ads:
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
TORÇÃO DO ESPAÇO-TEMPO E OSCILAÇÃO DE
NEUTRINOS SOLARES
DEISE DAVID OLIVEIRA
Orientador: Prof. Dr. Adellane Araujo Sousa
Cuiabá, Março de 2009.
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Agradecimentos
Ao meu pai (in memorian) e minha mãe por tudo que representaram e repre-
sentam em minha formação.
Ao professor Dr. Adellane pela dedicação e grande espírito acadêmico.
Ao amigo José da Silva sempre presente nesta jornada de suor, lágrimas e
dedicação integral à ciência.
Aos professores e aos alunos da Universidade Federal de Mato Grosso em
Pontal do Araguaia e em Cuiabá do Mestrado em Física, aos amigos, aos com-
panheiros de todas as horas que fazem e acontecem, acreditando que por meio do
conhecimento e da pesquisa contribuiremos para o avanço da ciência, de um mundo
com mais qualidade de vida, em construção e compartilhado por todos.
À CAPES pelo apoio nanceiro parcial.
Ao Kiko, pelo carinho, pela cumplicidade, pela dedicação, pelo amor e pela
presença sempre ativa nas buscas que faço em torno das coisas, do conhecimento e
do saber.
Ao Deus da razão, pela vida, por esse universo, pela esperança, pela radica-
lidade do conhecimento e da pesquisa, como possibilidade real de revolucionar a
história, o outro e a própria utopia de cada um e cada uma.
i
ads:
Resumo
O objetivo deste estudo é vericar a consistência da prescrição de acopla-
mento mínimo (conexão) proposta pelo Teleparalelismo Equivalente à Relatividade
Geral (TERG) para a equação de Dirac.
Com este intuito, estudamos o problema de oscilação de neutrinos no espaço-
tempo de Weintzenböck na métrica de Schwarzschild. Em particular, calculamos a
fase dinâmica dos neutrinos e calculamos as probabilidades de transições entre os
neutrinos do elétron e os neutrinos do tau ou múon. Os resultados são comparados
com estudos da literatura que utilizaram o espaço-tempo de Minkowski e Einstein-
Cartan.
Palavras Chaves: Teleparalelismo; Equação de Dirac ; Neutrinos
ii
Abstract
The objective of this study is to assess the consistency in the prescription of
minimum coupling (connection) proposed by the Teleparallel Equivalent to General
Relativity (TEGR) for the Dirac equation.
With this aim, we studied the problem of oscillation of neutrinos in the space-
time of Weintzenböck in the Schwarzschild metric. In particular, we calculate the
phase dynamics of neutrinos and calculate the probabilities of transitions between
the electron neutrino and the tau neutrino or Muon. The results are compared with
studies in the literature that used the space-time of Minkowski and Einstein-Cartan.
Keywords: Teleparallel; The Dirac Equation; Neutrinos
iii
Sumário
Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 FUNDAMENTOS DO TELEPARALELISMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 FUNDAMENTAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 O PROBLEMA DO !
ab
E A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA 15
3 EQUAÇÃO DE DIRAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO-CURVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 OSCILAÇÃO DE NEUTRINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1 DESCRIÇÃO SIMPLIFICADA EM TERMOS DE DOIS SABORES
e
E
. 43
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO INICIAL
e
. . . . . . 45
4.3 PROBABILIDADES DE TRANSIÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 EQUAÇÃO DE DIRAC NO TELEPARALELISMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
iv
Sumário v
5.4 O MOVIMENTO RADIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5 COMPARAÇÕES COM OS RESULTADOS DA LITERATURA . . . . . . . . . . . . . 85
6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A APÊNDICE A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.1 AS MATRIZES DE DIRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B APÊNDICE B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.1 CÁLCULO DAS COMPONENTES DO TENSOR DE TORÇÃO . . . . . . . . . . . . 95
B.2 CÁLCULO DAS COMPONENTES DE K
bc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Introdução
No nal do século XIX, os físicos acreditavam que as leis da Física estavam com-
pletas e estas descreviam, com sucesso, os fenômenos naturais. A mecânica de Newton
era capaz de descrever o movimento dos corpos materiais e os movimentos dos planetas
em torno do Sol. A teoria eletromagnética de Maxwell descrevia os fenômenos elétricos
e magnéticos. As conquistas realizadas por Joule, Carnot, Gibbs, Maxwell e Boltzmann
na área da termodinâmica e da mecânica estatística juntamente com os tratados matemáti-
cos feitos por Lagrange e Hamilton constituiram as bases da teoria clássica da física. Mas
foram surgindo alguns problemas que a teoria clássica da física não explicava. Como con-
sequência, no ínicio do século XX, surgiram duas novas teorias, a relatividade especial,
apresentada por Albert Einstein em 1905, que mostrou que a mecânica newtoniana deixa
de ser válida no estudo do movimento dos corpos que estejam viajando a uma velocidade
comparável à da luz, e a teoria quântica em 1900 que substitui a teoria newtoniana na des-
crição dos fenômenos que ocorrem nos níveis atômico e subatômico. Assim surgiu uma
nova física, chamada de física moderna.
No contexto da física moderna, Albert Einstein desenvolveu a teoria da Relatividade
Geral (RG) em 1916 e que, posteriormente, seria testada por três testes experimentais: a
deexão de um feixe de luz por um campo gravitacional, o desvio gravitacional da fre-
quência de um feixe de luz num campo gravitacional e a precessão do periélio de Mer-
cúrio [1] e [2]. Neste último, havia uma pequena discrepância entre a precessão calculada
pela mecânica newtoniana e a precessão observada. Acreditava-se que o desvio pudesse
1
Introdução 2
ser quanticado através de pequenas correções introduzidas na Teoria do Movimento Pla-
netário de Newton, utilizando a teoria da Relatividade Geral (RG): Einstein calculou o
valor dessa precessão e que esta precessão era uma consequência natural da sua teoria.
Na teoria da Relatividade Geral, podemos destacar dois problemas principais, que
são: a incompatibilidade com a teoria quântica e a não existência de um tensor de energia-
momentum gravitacional, ou seja, a energia do campo gravitacional não pode ser loca-
lizada [3]. O primeiro problema busca unicar a teoria da mecânica quântica, a qual é
compatível com interações fundamentais, com a Relatividade Geral (RG) de Einstein, que
descreve a interação fundamental que é a gravidade. Em relação ao segundo problema, a
energia do campo só será bem denida se tivermos uma expressão independente do sistema
de coordenadas.
Na RG, o campo gravitacional é descrito pelo tensor g
que representa a métrica do
espaço-tempo quadridimensional, caracterizado pelo tensor de Riemann não nulo (R
6=
0) e pelo tensor de torção igual a zero (T
= 0). A existência da métrica implica numa
certa conexão, que é caracterizada pela curvatura. O termo conexão é usado para o trans-
porte paralelo de vetores de um espaço tangente para um outro, e a diferença entre duas
conexões é um tensor. O estudo da variedade com métrica e sua conexão associada ao sím-
bolo de Christoffel é chamada de geometria Riemanniana. O espaço-tempo caracterizado
por um tensor de torção não nulo (T
6= 0) e uma curvatura nula (R
= 0), ou seja,
o tensor de Riemann nulo, é chamado de espaço-tempo de Weitzenböck [4] e tem como
base as tétradas, formada por um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em
substituição ao tensor métrico. Essa formulação passou a ser chamada de teleparalelismo
Introdução 3
absoluto da gravitação. A intensidade do campo gravitacional passou a ser representada
pelo tensor de torção não nulo, pois a curvatura é nula.
Em 1928, Einstein [5] tentou unicar a gravitação e o eletromagnetismo usando té-
tradas de 16 graus de liberdade. Como não havia a solução de Schwarzschild simplicada
na sua equação de campo, a tentativa não deu certo. Schwarzschild cou conhecido p or
fornecer a primeira solução exata para as equações de Einstein no campo da relatividade
geral. Depois de alguns anos, em 1961 e 1962, Mller [6], [7] conseguiu obter em ter-
mos de tétradas a partir da densidade Lagrangeana, uma expressão local, covariante, para
a densidade de corrente do campo gravitacional. Pellegrini e Plebansky [8] em 1962, apre-
sentaram um formalismo Lagrangeano para o teleparalelismo, obtendo uma expressão para
a energia total do campo gravitacional. Em 1963, Schwinger [9] obteve uma expressão
para a energia total do campo gravitacional, utilizando o formalismo das tétradas.
Em 1967, Hayashi e Nakano [10] formularam uma teoria de gauge para o grupo
de translações do espaço-tempo, que mostrou estar intrinsecamente relacionada com o
teleparalelismo absoluto. Hayashi e Shirafuji [11] juntaram a teoria de gauge com a es-
trutura do paralelismo absoluto e em 1979 desenvolveram uma nova teoria denominada de
"nova relatividade geral" em que eles propõem uma teoria da gravitação em que a cur-
vatura Riemaniana é substituída pela torção do espaço-tempo numa formulação de tétradas
no espaço-tempo de Weitzenböck.
Na descrição do campo gravitacional, as tétradas são denidas como uma base do
espaço-tempo. Essa formulação das tétradas vem sendo estudada utilizando-se tanto a for-
mulação Lagrangeana quanto a Hamiltoniana. Quanto a uma possível justicativa para
Introdução 4
a formulação Hamiltoniana, Paul Adrien Maurice Dirac em 1964 [12] armou que al-
guma informação perdida na formulação Lagrangeana pode ser trazida à luz na abordagem
Hamiltoniana.
Em 1994, na abordagem do teleparalelismo, Maluf [13] dene a energia do campo
gravitacional através da formulação Hamiltoniana no "time gauge" de Schwinger [9] que
pressupõe a quebra de simetria local da teoria, em que a xação da conexão de spin !
0ab
é
imperativo para o fechamento da álgebra de vínculos. Os vínculos da teoria são de primeira
classe desde que xemos as quantidades !
0ab
= 0 antes de fazer a variação da ação. O re-
sultado nal é descartar as conexões !
ab
da teoria, e as equações de campo para as tétradas
obtidas da Lagrangeana não dependem da conexão de spin arbitrária. A Lagrangeana re-
sultante e as equações de campo obtidas em seu trabalho apresentam invariância por trans-
formações de Lorentz globais.
Em 2001, Rocha-Neto e Maluf [14] desenvolveram uma formulação Hamiltoniana
sem a xação do "time gauge" de Schwinger. Daí surgiu um outro vínculo apresentado
como o momentum angular do campo gravitacional.
A descrição do campo gravitacional através do Teleparalelismo Equivalente à Rela-
tividade Geral (T ERG), abordado por Maluf, permite obter uma expressão tensorial para
a energia, o momento e o momentum angular do campo gravitacional. O T ERG é uma
abordagem geométrica alternativa à Relatividade Geral de Einstein. Diversas aplicações
consistentes para a energia do campo gravitacional foram publicadas na literatura. Entre
elas, as investigações da energia gravitacional através da métrica de Kerr [15], da métrica
radiativa de Bondi [16] e da métrica de Gödel-Obukhov [17].
Introdução 5
Neste trabalho analisaremos a consistência da equação de Dirac no T ERG, através
de uma nova prescrição de acoplamento mínimo com os campos espinorais de Dirac :
Nesta nova prescrição faz-se uso da conexão de Levi-Civita
0
!
ab
no lugar da conexão de
spin !
ab
. A conexão de spin é escrita como:
!
ab
=
0
!
ab
+ K
ab
;
onde K
ab
é o tensor de contorção. Maluf, em seu trabalho de 1994 [13], mostrou que
é possível descartar !
ab
tanto da formulação Lagrangeana quanto à Hamiltoniana. A
derivada covariante na equação de Dirac no T ERG é escrita como [18]:
D
= @
i
4
0
!
ab
ab
:
Uma motivação para este trabalho está no fato de que Obkuhov e Pereira [17] no
contexto das teorias métricas ans de gravitação (MAG), encontraram no acoplamento do
espinor de Dirac com o campo gravitacional uma inconsistência quando se usa a conexão
de spin !
ab
na derivada covariante da equação. O campo espinoral de Dirac se acopla
com o campo gravitacional de maneira consistente somente para a matéria sem spin ou
a matéria com o tensor de spin conservado. O T ERG estudado por Obkuhov e Pereira
pode ser considerado como um caso particular da teoria geral de MAG. Para vericar
explicitamente o acoplamento proposto por Maluf em 1994 , aplicaremos a equação de
Dirac no T ERG, com a conexão
0
!
ab
(totalmente dependente das tétradas) no problema
de oscilação de neutrinos solares.
Os neutrinos atraem muita atenção na física de altas energias [19], [20], [21] e [22].
Um dos grandes problemas estudados atualmente é o chamado "problema dos neutrinos
Introdução 6
solares". As reações termonucleares no Sol produzem grande número de neutrinos so-
lares. O modelo solar padrão prediz o uxo destes neutrinos aproximadamente como sendo
7; 3 2; 3 SN U (SNU signica unidade de neutrino solar e 1SNU = 1captura=s=10
36
atomos do alvo). Por outro lado, experimentos que foram realizados por décadas dão ao
uxo medido o valor de 2; 55 0; 17 0; 18 SNU, aproximadamente um terço da taxa
teórica. Este é o problema dos neutrinos solares. Uma solução muito publicada na lite-
ratura para explicar a falta dos neutrinos é a oscilação de neutrinos ou ("mixing"). De
acordo com as oscilações de neutrinos, diferentemente da visão convencional de que os
neutrinos não possuem massa, eles possuíriam massas diferentes de zero, embora muito
pequenas. Os neutrinos solares emitidos pelo Sol tornam-se uma combinação linear de
todos os outros neutrinos (eletron; muon e tau) enquanto viajam no espaço em direção
à Terra. Assim, a probabilidade de detectar neutrinos do elétron emitidos pelo Sol como
sendo do múon ou tau ao chegar à Terra é diferente de zero. Estes argumentos foram dis-
cutidos no espaço-tempo de Minkowski. Entretanto, vivemos em um espaço-tempo curvo,
talvez com torção. Assim, os físicos têm voltado sua atenção para as contribuições gra-
vitacionais especícas para as oscilações de neutrinos solares. Neste trabalho, o problema
de oscilações de neutrinos em um campo gravitacional é estudado através da Hamiltoni-
ana de Dirac no espaço-tempo de Weintzenböck ao invés de Riemann ou Einstein-Cartan.
Pretendemos calcular a fase dinâmica dos neutrinos no espaço-tempo com torção. As con-
tribuições da torção e suas relações entre as direções dos "spins" e os auto-estados de massa
serão investigados. Estes efeitos serão então quanticados e comparados com a estrutura
de Minkowski e Einstein-Cartan.
Introdução 7
No primeiro capítulo deste trabalho, revisamos os fundamentos do teleparalelismo;
no segundo apresentamos um resumo da formulação Lagrangeana e Hamiltoniana do T ERG
e o problema de se utilizar a conexão de spin !
ab
. No terceiro capítulo, introduzimos a
equação de Dirac no espaço plano, bem como apresentamos resumidamente a equação de
Dirac no espaço-tempo de Riemann e Einstein-Cartan. No quarto capítulo, introduzimos
o modelo de oscilações dos neutrinos no vácuo, mostrando que os auto-estados de sabor
são diferentes dos auto-estados de massas, sendo que cada auto-estado de sabor é uma
superposição linear dos auto-estados de massas. No quinto capítulo, apresentamos a pro-
posta com o novo acoplamento mínimo para equação de Dirac no T ERG e aplicamos essa
equação para o modelo de oscilação de neutrinos. Ainda, nesse capítulo, zemos as com-
parações dos nossos resultados com aqueles encontrados na literatura. As conclusões são
apresentadas no capítulo sexto. Após as conclusões, apresentamos o apêndice A, contendo
as denições das matrizes de Dirac e de Pauli e, no apêndice B, os cálculo das com-
ponentes dos tensores K
bc
e T
ab
:Por último, apresentamos as referências bibliográcas
utilizadas.
A notação utilizada neste trabalho para os tensores é a seguinte: índices de espaço-
tempo ; ; ... e índices globais SO(3; 1) a; b; c... percorrem de 0 a 3. Índices de tempo
e espaço são indicados por = 0; i e a = (0); (i); onde i = 1; 2; 3: A métrica do espaço-
tempo plano é xada por
(0)(0)
= 1 ou seja
ab
=
ab
= diag(1; +1; +1; +1):
Chapter 1
FUNDAMENTOS DO TELEPARALELISMO
Uma das teorias geométricas alternativas à teoria da Relatividade Geral (RG) de
Einstein é o Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral (T ERG) que é uma for-
mulação em que a intensidade do campo gravitacional é dada pelo tensor de torção. O
T ERG, estudado por Maluf em 1994, [13] permite uma abordagem simples e consistente
para o problema de denição de energia, momento e momentum angular do campo gra-
vitacional e, nesta formulação, o campo gravitacional é descrito em termos de campos de
tétradas, que também determinam um conjunto de sistemas de referência no espaço-tempo.
A RG elaborada por Einstein tem como denição o espaço-tempo de curvatura não nula
[23].
O comportamento do campo gravitacional pode ser descrito através das tétradas
denidas como uma base do espaço-tempo de Weitzenböck [4], e é caracterizado pelo
tensor de torção não nulo, que descreve os efeitos gravitacionais através das tétradas au-
toparalelas ao invés do tensor métrico e a curvatura nula dene o paralelismo absoluto
(teleparalelismo) das tétradas.
1.1 FUNDAMENTAÇÃO
As tétradas ou vierbeins e
a
(x) = f e
(0)
; e
(1)
; e
(2)
; e
(3)
g são um conjunto de quatro
vetores linearmente independentes. Podemos ainda considerar que são vetores bases no
8
1.1 FUNDAMENTAÇÃO 9
espaço tangente que não são derivadas de qualquer sistema de coordenadas, onde a =
f(0); (1); (2); (3)g são índices locais de Lorentz, e = f0; 1; 2; 3g são índices do espaço-
tempo. Essas tétradas satisfazem a relação de ortogonalidade [1]
e
a
e
b
=
ab
; (1.1)
onde
ab
é a métrica de Minkowski que adotamos (; +; +; +). Temos que e
(0)
é um vetor
tipo tempo e e
(k)
, com k = 1; 2; 3 são vetores do tipo espaço.
Os índices locais dos campos de tétradas são abaixados e levantados com
ab
e
ab
,
desse modo:
ac
cb
=
a
b
; (1.2)
e
a
=
ab
e
b
; (1.3)
e
a
=
ab
e
b
; (1.4)
onde chamamos a matriz inversa de
ab
por
ab
e
a
b
é o delta de Kronecker.
A tétrada inversa de e
a
será dado por e
a
; portanto:
e
a
e
b
=
a
b
: (1.5)
A distância entre dois eventos em um sistema de referência não-inercial é dado por:
ds
2
= g
dx
dx
; (1.6)
e a métrica em qualquer sistema de coordenada não-inercial é:
1.1 FUNDAMENTAÇÃO 10
g
= e
a
e
b
ab
(1.7)
ou
ab
= g
e
a
e
b
; (1.8)
onde g
é o tensor métrico ou métrica, e, transmite todas as informações sobre estrutura
causal e geométrica do espaço-tempo.
