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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
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Orientador: Prof. Dr. Sebastião Ribeiro Ferreira
Co-orientador: Prof. Dr. Luiz Guilherme Meira de Souza
Natal-RN
Outubro de 2007
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JOHNSON PONTES DE MOURA
–Outubro/2007
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
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A
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Engenharia
Química, da Universidade Federal do
Rio Grande do Norte, como requisito
para obtenção do grau de Mestre em
Engenharia Química.
Natal-RN
Outubro de 2007
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JOHNSON PONTES DE MOURA
–Outubro/2007
Catalogação da publicação
UFRN/Bibliotecas Setoriais do Centro de Tecnologia
Bibliotecária: Cecília Isabel dos Santos - CRB-4/1077
Moura, Johnson Pontes de
Construção e avaliação térmica de um fogão solar tipo caixa/ Johnson
Pontes de Moura - Natal: [s.n], 2007. 194p.
Orientador: Sebastião Ribeiro Ferreira
Co-orientador: Luiz Guilherme Meira de Souza
Dissertação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro
de Tecnologia. PPgEQ - Programa de Pós-graduação em Engenharia
Química.
Modelagem. Energia solar. Transferência de calor.
Fogões solares.
RN/UF/BSECT CDU:
JOHNSON PONTES DE MOURA
–Outubro/2007
MOURA, Johnson Pontes. – Construção e Avaliação Térmica de um Fogão Solar Tipo Caixa.
Dissertação de Mestrado, UFRN, Programa de Pós-graduação em Engenharia Química. Áreas de
Concentração: Engenharia Ambiental, Engenharia de Processos, Modelagem e Simulação, Natal/RN,
Brasil.
Orientador: Prof. Dr. Sebastião Ribeiro Ferreira
Co-orientador: Prof. Dr. Luiz Guilherme Meira de Souza
RESUMO: O presente trabalho apresenta uma contribuição no estudo de modelagens de
transferência de calor para os alimentos submetidos aos testes experimentais no forno solar
proposto, onde foi avaliada a melhor modelagem para o bife de frango em estudo, comparando
os resultados, considerando este alimento como um objeto semi-infinito (1
o
modelo proposto) e,
em seguida, considerou o bife de frango como uma placa plana em regime transiente em duas
condições distintas: não considerando e outro modelo considerando a contribuição do termo de
geração, através do Critério de Pomerantsev. O Sol, além de fonte de vida, é a origem de todas
as formas de energia que o homem vem utilizando durante sua história e pode ser a resposta
para a questão do abastecimento energético no futuro, uma vez que aprendamos a aproveitar de
maneira racional a luz que esta estrela constantemente derrama sobre nosso planeta. Brilhando
a mais de cinco bilhões de anos, calcula-se que o Sol ainda nos privilegiará por outros seis
bilhões de anos, ou seja, ele está apenas na metade de sua existência e lançará sobre a Terra, só
neste ano, 4000 vezes mais energia que consumiremos. Frente a esta realidade, seria irracional
não buscar, por todos os meios tecnicamente possíveis, aproveitar esta fonte de energia limpa,
ecológica e gratuita. Na presente dissertação avalia-se o desempenho de um fogão solar do tipo
caixa. Foi construído pelo grupo (LES) Laboratório de Energia Solar da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte - UFRN um modelo de fogão solar do tipo caixa e foi testada a sua
viabilidade técnica, propondo modelagens para alimentos submetidos ao assamento no forno
solar o fogão tem características principais a facilidade de fabricação e montagem, o baixo
custo (foi utilizada material compósito acessível às comunidades de baixa renda) e a
simplicidade no mecanismo de movimentação do protótipo para incidência da luz solar direta.
Foram propostas modelagens para cálculos do tempo mínimo de cozimentos de alimentos,
considerando os seguintes modelos de transferência de calor no estado transiente: objeto semi-
infinito, placa plana e o modelo da esfera para estudar a temperatura necessária para o
assamento de pão (considerando geometria esférica). Após avaliação dos modelos de
transmissão de calor para os alimentos submetidos aos processos de assamento, foram
comparados os tempos obtidos pelas modelagens com os tempos experimentais de assamento
no forno solar, explicitando a modelagem que melhor retrata a acurácia dos resultados do
modelo.
Palavras-chaves: Modelagem; Energia Solar; Transferência de Calor; Fogões Solares.
BANCA EXAMINADORA E DATA: 31 de outubro de 2007.
Presidente:
------------------------------------------------------------------------------------------
Prof. Dr. Sebastião Ribeiro Ferreira - DEQ/UFRN – Orientador
Membros:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Prof. Dr. Luiz Guilherme Meira de Souza - DEM/UFRN – Co-orientador
--------------------------------------------------------------------------------------
Prof. Dr. Alfredo Ismael Curbelo Garnica - DTQA/UFPB
----------------------------------------------------------------------------
Prof. Dr. Everaldo Silvino dos Santos - DEQ/UFRN.
I
Abstract
JOHNSON PONTES DE MOURA
–Outubro/2007
MOURA, Johnson Pontes. – Construction and termic evaluation of a solar cooker of the
type box. Program of Master Degree of Chemical Engineering – UFRN – Natal/RN – Brazil.
ABSTRACT
The present work presents a contribution in the study of modelings of transference of heat for
foods submitted to the experimental tests in the considered solar oven, where the best
modeling for the beefburger of chicken in study was evaluated, comparing the results,
considering this food as a half-infinite (1
er
object considered model) and, after that,
considered the chicken beefburger as a plain plate in transient regimen in two distinct
conditions: not considering and another model considering the contribution of the generation
term, through the Criterion of Pomerantsev.
The Sun, beyond life source, is the origin of all the energy forms that the man comes using
during its history and can be the reply for the question of the energy supplying in the future, a
time that learns to use to advantage in rational way the light that this star constantly special
tax on our planet. Shining more than the 5 billion years, it is calculated that the Sun still in
them will privilege for others 6 billion years, or either, it is only in the half of its existence and
will launch on the Earth, only in this year, 4000 times more energy that we will consume.
Front to this reality, would be irrational not to search, by all means technical possible, to use
to advantage this clean, ecological and gratuitous power plant. In this dissertation evaluate the
performance of solar cooker of the type box.
Laboratory of Solar Energy of the Federal University of the Great River of North - UFRN was
constructed by the group (LES) a model of solar stove of the type box and was tested its
viability technique, considering modeling foods submitted when baking in the solar oven, the
cooker has main characteristic the easiness of manufacture and assembly, the low cost (was
used material accessible composition to the low income communities) and simplicity in the
mechanism of movement of the archetype for incidence of the direct solar light.
They had been proposals modeling for calculations of food the minimum baking time,
considering the following models of transference of heat in the transient state: object the half-
infinite, plain plate and the model of the sphere to study the necessary temperature for the it
bakes of bread (considering spherical geometry). After evaluate the models of transmission of
heat will be foods submitted you the processes of to it bakes of, the times gotten for the
modeling with the experimental times of it bakes in the solar oven had been compared,
demonstrating the modeling that more good that it portraies the accuracies of the results of the
model.
Keywords: Modeling; Solar Energy; Heat Transference; Solar Stoves.
II
Dedicatória III
JOHNSON PONTES DE MOURA
–Outubro/2007
DEDICATÓRIA
A Deus, por sua graça sempre presente em minha vida;
Aos meus pais e minha esposa, Fabiana Alves Pinto, por todo
amor, empenho e porto seguro;
Aos meus irmãos, por estarem sempre me incentivando e dando
bons exemplos.
Agradecimentos
JOHNSON PONTES DE MOURA
–Outubro/2007
IV
AGRADECIMENTOS
Ao professor Dr. Sebastião Ribeiro Ferreira por sua dedicação, empenho e presteza e
interesse demonstrado por este trabalho;
Ao professor Luiz Guilherme pelo envolvimento, colaboração, paciência e apoio em
todas as horas, bem como seu companheirismo e amizade;
Ao Bolsista Érico Costa pela ajuda e dedicação aos trabalhos;
Aos amigos e companheiros do curso de Engenharia Química;
À coordenadora do Programa de Pós-graduação em Engenharia Química, Professora
Dra. Ana Lúcia da Mata.
Sumário
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro/2007
V
RESUMO I
ABSTRACT II
DEDICATÓRIA III
AGRADECIMENTOS IV
LISTA DE FIGURAS VII
LISTA DE TABELAS XI
Capítulo 1 – Introdução Geral 01
1.1. Objetivos
02
Capítulo 2 – Aspectos Teóricos 04
2.1. Utilização da energia solar e seus meios de transmissão
04
2.2. Sólido semi-infinito
17
2.3. Fogões solares
36
2.4. Tipos de concentradores solar de calor
39
2.5. Aspectos tecnológicos
42
2.6. Mapas do fluxo de radiação solar no território brasileiro
45
2.7. Eletricidade do Sol
49
2.8. Modelo Brasil – SR
50
2.9. Dados da energia solar (NE e RN)
52
Capítulo 3 – Estado da Arte 55
3.1. Análise do fogão solar tipo caixa
55
3.2. Análise e teste de 4 fogões solares
56
3.3. Testes e resultados dos fogões solares
63
3.4. Fogões concentradores
66
3.5. Determinação experimental da condutividade térmica do pão francês durante o
processo de assamento
67
3.6. Análise discriminativa das características sensoriais
70
3.7. Procedimentos
71
Capítulo 4 – Materiais e Métodos 75
4.1. Materiais
75
4.2. Descrição do fogão
76
4.3. Métodos e testes
84
Sumário
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro/2007
VI
Capítulo 5 – Modelagem do Processo e Análise dos Resultados 95
5.1. Modelagem do tempo de cozimento solar realizado num fogão do tipo caixa
considerando modelo do objeto semi-infinito
95
5.2. Modelagem do tempo de cozimento solar realizado num fogão do tipo caixa
considerando modelo da placa plana
105
5.3. Programa em Matlab empregado como auxiliar no cálculo da função erro, com
um argumento conhecido, segundo a expansão da série de potências
113
5.4 Dados experimentais do pão de queijo no fogão solar tipo caixa
114
5.5. Modelagem da temperatura de assamento de pão de queijo (centro do alimento)
no fogão solar tipo caixa considerando o pão de queijo como uma esfera, mas sem o
termo de geração de energia
115
5.6. Modelagem da temperatura de assamento de pão de queijo (centro do alimento)
no fogão solar tipo caixa considerando o pão de queijo como uma esfera, mas com o
termo de geração de energia
122
APÊNDICE I 137
APÊNDICE II 154
APÊNDICE III 156
APÊNDICE IV 159
CONCLUSÕES 177
REFERÊNCIAS 180
ANEXOS 188
Lista de Tabelas
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
1
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1. Caixa solar com cobertura, janela e refletor
05
Figura 2.2. Efeito estufa
06
Figura 2.3. Efeito estufa na Terra
06
Figura 2.4. Radiação que atravessa uma vidraça
07
Figura 2.5. Orientação do vidro
08
Figura 2.6. Refletores para ganho solar
08
Figura 2.7. Tipos de energias radiantes (ondas
eletromagnéticas) com freqüências variadas
11
Figura 2.8. A curva de radiação para diferentes temperaturas
12
Figura 2.9. (a) correntes de convecção no ar. (b) correntes de
convecção em um líquido
16
Figura 2.10. As moléculas de uma região de ar em expansão
16
Figura 2.11. Distribuições de temperaturas transientes em um
sólido semi-infinito para três condições superficiais
17
Figura 2.12. Histórico das temperaturas em um sólido semi-
infinito com transferência de calor por convecção na
superfície
22
Figura 2.13. Contato interfacial entre dois sólidos semi-
infinitos com diferentes temperaturas iniciais
23
Figura 2.14. Constante solar G
S
e radiação solar extraterrestre
24
Figura 2.15. Efeitos da atenuação atmosférica sobre a
distribuição espectral da radiação solar
26
Figura 2.16. .Radiação solar recebida na superfície terrestre
27
Figura 2.17. Radiação solar total sobre uma superfície
horizontal
29
Figura 2.18. Coordenadas para a definição do fator de forma.
31
Figura 2.19. (a) Espaço fechado cheio com meio inerte; (b)
balanço de energia por unidade de área da zona i
33
Figura 2.20. Espaço fechado com duas zonas e o circuito
36
VII
Lista de Tabelas
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
2
equivalente
Figura 2.21. Massa térmica dentro do fogão solar
37
Figura 2.22. Material estrutural, de isolamento, transparente e
resistente à umidade
37
Figura 2.23. Sistema Fotovoltáico Fixo
41
Figura 2.24. Sistema Fotovoltáico Móvel
41
Figura 2.25. Sistema de Iluminação Pública
41
Figura 2.26. Mapas de radiação solar global média mensal
para o território brasileiro
47
Figura 2.27. Mapas de radiação solar média anual para o
território brasileiro
48
Figura 2.28. Fluxograma do modelo de transferência radiativa
BRASIL-SR.
51
Figura 3.1. Vista em perspectiva do fogão solar tipo caixa
56
Figura 3.2. Fogão solar painel de Bernard
56
Figura 3.3. Fogão 1 Tipo Estufa
60
Figura 3.4. Fogão 2 Tipo Estufa
60
Figura 3.5. Fogão 3 Tipo Concentrador Parabólico
61
Figura 3.6. Fogão 4 Tipo Concentrador Cônico
61
Figura 3.7. Temperatura da Água
64
Figura 3.8. Potência Específica dos Fogões Solares
65
Figura 3.9. Fogão solar construído no Laboratório de
Máquinas Hidráulicas e Energia Solar (LMHES).
66
Figura 3.10. Fogões Concentradores
67
Figura 3.11. Foto da bandeja com o cilindro de alumínio e os
pães com os termopares inseridos
69
Figura 3.12. Temperatura adimensional em função do tempo
de assar do pão
69
Figura 3.13. Pão pré-assado após assamento final
72
Figura 4.1 Ilustração esquemática das características do fogão
solar experimental
76
Figura 4.2. Caixas solares mais largas captam mais luz solar
do leste e do oeste
77
Figura 4.3. Diagrama para espelhos horizontais
78
Lista de Tabelas
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
3
Figura 4.4. Diagrama mostrando que dois espelhos têm um
ângulo β entre eles no raio incidente através de um ângulo 2β
79
Figura 4.5. Diagrama ilustrando o efeito da concentração do
fluxo de um par de espelhos tendo um pequeno ângulo β entre
eles
80
Figura 4.6. Diagrama do coletor horizontal com dois espelhos
auxiliadores de tamanho igual
81
Figura 4.7. Gráfico da variação do efeito do fluxo de
concentração para o prato coletor horizontal usando dois lados
de espelhos tendo um ângulo entre eles de 2θ = 60° e largura
igual aquele absorvedor
82
Figura 4.8. Diagrama mostrando como um par de espelhos
auxiliadores pode ser ajustado para otimizar o prato coletor
horizontal fixo para mudanças sazonais, para orientação
Oeste-Leste do coletor e espelhos de altura igual para o
absorvedor
82
Figura 4.9. Diagrama do Tabor (1966) arranjo do auxiliador
do Leste-Oeste
83
Figura 4.10. Diagrama mostrando a mudança de fluxo com a
hora do dia para o coletor horizontal liso tendo um espelho
(vertical) auxiliador Leste-Oeste removível
83
Figura 4.11. Diagrama mostrando como o prato coletor
horizontal pode ser aumentado com um espelho auxiliador
plano para aumentar a secção óptica cruzada no inverno acima
da secção cruzada no verão
84
Figura 4.12. Fogão solar proposto (LMHES) UFRN
85
Figura 4.13. A comparação das curvas de força de cozimento
para quatro fogões com dois níveis de área interceptada e
perda de calor
93
Figura 5.1. Modelo da placa para o bife de frango em estudo
105
Figura 5.2. Pão de queijo
123
Figura I.1. Esquema da vista lateral do fogão solar proposto
com as suas diferentes temperaturas
146
Figura I.2. Esboço da pizza de 460 g utilizada
147
Lista de Tabelas
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
4
Figura I.3. Pizza no interior do fogão tipo caixa, inicio do
experimento, propriedades organolépticas da pizza.
148
Figura I.4. (a), (b) Temperaturas colhidas durante a
realização do experimento, Assamento da pizza utilizando
materiais descartados na natureza.
148
Figura I.5. Pizza no interior do forno
149
Figura I.6. Fonte uniformemente distribuída
159
Figura II.1. Hambúrgueres de frango no forno solar
163
Figuras III.1. Assamento do bolo
166
Figura IV.1. Esquema do artifício utilizando no cálculo
170
Figura IV.2. Distribuição de Temperatura em uma placa
infinita (problema de simetria)
173
Lista de Tabelas
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
5
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1. Dados: Centro de Estudos de Energia Solar
52
Tabela 2.2. Média Mensal: 250,3 – 3003,6 horas de Sol/ano
53
Tabela 2.3. Dados: Anuário Estatístico do RN/1997
53
Tabela 3.1. Quadro Sinótico das Características dos
Protótipos de Fogões Solares
62
Tabela 3.2. Quadro Sinótico das Características dos
Protótipos de Fogões Solares
65
Tabela 3.3. Valores médios das notas dos provadores
referentes ao grau de diferença entre as amostras teste (pão
pré-assado congelado) e amostra-controle (pão fresco)
73
Tabela 5.1. Tempo x Temperatura
95
Tabela 5.2. Tempo versus Temperatura para assamento do
pão de queijo
124
Tabela I.1. Tempo x Temperatura (Experimento do dia
31/10/2006)
147
Tabela I.2. Tempo x Temperatura (Experimento do dia
12.04.2007)
148
Tabela I.3. Tempo versus temperatura (Experimento do dia
17.04.2007)
149
Tabela I.4. Comparativo do teor de água no alimento
153
Tabela I.5. Tempo versus Temperatura (Experimento do dia
05/12/2006)
153
Tabela I.6. Tempo versus Temperatura (Experimento do dia
12/12/2006)
154
Tabela II.1. Tempo versus Temperatura para assamento do
hambúrguer
164
Tabela III.1. Tempo x Temperatura no centro do alimento
166
Tabela III.2. Tempo x Temperatura ambiente dentro do forno
167
Tabela IV.1. Tempo versus Temperatura
168
Tabela IV.2. Valores das constantes (An)
177
Tabela IV.3. Valores das constantes (Bn)
178
XI
Dissertação
Ronaldo Carvalho Campelo - Dezembro/2005
Capítulo 1
Introdução Geral
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
1
1
1. Introdução geral
O uso de concentradores para captar a energia solar, remonta pelo menos dois
séculos antes de Cristo, quando Arquimedes havia repelido um ataque romano a
Siracusa mas somente a partir da década passada se intensificaram os estudos e o
desenvolvimento de tecnologias para cozinhas solares segundo Beyer et al. 2004.
A idéia de um fogão alimentado por energia solar não é novidade. Nem mesmo a
utilização de parábolas para aquecer é uma descoberta: os vikings ateavam fogo às velas
das embarcações inimigas utilizando um equipamento semelhante Beyer et al. (2004).
Segundo Beyer et al. 2004 os primeiros experimentos relacionados com fornos
solares tipo caixa (fogões solares tipo caixa) para a preparação de alimentos foram
descritos por Nicholas de Saussure, a mais de 200 anos, por volta de 1770. Saussure
desenhou um fogão que consistia numa caixa retangular isolada e com a parte de cima
envidraçada. A tampa da caixa, refletora, encarrega-se de concentrar a radiação dentro
da caixa. Quando essa radiação entra na caixa, é absorvida pelo seu fundo que é pintado
de preto mate, quando é libertada por este, já tem um comprimento de onda
infravermelho, o que não permite que volte a passar pelo vidro (este é opaco aos
infravermelhos). Este aparelho atinge cerca de 160 °C, conseguindo cozer ou assar
qualquer alimento.
Em 1837, o astrônomo inglês John Herschel, filho do famoso astrônomo Sir
William Herschel, construiu um pequeno dispositivo para seu próprio uso durante uma
expedição que realizou no Cabo da Boa Esperança. Consistia também numa caixa negra
que era enterrada na areia, para isolá-la termicamente, e era coberta com dupla chapa de
vidro para permitir a entrada da luz solar e evitar que o calor escape. Herschel registrou
uma temperatura de 116 °C nesse fogão, que era utilizado para cozinhar alimentos à
base de carne e vegetais durante a expedição (Beyer et al., 2004).
Também C. G. Abbot, outro astrônomo nascido em 1873, usou um fogão solar
ao sul do Monte Wilson, onde tinha o seu observatório, e lhe serviu durante muitos anos
para preparar seus alimentos.
Desta forma, o fogão solar é um aparelho bastante simples de se fazer e utilizar,
e que traz muitos benefícios a quem o utiliza, constituindo-se em um equipamento
eficaz.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
2
2
O presente trabalho visa da uma visão mais especifica aos fornos solares tipo
caixa, mostrando através de modelos matemáticos a relação entre tempo e temperatura,
como diversos alimentos com geometrias diferentes são assados.
Talvez uma das diretivas prioritárias na concepção de um forno solar é dar-lhe
uma visão moderna, uma imagem de alternativa do futuro ao fogão. Terá, contudo, de
ser altamente resistente e facilmente transportável, mantendo a simplicidade de
utilização e o baixo custo.
1.1. Objetivos
1.1.1. Objetivos Gerais
Construir e testar um fogão solar que pode vir a ser utilizado pelas comunidades
carentes do nosso Estado, utilizando um compósito à base de gesso e isopor (produto
derivado do petróleo e de baixo custo), e que pode ser naturalmente encontrado na
região nordestina. Tal fogão teria possibilidade de servir como alternativa ao consumo
de, por exemplo, lenha ou gás e serviria como forma de proteção ambiental.
1.1.2. Objetivos Específicos
Construir um modelo de fogão solar e testar sua viabilidade técnica, que tenha
como características principais a facilidade de fabricação e montagem, o baixo custo
(utilizando material compósito acessível às comunidades de baixa renda).
Utilizar matérias-primas das regiões implantadas, adquiridas até mesmo em
sucatas promovendo, assim, um estímulo à reciclagem de matérias e a preservação do
meio ambiente.
Demonstrar o uso do fogão ecológico.
Estudar modelos de transferência de calor para calcular o tempo de cozimento
em um fogão solar tipo caixa.
Implementar um programa para a modelagem e simulação do processo de
cozimento.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
3
3
Capítulo 2
Aspectos Teóricos
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
4
4
2. Aspectos Teóricos
A energia evoluciona no seu uso (fontes e técnicas), inerentemente a elementos
como: os sócio-econômicos que incluem aspectos como as necessidades, o mercado, o
capital disponível, os benefícios, a regulamentação; os culturais como os gostos,
satisfação, curiosidades, espírito de sacrifício para alcançar um objetivo, e difusão do
conhecimento; os conhecimentos teóricos e científicos, outras tecnologias e seu
desenvolvimento. Isto tudo demonstra que o uso da energia evolui de uma forma não
linear.
2.1. Utilização da energia solar e os seus meios de transmissão
2.1.1. Utilizações Puramente Térmicas
São utilizações puramente térmicas as que a radiação solar é convertida em
calor, sendo esse calor transmitido a uma “chapa” (placa). Nesta área da energia solar
estão incluídos os coletores solares para aquecimento de líquidos, os secadores solares
para grãos, frutos e sementes, os destiladores solares e os fogões solares.
2.1.2. Meios de transferência de energia
As pessoas usam os fogões solares principalmente para cozinhar e ferver água,
embora outros usos estejam sendo continuamente desenvolvidos. Numerosos fatores,
incluindo acesso a materiais, disponibilidade de combustíveis tradicionais para
cozinhar, clima, preferências culinárias, fatores culturais, capacidade técnicas, afetam a
aproximação das pessoas ao cozimento solar (Ültanir, 1994).
Com o entendimento dos princípios básicos da energia solar e o acesso de
materiais simples como papelão, folhas de alumínio e vidro, pode-se projetar no fogão
solar eficiente, como o apresentado na Figura 2.1.
Estes princípios são apresentados em termos gerais de tal forma que eles possam
ser aplicados em uma grande variedade de problemas de projetos. Seja a necessidade de
ferver água, cozinhar comida, secar peixe ou grãos;
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5
Figura 2.1. Caixa solar com cobertura, janela e refletor.
2.1.2.1. Princípios de aquecimento
O propósito básico de um fogão solar de caixa é que o mesmo sirva para
purificar água, esterilizar instrumentos, para citar poucos.
A caixa solar cozinha porque o interior dela é aquecido devido à energia captada
do Sol. A luz do Sol, tanto direta quanto refletida, entra na caixa através do topo de
vidro ou plástico. Ela se torna energia calorífica e é absorvida por um prato preto
absorvente ou vasilha de cozimento. Esse calor interno faz com que a temperatura
dentro do fogão solar de caixa aumente até que a perda de calor dentro do fogão seja
igual ao ganho. Temperaturas suficientes para cozimento de comida ou pasteurização da
água são facilmente alcançadas.
Dadas duas caixas que têm a mesma capacidade de retenção de calor ficará mais
quente, aquela caixa que tem maior ganho, devido à luz solar com maior energia
incidente (W/m
2
) ou à luz solar adicional devido a um refletor.
Dadas duas caixas que tenham igual ganho de calor, aquela que tiver melhor
capacidade de retenção de calor, ou seja, com melhor isolamento nas paredes, fundo e
topo, irá alcançar uma temperatura interior mais alta.
2.1.2.1.1. Ganho de calor
Efeito estufa: Esse efeito resulta do aquecimento em espaços fechados nos quais
a luz solar passa através de um material transparente tal como vidro ou plástico, como
ilustrado na Figura 2.2. A luz visível facilmente passa através do vidro e é absorvida e
refletida por materiais dentro do espaço fechado.
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Figura 2.2. Efeito estufa.
A Terra e sua atmosfera ganham energia quando absorvem a energia radiante vinda
do Sol. Isso aquece o planeta. A Terra, por sua vez, emite radiação terrestre, a maior parte
da qual acaba escapando para o espaço exterior, como destacado na Figura 2.3. A absorção
e a emissão prosseguem a taxas iguais até produzirem uma temperatura média de
equilíbrio. A temperatura da Terra aumenta quando aumenta a incidência de energia:
radiante ou quando diminui o escape da radiação terrestre.
Figura 2.3. Efeito estufa na Terra.
O efeito estufa é o aquecimento da atmosfera mais baixa dos gases atmosféricos
sobre o balanço entre a radiação solar e a radiação terrestre. Por causa da alta temperatura
do Sol, a radiação solar é formada por ondas de alta freqüência – ultravioleta, luz visível e
ondas da parte mais alta da região de infravermelho do espectro. A atmosfera é
transparente a grande parte dessa radiação, especialmente à luz visível, de modo que a
radiação solar alcança facilmente a superfície da Terra onde é absorvida. A superfície
terrestre, por sua vez, "re-irradia" parte dessa energia, mas como a temperatura da
superfície terrestre é relativamente mais fria, ela "re-irradia" a energia em baixas
freqüências - principalmente nos comprimentos de onda mais longos do infravermelho.
Determinados gases atmosféricos (principalmente vapor d’água e gás carbônico)
absorvem e "re-emitem" grande parte dessa radiação de comprimento de onda longo de
Dissertação
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volta para a Terra. De modo que a radiação de comprimento de onda longo, que realmente
não escapa da
atmosfera terrestre, ajuda a mantê-la aquecida. Esse processo é importante,
pois sem ele a Terra seria gélida com temperatura de cerca de -18 °C. O problema
ambiental atual é que o excesso de dióxido de carbono e de outros gases dos assim
chamados "gases do efeito estufa" retêm energia e tornam a Terra quente demais. As
emissões vulcânicas constituem a maior fonte poluidora da atmosfera terrestre. De longe
elas tornam acanhadas as emissões industriais e as da atividade humana em geral,
portanto, de novo, parte do efeito estufa pode ser precisamente o que a Terra precisa para
prevenir uma próxima idade do gelo.
O efeito estufa atmosférico recebeu este nome a partir das estufas de vidro usadas
pelos fazendeiros e floristas para "prender" a energia solar. O vidro é transparente às ondas
da luz visível, mas opaco às radiações ultravioleta e infravermelha. O vidro atua como
uma espécie de válvula unidirecional. Ele permite que a luz visível entre na estufa, mas
impede os comprimentos de onda mais longos de deixá-la. Assim, os comprimentos de
onda curtos da luz solar atravessam o telhado de vidro da estufa e são absorvidos pelo solo
e pelas plantas em seu interior. O solo e as plantas, por sua vez, emitem ondas de
infravermelho com comprimentos de onda longos. Essa energia não consegue atravessar o
vidro e sair, o que aquece o interior da estufa.
Curiosamente, nas estufas dos fazendeiros e floristas, o calor é mantido
principalmente pela habilidade do vidro de impedir que as correntes de convecção
misturem o ar mais frio do exterior com o ar mais quente do interior. O efeito estufa
desempenha um papel mais importante no aquecimento global da Terra do que no
aquecimento das estufas, conforme se observa na Figura 2.4.
FIGURA 2.4. O vidro é transparente à radiação de comprimento de onda curto, mas é
opaco à radiação de comprimento de onda longo.
A energia irradiada com
comprimento de onda longo não é
transmitida através do vidro e fica
presa no interior.
Radiação com comprimento curto
de onda vinda do Sol e transmitida
através do vidro.
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Orientação do vidro: Quanto mais diretamente o vidro estiver voltado para o
Sol, maior será o ganho de calor solar. Embora o vidro seja de mesma área na caixa 1 e
na caixa 2, mais luz solar passa pelo vidro na caixa 2, porque ele está voltado mais
diretamente para o Sol. Note que na Figura 2.5, a caixa 2 também tem uma maior área
de parede através da qual o calor é perdido, mas este efeito pode ser minimizado se as
paredes forem isoladas termicamente de forma adequada.
Figura 2.5. Orientação do vidro
Refletores, ganho adicional: Um refletor simples ou múltiplos refletores
refletem luz solar adicional através do vidro e dentro da caixa solar, como é mostrado na
Figura 2.6. Essa energia solar adicional resulta em temperaturas mais altas, isso
possibilita que dentro da caixa, consiga-se obter um efeito estufa de maior magnitude.
Figura 2.6. Refletores para ganho solar
2.1.2.1.2. Perda de Calor
A segunda lei da termodinâmica declara que o calor é sempre transferido
espontaneamente do corpo mais quente para o corpo mais frio. O calor dentro de um
fogão solar de caixa é dissipado de três maneiras básicas: Condução, Radiação e
Convecção.
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9 Condução:
Ao se manter a extremidade de uma agulha de ferro em uma chama, logo ela ficará
quente demais para que se possa segurá-la. O calor penetra na agulha de metal pela
extremidade mantida na chama e é transferida para toda agulha. Esse modo de transmissão
de calor é chamado de condução. O fogo faz os átomos da extremidade aquecida vibrarem
cada vez mais rapidamente. Em conseqüência, esses átomos e elétrons livres colidem com
seus vizinhos e assim por diante. Esse processo de múltiplas colisões continua até que o
aumento no movimento seja transmitido a todos os átomos, e o corpo inteiro torne-se mais
quente. A condução de calor ocorre por meio de colisões atômicas e eletrônicas.
O quanto um determinado objeto conduz bem ou mal o calor depende das ligações
em sua estrutura atômica ou molecular. Os sólidos formados por átomos com um ou mais
de seus elétrons mais externos "fracamente" ligados, são bons condutores de calor (e de
eletricidade). Os metais possuem os elétrons externos mais "fracamente" ligados, que são
livres para transportar energia por meio de colisões através do metal. Por essa razão eles
são excelentes condutores de calor e de eletricidade. A prata é o melhor condutor de todos,
seguido do cobre e, entre os metais comuns, o alumínio e depois o ferro são os próximos
em ordem. Lã, madeira, papel, cortiça e isopor, por outro lado, são condutores pobres de
calor, porque os elétrons mais externos dos átomos desses materiais estão firmemente
ligados. Os maus condutores são denominados isolantes.
Como a madeira é um bom isolante, ela é usada para revestir os cabos de utensílios
de cozinha. Mesmo quando está quente, uma pessoa pode agarrar o cabo revestido de
madeira de uma panela com as mãos descobertas e rapidamente retirá-la do forno aceso
sem queimar-se. Se o cabo fosse de ferro, à mesma temperatura, certamente a pessoa
queimaria sua mão.
A maior parte dos líquidos e dos gases são maus condutores de calor. O ar é um
péssimo condutor. As boas propriedades isolantes de materiais como lã, peles e penas
devem-se principalmente aos espaços com ar que elas contêm. Outras substâncias porosas
são igualmente bons isolantes por causa de seus pequenos espaços cheios de ar. A equação
2.1 ilustra a transferência de calor por condução.
dx
dT
kq −='' (2.1)
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Onde,
q’’: Fluxo de calor por condução;
k: Coeficiente de condutividade térmica;
dT: Diferença (infinitesimal) de temperatura dentro do material;
dx: Diferença (infinitesimal) do espaço dentro do material.
9 Radiação:
A energia vinda do Sol atravessa o espaço, depois a atmosfera terrestre para, então,
aquecer a superfície da Terra. Essa energia não passa através da atmosfera por condução,
pois o ar é um mau condutor. Também não passa por convecção, pois esta só tem início
quando a Terra já está aquecida. Sabe-se também que no espaço vazio (no Vácuo) não é
possível haver transmissão da energia solar por convecção ou condução. Assim, tem-se
que a energia deve ser transmitida de outra maneira, por radiação. A radiação que está
sendo tratada é a radiação eletromagnética, “incluindo a luz visível”. A mesma não deve
ser confundida a radioatividade. A energia transmitida dessa maneira é denominada
energia radiante equação 2.2.
(
)
VizSrRad
TTAhq
−
=
(2.2)
Onde,
q
Rad
: Fluxo de calor por radiação;
h
r
: Coeficiente de transferência de calor por Radiação;
A: Área;
T
S
: temperatura da superfície;
T
Viz
: Temperatura da vizinhança.
