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Moacir Benvindo de Carvalho
CONCEPÇÕES DE ALUNOS SOBRE PROVAS E
ARGUMENTOS MATEMÁTICOS:
ANÁLISE DE QUESTIONÁRIO NO CONTEXTO DO
PROJETO AProvaME
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PUC/SP
São Paulo
2006
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Moacir Benvindo de Carvalho
CONCEPÇÕES DE ALUNOS SOBRE PROVAS E
ARGUMENTOS MATEMÁTICOS:
ANÁLISE DE QUESTIONÁRIO NO CONTEXTO DO
PROJETO AProvaME
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a
orientação da Profa. Dra. Ana Paula Jahn.
PUC/SP
São Paulo
2006
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Banca Examinadora
________________________________________
Dra. Ana Paula Jahn
________________________________________
Dra. Sônia Pitta Coelho
________________________________________
Dra. Mônica Karrer
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Dissertação por processos de foto copiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
5
DEDICATÓRIA
Aos meus pais,
J
OSÉ BENVINDO DE CARVALHO
e
F
RANCISCA DE BARROS CARVALHO.
In memorian
6
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar, agradeço a Deus pela minha vida, saúde e disposição
para a realização deste trabalho, sem o qual nada do que foi feito poderia ser
alcançado. A Deus, pois toda glória!
Agradeço à minha amada esposa Keila e às minhas queridas filhas Paula e
Lílian, que, além de me incentivarem, também me apoiaram nessa jornada
empreendida, com muita paciência e renúncia de muitas oportunidades em que
fomos privados uns dos outros.
Agradeço, em especial, à minha querida orientadora, Profa. Dra. Ana Paula
Jahn, que durante todo o período de orientação sempre me atendeu com muita
disposição e alegria, que é sua característica marcante. Foram momentos especiais
de aprendizado.
Agradeço também às Professoras Dra. Sônia Pitta Coelho e Dra. Mônica
Karrer, que compuseram com a Dra. Ana Paula a banca examinadora, pela preciosa
colaboração, com idéias e sugestões importantes, que muito enriqueceram meu
trabalho.
Agradeço aos professores do Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, por meio
dos quais pude aprofundar meus conhecimentos teóricos e práticos.
7
Agradeço ao Professor Wilson Almeida Amaral, diretor da Escola Estadual
“Tarcísio Álvares Lobo”, que em muito me apoiou nesse período de estudo e
pesquisa e também pela liberalidade em abrir as portas da Escola, para que
pudesse realizar a aplicação dos questionários e as entrevistas com alguns alunos.
E, finalmente, agradeço aos alunos da Escola acima citada, pela disposição
com que participaram do Projeto, tanto no momento da prova como no momento das
entrevistas, contribuindo, dessa forma, sensivelmente na realização de nosso
trabalho.
8
RESUMO
Nosso trabalho insere-se no contexto do ensino e aprendizagem de provas e
argumentos matemáticos por alunos da Escola Básica e foi desenvolvido no âmbito
do Projeto Argumentação e Prova na Matemática Escolar (AProvaME). O principal
objetivo de nosso estudo refere-se ao mapeamento das concepções de alunos sobre
prova, a partir dos resultados de um questionário aplicado a cerca de 2.000 alunos
de 14-15 anos. Mais especificamente, nosso trabalho centrou-se na análise de duas
questões de Álgebra (A1 e A2), as quais solicitavam escolhas de argumentos por
parte dos alunos e avaliação destes em termos de sua validade e generalidade. A
elaboração e discussão das respostas são baseadas principalmente nas pesquisas
de Balacheff (1988) e Healy & Hoyles (2000), sobre argumentos empíricos e formais
e sobre a complexa passagem da produção de provas pragmáticas para as
conceituais. Os resultados mostram que a metade dos sujeitos analisados na
amostra total (de 1.998 alunos) tem preferência por argumentos empíricos
(verificações para alguns casos) e um quarto escolhe argumentos narrativos. Quanto
à avaliação da generalidade de uma prova, verificamos inconsistência nas respostas
dos alunos, que consideram um mesmo argumento “sempre verdadeiro” e,
simultaneamente, válido “somente para alguns casos”. No grupo sob nossa
responsabilidade, constituído por três turmas de 8ª série (70 alunos), esses
resultados se mantêm. Algumas razões dessas escolhas foram esclarecidas nas
entrevistas. Na visão dos alunos, evidências empíricas são provas e os argumentos
em língua natural são considerados mais claros, com maior poder de explicação.
Palavras-chave: Prova, Argumentação, Concepção, Matemática Escolar,
Aprendizagem.
9
ABSTRACT
This work is inserted in the context of teaching and learning proofs and
mathematical arguments in school mathematics and was developed as part of the
project AProvaME (Argumentation and Proof in School Mathematics). The main aim
of the study relates to the construction of a panorama of students´ conceptions about
proof on the basis of the results of a questionnaire applied to nearly 2000 students
aged between 14 and 15 years. More specifically, the study centres on the analysis
of two questions related to Algebra (A1 and A2), which solicited the selection of
arguments by the students and the assessment of these arguments in terms of their
validity and generality. The questions from the questionnaire, as well as the
discussions of students’ responses are informed principally by the research studies of
Balacheff (1988) and Healy & Hoyles (2000), both of which consider empirical and
formal arguments and the complex passage from the production of pragmatic to
conceptual proofs. The results show that half of the 1998 subjects who completed the
questionnaire had a preference for empirical arguments (verification through some
cases) and a quarter chose narrative arguments. With respect to the analysis of the
generality of proofs, students’ responses were generally somewhat inconsistent, with,
for example, those who considered the same arguments to be both “always true” and
valid “only for some cases”. In the group of students under our responsibility, made
up of three 8
th
grade classes (70 students), the same results were observed. Some of
the reasons motivating these choices were illuminated in the interviews. In the vision
of the students, empirical evidence counts as proof and arguments in natural
language are judged as clearer, with a greater explanatory power.
Keywords: Proof, Argumentation, Conception, School Mathematics, Learning.
10
SUMÁRIO
Título Página
Apresentação do Contexto e Tema de Estudo................................................. 15
Capítulo 1 – O Projeto AProvaME: Argumentação e Prova na Matemática
Escolar...................................................................................................... 18
1.1 Descrição e contexto do projeto........................................................ 18
1.2 Objetivo do estudo ............................................................................ 22
Capítulo 2 – O questionário sobre prova......................................................... 27
2.1 Introdução ......................................................................................... 27
2.2 Pesquisas de referência para elaboração do questionário ............... 28
2.3 Descrição da questão A1 do questionário sobre prova..................... 35
2.4 Descrição da questão A2 do questionário sobre prova..................... 38
Capítulo 3 – Resultados das questões a1 e a2 do questionário sobre prova.. 40
3.1 Descrição da amostra ....................................................................... 40
3.2 Descrição dos resultados da questão A1.......................................... 41
3.3 Descrição dos resultados da questão A2.......................................... 54
3.4 Comparação entre os resultados das questões A1 e A3 .................. 56
Capítulo 4 – Análise das perspectivas dos alunos sobre prova nas
entrevistas ................................................................................................ 59
4.1 Considerações metodológicas .......................................................... 59
4.2 Critérios de escolha dos alunos para as entrevistas......................... 60
4.3 Realização das entrevistas ............................................................... 62
4.4 Discussão dos principais resultados ................................................. 63
Considerações Finais .................................................................................... 67
Bibliografia...................................................................................................... 71
Anexos ............................................................................................................ 73
Anexo 1 – Projeto AProvaME ........................................................................ 73
11
Anexo 2 – Questionário sobre Prova do Projeto AProvaME ...................... 83
Caderno de Álgebra.................................................................................. 84
Caderno de Geometria ............................................................................. 90
Anexo 3 – Protocolos dos alunos entrevistados......................................... 95
Aluno nº 05 – (A5) .................................................................................... 96
Aluno nº 49 – (A49) .................................................................................. 101
Aluno nº 16 – (A16) .................................................................................. 106
Aluno nº 48 – (A48) .................................................................................. 116
Aluno nº 24 – (A24) .................................................................................. 126
Aluno nº 68 – (A68) .................................................................................. 121
Anexo 4 – Protocolos de algumas entrevistas ............................................ 131
1. Entrevista com o aluno nº 5.................................................................. 132
2. Entrevista com o aluno nº 49 ................................................................ 135
3. Entrevista com o aluno nº 16 ................................................................ 137
12
Lista de Quadros
Quadro 1: Resposta ao 1º item da Questão A1 (Amostra Total)...................... 41
Quadro 2: Resposta ao 1º item da Questão A1 (grupo n = 70)........................ 41
Quadro 3: Melhor nota que o professor daria (Amostra Total) ......................... 44
Quadro 4: Melhor nota que o professor daria no grupo de 8ª série (n = 70) .... 44
Quadro 5: Respostas à 1ª parte da questão A1 no grupo de 8ª série (n = 70). 46
Quadro 6: Artur – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”....... 47
Quadro 7: Beth – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira” ....... 47
Quadro 8: Duda – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira” ...... 47
Quadro 9: Franklin – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”.. 47
Quadro 10: Hanna – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira” .. 47
Quadro 11: Artur – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”..... 47
Quadro 12: Beth – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira” ..... 48
Quadro 13: Duda – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira” .... 48
Quadro 14: Franklin – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira” 48
Quadro 15: Hanna – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira” .. 48
Quadro 16: Afirmação sempre verdadeira (grupo n = 70)................................ 49
Quadro 17: Verdadeira apenas para alguns números pares (grupo n = 70) .... 50
Quadro 18: Artur – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos .............. 51
Quadro 19: Beth – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos .............. 51
Quadro 20: Duda – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos ............. 52
Quadro 21: Hanna – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos ........... 52
Quadro 22: Artur – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos .............. 53
Quadro 23: Beth – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos .............. 53
Quadro 24: Duda – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos ............. 54
Quadro 25: Hanna – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos ........... 54
13
Quadro 26: Respostas da questão A2 (Amostra Total).................................... 54
Quadro 27: Respostas da questão A2 do grupo de 8ª série (n = 70)............... 55
Quadro 28: Respostas individuais da questão A2 do grupo de 8ª série (n =
70) ............................................................................................................ 55
Quadro 29: Respostas de A3 – Verdadeira ou Falsa? – (Amostra Total) ........ 57
Quadro 30: Respostas de A3 – Verdadeira ou Falsa? – grupo de 8ª série (n
= 70) ......................................................................................................... 57
Quadro 31: Justificativas de A3 – (Amostra Total) ........................................... 57
Quadro 32: Justificativas de A3 – grupo de 8ª série (n = 70) ........................... 58
14
Lista da Figuras
Figura 1: Questão A1 do Questionário sobre Prova......................................... 24
Figura 2: Questão A2 do Questionário sobre Prova......................................... 25
Figura 3: Primeira parte da Questão A1 do Questionário sobre Prova ............ 36
Figura 4: Segunda parte da Questão A1 do Questionário sobre Prova ........... 37
Figura 5: Questão A2 do Questionário sobre Prova......................................... 39
15
APRESENTAÇÃO DO CONTEXTO E TEMA DE ESTUDO
Nosso trabalho final de Mestrado Profissional insere-se no projeto
Argumentação e Prova na Matemática Escolar (AProvaME). Trata-se de um projeto
financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico
1
(CNPq), sob a
coordenação da Profa. Dra. Siobhan Victoria Healy, desenvolvido no Grupo de
Pesquisa Tecnologias e Meios de Expressão em Matemática (TecMEM) do
Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP). Esse projeto tem duração de dois
anos e iniciou-se em agosto de 2005.
Tomando conhecimento do referido projeto, tivemos interesse em participar
dele, pois consideramos a questão da aprendizagem da prova e/ou demonstração
muito importante, constituindo uma temática relevante para a Educação Matemática.
De fato, inúmeras pesquisas nessa área levantam um intenso debate a respeito da
complexidade do desenvolvimento de práticas que incluam ou enfatizem a
argumentação e a produção de provas pelos alunos nas situações matemáticas da
Educação Básica. Além disso, algumas pesquisas discutem o status da prova nos
currículos e como (ou se) estas têm sido implementadas. Citamos, em particular, o
estudo de Pietropaolo (2005), o qual destaca o consenso, entre pesquisadores em
Educação Matemática, de que a questão da prova deve ser abordada na escola
desde as séries iniciais, mas também o entendimento de que essa não é uma tarefa
fácil.
1
Processo n. 478272/2004-9.
16
Considerando nossa experiência profissional nos níveis do Ensino
Fundamental e Médio, verificamos que, nesse universo, pouca ênfase é dada a essa
questão, tanto por nós e por outros colegas em sala de aula como pelos livros
didáticos por nós adotados. Essa constatação reforçou nosso interesse em
desenvolver, no âmbito do Mestrado Profissional, um trabalho final nessa temática,
buscando uma qualificação no assunto, com perspectivas de implementar situações
de ensino e estratégias que nos permitam melhor abordá-lo em sala de aula.
Após a apresentação do tema e do contexto do estudo, nosso trabalho está
organizado em quatro capítulos, cujos conteúdos descrevemos brevemente na
seqüência.
No Capítulo 1, apresentamos o Projeto AProvaME, situando nosso trabalho
nesse contexto, bem como destacando o objetivo principal do nosso estudo.
O Capítulo 2 é dedicado à descrição e análise preliminar do instrumento de
coleta de dados para o mapeamento das concepções dos alunos, ou seja, o
Questionário sobre Prova. Mais especificamente, relatamos as principais referências
teóricas das pesquisas que fundamentaram a elaboração das questões A1 e A2 que
analisamos em detalhes no estudo.
A discussão dos resultados das questões A1 e A2 do Questionário está
presente no Capítulo 3. Essa discussão refere-se à análise das respostas dos alunos
da amostra total do Projeto (1998 alunos), bem como do grupo de sujeitos sob nossa
responsabilidade e para o qual aplicamos os questionários (70 alunos). Após a
análise dos resultados, complementamos a coleta de dados por meio da realização
de entrevistas com sete alunos, selecionados nesse grupo. As considerações
17
metodológicas para a execução das entrevistas, os critérios de escolha dos alunos
entrevistados e a descrição das informações obtidas encontram-se no Capítulo 4.
Concluímos o trabalho com as Considerações Finais, sintetizando os
principais pontos do estudo.
18
CAPÍTULO 1
O PROJETO AProvaME
1
ARGUMENTAÇÃO E PROVA NA MATEMÁTICA ESCOLAR
1.1 Descrição e contexto do projeto
A principal justificativa para a escolha do tema da pesquisa refere-se ao fato
de a prova ter uma importância essencial na Matemática. Ela pode ser vista como
uma ferramenta que diferencia a Matemática das ciências experimentais,
caracterizando um método dedutivo de validação de conhecimentos que contrasta
com os processos empíricos.
O projeto destaca que, conforme reconhecido nos Parâmetros Curriculares
Nacionais (Brasil, 1998), o currículo de Matemática deveria contemplar atividades de
prova e argumentação, permitindo aos estudantes o desenvolvimento do raciocínio
dedutivo. No entanto, várias pesquisas mostram que isso não se faz sem
dificuldades, pois os alunos são influenciados por vários fatores e confundem
“justificativas empíricas com raciocínios dedutivos e analisam argumentos de acordo
com aspectos de forma e não de conteúdo” (Anexo 1, p. 1).
O projeto AProvaME tem como objetivo principal a investigação de
processos de ensino e de aprendizagem da prova e da argumentação na Educação
Básica. Ele indica também a importância de identificar as concepções e as
dificuldades dos alunos e de uma abordagem mais eficiente por meio de situações
de aprendizagem inovadoras que explorem novos contextos e novas ferramentas
1
Todas as considerações deste item estão baseadas no documento que descreve o Projeto (cf.
Anexo 1).
19
para a produção de provas formais. Da mesma forma, enfatiza a necessidade de o
professor apropriar-se dessas inovações e abordagem.
