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FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS
ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Comparação de metodologias para a construção da estrutura a termo de
taxas de juros (ETTJ) dos títulos públicos brasileiros.
______________________________
Pedro Calmanowitz Carvalho
Orientador: Caio Almeida
Rio de Janeiro, Janeiro de 2008.
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2
Comparação de metodologias para a construção da estrutura a termo de
taxas de juros (ETTJ) dos títulos públicos brasileiros.
Pedro Calmanowitz Carvalho
Dissertação apresentada à
Banca Examinadora da
Escola de Pós-Graduação em
Economia da Fundação
Getúlio Vargas como
requisito parcial para a
obtenção do grau de Mestre
em Economia
Orientador: Caio Almeida
Rio de Janeiro, Janeiro de 2008.
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3
Agradecimentos............................................................................................................4
Resumo.........................................................................................................................5
1. Introdução.............................................................................................................6
2. Metodologia..........................................................................................................9
2.1. Modelo básico...............................................................................................9
2.2. McCulloch Spline (MS)...............................................................................10
2.2.1. Exemplo ..............................................................................................12
2.3. Spline Pontos Fixos (SPF)...........................................................................14
2.4. Svenson Lambda Fixo (SVLF) ....................................................................17
2.5. Spline Exponencial da Merrill Lynch (SEML).............................................20
2.6. Testes estatísticos ........................................................................................21
3. Resultados Empíricos..........................................................................................23
3.1. Base de dados..............................................................................................23
3.2. Resultados...................................................................................................23
4. Conclusão ...........................................................................................................29
5. Bibliografia.........................................................................................................31
6. Gráficos ..............................................................................................................33
Gráfico 1: Movimentos da ETTJ sob o modelo SVLF para um dia específico (Cross
Section)...................................................................................................................33
Gráfico 2: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva
prefixada)................................................................................................................33
Gráfico 3: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva IPCA)..34
Gráfico 4: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva IGPM). 34
Gráfico 5: Curvas prefixadas – 27/jul/2007 .............................................................35
Gráfico 6: Curvas IPCA – 27/jul/2007.....................................................................35
Gráfico 7: Curvas IGPM – 27/jul/2007....................................................................36
Gráfico 8: Curvas prefixadas – 10/jan/2007.............................................................36
Gráfico 9: Curvas IPCA – 10/jan/2007....................................................................37
Gráfico 10: Curvas IGPM – 10/jan/2007.................................................................37
Gráfico 11: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – LTN 07/2007...........38
Gráfico 12: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – LTN 01/2009...........38
Gráfico 13: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNF 01/2010........39
Gráfico 14: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNF 01/2014........39
Gráfico 15: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNB 08/2008........40
Gráfico 16: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNB 08/2024........40
Gráfico 17: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNB 05/2045........41
Gráfico 18: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNC 04/2008........41
Gráfico 19: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNC 03/2011........42
Gráfico 20: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNC 01/2031........42
4
Agradecimentos
A todos os meus professores, os quais ajudaram em minha formação pessoal.
Ao meu orientador, Caio, por ter me incentivado e ajudado em todas as fases
desta dissertação.
À ANDIMA e sua equipe, pelos preciosos dados sobre títulos públicos no Brasil
e pelas sugestões sobre a dissertação.
À minha família pelo apoio incondicional que sempre tive.
Ao Bruno e o Axel pelas frutíferas discussões sobre o tema.
À Mariana, minha inspiração.
E a todos os que de alguma forma me ajudaram para que esta dissertação se
realizasse.
5
Resumo
Este trabalho tem como objetivo construir estruturas a termo da taxa de juros de
títulos públicos brasileiros através do uso de modelos estatísticos paramétricos.
Estudou-se a capacidade de ajuste de modelos distintos do tipo “splines” e
“exponenciais” através de testes de apreçamento de diferentes títulos públicos
(prefixados, e indexados à inflação), sob métricas que incluem análises dentro e fora da
amostra utilizada no processo de estimação dos modelos. Identificamos que os modelos
baseados em funções exponenciais se sobressaem nos testes e parecem ser os mais
adequados para construção destas curvas de juros de títulos públicos brasileiros.
Vislumbramos os resultados deste estudo como um primeiro passo para a criação
de uma importante ferramenta de auxílio à regulação dos mercados de títulos públicos
brasileiros, pois a construção de curvas de juros adequadas possibilita uma marcação a
mercado de cada título coerente com o preço dos demais, oferecendo melhora na
capacidade de se estimar regiões de confiança para preços futuros destes títulos.
Palavras-Chave: taxa de juros – estrutura a termo da taxa de juros – renda fixa – títulos
públicos.
6
1. Introdução
A estrutura a termo da taxa de juros (ETTJ) é uma curva ou função que associa
uma taxa de juros única para cada maturidade, inclusive aquelas em que não há nenhum
título vencendo na data, sendo importante para análise do mercado de títulos de renda
fixa.
O principal objetivo deste trabalho será o de identificar uma metodologia única
de construção da ETTJ que sirva para analisar os títulos públicos federais com maior
relevância no mercado brasileiro. Espera-se que, com esta metodologia, entidades auto-
reguladoras, bancos centrais e outras instituições do mercado financeiro possam ampliar
a gama de parâmetros para avaliar, por exemplo, a volatilidade esperada de um título
específico no mercado
1
ou avaliar a inflação implícita contida nos preços negociados.
Quem primeiro estudou uma metodologia de construção da ETTJ foi McCulloch
(1971, 1975), o qual tentou construir esta curva via função desconto. A vantagem desta
modelagem inicial era a de que os parâmetros apareciam linearmente no modelo de
estimação.
Outro grupo passou a tentar estimar a ETTJ por modelos estatísticos não-
lineares, modelando diretamente a taxa de juros, e não mais a função desconto. Dentro
desta categoria podemos citar os modelos exponenciais (Nelson e Siegel (1971),
Svenson (1984), Bolder e Gusba (2002), e outros), os modelos polinomiais (Chambers e
outros (1984), Almeida e outros (1998)) e até funções diferentes como as senóides
presentes em Bolder e Stréliski (1999).
Esta classe de modelos de modelos estatísticos não lineares mostrou bastante útil
para a análise e precificação de títulos de renda fixa, especialmente o modelo
exponencial proposto por Nelson e Siegel (1971) e expandido por Svenson (1994), que
passou a ganhar grande relevância na literatura internacional pois seus parâmetros
podem ser entendidos como rotações dos movimentos da curva obtidos por Litterman e
Scheinkman (1991) sendo também bons previsores da taxa de juros futura (ver Diebold
e Li (2006)). Estes parâmetros podem ainda ser comparados com variáveis
1
Se pudermos prever a volatilidade de um título de renda fixa para um dia específico, poderíamos saber
qual o intervalo de preços que em que este título deveria teoricamente oscilar. Esta informação pode ser
interessante para fins de regulação ou auto regulação do mercado, dado que poderíamos saber de maneira
um pouco mais científica, quais são as operações ou negociações suspeitas no mercado, mesmo para
títulos que não tivessem quase liquidez.
7
macroeconômicas, fazendo com que este modelo seja útil na tomada de decisões sobre
política monetária, sendo muito utilizado por bancos centrais do mundo todo, tal como
mostrado no trabalho nº. 25 do BIS (2005). Para o caso brasileiro, Almeida e outros
(2007) mostram que a previsão de taxas futuras na curva de DI também é boa para este
modelo, ficando ainda melhor com a inclusão de um fator exponencial adicional
2
.