A energia radiante está na forma de ondas eletromagnéticas. Isso inclui as ondas de
rádio, as microondas, a luz visível, a radiação ultravioleta, os raios X e os raios gama.
Essas formas de energia radiante estão citadas aqui por ordem de comprimento de onda, do
mais longo para o mais curto. A radiação infravermelha (abaixo do vermelho) tem um
comprimento de onda mais longo do que o da luz visível. Os mais longos comprimentos de
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onda visíveis são os da luz vermelha e os mais curtos são os da luz violeta. A radiação
ultravioleta (além do violeta) tem comprimentos de onda mais curtos ainda.
O comprimento de onda da radiação está relacionado com a sua freqüência. A
freqüência é a taxa de vibração de uma onda. Na Figura 2.7 se mostram vários tipos de
ondas eletromagnéticas com freqüências distintas utilizadas no cotidiano.
Figura 2.7. Tipos de energias radiantes (ondas eletromagnéticas) com freqüências
variadas.
Deve-se notar o que acontece com as ondas eletromagnéticas. Vibrações com alta
freqüência produzem ondas curtas, enquanto vibrações com baixa freqüência produzem
ondas longas.
9 Emissão de Energia Radiante
Todas as substâncias a qualquer temperatura acima do zero absoluto emitem
energia radiante. A freqüência de pico f da energia radiante é diretamente proporcional à
temperatura absoluta T do emissor como o apresentado na Figura 2.8.
A superfície do Sol tem alta temperatura (pelos padrões terrestres) e, portanto,
emite energia radiante em alta freqüência - boa parte dela na faixa visível do espectro. A
superfície da Terra, em comparação, é relativamente fria e, desse modo, a energia radiante
que ela emite tem uma freqüência mais baixa do que a da luz visível. A radiação emitida
pela Terra está na forma de ondas infravermelhas - abaixo do limiar de nossa visão. A
energia radiante emitida pela Terra é chamada de radiação terrestre.
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Figura 2.8. A curva de radiação para diferentes temperaturas. A freqüência do pico da
energia radiante é diretamente proporcional à temperatura absoluta do emissor.
9 Absorção de Energia Radiante
Bons emissores de energia radiante são também bons absorvedores dela; maus
emissores são maus absorvedores. Por exemplo, uma antena de rádio construída para ser
um bom emissor de ondas de rádio é também, por sua própria concepção, um bom receptor
(absorvedor) delas. Uma antena transmissora mal projetada será também um mau receptor.
É interessante observar que se um bom emissor não fosse também um bom
absorvedor, objetos negros se manteriam mais quentes do que objetos com cores mais
claras e os dois jamais alcançariam uma temperatura comum. Objetos em contato térmico,
desde que se espere bastante tempo, acabam alcançando uma mesma temperatura. Um
pavimento de asfalto e um automóvel escuro mantêm-se mais quentes do que seus
arredores em um dia quente. Mas, ao anoitecer, os objetos escuros esfriam mais rápido.
Cedo ou tarde, todos os objetos chegarão ao equilíbrio térmico. Assim, um objeto escuro
que absorve muita energia radiante terá que também emitir muita energia.
Toda superfície, quente ou fria, tanto absorve como emite energia radiante. Se a
superfície absorve mais do que emite, ela é predominantemente um absorvedor e sua
temperatura se eleva. Ao contrário, se ela emite mais do que absorve, ela é
predominantemente um emissor e sua temperatura baixa. Se uma superfície está
desempenhando o papel predominante de absorvedora ou emissora depende da sua
temperatura estar acima ou abaixo da temperatura da vizinhança. Se ela está mais quente
T
(
k
)
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do que a vizinhança, ela será predominantemente um emissor e esfriará. Se ela está mais
fria, será predominantemente um absorvedor e se aquecerá.
9 Reflexão de Energia Radiante
A absorção e a reflexão são processos que se opõem. Um bom absorvedor de
energia radiante reflete muito pouco esse tipo de energia, incluindo a luz visível. Portanto,
uma superfície que reflete muito pouco ou nada de energia radiante aparece como escura.
De modo que um bom absorvedor parece escuro e um absorvedor perfeito não reflete
qualquer energia radiante e parece completamente negro.
Bons refletores, por outro lado, são maus absorvedores. A neve clara é um bom
refletor e, portanto, não derrete rapidamente quando exposta à luz do Sol. Se a neve está
suja, ela absorve mais energia radiante vinda do Sol e derrete mais rápido. Uma técnica às
vezes usada para controlar inundações é cobrir a superfície da neve das montanhas com
fuligem jogada de aviões. O derretimento controlado em épocas apropriadas, ao invés de
uma súbita avalanche de neve derretida, é favorecido por essa técnica.
9 Resfriamento Noturno por Radiação
Há corpos que irradiam mais energia do que recebem e tornam-se mais frios. Isso
acontece à noite, quando a radiação solar está ausente. Um objeto que é deixado fora de
casa durante a noite irradia energia para o espaço e, devido à ausência de quaisquer corpos
quentes em sua vizinhança, recebe muito pouca energia de volta. Portanto, ele perde mais
energia do que ganha e torna-se mais frio, mas se o objeto for um bom condutor de calor -
como um metal, uma pedra ou o concreto - haverá condução de calor para ele vindo do
solo, o que às vezes estabiliza sua temperatura. Por outro lado, materiais tais como
madeira, palha e vidro são maus condutores, e pouco calor será conduzido para eles a
partir do solo. Esses materiais isolantes são predominantemente radiadores e conseguem
ficar mais frios do que o ar. É comum que esses materiais fiquem cobertos de geada
mesmo quando a temperatura do ar não caiu abaixo do ponto de congelamento da água.
A própria Terra troca calor com sua vizinhança. O Sol é uma parte dominante da
vizinhança terrestre durante o dia. Neste período, a Terra absorve mais energia radiante do
que emite. Durante a noite, se o ar está relativamente transparente, a Terra irradia mais
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energia para o espaço do que recebe. Como os pesquisadores Arno Penzias e Robert
Wilson, dos laboratórios da Bell Telephone, descobriram em 1965, o espaço exterior
possui uma temperatura - cerca de 2,7 K (2,7 graus acima do zero absoluto). O próprio
espaço emite uma radiação fraca, característica daquela temperatura baixa.
9 A Lei de Newton do Esfriamento
Um objeto que está a uma temperatura diferente da temperatura de sua vizinhança
termina alcançando uma temperatura em comum com ela. Um objeto relativamente
quente esfria enquanto aquece sua vizinhança.
A taxa de esfriamento de um objeto depende de quanto mais quente ele está em
relação a sua vizinhança. A variação de temperatura por minuto de uma torta de maçã
quente será maior se a torta for colocada no interior de um congelador, em vez de na mesa
da cozinha. Quando a torta esfria dentro do congelador, a diferença entre sua temperatura
e a da vizinhança é maior do que no outro caso. Uma casa aquecida perderá calor para o
exterior frio a uma taxa maior quando existir uma grande diferença entre as temperaturas
do interior da casa e do exterior. Manter o interior de sua casa a uma temperatura alta em
um dia frio custa mais caro do que mantê-la a uma temperatura mais baixa. Ao se manter
pequena a diferença de temperaturas, então, conseguirá uma taxa de esfriamento
correspondentemente baixa.
A taxa de esfriamento de um objeto seja por condução ou convecção é
aproximadamente proporcional à diferença de temperatura ∆T entre o objeto e sua
vizinhança.
Taxa de esfriamento ~ ∆T
A lei vale também para o aquecimento. Se um objeto está mais frio do que sua
vizinhança, sua taxa de aquecimento será também proporcional a ∆T. A comida congelada
se aquecerá mais rapidamente em uma sala aquecida do que numa sala fria.
A taxa de esfriamento que se experimenta em um dia frio pode ser aumentada
pela convecção adicional devido ao vento. Refere-se a isso como a sensação térmica do
vento. Por exemplo, um vento que produz uma sensação térmica de -20° C significa que
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estaríamos perdendo calor na mesma taxa que seria perdida se não houvesse o vento, mas
se a temperatura fosse de -20° C.
9 Convecção:
Os líquidos e os gases transmitem calor principalmente por convecção, que é a
transferência de calor devido ao próprio movimento do fluido. Diferentemente da
condução (em que o calor é transmitido através de sucessivas colisões de átomos e de
elétrons), a convecção envolve o movimento de massa - o movimento global de um fluido,
como representado na equação 2.3.
(
)
∞
−
=
TThq
S
'' (2.3)
Onde,
q’’: Fluxo de calor;
h: Coeficiente de transferência de calor por convecção;
T
S
: Temperatura da superfície;
T
∞
: Temperatura do ambiente.
Ela pode ocorrer em todos os fluidos, sejam líquidos ou gases. Ao se aquecer a
água em uma panela ou se aquecer o ar de uma sala, o processo é o mesmo como
apresentado na Figura 2.9. Quando o fluido é aquecido por baixo, as moléculas do líquido
que estão no fundo passam a mover-se mais rapidamente, afastando-se, em média, mais
umas das outras, tornando menos denso o material, de maneira que surge uma força de
empuxo que empurra o fluido para cima. Fluido mais frio e mais denso, então, move-se de
modo a ocupar o lugar do fluido agora mais quente do fundo. Dessa maneira, as correntes
de convecção mantêm o fluido em circulação enquanto ele esquenta - o fluido mais
aquecido afastando-se da fonte de calor e o fluido mais frio movendo-se em direção à fonte
de calor.
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Figura 2.9. (a) correntes de convecção no ar. (b) correntes de convecção em um
líquido.
As correntes de convecção ocorrem também na atmosfera, afetando com isso o
clima. Quando o ar é aquecido, ele se expande. Desse modo ele se torna menos denso que
o ar circundante. Como um balão, ele sofre ação de um empuxo ascendente. Quando o ar
que se elevou alcança uma altitude na qual sua densidade se iguala à do ar circundante, ele
pára de subir. Isso é evidente quando se observa a fumaça de um fogo elevar-se e depois se
acomodar quando esfria e sua densidade se iguala à do ar circundante mais no alto. O ar
aquecido se expande ao elevar-se, porque ao atingir altitudes maiores uma pressão
atmosférica menor estará atuando sobre ele. Quando o ar se expande, se resfria.
Pode-se compreender o resfriamento do ar que sofre uma expansão concebendo as
moléculas de ar como sendo minúsculas bolas de “ping-pong” ricocheteando umas nas
outras. Uma bola aumenta sua velocidade ao ser atingida por uma outra que se aproxima
dela com uma velocidade maior. Mas quando uma delas colide com outra que está se
afastando, sua velocidade após o ricocheteio é reduzida. Analogamente com uma bola de
“ping-pong” que se movimenta em direção à raquete; ela torna-se mais rápida depois de
colidir com uma raquete que se aproxima, mas perde velocidade ao colidir com uma
raquete que se afasta. A mesma idéia se aplica a uma região em que o ar está se
expandindo: suas moléculas colidem, em média, mais com moléculas que estão se
afastando, do que com moléculas que estão se aproximando como mostrado na Figura
2.10. Assim, no ar em expansão, a velocidade média das moléculas diminui e o ar esfria.
Neste caso ela é convertida em trabalho realizado sobre o ar circundante, quando o ar em
expansão o empurra para fora.
FIGURA 2.10. As moléculas de uma região de ar em expansão.
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17
2.2. Sólido Semi-infinito
Uma geometria simples, na qual soluções analíticas podem ser obtidas, é o
sólido semi-infinito. Uma vez que tal
sólido se estende até o infinito em todas as
direções exceto em uma, ele é caracterizado por uma única superfície identificável
apresentado na Figura.
2.11.
Se uma súbita mudança for imposta nas condições dessa
superfície, condução unidimensional em regime transiente ocorrerá no interior do
sólido. O sólido semi-infinito fornece uma
idealização útil para muitos problemas
práticos. Ele pode ser usado na determinação da transferência de calor transiente em
uma região próxima à superfície do solo, ou então para aproximar a resposta transiente
de um sólido finito, como uma placa espessa. Nesse segundo caso, a aproximação
é
razoável na porção inicial do processo transiente, quando as temperaturas no interior da
placa (em pontos distantes da sua superfície) ainda não tenham sido influenciadas pela
mudança nas condições superficiais, ou seja:
T(x ∞, t)
=
T
i
(2.4)
Figura 2.11. Distribuições de temperaturas transientes em um sólido semi-infinito para
três condições superficiais: temperatura superficial constante, fluxo térmico na
superfície constante e convecção na superfície (Incropera e De Witt, 1996).
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Soluções em forma fechada foram obtidas para três importantes condições
Superficiais, impostas instantaneamente em t = 0 (Carslaw e Jaeger, 1959, Incropera e
De Witt, 1996).
Essas condições são mostradas na Fig. 2.11. Elas incluem a imposição
de uma temperatura superficial constante T
Sup
≠ T
i
,
a aplicação de um fluxo térmico
constante na superfície
q” e a exposição da superfície a um fluido caracterizado por T
∞
≠ T
i
e um coeficiente de transferência de calor por convecção.
A solução para o caso I pode ser obtida através do reconhecimento da existência
de uma
variável similar η, com a qual a equação do calor pode ser transformada de uma
equação diferencial parcial, que envolve duas variáveis independentes
(x
e t), em uma
equação diferencial ordinária expressa em termos de uma única variável independente, a
variável similar. Para confirmar que tal exigência
é
satisfeita por η ≡ (x/4αt)
1/2
,
em
primeiro lugar, transforma-se os operadores diferenciais pertinentes:
()
()
η
α
η
η
η
α
η
η
η
α
η
η
d
dT
tt
x
td
dT
t
T
d
Td
txx
T
d
d
x
T
d
dT
t
xd
dT
x
T
2
1
2
2
2
2
2
1
42
4
1
4
1
−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
Substituindo as transformações a equação do calor adquire a seguinte forma:
()
5.22
2
2
η
η
η
d
dT
d
Td
−=
Com x = 0 correspondendo a η = 0, a condição de contorno na superfície pode
ser representada por:
()
(
)
6.20
Sup
TT
=
=
η
e com
()
∞→x , bem como t = 0, correspondendo a
(
)
∞
→
η
, a condição inicial e a
condição de contorno no interior do sólido correspondente a uma única exigência.
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19
()
(
)
7.2
i
TT
=
∞→
η
Uma vez que a equação do calor transformada e as condições de contorno/inicial
são independentes de x e
t/η ≡ x/(4αt
)
1/2
é,
de fato, uma variável similar. Sua
existência implica que a forma da distribuição de temperaturas no meio. A forma
específica dependência da temperatura, T(η),
pode ser obtida pela combinação de
variáveis na Equação 2.5, tal que
(
)
()
ηη
η
η
d
ddT
ddTd
2
/
/
−=
Integrando, tem-se que
(
)
'
1
2
/ln CddT +−=
ηη
Integrando novamente, se obtém:
()
()
8.2exp
0
2
2
1
∫
+−=
η
CduuCT
Onde u é uma variável auxiliar (variável de integração). Utilizando a condição
de contorno em η = 0, Equação 2.8, segue-se que C
2
= T
Sup
e
()
∫
+−=
η
0
2
1
exp
Sup
TduuCT
Com a segunda condição de contorno, Equação. 2.7, se obtém:
()
∫
∞
+−=
0
2
1
exp
Sup
TduuCT
Ou, avaliando a integração definida,
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20
(
)
2
1
1
2
π
Supi
TT
C
−
=
Portanto, a distribuição de temperaturas pode ser representada por:
()
()
9.2exp/2
0
2
2
1
ηπ
η
erfduu
TT
TT
Supi
Sup
≡−
=
−
−
∫
Onde a função erro de Gauss, erf η, é uma função matemática clássica que se
encontra tabelada nos anexos. O fluxo térmico na superfície pode ser determinado pela
utilização da lei de Fourier em x = 0:
()
(
)
()
()
10.2
1
"
t
TTk
tq
Sup
Sup
πα
−
=
Soluções analíticas também podem ser obtidas para as condições superficiais
descritas nos casos 2 e 3. Os resultados para os três casos são resumidos a seguir
(Incropera e De Witt, 1996).
Caso 1 Temperatura Superficial Constante: T(0, t) = T
Sup
()
()
11.2
2
,
=
−
−
t
x
erf
TT
TtxT
Supi
Sup
α
()
(
)
()
()
12.2
1
"
t
TTk
tq
Sup
Sup
πα
−
=
Caso 2 Fluxo Térmico Constante na Superfície: q”
sup
= q
0
”
q”
s
= q
0
”
()
()
()
13.2
2
4
exp
/2
,
"
0
2
2
1
"
0
−
−
=−
t
x
erfc
k
xq
t
x
k
tq
TtxT
i
α
α
πα
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
21
21
Caso 3 Convecção na Superfície:
()
[]
tTTh
x
T
k
x
,0
0
−=
∂
∂
∞=
()
()
14.2
2
exp
2
,
2
2
+
+−
=
−
−
∞
k
th
t
x
erfc
k
th
k
hx
t
x
erfc
TT
TtxT
i
i
α
α
α
α
A função erro complementar, erfc w, é definida como erfc w ≡ 1 – erf w.
Históricos das temperaturas para os três casos são mostrados na Figura. 2.12, e
as características que os distinguem podem ser observadas. Com uma mudança em
forma de degrau na temperatura superficial, caso 1, à medida que t aumenta as
temperaturas no interior do meio se aproximam monotonicamente de T
Sup
enquanto a
magnitude do gradiente de temperatura na superfície, e portanto do fluxo térmico
correspondente diminui proporcionalmente a t
-1/2
. Em contraste, para um fluxo térmico
constante na superfície (caso
2),
a Equação 2.11 revela que T(0, t) = T
Sup
(t) aumenta
monotonicamente com t
-1/2
. Com a superfície exposta à transferência de calor por
convecção (caso 3), a temperatura superficial e as temperaturas no interior do meio
tendem ao valor da temperatura do fluido
T
∞
com o transcorrer do tempo. À medida
que T
Sup
se aproxima de T
∞
,
existe, obviamente, uma redução do fluxo térmico na
superfície, q”
sup
(t) = h[T
sup
(t) - T
∞
]. Históricos das temperaturas calculados pela
Equação 2.14
estão apresentados na Figura. 2.12. O resultado correspondendo a h = ∞
é equivalente ao associado a uma súbita mudança na temperatura superficial, caso 1.
Isto é, para
h
=
∞
.
a superfície atinge instantaneamente a temperatura do fluido (T
sup
=
T
∞
) e, com o segundo termo no lado direito da Equação 2.10 se anulando, o resultado
é equivalente a Equação 2.10.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
22
22
Figura 2.12. Histórico das temperaturas em um sólido semi-infinito com transferência
de calor por convecção na superfície (Incropera e De Witt, 1996).
Uma permutação interessante do caso 1 ocorre quando dois sólidos semi-
infinitos, inicialmente a temperaturas uniformes diferentes
T
A,i
e
T
B,i
são posicionados
com suas superfícies livres em contato como mostrado na Figura 2.13. Se a resistência
de contato for desprezível, a exigência de equilíbrio térmico dita que, no instante do
contato (t = 0)
,
as duas superfícies devem assumir a mesma temperatura
T
sup
,
com
T
B,i
<
T
sup
<
T
A,i
.
Uma vez que
T
não varia com o transcorrer do tempo, tem-se que a resposta
térmica transiente e o fluxo térmico na superfície para cada um dos sólidos são
determinados pelas Equações 2.11 e 2.12. respectivamente.
A temperatura superficial de equilíbrio na Figura 2.12 pode ser determinada por
um balanço de energia na superfície, que exige:
q”
sup,A
= q”
sup,B
(2.15)
Utilizando a Eq. 2.15 para representar q”
sup,A
e q”
sup,B
e reconhecendo que a
coordenada do eixo x na Figura. 2.11 exige uma mudança de sinal em q”
sup,A
tem-se
que:
(
)
()
(
)
()
()
16.2
2
1
,
2
1
,
t
TTk
t
TTk
A
iBSupB
A
iASupA
παπα
−
=
−−
ou, resolvendo para
T
Sup
,
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
23
23
()
(
)
() ()
()
17.2
2/12/1
,
2/1
,
2/1
BA
iB
B
iA
A
Sup
ckCk
TckTCk
T
ρρ
ρρ
+
+
=
Assim, a grandeza m ≡ (kρc)
1/2
é um fator de ponderação que determina
se T
sup
se aproxima mais de T
A,i
(m
A
> m
B
) ou de T
B,i
(m
B
> m
A
).
Figura 2.13. Contato interfacial entre dois sólidos semi-infinitos com diferentes
temperaturas iniciais (Incropera e De Witt, 1996).
2.2.1.
Radiação solar
A energia do Sol provém das regiões internas do Sol, em virtude de uma reação
de fusão contínua. Quase 90 % desta energia são gerados dentro da região 0,23 vezes o
raio do Sol e em seguida transferidos radiativamente até uma distância cerca de 0,7
vezes o
raio do Sol. Fora desta região há a zona convectiva, onde a temperatura está na
faixa de 6.000 K. A frieza relativa da superfície externa do Sol é indicação de que a
energia criada no interior é dissipada radiativamente pela superfície externa do Sol.
Portanto, o Sol, com seu raio R ≡ 6,96 x 10
5
km e massa M ≡ 1,99 x 10
30
kg, é uma
fonte de energia quase inexaurível para a Terra. Somente uma pequena fração de
energia do Sol atinge a Terra, em virtude da grande distância entre eles. A intensidade
da radiação solar que atinge a atmosfera foi determinada muito precisamente por uma
série de medidas feitas com o emprego de balões, de aviões, e de naves espaciais, de
1967 a 1970. A energia resultante é conhecida como a constante solar
G
S
,
e
vale:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
24
24
G
S =
1.353
W/m
2
(2.18)
Figura 2.14. Constante solar G
S
e radiação solar extraterrestre.
Essa quantidade representa o fluxo de radiação solar incidente sobre um plano
normal aos raios de Sol, exatamente no limite da atmosfera da Terra, quando ela está à
distância média do Sol.
À
medida que a Terra se desloca em torno do Sol, em uma
órbita ligeiramente elíptica, a distância entre eles varia de 98,3 % da distância média,
quando a Terra está no ponto mais próximo do Sol, até 101,7 % da distância média,
quando a Terra atinge sua distância máxima ao Sol. Por isso, o valor instantâneo de G
s
varia aproximadamente por ± 3,4 % isto
é,
do máximo 1.399 W/m
2
, em 21 de
dezembro, ao mínimo 1.310 W/m
2
, em 21 de junho. Entretanto, para fins práticos a
variação de G
s
é desprezada, e retorna a constante como 1.353 W/m
2
. Então a energia
solar G
o
que incide normalmente na superfície externa da atmosfera terrestre
é:
G
o
= G
s
cos θ
W/m
2
(2.19)
Onde G
o
é a radiação solar extraterrestre. Na Figura 2.14 se ilustra o significado
físico de G
s
e de
G
0
em relação à direção do feixe de raios solares.
O valor de G
s
pode ser utilizado na lei da radiação do corpo negro para
estabelecer uma temperatura efetiva
T
s
da superfície do Sol:
()
20.2
4
2
SS
T
R
r
G ⋅
=
σ
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
25
25
Onde:
G
s
=
1.353 W/m
2
r
=
6,9598.10
8
m, raio do disco solar
R
=
1,496.10
11
m, distância média da Terra ao Sol
σ
=
5,6697.10
-8
W//(m
2
. K
4
), constante de Stefan-Boltzmann
Então, a temperatura efetiva da superfície do Sol
é
T
=
5.762 K.
A radiação solar que atinge a superfície mais elevada da atmosfera terrestre
propaga-se através da atmosfera da Terra antes de chegar
à
superfície.
Aproximadamente 99 %
da atmosfera estão contidos à distância de cerca de 30 km a
partir da superfície da Terra. À medida que a radiação solar atravessa a atmosfera ela é
absorvida ou
é
espalhada pelo meio atmosférico. Na Figura 2.15 se mostra a
distribuição espectral da radiação solar G
Sλ
,
exatamente fora da atmosfera da Terra e no
nível do solo, quando a atmosfera está clara. Nota-se que a energia total contida abaixo
da curva G
Sλ
representa o fluxo de radiação solar exatamente acima da atmosfera
terrestre, isto é:
()
2.211353
0
2
∫
∞
==
m
W
GdG
SS
λ
λ
A curva da distribuição espectral da radiação solar que chega na superfície da
Terra fica abaixo da curva de G
Sλ
e mostra vários mínimos. O motivo disto é a absorção
da radiação solar pelo O
3
, O
2
, CO
2
e H
2
0 em diversos comprimentos de onda. O ozônio
(O
3
), que está concentrado em uma camada 10 a 30 km acima da superfície da Terra,
absorve fortemente a radiação ultravioleta no intervalo λ
=
0,2 a
λ
=
0,29 µm e
bastante no intervalo 0,9 a 0,34 µm.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
26
26
Figura 2.15. Efeitos da atenuação atmosférica sobre a distribuição espectral da radiação
solar. Fonte: Thekaekara 1976.
Por isso,
é
desprezível a radiação solar com comprimentos de onda menores do
que cerca de 0,3 µm
que atinge a superfície da Terra. A absorção do oxigênio ocorre
numa faixa muito estreita centrada em λ
=
0,76 µm. As bandas de absorção devidas ao
vapor de água são visíveis distintamente na faixa de 0,7 a 2,2 µm. O dióxido de carbono
e o vapor de água absorvem fortemente a radiação térmica nos comprimentos de onda
maiores do que cerca de 2,2 µm. Disso resulta que a radiação solar que atinge a
superfície da Terra está essencialmente contida nos comprimentos de onda entre 0,29 e
2,5
µm. A energia total submetida pela curva do espectro solar na superfície da Terra,
num dia de atmosfera límpida, é cerca de 956 W/m
2
.
Este valor é consideravelmente
menor do que a constante solar 1.353 W/m
2
,
na fronteira da atmosfera terrestre.
Além da absorção da radiação solar, há o seu espalhamento pelas moléculas do
ar, pelas gotículas
de água nas nuvens e pelos aerossóis ou partículas de poeira, à
medida que a radiação atravessa a atmosfera. As moléculas de ar espalham a radiação
solar de comprimentos de onda muito curtos em relação às dimensões das moléculas, e
este espalhamento é o espalhamento Rayleigh. Gotículas de água, aerossóis e outras
sujeiras atmosféricas espalham a radiação em comprimentos de onda comparáveis ao
diâmetro das partículas.
A parte da radiação solar que não é espalhada nem absorvida pela atmosfera, e
que atinge a superfície da Terra como um feixe é a radiação solar direta. A parte
espalhada da radiação que atinge a superfície da Terra, vinda de todas as direções do
firmamento, é a radiação solar difusa. Assim, a radiação solar recebida pela superfície
da Terra é composta das partes direta e difusa. A componente difusa varia de cerca de
10 %
do total, em um dia claro, a quase 100 %
,
em um dia totalmente nublado.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
27
27
2.2.2. Radiação solar que chega a Terra
A quantidade de energia solar recebida por uma superfície no nível do mar
depende da orientação da superfície em relação ao Sol, da hora do dia, do dia do ano, da
latitude do ponto de observação e das condições atmosféricas. Na alvorada ou no
crepúsculo, a radiação solar que atinge a superfície da Terra percorre um caminho
oblíquo, mais longo, através da atmosfera; por isso, a atenuação atmosférica é maior e a
intensidade se reduz significativamente.
O
fluxo total de energia solar q
t
, recebido por unidade de área de uma superfície
ao nível do mar consiste nas componentes direta e difusa. Seja q
df
(em Watts por metro
quadrado) a radiação solar difusa incidente sobre uma superfície horizontal e devida à
radiação proveniente de todo o hemisfério espacial, e seja q
D
o fluxo da radiação solar
direta, por unidade de área normal à direção do feixe de radiação solar, no nível do mar.
Seja θ o ângulo de incidência, isto é, o ângulo entre o raio do Sol e a normal à
superfície, conforme a ilustração da Figura 2.16. Então, o fluxo de energia solar total q
t
recebido pela área unitária da superfície no nível do mar, é:
q
t
= q
D
cos θ + q
df
W/m
2
(2.22)
Portanto, para calcular o fluxo total de energia solar recebido por uma superfície,
precisa-se saber o fluxo da radiação solar difusa, o fluxo da radiação solar direita sobre
um plano normal à direção do feixe, e o ângulo de incidência θ
.
Figura 2.16. Radiação solar recebida na superfície terrestre.
O ângulo de incidência pode ser relacionado ao ângulo de inclinação (isto é,
o
ângulo entre o plano horizontal e a superfície), à latitude (isto é, a distância angular ao
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
28
28
equador) e à declinação (isto
é,
o ângulo entre o raio do Sol e o plano equatorial no
meio-dia solar).
A energia solar incidente sobre uma superfície opaca é parcialmente absorvida
pela superfície e o restante é refletido.
2.2.3. Medidas da radiação solar
Os registros diários e horários da quantidade de radiação solar recebida em um
dado local sobre a superfície da Terra são essenciais para o projeto e otimização dos
sistemas de transferência de calor que empregam a energia solar. Esta informação é
também útil para finalidades arquitetônicas, agrícolas, biológicas e outras. Por isso,
realizam-se continuamente medidas de radiação solar com dispositivos monitores de
radiação localizados em diferentes partes do globo. Estas medidas geralmente incluem:
1. O fluxo de radiação solar direta
q
D
na incidência normal.
2. O fluxo de radiação solar difusa q
df
provindo de todo o firmamento, sobre uma
superfície horizontal.
3. O fluxo total (ou global) de radiação solar q
t
, que é a soma da radiação solar difusa
com a direta recebida por uma superfície horizontal.
4. O fluxo total de radiação solar sobre uma superfície inclinada com uma orientação
especificada.
Além disso, a distribuição espectral da radiação solar sobre certas bandas de
comprimento de onda e a quantidade de radiação solar refletida pelo solo têm interesse
em certas situações.
Por isso, as medidas de radiação solar são executadas continuamente por um
sistema de centros nacionais e internacionais de medidas solares em diferentes partes do
globo.
Ilustram-se os efeitos das condições da atmosfera e da hora do dia sobre o fluxo
total (isto
é,
global) da radiação solar q
t
, recebido por uma superfície horizontal, como
apresentada na Figura. 2.17 as medidas feitas em um dia claro em Greenbelt, Maryland.
O registro de um dia límpido, na Figura. 2.17 mostra o máximo do fluxo de radiação de
1.000 W/m
2
, perto do meio-dia, e os mínimos acentuados na curva, devidos a nuvens
ocasionais que bloqueiam a passagem dos raios vindos do Sol.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
29
29
2.2.4. Emissão atmosférica
A radiação solar que passa através da atmosfera é atenuada devido à absorção
por certos constituintes do ar atmosférico. Por isso, a atmosfera emite radiação térmica
em virtude da temperatura desses constituintes. O CO
2
e a H
2
O são os dois principais
constituintes que provocam a emissão de bandas nas regiões de 5 a 8 µm
e acima de 13
µm.
Embora esta emissão não seja emissão de corpo negro, para convivência na análise,
foi introduzida uma temperatura efetiva do céu T
céu
.
A emissão da atmosfera para a
superfície da Terra
é
representada por:
Figura 2.17. Radiação solar total sobre uma superfície horizontal, medida em
Greenbelt, Maryland, a 14 de maio de 1971.
q
céu
= σ . T
céu
4
W/m
2
(2.23)
A grandeza desta temperatura fictícia T
céu
depende das condições atmosféricas.
Os seus valores variam de 230 K, nas condições de tempo frio e céu límpido, até cerca
de 285 K, num dia quente e nublado.
2.2.5. Conceito de fator de forma
Até agora foi discutida a radiação para uma superfície única ou de uma
superfície. Entretanto, nas aplicações de engenharia, os problemas de interesse prático
envolvem troca de radiação entre duas ou mais superfícies. Quando as superfícies
estiverem separadas por um meio inerte, que não absorve, nem emite, nem difunde a
radiação, a troca de radiação entre as superfícies não é afetada pelo meio. O vácuo, por
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
30
30
exemplo, é um perfeito meio inerte; entretanto, o ar e muitos gases se aproximam quase
exatamente desta condição. Para quaisquer duas superfícies dadas, a orientação entre
elas afeta a fração da energia radiante emitida por uma superfície e que incide
diretamente na outra superfície. Por isso, a orientação das superfícies tem papel
importante na troca radiativa de calor.
Para formalizar os efeitos da orientação na análise da troca radiativa de calor
entre superfícies, adota-se o conceito de fator de forma. Os termos fator de vista, fator
de visada e fator de configuração também são utilizados na literatura. Deve-se fazer
uma distinção entre o fator de forma difuso e o fator de forma especular. O primeiro se
refere à situação em que as superfícies são refletores difusos e emissores difusos,
enquanto o último se refere à situação em que as superfícies são emissores difusos e
refletores especulares. Empregando-se simplesmente o termo fator de forma, e este
termo corresponde ao fator de forma difuso.
O
significado físico do fator de forma entre duas superfícies é representar a
fração de energia radiante emitida por uma superfície que incide diretamente na outra
superfície.
2.2.5.1. Fator de forma entre duas superfícies elementares
A fim de se ter uma visão mais profunda da dedução das relações que definem
os fatores de forma de demonstra-se a expressão que define o fator de forma entre duas
superfícies elementares.
Considerem-se duas superfícies elementares dA
1
e dA
2
, como está ilustrado na
Figura 2.18. Seja r a distância entre essas duas superfícies: θ
1
, o angulo polar entre a
normal n
l
ao elemento de superfície dA
1
e a reta r que liga dA
1
a dA
2
; e θ
2
, o ângulo
polar entre a normal n
2
a elemento de superfície dA
2
e a reta r.
