática, um conteúdo matemático relacionado ao tópico de Progressões, no

caso dessa pesquisa;

− A segunda, mais ampla, delineia as etapas estabelecidas pela pesquisa para

iniciação aos processos de prova e demonstração, a saber:

_ aquisição de fluência matemática implicando na apreensão do significado

dos termos e objetos matemáticos em estudo, parece-nos mais adequado

referirmo-nos à aquisição da simbologia e sintaxe matemática para ser usada

ou não pelos alunos como vocabulário “socializado” nesta sala de aula.

Claro que não basta decorar nomenclatura, mas sem uma comum não é

possível à comunicação, assim teríamos dois caminhos: o usual, mais direto,

através, por exemplo, da exposição do professor ou enunciado do livro

didático e outro mais longo, onde os alunos inicialmente começariam

utilizando a tal linguagem cotidiana e depois se estabeleceria uma relação

entre os nomes usados no livro-texto e os nomes criados pelos alunos. Cabe

observar que, na sala de aula de matemática, a argumentação dos alunos já

inclui naturalmente termos matemáticos que já socializaram em séries

anteriores, ou que acreditem que o professor vai gostar.

_ identificação de processos de generalização que propicie o

pronunciamento de definições e o entendimento do surgimento de

algoritmos, quando for o caso;

_ identificação de propriedades matemáticas, através do exercício de

observação e da ação empírica com o auxílio de facilitadores, assim

considerados os recursos didáticos lançados em atividades específicas;

_ aplicação de atividades em que o uso das evidências matemáticas, assim

chamadas, as propriedades, as definições e os algoritmos, sejam necessários

para justificar os argumentos apresentados como soluções.

A sala de aula apresenta situações em que indivíduos se esforçam por convencer

outros. São essencialmente situações de diálogo onde o professor deve convencer seus

alunos de novos fatos e novas idéias. Podemos pensar também que o aluno quer convencer

a si mesmo e aos colegas de suas conclusões. A argumentação sempre visa produzir efeitos

sobre o auditório e não tem como finalidade única à adesão intelectual, mais

freqüentemente ela visa incitar a ação.

As inserções do conteúdo matemático da nossa pesquisa, sabidamente poucas,

devem-se à intenção em enfatizar a concepção do ambiente apresentar sua aplicabilidade,

independentemente do conteúdo, mas intrinsecamente voltado ao desenvolvimento da

capacidade argumentativa.

Iniciamos este capítulo buscando identificar nas renovadas formas com que a

comunicação e a argumentação se apresentam, alguns subsídios que pudessem servir à

causa da Educação Matemática e encontramos em pesquisadores como Bolite Frant, Castro

Maher, Arcavi, e Douek, importantes contribuições para a composição de nosso

experimento, nosso ambiente de aprendizagem.

Entendendo que o ambiente de aprendizagem, tal e qual planejamos, é consoante

com as idéias até aqui apresentadas e precisamos fundamentá-lo, dedicaremos nosso

próximo capítulo à edificação teórica de nosso estudo aportando nas idéias em evolução de

Papert e o construcionismo e, ainda, apresentaremos a metodologia que será utilizada.

...

4 FUNDAMENTANDO

Eu prefiro ser essa metamorfose ambulante,

Do que ter aquela velha opinião formada sobre tudo.

Seixas.R

4.1 A

LICERCES TEÓRICOS

Antes de enveredarmos pelas linhas construcionistas, é pertinente admitirmos que

traços construtivistas são naturais aos que se apóiam no construcionismo.

O construtivismo, por seus vários autores, pressupõe a interação da produção

mental com o meio sócio-cultural, através de atividades significativas como forma de

produção de conhecimento, onde há a necessidade de se considerar a maturidade do

indivíduo na proposição de conteúdos cognitivos e a importância do meio cultural para o

seu desenvolvimento, reconhecendo que o confronto entre conhecimentos cotidiano e o

científico interfere e auxilia no entendimento dos significados que esse último pode trazer

ao aluno, como uma das formas eficazes de ensino.

A presença construtivista é percebida em algumas das atividades elaboradas para

esse estudo, através da integração dos vários recursos didáticos com as ações socializáveis

voltadas ao ensino e aprendizagem de um tópico matemático desenvolvidas sob a

orientação do professor, ora mediando, ora validando a produção do conhecimento, com

objetivo mais audacioso de despertar no aluno a implícita necessidade de argumentar com

propriedades matemáticas, contribuindo para iniciá-lo nos processos de demonstração e

prova em matemática, tarefa das mais árduas do universo dessa ciência.

4.1.1 Construcionismo:

O construcionismo de Seymour Papert é o alicerce teórico que permite a edificação

dessa pesquisa, seja pela condição que analisa e admite o uso da tecnologia, seja pela visão

mais ousada de Papert por entender que a matemática pode ser ensinada de forma

Raul Seixas, Célebre músico e compositor brasileiro , refrão de uma de suas músicas mais conhecidas

divertida, dura, mas facilitadora e, principalmente, pelo caráter evolutivo de sua teoria em

constante desenvolvimento. É esse o enfoque que delineia a concepção do ambiente de

aprendizagem que essa pesquisa apresenta como experimento didático.

Maltempi

escreve em pesquisa de doutorado que o construcionismo é definido,

segundo o próprio Papert, em cinco dimensões

1. Dimensão pragmática: a sensação que o aprendiz tem de estar aprendendo algo

que pode ser utilizado de imediato, e não em futuro distante.

2. Dimensão sintônica: a oportunidade de o aprendiz encarar suas tarefas como

projetos pessoais utilizados para expressar um estilo pessoal de fazer as coisas, ou

uma estética pessoal. O computador é utilizado para fazer algo que o aprendiz

sente como importante e psicologicamente poderoso.

3. Dimensão sintática: a possibilidade de o aprendiz facilmente acessar os elementos

básicos que compõem o ambiente de trabalho, e progredir na manipulação destes

elementos de acordo com a sua necessidade e desenvolvimento cognitivo.

4. Dimensão semântica: a oportunidade de o aprendiz manipular elementos que

carregam significados que fazem sentidos a ele, em vez de formalismos e

símbolos.

5. Dimensão social: a integração da atividade com as relações pessoais e com a

cultura do ambiente no qual ela se encontra.

Maltempí afirma que, quando todas essas dimensões são estimuladas em um

ambiente de ensino-aprendizagem focado no uso do computador, elas favorecem o

desenvolvimento cognitivo do aprendiz.

Freire e Prado, pesquisadores do NIED, afirmam através do artigo eletrônico

Professores Construcionistas: A formação em serviço, que os princípios da teoria

construcionista vêm sendo re-elaborados por Papert, desde o final da década de 60, quando

da implementação da linguagem de programação Logo.

O construcionismo é uma teoria que se encontra em plena evolução, inicialmente

focado no uso da linguagem de programação Logo, este conceito transcendeu seu fim

computacional e adquiriu um viés metodológico centrado na criação de ambientes de

aprendizagem e no desenvolvimento de materiais que permitam ao aluno refletir sobre o

seu aprendizado. O uso da tecnologia para além do Logo, é segundo Freire e Prado, outro

forte fator de influência na transcendência do Logo como metodologia:

trata-se, em nossa concepção, de uma teoria em movimento,

resultante de uma ‘meta-reflexão’ de Papert sobre diferentes modos de

(re-)construção do Logo (e mais recentemente, da tecnologia de modo

geral)por diferentes comunidades escolares, em diversas culturas

MALTEMPI, M. V. Construção de páginas web:depuração e especificação de um ambiente de aprendizagem. Tese de Doutorado,

2000.

PAPERT apud MALTEMPI, idem, p. 14

FREIRE, F.M.P., PRADO, M.E.B.B., Professores Construcionistas: A formação em serviço. Disponível na Internet em:

http://www.niee.ufrgs.br?ribie98?CONG_1996?CONGRESO_HTML/64/FORMSERV.HTML. Acesso em jan. 2007

Concordamos com Valente e sua interpretação mais abrangente da questão do uso

do computador, quando afirma que o aprendiz, ao utilizar o computador para fins didáticos,

manipula conceitos e, conseqüentemente, influencia em seu desenvolvimento mental:

Entretanto, na minha opinião, o que contribui para a diferença entre essas

duas maneiras de construir o conhecimento é a presença do computador _

o fato de o aprendiz estar construindo algo através do computador

(computador como ferramenta). O uso do computador requer certas ações

que são bastante efetivas no processo de construção do conhecimento.

Quando o aprendiz está interagindo com o computador ele está

manipulando conceitos e isso contribui para o seu desenvolvimento

mental. Ele está adquirindo conceitos da mesma maneira que ele adquire

conceitos quando interage com objetos do mundo, como observou

Piaget.

Sintonizamos com esses autores, por entender que há uma expressa concordância e

contida admiração com a ousadia de Papert, antes por sua humildade em perceber e aceitar

transformações que surgem das bases da educação, depois pela postura firme em propor o

ensinamento da matemática por vias “prazerosas”, que muitos teimam em confundir como

não rigorosa, não matemática, próxima da forma que descrevemos a seguir, testemunhada

pelo próprio Papert:

Um exemplo do que quero dizer foi-me trazido por um professor

que recusou a idéia de que as crianças devem poder escrever sobre o que

gostam. “Quando forem trabalhar terão que fazer o que lhes for dito”.

Aqui está a origem do fracasso de muitas crianças em aprender a ler e

escrever. Naturalmente devemos ensinar às crianças a ter o autocontrole

necessário para cumprir ordens. Contudo, ao se confundir aprender essa

capacidade com aprender a escrever, frustra-se os dois propósitos.

A postura de Freire e Prado é condizente com a de Valente, ambos admitindo o viés

pedagógico do Logo. Valente indica o que deve ser enfatizado na criação de ambientes de

aprendizagem.

A primeira referência é relacionada ao controle do processo de aprendizagem pelo

aprendiz, explorando o “objeto computador” ao seu modo, despertando e mantendo o

interesse em resolver o “seu” problema. A atuação do professor se dá pela mediação, pelo

oportunismo e pertinência de suas perguntas e apontamentos de “erros”, erros que nessa

concepção apresentam ao aprendiz a oportunidade de entender melhor o conceito e corrigir

suas formulações, ao avaliar o que não deu certo e buscar formas de melhorar. O segundo

VALENTE, J.A. Porquê o Computador na Educação? Disponível na Internet em:

< http://

www.nied.unicamp.br/publicações/separatas/Sep2.pdf > . Acesso em out. 2006 p.12

PAPERT, Seymour. Diversão Trabalhosa. Tradução por Léo Silva, Disponível na Internet em:

http://www.educacaopublica.rj.gov.br/biblioteca/tecnologia/tec15.htm. Acesso em mar. 2007

papel é “ a chance de aprender fazendo”, conforme escreve Valente sobre ambiente de

aprendizado:

É justamente este aspecto do processo de aprendizagem que o

logo pretende resgatar. Um ambiente de aprendizado onde o

conhecimento não é passado para a criança, mas onde a criança

interagindo com objetos desse ambiente, possa desenvolver outros

conceitos...

A versão sobre ambiente de aprendizagem de Prado e Freire:

A criação do ambiente de aprendizagem possui certas

características que, segundo Papert, colaboram no sentido de desencadear

a aprendizagem: a escolha, a diversidade, e a qualidade da interação que

se estabelece no ambiente em questão.

O ambiente de aprendizagem deve ao mesmo tempo, propiciar a autonomia por

parte do aprendiz e dispor de uma “rica fonte de sugestões”, atendendo a diversos tipos de

interesses por parte dos aprendizes; a diversidade deve considerar a ampla gama de

aprendizes, que “ constituem o ambiente”, seja pela formação, pela experiência, enfim,

considerando a heterogeneidade dos aprendizes; e a qualidade diz respeito à interação

entre os sujeitos, a “aprender com os outros”:

... aprender com o outro não é uma atividade puramente

intelectual, impessoal. [...] Busca-se através do trabalho coletivo, um

sentido real para sua realização, destacando-se a importância da

contribuição e do envolvimento de cada integrante do grupo.

”

Ao concordarmos com esses pesquisadores, admitimos a complexidade em definir

uma teoria em evolução, embora seja esse um dos fatores que nos estimulam na contínua

busca de novas maneiras de se fazer matemática.

O construcionismo engloba em grande parte as premissas do construtivismo que

expressamos anteriormente, e Papert vai além, ao nos apresentar o conceito hard fun

(diversão trabalhosa) que a matemática pode proporcionar, ao conceber o ensino e a

aprendizagem da matemática como uma forma reacional, desafiadora e que completamos

acrescentando que a matemática não precisa ser sisuda, pode acontecer como se fosse uma

laboriosa e divertida tarefa, intencionalmente didática e convidativa!

VALENTE, J.A. op. cit

FREIRE, F.M.P., PRADO, M.E.B.B., op. cit.

ibidem

4.2 DESIGN DAS ATIVIDADES DO AMBIENTE DE APRENDIZAGEM

Ao centrar em um dos objetivos do AprovaMe: “formular recomendações

relacionadas ao papel da argumentação e da prova no currículo de Matemática Escolar”

esta pesquisa encontra significativa contribuição em tratados que, sem deixar de focar na

aprendizagem de um conteúdo matemático, optam por enfatizar a experiência de trabalhar

“tarefas relacionadas a objetivos” (IREM) ou voltado aos “hábitos de pensamento

matemático” (Goldemberg), entendendo que o processo de prova e demonstração, mesmo

partindo de um início planejado e ajustado ao seu público (séries iniciais do ensino

fundamental II), requer a contínua atenção de professores quanto ao desenvolvimento das

habilidades cognitivas de nossos alunos na direção da gradativa apropriação, compreensão

e apreensão do significado deste conceito matemático, estabelecendo possibilidades reais

de negociação dessa cognição através dessas tarefas e atividades.

4.2.1 Hábitos de pensamento matemáticos

Chegamos, agora, com um enfoque muito próximo dos propósitos do ensino da

matemática que delineiam a proposta dessa pesquisa, contudo precisamos recorrer aos

estudos de Paul Goldenberg para dar satisfação à comunidade que nos assiste e possibilitar

o entendimento do que viriam a ser “hábitos do pensamento matemático.”

Antes de apresentarmos alguns “hábitos do pensamento matemático”, entendemos

que a indicação de alguns fatores, que influenciaram essa proposta de Goldenberg e que

são amplamente concernentes ao propósito de nosso estudo, seria esclarecedora e

interessante ao nosso leitor.

Goldenberg retira da matemática que pretende ensinar uma sobrecarga de

responsabilidade pela função de desenvolvimento do raciocínio, dividindo com outras

disciplinas essa condição, frisamos o dividir para deixar claro que concordamos que a

matemática desenvolve essa habilidade, mas não o faz isoladamente, d’outra afirmação que

faz sobre a aplicabilidade da matemática em tudo o que fazemos, Goldenberg argumenta

indicando que, por vezes, alguns desses hábitos são próprios da matemática e podem não

servir a modos de pensar especiais de um dado contexto:

O que se afirma não é que o ensino da Matemática se justifica

porque é bom para desenvolver as capacidades de raciocínio. Isto não é

mais (nem menos) correto para a Matemática do que para o Grego ou o

Latim. Também não é verdade que todos os hábitos de pensamento em

matemática sejam essenciais em contextos não matemáticos (ou que

sejam equivalentes, ou sirvam de base para modos de pensar especiais

nesses contextos não matemáticos). Existem alguns hábitos matemáticos

de pensamento que não são tão aparentes em outras disciplinas, mas que

devem, apesar disso, estar presentes num curso (tal como os conteúdos

matemáticos o devem ser) para que ele possa ser considerado de

matemática.

Portanto, ao centrar a organização do currículo em determinados hábitos do

pensamento matemático, Goldenberg vê surgir melhores condições de aprendizagem numa

formação mais substancial, focada às necessidades dos alunos que se identificam ou não

com a matemática escolar:

Mas, ao escolher determinados hábitos de pensamento que são

essenciais em matemática e também nos bons modos de pensar em

domínios mais amplos, podemos ensinar matemática que sirva para

preparar os alunos para estudos avançados de matemática (um objetivo

importante), e ao mesmo tempo corresponder às necessidades dos alunos

que podem não ter ainda desenvolvido um especial interesse ou aptidão

para a matemática, ou mesmo daqueles que nunca o farão (um segundo

objetivo importante).

Sentimos a necessidade da exposição de alguns hábitos do pensamento matemático,

para auxiliar na compreensão das intenções didáticas do nosso ambiente de aprendizagem,

concatenados a Goldenberg, no que se refere ao papel que estes podem desempenhar para

o desenvolvimento curricular da matemática, em fase que precede a especialização.

Tal como todas as destrezas, estas exigem aprendizagem, e

devem ser sistematicamente construídas e exercitadas quando se pretende

que sejam adquiridas. As tarefas que contribuem para essa aprendizagem

incluem propostas ‘não-matemáticas.

Goldenberg apresenta-nos algumas tendências verificadas no ensino em geral e

busca uma relação mais próxima à matemática, identificando alguns hábitos que precisam

ser desenvolvidos por nossos alunos e, logicamente, espera nossa contribuição para isso,

indicando por vezes, algumas propostas nesse sentido.

Estudaremos alguns dos hábitos de pensamento matemáticos que Goldenberg e

outros autores publicaram na coleção Connected Geometry -- um currículo apoiado pela

National Science Foundation (Education Develop. Center, 1996).

GOLDENBERG [1], E. Paul.Hábitos de Pensamento: um princípio organizador para o currículo (1). Tradução por Eduardo Veloso.

Disponível na Internet em:

http://www.apm.pt/apm.revista/educ47/educ47_6.htm> Acesso em fev. 2006

GOLDENBERG [2], E. Paul.Hábitos de Pensamento: um princípio organizador para o currículo (II). Tradução por Eduardo Veloso.

Disponível na Internet em:

http://www.apm.pt/apm.revista/educ48/educ48_6.htm> Acesso em fev. 2006

GOLDENBERG [2], E. Paul. op. cit.

Os exemplos, quando apresentados, retratarão a forma pela qual foram extraídos da

coleção Connected Geometry, conforme o texto original traduzido por Eduardo Veloso e

disponibilizado pela APM

. Na seqüência, alguns "hábitos de pensamento matemático"

apropriados para o desenvolvimento curricular antecedente à especialização e relacionados

a tendências:

• A tendência da visualização

A tendência da visualização assim entendendo a capacidade de imaginar, criar e

manipular, sejam processos ou objetos que não estão ao alcance de sua visão, ainda em

outras vezes, imaginar o que nunca foi visto.

E é particularmente especial no ensino da matemática, para o apoio de experiências

mentais que auxiliam em investigações matemáticas, tal como escreve Goldenberg:

A visualização, talvez especialmente a componente da revisão, é

também um instrumento valioso para apoiar os tipos de experiências

mentais que orientam os alunos nas investigações matemáticas e os

ajudam a construir conexões lógicas e demonstrações. As destrezas que

apóiam a visualização têm um preço: o seu desenvolvimento deve

constituir uma parte explícita da aprendizagem do estudante.

Dá nos exemplos de Interpretação de diagramas

Quadro Informativo 11 – Exemplo de visualização – Fonte: Paul Goldenberg

E comenta que para muitos, o entendimento e a análise desse diagrama dependerá

do nível de amadurecimento matemático que o aluno se encontra. Para alguns em nada

ajudará a análise da figura, outros mais hábeis podem considerar tal diagrama como um

tipo de “demonstração visual” da relação algébrica que representa ignorando algumas

particularidades da figura que não estão explícitas, já para matemáticos mais “maduros”, a

comunicação que o diagrama estabelece, constitui-se em possíveis elementos que podem

APM é sigla para a Associação de Professores de Matemática de Portugal que disponibiliza sua revista, especificamente os nºs 47 e

48, no endereço eletrônico:

http://www.apm.pt/apm/revista/educ47/educ47_6.htm

GOLDENBERG [2], E. Paul. op. cit.

auxiliar na composição de uma demonstração, entendendo que a ausência de propriedades

matemáticas não permitem considerar o todo como um processo de prova.

Muitos currículos usam diagramas como este, mas não fornecem

suficientes oportunidades explícitas aos alunos para aprender melhor

como produzir ou transformar estes diagramas, ou para compreender o

seu conteúdo e limitações. Uma vez mais, estas capacidades não são

naturais e necessitam ser aprendidas.

• A tendência para descrever, formal e informalmente, relações e processos

Entendemos que a compreensão e ascensão aos conceitos matemáticos se fazem

pelo uso de nossa linguagem natural, que permite o acesso aos conteúdos pelos alunos e

pela comunicação entre professor e esses, com a finalidade de estabelecer negociações

eficazes da aprendizagem, mas isso só permite, segundo Goldenberg, a compreensão do

significado geral, acrescentando que a matemática possui sua própria estrutura lingüística,

propícia ao entendimento de minúcias e detalhes que corporificam o aprendizado, daí

concordamos com Goldenberg quanto à necessidade de se investir no desenvolvimento das

duas formas de linguagem:

Uma pessoa pode reparar em coisas que está mal preparado para

descrever, mas está em melhor posição para tornar mais acutilante a sua

percepção se for capaz de falar sobre ela. Do mesmo modo, uma pessoa

pode aprender um vocabulário, sem ter muito que dizer com ele, mas,

tendo alguma coisa de valor sobre a qual falar, torna a tarefa mais fácil.

Uma das coisas não compensa a outra, neste caso. Um currículo atingirá

certamente melhor cada um dos objetivos se tiver os dois em conta.

O pesquisador americano ressalta o importante papel das definições na linguagem

matemática. Por vezes, uma definição se aplica a determinado contexto e é preciso habituar

nossos alunos com essas situações, comunicando com clareza sobre suas idéias

matemáticas. Uma das referências que Goldenberg se utiliza é encontrada na definição do

que é um cilindro e na dificuldade que muitos têm em considerar uma moeda ou um

espaguete como exemplos desta forma geométrica, surgindo daí um outro exercício que

enquadra o hábito de pensamento matemático relacionado à descrição.

• A tendência para traduzir informação apresentada verbalmente em

informação visual (e vice-versa)

GOLDENBERG [2], E. Paul. op. cit.

Desenhar roteiros que descrevem caminhos percorridos pelo estudante é uma das

sugestões que podem colaborar para o desenvolvimento dessa habilidade. Acreditamos

que, auxiliando com interpretações de situações tangíveis, o avanço para o

desenvolvimento do contexto matemático desse hábito parece mais plausível ao nosso

aluno.

• A tendência para fazer experiências (tinker)

Goldenberg, ao descrever hábitos relacionados a essa tendência, faz referência aos

cilindros que vimos anteriormente. Entende aquele autor que os alunos devem verificar um

mesmo problema em contextos diferentes, fazer explorações, encontrando possibilidades

diferentes permitindo que através de seus próprios ensaios surjam à luz de seus olhos

evidências de ordem matemática.

Um problema que é colocado a duas dimensões pode ser

reexaminado a uma ou a três. Um problema que diz respeito a retas pode

ser reexaminado com linhas curvas. Um problema que é proposto no

plano pode ser reexaminado numa esfera, num cilindro ou num toro.

• A tendência para procurar invariâncias

Goldenberg entende que a demonstração é o “coração da matemática” e considera

que o desenvolvimento do hábito de procurar e identificar invariâncias, aliado ao uso de

argumentos lógicos, é uma das formas de se trabalhar o ato de demonstrar em matemática.

Conjectura que a procura de invariâncias, por ser central ao curso de matemática, pode ser

trabalhada em qualquer conteúdo para auxiliar o aluno no treino desta habilidade, contudo

admite que o conteúdo, qualquer que seja, pode ser ensinado sem este “aspecto

globalizante”.

• A tendência para misturar experimentação e dedução

Além da procura de invariâncias, a experimentação é uma ferramenta que vem se

corporificando em matemática, principalmente pelo uso de computadores como ferramenta

no processo ensino-aprendizagem.

Construções geométricas e a função “arrastar” e “soltar” permitem aos nossos

alunos, visualizar e observar o comportamento de uma dada construção. A questão

facilitadora, sempre associada ao uso do computador, serve ao aluno pela grande

GOLDENBERG [2], E. Paul. op. cit

quantidade e diversidade de experimentos de uma mesma espécie, que torna-se possível ser

feita. A sugestão de Goldenberg, para esse tipo de destreza, é “ ajudar os alunos a ver

como podem (cuidadosamente) traduzir uma experiência em palavras, de modo a construir

uma demonstração.”.

• A tendência para construir explicações sistemáticas e demonstrações para

invariâncias observadas

Goldenberg propõe que a compreensão do significado de demonstrar deve estar

presente em todos os níveis e em todos os temas matemáticos, ressaltando que esta

proposta deve ser adaptada à maturidade do aluno e não só no ensino de geometria do

secundário.

O que interessa não é a forma de uma demonstração, mas o ato de

construir demonstrações, e o conhecimento da estrutura de boa

demonstração são essenciais em matemática.

Sua predileção pela face interdisciplinar da matemática, através da adoção dos

hábitos de pensamento, faz com que o pesquisador americano relacione, com a devida

prudência, que o encadeamento coerente de nossos pensamentos, tal e qual serve à

matemática, também o faz a outras disciplinas.

• A tendência para construir algoritmos e raciocinar acerca deles (uma das

muitas conexões com a álgebra)

O uso de algoritmos é uma das principais recorrências que o aluno faz da

matemática. A conexão entre campos da matemática é um dos principais objetivos do

programa constante no Connected Geometry. Conseqüentemente, ajudar o aluno a

construir seus próprios algoritmos ao invés de só utilizar, é também uma das destrezas que

precisamos trabalhar nele. O uso de softwares apropriados pode auxiliar em muito o

desenvolvimento dessa habilidade, pois permite observar invariâncias e outros padrões

através da visualização que ajudam na formulação de hipóteses.

• A tendência para raciocinar por continuidade (uma das muitas conexões com

a análise)

O uso de programas de geometria dinâmica é ilustrado por Goldenberg para

descrever a atuação de alunos criando construções, arrastando e observando o efeito que

GOLDENBERG [2], E. Paul. op. cit.

se propaga pela tela do computador. Foca sua aplicação ao estudo de funções,

possibilitando uma conexão entre geometria e análise, assim entendendo a contribuição de

softwares tais como: o Geometer’s Sketchpad, Cabri ou o Geometry Inventor.

Afirma que alunos encontram maiores facilidades para a compreensão da

continuidade de funções, além do que, em alguns objetos geométricos, estes softwares,

pela dinâmica de “arrastar” possibilitam observar o “efeito que isso tem em outro objeto

( ponto, segmento, medição, ...)”, ampliando o campo visual do aluno, que acaba por retro-

alimentar seu repertório de idéias, permitindo uma melhor condição de conjeturar sobre o

contexto.