Dado qualquer campo vetorial contravariante A
, usamos as tétradas para projetar
vetores ou tensores
A
a
= e
a
A
: (1.9)
Podemos fazer o mesmo com o campo vetorial covariante
A
a
= e
a
A
: (1.10)
Podemos converter índices globais em índices locais, através das tétradas inversas
A
= e
a
A
a
; A
= e
a
A
a
: (1.11)
Em pontos distantes do espaço-tempo, o paralelismo das tétradas ocorre se a sua
derivada covariante for nula
O
e
a
= @
e
a
e
a
= 0: (1.12)
1.1 FUNDAMENTAÇÃO 11
Uma variedade generalizada que apresenta torção e curvatura não nula ao mesmo
tempo, é chamada de variedade de Riemann-Cartan, que é dotado de uma métrica g
e
uma conexão am
[11] :
r
g
= @
g
g
g
= 0: (1.13)
A partir dessa equação obtemos a conexão de Cartan
+ K
; (1.14)
onde o primeiro termo:
signica a conexão de Christoffel, representada também por
ou conexão de Levi-Civita
1
2
g
(@
g
+ @
g
@
g
) ; (1.15)
e o segundo termo: K
é o tensor de contorção
K
=
1
2
T
+ T
T
: (1.16)
O tensor de torção é dado por
T
() =
: (1.17)
Em termos da conexão am o tensor de curvatura é dado por
R
() = @
@
+
: (1.18)
1.1 FUNDAMENTAÇÃO 12
O espaço-tempo de Riemann-Cartan possui tensores arbitrários de curvatura e torção.
Daí podemos retirar dois modelos de espaço-tempo. O primeiro é o espaço-tempo de Rie-
mann, que é obtido, fazendo o tensor de torção nulo. Isso resulta na conexão de Levi-Civita.
Um outro modelo é o espaço-tempo de Weitzenböck, que é obtido a partir de Riemann-
Cartan, fazendo o tensor de curvatura nulo
R
() = 0: (1.19)
A conexão am do espaço-tempo de Weitzenböck é dada por
= e
a
@
e
a
= e
a
@
e
a
; (1.20)
e as derivadas covariantes de V
a
e V
são respectivamente
r
V
a
= @
V
a
; (1.21)
r
V
= @
V
+
V
: (1.22)
O espaço-tempo de Weitzenböck é denido pelo paralelismo absoluto de vetores dis-
tantes no espaço-tempo, isto é, paralelismo à distância ou teleparalelismo. Considere um
vetor V
(x) no ponto x
suas componentes de tétrada são dadas por
V
a
(x) = e
a
(x)V
(x); (1.23)
no ponto x + dx, temos que
1.1 FUNDAMENTAÇÃO 13
V
a
(x + dx) = V
a
(x) + dV
a
(x) (1.24)
= V
a
(x) + e
a
r
V
dx
;
Para que os vetores V
a
(x) e V
a
(x + dx) sejam paralelos, temos que
r
V
(x) = 0; (1.25)
a conexão é dita integrável. Neste caso V
(x) dene um campo de vetores auto-paralelos.
A conexão am não é simétrica com respeito a uma troca dos índices. O tensor de
torção do espaço-tempo Weitzenböck é escrito como
T
() =
= (1.26)
= e
a
(@
e
a
@
e
a
):
Podemos também escrever que
e
b
T
= T
b
= e
b
e
a
(@
e
a
@
e
a
) (1.27)
T
b
=
b
a
(@
e
a
@
e
a
)
T
b
= @
e
b
@
e
a
Usando o tensor de Minkowski
ab
e permutando b por a temos
T
a
= @
e
a
@
e
a
(1.28)
1.1 FUNDAMENTAÇÃO 14
que é o tensor de torç~ao usado no T ERG.
A partir de agora, vamos sempre trabalhar no espaço-tempo de Weitzenböck, ou seja,
o espaço-tempo caracterizado por
R
() = 0; (1.29)
e
T
() 6= 0: (1.30)
Chapter 2
O PROBLEMA DO !
ab
E A FORMULAÇÃO
HAMILTONIANA
Na década de 60, Arnowitt, Deser e Misner [24] consideram a RG com a abordagem
da formulação Hamiltoniana, e apresentam uma expressão para a energia gravitacional to-
tal, chamada de energia de ADM. Neste capítulo apresentamos a formulação Hamiltoniana
do T ERG sem o "time gauge", desenvolvida por Maluf em 1994 [13]. A Hamiltoniana
obtida em seu trabalho apresenta invariância por transformações de Lorentz globais, e as
equações de campo para as tétradas, obtidas da Lagrangeana, não dependem da conexão
de spin arbitrária !
ab
, o que sugere que podemos descartar completamente a conexão de
spin !
ab
da teoria.
Mais tarde Rocha-Neto e Maluf [14] desenvolveram uma formulação Hamiltoniana
SO(3,1) global sem a xação do "time gauge" de Schwinger. A partir desta formulação, as
densidades de energia, momento e momentum angular do campo gravitacional, oriundas
das estruturas dos vínculos, decorrem naturalmente. Com o T ERG abre-se a possibilidade
de se determinar, com maior precisão, estas quantidades de qualquer sistema físico.
Antes de apresentarmos a Hamiltoniana do T ERG, necessitamos apresentar um re-
sumo do formalismo Lagrangeano do T ERG.
A formulação Lagrangeana para o T ERG é baseada na identidade:
eR(e; !) = eR(e) + e
1
4
T
abc
T
abc
+
1
2
T
abc
T
bac
T
a
T
a
2@
(eT
): (2.31)
15
2 O PROBLEMA DO !
ab
E A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA 16
Vamos considerar os campos e
a
e !
ab
independentes e, portanto, não relacionados
por meio de equações de campo.
O escalar de curvatura é denido como:
R(e; !) = e
a
e
b
R
ab
(!); (2.32)
onde o tensor de curvatura é escrito com a conexão am !
ab
R
ab
(!) = @
!
ab
@
!
ab
+ !
ab
!
c
b
!
ac
!
c
b
: (2.33)
O espaço-tempo de Weitzenböck é dado por:
R(e; !) = 0: (2.34)
A identidade entre a conexão am !
ab
e o tensor de contorção K
ab
é:
!
ab
=
0
!
ab
+ K
ab
; (2.35)
onde
0
!
ab
é a conexão de Levi-Civita, dada por:
0
!
ab
=
1
2
e
c
(
abc
bac
cab
) ; (2.36)
e
abc
= e
a
(e
b
@
e
c
e
c
@
e
b
) : (2.37)
O determinante da tétrada é dado por:
e = det(e
a
); (2.38)
2 O PROBLEMA DO !
ab
E A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA 17
e
T
a
= T
b
ba
: (2.39)
O tensor de contorção K
ab
é dado por [13]:
K
ab
= e
a
e
b
K
; (2.40)
onde
K
=
1
2
(T
+ T
T
); (2.41)
ou
K
ab
=
1
2
e
a
e
b
(T
+ T
T
); (2.42)
com a ajuda da equação (1:11) .
O tensor de torç~ao é dado por
T
a
= @
e
a
@
e
a
+ !
a
b
e
b
!
a
b
e
b
: (2.43)
Podemos observar que substituindo a identidade (2:35) em (2:32) resulta na ex-
pressão (2:31):
Desprezando o termo de superfície @
(eT
) e usando a equação (2:31), a densidade
Lagrangeana para o T ERG no vácuo é dada por [25], [26], [27], [13], [28],
L(e; !) = R(e) + e
ab
R
ab
(!); (2.44)
onde:
2 O PROBLEMA DO !
ab
E A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA 18
R(e) = e
abc
T
abc
= e
1
4
T
abc
T
abc
+
1
2
T
abc
T
bac
T
a
T
a
; (2.45)
e
ab
são multiplicadores de Lagrange. Estes multiplicadores entram para reforçar que a
curvatura é zero, ou seja:
R
ab
(!) = 0; (2.46)
que caracteriza o teleparalelismo existente no espaço-tempo de Weitzenböck. Da equação
(2:45) segue que
abc
=
1
4
T
abc
+ T
bac
T
cab
+
1
4
ac
T
b
ab
T
c
: (2.47)
Tomando-se variações independentes de L(e; !) ou da ação constituída em relação à
e
a
, as equações de campo resultam em
e
a
e
b
D
e
b
e
ba
T
b
1
4
e
a
bcd
T
bcd
= 0; (2.48)
onde a denição da derivada covariante é
D
e
b
= @
e
b
+ e!
b
c
c
: (2.49)
A partir de
L
e
a
= 0 encontramos a equação de campo satisfeita por e
a
L
e
a
1
2
e
R
a
(e)
1
2
e
a
R(e)
= 0; (2.50)
que é a equação de Einstein, no vácuo (T
a
= 0) na forma de tétrada
R
a
(e)
1
2
e
a
R(e) = 0: (2.51)
2 O PROBLEMA DO !
ab
E A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA 19
Observe que em (2:50) ou (2:51) não aparece o !
ab
:
A densidade Lagrangeana (2:44) e as equações de campo (2:48) são invariantes por
transformações de Lorentz locais SO(3; 1) e necessita da presença do !
ab
: Contudo, ve-
mos por (2:51) que sua presença parece não afetar as equações de campo, pelo menos no
vácuo.
Maluf implementou uma formulação Hamiltoniana do T ERG inicialmente com sime-
tria local, com a imposição da condição do "gauge temporal de Schwinger" [9], e encon-
trou a seguinte densidade Hamiltoniana:
H(e
(j)i
;
(j)i
; !
kab
; P
kab
; !
0ab
) = N
k
C
k
NC + !
0ab
J
ab
+ (2.52)
Ne
abik
R
abik
(m)(n)
C
(m)(n)
+
+@
k
P
kab
!
0ab
+ @
i
N
k
ki
+ N(2eT
i
)
ij
[ij]
;
onde
C =
1
4e
ij
ji
1
2
2
+ eT
ikj
ikj
@
k
2eT
k
+ !
0(k)(j)
(j)(k)
; (2.53)
C
k
= e
(j)k
D
i
(j)i
2eT
i
e
(m)
i
!
k(0)(m)
+
(j)i
T
(j)ik
, (2.54)
J
ab
=
[ajij
e
b]
i
+ D
i
P
iab
; (2.55)
2 O PROBLEMA DO !
ab
E A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA 20
C
(m)(n)
=
[(m)jij
e
(n)]
i
+ e
e
(m)i
!
(n)
i(0)
e
(n)i
!
(m)
i(0)
: (2.56)
N
k
, N,
(m)(n)
e
ij
são multiplicadores de Lagrange. C, C
k
e C
(m)(n)
são os vínculos do
formalismo.
A derivada covariante é denida por:
D
i
(j)i
= @
i
(j)i
+ !
(j)
i (m)
(m)i
: (2.57)
Os momentos
(j)i
= 4ee
i
b
c
(j)bc
; (2.58)
e
P
kab
= 2Ne
ab0k
; (2.59)
são canonicamente conjugados a e
(j)i
e !
kab
, respectivamente.
Neste trabalho de Maluf em 1994 [13], foi mostrado que a formulação Hamiltoniana
do T ERG com simetria local SO(3; 1) não produz uma álgebra de vínculos consistente, e,
portanto, a evolução dinâmica das quantidades de campo não é bem denida. Os vínculos
de primeira classe foram obtidos através da xação do gauge:
!
0ab
= 0; (2.60)
eliminando o momentum P
kab
na densidade Hamiltoniana. A equação de evolução para
!
kab
conduz a
:
!
kab
= fH; !
kab
g = 0: (2.61)
2 O PROBLEMA DO !
ab
E A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA 21
Para essa equação ser consistente é necessário, que !
kab
= 0, e assim !
ab
é descar-
tado da teoria. Com isso, a densidade Lagrangeana e as equações de campo são invariantes
por transformações de Lorentz globais. Assim temos uma simetria global na teoria.
Chapter 3
EQUAÇÃO DE DIRAC
Neste capítulo, apresento duas seções: na primeira seção discuto a equação de Dirac
no espaço plano e, na segunda seção, a equação de Dirac no espaço-curvo.
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO
Na mecânica quântica, a equação de Dirac é uma equação de onda relativística pro-
posta por P aul Dirac em 1928 que descreve partículas elementares de spin
1
2
como o
elétron. A equação de Klein-Gordon foi proposta para a mesma função, mas apresentou
problemas na denição de densidade de probabilidade. A equação de Dirac introduziu
teoricamente o conceito de antipartícula, conrmado experimentalmente pela descoberta
em 1932 do pósitron, e mostrou que spin poderia ser deduzido facilmente da equação, ao
invés de postulado.
Dirac; em 1928, levando em conta todos os problemas com a equação de Klein-
Gordon, formulou uma equação de onda linear na derivada temporal, conhecida como
equação de Dirac, e a partir dela construiu um quadrivetor densidade s
que se conserva,
e cuja componente s
0
é positiva denida. Desta maneira, como arma Sakurai [29], a
equação de Klein-Gordon não poderia ser rejeitada pelo simples argumento de que não
se pode formar uma densidade de probabilidade positiva denida, sob pena de fazermos
o mesmo com a teoria de Maxwell, onde não é possível construir um quadrivetor densi-
dade conservado na forma bilinear para o campo eletromagnético. Mas, embora a equação
22
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 23
de Klein-Gordon seja adequada quando corretamente interpretada, não se pode incluir a
natureza do spin
1
2
de um elétron de forma natural como na equação de Dirac.
O objetivo de Dirac era encontrar uma teoria relativística para os elétrons que não
resultasse numa densidade de probabilidade negativa, embora as soluções com energias
negativas ainda estejam presentes.
A Teoria de Schrödinger possui derivada de primeira ordem no tempo, admitindo,
portanto, apenas um tipo de solução e suas propriedades físicas não são invariantes sob
uma troca de referencial de Lorentz, necessário na relatividade especial. A expressão não-
relativística da energia em mecânica clássica é
E =
p
2
2m
: (3.62)
A partir dessa expressão, obtém-se a equação de Schrödinger pela substituição das
grandezas E e p da equação pelos operadores
b
E ! i~
@
@t
e bp ! i~r; (3.63)
onde
i~
@
@t
=
~
2
2m
r
2
: (3.64)
Com a função de onda complexa ; podemos construir uma forma bilinear
= j j
2
; (3.65)
temos que
j j
2
d
3
x; (3.66)
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 24
mostra a probabilidade de encontrar a partícula num elemento de volume d
3
x: Isso só é
possível, porque a densidade de probabilidade, P , e a densidade de corrente (fluxo)
!
S , são dadas por
P = j j
2
> 0 (3.67)
e
!
S =
~
2im
(
r r
); (3.68)
satisfazem a equação da continuidade, com relação a equação de Schrödinger
@P
@t
+ r
!
S = 0: (3.69)
Para a mecânica quântica relativística, podemos trocar a expressão clássica (3:62) da
energia por sua versão relativística
E
2
= p
2
c
2
+ m
2
c
4
: (3.70)
Substituindo as grandezas acima pelos mesmos operadores (3:63), encontra-se:
~
2
@
2
@t
2
= ~
2
c
2
r
2
+ m
2
c
4
)
r
2
1
c
2
@
2
@t
2
m
2
c
2
~
= 0 (3.71)
m
2
c
2
~
2
= 0; (3.72)
onde (3:72) é chamada equação de Klein-Gordon, onde
= r
2
1
c
2
@
2
@t
2
(3.73)
é o operador D'Alembertiano, que é um invariante de Lorentz.
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 25
Denindo uma forma para a densidade de probabilidade que se conserva, partimos
da equação (3:69) e para escrevermos esta equação numa forma covariante, a densidade de
probabilidade P deve ser uma componente de um quadrivetor densidade, s
, denido por
s
=
!
S ; icP
; (3.74)
portanto, a equação da continuidade pode ser escrita assim:
@s
@x
= 0: (3.75)
Para o caso relativístico, temos a equação (3:74), onde
s
=
!
S ; icP
=
!
S ; s
0
; e s
=
~
2im
@
@x
@
@x
; (3.76)
onde
s
0
=
~
2im
(
@
@x
0
@
@x
0
) =
~
2im
@
@(ict)
@
@(ict)
(3.77)
s
0
=
~
2mc
@
@t
@
@t
: (3.78)
Para a expressão s
0
= icP; temos
icP =
~
2mc
@
@t
@
@t
; (3.79)
então
P =
i~
2mc
2
@
@t
@
@t
; (3.80)
é a "densidade de probabilidade".
A grande diculdade da teoria de Klein-Gordon é a interpretação desta quantidade
P como uma densidade de probabilidade, pois ela não é uma quantidade positiva denida.
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 26
A razão é a presença da derivada de segunda ordem em relação ao tempo na equação, que
admite como soluções independentes, tanto:
(x; t) = u(x)e
iEt=~
; (3.81)
como
(x; t) = u
(x)e
+iEt=~
; (3.82)
A partir da equação (3:72) obtemos:
m
2
c
2
~
2
= 0 )
r
2
=
E
2
c
2
m
2
c
2
~
r
2
=
E
2
c
2
m
2
c
2
~
; (3.83)
constatamos que e
são soluções simultâneas da equação de Klein-Gordon.
A diferença está no sinal de energia, ou seja
i~
@
@t
= +E e i~
@
@t
= E
; (3.84)
então a equação de Klein-Gordon admite soluções simultâneas com energias positivas e
negativas. Ambas são necessárias por razões de completeza. Isto não acontece com a
teoria de Schrödinger, que possui derivada de primeira ordem no tempo, admitindo apenas
um tipo de solução. De fato, como
H = i~
@
@t
)
H = E
H
= E
; (3.85)
então e
não são soluções simultâneas da equação de Schrödinger.
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 27
A densidade de probabilidade na teoria de Klein-Gordon, para a solução (x; t) =
u(x)e
iEt=~
na equação (3:81), é:
P
()
=
i~
2mc
2
@
@t
@
@t
=
i~
2mc
2
[u
(x)e
+iEt=~
u(x)
iE
~
e
iEt=~
+ (3.86)
u
(x)
iE
~
e
+iEt=~
u(x)e
iEt=~
]
P
()
=
i~
2mc
2
ju(x)j
2
2iE
~
=
E
mc
2
ju(x)j
2
; (3.87)
e, para a solução
(x; t) = u
(x)e
+iEt=~
na equação (3:82), é:
P
(
)
=
i~
2mc
2
@
@t
@
@t
=
E
mc
2
ju(x)j
2
= P
()
: (3.88)
Com isso percebemos que as equações (3:87) e (3:88) mostram que a quantidade P
muda de sinal quando trocamos !
. E P
()
e P
(
)
podem ser positivo ou negativo,
dependendo do sinal da energia,
E > 0 )
P
()
> 0
P
(
)
< 0
; E < 0 )
P
()
< 0
P
(
)
> 0
: (3.89)
Não faria muito sentido abandonarmos as soluções com E < 0; sendo as soluções
do tipo (x; t) = u(x)e
iEt=~
na equação (3:81), com apenas E > 0; não formariam um
conjunto completo de funções.
A forma bilinear,
; não funciona com a equação de Klein-Gordon, pois não satis-
faz a conservação de uxo de probabilidade. Como acontece com a equação de Schrödinger,
isto não está presente numa equação de onda relativística linear na derivada temporal.
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 28
Então Dirac formulou uma equação de onda linear na derivada temporal e de 1928 a
1934 foi considerada a única equação de onda correta em mecânica quântica relativística.
