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Faculdade de Ciências
Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência
Edvaldo Lima da Silva
CONSTRUÇÃO E VALIDAÇÃO DE UM OBJETO
TECNOLÓGICO DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
Dissertação de Mestrado
Bauru
2005
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Livros Grátis
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Milhares de livros grátis para download.
Edvaldo Lima da Silva
CONSTRUÇÃO E VALIDAÇÃO DE UM OBJETO
TECNOLÓGICO DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
Dissertação de Mestrado elaborada junto
ao Programa de Pós-Graduação em
Educação para a Ciência – Área de
Concentração em Ensino de Ciências, para
obtenção do título de Mestre em Educação
para a Ciência, sob a orientação do Prof.
Dr. Aguinaldo Robinson de Souza
Bauru
2005
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DIVISÃO TÉCNICA DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇÃO
UNESP – BAURU
Silva, Edvaldo Lima da.
Construção e validação de um objeto
tecnológico de aprendizagem em matemática para
funções de uma variável complexa / Edvaldo Lima
da Silva, 2006.
126 f.
Inclui 1 CD-ROM.
Orientador : Aguinaldo Robinson de Souza.
Dissertação (mestrado) – Universidade
Estadual Paulista. Faculdade de Ciências, Bauru,
2006.
1. Visualização. 2. Software educativo. 3.
Análise complexa. – Universidade Estadual
Paulista. Faculdade de Ciências. II - Título.
Ficha catalográfica elaborada por Maristela Brichi Cintra – CRB 5046
Aos meus pais que nunca sonharam poder contribuir com um resultado como este.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente ao orientador e co-autor deste
trabalho, Prof. Dr. Aguinaldo Robinso de
Souza, que pela qualidade investigativa pôde
vislumbrar oportunidades num emaranhado de
idéias. À Profa. Dra. Emília de Mendonça
Rosa Marques, pelo apoio e sugestões nas
atividades desenvolvidas. À Banca de
Qualificação (Prof. Dr. Antonio Vicente
Marafioti Garnica e Prof. Dr. João Pedro
Albino) que rigorosamente avaliou e sugeriu
alterações necessárias. Aos professores do
Departamento de Matemática, do
Departamento de Educação e do Programa de
Pós-Graduação em Educação para a Ciência
que direta ou indiretamente apoiaram esta
proposta. Á CAPES pela conceção da bolsa de
pesquisa e à FUNDUNESP pelo apoio
financeiro ao projeto. Agradecimentos,
também, à Pró-reitoria de Pós-Graduação
pelos apoios concedidos para participação de
congressos.
SILVA, Edvaldo Lima da. Construção e validação de um objeto tecnológico de
aprendizagem em matemática para funções de uma variável complexa. 126 f. 2005.
Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência) – Programa de Pós-Graduação em
Educação para a Ciência, UNESP, Bauru.
Resumo
Apresentamos o projeto de desenvolvimento do software F(C): Funções Complexas
contemplando as etapas de planejamento, construção de protótipos, experimentações,
revisões, refinamento e documentação. O software é caracterizado como gráfico, destacando
os conceitos de número e funções complexas. O conceito de Domínio de Cores para a geração
de gráficos coloridos em 4 variáveis reais é resgatado, explorado e incluído no software. Os
experimentos em salas de aula são detalhados e questões sobre visualização e informática na
educação são discutidas ao longo do projeto.
Palavras-Chave: Visualização. Software educativo. Análise complexa.
SILVA, Edvaldo Lima da. Construction and validation of a technological object of
learning in mathematics for functions of one complex variable. 126 s. 2005. Dissertation
(Master’s Degree in Science Education) – Postgaduate Program in Science Education,
UNESP, Bauru, Brazil.
Abstract
We present the development project of F (C): Complex Functions software contemplating the
stages of planning, construction of archetypes, experimentations, revisions, refinement and
documentation. This software is characterized as graphical, detaching the concepts of number
and complex functions. The concept of Color Domain to generate colored graphs in 4 real
variables is rescued, explored and enclosed in the software. Experiments in classrooms are
detailed and questions about visualization and technology in education are argued throughout
the project.
Key-words: Visualization. Educational software. Complex analysis.
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 – Representação geométrica por pares do plano complexo .......................................25
Figura 2 – Representação geométrica polar do plano complexo..............................................26
Figura 3 – Diagrama de função de uma variável complexa .....................................................27
Figura 4 – Mapa do Plano Complexo.......................................................................................41
Figura 5 – Esquema de leitura no gráfico de ()
f
zz
=
− ..........................................................43
Figura 6 – Gráfico de
2
() 1fz z=−..........................................................................................44
Figura 7 – Gráfico de
z
ezf =)( ..............................................................................................45
Figura 8 – Gráfico de )ln()( zzf
= ..........................................................................................46
Figura 9 – Gráfico de )sen()( zzf
= .........................................................................................46
Figura 10 – Gráfico de
)cos()( zzf = .......................................................................................47
Figura 11 – Gráfico de
)tan()( zzf = .......................................................................................48
Figura 12 – Esquema de leituras de gráficos............................................................................53
Figura 13 – Ferramentas do software .......................................................................................53
Figura 14 – Vista da secção perpendicular ao Plano Complexo por
NP ................................56
Figura 15 – Vista da secção paralela ao Plano Complexo........................................................56
Figura 16 – Superfície esférica para o Mapa MONO1.............................................................59
Figura 17 – Gráfico de ( )
f
zz= , pelo Mapa MONO1............................................................60
Figura 18 – (a)
3
() 1fz z=−, (b) ( ) sen( )
f
zz
=
e (c) ( ) ln( )
f
zz
=
, pelo Mapa MONO1......60
Figura 19 – Superfície esférica para o Mapa MONO2.............................................................61
Figura 20 – Gráfico de ( )
f
zz= , pelo Mapa MONO2............................................................62
Figura 21 –
3
() 1fz z=−, ( ) sen( )
f
zz= e ( ) ln( )
f
zz
=
, pelo Mapa MONO2 ......................62
Figura 22 – Superfície esférica colorida para o Mapa Colorido...............................................63
Figura 23 – Distribuição de cores planificada..........................................................................64
Figura 24 – Gráfico de ( )
f
zz= , pelo Mapa Colorido............................................................65
Figura 25 –
3
() 1fz z=−, ( ) sen( )
f
zz= e ( ) ln( )
f
zz
=
, pelo Mapa Colorido......................66
Figura 26 – Gráfico de ( ) sen( )
f
zz= e Mapa de Cores..........................................................74
Figura 27 – Variação de ( ) .sen( )
f
za z= , para alguns valores de a .......................................75
Figura 28 – Gráfico de ( ) csc( )
f
zz= e Mapa de Cores..........................................................76
Figura 29 – Gráfico de ( ) cos( )
f
zz= e Mapa de Cores..........................................................77
Figura 30 – Gráfico de ( ) sec( )
f
zz= e Mapa de Cores ..........................................................79
Figura 31 – Gráfico de ( )
f
zz= ..............................................................................................80
Figura 32 – Gráfico de
() 1
f
zz= ...........................................................................................80
Figura 33 – Gráfico de ( ) sec( )
f
zz= , pelo Mapa de MONO1 (Raízes) .................................80
Figura 34 – Gráfico de ( ) sec( )
f
zz= , pelo Mapa de MONO2 (Argumentos)........................80
Figura 35 – Gráfico de ( ) tan( )
f
zz= e Mapa de Cores ..........................................................81
Figura 36 – Gráfico de ( ) cot( )
f
zz= e Mapa de Cores ..........................................................82
Figura 37 – Gráfico de ( ) senh( )
f
zz= ....................................................................................84
Figura 38 – Gráfico de ( ) cosh( )
f
zz= ....................................................................................84
Figura 39 – Gráfico de ( ) ln( )
f
zz= e Mapa de Cores............................................................85
Figura 40 – Gráfico de ( ) cos( )
f
zz= , com rotação e inversão...............................................85
Figura 41 – Variação de
( ) .senh( )
f
za z=
, para alguns valores de
a
.....................................86
Figura 42 – Variação de
( ) senh( )
b
f
zz=
, para alguns valores de
b
......................................87
Figura 43 – Variação de
() cosh()
c
f
zz=
, para alguns valores de
c
......................................87
Figura 44 – Variação de
() cosh()
f
zzd=+
, para alguns valores de
d
..................................87
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 – Alguns valores de
2
() 1fz z
=
− .............................................................................28
Tabela 2 – Alguns valores de ( )
z
f
ze
=
..................................................................................28
Tabela 3 – Alguns valores de
() ln()
f
zz
=
..............................................................................29
Tabela 4 – Alguns valores de
() sen()
f
zz
=
............................................................................29
Tabela 5 – Alguns valores de
() cos()
f
zz
=
............................................................................30
Tabela 6 – Alguns valores de
() tan()
f
zz
=
............................................................................30
Tabela 7 – Alguns valores de
()
f
zz
=
− .................................................................................43
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO...................................................................................................................13
CAPÍTULO 1 ...........................................................................................................................16
1 CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .......................17
1.1 Introdução.............................................................................................................17
1.2 Primeiras Investigações........................................................................................17
1.3 Representação Gráfica dos Números Complexos ................................................18
1.4 Estudo de Funções Complexas.............................................................................19
1.5 O Conceito de Número Complexo nos Livros Didáticos.....................................19
1.6 Problema de Pesquisa...........................................................................................21
CAPÍTULO 2 ...........................................................................................................................22
2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA.......................................................23
2.1 Números Complexos ............................................................................................23
2.2 Operações .............................................................................................................23
2.2.1 Adição...........................................................................................................24
2.2.2 Multiplicação................................................................................................24
2.3 Plano de Argand-Gauss ........................................................................................25
2.4 Forma Polar ..........................................................................................................25
2.5 Definição ..............................................................................................................26
2.6 Funções Elementares............................................................................................27
2.6.1 Polinomial.....................................................................................................27
2.6.2 Exponencial ..................................................................................................28
2.6.3 Logarítmica...................................................................................................29
2.6.4 Seno ..............................................................................................................29
2.6.5 Cosseno.........................................................................................................29
2.6.6 Tangente .......................................................................................................30
2.7 Raízes ...................................................................................................................30
CAPÍTULO 3 ...........................................................................................................................32
3 COMPUTADORES, VISUALIZAÇÃO E EDUCAÇÃO ...........................................33
3.1 Computadores na Educação .................................................................................33
3.2 Visualização e Educação Matemática ..................................................................35
CAPÍTULO 4 ...........................................................................................................................39
4 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA............................40
4.1 Domínio de Cores.................................................................................................41
4.2 Funções Elementares............................................................................................44
4.2.1 Polinomial.....................................................................................................44
4.2.2 Exponencial ..................................................................................................45
4.2.3 Logarítmica...................................................................................................45
4.2.4 Seno ..............................................................................................................46
4.2.5 Cosseno.........................................................................................................47
4.2.6 Tangente .......................................................................................................47
CAPÍTULO 5 ...........................................................................................................................49
5 SOFTWARE F(C): FUNÇÕES COMPLEXAS ..........................................................50
5.1 O Projeto...............................................................................................................50
5.2 Desenvolvimento..................................................................................................51
5.3 Testes....................................................................................................................52
5.4 Sugestões e Correções ..........................................................................................52
5.5 Versão Final..........................................................................................................54
5.6 Mapas do Plano Complexo...................................................................................55
5.6.1 Projeção Estereográfica................................................................................55
5.6.2 MONO1 (Módulo)........................................................................................58
5.6.3 MONO2 (Argumento)..................................................................................61
5.6.4 Mapa Colorido (Thaller)...............................................................................63
5.7 Projetos Complementares.....................................................................................66
5.7.1 Ajuda ............................................................................................................66
5.7.2 Instalador ......................................................................................................66
CAPÍTULO 6 ...........................................................................................................................68
6 EXPERIÊNCIAS EM SALAS DE AULA...................................................................69
6.1 Relatos de Experiências........................................................................................69
6.2 Etapas Experimentais ...........................................................................................69
6.2.1 1ª Etapa (disciplina de Variáveis Complexas)..............................................69
6.2.2 2ª Etapa (disciplina de Informática Aplicada à Educação Matemática).......71
6.2.3 3ª Etapa (minicurso no VII ENEM) .............................................................72
6.2.4 4ª Etapa (disciplina de Variáveis Complexas)..............................................72
6.3 Análise dos Experimentos ....................................................................................73
6.3.1 Grupo 1 – Funções Seno e Cossecante.........................................................73
6.3.2 Grupo 2 – Funções Cosseno e Secante.........................................................76
6.3.3 Grupo 3 – Funções Tangente e Cotangente..................................................81
6.3.4 Grupo 4 – Funções Seno e Cosseno Hiperbólicas........................................83
6.4 ConSIDERAÇÕES Preliminares..........................................................................87
6.4.1 Elaboração da Interface ................................................................................87
6.4.2 Refinamento do Software.............................................................................88
CAPÍTULO 7 ...........................................................................................................................89
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................90
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................93
APÊNDICES ............................................................................................................................96
ANEXOS................................................................................................................................122
13
APRESENTAÇÃO
Foi pela busca em se estabelecer um conceito para número que diversos problemas,
encontrados na História da Matemática como, por exemplo, os de contagem, operações e
soluções para equações, motivaram a construção de conjuntos numéricos. No Conjunto dos
Números Racionais pode-se verificar uma relação próxima entre a Matemática e as próprias
necessidades do homem. Porém, nem sempre soluções de problemas encontrados na natureza
são os principais motivos para a elaboração de conceitos matemáticos. Com a introdução do
Conjunto dos Números Irracionais, a sistematização do Conjunto dos Números Reais é tida
como uma válvula de escape para muitos problemas como, por exemplo, a radiciação como
uma operação inversa da potenciação, e a continuidade. Porém, nem sempre um problema é
resolvido por completo.
Nesse processo de construção há uma reestruturação do conceito de número e uma
sistematização de seu conjunto de modo a permitir que leis sobre conjuntos já conhecidos
valham em conjuntos, recém estruturados. Com isso, não se descartam conjuntos antigos, já
conhecidos, pelo fato de um novo poder incluí-los, mas trata-se cada um pelas suas
peculiaridades, por exemplo, a numerabilidade, continuidade, satisfação de propriedades e
operações etc. Na verdade, o que são estudadas são as chamadas Estruturas Algébricas.
É pela procura por soluções de equações, principalmente de terceiro grau, que houve
uma sistematização do que hoje conhecemos como Conjunto dos Números Complexos.
Através de equações cujas soluções não podem ser representadas apenas por números reais,
nota-se a necessidade de discriminação para casos particulares ao qual sugerem restrições ou
uma nova abordagem para a conceituação de número. Na verdade, percebe-se a limitação de
um conjunto frente a abstrações aceitas e introduzidas pelo homem.
Os estudos de funções, tratados principalmente pela Geometria Analítica, e muito bem
explorados no Conjunto dos Números Reais, não são esquecidos. Passa-se a analisar o
comportamento de funções também no Conjunto dos Números Complexos.
São estudos com funções de uma variável complexa que propomos para esse trabalho.
Uma abordagem interpretativa e educacional ao qual será baseada em desenvolvimento de
recursos tecnológicos para exploração de comportamentos e implicações nesse campo.
A compreensão do conceito de número complexo, bem como suas relações através de
funções serão tratadas nesse trabalho visando uma apresentação de uma abordagem visual.
14
Tal abordagem tem-se mostrado de grande relevância frente a novas possibilidades
tecnológicas.
Iniciaremos por descrever a problemática que gerou o objeto da pesquisa. Nessa etapa,
explicitaremos algumas relevâncias históricas na sistematização do conjunto dos números
complexos, especificamente a sua estrutura algébrica.
Apresentaremos uma síntese do conceito de número e função complexa, mencionando
alguns dos conceito que diretamente fornecem suporte ao trabalho.
Nos capítulos seguintes, descreveremos o conceito de Domínio de Cores mostrando
como a utilização de cores para representar funções de uma variável complexa é adequada,
pertinente e possível. Antes, porém, enfatizaremos o uso de computadores como principal ator
nesse processo, isso porque esse tipo de representação só é viavel com o seu uso. Essa é uma
das respostas que, ao final, enfatizamos para o questionamento do uso de computadores nas
salas de aula de Matemática. Acrescentamos, também, alguns exemplos elementares de
representações gráficas de funções de uma variável complexa e suas respectivas
interpretações para dar um suporte introdutório ao conceito e a compreensão da proposta.
O desenvolvimento do software proposto recebe um capítulo a parte. Documentamos
detalhadamente o projeto de desenvolvimento do software F(C): Funções Complexas.
Apresentamos os trabalhos técnicos e conceituais. Na parte técnica, descrevemos o
desenvolvimento inicial, os testes, as correções e as implementações adicionais. Elaboramos,
também, uma documentação para servir de manual aos usuários do software, que pode ser
encontrada no Apêndice A. Esse manual detalha os comandos e procedimentos para a
manipulação e exploração do software. A parte conceitual é voltada para a explanação das
manipulações algébricas necessárias ao funcionamento do software. Consideramos como
parte conceitual as inclusões e modificações de funcionalidades do software no que diz
respeito a discussão sobre a delimitação do objeto a ser construido, ou seja, questões ligadas
ao processo de criação de ferramentas e não à sua implementação.
Em seguida, descrevemos sucintamente as experiências em salas de aula. Cada
intervenção está explicita pelos aspectos propostos, objetivos, de atividades e de análise. Não
analisaremos a efetividade pedagógica nas experiências, mas sim, as contribuições para a
elaboração e finalização do software. Inclui-se, então, a elaboração da interface e o processo
de depuração.
Ao final, lançamos considerações acerca do papel da visualização no processo de
ensino e aprendizagem, bem como uma revisão bibliográfica sobre tópicos recentes
envolvendo Matemática Experimental. Tentamos também, aproximar esses tipos de
15
abordagens com a questão sobre o uso de prova rigorosa na Educação Matemática.
Concluímos nossas observações e anexamos toda a documentação complementar para registro
e divulgação.
16
CAPÍTULO 1
CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
17
1 CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
1.1 INTRODUÇÃO
Visando apresentar e introduzir a problemática geradora do presente trabalho,
descreveremos um breve histórico sobre o processo de sistematização do Conjunto dos
Números Complexos (
^
) (Cuoco, 1997), iniciando por dispor alguns dos acontecimentos
mais marcantes no desenvolvimento do conceito de número (Milies, 2004; Porto da Silveira,
2003). Tentaremos destacar o caminho pela busca de novos conceitos como uma das
características fundamentais no desenvolvimento do pensamento matemático.
1.2 PRIMEIRAS INVESTIGAÇÕES
É difícil definir exatamente quando surgem as primeiras investigações envolvendo
raízes quadráticas de números reais negativos (
*
,xx
−
−∈\ ). Porém, sua aceitação, enquanto
possibilidade de solução de equações, já é conhecida desde o ano de 665, por Brahmagupta
em Khandakhadyaka, ao trabalhar resolução de equações quadráticas (Boyer, 1996, p. 150).
Questões de resolução de problemas através de equações já eram bem conhecidos
desde 1700 a.C. pelos Sumérios. Como o conceito de número, nessa época, estava
estritamente associado ao significado de medidas e quantidades, e o uso de equações ligadas à
formulação matemática de um problema concreto, não havia o menor sentido aceitar soluções
que não pudessem ser interpretadas dentro dos problemas trabalhados. Assim, até mesmo
Herón e Diofano de Alexandria, por volta de 2000 a.C, ignoraram soluções que pudessem
levar a valores envolvendo raízes de números negativos (Nahin, 1998, p. 3-7).
Niccolo Fontana Tartaglia, em 1535, generaliza um método de resolução de equações
cúbicas, de terceiro grau, mas é Girolamo Cardano, em1545, que publica. Ao se resultar
expressões envolvendo raízes quadráticas de números reais negativos, Cardano as considera
como lógicas, porém sem sentido. Como algumas soluções de equações cúbicas já eram
conhecidas, ao se utilizar do método de resolução proposto por Tartaglia, Cardano não
consegue manipular tais expressões para que fosse possível chegar ao resultado conhecido.
