1.3 Primeira e Segunda Formas Quadráticas
O produto interno usual do R
3
⊃ S
1
, induz, em cada plano tangente
T
p
(S
1
) de uma superfície regular S
1
, um produto escalar, que o representa-
remos por ,
p
de uma tal maneira que se tomarmos dois vetores quaisquer
v
1
e v
2
∈ T
p
(S
1
) ⊂ R
3
, o v
1
, v
2
p
é igual do produto interno usual definido em
R
3
. A esse produto interno, que é uma forma bilinear simétrica em T
p
(S
1
),
corresponde uma forma quadrática I
p
: T
p
(S
1
) −→ R
+
, definida por:
I
p
(v) = v , v
p
= | v |
2
≥ 0. (1.1)
Definição 1.3.1. A forma quadrática I
p
em T
p
(S
1
), definida por (1.1), é
chamada a Primeira Forma Fundamental da superfície regular S
1
⊂ R
3
no
ponto p ∈ S
1
.
O que a primeira forma fundamental nos fornece é a maneira de como
a superfície S
1
herda o produto interno do R
3
. Essa métrica herdada pela
superfície S
1
não só enriquece toda a teoria das superfícies mas, também nos
permite fazer medidas de entes matemáticos sobre a superfície tais como, o
comprimento de curvas, o ângulo entre dois vetores tangentes e a área de
regiões limitadas na superfície S
1
. No entanto, não trataremos de tais entes
nesse trabalho. Todavia, atentamos para o fato de que tais medidas são
sempre possíveis de serem calculadas, sem nos preocuparmos com o espaço
onde a superfície habita.
4