f σ e, pois ef ≤ e, f. Como f σ e, e σ s e σ ´e transitiva ent˜ao f σ s e assim, f ∈ σ(s).
Logo, os idempotentes de S est˜ao todos na mesma σ-classe.
Seja s ∈ S tal que σ(s)
2
= σ(s) ent˜ao σ(s
2
) = σ(s). Da´ı, s
2
σs. Logo, existe u ∈ S
tal que u ≤ s
2
e u ≤ s. Assim, usando o Lema 1.1.7 e a Proposi¸c˜ao 1.1.8, temos que
u
−1
u ≤ s
−1
ss. Ent˜ao, existe f ∈ E(S) tal que u
−1
u = fs
−1
ss. Como f, s
−1
s ∈ E(S)
segue que fs
−1
s ∈ E(S) e assim u
−1
u ≤ s. Lembremos que u
−1
u ≤ u
−1
u. Da´ı,
u
−1
u σ s. Ou seja, σ(u
−1
u) = σ(s) e u
−1
u ∈ E(S). Ent˜ao, sejam s, t ∈ S tais que
σ(s)
2
= σ(s) e σ(t)
2
= σ(t). Assim, pelo que foi feito acima existem e, f ∈ E(S) tais
que σ(s) = σ(e) e σ(t) = σ(f). Mas, σ(e) = σ(f). Ent˜ao, σ(s) = σ(t). Logo, S/σ
tem um ´unico idempotente e sendo assim S/σ ´e grupo. ✷
Observa¸c˜ao 1.1.10. (1) Se S ´e um grupo e s ∈ S ent˜ao σ(s) = {s}.
(2) A congruˆencia σ ´e chamada congruˆencia de grupo minimal, visto que se ρ ´e uma
congruˆencia em S tal que S/ρ ´e grupo ent˜ao σ ⊆ ρ (ver [15, Teorema 2.4.1]).
Defini¸c˜ao 1.1.11. Sejam S e T semigrupos inversos e ϕ : S −→ T um homomor-
fismo de semigrupos. O n´ucleo de ϕ ´e definido por Ker(ϕ) = {(a, b) ∈ S × S; ϕ(a) =
ϕ(b)} e a imagem de ϕ ´e definida por Im(ϕ) = {ϕ(s) : s ∈ S}.
Dado ϕ : S −→ T um homomorfismo de semigrupos ent˜ao verifica-se direta-
mente, a partir da defini¸c˜ao, que Ker(ϕ) ´e uma congruˆencia em S e que Im(ϕ) ´e um
subsemigrupo de T . Mais ainda, se ρ = Ker(ϕ) ent˜ao S/ρ ´e um semigrupo com a
opera¸c˜ao ρ(s)ρ(t) = ρ(st) e vale o teorema do homomorfismo, ou seja, S/ρ Im(ϕ)
(ver [15, Teorema 2.3.1]).
Exemplo: Pelo teorema anterior S/σ ´e grupo, onde S ´e um semigrupo inverso.
No in´ıcio dessa se¸c˜ao apresentamos o mon´oide inverso
G. Vamos investigar
G/σ.
Iniciamos definindo a seguinte fun¸c˜ao: ϕ :
G −→ G dada por ϕ(A, g) = g. Note
que ϕ ´e homomorfismo de semigrupos, pois ϕ((A, g)(B, h)) = ϕ(A ∪ gB, gh) =
gh = ϕ(A, g)ϕ(B, h), para todo (A, g), (B, h) ∈
G. Al´em disso, temos que ker(ϕ) =
{((A, g), (B, h)) ∈
G ×
G; ϕ(A, g) = ϕ(B, h)}. Ent˜ao, ((A, g), (B, h)) ∈ ker(ϕ) se,
e somente se, g = h. Mostremos que ker(ϕ) = σ. De fato, seja ((A, g), (B, h)) ∈
ker(ϕ). Ent˜ao g = h. Vamos verificar que (A, g) σ (B, g). Tome (A ∪ B, g) e note
que: (A ∪ B, g) = (A, g)(g
−1
B, 1) e (A ∪ B, g) = (B, g)(g
−1
A, 1). Lembremos que,
(g
−1
A, 1), (g
−1
B, 1) ∈ E(
G). Desse modo, temos que, (A ∪ B, g) ≤ (A, g) e (A ∪
B, g) ≤ (B, g). Logo, (A, g) σ (B, g). Por outro lado, se (A, g) σ (B, h) ent˜ao existe
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