Nota-se, então, que a capacidade intelectual de compreender e interpretar resultados, obtidos
por métodos desconhecidos, influencia substancialmente a investigação, desenvolvimento,
descoberta e posterior aceitação dos conceitos e métodos envolvidos.
Somente em 1572, Rafael Bombelli publica uma maneira de resolver as expressões
envolvendo raízes quadráticas de números reais negativos para se chegar a soluções
18
aceitáveis. Conhecida como Wild Idea (idéia selvagem), Bombelli considera a raiz quadrada
de um número real negativo como um número, ao nível conceitual utilizado na época, e
manipula-a da mesma maneira que fazemos com os números reais (Needhan, 2000, p. 3-5).
Em seu estudo de Álgebra, Bombelli abre caminho para a aceitação de sua manipulação.
Embora operado como número real, a raiz quadrática de um número real negativo é chamada
de número sofistico, ou seja, a desconfiança sobre a sua definição e validade é expressa pelo
próprio termo. Assim, a utilização de raízes quadráticas de números reais negativos para a
obtenção de resultados mostra como problemas reais motivaram o processo de construção e
sistematização do Conjunto dos Números Complexos.
A crença de que as generalizações provenientes do raciocínio possam ser verdades
absolutas abre caminho para que as resoluções de problemas não sejam as únicas
preocupações e motivação para investigações na Matemática, mas resoluções dos problemas
encontrados nos próprios métodos. Se, no princípio, havia a necessidade de adequar os
métodos de resolução a uma resposta aceitável, começa-se a repensar essa adequação. A
solução a que um método possa gerar chama a atenção para a plena satisfação – coerência –
do próprio método, ou seja, ao se ter um método generalizado e sem entraves é possível se
chegar à solução do problema, ainda concreto. É nessa busca por um método eficaz de
resolução de equações algébricas que a introdução dos números complexos ganha aceitação.
Entre as várias personalidades que contribuíram para a sustentação dessa aceitação na
resolução de equações algébricas destaca-se René Descartes e Gottfried Wilhelm Leibniz. Em
1637, Descartes introduz o temo imaginário para se referir a problemas envolvendo raiz
quadrada de número real negativo como insolúveis, enquanto que Leibniz (1670) classifica os
números imaginários como anfíbios, ou seja, divididos entre a existência e a não existência.
(Biggus, 2004).
1.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
A forma de representação geométrica dos Números Complexos, que hoje conhecemos
como Plano de Argand-Gauss, teve início em 1673, com John Wallis que publica em 1673 a
primeira representação de uma possível localização da solução geométrica de problemas
envolvendo raízes quadradas de números reais negativos. Iniciava-se, então, a representação
de números complexos por pontos do plano, uma maneira de geometrizar a álgebra dos
complexos.
A associação entre números complexos e vetores no plano está presente nos trabalhos
de Caspar Wessel (1797) e Jean-Robert Argand (1806). Wessel e Argand iniciam estudos de
19
operações entre números complexos a partir de observações geométricas. Assim, as operações
entre números complexos eram fundamentadas pelas visualizações geométricas. Embora os
estudos de Wessel não fossem tão notados na época, os de Argand tiveram mais repercussão e
são conhecidos atualmente (Biggus, 2004).
1.4 ESTUDO DE FUNÇÕES COMPLEXAS
Os primeiros passos para o estudo de funções de variável complexa são encontrados
nos trabalhos de Jean le Rond d'Alembert, por volta de 1749. Mas é somente nas memórias de
Augustin-Louis Cauchy, em 1814, que a teoria das funções de variáveis complexas é
claramente introduzida.
Com as várias contribuições até então desenvolvidas, Carl Friedrich Gauss constrói
uma álgebra para os Números Complexos (1831), permitindo inclusive representação
geométrica (Struik, 1997, p. 230).
Várias personalidades contribuíram para a sistematização e estruturação do que hoje
conhecemos como Conjunto dos Números Complexos. A partir do século XIX, inúmeras
contribuições surgiram para definir o conceito de número. E diferentemente do que
encontramos nos livros didáticos, a motivação para o surgimento dos números complexos não
é a falta de solução real para algumas equações quadráticas.
1.5 O CONCEITO DE NÚMERO COMPLEXO NOS LIVROS DIDÁTICOS
Quando analisamos os livros didáticos de Ensino Médio, onde o conceito de número
complexo é inicialmente introduzido, deparamo-nos com certas motivações que tentam
justificar a introdução de um conceito.
É comum encontrar equações reais do tipo
2
0ax bx c
⋅
+⋅+= , com
2
40bac−⋅⋅<,
como por exemplo
2
2440xx−+=.
Para resolvermos equações desse tipo, temos a fórmula geral dada por:
2
4
2
bb ac
a
−± −⋅⋅
⋅
1
que no exemplo acima resulta em:
2
(4) (4) 424
416324 16
22 4 4
−− ± − − ⋅ ⋅
±
−±−
==
⋅
2
Ou seja, as soluções dependem do valor que a raiz quadrada de um número real
negativo resulta.
20
Nesse ponto, o conceito de número complexo é introduzido para que a equação do
exemplo acima seja resolvida. Definindo a raiz quadrada de unidade negativa como a unidade
imaginária (
1i =−
), temos:
416(1)
416 4161444(1)
1
44 444
ii
i
±⋅−
±− ± ⋅− ± ±
=====±
3
Isto é, duas soluções:
1
x
i
′
=+
e
1
x
i
′
′
=
−
.
Adicionada a propriedade
2
1i
=
, ( 11(1)(1)11ii
⋅
=−⋅−= −⋅− = =) é possível
verificar as soluções encontradas na própria equação do exemplo.
Para
1
x
i=+
2
2
22
2
2440
2(1 ) 4(1 ) 4 0
2(1 2 1 ) 4(1 ) 4 0
21 22 2 41 4 4 0
24 2(1)44 40
220
xx
ii
ii i
ii i
ii
−+=
+−++=
+⋅⋅+ − + + =
⋅+ ⋅ + − ⋅− + =
++⋅−−−+=
−=
Para
1
x
i=−
2
2
22
2
2440
2(1 ) 4(1 ) 4 0
2(1 2 1 ( ) ) 4(1 ) 4 0
21 22 2 41 4 4 0
24 2(1)4 4 40
220
xx
ii
ii i
ii i
ii
−+=
−−−+=
−⋅⋅+− − − + =
⋅− ⋅ + − ⋅+ + =
−+⋅−−++=
−=
Verificada a validade das duas soluções, não mais reais, porém complexas, fecha-se a
justificativa considerada plausível para a introdução do conceito de números complexos no
Ensino Médio.
É interessante observar que, por mais simples que essa comprovação possa parecer, ela
nega a própria história. Além disso, as justificativas da necessidade dos Números Complexos
dependem essencialmente da ponderação dada ao conceito de equações do segundo grau pelos
alunos. Pode, então, gerar uma justificativa que somente se apóie nela mesma. Ou seja, querer
justificar o processo pelo resultado exige mais argumentos do que os utilizados até aqui.
Essa deveria ser uma preocupação para todos aqueles que, por interesse didático,
restringem ilustrações àquelas em que tornam o processo educativo viável. Seja por condições
de trabalhos ou por princípios pedagógicos.
21
1.6 PROBLEMA DE PESQUISA
Dada a necessidade de sistematização do conceito de número, verificamos que
avanços surpreendentes foram dados através da Matemática. Porém, devido ao alto grau de
complexidade da capacidade humana para elaborar e satisfazer a necessidade de compreender
o conceito, outro elevado nível de abstração é imposto aos que tentam se apropriar desse
conhecimento elaborado. A complexidade é relativa, depende principalmente do ponto de
partida ou dos conceitos primitivos adotados (aqueles que não precisam ser justificados e
servem de alicerces para os posteriores).
O papel dos processos educativos é garantir que essa complexidade não seja um fator
que impossibilite a apropriação do conhecimento por outros.
Assim, dada a complexidade envolvida no conceito de número, função, operação e
conjunto, objetivaremos:
•
Verificar a convergência de novas tecnologias nessa problemática;
•
Apresentar meios que garantam que essa complexidade não seja um fator que
impossibilite a apropriação do conhecimento durante os processos educativos;
•
Resgatar conceitos de representação gráfica como pertinentes e necessários às
compreensões abstratas.
Especificamente, buscaremos uma metodologia de desenvolvimento de um objeto
tecnológico de ensino e aprendizagem (software educativo), acompanhada de novos conceitos
pertinentes ao campo educativo (representações gráficas).
22
CAPÍTULO 2
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
23
2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
Neste capítulo, tentaremos introduzir alguns conceitos básicos sobre funções de uma
variável complexa.
Iniciaremos revisando conceitos fundamentais de números complexos. Descreveremos
as definições das operações de adição e multiplicação. Em seguida, introduziremos a forma de
representação geométrica – Plano de Argand-Gauss – onde é possível visualizar
geometricamente cada número complexo através do plano euclidiano. Apresentaremos a
forma polar de representação algébrica de números complexos. Com isso, proporemos
subsídios para a introdução do conceito de função de uma variável complexa.
Após a definição de função de uma variável complexa, apresentaremos alguns
exemplos de funções elementares como: polinomial, exponencial, logarítmica e as
trigonométricas (seno, cosseno e tangente).
2.1 NÚMEROS COMPLEXOS
Chamamos de número complexo, o número
z
formado pelo par ordenado ),( ba , com
a e
b
números reais (
\
), onde biabaz
+
=
=
),( . Para o conjunto de todos os números
z
denotamos Conjunto dos Números Complexos (
^
) (Ávila, 2000).
Todo número complexo
z
possui duas partes: real ( Re( )z ) e imaginária (Im( )z ). Para
todo
(,)zab= ou
z
abi
=
+
, a é a parte real ( Re( )za
=
) e
b
a parte imaginária (Im( )z ). No
entanto,
a e
b
são sempre números reais. A unidade
1i
−
=
é que determina a parte
imaginária. Logo, se
0a =
e
0b ≠
então
z
bi
=
é imaginário puro, se
0a ≠
e
0b
=
então
za= é real (Conway, 1978).
2.2 OPERAÇÕES
Para todo
111
z
abi
=
+
e
222
z
abi
=
+
, com
1212
,,,aabb
∈
\
, temos:
24
2.2.1 ADIÇÃO
12
11 2 2
11 2 2
121 2
12 12
()( )
()()
zz
abi abi
abiabi
aabibi
aa bbi
+=
+++ =
+++ =
+++ =
+++
4
2.2.2 MULTIPLICAÇÃO
12
11 2 2
12 12 1 2 1 2
12 1 2 12 1 2
2
12 12 2 1 1 2
12 12 2 1 1 2
12 12 21 12
()( )
()()
zz
abiabi
aa abibia bibi
aa bibi abibia
aa bbi bia bia
aa bb bia bia
aa bb ba bai
⋅=
+⋅+ =
⋅+⋅ +⋅+⋅ =
⋅+⋅ +⋅ +⋅=
⋅+⋅ + ⋅+⋅=
⋅−⋅+ ⋅+⋅=
⋅−⋅ + ⋅+⋅
5
Na Adição temos uma soma de partes reais e outra de partes imaginárias. Na
multiplicação levamos em consideração a distribuição da soma pela multiplicação e
2
2
1
1i −==−
. Para a subtração, o processo é análogo ao da Adição (considerando
333
z
abi=− −
,
33
,ab
∈
\
no lugar de
2
z
).
A divisão entre dois números complexos pode ser efetuada utilizando um terceiro
desconhecido
z
abi=+
da seguinte maneira:
1
2
1
22
2
12
z
z
z
z
zzz
z
zzz
=
⋅=⋅
/
/
=⋅
6
O produto
2
z
z⋅
deverá ser comparado com
1
z
,
21
Re( ) Re( )
z
zz⋅=
e
21
Im( ) Im( )
z
zz⋅=
:
12
11 2 2 2 2
()()
zzz
abi aabb babai
=⋅
+= ⋅−⋅+⋅+⋅
7
Onde temos:
25
12 2
122
aaabb
bbaba
=⋅−⋅
⎧
⎨
=⋅ + ⋅
⎩
` 8
Resolvendo o sistema de equações de incógnitas
a e
b
, é possível chegar em:
12 12
22
22
aa bb
a
ab
⋅+⋅
=
+
e
21 12
22
22
ab ab
b
ab
⋅
−⋅
=
+
Portanto, o quociente
12
z
z
com
111
z
abi
=
+
e
222
z
abi
=
+
é:
12 12 21 12
22 22
22 22
aa bb ab ab
z
i
ab ab
⋅+⋅ ⋅−⋅
=+
++
9
2.3 PLANO DE ARGAND-GAUSS
Da mesma maneira em que podemos associar cada ponto de uma reta geométrica a um
elemento de
\
para obtermos uma representação geométrica dos Números Reais, podemos
associar também pontos de um plano euclidiano a elementos de
^
. Mais ainda, cada elemento
de
^
tem um único ponto associado no plano, e cada ponto do plano, um único em
^
(Sonnino et al, 1965).
Um plano
α
orientado por duas retas
r
e s numéricas, perpendiculares (eixos) e de
origens coincidentes define o que chamamos de Plano Complexo. Desse modo, cada número
complexo
z
definido pelo par ordenado (,)ab, com a e
b
em
\
, assume uma posição única
no plano e, assim,
^
recebe uma representação gráfica (Figura 1).
Figura 1 – Representação geométrica por pares do plano complexo
2.4 FORMA POLAR
Além da representação algébrica, de números complexos, por pares
(,)ab
e da
retangular
abi+ , existe a representação polar de
z
que se baseia no módulo e no argumento
do número complexo. Assim, é possível representar um número complexo da seguinte
maneira:
α
(,)ab
Re( )
z
Im( )z
a
b
(0,0)
r
s
26
(cos sen )ri
θ
θ
+
, com
r
+
∈ \
e
θ
∈
\
10
A representação polar, também chamada de trigonométrica, leva em consideração que
cada ponto do plano complexo define um único vetor com extremidade na origem do sistema
(Figura 2).
Figura 2 – Representação geométrica polar do plano complexo
A equivalência existente entre a representação algébrica retangular e a polar pode ser
obtida da seguinte maneira:
(cos sen )
cos sen
cos
sen
abi r i
abi r ir
ar
br
θ
θ
θ
θ
θ
θ
+= +
+=⋅ +⋅⋅
=
⎧
⇒
⎨
=
⎩
11
2.5 DEFINIÇÃO
Definimos função de uma variável complexa uma relação
f
entre dois conjuntosTPF0F
1
FPT ^ ,
o de partida chamado de conjunto Domínio (
f
D ), e o de chegada conjunto Contradomínio
(
f
CD ), em que todo elemento de
f
D se relaciona uma única vez com um elemento de
f
CD
através dessa relação (Lavréntiev, 1991; Holt, 2004).
f
D e
f
CD são subconjuntos de ^ .
Algebricamente, para todo
f
zD∈ , existe um único
f
wCD
∈
tal que ()
f
zw= . Para o
conjunto de todos os elementos
w
dessa relação chamamos de conjunto Imagem (Im
f
) da
função (
Figura 3).
TP
1
PT Para casos em que o conjunto de partida é restringido por alguma indeterminação algébrica, usamos
subconjunto de
^
para representar o Domínio.
(cos sen )ri
θ
θ
+
Re( )z
Im( )
z
a
b
(0,0)
r
θ
27
Figura 3 – Diagrama de função de uma variável complexa
A relação
f
é defina por alguma lei algébrica, a seguir alguns exemplos.
2.6 FUNÇÕES ELEMENTARES
Para as funções a seguir, considera-se
:f →^^
, zabi
=
+ , com
,ab
∈
\
ou
(cos sen )zr i
θ
θ
=+, com r
+
∈ \ e 02
θ
π
≤
≤ . Ou seja, relações entre conjuntos de números
complexos.
2.6.1 POLINOMIAL
A forma geral de uma função polinomial de uma variável complexa é dada por
2
01 2
( ) ...
n
n
f
zaazaz az=+ + ++ , com n
∈
` . Essa função se caracteriza por uma soma de
parcelas, cujos coeficientes (
n
aaaa ,...,,,
210
) e expoentes ( n,...,2,1,0 ) variam sucessivamente.
A função polinomial pode ser completa (com todos os coeficientes não nulos) ou incompleta
(pelo menos um coeficiente nulo). O grau da função é determinado pelo valor de
n
, ou seja, o
maior expoente.
Por exemplo, a função
2
() 1fz z
=
− é uma função polinomial de variável complexa,
de grau
2
, com coeficiente 1
0
−=a e 1
2
=
a . É incompleta, pois o coeficiente 0
1
=a .
Na
Tabela 1, mostramos alguns valores de
2
() 1fz z
=
− , ou seja, valores de z que
têm relação com )(
zf , no exemplo dado. Para encontrar a relação, basta multiplicar o valor
escolhido de
z
por ele mesmo, e subtrair o valor
1
(
2
1z
−
). Note que toda função representa
f
D
z
f
w
f
CD
28
a relação entre todos os elementos do domínio, isto é, os valores de
z devem variar para
todo
TPF1F
2
FPT valor possível em
^
.
Tabela 1 – Alguns valores de
2
() 1fz z
=
−
z
2
1z
−
10i
−
+ 00i
+
0 i
−
20i
−
+
00i
+
10i
−
+
0 i
+
20i
−
+
10i
+
00i
+
2.6.2 EXPONENCIAL
A função exponencial é determinada por uma potência de base e e expoente
complexo: ( )
z
f
ze
=
. Para efeito de cálculo e aproximação, temos
2,71828182845904523536028747135
e ≅ como um valor aproximadoPF2F
3
FP.
Para se calcular o valor de uma potência complexa de base
e
, utilizamos a
equivalência abaixo, por definição.
(cos sen )
zabia
ee e bib
+
== +
12
Assim, é possível calcular o valor de
z
e através da potência real de base
e
(número
real obtido em calculadoras científicas) e das funções seno e cosseno. Dado
abi
e
+
, o número
complexo que ele define também pode ser dado por cos sen
aa
ebieb+⋅ .
Na
Tabela 2, mostramos alguns valores de ( )
z
f
ze
=
para
0zbi=+
, ou seja, como
0
1e = apenas as funções seno e cosseno determinam os valores para a função. Note que a
restrição de
z
é apenas ilustrativa, devendo variar para qualquer
^
.
Tabela 2 – Alguns valores de ()
z
f
ze
=
z
z
e
0 i
π
−
10i
−
+
0( 2)i
π
−
0 i
−
00i
+
10i
+
0 i
π
+
10i
−
+
0( 2)i
π
+
0 i
+
TP
2
PT dentro das restrições que possam ser impostas ao Domínio da função
TP
3
PT Aproximação obtida através da Wikipedia (HTUhttp://www.wikipedia.orgUTH)
29
2.6.3 LOGARÍTMICA
A função logarítmica é definida por
() ln()
f
zz=
13
Por definição, ln( ) ln( )
zri
θ
=+, para (cos sen )zr i
θ
θ
=
+ , descrito na forma polar. Na
Tabela 3 apresentamos alguns valores notáveis da função.
Tabela 3 – Alguns valores de
() ln()
f
zz
=
z
ln( )
z
10i
−
+
0 i
π
−
0 i
−
0( 2)i
π
−
10i
+
00i
+
10i
−
+
0 i
π
−
0 i
+
0( 2)i
π
+
2.6.4 SENO
A função seno é definida da seguinte maneira:
sen( )
2
iz iz
ee
z
−
+
=
14
A partir da definição da exponencial complexa (potência de base
e e expoente
complexo) é possível calcular os valores da ( ) sen( )
f
zz
=
, mostrados na Tabela 4.
