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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CONSTRUÇÃO CIVIL
PROJETO E EXECUÇÃO DE LAJES UNIDIRECIONAIS
COM VIGOTAS EM CONCRETO ARMADO
Eng
o
Márcio Cardozo Flório
Orientador: Prof. Dr. Roberto Chust Carvalho
São Carlos
2004
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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária da UFSCar
F638pe
Flório, Márcio Cardozo.
Projeto e execução de lajes unidirecionais com vigotas
em concreto armado / Márcio Cardozo Flório. -- São Carlos :
UFSCar, 2004.
213 p.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2003.
1. Construção civil. 2. Lajes de concreto. 3. Concreto
armado. 4. Concreto pré-moldado. 5. Fissuração. 6.
Fluência. I. Título.
CDD: 690 (20
a
)
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PROJETO E EXECUÇÃO DE LAJES PRÉ-FABRICADAS
UNIDlRECIONAIS COM VIGOTAS EM CONCRETO ARMADO
t
Márc io Cardozo Flório
Dissertaçãode Mestrado defendidae aprovada em08 de dezembrode 2003, pela Banca
Examinadoraconstituídapelosprofessores:
~~~~
ProfDr. Ronaldo arros Gomes, r. (UFG)
(Examinador Externo)
Ao meu pai José Carlos Flório e à minha mãe
Maria Izoldina Cardozo Flório
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus.
Ao Professor Dr. Roberto Chust de Carvalho, pela orientação cuidadosa,
ensinamentos e amizade demonstrada ao longo dos últimos quatro anos.
Aos meus pais José Carlos e Maria Izoldina e minha irmã Priscila pelo
amor, ensinamentos, apoio e honra de tê-los como minha família.
À minha noiva Karen pelo amor e compreensão.
Aos meus avós, tios e primos, em especial ao meu avô Divino Jacinto e
meu tio Geraldo Roberto.
Aos grandes amigos da época de graduação Luciano, Juliano, Rogério,
André, Murilo pela amizade e momentos de descontração.
Aos professores, funcionários e colegas do Mestrado e da Graduação.
À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior) pela bolsa de estudos concedida.
v
SUMARIO
CAPITULO 1 INTRODUÇÃO
1.1 Historio recente........................................................................................... 1
1.2 Objetivos .................................................................................................... 2
1.2.1 Objetivos específicos................................................................................ 2
1.3 Justificativas ............................................................................................... 3
1.4 Metodologia................................................................................................ 5
1.5 Apresentação............................................................................................... 6
1.6 Estudos realizados por outros pesquisadores. ............................................ 7
CAPITULO 2 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE A EXECUÇÃO
DE LAJES PRÉ-FABRICADAS
2.1 Introdução.................................................................................................... 10
2.1 Descrição das lajes nervuradas.................................................................... 10
2.2 Lajes nervuradas pré-fabricadas................................................................. 18
2.2.1 Vigota tipo treliça (VT) .......................................................................... 18
2.2.2 Vigota tipo trilho (VC) ............................................................................ 20
2.2.3 Vigota tipo trilho protendido (VP) .......................................................... 21
2.3 Materiais Empregados................................................................................ 24
vi
2.3.1 Concreto................................................................................................... 24
2.3.1.1 Cobrimento............................................................................................ 25
2.3.2 Material de enchimento............................................................................ 27
2.3.3 Armadura complementar ou adicional..................................................... 29
2.4 Vantagens e desvantagens dos sistemas de lajes com vigotas pré-
fabricadas............................................................................................................ 29
2.5 Montagem e concretagem das lajes no local................................................ 31
2.6 Processo de adensamento de uma peça de concreto.................................... 36
2.6.1 Tipos de vibração..................................................................................... 37
2.6.2 Medida da trabalhabilidade...................................................................... 38
2.7 A cura do concreto...................................................................................... 40
2.7.1 Métodos de cura....................................................................................... 43
2.7.2 O tempo de cura....................................................................................... 44
2.8 Espaçamento entre escoras.......................................................................... 44
CAPITULO 3 MODELOS DE CÁLCULO DE PAVIMENTOS DE
LAJES UNIDIRECIONAIS PRÉ-FABRICADAS
3.1 Introdução.................................................................................................... 48
3.2 Modelo de grelha equivalente.................................................................... 48
3.3 Modelo de grelha equivalente simplificado................................................ 53
3.4 Modelo de viga independente...................................................................... 54
vii
3.5 Modelo de cálculo para consideração da continuidade............................... 59
3.5.1 Esforços solicitantes nas lajes.................................................................. 63
3.5.1.1 Vigas sem continuidade e tabelas para dimensionamento.................... 63
3.5.1.2 Vigas hiperestáticas com modelo linear................................................ 67
3.5.2 Emprego de trecho maciço junto ao apoio............................................... 68
3.5.3 Redistribuição de esforços no apoio central............................................. 70
3.5.3.1 Recomendações da norma brasileira NBR 6118 (2003)....................... 71
3.5.3.2 Recomendações da norma espanhola EF-96......................................... 72
3.5.3.3 Dimensionamento usual........................................................................ 73
3.5.4 Processo de vigas independentes considerando o cálculo não linear....... 74
3.5.4.1 Carregamento incremental.................................................................... 75
3.5.4.2 Determinação da força última no modelo hiperestático com controle
de rotação.......................................................................................................... 76
3.5.4.2.1 Critério da capacidade de rotação das rótulas plásticas..................... 76
3.5.4.2.2 Critério da formação de um mecanismo de colapso........................... 78
3.6 A ação do carregamento nas vigas de contorno.......................................... 79
3.7 Programas existentes................................................................................... 81
CAPITULO 4 DIMENSIONAMENTO EM RELAÇÃO AO ESTADO
LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO E DE CISALHAMENTO
4.1 Introdução.................................................................................................... 83
viii
4.2 Procedimento de cálculo considerando a verificação dos estados limites.. 83
4.3 Dimensionamento no estado limite último de flexão simples..................... 84
4.3.1 Cálculo do valor da armadura.................................................................. 87
4.3.2 Momentos resistentes pela seção da nervura........................................... 89
4.3.2.1 Momento resistente positivo pela seção da nervura.............................. 89
4.3.2.2 Momento fletor resistente negativo na seção nervurada....................... 90
4.3.3 Armadura mínima de flexão em lajes pré-fabricadas............................... 91
4.4 Dimensionamento em relação ao cisalhamento.......................................... 92
4.4.1 Considerações sobre os mecanismos resistentes...................................... 93
4.4.2 Força cortante em lajes............................................................................. 96
4.4.2.1 Lajes sem armadura para força cortante................................................ 96
4.4.2.2 Lajes com armadura para força cortante............................................... 99
4.4.2.2.1 Cálculo da resistência......................................................................... 99
4.4.2.2.2 Modelo de cálculo I............................................................................ 100
4.4.2.2.3 Modelo de cálculo II........................................................................... 103
4.4.3 Força Cortante em lajes pré-fabricadas unidirecionais segundo a Norma
Espanhola........................................................................................................... 104
4.5 Estudo experimental exploratório............................................................... 106
ix
CAPITULO 5 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE
DEFORMAÇÃO EXCESSIVA
5.1 Introdução……..........................................................…………………… 110
5.2 Cálculo das características geométrica (Estádios I e II)………………… 111
5.3 Efeito da fissuração teórico na rigidez…………………………………… 116
5.4 Estudo experimental do efeito da fissuração……………………………... 117
5.4.1 Estudo experimental realizado por FLÓRIO…………………………… 118
5.4.2 Estudo experimental realizado por CAIXETA (1998)…………………. 125
5.4.3 Outros fatores que influenciam na determinação da flecha……………. 128
5.4.3.1 Ensaio de flexão variando-se processos de adensamento……………. 128
5.4.3.2 Ensaio de flexão variando-se o tipo de cura.....................……………. 131
5.4.4 Ensaio com carregamentos uniformemente distribuídos……………….. 133
5.4.5 Conclusões dos ensaios de flexão……………………………………… 134
5.5 Efeito da fluência teórico………………………………………………… 135
5.6 Efeito da fluência experimental…………………………………………... 137
5.6.1 Considerações sobre o ensaio de fluência……………………………… 145
5.7 Deformações limites segundo a NBR 6118/03…….....………………….. 149
5.8 Combinações de ações segundo a NBR 6118/03.....……………………... 151
CAPITULO 6 EXEMPLOS
6.1 Introdução................................................................................................... 153
x
6.2 Exemplo 1: Variação de altura em lajes simplesmente apoiadas................ 153
6.2.1 Resolução item I....................................................................................... 154
6.2.2 Resolução item II..................................................................................... 161
6.3 Exemplo 2: Comparar os resultados das flechas imediatas encontrados no
exemplo 1.......................................................................................................... 163
6.4 Exemplo 3: Consideração de uma parede transversal às nervuras.............. 170
6.5 Exemplo 4: Calculo da armadura de uma nervura de laje pré-fabricada
com dois vãos.................................................................................................... 175
6.6 Exemplo 5: Verificar o estado de deformação excessiva da laje do
exemplo 4.......................................................................................................... 185
6.7 Exemplo 6: Calcular os momentos fletores para as nervuras,
considerando o processo de grelha equivalente simplificado........................... 192
CAPITULO 7 CONCLUSÕES FINAIS, SUGESTÕES
7.1 Introdução.................................................................................................... 197
7.2 Conclusões em relação à questão de execução........................................... 198
7.3 Conclusões em relação às questões de projeto............................................ 199
7.3.1 Modelos de Cálculo.................................................................................. 199
7.3.2 Estado limites últimos de flexão e cisalhamento...................................... 200
7.3.3 Estado limites de deformação excessiva.................................................. 200
7.4 Sugestões para novas pesquisas.................................................................. 201
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
203
xi
ANEXO I
212
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1- Pavimento com forma em planta quadrada solução laje
maciça................................................................................................................
14
FIGURA 2.2- Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada
em uma direção..................................................................................................
15
FIGURA 2.3- Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada
em duas direções................................................................................................ 16
FIGURA 2.4- Seções transversais para utilizarem em um pavimento
quadrado com solução com laje maciça e nervurada em uma direção (cotas
em cm)............................................................................................................... 16
FIGURA 2.5 Seções transversais de lajes nervuradas com as formas e
materiais empregados: a) forma reutilizável; b) blocos de concreto; c) blocos
de concreto celular; d) tijolos cerâmicos furados.............................................. 17
FIGURA 2.6- Laje formada por nervuras pré-moldadas, EL DEBS (2000)..... 17
FIGURA 2.7-Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo treliça.. 19
FIGURA 2.8– Vigotas em treliças e elementos de enchimento utilizados para
confecção de lajes, retirada do site www.puma.com.br.................................... 19
FIGURA 2.9-a)armadura da treliça e b)suas dimensões (www.puma.com.br). 20
FIGURA 2.10 – Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo
trilho................................................................................................................... 21
xii
FIGURA 2.11 – Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo
trilho protendido................................................................................................ 21
FIGURA 2.12 - Laje pré-moldada armada em duas direções, Revista Téchne
68....................................................................................................................... 23
FIGURA 2.13 -Planta de arquitetura e formas de um edifício em que se usou
lajes pré-moldadas bidirecionais (manual da Associação dos Fabricantes de
Laje de São Paulo)............................................................................................. 23
FIGURA 2.14 – Modificações na seção para garantir o cobrimento................ 27
FIGURA 2.15–Lajotas cerâmicas, exemplo de dimensões............................... 28
FIGURA 2.16– Blocos de EPS, a) para lajes unidirecionais, b) para lajes
bidirecionais, (www.puma.com.br)...................................................................
28
FIGURA 2.17- Montagem do painel de laje com nervuras treliçadas, manual
lajes mediterrânea (1992).................................................................................. 32
FIGURA 2.18 – Detalhe da interface com a tubulação elétrica Revista,
Revista Téchne 68............................................................................................ 33
FIGURA 2.19 – Detalhe da interface com a tubulação hidráulica, Revista
Revista Téchne 68............................................................................................ 34
FIGURA 2.20 a)Influência da umidade relativa do ar e b)da temperatura
sobre a perda de água do concreto nas idades iniciais....................................... 42
FIGURA 2.21- Efeito da temperatura do concreto, do ar, umidade relativa e
velocidade dos ventos na evaporação da água na superfície do concreto......... 43
FIGURA 3.1- Forma de pavimento composto por lajes pré-fabricadas e vigas
feito com a utilização do programa CypeCAD................................................. 49
xiii
FIGURA 3.2- Esquema para a utilização do processo de grelha equivalente
para o carregamento da figura 3.1..................................................................... 49
FIGURA 3.3 a)– geometria real da seção da nervura. b) geometria adotada.... 51
FIGURA 3.4 – geometria da viga...................................................................... 52
FIGURA 3.5 – geometria da seção capa........................................................... 52
FIGURA 3.6- Esquema para a utilização do processo de grelha equivalente
simplificado.......................................................................................................
54
FIGURA 3.7 - Pavimento simples, praticamente quadrado e simplesmente
apoiado nos quatro lados utilizado no estudo..................................................
55
FIGURA 3.8. a) laje pré-moldada composta por elementos isolados; b) laje
pré-moldada composta por nervuras mais capa; c) laje de placa maciça.......... 56
FIGURA 3.9- Deformações dos pavimentos considerando vigas
independentes, laje pré-moldada com capa e placa maciça............................... 57
FIGURA 3.10- diagrama do momento fletor.................................................... 58
FIGURA 3.11- Esquema para a utilização do processo de viga independente. 59
FIGURA 3.12 Laje contínua unidirecional, seções submetidas a momento
fletor positivo e negativo. ................................................................................. 60
FIGURA 3.13 Laje contínua unidirecional, diagramas de momento elástico e
com plastificação no apoio central.................................................................... 61
FIGURA 3.14 a) Esquema estrutural de laje isostático e b) Diagrama de
momento fletor de laje isostático....................................................................... 64
xiv
FIGURA 3.15 a) Esquema estrutural de laje hiperestático e b) Diagrama de
momento fletor de laje hiperestático..................................................................
67
FIGURA 3.16 a)Perspectiva da região maciça de concreto. b) Seção
transversal maciça de concreto.......................................................................... 69
FIGURA 3.17 Determinação do trecho maciço................................................ 70
FIGURA 3.18– Diagramas dos momentos de acordo com a norma espanhola
EF-96 (1997)......................................................................................................
73
FIGURA 3.19 – Diagrama carga x deslocamento: 1)desenvolvimento real
2)desenvolvimento por etapas lineares, CARVALHO (1994)..........................
75
FIGURA 3.20 – Determinação da curvatura média a partir dos
deslocamentos, MAGALHÃES (2001)...........................................................
77
FIGURA 3.21 – Critério da formação de um mecanismo de colapso,
MAGALHÃES (2001)....................................................................................... 78
FIGURA 4.1- Esquema para o cálculo da largura colaborante......................... 84
FIGURA 4.2 – Comportamento da seção transversal nos três Estádios de
uma viga de concreto armado na flexão normal simples [MONTOYA, 1978]. 85
FIGURA 4.3 Domínios de deformação no estado limite último em uma
seção transversal segundo a NBR:2003............................................................. 88
FIGURA 4.4 Seção transversal para cálculo do momento fletor negativo
resistente a) LN na mesa b) LN na alma........................................................... 88
FIGURA 4.5 Seção transversal para cálculo do momento fletor negativo
resistente: a)seção real b)seção de cálculo......................................................... 90
xv
FIGURA 4.6 Comportamento de uma viga com fissuração de flexão e
cisalhamento (adptado de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2001))......
94
FIGURA 4.7 Esquema da treliça idealizada por MÖRSCHE para situação
a)com estribos, b)armadura dobrada. Biela de concreto inclinada de 45
0
(modelo I) (adptado de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2001)).......... 95
FIGURA 4.8 Comprimento de ancoragem necessário...................................... 98
FIGURA 4.9– Perímetro (u) a ser empregado na verificação do cisalhamento 106
FIGURA 4.10 – Esquema estrutural da nervura e do carregamento................. 106
FIGURA 5.1 - Seção transversal em forma de “T”a) bruta ou geométrica
sem armadura, b) com armaura......................................................................... 112
FIGURA 5.2 - Seção transversal em forma de “T” no estádio II puro.............. 115
FIGURA 5.3 - Esquema de uma viga submetida à flexão com trechos
funcionando em vários Estádios........................................................................ 116
FIGURA 5.4 - Esquema do ensaio para análise da nervura, capa+vigota, com
vigota de concreto. ............................................................................................ 119
FIGURA 5.5 - Esquema estrutural.................................................................... 120
FIGURA 5.6- Seção transversal medidas em cm.............................................. 133
FIGURA 5.7 Esquema dos protótipos de ROGGE (2000)................................ 138
FIGURA 6.1 Características geométricas da seção........................................... 155
FIGURA 6.2 – Esquema estrutural de uma nervura.......................................... 156
FIGURA 6.3 Esquema dos protótipos............................................................... 163
FIGURA 6.4 Seção transversal medidas em cm............................................... 163
xvi
FIGURA 6.5 Armadura da treliça..................................................................... 172
FIGURA 6.6 Seção transversal adotada para cálculo da laje do exemplo 3..... 175
FIGURA 6.7 Esquema estrutural da laje e principais características das ações
considerando-a elástica e de inércia constante.................................................. 176
FIGURA 6.8-Situação para o cálculo do máximo momento negativo
resistido pela nervura sem considerar região maciça........................................ 178
FIGURA 6.9-Esquema estrutural da laje com seção maciça próxima ao
apoio central....................................................................................................... 180
FIGURA 6.10-Esquema estrutural da laje sem seção maciça próxima ao
apoio central e com momento negativo igual ao máximo resitido pela seção... 181
FIGURA 6.11-Esquema estrutural da laje do problema para três soluções:
dois tramos isostático, contínua com seção do apoio plastificada e com seção
do apoio maciça................................................................................................. 184
FIGURA 6.12-Esquema das seções transversais no tramo para o cálculo das
características geométricas. Seção bruta e com armadura................................. 185
FIGURA 6.13 Planta de forma de pavimento com nervuras pré-moldadas. 192
FIGURA 6.14 Esquema dos nós que compõem a malha da grelha empregada
para determinar os esforços nas nervuras. Os nós 1, 9 e 17 são indeslocáveis
na vertical (fazem o papel dos pilares de apoio) e os nós 103 a 119
correspondem a nervura central e o eixo de simetria da
estrutura.............................................................................................................
193
xvii
LISTA DE TABELAS
TABELA 2.1 – Valores de Momento fletor e flecha para uma viga e uma
placa que compõem um piso de lados iguais a: b e 2b...................................... 12
TABELA 2.2 bitola mínima para o fio do banzo superior, conforme a altura
da treliça............................................................................................................. 20
TABELA 2.3 Correspondência entre a classe de agressividade e cobrimento
nominal para
c
= 5,0 mm (adaptada da NBR 6118/03)...................................
25
TABELA 2.4 Classes de agressividade ambiental.Classe de agressividade..... 26
TABELA 2.5 Correspondência entre a classe de agressividade e cobrimento
nominal para
c
= 5mm (adaptada a NBR 6118/03).........................................
26
TABELA 2.6 - Alturas totais das lajes pré-fabricadas em função das alturas
padronizadas dos elementos de enchimento...................................................... 29
TABELA 2.7 - Fatores de adensamento (extraída de NEVILLE (1982)).........
39
TABELA 3.1 Laje pré-moldada tipo trilho – apoio simples – intereixo de 33
cm, vãos livres máximos (metros).....................................................................
65
Tabela 3.2 Valores máximos (m) de vãos para lajes simplesmente apoiadas
com altura de 12 cm (capa de 4 cm); ruptura e deformação excessiva
atendidas............................................................................................................ 66
TABELA 3.3 Exemplos estudados e porcentual de cargas transferida para as
vigas secundarias............................................................................................... 80
TABELA 4.1 Taxas mínimas de armadura de flexão para viga
........................................................................................................................... 92
TABELA 4.2 Dados das nervuras ensaiadas.................................................... 107
xviii
TABELA 4.3 Protótipos e respectivas cargas de ruptura................................. 108
TABELA 5.1 Características geométricas de seções transversais em “T”, no
estádio I, sem considerar a presença da armadura........................................
113
TABELA 5.2 Características geométricas de seções transversais em “T”, no
estádio I, com armadura longitudinal A
s........................................................................................
113
TABELA 5.3 Características geométricas e mecânicas dos protótipos............ 121
TABELA 5.4 Nomenclatura dos protótipos do ensaio de adensamento........... 129
TABELA 5.5 Nomenclatura dos protótipos do ensaio de cura......................... 132
TABELA 5.6 Flecha imediata dos protótipos e flecha teórica (f
ck
= 20MPa)... 134
TABELA 5.7 Valores do coeficiente de fluência.............................................. 136
TABELA 5.8 Determinação de ξ de acordo com t...........................................
137
TABELA 5.9 Dados e características geométricas. Protótipos com vão 4 m 139
TABELA 5.10 Valores médios de flechas, temperatura e umidade do
protótipo piloto.................................................................................................. 140
TABELA 5.11 - Valores de flechas, umidade e temperatura ambientes dos
protótipos........................................................................................................... 141
TABELA 5.12 - Comparação entre as lajes A e B............................................ 146
TABELA 5.13- Comparação entre as lajes C, D e E........................................ 147
TABELA 5.14 - Limites para deslocamento ................................................... 150
TABELA 5.15 - Combinações de serviço e valores do coeficiente γ
f2....................
152
TABELA 6.1 Flecha para diferentes combinações........................................... 159
xix
TABELA 6.2 Flechas para diferentes alturas de laje........................................ 161
TABELA 6.3 Verificação de Flechas para diferentes alturas de laje................ 162
TABELA 6.4- Dados e características geométricas. Protótipos com vão 4 m.. 164
TABELA 6.5 - Flecha imediata e após 200 dias dos protótipos....................... 164
TABELA 6.6 Características geométricas da seção do exemplo 1 h=11cm..... 165
TABELA 6.7 Expressões para valores característicos segundo as normas de
1980 (adaptada) e 2003...................................................................................... 166
TABELA 6.8 Flecha imediata de pesos próprio da laje com h=11 cm nas
versões da NBR6118(1980) e NBR6118(2003)................................................ 168
TABELA 6.9-Momentos Fletores e armaduras positiva e negativa para as
diversas situações da laje...................................................................................
183
TABELA 6.10 Características geométricas para o estádio II puro para seção
do tramos da laje nas diversas situações............................................................ 187
TABELA 6.11 condição de aceitabilidade sensorial......................................... 189
TABELA 6.12 Valores dos máximos momentos positivos e negativos em
cada nervura....................................................................................................... 195
LISTA DE GRAFICOS
GRÁFICO 5.1 - Carga aplicada x flecha para as nervuras A e C(f
cj
43 MPa),
armadura (A
s
): 2 φ 4,2 mm; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h
f
) de 4,5 cm;
altura (h)11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)....................................... 122
xx
GRÁFICO 5.2 - Carga aplicada x flecha para as nervuras B e E (f
cj
48 MPa),
armadura (A
s
): 2 φ 6,0 mm; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h
f
) de 4,5 cm;
altura (h) 11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)......................................
123
GRÁFICO 5.3 - Carga aplicada x flecha para as nervuras D e F (f
cj
40 MPa,
armadura (A
s
): 3 φ 6,0 mm; comprimento: 3,0 m; capa de concreto (h
f
) de
4,5 cm; altura (h) 11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)......................... 123
GRÁFICO 5.4- Carga aplicada x flecha para as nervuras G e H (f
cj
40 MPa,
armadura (A
s
): 3 φ 6,0 mm; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
)de
3,0cm; altura (h)14 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)..............................
124
GRÁFICO 5.5 – Carga aplicada x flecha para as nervuras 121 e 122 (f
cj
27,31 MPa, armadura (A
s
): 0,756 cm
2
; comprimento: 3,0 m; capa de
concreto (h
f
) de 4,0cm; altura (h) 12 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)... 126
GRÁFICO 5.6 - Carga aplicada x flecha para as nervuras 161 e 162 (f
cj
17,82 MPa), armadura (A
s
): 0,899 cm
2
; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h
f
)
de 4,0cm; altura (h) 16 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)........................
127
GRÁFICO 5.7 - Carga aplicada x flecha para a nervura 202 (f
cj
18,8 MPa),
armadura (A
s
): 0,746 cm
2
; vão (L): 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 4,0cm;
altura (h) 20cm; ensaio: Flexão armadura positiva).......................................... 127
GRÁFICO 5.8 - Carga aplicada x flecha para a nervura VI - 01 (armadura
(A
s
): 0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com
f
cj
de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em
nervura submetida a vibração por imersão)....................................................... 129
xxi
GRÁFICO 5.9 - Carga aplicada x flecha para a nervura VS - 06 (armadura
(A
s
): 0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com
f
cj
de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva
submetida a vibração superficial).....................................................................
129
GRÁFICO 5.10 - Carga aplicada x flecha para a nervura NV - 07 (armadura
(A
s
): 0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com
f
cj
de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva
submetida ao adensamento manual)................................................................. 130
GRÁFICO 5.11 - Carga aplicada x flecha para as nervuras submetidas a
diferentes processos de adensamento................................................................ 131
GRÁFICO 5.12 - Carga aplicada x flecha para a nervura NC - 02 (armadura
(A
s
): 0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com
f
cj
de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em
nervura não submetida a cura por recobrimento).............................................. 132
GRÁFICO 5.13 - Carga aplicada x flecha para a nervura NC - 02 (armadura
(A
s
): 0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com
f
cj
de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em
nervura submetida a cura por recobrimento).....................................................
132
GRÁFICO 5.14 - Valores da flecha ao longo do tempo do protótipo piloto..... 139
GRÁFICO 5.15- Valores das flechas ao longo do tempo dos protótipos.......... 142
GRÁFICO 5.16- Comparação dos resultados experimentais da laje piloto
com os valores teóricos da NBR 6118 (1999) com mesma expressão da
versão 2003....................................................................................................... 143
GRÁFICO 5.17- Comparação dos valores experimentais das lajes A e B com
os valores teóricos da NBR 6118...................................................................... 144
xxii
GRÁFICO 5.18 - Comparação dos valores experimentais das lajes C, D e E
com os valores teóricos da NBR 6118.............................................................. 145
GRÁFICO 5.19 - Variação da flecha no tempo – Laje A................................. 148
GRÁFICO 6.1-Deslocamentos do tramo 1 para as diversas situações da laje.
Cálculo executado com a inércia da seção bruta............................................... 188
GRÁFICO 6.2- Deformação do pavimento com deslocamentos dos pontos
em m. Pode-se perceber a menor deformação que ocorre na região das três
vigas e como as longarinas apoiadas nos pilares ou próximas deles tem
menor deformação............................................................................................ 193
GRÁFICO 6.3- Deformação das diversas nervuras. As laterais esquerda e
esquerda 1 são respectivamente a nervura apoiada nos pilares calculada no
modelo de grelha e com viga independente (deformação praticamente igual).
A nervura intermediária correspondente a formada pelos nós 52 a 68 (ver fig.
14 ) e finalmente a nervura central é a formada pelos nós 103 q 119, ou seja
a que apresenta a maior deformação................................................................ 194
GRÁFICO 6.4 Variação do momento fletor negativo de cada nervura. O
valor do momento vai diminuindo em módulo conforme a nervura fica mais
próxima do centro da laje.................................................................................
194
GRÁFICO 6.5- Variação do momento fletor positivo de cada nervura. O
valor do momento vai aumentando em módulo conforme a nervura fica mais
próxima do centro da laje................................................................................. 195
GRÁFICO 6.6- Diagrama de momento fletor positivo da nervura isolada
(apoios indeslocaveis), intermediária e central................................................. 196
xxiii
LISTA DE FOTOGRAFIAS
FOTOGRAFIA 2.1-Tipo treliça (VT), (www.puma.com.br)........................... 18
FOTOGRAFIA 2.2 - Tipo trilho (VC), ( www.puma.com.br)........................ 20
FOTOGRAFIA 2.3- Concretagem da capa de concreto.................................... 35
FOTOGRAFIA 4.1– Ensaio de cisalhamento com pórtico, macaco,
dinamômetro e nervura isolada.......................................................................... 107
FOTOGRAFIA 4.2 – Vista lateral do ensaio. Os protótipos não ensaiados
eram armazenadas em baixo do pórtico...................................................... 107
FOTOGRAFIA 4.3 –fissura na lateral da nervura após o colapso, trincas a
um ângulo próximo de 45
o
................................................................................
108
FOTOGRAFIA 4.4 - Face lateral da nervura após o colapso, trincas a um
ângulo próximo de 45
o
...................................................................................... 108
FOTOGRAFIA 4.5 –fissura na lateral da nervura após o colapso, carga a 35
cm do apoio, inclinação de trincas é menor que 45
o
...................................... 109
FOTOGRAFIA 4.6 - fissura na lateral da nervura após o colapso, concreto
junto ao apoio se soltou. Inclinação das trincas menor que 45
o
........................ 109
FOTOGRAFIA 4.7 – Aparecimento da fissura na face inferior da nervura..... 109
FOTOGRAFIA 4.8- Face inferior da nervura, a fissura (ou trinca) ocorre
inclusive na mesa............................................................................................... 109
FOTOGRAFIA 5.1 - defletômetro mecânico.................................................... 119
FOTOGRAFIA 5.2 - nível de precisão.............................................................. 119
xxiv
FOTOGRAFIA 5.3 Anel dinamométrico.......................................................... 120
FOTOGRAFIA 5.4 - ensaio de compressão para obtenção do f
cj
..................... 121
FOTOGRAFIA 5.5 - corpo de prova após ensaio de compressão.................... 121
xxv
RESUMO
FLÓRIO, M. C. Projeto e execução de lajes unidirecionais com vigotas pré-moldadas
em concreto armado. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal de São Carlos. São
Carlos, SP. 2003.
Neste trabalho é apresentada toda a metodologia para o projeto e a execução
de lajes pré-moldadas com nervuras unidirecionais, que são um dos elementos construtivos
mais utilizados em edificações de pequeno porte no país, abordando temas relacionados
desde detalhes construtivos assim como o cálculo no estado limite de deformação
excessiva.
São discutidos detalhes construtivos como a escolha do concreto com
resistência adequada, técnicas de cura e adensamento, ensaios necessários no canteiro,
lançamento do concreto, cuidados na confecção de formas, distancia mínima entre escoras
para diferentes tipos de vigotas, utilização de contra flecha. Em relação ao
dimensionamento tem-se a consideração da fissuração e da fluência no estado limite de
deformação excessiva e estado limite ultimo de flexão e cisalhamento. São feitas ainda
considerações a respeito da continuidade, paredes apoiadas diretamente sobre a laje.
Preocupou-se em adequar todas as teorias de cálculo e técnicas já conhecidas e empregadas
em larga escala. Estão incluídas neste trabalho as especificações normativas referentes à
NBR 6118/03 que acaba de entrar em vigor.
Os resultados apresentados foram realizados, em sua maioria, pelo Grupo de
Estudo de Sistemas Estruturais em Concreto da UFSCar do qual faz parte o autor dessa
dissertação e envolveram uma serie de experimentos relacionados à deformação de lajes
pré-moldados considerando os fenômenos de fluência e fissuração do concreto.
xxvi
ABSTRACT
FLÓRIO, M. C. Design and construction of concrete pre-cast slabs with unidirectional
ribs. Master Thesis. Universidade Federal de São Carlos. São Carlos, SP. 2003.
This work presents design and executive procedures for pre-cast slabs with
unidirectional ribs, which are one of the most used construction elements for small
buildings in the country, discussing aspects related to constructive details and both to limit
state and service limit design procedures.
Many construction details are discussed, such as choice of adequate concrete
strength, placement, consolidation and cure of concrete, materials quality assurance tests,
formwork, minimum distance between supports to different kinds of joists, camber details
and others. Regarding the design procedure, there is study about the consideration of
cracking and creep in the deflections service state design and also about shear and flexure
reinforcement limit state design. Considerations related to panel continuity and walls
directly supported by the slab were taken into account. Special care was taken during the
work in other to try to suit design theories to construction techniques already known and
used in large scale. Recommendations included in the new concrete code NBR 6118
(2003) were also analyzed.
The tests presented were performed mainly by “Grupo de Estudos de
Sistemas Estruturais em Concreto da UFSCar” in which the author belongs in, including a
series of tests to measure deflections in pre-cast slab taking in account the creep and
cracking phenomena.
Key Worlds: slab, reinforced concrete, joist, pre-cast, cracking, creep.
INTRODUÇÃO
1.1 Histórico Recente
O Grupo de Estudo de Estruturas de Concreto da UFSCar denominava o
sistema estrutural que trata este trabalho de lajes com vigotas parcialmente pré-
moldadas, porém a Norma NBR14859 (2002) passou a chamar este mesmo sistema
simplesmente de lajes pré-fabricadas. Assim, procura-se neste texto usar esta
nomenclatura.
O uso de lajes pré-fabricadas tem se intensificado nos últimos anos. O
que era, em princípio, uma solução adotada para edificações de pequeno e médio porte
se tornou viável em grandes obras como prédios de diversos andares, edificações de
grandes vãos e até mesmo pontes. Grande parte desse aumento no uso ocorreu pela
entrada no mercado de duas grandes siderúrgicas que fabricam treliças metálicas para
laje com vigotas treliçadas.
Assim após as dissertações de mestrado pioneiras de DiPietro (1993),
Bocchi (1995) e Gaspar (1997), seguiram-se os trabalhos de Lima (1997), Caixeta
(1998), Droppa Junior (1999), Magalhães (2001) e mais recentemente Pereira (2002). O
Grupo de Estudo de Estruturas de Concreto da UFSCar, do qual fazem parte o autor e
seu orientador, já realizou cerca de oito trabalhos de iniciação científica com
financiamento da FAPESP e CAPES.
Destacam-se também alguns trabalhos realizados a partir de convênios
entre empresas e universidades como os de FRANCA (1997), EL DEBS e DROPPA
1
1
Capitulo 1 – Introdução
___________________________________________________________________________________
2
JÚNIOR (1999). Somado a todos estes trabalhos o Comitê CB18 editou as Normas que
regulamentam a fabricação de lajes pré-fabricadas (NBR14859; NBR14859-2; NBR
14860-1; NBR14860-2; NBR14862) no ano de 2002. Logo em seguida, no ano de 2003,
concluiu-se e publicou-se o texto final da NBR6118 (2003) que altera diversos
dispositivos do cálculo de lajes com vigotas pré-fabricadas.
Também no período destes últimos cinco anos junto com as tabelas para
escolha de laje existentes (ver MEDITERRÂNEA (1992) e MESQUITA (1999))
surgiram outras tabelas publicadas em catálogos da BELGO (2003) e KNIJNIK (2003)
além de diversos programas automáticos (MULTIPLUS (1996), DROPA JUNIOR
(2003), GERDAU(2003) e TQS (2003)) que disponibilizam ferramentas para o uso em
projeto de pavimentos com lajes de vigotas pré-fabricadas.
1.2 Objetivos
O objetivo principal deste trabalho é apresentar estudos dos principais
tópicos de conhecimento necessários aos engenheiros que atuam no mercado para
desenvolver projetos e construir pisos com lajes pré-fabricadas unidirecionais.
Para tanto além do estudo das questões construtivas elegeu-se os tópicos
de dimensionamento no Estado Limite Último à flexão e ao cisalhamento e a
verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva destes pavimentos, baseados em
normas e em resultados experimentais, como os temas a se desenvolver.
Para realizar o objetivo principal divide-se o trabalho em diversas partes
que se tornam objetivos específicos listados no subitem seguinte.
1.2.1 Objetivos específicos
Como objetivos específicos pode-se listar os seguintes:
Estudo de aspectos construtivos que interferem no funcionamento das lajes
Avaliação da consideração da fissuração em deformações imediatas com o
emprego da expressão de Branson (1968);
Capitulo 1 – Introdução
___________________________________________________________________________________
3
Avaliação das deformações de longo prazo devidas à fluência;
Fornecer recomendações de processos de cálculo de solicitações para o sistema
de lajes unidirecionais.
Fornecer recomendações de projeto para o dimensionamento ao cisalhamento
considerando a atuação de paredes diretamente apoiadas sobre lajes;
Todos estes tópicos acabam sendo descritos ao longo do trabalho de
maneira concatenada formando um roteiro de projeto.
1.3 Justificativas
Quanto à importância do sistema estrutural em questão (lajes com vigotas
pré-fabricadas) pode-se citar como válidos ainda, alguns aspectos levantados no
relatório da pesquisa de CARVALHO R. C.(2000):
Há um grande déficit habitacional do país, havendo a necessidade de se
aumentar a velocidade da construção de unidades habitacionais.
O custo de edificações térreas é elevado, pois o preço dos lotes em áreas urbanas
é muito alto tornando necessário, para barateamento das unidades, a construção
de edificações pelo menos assobradadas.
Grande parte da população não tem condições econômicas para comprar
imóveis, tornando necessário minimizar o custo destes empregando, se for
preciso, o único bem de que dispõem: a força de trabalho (o uso de auto-
construções).
A falta de recursos para investimento no setor, principalmente para a
capitalização em maquinários de grande porte (para lançamentos etc.) que inibe
o uso de sistemas muito sofisticados de pré-fabricação.
O surgimento em cidades de pequeno e médio porte da região (Matão, Franca,
Jaboticabal) e em outras partes do país de cooperativas que empregam mão de
Capitulo 1 – Introdução
___________________________________________________________________________________
4
obra não qualificada, ou seja, a dos próprios cooperados que em regime de
mutirão executam as unidades.
A existência de fábricas de lajes pré-fabricadas em quase todas as cidades de
médio porte no estado de São Paulo.
Acrescenta-se às justificativas anteriores o emprego deste tipo de solução
a obras de maior envergadura tais como prédios altos ou até pontes na medida que o
custo da forma tem onerado demais outras soluções.
