Vamos mostrar que N n˜ao ´e realiz´avel como semigrupo de Weierstrass.
Suponha por contradi¸c˜ao que existe um ponto P pertencente a uma curva
C tal que N = N(P ). Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 5 para cada lacuna l ∈ L(P ),
existe uma diferencial regular em C com ordem l − 1 em P . Assim, C
tem diferenciais quadr´aticas regulares com ordem m − 2 em P para cada
m ∈ L
2
(P ). O que ´e imposs´ıvel pois sabemos pelo Exemplo 8 que L
2
(P ) tem
46 elementos, onde L
2
(P ) ´e o conjunto de todas as somas de 2 lacunas de
N(P ), e a dimens˜ao do espa¸co das diferenciais quadr´aticas regulares Ω
2
(0) ´e
3g − 3, neste caso em que g = 16 a dimens˜ao de Ω
2
(0) ´e 45. Assim N n˜ao ´e
realiz´avel como semigrupo de Weierstrass.
Como a dimens˜ao do espa¸co das n-´esimas diferenciais regulares ´e
(2n − 1)(g − 1), semigrupos que satisfazem #L
n
> (2n − 1)(g − 1) para
algum n ≥ 2 n˜ao s˜ao semigrupos de Weierstrass. Observe que a t´ecnica de
Buchweitz n˜ao se aplica aos semigrupos sim´etricos ou quase-sim´etricos, pois
pelo Proposi¸c˜ao 10 sabemos que #L
n
≤ (2n − 1)(g − 1). O Exemplo 9 nos
mostra para cada gˆenero 16 ≤ g ≤ 37 o n´umero exato de semigrupos que
satisfazem #L
2
> 3g − 3, e pelo argumento acima, sabemos que estes semi-
grupos n˜ao s˜ao semigrupos de Weierstrass.
Os exemplos de semigrupos de gˆenero g tais que #L
n
> (2n − 1)(g − 1),
n ≥ 2, est˜ao listados no s´ıtio http://w3.impa.br/∼ nivaldo/algebra/. Em
particular, os semigrupos de gˆenero 16 e 17 com L
2
> 3g − 3 s˜ao dados no
exemplo a seguir.
Exemplo 11.
(1) Os semigrupos num´ericos N de gˆenero 16 com #L
2
> 45 s˜ao
13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 23 e 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22, 24.
(2) Os semigrupos num´ericos N de gˆenero 17 com #L
2
> 48 s˜ao
13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 24,
13, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 24, 25,
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 25, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 24, 26.
Seguindo a id´eia de Buchweitz, Komeda, em [7], mostrou que existem
semigrupos de gˆenero g com l
g
< 2g − 5 tais que #L
n
> (2n − 1)(g − 1) para
algum n ≥ 2, ou seja, existem fam´ılias de semigrupos que n˜ao s˜ao de Weier-
strass. Por outro lado, Oliveira em [10], mostrou que semigrupos num´ericos
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