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Alexandre Yasuda Miguelote
Colapso Gravitacional
de Fluido Perfeito
em Espaços-Tempos
Circularmente Simétricos
com Auto-Similaridade Cinemática
Tese apresentada como requisito parcial
para obtenção do título de Doutor em Física
Orientadora: Dra. Nazira Abache Tomimura
Co-orientador: Dr. Anzhong Wang
Niterói, RJ
2007
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ii
“Phantasie ist wichtiger als Wissen.”
(“A imaginação é mais importante do que o conhecimento.”)
Albert Einstein
“If I have seen further than others,
it was by standing upon the shoulders of giants.”
(“Se eu vi mais longe do que outros,
foi pelo apoio em ombros de gigantes.”)
Isaac Newton
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Dedicatória
À minha família
Agradecimentos
• À Dra. Nazira Abache Tomimura, pela sua orientação e sua paciência com
algumas das minhas dificuldades;
• Ao Dr. Anzhong Wang, pela sua co-orientação;
• Aos meus pais: Sergio e Shigueri;
• Aos meus irmãos: Guilherme, Fernando e Eduardo;
• À minha avó Ondina;
• À minha amada Rebecca Estevam Zambon, que tem sido o pilar principal
da construção da minha vida;
• À Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Física;
• Ao Prof. Luiz Roberto do Colégio Pedro II, que através das suas brilhantes
aulas me despertou para o estudo da Física;
• Aos meus professores da Graduação e da Pós-Graduação;
• Aos colegas: Adílio, Alberto, Alexandre Rivas, André Queiroz, André Sch-
warz, Andreia, Antônio, Arnaud, Artur, Carlos Alberto, Carlos Frederico,
Carmen, César, Cíntia, Cláudia, Eduardo, Eliel, Érica, Germano, Karen,
Klauko, Luciana Loureiro, Luciana Rios, Luiz Alberto, Marcelo, Márcia,
Marco Aurélio, Marina, Otávio, Paulo Sérgio, Paulo Cesar Jr., Paulo César
Travassos, Ricardo Barguine, Ronai, Scheila, Wanderclakson e Wellington;
v
• Às bibliotecárias: Ana, Kátia e Rita;
• Aos secretários da Pós-Graduação: Luana e João;
• A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a execução deste
trabalho;
• Ao CNPq, pela bolsa concedida.
Resumo
Fluido perfeito com auto-similaridade cinemática é estudado em espaços-
tempos 2 + 1 dimensionais com simetria circular e várias soluções exatas da
equações de campo de Einstein são dadas. Estas incluem todas as soluções de
poeira e fluido perfeito rígido com auto-similaridade do primeiro tipo (homoté-
tica) e todas as soluções de fluido perfeito com uma equação de estado linear
e auto-similaridade do tipo de ordem zero e do segundo tipo. Viu-se que algu-
mas destas soluções representam colapso gravitacional e o estado final do colapso
pode ser ou um buraco negro ou uma singularidade nula. Mostrou-se também que
uma solução pode ter dois tipos diferentes de auto-similaridade cinemática. Por
fim, perturbações lineares de soluções auto-similares homotéticas são estudadas.
Notou-se que, exceto para aquelas com n = 1 e n = 3, nenhuma delas é estável
e todas possuem mais de um modo instável. Portanto, nenhuma destas soluções
pode ser crítica, já que, por definição uma solução crítica possui um e somente
um modo instável.
Abstract
Perfect fluid with kinematic self-similarity is studied in 2 + 1 dimensional
spacetimes with circular symmetry and various exact solutions to the Einstein
field equations are given. These include all the solutions of dust and stiff perfect
fluid with self-similarity of the first kind and all the solutions of perfect fluid with
a linear equation of state and self-similarity of the zeroth and second kinds. It is
found that some of these solutions represent gravitational collapse and the final
state of the collapse can be either a black hole or a null singularity. It is also
shown that one solution can have two different kinds of kinematic self-similarity.
At last, linear perturbations of homothetic self-similar stiff fluid solutions are
studied. It is found that, except for those with n = 1 and n = 3, none of them is
stable and all have more than one unstable mode. Hence, none of these solutions
can be critical, because, by definition, a critical solution has one and only one
unstable mode.
Sumário
Dedicatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Introdução 1
1.1 Breve Introdução à Teoria de Relatividade Geral de Einstein . . . 1
1.2 Colapso Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional . . . . . . . . . . . 8
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral . . . . . . . . 16
1.5 Plano Geral do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Colapso Gravitacional em Espaços-Tempos (2 + 1)-Dimensionais 25
2.1 Gravitação em 2 + 1 Dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Motivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Teoria da Relatividade Geral em Espaços-Tempos (2 + 1)-
Dimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Espaços-Tempos Circularmente Simétricos . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Horizontes Aparentes e Buracos Negros Circularmente Si-
métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Auto-Similaridade Cinemática em Espaços-Tempos Circularmen-
te Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
SUMÁRIO ix
3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com Auto-Simila-
ridade Cinemática 36
3.1 Soluções das Equações de Campo de Einstein com Auto-Similari-
dade do Tipo de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Caso y = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Caso y = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com Auto-Similari-
dade do Primeiro Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Fluido Rígido (K = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Poeira (K = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Fluido Perfeito com K = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com Auto-Similari-
dade do Segundo Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Caso y = −1, K = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Caso y = const. (= −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.3 Caso y = −1, K = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Análise da Estabilidade das Soluções de Colapso Gravitacional 65
4.1 Soluções de Fluido Rígido em Espaços-Tempos com Auto-Simila-
ridade do Primeiro Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Perturbações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Conclusões Gerais e Perspectivas 78
A Geometria Riemanniana e Equações de Campo de Einstein 82
A.1 Variedades de Espaço-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.2 Diferenciação Covariante, Tensores de Riemann, de Ricci e de Eins-
tein e Equações de Campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 84
B Espaços-Tempos Circularmente Simétricos com Auto-Similari-
dade Cinemática 87
SUMÁRIO x
B.1 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Zero . 88
B.2 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Primeiro e do Segundo
Tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C Equações de Campo de Einstein Linearmente Perturbadas 93
Capítulo 1
Introdução
Neste capítulo, os principais tópicos utilizados ao longo deste trabalho são ex-
postos. Iniciamos com uma breve introdução à Teoria da Relatividade Geral. Em
seguida, Colapso Gravitacional, Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional e
Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral são apresentados e discutidos.
Por fim, um Plano Geral do Trabalho é apresentado.
1.1 Breve Introdução à Teoria de Relatividade Ge-
ral de Einstein
A Teoria da Relatividade Geral de Einstein (TRG) é uma teoria clássica de
espaço-tempo e gravitação. Em comparação com outras teorias, ela é a que melhor
se apóia pelas físicas experimental, observacional e analítica.
Nas últimas sete décadas, a complexidade e a natureza não-linear das Equa-
ções de Campo de Einstein (ECE) constantemente têm nos impedido de termos
um amplo entendimento do seu conteúdo e da sua riqueza. Contudo, diante deste
fato, ao invés de esperarmos pela chegada da tão esperada teoria quântica da
gravitação, devemos tentar obter alguma nova revelação na física e nos fenôme-
nos contidos na teoria clássica. Logo, podemos utilizar o conhecimento obtido
1.1 Breve Introdução à Teoria de Relatividade Geral de Einstein 2
desta teoria clássica como um limite clássico e considerá-lo no desenvolvimento
da teoria quântica da gravitação.
As implicações da TRG só podem ser completamente exploradas pelo estudo
das soluções das ECE. Este estudo normalmente é feito de duas formas diferentes.
Uma é encontrar soluções aproximadas, baseadas geralmente em uma aproxima-
ção linear, o que implica na perda das características não-lineares do campo e,
até certo ponto, na confiabilidade dos resultados. A outra forma é encontrar
soluções exatas. Esta última pode resolver o problema que ocorre na anterior,
porém novamente por causa da complexidade das equações de campo, as soluções
exatas possuem freqüentemente uma grande quantidade de simetrias que não es-
tariam presentes no mundo real, e não devem ter nenhum análogo nas soluções
realísticas.
Historicamente, a TRG é considerada como sendo uma extensão da Teoria da
Relatividade Restrita (TRR), apresentada por Einstein em 1905. Três grupos de
questões desempenham um papel importante e conduzem o estudo da TRG. São
eles:
1. A fim de descrever a natureza e as leis da TRG, devemos ser capazes de
usar um sistema de coordenadas arbitrário e, de acordo com o princípio
da covariância geral, as leis da natureza não devem depender da escolha
do sistema de coordenadas. Esta condição, a princípio puramente matemá-
tica, adquire um significado físico especial por meio da substituição de um
sistema de coordenadas arbitrário por um observador que se move arbitra-
riamente [1]. As leis da natureza devem ser independentes do estado do
observador, assim como as mesmas são para todos os sistemas inerciais na
TRR. Pertence também a este grupo a questão particularmente levantada
por Ernst Mach: se uma aceleração absoluta (incluindo uma rotação ab-
soluta) pode ser definida significativamente ou se toda rotação mensurável
implica em uma rotação relativa às estrelas fixas (Princípio de Mach).
1.1 Breve Introdução à Teoria de Relatividade Geral de Einstein 3
2. A teoria newtoniana da Gravitação é inconsistente com o princípio da TRR.
Nesta última, os efeitos gravitacionais se propagam com uma velocidade
infinitamente grande. Deve ser encontrada uma formulação melhor das
equações de campo da Gravitação, tal que também seja incluída a influência
da gravidade em outros processos físicos e que haja concordância com os
experimentos.
3. Na Astrofísica e na Cosmologia, grandes massas estão envolvidas e as forças
gravitacionais exercem um domínio sobre as nucleares. Então, a teoria da
Gravitação deve refletir o comportamento dinâmico da evolução de todo o
Universo e, ao mesmo tempo, ser válida para a evolução estelar.
A TRG teve início em 1915, quando da formulação das suas equações fun-
damentais. Em seguida foi publicada uma série de artigos sobre os fundamentos
desta teoria e a possibilidade de sua confimação experimental. Ao contrário do
que ocorreu com a teoria quântica, cujo surgimento é quase contemporâneo, a
TRG foi considerada por um longo tempo elocubrativa e sem aplicabilidade real
por especialistas, em lugar de ter seu sucesso reconhecido (avanço do periélio de
Mercúrio, deflexão da luz pelo Sol, explicação do desvio para o vermelho cos-
mológico). No decorrer dos últimos trinta anos, através do desenvolvimento de
novos métodos para obtenção de soluções, da interpretação física, das descober-
tas astrofísicas (pulsares, radiação cósmica de fundo) e do aperfeiçoamento na
demonstração de efeitos relativísticos, a TRG tem se tornado uma ciência física
apurada e real, com várias questões experimentais à ela associadas e conseqüên-
cias observáveis.
A TRG é a teoria do campo gravitacional. Atualmente, são necessários mé-
todos matemáticos cada vez mais complicados para que possam ser resolvidas
questões físicas a ela colocadas, sendo sua linguagem matemática, a geometria
diferencial.
Considerando as questões levantadas na descrição dos fenômenos físicos in-
1.1 Breve Introdução à Teoria de Relatividade Geral de Einstein 4
dependente do referencial adotado, a inconsistência da teoria newtoniana com o
princípio da TRR e o fato de que a relatividade descreve todo o Universo e a
evolução estelar, Einstein percebeu que deveria haver uma relação direta entre a
geometria do espaço-tempo e a distribuição de matéria-energia e procurou cons-
truir uma formulação tensorial covariante para esta idéia. Deste modo, a presença
de matéria-energia distorce a estrutura do espaço-tempo e, reciprocamente, a es-
trutura do espaço-tempo informa a trajetória que um dado corpo deve realizar.
Esta relação é o já referido sistema de ECE, cuja expressão matemática tensorial
é dada por
G
µν
= κT
µν
, (1.1)
em que G
µν
é o tensor de Einstein (geometria do espaço-tempo), T
µν
, o tensor de
energia-momento (TEM) da fonte geradora do campo gravitacional (distribuição
de matéria-energia) e κ, a constante de acoplamento gravitacional de Einstein,
cuja definição é dada por
κ ≡
8πG
c
4
, (1.2)
em que G é a constante newtoniana da Gravitação. Um termo cosmológico ainda
poderia ser inserido nas ECE, de forma que estas poderiam ser reescritas como
G
µν
− Λg
µν
= κT
µν
, (1.3)
em que Λ é a constante cosmológica e g
µν
, o tensor métrico. Nesta tese, por
razões da escolha do estudo de soluções auto-similares, estudaremos apenas o
caso convencional, em que Λ = 0 . Além disto, por simplicidade, adotaremos um
sistema de coordenadas tal que κ = c = 1. Desta forma, as ECE poderão ser
reescritas simplesmente como
G
µν
= T
µν
. (1.4)
Uma base de cálculo tensorial e geometria diferencial, na qual está inserido o
tensor métrico, bem como as definições dos tensores de Riemann, de Ricci, de
Einstein entre outros necessários ao entendimento da TRG são introduzidas no
apêndice A.
1.2 Colapso Gravitacional 5
1.2 Colapso Gravitacional
O processo de colapso gravitacional, em um sistema isolado, tem sido um dos
mais relevantes objetos de estudo da TRG na atualidade [2, 3]. Como estado
final, o colapso geralmente apresenta quatro possíveis configurações: formação
de um objeto auto-sustentável, como, por exemplo, uma estrela [4]; formação de
um buraco negro; formação de uma singularidade nua ou explosão com ejeção de
matéria para o exterior.
Michell [5] e Laplace [6], de forma independente, no final do século XVIII e no
início do século seguinte, respectivamente, utilizando um tratamento newtoniano,
foram os pioneiros no estudo de colapso gravitacional. Nestes dois trabalhos
já se pensava na possibilidade da existência de um objeto tão denso de forma
que a atração gravitacional fôsse intensa o suficiente a ponto de impedir que a
própria luz deste objeto pudesse escapar. À luz da TRG, os primeiros trabalhos
sobre colapso gravitacional foram publicados apenas em 1939 por Oppenheimer
e Volkoff [7] e Oppenheimer e Snyder [8]. Nestes trabalhos foi mostrado que
no caso de uma estrela constituída de matéria neutra, tal que toda a fonte de
energia nuclear tenha sido consumida, as ECE não possuem solução estática se
a sua massa for maior do que 0, 7M
, em que M
é a massa solar, vindo a se
colapsar para massas com valores maiores do que esse limite.
O processo de evolução estelar, para o caso de estrelas do mesmo tipo do
Sol é basicamente caracterizado pela queima de seu combustível nuclear, na qual
hidrogênio é convertido em hélio. Esta é a fase mais longa de suas vidas. A
pressão de radiação emitida equilibra a das camadas da estrela de forma com que
esta se mantenha estática. Devido à auto-gravitação, quando todo o hidrogênio
é convertido em hélio, este equilíbrio é interrompido e as camadas das estrelas
caem sobre si mesmas, até que a compressão do núcleo seja suficiente para aquecê-
las, dando origem a uma nova fase de reações termonucleares, agora convertendo
hélio em carbono. Posteriormente carbono é convertido em oxigênio e, assim
1.2 Colapso Gravitacional 6
por diante, fomando elementos cada vez mais pesados, podendo chegar ao ferro.
O processo de contração e equilíbrio pode ser interrompido em qualquer uma
dessas etapas, dependendo da massa da estrela, originando um sistema estável,
sem emissão de radiação. A duração do processo e o objeto resultante no final da
evolução dependem principalmente de fatores como a massa, o momento angular
e o campo magnético da estrela.
Estrelas sem rotação com massa da ordem de 1, 0 a 1, 5M
, após colapso e
ejeção de matéria, muito provavelmente evoluem a anãs-brancas e aquelas com
massa da ordem de 1, 3 a 2, 7M
, a estrelas de nêutrons [2]. No caso de estrelas
muito massivas, este processo não pode ser interrompido, ocorrendo um estado de
colapso gravitacional perpétuo, uma vez que seu combustível nuclear já foi todo
exaurido e nenhuma configuração de equilíbrio foi atingida. Estas estrelas con-
tinuam contraindo o seu raio, conseqüentemente aumentam cada vez mais a sua
densidade, até que seja formada uma estrutura final denominada singularidade.
Neste caso, a evolução de geodésicas no espaço-tempo será incompleta, impossi-
bilitando a existência de extensão para além daquela região e, pelo menos, um
dos escalares de curvatura divergirá. Como configurações finais, podemos ter a
formação de um buraco negro ou de uma singularidade nua.
Buracos negros são formados quando a singularidade é coberta por, pelo me-
nos, uma hipersuperfície de aprisionamento, que, em geral, é formada durante o
processo de colapso gravitacional de um objeto compacto constituído de matéria
fisicamente razoável, isto é, que obedece às condições de energia fraca, forte e do-
minante [9]. De acordo com os teoremas de Hawking e Penrose [10, 11, 12], se esta
hipersuperfície de aprisionamento, que, neste caso, será um horizonte aparente
(hipersuperfície delimitadora, da qual nem mesmo a luz é capaz de escapar) for
formada, haverá também a formação de uma singularidade, porém a formação de
uma singularidade não necessariamente exige a formação de tal horizonte, possi-
bilitando assim, a formação das chamadas singularidades nuas. Contudo, na visão
de um observador distante, ainda pode-se ter a existência de uma singularidade
1.2 Colapso Gravitacional 7
nua, mesmo após a formação de uma hipersuperfície de aprisionamento durante o
processo de colapso gravitacional. Como exemplo desta situação, temos o caso de
uma estrela esférica colapsante antes que o seu contorno tenha entrado no raio de
Schwarzschild, no qual a singularidade, formada durante o processo de colapso,
poderá ser vista por tal observador. Embora singularidades nuas sejam previstas
pela TRG, a existência destas é proibida por conjecturas como a da censura cós-
mica [13] e a de arco [14]. A conjectura da censura cósmica tem como objetivo
evitar problemas como a previsibilidade de eventos futuros à formação desta sin-
gularidade. Esta conjectura possui duas versões. De acordo com a versão fraca,
nenhuma singularidade do espaço-tempo pode influenciar causalmente um obser-
vador em regiões assintóticas deste espaço-tempo, isto é, observadores distantes
não poderiam receber qualquer sinal emitido pela singularidade. Na versão forte,
nenhum observador, que esteja distante ou não, poderia ser influenciado causal-
mente pela singularidade, significando que nem mesmo observadores que estejam
dentro do horizonte aparente poderiam vê-la. Contrários a esta conjectura, exis-
tem muitos exemplos [2, 3], ainda que não esteja claro o quão genéricos eles são.
A validade desta conjectura é ainda uma questão aberta. A conjectura de arco
diz respeito às condições para formação de um horizonte. Ela afirma que um
horizonte (provavelmente) se forma quando, e somente quando, temos uma certa
massa M compactada dentro de uma região cuja circunferência, em toda direção,
é dada por um perímetro C < 4πM. O único contra-exemplo apontado até agora
restringe-se a espaços-tempos com cinco dimensões [15, 16].
No caso em que há explosão com ejeção de matéria para o exterior, o ob-
jeto colapsante dispersa-se completamente, levando à formação de espaço-tempo
plano.
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional 8
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional
Como já dissemos, na TRG, a evolução de um sistema, tal como uma estrela
ou uma distribuição compacta de algum tipo de matéria (dada pelo seu tensor
de energia-momento) ou, ainda, um campo puramente gravitacional, tipicamente
atinge um estado (final) estacionário em que este colapsa-se (formação de buraco
negro ou singularidade nua), dispersa-se ou, possivelmente, forma uma estrela.
Daqui para frente, nesta tese, o estado em que há formação de uma estrela (solu-
ção regular envolvida por espaço-tempo vazio) não será mais distingüido daquele
em que há dispersão. Dependendo dos valores de dados iniciais regulares, bura-
cos negros podem ou não ser formados. Desta forma, o espaço de fase (espaço
de dados iniciais) de todas as soluções, para a TRG, naturalmente divide-se em
duas regiões (bases de atração): a que forma buraco negro na evolução e a em que
ocorre dispersão de matéria do objeto colapsante, tal que esta é ejetada ao exte-
rior, deixando para trás um espaço-tempo plano. À superfície de contorno que
separa estas duas regiões, é dada o nome de superfície crítica. Uma compreen-
são qualitativa da evolução temporal de dados iniciais na vizinhança de qualquer
fronteira no espaço de fase pode ser dada pela teoria de sistemas dinâmicos. No
espaço de fase em que estamos trabalhando, a TRG é considerada como sendo
um sistema dinâmico de dimensão infinita. A invariância de escala na fronteira
em que os dados iniciais levam à formação de buraco negro ou à dispersão de-
sempenha um importante papel na dinâmica do sistema, acarretando em uma lei
de potência para a massa de tal buraco negro. Neste sentido, uma solução crítica
(solução próxima ao limiar de formação ou não de buraco negro) é um atrator
intermediário de codimensão um. Atrator é o ponto para o qual convergem as tra-
jetórias do espaço de fase após decorrido um tempo suficientemente longo. Tais
soluções podem ser invariantes sob uma transformação de escala (auto-similares)
[17] ou independentes do tempo (estáticas). Fatores como universalidade das so-
luções críticas, invariância de escala do atrator intermediário e comportamento
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional 9
em lei de potência, sugerem o nome de Fenômenos Críticos em Colapso Gravitaci-
onal. Tais fenômenos, decorrentes da não-linearidade das ECE nas proximidades
do limiar de formação de um buraco negro [18, 19], são matematicamente aná-
logos às transições de fase críticas estudadas em Mecânica Estatística e Teoria
Quântica de Campos [17, 20, 21]. Um exemplo seria a magnetização espontânea
de um material ferromagnético como função da temperatura.