Os sistemas estruturais que utilizam lajes de nervuras pré-fabricadas se
enquadram naqueles que combinam o uso da fabricação em série, sob condições
controladas (emprego de técnicas de confecção adequadas), sem que seja preciso a
utilização de equipamentos sofisticados e mão de obra especializada. Suas principais
vantagens, que fazem com que seu custo seja inferior a outros sistemas, são: dispensam
o uso de fôrmas das lajes, são de fácil manuseio e montagem (podem ter seus elementos
transportados com o uso de força humana e máquinas primitivas, como cordas e
roldanas etc.), em quase todas as cidades existem fábricas de lajes pré-fabricadas e, se
bem dimensionados e executados, apresentam desempenho compatível com as
necessidades previstas e com segurança.
Não obstante o aumento de pesquisas do tema, assim como as
publicações a respeito ainda não houve uma sistematização capaz de proporcionar aos
projetistas sem experiência no assunto desenvolverem toda a potencialidade deste tipo
de estrutura.
O formato da seção transversal da nervura (um ¨T¨) leva, na maioria das
vezes, para elementos contínuos, ao emprego de um cálculo não linear. Isto se dá na
medida que a resistência à flexão de uma seção ¨ é muito menor a momentos
negativos (em módulo, geralmente, maiores que os positivos nas estruturas contínuas).
Poucos são os profissionais familiarizados com este tipo de cálculo que apresenta
também dificuldades no cálculo de flechas no estado limite de deformação excessiva.
Outra característica deste sistema é que para pequenas alturas de lajes em
sistemas unidirecionais a fissuração do concreto é muito importante, ou seja, a condição
Capitulo 1 – Introdução
___________________________________________________________________________________
5
determinante de projeto pode ser a do estado limite de deformação que precisará
empregar cálculo considerando fissuração e fluência do concreto, também não tão
presente no dia a dia dos engenheiros.
Finalmente é preciso mostrar que para situações mais simples de
pequenos vãos e alturas de laje razoáveis o cálculo possa ser feito de maneira mais
simples com ferramentas usuais (até cálculo manual).
Assim, espera-se que este trabalho possa ajudar os projetistas a aproveitar
todo o potencial do sistema estrutural de lajes com nervuras pré-fabricadas usando
corretamente as normas em vigor e ferramentas disponíveis, obtendo inclusive
informações sobre experimentos realizados no Brasil.
1.4 Metodologia
Inicialmente foi realizada uma revisão bibliográfica, permitindo a
obtenção de informações disponíveis na literatura técnica sobre o tema. A partir dessa
revisão foi desenvolvida a parte teórica deste trabalho que conta também com uma parte
experimental, estas partes estão relacionadas através de comparações de resultados que
deram o embasamento necessário para as recomendações contidas neste trabalho.
Os trabalhos, na sua maior parte, foram realizados nos laboratórios de
Materiais e de Sistemas Construtivos do Departamento de Engenharia Civil da UFSCar,
e consistiam em ensaiar nervuras confeccionadas a partir de vigotas pré-fabricadas e
faixas de lajes submetidas a diversos tipos de carregamentos, cujas intensidades foram
registradas com os respectivos deslocamentos. Esses deslocamentos foram comparados
aos resultados teóricos através da elaboração de gráficos, o mesmo sendo feito com os
valores de ensaios obtidos a partir de outros autores.
São analisados os principais métodos e modelos de cálculo, descrevendo-
se a hipótese de cada um deles; a partir disso são feitos os exemplos para finalmente
apresentar-se sugestões e conclusões.
Capitulo 1 – Introdução
___________________________________________________________________________________
1.5 Apresentação
Este trabalho está dividido em 7 capítulos, apresentando-se a seguir,
sucintamente o conteúdo de cada um deles.
O capítulo 1 apresenta além de um histórico recente, os objetivos, as
justificativas, a metodologia do trabalho e uma breve descrição de estudos realizados
por outros autores sobre o sistema de lajes pré-fabricadas unidirecionais.
No capitulo 2 são apresentados considerações gerais sobre a execução de
lajes com vigotas pré-fabricadas mostrando as questões relacionadas à execução e
escolha de materiais.
No capítulo 3 são apresentados modelos de cálculo de pavimentos de
lajes com vigotas pré-fabricadas, como o modelo de grelha equivalente, grelha
equivalente simplifica, de viga independente, viga independente considerando a
continuidade, as ações do carregamento nas vigas de contorno e citação dos diversos
programas existentes para dimensionamento e verificação dessas lajes.
No capitulo 4 é apresentado o dimensionamento no Estado Limite Último
em relação à flexão e ao cisalhamento e o estudo experimental relacionado a esse efeito
(cisalhamento).
No capitulo 5 é apresentada a verificação do Estado Limite de
Deformação Excessiva, o estudo experimental relacionado a essa verificação.
No capitulo 6 é apresentada uma série de exemplos numéricos
relacionados aos capítulos anteriores que servem de roteiro para engenheiros que
projetam lajes.
As conclusões e os comentários finais deste trabalho são apresentados no
capítulo 7.
Capitulo 1 – Introdução
___________________________________________________________________________________
7
1.6 Estudos realizados por outros pesquisadores.
Apresenta-se neste item de forma sucinta os estudos realizados por outros
autores sobre o sistema de lajes pré-fabricadas unidirecionais. Para o levantamento
destes dados realizou-se pesquisas junto às bibliotecas da Universidade Federal de São
Carlos, da Universidade de São Paulo e na INTERNET nos domínios da ABCP e do
IBRACON através da consulta de seus bancos de dados com a utilização das palavras
chaves aqui apresentadas.
As informações referenciadas mais antigas sobre as lajes pré-fabricadas
no Brasil podem ser encontradas em MEDITERRÂNEA. (1992 e 1993) em que a
empresa MEDITERRÂNEA PRÉ-FABRICADOS DE CONCRETO através de manual
e boletim técnico apresenta uma série de informações sobre o sistema de lajes pré-
fabricadas com armadura em treliça, incluindo na publicação tabelas para
dimensionamento de armadura longitudinal das nervuras para sistemas simplesmente
apoiados, porém sem considerar a fissuração dos elementos. Em relação às lajotas
compostas por trilhos só foi possível encontrar folhetos de propaganda de empresas
comerciais que já não trabalham mais no mercado e que da mesma forma que as
publicações da MEDITERRÂNEA apresentavam tabelas para identificação de altura
para as lajes em função de vão e sobrecarga empregada.
DI PIETRO (1993) abordou em sua dissertação de mestrado a tecnologia
de execução de lajes pré-fabricadas com vigotas de concreto analisando inclusive a
questão de custo. Abordou também a fabricação, comentando as questões de qualidade e
industrialização não tendo focado seu trabalho na parte de cálculo.
BOCCHI JR. (1995) apresentou dissertação sobre lajes nervuradas de
concreto armado comparando através de um exemplo numérico as pré-moldadas (pré-
fabricadas) com as moldadas no local, mostrando que o custo das pré-moldadas é bem
inferior. Enfatiza em seu trabalho que o caminhamento correto, desde o projeto até a
execução das lajes é fundamental para o bom desempenho das mesmas, de maneira
segura e econômica. Além disso analisou as principais recomendações da norma de
concreto da época NBR6118 (1980). Finalmente nos exemplos numéricos apresentou o
detalhamento das armaduras de flexão.
Capitulo 1 – Introdução
___________________________________________________________________________________
8
GASPAR (1997), apresenta trabalho de dissertação que analisa
fundamentalmente, de forma experimental e teórica, o aspecto de execução de lajes pré-
fabricadas com vigotas treliçadas. Estuda na verdade a questão do escoramento
mostrando como pode ser definido o espaçamento entre as escoras. Este assunto é
retomado por EL DEBS & DROPPA JÚNIOR (1999) e FORTE et Alli (2000). Assim
como o trabalho de GASPAR os dois últimos tiveram caráter experimental mostrando
uma tendência em se desenvolver experimentos para caracterizar melhor o sistema.
Dentro deste raciocínio CAIXETA (1998) apresentou dissertação de mestrado
ensaiando quatro nervuras (com vigotas treliçadas) submetidas à flexão simples
tentando caracterizar de forma mais real o comportamento das mesmas. Mostrou a
necessidade de se considerar o efeito da fissuração e mostra que a armadura diagonal da
treliça de aço que não tem banzo superior ancorado acima da linha neutra praticamente
não tem tensão atuante a não ser quando se aproxima do colapso da mesma. Ressalta
também a necessidade da introdução de contra-flecha nas nervuras em virtude da baixa
rigidez alcançada pelas mesmas.
LIMA (1999) em sua dissertação apresentou estudo experimental de lajes
nervuradas porem concretadas no local, em que usou armaduras treliçadas. DROPPA
JUNIOR (1999), na dissertação de mestrado abordou com ênfase a análise estrutural de
lajes pré-moldadas formadas por vigotas treliçadas considerando a fissuração do
concreto. Esta análise foi realizada mediante o modelo de grelha, considerando a não-
linearidade do concreto armado utilizando-se a relação momento x curvatura e
carregamento incremental. Testou o modelo comparando os resultados teóricos com os
de vigas simplesmente apoiadas ensaiadas na Escola de Engenharia de São Carlos.
Analisou em seguida sistemas contínuos e lajes bi-direcionais. Este trabalho junto com
outros do Grupo de São Carlos abriu caminho para a pesquisa de outros temas tais como
redistribuição do momento negativo em sistemas contínuos. Da associação destes dois
pesquisadores DROPPA JUNIOR e EL DEBS resultou a publicação de diversos artigos
técnicos sobre o assunto como pode ser encontrado na bibliografia.
MAGALHÃES (2001) em sua dissertação de mestrado aborda a
continuidade estrutural de lajes pré-fabricadas estudando o valor dos momentos fletores
negativos nos apoios destas lajes. Fez análises teórico experimentais. Na análise teórica,
Capitulo 1 – Introdução
___________________________________________________________________________________
9
a consideração da não-linearidade física do concreto é realizada a partir do uso da
relação momento curvatura proposta pelo código modelo CEB-90 em conjunto com a
técnica do carregamento incremental. Os resultados do modelo teórico são confrontados
com os resultados obtidos em ensaios experimentais de faixas de lajes contínuas
dimensionadas com diferentes graus de redistribuição dos momentos fletores negativos.
Estudo similar foi desenvolvido por FURLAN JUNIOR et alli (2000) com o trabalho:
“Lajes pré-moldadas de concreto: a consideração da plastificação nos valores dos
momentos negativos em elementos hiperestáticos e seus efeitos no dimensionamento do
pavimento”. Finalmente MERLIN (2002) (já havia participado do trabalho de
FURLAN) abordou de forma teórica, em sua dissertação os momentos fletores
negativos nos apoios de lajes formadas por vigotas de concreto, neste caso com trilhos
protendidos.
PEREIRA (2002) em sua dissertação de mestrado faz um estudo
experimental de emendas em vigotas treliçadas. Aborda também práticas de usuários do
sistema de lajes pré-fabricadas trazendo uma série de informações importantes sobre
questões de patologia obtidas através de levantamento junto a fabricantes de lajes.
Além destes trabalhos o Grupo da UFSCar desenvolveu alguns estudos
experimentais exploratórios e diversos estudos teóricos visando, em princípio, as lajes
pré-fabricadas unidirecioanis tais como o de MESQUITA et alli (1999) em que
basicamente corrigia as tabelas apresentadas pela MEDITERRÂNEA; SILVA et alli
(2000) que analisou, baseado em valores experimentais o espaçamento de escoras em
lajes pré-moldadas com nervuras do tipo trilho; FLÓRIO et alli (2001) que desenvolveu
estudo experimental exploratório sobre vigotas pré-moldadas e nervuras de concreto
armado para execução de lajes unidirecionais; ROGGE et alli (2000) realizou estudo
experimental da deformação ao longo do tempo de lajes com nervuras pré-moldadas.;
PEIXOTO et alli (2002) estudou os efeitos da vibração mecânica e cura controlada do
concreto no comportamento à flexão de lajes com vigotas pré-moldadas;
BUSCARIOLO et alli (2003) apresentou um estudo experimental do comportamento da
região das mesas de lajes com nervuras parcialmente pré-moldadas: Consideração da
punção.
CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE
A EXECUÇÃO DE LAJES
PRÉ-FABRICADAS
2.1 Introdução
Segundo o item 14.7.7 da NBR 6118 (2003) as “lajes nervuradas são
lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração é
constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte”.
Acrescentando-se ainda que onde o texto da Norma refere-se a nervura pré-moldada,
neste trabalho por vezes é denominado vigota pré-moldada, pois somente parte da
nervura é pré-moldada.
2.1 Descrição das lajes nervuradas
Para ilustrar o uso das lajes nervuradas pré-fabricadas segue-se o
raciocínio descrito nas notas de aulas de CARVALHO e FIGUEIREDO (2001) em que
os autores fazem uma comparação entre o comportamento estrutural de lajes maciças e
nervuradas.
A laje maciça apresenta um comportamento estrutural bastante eficiente,
principalmente, quando se deseja projetar pavimentos com forma, em planta, retangular
2
2
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
____________________________________________________________________________________
11
e com as duas dimensões da mesma ordem de grandeza. Considerando, por exemplo,
um pavimento quadrado em que se projeta uma laje maciça com os lados de dimensões
iguais a “b” e simplesmente apoiada (a rotação nas bordas é suposta livre, não
impedida) em paredes (deslocamentos impedidos na vertical), pode-se, a partir da carga
p (uniformemente distribuída) atuante, calcular o momento e flecha usando a teoria de
placa de pequena espessura, cuja solução é amplamente conhecida. Usando as tabelas
encontradas também em CARVALHO e FIGUEIREDO (2001), os valores do momento
fletor máximo (por metro) e a flecha são dados respectivamente pelas equações 2.1 e
2.2:
m
x
= 0,0441pb
2
Eq. 2.1
a=0,0467
3
4
Eh
pb
Eq. 2.2
Com:
m
x-
valor do momento fletor na direção x por faixa de um metro da laje
p-carga uniformemente distribuída por superfície
b- dimensão da laje em planta
a- valor da flecha da placa
E- módulo de elasticidade do concreto
h- espessura da placa
Considerando que o mesmo piso fosse executado com elementos de
concreto armado da mesma espessura que a placa, porém cada elemento com a largura
de um metro e independente, por exemplo, com elementos pré-moldados, os valores do
momento fletor e flecha podem ser obtidos pela teoria de viga. Assim cada elemento
com largura de um metro, espessura h e valor de vão igual a b terá os valores de
momento e flecha dados pelas equações 2.3 e 2.4
m
v
= 0,125 pb
2
Eq. 2.3
a
v
=0,15625
3
4
Eh
pb
Eq. 2.4
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
____________________________________________________________________________________
12
Com:
m
v
- valor do momento fletor na viga
p- carga uniformemente distribuída por metro na viga
b- valor do vão da viga
a
v
- valor da flecha da viga
h- altura da viga
Como se vê a laje, por ter o comportamento de placa, ou seja, um
elemento que apresenta ações significativas em duas direções, está submetida, a
esforços solicitantes mais baixos que o elemento do tipo viga, embora necessite de
armadura disposta em duas direções. Também o estado de deformação é menor que o da
viga e principalmente o valor da flecha da laje.
Estas vantagens diminuem bastante quando um dos lados do pavimento é
igual a duas vezes o outro. Nesta situação os valores de momento e flecha seriam
(considerando b o valor do menor lado) os apresentados na tabela 2.1.
TABELA 2.1 – Valores de Momento fletor e flecha para uma viga e uma placa que
compõem um piso de lados iguais a: b e 2b
Placa (laje) Viga
MOMENTO m
x
= 0,10 pb
2
m
v
= 0,125 pb
2
FLECHA
a=0,1168
3
4
Eh
pb
a
v
=0,15625
3
4
Eh
pb
Considera-se inclusive que no limite, quando um lado da placa for muito
maior que o outro, o comportamento da mesma passa a ser de uma viga, ou uma laje
armada em uma direção, ou seja, os esforços na menor direção passam a ser
praticamente iguais aos obtidos com o da teoria de viga.
Exatamente pela vantagem da laje maciça apresentar menor deformação
e esforços relativamente pequenos é que durante muito tempo optou-se por projetar
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
____________________________________________________________________________________
13
pisos com este sistema estrutural. A execução dos mesmos também é bastante simples e
rápida depois de montado o tabuleiro de formas. Em relação ao custo elevado da forma,
procura-se fazer projetos, sempre que possível, de edificações com pavimentos tipo, ou
seja, pavimentos com a mesma geometria para poder se usar a mesma forma várias
vezes diminuindo seu custo final.
De qualquer forma para pequenos vãos, pelo menos no estado limite
último, boa parte do concreto da laje maciça pouco contribui na resistência à flexão.
Para que isto fique claro considere-se que a laje quadrada descrita anteriormente tenha
lado de 4 m, espessura de 7 cm, e esteja submetida a uma ação de carga acidental de 2
kN/m
2
. Considerando estes valores chega-se a um momento máximo igual à
m
x
=(0,07x25+2). 4
2
.0,0441=2,646kN.m/m. Considerando um concreto f
ck
=20 MPa, aço
CA50 e altura útil de 5,5 cm e usando o formulário do capítulo 3 do livro de
CARVALHO e FIGUEIREDO (2001) (ou anexo I), obtém-se para valor da distância da
linha neutra e área de aço: respectivamente 0,92 cm e 1,63 cm
2
. O valor da armadura é
pequeno porém é preciso lembrar que na outra direção será necessária a mesma
quantidade de armadura, ou seja, é como se usasse 3,26 cm
2
mas com apenas 9,2 mm de
concreto comprimido.
A partir dos resultados anteriores surge a idéia de considerar nervuras, ou
seja, retirar ou substituir parte da região de concreto abaixo da linha neutra por material
leve. Imaginando a seção indicada na figura 2.2 (usando-se neste caso formas para
evitar o concreto na parte inferior) obtém-se para a seção transversal de uma faixa de
um metro uma área de concreto de 0,0364 m
2
contra 0,07 m
2
da laje maciça (figura 2.1)
e assim um momento de m
v
=(0,0364.25+2) 0,125.4
2
=5,82 kN.m, uma linha neutra de
1,7 cm (menor que a espessura da mesa de 3cm) e armadura de 3,9 cm
2
. Usando a
solução de laje nervurada unidirecional haveria uma economia de concreto, mas com
um ligeiro aumento do consumo da armadura. Na medida que o vão for aumentando ou
então que o pavimento a ser projetado tiver uma relação entre os lados maior que dois o
uso de um sistema nervurado irá se tornar mais interessante sob do ponto de vista
econômico e também por conduzir a um sistema com menor peso próprio.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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1
4
Nas figuras 2.1 e 2.2 são apresentadas as plantas do piso de 4x4m com a
solução em laje maciça e nervurada em uma direção. Para melhorar o funcionamento da
laje nervurada pode-se optar por uma laje nervurada nas duas direções como a mostrada
na figura 2.3 que teria como inconveniente apenas a maior dificuldade na execução das
nervuras.
FIGURA 2.1 Pavimento com forma em planta quadrada solução laje maciça
Portanto a laje nervurada, é um sistema estrutural onde se procura afastar o concreto da
seção transversal da linha neutra aumentado a altura da laje o que proporciona um maior
braço de alavanca, formando um conjunto de nervuras, em uma ou duas direções com
espaçamentos uniformes entre si. Para fins de análise, o sistema pode ser comparado a
uma grelha de barras uniformemente espaçadas.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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5
FIGURA 2.2 Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada em uma
direção
Na discussão feita anteriormente, em que se mostrou a vantagem de uma
laje nervurada em relação à maciça, todo o raciocínio foi desenvolvido em torno do
estado limite último. Na questão da deformação a laje nervurada apresenta, se
considerarmos a peça trabalhando no estádio I (sem fissuração), uma flecha maior.
Assim, de uma maneira geral quando se projeta uma laje nervurada considera-se sempre
uma altura maior que a correspondente maciça para que a inércia final da seção
transversal confira uma flecha adequada. Em outras palavras em um pavimento
quadrado de lado de 4m, no caso de se projetar uma laje maciça usa-se por exemplo
uma espessura final de 7 cm. Para a solução de laje nervurada unidirecional pode-se
usar nervuras espaçadas de, por exemplo, 50 cm, com largura de 8 cm, altura final de 10
cm e altura de capa de 3 cm como indica a figura 2.4.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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6
FIGURA 2.3 Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada em duas
direções
FIGURA 2.4 Seções transversais para utilizar em um pavimento quadrado com
solução com laje maciça e nervurada em uma direção (cotas em cm).
A solução de laje nervurada embora seja mais econômica em relação ao
consumo de concreto do que a laje maciça poderia representar um alto consumo de
fôrmas, necessárias para se fazer o molde de todas as nervuras. Este inconveniente pode
ser superado com a utilização de moldes reaproveitáveis (Figura 2.5.a), materiais de
enchimento que podem ficar incorporados à laje, como os blocos de concreto, concreto
celular e cerâmico (Figura 2.5b, c e d) ou com a utilização de blocos de EPS. Em todos
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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1
7
estes casos persiste, em princípio, a execução de um tablado de madeira para depois ser
colocado sobre ele os materiais de enchimento, armadura e finalmente executar a
concretagem das nervuras. Alem de se evitar as formas nas faces laterais das nervuras e
face inferior da mesa obtém-se, pelo menos nos casos b, c e d da figura 2.5, uma
superfície inferior plana, melhorando o aspecto final de acabamento.
FIGURA 2.5 Seções transversais de lajes nervuradas com as formas e materiais
empregados: a) forma reutilizável; b) blocos de concreto; c) blocos de concreto
celular; d) tijolos cerâmicos furados.
Uma possibilidade para evitar o tablado de madeira é empregar
elementos (vigotas) pré-moldadas, como é mostrado nas figura 2.6.
FIGURA 2.6 Laje formada por nervuras pré-moldadas, EL DEBS (2000)
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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2.2 Lajes nervuradas pré-fabricadas
As lajes com vigotas pré-fabricadas, como o nome já caracteriza, são
sistemas formados por nervuras cujas vigotas (parte da nervura) são pré-moldadas de
concreto armado (trilho ou treliça) espaçadas de maneira uniforme por lajotas
(normalmente cerâmicas ou de outros materiais como o EPS) e cobertas por uma capa
de concreto moldada no local, cuja função é garantir a distribuição dos esforços atuantes
no elemento, aumentar sua resistência à flexão e nivelar o piso. Desse modo a função
da vigota, quando da execução da concretagem da capa, é resistir a ação do seu peso
próprio, das lajotas cerâmicas ou materiais de enchimento, do concreto da capa e dos
equipamentos utilizados para a concretagem (carrinhos ou gericas).
A norma NBR 14859-1 (2002) no item 3.1 define vigotas pré-fabricadas
como elementos estruturais constituídos por concreto estrutural, executadas
industrialmente ou no próprio canteiro de obra, mas fora do local definitivo de
utilização, sob rigorosas condições de controle de qualidade. Parcialmente ou totalmente
envolvida pelo concreto estrutural encontra-se a armadura que irá constituir a armadura
inferior de tração da laje, integrando parcialmente a seção de concreto da nervura
longitudinal. Destacando-se três tipos: treliça, trilho e trilho protendido. Nos itens
seguintes serão definidos e descritos os três tipos de vigotas citados.
2.2.1 Vigota tipo treliça (VT)
A vigota treliçada (foto 2.1) é formada por uma placa (sapata) de
concreto que envolve parcialmente ou total mente a armadura treliçada (conforme NBR
14862 (2002)) e quando for necessário pode ser complementada com armadura passiva
inferior de tração que ficaria totalmente envolvida pelo concreto da nervura. São
utilizadas para compor as lajes treliçadas (LT).
FOTOGRAFIA 2.1 Tipo treliça (VT) (www.puma.com.br)
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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Os parâmetros que definem a laje com vigota treliçada mostrados na
figura 2.7 são os seguintes:
FIGURA 2.7 Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo treliça
a) Altura total da laje (h) .
b) Espessura da capa de concreto (h
c
) .
c) Intereixo de nervuras (i) .
d) Espessura das nervuras (b
w
) .
e) Tipo de material de enchimento (figura 2.8).
f) Altura da vigota (h
e
) .
FIGURA 2.8 Vigotas em treliças e elementos de enchimento utilizados para
confecção de lajes; retirada do site www.puma.com.br.
A armadura treliçada é constituída de um fio de aço no banzo superior,
interligado por dois fios de aço laterais em diagonal (sinusóide) a dois fios de aço no
banzo inferior (Figura 2.9).
A altura da treliça pode variar entre 7 e 25 cm. O passo do sinusóide
normalmente é de 20 cm e a distância entre as duas barras do banzo inferior é
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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20
geralmente igual a 8 cm. Uma das maneiras de se designar as treliças é o código TR
seguido dos seguintes dígitos: um ou dois para representar a altura, e três dígitos para
representar a bitola em mm do banzo superior, sinusóide e banzo inferior,
respectivamente, sem casas decimais.
FIGURA 2.9 a)armadura da treliça e b)suas dimensões(www.puma.com.br)
Desta forma o código TR16856, designa uma treliça de 16 cm de altura,
com 1 fio de 8 mm no banzo superior, sinusóides de 5,0 e dois fios de 6,0 mm no banzo
inferior.A fim de garantir uma rigidez mínima à treliça, a norma prescreve uma bitola
mínima para o fio do banzo superior, conforme a altura da treliça, dada pela tabela 2.2.
TABELA 2.2- bitola mínima para o fio do banzo superior, conforme a altura da
treliça
HT (altura total)
φ
Sup
(diâmetro da barra superior)
8,0 a 11,0 cm 6,0 mm
12,0 a 20,0 cm 7,0 mm
21,0 a 30,0 cm 8,0 mm
2.2.2 Vigota tipo trilho (VC)
É uma vigota de concreto armado com seção usualmente no formato de
um “T” invertido (foto 2.2) com armadura passiva totalmente envolvida pelo concreto,
utilizada para compor as lajes de concreto armado (LC). Sendo os parâmetros que
definem a laje confeccionada com vigotas tipo trilho os mesmos da laje tipo treliça
(figura 2.10).
FOTOGRAFIA 2.2 Tipo trilho (VC)
(www.puma.com.br)
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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21
FIGURA 2.10 Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo trilho
2.2.3 Vigota tipo trilho protendido (VP)
Semelhante à vigota de concreto armado com seção “T” invertido, mas
com armadura ativa pré-tensionada também totalmente envolvida pelo concreto da
vigota, utilizadas para compor as lajes de concreto protendido (LP) (figura 2.11).
FIGURA 2.11 Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo trilho
protendido
A NBR6118/03 (2003) também prescreve que:
A mesa deve ter espessura maior ou igual a 1/15 da distância entre
nervuras e não menor que 3 cm, quando não houver tubulações horizontais.
Existindo tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm, o valor
mínimo absoluto deve ser 4 cm.
A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm e nervuras com
espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão.
Para projeto de lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes
condições:
Para laje com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60 cm,
pode ser dispensada a verificação de flexão da mesa, e para a verificação do
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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22
cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de
laje;
Para laje com espaçamento entre eixos de nervuras entre 60 e 110 cm, exige-se a
verificação de flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao
cisalhamento como vigas, permitindo essa verificação como lajes se o
espaçamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média
das nervuras for maior que 12 cm.
Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maiores que 110
cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas,
respeitando seus limites mínimos de espessura.
O elemento do tipo trilho (foto 2.2), embora tenha rigidez inferior à da
treliça (foto 2.1), só necessita de um conjunto de fôrmas adequadas para ser executado,
o mesmo não ocorre no outro caso em que é preciso, em geral, comprar a armadura
treliçada, sendo, portanto, apropriado para ser empregado em regiões em que a
armadura em forma de treliça não é encontrada ou tem preço não competitivo. O
elemento do tipo trilho pode ser feito com protensão permitindo vencer vãos livres
maiores.
A configuração do sistema com treliças permite a confecção de lajes
nervuradas em uma (figura 2.2) ou em duas direções (figura 2.3 e 2.12). O primeiro
caso, também é chamado de sistema unidirecional, enquanto que o segundo é
denominado por sistema bidirecional. As lajes armadas em duas direções apresentam
um comportamento estrutural mais eficiente que as lajes unidirecionais, pois o
posicionamento de nervuras em duas direções diminui os valores dos esforços e
deslocamentos, diminuindo conseqüentemente a altura da laje e o volume de concreto e
armadura necessários, embora, já ressaltado anteriormente, aumentando as etapas de
execução.
A melhoria do comportamento ao se usar as nervuras nas duas direções é
mais notada se a relação entre os vãos em direções ortogonais não for superior a 2, pois
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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23
caso contrário, seria mais interessante usar o sistema unidirecional com as nervuras na
direção do menor vão. (exemplo de planta de um projeto bidirecional na figura 2.13).
FIGURA 2.12 Laje pré-moldada armada em duas direções, Revista Téchne 68
Embora no sistema unidirecional as nervuras sejam colocadas em uma
única direção, a correspondente ao vão menor, a antiga NBR 6118 (1980) recomenda o
uso de nervuras transversais colocadas com a finalidade de travamento ou distribuição
de cargas lineares atuantes perpendiculares às nervuras principais, mesmo com a
existência destas nervuras transversais o sistema é denominado de unidirecional. Esta
recomendação foi retirada do texto da nova NBR 6118(2003)
FIGURA 2.13 Planta de arquitetura e formas de um edifício em que se usou
lajes pré-moldadas bidirecionais (manual da Associação dos Fabricantes de
Laje de São Paulo).
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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24
2.3 Materiais Empregados
Os elementos constituintes de uma laje pré-moldada são os seguintes:
a) Elemento pré-moldado (já definidos anteriormente);
b) Concreto lançado in-loco para aderência com as nervuras e confecção da capa;
c) Material de enchimento inerte;
d) Armadura complementar.
A seguir são descritas as características desses materiais utilizados na
confecção dessas lajes.
2.3.1 Concreto
O concreto utilizado em estruturas teve, durante muito tempo, como
único parâmetro sua resistência característica, chamada de f
ck
.. Atualmente devido à
preocupação maior com a durabilidade e funcionabilidade da estrutura, passou-se a
preocupar com outros parâmetros do concreto como: seu módulo de elasticidade, E
c
,
seu índice de vazios, e outros pois na realidade o f
ck
pode ser apenas um indicativo do
E
c
. Como exemplo de que o valor do f
ck
é só indicativo tem-se os ensaios realizados por
PEIXOTO (2002), onde se obteve peças de rigidezes à flexão totalmente diferentes
mudando apenas o processo de vibração em protótipos executados com o mesmo
concreto e portanto com mesmo valor f
ck
encontrado nos ensaios de resistência a
compressão.Com isso a tendência, em médio prazo, é especificar um concreto com mais
parâmetros, além da resistência a compressão característica. No momento continua a se
especificar somente este parâmetro, mas garantindo um valor mínimo para o mesmo de
tal forma que, indiretamente se garanta também valores mínimos para outras variáveis
que influem na durabilidade do concreto. A norma NBR 6118(2003) especifica para o
concreto estrutural o valor mínimo de 20 MPa (200 Kgf/cm
2
), devendo ser composto de
cimento, areia grossa, brita 1 e relação água cimento de acordo com o item 7.4.2 da
NBR 6118 (2003) que fornece uma tabela semelhante à tabela 2.3. O diâmetro máximo
do agregado não deve ser superior a 1/3 da espessura da capa.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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25
Tabela 2.3 Correspondência entre classe de agressividade e relação água/cimento
Classe de agressividade (tabela 2.4) Concreto Tipo
I II III IV
CA
0,65 0,60 0,55 0,45
Relação
água/cimentos
em massa
CP
0,60 0,55 0,50 0,45
NOTAS
1 O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na
NBR 12655.
2 CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado.
3 CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.
2.3.1.1 Cobrimento
A durabilidade das estruturas de concreto armado depende da qualidade e
da espessura do concreto de cobrimento das armaduras. Cobrimento mínimo é a menor
distância livre entre uma face da peça e a camada de barras mais próxima dessa face
(inclusive estribos) e tem por finalidade proteger as barras tanto da corrosão como da
ação do fogo. Para isso, além do cobrimento adequado, é importante que o concreto seja
bem compactado.
Um dos itens que mais se diferem entre a antiga NBR 6118/80 e sua
versão atualizada NBR 6118/03 é o referente ao cobrimento. A antiga Norma prescrevia
que as barras da armadura inclusive de distribuição, de montagem e estribos, devem ter
cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu diâmetro, mas não menor que 0,5 cm
para concreto revestido com argamassa de espessura mínima de 1 cm, em lajes no
interior de edifícios.
Já a nova NBR 6118/03 no item 7.4.7.2 prescreve o seguinte sobre o
cobrimento: “deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e que se
constitui num critério de aceitação. Para garantir o cobrimento mínimo (c
min
) o projeto e
a execução devem considerar o cobrimento nominal (c
nom
), que é o cobrimento mínimo
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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26
(c
min
) acrescido da tolerância de execução (
c
). Assim as dimensões das armaduras e os
espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais”, A tabela 2.5 mostra os valores
de c
min
para
c
= 5,0 mm, quando existe um adequado controle de qualidade e rígidos
limites de tolerância de variação de medidas, e este é o caso das vigotas pré-moldadas
pode-se reduzir o valor de
c
para 5,0 mm. A tabela 2.5 mostra a correspondência entre
o cobrimento nominal e a classe de agressividade apresentada na tabela 2.4.
TABELA 2.4 Classes de agressividade ambiental.Classe de agressividade
Agressividade Ambientes para efeito
de projeto
Risco de deterioração
da estrutura
Rural I Fraca
Submersa
Insignificante
II Moderada Urbana 1),2) Pequeno
Marinha 1) III Forte
Industrial 1),2)
Grande
Industrial 1), 3) IV muito forte
Respingos e maré
Elevado
1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para
ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos
residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).
2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de
clima seco com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva
em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.
3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em
indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, industrias químicas.
TABELA 2.5 Correspondência entre a classe de agressividade e cobrimento
nominal para
c
= 5,0 mm (adaptada da NBR 6118/03)
classe de agressividade ambiental (ver tabela 2.4)
I II III IV
(3)
Tipo de Estrutura Componente ou
elemento
Cobrimento nominal (mm)
Laje
(2)
15 20 30 40
Concreto Armado
Viga/Pilar 20 25 35 45
Concreto
Protendido
(1)
Todos 25 30 40 50
(1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre
superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob
tensão.
(2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos
finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado
desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas
pelo item 7.4.7.5 da NBR 6118/03 que prescreve: a) c
nom
φ barra; b) c
nom
φ feixe; c) c
nom
0,5 φ bainha ,
respeitado um cobrimento nominal 15 mm.
(3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de
esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos deve-se ter
cobrimento nominal 45 mm.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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Ou seja de acordo com a nova NBR 6118(2003), o cobrimento para uma
laje pré-moldada localizada em um ambiente urbano classe de agressividade II
(agressividade moderada com pequeno risco de deterioração da estrutura), considerando
uma tolerância de execução (
c
) de 5mm pois trata-se de um elemento pré-moldado
com rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução, seria
de 20 mm, valor que deixa praticamente todas as vigotas pré-moldadas existentes no
mercado fora das especificações da Norma. A adequação obriga os fabricantes de
vigotas a adaptarem seu produto. Essa adaptação não é fácil, pois envolve mudanças nas
características geométricas das peças já que a nova Norma exige um cobrimento de 2,0
cm, valor difícil de ser alcançado em uma peçaa de 3,0 cm onde esta embutida a
armadura (como é o caso das vigotas pré-moldadas), as dimensões das vigotas teriam
que aumentar e com isso os fabricantes de materiais de enchimento também teriam que
modificar as dimensões de seus produtos, garantindo assim o perfeito encaixe entre os
componentes das lajes nervuradas pré-fabricadas (figura 2.14).
FIGURA 2.14 Modificações na seção para garantir o cobrimento
2.3.2 Material de enchimento
O material de enchimento não é considerado um material estrutural no
contexto da laje. A princípio qualquer produto inerte pode ser utilizado para essa
função. Apesar de não ser necessário para a resistência da laje, a boa qualidade deste
material é importante para a segurança durante a fase de montagem e moldagem da laje,
pois os blocos de enchimentos são responsáveis por transferir o peso do concreto ainda
fresco às vigotas que se apóiam sobre as linhas de escora. Assim sendo torna-se
necessário que uma unidade do elemento de enchimento resista a uma carga de 1,0 kN
ou seja o suficiente para suportar esforços de trabalho durante a montagem e
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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concretagem da laje. Para os elementos de enchimento com 7,0 e 8,0 cm de altura,
admite-se a redução desse valor para 0,7 kN.
Durante muito tempo o material de enchimento mais utilizado foi a lajota
cerâmica (figura 2.15). Hoje em dia o uso de EPS (figura 2.16) está se popularizando
devido ao seu baixo peso e a facilidade de recorte para se adaptar a qualquer geometria
dos vazios. O intereixo no caso de lajotas cerâmicas é menor devido à pequena largura
destes blocos.
33,5
31
29,5
30,5
FIGURA 2.15–Lajotas cerâmicas, exemplo de dimensões
FIGURA 2.16– Blocos de EPS, a) para lajes unidirecionais, b) para lajes
bidirecionais, (www.puma.com.br)
Em função das alturas padronizadas dos elementos de enchimento, as
alturas totais das lajes pré-fabricadas estão prescritas na tabela 2.6.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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TABELA 2.6 Alturas totais das lajes pré-fabricadas em função das alturas
padronizadas dos elementos de enchimento
Altura do elemento de
enchimento (h
e
)
Altura total da laje
7,0 10,0 ; 11,0 ;12,0
8,0 11,0 ; 12,0 ; 13,0
10,0 14,0 ; 15,0
12,0 16,0 ; 17,0
16,0 20,0 ; 21,0
20,0 24,0 ; 25,0
24,0 29,0 ; 30,0
29,0 34,0 ; 35,0
2.3.3 Armadura complementar ou adicional
Armadura adicionada na obra, quando dimensionada e disposta de acordo
com o projeto da laje, pode ser:
longitudinal (S
ct
): armadura admissível apenas em lajes treliçadas,
quando da impossibilidade de integrar na sapata de concreto toda a
armadura inferior de tração necessária.
transversal (S
T
): armadura que compõe a armadura das nervuras
transversais.
de distribuição (S
d
): armadura posicionada na capa de concreto nas
direções transversal e longitudinal, quando necessária, para a distribuição
de tensões oriundas de cargas concentradas e para controle de fissuração.
superior de tração (S
st
): armadura disposta sobre os apoios nas
extremidades das vigotas, no mesmo alinhamento das nervuras
longitudinais e posicionada na capa. Proporciona a continuidade das
nervuras longitudinais com o restante da estrutura, o combate à
fissuração e a resistência ao momento fletor negativo.