Seja dω
l2
o ângulo sólido sob o
qual um observador em dA
1
vê o elemento de
superfície dA
2
e
a intensidade da radiação emitida difusivamente pelo elemento de
superfície em todas as direções do espaço hemisférico. A taxa de energia radiante dQ
1
emitida por dA
1
e que incide na superfície dA
2
é.
dQ
1
= dA
1
I
1
. cos θ
1
dω
12
(2.24)
Onde o ângulo sólido dω
12
é dado por :
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
31
31
()
25.2
cos
2
22
12
r
dA
d
θ
ω
=
A substituição da Equação (2.24) na Equação (2.25) leva a:
()
26.2
coscos
2
221
111
r
dA
IdAdQ
θθ
⋅
=
A taxa da energia de radiação dQ
1
emitida pelo elemento de superfície
dA
1
,
em
todas as direções sobre o espaço hemisférico é:
()
27.2cos
22
0
111111
1
∫∫
=
=
π
φ
π
θ
φθθθ
ddsenIdAQ
Figura 2.18. Coordenadas para a definição do fator de forma.
2.2.6. Método do circuito equivalente para a troca radiativa num
espaço fechado
A análise da troca de radiação entre as superfícies de um espaço fechado é
complicada, pois, quando as superfícies não são negras, a radiação emitida por uma
superfície pode ser refletida de volta, oscilando diversas vezes entre as superfícies, com
absorção parcial em cada reflexão. Por isso, uma análise própria do problema deve
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
32
32
incluir os efeitos destas reflexões múltiplas. Para simplificar a análise se admite que um
espaço fechado possa ser dividido em diversas zonas, como está na Figura 2.18, de tal
modo que sejam válidas as seguintes condições de cada zona i
=
1, 2, ... ,
N.
1. As propriedades radiativas (isto é, refletividade, emissividade, poder de absorção) são
uniformes e independentes da direção e da freqüência.
2. As superfícies são emissores difusos e refletores difusos.
3.
O fluxo de calor radiante emitido pela superfície é uniforme sobre a superfície de
cada zona.
4. A irradiação é uniforme sobre a superfície de cada zona.
5. As superfícies são opacas.
6. Há uma temperatura uniforme, ou um fluxo de calor uniforme, na superfície de cada
zona.
7. O espaço está cheio de um meio inerte.
As hipóteses 3 e 4 não são geralmente corretas, mas a análise se torna muito
complicada sem elas.
O objetivo da análise da troca de calor radiante em um espaço fechado é
determinar o fluxo líquido do calor radiante nas zonas em que a temperatura é
determinada. Vários métodos de análise foram publicados para a solução da troca de
calor radiante em um espaço fechado, com as hipóteses simplificadoras estabelecidas
acima. Entretanto, a observação detalhada de todos esses métodos revela que não há
diferença significativa entre eles, pois todos utilizam as mesmas hipóteses
simplificadoras. Nesta seção, é apresentado o método do circuito equivalente
introduzido originalmente por Oppenheim. O método é relativamente fácil de aplicar
nos problemas simples, que não envolvem um número muito grande de superfícies.
Além disso, proporciona boa visualização dos conceitos físicos da troca de calor entre
as superfícies. Quando estiverem envolvidas muitas superfícies de transferência de calor
o método não será assim tão prático. Por isso, na seção seguinte é apresentada a
formulação matricial da troca de radiação em espaços fechados.
O primeiro passo na análise da troca de radiação pelo método do circuito
equivalente é o desenvolvimento do conceito de resistência superficial
à
radiação.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
33
33
2.2.7. Resistência superficial
à
radiação
Considere a zona i
de um espaço fechado, como está representado na Figura
2.19a. São definidas as seguintes grandezas:
G
i
= R
adiação na zona
i:
representa o fluxo de radiação incidente sobre a
superfície A
i
, W/m
2
.
J
i
=
Radiosidade na zona
i:
representa o fluxo de radiação emitido pela
superfície A
i
, W/m
2
.
q
i
=
Fluxo líquido de radiação emitido pela superfície A
i
, W/m
2
.
Há uma distinção entre
J
i
e q
i
. A radiosidade
J
i
é a energia radiante emitida pela
superfície observada imediatamente fora da superfície da zona
i,
na localização
ilustrada simbolicamente pela linha tracejada da Figura 2.19b. O fluxo líquido de
radiação térmica
q
i,
emitido pela superfície A
i
, entretanto, está baseado no balanço da
energia líquida no interior da superfície A
i
. Por isso, por definição, q
i
é igual à diferença
entre J
i
e G
i
:
Figura 2.19. (a) Espaço fechado cheio com meio inerte; (b) balanço de energia
por unidade de área da zona i.
q
i
= J
i
– G
i
W/m
2
A radiosidade, entretanto, é composta das seguintes componentes:
()
28.2
supsup
+
=
erfície
pelarefletidaRadiação
erfíciepela
emitidaeRadiosidad
J
i
(a) (b)
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
34
34
Seja E
bi
o poder emissivo do corpo negro; ε
i
, a emissividade; ρ
i
, a refletividade; e
G
i
, o fluxo de radiação incidente na zona i. Então, a Equação (2.28) se torna:
J
i
= ε
i
E
bi
+ ρ
i
G
i
= ε
i
E
bi
+ (1 – ε
i
)G
i
(2.29)
Onde admiti-se ρ
i
= 1 –ε = 1. A Equação (2.29) é substituída na Equação (2.28)
para eliminar J
i
:
q
i
= ε
i
( E
bi
– G
i
) (2.30)
A Equação (2.30) resolvida em G
i
dá:
()
31.2
1
i
biii
i
EJ
G
ε
ε
−
−
=
A Equação (2.31) substituída na Equação (2.30), conduz à:
() ()
32.2/
1
2
mWJEq
ibi
i
i
i
∴−
−
=
ε
ε
O fluxo líquido total de radiação térmica Q, emitido pela superfície A
i
, torna-se
()
ibi
i
i
iiii
JEAqAQ −
−
==
ε
ε
1
Q é reordenado na forma:
()
33.2W
R
JE
Q
i
ibi
i
∴
−
=
Onde
()
34.2
1
ii
i
i
A
R
ε
ε
−
=
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
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35
Evidentemente, a Equação. (2.34) é análoga à
lei de Ohm, onde R
i
representa a
resistência da superfície à
radiação. A Equação. (2.33)
é
também análoga ao conceito de
resistência térmica (ou resistência pelicular) que é discutida quando se estuda a
transferência convectiva de calor sobre uma superfície.
Isto
é, a taxa de transferência de
calor total é igual à
diferença de potencial na superfície dividida pela resistência térmica
ao fluxo de calor na superfície.
Quando a superfície for negra
,
se
tem
ε
i
=
1, o que implica
Ri
=
O.
Então, a
Equação (2.33)
se reduz a:
J
i
= E
bi
= σ . T
i
4
com ε
i
= 1 ou superfície negra (2.35)
2.2.8. Espaço fechado com duas zonas
Tendo estabelecido o formalismo para definir a resistência superficial à radiação,
se pode analisar o problema do espaço fechado mais simples, envolvendo a troca de
calor em uma cavidade fechada com duas zonas somente. Exemplos típicos desta
situação física incluem a troca de radiação entre as superfícies de duas grandes placas
paralelas ou de dois cilindros longos coaxiais ou de duas esferas concêntricas. Para
generalidade se considera um espaço fechado com duas zonas, como está representado
na Figura. 2.20. A zona 1 tem uma área superficial A
1
e emissividade ε
1
e é mantida à
temperatura uniforme T
1
.
A zona 2 tem uma área superficial A
2
e emissividade ε
2
e é
mantida à temperatura uniforme T
2
.
Ambas as superfícies são opacas. A troca térmica
ocorre entre as superfícies porque estão em temperaturas diferentes, seja:
Q
1-2
= transferência líquida de calor radiante da zona 1 para a zona 2
Então o balanço de energia da troca radiativa de calor entre as duas zonas pode
ser escrito como:
()
36.2
.
sup
.
sup
1
2
2
121
−
=
−
Aemincidentee
Aerficiepela
emitidaradianteEnergia
Aemincidentee
Aerficiepela
emitidaradianteEnergia
Q
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
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36
As expressões matemáticas de cada termo do segundo membro são:
Q
1 – 2
= J
1
A
1
F
1 – 2
- J
2
A
2
F
2 – 1
(2.37)
onde
F
i - j
,
é o fator de forma entre as superfícies e J
1
e J
2
são as radiosidades
.
Aplicando a relação de reciprocidade à segunda parcela do segundo membro,
têm-se:
Q
1 – 2
= J
1
A
1
F
1 – 2
- J
2
A
1
F
1 – 2
= A
1
F
1 – 2
(J
1
–J
2
) (2.38)
Figura 2.20. Espaço fechado com duas zonas e o circuito equivalente.
2.3. Fogões Solares
Como aumenta a densidade e o peso dos materiais dentro da armação isolante do
fogão solar de caixa, a capacidade de o fogão reter calor aumenta, como destacado na
Figura 2.21. No interior da caixa, a inclusão de materiais pesados tais como rochas,
tijolos, panelas pesadas, água ou comida pesada torna mais longo o tempo de
aquecimento por causa da capacidade adicional de estocar calor, a qual é dada por ρC
p
,
ou seja, a sua densidade multiplicada pelo seu calor específico. A energia que entra é
armazenada como calor nesses materiais pesados, aquecendo lentamente o ar na caixa.
Esses materiais densos, carregados com calor, irradiarão o calor dentro da caixa,
mantendo-o aquecido por um período mais longo no final do dia.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
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37
Figura 2.21. Massa térmica dentro do fogão solar.
2.3.1. Exigências de materiais
Na construção das caixas solares existem três tipos de materiais que são
tipicamente usados, materiais transparentes, estruturais e isolantes, os quais são
descritos a seguir. Uma propriedade tem que ser considerada na seleção dos materiais é
a resistência à umidade.
2.3.1. Material estrutural
O material estrutural é necessário para que a caixa tenha e mantenha a forma
desejada e dure ao longo do tempo como é mostrado na Figura 2.22.
Os materiais estruturais incluem papelão, madeira, compensado, alcatex,
masonite, bambu, metal, cimento, tijolos, pedra, vidro, fibra de vidro, palha trançada,
palha, plástico, papel machê, “clay”, Terra batida, metais, casca de árvores, tecido
engomado com cola.
Figura 2.22.
Material estrutural, de isolamento, transparente e resistente à umidade.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
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38
Muitos materiais que funcionam bem como estruturais são muito densos para
serem bons isolantes. Para conseguir integridade estrutural e boas qualidades de
isolamento é necessário separar os materiais estruturais dos materiais de isolamento.
2.3.2. Isolamento
Para que a caixa mantenha as temperaturas interiores altas o bastante para o
cozimento, as paredes e o fundo da caixa devem ter um bom isolamento (boa retenção
de calor dentro da caixa). Bons materiais isolantes incluem: folha de alumínio (com k
ap
≡ 200 Wm
-1
°C
-1
e sendo um bom refletor de radiação), penas, fibra de vidro entrelaçada,
lã de pedra, celulose, casca de arroz, lã, palha e jornal amassado.
Na construção de um fogão solar é importante revestir o material por todos os
lados da cavidade de cozimento da caixa solar, com exceção do lado transparente
(geralmente o topo). Materiais isolantes devem ser instalados de tal forma que permitam
o mínimo de condução de calor do material estrutural da caixa interna para o material
estrutural da caixa externa. Quanto menor a perda de calor, mais alta é a temperatura de
cozimento.
Um dos requisitos básicos para ser um bom isolante é que o material tenha uma
pequena condutividade térmica k (Wm
-1
°C
-1
), para que não ocorra a perda de calor para
o meio externo por nenhum tipo de transmissão de energia principalmente por
condução.
2.3.3. Material transparente
Pelo menos uma superfície da caixa deve ser transparente e estar voltada para o
Sol para permitir o aquecimento pelo "efeito estufa". Os materiais transparentes mais
comuns são vidros e plásticos para alta temperatura. Duplo envidraçamento usando ou
vidro ou plástico afetam tanto o ganho quanto a perda de calor. Dependendo do material
usado a transmitância solar, ganho de calor, pode ser reduzida de 5 a 15 %. De qualquer
forma, a perda de calor através do vidro ou plástico, depende da espessura da camada de
ar, pois quando são usados dois vidros, existe uma camada de ar entre eles e como a
condutividade térmica do ar é muito pequena, ele ajuda no isolamento, diminuindo
assim as perdas de energia que pode ser diminuída pela metade. E dessa forma, o
desempenho da caixa solar aumentará consideravelmente.
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2.3.4. Resistência à umidade
A maior parte dos alimentos que é preparada no fogão de caixa solar contém
umidade. Quando a água ou alimento é aquecido na caixa solar, direciona-se o vapor de
dentro para fora da caixa. Existem várias maneiras que a umidade pode ser transferida.
Ele pode escapar diretamente através das frestas e brechas da caixa ou forçar as paredes
e fundo se não houver barreira para o vapor. Se a caixa é projetada com alta qualidade
de vedação e barreira para umidade, o vapor da água pode ser retido dentro da câmara
de cozimento. No projeto, da maioria dos fogões solares de caixa, é importante que a
maior parte da superfície interna seja uma boa barreira para o vapor. Esta barreira irá
prevenir que a água cause danos ao isolamento e à estrutura do fogão devido à lenta
migração do vapor de água através das paredes e do fundo do fogão.
2.4. Tipos de concentradores solar de calor
2.4.1. Refletor / Tipo Focal
Os fogões solares que utilizam refletores foram desenvolvidos antes da década
de 1950 e foram produzidod em larga escala na Índia. Tentativas foram feitas também
nas décadas de 1960 e 1970, para desenvolver fogão solar tipo refletor. Porém, o fogão
solar tipo refletor não se tornou tão popular por defeitos próprios, isto porque requeria
que o fogão fosse alinhado em direção ao Sol devido o movimento de rotação da Terra,
a cada 10 min, cozinhar poderia ser feito só no meio dia e só com luz direta do Sol. O
desempenho era grandemente afetado pelo vento e pela poeira, existia perigo do
cozinheiro ser queimado, tanto que foi necessário manter bem fechado o fogão quando
fosse cozinhar e o projeto se tornou complicado.
2.4.2. Tipo Transferidor de Calor
No fogão solar tipo transferidor de calor, o coletor é armazenado fora e a câmara
de cozimento é mantida dentro da cozinha de casa, mas este tipo de fogão solar também
não se tornou popular por causa do alto custo e também pelo limite de cozimento que
pode ser obtido.
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2.4.3. Tipo Caixa Quente
O terceiro tipo de fogão é conhecido como caixas quentes. A maioria dos
defeitos dos dois tipos de fogões anteriores foi removida. Entre os diferentes tipos de
fogões solares testados o forno solar tem sido o melhor. Apesar do desempenho do
forno ser muito bom, também requer um alinhamento ao Sol a cada 60 minutos, é
também grande e caro. Por isso o fogão solar tipo caixa quente com refletor único tem
sido promovido e o custo subsidiado pelo ministério de pesquisa em energia não-
convencional, o governo da Índia e a agência Nodal do estado na Índia desde 1981 a
1982 e 462.000 fogões solares foram vendidos até 31 de dezembro de 1998. Desde 1
°
de abril de 1998 até dezembro de 1998 foram vendidos 5.000 fogões solares. Isto mostra
que a popularidade dos fogões declinou, na época citada. Ele também requer
alinhamento ao Sol a cada 60 min. Por esta razão a operação tornou-se difícil e o
desempenho do fogão solar tipo caixa quente é muito pequeno durante o inverno,
quando a radiação solar e a temperatura estão muito baixas. Considerando isto, o fogão
solar tipo caixa quente com dois refletores foi desenvolvido por Gupta e Purohit, então
este movimento poderia ser evitado por 3 horas, mas o problema do baixo desempenho
durante o inverno persistia com este fogão solar. Por conseguinte, tentativas também
foram feitas por Nahar et. al. para melhorar o desempenho do fogão solar tipo caixa
quente durante o frio extremo pelo uso de material isolante e transparente (MIT), e o
fogão solar tipo caixa quente com MIT foi testado dentro do simulador solar da
Universidade de Wales, na faculdade de Cardiff. Nesse aspecto, ambos os defeitos do
fogão solar tipo caixa quente foram removidos pelo fornecimento de mais de um
refletor, e as perdas de calor por convecção têm sido supridas pelo uso do MIT como
sugeriu Hollands, Goetzberger et. al., Nordgard e Beckham, Platzer e Nahar et. al., o
fogão é armazenado de tal forma que um refletor está voltado para o sul e o outro para o
leste o movimento do fogão é evitado por 180 min. À tarde um refletor é voltado para o
sul e o outro para o oeste, então de novo o movimento é evitado por 180 min. O tempo
máximo para cozinhar um prato é menor que 3 horas.
2.4.4. Placas Fotovoltaicas
Os sistemas que utilizam efeitos quânticos para a conversão da energia solar em
energia elétrica, recebem o nome genérico de células solares. É possível construir
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células solares com base em diversos efeitos quânticos. Dentre estes o mais utilizado é o
fotovoltáico.
Chama-se efeito fotovoltaico ao que permite a conversão direta da energia
luminosa do sol em energia elétrica, utilizando captores, denominados fotocélulas.
O princípio de funcionamento de uma célula fotovoltaica baseia-se na
propriedade que alguns materiais possuem principalmente os cristais quando
devidamente manuseados, de gerar uma corrente elétrica quando sobre eles incide um
feixe de luz, ou seja, a partir da energia do fóton (da luz incidente) é produzida uma
corrente elétrica, devido a uma diferença de voltagem ou de potencial, resultando no
termo energia fotovoltaica.
As fotocélulas mais empregadas são as de silício, com um rendimento que já
alcança cerca de 16 %, para as mais modernas.
Nas aplicações são inúmeras as suas utilizações, como por exemplo,
funcionamento de rádio, farol, eletrificação de cercas, estações meteoro lógicas,
estações de comunicação, telefones, rádio transmissor, acionamento de bombas,
máquinas frigoríficas, televisão, antenas parabólicas, lâmpadas etc. Na Figura 2.23
mostra-se a aplicação de placas fotovoltaicas fixas, em uma residência, enquanto que na
Figura 2.24 é mostrado um exemplo de sistema móvel (rastreador), já na Figura 2.25 é
mostrada uma aplicação na iluminação pública.
Figura 2.23. Sistema Fotovoltáico Fixo. Figura 2.24. Sistema
Fotovoltáico Móvel
Figura 2.25. Sistema de Iluminação Pública.
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2.5. Aspectos tecnológicos
2.5.1. Tecnologias Empregadas
Atualmente o emprego do Sol como fonte energética na cocção de alimentos,
tornou-se numa das alternativas mais importantes e ecologicamente correta,
principalmente quando se sabe que de acordo com o Manual for Solar Box Cooker's,
cerca de dois terços da população mundial, dependem diariamente de lenha para
satisfação de suas necessidades energéticas direcionadas para a utilização domiciliar.
Esta ocorrência se dá exatamente entre as populações que habitam as regiões tropicais,
portanto em áreas propícias ao uso da energia solar onde a incidência solar chega, em
alguns casos, a um potencial de 1.000 W/m
2
.
A utilização da energia solar para suprir as necessidades energéticas do futuro,
não significa em absoluto que possa a mesma substituir de maneira integral as demais
formas de energia ainda hoje utilizadas pelo homem.
Mas, voltando-se para o Brasil, se vê na seca (o grande problema nordestino),
uma prova inconfundível da potência energética solar dessa região. Este mesmo Sol,
cuja radiação tem causado tantos efeitos prejudicais durante as estiagens, poderá ser
vantajosamente aproveitado para acionar bombas, destiladores, aquecer água para
utilização doméstica e industrial, para secar frutos, carnes, peixes, grãos, climatização,
conversão de energia, cocção de alimentos etc.
O fogão solar é hoje um fato comprovado, e como já foi dito, tem sido objeto de
estudo por vários pesquisadores no âmbito nacional e internacional. A maioria dos
fogões solares existentes funciona à concentração, muito embora existam outros tipos
que aproveitam o efeito estufa como é o caso do protótipo desenvolvido por M. TELKS
e ainda o sistema misto desenvolvido por S. PRATA.
Os sistemas a concentração são normalmente constituídos de captores de forma
parabólica, semi-esférica, cilíndrico-parabólico, cônica e tronco-cônica. Estes sistemas,
para que possam apresentar um desempenho satisfatório, necessitam de radiação direta,
céu claro e sem nebulosidades.
A literatura internacional faz inúmeras referências a fogões solares construídos e
testados por diversos pesquisadores. Nomes como H. STAM, SALGADO PRATA,
G.LOF, ABOU-HUSSEIN e outros, contribuíram objetivamente para a solução do
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problema. Foram construídos e testados inúmeros protótipos de concentradores
parabólicos, esféricos, cilindro- parabólico, o sistema "four" ou caixa quente baseado no
efeito estufa, o sistema misto "four" cilíndrico-parabólico e outros.
Os protótipos industrializados na França, Japão, Estados Unidos, etc. utilizam
superfícies refletoras parabólicas.
Entre os protótipos testados observou-se que o tempo necessário para ebulição
de um litro de água com temperatura inicial de 20 °C situou-se na faixa entre 15 e 30
minutos, para a otimização da curva da radiação solar.
As superfícies refletoras destes protótipos foram obtidas com revestimento de
folha de alumínio polido, plástico aluminizado, alumínio anodizado, chapa de bronze
niquelada etc.
A SOFEE, indústria francesa de equipamentos solares patenteou um fogão
construído em plástico rígido, de forma parabólica cuja superfície refletora é formada
por um revestimento de plástico aluminizado, conhecido localmente como "mylar".
Existe outro tipo de fogão denominado "umbrella" que apesar de sua fragilidade
estrutural é bastante prático e facilmente transportável. A sua superfície refletora é
constituída por um tecido recoberto de um filme de plástico aluminizado.
2.5.2. Considerações sobre a superfície refletora
O emprego de plástico rígido metalizado funcionando como elemento estrutural
e superfície refletora do concentrador, tem sido objeto de vários estudos.
Presentemente o único plástico possível de ser metalizado pela indústria
brasileira é o tipo ABS. A tecnologia adotada exige, contudo o emprego de matrizes de
aço ou latão o que até certo ponto invalida a utilização do ABS para fabricação dos
concentradores para utilização em fogões solares devido ao alto custo do produto final.
Além desse fato, as câmaras de metalização empregadas pela indústria brasileira,
geralmente utilizadas para peças de pequenas dimensões, provavelmente não seriam
economicamente recomendáveis em virtude do pequeno número a ser processado de
cada vez, devido às dimensões dos concentradores com diâmetros da ordem de 1,14
metros.
A utilização do papel de alumínio para revestimento do parabolóide ainda é a
solução mais economicamente indicada na obtenção da superfície refletora, muito
embora não seja a melhor. Este material apresenta algumas desvantagens apesar da boa
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refletividade e baixo coeficiente de absorção à radiação solar. Tem vida útil reduzida e
sua refletividade fica dentro de pouco tempo comprometida pela oxidação natural sem
considerar que, durante a operação de cocção dos alimentos, água ou gorduras não
tenham sido entornadas sobre o papel. O plástico aluminizado importado tipo "mylar" e
outros apresentam problemas semelhantes. É contudo, mais resistente e de vida útil
maior do que a do papel. A sua refletividade e o baixo coeficiente de absorção à
radiação solar são excelentes.
O aço inox poderia ser uma solução, porém além de seu preço elevado, tem a
propriedade de absorver o infravermelho do espectro solar, afetando o rendimento do
concentrador. Em relação ao papel de alumínio apresenta a vantagem de não sofrer a
ação do tempo ou mesmo das graxas ou gorduras, água ou outro líquido que sobre ele
seja entornado. É de fácil limpeza, não pode ser riscado com facilidade, o que contribui
para manter a superfície refletora sempre em boas condições.
Os filmes de plástico metalizados, via de regra importados, não seria a melhor
solução em virtude do custo e dificuldade de importação. Poder-se-ia pensar em folhas
de alumínio polido ou anodizado, porém não são facilmente encontradas no mercado
regional, com o grau de polimento desejado. Soluções outras como superfícies
cromadas ou niqueladas exigem que o absorvedor seja construído de metal, encarecendo
o produto acabado.
Podem-se também obter parabolóides de madeira laminada, pó de madeira com
aglomerante, alumínio, papelão, fibra de vidro etc.
Considerando as dificuldades encontradas para obtenção de um material de boa
qualidade e de baixo custo para compor a superfície refletora, são utilizados pedaços de
espelhos obtidos através do corte de uma lâmina de 2 mm de espessura, adaptando-se os
pedaços ao perfil curvo da parábola.
É importante, contudo, esclarecer que o fogão solar não tem a pretensão de
substituir integralmente o uso da lenha ou mesmo do gás de cozinha e nem isto seria
possível, pois sendo o fogão solar um equipamento cuja operacionalidade só tem
sentido com a presença da radiação solar direta. É perfeitamente compreensível que
haverá ocasião em que o Sol não ofereça condições de operacionalidade do fogão solar,
quer por questões de forte nebulosidade, que em decorrência de períodos chuvosos e
fatores outros que impeçam a presença da radiação direta e neste caso o uso da lenha ou
do gás se torna imperativo.
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2.6. Mapas do fluxo de radiação solar no território brasileiro
Na Figura 2.26 são apresentados os mapas da média mensal da radiação solar
global para os dozes meses de 2000. Como era esperado, pode-se observar que o Brasil,
devido à sua localização predominantemente tropical, possui uma grande
disponibilidade de recursos de energia solar em todo o seu território. Os maiores valores
de fluxo de radiação são observados na região central do país durante o verão. É
interessante notar que durante o verão, os valores de radiação solar global observado na
região sul do país são superiores aos valores obtidos para a região norte.
Mesmo durante o inverno, a radiação solar na superfície é elevada apresentando
os valores mínimos da ordem aproximada de 200Wm
-2
no sul do Brasil. Vale observar
que durante a estação seca, as estimativas de radiação solar apresentam incertezas
maiores em função da ocorrência de queimadas na região central e norte do país que
lançam grande quantidade de aerossóis na atmosfera capazes de absorver a radiação
solar (Pereira, 2000). Trabalhos realizados (Pereira, 2000) indicam desvios que são da
ordem de 11 % entre valores calculados e medidos nessas regiões, em comparação com
os desvios bem menores, da ordem de 6 % nas regiões onde não ocorrem queimadas.
Estudos estão sendo desenvolvidos para incluir uma parametrização dos aerossóis
emitidos em eventos de queima de biomassa em modelos de transferência de radiação,
no entanto, a reduzida quantidade de informações disponíveis sobre a composição, a
concentração e a distribuição espacial dos mesmos vem dificultando a obtenção de
resultados consistentes.
Além dos mapas de radiação solar global, mapas das componentes direta e
difusa, de radiação foto sinteticamente ativa (PAR) e da radiação em planos inclinados
também estão sendo gerados e armazenados para disponibilização de acesso público. Na
Figura 2.27 é mostrada a média anual das componentes da radiação solar (global, direta,
difusa) e a radiação solar no plano inclinado para o território brasileiro. A informação
contida no mapa de radiação no plano inclinado (Figura 2.27D) é de grande utilidade no
aproveitamento da energia solar em projetos de geração fotovoltaica ou térmica uma vez
que mostra a quantidade de energia incidente no plano de maior radiação solar direta
considerando a posição geográfica do local. Pode-se observar que os maiores valores de
radiação direta e no plano inclinado ocorrem aproximadamente nas mesmas regiões do
país: região compreendida pelo estado do Tocantins, oeste da Bahia e sul dos estados de
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Maranhão e Piauí durante o período de verão e na região central e sudeste do país
durante a estação seca (agosto a outubro). Na Figura 2.27(D) é apresentado de forma
clara o grande potencial para o aproveitamento da energia solar no Brasil. A média do
território brasileiro (aproximadamente 5 k.W.h.m
-2
/dia) é praticamente igual ao valor
máximo de radiação observado no continente europeu (aprox. 5,5 kW.h.m
-2
/dia),
Helioclim, (2004), onde ocorre um grande investimento tanto governamental como de
iniciativa privada nesta fonte de energia renovável.
Estudos estão sendo desenvolvidos com o objetivo de avaliar a variabilidade
interanual do fluxo de radiação solar na superfície. Estimativas para o período de 1999 a
2004 foram processadas e analisadas, o que permitirá também a realização de estudos
para determinar quais os fatores climático-ambientais que influenciam na variabilidade
dos recursos de energia solar. Esse é um aspecto importante para a avaliação dos riscos
associados a investimentos para a aplicação desta fonte de energia.
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Figura 2.26. Mapas de radiação solar global média mensal para o território brasileiro
obtido com o uso do modelo BRASIL-SR a partir de dados climatológicos e imagens de
satélite GOES-8 para o ano de 2000.
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Figura 2.27. Mapas de radiação solar média anual para o território brasileiro obtidos
com o uso do modelo BRASIL-SR a partir de dados climatológicos e imagens de
satélite GOES-8 para o ano de 2000: (A) radiação global, (B) radiação direta, (C)
radiação difusa e (D) radiação global em plano inclinado em ângulo igual à latitude
local.
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2.7. Eletricidade do Sol
A eletricidade solar térmica é uma tecnologia relativamente nova que já se tem
mostrado muita promissora. Com pouco impacto ambiental e sendo uma fonte barata,
oferece uma oportunidade aos países mais pobres do mundo comparável ao avanço que
os parques eólicos marinhos estão oferecendo atualmente aos países europeus com mais
ventos no litoral. A eletricidade solar térmica usa diretamente o Sol, porque se situar em
regiões com uma alta radiação solar direta. Entre as áreas mais promissoras do mundo
estão o Sudeste dos Estados Unidos, América Central e do Sul, África, Oriente
Próximo, a Europa Mediterrânea, Iran, Paquistão, e as regiões desérticas de Índia, a ex-
União Soviética, China e Austrália.
Em muitas regiões do mundo, um quilômetro quadrado de Terra basta para gerar
de 100 a 200 GigaWatts hora (GWh) de eletricidade ao ano usando a tecnologia solar
termoelétrica. Isto equivale à produção anual de uma central térmica; a exploração de
menos de 1 % do potencial solar térmico total, seria suficiente para estabilizar o clima
mundial mediante reduções massivas de CO
2
.
2.7.1.Converter o calor do Sol em eletricidade.
Produzir eletricidade da energia dos raios solares é um processo relativamente
simples. A radiação solar direta pode ser concentrada e armazenada mediante uma série
de tecnologias (TCS) que proporcionariam temperaturas de médias a altas. Este calor se
utiliza para operar um ciclo termodinâmico convencional, por exemplo, acionar uma
turbina acoplada a um gerador de eletricidade.
O calor solar recolhido durante o dia pode também se armazenar em meios
líquidos, sólidos ou que cambiam de fase, como sais fundidos, cerâmicas, cimento, ou
no futuro, misturas de sais que mudam de fase. Pela noite, pode extrair-se o calor do
meio de armazenamento para fazer funcionar a turbina.
A eletricidade solar térmica também está barateando os custos de produção. As
centrais que operam na Califórnia alcançaram impressionantes reduções de custos, com
custos de geração que oscilam hoje entre 10 a 13 centavos de $/kWh. Em geeeral, se
espera que no futuro os custos estejam próximos de 5 centavos de dolares. Juntas,
tecnologias avançadas, produção em massa, economias de mercado e melhoras na
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operação, permitiram uma redução nos custos da eletricidade solar a um nível
competitivo com as centrais térmicas de combustíveis fósseis nos próximos 10 a 15
anos.
2.7.2. Tecnologia, custos e benefícios
Para produzir eletricidade a partir da energia solar térmica se requerem quatro
elementos: concentrador, receptor, alguma forma de transporte do calor, armazenamento
e conversão da energia, um equipamento que é muito similar ao de uma planta de
combustível fóssil. As três tecnologias solares térmicas mais promissoras são o
concentrador cilindro parabólico (CCP), o receptor central de torre e o disco parabólico.
2.8. Modelo Brasil - SR
Os mapas de radiação solar para o território brasileiro e América do Sul foram
obtidos com o uso do modelo de transferência de radiação BRASIL-SR desenvolvido
pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) em parceria com o Laboratório
de Energia Solar / Universidade Federal de Santa Catarina. Atualmente o modelo
encontra-se operacional no LABSOLAR processando os dados solares para a América
Latina. A obtenção de uma estimativa da radiação solar incidente na superfície
utilizando o modelo BRASIL-SR está atrelada a três conjuntos principais de
informações: a) valores climatológicos de temperatura, visibilidade, umidade relativa;
b) dados digitais extraídos de imagens de satélite; e c) aplicação do “Método de Dois-
Fluxos” (Martins, 2001) para solução da equação de transferência de radiação na
atmosfera. Na Figura 2.28 é mostrado o diagrama em blocos dos processos pelo modelo.
As bases de dados climatológicos de temperatura e visibilidade foram desenvolvidas a
partir da compilação e análise geoestatística dos dados de todas as estações de superfície
na América do Sul disponíveis na base de dados “Global Surface Summary of Day
Data” mantida pelo National Climatic Data Center. O banco de dados de umidade
relativa foi desenvolvido a partir da interpolação de dados obtidos junto à “International
Research Institute for Climate Prediction” para toda a América do Sul. A base de dados
de albedo de superfície foi gerada a partir das planilhas mensais na resolução 1º x 1º
disponibilizadas pelo “Distributed Active Archive Center – Goddard Space Flight
Center”. Os valores de altitude para todo o território da América do Sul foram obtidos
pela manipulação da base de dados GTOPO30 produzida pelo Earth Resources
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Observation System Data Center (EROS) mantido pelo U.S Geological Survey. Os
valores do coeficiente de cobertura efetiva de nuvens (neff) são obtidos após
manipulação e análise estatística das imagens de satélite (GOES-8 e GOES-12) e
descrevem dois efeitos causados pela presença de nuvens: a fração do céu coberto por
nuvens e a profundidade ótica das mesmas.
Figura 2.28. Fluxograma do modelo de transferência radiativa BRASIL-SR.
Dados de entrada
(
mês, altitude, latitude/longitude)
Dados Climatológicos
(temperatura, umidade relativa
Propriedades do Sol
(declino, ângulo zenital,
irradiação TOA, etc.)