Ele escreveu a equação relativística (3:70)numa notação quadrivetorial
p
p
m
2
c
2
= 0; (3.90)
onde
p
= (
E
c
; p) ; p
= (
E
c
; p) (3.91)
lembrando que esta assinatura não é a mesma que utilizamos no capítulo 5: Equação de
Dirac no Teleparalelismo.
O produto escalar de p
por p
é:
p
p
=
E
2
c
2
p
2
= m
2
c
2
: (3.92)
Também podemos escrever a equação (3:90) com a introdução dos termos
e
onde
p
p
m
2
c
2
= (
p
+ mc)(
p
mc) = 0 (3.93)
chegamos a
p
p
m
2
c
2
=
p
p
mc(
)p
m
2
c
2
= 0; (3.94)
como não interessam termos lineares em p
, isso signica que
=
e, além disso
p
p
=
p
p
; (3.95)
isto é
(p
0
)
2
(p
1
)
2
(p
2
)
2
(p
3
)
2
=
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 29
= (
0
)
2
(p
0
)
2
+ (
1
)
2
(p
1
)
2
+ (
2
)
2
(p
2
)
2
(
3
)
2
(p
3
)
2
+ (3.96)
+
0
1
+
1
0
p
0
p
1
+
0
2
+
2
0
p
0
p
2
+
+
0
3
+
3
0
p
0
p
3
+
1
2
+
2
1
p
1
p
2
+
+
1
3
+
3
1
p
1
p
3
+
2
3
+
3
2
p
2
p
3
;
onde são as matrizes de Dirac (ver Ap^endice A). A equação (3:93) pode ser reescrita
como
(
p
+ mc)(
p
mc) = 0: (3.97)
Sabemos que p
! i~@
que é o operador momento, então o segundo termo da
equação (3:97) ca,
i~
@
mc = 0; (3.98)
que é a equação de Dirac, onde é uma matriz coluna de quatro elementos
=
0
B
B
@
1
2
3
4
1
C
C
A
: (3.99)
Reescrevendo essa solução como
(r; t) = a e
iEt=~
e
i(
!
p r)=~
u(E;
!
p ); (3.100)
e substituindo (3:100) na equação (3:98) temos
i~
@
ae
iEt=~
e
i(
!
p r)=~
u(E; p) mcae
iEt=~
e
i(
!
p r)=~
u(E; p) = 0; (3.101)
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 30
resulta em
(
p
mc)u = 0; (3.102)
onde
0
e
!
são chamadas de matrizes de Dirac (ver Ap^endice A). O produto escalar
entre os dois quadrivetores
e p
é
p
=
0
p
0
!
!
p =
E
c
I 0
0 I
!
p
0
!
!
0
; (3.103)
onde
i
com i = 1; 2; e 3; são chamadas de matrizes de P auli (ver Ap^endice A):
A equação (3:102) ainda pode ser reescrita assim
(
p
mc)u =
E
c
mc
I
!
p
!
!
p
!
E
c
mc
I
u(
!
p ); (3.104)
onde u são matrizes colunas de quatro elementos.
As matrizes de P auli são:
1
=
0 1
1 0
;
2
=
0 i
i 0
e
3
=
1 0
0 1
(3.105)
então
!
p
!
= p
1
1
+ p
2
2
+ p
3
3
= (3.106)
!
p
!
= p
1
1
+ p
2
2
+ p
3
3
=
p
3
p
1
ip
2
p
1
+ ip
2
p
3
; (3.107)
voltando na equação (3:104) temos
(E + mc
2
) I c
!
!
p
c
!
!
p (E + mc
2
) I
u(
!
p ) = (3.108)
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 31
=
0
B
B
@
E + mc
2
0 cp
3
cp
1
icp
2
0 E + mc
2
cp
1
+ icp
2
cp
3
cp
3
cp
1
+ icp
2
E + mc
2
0
cp
1
icp
2
cp
3
0 E + mc
2
1
C
C
A
u(
!
p ):
Portanto, a equação de Dirac escrita explicitamente nas quatro componentes, é:
0
B
B
@
E + mc
2
0 cp
3
cp
1
icp
2
0 E + mc
2
cp
1
+ icp
2
cp
3
cp
3
cp
1
+ icp
2
E + mc
2
0
cp
1
icp
2
cp
3
0 E + mc
2
1
C
C
A
u(
!
p ) = 0 (3.109)
onde
u(
!
p ) =
u
A
(
!
p )
u
B
(
!
p )
: (3.110)
Esta equação admite quatro soluções, uma para cada componente do espinor de Dirac.
Em primeiro lugar vamos considerar as soluções para as energias positivas:
E = +
q
j
!
p j
2
c
2
+ m
2
c
4
> 0 [29]:
Para o caso das partículas em repouso (
!
p = 0), as soluções são:
u
(1)
A
(0) =
1
0
e u
(2)
A
(0) =
0
1
: (3.111)
Em termos do espinor de Dirac, u
A
(0) representa as duas primeiras componentes de u(0):
Para o caso das partículas livres com
!
p 6= 0; construímos as soluções como
u
(1)
(
!
p ) = N
0
B
B
@
1
0
b
1
b
2
1
C
C
A
e u
(2)
(
!
p ) =
0
B
B
@
0
1
b
1
b
2
1
C
C
A
; (3.112)
onde u
(1)
(
!
p ) e u
(2)
(
!
p ) representam a partícula com spin para cima e com spin para
baixo, respectivamente, N é a constante de normalização.
Substituindo de volta na equação (3:109);encontramos
0
B
B
@
E + mc
2
0 cp
3
cp
1
icp
2
0 E + mc
2
cp
1
+ icp
2
cp
3
cp
3
cp
1
+ icp
2
E + mc
2
0
cp
1
icp
2
cp
3
0 E + mc
2
1
C
C
A
0
B
B
@
1
0
b
1
b
2
1
C
C
A
= 0; (3.113)
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 32
de onde se obtém um sistema de equações que determinam os valores de b
1
e b
2
:
0
B
B
@
E + mc
2
+ cp
3
b
1
+ c(p
1
ip
2
)b
2
c(p
1
+ ip
2
)b
1
cp
3
b
2
cp
3
+ (E + mc
2
)b
1
cp
1
icp
2
+ (E + mc
2
)b
2
1
C
C
A
= 0: (3.114)
Usando a terceira e quarta componentes desta matriz (3:114), ou seja
cp
3
+ (E + mc
2
)b
1
= 0 (3.115)
cp
1
icp
2
+ (E + mc
2
)b
2
= 0
encontra-se
b
1
=
cp
3
E + mc
2
e b
2
=
c(p
1
ip
2
)
E + mc
2
: (3.116)
Substituindo b
1
e b
2
no espinor u
(1)
encontramos
u
(1)
(
!
p ) = N
0
B
B
@
1
0
cp
3
E+mc
2
c(p
1
+ip
2
)
E+mc
2
1
C
C
A
: (3.117)
Fazemos a mesma coisa para o espinor u
(2)
; partindo da equação
0
B
B
@
E + mc
2
0 cp
3
cp
1
icp
2
0 E + mc
2
cp
1
+ icp
2
cp
3
cp
3
cp
1
+ icp
2
E + mc
2
0
cp
1
icp
2
cp
3
0 E + mc
2
1
C
C
A
0
B
B
@
0
1
b
1
b
2
1
C
C
A
= 0 (3.118)
para encontrar
0
B
B
@
cp
3
b
1
+ c(p
1
ip
2
)b
2
E + mc
2
+ c(p
1
+ ip
2
)b
1
cp
3
b
2
c(p
1
+ ip
2
) + (E + mc
2
)b
1
cp
3
(E + mc
2
)b
2
1
C
C
A
= 0: (3.119)
Deste sistema obtemos
b
1
=
c(p
1
+ ip
2
)
E + mc
2
e b
2
=
cp
3
E + mc
2
; (3.120)
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 33
portanto
u
(2)
(
!
p ) = N
0
B
B
@
0
1
c(p
1
+ip
2
)
E+mc
2
cp
3
E+mc
2
1
C
C
A
: (3.121)
Passamos agora para as soluções para energias negativas:
E =
q
j
!
p j
2
c
2
+ m
2
c
4
< 0: Analogamente, ao caso da energia positiva, podemos
partir das soluções da partícula em repouso e escrever as soluções com
!
p 6= 0 como
u
(3)
(
!
p ) = N
0
B
B
@
a
1
a
2
1
0
1
C
C
A
e u
(4)
(
!
p ) = N
0
B
B
@
a
1
a
2
0
1
1
C
C
A
: (3.122)
Para u
(3)
(
!
p ); obtemos
0
B
B
@
E + mc
2
0 cp
3
cp
1
icp
2
0 E + mc
2
cp
1
+ icp
2
cp
3
cp
3
cp
1
+ icp
2
E + mc
2
0
cp
1
icp
2
cp
3
0 E + mc
2
1
C
C
A
0
B
B
@
a
1
a
2
1
0
1
C
C
A
= 0; (3.123)
ou
0
B
B
@
(E + mc
2
)a
1
+ cp
3
(E + mc
2
)a
2
+ c(p
1
+ ip
2
)
cp
3
a
1
c(p
1
ip
2
)a
2
+ E + mc
2
c(p
1
ip
2
)a
1
+ cp
3
a
2
1
C
C
A
= 0: (3.124)
Resolvendo para a
1
e a
1
; encontramos
a
1
=
cp
3
jEj + mc
2
e a
2
=
c(p
1
+ ip
2
)
jEj + mc
2
; (3.125)
onde usamos E = jEj < 0: Portanto
u
(3)
(p) = N
0
B
B
@
cp
3
jEj+mc
2
c(p
1
+ip
2
)
jEj+mc
2
1
0
1
C
C
A
= 0: (3.126)
Para u
(4)
(p) encontramos
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 34
0
B
B
@
E + mc
2
0 cp
3
cp
1
icp
2
0 E + mc
2
cp
1
+ icp
2
cp
3
cp
3
cp
1
+ icp
2
E + mc
2
0
cp
1
icp
2
cp
3
0 E + mc
2
1
C
C
A
0
B
B
@
a
1
a
2
0
1
1
C
C
A
= 0; (3.127)
ou
0
B
B
@
(E + mc
2
)a
1
+ c(p
1
ip
2
)
(E + mc
2
)a
2
cp
3
cp
3
a
1
c(p
1
ip
2
)a
2
c(p
1
+ ip
2
)a
1
+ cp
3
a
2
+ E + mc
2
1
C
C
A
= 0; (3.128)
de onde se obtém
a
1
=
c(p
1
ip
2
)
jEj + mc
2
e a
2
=
cp
3
jEj + mc
2
: (3.129)
Logo,
u
(4)
(
!
p ) = N
0
B
B
@
c(p
1
ip
2
)
jEj+mc
2
cp
3
jEj+mc
2
0
1
1
C
C
A
: (3.130)
Desta maneira, encontramos as quatro soluções de ondas planas
(r)
(x; t) = u
(r)
(
!
p )e
i(
!
p xEt)=~
(r = 1; 2; 3; 4); (3.131)
que podem ser escrita explicitamente como
(1)
= N
0
B
B
@
1
0
cp
3
E+mc
2
c(p
1
+ip
2
)
E+mc
2
1
C
C
A
e
i(
!
p xEt)=~
;
(2)
= N
0
B
B
@
0
1
c(p
1
+ip
2
)
E+mc
2
cp
3
E+mc
2
1
C
C
A
e
i(
!
p xEt)=~
(3.132)
(3)
= N
0
B
B
@
cp
3
jEj+mc
2
c(p
1
ip
2
)
jEj+mc
2
1
0
1
C
C
A
e
i(
!
p x+jEjt)=~
;
(4)
= N
0
B
B
@
c(p
1
ip
2
)
jEj+mc
2
cp
3
jEj+mc
2
0
1
1
C
C
A
e
i(
!
p x+jEjt)=~
(3.133)
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 35
onde a constante de normalização [29] é dada por
N =
r
jEj + mc
2
2mc
2
:
Substituindo na equação de Dirac (3:98) o termo p
! i~@
e fazendo o uso das
matrizes de Dirac
0
e
i
; obtemos,
i~
0
@
0
+ i~
i
@
i
mc = 0; (3.134)
(
E
c
0
+
!
!
p mc) = 0: (3.135)
Multiplicando a equação (3:135) por e fazendo =
0
; temos;
(E
2
+ c
!
!
p mc
2
) = 0; (3.136)
e fazendo
!
=
!
;
(E c
!
!
p mc
2
) = 0: (3.137)
Como temos os operadores de energia e momento da mecânica quântica, então,
através da equação (3:136) podemos escrever:
(i~
2
@
0
+ i~c
2!
@
mc) = 0 (3.138)
(i~
@
@t
+ i~c
!
r mc
2
) = 0
(i~
@
@t
+ i~c
!
r mc
2
) = 0: (3.139)
3.1 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO PLANO 36
Tomando o complexo conjugado da equação (3:98) com ~ = c = 1 e multiplicando
por
0
; temos
i@
y
m
y
= i@
y
0
m
y
0
= 0; (3.140)
multiplicando por
0
a equação (3:140) temos
i@
y
0
0
m
y
0
0
= 0 (3.141)
onde
=
y
0
; (3.142)
chamado de espinor adjunto, então
i@
0
m
0
= 0: (3.143)
Multiplicando a equação de Dirac (3:98) por , obtemos
(i
@
) m = 0: (3.144)
Agora multiplicando a equação (3:143) por
0
, temos
i@
0
0
m
0
0
= 0 (3.145)
i
@
m = 0: (3.146)
3.2 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO-CURVO 37
Subtraindo (3:146) da (3:144), temos:
i
@
m i
(@
) + m = 0 (3.147)
i
@
i
(@
) = 0
i
@
= 0
i@
= 0
@
= 0
que é a equação da continuidade. Daí resulta que o quadrivetor densidade de corrente é
escrito na notação da referência [29] como
= j
=
i
c
s
= (
!
S ; icP ): (3.148)
A solução da equação de Dirac satisfaz a equação da continuidade na forma co-
variante.
3.2 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO-CURVO
Para as equações relativísticas especiais que governam o sistema na ausência da gra-
vitação, trocamos os tensores de Lorentz por tensores densidade sob as transformações de
coordenadas gerais. Trocamos também as derivadas
@
@x
a
por derivadas covariantes, e
ab
por g
. Este procedimento é também chamado de prescrição de acoplamento mínimo.
A equação de Dirac na Relatividade Geral, se escreve como
i~
D
mc
~
= 0 (3.149)
3.2 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO-CURVO 38
onde a derivada covariante D
substitui a derivada parcial da Relatividade Especial [30] e
se escreve como
D
= @
i
4
0
!
ab
ab
; (3.150)
e
0
!
ab
= e
a
@
e
b
e
0
a
e
b
(3.151)
onde
0
!
ab
é a conexão de Levi-Civita. A equação de Dirac no espaço-tempo de Riemann-
Cartan ou Einstein-Cartan é semelhante à equação (3:150); mas possui a presença da
torção, onde !
ab
=
0
!
ab
+ K
ab
na derivada covariante D
= @
i
4
!
ab
ab
:
Podemos usar as tétradas para "converter" as componentes de um vetor no espaço-
tempo em componentes no espaço-tangente:
A
a
e
a
A
; (3.152)
B
b
e
a
e
b
B
;
e assim por diante.
As transformações de Lorentz são aquelas transformações que deixam invariantes as
equações de campo. Nesta transformação, todos os sistemas de coordenadas inerciais são
equivalentes em cada ponto do espaço-tempo.
Um vetor ou tensor se transforma sob transformações de Lorentz, que dependem da
posição do espaço-tempo como:
A
a
(x) !
a
b
(x)
A
b
(x); (3.153)
T
ab
(x) !
c
a
(x)
d
b
(x)T
cd
(x):
3.2 EQUAÇÃO DE DIRAC NO ESPAÇO-CURVO 39
Além disso, o tensor métrico de Minkoswki sob estas transformações resulta em
ab
a
c
(x)
b
d
(x) =
cd
: (3.154)
As tétradas mudam de acordo com a mesma regra de
A
a
:
e
a
(x) !
a
b
(x)e
b
(x): (3.155)
Em geral um campo arbitrário
n
(x) muda de acordo com:
n
(x) !
m
[S((x))]
nm
n
(x); (3.156)
onde S() é uma matriz que representa um grupo de Lorentz ou innitesimal grupo de
Lorentz innitesimal.
Este formalismo descreve o acoplamento dos campos espinorais de Dirac com o
campo !
ab
: No T ERG, como caso particular da teoria geral de gravitação da métrica
am (M AG), a equação de Dirac é invariante por transformações de Lorentz locais. Já
nas transformações de Lorentz globais, os vetores e tensores se transformam como
A
a
(x) !
a
b
A
b
(x); (3.157)
portanto
T
ab
(x) !
c
a
d
b
T
cd
(x); (3.158)
onde a matriz transformação de Lorentz não depende da posição no espaço-tempo.
Chapter 4
OSCILAÇÃO DE NEUTRINOS
Os neutrinos são partículas eletricamente neutras e virtualmente sem massa, e rara-
mente interagem com a matéria. São emitidos [19] do Sol nas reações nucleares que dão
vida à nossa estrela; de interações entre raios cósmicos que são barrados pela atmosfera
terrestres; das supernovas (explosões estelares); de geo-neutrinos, produzidos pelos decai-
mentos radioativos naturais que ocorrem nas rochas terrestres; de neutrinos de reatores,
produzidos como consequência das reações nucleares ocorridas nos núcleos dos nossos
reatores ou de outras violentas ocorrências astrofísicas. A cada segundo 60 bilhões de-
les atravessam cada centímetro quadrado do nosso corpo, em alta velocidade, sem causar
nenhum efeito. Neste trabalho, dicutiremos os neutrinos solares.
Acredita-se que os neutrinos existam de três formas diferentes e são nomeados de
acordo com o lépton que o acompanha na interação fraca, ou seja, neutrino do elétron,
neutrino do múon ou neutrino do tau. Neutrinos são gerados continuamente em reações
nucleares dentro do Sol e, ao estudar o uxo de neutrinos provenientes do Sol, nota-se
uma redução no valor esperado. O modelo solar padrão (MSP ) nos permite prever qual o
uxo de neutrinos solares que chegam à Terra. O valor previsto e o valor experimental não
conferem, pois a experiência só detectou cerca de um terço do total previsto pelas teorias
que explicam o funcionamento do Sol. Essa diferença cou conhecida como o "problema
do neutrino solar".
40
4 OSCILAÇÃO DE NEUTRINOS 41
O experimento de Homestake [31] e [19], idealizado em 1966 e realizado por Ray
Davis [32] se baseia no processo em que um neutrino do elétron interage com um átomo de
37
Cl produzindo um elétron e um átomo de
37
Ar. Este experimento mostrou que o uxo
de neutrinos do Sol que atinge a terra é menor que o esperado. Entre 1970 e 2002, a taxa
de capturas de neutrino por átomos de cloro-37 no tanque foi de 2:56 0:23 10
36
SNU,
quando previsto pelo modelo solar padrão [33], [19] seria 7:6 1:3 SNU: Isto signica
uma fração de 34 7% do uxo esperado.
