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Universidade de Bras´ılia
Instituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf em um modelo
do tipo Li´enard para as pregas vocais
Luverci do Nascimento Ferreira
Bras´ılia
2006
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Universidade de Bras´ılia
Instituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf em um modelo
do tipo Li´enard para as pregas vocais
por
Luverci do Nascimento Ferreira
Bras´ılia
2006
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`a minha m˜ae e a minha av´o...
Agradecimentos
`
A minha fam´ılia, em especial `a minha m˜ae Maria Antonieta e `a minha av´o Hortˆencia
por sempre acreditarem em mim, mesmo nos momentos mais dif´ıcies.
Ao meu Tio Antˆonio, meu mentor, por ter me mostrado um mundo novo e sobretudo
por ter me incentivado a entrar nele sem medo e com muita disposi¸c˜ao.
Ao meu Tio Renato, pelas palavras precisas nos momentos derradeiros da minha
anda¸ca.
`
A minha namorada Carolina por sua compreens˜ao e carinho.
Ao meu orientador, Prof. Jorge Carlos Lucero, pela sua paciˆencia, compreens˜ao e
confian¸ca.
Aos professores e funcion´arios do departamento, em especial aos professores C´elius
Magalh˜aes, Helmar Nunes Moreira, Elves Barros, Lineu Neto e Jairo Cavalcanti.
Aos meus grandes amigos: Marcus, Jhames, Luis, Pablo, Edson, Adriano, Adalberto
e Daniel pelo incentivo e amizade.
Aos meus amigos da Unb : Anderson, D´ebora, Zhou, Sandra, Euro, Elson, Zapata,
Walter, Jander, Leonardo Amorin, Evander, Alb´erico, Let´ıcia, Luciene, Nilton e tantos
outros aos quais compartilhei momentos de estudo e lazer.
Aos membros da banca : Prof. Maurilio Nunes Vieira e Prof. Ary Vasconcelos Medino
pelas corre¸c˜oes e sugest˜oes para a finaliza¸c˜ao deste trabalho.
Finalmente agrade¸co ao CNPq pelo apoio financeiro.
Resumo
Os fenˆomenos oscilat´orios da natureza podem ser estudados por modelos matem´aticos.
Neste trabalho estudamos a dinˆamica de um oscilador do tipo Li´enard, que modela o
comportamento das pregas vocais durante a fona¸c˜ao utilizando a teoria qualitativa das
equa¸c˜oes diferenciais. Estudamos o n´umero de Lyapunov e a bifurca¸c˜ao de Andronov-
Hopf para o caso bidimensional sobre a gera¸c˜ao de um ciclo limite quando variamos um
parˆametro do sistema. Verificamos que a oscila¸c˜ao ´e produzida com valores fisiol´ogicos
realistas para os parˆametros. Ela ´e gerada atrav´es de uma bifurca¸c˜ao de Andronov-
Hopf, a qual pode assumir as formas supercr´ıtica e subcr´ıtica. Ilustramos os resultados
encontrados fazendo uma an´alise num´erica com retratos de fase e diagramas de bifurca¸c˜ao.
Palavras Chaves: Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf, n´umero de Lyapunov, ciclo limite,
pregas vocais, equa¸c˜ao de Li´enard.
i
Abstract
Oscillatory phenomena in nature may be studied by mathematical models. In this
work, we explore the dynamics of an oscillator of the Li´enard type, which models the be-
havior of the vocal folds at phonation, using the qualitative theory of differential equations.
We study the Lyapunov number and the Andronov-Hopf bifurcation for the bidimensional
case, about the generation of a limit cycle when a system’s parameter is varied. We verify
that the oscillation is produced with realistic physiological values for the parameters. It
is generated through an Andronov-Hopf bifurcation, which can assume supercritical and
subcritical forms. We illustrate the results by a numerical analysis with phase portraits
and bifurcation diagrams.
Key-words: Andronov-Hopf bifurcation, Lyapunov number, limit cycle, vocal fold,
Li´enard equation.
ii
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf 3
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Multiplicidade de um foco m´ultiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 C´alculo do Valor Focal para um sistema anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Teorema da Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais 28
2.1 Equa¸c˜ao do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Normaliza¸c˜ao do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Estabilidade da posi¸c˜ao de equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf para o modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 An´alise num´erica 39
3.1 Exemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Retrato de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 An´alise do ciclo limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 An´alise num´erica para a bifurca¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Bifurca¸c˜ao supercr´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Bifurca¸c˜ao subcr´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.3 Bifurca¸c˜ao entre ciclos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Conclus˜ao 54
iii
Referˆencias Bibliogr´aficas 55
iv
Lista de Figuras
1.1 Fun¸c˜ao sucess˜ao para a reta r com θ = θ
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Esquema do modelo para as pregas vocais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Retrato de fase com α = 0, 32, β = 100 e γ = 0, 78. . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Diagrama de bifurca¸c˜ao com α = 0, 32 e β = 100. . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 100. . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Ciclos limites para α = 0, 32 e β = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Velocidade do deslocamento para α = 0, 32 e β = 100. . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 10 . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 Amplitude dos ciclos limites para α = 0.32 e β = 20. . . . . . . . . . . . . 45
3.8 Amplitude dos ciclos limites para α = 0.32 e β = 40. . . . . . . . . . . . . 45
3.9 Amplitude dos ciclos limites para α = 0.32 e β = 50. . . . . . . . . . . . . 46
3.10 Retrato de fase com α = 0, 32, β = 50 e γ = 0.78 . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.11 Diagrama de bifurca¸c˜ao com α = 0, 32 e β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.12 Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 0. . . . . . . . . . . . . . 48
3.13 Amplitude dos ciclos limites para α = 0.32 e β = 0, 5. . . . . . . . . . . . . 48
3.14 Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 0, 9 . . . . . . . . . . . . 49
3.15 Retrato de fase para α = 0, 32, β = 0 e γ = 0, 4 . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.16 Ciclos limites para α = 0, 32, β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.17 Diagrama de bifurca¸c˜ao com α = 0, 32 e β = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.18 Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 2 . . . . . . . . . . . . . 51
3.19 Ciclos limites para α = 0, 32 e β = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.20 Curva de amplitude de ciclos limites para α = 0, 32 e β = 1.2 . . . . . . . . 52
3.21 Retrato de fase para α = 0, 32, β = 1, 2 e γ = 1.2 . . . . . . . . . . . . . . 53
v
Introdu¸c˜ao
Os fenˆomenos oscilat´orios da natureza podem ser estudados por modelos matem´aticos,
pois as oscila¸c˜oes encontradas na biologia, na fisiologia e em outros ´areas da ciˆencia est˜ao
associadas a solu¸c˜oes per´ıodicas de equa¸c˜oes matem´aticas [28].
H´a mais de 100 anos o cientista e matem´atico francˆes J.H.Poincar´e foi o precursor
do estudo da moderna dinˆamica n˜ao linear, criando as ferramentas para a an´alise desses
fenˆomenos.
Em 1952, os fisiologistas britˆanicos A.L.Huxley e A.F.Hodgkin elaboraram um modelo
[6] baseado em equa¸c˜oes diferenciais para estudar o comportamento oscilat´orio do axˆonio
de uma lula gigante. Este trabalho despertou o interesse dos matem´aticos para estudar os
osciladores biol´ogicos e fisiol´ogicos utilizando a teoria dos sistemas dinˆamicos n˜ao-lineares.
Em 1968, J.L FLanagan propˆos um modelo matem´atico [18] que analisava o com-
portamento das pregas vocais quando o ar proveniente dos pulm˜oes passava pela glote
durante a fona¸c˜ao. Com um modelo do tipo massa-mola-amortecedor, iniciou o estudo do
movimento oscilat´orio das pregas vocais durante o processo de fona¸c˜ao. Depois do estudo
pioneiro de Flanagam tivemos uma variedade de modelos matem´aticos para analisar esse
comportamento oscilat´orio. Modelo com duas massas [26], um modelo de trˆes massas [14],
modelos cont´ınuos [15] e modelos que prevˆeem um comportamento ca´otico do movimento
das pregas vocais para determinados parˆametros [12], [16], [17] e [29].
Entre as ferramentas matem´aticas para analisar a dinˆamica destes modelos temos
aquelas baseadas na Teoria das Bifurca¸c˜oes.
O presente trabalho tem como objetivo estudar a bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf em
R
2
e aplic´a-la no entendimento de um modelo de uma massa para as pregas vocais. Este
modelo ´e baseado nos artigos [7], [13] e [24], no qual obtemos um modelo matem´atico
descrito por uma equa¸c˜ao de Li´ernard.
1
Introdu¸c˜ao
O trabalho est´a dividido em trˆes cap´ıtulos.
No cap´ıtulo 1, iremos calcular os valores focais para um foco m´ultiplo (n´umero de
Lyapunov) e provaremos o Teorema da Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf para o caso bidi-
mensional.
No cap´ıtulo 2, analisaremos o modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais, dado por
uma equa¸c˜ao de Li´enard
u