Como visto acima, existe uma enorme gama de metodologias para a construção
da ETTJ. Estas metodologias já foram testadas e comparadas por diversos
pesquisadores para dados dos EUA. Porém, pouca pesquisa foi realizada para dados de
economias emergentes, aonde os problemas de falta de liquidez e alta volatilidade das
taxas são mais agudos.
O objetivo deste trabalho foi o de testar os modelos mais relevantes da literatura
internacional para a construção de curvas de títulos públicos brasileiros. Adotamos
títulos prefixados como sempre foi feito, bem como títulos indexados à inflação, os
quais já são relevantes para a economia brasileira há alguns anos.
O primeiro modelo testado foi o exponencial, baseado no trabalho de Svenson
(1994). A segunda metodologia testada foi o modelo exponencial da função desconto,
proposto pela Merrill Lynch e aplicado pelo banco central do Canadá. As outras duas
metodologias são modificações do modelo proposto por McCulloch.
Para compará-las utilizou-se as métricas propostas por Bliss (1996). Estes testes
além de darem importância ao erro dentro da amostra (“in-sample tests”), estimam
também os erros cometidos fora da amostra (“out-of-sample tests”).
Depois disto, foram feitos testes para saber se os erros são ou não ruídos
brancos (“white noise”), mostrando possíveis problemas desta classe de modelos tais
como variáveis omitidas ou métodos de estimação pouco robustos para os parâmetros
dos modelos.
Acreditamos que a construção destas curvas de títulos públicos e os testes dos
diferentes modelos propostos possam ser um primeiro passo para a obtenção de
melhores mecanismos de regulação do mercado interno de títulos públicos brasileiros.
Por exemplo, uma vez conhecida a ETTJ a marcação a mercado de cada título será
coerente com o preço dos demais. Além disso, testes de previsões de taxas e
volatilidades de taxas futuras podem ser realizados, indicando regiões ou intervalos para
aceitação de preços marcados por entidades financeiras participantes do mercado.
2
Pooter (2007) mostra que o modelo com um quarto fator também melhora a performance da previsão de
taxas futuras para títulos Americanos.
8
Esta tese foi dividida da seguinte forma: a seção 2.1 apresenta o modelo básico
utilizado. Nas seções 2.2 a 2.5 são descritas com detalhes as metodologias de
construção da ETTJ adotadas nesta tese. Depois, na seção 2.6 mostra-se como foram
feitos os testes para comparação das metodologias e da existência ou não de variáveis
omitidas no período analisado. A seção 3 mostra os principais resultados empíricos
encontrados e a seção 4 as principais conclusões do trabalho.
9
2. Metodologia
2.1. Modelo básico
A premissa básica para estimação de todas as curvas de juros que virão a seguir
é a de que o preço de um título de renda fixa é igual ao fluxo de caixa futuro prometido
pelo emissor, trazido a valor presente por uma função desconto
3
. Assim,
.t i, ,
k
)(TbF
)(TbF...)(TbF)(TbFP
ti,
i
j
ji,t
tj,i,
ti,Ki,t
tKi,i,i,2t
ti,2,i,1t
ti,1,ti,
i
∀+=
=
+
+
+
+
=
∑
=
ε
ε
1
(2.1.1)
Em que
tj,i,
F
é o j-ésimo pagamento (cupom e/ou amortização) do i-ésimo título
na data t,
ji,
T é o prazo em que ocorre o pagamento j do i-ésimo título,
i
K
é o numero de pagamentos do título i,
ti,
P é o preço do i-ésimo título na data t,
ti,
ε é o erro cometido pelo modelo para o título i na data t e
)(Tb
ji,t
é a função desconto da data t para a maturidade
ji,
T .
Esta função desconto pode também ser escrita como função da taxa de juros
“zero cupom” ou ETTJ para a data t - )
ji,t
(Tr . Neste caso,
( )
ji,
T
ji,t
ji,t
(Tr1
1
)(Tb
)+
=
se )r(T
ji,
for discreta ou (2.1.2)
ji,ji,t
T(Tr -
ji,t
e)(Tb
*)
=
se )r(T
ji,
for contínua. (2.1.3)
3
Como estamos tratando de títulos de um mesmo emissor (o governo federal), o risco de crédito é o
mesmo para todos os títulos e por isto ele já está incorporado nos juros.
10
Um ponto importante a ser ressaltado sobre os modelos apresentados a seguir é
que eles são sempre reestimados a cada data analisada e que os parâmetros da data
anterior não influenciam em nada a estimação dos parâmetros na data atual. Com isso, e
para diminuir a notação, não foi colocado o subescrito do tempo nas nomeclaturas
matemáticas, ficando subentendido que estamos sempre avaliando o modelo na data t.
2.2. McCulloch Spline (MS)
Este modelo, chamado nesta tese de “McCulloch Spline” (MS), fará uma
interpolação da função desconto e não da taxa de juros ou do preço dos ativos
diretamente, que normalmente são mais usados no mercado. Isto foi feito pois,
modelando a função desconto, podemos chegar a equações lineares o que facilita a
solução do sistema de preços e restrições. Esta metodologia foi proposta inicialmente
por McCulloch (1971 e 1975).
Neste primeiro modelo o preço de cada título gerado pela curva será
igual àquele do mercado
4
, ou seja, o erro
ti,
ε da equação (2.1.1) será zero para todo i e
todo t. Neste modelo, a função desconto
b(T)
será modelada como sendo um conjunto
de M polinômios. Em termos matemáticos temos:
M1,...,m e T TT p/ Td Tc Tb a(T)b
m1-m
3
2
m
mmmm
=≤<+++=
(2.2.1)
Aonde
m
a
,
m
b
,
m
c
e
m
d
são constantes para cada um dos M polinômios.
Assim, podemos reescrever o preço do título como sendo:
4
Dado que os preços de mercado podem não ser os preços “verdadeiros” do título devido a prêmios por
liquidez, por exemplo, não necessariamente cometer erro zero sobre os preços de mercado será uma
característica positiva do modelo, já que ele incorporará estes erros.
11
)TdTcTb(a
k
k
F ... )TdTcTb(a
k
F
)(Tb
k
k
F ...
k
)(TbFP
3
ji,
2
ji,ji,
Mi,
-1Mi,
ji,
3
ji,
2
ji,ji,
i,1
ji,
ji,M
Mi,
-1Mi,
ji,
i
ji,1
ji,i
MMMM1111
++++++++=
=++=
∑∑
∑∑
=
=
=
=
j
j
j
j
1
1
(2.2.2)
Em que
1-mi,mi,
kk − é o número de pagamentos que está dentro do intervalo de
tempo entre
1-m
T
e
m
T
.
Além disso, estes polinômios serão ligados de tal maneira que, nos pontos de
junção ou nós o polinômio anterior será igual ao polinômio posterior e terá a primeira e
a segunda derivadas iguais, ou seja,
TdTcTbaTdTcTba
3
1-m
2
1-m1-m
3
1-m
2
1-m1-m
mmmm1-m1-m1-m1-m
+++=+++
Td3Tc2bT3dTc2b
2
1-m
1-m
2
1-m1-m
mmm1-m1-m1-m
++=++
e
M1,..., mp/ Td6c2T6dc2
1-m
1-m
mm1-m1-m
=+=+
Precisamos ainda de uma condição inicial e terminal para esta curva. A condição
inicial mais usada é a de que a função desconto tenha valor 1 no tempo zero, ou seja,
que 1 real hoje valha 1 real.