Tabela 4 – Alguns valores de
() sen()
f
zz
=
z
sen( )
z
20i
π
−+
10i
−
+
2( 2)i
π
π
−− 20i
π
−
+
2( 2)i
π
π
−+ 20i
π
−
+
00i
+
00i
+
2( 2)i
π
π
+
20i
π
+
2( 2)i
π
π
−
20i
π
+
20i
π
+
10i
+
2.6.5 COSSENO
Da mesma maneira, () cos()
f
zz
=
é definida a partir de exponenciais complexas:
cos( )
2
iz iz
ee
z
i
−
−
=
15
Na
Tabela 5, mostramos alguns valores da função cosseno.
30
Tabela 5 – Alguns valores de
() cos()
f
zz
=
z
cos( )
z
20i
π
−+
00i
+
0( 2)i
π
−
20i
π
−
+
00i
+
10i
+
0( 2)i
π
+
20i
π
+
20i
π
+
00i
+
2.6.6 TANGENTE
O quociente da função seno sobre a função cosseno define a função tangente.
() tan()
f
zz= é definida como:
tan( )
iz iz
iz iz
ee
zi
ee
−
−
−
=−
+
16
Na
Tabela 6, apresentamos alguns valores para ( ) tan( )
f
zz
=
.
Tabela 6 – Alguns valores de
() tan()
f
zz
=
z
tan( )
z
20i
π
−+
∃
2( 2)i
π
π
−−
01,1
i
≅
+
2( 2)i
π
π
−+
01,1
i
≅
−
00i
+
00i
+
2( 2)i
π
π
+
01,1i
≅
−
2( 2)i
π
π
−
01,1i
≅
+
20i
π
+
∃
2.7 RAÍZES
Chamamos de raiz de uma função f , cada valor possível à variável z quando o valor
da função resulta zero ( 0)( =
zf ), ou seja, o número z do domínio que está associado ao
número zero no conjunto imagem. Se, por exemplo, dada a função ( ) 1
f
zz=−, para qualquer
biaz +=
, com ,ab∈ \ , então cada z , cujo
10z
−
=
, determina uma raiz da função
() 1
f
zz=−. Em termos numéricos,
10z
−
=
resulta em 1z
=
, como
biaz +=
, conclui-se
que em
1abi+=
,
1a =
e
0=b
. Isto é, para ( ) 1
f
zz
=
− , o valor
10zi
=
+
determina a única
raiz da função dada. 1 é a raiz de ( ) 1
f
zz
=
− .
É possível verificar algumas raízes nos exemplos anteriores. Basta verificar qual valor
da variável z , a função apresentada resulta em zero.
31
Apesar de utilizarmos um número reduzido de funções neste capítulo, é possível obter
uma gama indeterminada de outras funções através de variações e combinações. As variações
podem ser feitas através de inclusão de coeficientes multiplicativos – como, por exemplo,
() (2 )ln()
f
ziz=+ – aditivos – como ( ) 5
z
fz e
=
+ – exponenciais – como
2
() tan()
f
zz= ,
ou outros, simultâneos ou não. Combinando duas ou mais funções – como ( ) ( )
z
f
zsene= –
obtemos uma terceira que também poderá ter suas variações.
Posteriormente, retornaremos a estas funções elementares para o estudo das suas
respectivas representações gráficas, lançando mão de parte dos resultados desse trabalho: o
software F(C): Funções Complexas.
32
CAPÍTULO 3
COMPUTADORES, VISUALIZAÇÃO E EDUCAÇÃO
33
3 COMPUTADORES, VISUALIZAÇÃO E EDUCAÇÃO
Descreveremos, aqui, o estado corrente em investigações pertinentes ao nosso
trabalho, bem como parte do aporte teórico utilizado nessa pesquisa. Para isso, iniciaremos
com algumas considerações a respeito do uso de novas tecnologias na Educação, em especial
na Educação Matemática, para resgatar questões recentes que, aos poucos, parecem presentes
no ambiente educacional atual.
O papel educativo da visualização, então, será tratado. Discorreremos alguns
pensamentos acerca da importância dada aos procedimentos visuais no processo educativo.
Essa será uma base fundamental neste trabalho que trará à tona questões relevantes para
pesquisas nesta área.
Todos os estudos aqui relatados estão estritamente vinculados ao nosso problema de
pesquisa. Assim, apoiaremos nessas teorias para que, ao final, possamos contribuir na
discussão das questões inicialmente lançadas.
3.1 COMPUTADORES NA EDUCAÇÃO
Com a introdução na sociedade dos computadores pessoais, muitas facilidades foram
incorporadas nas relações humanas. A forma de organização de informações e a facilidade de
interação entre máquina e homem permitiram uma reorganização da sociedade (Valente,
1999, p. 29).
Na sociedade do conhecimento, são propostas mudanças substanciais no ambiente
escolar que, por conseqüência, altera toda uma estrutura educacional, seja na própria escola,
seja nos ambientes de formação de professores, ou na própria sociedade.
Inicialmente, devemos considerar que no ambiente escolar a visão de tempo e espaço é
abstraída. Isto é, “a realização das atividades pode acontecer no mesmo local, porém em
tempos diferentes” ou o contrário: mesmo tempo, lugares diferentes. A sala de aula passa a ter
uma extensão na comunidade e na própria casa. A construção e contextualização do
conhecimento tornam-se, então, obrigatórias. Conseqüentemente, o papel do professor passa a
ser o de permitir essa construção e contextualização do conhecimento. O interesse pelo
conhecimento deve ser fundamental e, obrigatoriamente, o aluno deve sair da passividade
para a busca ao conhecimento (Valente, 1999, p. 34-7).
Nesse novo contexto, analisemos o papel da tecnologia. Atualmente, os softwares de
comunicação instantânea permitem a reunião de pessoas que não estejam, necessariamente,
em um mesmo local físico. O uso de conteúdos digitalizados permite a busca pela informação
34
descentralizada em termos de espaço e tempo. Pode-se ter acesso à informação a qualquer
hora, em qualquer lugar (ou quase, não fosse por critérios de exclusão social). Softwares que
permitem o ciclo descrição/execução/reflexão/depuração e os de simulação e modelagem, por
exemplo, propõem maneiras reais de significação do conhecimento.
Por outro lado, o uso de novas tecnologias na Educação Matemática tem sido
defendido como parte de um processo de relacionamento entre o ser humano e os meios
disponíveis, e o reconhecimento desse processo está estritamente ligado ao tipo de mídia
aceita pela comunidade.
(...) A ênfase em demonstrações seria influenciada fortemente pela
disponibilidade da escrita e materiais baratos e práticos que permitam sua execução,
tais como lápis, papel, quadro-negro, giz etc. ... As demonstrações se tornaram
caminhos supremos para se chegar às verdades matemáticas também pela
disponibilidade de mídias que permitissem que sistemas ser-humano-lápis-e-papel
executassem tal tarefa (Borba, 1999, p. 292-3).
Ao analisarmos as demonstrações formais em Matemática, notamos que a mídia lápis-
e-papel teve uma importância fundamental no desenvolvimento desta área, certamente pelo
seu domínio, facilidade e abrangência. Porém, o uso da mídia computador, no sentido amplo,
permite novos direcionamentos. Pois,
(...) pode se notar, também, que com a capacidade de geração de gráficos
destas novas mídias há um deslocamento da ênfase algébrica dada ao estudo de
funções para uma atenção maior a coordenação entre representações algébricas,
gráficas e tabulares (Borba, 1999, p. 293).
Assim, tratar o ambiente escolar como um local em que as tecnologias estão presentes,
é conceber a escola numa nova estrutura. Essa estrutura afeta não só o ambiente físico
(recursos físicos), mas principalmente os métodos e ideais que permeiam esse novo ambiente.
Baseado nessas mudanças que o projeto de desenvolvimento do software F(C):
Funções Complexas foi concebido e que, posteriormente, será detalhado. A proposta do
software é servir de ferramenta que possibilita a representação do comportamento de uma
função ou de operações entre números complexos. Desse modo, recorremos a representações
visuais por meio de cores para, através da visualização, lograr resultados no processo
educativo (Silva e Souza, 2003a e 2003c).
35
3.2 VISUALIZAÇÃO E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Do ponto de vista da Biologia, sabemos que:
a habilidade de ver é a nossa mais importante fonte de informação sobre o
mundo. A visão e o controle visual do movimento, a percepção e a elaboração de
palavras, e a forma e cores dos objetos ocupam a maior porção do cérebro. O nervo
óptico contém mais de 1 milhão de fibras, comparado às 50 mil do nervo auditivo. O
estudo do sistema visual avançou demasiadamente nosso conhecimento sobre o
sistema nervoso. Por isso, sabemos muito mais sobre a visão do que qualquer outro
sentido
TPF3F
4
FPT (Adams & Victor, 1993, p. 207 apud Arcavi, 2003, p. 215).
No entanto, além do biológico, temos também o aspecto sócio-cultural. O visual é
encontrado em quase todos os lugares, como forma de transmissão de informações. Além do
mais,
as pessoas têm usado imagens para guardar e transmitir informações desde a
era das pinturas em cavernas... o potencial da ‘cultura visual’ tomando lugar diante
da ‘cultura impressa’ é uma idéia com implicações tão profundas quanto a
substituição da cultura oral para a impressa
TPF4F
5
FPT (Kirrane, 1992, p.58 apud Arcavi, 2003,
p. 215).
Nossa visão não envolve apenas processos ópticos, é mais complexa. Envolve a
interpretação mental. Isto faz com que o processo de visualização seja amplamente baseado
na interação com várias pessoas e na imersão e aculturamento no contexto social e histórico.
Na Matemática, conceitos, idéias e métodos têm uma grande riqueza de relações visuais que,
também, tornam-se muito benéficas na comunicação, manipulação e resolução de problemas
ou mesmo no processo investigativo (Guzmán, 2002, p. 2). Segundo este autor, as idéias
básicas da Análise Matemática, através dos conceitos de ordem, distância, operações com
números etc., emergiram de situações concretas e visíveis. Este mesmo autor distingue alguns
tipos de visualização matemática: isomórfica, homeomórfica, analógica e por diagramas.
TP
4
PT The faculty of vision is our most important source of information about the world. The largest part of the
cerebrum is involved in vision and in the visual control of movement, the perception and the elaboration of
words, and the form and color of objects. The optic nerve contains over 1 million fibers, compared to 50,000 in
the auditory nerve. The study of the visual system has greatly advanced our knowledge of the nervous system.
Indeed, we know more about vision than about any other sensory system.
TP
5
PT (...) people have been using images for the recording and communication of information since the cave-painting
era … the potential for “visual culture” to displace “print culture” is an idea with implications as profound as the
shift from oral culture to print culture.
36
Na visualização isomórfica, o objeto tem uma correspondência exata com a
representação dada a ele. Nesses termos, é possível estabelecer um conjunto de regras para
traduzir o elemento da nossa representação visual e as relações matemáticas do objeto.
Já na visualização homeomórfica, alguns dos elementos têm certas relações mútuas
que imitam suficientemente bem as relações entre os objetos e suas representações. Assim, a
representação abarca apenas algumas das características do objeto a ser representado.
Substituir mentalmente os objetos trabalhados por outros que possuam características
observadas semelhantes e de melhor manipulação faz parte da visualização analógica. Nesse
tipo, aproveitamos outros objetos já estudados pela facilidade nas manipulações, uma vez que
estes últimos já tenham sido explorados.
Finalmente, a visualização diagramática constitui na recorrência a diagramas para
representar situações ou objetos de estudos. A facilidade individual na manipulação de
diagramas define o sucesso desse tipo de representação. No entanto, a visualização
diagramática nem sempre facilita a comunicação.
Para que possamos compreender a importância da visualização e caracterizá-la, basta
que observemos que a “visualização oferece um método para visualizar o imperceptível
TPF5F
6
FPT”
(McCormick et al., 1987, p.3 apud Arcavi, 2003, p. 216). Ver o imperceptível se refere, no
modo figurativo, ao mundo abstrato que não pode se visto por tecnologias ópticas ou
eletrônicas.
É a partir da visualização que podemos apoiar e ilustrar resultados simbólicos, resolver
conflitos entre soluções simbólicas corretas e intuições errôneas, e envolver e incorporar
conceitos sólidos que podem ser facilmente ignorados por soluções formais. Isso faz com que
a visualização seja mais que uma tradução de símbolos (Arcavi, 2003, p. 222).
Vejamos a visualização como elemento legítimo da prova matemática:
(...) ‘Os matemáticos estavam cientes do valor dos diagramas e de outras
ferramentas visuais tanto no ensino como na heurística para descobertas
matemáticas... Mas, apesar da importância óbvia das imagens visuais nas atividades
cognitivas humanas, a representação visual fica em segundo plano tanto na teoria
quanto na prática. Em particular, todos nós somos ensinados a olhar com
desconfiança as provas que fazem uso crucial de diagramas, gráficos ou de outras
formas não lingüísticas de representação, e transmitimos este desprezo aos
estudantes’. Entretanto, ‘as formas visuais de representação podem ser importantes
TP
6
PT Visualization offers a method of seeing the unseen.
37
(...) como elementos legítimos das provas matemáticas’
TPF6F
7
FPT (Barwise e Etchemendy,
1991, p. 9 apud Arvaci, 2003, p. 226-7).
Dessa maneira, a visualização torna-ser um guia de desenvolvimento na busca de uma
solução, um processo auto-analítico que conclui com uma solução formal geral. A
visualização mais que um componente ilustrativo e um componente chave do raciocínio na
resolução de problemas e na prova.
Como já mencionamos, a visualização possui um aspecto sócio-cultural. Além das
variáveis ambientais que permeiam o conceito de visualização, a visão está estritamente
ligada ao que o indivíduo conhece. O saber influencia o modo em que vemos e, por isso,
“alunos nem sempre vêem o que nós, professores e pesquisadores vemos
TPF7F
8
FPT” (Arcavi, 2003, p.
230). Em muitos casos, o mesmo objeto visual pode ter diferentes significados, pois depende
do contexto em que a observação é feita.
Nesse contexto, discutir as principais dificuldades no uso de visualizações como apoio
ao processo educativo torna-se inevitável. Discutiremos três categorias de dificuldades na
visualização: a cultural, a cognitiva e a sociológica (Eisenberg e Dreyfus, 1991 apud Arcavi,
2003, p. 235-6).
A dificuldade cultural é basicamente apoiada nos valores, na legitimidade e
aceitabilidade do que é fazer Matemática. Se, como já apontamos, o processo visual tende a
ser menos apoiado na construção do conhecimento matemático, menos legitimidade a
visualização terá nesse processo.
Se perguntar-nos sobre a facilidade ou não da visualização, entre outras discussões
ingênuas, certamente estaremos diante de uma dificuldade cognitiva. Achar que a visualização
é apropriada apenas para algumas situações, ou para alguma classe de sujeitos é construir
obstáculos que impeçam a apropriação do processo visual.
Sociologicamente, a dificuldade na visualização pode estar na adaptação do saber
matemático à forma em que o mesmo é ensinado. Esta é uma característica essencialmente de
ensino, implicando numa ‘transposição didática’, cujo conhecimento é submetido à
TP
7
PT Mathematicians have been aware of the value of diagrams and other visual tools both for teaching and as
heuristics for mathematical discovery... But despite the obvious importance of visual images in human cognitive
activities, visual representation remains a second-class citizen in both the theory and practice of mathematics. In
particular, we are all taught to look askance at proofs that make crucial use of diagrams, graphs, or other
nonlinguistic forms of representation, and we pass on this disdain to students.” However, “visual forms of
representation can be important … as legitimate elements of mathematical proofs”.
TP
8
PT (...) students do not necessarily see what we as teachers or researchers do.
38
transformação quando adaptado do meio acadêmico, ou científico, para a forma em que é
ensinado.
De posse desses argumentos, sentimo-nos à vontade em descrever nossas experiências
no desenvolvimento do software F(C): Funções Complexas (Silva e Souza, 2003b e 2003d),
cujo propósito está estritamente direcionado a “(...) revalorizar a visualização e a sua natureza,
colocando-a como tema central na Educação Matemática.”
TPF8F
9
FPT (Arcavi, 2003, p. 238) ainda que
algumas dificuldades possam ser resolvidas, outras não.
TP
9
PT re-value visualization and its nature placing it as a central issue in mathematics education (…) some difficulties
may be solved, others not.
39
CAPÍTULO 4
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
40
4 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
Aqui, utilizaremos a problemática da visualização de funções de uma variável
complexa para que, além de explicitar o problema de pesquisa investigado, possamos traçar
um estudo pormenorizado acerca da visualização no ensino. Apresentaremos, também, o
conceito de Domínio de Cores e recorreremos às funções elementares, apresentadas no
capítulo 2 sob o olhar gráfico e representativo propriciado pelo software F(C): Funções
Complexas.
Para o estudo de funções de uma variável complexa, baseamo-nos em estudos já
realizados com representações gráficas de funções de uma variável complexa e a utilização de
cores como atributos relevantes ao gráfico da função. Nesse campo podemos citar estudos
recentes em Análise Complexa Visual e Mecânica Quântica Visual. Todos estes estudos
refletem a preocupação nas interpretações que podem ser dadas aos comportamentos de
funções de uma variável complexa, à luz da tecnologia atual.
Needham (2000) desafia o atual domínio da linguagem lógica puramente simbólica ao
utilizar-se de argumentos visualmente acessíveis para explicar as coerências da Análise
Complexa elementar. Ele explica que o interesse pela geometria se deve, em parte, ao
surgimento dos computadores que permitem desenhar objetos matemáticos, e que as
máquinas são importantes para o raciocínio geométrico.
Thaller (2000) enfatiza que a Mecânica Quântica governa o comportamento da
natureza num nível fundamental e que o computador permite a visualização de fenômenos
estranhos muito longe do nosso alcance cotidiano. Tornar esses fenômenos mais
compreensíveis através de animações geradas por computadores é o principal objetivo do
autor, já que tais fenômenos podem ser descritos em termos de funções de uma variável
complexa.
Tanto Needham como Thaller se preocupam com questões relacionadas à Análise
Complexa, conteúdo de nosso estudo. A preocupação com esse tipo de visualização vem do
fato de um número complexo ser composto por um par de números reais, ou seja, uma parte
real e outra imaginária (ver capítulo 2). No estudo analítico de funções de variáveis
complexas há a necessidade de uma forma de representação que suporte, no mínimo, quatro
variáveis reais. Tais variáveis são comumente associadas a dimensões reais e, como somos
limitados a perceber até três dimensões reais, fica difícil a utilização das mesmas idéias que
usamos para o estudo de funções reais de até duas variáveis.
41
A resposta para esse problema tem sido a descrição da função complexa em outras
funções reais. Por exemplo, uma função complexa ( , )
f
xy w
=
(Para ,xy∈ ^ ), cujo
conjuntos domínio e imagem estão definidos no Conjunto dos Números Complexos (
^ ), é
tratada como uma soma de funções definidas no Conjunto dos Números Reais (
\
),
(, ) (, ) (, )
f
xy uxy vxy=+ (Churchil, 1978). Ou seja, uma soma de partes ao qual cada
uma delas é uma função real de três variáveis, cada uma das partes ocupando três dimensões
reais. O problema é que como o estudo das partes nem sempre é possível compreender o todo,
o estudo de funções definidas em
^
fica mais aprofundado por via algébrica. A facilidade
proporcionada pela Geometria Analítica (junção da Geometria e da Álgebra) é comprometida
e a compreensão é feita através de trabalhos árduos de manipulações algébricas, exigindo-se,
assim, um nível alto de abstração.
4.1 DOMÍNIO DE CORES
Apesar de o conceito de Domínio de Cores (Domain Coloring ou Color Domain) ter
motivado o uso de representações gráfica de funções de uma variável complexa, sua difusão e
uso ainda se encontra em estágios iniciais. Sua difusão ainda é restrita, mas timidamente vem
ganhando espaço através de trabalhos como esse. Isso se deve principalmetne ao fato de que
sua definição ser “não tão” conveniente, se comparada às usuais formas cartesianas de
representação.