Outro propósito do projeto é investigar a possibilidade de se trabalhar em
ambientes computacionais, para que os alunos aprendam a explicitar as
propriedades e relações em uma linguagem formal, relativa aos sistemas com os
quais eles interagem.
Em síntese, o projeto propõe investigar dois aspectos interligados:
1) a elaboração de situações de aprendizagem integrando ferramentas
computacionais, a partir de um levantamento das concepções de alunos;
2) o estudo dos processos de apropriação dessas situações pelo professor.
Dessa forma, os principais objetivos do projeto podem ser assim descritos:
1) Levantar um mapa das concepções sobre argumentação e prova de
alunos adolescentes em escolas do Estado de São Paulo.
2) Formar grupos colaborativos compostos por pesquisadores e
professores para a elaboração de situações de aprendizagem, visando
envolver alunos em processos de construção de conjecturas e provas
em contextos integrando ambientes informatizados (Anexo 1, p. 2).
Para o desenvolvimento do projeto, foi organizada uma equipe com seis
pesquisadores do grupo TecMEM
2
e vinte e nove professores-colaboradores, sendo
2
Grupo de Pesquisa Tecnologias e Meios de Expressão em Matemática do Programa de Estudos
Pós-graduados em Educação Matemática da PUC/SP.
20
todos estudantes do curso de Mestrado Profissional no Ensino de Matemática da
PUC/SP.
Consoante os objetivos descritos anteriormente, o projeto organizou-se em
duas fases, que têm a participação de toda a equipe. A primeira fase é relativa ao
levantamento de concepções sobre prova de alunos na faixa etária de 14-16 anos.
Os resultados obtidos na Fase 1 devem servir de subsídios para a Fase 2, que terá
como foco a elaboração e a avaliação de situações de aprendizagem. Embora nossa
participação ocorra ao longo de todo o projeto, nosso trabalho final de mestrado será
desenvolvido mais especificamente no tocante à Fase 1, perseguindo o propósito de
mapeamento das concepções dos alunos sobre prova.
O projeto começou a ser desenvolvido em agosto de 2005, com a
elaboração do instrumento principal de coleta de dados da Fase 1 – o questionário
sobre prova (cf. anexo 2). Para isso, foram realizados encontros de trabalho
presencial, quinzenalmente, reunindo pesquisadores e professores-colaboradores.
Um espaço virtual foi criado para facilitar a comunicação da equipe, no
compartilhamento das decisões e ações no âmbito do projeto.
O questionário sobre prova é fortemente inspirado naquele desenvolvido por
Healy & Hoyles (2000). Essas autoras desenvolveram projeto semelhante, a respeito
da mesma temática, na Inglaterra. Algumas questões do questionário usado nessa
pesquisa foram aproveitadas e adaptadas e outras novas foram incluídas.
O questionário foi composto de dois cadernos que contemplam dois
domínios matemáticos: Álgebra e Geometria. Cada parte compreende cinco
questões de dois tipos: (1) avaliação de vários argumentos como prova de uma dada
21
afirmação e (2) construção de provas. Salienta-se, ainda, que os estudos de
Balacheff (1988) sobre tipos de prova e validação fundamentam a definição dos
argumentos apresentados nos itens do questionário, em particular nas questões de
múltipla escolha (A1 e G1).
Com esse instrumento, o que se esperava dos alunos é que se dedicassem
à resolução das questões propostas, elaborando e testando conjecturas e,
principalmente, tentando justificar suas conclusões. Pretendia-se também observar
se os alunos seriam capazes de construir ou avaliar uma prova matemática.
Depois de aproximadamente três meses nesse trabalho, o questionário
estava concebido e passou-se à sua aplicação. Cada professor-colaborador teve a
incumbência inicial de indicar cinco turmas, das quais três foram selecionadas
aleatoriamente. Cada professor aplicou os questionários a essas três turmas de sua
responsabilidade.
No total, o questionário foi aplicado a setenta e nove turmas, para alunos de
oitavas séries do Ensino Fundamental e de primeiras séries do Ensino Médio de
escolas públicas e particulares do Estado de São Paulo. O total perfaz 1.998
questionários respondidos. Os alunos tinham em média cinqüenta minutos para
responder cada caderno de questões.
No nosso caso, o questionário foi aplicado em três turmas de 8ª série do
Ensino Fundamental de uma escola pública. Embora trabalhemos nessa escola, as
turmas não eram nossas, mas de colegas, que colaboraram com a aplicação. Em
média, cada caderno de questões foi aplicado em cinqüenta minutos, no mesmo dia.
22
Após a aplicação desses questionários, cada professor-colaborador foi
responsável pela codificação das respostas segundo critérios estabelecidos no trabalho
em equipe (cf. será descrito no Capítulo 2). De certa forma, com essa codificação, os
professores-colaboradores puderam avaliar em que medida os sujeitos aceitam
evidências empíricas como prova, distinguindo essas evidências de argumentos
matematicamente válidos, se os alunos compreendem o domínio de validade de uma
prova e se são capazes de construir argumentos válidos. Também serve para identificar
a influência da forma de apresentação da prova (língua natural, língua formal,
representações visuais ou figurativas, etc.) na escolha e compreensão dos argumentos.
Finalizando a coleta e a codificação do questionário, foi feita a análise para
uma avaliação das áreas de compreensão de prova dos alunos. Em seguida
passou-se à Fase 2 do projeto, a qual consiste em trabalhar na concepção de
atividades, ou situações de aprendizagem, envolvendo objetos geométricos com a
utilização de software Cabri-géomètre ou o uso de planilhas eletrônicas (Excel), para
explorar problemas algébricos.
1.2 Objetivo do estudo
Conforme citado anteriormente, nossa participação no projeto está inserida
na Fase 1, particularmente no objetivo do mapeamento das concepções dos alunos
sobre prova por meio da análise dos resultados obtidos mediante a aplicação do
questionário. Num segundo momento, por decisão conjunta da equipe, ficamos
responsáveis pela análise quantitativa e qualitativa das questões A1 e A2. Trata-se
de duas questões do tipo “múltipla escolha”, que reproduzimos a seguir para
23
conhecimento do leitor – essas questões serão detalhadamente descritas e
examinadas em capítulos posteriores.
A questão A1 foi preparada com itens para avaliar a capacidade do aluno
quanto à prova, partindo de vários pontos de vista, conforme descreveremos mais
adiante. Os alunos deveriam fazer duas escolhas, a partir de alguns tipos de
argumentos: qual ele (aluno) considera a que estaria mais próxima de seus próprios
enfoques e para qual deles o professor daria a melhor nota. Essa questão será
apresentada em detalhes no próximo capítulo.
24
A1: Artur, Beth, Duda, Franklin e Hanna estavam tentando provar que a seguinte
afirmação é verdadeira:
Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par.
Resposta de Artur
a é um número inteiro qualquer
b é um número inteiro qualquer
2a e 2b são números pares quaisquer
2a +2b = 2 (a + b)
Então Artur diz que a afirmação é
verdadeira.
Resposta de Beth
2 + 2 = 4 4 + 2 = 6
2 + 4 = 6 4 + 4 = 8
2 + 6 = 8 4 + 6 = 10
Então Beth diz que a afirmação
é verdadeira.
Resposta de Duda
Números pares terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Quando você soma dois destes, a resposta
vai ainda terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Então Duda diz que a afirmação é
verdadeira.
Resposta de Franklin
Então Franklin diz que a
afirmação é verdadeira.
Resposta de Hanna
8 + 6 = 14
8 = 2 x 4
6 = 2 x 3
14 = 2 x (4 + 3)
8 + 6 = 2 x 7
Então Hanna diz que a afirmação é
verdadeira.
Das respostas acima, escolha uma que é a mais parecida com a resposta que você
daria se tivesse que resolver esta questão.
Das respostas acima, escolha aquela para a qual você acha que seu professor daria a
melhor nota.
A afirmação é:
Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par.
Para cada resposta abaixo, circule SIM, NÃO ou NÃO SEI.
Mostra que a afirmação é
sempre verdadeira.
Mostra que a afirmação é verdadeira
apenas para alguns números pares.
Resposta de Artur:
Sim Não Não sei
Sim
Não Não sei
Resposta de Beth:
Sim Não Não sei
Sim
Não Não sei
Resposta de Duda:
Sim Não Não sei
Sim
Não Não sei
Resposta de Franklin:
Sim Não Não sei
Sim
Não Não sei
Resposta de Hanna:
Sim Não Não sei
Sim
Não Não sei
Figura 1: Questão A1 do Questionário sobre Prova
25
A questão A2 tem por objetivo avaliar a capacidade do aluno quanto à
generalidade da prova, levando o aluno a refletir na questão A1, para responder A2,
verificando que não é necessário construir uma nova prova.
A2. Suponha que já foi provado que:
Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é
sempre par.
Zé pergunta o que precisa ser feito para provar que:
Quando você soma dois números pares maiores que 100, o resultado é sempre
par.
Escolha A ou B:
(A) Zé não precisa fazer nada, pois a afirmação já foi provada.
(B) Zé precisa construir uma nova prova.
Figura 2: Questão A2 do Questionário sobre Prova
Esse estudo servirá para verificar, inicialmente, a visão do aluno sobre
certos argumentos ou provas, sua generalidade e também um indicativo da
competência do aluno na construção de provas. Assim, o objetivo do nosso estudo é
complementar os dados obtidos no questionário, para que possa ser realizada uma
análise mais detalhada do que pensam os alunos sobre as diferentes provas e
argumentos apresentados.
Após o mapeamento e a análise das respostas do questionário (questões A1
e A2), o propósito é complementar o estudo com entrevistas clínicas individuais com
os alunos que responderam ao questionário, visando obter mais dados e
informações sobre as concepções dos alunos que as respostas do questionário não
26
revelaram. Pretende-se, por meio das entrevistas, saber o que os alunos julgam ser
a natureza de uma prova matemática; se eles vêem a prova como uma forma de
verificação; como um meio de convencimento (para si próprio ou de outro) ou como
explicação. Pretende-se, assim, que nosso estudo contribua para alcançar o objetivo
da Fase 1 do Projeto. Além disso, com mais dados, para um mapeamento global, o
estudo contribuirá para nossa formação, no sentido de ajudar a entender como os
alunos pensam o que eles já sabem sobre prova e até que ponto pode avançar no
tratamento de provas no contexto escolar.
Em síntese, desenvolveremos nosso trabalho final de mestrado no âmbito do
Projeto AProvaME, assumindo o papel de professor-colaborador. Atuaremos
especificamente na primeira parte do projeto (Fase 1), perseguindo o objetivo de
mapeamento das concepções dos alunos sobre prova. Para tanto, não só
analisaremos os dados obtidos no questionário, como os complementaremos com
entrevistas individuais, conforme descreveremos mais adiante.
No capítulo seguinte será apresentado o questionário e serão detalhadas as
questões A1 e A2, o nosso objeto do estudo.
27
CAPÍTULO 2
O QUESTIONÁRIO SOBRE PROVA
2.1 Introdução
Como mencionado no capítulo anterior, o questionário sobre prova foi
inspirado em outro que fora aplicado na Inglaterra, em pesquisa desenvolvida pela
Profa. Dra. Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy), atual coordenadora do Projeto
AProvaME. A versão original foi trabalhada pela equipe do projeto, durante o
segundo semestre de 2005, modificada e adaptada para ser aplicada em alunos de
14-15 anos, brasileiros.
Esse instrumento, que serviu para coletar os dados, compreendeu questões
sobre prova, em temas de Álgebra e de Geometria, mais precisamente cinco
questões de cada.
1
O questionário buscou levantar dados sobre a visão geral do
aluno concernente a argumentações e provas matemáticas, a sua generalidade das
provas e também a competência do aluno na construção de provas.
As questões são de dois tipos:
x de múltipla escolha (A1, A2 e G1, G2). Nessas questões, vários
argumentos são apresentados como provas de uma dada afirmação e os
alunos devem avaliá-los;
x de produção de provas. Nesse caso, os alunos devem produzir provas
ou justificativas de suas respostas, em geral, discutindo a validade de
1 O questionário, na íntegra, está reproduzido no Anexo 2.
28
certas afirmações. É solicitado aos alunos que tentem explicar e
escrever da maneira mais clara possível por que uma dada afirmação é
verdadeira ou, se falsa, que contra-exemplos podem ser apresentados
para refutá-las.
2.2 Pesquisas de referência para elaboração do questionário
Antes de discutirmos detalhadamente as questões, que são objeto do nosso
estudo, apresentamos as principais considerações de pesquisas.
Os trabalhos de Balacheff (1988) sobre a aprendizagem de prova
fundamentam os tipos ou a natureza dos argumentos apresentados nos itens do
questionário, em particular nas questões de múltipla escolha (A1 e G1).
Do ponto de vista didático, Balacheff (1988) faz uma distinção entre prova e
demonstração. A prova estabelece uma validação de uma afirmação de um modo
mais amplo, mais geral, mais informal do que uma demonstração. A prova
corresponde a um discurso sobre determinada afirmação que convence ou garante
sua validade para um sujeito. Assim, a prova é menos formal do que a
demonstração. A demonstração, por sua vez, é o desenvolvimento formal de um
raciocínio (por passos dedutivos), com a utilização de um sistema de axiomas e/ou
teoremas já provados, para se chegar a uma conclusão. É um tipo particular de
prova, é a chamada prova formal.
No modelo hipotético-dedutivo em Matemática, essa distinção não ocorre, a
prova é um desenvolvimento formal, pelo qual a partir da(s) hipótese(s) e, por meio
de regras de inferência lógica, baseadas em axiomas e também com a utilização de
29
teoremas já demonstrados, chega-se à tese. Esse processo é muito pouco
conhecido pelos alunos, mesmo nos cursos superiores da área de Exatas, de acordo
com Nasser&Tinoco (2001, p. 4), que afirmam: “O que se observa, atualmente, é
que grande parte dos alunos não domina esse tipo de prova, nem quando chegam à
universidade, nem quando se formam, e nem mesmo depois de alguns anos de
exercício do magistério”.
Balacheff (1988) classifica as provas em pragmáticas e conceituais. Para
esse autor, a evolução de provas pragmáticas para provas intelectuais (e para as
demonstrações) não é marcada somente por uma evolução nas características de
linguagem, mas também pelo status e natureza do conhecimento. As provas
pragmáticas apóiam-se em saberes práticos essencialmente decorrentes de ações
(aqui no sentido de ações concretas); as provas intelectuais exigem que o
conhecimento seja colocado como objeto de reflexão ou de debate. Isso
corresponde à clássica evolução descrita na teoria piagetiana (cf. Gravina, 2001).
Balacheff (1988) identifica os seguintes tipos de formas de validação:
x empirismo ingênuo : é o caso de se fazer experiência com alguns
exemplos, para verificar se determinada propriedade é válida;
x experiência crucial : é um tipo de validação em que se propõe um
exemplo com determinadas propriedades, buscando a validação em
caso particular, e a partir daí considerando para o caso geral;
x exemplo genérico: em que se toma um exemplo que tenha propriedades
próprias e que represente uma determinada classe. Daí, por meio de
30
operações e/ou transformações, ficam claras as razões da validade da
afirmação para essa classe;
x experiência mental : é a validação de qualquer caso, com pensamentos
que controlam toda a generalidade da situação e não somente por meio
de casos particulares.
Gravina (2001) afirma que Balacheff considera as duas primeiras etapas
como provas pragmáticas e a terceira como um marco de transição da prova
pragmática para a prova conceitual. Assim, há entendimento de que o exemplo
genérico pode ser reputado tanto como prova pragmática quanto como prova
conceitual, dependendo da natureza efetiva da ação sobre o exemplo. Trata-se de
uma etapa intermediária. A experiência mental, por sua vez, é classificada como
conceitual. São as provas pragmáticas e as provas intelectuais que revelam o status
do conhecimento em questão. As primeiras são explicações advindas de ações
diretas sobre certas representações dos objetos matemáticos e as segundas já não
dependem apenas da ação efetiva sobre a representação, mas tem nas ações
interiorizadas e no discurso lógico-dedutivo o controle dos objetos e de suas
relações.