1a(0)b
1
1
==
A última condição é a de que a segunda derivada seja zero no ponto terminal da
curva de desconto. Esta condição serve para que não haja oscilações muito grandes na
parte final da curva.
0T6d c2
T
))(T(b
MMM
2
MM
2
=+=
∂
∂
Dado que este é um modelo que têm por restrição construir uma ETTJ que
retorne exatamente os mesmos preços daqueles observados no mercado, precisamos ter
o mesmo número de equações e de incógnitas.
12
Para que isto ocorra, precisamos ter N-1 polinômios, sendo N o número de
títulos usado para a construção da ETTJ.
Precisamos de N-1 polinômios, pois, com dois títulos, ou seja, quando N=2,
temos 2 restrições de preços e 2 restrições devido à condição inicial e final da curva.
Dado que, para cada polinômio precisamos estimar quatro parâmetros, temos o mesmo
número de equações e de incógnitas. A partir daí, cada título adicionado gerará uma
nova restrição
5
. Adicionando mais um polinômio, este criará 3 novas restrições no nó
intermediário
6
. Como cada polinômio a mais implicam mais 4 parâmetros, continuamos
tendo o mesmo número de equações e de incógnitas.
Podemos a partir daí reescrever este sistema de forma matricial. Chamando Q da
matriz de parâmetros, o sistema pode ser definido como:
Q
*
A
R
=
Em que R é um vetor de tamanho 4*(N-1), A é uma matriz quadrada 4*(N-1) X
4*(N-1) e Q é um vetor 4*(N-1). A solução deste sistema será:
R* A Q
-1
=
Obs.: esta solução só existirá se o posto de A for cheio. Neste caso, isto implica
que não podemos utilizar títulos públicos que sejam combinações lineares de outros
neste método
7
.
2.2.1. Exemplo
Abaixo temos um exemplo de como este sistema matricial deve ser escrito, se
tivermos 3 títulos, o que implica que temos dois polinômios com junção em T1. Além
disso, suponha que os títulos 1 e 2 vencem antes de T1. Assim, na primeira linha de A
temos a restrição de que a função desconto seja 1 no tempo 0, nas três linhas seguintes
5
Igualdade entre o preço e o fluxo de caixa trazido a valor presente
6
Igualdade com o polinômio anterior e igualdades na primeira e na segunda derivada
7
Para o caso brasileiro, quando uma NTNF (título prefixado que paga cupons intermediário) fica próxima
de seu vencimento ela pode ser replicada por uma combinação linear de LTNs (título prefixado sem
pagamento de cupons intermediários), pois as LTNs vencem no mesmo dia em que existem pagamentos
de cupons e do principal desta NTNF.
13
temos as restrições de que os preços sejam iguais aos seus fluxos de caixa descontados,
nas linhas 5, 6 e 7 temos a restrição de que os dois polinômios devem passar pelo
mesmo ponto em T1, terem a mesma derivada e a mesma segunda derivada
respectivamente e na última linha temos a restrição de que a segunda derivada seja zero
no ponto terminal.
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
====
====
2
2
2
2
1
1
1
1
2
11
2
11
2
11
3
1
2
11
3
1
2
11
3
j3,
3,2
3,1
j3,
2
j3,
3,2
3,1
j3,j3,
3,2
3,1
j3,
3,2
3,1
ji,
3
ji,
3,1
1
ji,
2
j3,
3,1
1
j3,j3,
3,1
1
j3,
3,1
1
j3,
3
j2,
2,1
1
j2,
2
j2,
2,1
1
j2,j2,
2,1
1
j2,
2,1
1
j2,
3
j1,
1,1
1
j1,
2
j1,
1,1
1
j1,j1,
1,1
1
j1,
1,1
1
j1,
3
2
1
d
c
b
a
d
c
b
a
*
6T2000000
6T-2-006T200
3T-2T-1-03T2T10
T-T-T-1-TTT1
T
k
k
FT
k
k
FT
k
k
F
k
k
FT
k
FT
k
FT
k
F
k
F
0000T
k
FT
k
FT
k
F
k
F
0000T
k
FT
k
FT
k
F
k
F
00000001
0
0
0
0
P
P
P
1
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
A partir daí, basta construir a função desconto usando a definição dada
anteriormente:
1
3
1
2
1111
T T0p/ Td Tc Tb a(T)b ≤<+++=
21
3
2
2
2222
T TTp/ Td Tc Tb a(T)b ≤<+++=
E depois transformá-la em curva de juros pela fórmula abaixo:
2
T
1
T T0p/ 1-
b(T)
1
i(T) ≤<
=
Uma questão importante a ser ressaltada é que, já que os nós não são fixos ao
longo do tempo, os parâmetros deste modelo não têm nenhuma interpretação
intertemporal, servindo apenas para a construção da curva na data de análise.
14
2.3. Spline Pontos Fixos (SPF)
Este método é muito parecido com o anterior, mas com a diferença de que
teremos agora um número maior de títulos do que de parâmetros livres, pois os nós
utilizados serão fixos
8
, não dependendo, portanto, do número de títulos utilizados na
análise. Neste caso, será utilizado um processo de minimização quadrática ponderada
dos erros (WLS), para que se chegue à solução do sistema.
A vantagem deste e dos outros métodos apresentados a seguir sobre o
McCulloch Spline (MS) é o de poderem utilizar toda a informação disponível para a
construção da ETTJ
9
, além de se criar uma curva mais suave do que a anterior,
principalmente no caso de existirem títulos com taxas muito discrepantes. Ou seja, a
partir deste, nenhum modelo acertará todos os preços existentes no mercado.
Utilizando a mesma notação que na metodologia anterior, a função desconto
definida anteriormente para o MS em (2.2.1) se transformará em:
M,...,1mp/ e T TTp/ )Td Tc Tb (a*αT)exp((T)b
m1-m
3
m
2
mmmm
=≤<+++−=
(2.3.1)
Aonde
α
é uma constante que servirá para todos os intervalos.
Na equação (2.3.1) percebe-se que foi introduzida uma exponencial em relação à
(2.2.1). Isto foi motivado pelo fato de que existe certa intuição econômica de que a
função desconto tenha um formato exponencial, tal como mostrado em Vasicek e Fong
(1982).
Além disso, com este formato de função desconto, podemos entender
α
como
sendo uma taxa de juros “zero cupom” (em tempo contínuo) média para o título de
vencimento mais longo (taxa de longo prazo) e os polinômios modelariam desvios em
relação a esta taxa em cada um dos intervalos selecionados.
Assim, as restrições do processo de minimização passam a ser:
8
Os intervalos usados nesta tese foram:
Curva prefixada: 0,5; 1; 2 e 4,75 anos.
Curva IPCA: 1, 4, 10, 21 anos.
Curva IGPM: 1,3 e 12 anos.
Eles foram escolhidos de forma ad hoc, dentro de um intervalo razoável, pois fazendo pequenas variações
nestes parâmetros de escala o erro quadrático médio cometido pelo modelo variava muito pouco.
9
Neste caso não precisaremos excluir as NTNFs mais curtas como citado anteriormente (nota de rodapé
nº 7).
15
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(2.3.9) 1Td Tcba)(Tb
(2.3.8) 0T3d Tc2b
T
)(Tb
(2.3.7) 0T6d c2
T
)(Tb
(2.3.6) 1a(0)b
(2.3.5) M1,..., mp/
6TT*6α-Tαd2T*4α-Tαc2α-Tαbαa...