Dada uma distribuição de cores para o plano complexo, obtemos o gráfico da função
de uma variável complexa a partir da correspondência da própria função pela distribuição de
cores dada (Lundmark, 2004; Tao, 2004a e 2004b). Detalharemos com mais precisão.
Figura 4 – Mapa do Plano Complexo
Chamamos de Mapa do Plano Complexo uma distribuição de cores em que cada ponto
do plano (cada número complexo) pode ser identificado por sua respectiva cor (Figura 4).
42
Essa distribuição de cores, por conveniência, foi baseada em Thaller (2000). Esta
parece interessante pois cada ponto do plano possui um única cor e, mais importante, cada cor
aparece para apenas um único ponto, ou número complexo. Se dois números complexos são
diferentes, as cores associadas a estes números também o serão. Existem, nessa distribuição,
duas variações de cores perceptíveis: a angular e a modular. As variações em torno da origem
e as próximas ou distantes da origem. Isso coincide com uma característica dos Números
Complexos: argumento e módulo, quando descrito na forma polar.
Assim, ao referirmos ao número
10i
+
(ou à posição (1,0) ), por exemplo, estaremos
utilizando a cor vermelha na tonalidade em que distribuímos no mapa. Para falar do número
00i+ (ou a posição (0,0) ), utilizaremos a cor preta. Aqui concentram os maiores esforços: a
cor toma lugar do número, e consequentemente, da posição.
Esse tipo de associação será útil para a representação gráfica da função devido,
principalmente, ao aspecto dimensional que a variável ocupa na representação. Isto é, ao
representarmos números reais, recorremos à reta geométrica, que ocupa 1 (uma) dimensão.
Para números complexos, o plano euclidiano é a recorrência, ocupando 2 (duas) dimensões.
No entanto, ao utilizarmos cores para representar pontos do plano, não precisamos de tantas
dimensões. Cor não ocupa lugar no espaço.
Essa substituição é bem proposital, uma vez que posição, enquanto representação,
possui dimensão, ou seja, ocupa lugar no espaço. Já a cor, em termos menos rigorosos e
imprecisos, é uma radiação visível, e raios não ocupam espaço físico. Um plano colorido não
terá mais dimensões do que um outro sem cores.
Embora a cor ainda não seja um ente matemático da mesma forma que o ponto o é,
nada influenciará os conceitos aqui estudados. Se conseguimos associar as caracteristicas de
um ponto matemático às da cor (visualização analógica), por que não utilizar cores? Essa
discussão ainda não vem à tona.
Vejamos como ficam as leituras dessas representações gráficas de funções de uma
variável complexa.
Seja :f →
^^ uma função complexa dada por ( )
f
zw
=
. As variáveis z e w são
complexas (podem ser substituídas por números complexos) e necessitariam de duas
dimensões cada uma para serem representadas na forma cartesiana. A variável
z
será
representada por posições no gráfico e a variável
w , por cores através da distribuição de cores
utilizada.
43
Exemplificaremos com a função
()
f
zz
=
− . A função ()
f
z “recebe” o valor
z
(número complexo) e “retorna” o valor z
−
(outro número complexo obtido de acordo com a
função dada). Alguns pontos da função podem ser vistos na Tabela 7.
Tabela 7 – Alguns valores de ()
f
zz
=
−
z
()
f
zz
=
−
1 i
+
1 i
−
−
2 i
+
2 i
−
−
0 0
12i
−
− 12i
+
12i
−
+ 12i
−
Para gerar o gráfico da função, tomamos cada valor de
z
como posições no gráfico e
o respectivo valor de
w como as cores dessas posições. Para sabermos as tonalidades de cada
valor de
w , recorremos à distribuição de cores utilizada (Figura 5).
Figura 5 – Esquema de leitura no gráfico de
()
f
zz
=
−
Para a posição
(1,1)
, ou o número 1 i
+
, tomamos a cor que, na distribuição utilizada,
está sobre o ponto
(1,1)−−
, ou o número 1 i
−
− , e assim por diante. Na Figura 5 é possivel
visualizar o gráfico da função exemplificada e acompanhar, também, um esquema de leituras
(b)
(a)
44
do gráfico. Na figura temos em
(a) as posições representando z e as cores representando
()
f
z , em (b) temos a representação de ( )
f
z através de coordenadas.
4.2 FUNÇÕES ELEMENTARES
Apresentaremos, aqui, alguns gráficos de funções de uma variável complexa.
Destacaremos algumas características notórias nesses gráficos que podem ser confirmados
algebricamente.
Para as funções a seguir consideraremos também :f
→^^, zabi=+ , com ,ab
∈
\
ou (cos sen )zr i
θ
θ
=+, com r
+
∈ \ e 02
θ
π
≤
≤ . Ou seja, relações entre conjuntos de
números complexos.
4.2.1 POLINOMIAL
Figura 6 – Gráfico de
2
() 1fz z
=
−
O gráfico de
2
() 1fz z=− é apresentado na Figura 6. De acordo com a Tabela 1,
notamos alguns pontos discretos particulares. Os pontos
10i
−
+
e
10i
+
estão associados ao
valor
00i+ na função. Assim, esses dois pontos retornam valores nulos, ou seja, indicam
raízes de
2
() 1fz z=−. Por definição do Mapa Colorido, a cor preta está associada à origem
do sistema de coordenadas, ou seja, ao número
00i
+
. Logo é possível verificar porções
escuras no gráfico indicando existência e determinando as raízes da função.
45
4.2.2 EXPONENCIAL
O gráfico da função exponencial e exibido na Figura 7.
Figura 7 – Gráfico de
z
ezf =)(
Nota-se uma repetição de cores ao longo do eixo imaginário e tendências à cor preta
para elementos do domínio cuja parte real tende a
−
∞ .
Pela Tabela 2, é possível verificar alguns pontos discretos.
4.2.3 LOGARÍTMICA
Na Figura 8, apresentamos a visualização da função )ln()( zzf
=
.
A função logarítmica apresenta uma concentração de cores localizadas no primeiro e
quarto quadrantes do Mapa. A porção escura no gráfico indica que a coordenada (1,0) pode
estas associada ao valor zero do conjunto imagem da função (raiz).
Outros valores discretos podem ser verificados consultando a Tabela 3.
46
Figura 8 – Gráfico de
)ln()( zzf
=
4.2.4 SENO
O gráfico da função seno (Figura 9) apresenta uma repetição de padrões de cores ao
longo do eixo real. A cada intervalo no eixo real, também é verificada uma porção escura
(possíveis raízes).
Figura 9 – Gráfico de
)sen()( zzf
=
A Tabela 4 possui alguns valores dessa função, que também podem ser verificados.
47
4.2.5 COSSENO
Do mesmo modo que a função seno, a função cosseno apresenta repetições de cores e
porções escuras ao longo do eixo real (Figura 10).
A Tabela 5 se refere a alguns valores da função cosseno.
Figura 10 – Gráfico de
)cos()( zzf
=
4.2.6 TANGENTE
O gráfico da função tangente apresenta repetições, inclusive de porções escuras, ao
longo do eixo real. Para o primeiro e segundo quadrantes, bem como para o terceiro e quarto,
é visível uma tendência a uma cor específica do Mapa (Figura 11). Valores da relação podem
ser vistos na Tabela 6.
48
Figura 11 – Gráfico de
)tan()( zzf
=
49
CAPÍTULO 5
SOFTWARE F(C): FUNÇÕES COMPLEXAS
50
5 SOFTWARE F(C): FUNÇÕES COMPLEXAS
Neste capítulo detalharemos a proposta de elaboração do software F(C): Funções
Complexas, através das principais etapas de desenvolvimento. Não pretendemos detalhar
minuciosamente os trabalhos técnicos de programação, no entanto, esperamos lançar um
perfil dos principais eventos na construção do software. Documentaremos, no Apêndice A, o
manual de utilização para servir de consultas a usuários novos e não familiarizados com o
software.
5.1 O PROJETO
Iniciamos a elaboração do projeto de desenvolvimento do software F(C): Funções
Complexas a partir da proposta de um sistema de distribuição de cores para representações de
funções de onda (uma variável complexa) na Mecânica Quântica (Thaller, 2000, 2004a e
2004b).
Nessa referência, encontramos a utilização do software Mathematica®
TPF9F
10
FPT para a
geração de gráficos de funções de uma variável complexa a partir do uso de cores. O software
Mathematica® é largamente conhecido nas áreas de Engenharia e Matemática Aplicada por
permitir manipulações aritméticas, algébricas e gráficas envolvendo grandes tópicos em
Matemática. Apesar de servir de suporte a cálculos mais sofisticados, sua utilização requer
certo grau de domínio tanto dos conceitos matemáticos envolvidos como dos procedimentos
para execução de comandos do software.
Apesar de existirem licenças para uso institucionais mais acessíveis, o investimento
demandado é o principal empecilho para a não justificativa do uso do software em salas de
aula das universidades. A motivação gerada pela possibilidade de representação de funções de
uma variável complexa não justificaria, por si só, a adoção de um software nessas condições.
Além do mais, o software Mathematica® não é restrito a manipulação com gráficos, e
sua aquisição para o que propomos aqui poderia ser considerado um desperdício de
investimento, imaginando uma sala de aula com cerca de 30 a 40 alunos. Dessa forma,
verificamos que a representação de funções de uma variável complexa através do uso de cores
canalizaria esforços para a elaboração de um aplicativo independente que tratasse, como
primeira instância, problemas de representação envolvendo tais funções.
Em segundo plano, vislumbramos a facilidade de desenvolvimento de software frente
a ambientes de desenvolvimento orientado (Cataldi et al, 2000; Marshall, 2004a e 2004b), a
TP
10
PT Mathematica é marca registrada de Wolfram Research (HTUwww.wolfram.comUTH).
51
expansão do conceito de software livre e suas principais vantagens: desenvolvimento coletivo
e livre distribuição.
Assim, iniciamos o desenvolvimento do software F(C): Funções Complexas que
propõe como característica a fácil utilização, o tratamento exclusivo de representação de
funções, o auxilio a compreensão de conceitos em Análise Complexa e o acesso fácil e livre.
Nesse planejamento, dividimos o projeto em 5 etapas: desenvolvimento, testes,
sugestões e correções, versão final e distribuição.
5.2 DESENVOLVIMENTO
O desenvolvimento inicial contou com o planejamento de uma versão mínima e que
pudesse ser construída dentro da proposta do software. Verificamos as possibilidades técnicas
quanto aos requisitos de processamento, memória, vídeo e tempo a partir do desenvolvimento
de um protótipo capaz de gerar alguns tipos de gráficos (Ayres, 2000).
Durante essa primeira etapa, utilizamos processadores com freqüência de 500 MHz
aos quais geravam gráficos de funções elementares, em telas 300x300 pixels, em
aproximadamente 5 segundos. Em monitores com resolução padrão de 800x600 pixels, essas
telas de gráficos ocupam pouco menos de um quadrante da área de trabalho. Isso pareceu
razoável, uma vez que além do gráfico o usuário deveria possuir, em sua área de trabalho,
outras ferramentas e informações acessíveis.
O uso da memória pôde ser otimizado. Durante a programação, utilizamos variáveis de
ambiente com valores reais, ao invés de valores complexos. Resolvemos incluir no software
as redefinições das operações em
^
a partir de variáveis reais. Isto é, todas as operações entre
números complexos (adição, multiplicação, potenciação etc. e suas respectivas inversas,
subtração, divisão, radiciação etc. além das trigonométricas) eram definidas como operações a
partir de entradas, procedimentos, variáveis e resultados em variáveis reais. Na verdade
utilizamos as definições em
^
, reportando-nos sempre às operações em
\
. Além que não
sobrecarregar os níveis de memória, pudemos otimizar também o processamento, uma vez
que reduzimos essas execuções aos passos mínimos, de acordo com a operação e os números
envolvidos.
Para a geração e exibição dos gráficos no software, utilizamos combinações de RGB
(Red, Green e Blue – componentes vermelho, verde e azul da cor) num intervalo de 256
variações para cada componente. Para isso, há um requisito técnico de placas de vídeo e
monitores com capacidade de exibição de aproximadamente 16 mil variações de cores (16
52
bits). Pareceu-nos natural, uma vez que tal capacidade já estava presente a algum tempo nos
equipamentos por nós observados.
Dessa forma, a viabilização da construção, otimização do sistema e inclusão de
ferramentas adicionais pareciam não extrapolar as condições técnicas de trabalho.
5.3 TESTES
Após incluirmos no software F(C): Funções Complexas o Mapa do Plano Complexo
para auxílio às leituras, disponibilizamos na internet uma primeira versão e iniciamos o
trabalho com turmas do curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade de Ciências,
UNESP. Bauru, a fim de coletar sugestões, aplicar correções, incluir ferramentas, elaborar
uma interface propícia e, finalmente, experimentar situação que pudessem chegar a discussões
acerca do papel da visualização na Educação.
As descrições e análises desta experimentação estão descritas no capítulo 6.
5.4 SUGESTÕES E CORREÇÕES
Tecnicamente, alteramos consideravelmente o software a partir do inicio do trabalho
com as turmas. Como resultado das sugestões e erros encontrados, algumas ferramentas foram
alteradas, outras adicionadas (Gamez, 1999).
Primeiro, associamos o Mapa do Plano Complexo diretamente ao gráfico gerado, ou
seja, implementamos um localizador automático de cor a partir de cliques em regiões do
gráfico. Isso ocorreu pelo fato de que as cores precisavam ser decifradas o mais rápido
possível durante a leitura dos gráficos. Já que o resultado esperado na utilização de gráficos
de funções é perceber a relação existente entre o elemento do conjunto partida (conjunto
domínio da função, representado pelas posições no gráfico) e o elemento do conjunto de
chegada (conjunto contradomínio, representado pelas cores no gráfico).
Para uma certa porção no gráfico, a posição é o elemento do conjunto domínio que, de
acordo com a função escolhida (I), está associada à cor presente na posição (Figura 12). Para
a cor no gráfico, existe (II) a mesma cor no Mapa do Plano Complexo. Cada cor no Mapa do
Plano Complexo possui (III) uma posição no próprio Mapa. Assim, associar posições no
gráfico (IV) a posições no Mapa de Cores requer um trabalho exaustivo de traduções (ou
leituras de legendas) de cores.
53
Figura 12 – Esquema de leituras de gráficos
Posteriormente, incluímos a Lupa, as Transformações Lineares, a geração de Vídeos e
ampliamos os tipos de funções disponíveis. A tela inicial do software pode ser vista na Figura
13.
A Lupa é uma janela opcional que amplia os pixels próximos ao ponteiro do mouse.
Para não haver a necessidade de redesenhar os gráficos com alterações de escalas em gráficos
mais detalhados, ampliar porções, mesmo que sem alterar a resolução, parece muito útil, já
que esse procedimento não requer o mesmo processamento utilizado na geração de um novo
gráfico.
Figura 13 – Ferramentas do software
Um tipo de estudo já comum nas aulas convencionais pôde ser implementado e
aprimorado. As Transformações Lineares são tópicos relevantes em disciplina de Variáveis
Complexas e pudemos criar uma janela ao qual é possível gerá-las através da movimentação
do ponteiro no gráfico. O cálculo instantâneo feito em pequeno movimento gera em dois
quadros a própria movimentação do ponteiro (domínio) e a movimentação das cores
(imagem). Esse efeito pareceu muito adequado ao software, pois permite visualizar a
construção da restrição, diferentemente das manipulações algébricas que apenas permitem
visualizar as restrições já feitas. Além disso, foi criada uma barra de ferramentas capaz de
Posições no
g
ráfico
Cor no
g
ráfico
Cor no Mapa
de Cores
Posições no
Ma
p
a de Cores
I
II
III
IV
54
travar o ponteiro do mouse em direções pré-determinadas pelo usuário (definidas por retas ou
circunferências).
Juntar vários gráficos em um vídeo também se mostrou bastante pertinente. Criamos
um comando em que é possível selecionar o tipo de função, o coeficiente que irá variar e o
intervalo de variação. Então, um conjunto de instruções predeterminadas é disparado e ao
final um vídeo é gerado com a animação do gráfico na variação escolhida. Os vídeos são
gerados em formato AVI sem compressão, porém podem ser comprimidos nos formatos
(encoder) disponíveis no sistema em que o software esteja rodando.
Conseguimos, também, ampliar a variedade de funções disponíveis para geração de
gráficos.
5.5 VERSÃO FINAL
A versão final do software conta com:
a)
22 tipos diferentes de funções, personalizáveis com até 4 coeficientes decimais
em cada uma delas;
b)
Geração de Animações em Vídeo com todos os tipos de funções disponíveis,
com escolha de coeficientes a variar, número de quadros por segundos (FPS) e
incremento;
c)
Exibição de Eixos, Grade e Escala no gráfico e no Mapa do Plano Complexos;
d)
Customização do tamanho dos gráficos e do Mapa do Plano Complexo, bem
como as escalas utilizadas;
e)
Alteração entre tipos de coordenadas utilizadas (Polar ou Retangular);
f)
Janela e Ferramentas de Transformações Lineares;
g)
3 tipos diferentes de mapas de cores;
h)
Ajuda documentada;
i)
Salvamento de gráfico para arquivo;
j)
Arquivo de instalação com tamanho menor que 1 MB.
Não houve a implantação de comando do tipo desfazer última ação (Valente, 1989 e
1993). Principalmente porque não notamos linearidade nas execuções das tarefas com o
software, ou seja, procedimentos passo-a-passo que justificassem a recapitulação de etapas
anteriores. No entanto, essa é uma questão que merece destaque para que, discutida, possa
gerar investigações e, possivelmente, a sua implantação.
Os tipos de mapas de cores merecem ser detalhados, principalmente pelo fato de eles
serem a base para a geração dos diversos tipos de gráficos. Assim, detalharemos
55
matematicamente a concepção de cada mapa, bem como as sua características presentes e
conveniências adotadas (Arnold, 2004; Banchoff, 2004).
5.6 MAPAS DO PLANO COMPLEXO
Para a geração dos gráficos, há a necessidade de um algoritmo definido para a geração
do Mapa do Plano Complexo. O mesmo algoritmo que gera um Mapa de Cores é utilizado
para gerar o gráfico. É como se o Mapa do Plano Complexo usado fosse a função identidade,
ou seja, cada elemento associado ao um outro de mesmo valor.
Um número complexo (cos .sen )zr i
θ
θ
=
+ se distingue de outros pelo seu módulo
( r ) e seu argumento (
θ
). O módulo diz respeito à distância entre o ponto z e a origem (0,0) .
O argumento mede a inclinação da reta suporte, por z e a origem (0,0) , e o eixo real (eixo
x
do plano complexo).
Assim, torna interessante o estudo por partes, ora variando o módulo, ora o argumento.
Além disso, a variação de uma única característica do número complexo pode ser
representada por variações de uma única cor. Com isso, surge a possibilidade de gráficos
monocromáticos (na verdade em escala de uma cor) para estudos de representações.
Além de facilitar a compreensão inicial dos conceitos, uma vez que as variações são
introduzidas em partes, o uso desses gráficos monocromáticos em material impresso torna a
publicação mais acessível e econômica.
Para implementarmos os algoritmos de geração de cores, usamos basicamente o
sistema RGB. Nesse sistema, obtemos cores a partir de combinações de três componentes:
vermelho (R), verde (G) e azul (B). Cada compomente pode variar num intervalo pré-
definido. Para essa aplicação computacional, usamos um intervalo de 256 variações possíveis
para cada componente. Assim, conseguimos um total de 16.777.216 de cores diferentes,
suficiente para a percepção humana.