A primeira vez que estes fenômenos foram observados em colapso gravitacional
foi quando Christodoulou, que estava realizando um estudo analítico a respeito
do colapso gravitacional de um campo escalar sem massa esfericamente simétrico
[22, 23, 24], propôs a Choptuik, que estava estudando o mesmo problema, porém
de forma numérica, a seguinte questão: ao considerarmos uma família de dados
iniciais, dada por um parâmetro, p, genérico e suave, sendo o espaço de fase divi-
dido em duas regiões, tal que buracos negros são formados para valores grandes
deste parâmetro (p > p
∗
) e há dispersão para valores pequenos (p < p
∗
), em que
p
∗
é uma hipersuperfície suave que divide estas duas regiões, porém dentro da-
quela onde há formação de buracos negros, a massa resultante do processo será
finita ou infinitesimal? Através de um estudo numérico, Choptuik chegou à con-
clusão de que a massa será infinitesimal [18, 19]. Neste processo, ele encontrou
três fenômenos inesperados. O primeiro foi o fato de que a massa, M, do buraco
negro formado é dada por uma função de escala no limite em que p → p
∗
, mas
com p > p
∗
, tal que
M = C(p) (p − p
∗
)
γ
, (1.5)
em que C (p) é uma constante, tal que C (p
∗
) = 0 . Em contraste com C (p),
que depende dos dados iniciais, foi mostrado numericamente que γ 0, 374 para
todas as famílias de dados iniciais estudadas.
O segundo fenômeno foi o fato de a solução obtida apresentar uma forma
periódica em termos de escala. Seja φ (t, r) o campo escalar acima citado e o
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional 10
espaço-tempo esfericamente simétrico dado por
ds
2
= α (t, r)
2
dt
2
− a (t, r)
2
dr
2
− r
2
dΩ
2
. (1.6)
em que dΩ
2
≡ dθ
2
+ sin
2
θdϕ
2
e as variáveis t e r são o tempo e o raio, respec-
tivamente. A solução crítica A
∗
(t, r) = {α
∗
, a
∗
, φ
∗
} possui uma periodicidade de
escala no sentido de que existe um valor t
∗
de t, tal que quando é deslocado da
origem de t para t
∗
, temos
A
∗
(t, r) = A
∗
e
n∆
t, e
n∆
r
, (1.7)
para todo n inteiro e ∆ 3.44. O período de escala ∆ é o segundo número
adimensional que surge na solução.
O terceiro fenômeno inesperado foi a universalidade. Para um tempo finito em
uma região finita do espaço, o espaço-tempo gerado por todos os dados próximos
ao valor crítico aproxima-se da mesma solução. Esta fase universal se encerra
quando a evolução se decide entre formação de buraco negro e dispersão. A
solução crítica universal é alcançada por quaisquer dados iniciais que estão sufici-
entemente próximos ao limiar de formação de buracos negros, em ambos os lados
e de uma família de um parâmetro. Choptuik encontrou que todos os espaços-
tempos próximos ao crítico, para todas as famílias de dados iniciais, parecem ser
o mesmo numa região intermediária, isto é, aproximam-se de um espaço-tempo
universal (solução crítica). O ponto de acumulação t
∗
da solução crítica depende
da família.
Para um melhor entendimento da universalidade das soluções críticas, pode-
mos reescrever a Eq.(1.7), subtituindo as coordenadas t e r por variáveis auxiliares
de modo que uma delas seja o logaritmo da escala da métrica, como por exemplo
x = −
r
t
, τ = −ln
−
t − t
∗
L
, t < t
∗
. (1.8)
Desta forma, τ foi definido de tal modo que cresce quando t cresce e se aproxima
de t
∗
, por valores menos que este. É útil pensar em r, t e L como possuindo
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional 11
dimensão de comprimento e em x e τ como adimensionais. Em qualquer solução
próxima à crítica existe uma região do espaço-tempo na qual os campos α, a e φ
são bem aproximados pelos seus valores como
A (x, τ) A
∗
(x, τ ) , (1.9)
em que os campos A = {α, a, φ} da solução crítica possuem a periodicidade
A
∗
(x, τ + ∆) A
∗
(x, τ ) . (1.10)
As constantes dimensionais t
∗
e L dependem das famílias de soluções particu-
lares de um parâmetro, porém os campos críticos adimensionais A
∗
e o período
adimensional ∆ são universais.
Soluções supercríticas e subcríticas de uma mesma família (mesmos t
∗
e L)
são praticamente indistinguíveis desde que sejam formadas por uma escala bem
pequena na qual uma forma horizonte aparente, enquanto a outra inicia-se dis-
persando. Se houver formação de um buraco negro, sua massa será relacionada
a sua escala e teremos uma faixa ∆ de τ na qual uma solução próxima à crítica
se aproxima da solução universal
τ∆ γ ln |p − p
∗
| + const.. (1.11)
Como a solução crítica é periódica em τ com período ∆, para um número N de
escala de repetições, temos
N
γ
∆
ln |p − p
∗
| + const., (1.12)
que é válida tanto para soluções supercríticas quanto para subcríticas.
Os resultados de Choptuik criaram uma grande excitação e foram confirmados
através de estudos independentes, tanto numéricos [25, 26, 27, 28] quanto semi-
analíticos [29, 30], além de terem sido estendidos a outros campos de matéria
acoplados [4, 17]. Fenômenos similares foram observados em outros tipos de
matéria acopladas à gravitação, tais como fluido nulo [31], fluidos perfeitos [32,
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional 12
33, 34, 35], campos escalares sem massa [18, 19], campos escalares massivos [36,
19], conformalmente acoplados [18], modelo sigma 2-d [27], modelo escalar sem
massa eletrodinâmico [28], campo de Yang-Mills [37], modelo Skyrme [38], e ainda
no colapso de pacotes de ondas gravitacionais axi-simétricas no vácuo (as quais
podem formar buracos negros mesmo na ausência de matéria) [39]. Embora a
existência de fenômenos críticos pareça ser genérica, através destes trabalhos, foi
visto que o período de escala ∆ e o expoente crítico γ dependem não somente do
tipo de matéria considerada, mas também do tipo de colapso e da natureza da
auto-similaridade apresentada pela solução crítica.
Como já citado anteriormente, existe ainda um outro tipo de comportamento
crítico no limiar de formação de buracos negros, em que a evolução caminha
para uma solução crítica universal, porém estática, em vez de invariante sob uma
transformação de escala. Em conseqüência, a massa de buracos negros próximos
ao limiar adquire um valor universal finito, ao invés de apresentar uma função de
escala em lei de potência. Deste modo, analogamente aos fenômenos ocorridos nas
transições de fase de primeira e segunda ordem em Mecânica Estatística, o colapso
crítico é classificado em dois tipos quanto à característica da massa de formação
de buraco negro. Aqueles em que há uma massa finita no limiar de formação
de buracos negros, cuja solução crítica apresenta um intervalo de massa, ou seja,
a massa da solução crítica é não-nula, são chamados de Tipo I, já os em que a
massa obedece a uma função de escala em lei de potência, cuja solução crítica
apresenta massa nula e toma a forma dada pela Eq.(1.5), são chamados de Tipo
II. No colapso do Tipo II, as soluções críticas até agora encontradas apresentam
ou auto-similaridade discreta (ASD) [30] ou auto-similaridade homotética (ASH)
1
[40, 41, 42, 43, 44], dependendo dos campos de matéria. No colapso do Tipo I, as
soluções críticas não apresentam nenhum destes dois tipos de auto-similaridade.
1
Na literatura, auto-similaridade homotética também é chamada de auto-similaridade con-
tínua. Entretanto, a fim de a distiguirmos de auto-similaridade de outros tipos, nesta tese a
referiremos como auto-similaridade homotética ou auto-similaridade do primeiro tipo.
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional 13
Para certos campos de matéria, estes dois tipos de colapso podem coexistir. Para
o colapso do Tipo II, o expoente correspondente é universal somente em relação a
certos campos de matéria. Normalmente, diferentes campos de matéria possuem
diferentes soluções críticas e diferentes expoentes.
A universalidade do expoente γ está intimamente relacionada ao fato de que
as perturbações da solução crítica possuem um e somente um modo instável.
Esta propriedade é considerada como sendo o principal critério para uma solução
ser crítica ou não [4, 17, 45]. De fato, o modo instável, dito, k
1
(expoente de
Lyapunov), da solução crítica está relacionado ao expoente γ via a relação,
γ =
1
|k
1
|
, (1.13)
que pode ser obtida através de uma análise dimensional [29, 31, 32, 46].
A fim de entendermos melhor esta propriedade, recorreremos ao espaço de
fase anteriormente citado. Uma trajetória do espaço de fase que se inicia em
uma superfície crítica, por definição, jamais a abandona. Uma superfície crítica é
um sistema dinâmico por si só, com uma dimensão inferior. Caso esta superfície
possua um ponto fixo de atração, este será um ponto crítico. O fato de a solução
crítica ser um atrator de codimensão um é visível em suas perturbações lineares:
esta possui um número infinito de modos de pertubação decadentes tangenciais
à superfície crítica e um único modo crescente não tangencial à esta superfície.
Para o caso em que há ASH, qualquer trajetória que se inicia próximo à superfície
crítica, mas não necessariamente, ao ponto crítico, move-se quase paralamente
à esta superfície na direção do mesmo. À medida que o ponto crítico vai se
aproximando, o movimento paralelo à superfície torna-se mais lento e o ponto
de fase leva algum tempo movendo-se lentamente nas proximidades do ponto
crítico. Eventualmente ele move-se para longe do ponto crítico em direção ao
modo crescente e atinge um ponto fixo de atração. Este ponto é uma solução que
é independente do parâmetro de tempo t . Quando o ponto de fase se aproxima
ou do ponto fixo de dispersão ou do ponto fixo de buraco negro, parece realizar
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional 14
uma trajetória que parte do próprio ponto crítico. Todas as soluções próximas
à crítica estão passando por um desses dois funis. Todos os detalhes dos dados
iniciais são esquecidos, exceto a distância do limiar de formação de buraco negro.
Quanto mais próximo do ponto crítico estiver o ponto de fase inicial, mais a curva
da solução aproximar-se-á do ponto crítico e mais tempo permanecerá próximo ao
mesmo. A representação do espaço de fase na presença de um ponto crítico fixo
está esboçada na Fig. 1.1. No caso de haver ASD, em vez de um ponto fixo de
Figura 1.1: Representação do espaço de fase para o limiar de formação de buraco negro na
presença de um ponto crítico (ASH). As linhas com setas são evoluções temporais, correspon-
dendo aos espaços-tempos indicados. A linha sem seta representa uma família de um parâmetro
de dados iniciais que cruzam o limiar de formação de buraco negro em p = p
∗
.
atração, há um ciclo limite de atração, tal que a solução crítica, diferentemente
do caso anterior, é agora periódica no parâmetro de tempo t. A representação do
espaço de fase na presença de um ciclo limite está esboçada na Fig. 1.2.
Devido à complexidade matemática das ECE, freqüentemente impomos al-
1.3 Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional 15
Figura 1.2: Representação do espaço de fase na presença de um ciclo limite (ASD). O plano
representa a superfície crítica. O círculo é o ciclo limite representando a solução crítica. São
mostradas também duas trajetórias na superfície crítica sendo, portanto, atraídas ao ciclo limite,
além de outras duas fora desta superfície sendo repelidas pela mesma.
gumas simetrias ao sistema a fim de simplificarmos o problema. Por exemplo,
no caso de soluções esfericamente simétricas, ao impormos a ASH, as ECE serão
reduzidas de equações diferenciais parciais para ordinárias. Uma vez que as solu-
ções particulares sejam conhecidas, podemos estudar suas perturbações lineares
e encontrar o espectro dos auto-modos correspondentes.
Colapso crítico tem sido bastante estudado numericamente até o momento.
O estudo analítico, mesmo aplicando as simetrias citadas acima, continua sendo
muito complicado. Com a intenção de facilitar o estudo do colapso crítico, muitos
autores têm proposto trabalhos em espaços-tempos de menor dimensão. Recen-
temente, estudos numéricos, realizados por Pretorius e Choptuik [47], indicaram
a presença de fenômenos críticos no colapso gravitacional de um campo escalar
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral 16
sem massa em um espaço-tempo de fundo de anti-de Sitter em 2 + 1 dimensões.
Neste trabalho, a massa do buraco negro formado segue a função de escala dada
pela Eq.(1.5) com γ = 1, 20 ± 0, 02. O mesmo resultado foi obtido por Husain
e Olivier [48], porém o expoente obtido foi γ 0, 81. Ainda não está claro se
esta diferença é atribuída a erros numéricos ou a alguma física desconhecida até o
presente momento. Posteriormente a estes trabalhos numéricos, estudos analíti-
cos continuaram indicando a presença de tais fenômenos [49, 50, 51, 52, 53]. Em
particular, em [53] uma das soluções auto-similares de Garfinkle encontrada em
[49] foi identificada como sendo crítica, a qual é idêntica à numérica encontrada
em [47]. Mais recentemente, Wang encontrou uma outra solução crítica analítica,
porém agora em 3 + 1 dimensões [54].
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade
Geral
Geometricamente, auto-similaridade se refere à situação na qual a distribuição
espacial das características do movimento permanece similar a ela em todo o
tempo. No tratamento newtoniano da hidrodinâmica, uma solução Z (t, r) é
auto-similar se for da forma
Z (t, r) = Z
r
f (t)
, (1.14)
em que t e r são as variáveis independentes temporal e espacial, respectivamente,
e f (t) é uma função de escala dependente do tempo. Em conseqüência, qualquer
parâmetro constante adimensional das condições iniciais ou de contorno anulam-
se ou divergem [55].
A simplificação das ECE foi o motivo principal da utilização de modelos que
possuem soluções auto-similares, reduzindo o número de variáveis independentes,
e, conseqüentemente, a complexidade das equações, como já havia sido colocado
na seção anterior. Além desta, uma motivação física vem do fato de que as
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral 17
soluções auto-similares descrevem o comportamento “assintótico intermediário”
das soluções quando estão na região que não mais dependem de condições iniciais
e/ou de contorno, ou até mesmo longe do estado de equilíbrio do sistema [55].
Um sistema para ser considerado auto-similar, deve ser invariante sob uma
transformação apropriada de escala de variáveis independentes. Tais transforma-
ções formam o grupo de Lie. O gerador infinitesimal (gerador auto-similar) é
definido pela transformação infinitesimal do grupo de Lie e determina os invari-
antes da ação do grupo, que representam os invariantes das equações diferenciais
que são simplificadas quando as soluções são da forma dos invariantes.
A condição básica para um campo vetorial ξ ser um gerador auto-similar é que
existam constantes c
A
de forma que, para um dado campo físico independente A,
L
ξ
A = c
A
A, (1.15)
em que L
ξ
denota a diferenciação de Lie ao longo do campo vetorial ξ e o campo
A pode ser escalar (densidade de energia, pressão), vetorial (quadri-velocidade de
um fluido) ou tensorial (potencial métrico).
O estudo de soluções auto-similares tem exercido um papel importante para
muitos fenômenos físicos, incluindo os estudos de explosões nucleares (fortes)
[56, 57, 58] e de uma onda térmica [59, 60, 61].
Em Cosmologia, verificou-se também a presença de auto-similaridade, caracte-
rizada pela existência de uma relação entre a rápida expansão (e o rápido colapso)
com a invariância por mudança de escala. A expansão do universo partindo do
Big Bang e o colapso de uma estrela para uma singularidade devem ambos exibir
auto-similaridade de alguma forma, desde que as condições iniciais não sejam
consideradas. Na realidade, a possibilidade de que as flutuações evoluam natu-
ralmente, através das ECE, para uma solução auto-similar no regime não-linear
a partir de condições iniciais mais complicadas, tem sido estudada por vários
autores [42, 62].
Ainda em Cosmologia, auto-similaridade também está presente em vários es-
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral 18
tudos sobre distribuição fractal de galáxias [63, 64].
No contexto da TRG, Cahill e Taub [40] foram os primeiros a aplicarem o
conceito de auto-similaridade. Neste trabalho foram estudadas soluções esferi-
camente simétricas com ASH, mais tarde classificadas como sendo do primeiro
tipo, dentro de um contexto cosmológico, no qual é admitida uma distribuição
esfericamente simétrica de um fluido perfeito, cujo TEM é dado por
T
µν
= ( ρ + p) w
µ
w
ν
− pg
µν
, (1.16)
em que w
µ
denota a velocidade do fluido, ρ e p são, respectivamente, suas densi-
dade de energia e pressão. Este tipo de auto-similaridade impõe que as soluções
sejam compostas de tal forma que as variáveis dependentes sejam essencialmente
funções de uma única variável independente construída como uma combinação
de variáveis independentes. No caso, as soluções e as variáveis t e r são invari-
antes sob as transformações de coordenadas t
= at e r
= ar, nas quais a é uma
constante. Foi mostrado que a existência de ASH pode ser formulada invariante-
mente em termos de um vetor de Killing homotético, ξ
µ
, que satisfaz à equação
de Killing conforme,
L
ξ
g
µν
= 2g
µν
, (1.17)
da qual segue que
L
ξ
R
σ
µνλ
= 0 , (1.18)
donde
L
ξ
R
µν
= 0, (1.19)
implicando em
L
ξ
G
µν
= 0 , (1.20)
nas quais L
ξ
denota a diferenciação de Lie ao longo do campo vetorial ξ
µ
. No caso
de a fonte gravitacional ser um fluido perfeito com ASH, as quantidades físicas
se transformam como
L
ξ
w
µ
= −w
µ
, L
ξ
ρ = −2ρ, L
ξ
p = −2p, (1.21)
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral 19
da qual obtemos
L
ξ
T
µν
= 0 , (1.22)
que é consistente com as Eqs.(1.4) e (1.20). Embora neste caso os termos ge-
ométricos e as quantidades físicas permaneçam auto-similares, indicando auto-
similaridade geométrica, Eq.(1.20), e auto-similaridade física, Eq.(1.22), respec-
tivamente, o mesmo não necessariamente ocorre em casos de fluidos imperfeitos
[42]. Neste caso, mesmo que o tensor de Einstein satisfaça à Eq.(1.20), os ten-
sores de Ricci, de Riemann e métrico, não necessariamente devem satisfazer às
Eqs.(1.19), (1.18) e (1.17), respectivamente.
A existência de soluções auto-similares do primeiro tipo está relacionada às leis
de conservação e à invariância do problema com relação ao grupo das transforma-
ções similares das quantidades com dimensões independentes, apresentando uma
certa regularidade no processo limite na passagem do regime original, não auto-
similar, para o regime auto-similar (processo que é assumido implicitamente).
Entretanto, em geral, tal passagem a este limite pode não ser regular, visto que as
expressões para as variáveis auto-similares não são exclusivamente determinadas
a partir de uma análise dimensional do problema. Estas soluções são chamadas
de auto-similares do segundo tipo. Uma característica destas soluções é conter
constantes dimensionais que não são determinadas pelas leis de conservação [55].
A auto-similaridade cinemática (ASC) surgiu como uma generalização da
ASH. De acordo com a definição formulada por Carter e Henriksen [41], temos
L
ξ
w
µ
= −αw
µ
, (1.23)
L
ξ
h
µν
= 2 δh
µν
, (1.24)
nas quais L
ξ
denota a diferenciação de Lie ao longo do campo vetorial ξ
µ
, α e δ
são fatores de proporcionalidade constantes adimensionais que governam as taxas
de dilatação da escala de comprimento espacial e amplificação da escala temporal,
respectivamente, e h
µν
é o tensor projeção, definido por
h
µν
≡ g
µν
− w
µ
w
ν
, (1.25)
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral 20
que representa a projeção da métrica no tri-espaço ortogonal a w
µ
. A razão
independente de escala
α
δ
é denominada índice de similaridade. Podemos notar
que vários casos de auto-similaridade estão incluídos nas definições dadas pelas
Eqs.(1.23) e (1.24), dependendo dos valores relativos das constantes α e δ, sendo
classificados como:
(i) α = δ = 0: Neste caso, as Eqs.(1.23) e (1.24) são equivalentes a L
ξ
g
µν
= 0
(equações de Killing). Então, ξ
µ
é simplesmente um vetor de Killing.
(ii) α = δ, α, δ = 0: Neste caso, depois de uma renormalização do vetor ξ
µ
,
as Eqs(1.23) e (1.24) são equivalentes a L
ξ
g
µν
= 2g
µν
. Então, ξ
µ
é simplesmente
um vetor homotético.
(iii) δ = 0, α = 0: Neste caso, as Eqs.(1.23) e (1.24) tornam-se
L
ξ
w
µ
= −w
µ
, (1.26)
L
ξ
h
µν
= 0 , (1.27)
e a transformação é a de uma rotação rígida generalizada. As Eqs.(1.26) e (1.27)
compõem a definição para o vetor ξ
µ
ser auto-similar do tipo infinito.
(iv) α = δ, α = 0, 1, δ = 0: Neste caso, depois de uma renormalização do
vetor ξ
µ
, as Eqs.(1.23) e (1.24) podem ser simplificadas a
L
ξ
w
µ
= −αw
µ
, (1.28)
L
ξ
h
µν
= 2 h
µν
. (1.29)
As Eqs.(1.28) e (1.29) compõem a definição para o vetor ξ
µ
ser auto-similar
próprio. O caso em que α = 0 refere-se ao de auto-similaridade do tipo de ordem
zero, α = 1, ao de auto-similaridade do primeiro tipo (ou ASH) e α = 0, 1, ao de
auto-similaridade do segundo tipo.