+ f (u)u
+ u = 0,
onde
f(u) = α(1 + βu
2
) −
γ
1 + u
, com 1 + u > 0.
utilizando a teoria qualitativa das equa¸c˜oes diferenciais.
No cap´ıtulo 3, faremos uma an´alise num´erica sobre bifurca¸c˜oes e ciclos limites apre-
sentados pelo modelo.
Aplicaremos os resultados do cap´ıtulo 1, com o intuito de determinar se o modelo
apresenta uma bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf subcr´ıtica ou supercr´ıtica. Iremos investigar
se o modelo, a partir de parˆametros real´ısticos, produz uma oscila¸c˜ao. Finalizamos com
um breve sum´ario dos resultados encontrados e dire¸c˜oes de pesquisas futuras.
2
Cap´ıtulo 1
Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Este cap´ıtulo tem como objetivo encontrar o n´umero de Lyapunov para um sistema
dinˆamico e estudar a rela¸c˜ao desse n´umero com a bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf para o
caso bidimensional. Os resultados encontrados s˜ao baseados em [1], [2] e [27].
1.1 Introdu¸c˜ao
A teoria das bifurca¸c˜oes descreve mudan¸cas qualitativas no retrato de fase que ocorrem
quando os parˆametros variam na defini¸c˜ao de um sistema dinˆamico.
Por sistema dinˆamico definimos como um campo vetorial em R
N
que tem um sistema
de equa¸c˜oes da forma:
˙x = f(x, λ),
onde λ ∈ R
N
, denota um campo n-dimensional de vetores parˆametros [27].
Podemos classificar, de modo geral, as bifurca¸c˜oes por dois tipos: bifurca¸c˜oes locais e
globais. N˜ao ´e muito complicado encontrar uma diferen¸ca entre as duas. Heuristicamente,
a dinˆamica da bifurca¸c˜ao local ´e determinada pela informa¸c˜ao contida no cerne da s´erie de
Taylor de f ou da aplica¸c˜ao de Poincar´e no ponto de equil´ıbrio do sistema. J´a a bifurca¸c˜ao
global necessita da informa¸c˜ao sobre o campo vetorial ao longo de toda a trajet´oria da
solu¸c˜ao do sistema.
Um tipo de bifurca¸c˜ao local ´e a que analisa a dinˆamica da gera¸c˜ao de um ciclo limite
(uma auto-oscila¸c˜ao [1]) de um ponto de equil´ıbrio do tipo foco ou centro, quando os
parˆametros do sistema passam por um valor cr´ıtico fazendo com que o ponto de equil´ıbrio
3
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
mude de estabilidade.
A descoberta da gera¸c˜ao de um ciclo limite de um ponto de equil´ıbrio tendo somente
autovalores imagin´arios e o estabelecimento da conex˜ao deste fato com o n´umero de
Lyapunov pertencem a A.A.Andronov, com base nos trabalhos de Poincar´e e Van der
Pol [10].
No seu artigo Mathematical problems of auto-oscillations apresentado na conferˆencia
sobre oscila¸c˜ao em 1931, Andronov mostrou, sem f´ormulas, a gera¸c˜ao de um ciclo limite
de um foco em conex˜ao com a aparecimento de auto-oscila¸c˜oes em uma v´alvula eletrˆonica
(no mesmo artigo ele considerou a bifurca¸c˜ao de um duplo ciclo limite). Na primeira
edi¸c˜ao do livro Theory of oscillations [3], a gera¸c˜ao de um ciclo limite de um foco fraco
no plano foi demonstrada matematicamente e com exemplos. Andronov utilizou equa¸c˜oes
diferenciais recorrentes para determinar o n´umero de Lyapunov.
Em 1942, E.Hopf generalizou o resultado de Andronov para sistemas em R
N
[19].
Desde ent˜ao, esse tipo de bifurca¸c˜ao ´e conhecida como Bifurca¸c˜ao de Hopf.
Neste trabalho vamos estudar a bifurca¸c˜ao de Hopf para o caso bidimensional R
2
, a
qual chamaremos de bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf.
Este cap´ıtulo foi constru´ıdo com base nos resultados de Andronov e Leontovich em
Theory of bifurcations of dynamic systems on a plane [2]. Eles provaram que variando
os parˆametros de um sistema dinˆamico bidimensional, a posi¸c˜ao de equil´ıbrio do sistema
muda de estabilidade fazendo com que apare¸ca uma solu¸c˜ao peri´odica no sistema, ou seja
um ciclo limite.
1.2 Preliminares
Nesta se¸c˜ao, iremos definir a Fun¸c˜ao sucess˜ao e a Fun¸c˜ao deslocamento, que s˜ao ferramen-
tas matem´atica utilizadas na teoria qualitativa, estudando algumas propriedades dessas
fun¸c˜oes.
Considere o sistema dinˆamico
dx
dt
= P (x, y)
dy
dt
= Q(x, y),
(1.1)
4
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
definido em alguma regi˜ao G do plano, onde P (x, y) e Q(x, y) s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas em
G.
Seja (x
0
, y
0
) a posi¸c˜ao de equil´ıbrio do sistema (1.1), ou seja,
P (x
0
, y
0
) = Q(x
0
, y
0
) = 0,
onde o Jacobiano do sistema (1.1) n˜ao se anula no ponto de equil´ıbrio
J(x
0
, y
0
) =
∂(P, Q)
∂(x, y)
(x
0
,y
0
)
= 0.
Podemos expressar o sistema (1.1) nas vizinhan¸cas do ponto (x
0
, y
0
) como
dx
dt
= P
x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) + P
y
(x
0
, y
0
)(y − y
0
) + φ(x, y)
dy
dt
= Q
x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) + Q
y
(x
0
, y
0
)(y − y
0
) + ψ(x, y),
(1.2)
onde as fun¸c˜oes φ(x, y) e ψ(x, y) s˜ao de classe C
1
em G e com as seguintes condi¸c˜oes:
φ(x
0
, y
0
) = ψ(x
0
, y
0
) = 0,
φ
x
(x
0
, y
0
) = φ
y
(x
0
, y
0
) = 0,
ψ
x
(x
0
, y
0
) = ψ
y
(x
0
, y
0
) = 0, (1.3)
assumindo ainda, sem perda de generalidade, que a posi¸c˜ao de equil´ıbrio do sistema (1.1)
est´a na origem (x
0
, y
0
) = (0, 0). De fato, basta fazer uma mudan¸ca de vari´aveis
Fazendo
P
x
(0, 0) = a, P
y
(0, 0) = b, Q
x
(0, 0) = c, Q
y
(0, 0) = d,
podemos expressar o sistema (1.2) por
dx
dt
= ax + by + φ(x, y)
dy
dt
= cx + dy + ψ(x, y),
(1.4)
com φ e ψ de classe C
1
em G satisfazendo as condi¸c˜oes (1.3), ou seja,
φ(0, 0) = ψ(0, 0) = 0,
φ
x
(0, 0) = φ
y
(0, 0) = 0,
ψ
x
(0, 0) = ψ
y
(0, 0) = 0, (1.5)
5
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
e assumindo que
∆ = J(0, 0) =
∂(P, Q)
∂(x, y)
(0,0)
= ad − bc = 0.
Suponha que o ponto de equil´ıbrio O(0, 0) do sistema (1.4), seja um foco simples, ou
seja, os autovalores do sistema s˜ao
λ
1,2
= α ± βi, onde α = 0 e β > 0.
Neste caso podemos reescrever o sistema (1.4) na forma canˆonica [2],
dx
dt
= αx − βy + φ(x, y)
dy
dt
= βx − αy + ψ(x, y).
(1.6)
Fazendo α = 0, temos
dx
dt
= −βy + φ(x, y)
dy
dt
= βx + ψ(x, y),
(1.7)
com β > 0, ´e um caso particular do sistema (1.6).
Utilizando
x = ρ cos θ
y = ρsen θ,
podemos transformar o sistema (1.6) em coordenadas polares, ou seja,
dρ
dt
= αρ + φ(ρ cos θ, ρ sen θ) cos θ + ψ(ρ cos θ, ρ sen θ) sen θ,
dθ
dt
=
ψ(ρ cos θ, ρ sen θ)
ρ
cos θ −
φ(ρ cos θ, ρ sen θ)
ρ
sen θ.
(1.8)
Fazendo
F (ρ, θ) = αρ + φ(ρ cos θ, ρ sen θ) cos θ + ψ(ρ cos θ, ρ sen θ) sen θ,
Φ(ρ, θ) =
ψ(ρ cos θ, ρ sen θ)
ρ
cos θ −
φ(ρ cos θ, ρ sen θ)
ρ
sen θ.
6
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Podemos expressar o sistema (1.8) como
dρ
dt
= F (ρ, θ)
dθ
dt
= β + Φ(ρ, θ)
(1.9)
onde para ρ
∗
> 0 suficientemente pequeno, pelas propriedades de φ(x, y) e ψ(x, y), as
fun¸c˜oes F (ρ, θ) e Φ(ρ, θ) s˜ao definidas na regi˜ao
W = {(ρ, θ); 0 < |ρ| < ρ
∗
, −∞ < θ < ∞}
e s˜ao de classe C
1
em W .
Podemos reduzir o sistema (1.9) para uma equa¸c˜ao simples
dρ
dθ
=
F (ρ, θ)
β + Φ(ρ, θ)
. (1.10)
Assim definimos a fun¸c˜ao R(ρ, θ) como
R(ρ, θ) =
F (ρ, θ)
β + Φ(ρ, θ)
. (1.11)
A fun¸c˜ao R(ρ, θ) est´a definida na regi˜ao W , desde que escolhemos ρ
∗
> 0 suficiente-
mente pequeno tal que β + Φ(ρ, θ) = 0.
Podemos estender a continuidade da fun¸c˜ao R(ρ, θ) para ρ = 0, ou seja,
R(0, θ) = 0, ∀ θ.
De fato, pois
lim
ρ→0
F (ρ, θ) = lim
ρ→0
Φ(ρ, θ) = 0
e como β > 0 temos que
lim
ρ→0
R(ρ, θ) = 0.
Portanto a fun¸c˜ao R(ρ, θ) ´e cont´ınua na regi˜ao
W
0
= {(ρ, θ); −ρ
∗
< ρ < ρ
∗
, −∞ < θ < ∞}.
Na verdade R(ρ, θ) ´e de classe C
1
em W
0
, pois para ρ = 0 as fun¸c˜oes F (ρ, θ) e Φ(ρ, θ)
s˜ao de classe C
1
em W .
7
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Para ρ = 0, temos que
∂R(0, θ)
∂ρ
= lim
ρ→0
R(ρ, θ) − R(0, θ)
ρ
= lim
ρ→0
R(ρ, θ)
ρ
=
α
β
.
Assim R(ρ, θ) ´e diferenci´avel em ρ = 0 e portanto de classe C
1
em W
0
.
Usando o fato que R ∈ C
1
(W
0
) com rela¸c˜ao a ρ, podemos utilizar o Teorema de
Existˆencia e Unicidade e o Teorema sobre continuidade de solu¸c˜oes [1],[20] para a equa¸c˜ao
(1.11) na faixa W
0
.
Portanto para qualquer θ
0
e ρ
0
tal que |ρ
0
| < ρ
∗
, existe uma ´unica solu¸c˜ao para a
equa¸c˜ao (1.10).
Seja
ρ = f (θ; θ
0
, ρ), (1.12)
como sendo a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1.10) satisfazendo a condi¸c˜ao inicial
f(θ
0
; θ
0
, ρ) = ρ
0
, (1.13)
A solu¸c˜ao (1.12) ´e definida em algum intervalo m´aximo (θ
1
, θ
2
) que cont´em o ponto θ
0
.
Note que
f(θ; θ
0
, 0) ≡ 0
com ρ = 0 ´e uma solu¸c˜ao para (1.10), desde que R(ρ, θ) ≡ 0.
Defini¸c˜ao 1.2.1 (Fun¸c˜ao sucess˜ao). Definimos a fun¸c˜ao sucess˜ao como
ρ = f
θ
0
(ρ
0
) = f
θ
0
(θ
0
+ 2π; θ
0
, ρ
0
), (1.14)
para a reta r com θ = θ
0
.
Observa¸c˜ao 1.2.1. A fun¸c˜ao sucess˜ao tamb´em ´e conhecida como Aplica¸c˜ao de Poincar´e
ou Aplica¸c˜ao de Primeiro Retorno.
Na figura 1.1, considere Γ uma espiral na origem 0(0, 0), que ´e um foco inst´avel, e r uma
reta normal `a espiral. Assim f
θ
0
(ρ
0
) ´e a fun¸c˜ao sucess˜ao com
OA = ρ
0
e OB = f
θ
0
(ρ
0
).
8
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
O
B
A
C
r
Γ
Figura 1.1: Fun¸c˜ao sucess˜ao para a reta r com θ = θ
0
Defini¸c˜ao 1.2.2 (Fun¸c˜ao deslocamento). Definimos a fun¸c˜ao deslocamento como
d
θ
0
(ρ
0
) = f
θ
0
(ρ
0
) − ρ
0
, (1.15)
para a reta r com θ = θ
0
.
Quando θ
0
= 0 temos as fun¸c˜oes f (ρ
0
) e d(ρ
0
) dadas por
f(ρ
0
) = f (2π; 0, ρ
0
), (1.16)
d(ρ
0
) = f (ρ
0
) − ρ
0
= f (2π; 0, ρ
0
) − ρ
0
. (1.17)
onde
|ρ
0
| < δ, (1.18)
com δ suficientemente pequeno.
Note que se ρ = ρ(θ) ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1.10) ent˜ao
d(−ρ)
d(θ + π)
= R(−ρ, θ + π) ≡ −R(ρ, θ). (1.19)
9
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Lema 1.2.1. A seguinte igualdade se verifica para a fun¸c˜ao deslocamento.
d
θ
0
(−ρ) = −d
(θ
0
+π)
(ρ) = −f (θ
0
+ 3π; θ
0
+ π, ρ) + ρ (1.20)
Demonstra¸c˜ao:
Pela defini¸c˜ao 1.2.2
d
θ
0
(−ρ
0
) = f (θ
0
+ 2π; θ
0
, −ρ
0
) − (−ρ
0
), (1.21)
onde ρ = f(θ; θ
0
, −ρ
0
) ´e uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao (1.10) com as condi¸c˜oes iniciais
θ = θ
0
, ρ = −ρ
0
.
Considere a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1.19) com as condi¸c˜oes iniciais
ρ
∗
= −ρ = ρ
0
, θ
∗
= θ + π = θ
0
+ π,
dada por
ρ
∗
= −ρ = f(θ
∗
; θ
0
+ π, ρ
0
) = f (θ + π; θ
0
+ π, ρ
0
).
Assim, para condi¸c˜oes iniciais particulares, temos
ρ = −f (θ + π; θ
0
+ π, ρ
0
), (1.22)
mas a condi¸c˜ao ρ
∗
= ρ
0
para θ
∗
= θ
0
+ π ´e equivalente `a condi¸c˜ao θ = θ
0
.
Portanto, pelo Teorema de Unicidade de Solu¸c˜oes [1], [20]
−f(θ + π; ρ
0
+ π, ρ
0
) = f (θ; ρ
0
, −ρ
0
). (1.23)
Por (1.21), (1.23),(1.14), e (1.15), temos
d
θ
0
(−ρ
0
) = f (θ
0
+ 2π; θ
0
, −ρ
0
) − (−ρ
0
)
= f(θ
0
+ 3π; ρ
0
+ π, ρ
0
) + ρ
0
= −[f
θ
0
+π
(ρ
0
) − ρ
0
]
= −d
θ
0
+π
(ρ
0
).
Substituindo ρ por ρ
0
, obtemos (1.2.1). E o resultado segue.
10
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Lema 1.2.2. Se existe r
1
> 0 tal que para todos ρ, 0 < ρ ≤ r
1
, d
θ
0
(ρ) > 0, (d
θ
0
(ρ) < 0),
ent˜ao existem r
2
> 0 tal que para todos ρ, 0 < ρ ≤ r
2
, d
θ
0
(−ρ) < 0, (d
θ
0
(−ρ) > 0),
respectivamente. Portanto, para todos ρ, 0 < |ρ| ≤ r = min{r
1
, r
2
},
d
θ
0
(ρ) · d
θ
0
(−ρ) < 0 (1.24)
Demonstra¸c˜ao: Considere a seguinte rela¸c˜ao
d
θ
0
(ρ) > 0, (1.25)
para todos ρ, 0 < ρ ≤ r
1
. Nesse caso, todas as trajet´orias do sistema (1.6) que passam
pelos pontos (θ
0
, ρ), 0 < ρ ≤ r
1
, da reta θ = θ
0
, n˜ao s˜ao fechadas, pois s˜ao espirais que
se afastam do foco O(0, 0) quando t → −∞. Mas todas essas trajet´orias cruzam a reta
θ = constante, em particular, na reta θ = θ
0
+ π.
A fun¸c˜ao sucess˜ao para esta reta ´e dada por
f(θ
0
+ 2π; θ
0
+ π, ρ)
e a fun¸c˜ao deslocamento ´e
d
θ
0
+π
(ρ) = f
θ
0
+π
(ρ) − ρ,
definidas para todos ρ, 0 < ρ ≤ r
2
, onde r
2
´e algum n´umero positivo.
Por (1.25), concluimos que para todos ρ, 0 < ρ ≤ r
2
, d
θ
0
+π
(ρ) > 0. Assim, segue pelo
Lema 1.2.1, que a fun¸c˜ao d
θ
0
(−ρ) ´e definida para todos ρ, 0 < ρ ≤ r
1
e ´e negativa.
Da´ı, para todos ρ, 0 < ρ ≤ min(r
1
, r
2
) temos
d
θ
0
(ρ) · d
θ
0
(−ρ) < 0.
1.3 Multiplicidade de um foco m´ultiplo
Nesta se¸c˜ao vamos definir valor focal, multiplicidade de um foco, o n´umero de Lyapunov
e dar condi¸c˜oes para que a equa¸c˜ao (1.10) tenha derivadas parciais cont´ınuas de ordem
N, ou seja, de classe N.
11
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Lema 1.3.1. Se o sistema (1.6) ´e de classe N ≥ 1, a fun¸c˜ao R(ρ, θ) tem derivadas
parciais cont´ınuas com rela¸c˜ao a ρ at´e a ordem N em qualquer ponto da regi˜ao W
0
.
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao desse lema pode ser encontrada em [2], pp.475-477.
Como consequˆencia do lema ([1], pp.504-505), temos que as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (1.10)
dadas por
ρ = f (θ; θ
0
, ρ
0
),
tem derivadas parciais cont´ınuas, com respeito a ρ
0
, at´e a ordem N.
Lema 1.3.2. As derivadas parciais
∂f
∂ρ
0
,
∂
2
f
∂ρ
0
2
, ··· ,
∂
N
f
∂ρ
0
N
. (1.26)
consideradas como fun¸c˜oes de θ, (ou seja, para a constante θ
0
e ρ
0
), satisfazem o sistema
de equa¸c˜oes diferenciais,
d
dθ
∂f
∂ρ
0
=
∂R(f(θ; θ
0
, ρ
0
), θ)
∂ρ
0
∂f(θ, θ
0
, ρ
0
)
∂ρ
0
,
d
dθ
∂
2
f
∂ρ
0
2
=
∂R(f, θ)
∂ρ
∂
2
f
∂ρ
0
2
+ E
2
(θ; θ
0
, ρ
0
),
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d
dθ
∂
N
f
∂ρ
0
N
=
∂R(f, θ)
∂ρ
∂
N
f
∂ρ
0
N
+ E
N
(θ; θ
0
, ρ
0
),
(1.27)
onde
f := f(θ; θ
0
, ρ
0
)
e
E
N
=
∂
N
R
∂ρ
N
∂f
∂ρ
0
N
+ ···+ N
∂
2
R
∂ρ
2
∂
N−1
f
∂ρ
N−1
0
∂f
∂ρ
0
com as condi¸c˜oes iniciais
∂f
∂ρ
0
θ=θ
0
= 1,
∂
2
f
∂ρ
0
2
θ=θ
0
= 0, . . .
∂
N
f
∂ρ
0
N
θ=θ
0
= 0. (1.28)
12
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Demonstra¸c˜ao:
A validade de (1.27) segue de [1] pp.504-505.
A rela¸c˜ao (1.28) segue diretamente da identidade (1.13)
Assumindo que θ
0
= 0 (sem perda de generalidade) temos que as fun¸c˜oes f
0
=
f(2π; 0, ρ
0
) e d
0
(ρ
0
) = f
0
(ρ
0
) − ρ
0
, podem ser escritas como f (ρ
0
) e d(ρ
0
) (veja (1.16),
(1.17)).
Observe que a fun¸c˜ao f em (1.27) e (1.28) ´e uma fun¸c˜ao de 3 vari´aveis, f (θ; θ
0
, ρ
0
) e
que f(ρ
0
) ´e uma fun¸c˜ao de uma vari´avel. A rela¸c˜ao entre essas fun¸c˜oes ´e dado por (1.16).
Observa¸c˜ao 1.3.1. Desde que f(θ; θ
0
, ρ
0
) tem derivadas parciais cont´ınuas com respeito
a ρ
0
de ordem N, as fun¸c˜oes f (ρ
0
) e d(ρ
0
) s˜ao de classe C
N
(W
0
).
Defini¸c˜ao 1.3.1 (Valor Focal). O valor da i-´esima derivada da fun¸c˜ao d(ρ
0
) no ponto O,
ou seja d
(i)
(0), ´e chamada de i-´esimo valor focal do foco O.
Observa¸c˜ao 1.3.2. Se o sistema (1.6) ´e de classe N, o valor focal d
(i)
, 1 ≤ i ≤ N, existe.
Lema 1.3.3. Se existe k tal que
d(0) = d
(0) = . . . = d
k−1
(0) = 0 e d
k
(0) = 0, (1.29)
ent˜ao k ´e um n´umero ´ımpar, ou seja k = 2m + 1.
Demonstra¸c˜ao:
Por (1.9) e (1.10), ρ = 0 ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1.10). Logo,
f(0) = d(0) = 0. (1.30)
Aplicando a f´ormula de Maclaurin’s [32] para a fun¸c˜ao d(ρ
0
) e usando as rela¸c˜oes (1.29)
e (1.30) temos
d(ρ
0
) =
d
(k)
(ηρ
0
)
k!
ρ
0
k
, (1.31)
onde 0 < η < 1. Portanto, se k ´e par, d(ρ
0
) tem o mesmo sinal para todos ρ
0
suficien-
temente pequeno, ambos negativo e positivo (seu sinal coincide com o sinal do k-´esimo
valor focal d
(k)
(0)). Este fato contradiz o Lema 1.2.2.
Portanto k deve ser ´ımpar.
13
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Defini¸c˜ao 1.3.2 (Multiplicidade de um Foco). Se as condi¸c˜oes (1.29) s˜ao satisfeitas, e
k = 2m + 1 m ≥ 0, dizemos que o foco O(0, 0) ´e um foco de multiplicidade m.
Defini¸c˜ao 1.3.3 (N´umero de Lyapunov). O primeiro valor focal de um foco m´ultiplo
diferente de zero ´e chamado de n´umero de Lyapunov.
Lema 1.3.4. O foco O(0, 0) do sistema (1.7) ´e:
(i) est´avel quando d
k
(0) < 0;
(ii) inst´avel quando d
k
(0) > 0.
Demonstra¸c˜ao:
Se m = 0, ent˜ao k = 1 e d
(0) = 0.
De fato, por (1.31) temos,
d(ρ
0
) = d
(ηρ
0
)ρ
0
para ρ
0
suficientemente pequeno, ou seja |ρ
0
| < δ.
Desde que d
(ρ
0
) ´e cont´ınua, o sinal d
(ρ
0
) ser´a mesmo sinal que d
(0) para |ρ
0
| < δ,
logo d
(0) = 0. Assim, se d
(0) < 0 segue que d(ρ
0
) < 0 temos um foco est´avel e se
d
(0) > 0 segue que d(ρ
0
) > 0 temos um foco inst´avel, para valores de ρ
0
suficientemente
pequeno. Nesse caso o foco O(0, 0) tem n´umeros caracter´ısticos complexos, por´em n˜ao
s˜ao imagin´arios puros, ou seja O(0, 0) ´e um foco simples.
Se m > 0, ent˜ao k ≥ 3, d
(0) = 0 e os n´umeros caracter´ısticos s˜ao imagin´arios puros,
ou seja O(0, 0) ´e um foco m´ultiplo. Assim se m ≥ 1, O(0, 0) tem multiplicidade m.
Observe que o foco m´ultiplo n˜ao tem sempre uma multiplicidade definida.
De fato, se o sistema (1.7) ´e de classe N e n˜ao de classe N + 1, e se
d
(0) = d