Balacheff (1988) e outros educadores defendem a prova ingênua como uma
argumentação aceitável no ensino, podendo ter várias escalas de rigor, dependendo
do nível escolar do aluno que está envolvido no processo.
Rezende e Nasser (1994) citam Balacheff em seu trabalho e, mediante
investigações, também classificaram alguns tipos de prova. Estes muito se
aproximam dos de Balacheff, a saber: (a) justificativa pragmática, com a qual o aluno
31
mostra que uma afirmativa é verdadeira para casos particulares. Seria a relativa ao
empirismo ingênuo, a chamada “mostração”; (b) recorrência a uma autoridade, em
que o aluno invoca a verdade pelo que o professor disse ou porque consta do livro
didático. Nesse caso, o aluno não está produzindo uma prova, mas está remetendo
ao “é verdade porque o professor disse ou está no livro”. Esse tipo de argumento
não é mencionado por Balacheff; (c) exemplo crucial, em que o aluno desenvolve o
raciocínio por meio de um exemplo que, para ele, serviria para qualquer outro caso,
o que se aproxima ora da experiência crucial, ora do exemplo genérico, verificando-
se, portanto, certa ambigüidade entre esses dois tipos; (d) justificativa gráfica, na
qual o aluno mostra, por meio de um diagrama ou desenho, ou mesmo em
Geometria, quando apresenta uma figura com algumas propriedades afirmando que
o resultado é verdadeiro. Novamente, pode ser considerada como justificativa
pragmática. Se por um lado, principalmente em Geometria, uma figura, desenho ou
diagrama apresenta distorções ou imprecisões, podendo levar a erro no raciocínio,
por outro lado, pode ajudar em relação à percepção de propriedades que garantem
a validade (Nasser e Tinoco, 2001).
Segundo Gravina (2001), ao apresentar em duas categorias as provas
produzidas por alunos, Balacheff (1987) indica uma necessidade de evolução
cognitiva, levando os alunos a entenderem o significado de uma prova e se tornarem
aptos a produzi-las. A questão é com quais abordagens, com quais atividades e
como o ensino pode auxiliar essa passagem.
De Villiers (2001) assevera que os alunos têm dificuldades em compreender
a necessidade da demonstração e que esse fato é bem conhecido dos professores
32
do Ensino Médio e é identificado em toda investigação em Educação Matemática
como um dos maiores problemas no ensino de demonstração.
De Villiers (2001) cita que o problema dos alunos com a demonstração não
deve ser apenas atribuído a um desenvolvimento cognitivo lento (por exemplo, a
uma falta de competência no raciocínio lógico), mas também ao fato de que os
alunos não compreendem a função (o significado ou a finalidade) da prova.
Para esse autor, a função da prova tem sido vista exclusivamente como
dizendo respeito à verificação da correção das afirmações matemáticas. Nessa
perspectiva, a idéia é de que a prova é usada principalmente para remover a dúvida
pessoal ou a de céticos, idéia essa que prevaleceu e dominou sistematicamente a
prática de ensino e a grande maioria das discussões ou da investigação referente ao
ensino da prova.
Para Hanna (1989, apud De Villiers, 2001, p. 20), uma prova é um
argumento para que uma afirmação seja validada, um argumento que pode assumir
várias formas diferentes, desde que seja convincente.
Concluímos, então, que, para De Villiers (2001), a prova é um desafio para
explicar, descobrir, sistematizar, comunicar para o desenvolvimento intelectual. Ele
destaca o papel de explicação da prova, com o qual concordamos, podendo ser uma
função mais significativa para os alunos (o porquê de ser verdade), do que a ênfase
no papel de verificação.
Na elaboração do questionário, em termos de bases teóricas que
determinaram as escolhas de argumentos inclusos em cada uma das questões de
33
múltipla escolha, baseamo-nos na análise de Balacheff (1988). Descreveremos as
questões que serão analisadas na seqüência deste capítulo.
Pelas respostas verificadas na questão A1 (vide Anexo 2), podemos afirmar
que o argumento de Artur é do tipo experiência mental, pois valida a afirmação, não
necessariamente em relação à forma apresentada, mas porque dá a estrutura
genérica de número par, destacando efetivamente sua propriedade e com a
representação por 2a fazendo um raciocínio nessa definição geral, que controla toda
a generalidade de uma situação e não somente ilustra alguns casos particulares.
A resposta de Beth é baseada na experiência com alguns exemplos e, com
isso, caracteriza-se como empírica ou, nos termos de Balacheff, ilustra um
empirismo ingênuo. Essa resposta foi incluída por se tratar da resposta mais comum
entre os alunos, conforme pesquisa concebida por Healy e Hoyles (1998).
Duda afirma que, se somarem dois números pares, o resultado vai sempre
terminar em 0, 2, 4, 6, ou 8, e ser, portanto, um número par. Essa resposta evidencia
uma propriedade própria dos números pares e que representa essa classe. A esse
tipo de resposta podemos classificar de uma aproximação de experiência mental,
pois usa uma definição de número par baseada no algarismo final, o que é genérico.
No entanto, para ser considerada como prova completa, essa resposta teria de ser
exaustivamente justificada, ou seja, dever-se-iam fazer as combinações para cada
caso, justificando que a soma de números com essas terminações resulta sempre
em número par. Isso não está justificado plenamente, pois a passagem da definição
para a afirmação de que o resultado vai sempre ser par mereceria o que podemos
34
chamar de prova exaustiva, isto é, a explicitação de todos os casos possíveis, que
são em um número finito.
Franklin utiliza-se de um exemplo que apresenta uma subjetividade, que,
dependendo do que levou o sujeito a dar essa resposta, pode ser considerada como
experiência crucial. Há certa dificuldade em classificar esse tipo de prova
pragmática, pois é necessário ter clareza do que o sujeito pensou, como considerou
o exemplo e o que acredita ter mostrado com ele. Em discussões na equipe de
pesquisa, esse argumento também foi visto ou classificado como exemplo genérico,
pois parte de um exemplo que tem propriedades próprias, que representa uma
classe quando mostra uma expressão com símbolos diferentes dos numéricos,
mostrando que, ao se tomar um exemplo com determinadas características, busca-
se a validação no caso particular.
Hanna parte de um exemplo envolvendo a soma de dois pares resultando
em par (6 + 8 = 14). No entanto, o tratamento dado a esse exemplo, na seqüência,
revela, assim como no caso de Artur, a estrutura de um número par como múltiplo
de dois. Esse tipo de resposta Balacheff classifica como exemplo genérico.
Este trabalho centraliza a atenção nas questões de múltipla escolha A1 e
A2, do caderno de Álgebra, que serão detalhadamente descritas a seguir, as quais
servirão de base para nossa análise.
2.3 Descrição da questão A1 do questionário sobre prova
A questão A1 apresenta uma afirmação seguida de cinco respostas de
alunos. Solicita-se ao aluno: (1) qual das respostas ele daria se fosse responder à
35
questão, ou a que mais se aproxima de uma resposta pessoal; (2) no seu entender,
para qual das respostas apresentadas o seu professor daria a melhor nota. Essa é a
primeira questão apresentada e tem por objetivo subsidiar as demais, no sentido de
os alunos terem uma idéia do tipo de resposta que podem dar, bem como o tipo de
justificativa que se pode ter nessa situação. Abaixo é reproduzida a questão A1 (cf.
Anexo 2).
Primeira parte da questão A1:
36
A1: Artur, Beth, Duda, Franklin e Hanna estavam tentando provar que a seguinte
afirmação é verdadeira:
Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par.
Resposta de Artur
a é um número inteiro qualquer
b é um número inteiro qualquer
2a e 2b são números pares quaisquer
2a +2b = 2 (a + b)
Então Artur diz que a afirmação é
verdadeira.
Resposta de Beth
2 + 2 = 4 4 + 2 = 6
2 + 4 = 6 4 + 4 = 8
2 + 6 = 8 4 + 6 = 10
Então Beth diz que a afirmação
é verdadeira.
Resposta de Duda
Números pares terminam em 0, 2, 4, 6 ou
8.
Quando você soma dois destes, a
resposta vai ainda terminar em 0, 2, 4, 6
ou 8.
Então Duda diz que a afirmação é
verdadeira.
Resposta de Franklin
Então Franklin diz que a
afirmação é verdadeira.
Resposta de Hanna
8 + 6 = 14
8 = 2 x 4
6 = 2 x 3
14 = 2 x (4 + 3)
8 + 6 = 2 x 7
Então Hanna diz que a afirmação é
verdadeira.
Das respostas acima, escolha uma que é a mais parecida com a resposta que você
daria se tivesse que resolver esta questão.
Das respostas acima, escolha aquela para a qual você acha que seu professor
daria a melhor nota.
Figura 3: Primeira parte da Questão A1 do Questionário sobre Prova
37
Os argumentos apresentados foram elaborados segundo alguns aspectos da
classificação de provas de Balacheff, descritos anteriormente.
Além disso, pretendia-se identificar a influência da forma de apresentação da
prova – língua natural, registro simbólico, representações visuais ou figurativas, etc.
– na escolha dos argumentos, pelos alunos.
Na mesma questão A1, na sua segunda parte, propõe-se aos alunos
pesquisados a escolha entre “sim”, “não” e “não sei” para “mostrar que a afirmação é
sempre verdadeira” ou “mostrar que a afirmação é verdadeira apenas para alguns
números pares”.
A segunda parte da questão A1 foi reproduzida abaixo:
A afirmação é:
Quando você soma dois números pares quaisquer,
o resultado é sempre par.
Para cada resposta abaixo, circule SIM, NÃO ou NÃO SEI.
Mostra que a afirmação é
sempre verdadeira.
Mostra que a afirmação é
verdadeira apenas para
alguns números pares.
Resposta de Artur
Sim Não Não sei Sim Não Não sei
Resposta de Beth:
Sim
Não Não sei Sim Não Não sei
Resposta de Duda:
Sim
Não Não sei
Sim
Não Não sei
Resposta de Franklin:
Sim Não Não sei Sim Não Não sei
Resposta de Hanna:
Sim
Não Não sei
Sim
Não Não sei
Figura 4: Segunda parte da Questão A1 do Questionário sobre Prova
38
O objetivo é obter dados sobre a compreensão dos alunos a respeito da
generalidade de cada prova, se vale para o caso geral ou para o caso específico.
Também se pretende obter dados concernentes a coerência, se compreende
efetivamente que ao responder “sim” para “sempre verdadeira” deve responder “não”
para “verdadeira apenas para alguns números pares”. O que se quer, na realidade, é
propor aos alunos que avaliem os argumentos relativos à generalidade de cada
prova.
2.4 Descrição da questão A2 do questionário sobre prova
A questão A2 é complementar à segunda parte de A1 e propõe que o aluno
analise o que é necessário para validar a afirmação de que “a soma de 2 números
pares maiores que 100 é sempre par”, uma vez já provado que, “quando você soma
dois números pares quaisquer, o resultado é sempre par”. O aluno deve decidir entre
duas alternativas: (A) “Zé não precisa fazer nada, pois a afirmação já foi provada”,
ou (B) “Zé precisa construir uma nova prova”.
Essa questão remete o aluno ao último item de A1, no sentido de solicitar a
análise da generalidade de um enunciado e sua prova, ou seja, se realmente há
necessidade, pelo já visto, de se construir uma nova prova, ou se, com base no que
já foi trabalhado até aqui, é suficiente para o aluno responder (A).
A seguir, a reprodução da questão A2.
39
A2. Suponha que já foi provado que:
Quando você soma dois números pares quaisquer,
o resultado é sempre par.
Zé pergunta o que precisa ser feito para provar que:
Quando você soma dois números pares maiores que 100, o resultado é
sempre par.
Escolha A ou B:
(A) Zé não precisa fazer nada, pois a afirmação já foi provada.
(B) Zé precisa construir uma nova prova.
Figura 5: Questão A2 do Questionário sobre Prova
Pesquisadores como Balacheff (1988), Gravina (2001), Vaz (2004),
Pietropaolo (2005), entre outros, mostram que muitos alunos não percebem que uma
prova ou justificativa em Matemática tem que ser para o caso geral e não
conseguem fazer essa relação particular-geral, ou, o que está compreendido num ou
em outro caso. A questão A2 pretende verificar esse aspecto.
No capítulo seguinte, será feita uma descrição da amostra total (1998), bem
como da amostra de 70 alunos relativa aos alunos da nossa escola. Além disso,
apresentaremos um breve perfil desses alunos pesquisados e de sua escola.
Serão realizadas, também, uma análise dos resultados obtidos e uma
comparação entre as duas amostras.
40
CAPÍTULO 3
RESULTADOS DAS QUESTÕES A1 E A2 DO QUESTIONÁRIO
SOBRE PROVA
3.1 Descrição da amostra
A amostra total é constituída de 1.998 questionários sobre prova, que
corresponde ao grupo de alunos de 79 turmas de escolas públicas e particulares,
sendo 34 da 8ª série do Ensino Fundamental e 45 da 1ª série do Ensino Médio. A
idade dos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental é, em média, de 15 anos de
idade, enquanto a dos alunos da 1ª série do Ensino Médio é de 16 anos.
Conforme descrito anteriormente, na primeira questão de cada caderno, o
aluno deveria escolher uma entre as várias respostas. Nas seguintes, deveria
produzir suas próprias respostas, apresentando justificativa para elas.
O grupo de alunos sob nossa responsabilidade, e ao qual aplicamos o
questionário, é constituído de 70 alunos da 8ª série do Ensino Fundamental de uma
escola pública, do período matutino, da periferia da Zona Norte da cidade de São
Paulo. Esse grupo é composto de 46 meninas e 24 meninos, que correspondem a
66% e 34%, respectivamente, desse total. Essa amostra de 70 alunos representa
3,5% do total de 1.998 questionários aplicados. A idade dos alunos desse grupo é
de, em média, 15 anos de idade, na mesma faixa que a amostra principal.
No que segue, organizamos os dados referentes às questões A1 e A2 do
questionário, baseados na codificação das repostas obtidas. Primeiramente, para
cada questão, apresentamos os resultados “gerais”, ou seja, relativos à amostra total
41
(1.998 alunos). Na seqüência, destacamos os resultados do grupo de 70 alunos,
buscando algumas comparações.
3.2 Descrição dos resultados da questão A1
Fazendo uma análise dos resultados, verificamos que houve respostas
variadas dadas pelos alunos, mas não muito distantes umas das outras. Os
argumentos mais comuns e que representaram maioria nesse estudo foram os
empíricos, como passamos a descrever.
Na questão A1 (primeira parte), houve o seguinte resultado entre o total
dos alunos envolvidos no projeto (1.998 alunos)
A
1
Mais
p
arecida
Beth Duda Hanna
A
rtur S/ res
p
osta Franklin Total
1.057 524 122 112 112 71 1.998
52,90% 26,23% 6,12% 5,60% 5,60% 3,55% 100,00%
Quadro 1: Resposta ao 1º item da Questão A1 (Amostra Total)
Nessa mesma questão (A1), o resultado do nosso grupo de 8ª série foi o
descrito abaixo.
A
1
Mais
p
arecida
Beth Duda
A
rtur Hanna Franklin S/ res
p
osta Total
29 27 7 4 2 1 70
41,43% 38,57% 10% 5,71% 2,86% 1,43% 100,00%
Quadro 2: Resposta ao 1º item da Questão A1 (grupo n = 70)
Comparando as porcentagens das respostas da amostra total com o outro
grupo, a escolha do argumento de Beth apresenta um percentual de 51,76%, na
amostra total, e 41,43%, na amostra deste estudo. Portanto, esses alunos decidiram
por um argumento empírico, admitindo como prova o teste ou verificação da validade
42
da proposição para alguns casos particulares. Com essa resposta, esses alunos
estariam, segundo Balacheff (1998), no nível do empirismo ingênuo, admitindo como
justificativa da validade o tratamento de alguns poucos exemplos.