Já tendo em mente o fato de que estudaremos espaços-tempos com 2 + 1 di-
mensões, mostraremos que o conceito de ASC introduzido por Carter e Henriksen
[41] em espaços tempos quadri-dimensionais pode ser facilmente generalizado a
espaços-tempos D-dimensionais, em que D é um número inteiro maior ou igual a
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral 21
3. A métrica, neste caso, é dada por
ds
2
= λ
2
γ
ab
(x
c
) dx
a
dx
b
− s
2
(x
c
) H
ij
x
k
dx
i
dx
j
, (1.30)
na qual λ é uma constante unitária com dimensão de comprimento, tal que todas
as coordenadas x
µ
e os coeficientes métricos γ
ab
e H
ij
são adimensionais. Neste
caso, os índices latinos a, b, c, ..., g, variam de 0 a 1, i, j, k, ..., de 2 a D − 1 e
os índices gregos µ, ν, ..., de 0 a D − 1. Utilizando o fato de que esta métrica é
invariante sob as tranformações de coordenadas
x
a
= x
a
x
c
, x
i
= x
i
x
j
, (1.31)
podemos escolhê-las de forma que tenhamos
w
µ
= ( g
00
)
1/2
δ
0
µ
, g
01
= 0, (1.32)
implicando que o sistema de coordenadas seja comóvel com o fluido perfeito es-
tudado neste caso. Portanto, a métrica dada pela Eq.(1.30) pode ser reescrita na
forma,
ds
2
= λ
2
e
2Φ(t,r)
dt
2
− e
2Ψ(t,r)
dr
2
− r
2
S
2
(t, r) H
ij
x
k
dx
i
dx
j
. (1.33)
Aplicando a esta métrica a definição de ASC, dada pelas Eqs.(1.28) e (1.29),
temos que todas as quantidades físicas são funções de uma única variável auto-
similar independente, z, a qual definiremos mais à frente de acordo com o tipo de
auto-similaridade. Assim, como no caso esfericamente simétrico, mostrado por
Carter e Henriksen [41], para o espaço-tempo D-dimensional dado pela Eq.(1.33),
também pode ser mostrado que existem coordenadas comóveis nas quais o gerador
auto-similar é dado por
ξ
µ
∂
∂x
µ
= (αt + β)
∂
∂t
+ r
∂
∂r
, (1.34)
tal que as funções Φ, Ψ e S da métrica dada pela Eq.(1.33) são funções apenas
da variável auto-similar z, ou seja
Φ (t, r) = Φ (z) , Ψ (t, r) = Ψ (z) , S (t, r) = S (z) . (1.35)
1.4 Auto-Similaridade na Teoria da Relatividade Geral 22
No caso de simetria esférica, a métrica seria dada por
ds
2
= λ
2
e
2Φ
dt
2
− e
2Ψ
dr
2
− r
2
S
2
dΩ
2
, (1.36)
em que dΩ
2
≡ dθ
2
+ sin
2
θdϕ
2
. O coeficiente métrico usual R (t, r), denominado
raio geométrico, é dado por R = rS. Esta métrica possui a mesma forma daquela
apresentada em [40] e as equações diferenciais de campo reduzem-se a um sistema
de equações diferenciais ordinárias.
No caso de auto-similaridade do tipo de ordem zero, α = 0, β pode ser rees-
calado à unidade e a variável auto-similar é dada por
z = re
−t
. (1.37)
Um exemplo deste caso é a solução de Henriksen et al. [65], no qual uma constante
dimensional é introduzida através da constante cosmológica [41].
No caso de auto-similaridade do primeiro tipo, ASH, α = 1, β pode ser rede-
finido como zero e a variável auto-similar toma a forma
z =
r
−t
. (1.38)
No caso mais geral, correspondente à auto-similaridade do segundo tipo, α =
0, 1, β redefinido como zero e a variável auto-similar é expressa por
z = r(−t)
−
1
α
. (1.39)
De agora em diante utilizaremos a variável auto-similar x, tal que x ≡ ln z. Um
importante exemplo de auto-similaridade do segundo tipo é fornecido por uma
classe de modelos de fluidos perfeitos com pressão nula, isto é, modelos de poeira
nos quais w
µ
é geodésico, ou seja, Φ
,x
= 0, na Eq.(1.36), estudados primeiramente
por Lynden-Bell e Lemos [66] e posteriormente descritos mais detalhadamente por
Henriksen [67] e Carter e Henriksen [41].
Resumidamente, os três tipos de ASC podem então ser apresentados como
1.5 Plano Geral do Trabalho 23
Tipo de ordem zero: x = ln r − t, ξ
µ
∂
∂x
µ
=
∂
∂t
+ r
∂
∂r
;
Primeiro tipo: x = ln
r
−t
, ξ
µ
∂
∂x
µ
= t
∂
∂t
+ r
∂
∂r
;
Segundo tipo: x = ln
r
(−t)
1
α
, ξ
µ
∂
∂x
µ
= αt
∂
∂t
+ r
∂
∂r
, (α = 0, 1) .
Embora o caso de ASH possa ser considerado como sendo um caso particular
da auto-similaridade do segundo tipo com α = 1, a física nos dois casos é diferente,
pois as reescalas relativas de espaço e tempo não são as mesmas, diferentemente
daquelas anteriormente citadas, estudadas em [40]. Claramente, quando as coor-
denadas t e r são reescaladas para t
= at e r
= ar, nas quais a é uma constante,
a variável auto-similar x permanece inalterada apenas no caso homotético. No
caso do tipo de ordem zero há uma dilatação espacial sem qualquer amplificação
temporal.
1.5 Plano Geral do Trabalho
O presente trabalho se constitui na investigação da ocorrência de fenôme-
nos críticos no processo de colapso gravitacional de fluido perfeito em espaços-
tempos (2 + 1)-dimensionais circularmente simétricos com ASC do tipo de or-
dem zero, primeiro e segundo tipos. Este trabalho se desenvolve da seguinte
forma: após o primeiro capítulo, onde expomos os principais tópicos utilizados
no decorrer deste trabalho, como Fenômenos Críticos em Colapso Gravitacional
e Auto-Similaridade na TGR, apresentamos um estudo de gravitação em 2 + 1
dimensões, definimos formalmente horizontes aparentes e buracos negros. Na
seqüência, estudamos as ECE com ASC para o caso de fluido perfeito. No ca-
pítulo seguinte, analisamos a estabilidade de soluções representantes de colapso
gravitacional encontradas no capítulo anterior, através de perturbações lineares,
a fim de encontrarmos possíveis soluções críticas. No último capítulo, apresenta-
mos nossas conclusões gerais e perspectivas para trabalhos futuros. Esta tese se
1.5 Plano Geral do Trabalho 24
encerra com três apêndices. No primeiro, apresentamos uma base de geometria
diferencial e cálculo tensorial, juntamente com os tensores de Riemann, de Ricci e
de Einstein entre outros necessários para o entendimento de espaços-tempos. No
segundo, encontramos as expressões dos componentes do tensor de Einstein com
ASC. Finalmente, no terceiro, encontramos as ECE linearmente perturbadas.
Capítulo 2
Colapso Gravitacional em
Espaços-Tempos
(2 + 1)-Dimensionais
Iniciamos este capítulo com uma apresentação do estudo de gravitação em
espaços-tempos com duas dimensões espaciais e uma temporal. Em seguida,
espaços-tempos circularmente simétricos são estudados. Uma definição formal
de horizonte aparente e as condições necessárias para a existência de um buraco
negro são apresentadas. No final, são feitas aplicações de ASC a espaços-tempos
circularmente simétricos.
2.1 Gravitação em 2 + 1 Dimensões
Nesta seção descreveremos as motivações que levaram a serem realizados estu-
dos de modelos de gravitação em espaços-tempos (2 + 1)-dimensionais, faremos
um breve histórico, além de expormos suas peculiaridades e conseqüências ao
colapso gravitacional.
2.1 Gravitação em 2 + 1 Dimensões 26
2.1.1 Motivações
Estudos de fenômenos similares em dimensões inferiores são comuns de se-
rem realizados quando os cálculos em modelos quadri-dimensionais são difíceis de
serem executados. Modelos físicos em dimensões inferiores são importantes prin-
cipalmente porque ajudam a originar novas idéias e estimular novas perspicácias
a seus correlatos em dimensões superiores. O primeiro trabalho envolvendo um
modelo de gravitação em 2 + 1 dimensões data de 1963, quando Staruszkiewicz
descreveu o comportamento de soluções estáticas com fontes puntuais [68]. Arti-
gos ocasionais apareceram ao longo dos vinte anos seguintes [69, 70, 71]. Porém,
o recente aumento de interesse por estes modelos se deu a partir de trabalhos
publicados nos meados da década de 80, devendo ser creditado a dois grupos:
Deser, Jackiw e ’t Hooft [72, 73, 74], que examinaram tanto a dinâmica clás-
sica quanto a quântica de tais fontes, e Witten [75, 76, 77], que redescobriu e
explorou a representação de gravitação em 2 + 1 dimensões como uma teoria de
Chern-Simons. Desde então, iniciou-se a publicação de uma série de artigos en-
volvendo toy models em espaços-tempos (2 + 1)-dimensionais, principalmente em
TRG, Teoria Quântica de Campos, Física de Partículas e Teoria de Cordas.
Fora as razões já citadas, como a praticidade na resolução das equações de
modelos físicos em dimensões inferiores, uma outra motivação vem da ocorrência
de fenômenos críticos em colapso gravitacional, como já colocado na seção 1.3, em
que no caso de espaços-tempos (2 + 1)-dimensionais, foi mostrado recentemente
que o problema do colapso gravitacional de um campo escalar é significativamente
mais simples, possibilitando um estudo analítico de todo o processo de colapso,
incluindo a verificação da presença ou não de tais fenômenos.
2.1 Gravitação em 2 + 1 Dimensões 27
2.1.2 Teoria da Relatividade Geral em Espaços-Tempos
(2 + 1) -Dimensionais
A TRG em espaços-tempos tri-dimensionais exibe algumas características in-
comuns, que podem ser deduzidas das propriedades das ECE e do tensor de
curvatura. A forma geral destas equações para espaços-tempos com um número
qualquer de dimensões é a mesma dada pela Eq.(1.4). No entanto, enquanto que
para quatro dimensões os tensores de Einstein e de Ricci possuem dez compo-
nentes independentes e o de Riemann, vinte, para três dimensões estes tensores
possuem o mesmo número de componentes independentes, seis. Logo, podemos
expressar o tensor de Riemann em termos do tensor de Einstein (ou de Ricci),
para espaços-tempos tri-dimensionais, como
R
µνσλ
= g
µσ
G
νλ
+ g
νλ
G
µσ
− g
µλ
G
νσ
− g
νσ
G
µλ
+ G (g
µλ
g
νσ
− g
µσ
g
νλ
) . (2.1)
A substituição da Eq.(1.3) na Eq.(2.1) mostra que a curvatura do espaço-tempo
é completamente determinada pela distribuição de matéria, T
µν
. Em particular,
regiões livres de fontes de matéria, ou seja, em que T
µν
= 0, apresentam curva-
tura nula, isto é, o espaço-tempo é localmente plano. Isto significa que não há
propagação de campo gravitacional no vácuo, não havendo geração de ondas gra-
vitacionais e interação entre massas [78]. Devido a este fato, como não se sente a
atração gravitacional da estrela, a luz emitida da superfície desta sempre escapa
até o infinito. Desta forma, buracos negros somente podem ser formados se hou-
ver a presença de uma constante cosmológica não-nula (negativa, de acordo com
Bañados, Teiteboim e Zanelli [79], tal que o espaço-tempo é assintoticamente de
anti-de Sitter) ou se todo o espaço-tempo for preenchido por campos de matéria,
como no caso de fluidos perfeitos com ASC, estudado nesta tese.
2.2 Espaços-Tempos Circularmente Simétricos 28
2.2 Espaços-Tempos Circularmente Simétricos
Conforme a Eq.(1.33), a métrica geral de espaços-tempos (2 + 1)-dimensionais
com simetria circular pode ser expressa na forma,
ds
2
= λ
2
e
2Φ(t,r)
dt
2
− e
2Ψ(t,r)
dr
2
− r
2
S
2
(t, r) dθ
2
, (2.2)
em que as hipersurperfícies θ = 0 , 2π são identificadas e ξ
(θ)
= ∂
θ
é o vetor
de Killing correspondente. Os componentes não-nulos da conexão métrica e do
tensor de Einstein são apresentados no apêndice B.
A fim de que tenhamos simetria circular, algumas propriedades físicas e geo-
métricas devem ser impostas [80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87]. Em geral, estas não
são triviais. De fato, somente quando o eixo de simetria é livre de singularidades
de espaço-tempo, sabemos como impor estas condições. Como nesta tese o inte-
resse maior é o colapso gravitacional, assumiremos que o eixo é regular no início
do colapso e a singularidade, formada posteriormente no eixo, é devida ao colapso
do fluido. Da mesma forma que em [88], impomos as seguintes condições:
(i) Deve existir um eixo de simetria, que pode ser expresso como
X ≡
ξ
µ
(θ)
ξ
ν
(θ)
g
µν
→ 0, (2.3)
quando r → 0
+
, com a coordenada radial escolhida de tal maneira que o eixo
esteja localizado em r = 0.
(ii) O espaço-tempo nas proximidades do eixo de simetria é localmente plano,
tal que o qual pode ser escrito como [89]
X
,µ
X
,ν
g
µν
4X
→ −1, (2.4)
quando r → 0
+
. Note que soluções que não satisfazem a esta condição são
algumas vezes aceitas. Por exemplo, quando o lado esquerdo da Eq.(2.4) se
aproxima de uma constante finita, a singularidade em r = 0 pode ser relacionada
a uma partícula tipo-ponto em 2 + 1 dimensões [90]. Contudo, uma vez que
2.2 Espaços-Tempos Circularmente Simétricos 29
aqui estamos interessados principalmente em colapso gravitacional, nesta tese
assumiremos que esta condição deve ser aplicada apenas ao início do colapso.
(iii) Ausência de curvas tipo-tempo fechadas (CTF’s). Em espaços-tempos
com simetria circular, CTF’s pode ser facilmente introduzidas. Como a física das
CTF’s ainda não está clara [91], esta possibilidade não será considerada neste
trabalho. Simplesmente, a fim de que seja assegurada a ausência deste tipo de
curvas, vamos assumir que
ξ
µ
(θ)
ξ
ν
(θ)
g
µν
< 0, (2.5)
é válida em toda a região do espaço-tempo considerado.
De agora em diante, referiremo-nos às condições dadas pelas Eqs.(2.3)-(2.5)
simplesmente como condições de regularidade.
2.2.1 Horizontes Aparentes e Buracos Negros Circularmen-
te Simétricos
A fim de apresentarmos uma definição rigorosa de horizontes aparentes e bu-
racos negros em espaços-tempos com simetria circular, introduziremos duas novas
coordenadas u e v através das seguintes relações
du = f
e
Φ
dt − e
Ψ
dr
, dv = g
e
Φ
dt + e
Ψ
dr
, (2.6)
nas quais f e g satisfazem as condições de integrabilidade para u e v,
∂
2
u
∂t∂r
=
∂
2
u
∂r∂t
,
∂
2
v
∂t∂r
=
∂
2
v
∂r∂t
. (2.7)
Sem que haja perda de generalidade, assumiremos que estas funções são estrita-
mente positivas,
f > 0, g > 0. (2.8)
Então, é fácil mostrar que, em termos de u e v, a métrica dada pela Eq.(2.24)
toma a forma
ds
2
= λ
2
2e
2σ(u,v)
dudv − R
2
(u, v) dθ
2
, (2.9)
2.2 Espaços-Tempos Circularmente Simétricos 30
em que
σ (u, v) = −
1
2
ln (2fg) , R (u, v) = rS . (2.10)
Devemos notar que a métrica dada pela Eq.(2.9) é invariante sob as transforma-
ções
u = u (¯u) , v = v (¯v) . (2.11)
Usando esta liberdade de calibre, assumiremos que esta métrica não possui singu-
laridades de coordenadas em u, v e θ. Isto, em particular, implica que σ é finito
exceto em alguns pontos em algumas superfícies onde o espaço-tempo é singular.
Seguindo [92, 93], primeiro introduziremos os vetores nulos v
µ
e u
µ
por
v
µ
= δ
µ
v
, u
µ
= δ
µ
u
, (2.12)
e as formas diferenciais normais l
µ
e n
µ
por
l
λ
≡
∂u
∂x
λ
= δ
u
λ
, n
λ
≡
∂v
∂x
λ
= δ
v
λ
. (2.13)
Logo, temos que
l
µ
≡ g
µν
l
ν
= λ
−2
e
−2σ
v
µ
, n
µ
≡ g
µν
n
ν
= λ
−2
e
−2σ
u
µ
. (2.14)
Claramente, o vetor v
µ
ou l
µ
é tangente às hipersuperfícies u = const., e o vetor
u
µ
ou n
µ
é tangente às hipersuperfícies v = const. [cf. Fig. 1].
A métrica induzida no anel de coordenadas u e v constantes, em termos das
formas diferenciais normais, é dada por
h
µν
≡ g
µν
− λ
2
e
2σ
(l
µ
n
ν
+ l
ν
n
µ
) = −λ
2
R
2
δ
θ
µ
δ
θ
ν
. (2.15)
Logo, as expansões dos raios nulos u = const. e v = const . são definidas, respec-
tivamente, por [92, 93]
θ
l
≡
1
2
h
αβ
L
v
h
αβ
=
R
,v
R
,
θ
n
≡
1
2
h
αβ
L
u
h
αβ
=
R
,u
R
, (2.16)
2.2 Espaços-Tempos Circularmente Simétricos 31
vu
t
r
0
α
l
n
α
Σ Σ
u v
u v
0 0
Figura 2.1: Espaço-tempo no plano (u, v), descrito pela métrica dada pela Eq.(2.9). Σ
u
(Σ
v
)
é a hipersuperfície u = u
0
(v = v
0
), l
µ
e v
µ
(n
µ
e u
µ
) são tangentes a esta.
nas quais L
v
(L
u
) denota a derivada de Lie ao longo do vetor v
µ
(u
µ
). Portanto,
θ
l
representa a expansão da congruência de raios nulos emitidos radialmente para
fora da origem (emergentes), ao passo que, θ
n
, a daquela cujos raios nulos são emi-
tidos radialmente para dentro, em direção à origem (imergentes). Das expressões
acima, pode ser mostrado que
L
u
θ
l
= L
v
θ
n
=
R
,uv
R
− θ
l
θ
n
. (2.17)
Definição 1 : Um anel, C, de coordenadas u e v constantes (ou t e r cons-
tantes) é definido como sendo aprisionado, marginalmente aprisionado ou não-
aprisionado, se θ
l
θ
n
> 0, θ
l
θ
n
= 0 ou θ
l
θ
n
< 0, respectivamente.
Definição 2 : Considerando um anel marginalmente aprisionado, como a linha
na qual θ
l
|
C
= 0, um horizonte aparente
1
(ou horizonte de aprisionamento na
1
Devemos notar que os horizontes aparentes normalmente são definidos nos espaços-tempos
que são regulares previsíveis [9], enquanto que os aqui adotados, originalmente devido a Hayward
[92, 93], não possuem restrições. Portanto, neste sentido, eles são a generalização dos usuais.
Devido a este motivo, Hayward os chamou de horizontes de aprisionamento.
2.2 Espaços-Tempos Circularmente Simétricos 32
terminologia de Hayward [92, 93]) é definido como sendo uma bi-superfície H
foliada por anéis marginalmente aprisionados, nos quais θ
n
|
H
= 0 .
Definição 3 : Um horizonte aparente é definido como sendo mais externo,
degenerado ou mais interno, se L
u
θ
l
|
H
< 0, L
u
θ
l
|
H
= 0 ou L
u
θ
l
|
H
> 0, respecti-
vamente.
Definição 4 : Um horizonte aparente também é definido como sendo futuro,
se θ
n
|
H
< 0 e, passado, se θ
n
|
H
> 0.
Um buraco negro, de acordo com a definição dada por Hayward [92, 93], existe,
se uma singularidade de espaço-tempo é formada juntamente com um horizonte
aparente futuro mais externo (veja também Ida [94]), embora, de acordo com
o próprio Hayward, sua definição poderia ser estendida ao caso em que este é
futuro degenerado. Esta definição estendida coincide com a dada por Tipler [95].
Tal generalização conserva ainda a idéia de que os raios de luz imergentes devem
ser convergentes, isto é, θ
n
|
H
< 0 e os emergentes devem ser instantaneamente
paralelos no horizonte, θ
l
|
H
= 0, divergentes fora do mesmo, θ
l
|
H+δH
> 0 e
convergentes dentro deste, θ
l
|
H−δH
< 0. Nesta tese definiremos um buraco negro
pela existência de um horizonte aparente futuro mais externo ou degenerado.
É interessante notar que as definições acima podem também ser dadas em
termos da norma do vetor de Killing ξ
µ
(θ)
[92, 93],
R ≡
ξ
α
(θ)
ξ
β
(θ)
g
αβ
1/2
. (2.18)
De fato, pode ser mostrado que
(∇
α
R) (∇
α
R) = 2R
2
e
−2σ
θ
l
θ
n
,
R ≡ g
αβ
∇
α
∇
β
R =
2e
−2σ
R
(L
u
θ
l
+ 2θ
l
θ
n
) . (2.19)
Desta forma, um anel, C, de coordenadas u e v constantes é definido como sendo
aprisionado, marginalmente aprisionado ou não-aprisionado, se ∇
α
R for tipo-
tempo, tipo-nulo ou tipo-espaço, respectivamente. O horizonte aparente é defi-
nido como mais externo, degenerado ou mais interno, se R|
H
< 0, R|
H
= 0
2.2 Espaços-Tempos Circularmente Simétricos 33
ou R|
H
> 0, respectivamente e futuro (passado), se ∇
α
R|
H
for futuro (passado)
causal.