...esta abordagem ajuda os alunos a desenvolver idéias que depois

a linguagem algébrica pode exprimir e ampliar, em contraste com a

abordagem tradicional de estudar uma linguagem sem ter idéias para

exprimir com ela e depois, mais tarde, basear essas idéias numa

linguagem ainda mal dominada.

4.2.2 Tarefas segundo objetivos

O AprovaMe através de alguns de seus pesquisadores - responsáveis pela tradução-

disponibilizou parcialmente publicação francesa

do Grupo Nacional de Equipes de

Pesquisas em Didática da Matemática sobre prova e demonstração. Nesta publicação, seus

autores apresentaram algumas tarefas classificadas segundo objetivos do conceito (ou

contexto) prova e demonstração, acreditando que dessa forma permitiriam ao professor

escolher as atividades que melhor se adaptassem aos seus objetivos, segue um breve

resumo:

• Tarefa tradicional: “Demonstrar que”

• Tarefas de iniciação à prova:

o Enunciar ou validar uma conjetura

o Tarefas de construção em que é preciso deduzir para executar.

• Tarefas para dar sentido a uma frase

• Tarefas relativas aos enunciados de teoremas:

o Tarefas relativas aos enunciados de teoremas

o Procurar os enunciados de teoremas úteis numa situação dada

• Tarefas para dar sentido à demonstração

• Tarefas sobre a utilização das palavras de ligação

• Tarefas para encontrar um encadeamento dedutivo

• Tarefas para aprendizagem da escrita

• Tarefas para tentar descobrir a estrutura de textos de demonstração

GOLDENBERG [2], E. Paul. op. cit.

Grupo Nacional de Equipes de Pesquisas em Didática da Matemática – IREMS de Grenoble e de Rennes – Sobre prova e

demonstração. Tradução de Janh, Coelho e Bongionvanni, (pps.84 a 99

• Tarefas para vencer certos obstáculos:

o Condição necessária e suficiente, teorema direto e recíproco, contrapositiva

o Alinhamento e ponto médio

o Um quadrado é um retângulo

o Princípio da informação máxima

Faremos, a seguir, a apresentação de algumas dessas tarefas, que julgamos

pertinentes ao contexto desta pesquisa, acompanhadas por breves considerações feitas com

bases nas observações que os autores da publicação do IREM nela registram.

• Tarefas de iniciação à prova.

Na França, ao ingressar no Collège

(equivalente ao fundamental II no Brasil), os

alunos já tomam contato com situações que os incentivem a “buscar uma prova” daquilo

que constatam. Os autores explicam que “buscar uma prova” “consiste, para o aluno, em

encontrar argumentos de várias naturezas a favor ou contra uma conjetura.”. Prosseguem,

advertindo que certas provas são ou não aceitas de acordo com a faixa escolar que o aluno

está cursando:

Observemos que certas provas, como o esboço de figuras, são aceitas no

Cinquième, enquanto que, ao final do Quatrième, quando os alunos começam a

dominar a demonstração, elas serão recusadas. Não há aí contradição; é legítimo

que os alunos iniciantes busquem todos os tipos de argumentos para se convencer;

a predominância da demonstração a partir do Quatrième se justificará aos olhos dos

alunos porque esse texto sustenta não apenas uma boa certeza mas também um

certo tipo de explicação”

o Enunciar ou validar uma conjetura

Quando fazem suas observações, os autores se posicionam sobre alguns cuidados

que devem delinear a criação das atividades, dentre eles, concordamos principalmente com

esta afirmação: “ É preciso que a conjetura desperte interesse genuíno nos alunos.”, para a

qual complementam, advertindo sobre a necessidade de se investir em situações realmente

problemáticas, que possuam seqüências ajustadas ao tamanho da situação, propondo que é

sob essas condições que se tornará possível a apropriação desta situação por parte dos

alunos.

Segundo tal publicação, faz-se necessário explicitar o que os alunos entendem e

aceitarão como prova para validar suas conjeturas, entendendo que ainda nesse estágio, as

provas para validar tais conjeturas ainda não são uma demonstração. Se dermos preferência

Collège: termo referente ao sistema educacional francês.

à produção de textos próximos a uma demonstração, então, isto deve ser previamente

esclarecido aos alunos.

o Tarefas de construção em que é preciso deduzir para executar.

Os pesquisadores acreditam que para tal tipo de atividade, é preciso que o aluno

invista tempo e dedicação na construção da figura, pois, sem tal procedimento, lhe será

muito caro refletir sobre a tarefa como meio de apresentar justificativas, além do que muita

vez o aluno não sabe “expressar deduções reais” deste tipo de tarefa, o que acaba pela

exposição de explicação não relacionada com o processo de construção:

• Tarefas para dar sentido a uma frase

De acordo com os estudos apresentados, os alunos não investem o suficiente em

processos de compreensão de uma sentença matemática, concebem uma idéia geral do que

se trata e isto parece bastar. Os reflexos desta insuficiência aparecem nas confusões que

fazem entre teorema direto, recíproco e contra-positivo e também afirmação contra-

positiva. Uma das dificuldades dos alunos é compreender o sentido preciso de uma frase.

É preciso incentivar a pesquisa, por parte do aluno, para obter melhorias nesse aspecto.

• Tarefas relativas aos enunciados de teoremas

Sobre essa tarefa, o texto do IREM apresenta tal procedimento:

_ relacionada ao conteúdo quando é preciso dar sentido ao teorema e de saber em que

situações utilizar;

_ relacionada à interpretação de seu enunciado; o que deve permitir o enquadramento de

um dado teorema sob as diversas formas que pode ser apresentado, além de reconhecer

hipóteses e conclusões que lhe são pertinentes;

• Tarefas para dar sentido à demonstração

Concordam os autores que a demonstração para iniciantes é um texto novo e, assim

sendo, os alunos ainda não compreendem a importância desse conceito e o seu papel na

matemática. Alertam que muitos professores, ao abordarem o assunto, o fazem utilizando

abordagens geométricas simples e, segundo o estudo do IREM, tal prática não estimula o

aluno a enxergar os avanços que tais textos trazem. Afirmam os pesquisadores que é

somente em “situações suficientemente problemáticas que o sentido pode aparecer ao

aluno”, mas esclarecem que é essencialmente importante levar em consideração o

contexto, quando da escolha desse tipo de tarefa, mesmo assim, ainda é difícil escolher e,

principalmente gerenciar tais situações.

• Tarefas para encontrar um encadeamento dedutivo

Estamos de acordo com os estudiosos franceses, sobre a importância em organizar

coerentemente as propriedades de um texto de demonstração, beneficiando seu caráter

dedutivo. Antes que se elejam as complexidades desse tipo de texto, os autores do estudo

do IREM, esclarecem que algumas tarefas permitem o desenvolvimento desse trabalho sem

enveredar pelos caminhos da demonstração.

Orientam para a pertinência em solicitar ao aluno um relatório com os

procedimentos que serão adotados para a resolução de um dado problema, classificando

essa produção como um texto intermediário, precedente a demonstração. Salientam que

faltam estudos nesse sentido e que se trata de uma idéia a ser melhor explorada,

observando que este tipo de tarefa não é uma tarefa de escrita, daí afirmarem que não

influem diretamente na produção de textos demonstrativos e ainda, que deve se evitar a

intervenção desnecessária do professor, em detrimento às discussões advindas dos

trabalhos em grupo.

• Tarefas para aprendizagem da escrita

Segundo os autores da publicação francesa, ao iniciar a aprendizagem da

demonstração, o aluno pouco ou nada escreveu utilizando escrita matemática, e esses

mesmos autores admitem a importância deste tipo de tarefa, para a qual são encontradas

muitas idéias originais, concordando que é, de fato, complexo escrever matematicamente e

convém investir na preparação do aluno, mas lançam dúvidas se podem ser feitas, baseadas

em tarefas matemáticas que não sejam demonstrações.

Argumentam sobre a falta de detalhamento de como suplantar a dificuldade

observada em “alunos que produzem textos que lhes parecem demonstrações”, mas não

compreendem a essência do conceito de demonstração; em artigos que versam sobre o

assunto e, vão além, ao lembrar que o objetivo deste tipo de atividade é favorecer a escrita

de legítimos textos matemáticos e não relatar passo a passo o que aconteceu em uma dada

tarefa, de modo que esse tipo de tarefa não implica no reaproveitamento da leitura pelo

significado do texto.

• Tarefas para vencer certos obstáculos

O estudo apresentado pelo IREM evoca a responsabilidade sobre diversos fracassos

na redação de demonstrações, para o despreparo cognitivo de certos conteúdos, que podem

vir à ser trabalhados em atividades específicas:

A seguir, apresentaremos a metodologia que vamos utilizar na fase de construção e

análise dos dados.

...

5 ANALISANDO

5.1 METODOLOGIA

Apresentamos, neste capítulo, os procedimentos metodológicos adotados nesta

pesquisa e utilizados tanto na investigação dos efeitos do ambiente da aprendizagem

relativos ao desenvolvimento das habilidades de argumentação, quanto na interpretação

dos possíveis efeitos que a argumentação cotidiana exerce durante a negociação dos

significados matemáticos envolvidos nesta pesquisa.

Objetivando uma melhor adequação da apresentação da metodologia, segmentamos

este capítulo em duas seções:

Na primeira delas, trataremos de descrever as condições gerais que envolveram o

ambiente de aprendizagem, assim consideradas:

• Descrição dos aspectos gerais da pesquisa de campo, tais como o local da

pesquisa, o público-alvo, processo de constituição de material de estudo,

instrumentos de coleta de dados e formas de tratamentos.

Na segunda, indicamos o nosso entendimento sobre o papel da mediação:

• Descrição do papel mediador que este pesquisador se investiu durante a

aplicação desta pesquisa e a apresentação das premissas que deveriam guiar

sua atuação de acordo com a fundamentação teórica que a suporta;

5.1.1 Aspectos gerais da pesquisa de campo.

O perfil qualitativo desta pesquisa elegeu, como campo de sua aplicação, o

ambiente da sala de aula de uma escola da rede pública estadual, considerando como

ambiente escolar: a sala de aula convencional e a sala ambiente de informática, doravante

tratada por SAI, contendo 11 computadores em rede, sendo 01 servidor (uso restrito) e 10

terminais – inicialmente apresentando 08 computadores em condições de uso – e apresenta

como seu público, uma turma da segunda série do Ensino Médio, do período matutino,

localizada na zona sul de São Paulo, com aproximadamente 40 alunos freqüentes.

A opção pelo mestrado profissional, já relatada anteriormente, atraiu-nos sobretudo

pela possibilidade de contribuir com alguma produção voltada à aplicabilidade em

situações reais do ambiente escolar, conseqüentemente, acabamos por nos preocupar em

estabelecer condições de aplicação de nossas atividades que estivessem próximas daquelas

encontradas em tais ambientes, assim entendendo:

_ a duração total da pesquisa prevista para: 18 horas aulas, divididas em 06 etapas.

_ a duração das atividades: concebidas, inicialmente para no máximo 100 minutos (02

horas aulas da rede pública estadual) cada;

_ o número de alunos: todos os presentes quando se aplicasse a atividade em sala de aula

convencional, limitado a 02 alunos por computador quando a atividade se desenvolvesse

na SAI.

_ A aplicação das atividades deveria se enquadrar na grade normal de aulas do professor e

de seus alunos, considerando o uso da SAI como um procedimento usual e não atividade

extracurricular. Outra aspiração desta pesquisa é utilizar os computadores em rede de uma

SAI, dentro das condições reais em que o ambiente se encontraria e registrar a

plausibilidade de seu uso.

Estas condições foram comunicadas à direção da escola escolhida para a realização

da etapa de atividades desta pesquisa e também à turma de alunos do segundo ano do

Ensino Médio que se constituiu em nosso público, sendo aceitas por ambas.

5.1.2 Constituição do material de estudo: coleta e tratamento de dados.

Esta pesquisa, de cunho essencialmente qualitativo, apresenta tanto características

experimentais, dado ao enfoque hipotético-dedutivo do ambiente de aprendizagem

planejado para estimular e favorecer o desenvolvimento de hábitos matemáticos dos

alunos, quanto aspectos que envolvam uma pesquisa de campo com observação e

intervenção do pesquisador, dado ao papel do mediador que é assumido pelo autor desta

pesquisa, durante a aplicação das atividades frente à turma de alunos do segundo ano do

Ensino Médio. E, para isso é preciso que estabeleçamos critérios da atuação deste

pesquisador, enquanto professor aplicador e faremos isto adiante, quando apresentamos as

condições para o papel do mediador desta pesquisa.

Fiorentini & Lorenzato

(2006) indicam alguns instrumentos de coletas de dados

que são mais apropriados a esse tipo de pesquisa, nossas escolhas recaíram na adoção de:

• Diário de campo do professor, que envolvem análises descritiva e

interpretativa;

• Gravações em vídeo, que serviram para o acompanhamento do processo de

interação e auxílio na composição do diário de campo utilizado para uma

análise interpretativa dos dados;

• Instrumentos de coletas de dados dos alunos, manuscritos e digitais,

permitindo algumas quantificações e enquadramentos à luz das teorias que

fundamentam nossa pesquisa

Além de adotarmos o Blog – diário virtual – como um outro instrumento de coleta

de dados, que esperamos possa se constituir em um meio legítimo e autônomo de

expressão por parte dos participantes e, desse modo, fornecer parâmetros para a avaliação

da nossa prática pedagógica.

Deixamos para apresentar os modos de tratamento dos dados coletados no próximo

capítulo desta pesquisa, juntamente com as descrições de cada uma das seis atividades,

buscando garantir maior concisão à fase analítica e optamos por indicar nossas pretensões

quanto à mediação.

5.2 O

PAPEL DA MEDIAÇÃO

Ao priorizar níveis de organização relacionados aos seres humanos e às relações

sociais

descritos por Bordenave, no delineamento dos processos de comunicação que

envolvem esta pesquisa, entendemos a pertinência de utilizá-los na definição do papel do

mediador .

Em nosso entendimento, um ambiente que pretende favorecer a aprendizagem, deve

proporcionar condições mínimas de entendimento entre os sujeitos envolvidos no processo.

Dessa forma, ao considerarmos a heterogeneidade dos alunos de uma sala de aula

convencional, durante a apresentação de um novo conceito de matemática pelo seu

professor, não é difícil supor que esses sujeitos possuam repertórios também heterogêneos

e entendemos que facilitar a aquisição de uma base comum para a formação de um

repertório inicial deva ser o ponto de partida deste ambiente de aprendizagem.

FIORENTINI, D. , LORENZATO,S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. 2006

Retratado nesta pesquisa, p. 35

Daí o porquê da nossa primeira interpretação da condição mediadora contemplar a

facilitação da aquisição de repertório comum – uma base inicial – focado nos significados

matemáticos que permita diálogos, exposições e discussões versando sobre o conceito em

exposição.

As funções da mediação devem imbricar-se, mostrando a pertinência de suas

relações, mas sem sobrepujar umas às outras, tal como se apresenta a condição facilitadora

da aquisição do vocabulário matemático que vai favorecer a comunicação entre os sujeitos,

tornando inteligíveis novas mensagens e com isso permitindo o acesso às estruturas mais

complexas do aprendizado.

Devem estimular as trocas de informações, depois de regulamentá-las, e promover

a conciliação entre os modos diferentes de expressão, reflexão e formulação de

significados matemáticos apresentados pelos sujeitos envolvidos na atividade, buscando

um acordo satisfatório entre as partes envolvidas – professor e alunos.

O mediador também deverá solucionar conflitos que possam surgir mediante as

muitas interações entre sujeitos com outros componentes do ambiente: adequação do

espaço fisco e quantidade de pessoas, regras do jogo, uso do computador, ferramentas do

software.

A mudança na postura do professor aplicador do experimento, frente à sua turma, é

crucial para as expectativas do ambiente de aprendizagem proposto, pois considera-se que

a atuação do professor deva seguir sempre pela orientação dos caminhos a serem

percorridos pelos alunos, quando um aluno surgir com: “_ Não entendi nada!”, o mediador

vai orientá-lo a uma reflexão sobre a atividade inicial, aquela da aquisição do significado,

do repertório, com vistas a incitar uma reflexão com o que se propõe a ser discutido

naquele instante.

Outra pergunta muito comum: “_ Professor! Como é que se faz isso?”, deverá

encontrar respostas do tipo: “_Isso o quê?, Do que você está falando?”, como forma de

obter respostas mais elaboradas matematicamente e com isso habituando o aluno a fazer

uso das expressões técnicas e simbologias que fazem parte dos conceitos matemáticos que

são abordados em sala de aula.

O professor, digo o mediador, deverá envolver o aluno no contexto matemático que

se propôs a aplicar e suas iteradas intervenções devem privilegiar formas de expressão

próprias do conceito em voga, para tanto, o mediador deverá ele mesmo estar envolvido

pelo contexto.

Logo, neste estudo, assumindo primeiro a causa da argumentação, o mediador

deverá provocar diálogos e discussões com os alunos através do uso constante de perguntas

do tipo: “_Me explica como você chegou nesta conclusão? Como você fez isso? Porque fez

dessa maneira ?”, ou então, adotando uma postura mais direta e voltada à prova e

demonstração, proferir sentenças interrogativas como: “_É sempre assim? Como posso ter

certeza disso?”, sempre que possível, respondendo uma pergunta do aluno com outra que

permita que ele chegue na resposta que quer obter via mediador.

Mas o destaque da atuação do mediador nesta pesquisa é atentar, identificar e

buscar formas de decodificar e compreender, tanto aos efeitos da paralinguagem para os

quais Bordenave

chamou-nos a atenção, quanto ao uso de implícitos apresentados por

Bolite_Frant e Castro

, e que se constituem em recursos amplamente utilizados por

nossos alunos, e por que não dizer, também por nós.

O professor, muitas vezes, ocupa o lugar do mediador, entretanto, quando os alunos

trabalham em ambientes do tipo Contextos para Argumentar, outros poderão assumir tal

papel. Quando os alunos trabalham em duplas ou em pequenos grupos, o mediador pode

ser qualquer um dos colegas que lidera o trabalho ou que provoque os demais com

perguntas que os levem a elaborar novas soluções para o problema em questão. O

computador / tecnologia também assume tal papel, pois os alunos ao interagirem neste

ambiente, produzem conhecimentos mediados pela máquina.

Deste modo, buscamos na análise do material coletado, enfatizar os diferentes

mediadores e suas ações de mediação.

...

Retratado nesta pesquisa, p. 38

Retratado nesta pesquisa, p. 41

5.3 CONSIDERAÇÕES INICIAIS PARA A ANÁLISE:

Imaginamos que uma representação figural pudesse favorecer a compreensão das

intenções de nosso ambiente de aprendizagem, desse modo, propomos ao leitor que

considere o todo de nosso experimento como uma questão hexagonal face ao número de

atividades que compõe o ambiente de aprendizagem e considere cada uma destas

atividades como atividades triangulares.

Seguindo o mesmo modo de pensar, vamos tratar adiante de cada uma das

atividades propostas por esse ambiente, cada qual constituindo-se pela representação de um

triângulo, em quantidade que possa constituir o formato previsto pela questão poligonal,

então, nesta pesquisa, seis triângulos representam as nossas seis questões específicas -

triangulares.

Salientamos que a composição de cada triângulo poderá ser representada também

por secções triangulares, pois sempre permitirá a obtenção da figura triangular

representativa de nossa questão específica.

Desse modo, teremos quando completadas todas as atividades que envolvem essa

questão, um polígono que se aproxime de um hexágono regular – o nosso modelo –,

cabendo à regularidade do formato dos triângulos representantes das questões específicas

que o compõe, a subjetividade da interpretação dada pelo autor quanto ao alcance dos

objetivos específicos de cada atividade, logicamente com a apresentação das necessárias

justificativas:

1 2 3 4 5

Assim, trazendo estas representações para o nosso experimento, pedimos ao leitor

que considere nossa questão norteadora – Como o ambiente de aprendizagem favorece /

estimula o aprimoramento de hábitos de pensamentos matemáticos dos alunos

relacionados com a argumentação em situações que antecedem a prova e demonstração

em Matemática, através da abordagem de tópicos do ensino de progressões aritmética e

geométrica? – como sinônima da questão hexagonal.

5.3.1 Outras considerações para a análise:

Antecipamos ao leitor que o autor desta pesquisa não teve a intenção de descrever

as possibilidades de resolução de uma dada atividade, e sim focar na análise das condições

de desenvolvimento das habilidades de argumentação por parte dos alunos.

É nesse sentido que optamos por apor fragmentos de registros coletados e nossos

comentários e observações, pois entendemos que corporificaria a etapa analítica.

Ressaltando que esses comentários se guiaram, ora por uma interpretação focada na

aquisição dos hábitos matemáticos de pensamento eleitos para acompanhá-las, ora sob a

perspectiva das argumentações com o balizamento das justificativas, segundo o que retrata

a escala desenvolvida pelo projeto AprovaME. Daí a pertinência em:

• Informar quais os critérios foram adotados para a atividade:

o os hábitos de pensamento matemático que estiveram em foco durante a

aplicação daquela atividade;

o tipos de justificativas e argumentos apresentados;

• E também informar qual a parte específica do conteúdo matemático estávamos

investigando.

Entendemos que a subjetividade é característica de toda e qualquer análise

interpretativa, contudo, esclarecemos que buscamos identificar tendências em cada bloco

de atividades que nos permitissem a mais adequada classificação perante os “hábitos de

pensamentos matemáticos”

ou os tipos de argumentação apresentados.

Outrossim, apresentamos uma escala de cores que utilizamos para tornar mais rápida

a percepção dos hábitos de pensamento matemático e, novamente, os tipos de

justificativas segundo o AprovaMe, ambas utilizadas na fase analítica das atividades:

GOLDENBERG [2] E. Paul. op. cit.

Tabela 3 TIPOLOGIA DE JUSTIFICATIVAS – APROVAME

TIPO DESCRIÇÃO

Respostas totalmente erradas, respostas que não apresentam justificativas ou exemplos, ou respostas

que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso.

Alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências – por exemplo, respostas que são

completamente empíricas

Alguma dedução / inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam

uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova.

2a: Falta muito para chegar a prova (mais próximo de 1)

2b: Falta pouco para chegar a prova (mais próximo de 3)

3C: Respostas corretas, totalmente justificadas por meio de cálculos.

3P: Respostas corretas, totalmente justificadas com referência a propriedades pertinentes

Hábitos do pensamento matemático

Tipificação

por cores

da visualização

cinza

para descrever, formal e informalmente, relações e processos

vermelho

para traduzir informação apresentada verbalmente em informação visual (e vice-versa)

amarelo

para fazer experiências (tinker)

azul

para procurar invariâncias

turquesa

para misturar experimentação e dedução

violeta

para construir explicações sistemáticas e demonstrações para invariâncias observadas

verde

para construir algoritmos e raciocinar acerca deles (uma das muitas conexões com a

álgebra)

verde claro

para raciocinar por continuidade (uma das muitas conexões com a análise)

rosa

Quadro Informativo 12 – Indicações de alguns hábitos de pensamento – Fonte: Autor

A observação e a intervenção da forma, como indicamos em nossa metodologia,

pressupunham a ação do mediador direcionada em promover e observar a prática de

hábitos de pensamento matemáticos e, quando solicitado em situações de conflito, guiar

sua intervenção para que a interação entre as partes resultasse, sempre que possível, na

apresentação de soluções advindas dos próprios alunos.

Esta conduta possibilitou a observação da influência da argumentação cotidiana

durante os processos de negociação do significado matemático, outro dos objetivos desta

pesquisa e, convenientemente, optamos por apresentar essas situações durante a análise de

algumas das atividades, juntamente com os comentários e impressões dos alunos postados

via Blog.

Ainda outra ressalva, as atividades que compõe o todo de nosso ambiente de

aprendizagem foram em sua maior parte, sustentadas por protocolos extensos e,

novamente, com o objetivo de garantir maior concisão à análise dos resultados obtidos,

optamos para atividades com essas características, pela divisão em pequeno número de

itens / questões com características próximas, segundo os critérios analíticos em voga.

A análise de cada atividade é composta pela indicação de sua função, enquanto

questão triangular, seguida da apresentação do objetivo matemático envolvido e um

panorama do ambiente em que foi aplicada a atividade.

Em algumas atividades, entendemos que era preciso detalhar os procedimentos

adotados na sala, caso das atividades 1 e 2, e nos detivemos em uma descrição mais

aprofundada.

O pesquisador, enquanto aplicador das atividades, esclarece que nunca tinha feito

uso de filmadora dentro do ambiente da sala de aula e, por conta desta inexperiência,

algumas situações tornaram-se de difícil registro, pois o equipamento ficou inicialmente

em posição fixa, contemplando o maior número de alunos que o ângulo de posicionamento

permitiu. A turma de alunos do segundo ano que nos serviu de público não havia

trabalhado com conteúdo progressões.

O quadro abaixo foi elaborado visando proporcionar ao leitor uma visão geral das

atividades aplicadas:

Atividades

Nº Local / duração Procedimentos / recursos Principais intenções

aplicada em sala de aula

convencional com

duração de 3 horas aula

(150 min.)

Aplicação da dinâmica de um jogo e

preenchimento de protocolo baseado

nas ações do mesmo.

Promover a interação,

buscando formação de

base comum de repertório

e desenvolvimento de

fluência matemática.

aplicada em sala

ambiente de informática

com duração de 2 horas

aula (100min.)

Uso do Cabri II para construir um

objeto visual e preenchimento do

protocolo baseado nas etapas da

construção da figura e das ações

imputadas a ela.

Familiarização com

ferramentas do ambiente

de aprendizagem, e

formação de base comum

de repertório.

aplicada em sala

ambiente de informática

com duração de 3 horas

aula (150min.)

Uso do Cabri II para compor o objeto

visual que servirá como referência

para o preenchimento do protocolo

aplicada em sala

ambiente de informática

com duração de 2 horas

aula (100min.)

Uso do Cabri II para compor o objeto

visual que servirá para o preenchimento

do protocolo

Estimular a prática de

hábitos de pensamento e o

desenvolvimento da

argumentação.

aplicada em sala

ambiente de informática

com duração de 2 horas

aula (100min.)

Resolução de problemas com a

utilização do Cabri II para encontrar e

registrar a solução proposta

Estimular a prática de

hábitos de pensamento e

analisar a argumentação

proferida com o auxílio de

facilitadores.

aplicada em sala de aula

convencional com

duração de 1 hora aula

(50 min.)