...6TT*6α-Tαd2T*4α-Tαc2α-Tαbαa
(2.3.4) M1,..., mp/
αT-3TdαT-2TcαT-1bα-a...
...αT-3TdαT-2TcαT-1bα-a
(2.3.3) M1,..., mp/ ...
.... TdTcTbaTdTcTba S.a.
(2.3.2) ))(Tb
k
k
F ...
k
)(TbF-(PWMin
3
MM
2
MMMMMM
2
MMMMM
MM
MMM
2
MM
2
11
. . .
. . .
1-m
2
1-m
3
1-m
2
m1-m
2
1-m
2
m1-m
2
m
2
m
1-m
2
1-m
3
1-m
2
1-m1-m
2
1-m
2
1-m1-m
2
1-m
2
1-m
. . .
. . .
3
1-m
2
1-mm
2
1-m1-mm1-mmm
3
1-m
2
1-m1-m
2
1-m1-m1-m1-m1-m1-m
3
1-mm
2
1-mm1-mmm
3
1-m1-m
2
1-m1-m1-m1-m1-m
N
1
2
ji,M
Mi,
1-Mi,
ji,
i
1
ji,1
ji,ii
=+++=
=++=
∂
∂
=+=
∂
∂
==
=
+++++=
=+++++
=
+++=
=+++
=
+++=+++
++
∑ ∑∑
=
=
=i
j
j
Em que
ji,
F é o j-ésimo pagamento (cupom e/ou amortização) do i-ésimo título,
ji,
T é o prazo em que ocorre o pagamento j do i-ésimo título,
1-mi,mi,
kk
−
é o número de pagamentos que está dentro do intervalo de tempo
entre
1-m
T
e
m
T
,
i
P
é o preço do i-ésimo título,
)b(T
ji,
é a função desconto para o prazo,
m
a
,
m
b
,
m
c
e
m
d
são constantes para cada um dos M polinômios e
i
W
é o inverso da duration do título i.
16
Este sistema de equações é similar ao MS. Na equação (2.3.2) é utilizado o
inverso da duration como ponderador (Wi), para que os erros em termos de taxas sejam
homoscedásticos. Sem esta ponderação, a variância do erro nas taxas longas seria bem
menor do que na parte curta da ETTJ. As equações (2.3.3), (2.3.4) e (2.3.5) fazem com
que, respectivamente, a função desconto, a primeira derivada e a segunda derivada
sejam iguais em cada nó ou junção. A equação (2.3.6) força a função desconto a
começar em 1 e as equações (2.3.7), (2.3.8) e (2.3.9) fazem com que a taxa de longo
prazo na curva seja constante, pois força o modelo a não ter mais variações em relação à
αT)exp(
−
(o polinômio tem valor um no nó terminal), acabando com o problema de
extrapolação da taxa para modelos que utilizam a metodologia de Splines na função
desconto. Uma restrição importante deste modelo é a de que o número de polinômios
(M) tem que ser menor do que o número de ativos (N), para o problema ficar bem
definido.
Assim como no caso anterior, este problema também pode ser escrito da forma
matricial mostrada abaixo:
C
CC
C
Q
QQ
Q*
**
*H
HH
H = S.a.
Min
Q)
*
A
-
W(P
Q)'
*
A
-
(P
Sendo:
A
uma matriz de tamanho N por 4*M, que contém o somatório dos fluxos de
pagamentos dos títulos públicos, definido da mesma forma que na matriz do exemplo
2.2.1 nas linhas 2, 3 e 4.
P
é um vetor coluna de tamanho N por 1 com os preços dos títulos públicos.
Q
é um vetor coluna de tamanho 4*M por 1 que contém os parâmetros que
queremos estimar, com exceção do
α
.
H
é uma matriz 3*(M-1)+4 por 4*M, a qual define, junto com
C
as restrições de
igualdades da função, da primeira e segunda derivadas nos nós e tem a primeira linha e
a última linha definindo as condições de contorno.
Podemos reescrever este sistema para utilizar o método WLS (mínimos
quadrados ponderados) com restrições. Assim, o problema anterior fica definido da
seguinte forma:
17
2
22
22
22
22
22
2
C
CC
C
Q
QQ
Q*
**
*H
HH
H = S.a.
Min
22
ωQ'Q
Sendo
≡
WAA'WPA'-
WAP'- WPP'
ω
,
≡
Q
Q
2
1
,
≡
C
C
2
1
e
≡
H0
0
H
2
ˆ
ˆ
1
Em que P, A, Q, H e C são definidos como anteriormente e
0
ˆ
é uma matriz de
zeros conformável para fazer com que a matriz
2
H esteja bem definida.
Esta minimização funcionará bem para um
α
fixo. Como não sabemos qual o
α
ótimo, é feito um grid de alphas
10
e então é escolhido aquele que minimiza a soma
ponderada dos erros dos preços ao quadrado, para cada data de análise.
2.4. Svenson Lambda Fixo (SVLF)
O método utilizado por este trabalho é baseado no modelo proposto por Svenson
(1994), o qual é uma extensão do modelo de Nelson e Siegel (1971).
Em seu trabalho, Nelson e Siegel (1971) definem a taxa forward pela seguinte
equação:
τ-λ
tt
τ-λ
ttt
tt
e τeτ λβββ
321
)( ++=f
(2.4.1)
Ou seja, a taxa forward é modelada como sendo um polinômio multiplicado por
um decaimento exponencial. A taxa zero correspondente seria então:
−+
+=
τλ-
t
τ-λ
t
t
τ-λ
ttt
t
tt
e
τλ
e-1
τλ
e-1
τ
321
)( βββr
(2.4.2)
10
Com os valores oscilando dentro de valores plausíveis para a taxa, tais como um intervalo para taxas
prefixadas entre 8% e 21% para os anos de 2005, 2006 e 2007 no Brasil.
18
Diebold e Li (2006) em seu trabalho utiliza o modelo de três fatores (com
lambda fixo) para tentar estimar a taxa de juros futura e prova que esta estimação é
melhor do que o passeio aleatório. Além disso, eles mostram que cada parâmetro desta
equação tem uma interpretação geométrica
11
.
Assim, o
t
λ controla a taxa de decaimento exponencial, ou seja, quanto menor
(maior) o parâmetro, mais lento (rápido) será o decaimento e melhor será a adequação
da curva para a parte longa (curta) da ETTJ. Além disso,
t
λ determina onde a carga de
t3
β atinge seu máximo.
Os outros 3 parâmetros podem ser entendidos como sendo rotações dos fatores
da análise de componentes principais feita por Litterman e Scheinkman (1991). Ou seja,
t1
β ,
t2
β e
t3
β teriam a interpretação respectivamente dos fatores de nível, inclinação e
curvatura da ETTJ. Um exemplo do que seriam estes fatores está mostrado na figura 1
12
.
Outra maneira de interpretar estes fatores é considerá-los como modelando os
termos de longo, curto e médios prazos, pois quando
∞
→
τ
o único fator que sobra é
t1
β , o que faz com que este fator governe as taxas de longo prazo. A carga de
t2
β que é
igual a
(
)
τλ/e-1
t
τ-λ
t
começa em 1 e cai rapidamente para zero quando
τ
aumenta,
mostrando que este fator governa as taxas de curto prazo. Já a carga de
t3
β
que é
(
)
τ-λ
t
τ-λ
tt
eτ/λe-1 − começa em zero, é crescente no início e depois tende para zero
quando
∞
→
τ
, fazendo com que este fator governe as taxas de médio prazo.