Outros experimentos observaram um décit nos neutrinos solares [31], [19]. O SAGE
(Soviet-American Galium Experiment) e o Gallex-atualmente chamado de GNO. Até o
ano de 2002, estes experimentos mediram uma contagem de 71
+7
6
SNU para o SAGE e
71 6 SNU para o GNO, quando o previsto pelo MSP seria 128
+8
9
SNU. Esta diferença
corresponde a 55 6% do uxo esperado.
O chamado experimento de Super-Kamiokande [34], [19] utiliza o espalhamento de
elétrons por neutrinos como princípio para detecção. Ele também detectou, até o ano de
2002, um décit médio de 48 2%: Mais de trinta anos após Homestake, o experimento
SNO (Sudbury Neutrino Observatory), no Canadá, mostrou que o décit de neutrinos so-
lares se devia a um processo chamado conversão de sabor, no qual um neutrino criado no
Sol se "transforma" em outro tipo de neutrino que não era detectado nos experimentos de
Homestake e Kamiokande. Os resultados observaram um décit nos neutrinos do elétron,
de 35 2% [33] e [19].
Mais recentemente o experimento de KamLand [35], no Japão, que detecta anti-
neutrinos produzido em cerca de 20 reatores nucleares distribuídos a distâncias que variam
4 OSCILAÇÃO DE NEUTRINOS 42
de 80 a 350 Km do detector, detectaram um décit de eventos em relação ao que era espe-
rado. Tal resultado só pode ser interpretado assumindo-se que os neutrinos solares também
sofrem o processo quântico conhecido como Oscilaç~ao de Sabores induzida por dife-
rença de massa [36]. Os neutrinos só podem oscilar se eles tiverem massa.
Existem três partículas [37], [19], chamadas neutrinos físicos:
i
= (
1;
2;
3
) (4.159)
onde cada uma dessas partículas possui massa m
1
; m
2
; m
3
: Estas partículas não possuem
carga elétrica e nem carga de cor (a carga da interação forte), mas interagem fracamente.
Supõe-se que o neutrino
e
é uma superposição dos neutrinos físicos:
e
= U
e1
1
+ U
e2
2
+ U
e3
3
; (4.160)
onde U
e1
; U
e2
; U
e3
são chamados de coecientes de mistura.
Os estados de sabor em função dos neutrinos físicos são:
0
@
e
1
A
=
0
@
U
e1
U
e2
U
e3
U
1
U
2
U
3
U
1
U
2
U
3
1
A
0
@
1
2
3
1
A
; (4.161)
ou
(s)
= U
(m)
; (4.162)
onde
(s)
e
(m)
são “vetores” cujas componentes são os estados de sabor
l
(s) e de massa
i
(m), onde U é a matriz de mistura e só pode ser determinada experimentalmente. Ela
deve ser unitária por denição UU
y
= 1: Isto garante que não teremos diculdades ao
tratarmos de probabilidade. Podemos escrever a equação (4:162) na forma de compo-
4.1 DESCRIÇÃO SIMPLIFICADA EM T ERMOS DE DOIS SABORES
e
E
43
nentes
l
= U
li
i
(4.163)
com i = 1; 2 e 3 e l = e; e :
Oscilação é o nome que se dá a dependência periódica das soluções no tempo e no
espaço. Este tipo de solução é obtida quando medimos um observável que não é diagonal na
base dos auto-estados da Hamiltoniana. Ou seja, algumas grandezas físicas não podem ser
determinadas simultaneamente. Não se pode determinar o sabor do neutrino e a sua massa,
simultaneamente pois, ao medirmos o valor de uma grandeza perde-se completamente a
informação que se tinha sobre as outras.
Conhecemos os auto-estados (auto-vetores) de interação e de massa e a matriz de
mistura, por denição. Os auto-estados de interação, formam a base de interação ou base
de sabor. E, os auto-estados físicos ou de massa, formam a base de massa.
4.1 DESCRIÇÃO SIMPLIFICADA EM TERMOS DE DOIS
SABORES
e
E
Simplicaremos a equação (4:161) para um sistema 2x2, considerando apenas dois
sabores. Utilizaremos também a notação de vetores de estado bras e kets,
j
e
i = cos j
1
i + sin j
2
i; (4.164)
j
i = sin j
1
i + cos j
2
i: (4.165)
A relação inversa é:
4.1 DESCRIÇÃO SIMPLIFICADA EM T ERMOS DE DOIS SABORES
e
E
44
j
1
i = cos j
e
i sin j
i; (4.166)
j
2
i = sin j
e
i + cos j
i: (4.167)
Na expressão (4:162), temos:
(s)
=
'
1
'
2
s
; onde j'
1
j
2
+ j'
2
j
2
= 1; (4.168)
(m)
=
1
2
m
; onde j
1
j
2
+ j
2
j
2
= 1;
onde o índice s indica que o vetor em questão está escrito na base dos auto-estados de
sabor e m na base dos auto-estados de massa porém, em qualquer problema quântico de
dois níveis podemos usar vetores de duas componentes e utilizar também as matrizes de
P auli
i
(ver Ap^endice A) para descrever os operadores.
A base do espaço de vetores se relaciona com a base do espaço de estados, unindo o
formalismo de vetores com o formalismo de bras e kets
1
0
s
j
e
i; (4.169)
0
1
s
j
i;
sendo que as bases relacionam os vetores aos estados ket
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO INICIAL
e
45
1
0
m
j
1
i; (4.170)
0
1
m
j
2
i:
Da expressão (4:162) temos
(s)
=
cos sin
sin cos
(m)
; (4.171)
U é a matriz de mistura em função de , e é o ângulo de mistura. Onde U é a matriz 2x2
que satisfaz a condição UU
y
= 1:
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO
INICIAL
e
Considere
(m)
o vetor dos estados das partículas físicas, que possuem massa bem
denida e se propagam no vácuo. Estes estados devem satisfazer a equação de Schrödinger
(onde c = ~ = 1):
i
d
dt
(m)
= H
(m)
; (4.172)
onde H é a Hamiltoniana do sistema e, é representada matricialmente por:
H =
E
1
0
0 E
2
; (4.173)
as energias E
1
e E
2
são as energias dos neutrinos físicos
1
e
2
:
Escrevemos os estados físicos na equação (4:172) em função dos estados de sabor
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO INICIAL
e
46
(m)
= U
y
(s)
: (4.174)
Substituindo a equação (4:174) em (4:172) e partindo da hipótese de que o ângulo de
mistura é constante no vácuo, temos:
iU
y
d
dt
(s)
= HU
y
(s)
; (4.175)
multiplicando pela esquerda por U e usando a propriedade de ortogonalidade, temos
i
d
dt
(s)
= UHU
y
(s)
; (4.176)
i
d
dt
(s)
= H
s
(s)
: (4.177)
Onde:
H
s
UHU
y
=
cos sin
sin cos
E
1
0
0 E
2
cos sin
sin cos
(4.178)
H
s
UHU
y
= (4.179)
=
E
1
cos
2
+ E
2
sin
2
(E
2
E
1
) cos sin
(E
2
E
1
) cos sin E
1
sin
2
+ E
2
cos
2
a qual pode ser escrita como uma combinação das matrizes de Pauli representada por
1
,
2
, e
3
(ver Ap^endice A), em conjunto com a matriz identidade representada por I (ver
Ap^endice A) onde
0
= I formam uma base para as matrizes 2x2 complexas.
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO INICIAL
e
47
Considerando as propriedades:
2
i
= I ;
i
;
j
i
j
+
j
i
= 0 (4.180)
podemos escrever uma matriz H
s
2x2 assim:
H
s
=
A
11
A
12
A
21
A
22
(4.181)
como combinação linear das matrizes
i
H
s
=
A
11
+ A
22
2
0
+
A
12
+ A
21
2
1
+ i
A
12
A
21
2
2
+
A
11
A
22
2
3
: (4.182)
Assim podemos reescrever a matriz (4:181) por
H
s
=
E
1
cos
2
+ E
2
sin
2
+ E
1
sin
2
+ E
2
cos
2
2
0
+ (4.183)
+
(E
2
E
1
) cos sin + (E
2
E
1
) cos sin
2
1
+
+
(E
2
E
1
) cos sin (E
2
E
1
) cos sin
2
i
2
+
+
E
1
cos
2
+ E
2
sin
2
E
1
sin
2
E
2
cos
2
2
3
ou
H
s
=
E
1
(cos
2
+ sin
2
) + E
2
(sin
2
+ cos
2
)
2
0
+ (4.184)
+
(E
2
E
1
)2 cos sin
2
1
+
E
1
cos
2
+ E
2
sin
2
E
1
sin
2
E
2
cos
2
2
3
:
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO INICIAL
e
48
Usando as fórmulas da multiplicação da trigonometria
sin 2a = 2 sin a cos a (4.185)
cos 2a = cos
2
a sin
2
a:
obtemos
H
s
=
E
1
+ E
2
2
I +
(E
2
E
1
) sin 2
2
1
+ (4.186)
+
(E
1
E
2
) cos
2
sin
2
2
3
=
E
1
+ E
2
2
I +
(E
2
E
1
) sin 2
2
1
(E
2
E
1
) cos 2
2
3
=
E
1
+ E
2
2
I +
(E
2
E
1
)
2
(
1
sin 2
3
cos 2)
onde
H
s
=
(E
1
+ E
2
)
2
I +
(E
2
E
1
)
2
(
1
sin 2
3
cos 2): (4.187)
H
s
não é diagonal ao contrário de H na equação (4:173). A forma diagonal de H na equação
de Schrödinger (4:173) signica que a probabilidade de haver transições entre os estados
1
e
2
é nula. Já na equação (4:187) os termos não diagonais no operador Hamiltoniano
H
s
indicam que solução da equação trará probabilidades não nulas de transições entre os
sabores.
A expressão (4:177) possui soluções do tipo
(s)
(t) = e
iH
s
t
'
1
'
2
s
; (4.188)
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO INICIAL
e
49
onde '
1
e '
2
são constantes e dependem das condições iniciais. A solução geral é obtida
substituindo a expressão (4:187) na (4:188):
(s)
(t) = e
i
h
(E
1
+E
2
)
2
I+
(E
2
E
1
)
2
(
1
sin 2
3
cos 2)
i
t
'
1
'
2
s
= e
i
(E
1
+E
2
)
2
It+(i)
(E
2
E
1
)
2
t(
1
sin 2
3
cos 2)
'
1
'
2
s
; (4.189)
ou
(s)
(t) = e
i
(E
1
+E
2
)
2
It+(i)(
1
sin 2
3
cos 2)
'
1
'
2
s
; (4.190)
onde =
(E
2
E
1
)
2
t: Usaremos a identidade:
e
i(
1
sin
3
cos )
= I cos i(
1
sin
3
cos ) sin (4.191)
onde = 2. Para provar esta identidade (4:191), denimos uma matriz A
A i(
1
sin
3
cos )
de forma a termos uma exponencial com um único parâmetro, onde usaremos diretamente
a série de Taylor como sendo a denição para a exponencial de uma matriz
e
A
1
P
n=0
A
n
n!
: (4.192)
Vamos precisar dos valores de A
2
; A
3
:::::
A
2
= i
2
2
(
1
sin
3
cos )(
1
sin
3
cos ) (4.193)
=
2
[
2
1
sin
2
sin cos
1
3
sin cos
3
1
+
2
3
cos
2
)
=
2
[
2
1
sin
2
+
2
3
cos
2
sin cos f
1
;
3
g]
onde das propriedades (4:180) temos
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO INICIAL
e
50
2
1
=
0 1
1 0
0 1
1 0
=
1 0
0 1
= I (4.194)
2
3
=
1 0
0 1
1 0
0 1
=
1 0
0 1
= I;
daí
A
2
=
2
[I sin
2
+ I cos
2
sin cos f
1
;
3
g]: (4.195)
Usando novamente as propriedades (4:180) temos
A
2
=
2
[I(sin
2
+ cos
2
) 0] (4.196)
=
2
I:
Agora A
3
A
3
=
2
I[i(
1
sin
3
cos )] (4.197)
= i
3
(
1
sin
3
cos );
generalizando, A
2
pode ser A
2n
e A
3
pode ser A
2n+1
:
A
2n
= (A
2
)
n
= (
2
I) = (1)
n
2n
I (4.198)
e
A
2n+1
= A
2n
A = (1)
n
2n
IA = i(1)
n
2n+1
(
i
sin
3
cos ): (4.199)
Substituindo A
2n
e A
2n+1
na denição (4:192) obtemos nalmente
4.2 A EVOLUÇÃO DO NEUTRINO A PARTIR DO ESTADO INICIAL
e
51
e
A
=
1
P
n=0
A
2n
(2n)!
+
1
P
n=0
A
2n+1
(2n + 1)!
(4.200)
= I
1
P
n=0
1
(2n)!
(1)
n
2n
i(
i
sin
3
cos )
1
P
n=0
1
(2n + 1)!
(1)
n
2n+1
= I cos i(
i
sin
3
cos ) sin ;
onde utilizamos as séries de Taylor das funções seno e cosseno,
sin =
1
P
n=0
(1)
n
2n+1
(2n + 1)!
; (4.201)
cos =
1
P
n=0
(1)
n
2n
(2n)!
:
Esta demonstração é utilizada para simplicar a aplicação de um operador não-
diagonal a um vetor. Então
(s)
(t) = e
i
E
1
+E
2
2
t
I cos i(
1
sin 2
3
cos 2) sin
'
1
'
2
; (4.202)
e
(s)
(t) = e
i
E
1
+E
2
2
t
'
1
'
2
(4.203)
I cos
E
2
t
i(
1
sin 2
3
cos 2) sin
E
2
t
;
onde E = E
2
E
1
: Esta solução pode ser utilizada para os neutrinos solares, onde
o estado inicial é composto puramente de neutrinos do elétron
e
, utilizando a condição
inicial
(s)
(0) = j
e
i , ou seja, '
1
= 1 e '
2
= 0: Aplicando
1
e
3
no estado inicial,
temos
4.3 PROBABILIDADES DE TRANSIÇÕES 52
1
1
0
s
=
0 1
1 0
1
0
s
=
0
1
s
= j
i; (4.204)
3
1
0
s
=
1 0
0 1
1
0
s
=
1
0
s
= j
e
i:
Fazendo assim a associação entre a notação vetorial e a notação de vetores de estado,
a equação (4:203) se escreve como
j
e
(t)i = e
i
E
1
+E
2
2
t
(4.205)
cos
E
2
t
+ i cos 2 sin
E
2
t
j
e
i i sin 2 sin
E
2
t
j
i
:
A solução apresenta uma parte que representa a propagação do estado inicial j
e
i e
a outra que representa j
i: Tem-se então os efeitos da mistura, que leva o estado inicial-
mente contendo apenas
e
a evoluir como uma composição de estados.
4.3 PROBABILIDADES DE TRANSIÇÕES
Podemos obter a probabilidade de um neutrino produzido como
e
ser detectado como
após um certo tempo t
P
e
(t) = jh
j
e
(t)ij
2
= sin
2
2 sin
2
E
2
t
: (4.206)
Como as probabilidades estão normalizadas, podemos obter a probabilidade de so-
brevivência do elétron como
P
ee
= 1 P
e
(4.207)
4.3 PROBABILIDADES DE TRANSIÇÕES 53
P
ee
(t) = 1 sin
2
2 sin
2
E
2
t
; (4.208)
resultado válido para o modelo de oscilação no vácuo.
Analisando o parâmetro t para obtermos uma interpretação mais coerente. Portanto,
sabemos que os neutrinos são partículas extremamente relativísticas, devido a sua massa
ser muito pequena, podemos dizer que
v
neutrino
c: (4.209)
Relacionando t com um parâmetro x sendo que
x = v
neutrino
t ct (4.210)
pois t não é de interesse para oscilações. A solução que encontramos (4:208) é derivada
de um formalismo de ondas planas que está implícito na equação (4:177) e, neste tipo de
formalismo a variável t é apenas um parâmetro de evolução.
A probabilidade (4:208) depende de uma distância entre a fonte e o detector. A
probabilidade de sobrevivência com c = 1, resulta em
P
ee
(x) = 1 sin
2
2 sin
2
E
2
x
; (4.211)
onde E é a diferença entre as energias dos estados
1
e
2
: Isto supõe que há uma dife-
rença de energia entre os estados. As energias E
1
e E
2
que introduzimos na Hamiltoniana
(4:173) são energias relativísticas, pois em geral a física das partículas lida com velocidades
muito próximas à da luz, então
4.3 PROBABILIDADES DE TRANSIÇÕES 54
E
2
i
= p
2
+ m
2
i
; (4.212)
onde p j
!
p j é o módulo do momento linear do estado
i
; com i = 1; 2; 3 e está rela-
cionado com a parte cinética da energia e m
i
com a energia na forma de massa, onde m
é mc
2
: Estamos assumindo que o momento dos estados físicos numa superposição é o
mesmo. Os auto-valores da Hamiltoniana tem informações sobre a energia cinética dos
neutrinos e sobre sua massa. No entanto, veremos que a energia total dado pelo auto-
valor da Hamiltoniana é praticamente a energia cinética do neutrino. Matematicamente, é
o mesmo que
m
i
p
1; (4.213)
da relação (4:213) encontramos uma aproximação para a expressão (4:212):
E
i
= p
s
1 +
m
2
i
p
2
' p +
m
2
i
2p
; (4.214)
onde usamos uma expansão binomial para fazer a aproximação anterior (4:214)
p
1 + x 1 +
x
2
; (4.215)
usando a aproximação (4:214) na denição de E; temos
E = E
2
E
1
=
m
2
2
m
2
1
2p
: (4.216)
A quantidade é
m
2
2
m
2
1
;
sendo esta uma grandeza fundamental deste modelo, em conjunto ao ângulo de mistura :
4.3 PROBABILIDADES DE TRANSIÇÕES 55
Utilizando novamente a aproximação (4:214) na expressão (4:212); assim podemos
dizer que
p E
i
E; (4.217)
onde E é a energia total do feixe, ou a energia dos estados de sabor. A diferença entre os
auto-valores E
i
é por conta da diferença existente entre os quadrados das massas : Com
isso, não estamos assumindo que os auto-valores da Hamiltoniana não são iguais.
Finalmente, a solução para a oscilação de sabor no vácuo é escrita como
P
ee
= 1 sin
2
2 sin
2
4E
x
; (4.218)
onde vemos que, sempre que a distância x for um múltiplo de uma certa distância carac-
terística, a porcentagem de neutrinos do elétron no feixe é restaurada a seu valor inicial.
Esta distância característica é conhecida como comprimento de oscilação e é dada por:
L
0
= 4
E
. (4.219)
No próximo capítulo, usaremos a equação de probabilidade (4:211) no contexto do
T ERG. O auto-valor de energia E será encontrado pela Hamiltoniana de Dirac, levando
em consideração o spin do neutrino.
Chapter 5
EQUAÇÃO DE DIRAC NO
TELEPARALELISMO
Neste capítulo, o problema de oscilação de neutrinos em um campo gravitacional
será estudado através da Hamiltoniana de Dirac, no espaço-tempo de Weintzenböck, con-
siderando o espaço-tempo com torção.
A derivada covariante na equação de Dirac do T ERG será sugerida por Maluf [38]
e [18] em que se utiliza
0
!
ab
na conexão e não a conexão de spin !
ab
:
Iremos calcular a fase dinâmica dos neutrinos, encontrando a forma da Hamiltoni-
ana H, a partir da equação de Dirac. As contribuições da torção e suas relações entre as
direções dos "spins" e os auto-estados de massa também serão calculados. A Hamiltoni-
ana H dependerá, do momentum
!
p , expressado não como um operador diferencial mas,
simplesmente como um vetor. Ao nal do capítulo, compararemos nosso resultado com os
encontrados na literatura. Utilizaremos a métrica de Schwarzschild [2] pois os cálculos são
mais simples e facilitam as comparações com a literatura.