Em outras palavras, da Eq.(2.6), temos que
∂t
∂u
=
1
2f
e
−Φ
,
∂t
∂v
=
1
2g
e
−Φ
,
∂r
∂u
= −
1
2f
e
−Ψ
,
∂r
∂v
=
1
2g
e
−Ψ
, (2.20)
da qual, temos que
θ
l
=
R
,v
R
=
1
2gR
e
−Φ
R
,t
+ e
−Ψ
R
,r
,
θ
n
=
R
,u
R
=
1
2fR
e
−Φ
R
,t
− e
−Ψ
R
,r
. (2.21)
Para as soluções com auto-similaridade do tipo de ordem zero, as Eqs. (B.6),
(2.21) e (2.19) implicam em
θ
l
=
1
2rg
(1 + y) e
−Ψ
− ye
x+τ−Φ
,
θ
n
= −
1
2rf
(1 + y) e
−Ψ
+ ye
x+τ−Φ
,
R =
rS
λ
e
−2Φ
[y
,x
+ y (Ψ
,x
− Φ
,x
+ 2y)]
−
S
λr
e
−2Ψ
[y
,x
+ (1 + y) (Φ
,x
− Ψ
,x
+ 2y + 1)] , (α = 0) , (2.22)
enquanto que para aquelas do primeiro e segundo tipos, as mesmas tornam-se [cf.
Eq.(B.13)],
θ
l
=
1
2αrg
α (1 + y) e
−Ψ
+ ye
x+(α−1)τ/α−Φ
,
θ
n
= −
1
2αrf
α (1 + y) e
−Ψ
− ye
x+(α−1)τ/α−Φ
,
R =
rS
λα
2
t
2
e
−2Φ
[y
,x
+ y (Ψ
,x
− Φ
,x
+ 2y + α)]
−
S
λr
e
−2Ψ
[y
,x
+ (1 + y) (Φ
,x
− Ψ
,x
+ 2y + 1)] , (α = 0) . (2.23)
2.3 Auto-Similaridade Cinemática em Espaços-Tempos
Circularmente Simétricos 34
2.3 Auto-Similaridade Cinemática em Espaços-
Tempos Circularmente Simétricos
Admitindo a hipótese de haver ASC em espaços-tempos (2 + 1)-dimensionais
com simetria circular, a métrica dada pela Eq.(2.2) pode ser reescrita como
ds
2
= λ
2
e
2Φ(x)
dt
2
− e
2Ψ(x)
dr
2
− r
2
S
2
(x) dθ
2
. (2.24)
Devemos notar que esta métrica é invariante sob as transformações,
t = A
¯
t, r = B¯r, g
µν
= C
2
¯g
µν
, (2.25)
para soluções auto-similares do primeiro e segundo tipos e
t =
¯
t + A, r = B¯r, g
µν
= C
2
¯g
µν
, (2.26)
para soluções auto-similares do tipo de ordem zero, nas quais A, B e C são
constantes arbitrárias.
As condições de regularidade são invariantes sob as transformações acima
apresentadas, Eq.(2.25) ou Eq.(2.26). Utilizando estas transformações, de agora
em diante, assumiremos que
Φ (t, 0) = 0, (2.27)
isto é, a coordenada tipo-tempo t mede o tempo próprio sobre o eixo, sendo uma
condição de calibre, que nos referiremos algumas vezes mais adiante.
Somado a estas mesmas condições de regularidade, normalmente também é
exigido que o espaço-tempo seja assintoticamente plano na direção radial. Con-
tudo, ao considerarmos soluções com auto-similaridade, esta condição não pode
ser satisfeita, ao menos que restrinjamos a validade destas soluções somente até
um raio máximo, dito, r = r
0
(t). Portanto, necessitamos fazer a junção destas
soluções com outras na região r > r
0
(t), que são assintoticamente planas quando
r → ∞. Nesta tese, não será considerada esta possibilidade. Aqui simplesmente
assumiremos que as soluções auto-similares são válidas em todo o espaço-tempo.
2.3 Auto-Similaridade Cinemática em Espaços-Tempos
Circularmente Simétricos 35
As expressões dos componentes não-nulos do tensor de Einstein para espaços-
tempos circularmente simétricos com ASC também são apresentadas no apêndice
B.
Capítulo 3
Soluções das Equações de Campo
de Einstein com Auto-Similaridade
Cinemática
Conforme já mencionado anteriormente, as ECE, dadas pela Eq.(1.4), são o
elo entre a geometria (imposta pelo campo gravitacional) e a matéria-energia
(ou o fluido) componente do espaço-tempo. Visto que suas soluções nem sempre
são fáceis de serem encontradas, uma das saídas para vencermos este obstáculo
é aplicarmos algum tipo de simetria, como no caso de ASC aqui estudado. Nas
seções subsequentes estudaremos soluções com ASC dos tipos de ordem zero,
primeiro e segundo, respectivamente, sendo algumas representantes de colapso
gravitacional [96].
3.1 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Zero 37
3.1 Soluções das Equações de Campo de Einstein
com Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Ze-
ro
Neste caso, combinando as Eqs.(1.16) e (B.9), as ECE podem ser expressas
na seguinte forma:
y
,x
− (1 + y) (Ψ
,x
− y) − yΦ
,x
= 0 , (3.1)
Φ
,xx
+ Φ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− y − 2) = 0 , (3.2)
Ψ
,xx
− Ψ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
+ y + 1) + y = 0, (3.3)
e
ρ =
y
λ
2
r
2
r
2
e
−2Φ
Ψ
,x
− e
−2Ψ
Φ
,x
,
p =
1
λ
2
r
2
(1 + y)e
−2Ψ
Φ
,x
− r
2
e
−2Φ
[(1 + y) Ψ
,x
− y]
. (3.4)
Ao escrevermos as Eqs.(3.2) - (3.4), usamos a Eq.(3.1). Das equações acima,
podemos notar que as ECE são suficientes para determinarmos completamente
os coeficientes métricos Φ (x), Ψ (x) e S (x). A pressão e a densidade de energia
do fluido podem ser correlacionadas através de uma equação de estado. Em geral,
tomamos a forma [97],
ρ = ρ (T, Σ) , (3.5)
p = p (T, Σ) , (3.6)
em que T e Σ são, respectivamente, a temperatura e a entropia do sistema.
Entretanto, em alguns casos o sistema depende fracamente da sua temperatura,
de tal modo que a equação de estado pode ser escrita aproximadamente como
p = p (ρ). De acordo com Maeda et al [98], a simetria da auto-similaridade do
tipo de ordem zero é inconsistente com a equação politrópica tanto do tipo
p = Kρ
β
, (3.7)
3.1 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Zero 38
quanto
p = Kn
β
, (3.8)
ρ = m
b
n +
p
β − 1
, (3.9)
a menos que façamos β = 1, em que K é uma constante arbitrária, a constante
m
b
denota a massa bariônica média e n (t, r), a densidade de número bariônico
[97]. Portanto, consideraremos a seguir somente o caso β = 1, ou seja,
p = Kρ. (3.10)
Então, combinando a Eq.(3.10) com a Eq.(3.4), temos que
[1 + (1 + K) y] Φ,
x
= 0 , (3.11)
[1 + (1 + K) y] Ψ,
x
−y = 0. (3.12)
As equações acima possuem soluções somente quando 1 + (1 + K) y = 0. Sendo
assim, para esta equações, encontramos
Φ = Φ
0
, (3.13)
Ψ
,x
=
y
1 + (1 + K) y
. (3.14)
Claramente, para a solução dada pela Eq.(3.13), a Eq.(3.2) é satisfeita identica-
mente. A fim de resolvermos as Eqs.(3.1), (3.3) e (3.14), consideraremos os casos
y = −1 e y = −1 separadamente.
3.1.1 Caso y = −1
Quando y = −1, das Eqs.(3.14) e (3.1), temos que
Ψ
,xx
=
y
,x
1 + (1 + K) y
[1 − (1 + K) Ψ
,x
] ,
Ψ
,x
=
y
,x
1 + y
+ y. (3.15)
3.1 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Zero 39
Substituindo a Eq.(3.15) na Eq.(3.3), obtemos
Ky
,x
[y
,x
+ 2y (1 + y)] = 0, (3.16)
cujas soluções são:
(i) K = 0,
(ii) y
,x
= 0 ,
(iii) y
,x
+ 2y (1 + y) = 0. (3.17)
(i) K = 0: Neste caso, as Eqs.(3.1) e (3.14) implicam em
y
,x
+ y
2
= 0 , (3.18)
que possui a solução
S (x) = S
0
(x
0
− x) . (3.19)
Substituindo-a na Eq.(3.14) e depois integrando a equação resultante, temos que
Ψ = ln (x
0
− x − 1) + Ψ
0
. Deste modo, a solução geral, neste caso, é dada por
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = ln (x
0
− x − 1) + Ψ
0
,
S (x) = S
0
(x
0
− x) , (K = 0) . (3.20)
Pode-se mostrar que as condições de regularidade e a de calibre requerem Φ
0
= 0
e S
0
= e
Ψ
0
. Em outras palavras, usando as transformações dadas pela Eq.(2.26),
podemos fazer Ψ
0
= 0 e x
0
= 0, e as soluções podem ser finalmente escritas na
seguinte forma,
Φ (x) = 0,
Ψ (x) = ln [(−x) − 1] ,
S (x) = −x, (K = 0) . (3.21)
3.1 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Zero 40
Note que, ao escrevermos as expressões acima, nos restringimos à região x ≤ −1,
que inclui o eixo r = 0 ou x = −∞ [cf. Eq.(B.4)]. Então, a densidade de energia
e a pressão correspondentes são dadas, respectivamente, por
ρ =
1
λ
2
(−x) [(−x) − 1]
, p = 0, (x ≤ −1) . (3.22)
Destas expressões, podemos ver que o espaço-tempo é singular na hipersuperfície
x = −1 [cf. Fig. 3.1].
r
t
0
1
x = − 1
II
I
Figura 3.1: Espaço-tempo no plano (t, r) para as soluções dadas pela Eq.(3.21). Na Região
I, temos θ
l
> 0, θ
n
> 0, enquanto que na Região II, temos θ
l
> 0, θ
n
< 0, nas quais
I ≡ {x
µ
: x < −1, r > 1} e II ≡ {x
µ
: x < −1, r < 1}. Os anéis de t e r constantes são
aprisionados na Região I (θ
l
θ
n
> 0) , porém não na Região II (θ
l
θ
n
< 0). O espaço-tempo é
singular na hipersuperfície x = −1, e a natureza da singularidade é tipo-tempo.
O vetor normal às hipersuperfícies x = const. é dado por
N
α
≡
∂ (x − x
0
)
∂x
α
= −δ
t
α
+
1
r
δ
r
α
. (3.23)
Assim, no presente caso, temos
N
α
N
α
= 1 −
1
r
2
(1 + x)
2
→ −∞, (3.24)
3.1 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Zero 41
quando x → −1, ou seja, a singularidade do espaço-tempo em x = −1 é tipo-
tempo. Da Eq.(2.22), em outras palavras, as expansões dos raios de luz emergen-
tes e imergentes, são respectivamente dadas por
θ
l
=
1
2rg (−x)
(1 + r) ,
θ
n
= −
1
2rf (−x)
(1 − r) . (3.25)
Uma vez que x ≤ −1, podemos ver que θ
l
é sempre positivo nesta região e θ
n
muda
de sinal quando se atravessa a hipersuperfície r = 1. Diante destas propriedades,
a interpretação física destas soluções não está clara para nós (se é que há alguma).
(ii) y
,x
= 0: Neste caso, é fácil de se mostrar que a solução geral é dada por
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = ax + Ψ
0
,
S (x) = S
0
e
ax
, K = −1, (3.26)
para a qual temos que
ρ = −p =
a
2
e
−2Φ
0
λ
2
. (3.27)
Esta é uma solução de de Sitter tri-dimensional. De fato, fazendo
t = e
−Φ
0
¯
t +
Ψ
0
a
, r = [(1 + a) ¯r]
1/(1+a)
,
θ =
e
Ψ
0
(1 + a) S
0
¯
θ, β ≡ ae
−Φ
0
, (3.28)
temos que a métrica correspondente pode ser expressa da seguinte forma
ds
2
= λ
2
d
¯
t
2
− e
−2β
¯
t
d¯r
2
+ ¯r
2
d
¯
θ
2
. (3.29)
(iii) y
,x
+ 2y (1 + y) = 0: Neste caso, das Eqs.(3.1) e (3.14), temos que
Ψ
,x
= −y, (3.30)
y = −
2
1 + K
, (3.31)
que é inconsistente com a condição y
,x
+2y (1 + y) = 0. Assim, não existe solução
para este caso.
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 42
3.1.2 Caso y = −1
Quando y = −1, das Eqs.(3.3) e (3.14), temos que
Ψ
,x
= 1 , K = 1, (3.32)
que juntamente com a Eq.(3.13) implica na seguinte solução geral
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = x + Ψ
0
,
S (x) = S
0
e
−x
, K = 1. (3.33)
Podemos mostrar que a densidade de energia é negativa e dada por
ρ = p = −
e
−2Φ
0
λ
2
. (3.34)
Desta forma, neste caso a solução é não-física.
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein
com Auto-Similaridade do Primeiro Tipo
Neste caso, substituindo as Eqs.(1.16), (1.32) e (B.15) com α = 1 nas ECE,
obtemos
y
,x
− (1 + y) (Ψ
,x
− y) − yΦ
,x
= 0, (3.35)
Φ
,xx
+ Φ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− y − 2)
− e
2(x+Ψ−Φ)
[Ψ
,xx
− Ψ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
+ y)] = 0, (3.36)
e
ρ =
ye
−2Ψ
λ
2
r
2
Ψ
,x
e
2(x+Ψ−Φ)
− Φ
,x
,
p = −
(y + 1) e
−2Ψ
λ
2
r
2
Ψ
,x
e
2(x+Ψ−Φ)
− Φ
,x
. (3.37)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 43
Ao contrário do caso de auto-similaridade do tipo de ordem zero e, como veremos
mais adiante na seção 3.3, do segundo tipo também, aqui, claramente, a fim de
determinarmos os coeficientes métricos completamente, é necessário impormos
uma equação de estado de estado ao fluido perfeito. A seguir, mostraremos
que da mesma forma que para o caso anterior, a única equação de estado que
é consistente com a simetria de ASH é dada novamente pela Eq.(3.10). Para
mostrarmos isto, vamos considerar primeiro a Eq.(3.37) na forma
ρ =
f (x)
r
2
, (3.38)
p =
g (x)
r
2
. (3.39)
Logo, da Eq.(3.38), temos que
x = x
r
2
ρ
,
dx
d (r
2
ρ)
=
1
f
(x)
, (3.40)
em que a linha denota a diferenciação ordinária em relação a x. Inserindo a
Eq.(3.40) na Eq.(3.39), temos que
p =
g [x (r
2
ρ)]
r
2
, (3.41)
a qual mostra que, em geral, p é uma função de r e ρ. Tomando a derivada parcial
da equação acima em relação a r, e então fazendo-a igual a zero, temos que
∂p (r, ρ)
∂r
= −2
g (x)
r
3
+
1
r
2
dg (x)
dx
dx
d (r
2
ρ)
∂ (r
2
ρ)
∂r
=
2fg
r
3
f
g
g
−
f
f
= 0, (3.42)
que implica em g (x) = Kf (x). Portanto, a Eq.(3.10) faz sentido. A seguir, assu-
miremos 0 ≤ K ≤ 1. Este intervalo, além de impedir que a pressão seja negativa,
está contido naquele que satisfaz a todas as condições de energia adequadas ao
caso em questão [9],
Fraca: ρ ≥ 0, ρ + p ≥ 0;
Forte: ρ ≥ 0, −ρ ≤ p ≤ ρ;
Dominante: ρ ≥ 0, ρ + 2p ≥ 0; (3.43)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 44
já que das quais, temos que
−
1
2
≤ K ≤ 1,
ρ ≥ 0. (3.44)
A combinação das Eqs.(3.37) e (3.10) imediatamente implica em
y = −
1
1 + K
. (3.45)
Então, as Eqs.(3.35) e (3.45) possuem como soluções,
Φ = K
x
1 + K
+ Ψ
+ Φ
0
,
S (x) = S
0
e
−x/(1+K)
, (3.46)
enquanto que a Eq.(3.36), torna-se
KΨ
,xx
+ K
Ψ
,x
+
1
K + 1
[(K − 1) Ψ
,x
− 1]
− e
2
[
x
K+1
+(1−K)Ψ− Φ
0
]
Ψ
,xx
+ (1 − K) Ψ
,x
Ψ
,x
+
1
K + 1
= 0 , (3.47)
em que Φ
0
e S
0
são constantes de integração.
3.2.1 Fluido Rígido (K = 1)
Quando K = 1, isto é, fluido rígido, a Eq.(3.47) possui a solução geral,
Ψ (x) = q ln
1 − e
x−x
0
−
1
2
(x − x
0
) + Ψ
0
,
Φ (x) = q ln
1 − e
x−x
0
+ x
0
+ Ψ
0
,
S (x) = S
0
e
−x/2
, (3.48)
em que Ψ
0
, x
0
, S
0
e q são constantes de integração, e x
0
≡ 2Φ
0
. Usando as trans-
formações de calibre dadas pela Eq.(2.25), sem que haja perda de generalidade,
podemos fazer Ψ
0
= x
0
= 0, enquanto que as condições de regularidade e a de
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 45
calibre requerem S
0
= 2 . Logo, a solução geral é dada por
ds
2
= λ
2
(1 − e
x
)
2q
dt
2
− e
−x
dr
2
− 4r
2
e
−x
dθ
2
= λ
2
[(−t) − r]
2q
(−t)
2q
dt
2
−
(−t)
r
dr
2
− 4r (−t) dθ
2
, (3.49)
e a densidade de energia correspondente, por
ρ = p =
1 − 2q
4λ
2
(−t)
2
(1 − e
x
)
2q
=
1 − 2q
4λ
2
(−t)
2(1−q)
[(−t) − r]
2q
. (3.50)
Das equações acima, a fim de que tenhamos ρ ≥ 0, uma condição que assumiremos
no restante deste trabalho, devemos ter q <
1
2
. Em outras palavras, da Eq.(2.23),
temos que
θ
l
=
e
x/2
4rg (1 − e
x
)
q
1 − e
x/2
,
θ
n
= −
e
x/2
4rf (1 − e
x
)
q
1 + e
x/2
,
R = −
e
x/2
2λr
(1 − e
x
)
1−2q
. (3.51)
A Eq.(3.49) mostra que a métrica, em geral, é singular na hipersuperfície x = 0,
e dependendo dos valores de q, a natureza da singularidade é diferente.
Caso 0 < q <
1
2
Neste caso, da Eq.(3.50), podemos ver que a singularidade em x = 0 é de
curvatura, enquanto que da Eq.(3.51), temos que θ
n
< 0 para qualquer x ∈
(−∞, 0), e θ
l
é positivo para x < 0, e zero sobre a hipersuperfície x = 0. Deste
modo, agora x = 0 é uma superfície marginalmente aprisionada. Em outras
palavras, para qualquer hipersuperfície x = const., digamos, C, seu vetor normal
é dado por
N
α
≡
∂ (x − C)
∂x
α
=
1
r
e
x
δ
t
α
+ δ
r
α
, (3.52)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 46
da qual temos que
N
α
N
β
g
αβ
= −
e
x
λ
2
r
2
(1 − e
x
)
1−2q
. (3.53)
Claramente, sobre a hipersupefície x = 0 o vetor normal, N
α
, torna-se nulo.
O diagrama de Penrose correspondente é dado pela Fig. 3.2, do qual podemos
ver que a singularidade em x = 0 é não-nua, porém poderá ser vista por um
observador quando este se posicionar exatamente sobre ela.
r = 0
x = 0
Figura 3.2: Diagrama de Penrose para as soluções dadas pela Eq.(3.49) com 0 < q < 1/2.
O espaço-tempo é singular na linha dupla x = 0, que é uma superfície nula e na qual temos
θ
l
(t, r)|
x=0
= 0 . Também temos θ
n
(t, r) < 0 em todo o espaço-tempo, incluindo a hipersuper-
fície x = 0.
Caso q = 0
Neste caso, a métrica é livre de singularidades de espaço-tempo e coordenadas
na hipersuperfície x = 0 e é válida em toda a região t ≤ 0, r ≥ 0. Porém,
agora o espaço-tempo torna-se singular na hipersuperfície t = 0 [cf. Eq.(3.50)].
Da Eq.(3.51), podemos ver que esta singularidade também é não-nua, sempre
estando coberta pelo horizonte aparente formado na hipersuperfície x = 0. De
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 47
fato, agora temos
θ
l
θ
n
=
< 0, x < 0,
= 0 , x = 0,
> 0, x > 0.
(3.54)
Desta forma, todos os anéis de t e r constantes são aprisionados na região x >
0, porém o mesmo não ocorre em x < 0. Uma vez que temos θ
n
|
x=0
< 0 e
R|
x=0
= 0, então de acordo com as definições apresentadas na seção 2.2.1,
a hipersuperfície x = 0 representa um horizonte aparente futuro degenerado e
a Região I pode ser considerada como o interior de um buraco negro formado
pelo colapso gravitacional do fluido rígido na Região II. O diagrama de Penrose
correspondente é dado pela Fig. 3.3.
r = 0
t = 0
II
I
x = 0
Figura 3.3: Diagrama de Penrose para as soluções dadas pela Eq.(3.49) com q = 0. O
espaço-tempo é singular na linha dupla t = 0. Todos os anéis de t e r constantes são apri-
sionados na Região I, porém não na Região II, nas quais I = {x
α
: x > 0, t < 0, r ≥ 0} e
II = {x
α
: x < 0, t < 0, r ≥ 0}. A hipersuperfície x = 0 é uma superfície nula e representa um
horizonte aparente degenerado futuro.
A fim de realizarmos um estudo mais profundo a respeito destas soluções,
vamos introduzir as coordenadas duplamente nulas definidas pela Eq.(2.6), que
no presente caso implicam em
u = −
(−t)
1/2
+ r
1/2
, v = −
(−t)
1/2
− r
1/2
. (3.55)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 48
Em termos de u e v, a métrica correspondente toma a forma da Eq.(2.9) com
σ (u, v) =
1
2
ln
1
2
(u + v)
2
, R (u, v) =
u
2
− v
2
2
. (3.56)
Das expressões acima, temos que
θ
l
= −
v
R
=
> 0, Região I,
= 0, x = 0,
< 0, Região II,
L
u
θ
l
= L
v
θ
n
=
uv
R
=
> 0, Região I,
= 0, x = 0,
< 0, Região II,
(3.57)
e
θ
n
=
u
R
<
0
nas Regiões
I
e
II
, visto que em ambas sempre temos
u <
0
.