(0) = 0 . . . = d
(N)
(0) = 0
a defini¸c˜ao (1.3.2) n˜ao ´e aplic´avel. Portanto, segue por (1.31), que se k = 2m + 1 satisfaz
as condi¸c˜oes de (1.29) o o foco O(0, 0) do sistema (1.7) ´e
i) est´avel quando d
(k)
(0) < 0,
ii) inst´avel quando d
(k)
(0) > 0.
14
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
1.4 C´alculo do Valor Focal para um sistema anal´ıtico
Nesta se¸c˜ao vamos calcular o n´umero de Lyapunov do sistema (1.1) no foco O(0, 0).
Suponha que o foco m´ultiplo coincide com a origem e que o sistema (1.1) tem a forma
canˆonica dada
dx
dt
= αx −βy + φ(x, y)
dy
dt
= βx − αy + ψ(x, y)
(A)
onde β > 0 e φ e ψ s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas. Observe que a fun¸c˜ao R(ρ, θ) (1.10) ´e uma
fun¸c˜ao anal´ıtica de θ e ρ na regi˜ao
W
0
= {(ρ, θ); −ρ
∗
< ρ < ρ
∗
, −∞ < θ < ∞}.
Portanto, podemos expandir a fun¸c˜ao R(ρ, θ) em s´eries de potˆencia de ρ [32].
Como R(0, θ) ≡ 0, a expans˜ao da s´erie tem a forma
R(ρ, θ) = R
1
(θ)ρ + R
2
(θ)ρ
2
+ . . . (1.32)
Observe que a fun¸c˜ao R(ρ, θ) e respectivamente as fun¸c˜oes R
i
(θ), i = 1, 2, . . ., s˜ao
peri´odicas de θ com per´ıodo 2π. Assim segue pelas propriedades de fun¸c˜oes anal´ıticas
que existe ρ
∗
1
> 0 tal que a s´erie (1.32) converge para todos θ, 0 ≤ θ ≤ 2π e para todos
ρ, |ρ| ≤ ρ
∗
1
.
Por um resultado em [2] pp.505, a solu¸c˜ao
ρ = f (θ; 0, ρ
0
) (1.33)
da equa¸c˜ao (1.10) satisfazendo a condi¸c˜ao inicial
f(0; 0; ρ
0
) ≡ ρ
0
(1.34)
´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica nos seus argumentos.
Expandindo essa solu¸c˜ao em s´eries de potˆencia com a condi¸c˜ao inicial ρ
0
. Desde que
R(0, θ) ≡ 0, vimos que ρ = 0 ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1.10), logo f(θ; 0, 0) ≡ 0.
A expans˜ao de f(θ; 0, ρ
0
) em potˆencias de ρ tem a forma
15
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
ρ = f (θ; 0, ρ
0
) = u
1
(θ)ρ
0
+ u
2
(θ)ρ
0
2
+ . . . (1.35)
Note que existe um n´umero ρ
∗
2
≤ ρ
∗
1
tal que a s´erie (1.35) converge para todos θ,
0 ≤ θ ≤ 2π e para todos ρ, |ρ| ≤ ρ
∗
2
.
Por (1.34) e (1.35),temos
u
1
(0) = 1, u
2
(0) = u
3
(0) . . . = 0 (1.36)
Substituindo as express˜oes (1.35) e (1.32) na equa¸c˜ao (1.11) e igualando os coeficientes
das potˆencias de ρ
0
no lado direito e no lado esquerdo, obtemos as seguintes equa¸c˜oes
diferenciais recursivas para os coeficientes u
i
(θ), (i = 1, 2, 3, . . .):
u
1
(θ) = R
1
(θ)u
1
(θ),
u
2
(θ) = R
1
(θ)u
2
(θ) + R
2
(θ)u
2
1
(θ), (1.37)
u
3
(θ) = R
1
(θ)u
3
(θ) + 2R
2
(θ)u
1
(θ)u
2
(θ) + R
3
(θ)u
3
1
(θ),
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A rela¸c˜ao (1.36) pode ser considerada como as condi¸c˜oes iniciais para as fun¸c˜oes u
i
(θ)
satisfazendo as equa¸c˜oes diferenciais (1.37). Usando essas condi¸c˜oes iniciais e integrando
sucessivamente as equa¸c˜oes (1.37) como equa¸c˜oes diferenciais lineares para as fun¸c˜oes
correspondentes, obtemos
u
1
(θ) = e
θ
0
R
1
(θ) dθ
,
u
2
(θ) = e
θ
0
R
1
(θ) dθ
θ
0
R
2
(θ)u
1
(θ) dθ, (1.38)
u
3
(θ) = e
θ
0
R
1
(θ) dθ
θ
0
[2R
2
(θ)u
2
(θ) + R
3
(θ)u
3
1
(θ)] dθ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pela defini¸c˜ao, a fun¸c˜ao sucess˜ao ´e f(ρ
0
) = f(2π; 0, ρ
0
) (como em (1.16)). Portanto,
tomando θ = 2π em (1.35), obtemos a seguinte s´erie da fun¸c˜ao sucess˜ao
ρ = f (ρ
0
) = u
1
(2π)ρ
0
+ u
2
(2π)ρ
0
2
+ . . .
16
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Fazendo
u
i
(2π) = α
i
, com i = 1, 2, . . . (1.39)
temos
ρ = f (ρ
0
) = α
1
ρ
0
+ α
2
ρ
0
2
+ . . . (1.40)
Da equa¸c˜ao (1.40) e da express˜ao d(ρ
0
) = f (ρ
0
) − ρ
0
obtemos os valores focais
d
(0) = α
1
− 1 = u
1
(2π) − 1,
d