Preenchimento de protocolos Avaliação reflexiva sobre

o desenvolvimento da

argumentação sem o

auxilio de facilitadores

Duração total do experimento 13 horas aula

Quadro Informativo 13 – Indicativo das atividades da pesquisa – Fonte: Autor

A seguir, apresentamos condensadas, as atividades triangulares que nos permitiram

a construção de dados e as análises parciais desses dados, comunicando ao leitor que, por

conta da já alardeada subjetividade, a análise das atividades se desenvolverá em primeira

pessoa.

...

5.4 CONSTRUÇÃO DE DADOS E ANÁLISE DAS QUESTÕES TRIANGULARES.

5.4.1 Análise parcial da atividade 1 - Baralho PA.

Essa questão visava à aquisição de fluência matemática implicando

na apreensão de termos e objetos matemáticos relacionados com a

definição do termo geral de uma Progressão Aritmética.

O objetivo específico era que o aluno entendesse o processo de

construção da formulação do termo geral da PA e conseqüentemente

a sua definição.

Panorama do ambiente:

• Atividade aplicada em sala de aula convencional, contando com a participação de 35

alunos, com duração de 3 horas aulas (150 minutos).

• Recursos utilizados: baralho convencional, protocolo da atividade 1 e caneta;

• Instrumentos de coleta de dados: gravação em vídeo, coleta de registros de dados via

protocolos dos alunos, diário de bordo (anotações do aplicador / pesquisador).

Considerações preliminares:

Utilizei a dinâmica de um jogo que guarda uma semelhança com o bingo

tradicional, onde os números são cantados e marcados em cartelas. No nosso caso, os

números são “cantados” pelos participantes, cada qual na sua fileira e fileira por fileira. A

intenção era fazer com que os alunos da sala descobrissem o valor da carta que foi

distribuída ao segundo elemento de cada fileira e descrevessem um procedimento padrão

que permitisse sempre encontrar o valor daquela carta.

Esta recorrência ao lúdico foi uma das formas propostas por esta pesquisa, para

facilitar a aquisição dos termos matemáticos envolvidos na questão 1, promovendo um

equilíbrio entre o dinamismo do jogo e a passividade de um protocolo mais extenso,

buscando manter em níveis satisfatórios a motivação dos participantes.

Primeira etapa – O jogo:

Como essa atividade utilizou noções de ordenação, solicitei aos (35) alunos

presentes que se distribuíssem eqüitativamente em 05 fileiras como pode ser visto no

painel ilustrativo 1 que apresento adiante. Cada aluno recebeu um protocolo

(questionário)

para inicialmente marcar os valores pronunciados por seus colegas e

depois dar prosseguimento a atividade no tocante a aquisição de vocabulário e percepção

de invariâncias.

Painel ilustrativo 1 – Alunos perfilados durante a dinâmica do jogo da 1ª atividade.

Comuniquei-lhes as regras do jogo, enfatizando que a interação e a socialização

eram bem vindas, mas que o auxílio deveria vir em forma de dicas e não com o

fornecimento da resposta. O protocolo apresentava em primeira folha, um quadro tabela

com figuras geométricas, que serviu para indexar cada uma das fileiras, dessa forma os

alunos puderam identificar a fileira que estava em ação, o nome do aluno e o valor que este

indicou, fatos que serviram mais adiante para a seqüência da atividade.

A TABELA ABAIXO SERVIRÁ PARA REGISTRO DOS VALORES E CONSEQÜENTE DESENVOLVIMENTO DA SEQÜÊNCIA DA

ATIVIDADE

. NESSA TABELA DEVERÁ SER MARCADO QUEM COMEÇA, QUEM ESTÁ COM A CARTA E CADA PARTICIPANTE DA

SÉRIE

: EX.; A

, A

E A

(PRIMEIRA RODADA).

Ð 1ª Fileira

Ð 2ª Fileira

Ð 3ª Fileira

Ð 4ª Fileira

Ð 5ª Fileira

Quadro Informativo 14 - Cabeçalho da folha de acompanhamento da dinâmica do jogo – 1ª atividade.

A reprodução do quadro-tabela no quadro negro foi uma sugestão da turma,

prontamente acatada por esse mediador, que ato contínuo passou pelas fileiras, solicitando

ao segundo aluno de cada uma que retirasse, aleatoriamente, uma carta do baralho,

tomasse ciência de seu valor, de acordo com as regras já comunicadas, e a mantivesse sob

sua guarda e sigilo até o final daquela rodada.

Os modelos completos de nossas atividades encontram-se no apêndice desta obra

Painel ilustrativo 2 – Tabela preenchida após término da dinâmica do jogo.

A dinâmica do jogo consistiu em fazer com que, a partir da ação do primeiro aluno

de cada fileira (antecessor) ao pronunciar um valor qualquer, o segundo aluno –

obrigatoriamente uma pessoa que possuísse a carta do baralho – adicionasse o valor que

tinha em mãos ao valor citado pelo primeiro aluno, encontrando e pronunciando o

resultado.

No papel de mediador, orientei ordenadamente aos alunos para que tentassem

aplicar o mesmo procedimento que o seu antecessor, e que o fizesse sem revelá-lo, atendo-

se somente a pronunciar o valor encontrado e assim, sucessivamente, até a última fileira

terminar sua seqüência, momento em que requisitei a todos, com exceção daqueles que

portavam as cartas, que revelassem os procedimentos que utilizaram para encontrar, cada

qual, o seu respectivo valor, promovendo uma grande interação entre os elementos da sala.

Alguns imprevistos dessa atividade: a 3ª aluna da primeira fileira que, não tendo

inicialmente compreendido a lógica do jogo, não conseguia encontrar seu resultado, fato

que me levou a mudar para a segunda fileira, que apresentou andamento normal e esse

acompanhamento da formação da seqüência da segunda fila ( 9, 1, -7, -15, -23, -31, -39),

auxiliado pelas informações oferecidas por vários alunos, com destaque para um aluno,

cuja participação, em aulas no formato tradicional é mínima, possibilitaram condições

àquela aluna com dificuldades para encontrar o valor pretendido e completar a seqüência

de sua fileira quando retornei o procedimento para lá. Em um outro episódio, a postura de

mediação foi diferente. Uma aluna, vendo sua vez se aproximar, reclama e avisa que não

Sentido

das

fileiras

vai falar por não ainda ter entendido a dinâmica, mostro a seguir, como se deu a mediação

nesse sentido:

Diálogos em sala de aula 1 – Episódio: O jogo !

. Agora é chegada a vez de C.

Eu me dirijo a sala e peço que auxiliem a C.

Ela complementa o pedido de ajuda:

C.:_ Eu não sei ... não entendi...

Eu, como professor da sala,, estou atrás da

filmadora, e durante a atividade 1 da

pesquisa, enquanto aplicava a dinâmica do

jogo.

C., indicada no quadro ao lado, pouco

antes de chegara sua seqüência, reclamava:

C.:_Eu não vou falar não !

P.:_Pera aí, C ! – e sigo com os outros

alunos que a antecediam na seqüência

F. se prontifica e começa sua explicação:

F.: _ C. vai vendo, de 12 prá 6,

quantos números foram, e tá sempre

diminuindo...

M., que aparece com a mão enfaixada, também

contribui:

M.:_ C., você só conta o número e coloca o

negativo.

P.:_Isso C., faça o que elas

disseram...

Esse aconselhamento dá a C., a segurança necessária

para fiar-se em suas colegas. C., volta-se em direção

das colegas e pede ajuda:

C.:_Não entendi...fala de novo

F continua

tentando

convencer C, que

ainda desconfiada,

desvia o olhar para

o P., que não

aparece no quadro

P incentiva C. a

confiar em suas

colegas:

Agora são 4

amigas que se

misturam e tentam

explicar a C. como

proceder. Isto sem

contar com um

colega, que

distante do bloco

de amigas, indica

pra C, o que

deveria fazer.

As explicações de F e

M, repetem-se, há agora

a colaboração de D e A,

apesar da confusão, C.

consegue captar os

passos necessários:

E fala o que tinha entendido, como teria

que proceder:

C.:_Ah!....É prá somar dezoito mais

seis e colocar negativo.

Ao que se ouve um monte de expressões

_ Isso...

_Ai ehehehehe

A expressão de

cada uma que

participou

diretamente da

mediação mostra

o contentamento

com o êxito de

Houve até palmas...

C. agradece com

um esticar de

braços na

direção de suas

colegas, para

mostrar a P que

havia

compreendido e

de onde tinha

vindo a sua ajuda

C.:_Agora eu entendi !

finaliza...olhando

para o professor...

Um outro imprevisto referiu-se ao tempo que este primeiro bloco de atividade

consumiu, em torno de 80 minutos – previsão inicial era 60 minutos –, o que fez com que

somente 8 alunos conseguissem completar a segunda etapa, minha providência neste

sentido foi propor a continuidade da atividade na aula seguinte.

No dia seguinte, utilizei 1 (uma) hora aula, coincidentemente a última aula de uma

sexta-feira, para dar continuidade ao preenchimento do protocolo e admito que este

prolongamento, além da ausência de 5 alunos que haviam participado da primeira

atividade, provocou um certo esmorecimento em alguns alunos no momento de preencher

o questionário.

Embora faça parte da análise interpretativa, vi pertinência em registrar o papel de

mediação desta primeira etapa da atividade, onde destaco a importância da mensagem – o

jogo – para favorecer a realização de um propósito, o preenchimento de um protocolo

extenso.

Segunda etapa – o protocolo:

Quando os alunos chegaram ao consenso sobre o procedimento para a formação das

seqüências, e já sabedores dos valores das cartas guardadas pelos segundos alunos das

fileiras, este mediador solicitou que se desse início à segunda etapa da atividade com o

preenchimento do protocolo que fora entregue quando começou a atividade.

Cabe-me chamar a atenção de nosso leitor para a singularidade desta atividade, no

tocante à sua aplicabilidade, pois, ao apontar como característica principal desta questão a

aquisição de fluência matemática para o termo em estudo, denota-se que esta ação vai se

desenvolvendo paulatinamente, seguindo o andamento da resolução da proposição.

Trata-se de um protocolo de instruções, como poderá ser visto a medida em que

forem surgindo os fragmentos da atividade para ilustrar um e outro comentário e, é dessa

maneira, facilitadora e amiúde, que entendo que tal contribuição vá se dar.

Logo, informo que a percepção da aquisição deste hábito poderá ser sentida ao

longo da aplicação das outras etapas da pesquisa, até por ser uma atividade inicial e com

enfoque interativo muito influente como foi a dinâmica do jogo que envolveu esta primeira

questão.

Outrossim, durante a dinâmica do jogo, verificou-se a pertinência de dirigir a

análise interpretativa no sentido da segunda questão desta pesquisa, que tem por objetivo,

investigar a influência da argumentação cotidiana em processos de negociação do

significado matemático.

A segmentação da atividade realizada, de modo a permitir uma análise mais

compacta e concisa, guiou-se pela similaridade entre os processos que deveriam ser

executados, segundo hábitos do pensamento matemático. Dado ao número de protocolos

envolvidos nesta atividade: 30 e a quantidade de questões: foram 8 apresentadas no

protocolo, busquei referências na escala produzida pelo AprovaME no tocante aos tipos de

justificativas, para obter uma primeira categorização dos resultados, o que, em segundo

momento, me permitiu identificar os casos mais típicos, dos quais elegi alguns exemplos

para apor comentários e observações feitas sob a perspectiva do hábito do pensamento

matemático que indiquei para o bloco. Em suma, separei os protocolos seguindo a

apresentação de justificativas, segundo a exigência de cada bloco e depois as analisei,

focando no teor da argumentação apresentado.

Como mediador me dediquei a estimular a aquisição dos termos matemáticos

envolvidos e pertinentes à formulação do termo geral de uma progressão aritmética, e

também a promover a discussão sobre a regularidade dos procedimentos do jogo que

permitiam encontrar o valor da carta. Indicando que esses procedimentos deveriam ser

aplicados para encontrar a razão de uma progressão aritmética.

Essa proposta de mediação faz parte do planejamento da atividade e permite aos

participantes o uso de expressões matemáticas adquiridas recentemente, tornando a fala da

mediação inteligível, com reflexos:

• No interesse da participação da atividade – baixo nível de desistência;

• Na organização lógica das informações e apresentação em formato conclusivo,

seja utilizando algoritmos, seja apresentando um registro discursivo;

Possibilitando ao aluno atribuir significado coerente e consistente aos termos

tratados, refletindo nos resultados da atividade tanto em evolução cognitiva quanto nos

modos de expressar-se com desenvoltura matemática, tal como poderá ser visto nos

exemplos que são apresentados, segundo os hábitos de pensamento matemático

relacionados por blocos mostrado no quadro informativo 15, mostrado adiante, a partir de

nossa fundamentação teórica:

Etapa analítica da primeira atividade: Baralho PA.

À titulo de informação, esclareço que 5 alunos que participaram da dinâmica do

jogo, primeira etapa desta atividade – não estiveram presentes na segunda fase e, por este

motivo, essa amostra passa a ter como referência 30 protocolos.

BLOCO – COR QUESTÕES HÁBITOS DE PENSAMENTO MATEMÁTICO

Amarelo 1 e 2

Traduzir informação apresentada verbalmente em informação visual

(e vice-versa)

Vermelho 3 , 4 e 5

Descrever, formal e informalmente, relações e processos

Verde claro 6, 7 e 8

Construir algoritmos e raciocinar acerca deles (uma das muitas

conexões com a álgebra)

Quadro Informativo 15 - Indica os hábitos de pensamento matemático analisados na 1ª atividade.

Comecei a análise pelo bloco amarelo. Os itens 1 e 2 representam atividades que

não necessitavam de justificativas elaboradas, mas se pode considerar que o

preenchimento das lacunas, como proposto pela atividade, serviu para que os participantes

colocassem exemplos obtidos pela conversão das informações das quais tinham somente

registros visuais.

Recortes da primeira atividade - Exemplo 1

A maioria dos participantes adotou a indicação da operação juntamente com o valor

como forma de validar seus argumentos, as sutis diferenças entre os resultados

apresentados estão vinculadas aos modos de expressar a continuidade da progressão, à

forma como se referiram à obtenção da razão e também ao pertinente uso da condição de

inteiro negativo e positivo para justificar o crescimento da progressão aritmética. Nesse

sentido, entendo que o exemplo 1, para o qual o aluno faz a aposição de algoritmos (itens i,

ii, iii, iv, v,vi) para justificar cada um dos termos da seqüência, como uma indicação da

habilidade de traduzir informação verbal em visual.

Na seqüência, a alusão ao crescimento, que trata o item vii da primeira questão, é

indicada pela comparação entre a ordenação dos números, referindo-se ao fato de que não

diminuir e sim aumentar implica em crescimento, é a forma coerente de expressão que usa

em sua justificativa. E que ainda é complementada pelo item xi quando o mesmo

argumento é utilizado, mas contendo uma especial distinção ao papel do valor que

representa a razão em uma dada progressão quando faz uso dos termos: ‘em volta deste nº’,

que considerei como a indicação da apreensão do termo razão por parte desta aluna.

Na questão 2, a aluna indica acertadamente uma seqüência e sua razão negativa,

porém, apesar da pertinência de sua afirmação sobre os números estarem diminuindo, não

indica de que forma chegou ao 8 negativo como se vê no exemplo 2.

Recortes da primeira atividade - Exemplo 2

Pelo que ela apresenta na seqüência de sua atividade, é possível afirmar que não o

fez por assumir que estivesse subentendido por quem fosse ler, nesse caso em específico -

o professor. Este é um fato para o qual o professor deve estar atento e que precisa ser

esclarecido ao aluno, que por vezes deixa de apresentar uma melhor descrição do

raciocínio por ter em mente que quem irá avaliá-lo é uma pessoa que já sabe o que ele quer

dizer – o professor – e assim sendo, deixa de fazê-lo de modo mais completo.

O terceiro exemplo (ex. 3) que utilizo é apresentado com alguns realces feitos no

sentido de indicar algumas evidências matemáticas apontadas pelo aluno. Primeiro,

encontra uma representação em forma de diagrama com a intenção de explicitar uma

condição de invariância, traduzida pela indicação da constante 7 ser a razão da progressão

em estudo, depois, pela indicação da condição de crescimento da razão se dar por

“estarmos somando e não subtraindo”, referindo-se a seqüência numérica (8, 15, 22, 29,

36, 43) desenvolvida pela primeira fileira, ainda na etapa do jogo, além da indicação do

valor. A aluna também é precisa na indicação do modo de continuar a seqüência:

“somaríamos o último resultado + 7”.

Recortes da primeira atividade - Exemplo 3

O exemplo (ex.4), que ilustra a questão 2, também indica uma apropriação de idéia

matemática ao indicar no item ii “razão decrescente de -8 ” e a coerente dedução, embora

insuficiente, de que se chegaria a todos os resultados daquela progressão subtraindo 8.

Recortes da primeira atividade - Exemplo 4

Entendo, que o complemento desta idéia exige do professor orientações para que o

aluno considerasse a origem da progressão − o primeiro termo − como referência e

complemento de sua resposta, além de chamar a atenção para a ação de juntar, em um

mesmo procedimento; subtração e números negativos, pois, da forma como está indicado,

dá margem à interpretação de que se trata de uma razão positiva. Deste modo, a

contribuição se daria no sentido de fazer o aluno perceber que, pequenos detalhes são,

muitas vezes, essenciais à uma boa argumentação e nesse caso dariam maior consistência à

justificativa apresentada.

No bloco vermelho, o enfoque esteve direcionado a retratar as formas como os

alunos expressam um processo matemático recentemente adquirido.

Na questão 3 (ex. 5), o aluno aponta um a

múltiplo de 10, coincidentemente outros

exemplos se valeram dessa estratégia provavelmente pela facilidade nas operações de

adição e multiplicação. O processo segue os procedimentos indicados pela atividade e

cumpre seu objetivo com o preenchimento das lacunas.

Recortes da primeira atividade - Exemplo 5

Ao passar para a quarta questão, quando a atividade solicitava o complemento do

registro do procedimento para encontrar a

, os alunos apresentaram dificuldades para

diferenciar a quantidade de vezes que se multiplicava a razão e o valor assumido pela

mesma e, conseqüentemente, não utilizaram corretamente o sinal de multiplicação (ex. 5 e

6) representado pelo *, em contraposição ao que apresentam em a

com o uso ajustado do

sinal de multiplicação para mostrar que “ a

5 =

+ 4 * r “ mostrado ao final do exemplo 6.

Recortes da primeira atividade - Exemplo 6

Os registros apresentados na continuação da atividade e a intervenção do mediador

forneceram os insumos necessários, haja vista que os alunos apresentam os algoritmos com

correção. Porém, é na questão 5 que surgiram as diferenças nos modos de descrever os

processos. O exemplo 7 utiliza registros numéricos para explicar relação entre índice e

razão, emprega o n como símbolo da razão:

Recortes da primeira atividade - Exemplo 7

Já no exemplo 8, o aluno indica que a relação entre índice e quantidade de vezes

que se multiplica a razão, é sempre inferior em uma unidade na razão:

Recortes da primeira atividade - Exemplo 8

O exemplo 9 é sintético, indica uma condição generalizante com a adoção de y para

indicar índice referente ao termo da PA e apresenta um discurso ajustado embora ainda

necessite fazer alusão ao modo que estaria representando a

Recortes da primeira atividade - Exemplo 9

O bloco verde-claro apresentava um salto informacional que exigia do aluno

concentração e capacidade reflexiva para que pudesse, a partir da releitura das atividades

anteriores, mentalizar uma estrutura lógica de constituição de uma progressão, buscar

significado coerente a cada um dos itens, entendendo uma ação maior do mediador.

Percebo que a releitura da atividade ganhou realmente esse significado pretendido,

afirmação que faço a partir dos registros analisados e que utilizo como exemplos.

100

No exemplo escolhido (ex. 10) , a indicação de generalização é dada pela adoção

de x e ( x -1 ) como índice e quantidade de vezes que se multiplica a razão, mas descuida-

se na indicação de a

Recortes da primeira atividade - Exemplo 10

O outro exemplo apresentado (ex. 11) neste bloco aponta um registro discursivo

numérico e um fechamento bem ajustado da atividade com o assentamento do algoritmo de

modo correto:

Recortes da primeira atividade - Exemplo 11

O terceiro exemplo (ex.12) sintetiza, de forma plenamente satisfatória, as intenções

da atividade. As indicações são apresentadas com registros algébricos consistentes e, ao

apresentar o algoritmo no fechamento, ainda faz menção à seqüência obtida na primeira

etapa da atividade anterior − (8, 15, 22, 29, 36, 43, 50) −, dando indícios da compreensão e

aplicação de noções de prova, ainda principiantes nesta etapa:

101

Recortes da primeira atividade - Exemplo 12

As três questões deste bloco exigiam que o aluno estivesse envolvido e concentrado

para identificar a invariância de um procedimento e utilizá-la em um ordenamento

supostamente dedutivo, como requer o exercício 7, com a apresentação de (n-1)* r como

resposta pretendida. Nesse sentido assumo que o adiamento da fase de preenchimento do

protocolo para outro dia prejudicou um pouco da concentração do grupo, percebi, por

exemplo, que nas etapas que exigiam maior autonomia por parte do participante, muitos

alunos esmoreceram e com a atenção do mediador sendo freqüentemente requisitada pelos

outros participantes, não houve uma ação no sentido de mexer com a motivação daqueles.

O fechamento desta atividade presumia uma condição de abstração mais acentuada,

pois havia um pequeno salto informacional, já que até chegar nesse tópico o aluno valeu-se

do suporte de procedimentos numéricos e, nesse momento, era esperado algo de

generalização para a obtenção de um pretendido algoritmo, que bem representasse a

definição do termo geral de uma progressão aritmética.

A fórmula adotada pelo todo desta primeira atividade, apresentava:

_ Primeiro bloco instrucionista; dirigido e facilitador para a repetição e

memorização de etapas de uma progressão.

_ O segundo bloco no qual se esperava que o aluno imitasse o procedimento do

bloco anterior, mostrando uma certa compreensão da estrutura de uma seqüência e criasse

uma outra qualquer e, apesar de ainda dirigido, o aluno mostrasse apropriação de algumas

idéias matemáticas interessantes, tais como:

Indicação de

exercício anterior

para validar o

procedimento

• Ordenação dos itens da seqüência;

102

• A necessidade de identificação de uma razão para construção de uma

progressão a partir de um a

conhecido;

• Compreensão da estrutura lógica de criação dos termos de uma progressão,

permitindo evoluir para além da ação de reproduzir um processo.

E volta ao instrucionismo buscando uma transição entre os princípios aditivo e

multiplicativo que foram relacionados com a razão, como procedimento preparatório à

construção de fórmulas e algoritmos – termo geral da PA – mas ainda focando na

percepção de invariância contida na relação entre termo específico de uma PA e a

quantidade de vezes que se multiplica a razão quando a

é conhecido, com o objetivo de

chegar a n como fator de indexação e a (n -1) como a quantidade de vezes que se

multiplica a razão. Conforme já registrei anteriormente, os efeitos desta atividade poderão

ser vistos mais adiante e, em relação ao objetivo específico matemático, cumpre-me

informar que além de muitos alunos – 12 participantes – chegarem a proposição de

algoritmo para a formulação do termo geral, mais relevante foi a abrangência que a ação do

mediador conseguiu atingir perante a sala, quando após o recolhimento dos protocolos,

conta com a participação da sala para concluir e apresentar no quadro o algoritmo que se

procurava.

Nesta etapa, percebeu-se que o diálogo entre os sujeitos, mais focado em termos

matemáticos recém-adquiridos ecoa e encontra decodificação, tornando inteligível e

agregando maior significado ao aprendizado, portanto o andamento da atividade foi

satisfatório.

Outras observações:

Os registros analisados indicam um esmorecimento evidenciado pela quantidade de

protocolos incompletos a partir do término do 2º bloco, são 15 desistências e apontamos

dois motivos como substanciais a esse procedimento:

_ A transferência da segunda etapa da atividade, que consistiu no preenchimento do

questionário para dia distinto da aplicação da primeira parte – o jogo – fez com que

participantes com características mais passivas diminuíssem o interesse e o mediador não

se mostrasse atento ao acompanhamento desse grupo, ficando sua ação restrita ao restante

da sala que faziam solicitações constantes.

_ A segunda parte pressupunha que o aluno exercesse um pequeno grau de

autonomia e partisse para a criação de uma seqüência, fornecendo evidências de que não

103

estava simplesmente fazendo a reprodução de exemplos. Essa é uma característica ainda

mais típica do grupo passivo.

...

104

5.4.2 Análise parcial da atividade 2 - Degraus.

Esta questão visava à identificação de propriedades matemáticas,

mais especificamente, as propriedades envolvendo termos

eqüidistantes, através do exercício de observação e da ação

empírica com o auxílio de facilitadores: computador e software

Cabri Géomètre II.

Panorama do ambiente:

• Atividade aplicada em sala ambiente de informática com duração de 2 horas aula (100

minutos),

• Recursos utilizados: 8 computadores em rede, protocolo da atividade 2 – Degraus –

software Cabri Géomètre II e caneta.

• Instrumentos de coleta de dados: gravação de registros de dados via protocolo dos

alunos, diário de bordo, gravação em vídeo, uso do blog, arquivos do Cabri gravados

em mídia digital.

Considerações preliminares:

Dentre os 8 alunos envolvidos, 7 tinham familiaridade com o uso do computador,

dentre os quais 5 conheciam o Cabri II, sem contudo dominar o seu uso.

Essa inexperiência não se traduziu em obstáculos, ao contrário, os alunos

participantes encararam como uma trabalhosa mas gostosa tarefa, um desafio possível de

ser vencido, como podemos reconhecer através de comentário postado 1 no blog .

Consoante ao que havia escrito anteriormente, nesta pesquisa utilizo um blog, como

espaço de livre manifestação dos alunos, cujos comentários auxiliaram na reflexão sobre a

prática pedagógica, embora também este instrumento de coleta de dados tenha servido para

outras funções, que serão vistas adiante.

[nanda souza] [nandap[email protected]m.br]

Bom, acho q a matemática deve ser levada deste modo. Pois tem uma frase q diz:"È errando q se

aprende" e aqui é brincando q se aprende. Levar a matemática deste modo fica bem mais fácil e

divertida. Claro q tem momentos em q temos q deixar a esportiva de lado mais nem sempre é bom...

04/05/2007 12:35

Blog - comentário postado 1

105

Na maior parte do tempo, a filmadora ficou fixa em posição cuja angulação

permitia o maior enquadramento do grupo e, em alguns momentos de intervenção do

mediador, a mesma o acompanhou.