Caso q < 0
Neste caso, o espaço-tempo é livre de singularidade de curvatura sobre a hi-
persuperfície x = 0, embora tenhamos uma singularidade de coordenadas. Logo,
a fim de termos um espaço-tempo maximal geodesicamente, é necessário que o
estendamos além desta superfície. Introduzindo duas coordenadas nulas, u e v,
através da relações
t = −
1
2
[(−u)
n
+ (−v)
n
]
2
,
r =
1
2
[(−u)
n
− (−v)
n
]
2
, (3.58)
nas quais
n ≡
1
2q + 1
, (3.59)
temos que a métrica (3.49) torna-se
ds
2
= λ
2
2e
2σ(u,v)
dudv − R
2
(u, v) dθ
2
, (3.60)
com
σ (u, v) = (1 − 2q) ln [(−u)
n
+ (−v)
n
] + σ
0
,
R (u, v) = (−u)
2n
− (−v)
2n
, (3.61)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 49
e σ
0
≡
1
2
ln (2n
2
4
2q
). A velocidade e a densidade de energia correspondentes do
fluido rígido são dadas, respectivamente, por
w
µ
=
λe
σ
√
2
wδ
u
µ
+
1
w
δ
v
µ
, w ≡
u
v
(n−1)/2
,
ρ =
ρ
0
(uv)
n−1
[(−u)
n
+ (−v)
n
]
6−2/n
, ρ
0
=
2n (2n − 1)
λ
2
e
−2σ
0
. (3.62)
Da Eq.(3.58), podemos ver que a região t ≤ 0, r ≥ 0, x ≤ 0 no plano (t, r) foi
mapeada para região u ≤ 0, v ≤ 0 e v ≥ u no plano (u, v), ao qual referiremos
como Região II, como mostrado na Fig. 3.4. A hipersuperfície nula x = 0,
como pode ser vista da Eq.(3.53), é mapeada para v = 0. A Região I, na qual
u ≤ 0, v ≥ 0, |u| ≥ v, representa uma região estendida. Nesta região estendida, a
métrica é real somente para n =
2m+1
2j
, em que j e m são números inteiros. Quando
n =
2m+1
2j
, uma possível extensão pode ser dada através da substituição de −v por
|v|. Contudo, esta extensão é não-analítica. De fato, não existe extensão analítica
neste caso. O único caso em que a extensão é analítica é aquele em que n é um
número inteiro não-negativo. Quando a extensão é não-analítica, ela também não
é única. Assim, a fim de termos uma única extensão, a seguir assumiremos que
n é um número inteiro tal que n ≥ 1 [cf. Eq.(3.59)]. Em outras palavras, das
Eqs.(2.16) e (2.17), temos que
θ
l
=
2n
R
(−v)
2n−1
, θ
n
= −
2n
R
(−u)
2n−1
,
L
u
θ
l
= L
v
θ
n
=
4n
2
R
2
(uv)
2n−1
. (3.63)
Das expressões acima, podemos ver que θ
n
é sempre negativo em ambas as Regiões
I e II, enquanto que θ
l
é positivo na Região II, zero na hipersuperfície v = 0, e
negativo na região estendida, I. Próximo à superfície v = 0, o único componente
não-nulo do tensor de energia-momento é dado por
T
uu
=
λ
2
ρ
0
e
2σ
0
(−u)
2
, (3.64)
o qual representa o fluxo de energia que se move da Região II para a Região
I ao longo da hipersuperfície u = const.. A fim de estudarmos mais profunda-
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 50
mente estas soluções, vamos considerar os dois casos, n = 2m + 1 e n = 2m,
separadamente, nos quais m = 1, 2, 3, ....
Quando n for um número inteiro ímpar, isto é, n = 2m + 1, da Eq.(3.62),
podemos ver que o espaço-tempo é singular na hipersuperfície u = −v na região
estendida, I, na qual temos R (u, v) = 0. Em outras palavras, todos os anéis de
t e r constantes são aprisionados nesta região, como podemos ver da Eq.(3.63),
uma vez que temos agora θ
l
θ
n
> 0. Deste modo, a Região I pode ser considerada
como o interior de um buraco negro formado pelo colapso gravitacional do fluido
na Região II. O diagrama de Penrose correspondente é dado pela Fig. 3.4. Deve
ser notado que, no presente caso, o horizonte aparente em v = 0 também é futuro
degenerado, visto que agora temos L
u
θ
l
|
v=0
= 0 .
II
I
R = 0
R = 0
V
v = 0
Figura 3.4: Diagrama de Penrose para as soluções dadas pelas Eqs.(3.60) e (3.61) com n sendo
um número inteiro. Os anéis de t e r constantes são superfícies de aprisionamento fechadas na
Região I, porém não na Região II. A linha pontilhada v = 0, representa um horizonte aparente.
Quando n for um número inteiro ímpar, o espaço-tempo será singular na linha dupla horizontal
R = 0 e quando for um número inteiro par, o espaço-tempo terá uma singularidade tipo-defeito-
angular.
Quando n for um número inteiro par, digamos, n = 2m, da Eq.(3.62) podemos
ver que não há formação de singularidade de curvatura de espaço-tempo no eixo
R = 0 na região estendida I, embora todos os anéis de t e r constantes também
sejam aprisionados nesta região, visto que ainda temos θ
l
|
v>0
< 0 e θ
l
θ
n
|
v>0
> 0.
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 51
Contudo, a condição de planura local dada pela Eq.(2.4) não é satisfeita aqui. De
fato, pode ser mostrado que agora temos
X
,α
X
,β
g
αβ
4X
→ +1, (3.65)
quando v → −u. Desta forma, diferentemente do que ocorre no eixo R = 0
na Região II, onde a condição de planura local é satisfeita, agora o espaço-
tempo sobre este mesmo eixo na Região I possui um defeito angular. O diagrama
de Penrose correspondente também é dado pela Fig. 3.4, porém agora a linha
dupla horizontal R = 0, ao invés de representar uma singularidade de curvatura,
representa uma singularidade tipo-defeito-angular [90].
Além disso, na região estendida, I, onde uv < 0, a função ρ torna-se negativa,
e a tri-velocidade w
µ
, imaginária, como pode ser visto da Eq.(3.62). Uma in-
vestigação mais minuciosa mostra que o tensor de energia-momento nesta região
estendida realmente toma a forma
T
µν
= ¯ρ (2r
µ
r
ν
+ g
µν
) , (3.66)
em que
r
µ
=
λe
σ
√
2
r
0
δ
u
µ
−
1
r
0
δ
v
µ
, r
0
≡
u
v
(2m−1)/2
,
¯ρ =
ρ
0
|uv|
2m−1
(u
2m
+ v
2m
)
(6m−1)/m
, (n = 2m) , (3.67)
do qual temos que
g
µν
r
µ
r
ν
= −1. (3.68)
Assim, a fonte não é mais um fluido perfeito na região estendida. De fato, ao
introduzirmos os vetores unitários,
w
µ
=
λe
σ
√
2
r
0
δ
u
µ
+
1
r
0
δ
v
µ
, θ
µ
= λRδ
θ
µ
, (3.69)
nas quais w
ν
w
ν
= 1 e θ
ν
θ
ν
= −1, temos que a Eq.(3.66), pode ser reescrita como
T
µν
= ρw
µ
w
ν
− p
r
r
µ
r
ν
− p
θ
θ
µ
θ
ν
,
ρ = −p
r
= p
θ
=
ρ
0
|uv|
2m−1
(u
2m
+ v
2m
)
(6m−1)/m
. (3.70)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 52
Assim, a fonte na Região I torna-se agora um fluido anisotrópico com densidade de
energia, ρ e duas pressões principais, p
r
e p
θ
, nas direções r
µ
e θ
µ
, respectivamente.
Note que embora a pressão na direção r
µ
seja negativa, o fluido anisotrópico
satisfaz a todas as três condições de energia [9]. Com essa estranha característica,
não está claro que tal solução estendida na Região I é fisicamente aceitável, não
podendo representar colapso gravitacional de um fluido rígido. Além disso, se
analisarmos o fluido do ponto de vista microscópico, podemos rejeitar a mudança
que ocorre na equação de estado quando se atravessa a hipersuperfície v = 0 [99].
Este problema ainda está sob investigação.
Antes de apresentarmos o estudo de outros casos, gostaríamos de chamar
atenção de que um fluido rígido é energeticamente equivalente a um campo escalar
sem massa quando a velocidade do fluido for irrotacional, isto é, w
[α
∇
β
w
γ]
= 0
e o campo escalar sem massa, tipo-tempo, φ
,α
φ
,β
g
αβ
> 0 [100, 101, 45]. De fato,
introduzindo o campo escalar através da relação
φ
,µ
=
2ρw
µ
, (3.71)
tal que a relação inversa entre o fluido e o campo escalar é dada por
w
µ
≡
φ
,µ
φ
,α
φ
,α
, ρ = p =
1
2
φ
,α
φ
,α
, (φ
,α
φ
,α
> 0) , (3.72)
podemos escrever o TEM como
T
φ
µν
= φ
,µ
φ
,ν
−
1
2
g
µν
φ
,α
φ
,α
= ρ (2w
µ
w
ν
− g
µν
) . (3.73)
Quando o campo escalar sem massa for tipo-espaço, o TEM correspondente é
energeticamente equivalente a um fluido anisotrópico,
T
φ
µν
= φ
,µ
φ
,ν
−
1
2
g
µν
φ
,α
φ
,α
= ρh
µν
− p
r
r
µ
r
ν
, (φ
,α
φ
,α
< 0) , (3.74)
em que
r
µ
≡
φ
,µ
−φ
,α
φ
,α
, h
µν
= g
µν
+ r
µ
r
ν
, ρ = −p
r
= −
1
2
φ
,α
φ
,α
> 0. (3.75)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 53
Já no caso do campo escalar sem massa ser tipo-nulo, o TEM correspondente é
energeticamente equivalente a uma poeira nula,
T
φ
µν
= φ
,µ
φ
,ν
−
1
2
g
µν
φ
,α
φ
,α
= ρl
µ
l
ν
, (φ
,α
φ
,α
= 0) , (3.76)
em que
l
µ
≡
φ
,µ
√
ρ
, l
λ
l
λ
= 0. (3.77)
Claramente, as condições anteriormente citadas são satisfeitas na Região II.
Comparando as soluções dadas pela Eq.(3.61) com as dos campos escalares sem
massa correspondentes encontrados em [53], vimos que estas são realmente as
mesmas na Região II. Contudo, como mostrado no caso quadri-dimensional [45],
o espaço-tempo através do horizonte v = 0 pode ser completamente diferente.
A análise feita acima indica que isto também pode ser válido no caso (2 + 1)-
dimensional.
3.2.2 Poeira (K = 0)
Quando K = 0, a pressão do fluido perfeito é nula, ou seja, temos poeira.
Logo, pode ser mostrado que, neste caso, a solução geral é dada por
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = ln
1 − e
x−x
0
− x + Ψ
0
,
S (x) = S
0
e
−x
. (3.78)
Sem que haja perda de generalidade, no presente caso podemos fazer S
0
= 1 e
x
0
= 0 = Ψ
0
. Portanto, temos que
ds
2
= λ
2
e
2Φ
0
dt
2
−
1 +
t
r
2
dr
2
− t
2
dθ
2
, (3.79)
e
ρ =
e
−2Φ
0
λ
2
t
2
(1 − e
x
)
, p = 0. (3.80)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 54
Das expressões acima, vemos que o espaço-tempo é singular nas hipersuperfícies
x = 0 e t = 0. Para uma hipersuperfície x = C, o vetor normal é dado pela
Eq.(3.52), e para a solução da Eq.(3.78), temos que
N
α
N
α
=
e
2x
λ
2
r
2
e
−2φ
0
−
1
(1 − e
x
)
2
→ −∞, (3.81)
quando x → 0
−
. Desta forma, a hipersuperfície x = 0 é tipo-tempo. Além disso,
agora temos que R(t, r) = λrS (x) = λ (−t), significando que ∇
a
R também é
tipo-tempo, e todo o espaço-tempo é aprisionado. Também, neste caso, a condição
dada pela Eq.(2.3) não é satisfeita, isto é, não existe eixo de simetria. O diagrama
de Penrose correspondente é dado pela Fig. 3.5, da qual podemos ver que esta
solução também não representa colapso gravitacional.
r = 0
t = 0
I
II
x = 0
Figura 3.5: Diagrama de Penrose para as soluções dadas pela Eq.(3.79). O espaço-tempo é
singular nas hipersuperfícies t = 0 e x = 0, sendo que esta última divide o espaço-tempo em
duas regiões, I e II, causalmente desconexas. A singularidade em x = 0 é tipo-tempo, enquanto
que aquela em t = 0 é tipo-espaço. Todos os anéis de t e r constantes são aprisionados em ambas
as regiões, I e II.
3.2.3 Fluido Perfeito com K = 0, 1
Quando K = 0, 1, introduzindo a função Z (x) por
Z (x) = exp
2
x
1 + K
+ (1 − K) Ψ − Φ
0
, (3.82)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 55
temos que a Eq.(3.47) pode ser reescrita na forma,
2Z (K − Z) Z
,xx
+ (Z − 3K) Z
,x
2
+ 2Z
2
Z
,x
+
4K
(K + 1)
2
Z
2
K
2
− Z
= 0. (3.83)
Uma solução particular para esta equação é dada por
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = −
x
K + 1
+
Φ
0
1 − K
,
S (x) = S
0
e
−
x
K+1
. (3.84)
A fim de que as condições de regularidade e a de calibre sejam satisfeitas, devemos
ter
Φ
0
= 0, S
0
=
1 + K
K
, K > 0. (3.85)
Portanto, a métrica correspondente apresenta a forma
ds
2
= λ
2
dt
2
−
(−t)
r
2/(1+K)
dr
2
+
1 + K
K
2
r
2
dθ
2
, (3.86)
e a pressão e a densidade do fluido são dadas por
p = Kρ =
K
λ
2
(1 + K)
2
(−t)
2
. (3.87)
Das expressões acima, podemos ver que o espaço-tempo é sempre singular em
t = 0. Contudo, a singularidade é não-nua. De fato, da Eq.(2.23), temos que
θ
l
=
e
x/(1+K)
2 (1 + K) rg
K − e
Kx/(1+K)
,
θ
n
= −
e
x/(1+K)
2 (1 + K) rf
K + e
Kx/(1+K)
,
R =
(2 − K) e
(1+2K)x/(1+K)
λK (1 + K) r
1 −
K
2
2 − K
e
−2Kx/(1+K)
, (3.88)
da qual podemos ver que a expansão da congruência de raios nulos imergentes,
θ
n
, é sempre negativa e
θ
l
(t, r) =
> 0, x < x
0
,
= 0, x = x
0
,
< 0, x > x
0
,
(3.89)
3.2 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Primeiro Tipo 56
em que x
0
é dada por
x
0
≡
1 + K
K
ln K. (3.90)
Deste modo, a singularidade em t = 0 está sempre coberta por um horizonte
aparente localizado na hipersuperfície x = x
0
. Na região onde t < 0 e x > x
0
,
os anéis de t e r constantes são aprisionados, visto que temos agora θ
l
θ
n
> 0.
Em outras palavras, da Eq.(3.88), podemos ver que θ
n
|
x=x
0
< 0 e R|
x=x
0
>
0. Então, de acordo com a definição dada na seção 2.2.1, podemos ver que a
hipersuperfície x = x
0
representa um horizonte aparente interior futuro. Além do
mais, o vetor normal N
α
à hipersuperfície x = x
0
possui a mesma forma daquele
dado pela Eq.(3.52), porém agora com
N
α
N
β
g
αβ
= −
e
2x
0
/(1+K)
λ
2
r
2
1 − K
2
< 0, (3.91)
tal que 0 < K < 1. Neste caso, o horizonte aparente é sempre tipo-tempo. O
diagrama de Penrose correspondente é dado pela Fig. 3.6.
r = 0
t = 0
I
x = x
0
II
Figura 3.6: Digrama de Penrose para as soluções dadas pela Eq.(3.86) para 0 < K < 1. O
horizonte aparente x = x
0
é sempre tipo-tempo. Na Região II, em que x < x
0
, temos θ
l
> 0 e
θ
l
θ
n
< 0, porém na Região I, em que x > x
0
, todos os anéis de t e r constantes são aprisionados,
visto que agora temos θ
l
< 0 e θ
l
θ
n
> 0. O espaço-tempo é singular na linha dupla t = 0.
Também é interessante notar que neste caso as soluções são espaços-tempos
tri-dimensionais de FRW temporalmente reversos. De fato, ao introduzirmos duas
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Segundo Tipo 57
novas coordenadas, ¯r e
¯
t, através das relações,
¯r =
1 + K
K
r
K/(1+K)
, (3.92)
¯
t = −
1 + K
K
(−t)
K/(1+K)
, (3.93)
a métrica (3.86), pode ser reescrita na forma,
ds
2
= λ
2
K
1 + K
2/K
(−
¯
t)
2/K
d
¯
t
2
− d¯r
2
− ¯r
2
dθ
2
. (3.94)
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein
com Auto-Similaridade do Segundo Tipo
Quando α = 1, o termo proporcional a r
−2
possui uma dependência de potên-
cia em r diferente daquele, a t
−2
, quando escritos em função de r e x, uma vez
que t = −r
α
e
−αx
. Logo, as ECE tornam-se
y
,x
− (1 + y) (Ψ
,x
− y) − yΦ
,x
= 0 , (3.95)
Φ
,xx
+ Φ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− y − 2) = 0 , (3.96)
Ψ
,xx
− Ψ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
+ y + 1 − α) + (1 − α) y = 0, (3.97)
e
ρ =
y
λ
2
1
(αt)
2
e
−2Φ
Ψ
,x
−
1
r
2
e
−2Ψ
Φ
,x
,
p =
1
λ
2
1 + y
r
2
e
−2Ψ
Φ
,x
−
1
(αt)
2
e
−2Φ
[(1 + y) Ψ
,x
− (1 − α) y]
, (3.98)
nas quais ao escrevermos as Eqs.(3.96)-(3.98), usamos a Eq.(3.95). Da mesma
forma que para as soluções com auto-similaridade do tipo de ordem zero, as
ECE são suficientes para determinarmos completamente os coeficientes métricos.
A auto-similaridade do segundo tipo também é inconsistente com a equação de
estado dada pela Eq.(3.7), a menos que façamos β = 1. Novamente, a seguir,
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Segundo Tipo 58
consideraremos somente o caso em que β = 1, mais uma vez implicando na
Eq.(3.10). Combinando a Eq.(3.10) com a Eq.(3.98), temos que
[1 + (1 + K) y] Φ
,x
= 0 , (3.99)
[1 + (1 + K) y] Ψ
,x
− (1 − α) y = 0. (3.100)
Uma vez que α = 1, devemos ter Φ
,x
= 0. Portanto, um fluido perfeito com
equação de estado dada pela Eq.(3.10) e auto-similaridade do segundo tipo, deve
mover-se ao longo de uma geodésica tipo-tempo radial. A fim de resolvermos as
Eqs.(3.95)-(3.97) e (3.100), consideraremos os casos y = −1 e y = −1 separada-
mente.
Caso A) y = −1: Neste caso, da Eq.(3.95), temos que
Ψ
,x
=
y
,x
1 + y
+ y, (3.101)
enquanto que da Eq.(3.100), obtemos
Ψ
,xx
=
y
,x
1 + (1 + K) y
[(1 − α) − (1 + K) Ψ
,x
] . (3.102)
Inserindo as expressões acima na Eq.(3.97), temos que esta possui três soluções
diferentes como segue,
(a) K = 0,
(b) y
,x
= 0 ,
(c) y
,x
− (α − 2) y (1 + y) = 0. (3.103)
Quando K = 0, pode ser mostrado que as Eqs.(3.95)-(3.97), (3.99) e (3.100)
possuem a solução geral,
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = ln
1 + (α − 1) e
α(x
0
−x)
+ Ψ
0
,
S (x) = S
0
1 − e
α(x
0
−x)
, (K = 0) . (3.104)
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Segundo Tipo 59
Quando y
,x
= 0 , temos que a solução geral é dada por
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = ax + Ψ
0
,
S (x) = S
0
e
ax
, a ≡ −
α
1 + K
. (3.105)
Quando y
,x
− (α − 2) y (1 + y) = 0, pode ser mostrado que a solução corres-
pondente é dada pela Eq.(3.105) com α = 2, sendo assim, este caso, uma solução
da Eq.(3.105).
Caso B) y = −1: Neste caso, da Eq.(3.100), temos que
Ψ
,x
=
1 − α
K
. (3.106)
Inserindo-a na Eq.(3.97), temos que o sistema possui somente duas soluções, que
são dadas, respectivamente, por
(i) K = 1,
(ii) α = 1 + K. (3.107)
Quando K = 1, a solução geral é dada por
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = (1 − α) x + Ψ
0
,
S (x) = S
0
e
−x
, (K = 1) , (3.108)
e quando α = 1 + K, obtemos
Φ (x) = Φ
0
,
Ψ (x) = −x + Ψ
0
,
S (x) = S
0
e
−x
, α = 1 + K, (3.109)
que é um caso particular das soluções fornecidas pela Eq.(3.105). Desta forma, a
maioria das soluções gerais com auto-similaridade do segundo tipo (α = 0, 1) e a
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Segundo Tipo 60
equação de estado dada pela Eq.(3.10) consiste em três classes de soluções, dadas,
respectivamente, pelas Eqs.(3.104), (3.105) e (3.108). A seguir, consideraremo-
nas separadamente.
3.3.1 Caso y = −1, K = 0
Neste caso, as soluções são dadas pela Eq.(3.104). Aplicando as condições de
regularidade e a de calibre a estas soluções, temos que Φ
0
= 0, S
0
= e
Ψ
0
e α < 1.