A diferença entre o modelo proposto por Nelson e Siegel (1971) e aquele
proposto por Svenson (1994) é que em Svenson (1994) foi inserido um quarto fator para
modelar a taxa
forward
. Almeida e outros (2007) e Pooter (2007) mostraram que a
inserção de um quarto fator ajuda na modelagem e no poder preditivo deste modelo para
curvas de juros no Brasil e nos EUA respectivamente.
Assim, neste trabalho, o modelo estimado será:
τ-λ
2tt4
τ-λ
tt3
τ-λ
t2t1t
2ttt
e τe τe)τ( λβλβββ +++=f
(2.4.3)
Em termos de curva zero, a nova fórmula ficará:
11
Diebold e Li (2006)
12
A figura 1 contém 4 parâmetros, o parâmetro adicional (nova curvatura) será definido a seguir.
19
−+
−+
+=
τλ-
2t
τ-λ
t4
τλ-
t
τ-λ
t3
t
τ-λ
t2t1t
2t
2t
t
tt
e
τλ
e-1
e
τλ
e-1
τλ
e-1
)τ( ββββr
(2.4.4)
Este quarto termo da equação pode ser entendido como uma curvatura a mais em
um modelo de fatores, pois como
t
λ
e
2t
λ
deverão ser diferentes,
t3
β
e
t4
β
terão seus
máximos em pontos diferentes, o que fará com que a ETTJ gerada por este modelo
possa se adequar melhor a formatos diferentes da curva de juros.
Dado que já temos um modelo para a taxa de juros “zero cupom” (função
(2.4.4)), podemos definir a função desconto como:
( )
T1,..., τp/
τ
τb
τ
t
t
=
+
=
)(1
1
)(
r
(2.4.5)
E, assim como em SPF, o problema de minimização passa a ser a equação
(2.4.6) para cada data de análise (t)
13
:
∑ ∑
= =
N
1
2
i
1
ji,t
ji,ii
)
k
)(TbF-(PWMin
i j
(2.4.6)
Um ponto de discussão importante sobre a utilização deste modelo é a de utilizar
t
λ
e
2t
λ
fixos em (2.4.4), tal como nos trabalhos de Diebold-Li (2006) ou Almeida e
outros (2007) ou tentar identificar um método para estimar os melhores
t
λ
e
2t
λ
para
cada data analisada.
Nesta tese serão utilizados lambdas fixos. Com isso, a série temporal dos betas
fará sentido, criando um bom modelo para estimação da curva para dias ou meses
subseqüentes, mas diminuirá dois graus de liberdade no modelo e criará uma
dificuldade, que é a de impor quais são estes parâmetros
14
. Um exemplo desta série é
13
Assim como em SPF (modelo 3.3), a matriz W
i
é preenchida como o inverso da duration do título i.
14
Nesta tese, estimei os lambdas fazendo um grid de parâmetros iniciais e escolhendo aquele que
minimizava o somatório do erro quadrático ponderado de todos os títulos (tal como definido em 3.4.6)
para todos os dias entre 02/Jan/2007 até 03/Out/2007.
20
apresentada nos gráficos 2, 3 e 4, os quais contém as séries temporais dos parâmetros
para as curvas prefixada, indexada ao IPCA e indexada ao IGPM respectivamente.
Em seu trabalho, Diebold-Li (2006) fixa
t
λ
como sendo 0,7308
15
, o que implica
que o valor máximo da curvatura ocorre aos 30 meses ou 2,45 anos. Almeida e outros
(2007), fazendo a análise da curva de DI utilizam o
t
λ
como sendo 3,58 e
2t
λ
sendo
7,16, o que implica que seus máximos estarão em 0,5 e 0,25 anos respectivamente.
Abaixo segue a tabela com os valores usados para cada curva no modelo SVLF e
em parênteses estão os valores em anos para os quais a curvatura 1 e a curvatura 2
atingem seus máximos:
Prefixados
IPCA
IGPM
λt
1,6 (1,12)
1,05 (1,71)
4,1 (0,44)
λ
2t
1,13 (1,59)
0,8 (2,24)
0,47 (3,82)
2.5.
Spline Exponencial da Merrill Lynch (SEML)
Este método, utilizado pelo banco central do Canadá
16
utiliza uma soma de nove
exponenciais para modelar a função desconto, tal como mostrado na equação abaixo:
eβb(T)
Ti-
9
1
i
α
∑
=
=
i
(2.5.1)
Nesta tese modelarei a função desconto como sendo a soma de cinco
exponenciais, pois temos poucos títulos em cada categoria. Além disso, escolhi a
combinação de parâmetros que melhor se adaptava aos dados brasileiros. Com isso, a
equação utilizada na tese foi:
eβeβeβeβ eβb(T)
T-9
9
T-8
8
T-3
3
T-2
2
T-
1
ααααα
++++=
(2.5.2)
Como temos a função desconto, basta substituí-la na equação (2.5.3) para termos
um problema de minimização bem definido, para cada data de análise t.
15
Diebold e Li (2006) em seu trabalho utilizam lambda como sendo 0.0609. Porém, a unidade de medida
que eles utilizam é mês. Como nesta tese é utilizada base anual, o parâmetro usado por eles equivale a
0.7308 nesta nova base.
16
Metodologia descrita no Paper nº 25 do BIS (2005) e em Bolder e Gusba (2002)
21
∑ ∑
= =
N
1
2
i
1
ji,t
ji,ii
)
k
)(TbF-(PWMin
i j
(2.5.3)
Esta minimização é linear se
α
for fixo. Então o processo utilizado é criar um
grid de alphas e escolher aquele que minimiza (2.5.3). O
α
escolhido têm a
interpretação de ser a taxa de juros contínua de longo prazo.
Em termos matriciais basta fazer o mesmo processo que no SPF e, assim como
naquela metodologia, pode-se colocar restrições em relação à função desconto. Nesta
tese, a única restrição sobre a função desconto foi a de que ela começasse em um, o que
é o mesmo que restringir que a soma dos betas seja igual a 1.
2.6. Testes estatísticos
O primeiro teste feito é o de comparar o erro dentro da amostra para cada uma
das três metodologias
17
. Tal como visto em Bliss (1996), o erro dentro da amostra pode
ser bastante viesado em favor de modelos altamente parametrizados e que fazem um
overfitting da ETTJ.
No nosso caso, o modelo MS terá sempre erro zero em relação aos preços, e nem
por isso ele será melhor do que os outros, pois ele pode incorporar problemas, tais como
erro de coleta de preços de fechamento ou diferenças nos preços devido à falta de
liquidez de um determinado título. Este caso pode ser visto no gráfico 5, aonde a ETTJ
vermelha apresenta uma oscilação grande na curva perto de um ano, a qual foi causada
por um problema na precificação da LTN com vencimento em outubro de 2008 nesta
data.
Após isto, o segundo teste consistirá em organizar os títulos por datas de
vencimento e, após isto, escolher aleatoriamente ou todos os títulos pares ou todos os
títulos ímpares, os quais serão considerados como “dentro da amostra”. Com estes,
serão construídas as ETTJs por cada metodologia. Os títulos que não forem
selecionados (“fora da amostra”) serão precificados pela curva construída com os
primeiros
18
. Serão então coletados os erros dos preços dos títulos “fora da amostra”
17
A metodologia MS têm erro zero por definição e pro isso não será incluída nesta comparação.