Desta feita, a quantidade de alunos permitiu um melhor aproveitamento do tempo,

ao que acrescento que foram poucas as dificuldades relativas ao uso operacional do

computador, favorecendo o desenvolvimento das habilidades de experimentação e

visualização, muito importante para a tarefa neste ambiente. Os maiores entreveros

estiveram relacionados ao uso do teorema do ponto médio e do conceito de simetria, mas a

ação do mediador contava com estas dificuldades para orientar os alunos a uma observação

cuidadosa.

A opção pelo uso do Cabri Géomètre II era prevista nas linhas do AprovaMe,

traduzida inicialmente pela disponibilidade do software em escolas da rede pública

estadual, depois, pela familiaridade que o pesquisador possui em relação ao software, em

muito devido ao curso de geometria e um pequeno bocado à TIC’s, ambas cursadas ao

longo deste mestrado profissional na PUC-SP. e também por apostar na eficiência desse

software de uso tipicamente geométrico, em situações de aprendizagem envolvendo

contextos de iniciação a prova e demonstração, dado aos recursos de visualização e

continuidade, permitindo pela via da experimentação que nossos alunos interajam,

formulando e validando suas representações, obtidas muitas vezes, pela reconstrução do

erro, importante apoio proporcionado pela informática.

Etapa analítica da segunda atividade: Degraus.

Indico a segmentação das atividades guiadas pelos hábitos de pensamento

matemático no indicadas no quadro informativo 16.

BLOCO – COR QUESTÕES HÁBITOS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO

Amarelo

1,2, 3,7, 8, 9,

13 e 14

A tendência para traduzir informação apresentada verbalmente em

informação visual (e vice-versa)

Turquesa

4,10, 11 e 12

A tendência para procurar invariâncias

Violeta

5,6,15,16,17

e 18

A tendência para misturar experimentação e dedução

Quadro Informativo 16 - Indica os hábitos de pensamento matemático analisados na 2ª atividade.

106

O mediador começou a atividade com uma pequena exposição do papel facilitador

do computador, salientando a importância em observar detalhes do desenvolvimento da

atividade a cada ação solicitada. A seguir, entregou aos alunos presentes um protocolo que,

em sua primeira parte, continha as orientações sobre os procedimentos a serem adotados no

Cabri II, apresentado pelo quadro informativo 17 indicado na próxima página.

Posicionados cada qual com um computador, começaram os trabalhos e a ação do

mediador se pautou em auxiliar no uso das ferramentas do Cabri II, principalmente ponto

médio e simetria axial e assim seguiu até que os alunos conseguissem obter o objeto de

visualização que serviu de parâmetro para as demais questões da atividade, indicando o

início da fase interpretativa dos dados, pois, presumo que nos três blocos propostos para

esta atividade, o processo de visualização era fundamental para que o aluno pudesse

atribuir o significado ao que se pretendia com a proposição dos itens 2 e 3 da atividade.

O objetivo específico lançado era que o aluno observasse e aplicasse a condição

generalizante identificada na propriedade: Em uma PA finita de quantidade de termos

quaisquer, para se obter a soma de seus termos basta multiplicar a média aritmética

entre termos eqüidistantes pela quantidade de termos da PA., a partir da confecção de

objeto visual retratando primeiramente uma quantidade ímpar de elementos e depois com

quantidade par.

Nesta proposta, a mediação foi direcionada em orientar para observação reflexiva

de processos visuais como meio de favorecer a descrição de processos matemáticos, sejam

propriedades, definições ou algoritmos. Promover a experimentação como forma

autônoma de criação e expressão, além de estimular interação, com vistas ao

aprimoramento do vocabulário matemático envolvendo a definição de termos eqüidistantes

em seqüência finita de termos de uma PA qualquer.

Nessa atividade, começa a inserção pela via tecnológica como forma de auxiliar no

desenvolvimento da capacidade argumentativa dos alunos participantes. A intenção era de

que, a partir de uma constante interação entre eles, os alunos fossem capazes de perceber

invariâncias nos procedimentos decorrentes de comandos imputados ao computador e

socializassem suas observações obtidas via interface tecnológica, levando-as à discussão

com o grupo, de tal sorte que pudessem ou não ser validadas por aquela comunidade.

Esperava-se que dessa contínua re-elaboração das imagens mentais e conseqüente

aprimoramento da habilidade de visualizar, surgissem elementos que corroborassem no

alcance da meta matemática dessa atividade: a formulação de uma propriedade relacionada

107

aos termos eqüidistantes de uma progressão aritmética. A atividade é apresentada aos

alunos com o suporte do roteiro descritivo abaixo:

i. Edite mostrar eixos e deixe a grade aparente

ii. Crie uma seqüência ímpar (maior ou igual a 5 elementos) de retângulos com

áreas em PA, todos alinhados verticalmente à esquerda, como se fosse uma

escada;

iii. Nomeie cada um desses retângulos por: a

, a

...

iv. Colorir cada uma das figuras (evite usar o vermelho, para que não se confunda

com a legenda e também não dificulte identificar o ponto médio)

v. Encontre e nomeie o ponto médio M entre os vértices superior direito do

primeiro e o vértice inferior direito do último (atenção).

vi. Peça a simetria central de cada um dos polígonos criados em relação ao ponto

Quadro Informativo 17 – Roteiro para criação do objeto visual da 2ª atividade com Cabri II

108

A primeira etapa desta atividade visava levar o aluno a perceber, pela reconstrução

mental de sua experiência e, facilitado pelo exercício da visualização, que os novos

degraus formados em decorrência da junção da segunda escada com a original, formavam

dois a dois, todos eles, figuras (fig.1) de mesma área .

Figura 1 – Tela do Cabri II com a apresentação do objeto visual – Degraus ímpares

Essa percepção foi explorada na segunda questão, que começou focando nos

aspectos geométricos da nova figura e exigiu que fossem feitas observações e descrições,

baseadas na figura, ou seja, através da visualização da mesma.

Recortes da segunda atividade - Exemplo 1

109

E, a partir daí, seguiu requisitando informações mais algebrizadas como pode ser

notado no item 3 (exemplo 2).

Recortes da segunda atividade - Exemplo 2

A quarta questão já enveredou por um procedimento mais analítico do que

numérico, não fazendo menção a valores e entendo que sua concretização mostra

evoluções nos hábitos relacionados à construção de explicações sistemáticas para as

invariâncias observadas.

Recortes da segunda atividade - Exemplo 3

A questão de número 5, requeria que o aluno fizesse o uso correto de termos

matemáticos para dar sentido a uma frase , mais do que isso, para evidenciar uma

definição.

Recortes da segunda atividade - Exemplo 4

110

Utilizei a questão 6 para apontar ao aluno que, assumida determinada posição –

mais tarde tratada por hipótese – era preciso procurar elementos para constituir a defesa

para aquela opinião e a mediação orientou para que refizessem o processo que tinham

acabado de desenvolver para uma escada de número impar de degraus, para criar uma nova

escada, desta feita com número par de degraus.

Os alunos entenderam a proposta e se empenharam na criação da nova escada.

Segundo o proposto na Teoria da Comunicação, a relação entre o esforço desprendido e a

satisfação obtida é um elemento essencial para conseguir a adesão do auditório, assim

considerado os alunos desta pesquisa.

O modo diferente como se interpreta o termo médio nesta questão foi o ponto de

reflexão utilizado pelo mediador para fazer crer aos seus alunos que é preciso sempre

desenvolver o processo a níveis seguros para sua proposição, não podendo basear-se

simplesmente no ‘acho que é’. Todos os oito alunos presentes partiram da suposição de

que seria possível aplicar o mesmo procedimento para encontrar a soma dos termos de uma

PA finita com quantidade de termos pares, conforme nos mostra o exemplo 5.

Recortes da segunda atividade - Exemplo 5

Portanto, foi a partir desse momento, com as questões que se seguiram, que a

atividade se mostrou mais investigativa da condição de apreensão do conceito em estudo

por parte do aluno. As afirmações passaram a se basear em nova figura (fig. 2) inicial com

número par de degraus.

Figura 2 - Tela do Cabri II com objeto visual construído na segunda atividade.

111

Apresento fragmentos dos resultados apresentados, com poucas diferenças nos

modos de se expressar para as questões: 7, 8 e 9, devido, principalmente. ao formato da

atividade, que tinha esta intenção inicial (exemplos 6 e 7):

Recortes da segunda atividade - Exemplo 6

Os exemplos para as questões 7, 9 e 10 têm resultados muito semelhantes, mas cabe

chamar a atenção para o item 8, para a qual somente um aluno (ex. 7) respondeu ‘não’.

Notoriamente, a intervenção do mediador feita no sentido de orientar a leitura do

enunciado, não surtiu efeito e conclui-se que para esses alunos: termo médio e termo do

meio tinham o mesmo significado e estava fortemente associado à idéia da visualização.

Ao final da atividade e após a entrega dos protocolos, retomei a discussão com a turma e

apontei as diferenças entre médio e meio para esta atividade.

Recortes da segunda atividade - Exemplo 7

Os próximos exemplos – 8 e 9 – ilustram a apresentação dos itens 11 e 12 da

atividade e se constituíam em um exercício de treinamento de descrição de processos

visuais, como já o fora às atividades 3 e 4. Foram ações necessárias para que se pudesse

fazer uma limpeza de procedimentos, tais como: não esquecer a colocação do sinal das

operações de forma conveniente, não deixar de indexar termos quando assim for exigido e

112

fazê-los de forma consciente, não deixar de utilizar elementos separadores – como os

parênteses – para empreender o verdadeiro sentido matemático da operação: enfim, serviu

para que fossem tomando consciência da necessidade dos detalhes em escrita matemática.

Recortes da segunda atividade - Exemplo 8

Recortes da segunda atividade - Exemplo 9

Os procedimentos envolvendo a explicação sistemática de um fato matemático (ex.

10) foram retomados, ainda que apoiados na estrutura do enunciado, entendo, que esse

apoio, encorajou a proposição de justificativas, quando questões mais abertas (item 15)

foram propostas :

Recortes da segunda atividade - Exemplo 10

Nesta etapa da atividade, esperava-se o confronto entre o que o aluno acabará de

conjeturar com a apresentação da sentença matemática da questão 16 – que pedia a

113

descrição de um procedimento geral para a obtenção de termos eqüidistantes – com o que

havia admitido como hipótese na questão 6: “Responda: O mesmo procedimento se aplica

a uma PA finita de quantidade de termos par?”, para a qual obtive 7 respostas afirmativas.

As conclusões apresentadas registram o entendimento que, a propriedade para pares

é soberana, porém, a forma como o item 16 foi apresentado para os alunos, sem a

indicação da lacuna para o assentamento do termo – quantidade –, mostra que é preciso

rever esta parte da atividade que, acabou por influenciar na escrita da proposição como um

todo. Outra orientação que precisa ser feita, está relacionada ao uso do termo qualquer para

casos gerais, vê-se no exemplo dado que a idéia compreendida não consegue ser expressa

de forma esperada pelo professor:

Recortes da segunda atividade - Exemplo 11

A atividade através de seu enfoque dirigido, deixa pouca abertura a observação

quanto aos resultados, sobretudo, que este não era o nosso objetivo maior com a mesma.

No entanto, um fato chamou a atenção deste pesquisador, refiro-me a questão 8, para a

qual, sete dos oito alunos que participaram desta atividade responderam sim e, entendo

que, em geral, os enunciados são textos a espera de interpretação. Tal interpretação vai

depender do repertório de cada indivíduo ao se apropriar do mesmo. Este repertório se

amplia através de experiências que forcem novos olhares e não apenas porque o professor

ou outro colega aponta ou fala sobre algo novo.

114

Esperava possibilitar um ambiente propício ao desenvolvimento de diálogos e

questionamentos que pudessem ser encaminhados na direção que esta pesquisa aponta

como rumo: a argumentação em processos de negociação de significados E encontrei

vários motivos que servem como incentivo a continuar com essa proposta que, busca

desenvolver hábitos que possam permitir ao aluno, emitir justificativas e a apresentar

argumentações em condições de progredir gradativamente à demonstração e prova.

Focando nos hábitos da visualização e experimentação, pude constatar pelo

comentário postado 2 no blog, que o retorno obtido por parte dos alunos indica que o

trabalho em equipe para este tipo de atividade é bem ajustado . Consegue dar segurança ao

aluno para experimentar e obter por conta de seu experimento, melhores condições de

estruturar suas justificativas, torna-se mais fácil falar sobre algo já vivenciado ou no qual

sua participação no processo de construção não foi meramente figurativa:

[Daniela Dias] [danielapr[email protected]] [danielaprinces.zip.net]

Atividade da escada Esta aula foi muito boa,pois trabalhamos em equipe,tiramos todas as nossa

dúvidas não só com os colegas e também com o prof° Eduardo. Além disso tivemos a

oportunidade de ter o auxílio do computador,que tivemos a melhor visualização da atividade.

gostei da aula,pois consegui entender e tirar todas as minhas dúvidas. valeuuuuuuuuu a aula

pof°,bem que poderia ter mais vezes,né!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

04/05/2007 11:21

Blog - comentário postado 2

Ao propor a interação entre os alunos, percebe-se que o ambiente ganha em

criatividade, que muitas vezes, pode não ser transmitida pelas vias mais comumente

utilizadas para apresentar resultados e que os alunos são favoráveis a este tipo de iniciativa,

pois, mostram-se mais dispostos a dedicar tempo e esforço.

Quando os alunos se acham seguros e confortáveis, eles se mostram mais

produtivos, não temendo ao erro, já que o crivo de interpretação primeiro é o da sua

comunidade de colegas e fortalecidos pelos incentivos mais próximos, ganham em

confiança e autonomia no momento de sua argumentação.

Durante a análise do material coletado, principalmente as gravações, pude observar

que rápidos diálogos continham muitos elementos expressivos e condizentes com a linha

desta pesquisa. Os diálogos que aparecem a seguir evidenciam os episódios ao estilo de

história em quadrinhos, utilizando seqüência de quadros extraídos da gravação original.

Saliento que o roteiro é baseado no diálogo real e os personagens são os sujeitos

participantes da pesquisa.

115

Diálogos em sala de aula 2 – Cenários de mediação com auxilio do computador.

Aluna indagando ao professor sobre a possibilidade de uso da mesma figura para encontrar o ponto médio, fazendo

alusão a mesma indicando-a na tela do computador

Sua amiga começa a indicar que o ponto médio da

figura... Î

não será o mesmo, pois haverá a inclusão de mais um

lance

Aponta na tela local onde supostamente seria

acrescido o novo degrau Î

E argumenta, que a partir desse acréscimo, o meio não

seria mais representado pelo bloco amarelo...

que é o atual ponto médio. Quando vai terminando sua

fala, desvia o olhar para o professor que observa a sua

argumentação, esperando uma confirmação... Î

Por fim, para validar o argumento da colega, nossa

primeira aluna repete as informações, confrontado com

aquela sua primeira impressão, a fim de mostrar seu

entendimento.

116

As dificuldades das atividades são encaradas de forma desafiadora e estimulante,

quando os alunos sentem-se capazes de resolvê-las, deixando-os mais motivados e

confiantes, quando as etapas vão sendo vencidas:

[camila...] [myllarv@yahoo.com] [ca.legg.zip.net]

Essa atividade foi um pouco longa,mas quando vc se envolve na atividade,quando vc começa

a entender o q lhe é passado,tudo fica muito mais fácil... Eu gostei,mas só depois q eu

começei a entender,mas no começo eu não estava gostando mas eu curti pra caramba essa

experiencia...

04/05/2007 11:24

Blog - comentário postado 3

[Carolina Vitorino]

sim na opiniao eu acho que com essa atividade cada um vai reconhecendo mais matematica.

acaba influindo mais na vontade

04/05/2007 11:24

Blog - comentário postado 4

As maneiras diferentes como uma mesma idéia matemática pode ser vista, é

importante para estabelecer que, embora seja uma ciência exata, há muitos modos de

expressarmos a mesma opinião em Matemática e cada um deve fazê-lo pela forma como

se sentir mais seguro.

[karen] [kakal2[email protected]]

A atividade foi bem interesante pois podemos ver a diferença de cada um pensar e espresar

suas ideias sobre cada assunto.... A a tividade foi bem interesante pois vi que não so eu mas

como varias outras pessoas tem dificuldadede alguma coisa...... Bom fiko por aki BIG BJKS.

A TODOS.

04/05/2007 11:31

Blog - comentário postado 5

...

117

5.4.3 Análise parcial da atividade 3 – Escada I

Esta questão procurou propor atividades em que se fizesse

necessário o uso de evidências matemáticas como propriedades,

algoritmos e definições para justificar os argumentos apresentados

como soluções. A intenção era fazer com que o aluno percebesse a

pertinência em utilizar a fórmula do termo geral da PA e a partir de

sua aplicação obter insumos para solucionar a atividade.

Panorama do ambiente:

• Atividade aplicada em sala ambiente de informática, com duração de 3 horas aula. –

(150 minutos).,

• Recursos utilizados: 8 computadores em rede, protocolo da atividade 3 – Progredindo

na vida! (A escada) – software Cabri Géomètre II, papel e caneta.

• Instrumentos de coleta de dados: gravação de registros via protocolo dos alunos, diário

de bordo, gravação em vídeo, uso do blog, arquivos do Cabri gravados em mídia.

Considerações preliminares:

Esta atividade foi desenvolvida em dois dias com rodízio de 1 aluno por dupla. As

duplas foram distribuídas de modo que não ficassem juntos alunos sem nenhuma

experiência anterior com o Cabri II; deste modo, o uso do computador não representou um

obstáculo à tarefa. Dispostos em 8 duplas, os alunos receberam os protocolos e instruções

para acessar o Cabri II e dar início à atividade.

A filmadora ficou fixa, em posição cuja angulação permitia o enquadramento da

intervenção da mediação entre professor e alunos.

A mediação do professor esteve direcionada ao desenvolvimento dos hábitos de

pensamento matemático, embora o ambiente tenha se mostrado pródigo em cenários de

mediação com outros protagonistas, como será mostrado mais adiante.

Etapa analítica da terceira atividade: A Escada:

O objetivo específico lançado é que o aluno observasse a regularidade propiciada

pelos degraus da escada e fizesse ligação com uma PA crescente, e daí, ao aplicar a

subtração entre termos subseqüentes, poderia determinar a razão de crescimento.

118

BLOCO - COR QUESTÕES HÁBITOS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO

turquesa

para procurar invariâncias

Violeta

para misturar experimentação e dedução

verde claro

para construir algoritmos e raciocinar acerca deles

Rosa

para raciocinar por continuidade

Quadro Informativo 18 - Indica os hábitos de pensamento matemático analisados na 3ª atividade

Os alunos foram orientados a acessar o Cabri II e abrir o arquivo escada.fig (fig 3).

Os protocolos foram entregues aos alunos, no sentido de facilitar a leitura no desenrolar da

elaboração do objeto visual, evitando o desconforto em ir e vir com o procedimento de

rolagem da tela do Cabri, para acompanhar o enunciado.

Figura 3 – Tela do Cabri II com enunciado da terceira atividade

O enunciado da primeira questão propunha que o aluno criasse ‘degraus’ em uma

escada, representada por dois segmentos de retas concorrentes denominados perfis laterais,

seguindo determinadas condições.

119

1. A sua primeira tarefa é colocar degraus paralelos uns aos outros nessa escada com a

seguinte condição: _que escolhido o espaçamento dentro do intervalo de 25cm a 40 cm,

esse espaçamento seja único entre os degraus, ou seja, do primeiro ao último degrau essa

distância deverá ser mantida; em seguida deverá informar qual a quantidade exata de

sarrafo utilizado para tal tarefa. Você pode utilizar qualquer ferramenta do CABRI, porém

deverá registrar (utilizar a ferramenta comentário com o título: primeira escada) o passo

a passo desse procedimento para que possamos entender como se deu essa tarefa.

Esta autonomia em poder escolher, mesmo dentro de limites, as medidas que

poderiam utilizar, mostra uma leve abertura na proposição da atividade. No começo da

atividade é grande a procura pelo professor, por parte dos alunos, em busca de encontrar

meios para dar seguimento à atividade. A mediação, nesse sentido, foi direcionada a fazer

com que o aluno buscasse uma melhor compreensão do contexto da atividade, através de

uma leitura cuidadosa e da contra-argumentação feita pelo professor, com perguntas e

ações direcionadas a fazê-los praticar hábitos do pensamento úteis na resolução da

questão.

Apresento a seguir, uma seqüência de quadros retratando momentos em que este

tipo de mediação, envolvendo professor e uma dupla de alunos com dificuldades de

compreender a atividade aconteceu. Peço ao leitor que preste atenção aos semblantes e

gestos que indico durante o diálogo. Os diálogos foram obtidos da transcrição do vídeo

gravado durante a atividade:

Diálogos em sala de aula 3 - Cenários de mediação no início da atividade 3.

P:_Quais as dúvidas??? Î _Entender tudo!!!!- diz L. Î

Professor pede para que releiam a

questão...

Começo da questão Î

Escada apresentada no teto original

P:_ Vocês subiriam nesta escada?

...A sua primeira tarefa

é colocar degraus

paralelos uns aos

outros nessa escada

com a seguinte

condição...

120

L:_ Não ! Î

P:_ Porque não? L:_Tem que colocar os degraus...- e sorri começando a entender

O gestual é utilizado para indicar que

as medidas indicadas são comumente

encontradas...

Prof. pede para que L. indique o

local na atividade onde deve colocar

os degraus

Em seguida, solicita que trace os

degraus no rascunho...

Observa que L. faz os traços com

distância regular uns dos outros

L. coça a cabeça e reflete sobre o que

acabou de ouvir e K. também alterou sua

postura em função do comentário...

Professor informa que ao que tudo

indica elas já entenderam o que a

atividade pede nessa primeira

questão

E, apontando para o computador,

indicando que este lhes servirá para

simular , experimentar se as suas

estratégias são boas ou não....

E elas, com as feições mais aliviadas

dirigem-se ao computador...

Quando as alunas começam a

entender o que delas se espera, e

sentem que é algo possível,

tangível, as expressões de seus

rostos ficam mais leves,

descontraídas.

O professor aproveita o

momento para se referir às

condições impostas pelo

enunciado, buscando

consolidar a adesão à

atividade...

O professor volta a aproveitar-

se do momento e indica que

essa é outra das condições

impostas pelo enunciado e que

foi feita por L.

inconscientemente.

AAhhh, o resultado desse

diálogo?????...

Você vê a seguir...

121

Figura 4 - Objeto visual construído pelas alunas protagonistas do diálogo

A figura acima indica o objeto visual que as alunas construíram para dar

continuidade na resolução da atividade, observando as regularidades de distância [últimos

degraus] e trabalharam bem a questão do paralelismo, além de observarem corretamente

que os degraus em seqüência apresentavam a mesma constante de crescimento de um para

o outro.

Neste episódio, a ação do mediador em conduzir um suposto não entender tudo (2º

quadro do diálogo), através de perguntas que tinham respaldo no protocolo, permitiu obter

a adesão da dupla para o propósito da atividade. Chamo a atenção, ao fato de que, a

argumentação para esse convencimento foi toda construída com base em termos do

cotidiano, que o gestual apareceu em vários momentos dando ênfase às duvidas,

compreensões, consentimentos, sempre contribuindo para a evolução da negociação.

Outro cenário de mediação que despertou o interesse deste pesquisador, envolveu o

uso do blog com a informação sobre os procedimentos que foram utilizados para a

elaboração. No comentário 6, a dupla apresenta uma narrativa matemática, onde

explicitam o procedimento usado no Cabri para ‘descobrir’ a solução do problema. Além

disso, sugerem uma futura interação, quando colocam: ‘ essa é a minha opinião e a de

vocês!??’

122

[kinha e gilmar]

Gilmar: agente colokou os pontos primiero, depois usamos a circunferência para disância os

pontos entre si, após isso colokamos a ferramentas usamos a linha reta para dife~rência um

ponto entre o outro da escada, usei o seguimento para ligar os pontos parar saber a

distância entre eles assim

o entre eles e a ligação

entre os sarrafos....

25/05/2007 10:49

Blog - comentário postado 6

A figura 5 mostrada abaixo é a representação visual que a dupla se refere no

comentário postado no blog.

Figura 5 - Tela do Cabri com objeto visual da terceira atividade

O processo de criação de degraus da escada, apesar de trabalhoso, mostrou-se

bastante produtivo, pois essa fase de construção permitiu ao aluno refletir sobre o

procedimento e buscar formas mais acessíveis e práticas de se chegar à solução.

Os comentários postados (7 e 8) apresentaram um cenário, onde as duplas fizeram

suas suposições sobre qual seria a direção a ser seguida para resolver a atividade, com a

indicação do uso da ‘progressão aritmética’, o que acabou acontecendo através do uso da

fórmula do termo geral.

[david e dani]

camila me fale uma coisa o que realmnte o prof quer relacionada a questão dois?

25/05/2007 10:49

Blog - comentário postado 7

123

[Cáh e quinho...]

Dani eu acho q a dois tem q entender q nao precisa fikar fazendu a escada td de novo é só

entender q podemus usar a progressao aritimetica...nao precisa se matar p fazer td de

novu...eu achu q é issu...

25/05/2007 10:57

Blog - comentário postado 8

Essas suposições foram articuladas após a verificação de algumas evidências

matemáticas pelos alunos, baseadas novamente na proposta de visualização, embora com

graus distintos de certeza.

O enfoque de mediação praticado pelo professor procurou fazer com que o aluno

fosse tomando conhecimento de formas de estruturação lógica de um processo matemático,

e com isso, admitisse a possibilidade de existência de algum procedimento que viesse a

facilitar o tratamento dos dados disponíveis.

2. Sua segunda tarefa é responder qual a metragem que deveria ser comprada para repetir

o processo em uma escada com o dobro da altura;

A segunda questão foi planejada para fazer com que o aluno, baseado na prática da

visualização e descrição de registros visuais focada no objeto visual ‘ a escada ’ que

acabara de construir, buscasse em seu repertório a fórmula do termo geral e percebesse a

pertinência em aplicá-la. Tal como mostra o comentário (9) abaixo:

[kynha e Dany]

podemos usar a forma aritimética pq podemos perceber que a medida esta aumentando conforme

fazemos os percursos usados, assim seria mais util usar essa formula ao inves de fazer a escada de 100

degraus

24/05/2007 12:12

Blog - comentário postado 9

Isto feito, o aluno poderia encontrar o 10º, o 20º e o 100º termo da PA, necessários

à continuidade da atividade. Para isso, o aluno precisou exercitar sua condição visual e

perceber a invariância necessária, para admitir que os degraus da escada estavam em PA.