O argumento de Duda, que obteve 26,23% das respostas na amostra total,
teve esse percentual elevado para 38,57% no grupo menor. Isso revela que 27 dos
70 alunos aparentam ter condições de apresentar uma prova quase completa, do
tipo experimento mental (cf. descrito no Capítulo 1).
Considerando os resultados globalmente, podemos observar que, na
amostra total (n = 1.998), praticamente metade fica no empirismo ingênuo e somente
um quarto escolhe um argumento narrativo (do tipo experimento de pensamento,
segundo Balacheff), enquanto no nosso grupo (n = 70) cerca de 40% optou por um
argumento empírico (no nível do empirismo ingênuo) e praticamente o mesmo
percentual de alunos preferiu um argumento que caracteriza uma prova conceitual.
Surpreendeu-nos o fato de 5,60% da amostra total não responder esse item.
No nosso grupo, apenas um aluno não respondeu essa questão. Esse protocolo
será analisado com mais detalhes, a fim de identificar as possíveis causas desse
comportamento (se deixou outras questões em branco) e, conforme o caso, isso
poderá ser apurado melhor com a entrevista.
Optaram pela resposta de Artur 112 dos 1.998 alunos (5,60%) e 7 alunos
(10%) do grupo menor. Conforme análise e classificação desse tipo de resposta
pelos professores participantes do projeto – como correspondendo a uma prova
formal do tipo experimento mental –, esses resultados já eram esperados. Assim,
como afirmam Healy & Hoyles (2000), os alunos, em geral, não compreendem todo
43
o conteúdo do argumento e não se sentem capazes de apresentar uma resposta
desse tipo.
O argumento de Hanna tem percentuais de 6,12% na amostra total e 5,71%,
do nosso grupo, próximos aos de Artur. Conforme descrito anteriormente, esse tipo
de resposta corresponde ao que Balacheff denomina de “exemplo genérico”. Como
se nota, esse tipo de resposta não é muito popular entre os alunos. As razões pelas
quais isso ocorre – porque esse argumento se distancia do de Beth, por exemplo –
podem ser exploradas nas entrevistas.
Por último, com menor percentual de escolha – 3,55% da amostra total e
2,56% do grupo menor –, aparece o argumento de Franklin. Ainda que possa ser
considerado com certa generalidade e representando a estrutura de um número par,
poucos alunos acreditam que esse argumento pode ser considerado como uma
prova da afirmação. Esse resultado pode estar relacionado à forma do argumento –
visual, com uma representação figural –, talvez não muito freqüente no trabalho com
os números ou raramente apresentados pelo professor na sala de aula de
Matemática. Novamente, temos aí um aspecto a ser aprofundado com as
entrevistas.
Os quadros que seguem apresentam a situação da amostra total (quadro 3)
e do nosso grupo (quadro 4), quanto ao segundo item da questão A1, a saber: qual
argumento receberia a melhor nota por parte do professor, na opinião dos alunos
pesquisados.
44
A
1
Melhor Nota
A
rtur Duda Hanna Beth Franklin S/ res
p
osta Total
777 467 329 288 75 62 1.998
38,39% 23,37% 16,48% 14,41% 3,75% 3,10% 100,00%
Quadro 3: Melhor nota que o professor daria (Amostra Total)
A
1
Melhor Nota
A
rtur Duda Beth Hanna Franklin S/ res
p
osta Total
28 26 10 6 0 0 70
40% 37,14% 14,29% 8,57% 0,00% 0,00% 100,00%
Quadro 4: Melhor nota que o professor daria no grupo de 8ª série (n = 70)
Tanto na amostra total (38,89%) como no nosso grupo (40%) a resposta de
Artur foi a mais escolhida como aquela que alcançaria a melhor nota do professor.
Isto sugere que os alunos identificam, entre as respostas, qual é a prova mais
completa, talvez pelo fato de essa resposta apresentar-se na forma de um
argumento algébrico-formal. Resta saber se essa escolha foi baseada na forma ou
se os alunos realmente dominam seu conteúdo. Não somente a análise de sua
generalidade na segunda parte da questão A1 pode dar esses indícios, mas se trata
também de mais um aspecto a ser retomado nas entrevistas. Esse resultado é
próximo daquele obtido por Healy & Hoyles (2000), que afirmam que em seu estudo
ficou caracterizado que os estudantes pesquisados não são capazes de construir
provas válidas. Além disso, a pesquisa mostrou que os alunos valorizam os
argumentos empíricos, porém consideram também que os professores não dão
melhores notas para esse tipo de argumento.
Do total, o argumento de Duda aparece em segundo lugar, com 23,37%, o
que é coerente, pois é uma resposta parecida com a de Artur, conforme
classificação de Balacheff, só que em forma de argumento narrativo. No nosso grupo
essa porcentagem sobe para 37,14%, quase que se igualando aos 40% de Artur.
45
Uma hipótese para explicar isso é que os alunos do grupo menor podem não estar
levando em conta somente a forma de argumento. Como mencionamos acima, é um
ponto a ser aprofundado nas entrevistas.
Em seguida, aparece o argumento de Hanna, com 329 indicações, (16,48%)
na amostra total, talvez pela coerência da seqüência desenvolvida nessa resposta,
usando adequadamente um critério para provar que a soma de dois pares resulta
em par, ainda que a partir de um exemplo. No grupo menor esse índice cai
praticamente para a metade (8,57%), com 6 indicações em 70, mas mesmo assim
mantendo o quarto lugar na preferência dos alunos.
Quanto à resposta de Beth, com 14,41% e 14,29% da amostra total e do
grupo menor respectivamente, que obteve o maior índice quanto às escolhas pelos
alunos, manteve praticamente o mesmo índice percentual, nos dois grupos, quanto a
melhor nota a ser considerada pelo professor, abaixo de Artur, Duda e Hanna na
amostra total, e abaixo de Artur e Duda na amostra menor, levando-nos a concluir
que os próprios alunos têm consciência de que esta não seria a resposta valorizada
pelo professor.
Da amostra total, 62 alunos, representando 3,1%, não responderam esse
item, e da amostra menor, todos responderam. Conjecturamos que esses poucos
sujeitos não responderam em virtude de não terem entendido e/ou de não saberem
responder.
A seguir, é apresentado um quadro com dados do nosso grupo, identificando
os sujeitos em suas escolhas. Pretendemos com isso obter mais informações no
tocante aos comportamentos dos alunos, a fim de caracterizar tendências ou
46
discrepâncias do grupo. Acreditamos que esse tipo de análise pode nos auxiliar na
escolha dos sujeitos para as entrevistas.
Mais parecida com a resposta
que você daria.
Resposta que o professor daria
a melhor nota.
Artur
(7): 13, 14, 24, 36, 48, 49 e 69.
(28): 3, 4, 11, 14, 15, 16, 18, 20, 21,
27, 32, 35, 36, 37, 38, 40, 47, 50, 52,
53, 54, 56, 57, 59, 61, 66, 67 e 69.
Beth
(29): 4, 8, 16, 20, 25, 27, 28, 31, 32, 34, 35,
40, 44, 47, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59,
60, 61, 62, 64, 65 e 67.
(10): 2, 5, 12, 13, 23, 34, 44, 48, 49 e
62.
Duda
(27): 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 15, 17, 18, 19, 21,
22, 26, 29, 30, 41, 42, 43, 45, 46, 51, 63, 66,
68, e 70.
(26): 1, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 19, 22, 24,
26, 28, 29, 31, 33, 41, 42, 43, 45, 46,
55, 58, 60, 63, 68 e 70.
Franklin
(2): 12 e 23.
Hanna
(4): 5, 37, 38 e 39. (6): 25, 30, 39, 51, 64 e 65.
Resposta em
branco
33
Quadro 5: Respostas à 1ª parte da questão A1 no grupo de 8ª série (n = 70)
Como já mencionado, a resposta de Beth apresentou o maior número de
indicações (29/70), como a mais parecida com a resposta que o aluno daria; e o
argumento de Artur obteve o maior percentual de escolha (28/70), para o caso em
que o professor daria a melhor nota. Isso caracteriza o fato de que os alunos se
mostram capazes de apresentar uma resposta do tipo empírica (caso da resposta de
Beth) para seus argumentos, enquanto entendem que o professor daria a melhor
nota para um argumento do tipo experimento de pensamento (caso da resposta de
Artur).
A seguir, são apresentados os resultados de cada argumento e a
comparação da amostra total com o grupo de 8ª série, relativamente à segunda
parte da questão A1.
47
Quanto às avaliações da amostra total (1.998 alunos):
A
rtur
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
1.220 375 311 92 439 832 295 432 1.998
61,06% 18,78% 15,56% 4,60% 21,97% 41,64% 14,76% 21,63% 100,00%
Quadro 6: Artur – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
Beth
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
1.582 206 113 97 500 966 181 351 1.998
79,18% 10,31% 5,66% 4,85% 25,03% 48,35% 9,06% 17,56% 100,00%
Quadro 7: Beth – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
Duda
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
1.352 311 222 113 496 906 248 348 1.998
67,68% 15,57% 11,10% 5,65% 24,82% 45,35% 12,41% 17,42% 100,00%
Quadro 8: Duda – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
Franklin
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
1.099 441 333 125 477 798 368 355 1.998
55,00% 22,07% 16,67% 6,26% 23,87% 39,93% 18,42% 17,78% 100,00%
Quadro 9: Franklin – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
Hanna
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
1.018 482 334 164 590 712 364 332 1.998
50,95% 24,12% 16,72% 8,21% 29,53% 35,64% 18,22% 16,61% 100,00%
Quadro 10: Hanna – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
48
Quanto às avaliações da nossa amostra (n = 70), temos:
A
rtur
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
46 17 7 0 21 36 13 0 70
65,71% 24,29% 10% 0,00% 30% 51,43% 18,57% 0,00% 100,00%
Quadro 11: Artur – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
Beth
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
57 6 5 2 20 38 2 10 70
81,42% 8,57% 7,13% 2,88% 28,56% 54,28% 2,88% 14,28% 100,00%
Quadro 12: Beth – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
Duda
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
46 17 7 0 17 34 19 0 70
65,71% 24,29% 10% 0,00% 24,29% 48,57% 27,24% 0,00% 100,00%
Quadro 13: Duda – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
Franklin
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
38 16 16 0 16 32 22 0 70
54,28% 22,86% 22,86% 0,00% 22,86% 45,71% 31,43% 0,00% 100,00%
Quadro 14: Franklin – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
Hanna
Sem
p
re verdadeira
À
s vezes verdadeira
Sim Não N/sei S/res
p
. Sim Não N/sei S/res
p
. Total
33 25 12 0 21 34 15 0 70
47,14% 35,72% 17,14% 0,00% 30% 48,57% 21,43% 0,00% 100,00%
Quadro 15: Hanna – assertiva “sempre verdadeira” e “às vezes verdadeira”
49
Comparando os índices percentuais das respostas da amostra total (1.998)
com as respostas da nossa turma (70), verifica-se que os valores são bastante
parecidos, portanto mantendo-se uma mesma tendência em ambos os grupos,
quanto à generalidade da prova nas respostas dos sujeitos.
Mostra que a afirmação é sempre verdadeira.
Artur Beth Duda Franklin Hanna
Sim
(46): 3, 4, 5, 9,
10, 11, 12, 14,
15, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24,
25, 27, 28, 29,
30, 35, 36, 37,
38, 39, 40, 44,
46, 47, 48, 49,
50, 51, 52, 54,
55, 56, 57, 59,
60, 63, 65, 67,
68, 69
(57): 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14,
16, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 25,
26, 27, 28, 30,
31, 34, 35, 36,
37, 38, 39, 40,
41, 42, 43, 44,
45, 47, 48, 50,
51, 52, 53, 55,
56, 57, 58, 59,
60, 62, 64, 65,
67, 68, 70
(47): 1, 2, 3, 4,
6, 7, 8, 9, 10,
11, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21,
22, 26, 28, 29,
30, 31, 34, 36,
37, 39, 41, 42,
43, 45, 46, 47,
48, 50, 51, 52,
55, 57, 58, 60,
63, 65, 66, 68,
69, 70
(38): 2, 3, 4, 5,
6, 7, 9, 11, 14,
18, 19, 20, 21,
22, 25, 27, 28,
30, 31, 32, 35,
36, 37, 39, 40,
41, 47, 50, 53,
55, 57, 60, 62,
64, 65, 66, 68,
70
(32): 1, 3, 5, 8,
9, 12, 14, 18,
19, 20, 21, 22,
23, 25, 26, 27,
28, 31, 32, 35,
37, 39, 41, 44,
47, 50, 51, 52,
57, 64, 68, 69
Não
(17): 1, 2, 6, 7,
13, 16, 26, 31,
32, 41, 42, 43,
45, 58, 62, 64,
70
(6): 24, 29, 32,
46, 49, 69
(17): 5, 12, 13,
14, 23, 24, 25,
32, 40, 44, 49,
54, 56, 59, 62,
64, 67
(16): 13, 15, 16,
24, 26, 29, 38,
42, 43, 44, 45,
46, 52, 58, 59,
63
(26): 4, 6, 7, 10,
11, 13, 16, 29,
30, 40, 42, 43,
45, 46, 48, 49,
54, 55, 56, 58,
59, 60, 62, 65,
67, 70
Não sei
(4): 17, 53, 61,
66
(5): 15, 17, 33,
54, 61
(4): 27, 35, 53,
61
(12): 1, 8, 12,
23, 34, 48, 49,
51, 54, 56, 61,
69
(8): 10, 15, 24,
36, 38, 53, 61,
66
Em
branco
(3): 8, 33, 34 (2): 63, 66 (2): 33, 38 (3): 17, 33, 67
(4): 17, 33, 34,
63
Quadro 16: Afirmação sempre verdadeira (grupo n = 70)
No quadro 16, os alunos indicaram a generalidade dos argumentos, com 57
alunos afirmando que a resposta de Beth é sempre verdadeira. Em seguida, 47 e 46
alunos asseverando que as respostas de Duda e Artur, respectivamente, são
sempre verdadeiras. Depois Franklin teve 38 indicações e Hanna, 32. O maior índice
de alunos que asseguraram que a resposta não era sempre verdadeira foi para
Hanna com 26 indicações.
50
Mostra que a afirmação é verdadeira apenas para alguns números pares.
