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G\C. O terceiro bloco de G\C ´e B. Pelas Afirma¸c˜oes 3.4 e 3.15, B
1
cont´em um circuito
C
1
de G\C tal que, quando k ≥ 5, |C
1
| ≥ k + 1. Pela Afirma¸c˜ao 3.5, G\C
1
´e conexo e,
claramente, tem um bloco B
2
que cont´em B
2
. Pela escolha de B
2
, segue que B
2
= B
2
.
Logo, B
2
tem um ´unico v´ertice u em comum com C e u deve ser um v´ertice separador de
G\C
1
, caso contr´ario, a escolha de B
2
´e contrariada, pois B
2
deixaria de ser maximal. O
´unico v´ertice em V (B) ∩ V (B
2
) ´e tamb´em um v´ertice separador de G\C
1
, que ´e diferente
de u. Assim, B
2
´e um bloco de G\C
1
contendo, pelo menos, dois v´ertices separadores
distintos deste grafo. Logo, em G\C
1
, existem, no m´ınimo, trˆes blocos incluindo B e B
2
.
Como B
2
n˜ao ´e um bloco terminal, deduzimos que G\C
1
tem um outro bloco distinto de
B, que n˜ao ´e bloco terminal, portanto, o Teorema 1.2 vale para G, uma contradi¸c˜ao.
Assumimos que G\C tem exatamente dois blocos, um deles ´e B e consiste apenas
de uma ´unica aresta e = vw. Seja B
o outro bloco de G\C e suponhamos que w ´e o
v´ertice em comum entre B e B
. Ent˜ao, C tem exatamente duas arestas interceptando
v. Pelo fato de |C| > |E(H)|, o Teorema 1.2 vale para G e seu subgrafo C. Assim, G\C
´e 2-conexo para todos os circuitos C
de G que s˜ao arestas-disjuntas de C, ou G\C
´e
2-conexo para algum circuito C
com |C
| ≥ k + 1 quando k ≥ 5. Como d
G
(v) = 3,
um circuito que ´e aresta disjunta de C em G, ´e tamb´em aresta disjunta de H. Devemos
estabelecer uma contradi¸c˜ao proveniente do fato de que podemos mostrar que o grafo G
tem um circuito que ´e aresta disjunta de C e que, quando k ≥ 5, este circuito pode ser
escolhido de tal forma que tenha comprimento maior ou igual a k + 1.
Consideremos
B
. Todo v´ertice deste grafo simples 2-conexo, exceto, p ossivelmente,
w, tem grau, no m´ınimo, k − 2. Se k = 4, ent˜ao G certamente tem um circuito que
´e aresta disjunta de C, temos uma contradi¸c˜ao. Assim, devemos assumir que k ≥ 5.
Ent˜ao, pelas Afirma¸c˜oes 3.4 e 3.21, obtemos uma contradi¸c˜ao, que ´e B
ter um circuito
de comprimento maior ou igual a k + 1, a menos que |V (B
)| ∈ {k − 1, k}. No caso
excepcional, |V (G)| ∈ {k, k + 1}. Como todo v´ertice de G, diferente de v e w, tem
grau, pelo menos, k, todo tal v´ertice ´e adjacente a v. Mas, v tem grau 3 em G, logo
5 ≤ k ≤ |V (G)| ≤ 4. Esta contradi¸c˜ao completa a prova de que o Teorema 1.2 vale
quando |E(H)| ≥ 1.