Para alguns (fig. 6) bastaram poucas informações confirmatórias para dar-lhes a

segurança necessária ao investimento em uma propriedade matemática . Nesse sentido,

verifica-se a influência do repertório de cada um ao assumir uma dada postura relativa às

informações visuais :

124

Figura 6 – Objeto visual da segunda atividade com poucas evidências levantadas.

O segundo exemplo (fig.7) apresentou evidências de que os alunos buscaram

garantias suficientes para seguir com a atividade, primeiro, com a apresentação da

distância entre pontos que simbolizavam o tamanho dos degraus, utilizada nos três

primeiros lances do alto da escada e, depois, com a verificação de outras propriedades

anunciadas no corpo de texto da atividade – distância entre degraus constante – na parte

baixa da escada, ambas pertinentes e mostrando evolução na habilidade visual e descrição

de processos com o uso de propriedades matemáticas.

Figura 7 – Objeto visual com verificação de evidências apropriadas à atividade

125

Houve também àqueles que recorreram ao blog

em busca de auxílio, e os

comentários que apresento a seguir oferecem uma boa indicação de como tal instrumento

funcionou nesta mediação. As enunciações colocadas contemplam idéias diferentes.

Neste comentário postado ( 10 ) foi feito um pedido de ajuda para outra questão da

tarefa. Entretanto, sem estabelecer onde residiria tal dúvida..

[andrew]

eu não entendi como é que faz a pergunta da dois,tem como alguem nos ajudar ou dar uma

ideia.

25/05/2007 11:05

Blog - comentário postado 10

Para ajudar Andrew (10), Daniela (11) adverte sobre a não necessidade de fazer o

processo novamente e oferece um caminho via fórmula ‘ fórmula da progressão aritmética

an=a1 + (n-1).r’, prontificando-se a auxiliar caso eles não tivessem entendido:

[dani]

andrew ,ao invés de fazer nioovamente o processo ,a escada é de 3 metros porém na

questão dois ele quer o dobro que seria 6, vcs usam o

(

)

r entenderma senão me perguntem

25/05/2007 11:08

Blog - comentário postado 11

Já Cáh e quinho (12) coloca que se ele não entender a primeira questão ela não

conseguirá ir adiante.

[Cáh e quinho...]

bom

o...ai depois td fika mais facil...

25/05/2007 11:08

Blog - comentário postado 12

A mensagem foi bem recebida pela dupla de Andrew (13), ao admitir que com o

uso da fórmula indicada por Dani (11) seria mais fácil resolver a segunda questão:

[andrew e jhonatan]

eu entemdi que a dois tem uma formula mais fácil de fazer que é que tem que usar a

seguinte formula an=a1+(n-1)r isso foi oque eu entemdi.

25/05/2007 11:23

Blog - comentário postado 13

Os nomes são indicados pelo uso de apelidos da forma como encontra-se indicado no blog 2a.2007.zip.net

126

A interação mostrada na página anterior, na verdade, uma mediação conduzida por

aluna e envolvendo vários colegas participantes, era uma das intenções planejadas para o

ambiente de aprendizagem. Lembro ao leitor que, disséramos anteriormente que outros

cenários de mediação poderiam surgir e, nesta atividade são vários os cenários e os

protagonistas. O blog permitiu notar que o uso de linguagem matemática começava a fluir

nos diálogos travados entre os alunos, já que surgiram comentários que indicavam que a

atividade buscava providências matemáticas que facilitassem a resolução do problema,

como aparece ilustrado pelo comentário a seguir:

[kinha]

olha o q eu entendi e que seria mais dificil fazer o desenho pois que eh a escade de 3* o

dobro que seria uma imaginação enorme de uma escada de 3cm e ainda o dobro

dele.....enorme neh?....seria então mais facil fazer a conta de progressão aritimética que eh

an=a1+(n-1).r que axaria a conta do 2 questão, ou seja, na segunda ela tah pedindo para

axar o an= ao numero qualquer pois uma conta sem numero naum chega a um

resultado....e o 3 eh pra saber a soma dos calculos todos da escada!!

25/05/2007 11:41

Blog - comentário postado 14

E aí surgiu outra das intenções da atividade, fazer perceber ao aluno que essas

facilidades podem ser obtidas por eles mesmos, mas que antes precisariam garantir a

legitimidade de suas formulações, e por isso, a importância em provar e demonstrar em

matemática deveria ser enfatizada pelo professor durante suas intervenções, como

aconteceu.

Figura 8 - Objeto visual com as medidas irregulares devido ao arredondamento do Cabri II

127

O exemplo da página anterior (figura 8), apesar das contraditórias informações dos

tamanhos dos degraus, causadas pela forma como o Cabri II aplica o fator de

arredondamento, não se transformou em um problema para a dupla. O mediador

esclareceu o porquê de tal incoerência e reportou-se a importância em saber descrever os

procedimentos adotados, fato que, permitiu ao mediador validar as ações dos participantes.

Ao chegarem ao consenso de que a construção da escada estava correta, a dupla buscou

novos insumos para continuar a atividade.

É expressiva a forma como a argumentação sofre modificações dentro deste mesmo

contexto de sala de aula, agora envolvendo o professor e essa mesma dupla que me referi

no parágrafo anterior, que já havia se envolvido na atividade e trazia um repertório mais

ajustado à proposta do ambiente, que apresento em outra seqüência de quadros extraídas da

gravação e com roteiro extraído da transcrição da atividade.

Diálogos em sala de aula 4 – Cenários de mediação: alunos concluindo atividade 3.

Elas respondem que os degraus aumentam sempre o mesmo tamanho e eu

pergunto quanto:

F.:_ 0,22

Antes de

fornecer

maiores

explicações,

pergunto a

dupla o que elas

haviam

percebido na

figura que

criaram

P.:_e o que é esse número?

F:_ a razão !

Aproveito para verificar se elas

tinham percebido a regularidade entre

a distância dos degraus, e pergunto se

a seqüência é uma progressão,

obtendo resposta afirmativa, então

peço a fórmula do termo geral.

F. desvia o olhar para enxergar os

valores

Concordando com a formulação,

aponto na direção do local onde

estavam sentados, e digo que as

informações iniciais estão na tela...

128

E começam a montar o algoritmo

para encontrar os valores que precisa

F. tem uma dúvida e me questiona o

porquê de estar usando a

se elas

precisam achar o valor do degrau da

escada que é o dobro do tamanho

P.:_Mas você também vai precisar

do a

para ela – referindo-me a

escada.

Ela coça o pescoço, pensa um pouco

mas se convence que de fato não dava

para ficar sem o a

, e saí à procura de

calculadora para fazer as contas para

encontrar os valores de a

e a

Enquanto elas encontram os valores,

vou ver o andamento de outra dupla

Aqui a reação de

F. quando

compreende que

vai ter que achar

o valor de

100

Voltando a atendê-las, elas pedem

para que eu verifique os resultados

Ficamos satisfeitos até aqui, eu e

elas...

Faço alguns exemplos numéricos para

dar-lhes uma idéia

Para dar continuidade atividade,

recorro à história da Matemática e

resumo o episódio de Gauss e a

soma dos números inteiros, tentando

fazer com que entendessem a

estrutura da operação que teriam que

fazer

129

Elas apresentam o resultado abaixo para soma de 100 degraus, que apesar de erros na aplicação do

algoritmo [esquecem de multiplicar por 100 ], e deixou bastante satisfeito pela desenvoltura com que

identificaram propriedades e se valeram delas para evoluir cognitivamente.

E peço para que

utilizem o

mesmo sistema

para encontrar

os valores das

somas que

precisam

A proposta inicial era que a atividade fosse resolvida diretamente no Cabri II, mas

quase todos os alunos optaram por utilizar o verso da folha de protocolo para desenvolver

seus algoritmos, tal qual se vê nos quadros finais do diálogo acima.

Presumo que essa preferência se traduziu pela facilidade como os cálculos puderam

ser registrados em papel e embora o Cabri disponibilize a ferramenta calculadora, muitos

alunos sentem maior segurança em aplicar algoritmos quando podem ver a sua notação

geral e ir substituindo os valores aos poucos.

A terceira questão desta atividade exigia do aluno um pensar mais generalizante,

focado na continuidade dos procedimentos que haviam sido empregados.

3. E sua terceira e última atividade, também será encontrar a quantidade de sarrafo

necessária à confecção de uma escada com 100 degraus a partir do modelo criado em sua

primeira tarefa.

Ah! Justifique suas respostas...

Para algumas duplas que já haviam terminado a fase de construção do objeto visual

e procuravam orientações, o direcionamento dado por este mediador seguiu por uma

retomada histórica, um contar da história de Gauss sobre a formulação da soma dos termos

finitos de uma PA, mas prezando pela não generalização, deixando sob a responsabilidade

de nossos alunos a adaptação da quantidade de termos para atender às suas necessidades.

Quando conseguiram entender como aplicar a fórmula, prestaram-se

imediatamente a divulgar (comentário 15), mostrando o procedimento para encontrar a

soma dos 10 primeiros degraus:

[joabe e victo ]

eu achei a formula memimas(os)? que er S10=a1+a10.n10 2

24/05/2007 11:50

Blog - comentário postado 15

130

Depois, a mesma dupla apresenta sua conclusão (comentário 16), embora bastante

confusa, mas com a indicação correta da fórmula para encontrar a soma dos 100 primeiros

degraus, tal como solicitado na questão:

[joabe e victor]

como eu cheguei a conclusão que 23.82.100cm eu chego a 307,30 m 1,30.30cm que eu chego a

conclusão que sn=(a1+a100).100 isto è 23.82.100cm que dividinos por 2 que da este resutado que er

307,30m?

24/05/2007 12:17

Blog - comentário postado 16

Outra dupla conseguiu ser mais objetiva e indica os procedimentos (comentário 17 )

na ordem em que deveriam ser utilizados, primeiro usando a fórmula do termo geral para

encontrar os valores necessários de a

, e depois aplicar a fórmula da soma dos termos de

uma progressão aritmética.

[kynha e Dany]

a 2 é só usarmos a forma progressão aritimética..... an=a1+(n-1).r e na 3 coloka lugar do n colokar o

numero 100 e depois fazer a outra conta da soma: sn= a1+ a100%2.100 e achar o cm de tudo!!

24/05/2007 12:10

Blog - comentário postado 17

Ao término da atividade, solicitamos que os alunos postassem suas

impressões via Blog, do qual extraímos alguns dos comentários que foram apresentados ao

longo da análise da atividade e escolhi alguns deles (18 e 19) para fechar esta seção.

[Kakal e lari]

Bom o que pude perceber que a varis maneiras de se fazer contas na qual entendi poucas mas

foi bem legal interagir com os colegas de classe adorei fazer essa atividade que apesar de

começo não ter intendido bem foi bem interesante............ Beijosss FUI K FUI.......

26/05/2007 15:20

Blog - comentário postado 18

[daniela]

relacionado ao trablho de hoje tivemos uma boa atuação tiramos muitas dúvidas em equipe e

omais importante entendemos a lição dada pelo o prof,como todos sabem usamos nessas últimas

aulas a progressão aritmética e sua fórmulas existentes ebom é isso e até outro dia com pastor e

compania

25/05/2007 11:46

Blog - comentário postado 19

...

131

5.4.4 Análise parcial da atividade 4 – Escada II

Esta questão presumia a identificação de propriedades matemáticas

através do exercício de observação e da ação empírica com o auxílio

de facilitadores, buscando a identificação de processos de

generalização que proporcione o pronunciamento de definições ou

proposições, nesse caso a formulação da soma dos n primeiros

termos de uma PA.

Panorama do ambiente:

• Atividade aplicada em sala ambiente de informática, com duração de 2 horas aula. –

(100 minutos).,

• Recursos utilizados: 8 computadores em rede, protocolo da atividade 4 – A Escada II –

software Cabri Géométre II e caneta.

• Instrumentos de coleta de dados: gravação de registros de dados via protocolo dos

alunos, diário de bordo, gravação em vídeo, uso do blog, arquivos do Cabri gravados

em mídia digital.

Considerações preliminares:

Atividade desenvolvida em duas etapas com os alunos trabalhando em duplas. A

primeira etapa foi destinada à trabalhar com o Cabri visando a obtenção da figura que

serviria de objeto de visualização. Na segunda etapa, os alunos estiveram envoltos em

responder o protocolo que havia sido entregue no início da atividade.

Orientados para acessar o Cabri II e com algumas instruções iniciais que serviram

para auxiliar na construção da figura, o desenrolar desta atividade aconteceu dentro da

normalidade, com poucas intervenções do mediador nesta etapa. O segundo momento

mostrou-se pródigo em interações alunos-computador, uns pareciam conversar com a tela,

apontando o dedo, utilizando o lápis, ora querendo convencer seu companheiro de dupla a

aderir a sua argumentação, ora querendo convencer a si mesmo que estava no caminho

correto, bons indicadores de que o contexto do ambiente estava agindo naquela atividade.

Desta feita, o blog serviu como parâmetro para reflexão do mediador e também

como local para troca de informações entre os alunos.

132

Etapa analítica da quarta atividade: A Escada II

Baseado no desenvolvimento da argumentação quando os alunos estão envolvidos

em processos que estruturam uma proposição matemática, busquei explorar o repertório

que foi desenvolvido nas atividades e também promover a prática dos hábitos recém

adquiridos de experimentação e visualização.

BLOCO - COR QUESTÕES HÁBITOS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO

Amarelo

para traduzir informação apresentada verbalmente em informação

visual (e vice-versa)

Verde

B , C e E

para construir explicações sistemáticas e demonstrações para

invariâncias observadas

Vermelho

para descrever, formal e informalmente, relações e processos

Violeta

para misturar experimentação e dedução

Verde claro

para construir algoritmos e raciocinar acerca deles (uma das muitas

conexões com a álgebra)

Quadro Informativo 19 – Indica os hábitos de pensamento matemático analisados na 4ª atividade

Novamente os alunos utilizaram o Cabri II (figura 9) para o desenvolvimento da

atividade que aproveita a idéia da escada utilizada na atividade anterior para apresentar a

estrutura de desenvolvimento de um processo dedutivo.

Figura 9 – Tela do Cabri II com enunciado da quarta atividade

133

Painel ilustrativo 3 – Alunos em atividade com o uso do Cabri II

As questões remeteram o aluno à prática da visualização como ponto de partida,

isto depois que o aluno tivesse a sua figura construída da forma como é mostrada abaixo.

Figura 10– Objeto visual construído por alunos usando Cabri II na quarta atividade

A seqüência das questões possibilitou que o aluno fosse compreendendo

gradativamente a estruturação lógica que envolve um processo de prova. Os resultados

obtidos, frutos de muita interação entre as duplas que realizaram a atividade. E, por conta

dessas constatações, optei por enfatizar a análise da argumentação nessa atividade, mas

antes, apresentarei a seqüência das questões com a ilustração de alguns exemplos.

Veja que a partir da aplicação da simetria central (fig. 10) surgiram duas escadas e

que a descrição do registro visual com o auxilio dos rótulos, permitiu ao aluno a

134

apresentação dos novos degraus formados sob a perspectiva algébrica, como pode ser visto

nos exemplos 1 e 2 , referentes à questão A, que alunos respondem sem dificuldades.

A. Faça a comparação dos novos degraus formados, escreva um ou dois:

Recortes da quarta atividade - Exemplo 1

Recortes da quarta atividade - Exemplo 2

A ênfase em anunciar a adição como operação como pôde ser observada nos itens B

e C e ilustradas pelos exemplos 3, 4 5, e 6, é prerrogativa para a sua utilização na

continuação da atividade. Cabe notar também que no exemplo 3 a resposta foca ‘em

degraus’, e o exemplo 4 já apresenta um desprendimento do degrau para a fórmula, pois

fala em ‘colunas’.

B. Como podemos obter a quantidade de material gasto em cada escada para montar

somente os degraus?

Recortes da quarta atividade - Exemplo 3

Recortes da quarta atividade - Exemplo 4

C. Qual tipo de operação matemática é a mais indicada para esse tipo de problema?

135

Recortes da quarta atividade - Exemplo 5

Recortes da quarta atividade - Exemplo 6

O encadeamento das idéias registradas em A,B e C, com o apoio da visualização

possibilitou a descrição de todos os novos degraus solicitados pela questão D, vários

alunos entenderam que não era preciso mostrar todos e deram a indicação de alguns

degraus (ex.7) adotando reticências coerentemente.

D. Escreva agora como se formam todos os degraus que surgiram da junção das duas

escadas, para aqueles que não tem rótulos, utilize reticências ...

Recortes da quarta atividade - Exemplo 7

Recortes da quarta atividade - Exemplo 8

O item E estava relacionado à percepção de invariância, assim entendendo como o

tamanho constante dos degraus obtidos pela junção das duas escadas. Os alunos mostram

essa condição ao admitirem que os degraus podiam ser representados por (a

+ a

) = (a

+ a

n-1

), e registram esse procedimento. O aprimoramento das justificativas ( exemplo 9) que

os alunos apresentaram é notado pelos pertinentes complementos ‘ são n degraus, logo

temos n . (a1 + an)’, feitos de forma espontânea. Credito tal atitude na intervenção do

ambiente de aprendizagem através do contexto de iniciação à prova que os alunos estavam

envolvidos.

136

E. Escreva todos os degraus obtidos em função de a

e a

n ..

Recortes da quarta atividade - Exemplo 9

Recortes da quarta atividade - Exemplo 10

A questão F (exemplos 11 e 12) , indicou um início de generalização, apontando as

ferramentas que poderiam ser utilizadas para consolidar a afirmação que a soma dos n

termos era obtida pelo produto da quantidade de termos pela adição de (a

+ a

), além de

indicar sobre a quantidade de escadas em referência, os alunos mostraram bom

desenvolvimento da habilidade em construir explicações sistemáticas e demonstrações para

as invariâncias observadas e deduzidas a partir da experimentação, assim chamada à

construção do objeto visual que lhes deu a referência para tais formulações.

F. Junte as conclusões que obteve em B e C , com os resultados de E, não esquecendo

qual a quantidade de escadas a que está se referindo.

Recortes da quarta atividade - Exemplo 11

Recortes da quarta atividade - Exemplo 12

137

No fechamento da atividade – questões F e G –, ao apresentarem a fórmula da soma

dos n primeiros termos de uma PA: - S

= ((a

+ a

)*n)/2 - , os alunos mostram evolução

no sentido de apresentarem explicações sistemáticas na forma de algoritmos.

G. E como chegaríamos ao total de sarrafo referente à quantidade n de degraus de uma

escada qualquer?

Recortes da quarta atividade - Exemplo 13

Recortes da quarta atividade - Exemplo 14

Ao término da atividade, os alunos de modo geral mostravam se satisfeitos com o

resultado que alcançaram, novamente admitindo que a atividade era trabalhosa, mas

simples e divertida, confirmadas pelas impressões postadas no Blog, que apresentamos na

seqüência.

[[beth]]

bem a aula para mim foi bem dificil, espero que da poroxima vez seja mais facil

beijos beth.

01/06/2007 11:59

Blog - comentário postado 20

[Keila]

É difícil quando não entendemos,mas se há entendimento das questões se torna

fácil!

01/06/2007 11:41

Blog - comentário postado 21

[Drycka]

gostei dessa atividade,valeu o esforço.É bom sentar com os amigos e tentar

resolver problemas de matemática,exercitar a mente...

01/06/2007 11:37

138

Blog - comentário postado 22

[daniela]

simplesmente essa aula foi muito boa ,além de termos a calma para poder pensar

com clareza tivemos a ajuda do prof°Eduardo com a progressão aritmética,além

de termos passados por várias maneiras de ver uma atividade ,acabamos

aprendendo não só uma fórmula qualquer ,mas sim a maneira que ela é elaborada

01/06/2007 11:35

Blog - comentário postado 23

[Caio e Nanda] [todos]

Bom, nós achamos esta atividade super interessante e construtiva, com que nós

mexessemos com nossos conhecimentos matemáticos. O melhor foi que eu e Caio

fizemos a atividade sem discutir e brigar. Gostamos muito desta aula e esperamos

que haja mais atividades desse modo.

01/06/2007 11:37

Blog - comentário postado 24

[michel]

foi bom de mais gostei mesmo tendo duvidas so.

01/06/2007 11:37

Blog - comentário postado 25

[Camila...]

bom essa atividade nao foi nada de tão complicado,eu estou percebendu q é só

ter atençao,tem q "fikar esperto" "nao pode dormir no ponto"...

01/06/2007 11:32

Blog - comentário postado 26

Um dos objetivos desta pesquisa busca investigar o papel da argumentação

cotidiana proferida por professor e alunos na negociação de significados matemáticos que

envolvem processos de iniciação a prova e demonstração. É por esse prisma que busquei

formas de expressar alguns momentos de argumentação que pudessem expor o diálogo,

preservando-lhe algumas características do processo comunicativo, como gestos e

expressões.

Nesta atividade, com a valiosa ajuda de uma aluna no manuseio da filmadora, pude

registrar com mais qualidade alguns diálogos e deles extrair fragmentos que utilizei para

compor o roteiro das seqüências de quadros apresentadas, buscando aprimorar a idéia

surgida durante a análise da segunda atividade, desta feita com a indicação de trechos do

diálogo acontecido no ambiente. Pedimos ao leitor que atente para as expressões de rosto e

no gestual dos protagonistas do diálogo:

139

Diálogos em sala de aula 5 – Cenário de mediação da atividade 4.

D.:_ a

+ a

...- mas ainda falta

alguma coisa

As quatro

alunas estão

envolvidas na

discussão

sobre como

descrever os

novos

degraus

formados

pela junção

das duas

escadas.

M. não

parece

satisfeita

(observe a

boca de M.)

e vai a

procura de

D. também veio ter com P., e P

pergunta a D.

P.:_ A escada tem quantos

degraus...

M. sentada, escondida na foto, responde ao fundo:

M.:_ êne degraus

P e D viram em direção de M. , P. aponta o dedo para

M. e pergunta para ela:

P.:_Então, quantas vezes vai

aparecer o a

+ o a

que vocês

disseram ?

M.:_ êne vezes - e dá um pulo da

cadeira que estava, estampando um

sorriso no rosto

P. vai na

direção de

outros alunos,

M. e D. vão

saindo ...

E ainda se

entreolham,

satisfeitas com

a conversa e

com o

resultado que

conseguiram

obter.

140

Esta primeira seqüência mostrou momentos em que alunas negociam o significado

de uma relação matemática, e a argumentação proposta por uma delas não é bem

assimilada pela outra gerando um conflito, momento em que buscam a ação do mediador.

A segunda seqüência de quadros desta atividade retrata o diálogo de professor e

aluno, quando este último, já em final de atividade, busca confirmar suas proposições.

Diálogos em sala de aula 6 – Cenário de mediação: Aluno fechando atividade 4.

P.:_Quantos degraus aparecem na escada?

M.:_Não sei, tem que contar?

M., em busca de validar suas respostas

pede para que eu veja se está tudo certo.

Apesar do algoritmo estar bem

encaminhado 2S= (a

+ a

), falta alguma

coisa e começo a argumentar para

auxiliá-lo...

P.:_Não !, Quantos degraus

estamos trabalhando?

M.:_Êne

P.:_Que significa qualquer...- referindo-me a n e fazendo o

gestual com as mãos...

M.:_quantidade – e complementa – êne vezes ?

P.:_ Então, fica êne vezes... – repete esperando o complemento de

M, que formula:

M.:_Então fica ene vezes várias vezes???

P.:_ êne vezes... - P. pergunta novamente dando a

entender que M. precisava ajeitar sua fala...,

M. entende e aponta para o protocolo concluindo...

M.:_Isto aqui – referindo-se a (a

+ a

)

P.:_È.

Então M. pega a folha e vai saindo, P.

olha para M. como se perguntasse...

M.entende novamente o gesto e

pronuncia...

Entendi !

E ??

141

E fechamos a análise dessa atividade novamente utilizando os comentários dos

alunos:

[kinha]

eu adorei essa lição apesar de parecer dificil naum eh naum...eh saber apenas pensar sabia!! entaum

fizemos a soma das escadas e dividimos ela por 2 assim achamos o resultado de uma escada e se

quiserem fazer 2 e só fazer 2.soma(a1+a2).n

01/06/2007 11:29

[will]

acabou

01/06/2007 11:32

Blog - comentário postado 27

...

142

5.4.5 Análise parcial da atividade 5 – Triângulos (cabri).

Esta questão presumia a identificação de propriedades matemáticas

através do exercício de observação e da ação empírica com o auxílio

de facilitadores e o uso de evidências matemáticas para justificar os

argumentos proferidos:

Panorama do ambiente:

• Atividade aplicada em sala ambiente de informática, com duração de 2 horas aula. –

(100 minutos).,

• Recursos utilizados: 8 computadores em rede, roteiro da atividade 5 – Progredindo na

vida! (Cabri) – software Cabri Géomètre II , papel e caneta.

• Instrumentos de coleta de dados: gravação de registros de dados via protocolo dos

alunos, diário de bordo, gravação em vídeo, uso do blog, arquivos do Cabri gravados

em mídia digital.

Observações preliminares:

Dispostos em 6 duplas, os alunos receberam os roteiros e instruções para acessar o

Cabri II, através do qual poderiam abrir o arquivo escada.fig e assim dar início a atividade.

As duplas foram distribuídas de modo que não ficassem juntos alunos sem nenhuma

experiência anterior com o Cabri II, desta feita cada uma das duplas foi orientada a fazer e

salvar os comentários diretamente no Cabri II.

Esta mudança na forma de coletar os dados deu-se em função da atividade solicitar

um discurso de argumentação que não envolveria a apresentação de algoritmos ou

propriedades extensas, além da facilidade com que alguns resultados obtidos pelo uso da

calculadora do Cabri II e de outras ferramentas do software capazes de auxiliar os alunos

na verificação de algumas evidências poderiam ser incorporados ao texto, favorecendo o

andamento da atividade.

Etapa analítica da quinta atividade: Triângulos

A análise desta atividade se encaminhou pela qualidade da argumentação proferida

pelo aluno quando conta com o auxilio da visualização, das ferramentas de um software

143

conhecido e escolhi como parâmetro, os tipos de justificativas e prova propostos pelo

AprovaMe. Os comentários levaram em conta propriedades matemáticas relacionadas aos

conceitos de Progressões e nesse sentido as referências a entes geométricos de constituição

da figura, quando feitas de modo pertinente foram consideradas válidas por este

pesquisador.

A figura 11, mostra como o Cabri II apresentou a atividade para o aluno:

Figura 11 – Tela do Cabri II – Enunciado encontrado pelo aluno ao abrir o arquivo triangulo.fig

Os alunos puderam utilizar qualquer ferramenta do Cabri II, pois uma das

pretensões era a experimentação como forma de validar suas estratégias. Os triângulos

indicados na tela do Cabri II foram fixados e não permitiam alterações em suas

propriedades.