Artur Beth Duda Franklin Hanna
Sim
(20): 1, 2, 6, 7,
8, 18, 20, 23,
26, 31, 32, 34,
39, 42, 43, 45,
56, 64, 69, 70
(20): 15, 16, 18,
20, 22, 23, 24,
29, 30, 31, 32,
39, 40, 46, 48,
49, 52, 58, 62,
63
(15): 3, 12, 14,
16, 22, 24, 25,
32, 39, 40, 52,
54, 56, 64, 67
(13): 15, 18, 20,
24, 26, 29, 39,
42, 45, 46, 49,
62, 65
(18): 4, 6, 7, 15,
22, 23, 29, 34,
39, 40, 42, 45,
46, 52, 58, 63,
67, 70
Não
(34): 3, 4, 5, 9,
10, 11, 12, 13,
14, 15, 16, 22,
24, 25, 27, 28,
29, 36, 37, 40,
41, 46, 47, 49,
50, 54, 55, 57,
59, 60, 62, 65,
67, 68
(38): 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 9, 10,
11, 12, 13, 14,
25, 26, 27, 28,
35, 36, 37, 41,
42, 43, 45, 47,
50, 53, 54, 55,
56, 57, 60, 64,
65, 67, 68, 69,
70
(34): 1, 2, 4, 5,
6, 7, 9, 10, 11,
13, 15, 18, 20,
23, 26, 28, 29,
31, 33, 36, 37,
41, 42, 43, 45,
46, 47, 50, 55,
57, 62, 65, 68,
70
(31): 2, 3, 4, 5,
6, 7, 9, 11, 14,
16, 23, 25, 27,
28, 31, 32, 35,
36, 37, 40, 41,
43, 47, 50, 53,
55, 57, 59, 64,
68, 70
(35): 2, 3, 5, 9,
10, 11, 12, 13,
14, 16, 17, 18,
25, 26, 27, 28,
31, 32, 35, 37,
41, 43, 47, 49,
50, 54, 55, 57,
59, 60, 62, 64,
65, 68, 69
Não sei
(5): 35, 52, 53,
61, 66
(2): 59, 61
(7): 27, 35, 49,
53, 59, 61, 69
(10): 1, 10, 12,
13, 17, 22, 52,
54, 56, 61
(7): 1, 20, 24,
36, 53, 56, 61
Em branco
(9): 17, 19, 21,
33, 38, 44, 51,
58, 63
(10): 8, 17, 19,
21, 33, 34, 38,
44, 51, 66
(12): 8, 17, 19,
21, 34, 38, 44,
51, 58, 60, 63,
66
(14): 8, 19, 21,
33, 34, 38, 44,
51, 58, 60, 63,
66, 67, 69
(8): 8, 19, 21,
33, 38, 44, 51,
66
Quadro 17: Verdadeira apenas para alguns números pares (grupo n = 70)
Comparando os dados do quadro 16 com os dados do quadro 17, constata-
se que há uma consistência nas respostas do grupo, pois esperava-se uma
coerência quanto ao número de “sim” para a generalidade do quadro 16, com o
“não” do quadro 17, o que realmente aconteceu, apesar de algumas incoerências.
Os quadros a seguir apresentam as avaliações que o grupo menor fez sobre
a generalidade (segunda parte de A1) da prova relativamente à resposta da primeira
parte de A1, ou seja, se quando afirma que o argumento escolhido é o mais parecido
com o que daria, se esse argumento vale para todos os casos, ou apenas para
alguns casos. Por exemplo, no quadro 18, o aluno 14 respondeu que o argumento
de Artur é o que ele responderia e afirmou que esse argumento é sempre
verdadeiro.
51
No quadro 19, verificamos que, dos 29 sujeitos que escolheram Beth como a
mais parecida e sempre verdadeira, somente o sujeito 32 declara que a resposta
não mostra que a afirmação é sempre verdadeira, e os sujeitos 54 e 64 declaram
não saber avaliar a questão. E o mais contraditório é que dos 26 restantes declaram
que a resposta mostra que a afirmação é sempre verdadeira: 7 declaram ao mesmo
tempo que a resposta indica que a afirmação é sempre verdadeira e verdadeira
apenas em alguns casos; 2 declaram não saber se ela mostra que a afirmação é
verdadeira apenas para alguns casos e 3 não responderam a questão. Podemos
concluir que desses 29 sujeitos, apenas 16 declaram achar que a resposta mostra
que a afirmação é sempre verdadeira e não mostra que é verdadeira apenas em
alguns casos e aceitam evidências empíricas como provas.
Dos outros 13 sujeitos, 8 declaram que acham que a resposta mostra que a
afirmação é verdadeira para somente alguns casos; 2 declaram não saber responder
e 3 não responderam a questão.
A mais parecida e sempre
verdadeira
A mais parecida e verdadeira para
somente alguns casos
Sim
(6): 14, 24, 36, 48, 49, 69 (1): 69
Não
(1): 13 (5): 13, 14, 24, 36, 49
Em branco
(1): 33 (2): 33, 48
Quadro 18: Artur – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos
A mais parecida e sempre
verdadeira
A mais parecida e verdadeira para somente
alguns casos
Sim
(26): 4, 8, 16, 20, 25, 27, 28, 31, 34,
35, 40, 44, 47, 50, 52, 53, 55, 56, 57,
58, 59, 62, 64, 65, 67, 69
(8): 16, 20, 31, 32, 40, 52, 58, 62
Não
32
(16): 4, 25, 27, 28, 35, 47, 50, 53, 54, 55, 56, 57,
60, 64, 65, 67
Não sei
(2): 54, 64 (2): 59, 61
Em branco
(3): 8, 34, 44
Quadro 19: Beth – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos
52
Nos quadros 20 e 21 de Duda e Hanna, respectivamente, verificamos uma
coerência, pois dos 27 sujeitos que escolheram a resposta de Duda como a mais
parecida e sempre verdadeira apenas 2 sujeitos afirmaram que a resposta é também
verdadeira para somente alguns casos; 19 responderam “não” para verdadeira para
somente alguns casos e 6 deixaram a questão em branco. E, dos 3 que optaram por
Hanna como a mais parecida e sempre verdadeira, apenas 1 declarou que também
é verdadeira para somente alguns casos; 2 negaram essa possibilidade e 1 que
respondeu que vale sempre, não respondeu que vale para alguns casos.
A mais parecida e sempre
verdadeira
A mais parecida e verdadeira para somente alguns
casos
Sim
(27): 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 15, 17, 18,
19, 21, 22, 26, 29, 30, 41, 42, 43, 45,
46, 51, 63, 66, 68, 70
(2): 3, 22
Não
(19): 1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 15, 18, 26, 29, 30, 41, 42, 43,
45, 46, 68, 70
Em
branco
(6): 17, 19, 21, 51, 63, 66
Quadro 20: Duda – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos
A mais parecida e sempre
verdadeira
A mais parecida e verdadeira para somente
alguns casos
Sim
(3): 5, 37, 39 39
Não
(2): 5, 37
Não sei
38
Em branco
38
Quadro 21: Hanna – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos
Quanto aos alunos 12 e 23, que optaram por Franklin como a mais parecida,
responderam “Não sei”, quanto à generalidade desse argumento. Isso parece indicar
que eles têm dúvidas e não sabem avaliá-lo.
Os quadros a seguir apresentam as avaliações que o grupo menor fez sobre
a generalidade da prova, em relação ao item concernente à melhor nota que o
professor daria, ou seja, quando o aluno afirma que o argumento escolhido é o que o
53
professor daria a melhor nota, se esse argumento vale para todos os casos, ou
apenas para alguns casos.
Analisando o quadro 22 notamos que 6 sujeitos escolheram a resposta de
Artur como a que o professor daria a melhor nota e é sempre verdadeira e, destes, 3
escolheram, ao mesmo tempo, as duas possibilidades, ou seja, é sempre verdadeira
e também é verdadeira para somente alguns casos, que juntamente aos outros 20
sujeitos escolheram essa segunda possibilidade. Concluímos que nesse caso
verificamos uma incoerência.
O professor daria a melhor nota e é
sempre verdadeira
O professor daria a melhor nota e é
verdadeira para somente alguns casos
Sim
(6): 14, 24, 36, 48, 49, 69
(23): 3, 4, 11, 14, 15, 18, 20, 21, 27, 35,
36, 37, 38, 40, 47, 50, 52, 54, 56, 57, 59,
67, 69
Não
13 (2): 16, 32
Não sei
(3): 53, 61, 66
Em branco
33
Quadro 22: Artur – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos
O mesmo ocorre com Beth no quadro 23, em que se tem que, dos 9 sujeitos
que escolheram que é sempre verdadeira, 3 escolheram que é verdadeira para
somente alguns casos, dos quais 2 escolheram as duas possibilidades ao mesmo
tampo; 4 responderam negativamente para verdadeira para somente alguns casos e
3 não responderam para verdadeira para somente alguns casos, demonstrando
certa incoerência nas respostas.
O professor daria a melhor nota e é
sempre verdadeira
O professor daria a melhor nota e é verdadeira
para somente alguns casos
Sim
(9): 2, 5, 12, 13, 23, 34, 44, 48, 62 (3): 23, 49, 62
Não
49 (4): 2, 5, 12, 13
Em
branco
(3): 34, 44, 48
Quadro 23: Beth – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos
54
Quanto a Duda e Hanna, podemos notar que há uma coerência, pois a
maioria dos sujeitos que responderam que o professor daria a melhor nota e é
sempre verdadeira respondeu negativamente para a possibilidade de ser verdadeira
apenas para alguns casos.
O professor daria a melhor nota e é
sempre verdadeira
O professor daria a melhor nota e é
verdadeira para somente alguns casos
Sim
(24): 1, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 19, 22, 26, 28, 29, 31,
41, 42, 43, 45, 46, 55, 58, 60, 63, 68, 70
(2): 22, 24
Não
24
(18): 1, 6, 7, 9, 10, 26, 28, 29, 31, 33, 41, 42,
43, 45, 46, 55, 68, 70
Em
branco
33 (6): 8, 17, 19, 58, 60, 63
Quadro 24: Duda – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos
Nenhum aluno optou pelo argumento de Franklin, como a prova para a qual
o professor daria a melhor nota.
O professor daria a melhor nota e é
sempre verdadeira
O professor daria a melhor nota e é
verdadeira para somente alguns casos
Sim
(4): 25, 39, 51, 64 39
Não
(2): 30, 65 (4): 25, 30, 64, 65
Em
branco
51
Quadro 25: Hanna – Avaliação sobre a generalidade dos argumentos
3.3 Descrição dos resultados da questão A2
Os quadros abaixo apresentam os resultados da questão A2, já descrita
anteriormente na página 39, em relação ao total dos alunos envolvidos no projeto
(1998) – quadro 26 – e relativamente aos alunos da nossa amostra (70) – quadro 27.
A2
Nada Nova Em branco Não sei Total
1.433 535 28 2 1.998
71,72% 26,78% 1,40% 0,10% 100%
Quadro 26: Respostas da questão A2 (Amostra Total)
55
A2
Nada Nova Em branco Não sei Total
59 11 0 0 70
84,29% 15,71% 0% 0% 100%
Quadro 27: Respostas da questão A2 do grupo de 8ª série (n = 70)
Quanto ao nosso grupo, o quadro a seguir mostra os alunos que
responderam “A” ou “B”, em A2.
(A) Zé não precisa fazer nada, pois a
afirmação já foi provada.
(59): 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 36,
37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51,
52, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67,
68, 69
(B) Zé precisa construir uma nova prova.
(11): 3, 11, 18, 20, 24, 31, 35, 43, 53, 65, 70
Quadro 28: Respostas individuais da questão A2 do grupo de 8ª série (n = 70)
Em A2, a grande maioria dos alunos (71,72% na amostra total e 84,29% no
nosso grupo) respondeu pela generalidade da prova, ou seja, os alunos entenderam
que não é necessário produzir nova prova, uma vez que já havia sido provado para
o caso geral (todos os números pares). Esse percentual elevado era esperado se
comparado com a 2.ª parte da questão A1, tendo em vista que, tanto na amostra
total como no grupo menor, a maioria optou pelo “sim”, quanto à generalidade da
prova, de todos os argumentos.
Comparando esse resultado com a pesquisa apresentada no artigo de Healy
& Hoyles (2000), a tendência mantém-se, pois a maioria (62%) dos estudantes ali
pesquisados afirmou que não havia necessidade de construir nova prova, pois sua
generalidade estava garantida.
56
3.4 Comparação entre os resultados das questões A1 e A3
Quanto às questões abertas, é possível que os alunos tenham dificuldade na
compreensão. De fato, de acordo com Vaz (2004), em geral, a prova e sua
elaboração são pouco, ou quase nada, solicitadas ao aluno. Assim, é observado que
os aprendizes não compreendem e não sabem como trabalhar com questões
envolvendo provas.
Nas questões abertas, nas quais os alunos deveriam produzir justificativas
para suas respostas, a codificação foi baseada nos tipos de argumentos das
questões A1 e G1 consoante os seguintes critérios:
0: resposta completamente errada, que não apresenta justificativa ou
exemplo, ou resposta que simplesmente repete o enunciado, caracterizando um
ciclo vicioso;
1: resposta que apresenta alguma informação pertinente, mas sem dedução
ou inferência, ou apenas casos empíricos em sua justificativa, ou uma indicação de
que concorda com a afirmação, ainda que simplesmente apresente uma justificativa,
sem ter explicitado, conforme o caso: “sim”, “verdadeira”, etc.;
2: resposta em que há alguma dedução ou inferência, explicitação de
propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática,
sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova. Nesse caso, há
uma subdivisão, ou seja: 2a, caso falta muito para o aluno chegar à prova (mais
próximo de 1) e 2b, caso falta pouco para o aluno chegar à prova (mais perto de 3);
57
3: resposta apresentada corretamente, com a seguinte subdivisão: 3C
quando o aluno apresenta resposta correta, totalmente justificada por meio de um
cálculo, e 3P quando o aluno apresenta resposta correta, totalmente justificada com
referência a propriedades pertinentes.
Como será exposto mais adiante, há necessidade de comparar a questão A1
com outras questões abertas (nas quais os alunos devem produzir suas próprias
provas), razão pela qual esses códigos são apresentados.
Comparando as respostas de A1: “Quando você soma dois números pares
quaisquer, o resultado é sempre par”, com a questão A3: “Quando você soma dois
números ímpares quaisquer, o resultado é sempre par” (cf. quadros 20 e 21), vemos
que a tendência em ambas as amostras é a mesma, com a maioria das respostas
indicando que as duas afirmações A1 e A3 são verdadeiras. Na A1, os alunos já
sabiam que eram verdadeiras, bastava escolher um dos argumentos. Na A3, tinham
que apresentar uma justificativa de a afirmação ser verdadeira.
Verdadeira ou falsa?
Verdadeira Falsa Sem resposta Total
1.640 233 125 1.998
82,08% 11,66% 6,26% 100%
Quadro 29: Respostas de A3 – Verdadeira ou Falsa? – (Amostra Total)
Verdadeira ou falsa?
Verdadeira Falsa Sem resposta Total
64 6 0 70
91,43% 8,57% 0,00% 100%
Quadro 30: Respostas de A3 – Verdadeira ou Falsa? – grupo de 8ª série (n = 70)
Justificativa
0 1 2a 2b 3
Sem
resposta
Total
563 1.109 84 44 13 185 1.998
28,18% 55,51% 4,20% 2,20% 0,65% 9,26% 100,00%
Quadro 31: Justificativas de A3 – (Amostra Total)
58
Justificativa
0 1 2a 2b 3 Sem resposta Total
29 38 2 1 0 0 70
41,43% 54,28% 2,87% 1,42% 0,00% 0,00% 100,00%
Quadro 32: Justificativas de A3 – grupo de 8ª série (n = 70)
Conclui-se que os alunos, embora tenham respondido um número
significativo de “verdadeiro”, ou não apresentaram ou apresentaram poucas
justificativas para essas respostas, significando que os alunos têm melhor
desempenho na escolha ou avaliação de argumentos (questão A1), do que para
construir suas próprias provas, justificando suas respostas (questão A3) (cf. quadros
31 e 32).
Com os dados coletados e tabulados, o próximo passo é a entrevista com
alguns alunos que responderam ao questionário, visando ampliar as informações e
complementar as respostas obtidas. As entrevistas serão do tipo semi-estruturado,
com questões norteadoras sobre o que os alunos pensam a respeito de provas,
relativas aos argumentos apresentados e referentes à função de uma prova. Na
seqüência, serão introduzidas questões específicas concernentes às respostas de
cada aluno, e em função das respostas novas perguntas serão formuladas ao
entrevistado. Apresentaremos, no Capítulo 4, os sujeitos selecionados, bem como os
procedimentos metodológicos para essa etapa do estudo.
59
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DAS PERSPECTIVAS DOS ALUNOS SOBRE PROVA
NAS ENTREVISTAS
4.1 Considerações metodológicas
Para aprofundarmos as conclusões do nosso estudo, decidimos
complementar os dados com a realização de entrevistas individuais com alguns
alunos de nossa amostra de classes de 8ª série (n = 70 alunos).
A entrevista é um instrumento importante neste estudo, pois permite obter
dados que não ficaram claros nos resultados apurados pela aplicação do
questionário, ajudando a aprofundar a pesquisa e a complementar a coleta de dados
de alcance superficial ou genérico (Fiorentini, 2006).