2.4 Vantagens e desvantagens dos sistemas de lajes pré-moldadas
Em comparação com os sistemas de lajes maciças e lajes nervuradas, as
pré-moldadas apresentam principalmente para edificações de pequeno porte diversas
vantagens, relatadas a seguir.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
____________________________________________________________________________________
3
0
Facilidade de execução
As lajes pré-moldadas são de fácil manuseio e montagem permitindo
dessa maneira serem executadas mesmo por operários pouco preparados e, se bem
dimensionadas e executadas, comportam-se adequadamente e com segurança.
Versatilidade
As lajes com nervuras pré-moldadas são versáteis, pois possibilitam uma
ampla variedade de aplicações, desde construções complexas como pontes, viadutos,
fábricas, até as mais simples como edifícios de apartamentos, edifícios comerciais e
escolares, galpões, residências, etc.
Diminuição de escoramentos e eliminação de fôrmas
A quantidade de escoras necessárias para sua execução é menor do que
seria em lajes maciças similares, pois dependendo da sua altura, as nervuras pré-
moldadas têm rigidez que permite vencer vãos da ordem de 1 m a 2 m e o peso próprio
final deste sistema é menor que o das lajes maciças.
Os blocos de enchimento com dimensões apropriadas se apóiam sobre as
nervuras, formando um plano que serve de fôrma para a concretagem da capa,
dispensando o uso das tradicionais fôrmas de madeira.
Redução de custos da estrutura
A grande quantidade de materiais industrializados (nervuras, elementos
de enchimento e até mesmo o concreto) empregados neste sistema acarreta em uma
pequena perda de materiais, se comparado a um sistema de lajes totalmente moldadas
no local.
O sistema pode apresentar menor volume de concreto e armaduras, entre
todos aqueles que possam ser utilizados para um projeto semelhante, o que representa
uma significativa redução do peso próprio da laje, de modo que as suas vigas de
sustentação podem ter dimensões menores, bem como os pilares e mesmo as fundações.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
____________________________________________________________________________________
31
Desvantagens
Como principais desvantagens apresentadas pelos sistemas de lajes com
vigotas pré-moldadas, podem ser destacadas a dificuldade na execução das instalações
prediais nas lajes com nervuras tipo trilho, os valores dos deslocamentos transversais,
que são bem maiores que os apresentados pelas lajes maciças e o carregamento apenas
em uma direção, no caso de unidirecional, nas vigas de contorno.
2.5 Montagem e concretagem das lajes no local
Durante a montagem das lajes pré-fabricadas a estrutura esta submetida
aos esforços oriundos do peso próprio das vigotas pré-moldadas, dos elementos de
enchimento, dos operários e durante a concretagem também tem que resistir ao peso dos
equipamentos e o peso do concreto que irá formar a capa e o restante da nervura, que
ainda não foi espalhado formando concentrações de carregamento em algumas regiões.
Por não contar com a resistência conferida pela capa há a necessidade em
geral de existir escoramento (cimbramento), permitindo que a laje suporte as cargas. O
valor das distâncias entre escoras é discutido no item 2.8. Essas escoras devem estar
apoiadas sobre base firme, bem contraventadas, permitindo a aplicação de contra-flecha
se for necessário.
A seguir apresenta-se as etapas para a execução de pavimentos de lajes
(figura 2.17):
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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32
FIGURA 2.17- Montagem do painel de laje com nervuras treliçadas, manual lajes
mediterrânea (1992)
1
a
Etapa- nivelamento e acerto do piso que servirá de base para a
execução do escoramento, que normalmente é composto por pontaletes e uma tábua que
é a guia mestre que devem ser colocadas em espelho, exceto nos casos de escoramentos
destinados à nervuras transversais, quando deverão ser posicionados horizontalmente e
pontaleteadas; é nesta etapa que são executadas as contra flechas quando necessárias;
2
a
Etapa- transporte e colocação das nervuras, usando os próprios blocos
de enchimento como gabaritos colocando-os nas extremidades da vigotas, garantindo o
espaçamento entre as mesmas. A colocação das nervuras pode se dar de duas formas:
Apoiadas sobre a estrutura de concreto armado, neste caso as nervuras devem
ser colocadas sobre as fôrmas, após a verificação se estas estão alinhadas,
niveladas, escoradas e já com a armadura colocada e posicionada, as nervuras
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
____________________________________________________________________________________
33
devem penetrar nos apoios pelo menos 5 (cinco) cm, e no máximo até a metade
da largura da viga.
Apoiada diretamente sobre a alvenaria, neste caso as vigotas devem ficar sobre
o respaldo da alvenaria onde deve ser colocada a ferragem formando uma cinta
de solidarização, as nervuras devem penetrar nos apoios pelo menos 5 cm, e no
máximo até a metade da largura da alvenaria e a concretagem da cinta de
solidarização deve ser feito simultaneamente com a execução da capa. É
aconselhável o uso de blocos fechados na última fileira para evitar o consumo
desnecessário de concreto evitando que o concreto entre por seus furos;
3
a
Etapa - após a colocação dos elementos de enchimento (lajotas
cerâmicas, blocos de EPS ou outros) inicia-se a colocação da tubulação elétrica, caixas
de passagem, de acordo com as figuras 2.18 e 2.19;
FIGURA 2.18 – Detalhe da interface com a tubulação elétrica, Téchne 68.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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3
4
FIGURA 2.19 – Detalhe da interface com a tubulação hidráulica, Téchne 68.
4
a
Etapa - colocação das armaduras de distribuição e negativas,
respeitando a indicação do projetista (bitola, quantidade e posição), a armadura
negativa deve ser apoiada e amarrada sobre a armadura de distribuição (esta colocada
transversalmente às vigotas principais), e cuidados especiais devem ser tomados durante
a execução e concretagem para que ela permaneça na posição especificada, próxima à
face superior da capa e respeitando os cobrimentos exigidos;
5
a
Etapa - limpeza da interface entre as nervuras e o concreto a ser
lançado, retirando-se a areia, pó, terra, óleo ou qualquer substância que possa prejudicar
a transferência de cisalhamento pela superfície de contato. Deve ser sempre feito o
umedecimento da interface antes da concretagem;
6
a
Etapa concretagem (foto 2.3) da capa de concreto que deve ser feita
tomando alguns cuidados que podem ser agrupados em três aspectos fundamentais: em
tratamento da interface, adensamento e cura, EL DEBS (2000).
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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3
5
FOTOGRAFIA 2.3- Concretagem da capa de concreto
Os seguintes procedimentos devem ser adotados:
colocar passadiços de madeira para evitar que o material de enchimento se
quebre permitindo o “vazamento” do concreto;
molhar adequadamente parte superior da laje, antes de lançar o concreto;
adensar o concreto suficientemente para que ele penetre nas juntas entre as
vigotas e os elementos de enchimento de acordo com o que será descrito no item
2.6;
efetuar uma boa cura, molhando a superfície da laje de concreto de acordo com
o que será descrito no item 2.7
7
a
Etapa - retirada do escoramento, deve ser feita aproximadamente
após o concreto adquirir resistência suficiente, quando houver múltiplos pavimentos,
o escoramento do piso inferior não deve ser retirado antes do término da laje
superior. É importante verificar se o próximo piso a ser concretado não aplicará no
inferior um carregamento excessivo, através do escoramento que nele se apoiará.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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3
6
2.6 Processo de adensamento de uma peça de concreto
O adensamento em lajes pré-fabricadas deve seguir os mesmos preceitos
que outras estruturas, algumas características como pequena espessura, grande
superfície serão comentados no capítulo 5. Nos próximos parágrafos serão apresentados
de forma resumida alguns conceitos para a boa execução do concreto.
O processo de adensamento de uma peça de concreto consiste
principalmente na eliminação do ar aprisionado nessa peça. Antigamente, para
conseguir isto, utilizava-se o método de golpeamento ou apiloamento da superfície do
concreto para expulsar o ar e forçar as partículas a uma disposição mais compacta. Nos
métodos mais modernos usa-se a vibração, onde as partículas são momentaneamente
separadas, possibilitando seu agrupamento em uma massa compacta. A vibração do
concreto, talvez a etapa mais importante da concretagem, se não for corretamente
aplicada, pode comprometer a futura utilização da estrutura.
O uso da vibração como meio de adensamento tornou possível o uso de
misturas mais secas do que as que devem ser adensadas manualmente. Mesmo misturas
altamente rijas e secas podem ser vibradas, obtendo-se com isso concretos com uma
resistência apropriada com um menor consumo de cimento. Isso representa um menor
custo com materiais, porém deve ser considerado o custo do vibrador e o de fôrmas
mais resistentes. Em relação à mão de obra, embora seja necessário um operário para
comandar o vibrador, a velocidade de lançamento é muito maior se comparada à
vibração manual. Para concretos de granulometria definida, bem dosados, bem
fabricados e corretamente transportados, a vibração mecânica apresenta os seguintes
benefícios:
Maior resistência à compressão e com isso maior resistência à flexão;
Maior densidade, homogeneidade e impermeabilidade;
Maior resistência à ação do tempo;
Maior aderência entre o concreto e os ferros da armadura;
Menores variações de volume;
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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3
7
Maior rapidez e perfeição de execução.
Dentro de um mesmo traço o aumento de resistência à compressão pode
ser atribuído à redução do fator água/cimento. É importante ressaltar também que no
que se refere à qualidade tanto a vibração mecânica como o adensamento manual,
podem resultar num concreto excelente, mas nesse último é mais fácil ocorrerem erros
na execução.
2.6.1 Tipos de vibração
A vibração do concreto, dependendo da consistência e tipo de peça, pode
ser: superficial, interna, externa e mesas vibratórias.
A vibração superficial é utilizada em superfícies horizontais chatas ou de
pouca espessura como as lajes. Nesse processo o vibrador age na superfície do concreto
através de uma placa plana, deixando-o confinado em todas as direções, de modo que a
tendência à segregação é limitada e a vibração pode ser então mais intensa. Esse método
pode também ser aplicado a grandes massas de concreto através do assentamento em
camadas sucessivas com o auxílio de aparelhos especiais
Na vibração interna o aparelho vibrador trabalha mergulhado no concreto
(também chamado de vibrador de imersão), cabendo ao operador mudar constantemente
a sua posição, retirando e introduzindo a agulha com a devida atenção. Essa é a
modalidade mais empregada atualmente na construção civil, podendo ser utilizada na
maior parte das peças de concreto. O vibrador já é muito comum e consta de um
cilindro, denominado agulha, acoplado a um eixo flexível movimentado por um motor.
Nos vibradores internos, o trabalho é executado diretamente no concreto, podendo a
agulha ter um tamanho tão reduzido que mesmo seções fortemente armadas podem ser
vibradas. A metodologia de utilização desse tipo de vibrador será descrita
posteriormente.
A vibração externa age por fora das fôrmas sendo fixado a estas por meio
de um suporte elástico, de modo que são vibradas tanto as fôrmas como o concreto.
Essa modalidade tem ampla aplicação na construção civil nas peças onde não pode ser
usado um vibrador interno como em cortinas, reservatórios e obras especiais de seção
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
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reduzida como tubos de concreto e meios-fios. O principio de um vibrador externo é o
mesmo de um interno, porém utiliza-se vibradores com freqüência entre 3000 e 6000
ciclos por segundo. O lançamento deve ser feito em camadas de espessura adequada
para que assim o ar possa ser expulso de uma maneira completa, o que pode tornar
necessário a mudança na posição do vibrador. No caso de lajes pré-fabricadas pode ser
usada na vibração das vigotas.
As mesas vibratórias possuem o mesmo princípio que o da vibração
externa, ou seja, fôrma e concreto são vibrados em conjunto, sendo, porém a fôrma
adaptada ao vibrador ao invés deste àquela. Funciona com dois eixos girando em
sentidos opostos, de modo que a componente horizontal de vibração pode ser anulada,
liberando a mesa apenas a um movimento harmônico na direção vertical. Para peças
pequenas podem ser utilizados eletroímãs alimentados por corrente alternada. As faixas
de freqüência do eletroímã, bem como a aceleração e amplitude de vibração são
relacionadas através de equações e dependem da mesa e tipo de peça vibrada. A mesa
vibratória constitui uma técnica de adensamento confiável de concreto pré-moldado por
ter a vantagem de oferecer um tratamento uniforme e são utilizadas nas fábricas para
confecção de vigotas de concreto.
Peixoto (2002) mostra, como será visto no capítulo 5, que a prática de
vibração por imersão em lajes pré-fabricadas além de se mostrar viável melhorou as
características de rigidez de protótipos quando comparados a de vibração manual. Os
experimentos com vibração superficial mostraram que nesta situação não houve ganho
significativo nas características de rigidez dos elementos.
2.6.2 Medida da trabalhabilidade
Para caracterizar a relação entre os processos de adensamento e a
trabalhabilidade do concreto fresco, são necessários parâmetros para que esta possa ser
medida. Como não existe um ensaio aceitável que meça diretamente a trabalhabilidade,
foram feitas diversas tentativas de se relacioná-la com alguma grandeza física
facilmente mensurável. Apesar de nenhuma dessas tentativas ser completamente
satisfatória, alguns ensaios apresentaram informações úteis dentro de uma faixa de
variação. Um desses ensaios, bastante usado em canteiro de obras do mundo todo é o
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas
____________________________________________________________________________________
39
Ensaio de Abatimento, que apesar de não medir a trabalhabilidade, é muito útil na
indicação de variações de uniformidade de uma mistura de proporções nominais dadas,
mede basicamente a variação de altura de um volume de concreto retirado de um cone
metálico. O resultado desse ensaio, ou seja, a ordem de grandeza de abatimento, apesar
de não ser unívoca, pode ser relacionada com a trabalhabilidade através da tabela 2.7.
TABELA 2.7 - Fatores de adensamento (extraída de NEVILLE (1982))
Grau de
trabalhabilidade
Abatimento
mm
Aparelho
pequeno
Aparelho
grande
Uso para o qual o concreto é
indicado
Muito baixo 0-25 0,78 0,80 Pavimentos rodoviários vibrados
mecanicamente. No extremo mais
trabalhável desta faixa, o concreto
pode ser adensado, em alguns casos,
com máquinas operadas manualmente.
Baixo 25-50 0,85 0,87 Pavimentos rodoviários vibrados com
equipamentos manuais. No extremo
mais trabalhável desta faixa o
concreto pode ser adensado
manualmente usando agregados
arredondados ou irregulares.
Fundações em concreto massa, sem
vibração ou seções pouco armadas
com vibração.
* Médio 50-100 0,92 0,935 No extremo menos trabalhável destes
concretos, placas planas, adensadas
manualmente, usando-se agregados
britados; Concretos armados e seções
com armadura densa com vibração.
Alto 100-175 0,95 0,96 Seções com armadura densa.
Normalmente não apropriado para
vibração.
* Faixa de trabalhabilidade a ser buscada na execução dos ensaios de campo
Em relação a trabalhabilidade é importante ressaltar que geralmente não
deve ser obtida através do acréscimo de água como pensam muitos profissionais. O que
se percebe nas obras é que existe uma tendência de se acrescentar água na mistura para
tornar o concreto mais trabalhável sem que se preocupe com a perda de resistência e
diminuição do módulo de elasticidade do concreto executado.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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40
2.7 A cura do concreto
A cura é um processo mediante o qual mantém-se o grau de umidade
satisfatório, evitando a evaporação da água da mistura, garantindo ainda uma
temperatura favorável ao concreto durante o processo de hidratação dos materiais
aglomerantes, de modo a se obter um concreto com as qualidades esperadas. A boa cura
ajuda a controlar um dos processos mais importantes que ocorrem nas estruturas de
concreto, a sua retração.
A retração, processo que ocorre durante o endurecimento do concreto,
pode ser notada antes e depois da pega do cimento. A retração plástica, que ocorre antes
da pega do cimento, resulta em fissuras de grandes dimensões. Esta é devida à rápida
evaporação da água, que ocorre quando a superfície do concreto fica exposta ao vento,
ar seco e temperaturas elevadas (exposição direta ao sol). Estas causas têm efeito
cumulativo, podendo resultar em fissuração mais ou menos acentuada, devida à grande
diminuição de volume da pasta, que em condições mais desfavoráveis pode atingir a
ordem de 10 mm/m. Esse fenômeno é ainda agravado pela exsudação do concreto, ou
seja, a tendência da água de se separar dos sólidos ao subir para a superfície.
A retração plástica pode ser evitada, primeiramente, por um cuidadoso
estudo da mistura, onde o acréscimo de materiais finos pode reduzir sensivelmente a
exsudação, por uma imediata proteção da superfície do concreto e finalmente, quando
houver viabilidade econômica, pela revibração do concreto.
Depois da pega do cimento a retração assume características mais
complexas e pode ser dividida em quatro tipos:
Autógena – redução de volume da pasta, gerada pela diminuição
do volume da mistura inicial em relação ao composto resultante.
Hidráulica – devida à perda de água não fixada pelo cimento.
Térmica – devida à contração decorrente da queda de temperatura
verificada após o aumento inicial, causado pelas reações exotérmicas da hidratação do
cimento.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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41
Por carbonatação – devida à formação de carbonato de cálcio por
reação da cal livre com o dióxido de carbono do ar.
Dentre os tipos de retração, essa última pode ser considerada como pouco
significativa por ser muito lenta. A retração autógena tem valor muito pequeno quando
controladas a hidráulica e a térmica. Tem-se então que procurar métodos para amenizar
esses dois processos de retração.
Para controlar a retração hidráulica é suficiente impedir a perda de água
do concreto. A proteção nos primeiros dias fará com que a retração do concreto só
ocorra quando sua resistência já tiver sido aumentada. Já a retração térmica, por
englobar reações químicas do concreto, é mais difícil de ser controlada. Para buscar
métodos que proporcionem uma cura efetiva é preciso entender as duas principais
variáveis que interferem nesse processo: a umidade e a temperatura.
Umidade satisfatória: A perda de água do amassamento do
concreto pode ocorrer por meio da evaporação, da absorção dos agregados, das fôrmas
ou sub-base, que podem reduzir a água a uma quantidade insuficiente para a hidratação
adequada do cimento;
Temperatura: depois de preparado, o concreto passa a endurecer
lentamente em função das reações químicas entre a água e os compostos de anidro do
cimento. Essas reações químicas são exotérmicas e elevam a temperatura, conferindo à
cura e à pega do concreto um aumento de velocidade. Essa elevação da temperatura não
pode ser feita a seco, e sim saturada de umidade, a fim de não impedir a cura pela falta
de água. Concluindo-se que um ambiente quente e úmido permite uma cura e pega mais
rápida e um aumento da resistência do concreto.
A umidade e a temperatura são, portanto, fatores condicionados às
variações atmosféricas, de difícil previsão e controle, que têm uma direta relação com o
grau de hidratação do cimento devido à perda de água. A seguir são apresentados os
resultados obtidos por LERCH apud NEVILLE (1982) (figura 2.20).
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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42
FIGURA 2.20 a)Influência da umidade relativa do ar e b)da temperatura sobre a
perda de água do concreto nas idades iniciais.
Apesar de não levar em conta a geometria da peça, verifica-se nesses dois
gráficos a grande elevação da perda de água com o aumento da temperatura e com a
diminuição da umidade relativa do ar. A combinação desses fatores pode causar uma
grande evaporação d’água e conseqüentemente gerar perdas na resistência e
permeabilidade do concreto. Para uma avaliação dessa combinação pode ser utilizado
um gráfico publicado pelo ACI 308-3 (1986), figura 2.21.
Para a utilização deste gráfico, deve-se entrar com o valor da temperatura
do ar, mover para cima até a umidade relativa, à direita até a temperatura do concreto,
para baixo até a velocidade do vento e finalmente a esquerda onde se lê a taxa de
evaporação aproximada. É importante observar que os exemplos mostrados acima são
simplesmente típicos pois, na realidade, a perda de água depende da relação
área/volume do elemento.
a)
b)
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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43
FIGURA 2.21- Efeito da temperatura do concreto, do ar, umidade relativa e
velocidade dos ventos na evaporação da água na superfície do concreto.
2.7.1 Métodos de cura
Existem dois métodos básicos para se realizar uma boa cura do concreto
e obter uma perfeita hidratação do cimento:
Criação de um ambiente úmido quer por meio de aplicação
contínua ou freqüente de água, por meio de alagamento, molhagem, vapor de água ou
por materiais de recobrimento saturados de água, como manta de algodão, juta, terra,
areia e outros.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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44
Prevenir a perda de água de amassamento por meio de materiais
selantes como folhas de papel ou plásticos impermeabilizantes ou por aplicação de
compostos líquidos para a formação de membranas de cura no concreto recém lançado,
tomando o cuidado para que esses materiais ao secarem, não absorvam a água do
concreto.
2.7.2 O tempo de cura
O tempo de cura corresponde ao período em que o concreto deve ficar
protegido para evitar a evaporação da água necessária para a hidratação do concreto. É
importante lembrar que esse tempo depende da técnica de cura adotada.
A cura inicia-se tão logo o concreto seja adensado, porém sua intensidade
e duração dependem fundamentalmente das condições ambientais e do tipo de cimento.
A Norma Brasileira exige que a proteção se faça nos sete primeiros dias contados do
lançamento. É desejável nos quatorze dias seguintes para se ter garantias contra o
aparecimento de fissuras devidas a retração, porém as exigências econômicas tendem a
restringir esse tempo o máximo possível. Três dias constitui o período mínimo que se
deve proteger o concreto preparado com cimento de alto forno ou com cimento
Portland resistente ao sulfato. Já para os concretos que utilizam cimento de alta
resistência inicial (ARI) o tempo mínimo é de dois dias. Nos ensaios com lajes pré-
fabricadas feitos pelo grupo de São Carlos para agregados típicos da região, os com o
emprego de cimento ARI bastaram 4 ou 5 dias de cura, enquanto que para os com
cimento portland foram necessários quase 10 dias.
Cabe ao engenheiro da obra de posse dos conhecimentos dos conceitos
resumidamente listados nos itens anteriores planejar a melhor cura do concreto do
pavimento executado. Essa etapa é primordial na garantia de condições mínimas de
resistências assim como características elásticas do concreto executado, maiores
detalhes e comentários podem ser vistos no capitulo 5 e no trabalho de Peixoto (2002).
2.8 Espaçamento entre escoras
No sistema de lajes pré-moldadas as próprias vigotas juntamente com o
material de enchimento funcionam como fôrmas, o que consiste em uma grande
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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vantagem pois elimina o gasto com fôrmas de madeira. Além disso, a substituição do
concreto na região tracionada pelo material de enchimento proporciona uma diminuição
no peso próprio do pavimento e com isso o espaço entre as escoras pode ser maior.
Mesmo com essas vantagens a maioria dos problemas e acidentes ocorrem na fase de
concretagem da capa devido à falta de conhecimento técnico do funcionamento do
sistema ou por falta de regras específicas para a execução da tarefa.
Para a correta determinação da distância entre as escoras nas lajes com
vigotas pré-moldadas deve-se analisar a seção da vigota responsável pela resistência do
conjunto até o endurecimento do concreto da capa. Nesta etapa a vigota tem que resistir
ao seu peso próprio, ao do material de enchimento, ao concreto moldado no local, aos
operários e seu equipamentos. Portanto deve-se definir previamente qual o tipo de
equipamento a ser utilizado na concretagem (carrinhos de mão ou gericas, por exemplo)
e também qual é a quantidade máxima de concreto que pode ser lançado em uma região.
A determinação do comportamento das vigotas é difícil, pois no caso de
vigota em trilho, o momento resistente positivo e o negativo são bem diferentes, pois a
seção resistente tem o formato de umT” invertido, além da variação dos valores das
inércias após a fissuração. Já no caso da vigota do tipo treliça, a determinação dos
esforços nas barras de aço envolve um cálculo hiperestático de análise analítica
complexa, pelo fato das diagonais não estarem contidas em um mesmo plano.
Em trabalhos experimentais feitos por SILVA (2000) e FORTE (2000)
chegou-se às seguintes conclusões:
No caso da vigota tipo treliça a condição determinante para o cálculo do
espaçamento do escoramento é a instabilidade devido a flambagem do banzo superior,
desse modo deve-se usar uma treliça com altura compatível com o espaçamento do
escoramento e com os equipamentos que se deseja utilizar lembrando que por ser a
compressão no banzo superior a condição determinante de colapso, o aumento de
armadura de tração da vigota não influi no espaçamento entre escoras. O sistema com
vigotas tipo treliça apresenta rigidez suficientemente grande para desprezar a
verificação do estado de deformação excessiva no cálculo do espaçamento entre
escoras.
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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46
Para o caso da vigota tipo trilho ocorre o contrário. Os ensaios mostraram
que a expressão de BRANSON (1968), devidamente testada para outros tipos de vigas,
não forneceu bons resultados para este tipo de elemento (vigota isolada) devido a sua
rigidez que é mais baixa que as das vigotas em treliça, o que faz com que em algumas
situações a condição determinante para o espaçamento usado entre escoras seja a de
deformação excessiva. A análise para determinar a deformação das vigotas,
principalmente tipo trilho, pode ser feita através dos resultados obtidos nos ensaios que
fornecem a rigidez dada pelo produto E.I (que estão relacionados à resistência do
concreto e à taxa de armadura usada nos elementos ensaiados).
Para as vigotas do tipo treliça, um banzo superior não exatamente
retilíneo reduz a resistência da mesma, e desse modo é importante que o transporte das
vigotas seja feito com cuidado e evitando o amassamento ou encurvamento do banzo
superior durante a montagem. Uma maneira de se garantir que não ocorra amassamento
ou encurvamento do banzo superior é o uso de passadiço de madeira com apoios na
base da vigota para permitir a passagem de operários e equipamentos, até porque o
material de enchimento é também pouco resistente.
Nos ensaios realizados pelo Grupo de Estudo em Sistema Construtivo em
Concreto da UFSCar para as vigotas em treliça, as rupturas ocorreram sempre por
instabilidade do banzo superior e quando se usou carga distribuída, ocorriam de forma
brusca, sem que houvesse grande deformação que pudesse alertar para o problema. Já as
vigotas do tipo trilho apresentaram grandes deformações não sendo possível durante o
ensaio alcançar o colapso das vigotas, pois as lajotas cerâmicas começaram a romper
primeiro.
Os ensaios mostraram que o espaçamento entre escoras que pode ser
usado para a laje tipo trilho com a condição determinante de ruína é de 2,15 m para as
cargas usuais e para a condição determinante do estado de deformação excessiva é de
1,5 m. E como a verificação do estado de deformação excessiva foi feita de forma
simplificada, principalmente por ainda não se conhecer bem o comportamento da
vigota após a concretagem da capa é melhor optar pelo vão em torno de 1,5 m
Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas
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Para o sistema com vigotas em treliça, para uma altura de 8 cm, o
espaçamento entre escoras recomendado seria de 1,1 m para a condição determinante de
ruína e 1,60 m para a condição determinante do estado de deformação excessiva.
Novamente deve-se optar pelo vão menor que neste caso é de 1,1 m.
Os dados anteriores são ilustrativos recomenda-se a leitura dos trabalhos
citados além de GASPAR (1997) e o programa Cortel de DROPPA JR (2003).
MODELOS DE CÁLCULO DE
PAVIMENTOS DE LAJES
UNIDIRECIONAIS PRÉ-FABRICADAS
3.1 Introdução
O objetivo desse capítulo é indicar procedimentos que permitam determinar
os esforços seccionais e os deslocamentos em lajes pré-fabricadas. Para isso separa-se os
modelos em lajes simplesmente apoiadas (sem continuidade) e contínuas. Para analisar um
trecho de pavimento a situação de simplesmente apoiada, é preciso montar um
procedimento de cálculo preciso e simples, considerando-se, inicialmente, o modelo dito
“elástico” em que se considera a relação linear entre deslocamentos e esforços e que não
haja fissuração nem plastificação, mas também discute-se métodos não lineares em que se
considera a fissuração e até a plastificação de seções.
3.2 Modelo de grelha equivalente
Para discretizar um pavimento composto por lajes e vigas (figura 3.1) pode-
se usar elementos ortogonais de uma grelha. A aplicação do processo de grelha equivalente
3
3
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
________________________________________________________________________________________
49
para analise de lajes com vigotas unidirecionais pode ser feito considerando as nervuras
longitudinais com características de viga “T” (ver figura 3.2) e na direção transversal a capa
seria representada por um elemento de barra do tipo placa com largura definida pelo
espaçamento da malha e espessura igual à espessura da capa (figura 3.2). Nervuras
transversais e vigas periféricas são definidas como elemento do tipo viga.
FIGURA 3.1- Fôrma de pavimento
composto por lajes pré-fabricadas e vigas
feito com a utilização do programa
CypeCAD
FIGURA 3.2- Esquema para a utilização
do processo de grelha equivalente
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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50
“A idéia de se interpretar uma laje (no caso maciça) através de uma grelha
equivalente (processo de analogia de grelha) foi feita inicialmente por Marcus em 1932,
que, por não dispor na época de computadores, tinha que se valer de processos aproximados
para resolver as lajes. Bem mais tarde, em 1959, Lighfoot retomou a analogia de grelha no
estudo de pavimentos, mas já usando programas de computador, e posteriormente este
estudo foi sistematizado por Hambly.” (CARVALHO (2001)).
Entre as inúmeras vantagens de se usar esse procedimento destaca-se:
a) possibilidade de analisar o pavimento como um todo, considerando
inclusive, se for o caso, a rigidez dos pilares introduzida através do coeficiente de mola;
b) variação de modelagem considerando trechos fissurados, plastificados
(colocação de rótulas);
c) rapidez na obtenção de esforços; após a montagem e resolução da
estrutura têm-se os esforços de todos os elementos, assim como os deslocamentos dos
diversos pontos.
d) as vigas podem ser consideradas como elementos deformáveis
verticalmente;
e) é possível modelar mais adequadamente a interação das lajes com as
vigas;
f) é possível considerar facilmente, nas lajes, cargas não uniformemente
distribuídas, como por exemplo cargas lineares (ação de paredes).
A desvantagem deste procedimento está na necessidade do emprego de um
programa de grelha de boa capacidade e de preferência com geração automática de
elementos e com módulo gráfico de entrada e saída de dados.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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51
Além disso, embora o procedimento pareça bastante refinado ele tem o
inconveniente de considerar que a deformação da capa na sua parte inferior ocorra no
mesmo nível da face inferior das nervuras e transversinas.
As considerações a serem feitas para o cálculo da inércia dos diversos
elementos são mostradas a seguir:
Para nervuras longitudinais as características mecânicas são dadas
pela figura 3.3.
FIGURA 3.3 a)– geometria real da seção da nervura. b) geometria adotada
Inércia a torção
(
)
3
.
3
.
33
wfff
t
bhhhb
I
+=
Eq 3.1
Inércia a flexão
() ()
2
3
2
3
2
..
12
.
2
..
12
.
++
+=
cgw
w
f
cgwff
f
wff
y
h
hb
hb
h
ybbh
h
bbI
Eq 3.2
Para vigas e nervuras transversais (Figura 3.4) desprezando o efeito
da capa de concreto que poderia fazer com que as mesmas funcionassem como de seção em
forma de “T” e considerando que a inércia a torção seja correspondente ao Estádio II.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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52
FIGURA 3.4 – geometria da viga
Inércia a flexão
12
h.b
I
3
ft
=
Eq. 3.3
Inércia a torção
30
h.b
It
3
= (30 por causa da fissuração)
Eq. 3.4
Já no caso da capa (figura 3.5), para conferir um efeito de placa no
elemento, embora para este elemento isto seja muito discutível, a inércia à torção é o dobro
da de flexão, tendo-se portanto:
FIGURA 3.5 – geometria da seção capa
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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53
Inércia a torção
6
h.b
I
3
f
t
=
Eq. 3.5
Inércia a flexão
12
h.b
I
3
f
f
=
Eq. 3.6
Considera-se neste caso que o método empregado seja o elástico e não se
está considerando portanto a fissuração ou plastificação do concreto. Considerações de
fissuração podem ser vistas no capítulo 5 e em CARVALHO (2001)
3.3 Modelo de grelha equivalente simplificado
Como será visto no próximo item, a contribuição nos esforços e
deslocamentos da capa considerada no sentido transversal é pequena. Assim é possível para
simplificar a análise do pavimento considerar apenas as longarinas, transversinas e vigas
(Figura 3.6). As características da seção transversal seguem as equações indicadas no caso
anterior.
Para situações de continuidade da laje, apoio de vigas em outras vigas e o
funcionamento das transversinas este procedimento é interessante e mais preciso que o
modelo de vigas independentes relatado no próximo item.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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54
FIGURA 3.6- Esquema para a utilização do processo de grelha equivalente
simplificado
3.4 Modelo de viga independente
Para entender o comportamento da laje nervurada formada a partir de
elementos pré-moldados de concreto armado sobre os quais é confeccionada uma capa de
concreto, é necessário verificar se a capa de concreto confere rigidez, mesmo que pequena,
ao pavimento na outra direção. Essa verificação é feita através de um estudo teórico
realizado por CARVALHO e FIGUEIREDO (2001).
Nesse estudo é feita uma análise detalhada sobre o comportamento de três
situações básicas (elementos independentes, laje pré-moldada com capa de concreto e laje
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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55
maciça), tomando-se como exemplo um pavimento bastante simples, praticamente
quadrado e simplesmente apoiado nos quatro lados (figura 3.7).
FIGURA 3.7 - Pavimento simples, praticamente quadrado e simplesmente apoiado
nos quatro lados utilizado no estudo.
Para compreensão destes sistemas estruturais são comparados, os esforços
internos e o estado de deslocamento obtidos para as três situações citadas e ilustradas na
figura 3.8.
Em todas as situações as vigas V1, V2, V3 e V4 serão consideradas
indeslocáveis na vertical. O objetivo em resolver este pavimento é identificar um processo
de cálculo (modelo físico e matemático) que possa ser usado com facilidade, segurança e
que resulte em valores próximos dos reais para pavimentos de lajes com nervuras pré-
fabricadas e para tornar possível as comparações, em todas as situações são empregadas a
mesma espessura total dos elementos, a mesma intensidade de carregamento atuante, e as
mesmas características elásticas do concreto. Os valores adotados são:
espessura total do pavimento = 9,5 cm;
espessura da capa = 3 cm;
p = 5 kN/m
2
(ação total já considerado o peso próprio)
E
c
= 30.000 MPa.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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56
FIGURA 3.8. a) laje pré-moldada composta por elementos isolados; b) laje pré-
moldada composta por nervuras mais capa; c) laje de placa maciça.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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57
A análise dos esforços e deslocamentos para os caso b e c foi feita usando o
processo de grelha equivalente, apresentado no item 3.2.
Os elementos na situação a são
isolados, trabalhando cada um como uma viga independente.
A configuração deformada dos pavimentos para os três casos é mostrada na
figura 3.9.
FIGURA 3.9- Deformações dos pavimentos considerando vigas independentes, laje
pré-moldada com capa e placa maciça
Os deslocamentos são maiores quando todos os elementos trabalham
isoladamente (caso a) e menores quando se considera o efeito de placa (caso c, laje
maciça). A laje pré-moldada (caso b) apresenta um comportamento intermediário, porém
bem mais próximo do caso de elementos isolados. Percebe-se ainda que no primeiro caso
todos os elementos têm a mesma linha elástica (eixo após a deformação), devido à própria
hipótese de que funcionam isoladamente, sem ligação transversal entre si. No caso da laje
pré-moldada com a consideração da capa, pelo menos as quatro nervuras centrais
apresentam praticamente a mesma linha elástica. Finalmente, no caso da laje maciça, há
diferença significativa entre as elásticas dos diversos “trechos” da placa, e as deformações
são bem menores. Isto ocorre por haver rigidez praticamente igual nas direções longitudinal
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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58
e transversal. Esta, em princípio, é a característica fundamental das placas de lados com
dimensões de mesma ordem de grandeza: valores dos momentos nas duas direções
próximos e distribuição eqüitativa das ações em todas vigas periféricas de apoio. Nesta
análise não foi considerada a fissuração da capa de concreto.
No mesmo estudo
, pode-se observar o momento fletor nas regiões centrais
dos três casos estudados, figura 3.10, percebendo-se que a placa apresenta novamente os
menores valores e que os resultados da laje nervurada pré-moldada e dos elementos
isolados estão relativamente próximos.
FIGURA 3.10- diagrama do momento fletor
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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59
Portanto, os resultados anteriores mostram que é perfeitamente aceitável a
consideração de lajes unidirecionais nervuradas pré-moldadas comportando-se como
elementos independentes (figura 3.11), pois com essa simplificação o cálculo é feito a favor
da segurança e bastante próximo da realidade, justificando o emprego de um modelo
matemático que consiste em um conjunto de vigas paralelas que trabalham praticamente
independentes para o dimensionamento à flexão e a verificação do estado de deformação
excessiva de uma laje pré-fabricada.
FIGURA 3.11- Esquema para a utilização do processo de viga independente
3.5 Modelo de cálculo para consideração da continuidade
A consideração da continuidade em um pavimento formado por lajes pré-
fabricadas, de modo que o pavimento resista ao carregamento na seção de momento
negativo, permite um dimensionamento mais econômico do que aquele feito com a
consideração de elementos simplesmente apoiados. No entanto, em diversas situações o
momento fletor negativo obtido segundo o cálculo linear da estrutura hiperestática é maior
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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6
0
que o momento máximo resistido pela seção nesta região. Isso se deve à pequena área de
concreto na região comprimida de seção transversal nos apoios (parte inferior) em forma de
“T” (figura 3.12).
h
b
x
d
A
B
B
h
b
x
d
Seção AA momento fletor positivo
Seção BB momento fletor negativo
M
X
As
As
A
h
f
L
N
Concreto comprimido
Concreto comprimido
L
N
h
f
f
f
w
b
w
b
Esquema Estrutural de laje unidirecional continua
P
Esquema Estrutural de laje unidirecional continua
FIGURA 3.12 Laje contínua pré-fabricada unidirecional, seções submetidas a
momento fletor positivo e negativo.