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS
A partir de agora o procedimento adotado será o mesmo desenvolvido por Adak et al
em 2001 [41]. Para trabalhar com a equação de Dirac no TERG será preciso utilizar um
campo de tétradas. Podemos encontrar as componentes das tétradas através da prescrição
da métrica g
: A métrica de Schwarzschild [2] com c = 1, é dada por
56
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS 57
ds
2
= (1
r
g
r
)dt
2
+ (1
r
g
r
)
1
dr
2
+ r
2
d
2
+ r
2
sin
2
d'
2
, (5.220)
temos que: r
g
= 2GM; r é a coordenada radial e G é a constante gravitacional onde,
G = 6:67 10
11
m
3
kgs
2
. Reescrevendo o tensor métrico (1:7) como
g
= e
(0)
e
(0)
+ e
(1)
e
(1)
+ e
(2)
e
(2)
+ e
(3)
e
(3)
; (5.221)
e utilizando a métrica (5:220), obtemos as seguintes equações:
g
00
= e
(0)
0
e
(0)0
+ e
(1)
0
e
(1)0
+ e
(2)
0
e
(2)0
+ e
(3)
0
e
(3)0
= (1
r
g
r
); (5.222)
g
01
= e
(0)
0
e
(0)1
+ e
(1)
0
e
(1)1
+ e
(2)
0
e
(2)1
+ e
(3)
0
e
(3)1
= 0; (5.223)
g
02
= e
(0)
0
e
(0)2
+ e
(1)
0
e
(1)2
+ e
(2)
0
e
(2)2
+ e
(3)
0
e
(3)2
= 0; (5.224)
g
03
= e
(0)
0
e
(0)3
+ e
(1)
0
e
(1)3
+ e
(2)
0
e
(2)3
+ e
(3)
0
e
(3)3
= 0; (5.225)
g
10
= e
(0)
1
e
(0)0
+ e
(1)
1
e
(1)0
+ e
(2)
1
e
(2)0
+ e
(3)
1
e
(3)0
= 0; (5.226)
g
11
= e
(0)
1
e
(0)1
+ e
(1)
1
e
(1)1
+ e
(2)
1
e
(2)1
+ e
(3)
1
e
(3)1
= (1
r
g
r
)
1
; (5.227)
g
12
= e
(0)
1
e
(0)2
+ e
(1)
1
e
(1)2
+ e
(2)
1
e
(2)2
+ e
(3)
1
e
(3)2
= 0; (5.228)
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS 58
g
13
= e
(0)
1
e
(0)3
+ e
(1)
1
e
(1)3
+ e
(2)
1
e
(2)3
+ e
(3)
1
e
(3)3
= 0; (5.229)
g
20
= e
(0)
2
e
(0)0
+ e
(1)
2
e
(1)0
+ e
(2)
2
e
(2)0
+ e
(3)
2
e
(3)0
= 0; (5.230)
g
21
= e
(0)
2
e
(0)1
+ e
(1)
2
e
(1)1
+ e
(2)
2
e
(2)1
+ e
(3)
2
e
(3)1
= 0; (5.231)
g
22
= e
(0)
2
e
(0)2
+ e
(1)
2
e
(1)22
+ e
(2)
2
e
(2)2
+ e
(3)
2
e
(3)2
= r
2
; (5.232)
g
23
= e
(0)
2
e
(0)3
+ e
(1)
2
e
(1)3
+ e
(2)
2
e
(2)3
+ e
(3)
2
e
(3)3
= 0; (5.233)
g
30
= e
(0)
3
e
(0)0
+ e
(1)
3
e
(1)0
+ e
(2)
3
e
(2)0
+ e
(3)
3
e
(3)0
= 0; (5.234)
g
31
= e
(0)
3
e
(0)1
+ e
(1)
3
e
(1)1
+ e
(2)
3
e
(2)1
+ e
(3)
3
e
(3)1
= 0; (5.235)
g
32
= e
(0)
0
e
(0)2
+ e
(1)
0
e
(1)2
+ e
(2)
3
e
(2)2
+ e
(3)
0
e
(3)2
= 0; (5.236)
g
33
= e
(0)
0
e
(0)2
+ e
(1)
0
e
(1)3
+ e
(2)
3
e
(2)2
+ e
(3)
0
e
(3)3
= r
2
sin
2
: (5.237)
Encontramos através da equação (1:7) as componentes do tensor métrico g
nulos:
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS 59
g
01
= g
10
= 0; (5.238)
g
02
= g
20
= 0; (5.239)
g
03
= g
30
= 0; (5.240)
g
12
= g
21
= 0; (5.241)
g
13
= g
31
= 0; (5.242)
g
23
= g
32
= 0; (5.243)
e os g
não nulos
g
00
= (1
r
g
r
); (5.244)
g
11
= (1
r
g
r
)
1
; (5.245)
g
22
= r
2
; (5.246)
g
33
= r
2
sin
2
: (5.247)
Assim os tensores métricos g
e g
são representados na forma matricial como,
g
=
0
B
B
@
g
00
g
01
g
02
g
03
g
10
g
11
g
12
g
13
g
20
g
21
g
22
g
23
g
30
g
31
g
32
g
33
1
C
C
A
=
0
B
B
@
1
r
g
r
0 0 0
0
1
r
g
r
1
0 0
0 0 r
2
0
0 0 0 r
2
sin
2
1
C
C
A
;
(5.248)
e,
g
=
0
B
B
B
@
1
(
1
r
g
r
)
0 0 0
0
1
(
1
r
g
r
)
1
0 0
0 0
1
r
2
0
0 0 0
1
r
2
sin
2
1
C
C
C
A
: (5.249)
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS 60
Tendo as matrizes das tétradas, podemos igualar à uma matriz cujos os elementos são
letras maiúsculas:
e
=
0
B
B
@
e
(0)0
e
(0)1
e
(0)2
e
(0)3
e
(1)0
e
(1)1
e
(1)2
e
(1)3
e
(2)0
e
(2)1
e
(2)2
e
(2)3
e
(3)0
e
(3)1
e
(3)2
e
(3)3
1
C
C
A
=
0
B
B
@
A B C D
E F G H
I J L M
N O P Q
1
C
C
A
: (5.250)
Usando a relação (1:3): e
a
=
ab
e
b
temos
e
(0)
0
=
(0)b
e
b0
=
(0)(0)
e
(0)0
+
(0)i
e
(i)0
=
(0)(0)
e
(0)0
= e
(0)0
(5.251)
e
(0)
1
=
(0)b
e
b1
=
(0)(0)
e
(0)1
+
(0)i
e
(i)1
=
(0)(0)
e
(0)1
= e
(0)1
(5.252)
e
(0)
2
=
(0)b
e
b2
=
(0)(0)
e
(0)2
+
(0)i
e
(i)2
=
(0)(0)
e
(0)2
= e
(0)2
(5.253)
e
(0)
3
=
(0)b
e
b3
=
(0)(0)
e
(0)3
+
(0)i
e
(i)3
=
(0)(0)
e
(0)3
= e
(0)3
(5.254)
e
(1)
0
=
(1)b
e
b0
=
(1)(0)
e
(0)0
+
(1)i
e
(i)0
= (5.255)
=
(1)(1)
e
(1)0
+
(1)(2)
e
(2)0
+
(1)(3)
e
(3)0
= e
(1)0
e
(1)
1
=
(1)b
e
b1
=
(1)(0)
e
(0)1
+
(1)i
e
(i)1
= (5.256)
=
(1)(1)
e
(1)1
+
(1)(2)
e
(2)1
+
(1)(3)
e
(3)1
= e
(1)1
e
(1)
2
=
(2)b
e
b2
=
(1)(0)
e
(0)2
+
(1)i
e
(i)2
= (5.257)
=
(1)(1)
e
(1)2
+
(1)(2)
e
(2)2
+
(1)(3)
e
(3)2
= e
(1)2
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS 61
e
(1)
3
=
(3)b
e
b3
=
(1)(0)
e
(0)3
+
(1)i
e
(i)3
= (5.258)
=
(1)(1)
e
(1)3
+
(1)(2)
e
(2)3
+
(1)(3)
e
(3)3
= e
(1)3
e
(2)
0
=
(1)b
e
b0
=
(2)(0)
e
(0)0
+
(2)i
e
(i)0
= (5.259)
=
(2)(1)
e
(1)0
+
(2)(2)
e
(2)0
+
(2)(3)
e
(3)0
= e
(2)0
e
(2)
1
=
(1)b
e
b1
=
(2)(0)
e
(0)1
+
(2)i
e
(i)1
= (5.260)
=
(2)(1)
e
(1)1
+
(2)(2)
e
(2)1
+
(2)(3)
e
(3)1
= e
(2)1
e
(2)
2
=
(2)b
e
b2
=
(2)(0)
e
(0)2
+
(2)i
e
(i)2
= (5.261)
=
(2)(1)
e
(1)2
+
(2)(2)
e
(2)2
+
(2)(3)
e
(3)2
= e
(2)2
e
(2)
3
=
(3)b
e
b3
=
(2)(0)
e
(0)3
+
(3)i
e
(i)3
= (5.262)
=
(2)(1)
e
(1)3
+
(2)(2)
e
(2)3
+
(2)(3)
e
(3)3
= e
(2)3
e
(3)
0
=
(3)b
e
b0
=
(3)(0)
e
(0)0
+
(3)i
e
(i)0
= (5.263)
=
(3)(1)
e
(1)0
+
(3)(2)
e
(2)0
+
(3)(3)
e
(3)0
= e
(3)0
e
(3)
1
=
(3)b
e
b1
=
(3)(0)
e
(0)1
+
(3)i
e
(i)1
= (5.264)
=
(3)(1)
e
(1)1
+
(3)(2)
e
(2)1
+
(3)(3)
e
(3)1
= e
(2)1
e
(3)
2
=
(3)b
e
b2
=
(3)(0)
e
(0)2
+
(3)i
e
(i)2
= (5.265)
=
(3)(1)
e
(1)2
+
(3)(2)
e
(2)2
+
(3)(3)
e
(3)2
= e
(3)2
e
(3)
3
=
(3)b
e
b3
=
(3)(0)
e
(0)3
+
(3)i
e
(i)3
= (5.266)
=
(3)(1)
e
(1)3
+
(3)(2)
e
(2)3
+
(3)(3)
e
(3)3
= e
(3)3
:
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS 62
Assim podemos escrever a equação (5:221) como:
g
00
= A
2
+ E
2
+ I
2
+ N
2
= (1
r
g
r
) (5.267)
g
01
= EF + IJ + NO = 0 (5.268)
g
02
= EG + IL + NP = 0 (5.269)
g
03
= EH + IM + NP = 0 (5.270)
g
11
= F
2
+ J
2
+ O
2
= (1
r
g
r
)
1
(5.271)
g
12
= F G + JL + OP = 0 (5.272)
g
13
= F H + JM + OQ = 0 (5.273)
g
22
= G
2
+ L
2
+ P
2
= r
2
(5.274)
g
23
= GH + LM + P Q = 0 (5.275)
g
33
= H
2
+ M
2
+ Q
2
= r
2
sin
2
: (5.276)
É necessário usarmos duas simplicações para solucionarmos este conjunto de equações
e encontrar a forma matricial de e
a
e e
a
:
1: a primeira simplicação é o chamado "gauge temporal de Schwinger" [9]:
e
(0)
i
= 0 ou e
(0)i
= 0 e e
0
(i)
= 0 ou e
(i)0
= 0; (5.277)
2: e a segunda simplicação é a simetria espacial: para obter tétradas que correspon-
dem a menor energia do campo gravitacional no T ERG [38]:
e
(i)j
= e
(j)i
: (5.278)
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS 63
Pela primeira simplicação que é o “gauge de Schwinger" (5:277) temos que:
e
(0)1
= B = 0; (5.279)
e
(0)2
= C = 0;
e
(0)3
= D = 0:
Pela segunda simplicação que é a simetria espacial (5:278) temos que:
e
(1)2
= e
(2)1
= J = G; (5.280)
e
(1)3
= e
(3)1
= H = O;
e
(2)3
= e
(3)2
= M = P:
Assim, encontramos a matriz e
a
que é umas das possíveis soluções para o sistema
de equações (5:221):
e
a
=
0
B
B
@
(1
r
g
r
)
1
2
0 0 0
0 (1
r
g
r
)
1
2
0 0
0 0 r 0
0 0 0 r sin
1
C
C
A
: (5.281)
Encontramos também as seguintes matrizes das outras tétradas, com as relações
abaixo:
e
a
= g
e
a
=
0
B
B
@
(1
r
g
r
)
1
2
0 0 0
0 (1
r
g
r
)
1
2
0 0
0 0
1
r
0
0 0 0
1
r sin
1
C
C
A
; (5.282)
e
5.1 CÁLCULO DAS TÉTRADAS 64
e
a
=
ab
e
a
=
0
B
B
@
(1
r
g
r
)
1
2
0 0 0
0 (1
r
g
r
)
1
2
0 0
0 0
1
r
0
0 0 0
1
r sin
1
C
C
A
; (5.283)
e
e
a
=
ab
e
b
=
0
B
B
@
(1
r
g
r
)
1
2
0 0 0
0 (1
r
g
r
)
1
2
0 0
0 0 r 0
0 0 0 r sin
1
C
C
A
: (5.284)
O determinante da tétrada é dado pela equação (2:38): e = det(e
a
) onde
e = [(1
r
g
r
)
1
2
][(1
r
g
r
)
1
2
][r][r sin ] = r
2
sin : (5.285)
A identidade (1:5) pode ser mostrada através das tétradas (5:284) e (5:282)
e
a
e
b
=
=
0
B
B
@
(1
r
g
r
)
1
2
0 0 0
0 (1
r
g
r
)
1
2
0 0
0 0 r 0
0 0 0 r sin
1
C
C
A
0
B
B
@
(1
r
g
r
)
1
2
0 0 0
0 (1
r
g
r
)
1
2
0 0
0 0
1
r
0
0 0 0
1
r sin
1
C
C
A
(5.286)
e
a
e
b
=
0
B
B
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
A
: (5.287)
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 65
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG
O procedimento agora será escrever a equação de Dirac (3:98) no formalismo do
T ERG e encontrar as fases correspondentes para os auto-estados de massas, e então cal-
cular as diferenças de fases.
Obkuhov e Pereira [17] estudaram o T ERG como um caso particular de teorias
gravitacionais de métrica am (MAG). Nesta teoria, o espinor de Dirac se acopla com
o campo !
ab
. Eles relataram duas inconsistências nessa abordagem. A primeira incon-
sistência está no fato que o espinor de Dirac que na gravidade teleparalela se acopla con-
sistentemente apenas para a matéria sem spin ou com um tensor de spin conservado. Uma
outra inconsistência é que parece "existir" uma simetria "extra" que faz com que a torção
não seja unicamente determinada pelas equações de campo, formando a teoria sicamente
não previsível. Isso pode ser conrmado a partir da formulação Hamiltoniana abordada por
Maluf em 1994 [13], onde ele mostra que nem todas as componentes da conexão de spin
!
ab
ou multiplicadores de Lagrange podem ser determinados pelas equações de campo.
No espiríto da abordagem do MAG, a equação de Dirac reescreve como:
i~
D
(!) m +
i
2
e
a
T
a
(e; !)
= 0; (5.288)
onde
D
= (@
i
4
!
ab
ab
) ; (5.289)
então a equação é invariante por transformações de Lorentz locais.
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 66
A equação proposta no artigo de Maluf [18] para o acoplamento mínimo é descrito
pela derivada covariante
D
= @
i
4
0
!
ab
ab
: (5.290)
Substituindo (5:290) na equação de Dirac (3:98): i~
D
m
0
c = 0 temos:
i~
(@
i
4
0
!
ab
ab
) m
0
c = 0: (5.291)
Utilizando,
0
!