(0) = α
2
= u
2
(2π),
. . . . . . . . .
d
(k)
(0) = k!α
k
= k!u
k
(2π) (1.41)
com (k = 2, 3, . . .).
Derivando agora as express˜oes para os coeficientes α
i
em termos do lado direito de
(A) podemos obter a express˜ao para o primeiro valor focal
d
(0) = e
2π
α
β
− 1. (1.42)
Os sucessivos valores focais s˜ao interessantes quando O(0, 0) ´e um foco m´ultiplo, ou
seja α = 0, pois teremos autovalores imagin´arios puros. Assim para obter os outros valores
focais, basta fazer α = 0.
O sistema (A), neste caso, tem a forma:
dx
dt
= −βy + φ(x, y)
dy
dt
= βx + ψ(x, y)
(B)
Seja
φ(x, y) = P
2
(x, y) + P
3
(x, y) + . . . ,
ψ(x, y) = Q
2
(x, y) + Q
3
(x, y) + . . . , (1.43)
onde P
i
(x, y) e Q
i
(x, y) s˜ao polinˆomios homogˆenos de i-´esimo grau (i = 2, 3, . . .). Por
(1.11) e (1.43), obtemos
17
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
R(ρ, θ) =
∞
m=2
ρ
m
u
m
(cos(θ), sen (θ))
β +
∞
m=2
ρ
m−1
v
m
(cos(θ), sen (θ))
(1.44)
onde
u
m
(cos(θ), sen (θ)) = P
m
(cos(θ), sen (θ)) cos(θ) + Q
m
(cos(θ), sen (θ)) sen (θ)
v
m
(cos(θ), sen (θ)) = Q
m
(cos(θ), sen (θ)) cos(θ) − P
m
(cos(θ), sen (θ)) sen (θ).(1.45)
Como α = 0, temos que
R
1
(θ) =
∂R(ρ, θ)
∂ρ
ρ=0
= 0. (1.46)
Assim, a s´erie de expans˜ao da fun¸c˜ao R(ρ, θ) ´e dada por
R(ρ, θ) = R
2
(θ)ρ
2
+ R
3
(θ)ρ
3
+ . . . (1.47)
Pelas equa¸c˜oes (1.44), (1.45), (1.47) obtemos, as seguintes rela¸c˜oes
u
2
= βR
2
,
u
3
= βR
3
+ R
2
v
2
,
u
4
= βR
4
+ R
3
v
3
+ R
2
v
3
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Da´ı,
R
2
=
u
2
β
,
R
3
=
u
3
β
−
R
2
v
2
β
, (1.48)
R
4
=
u
4
β
−
R
3
v
2
+ R
2
v
3
β
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Sustituindo essas express˜oes em (1.38) e fazendo θ = 2π, e usando (1.46), obtemos os
valores focais.
Para um foco m´ultiplo, o primeiro valor focal ´e zero, d
(0) = 0. O segundo valor focal
´e tamb´em zero, d

(0) = 2α
2
= 0, pelo Lema 1.3.3.
Observe que este fato pode ser provado tamb´em pela seguinte rela¸c˜ao:
d

(0) = 2α
2
= 2
2π
0
R
2
(θ) dθ. (1.49)
O integrando da rela¸c˜ao equa¸c˜ao acima ´e uma fun¸c˜ao peri´odica ´ımpar de per´ıodo 2π.
Portanto a integral se anula.
Para o terceiro valor focal de um foco m´ultiplo temos,
d

(0) = 3!α
3
= 6
2π
0
[2R
2
(θ)u
2
(θ) + R
3
(θ)] dθ. (1.50)
Usando as express˜oes para R
2
(θ) e R
3
(θ), em termos dos polinˆomios P
2
, Q
2
, P
3
, Q
3
e
escrevendo esses polinˆomios (de segundo e de terceiro graus respectivamente) na forma
P
2
(x, y) = a
20
x
2
+ a
11
xy + a
02
y
2
,
P
3
(x, y) = a
30
x
3
+ a
21
x
2
y + a
12
xy
2
+ a
03
y
3
,
Q
2
(x, y) = b
20
x
2
+ b
11
xy + b
02
y
2
, (1.51)
Q
3
(x, y) = b
30
x
3
+ b
21
x
2
y + b
12
xy
2
+ b
03
y
3
,
Usando as equa¸c˜oes acima, podemos resolver a seguinte integral
2π
0
[2R
2
(θ)u
2
(θ) + R
3
(θ)] dθ. (1.52)
Assim, obtemos uma express˜ao para α
3
,
α
3
=
π
4β
[3(a
30
+ b
03
) + (a
12
+ b
21
)] −
−
π
4β
2
[2(a
20
b
20
− a
02
ba
02
) − a
11
(a
02
+ a
20
) + b
11
(b
02
+ b
20
)] (1.53)
Se α
3
= 0,
l
3
= d