Assim, em lajes contínuas, nem sempre é possível obter, junto aos apoios
intermediários, regiões comprimidas suficientes para resistir ao momento negativo total
encontrado pelo cálculo elástico (admite os materiais, no caso o concreto armado, como
sendo homogêneo e com comportamento linear), ocorrendo então a plastificação do
concreto.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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61
Para explicar o que ocorre com plastificação do concreto e o surgimento de
rótula plástica no apoio, mostra-se a mesma laje unidirecional contínua da figura 3.12 com
os diagramas de momento fletor devido ao comportamento elástico e com plastificação na
região do apoio na figura 3.13. Para o diagrama elástico temos a equação 3.7:
8
2
pl
X
elástico
=
Eq. 3.7
Se a seção no apoio for capaz de resistir este momento o diagrama é o apresentado
na figura 3.13 (linhas continuas) com o diagrama de momento elástico já conhecido e
calculado da forma usual. Se a seção do apoio só for capaz de resistir a um momento fletor
|X
plástico
|< |X
elástico
| então o diagrama será o de momento com plastificação no apoio central,
também indicado na figura 3.13 (linhas tracejadas), que apresentará valores de momento
positivo máximo no tramo M
plástico
>M
elástico
. Devido à dificuldade do cálculo de um valor
X
plástico
é usual admitir que os elementos pré-fabricados sejam sempre simplesmente
apoiados, o que resulta em momentos positivos maiores que em elementos contínuos. Desta
maneira para uma mesma solicitação “p” resulta seção maior ou em limitação do vão a ser
vencido devido também a deslocamentos maiores.
Esquema Estrutural de laje unidirecional continua
P
Diagrama de
Diagrama de momento com
X
momento elástico
plasticação no apoio central
elástico
plástico
X
M
elástico
plástico
M
FIGURA 3.13 Laje contínua unidirecional, diagramas de momento elástico e com
plastificação no apoio central.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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62
Por essa razão, é mais racional aproveitar as vantagens da continuidade, pois
há uma melhor distribuição de momentos, com a redução dos positivos, possibilitando
vencer vãos maiores. Assim, em pavimentos compostos de diversos painéis, sempre que a
geometria permitir, as vigotas devem ser dispostas de modo a aproveitar o efeito vantajoso
da continuidade, com o esquema estático das nervuras aproximando-se ao de uma viga
contínua hiperestática.
Para a solução do problema apontado pode-se adotar um trecho de seção
maciça de concreto na região onde a seção nervurada não resiste ao momento negativo.
Outra possibilidade é considerar que o esforço solicitante no apoio diminua até um valor
correspondente à resistência da seção no apoio intermediário (ou uma parcela deste valor,
ou ainda, um valor obtido experimentalmente) e, em seguida, considerar a redistribuição
dos esforços ao longo da nervura, verificando em seguida se o máximo momento positivo
solicitante não ultrapassa o máximo resistido na seção.
Portanto neste item tenta-se preencher uma das inúmeras lacunas do
dimensionamento de lajes pré-fabricadas que é o comportamento de pavimentos
constituídos de elementos hiperestáticos, uma vez que a maioria das tabelas utilizadas pelos
fabricantes não considera a continuidade e com isso não considera os valores dos
momentos negativos e os efeitos da plastificação do concreto nesta região (comportamento
não-linear), para incorporá-los no dimensionamento do pavimento.
Os efeitos da plastificação do concreto podem ser simulados através da
introdução de rótulas em programas de grelha ou de vigas contínuas, submetidas a
momentos de plastificação com valores obtidos experimentalmente ou a partir de uma
parcela do momento resistente da seção dos apoios intermediários (que no caso em questão
normalmente é menor que nas seções submetidas a momentos positivos, devido às
características da seção transversal).
Neste item, as nervuras primeiramente serão consideradas isoladas, ou seja,
será estudado um elemento linear de viga (viga “T”) assentadas sobre apoios indeslocáveis
na vertical (por exemplo paredes) e sem continuidade. Também será considerado no cálculo
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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63
dos esforços solicitantes que a inércia da laje seja constante, ou seja, cálculo linear sem
consideração dos efeitos da fissuração do concreto.
Posteriormente, será considerado o efeito de grelha (nervuras afetadas pela
deformação de vigas), através da utilização de programa de computador que usa técnica de
grelha equivalente. E finalmente serão investigados os benefícios que a consideração da
continuidade pode incorporar nas condições de serviço, especialmente no cálculo dos
deslocamentos.
3.5.1 Esforços solicitantes nas lajes
Conhecidos os momentos resistentes, serão calculados os valores dos
esforços solicitantes na nervura, considerando-as inicialmente bi-apoiadas, condição
geralmente empregada pelos fabricantes. Serão observados em quais casos, com a
consideração do efeito da continuidade, o momento negativo ultrapassa o momento
resistido (M
t
) pela seção em forma de “T” (neste caso o concreto comprimido tem a
largura igual a b
w
). Enquanto o momento no apoio for inferior (em módulo) ao valor de M
t
o cálculo pode ser feito sem considerar a plastificação na seção, considerando apenas a
fissuração para verificar o estado de deformação excessiva. Dessa forma o cálculo dos
esforços solicitantes pode ser feito com o modelo linear, ou seja, usando o sistema de viga
contínua. Quando o momento negativo (no apoio) ultrapassar o valor do momento
resistente da seção em forma de “T” pode-se considerar em torno dessa seção uma região
maciça de concreto, permitindo que o cálculo possa ainda ser executado com o modelo
linear. Sem considerar a região maciça ou se efetua o cálculo plástico, com a introdução de
uma rótula plástica na seção, ou se considera a redistribuição de esforços comentada nos
itens seguintes.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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6
4
3.5.1.1 Vigas sem continuidade e tabelas para dimensionamento
Em algumas situações em que os vãos são pequenos e não se tem garantia do
correto posicionamento da armadura negativa deve ser considerada a não continuidade das
nervuras para efeito de cálculo. O diagrama de momento fletor para o caso de nervuras bi-
apoiadas submetidas a carregamento distribuído como mostrado na Figura 3.14 leva às
equações 3.7 e 3.8.
8
l.p
M
2
1
1
=
Eq. 3.7
8
l.p
M
2
2
2
=
Eq. 3.8
DM
2
8
pl1
l1
l2
p
pl2
8
2
a) b)
FIGURA 3.14 a) Esquema estrutural de laje isostático e b) Diagrama de momento
fletor de laje isostático
Usando vãos simplesmente apoiados é possível, uma vez fixada a geometria
e a armadura, calcular os momentos resistidos ou vãos máximos que podem ser
empregados, montando-se tabelas que permitam aos projetistas escolher os tipos de lajes
sem calcula-las. As primeiras tabelas que surgiram indicavam para cada geometria e ação
aplicada, qual o máximo vão possível, como na tabela 3.1. Entretanto essa tabela não leva
em consideração a quantidade de armadura e nem o efeito da fissuração e da fluência do
concreto.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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6
5
TABELA 3.1 Laje pré-moldada tipo trilho – apoio simples – intereixo de 33 cm,
vãos livres máximos (metros) (CARVALHO E FIGUEIREDO (2001))
p (kN/m
2
) 0,5 1,0 2,0 3,5 5,0 8,0 10,0 12,0
β
9,5
4,20 4,00 - - - - - -
β
11
4,50 4,30 4,10 3,50 2,70 - - -
β
15
5,70 5,50 5,30 4,50 3,40 - - -
β
20
6,90 6,80 6,50 5,70 4,60 3,30 2,70 -
β
25
8,30 8,10 7,90 6,70 5,50 4,00 3,30 2,90
β
30
- - 9,00 8,70 8,40 6,20 5,30 4,60
β
35
- - 10,3 9,90 9,60 7,20 6,20 5,40
Onde p é a carga atuante (q + g
2
) exceto o peso próprio da laje, que já foi computado
Tabelas mais próximas da realidade, como a tabela 3.2, por considerarem a
quantidade de armadura e o efeito da fissuração e da fluência são apresentadas em
CARVALHO (2001).
Em virtude do aparecimento de programas e uso do sistema hiperestático as
tabelas anteriores perderam sua utilidade, servindo apenas como referencia para uma
analise rápida ou um pré dimensionamento.
Nota-se que as tabelas do tipo 3.2 são mais completas indicando inclusive a
armadura a adotar. Durante muitos anos e até hoje foram empregadas pelos fabricantes
como única fonte de dimensionamento. Bastando ao usuário a partir do vão, carga acidental
e escolha da altura da laje consultar a tabela e obter a armadura necessária . Em
MESQUITA E CARVALHO (1999) são ainda fornecidas tabelas para a determinação da
contra flecha a se empregar em cada caso.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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6
6
Tabela 3.2 Valores máximos (m) de vãos para lajes simplesmente apoiadas com altura
de 12 cm (capa de 4 cm); ruptura e deformação excessiva atendidas (CARVALHO e
FIGUEIREDO 2001)
LAJE TRELIÇADA β
12
CARGAS (kgf/m
2
)
Classe e
armadura
(cm
2
)
FORRO
50
100 150 200 350 500
6 - 0,488 3,75 3,55 3,25 3,00 2,80 2,40 2,10
7 - 0,537 3,80 3,60 3,40 3,15 2,95 2,50 2,20
8 - 0,591 3,85 3,65 3,50 3,30 3,10 2,60 2,30
9 - 0,650 3,90 3,70 3,55 3,40 3,20 2,70 2,40
10 - 0,715 3,95 3,75 3,60 3,45 3,30 2,80 2,50
11 - 0,787 4,05 3,80 3,65 3,50 3,40 2,85 2,55
12 - 0,865 4,10 3,90 3,70 3,55 3,45 2,95 2,65
13 - 0,952 4,15 3,95 3,75 3,65 3,50 3,00 2,70
14 - 1,047 4,25 4,05 3,85 3,70 3,55 3,10 2,80
15 - 1,152 4,35 4,10 3,90 3,75 3,65 3,20 2,85
16 – 1,267 4,20 4,00 3,85 3,70 3,30 2,95
17 – 1,394 4,10 3,95 3,80 3,45 3,05
18 - 1,533 4,20 4,05 3,90 3,55 3,15
19 - 1,686 4,30 4,10 4,00 3,65 3,25
20 - 1,855 4,40 4,20 4,05 3,75 3,35
21 - 2,040 4,30 4,15 3,80 3,45
22 - 2,244 4,45 4,30 4,00 3,55
23 - 2,469 4,55 4,40 4,00 3,65
24 - 2,716 4,65 4,50 4,10 3,80
25 - 2,987 4,75 4,60 4,20 3,90
26 - 3,266 4,85 4,70 4,30 4,00
27 - 3,615 5,00 4,80 4,45 4,15
Intereixo = 50 cm; peso próprio = 141 kgf/m
2
;f
ck
=20 MPa;coeficiente de fluência ϕ = 2.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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6
7
3.5.1.2 Vigas hiperestáticas com modelo linear
O diagrama de momento fletor para o caso de nervuras hiperestáticas,
usando-se o modelo linear ou elástico, submetidas a carregamento distribuído como
mostrado na Figura 3.15a conduz, por exemplo, ao diagrama de momento indicado em
3.15b, para tanto é necessário que a seção junto ao apoio resista ao momento negativo
l1
l2
max,solicmax,solic
p
M
pos
M
max,solic
M
pos
neg
a)
b)
FIGURA 3.15 a) Esquema estrutural de laje hiperestático e b) Diagrama de
momento fletor de laje hiperestático
O cálculo nesse caso deve ser feito com os processos tradicionais, supondo
que os apoios das nervuras sejam indeslocáveis na vertical (processo de viga independente).
No caso da estrutura apresentada na figura 3.15 o momento fletor negativo máximo na
nervura calculado partir do processo dos esforços é dado pela equação 3.9:
neg
solic
M
max
= -
8
p
×
(
)
()
21
3
2
3
1
ll
ll
+
+
Eq. 3.9
Para l
1
= l
2
(vãos iguais), temos
neg
solic
M
max
= - p l
2
/ 8
Eq. 3.10
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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68
E o momento fletor positivo máximo na nervura calculado a partir do
processo dos esforços (equações 3.11, 3.12 e 3.13):
posit
solic
M
max,
=
2
1
1
1
1
1
1
2222
×
×
×
×
×
lp
Mlp
lp
Ml
l
Mlp
Eq. 3.11
Para
1
l =
2
l , temos que M=
8
2
lp ×
Eq. 3.12
posit
solic
M
max,
=
2
128
9
lp
××
Eq. 3.13
A fissuração não deve alterar significativamente os esforços seccionais,
porém no caso do Estado Limite de Serviço (ELS) a verificação de flecha deve levar em
conta este efeito (fissuração).
3.5.2 Emprego de trecho maciço junto ao apoio
Consiste na utilização de seção maciça de concreto (figura 3.16) na região
onde a seção nervurada não resiste ao momento negativo. O trecho de laje maciça em
regiões próximas aos apoios é obtido com a substituição do material de enchimento, no
trecho preestabelecido pelo cálculo, por concreto moldado no local que será lançado sobre
uma tabua que se apóia nas guias e pontaletes.
Essa solução deve ser empregada nos trechos de lajes onde o momento fletor
negativo resultou maior que o momento resistente da nervura. Calcula-se a extensão do
trecho onde seria necessário executar a região de laje maciça, ou seja, determina-se a
distância
x (figura 3.17) a partir do qual o valor do momento fletor solicitante é maior que o
valor do momento fletor resistente na seção.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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69
Trela
Elemento de Enchimento
Barras de Aço
Região maciça
de concreto
Apoio intermediário
LAJES CONTÍNUAS
a)
Armadura (As)
Bloco cerâmico
Regiões sugeitas a momentos fletores negativos
Apoio Intermediário
Região maciça de concreto
Vigota treliçada
b)
FIGURA 3.16 a)Perspectiva da região maciça de concreto. b) Seção transversal
maciça de concreto (CARVALHO E FIGUEIREDO (2001))
Para a determinação da largura do trecho maciço após ser calculado o
momento máximo resistido pela seção da nervura, basta encontrar no diagrama de
momento fletor da laje a seção em que o momento fletor é numericamente igual a este
valor.
O valor do momento máximo resistido em serviço é 4,1/
RdR
MM = , que
substituindo na equação do momento
2
2
px
RxM
= , fornece o valor de x, assim, a região
maciça, de cada lado do apoio será
x
l
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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7
0
R
p
M = M
Rd/1,4
x
M
L
trecho maciço
FIGURA 3.17 Determinação do trecho maciço
3.5.3 Redistribuição de esforços no apoio central
Outra alternativa para resolver o problema do momento negativo no apoio
ser maior que o resistente da laje nesta região é a consideração da redistribuição de
momentos na viga, supondo-se que o momento fletor no apoio esteja limitado a um
determinado valor. Portanto a análise linear seguida por uma redistribuição limitada de
momentos fletores tem sido introduzida, comumente, em projetos. Dentre as principais
vantagens de se utilizar a redistribuição de momentos fletores o CEB (1982) lista os
seguintes:
A transferência de esforços solicitantes para as áreas com tensões mais baixas;
Menor taxa de armadura localizada nas áreas de momentos fletores negativos,
portanto, tensões reduzidas na região comprimida da seção;
Redução do congestionamento das barras de aço sobre os apoios de lajes continuas,
melhorando as condições de concretagem nestas áreas criticas;
Maior liberdade no detalhamento da armadura.
Os critérios para limitar a redistribuição dos momentos fletores variam de
acordo com as normas utilizadas. A norma brasileira NBR 6118:2003
e a norma espanhola
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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71
EF-96 (1997) são freqüentemente utilizadas por projetistas na realização do cálculo com
momentos fletores redistribuídos das lajes com vigotas pré-moldadas. Considerando a
redistribuição plástica como função do momento resistente da seção submetida ao momento
fletor negativo, impondo no dimensionamento um valor limite para a linha neutra. Sendo o
grande problema deste procedimento a impossibilidade de se fazer de maneira segura a
verificação do Estado Limite Último de Deformação Excessiva. Os critérios recomendados
na norma brasileira NBR 6118 e pela espanhola EF-96 são mostrados a seguir:
3.5.3.1 Recomendações da norma brasileira NBR 6118 (2003)
A NBR 6118(2003) não trata da redistribuição dos esforços de forma
específica para as lajes nervuradas. Sendo as considerações a respeito da redistribuição de
esforços para estruturas de elementos lineares especificadas a seguir:
“Limites para a redistribuição de momentos e condições de dutilidade
A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da
linha neutra no ELU. Quanto menor x/d, maior é essa capacidade.
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou
de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas
redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer
aos seguintes limites:
a) x/d
0,50 para concretos com f
ck
35 MPa; ou
b) x/d
0,40 para concretos com f
ck
> 35 MPa.
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de
armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões.
Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de
M para
δ.M, em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de
redistribuição
δ e a posição da linha neutra nessa seção x/d, para o momento reduzido δ.M,
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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72
deve ser dada por:
a)
δ 0,44 + 1,25 . x/d para concretos com f
ck
35 MPa; ou
b)
δ 0,56 + 1,25 . x/d para concretos com f
ck
> 35 MPa.
O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:
a)
δ 0,90 para estruturas de nós móveis;
b)
δ 0,75 para qualquer outro caso.
Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma,
desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de analise não linear, com
verificação explicita da capacidade de rotação de rótulas plásticas.
3.5.3.2 Recomendações da norma espanhola EF-96
De acordo com a norma espanhola EF-96, no cálculo dos esforços em lajes
com vigotas pré-moldadas pode ser considerada uma redistribuição plástica dos momentos
fletores correspondente a 15 % ou , no máximo, a redistribuição que resulta ao se igualar os
máximos momentos fletores negativos e positivos em cada tramo. A redistribuição máxima
admitida para lajes continuas pode ser obtida a partir do seguinte procedimento:
a)Momentos fletores positivos: igualar os valores do máximo momento
fletor positivo e dos momentos fletores nos apoios para cada tramo interno e valor do
momento fletor máximo positivo e do momento fletor do apoio para o tramo extremo
(figura 3.18a).
b)Momentos fletores negativos: adota-se, no mínimo, a linha de fechamento
formada pelos máximos momentos fletores negativos nos apoios internos encontrados em
a) e para os apoios extremos, considerar um momento fletor negativo com valor igual a
quarta parte do máximo momento fletor positivo deste vão (figura 3.18b).
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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73
c)Balanços: deve-se considerar o máximo momento fletor que resulta ao se
considerar a carga atuante no balanço ou a quarta parte do momento fletor positivo do vão
adjacente (figura 3.18b).
FIGURA 3.18– Diagramas dos momentos de acordo com a norma espanhola EF-96
(1997)
Nos apoios onde não há continuidade será considerado um momento fletor
negativo não inferior a ¼ do máximo momento fletor positivo do tramo.
Esta norma observa que todos os vãos deverão resistir, no mínimo, a um
momento fletor positivo igual a ½ do seu momento fletor isostático.
Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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7
4
3.5.3.3 Dimensionamento usual
No projeto de uma laje contínua formada por elementos pré-moldados é
usual não se adotar no dimensionamento os momentos fletores negativos obtidos a partir da
analise linear. Isso porque os momentos fletores negativos são da mesma ordem de
grandeza dos momentos fletores positivos e a resistência da seção “T” a momentos
negativos ser muito inferior à resistência a momentos fletores positivos.
A solução empregada por muitos projetistas para resolver o problema da
continuidade consiste em adotar para o valor do momento negativo no apoio aquele
calculado como sendo o momento resistente negativo na nervura. Para tanto é necessário
arbitrar a posição da linha neutra com valores inferiores a linha neutra que corresponde ao
limite entre os domínios 3 e 4, que é a situação mais favorável, pois os dois materiais
atingem sua máxima capacidade resistente e são melhor aproveitados.Verifica-se, então, se
o momento positivo máximo solicitante não é superior ao momento resistente. Isto é feito
introduzindo-se uma rótula no apoio submetida ao
neg
resist
M
max,
, sendo o valor do momento
aplicado nessa rótula igual ao valor obtido a partir de parcelas do momento resistente
negativo.
Desvantagem do método de redistribuição de momentos esta na dificuldade
da determinação do valor da flecha.
3.5.4 Processo de vigas independentes considerando o cálculo não linear
A avaliação dos deslocamentos e esforços solicitantes em uma estrutura
depende de uma estimativa segura dos parâmetros de rigidez dos elementos de concreto.
Como já foi dito essa avaliação se torna complexa pelo fato de que parte do elemento
trabalha no Estádio I e parte no Estádio II e no caso de estruturas hiperestáticas a estimativa
dos parâmetros de rigidez se torna ainda mais importante, pois sua mudança afeta além dos
deslocamentos, os esforços solicitantes.
Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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75
3.5.4.1 Carregamento incremental
A aplicação do carregamento incremental é uma técnica utilizada para se
considerar a não linearidade física do concreto, através de cálculos lineares. Consiste em
considerar o carregamento atuante na estrutura a partir da soma de n etapas de carga ou
incrementos de carga, possibilitando a atualização da rigidez da estrutura a cada nova
etapa de carga.
Em cada etapa de carga, considera-se que existe linearidade entre
esforços e deslocamentos, bastando para alcançar precisão suficiente um certo número
mínimo de etapas de carregamento. Desse modo um problema não-linear passa a ser
resolvido de forma linear, através da soma de parcelas lineares. A cada nova etapa de
carregamento a rigidez a ser utilizada para o elemento é obtida a partir da consideração
do nível de solicitação da etapa anterior. E portanto com o aumento do número de
etapas de carregamentos maior será a aproximação com o comportamento não-linear
(figura 3.19).
FIGURA 3.19 – Diagrama carga x deslocamento: 1)desenvolvimento
real 2)desenvolvimento por etapas lineares, CARVALHO (1994).
Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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76
3.5.4.2 Determinação da força última no modelo hiperestático com controle de
rotação.
Uma outra técnica com carregamento incremental é descrita por Merlin
(2002 ) onde se considera critérios para a determinação da força ultima que são:
Capacidade de rotação das rótulas plásticas.
Formação de mecanismo de colapso.
3.5.4.2.1 Critério da capacidade de rotação das rótulas plásticas
Esse critério é utilizado para verificar a capacidade de rotação plástica
das rótulas nas regiões críticas é ultrapassada
Quando no carregamento incremental do modelo teórico o momento
fletor de uma seção atinge M
u
é criada uma rótula plástica
,
impossibilitando a obtenção
da curvatura desta seção pela relação momento x curvatura do CEB (1998). A curvatura
então é determinada a partir da hipótese que nas suas proximidades a deformada do
elemento estrutural será aproximada por um arco (figura 3.20) e portanto a curvatura é
determinada pela equação 3.15:
22
e
a)l(
a.2
r
1
+
=
Eq. 3.15
onde:
+
=
2
dd
da
31
2
e
l - tamanho do elemento e d–deslocamento
Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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77
FIGURA 3.20 – Determinação da curvatura média a partir dos
deslocamentos, MAGALHÃES (2001)
A partir da criação da rótula plástica a consideração de rotação plástica
será realizada considerando o modelo de Darmstadt-Leipizig apresentado no
CEB(1998), e também utilizado por MAGALHÃES (2001) para a análise de lajes
contínuas. De acordo com esse modelo, a capacidade de rotação plástica está dividida
em duas partes que são determinadas separadamente, conforme a equação 3.16:
cort,plfle,plpl
θ
θ
θ
+=
Eq. 3.16
onde:
pl
θ
- capacidade de rotação da rótula plástica;
fle,pl
θ
- parcela da rotação plástica decorrente do esforço de flexão;
cort,pl
θ
- parcela da rotação plástica decorrente do esforço cortante.
Por ser o esforço de flexão o predominante em uma laje, considera-se nas
verificações da capacidade de rotação das rótulas plásticas somente a parcela de
Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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78
deformação decorrente dos esforços de flexão. Com isso a expressão que fornece a
capacidade de rotação das rótulas plásticas segundo o modelo de Darmstadt-Leipizig é
a equação 3.17:
+
+
=
u
y
uu
r
y
r
yu
y
r1
q
pl
M
M
1.d.
r
1
M
M
M
M
.d.
r
1
1
M
M
.d.
r
1
.
d
a
θ
Eq. 3.17
3.5.4.2.2 Critério da formação de um mecanismo de colapso
O critério da formação do mecanismo de colapso pode ser visualizado da
seguinte maneira seja uma viga engastada numa extremidade e apoiada na outra e uma
carga concentrada F no centro (figura 3.21 a). O diagrama de momentos fletores tem o
aspecto apresentado na figura 3.21 b, com o máximo momento fletor ocorrendo na
extremidade engastada.
FIGURA 3.21 – Critério da formação de um mecanismo de colapso,
MAGALHÃES (2001)
Com o incremento do carregamento a seção B será a primeira a escoar,
após um novo acréscimo de carga em F, começará a ocorrer o escoamento da seção C,
onde há um pico no diagrama dos momentos fletores. Com o aumento do carregamento
ocasionado por novas etapas do incremento, forma-se uma rótula plástica na
extremidade B. Entretanto, esta única articulação não provoca falha do elemento
estrutural, pois este se comporta como uma estrutura estaticamente determinada,
Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
____________________________________________________________________________________
79
suportando uma carga F na seção C e um momento fletor M
u
em B. Com este esquema
estático, a estrutura ainda suportará um acréscimo de carga até que o momento fletor em
C também atinja o momento último desta seção. Nesta ocasião, existirão articulações
plásticas nas seções B e C e a estrutura formará um mecanismo. Então, existirão
deslocamentos ilimitados e não é mais possível nenhum acréscimo de carga, sendo
atingida a carga de ruptura. Lembrando-se que para isso é necessário que a rótula
apresente capacidade de rotação suficiente para que seja possível também criar uma
rótula no meio do vão.
3.6 A ação do carregamento nas vigas de contorno
A utilização mais comum do sistema de lajes pré-moldadas apresenta as
vigotas dispostas em uma única direção, geralmente a do menor vão, desse modo as
vigas nos quais essas vigotas estão apoiadas recebem a maior parte da carga. O que
representa uma desvantagem pois enquanto algumas vigas recebem a maior parte do
carregamento oriundo do pavimento e a transmitem aos pilares, outras contribuem
pouco com essa transmissão.
Para tentar determinar a distribuição das cargas nas vigas de contorno
deve-se verificar se a capa de concreto confere rigidez suficiente ao pavimento na outra
direção propiciando que também as vigas laterais recebam uma parcela da carga
proveniente da laje, e qual o valor estimado dessa parcela. Comparações teóricas foram
feitas por CARVALHO e FIGUEIREDO (2001), variando algumas características. O
objetivo foi verificar a influência nos valores das reações nas vigas de apoio, da
geometria do painel, da relação entre inércia e capa (para simular a influncia da
fissuração desses elementos) e das vigas de contorno.
Para levar em conta a diminuição da inércia das seções provocada pela
fissuração é utilizada, em alguns casos, a expressão de BRANSON (1968) que fornece
um momento de inércia médio ao longo de todo o elemento fissurado
O processo utilizado para análise foi o da grelha equivalente sendo os
valores das variáveis e os resultados apresentados na tabela 3.3
Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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80
TABELA 3.3 Exemplos estudados e porcentual de cargas transferida para as vigas
secundárias
Exemplo Dimensão
pavimento
Espessura
capa (cm)
Altura
laje
(cm)
Condição
Contorno
Fissuração
capa
Fissuração
vigas
%absorvida
nas vigas
secundarias
1 3,30x3,63 3,0 11,0 Indeslocável Não Não 24
2 3,30x3,63 3,0 11,0 Indeslocável Sim Não 16
3 3,30x7,26 3,0 11,0 Indeslocável Não Não 11
4 3,30x7,26 3,0 11,0 Indeslocável Sim Não 8
5 3,30x3,63 3,0 11,0 Viga 12x40 Não Não 27
6 3,30x3,63 3,0 16,0 Viga 12x40 Não Não 16
7 3,30x3,63 3,0 16,0 Viga 12x40 Sim sim 20
Chegando-se às seguintes conclusões:
A trajetória das cargas é influenciada significativamente pela geometria da laje.
Quanto mais próxima da forma quadrada, maior a parcela de forças absorvida
pela viga paralela aos trilhos. Quando a relação entre as dimensões dos lados do
painel passa de 1 para 2, independente da fissuração, a parcela da carga nas
vigas paralelas às nervuras cai aproximadamente 50%.
A espessura da capa influi na distribuição das cargas, quanto maior a espessura
em relação à espessura da laje maior o efeito.
A fissuração do concreto, provoca uma diminuição na parcela do carregamento
que é absorvida pelas vigas paralelas em relação aos pavimentos não fissurados,
chegando em alguns casos a uma diminuição de aproximadamente 70%.
O efeito da deslocabilidade das vigas de apoio tem influência pequena, mas não
desprezível, a parcela do carregamento total que vai para as vigas paralelas às
nervuras pré-moldadas é maior quando há a deformação das vigas (as maiores
diferenças notadas estão em torno de 10%).
Com isso percebe-se que a consideração da laje pré-moldada como um
conjunto de vigas isoladas pode levar a resultados contra a segurança no que se refere à
distribuição do carregamento na laje para as vigas de contorno e embora algumas
situações ainda mereçam um estudo mais detalhado recomenda-se que em torno de 25%
Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
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81
da carga do pavimento seja transmitida a essas vigas, mantendo-se, por segurança, o
total da carga nas outras vigas.
3.7 Programas existentes
Dentre os programas existentes para o dimensionamento de lajes pré-
fabricadas que foi possível ter acesso cita-se os seguintes:
Software de cálculo de lajes treliçadas – Gerdau;
Treliças Belgo versão 1.0 – Belgo Mineira;
Lajes Nervuradas CypeCAD – Multiplus;
Lajes Treliçadas – TQS.
Os dois primeiros têm telas de entrada de dados bem amigáveis, próprias
para se fazer estudos de diversas situações, sendo muito fácil variar as entradas de
dados. Ambos usam como modelo de cálculo o de viga independente, permitem o uso
da expressão de Branson na questão da continuidade. Em todos os casos detalha a
armadura longitudinal de flexão.
O sistema CYPECAD embora não tenha um módulo específico para laje
pré-fabricada com as características das lajes brasileiras, permite através de lajes
nervuradas usando o módulo de viga independente o cálculo destes elementos. O
manual de cálculo é muito resumido indicando apenas que o projetista pode ou não
considerar a continuidade, bastando alinhar ou não as nervuras. Como resultado final
apresenta apenas o diagrama de momento das nervuras sem detalhar a armadura, como
curiosidade o programa gera a região maciça de concreto necessária quando o momento
negativo no apoio não pode ser resistido apenas pela nervura em “T”, mas essa região só
pode ser vista na tela do computador, não sendo apresentada nos desenhos de fôrma
gerados.
O programa TQS com módulo de lajes treliçadas, entre os analisados,
parece ser o mais completo do mercado. Usa o processo de grelha equivalente
Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.
____________________________________________________________________________________
82
considerando inclusive as vigas de apoio como deformáveis. Apresenta a possibilidade
de verificar a flecha considerando a fissuração do concreto e possui um manual de 128
páginas bem detalhado para o usuário.
As versões consultadas dos programas ainda estavam de acordo com a
NBR 6118 (1980), mas há confirmações que todos estão sendo atualizados.
O uso e o estudo mais minucioso de todos estes programas fará parte de
outro projeto de mestrado que se encontra em desenvolvimento no programa de pós-
graduação em Construção Civil da UFSCar.
DIMENSIONAMENTO EM RELAÇÃO
AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE
FLEXÃO E DE CISALHAMENTO
4.1 Introdução
Segundo a NBR 6118 (2003) as verificações dos estados limites últimos
e de serviço devem ser atendidas para todos os elementos estruturais. Para lajes
nervuradas pré-moldadas são, em geral, determinantes no dimensionamento: o Estado
Limite Último de Capacidade Resistente das seções sob flexão e cisalhamento cujos
procedimentos são mostrados neste capítulo e o Estado Limite de Utilização para
Deformação Excessiva mostrado no capítulo seguinte.
4.2 Procedimento de cálculo considerando a verificação dos estados limites
O Estado Limite Último (ELU) é o estado limite relacionado ao colapso,
ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da
estrutura. Enquanto que o estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF) é o estado
em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal.
A verificação de colapso na flexão nas lajes nervuradas pré-fabricadas é feita de acordo
com as hipóteses básicas da flexão contidas na Norma NBR 6118 (2003). Considera-se,
4
4
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
84
neste caso, que a seção transversal tenha a forma de um “T”. Primeiramente é
necessário o cálculo da largura b
f
(largura colaborante) da capa de concreto que
contribui para resistir aos esforços aplicados (figura 4.1). Este valor pode ser obtido
segundo a equação 4.1
+
+
1
2
10,0
bb
ab
b
w
w
f
Eq. 4.1
onde
a
b
b
10,0
5,0
2
1
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo
considerado, como se apresenta a seguir:
- viga simplesmente apoiada: a = 1,00 l ;
- tramo com momento em uma só extremidade: a = 0,75 l ;
- tramo com momentos nas duas extremidades: a = 0,60 l ;
- tramo em balanço: a = 2,00
l .
FIGURA 4.1- Esquema para o cálculo da largura colaborante
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
85
4.3 Dimensionamento no estado limite último de flexão simples
Considerando atuando na seção transversal de um elemento de concreto
armado um momento fletor (M) crescente que varia de zero até um valor que leve o
elemento ao colapso, nota-se níveis distintos de deformação denominados Estádios
(figura 4.2), que determinam o comportamento da seção até a sua ruína.
Pode-se conceituar cada um destes estádios como sendo:
Estádio I - também chamado de estado elástico, onde sob a ação de um
momento fletor M
I
de pequena intensidade, a tensão de tração no concreto não
ultrapassa sua resistência característica à tração (f
tk
), neste Estádio temos:
o diagrama linear de tensão normal ao longo da altura da seção;
as tensões nas fibras são proporcionais às deformações, correspondendo ao
trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto
ainda não aparecem fissuras visíveis a olho nú.
ESTÁDIO I
ESTÁDIO II
ESTÁDIO III
AS
Deformações
Deformações
Deformações
Tensões Tensões Tensões
RS1 RS2 RSu
PPεuε2ε1 σ1 σ2 σu
M
QQ Q
A
S AS AS
MM M
x1
x2
xu
z1
z2
zu
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
FIGURA 4.2 – Comportamento da seção transversal nos três Estádios de uma
viga de concreto armado na flexão normal simples [MONTOYA, 1978]
Estádio II com o aumento do valor do momento fletor para M
II
>M
r
, as
tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores
superiores ao da resistência característica do concreto à tração (f
tk
):
M
r
é o momento de fissuração da seção transversal, ou seja, o momento
acima do qual surge a primeira fissura de tração à flexão.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
86
considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração;
admite-se que a tensão de compressão no concreto continue linear
embora alguns autores a considere com variação parabólica como
mostrada no desenho ;
as fissuras de tração na flexão no concreto são visíveis.
Estádio III com o aumento do valor do momento fletor até a um valor
próximo ao de ruína (M
u
) ocorre:
o inicio do escoamento da fibra mais comprimida do concreto, atingindo
a deformação específica de 0,35% (3,5‰);
o diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme) para deformações
superiores a 2‰; com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão
máxima.
a peça encontra-se bastante fissurada, com a fissuração quase atingindo
quase a linha neutra;
supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um
diagrama parábola-retângulo. A norma admite, para efeito de cálculo,
que o diagrama parábola-retângulo possa ser substituído por um
retangular com a distância y, da linha neutra a borda mais comprimida,
igual a 0,8 da real x (anexo I)
O dimensionamento das estruturas de concreto armado é feito,
usualmente, no estado limite último (estádio III), pois as estruturas devem resistir, de
forma econômica, aos esforços sem chegar ao colapso, as situações de serviço (Estádios
I e II) são importantes, porém pode-se dizer que muitas vezes o próprio cálculo no
estado limite último e o bom detalhamento da armadura conduz às verificações destas,
que serão feitas quando necessário. Cabe ressaltar que no caso de lajes nervuradas com
vigotas pré-moldadas em muitas situações o estado limite de deformação excessiva
passa a ser determinante no cálculo.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
87
4.3.1 Cálculo do valor da armadura
A quantidade de armadura longitudinal, para seções transversais
retangulares, conhecidos a resistência do concreto (f
ck
), largura da seção (b
w
), altura útil
(d) e tipo de aço (f
yd
e ε
yd
) é determinada, a partir do equilíbrio das forças atuantes na
seção de acordo com os domínios (figura 4.3) estabelecidos pela NBR6118:2003
resultando em fórmulas e tabela como as encontradas em CARVALHO e
FIGUEIREDO FILHO (2001) que são apresentadas a seguir (Equações 4.2 e 4.3) e
tabela I1 do anexo I:
A
s
=
yd
d
fdKZ
M
..
Eq. 4.2
Onde:
M
d
- momento fletor solicitante de cálculo na seção, no dimensionamento é obtido, em
geral, multiplicando-se o momento em serviço pelo coeficiente de ponderação γ
f.
d- altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada
até à fibra mais comprimida de concreto.
Com o valor de KZ (coeficiente adimensional) tirado da tabela 3.2 CARVALHO e
FIGUEIREDO FILHO (2001, pág. 113 (anexo I)) em função do coeficiente:
KMD=
cd
d
fdb
M
2
.
Eq. 4.3
Onde:
b- largura da seção transversal de vigas de seção retangular ou da nervura (parte mais
estreita da seção transversal), também chamada de alma, nas vigas de seção T.
A tabela I1 em questão fornece o coeficiente KX (braço de alavanca) que
permite calcular a posição da linha neutra x (KX=x/d) e assim determinar o domínio de
deformação em que a peça está trabalhando.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
88
ε
c
ε
s
FIGURA 4.3 Domínios de deformação no estado limite último em uma seção
transversal segundo a NBR:2003
a)
b)
FIGURA 4.4 Seção transversal para cálculo do momento fletor negativo
resistente a) LN na mesa b) LN na alma
Quando atuar um momento fletor positivo (tração na borda inferior) em
seções transversais da laje nervurada há duas possibilidades em relação à linha neutra.