Determinação
do tipo de
tf
Determinação de
precipitação de
á
Perfis atmosféricos
(O
3
, CO
2
, vapor d’água,
Rayleingh, etc.)
Modelamento de
nuvens
(Tipo de nuvem,numero de
dt d
Propriedades óticas
de nuvens
(Espessura ótica, conteúdo
de água.)
Transmitância
para céu encoberto
(
τcld)
(A i ã
Parametrização de aerossóis
atmosféricos
Determinação do perfil de
aerossóis
Dados
climatológicos
(Visibilidade)
Propriedades óticas
(McClatchey, 1976, Köepker et. Al.,
1997)
Transmitância
para céu claro
(τclr)
(Aproximação
“Dois-
F
luxos”.
)
Dados de Satélite
Coeficiente de cobertura de
nuvens (Neff)
Determinação de estimativas de radiação global incidente
F =
{
(1 – neff) . τclr + neff .
τ
cld
}
. F
0
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O modelo assume que fluxo de radiação solar no topo da atmosfera está
linearmente distribuído entre as duas condições atmosféricas extremas, céu claro e céu
encoberto (Martins, 2001; Pereira et al., 2000). O modelo assume, também, a existência
de uma relação linear entre a irradiância global na superfície e o fluxo de radiação
refletida no topo da atmosfera, descrita matematicamente por:
F↓ = F
0
{ τ clear. (1− neff )+ neff . τ cloud } (2.35)
Onde F ↓ é fluxo de radiação solar incidente na superfície, F
0
é a radiação
incidente no topo da atmosfera. A radiação solar incidente na superfície é estimada
através da Equação (2.35) a partir de duas componentes independentes: a primeira
componente corresponde à transmitância atmosférica em condição de céu claro, τclear,
e a segunda refere-se à condição de céu encoberto, τcloud. As duas transmitâncias
podem ser estimadas a partir de parametrização dos processos físicos que ocorrem na
atmosfera utilizando dados climatológicos e a aproximação de “Dois-Fluxos” para
solução da equação de transferência de radiação. A natureza aleatória do fluxo de
radiação solar incidente na superfície em qualquer condição de nebulosidade é incluída
no modelo através do coeficiente de cobertura de nuvens (neff).
2.9. Dados da energia solar (NE e RN)
A radiação média global (Anual) da região Nordeste foi de 5.688 W.h/m
2
conforme apresentado na Tabela 2.1.
Tabela 2.1. Dados: Centro de Estudos de Energia Solar- CENSOLAR/ES
Radiação Incidente Mensal Média em Natal/RN sobre Superfície Horizontal
(W.h/m²dia) em horas de Sol, Média Diária (1995 a 1999) na Tabela 2.2, segundo a
estação Climatológica da UFRN.
6389 6667 6612 5611 5611 5000 4528 5111 4945 5723 5806 5945
DEZ NOV OUT SET AGOJUL JUN MAI ABR MAR FEV JAN
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Tabela 2.2. Média Mensal: 250,3 a 3003,6 horas de Sol/ano: mensal de 250 horas e
anual de 3.003,5 horas
Situação energética RN (Dados: IDEMA/IBGE/COSERN) mostra a radiação
anuário das diversas regiões do Rio Grande do Norte na Tabela 2.3.
Tabela 2.3. Dados: Anuário Estatístico do RN/1997
Resultados – Censo 2000: Domicílios:
612.639
Com energia elétrica: 582.055
Sem energia elétrica: 30.584
9,7 9,5 9,7 9,0 7,5 7,2 7,1 8,2 7,3 7,1 7,9 8,6
DEZ NOV OUT SET AGOJUL JUN MAI ABR MAR FEV JAN
2.558.660 Total
1.129.951
158.750
267.080
92.547
113.055
84.165
215.112
498.000
Litoral Oriental
Litoral Norte
Agreste
Currais Novos
Caicó
Serras Centrais
Alto Apodi
Mossoroense
Pop.Res.
Zona
Consumidores de Ener
g
ia Elétrica
588.016 3,6 21.02796,4 566.989
279.888
30.202
51.703
23.075
27.348
13.985
47.579
114.236
2,3
1,9
2,1
9,9
5,9
3,2
3,7
5,9
6.513
564
1.094
2.290
1.620
445
1.769
6.729
97,7
98,1
97,9
90,1
94,1
96,8
96,3
94,1
273.372
29.638
50.609
20.758
25.728
13.540
45.810
107.507
Total % Rural % Outros
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Capítulo 3
Estado da Arte
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3. Estado da Arte
O uso de combustível não-renovável vindo de áreas mais populosas por parte
das comunidades carentes é difícil e caro, devido ao fato de a maioria das comunidades
estarem em áreas isoladas. O nível de radiação solar nestas regiões é muito alto, eis o
porquê de o cozimento solar se tornar uma possível solução. O uso de fogões solares
implica alcançar os dois objetivos, tanto bom alimento, quanto desenvolvimento,
diminuindo o impacto no meio ambiente (Souza, 2004).
Neste campo de abordagem teve-se como base princípios óticos, sendo um
trabalho anteriormente desenvolvido ao nível local, nacional e internacional. No que diz
respeito a experiências locais já foram desenvolvidas, construídas e testadas várias
gerações de fogões solares ao longo dos últimos vinte anos, com várias geometrias e
utilizando diferentes tipos de materiais (Saraiva et. al, 1999).
3.1. Análise do fogão solar tipo caixa
Esse tipo de cozinha pode ter distintos números de refletores externos (0 a 4),
planos ou levemente côncavos. Caracterizam-se por permitirem a obtenção de
temperaturas de no máximo 150 °C demoram a aquecer e sua operacionalização,
geralmente, não é fácil. Por outro lado tem a vantagem de poder funcionar praticamente
sem a intervenção do usuário, mantendo o alimento aquecido durante um tempo
prolongado, não produzem efeitos danosos ao usuário nem por contemplação nem por
reflexão, são estáveis e não apresentam riscos pela produção de chamas, não gerando,
portanto, susceptibilidade a queimaduras. São construídos com materiais de baixo custo,
ainda que seja improvável seu uso para todos os dias do ano. Podem-se construir
modelos de fácil transporte, leves e dobráveis. É possível estar acoplado a um sistema
auxiliar que utiliza gás como combustível.
Pode-se retirar a comida e completar o seu cozimento por via tradicional no caso
do céu estar nublado. Algumas experiências têm demonstrado que muitos processos de
cocção podem realizar-se a 75 °C, durante mais de duas horas.
Esse tipo de fogão encontra ampla aplicação em todo o mundo, principalmente
na Ásia e África, destacando-se a Índia e a China, como países que têm investido
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maciçamente em programas sociais que viabilizam a construção de fogões solares a
baixo custo, para uma utilização significativa por parte de seu povo. A seguir são
mostrados alguns tipos de fogões do tipo caixa em utilização em todo mundo.
No Instituto de Energias Não Convencionais, em 1998, na Espanha, construiu-se
uma cozinha de dupla caixa, usando-se como material para cobertura transparente, duas
lâminas de policarbonato, que se encontram mostradas na Figura 3.1, além de dois
outros fogões. Esses fogões foram construídos baseados em um modelo desenvolvido
pelo Brace Research Institute (BRI, 1996) do Canadá.
Figura 3.1. Vista em perspectiva do fogão solar tipo caixa.
Um outro tipo de fogão tipo caixa bastante utilizada é o fogão solar painel de
Bernard, mostrado na Figura 3.2, desenvolvido na Associação Lyonnaise para Estudo
do Desenvolvimento da Energia Solar. A.L.E.D.E.S na Universidade de Lyon, na
França.
Figura 3.2. Fogão solar painel de Bernard.
3.2. Análise e teste de 4 fogões solares
O uso do fogo está diretamente relacionado com a existência da raça humana. O
consumo de alimentos cozidos é primordial para o ser humano, e a forma mais comum
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de cocção é usar algum combustível. Assim, o crescimento da população humana é
acompanhado do aumento de consumo de alimentos, e por conseqüência um aumento
do consumo de combustível para cocção. O suprimento de energia para cocção é
necessário para o bem estar da população, e o fogão solar pode ser uma opção de cocção
para certa parcela da população.
Na maior parte dos países pobres do mundo, a lenha é o principal combustível da
cocção. No Brasil, cerca de 94 % das residências possuem fogões a GLP, o que
ocasiona uma grande demanda deste combustível. Somente uma pequena parcela da
população brasileira usa exclusivamente a lenha para a cocção. O aumento do preço do
petróleo e dos seus derivados está levando parte da população pobre brasileira a retornar
ao uso dos fogões a lenha. O uso de energia solar para cocção, diminui a demanda de
combustível no setor, economizando combustíveis fósseis e lenha.
Os fogões solares estão presentes na literatura técnica desde o século XVIII. O
pioneiro dos fogões solares foi o suíço Horace de Saussure que construiu em 1767 um
fogão tipo estufa capaz de atingir cerca de 90 °C. Em 1830 o astrônomo John Herschel
usou fogões solares em sua expedição na África do Sul. Em 1870 Augustine Mouchot
desenvolveu para a Legião Francesa um fogão solar portátil capaz de assar 500 g de pão
em 45 min ou 1 kg de batatas em uma hora. Em 1878 William A. Adams (Bombaim,
Índia) desenvolveu um fogão concentrador que usava espelhos planos montados na
forma de uma pirâmide invertida de oito lados, que concentrava a radiação sobre um
forno cilíndrico. Este forno podia cozinhar de 6 kg em 4 a 5 horas. Este modelo é
popular ainda hoje.
O fogão solar tem sido objeto de estudo de vários pesquisadores em todo mundo,
sobretudo devido ao impacto do uso da lenha na cocção sobre o meio ambiente. Na
China e no Tibet o fogão solar é um sucesso comercial; existindo hoje cerca de 300.000
fogões solares em uso. Na China são utilizados fogões concentradores com espelhos de
vidro com área de 2 m
2
, capazes de ferver 1 litro de água em 20 minutos sob uma boa
insolação. Estes fogões custam cerca de US$ 20,00.
3.2.1. Existem três tipos básicos de fogões solares.
1- Concentradores
2- Estufa
3- Sistema com coletor solar separado da unidade de cozimento.
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3.2.1.1. Fogões Solares Concentradores
Os fogões solares concentradores utilizam um dispositivo ótico (refletor ou
lente) entre a fonte de radiação (Sol) e a superfície absorvedora. A área da superfície
absorvedora é menor do que a área do dispositivo de captação da energia solar, de modo
a aumentar a intensidade energética. A razão entre a área de coleta e a área do
absorvedor é a chamada razão de concentração geométrica, e pode variar de 10 a até
centenas nos fogões concentradores. Assim, é possível alcançar no foco temperaturas
superiores a 400 ºC. Outra característica dos concentradores solares é a razão de
concentração ótica, que leva em conta as características óticas da superfície coletora e
da superfície absorvedora (respectivamente refletividade e absortividade). A superfície
refletora pode apresentar diversas formas, tais como parabólica, semi-esférica,
cilíndrico-parabólica, cônica, tronco-cônica, paraboloidal e tipo V. A panela de cocção
deve ter fundo negro para absorver melhor a radiação solar.
Os fogões concentradores são os fogões solares que apresentam as maiores
potências e menores tempos de cozimento. A grande desvantagem destes equipamentos
é que funcionam somente com a radiação direta, devendo estar corretamente orientados
para o sol para o funcionamento correto. A orientação incorreta ou a presença de nuvens
podem reduzir a bastante à eficiência do fogão concentrador.
O projeto da superfície refletora de um fogão solar do tipo concentrador deve
produzir uma razão de concentração adequada ao uso do fogão. Além disto, quanto
maior o ângulo, menor a necessidade de orientação do fogão solar.
O material utilizado na superfície refletora deve garantir um acabamento o mais
liso e especular possível, acompanhar a forma da superfície refletora e ser
economicamente viável. As superfícies refletoras são obtidas com revestimentos de
folha de alumínio polido, plástico aluminizado, alumínio anodizado, chapa de bronze
niquelada etc. O papel alumínio é uma boa solução do ponto de vista econômico. Ele
possui uma alta refletividade e um baixo coeficiente de absorção da radiação solar.
Entretanto, devido à sua fragilidade, sua vida útil é pequena. O plástico metalizado é
mais resistente e possui vida útil maior que a do papel alumínio. Sua refletividade é alta
e possui baixo coeficiente de absorção à radiação solar. O aço inox, é um excelente
refletor, mas possui preço elevado. O aço inox não sofre ação do tempo ou de gorduras,
água ou outros líquidos derramados. É de fácil limpeza e resistente a riscos. Placas de
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alumínio polidas possuem características óticas superiores ao aço inox. Entretanto o
processo de polimento é caro e elas sofrem um processo de oxidação.
3.2.1.2. Fogões Solares Tipo Estufa
Os fogões solares tipo estufa consistem basicamente de uma caixa isolada
termicamente, dotada de uma janela de vidro para absorver a radiação solar. O vidro
permite a passagem da radiação de ondas curtas (luz solar) e impede a saída da radiação
de ondas longas (radiação infravermelha emitida pelos componentes do interior da
caixa). O calor retido aumenta a temperatura no interior da caixa possibilitando a cocção
dos alimentos. Alguns fogões solares do tipo estufa possuem superfícies refletoras
externas, que aumentam a intensidade da radiação incidente sobre o vidro, aumentando
a potência do fogão.
Os fogões solares tipo estufa aproveitam não só a radiação direta (como nos
fogões concentradores), mas também a radiação difusa. Assim é possível o seu
funcionamento em dias parcialmente nublados. O isolamento térmico permite que a
cocção continue durante um determinado tempo, mesmo na ausência de radiação solar.
Entretanto, o vidro dificulta o acesso à panela, e no cozimento de alimentos que
necessitam uma interferência constante, o funcionamento fica prejudicado.
3.2.1.3. Fogões Solares com Armazenamento
Os fogões solares com armazenamento possuem um coletor solar separado da
unidade de cozimento. O fluido de trabalho (água ou óleo) é aquecido pelo coletor solar
e é levado para a unidade de cozimento por mecanismo de termosifão. A grande
vantagem deste sistema é que a unidade de cocção pode ficar dentro de casa, eliminando
o desconforto de cozinhar ao ar livre, fora de casa. Além disso, um reservatório
armazena o fluido aquecido e permite que se possa cozinhar à noite. Entretanto, são
muito mais complexos e caros que os demais tipos de fogões solares.
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3.2.2. Protótipos de fogões solares
A fim de estudar o funcionamento e operação dos fogões solares foram
construídos e testados quatro fogões solares (Pinheiro, 2006.
• Fogão 1. Tipo Estufa
Figura 3.3. Fogão 1 Tipo Estufa.
O fogão 1 Tipo Estufa, Figura 3.3, foi construído em papelão, isolado
internamente com placas de isopor 20 mm. O interior foi forrado com espelhos de vidro
nas laterais e uma chapa de aço galvanizado pintada de preto no fundo. A cobertura é de
vidro plano de 3 mm de área espessura, de 53 cm x 53 cm. Foram instalados puxadores
na tampa de vidro de modo a facilitar a sua remoção e o acesso ao interior.
• Fogão 2. Tipo Estufa
Figura 3.4. Fogão 2 Tipo Estufa.
O fogão 2 Tipo Estufa, Figura 3.4, foi construído em papelão, isolado
internamente com placas de isopor 20 mm. Em 2 das laterais foram colocados espelhos
em ângulo de 30° de modo a direcionar a radiação solar para a panela. A cobertura é de
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vidro plano de 3 mm, de 94 cm x 95 cm. Foram utilizados 2 vidros de 47 cm x 95 cm na
cobertura de modo a facilitar a retirada do vidro e o acesso ao interior. Um orifício de
diâmetro 10 mm em uma das laterais permite a saída do vapor produzido.
• Fogão 3. Tipo Concentrador Parabólico
Figura 3.5. Fogão 3 Tipo Concentrador Parabólico.
O fogão 3 Tipo Concentrador Parabólico, Figura 3.5, foi construído a partir de
uma antena parabólica em fibra de vidro de diâmetro 1,56 m. A antena parabólica foi
pintada com tinta alumínio de cor preta e no foco foi instalado o dispositivo de
sustentação da panela. O ajuste do foco é realizado movimentando o concentrador sobre
um suporte apoiado no solo.
• Fogão 4. Tipo Concentrador Cônico
Figura 3.6. Fogão 4 Tipo Concentrador Cônico.
O fogão 4 Tipo Concentrador Cônico, Figura 3.6, foi construído em madeira e
papelão. O suporte é de aço. A seção tronco-cônica (45°) foi construída com papelão e
forrada com papel alumínio. O fundo do concentrador foi coberto com uma chapa de
aço galvanizado pintada de preto. Um suporte mantém a panela na posição de cocção. O
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ajuste do foco é realizado movimentando o concentrador sobre um suporte apoiado no
solo.
Tabela 3.1. Quadro Sinótico das Características dos Protótipos de Fogões Solares
(Pinheiro, 2006).
Tipo de Fogão Solar Área Coletora m
2
01 Estufa 0,281
02 Estufa 0,893
03 Concentrador Parabólico 1,910
04 Concentrador Cônico 0,622
3.2.3. Método de ensaio de fogões solares
Para ensaiar os protótipos construídos foi necessário desenvolver uma
metodologia de testes. Na metodologia de teste se procurou estabelecer todas as
grandezas que influem diretamente no desempenho dos fogões solares e delimitar
parâmetros para cada uma delas.
Equipamentos Necessários para os Ensaios
- Medidor de Temperatura (termopar)
- Solarímetro
- Cronômetro
- Anemômetro
- Trena ou metro
- Bureta de 1000 mL
- Panela de alumínio: diâmetro 250 mm, espessura 0,5mm, preto fosco (absortividade ≥
0,86)
3.2.3.1. Procedimentos Preliminares
- Medir a área do coletor, inclusive os refletores.
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- Instalar o termopar na panela, de modo que ele se mantenha no centro e a 10 mm do
fundo. Os fios do termopar devem passar através de um orifício na tampa.
- Conectar o termopar ao equipamento de medição.
- Colocar 7 kg de água por metro quadrado de área do coletor (ou refletor). Quando
forem utilizadas mais de uma panela, é necessário repartir igualmente a água entre todas
as panelas. Assegurar que a junta de medição do termopar na panela esteja submersa na
água.
3.2.3.2. Procedimento Operacional
- Colocar a panela no fogão.
- Medir a velocidade do vento com o anemômetro. Anotar.
- Medir a insolação com o solarímetro. Anotar.
- Medir a temperatura ambiente e da água.
- Iniciar as medições quando a temperatura da água atingir 40 ºC, terminar o ensaio
quanto atingir 90 ºC.
- Medir a cada 10 minutos:
- temperatura da água. Anotar.
- temperatura ambiente. Anotar.
- insolação. Anotar.
- velocidade do vento. Anotar.
Restrições:
- Os experimentos deverão ser realizados entre 10 h e 14 h (Hora Solar).
- A temperatura ambiente deve estar entre 20 e 35 ºC.
- A insolação deve estar entre 450 e 1100 W/m
2
. A variação da insolação entre
cada medição (10 minutos) não pode ser maior que 100 W/m
2
.
- A velocidade do vento deve ser inferior a 2,5m/s e sua média inferior a 1m/s.
3.3. Testes e resultados dos fogões solares
Os ensaios dos fogões solares foram realizados no Campus da UFMG em Belo
Horizonte, MG, no período de 08 a 19 de Novembro de 2004, entre 10h e 14h (hora
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solar). Neste período o céu encontrava-se aberto, com a presença de poucas nuvens
(Pinheiro, 2006).
Os fogões do tipo estufa foram colocados na horizontal, orientados no sentido
leste-oeste, e ficaram estáticos durante todo o ensaio. Os fogões do tipo concentrador
foram orientados perpendicularmente aos raios solares, de modo que o foco atingisse o
absorvedor (panela). A cada 15 minutos verificava-se a posição do foco. Foram
realizados no mínimo 3 ensaios de cada fogão. Os resultados apresentados nas figuras
3.7 e 3.8 representam a média destes ensaios.
Local do teste - Campus da UFMG, Belo Horizonte, MG
Latitude: 19°52'14" S Longitude: 43°57'41" W Altitude: 790 m
Condições do teste: Céu aberto com poucas nuvens
Temperatura ambiente: 29,9 a 34,6 °C
Umidade relativa do ar: 50 a 65 %
Velocidade do vento: < 1 m/s
Radiação global - 930 a 1050 W/m
2
3.3.1. Equipamentos Utilizados
Solarimetro Spectral Eppley Modelo PSP 33050F3 (Precisão ± 0,5 %)
Termopar tipo K icel com certificado de calibração (Precisão ± 0,5 °C)
Termômetro digital Polimed PM 1020 (Precisão ± 0,5% leitura ± 1,0 °C)
Anemômetro Minipa MDA-11 (Precisão ± 3 % de fundo de escala)
Psicrômetro de Aspiração (bulbo-seco - bulbo-úmido)
Figura 3.7. Temperatura da Água (Pinheiro, 2006).
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Figura 3.8. Potência Específica dos Fogões Solares (Pinheiro, 2006).
Tabela 3.2. Quadro Sinótico das Características dos Protótipos de Fogões Solares
(Pinheiro, 2006).
Nos fogões 01 e 03 foi possível atingir a temperatura de 90 ºC, após um tempo
de 2 h 50 min e 1h 10 min respectivamente. A temperatura máxima atingida no fogão
02 foi 53 ºC e no fogão 04 foi 85 ºC.
O fogão 01 funcionou a contento, com um rendimento próximo ao encontrado na
literatura conforme apresentado na tabela 3.2. O fogão 02 teve um rendimento muito
baixo. A pesar de sua grande superfície coletora, o fogão 02 possui também uma grande
superfície de perda de calor. Além disto, sua construção não foi muito esmerada,
existindo perdas de calor pela junção dos dois vidros. A grande inclinação dos espelhos
em vez de direcionar a radiação para a panela provocou a reflexão de parte da radiação
para o exterior.
O fogão concentrador parabólico 03 funcionou a contento. O bom acabamento
da superfície refletora concentrou os raios solares no fundo da panela com precisão.
Como somente o fundo da panela foi aquecido, as perdas térmicas para o meio ambiente
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foram menores. O uso de uma panela de fundo preto e superfícies laterais polidas
poderiam minimizar ainda mais as perdas térmicas por radiação.
O fogão concentrador cônico por sua vez concentra a radiação na superfície
lateral da panela. Quanto maior for a radiação, maiores as perdas térmicas para o meio
ambiente. O uso de panelas com superfícies laterais negras aumentam a absorção da
radiação solar e aumenta as perdas térmicas para o meio ambiente. O uso de panelas
com superfícies laterais polidas, diminuem consideravelmente a absorção da radiação
solar. Além disto, como a construção também não foi esmerada, o foco não ficava
totalmente sobre a panela.
Nos dois fogões concentradores verifica-se que é muito importante o
posicionamento correto da panela em relação ao foco. Caso a panela fique fora do foco,
não se consegue um funcionamento satisfatório.
3.4. Fogões concentradores
Os concentradores são refletores circulares que concentram a luz solar no
recipiente de cocção ou panela. Suas desvantagens são as necessidades de luz solar
direta, mecanismo de acompanhamento para seguir a incidência solar a cada 30
minutos, esfriamento rápido do alimento se há desvio de foco ou nebulosidade
acentuada; falta de estabilidade ante-ventos, risco de fogo ou queimaduras, danos aos
usuários por raios refletidos. Em contrapartida têm a possibilidade de alcançar altas
temperaturas, o que permite realizar frituras ou assados.
A seguir são mostrados alguns tipos de fogões concentradores nas Figuras 3.9 e
3.10 em uso em todo o mundo.
Figura 3.9. Fogão solar construído no Laboratório de Máquinas Hidráulicas e Energia
Solar (LMHES).
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Figura 3.10. (Figuras: a, b). Fogões Concentradores
3.5. Determinação Experimental da Difusividade Térmica do Pão
Francês Durante o Processo de Assamento
Durante o assamento, importantes alterações ocorreram nos pães como
diminuição do conteúdo de água de 44,1 para 30,8 % e aumento do volume de 382 para
420 cm
3
. Devido ao aumento do volume e diminuição da massa, a densidade aparente
do pão francês variou de 0,324 g/cm
3
para o pão sem assamento a 0,231 g/cm
3
para o
pão com 14 minutos de assamento. A difusividade térmica efetiva do pão francês foi
determinada a partir das curvas de penetração de calor considerando o pão como um
cilindro bidimensional. As curvas foram registradas a uma taxa de 30 aquisições por
minuto durante o assamento dos pães em um forno turbo com dispositivo de
vaporização. O valor médio da difusividade térmica encontrada para o pão francês
durante o assamento foi de 4,1 x 10
-7
m
2
/s.
A relação entre a habilidade de conduzir e armazenar energia de um material é
conhecido como difusividade térmica (α). Materiais com alto valor de difusividade
térmica respondem rapidamente a mudanças térmicas em seu ambiente, enquanto
materiais de pequenos valores de a respondem mais lentamente, demorando a alcançar
um novo estado de equilíbrio (Incropera e De Witt, 1996). A difusividade térmica é uma
importante propriedade de transporte que é necessária na modelagem e nos cálculos de
transferência de calor transiente em operações básicas de processamento de alimentos,
como a secagem, o processamento térmico, o resfriamento e o congelamento. A
difusividade térmica de um material é influenciada pelo conteúdo de água, pela
temperatura, pela composição e pela porosidade. Como em muitos processos, o
conteúdo de água e a temperatura de um produto podem variar consideravelmente, o
a b
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valor da difusividade térmica também pode variar. Além disso, muitos produtos
alimentícios não são homogêneos e a difusividade térmica pode variar de um local para
outro dentro do mesmo produto.
O emprego da equação
c
k
×
=
ρ
α
para calcular o valor da difusividade térmica
requer o conhecimento de valores determinados experimentalmente das três
propriedades: a condutividade térmica, o calor específico e a densidade. Esta abordagem
requer tempo considerável e instrumentação elaborada. Alguns pesquisadores
publicaram dados de valores de propriedades térmicas de alimentos (ASHRAE citado
por Singh; Sweat e Haugh ; Polley et al.; Heldman e Singh citado por Singh; Rahman)
e estimaram a difusividade térmica. Outra abordagem é conduzir experimentos que
permitam a medida direta desta propriedade (Singh).
O uso de curvas de penetração de calor é uma importante abordagem
experimental para determinar α, em situações em que a amostra é exposta à
aquecimento por um longo período de tempo e tem sido amplamente empregado na
indústria de enlatados. A base do método é a relação exponencial entre a mudança da
temperatura do produto e o tempo após certo período de aquecimento.
Neste trabalho a difusividade térmica efetiva do pão francês foi determinada a
partir das curvas de penetração de calor considerando o pão como um cilindro
bidimensional.
3.5.1. procedimentos
3.5.1.1. Matérias-primas
Farinha de trigo especial, água potável, fermento biológico liofilizado, sal,
açúcar, gordura vegetal e aditivos: polisorbato Alkamult T-80 MX, ácido ascórbico,
enzima Grindamil A 10000 (a-amilase) e estearoil lactilato de cálcio P 80-20 (CSL).
3.5.1.2. Metodologia
A manufatura dos pães foi conduzida pelo método direto na Padaria Piloto do
Laboratório de Engenharia de Alimentos do Depto de Eng. Química da EPUSP, com
composição semelhante aos pães comercializados. Após mistura, batimento, divisão,
modelagem e fermentação da massa, as peças foram conduzidas ao forno turbo pré-
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JOHNSON PONTES DE MOURA
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ajustado a 200 °C para assamento. A circulação de ar dentro do forno assegura uma
distribuição uniforme de calor ao redor dos pães. Durante os primeiros instantes do
assamento, vapor de água sob baixa pressão foi introduzido no interior da câmara do
forno. Quatro bandejas foram colocadas no forno, com 16 pães cada, exceto uma em
que uma posição foi ocupada por um cilindro de alumínio, com dimensões próximas às
de um pão francês (D = 3,5 cm; L = 14 cm). Dois termopares tipo T foram inseridos em
um pão francês, um posicionado no seu centro geométrico e outro na superfície. Dois
outros termopares também foram inseridos no centro geométrico e na superfície do
cilindro de alumínio, conforme mostra a Figura 3.11. As posições do cilindro de
alumínio e do pão com os termopares na bandeja e a posição desta na câmara do forno
foram sempre as mesmas em todos os ensaios. Um termopar foi utilizado para adquirir a
temperatura do forno. Durante todo o processo de assamento o registro da temperatura
da câmara do forno, do centro e da superfície do pão e do centro e da superfície do
cilindro foi obtido através dos termopares ligados na interface da National Instruments,
acoplada no computador, por meio do programa LabVIEW 5.1, na freqüência de 30
aquisições por minuto, no total de 20 minutos de assamento.
FIGURA 3.11. Foto da bandeja com o cilindro de alumínio e os pães com os
termopares inseridos.
FIGURA 3.12. Temperatura adimensional em função do tempo de assar do pão:
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Medidas físicas (comprimento e diâmetro) e a massa dos pães foram obtidas por
medida direta, o volume foi determinado pelo método de deslocamento de sementes de
painço e o conteúdo de água determinado de acordo com o método da AACC.
Para o cálculo de L (dimensão característica) do pão foram utilizados o valor
médio do volume durante o assamento (388,2 ± 6,41cm
3
) e a área calculada pelos
valores médios do diâmetro (5,40 ± 0,40cm) e do comprimento (11,73 ± 0,70cm). A
massa média encontrada foi 48,4 ± 1,7g. Para o cálculo do número de Biot no caso do
pão francês foram utilizados o maior e o menor valor do coeficiente convectivo do
forno, obtidos experimentalmente através das curvas dos perfis das temperaturas do
centro e da superfície do cilindro de alumínio e da temperatura do forno, e também
foram utilizados o maior e o menor valor médio da condutividade térmica do pão
francês obtidos experimentalmente através da sonda linear (Queiroz, 2001).
A Figura 3.12 apresenta um exemplo da temperatura adimensional obtida
durante o assamento do pão francês. A difusividade térmica efetiva do pão francês foi
calculada para o caso bidimensional através da equação abaixo e o valor médio
encontrado foi de 4,110 x 10
-7
± 22,25x10
-7
m
2
/s:
()
××
+−=
−
−
∞
∞
t
Rl
TT
TT
c
α
π
2
2
2
2
0
4048,2
exp3096,2
Os valores obtidos são comparáveis aos encontrados na literatura para produtos
de panificação (Zanoni et al., Rask citado por Zanoni et al., Magee e Bransburg).
3.6. Análise discriminativa das características sensoriais
O objetivo dessas análises foi avaliar diferenças nos aspectos sensoriais do pão
pré-assado congelado produzido no laboratório em relação ao pão fresco. Pães
produzidos com formulação similar à comercial foram pré-assados durante 7 minutos a
250 ºC, imediatamente congelados até atingirem –18 ºC no centro geométrico e
mantidos congelados até sete dias. Diariamente amostras foram retiradas do freezer,
descongeladas e conduzidas ao assamento final. Análise sensorial dos pães pré-assados
congelados foi realizada por uma equipe de provadores treinados e conduzida de acordo
com o método de Teste de Comparação Múltipla para avaliar a diferença e o grau de
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duas amostras-teste (uma constituída por pão fresco e outra por pão pré-assado
congelado) em relação a uma amostra-controle (pão fresco) dos seguintes atributos:
aparência, textura ao corte e sensação na boca. Análises estatísticas demonstraram que
os provadores notaram diferença significativa da aparência entre as amostras a partir do
3º dia de congelado, da textura ao corte somente no 3º dia e da sensação na boca nos 2º,
3º e 7º dias.
O setor de Panificação e Confeitaria no Brasil representa 2 % do PIB nacional,
com o faturamento anual ao redor de R$ 16 bilhões [ABIP] e o pão francês detém 85 %
desse mercado. Atualmente os pães podem ser comercializados em estabelecimentos
não tradicionais como lojas de conveniência e supermercados devido à venda de pães
congelados, uma tendência que está em crescimento no Brasil. Podem ser
comercializado massa de pão congelada ou pães congelados pré-assados, cuja vantagem
desse ultimo é exigir menos equipamentos no ponto de venda e maior rapidez no
preparo [ABIP]. A comercialização do pão pré-assado congelado visa reduzir o
desperdício de matéria prima e de espaço de produção, a não necessidade de
equipamentos de fabricação e mão de obra especializada, a padronização da qualidade e
a disponibilidade de vender pão quente a toda hora [NUTRINEWS].
3.7. Procedimentos
No preparo do pão pré-assado, a massa foi produzida a partir de lotes de 5 kg de
farinha de trigo pelo método direto (Queiroz, 2001) Os pães foram pré-assados durante
7 minutos em forno turbo a 250 °C e imediatamente submetidos ao congelamento até
que a temperatura no seu centro geométrico atingisse –18 ºC. Após o congelamento, os
pães foram armazenados em sacos de polietileno e mantidos em freezer a –18 ºC até 7
dias. A cada dia, amostras foram retiradas do freezer, descongeladas por uma hora à
temperatura ambiente e então cozidas ao forno para completar o assamento. O pão pré-
assado congelado após assamento final está mostrado na Figura 3.13.
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Figura 3.13. Pão pré-assado após assamento final.
A análise sensorial foi realizada por um grupo de provadores constituído por 15
homens e 18 mulheres com idade entre 20 e 60 anos. Primeiramente o grupo foi
submetido a um treinamento de reconhecimento dos gostos básicos (ácido, amargo,
salgado e doce) e intensidade dos mesmos (fraco, médio e forte).