(0) = 6α
3
(1.54)
´e o n´umero de Lyapunov.
19
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Teorema 1.4.1. O foco O(0, 0) do sistema (1.7) ´e
(i) est´avel para α
3
< 0,
(i) inst´avel para α
3
> 0.
Demonstra¸c˜ao: O resultado segue pelo Lema 1.3.4 e pela express˜ao (1.53).
Se α
3
= 0 podemos determinar o estado de equil´ıbrio (com n´umero imagin´arios puros)
considerando α
5
(pois, se α
3
, ent˜ao pelo Lema 1.3.3, α
4
= 0, tamb´em). Se α
5
= 0,
consideremos α
7
e assim por diante. Uma discuss˜ao sobre o c´alculo de α
5
e α
7
pode ser
encontrada em [5].
A express˜ao (1.53) foi obtida para um sistema na forma canˆonica (1.7). O seguinte
resultado generaliza do c´alculo do n´umero de Lyapunov para um sistema na forma geral
dx
dt
= ax + by + P
2
(x, y) + P
3
(x, y) + . . .
dy
dt
= cx + dy + Q
2
(x, y) + Q
3
(x, y) + . . .
(1.55)
onde P
2
, P
3
, Q
2
, Q
3
s˜ao expressas por (1.51).
Desde que O(0, 0) ´e um foco m´ultiplo, temos:
a + d = 0,
∆ = ad − bc > 0. (1.56)
Os n´umeros caracter´ısticos do foco O s˜ao ±βi, onde
β =
√
∆ = +
√
ad − bc. (1.57)
A express˜ao para α
3
em termos dos coeficientes do sistema (1.55) pode ser encontrada
utilizando a transforma¸c˜ao,
= x,
η = −
a
β
x −
b
β
y. (1.58)
20
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
no sistema (1.55) reduzindo para forma canˆonica:
d
dt
= −βη +
P
2
(, η) + P
3
(, η) + . . .
dη
dt
= β +
Q
2
(, η) + Q
3
(, η) + . . .
(1.59)
Expressando α
3
de (1.53) em termos dos coeficientes do sistema (1.59) e reescrevendo
com os coeficientes do sistema original (1.55), encontramos
α
3
= −
π
4bβ
3
{[ac(a
2
11
+ a
11
b
02
+ a
02
b
11
) + ab(b
2
11
+ a
20
b
11
+ a
11
b
20
) +
+ c
2
(a
11
a
02
+ 2a
02
b
02
) − 2ac(b
2
02
− a
20
a
02
) − 2ab(a
2
20
− b
20
b
02
) −
− b
2
(2a
20
b
20
+ b
11
b
20
) + (bc − 2a
2
)(b
11
b
02
− a
(
11)a
20
)] −
− (a
2
+ bc)[3(cb
03
− ba
30
) + 2a(a
21
+ b
12
) + (ca
12
− bb
21
)]} (1.60)
Observe que (1.60) nos d´a a express˜ao (em termos dos coeficientes do sistema (1.59))
para o valor focal do sistema (1.59) e n˜ao para o sistema original (1.55). Desde que os
sistemas (1.55) e (1.59) s˜ao imagens de cada um pela transfoma¸c˜ao linear n˜ao-singular
(1.58), temos que a estrutura topol´ogica fica invariante pela transforma¸c˜ao.
Assim podemos generalizar o resultado do Teorema (1.4.1) para o sistema (1.55).
1.5 Teorema da Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Nesta se¸c˜ao vamos provar o Teorema da Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf para o caso bidi-
mensional [27].
A bifurca¸c˜ao de ciclos limites de um foco m´ultiplo foi analisada por Andronov em
[2]. Ele mostrou que um sistema pode ter somente um n´umero finito de diferentes bi-
furca¸c˜oes nas vizinhan¸cas de um foco de multiplicidade finita. O Teorema da Bifurca¸c˜ao
de Andronov-Hopf ´e um caso particular encontrado em muitas aplica¸c˜oes, na qual a bi-
furca¸c˜ao do sistema depende de um ´unico parˆametro e ela ocorre na vizinhan¸ca de um
foco de multiplicidade 1, quando o parˆametro ´e variado.
Quando o sistema passa pelo valor de bifurca¸c˜ao do parˆametro, a estabilidade do foco
muda e um ciclo limite ´e criado, ou de outro modo, existindo um ciclo limite ele se contrai
em um foco.
21
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Antes de provar o Teorema da Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf vamos enunciar o seguinte
resultado sobre a bifurca¸c˜ao de ciclos limites de um foco m´ultiplo, provado por Andronov
[2]. A seguinte vers˜ao desse resultado ´e dada em [27].
Teorema 1.5.1 (Bifurca¸c˜ao de Ciclos Limites de um foco m´ultiplo). Se O(0, 0) ´e um foco
de multiplicidade m do sistema dinˆamico (B) de classe k ≥ 2m + 1 ou anal´ıtico, ent˜ao
i) Existe δ > 0 e um > 0 tal que qualquer sistema (
˜
B) que tem uma -vizinhan¸ca com
(B) na norma C
k
, tem no m´aximo m ciclos limites em N
δ
(0) (uma δ-vizinhan¸ca da
origem).
ii) Para qualquer δ > 0 e > 0 existe um ´unico sistema anal´ıtico (
˜
B), que tem uma
-vizinhan¸ca com (B) na norma C
k
e tem exatamente m ciclos limites simples em
N
δ
(0).
Demonstra¸c˜ao:
A demonstra¸c˜ao desse Teorema pode ser encontrada em [2] pp.254-261.
Esse Teorema nos diz que dado um sistema (B), para qualquer sistema que tem uma
-vizinhan¸ca (-pertuba¸c˜ao) com ele na norma C
k
(na topologia C
k
), tem o mesmo com-
portamento qualitativo, ou seja, dizemos que o sistema (B) tem estabilidade estrutural
com um sistema
˜
B suficientemente pr´oximo (-vizinhan¸ca) [2], [27] e [21]. Nesse caso eles
tˆem retratos de fases equivalentes.
Observa¸c˜ao 1.5.1. Dizemos que dois campos vetoriais F e G de classe C
k
(E) onde E ´e
um subconjunto aberto de R
N
, tˆem uma -vizinhan¸ca (-equivalentes) na norma C
k
se
||F (x) − G(x)||
k
< ,
onde
||F ||
k
def
= sup
E
|F (x)| + sup
E
||DF (x)||+ . . . + sup
E
||D
k
F (x)||
com
||D
k
F (x)|| = max
∂
k
F (x)
∂x
j
1
···∂x
j
k
o m´aximo tomando quando j
1
··· , j
k
= 1, ··· , n.
22
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Considere o sistema dinˆamico que depende do parˆametro λ.
dx
dt
= a(λ)x + b(λ)y + φ(x, y, λ) = P (x, y, λ)
dy
dt
= c(λ)x + d(λ)y + ψ(x, y, λ) = Q(x, y, λ)
(C
λ
)
Vamos analisar a bifurca¸c˜ao desse sistema pela varia¸c˜ao do parˆametro λ, na vizinha¸ca
do ponto de equil´ıbrio (0, 0), quando O ´e um foco de multiplicidade 1.
Vamos assumir, sem perda de generalidade, que o parˆametro de bifurca¸c˜ao ´e λ = 0.
Seja,
σ(λ) = a(λ) + d(λ) (1.61)
e
∆(λ) =
a(λ) b(λ)
c(λ) d(λ)
. (1.62)
Ent˜ao
σ(0) = 0
∆(0) > 0. (1.63)
Para estabelecer a estabilidade do foco m´ultiplo O(0, 0) do sistema (C
0
), vamos aplicar
a transformar¸c˜ao linear n˜ao singular
= x,
η = −
a(0)
∆(0)
x −
b(0)
∆(0)
y. (1.64)
Reduzindo o sistema (C
0
) para a forma canˆonica
d
dt
= −
∆(0)η +
φ(, η)
dη
dt
=
∆(0) +
ψ(, η)
(1.65)
como (1.64) ´e uma transforma¸c˜ao n˜ao-singular, O(0, 0) ´e tamb´em um foco de multiplici-
dade 1 para o sistema (1.65) e portanto sua estabilidade n˜ao muda pela transforma¸c˜ao.
23
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
O terceiro valor focal do foco O(0, 0) de (1.65) n˜ao se anula e ´e o n´umero de Lyapunov
para o foco O(0, 0).
Usando o s´ımbolo l
3
= 6α
3
para este valor conforme (1.41), obtemos uma express˜ao
para o n´umero de Lyapunov para o sistema (1.65) dada pela equa¸c˜ao (1.60) em termos
dos coeficientes originais do sistema (C
0
).
Seja Ω uma vizinhan¸ca suficientemente pr´oxima do ponto O(0, 0) limitada por um
ciclo Γ, tal que n˜ao contenha as trajet´orias fechadas do sistema (C
0
) ou outro ponto de
equil´ıbrio que n˜ao seja O(0, 0)
Considere δ
0
> 0, suficientemente pequeno, tal que para qualquer sistema (C
λ
) com
|λ| < δ
0
, tenhamos as seguintes propriedades:
(a) a curva Γ ´e um ciclo sem contato com o sistema;
(b) (C
λ
) n˜ao tem outro ponto de equil´ıbrio al´em de O(0, 0) em Ω;
(c) O ponto O(0, 0) ´e um foco do sistema (C
λ
);
(d) (C
λ
) tem pelo menos uma trajet´oria fechada em Ω.
A validade das condi¸c˜oes (a), (b) e (c) para δ
0
suficientemente pequeno s˜ao ´obvias.
A condi¸c˜ao (d) ´e satifeita, pois O(0, 0) ´e um foco de multiplicidade 1 do sistema (C
0
)
e por constru¸c˜ao o sistema (C
λ
) tem uma δ
0
-vizinhan¸ca com o sistema (C
0
). Portanto,
pelo Teorema 1.5.1, (C
λ
) tem no m´aximo um ciclo limite nas vizinha¸cas do foco O(0, 0),
ou seja em Ω.
Pela Condi¸c˜ao (a), as trajet´orias de todos os sistemas(C
λ
) com (|λ| < δ) simultanea-
mente cruzam a curva Γ quando t → +∞, de dentro para fora ou de fora para dentro da
regi˜ao Ω.
Suponha que σ(λ) muda de sinal quando o sistema passa pelo valor de bifurca¸c˜ao no
parˆametro λ = 0, ou seja, o foco muda de estabilidade.
Esta condi¸c˜ao ´e satisfeita se
σ
(0) =
dσ(λ)
dλ
λ=0
= 0 (1.66)
Observa¸c˜ao 1.5.2. A condi¸c˜ao (1.66) ´e chamada de transversalidade.
Assim podemos enunciar o seguinte resultado:
24
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Teorema 1.5.2 (Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf). Se l
3
= 0 ent˜ao a Bifurca¸c˜ao de Andronov-
Hopf ocorre na origem do sistema (C
λ
) no parˆametro σ(0) = 0 e temos:
i) Se l
3
< 0 ent˜ao (C
λ
) tem um ´unico ciclo est´avel para σ(λ) > 0 e nenhum ciclo para
σ(λ) ≤ 0.
ii) Se l
3
> 0 ent˜ao (C
λ
) tem um ´unico ciclo inst´avel para σ(λ) < 0 e nenhum ciclo para
σ(λ) ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao:
Sabendo que o parˆametro de bifurca¸c˜ao do sistema (C
λ
) ocorre em λ = 0 e supondo
que a fun¸c˜ao σ(λ) muda de sinal de menos para mais. Com isso, se (σ
(0) = 0) temos os
seguintes resultados para a fun¸c˜ao σ(λ).
i) fun¸c˜ao crescente (σ
(0) > 0),
ii) fun¸c˜ao decrescente (σ
(0) < 0).
Pelo Teorema 1.5.1 (C
λ
) tem no m´aximo um ciclo limite e se ele existir ser´a simples,
ou seja, est´avel ou inst´avel.
Pelo Teorema (1.4.1) mostramos que se α
3
< 0 temos um foco est´avel, e se α
3
> 0
temos um foco inst´avel.
Assim, vamos estudar a dinˆamica de (C
λ
) estudando o sinal de α
3
= 0, pois l
3
= 6α
3
.
1) Caso α
3
< 0
Se σ(λ) for uma fun¸c˜ao crescente, temos as seguintes an´alises.
• para λ < 0, σ(λ) < 0, temos um foco est´avel;
• para λ = 0, σ(0) = 0, temos um foco est´avel de multiplicidade 1;
• para λ > 0, σ(λ) > 0, temos um foco inst´avel;
Quando σ(λ) ≤ 0, n˜ao temos ciclo limite.
De fato, se ele existisse n˜ao seria simples (ciclo limite semi-est´avel).
25
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
Para λ ≤ 0, O(0, 0) ´e um foco est´avel. Quando o sistema (C
λ
) cruza o valor de
bifurca¸c˜ao (λ = 0) o foco torna-se inst´avel (σ(λ) > 0) e um ciclo limite est´avel surge no
interior da regi˜ao Ω.
Se variamos λ de positivo para negativo, o ciclo limite est´avel que existe em Ω iria se
contrair no foco O(0, 0) e se anularia em λ = 0 e foco mudaria de estabilidade.
`
A medida
que λ decrescesse o foco permaneceria est´avel e portanto a estrutura topol´ogica em Ω n˜ao
mudaria.
Se σ(λ) ´e uma fun¸c˜ao decrescente, temos as seguintes an´alises:
• para λ < 0, σ(λ) > 0 temos um foco inst´avel;
• para λ = 0, σ(0) = 0 temos um foco est´avel de multiplicidade 1;