5.6.1 PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA
Para distribuirmos as variações de cores uniformemente no plano, utilizamos a
projeção estereográfica. Nessa projeção relacionamos cada ponto da superfície esférica a um
único ponto do plano, e cada ponto do plano a um único ponto da superfície esférica.
Isso parece interessante uma vez que a distribuição de cores numa superfície esférica
parece tecnicamente bem mais simples do que uma distribuição num plano. Vejamos como é
feita essa associação.
56
Tomamos uma superfície esférica de raio unitário e centro na origem de um sistema de
coordenadas ortogonais no espaço (
3
\ ). Em coordenadas ( , , )
x
yk , nomeamos o ponto N
(0,0,1) ,
S (0,0, 1)− , O (0,0,0) e P ( , ,0)
x
y a um ponto qualquer no plano
x
y . Adotaremos
o plano
x
y nesse sistema como o Plano Complexo; cada ponto do plano correspondendo a um
único número complexo. Nas Figura 14 e Figura 15 esboçamos esta representação
Figura 14 – Vista da secção perpendicular ao Plano Complexo por
NP
Figura 15 – Vista da secção paralela ao Plano Complexo
O ponto P descreve qualquer z no Plano Complexo. Assim, zOP = . A intersecção
entre
NP e a superfície esférica define o ponto E , que é único para cada P .
A intenção é colorir a superfície esférica. Para cada ponto P do Plano Complexo,
replicaremos a cor atribuída ao ponto E ao ponto P . Dessa forma, obtemos todas as cores do
Plano Complexo a partir das cores distribuídas na superfície esférica. Para que a cor do ponto
P tenha a mesma cor definida para o ponto E , escreveremos P em função de E a fim de
que, distribuída as cores na superfície esférica, a cor de P possa ser definida também. Na
verdade, precisaremos apenas definir os valores de
α
(Figura 14) e
θ
(Figura 15) em função
do ponto
P para que criemos um algoritmo de distribuição de cores.
O=N=S
E
θ
x
y
P
P
O
E
N
α
S
x
k
57
Separaremos em duas etapas. Na primeira trabalharemos no plano
x
k (Figura 14),
para determinar a relação entre
P e
α
. Na segunda etapa relacionaremos P e
θ
, através do
plano
x
y (Figura 15). Os valores de
α
e
θ
serão sempre medidos no sentido anti-horário.
No plano
x
k , a reta suporte de PN pode ser equacionada como:
1
r
x
k =− + , r é a coordenada de P no eixo
x
17
Por outro lado, a superfície esférica intercepta o plano
x
k
nos pontos que determinam
a seguinte circunferência:
22
1xk+= 18
Encontrando a intersecção entre a reta suporte de
PN
(17) e a circunferência acima
(18), temos:
22
1
r
1
x
k
xk
⎧
=− +
⎪
⎨
⎪
+=
⎩
2
22222
22 2
222
22r2r
111 0
rrr rrr
xxx xxxxx
xx x
+−
⎛⎞
+− + = + − +=⇒ + − = =
⎜⎟
⎝⎠
2
(r 2r) 0xxx+− =
Daqui, obtemos o seguinte:
0x =
19
Ou
2
r2r0xx+− =
20
Em 20, obtemos
22
r2r(r1)2r0xx x+− = + − =
2
2r
r1
x =
+
21
Voltando ao sistema inicial (17 ou 18), para
0x
=
(19)
0
1
r
k =− +
1k =
22
Para
2
2r
r1
x =
+
(20)
2
2r
1
(r 1)r
k =− +
+
58
2
2
1
r1
k =−
+
23
Portanto, as soluções são
(0,1) e
22
2r 2
,1
r1 r1
⎛⎞
−
⎜⎟
+
+
⎝⎠
A solução (0,1) apenas garante o ponto
N . A segunda solução determina a
coordenada do ponto E , no plano
x
k
.
Se notarmos na
Figura 14, a coordenada k do ponto E define o cosseno do ângulo
α
(
2
2
r1
cos( ) 1
α
+
=−
), assim como a coordenada
x
de E define o seno do ângulo
α
(
2
2r
r1
sen( )
α
+
= ). Logo, podemos relacionar o valor do ângulo
α
em função da coordenada de
α
.
Para
0
α
π
≤≤
e
2
2
r z=
2
2
arccos 1
1
z
α
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
+
⎝⎠
24
E para
2
π
απ
<≤
2
2
2arccos1
1
z
απ
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
+
⎝⎠
25
Para expressar a relação entre
θ
e P basta verificar o argumento de P (como número
complexo). Se
P
é um número complexo da forma zxiy
=
+ , então:
Para
0
θ
π
≤≤,
arccos
x
z
θ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
26
E para
2
π
θπ
<≤
2arccos
x
z
θπ
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
27
5.6.2 MONO1 (MÓDULO)
Nos mapas monocromáticos (MONO1 e MONO2) usaremos as componentes RGB
com mesmo valor simultâneo para obter variações desde a cor preta até o branco puro, ou
seja, as componentes vermelho, verde e azul terão sempre valores iguais para cada cor obtida.
Assim, o preto será (0,0,0) , o branco (255,255,255) , cinza médio (128,128,128) e qualquer
59
outra combinação. Para o Mapa MONO1, utilizaremos as coordenadas RGB do tipo
(,,)lll ,
para qualquer
| 255ll∈≤` .
Dividindo a superfície esférica em secções horizontais (paralelas ao plano
x
y ) para
que possamos distribuir as 256 variações, do preto (ponto
S ) ao branco (ponto N ). Deste
modo, todas as secções perpendiculares a
NS
têm cor igual para todos os pontos da secção,
conforme mostramos na Figura 16.
Figura 16 – Superfície esférica para o Mapa MONO1
Para determinar o valor de l em função do ângulo
α
, encontraremos uma
proporcionalidade entre o intervalo de
α
e o de l .
Para as variações de cores no Mapa MONO1 proposto,
0
α
=
definirá
255l =
e para
α
π
= , 0l = . Assim,
255 0 255
00
l
απ
−−
=
−−
255
255l
α
π
=−
Utilizando a relação de
α
com P já apresentada (25 e 26), temos:
Para
0
α
π
≤≤,
2
255 2
255 arccos 1
1
l
z
π
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
+
⎝⎠
28
E para
2
π
απ
<≤
2
255 2
arccos 1 255
1
l
z
π
⎛⎞
⎜⎟
=−−
⎜⎟
+
⎝⎠
29
Como
l ∈ ` , utilizamos um arredondamento de l para viabilizar a implementação
computacional.
O resultado dessa projeção gera o Mapa MONO1, que pode ser visualizado na Figura
17 (gráfico de ( )
f
zz
=
).
N
S
60
Figura 17 – Gráfico de
()
f
zz
=
, pelo Mapa MONO1
O uso do Mapa MONO1 destaca apenas valores que se diferenciam entre si pelo
módulo. Isso é fundamental para estudos de comportamentos e tendências a raízes de funções,
já que tonalidades escuras indicam valores próximos de zero (0+0i).
Figura 18 – (a)
3
() 1fz z=−, (b)
() sen()
f
zz
=
e (c)
() ln()
f
zz
=
, pelo Mapa MONO1
Na Figura 18, apresentamos as funções (a)
3
() 1fz z
=
− , (b) () sen()
f
zz= e (c)
() ln()
f
zz=
, desenhadas segundo a disposição de cores do Mapa MONO1.
(a) (b) (c)
61
5.6.3 MONO2 (ARGUMENTO)
Diferentemente do sistema de distribuição de cores MONO1, o MONO2 enfatiza
apenas o argumento do número complexo.
Dividimos a superfície esférica em secções verticais (passando por
NS) para, então
distribuir 256 variações, do preto ao branco. Assim, cada secção passando por
NS tem uma
única cor para todos os pontos desta secção (Figura 19).
Figura 19 – Superfície esférica para o Mapa MONO2
Nessa distribuição, apenas a variação do ângulo
θ
afeta a alteração da cor. Isto é, para
cada valor de
θ
, obtemos uma variação da cor, definida também pelas componentes RGB
(,,)hhh
, para qualquer
|256hh∈<`
.
Novamente determinaremos o valor de
h em função do ângulo
θ
, encontrando uma
proporcionalidade entre o intervalo de
θ
e o de h .
Nas variações de cores no Mapa MONO2,
0
θ
=
definirá 0h = e para 2
θ
π
=
,
255h = . Assim,
0 255 0
02 0
h
θπ
−−
=
−−
255
2
h
θ
π
=
Usando igualdade em 26 e em 27, temos:
Para
0
θ
π
≤≤,
255
arccos
2
x
h
z
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
30
E para
2
π
θπ
<≤
255
255 arccos
2
x
h
z
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
31
Aqui também utilizamos um arredondamento de
h na implementação computacional.
N
S
N
S
62
Na Figura 20, apresentamos o Mapa MONO2 que é o próprio gráfico de
()
f
zz
=
,
nesse mapa.
Figura 20 – Gráfico de
()
f
zz
=
, pelo Mapa MONO2
Figura 21 –
3
() 1fz z=−,
() sen()
f
zz
=
e
() ln()
f
zz
=
, pelo Mapa MONO2
O Mapa MONO2 permite verificar vizinhanças de um ponto no plano. Assim, é
possível verificar, por exemplo, o comportamento de pontos próximos a uma raiz e valores no
conjunto imagem que possuam um mesmo argumento, isto é, estão definidos em uma mesma
reta suporte pela origem.
(a) (b) (c)
63
Na Figura 21, apresentamos os gráficos das funções (a)
3
() 1fz z=−, (b)
() sen()
f
zz= e (c) ( ) ln( )
f
zz= , desenhadas segundo a disposição de cores do Mapa
MONO2.
5.6.4 MAPA COLORIDO (THALLER)
O Mapa utilizado por Thaller (2000) é baseado em variações simultâneas para
módulos e argumentos distintos. O resultado é similar ao estudo utilizando os Mapas MONO1
e MONO2 ao mesmo tempo.
Dividimos a superfície esférica em secções horizontais (paralelas ao plano
x
y ) e
verticais (passando por
NS) para, então distribuir aproximadamente 16 mil variações de cores
(Figura 22) nesses setores.
A idéia desse Mapa Colorido é não permitir a repetição de cores entre dois setores
distintos, ou seja, deve existir uma associação biunívoca entre cor e setor. Cada setor da
superfície esférica terá uma única cor, e cada cor será exibida em apenas um único setor. Isso
apenas em termos teóricos, pois a continuidade do Plano Complexo permitirá, nessa
distribuição, cores repetidas para pontos distintos. Porém, por se tratar de um número elevado
de divisões (16 mil), a representação gráfica em conjuntos discretos pode, como de costume,
representar entes contínuos.
As variações ocorrem em duas direções:
α
(Figura 14) e
θ
(Figura 15).
Figura 22 – Superfície esférica colorida para o Mapa Colorido
N
S
N
S
64
Figura 23 – Distribuição de cores planificada
Diferentemente dos Mapas monocromáticos, o Mapa Colorido será definido através de
um sistema de cores chamado HSL (Hue, Saturation, Luminosity). Nesse sistema de cores, as
métricas matiz, saturação e luminosidade definem cada cor no sistema. Para obter o Mapa
Colorido, usaremos um sistema HSL de coordenadas
(,,)hsl
.
As variáveis
h e l já foram definidas nos Mapas monocromáticos (28, 29, 30 e 31),
apesar de terem sido usadas no sistema RGB. A variável
s
diz respeito à saturação da cor e,
para este Mapa Colorido, assumirá um valor constante (
255s
=
) para qualquer variação de
cor utilizada.
Dessa forma, dado um ponto
P
de coordenadas
(, )
x
y
no plano complexo, a cor
gerada para esse ponto pelo Mapa Colorido é dada por:
Para
0
θ
π
≤≤ e 0
α
π
≤≤,
2
255
arccos
2
255
255 2
255 arccos 1
1
x
h
z
s
l
z
π
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
+
⎝⎠
32
Para
0
θ
π
≤≤
e
2
π
απ
<≤
,
2
255
arccos
2
255
255 2
arccos 1 255
1
x
h
z
s
l
z
π
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
⎜⎟
=−−
⎜⎟
+
⎝⎠
33
Para
2
π
θπ
<≤ e 0
α
π
≤≤,
65
2
255
255 arccos
2
255
255 2
255 arccos 1
1
x
h
z
s
l
z
π
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
+
⎝⎠
34
E para
2
π
θπ
<≤ e 2
π
απ
<≤ ,
2
255
255 arccos
2
255
255 2
arccos 1 255
1
x
h
z
s
l
z
π
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
⎜⎟
=−−
⎜⎟
+
⎝⎠
35
Onde
α
é determinado na Figura 14 e
θ
na Figura 15.
O resultado do Mapa Colorido é visto na Figura 24, como o gráfico de ( )
f
zz= .
Figura 24 – Gráfico de
()
f
zz
=
, pelo Mapa Colorido
Pelo Mapa Colorido, é possível visualizar comportamentos relacionados como o
módulo, como o estudo de raízes, e o argumento do número complexo. Esse tipo de Mapa se
torna mais complexo e permite análises completas acerca do comportamento da função, uma
vez que trabalha simultaneamente as duas características de definem um número complexo.
66
Na Figura 25, apresentamos os gráficos das funções (a)
3
() 1fz z=−, (b)
() sen()
f
zz= e (c) ( ) ln( )
f
zz= , desenhadas segundo a disposição de cores do Mapa
Colorido.
Figura 25 –
3
() 1fz z=−, () sen()
f
zz
=
e () ln()
f
zz
=
, pelo Mapa Colorido
5.7 PROJETOS COMPLEMENTARES
5.7.1 AJUDA
Para auxiliar novos usuários na manipulação e exploração do software F(C): Funções
Complexas, criamos uma ajuda em tópicos que descrevem as principais funcionalidades do
software. A ajuda foi elaborada em páginas no formato .html e compiladas através do pacote
HTML Help Workshop, distribuído gratuitamente pela Microsoft®. O resultado é uma
compilação no formato .chm que pode ser executada em Windows 98 ou superior.
Assim, pudemos disponibilizar na internet a ajuda em formato .html para acesso em
qualquer plataforma. Atualmente, encontra-se disponível no endereço
H141HTUhttp://wwwp.fc.unesp.br/~edvaldo/ajudaUTH.
5.7.2 INSTALADOR
Utilizando o software NSIS (Nullsoft Scriptable Install System) e a interface gráfica
HM NSI Editor, elaboramos um script adequado para efetuar a instalação semi-automática do
software.
O script gera um instalador que copia os arquivos do software para o disco rígido do
usuário, bem como cria atalhos para o software no menu Iniciar. Ele efetua também o registro
do software F(C): Funções Complexas no sistema, facilitando a identificação, execução e
posterior desinstalação.
(a) (b) (c)
67
Nossa escolha se baseou no fato de o software NSIS ser lançado sob licença de código-
fonte aberta, ser completamente livre e grátis para qualquer tipo de uso, além de demonstrar
flexibilidade na customização de pacotes para instalação.
68
CAPÍTULO 6
EXPERIÊNCIAS EM SALAS DE AULA
69
6 EXPERIÊNCIAS EM SALAS DE AULA
6.1 RELATOS DE EXPERIÊNCIAS
As intervenções em salas de aula iniciaram em meados do mês de agosto do ano de
2003, imediatamente após a definição da proposta de trabalho e da primeira versão de teste
protótipo do software F(C): Funções Complexas. A primeira etapa iniciou-se com uma turma
do último termo do curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade de Ciências (FC) da
UNESP, Bauru. Continuamos em 2004 duas outras experiências também com alunos do curso
de Licenciatura em Matemática da FC, durante as atividades das disciplinas de Variáveis
Complexas e Informática na Educação Matemática. Experimentamos, também, atividades
com uma turma formada por participantes do VII Encontro Nacional de Educação Matemática
(ENEM), realizado na Universidade Federal do Pernambuco (UFPE), através de minicurso
ministrado pelo autor do software. Em 2005, como resultado das tentativas e resultados
obtidos, apresentamos outros dois minicursos para alunos de Licenciatura em Matemática e
professores do Ensino Médio, durante a XVII Semana da Licenciatura em Matemática (SLM)
na FC e XIX Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME), no Uruguai,
sintetizando todas as atividades elaboradas durantes os experimentos anteriores.
Todas as atividades realizadas nas diversas etapas contaram com um planejamento
prévio e estavam focalizadas em objetivos definidos. Realizamos atividades, coletamos dados
e, finalmente, pudemos analisar e elaborar a versão final do software F(C): Funções
Complexas junto a uma proposta metodológica de trabalho.
Neste capítulo, iniciaremos com uma descrição sucinta das atividades experimentais
realizadas ao longo da pesquisa. Nesse ponto, esclareceremos principalmente os objetivos e as
atividades desenvolvidas em cada etapa da experimentação. Ao final, analisamos
especificamente uma intervenção, realizada com uma turma do curso de Licenciatura em
Matemática na disciplina de Variáveis Complexas da FC.
6.2 ETAPAS EXPERIMENTAIS
6.2.1 1ª ETAPA (DISCIPLINA DE VARIÁVEIS COMPLEXAS)
A turma foi formada por alunos da Licenciatura em Matemática da FC, no último
termo do curso em 2003. Possuía aproximadamente 35 alunos e Plano de Ensino definido
conforme Anexo A.
70
Como primeira experiência, propomos a apresentação das idéias iniciais do projeto do
software para que pudéssemos iniciar, principalmente, uma avaliação sobre o processo de
aceitação das interpretações gráficas geradas e apoiadas no conceito de Domínio de Cores.
Além disso, verificaríamos o impacto do uso de cores para geração de gráficos, uma vez
notada a importância desse impacto no desenvolvimento do projeto de trabalho. Nessa
primeira etapa, o protótipo do software não foi distribuído aos alunos, apenas utilizado nas
apresentações.
Objetivamos determinar o papel que a disciplina apresentava na formação do
licenciando, no que diz respeito à capacitação conceitual em Matemática e a relação que essa
disciplina tem na formação de professores de Matemática. Pretendíamos, também, delimitar e
redirecionar etapas posteriores desse projeto de trabalho.
Iniciamos com a apresentação da idéia de Domínio de Cores para a geração de
gráficos coloridos. Isso se fez necessário, uma vez que a linearidade nas representações
cartesianas é totalmente alterada face às representações com o Domínio de Cores.
Introduzimos, também, as leituras de gráficos, ou seja, desenvolvemos ações direcionadas
para a compreensão e interpretação dos gráficos gerados.
As atividades constaram de apresentações seguidas de discussões sobre o uso de cores
e a sistemática nas leituras dos gráficos. Discutimos a proposta do uso de cores para as
representações de funções de uma variável complexa face às limitações das representações
cartesianas.
As atividades eram abertas e as discussões foram em torno da aceitação do uso de
cores para as representações.
Apesar de não ter havido atividades delimitadas, as discussões iniciais sobre o uso de
cores para representar entes que outrora se mostravam puramente abstratos, geraram
convencimentos e emergiram possibilidades de representação ao tratar entes com quatro (4)
variáveis reais.
Ao final, levantamos suposições acerca do papel que a disciplina exerce na formação
enquanto licenciados aptos a trabalharem em culturas de Ensino Médio. Embora muitos
alunos do curso expressassem a não aplicabilidade dos conceitos sobre funções complexas no
exercício enquanto professores de Matemática para o Ensino Médio, pudemos discutir e
argumentar questões de generalização dos conceitos de conjuntos, operações, funções e
número aos quais são introduzidas, também, no Ensino Médio. Além disso, esta experiência
gerou argumentos suficientes para a elaboração de uma ferramenta capaz de trabalhar
71
sinteticamente conceitos de operações entre números complexos objetivando uma posterior
utilização em salas de aula do Ensino Médio.