O método utilizado para a análise sensorial dos pães foi o Teste de Comparação
Múltipla [ABNT] onde eram apresentadas duas amostras-teste codificadas (uma de pão
fresco e outra de pão pré-assado congelado) e uma amostra-controle para comparação
(pão fresco). Os pães foram encaminhados para análise 30 minutos após a saída do
forno e eram substituídos após uma hora de análise [DUTCOSKY]. A cada dia de
ensaio, amostras codificadas de pães processados e assadas em uma única etapa eram
oferecidas aos provadores, sendo consideradas como frescas. Na avaliação da aparência
os pães foram apresentados inteiros, para a análise de textura ao corte os pães foram
apresentados cortados ao meio e para a sensação na boca foram oferecidas fatias de
aproximadamente 2 cm de espessura. Para cada parâmetro analisado o provador recebia
uma ficha de avaliação, constituída de duas partes. As análises foram conduzidas com
os mesmos provadores nos 1º, 2º, 3º, 4º e 7º dias de armazenamento congelado do pão
pré-assado.
Para identificar se havia diferença significativa entre as amostras foi utilizada a
análise de resultados do teste “A” ou “não A” utilizando a distribuição estatística do χ
2
.
Para quantificar o grau de diferença foi aplicado ANOVA, utilizando o método HSD
Tukey no intervalo de confiança de 95 %.
A análise “A” ou “não A” indicou que a aparência apresentou diferença
significativa a partir do 3º dia de congelado, que a textura ao corte apresentou diferença
significativa somente no 3º dia de congelado e a sensação na boca no 2°, 3° e 7° dias.
Os resultados obtidos da textura ao corte e sensação na boca não demonstraram uma
tendência, fato que pode ser explicado devido ao longo período de análises
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consecutivas, o que provavelmente causou uma fadiga no grupo de provadores
provocando um decréscimo na habilidade de discriminação. Na Tabela 3.4
são
apresentados os valores médios das notas dos provadores referentes ao grau de diferença
entre as amostras teste e controle.
Confirmando os resultados obtidos no teste “A” ou “não A”, a ANOVA indicou
que a aparência apresentou diferença significativa entre as amostras a partir do terceiro
dia de congelado, a textura somente no 3º dia e a sensação na boca apresentou diferença
significativa no 2º e 3º dias de análise. As médias obtidas em todos os parâmetros
ficaram entre 1,44 e 2,64, indicando que a diferença apresentada foi entre ligeira e
moderada.
Tabela 3.3. Valores médios das notas dos provadores referentes ao grau de diferença
entre as amostras teste (pão pré-assado congelado) e amostra-controle (pão fresco).
O pão pré-assado congelado apresentou diferença significativa em relação ao
pão fresco na aparência a partir do 3º dia de congelado, na textura ao corte somente no
3º dia e na sensação na boca nos 2º, 3º e 7º dias de congelado.
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Capítulo 4
Materiais e Métodos
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4. Materiais e Métodos
4.1. Materiais
Basicamente a construção do fogão solar foi feita de materiais compósitos,
reaproveitados, encontrados até mesmo em ferros-velhos evidenciando assim o seu
baixo custo orçamentário.
Modelo conceitual
O fogão solar experimental do tipo caixa tem suas características essenciais
ilustrados na Figura 4.1. As características introduzidas para aumentar o desempenho
global do modelo mais tradicional do fogão incluem, o espelho refletor plano especular,
que aumenta a magnitude da radiação solar incidente na superfície do fogão.
O fogão consiste em uma bandeja de alumínio modelada na forma de uma
pirâmide invertida de base retangular com uma das paredes pintadas de preto, assim
como a superfície absorvedora e a câmara de cozimento. No topo tem-se um quadro de
alumínio duplo com tampa vitrificada. A bandeja está incluída na caixa feita de um
compósito isolante a base de gesso e isopor. O refletor plano consiste de um quadro de
madeira disponível comercialmente, espelho plano que é de um determinado tamanho
para forma uma cobertura para a caixa quando esta não está em uso. O abastecimento
por quatro recipientes de cozimento cada um capaz de manter levantado 1 kg de água.
Os recipientes de cozimento são de forma cilíndrica e tem as bases da superfície com
uma boa proteção térmica com o prato absorvedor. A melhor forma de transferir calor
para o recipiente é pela condução via prato absorvedor. A cobertura do recipiente está
lisa e cada uma tem feito um abastecimento para o topo através da mangueira de vapor
(a mangueira de vapor é provida de saída para a câmara de cozimento). Do vapor, que
quando condensado na câmara, reduz a transmissividade da cobertura submetido a isso
o equipamento pode ter seu prato absorvedor corroído. O acesso à câmara de cozimento
é pela suspensão da dobradiça da tampa. A radiação solar que incide no vidro consiste
de três componentes, isolação direta e difusa e radiação refletida do refletor plano.
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Figura 4.1. Ilustração esquemática das características do fogão solar experimental.
4.2. Descrição do fogão
4.2.1. Projeto, Dimensão e Operação
4.2.1.1. Tamanho da caixa
O fogão de caixa solar deve ser dimensionado considerando os seguintes fatores:
• O tamanho deve ser suficiente para caber a maior quantidade de comida
comumente cozida (m
3
);
• Se a caixa precisar ser movimentada freqüentemente, o fogão não deve ser muito
grande para não dificultar essa tarefa ou, então, pode ter “rodas” para facilitar a
movimentação;
• A caixa deve acomodar os utensílios de cozinha que estão disponíveis e que são
normalmente utilizados.
4.2.1.2. Razão entre a área de coleta e o volume da caixa
Com todas as outras características permanecendo iguais, quanto maior a área de
coleta da luz solar da caixa, em comparação com a área de perda de calor na caixa,
serão obtidas temperaturas mais altas de cozimento.
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Dadas duas caixas que tenham as áreas de coleta da luz solar de igual tamanho e
dimensão, aquela que for de menor profundidade ficará mais quente porque ela tem
menor área de perda de calor.
4.2.1.3. Dimensões da caixa solar
Um fogão de caixa solar virado para o Sol do meio dia deve ser mais comprido
em sua dimensão leste-oeste para fazer um melhor uso do refletor durante um período
de várias horas como o apresentado na Figura 4.2. Devido ao movimento de rotação da
Terra, o Sol “atravessa o céu”, essa configuração resulta em uma temperatura de
cozimento mais constante.
Figura 4.2. Caixas solares mais largas captam mais luz solar do leste e do oeste.
Com fogões quadrados ou aqueles que têm maior dimensão Norte-Sul, uma
maior porcentagem da luz solar do começo da manhã e do final da tarde é refletida do
refletor para o chão, não atingindo a área de coleta de luz da caixa.
4.2.1.4. Refletores
Um ou mais refletores são empregados para refletir luz adicional na caixa solar
de maneira a aumentar a temperatura de cozimento. Embora seja possível que o fogão
solar funcione sem refletores em regiões equatoriais, onde o Sol está mais elevado, “a
pino”, os refletores solares aumentam significantemente a temperatura nas regiões
temperadas do mundo.
•
Coletores ópticos espelhados
Os espelhos operam sob as mesmas leis, como de superfícies refratoras quando o
índice de refração é determinado em n = 1. Porque os espelhos são largamente usados
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em aplicações de energia solar nós apresentaríamos, contudo, apresentaremos
explicitamente as equações aplicáveis para os espelhos convenientes a este uso.
Espelhos de conhecido interesse são os espelhos de superfície, usado como auxiliador
do prato coletor da superficial, através de espelhos curvados que tem simetria circular
ou cilíndrica. Os espelhos curvados incluem os cônicos, como eles são freqüentemente
chamados na área óptica. Nesta seção são discutidas as equações relacionadas aos
espelhos, com alguma atenção nas energias solares de interesse particular, mas é
realizada para espelhos considerados especificamente coletores.
4.2.1.4.1. Espelhos planos
A operação básica para descrever a operação do espelho plano no raio como é
mostrado na figura 4.3, que está simplificada:
sen i = - sen r ou i = -r (4.1)
Quando o raio incide como no diagrama, o raio refletido é desviado através de
dois ângulos, o espelho está girando como mostrado o esquematicamente na Figura 4.3.
Este comportamento é importante, por exemplo, no caso do heliostato solar. O espelho
percorre sem interrupção 90° do Sol acima de 180°. Esta redução no movimento
significa que o caminho limite é a ação da gravidade na estrutura são significativamente
reduzidos em relação aos coletores parabólicos espelhados, que o Sol.
Figura 4.3. Diagrama para espelhos horizontais, mostrando (a) que o ângulo de
reflexão é igual ao ângulo de incidência, e (b) que quando o espelho é girado através de
um ângulo 2, o feixe de luz refletido é girado através de um ângulo 2α..
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Pares de espelhos planos também têm propriedades importantes para a aplicação
solar. Na Figura 4.4. São mostrados dois espelhos tendo um ângulo β entre eles.
Dependendo do ângulo acima, um raio pode ter uma, duas, três ou mais reflexões entre
os espelhos, causando vários desvios por múltiplos ângulos β.
Figura 4.4. Diagrama mostrando que dois espelhos têm um ângulo β entre eles
no raio incidente através de um ângulo 2β. Diagrama (a) mostra que o ângulo de desvio
não muda com o par de espelhos girado. Diagrama (b) mostra que o raio refletido é
desviado com o mesmo ângulo do raio incidente, mas que o ângulo entre o raio
incidente e o refletido permanece desviado 2β.
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Um par de espelhos tem um pequeno ângulo vertical que pode atuar como um
coletor concentrador. Na Figura 4.5 é mostrado um par de espelhos cônico com ângulo
de 30°. Neste exemplo, o raio da borda da fenda alcança a penetração máxima dentro do
cone na terceira reflexão. Quando o raio incidente está inclinado na abertura, a
profundidade de penetração dentro do cone muda, aumentando para ângulos mais
fechados tangenciando o espelho. No caso mostrado a concentração de fluxo para o raio
incidente axial é x = 2,0 no ângulo do vértice absorvedor no plano bi-seccionado. Este
absorvedor deve ser alongado para coletar todos os raios dos ângulos axiais, reduzindo o
balanço de fluxo na concentração da radiação.
Figura 4.5. Diagrama ilustrando o efeito da concentração do fluxo de um par de
espelhos tendo um pequeno ângulo β entre eles. Note que a superfície absorvedora deve
ser estendida (linha de choque) para interceptar os raios quando eles chegam axialmente
(α). A concentração de fluxo destes 30° é x = 20 para o eixo axial e x = 1,2 para 5°.
A geometria acima para o par de espelhos planos sustenta neste caso a simetria
rotacional, como é formado pelo espelho cônico
. O fluxo de concentração x para um
cone com a geometria como na Figura 4.5
, para o absorvedor cônico com o diâmetro de
0,02 para 0,50 m de comprimento, seria aproximadamente 25.
4.2.1.4.2. Espelhos auxiliadores
Espelhos horizontais têm sido usados para aumentar o desempenho do coletor
horizontal desde que eles foram pela primeira vez introduzidos em 1911 por Shuman,
que usou um espelho horizontal em cada lado do absorvedor no seu sistema de
bombeamento de água na Filadélfia. Os espelhos auxiliadores são bastante usados para
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aumentar a eficiência para temperaturas mais altas que aquelas onde os coletores lisos
horizontais geralmente operariam.
O espelho absorvedor básico é mostrado esquematicamente na Figura 4.6. A
combinação tem algumas das propriedades dos coletores espelhados, mas não exige
curvatura para os espelhos.
Figura 4.6. Diagrama do coletor horizontal com dois espelhos auxiliadores de tamanho
igual. Os auxiliares aumentam o fluxo próximo do normal, mas decresce além de
.30°=
φ
Como sugestão para o aumento da concentração de calor dentro do forno podem
ser usados espelhos auxiliadores simétricos. Por exemplo, na Figura 4.6 é produzida
uma concentração de fluxo (quando o Sol está perpendicular ao absorvedor) de 2,0.
Como o ângulo solar aumenta como a inclinação, os espelhos tornam-se menos efetivos.
Quando o ângulo solar excede o semi-ângulo θ do espelho auxiliador, o espelho projeta-
se na sombra do absorvedor, diminuindo a eficiência do sistema. A curva do balanço do
fluxo de concentração da radiação versus o ângulo é mostrado na Figura 4.7.
A eficiência do sistema de prato horizontal auxiliar pode ser aumentada se o
ângulo dos espelhos horizontais puder ser mudado muitas vezes durante o ano. Na
Figura 4.8 nós mostramos como os espelhos auxiliadores seriam mudados para otimizar
a absorção fixa para ângulos solares no verão, que por uma porção considerável do dia
atualmente aponta para o Norte para orientação do coletor EW.
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Figura 4.7. Gráfico da variação do efeito do fluxo de concentração para o prato coletor
horizontal usando dois lados de espelhos tendo um ângulo entre eles de 2θ = 60° e
largura igual aquele absorvedor.
Figura 4.8. Diagrama mostrando como um par de espelhos auxiliadores pode ser
ajustado para otimizar o prato coletor horizontal fixo para mudanças sazonais, para
orientação Oeste-Leste do coletor e espelhos de altura igual para o absorvedor.
Tambor (1966) propôs o uso de espelhos auxiliadores para mudar o pico ao meio
dia. Na Figura 4.9 é mostrado o diagrama esquemático em que o espelho auxiliador
estar localizado verticalmente no lado Oeste do coletor. Nesta posição pela manhã a luz
do Sol está concentrada no absorvedor, mas ao meio-dia na existe auxilio adicional do
espelho. À tarde o espelho é ajustado para o lado Leste do absorvedor, repetindo o
auxilio do Sol à tarde. O resultado do fator de concentração para o coletor é mostrado na
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Figura 4.10. O auxiliar causa o pico de ocorrência desse fator no meio da manhã e uma
similar no meio da tarde, com um vale na curva do meio-dia.
Figura 4.9. Diagrama do Tabor (1966) arranjo do auxiliador do Leste-Oeste. O
auxiliador vertical está no lado Oeste do absorvedor durante a manhã e é movido para o
lado oposto à tarde.
Figura 4.10. Diagrama mostrando a mudança de fluxo com a hora do dia para o coletor
horizontal liso tendo um espelho (vertical) auxiliador Leste-Oeste removível. Ao meio-
dia DIP na curva pode ser reduzido pela inclinação dos espelhos.
A posição relativa e o perfil da curva de concentração perto do meio-dia podem
ser modificados pela rotação dos auxiliadores dos espelhos horizontais para a vertical.
As características do rendimento produtivo excelente para este modelo do prato coletor
horizontal. O problema básico deste modelo está na complicação de mudar o espelho de
um lado do coletor para o outro ao meio-dia.
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Outra opção para o uso do espelho auxiliador está na aplicação sazonal, por
exemplo, para latitudes baixas os feixes de energia solar para o propósito dos
experimentos durante os meses de verão exigem que o coletor seja aproximadamente
horizontal para maior eficiência. No inverno a orientação horizontal ineficiente, mas o
espelho auxiliador adicionado nesta estação pode melhorar muito a performance. Este
tipo de aplicação está ilustrado na Figura 4.11, onde a secção cruzada óptica para a
radiação incidente está atualmente mais larga durante o inverno do que o verão. A
secção cruzada para o caso ilustrado é 15 % mas larga no inverno ao meio-dia que no
Sol de verão. O espelho auxiliador pode também servir como uma capa para o coletor
durante o tempo adverso, sendo mais facilmente fechado quando necessitado. O espelho
auxiliador mais simples poderia ser não mais que faixas de alumínio Milar Streched
entre pontos espaçados ao longo pico (ao Norte).
Figura 4.11. Diagrama mostrando como o prato coletor horizontal pode ser aumentado
com um espelho auxiliador plano para aumentar a secção óptica cruzada no inverno
acima da secção cruzada no verão.
4.3. Métodos e testes
O teste do fogão solar tipo caixa foi realizados em vários dias. Nesse período
experimental os seguintes parâmetros foram medidos:
•
Temperatura ambiente do ar - T
a
;
•
Temperatura interna do forno – T
i
;
•
Temperatura da parede interna – T
pi
;
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• Temperatura da parede externa – T
pe
;
•
Energia de radiação solar total na superfície – I.A temperatura interna do
forno foi lida a cada 15 minutos.A radiação solar na superfície horizontal
e a temperatura ambiente do ar e das paredes internas e externas, também
serão gravadas durante os testes.A radiação solar foi medida pelo sensor
de energia solar; cujo elemento sensível é um fotodiodo de precisão.A
velocidade do vento pode ser desprezada por apresentar valores muito
baixos.A posição do fogão solar tipo caixa será fixada em área
descoberta de forma que sua exposição ao Sol seja máxima e para uma melhor
focalização da radiação solar no interior do forno (Clark, 1996).
Figura 4.12. Fogão solar proposto (LMHES) UFRN.
4.3.1. Procedimento Experimental
A construção do forno solar deste trabalho acadêmico e os testes empíricos, que
foram realizados neste protótipo, foram baseados na metodologia descrita a seguir.
4.3.1.1. Princípio básico conceitual
- Caixa Receptora e Concentradora de Raios Solares (efeito estufa).
O sistema é montado com duas caixas (pode ser de madeira), uma dentro da
outra, separadas por um isolante térmico que suporte temperaturas de no máximo 155°C
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No fundo da caixa menor (interna) usar uma chapa de zinco ou chapa de ferro
zincada pintada de preto fosco e nas paredes dessa caixa usar material refletivo
(exemplo: papel alumínio, espelho, aço inox).
A tampas desse forno, na verdade, devem ser duas. A primeira é feita com ripas
formando uma moldura, e de cada lado dessa moldura será preso um vidro transparente
{o ideal é que se faça um pequeno declive nas bordas interiores dessa moldura para
encaixar o vidro (fazer o mesmo do outro lado)}. Assim, o forno é constituído por uma
tampa com dois vidros um pouco afastados entre si (conforme a espessura das ripas).
Essa tampa é presa por dobradiças em uma das laterais da caixa maior (externa).
A segunda tampa é uma chapa ou tábua revestida com material refletivo. Essa
segunda tampa pode ser presa com dobradiças na borda externa da primeira tampa (na
ripa). Isso vai facilitar o manuseio das tampas.
Esse forno solar não necessita de nenhum tipo de combustível; depende apenas
de boa insolação.
Seu funcionamento é bem simples: o forno recebe os raios solares direta e
indiretamente no seu interior. Diretamente são os raios que penetram através dos vidros
para o interior do forno, e indiretamente serão os raios que irão bater na tampa reflexiva
(segunda tampa) e serão refletidos para o interior do forno (estufa).
Essa tampa deverá ser ajustada algumas vezes durante o uso, sempre procurando
direcionar os raios solares para o interior do forno. Para acertar esse ajuste, poderá usar
apoios atrás dessa tampa ou cordinhas amarradas em um ponto da tampa e em uma
estaca.
Dentro do forno, será colocada uma panela, pintada de preto fosco, para que essa
absorva todo o calor gerado dentro do forno (estufa), aquecendo e cozinhando o
alimento que estiver no seu interior.
A metodologia a ser empregada está baseada nos objetivos da presente
contribuição acadêmica, ou seja:
a) Realizar experimentos, assando, por exemplo, pão e pizza em um fogão solar
tipo caixa. Durante os experimentos serão medidas algumas temperaturas dentro do
fogão solar, assim como fora dele. Obter, experimentalmente, o tempo necessário para
assar alguns alimentos.
b) Obter parâmetros tais como: dimensões do objeto a ser assado, as suas
propriedades termofísicas como calor específico, densidade e condutividade térmica,
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
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87
além de avaliar parâmetros de transporte como o coeficiente convectivo e o coeficiente
devido à radiação dentro do forno solar.
c) Modelar considerando o coeficiente convectivo e o de radiação e que na
superfície onde é depositado o alimento a temperatura é aproximadamente constante;
d) Realizar outra modelagem considerando um termo fonte como sendo a
energia solar que pode ser captada pelo forno e que é absorvida pelo objeto (pizza, pão)
durante o processo de assá-los. Além disto, que a superfície onde é depositado o
alimento é mantida à temperatura aproximadamente constante;
e) Comparar o tempo avaliado pelos modelos deste trabalho, com o tempo
experimental necessário para assar alguns alimentos. Procurar na literatura, dados de
tempo de assar, para compará-los com os valores mencionados antes.
Uma boa sugestão para se ter uma maior variedade de alimentos assados no
protótipo, é a introdução de uma linha de vapor que interliga a câmara de cozimento
com o meio externo, atuando desta forma, na evaporação da água contida nos alimentos
aumentando, assim, a gama de alimentos tais como feijão, arroz e macarrão a utilizarem
o fogão.
4.3.2. Avaliação para Procedimento Padrão de Teste de Fogões
Solares Analisando o Desempenho.
Aumento da qualidade e necessidade global de crescimento de combustíveis
alternativos para cozimento tem resultado em uma expansão de pesquisa e
desenvolvimentos de fogões solares. Uso de unidades comum para medição do
desempenho facilita a comunicação dos resultados de experimentos promissores para
outros pesquisadores ao redor do mundo.
Os procedimentos de teste já existem, mas não foram extensamente nos papeis
que discutem o desempenho do fogão solar. O procedimento Indiano usado para decisão
de auxílio e para um modelo específico. Ele é baseado no procedimento de teste
proposto por Mullick et. al. (1987). O procedimento proposto por Mullick é mais
complicado e menos universal que o teste que foi avaliado, ainda que a curva
característica que eles desenvolveram é um bom instrumento preditor. Na Europa,
Grups et. al, (1994) empregou um procedimento de teste que mostra muitas informações
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
88
88
proveitosas. O objetivo desse procedimento foi avaliar os testes quanto possíveis para
mostrar o potencial do fogão para as localidades carentes.
Reconhecendo a necessidade para ambos o formato em comum. Os
pesquisadores podem dividir o reconhecimento da necessidade para a mensuração
simples do desempenho para facilitar a seleção de fogões solares pelos consumidores, o
comitê de procedimento experimental citou no Sul da Índia na cidade de Coimbatore no
dia 09 de janeiro de 1997 e concordou que:
Uma das figuras que melhor representa o desempenho térmico é a da
potência de
cozimento efetivo, que mostra para ambos os fogões tanto de tamanho diferentes como
de nível de aquecimento. A unidade de
potência com que maioria das pessoas é familiar
é o Watt. A influência das condições do teste nos resultados pode ser minimizada se as
variáveis não controláveis estiverem no alcance certo.
Por essa razão, o comitê recomenda que o procedimento de teste seja seguro no
formato reportado.
4.3.2.1. Variáveis não-controláveis (tempo)
• Vento – Os testes dos fogões solares foram conduzidos quando o vento estava a
uma velocidade menor que 10m/s na altura do fogão a ser testado. Se o vento
estivesse a uma velocidade de 2,5 m/s por mais que 10 minm, se descartavam os
dados desse teste. Razão: O desperdício de calor é fortemente influenciado pela
velocidade do vento. As velocidades menores que 1,0 m/s ajuda a manter o
coeficiente de perda de calor perto do coeficiente de perda por convecção
natural. Dessa forma os resultados positivos são mais consistentes e repetíveis.
Se o vento não interfira com a radiação total incidente (Nota: Procedimentos
futuros podem incluir velocidades de vento especifico. De qualquer modo, medir
e controlar vento aumenta a complexidade conflitando com o objetivo de ter um
teste simples repetível em qualquer lugar).
•
Temperatura Ambiente – Os testes dos fogões solares foram conduzidos
quando a temperatura ambiente estava entre 20 e 35°C. Razão: As temperaturas
ambientes extremas observadas em um local podem ser difíceis de replicar em
outro local. A força de cozimento é influenciada pela diferença de temperatura.
O limite de 15 °C mantêm uma variabilidade moderada, e ainda permite testar
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
89
89
em mais locais durante pelo menos metade do ano. Exceções inevitáveis
necessitam ser notadas.
• Índices de temperatura do potenciômetro - Dados registrados para
temperatura da água entre 40 e 90 °C. Razão (40 °C) - O índice do
potenciômetro deve estar à cima do ambiente para lá estar às perdas de calor.
Razão (90 °C) - A temperatura de ebulição varia de acordo com a elevação
(altura) e o calor latente de vaporização severamente baixa a força de cozimento
aparente tanto quanto a água aproxima-se da fervura, evitando que o limite mais
alto de temperatura diminua a probabilidade de ter dados anômalos.
•
Insolação - A energia solar disponível é para ser mensurada no plano
perpendicular para o feixe de radiação direto (á máxima leitura) usando um
piranômetro de radiação. Variação na medida de insolação maior que 100 W/m
2
ou acima de 1100 W/m
2
durante o teste torna-o inválido. Razão: A manutenção
de flutuações moderadas nos níveis de insolação reduz a variabilidade causada
pela inércia dos efeitos térmicos. Pegando-se as leituras com 65 % do nível de
insolação padronizado (que é 700 W/m
2
) reduz erros introduzidos pela potencia
de cozimento ajustável pela insolação disponível. É esperado que mais locais
encontrem estes critérios se não, exceções necessitam ser especialmente
descritas.
•
Altitude solar – O comitê recomendou fortemente que os testes fossem
conduzidos entre 10 e 14 horas (solar). Razão: A ângulo zênite solar é constante
no meio dia, e a diferença entre a insolação medida do plano de abertura do
forno e no plano perpendicular para o feixe de radiação direto variará menos.
Exceções foram necessárias pela variabilidade solar, ou temperatura ambiente
deve ser especialmente notada.
4.3.2.2. Variáveis controláveis (fogão).
•
Carregamento - Os fogões devem ter 7 kg.água/m
2
na área interceptada
distribuída uniformemente entre o potenciômetro abastecido com o forno. A área
interceptada está definida como a soma do refletor e as áreas de abertura
projetadas no plano perpendicular para o feixe de radiação direta. O ângulo
zênite do feixe de radiação pode ser calculado acima do período de teste. A
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
90
90
seguir pode ser compensado pelo ângulo azimute do feixe de radiação. Estas
duas estratégias devem resultar numa área interceptada constante, facilitando o
calculo da carga. Razões: Água assemelha-se ao alimento na densidade e no
calor especifico, mas é mais consistente. A radiação interceptada é a melhor
medida de energia disponível. A performance térmica é sensível para a taxa de
carregamento. Este valor particular está próximo das varias taxas citadas em
publicações prévias.
•
Rota - A freqüência do caminho do ângulo azimute pode ser apropriada para a
aceitação do ângulo do fogão. Os fogões tipo caixa geralmente requerem ajustes
a cada 15 ou 30 minutos quando a sombras aparecem no prato absorvedor. Já os
tipos parábolas podem requerer ajustes mais freqüentes para a luz solar
continuar focada no recipiente de água ou no absorvedor. Com os fogões tipo
caixa, o caminho do ângulo zênite pode não ser necessário durante duas horas de
testes conduzidos ao meio-dia. Os testes devem ser representados para hábitos
dos consumidores.
•
Temperatura observada – Os termopares são recomendados para medirem a
temperatura por eles terem um baixo custo, acurácia e resposta rápida. Use
potenciômetros abastecidos com o forno, se não estiver disponível, use
recipientes de alumínio não são tão empregados pelo consumidor. Os termopares
devem ser imersos nos recipientes de água e mantidos 10 mm acima do fundo do
recipiente, no centro. As ligações dos termopares devem vim através da tampa
do potenciômetro (ou da parede acima da linha de água) dentro da junção
isolada termicamente que protegerá o fio do termopar de desvia-se ou das
temperaturas extremas. O fio segurado com o calafete de silicone para reduzir a
perda de vapor. Razões: O próprio local do termopar pode minimizar erros que
deveriam se causados pela estratificação térmica e intrusão do sensor dentro do
recipiente. A capacidade de conservação térmica dos recipientes de cozimento
feitos com alumínio barato é insignificante se comparado a conservação térmica
da água contida nesses recipientes.
4.3.2.3. Protocolo de teste
• Registro - A média da temperatura da água (°C) de todos os recipientes em um
fogão é para ser registrada a cada 10 minutos, para um décimo da medida se
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
91
91
possível. A insolação (W/m
2
) e a temperatura ambiente são registrada
freqüentemente. O registro da freqüência do manual atenda a seguir, se não
reportar os ângulos azimute durante o teste. Dizendo a latitude do teste e outros
dados. A razão é que dez minutos é um tempo suficiente. Longo para que se
tenham baixas flutuações devido à perda de calor à temperatura ambiente e a
variabilidade do vento é esperada por ser insignificante. Dez minutos é um
tempo muito curto para que devido à variabilidade no ganho de calor para as
mudanças graduais no ângulo do Sol possa ser considerada constante durante o
intervalo.
•
Calculando a potência de cozimento - A mudança na temperatura da água,
para cada intervalo de 10 minutos pode ser multiplicado pela massa e o calor
específico 4.186,5 J/(kgK), da água contida no recipiente. Dividindo este
produto pelos 600 segundos correspondentes ao intervalo de dez minutos resulta
na potência de assamento em Watts. A razão é que os fogões devem aquecer a
comida, e o ganho de calor sensível no recipiente de assamento é a melhor
medida da habilidade do fogão para aquecer efetivamente a comida.
•
Calculando a média dos intervalos - A insolação média, temperatura ambiente
média e a temperatura média dos recipientes devem ser encontradas para cada
intervalo.
•
A padronização da potência de assamento - A potencia de assamento para
cada intervalo é para ser corrigida para cada padrão de isolação de 700 W/m
2
pela multiplicação da potencia de assamento observada por 700 W/m
2
e
dividindo pela média de insolação registrada durante o intervalo correspondente.
Razão: Para facilitar a comparação dos resultados de diferentes locais e tempos.
•
Diferença de temperatura - A temperatura ambiente para cada intervalo é para
ser subtraída da média de temperatura dos recipientes com água para cada
intervalo correspondente. Razão: A perda de calor aumenta com a diferença na
temperatura entre o interior do fogão solar e a parte externa do fogão a
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
92
92
temperatura dos recipientes de água correlaciona-se com a temperatura do
interior do fogão.
• Traçar - A padronização da potencia de assamento é para ser traçada contra a
diferença de temperatura para cada intervalo de tempo.
•
Regressão - Uma regressão linear dos pontos traçados é usada para encontrar a
relação entre a potência de assamento (W) e a diferença de temperatura em
termos de interceptação e inclinação (W/°C). No mínimo 30 observações foram
requeridas. O coeficiente de determinação (R
2
) ou proporção da variação na
potência de assamento que pode ser atribuída para a relação encontrada pela
regressão deverá ser maior que 75 % ou especialmente notada. As razoes são
que medidas estatísticas de boa qualidade de ajustes para a regressão linear
requerem uma favorável e extensa amostra, e erros excessivos de experimento
podem invalidar o teste.
•
Medida de desempenho - O valor da potencia de assamento padronizada é para
ser computado para diferenças de temperaturas de 50 °C usando a relação
determinada acima. Razão: Um único número em unidades familiares comuns
para mais consumidores melhora a facilitação da comparação de diferentes
instrumentos. A diferença de temperatura de 50 °C atinge um balanço entre a
ênfase excedente acima da potencia de assamento (onde a concentração do forno
está mais forte) a estagnação da temperatura (onde os fogões tipo caixa tendem a
ser superiores), e está apenas abaixo da temperatura crítica onde o assamento
começa a ocorrer, a temperatura quando o fogão tem sucesso ou falhas. Nota:
Para produzir etiquetar e vendê-lo na literatura é fortemente recomendado que
este número a ser calculado da regressão encontra-se usando números de testes
adequados estatisticamente feito por laboratório independente. Enquanto este
valor, como avaliação econômica do combustível de um automóvel, não é
garantia de desempenho, fornece os consumidores como uma ferramenta útil
para a comparação e seleção.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
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93
Figura 4.13. A comparação das curvas de força de assamento para quatro fogões
com dois níveis de área interceptada e perda de calor. O procedimento internacional foi
aplicado para dados gravados por mais de quatro dias em 1995.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
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94
Capítulo 5
Modelagem do Processo e Análise dos Resultados
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
95
95
5. Modelagem do Processo e Análise dos
Resultados
5.1. Modelagem do tempo de cozimento solar realizado num fogão do
tipo caixa considerando modelo do objeto semi-infinito
5.1.1. Experimento I – Fogão Tipo Caixa
No fogão tipo caixa da presente dissertação foi assado um bife de frango de 0,02
m de espessura, com temperatura de superfície de uma chapa metálica contida dentro do
fogão T
s
= 155 °C (ao meio dia), o bife estava à temperatura inicial a 4 °C e o seu centro
deveria atingir Tc = 90 °C para que ficar bem assado. O bife tem condutividade k = 0,55
W.m
-1
.°C
-1
, densidade ρ = 1,006 g.cm
-3
e calor especifico Cp = 3,64 J.g
-1
.°C
-1
. A
situação descrita nos experimentos é admitida como uma primeira aproximação que o
número de Biot tende a infinito, note que se considera em um lado T = T
s
= 150 °C é o
mesmo que admitir que Bi →∞ (se T
a
fosse T
a
= 150 °C), embora aqui Bi = 0,36 ≠ ∞,
definido como Bi = hL/k; sendo:
h (W.m
-2
.°C
-1
): Coeficiente convectivo de transferência de calor;
k (W.m
-1
.°C
-1
): Condutividade térmica do bife ;
L (m): Metade da espessura do bife.
Com o fogão solar proposto nesta dissertação, conseguiu-se em um dos lados do
bife a temperatura T
sup
= 155 °C, porém do outro lado havia um coeficiente convectivo
h = 20 W.m
-2
.°C
-1
. Este fogão é usado nas modelagens descritas a seguir. Basicamente
são dois tipos de modelagens, em uma considerando que o bife é um objeto semi-
infinito e outra na qual o bife é considerado uma placa, para realizar um estudo
comparativo entre as modelagens propostas a fim de se obter um modelo significativo
que retrate de forma mais precisa os tempos experimentais.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
96
96
5.1.2. Fogão Tipo Caixa com Bife de Frango
Considerações para a modelagem
Na Tabela 5.1 é apresentada a temperatura no centro geométrico do alimento,
T
C,
em função do tempo. O bife está em contato com a superfície aquecida no interior
do forno solar. Em 143 min o centro do bife atinge T
C
= 90
o
C, estando portanto bem
cozido. O bife estava inicialmente a 4
o
C, mas a contagem do tempo no centro do bife
foi iniciada somente quando T
C
= 30,1
o
C, portanto este valor será usado
aproximadamente como T
1
= 30,1
o
C nos cálculos com a equação apresentada a seguir.