• para λ > 0, σ(λ) < 0 temos um foco est´avel;
Assim para σ(λ) > 0 temos um ciclo limite est´avel, pela mesma an´alise anterior.
2) Caso α
3
> 0
Se σ(λ) for uma fun¸c˜ao crescente temos as seguintes an´alises:
• para λ < 0, σ(λ) < 0 temos um foco est´avel;
• para λ = 0, σ(0) = 0 temos um foco inst´avel de multiplicidade 1;
• para λ > 0, σ(λ) > 0 temos um foco inst´avel;
Quando σ(λ) ≥ 0 n˜ao temos ciclos limites. De fato, se ele existisse n˜ao seria simples
(ciclo limite semi-est´avel). A an´alise segue os mesmo procedimento anterior. Para λ < 0,
O(0, 0) ´e um foco est´avel. Quando o sistema (C
λ
) cruza o valor de bifurca¸c˜ao λ = 0 o
sistema tem um ciclo limite inst´avel na regi˜ao Ω.
`
A medida que λ cresce, este ciclo se
contrai no ponto (0, 0), e no valor de bifurca¸c˜ao (λ = 0), ele desaparece e o foco O(0, 0)
torna-se inst´avel. Quanto mais λ cresce, mais o foco O(0, 0) fica inst´avel e a estrutura
topol´ogica do sistema em Ω n˜ao muda.
Se σ(λ) for uma fun¸c˜ao decrescente temos as seguintes an´alises:
• para λ < 0, σ(λ) > 0 temos um foco inst´avel;
26
Cap´ıtulo 1 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
• para λ = 0, σ(0) = 0 e α
3
> 0 temos um foco inst´avel de multiplicidade 1;
• para λ > 0, σ(λ) < 0 temos um foco est´avel;
Pela mesma an´alise anterior temos que para σ(λ) < 0 temos um ciclo limite inst´avel,
e nenhum ciclo para σ(λ) ≥ 0 ou seja, um ciclo limite inst´avel ´e criado quando λ varia de
valores negativo para valores positivos, e desaparece quando λ decresce para para zero.
A an´alise acima mostra que varia¸c˜oes em λ fazem com que o foco mude de estabilidade
se um ciclo limite ´e criado de um foco ou se desaparece, contraindo-se no foco.
Um foco est´avel cria um ciclo limite est´avel, e um foco inst´avel, um ciclo limite inst´avel.
Assim, o foco cria um ciclo limite de mesma estabilidade, e a estabilidade do foco muda
no processo.
Da mesma forma quando um ciclo desaparece (quando ele ´e absorvido pelo foco), o
foco adquire a mesma estabilidade do ciclo antes da absor¸c˜ao.
Esta mudan¸ca no sistema n˜ao se limita apenas a focos de multiplicidade 1, ele ´e
observado se um foco cria ou absorve um ciclo de estabilidade definida, ou seja, n˜ao pode
ser um ciclo semi-est´avel.
Observa¸c˜ao 1.5.3. Podemos classificar a bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf como
i) Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf supercr´ıtica quando l
3
< 0.
ii) Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf subcr´ıtica quando l
3
> 0.
27
Cap´ıtulo 2
Modelo do tipo Li´enard para as
pregas vocais
Neste cap´ıtulo iremos analisar a dinˆamica de um modelo para a oscila¸c˜ao das pregas
vocais durante a produ¸c˜ao da voz (fona¸c˜ao). Estudaremos seus pontos de equil´ıbrio e,
utilizando os resultados do cap´ıtulo 1, iremos analisar o tipo de bifurca¸c˜ao que aparece
no modelo. Os resultados ser˜ao ilustrados com exemplos obtidos por resolu¸c˜ao num´erica
das equa¸c˜oes diferenciais.
2.1 Equa¸c˜ao do Movimento
O modelo para o presente trabalho ´e baseado em [7] e est´a ilustrado na figura 2.1.
Assumimos que as pregas vocais s˜ao sim´etricas, e que o movimento de cada ponto dos
seus tecidos fisiol´ogicos s´o ocorre na dire¸c˜ao horizontal. Assim o movimento ondulat´orio
das pregas vocais, pode ser descrito em termos de uma onda superficial que se propaga
atrav´es dos tecidos da mucosa das pregas na dire¸c˜ao do fluxo de ar, ao longo da glote,
para cima.
Podemos representar esse comportamento ondulat´orio pela equa¸c˜ao unidimensional da
onda
∂
2
ξ
∂t
2
= c
2
∂
2
ξ
∂y
2
, (2.1)
onde ξ(y, t) ´e o deslocamento dos tecidos de seu ponto de repouso, e y a distˆancia vertical
28
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
Figura 2.1: Esquema do modelo para as pregas vocais
do ponto inicial da glote na dire¸c˜ao do fluxo de ar e c ´e a velocidade da onda, ent˜ao a
equa¸c˜ao (2.1) tem uma solu¸c˜ao geral D’Alembert dada por
ξ(y, t) = x(t −
y
c
), (2.2)
onde t ´e o tempo , x(t) = ξ(0, t) ´e o deslocamento do tecido em rela¸c˜ao ao ponto inferior
da glote.
Esta express˜ao ´e expandida em uma s´erie de Taylor no ponto y = 0,
ξ(y, t) = ξ(0, t) −
y
c
∂ξ
∂t
(t,0)
+ . . . (2.3)
e aproximado por termos lineares temos,
ξ(y, t) ≈ x(t) − (
y
c
) ˙x(t). (2.4)
A aproxima¸c˜ao acima ´e v´alida, assumindo que o tempo de atraso τ =
T
c
para a
onda percorrer a altura da glote ´e suficientemente pequena, comparado com o per´ıodo de
29
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
oscila¸c˜ao. De fato, usando dados de [13] para uma frequˆencia de 100 Hz, obtemos um
per´ıodo de 0, 01 s e τ = 0, 003 s com T= 0, 3 cm e c= 100 cm/s.
Vamos considerar um simples caso, onde a separa¸c˜ao das pregas vocais ao longo da
altura da glote ´e constante na posi¸c˜ao de repouso. Neste caso, a ´area da se¸c˜ao glotal a
na altura y ´e dada por
a = 2L(x
0
+ ξ),
onde x
0
´e metade da largura na posi¸c˜ao de equil´ıbrio, e L ´e o comprimento da glote. As
´areas da glote a
1
e a
2
, respectivamente nas posi¸c˜oes y = 0 e y = T , ou seja nos limites
superior e inferior das pregas vocais s˜ao dadas aproximadamente por,
a
1
= 2L(x
0
+ x), (2.5)
a
2
= 2L(x
0
+ x − τ ˙x). (2.6)
Vamos assumir que o fluxo de ar dos pulm˜oes at´e a sa´ıda da glote tem pouca fric¸c˜ao, ´e
estacion´ario e imcompress´ıvel [31]. Sob essas condi¸c˜oes, a equa¸c˜ao de energia de Bernoulli
pode ser usada para descrever o comportamento desse fluxo.
Estas equa¸c˜oes podem ser simplificadas, desconsiderando a press˜ao perdida nos brˆonquios
e na tranqu´eia, e assim supomos que a press˜ao subglotal P
sub
´e constante e igual `a press˜ao
pulmonar P
L
. A press˜ao est´atica na sa´ıda da glote, a press˜ao supraglotal P
sup
, ´e constante
e igual `a press˜ao atmosf´erica P
0
= 0. Estas suposi¸c˜oes, para investigar o mecanismo de
oscila¸c˜ao das pregas vocais, isolada do trato vocal e da influˆencia subglotal, correspondem
a condi¸c˜oes de [8].
Considerando que a ´area da traqu´eia ´e maior que a ´area da glote, e de acordo com a
equa¸c˜ao de Bernoulli, a diferen¸ca de press˜ao entre P
L
na sa´ıda da traqu´eia, e de P
2
no
limite superior das pregas vocais ´e dado por
P
L
− P
2
=
ρu
2
2a
2
2
, (2.7)
onde ρ ´e a densidade do ar, e u ´e a velocidade do volume de fluxo de ar na regi˜ao glotal.
Na sa´ıda da glote temos que P
2
≈ P
0
= 0, pois devido a uma abrupta expans˜ao da ´area,
o fluxo se separa nas paredes da glote formando um jato de ar, perdendo quase toda a
30
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
sua energia por turbulˆencia [11]. Assim,
P
L
=
ρu
2
2a
2
2
. (2.8)
A press˜ao na glote agindo no ponto inferior das pregas vocais P
inf
´e calculada pela
equa¸c˜ao de Bernoulli como,
P
L
− P
inf
=
ρu
2
2a
2
1
. (2.9)
Por (2.8) e (2.9) temos,
P
inf
= P
L
−
ρu
2
2a
2
1
= P
L
− P
L
a
2
2
a
2
1
= P
L
1 −
a
2
2
a
1
2
. (2.10)
Utilizando as rela¸c˜oes (2.5) e (2.6) temos
P
inf
= P
L
(a
1
+ a
2
)(a
1
− a
2
)
a
2
1
= P
L
(2x
0
+ 2x − τ ˙x)τ ˙x
(x + x
0
)
2
. (2.11)
Para τ suficientemente pequeno obtemos
P
inf
=
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x
. (2.12)
Observe que (2.12), foi encontrada considerando a glote aberta, e portanto o denomi-
nador deve ter a
1
> 0, ou equivalentemente x
0
+ x > 0.
As equa¸c˜oes acima nos permite explicar a oscila¸c˜ao mecˆanica das pregas vocais [13].
Fazendo uma an´alise das equa¸c˜oes (2.5) e (2.6), notamos que quando as pregas vocais se
afastam uma da outra ( ˙x > 0), o canal da glote tem uma forma convergente (a
1
> a
2
).
Neste caso, a redu¸c˜ao da ´area a
2
causa uma press˜ao positiva da glote, conforme (2.10),
31
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
que atua no sentindo de afastar as pregas vocais. Por outro lado, quando as pregas vocais
se aproximam uma da outra ( ˙x < 0), fechando a glote, ocorre uma situa¸c˜ao oposta a
anterior. Neste caso o canal da glote ´e divergente (a
1
< a
2
), e a expans˜ao da ´area a
2
causa uma press˜ao negativa na glote, que atua no sentido de juntar as pregas vocais.
Assim, a press˜ao da glote, sempre atua na mesma dire¸c˜ao do movimento das pregas
vocais (observe que por (2.12) a press˜ao no ponto P
inf
tem o mesmo sinal da velocidade
˙x das pregas vocais), portanto temos uma transferˆencia de energia do fluxo do ar para
as pregas vocais. Quando essa energia ´e suficiente para superar a energia perdida pela
dissipa¸c˜ao ao longo do tecido das pregas vocais, o fenˆomeno da oscila¸c˜ao se inicia.
As propriedades mecˆanicas dos tecidos das pregas vocais analisadas no ponto inferior
da glote, produzem a seguinte equa¸c˜ao do movimento
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx = P
inf
, (2.13)
onde M, K e B s˜ao a massa, coeficiente da mola e coeficiente de amortecimento, repecti-
vamente por unidade de ´area da superf´ıcie m´edia das pregas vocais, e η ´e um coeficiente
fenomenol´ogico n˜ao linear e x ´e o deslocamento na parte inferior das pregas.
A equa¸c˜ao (2.13) apresenta o termo n˜ao linear de amortecimento
B(1 + ηx
2
) ˙x,
em vez do termo linear B ˙x usado por Titze [13] na an´alise de pequenas amplitudes. Este
termo descreve os efeitos n˜ao lineares da aerodinˆamica da glote, viscoelasticidade dos
tecidos e as colis˜oes das pregas vocais, atuando como um um fator que limita a amplitude
da oscila¸c˜ao [30].
Por (2.12) e (2.13), obtemos a equa¸c˜ao do movimento das pregas vocais,
M ¨x + B(1 + ηx
2
) ˙x + Kx =
2P
L
τ ˙x
x
0
+ x
, com x
0
+ x > 0. (2.14)
Observe que que a equa¸c˜ao (2.14) s´o ´e v´alida para os valores tais que x
0
+ x > 0, ou
seja sem colis˜ao.
2.2 Normaliza¸c˜ao do modelo
O modelo (2.14) pode ser normalizado utilizando as seguintes vari´aveis adimensionais:
32
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
u =
x
ζ
,
ν =
t
T
.
(2.15)
onde ζ e T iremos descobrir.
Logo,
˙x =
dx
dt
= ζ
du
dν
dν
dt
¨x =
d
2
x
dt
2
= ζ
d
2
u
dν
2
dν
dt
2
.
(2.16)
Dividindo a equa¸c˜ao (2.14) por M temos
¨x +
B
M
(1 + ηx
2
) ˙x +
K
M
x =
2P
L
τ ˙x
M(x
0
+ x)
. (2.17)
Substituindo as equa¸c˜oes (2.16) na equa¸c˜ao (2.17) obtemos
ζu