ab
= K
ab
(5.292)
camos com
i~
(@
+
i
4
K
ab
ab
) m
0
c = 0: (5.293)
onde
ab
=
i
2
a
;
b
: (5.294)
Usando as propriedades de conversão das tétradas: ( $ d) e ( $ c)
i~
d
e
d
(@
+
i
4
e
c
K
cab
ab
) m
0
c = 0; (5.295)
e fazendo a multiplicação por e
d
na equação acima (5:295) encontramos,
i~
d
(e
d
@
+
i
4
e
d
e
c
K
cab
ab
) m
0
c = 0: (5.296)
Utilizando a identidade (1:5): e
d
e
c
=
c
d
; onde i
2
= 1 temos:
i~
d
e
d
@
1
4
~K
dab
d
ab
m
0
c = 0: (5.297)
Substituindo
ab
(5:294) em (5:297); chegamos em
i~
d
e
d
@
1
4
~K
dab
d
i
2
[
a
;
b
] m
0
c = 0: (5.298)
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 67
Permutando: (d $ a) , (a $ b) e (b $ c) ; obtemos
i~
a
e
a
@
1
4
~K
abc
a
i
2
[
b
;
c
] m
0
c = 0: (5.299)
Substituindo a identidade:
a
[
b
;
c
] = 2
ab
c
+ 2
ac
b
+ 2i
abcd
(5)
d
; (5.300)
na equação (5:299); resulta em
i~
a
e
a
@
i
8
~K
abc
(2
ab
c
+ 2
ac
b
+ 2i
abcd
(5)
d
) m
0
c = 0: (5.301)
Usando a tétrada para converter (a $ ) ; camos com
i~
a
e
a
@
+
i
4
~e
a
K
bc
ab
c
i
4
~e
a
K
bc
ac
b
+ (5.302)
+
1
4
~e
a
K
bc
abcd
(5)
d
m
0
c = 0:
Trocando o sinal e permutando (c $ b) ; obtemos
i~
a
e
a
@
+
i
4
~(e
a
K
bc
ab
c
+ e
a
K
bc
ab
c
) + (5.303)
+
1
4
~e
a
K
bc
abcd
(5)
d
m
0
c = 0;
ou
i~
a
e
a
@
+
i
2
~e
a
K
bc
ab
c
+
}
4
e
a
K
bc
abcd
(5)
d
m
0
c = 0: (5.304)
O primeiro termo na equação (5:304) pode ser expandido assim
i~
a
e
a
@
= i}(
a
e
0
a
@
0
+
a
e
1
a
@
1
+
a
e
2
a
@
2
+
a
e
3
a
@
3
) ; (5.305)
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 68
lembrando que
e
0
(0)
= (1
r
g
r
)
1
2
= f
1
; e
1
(1)
= (1
r
g
r
)
1
2
= f (5.306)
e
2
(2)
=
1
r
e e
3
(3)
=
1
r sin
: (5.307)
Expandindo (5:305) e usando as equações (5:306) e (5:307); obtemos
i~
a
e
a
@
=
i}
f
(0)
@
@
t
+ i}f
(1)
@
@
r
+
i}
r
(2)
@
@
+
i}
r sin
(3)
@
@
'
: (5.308)
O segundo termo na equação (5:304) é expandido como
i
2
~e
a
K
bc
ab
c
=
=
i}
2
[e
0
(0)
(K
0(0)(0)
(0)(0)
(0)
+ K
0(0)(1)
(0)(0)
(1)
+ (5.309)
+K
0(0)(2)
(0)(0)
(2)
+ K
0(0)(3)
(0)(0)
(3)
) +
+(e
1
(1)
(K
1(1)(0)
(1)(1)
(0)
+ K
1(1)(1)
(1)(1)
(1)
+
+K
1(1)(2)
(1)(1)
(2)
+ +K
1(1)(3)
(1)(1)
(3)
) +
+e
2
(2)
(K
2(2)(0)
(2)(2)
(0)
+ K
2(2)(1)
(2)(2)
(1)
+
+K
2(2)(2)
(2)(2)
(2)
+ K
2(2)(3)
(2)(2)
(3)
) +
+e
3
(3)
(K
3(3)(0)
(3)(3)
(0)
+ K
3(3)(1)
(3)(3)
(1)
+
+K
3(3)(2)
(3)(3)
(2)
+ +K
3(3)(3)
(3)(3)
(3)
)]
= 0:
Os cálculos das componentes de K
bc
estão no Ap^endice B. Sabemos que
K
(0)(0)
= K
(i)(i)
= 0: (5.310)
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 69
Substituindo as componentes de K
ab
na equação (5:309); obtemos
i
2
~e
a
K
bc
ab
c
= (5.311)
=
i}
2
[f
1
f
(1)
@
r
f +
f
1
r
(2)
@
f +
+
f
1
r sin
(3)
@
'
f + f
f
1
2
(0)
@
t
f
1
+
f
1
r
(2)
@
f
1
f
1
r sin
(3)
@
'
f
1
+
f
1
r
(0)
@
t
r
f
r
(1)
@
r
r +
1
r
2
sin
(3)
@
'
r +
f
1
r sin
(0)
@
t
r sin +
f
r sin
(1)
@
r
r sin +
f
r
2
sin
(2)
@
r sin ]
= 0
substituindo os resultados do primeiro (5:308) e segundo (5:311) termos na equação (5:304);
temos
(
i}
f
(0)
@
t
i}
2
(0)
@
t
f
1
i}
2r
f
1
(0)
@
t
r + (5.312)
i}
2r sin
f
1
(0)
@
t
(r sin ) ) +
+(i~f
(1)
@
r
i}
2
(1)
@
r
f
i}
2r
f
(1)
@
r
r +
i}
2r sin
(1)
@
r
(r sin ) ) +
+(
i}
r
(2)
@
+
i}
2r
f
1
(2)
@
f
i}
2r
2
(2)
@
f
1
+
i}
2r
2
sin
(2)
@
(r sin ) ) +
+(
i}
r sin
(3)
@
'
+
i}
2r sin
(3)
@
'
f
i}
2r
2
sin
2
(3)
@
'
f
1
+
i}
2r
2
sin
(3)
@
'
r ) +
}
4
e
a
K
bc
abcd
(5)
d
+
m
0
c = 0
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 70
eliminando alguns termos e rearranjando a equação (5:312); obtemos
i}
f
(0)
@
@
t
+ i}f
(1)
(
@
@r
1
2r
1
2f
@
@r
f
1
2r
) + (5.313)
+
i}
r
(2)
(
@
@
1
2
cos
sin
) +
+
i~
r sin
(3)
@
@'
+
}
4
e
a
K
bc
abcd
5
d
m
0
c
= 0:
Utilizando a identidade
abcf
abcd
= 3!
d
f
; (5.314)
e considerando que apenas a parte axial do tensor de contorção "sobrevive" camos com
K
abc
abcd
=
abcf
A
f
abcd
=
abcf
abcd
A
f
= 3!
d
f
A
f
: (5.315)
Denindo as componentes do operador momentum como
p
r
= i}[
@
@r
1
r
1
2f
@
@r
f]; (5.316)
p
=
i}
r
(
@
@
cot
2
);
p
'
=
i~
r sin
@
@'
:
A equação (5:313) resulta em
[
i}
cf
(0)
@
@
t
f
(1)
p
r
c
(2)
p
(3)
p
'
3}
2
d
f
A
f
(5)
d
m
0
c] = 0 (5.317)
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 71
Rearrajando a equação (5:317) e passando o primeiro termo para o lado esquerdo
temos
i~
(0)
@
@
t
= [f
2
(1)
p
r
c + f
(2)
p
c + f
(3)
p
'
c + fm
0
c
2
+ (5.318)
+
3
2
~cf
d
f
A
f
(5)
d
]
= [f
2
(1)
p
r
c + f
(2)
p
c + f
(3)
p
'
c + fm
0
c
2
+
3
2
~cf
(5)
d
A
f
d
f
]
= [f
2
(1)
p
r
c + f
(2)
p
c + f
(3)
p
'
c + fm
0
c
2
+
3
2
~cf
(5)
f
A
f
]
i~
(0)
@
@
t
= [f
2
(1)
p
r
c + f
(2)
p
c + f
(3)
p
'
c + fm
0
c
2
+
3
2
~cf
(5)
a
A
a
] : (5.319)
Multiplicando os dois lados da equação (5:319) por =
(0)
e usando:
!
=
!
; (5.320)
(0)
(
(5)
a
)A
a
=
(5)
A
(0)
+
!
!
A ; (5.321)
A
a
= (A
(0)
; A); (5.322)
e
!
=
!
0
0
!
; (5.323)
camos com,
i~
(0)
@
@
t
= [f
2
(1)
p
r
c + f
(2)
p
c + f
(3)
p
'
c + fm
0
c
2
+ (5.324)
+
3
2
~cf
(5)
a
A
a
]
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 72
onde
i~
2
@
@
t
= [f
2
(1)
p
r
c + f
(2)
p
c + f
(3)
p
'
c + fm
0
c
2
+ (5.325)
+
3
2
~cf
(0)
(
(5)
a
)A
a
] :
Com
2
= 1 ver (Ap^endice A) segue que
i~
@
@
t
= [f
2
(1)
p
r
c + f
(2)
p
c + f
(3)
p
'
c + fm
0
c
2
+
3
2
~cfA
(0)
(5)
+
3
2
~cf
!
!
A ] : (5.326)
Comparando com a equação de Schrödinger: i~
@
@t
= H ; encontramos a Hamilto-
niana:
H = f
2
(1)
p
r
c + f
(2)
p
c + f
(3)
p
'
c + fm
0
c
2
+
3
2
~cfA
(0)
(5)
+
3
2
~cf
!
!
A : (5.327)
Ver (Ap^endice A) para os cálculos de
(1)
;
(2)
;
(3)
e
(5)
. O termo
!
!
A é ex-
pandido como
!
!
A =
!
(i)
!
A
(i)
=
(1)
A
(1)
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
; (5.328)
resultando em
!
!
A =
(1)
0
0
(1)
A
(1)
+
(2)
0
0
(2)
A
(2)
+
(3)
0
0
(3)
A
(3)
; (5.329)
ou
!
!
A =
(1)
A
(1)
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
0
0
(1)
A
(1)
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
: (5.330)
Voltando na equação (5:327) encontramos que
5.2 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC NO TERG 73
H =
ff
2
0 I
(1)
I
(1)
0
p
r
c + f
0 I
(2)
I
(2)
0
p
c + (5.331)
+f
0 I
(3)
I
(3)
0
p
'
c +
+f
I 0
0 I
m
0
c
2
+
3
2
~cfA
(0)
(1)
0 I
I 0
+
+
3
2
~cf
(1)
A
(1)
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
0
0
(1)
A
(1)
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
g
ou
H =
0
B
B
@
fIm
0
c
2
+
3
2
~cf(
(1)
A
(1)
+
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
)
f
2
I
(1)
p
r
c + fI
(2)
p
c+
+fI
(3)
p
'
c
3
2
~cfA
(0)
I
f
2
I
(1)
p
r
c + fI
(2)
p
c+
+fI
(3)
p
'
c
3
2
~cfA
(0)
I
fIm
0
c
2
+
3
2
~cf(
(1)
A
(1)
+
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
)
1
C
C
A
(5.332)
Os pacotes de ondas os quais representam os neutrinos do elétron e do múon são
constituídos pela soma dos pacotes de onda que representam as massas dos auto-estados.
Estes pacotes de ondas viajarão em diferentes velocidades. Embora sejam centrados no
mesmo ponto no espaço, no ponto de produção; há uma separação entre os pacotes no
ponto detectado. A separação espacial entre eles não deve ser muito grande. As ondas
então interferem no detector e podemos observar a diferença de fase. Para mais detalhes
ver [39].
O modelo que representa o fenômeno realístico é o movimento radial dos neutrinos.
Mas analisamos primeiro o movimento azimutal, que embora não realístico, é mais simples,
e foi também considerado em [40], em um formalismo diferente.
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL 74
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL
A Hamiltoniana para o movimento azimutal, é dado por (5:332), onde substituímos
!
p = (p
r
; p
; p
'
) = (0; 0; p). Esta Hamiltoniana acopla os estados de energia positiva com
os estados de energia negativa por causa de
3
e
(5)
ver (Ap^endice A): A equação do
auto-valor é escrita como,
H = E (5.333)
onde é um espinor de 4-componentes em que os dois primeiros componentes corres-
pondem aos estados de energia positiva e os outros dois aos estados de energia negativa.
Desacoplando as contribuições destes estados, pela diagonalização da Hamiltoniana, en-
contramos
det(H E) = 0 (5.334)
que resulta com o auxílio da equação (5:332) em
E
+
= (
3
2
A
(1)
(1)
~ +
3
2
A
(2)
(2)
~ +
3
2
A
(3)
(3)
~ + (5.335)
+
1
2
q
4m
2
c
2
+ (4
(3)
)
2
p
'
12
(3)
p
2
'
~A
(0)
+ 9~
2
(A
(0)
)
2
)cf;
E
= (
3
2
A
(1)
(1)
~ +
3
2
A
(2)
(2)
~ +
3
2
A
(3)
(3)
~ + (5.336)
1
2
q
4m
2
c
2
+ (4
(3)
)
2
p
'
12
(3)
p
2
'
~A
(0)
+ 9~
2
(A
(0)
)
2
)cf;
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL 75
onde
E =
E
+
0
0 E
: (5.337)
Usando a matriz de P auli ver (Ap^endice A) para
(3)
; temos
(
(3)
)
2
=
1 0
0 1
1 0
0 1
=
1 0
0 1
= I (identidade)
chamando p = p
'
, a equação (5:335) resulta em
E
+
= p(1 +
m
2
c
2
p
2
3~
(3)
A
(0)
p
+
9
4
~
2
(A
(0)
)
2
4p
2
)
1
2
cf +
3
2
~cf~
~
A: (5.338)
Aplicando a expansão binomial (4:215):
p
1 + x 1 +
x
2
temos que
E
+
= p(1 +
m
2
c
2
2c
2
p
2
3~
(3)
A
(0)
2p
+
9~
2
(A
(0)
)
2
8p
2
)cf +
3
2
~cf~
~
A ; (5.339)
onde o último termo dentro do parênteses, é um termo de segunda ordem, e pode ser des-
prezado pois, p A: Assumimos que os termos torsionais são muito pequenos quando
comparados com o momentum e a massa. Além disso no limite ultra-relativístico, temos
E
2
' c
2
p
2
=) E ' cp mc
2
: (5.340)
A equação (5:339) pode ainda ser escrita como,
E
+
= fpc +
fm
2
c
3
2p
+
3
2
~cf(A
(0)
(3)
+ ~
~
A ): (5.341)
O mesmo pode ser aplicado para E
E
= fpc
fm
2
c
3
2p
+
3
2
~cf(A
(0)
(3)
+ ~
~
A ): (5.342)
Com uma transformação unitária, onde U é uma matriz unitária podemos escrever a
função como
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL 76
= U; (5.343)
onde
=
+
; (5.344)
representam os auto-estados de massa de energia positiva e negativa. Então podemos escre-
ver:
E
+
+
= i~
@
@t
+
; (5.345)
E
= i~
@
@t
: (5.346)
Estamos interessados somente no estado de energia positiva. Mas, cálculo seme-
lhante pode ser feito para o estado de energia negativa. Ao nal, estes estados correspon-
derão aos auto-estados de massa que pertencem as superposições lineares, e denirão por
exemplo, os neutrinos do elétron e múon dado por (4:164) e (4:165). Agora a equação
(5:345) pode fornecer dois auto-valores diagonalizando, uma para o spin para cima e a
outra para o spin para baixo.
Substituindo a equação (5:341) na equação (5:345) ; obtemos
ffpc +
fm
2
c
3
2p
+
3
2
~cf(A
(0)
(3)
+ ~
~
A )g
+
(5.347)
= i~
@
@t
+
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL 77
com o auxílio das matrizes de P auli ver (Ap^endice A); temos
pc +
fm
2
c
3
2p
+
3
2
~cfA
(0)
(5.348)
A
(1)
0 1
1 0
+ A
(1)
0 i
i 0
+ A
(1)
1 0
0 1
+
= i~
@
@t
+
;
resolvendo
E
+
+
=
fpc +
fm
2
c
3
2p
+
+ (5.349)
+
3
2
~cf(A
(0)
+ A
(3)
)
3
2
~cf(A
(1)
iA
(2)
)
3
2
~cf(A
(1)
+ iA
(2)
)
3
2
~cf(A
(0)
A
(3)
)
+
= i~
@
@t
+
:
Os dois auto-valores da matriz na equação (5:349) são:
3
2
p
(A
(1)
)
2
(iA
(2)
)
2
+ (A
(0)
)
2
2A
(0)
A
(3)
+ (A
(3)
)
2
~cf
3
2
p
(A
(1)
)
2
(iA
(2)
)
2
+ (A
(0)
)
2
2A
(0)
A
(3)
+ (A
(3)
)
2
~cf
; (5.350)
onde A =
p
(A
(0)
A
(3)
)
2
+ (A
(1)
)
2
+ (A
(2)
)
2
representa a contribuição da torção nestes
auto-valores.
Da equação (5:349) e os auto-valores (5:350) ; obtemos um auto-valor para o auto-
estado de massa de spin para cima e um auto-valor para o auto-estado de massa de spin
para baixo
fpc +
fm
2
c
3
2p
+
3
2
~cfA
"
+
= i~
@
@t
"
+
; (5.351)
fpc +
fm
2
c
3
2p
3
2
~cfA
#
+
= i~
@
@t
#
+
:
A evolução temporal dos auto-estados de massa são dados por
"
+
(t) = e
i
"
(t)
"
+
(0); (5.352)
#
+
(t) = e
i
#
(t)
#
+
(0):
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL 78
A fase é obtida de =
1
~
R
E
+
dt: Neste caso a fase do auto-estado de spin para cima
é
"
(t) =
1
~
Z
fpc +
fm
2
c
3
2p
+
3
2
~cfA
dt (5.353)
=
1
~
Z
fpcdt +
Z
fm
2
c
3
2p
dt +
3
2
Z
~cfAdt
:
Para neutrinos ultra-relativísticos temos que: pc ' E e cdt ' Rd
'
. Então, a equação
(5:353) torna-se
"
=
1
~
fER
c
Z
d
'
+
fm
2
c
3
R
2E
Z
d
'
+
3
2
~fAR
Z
d
'
(5.354)
=
1
~
fER
c
'
+
fm
2
c
3
R
2E
'
+
3
2
~fAR
'
:
Procedendo de maneira idêntica para a fase de spin para baixo
#
=
1
~
fER
c
'
+
fm
2
c
3
R
2E
'
3
2
~fAR
'
: (5.355)
Estas fases sozinhas não têm signicados absolutos. As quantidades relevantes para
a interferência padrão para o ponto observado serão discutidos.
Vamos considerar os neutrinos do elétron e do múon ou do tau dados por (4:164) e
(4:165), onde
1
e
2
correspondem ao
+
s: Se os neutrinos do elétron são produzidos em
t = 0, após um tempo t, o auto-estado do sabor do elétron será
e
(t) = cos
1
(t) + sin
2
(t) (5.356)
= cos e
i
1
(t)
1
(0) + sin e
i
2
(t)
2
(0):
A probabilidade de medirmos um neutrino do múon neste ponto é dado por:
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL 79
P (
e
!
) = sin
2
2 sin
2
2
(5.357)
onde =
2
1
. Como visto na equação (5:357) ; a diferença de fase tem um signi-
cado absoluto. Agora temos quatro possibilidades:
1: Com os auto-estados de massa de spin para cima, a equação (5:356) torna-se:
e
(t) = cos e
i
"
1
(t)
1
+ sin e
i
"
2
(t)
2
: (5.358)
A partir das equações (5:354) e (5:355), a diferença de fase é
=
"
2
"
1
; (5.359)
=
1
~
fER
c
'
+
fm
2
2
c
3
R
2E
'
+
3
2
~fAR
'
+
1
~
fER
c
'
+
fm
2
1
c
3
R
2E
'
+
3
2
~fAR
'
(5.360)
=
fc
3
R
~2pc
'
m
2
2
m
2
1
=
m
2
fc
3
R
~2pc
'
: (5.361)
Como pc ' E , segue que
=
"
2
"
1
=
m
2
c
3
2(E=f)~
R
'
; (5.362)
onde m
2
= m
2
2
m
2
1
:
2: Com os auto-estados de massa com o spin para baixo, a diferença de fase é,
analogamente à equação (5:358) ; como
=
#
2
#
1
=
m
2
c
3
2(E=f)~
R
'
: (5.363)
5.3 O MOVIMENTO AZIMUTAL 80
3: Considerando a diferença de fase onde o primeiro auto-estado de massa é de spin
para baixo e o segundo auto-estado é de spin para cima, temos
=
#
2
"
1
; (5.364)
=
1
~
fER
c
'
+
fm
2
2
c
3
R
2E
'
3
2
~fAR
'
+
1
~
fER
c
'
+
fm
2
1
c
3
R
2E
'
+
3
2
~fAR
'
; (5.365)
=
1
~
fm
2
2
c
3
R
2E
'
1
~
fm
2
2
c
3
R
2E
'
3
2
~fAR
'
3
2
~fAR
'
; (5.366)
=
fc
3
R
~2pc
'
m
2
2
m
2
1
3fAR
'
=
m
2
fc
3
~2pc
3fA
R
'
: (5.367)
Como pc ' E , segue que
=
#
2
"
1
=
m
2
c
3
2(E=f)~
3fA
R
'
: (5.368)
4: Considerando a diferença de fase onde o primeiro auto-estado de massa é de spin
para cima e o segundo auto-estado é de spin para baixo, (semelhante o cálculo em 3):
=
"
2
#
1
=
m
2
c
3
2(E=f)~
+ 3fA
R
'
(5.369)
A partir das equações (5:362) e (5:363) é visto que se ambos auto-estados de massa
tem a mesma projeção do spin então, não há contribuição na oscilação vindo da torção,
mas, se ambos auto-estados de massa tem as projeções opostas do spin como visto nas
5.4 O MOVIMENTO RADIAL 81
equações (5:368) e (5:369) então há uma pequena contribuição para a oscilação do neutri-
nos vindo da torção.
Este resultado será comparado com a literatura mais adiante.