Tabela 5.1. Tempo x Temperatura.
t (hora) T
C
(°C)
13: 25’ 30,1
13: 30’ 38,4
13: 40’ 46,0
13: 45’ 50,6
14: 00’ 56,4
14: 05’ 59,6
14: 06’ 60,0
14: 13’ 63,2
14: 17’ 65,0
14: 20’ 66,0
14: 27’ 67,3
14: 35’ 70,6
15: 48’ 90,0
Fim do cozimento
Para um objeto semi-infinito, com temperatura inicial T
1
= 30,1
o
C, que é
submetido instantaneamente à temperatura T
sup
em x = 0, a solução para a temperatura
em função do tempo e da posição, é dada por (Luikov, p.91, 1968):
sup
1sup
4
TT
x
erf
TT
t
α
−
=
−
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
97
97
Um esquema para o objeto semi-infinito é apresentado a seguir, assim como a
equação diferencial correspondente.
()
1.5.
2
2
x
T
t
T
∂
∂
=
∂
∂
α
São necessárias três condições de contorno (C.C.), embora a seguir sejam
apresentadas quatro condições de contorno. Pode ser usada a terceira ou a quarta
condição de contorno e as duas primeiras.
C.C.1 : em t = 0 T = T
1
∀ x
C.C.2 : em x = 0 T = T
sup
para t > 0
C.C.3 : T T
1
em x ∞
C.C.4 : -k ∂T / ∂x 0 em x ∞
A seguir é apresentada uma demonstração da solução já apresentada para a
equação diferencial. Por combinação de variáveis:
()
2
;,
4
η
α
η
−
≈→= eTsoluçãotxf
t
x
α
η
η
α
η
4
.
;
4
1
2
1
−
===
tx
x
t
dx
d
t
tt
xttxtx
tx
dt
d
2
4242
..
42
.
4
2
1
.
2
1
1
2
3
2
3
η
αααα
η
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−
−
Para a equação (5.1), se tem:
T ≅ T
1
em t < 0 ∀
X
t > 0
x = 0
T = T
sup
x →
∞
T
1
x
Dissertação
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– Outubro /2007
98
98
()
2.5
22
η
η
η
η
η
η
d
dT
tt
T
td
dT
dt
d
d
dT
t
T
⋅
−
=
∂
∂
⇒
−
⋅=⋅=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
T
x
x
T
2
2
η
αα
η
η
η
d
dT
t
x
T
t
d
dT
dx
d
d
dT
x
T
⋅=
∂
∂
⇒⋅=⋅=
∂
∂
4
1
4
1
2
2
2
2
2
2
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
η
α
η
αα
η
α
η
α
η
η
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅⋅=
⋅⋅=⋅
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ T
t
T
tt
d
dT
t
d
d
t
dx
d
x
T
x
T
()
3.5
4
1
2
2
2
2
η
α
d
Td
t
x
T
⋅=
∂
∂
Substituindo a Eq.(5.2) e (5.3) em (5.1):
2
2
2
2
4
1
4
1
η
α
α
η
η
η
α
α
η
η
d
Td
td
dT
t
T
td
dT
t
⋅⋅−=⋅
∂
⇒
∂
∂
⋅⋅=⋅
∂
−
η
η
ηηη
η
η
η
η
d
dT
d
dT
d
d
d
dT
d
Td
d
dT
t
t
202
2
4
2
2
−=
⇒=⋅+=⋅−
∫∫
⋅−=
⇒−=
;22
ηη
η
η
η
η
ηη
d
d
dT
d
dT
d
d
dT
d
dT
d
d
Fazendo:
y
d
dT
=
η
∫∫
+−=⇒⋅−= ,ln2
1
2
cyd
y
dy
ηηη
Substituindo:
y
d
dT
=
η
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
99
99
;''ln
22
111
2
η
η
η
η
ηη
decdtec
d
dT
c
d
dT
⋅⋅=⇒⋅=⇒+−=
−−
Integrando:
()
4.5'
2
0
1
2
cdecT +⋅⋅=
∫
−
η
η
η
C.C.2. Para x = 0; T = T
sup
:
0
4
0
4
===
tt
x
αα
η
Substituindo na equação (5.4):
2
0
sup 1 2 sup 2
0
'Tc edc Tc
η
η
η
=
−
=⋅ ⋅ + ⇒ =
∫
C.C.2. Para t = 0; T = T
1
∀ x
∞→⇒=
η
α
η
t
x
4
com c
2
= T
sup
, substituindo
∞
→
η
para T = T
1
, na equação 5.4.
2
11 sup 11 sup
0
''
2
Tc e d T Tc T
η
π
η
∞
−
=⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ +
∫
2
π
(
)
π
2
'
1
1
TaT
c
−
=
Portanto, obtém-se:
()
2
1 sup sup
2
TTTedT
η
η
π
−
=− ⋅+
∫
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
100
100
()
()
()
()
1 sup sup
sup
1sup
4
5.5
4
x
TTT erf T
t
TT
x
erf
TT
t
α
α
=− ⋅ +
−
=
−
Com esta equação é possível calcular o tempo t necessário para cozinhar o bife,
a partir da posição escolhida x e da temperatura T, usando o modelo de bife considerado
como objeto semi-infinito.
São apresentados em Anexos:
-
Valores da função erro de Gauss, erf, obtida do livro de Incropera e De
Witt (1996), da pág.475. Estes valores de erf estão em função do
argumento x/(4
αt).
Aplicando o modelo para o fogão solar estudado, obtém-se:
()
=
−
−
t
x
erf
TT
TtxT
Superfície
Superfície
α
2
,
1
Os principais dados para os cálculos para modelagem do sistema considerando-o
como objeto semi-infinito, em um fogão solar tipo caixa, são apresentados a seguir:
Designando:
3
6
33
0,55
k
.
10
1,006 . 3,64
1
P
W
mC
C
gcm J
cm m g C
αα
ρ
°
=⇒=
°
Bife = espessura = 2L = 0,02 m k = 0,55 W/m.°C
T
sup
= 155 °C ρ = 1,006 g/cm
3
T
1
= 30,1
o
C Cp = 3,64 J/(g°C)
T
central
= 90 °C
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
101
101
Sendo:
[W] = Watt
Usando a definição, pela análise das dimensões, se obtém:
36
36
3
33
10
10
1
.1? m
cm
m
cmm
−
=→
1 m = 100 cm = 10
2
cm
(1m
3
) = (10
2
cm)
3
1m
3
= 10
6
cm
3
Portanto:
()
6
3
6
2
2
6
22
67
0,55
..
10
1, 006 3, 64 .
.
0,55
3,66184.10
0,55
3,66.10
0,15 10 1,5 10
J
sm C
J
gx
gC m
s
m
m
x
s
mm
xx
ss
α
α
α
αα
−−
°
=
°
=
=
=→≅
O bife tem 2L = 2 cm de espessura, portanto se pode calcular o tempo para que o
seu centro, x = 0,01 m, chegue à temperatura T = 90
o
C e o resultado é um tempo muito
pequeno. Isto ocorre porque o bife na realidade não é um objeto semi-infinito (muito
espesso). Portanto, uma melhor aproximação é admitir que se quer calcular a
temperatura para que a outra borda dele, x = 0,02 m, chegue à T = 90
o
C.
Usando o
modelo de transferência de calor para o sistema, se obtém:
[]
s
Joule
W ≡
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
102
102
()
7
2
7
2
2
2
2
7
2
2
2
2
90 155 0,02
30,1 155
2 1,5 10 .
0,02
0,52
2 1,5 10 .
10
0,4996
1, 5 10 .
666,66
0,2946
2.670,6 .
44,5 min
erf
xt
erf
xt
xt
t
t
t
−
−
−
−
−
=
−
=
=
=
≅
≅
s
A partir da função erro de Gauss versus seu argumento x/(4αt), que estão
presentes nos Anexos desta dissertação, foi obtido o valor do argumento x/(4αt) =
0,4996, por interpolação linear.
w erf(w)
0,48 0,50275
X
1
0,52
0,52 0,53790
Como é destacado antes, a partir do valor da função erro erf{x/(4αt)} = 0,52 se
obtém por interpolação do Apêndice, com argumento x/(4αt)} = 0,4996 e deste valor
resulta o tempo t = 44,5 min. Logo, estimando-se o tempo de cozimento para o fogão
solar proposto, supondo que o bife é um objeto semi-infinito:
t
total
= 44,5 min
Este tempo calculado é muito menor que o experimental, t
exper
= 143 min. Pelo
menos quatro motivos podem explicar esta diferença:
a) O primeiro é que o modelo de objeto semi-infinito em geral não dá bons resultados
para objetos de pequena espessura, como é o bife, com 2L = 0,02 m.
b) O outro motivo é que durante o processo de assar o bife, parte da água é evaporada,
por exemplo, a 90
o
C, consumindo energia do calor latente de vaporização da água
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
103
103
no bife. Portanto, se necessita incluir no calor específico global uma parte que
contemple este gasto energético, aumentando o tempo calculado para assar.
c) O terceiro motivo é que quando diminui a concentração aquosa no alimento,
geralmente diminui a sua condutividade térmica e também o seu calor específico
(mCp∆T) relativo à diferença de temperatura, assim como também pode ser
modificado o valor da densidade. Todos estes parâmetros influenciam no tempo
calculado para assar o alimento.
d) O quarto motivo é que há um perfil de temperatura no objeto semi-infinito, no início
do processo de aquecimento, o qual não foi considerado e por isto o tempo
calculado seria diferente.
Como não foi avaliado experimentalmente, se admite que evapora 10 % do peso do
bife, considerando que o material evaporado é somente água e que o bife estava a uma
temperatura média inicial 30,1 °C e final T = 90 °C, o calor específico global médio
resulta:
(
)
()
121 ( )
21
10 % (perda d'água/massa incial do alimento)
PM M
MM
CT T H
C
TT
⋅−+∆ ×
=
−
vaporização da água
P (médiodo bife)
Para uma temperatura de 90 °C, o calor latente de vaporização da água
(Heldman e Singh, 1981) é:
(2.660,1 376,92) 2.283.180,0
Joule J
H
gkg
∆=−=
vaporização da água
Embora o calor latente de vaporização de água em um alimento seja muito maior
que o da água pura, como primeira aproximação, será admitido que estes dois valores
são iguais. Portanto o calor específico médio do bife, resulta:
()
()
o
o
()
o
o
JJkg
3.640 90 30,1 C 2.283.180,0 0,10
J
kg C kg kg
7,45
g
90 30,1 C
P médio do bife
C
C
⋅− + ×
==
−
Com este novo valor de Cp
médio
, a difusividade térmica é:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
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104
()
2
7
6
3
0,55
..
0,73 10
10
1,006 7,45 .
.
J
m
sm C
x
s
J
gx
gC m
α
−
°
==
°
Recalculando a função erro resulta:
()
7
2
7
2
2
2
2
7
2
2
2
2
90 155 0,02
30,1 155
20,7310.
0,02
0,52
20,7310.
10
0,4996
0,73 10 .
1.369,9
0,2946
4.649,9 .
77,5 min
erf
xt
erf
xt
xt
t
t
t
−
−
−
−
−
=
−
=
=
=
≅
≅
s
Este tempo t = 77,5 min é muito superior ao valor calculado antes t
total
= 44,5
min, mas ainda é muito menor que o tempo experimental t
exper
= 143 min. Se fosse
conhecida a massa experimental de água evaporada do bife, então seria possível avaliar
com melhor precisão o tempo para assá-lo, mas infelizmente não a massa evaporada não
foi obtida de experimentos. Conclui-se que o modelo de objeto semi-infinito não é
coerente com a geometria do bife, que é de pequena espessura.
Além disto, no modelo de objeto semi-infinito poderia ser incluído um termo de
geração de energia (W/m
3
) correspondente à energia vinda do Sol e que é absorvida
pelo objeto em forma de radiação. Com isto, o modelo resultante se tornaria diferente e
seria possível obter temperaturas no objeto superiores à temperatura do ambiente
(Luikov, 1968). Este tipo de modelo é discutido nesta dissertação, tanto para um bife
considerado como uma placa e para um pão-de-queijo que é analisado como uma esfera.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
105
105
5.2. Modelagem do tempo de cozimento solar realizado num fogão do
tipo caixa considerando modelo da placa plana
São realizados a seguir a modelagem e o cálculo do tempo de cozimento,
para compará-lo com o tempo experimental que é t = 143 min. Portanto:
a)
Avaliou-se o tempo para que um objeto placa (bife), com
temperatura inicial T
1
= 30,1 °C, para que o seu centro atingisse a
temperatura Tc = 90 °C;
Usando a condição de simetria em x = 0, para a condução de calor, e condições
de contorno convectivas iguais em ambas faces citadas antes, resultam as equações
básicas de cálculo da temperatura em uma placa T, em função do tempo t e da posição
x, que são dadas por (Luikov, p.223, 1968):
Modelo da placa plana, sem termo de geração de energia:
2
2
1
1
cos exp { ( , )}
ann
n
a
TT x t
An temperatura T f x t
TT L L
µµα
∞
=
−−
==
−
∑
(5.6)
()
() ()
)(
cos.sen
sen2
parâmetro
nnn
n
An
µµµ
µ
+
= (5.7)
µn.tan(µn) = Bi (equação de autovalores) (5.8)
Com a equação (5.6) é possível calcular o tempo t necessário para cozinhar o
bife, a partir da posição escolhida x e da temperatura T, usando o modelo de bife
considerado como uma placa. A equação de autovalores é uma equação auxiliar para
cálculo.
Considerações para demonstração para Biot tendendo a infinito:
No modelo da placa plana de transferência de calor se considera que, para
números de Fourier > 02, é suficiente usar o primeiro termo da série solução da equação
de Fourier para o objeto considerado.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
106
106
No entanto, a precisão dos cálculos depende do número de Fourier e da faixa de
números de Biot,
h.L
.
k
Bi =
Para fixar as idéias, supõe-se que se tem a solução para o centro de uma placa de
espessura 2L, conforme mostrado na Figura 5.1:
Figura 5.1. Modelo da placa para o bife de frango em estudo.
Já foi apresentada a distribuição de temperatura para a placa em estudo, dada
pela equação (5.6) e aqui é apresentada uma forma simplificada dela quando Bi → ∞.
Esta simplificação é usada para incorporar a condição de contorno T
sup
= 155 °C em
ambas faces da placa.
Ou seja, o esquema para o modelo de bife analisado é:
Na modelagem para uma placa foi feito um artifício, usando a espessura do bife
de frango duplicada, ou seja 2L se transforma em 4L, conforme o esquema
fenomenológico de transferência de calor proposto a seguir. Com este artifício é como
se no novo centro do bife não houvesse transferência de calor. Na realidade o que
acontece é que se um dos lados do bife é mantido sobre uma superfície a uma
temperatura muito grande T
sup
>> T
∞
e o outro lado do bife está submetido a um
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
107
107
ambiente a T
∞
e um pequeno coeficiente convectivo, então a transferência de energia
neste lado pode ser desprezível em relação ao outro lado. Ou seja, é como se nesta
superfície não houvesse transferência de energia ou que está isolado termicamente. Com
estas considerações o esquema do bife duplicado, fica:
sup
2L T = TEm x →+
sup
2L T = TEm x =−
Partindo da equação diferencial para o fenômeno, é possível obter a solução para
Bi → ∞, como uma simplificação, a partir da condição de contorno convectiva, que se
transforma em uma condição de temperatura constante na superfície:
()
2
2
1
5.9
TT
xt
α
∂∂
=⋅
∂∂
Onde:
P
C
k
⋅
=
ρ
α
E as condições de contorno são:
T(x,0) = T
1
T(L,t) = T
sup
T(-L,t) = T
sup
Aplicando a transformada de Laplace na equação (5.9), se obtém:
()
()()
[
]
0,,
1,
2
2
xTpxTp
dx
pxTd
−⋅=
α
Bife
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
108
108
()
()
(
)
αα
0,
,
,
2
2
xT
pxT
p
dx
pxTd −
=⋅−
Substituindo a condição inicial:
()
() ()
10.5,
,
1
2
2
αα
T
pxT
p
dx
pxTd
−
=⋅−
E então, resolvendo a EDO (equação diferencial ordinária) acima, obtém-se:
•
Para a parte homogênea da EDO:
(
)
()
0,
,
2
2
=⋅− pxT
p
dx
pxTd
α
αα
p
r
p
r ±=⇒=
2
()
x
p
x
p
Homogênea
eCeCpxT
⋅−⋅
⋅+⋅=
αα
21
,
E para a solução particular da EDO:
()
α
1
T
xF =
{}
()
()
()
=
=
=
=
0,''
0,'
,
1
1
Particular
Particular
Particular
pxT
pxT
ApxT
S
Sabendo que :
+=
==
ParticularHomogênea
Particular
TTT
e
p
T
T
p
T
A
11
;
Então:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
109
109
() ()
11.5,
1
21
p
T
eCeCpxT
x
p
x
p
+⋅+⋅=
⋅−⋅
αα
Substituindo as condições de contorno, obtém-se:
()
()
sup
sup
,
,
T
TLt
p
T
TLt
p
=
−=
()
()
()
()
sup
1
12
sup 1
12
sup
1
12
sup 1
12
,
5.12
,
5.13
pp
LL
pp
LL
pp
LL
pp
LL
T
T
TLt Ce C e
pp
TT
Ce Ce
p
T
T
TLt Ce Ce
p
p
TT
Ce Ce
p
αα
αα
αα
αα
⋅−⋅
⋅−⋅
−⋅ ⋅
−⋅ ⋅
=⋅ +⋅ +=
−
⋅+⋅ =
−=⋅ +⋅ +=
−
⋅+⋅=
Somando-se as equações (5.12) e (5.13), realizando os algebrismos necessários,
se obtém:
sup 1
12
1
cos
TT
CC
p
p
hL
α
−
+= ⋅
⋅⋅
Fazendo agora a subtração das equações (5.12) e (5.13):
0
21
=
−⋅−
−⋅
⋅⋅−⋅−⋅ L
p
L
p
L
p
L
p
eeCeeC
αααα
12
() 0
pp
LL
CC e e
αα
⋅−⋅
−
⋅− =
21
CC
=
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
110
110
Portanto:
sup 1
1
1
2
cos
TT
C
p
p
hL
α
−
=⋅
⋅
⋅
Substituindo na equação (5.11):
()
sup1 sup1
1
11
,
22
cos cos
pp
xx
TT TT
T
Txp e e
p
pp
pp
hL hL
αα
αα
⋅−⋅
−−
=
⋅⋅+⋅⋅+
⋅⋅ ⋅⋅
Logo, resulta:
1
1
sup 1
4
1
n
TT
K
TT
π
∞
=
−
−=
−
∑
1sup1
1
sup 1
4
n
TTT T
K
TT
π
∞
=
−
−+
=
−
∑
()
()
() ()
2
2
sup
2
1
1sup
121 21
4
cos exp
21 2 4
n
n
TT
nx n t
TT n L L
ππα
π
∞
=
−
−−⋅⋅−−⋅⋅⋅
=− ⋅
−−
∑
(5.14)
A equação anterior serve para calcular a temperatura T = f(x;t) de uma placa,
admitindo que Bi → ∞. Na equação (5.14) os primeiros autovalores são µ
1
= π/2 =
1,5708, µ
2
= 3π/2 = 4,7124; os quais são reproduzidos nos Anexos.
Onde:
FourierdeNúmeroF
L
t
∴=
⋅
0
2
α
São apresentados em Anexos:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
111
111
- As quatro primeiras raízes da função: Bi = µ.tan(µ), obtidas do livro de
Incropera e De Witt (1996), pág. 476; que incluem os autovalores µ para
Bi → ∞.
Os principais dados para modelagem do sistema, admitindo o bife como uma
placa, depois de dobrada a sua espessura, o qual é cozido em um fogão tipo caixa, são
apresentados a seguir:
Para o centro da placa x = 0, usando somente o primeiro termo, n = 1, µ
1
= π/2 =
1,5708 e da equação (5.14), como 2L = 0,04 m, L = 0,02 m, resulta:
cos(0) = 1 (para x = 0m)
sup
2
2
1
1sup
cos exp
nn
n
TT
x
t
An
TT L L
α
µµ
∞
=
−
=−
−
∑
2
7
2
90 155 4 1,5 10
0,52 .exp .
30,1 155 2 0,02
x
t
π
π
−
−
== −
−
2
7
2
1, 5 10 0, 52
ln exp . ln
4
20,02
1min
966,9 16,1min
60
xt
ts
s
π
π
−
−=
==
Como o número de Fourier Fo = 0,36 é necessário usar somente o primeiro
termo da série. Este tempo t = 16,1 min é extremamente pequeno porque se considerou
que na superfície a temperatura era T
sup
= 155 °C, com Bi → ∞, o que diminui o tempo
Bife = espessura = 2L = 2(0,02 m) = 0,04 m
T
sup
= 155 °C
T
1
= 30,1 °C
Tc = 90 °C
k = 0,55 W/m.°C
ρ = 1,006g/cm
3
Cp = 3,64 J/(g. °C)
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
112
112
para assar em relação a uma condição de contorno convectiva, com pequeno h e
pequena T
∞
.
Admitindo, como foi feito no modelo do objeto semi-infinito, que evapore 10 % do
peso do bife, considerando que o material evaporado é somente água e que o bife estava
a uma temperatura média inicial 30,1 °C e final T = 90 °C, o calor específico global
médio é:
()
()
o
o
()
o
o
JJkg
3.640 90 30,1 C 2.283.180,0 0,10
J
kg C kg kg
7,45
g
90 30,1 C
P médio do bife
C
C
⋅− + ×
==
−
Com este novo valor de Cp
médio
, recalculando a difusividade térmica, resulta:
()
2
7
6
3
0,55
..
0,73 10
10
1,006 7, 45 .
.
J
m
sm C
x
s
J
gx
gC m
α
−
°
==
°
Recalculando o tempo, resulta:
2
7
2
90 155 4 0,73 10
0,52 .exp .
30,1 155 2 0,02
t = 1.986,9 s = 33,1min
x
t
π
π
−
−
== −
−
Este tempo calculado t = 33,1 min é muito menor que o valor experimental.
Portanto, conforme os resultados obtidos com o estudo dos modelos da placa plana e do
sólido semi-infinito, o tempo calculado com o modelo sólido semi-infinito comparado
com o tempo experimental do forno solar apresenta maior acurácia em relação ao
modelo da placa plana. Mas, mesmo assim, nenhum dos dois modelos apresentou bons
resultados em relação ao valor experimental.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
113
113
Nas próximas seções são discutidos modelos, por exemplo, para um pão de
queijo considerado como uma esfera, considerando, além do mencionado antes, também
um termo de geração de energia, representado pelo fluxo de energia que entra na
superfície do pão, vindo do Sol. Com este novo modelo os valores calculados se
aproximam bem mais dos resultados experimentais.
5.3. Programa em Matlab empregado como auxiliar no cálculo
da função erro, com um argumento conhecido, segundo a expansão da
série de potências
Em Anexo apresenta-se um programa em Matlab empregado como auxiliar
da função erro, quando for usada a solução para sólido semi-infinito.
Como já foi visto, o modelo proposto para um objeto semi-infinito é da forma:
pa
a
C
k
com
t
x
erf
TT
TT
ρ
α
α
=
=
−
−
,
4
1
Por definição:
duezerf
u
∫
−
=
2
2
)(
π
(5.17)
A solução dada na equação (5.17) é uma série. Pode-se mostrar que a função
erf(z) definida acima através de uma integral pode ser expandida em uma série infinita,
sendo a função f(u) = exp(-u
2
) uma função contínua no intervalo (- ∞, + ∞).
Considerando a série, como destacado nas duas equações seguintes:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
114
114
357 9 11
2
()
31!52!73!94!115!
zzzz z
erf z z
π
=−+−+−+
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
…
()
(
)
(
)
()()
∑
∞
=
−
+
−⋅−
⋅−
⋅=
1
12
1
!112
12
n
n
n
nn
z
zerf
π
Em Anexo apresenta-se a dedução desta equação.
5.4 Dados experimentais do pão de queijo no fogão solar tipo caixa
5.4.1. Data do Experimento: 17/04/2007
Início do experimento: 11:35’ da manhã
Massa total dos pães: 400 g
Figuras 5.2. Pão de queijo
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
115
115
Tabela 5.2. Tempo versus Temperatura para assamento do pão de queijo
Tempo (h) Temperatura (°C)
11:35 20
12:07 65
Fim do cozimento dos pães T = 65 °C
Tempo total: 32 minutos
5.5. Modelagem da temperatura de assamento de pão de queijo (centro
do alimento) no fogão solar tipo caixa considerando o pão de queijo
como uma esfera, mas o sem termo de geração de energia
Segundo dados de (Kowalski, 2001), a densidade aparente para pães foi
calculada da relação entre massa e volume medidos, resultando nos seguintes valores
médios experimentais:
• Densidade aparente (ρ
ap
) = 0,174 g/cm
3
•
Conteúdo de água médio (C
pão
) ≡ 30,85 %
•
A análise de regressão do modelo polinomial para ajuste dos valores de
condutividade térmica foi aplicada em função do conteúdo de água e da
densidade aparente. A equação do modelo ajustado por Kowalski (2001) foi:
R
2
= 0,9895
ln k = - 0134165.C
A
– 0,00205149.ρ
ap
+ 0,00248243.C
A
2
+ 2,295917.10
-6
.ρ
ap
2
28,25 % ≤ C
A
≤ 45,70 %
0,174 g/cm
3
≤ ρ
ap
≤ 0,657 g/cm
3
Onde:
k é a condutividade térmica [W/(mK)];
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
116
116
C
A
é o conteúdo de água (%);
ρ
ap
é uma densidade aparente (g/cm
3
).
•
Utilizando os valores médios da densidade aparente (ρ
ap
) e do conteúdo de água
pôde-se avaliar a condutividade térmica do (C
pão
), térmica do pão, utilizando a
equação de regressão:
(ρ
ap
) = 0,174 g/cm
3
(C
pão
) = 30,85 %
Com os dados, obtém-se:
ln k = - 0,134165(30,85) - 0,00205149(0,174) + 0,00248243(30,85)
2
+ 2,295917.10
-
6
.(0,174)
2
Resolvendo, obtém-se a condutividade térmica do pão:
k
pão
≡ 0,169 W/(m . K)
Conforme já foi exposto, para propor a modelagem da temperatura de assamento
no centro do pão de queijo considera-se o pão como uma esfera, de 2 cm de diâmetro,
de condutividade térmica [k ≡ 0,169 W/(mK)], estava inicialmente à temperatura T
1
=
20 °C, e foi submetida a um ambiente dentro do forno, com T
a
= 50 °C, estabelecendo-
se um número de
global
Bi = h R/k.
Sendo:
h
global
= 16 Wm
-2
°C
-1
: Coeficiente convectivo de transferência de calor +
coeficiente referente à radiação = h
conv
+ h
rad
;
k
pão
(Wm
-1
°C
-1
): Condutividade térmica do material constituinte da esfera (pão);
R (m) = Raio da esfera (ou raio do pão = 0,01 m);
α
médio, pão
= 3,0 x 10
-7
m
2
/s, difusividade térmica (Rahman, 1995)
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
117
117
Onde :
-7 2
3,0.10 m /s
pão
pão
pão pão
k
Cp
α
ρ
==
⋅
Para o cálculo da temperatura de assamento do pão (T
c
, no centro do pão) nestas
condições experimentais, será calculada a temperatura no centro da esfera ou do pão,
para número de Fourier
()
2
/
oc
FtR
α
=⋅
, usando dois termos da série-solução.
•
Usando a condição de simetria radial para a condução de calor, com convecção
na superfície da esfera, sem o termo de geração, resultam as equações básicas de
cálculo da temperatura em uma esfera, T, em função do tempo, t, e da posição
radial, r, que são:
2
2
1
1
exp [ ( , )]
n
a
nn
n
a
n
r
sen
TT
t
R
C Temperatura T f r t
r
TT R
R
µ
α
µ
µ
∞
=
⋅
−
⋅
=⋅ ⋅−⋅ =
−
⋅
∑
()
(
)
[]
()
[]
Parâmetro
sen
sen
C
nn
nnn
n
µµ
µ
µ
µ
22
cos4
−⋅
⋅
−
⋅
=
()
[
]
sAutovaloredeEquãçãoBig
nn
=
⋅
−
µ
µ
cot1
Cálculo dos números de Biot Bi
c
e de Fourier F
o,c
para o pão, para t
exper
= 32
min = 1920 s:
pão
pãoglobal
c
k
Rh
Bi
⋅
=
;
Onde:
h
global
= h
radiação
+ h
convecção
947,0
169,0
01,016
2
≅
⋅
⋅
⋅
=
c
c
Bi
km
W
m
km
W
Bi
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
118
118
()
76,5
01,0
1920100,3
2
2
7
2
exp
≅
⋅
=
⋅
=
−
co
co
pão
erimentalpão
co
F
m
seg
s
m
x
F
R
t
F
α
Portanto, nestas condições experimentais, para 0,1 < Bi
c
< 100, tem-se um
número de Biot intermediário, ou seja, o processo de assamento do alimento, é regido
pelas resistências interna e externa de transferência de energia.
Os principais dados usados na modelagem são:
Início do experimento: 11: 35’
Final do experimento: 12 : 07’
k
pão
≡ 0,169 W/(mK)
ρ
ap
= 0,174 g/cm
3
= 174 kg/m
3
T
1
= 20 °C
T
a
= 50 °C
T
cfinal
= 65 °C
t
(experimental
de assamento do pão de queijo)
= 32 min. Î t = 1920 s.
T
c
= ? (temperatura no centro do pão de queijo, considerando como uma esfera)
k
Rh
Bi
c
⋅
=
2
5, 76
oc
t
F
R
α
⋅
==
pãopão
pão
pão
Cp
k
,⋅
=
ρ
α
.: α
médio, pão
= 3,0 x 10
-7
m
2
/s
()
7
0,169
3.237,55
174 30 10
pão
pão
pão pão
k
Joule
Cp
kg K
αρ
−
== ≅
×
×⋅
×
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
119
119
Equação de Autovalores:
(
)
()
947,0cot1
cot1
=⋅−
=
⋅
−
nn
nn
g
Big
µµ
µ
µ
(
)
()
()
()
cot 1 0,9467
cos
0,05325 5.18
nn
n
n
n
g
sen
µµ
µ
µ
µ
⋅=−
⋅=
Resolvendo para a variável µ
n
a equação transcendental, denotada por (5.18),
obtêm-se as seguintes raízes em radianos: µ
1
= 1,536 (≡ 44,01°); µ
2
= 4,701 (≡ 44,01° +
180°).
Portanto, para os dois primeiros termos da série:
⋅
⋅−⋅
⋅
⋅
⋅=
−
−
∑
=
2
2
2
1
1
exp
R
t
R
r
R
r
sen
C
TT
TT
n
n
n
n
n
a
a
α
µ
µ
µ
Substituindo os valores experimentais obtidos na equação da temperatura para o
cálculo da temperatura de assamento do pão no “forno solar” do tipo caixa, no centro:
()
()
2
2
2
1
0
( 50)
exp 5.19
(20 50)
n
c
nn
n
n
Para r
r
sen
TC
t
R
C
r
CR
R
µ
α
µ
µ
=
=
⋅
−°
⋅
=⋅ ⋅−⋅
−°
⋅
∑
1
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
120
120
Sendo:
r = 0 (no centro do pão)
α
médio, pão
= 3,0 x 10
-7
m
2
/s (Rahman, 1995)
Cálculo dos parâmetros C
1
e C
2
utilizando a equação dos parâmetros:
(
)
(
)
()
1
4 1,536 1,536 cos 1,536
2 (1,536) 2 1,536
sen
C
sen
⋅−⋅
=
⋅−×
1
1, 26C
=
=
(
)
(
)
()( )
2
4 4,701 4,701 cos 4,701
2 4,701 2 4,701
sen
C
sen
⋅−⋅
=
⋅−×
2
C = 0,404
−
Arco trigonométrico:
Calculados:
1
1, 26C ≅
1
1,536
µ
≅
2
0,404C ≅−
2
4,701
µ
≅
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
121
121
Substituindo os valores de C
1
, C
2
, µ
1
e µ
2
na equação (5.19), relembrando que os
fatores
/( ) 1
n
n
r
r
sen
RR
µ
µ
⋅
⋅→
, se obtém:
()
()
7
2
2
7
2
2
3, 0 10
1,26 exp (1,536)
0,01
50
20 50
3, 0 10
( 0,404) exp (4,701)
0,01
c
t
T
t
−
−
×⋅
⋅− ⋅ +
−°
=
−
×⋅
+− ⋅ − ⋅
()
7
4
7
4
50
3, 0 10
1,26 exp 2,359
30 10
3, 0 10
0,404 exp 22,099
10
c
T
t
t
−
−
−
−
−°
×⋅
=
⋅− ⋅ +
−
×⋅
+− ⋅ − ⋅
() ()
50
1,26.exp 0,00708 0,404 exp 0,06630
30
c
T
tt
−°
=−⋅−⋅−⋅
−
Substituindo t
experimental
= 32 min. = 1920 s, resulta:
T
C
= 49,93 °C ≅ 50 °C (Temperatura calculada no centro do pão)
•
Comparando o valor da temperatura calculada, T
Ccalculada
= 49,93 °C com a
temperatura obtida experimentalmente, T
Cexperimental
= 65 °C, nota-se que existe
uma grande diferença de temperatura. Mas, como o número de Fourier, Fo =
5,76 é muito grande, a temperatura central tende à temperatura ambiente, Tc =
49,93 °C → Ta = 50 °C. Se tivesse sido considerado o termo de geração de
energia, seria possível atingir uma temperatura no pão-de-queijo superior à
temperatura ambiente, ou seja, T
pão
> Ta.