Em uma situação, se a distância da linha neutra x for menor que a espessura da mesa h
f
(ver figura 4.4 b) a região comprimida de concreto é um retângulo de lado b
f
e altura x,
podendo ser utilizado o procedimento anterior, usando-se no lugar de b na Eq. 4.3 o
valor de b
f
. Quando ao contrário x > h
f
usar-se-á o cálculo de viga Te como mostrado
em CARVALHO e FIGUEIREDO (2001,pág. 117), onde determina-se a parcela do
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
89
momento resistido pelas abas (M
1
) e pela alma da seção (M
d
-M
1
) ficando o valor da
armadura total necessária dado pela Eq. 4.4. Determina-se o valor de KZ a partir do
valor de KMD dado pela expressão 4.3 substituindo-se b por b
w
e no lugar do momento
o valor de M
d
-M
1
.
A
s
=
yd
d
yd
f
fdKZ
MM
f
h
d
M
..
.
2
1
1
+
Eq. 4.4
Com
M
1
= (b
f
-b
w
).h
f
.
2
f
h
d
.0,85.f
cd
Eq. 4.5
4.3.2 Momentos resistentes pela seção da nervura
Como já visto no capítulo 3 item 3.5, por causa da geometria de sua
seção a laje nervurada é mais eficiente para resistir aos momentos fletores positivos
(mesa comprimida) do que os negativos (alma comprimida), devido à diferença na área
da região comprimida
4.3.2.1 Momento resistente positivo pela seção da nervura
Para a determinação do momento resistente da seção, conhecida a largura
b
f
da capa de concreto que contribui para resistir aos esforços aplicados e a posição da
linha neutra x tem-se
:
para x
h
f
. (seção como retangular Eq. 4.6)
(
)
(
)
xdxbfM
fcdd
= 4,08,085,0
Eq. 4.6
para x
h
f
(seção em Te Eq. 4.7).
()
()( )
x.4,0d.x.8,0.b.f.85,0
2
h
dhbb.f.85,0M
wcd
f
fwfcdd
+
=
Eq. 4.7
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
9
0
O momento máximo resistido se dá entre os domínios 3 e 4 (x=x
34
) porque
neste caso ocorre o máximo aproveitamento dos materiais que compõe o concreto
armado, ou seja, a ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento do
aço, que é a situação ideal, pois os dois materiais atingem o máximo de sua capacidade
resistiva e com grande deformação na armadura. Portanto o valor da distância da linha
neutra à borda mais comprimida fica dada pela Eq. 4.8:
x = x
34
= d.
5,3
5,3
yd
+
ε
Eq. 4.8
Com ε
yd
– deformação específica de escoamento do aço
Assim para calcular o momento máximo resistente determina-se o valor
da linha x para o limite dos domínios 3 e 4 x
34
(dado em 4.8) e conforme a situação
(x<h
f
ou x>h
f
) emprega-se 4.6 ou 4.7.
4.3.2.2 Momento fletor resistente negativo na seção nervurada
Para o cálculo do máximo momento fletor negativo resistente na seção
considera-se a área da seção abaixo da linha neutra, como indicado na figura 4.5
FIGURA 4.5 Seção transversal para cálculo do momento fletor negativo
resistente: a)seção real b)seção de cálculo.
O valor do momento resistido acaba sendo o mesmo que o da expressão
4.6 trocando-se o valor de
b
f
por b
w
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
91
()
(
)
xdxbfM
wcdd
= 4,08,085,0
Eq. 4.9
O máximo momento será obtido usando para o valor de x o obtido na equação
4.8 , ou seja, x=x
34
considerando-se que d-x>h
f
.
Lembrar que em todas as situações aqui discutidas considerou-se que a altura
útil d da seção é maior que o valor mínimo necessário para que a peça trabalhe ou no
domínio 2 ou 3 (no máximo no limite do 4). Tem-se sempre o caso de armadura simples
e não dupla, mesmo porque a Norma Brasileira restringe o uso de armadura comprimida
em nervuras com espessura menor que 8 cm que podem ocorrer em algumas situações.
4.3.3 Armadura mínima de flexão em lajes pré-fabricadas
A armadura mínima serve para melhorar o desempenho e dutilidade à flexão,
assim como controlar a fissuração. No caso de lajes armadas em uma só direção, o
estudado aqui, de acordo com o item 19.3.3.2 da NBR6118:2003 tanto para armaduras
negativas quanto positivas o valor da taxa mínima deve estar de acordo com os valores
míninos indicados para vigas que podem ser resumidos através da tabela 4.1
O fato da armadura da treliça eletrossoldada empregada ser de CA60 e armadura
de reforço usualmente composta de barras de CA50 faz com que tenha que escolher um
tipo de aço e adotar um valor de taxa mínima. Por observação da tabela o ideal é usar-
se pelo menos um valor de taxa mínima de 0,15%.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
92
Tabela 4.1 Taxas mínimas de armadura de flexão para viga.
Valores de ρ
min
(A
s,min
/A
c
) em porcentagem
para CA-50
Resistência característica do concreto (f
ck
) em
MPa
Forma
da seção
w
min
20 25 30 35 40 45 50
Retangular
0,035
0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T (mesa
comprimida)
0,024
0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197
T (mesa tracionada)
0,031
0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255
Os valores de taxa mínima foram feitos para CA50, γ
c
=1,4, γ
s
=1,15. Caso estes fatores
sejam diferentes os valores da taxa de armadura deverá ser refeito considerando-se
ω
min
(abertura de fissura). Nas seções T, a área da seção a ser considerada deve ser
caracterizida pela alma acrescida da largura colaborante.
4.4 Dimensionamento em relação ao cisalhamento
Apresenta-se a seguir os principais conceitos relativos ao comportamento
resistente das vigas de concreto submetidas ao cisalhamento, que é um tema bastante
complexo, devido às diversas variáveis envolvidas no fenômeno, por isso, as
formulações normalmente ainda são baseadas em expressões empíricas ou semi-
empíricas, mesmo com os contínuos esforços desenvolvidos para associar um modelo
físico consistente ao fenômeno.
A utilização dos modelos de treliça é a base dos principais códigos e
normas técnicas para o dimensionamento de vigas com armadura transversal, dentre
eles, a NBR-6118(2003), o ACI-318(1995) e o CEB (1990). Recentemente também têm
sido utilizados modelos mais refinados, aplicando-se técnicas de elementos finitos com
as relações constitutivas dos materiais e dos mecanismos resistentes, considerando-se a
fissuração do concreto. Outros modelos também podem ser citados, incluindo aqueles
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
93
baseados em conceitos da Mecânica da Fratura, que são especialmente úteis no caso das
vigas sem armadura transversal, onde a ruptura por cisalhamento é tipicamente frágil.
As principais referencias bibliográficas sobre o assunto datam do inicio
deste século, a partir de 1908, e todas se baseiam nos trabalhos de MÖRSCH (reditado
em 1948),. Acreditava-se que a fissura de cisalhamento surgia quando as tensões
tangenciais superassem a resistência a tração simples do concreto. Percebeu-se que isso
era uma simplificação grosseira e que, na verdade, parte da força transversal seria
resistida pela inclinação da tensão principal de compressão no banzo comprimido e pelo
concreto situado entre as fissuras de flexão, que poderia fletir e induzir o aparecimento
de forças de pino na armadura, que também contribuiriam na resistência à força
cortante.
Segundo REGAN apud FURLAN JUNIOR (1995), de 1915 a 1950,
pouco se estudou sobre o cisalhamento. Quando o assunto foi retomado, surgiram varias
teorias e fórmulas que consideravam basicamente os mesmos dados empíricos. Muitos
modelos se originaram a partir de observações experimentais. Neste caso muitas vezes
os cuidados na execução dos modelos podem ser mais importantes do que o tratamento
teórico.
Os trabalhos sobre o cisalhamento se concentram basicamente na
determinação da força cortante que provoca o aparecimento da fissura diagonal (V
cr
) e
da força cortante última (V
u
). O interesse na determinação do inicio da fissuração
inclinada está relacionado com a resistência de vigas sem estribos (já que nestas peças,
normalmente o valor de V
cr
é associado à ruptura) e com o comportamento em serviço
das vigas com estribos.
4.4.1 Considerações sobre os mecanismos resistentes
Nos elementos de concreto armado, o dimensionamento normalmente
não se baseia nas tensões principais de tração e compressão, mas sim em tensões de
cisalhamento. Na região submetida a momento fletor e força cortante, o estado de
tensões principais de tração e compressão é inclinado, pois a força cortante produz
tensões de cisalhamento que alteram os seus valores. As tensões principais são
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
94
decompostas em tensões de cisalhamento e em componentes normais nas direções x e y,
esta última desprezível em seções distantes da região de introdução das cargas. Como o
concreto não tem resistência à tração alta surgem fissuras e pode ocorrer a situação
mostrada na figura 4.6.
FIGURA 4.6 Comportamento de uma viga com fissuração de flexão e cisalhamento
(adptado de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2001]).
Com a fissuração generalizada e a peça chegando próxima ao estado
limite último, considerando a armadura longitudinal e transversal como concentradas, o
comportamento da viga pode ser associado a de uma treliça como indicada
esquematicamente na figura 4.7 (situação simplificada).
Com o aumento da fissuração, as limitações das tensões de compressão
no concreto, principalmente das bielas diagonais e um arranjo conveniente das
armaduras transversal e longitudinal deve garantir a segurança da peça, impedindo que
os componentes da treliça falhem sob as cargas de projeto. A limitação da tensão
convencional (ou de referencia) de cisalhamento procura evitar que a ruptura por
esmagamento da biela ocorra antes do escoamento da armadura transversal.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
95
4
5
FIGURA 4.7 Esquema da treliça idealizada por Mörsch para situação a)com
estribos, b)armadura dobrada. Biela de concreto inclinada de 45
0
(modelo I)
(adptado de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2001]).
A resistência ao cisalhamento é influenciada por vários parâmetros: o
carregamento (tipo e posição da carga), a armadura transversal, a forma da seção
transversal, a força normal e outros que interagem com os vários mecanismos
resistentes (resistência do concreto, altura da peça, granulometria).
A mobilização dos mecanismos é influenciada pelo tipo de carregamento.
Para cargas concentradas próximas dos apoios, é possível a transferência direta (efeito
de arco) e a seção crítica normalmente se localiza a uma distância igual a 2,5 – 3,0 d dos
apoios. À medida que a distância do ponto de aplicação da carga até o apoio aumenta,
este mecanismo de transferência direta se torna menos relevante, neste caso, a
resistência depende mais da ação de pino, do atrito nas fissuras e da resistência à tração
do concreto. Para cargas distribuídas o fenômeno é semelhante, mas sempre haverá uma
parcela da carga que pode ser transferida diretamente ao apoio e por isso a resistência ao
esforço cortante é maior.
A taxa de armadura longitudinal define a rigidez do banzo tracionado,
que por sua vez influi no desenvolvimento das fissuras de cisalhamento , também influi
na ação de pino e no mecanismo de arqueamento dos esforços internos.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
96
Considerando o Estado limite último para as solicitações tangenciais
verifica-se que a ruptura por cisalhamento via de regra, em lajes com nervuras, pode
ocorrer antes da flexão quando ocorrem forças concentradas ou forças distribuídas em
linha, como, por exemplo, em paredes. Para resistir a essa solicitação as lajes devem ser
dimensionadas considerando-se como seção resistente das nervuras a parte pré-moldada
somada à parte moldada no local, para isso deve ser garantida a transferência de
cisalhamento pela interface. Em casos usuais a transferência de cisalhamento pela
interface entre a vigota e a capa é feita sem necessitar de armadura de costura. De
qualquer forma para as vigotas sem armadura em treliça esta condição deve ser
verificada, já que no caso da armadura em treliça há, em geral, quantidade de armadura
suficiente para fazer a transferência de esforço.
4.4.2 Força cortante em lajes
A NBR 6118 (2003) no item 19.4 fornece a verificação da força cortante
em lajes com b
w
5d para situações em que não e usa armadura transversal e quando
se emprega a mesma. No último caso a armadura treliçada seria empregada para tal,
havendo uma discussão, em virtude dos resultados de CAIXETA (1998) da necessidade
de ancoragem do banzo superior da mesma.
4.4.2.1 Lajes sem armadura para força cortante
As lajes maciças ou nervuradas, podem prescindir de armadura
transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a
força cortante de cálculo obedecer à expressão:
V
Sd
V
Rd1
Eq. 4.10
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
97
V
Rd1
= [τ
Rd
. k. (1,2 + 40 ρ
1
) + 0,15 σ
cp
] b
w
d
Eq. 4.11
onde:
τ
Rd
= 0,25 f
ctd
f
ctd
= f
ctk,inf
/ γ
c
com γ
c
=1,4 tem-se f
ctd
= 0,15.
3/2
ck
f
db
A
w
S
.
1
1
=
ρ
, não maior que 0,02
σ
cp
= N
Sd
/ A
c
(tensão de compressão devida, em geral, à protensão).
k é um coeficiente que tem os seguintes valores:
- para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1;
- para os demais casos: k = .1,6 - d., não menor que 1,com d em metros;
onde:
f
ctd
é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento;
A
s1
é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d +
b
l
,nec
além da
seção considerada;
com
b
l
,nec
mostrado na figura 4.8;
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
98
FIGURA 4.8 Comprimento de ancoragem necessário (NBR 6118/2003)
b
w
é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;
N
Sd
é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão
positiva).
Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalhamento a
resistência de cálculo V
Rd2
(resistência da biela de concreto) é dada por:
V
Rd2
= 0,5α
v1
. f
cd
. b
w
. 0,9. d
Eq. 4.12
onde:
α
v1
= (0,7 – f
ck
/200), não maior que 0,5.
Em geral esta segunda situação já é atendida quando a da equação 4.11
está verificada pois a anterior indica que só o concreto é capaz de resistir ao esforço de
cisalhamento e portanto a biela de concreto também terá de resistir o esforço de
compressão nela atuante.
Para mostrar tal situação imagina-se uma laje pré-fabricada com os
seguintes dados:
Altura total: h= 12 cm
Altura útil: d=10 cm
Largura da alma: b
w
Concreto: f
ck
=20 MPa
Taxa de armadura mínima ρ=ρ
min
=0,15%
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
99
O valor de V
rd1
será dado por:
com
=
1
ρ
0,15, σ
cp
= 0
τ
Rd
= 0,25 f
ctd
= 25,0
3/2
2015,0 =0,27 MPa
k = .1,6 – d= 1,6 – 0,10=1,5
V
Rd1
= [τ
Rd
. k. (1,2 + 40 ρ
1
) + 0,15 σ
cp
] b
w
d
= 0,27. 1,5 . (1,2+40.0,0015) b
w
d=0,51 b
w
d
A resistência de cálculo
V
Rd2
(resistência da biela de concreto) é dada
por:
α
v1
= (0,7 – f
ck
/200)= (0,7-20/200)=0,62 mas como α
v1
, não maior que 0,5 α
v1
=0,5
onde:
V
Rd2
= 0,5α
v1
. f
cd
. b
w
. 0,9. d = 9,0
4,1
20
5,05,0 b
w
d= 3,21 b
w
d
V
Rd2
= 3,21 b
w
d > V
Rd1
= 0,51 b
w
d
4.4.2.2 Lajes com armadura para força cortante
Aplicam-se os critérios da Verificação do estado limite último (item
17.4.2 da NBR 6118(2003).
A resistência dos estribos pode ser considerada com os seguintes valores
máximos, sendo permitida interpolação linear:
- 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm;
- 435 MPa (
f
ywd
), para lajes com espessura maior que 35 cm.
4.4.2.2.1 Cálculo da resistência
A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção
transversal, deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as
seguintes condições:
V
Sd
V
Rd2
e
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
100
V
Sd
V
Rd3
= V
c
+ V
sw
Eq. 4.13
onde:
V
Sd
é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;
V
Rd2
é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas
de concreto, de acordo com o processo indicado nos modelos de cálculo I e II ;
V
Rd3
= V
c
+ V
sw
, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração
diagonal, onde
V
c
é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos
complementares ao de treliça e
V
sw
a parcela resistida pela armadura transversal, de
acordo com o processo indicado nos modelos de cálculo I e II.
Na região dos apoios, os cálculos podem considerar as forças cortantes
agentes nas respectivas faces.
4.4.2.2.2 Modelo de cálculo I
O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45° em
relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela
complementar
Vc tenha valor constante, independente de V
Sd.
a) verificação da compressão diagonal do concreto (mesma expressão
que a equação 4.12):
V
Rd2
= 0,27. α
v2.
.f
cd
.b
w
.d
onde:
α
v2
= (1 - f
ck
/ 250)
b) cálculo da armadura transversal:
V
Rd3
= V
c
+V
sw
com
V
sw
= (A
sw
/ s) 0,9 d f
ywd
(sen α + cos α)
Eq. 4.14
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
101
onde:
V
c
= 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da
seção;
V
c
= V
c0
na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;
V
c
= V
c0
(1+ M
o
/ M
Sd,máx
) 2V
c0
na flexo-compressão
V
c0
= 0,6 f
ctd
b
w
d
f
ctd
= = 0,15.
3/2
ck
f
onde:
b
w
é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; entretanto, no
caso de elementos estruturais protendidos, quando existirem bainhas injetadas com
diâmetro φ >
b
w
/8, a largura resistente a considerar deve ser (b
w
- 1/2Σφ), na posição da
alma em que essa diferença seja mais desfavorável, à exceção do nível que define o
banzo tracionado da viga;
d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade
da armadura de tração; entretanto no caso de elementos estruturais protendidos com
cabos distribuídos ao longo da altura,
d não precisa ser tomado com valor menor que
0,8
h, desde que exista armadura junto à face tracionada.
s é o espaçamento entre elementos da armadura transversal A
sw
, medido segundo o eixo
longitudinal do elemento estrutural;
f
ywd
é a tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor f
yd
no caso de estribos
e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos,
valores superiores a 435 MPa; entretanto, no caso de armaduras transversais ativas, o
acréscimo de tensão devida à força cortante não pode ultrapassar a diferença entre
f
pyd
e
a tensão de protensão, nem ser superior a 435 MPa;
α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do
elemento estrutural, podendo-se tomar 45° α 90°;
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
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102
M
0
é o valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da
seção (tracionada por
M
d,max
), provocada pelas forças normais de diversas origens
concomitantes com
V
Sd
, sendo essa tensão calculada com valores de γ
f
e γ
p
iguais a 1,0 e
0,9 respectivamente; os momentos correspondentes a essas forças normais não devem
ser considerados no cálculo dessa tensão pois são considerados em
M
Sd
; devem ser
considerados apenas os momentos isostáticos de protensão;
M
Sd,max
é o momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser
tomado como o de maior valor no semitramo considerado (para esse cálculo não se
consideram os momentos isostáticos de protensão, apenas os hiperestáticos);
c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado:
Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de
esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela
fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de
força no banzo tracionado, dada pela expressão:
()
()
+
=
αα
gg
VV
V
da
cmáxSd
máxSd
l
cotcot1.
.2
.
,
,
Eq. 4.15
Onde:
l
a 0,5d, no caso geral;
l
a 0,2d, para estribos inclinados a 45°.
Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem
do diagrama de momentos fletores.
A decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida
simplesmente aumentando a força de tração, em cada seção, pela expressão:
()
2
1
.cotcot.
,
αθ
ggV
z
M
R
Sd
Sd
corSd
+=
Eq. 4.16
Onde θ é o ângulo da biela de concreto.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
103
Todos estes valores seriam empregados para o detalhamento da armadura
longitudinal ao longo da nervura, sendo comum porem, pos questões práticas,
prolongar-se toda a armadura longitudinal de uma nervura de uma extremidade a outra
da nervura.
4.4.2.2.3 Modelo de cálculo II
O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação
ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com θ variável livremente entre 30° e 45°.
Admite ainda que a parcela complementar V
c
sofra redução com o aumento de V
Sd
.
a) verificação da compressão diagonal do concreto:
V
Rd2
= 0,54 α
v2
f
cd
b
w
d sen2 θ (cotg α + cotg θ)
Eq. 4.17
com: α
v2
= (1- f
ck
/250) e f
ck
, em MPa
b) cálculo da armadura transversal:
V
Rd3
= V
c
+V
sw
onde:
V
sw
= (A
sw
/ s) 0,9 d f
ywd
(cotg α + cotg θ) sen α
Eq. 4.18
V
c
= 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da
seção;
V
c
= V
c1
, na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;
V
c
= V
c1
(1+ M
0
/ M
Sd,máx
) < 2V
c1
na flexo-compressão, com:
V
c1
= V
c0
quando V
Sd
V
c0
V
c1
= 0 quando V
Sd
= V
Rd2
, interpolando-se linearmente para valores
intermediários.
São mantidas a notação e as limitações já definidas no Modelo de
Cálculo I
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
104
c) deslocamento do diagrama de momentos fletores:
São mantidas as condições estabelecidas no Modelo Cálculo I, item c), o
deslocamento do diagrama de momentos fletores, aplicando o processo descrito nessa
seção, deve ser:
()
α
θ
ggda
l
cotcot..5,0 =
Eq. 4.19
onde:
l
a 0,5d, no caso geral;
l
a
0,2d, para estribos inclinados a 45°.
Permanece válida para o modelo II a alternativa dada no Modelo I, item
c).
4.4.3 Força Cortante em lajes pré-fabricadas unidirecionais segundo a Norma
Espanhola
Uma norma bastante completa de lajes pré-fabricadas unidirecionais é a Norma
Espanhola
EF96 [1996], cujas considerações de esforço cortante são citadas neste item
resumidamente.
O Estado Limite Último para solicitações tangenciais implica segundo a Norma
Espanhola EF-96 em:
Para compressão obliqua da nervura
V
d
V
u2
= 0,3 . f
cd
. b
w
. d
Eq. 4.20
Para tração obliqua da nervura
Sem armadura transversal
V
d
V
u2
= ξ . ζ .f
cv
. b
w
. d
Eq. 4.21
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
105
Com armadura transversal
V
d
V
u2
= (f
cv
. b
w
. d + 0,9 . f
td
. A
t
. (sen + cosα) . d)
Eq. 4.22
Sendo:
b
w
=Largura mínima da nervura
d = Altura útil da nervura
fcd = Resistência de cálculo do concreto a compressão
ξ = 1,6 – d < 1 fator adimensional com d em metros
ζ = (1 +50 . ρ) > 2 fator adimensional em função da taxa de armadura
ρ =
410
f
.
d.b
A
yk
w
S
E para a verificação da transferência de cisalhamento para as lajes pré-
moldadas é utilizada a seguinte limitação da força cortante, conforme também indicado
pela norma espanhola EF-96.
V
d
< β.u.d.f
cv
Eq. 4.23
Em que:
β - coeficiente relativo à rugosidade da superfície de contato, com os valores de 1,2 para
superfície rugosa e de 0,6 para parede lisa;
u – perímetro, conforme indicado na
figura 4.9;
d – altura útil da seção composta;
f
cv
- resistência de referência ao cisalhamento do concreto moldado no local, calculada
com: f
cv
= 0,13 .
cd
f (em MPa)
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
106
d
u
FIGURA 4.9– Perímetro (u) a ser empregado na verificação do
cisalhamento
4.5 Estudo experimental exploratório
Com o intuito de se analisar o comportamento de nervuras de lajes pré-
fabricadas no cisalhamento, o autor realizou em um projeto de pesquisa com o auxilio
da FAPESP (
FLORIO [2001]), ensaios com protótipos de vigotas de concreto armado.
Os objetivos eram verificar se haveria aderência entre o concreto da vigota e do
concreto moldado no local, como se daria a ruptura e finalmente se as expressões da
Norma Brasileira e Espanhola conduziam a cortantes seguros.
FIGURA 4.10 – Esquema estrutural da nervura e do carregamento
Esses experimentos, com o esquema estrutural indicado na figura 4.10 e
feitos conforme as fotografias 4.1 e 4.2, destinavam-se verificar a aderência entre as
vigotas de concreto pré-moldado do tipo trilho (com aderência mais crítica em relação
às do tipo treliça) e a capa de concreto moldada no local, quando submetidas a uma
carga cortante próxima ao apoio, levando a nervura à ruptura por cisalhamento. São
apresentados a seguir resumidamente como foram feitos os ensaios e os resultados dos
cálculos teóricos e os valores experimentais dos protótipos.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
107
FOTOGRAFIA 4.1– Ensaio de
cisalhamento com pórtico, macaco,
dinamômetro e nervura isolada
FOTOGRAFIA 4.2 – Vista lateral do
ensaio.
As nervuras ensaiadas para verificação da resistência ao cisalhamento
foram submetidas a uma carga concentrada aplicada a 2,5 d (25 cm) do apoio de acordo
com o esquema da figura 4.10. Apenas em uma das vigotas a aplicação da carga se deu
a uma distância de 35 cm do apoio. As características dos elementos ensaiados estão na
tabela 4.2.
TABELA 4.2- Dados das nervuras ensaiadas
Vigota Armadura (mm) Altura (cm) Comprimento (m) Ensaio
I
3 φ 6,0
11,5 1,3 Cisalhamento
J
3 φ 6,0
11,5 1,3 Cisalhamento
L
3 φ 6,0
11,5 1,3 Cisalhamento
Aproveitando as nervuras dos primeiros ensaios foram realizados ensaios
de resistência ao cisalhamento na outra extremidade das nervuras. E essas vigotas foram
renomeadas como 1,2 e 3.
Os valores das cargas que provocaram o colapso por cisalhamento estão
indicados na tabela 4.3.
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
108
TABELA 4.3 - Protótipos e respectivas cargas de ruptura
Nervura Carga de ruptura (daN) Distancia da carga ao apoio (cm)
I Problemas no ensaio 35
J 1081,6 35
L 1251,0 25
1 1250,0 25
2 1187,8 25
3 1010,8 25
Média 1174,9
Os ensaios de cisalhamento mostraram que não houve separação entre a
superfície da vigota com o concreto moldado no local no caso de lajes pré-moldadas
confeccionadas a partir de vigotas do tipo trilho, lembrando que durante a execução dos
protótipos o único cuidado que se teve foi o de molhar a superfície das vigotas antes da
concretagem. O mesmo deve ocorrer no caso de lajes pré-moldadas confeccionadas a
partir de vigotas do tipo treliça que apresentam maior aderência entre o elemento pré-
moldado e a capa de concreto moldada no local.
FOTOGRAFIA 4.3 –fissura na lateral
da nervura após o colapso, trincas a
um ângulo próximo de 45
0
FOTOGRAFIA 4.4 - Face lateral da
nervura após o colapso, trincas a um
ângulo próximo de 45
0
Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento
_____________________________________________________________________________________
109
A ruptura se deu sempre pela tração diagonal em virtude da ausência de
armadura transversal e ao fato da carga estar a uma distância do apoio maior que 2.d. A
expressão de verificação do valor máximo da norma espanhola EF-96 chega a
resultados próximos do ensaio, considerando um coeficiente de segurança de 1,45. Na
norma brasileira NBR 6118 (2003)
a expressão a se empregar, em virtude da ausência
de armadura transversal, deve ser a correspondente a parcela do cortante resistida pelo
concreto usando o modelo I (fissuras a 45
0
) chegando-se neste caso a um coeficiente de
segurança médio de 1,57.
FOTOGRAFIA 4.5 –fissura na lateral
da nervura após o colapso, carga a 35
cm do apoio, inclinação de trincas é
menor que 45
0
FOTOGRAFIA 4.6 - fissura na lateral
da nervura após o colapso, concreto
junto ao apoio se soltou. Inclinação das
trincas menor que 45
0
FOTOGRAFIA 4.7 – Aparecimento da
fissura na face inferior da nervura
FOTOGRAFIA 4.8- Face inferior da
nervura, a fissura (ou trinca) ocorre
inclusive na mesa
VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE
DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA
5.1 Introdução
Para a verificação do estado limite de deformação excessiva pode-se
seguir o roteiro de CARVALHO at alli (2001) com algumas modificações pois é
baseado nos preceitos da NBR6118(1980), substituída pela NBR6118(2003).
Segundo esse roteiro, primeiramente é preciso considerar que uma seção
solicitada por momento fletor, pode estar atuando entre três situações limites, descritas
como Estádios I, II ou III, como visto no item 4.3. Pode-se dizer que as seções
trabalham nos Estádios I e II quando estão solicitadas pelas ações de serviço, e que o
Estádio III corresponde ao estado limite último (ações majoradas e resistências
minoradas).
Considera-se que uma seção esteja trabalhando no Estádio I se o
momento atuante for menor que o momento de fissuração. O momento de fissuração é
dado pela equação 5.1:
t
cct
R
y
If
M
..
α
=
Eq. 5.1
onde:
α =1,2 para seções T ou duplo T;
5
5
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
111
α = 1,5 para seções retangulares;
e onde:
α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a
resistência à tração direta;
y
t
é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
I
c
é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
f
ct
é a resistência à tração direta do concreto. Para determinação do momento de
fissuração deve ser usado o f
ctk,inf
no estado limite de formação de fissura e o f
ct,m
no
estado limite de deformação excessiva, ou seja f
ct
= 0,21f
ck
2/3
5.2 Cálculo das características geométrica (Estádios I e II)
A seguir é necessário determinar as características geométricas de seções
no estádio I, considerando-se que nas peças de concreto armado todo o detalhamento da
armadura é feito no sentido de se garantir a aderência das barras de aço com o concreto,
de modo que os dois materiais trabalhem solidariamente. Assim, o centro de rotação da
seção e a rigidez da mesma é afetada pelo posicionamento e quantidade da armadura,
sendo necessária a homogeneização da seção, que consiste em considerar no lugar da
área de aço existente A
s
, uma área de concreto equivalente. Nesta situação supõe-se que
há linearidade entre tensão e deformação valendo a Lei de Hooke pois as deformações
são pequenas, como as deformações específicas do aço e do concreto são iguais
(ε
c
= ε
s
), devido a aderência, tem-se a equação 5.2:
ssssss
EAAR ε
=
σ= ou
scss
EAR
ε=
Eq. 5.2
sendo R
s
, A
s
e E
s
a força, a área da armadura e o módulo de deformação longitudinal do
aço respectivamente.
Para homogeneizar a seção, é preciso encontrar uma área de concreto
(área equivalente) que suporte uma força igual à da armadura, dada pela equação 5.3:
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
112
cceq,cs
EAR
ε
=
Eq. 5.3
onde E
c
é o módulo de deformação longitudinal do concreto, igualando as duas
expressões de R
s
é possível encontrar a relação entre a área de concreto e da
armadura(equação 5.4):
cceq,cscs
EAEA ε=ε
c
s
s
c
ss
eq,c
E
E
A
E
EA
A =
=
Eq. 5.4
e chamando de α
e
a relação entre os módulos de deformação longitudinal do aço e do
concreto
()
c
s
E
E
e
=α , a área equivalente de concreto é dada pela equação 5.5:
eseq,c
AA
α
=
Eq. 5.5
Na determinação da Inércia a Norma NBR 6118 (2003) recomenda a
consideração das características das seções compostas somente por concreto, ou seja,
desconsiderando a presença da armadura (seção bruta). As expressões para uma seção
bruta em forma de “
T” (figura 5.1) estão na tabela 5.1.
FIGURA 5.1 - Seção transversal em forma de “T”a) bruta ou geométrica sem
armadura, b) com armaura.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
113
A partir da determinação da quantidade de armadura necessária pode-se
trabalhar com a seção composta por aço e concreto usando o procedimento de
homogeneização. Para uma seção “T” as expressões são as da tabela 5.2 que permitem a
determinação da Inércia da peça no Estádio I
TABELA 5.1 - Características geométricas de seções transversais em “T”, no
estádio I, sem considerar a presença da armadura
Expressão
Área (seção
geométrica)
()
hbhbbA
wfwfg
+
=
Centro de
gravidade
y
bb
h
b
h
A
g
fw
f
w
g
=
−⋅
+⋅()
2
2
22
Momento
de inércia à
flexão
gw
2
f
gfwf
3
w
3
fwf
g
2
h
yhb
2
h
yh)bb(
12
hb
12
h)bb(
I
+
+
+
=
TABELA 5.2 - Características geométricas de seções transversais em “T”, no
estádio I, com armadura longitudinal A
s
Expressão
Área (seção
homogeneizada)
(
)
(
)
1
+
+
=
eswfwfh
AhbhbbA
α
Centro de
gravidade
h
esw
f
wf
h
A
dA
h
b
h
bb
y
++
=
)1(
22
)(
2
2
α
Momento de
inércia à flexão
2
f
hfwf
3
w
3
fwf
h
2
h
yh)bb(
12
hb
12
h)bb(
I
+
+
=
()( )
2
2
1
2
dyA
h
yhb
heshw
+
+
α
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
11
4
As fórmulas relacionadas nas tabelas 5.1 e 5.2 aplicam-se também para
as seções retangulares, bastando igualar os valores de b
f
e h
f
a zero.
Agora é necessário determinar as características geométricas de seções
no estádio II, pois, aumentando-se o valor do momento fletor atuante na seção, as
tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores
superiores ao da resistência característica do concreto à tração (f
tk
) conduzindo ao
estádio II (estado de fissuração) onde supõe-se:
os esforços de tração são resistidos apenas pela armadura localizada abaixo da
linha neutra;
há uma relação linear entre tensão e deformação específica no concreto para
todos os pontos da seção transversal comprimidos.
Como todo o concreto da região fissurada está sendo desprezado, já que
esta é uma situação limite do estádio II, deve-se nomeá-lo de Estádio II puro.
Compreendendo o
Estádio II a situação em que atua na seção um momento maior que o
momento de fissuração, até à situação em que começa a ocorrer o escoamento da seção,
e apresenta as seguintes características:
a distribuição das tensões de compressão no concreto é triangular;
concreto não trabalha à tração, sendo este esforço resistido apenas pela armadura
presente abaixo da linha neutra;
não ocorre escoamento do aço nem do concreto.
Na figura 5.2 indica-se o que ocorre em uma seção do tipo “T” quando
atua um momento maior que o de fissuração.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
11
5
ε
εσ
FIGURA 5.2 - Seção transversal em forma de “T” no estádio II puro
Para o cálculo do momento de inércia no estádio ΙΙ puro é necessário que
se conheça a posição x da linha neutra, obtida fazendo o momento estático da seção
homogeneizada igual a zero. O cálculo de x em casos de vigas com seção em forma de
“T” é obtido da equação do segundo grau: 0axaxa
32
2
1
=++
cuja solução é dada pela equação 5.6.
1
31
2
22
a2
aa4aa
x
±
=
Eq. 5.6
com os coeficientes a
1
, a
2
e a
3
iguais a:
2/ba
w1
=
()()
se
'
sewff2
AA1bbha α+α+=
() ()
wf
2
f
se
'
se
'
3
bb
2
h
AdA1da αα=
sendo: d’ sendo a distância do centro de gravidade de A’
S
(armadura comprimida) até à
borda comprimida de concreto.
Para situações em que a viga tem seção transversal retangular e não
existe armadura negativa, as equações também são válidas, bastando fazer b
w
= b
f
, h
f
=
0 e A
s
= 0.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
11
6
É possível agora, com a equação 5.7, calcular o momento de inércia da
seção no estádio II puro (I
x,II0
), em relação à linha neutra, cuja posição x é determinada
em 5.6:
2
se
3
w
x,
d)-x(A
3
xb
0
α+
=Ι
ΙΙ
Eq. 5.7
5.3 Efeito teórico da fissuração na rigidez
Conhecendo o momento atuante, o momento de fissuração e as inércias
nos Estádios I e II, pode-se aplicar modelo simplificado de BRANSON (1968) para a
determinação de uma inércia media que considera o efeito da fissuração no
funcionamento à flexão de uma peça de concreto armado.
Este modelo
admite para todas as seções da peça de concreto uma única
inércia média, representando os trechos fissurados e não fissurados (figura 5.3).
Baseando-se para isso em um método que toma a variação da tensão ao longo da seção
transversal e ao longo do comprimento da peça de uma maneira simplificada e
utilizando expressões empíricas que fornecem valores médios do momento de inércia.
FIGURA 5.3 - Esquema de uma viga submetida à flexão com trechos
funcionando em vários Estádios
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
11
7
Ou seja, procura traduzir, de forma aproximada, no cálculo das flechas
imediatas o efeito da fissuração do concreto submetido à flexão. A partir dos valores da
inércia no Estádio I (seção sem fissuração) e no Estádio II (seção totalmente fissurada) e
com os valores do momento de fissuração e momento atuante na peça pode-se calcular a
Inércia Média de Branson. Dada pela equação 5.8.
II
n
at
R
I
n
at
R
m
I
M
M
1I
M
M
I
+
=
Eq. 5.8
onde:
I
m
Momento de inércia efetivo para uma seção ou para toda a peça, no caso de vigas
simplesmente apoiadas; momento de inércia médio entre a seção do apoio e a seção do meio
do vão, para o caso de vigas contínuas;
I
I
Momento de inércia da peça no estádio
Ι;
I
II
Momento de inércia da peça no estádio
ΙΙ;
M
R
Momento de fissuração do concreto;
M
at
Momento atuante na seção mais solicitada;
n
índice de valor igual a 4, para situações em que a análise é feita em apenas uma seção da
peça, ou igual a 3, quando se faz a análise da peça ao longo de todo o seu comprimento, que é
a situação em questão.
Dessa forma as flechas imediatas podem ser calculadas pelas expressões
da resistência dos materiais usando para o valor da inércia da seção a inércia média de
Branson.
5.4 Estudo experimental do efeito da fissuração
Em seguida são relatados os ensaios à flexão de protótipos de lajes
unidirecionais pré-fabricados feitos pelo autor, CAIXETA (1998), PEIXOTO (2002) e
ROGGE (2002) onde se compara os valores numéricos obtidos com a expressão
proposta por Branson.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
118
São analisados alguns aspectos tais como: taxa de armadura, tipo de
vigota, processo de execução (adensamento e cura do concreto) e tipos de carregamento.