5.4 O MOVIMENTO RADIAL
Substituindo
!
p = (p
r
; p
; p
'
) = (p; 0; 0) na expressão (5:327) ; obtemos a Hamilto-
niana do neutrino para o movimento radial
H = f
2
(1)
p
r
c + fm
0
c
2
+
3
2
~cfA
(0)
(5)
+
3
2
~cf:A: (5.370)
Seguindo a mesma abordagem para o caso do movimento azimutal, temos
H = ff
2
0 I
(1)
I
(1)
0
p
r
c + f
I 0
0 I
m
0
c
2
+
+
3
2
~cfA
(0)
(1)
0 I
I 0
+
3
2
~cf
(1)
A
(1)
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
0
0
(1)
A
(1)
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
g
resolvendo temos
H = (5.371)
=
0
B
B
@
fIm
0
c
2
+
3
2
~cf(
(1)
A
(1)
+
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
)
f
2
I
(1)
p
r
c+
3
2
~cfA
(0)
I
f
2
I
(1)
p
r
c+
3
2
~cfA
(0)
I
fIm
0
c
2
+
3
2
~cf(
(1)
A
(1)
+
(2)
A
(2)
+
(3)
A
(3)
)
1
C
C
A
:
Os auto-estados da matriz (5:371) são dados por
E
+
= (
3
2
A
(1)
(1)
~ +
3
2
A
(2)
(2)
~ +
3
2
A
(3)
(3)
~ + (5.372)
+
1
2
q
4m
2
c
2
12f
(1)
p~A
(0)
+ 4f
2
(
(1)
)
2
p
2
+ 9~
2
(A
(0)
)
2
)cf;
5.4 O MOVIMENTO RADIAL 82
E
= (
3
2
A
(1)
(1)
~ +
3
2
A
(2)
(2)
~ +
3
2
A
(3)
(3)
~ + (5.373)
1
2
q
4m
2
c
2
12f
(1)
p~A
(0)
+ 4f
2
(
(1)
)
2
p
2
+ 9~
2
(A
(0)
)
2
)cf:
Onde usamos a representação matricial para
3
; com
(3)
2
= 1 ver (Ap^endice A); e
p = p
r
: Reescrevendo a expressão (5:372)
E
+
= pf[1 +
m
2
c
2
p
2
f
2
3f
(1)
~A
(0)
pf
+
9~
2
(A
(0)
)
2
4p
2
f
2
]
1
2
cf +
3
2
~cf
~
A ~; (5.374)
Aplicando a expansão binomial (4:215):
p
1 + x 1 +
x
2
resulta em
E
+
= pf[1 +
m
2
c
2
2p
2
f
2
3f
(1)
~A
(0)
2pf
+
9~
2
(A
(0)
)
2
8p
2
f
2
]
1
2
cf +
3
2
~cf
~
A ~: (5.375)
Utilizando o limite ultrarelativístico p mc e desprezando a contribuição de se-
gunda ordem da torção A
(0)
na equação (5:375) ; encontramos
E
+
= f
2
pc +
m
2
c
3
2p
+
3
2
~cf(A
(0)
(1)
+ ~
~
A): (5.376)
Analogamente temos que
E
= f
2
pc
m
2
c
3
2p
3
2
~cf(A
(0)
(1)
+ ~
~
A): (5.377)
Estamos interesados somente no estado de energia positiva, o qual obedece a equação
(5:345): E
+
+
= i~
@
@t
+
. Usando as matrizes de P auli ver (Ap^endice A); encontraremos
os auto-valores para os auto-estados de massa m
1
e m
2
: Considere a equação de auto-valor
5.4 O MOVIMENTO RADIAL 83
f
2
pc +
m
2
c
3
2p
+
3
2
~cf(A
(0)
(1)
+ ~
~
A)
+
= i~
@
@t
+
(5.378)
resolvendo
E
+
+
= (f
2
pc +
m
2
c
3
2p
)
+
+ (5.379)
+
3
2
~cfA
(3)
3
2
~cf(A
(0)
+ A
(1)
iA
(2)
)
3
2
~cf(A
(0)
+ A
(1)
+ iA
(2)
)
3
2
~cfA
(3)
+
= i~
@
@t
+
;
onde foram utilizados as representações matriciais para
(i)
ver (Ap^endiceA):
Os auto-valores da matriz (5:379) são
3
2
p
(A
(0)
)
2
2A
(0)
A
(1)
+ (A
(1)
)
2
(iA
(2)
)
2
+ (A
(3)
)
2
~cf
3
2
p
(A
(0)
)
2
2A
(0)
A
(1)
+ (A
(1)
)
2
(iA
(2)
)
2
+ (A
(3)
)
2
~cf
; (5.380)
onde A =
p
(A
(0)
A
(1)
)
2
+ (A
(2)
)
2
+ (A
(3)
)
2
representa a contribuição da torção nestes
auto-valores.
Podemos ainda reescrever a equação (5:379) e (5:380) para o auto-estado de massa
com spin para cima e para o auto-estado de massa com spin para baixo:
f
2
pc +
m
2
c
3
2p
+
3
2
~cfA
"
+
= i~
@
@t
"
+
; (5.381)
f
2
pc +
m
2
c
3
2p
3
2
~cfA
#
+
= i~
@
@t
#
+
: (5.382)
A fase para o auto-estado de spin para cima é:
"
(t) =
1
~
Z
f
2
pc +
m
2
c
3
2p
+
3
2
~cf
dt; (5.383)
"
(t) =
1
~
Z
f
2
pcdt +
Z
m
2
c
3
2p
dt +
3
2
Z
~cfAdt
:
5.4 O MOVIMENTO RADIAL 84
Utilizando as aproximações: pc ' E , cdt ' dr e f = (1
2MG
rc
2
)
1
2
' 1
MG
rc
2
encontramos
"
(t) =
1
~
Z
f
2
Edt +
Z
m
2
c
3
2p
dt +
3
2
Z
~cfAdt
(5.384)
=
1
~
Z
r
b
r
a
f
2
E
dr
c
+
Z
r
b
r
a
m
2
c
3
2p
dr
c
+
3
2
Z
r
b
r
a
~cfA
dr
c
=
1
~
Z
r
b
r
a
(1
2MG
rc
2
)E
dr
c
+
Z
r
b
r
a
m
2
c
3
2E
dr +
3
2
Z
r
b
r
a
~
1
MG
rc
2
Adr
=
1
~
f
E
c
Z
r
b
r
a
dr
2MGE
c
3
Z
r
b
r
a
dr
r
+
m
2
c
3
2E
Z
r
b
r
a
dr +
+
3
2
~A
Z
r
b
r
a
dr
3
2
MG
c
2
A
Z
r
b
r
a
dr
r
g:
Assim obtemos a fase para o auto-estado do spin para cima
"
=
1
~
E
c
r
2MGE
c
3
ln
r
B
r
A
+
m
2
c
3
2p
r +
3
2
~A(r
MG
c
2
ln
r
B
r
A
)
: (5.385)
Analogamente encontramos a fase para o auto-estado do spin para baixo
#
=
1
~
E
c
r
2MGE
c
3
ln
r
B
r
A
+
m
2
c
3
2p
r
3
2
~A(r
MG
c
2
ln
r
B
r
A
)
: (5.386)
Os pontos A e B são os pontos de produção e detecção do neutrino. r
A
é o raio do
Sol e r
B
é a distância do centro do Sol à superfície da Terra.
A diferença de fases tem um signicado importante. A partir das equações (5:385) e
(5:386), calculamos três diferenças de fases:
1: para os auto-estados que tem o mesmo estado de spin
=
"
2
"
1
=
#
2
#
1
=
m
2
c
3
2E~
r
: (5.387)
5.5 COMPARAÇÕES COM OS RESULTADOS DA LITERATURA 85
2: Para o primeiro auto-estado do spin para baixo e o segundo auto-estado do spin
para cima
=
#
2
"
1
=
m
2
c
3
2E~
r
3A(
r
MG
c
2
ln
r
B
r
A
): (5.388)
3: Para o primeiro auto-estado do spin para cima e o segundo auto-estado do spin
para baixo
=
"
2
#
1
=
m
2
c
3
2E~
r
+ 3A(
r
MG
c
2
ln
r
B
r
A
); (5.389)
onde a diferença de massas é
m
2
= m
2
2
m
2
1
: (5.390)
5.5 COMPARAÇÕES COM OS RESULTADOS DA
LITERATURA
A fase dinâmica dos neutrinos no movimento azimutal, não realístico, possui uma
contribuição da torção que depende d as direções do spin dos auto-estados de massas. Nas
equações (5:362) e (5:363) é visto que se ambos auto-estados de massa tem a mesma pro-
jeção do spin então, não há contribuição para oscilação vindo da torção, mas, se am-
bos auto-estados de massa têm as projeções opostas dos "spins" como visto nas equações
(5:368) e (5:369) então há uma contribuição para a oscilação do neutrinos vindo da torção.
A magnitude da contribuição vindo da torção é realmente muito pequena comparada com a
que vem das diferenças de massas. Nosso resultado coincide com o apresentado por Adak
et al [41] em 2001. Eles utilizaram a equação de Dirac na geometria de Einstein-Cartan
5.5 COMPARAÇÕES COM OS RESULTADOS DA LITERATURA 86
com a conexão de spin !
ab
=
0
!
ab
+ K
ab
: O nosso resultado e o de Adak et al [41]
sem a torção e sem a curvatura (com f = 1); coincidem com os resultados para oscilação
de neutrinos no vácuo para o espaço-tempo plano. No espaço-tempo plano, a contribuição
das massas é importante, no entanto, mesmo com a torção a contribuição das massas é mais
importante, pois Adak et al [41] estimou que a intensidade da torção é k A
a
k 10
62
m
1
e o termo torsional nas equações (5:388) e (5:389) é muito pequeno.
No movimento radial, que é um modelo mais realístico, também encontramos uma
contribuição torsional para a oscilação dos neutrinos que é dependente da polarização dos
"spins" dos auto-estados de massas.
No movimento radial também só existe contribuição da torção com auto-estados de
"spins" com direções contrárias. Formalmente, os nossos resultados também coincidem
com os encontrados no trabalho de Adak et al [41]. Novamente, os resultados coincidem
no espaço-tempo plano.
Chapter 6
CONCLUSÃO
Neste trabalho aplicamos a equação de Dirac no T ERG para o problema de os-
cilação dos neutrinos solares. O TERG representa uma formulação geométrica alternativa
à Relatividade Geral (RG) de Einstein. Há uma equivalência entre o T ERG e a RG; pois
podemos obter as equações de Einstein na forma de tétradas a partir da formulação La-
grangeana do T ERG. A RG descreve a gravitação através da curvatura e da métrica do
espaço-tempo, já o T ERG faz a descrição usando torção e as tétradas. As tétradas no for-
malismo do T ERG determinam um conjunto de sistemas de referência no espaço-tempo
além de propiciar uma denição consistente para a energia, momento e momentum angu-
lar do campo gravitacional.
Baseamos este trabalho na formulação Hamiltoniana do T ERG desenvolvida por
Maluf em 1994, [13] que empregou a xação de !
0ab;
de fundamental importância para
denir a energia do campo gravitacional, em que os vínculos da teoria são de primeira
classe desde que xemos as quantidades !
0ab
= 0 antes de fazer a variação da ação.
Naquele trabalho, a Hamiltoniana oriunda a partir do formalismo Lagrangeano do T ERG
apresenta invariância por transformações de Lorentz globais e as equações de campo para
as tétradas, não dependem da conexão de spin arbitrária !
ab
, o que sugere que podemos
descartar completamente a conexão !
ab
do T ERG [18].
87
Nesta dissertação empregamos uma particular representação da equação de Dirac no
T ERG proposta por Maluf [18] em 2003, em que a derivada covariante da equação pos-
sui a conexão
0
!
ab
dependente das tétradas ao invés de se usar a conexão am !
ab
(que é
independente das tétradas) isto é chamado de prescrição de acoplamento mínimo entre os
campos espinorais de Dirac e o campo gravitacional: Embora a presença da conexão de
spin deixe a equação de Dirac invariante por transformações de Lorentz Locais, Pereira
e Obukhov [17] em 2002, mostraram que existe uma inconsistência na equação de Dirac
no contexto das teorias de MAG. Com esse acoplamento usando !
ab
a torção não pode
ser completamente determinada pelas equações de campo e a equação de Dirac perde sua
forma original apresentando um termo de tensor de energia momentum anti-simétrico. A
inconsistência formal da equação de Dirac é removida se adotarmos a conexão de Levi-
Civita
0
!
ab
= K
ab
na teoria, deixando a equação de Dirac invariante por transfor-
mações de Lorentz globais. Com o intuito de vericar a conexão proposta por Maluf,
aplicamos a "nova" equação de Dirac para o problema do neutrino solar. Neste problema,
há um "desaparecimento" dos neutrinos do elétron que vêm do Sol, revelado por vários ex-
perimentos nas últimas décadas. Uma das explicações mais promissoras para o fenômeno
é através da oscilação do neutrino em que este viaja até a Terra numa superposição de esta-
dos que se propagam no vácuo. Um neutrino do elétron é emitido pelo Sol tornando-se uma
combinação linear de três neutrinos: do elétron, do múon e do tau. Usando o TERG com
a métrica de Schwarzschild, calculamos a fase dinâmica dos neutrinos no espaço-tempo
com torção sem a presença de matéria (vácuo). Também calculamos que a probabilidade
de detectarmos o neutrino do elétron emitido pelo Sol como um neutrino do múon ou do
88
6 CONCLUSÃO 89
tau é diferente de zero. O ponto principal da teoria da oscilação dos neutrinos é que o
auto-estado de sabor são diferentes dos auto-estado das massas. Cada auto-estado de sabor
é uma superposição linear dos auto-estados de massas.
As fases dinâmicas dos neutrinos foram calculadas, analisando a oscilação dos neutri-
nos para os movimentos radial e azimutal. Tanto no movimento azimutal quanto no radial,
encontramos que as diferenças de fase de auto-estados de massas com as mesmas pro-
jeções dos "spins" não contém a presença da torção. Mas, se as fases dos auto-estados de
massa possuem projeções dos "spins" com direções contrárias então há uma contribuição
para a oscilação dos neutrinos vindo da torção. Estes resultados concidem com os encon-
trados por Adak et al [41], que também utilizaram a métrica de Schwarszhchild, mas o
espaço–tempo foi o de Einstein-Cartan. Contudo, como mostrou Adak et al [41], a torção
é muito pequena em relação a diferença de massa. Se eliminarmos a contribuição gravita-
cional, isto é, a torção do espaço-tempo e zermos f = 1 (na métrica de Schwarzschild),
recaímos no resultado obtido para oscilação de neutrinos no vácuo no espaço-tempo plano
como pode ser visto em alguns resultados da literatura como no trabalho de revisão de Val-
diviesso e Guzzo [19] e mais rigorosamente no artigo de Cardal e Fuller [40]. A abordagem
da prescrição de acoplamento mínimo adotado por Maluf parece não levar a inconsistên-
cias do tipo que Obukov e Pereira encontraram e são qualitativamente consistentes com a
literatura, pelo menos no problema de oscilação de neutrinos.
Finalmente, como perspectiva para este trabalho, podemos aplicar a equação de Dirac
no T ERG para uma métrica mais realística como a métrica de Kerr. Contudo, devido
aos cálculos extremamente complicados deste procedimento, sugerimos utilizar a métrica
6 CONCLUSÃO 90
de Cohen da casca esférica em rotação. Esperamos investigar se há contribuições do
momentum angular da casca nas probabilidades de transição entre os sabores dos neu-
trinos.
Appendix A
APÊNDICE A
A.1 AS MATRIZES DE DIRAC
As quatro matrizes de Dirac 4x4 que possuem traço zero, são
(0)
=
I 0
0 I
;
i
=
0
i
i
0
; (A.1)
Onde I é matriz identidade
I =
I 0
0 I
; (A.2)
e
i
são as matrizes de P auli
1
=
0 1
1 0
;
2
=
0 i
i 0
;
3
=
1 0
0 1
: (A.3)
Podemos ainda escrever
(0)
= ;
a
= (
(0)
;
(i)
); (A.4)
onde
(0)
=
I 0
0 I
=
0
B
B
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
A
; (A.5)
Como
I
2
=
1 0
0 1
1 0
0 1
=
1 0
0 1
; (A.6)
segue que
91
A.1 AS MATRIZES DE DIRAC 92
2
=
I 0
0 I
I 0
0 I
=
I
2
0
0 I
2
=
0
B
B
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
A
: (A.7)
As matrizes de Dirac
(i)
; onde i = 1; 2; 3 são representadas por
(1)
=
0
(1)
(1)
0
=
0
B
B
@
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1
C
C
A
(A.8)
(2)
=
0
(2)
(2)
0
=
0
B
B
@
0 0 0 i
0 0 i 0
0 i 0 0
i 0 0 0
1
C
C
A
(3)
=
0
(3)
(3)
0
=
0
B
B
@
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1
C
C
A
:
A relação entre as componente espaciais
(i)
e a componente temporal
(0)
é escrita como
!
=
!
: (A.9)
As representações matriciais de
(1)
;
(2)
;
(3)
são
(1)
=
(1)
=
I 0
0 I
0
(1)
(1)
0
=
0 I
(1)
I
(1)
0
(A.10)
(1)
=
0
B
B
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1
C
C
A
=
0
B
B
@
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1
C
C
A
(2)
=
(2)
=
I 0
0 I
0
(2)
(2)
0
=
0 I
(2)
I
(2)
0
(A.11)
A.1 AS MATRIZES DE DIRAC 93
(2)
=
0
B
B
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 0 i
0 0 i 0
0 i 0 0
i 0 0 0
1
C
C
A
=
0
B
B
@
0 0 0 i
0 0 i 0
0 i 0 0
i 0 0 0
1
C
C
A
(3)
=
(3)
=
I 0
0 I
0
(3)
(3)
0
=
0 I
(3)
I
(3)
0
(A.12)
(3)
=
0
B
B
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1
C
C
A
=
0
B
B
@
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1
C
C
A
:
A forma covariante da matriz de Dirac é
= (
0
;
!
) ;
= (
0
;
!