No primeiro exemplo (figura 12) , partimos por considerar o comentário postado

via Blog e a justificativa apresentada no corpo deste exemplo, indica que os alunos

percebem uma relação numérica quando citam o termo metade para relacionar os

triângulos pela medida de seus lados.

144

Referem-se à progressão decrescente baseados pela visualização, porém suas

justificativas não são suficientes para caracterizar a proposta de uma progressão, assim

considerada, pela ausência de referência a um terceiro triângulo da seqüência.

Figura 12 – Tela do Cabri com justificativas apresentadas por alunos para a quinta atividade

[Paulo]

Mede-se o lado dos dois triângulos, após isto vc irá notar que um triângulo é a

metade do outro, assim é notada a progressão decrescente.

25/06/2007 12:03

Blog - comentário postado 28

Embora não tenha considerado esta resposta correta, o enquadramento da

justificativa na escala AprovaMe se daria em nível 1, por entender que houve referência a

alguma informação pertinente.

Neste outro exemplo (fig. 13), a junção das mensagens – blog e corpo do texto

–

mostram que os alunos se valeram das medidas obtidas para: área, lado e perímetro –

expressado como a soma dos lados .

Os traços da figura foram feitas pelo pesquisador.

145

Para as duas primeiras opções, os alunos fornecem corretamente os valores de uma

seqüência e por esses valores percebe-se o uso da razão como incremento do lado

associada à medida 1,30 cm. e a soma dos lados associada à medida 3,90 cm..

Não há menção explícita do termo razão, mas sua aplicação é feita de forma

coerente.

[kinha e gui]

1.primeiramente é o lado dos triangulos. 2. é a somo dos lados dos triangulos. 3. seria a

área de cada triangulo. ou seja Grande Médio Pequeno lado grande 5.20 iguais lado médio

3.90 iguais lado pequeno 2.60 iguais perimetro soma dos lados grande 15.60 médio 11.70

pequeno 7.80 área dos triangulos grande 11.69 cm² médio 7.35 cm² pequeno 2.92 cm²

25/06/2007 11:59

Blog - comentário postado 29

Figura 13 – Tela do Cabri com justificativas apresentadas por alunos para a quinta atividade

Essas duas justificativas se encontram bem respaldadas, o que possibilita classificá-

las no padrão 2a do AprovaMe.

Os alunos que criaram o exemplo ilustrado pela figura 14 utilizaram a ferramenta

ponto médio de um modo que surpreendeu este pesquisador. O uso da experimentação e a

percepção visual serviram aos propósitos de nossas alunas, pois o processo que adotaram,

pedindo, primeiramente o ponto médio entre os vértices superiores dos triângulos A e C,

146

repetindo o processo para vértices inferiores direitos de A e C e ,por último, os inferiores

esquerdos, possibilitaram a criação da figura regular do triângulo B, com medidas corretas.

E a variação que se referem é o incremento da razão, o que justifica a formação de uma

progressão.

Figura 14 - Tela do Cabri com justificativas apresentadas por alunos para a quinta atividade

Entendemos ser ajustado classificar essa resposta na classificação 2a do

AprovaME, por entender que a explicitação de propriedades pertinentes feitas pelas alunas

não se corporifica, devido à ausência dos termos como progressão, crescente, razão, que

poderiam estruturar melhor a resposta dada.

Encontramos novamente nos próximos exemplos – figuras 15 e 16 - a estratégia do

ponto médio, desta feita com coerentes indicações: da razão, do fator de crescimento e

referência a valores, daí classificarmos as justificativas no tipo 3 do AprovaMe.

147

Figura 15 - Tela do Cabri com justificativas apresentadas por alunos para a quinta atividade

Figura 16 - Tela do Cabri com justificativas apresentadas por alunos para a quinta atividade

A indicação do fator crescimento negativo e a referência à ordem em que deveriam

ser considerados os triângulos, mostra que as alunas empregaram corretamente as leis de

formação de uma progressão e conseguem dar um bom encadeamento de suas deduções.

148

O exemplo abaixo (fig. 17), mostra procedimentos numéricos adequados que

indicam pertinentemente no que as alunas se basearam para propor suas progressões: lado,

perímetro e área. Indicam que as medidas estão em progressão e mostram quais os valores

das razões utilizadas para os casos do perímetro e do lado. Quando o fazem em relação à

área, associam a idéia de média, embora não dêem indicação se geométrica ou aritmética.

Considero as justificativas relacionadas a lado e perímetro, ajustadas ao padrão 3 do

AprovaMe.

Figura 17 - Tela do Cabri com justificativas apresentadas por alunos para a quinta atividade

Informo que os alunos se envolveram com esta atividade de modo diferente das

anteriores, estando mais diretamente envolvidos na validação de suas estratégias. Uma das

razões para este envolvimento pode ser atribuída ao formato da atividade que se resumiu a

comunicar as pretensões da mesma. Outro motivo estaria associado com intervenção do

ambiente, influenciando no desenvolvimento dos hábitos de visualização e experimentação

bastante utilizados por todos os alunos presentes, sem que fosse preciso a ação do

mediador para isso. Ao considerar os vários momentos de contemplação de alunos diante

da tela do computador, presume-se como plausível a interação computador-aluno.

...

149

5.4.6 Análise parcial da atividade 6 – Quadriláteros.

Esta questão presumia a identificação de propriedades matemáticas

através do exercício de observação e da ação empírica sem o auxílio

de facilitadores, buscando a identificação de processos de

generalização que proporcione o pronunciamento de definições ou

proposições:

Panorama do ambiente:

• Atividade aplicada em sala de aula convencional com duração de 1 hora aula. – (50

minutos).,

• Recursos utilizados: Protocolos A e B da atividade 6 e caneta.

• Instrumentos de coleta de dados: coleta de registros de dados via protocolo dos alunos,

diário de bordo.

Observações iniciais:

Volto ao ambiente da sala de aula convencional para aplicar a atividade que finaliza

a etapa de campo desta pesquisa. As orientações passadas por este mediador se resumiram

a informar que: a atividade poderia ser realizada em dupla ou individualmente e que

dispunham de 10 minutos para a finalizar a primeira etapa, após o que seria feito o

recolhimento deste primeiro protocolo e fornecido o segundo protocolo – fase 2 – para o

qual teriam aproximadamente 40 minutos para apresentar suas justificativas.

Considerados somente os alunos que já haviam participado pelo menos em uma

atividade da pesquisa - contabilizo 34 – a amostra resultou em 22 protocolos aplicados para

fase 1 e outros 22 protocolos para fase 2.

Na primeira fase desta atividade, analiso quais os hábitos de pensamento

praticados pelos alunos para interpretar um registro visual de uma proposição matemática

sem maiores detalhamentos tal e qual foi proposta nesta atividade, em situações com tempo

escasso e sem o apoio de recursos como o computador e o jogo, o primeiro por sua via

facilitadora e experimental e o segundo pelo fator de interação.

E na segunda fase, utilizo as tipificações de justificativas do AprovaMe para

apresentar a atividade.

150

Etapa analítica da sexta atividade: Quadriláteros_Fase A

Com a intenção de facilitar o acompanhamento do leitor, reapresento a relação de

alguns hábitos de pensamento matemático:

− da visualização;

− para descrever, formal e informalmente, relações e processos;

− para traduzir informação apresentada verbalmente em informação visual (e vice-versa);

− para fazer experiências ;

− para procurar invariâncias;

− para misturar experimentação e dedução;

− para construir explicações sistemáticas e demonstrações para invariâncias observadas;

− para construir algoritmos e raciocinar acerca deles

− para raciocinar por continuidade .

A visualização esteve presente em todos os registros apresentados, algumas vezes

sendo a única habilidade praticada, como nos exemplos 1 e 2 mostrados adiante , nos

quais os alunos fazem menção ao formato da figura as cores e a operação, mas não

conseguem dar encadeamento a essas idéias:

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 1

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 2

Nos próximos exemplos 3, 4 e 5, a visualização auxiliou na identificação de

evidências matemáticas, mas com a ausência de descrições mais detalhadas de como esse

processo se constituiu e contribuiu para a formulação da proposição implícita na atividade.

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 3

151

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 4

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 5

Outros alunos exercitaram o hábito da descrição de processos visuais em registros

escritos como mostram os exemplos 6 e 7, embora a ausência de propriedades não tenha

possibilitado dar um andamento mais dedutivo ao processo, mesmo incrementando suas

justificativas com referências a quantidades:

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 6

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 7

152

Já nessa seqüência constituída pelos exemplos 8, 9 10 e 11, fica clara a indicação

de evidências matemáticas, neste caso figuras em progressão juntamente com a descrição

sucinta de outro processo paralelo, a soma dos elementos que compõe as figuras resultando

em um número quadrado, mostram alunos que além da habilidade visual, do processo de

descrição, tentam explicar sistematicamente como esses procedimentos acontecem:

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 8

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 9

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 10

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 11

153

Houve quem cuidasse de assentar corretamente essas informações numéricas e com

uma percepção de propriedades mais aguçada.

A indicação precisa de invariância e continuidade – acrescentado sempre +2

quadrados – e – podemos aumentar a figura sem alterá-la – manifestadas no exemplo 12,

com o uso de: sempre continuará sendo 1 quadrado maior, mostra que o aluno, além das

habilidades já citadas, emprega hábitos relacionado a descrição de processos matemáticos

utilizando encadeamento dedutivo das suas idéias constituindo-se em argumento

consistente.

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 12

Fecham esta fase da atividade, os protocolos que mais chamaram a atenção em

relação ao desenvolvimento de habilidades.

Nos exemplos 13 e 14, denota-se a prática de hábitos de experimentação

evidenciados pelos números indicados acima das figuras, uso da condição dedutiva quando

indica a seqüência de números e o resultado, uso coerente de algoritmos com o emprego da

forma geral n², contudo mostram certa imaturidade na criação de explicações sistemáticas

como a sentença apresentada para expor suas percepções, principalmente no exemplo 13.

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 13

154

Recortes FASE A sexta atividade -Exemplo 14

É um claro indicativo para que este pesquisador reflita na sua prática e invista na

criação de situações que incitem o desenvolvimento deste hábito, com o objetivo de

auxiliar os alunos a transmitir de forma consistente a mensagem matemática implícita nos

registros assentados nas atividades

Etapa analítica da sexta atividade: Quadriláteros_ Fase B

Recolhidos os protocolos, entreguei aos alunos a segunda parte da atividade 6,

também baseada na mesma seqüência de figuras proposta inicialmente, mas trazendo

alguns questionamentos destinados a provocar nos alunos a manifestação de hábitos do

pensamento e seus registros em formas de justificativas.

Com a finalidade de investigar se as argumentações evoluíram com a intervenção

do ambiente, optei por analisar as justificativas segundo a classificação proposta pelo

AprovaMe.

155

Foi com esse olhar que, primeiramente classifiquei, item a item, os 22 protocolos

que se constituíram na amostra de dados para essa fase da atividade, e depois escolhi

exemplos entre os mais típicos de cada item, para ilustrar os breves comentários que

acompanham a análise desta etapa.

Na primeira questão, o tipo 3 do AprovaMe foi o mais encontrado com 11 registros

encontrados apresentando condições necessárias e suficientes para garantir a afirmação do

quadrado.

Recortes FASE B - Exemplo 1 - Justificativa do tipo 3

Outros 7 protocolos foram classificados no tipo 2b, faltando pouco para completar

a definição de quadrado:

Recortes FASE B - Exemplo 2 Justificativa do tipo 2b

Para o item ii, os casos mais comuns dividiram-se entre os que alunos indicaram

numericamente os dois próximos valores da seqüência, justificando o crescimento por

quantidade , e outro grupo – 12 protocolos- que optou por indicar que a seqüência era um

tipo de progressão com anotação do fator de crescimento correto.

Entendo que os dois tipos de justificativas possuíam evidências matemáticas

consistentes que permitiam a compreensão da idéia que estava sendo traduzida, o que

possibilitou o enquadramento das justificativas no tipo 2b.:

Recortes FASE B - Exemplo 3- Justificativa do tipo 2b

156

Recortes FASE B - Exemplo 4 Justificativa do tipo 2b

Recortes FASE B - Exemplo 5 Justificativa do tipo 2b

O item iii apresentou 19 indicações numéricas feitas inclusive com o uso de

reticências, com o enquadramento no tipo 3 da escala AprovaMe, pois entendo que, mesmo

tendo ficado satisfeito com a indicação do algoritmo para números ímpares feita por uma

aluna, os demais registros estavam corretos e coerentes com o solicitado:

Recortes FASE B - Exemplo 6 Justificativa do tipo 3

Recortes FASE B - Exemplo 7 Justificativa do tipo 3

No item iv, a correção da indicação da paridade ímpar, fez com que fossem

enquadrados 20 registros apresentados no tipo 2b do AprovaMe:

Recortes FASE B - Exemplo 8 Justificativa do tipo 2b

157

Recortes FASE B - Exemplo 9 Justificativa do tipo 2b

Cabe-me informar que ao chegar neste item v, alguns alunos se dirigiram a mim

para obter um melhor entendimento do que se pretendia com a questão, no que foram

perguntados se sabiam alguma forma de indicar um número par e a partir daí seguiram

para encontrar uma representação adequada para os números ímpares, por isso alguns

registros continham a indicação de 2n em conjunto com o algoritmo adequado. Ao todo 19

protocolos informaram corretamente a formulação para números ímpares e com isso foram

enquadrados no nível 3.

Recortes FASE B - Exemplo 10 Justificativa do tipo 3

Recortes FASE B - Exemplo 11 Justificativa do tipo 3

No item vi., 10 protocolos mencionaram a adição das figuras mas foram poucos

conclusivos, levando a classificação no tipo 1. Outras justificativas permitiam a

compreensão de que a soma dos elementos da seqüência resultavam em um padrão, e nesse

sentido 8 registros tiveram a tipificação em 2a.

Recortes FASE B - Exemplo 12 Justificativa do tipo 1

158

Recortes FASE B - Exemplo 13 Justificativa do tipo 2a

A análise e os resultados para o item vii ficaram muito próximos do item anterior,

os exemplos 15 e 16 ilustram os 9 protocolos classificados como do tipo 1 e 10

classificações do tipo 2a são representados pelo exemplo 14.

Recortes FASE B - Exemplo 14 Justificativa do tipo 2a

Recortes FASE B - Exemplo 15 Justificativa do tipo 1

Recortes FASE B - Exemplo 16 Justificativa do tipo 1

O item viii continha algumas orientações sobre procedimentos à serem adotados e

isto parece ter influenciado positivamente na leitura da questão. Foram encontrados 11

protocolos que continham a indicação da soma da seqüência com resultado correto e a

pertinente indicação de n², o que possibilitou a indicação de justificativas do tipo 3

ilustradas pelos exemplos: 17, 18 e 19. Outros 8 registros que se valeram da transcrição

dos casos particulares baseados somente nas seqüências figurais apontadas, foram

classificados em 2a, como mostra o exemplo 20.

159

Recortes FASE B - Exemplo 17 Justificativa do tipo 3

Recortes FASE B - Exemplo 18 Justificativa do tipo 3

Recortes FASE B - Exemplo 19 Justificativa do tipo 3

Recortes FASE B - Exemplo 20 Justificativa do tipo 2b

Encerrando a atividade, o item ix condensa as informações levantadas pelo aluno ao

longo do desenvolvimento desta etapa da atividade e tem características conclusivas, por

esses motivos, optei em apresentar um exemplo de cada tipo de justificativa apresentada,

além de indicar quantas foram classificadas naquele nível.

Começo por informar que somente três dos vinte e dois protocolos não

apresentaram respostas para este item, obviamente classificados em 0.

Para o tipo 1, foram considerados 2 protocolos que apresentaram justificativas com

observação focada na adição das parcelas e a indicação de resultado dessa operação, sem

que oferecessem maiores detalhamentos:

160

Recortes FASE B - Exemplo 21 Justificativa do tipo 1

Para o tipo 2a, elegi 3 protocolos com a indicação de propriedades pertinentes e

referência ao processo paralelo que envolvia a soma dos elementos da seqüência resultando

em um padrão numérico:

Recortes FASE B - Exemplo 22 Justificativa do tipo 2b

O tipo do 2b foi utilizado para classificar as 9 justificativas nas quais foram

apontadas apropriadamente as etapas que garantem consistência a uma proposição

matemática, incluindo o formato de generalização para números quadrados.

Recortes FASE B - Exemplo 23 Justificativa do tipo 2b

E reservo os exemplos 24 e 25 para ilustrar o tipo 3, contemplado com 5

protocolos que mencionaram corretamente tratar-se da soma dos n primeiros números

impares sempre resultar em números do tipo n².

Recortes FASE B - Exemplo 24 Justificativa do tipo 3

161

Recortes FASE B - Exemplo 25 Justificativa do tipo 3

Na próxima seção, faço a análise global das atividades em função dos objetivos do

ambiente de aprendizagem.

...

162

5.5 ANÁLISE DA QUESTÃO HEXAGONAL - O AMBIENTE DE APRENDIZAGEM.

No início deste capitulo, apresentei ao leitor um quadro resumo indicando as

características de cada atividade, contendo informações sobre qual intenção cada uma fora

concebida. É baseado nessas intenções que teço minhas considerações sobre o todo do

ambiente.

A minha primeira providência: buscar adesão à proposta que estava sendo

veiculada. Optei por lançar mão de uma estratégia que encontra ampla aceitação na faixa

etária com a qual estava trabalhando: o jogo, ou melhor, a dinâmica de um jogo.

Utilizando-o como um abrir de portas, e aproveitando da grande interação que este recurso

proporcionou, apliquei um longo e detalhado protocolo inicialmente apoiado nas ações do

jogo, destinado a explorar vários termos e elementos do estudo de progressões

relacionados ao termo geral de uma progressão aritmética.

Painel ilustrativo 4 – Momentos da 1ª atividade – Dinâmica do jogo e preenchimento de protocolo

Entendo que a estratégia funcionou, não só porque o aluno começou a fazer

comparações entre os termos empregados pelo protocolo com metáforas da situação do

jogo caracterizando a negociação do significado matemático, quando o jogo já havia

acabado. Sobretudo, quando começou a se envolver com outras atividades do ambiente e

conseguiu gradativamente ir mudando o seu discurso, seja em situações entre eles, seja na

interação com o professor, ou na interatividade com a máquina.

Da mesma forma que o recurso ao jogo me possibilitou apor uma outra estratégia

durante a primeira atividade, o uso do computador também tem seu viés persuasivo e foi

utilizado na segunda atividade.

163

Painel ilustrativo 5 – Momentos da 2ª atividade – Interagindo com o computador

Daí, inicialmente busquei formas de familiarização com o software Cabri II e suas

ferramentas, e outro protocolo extenso foi aplicado, desta feita, mostrando um processo de

proposição versando sobre termos eqüidistantes. Novos termos foram incorporados ao

repertório, e os efeitos da visualização puderam ser notados.

Então, com uma principiante base comum de repertório e um iniciar de atividade

com o uso do computador já vivenciado, os alunos entraram no bloco de atividades que

enfatizava o desenvolvimento da argumentação.

A terceira atividade, ainda bastante segmentada, foi utilizada para mostrar ao aluno

o papel facilitador da matemática, esta percepção foi auxiliada porque o objeto visual que

precisou ser construído mobilizou um bom número de estruturas de seu conhecimento,

mesmo considerando que algumas propriedades utilizadas tivessem sido recentemente

adquiridas.

Alunos apontando o uso do Blog durante o

desenvolvimento da atividade 3

Objeto visual construído com o uso do Cabri II na

atividade 3

Painel ilustrativo 6 – Momentos da 3ª atividade – Uso do Cabri e do Blog

Esta atividade, dada também ao protocolo que a acompanhou, teve bastante

interação entre os alunos e também com o mediador, no sentido da negociação do

significado. Ao final da atividade, muitos alunos compreenderam a maneira de como seria

164

possível chegar ao resultado da soma dos termos finitos de uma progressão aritmética,

ainda casos particulares.

Com a atividade quatro, presumo que as mudanças na forma de argumentar

encontraram nos itens do protocolo que levaram a generalização da fórmula da soma dos

termos de uma P.A. uma boa razão para justificar o incremento matemático que

apresentaram. Ainda houve uma forte interação e a fluência matemática foi perceptível no

ambiente.

Interação

interatividade

Painel ilustrativo 7 – Momentos da 4ª atividade – Argumentação com Interação e interatividade

Na atividade sobre triângulos, o formato digital deu o tom para promover a

interatividade e incitar a descrição dos processos no Cabri II, e me permitiu um inicio de

olhar focado em categorizar os argumentos proferidos. Com autonomia e menor interação

entre eles e mesmo com o mediador, a interatividade foi a tônica desta etapa.

Há momentos em que a interação e a interatividade se confundem, entendo que a

interpretação de Bolite Frant

sobre a fusão de ambas transformando-se em uma única

ação é bastante apropriada para retratar situações semelhantes às retratadas no painel

ilustrativo acima.

BOLITE_FRANT, J. Linguagem e Cognição. I Simpósio Brasileiro de Psicologia de Educação Matemática, Universidade Federal

do Paraná, 2001 – p.121-134

165

A pequena seqüência mostra dois instantes que capturam a interatividade dessas alunas com o computador.

O primeiro quadro – o menor – foi capturado com intervalo menor que 1s do segundo.

Painel ilustrativo 8 – Momentos da 4ª atividade – Concentração

As justificativas em sua maioria foram apresentadas com indicações pertinentes,

algumas contendo as condições necessárias e suficientes. A percepção da prática de hábitos

de pensamento – visualização, experimentação, descrição dos processos, percepção de

invariância.. – pôde ser notada na composição das justificativas. E na atividade final, com

seus dois protocolos, um deles aplicado com tempo limite de 10 minutos e o outro mais

longo em torno de 40 minutos, sem o uso de facilitadores, pude perceber a influência

bastante positiva do contexto de iniciação à prova e demonstração sobre o ambiente da

aprendizagem durante a análise das justificativas das questões propostas para a atividade.

Entendo que cada uma das etapas triangulares atingiu seu objetivo e valendo-me do

expediente da contribuição de cada questão triangular para compor a questão hexagonal

proposta para indicar a validação do experimento, apresento a figura abaixo como

sinônimo de minha satisfação com os resultados obtidos:

Logicamente têm-se muito há evoluir e no próximo e último capítulo, volto ao

tempo verbal usual, para fazer referência a alguns insumos que pude extrair desta etapa da

pesquisa.

...

166

6 FINALIZANDO

Disse então Polemarco:

_ Caro Sócrates, parece-me que vos estais a pôr a caminho para regressar

à cidade.

_ E não conjecturas mal – declarei.

_ Ora tu estás a ver quantos somos? – perguntou ele (Polemarco)

_ Pois não !

_ Pois então – replicou – ou haveis de ser mais fortes do que estes

amigos, ou tendes de permanecer aqui.

_ Bem _ disse eu – ainda nos resta uma possibilidade, a de vos

persuadirmos de que deveis deixai-nos partir.

_ Porventura seríeis capazes – replicou ele – de nos persuadir, se nos

recusarmos a ouvir-vos?

_ De modo algum – declarou Glauco.

_Então compenetrai-vos de que não vos ouviremos.

6.1 O

COMEÇO DO FIM:

Iniciamos o último capítulo de Contextos para Argumentar, recorrendo a um

pequeno trecho do diálogo entre Polemarco e Sócrates, extraído de: ‘A República” de

Platão, para ratificar nossa posição em relação ao ponto de partida de nosso ambiente de

aprendizagem: fazer com que os alunos se dispusessem a nos escutar, a prestar atenção em

nosso discurso, traduzido nos formatos de proposição das atividades que compuseram o

nosso ambiente de aprendizagem.

No capítulo anterior, apresentamos ao leitor as análises das atividades de nosso

ambiente de aprendizagem contendo indicações de evidências de como cada uma

favoreceu e/ou estimulou o aprimoramento de hábitos de pensamento matemático. È válido

esclarecer que esses hábitos sempre estiveram voltados a procedimentos de iniciação à

prova e demonstração.

Entendemos que os protocolos aplicados nas duas primeiras atividades desta

pesquisa, se valeram de expediente muito próximo desse formato de imitação e acréscimo

para que, em conjunto com o uso persuasivo de recursos didáticos como a dinâmica do

jogo e o uso do computador, fossem mantidos o interesse e o foco naquelas atividades.

167

O equilíbrio buscado entre ações dinâmicas como o jogo e o uso do computador

com a passividade de protocolos extensos, serviu-nos para que colocássemos em prática a

outra premissa de nosso ambiente de aprendizagem pautada em constituir uma base

comum de repertório, a partir da qual pudemos tornar inteligíveis as mensagens do

ambiente o que possibilitou o desenvolvimento da fluência matemática nas demais etapas

do ambiente.

Na primeira etapa, envolvendo aquisição de vocabulário e conseqüente aumento do

repertório matemático dos alunos; nosso enfoque se direcionou para o desenvolvimento da

argumentação. E, inicialmente, essa argumentação serviu aos nossos interesses para

promover uma maior interação entre os pares em busca da familiarização de termos

matemáticos pertinentes ao estudo de progressões, verificamos posteriormente o quanto

atuou como parâmetro para a análise de nossa prática.

Na etapa seguinte, nos deparamos com um tipo de argumentação pelos

participantes que mostrou aos poucos a apropriação de termos matemáticos. Indo ao

encontro do que capturamos sobre a capacidade de se comunicar do ser humano que

‘graças à linguagem e à sua capacidade informação codificada é capaz de organizar sua

experiência para estender ainda mais seu conhecimento’

Valorizamos o uso do computador para manter o interesse nesta outra etapa de

atividades e proporcionar algum tipo de satisfação ao aluno ao obter êxito para suas ações.

Apoiados na visão construcionista dos autores apresentados na fundamentação deste

estudo, propusemos situações de aprendizagem para as quais os alunos precisariam

desenvolver objetos visuais, para então, baseados nesses objetos, pudessem dar seqüência

em suas atividades.

É importante ressaltar o nível de satisfação dos alunos ao completarem a etapa que

estabelecia a elaboração do objeto visual, pois por conta desta satisfação, constatamos que

quando o aluno analisa e aceita um desafio, não há a necessidade de adotar outros

elementos persuasivos que não o seu próprio interesse. Ainda mais quando este interesse

pode ser partilhado com seus pares.

Se a proposição de elaborar objetos visuais seguiu pela ótica construcionista, a exploração

dos hábitos de pensamento matemático esteve relacionada ao design das atividades com

tendências ao desenvolvimento destes hábitos proposto por Paul Goldenberg.