• Observando-se a equação (5.19) para a temperatura central, para um tempo
muito longo (o tempo tendendo a infinito, t
Æ ∞), a temperatura central tende à
temperatura ambiente (T
a
). A expectativa em relação ao comportamento, de
acordo com a equação citada é:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
122
122
T
centro do pão (esfera)
≡ T
ambiente (dentro do forno)
≡ 50 °C
5.6. Modelagem da temperatura de assamento de pão de queijo (centro
do alimento) no fogão solar tipo caixa considerando o pão de queijo
como uma esfera, mas com o termo de geração de energia
Agora, tomando como ponto de partida o livro de Luikov (1968) para a
esfera 0 ≤ r < R com geração de calor na esfera (pão de queijo), que é incluído no fluxo
de energia por radiação que é fornecido pelo Sol:
Dados para a modelagem:
C
p experimental
= 3.237,55 J/(kg.°C)
(Capacidade calorífica do pão de queijo)
5.6.1. Cálculo da capacidade calorífica média do pão de queijo
Observe que C
P
médio é função da temperatura do pão de queijo e do seu
conteúdo de água e de outros materiais constituintes do pão de queijo.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
123
123
Observação experimental:
Considerando os gráficos (3.32) e (3.33) desta dissertação que mostram a massa
do pão versus o tempo de assamento, observa-se que o pão de queijo está perdendo em
torno de 5 % de água em relação à massa inicial, tomando como temperatura no interior
do forno solar, em torno de 100 °C.
()
()
exp 2 1
21
5%( )
Per M M
MM
CTT H
Cp
TT
−+∆ ×
=
−
vaporizaçãoágua
médio
massa perdida de água/massa inicial do pão
Supondo que a vaporização da água se dá a 100 °C, que é a temperatura
admitida para o interior do forno, o dado experimental termodinâmico (Incropera e De
Witt, 1996) correspondente ao calor latente de vaporização da água é:
2.257.000
Joule
H
kg
∆=
vaporização da água
Designando:
T
M1
= Temperatura inicial do pão de queijo, (T
M1
= 20 °C);
T
M2
= Temperatura do pão de queijo no final do assamento, (T
M2
= 65 °C)
Substituindo os dados experimentais, obtém-se:
(
)
()
3.237,55 J/(kg°C) 65 20 °C (2.257.000 0,05
65 20 °C
Cp
−+ ×
=≅
−
médio
J/kg) kg/kg
Joule
5.745,33
kg°C
5.745,33C ≅
P médioPão de queijo
Joule
kg°C
5.6.2. Cálculo da densidade aparente média (ρ
médio
) do pão de queijo:
Utilizando os dados experimentais das Figuras (3.32) e (3.33), obtêm-se os
seguintes valores:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
124
124
Densidade inicial para o pão de queijo:
totalvolume
totalmassa
i
=
ρ
()
3
75300
40
cm
g
i
+
=
ρ
3
167,0
cm
g
i
≅
ρ
Usando os dados da figura 3.33, se obtém a densidade final:
()
+
×−
=
3
50300
05,05050
cm
g
f
ρ
3
136,0
cm
g
final
≅
ρ
Portanto, para o cálculo da densidade média aparente do pão, nestas condições,
tem-se:
2
fi
médio
ρ
ρ
ρ
+
=
3
0,167 0,136
()
2
médio
g
cm
ρ
+
=
3
1519,0
cm
g
médio
≅
ρ
5.6.3. Cálculo do conteúdo de água médio
(
)
médio
A
C do pão em estudo
no forno solar:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
125
125
C
A1
= 30,85 %
C
A2
= 25,2 %
%025,28≅
médio
A
C
33
9,1511519,0
m
kg
cm
g
médio
≅≅
ρ
Tomando os valores do conteúdo de água médio, densidade média do pão de
queijo e aplicando a equação já mencionada, se calcula a condutividade térmica média
do pão, [W/(mK)]:
2
6
2
102959,2002482,00020514,013416,0ln
ap
A
ap
A
CCk
ρρ
××+×+×−×−=
−
−
Com os dados, obtém-se a condutividade térmica média do pão:
Km
W
k
pão
⋅
≅ 1636,0
5.6.4. Cálculo da difusividade térmica média do pão:
(C
A
)
C
A1
= 30,85 %
C
A2
= 25,2 %
0 3 minutos tempo (t)
Legenda:
C
A
: Conteúdo de água
t : tempo de cozimento do pão
2
%2,25%85,30
+
=
médio
A
C
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
126
126
pão
ppão
pão
pão
C
k
s
m
×
=
ρ
α
2
3
0,1636
151,9 .5.745,33
pão
W
mK
kg J
mkgK
α
=
2
7
1,87 10
pão
m
s
α
−
≅×
O resumo dos dados para modelagem é:
Início do experimento: 11h35min Ta = 50 °C
Final do experimento: 12h07min t
(experimental de assamento do pão)
= 32 min = 1920 s
Km
W
k
pão
⋅
≅ 1636,0
T
C
= ? (Temperatura no centro do pão
considerando como uma esfera)
33
9,1511519,0
m
kg
cm
g
médio
≅≅
ρ
2
0
;
R
t
F
k
Rh
Bi
C
C
⋅
=
⋅
=
α
T
1
= 20 °C
2
7
1,87 10
pão
m
s
α
−
≅×
5.745,33C ≅
P médioPão de queijo
Joule
kg°C
5.6.5. Cálculo dos números de Biot Bi
C
e de Fouriet F
0C
:
;
pão
pão
C
k
Rh
Bi
⋅
=
Onde:
h
global
= h
radiação
+ h
convecção
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
127
127
K
m
W
m
Km
W
Bi
C
⋅
⋅
⋅
=
1636,0
01,016
2
978,0
≅
C
Bi
2
exp
0
pão
erimental
pão
C
R
t
F
⋅
=
α
()
2
7
0
2
2
1,87 10 1920
10
C
m
s
s
F
−
−
×⋅
=
0
3, 59
C
F
≅
Designando para a modelagem:
Para a modelagem é admitido que somente 20 % da energia solar que chega ao
pão de queijo é aproveitada para assá-lo e que somente a sua parte superior, ou seja,
uma semi-esfera recebe radiação direta do Sol. Estes 20 % representam a eficiência
admitida de aproveitamento da energia solar, pelo fogão. Ou seja:
A
0
(termo de geração) = W/m
3
Î
])[(
2
3
2
0
0
mpãocontroledeVolume
pãodoárea
m
W
G
A
×
=
G
0
(fluxo de energia provinda do Sol) = 700 W/m
2
G
0
:
utilizado um valor médio para base de cálculo em Natal/RN.
η = eficiência térmica do forno
Sendo:
G’
0
[W/m
2
] = G
0
.η = (700 W/m
2
) x η
η % = 20 % = 0,20
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
128
128
Logo:
G’
0
= (700 W/m
2
)(0,20) = 140 W/m
2
Utilizando a equação da página 242 do livro de Carslaw e Jaeger (1959) ou da
página 365 do livro de Luikov (1968), considerando o termo de geração:
()
20.5
11
0
2
2
k
A
r
T
r
r
r
t
T
+
∂
∂
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
α
Analisando cada termo da equação, se tem que a equação é dimensionalmente
homogênea:
•
°
=
∂
∂
=
s
C
t
T
s
m
2
11
α
=
∂
∂
⋅
t
T
α
1
⋅
s
m
2
1
°
s
C
=
2
C
m
°
⋅
•
=
22
11
mr
•
°
=
°
⋅⋅⋅=
∂
∂
∂
∂
⋅
2
2
2
2
2
111
m
C
m
C
m
m
m
r
T
r
r
r
•
pãodotérmicaadeCondutividk
m
C
Cm
W
m
W
k
A
:
2
3
0
∴
°
=
°⋅
=
•
Observe que a área de exposição da esfera em estudo (pão) diretamente à
radiação solar é:
()
esferadaáreaA ×=
2
1
'
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
129
129
(
)
2
4
2
1
' RA
π
×=
Portanto:
()
3
4
2
4
'
3
2
'
0
'
0
0
R
R
G
A
pãodoVolume
G
A
π
π
=×=
Com:
R
pão
= 1 cm = 0,01 m
G
0
= 140 W/m
2
π ≡ 3,14
3
2
0
3
4
2
4
140
R
R
A
π
π
×
=
0
140 140
220,01
33
A
R
==
×
3
0
000.21
m
W
A ≅
A equação simplificada, sem considerar o termo de geração, é a seguinte:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
130
130
()
[]
()
21.5exp1
,
0
2
1
0
0
F
r
R
r
senRA
tt
tTrt
n
n
n
nn
a
⋅−⋅
⋅
−=
−
−
=Θ
∑
∞
=
µ
µ
µ
()
()
[
]
()
()
22.5
12
1
22
2
1
2
2
1
BiBi
BiBi
A
n
n
n
n
−+
−+
⋅−=
+
µ
µ
• Como o número de Fo = 3,59 > 0,5 é necessário usar somente o primeiro termo
da série. Mas mesmo assim, usando a Tabela (5.4) e interpolando, obtêm-se os
valores de A
1
, A
2
e A
3
:
Tabela 5.4. Valores de An.
Bi A
1
A
2
A
3
0,90 1,2488 -0,3854 0,2299
0,978 X
1
X
2
X
3
1,0 1,2732 -0,4244 0,2546
Calculados para a esfera:
Bi
C
≡ 0,978
F
0c
≡ 3,59
• Utilizando a tabela 5.5 e interpolando, são obtidos os valores de µ
1
, µ
2
e µ
3
:
•
Tabela 5.5. Valores de µ
n
Bi µ
1
µ
2
µ
3
0,90 1,5044 4,6911 7,8412
0,978 Y1 Y2 Y3
1,0 1,5708 4,7124 7,8540
Aplicando a regra de L’opital para r = 0 na equação (5.21), se obtém:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
131
131
()
0;;
0
1
==
−
−
=Θ rFBif
Tt
TT
a
acentro
[]
⋅−⋅
⋅
−=
−
−
∑
∞
=
0
2
1
1
exp1 F
r
R
r
senRA
Tt
TT
n
n
n
nn
a
acentro
µ
µ
µ
• Regra de L’opital: Deriva-se o numerador e denominador quando r = 0,
considerando que cos(0) = 1:
[]
∑
∞
=
⋅−⋅
⋅
⋅
−=
−
−
1
0
2
1
expcos
1
n
n
n
nn
n
a
acentro
F
RR
r
RA
TT
TT
µ
µ
µµ
[]
()
∑
∞
=
⋅−⋅
⋅
⋅−=
−
−
1
0
2
1
23.5expcos1
n
n
n
n
a
acentro
F
R
r
A
TT
TT
µ
µ
Considerando o termo de geração, a temperatura média do pão (T
m
) considerado
como uma esfera, da equação (8.3.8), página 366, do livro de Luikov (1968):
()
2
0
00
2
1
1
15
1 1 1 exp 5.24
15
a
nn
n
an
TT P
PBF
TT Bi
µ
µ
∞
=
−
=+ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
média
Interpolando, obtêm-se os valores de B
1
, B
2
e B
3
:
Bi B
1
B
2
B
3
0,90 0,9881 0,0101 0,0013
0,978 Z
1
Z
2
Z
3
1,0 0,9855 0,0122 0,0016
Onde, para o modelo em estudo, têm-se:
()
()
°=
°=
−+
=
.50
;20
25.5
6
1
222
2
CT
CT
BiBi
Bi
B
a
nn
n
µµ
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
132
132
e
()
()
≅
=
−
=
.000.21
;01,0
26.5
3
0
1
2
0
0
m
W
A
mR
TTk
RA
P
pão
apão
Sendo P
0
: Critério ou número de Pomerantsev.
Cálculo de B
1
, B
2
e B
3
, como apresentado a seguir:
Bi B
1
0,90 0,9881
0,978 Z
1
1,0 0,9855
Interpolando-se:
()
()
(
)
()
1
0,978 1,0 0,9855
0,90 1,0 0,9881 0,9855
Z−−
=
−−
986878,0
1
≅
Z
Utilizando-se o mesmo critério de interpolação encontramos os valores:
Bi B
2
0,90 0,0101
0,978 Z
2
1,0 0,0122
011087,0
2
≅
Z
Bi B
3
0,90 0,0013
0,978 Z
3
1,0 0,0016
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
133
133
001441,0
3
≅
Z
Utilizando a equação para o cálculo de µ
1
, µ
2
e µ
3
:
B
1
µ
1
≡ 1,536
B
2
µ
2
≡ 4,696
B
3
µ
3
≡ 7,819
Km
W
k
pão
⋅
≅
1636,0
F
0c
≡ 3,59
Cálculo do número de Pomerantsev:
()
1
2
0
0
TTk
RA
P
apão
−
=
0
0,428P ≅
• Cálculo da temperatura média (T
m
) com o termo de geração de calor utilizando
somente o primeiro termo, n = 1:
2
0
0110
2
11
15
11 1 exp
15
a
a
TT P
PBF
TT Bi
µ
µ
−
=+ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
média
()
BiBi
Bi
B
nn
n
−+
=
222
2
6
µµ
0,978
C
Bi
≅
()
()
2
3
0
21.000 0,01
0,1636 50 20
W
m
m
P
W
C
mC
×
=
−
°
⋅°
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
134
134
2
2
20
150,428
1 0,428 1 1 0,9868.exp 1,536 3,59
50 20 15 0,947 1,536
T
−
=+ ⋅ + − + ⋅ − ⋅
−
média
55,4TC
≅
°
média
(Com o termo de geração de calor)
Nota-se que, com o termo de geração, a temperatura média T
média
= 55,4
o
C pode
ser superior à temperatura no interior do forno T
a
= 50
o
C.
A temperatura em qualquer ponto do pão de queijo, considerando o termo de
geração de energia e que ele é uma esfera, utilizando o modelo do livro de Luikov
(1968), página 366, equação (8.3.7), é dada por:
()
2
2
0
1
0 0
22
1
1
(;) 1 2
11 1 exp
6
n
a
r
Rsen n
P
Trt T r
R
PAnnF
TT BiR n rn
µ
µ
µµ
∞
=
⋅
−
=+ ⋅ ⋅ + − − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
−⋅
∑
Fazendo r = 0, se obtém a temperatura no centro do pão de queijo, considerado
como uma esfera, com o termo de geração de energia, dada por:
()
2
10
00
2
1
1
12
11 1 exp
6
n
a
TT P
PAnnF
TT Bi n
µ
µ
∞
=
−
=+ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
central
Dados para modelagem:
I- P
0
≡ 0,428 (considerando o termo de geração)
II- P
0
= 0 (não considerando o termo de geração)
r = 0 (no centro do pão, considerando modelo da esfera)
n = 1
F
0C
≡ 3,59
µ
1
≡ 1,536
A
1
≡ 1,144
B
1
≡ 0,987
Substituindo os valores no modelo da equação anterior, obtém-se:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
135
135
()
()
() ()
2
1
2
1
1 2 0,428
1 0,428 1 1 1,144 exp 1,536 3,59
6 0978
1,536
a
TT
TT
−
=+ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
central
1
1
1,215
a
TT
TT
−
≅
−
central
Mas:
1
1
20
1,215
50 20
56,5 50
c
a
c
c
TT
TT
T
TCTC
θ
∞
−
=
−
−
=
−
≅
°> ≅ °
Nota-se que a temperatura central é maior que a temperatura dentro do forno,
mas é um pouco maior que a temperatura média dentro do pão de queijo.
II- P
0
= 0 (não considerando o termo de geração):
()
2
2
10
0 0
22
1
1
12
11 1 exp
6
n
a
r
Rsen n
TT P
r
R
PAnnF
TT BiR n rn
µ
µ
µµ
∞
=
⋅
−
=+ ⋅ ⋅ + − − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
−⋅
∑
central
Na equação acima, tem-se:
No centro da esfera (pão): r = 0
1
0 0 0 r=0
⋅
⋅
→
R
rn
R
r
nsen
r
µ
µ
0
lim
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
136
136
()() ()()
{
}
2
1
1
1 0 1 1,144 1 exp 1,536 3,59
a
TT
TT
−
=+− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
−
central
Portanto :
1
0,99976
ca
a
TT
TT
−
=
−
20
0,99976
50 20
49,99 50
c
c
T
TCC
−
=
−
=°≅°
()
calordegeraçãodetermooconsiderarsem
Sem o termo de geração, a temperatura central tende à temperatura do meio de
aquecimento, ou seja, ao interior do forno.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
137
137
Apêndice I
I. Dados experimentais de assamento da pizza no forno solar tipo caixa
Figura I.1. Esquema da vista lateral do fogão solar proposto com as suas diferentes
temperaturas.
•
T
9
: centro interno
•
T
10
: centro externo
•
Material compósito constituído de gesso + isopor para diminuir as perdas
térmicas.
•
k
material compósito
= 0,3 W.m
-1
°C
-1
. Fornecido pelo LES/UFRN (Laboratório de
Energia Solar).
•
Lei de Fourier de condução de calor:
2
;
dT W
qk q
dx m
=− ⋅ ≡
.:
q = Fluxo de calor
T
2
T
1
T
7
T
8
T
3
T
4
T
5
T
6
T
9
T
10
T
1
T
3
T
4
T
5
T
2
T
6
T
7
T
10
T
9
T
8
Espelho
Sol
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
138
138
I.1. Data do Experimento: 31/10/2006
Pizza de 460 g
Tabela I.1. Tempo x Temperatura (Experimento do dia 31/10/2006)
Tempo T
C
(°C)
10:50’ 17,6
10:53’ 22,4
10:57’ 24,3
11:00’ 25,5
11:15’ 28,3
11:20’ 31,5
11:33’ 40,0
12:00’ 63,0
Tempo total: 70 minutos
Onde:
T
C
é a temperatura experimental no centro do alimento no interior do fogão solar
em estudo.
Figura I.2. Esboço da pizza de 460 g utilizada.
•
Utilizou-se um prato de vidro como suporte da pizza, assim, não contribuindo
com a condução de calor.
•
De 10:53 as 11:00 horas houve nebulosidade no clima.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
139
139
I.2. Data do Experimento: 12/04/2007
Massa da pizza = 400 g
Temperatura ambiente (9:32 h) = 34 °C
Tabela I.2. Tempo x Temperatura (Experimento do dia 12.04.2007)
Tempo 9:33’ 9:38’ 9:55’ 10:10’ 10:16’
T
C
(°C) 35 36 53 58 61
Fim do assamento
Tempo total: 43 minutos
Figura I.3. Pizza no interior do fogão tipo caixa, inicio do experimento, propriedades
organolépticas da pizza.
Figura I.4. (a), (b) Temperaturas colhidas durante a realização do experimento,
(c) Assamento da pizza utilizando materiais descartados na natureza.
(a)
(b)
(c)
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
140
140
I.3. Data do Experimento: 17/04/2007
Hora de início do experimento: 11:14h da manha
Massa da Pizza: 460 g
Temperatura ambiente: 32 °C
OBS: Período de nebulosidade: 11:16 à 11:45 h
Figura I.5. Pizza no interior do forno
Tabela I.3. Tempo versus temperatura (Experimento do dia 17.04.2007)
Tempo (h) Temperatura (°C)
11:16 36
11:45 38
11:50 37
12:25 71
Fim do cozimento da pizza
Tempo total: 69 minutos.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
141
141
I.4. Modelagem de assamento da pizza em um fogão solar tipo caixa
A seguir faz-se uma modelagem considerando a difusão de matéria (água) e de
energia no assamento de uma pizza usando o fogão solar tipo caixa.
Colocação e análise da difusão de matéria (água) e energia na secagem solar da
pizza.
A seguir faz-se uma modelagem considerando a difusão de matéria (água) e de
energia no assamento de uma pizza usando o fogão solar.
Seja uma fatia de pizza que é assada por convecção e radiação solar.
x
Considerando a difusão da água no alimento e a condução de energia, são
obtidas as equações básicas para análise dos fenômenos, que são:
x
- L + L
Ar
-D
AB
. dC
A
/dx = 0
T
s
-k . dT/dx = 0
+ L
- L
h Convecção
Ar
h Radiação
ou
Ar Ar
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
142
142
Difusão da Matéria
()()
ItxfC
x
C
D
t
C
A
A
AB
A
;
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
Difusão de energia (calor no sólido)
()()
IItxfT
x
T
t
T
;
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
α
Para a Equação I são necessárias três condições de contorno
Para a Equação II são necessárias três condições de contorno:
As condições de contorno para a equação I são:
Para t < 0
+
C
A
= C
A0
(III)
Em x = 0 .: - D
AB
. dC
A
/dx = 0 (IV)
Sem fluxo de matéria (ponto de máximo ou mínimo)
Em x = L .: - D
AB
.dC
A
/dx = k
M
(ys – y) (V)
As condições de contorno para a equação II são:
Para t < 0
+
T = T
0
(IV)
Em x = 0 -k.dT/dx = 0
Em x = L
() () ()()
xL conv s Rad s M
T
khTThTTHkysyVIII
x
=∞ ∞
∂
−=−+⋅−+∆⋅−
∂
h
conv
: Coeficiente de transferência de energia por convecção
h
Rad
: Coeficiente de transferência de energia por radiação
Água que sai do
alimento.
Água evaporada que
“entra” no ar.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
143
143
∆H: Diferença de entalpia
I.5. Análise comparativa entre os processos de transferência de calor
de matéria
Como uma análise aproximada para os alimentos submetidos ao processo de
assamento no forno solar, o bife que contém o maior teor de água (60,7%), com isso o
processo para o assamento comparado com a pizza (teor de água em torno de 20 %) e
com o pão (teor por volta 30,85 %) é maior, pois será necessário um tempo superior
para a evaporação da água no interior do alimento.
No bife, portanto, o tempo total de assamento é maior comparado com a pizza e
o pão, a difusividade térmica do bife é menor que os outros alimentos submetidos ao
processo de assamento.
Fazendo uma analogia entre os processos de transferência de calor e de matéria
para a secagem de uma pequena fatia de banana que apresenta baixo teor de umidade no
interior deste alimento. A difusividade de matéria (D
AB
, ou seja, a difusividade de água
no alimento) é aproximadamente, em ordem de grandeza, 10
-10
m
2
/s) e a difusividade
térmica (α
igual a 10
-7
m
2
/s), portanto, a difusividade de matéria (D
AB
) é
aproximadamente 1000 vezes menor que a difusividade térmica (α
fatia de banana). No
caso específico da banana, o objetivo principal é o processo de secagem e nos alimentos
que foram conduzidos aos testes experimentais no fogão solar proposto a finalidade
primordial é o assamento destes alimentos.
Fazendo uma analogia preliminar entre os processos de transferência de calor e
de matéria, quanto maior é o teor de umidade no interior do alimento, maior será a
resistência térmica comparada à resistência de transferência de matéria e por
conseqüência, menor será o tempo necessário para evaporação da água neste alimento,
aumentando, dessa forma, o tempo total para o processo de assamento do alimento em
estudo no forno solar.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
144
144
Tabela I.4. Comparativo do teor de água no alimento
Nas Tabelas II.3 e II.4 são demonstradas as caracterizações térmicas do fogão
solar proposto para a validação do uso do isolante para atenuar as perdas térmicas.
Tabela I.5. Tempo versus Temperatura (Experimento do dia 05/12/2006)
Tempo (h) T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
12:50 41,1° 35,6° 41,5° 35,1° 40,0° 34,7° 42,2° 37,4° 38,9° 37,6°
13:05 38,8° 33,0° 39,0° 35,1° 36,4° 35,0° 40,0° 34,0° 36,0° 33,0°
13:20 41,2° 31,0° 36,0° 32,7° 33,9° 31,4° 37,5° 33,3° 36,0° 32,6°
13:35 39,1° 37,5° 38,7° 40,1° 37,5° 37,7° 43,3° 36,5° 40,0° 34,9°
13:50 41,0° 36,9° 38,7° 38,6° 36,7° 38,8° 40,6° 37,1° 37,3° 37,0°
14:05 39,0° 37,2° 39,1° 40,0° 36,5° 41,2° 39,0° 36,9° 35,2° 35,0°
∆X
1→2
= 6,5 cm = 6,5 x 10
-2
m
∆X
3→4
= 3,8 cm = 3,8 x 10
-2
m
∆X
5→6
= 2,5 cm = 2,5 x 10
-2
m
∆X
7→8
= 2,5 cm = 2,5 x 10
-2
m
Cálculo das Temperaturas Médias (
i
T ):
n
iT
T
∑
=
1
1
Onde, n corresponde ao número de termos.
Alimentos Teor de água no alimento (%) Difusividade (α)
Pizza 20,00 % 2,4 x 10
-7
m
2
/s – valor médio
Pão 30,85 % 3,0 x 10
-7
m
2
/s
Bife 60,70 % 1,5 x 10
-7
m
2
/s
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
145
145
CT °= 03,40
1
47,36
6
≅T °C
CT °= 2,35
2
CT °= 43,40
7
CT °= 83,38
3
87,35
8
=T °C
CT °= 93,36
4
CT °= 23,37
9
CT °= 83,36
5
CT °= 02,35
10
Tabela I.6. Tempo versus Temperatura (Experimento do dia 12/12/2006)
Tempo (h) T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
10:55 43,9° 43,0° 57,1° 41,7° 50,7° 41,3° 50,7° 40,6° 45,9° 40,3°
11:10 47,2° 40,6° 49,0° 39,7° 43,5° 37,7° 44,3° 35,2° 43,3° 39,7°
11:25 44,1° 38,9° 56,6° 37,7° 48,7° 36,6° 57,8° 36,0° 52,3° 36,6°
11:40 45,0° 39,6° 51,6° 39,4° 48,2° 37,3° 50,6° 37,1° 50,9° 36,6°
11:55 48,4° 41,0° 61,3° 42,4° 50,0° 37,5° 54,0° 36,6° 52,0° 36,0°
12:10 49,0° 39,2° 58,3° 39,8° 54,2° 399° 53,0° 39,5° 54,2° 38,5°
12:25 49,0° 38,2° 51,0° 40,5° 46,4° 39,5° 52,6° 38,8° 53,7° 37,7°
Cálculo das Temperaturas Médias (
i
T
):
n
iT
T
∑
=
1
1
CT °= 7,46
1
54,38
6
=T °C
CT °= 07,40
2
CT °= 77,51
7
CT °= 98,54
3
8,37
8
=T °C
CT °= 17,40
4
CT °= 33,50
9
CT °= 81,48
5
CT °= 91,37
10
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
146
146
0,01
x
Lm
=
+=
0,01
x
Lm
=
−=−
()( )
16 0,01
0,55
0, 29
C
C
C
hL
Bi
k
Bi
Bi
⋅
=
⋅
=
≅
Número de Biot, Bi
C
Define-se:
()
[]
[]
Externasistência
Internasistência
h
Lk
Bi
k
Lh
Bi
CC
Re
Re
1
/
1
==→
⋅
=
Se:
I.
Bi
C
< 0,1 → Biot → 0 (Sem resistência interna)
II.
0,1 < Bi
C
< 100 → Biot intermediário (Resistência interna + externa)
III.
Bi > 100 → Bi → ∞ (sem resistência externa)
Considerações para a Modelagem do Processo:
1-
Comparar o fluxo que entra “por cima” na pizza, considerando
convecção (h
Conv
) e radiação (h
Rad
), com o que “entraria” se a eficiência
térmica do “forno” fosse 20 %; ou seja:
(A)
Se chega a potência por área: 700 W.m
-2
Pizza de frango
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
147
147
η = 0,20 →
700
""
aaproveitadPontência
=
η
Eficiência térmica
η =
Potência “aproveitada” = Potência útil para assar a pizza:
(0,2).(700) W.m
-2
.: Potência útil = 140 W.m
-2
(1)
Portanto potência útil para assar completamente a pizza ≈ (2) . Pot. útil = (2) .
(140) W.m
-2
.
Pot. útil total = 280 W.m
-2
(B) Supondo:
T
superfície
= 70 °C → T
sup
≡ 343 K
T
vizinhaça
= 90 °C → T
viz
≡ 363 K
T
∞
(Temperatura do fluido, ou seja, do ar) =
KT
CT
353
80
2
9070
=
°=
→
+
∞
∞
ε ≡ 0,6
h
Rad
= εσ . (T
sup
+ T
viz
) . ( T
sup
2
+ T
viz
2
)
()()()
[
]
C
m
W
h
C
m
W
h
Km
W
h
RadRad
Rad
°
≡→
°
=
+⋅+⋅
⋅
⋅=
−
.
6
.
99,5
3633433633431067,56,0
22
22
42
8
h
convectivo
= ? Para o ar dentro do forno quase estático, ou seja:
v (velocidade) → 0 h
conv
≡ 10 W.m
-2
.°C → h
total
= (h
Rad
+ h
conv
)
h
total
= (6 + 10) W.m
-2
.°C → h
total
= 16 W.m
-2
.°C
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
148
148
Portanto:
q
total
= h
total
(T
sup
- T
∞
)
q
total
=16 (343 - 353)
q
total
= 160 W.m
-2
(2)
q
total
(para assar as duas faces da pizza)
≡ 320 W.m
-2
.
Comparar a energia absorvida pela pizza para assá-la, com a energia útil (140
W.m
-2
).
Procedimentos:
•
Avaliar, para a temperatura média (T
m
) de “cozimento”, a energia:
Energia(Joule) = m
pizza
.C
P pizza
.(T
m
– T
1
) (3)
•
Dividindo a expressão (3) pelo tempo de cozimento, resulta na potência gasta:
(
)
()
[]
()
4
0
..
1
Watt
t
TTCm
segundo
Joule
Potência
assar
mpizzaPpizza
−
−
=
•
Dividindo pela área exposta ao cozimento dá a potência útil por unidade de área.
[]
(
)
()
()
5
.
..
2
1
−
=
m
Watt
áreat
TTCm
pizzadaárea
WattPotência
mpizzaPpizza
Dados:
m = Massa da pizza = 460 gramas
C
P
= Capacidade calorífica da pizza = 3,64 J/(g°C)
T
m
= ? (será calculada)
t = 56 min. → t = 56(60 s) → t = 3.360 s
Área = 1.(πR
2
) → π.(0,15
2
) →Área = 0,07065 m
2
Portanto:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
149
149
()()
2
146.526,744
617,256
0,07065 3360
Potência W
Área da pizza m
=≅
Superfície superior da pizza
Para as 2 (duas) áreas (superior e inferior para assar a pizza), temos:
()
22
628,308
2
256,617
infsup
m
W
m
W
erioreeriortotalÁrea
Potência
≅=
Cálculo da Temperatura Média (T
m
) da Pizza, no Estado Estacionário, Utilizando
o Teorema do Valor Médio do Cálculo:
0,01
x
Lm
=
+=
0,01
x
Lm
=
−=−
Solução:
Distribuição de temperatura na pizza (considerando com uma placa plana), onde
ocorre uma geração interna de calor (q = q
Conv
+ q
Rad
), tendo uma face da pizza mantida
à temperatura T
1
, enquanto a outra face é mantida à temperatura T
2
. A espessura da
pizza é 2 L. Esta temperatura média (T
m
), que será calculada a seguir, representa a
temperatura média, considerando um tempo infinito (será obtido um perfil de
temperatura parabólico para o tempo infinito).
T
1
≡ T
∞
≡ 80°C
T
2
≡ 155 °C
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
150
150
Figura I.6. Fonte uniformemente distribuída
()
()
222
222
1
2
12
0
0
Distribuição de temperatura na pizza 1
2
TTTq
Fluxosónadireçãox
xyzk
ddT q
dx dx k
dt q q
ddxdTxCdx
dx k k
q
TxCxC
k
•
•
•
•
∂∂∂
+++=∴
∂∂∂
+=
−
=− ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅
−
=⋅+⋅+ →
∫∫∫ ∫
Condições de contorno:
C.C.1:
x = - L → T = T
1
→ T
1
=
() ( )
1
2
21
2
1
−+⋅−−−=
•
xcLcL
k
q
T
()
AcLcL
k
q
T
21
2
1
2
−⋅+=−
•
x
x
L
L
T
2
T
1
= T∞
.
0
2
=+∇
•
k
q
T
Equação de Poisson para sistema no
estado estacionário com fonte
interna de calor.
Radiação solar
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
151
151
C.C.2:
x = +L → T = T
2
()
BcLcL
k
q
T
21
2
2
2
+⋅+−=
•
Fazendo (A) + (B), temos:
(T
2
– T
1
) = 2.c
1
.L
(
)
L
TT
c
2
12
1
−
=
Substituindo em T
2
: (B)
()
()
()
2
22
12
22
2
22
2
12
2
2
k
qLTT
Tc
c
TT
L
k
q
T
•
•
+
−
−=
+
−
+−=
Substituindo as constantes obtidas C
1
e C
2
em (1), obtém-se:
() ()
()
()()
()
3
222
2222
2
1212
22
2
12
2
12
2
T
TT
x
L
TT
xL
k
q
T
k
qL
TT
Tx
L
TT
x
k
q
T
+
−
−⋅
−
+−⋅=
+
−
−+⋅
−
+⋅−=
•
•
(Distribuição da temperatura na pizza)
Teorema do valor médio do cálculo:
∫
∫
⋅=⋅ dBPdBP
médio
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
152
152
.,...,,, etcdvdAdxdB
dB
dBP
P
m
=
⋅
=
∫
∫
No caso da modelagem da pizza, temos:
Temperatura média
()
∫
∫
⋅
=
dB
dxT
T
m
Da expressão (3):
()
()()
2
1212
22
222
T
TT
x
L
TT
xL
k
q
T +
−
−⋅
−
+−⋅=
•
Dados do modelo físico para assar a pizza:
()
CT
CT
Cm
W
k
processonoConvecçãoRadiaçãodoconsideran
m
W
q
°=
°=
°⋅
=
==
•
80
155
55,0
140
1
2
2
()
()()
()
45,117
5,37
27,12727,127
155
2
80155
2
80155
55,02
140
22
22
+
⋅
+⋅−⋅=
+
−
−⋅
−
+−⋅
×
=
L
x
xLT
x
L
xLT
Portanto:
∫
∫
+=
−=
+=
−=
⋅
=
01,0
01,0
01,0
01,0
2
1
2
1
X
X
X
X
m
dx
dxT
T
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
153
153
[]
01,0
01,0
01,0
01,0
22
2
1
2
1
5,117
5,37
27,12727,127
+=
−=
+=
−=
∫
⋅
+
⋅
+⋅−⋅
=
X
X
X
X
m
x
dx
L
x
xL
T
[] []
()()
[]
01,001,0
5,117
2
5,37
3
27,127
27,127
01,0
01,0
01,0
01,0
2
01,0
01,0
3
01,0
01,0
2
2
1
2
1
2
1
2
1
−−+
+
+
⋅−⋅
=
+=
−=
+=
−=
+=
−=
+=
−=
X
X
X
X
X
X
X
X
m
xx
L
xxL
T
()()
[]
()()
[
]
()()
[]
()()
[]
02,0
01,001,05,11701,001,0
01,02
5,37
01,001,0
3
27,127
01,001,001,027,127
22
33
2
−−++−−+
×
+−−+⋅−−−+⋅
=
m
T
{}
02,0
35,210485,800025454,0
5
+×−
=
−
m
T
CT
m
°
≡
51,117
Esta temperatura atingida para um tempo infinito, e esta temperatura obtida é
maior que a temperatura ambiente do interior do forno devido à contribuição do termo
de geração.