): (A.13)
Na Hamiltoniana de Dirac também usamos a representação
(5)
= i
(0)
(1)
(2)
(3)
; (A.14)
que resulta em
(5)
= (A.15)
= i
0
B
B
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 0 i
0 0 i 0
0 i 0 0
i 0 0 0
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1
C
C
A
= i
0
B
B
@
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 0 i
0 0 i 0
0 i 0 0
i 0 0 0
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1
C
C
A
= i
0
B
B
@
i 0 0 0
0 i 0 0
0 0 i 0
0 0 0 i
1
C
C
A
0
B
B
@
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1
C
C
A
=
A.1 AS MATRIZES DE DIRAC 94
= i
0
B
B
@
0 0 i 0
0 0 0 i
i 0 0 0
0 i 0 0
1
C
C
A
(5)
=
0
B
B
@
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1
C
C
A
:
Uma propriedade da matriz de Dirac utilizada no cálculo da matriz Hamiltoniana de
Dirac é a identidade
a
b
+
b
a
= 2
ab
(A.16)
onde
ab
= (+ ++):
Appendix B
APÊNDICE B
B.1 CÁLCULO DAS COMPONENTES DO TENSOR DE
TORÇÃO
As componentes do tensor de torção (1:28), são dados por
T
a
= @
e
a
@
e
a
: (B.1)
Alguns componentes,
T
(0)01
= @
0
e
(0)1
@
1
e
(0)0
= 0 @
r
(f) = @
r
f (B.2)
T
(0)02
= @
0
e
(0)2
@
2
e
(0)0
= 0 @
(f) = @
f = 0 (B.3)
T
(0)03
= @
0
e
(0)3
@
3
e
(0)0
= 0 @
'
(f) = @
'
f = 0 (B.4)
T
(0)10
= @
1
e
(0)0
@
0
e
(0)1
= @
r
f 0 = @
r
f (B.5)
T
(0)20
= @
2
e
(0)0
@
0
e
(0)2
= @
r
f 0 = @
f = 0 (B.6)
T
(0)30
= @
3
e
(0)0
@
0
e
(0)3
= @
r
f 0 = @
'
f = 0 (B.7)
95
B.1 CÁLCULO DAS COMPONENTES DO TENSOR DE TORÇÃO 96
T
(1)12
= @
1
e
(1)2
@
2
e
(1)1
= 0 @
f
1
= @
f
1
= 0 (B.8)
T
(1)21
= @
2
e
(1)1
@
1
e
(1)2
= @
f
1
0 = @
f
1
= 0 (B.9)
T
(1)13
= @
1
e
(1)3
@
3
e
(1)1
= 0 @
'
f
1
= @
'
f
1
= 0 (B.10)
T
(1)31
= @
3
e
(1)1
@
1
e
(1)3
= @
'
f
1
0 = @
f
1
= 0 (B.11)
T
(2)20
= @
2
e
(2)0
@
0
e
(2)2
= 0 @
t
r = @
t
r = 0 (B.12)
T
(2)02
= @
0
e
(2)2
@
2
e
(2)0
= @
t
r 0 = @
t
r = 0 (B.13)
T
(2)21
= @
2
e
(2)1
@
1
e
(2)2
= 0 @
r
r = @
r
r = 0 (B.14)
T
(2)12
= @
1
e
(2)2
@
2
e
(2)1
= @
r
r 0 = @
r
r = 1 (B.15)
T
(2)23
= @
2
e
(2)3
@
3
e
(2)2
= 0 @
'
r = @
t
r = 0 (B.16)
T
(2)32
= @
3
e
(2)2
@
3
e
(2)3
= @
'
r 0 = @
'
r = 0 (B.17)
B.2 CÁLCULO DAS COMPONENTES DE K
bc
97
T
(3)30
= @
3
e
(3)0
@
0
e
(3)3
= 0 @
t
r sin = @
t
r sin = 0 (B.18)
T
(3)03
= @
0
e
(3)3
@
3
e
(3)0
= @
t
r sin 0 = @
t
r sin = 0 (B.19)
T
(3)31
= @
3
e
(3)1
@
1
e
(3)3
= 0 @
r
r sin = @
r
r sin = sin (B.20)
T
(3)13
= @
1
e
(3)3
@
3
e
(3)1
= @
r
r sin 0 = @
r
r sin = sin (B.21)
T
(3)32
= @
3
e
(3)2
@
2
e
(3)3
= 0 @
r sin = @
t
r sin = 0 (B.22)
T
(3)23
= @
2
e
(3)3
@
3
e
(3)2
= @
r sin 0 = @
r sin = 0 (B.23)
B.2 CÁLCULO DAS COMPONENTES DE K
bc
As componentes de K
bc
são dadas pela equação (5:304)
K
bc
=
1
2
(e
c
T
b
+ e
b
T
c
e
b
e
c
e
f
T
f
): (B.24)
B.2 CÁLCULO DAS COMPONENTES DE K
bc
98
Para = 0;
K
0bc
=
1
2
(e
c
T
b0
+ e
b
T
c0
e
b
e
c
e
f
0
T
f
) (B.25)
=
1
2
[(e
i
c
T
b0i
+ e
i
b
T
ci0
(e
0
b
e
i
c
e
f
0
T
fi0
+ e
i
b
e
0
c
e
f
0
T
f0i
+ e
i
b
e
j
c
e
f
0
T
fji
)]
=
1
2
fe
i
c
T
b0i
+ e
i
b
T
ci0
[e
0
b
e
i
c
(e
(0)
0
T
(0)i0
+ e
(1)
0
T
(1)i0
+ e
(2)
0
T
(2)i0
+ e
(3)
0
T
(3)i0
) +
+e
i
b
e
0
c
e
(0)
0
T
(0)0i
+ e
i
b
e
0
c
e
(1)
0
T
(1)0i
+ e
i
b
e
0
c
e
(2)
0
T
(2)0i
+ e
i
b
e
0
c
e
(3)
0
T
(3)0i
) +
+e
i
b
e
j
c
e
(0)
0
T
(0)ji
+ e
i
b
e
j
c
e
(1)
0
T
(1)ji
+ e
i
b
e
j
c
e
(2)
0
T
(2)ji
+ e
i
b
e
j
c
e
(3)
0
T
(3)ji
)]g:
Daí
K
0bc
=
1
2
[e
i
c
T
b0i
+ e
i
b
T
ci0
(e
0
b
e
i
c
e
(0)
0
T
(0)i0
+ e
i
b
e
0
c
e
(0)
0
T
(0)0i
)]: (B.26)
Temos para b = (0) e c = (i)
K
0(0)(i)
=
1
2
[e
J
(i)
T
(0)0j
+ e
j
(0)
T
(i)j0
(e
0
(0)
e
j
(i)
e
(0)
0
T
(0)j0
+ (B.27)
+e
j
(0)
e
0
(i)
e
(0)
0
T
(0)0j
)]
=
1
2
(e
j
(i)
T
(0)0j
e
0
(0)
e
j
(i)
e
(0)
0
T
(0)j0
);
onde i = 1; 2; e 3
K
0(0)(1)
=
1
2
(e
1
(1)
T
(0)01
e
0
(0)
e
1
(1)
e
(0)
0
T
(0)10
) = f@
r
f (B.28)
K
0(0)(2)
=
1
2
(e
2
(2)
T
(0)02
e
0
(0)
e
2
(2)
e
(0)
0
T
(0)20
) =
1
r
@
f (B.29)
K
0(0)(3)
=
1
2
(e
3
(3)
T
(0)03
e
0
(0)
e
3
(3)
e
(0)
0
T
(0)30
) =
1
r sin
@
'
f: (B.30)
Para = l
B.2 CÁLCULO DAS COMPONENTES DE K
bc
99
K
bc
=
1
2
(e
c
T
b
+ e
b
T
c
e
b
e
c
e
f
T
f
) (B.31)
=
1
2
(e
c
T
bl
+ e
b
T
cl
e
b
e
c
e
f
l
T
f
)
=
1
2
[e
i
c
T
bli
+ e
i
b
T
cil
(e
0
b
e
i
c
e
f
l
T
fi0
+ e
i
b
e
0
c
e
f
l
T
f0i
+ e
i
b
e
j
c
e
f
l
T
fji
)]
=
1
2
fe
i
c
T
bli
+ e
i
b
T
cil
[e
0
b
e
i
c
(e
(0)
l
T
(0)i0
+ e
(1)
l
T
(1)i0
+ e
(2)
l
T
(2)i0
+ e
(3)
l
T
(3)i0
) +
+e
i
b
e
0
c
(e
(0)
l
T
(0)0i
+ e
(1)
l
T
(1)0i
+ e
(2)
l
T
(2)0i
+ e
(3)
l
T
(3)0i
) + e
i
b
e
j
c
(e
(0)
l
T
(0)ji
+
+e
(1)
l
T
(1)ji
+ +e
(2)
l
T
(2)ji
+ e
(3)
l
T
(3)ji
)]g:
Agora para b = (i) e c = (j) encontramos que
K
l(i)(j)
=
1
2
(e
k
(j)
T
(i)lk
+ e
k
(i)
T
(j)kl
e
k
(i)
e
m
(j)
e
(1)
l
T
(1)mk
+ (B.32)
e
k
(i)
e
m
(j)
e
(2)
l
T
(2)mk
e
k
(i)
e
m
(j)
e
(3)
l
T
(3)mk
):
Para l = 1; segue que,
K
1(i)(j)
=
1
2
(e
k
(j)
T
(i)1k
+ e
k
(i)
T
(j)k1
e
k
(i)
e
m
(j)
e
(1)
1
T
(1)mk
): (B.33)
Para outras combinações de b e c, temos
K
1(1)(0)
=
1
2
(e
0
(0)
T
(0)10
+ e
1
(i)
T
(0)11
e
1
(1)
e
0
(0)
e
(1)
1
T
(1)01
) = (B.34)
=
1
2
f
1
@
t
f
1
K
1(1)(1)
=
= 0
K
1(1)(2)
=
1
2
(e
2
(2)
T
(1)12
+ e
1
(1)
T
(2)11
e
1
(1)
e
2
(2)
e
(1)
1
T
(1)21
) = (B.35)
=
1
2
(r
1
@
f
1
r
1
@
f
1
) =
= r
1
@
f
1
B.2 CÁLCULO DAS COMPONENTES DE K
bc
100
K
1(1)(3)
=
1
2
(e
3
(3)
T
(1)13
+ e
1
(1)
T
(3)11
e
1
(1)
e
3
(3)
e
(1)
1
T
(1)31
) = (B.36)
=
1
2
r
1
sin
1
@
'
f
1
+
1
2
r
1
sin
1
@
'
f
1
=
= r
1
sin
1
@
'
f
1
:
Para l = 2; segue que,
K
2(i)(j)
=
1
2
(e
k
(j)
T
(i)2k
+ e
k
(i)
T
(j)k2
e
k
(i)
e
m
(j)
e
(2)
2
T
(2)mk
); (B.37)
outras combinações para l = 2 são
K
2(2)(0)
=
1
2
(e
0
(0)
T
(2)20
+ e
2
(2)
T
(0)22
e
2
(2)
e
0
(0)
e
(2)
2
T
(2)02
) = (B.38)
=
1
2
(f
1
@
t
r f
1
@
t
r) =
= f
1
@
t
r
K
2(2)(1)
=
1
2
(e
1
(1)
T
(2)21
+ e
2
(2)
T
(1)22
e
2
(2)
e
1
(1)
e
(2)
2
T
(2)12
) = (B.39)
=
1
2
(f@
r
r f@
r
r) =
= f@
r
r
K
2(2)(3)
=
1
2
(e
1
(3)
T
(2)23
+ e
2
(2)
T
(3)22
e
2
(2)
e
3
(3)
e
(2)
2
T
(2)32
) = (B.40)
=
1
2
(
1
r sin
@
r
1
r sin
@
r) =
=
1
r sin
@
r:
Para l = 3; segue que
K
3(i)(j)
=
1
2
(e
k
(j)
T
(i)3k
+ e
k
(i)
T
(j)k3
e
k
(i)
e
m
(j)
e
(3)
3
T
(3)mk
); (B.41)
B.2 CÁLCULO DAS COMPONENTES DE K
bc
101
outras combinações para l = 3 são
K
3(3)(0)
=
1
2
(e
0
(0)
T
(3)30
+ e
3
(3)
T
(0)33
e
3
(3)
e
0
(0)
e
(3)
3
T
(3)03
) = (B.42)
=
1
2
(f
1
@
t
r sin f
1
@
t
r sin )
= f
1
@
t
r sin
K
3(3)(1)
=
1
2
(e
1
(1)
T
(3)31
+ e
3
(3)
T
(1)33
e
3
(3)
e
1
(1)
e
(3)
3
T
(3)13
) = (B.43)
=
1
2
(f@
r
r sin f@
t
r sin )
= f@
t
r sin
K
3(3)(2)
=
1
2
(e
2
(2)
T
(3)32
+ e
3
(3)
T
(2)33
e
3
(3)
e
2
(2)
e
(3)
3
T
(3)23
) = (B.44)
=
1
2
(
1
r
@
r sin
1
r
@
r sin )
=
1
r
@
r
r sin
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] LANDAU, L.D. and LIFSHITZ, E. M., Teoria do Campo . Moscou: Editora Mir, 1980.
[2] DALARSSON, M.; DALARSSON, N., Tensors, Relativity and Cosmology, ELSEVIER
Academic Press, 2005.
[3] MÖLLER, C., On the localization of the energy of a physical system in the general
therory of relativity. Ann. Phys., v. 4, p. 347-371, 1958.
[4] WEITZENBÖCK, R., Invarianten Theorie. Nordholf: Groningen, 1923.
[5] EINSTEIN, A., Neue moglichkeit lr eine einheitliche feldtheorie von gravitation und
elektrizitat. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., v. 217, p. 224-227, 1928.
[6] MLLER, C., Further remarks on the localization of the energy in the general theory
of relativity. Ann. Phys., v. 12, p. 118-133, 1961.
[7] C. Mller, Tetrad Fields and Conservation Laws in General Relativity, Proceedings of
the International School of Physics “Enrico Fermi”, Editado por C. Mller Academic
Press, London, 1962.
[8] PELLEGRINI, C. and PLEBANSKI, J., Tetrad elds and gravitation elds. Mat. Fys.
Skr. Dan. Vid. Selsk., v. 2, 1962.
[9] SCHWINGER, J. Quantized gravitational eld. Phys. Rev., v. 130, n. 3, p. 1253-1258,
may 1963.
[10] HAYASHI, K. and NAKANO, T., Extended Translation Invariance and Associated
Gauge Fields. Prog. Theor. Phys., v. 38, n.2, p. 491-507, 1967.
[11] HAYASHI, K. and SHIRAFUJI, T., New general relativity. Phys. Rev. D, v. 19, p.
3524-3553, 1979.
[12] DIRAC, P. A. M., Lectures on Quantum Mechanics, Belfer Graduate School of Science
(Monographs Series No. 2), Yeshiva University, New York, p. 3, 1964.
[13] MALUF, J. W., Hamiltonian formulation of the teleparallel description of genral rel-
ativity.J. Math. Phys., v. 35; p: 335-343, 1994.
102
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 103
[14] MALUF, J. W.; ROCHA-NETO, J. F. da, Hamiltonian formulation of general relativity
in the teleparallel geometry. Phys. Rev. D, v. 64, p. 084014, 2001.
[15] MALUF, J. W; MARTINS, E. F. and KNEIP, A., On the distribuition of gravitational
energy in the de sitter space. J. Math. Phys., v. 37, p.6293- 6301, 1996.
[16] MALUF, J. W.; ROCHA-NETO, J. F. da, General relativity on a null surface: Hamil-
tonian formulation in the teleparallel geometry. Gen. Rel. Grav., v.31, p. 173-185, 1999.
[17] OBUKHOV, Yu. N. and PEREIRA, J. G., Metric-afne approach to teleparallel grav-
ity, Phys. Rev. D 67, 044016 (2003). e-print arXiv: gr-qc/0212080 v1, p. 1-22, 2002.
[18] MALUF, J. W., Dirac spinor elds in the teleparallel gravity: comment on "Metric-
afne approach to teleparallel gravity". Phys. Rev. D 67, p. 108501 (2003). e-print
arXiv:gr-qc/0304005 v1, p. 1-7, 2003.
[19] VALDIVIESSO, G. A. do; GUZZO, M.M., Compreendendo a oscilação dos neutri-
nos. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 27, n 4, p. 495-506, 2005.
[20] HAXTON, W .C.; Holstein B. R., Neutrino physics, Am. J. Phys. 68 15, 2000. e-print
hep-ph/9905257 v1, p. 1-50, 1999.
[21] PANTALEONE, J., Neutrino mixing due to a violation of the equivalence principle,
Phys. Rev. D, v. 47, n 10, p. 4199-4202, 1993.
[22] ZHANG, C. M., Mass neutrino avor evolution in spacetime with torsion, Phys. Rev.
D, v. 115, n 4, p. 437-444, 2000. e-print arXiv: gr-qc/0012027 v1, 2000.
[23] ANDRADE, V. C. de; GUILLEN, L. C. T.; PEREIRA, J. G., Gravitational
energy-momentum density in teleparallel gravity. Phys. Rev. Lett., v. 84, p. 4533-4536,
2000.
[24] ARNOWITT, R.; DESER, S.; MISNER, C. W., Gravitation: an Introduction to Cur-
rent Research, Editado por L. Witten Wiley, New York, 1962.
[25] Hehl, F. W., in Proceedings of the 6th School of Cosmology and Gravitation on Spin,
Torsion, Rotation and Supergravity, Erice, 1979, editado por P. G. Bergmann and V.
de Sabbata Plenum, New York, 1980; F. W. Hehl, J. D. McCrea, E. W. Mielke and Y.
Ne`eman, Phys. Rep. 258, 1995.
[26] KOPCZYNSKI, W., J. Phys. A 15, 493, 1982.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 104
[27] NESTER, J. M., Class. Quantum Gravity. 5, 1003, 1988; Int. J. Mod. Phys. A 4, 1755,
1989.
[28] MALUF, J. W., Sparling Two-forms, the Conformal Factor and the Gravitational En-
ergy Density of the Teleparallel Equivalent of General Relativity. Gen. Rel. Grav., Nova
York, EUA, v. 30, p. 413-424, 1998.
[29] SAKURAI, J. J., Advanced Quantum Mechanics , 1
a
. Ed, Addison-Wesley, 1967.
[30] WEINBERG, S., Gravitation and Cosmology: principles and aplications of the gen-
eral theory of relativity. John Wiley and Sons, New York, 1972.
[31] SOLOMEY, N., The Elusive Neutrino, Scientic American Library, New York, 1997.
[32] DAVIS, R. Jr., "Nobel Lecture: A half-century with solar neutrino". Rev. Mod .
Phys.75, 985, 2003. Disponível em :<http://prola.aps.org/abstract/RMP/v75/i3/p985_1>.
[33] BAHCALL, J. N., Neutrino Astrophysics, Cambridge Univ. Press, New York, 1989.
[34] S. Fukuda et al. Determination of solar neutrino oscillation parameters using 1496
days of Super-Kamiokande-I data, Phys. Lett. B, 539, p.179-187, 2002.
[35] ARAKI, T. et al., Measurement of Neutrino Oscillation with KamLAND: Evidence of
Spectral Distortion, The KamLAND Collaboration. e-print arXiv: hep-ex/0406035 v3,
p. 1-5, 2004.
[36] PALASH, B. P., Neutrino properties from reactor and accelerator experiments. e-print
arXiv: hep-ph/9802208 v1, p. 1-12, 1998.
[37] SMINORV, A . Y., The MSW effect and Solar Neutrinos. e-print arXiv: hep-ph/0305106
v1, p. 1-23, 2003.
[38] MALUF, J.W., et al. Energy and angular momentum of the gravitational eld in the
teleparallel geometry. Phys. Rev. D, v. 65, n. 12, 2002. Equivalent of General Relativity.
General Relativity and Gravitation, Nova York, EUA, v. 30, p. 413-424, 1998.
[39] GROSSMAN, Y. and LIPKIN, H. J., Flavor oscillations from a spatially localized
source: a simple general treatment Phys. Rev. D 55 5, 1997.
[40] CARDALL, C. Y. and FULLER G. M. , Neutrino oscillations in curved spacetime:
a heuristic treatment. Phys. Rev. D 55 12, p.7960-7966, 1997. e-print arXiv: hep-
ph/9610494 v1, 1996.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 105
[41] ADAK, M., DERELI, T. and RYDER, L. H., Neutrino oscillations induced by space-
time torsion, Class. Quantum Gravity. 18, p. 1503-1512, 2001.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