V
2
+
B
M
(1 + ηu
2
ζ
2
)ζu
V +
K
M
ζu =
2P
L
τζu
V
M(x
0
+ ζu)
, (2.18)
onde V =
dν
dt
.
Dividindo a equa¸c˜ao (2.18) por ζV
2
temos,
u

+
B
MζV
2
(1 + ηu
2
ζ
2
)ζu
V +
K
MζV
2
ζu =
2P
L
τζu
V
MζV
2
(x
0
+ ζu)
. (2.19)
Simplificando,
u

+
B
MV
(1 + ηu
2
ζ
2
)u
+
K
MV
2
u =
2P
L
τu
MV (x
0
+ ζu)
. (2.20)
Seja,
V =
K
M
. (2.21)
33
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
Por (2.20) e (2.21) temos
u

+
B
√
MK
(1 + ηζ
2
u
2
)u
+ u =
2P
L
τu
√
MK (x
0
+ ζu)
. (2.22)
Reescrevendo (2.22) como
u

+
B
√
MK
(1 + ηζ
2
u
2
)u
+ u =
2P
L
τu
x
0
√
MK
1 +
ζ
x
0
u
. (2.23)
Fazendo ζ = x
0
temos
u

+
B
√
MK
(1 + ηx
2
0
u
2
)u
+ u =
P
L
τu
x
0
√
MK (1 + u)
. (2.24)
Considere os seguintes parˆametros:
α =
B
√
MK
,
β = x
2
0
η,
γ =
2τP
L
x
0
√
MK
.
(2.25)
Substituindo o sistemas de parˆametros (2.25) na equa¸c˜ao (2.24) obtemos a seguinte
equa¸c˜ao normalizada para (2.14)
u

+ α(1 + βu
2
)u
+ u =
γu
1 + u
, com 1 + u > 0, (2.26)
onde
u
=
du
dν
,
u =
x
x
0
,
ν = t
K
M
.
34
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
Considerando
f(u) = α(1 + βu
2
) −
γ
1 + u
, (2.27)
escrevemos (2.26) como
u