18
Caso o título com maior maturidade fique no grupo “fora da amostra” este será excluído pois não
queremos avaliar a capacidade de extrapolação dos modelos. Para mais detalhes ver Bliss (1996).
22
ponderados pelo inverso da duration. Neste teste, o problema da alta parametrização
diminui bastante, apesar de não desaparecer, já que dois títulos com vencimentos muito
próximos podem conter problemas parecidos na sua precificação, tais como problemas
de liquidez ou de diferenças tributárias.
A última bateria de testes feita será a de coletar os erros em termos de cotação
19
e testar estes erros para saber se eles têm uma estrutura de autocorrelação
20
. Se os erros
forem aleatórios, ou seja, ruído branco (“white noise”), não haverá autocorrelação dos
erros, nem heteroscedasticidade.
Os testes utilizados para estas hipóteses serão os de Ljung-Box-Pierce Q-teste e
de Engle’s
21
na série de erros. Além disso, será rodado um AR (1) GARCH (1,1) nos
erros
22
, tal como mostrado na equação abaixo:
2
12
2
112
2
1
**
*
−−
−
++=
++=
ttt
ttt
C
YCY
εασασ
εβ
Sendo:
t
Y a série temporal (os erros das estimações de cada modelo) no tempo t,
CC e
2
constantes,
2
t
σ a variância da série no tempo t,
t
ε
o erro da série temporal no tempo t.
Na seção seguinte mostraremos os principais resultados de nossa análise.
19
Cotação é definida como sendo o preço de mercado dividido pelo valor nocional acumulado (VNA). Os
erros são dados em termos de cotação para que os erros de títulos com nocionais diferentes possam ser
comparados. Este caso é ainda pior quando estamos trabalhando com títulos indexados à inflação em que
o nocional é atualizado diariamente.
20
Este teste será feito apenas com os modelos SPF, SVLF e SEML, já que o MS tem erro zero por
definição.
21
O teste Ljung-Box-Pierce testa se há autocorrelação de ordem p na série. A hipótese nula é de que não
há autocorrelação.
O teste de Engle’s testa se existem na série efeitos GARCH ou heteroscedasticidade. A hipótese nula é de
que não há heteroscedasticidade na série.
22
Escolhi o AR(1) GARCH (1,1) por ser o modelo mais simples possível, mas que absorvesse os
problemas de autocorrelação e heteroscedasticidade.
23
3. Resultados Empíricos
3.1. Base de dados
Para esta tese foram usados os preços indicativos unitários e as taxas internas de
retorno divulgadas pela ANDIMA dos títulos públicos federais para o fechamento de
cada dia útil
23
, desde janeiro de 2005 até 03 de outubro de 2007. Só foram considerados
os dados dos títulos prefixados (LTNs e NTNFs) e indexados à inflação (NTNBs e
NTNCs
24
)
25
.
Além disso, foi utilizada a taxa Selic
26
e a expectativa de inflação futura para a
construção de um título fictício de um dia. Isto foi feito para que tivéssemos parâmetros
para a parte curtíssima da curva, já que, dependendo da época e do indexador, o título
mais curto tinha mais do que um ano e meio, dificultando a estimação da parte curta da
curva de juros.
3.2. Resultados
Nos gráficos de 5 a 10 são mostradas as ETTJs calculadas de acordo com as
metodologias citadas anteriormente. Foram escolhidos os dias 10 de janeiro de 2007 e
27 de julho de 2007 por ser um dia normal de negociação e um dia de estresse de
mercado (alta volatilidade) respectivamente. Como podemos perceber o MS é o modelo
com maiores oscilações da curva, o que é uma característica indesejável para uma
ETTJ.
O primeiro teste feito para avaliar as metodologias é calcular o erro quadrático
médio dos títulos. Neste caso, os modelos mais parametrizados levam vantagens em
relação aos outros. Porém, isto não quer dizer que estes modelos sejam melhores do que
os outros, já que estes modelos incorporarão erros cometidos na precificação de
determinado título devido à, por exemplo, falta de liquidez do papel. Na tabela abaixo
23
Dia útil é entendido aqui como aqueles que não são fins de semana ou feriados em São Paulo.
24
LTNs são títulos emitidos pelo Tesouro Nacional prefixados que não pagam cupons intermediários.
NTNFs são títulos prefixados com cupons intermediários, NTNBs são títulos com cupom indexados ao
IPCA e NTNCs títulos indexados ao IGPM.
25
Nos títulos indexados a inflação, a taxa utilizada é a taxa real de juros paga pelo título. Ou seja, estes
títulos pagarão no futuro a taxa negociada mais a inflação do período.
26
Taxa Selic é a taxa média ponderada e ajustada das operações de financiamento por um dia, lastreadas
em títulos públicos federais e feitas no sistema Selic (sistema de liquidação do Banco Central) ou em
câmaras de compensação e liquidação de ativos, na forma de operações compromissadas.
24
vemos que o modelo MS não têm erros por ser muito parametrizado, o SEML com
cinco parâmetros livres tem o segundo menor erro e os modelos SPF e SVLF com
quatro parâmetros livres cada têm erros bastante parecidos.
Tabela com erros quadráticos médios:
Erros * MS SPF SEML SVLF
Títulos Prefixados 0,0000 0,0048 0,0007 0,0010
Títulos indexados ao IPCA 0,0000 0,0133 0,0154 0,0343
Títulos indexados ao IGPM
0,0000
0,0261
0,0258
0,0345
Tabela 1
* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais para todos os dias entre 02/01/2005 e 03/10/2007,
ponderado pelo inverso da duration.
Nas tabelas a seguir vemos os erros “fora da amostra”, calculado como descrito
na seção 3.6. O que podemos perceber nas tabelas abaixo é que, na média, os modelos
que têm os menores erros são os modelos exponenciais (tabelas 2, 3, 4 e 5). Isto pode
ser visto na comparação modelo a modelo.
O SVLF, por esta metodologia, é sempre melhor do que os modelos derivados
dos Splines de McCulloch (SPF e MS), pois em qualquer categoria de títulos e em
qualquer subperíodo de tempo ele sempre comete erros menores do que os dois
27
. Uma
das explicações para esta diferença reside no fato de que estes dois modelos tendem a
gerar curvas com maiores oscilações que o SVLF, errando mais quando fazemos
interpolações.
Na comparação de modelos baseados em exponenciais podemos perceber que
eles, para este teste, se equivalem. Para títulos indexados ao IPCA, o SEML consegue
erros menores do que o SVLF nos anos de 2006 e 2007, tendo resultados muito
parecidos em 2005. Já para os títulos prefixados, o SVLF tem sistematicamente erros
menores do que o SEML, não sendo possível, por este critério, dizer qual das duas
metodologias é a melhor.
27
Há apenas uma exceção nesta regra que são os títulos indexados ao IPCA no ano de 2006, onde o SPF
tem erro menor do que o SVLF. Porém, o erro do SPF nos outros anos mais do que compensa esta
diferença.
25
Tabelas com erros fora da amostra:
Erros "fora da amostra" * MS SPF SEML SVLF
Títulos Prefixados 0,0021 0,003 0,0036 0,0010
Títulos indexados ao IPCA 0,2094 0,6298 0,0879 0,1016
Títulos indexados ao IGPM **
-
-
-
-
Tabela 2
* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais não incluídos na amostra utilizada para a construção das
curvas, para todos os dias entre 02/01/2005 e 03/10/2007, ponderado pelo inverso da duration.