Logo, usando as transformações dadas pela Eq.(2.25), podemos assumir Ψ
0
= 0.
Assim, a métrica correspondente finalmente toma a forma,
ds
2
= λ
2
dt
2
−
1 − (1 − α) e
α(x
0
−x)
2
dr
2
− r
2
1 − e
α(x
0
−x)
2
dθ
2
, (α < 1) ,
(3.110)
e a densidade de energia e a pressão do fluido são dadas, respectivamente, por
ρ =
α
2
(1 − α) e
2α(x
0
−x)
λ
2
(αt)
2
|1 − e
α(x
0
−x)
||1 − (1 − α ) e
α(x
0
−x)
|
,
p = 0, (α < 1) . (3.111)
Das expressões acima, podemos ver que o espaço-tempo é singular nas hipersu-
perfícies,
(i) t = 0,
(ii) x = x
0
,
(iii) x = x
1
, (3.112)
nas quais
x
1
≡ x
0
−
1
α
ln
1
1 − α
< x
0
. (3.113)
Em outras palavras, da Eq.(2.23), temos que
θ
l
=
1
2rg |1 − e
α(x
0
−x)
|
1 −
r
r
A
1−α
,
θ
n
= −
1
2rf |1 − e
α(x
0
−x)
|
1 +
r
r
A
1−α
, (0 < α < 1) , (3.114)
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Segundo Tipo 61
para 0 < α < 1, e
θ
l
=
1
2rg |1 − e
α(x
0
−x)
|
1 +
r
r
A
1−α
,
θ
n
= −
1
2rf |1 − e
α(x
0
−x)
|
1 −
r
r
A
1−α
, (α < 0) , (3.115)
para α < 0, em que r
A
≡ e
−αx
0
/(1−α)
.
Da Eq.(3.114) podemos ver que, neste caso, 0 < α < 1, θ
n
é sempre negativo
para qualquer r ∈ [0, ∞), porém θ
l
é negativo quando r > r
A
, zero quando r = r
A
e positivo quando r < r
A
[cf. Fig. 3.7]. Isto é, o espaço-tempo é fechado longe do
eixo no início (t = −∞). Este caso não será estudado aqui, uma vez que estamos
interessados apenas naqueles em que os espaços-tempos não são fechados no início
do processo de colapso.
Quando α < 0, da Eq.(3.115) podemos ver que θ
l
agora é sempre positivo, po-
rém θ
n
muda de sinal em r = r
A
. Em particular, isto mostra que geodésicas nulas
radiais imergentes vêm a se expandirem na região r > r
A
. Deste modo, com esta
curiosa propriedade, fica muito difícil consideramos as soluções correspondentes
como representantes de colapso gravitacional.
3.3.2 Caso y = const. (= −1)
Neste caso, as soluções são dadas pela Eq.(3.105). Pode ser mostrado que as
condições de regularidade e a de calibre requerem Φ
0
= 0, S
0
=
e
Ψ
0
1+a
e α < 1 + K.
Em outras palavras, usando as transformações dadas pela Eq.(2.25), podemos
assumir Ψ
0
= 0 . Logo, temos que
ds
2
= λ
2
dt
2
−
r
(−t)
1/α
2a
dr
2
+
r
1 + a
2
dθ
2
, (α < 1 + K) , (3.116)
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Segundo Tipo 62
0
t
r
x = x
x = x
1
0
A
r
Figura 3.7: Espaço-tempo no plano (t, r) para as soluções dadas pela métrica (3.110). Este é
singular nas hipersuperfícies t = 0, x = x
0
e x = x
1
, nas quais x
0
> x
1
.
e as quantidades físicas correspondentes são dadas por
p = Kρ =
K
λ
2
(1 + K)
2
(−t)
2
,
θ
l
=
e
−ax
2 (1 + K) rg
(1 + K) (1 + a) −
r
1+a
(−t)
K/(1+K)
,
θ
n
= −
e
−ax
2 (1 + K) rf
(1 + K) (1 + a) +
r
1+a
(−t)
K/(1+K)
. (3.117)
Das equações acima, notamos que o espaço-tempo é singular sobre a hipersuper-
fície t = 0 e a singularidade é não-nua. De fato, esta é coberta por um horizonte
aparente localizado sobre a hipersuperfície
r
HA
(t) =
(1 + K) (1 + a) (−t)
K/(1+K)
1/(1+a)
. (3.118)
O vetor normal à hipersuperfície r − r
HA
(t) = 0 é dado por
N
α
≡
∂ [r − r
HA
(t)]
∂x
α
. (3.119)
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Segundo Tipo 63
Logo, temos que
N
α
N
α
= −λ
−2
(1 + K − α)
2α/(1+K− α)
(−t)
−2(1−α)/(1+K−α)
1 − K
2
, (3.120)
através da qual claramente vemos que o horizonte aparente é tipo-tempo para
0 < K < 1 e, tipo-nulo para K = 1.
Podemos mostrar que quando 0 < K < 1, ao introduzirmos duas novas variá-
veis
¯
t e ¯r através das relações,
¯
t = −
1 + K
K
(−t)
K/(1+K)
, ¯r =
1
1 + a
r
1+a
, (3.121)
a métrica dada pela Eq.(3.116) toma exatamente a forma da Eq.(3.94).
Quando K = 1, ao introduzirmos uma nova coordenada ¯r, tal que
¯r =
1
2 (1 + a)
r
1+a
2
, (3.122)
as soluções, neste caso, são reduzidas àquela dada pela Eq.(3.56).
Este é um resultado muito surpreendente, pois mostra explicitamente que a
classificação de auto-similaridades cinemáticas não é única, tal que uma solução
pode possuir dois campos vetoriais, ditos, ξ
µ
(1)
e ξ
µ
(2)
, em que ξ
µ
(1)
descreve a
auto-similaridade de um tipo e ξ
µ
(2)
, de outro. Esta ambigüidade possui uma
profunda implicação nos estudos de fenômenos críticos em colapso gravitacional.
3.3.3 Caso y = −1, K = 1
Neste caso, as soluções são dadas pela Eq.(3.108). As transformações dadas
pela Eq.(2.25) e a condição de calibre nos permitem a fazermos Φ
0
= Ψ
0
=
0, S
0
= 1 . Logo, a métrica toma a forma
ds
2
= λ
2
dt
2
−
r
(−t)
1/α
2(1−α)
dr
2
− (−t)
2/α
dθ
2
, (3.123)
e a pressão e a densidade de energia correspondentes do fluido são dadas por
ρ = p =
α − 1
λ
2
(αt)
2
. (3.124)
3.3 Soluções das Equações de Campo de Einstein com
Auto-Similaridade do Segundo Tipo 64
Deste modo, para que a densidade de energia seja positiva, devemos assumir que
α > 1. Introduzindo duas novas coordenadas
¯
t e ¯r por
¯
t = −(−t)
1/α
, ¯r =
1
α (2 − α)
r
2−α
, (3.125)
a métrica (3.123) toma a forma,
ds
2
= λ
2
α
2
(−
¯
t)
2(α−1)
d
¯
t
2
− d¯r
2
− (−
¯
t)
2(2−α)
dθ
2
, (3.126)
da qual temos que R = λ (−
¯
t), isto é, ∇
a
R é sempre tipo-tempo e todo o espaço-
tempo é aprisionado. O diagrama de Penrose para este caso é dado pela Fig. 3.8.
t = 0
r = 0
Figura 3.8: Diagrama de Penrose para as soluções dadas pela Eq.(3.123). O espaço-tempo é
singular na superfície t = 0 e todos os anéis de t e r constantes são aprisionados.
Capítulo 4
Análise da Estabilidade das
Soluções de Colapso Gravitacional
A fim de encontrarmos possíveis soluções críticas de colapso gravitacional,
devemos analisar a estabilidade de tais soluções, através de pertubações. Como
já dito na seção 1.3, uma solução crítica deve apresentar apenas um modo instável.
As soluções aqui perturbadas foram apenas aquelas de um fluido rígido com
ASH [102], uma vez que todas as outras, ou já são conhecidas, como as cosmo-
lógicas de FRW reversas no tempo e de de Sitter, ou não representam colapso
gravitacional.
4.1 Soluções de Fluido Rígido em Espaços-Tem-
pos com Auto-Similaridade do Primeiro Tipo
As soluções auto-similares de um fluido rígido são dadas pelas Eqs.(3.60) e
(3.61) e sua densidade de energia pela Eq.(3.62). Fazendo
θ =
√
2
¯
θ, λ =
√
2
2
, (4.1)
4.2 Perturbações Lineares 66
as soluções e a densidade de energia referidas podem ser reescritas, respectiva-
mente, como
ds
2
=
[(−u)
n
+ (−v)
n
]
4c
2
2
4c
2
−1
(1 − c
2
)
2
dudv −
(−u)
2n
− (−v)
2n
2
d
¯
θ
2
, (4.2)
ρ =
ρ
0
(uv)
n−1
[(−u)
n
+ (−v)
n
]
2(3n−1)/n
, (4.3)
em que ρ
0
≡ 2
4c
2
c
2
e n ≡
1
2(1−c
2
)
é o mesmo parâmetro livre dado, em termos de
q, pela Eq.(3.59). Permanecem válidas as mesmas considerações feitas no caso
q < 0 da subseção 3.2.1. Como visto na referida subseção, exceto no caso em
que n é um número inteiro ímpar, não existem extensões analíticas fisicamente
razoáveis para as soluções de fluido rígido da Eq.(4.3). Este fato é crucial quando
consideramos as condições de contorno em v = 0, horizonte auto-similar (HAS),
nas perturbações lineares a serem estudadas na próxima seção.
Antes de encerrarmos esta seção, devemos notar que este HAS difere daquele
do caso (3 + 1)-dimensional correspondente [45], em que a formação do horizonte
aparente ocorre em um momento posterior à do HAS. Por esta razão, as condições
de contorno para as perturbações lineares são diferentes nestes dois casos, de
forma a afetar o espectro das perturbações.
4.2 Perturbações Lineares
Primeiramente devemos notar que quando consideramos perturbações das so-
luções auto-similares da Eq.(4.2), trabalhamos somente na Região II, onde a
equivalência dada pelas Eqs.(3.72) e (3.73) entre fluido rígido e campo escalar
sem massa é sempre válida, pelo fato de que nesta região, como mostrado em
[53], o campo escalar sem massa ser sempre tipo-tempo. A fim de podermos
utilizar o máximo possível, sem que haja perda de generalidade, os resultados
obtidos em [53], evitando repetição e também por razões de simplicidade, traba-
lhamos somente com um campo escalar sem massa nesta seção. As perturbações
4.2 Perturbações Lineares 67
correspondentes para o fluido rígido podem ser facilmente obtida através da cor-
respondência dada pelas Eqs.(3.72) e (3.73). Tendo isso em mente, inicialmente
introduzimos as coordenadas ¯u e ¯v através das relações
¯u = −(−u)
2n
, ¯v = −(−v)
2n
. (4.4)
Logo, temos que a métrica na Região II para as soluções de fundo da Eq.(4.2),
em termos de ¯u e ¯v, toma a forma
ds
2
= 2 e
2σ
d¯ud¯v − r
2
d
¯
θ
2
, (4.5)
em que
σ (¯u, ¯v) = 2c
2
ln
1
2
z
1/4
+ z
−1/4
,
r (¯u, ¯v) = (−¯u) s (¯u, ¯v) , s (¯u, ¯v) = 1 − z, z ≡
¯v
¯u
≥ 0, (4.6)
φ (¯u, ¯v) = c ln (−¯u) + ϕ (z) , ϕ (z) = 2c ln
1 + z
1/2
. (4.7)
Tomando as soluções auto-similares acima como sendo o fundo, vamos estudar
agora suas perturbações lineares na forma
F (τ, z) = F
0
(z) + F
1
(z) e
kτ
, (4.8)
em que F ≡ {σ, s, ϕ}, é uma constante real muito pequena e
τ ≡ −ln
−¯u
¯u
0
, (4.9)
com ¯u
0
sendo uma constante com dimensão de comprimento. Sem que haja perda
de generalidade, na sequência a atribuímos o valor 1. Quantidades com o subscrito
“1” representam perturbações, enquanto que aquelas com “0”, as soluções auto-
similares dadas pelas Eqs.(4.6) e (4.7). Modos com Re (k) > 0 crescem quando
τ → ∞, sendo referidos como instáveis, enquanto que aqueles com Re (k) < 0
decaem, sendo referidos como estáveis.
No caso de campo escalar, as ECE reduzem-se a
R
µν
= φ
,µ
φ
,ν
, (4.10)
4.2 Perturbações Lineares 68
em que R
µν
é o tensor de Riemann.
O campo escalar sem massa satisfaz à equação de Klein-Gordon,
φ
µ
;µ
= 0 . (4.11)
Porém, esta equação não é independente das ECE, podendo ser obtida através
da equação da conservação local de energia-momento,
T
ν
µν;
= 0. (4.12)
Para primeira ordem em , de acordo com o apêndice C, já substituindo as
soluções de fundo, dadas pelas Eqs.(4.6) e (4.7), as ECE podem ser escritas como
z
2
s
1,zz
+ z
2k − c
2
z
1/2
− 1
z
1/2
+ 1
s
1,z
−
c
2
z
z
1/2
− 1
(1 − z) (z
1/2
+ 1)
+ k
c
2
z
1/2
− 1
z
1/2
+ 1
+ 1 − k
s
1
+ 2 (zσ
1,z
+ kσ
1
) = 2c
(1 − z)
z
1/2
+ 1
(zϕ
1,z
+ kϕ
1
) , (4.13)
zs
1,zz
+ 2z (1 − z) σ
1,zz
+ ks
1,z
+ 2 (1 + k) (1 − z) σ
1,z
= c
z
1/2
− 1
z
1/2
− 1
ϕ
1,z
+
k
z
1/2
ϕ
1
, (4.14)
zs
1,zz
− c
2
z
1/2
− 1
z
1/2
+ 1
s
1,z
− c
2
z
1/2
− 1
(1 − z) (z
1/2
+ 1)
s
1
+ 2zσ
1,z
= 2 c
z
1/2
(z − 1)
z
1/2
+ 1
ϕ
1,z
, (4.15)
zs
1,zz
+ ks
1,z
= 0 . (4.16)
Fazendo o mesmo para a equação de Klein-Gordon, temos
2z (1 − z) ϕ
1,zz
+ [1 + 2k − (3 + 2k) z] ϕ
1,z
− kϕ
1
+ c
z
1/2
− 1
z
1/2
+ 1
s
1,z
+ c
(k − 1) z
1/2
+ k
z
1/2
(z
1/2
+ 1)
2
s
1
= 0 . (4.17)
Antes de procedermos à análise completa das perturbações, encontramos os
modos de calibre correspondentes. Sob as seguintes transformações de coordena-
das
¯u → ¯u + ξ
1
(¯u) , ¯v → ¯v + ξ
2
(¯v) , (4.18)
4.2 Perturbações Lineares 69
são geradas perturbações da forma
δσ (¯u, ¯v) ≡ σ
1
(z) e
kτ
=
2
1 +
¯v
¯u
1/2
χ
1 −
¯v
¯u
1/2
ξ
1
(¯u)
¯u
−
ξ
2
(¯v)
¯v
+
1 +
¯v
¯u
1/2
ξ
1
(¯u)
,¯u
+ ξ
2
(¯v)
,¯v
,
δr (¯u, ¯v) ≡ (−¯u) s
1
(z) e
kτ
= [ξ
2
(¯v) − ξ
1
(¯u)] ,
δφ (¯u, ¯v) ≡ ϕ
1
(z) e
kτ
= c
1
1 +
¯v
¯u
1/2
¯v
¯u
1/2
ξ
2
(¯v)
¯v
+
ξ
1
(¯u)
¯u
, (4.19)
nas quais ξ
1
(¯u) e ξ
2
(¯v) são funções arbitrárias e χ ≡ c
2
. Para que as perturbações
possuam a forma da Eq.(4.8), devemos escolher
ξ
1
(¯u) = −s
0
1
(−¯u)
1−k
, ξ
2
(¯v) = β (−¯v)
1−k
. (4.20)
nas quais β e s
0
1
são constantes arbitrárias. Então, as soluções das equações de
perturbação devidas às transformações de calibre são dadas por
s
1
(z) = βz
1−k
+ s
0
1
,
σ
1
(z) =
1
2 (1 + z
1/2
)
χ
1 − z
1/2
s
0
1
+ βz
−k
+ (1 − k)
1 + z
1/2
s
0
1
− βz
−k
,
ϕ
1
(z) = −
cβ
1 + z
1/2
z
1/2−k
− β
−1
s
0
1
. (4.21)
Da Eq.(4.16), temos
s
1
(z) =
β ln z + s
0
1
, k = 1,
βz
1−k
+ s
0
1
, k = 1.
(4.22)
Antes de resolvermos o restante das equações diferenciais, Eqs.(4.13)–(4.15) e
(4.17), consideraremos as condições de contorno.
O tratamento aqui utilizado é idêntico ao dado na seção 4.3 de [53]. Como
podemos ver na Fig. 3.4, a Região II do espaço-tempo possui dois contornos: o
centro do espaço-tempo em z = 1 e o HAS em z = 0. Assim como foi feito em
[53], escolhemos z = 1 e z = 0 como as superfícies sobre as quais as condições
4.2 Perturbações Lineares 70
de contorno serão impostas, porém, com uma diferença em z = 0, já que, como
mostrado anteriormente, a extensão das soluções de fundo através desta superfície
será analítica somente quando n for um número inteiro ímpar. Desta forma,
exceto no caso em que n é um número inteiro ímpar, não há razão para exigirmos
que as perturbações também as sejam através da superfície z = 0. Portanto, a
fim de impormos propriamente as condições de contorno, assim como fizemos na
subseção 3.2.1, temos que distingüir os casos n = 2m + 1 e n = 2m + 1, com
m = 0, 1, 2, ...
Quando n = 2m + 1, as soluções de fundo são analíticas através da hipersu-
perfície z = 0.
É natural assumirmos que z = 1, centro das soluções de fundo, continu-
ará sendo o centro do espaço-tempo mesmo após este ser perturbado, isto é,
s
1
(z = 1) = 0. Além disso, pelo fato de as soluções de fundo serem livres de sin-
gularidades na origem na Região II, o espaço-tempo perturbado também deverá
permanecer regular. Pode ser mostrado que este será o caso somente se σ
1
(z) e
a quantidade [(1 − z) ϕ
1,z
− 2kϕ
1
] permanecerem finitas. Resumindo, na origem
das coordenadas, devemos ter
s
1
(z)|
z=1
= 0 ,
σ
1
(z) |
z=1
∼ finito,
(1 − z)
dϕ
1
(z)
dz
− 2kϕ
1
(z)
z=1
∼ finito. (4.23)
O outro contorno em z = 0 (ou ¯v = 0), representa o HAS. Como nenhuma
matéria passa da Região I para a Região II, deveríamos poder dizer que
φ
,¯v
= 0 (4.24)
quando ¯v → 0
−
. Contudo, pode ser mostrado que nem mesmo as soluções de
fundo satisfazem a esta condição. De fato, quando ¯v → 0, temos
∂φ
0
(¯u, ¯v)
∂¯v
=
c
(−¯u¯v)
1/2
α(1 + z
1/2
)
→ ∞ . (4.25)
4.2 Perturbações Lineares 71
Porém, utilizando uma escolha adequada de coordenadas ˜v, esta condição se
satisfaz, isto é, φ
0,˜v
→ 0, quando ˜v → 0, ela é equivalente a z
χ
ϕ
1
(z)
,z
→ 0.
Para as condições de contorno sobre os outros campos em z = 0 , devemos lem-
brar o fato de que a extensão das soluções de fundo da Região I para a Região II
é analítica. A fim de que haja consistência entre os espaços-tempos perturbado e
não-perturbado, assumiremos que as perturbações também são analíticas através
de z = 0. Logo, as condições de contorno através de z = 0 são dadas por
s
1
(z) , σ
1
(z) e ϕ
1
(z) são analíticas em ¯v
z
χ
dϕ
1
(z)
dz
→ 0. (4.26)
Particularmente, pode ser mostrado que, para qualquer dado m, estas soluções
de fundo possuem N modos instáveis, tal que N é dado por
N = n − 3 = 2 (m − 1) . (4.27)
Assim, as soluções com n = 1, 3 (ou m = 0, 1) são estáveis, enquanto que as com
n ≥ 5 (ou m ≥ 2) não são estáveis. Desta forma, todas elas possuem mais de um
modo instável. Portanto, nenhuma destas soluções é crítica.
Quando n = 2m + 1, as soluções de fundo não são analíticas através da hiper-
superfície z = 0 e, como já dito anteriormente, não há razão para exigirmos que
as perturbações também sejam analíticas. Em vez disso, requeremos que s
1
, σ
1
e ϕ
1
sejam finitos nesta hipersuperfície. Além do que, estipulamos que nenhuma
matéria emerge do HAS. Conseqüentemente, temos as seguintes condições:
s
1
(0) , σ
1
(0) e ϕ
1
(0) são todas finitas,
lim
z→0
z
χ
dϕ
1
(z)
dz
→ 0. (4.28)
As condições de contorno no eixo de simetria r = 0 (ou z = 1) são as mesmas
que as dadas na Eq.(4.23).
Uma vez que as condições de contorno foram determinadas, podemos estudar
os dois casos k = 1 e k = 1 separadamente.