Trabalharemos com entrevistas do tipo semi-estruturada, comumente usada
em pesquisas educacionais, as quais julgamos adequadas para obtermos mais
evidências sobre como os alunos pesquisados pensam, tratam e convivem com a
questão da prova em Matemática, no contexto escolar e, mais particularmente, no
caso do questionário.
Tomaremos o cuidado, ao iniciar o processo de entrevista, de deixar o
entrevistado bastante à vontade e descontraído, explicando a ele a natureza e o
objetivo da entrevista e esclarecendo por que ele foi escolhido. Também
informaremos que a entrevista será utilizada exclusivamente para efeito de
investigação, sendo, portanto, sigilosa e com a identidade preservada. Usaremos,
60
com autorização do entrevistado, gravações em áudio, para um melhor
aproveitamento das respostas obtidas.
4.2 Critérios de escolha dos alunos para as entrevistas
A escolha dos alunos para as entrevistas foi baseada em alguns resultados
que julgamos relevantes, indicativos de tendências ou discrepâncias em relação a
nossa amostra total e aos resultados obtidos por Healy & Hoyles (2000).
Examinando o Quadro 5 do capítulo anterior (p. 46), vemos que dez alunos
escolheram o argumento de Beth como aquele que receberia a melhor nota do
professor. Isso não era esperado para esse item, e sim para o primeiro: escolha da
resposta “mais parecida” com a do aluno pesquisado. Além disso, 9 desses 10
alunos afirmam que esse argumento “mostra que a afirmação é sempre verdadeira”
(cf. quadro 16, p. 49). Apenas um aluno (sujeito 49) analisa corretamente a
generalidade do argumento de Beth, assinalando que este mostra a validade
somente para alguns casos. Assim, desse grupo, serão selecionados dois alunos
para as entrevistas: os sujeitos 48 e 49.
No quadro 16, os alunos 16 e 32 escolheram Artur para a “melhor nota”, mas
erraram na avaliação desse argumento, colocando “não” para a alternativa “sempre
verdadeira”. É possível que esses alunos tenham atentado somente para a forma do
argumento, mas não entendem completamente seu conteúdo e caráter genérico.
Três outros alunos (sujeitos 53, 61 e 66), que também escolheram o argumento de
Artur, declararam não saber analisar sua validade (resposta “Não sei” na segunda
parte da questão A1). A partir desses resultados, julgamos pertinente selecionarmos
61
mais dois sujeitos: o aluno 16 e o aluno 53, que inclusive assinalou de forma
incorreta a alternativa B na questão A2.
O quadro 5 mostra que o aluno 48 escolheu o argumento de Artur como
“mais parecido” com sua resposta, e o argumento de Beth para a “melhor nota do
professor”. Essa resposta não era esperada, podendo ser considerada como uma
escolha atípica. Esse mesmo aluno demonstra dúvida na análise do argumento de
Franklin, respondendo “Não sei”. Por esses aspectos, esse aluno também será
sujeito da entrevista.
Muitos alunos escolheram o argumento de Duda, tanto como a “mais
parecida” como a que receberia a “melhor nota do professor”. A maioria desses
alunos – com exceção de 6 – analisou corretamente a segunda parte da questão,
respondendo que este argumento é “sempre verdadeiro”. Selecionaremos um
desses alunos, de forma aleatória, para aprofundar essa questão do argumento
narrativo e saber se para eles esse tipo de prova explica o porquê de a afirmação
ser verdadeira, resultado obtido por Healy & Hoyles (2000).
O aluno 24 também participará das entrevistas, pois apresenta coerência e
certa correção na análise dos argumentos na questão A1, mas erra na questão A2
ao assinalar a alternativa B, acreditando ser necessária nova prova.
Em síntese, os alunos selecionados para as entrevistas perfazem um total
de sete, correspondendo à 10% de nossa amostra.
Como mencionamos, algumas questões da entrevista serão gerais,
referentes ao questionário e ao que os alunos entendem por provas ou justificativas
62
matemáticas. Na seqüência, serão formuladas questões específicas, a partir das
respostas de cada aluno, ou seja, elaboraremos roteiros “personalizados”, com base
nas respostas da parte de Álgebra dos questionários individuais (reproduzidos no
anexo 3).
4.3 Realização das entrevistas
O cronograma das entrevistas foi organizado de comum acordo com os
sujeitos, em dia e horário que melhor favorecia os alunos. Foram realizadas na
biblioteca da escola em momentos em que não havia aluno, pois era período de
aula. As entrevistas foram feitas individualmente, tentando evitar algum
constrangimento por parte do sujeito entrevistado. A duração das entrevistas, em
média, foi de 20 minutos. Elas ocorreram em três encontros. Contamos com a
anuência e o apoio da direção da Escola e obtivemos as devidas autorizações dos
alunos.
Apesar de nossa preocupação em deixar os sujeitos bem à vontade, num
clima amigável e tranqüilo, em geral eles ficaram um pouco tensos e retraídos
durante as entrevistas. Eles acabaram dando respostas curtas e objetivas, não se
expressando com total desenvoltura, um pouco aquém do esperado. Esse
comportamento pode ter alguma relação com o fato de que, embora sendo professor
da Escola, não tínhamos contato com estes alunos. Além disso, percebemos que
alguns alunos relacionaram a entrevista com aspectos avaliativos.
Um dos alunos não pôde comparecer à entrevista, por motivo de viagem,
sendo substituído por outro que julgamos ter o mesmo perfil.
63
4.4 Discussão dos principais resultados
Pelas entrevistas realizadas, de modo geral, não obtivemos o volume de
dados esperado e, conseqüentemente, as informações não se acrescentaram de
maneira significativa aos resultados do questionário.
Quanto à avaliação da generalidade de um argumento, lembramos que, no
questionário, as respostas não eram muito consistentes e o desempenho nesta parte
da questão A1 foi baixo. Nas entrevistas, quando retomamos essa questão,
solicitando aos alunos que justificassem suas respostas, percebemos que eles não
estavam seguros para responder, hesitando bastante. Alguns alunos afirmaram “ter
chutado” a resposta e resistiram em retomar a questão. O aluno A49, que havia
afirmado que a resposta de Beth era verdadeira apenas para alguns casos, muda
sua resposta, apresentando erro na nova avaliação. Ele explica que:
“Eu acho que eu chutei no dia. A resposta de Beth é sempre
verdadeira...”.
(A49, parte II da Questão A1.)
O aluno A16, quando perguntado por que havia respondido “não” para
“sempre verdadeira” e também para “verdadeira apenas em alguns casos”, afirmou
que não se lembrava e também havia “chutado”:
“Eu não lembrei. Acho que foi chute mesmo... Não sei...”
(A16, parte II da Questão A1.)
Alguns alunos evocam a questão da clareza do argumento, considerando
que uns explicam mais que outros. Observamos ainda que eles atentam para a
forma do argumento. É o caso do aluno 16, que afirma ser a resposta do Artur para o
64
professor, pois é mais formal, apresentada com representação simbólico-algébrica.
Ele declara o seguinte:
“A resposta de Artur é mais para o professor mesmo. Ele especifica
mais a resposta” [...] É porque eu achei que o professor vai entender
melhor a resposta de Artur”.
(A16, parte I da Questão A1.)
Já o aluno A5, que respondeu que o professor daria a melhor nota para
Beth, entendeu que essa resposta tem forma mais clara e afirma:
“É porque eu acho, pra mim, que está mais explicado. Ela [Beth]
colocou os números assim... digamos assim... não os melhores...
mas essa forma está mais bem explicada, que nos outros. Acho que
é uma forma mais clara”.
(A5, parte I da Questão A1.)
O aluno A49 também optou por Beth como aquela para a qual o professor
daria a melhor nota, afirmando que:
“Porque Beth fez bastante cálculo, começando com 2. Fez bastante
cálculo... então ela provou. Então o professor daria a melhor nota”.
(A49, parte I da Questão A1.)
O aluno A48 seguiu a mesma linha de raciocínio de A49, escolhendo o
argumento de Beth como a que receberia melhor nota pelo professor, pois apresenta
mais exemplos para verificação da propriedade.
“Porque Beth aqui está dando exemplos com mais números e só tem
números pares e o resultado só dá números pares. Eu acho que o
professor escolheria a Beth”.
(A48, parte I da Questão A1.)
65
O aluno A24 escolheu o argumento de Duda como a resposta a que o
professor daria a melhor nota e, quando confrontado com a resposta de Artur, ele
afirma que a resposta de Duda é mais clara que a de Artur:
“Porque é assim, a resposta de Duda é mais clara. A resposta de
Artur não é tão clara para o aluno, como a de Duda”.
(A24, parte I da Questão A1.)
Essas respostas vêm confirmar a dificuldade desses alunos na avaliação da
generalidade de um argumento, já revelada na análise do questionário. Os alunos
demonstraram insegurança nessa questão e não apresentaram explicações ou
justificativas conceituais, ou seja, que expressam idéias ou propriedades
matemáticas dos objetos em jogo. É provável que aceitem evidências como provas
e, portanto, não atribuem muito significado a essas questões.
Cabe observar que a maioria dos alunos entrevistados acertou a questão A2
no questionário. Quando solicitados nas entrevistas, souberam explicar ou justificar
suas respostas. Transcrevemos abaixo, a título de exemplo, a resposta do aluno
A16.
“Tipo assim ó, vamos supor 110+120 = 230, aí é par. Acho que,
sempre que forem dois pares, o resultado sempre vai dar par.
Mesmo que sejam menores ou maiores que 100, sempre vai dar
par... porque vale para todos”.
(Aluno A16, questão A2.)
As respostas dos entrevistados também permitem verificar alguns elementos
da perspectiva deles em relação a provas e atividades matemáticas. Os alunos
declaram preferir fazer cálculos a justificar, e, quando tentam, apresentam dúvidas,
66
não tendo clareza do que devem “colocar” em uma justificativa. Esse é o caso do
aluno A5, cujo comentário transcrevemos abaixo.
“Eu tenho enorme dificuldade em Matemática. Só que assim, para
mim eu acho que é melhor fazer do que justificar... Não sei muito
bem o que tem que colocar para justificar...”.
(Aluno A5, questão A1.)
O aluno A48, quando questionado se estava acostumado com esse tipo de
questão em Matemática, responde positivamente, declarando que já havia feito esse
tipo de atividade, mas, “em geral, é mais cálculo mesmo”. Esse tipo de declaração
confirma nossas hipóteses iniciais que de que esses alunos não têm uma cultura de
prova e argumentação nas aulas de Matemática.
Ao aluno A68 foi perguntado o seguinte: “Beth usou somente números. Essa
resposta é suficiente para se afirmar que é sempre verdadeira?”. A resposta desse
aluno demonstra que uma ou algumas evidências são suficientes para provar, pois o
resultado é muito familiar para esse aluno, sendo conhecido a priori. Ele responde:
“Não sei, acho que sim, porque vai dar sempre par”.
(Aluno A68, questão A1.)
As respostas de A53 também denotam que este aluno não dá significado à
necessidade de justificar para o caso geral. Sua avaliação só considerou o fato de
todas as respostas confirmarem o resultado da soma de dois pares resultarem par.
No próximo item, passaremos às considerações finais, sintetizando os
principais resultados do nosso estudo.
67
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Iniciamos nosso trabalho descrevendo nossa participação no Projeto
Argumentação e Prova na Matemática Escolar (AProvaME), que tem como objetivo
principal a investigação de processos de ensino e de aprendizagem da prova e da
argumentação na Educação Básica. Na 1ª fase do projeto, buscou-se identificar as
concepções sobre argumentação e prova de alunos adolescentes em escolas do
Estado de São Paulo.
O nosso trabalho refere-se, especificamente, a esse objetivo concernente ao
mapeamento das concepções dos alunos sobre prova, tendo como principal
instrumento para obtenção de dados o questionário sobre prova. Esse questionário
compreende questões de Álgebra e Geometria e foi elaborado com base naquele
utilizado na pesquisa de Healy & Hoyles (2000), no contexto inglês. Ficamos
responsáveis pela análise quantitativa e qualitativa das questões A1 e A2 de
Álgebra, visando apurar detalhadamente o que pensam os alunos a respeito das
diferentes provas e argumentos apresentados.
Esse questionário foi aplicado em escolas do Estado de São Paulo, a cerca
de 2.000 alunos com faixa etária entre 14-15 anos (8ª série do Ensino Fundamental
e 1ª série do Ensino Médio). A partir da coleta de dados, as respostas dos alunos
foram codificadas e analisadas criteriosamente. Para isso, apoiamo-nos em algumas
pesquisas de referência da área, em particular nas idéias de Balacheff (1988) e no
estudo de Healy & Hoyles (2000).
Em seguida, foi realizada uma discussão sobre os resultados obtidos por
meio das respostas das questões A1 e A2. Os resultados mostram que os alunos
68
são muito inconsistentes em suas respostas, apresentando um baixo desempenho.
A preferência das respostas, na sua maioria, é pelos argumentos empíricos, que
correspondem às provas pragmáticas segundo Balacheff (1988). Assim como os
resultados obtidos na pesquisa de Healy & Hoyles (2000), os alunos preferem os
argumentos empíricos, porém consideram que os professores não têm essa mesma
preferência e que, conseqüentemente, não atribuiriam melhores notas a esse tipo de
argumento. Nossas análises revelam também que, em geral, os alunos não
compreendem todo o conteúdo de um argumento e não são capazes de avaliar a
generalidade de forma adequada.
Verificamos também que os alunos não têm familiaridade com as respostas
do tipo “exemplo genérico”, Balacheff (1988), ou seja, quando se toma um exemplo
que tenha propriedades próprias e que represente uma determinada classe. Daí, por
meio de operações e/ou transformações, ficam claras as razões da validade da
afirmação para essa classe. Esse tipo de resposta não é popular entre os alunos.
Outro fato considerado em nosso trabalho foi o de que poucos alunos
aceitam argumentos visuais (ou em registro figural), como no caso da resposta de
Franklin na questão A1. Talvez esse tipo de argumento seja pouco freqüente no
ensino de números, fazendo com que os alunos não estejam familiarizados com os
mesmos.
Para obter maiores esclarecimentos sobre as respostas dadas pelos alunos,
foram realizadas entrevistas com sete alunos do grupo de 8.ª série sob nossa
responsabilidade (perfazendo um total de 70 alunos). Os alunos foram indagados
quanto às suas respostas nas questões A1 e A2 do questionário sobre prova, bem
69
como sobre suas experiências e compreensões sobre provas e validações nas aulas
de Matemática. Com isso, obtivemos alguns esclarecimentos complementares, que
confirmaram algumas hipóteses e ajudaram em nossas conclusões, como relatado
no Capítulo 4.
Constatamos em nossa pesquisa que os alunos tiveram muitas dificuldades
em trabalhar com prova e argumentação nas questões apresentadas, talvez por falta
de hábito e convívio com esse tema.
O trabalho desenvolvido foi muito importante, pois pretendemos aproveitar
os resultados obtidos para uma futura atuação em sala de aula. De fato, construímos
algumas referências para abordar, com os alunos, a questão da prova e da
argumentação, que sabemos que estão praticamente ausentes no ensino.
Salientamos, ainda, que deveremos apresentar este trabalho aos nossos colegas da
Escola, até mesmo por solicitação da Direção que sempre nos estimulou e nos
apoiou.
Profissionalmente, o estudo nos fez refletir sobre a postura do professor
diante de uma classe, no que se refere ao tema abordado no projeto, influenciando-
nos a repensar algumas estratégias de ação em sala de aula, além de acrescentar
muito para nossa formação.
Fica nosso desejo de que outros projetos como o AProvaME sejam apoiados
e desenvolvidos, ampliando os estudos nessa temática. Sugerimos que os estudos e
resultados obtidos no âmbito do Projeto sejam amplamente divulgados nos cursos
de Graduação (formação inicial), servindo como indicações de leitura para
discussões sobre o tema, de forma que os futuros professores tenham mais
70
conhecimento da nossa realidade atual e das concepções dos alunos sobre provas
matemáticas e tentem, de uma forma ou de outra, mudar esse quadro,
desenvolvendo com seus alunos atividades sobre provas e argumentação, fazendo-
os participar das diversas etapas do processo de prova, mudando a cultura da sala
de aula.