BORDENAVE, J. E. D. op. cit.

168

A exploração de alguns hábitos do pensamento matemático, como a visualização e a

descrição formal e informal de processos – presentes em todas as atividades da pesquisa -

constitui-se em forte propulsor ao desenvolvimento da argumentação, por conseguinte,

objeto de nossa outra questão de pesquisa.

6.2 N

O MEIO DO FIM:

Esta outra questão de nossa pesquisa, esteve direcionada a investigar o papel da

argumentação proferida por professores e alunos na negociação de significados

matemáticos em tarefas com o objetivo de compreensão do conceito matemático de

iniciação à prova.

Seguimos, pautados em alguns dos resultados da pesquisa do AprovaMe, que

evidenciaram que muitos foram os protocolos em branco ou com apenas a repetição do

enunciado, e buscamos os meios que possibilitaram com que os alunos, primeiro

justificassem, e depois aprimorassem, o teor dessas justificativas. Até porque, em nossa

breve incursão pelo viés histórico, nossa interpretação de argumentação resgatou-a como

procedimento que tem a qualidade de convencer mesmo sem ser um raciocínio dedutivo.

Esse novo status da argumentação, em muito devido à Nova Retórica proposta por

Perelman, veio de encontro as nossas aspirações em promover um ambiente

intencionalmente didático, voltado a permitir que o aluno se apropriasse de procedimentos

de iniciação à prova e demonstração. Estudos sobre as Ciências da Comunicação e da

Nova Retórica, mostram que a argumentação serve aos dias de hoje, como forma de

mostrar habilidades de expressar uma idéia, convencer um outrem sobre o acerto de sua

opinião ou do erro da opinião de outro, assim como sempre serviu, tendo sido relegada há

um certo marasmo, por conta das transformações, que o curso de retórica sofreu com o

passar dos séculos. É também das notas históricas, que constatamos como a argumentação,

ainda na fase aristotélica, influencia de modo determinante no estabelecimento do método

científico e da estrutura do rigor.

Entendemos que “demonstração e prova”, se apresenta como uma tarefa das mais

árduas em matemática e, diante das variadas formas de entender esse conceito, mesmo

entre as mais fecundas correntes da matemática, era preciso habituar o aluno a pensar por

essa perspectiva, nossa tarefa voltou-se para a iniciação à prova e a conseqüente

exploração de hábitos de pensamento matemático voltados a esse objetivo.

169

Tal exploração, planejada com recorrência à experiência e as asserções de

educadores matemáticos envolvidos com o estudo da argumentação, permitiu que

criássemos um ambiente pródigo em interações. Por conta dessas interações, muitos foram

os cenários de mediação.

O papel de mediador, investido pelo professor diante de sua sala de aula, foi

fortemente influenciado pela teoria da Comunicação, tal qual apresentado no capítulo da

metodologia.

Para os outros cenários, nos quais alunos foram os protagonistas da mediação, a

opção recaiu na investigação de qual o papel da argumentação cotidiana em processos de

negociação de significados matemáticos. Os cenários de mediação foram surgindo no

desenvolver das atividades, proporcionando , via interação, o crescimento do teor

matemático dos diálogos. Alguns desses fragmentos de diálogos puderam ser capturados

pelos instrumentos de coleta de dados propostos em nossa metodologia - vídeo (DVD) e

blog - e serviram para ilustrarmos a etapa analítica dos dados.

O uso do blog, ainda pouco difundido em pesquisas da educação matemática, nos

propiciou análises críticas sobre a avaliação do ambiente de aprendizagem e da mesma

maneira serviu como cenário de negociação matemática onde pudemos perceber a

evolução da fluência matemática presente nas argumentações proferidas pelos alunos.

Cabe registrar que ao utilizar o blog como local de sua manifestação o aluno o fez livre do

acordo que permeia a relação didática professor-aluno, e por este motivo foi ainda mais

relevante o estudo de seus comentários. Apesar de havermos tido a cautela em descrever os

possíveis papéis da mediação envolvendo o professor e os participantes, coube-nos retratar

cenários nos quais os protagonistas foram os próprios participantes.

A mediação conduzida pelo professor focava em orientar para a prática dos hábitos

de pensamento matemáticos, por meio dos quais os alunos poderiam obter os insumos

necessários à continuidade de suas atividades. Ressaltamos que a argumentação cotidiana

esteve presente em todo os cenários de mediação capturados por esta pesquisa, incluindo

aqueles onde a mediação teve como protagonistas os próprios alunos - envolvendo a

negociação de significados matemáticos

As influencias do AprovaMe fizeram-se sentidas por este pesquisador na reflexão

sobre a postura deste enquanto professor, auxiliado pela análise de sua conduta através do

vídeo durante algumas atividades, onde pudemos perceber o quanto é possível evoluir por

conta da própria observação, e nesse sentido esta pesquisa ratifica as recomendações de

170

Maher (1998) para que se sejam analisados vídeos da prática de sala de aula e avaliar

criteriosamente sua conduta e os procedimentos dos alunos, os resultados são reveladores.

Ainda por conta do AprovaMe é que se deu o fechamento da etapa de atividades,

quando direcionamos nosso olhar para os tipos de justificativas apresentadas. Nesse

ínterim tornou-se perceptível à ação do contexto de iniciação a prova e demonstração na

argumentação proferida pelos alunos. Estes buscavam apresentar evidências matemáticas,

fazer a descrição de seus procedimentos incorporando termos relacionados ao conceito

matemático em estudo e em uma das atividades não contaram com elementos facilitadores

como o uso do computador. Ao fazermos uma breve retrospectiva das etapas que

consolidaram este estudo, buscamos mostrar as muitas contribuições de que esta pesquisa

se valeu para aferir os resultados que apresentou.

Ao admitirmos nossa satisfação com os resultados que o ambiente de aprendizagem

aferiu no tocante ao desenvolvimento de hábitos do pensamento matemático consolidamos

um dos objetivos desta pesquisa. De tal sorte, a etapa analítica com a indicação dos

instrumentos de coleta de dados _vídeo e blog - , foi pródiga em mostrar fragmentos de

diálogos , onde pudemos mostrar como a argumentação auxilia na negociação de

significados matemáticos, seja pela planejada ação do mediador quando este papel é

desempenhado pelo professor, seja pela influência do contexto intencionalmente didático

quando esta mediação é assumida por outros protagonistas, que possibilitou a gradativa

incorporação de elementos matemáticos nos discursos dos participantes.

6.3 O

FIM DO FIM:

Considerando que o ambiente de aprendizagem é uma das contribuições que esta

pesquisa pode oferecer, recomendamos aos que se interessarem em experimentar tal

abordagem que será preciso levar em consideração a necessidade ouvir e de se fazer ouvir,

portanto, é preciso estar atento às características do auditório desde o início do

planejamento. Neste ambiente conjeturamos que a aprendizagem é obtida através de

atividades colaborativas e sociais, e o aluno constrói seu entendimento com o professor e

o ambiente atuando como facilitadores desse processo. Para isto o professor deverá

adequar e explorar convenientemente as situações problemas, pois se constituem em

possibilidades de aprendizagem para os alunos.

Ainda, ao se fazer ouvido, deverá cuidar para que as mensagens tornem-se

inteligíveis, preparando no início de cada conjunto de situações sobre determinado tema,

171

atividades que permitam a partir da linguagem natural a representação e significação

matemática.

Outra sugestão de procedimento é a de fazer com que o aluno vá se habituando a

argumentar para justificar sua opinião. Vimos que o uso de tecnologia pode trazer mais

subsídios para o aluno emitir seu parecer Há que considerar, ainda, que o aprendizado

ocorre dentro do contexto social e econômico que o aluno está inserido, e segundo Bolite

Frant

, a sala de aula faz parte do cotidiano do aluno uma vez que o mesmo passa parte de

seu dia na escola.

Admitimos, que a argumentação estritamente matemática é baseada em uma

estruturação de rigor e formalização, próprias da comunidade matemática, portanto,

distinta da argumentação que tratamos aqui.

Entendemos, que para possibilitar a compreensão da estrutura de prova e

demonstração foi e é preciso criar a cultura da prática da argumentação cotidiana, pois foi

uma fonte propulsora para a prática de uma argumentação cada vez mais próxima da aceita

numa comunidade matemática.

Vimos, que corroboram na evolução desta proposta de argumentação, aspectos

internos e externos da Matemática. A influência externa surge ao entendermos que o

contexto do ambiente de aprendizagem deve ser propício à argumentação e ao modo como

se deve promovê-la para convencer um outro sobre dada opinião, além da ação do

professor, primeiro no planejamento e depois durante a fase de negociação dos

significados. De outro modo, contudo com maior influência, espera-se que a estruturação

intencionalmente matemática das atividades leve nossos alunos a problemáticas que os

incitem a desenvolver habilidades relacionadas a aspectos internos da matemática e suas

propriedades irrefutáveis, como o encadeamento de idéias em ordem coerente e lógica.

O novo papel em que se investe o professor, o de mediador, acrescenta ao

educador, quando o liberta do estigma de juiz daquilo que está certo ou errado,

devolvendo-lhe, segundo a etimologia, sua condição de condutor, daquele que deve levar o

aluno a conhecer os caminhos que necessita trilhar, muito apropriado para quem se dedica

a uma causa em constante mutação que é a educação(matemática).

Vem daí a pertinência em apresentar novos Contextos para Argumentar!

7 ...

Em entrevista de orientação

172

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177

APÊNDICES

178

APÊNDICE A – PROTOCOLO DA ATIVIDADE 1

I - ROTEIRO P ORIENTAÇÕES P/ O JOGO.

Para favorecer a exposição das atividades, separamos a tabela que deverá servir para que os

alunos registrem o passo a passo da atividade enquanto esta se desenvolver sob a estrutura de jogo.

Lembramos que a tabela acompanha cada uma das seções da atividade: a) referente a aplicação

para chegarmos a definição do termo geral da PA e;

b) referente a aplicação para definir o termo geral da PG.

O roteiro apresentado abaixo mostra os procedimentos que adotamos para condução

da atividade em sala de aula:

ROTEIRO PARA A ATIVIDADE DO BARALHO (INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE PA E PG)

Sugestão para a distribuição das cartas

• O professor deverá fazer as intervenções que julgar ajustadas no desenvolvimento da atividade.

• A atividade deverá ser jogada entre elementos de fileiras distintas, podendo ser feita uma rodada de

preparação.

• Dividir um baralho convencional por naipes, para os naipes vermelhos considere os inteiros

negativos e os naipes pretos inteiros positivos.

• As figuras, a critério do aplicador, podem ser excluídas, podem assumir valores fracionários...,

(critério do aplicador)

• Nas primeiras rodadas, segue-se o procedimento aritmético.

• Distribua uma carta para um único elemento da fila, instrua-o que ele será o segundo elemento da

seqüência, e terá que adicionar o valor da carta que tirou ao número que for dito pelo primeiro

elemento.

• Com o primeiro elemento (antecessor) dando um valor qualquer, o segundo elemento

(obrigatoriamente uma pessoa que possua a carta) adiciona o valor que tem em mãos ao valor

citado pelo primeiro elemento, e daí pede-se que o terceiro aplique o mesmo procedimento, no

entanto sem revelar o valor da carta, a intenção é que os alunos da sala descubram o valor da carta

que foi utilizada.

• Seguem-se algumas rodadas até que o aplicador sinta a validade da atividade.

• Na segunda parte da atividade, segue-se o procedimento geométrico e continua a valer a condição

inteiro negativo → vermelho, inteiro positivo → preto.

ABELA PARA ATIVIDADE 1.A) – PA.

A TABELA ABAIXO SERVIRÁ PARA REGISTRO DOS VALORES E CONSEQÜENTE DESENVOLVIMENTO DA SEQÜÊNCIA

DA ATIVIDADE

. NESSA TABELA DEVERÁ SER MARCADO QUEM COMEÇA, QUEM ESTÁ COM A CARTA E CADA

PARTICIPANTE DA SÉRIE

: EX.; A

, A

E A

(PRIMEIRA RODADA).

179

I I – QUESTIONÁRIO PÓS JOGO

ATIVIDADE 1.A – BARALHO PA

1. Na 1ª rodada, quem começou?______________________qual número falou?______________

Na seqüência, quem o sucedeu?________________________que número falou?_______________

Continuou com_____________________________________ que falou o número_____________

Depois foi o(a) ____________________________________que disse o número_____________

Em seguida foi o(a) ________________________________que disse o número_____________

E terminou com __________________________________que encontrou o número __________.

i. Como chegar do primeiro número falado ao segundo

ii. E do segundo para o terceiro?

iii. Do terceiro para o quarto?

iv. Do quarto para o quinto para o sexto?

v. Do sexto para o sétimo?

vi. Do sétimo para o último?

vii. Os números encontrados estão em ordem crescente ou decrescente? Como sabemos isso?

viii. Poderíamos continuar a seqüência para além do último?

ix. E como faríamos isso?

x. Qual nome você daria para esse valor que se mantém de um termo para o outro da

seqüência?

xi. Por qual razão você daria esse nome?

180

Ah, então esta é a razão que encontrou para justificar os intervalos constantes entre os termos da

seqüência? Vamos chamar essa constante de razão, ok? E a cada um dos alunos que participaram

de determinada rodada, primeiro termo, segundo termo e assim por diante...

2. Vamos a segunda rodada:

i. Qual a seqüência encontrada?

ii. Qual a razão dessa seqüência?

iii. Porquê?

3. Crie você uma pequena seqüência (6 termos); escolha um primeiro termo e uma razão:

Primeiro termo

= razão =

Vamos agora encontrar os próximos termos da seqüência:

= pois é o resultado da adição de com

= pois é o resultado da _______de com

= pois é o __________da ________de com

= pois é o___________________________________

4. Vamos mudar a linha de raciocínio, verifique que:

= a

+ ___ * a razão

= a

+ 1 * a razão, mas a

= a

+ 1 * r, logo a

= (a

+ 1* r) + 1 * r

= a

+ r + r + r

= a

+ r + r + r + r

= a

+ r + r + r + r + r

Daí, podemos concluir que: a

= a

+ * r e a

181

5. Compare o número de vezes que somamos a razão com o índice que identifica o termo. Qual a

relação entre eles?

6. Podemos substituir essa soma pela multiplicação de r por um número?

7. Qual?

Imaginemos um número qualquer de termos de uma progressão, vamos chamar esse número de n

Se n = 100 termos o último termo dessa PA será a

100

, se nossa progressão tiver n= 50 termos, o último termo

dessa PA será identificado como a

, ou seja, se tivermos uma quantidade indefinida de termos, também

podemos chamar essa quantidade de n termos e o último termo dessa progressão será identificado por a

Agora, somos nós que estamos precisando de você. Como poderemos encontrar um

termo

qualquer de uma progressão, se soubermos o primeiro termo e a razão entre eles?

182

APÊNDICE B – PROTOCOLO DA ATIVIDADE 2

ATIVIDADE 2 – DEGRAUS – ÍMPARES E PARES com CABRI GÉOMÈTRE

1. Roteiro para degraus pares e ímpares utilizando Cabri Géomètre

i. Edite mostrar eixos e deixe a grade aparente

ii. Crie uma seqüência ímpar (maior ou igual a 5 elementos) de retângulos com

áreas em PA, todos alinhados verticalmente à esquerda, como se fosse uma

escada;

iii. Nomeie cada um desses retângulos por: a

, a

...

iv. Colorir cada uma das figuras (evite usar o vermelho, para que não se confunda

com a legenda e também não dificulte identificar o ponto médio)

v. Encontre e nomeie o ponto médio M entre os vértices superior direito do

primeiro e o vértice inferior direito do último (atenção).

vi. Peça a simetria central de cada um dos polígonos criados em relação ao ponto

183

2. Agora, observando atentamente a figura encontrada, complete:

i. Quantas vezes cada termo a

, a

, ... aparece na composição da nova figura encontrada?

ii. Qual o formato da figura encontrada?

iii. Como se calcula a área dessa figura?

iv. Como na composição da figura, cada termo da escada aparece ___ vezes, como a figura

encontrada é um _______________ , e no __________________ calcula-se a área através do

produto da __________ pela _____________ , podemos concluir que a área total da escada

aparece ________ vezes na figura encontrada, ou seja, para encontrarmos a área da escada,

bastará dividir por ___ a área total.

3. Continuemos a observação, cada termo que compõe a figura do novo quadrilátero é

formado pela adição de dois termos da escada. Identifique-os e complete a

seqüência:

• a

4. O termo do meio parece merecer uma atenção especial... Será que é possível

escrever a

de várias maneiras diferentes? Experimente, observando a figura final:

i. a

= (a

+ ) / 2

ii. a

= ( ) / 2

iii. a

iv. a

v. a

vi. Qual a quantidade de termos que compõe a escada?

vii. Quantas vezes será preciso multiplicar o termo médio para chegarmos á área da

escada?

viii. Porquê?

5. Conclua:

Em uma PA finita de quantidade de termos __________, para se obter a soma dos seus

termos basta multiplicar o termo _____________ pela _____________ de termos da PA.

6. Responda:

184

O mesmo procedimento se aplica a uma PA finita de quantidade de termos par?

Repita o processo utilizando o Cabri:

• Edite mostrar eixos e deixe a grade aparente

• Crie uma seqüência par (maior ou igual a 6 de retângulos semelhantes com área em PA, todos

alinhados verticalmente à esquerda, como se fosse uma escada;

• Nomeie cada um desses retângulos por: a

, a

...

• Colorir cada uma das figuras (evite usar o vermelho)

• Encontre e nomeie o ponto médio M entre os vértices superior direito do primeiro e o vértice

inferior direito do último (atenção)...

• Peça a simetria central de cada um dos polígonos criados em relação ao ponto M

(OPCIONAL) Essa parte pode ser deixada de lado, pois é a repetição das mesmas situações

da quantidade de termos ímpares.

Agora, observando atentamente a figura encontrada, complete:

Fig 4

Quantas vezes cada termo a1, a2,... aparece na composição da nova figura encontrada?

Qual o formato da figura encontrada?

Como se calcula a área dessa figura?

Como na composição da figura, cada termo da escada aparece vezes, como a figura encontrada é um

, e no calcula-se a área através do produto da pela ,

podemos concluir que a área total da escada aparece vezes na figura encontrada, ou seja, para

encontrarmos a área da escada, bastará dividir por vezes a área do .

7. Continuemos a observação, cada termo que compõe a figura do novo quadrilátero é

formado pela adição de dois termos da escada, logo:

i. a

ii. a

iii. a

iv. a

v. a

vi. a

8. Existe termo do meio nessa PA de quantidade de termos par?

185

9. O que acontece quando você soma os termos que tem a mesma distância em relação

ao ponto médio?

10. Esse ponto não existe na PA, mas se você pudesse dar um nome para ele qual

seria???

11. Bom, precisamos continuar, observe a figura e complete:

• O termo a

está a mesma distância de M que o termo

• O termo a

está a mesma distância de M que o termo

• O termo a

está a mesma distância de M que o termo

• Continue....

• O termo

Os termos com essa propriedade são chamados termos eqüidistantes...

12. Os termos eqüidistantes podem ser escritos de maneira muita parecida com o tópico

anterior, mas agora devemos nos referir ao termo eqüidistantes e vamos representá-

lo por tm. Será que é possível escrever tm de várias maneiras diferentes?

Experimente, observando a figura final:

tm = (a

+ ) / 2

tm = ( ) / 2

tm =

13. Qual a quantidade de termos que compõe a escada?

14. Quantas vezes será preciso multiplicar a média entre termos eqüidistantes para

obtermos a área total da escada?

15. Porquê?

16. Conclua:

186

Em um PA finita de quantidade par de termos, para se obter a soma dos seus

termos basta multiplicar a media aritmética entre termos _______ pela ____

de termos da PA.

17. O mesmo procedimento se aplica a uma PA finita de quantidade de termos ímpar?

18. Agora, escreva uma propriedade que sirva tanto para quantidade pares como para

quantidade ímpares:

187

APÊNDICE C – PROTOCOLO DA ATIVIDADE 3

ATIVIDADE 3 – PROGREDINDO NA VIDA ( A ESCADA I) – com CABRI GÉOMÈTRE

O desenho abaixo representa os perfis de sustentação de uma escada de 3 m de altura

(escala 1:30cm).

1. A sua primeira tarefa é colocar degraus paralelos uns aos outros nessa escada com a

seguinte condição: _que escolhido o espaçamento dentro do intervalo de 25cm a 40 cm,

esse espaçamento seja único entre os degraus, ou seja, do primeiro ao último degrau

essa distância deverá ser mantida; em seguida deverá informar qual a quantidade exata

de sarrafo utilizado para tal tarefa. Você pode utilizar qualquer ferramenta do CABRI,

porém deverá registrar (utilizar a ferramenta comentário com o título: primeira escada)

o passo a passo desse procedimento para que possamos entender como se deu essa

tarefa.

2. Sua segunda tarefa é responder qual a metragem que deveria ser comprada para repetir

o processo em uma escada com o dobro da altura;

3. E sua terceira e última atividade, também será encontrar a quantidade de sarrafo

necessária à confecção de uma escada com 100 degraus a partir do modelo criado em

sua primeira tarefa.

Ah! Justifique suas respostas...

188

APÊNDICE D – PROTOCOLO DA ATIVIDADE 4

PROGREDINDO NA VIDA ( A ESCADA II) – com CABRI GÉOMÈTRE

O professor depois de acompanhar os seus alunos na “árdua” tarefa de calcular quantos metros de

sarrafo seriam utilizados para montar as várias escadas solicitadas em um dado exercício, viu-se

questionado por alguns desses alunos que queriam saber se existia modo mais simples de obter tais

informações. Daí, preparou esta atividade, bom se é mais simples, ele não sabe, mas vocês podem

concluir por conta própria. segue-se a atividade:

Inicie o Cabri, e abra o arquivo Escada II, na pasta 2A.

Utilizando escada muito semelhante a da atividade anterior, conforme nos mostra a figura abaixo.

Vamos admitir que esta tenha n degraus

Î Encontre o ponto médio entre as intersecções dos degraus rotulados por

e a

com o perfil direito da escada e identifique-o por M;

Î Peça a simetria central do perfil esquerdo em relação ao perfil direito;

Î Peça a simetria central de cada degrau da primeira escada em relação

ao ponto M;

Agora, é com vocês:

A. Faça a comparação dos novos degraus formados, escreva um ou dois:

B. Como podemos obter a quantidade de material gasto em cada escada para montar

somente os degraus?

C. Qual tipo de operação matemática é a mais indicada para esse tipo de problema?

D. Escreva agora como se formam todos os degraus que surgiram da junção das duas

escadas, para aqueles que não tem rótulos, utilize reticências ...

E. Escreva todos os degraus obtidos em função de a

e a

n .

F. Junte as conclusões que obteve em B e C , com os resultados de E, não esquecendo

qual a quantidade de escadas a que está se referindo;

G. E como chegaríamos ao total de sarrafo referente a quantidade n de degraus de uma

escada qualquer?

189

APÊNDICE E – PROTOCOLO DA ATIVIDADE 5

ATIVIDADE 5 – TRIÂNGULOS com CABRI GÉOMÈTRE

O professor pediu para que seus alunos criassem um triângulo B semelhante as duas

figuras dadas (que não podem ser modificadas), de modo que os três triângulos pudessem

compor algum tipo de progressão. Três alunos apresentaram suas soluções, todas corretas,

mas uma diferente da outra, o professor percebeu que seu equívoco em não determinar

qual o tipo de progressão gerou um saudável contratempo e pretensiosamente suprimiu as

argumentações pertinentes a esse exercício, cabendo a vocês essa tarefa. A propósito,

vocês podem utilizar todas as ferramentas do CABRI para justificar as três respostas que

deverão encontrar, salvando as atividades em uma pasta com o seu nome. Agora é com

vocês...

190

APÊNDICE F – PROTOCOLOS DA ATIVIDADE 6

ATIVIDADE 6 – QUADRILÁTEROS FASE A

Atividade 6 – Fase 1

Observe atentamente o quadro abaixo:

Descreva com suas palavras o que você acha que pode estar representado o quadro acima:

191

ATIVIDADE 6 – QUADRILÁTEROS FASE B

i. Admitindo que a figura A representa um quadrilátero, dê o nome e apresente

condições que garantam sua resposta:

ii. No item B, se continuássemos a criar figuras, tais quais como se apresentam, como

seriam as duas próximas figuras da seqüência? Justifique sua indicação.

iii. Ainda relacionado ao item B, observe as figuras segundo as cores e estabeleça uma

seqüência numérica que possa bem representá-las:

iv. Que tipo de números encontrou?

v. È possível indicar algum algoritmo que possa representar esses números de modo

geral? Em caso positivo, qual?

vi. Descreva o que acontece no item C:

vii. E no item D:

viii. Utilizando C e D como referencial, mude as representações figurais por numéricas

C e D, utilize os números que indicou na seqüência no lugar das figuras,

experimente outros valores da seqüência deixando registrada algumas dessas

operações no espaço abaixo e veja se os resultados encontrados sempre podem ser

representados em forma de potência. Em caso positivo, indique qual potência e uma

forma geral de representá-la.

ix. Descreva novamente, todo o processo indicado pelos itens A,B, C e D do quadro da

primeira folha, aproveitando-se das observações que foi fazendo ao longo da

atividade:

192

APÊNDICE G – INTERFACE DO BLOG 2A.2007.ZIP.NET

193

194

APÊNDICE H – BLOG: COMENTÁRIOS NA ÍNTEGRA

Comentários de 04.05.2007 por ordem decrescente de horário de acesso

[nanda souza] [nanda[email protected].br]

Bom, acho q a matemática deve ser levada deste modo. Pois tem uma frase q diz:"È errando q se

aprende" e aqui é brincando q se aprende. Levar a matemática deste modo fica bem mais fácil e

divertida. Claro q tem momentos em q temos q deixar a esportiva de lado mais nem sempre é

bom...

04/05/2007 12:35

[karen] [[email protected]]

A atividade foi bem interesante pois podemos ver a diferença de cada um pensar e espresar suas

ideias sobre cada assunto.... A a tividade foi bem interesante pois vi que não so eu mas como

varias outras pessoas tem dificuldadede alguma coisa...... Bom fiko por aki BIG BJKS. A TODOS.

04/05/2007 11:31

[Carolina Vitorino]

sim na opiniao eu acho que com essa atividade cada um vai reconhecendo mais matematica. acaba

influindo mais na vontade

04/05/2007 11:24

[camila...] [my[email protected]] [ca.legg.zip.net]

Essa atividade foi um pouco longa,mas quando vc se envolve na atividade,quando vc começa a

entender o q lhe é passado,tudo fica muito mais fácil... Eu gostei,mas só depois q eu começei a

entender,mas no começo eu não estava gostando mas eu curti pra caramba essa experiencia...