+ f (u)u
+ u = 0. (2.28)
A equa¸c˜ao (2.28) ´e uma equa¸c˜ao de Li´enard [27], [34] e [33]. Podemos utilizar a teoria
sobre Sistemas de Li´enard para estudar o comportamento anal´ıtico desta equa¸c˜ao. Neste
trabalho faremos um estudo qualitativo desta equa¸c˜ao.
Fazendo v = u
, obtemos um forma bidimensional da equa¸c˜ao (2.26)
u
= v
v
= −α(1 + βu
2
)v − u +
γv
1 + u
.
(2.29)
O sistema (2.29) s´o ´e v´alido na regi˜ao
Ω = {(u, v); 1 + u > 0}. (2.30)
2.3 Estabilidade da posi¸c˜ao de equil´ıbrio
Nesta se¸c˜ao utilizaremos o Teorema de Grobamn-Hartmann [21], [20], para dar condi¸c˜oes
para que o sistema (2.29) apresente um foco est´avel ou inst´avel na origem.
Teorema 2.3.1. O sistema (2.29) tem um ponto de equil´ıbrio E
0
na origem e este ´e :
i) Um foco est´avel se α ≥ γ,
ii) Um foco inst´avel se α < γ.
Demonstra¸c˜ao:
De fato, pelo sistema (2.29) temos que o ´unico ponto de equil´ıbrio do sistema ocorre
quando (u, v) = (0, 0).
Seja E
0
= (0, 0) a posi¸c˜ao de equil´ıbrio do sistema. Pelo Teorema de Grobmann-
Hartman, podemos estudar o comportamento qualitativo do sistema n˜ao linear (2.29) nas
vizinhan¸cas do ponto E
0
por um sistema linear [21].
35
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
Seja J(u, v) a matrix Jacobiana do sistema (2.29):
J(u, v) =
0 1
−2αβuv − 1 −
γv
(1+u)
2
−α(1 + βu
2
) +
γ
1+u
no ponto E
0
temos,
J(E
0
) =
0 1
−1 −α + γ
.
Calculando a equa¸c˜ao caracter´ıstica de J(E
0
) temos
λ
2
+ (α − γ)λ + 1 = 0. (2.31)
Com as seguintes ra´ızes,
r
1,2
=
−(α − γ) ±
(α − γ)
2
− 4
2
(2.32)
Pela condi¸c˜oes para termos um ponto hiperb´olico [27], temos que:
Por (2.32) se (α ≥ γ) =⇒ E
0
´e um foco est´avel.
Por (2.32) se (α < γ) =⇒ E
0
´e um foco inst´avel.
2.4 Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf para o modelo
Nesta se¸c˜ao iremos analisar o tipo de bifurca¸c˜ao que o sistema (2.29) apresenta, baseados
nos resultados obtidos no cap´ıtulo 1.
A estrutura da dinˆamica do modelo para as pregas vocais pode ser explorado conside-
rando γ como sendo o parˆametro de controle.
Este parˆametro est´a diretamente relacionado a press˜ao pulmonar
γ =
2τP
L
x
0
√
MK
,
36
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
que ´e o principal parˆametro para controle do in´ıcio e fim do processo de fona¸c˜ao, bem
como o grau de intensidade da voz [14]. O sistema (2.29) tem um ´unico ponto de equil´ıbrio
E
0
.
Calculando o determinante da matrix Jacobiana neste ponto obtemos a equa¸c˜ao ca-
racter´ıstica (2.31).
Fazendo
σ(γ) =
γ − α
2
temos que,
σ(α) = 0,
dσ
dγ
=
1
2
= 0.
(2.33)
As condi¸c˜oes (2.33) garantem que o sistema (2.29) tem um par de ra´ızes complexas,
que cruzam o eixo imagin´ario da esquerda para direita `a medida que γ aumenta, cruzando
o valor de bifucar¸c˜ao quando
γ = α.
Portanto, por estas observa¸c˜oes temos o seguinte resultado.
Teorema 2.4.1. O sistema (2.29) apresenta uma Bifucar¸c˜ao de Andronov-Hopf no valor
de parˆametro γ = α:
i) Subcr´ıtica se β < 1,
ii) Supercr´ıtica se β > 1.
Demonstra¸c˜ao:
Pelo Teorema sobre Bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf (1.5.2) temos que o sistema (2.29)
apresenta um bifurca¸c˜ao quando
γ = α.
pelas condi¸c˜oes (2.33).
Seja
g(u, v) = −α(1 + βu
2
)v +
γv
1 + u
, (2.34)
37
Cap´ıtulo 2 Modelo do tipo Li´enard para as pregas vocais
assim podemos escrever o sistema (2.29) como,
u
= v
v
= −u + g(u, v).
(2.35)
Aplicando o desenvolvimento em s´eries de Taylor [32] na equa¸c˜ao (2.34) no ponto
(u, v) = (0, 0) obtemos
g(u, v) = −αuv + (αβ − α)u
2
v − αu
3
v + αu
4
v (2.36)
Substituindo a equa¸c˜ao (2.36) no sistema (2.37) e fazendo γ = α obtemos
u
= v,
v
= −u − αuv + (αβ − α)u
2
v − αu
3
v + αu
4
v.
(2.37)
Assim Calculando o N´umero de Lyapunov l
3
1.60 para o sistema (2.37) temos
l
3
=
3π
2
α(1 − β). (2.38)
Portanto pelo Teorema (1.5.2) e notando que α > 0, temos
• se β < 1 a bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf ´e subcr´ıtica e,
• se β > 1 a bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf ´e supercr´ıtica.
38
Cap´ıtulo 3
An´alise num´erica
Neste cap´ıtulo iremos fazer uma an´alise num´erica do modelo com retratos de fase e dia-
gramas de bifurca¸c˜ao utilizando o pacote MATCONT [4]. Este pacote ´e uma cole¸c˜ao
de algoritmos num´ericos implementados no programa MATLAB, que faz uma an´alise
num´erica sobre bifurca¸c˜oes e ciclos limites em sistemas dinˆamicos.
3.1 Exemplo num´erico
Nessa se¸c˜ao vamos considerar um exemplo num´erico dado por um conjunto de valores
t´ıpicos para um adulto [13], verificando se a equa¸c˜ao do modelo (2.26) produz uma os-
cila¸c˜ao analisando o retrato de fase e do diagrama de bifurca¸c˜ao.
Considere a Tabela abaixo:
Descri¸c˜ao Parˆametros Valores
Metade da largura na posi¸c˜ao de equil´ıbrio x
0
1 mm
Velocidade da onda nas cordas c 100 cm/s
Altura T 3 mm
Massa M 0,476 g/cm
2
Coeficiente de amortecimento B 100 dina s/cm
3
Coeficiente da mola K 200000 dina/cm
3
Tempo de atraso da onda τ 0,003 s
Tabela 3.1: Valores T´ıpicos para um Adulto Ver [13]
39
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
Para um exemplo num´erico considere a press˜ao pulmonar dada por P
L
= 8000 dina/cm
2
[14] e o coeficiente fenomenol´ogico n˜ao linear dada por η = 1000 cm
−2
.
Do sistemas de equa¸c˜oes (2.25) e pelos valores das tabela 3.1 e pelos valores do exemplo
num´erico obtemos os seguintes valores adimensionais
Parˆametros Adimensionais Valores
α 0,32
β 100
γ 0,78
Tabela 3.2: Tabela referente a valores adimensionais
3.1.1 Retrato de Fase
Plotando retrato de fase do sistema (2.29) temos
Figura 3.1: Retrato de fase com α = 0, 32, β = 100 e γ = 0, 78.
40
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
A figura 3.1 mostra as curvas solu¸c˜oes do sistema (2.29) com os parˆametros da tabela
3.2.
A linha tracejada corresponde `a condi¸c˜ao 1 + u = 0, e limita a regi˜ao (2.30) de
validade de (2.29). Nesta condi¸c˜ao as pregas vocais entram em contato e a glote fecha,
interrompendo assim o fluxo de ar. Neste caso dizemos que o modelo apresenta um ponto
singular (−1, 0), pois neste ponto o numerador e o denominador do lado esquerdo da
equa¸c˜ao (2.26) se anulam.
A trajet´oria 1, que se inicia na origem, ´e um caso normal do processo de fona¸c˜ao, pois
no ponto de equ´ıl´ıbrio E
0
= (0, 0) a trajet´oria ´e inst´avel, fazendo com que a oscila¸c˜ao
aumente de amplitude, at´e a forma¸c˜ao de um ciclo limite. As traj´etorias 2, 3, 4 e 5 est˜ao
fora do ciclo limite, mas ainda na bacia de atra¸c˜ao do ciclo limite.
3.1.2 An´alise do ciclo limite
Nesta subse¸c˜ao vamos analisar o ciclo limite e a bifurca¸c˜ao do sistema (2.29).
Considere o diagrama de bifurca¸c˜ao do modelo dado pela figura abaixo:
0.5
1
1.5
2
2.5
3
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
pressão pulmonar (γ)
deslocamento (u)
velocidade (v)
Figura 3.2: Diagrama de bifurca¸c˜ao com α = 0, 32 e β = 100.
41
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
Na figura 3.2 temos uma superf´ıcie de ´orbitas peri´odicas, ou seja, os ciclos limites
gerados na bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf, quando variamos o parˆametro γ com os outros
parˆametros tendo valores t´ıpicos conforme as tabelas 3.1 e 3.2. No modelo, os eixos u e v
representam respectivamente o deslocamento e a velocidade das pregas vocais e o eixo γ
representa um parˆametro associado `a press˜ao pulmonar (γ ≈ 155, 6 P
L
).
Quando γ = α um ciclo limite ´e gerado na origem, crescendo de amplitude. Neste
caso o n´umero de Lyapunov dado pela equa¸c˜ao (2.38) produz,
l
3
= −466, 52 < 0,
que pelo Teorema (2.4.1) nos d´a uma bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf supercr´ıtica.
Podemos analisar a amplitude dos ciclos limites pela proje¸c˜ao da figura 3.2 no plano
u-γ (figura 3.3).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
γ
u
H
Figura 3.3: Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 100.
O ponto H, quando γ = 0, 32, representa o ponto da bifurca¸c˜ao, observe que a ampli-
tude dos ciclos limites cresce com o aumento do parˆametro γ.
Podemos analisar tamb´em a proje¸c˜ao no plano u-v. A figura 3.4 nos fornece os for-
matos dos ciclos limites, obtidos projetando a figura 3.2 no plano u-v, quando variamos
o parˆametro γ (curvas de n´ıvel).
42
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
v
Figura 3.4: Ciclos limites para α = 0, 32 e β = 100.
Analisando no plano v-γ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.5
1
1.5
2
γ
v
H
Figura 3.5: Velocidade do deslocamento para α = 0, 32 e β = 100.
43
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
A figura 3.5 descreve a velocidade do deslocamento das pregas vocais quando variamos
o parˆametro γ, como este parˆametro est´a associado com a press˜ao pulmonar, temos que
quanto maior o valor do parˆametro maior ser´a o movimento vibrat´orio das pregas vocais.
Pela an´alise do diagrama de bifurca¸c˜ao, temos que o modelo produz uma oscila¸c˜ao para
os parˆametros das tabelas 3.1 e 3.2 com uma bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf supercr´ıtica.
3.2 An´alise num´erica para a bifurca¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao vamos analisar a dinˆamica do sistema para diferentes valores do parˆametro
β que est´a associado com metade da posi¸c˜ao de equil´ıbrio da cordas vocais (β = x
0
2
η),
onde η = 1000 cm
−2
, logo x
0
= 0, 001
√
β. J´a o parˆametro α, depende de propriedade
fisiol´ogicas dos tecidos das pregas vocais, tais como, massa e rigidez, e deve ser constante
durante a fala exceto no controle do tom da voz, ou seja, na frequˆencia da oscila¸c˜ao.
3.2.1 Bifurca¸c˜ao supercr´ıtica
Vamos analisar a amplitude dos ciclos limites para os valores de β = 10, 20, 40 e 50.
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
γ
u
H
Figura 3.6: Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 10
44
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
γ
u
H
Figura 3.7: Amplitude dos ciclos limites para α = 0.32 e β = 20.
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
γ
u
H
Figura 3.8: Amplitude dos ciclos limites para α = 0.32 e β = 40.
Quando β > 1 provamos pelo Teorema (2.4.1) que temos uma bifurca¸c˜ao supercr´ıtica.
De fato, pela an´alise num´erica dos gr´aficos para a amplitude dos ciclos limites dados pelas
45
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
γ
u
H
Figura 3.9: Amplitude dos ciclos limites para α = 0.32 e β = 50.
figuras 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, para diferentes valores de β > 1, mostram que amplitude dos
ciclos limites crescem a direita do ponto H (ponto de bifurca¸c˜ao), representando ciclos
limites est´aveis. Observe que o parˆametro β controla a amplitude dos ciclos limites.
Como um exemplo, considere o seguinte retrato de fase com β = 50 dado pela figura
3.10. Comparando com retrato de fase da figura 3.1, observamos que a amplitude do ciclo
limite ´e maior.
Neste retrato de fase a trajet´oria 1 representa o processo de fona¸c˜ao, e as trajet´oria 2,
3, 4 e 5 est˜ao na bacia de atra¸c˜ao do ciclo limite est´avel.
46
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u
v
1
2
3
4
5
Figura 3.10: Retrato de fase com α = 0, 32, β = 50 e γ = 0.78
3.2.2 Bifurca¸c˜ao subcr´ıtica
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
γ
u
v
Figura 3.11: Diagrama de bifurca¸c˜ao com α = 0, 32 e β = 0
47
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
Pelo Teorema (2.4.1), quando β < 1 temos que uma bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf
subcr´ıtica. A figura 3.11 mostra o diagrama de bifurca¸c˜ao para β = 0.
Analisando a amplitude dos ciclos limites no plano u-γ, temos
0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
γ
u
H
Figura 3.12: Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 0.
0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
γ
u
H
Figura 3.13: Amplitude dos ciclos limites para α = 0.32 e β = 0, 5.
48
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
γ
u
H
Figura 3.14: Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 0, 9
Observe que amplitude dos ciclos limites crescem `a esquerda do ponto H, conforme as
figuras 3.12, 3.13 e 3.14. Neste caso temos ciclos limites inst´aveis para qualquer valor de
γ, como vemos pela figura 3.15.
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u
v
Figura 3.15: Retrato de fase para α = 0, 32, β = 0 e γ = 0, 4
49
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
Analisando o plano u-v da figura 3.11 obtemos a forma dos ciclos limites quando β = 0
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.5
0
0.5
1
u
v
Figura 3.16: Ciclos limites para α = 0, 32, β = 0
3.2.3 Bifurca¸c˜ao entre ciclos limites
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
−0.5
0
0.5
1
−0.5
0
0.5
1
1.5
γ
u
v
Figura 3.17: Diagrama de bifurca¸c˜ao com α = 0, 32 e β = 2.
50
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
A figura 3.17 mostra o diagrama de bifurca¸c˜ao para β = 2, pela proje¸c˜ao desta figura
no plano u-γ podemos analisar a amplitude dos ciclos limites, conforme a figura 3.18.
0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
γ
u
H
CF
Figura 3.18: Amplitude dos ciclos limites para α = 0, 32 e β = 2
Observe que a curva que descreve a amplitude dos ciclos limites cresce para direita do
ponto H at´e o ponto CF e depois muda de dire¸c˜ao e retorna para a esquerda de H em
grande amplitude. O ponto desta mudan¸ca de dire¸c˜ao representa uma bifurca¸c˜ao entre
ciclos limites. A parte da curva que cresce para a direita de H representa os ciclos limites
est´aveis, e a parte superior da curvas que crescem para a esquerda de H representa os
ciclo limites inst´aveis.
Assim, para alguns valores de γ, ambos os ciclos limites podem existir. Analisando a
figura 3.17 no plano u-v, temos a figura 3.19.
51
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.5
0
0.5
1
1.5
u
v
2
Γ
1
Figura 3.19: Ciclos limites para α = 0, 32 e β = 2
A regi˜ao 1, interior ao c´ırculo Γ, mostra os ciclos limites est´aveis. A regi˜ao 2, exterior
ao c´ırculo Γ, mostra os ciclos limites inst´aveis quando variamos o parˆametro γ.
0.31 0.312 0.314 0.316 0.318 0.32 0.322 0.324 0.326 0.328 0.33
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
γ
u
H
CF
Figura 3.20: Curva de amplitude de ciclos limites para α = 0, 32 e β = 1.2
52
Cap´ıtulo 3 An´alise num´erica
A figura 3.20 mostra a bifurca¸c˜ao entre ciclos limites para β = 1.2, no ponto CF. Para
os valores de γ entre o ponto H da bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf supercr´ıtica e o ponto
CF, temos ciclos limites est´aveis e inst´aveis.
Para β = 10 (figura 3.6) vimos que os ciclos limites gerados variando γ tˆem uma
amplitude m´axima.
Analisando o retrato de fase com γ = 1.2 temos
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u
v
Figura 3.21: Retrato de fase para α = 0, 32, β = 1, 2 e γ = 1.2
Portanto para γ = 1.2 n˜ao temos ciclo limite e sim um foco inst´avel na origem.
O conjunto de parˆametros que permitem uma bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf subcr´ıtica
est˜ao fora da regi˜ao de validade do modelo como representa¸c˜ao para as pregas vocais,
pois para estes parˆametros n˜ao temos ciclos limites est´aveis, que produzem a oscila¸c˜ao,
e sim ciclos limites inst´aveis. Vimos que para determinados valores de β e γ temos uma
bifurca¸c˜ao entre ciclos limites.
O modelo produz oscila¸c˜ao para os valores dos parˆametros que produzem uma bi-
furca¸c˜ao de Andronov-Hopf supercr´ıtica.
53
Conclus˜ao
Utilizando a Teoria Qualitativa de Sistemas Dinˆamicos n˜ao-lineares fizemos um estudo
te´orico sobre a bifurca¸c˜ao de Andronov-Hopf e aplicamos os resultados ao modelo do tipo
Li´enard para as pregas vocais para descrever o seu comportamento oscilat´orio.
Para parˆametros real´ısticos o modelo fornece uma oscila¸c˜ao, conforme vimos na an´alise
do retrato de fase e nos diagramas de bifurca¸c˜ao. Essa oscila¸c˜ao caracteriza o processo de
fona¸c˜ao.
O modelo ´e mais simples de ser analisado do que em [24] apresentando os mesmos
resultados qualitativos.
Para trabalhos futuros podemos fazer um estudo te´orico sobre a equa¸c˜ao de Li´enard
dada pelo modelo, dando condi¸c˜oes para que tenhamos as solu¸c˜oes per´ıodicas para deter-
minados conjuntos de parˆametros.
54
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57
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