A motivação desse relato está no fato de Branson não ter analisado peças com as
características das estudadas pelos autores.
Este texto acabou originando o trabalho publicado por FLORIO et alli
(2003) com o título “Flecha em Lajes com Vigotas Pré-moldadas Considerando a
Fissuração e o uso da Expressão de Brasson”, apresentado na sessão plenária da “Tarde
do Pré-Moldado” no 45
o
Congresso do Instituto Brasileiro do Concreto que teve como
tema “Excelência em Concreto na Terra e no Mar” na cidade de Vitória, Espírito Santo.
Cumpre ressaltar que esse texto, assim como os gráficos e respectivos
cálculos executados foram feitos antes da publicação da NBR 6118 em sua versão 2003.
Assim os valores numéricos do momento de fissuração e módulo de deformabilidade do
concreto seguem as expressões encontradas em CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO
(2001). Uma comparação entre esse tipo de cálculo e o da NBR 6118 (2003) pode ser
visto no exemplo numérico 2 do capítulo6.
5.4.1 Estudo experimental realizado por FLÓRIO
A partir de valores experimentais obtidos por FLÓRIO (2001) em
pesquisa de iniciação científica foi possível comparar flechas medidas
experimentalmente com teóricas obtidas com a expressão de Branson para protótipos
com vigotas de concreto.
Essas flechas foram medidas em nervuras de concreto armado isoladas
feita com vigotas do tipo trilho e simplesmente apoiadas (figura 5.4). Os deslocamentos
do ponto no meio dos vãos das nervuras foram medidos através de um defletômetro
mecânico (fotografia 5.1) e de um nível de precisão (Carl-Zeiss, modelo NI-007,
fotografia 5.2). O defletômetro foi colocado sob as nervuras, apoiado em um suporte
metálico e retirado na eminência do colapso da nervura. Os resultados apresentados
constituem uma média aritmética dos valores obtidos com as duas aparelhagens, embora
a diferença entre ambas fosse muito pequena.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
11
9
FOTOGRAFIA 5.1 - defletômetro
mecânico
FOTOGRAFIA 5.2 - nível de precisão
L
Defletômetro
Pórtico
Metálico
y
x
Vista Lateral
Barra
cilindrica
Barra
cilindrica
Macaco
Hidraulico
Anel
dinamométrico
Perfis
metálicos
Protótipo
Pórtico
Metálico
Espessura
da capa h
f
Altura h
Capa de concreto
Elemento de
enchimento
Vigota pré-moldada
tipo trilho
As
Seção Transversal
Detalhe
FIGURA 5.4 - Esquema do ensaio para análise da nervura, capa+vigota, com
vigota de concreto.
As cargas nos ensaios eram aplicadas por macaco hidráulico e a medição
do valor da carga aplicada era feita com auxílio de um anel dinamométrico (fotografia
5.3). Para possibilitar a aplicação de duas cargas concentradas com a utilização de um
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
12
0
único macaco hidráulico, foi empregado um perfil metálico longitudinal e mais dois de
apoio como pode ser visto no esquema da figura 5.4, permitido assim o
encaminhamento da carga para os dois pontos previstos para a aplicação da carga.
FOTOGRAFIA 5.3 Anel dinamométrico
A concretagem dos protótipos foi simultânea para evitar ao máximo as
variações das características do concreto. Os protótipos executados foram nomeados de
A até H e suas características gerais são apresentadas na tabela 5.3. Os valores de a e b
(ver Figura 5.5) para o vão de 3,0 m e 2,0 m são iguais a, respectivamente, a = 1,0 m ; b
= 1,0 m e a=0,5 e b= 1,0 m.
FIGURA 5.5 - Esquema estrutural
Os valores da resistência do concreto dos corpos de prova à compressão
(f
cj
) foram obtidos a partir do ensaio de compressão aplicado aos corpos de prova
cilíndricos retirados no ato da concretagem dos protótipos (fotografias 5.4 e 5.5). No
caso de protótipos que apresentavam mais de um corpo de prova, a resistência do
concreto à compressão foi considerada igual a média aritmética dos resultado obtidos.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
121
FOTOGRAFIA 5.4 - ensaio de
compressão para obtenção do f
cj
.
FOTOGRAFIA 5.5 - corpo de prova após
ensaio de compressão.
TABELA 5.3- Características geométricas e mecânicas dos protótipos
Protótipo Armadura
(mm)
A
s
(cm
2
)
Altura
(cm)
Capa
(cm)
I
I
(cm
4
)
I
II,O
(cm
4
)
M
r
*
(kNm)
M
u
**
(kNm)
M
r
/ M
u
A
2φ 4,2
0,277 11,5 4,5 1932 231 0,0044 0,0143 0,30
B
2φ 6,0
0,565 11,5 4,5 1972 328 0,0078 0,0293 0,27
C
2φ 4,2
0,277 11,5 4,5 1934 235 0,0044 0,0143 0,307
D
3 φ 6,0
0,848 11,5 4,5 2032 462 0,0081 0,0437 0,185
E
2 φ 6,0
0,565 11,5 4,5 1972 328 0,0078 0,0293 0,27
F
3 φ 6,0
0,848 11,5 4,5 2032 462 0,0081 0,0437 0,185
G
3 φ 6,0
0,848 14 3,0 3721 623 0,0123 0,0547 0,225
H
3 φ 6,0
0,848 14 3,0 3721 623 0,0123 0,0470 0,025
*Valor teórico do momento de fissuração
**Sendo M
u
o momento último. Notar que o momento de fissuração variou entre 18,5% a 30,7% de
M
u
Os gráficos de 5.1 a 5.4
mostram o deslocamento do meio do vão em
função da variação do carregamento para diferentes tipos de nervuras. Para cada par de
nervuras com as mesmas características são apresentados cinco diferentes
deslocamentos dois deles experimentais, cada um obtido com a média entre os valores
medidos a partir de um Nível Topográfico e de um Defletômetro, os demais
deslocamentos são teóricos e calculados com diferentes considerações de Inércia
(Inércia média de Branson, Inércia no Estádio I e Inércia no Estádio II puro).
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
122
O gráfico 5.1 mostra os resultados dos ensaios dos elementos A e C,
elementos de pequena rigidez e pequena taxa de armadura que apresentaram
deformação superior à calculada com a utilização da I
m
(Inércia média de Branon) onde
se pode perceber que quanto maior a carga aplicada maior é a diferença entre a flecha
teórica e a flecha real, ou seja, a diferença entre a flecha real e a de Branson aumenta
quanto mais se aproxima do colapso da peça.
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervuras A e C
0
100
200
300
400
500
600
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0 26,0 28,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + pe so próprio
(daN)
Flecha Branson
Flecha Estádio I
Flecha Estádio II
Nervura A
Nervura C
GRÁFICO 5.1 - Carga aplicada x flecha para as nervuras A e C(f
cj
43 MPa),
armadura (A
s
): 2 φ 4,2 mm; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h
f
) de 4,5 cm;
altura (h)11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)
O gráfico 5.2 mostra os resultados dos ensaios dos elementos B e E,
elementos de pequena rigidez e taxa de armadura intermediária entre as armaduras dos
elementos A-C e D-F que apresentaram deformação inferior à deformação calculada
com a utilização da I
m
(Inércia média de Branson). Nestes gráficos percebe-se uma
aproximação entre as inclinações das curvas.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
123
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervuras B e E
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso próprio
(daN)
Flecha Branson
Flecha Estádio I
Flecha Estádio II
Nervura B
Nervura E
GRÁFICO 5.2 - Carga aplicada x flecha para as nervuras B e E (f
cj
48 MPa),
armadura (A
s
): 2 φ 6,0 mm; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h
f
) de 4,5 cm;
altura (h) 11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)
O gráfico 5.3 mostra os resultados dos ensaios dos elementos D e F,
elementos de pequena rigidez e taxa de armadura mais elevada em relação às anteriores,
esses elementos apresentaram deformações reais inferiores às calculadas com a
utilização da I
m
(Inércia média de Branson), esse comportamento se mantém até a peça
alcançar o colapso. Neste gráfico as inclinações entre os diversos cursos já são bastante
semelhantes.
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervuras D e F
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0 26,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + pe so próprio
(daN)
Flecha Branson
Flecha Estádio I
Flecha Estádio II
Nervura D
Nervura F
GRÁFICO 5.3 - Carga aplicada x flecha para as nervuras D e F (f
cj
40 MPa,
armadura (A
s
): 3 φ 6,0 mm; comprimento: 3,0 m; capa de concreto (h
f
) de 4,5 cm;
altura (h) 11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
12
4
O gráfico 5.4 mostra o resultado do ensaio dos elementos G e H,
elementos de maior rigidez e taxa de armadura mais elevada em relação às anteriores,
que apresentaram deformações reais maiores que as deformações calculadas com a
utilização da I
m
(Inércia média de Branson).
Esse comportamento se mantém, porém a inclinação da curva que mostra
o comportamento real é praticamente a mesma da inclinação obtida em cálculos teóricos
(Branson), o que facilita o emprego de um coeficiente de ajuste para o momento de
fissuração, fazendo com que a expressão de Branson resulte em precisão melhor.
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervuras G e H
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso próprio
(daN)
Flecha Branson
Flecha Estádio I
Flecha Estádio II
Nervura G
Nervura H
GRÁFICO 5.4- Carga aplicada x flecha para as nervuras G e H (f
cj
40 MPa,
armadura (A
s
): 3 φ 6,0 mm; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
)de 3,0cm;
altura (h)14 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)
Observando-se os resultados pode-se resumir o comportamento dos
protótipos da seguinte maneira, a expressão de Branson, para elementos de pequena
rigidez (nervuras de 11,5 cm de altura), apresentou resultados de flechas menores que os
resultados experimentais para nervuras com pequena taxa de armadura (nervuras A e
C), com o aumento da taxa de armadura (nervuras B e E) as flechas obtidas com a
expressão de Branson aproximaram-se das reais e passam a ser maiores quando se
aumenta ainda mais a taxa de armadura (nervuras D e F). Além disso, a inclinação da
curva carga x flecha obtida com a utilização da Inércia de Branson não acompanha a
inclinação da flecha real, o que em tese impossibilita a utilização de um coeficiente de
ajuste para a correta utilização da Expressão de Branson como, por exemplo, mudar o
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
12
5
valor de E
c
ou M
r
.
Para os elementos de maior rigidez (nervuras com mais de 14 cm de
altura) a expressão de Branson apresentou resultados menores que os experimentais,
contudo na maioria dos casos a inclinação da flecha obtida com a Inércia de Branson
praticamente é a mesma da inclinação da flecha experimental, o que permite a utilização
de um coeficiente de ajuste para a correta utilização da Expressão de Branson,
possivelmente a mudança do M
r
.
5.4.2 Estudo experimental realizado por CAIXETA (1998)
Na sua dissertação de mestrado Caixeta (1998) procurou reunir
informações que possibilitam caracterizar lajes pré-moldadas do tipo treliça, realizando
para tanto ensaios de flexão simples em dez modelos, sendo seis deles em seção “T“ que
são apresentados aqui.
Para a medida das flechas das vigas foi utilizado um defletômetro
(transdutor mecânico de deslocamento), posicionado na seção do meio do vão da viga e
em contato com a parte inferior da mesma.
Os gráficos de 5.5 a 5.7 foram feitos utilizando-se resultados
apresentadas por Caixeta, mostrando a curva da flecha experimental variando de acordo
com a carga aplicada e as curvas teóricas correspondentes considerando o momento de
inércia no Estádio I, no Estádio II e o valor médio de Branson.
O gráfico 5.5 apresenta os resultados dos ensaios das nervuras 121 e 122,
elementos de pequena rigidez (12 cm de altura) e armadura de 0,756 cm
2
, esses
elementos apresentaram deformações reais maiores que as deformações calculadas com
a utilização da I
m
, excetuando-se os carregamentos iniciais da Nervura 122.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
12
6
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervuras 121 e 122
0
100
200
300
400
500
600
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso próprio
(daN)
Flecha Branson
Flecha Estádio I
Flecha Estádio II
Nervura 121
Nervura 122
GRÁFICO 5.5 – Carga aplicada x flecha para as nervuras 121 e 122 (f
cj
27,31
MPa, armadura (A
s
): 0,756 cm
2
; comprimento: 3,0 m; capa de concreto (h
f
) de
4,0cm; altura (h) 12 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)
O gráfico 5.6 apresenta os resultados dos ensaios das nervuras 161 e 162,
elementos de rigidez intermediária (16 cm de altura) entre os casos estudados e
armadura de 0,899 cm
2
, esses elementos apresentaram deformação reais menores que as
deformações calculadas com a utilização da I
m
(Inércia média de Branson), para os
carregamentos iniciais e com o aumento da carga as deformações reais aproximam-se
das teóricas chegando a ultrapassa-las, mas logo a seguir voltam a ter praticamente a
mesma inclinação, comprovando o que já havia ocorrido nas nervuras de 14 cm de
altura.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
12
7
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervuras 161 e 162
0
100
200
300
400
500
600
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso próprio
(daN)
Flecha Branson
Flecha Estádio I
Flecha Estádio II
Nervura 161
Nervura 162
GRÁFICO 5.6 - Carga aplicada x flecha para as nervuras 161 e 162 (f
cj
17,82
MPa), armadura (A
s
): 0,899 cm
2
; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h
f
) de 4,0cm;
altura (h) 16 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)
O gráfico 5.7 mostra o comportamento da nervura 201, elemento de
elevada rigidez (20 cm de altura) e devido a isso não se encontra fissurado, trabalhando
praticamente no Estádio I.
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervura 202
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso próprio
(daN)
Flecha Branson
Flecha Estádio I
Flecha Estádio II
Flecha Relógio
GRÁFICO 5.7 - Carga aplicada x flecha para a nervura 202 (f
cj
18,8 MPa),
armadura (A
s
): 0,746 cm
2
; vão (L): 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 4,0cm; altura
(h) 20cm; ensaio: Flexão armadura positiva)
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
128
5.4.3 Outros fatores que influenciam na determinação da flecha
A flecha de um elemento depende além do valor da inércia das suas
seções transversais das características do concreto, ou seja, para uma mesma peça em
concreto armado com mesmo nível de intensidade de carregamento, o valor da flecha
depende da resistência do concreto que, em princípio, caracteriza o valor de E
c
(Módulo
de Elasticidade). Sabe-se que o valor de E
c
é influenciado por diversas variáveis,
portanto é errado imaginar que conhecido o valor de f
ck
pode-se determinar com muito
boa precisão o valor de E
c
A obtenção de um concreto com as características desejadas, inclusive do
módulo de elasticidade (E
c
), depende da boa execução de todas as etapas da
concretagem que podem ser resumidas em: mistura dos materiais, transporte até a obra,
transporte dentro do canteiro, lançamento do concreto, adensamento e cura. A má
execução de uma dessas etapas pode ser responsável pela ocorrência de problemas no
concreto, visto que não há nenhuma possibilidade de compensar as deficiências de uma
das operações com cuidados especiais em outra.
O trabalho realizado por PEIXOTO (2002)
mostra os efeitos do
adensamento e da cura do concreto em lajes pré-moldadas, principalmente no que diz
respeito à rigidez a flexão (produto E.I) de lajes pré-moldadas.
5.4.3.1 Ensaio de flexão variando-se processos de adensamento
PEIXOTO (2002) ensaiou diversos protótipos compostos por uma
nervura com vigotas pré-moldadas do tipo treliça, que se distinguiram entre si apenas
pelo processo de compactação do concreto: com adensamento manual, vibração
mecânica por imersão e vibração superficial. A escolha dessas técnicas se deu por serem
esses os processos que mais se adaptam às condições desse tipo de laje. Os protótipos
similares aos usados por FLÓRIO (2001) foram ensaiados à flexão e para caracterização
do concreto foi feito ensaio de compressão em seus corpos de prova. Para isso foram
elaborados nove protótipos (e respectivos corpos de prova) que foram nomeados de
acordo com a tabela 5.4.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
12
9
TABELA 5.4 – nomenclatura dos protótipos do ensaio de adensamento
Protótipos não vibrados NV – 07, NV – 08, NV – 09
Protótipos vibrados por imersão VI – 01, VI – 02, VI – 03
Protótipos vibrados superficialmente VS – 04, VS – 05, VS - 06
Os resultados dos ensaios são representados graficamente pelas curvas
carga aplicada x deformação e alguns desses resultados são apresentados nos gráficos
5.8, 5.9 e 5.10.
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervura VI-1
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso próprio
(daN)
Nível
Relógio
Branson
Es t á d io I
Es t á d io II
GRÁFICO 5.8 - Carga aplicada x flecha para a nervura VI - 01 (armadura (A
s
):
0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com f
cj
de 34,65
MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em nervura submetida
a vibração por imersão)
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervura VS-6
0
200
400
600
800
1000
1200
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
Deslocamento (mm
Carga aplicada + peso próprio
(daN)
Nível
Relógio
Branson
Es t á di o I
Es t á di o II
GRÁFICO 5.9 - Carga aplicada x flecha para a nervura VS - 06 (armadura (A
s
):
0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com f
cj
de 34,65
MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva submetida a vibração
superficial)
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
13
0
Com esses gráficos foi possível analisar as diferenças de deslocamentos
entre as técnicas de adensamento adotadas nos diversos protótipos. A expressão de
Branson forneceu resultados de flechas inferiores aos experimentais nos processos onde
a vibração foi menos eficiente (gráficos 5.9 e 5.10) e resultados de flechas superiores
aos experimentais nos processos onde a vibração foi mais eficiente (gráfico 5.8),
mostrando que os concretos, que tem o mesmo f
cj
, por questão de execução tem E
c
diferentes, rigidez diferente e por isso valores experimentais e teóricos de deslocamento
distintos.
Gráfico da carga aplicada x flecha
Nervura NV-7
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso pprio
(daN)
Nív el
Relógio
Branson
Estádio I
Estádio II
GRÁFICO 5.10 - Carga aplicada x flecha para a nervura NV - 07 (armadura
(A
s
): 0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com f
cj
de
34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva submetida ao
adensamento manual)
O gráfico 5.11 apresenta as curvas de todos os protótipos utilizados no
ensaio de flexão onde, variou-se o processo de adensamento, mostrando a variação de
deformabilidade entre eles.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
131
Gráfico das cargas x flechas para nervuras com
diferentes tecnicas de adensamento
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 5 10 15 20 25 30
DESLOCAMENTO (mm)
CARGA (dan)
VI - 1
VI - 2
VI - 3
VS - 4
VS - 5
VS - 6
NV - 7
NV - 8
NV - 9
GRÁFICO 5.11 - Carga aplicada x flecha para as nervuras submetidas a
diferentes processos de adensamento
5.4.3.2 Ensaio de flexão variando-se o tipo de cura
Entende-se por cura o processo mediante o qual mantém-se um grau de
umidade satisfatório, evitando a evaporação da água da mistura, garantindo ainda uma
temperatura favorável ao concreto durante o processo de hidratação dos materiais
aglomerantes, de modo a se obter um concreto com as qualidades esperadas. A boa cura
ajuda a controlar um dos processos mais importantes que ocorrem nas estruturas de
concreto, a sua retração. Lajes têm características especiais por terem pequena espessura
e grande superfície e por isso se não forem tomadas medidas imediatas para controle da
perda d’água esta pode ser tão rápida que o concreto sofrerá fissuras por retração
plástica que poderão comprometer o desempenho da estrutura.
No ensaio realizado por PEIXOTO (2002)
o método de cura escolhido
foi a cura por recobrimento com espuma de 40 mm e posteriormente os protótipos
foram ensaiados à flexão, para isso foram elaborados seis protótipos que foram
nomeados de acordo com a tabela 5.5 e dois corpos de prova para cada grupo de
protótipos foram ensaiados à compressão para determinação do f
cj
.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
132
TABELA 5.5 – Nomenclatura dos protótipos do ensaio de cura
Protótipos não curados NC – 01, NC – 02, NC – 03
Protótipos curados por recobrimento CR – 04, CR – 05, CR – 06
Alguns dos resultados desses ensaios são representados graficamente
pelas curvas carga aplicada x deformação (gráficos 5.12 e 5.13).
Gráfico da carga aplicada x flecha
protótipo NC - 02
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0510
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso próprio
(daN)
Nível
Relógio
Branson
Estádio I
Estádio II
GRÁFICO 5.12 - Carga aplicada x flecha para a nervura NC - 02 (armadura
(A
s
): 0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com f
cj
de
34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em nervura não
submetida a cura por recobrimento)
Gráfico da carga aplicada x flecha
protótipo CR - 04
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 5 10 15 20 25
Deslocamento (mm)
Carga aplicada + peso próprio (daN)
vel
Relógio
Branson
Estádio I
Estádio II
GRÁFICO 5.13 - Carga aplicada x flecha para a nervura NC - 02 (armadura
(A
s
): 0,566 cm
2
; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h
f
) de 3,0 cm com f
cj
de
34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em nervura
submetida a cura por recobrimento)
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
133
Os resultados apresentam em termos de resistência valores muito
diferentes, mostrando a importância do uso da técnica de cura controlada para se obter
com segurança uma peça que terá pouca variabilidade no comportamento à flexão.
Deve-se ressaltar que não foi feita a exposição de nenhum dos protótipos a ação direta
do sol e do vento por dificuldades de se obter um local seguro que atendesse as
condições e que no período em que foi efetuada a concretagem a temperatura ambiental
foi baixa. Nota-se nos protótipos curados há concordância entre valores experimentais e
teóricos (Branson), ocorrendo o oposto nas peças não curadas.
5.4.4 Ensaio com carregamentos uniformemente distribuídos
Além dos ensaios descritos anteriormente pode-se acrescentar o estudo
do comportamento à flexão realizado por ROGGE
et alli (2002). Embora o objeto de
estudo desse trabalho tenha sido a deformação ao longo do tempo, as deformações
imediatas foram medidas nos seis protótipos (constituídos por três nervuras feitas a
partir de vigotas treliçadas) submetidos apenas a ação do peso próprio com um vão de 4
m e portanto a uma carga distribuída e não mais concentrada como nos anteriores.
Na figura 5.6 apresenta-se as características desses protótipos e na tabela
5.6 tem-se os valores das flechas imediatas medidas e as teóricas calculadas usando a
expressão de Branson. Pode-se perceber que realmente, como esperado, todos os
protótipos funcionam no Estádio II e a maior discrepância entre os resultados
experimentais deve-se principalmente às condições de execução como foi descrito no
trabalho original quando não foi possível efetuar um adensamento homogêneo em todos
os protótipos.
27,75
12
99
27,75
12
43,5
12
10
FIGURA 5.6- Seção transversal medidas em cm
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
13
4
TABELA 5.6– Flecha imediata dos protótipos e flecha teórica (f
ck
= 20MPa)
Protótipo A B C D E Piloto
Flecha (mm) 5,1 5,4 4,5 8,2* 4,9 5,0
Flecha teórica (mm) 5,1 5,1 5,1 5,1 5,1 5,1
*O protótipo D foi desconsiderado da analise por apresentar problemas durante a concretagem.
5.4.5 Conclusões dos ensaios de flexão
Em todos os ensaios dos protótipos com lajes pré-moldadas, seja com
vigotas tipo trilho ou treliça, para elementos bi-apoiados, seja solicitado com cargas
concentradas ou uniformemente distribuídas, o funcionamento dos protótipos se deu
com uma rigidez intermediária às dos Estádios I e II. Exceção feita ao protótipo com 20
cm de altura confeccionado por CAIXETA (1998)
que segundo o gráfico 5.7 mostra um
comportamento típico de uma peça trabalhando no Estádio I. Os vãos utilizados em
todos os protótipos são relativamente pequenos, mas em virtude das seções terem
pequenos momentos de fissuração os valores das flechas só são próximos do Estádio I
para cargas menores que 0,3 P
u
. Na prática isso significa que lajes unidirecionais com
alturas de até 15 cm terão comportamento não linear, ou seja, a flecha não será
proporcional ao carregamento linearmente.
Este fato conduz a necessidade de verificação cuidadosa do estado limite
de deformação excessiva que como já foi provado em outros trabalhos teóricos do grupo
de pesquisa que o autor faz parte, passa a ser condição determinante na obtenção da
armadura de flexão.
Quando se analisa os gráficos flecha x carga, a expressão de Branson,
apresenta melhor precisão para elementos com seções maiores, porém quando se
considera ações cerca de 30 % superiores à aquelas que provocam o momento de
fissuração (gráfico 5.14) conclui-se que a discrepância é maior no caso de peças com
taxa de armadura alta (Nervuras D e F) enquanto que nas demais os valores são
próximos. Portanto a expressão de Branson pode ser aplicada com razoável precisão
para a avaliação de flechas em lajes unidirecionais pré-moldadas simplesmente
apoiadas. Embora não citado neste trabalho, algumas experiências feitas pelo grupo de
autores e outros pesquisadores mostram que não é possível usar o valor da inércia média
de Branson na expressão da flecha do cálculo elástico de peças hiperestáticas. Isto se
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
13
5
deve bastante ao fato da seção da nervura ser em forma de um “T” que possui
resistência a momentos positivos muito maior que a negativos.
5.5 Efeito teórico da fluência
No dimensionamento em relação à deformação deve também ser
considerado o efeito da fluência que pode ser definida como o aumento da deformação
imediata que o concreto apresenta ao longo do tempo quando submetido à carga
permanente.
A parcela de deformação oriunda da fluência em peças de concreto fletidas é
significativa e não pode, em hipótese alguma, ser desprezada, pois aumenta de uma a
três vezes o valor da deformação imediata. E segundo a NBR6118(1978) é calculada
multiplicando-se a flecha devida às ações das cargas quase permanentes pela razão entre
as curvaturas no tempo infinito e zero.
R ==
0t
t
R
R
sc
sc
εε
εεφ
+
++
.
).1(
Onde:
R
t
- é a curvatura no tempo infinito
R
t0
- é a curvatura inicial (no tempo “zero”)
φ
-
é o coeficiente de fluência do concreto, que em casos onde não é necessária
grande precisão pode ser obtido por interpolação linear, a partir da tabela 5.7.
ε
c
-
é a deformação específica do concreto;
ε
s
-
é a deformação específica do aço;
d é a altura útil da peça.
Assim, a flecha em um tempo t qualquer é dada por:
a(t) = a(t
0
).+ a(t
0
).R
t,
/R
t0
onde:
a(t) é o deslocamento no tempo t;
a(t
0
) é o deslocamento inicial no instante inicial t
0
.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
13
6
O valor do coeficiente de fluência pode ser obtido de forma simplificada,
pela tabela 5.7 definida na NBR 6118 (2003) como tabela 8.1 (item 8.2.11).
TABELA 5.7-Valores do coeficiente de fluência
Umidade ambiente % 40 55 75 90
Espessura equivalente
2A
c
/u cm
*
20 60 20 60 20 60 20 60
5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1
30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6
φ (t
,t
0
)
T
0
dias
60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4
* Sendo Ac a área da seção transversal e u o perímetro da seção em contato com a atmosfera.
E em virtude do comportamento não linear a flecha devida à carga acidental
não pode ser calculada diretamente e sim pela expressão:
a
q
= a
g1+g2+q
- a
g1+g2
Eq. 5.10
Onde:
a
q
é a flecha devida à carga acidental;
a
g1+g2+q
é a flecha devida à carga permanente estrutural, sobrecarga permanente e carga
acidental;
a
g1+g2
é a flecha devida à carga permanente estrutural, sobrecarga permanente.
A NBR 6118(2003) prescreve de forma mais simplista e aproximada o
cálculo de flecha deferida no tempo para vigas de concreto armado através da multiplicação
da flecha imediata pelo fator α
f
dado pela expressão:
'.501
f
ρ
ξ
α
+
=
Eq. 5.11
onde:
ρ
’= A
s
’/A
c
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
13
7
ξ
é um coeficiente função do tempo que deve ser calculado pela expressão seguinte, se t
70 meses, ou obtido da tabela 5.8.
∆ξ
=
ξ
(t)-
ξ
(t0)
ξ
(t)= 0,68.(0,996
t
)t
0,32
para t
70 meses
ξ
(t)=2 para t
70 meses
TABELA 5.8 Determinação de ξ de acordo com t
(t) 0 0,5 1234510 20 40
70
ξ
(t)
0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
Onde:
t é o tempo em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;
t
0
é a idade, em meses, relativa à data de aplicação
da carga de longa duração.
No caso das
parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes pode-se tomar
para t
0
o valor ponderado a seguir:
i
i0i
0
P
tP
t
Σ
=
onde:
P
i
são parcelas de carga;
t
0i
é a idade em que se aplicou cada parcela I, em meses;
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando-se a flecha imediata por (1 + α
f
).
5.6 Efeito da fluência experimental
No trabalho realizado por ROGGE (2000) em pesquisa de iniciação
cientifica, para medir a flecha ao longo do tempo, mediu-se a flecha no centro da laje do
protótipo piloto (ver esquema da figura 5.7 e tabela 5.9) durante vinte e dois dias, tomando
o cuidado de verificar possíveis deslocamentos verticais dos apoios, pelo menos uma vez ao
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
138
dia, com o defletômetro e o nível de precisão topográfico. Mediu-se também a temperatura
e a umidade do ambiente. Na tabela 5.10 são apresentados os valores do deslocamento do
ponto central, ao final da tarde de cada dia, e a umidade e temperatura média.
FIGURA 5.7 Esquema dos protótipos de ROGGE (2000)
No gráfico 5.14 estão representados os valores experimentais da flecha ao
longo do tempo, no qual percebe-se que nos primeiros quatro dias de medições a inclinação
do gráfico é grande, indicando que a velocidade de deformação é bem alta. Após esse
período a inclinação diminui.
Prosseguindo o experimento confeccionou-se mais cinco protótipos em que
as flechas foram medidas durante 200 dias, nos pontos sobre os apoios, e os deslocamentos
do ponto central das lajes. Os valores de deslocamento foram medidos com nível de
precisão topográfico, e com o auxílio de uma régua metálica graduada.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
13
9
TABELA 5.9 Dados e características geométricas. Protótipos com vão 4 m
Seção transversal total Nervura central
Largura b = 99 cm b = 43,5 cm
Altura total h = 10 cm h = 10 cm
Altura útil d =8,5 cm d =8,5 cm
Área de aço (lajes A a D) A
s
= 3,12 cm
2
A
s
= 1,04 cm
2
Área de aço (laje E) A
s
= 4,80 cm
2
A
s
= 1,60 cm
2
Seção transversal total Nervura central
Área de concreto. A = 568 cm
2
A = 224 cm
2
cg do concreto a partir da face
inferior.
y
cg
= 6,28 cm y
cg
= 6,63 cm
Inércia da seção de concreto. I
I
= 4599 cm
4
I
I
= 1674 cm
4
Ação Cálculo da armadura estado limite último Ação no ensaio
Peso próprio g
1
= 1,70 kN/m
2
g
1
= 1,70 kN/m
2
Sobrecarga permanente g
2
= 0,50 kN/m
2
g
2
= 0,50 kN/m
2
Acidental q = 1,5 kN/m
2
-
GRÁFICO 5.14 - Valores da flecha ao longo do tempo do protótipo piloto
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
14
0
TABELA 5.10- Valores médios de flechas, temperatura e umidade do protótipo piloto
Dia Temperatura
(ºC)
Umidade
(%)
Flecha (mm)
04/jan 29,5 53,0 5,5
05/jan 27,5 57,3 6,5
06/jan 29,0 56,0 7,1
07/jan 33,0 46,0 7,7
08/jan 29,0 55,0 8,8
09/jan 26,7 72,0 8,6
10/jan 24,5 69,5 9,1
11/jan 25,5 67,5 9,1
12/jan 23,0 72,5 9,5
13/jan 27,3 63,0 9,9
14/jan 28,0 60,0 9,9
15/jan 25,2 63,7 10,0
16/jan 27,6 58,5 10,6
17/jan 28,3 57,5 10,7
18/jan 29,3 57,7 11,4
19/jan 29,8 56,0 11,5
20/jan 29,2 63,5 11,6
21/jan 27,1 60,5 12.0
22/jan 28,1 60,5 11,9
23/jan 27,6 70,0 11,9
24/jan 25,0 79,0 11,9
25/jan 28,6 69,0 11,7
A tabela 5.11 apresenta os valores das flechas medidas ao longo do tempo
das cinco lajes finais, e os valores médios de temperatura e umidade ambientes.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
141
TABELA 5.11 - Valores de flechas, umidade e temperatura ambientes dos protótipos
Idade Laje A Idade Laje B Laje C Laje D Laje E Idade Temp. Umid.
(dias) (mm) (dias) (mm) (mm) (mm) (mm) (dias) (ºC) (%)
8
5,125
8
5,420
8
26,20 69,5
9
7,460
9
7,682
9
25,55 69,5
10
8,767
10
8,892
10
26,20 63,5
17
12,005
17
11,948
17
25,20 66,0
18
12,465
18
12,290
18
24,05 68,5
21
13,000
21
15,465
21
24,60 67,0
28
13,338
28
16,148 4,545 8,200 5,925
28
23,65 87,5
29
13,673
29
16,678 5,875 8,773 8,010
29
23,65 78,5
30
13,678
30
16,870 6,342 8,858 9,168
30
24,50 77,0
31
14,120
31
17,048 7,375 9,715 9,420
31
25,25 75,0
32
14,198
32
17,293 7,910 9,928 9,745
32
26,30 74,5
35
15,290
35
18,120 9,627 11,580 11,023
35
25,55 69,0
Carreg.
18,143
36
18,648 9,875 11,678 11,208
36
25,10 72,0
36
18,595
37
19,048 10,060 11,770 11,538
37
24,85 72,0
37
18,755
38
19,328 10,825 11,825 11,765
38
25,50 65,0
38
18,968
39
19,683 11,000 11,870 11,975
39
25,60 68,0
39
19,030
42
19,903 12,000 13,198 12,015
42
25,45 66,0
42
19,833
Carreg.
22,983 13,315 17,965 15,150
43
19,975
43
23,515 14,955 18,295 16,215
43
25,10 71,5
44
20,028
44
23,530 15,665 18,433 16,433
44
24,30 74,5
45
20,170
45
23,545 15,800 18,745 16,608
45
24,20 74,5
46
20,310
46
23,573 16,188 18,893 16,700
46
23,95 74,0
50
20,668
50
24,033 16,713 19,020 16,823
50
23,70 74,0
52
20,825
52
24,044 16,913 19,455 16,933
52
23,30 74,0
57
21,253
57
24,055 17,548 20,770 17,388
57
24,85 74,0
65
22,405
65
25,500 18,683 23,045 18,455
65
22,75 69,5
72
23,268
72
27,093 19,843 24,955 19,480
72
22,30 67,0
80
24,558
80
28,098 20,998 25,980 21,343
80
23,05 64,5
86
24,703
86
28,170 21,150 26,653 21,450
86
19,60 64,5
98
24,810
98
28,305 21,273 26,768 21,668
98
19,00 79,0
99
24,920
99
28,318 21,446 26,840 21,798
99
19,80 68,0
109
25,020
109
28,400 21,900 26,955 21,820
109
20,55 69,5
119
25,585
119
28,440 22,290 27,163 21,845
119
20,55 71,5
128
25,795
128
28,563 25,580 28,365 21,900
128
19,95 66,5
135
26,020
135
28,883 25,910 28,630 21,988
135
12,60 69,5
143
26,618
143
30,328 26,095 28,798 22,303
143
15,60 64,0
156
26,778
156
31,065 27,220 29,270 22,620
156
18,65 65,5
171
27,565
171
31,965 27,753 29,440 22,400
171
17,55 65,5
184
28,613
184
32,250 27,855 29,640 23,875
184
19,55 63,5
200
29,410
200
32,580 28,030 29,940 24,010
200
19,90 65,5
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
142
As flechas ao longo do tempo são apresentadas no gráfico 5.15 através de
curvas de flechas x tempo de cada um dos 5 protótipos finais, batizados de A, B, C, D e E.
Com as seguintes particularidades: Nos protótipos A e B o escoramento foi retirado no
oitavo dia após a concretagem, sendo que o carregamento que simula uma sobrecarga
permanente no caso do protótipo A foi feito no dia 35 enquanto em B no dia 42 (notar que
se excetuando a Laje D estas são as lajes que apresentam, após 200 dias as maiores
flechas). Nas lajes C, D e E o escoramento foi retirado no dia 28 e os carregamentos de
sobrecarga ocorreram no dia 42. Dessas três, a laje D foi a que teve a maior deformação
pois teve problemas de concretagem. A laje E que tem maior taxa de armadura é a que
apresenta a menor deformação ao final dos 200 dias. Percebe-se novamente que a
velocidade de deformação em todas a lajes nos primeiros dias é bem alta e cai
gradativamente.
Não foi possível estabelecer uma correlação entre a temperatura ambiente e a
flecha devida à mesma, mas pode-se afirmar que os valores medidos, de acordo com as
tabelas anteriores pouco diferenciarão daqueles devidos apenas à fluência e retração, pois
através do ensaio de gradiente de temperatura (aplicação de gelo em uma face) pode-se
saber que o efeito do gradiente de temperatura no valor da flecha não é tão grande
GRÁFICO 5.15- Valores das flechas ao longo do tempo dos protótipos
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
143
A partir dos resultados experimentais pode-se fazer uma comparação
(gráficos de 5.16 a 5.18) com os resultados teóricos obtidos com as recomendações da nova
norma NBR 6118 (2003).
GRÁFICO 5.16- Comparação dos resultados experimentais da laje piloto com os
valores teóricos da NBR 6118 (1999) com mesma expressão da versão 2003.
Em todos os gráficos que comparam as flechas experimentais com as obtidas
com a utilização das fórmulas da NBR 6118 (2003), observa-se que a expressão da Norma
conduz a valores subestimados de flecha. O que já era de se esperar, pois a fórmula é muito
simplista e não leva em conta uma série de fatores que influenciam o fenômeno, fatores
indicados pela própria NBR 6118 (2003) para o cálculo de coeficiente de fluência do
concreto.