4.2 Perturbações Lineares 72
(a) k = 1: Neste caso, da Eq.(4.22), temos
s
1
(z) = β ln z. (4.29)
em que, ao escrevermos a expressão acima, escolhemos s
0
1
= 0 tal que a condição
de contorno s
1
(z = 1) = 0 é satisfeita. Inserindo a Eq.(4.29) nas Eqs.(4.13)–
(4.15) e (4.17), temos que somente duas das quatro equações são independentes
σ
1
(z) = c
1 − z
1/2
z
1/2
1 + z
1/2
dϕ
1
(z)
dz
+ ϕ
1
−
β
2z (1 + z
1/2
)
2
(1 − χ)
1 + z
2
+ 2 (1 + χ) z
+2z
1/2
(1 + z)
, (4.30)
z (1 − z)
d
2
ϕ
1
dz
2
+ [γ − (a + b + 1)z]
dϕ
1
dz
− abϕ
1
= f (z) , (4.31)
nas quais
a = 1, b =
1
2
, γ =
3
2
,
f (z) ≡
cβ
2z (1 + z
1/2
)
2
(1 − z) − z
1/2
ln z
. (4.32)
A Eq.(4.31) é a equação de uma função hipergeométrica inomogênea [103] e a
solução geral correspondente é dada por
ϕ
1
(z) = ϕ
h
1
(z) + ϕ
s
1
(z) , (4.33)
em que ϕ
s
1
(z) é uma solução particular da Eq.(4.31) e ϕ
h
1
(z) é a solução geral
associada à equação homogênea,
z (1 − z)
d
2
ϕ
1
dz
2
+ [γ − (a + b + 1)z]
dϕ
1
dz
− abϕ
1
= 0 . (4.34)
A solução geral ϕ
h
1
(z) pode ser escrita como uma combinação linear das duas
soluções independentes ϕ
1
1
e ϕ
2
1
ϕ
h
1
(z) = c
1
ϕ
1
1
(z) + c
2
ϕ
2
1
(z) , (4.35)
4.2 Perturbações Lineares 73
em que c
1
e c
2
são constantes arbitrárias, ϕ
1
1
e ϕ
2
1
são dadas por
ϕ
1
1
= 2 F
1,
1
2
;
3
2
; z
=
1
z
1/2
ln
1 + z
1/2
1 − z
1/2
,
ϕ
2
1
= z
−1/2
F
1
2
, 0;
1
2
; z
= z
−1/2
, (4.36)
com F (a, b; γ; z) denotando a função hipergeométrica. Uma solução particular
da Eq.(4.31) pode ser encontrada e é dada por
ϕ
s
1
(z) =
cβ
1 + z
1/2
ln z − 2
1 + z
1/2
z
1/2
ln
1 + z
1/2
2
. (4.37)
Das Eqs.(4.32)–(4.37), podemos mostrar que quando z → 1, temos
ϕ
1
(z) ≈
1
z
1/2
c
1
ln
1 + z
1
/
2
1 − z
1/2
+ c
2
. (4.38)
Como um resultado, as condições de contorno para ϕ
1
na Eq.(4.23) são válidas
somente se c
1
= 0 enquanto que a condição para σ
1
(z) em z = 1 não impõe
nenhuma restrição adicional.
Em z = 0, as condições de contorno sobre s
1
(z) e σ
1
(z), Eqs.(4.29) e (4.37),
requerem c
2
= β = 0. Portanto, no caso em que k = 1, as condições de contorno
dadas pelas Eqs.(4.23) e (4.26) eliminam todas as perturbações.
(b) k = 1: Neste caso, temos
s
1
(z) = c
0
z
1−k
− 1
, (4.39)
em que c
0
≡ β. Note que agora a constante k pode ser complexa, bem como
c
0
. Substituindo a Eq.(4.39) nas Eqs.(4.13)–(4.15) e (4.17), novamente temos
somente duas equações são independentes, que podem ser escritas como
k σ
1
(z) =
χ
c
1 − z
1/2
z
1/2
1 + y
1/2
dϕ
1
(z)
dz
+ kϕ
1
−
c
0
(1 − k)
2 (1 + z
1/2
)
(k + χ)
1 + z
1/2−k
+ (k − χ)
z
1/2
+ z
−k
, (4.40)
z (1 − z)
d
2
ϕ
1
dz
2
+ [γ − (a + b + 1)z]
dϕ
1
dz
− abϕ
1
= f (z) , (4.41)
4.2 Perturbações Lineares 74
porém agora com
a = k, b =
1
2
, γ = k +
1
2
,
f (z) ≡
cβ
2z
k+1/2
(1 + z
1/2
)
2
(1 − k)
1 − z
k
z
1/2
− kz
1 − z
k−1
. (4.42)
Similarmente ao caso anterior, a solução geral da Eq.(4.41) pode ser escrita da
mesma forma que as dadas pelas Eqs.(4.33)-(4.35), mas com ϕ
1
1
e ϕ
2
1
agora dadas
por
ϕ
1
1
= F
1
2
, k; k +
1
2
; z
,
ϕ
2
1
= F
1
2
, k; 1; 1 − z
. (4.43)
Além disso, pode ser mostrado que uma solução particular da Eq.(4.41) é dada
por
ϕ
s
1
(z) = −cβ
1 + z
1/2−k
1 + z
1/2
. (4.44)
Deste modo, a solução geral para ϕ
1
(z) no presente caso é dada por
ϕ
1
(z) = c
1
F
1
2
, k; k +
1
2
; z
+ c
2
F
1
2
, k; 1; 1 − z
− cβ
1 + z
1/2−k
1 + z
1/2
. (4.45)
Das Eqs.(4.39), (4.40) e (4.45) podemos ver que quando c
1
= c
2
= 0, as perturba-
ções reduzem-se àquelas dadas pela Eq.(4.21), as quais são puramente modos de
calibre. Assim, para excluirmos os modos de calibre do espectro das perturbações,
na seqüência, restringir-nos-emos às soluções cujas as quais temos
|c
1
|
2
+ |c
2
|
2
= 0. (4.46)
Considerando as condições de contorno na origem, z = 1, temos as seguintes
relações de limite quando z → 1
F
1
2
, k; k +
1
2
; z
→ −
1
2
(2k − 1) A (k) ln (1 − z) + A
1
(z; k) ,
F
3
2
, k + 1; k +
3
2
; z
→
1
2
4k
2
− 1
A (k)
2
k (1 − z)
+ ln (1 − z)
+ A
2
(z; k) (4.47)
4.2 Perturbações Lineares 75
nas quais A (k) ≡
Γ
(
k−
1
2
)
Γ(k)Γ
(
1
2
)
; A
1
(z; k) e A
2
(z; k) são partes finitas das funções
hipergeométricas no limite quando z → 1. Logo, das Eqs.(4.45)–(4.47) e da
relação
d
dz
F (a, b; γ; z) =
ab
γ
F (a + 1, b + 1; γ + 1; z) , (4.48)
as condições de contorno dadas pela Eq.(4.23) em z = 1 serão satisfeitas, contanto
que
c
1
= 0 . (4.49)
Para as condições de contorno em z = 0, como as dadas pela Eq.(4.26),
primeiramente devemos lembrar da imposição de analiticidade no espaço-tempo
estendido, dado pelo sistema de coordenadas com barra. Seguindo o mesmo
procedimento, observamos que z = ¯v/¯u = (v/u)
2n
e
s
1
(z) = c
0
v
u
2n(1−k)
− 1
. (4.50)
Assim, para que s
1
(z) analítica através do contorno z = 0 (¯v = 0), devemos ter
k =
ω
2n
< 1, (4.51)
em que ω é um número positivo inteiro.
1
Devido às propriedades das funções
hipergeométricas, é conveniente considerarmos os subcasos k = l +
1
2
e k = l +
1
2
separadamente, nos quais l é um número inteiro não-negativo.
(b.1) k = l +
1
2
: Neste caso, quando z → 0, temos que
F
1
2
, k; 1; 1 − z
→
(l − 1)! z
−l
Γ
1
2
+ l
Γ
1
2
l−1
p=0
(a − l )
p
(b − l)
p
(1 − l )
p
p!
z
p
−
(−1)
l
Γ
1
2
− l
Γ
1
2
ln z.
(4.52)
Inserindo a expressão acima na Eq.(4.45) e considerando a Eq.(4.49), vemos que
a condição em que ϕ
1
(z) deve ser analítica através da hipersuperfície z = 0 será
satisfeita somente para Re (k) <
1
2
e c
2
= 0. Pelo fato de que as condições de
1
Em princípio, ω também poderia ser um número negativo inteiro, mas como aqui estamos
interessados em modos instáveis com k > 0, restringimo-nos a ω > 0.
4.2 Perturbações Lineares 76
contorno quando z = 0 nos levam a fazer c
1
= c
2
= 0 , vemos que as perturbações
correspondentes são puramente modos de calibre. Desta forma, descartaremos o
caso em que k = l +
1
2
.
(b.2) k = l +
1
2
: Neste caso, pode ser mostrado que no limite em que z → 0
F
3
2
, k + 1; 2; 1 − z
→ k
−1
A (k)
(2k − 1) z
−1/2−k
− (1 − k) z
1/2−k
+ A
3
(z; k) (4.53)
na qual A
3
(z; k) é uma parte finita da função hipergeométrica no limite em que
z → 0. Inserindo-a na solução geral para ϕ
1
(z), Eq.(4.45), juntamente com o
fato de que c
1
= 0, temos que
ϕ
1
(z) → −[c
2
A (k) − c
0
c] z
1/2−k
, (4.54)
dϕ
1
(z)
dz
→
1
2
cc
0
z
−1/2
+ 2 (1 − k) z
−k
+ c
2
(2k − 1) A (k) z
−1/2−k
+ [cc
0
(10k − 7) − c
2
(1 − k) A (k)] z
1/2−k
+ A
4
(z; k) (4.55)
quando z → 0, em que A
4
(z; k) é a parte finita. Agora, podemos ver que a
condição de contorno z
χ
ϕ
1
(z)
,z
→ 0 em z = 0 será satisfeita somente se
Re (k) < χ −
1
2
e χ >
1
2
, (4.56)
já que aqui exigimos que c
2
= 0 . Caso contrário, as perturbações seriam de novo
puramente modos de calibre.
Ainda resta considerar o efeito da analiticidade para σ
1
(z) em z = 0 . Da
Eq.(4.53) e do comportamento assintótico de
F
1
2
, k; 1; 1 − z
→ A (k) z
1/2−k
+ A
5
(k) , (4.57)
quando z → 0, obtemos
σ
1
(z) →
χ
c
[A (k) c
2
− cc
0
] z
1/2−k
+
1
2
[A (k) χ (2k − 1) c
2
− (1 − χ − k) c
0
] z
−k
+ σ
0
1
(4.58)
4.2 Perturbações Lineares 77
quando z → 0. Portanto, para que σ
1
(z) seja analítica através da hipersuperfície
z = 0, devemos assumir
Re (k) <
1
2
e c
2
=
1 − χ − k
χ (2k − 1) A (k)
c
0
. (4.59)
Claramente, para qualquer dado c (ou χ ≡ c
2
), existe um número infinito de
modos com Re (k) > 0 que satisfazem às condições dadas pelas Eqs.(4.46), (4.56)
e (4.59). Portanto, todas estas soluções são instáveis com respeito às perturbações
lineares. Visto que cada uma delas possui um número infinito de modos instáveis,
as soluções deste caso também não podem ser consideradas como críticas.
Em suma, após serem linearmente perturbadas, vimos que as soluções auto-
similares do fluido rígido dado pela Eq.(4.2) ou são estáveis (n = 1, 3) ou possuem
mais de um modo instável (demais valores de n inteiro positivo). Portanto, de
acordo com a definição de solução crítica, nenhuma delas apresenta esta caracte-
rística.
Capítulo 5
Conclusões Gerais e Perspectivas
Nesta tese, primeiramente, apresentamos um breve resumo da TRG, seguido
de uma noção de como ocorre o processo de colapso gravitacional. Ainda no
capítulo introdutório, apresentamos e discutimos fenômenos críticos em colapso
gravitacional e auto-similaridade na TRG.
Iniciamos o capítulo 2 com um estudo de gravitação em 2 + 1 dimensões para
depois nos restringirmos a espaços-tempos com simetria circular, quando defini-
mos horizontes aparentes em termos das expasões de geodésicas nulas ortogonais
aos horizontes e classificamo-os em mais externo, degenerado, mais interno, futuro
e passado. Buracos negros foram definidos pela existência de horizontes aparentes
futuros mais externos ou degenerados.
No capítulo 3, estudamos soluções das ECE com ASC para um fluido perfeito.
No caso de auto-similaridade do tipo de ordem zero, foi mostrado que a única
solução fisicamente aceitável com equação de estado p = Kρ, em que K é uma
constante, é a solução de de Sitter tridimensional. No caso de soluções com auto-
similaridade do primeiro tipo (ASH), notou-se que a única equação de estado
que possui a forma p = p (ρ) e é consistente com este tipo de auto-similaridade
é a mesma aplicada anteriormente ao caso do tipo de ordem zero, implicando
em uma equação mestre dada pela Eq.(3.47). Vimos que algumas soluções para
fuido rígido (K = 1) representam formação de singularidades tipo-luz (ou nulas),
Conclusões Gerais e Perspectivas 79
enquanto que outras, buracos negros. No caso de poeira (K = 0), nenhuma
das soluções representa colapso gravitacional. Para K = 0, 1, somente soluções
particulares foram encontradas e foi mostrado que elas são de FRW reversas no
tempo em 2+1 dimensões. Ao caso de auto-similaridade do segundo tipo, também
aplicamos a mesma equação de estado utilizada nos outros casos. Foi mostrado
que o fluido se move ao longo de uma geodésica radial tipo-tempo. Neste caso,
todas as soluções, ou reduzem-se às mesmas soluções de FRW reversas no tempo
encontradas no caso de ASH ou não representam colapso gravitacional.
A ambigüidade da classificação da ASC encontrada na seção 3.3 é um re-
sultado muito surpreendente pelo fato de mostrar que um espaço-tempo pode
possuir dois campos vetoriais, ditos, ξ
µ
(1)
e ξ
µ
(2)
, em que ξ
µ
(1)
descreve a auto-
similaridade do primeiro tipo, enquanto ξ
µ
(2)
, a do segundo tipo. Quanto à própria
solução, não há nenhum problema, já que isto não significa nada, exceto o fato
de o espaço-tempo ser bastante simétrico. Esta ambigüidade possui profundas
implicações nos estudos de fenômenos críticos em colapso gravitacional. A fim de
esclarecermos isto, vamos primeiro lembrar da classificação de auto-similaridades
feita em hidrodinâmica [20, 21]. Para sermos mais específicos, vamos conside-
rar as equações de difusão e de Barenblatt. Para a primeira, a solução crítica
possui auto-similaridade do primeiro tipo, enquanto que para a última, a auto-
similaridade apresentada é a do segundo tipo. Esta classificação é única. De fato,
é exatamente por causa desta diferença, que as propriedades destes problemas
próximas aos seus pontos críticos são bastante diferentes. Em outras palavras,
diferentes auto-similaridades possuem diferentes fenômenos críticos. Isto é ver-
dade não somente a estes dois problemas específicos, mas também no caso geral.
Se aplicarmos as mesmas idéias ao estudo de fenômenos críticos em colapso gra-
vitacional, veremos que elas podem não funcionar do mesmo modo, já que na
TRG, como acabamos de dizer, uma mesma solução pode possuir mais de um
tipo de auto-similaridade.
É importante dizer que os resultados obtidos nesta tese não contradizem ao
Conclusões Gerais e Perspectivas 80
mostrado recentemente por Ida [94], no qual uma teoria gravitacional em 2 + 1
dimensões que satisfaz a condição de energia dominante, proíbe a existência de
buraco negros, pois aqui todos os buracos negros possuem horizontes aparentes
degenerados. Ida definiu buracos negros pela existência de horizontes aparentes
mais externos somente.
No capítulo 4, perturbamos as soluções auto-similares do primeiro tipo para
o caso de um fluido rígido, representantes de colapso gravitacional. Como visto,
todas as outras soluções encontradas nesta tese são de FRW, de de Sitter ou não
representam colapso gravitacional. Para tal, a fim de simplificarmos o nosso tra-
balho, utilizamos o fato de que um fluido rígido equivale energeticamente a um
campo escalar sem massa tipo-tempo, estudado em [53]. As soluções são normal-
mente definidas somente na Região II e a Região I é uma extensão. Entretanto,
esta extensão não é analítica para todas as soluções auto-similares. Particular-
mente, para as soluções com n = m, em que m = 1, 2, ..., ela não pode ser
analítica. Quando n = 2m, a extensão é analítica, porém o fluido rígido possui
densidade de energia negativa e sua velocidade torna-se tipo-tempo na extensão,
o que é fisicamente inaceitável. Assim, uma extensão fisicamente aceitável para
n = 2m não seria analítica. Esta propriedade implica em diferenças conside-
ráveis quando consideramos condições de contorno no HAS para perturbações.
Em particular, visto que as soluções de fundo não são analíticas através desta
superfície, não há nenhuma razão para as perturbações também serem. Além das
pertubações não serem analíticas através do HAS, mostramos que as soluções de
fundo não são estáveis e possuem um número infinito de modos instáveis para
n = 2m + 1.
Quando n = 2m + 1, ao contrário do caso anterior, a extensão das soluções
de fundo é analítica através do HAS. Neste caso, devemos requerer que suas
perturbações lineares também sejam analíticas. Ao perturbarmos, vimos que
para qualquer dado m, a solução auto-similar possui N modos instáveis, em que
N = n − 3 = 2 (m − 1). Desta forma, soluções auto-similares com m = 0, 1 são
Conclusões Gerais e Perspectivas 81
estáveis, enquanto que as com m ≥ 2 não são estáveis, tal que todas possuem
mais de um modo instável.
Resumindo, podemos dizer que todas as soluções auto-similares do fluido rí-
gido dado pela Eq.(4.2) não são estáveis ao efetuarmos perturbações lineares,
possuindo mais de um modo instável, exceto aquelas com n = 1, 3, que são es-
táveis. Visto que uma solução crítica, por definição, possui um e somente um
modo instável, concluímos que nenhuma destas soluções auto-similares pode ser
crítica, resultado que contrasta com seu correspondente em 3+ 1 dimensões, onde
a solução crítica possui ASH [104, 105, 45].
Como conclusão geral os resultados obtidos nesta tese mostram também cla-
ramente que, se fenômenos críticos ocorrem nas soluções de colapso gravitacional
de fluido perfeito circularmente simétrico aqui encontradas, a solução crítica, ou
deve possuir ASD ou não deve possuir auto-similaridade. No primeiro caso, o
colapso é do Tipo II, enquanto que no outro, é do Tipo I. Certamente, também
é possível que não exista colapso crítico para o caso de fluido perfeito. De qual-
quer forma, seria bastante interessante investigarmos estes problemas, a fim de
encontrarmos uma resposta definitiva a estas questões.
Além da investigação proposta acima, como perspectivas para trabalhos fu-
turos, podemos ainda incluir rotação e fenômenos quânticos.
Apêndice A
Geometria Riemanniana e Equações
de Campo de Einstein
Neste apêndice, uma base de geometria diferencial e cálculo tensorial, junta-
mente com os tensores de Riemann, de Ricci, de Einstein entre outros necessários
para o entendimento da TRG são introduzidos.
A.1 Variedades de Espaço-Tempo
Do ponto de vista matemático, o objeto fundamental da TRG é a varie-
dade de espaço-tempo (Ω, g
µν
), em que Ω é a variedade C
∞
de Hausdoff quadri-
dimensional e g
µν
é um tensor métrico de espaço-tempo, ou simplesmente a mé-
trica, com assinatura −2 em Ω. Os pontos em Ω são classificados por um sistema
de coordenadas não-inercial (x
0
, x
1
, x
2
, x
3
), freqüentemente escrito como x
µ
, em
que µ = 0, 1, 2, 3. Convencionamos que os índices gregos variam de 0 a 3, e os ín-
dices repetidos (mudos) devem ser somados sobre todos esses valores, a menos que
seja especificado de outra forma. A mesma regra também é válida para os índices
latinos, que variam de 1 a 3. No caso da TRG em 2 + 1 dimensões, a assinatura
da métrica é −1, o sistema de coordenadas não-inercial é dado por (x
0
, x
1
, x
2
), os
índices gregos variam de 0 a 2 e os latinos, de 1 a 2. De acordo com o princípio da
A.1 Variedades de Espaço-Tempo 83
covariância, todos os sistemas de coordenadas são equivalentes para a descrição
de fenômenos físicos, o que implica na arbitrariedade da escolha de um sistema
de coordenadas. Se passarmos de um sistema de coordenadas x
µ
, para outro, x
µ
,
um vetor contravariante y
µ
e outro, covariante y
µ
, transformam-se como
y
µ
=
∂x
µ
∂x
ν
y
ν
, y
µ
=
∂x
ν
∂x
µ
y
ν
, (A.1)
e um tensor misto tal como
y
µ
νλ
=
∂x
µ
∂x
σ
∂x
ρ
∂x
ν
∂x
δ
∂x
λ
y
σ
ρδ
, (A.2)
etc.
O tensor contravariante, g
µν
, correspondente a g
µν
é definido por
g
µν
g
µλ
= δ
ν
λ
, (A.3)
em que δ
µ
ν
é a delta de Kronecker, que é igual a 1 para µ = ν e zero nos outros
casos. Podemos levantar e abaixar os índices através de g
µν
e g
µν
desta forma:
y
µ
= g
µν
y
ν
, y
µ
= g
µν
y
ν
. (A.4)
Consideramos que tensores derivados por tais levantamento ou abaixamento de
índices representam a mesma quantidade geométrica, visto que através do le-
vantamento de um índice e do subseqüente abaixamento recuperamos o tensor
original.
Todas as informações a relacionadas ao espaço-tempo estão contidas na mé-
trica g
µν
, a qual determina o quadrado do intervalo de espaço-tempo ds entre
eventos infinitesimalmente separados ou pontos x
µ
e x
µ
+ dx
µ
, tal que
ds
2
= g
µν
dx
µ
dx
ν
. (A.5)
O vetor contravariante dx
µ
será tipo-tempo, tipo-espaço ou nulo, quando ds
2
for positivo, negativo ou nulo, respectivamente. Para o caso quadri-dimensional,
A.2 Diferenciação Covariante, Tensores de Riemann, de Ricci e de
Einstein e Equações de Campo de Einstein 84
a variedade de espaço-tempo Ω possui três dimensões tipo-espaço e uma tipo-
tempo. Já no caso de 2+1 dimensões, a mesma possui duas dimensões tipo-espaço
e uma tipo-tempo.