71
BIBLIOGRAFIA
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Studies in Mathematics 18 (2), p. 147-176, 1987.
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(Ed.) Mathematics teachers and children. London: Hodder and Stoughton, 1988. p.
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FIORENTINI, Dario. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e
metodológicos. In: ––––––; LORENZATO, Sergio (Coord.). Formação de professores
Campinas: Autores Associados, 2006.
72
GRAVINA, M. A. Os ambientes da geometria dinâmica e o pensamento hipotético-
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HEALY, L.; HOYLES, C. Justifying and proving in school Mathematics. University of
London: Institute of Education Technical Report, 1998.
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NASSER, l.; TINOCO, L. (Coord.). Argumentação e provas no ensino de
matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto Fundão, 2001.
PIETROPAOLO, R.C. (Re)Significar a demonstração nos currículos da educação
básica e da formação de professores de matemática. 2005. Tese (Doutorado) –
Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.
VAZ, R.L. O uso das isomerias do software Cabri-Géomètre como recurso no
processo de prova e demonstração. 2004. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia
Universidade Católica, São Paulo.
73
ANEXO 1
PROJETO AProvaME
74
CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico
Argumentação e Prova na Matemática Escolar
(AProvaME)
Siobhan Victoria Healy (coord.)
Grupo de Pesquisa Tecnologias e Meios de Expressão em Matemática
(TecMEM)
Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática
PUC/SP
75
1. Caracterização do Problema
A prova tem um papel central na Matemática. Tradicionalmente, ela caracteriza-se como ferramenta
para distinguir essa disciplina das ciências experimentais, oferecendo um método indubitável de
validar conhecimento que contrasta com indução natural de processos empíricos. Prova matemática
dedutiva fornece aos seres humanos a forma mais pura de diferenciar o certo do errado (Wu, 1995),
sendo este aspecto apontado como uma característica essencial da Matemática no pensamento
ocidental (Aleksandrov, 1963).
Em termos educacionais, conforme reconhecido pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil,
1998), o currículo de Matemática deve necessariamente contemplar atividades e experiências que
possibilitem aos aprendizes o desenvolvimento e a comunicação efetiva de argumentos
matematicamente válidos
. Entretanto, inúmeras pesquisas mostram que os raciocínios de estudantes
freqüentemente não se apresentam conforme as leis da lógica e são influenciados por uma série de
fatores além das exigências lógicas (Wason, 1966; Light, Girotto e Legrenzi, 1990). Estudos
internacionais em Educação Matemática indicam fortemente que aprendizes tendem a confundir
justificativas empíricas com raciocínios dedutivos e analisam argumentos de acordo com aspectos de
forma e não de conteúdo (Chazan, 1993; Healy e Hoyles, 2000).
Apesar da existência de consenso quanto às dificuldades associadas ao ensino e à aprendizagem de
prova em diversos países, pode-se identificar variações significativas nas concepções dos estudantes
relacionadas ao currículo de cada país. A título de ilustração, enquanto alunos da Inglaterra mostram
preferência para argumentos empíricos, os de Taiwan são mais propensos a enfatizar argumentos
apresentados formalmente, ainda que em nenhum dos grupos os sujeitos demonstrem compreensão
consistente desse segundo tipo de argumento (Healy e Hoyles, 2000; Lin, 2000). Ainda que tais
estudos possam inspirar conjecturas referentes às concepções de prova de alunos brasileiros, esse
contexto carece de um mapeamento preciso de tais concepções, necessário para subsidiar propostas
e abordagens de ensino especificamente endereçadas à realidade brasileira.
Além de base sólida sobre as concepções e dificuldades dos alunos, uma abordagem eficiente para o
ensino da prova em Matemática requer, não apenas situações de aprendizagem inovadoras no
sentido de explorar novos contextos e novas ferramentas para o acesso e construção de argumentos
formais, como também a aceitação e apropriação pelos professores de tais situações. Nessa
perspectiva, uma investigação na problemática do ensino e aprendizagem da prova pode
compreender dois enfoques inter-relacionados: O primeiro refere-se à elaboração de situações de
aprendizagem. Neste enfoque, pretendemos investigar as possibilidades oferecidas pelos ambientes
computacionais, nos quais os aprendizes precisam explicitar as propriedades e relações na
linguagem formal do sistema em particular, enquanto interagem simultaneamente com os dados
gerados pelas suas definições. Uma questão que se coloca é, então, como esta experiência com o
computador influencia na compreensão da prova, na distinção entre argumentos dedutivos e
evidências empíricas e no desenvolvimento de habilidades para lidar com argumentos matemáticos
expressos de diferentes formas. O segundo enfoque centra-se no professor. A integração efetiva de
76
uma nova abordagem na sala de aula somente torna-se possível mediante um processo de
adaptação, cujo agente principal é o professor. Uma outra questão recai então sobre as condições e
suportes que favorecem uma verdadeira apropriação da inovação pelo professor.
2. Objetivos
Os objetivos da pesquisa são:
1. Levantar um mapa das concepções sobre argumentação e prova de alunos adolescentes em
escolas do estado da São Paulo.
2. Formar grupos colaborativos compostos por pesquisadores e professores para a elaboração de
situações de aprendizagem, visando envolver alunos em processos de construção de
conjecturas e provas em contextos integrando ambientes informatizados.
3. Criar um espaço virtual de compartilhamento entre os membros da equipe do projeto e analisar
seu papel no desenvolvimento das situações de aprendizagem, assim como na evolução de
conhecimentos pedagógicos sobre prova em Matemática.
4. Avaliar situações de aprendizagem, em termos da compreensão dos alunos sobre a natureza e
funções de prova em Matemática.
5. Investigar a implementação destas atividades por diferentes professores e assim identificar em
que medida sua participação nos grupos colaborativos fornece uma apropriação desta
abordagem para o ensino e aprendizagem de prova.
6. Formular recomendações relacionadas ao papel da argumentação e da prova no currículo de
Matemática escolar.
7. Contribuir para o debate internacional sobre o ensino e aprendizagem de prova em
Matemática.
77
3. Metodologia e Estratégia de Ação
O projeto será organizado em duas fases, a primeira envolve um levantamento de concepções
de alunos (faixa etária 14-16 anos), cujos resultados subsidiarão a segunda fase, na qual o
foco será na elaboração e avaliação de situações de aprendizagem. Além da equipe de
pesquisadores, 15 estudantes do curso de Mestrado Profissional no Ensino de Matemática da
PUC/SP (com população atual de 86 mestrandos) integrarão a equipe como professores-
colaboradores, devendo participar de ambas as fases.
FASE 1
Nesta fase, o instrumento principal para o mapeamento das concepções dos alunos será um
questionário a ser aplicado em um total de 45 turmas do Ensino Fundamental ou Médio, de
escolas públicas e particulares do estado da São Paulo. Inicialmente, cada professor-
colaborador participante terá a incumbência de indicar de 6 a 10 turmas, e a partir daí, a
amostra será determinada por meio de uma seleção aleatória. Um espaço virtual será criado
para facilitar as comunicações entre os membros da equipe no compartilhamento das decisões
e ações no âmbito do projeto, o que será de responsabilidade de um dos pesquisadores. Além
disso, ao longo da Fase 1, serão realizados encontros de trabalho presencial, com freqüência
quinzenal, reunindo pesquisadores e professores-colaboradores.
O questionário acima citado (denominado Q1) será elaborado com base naquele concebido por
Healy e Hoyles (1998) na Inglaterra e já utilizado em outros países (França, Taiwan, Israel,
Austrália). Este questionário compreenderia itens visando avaliar em que medida os sujeitos
aceitam evidências empíricas como prova, distinguem evidências empíricas de argumentos
matematicamente válidos, compreendem o domínio de validade de uma prova e são capazes
de construir argumentos válidos. Além disso, pretende-se identificar a influência da forma de
apresentação da prova (língua natural, língua formal, representações visuais ou figurativas,
etc.) na compreensão dos argumentos. As questões contemplarão dois domínios matemáticos
– Geometria e Álgebra – sendo organizadas em dois blocos, a saber: 1) avaliação de vários
argumentos apresentados como provas de uma dada afirmação e, 2) construção de provas.
Cabe destacar que o modelo de concepções sobre tipos de prova de Balacheff (1988)
fundamenta a definição dos argumentos apresentados nos itens do questionário. Concomitante
à aplicação do questionário junto aos alunos, os professores de Matemática de cada turma
responderão a um segundo questionário (Q2), que além dos mesmos itens relacionados à
prova em Matemática de Q1, compreenderá questões sobre a Escola, sobre o perfil dos alunos
da turma e do próprio professor e sobre os materiais didático-pedagógicos utilizados no ensino
de Matemática.
Os dados coletados serão organizados e classificados pela equipe de professores-
colaboradores, utilizando critérios inspirados em Healy e Hoyles (ibid.). Esse conjunto de dados
78
terá uma estrutura hierárquica – alunos em turmas, em escolas e em regiões – e serão
analisados segundo a construção de um modelo multi-nível (Multi-level Modelling) para
considerar a correlação de respostas entre os sujeitos que compartilham experiências comuns
(Goldstein, 1987). Os resultados dessas análises fornecerão um mapa das concepções dos
alunos e como estas variam em relação a fatores individuais e escolares, baseados nos dados
obtidos em Q2. Essa análise permitirá uma avaliação das áreas de compreensão de prova dos
alunos, tanto aquelas que são contempladas no ensino atual, quanto aquelas que merecem
maior atenção. A identificação desse segundo grupo servirá como base para o trabalho na fase
2, descrito na seqüência.
F
ASE 2
Esta fase contemplará dois eixos inter-relacionados de investigação: a aprendizagem e o
ensino. No eixo da aprendizagem, o objetivo principal é a elaboração e avaliação de situações,
especificamente destinadas às áreas de dificuldades e limitações de compreensão de prova
identificadas com o mapeamento elaborado na fase 1. No eixo relativo ao ensino, a atenção se
voltará ao professor, e sua contribuição no processo de elaboração das situações de
aprendizagem e nas modificações destas em ação, considerando que essas situações serão
propostas pelos professores em suas salas de aula.
A metodologia nesta fase carateriza-se como design-based research (Cobb et al., 2003).
Segundo esses autores, os experimentos de design visam contribuir para o desenvolvimento e
compreensão de "ecologias de aprendizagem", ou seja, de sistemas complexos que envolvem
múltiplos elementos de naturezas distintas. Os elementos de uma ecologia de aprendizagem
incluem tipicamente as tarefas e problemas aos quais os aprendizes serão confrontados, as
ferramentas e recursos fornecidos para suas resoluções e os meios práticos pelos quais os
professores podem orquestrar as relações entre estes elementos em suas salas de aula. O uso
da metáfora relativa à ecologia enfatiza a natureza interativa dos contextos investigados e a
importância de analisar seus diversos elementos em conjunto e não separadamente.
A estratégia planejada para essa fase compreenderá um desenvolvimento colaborativo e
contínuo entre pesquisadores e professores-colaboradores (cf. amostra da Fase 1). Mais
precisamente, o desenvolvimento das situações de aprendizagem seguirá um ciclo segundo a
organização de 5 grupos com 3 professores-colaboradores e, pelo menos, 2 pesquisadores.
Cada grupo deverá desenvolver situações de aprendizagem, envolvendo ou objetos
geométricos representados no software Cabri-géomètre ou o uso de planilhas eletrônicas
(como por exemplo, o Excel) para explorar problemas algébricos. Estes dois ambientes foram
selecionados por serem familiares ao grupo de professores-colaboradores e por seus
reconhecidos potenciais no ensino da prova (Healy e Hoyles, 2001; Mariotti, 2001). Ao longo
dessa fase, os grupos estarão reunindo-se semanalmente, alternando encontros presenciais e
a distância, esta última modalidade possibilitada pelo espaço virtual criado na Fase 1.
79
1
a
Etapa
Na primeira etapa do design (etapa intra-grupos), as situações serão elaboradas por cada
grupo e, em seguida, testadas/aplicadas em uma pequena amostra de alunos, e por fim,
discutidas e reformuladas em cada grupo. Essas discussões e adaptações serão realizadas
com base na análise das interações alunos/computadores, considerando quais aspectos de
prova são favorecidos, ou ainda, a quais concepções estes aspectos estão relacionados. Para
essa análise, serão coletados os seguintes dados: áudio-gravação dos diálogos entre os
sujeitos envolvidos (professores, pesquisadores e alunos) e produções escritas e
computacionais dos alunos. Além disso, em relação ao eixo de ensino, cada professor-
colaborador construirá seu próprio registro do processo, documentando suas perspectivas
sobre o desenvolvimento das situações no grupo. Essa documentação elaborada pelos
professores fornecerá os dados referentes aos seus conhecimentos pedagógicos do conteúdo
(Shulman, 1987), no caso sobre a prova em Matemática, cuja análise buscará identificar
transformações nesses conhecimentos.
2
a
Etapa
Dando seqüência a esse processo de elaboração das situações, em uma segunda etapa (inter-
grupos), as produções de cada grupo serão disponibilizadas no ambiente virtual, de maneira
que cada professor-colaborador possa desenvolver, pelo menos, duas atividades elaboradas
pelos outros grupos (uma em Geometria e outra em Álgebra), em uma de suas turmas. A
aplicação dessa atividade em classe será acompanhada e observada pelos pesquisadores e a
sessão será vídeo-gravada para posterior análise. Novamente, as produções (escritas e
computacionais) dos alunos serão coletadas. Além de categorizar os aspectos de prova que
emergem nas interações alunos/computadores durante essas aplicações, o vídeo permitirá
destacar as ações do professor e, em particular, os aspectos de prova privilegiados em suas
intervenções. Após cada aplicação, professores-colaboradores e pesquisadores serão
incumbidos de um relatório descritivo da sessão, incluindo reflexões sobre os resultados, os
objetivos atingidos e as dificuldades ou problemas enfrentados. Esses relatórios serão também
disponibilizados no espaço virtual do projeto visando subsidiar um novo ciclo de discussões
para reformulações, complementações etc. das situações de aprendizagem.
3
a
Etapa
Na terceira e última etapa de design, os dados a serem coletados em relação ao eixo de
aprendizagem referem-se às respostas dos alunos participantes na Fase 2 ao questionário
elaborado na Fase 1 (Q1). Essas respostas serão organizadas e analisadas gerando um mapa,
que por sua vez, será comparado àquele resultante da Fase 1. Para tanto, os encontros dos
grupos colaborativos nessa etapa serão dedicados à avaliação das situações de aprendizagem
tratadas, visando responder em que medida as principais dificuldades apontadas no
mapeamento das concepções (Fase 1) foram superadas pelos alunos participantes na Fase 2;
quais características de prova que ainda necessitam de investimentos numa perspectiva de
progressão.
80
4. Outros Projetos Financiados Atualmente
A pesquisadora que coordenará esse projeto, assim como os demais pesquisadores do grupo
Tecnologias e Meios de Expressão em Matemática (TecMEM) do Programa de Estudos Pós-
graduados não cotam, no momento, com projetos financiados por agências de fomento.
81
5. Principais Referências Bibliográficas
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M. Lavrent’ev (Eds.) Mathematics: Its Content, Methods and Meaning (pp. 1-64). Cambridge,
Massachusetts: MIT Press.
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de preuve à la lumière de l'intelligence artificielle (pp.197-236). Paris: PUF.
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Matemática. Terceiro e Quarto ciclos do Ensino Fundamental. Brasília: SEF.
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Evidence and Mathematical Proof. Educational Studies in Mathematics, 24(4), pp. 359-387.
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levantamento. Quadrante. APM-Portugal: 5(1), pp. 29 – 60.