6.2.2 2ª ETAPA (DISCIPLINA DE INFORMÁTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA)
Esta disciplina foi oferecida em 2004 de forma optativa aos alunos de diferentes
termos do curso de Licenciatura em Matemática da FC. Contava com aproximadamente 20
alunos e seu Plano de Ensino pode ser consultado no Anexo B.
Neste experimento propusemos aos alunos o uso do primeiro protótipo do software
F(C): Funções Complexas. Planejamos, também, introduzir as facilidades propostas pelo
software e a discussões do uso de tecnologias no exercício da docência, também previstas no
Plano de Ensino da disciplina.
Tivemos como objetivo o início do processo de adaptação e depuração do software, no
que diz respeito à sua interface com o usuário. A maneira como os usuários (professores e
alunos) interagem com a ferramenta motivou definir critérios de usabilidade e otimização ao
se explorar a ferramenta (Lage, 2001). Objetivamos, também, a introdução de visualizações
gráficas para suporte a abstrações algébricas em diversos conceitos, como teoria dos
conjuntos, funções reais etc.
Apresentamos o software e iniciamos o uso em laboratório didático onde cada
computador ficava à disposição de dois alunos. Introduzimos as cores e as associações com
variáveis reais para representar relações (não propriamente funções). Levamos os alunos às
leituras das representações geradas pelo software F(C): Funções Complexas. Ao final de cada
atividade era proposta uma lista de exercícios contendo gráficos gerados pelo software e
questões sobre o significado numérico de porções de cores específicas no gráfico. O objetivo
era constatar a compreensão da relação entre cor e número complexo presentes nos gráficos.
A correção dos exercícios mostrou uma facilidade na associação entre cor e número
complexo, embora num estágio discreto e demorado.
Observamos que houve uma interação propícia entre a proposta de intervenção e o
propósito da disciplina. Apesar de não trabalharmos o conceito específico de função
complexa, conseguimos explorar aspectos gerais na utilização de software em Educação
Matemática, discutindo suas justificativas, avaliando o desempenho na utilização e
experimentando a introdução de novas maneiras de representações visuais para gráficos.
72
6.2.3 3ª ETAPA (MINICURSO NO VII ENEM)
Este minicurso foi ministrado para participantes do VII ENEM (Silva, 2004) em
laboratório didático de informática para licenciandos, professores e pesquisadores em
Matemática presentes no encontro. As atividades eram dirigidas para o uso do software em
contextos educacionais.
Elaboramos algumas atividades, presentes no Apêndice C, ao qual objetivamos testar o
uso do software para resolução de exercícios propostos. Pretendíamos validar as propostas de
atividades pelas resoluções apresentadas e a desenvoltura nas leituras de gráficos através do
Domínio de Cores. Utilizamos exercícios com o software para reconhecimento de cores,
leituras, variação de coeficientes, interações com o mouse e transformações lineares.
Apesar de os participantes não conhecerem anteriormente representações visuais
usando o Domínio de Cores para funções de uma variável complexa, não houve restrições,
uma vez que a condição de desconhecimento já era esperada.
A elaboração de atividades gerou suporte para apoio no uso do software. Essas
sugestões permitiram uma maior exploração da ferramenta para generalizações de conceitos
em Análise Complexa. Nesse ponto, percebemos que o estudo das variações dos coeficientes
nas funções estudadas podiam levar, de maneira concreta, a generalizações acerca do papel
que certos coeficientes (aditivo, multiplicativo e exponencial) exercem nas diferentes funções
6.2.4 4ª ETAPA (DISCIPLINA DE VARIÁVEIS COMPLEXAS)
Essa turma era formada por cerca de 40 alunos também do último termo do curso de
Licenciatura em Matemática da FC em 2005. O Plano de Ensino da disciplina era idêntico ao
dos anos anteriores (Anexo A).
Nessa experimentação, houve uma integração mais proveitosa entre o programa da
disciplina e a proposta do uso do software. Todo o planejamento da disciplina foi baseado na
utilização constante das representações visuais das funções complexas através do software.
As primeiras atividades constituíram de exposições acerca do conceito de Domínio de
Cores, leituras de gráficos e funcionalidades do software. Então, a turma foi dividida em 8
grupos, cada qual responsável pela elaboração e apresentação, em forma de seminário, de um
tópico sobre funções complexas escolhido previamente.
Propomos o uso do software F(C): Funções Complexas concomitante com os
conceitos envolvidos na disciplina, diferentemente das etapas anteriores cuja experimentação
era realizada em porções reservadas da disciplina. Além disso, o software tinha como
73
proposta servir de auxílio às interpretações algébricas pertinentes à disciplina, em todos os
seus tópicos.
Propusemos o uso do software na elaboração e apresentação dos seminários em cada
grupo. Essas apresentações geraram análises interessantes que serão detalhadas a seguir.
6.3 ANÁLISE DOS EXPERIMENTOS
A turma da 4ª etapa, cerca de 40 alunos do último termo do curso de Licenciatura em
Matemática da FC em 2005, foi dividida em oito grupos, dos quais selecionamos os 4
primeiros para descrição e análise das atividades desenvolvidas (Glaister et al, 2000). A cada
grupo foi distribuído um tema escolhido para elaboração e apresentação de um seminário. Os
temas eram compostos por alguns tipos de funções definidas no conjunto dos números
complexos. Cada grupo tinha a incumbência de pesquisar, estudar e apresentar, em
aproximadamente 50 minutos, as deduções de cada definição, suas propriedades, análise de
continuidade, periodicidade, derivação, bem como determinação dos conjuntos domínio e
imagem do tema escolhido. Antes, porém, apresentamos o conceito de Domínio de Cores,
executamos algumas atividades para desenvolver as interpretações de gráficos coloridos
(leitura de gráficos), introduzimos as funcionalidades do software F(C): Funções Complexas
e o oferecemos para uso na elaboração e apresentação dos seminários.
Durante a elaboração dos seminários, atendemos alguns grupos com dificuldades
pontuais em manipular o software e em relação ao conceito de domínio de cores.
Nas apresentações, utilizaram a lousa e o software F(C): Funções Complexas, um
computador portátil e um projetor para que todos os alunos da disciplina pudessem
acompanhar o seminário.
6.3.1 GRUPO 1 – FUNÇÕES SENO E COSSECANTE
O primeiro grupo foi composto por 4 integrantes. O tema trabalhado foi funções
trigonométricas seno ( ( ) sen( )
f
zz= ) e a sua inversa cossecante ( ( ) csc( )
f
zz= ).
A apresentação durou aproximadamente 47 minutos e as recorrências ao software e
seus gráficos somaram 26 minutos do total (55%). Isso nos parece muito interessante, dada a
iniciativa própria dos integrantes do grupo em se apoiarem em representações gráficas para
expressarem comportamentos algébricos. Levando em consideração, também, o fato de que os
conceitos de funções complexas, domínio de cores, leitura de gráficos e uso do software estão
atrelados quando há recorrência às representações gráficas presentes no software para explicar
uma linguagem puramente algébrica (definições, propriedades etc.)
74
5 estudantes iniciaram a apresentação deduzindo algebricamente a função seno nos
complexos, suas propriedades e período na lousa.
10F
11
Figura 26 – Gráfico de
() sen()
f
zz
=
e Mapa de Cores
Em seguida, projetaram o gráfico da função seno (Figura 26). A dificuldade que eles
apresentaram foi na visualização do período no gráfico da função seno. Um integrante do
grupo perguntou ao outros alunos "o que acontece (com a função) quando (ela) é real?".
Nesse ponto, observamos que o integrante se reportou ao conceito de extensão de
conjuntos (Real para Complexo), ou seja, pretendeu restringir o gráfico para o caso da função
seno no Conjunto dos Números Reais.
Este integrante, então, explorou a visualização para o caso em que a função seno é
definida nos reais, ou seja, para os pontos do gráfico em que o domínio e imagem da função
seno são conjuntos reais. Assim, o eixo real do gráfico e os valores (através das cores) que
esta função possui tendo o domínio restringido por esse eixo.
Adiante, o mesmo integrante salientou que, diferentemente da função seno definida
nos reais, o conjunto imagem da função seno nos complexos não está restrito ao intervalo
fechado
[1,1]− .
Analisando essa afirmação, notamos que é preciso clareza na associação entre o
intervalo fechado
[1,1]
−
e as tonalidades de vermelho presentes no Mapa de Cores utilizado.
Assim, deve-se perceber que o gráfico para a função seno no Conjunto dos Números
Complexos apresenta todas as variações de cores do Mapa. Logo, se as cores no gráfico dizem
11
A formatação em itálico diz respeito às ações observadas e transcritas sem interpretações.
75
respeito aos elementos do conjunto imagem, este último não deve estar restrito ao intervalo
inicial, mas o conjunto inteiro do Mapa (conjunto dos complexos).
O mesmo integrante indicou que as repetições horizontais de cores no gráfico da
função seno se referiam ao período da função, ou seja, aos valores repetidos que a função
assume após certo intervalo. Como haviam indicado anteriormente na lousa que o período da
função seno nos complexos, assim como nos reais, é
2
π
.
Um estudante fora do grupo verificou, em voz alta, alguns valores discretos na função
através do gráfico. Uma integrante do grupo aproveitou para fazer uma transposição de um
resultado de um exercício apresentado na lousa para o gráfico. Dizia respeito às raízes da
função seno. Ela argumentou que as raízes eram todas reais e, logo, estavam todas no eixo
real. Como o zero do conjunto imagem está associado, no Mapa, à cor preta nos gráficos, foi
rapidamente encontrados esses pontos no gráfico.
A professora interveio e acrescentou que a periodicidade da função seno pode ser
visualizada também nos complexos. A repetição não ocorre somente no eixo real, mas
também em todos os quadrantes, ou seja, se repete a cada
2
π
, ou seja, qualquer posição
acrescida de
2
π
(na coordenada real) possui a mesma cor (mesmo número no conjunto
imagem).
Foi feita uma animação com a variação de um coeficiente real multiplicativo para
verificar a tendência da função ( () .sen()
f
za z
=
para a
∈
\ ). A variação do módulo foi
associada à tendência à cor branca. Isto é, à variação do módulo do número complexo, uma
vez que quanto maior o módulo do número, mais clara é a tonalidade da cor desse número no
Mapa de Cores (Figura 27).
1a =
1, 5a =
2a
=
2,5a
=
3a
=
3, 5a =
Figura 27 – Variação de
() .sen()
f
za z
=
, para alguns valores de a
Nesse ponto, o grupo tentou generalizar alguns comportamentos a partir das
animações geradas. Isso também é conhecido como estudo de famílias de funções.
Fizeram alguns testes com variação de outros coeficientes (
() sen()
f
zza=+
,
() sen( )
a
f
zz= e () sen()
a
f
zz= ).
76
O grupo iniciou uma verificação algébrica da função cossecante (
( ) csc( )
f
zz= ). Um
integrante projetou o gráfico de
( ) csc( )
f
zz
=
(Figura 28) e indicou as restrições que a
função cossecante possui nos reais através do eixo real no gráfico. Nesse ponto, localizou as
tonalidades claras e explicitaram que a cor branca indicava indeterminação na função.
Figura 28 – Gráfico de
() csc()
f
zz
=
e Mapa de Cores
A inversão de cores entre os gráficos de () sen()
f
zz
=
e ( ) csc( )
f
zz= foi verificada
através da igualdade
csc( ) 1 sen( )zz= , onde uma integrante notou essa facilidade (cores
inversas para representar relações inversas pela multiplicação).
Um outro integrante verificou que não existem zeros da função cosecante e, por isso,
não deveria existir pontos com cor preta pura no gráfico (apesar de poder existir cores
próximas à preta).
Com isso, o grupo encerrou sua apresentação sem que houvesse questionamento em
relação aos conceitos apresentados.
6.3.2 GRUPO 2 – FUNÇÕES COSSENO E SECANTE
Este grupo foi composto por 5 integrantes e teve como tema de apresentação o tópico
sobre as funções cosseno ( ( ) cos( )
f
zz= ) e secante ( ( ) sec( )
f
zz
=
).
O tempo aproximado da apresentação foi de 39 minutos, incluindo 14 minutos de
recorrência ao software (36%). Este fato também nos pareceu interessante.
O grupo deduziu algebricamente a função cosseno nos complexos a partir da
definição nos reais. Em seguida, apresentou algumas propriedades.
77
Figura 29 – Gráfico de
() cos()
f
zz
=
e Mapa de Cores
Antes de iniciar as interpretações gráficas da função cosseno, um integrante
apresentou algumas funcionalidades do software, como a capacidade de definir as regiões a
serem utilizadas nos gráficos, uso das funções pré-definidas e seus coeficientes (inclusive o
modo de obtenção de suas inversas), troca de mapa de cores etc. Em seguida, ele começa a
identificar alguns pontos discretos presentes no eixo real do gráfico (Figura 29) para, então,
verificar os valores que a função cosseno determina no conjunto imagem. Assim, ele verifica
que o comportamento nesse eixo diz respeito à própria função cosseno nos reais, como já
estudado. Aproveita para indagar a expansão dos reais para os complexos, ou seja, as regras
que valem para os reais devem permanecer valendo nos complexos. Utilizando as cores
geradas no eixo real, ele tentou exprimir que a periodicidade encontrada no eixo real dizia
respeito não somente à função real, mas também à função complexa cosseno.
Notamos, novamente, que o integrante se reportou à restrição da função cosseno
complexo para o caso particular de função real (elementos do eixo real) para introduzir o
conceito de extensão de conjuntos, ora apresentada pela professora e pelo grupo anterior.
O mesmo integrante utilizou a ferramenta “Transformações” para restringir o
domínio a secções horizontais e verificar as transformações obtidas no conjunto imagem.
Nesse ponto, verificam que as retas se transformam em circunferências e que a partir de
certos intervalos na reta, há repetição da circunferência. Olhando o mapa, verifica-se a
repetição de cores para todas as secções testadas. É apresentada, então, a repetição das
78
cores como correspondente à periodicidade da função, já que cores iguais se referem a um
mesmo número.
Questionado pela professora sobre a mudança do módulo nas secções verticais ao
plano, o grupo introduz uma outra ferramenta: utilização de outro mapa de cores para
enfatizar a variação do módulo. Isto é, utilizam o mapa monocromático de raízes e justificam
que nas seções verticais há sempre uma tendência ao branco absoluto que, pelo mapa,
implica em números complexos cujos módulos tendem ao infinito.
É notável que o grupo tenha feito uso de outro mapa para explicar tal fato. Ao usar o
mapa monocromático de raízes, o gráfico gerado representa apenas as relações de módulo (do
domínio) para módulo (do conjunto imagem). Isso também nos pareceu interessante uma vez
que, apesar de simplificar a justificativa, o uso desse mapa não era obrigatório, era possível
utilizar a ferramenta transformações com o mapa colorido e verificar, secção a secção, o
comportamento dos números gerados no conjunto imagem (Weber, 2001).
Dada todas as observações apresentadas pelo grupo e no seminário anterior, uma
outra integrante solicita aos alunos da disciplina que preencham alguns dados que estavam
faltando nos resumos entregues no início da apresentação: domínio, período e continuidade
da função cosseno.
Verificamos que as lacunas deixadas nos resumos entregadas à turma poderiam estar
diretamente relacionadas ao apelo visual que o domínio, período e continuidade da função
cosseno pudessem, pela concepção do grupo, ter nas compreensões desses conceitos.
Adiante, indicam alguns pontos em que a cor é escura (visualmente preta) destacando
esses pontos como as raízes da função. Alertam que nesses pontos haverá restrições para a
função secante (visto que a secante é uma função inversa da cosseno), pois “1 sobre 0 não é
determinado”.
As tendências de cores escuras apenas indicam raízes, não é possível garantir a
presença de raízes apenas pela inspeção visual. Porém essa é uma ferramenta que pode indicar
busca de soluções de equações, principalmente no auxílio a resoluções de problemas. Embora
não tenha havido essa ênfase, compreendemos que as afirmações provavelmente se baseavam
na abordagem algébrica consultada durante a elaboração do seminário. Mas é notável que
tenham percebido a inversão que deverá ocorrer no gráfico da função secante.
79
Figura 30 – Gráfico de
() sec()
f
zz
=
e Mapa de Cores
Com a função secante, plotam o gráfico e explicam que as cores nesse gráfico saem
invertidas (Figura 30). Justificam que a secante é inversa do cosseno, ou seja,
cos( ) 1 sec( )zz= . “Ela tem a cara invertida da outra, é lógico, onde era branco é escuro...
porque é 1 sobre...”.
Interessante seria se comparassem os gráficos de ( )
f
zz
=
e
() 1
f
zz=
, onde a
inversão de cores é bem nítida, para que pudessem explicar a inversão de cores do cosseno
para a secante (Ver Figura 31 e Figura 32).
Fizeram, também, o uso da ferramenta transformações para restringir o domínio.
Explicaram o domínio da função secante nos reais através das cores presentes no eixo real
do gráfico. Ao fazerem a restrição do domínio ao eixo real, explicam que os “pontinhos
brancos” indicam tendência ao módulo infinito. Um integrante restringe o movimento do
mouse a outras retas paralelas ao eixo real e verifica que a imagem se comporta de maneira
repetida a partir de um intervalo de restrição. Assim, tenta explicar o porquê da função ser
periódica. O mesmo integrante troca o mapa de cores para analisar o módulo e o argumento
da função seno, que ele diz facilitar a visualização do período.
80
Figura 31 – Gráfico de
()
f
zz
=
Figura 32 – Gráfico de
() 1
f
zz=
Ele tenta explicar que se para o módulo e para o argumento em separado é possível
verificar uma repetição de cores num intervalo, pode-se afirmar que a repetição também
ocorrerá no mapa colorido (unindo o módulo e argumento num só gráfico)
Figura 33 – Gráfico de
() sec()
f
zz= , pelo Mapa
de MONO1 (Raízes)
Figura 34 – Gráfico de () sec()
f
zz= , pelo Mapa
de MONO2 (Argumentos)
Perceber que as variações das partes implicam na variação do todo demonstra um grau
satisfatório de argumentação sobre o significado das cores. Além disso, nota-se um
entendimento considerável em relação aos mapas monocromáticos (Figura 33 e Figura 34) e
81
o reconhecimento de períodos de funções. Faltou esclarecer que a determinação do intervalo
do período deve levar em consideração a repetição simultânea do módulo e do argumento, que
nem sempre possuem um mesmo intervalo de repetição.
6.3.3 GRUPO 3 – FUNÇÕES TANGENTE E COTANGENTE
Composto por 5 integrantes, o grupo apresentou estudos sobre a função tangente
(() tan()
f
zz= ) e a cotangente ( ( ) cot( )
f
zz
=
).
O tempo total de apresentação foi de 33 minutos. Sendo 19 minutos utilizando o
PowerPoint com as definições e deduções algébricas já prontas e 14 minutos (42%) com o
software F(C): Funções Complexas.
O grupo iniciou com a definição da função tangente nos reais como revisão.
Expressou, então, o domínio, a continuidade e a derivada da função tangente nos reais. Em
seguida, apresentou o mesmo para a função cotangente nos reais (domínio, continuidade e
derivada).
Figura 35 – Gráfico de
() tan()
f
zz
=
e Mapa de Cores
Um integrante iniciou a definição da função tangente nos complexos a partir da
extensão da função tangente nos reais, ora apresentada. O gráfico da função foi exibido
como figura ilustrativa na apresentação, indicando o domínio, continuidade e derivada da
função tangente nos complexos (Figura 35). O mesmo foi feito para a função cotangente nos
complexos.
82
Utilizando o software, uma outra integrante apresenta o gráfico da função tangente
nos complexos e, com a ferramenta “Transformações”, inicia a restrição do domínio da
função à retas horizontais e verticais.
Nesse momento, um aluno fora do grupo pergunta sobre as duas cores (verde e azul)
predominantes nos gráfico. Abre-se, então, uma discussão para se encontrar uma
justificativa. Utilizando a ferramenta “Transformações”, verifica-se que há uma tendência
para o ponto
i
e
i−
quando o domínio é restrito a retas horizontais.