Os protótipos A e B, cujas flechas são apresentadas no gráfico 5.17, tiveram
seus escoramentos retirados no oitavo dia, enquanto que a sobrecarga permanente foi
aplicada no 36
0
e no 42
0
dia respectivamente. A laje A foi a segunda a ser concretada
enquanto a B foi a terceira, quando o concreto já estava difícil de ser adensado, levando a
crer que o módulo de elasticidade do concreto de A ficou com um valor maior que o B, ou
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
14
4
mesmo o fato de se fazer uma melhor compactação do concreto faz com que a laje A tenha,
ao final dos 200 dias, uma flecha menor que a B, embora esta tivesse sido submetido a
sobrecarga permanente posteriormente a laje A.
GRÁFICO 5.17- Comparação dos valores experimentais das lajes A e B com os
valores teóricos da NBR 6118
Houve um período intenso de chuvas entre os dias 119 e 128 fazendo com
que os tijolos colocados sobre os protótipos que servem de sobrecarga se encharcassem
aumentando a carga e conseqüentemente a deformação apenas nas lajes A e E que estavam
próximas a lateral do barracão e portanto sujeitas a receberem água da chuva
O fato da expressão da flecha da NBR 6118 (2003) não levar em conta
várias variáveis que interferem no processo, tais como: temperatura e umidade ambiente,
tipo de cimento, idade de carregamento, trabalhabilidade do concreto, taxa de armadura,
intensidade do carregamento, entre outros, provoca uma grande diferença entre o valor
experimental e o teórico.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
14
5
GRÁFICO 5.18 - Comparação dos valores experimentais das lajes C, D e E com os
valores teóricos da NBR 6118
5.6.1 Considerações sobre o ensaio de fluência
Todos os ensaios mostraram que a velocidade da deformação nos primeiros
dias é muito maior, chegando a 0,3 mm/dia no primeiro dia enquanto no terceiro dia caia
para vinte por cento deste valor.
A laje com maior taxa de armadura (laje E), que deveria apresentar uma
deformação menor do que as demais na verdade apresentou uma deformação tão grande ou
maior do que as outras lajes carregadas na mesma época. Contudo, a partir da metade do
experimento ela começou a melhorar o seu comportamento, apresentando deformações bem
baixas (velocidade de deformação de aproximadamente 0,02 mm/dia), e no final do
experimento foi a laje que apresentou a menor flecha (15% menor do que em peças menos
armadas). Pode-se concluir que a taxa de armadura influi mais nas deformações em longo
prazo.
A laje com maior deformação foi a laje D que apresentou problemas na
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
________________________________________________________________________________________
14
6
concretagem, e esteve constantemente exposta ao sol. Esses fatores contribuíram para que
essa peça apresentasse uma menor resistência. Essa laje apresentou deformação inicial,
cerca de 60% maior do que as demais lajes, porém por volta do 80º dia a velocidade de
deformação começou a cair (aproximadamente 0,015 mm/dia), mas no final do
experimento apresentava valores de flechas bem próximos às lajes C e D.
A análise dos resultados dos experimentos permitiu verificar que o efeito da
deformação ao longo do tempo é influenciado por duas variáveis principais: a idade do
concreto e a taxa de armadura. As lajes A e B tiveram seus escoramentos retirados no 8º
dia, porém a flecha inicial de B já foi superior a de A (5,42 e 5,125 mm). Ao ser feita a
segunda etapa de carregamento em épocas distintas, 35 dias para A e 42 dias para B, era de
se esperar um menor deslocamento de B. Porém, o provável menor valor de E
c
da laje B fez
com que a flecha, nesta segunda etapa, fosse maior (2,85 e 3,08 mm). Isso pode ser
explicado pela provável diferença entre os módulos de elasticidade do concreto, maior no
protótipo A do que no B, que depende da forma de executar a concretagem.
Lamenta-se apenas que os estudos de deformação ao longo do tempo aqui
apresentados não puderam ser continuados em virtude da falta de financiamento para sua
continuação.
TABELA 5.12 - Comparação entre as lajes A e B
Dias
Laje A
a
A
(mm)
Laje B
a
B
(mm)
a
B
/a
A
8
5,125 5,420 1,0580
42
19,833 22,983 1,1156
200
28,610 32,580 1,1387
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
14
7
No início do carregamento, nas lajes C, D e E, a laje C teve deformação
menor do que a laje E que possui maior taxa de armadura pois para manter a
trabalhabilidade do concreto foi necessário aumentar o fator água/cimento na confecção
de D e E fazendo com que as deformações iniciais fossem maiores. Se no inicio a maior
armadura da laje E não foi suficiente para diminuir a deformação no final do
experimento ela levou a uma menor deformação (ver tabela 5.13)
TABELA 5.13- Comparação entre as lajes C, D e E.
Dia
Laje C
a
C
(mm)
Laje D
a
D
(mm)
Laje E
a
E
(mm)
28
4,545 8,200 5,925
42
13,315 17,965 15,150
99
21,446 26,840 21,798
200
28,030 29,940 24,010
Ao se comparar o comportamento e os resultados dos protótipos B e C
temos idéia da importância da idade do concreto na retirada do escoramento na
deformação final. Nos protótipos B e C o escoramento foi retirado com o concreto na
idade de 17 e 35 dias respectivamente e seus deslocamentos depois de 8 dias da retirada
do escoramento foram 11,95 e 9,875 mm, esse comportamento manteve-se até o final do
experimento.
Dentre as variáveis que podem ser analisadas numericamente, a taxa de
armadura e idade do concreto, tem-se que a taxa de armadura produz, em longo prazo, a
menor flecha. Outra variável, cuja importância é mais difícil de se analisar pela falta de
ensaios, é o módulo de elasticidade do concreto, pois mesmo comparando as lajes A e
B, e B e C, as menores deformações ocorrem naquelas em que a concretagem foi mais
favorável.
Portanto para lajes com vigotas pré-moldadas é aconselhável uma
armadura superior a correspondente ao estado limite último que é a armadura utilizada
nos protótipos de A a D, somente E tem armadura superior a esse valor. Além de se
executar uma boa concretagem aumentando o módulo de deformabilidade do concreto e
retardar ao máximo a retirada do escoramento quando a condição anterior não for
obtida.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
148
O cálculo de flechas em vigas de concreto armado com a utilização da
expressão fornecida pela NBR 6118/03 mostrou-se inadequado para o experimento, pois
subestima as deformações por fluência, já que não são considerados em suas expressões
os efeitos da umidade relativa, temperatura ambiente, idade do concreto, espessura
fictícia, etc.
No gráfico 5.19 a curva da flecha contra o tempo e verificamos duas
seqüências, a primeira corresponde ao tempo decorrido da retirada do escoramento até o
carregamento da laje, e o segundo trecho corresponde ao carregamento até o final do
experimento. Essas curvas foram elaboradas utilizando-se o programa Microsoft Excel,
que permite a adição de vários tipos de linhas de tendência e mostra como a curva adere
aos pontos experimentais através do valor de R
2
(porcentagem de concordância).
Utilizou-se a linha de tendência do tipo polinômio de 2º grau. O valor de
R
2
indica que a concordância entre pontos experimentais e linha de tendência está boa,
pois o desvio entre os valores não chega a 10%. O tempo refere-se a idade do concreto
em dias. Contudo por se tratar de função crescente estas seqüências não conseguiram
fornecer por extrapolação resultados aceitáveis para a flecha no tempo infinito
(considerado em geral 10.000 dias pelas normas).
GRÁFICO 5.19 - Variação da flecha no tempo – Laje A
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
14
9
5.7 Deformações limites segundo a NBR 6118/03
A nova Norma fornece alguns valores limites de deslocamentos e os
classifica, em quatro grupos:
Aceitabilidade sensorial: os limites apresentados representam
deslocamentos máximos que não causem sensações desagradáveis aos usuários da
estrutura. As razões das limitações podem ser visual, com deslocamento limite igual a
l
/250 ou de outros tipos como vibrações, como a devido a cargas acidentais, com
deslocamento igual a
l
/350.
Estruturas em serviço: estes limites representam os deslocamentos
que podem prejudicar a utilização adequada da estrutura. Neste caso, limitam-se os
casos de superfícies que devem drenar água em
l
/250, pavimentos que devem
permanecer plano em
l
/600 e elementos que suportam equipamentos sensíveis de
acordo com recomendação do fabricante.
Efeitos em elementos não-estruturais: os limites representam os
deslocamentos que não prejudiquem o funcionamento dos elementos não-estruturais.
Assim, as razões de limitações podem ser paredes, com limitação de
l
/500 no caso de
alvenarias, caixilhos e revestimentos,
l
/250 no caso de divisórias leves H/500, para
movimento lateral de edifícios e
l
/300 para movimentos térmicos verticais, como
podem ser forros, com limitação de
l
/360 no caso de revestimentos colados e
l
/180 no
caso de revestimentos colados ou com juntas.
Efeitos em elementos estruturais. Neste caso são apresentados os
limites que podem prejudicar o comportamento do elemento estrutural, provocando
afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas.
A NBR 6118/01 fornece uma tabela de limites para deslocamentos
semelhante à tabela 5.14.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
15
0
Tabela 5.14 - Limites para deslocamento
Tipo de
deslocamento
Razão da limitação Exemplo Deslocamento a
considerar
Deslocamento limite
Visual Deslocamentos
visíveis em
elementos
estruturais
Total
l
/250
Aceitabilidade
sensorial
Outro Vibrações sentidas
no piso
Devidos a cargas
acidentais
l
/350
Superfícies que
devem drenar água
Coberturas e
varandas
Total
l
/250
(1)
Total
l
/350 + contra
flecha
Pavimentos que
devem permanecer
plano
Ginásios e pistas
de boliche
Ocorrido após a
construção do piso
l
/600
Estruturas em
serviço
Elementos que
suportam
equipamentos
sensíveis
Laboratórios Ocorrido após
nivelamento do
equipamento
De acordo com a
recomendação do
fabricante do
equipamento
Alvenaria,
caixilhos e
revestimentos
Após construção
da parede
l
/500
(3)
ou 10
mm ou ou e =
0,0017 rad
(4)
Divisórias leves e
caixilhos
telescópios
Ocorrido após a
instalação da
divisória
l
/250
(3)
ou 25
mm
Movimento lateral
de edificios
Provocado pela
ação do vento para
combinação
freqüente
l
/H/2500 ou
Hi/1250
(5)
entre
pavimentos
(6)
Paredes
Movimentos
térmicos verticais
Provocado por
diferença de
temperatura
l
/400
(7)
ou 15
mm
Movimentos
térmicos
horizontais
Provocado por
diferença de
temperatura
Hi/500
Revestimentos
colados
Ocorrido após
construção do
forro
l
/350
Forros
Revestimentos
pendurados ou
com juntas
Deslocamento
ocorrido após
construção do
forro
l
/175
Efeitos em
elementos não
estruturais
Ponte rolante Desalinhamento de
trilhos
Deslocamento
provocado pelas
ações decorrentes
da frenação
H/400
Efeitos em
elementos
estruturais
Afastamento em
relação às
hipóteses de
calculo adotadas
Se os deslocamentos forem relevante para o elemento
considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a
estabilidade da estrutura devem ser considerados,
incorporando-se ao modelo estrutural adotado.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
151
5.8 Combinações de ações segundo a NBR 6118/03
Estes limites devem ser comparados ao valor de flecha para uma certa
combinação de ação dada pela NBR 6118/03. Para o cálculo da deformação devido à
fluência deve-se considerar a combinação quase permanente. A combinação freqüente
deverá ser usada para verificação de flechas que resultem em um aspecto visual
desagradável e também problemas como o acúmulo de água. Um limite deve ser
considerado para a atuação da carga acidental, que define a máxima contra-flecha que
pode ser dada no elemento analisado ou em um trecho da estrutura.
As ações para o cálculo das flechas são dadas por:
F
d
= F
gk
+
γ
f2
F
qk
Sendo γ
f2
o coeficiente de ponderação das ações no estado limite de
serviço cujo valor é variável de acordo com a verificação que se deseja fazer :
Para locais em que não há equipamentos fixos nem elevada concentração
de pessoas o valor de γ
f2
é 0,3 para quase permanente, 0,4 para freqüente e 1,0 para a
rara.
Para locais em que há equipamentos fixos ou elevada concentração de
pessoas o valor de γ
f2
é 0,4 para quase permanente, 0,6 para freqüente e 1,0 para a rara.
Já para bibliotecas, arquivos oficinas e garagens o valor de γ
f2
é 0,6 para
quase permanente, 0,7 para freqüente e 1,0 para a rara.
A ação S
g
corresponde à ação permanente e S
q
à ação acidental.
A NBR 6118/01 fornece as seguintes tabelas para as combinações em
serviço e valores do coeficiente γ
f2
tabela 5.15.
Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva
_____________________________________________________________________________________
152
Tabela 5.15 - Combinações de serviço e valores do coeficiente γ
f2
Combinações de
serviço (ELS)
Descrição Calculo das solicitações
Combinações
quase-permanentes
de serviço (CQP)
Nas combinações quase permanentes de
serviço todas as ações variáveis são
consideradas com seus valores quase
permanentes Ψ
2
F
qk
F
d,ser
= ΣF
gi,k
+ ΣΨ
2j
F
qjk
Combinações
freqüentes de
serviço (CF)
Nas combinações freqüentes de serviço,
a ação variável principal F
q1
é tomada
com seu valor freqüenteΨ
1
F
q1k
e todas
as demais ações variáveis são tomadas
com seus valores quase permanentes
Ψ
2
F
qk
F
d,ser
= ΣF
gi,k
+ Ψ
1
F
q1k
+ΣΨ
2j
F
qjk
Combinações raras
de serviço (CR)
Nas combinações raras de serviço a
ação variável principal F
q1
é tomada
com seu valor característico F
q1k
todas
as demais ações são tomadas com seus
valores freqüentes Ψ
1
F
qk
F
d,ser
= ΣF
gi,k
+ F
q1k
+ΣΨ
1j
F
qjk
F
d,ser
é o valor de calculo das ações para combinações de serviço
F
q1k
é o valor característico das ações variáveis principais diretas
Ψ
1
é o fator de redução de combinação freqüente para ELS
Ψ
2
é o fator de redução de combinação quase-permanente para ELS
O coeficiente γ
f2
tem os seguintes valores conforme a verificação que se deseja fazer:
γ
f2
= 1 para combinações raras
γ
f2
= Ψ
1
para combinações freqüentes
γ
f2
= Ψ
2
para combinações quase permanentes
γ
f2
Ações
Ψ
0
Ψ
1
1)
Ψ
2
Locais em que não há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de levadas concentrações de
pessoas
2)
0,5 0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo ou de levadas concentrações de
pessoas
3)
0,7 0,6 0,4
Cagas acidentais
de edifícios
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,7 0,6
Temperatura Variação uniformes de temperatura em relação à
média anual local
0,8 0,5 0,3
Para os valores de Ψ
1
relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga
Edifícios residenciais
Edifícios comerciais e de escritórios
EXEMPLOS
6.1 Introdução
Neste capítulo são apresentados exemplos numéricos usando alguns dos
modelos de cálculo descritos nos capítulos anteriores, com o intuito de verificar o
comportamento de diferentes configurações de lajes pré-fabricadas através de
comparações e ao mesmo tempo fornecer um roteiro para os projetistas que consultarem
este trabalho.
Em todos os exemplos o dimensionamento das lajes será feito sempre
que possível de acordo com as prescrições das Normas NBR 6118 (2003) e NBR
14859-1 (2002), além das condições impostas pelo mercado em relação às suas
dimensões e materiais componentes.
6.2 Exemplo 1: Variação de altura em lajes simplesmente apoiadas
I)Calcular a armadura longitudinal e verificar o Estado de Deformação
Excessiva de uma laje pré-fabricada simplesmente apoiada, com vão de quatro metros
para os seguintes dados:
6
6
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
154
1) Tipo da laje: laje pré-fabricada confeccionada a partir de vigotas do
tipo treliça.Material de enchimento: Poliestireno expandido (EPS)
com altura de 7,0 cm.
2) Vão: l = 4,0 m.
3)
Geometria da seção transversal da nervura (figura 6.1) com altura
total (h) =11,0 cm; b
2
= 35,0 cm; h
f
= 4,0 cm; d = (h – 2,0) = 9,0 cm;
d’=2,0 cm, b
w
= 12,0.
4) Revestimento 5 cm de espessura e carga acidental (q) = 1,5 kN/m
2
5) Materiais: γ
concreto
= 25 kN/m
3
; γ
rev.
= 18 kN/m
3
; f
ck
= 20 MPa. Aço
CA60.
II)Fazer a verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva para
diferentes alturas de lajes de14, 16, 18, 20, 26 cm. Utilizar os mesmos dados do item I)
inclusive com a armadura longitudinal determinada nele e a espessura da capa.
6.2.1 Resolução item I
Neste exemplo procura-se determinar a armadura necessária no Estado
Limite Último para uma laje pré-fabricada vencer um vão de quatro metros, fazendo-se
em seguida a verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva. Com essa
finalidade, o cálculo numérico do item I) será detalhado enquanto que os cálculos do
item II) serão apresentados na forma de tabela. O modelo de cálculo adotado é o de viga
independente, considerando que os apoios são indeslocaveis na vertical (por exemplo
paredes).
A laje pré-fabricada adotada é com a nervura do tipo treliça. O cálculo de
uma laje confeccionada com o elemento tipo trilho é semelhante ocorrendo somente
algumas modificações nas características geométricas da nervura e no coeficiente de
rugosidade na verificação ao cisalhamento, que cai para 0,6, como é visto no exemplo 2.
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
155
h
d
hv
hf
b1bf
bv
b2
bw
FIGURA 6.1 Características geométricas da seção
a) Cálculo da largura colaborante e carregamento atuante
Da mesma forma como foi tratado no capítulo 4 é preciso antes de se
dimensionar a armadura na nervura verificar qual parcela da “capa” da laje participa no
trabalho de flexão da nervura determinando o valor de b
f
.
=+=+
=+=+
cmbb
cmab
b
w
w
f
0,42152122
0,4230010,01210,0
1
cmb
f
0,42
=
onde:
cma 400== l (simplesmente apoiada);
==
==
cma
cmb
b
3030010,010,0
15305,05,0
2
1
cmb 0,15
1
=
;
cmb 0,30
2
= é a distância entre as faces internas de duas nervuras adjacentes.
Agora é necessário determinar o carregamento que esta atuando sobre
uma nervura da laje, lembrando que o intereixo é de 42 cm
Peso próprio (g
1
)= A
. γ
c
Com A =área do concreto
A área da seção do concreto calculada pela equação
A=(b
f
--b
w
).h
f
+ b
w
.h=
(
)
11.124.1242
+
=252,00 cm
2
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
156
g
1
= 0,0252 m
2
. 25 kN/m
3
= 0,63 kN/m
Carga revestimento (g
2
)= 0,05m . 18 kN/m
3
. 0,42 m = 0,38kN/m
Carga acidental (q) = 1,5 kN/m
2
. 0,42 m = 0,63 kN/m
Carregamento total P = g
1
+ g
2
+ q = 1,64 kN/m (Combinação rara)
P = g
1
+ g
2
+ 0,3q = 1,20 kN/m (Combinação quase permanente)
P= g
1
+ g
2
= 1,01 kN/m (Combinação permanente)
Com o valor do carregamento calcula-se a cortante e o momento
máximos atuantes a partir do esquema da figura 6.2.
l
P
FIGURA 6.2 – Esquema estrutural de uma nervura
8
.
2
.
lp
M
máx
= =
8
4.64,1
2
= 3,28 kN.m
2
.
.
lp
V
máx
= =
2
4.64,1
= 3,28 kN
b) Dimensionamento à flexão em relação ao colapso
supondo a Linha Neutra (LN) na mesa
()
cdf
d
fdb
M
KMD
..
2
= =
4,1
20000
.09,0.42,0
28,3.4,1
2
= 0,0945 0,0950
Com a tabela fornecida por CARVALHO (2001, pág 113) e apresentada neste trabalho
no anexo I, temos
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
157
KX =0, 1485
x = 0, 1485 . 0,09 =0,013 m < h
f
= 4,0 cm LN na mesa
ε
s
= 10%0 > ε
yd
assim f
s
= f
yd
e
yd
d
s
fdKZ
M
A
..
= =
15,1
60
.09,0.9406,0
28,3.4,1
= 1,04
cm
2
.
c) Verificação em relação à deformação excessiva
Estádio I, determinação da Inércia da peça, primeiramente calcula-se o Módulo de
Elasticidade (
E
c
)do concreto.
E
c
= 4760. 20 = 21287MPa
α
e
=
c
s
E
E
=
21287
210000
= 9,865
Área da seção
A=252,00 cm
2
já calculada
Área da
seção homogeneizada
A
h
=(b
f
--b
w
).h
f
+ b
w
.h + A
s
. (α - 1) =
(
)
(
)
1865,9.04,111.124.1242
+
+
=261,23cm
2
Centro de gravidade
()
A
h
b
h
bb
y
w
f
wf
2
.
2
.
2
2
+
= =
()
00,252
2
11
.12
2
4
.1242
22
+
=
3,83 cm
Centro de gravidade homogeneizado
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
158
()
()
h
sw
f
wf
h
A
dA
h
b
h
bb
y
.1.
2
.
2
.
2
2
++
=
α
=
() ()
23,261
9.1865,9.04,1
2
11
.12
2
4
.1242
22
++
=
4,02 cm
Inércia no Estádio I
()
()
2
2
3
3
2
..
2
..
12
.
12
.
+
++
=
h
yhb
h
yhbb
hb
hbb
I
w
f
fwf
w
fwf
()
()
22
33
2
11
83,3.11.12
2
4
83,3.4.1242
12
11.12
12
4.1242
+
++
=I= 2261,00 cm
4
Inércia no Estádio I homogeneizada
()
()
()( )
2
2
2
3
3
.1.
2
..
2
..
12
.
12
.
dyA
h
yhb
h
yhbb
hb
hbb
I
hShw
f
fwf
w
fwf
h
+
+
++
=
α
()
()
22
33
2
11
02,4.11.12
2
4
02,4.4.1242
12
11.12
12
4.1242
+
++
=
h
I
()
)902,4.(1865,9.04,1
+ =2498,77 cm
4
Características no Estádio II puro
Posição da LN (supondo LN na mesa)
b
w
= b
f
= 42 cm
a
1
= b
w
/2 =21 cm
a
2
=
(
)
()
scscff
AAbbh .'.1.
α
α
+
+ = 04,1.865,9 = 10,27 cm
2
a
3
=
()
()
bb
h
AdAd
f
f
sese
.
2
..'.1'.
2
αα
= 04,1.865,9.9
=-92,4 cm
3
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
159
1
31
2
22
.2
..4
a
aaaa
x
±
=
=
21.2
4,92.21.427,1027,10
2
+±
=1,87 cm < h
f
LN na mesa
()
2
3
,
..
3
.
dxA
xb
I
se
w
oII
+=
α
=
()
2
3
987,1.04,1.865,9
3
87,1.12
+ =613,89 cm
4
A expressão do momento de fissuração é:
t
cct
R
y
If
M
..
α
= =
)0383,011,0(
10.2261,2.20.21,0.2,1
532
= 5,86.10
-1
=0,586 kN.m
Inércia Média de Branson
II
at
R
I
at
R
m
I
M
M
I
M
M
I .1.
33
+
=
Cálculo das flechas imediatas
IE
lp
a
..384
..5
4
= =
m
I.21287000.384
4.64,1.5
2
TABELA 6.1 Flecha para diferentes combinações
P
(kN/m)
M
(kN.m)
(M
R
/M)
3
1-(M
R
/M)
3
I
m
(cm
4
)
a
(cm)
Combinação rara
1,64 3,28 0,0057 0,9943 623,31 4,11
Combinação quase
permanente
1,20 2,39 0,0147 0,9853 638,02 3,00
Combinação
permanente
1,01 2,02 0,0245 0,9755 654,30 2,53
A esse valor deve ser acrescentado o deslocamento referente à fluência
do concreto que segundo a NBR 6118 (2003) deve ser pode ser calculada de maneira
aproximada pela multiplicação da flecha quase permanete pelo fator α
f
dado pela
expressão:
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
160
'.501
ρ
ξ
α
+
=
f
Onde:
db
A
S
.
'
'=
ρ
= 0 pois As’= 0
ξ
é um coeficiente função do tempo, que pode ser calculado pelas seguintes expressões:
)()(
0
tt
ξ
ξ
ξ
=
32,0
).996,0.(68,0)( tt
t
=
ξ
para t<70
2)(
=t
ξ
para t<70 meses
considerando a retirada do escoramentos no 14
o
dia temos t = 14/30 = 0,47e com isso
)(
0
t
ξ
=0,53 e )(
t
ξ
= 2 e portanto
1
53,02
=
f
α
= 1,47
Flecha final (a
final
) (pela tabela 3.4 da NBR6118(2003))
a
final
= a
rara
+ α
f
.a
quase perm.
= 4,11 + 1,47.3,00 = 8,52 cm
Utilizando contra flecha de acordo com a NBR 6118 (2003), cujo valor máximo é
cm
l
14,1
350
= temos:
cff
aaa = = 8,53 – 1,14 = 7,38 cm
A verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva segundo a
NBR 6118 (2003) deve ser feita para dois casos de aceitabilidade sensorial, a visual e a
de vibrações. Para a verificação da aceitabilidade sensorial visual tem-se o limite de
deslocamento de
250
l
que resulta em 1,6cm < 7,38 cm e portanto a laje de 11,0cm não
atende a esta condição.
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
161
Para a aceitabilidade sensorial de vibrações sentidas no piso usa-se o
carregamento devido às cargas acidentais cuja flecha é a diferença entre a flecha devida
à combinação rara e a flecha devida à combinação permanente o que neste resulta em
1,58
cm valor maior que o limite estabelecido pela norma que é de cm
l
14,1
350
= , ou
seja esta condição também não é atendida.
Deve-se aumentar a área de armadura ou mais convenientemente
aumentar a altura total da laje.
6.2.2 Resolução item II
A variação da flecha em conseqüência da variação da altura total da laje é
apresentada na tabela 6.2. Os dados constantes da tabela 6.2 foram obtidos através do
procedimento teórico do item anterior transformada em planilha de cálculo do tipo
EXCEL.
TABELA 6.2 Flechas para diferentes alturas de laje
altura laje combinação rara comb. quase permanente comb. permanente
h (cm) a (cm) a (cm) a (cm)
11
4,11 3,00 2,53
14
2,23 1,67 1,42
16
1,55 1,17 1,01
18
1,08 0,82 0,71
20
0,73 0,56 0,49
26
0,20 0,16 0,14
A verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva é apresentada
na tabela 6.3
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
162
TABELA 6.3 Verificação de Flechas para diferentes alturas de laje
altura a
final
– a
contra flecha
a
limite visual
verifica a
acidental
a
limite vibração
verifica
11 7,38 1,6 não 1,58 1,14 não
14 3,54 1,6 não 0,81 1,14 sim
16 2,13 1,6 não 0,54 1,14 sim
18 1,15 1,6 sim 0,37 1,14 sim
20 0,41 1,6 sim 0,24 1,14 sim
26 -0,70 1,6 sim 0,06 1,14 sim
Capitulo 6 – Exemplos
________________________________________________________________________________________
163
6.3 Exemplo 2: Comparar os resultados das flechas imediatas encontrados no exemplo 1,
para a laje com altura de 11 cm, com os resultados obtidos nos experimentos realizados por
ROGGE (2000), cujo resumo já foram apresentados no capítulo 5, usando as expressões da
Norma 6118(2003) e NBR6118(1980). Dados:
a) Do experimento
O experimento desenvolvido por ROGGE (2000) consistiu em acompanhar
os valores da flecha ao longo do tempo de diversos protótipos com seção transversal bem
próxima a empregada no exemplo 1 (altura de 10cm para os protótipos e 11 no caso do
exemplo) e também com o mesmo vão (de 4m). As condições de apoio do ensaio são as
mesmas, pois se usaram barras cilíndricas junto do apoio dos protótipos nas paredes. As
figuras 6.3 e 6.4 indicam as características dos protótipos. Na tabela 6.4 apresentam-se as
características geométricas dos protótipos.
27,75
12
99
27,75
12
43,5
12
FIGURA 6.3 Esquema dos protótipos FIGURA 6.4 Seção
transversal medidas em
cm
Capitulo 6 – Exemplos
________________________________________________________________________________________
164
TABELA 6.4- Dados e características geométricas. Protótipos com vão 4 m
Seção transversal total Nervura central
Largura b = 99 cm b = 43,5 cm
Altura total h = 10 cm h = 10 cm
Altura útil d =8,5 cm d =8,5 cm
Área de aço (lajes A a D) A
s
= 3,12 cm
2
A
s
= 1,04 cm
2
Área de aço (laje E) A
s
= 4,80 cm
2
A
s
= 1,60 cm
2
Seção transversal total Nervura central
Área de concreto. A = 568 cm
2
A = 224 cm
2
cg do concreto a partir da face
inferior.
y
cg
= 6,28 cm y
cg
= 6,63 cm
Inércia da seção de concreto. I
I
= 4599 cm
4
I
I
= 1674 cm
4
Ação Cálculo da armadura estado limite
último
Ação no ensaio
Peso próprio g
1
= 1,70 kN/m
2
g
1
= 1,70 kN/m
2
Sobrecarga permanente g
2
= 0,50 kN/m
2
g
2
= 0,50 kN/m
2
acidental q = 1,5 kN/m
2
-
TABELA 6.5 - Flecha imediata e após 200 dias dos protótipos
Protótipo A B C D E Piloto
Flecha (mm) 5,13 5,42 4,55 8,20 4,90 5,06
Idade do concreto (dias) 8 8 28 28 28 7
Ordem de concretagem 2 3 1 4 5 0
Flecha após 200 dias 29,410 32,58 28,03 29,94 24,01 ---
O protótipo a ser comparado será o piloto que teve como resistência à
compressão do concreto o valor de f
cj
=20,2 MPa. Os dados foram retirados do artigo de
Rogge (2002).
Capitulo 6 – Exemplos
________________________________________________________________________________________
165
b) Da laje do exemplo 1
Os valores das características da seção transversal da laje com 11 cm de
altura foram determinados no exemplo 1. Porem todos aqueles que envolvem as
características elásticas serão revistos, pois o valor do módulo de deformabilidade do
concreto se modifica.
TABELA 6.6 Características geométricas da seção do exemplo 1 h=11cm
Largura colaborante
cmb
f
0,42
=
Área da seção transversal de concreto
A=238,00 cm
2
Peso próprio g
1
= 0,60 kN/m
Área da armadura longitudinal
=
s
A 1,02 cm
2
Resolução
Basicamente o que se irá fazer é calcular o valor da flecha imediata (devida
a peso próprio) da laje simplesmente apoiada de vão de 4 m com as características da seção
transversal indicadas no exemplo 1 (ver figura 6.4), resumidas na tabela 6.6, usando as
expressões da norma NBR6118(2003) e a versão anterior de 1980 com algumas adaptações
comparando com o resultado experimental da laje do protótipo (com 10 cm de altura) que
apresentou uma flecha de 5,06 mm.
Desta forma inicialmente serão apresentadas as expressões que serão
empregadas em cada calculo na tabela 6.7.
Capitulo 6 – Exemplos
________________________________________________________________________________________
166
TABELA 6.7 Expressões para valores característicos segundo as normas de 1980
(adaptada) e 2003
Característica NBR6118(1980) (adaptada) NBR6118(2003)
Módulo de Elasticidade (E
c
) do
concreto.
E
c
= 5400.
cj
f
E
c
= 4760.
cj
f
Resistência à tração do concreto
f
ct
=0,06.f
ck
+0,7
f
ct
=
3
2
.21,0
ck
f
Momento de Fissuração
t
hIct
R
y
If
M
,
..5,1
=
t
cct
R
y
If
M
..2,1
=
Para o Estádio I, considerando-se apenas a seção geométrica (sem considerar
a armadura) chega-se aos valores:
Área da seção:
A=238,00 cm
2
Posição do centro de gravidade:
y =3,62 cm
Inércia:
I =2004,54cm
4
Para considerar a presença da armadura, ou seja, homogeneizando a seção é
preciso levar em conta a relação dos módulos de elasticidade do concreto e do aço (
α=
c
s
E
E
)
e assim determinar a da inércia da seção homogeneizada:
Módulo de Elasticidade (E
c
) do concreto.
NBR6118(1980) ---E
c
= 5940. 2,20 = 26697 MPa
NBR6118(2003) ---E
c
= 4760. 2,20 = 21393 MPa
Valor de
α
e
NBR6118(1980) ---α =
c
s
E
E
=
26697
210000
= 7,866
NBR6118(2003) --- α =
c
s
E
E
=
21393
210000
= 9,816
Capitulo 6 – Exemplos
________________________________________________________________________________________
167
Área da seção homogeneizada
NBR6118(1980)--A
h
=A+A
s
. (α - 1)= 238+6,866 . 1,02 = 246,0 cm
2
NBR6118(2003) --A
h
=A+A
s
. (α - 1)= 238+8,816 . 1,02 = 247,0 cm
2
Centro de gravidade da seção homogeneizada (borda superior)
NBR6118(1980) ---y
h
=(A . y+A
s
. (α
-
-1) . d)/ A
h
= (238 . 3,62
+6,866 . 1,02 . 9)/246,0 = 3,76 cm
NBR6118(2003) --- y
h
=(A . y+A
s
. (α
-
-1) . d)/ A
h
= (238 . 3,62
+8,816 . 1,02 . 9)/247,0 = 3,82 cm
Momento de inércia da seção homogeneizada no Estádio I
NBR6118(1980) ---I
I,h
=2201,7 cm
4
NBR6118(2003) --- I
I,h
=2255,6 cm
4
Resistência à tração do concreto
NBR6118(1980) --- f
ct
=0,06 . f
ck
+ 0,7=0,06 . 20,2+0,7=1,912MPa
NBR6118(2003) --- f
ct
=
3
2
.21,0
ck
f =
3
2
2,20.21,0 =1,558 MPa
Momento de fissuração
NBR6118(1980)-
t
hIct
R
y
If
M
,
..5,1
= =
)0376,011,0(
1020,219125,1
5
x
=0,87kN.m
NBR6118(2003)-
t
cct
R
y
If
M
..2,1
= =
)0362,011,0(
.100,215582,1
5
x
=0,50kN.m
Características no Estádio II puro
Posição da linha neutra (borda superior)
NBR6118(1980) ---x = 1,67 cm
Capitulo 6 – Exemplos
________________________________________________________________________________________
168
NBR6118(2003) --- x =1,85 cm
Momento de inércia (1980) --- I
II,0
=496,0 cm
4
NBR6118(2003) --- I
II,0
=600,5 cm
4
Cálculo da flecha imediata de peso próprio
O cálculo da flecha imediata é feito através da expressão
mc
IE
lp
a
..384
..5
4
= sendo p o valor da carga permanente de peso próprio igual
0,60 kN.m e a
Inércia Média de Branson dada por:
II
at
R
I
at
R
m
I
M
M
I
M
M
I .1.
33
+
=
Com estes valores pode-se montar a tabela 6.8 que apresenta o cálculo final
da flecha imediata de peso próprio (teórica) da laje cuja seção é dada no exemplo 1.
TABELA 6.8 Flecha imediata de pesos próprio da laje com h=11 cm nas
versões da NBR6118(1980) e NBR6118(2003)
Norma
(Versão)
M=
8
2
lp
kN/m
M
R
kN/m
(M
R
/M)
3
1-
(M
R
/M)
3
I
I
cm
4
I
II,0
cm
4
I
m
cm
4
E
c
GPa
a
mm
NBR6118
(1980)
1,2 0,871 0,382 0,618 2201 496,0 1147 26,70 6,53
NBR6118
(2003)
1,2 0,504 0,074 0,926 2004 600,5 704 21,39 13,2
Capitulo 6 – Exemplos
________________________________________________________________________________________
169
Percebe-se que na versão de 2003 o valor da flecha acaba sendo bem grande
principalmente devido ao momento de fissuração que na versão de 1980 adaptada, por
questão de maximização dos valores, é maior conduzindo a uma flecha de 6,5 mm. A
ordem de grandeza das flechas imediatas verificadas por Rogge nos experimentos é de 5
mm, valor bem próximo ao encontrado com as expressões da NBR6118(1980)
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
170
6.4 Exemplo 3: Calcular a laje do problema I1 considerando atuando no sentido
transversal, a 20 cm do apoio a esquerda uma parede de 25 cm de espessura com 3 m de
altura com peso específico de 3 kN/m
3
.
Peso da parede = 0,25 m. 0,42 m . 3,0 m. 18 kN/m
3
= 5,67 kN
Que combinado com a carga distribuída de 1,60 kN/m resulta em:
M
máx.
= 3,78 kN.m
V
máx.
= 8,59 kN
cd
fdb
M
KMD
..
.96,1
2
= =
2000.09,0.42,0
378,0.96,1
2
= 0,0971 portanto KZ = 0,9372
0,6.9372,0.09,0
15,1.337,0.4,1
=
S
A = 1,21 cm
2
Para o dimensionamento de lajes sem armadura para força cortante temos
1RdSd
VV
1,4 . 8,59
V
Rd1
dbkV
wcpRdRd
.]..15,0)402,1.(.[
11
σ
ρ
τ
++=
4,1
20.21,0
.25,0
32
=
Rd
τ
=0,276 Mpa = 276 kN/m
2
db
A
w
Sl
.
1
=
ρ
=
9.12
21,1
=0,0122 < 0,02
0=
cp
σ
dk = 6,1 =1,6 – 0,09 = 1,51
=
+= 09,0.12,0).0099,0.402,1.(51,1.276
1Rd
V 7,18 kN
kNVV
RdSd
18,70,12
1
=>= é preciso usar estribo ou aumentar altura
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
171
Verificação de compressão no concreto que deve ser considerada satisfatória quando
verificadas simultaneamente as seguintes condições:
2RdSd
VV
SWCRdSd
VVVV +=
3
Onde :
Sd
V é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;
2Rd
V é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas
de concreto;
swCRd
VVV +=
3
,é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração
diagonal, onde V
c
é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos
complementares ao de treliça e V
sw
a parcela resistida pela armadura transversal.
dbfV
wcdvRd
....27,0
22
α
=
250
1
2
ck
v
f
=
α
=
250
20
1
= 0,92
kNV
Rd
32,3809,0.12,0.