** Não existiam títulos suficientes para testes com esta classe de ativos.
Erros "fora da amostra" 2005 * MS SPF SEML SVLF
Títulos Prefixados 0,0006 0,0023 0,0029 0,0006
Títulos indexados ao IPCA 0,1513 0,6025 0,0736 0,0723
Títulos indexados ao IGPM **
-
-
-
-
Tabela 3
* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais não incluídos na amostra utilizada para a construção das
curvas, para todos os dias úteis de 2005, ponderado pelo inverso da duration.
** Não existiam títulos suficientes para testes com esta classe de ativos.
Erros "fora da amostra" 2006 * MS SPF SEML SVLF
Títulos Prefixados 0,0012 0,0004 0,0005 0,0003
Títulos indexados ao IPCA 0,0359 0,0177 0,0121 0,0206
Títulos indexados ao IGPM **
-
-
-
-
Tabela 4
* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais não incluídos na amostra utilizada para a construção das
curvas, para todos os dias úteis de 2006, ponderado pelo inverso da duration.
** Não existiam títulos suficientes para testes com esta classe de ativos.
Erros "fora da amostra" 2007 * MS SPF SEML SVLF
Títulos Prefixados 0,0004 0,0003 0,0001 0,0001
Títulos indexados ao IPCA 0,0221 0,0096 0,0022 0,0087
Títulos indexados ao IGPM **
-
-
-
-
Tabela 5
* Soma dos erros quadráticos médios de todos os títulos governamentais não incluídos na amostra utilizada para a construção das
curvas, para todos os dias entre 02/jan/2007 e 03/out/2007, ponderado pelo inverso da duration.
** Não existiam títulos suficientes para testes com esta classe de ativos.
Para o último teste deste trabalho, utilizaremos como insumo o erro cometido
pelos modelos, em termos de cotação, para os seguintes modelos: SPF, SEML e
26
SVLF
28
. Foram analisados 10 títulos. Duas LTNs (uma curta e uma com prazo de
maturidade um pouco maior), duas NTNFs (uma curta e uma longa), três NTNBs e três
NTNCs (uma curta, uma média e uma longa). A série temporal de cada um dos títulos
está mostrada nos gráficos de 11 a 20
29
.
Nos 30 testes de Ljung-Box-Pierce (LBP), todos mostraram que havia alguma
correlação serial entre os erros. Todos os testes de Engle (com exceção da NTNF com
vencimento em 2014 no modelo SPF) mostraram que havia também
heteroscedasticidade dos erros.
Agora, nas tabelas abaixo são mostrados os resultados da regressão da série
temporal dos erros (Yt), segundo a seguinte equação:
2
12
2
112
2
1
**
*
−−
−
++=
++=
ttt
ttt
C
YCY
εασασ
εβ
SPF SEML SVLF
LTN jul/07 0,8402 0,9497 0,9602
LTN jan/09 0,3968 0,9158 0,8956
NTNF jan/10 0,8888 0,9365 0,9282
NTNF jan/14 -0,0024 * 0,9184 0,7808
NTNB ago/08 0,8803 0,8962 1,0000 **
NTNB ago/24 0,9814 0,9935 0,9677
NTNB ago/45 0,9737 0,9564 0,9949
NTNC abr/08 0,9616 1,0000 ** 0,9796
NTNC mar/11 0,9735 1,0000 ** 0,9927
NTNC jan/31 0,7809 0,8836 0,9911
* Foi testado um AR (2) para este caso, e os parâmetros encontrados foram
beta1 = 0,6477 e beta2 = 0,2322, como o teste de Ljung-Box-Pierce foi positivo,
isto implica que existe uma estrutura de autocorrelação neste caso também.
** O resultado da regressão não foi 1, mas foi muito próximo disto. Como não
utilizei mais do que 4 casas decimais, o parâmetro que aparece é 1.
VencimentoTítulo
Modelos
Tabela 6 - Parâmetro
β
28
O MS não foi incluído na análise pois, por definição, ele não comete erros em relação aos preços de
mercado incluídos no modelo.
29
Nestes gráficos há estruturas de erros bastante peculiares, tais como visto no gráfico 18 (erros das
NTNCs com vencimento em abril de 2008), o qual parece uma série temporal de uma variável e não uma
série temporal de erros, o que evidencia, junto com os testes realizados em seguida, que existem variáveis
omitidas nesta classe de modelos.
27
SPF SEML SVLF
LTN jul/07 0,4510 0,4683 0,5249
LTN jan/09 0,6560 0,5645 0,6785
NTNF jan/10 0,5677 0,5855 0,4236
NTNF jan/14 0,9562 0,6268 0,7654
NTNB ago/08 0,0798 0,2769 0,1627
NTNB ago/24 0,6232 0,7661 0,5956
NTNB ago/45 0,6568 0,5787 0,5526
NTNC abr/08 0,4847 0,4126 0,4348
NTNC mar/11 0,7520 0,5507 0,7426
NTNC
jan/31
0,3272
0,2365
0,7849
Tabela 7 - Parâmetro
α1
Título Vencimento
Modelos
SPF SEML SVLF
LTN jul/07 0,5490 0,5317 0,4645
LTN jan/09 0,2645 0,3736 0,2022
NTNF jan/10 0,3937 0,3637 0,5764
NTNF jan/14 0,0086 0,3732 0,1410
NTNB ago/08 0,9202 0,7231 0,8373
NTNB ago/24 0,3297 0,1468 0,4044
NTNB ago/45 0,3432 0,1828 0,4474
NTNC abr/08 0,5153 0,5874 0,5652
NTNC mar/11 0,0987 0,4493 0,1646
NTNC
jan/31
0,6728
0,7635
0,1199
Tabela 8 - Parâmetro
α2
Título Vencimento
Modelos
Na tabela 6 vemos que os parâmetros Beta, do modelo AR(1) foram muito altos
e em sua maioria próximos de 1, o que , junto com o resultado do teste LBP, mostra que
há forte autocorrelação entre os erros. Na tabela 7 vemos que o parâmetro alpha1
também foi muito alto, mostrando que, junto com o teste de Engle, temos também
heteroscedasticidade em todos os títulos e modelos analisados.
Um dos motivos para este padrão dos erros pode ser o problema de variáveis
omitidas, já que o preço de um título é definido não só pelo fluxo de caixa trazido à
valor presente como também por outros fatores tais como a liquidez do papel,
diferenças na tributação
30
ou variáveis macroeconômicas.
30
No caso brasileiro, existe uma legislação em vigor que faz com que valha a pena investir em títulos
com mais de 2 anos, dado que o imposto é decrescente com o prazo em que se fica com o título, chegando
na alíquota mínima em 2 anos. Além disto, fundos de pensão, que são grandes consumidores de títulos
públicos federais têm estrutura tributária bastante diferente dos outros agentes da economia.
28
Se fossem utilizadas técnicas de painel este problema poderia ser minimizado.
Porém, como o objetivo era o de se testar modelos de simples estimação e
parcimoniosos, não foram feitas estimações com esta técnica.
29
4. Conclusão
N
esta tese mostramos metodologias bastante parcimoniosas e simples de
construção da ETTJ. Dentre estas metodologias, a que apresentou o menor erro
quadrático médio foi a MS, pois esta metodologia não comete erros em relação aos
preços de mercado.