Apesar de uma explicação sem suporte algébrico, reconhecemos que tal abordagem
necessitaria de um esforço abstrato grande, e que haveria espaço para a demonstração naquele
seminário. No entanto, o papel do software é mais uma vez delimitado como sendo uma
ferramenta que, através do suporte visual, também incentiva e direciona o pensamento
algébrico necessário para as compreensões em Análise Complexa.
Logo após, um integrante explica a passagem de menos infinito ( −∞ ) para mais
infinito (
+∞
) do conjunto imagem da função, ao restringir o domínio ao eixo real. Ele faz
uma analogia ao gráfico da função tangente nos reais incluindo, como já dito em outro
grupo, que as porções claras podem indicar indeterminação da função.
Figura 36 – Gráfico de
() cot()
f
zz
=
e Mapa de Cores
Finalmente, o grupo apresenta o gráfico da função cotangente e expõe as mesmas
observações feitas ao gráfico da função tangente.
Pelo tempo utilizado na apresentação do seminário e pelo desprezo a algumas
observações elementares, notamos uma possível naturalidade nas afirmações apoiadas pela
83
linguagem visual. Isto é, à medida que se justificam comportamentos algébricos comuns a
certas funções a partir das variações gráficas, as justificativas algébricas excessivas são, aos
poucos, substituídas (Noss et al, 1997). No entanto, é preciso haver certo controle para que
não haja explicações apenas pela linguagem visual, mas também pelas manipulações
algébricas que as representações gráficas sintetizam.
6.3.4 GRUPO 4 – FUNÇÕES SENO E COSSENO HIPERBÓLICAS
O grupo foi composto por 5 integrantes e teve como tema a apresentação das funções
seno e cosseno hiperbólicas ( ( ) senh( )
f
zz
=
e () cosh()
f
zz
=
).
Os integrantes utilizaram 36 minutos na apresentação, sendo 13 minutos para
utilização do PowerPoint e 23 minutos (64%) para o software F(C): Funções Complexas.
Mais da metade do tempo foi dedicado ao uso do software. Surpreende-nos, também, e indica
a importância dada às representações visuais e uma assimilação, cada vez maior, dos
conceitos de domínio de cores e leituras de gráficos.
Na introdução, uma integrante explica:
“(...) O trabalho nosso... nós vamos tratar das funções hiperbólicas nos reais
de maneira bem rápida, só vamos citar, não vamos fazer nenhuma demonstração,
nada. É só para lembrar o que é seno e cosseno hiperbólico nos reais. Nos complexos,
nós vamos trabalhar também de uma maneira bem rápida, porque nosso intuito é
trabalhar com o software, não com a teoria em si que vocês pegam em qualquer
livro.”
Isso demonstra a responsabilidade dada às representações visuais para compreender e
ser compreendido quando do estudo de conceitos algébricos. E, também, pelas novas
oportunidades de interpretação e compreensão proporcionadas pelo software, seja pela
universalidade da linguagem visual, ou pelos resultados alcançados nos grupos anteriores.
O grupo apresentou as funções seno e cosseno hiperbólicas nos reais, seguindo pela
determinação do domínio, imagem, gráfico, propriedades e derivada das respectivas funções.
Em seguida, deduziram e definiram as funções seno e cosseno hiperbólicas nos
complexos, seus respectivos domínio, imagem, período, continuidade, propriedades e
derivada.
84
Figura 37 – Gráfico de
( ) senh( )
f
zz
=
Figura 38 – Gráfico de () cosh()
f
zz=
Uma integrante plota o gráfico das funções seno e cosseno hiperbólicas lado a lado
(Figura 37 e Figura 38). Em seguida, compara os gráficos, explicando que o domínio de
ambas as funções é todo o conjunto complexo. Segundo ela, não havia porções discretas nos
gráficos que não possuíssem cores indicando ausência de relação. Como não são visíveis
restrições de cores nos gráficos comparando ao mapa, ambos os conjuntos imagem sugerem
determinação, também, em todos os complexos.
Nos dois gráficos são apontadas as repetições de regiões na direção vertical (eixo
imaginário), indicando periodicidade. Porém, a integrante expressa uma ressalva quanto a
não periodicidade nos reais, provavelmente apoiada na falta de repetição no eixo real.
A continuidade é explicada pela integrante como a mudança gradativa de cores, sem
“saltos” no gráfico. “(...) as cores no gráfico mudam de acordo como mudam as cores no
mapa (...)”. É mostrado um contra exemplo com o gráfico de () ln()
f
zz= . Para uma reta
vertical no gráfico pelo ponto
30i−+ , por exemplo, a integrante indicou que havia uma
mudança brusca de cor do amarelo para o magenta (Figura 39).
85
Figura 39 – Gráfico de
() ln()
f
zz
=
e Mapa de Cores
Observamos que o conceito de continuidade foi plenamente associado à disposição de
cores no gráfico. Analogamente aos “saltos” das funções reais, as mudanças bruscas de
cores indicam descontinuidade da função, uma vez que o mapa utilizado apresenta variação
gradual das cores.
Outra integrante explica a relação
cos( ) cosh( )ziz
=
através dos gráficos. Primeiro é
indicado na lousa o papel da unidade imaginária i em
cosh( )iz
2
..( )
zabi
i z i a ib ia i b b ia
=+
=+=+=−+
Figura 40 – Gráfico de
() cos()
f
zz
=
, com rotação e inversão
Ou seja, há uma inversão entre a parte imaginária e a real além de alterar o sinal da
parte real. Ora, alterar a parte real com a imaginária reflete numa rotação pela origem. Se a
86
parte real da figura girada tem o sinal alterado, então há uma inversão na direção vertical
(Figura 40).
Em seguida, outra integrante apresenta algumas transformações. Há uma ressalva
quanto ao uso da área do gráfico maior para visualizar o período da função.
A integrante verifica que o domínio restrito a retas horizontais define parábolas no
conjunto imagem. Por outro lado, restrição do domínio a retas verticais define elipses no
conjunto imagem. Finalmente, o grupo não reconhece um padrão no conjunto imagem
quando as restrições são feitas por retas inclinadas.
Apesar de o grupo apresentar reconhecimento dos entes geométricos formados
(parábolas e elipses), certa precaução deve ser tomada. Somente verificando as propriedades
das figuras pode se ter uma afirmação. E isso é possível por meios algébricos, ficando as
representações encontradas como um indicador para se chegar, por esse meio, à afirmação.
O grupo continuou apresentando algumas variações de coeficientes para as funções
seno e cosseno hiperbólicas. Em () .senh( )
cb
f
za z d
=
+ e () .cosh( )
cb
f
za z d
=
+ , com a ,
b , c e d coeficiente reais, o grupo variou um a um os coeficiente e observou algumas
modificações nos vídeos gerados. O coeficiente multiplicativo real
a , variado de 1 a 2 ,
provocava alterações na escala do gráfico (Figura 41). Quanto maior o coeficiente, “menor”
o gráfico parecia ficar. Com a variação do coeficiente exponencial
b , apareceram figuras
que se confundiam com fractais (Figura 42). Para cada unidade inteira somada ao
coeficiente
b , duas novas pontas eram acrescentadas ao gráfico. No coeficiente c ,
mostraram o surgimento de raízes múltiplas (Figura 43). Finalmente, o coeficiente
d
provocava translações nas raízes da função (Figura 44) que, por outro lado, pôde ser
verificado com o mapa monocromático MONO1.
1a =
1, 5a =
2a
=
2,5a
=
3a =
Figura 41 – Variação de
( ) .senh( )
f
za z
=
, para alguns valores de
a
87
1b =
1, 5b =
2b
=
2,5b
=
3b =
Figura 42 – Variação de
( ) senh( )
b
f
zz=
, para alguns valores de
b
1c =
1, 5c =
2c
=
2,5c
=
3c =
Figura 43 – Variação de
() cosh()
c
f
zz=
, para alguns valores de
c
0d =
0,5d =
1d
=
1, 5d
=
2d =
Figura 44 – Variação de
() cosh()
f
zzd
=
+
, para alguns valores de
d
6.4 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
6.4.1 ELABORAÇÃO DA INTERFACE
As primeiras experimentações se justificam principalmente para a elaboração de uma
interface propícia ao estudo de funções de uma variável complexa pela sua representação.
Explorar a capacidade de processamento e a representação visual do computador são as
características da interface presente no software.
88
Além disso, houve uma preocupação para a manipulação da ferramenta no que diz
respeito à execução de tarefas. Assim, pudemos propor e reelaborar alternativas para a
interação entre o usuário e a máquina.
Baseamo-nos em padrões convenientes atualmente adotados no desenvolvimento de
software a fim de não precisarmos reeducar o usuário a utilizar o software (Marquès, 2003 e
Pressman, 1993). No entanto, aspectos peculiares, como as leituras dinâmicas, foram
adaptados para que, através de uma instrução básica, os usuários pudessem explorar a
funcionalidade.
À medida que utilizamos o software em sala de aula, novas implementações se
mostram pertinentes. Até porque não exploramos por completo toda a capacidade de
visualizações proposta pelo software. Novos enfoques parecem emergir ao passo que
conhecemos e compreendemos os conceitos representados.
6.4.2 REFINAMENTO DO SOFTWARE
Ao longo dos quatro experimentos em salas de aula pudemos perceber a evolução no
desenvolvimento do software. As correções e os aprimoramentos foram freqüentes e se
mostraram necessárias para a versão final da proposta neste trabalho.
As correções técnicas, principalmente as de programação, ocuparam a menor parte dos
esforços dispensados ao desenvolvimento do software. Isso pelo fato de os recursos técnicos
utilizados já serem de domínio público e muito bem executados por computadores
domésticos.
Por outro lado, as correções conceituais como as abordagens de tópicos matemáticos,
pertinência da representação e necessidade de funcionalidades relevantes no software
demandaram um esforço bem maior. Principalmente pelo fato de não termos a princípio uma
definição fechada do objeto a ser desenvolvido.
Porém, nos preocupamos principalmente com o fato de não reproduzir no computador,
abordagens tradicionais e que pudessem apenas ter uma roupagem tecnológica (Valente,
1999). Empenhamos em desenvolver uma ferramenta que pudesse incluir novas abordagens
ainda não disponíveis na mídia usual (Borba, 1999).
A cada superação provocada por novos recursos tecnológicos, novas preocupações e
dificuldades são focalizadas. Assim, acreditamos que essa atenção deva ser o fato gerador na
execução da depuração de um recurso tecnológico, e não simplesmente as de cunho técnico,
adaptativo ou de apresentação.
89
CAPÍTULO 7
CONSIDERAÇÕES FINAIS
90
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após a finalização do projeto de trabalho proposto, relembramos os problemas de
pesquisa apresentados inicialmente.
Dada a necessidade de sistematização do conceito de número, verificamos que
avanços surpreendentes foram dados através da Matemática. Porém, devido ao alto
grau de complexidade da capacidade humana para elaborar e satisfazer a
necessidade de compreender o conceito, outro elevado nível de abstração é imposto
aos que tentam se apropriar desse conhecimento elaborado.
Para que os conceitos fundamentais em Matemática (número, função, operação e
conjunto) possam ser plenamente apropriados por outros indivíduos, é necessário que os
processos educativos dêem conta da complexidade envolvida na construção desses
fundamentos. Nesse campo conhecemos algumas abordagens como: Informática na Educação,
Matemática Experimental e Prova Rigorosa.
Questões sobre o uso de computadores na educação têm mostrado a grande relevância
deste processo, seja pela interatividade permitida ou pela capacidade de processamento e
representação evidente nos computadores pessoais. Por conseguinte, o uso de tecnologias
computacionais avançadas como laboratório para pesquisa em Matemática tem sido definido
como Matemática Experimental. Além de encontrar resultados matemáticos através de
experimentos computacionais (como na teoria do caos e no estudo de fractais), a Matemática
Experimental propõe que a veracidade de princípios pode ser obtida também por princípios
indutivos, como nas ciências naturais. A formalidade matemática também é ponderada em
questões de prova rigorosa na Educação, onde além dos métodos de demonstração utilizados
no ensino, o rigor matemático em situações educacionais é redefinido (Garnica, 1995).
Não pretendemos descaracterizar o método pelo qual a Matemática foi construída, mas
sim propor novas concepções que se mostram pertinentes na sociedade atual (Pineda, 2004).
Nessa mesma linha, as representações visuais têm um papel muito importante, pois procuram
estabelecer uma ponte entre o ensino e a aprendizagem, ou seja, como linguagem e
significação de conceitos abstratos.
Por outro lado, a metodologia utilizada no desenvolvimento do software foi
explicitamente acompanhada por questões conceituais no uso das representações visuais.
Além das peculiaridades técnicas na implantação de ferramentas propícias, o conceito de
Domínio de Cores foi amplamente inserido nas discussões do projeto. Tentamos não
91
distanciar dos conceitos de funções de uma variável complexa, número, conjunto e operações,
uma vez que estes se tornaram pilares para essa discussão.
Nossa experiência no desenvolvimento do software F(C): Funções Complexas trouxe
à tona a importância do papel da participação durante o processo. Assim, responder ao que é
preciso construir torna mais importante do que apenas saber como construir. O segundo
questionamento (como construir) pode ser facilmente contestado por uma equipe de
pesquisadores e técnicos, Porém, a primeira indagação (o que é preciso construir) só é visível
no próprio ambiente onde dificuldades geradoras são encontradas, ou seja, com a participação
de alunos e professores através de explanação de dificuldades encontradas, das sugestões
encaminhadas, dos teste realizados ou das críticas sugeridas.
Além disso, foi notável a dificuldade em aliar características investigativas
educacionais e conhecimentos técnicos. Embora não estivessem disponíveis ferramentas
profissionais, ambiente de desenvolvimento adequado e equipes especializadas, provamos a
viabilidade de construção de software educacional fora dessas condições.
Conseguimos deixar disponível um site para divulgação dos materiais desenvolvidos.
Com isso, obtivemos milhares de acessos que extrapolaram o limite regional.
Disponibilizamos, também, uma versão de teste em inglês e uma proteção por senha nas
avaliações do software. Assim, pudemos rastrear o uso em centenas de computadores de todo
o mundo, recebendo sugestões, erros e críticas que contribuíram para esse trabalho.
Apesar de não incluirmos um Editor de Equações no software F(C): Funções
Complexas, percebemos a expansão de possibilidades que a composição de funções pode
gerar. Assim, tão logo finalizemos esta funcionalidades, publicaremos uma nova versão do
software no site do projeto (http://wwwp.fc.unesp.br/~edvaldo
).
Além disso, conseguimos apoio da FUNDUNESP (Fundação para o Desenvolvimento
da UNESP) num subprojeto com o propósito de liberar versões do software F(C): Funções
Complexas para a plataforma Linux (Leão, 2001).
Como resultado imediato, pudemos elaborar e aplicar um minicurso sobre a utilização
da ferramenta durante a XIX Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa
(Montevidéu) e da XVII Semana da Licenciatura em Matemática (Bauru). A curto prazo,
proporemos a inclusão da abordagem gráfica através do software na disciplina Variáveis
Complexas do curso de Licenciatura em Matemática da UNESP, Faculdade de Ciências,
campus de Bauru.
Para projetos futuros, vislumbramos o desenvolvimento de módulos que permitam o
uso do software em ambiente de pesquisa cujo foco esteja relacionado a aplicações do
92
conceito de funções de uma variável complexa (potenciais elétricos, dinâmica de fluidos,
aerodinâmica, orbitais atômicos e moleculares etc.). E, uma vez detectada a tendência para
gráficos mais detalhados e em tempo real, a criação de um laboratório virtual de simulação,
composto por clusters dedicados, disponível para uso remoto.
Outra possibilidade é a extensão das representações para funções de mais de uma
variável complexa, utilizando mapas e gráficos tridimensionais.
No entanto, uma questão torna prioritária a partir desse projeto: como podemos avaliar
a aprendizagem através do uso do software?
Dessa forma, é de se esperar investigações entorno de quais papéis distintos
professores e alunos desempenham na interação com o software.
93
REFERÊNCIAS
ARCAVI, A. The Role of Visual Representations in the Learning of Mathematics.
Educational Studies in Mathematics 52. 2003. p. 215-41.
ARNOLD, D. N.
Graphics for Complex Analysis. http://www.ima.umn.edu/~arnold/
complex.html. Maio de 2004.
ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 2000.
AYRES, JOHN. Delphi Graphics and Game Programming Exposed with DirectX.
Wordware Publishing Inc. 2000.
BANCHOFF, T. E CERVONE, D. P. Understanding Complex Function Graphs.
http://www.geom.umn.edu/~dpvc/CVM/1997/01/ucfg/ welcome.htm. Maio de 2004.
BIGGUS, J. Hypercomplex History. http://history.hyperjeff.net/hypercomplex.html. Maio de
2004.
BORBA, M. C. “Tecnologias informáticas na Educação Matemática e reorganização do
pensamento”. In Bicudo, Maria Aparecida Viggiani (org.).
Pesquisa em Educação
Matemática. São Paulo: UNESP, 1999, p. 285-95.
BOYER, C. B.
História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
CATALDI, Z., LAGE, F., PESSACQ, R. E GARCÍA MARTÍNEZ, R.
Ingenieria De
Software Educativo. 2000.
CHURCHILL, R. V.
Variáveis Complexas e suas Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill do
Brasil, 1978.
CONWAY, J. B.
Functions of one Complex Variable. 2nd ed. New York: Springer-Verlag,
1978.
CUOCO, A. Constructing the Complex Numbers.
International Journal of Computers for
Mathematical Learning. Vol. 2-2. 1997.
FARRIS, F. A.
Visualizing Complex-Valued Functions in the Plane. http://www-
acc.scu.edu/~ffarris/complex.html. Maio de 2004.
GAMEZ, L. Técnica de Inspeção de Conformidade Ergonômica de Software
Educacional. Portugal: Universidade de Minho, 1999.
GARNICA, A. V. M.
Fascínio da Técnica, Declínio da Crítica: Um Estudo sobre a Prova
Rigorosa na Formação do Professor de Matemática
(Tese). Rio Claro. 1995.
GLAISTER, E. M. e GLAISTER, P. The Role of Applications in Mathematics Teaching and
the Enhancement of Mathematics Learning through Project Work.
International Journal for
Mathematics Teaching and Learning. 2000.
94
GUZMÁN, M. The Role of Visualization in the Teaching and Learning of Mathematical
Analysis. In Proceeding of the 2nd International Conference on the Teaching of
Mathematics. Creta. 2002.
HOLT O. E MEYER D.
Special Topics Complex Analysis. http://www.geom.uiuc.edu/
graphics/pix/Special_Topics/Complex_Analysis/cplxfn2.html. Maio de 2004.
LAGE, F. J., ZUBENKO, Y. E CATALDI, Z. An Extended Methodology for Educational
Software Design: Some Critical Points.
31st ASEE/IEEE Frontiers in Education
Conference. 2001, p. 10-13.
LAVRÉNTIEV, M. A. e SHABAT, B. V.
Métodos de la teoría de las Funciones de una
Variable Compleja
. Ed. Mir. 1991.
LEÃO, M.
Borland Delphi 6 & Kylix. Axcel Books. 2001.
LUNDMARK, H.
Visualizing Complex Analytic Functions Using Domain Coloring.
http://www.mai.liu.se/~halun/complex/complex.html. Maio de 2004.
MARQUÈS, P. Metodología para la elaboración de software educativo en Software
Educativo. Guía de uso y metodología de diseño. Barcelona Estel. www.xtec.es/~pmarques,
www.doe.d5.ub.es. Junho de 2003.
MARSHALL, D. E. Analyticpic: A Matlab program for graphing complex-valued
functions. http://math.washington.edu/~marshall/ analyticpic.html. Maio de 2004a.