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Educação Matemática Bolema. Rio Claro (SP): 15(18), pp.91 – 99.
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24th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education,
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EALY, S. V. (L.)., & HOYLES, C. (1998) Justifying and Proving in School Mathematics. Technical
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learning and teaching. . In T. Nakahara & M. Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th
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MARIOTTI; M. A. (2001). Justifying and proving in the Cabri environment. International Journal of
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Behaviour, 13(1).
83
ANEXO 2
QUESTIONÁRIOS DE ÁLGEBRA E GEOMETRIA
APLICADOS.
84
Questionário sobre Prova
Nome: ........................................................... Masculino ou Feminino: .........
Escola: .......................................................... Turma:........................................
Data de nascimento: .................................... Data de hoje:...............................
Você tem 50 minutos para responder estas
questões.
Na primeira questão, você deve escolher uma
entre as várias respostas. Nas demais questões,
você deve produzir suas próprias respostas.
Estamos interessados no seu raciocínio e não
apenas na resposta. Assim, gostaríamos que você
descrevesse como chegou à resposta e não
apagasse seus rascunhos.
Na maioria das questões, você deve apresentar
uma justificativa. Tente escrever da maneira mais
clara que puder.
Use uma caneta e, caso necessário, corrija uma
resposta sem apagar (não use corretivo).
Não use calculadora.
Projeto AprovaMe
Uso exclusivo do projeto
escola id:
turma id:
aluno id:
85
A1: Artur, Beth, Duda, Franklin e Hanna estavam tentando provar que a
seguinte afirmação é verdadeira:
Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é
sempre par.
Resposta de Artur
a é um número inteiro qualquer
b é um número inteiro qualquer
2a e 2b são números pares quaisquer
2a +2b = 2 (a + b)
Então Artur diz que a afirmação é
verdadeira.
Resposta de Beth
2 + 2 = 4 4 + 2 = 6
2 + 4 = 6 4 + 4 = 8
2 + 6 = 8 4 + 6 = 10
Então Beth diz que a afirmação é
verdadeira.
Resposta de Duda
Números pares terminam em 0, 2, 4, 6
ou 8.
Quando você soma dois destes,
a resposta vai ainda terminar
em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Então Duda diz que a afirmação é
verdadeira.
Resposta de Franklin
Então Franklin diz que a afirmação é
verdadeira
Resposta de Hanna
8 + 6 = 14
8 = 2 x 4
6 = 2 x 3
14 = 2 x (4 + 3)
8 + 6 = 2 x 7
Então Hanna diz que a afirmação é
verdadeira
Das respostas acima, escolha uma que é a mais parecida com a resposta que
você daria se tivesse que resolver esta questão.
Das respostas acima, escolha aquela para a qual você acha que seu professor
daria a melhor nota.
A afirmação é:
86
Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é
sempre par.
Para cada resposta abaixo, circule SIM, NÃO ou NÃO SEI.
Mostra que a afirmação
é sempre verdadeira.
Mostra que a afirmação
é verdadeira apenas
para
alguns números pares.
Resposta de Artur
Sim
Não Não sei Sim Não Não sei
Resposta de Beth: Sim Não Não sei Sim
Não Não sei
Resposta de Duda: Sim
Não Não sei Sim Não Não sei
Resposta de Franklin: Sim
Não Não sei Sim Não Não sei
Resposta de Hanna:
Sim
Não Não sei Sim
Não Não sei
A2. Suponha que já foi provado que:
Quando você soma dois números pares quaisquer, o resultado é
sempre par.
Zé pergunta o que precisa ser feito para provar que:
Quando você soma dois números pares maiores que 100, o resultado é sempre
par.
Escolha A ou B:
(A) Zé não precisa fazer nada, pois a afirmação já foi provada.
(B) Zé precisa construir uma nova prova.
87
A3. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?
Quando você soma dois números ímpares quaisquer, o resultado é
sempre par.
Justifique sua resposta.
A4. A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa?
Quando você soma um múltiplo de três qualquer com um múltiplo de seis
qualquer, o resultado é sempre um múltiplo de três.
Justifique sua resposta.
88
A5: Sabendo que:
4! significa 4 x 3 x 2 x 1
5! significa 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Responda:
a) 5! é um número par?
Justifique
b) O que significa 8! ?
c) 8! é um múltiplo de 21 ?
Justifique
89
d) 62! é um múltiplo de 37 ?
Justifique
e) Pedro calculou 23!
Sem calcular, determine o último algarismo do resultado encontrado por
Pedro.
Justifique
90
Questionário sobre Prova
Nome: ........................................................... Masculino ou Feminino: .........
Escola: .......................................................... Turma:........................................
Data de nascimento: .................................... Data de hoje:...............................
Você tem 50 minutos para responder estas
questões.
Na primeira questão, você deve escolher uma
entre as várias respostas. Nas demais questões,
você deve produzir suas próprias respostas.
Estamos interessados no seu raciocínio e não
apenas na resposta. Assim, gostaríamos que você
descrevesse como chegou à resposta e não
apagasse seus rascunhos.
Na maioria das questões, você deve apresentar
uma justificativa. Tente escrever da maneira mais
clara que puder.
Use uma caneta e, caso necessário, corrija uma
resposta sem apagar (não use corretivo).
Não use calculadora.
Projeto AprovaMe
Uso exclusivo do projeto
escola id:
turma id:
aluno id:
91
G1: Amanda, Dario Hélia, Cíntia e Edu estavam tentando provar que a seguinte
afirmação é verdadeira:
Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer,
o resultado é sempre 180
o
.
Resposta de Amanda
Eu recorto os ângulos e junto os três.
Eu obtenho uma linha reta que é 180
o
.
Eu tentei para um triângulo eqüilátero e também
para um isósceles e a mesma coisa acontece.
Então Amanda diz que a afirmação é
verdadeira.
Resposta de Dario
Eu medi cuidadosamente os ângulos de alguns
triângulos e fiz uma tabela.
a b c total
110 34 36 180
95 43 42 180
35 72 73 180
10 27 143 180
Em todos eles a soma foi de 180
o
.
Então Dario diz que a afirmação é verdadeira
Resposta de Hélia
Eu desenhei três retas perpendiculares a um
lado do triângulo e medi os ângulos.
(90
o
– 28
o
) + 28
o
+ 42
o
+ ( 90
o
– 42
o
) = 180
o
Então Hélia diz que a afirmação é verdadeira
Resposta de Cíntia
Eu desenhei uma reta paralela à base do triângulo:
Afirmações Justificativa
p = s.......................... Ângulos alternos internos
entre duas paralelas são iguais.
q = t ........................... Ângulos alternos internos
entre duas paralelas são iguais.
p + q + r = 180
o
.......... Ângulos numa linha reta.
Logo s + t + r = 180
o
Então Cíntia diz que a afirmação é verdadeira.
Resposta de Edu
Se você caminhar por toda volta sobre a linha do triângulo e
terminar olhando o caminho por onde começou, você deve ter girado
um total de 360
o
. Você pode ver que cada ângulo externo quando
somado ao ângulo interno deve dar 180
o
porque eles formam uma reta.
Isso faz um total de 540
o
. 540
o
– 360
o
= 180
o
.
Então Edu diz que a afirmação é verdadeira.
Das respostas acima, escolha uma que é a mais parecida com a resposta que
você daria se tivesse que resolver esta questão.
Das respostas acima, escolha aquela para a qual você acha que seu professor
daria a melhor nota.
A afirmação é:
92
Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer,
o resultado é sempre 180
o
.
Para cada resposta abaixo, circule SIM, NÃO ou NÃO SEI.
Mostra que a afirmação
é sempre verdadeira.
Mostra que a afirmação
é verdadeira apenas
para
alguns triângulos.
Resposta de Amanda
Sim
Não Não sei Sim Não Não sei
Resposta de Dário Sim
Não Não sei Sim
Não Não sei
Resposta de Hélia Sim
Não Não sei Sim
Não Não sei
Resposta de Cíntia Sim Não Não sei Sim
Não Não sei
Resposta de Edu Sim Não Não sei Sim
Não Não sei
G2. Suponha que já foi provado que:
Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer,
o resultado é sempre 180
o
.
Zeca pergunta o que precisa ser feito para provar que:
Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo
qualquer, o resultado é sempre 180
o
.
Escolha A ou B:
(A) Zeca não precisa fazer nada, pois a afirmação já foi provada.
(B) Zeca precisa construir uma nova demonstração.
G3. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. A afirmação abaixo é
verdadeira ou falsa?
Quando você soma os ângulos internos de um quadrilátero qualquer,
o resultado é sempre 360
o
.
Justifique sua resposta:
93
G4: Dobre uma folha de papel, conforme o esquema abaixo. Obter o valor
de x.
Justifique sua resposta.
G5: A e B são dois quadrados idênticos. Um vértice do quadrado B está
localizado no centro do quadrado A.
Qual fração da área do quadrado A está coberta pelo quadrado B?
94
Justifique sua resposta
95
ANEXO 3
PROTOCOLOS DOS ALUNOS ENTREVISTADOS
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
ANEXO 4
PROTOCOLOS DE ALGUMAS ENTREVISTAS
132
Entrevistas realizadas com alguns alunos pesquisados
Transcrição das entrevistas realizadas com os alunos previamente
selecionados, conforme descrito no capítulo IV.
1. Entrevista com o aluno nº 5
Entrevistador: E
Aluno nº 5: A5
E: Você se lembra de ter respondido esse questionário, no ano
passado?
A5: Lembro.
E: A questão A1 apresenta uma afirmação "Quando você soma dois
números pares, o resultado é sempre par" e cinco alunos responderam, cada
um de uma forma e você respondeu que a resposta que mais se aproxima da
que você daria é a de Hanna. Certo?
A5: Certo.
E: E que o professor daria a melhor nota para a resposta de Beth. Por
que você afirma que o professor daria a melhor nota para Beth?
A5: É porque eu acho, pra mim, que está mais explicado. Ela colocou os
números assim... digamos assim... não os melhores... mas essa forma está
mais bem explicada, que nos outros. Acho que é uma forma mais clara.
E: Você acha que a resposta de Beth é suficiente para provar que a
soma de dois números pares quaisquer é sempre par?
133
A5: Como eu não entendo muito de Matemática... é, eu acho que dá
sim.
E: Examine a resposta de Artur. O que você acha dessa resposta?
A5: É uma resposta concreta.
E: Compare com a resposta de Beth. As duas são válidas? Ou uma está
mais bem explicada que a outra?
A5: Sim, na resposta de Beth, ela usou mais e somente os números e na
resposta de Artur, ele colocou as letras, também. As duas estão explicadas.
E: A resposta de Artur pode ser considerada correta?
A5: Pode.
E: Na questão A2, você respondeu que Zé não precisa construir nova
prova. Você mantém a sua resposta. Continua afirmando que Zé não precisa
construir nova prova?
A5: É. Continuo afirmando sim.
E: Poderia acrescentar alguma coisa, por que você continua afirmando?
A5: Ah que nem você mesmo está falando, que se você vai somar dois
números pares, o resultado vai ser sempre par.
E: Mesmo para números maiores que 100?
A5: É. Mesmo para números maiores que 100.
E: Você já respondeu algum questionário ou fez alguma atividade de
Matemática desse tipo, de múltipla escolha e questões que tenham que ter
justificativas?
A5: Já fiz, já.
E: Você acha que seja um bom método para se trabalhar, em
Matemática, ou seja, responder e ainda ter que justificar suas respostas?
134
A5: É assim, como eu falei. Tem o pessoal que tem facilidade em
determinada matéria. Eu tenho enorme dificuldade em Matemática. Só que
assim, para mim eu acho que é melhor fazer do que justificar, o que seria a
forma de você saber como você faz, qual é o seu pensamento. Eu penso
assim. Realmente, para responder, se eu tenho certeza da minha resposta.
Para mim, não. As duas estão de formas diferentes, então, na sua cabeça,
você confunde as coisas e aí você acha que é a melhor, você coloca e nas de
justificar, não, aqui você vai colocar e explicar.
E: Dê uma olhada na resposta do Duda. Você concorda com a
resposta?
A5: Não. Nem sempre o resultado vai terminar em 0, 2, 4, 6, 8.
E: Você sabe qual é a característica do número par?
A5: Não sei. Nunca ninguém me fez essa pergunta.
E: Qual a diferença entre o número par e ímpar?
A5: Ah, eu não sei explicar.
E: Se eu te apresentar uma lista de números, você saberia identificar os
pares e os ímpares?
A5: Sim, saberia, mas não sei explicar.
135
2. Entrevista com o aluno n° 49
Entrevistador: E
Aluno nº 49: A49
E: Você se lembra de ter respondido esse questionário, no ano
passado?
A49: Lembro.
E: Por que você escolheu a resposta de Artur, para a resposta que você
daria?
A49: Escolhi Artur, pois a pergunta fala que quando você soma dois
números pares quaisquer, o resultado é sempre par. Achei a dele mais
coerente porque só mostra número par, independente da... quantas letras
tiverem juntas, sempre ia dar par. Aí eu escolhi a dele, pois eu achei a mais
coerente com a minha.
E: Por que você acha que vai dar sempre par?
A49: É aqui (mostra no questionário, a resposta de Artur) ele deu o
exemplo 2a+2b, deu 2(a+b)...ah deu par. Ele já começa com o número par.
E: Por que você diz que 2(a+b) é um número par?
A49: Porque tem o 2 fora do parênteses.
E: Por que você respondeu que o professor daria a melhor nota para
Beth?
A49: Porque fez bastante cálculo, começando com 2. Fez bastante
cálculo. Então o professor daria a melhor nota.
E: Explique porque você afirma que a resposta de Beth não é sempre
verdadeira, ou seja, vale apenas para alguns números pares.
136
A49: Eu acho que eu chutei no dia. A resposta de Beth é sempre
verdadeira.
Pergunta: Olha a questão A2. Você escolheu "A". Pode explicar?
Resposta: Ah, eu disse que Zé não precisa fazer nada, porque já foi
provado e quaisquer números pares maiores que 100, vão sempre ser pares.
137
3. Entrevista com o aluno n° 16
Entrevistador: E
Aluno nº 16: A16
E: Você pode justificar por que você responderia o mesmo que a Beth?
A16: Eu pensei como aluno. A maioria dos alunos responderia dessa
mesma forma.
E: E por que você afirma que o professor daria a melhor nota para o
Artur?
A16: A resposta do Artur é mais para o professor mesmo. Ele especifica
mais a resposta.
E: Você considerou que a resposta da Beth não é suficiente para provar
que é verdadeira. Por que você respondeu "não"?
A16: Eu acho assim. Olhando agora melhor a resposta de Duda é bem...
explica bem e a da Beth, não explica tudo. Explica um pouco, achei.
E: Qual é a diferença entre a resposta de Beth e de Duda?
A16: Porque a Beth usou, tipo a soma para fazer e o Duda explicou
mais. Acho que foi isso.
E: Você acha que o professor daria a melhor nota para o Artur, por que
você entende... (me interrompe e responde)
A16: É porque achei que vai entender melhor a do Artur.
E: Para o Artur você respondeu "não" para "sempre verdadeira" e para
"verdadeira apenas para alguns pares". Pode explicar?
A16: Eu não lembrei. Acho que foi um chute mesmo.
E: Para a Beth você respondeu "sim" para os dois itens. Explique.
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A16: Não. Acho que da Beth não é sempre verdadeira, vale apenas para
alguns pares.
E: Para o Duda você também respondeu "sim" para os dois itens. E aí?
A16: É aí eu errei. Agora eu acho que a de Duda é sempre verdadeira.
E: Por que você acha que Zé não precisa fazer nada, pois a afirmação já
foi provada. Pode explicar?
A16: Tipo assim ó, vamos supor 110 + 120 = 230, aí é par. Acho que
sempre que forem dois pares, o resultado sempre vai dar par. Mesmo que
sejam menores ou maiores que 100, sempre vai dar par.
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