Porém, este não é um bom parâmetro de comparação, já que modelos muito
parametrizados levam vantagens em relação aos outros modelos, sem serem
necessariamente melhores do que os outros. Isto é particularmente verdade no caso do
MS, onde a parametrização é máxima. Neste caso, os pontos de junção ou nós são
variáveis, tirando qualquer interpretação intertemporal de seus parâmetros. Além disso,
como este modelo é obrigado a acertar todos os preços do mercado, quando um destes
preços apresenta problemas de precificação, a curva ficará distorcida devido a
problemas neste título
31
.
Utilizando o conceito de erros “fora da amostra” (tal como definido em Bliss
(1996)) os modelos que performaram melhor foram aqueles baseados em exponenciais,
ou seja, o SEML e o SVLF. Estes são os modelos mais utilizados por Bancos Centrais
ao redor do mundo.
Para escolher entre o SEML e o SVLF, penso que o SVLF é mais interessante
pois seus parâmetros são rotações dos movimentos da ETTJ descobertos por Litterman
e Scheinkman (1991) e têm bom poder preditivo para as taxas futuras, assim como
mostrado em Diebold e Li (2006) e Pooter (2007) para dados americanos e Almeida e
outros (2007) para dados brasileiros.
A última bateria de testes feita mostrou que esta classe de modelos testada, por
ser muito simples e parcimoniosa incorre em problemas de autocorrelação e
heteroscedasticidade dos erros. Este problema pode ser devido a variáveis omitidas, tais
como diferenças de liquidez dos títulos, diferenças de tributação ou variáveis
macroeconômicas. Este problema pode ser parcialmente resolvido se fizermos
estimações dos parâmetros por técnicas de painel ou se incluirmos parte destas
31
Um exemplo deste caso pode ser visto no gráfico 5, aonde a LTN com vencimento em outubro de 2008,
por ter pouca liquidez, não ajustou seu preço no fechamento, tendo preço (ou taxa) muito diferente dos
demais títulos. Para poder acertar o preço deste título, a curva construída pelo método do MS foi obrigada
a ter um curva a mais que os outros modelos no ponto perto de um ano de maturidade, o que,
economicamente, faz pouco sentido.
30
variáveis, tal como feito por Ang e Piazzesi (2003) e Diebold, Rudebusch e Aruoba
(2006) que incluem variáveis macroeconômicas no modelo.
Apesar dos problemas citados acima, esta classe de modelos é parcimoniosa, o
que a torna bastante interessante para determinadas aplicações tais como estimações de
curvas futuras, estimações das volatilidades intradiárias dos títulos de renda fixa
(mesmo que estes não tenham tido negócios no período) ou estimação da inflação
implícita nos negócios realizados no dia.
Como o modelo exponencial de quatro fatores (SVLF) foi o que apresentou os
melhores resultados e seus parâmetros têm boa interpretação este é o modelo indicado
por este trabalho, para a construção de ETTJs ou curvas de juros para o mercado
brasileiro.
31
5. Bibliografia
Almeida, C. I. R.; Duarte, A. M.; Fernandez, C. A. C. “Decomposing and
simulating the movements of term structure of interest rates in emerging
eurobonds markets.” Journal of fixed income, 8, 1, pp. 21-31, 1998.
Almeida, C.I.R.; Gomes, R.; Leite, A.; Vicente, J. “Does Curvature Enhance
Forecasting?”, Julho 2007.
Ang A.; Piazzesi M. (2003) “A no-arbitrage vector autoregression of term
structure dinamics with macroeconomic and latent variables.” Journal of
Monetary Economics, 50, pp. 745-787, 2003.
BIS Papers, “Zero-coupon yield curves: technical documentation”. BIS Papers,
Nº 25, October 2005.
Bliss, R. R. “Testing term structure estimation methods”. Federal Reserve Bank
of Atlanta, Working Paper 96-12a, November 1996.
Bolder, D.; Stréliski, D. “Yield curve modeling at the bank of Canada”.
Technical report number 84, Bank of Canada, 1999.
Bolder, D. J.; Gusba, S. “Exponentials, Polynomials, and Fourier series: more
yield curve modeling at the Bank of Canada”. Bank of Canada, Working Paper
29, 2002.
Chambers D. R.; Carleton W. T.; Waldman D. W. “A new approach to
estimation of the term structure of interest rates”. Journal of Financial and
quantitative analysis, 19, 3 pp. 233-251, 1984.
Diebold, F. X.; Li, C. “Forecasting the term structure of government bond
yields”. Journal of Econometrics, 130, pp. 337 – 364, 2006.
Diebold, F. X.; Rudebusch, G. D.; Aruoba, S. B. “The macroeconomy and the
yield curve: A dynamic latent factor approach.” Journal of Econometrics, 131,
pp. 309-338, 2006.
Litterman, R., Scheinkman, J.A. “Common Factors Affecting Bond Returns”.
Journal of Fixed Income, 1, 54-61, 1991.
McCulloch, J. H. “Measuring the Term Structure of Interest Rates”. The Journal
of Business, Vol. 44, Nº. 1, pp. 19-31, January 1971.
McCulloch, J. H. “The tax-adjusted yield curve”. Journal of finance, 30, pp.
811-830, June 1975.
32
Nelson, C., Siegel, A. “Parsimonious Modeling of Yield Curves”, Journal of
Business, 44, 19-31, 1971.
Svenson, L. E. O. “Estimating and interpreting forward interest rates: Sweden
1992-1994”. NBER Working Paper, 4871, September 1994.
Pooter, M. “Examining the Nelson-Siegel Class of Term Structure Models.”
Tinbergen Institute Working Paper, September 2007.
Vasicek, O. A., Fong, H. G. “Term structure modeling using exponential
Splines”, The Journal of Finance, 37, 339-348, 1982.
33
6. Gráficos
Gráfico 1: Movimentos da ETTJ sob o modelo SVLF para um dia específico (Cross
Section).
Os fatores do modelo Svenson para os movimentos da ETTJ
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0,00
1
,0
0
2
,
00
3
,
00
4,00
5
,0
0
6
,0
0
7
,0
0
8,00
9,00
1
0,
0
0
Anos até a maturidade
Deslocamento paralelo
Inclinação
Curvatura 1
Curvatura 2
Gráfico 2: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva prefixada).
34
Gráfico 3: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva IPCA).
Gráfico 4: Parâmetros do Svenson Lambda Fixo ao longo do tempo (curva IGPM).
35
Gráfico 5: Curvas prefixadas – 27/jul/2007
Gráfico 6: Curvas IPCA – 27/jul/2007
36
Gráfico 7: Curvas IGPM – 27/jul/2007
Gráfico 8: Curvas prefixadas – 10/jan/2007
37
Gráfico 9: Curvas IPCA – 10/jan/2007
Gráfico 10: Curvas IGPM – 10/jan/2007
38
Gráfico 11: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – LTN 07/2007
Gráfico 12: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – LTN 01/2009
39
Gráfico 13: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNF 01/2010
Gráfico 14: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNF 01/2014
40
Gráfico 15: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNB 08/2008
Gráfico 16: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNB 08/2024
41
Gráfico 17: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNB 05/2045
Gráfico 18: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNC 04/2008
42
Gráfico 19: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNC 03/2011
Gráfico 20: Série temporal dos erros gerados pelos modelos – NTNC 01/2031
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