MARSHALL, D. E.
Complex Dynamics Software: Comdyn. http://math.washington.edu/
~marshall/comdyn.html. Maio de 2004b.
MILIES, F. C. P. A Introdução dos Números Complexos, http://www.matematica.br/
historia/complexos.html. Junho de 2004.
NAHIN, P. J. An Imaginary Tale. Princeton University Press. 1998.
NEEDHAM, T.
Visual Complex Analysis. Oxford University Press, 2000.
NOSS, R., HEALY, L e HOYLES, C. The Construction of Mathematical Meaning
Connecting the Visual with the Symbolic. Educational Studies in Mathematics 33. 1997. p.
203-33.
PINEDA, L., LEE, J e GARZA, G. Abstraction, Visualisation and Graphical Proofs.
http://leibniz.iimas.unam.mx/~luis/papers/pineda.pdf. Maio de 2004.
PORTO DA SILVEIRA, J. F. A Invenção dos Números Complexos,
http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/compla.html. Junho de 2003.
PRESSMAN, R:
Ingeniería de Software: Un enfoque práctico. Mc Graw Hill. 1993.
SILVA, E. L. e SOUZA, A. R.
Desenvolvimento de Software para Representação de
Funções de uma Variável Complexa Utilizando Recursos de Cores. XXVI CNMAC
(Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional), IBILCE/UNESP. 2003a.
95
SILVA, E. L. E SOUZA, A. R.
Software for Functions of one Complex Variable
Representations: Graphics using Colors. XVI SIBGRAPI (Simpósio Brasileiro de
Computação Gráfica e Processamento de Imagem), IME/USP. 2003b.
SILVA, E. L. E SOUZA, A. R. Software para Estudos de Funções de uma Variável
Complexa: Funções Elementares. VIII ENEM (Encontro Nacional de Educação
Matemática), UFPE. 2004.
SILVA, E. L., SOUZA, A. R. Tecnologias e o Estudo de Funções Complexas: Análises de
Representações de Funções de uma Variável Complexa a partir de Desenvolvimento de
Software para o Auxílio à Aprendizagem Conceitual In: VII Encontro Brasileiro de
Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática, 2003c
SILVA, E. L.; SOUZA, A. R. F(C): Funções Complexas - Software para Estudios con
Funciones Complejas. In: III CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN
MATEMÁTICA, 2003, Salta. Libro de Resúmenes. 2003d.
SONNINO, S., MIRSHAWKA, V. Números Complexos, 3ª ed., São Paulo, Nobel. 1965.
SOUZA, A. R., PAULOVICH, L. e NASCIMENTO, M. C. Vértices de Famílias de
Parábolas. Revista do Professor de Matemática, vol. 41. SBM. 1999.
STRUIK, D. J.
História Concisa das Matemáticas. Lisboa: Ciência Aberta Gradiva, 1997.
TAO, T.
Complex Maps. http://www.math.ucla.edu/~tao/java/Complex.html. Maio de
2004a.
TAO, T. Multi-valued complex maps. http://www.math.ucla.edu/~tao/java/Multi.html. Maio
de 2004b.
THALLER, B.
Visual Quantum Mechanics. New York: Springer-Verlag, 2000, p. 1-14.
THALLER, B.
Visual Quantum Mechanics. http://www.uni-graz.at/imawww/vqm/. Maio
de 2004a.
THALLER, B.
Visualization of Complex Functions. http://www.mathematica-
journal.com/issue/v7i2/features/thaller/. Maio de 2004b.
VALENTE, J. A. Questão de Software: Parâmetros para o Desenvolvimento de Software
Educativo
. São Paulo, NIED, 1989.
VALENTE, J. A. (Org.).
O Computador na Sociedade do Conhecimento. São Paulo:
NIED, 1999.
VALENTE, J. A. Por quê o Compudador na Educação. In Valente, J. A. (org.)
Computadores e Conhecimento: Repensando a Educação. Campinas: Gráfica da
UNICAMP, 1993.
WEBER, K. Student Difficulty in Constructing Proofs: The Need for Strategic Knowledge.
Educational Studies in Mathematics 48. 2001. p. 101-1
96
APÊNDICES
APÊNDICE A - AJUDA DO SOFTWARE
BAIXANDO O SOFTWARE
INSTALAÇÃO
O software F(C): Funções Complexas é de distribuição livre, está disponível a partir
do site
143Hhttp://wwwp.fc.unesp.br/~edvaldo e pode ser baixado por qualquer usuário
interessado.
Ele está empacotado em um único arquivo chamado Setup.exe. Seu tamanho é de 940
KB. Após salvar o arquivo Setup.exe em disco, execute-o para que o processo de instalação
seja iniciado.
Instalação: Tela de apresentação
Após a tela de apresentação, uma janela de seleção de idioma será exibida caso o
sistema operacional não esteja configurado para o idioma Português (Brasil) ou Inglês (EUA).
Assim, a instalação poderá prossegui no idioma selecionado. Quando instalado, o software
detecta automaticamente o idioma configurado (Português (Brasil) ou Inglês (EUA)).
Instalação: Seleção de idioma
A primeira tela identifica o software. Caso haja alguma versão do software já instalada
e sendo executada no momento da instalação, recomenda-se encerrar todas as janelas abertas
antes de prosseguir. Para iniciar a instalação, clique em Avançar.
97
Instalação: Boas-vindas
Leia atentamente as condições de utilização do software e clique no botão Concordo
para avançar.
Instalação: Contrato de licença
Por padrão, o software será instalado no diretório específico para programas. É
recomendável manter esse caminho. Clique em Instalar.
98
Instalação: Local de instalação
Em seguida, os arquivos serão copiados para as pastas correspondentes e os atalhos
instalados no Menu Iniciar.
Instalação: Progresso
Clique em Terminar para concluir o processo de instalação e iniciar o software F(C):
Funções Complexas.
99
Instalação: Finalização
DESINSTALAÇÃO
Para desinstalar o software F(C): Funções Complexas, clique no ícone correspondente
do Menu Iniciar.
Acesso à Desinstalação
O processo de desinstalação apenas confirmará a solicitação na primeira tela. Clique
em Sim para prosseguir.
Desinstalação: Confirmação de remoção
Todos os arquivos de instalação, assim como os atalhos e registro no sistema, serão
removidos. Os gráficos e vídeos gerados e salvos pelo usuário deverão ser apagados
manualmente.
100
Desinstalação: Progresso
Confirme o término da instalação clicando em OK.
Desinstalação: Finalização
GERANDO GRÁFICOS
Depois de instalado o F(C): Funções Complexas, clique no Menu Iniciar | Programas
| Funções Complexas | F(C).
Acesso ao Software
A tela principal será iniciada e o software estará ponto para ser utilizado.
101
Tela Principal
TIPOS DE FUNÇÕES
Inicialmente, o software oferece algumas funções pré-determinadas para a geração de
gráficos. São elas:
() .( )
() .sen( )
() .cos( )
() .tan( )
() .arcsen( )
() .arccos( )
() .arctan( )
() .senh( )
() .cosh( )
() .tanh( )
() .arcsenh( )
BC
CB
CB
CB
CB
CB
CB
CB
CB
CB
CB
fz Az D
fz A z D
fz A z D
fz A z D
f
zA z D
f
zA z D
f
zA z D
fz A z D
fz A z D
fz A z D
f
zA z D
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
=+
() .arccosh( )
() .arctanh( )
CB
CB
f
zA z D
f
zA z D
=+
=+
102
() .ln( )
( ) .exp( )
() .Re( )
() .Im( )
() ..Im( )
() ( )
() ( )
() /
( ) sen( ) cos( )
BC
BC
BC
BC
BC
BC
B
C
f
zAz D
f
zA z D
f
zA z D
f
zA z D
f
zAi z D
fz A z D
f
zAz D
fz Az z
f
zzz
=+
=+
=+
=+
=+
=⋅ +
=⋅ +
=⋅
=+
Onde
A
,
B
, C e
D
são coeficientes numéricos que poderão ser substituídos por
números inteiros ou decimais.
Esses tipos de funções são os mais comuns em cursos de Variáveis Complexas e
fundamentais para a introdução à Análise Complexa.
As funções estão disponíveis tanto para plotagem de gráficos como para geração de
animações em vídeos. Para os gráficos, utiliza-se os coeficientes A ,
B
, C e D com valores
fixos. Para animações, fixa os valores de três quaisquer coeficientes e determina-se o intervalo
de variação e o incremento do outro coeficiente.
PLOTANDO GRÁFICO
Para plotar gráficos, clique no Menu Funções, e em seguida em Tipos Pré-Definidos.
Menu Funções
Selecione o tipo de função a ser plotada. Defina valores numéricos para os coeficientes
A
,
B
, C e D . Os valores podem ser inteiros ou decimais. Clique em Plotar.
Janela Plotar Função
Uma janela indicará o progresso da plotagem.
103
Progresso do Gráfico
Ao final, o gráfico será plotado na janela principal. Utilize o Mapa do Plano Complexo
para fazer as leituras.
INTERVALO DE PLOTAGEM
Por padrão, a tela principal para plotagem é composta de 300x300 pixels. É um
tamanho razoável para gerar gráficos mais rápidamente e suficiente para visualização em
monitores com resolução de 800x600 dpi.
No entanto, é possível redimensionar a área de plotagem, bem como a unidade (escala)
do gráfico.
Clique no Menu Gráfico, e em seguida em Novo...
Menu Gráfico, Novo
Na janela Tamanho, defina os valores da Altura, Largura e Unidade com números
inteiros de 100 até 1000 (para altura e largura) e de 2 até 1000 (para a unidade). Esses valores
se referem ao número em pixels para cada dimensão.
Janela Tamanho
É possível, também, trocar a cor atribuída ao eixo. Clicando no botão Cor do Eixo e
selecionando uma cor desejada. Dependendo do tipo de gráfico plotado, o eixo poderá ficar
oculto. Escolha uma cor que não aparece no Mapa do Plano Complexo para que o eixo seja
visível para qualquer gráfico.
ALTERNANDO ENTRE MAPAS
104
É possível utilizar outros mapas do plano complexo através do Menu Domínio de
Cores.
Menu Domínio de Cores
Por padrão, utiliza o mapa apresentado por Thaller. Esse mapa apresenta variações de
cores suficientes para distinguir quaisquer dois números complexos no plano.
Clique no Menu Domínio de Cores | Mono 1 (Raízes) para utilizar outro Mapa do
Plano Complexo. Esse mapa enfatiza os elementos próximos à origem. Este é um mapa
conveniente para estudo de raízes.
Clicando no Menu Domínio de Cores | Mono 2 (Argumento) é possível utilizar outro
mapa com variações de preto e branco.
Esse mapa é útil, por exemplo, para saber o comportamento dos pontos na vizinhança
de uma raiz.
SALVANDO GRÁFICOS
É possível gravar em disco os gráficos gerados pelo F(C): Funções Complexas.
Menu Gráfico, Salvar
Após ter plotado o gráfico desejado, basta clicar no Menu Gráfico | Salvar ou Salvar
Como...
Na caixa de diálogo Salvar Como, selecione o diretório e, em seguida, digite o nome
do arquivo. O gráfico será salvo em formato .bmp, compatível com a maioria dos aplicativos
de imagem e editores de texto. O formato .bmp não utiliza compactação, não permitindo
distorções nos gráficos gerados.
FERRAMENTAS DE LEITURA
A LUPA
105
A Lupa é um recurso que permite ampliar porções do gráfico sem que seja necessária
a alteração do intervalo de plotagem. Para carregar a Lupa, clique no Menu Aparência | Lupa.
Menu Aparência
É possível redimensionar a tela de ampliação, clicando e arrastando os cantos da
janela. A porção ampliada acompanha o movimento do mouse, não é necessário clicar na
região a ser ampliada.
Lupa
Ao posicionar o cursor no interior da janela, é possível regular o Fator de
Aproximação (arrastando o marcador para 2x, 4x, 6x ou 8x) e a exibição de um ponteiro
(selecionando a caixa Mostrar Ponteiro)
106
Lupa, Configuração
MAPAS DO PLANO COMPLEXO
O Mapa do Plano Complexo é um sistema de distribuição de cores para o qual um
gráfico pode ser gerado, uma espécie de legenda para a significação das cores no gráfico. O
mapa padrão é o mesmo utilizado por Bern Thaller em seu livro Visual Quantum Mechanics.
O sistema é baseado em composições com as cores vermelha, verde e azul.
Esse mapa é resultado de uma projeção estereográfica de uma esfera colorida
propositalmente. Esse sistema distingue quaisquer dois números complexos do plano. Isso é
útil para evitar ambigüidades ao interpretar gráficos de funções.
O formato arredondado é apenas para ilustração.
Mapa Colorido
O Mapa Mono 1 utiliza apenas variações de preto e branco. A característica
fundamental é o destaque para números próximos da origem. Isto é, porções escuras no
gráfico da função sugerem elementos do domínio relacionando-se com elemento nulo do
conjunto imagem (os particulares zeros da função).
107
Mapa de Raízes (Mono 1)
Utilizando, também, apenas as variações de preto e branco, temos o Mapa Mono 2.
Estudar as variações da função na vizinhança de uma raiz é interessante utilizando esse mapa.
Mapa de Argumentos (Mono 2)
Nota-se que os mapas Mono 1 e Mono 2 são divisões das características apresentadas
pelo Mapa Colorido. Para iniciar os estudos de interpretações de funções de uma variável
complexa é recomendado o estudo por partes, ou seja, utilizar os mapas Mono 1 e Mono 2
inicialmente para que as características básicas da função sejam compreendidas.
TRANSFORMAÇÕES
RESTRINGINDO O DOMÍNIO
Para iniciar o quadro de transformações, clique no Menu Aparência | Transformações
| Mostrar.
108
Menu Aparência, Transformações
O quadro de transformações acompanha uma barra de ferramentas para facilitar o uso
de figuras conhecidas como reta e circunferência.
Janela Transformações
Barra de Ferramentas Transformações
A idéia é restringir o domínio da função para verificar qual é a restrição do conjunto
imagem.
Para fazer isso através do F(C): Funções Complexas, escolha e plote um gráfico
qualquer. Com a tecla Shift pressionada durante o movimento do mouse no gráfico, o rastro
será deixado nos planos auxiliares. Verifique que o movimento do mouse é copiado para o
plano do domínio e, através da função escolhida, um outro movimento é gerado no plano do
conjunto imagem. As ferramentas servem para travar o ponteiro do mouse e obrigar o
movimento de acordo com a figura escolhida (reta e circunferência). Caso queira travar o
109
movimento do mouse a uma reta, clique em dois pontos distintos no gráfico e repita o
movimento mantendo pressionando as teclas Ctrl e Shift simultaneamente.
É possível exibir/ocultar os eixos e a escala dos planos clicando na opções do Menu
Aparência | Transformações.
GERANDO ANIMAÇÕES
ANIMAÇÕES
As animações são vídeos gerados a partir da junção de vários gráficos. Isso é feito
automaticamente pelo software através do Menu Funções | Animação.
Menu Funções, Animação
Isso é bastante interessante para a verificação do papel de cada coeficiente numa
determinada função.
DEFININDO COEFICIENTES
Na janela Animar Função (acessada pelo Menu Funções | Animação) é possível
determinar o tipo de função, o coeficiente de variação (dinâmico), o intervalo de variação, o
valor do incremento e o número de quadros por segundos (FPS) do vídeo. O intervalo de
variação é determinado pelo valor inicial do coeficiente escolhido e do valor inserido no
campo Até.
110
Janela Animar Função
SALVANDO ANIMAÇÕES
Antes da geração da animação em vídeo, será necessário definir o nome do arquivo a
ser salvo. Selecione uma pasta adequada e um nome para o arquivo (.avi). Após a geração do
arquivo, uma janela de execução do vídeo é aberta e é possível controlar a animação através
dos botões de controles localizados na própria janela Vídeos.
Player de Vídeos
111
APÊNDICE B - FLUXOGRAMAS – ALGORITMO DO SOFTWARE
Legenda do Fluxograma
CALCULAR OPERAÇÃO
Fluxograma Calcular Operação
COORDENADA RELATIVA
Fluxograma Coordenada Relativa
Fim do Algoritmo
Procedimento
Externo
Execução de
Código
Comentários mais detalhados
sobre o código
Inicio do
Algoritmo
Entrada de Dados
pelo Usuário
Teste Repetição Teste de
Condição
Comando com
Arquivo
Inicio
Operar e
Retornar o
Resultado
Fim
•Adição (Subtração)
•Multiplicação (Divisão)
•Potenciação (Radiciação)
•Exponencial (Logaritmo)
•Seno (Cossecante)
•Cosseno (Secante)
•Tangente (Cotagente)
•Parte Real
•Parte Imaginária
•Módulo
•Argumento
Inicio
Calcular
Coordenada
Relativa
Fim
Receber
coordenada
absolutas e calcular
a coordenada
relativa à origem do
sistema
112
GERAR GRÁFICO
Fluxograma Gerar Gráfico
Inicio
Calcular
Valor da
Função
Fim
Escolher Função
e Definir
Coeficientes
Coordenada
Relativa
Fazer Para cada
Coordenada
Absoluta
Cor da
Coordenada
Desenhar
Cor na
Coordenada
A
o Fim
Calcular o valor da função
escolhida pelo usuário na
coordenada Relativa
Desenhar a cor obtida na
coordenada absoluta inicial
113
GERAR ANIMAÇÃO
Fluxograma Gerar Animação
Inicio
Salvar Gráfico em
Arquivo
Temporário
Fim
Escolher Função
e Coeficiente
Dinâmico
Gerar Gráfico
Fazer para cada
Valor do
Coeficiente
Juntar
Arquivos em
Vídeo
Escolher tipo de função,
coeficiente dinâmico e o
seu intervalo de variação
Juntar cada gráfico salvo em
arquivos temporários em um
arquivo de vídeo
A
o Fim
114
LER GRÁFICO
Fluxograma Ler Gráfico
Inicio
Calcular o
Valor da
Função
Fim do
Algoritmo
Capturar
Coordenada do
Clique
Coordenada
Relativa
Calcular o valor da função
escolhida para o gráfico na
coordenada relativa do
clique
Posicionar
Cursor no
Mapa
Posicionar o cursor no Mapa
na coordenada calculada
pela função do gráfico na
coordenada relativa do
clique
115
GERAR TRANSFORMAÇÕES
Fluxograma Gerar Transformações
Inicio
Capturar e
Desenhar
Coordenadas
Fim
Capturar
Coordenada do
Clique
Se Rastro
Está
Ativado
Capturar coordenada do
clique e desenhar no Plano
A
, capturar coordenada do
cursor do mapa e desenhar
no Plano B
Senão
116
GERAR MAPA
Fluxograma Gerar Mapa
Inicio
Fim
Coordenada
Relativa
Fazer Para cada
Coordenada
Absoluta
Cor da
Coordenada
Desenhar
Cor na
Coordenada
A
o Fim
Desenhar a cor obtida na
coordenada absoluta inicial
117
GERAR COR
Fluxograma Gerar Cor
Para cada Domínio de Cor
há um procedimento de
geração do Mapa através de
algoritmo e manipulações
algébricas.
Inicio
Fim
Calcular Cor
em Mono1
Se Domínio de
Cores é
Thaller
Verificar
Domínio de
Cores Usado
Mono1
Mono2
Retornar Cor
Calcular Cor
em Thaller
Calcular Cor
em Mono2
118
APÊNDICE C – ATIVIDADES
EXERCÍCIOS (LEITURA DE GRÁFICOS)
119
120
121
EXERCÍCIOS (ESTUDO DE FAMÍLIAS DE FUNÇÕES)
122
ANEXOS
ANEXO A – PLANO DE ENSINO (VARIÁVEIS COMPLEXAS)
123
124
ANEXO B – PLANO DE ENSINO (INFORMÁTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA)
125
126
Livros Grátis
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