04/05/2007 11:24

[Daniela Dias] [danielaprin[email protected]om.br] [danielaprinces.zip.net]

Atividade da escada Esta aula foi muito boa,pois trabalhamos em equipe,tiramos todas as nossa

dúvidas não só com os colegas e também com o prof° Eduardo. Além disso tivemos a

oportunidade de ter o auxílio do computador,que tivemos a melhor visualização da atividade.

gostei da aula,pois consegui entender e tirar todas as minhas dúvidas. valeuuuuuuuuu a aula

pof°,bem que poderia ter mais vezes,né!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

04/05/2007 11:21

[KinHa E$tiLo CoLomBIaNa] [anjinhadapa[email protected]] [jessy.90.zip.net]

Olha a atividade foi muito legal........ eh bom quando fikamos em grupo e colocamos em prática a

nossa capacidade de corrigirmos nossos erros e assim aprendermos com eles..... .......estou feliz e

contente com essa aula.....eh bem mais fácil eu conseguir colocar em prática minhas idéias e

pensamentos em grupo do q sozinha.....rsrsrsrsrs espero q continuemos com mais aulas desse

tipo........ concerteza vai ser mais aproveitoso nossas aulas...... bjos a todos........xau........

04/05/2007 11:18

195

Comentários de 24.05.2007 por ordem decrescente de horário de acesso

[joabe e victor]

como eu cheguei a conclusão que 23.82.100cm eu chego a 307,30 m 1,30.30cm que eu chego a

conclusão que sn=(a1+a100).100 isto è 23.82.100cm que dividinos por 2 que da este resutado que

er 307,30m?

24/05/2007 12:17

[kynha e Dany]

podemos usar a forma aritimética pq podemos perceber que a medida esta aumentando conforme

fazemos os percursos usados, assim seria mais util usar essa formula ao inves de fazer a escada de

100 degraus

24/05/2007 12:12

[kynha e Dany]

a 2 é só usarmos a forma progressão aritimética..... an=a1+(n-1).r e na 3 coloka lugar do n colokar

o numero 100 e depois fazer a outra conta da soma: sn= a1+ a100%2.100 e achar o cm de tudo!!

24/05/2007 12:10

[Cáh e Abião...]

p chegar na conclusão da atividade 2 usamos a formula:an=a1+(n-1).r

24/05/2007 12:08

[joabe e victo ]

eu achei a formula memimas(os)? que er S10=a1+a10.n10 2

24/05/2007 11:50

[jo vcr]

fais 10.30=3,00 metro 10 sarrafo ve agora ei galera

24/05/2007 11:47

[Cáh e Abião...]

se a escada de três metros é 30 cm o dobro da escada vai ser 6 metros e 60 cm... e seria o mesmo

processo só mudaria q aumentaria o valor...

24/05/2007 11:46

[lucy e kakal]

professor eu nao entendi nada

24/05/2007 11:45

[kynha e Dany]

uip uip uip uip uip uip!!! consguimos finalmente.....essa tarefa eh de arrancar o coro da cabeça

neh!!rsrsrs

24/05/2007 11:44

[Cáh e Abião...]

é eu tbm consegui fazer a primeira parte,mas e a segunda como faz??

24/05/2007 11:43

[Cáh e Abião...]

gente o q tem q fazer agora??? tem q fazer conta??

24/05/2007 11:42

196

[daniela e jessy]

finalmente conseguimos fazer a primeira parte do trabalho

24/05/2007 11:39

[carol e nanda] [[email protected].br] [todos]

e aí pessoal estão conseguindo.

24/05/2007 11:30

[kynha e Dany]

e ae jo conseguiu e vc caio Legg!!hihihihihihihi.....foi ou naum foi.ajuda ai meu??

24/05/2007 11:28

[Cáh e Abião...]

professor cade o senhor??? como eu faço o restu da escada?

24/05/2007 11:24

[Cáh e Abião...]

agora faz oq? eu já fiz a reta do meio e as bolinhas...

24/05/2007 11:21

[carol e nanda] [[email protected]] [dani]

DANI COMO MARCA O PONTO DE INTERSEÇÃO

24/05/2007 11:21

[kynha e Dany]

ja fizeram pessoal...... bem axo q o meu tah certo

24/05/2007 11:19

[daniela e jessy]

já fizemos um lado ,porém falta um outro porém eu acho que não devemos seguir o mesmo

procedimento

24/05/2007 11:19

[Hudson ]

ae paulo onde fica o medidor nesse programa mano ??????????????

24/05/2007 11:11

[Cáh e Abião...]

joabe como vc fez ca...

24/05/2007 11:11

[Andrew]

onde fica o compaço nesse programa ?

24/05/2007 11:10

[jo vc]

eu acho que sim?

24/05/2007 11:09

[Cáh e Abião...]

depois de fazer a reta faz oq e onde?

24/05/2007 11:09

197

[kynha e Dany]

OU eh eu q to louka ou eh o professor??

24/05/2007 11:09

[Cáh e Abião...]

´Joabe como vc fez?

24/05/2007 11:04

[Cáh e Abião...]

gente vcs vao usar os 30 cm?

24/05/2007 11:00

[kynha e Dany]

gente eu to meia quem sem saber o q fazer???

24/05/2007 10:51

[Cáh e Abião...]

meu sabe o ponto do meio? ele nao se encontra ai atoa,tenta fazer alguma coisa relacionada a ele.

24/05/2007 10:50

[daniela e jessy ]

prof me diga temos que ligar este ponto do meio com os demais segmentos para poder fazer

24/05/2007 10:49

hem??

24/05/2007 10:49

[Pretoblack ]

iai prof: sai do msn meu

24/05/2007 10:48

[KEILA E GEISA]

Não entendemos nada,pedimos a ajuda do professor!

24/05/2007 10:47

sera que è 11 dregau?

24/05/2007 10:47

[Karen e Luciana] [[email protected]]

Alguem entendeu pois nos não

24/05/2007 10:46

[Hudson ]

iai karen explica ai oq é pra faser ??????

24/05/2007 10:46

[kynha e Dany]

ei ja conseguiram??

24/05/2007 10:46

[daniela e jessy]

bora professor

24/05/2007 10:46

[Paulo & Marcelo] [[email protected]] [2a]

como fazer isto

24/05/2007 10:43

198

[Hudson ]

iai karen explica ai oq é pra faser ??????

24/05/2007 10:43

[Keila e Geisa]

xdgchgcj

24/05/2007 10:42

[kynha e Dany]

Gente eu ja to fikando confusa.....eh meio complicado mais se for conforme o grupo disser até q da

pra entender!!

24/05/2007 10:41

[Hudson ]

alguem pode explicar como fas as escalas

24/05/2007 10:41

[carol e nanda] [[email protected]] [kinha]

de qual ponto é para puxar a reta?

24/05/2007 10:41

[cáh e Abião...]

eu tenhu q saber como é q faz p sair o as linhas paralelas p fazer a atividade.como faço p achar as

linhas?

24/05/2007 10:39

[kynha e Dany]

Ou alguém tem outra opção!??

24/05/2007 10:39

[daniela e jessy ]

e vcs paulo e marcelo entenderam o que é para fazer

24/05/2007 10:38

[kynha e Dany]

olha eu quero saber o seguinte se pegarmos o primeiro ponto do degrau e puxar até o

ultimo...assim dará todos os espaços do intervalo que o problema pede!!

24/05/2007 10:38

[cáh e Abião...]

professor como q eu tenhu q fazer p conseguir traçar a reta?

24/05/2007 10:37

[daniela e jessy ]

eu acho que devemos puxar a partir do ponto do meiro entre a s paralelas e com isso ligar aos

outros pontos,mas eu não sei como posso fazer a distância entre eles

24/05/2007 10:37

[daniela e jessy]

vcs sabem o que á para fazer

24/05/2007 10:36

199

Comentários de 25.05.2007 por ordem decrescente de horário de acesso

[quinho]

A aula foi legal muito educativa,devia ter mais dessas aulas!

25/05/2007 12:19

[ggggg]

muito boa 1 aula como essa ensina a usa tatica enrtre cms e foi positiva

25/05/2007 12:12

[daniela]

relacionado ao trablho de hoje tivemos uma boa atuação tiramos muitas dúvidas em equipe e

omais importante entendemos a lição dada pelo o prof,como todos sabem usamos nessas últimas

aulas a progressão aritmética e sua fórmulas existentes ebom é isso e até outro dia com pastor e

compania

25/05/2007 11:46

[Cáh...]

dani e agora o q agente faz???fika de boa/?/ e entra no kut? rsrsrsrs...

25/05/2007 11:41

[kinha]

olha o q eu entendi e que seria mais dificil fazer o desenho pois que eh a escade de 3* o dobro que

seria uma imaginação enorme de uma escada de 3cm e ainda o dobro dele.....enorme neh?....seria

então mais facil fazer a conta de progressão aritimética que eh an=a1+(n-1).r que axaria a conta do

2 questão, ou seja, na segunda ela tah pedindo para axar o an= ao numero qualquer pois uma conta

sem numero naum chega a um resultado....e o 3 eh pra saber a soma dos calculos todos da escada!!

25/05/2007 11:41

[carol e nanda] [todos]

E aí pessoal a tarefa é difícil mas acabamos.

25/05/2007 11:39

[Cáh...]

ele disse:eu aprendi q progressao aritimetica é uma forma de aumentar os valores...

25/05/2007 11:35

[dani]

o marcos escuta a camila faz pelo menos o que vc entendeu na folha,pois senão o prof vai pedir

que vc explique oralmente

25/05/2007 11:33

[Cáh...]

dani tem q falar a formula da tres p´markinhu ? ele tem q escrever o q ele entendeu né? ele

entendeu mas ele nao consegue escrever...pelo menos eu achu ou ele quer fikar entrandu no kut...

se ele nao escrever nada ele vae se ferrar né/?

25/05/2007 11:30

[andrew e jhonatan]

eu entemdi que a dois tem uma formula mais fácil de fazer que é que tem que usar a seguinte

formula an=a1+(n+1)r isso foi oque eu entemdi.

25/05/2007 11:23

em relação a questão 3 qual é a fórmula?????????????????camila

25/05/2007 11:17

200

[kinha e gilmar]

ao inves de fazermos oprocesso da o processo da escada de 6metros fazemos aformula an È igual

compriendes

25/05/2007 11:14

[Cáh e quinho...]

td bem ele vai escrever... brigadinhu ae... quando vc casar o maridu é nosso... huahuahauhauha...

25/05/2007 11:12

[Cáh e quinho...]

da p vc entrar no blog?? vcs ta de sacanagem ein...

25/05/2007 11:11

[dani]

o marcos tem que escrever o aue ele entendu na folha

25/05/2007 11:11

[Cáh e quinho...]

dani depois q entende faz oq?

25/05/2007 11:10

[daniela]

andrew ,ao invés de fazer nioovamente o processo ,a escada é de 3 metros porém na questão dois

ele quer o dobro que seria 6, vcs usam o esta fo´rmula da progressão aritmética an=a1+(n-1).r

entenderma senão me perguntem

25/05/2007 11:08

[Cáh e quinho...]

bom andew vc tem q entender primeiro...ai depois td fika mais facil...

25/05/2007 11:08

[andrew]

eu não entendi como é que faz a pergunta da dois,tem como alguem nos ajudar ou dar uma ideia.

25/05/2007 11:05

[Cáh e quinho...]

Dani eu acho q a dois tem q entender q nao precisa fikar fazendu a escada td de novo é só entender

q podemus usar a progressao aritimetica...nao precisa se matar p fazer td de novu...eu achu q é

issu...

25/05/2007 10:57

[kinha e gilmar]

consegui ensinar a primeira parte para o gil como vcs estão indo e me explica a segunda!!

25/05/2007 10:51

[david e dani]

jé vc lembra como faz a questão dois????????????????

25/05/2007 10:51

[Cáh e quinho...]

a eu achu q é como q vc faz p descobrir como q vc pode saber como q vc faz p chegar ao valor da

escada sem ter q faze-la.

25/05/2007 10:50

201

[kinha e gilmar]

Gilmar: agente colokou os pontos primiero, depois usamos a circunferência para disância os

pontos entre si, após isso colokamos a ferramentas usamos a linha reta para dife~rência um ponto

entre o outro da escada, usei o seguimento para ligar os pontos parar saber a distância entre eles

assim descobrindo a distância e comprimento entre eles e a ligação entre os sarrafos.... essa eh a

miha opiniã e a de vcs!??

25/05/2007 10:49

[Cáh e quinho...]

oie gente...como vcs estao indu?

25/05/2007 10:49

[david e dani]

camila me fale uma coisa o que realmnte o prof quer relacionada a questão dois?

25/05/2007 10:49

[andrew e jhonatan]

nós estamos conseguindo e vcs como estão relacionado ao trabalho

25/05/2007 10:44

carol e nanda] [todos ]

Alguém precisa de ajuda aí???

25/05/2007 10:40

[david]

eu consegui fazer a primeira parte do trabalho e vcs

25/05/2007 10:41

[carol e nanda] [deni ou jeca]

alguém pode vir aqui no meu micro?

25/05/2007 10:33

[kinha e gilmar]

vamos começar!!

25/05/2007 10:24

[Kakal e lari]

Bom o que pude perceber que a varis maneiras de se fazer contas na qual entendi poucas mas foi

bem legal interagir com os colegas de classe adorei fazer essa atividade que apesar de começo não

ter intendido bem foi bem interesante............ Beijosss FUI K FUI.......

26/05/2007 15:20

202

Comentários de 01.06.2007 por ordem decrescente de horário de acesso

[[beth]]

bem a aula para mim foi bem dificil, espero que da poroxima vez seja mais facil beijos beth.

01/06/2007 11:59

[Keila]

É difícil quando não entendemos,mas se há entendimento das questões se torna fácil!

01/06/2007 11:41

[Drycka]

gostei dessa atividade,valeu o esforço.É bom sentar com os amigos e tentar resolver problemas

de matemática,exercitar a mente...

01/06/2007 11:37

[Caio e Nanda] [todos]

Bom, nós achamos esta atividade super interessante e construtiva, com que nós mexessemos com

nossos conhecimentos matemáticos. O melhor foi que eu e Caio fizemos a atividade sem discutir

e brigar. Gostamos muito desta aula e esperamos que haja mais atividades desse modo.

01/06/2007 11:37

[michel]

foi bom de mais gostei mesmo tendo duvidas so.

01/06/2007 11:37

[daniela]

simplesmente essa aula foi muito boa ,além de termos a calma para poder pensar com clareza

tivemos a ajuda do prof°Eduardo com a progressão aritmética,além de termos passados por

várias maneiras de ver uma atividade ,acabamos aprendendo não só uma fórmula qualquer ,mas

sim a maneira que ela é elaborada

01/06/2007 11:35

[Camila...]

bom essa atividade nao foi nada de tão complicado,eu estou percebendu q é só ter atençao,tem q

"fikar esperto" "nao pode dormir no ponto"...

01/06/2007 11:32

[will]

acabou

01/06/2007 11:32

[kinha]

eu adorei essa lição apesar de parecer dificil naum eh naum...eh saber apenas pensar sabia!!

entaum fizemos a soma das escadas e dividimos ela por 2 assim achamos o resultado de uma

escada e se quiserem fazer 2 e só fazer 2.soma(a1+a2).n

01/06/2007 11:29

[kinha e will]

agora depois como fazemos o D

01/06/2007 11:04

[kinha e will]

genta ainda naum intendemos como fazemos a simetria de cadarelação da escada do ponto

medio!?

01/06/2007 10:39

203

[pirulitu e presuntu...]

e depois q fez a escad o q faz??? como é p comparar??

01/06/2007 10:38

[daniela e keila]

prof eu não entendi está segunda tarefa,como assim os degraus o que a gente fez agora e

colariamos a1 a2 a3a e assim por diante me tire está dúvida por favor

01/06/2007 10:37

[kinha e karen]

bem depois de fazer essa parte o q fazemos!?

01/06/2007 10:33

[.....kInHa & WiLl.....]

eh ai pessoal como todos estão alguem sabe o q eh pra fazer hem??

01/06/2007 10:20

[pirulitu e presuntu...]

prof como faz a segunda parte??/

01/06/2007 10:37

Comentários de 25.06.2007 por ordem decrescente de horário de acesso

[Paulo]

Mede-se o lado dos dois triângulos, após isto vc irá notar que um triângulo é a metade do outro,

assim é notada a progressão decrescente.

25/06/2007 12:03

[kinha e gui]

1.primeiramente é o lado dos triangulos. 2. é a somo dos lados dos triangulos. 3. seria a área de

cada triangulo. ou seja Grande Médio Pequeno lado grande 5.20 iguais lado médio 3.90 iguais

lado pequeno 2.60 iguais perimetro soma dos lados grande 15.60 médio 11.70 pequeno 7.80 área

dos triangulos grande 11.69 cm² médio 7.35 cm² pequeno 2.92 cm²

25/06/2007 11:59

204

ANEXOS

205

ANEXO A – TERMO DE AUTORIZAÇÃO

PUC-SP – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

Campus Marquês de Paranaguá

Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática

TERMO DE COMPROMISSO

Este termo tem como objetivo esclarecer os procedimentos de nossa pesquisa,

principalmente no que tange a utilização dos dados nela coletados.

O material coletado, as atividades realizadas, as gravações de vídeo, as transcrições,

os registros escritos, servirá de base para pesquisas que procuram entender melhor o

processo de produção de significados em sala de aula da segunda série do ensino médio no

que tange à situações de ensino-aprendizagem que levem a iniciação ao processo de

Demonstração e Prova em Matemática. O acesso aos registros em vídeos será exclusivo do

grupo de pesquisa e só poderá ser apresentado com autorização dos participantes, as

transcrições e registros escritos terão seus nomes trocados por pseudônimos preservando a

identidade dos sujeitos em sigilo. Nas pesquisas que utilizarem o material coletado não

será feita menção à Instituição onde o curso foi realizado para a preservação da identidade

do grupo.

As informações provenientes da análise desse material poderão ser utilizadas pelos

pesquisadores em publicações e eventos científicos.

São Paulo, 09 de abril de 2007

_____________________________

Janete Bolite Frant

Orientadora do Projeto

___________________________

Antonio Carlos Eduardo

Professor orientando responsável

_____________________________ ___________________________

Responsável p/ sujeito da pesquisa (menor) Sujeito da Pesquisa

206

ANEXO B – PROTOCOLOS DO APROVAME - ÁLGEBRA

Questionário sobre Prova

Nome: ........................................................... Masculino ou Feminino: .........

Escola: .......................................................... Turma:........................................

Data de nascimento: .................................... Data de hoje:...............................

Você tem 50 minutos para responder estas questões.

Na primeira questão, você deve escolher uma entre as

várias respostas. Nas demais questões, você deve

produzir suas próprias respostas. Estamos interessados

no seu raciocínio e não apenas na resposta. Assim,

gostaríamos que você descrevesse como chegou à

resposta e não apagasse seus rascunhos.

Na maioria das questões, você deve apresentar uma

justificativa. Tente escrever da maneira mais clara que

puder.

Use uma caneta e, caso necessário, corrija uma

resposta sem apagar (não use corretivo).

Não use calculadora.

Projeto AprovaMe

Uso exclusivo do projeto

escola id:

turma id:

aluno id:

207

A1: Artur, Beth, Duda, Franklin e Hanna estavam tentando provar que a seguinte

afirmação é verdadeira:

Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par.

Resposta de Artur

a é um número inteiro qualquer

b é um número inteiro qualquer

2a e 2b são números pares quaisquer

2a +2b = 2 (a + b)

Então Artur diz que a afirmação é

verdadeira.

Resposta de Beth

2 + 2 = 4 4 + 2 = 6

2 + 4 = 6 4 + 4 = 8

2 + 6 = 8 4 + 6 = 10

Então Beth diz que a afirmação é verdadeira.

Resposta de Duda

Números pares terminam em 0, 2, 4, 6

ou 8.

Quando você soma dois destes, a

resposta vai ainda terminar em 0, 2, 4, 6

ou 8.

Então Duda diz que a afirmação é

verdadeira.

Resposta de Franklin

Então Franklin diz que a afirmação é

verdadeira

Resposta de Hanna

8 + 6 = 14

8 = 2 x 4

6 = 2 x 3

14 = 2 x (4 + 3)

8 + 6 = 2 x 7

Então Hanna diz que a afirmação é verdadeira

Das respostas acima, escolha uma que é a mais parecida com a resposta que você daria se

tivesse que resolver esta questão.

Das respostas acima, escolha aquela para a qual você acha que seu professor daria a melhor

nota.

208

A afirmação é:

Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par.

Para cada resposta abaixo, circule SIM, NÃO ou NÃO SEI.

Mostra que a afirmação é

sempre verdadeira.

Mostra que a afirmação é

verdadeira apenas para

alguns números pares.

5.3. RESPOSTA DE

ARTUR

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Beth:

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Duda:

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Franklin:

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Hanna:

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

A2. Suponha que já foi provado que:

Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par.

Zé pergunta o que precisa ser feito para provar que:

Quando você soma dois números pares maiores que 100, o resultado é sempre par.

Escolha A ou B:

(A) Zé não precisa fazer nada, pois a afirmação já foi provada.

(B) Zé precisa construir uma nova prova.

A3. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma dois números ímpares quaisquer, o resultado é sempre par.

Justifique sua resposta.

209

A4. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?

Quando você soma um múltiplo de três qualquer com um múltiplo de seis

qualquer, o resultado é sempre um múltiplo de três.

Justifique sua resposta.

A5: Sabendo que:

4! significa 4 x 3 x 2 x 1

5! significa 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Responda:

a) 5! é um número par?

Justifique

b) O que significa 8! ?

c) 8! é um múltiplo de 21 ?

Justifique

d) 62! é um múltiplo de 37 ?

Justifique

e) Pedro calculou 23!

Sem calcular, determine o último algarismo do resultado encontrado por Pedro.

Justifique

210

ANEXO C – PROTOCOLOS DO APROVAME – GEOMETRIA

Questionário sobre Prova

Nome: ........................................................... Masculino ou Feminino: .........

Escola: .......................................................... Turma:........................................

Data de nascimento: .................................... Data de hoje:...............................

Você tem 50 minutos para responder estas questões.

Na primeira questão, você deve escolher uma entre as

várias respostas. Nas demais questões, você deve

produzir suas próprias respostas. Estamos

interessados no seu raciocínio e não apenas na

resposta. Assim, gostaríamos que você descrevesse

como chegou à resposta e não apagasse seus

rascunhos.

Na maioria das questões, você deve apresentar uma

justificativa. Tente escrever da maneira mais clara

que puder.

Use uma caneta e, caso necessário, corrija uma

resposta sem apagar (não use corretivo).

Não use calculadora.

Projeto AprovaMe

Uso exclusivo do projeto

escola id:

turma id:

aluno id:

211

G1: Amanda, Dario Hélia, Cíntia e Edu estavam tentando provar que a seguinte afirmação

é verdadeira:

Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer,

o resultado é sempre 180

Resposta de Amanda

Eu recorto os ângulos e junto os três.

Eu obtenho uma linha reta que é 180

Eu tentei para um triângulo eqüilátero e também para

um isósceles e a mesma coisa acontece.

Então Amanda diz que a afirmação é verdadeira.

Resposta de Dario

Eu medi cuidadosamente os ângulos de alguns triângulos

e fiz uma tabela.

a b c total

110 34 36 180

95 43 42 180

35 72 73 180

10 27 143 180

Em todos eles a soma foi de 180

Então Dario diz que a afirmação é verdadeira

Resposta de Hélia

Eu desenhei três retas perpendiculares a um lado do

triângulo e medi os ângulos.

(90

– 28

) + 28

+ 42

+ ( 90

– 42

) = 180

Então Hélia diz que a afirmação é verdadeira

Resposta de Cíntia

Eu desenhei uma reta paralela à base do triângulo:

Afirmações Justificativa

p = s.......................... Ângulos alternos internos entre

duas paralelas são iguais.

q = t ........................... Ângulos alternos internos entre

duas paralelas são iguais.

p + q + r = 180

.......... Ângulos numa linha reta.

Logo s + t + r = 180

Então Cíntia diz que a afirmação é verdadeira.

Resposta de Edu

Se você caminhar por toda volta sobre a linha do triângulo e

terminar olhando o caminho por onde começou, você deve ter girado

um total de 360

. Você pode ver que cada ângulo externo quando

somado ao ângulo interno deve dar 180

porque eles formam uma reta.

Isso faz um total de 540

. 540

– 360

= 180

Então Edu diz que a afirmação é verdadeira.

Das respostas acima, escolha uma que é a mais parecida com a resposta que você daria se

tivesse que resolver esta questão.

Das respostas acima, escolha aquela para a qual você acha que seu professor daria a melhor

nota.

212

A afirmação é:

Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer,

o resultado é sempre 180

Para cada resposta abaixo, circule SIM, NÃO ou NÃO SEI.

Mostra que a afirmação é

sempre verdadeira.

Mostra que a afirmação é

verdadeira apenas para

alguns triângulos.

5.4. RESPOSTA DE

AMANDA

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Dário

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Hélia

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Cíntia

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

Resposta de Edu

Sim

Não

Não sei

Sim

Não

Não sei

G2. Suponha que já foi provado que:

Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer,

o resultado é sempre 180

Zeca pergunta o que precisa ser feito para provar que:

Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo

qualquer, o resultado é sempre 180

Escolha A ou B:

(A) Zeca não precisa fazer nada, pois a afirmação já foi provada.

(B) Zeca precisa construir uma nova demonstração.

213

G3. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. A afirmação abaixo é verdadeira ou

falsa?

Quando você soma os ângulos internos de um quadrilátero qualquer,

o resultado é sempre 360

Justifique sua resposta:

G4: Dobre uma folha de papel, conforme o esquema abaixo. Obter o valor de x.

Justifique sua resposta.

G5: A e B são dois quadrados idênticos. Um vértice do quadrado B está localizado no

centro do quadrado A.

Qual fração da área do quadrado A está coberta pelo quadrado B?

Justifique sua resposta

176

POMBO, Olga. Os profissionais do Ensino. Disponível na Internet em;

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/hfe/momentos/escola/sofistas/profissionais.htm

Acesso em 15.07.2007

PLATÃO. A República. Traduzido por Pietro Nassetti. São Paulo, SP. Ed. Martin Claret,

2001.

VALENTE, J.A. Porquê o Computador na Educação? Disponível na Internet em <

http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/separatas/Sep2.pdf > Acesso em Out. 2006.

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