Utilizando as expressões do procedimento, obtém-se:
Energia (Joule) = m
pizza
.C
Ppizza
.(T
m
– T
1
)
Energia = (460).(3,64).(117,51 – 30)
Energia = 146.526,744 J.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
154
154
Apêndice II
II. Dados experimentais de assamento do hambúrguer de frango no
forno solar tipo caixa
II.1. Data do Experimento: 24/05/2007
Temperatura ambiente fora do forno: 32 °C (10 h 55 min)
Início do cozimento no fogão solar: 10 h 52 min
Figura II.1. Hambúrgueres de frango no forno solar
O protótipo de fogão solar do tipo caixa apresentou resultados satisfatórios no
que concerne ao tempo de cozimento de alguns alimentos (pães, pizza, bife e
hambúrgueres de frango) e também a eficiência térmica comparando estes resultados
com os tempos de cozimento em fogões tradicionais à base de butano (fogões que
utilizam gás liquefeito de petróleo)
I = 750 W/m
2
I: Radiação solar
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
155
155
Tabela II.1. Tempo versus Temperatura para assamento do hambúrguer
Tempo (hora) Temperatura (°C)
10 : 52 36,0
11 : 10 51,5
11 : 25 62,0
11 : 40
74,0
Tempo total: 48 minutos
A mudança de posição do fogão solar deve satisfazer à condição que a área de
contato dos raios solares seja máxima.
No experimento utilizaram-se latas de cerveja para otimizar a contribuição de
transmissão de calor por condução em virtude do aquecimento da lata que é feita de
metal mais a contribuição do calor armazenado no forno solar proveniente da radiação.
A chapa contribui de forma significativa para assamento dos alimentos, que com a
contribuição dos espelhos, fizeram que o alimento atingisse 74°C, durante o
experimento.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
156
156
Apêndice III
III. Dados experimentais do Bolo no Fogão Solar Tipo Caixa
III.1. Data do Experimento: 28/05/2007
Dados:
•
Massa da mistura para preparo do bolo: 400g
•
Temperatura ambiente fora do forno: 30 °C às 10 horas (inicial)
•
I = 750 W/m
2
às 10 horas
Tabela III.1. Tempo x Temperatura no centro do alimento
Tempo T
C
(°C)
10 : 22’ 47,7
10 : 37’ 54,3
10 : 48’ 56,1
11 : 04’ 59,0
11 : 15’ 60,5
11 : 30’ 63,4
11 : 45’ 64,2
12 : 50’ 78,9
Tempo total: 2 horas e 28 minutos
Observação:
O tempo, requerido experimentalmente para assamento do bolo no fogão solar
tipo caixa proposto neste experimento com um espelho, foi de 2 horas e 28 minutos, ao
passo que o tempo experimental para assamento do bolo proposto por Aroldo (2006),
cujo protótipo continha três refletores (espelhos) foi em torno de 50 minutos.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
157
157
Sistema em Estudo: Bolo
Figuras III.1. Assamento do bolo
Dados experimentais
Temperatura do ar no interior do forno (inicial) = 63,5°
Tabela III.2. Tempo x Temperatura ambiente dentro do forno
Tempo (horas) Temperatura do ar (T
∞
) dentro do forno
10 : 04 63,5 °C
11 : 04 70,2 °C
11 : 50 80,1 °C
Observação:
•
Antes de colocar a massa de bolo no forno solar, é interessante para diminuir o
tempo de assamento do alimento, introduzir a chapa no forno que conterá a
massa do bolo e esperar atingir uma temperatura máxima (em torno de 155 ºC).
Cálculo das propriedades termofísicas e dos tempos de assamento
dos alimentos em estudos, no forno solar tipo caixa, segundo dados
experimentais do livro de Heldman e Singh (1981).
Considerações para a modelagem:
Nas modelagens que serão propostas a seguir, considerar-se-á para os modelos
de assamentos dos alimentos em estudo (pão de queijo, bife de frango), as capacidades
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
158
158
caloríficas, considerando o calor latente de vaporização da água para os cálculos dos
tempos de assamento destes alimentos. Por exemplo, para o pão francês, está na
dissertação a perda de massa versus o tempo de cozimento (fig. 3.32 e 3.33), ou seja,
para o modelo da esfera do pão de queijo, as propriedades térmicas (condutividade
térmica, k
pão
; densidade, ρ
pão
e capacidade calorífica, C
P
) que foram usados os do pão
francês (segundo dados de Kowalski, 2001) como uma primeira aproximação para as
propriedades termofísicas do pão de queijo. Com isto é possível incluir na capacidade
calorífica média (C
P médio
) uma parte correspondente ao calor de vaporização da água.
Devido a esse fator de correção, a capacidade calorífica média resulta em um maior
valor e, por conseqüência, os tempos de assamentos destes alimentos que serão
calculados pelas modelagens a seguir, terão uma magnitude maior.
Similarmente podem acontecer os ajustes no que concerne a densidade e o calor
específico, os quais precisam ser calculados como médias.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
159
159
Apêndice IV
IV. Dados experimentais de assamento do bife de frango no forno solar
tipo caixa
IV.1. Data do Experimento: 09/05/2007
Tabela IV.1. Tempo versus Temperatura
Tempo (horas) Temperatura (°C)
10:35 29
10:40 34,2
10:45 43,7
10:50 51,9
10:55 72,0
Fim do cozimento
Tempo total: 20 minutos
IV.2. Modelagem para o bife de frango segundo dados experimentais.
IV.2.1. Modelagem considerando o modelo de objeto semi-infinito:
Porcentagem de água = 78,9 % (Heldman e Singh, 1981)
Temperatura do sistema (alimento, ºC) Condutividade Térmica [W/(m.K)]
Temperatura média do experimento T
m1
= 7 °C k
1
= 0,476
Temperatura média do experimento T
m2
= 62 °C k
2
= 0,485
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
160
160
• Cálculo da condutividade térmica, k
médio
[W/(m. K)]:
2
21
kk
k
médio
+
=
0,476 0,485
2
médio
k
+
=
Km
W
k
médio
⋅
= 4805,0
• Cálculo da difusividade térmica (α, m
2
/s):
bifePbife
bife
bife
C
k
,
⋅
=
ρ
α
()
6
3
0,4805
10
1,006 3,64
bife
J
sm C
J
g
gC m
α
⋅⋅°
=
⋅⋅
⋅°
2
7
1,31 10
bife
m
s
α
−
≅×
Aplicando o modelo de transferência de calor para o fogão solar estudado,
considerando o objeto como semi-infinito e que no “centro” do objeto semi-infinito x =
0,02 m/2 = 0,01 m, se obtém:
()
⋅
=
−
−
A
erfície
erfície
t
x
erf
TT
TtxT
α
2
,
sup1
sup
7
72 155 0,01
29 155
21,3110
A
erf
t
−
−
=
−
×
⋅
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
161
161
7
0,005
0,659
1,31 10
A
erf
t
−
=
×
⋅
Utilizando os dados da tabela da função erro de Gauss presente nos Anexos da
dissertação, obtém-se:
w erf(w)
0,64 0,63459
X
1
0,659
0,68 0,66378
Por interpolação linear temos X
1
≡ 0,673.
()
2
3
2
7
5.10
0,673
1,31 10
A
t
−
−
=
×⋅
1min
421,3 7,02 min
60
A
ts
s
=⋅ =
Este tempo t = 7,2 min calculado segundo o modelo de objeto semi-infinito,
difere muito do dado experimental t
exper
= 20 min.
Admitindo, como no modelo do objeto semi-infinito, que evapore 10 % do peso do
bife, considerando que o material evaporado é somente água e que o bife estava a uma
temperatura média inicial T
M1
= 29 °C e final T
M2
= 72 °C, o calor específico global
médio é:
()
()
o
o
()
o
o
JJkg
3.640 72 29 C 2.283.180,0 0,10
J
kg C kg kg
8,95
g
72 29 C
P médio do bife
C
C
⋅− + ×
==
−
Com este novo valor de Cp
médio
, recalculando a difusividade térmica, resulta:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
162
162
()
2
7
6
3
0,4805
..
0,534.10
10
1,006 8,95 .
.
J
m
sm C
s
J
gx
gC m
α
−
°
==
°
O tempo recalculado é:
7
72 155 0,01
0,659
29 155
2 0,534 10
A
erf
t
−
−
==
−
×
⋅
t =1.033,6 s = 17,2 min
O tempo calculado t = 17,2 min é menor que o valor experimental t
exper
= 20
min, mas a diferença é de aproximadamente 3 min. Com uma perda um pouco maior de
massa do bife durante o processo, se obteria um calor específico médio Cp
médio
= 10,39
J/(g°C) e o tempo calculado seria de t = 20 min que coincidiria com o experimental t
exper
= 20 min.
IV.2.2. Modelagem considerando o modelo da placa plana:
Na modelagem para uma placa será feito um artifício, usando a espessura do bife
de frango duplicada, conforme o esquema fenomenológico de transferência de calor
proposto a seguir. Com este artifício é como se no novo centro do bife não houvesse
transferência de calor. Na realidade o que acontece é que um dos lados do bife é
mantido sobre uma superfície a uma temperatura muito grande T
S
e o outro lado do bife
está submetido a um ambiente a T
∞
e um pequeno coeficiente convectivo, e como
resultado a transferência neste lado é desprezível em relação ao outro lado. Ou seja, é
como se nesta superfície não houvesse transferência de energia, ou que está isolado
termicamente. Em síntese, a modelagem se transforma de uma situação de uma placa de
espessura 2L com Biot Bi → ∞ em um lado com T = T
S
e outra com Bi pequeno, em
uma placa de espessura 4L com Bi → ∞ em ambos lados a T = T
S
.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
163
163
Cm
W
h
°⋅
=
2
20
Figura IV.1. Esquema do artifício utilizando no cálculo
Portanto, os autovalores são para uma placa com Bi → ∞, os quais são
apresentados na tabela a seguir assim como os parâmetros A
n
.
Para x = 0 m (usando para o cálculo até quatro termos da série, n = 4):
∑
=
⋅
⋅−⋅
⋅=
−
−
4
1
2
2
1
expcos
n
B
nn
L
t
L
x
An
TaT
TaT
α
µµ
Aplicando o modelo da placa plana:
Cálculo de An:
(
)
() ()
nnn
n
sen
sen
An
µµµ
µ
cos
2
⋅+
=
n µ
n
sen(µ
n)
cos(µ
n)
A
n
1 1,5708 1 0 1,2732
2 4,7124 -1 0 -0,4244
3 7,8540 1 0 0,2546
4 10,9956 -1 0 -0,1819
1 (para x = 0 m)
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
164
164
() ()
() ()
22
11 2 2
22
22
33 44
22
2
7
22
2
exp exp
72 155
0,659
29 155
exp exp
0,534.10 0
1,2732exp 1,5708 0,4244exp 4,7124
(0,02 )
BB
BB
B
tt
AA
LL
tt
AA
LL
m
t
s
m
αα
µµ
αα
µµ
−
⋅ ⋅
⋅−⋅ +⋅−⋅ +
−
== =
−
⋅⋅
+⋅ −⋅ +⋅ −⋅
−−−
=
2
7
2
22
77
22
22
,534.10
(0,02 )
0,534.10 0,534.10
0,2546exp 7,8540 0,1819exp 10,9956
(0,02 ) (0,02 )
B
BB
m
t
s
m
mm
tt
ss
mm
−
−−
+
+− −−
Utilizando o método numérico de Newton-Raphson, obtém-se:
t
B
≡ 1996,8 s = 33,3 min
O tempo calculado é muito maior que o experimental valor experimental t
exper
= 20 min. Pelos resultados obtidos com os dois modelos anteriores, ou seja, pelos
modelos da placa semi-infinita e do modelo da placa plana, conclui-se que o modelo de
sólido semi-infinito retrata melhor o resultado experimental obtido.
IV.3. Modelagem do bife de frango como placa em regime transiente
Considerações para modelagem:
Para o modelo físico proposto, serão utilizadas tabelas e equações do livro de
Luikov (1968).
•
Bife: Modelo de placa em regime transiente
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
165
165
bifePbife
bife
C
A
x
T
t
T
,
0
2
2
⋅
+
∂
∂
⋅=
∂
∂
ρ
α
Para a placa, tem-se:
9 T
1
(temperatura inicial) em t =0
9 Convecção
9 No centro da placa:
0→
∂
∂
x
T
• Cálculo do critério ou número de Pomerantsev (P
0,placa bife
):
•
A origem das coordenadas é escolhida no meio do bife (placa), conforme
mostrada a Figura IV.2 (Luikov, 1968):
Figura IV.2. Distribuição de Temperatura em uma placa infinita (problema de
simetria).
•
Número de Pomerantsev (P
0, placa
), baseado na semi-espessura da placa L =
R:
()
1
2
0
0
TTk
RA
P
abife
−⋅
⋅
=
h
global
h
global
T = função (x; t)
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
166
166
Para a placa (R = L = 1cm = 0,01m), ou seja, para um cilindro em forma de
disco circular, mas considerando a transferência de energia principal como sendo na sua
espessura 2L:
()
2
''
00 0
2
140
20,01
2
R
AG G
RL
π
π
⋅
=⋅ =⋅ =
×
⋅⋅
Área
Volume
3
0
000.7
m
W
A =
•
Segundo o modelo da placa infinita com termo de geração, nota-se que para
um tempo longo se pode ter, por exemplo, temperatura média (T
média
) >
Temperatura ambiente (T
ambiente
) = 80
o
C.
()
1
2
0
0
TTk
RA
P
abife
−⋅
⋅
=
()
()
2
3
0
7000 0,01
0,4805 80 29
W
m
m
P
W
C
mC
×
=
×
−°
⋅°
0
0,0286P
=
•
Cálculo do número de Biot (Bi):
()
bife
global
bife
k
Lh
Bi
×
=
()
()
()
Cm
W
m
Cm
W
Bi
bife
°⋅
×
°⋅
=
4805,0
01,020
2
()
416,0
≅
bife
Bi
•
Aplicando os dados da tabela do Incropera e De Witt (1996) e o método de
interpolação linear, obtêm-se:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
167
167
O Cálculo das quatro primeiras raízes da equação
transcendental, µ
n
.tgµ
n
= Bi, para a condução térmica em
regime transiente em uma placa plana:
Designando para a modelagem
IV.3.1. Cálculo da temperatura no centro da placa plana (Tc):
Da Equação 8.28, página 358, do livro de Luikov (1968), para uma placa de
espessura 2L, com termo de geração de energia, a temperatura em qualquer ponto da
placa é dada por:
()
2
2
1
22
1
1
12
11 1 cos exp
2
O
O O
n
a
P
TT
xx
PAnnnF
TT R Bi n R
µµ
µ
∞
=
−
=+ ⋅ − + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
Para o centro da placa x = 0, com cos(0) = 1, com o termo de geração, resulta:
()
2
1
2
1
1
12
11 1 exp
2
CO
OO
n
a
TT P
PAnnF
TT Bi n
µ
µ
∞
=
−
=+ ⋅ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
Sendo:
(
)
() ()
nnsenn
nsen
An
µµµ
µ
cos
2
⋅+
=
A equação anterior corresponde à equação 6.3.30 da página 222 do livro de
Luikov (1968).
No centro da placa plana R = L = 0,01 m
x = 0
IV.3.2. Cálculo da temperatura média da placa (Bife, T
m
):
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
168
168
Equação 8.2.11, da página 358 de Luikov (1968), a temperatura média da placa,
usando o termo de geração de energia, está dado por:
()
2
1
2
1
1
13
11 1 exp
3
O
OO
n
a
TT P
PBnnF
TT Bi n
µ
µ
∞
=
−
=+ ⋅ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
média
A Equação 6.3.45 da página 235 do livro de Luikov (1968) fornece o
parâmetro:
()
(
)
n
nsenAn
nBiBin
Bi
Bn
µ
µ
µµ
⋅
=
++⋅
=
222
2
2
Na tabela a seguir são calculados os parâmetros A
n
e B
n
para um número de Biot
Bui = 0,416.
n Μn sen(µn) cos(µn) A
n
B
n
1 0,6028 0,5679 0,8237 1,0599 0,9969
2 3,2681 -0,1262 -0,9919 -7,4415 x10
-2
2,8749 x10
-3
3 6,3485 6,5348 x10
-2
0,9978 2,0377 x10
-2
2,0975 x10
-4
4 3,4686 -4,3887 x10
-2
-0,9990 -9,2277 x10
-3
4,2771 x10
-5
Observa-se que: µ
1
< µ
2
< µ
3
< µ
4
(
)
() ()
nnsenn
nsen
An
µµµ
µ
cos
2
⋅+
=
Eq.6.3.30
(Luikov,1968)
(
)
n
nsenAn
Bn
µ
µ
⋅
=
Eq. 6.3.45 (Luikov,
1968)
Por interpolação se obtém:
()
bife
global
bife
k
Lh
Bi
×
=
µ
1
µ
2
µ
3
µ
4
0,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670
0,416 x
1
= ? x
2
= ? x
3
= ? x
4
= ?
0,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
169
169
Realizando as interpolações, obtêm-se os seguintes valores de µ
1
, µ
2
, µ
3
, µ
4
:
µ
1
≡ 0,6028
µ
2
≡ 3,2682
µ
3
≡ 6,3486
µ
4
≡ 9,4687
Note que se podem calcular os valores de µ
n
das seguintes formas:
9 Equação de Autovalores;
9 Tabela (Interpolações);
9 Programas computacionais como Mathcad e Excel.
Comparando os valores calculados das constantes com as tabelas fornecidas
(Tabela IV.2 e IV.3), mostram resultados satisfatórios com ótima precisão.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
170
170
Tabela IV.2. Valores dos parâmetros A
n
(Luikov, 1968, página 224).
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
171
171
Tabela IV.3. Valores dos parâmetros Bn (Luikov, 1968, página 234)
IV.4. Cálculos da temperatura média (T
m
) e do centro do bife de
frango (T
c
), considerando para o bife o modelo da placa, não
considerando o termo de geração (P
0
= 0):
IV.4.1. T
média
= ? (T
m
)
Da equação para a temperatura média, sem considerar o termo de geração P
0
=
0, resulta:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
172
172
0 0
2
1
2
1
1
13
11 1 exp
3
O
OnO
n
n
TT P
PBnF
Ta T Bi
µ
µ
∞
=
−
=+ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
média
Usando dados apresentados antes, empregando somente o primeiro autovalor e
admitindo uma temperatura média no interior do forno da ordem de T
∞
(Temperatura do
fluido, ou seja, do ar) =
70 90
80
2
TC
∞
+
=
=°, como foi admitido em cálculos
anteriores, resulta:
72
2
2
29
(0,534.10 / )(20 60 )
1 0,9969exp 0,6028
80 29 (0,01 )
T
ms x s
m
−
−
=− −
−
média
29
0,210
80 29
T −
=
−
média
39,7TC
≅
°
média
Nota-se que a modelagem considerando sem geração de energia, nesta situação
em análise, resulta em uma temperatura média muito menor que a temperatura central
para assar o frango, ou seja,
72TC
≅
°
central
.
IV.4.2. T
centro da placa
(bife) = ? Tc, P
0
= 0
Sendo: R = L (placa)
x = 0 (centro)
Da equação para a temperatura central x = 0, sem o termo de geração P
0
= 0,
resulta:
0 0
4
0,
2
1
0,
2
1
1
12
111 exp
2
bife
C
bife O
n
a
P
TT
PAnnF
TT Bi n
µ
µ
=
−
=+ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
173
173
Usando os valores empregados antes, com o primeiro termo da série, resulta:
72
2
2
29
(0,534.10 / )(20 60 )
1 1,0599.exp 0,6028
80 29 (0,01 )
C
T
ms x s
m
−
−
=− −
−
29
0,160
80 29
C
T −
=
−
37,2
o
C
TC=
Nota-se que a modelagem considerando sem geração de energia, nesta situação
em análise, resulta em uma temperatura central muito menor que a temperatura central
para assar o frango, ou seja,
72TC
≅
°
central
.
Cálculo do número de Fourier (Bife de frango):
2
exp
0
L
t
F
erimentalbife
C
⋅
=
α
t
experimental
= 20 min = 1.200 s.
α
bife
= 0,534 x10
-7
m
2
/s
Portanto:
-7 2
0
2
(0,534 x10 m /s) 1.200
(0,01 )
C
s
F
m
⋅
=
0
0,641
C
F
=
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
174
174
Como o número de Fourier é maior que 0,5, é suficiente usar somente o primeiro
termo da série, para o cálculo da temperatura central.
IV.5. Cálculos da temperatura média (T
m
) e do centro do bife de
frango (T
c
), considerando para o bife em estudo – o modelo da placa
em regime transiente, admitindo o termo de geração (P
0, bife
≡ 0,0286)
IV.5.1. T
média
= ? (T
m
)
Usando os dados apresentados antes, para Bi,
bife
≡ 0,416 e P
0
= 0,0286, resulta:
()
2
1
2
1
1
13
11 1 exp
3
O
OO
n
a
TT P
PBnnF
TT Bi n
µ
µ
∞
=
−
=+ ⋅ + − + ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
média
72
29
1 3 0, 0286 (0, 534.10 / )(20 60 )
2
1 0, 0286 1 1 .0,9969.exp 0, 6028
22
80 29 3 0, 416
0, 6028 (0, 01 )
T
ms xs
m
−
−
=+ ⋅ + − + −
−
m
29
0,226
80 29
T −
=
−
m
40,5
o
TC=
m
IV.5.2. T
C
= ? (Temperatura no centro do bife, considerando o termo de geração
(P
0,bife
≡ 0,0286) em regime transiente:
Sendo para a placa: R = l = 0,01m
x = 0 (no centro da placa)
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
175
175
x = 0 cos(0) = 1 x = o
2
4
0,
2
1
0,
22
1
1
12
11 1 cosexp
2
bife
C
bife O
n
a
P
TT
xx
PAnnnF
TT R Bi n R
µµ
µ
=
−
=+ ⋅ ⋅ − + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
−
∑
Usando os dados anteriores, número de Fourier Fo = 0,641, resulta:
()
2
2
29 1 2 0,0286
1 0,0286 1 1 .1,0599 exp 0,6028 0,641
80 29 2 0,416 0,6028
Tc −
=+ ⋅ + − + ⋅ − ⋅
−
Portanto o resultado é:
29
0,177 38,0
80 29
C
C
T
TC
−
=
→≅ °
−
Os valores similares das temperaturas T
C
e T
M
calculadas se deve a que o
número de Biot é muito pequeno, Bi = 0,416, ou seja, quase não há resistência interna à
transferência de calor no bife de frango analisado.
Além disto, nas condições estudadas e com a modelagem empregada, seria
necessário um tempo bem maior que t
experimental
= 20 min para assar o bife de frango. Por
exemplo, substituindo na equação anterior T
C
= 72
o
C, se obtém um tempo t =8046,9 s =
134,1 min para que o bife fique assado; que é bastante diferente do experimental.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
176
176
Capítulo 6
Conclusões
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
177
177
6. Conclusões
Foi realizado um procedimento para testar um fogão solar tipo caixa, obtendo
como resultados distribuições de temperatura dentro do fogão, assim como temperatura
na superfície de “chapas” dispostas dentro dele e também foi possível avaliar o tempo
para assar pão de queijo, bife de frango etc.
Obtiveram-se resultados satisfatórios experimentais compatíveis com os
resultados da literatura usando uma modelagem do processo de cozimento de alimentos
do fogão solar do tipo caixa.
Utilizando os resultados dos experimentos, estes proporcionarão comparações
quanto ao tamanho do fogão a ser usado, visando uma determinada eficiência e
obtenção de parâmetros de engenharia para a construção de futuros fogões solares do
tipo caixa. Os experimentos também proporcionarão a criação de um banco de dados
experimentais dos tempos de cozimento de alguns alimentos testados no fogão proposto.
No presente trabalho, foram descritas modelagens de transferência de calor para
alimentos submetidos aos processos de cocção no fogão solar proposto, cujo protótipo
de energia alternativa (forno solar em estudo) apresentou viabilidades técnicas,
econômicas e térmicas que viabilizaram a construção deste equipamento de energia
limpa.
De acordo com os resultados experimentais obtidos, verificou-se que o modelo
da placa plana em regime transiente (considerando o termo de geração, ou seja, o
Critério de Pomerantsev) apresentou resultados mais consistentes, para o bife de frango,
onde foram estudadas as suas propriedades termofísicas e também, calculadas as
temperaturas médias e no centro deste alimento (erro experimental em torno de 13 por
cento), ao passo que, para o mesmo alimento, mas considerando o bife de frango como
modelo semi-infinito, os resultados apresentaram uma margem maior de erro (em torno
de 37 por cento), haja vista que partindo de conceitos fenomenológicos, o bife é um
sistema finito. Para o pão de queijo, foram realizadas modelagens em regime transiente,
considerando a geometria mais favorável para o modelo físico proposto para este
alimento, como esférica, explicitando a contribuição do termo de geração (Critério de
Pomerantsev) que melhor retratou os resultados obtidos pela modelagem proposta com
os resultados experimentais, obtidos neste forno solar que apresentou viabilidades
técnicas, térmicas e econômicas para seu estudo.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
178
178
Este trabalho de pesquisa além de apresentar relevância no contexto energético
de inclusão social para as comunidades carentes, apresenta uma contribuição acadêmica
no que tange à modelagem de processos de assamento dos alimentos estudados neste
trabalho de pesquisa para o fogão solar proposto.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
179
179
REFERÊNCIAS
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
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Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
188
188
Anexos
A.1 - Função Erro de Gauss
2
w erf w w erf w w erf w
0,00 0,00000 0,36
0,38933
1,04
0,85865
0,02 0,02256 0,38
0,40901
1,08
0,87333
0,04 0,04511 0,40
0,42839
1,12
0,88679
0,06 0,06762 0,44
0,46622
1,16
0,89910
0,08 0,09008 0,48
0,50275
1,20
0,91031
0,10 0,11246 0,52
0,53790
1,30
0,93401
0,12 0,13476 0,56
0,57162
1,40
0,95228
0,14 0,15695 0,60
0,60386
1,50
0,966611
0,16 0,17901 0,64
0,63459
1,60
0,97635
0,18 0,20094 0,68
0,66378
1,70
0,98379
0,20 0,22270 0,72
0,69143
1,80
0,98909
0,22 0,24430 0,76
0,71754
1,90
0,99279
0,24 0,26570 0,80
0,74210
2,00
0,99532
0,26 0,28690 0,84
0,76514
2,20
0,99814
0,28 0,30788 0,88
0,78669
2,40
0,99931
0,30 0,32863 0,92
0,80677
2,60
0,99976
0,32 0,34913 0,96
0,82542
2,80
0,99992
0,34 0,36936 1,00 0,84270 3, 00
0,99998
2
A função erro de Gauss é definida da seguinte forma
∫
−
=
w
w
dve
x
werf
0
2
2
A função erro complementar é definida pela relação
werfwerfc
−
≡
1
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
189
189
A.2 – As quatro primeiras raízes da equação transcendental, ξ
n
tg ξ
n
= Bi, para a Condução
Térmica em Regime Transiente em uma Parede Plana
k
hL
Bi =
ξ
1
ξ
2
ξ
3
ξ
4
0 0 3,1416 6,2832 9,4248
0,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249
0,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250
0,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252
0,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254
0,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256
0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258
0,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269
0,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290
0,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311
0,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333
0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354
0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459
0,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565
0,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670
0,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775
0,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879
0,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983
0,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087
0,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190
1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293
1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,5801
2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296
3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,7240
4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,8119
5,0 1,3138 3,0336 6,9096 9,8928
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
190
190
6,0 1,3496 4,1116 6,9924 10,9667
7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,0339
8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,0949
9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,1502
10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003
15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,3898
20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117
30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,6543
40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,7334
50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,7832
60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,8172
80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,8606
100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871
∞
1,5708 4,7124 7,8540 10,9956
PROGRAMA EM MATLAB:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
191
191
Function k = erro
% Este programa calcula o valor da função erro através de uma expansão em série de
potências segundo Taylor. Deve-se fornecer o valor do número de termos em que se
pretende truncar a série, de acordo com o fator de precisão pré-especificado.
format long
A = input (‘ entre com a quantidade de termos da série truncada:’);
B = 2/sqrt (pi);
X = input (‘entre com o argumento da função erro:’);
L (1) = X;
M = Ø;
F (1) = 1;
For i = 1: A - 1
M = M + 1;
F(i + 1) = F(i) * M;
L(i + 1) = L(i) + ((-1) ^ i) * (X ^ (2*i + 1)) / ((2*i + 1) * F(i + 1));
end
k = B * L(A);
Na execução deste programa em ambiente MATLAB, se deve proceder da seguinte
maneira:
I. Digitar k = erro;
II. O programa pede a quantidade de termos em que se pretende truncar a série. Digitar o
valor pretendido;
III. O programa pede, em seguida, o valor do argumento da função erro. Digitar o valor
pretendido;
IV. Como resposta, o programa gera a variável k, que armazena o valor da função erro para
o argumento especificado, cuja precisão dependerá do número de termos da série
trunca.
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
192
192
Dedução Da Função Erro De Gauss:
()
pa
a
C
k
onde
t
x
erf
TT
TT
ρ
α
α
=
=
−
−
:,
4
1
A função erf(z) é definida através de uma integral que pode ser expandida em
uma série infinita, sendo a função f(u) = exp(-u
2
) uma função contínua no intervalo (- ∞,
+ ∞).
Considerando:
()
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−⋅=
!49!37!25!13
2
9753
zzzz
zzerf
π
()
(
)
(
)
()()
∑
∞
=
−
+
−⋅−
⋅−
⋅=
1
12
1
!112
12
n
n
n
nn
z
zerf
π
Por definição:
()
∫
−
⋅=
z
u
duezerf
0
2
π
Fazendo o desenvolvimento da função erro em série de potências:
Expandindo a função f(x) = exp(-x
2
) em uma série de potências e utilizando a
definição de série de Taylor, temos:
() ( ) ( )( )
()( )
()( )
n
n
n
o
n
xxxfxxxf
xxxfxfxf
∑
∞
=
−⋅
=+
−⋅
+−⋅+=
0
00
2
0
000
!
...
!2
''
'
Logo:
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
– Outubro /2007
193
193
(
)
(
)
xexf
x
2'
2
−⋅=
−
()
(
)
22
22''
2
xx
exexf
−−
⋅−−⋅=
() ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
22222
122222222'''
33
xxxxx
xexexeexxexf
−−−−−
+−⋅=−⋅−⋅−⋅−⋅+−⋅=
() ( )
(
)
(
)()
=−⋅++⋅−⋅−⋅+−⋅=
−−−−
xxeeexxexf
xxxxiv
212122232
2222
4
(
)
222
2
4
48122
xxx
exxexe
−−−
−+−⋅=
() () ()
(
)
(
)()
=−⋅−−−⋅+⋅−⋅−⋅+−⋅=
−−−−−
xexxexeexxexf
xxxxxv
248962122242
22222
2
35
()
222
3
5
1801202
xxx
exxexe
−−−
+−−⋅=
A expansão de uma função por série de Taylor é feita em torno de um certo
ponto da abscissa x
0
. Supondo que x
0
= 0 temos que:
f(x
0
) = f (0) = 1
f ’(x
0
) = f ’(0) = 0
f ’’(x
0
) = f ’’(0) = -2
f ’’’(x
0
) = f ’’’(0) = 0
f
iv
(x
0
) = f
iv
(0) = 12
f
v
(x
0
) = f
v
(0) = 0; ...
Logo:
()
...0
!4
12
0
!2
2
01
42
2
−+−+−+==
−
xx
exf
x
()
...
!4
12
!2
2
1
42
++−=
xx
xf
()
dx
xx
dxxf
∫∫
++−= ...
!4
12
!2
2
1
42
()
...
!45
12
!23
2
53
+
⋅
+
⋅
−=
∫
xx
xdxxf
Dissertação
JOHNSON PONTES DE MOURA
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194
194
()
...
!25!13
53
+
⋅
+
⋅
−=
∫
xx
xdxxf
Então, pode-se mostrar que:
(
)
()
()()
∑
∫
∞
=
−
+
−
−⋅−
⋅−
=+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−=
1
12
1
119753
!112
1
...
!511!49!37!25!13
2
n
n
n
x
nn
xxxxxx
xdxe
Pela definição da função:
:,
2
)(
0
2
setemdueZerf
z
u
−=
∫
−
π
z
uuuuu
uZerf
0
119753
...
!511!49!37!25!13
2
)(
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−=
π
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−= ...
!511!49!37!25!13
2
)(
119753
zzzzz
zZerf
π
Observação: Esta equação pode ser encontrada em vários livros de cálculo, como por
exemplo, o de Spiegel e Abellanas (1988).
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