Uma vez que as ECE contém as derivadas segundas da métrica e as identidades
de Bianchi, as derivadas terceiras desta, g
µν
é no mínimo C
3
e x
µ
= x
µ
(x
µ
) é
no mínimo C
4
, tal que as ECE são definidas em todo lugar e as identidades
de Bianchi, em todos os pontos da variedade de espaço-tempo. Contudo, estas
condições podem ser atenuadas no caso de distribuições.
A.2 Diferenciação Covariante, Tensores de Rie-
mann, de Ricci e de Einstein e Equações de
Campo de Einstein
Para generalizarmos a diferenciação ordinária (parcial) à variedade riemanni-
ana, devemos introduzir uma estrutura adicional a esta variedade. Esta estrutura
é uma conexão afim, ∇, que atribui a cada campo vetorial X em Ω um operador
diferencial, ∇
X
, o qual mapeia um campo vetorial arbitrário Y em um campo
vetorial ∇
X
Y.
Associado a esta métrica, podemos dotar a variedade com uma única conexão
livre de torção, requerendo que
∇g = 0. (A.6)
Em uma base de coordenadas {∂
λ
}, a Eq.(A.6) pode ser escrita na forma
∇
∂
λ
g
µν
= g
µν,λ
− g
µδ
Γ
δ
νλ
− g
δν
Γ
δ
µλ
= 0 , (A.7)
em que a vírgula denota a diferenciação parcial em relação à variável correspon-
dente, ∂
λ
≡
∂
∂x
λ
e Γ
λ
µν
= Γ
λ
νµ
é chamada de conexão métrica. Da Eq.(A.7),
utilizando a simetria de Γ
λ
µν
, temos que
Γ
λ
µν
=
1
2
g
λδ
(g
µδ,ν
+ g
νδ,µ
− g
µν,δ
) . (A.8)
A.2 Diferenciação Covariante, Tensores de Riemann, de Ricci e de
Einstein e Equações de Campo de Einstein 85
A diferenciação covariante para um vetor contravariante e covariante é definida
como
A
µ
;ν
= A
µ
,ν
+ Γ
µ
νλ
A
λ
, A
µ;ν
= A
µ,ν
− Γ
λ
µν
A
λ
, (A.9)
e para um tensor misto tal como A
µ
νλ
, como
A
µ
νλ;σ
= A
µ
νλ,σ
+ Γ
µ
δσ
A
δ
νλ
− Γ
δ
νσ
A
µ
δλ
− Γ
δ
λσ
A
µ
νδ
, (A.10)
e assim por diante, em que o ponto-e-vírgula denota a diferenciação covariante.
Sob uma transformação de coordenadas x
µ
para x
µ
, a conexão métrica Γ
λ
µν
tranforma-se como
Γ
λ
µν
=
∂x
λ
∂x
ρ
∂x
σ
∂x
ν
∂x
δ
∂x
µ
Γ
ρ
σδ
+
∂
2
x
σ
∂x
ν
∂x
µ
∂x
λ
∂x
σ
. (A.11)
Portanto, a conexão métrica não pode ser considerada como um tensor.
Para um tensor covariante A
µ
, pode ser mostrado que
A
µ;ν;λ
− A
µ;λ;ν
= −A
σ
R
σ
µνλ
, (A.12)
em que R
σ
µνλ
é o tensor de Riemann, ou de curvatura, que é definido por
R
σ
µνλ
≡ Γ
σ
µλ,ν
− Γ
σ
µν,λ
+ Γ
σ
δν
Γ
δ
µλ
− Γ
σ
δλ
Γ
δ
µν
, (A.13)
e a Eq.(A.12) é a identidade de Ricci.
O tensor de Riemann tem as seguintes propriedades de simetria:
R
σµνλ
= −R
µσνλ
= −R
σµλν
, (A.14)
R
σµνλ
= R
νλσµ
, (A.15)
R
σµνλ
+ R
σλµν
+ R
σνλµ
= 0 , (A.16)
e satisfaz as identidades de Bianchi
R
σ
µνλ;ρ
+ R
σ
µρν;λ
+ R
σ
µλρ;ν
= 0 . (A.17)
O tensor de Ricci R
µλ
é definido por
R
µλ
≡ g
σν
R
σµνλ
= R
δ
µδλ
. (A.18)
A.2 Diferenciação Covariante, Tensores de Riemann, de Ricci e de
Einstein e Equações de Campo de Einstein 86
Das Eqs.(A.14), (A.15), (A.16) e (A.18) é facil de se mostrar que
R
µλ
= R
λµ
. (A.19)
O escalar de Ricci é definido por
R ≡ g
σλ
R
σλ
= R
λ
λ
. (A.20)
Através da contração das identidades de Bianchi nos pares de índices µν e σρ,
temos que
R
µν
−
1
2
g
µν
R
;λ
g
λν
= 0 . (A.21)
Definindo
G
µν
≡ R
µν
−
1
2
g
µν
R, (A.22)
o chamado tensor de Einstein, agora podemos escrever as já referidas ECE, que
são as equações diferenciais fundamentais da TRG, como
G
µν
= κT
µν
. (A.23)
Por fim, combinando as Eqs.(A.21) e (A.23), encontramos
T
µν
;ν
= 0 , (A.24)
significando que energia-momento da fonte conserva-se localmente.
Apêndice B
Espaços-Tempos Circularmente
Simétricos com Auto-Similaridade
Cinemática
A métrica geral de espaços-tempos (2 + 1)-dimensionais com simetria circular
pode ser expressa na forma,
ds
2
= λ
2
e
2Φ(t,r)
dt
2
− e
2Ψ(t,r)
dr
2
− r
2
S
2
(t, r) dθ
2
, (B.1)
Então, é fácil de mostrarmos que as coordenadas {x
µ
} = {t, r, θ}, a conexão
métrica, Γ
λ
µν
, o tensor de Riemann, R
σ
µνλ
, de Ricci, R
µν
, e de Einstein, G
µν
, são
todos adimensionais, enquanto que o escalar de Ricci, R
λ
λ
, possui dimensão de
λ
−2
e o de Kretschmann, R
σµνλ
R
σµνλ
, λ
−4
.
Para a métrica dada pela Eq.(B.1), os componentes não-nulos da conexão
métrica são dados por
Γ
0
00
= Φ
,t
, Γ
0
01
= Φ
,r
, Γ
0
11
= e
2(Ψ−Φ)
Ψ
,t
, Γ
0
22
= r
2
e
−2Φ
SS
,t
,
Γ
1
00
= e
2(Φ−Ψ)
Φ
,r
, Γ
1
01
= Ψ
,t
, Γ
1
11
= Ψ
,r
, Γ
1
22
= −re
−2Ψ
S (S + rS
,r
) ,
Γ
2
02
=
S
,t
S
, Γ
2
12
=
S + rS
,r
rS
, (B.2)
B.1 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Zero88
e o tensor de Einstein tensor possui os seguintes componentes não-nulos
G
tt
=
e
−2Ψ
rS
re
2Ψ
S
,t
Ψ
,t
− e
2Φ
[rS
,rr
+ 2S
,r
− (S + rS
,r
) Ψ
,r
]
,
G
tr
= −
1
rS
[rS
,tr
− S
,t
(rΦ
,r
− 1) − (rS
,r
+ S) Ψ
,t
] ,
G
rr
=
e
−2Φ
rS
e
2Φ
(rS
,r
+ S) Φ
,r
− re
2Ψ
(S
,tt
− Φ
,t
S
,t
)
,
G
θθ
= − r
2
S
2
e
−2Φ
[Ψ
,tt
+ (Ψ
,t
− Φ
,t
) Ψ
,t
]
− e
−2Ψ
[Φ
,rr
+ (Φ
,r
− Ψ
,r
) Φ
,r
]
. (B.3)
B.1 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Ti-
po de Ordem Zero
A fim de estudarmos soluções com auto-similaridade do tipo de ordem zero,
introduziremos primeiramente as variáveis auto-similares, x e τ através das rela-
ções,
x = ln r − t, τ = t, (B.4)
ou inversamente
t = τ, r = e
x+τ
. (B.5)
Logo, para uma dada função f (t, r), temos que
f
,t
= f
,τ
− f
,x
, f
,r
=
1
r
f
,x
,
f
,tr
= −
1
r
(f
,xx
− f
,τx
) , f
,rr
=
1
r
2
(f
,xx
− f
,x
) ,
f
,tt
= f
,ττ
− 2f
,τx
+ f
,xx
. (B.6)
B.1 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Tipo de Ordem Zero89
Substituindo estas equações na Eq.(B.3), temos que os componentes não-nulos
do tensor de Einstein para este caso são dados por
G
tt
= −
e
−2Ψ
r
2
S
e
2Φ
[S
,xx
+ S
,x
− Ψ
,x
(S
,x
+ S)]
−r
2
e
2Ψ
(S
,τ
− S
,x
) (Ψ
,τ
− Ψ
,x
)
,
G
tr
=
1
rS
[S
,xx
− S
,τx
+ (S
,x
+ S) (Ψ
,τ
− Ψ
,x
) + (S
,τ
− S
,x
) (Φ
,x
− 1)] ,
G
rr
=
e
−2Φ
r
2
S
e
2Φ
Φ
,x
(S
,x
+ S) − r
2
e
2Ψ
[S
,ττ
− 2S
,τx
+ S
,xx
+ (S
,τ
− S
,x
) (Φ
,x
− Φ
,τ
)]},
G
θθ
=S
2
e
−2(Φ+Ψ)
e
2Φ
[Φ
,xx
+ Φ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− 1)]
−r
2
e
2Ψ
[Ψ
,xx
+ Ψ
,ττ
− 2Ψ
,τx
−(Ψ
,τ
− Ψ
,x
) (Φ
,τ
− Ψ
,τ
− Φ
,x
+ Ψ
,x
)]}. (B.7)
Para as soluções auto-similares, os coeficientes métricos, Φ, Ψ e S, são funções
somente de x, tais que
Φ(τ, x) = Φ (x) , Ψ(τ, x) = Ψ (x) , S(τ, x) = S (x) . (B.8)
Logo, as derivadas destas funções em relação à variável τ anulam-se e a Eq.(B.7),
para o caso de espaços-tempos circularmente simétricos com ASC do tipo de
ordem zero, é reduzida a
G
tt
= −
e
−2Ψ
r
2
e
2Φ
[y
,x
+ (y + 1) (y − Ψ
,x
)] − r
2
e
2Ψ
Ψ
,x
y
,
G
tr
=
1
r
[y
,x
+ (y + 1) (y − Ψ
,x
) − yΦ
,x
] ,
G
rr
=
e
−2Φ
r
2
e
2Φ
Φ
,x
(y + 1) − r
2
e
2Ψ
[y
,x
+ y (y − Φ
,x
)]
,
G
θθ
=S
2
e
−2(Φ+Ψ)
e
2Φ
[Φ
,xx
+ Φ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− 1)]
−r
2
e
2Ψ
[Ψ
,xx
− Ψ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
)]
, (B.9)
em que
y ≡
S
,x
S
. (B.10)
B.2 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Primeiro e do
Segundo Tipos 90
B.2 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Pri-
meiro e do Segundo Tipos
A fim de estudarmos estes tipos de soluções auto-similares, introduziremos
primeiramente as variáveis auto-similares, x e τ, tais que
x = ln
r
(−t)
1
α
, τ = −ln (−t) , (B.11)
ou inversamente,
r = e
(αx−τ)/α
, t = −e
−τ
, (B.12)
em que α é uma constante adimensional. Quando α = 1, os espaços-tempos
correspondentes são ditos como possuindo auto-similaridade do primeiro tipo ou
homotética. Quando α = 0, 1, são ditos como possuindo auto-similaridade do
segundo tipo.
Para qualquer dada função f (t, r), agora temos que
f
,t
= −
1
αt
(αf
,τ
+ f
,x
) , f
,r
=
1
r
f
,x
,
f
,tr
= −
1
αtr
(αf
,τx
+ f
,xx
) , f
,rr
=
1
r
2
(f
,xx
− f
,x
) ,
f
,tt
=
1
α
2
t
2
α
2
f
,ττ
+ 2αf
,τx
+ f
,xx
+ α
2
f
,τ
+ αf
,x
. (B.13)
Substituindo estas equações na Eq.(B.3), temos que os componentes não-nulos
B.2 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Primeiro e do
Segundo Tipos 91
do tensor de Einstein para este caso são dados por
G
tt
= −
1
α
2
r
2
Se
2Ψ
α
2
e
2Φ
[S
,xx
+ S
,x
− Ψ
,x
(S
,x
+ S)]
−
r
2
t
2
Ψ
,x
S
,x
e
2Ψ
−
αr
2
t
2
e
2Ψ
(αΨ
,τ
S
,τ
+ Ψ
,x
S
,τ
+ Ψ
,τ
S
,x
)
,
G
tr
=
1
αtrS
{S
,xx
− Ψ
,x
(S
,x
+ S) − S
,x
(Φ
,x
− 1)
+α [S
,τx
− Ψ
,τ
(S
,x
+ S) − S
,τ
(Φ
,x
− 1)]},
G
rr
=
1
α
2
r
2
Se
2Φ
α
2
e
2Φ
[Φ
,x
(S
,x
+ S)]
−
r
2
t
2
e
2Ψ
(S
,xx
− S
,x
Φ
,x
)
−
αr
2
t
2
e
2Ψ
{αS
,ττ
+ 2S
,τx
− S
,x
(Φ
,τ
− 1)
−S
,τ
[α (Φ
,τ
− 1) + Φ
,x
]}},
G
θθ
=
S
2
α
2
α
2
e
−2Ψ
[Φ
,xx
+ Φ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− 1)]
−
r
2
t
2
e
−2Φ
[Ψ
,xx
− Ψ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− α)]
−
αr
2
t
2
e
−2Φ
{αΨ
,ττ
+ 2Ψ
,τx
− Ψ
,τ
[α (Φ
,τ
− Ψ
,τ
− 1) + Φ
,x
− Ψ
,x
]
−Ψ
,x
(Φ
,τ
− Ψ
,τ
)}}. (B.14)
Assim como no caso das soluções com auto-similaridade do tipo de ordem
zero, para as soluções com auto-similaridade do primeiro e do segundo tipos,
os coeficientes métricos também são funções somente de x, porém agora com
x sendo dada pela Eq.(B.11) com α = 0. Logo, a Eq.(B.14), para o caso de
B.2 Espaços-Tempos com Auto-Similaridade do Primeiro e do
Segundo Tipos 92
espaços-tempos circularmente simétricos com ASC do segundo tipo, é reduzida a
G
tt
=
1
α
2
t
2
Ψ
,x
y −
1
r
2
e
2(Φ−Ψ)
[y
,x
+ (y + 1) (y − Ψ
,x
)] ,
G
tr
=
1
αtr
[y
,x
+ (y + 1) (y − Ψ
,x
) − yΦ
,x
] ,
G
rr
= −
1
α
2
t
2
e
2(Ψ−Φ)
[y
,x
+ y (y − Φ
,x
+ α)] +
1
r
2
Φ
,x
(y + 1) ,
G
θθ
=S
2
e
−2Ψ
[Φ
,xx
+ Φ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− 1)]
−
r
2
α
2
t
2
e
−2Φ
[Ψ
,xx
− Ψ
,x
(Φ
,x
− Ψ
,x
− α)]
, (B.15)
em que y é dada pela Eq.(B.10).
Apêndice C
Equações de Campo de Einstein
Linearmente Perturbadas
Os componentes não-nulos do tensor de Ricci referente à métrica dada pela
Eq.(4.5) são dados por
R
¯u¯u
= −
1
¯us
[¯us
,¯u¯u
+ 2s
,¯u
− 2σ
,¯u
(s + ¯us
,¯u
)] ,
R
¯u¯v
= −
1
¯us
(¯us
,¯u¯v
+ s
,¯v
+ 2¯usσ
,¯u¯v
) ,
R
¯v¯v
= −
1
s
(s
,¯v¯v
− 2σ
,¯v
s
,¯v
) ,
R
¯
θ
¯
θ
= 2e
−2σ
¯us (s
,¯v
+ ¯us
,¯u¯v
) , (C.1)
Ao introduzirmos as variáveis auto-similares z e τ, através das relações
z =
¯v
¯u
, τ = −ln (−¯u) , (C.2)
para qualquer dada função f (¯u, ¯v), agora temos que
f
,¯u
= −
1
¯u
(f
,τ
+ zf
,z
) , f
,¯v
=
1
¯u
f
,z
,
f
,¯u¯v
= −
1
¯u
2
(zf
,zz
+ f
,τz
+ f
,z
) , f
,¯v¯v
=
1
¯u
2
f
,zz
,
f
,¯u¯u
=
1
¯u
2
f
,ττ
+ 2zf
,τz
+ z
2
f
,zz
+ f
,τ
+ 2zf
,z
. (C.3)
Equações de Campo de Einstein Linearmente Perturbadas 94
Substituindo estas equações na Eq.(C.1), temos que os componentes não-nulos
do tensor de Ricci para este caso são dados por
R
¯u¯u
= −
e
2τ
s
s
,ττ
+ 2zs
,τz
+ z
2
s
,zz
− s
,τ
− 2 (σ
,τ
+ zσ
,z
) (s
,τ
+ zs
,z
− s)
,
R
¯u¯v
=
e
2τ
s
[2s (zσ
,zz
+ σ
,τz
+ σ
,z
) + zs
,zz
+ s
,τz
] ,
R
¯v¯v
= −
e
2τ
s
(s
,zz
− 2σ
,z
s
,z
) ,
R
¯
θ
¯
θ
= −2e
−2σ
s (zs
,zz
+ s
,τz
) , (C.4)
Considerando as pertubações lineares dadas pela Eq.(4.8), os componentes não-
nulos do tensor de Ricci podem ser reescritos como
R
¯u¯u
= −
e
2τ
s
0
z
2
s
0,zz
− 2zσ
0,z
(zs
0,z
− s
0
)
−
e
(2+k)τ
s
0
z
2
s
1,zz
+ 2z (k − zσ
0,z
) s
1,z
−
z
2
s
−1
0
(s
0,zz
− 2σ
0,z
s
0,z
) + k (2zσ
0,z
+ 1 − k)
s
1
−2 (zs
0,z
− s
0
) (zσ
1,z
+ kσ
1
)},
R
¯u¯v
=
e
2τ
s
0
[zs
0,zz
+ 2s
0
(zσ
0,zz
+ σ
0,z
)]
+
e
(2+k)τ
s
0
zs
1,zz
+ 2zs
0
σ
1,zz
+ ks
1,z
+ 2 (1 + k) s
0
σ
1,z
− zs
−1
0
s
0,zz
s
1
,
R
¯v¯v
= −
e
2τ
s
0
(s
0,zz
− 2σ
0,z
s
0,z
)
−
e
(2+k)τ
s
0
s
1,zz
− 2σ
0,z
s
1,z
− s
−1
0
(s
0,zz
− 2σ
0,z
s
0,z
) s
1
− 2s
0,z
σ
1,z
,
R
¯
θ
¯
θ
= −2zs
0
s
0,zz
e
−2σ
0
− 2e
kτ −2σ
0
s
0
zs
1,zz
+ ks
1,z
+ zs
0,zz
s
−1
0
s
1
− 2σ
1
. (C.5)
Utilizando a Eq.(4.8), o campo escalar sem massa pode ser escrito na forma
φ (τ, z) = c ln (−¯u) + ϕ
0
(z) + ϕ
1
(z) e
kτ
, (C.6)
Equações de Campo de Einstein Linearmente Perturbadas 95
donde suas derivadas em relação a ¯u e ¯v, são escritas, respectivamente, como
φ
,¯u
= e
τ
zϕ
0,z
− c + (kϕ
1
+ ϕ
1,z
) e
kτ
,
φ
,¯v
= −e
τ
ϕ
0,z
+ ϕ
1,z
e
kτ
. (C.7)
Deste modo, as ECE, Eq.(4.10), para perturbação de primeira ordem são dadas
por
z
2
s
1,zz
+ 2z (k − zσ
0,z
) s
1,z
−
z
2
s
−1
0
(s
0,zz
− 2σ
0,z
s
0,z
) + k (2zσ
0,z
+ 1 − k)
s
1
− 2 (zs
0,z
− s
0
) (zσ
1,z
+ kσ
1
) = −2s
0
(zϕ
0,z
− c) (zϕ
1,z
+ kϕ
1
) , (C.8)
zs
1,zz
+ 2zs
0
σ
1,zz
+ ks
1,z
+ 2 (1 + k) s
0
σ
1,z
− zs
−1
0
s
0,zz
s
1
= −s
0
[(2zϕ
0,z
− c) ϕ
1,z
+ kϕ
0,z
ϕ
1
] , (C.9)
s
1,zz
− 2σ
0,z
s
1,z
− s
−1
0
(s
0,zz
− 2σ
0,z
s
0,z
) s
1
− 2s
0,z
σ
1,z
= −2s
0
ϕ
0,z
ϕ
1,z
, (C.10)
zs
1,zz
+ ks
1,z
+ zs
0,zz
s
−1
0
s
1
− 2σ
1
= 0. (C.11)
A equação de Klein-Gordon, Eq.(4.11), que, como já dissemos, não é indepen-
dente das ECE, para perturbação de primeira ordem é dada por
2zs
0
ϕ
1,zz
+ [2zs
0,z
+ (1 + 2k) s
0
] ϕ
1,z
+ ks
0,z
ϕ
1
+ (2zϕ
0,z
− c) s
1,z
+ [2zϕ
0,zz
+ (1 + k) ϕ
0,z
] s
1
= 0 . (C.12)
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