4,1
20000
.92,0.27,0
2
==
Sd
V = 12,0 <
2Rd
V = 38,32 kN não há esmagamento da biela de concreto.
Cálculo da armadura transversal
swCRd
VVV +=
3
C
V = resistência do concreto
)cos(sen..9,0.
.
αα
+
=
ywd
sw
sw
fd
s
A
V
Verificando se a armadura das diagonais (figura 6.5) é suficiente
S=20
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
172
A
1 barra
=
2
2
138,0
4
.42,0
cm=
π
A
2 barra
= 2 . 0,138 = 0,277 cm
2
20.00
8.00
38.66°
∅ 4,2 cm
FIGURA 6.5 armadura da treliça
V
C
= 0,6.f
ctd.
b
w
.d = 0,6.1100.0,12.0,09= 7,13 kN
MPa
f
f
c
ctk
ctdonf
1,1
4,1
20.21,0
32
.
===
γ
250000250
=< MPaf
ydw
para lajes com espessura até 15 cm
96,1)6,38cos6,38.(sen250000.09,0.9,0.10.
2,0
138,0
4
=+
=
sw
V
kNVV
SdRd
0,1209,996,113,7
3
=
<=+= , não verifica, aumentar a altura da laje.
Refazendo os cálculos para uma laje de altura total de 14 cm, mantendo-
se as demais características geométricas.
Peso da parede = 5,67 kN
Que combinado com a carga distribuída de 1,73 kN/m resulta em:
M
máx.
= 4,03 kN.m
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
173
V
máx.
= 8,87 kN
cd
fdb
M
KMD
..
.96,1
2
= = 0,0653 portanto KZ = 0,9602
=
S
A 0,939 cm
2
Para o dimensionamento de lajes sem armadura para força cortante temos
1RdSd
VV
1,4 . 8,87
V
Rd1
dbkV
wcpRdRd
.]..15,0)402,1.(.[
11
σ
ρ
τ
++=
4,1
20.21,0
.25,0
32
=
Rd
τ
=0,276 Mpa = 276 kN/m
2
db
A
w
Sl
.
1
=
ρ
=
12.12
939,0
=0,0065 < 0,02
0
=
cp
σ
dk
= 6,1 =1,6 – 0,12 = 1,48
=
+= 12,0.12,0).0065,0.402,1.(48,1.276
1Rd
V 8,59 kN
kNVV
RdSd
59,842,12
1
=>= , é preciso usar estribo ou aumentar altura.
Verificação de compressão no concreto que deve ser considerada
satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições:
2RdSd
VV
SWCRdSd
VVVV +=
3
dbfV
wcdvRd
....27,0
22
α
=
250
1
2
ck
v
f
=
α
=
250
20
1
= 0,92
Capitulo 6 – Exemplos
_____________________________________________________________________________________
174
kNV
Rd
10,5112,0.12,0.
4,1
20000
.92,0.27,0
2
==
Sd
V = 12,42 <
2Rd
V = 51,10 kN não há esmagamento da biela de concreto.
Cálculo da armadura transversal
swCRd
VVV +=
3
C
V = resistência do concreto
)cos(sen..9,0.
.
αα
+
=
ywd
sw
sw
fd
s
A
V
Verificando se a armadura das diagonais (figura 6.3) é suficiente
S=20
A
1 barra
=
2
2
138,0
4
.42,0
cm=
π
A
2 barra
= 2 . 0,138 = 0,277 cm
2
V
C
= 0,6.f
ctd.
b
w
.d = 0,6.1100.0,12.0,12= 9,50 kN
250000250
=< MPaf
ydw
para lajes com espessura até 15 cm
62,2)6,38cos6,38.(sen250000.12,0.9,0.10.
2,0
138,0
4
=+
=
sw
V
kNVV
SdRd
42,1212,1262,250,9
3
=
<=+= pode ser aceito.
Lembrar que o funcionamento das barras diagonais da armadura treliçada só estará
garantida se o banzo superior estiver na região comprimida de concreto. A norma EF96
considera que o banzo superior deve estar situado na região de 4 cm da borda
comprimida, assim seria necessário usar uma treliça de altura maior que 9 cm.
Capitulo 6 – Exemplos
____________________________________________________________________________________
175
6.5 Exemplo 4: Cálculo da armadura de uma nervura de laje pré-fabricada com dois
vãos de 4,00 m, cuja seção transversal é dada na figura 6.6 com os seguintes dados:
f
ck
= 20 MPa (20000 kN/m
2
); aço CA-50; distância do cg da armadura à borda mais
tracionada 2,0 cm; peso próprio = 1,62kN/m
2
; peso de piso mais revestimento igual a
0,90 kN/m
2
; carga acidental q = 3,00 kN/m
2
.
12cm 30cm 12cm
42cm
8cm
4cm
FIGURA 6.6 Seção transversal adotada para cálculo da laje do exemplo 3
a) Carga total atuante na laje:
2
/52,500,390,062,1 mkNp =++=
b) Carga atuante em cada nervura, para o intereixo de 42 cm:
nervuramkNp
nerv
//31,242,0.52,5
=
=
c) Esquema estrutural e momentos fletores (figura 6.7)
Considerando a teoria da elasticidade ou linear, em que o material
concreto armado não sofre fissuras o diagrama de momento fletor da laje pode ser
calculado como o de uma viga, neste caso contínua, os momentos fletores máximo
positivo e negativo valem:
momento positivo kNm
lp
M
máx
60,2
128
431,29
128
9
22
=
=
=
+
momento negativo kNm
p
X 62,4
8
0,431,2
8
22
=
=
=
l
A reação de apoio R valerá
Capitulo 6 – Exemplos
_________________________________________________________________________________
176
kN
pl
l
Xpl
R 465,3
8
4.31,2.3
8
3
2
====
8
2
pl
8
2
pl
X
elástico
=
l
l
+
máx
M
2
l
p
l
Xpl
R +=
2
X
l
l
Xpl
R =
2
p
V
x
S
p
M
Mmáximo
x
FIGURA 6.7 Esquema estrutural da nervura da laje e principais características
das ações considerando-a elástica e de inércia constante.
A cortante e o momento fletor em uma seção S genérica do tramo
distante x do apoio à esquerda valerão respectivamente:
pxRV =
2
2
px
RxM =
estas expressões serão usadas posteriormente.
d) Largura colaborante (b
f
) para seção "T" (b
w
= 12 cm):
Da mesma forma como foi tratado no capítulo 4 é preciso antes de se
dimensionar a armadura na nervura verificar qual a parcela da “capa” da laje participa
no trabalho de flexão da nervura determinando o valor de b
f
.
Capitulo 6 – Exemplos
____________________________________________________________________________________
177
=+=+
=+=+
cmbb
cmab
b
w
w
f
0,42152122
0,4230010,01210,0
1
cmb
f
0,42=
onde:
cma
30040075,075,0 === l para tramos com momento em uma só extremidade;
==
==
cma
cmb
b
3030010,010,0
15305,05,0
2
1
cmb 0,15
1
=
;
cmb 0,30
2
= é a distância entre as faces internas de duas nervuras adjacentes.
e) Verificação se a seção é retangular ou "T"
Para o momento positivo (para negativo, a seção é retangular), determina-se a posição
da linha neutra, supondo, em princípio, que ela passe pela mesa:
d = 12 - 2 = 10 cm; b = b
f
= 42,0 cm; kNmM
pos
60,2
.
=
060,0
4,1/2000010,042,0
6,24,1
22
=
=
=
cdf
d
fdb
M
KMD
KX= 0,091 (anexo I)
x = KX . d = 0,09 . 10 = 0,9 < h
f
= 4,00 cm
L.N. passa na mesa seção retangular
f) Cálculo da armadura positiva (M
pos
= 2,60 kN m):
KMD = 0,060 KZ =0,963
2
86,0
5010,0963,0
6,215,14,1
cm
fdKZ
M
As
yd
d
=
=
=
g) Cálculo da armadura negativa (b=b
w
= 12 cm,
M
neg
= 4,62 kN m)
377,0
2000010,012,0
62,44,14,1
2
=
=KMD anexo I ε
s
=0,087%<0,407%
Capitulo 6 – Exemplos
_________________________________________________________________________________
178
domínio 4 não pode!
Solução: adotar região maciça, cuja largura deve se prolongar até à seção
em que o momento resistente da nervura seja igual ao atuante, de cada lado do apoio;
assim, o momento no apoio para cálculo da armadura poderá ser o obtido do cálculo
elástico.
h) Cálculo do momento resistente da seção (adotando CA-50 que
é mais desfavorável):
Em torno do apoio (momento negativo), a região comprimida da seção
transversal é a inferior, comportando-se como retangular, com b
w
= 12 cm (Figura 6.8):
εc=3,5
8
12
x
z
42 cm
34
2
0,8x
34
s
A
d=10
F
Seção transversal Deformações na seção Forças resultantes
S
C
F
L
N
rd
M
0,85f
cd
εs=2,07‰(CA-50)
FIGURA 6.8-Situação para o cálculo do máximo momento negativo resistido pela
nervura sem considerar região maciça.
O cálculo do momento máximo resistido M
rd
é feito considerando-se a
linha neutra correspondente ao domínio 3-4, determinando a força no concreto e
finalmente o momento M
rd
conforme as expressões a seguir:
3434
xd
07,4
x
5,3
=
dx
+
=
07,25,3
5,3
34
cmx 28,610
07,25,3
5,3
34
=
+
=
cmxy 02,528,68,08,0
3434
=
=
=
Capitulo 6 – Exemplos
____________________________________________________________________________________
179
kNmfzybM
cdwrd
485,5
4,1
000.20
85,0
2
0665,0
10,00502,012,085,0
3434
=
==
i) Cálculo da largura da região maciça:
Uma vez determinado o momento máximo resistido pela seção da
nervura basta encontrar no diagrama de momento fletor da laje (considerando o elástico
dado na figura 6.5 e item c) a seção em que o momento fletor é numericamente igual a
este valor.
O valor do momento máximo resistido em serviço é igual a :
917,34,1/485,54,1/
=
=
=
RdR
MM kN m
igualando à equação do momento dada por :
2
2
px
RxM = cuja raiz positiva é x = 3,86 m
Assim, a região maciça, de cada lado do apoio será:
mx 27,073,30,4
=
=l adotado 35 cm de cada lado.que seria
igual ao comprimento de um elemento de enchimento.
Resulta, então, na laje detalhada na figura 6.9, admitindo que a viga de
apoio tenha 20 cm de largura
Capitulo 6 – Exemplos
_________________________________________________________________________________
180
Vista Superior (admitindo viga de apoio com largura de 20cm)
0,20
A
Corte A-A
0,25
0,25
B
0,20
0,25
0,25
0,35
0,35
B
Corte B-B (seção resistente no tramo)
A
C
C
Vista C-C (seção resistente no apoio)
maciça
região
viga
4,0m
h=12cm
d=10cm
b=42cm
b
w=42cm
d=10cm
h=12cm
0,12
FIGURA 6.9-Esquema estrutural da laje com seção maciça próxima ao apoio
central.
j) Cálculo da armadura negativa, agora com b = 42 cm (região
maciça):
Para este cálculo despreza-se a variação da inércia e carregamento
causada pela criação da região maciça
kNm
p
M
neg
62,4
8
0,431,2
8
22
=
=
=
l
107,0
000.2010,042,0
62,44,14,1
22
=
=
=
cdw
d
fdb
M
KMD
tabela anexo I KZ = 0,933
2
60,1
5010,0933,0
62,415,14,1
cm
fdKZ
M
As
yd
d
=
=
=
Faz-se a seguir, para efeito de comparação, o cálculo das armaduras se
não houvesse região maciça e momento de cálculo no apoio igual ao momento
Capitulo 6 – Exemplos
____________________________________________________________________________________
181
resistente da nervura que e tomado como momento de plastificação.
k) Armadura positiva (momento positivo calculado a partir do
momento negativo resistente).
Neste caso considera-se que o momento máximo negativo (M =
5,485/1,4 = 3,917 kNm)) que poderá ocorrer na laje será o calculado anteriormente
igual a (ver item h e i) 3,917 kN.m. A partir do esquema estrutural montado na figura
6.10.
Ra
4,0 m
Rb
p
M
M
b
= 0 0917,3
2
0,4
31,24
2
=+ Ra
Ra = 3,64kN
M
máx
V = 0 031,264,3 = x
x = 1,57 m
kNmM
máx
88,2
2
57,1.31,2
57,164,3
2
==
FIGURA 6.10-Esquema estrutural da laje sem seção maciça próxima ao apoio
central e com momento negativo igual ao máximo resitido pela seção.
Verifica-se então que o momento positivo será igual a M
máx
= 2,88 kN.m
e a armadura correspondente passa a ser:
Supondo a linha neutra passando na mesa
067,0
000.2010,042,0
88,24,14,1
22
=
=
=
cdf
d
fdb
M
KMD KX = 0,1076
KZ = 0,957
cmdKXx 08,1101076,0
=
== < cmh
f
0,4
=
LN. na mesa seção retangular b
w
= b
f
= 42,0 cm
2
95,0
5010,0957,0
88,215,14,1
cm
fdKZ
M
As
yd
d
=
=
= > 0,86 cm
2
do cálculo
elástico!
Capitulo 6 – Exemplos
_________________________________________________________________________________
182
l) Armadura negativa (momento negativo no apoio igual ao
resistente e b
w
= 12 cm)
32,0
000.2010,012,0
917,34,14,1
22
=
=
=
cdw
d
fdb
M
KMD
KZ = 0,7485
2
68,1
5010,07485,0
917,315,14,1
cm
fdKZ
M
As
yd
d
=
=
=
Por último considera-se a laje composta de dois tramos isostáticos sem
continuidade.
m) Armadura positiva (momento positivo calculado a partir da
laje com dois tramos isostáticos).
Neste caso considera-se que não há momento negativo e o positivo é
dado pela expressão:
8
2
pl
M
máximo
= =4,62 kN.m/nervura
A armadura neste caso será calculada, supondo a linha neutra passando
na mesa, por:
107,0
000.2010,042,0
62,44,14,1
22
=
=
=
cdf
d
fdb
M
KMD
KX = 0,169 KZ = 0,931
cmdKXx 6,110.169,0
=
== < cmh
f
0,4
=
LN. na mesa seção retangular b
w
= b
f
= 42 cm
2
60,1
5010,0931,0
62,415,14,1
cm
fdKZ
M
As
yd
d
=
=
= >0,86 cm
2
do cálculo
elástico!
Na tabela 6.9 faz-se um resumo dos resultados encontrados para as
armaduras positiva e negativa nas diversas soluções para o pano de laje do esquema e na
figura 6.11 mostra-se como ficaria o detalhe das três soluções.
Capitulo 6 – Exemplos
____________________________________________________________________________________
183
TABELA 6.9-Momentos Fletores e armaduras positiva e negativa para as diversas
situações da laje.
Situação
Momento (kNm) Largura da seção Armadura
M
pos
= 4,62 kNm
b = b
f
= 42 cm 1,60 cm
2
Laje com dois tramos
isostáticos.
Momento negativo =0
M
neg
= 0
- -
M
pos
= M
pos/elast
= 2,60 kNm
b = b
f
= 42 cm 0,86 cm
2
Laje contínua.
Momento negativo
com região maciça
M
neg
= M
neg/elast
= 4,62 kNm
b = 42 cm 1,60 cm
2
M
pos
= 2,88 kNm
b = b
f
= 42 cm 0,95 cm
2
Laje contínua.
Momento negativo
igual ao resistente sem
região maciça
M
neg
= M
res
= 3,92 kNm
b= b
w
= 12 cm 1,68 cm
2
Capitulo 6 – Exemplos
_________________________________________________________________________________
184
Vista Lateral Laje com dois tramos isostáticos
Vista Lateral Laje contínua seção do apoio plastificada
s
A =1,60cm
2
A =1,60cm
s
s
2
2
s
s
A =0,86cm
s
A =0,86cm
s
2
A =1,60cm
s
Vista Lateral Laje contínua com seção proxima ao apoio maciça
2
2
2
apoio apoio apoio
apoio apoio apoio
apoio apoio apoio
2
A =0,95cm
A =0,95cm
A =1,68cm
FIGURA 6.11-Esquema estrutural da laje do problema para três soluções: dois
tramos isostático, contínua com seção do apoio plastificada e com seção do apoio
maciça.
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
185
6.6 Exemplo 5: Verificar o estado de deformação excessiva da laje do exemplo 4 nas
três situações consideradas. Além dos dados já empregados considerar que o
escoramento da laje será retirado aos 14 dias.
Para verificar o estado limite de deformação excessiva irá se considerar,
as condições de aceitabilidade sensorial e levando-se em conta a fissuração e fluência
do concreto. Inicialmente calcula-se a características geométricas da seção transversal
a) Cálculo das características geométricas
Calcula-se as características geométricas da seção mais solicitada do
tramo, como é recomendado pela norma para o uso da expressão de Branson (1968).
Seção transversal com armadura no tramo
b =42cm
f
w
b =12cm
w
b =42cm
f
b =12cm
A
s
Seção transversal bruta resistente no tramo
h=12cm
h=12cm
d=10cm
h
f=4cm
FIGURA 6.12-Esquema das seções transversais no tramo para o cálculo das
características geométricas. Seção bruta e com armadura.
Estádio I
Para calcular as características geométricas no estádio I, segundo a
NBR6118(2003) basta faze-lo para a seção bruta usando as fórmulas. Calcula-se
primeiramente o centro de gravidade e em seguida o momento de inércia da seção bruta:
b
w
f
wf
A
h
b
h
bb
y
22
)(
2
2
+
=
y = 4,18 cm
2
2
3
3
22
)(
1212
)(
+
+
+
=
h
yhb
h
yhbb
hb
hbb
I
hw
f
hfwf
w
fwf
I
I
I
= 2,935 .10
-5
m
4
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
186
Estádio II puro
Para calcular as características da seção no estádio II puro é preciso
conhecer, inicialmente, o valor do módulo de deformação longitudinal do concreto, para
encontrar o valor de α
e
(relação entre os módulos de deformação do aço e do concreto).
27
/101,2212872047604760 mkNMPafE
ckc
====
865,9
101,2
1021
4
5
=
==
c
s
e
E
E
α
O valor da resistência à tração é dada por:
f
ct,imf
=0,21 f
ck
2/3
=0,21 x20
2/3
=1,55MPa
O momento de fissuração, para este caso (seção “T”), é dado por:
t
cimfct
r
y
If
M
=
,
.
α
()
mkN /698,0
0,0418-0,12
,935.101,2.1550.2
-5
==
Para o estádio II puro o valor da posição da linha neutra e o momento de
inércia são dados pelas expressões a seguir. Lembrar que neste caso, 0A
'
s
= e que se
considerará que a linha neutra passa na mesa (x
II
<h
f
) e há três situações a se considerar:
dois tramos simplesmente apoiados, tramos contínuos com plastificação no apoio
central e tramos contínuos elástico (sem plastificação). Para cada situação deste tem-se
para o valor da armadura 1,60,1,07 e 0,86 cm
2
respectivamente. As fórmulas a empregar
são:
(
)
2/
1 f
ba =
se
Aa =
α
2
se
Ada =
α
3
e a posição
x da linha neutra igual a:
1
31
2
22
2
4
a
aaaa
x
II
±
=
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
187
e o momento de inércia no estádio II puro é:
2
s
3
f
x,
d)-x(A
3
xb
0
+
=Ι
ΙΙ e
α
com a
1
=21 cm e os valores de A
s
de cada caso obtém-se os valores de linha neutra e
inércia apresentados na tabela 6.10
TABELA 6.10 Características geométricas para o estádio II puro para seção do
tramos da laje nas diversas situações
Situação da laje Dois tramos
isostáticos
Continua com
plastificação
Continua elástica
Linha neutra x
II
(cm) 2,39 1,90 1,82
Inércia I
II0
(cm
4
) 1105 711 652
b) Cálculo das flechas para as diversas combinações
As flechas são calculadas inicialmente considerando a inércia da seção
bruta (I
c
=2,935.10
-05
m
4
). Este procedimento foi feito com um programa de análise
matricial que apresentou o estado de deformação para a combinação rara de ações
(carga permanente mais sobrecarga e carga acidental) p=2,31 kN/m. Os resultados
encontrados para um tramo estão apresentados na figura 6.13
O cálculo da flecha final deve ser feito segundo a NBR6118(2003) com
uma rigidez equivalente ou uma inércia equivalente
I
m
que é o valor da inércia média
de Branson. Porém como o momento de fissuração da seção transversal é muito baixo
praticamente a inércia equivalente se reduz ao valor da inércia do estádio II puro. Assim
a flecha desejada será obtida tomando-se a calculada com o programa em que se usou a
inércia da seção bruta e multiplicando-a pela relação entre as inércias do estádio I
(bruta) e estádio II ou seja:
0II
I
estádioI
I
I
aa =
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
188
DESLOCAMENTOS VERTICAIS
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
012345678910
Seçao (décimo do vão)
Deslocamentos (cm)
ISOSTÁTICA
CONTÍNUA
PLASTIFICAÇÃO
GRÁFICO 6.1 -Deslocamentos do tramo 1 para as diversas situações da laje.
Cálculo executado com a inércia da seção bruta.
Como está se considerando sempre a mesma inércia de referência ( a do
estádio II) as flechas passam a ser proporcionais ao carregamento podendo-se se
escrever:
021
21
2,0
II
I
estádioIfestádioIfinal
I
I
a
qgg
qgg
aa
+
++
++
=
α
onde a primeira parcela corresponde a deformação devido a fluência e g
1
indica a ação
de carga permanente , g
2
sobrecarga permanente e q carga acidental. O coeficiente α
f
que traduz o efeito da fluência é determinado com as equações a seguir e o tempo t é
dado por t=14/30=0,47.
53,047,0996,068,0996,068,0)(
32,047,032,0
0
=== tt
t
ξ
2)( =
ξ
Considerando que ρ`=0
Tem-se
47,1
1
53,02
'501
=
=
+
=
ρ
ξ
α
f
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
189
Por fim a expressão com os valores das flechas tiradas da figura 6.11
(1,09;0,45;0,31cm ) pode-se calcular a flecha final para a combinação rara de cargas e
para carga acidental nas três situações: Lembrar que a combinação quase permanente o
valor de p=g
1
+g
2
+0,2q resulta em 3 kN/m
2
coincidentemente igual ao valor de q.
Laje com dois tramos isostáticos
cma
final
30,5
1105
2935
09,147,1
52,5
0,3
09,1 =
+=
cma
acidental
57,1
1105
2935
52,5
0,3
09,1 =
=
Laje contínua com plastificação (contínua sem trecho maciço)
cma
final
40,3
711
2935
45,047,1
52,5
12,3
45,0 =
+=
cma
acidental
00,1711
52,5
0,3
45,0 =
=
Laje contínua elástica
cma
final
55,2
652
2935
31,047,1
52,5
12,3
31,0 =
+=
cma
acidental
76,0
652
2935
52,5
0,3
31,0 =
=
As flechas limites podem ser encontradas na tabela 6.11 para
a condição de aceitabilidade sensorial
TABELA 6.11 condição de aceitabilidade sensorial
para a totalidade de cargas
cm6,1
250
=
l
para a carga acidental
350
l
=1,14 cm
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
190
Desta forma considerando ainda que pode ser dada uma contra-flecha de
até:
cma
cf
14,1
350
==
l
Laje com dois tramos simplesmente apoiadas
cmcma
total
6,1
250
26,414,130,5
,
=>==
l
a condição de deformação
não estaria atendida.
cma
acidental
14,1
350
57,1 =>=
l
a condição de deformação para carga
acidental não estaria atendida.
Laje contínua com plastificação
cmcma
toal
6,1
250
26,214,140,3
,
=>==
l
a condição de deformação
não estaria atendida.
cma
acidental
14,1
350
00,1 =<=
l
a condição de deformação para carga
acidental estaria atendida.
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
191
Laje contínua com elástica
cmcma
toal
6,1
250
41,114,155,2
,
=<==
l
a condição de deformação
estaria atendida..
cma
acidental
14,1
350
76,0 =<=
l
a condição de deformação para carga
acidental estaria atendida.
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
192
6.7 Exemplo 6: Calcular os momentos fletores para as nervuras (considerando
contínuas) do pavimento dado na fôrma da figura 6.14, considerando o processo de
grelha equivalente simplificado, usando os mesmos dados do exemplo 3.
CORTE AA
V100 (12x40)
V101 (12x40)
V102(12x40)
P1
P2
P3
P4
P5
P6
A
A
12
42
12
4
SEÇÃO DE CÁLCULO
SEÇÃO DE CÁLCULO
CORTE BB
12
40 cm
B
B
504 cm
400 cm
400 cm
FIGURA 6.13 Planta de fôrma de pavimento com nervuras pré-moldadas.
A diferença entre este exemplo e o exemplo 4 é que neste caso em vez de
se usar o processo de viga independente usar-se-á o procedimento de grelha equivalente
“elástico” (sem considerar fissuração e plastificação). Os momentos fletores deverão ser
um pouco diferentes que os obtidos pelo processo elástico de viga independente pois as
vigas V100, V101 e V102 são deformáveis, havendo assim uma tendência da
diminuição (em módulo) nos valores do momento fletor no apoio central das nervuras.
Para a determinação dos momentos usou-se o programa GPLAN (1985)
com a malha de nós indicada na figura 6.15, sendo que os nós 103 a 119 estão no eixo
de simetria da estrutura. Os nós 1,18,35,52,69,86 e 103 determinarão a viga V100 e os
nós 9,26,43,50,77,94 e 111 a viga V101 enquanto os nós 17, 34, 51, 68, 85, 102 e 119 a
viga V102.
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
193
FIGURA 6.14 Esquema dos nós que compõem a malha da grelha empregada para
determinar os esforços nas nervuras. Os nós 1, 9 e 17 são indeslocáveis na vertical
(fazem o papel dos pilares de apoio) e os nós 103 a 119 correspondem a nervura
central e o eixo de simetria da estrutura.
Resolvida a estrutura obtêm-se os deslocamentos da mesma verificando-
se, em virtude da deformabilidade das vigas que as nervuras centrais tem o apoio central
se deformando mais que os extremos interferindo nos resultados dos momentos. Como
pode ser visto nos gráficos 6.1 e 6.2 a deformação dos “apoios” centrais das nervuras é
bastante sensível.
1
6
11
16
-0.07
-0.05
-0.03
-0.01
0.01
-0.01-0.01
-0.03--0.01
-0.05--0.03
-0.07--0.05
GRÁFICO 6.2- Deformação do pavimento com deslocamentos dos pontos em m.
Pode-se perceber a menor deformação que ocorre na região das três vigas e como
as longarinas apoiadas nos pilares ou próximas deles tem menor deformação.
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
194
Deslocamentos das diversas nervuras
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
deslocamento
s
Ner. Lat. Esq.
Nerv. Lat.esq.1
Nerv. Interm.
Nerv. central
GRÁFICO 6.3- Deformação das diversas nervuras. As laterais esquerda e
esquerda 1 são respectivamente a nervura apoiada nos pilares calculada no modelo
de grelha e com viga independente (deformação praticamente igual). A nervura
intermediária correspondente a formada pelos nós 52 a 68 (ver fig. 14) e
finalmente a nervura central é a formada pelos nós 103 e 119, ou seja a que
apresenta a maior deformação.
No gráfico 6.2 repete-se as deformações de algumas nervuras mostrando
como a nervura central se deforma bem mais que as laterais e que uma nervura isolada
considerada em apoios indeslocáveis na vertical, conceito da viga isolada e usado no
exemplo anterior.
Desta é de se esperar que o momento fletor nas nervuras da lajes pré-
moldada no apoio da viga V102 sejam, em módulo, inferiores ao obtido com a nervura
isolada apoiada em apoios indeslocáveis.
Momento fletor negativo no centro da nervura
0
1
2
3
4
5
6
7
1234567
Nervura
.
Momento em kN.m
GRÁFICO 6.4 Variação do momento fletor negativo de cada nervura. O valor do
momento vai diminuindo em módulo conforme a nervura fica mais próxima do
centro da laje.
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
195
Os valores dos momentos fletores máximos negativos e positivos em
cada nervura são apresentados na tabela 6.12.
TABELA 6.12 Valores dos máximos momentos positivos e negativos em cada
nervura
NERVURA
Momento fletor negativo
máximo(kN.m)
Momento fletor positivo máximo
(kN.m)
1 -6,56 -3,53
2 -5,92 3,76
3 -5,43 3,84
4 -5,06 3,94
5 -4,78 4,02
6 -4,62 4,07
7 -4,56 4,08
O momento fletor positivo das nervuras também sofre alteração, porém
não significativa como se vê na gráfico 6.4
Momento fletor máximo positivo nas nervuras
-4.5
-3.5
1234567
Nervura
Momento positiv
o
(kN.m)
GRÁFICO 6.5- Variação do momento fletor positivo de cada nervura. O valor do
momento vai aumentando em módulo conforme a nervura fica mais próxima do
centro da laje.
Finalmente o diagrama de momento fletor nas nervuras se alterará
conforme a deformação da viga V102 (viga central de apoio) como pode ser visto no
gráfico 6.5 em que a nervura se apoiada em apoios indeslocáveis acaba tendo um
momento fletor negativo no apoio maior (em módulo) que o caso das nervura
intermediária (nós 35 a 66) e a do meio da laje (nós 103 a 119). Para o momento fletor
positivo ocorre o inverso.
Capitulo 6 – Exemplos
___________________________________________________________________________________
196
Diagrama de Momento Fletor
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10121416
Seção
Momento Fletor
(kN.m)
Nervura isolada apoios
fixos
Nervura intermediária
Nervura central
GRÁFICO 6.6- Diagrama de momento fletor positivo da nervura isolada (apoios
indeslocáveis), intermediária e central.
CONCLUSÕES FINAIS, SUGESTÕES
7.1 Introdução
As considerações finais aqui apresentadas originaram-se do conteúdo
apresentado neste trabalho onde se procurou avaliar o comportamento de lajes pré-
fabricadas unidirecionais. Inicialmente pensou-se em realizar um trabalho só sobre a
determinação dos esforços e de armadura, assim como, detalhamento da mesma neste
tipo de sistema, porém o desenvolvimento do estudo alicerçado na bibliografia
encontrada mostrou como a execução, se não feita de forma apropriada, pode interferir
no comportamento final. Resolveu-se então incorporar mesmo que de maneira
resumida, orientações sobre a execução principalmente em relação ao escoramento,
lançamento e compactação do concreto. Outra constatação verificada é a necessidade de
um número maior de ensaios com este sistema pois alem da grande variabilidade
intrínseca do módulo de elasticidade e resistência à tração do concreto, as lajes pré-
fabricadas contínuas podem apresentar, mesmo em serviço seções com rótulas plásticas.
Desta forma sempre que possível os trabalhos experimentais, mesmos os exploratórios,
foram citados.
Para facilitar a leitura deste capítulo e melhor organizar os assuntos
separa-se as principais conclusões em ordem executiva e de projeto para depois no final
deste capítulo apresentar as sugestões para novas pesquisas.
7
7
Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões
___________________________________________________________________________________
198
7.2 Conclusões em relação à questão de execução.
Entre os diversos aspectos da execução do sistema de lajes pré-fabricadas
procurou-se, neste trabalho, ressaltar cinco deles: a) escoramento, b)adensamento do
concreto, c)cura do concreto, d)cobrimento e e)ações ao longo do tempo.
Em relação a montagem da lajes pré-fabricadas é de suma importância que se
empreguem espaçamentos adequados, como discutido no item 2.9, caso contrário o
risco de colapso durante o lançamento do concreto é grande. Os trabalhos de GASPAR
(1997), FORTE et alli (2000) e principalmente DROPPA JUNIOR (2000) permitem
determinar em função de equipamentos empregados e tipo de treliça o espaçamento
máximo a ser empregado. Vale a pena lembrar que no caso da vigota treliçada a
condição determinante está relacionada a instabilidade do banzo superior da treliça.
Assim é importante evitar, seja no transporte das mesmas ou na hora da execução, que a
barra que forma este banzo perca sua retilineidade, evitando, portanto que os operários
pisem na mesma. Os equipamentos a serem empregados (carrinhos de mão, gericas etc)
precisam ter seu peso corretamente avaliado e finalmente evitar-se a formação de
grandes acúmulos de volume de concreto em pequenas regiões que provoquem
sobrecarga acima da prevista. Finalmente como ferramenta recomenda-se o programa
de DROPPA JUNIOR (2003) para determinação do espaçamento de escoramento para
lajes treliçadas que pode também, a partir dos trabalhos de FORTE e Alli (1997) e
MERLIN (2002), ser devidamente adaptado para nervuras de concreto armado e
protendido.
Na questão da concretagem mostrou-se nos itens 2.7 e 2.8, resumidamente, os
processos de adensamento e cura do concreto que devem ser empregados para este
sistema, chamando a atenção que os mesmos podem afetar substancialmente a rigidez
das nervuras. O trabalho de PEIXOTO (2002), cujos resultados são apresentados em
5.4.3.1.e 5.4.3.2, apesar de simples pode mostrar que o adensamento do concreto com
vibração por imersão e a cura controlada por molhagem da superfície da laje permitem
um ganho de rigidez à flexão no sistema quando comparado aos sistemas executados
sem esta técnica. Valores experimentais foram apresentados mostrando claramente os
beneficios de tais técnicas, mas a maior importância é, sem dúvida, garantir uma menor
variabilidade nos valores de rigidez do sistema.
Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões
___________________________________________________________________________________
199
A questão do cobrimento é abordada no item 2.4.1.1 e mostrou-se as grandes
mudanças que ocorreram com a publicação da nova norma NBR6118(2003) com um
grande aumento para os valores nominais dos mesmos. Este tópico deverá merecer sem
dúvida um estudo mais cuidadoso no futuro para que não seja necessário mudar as
formas existentes de nervuras. De qualquer maneira a partir de março do ano de 2004
todos os fabricantes deverão obedecer os novos valores de cobrimento.
Finalmente em relação a questão de deformação, pode-se perceber pelos ensaios
de ROGGE (2000) que particularmente as deformações devido a fluência do concreto
são bastante altas, maiores ainda que as previstas pela NBR6118(2003) recomendando-
se assim que a retirada do escoramento seja retardada o máximo possível e que também
seja dada preferência a esquemas de lajes contínuas que reduzem também drasticamente
a flecha imediata. Nesta última situação chama-se a atenção para o correto
posicionamento da armadura “negativa” (junto a face superior) que deve estar bem
fixada e que deve ser evitada de ser pisada.
7.3 Conclusões em relação às questões de projeto
Diversos aspectos podem ser considerados em relação ao projeto de lajes pré-
fabricadas que passam basicamente pelo cálculo e verificação nos estados limites.
Assim para organizar melhor o texto e de acordo como foram tratados neste trabalho
considerar-se-á um item para os aspectos relativos ao modelo de cálculo empregado,
outro para os estado limites últimos de flexão e cisalhamento e mais um para os dos
estados limites de deformação excessiva.
7.3.1 Modelos de Cálculo
Poucos pesquisadores se detem na discussão dos processos de determinação dos
esforços e deslocamentos das lajes pré-fabricadas, mas como mostra o capítulo 3 há
uma série de hipóteses que podem ser feitas que levarão a resultados bem distintos.
Mesmos para as lajes unidirecionais é possível usar o modelo de grelha equivalente e
sempre que possível a fissuração do concreto deve ser considerada. Os principais
Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões
___________________________________________________________________________________
200
processos usados são o de viga isolada e de grelha equivalente sem a fissuração do
concreto corrigindo a flecha com a expressão de BRANSON já presente na
NBR6118(2003).
Embora seja possível usar-se processos “elásticos”, ou seja, aqueles baseados na
teria da resistência dos materiais, a forma da seção transversal das lajes requer em
diversas situações o cálculo não linear com fissuração do concreto e até plastificação do
concreto.
A grande variedade de programas existentes no mercado pode até confundir os
projetistas pois, em geral, são acompanhadas de explicações resumidas do processo de
cálculo. Recomenda-se ao projetista, sempre que possível testar, através de exemplos
simples, o programa para realmente entender o que é capaz de fazer.
7.3.2 Estado limites últimos de flexão e cisalhamento
O projeto de lajes pré-fabricadas unidirecionais embora aparentemente não
apresente novidade, requer que o projetista esteja sempre atento à questão da diferença
de capacidade portante que a seção em forma de “T” tem para momentos positivos e
negativos. Usando esta característica da seção transversal pode-se melhorar a
distribuição de armaduras longitudinais e detalhá-la de forma mais econômica como
mostra o exemplo 3 do capítulo 6.
Quando há paredes colocadas transversalmente às nervuras da laje a condição de
cisalhamento pode ser determinante no projeto. Isto fica claro no exemplo 2 do capítulo
6 e o projetista passa a determinar a altura da nervura e a treliça a ser empregada em
função, não mais do escoramento e as questões de flexão mas sim do cisalhamento.
7.3.3 Estado limites de deformação excessiva
No capítulo 5 deste mostra-se que o sistema de laje unidirecional trabalha, em
geral, com muitas seções funcionando, em serviço, no estádio II. Os ensaios feitos pelo
grupo de São Carlos e outros autores apresentados ao longo dos itens 5.4 a 5.6 mostram
em primeiro lugar que: a) para alturas inferiores a 20 cm e vão até 5m o momento de
Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões
___________________________________________________________________________________
201
fissuração para cargas usuais de serviço é ultrapassado (funcionamento no estádio II),
b)a flecha de fluência acompanha o valor do coeficiente de fluência e portanto é bem
maior que a flecha imediata, c) as expressões da NBR6118:1980 e NBR6118:2003
apresentaram resultados subestimados das flechas quando comparada a resultados
experimentais.
Através do primeiro exemplo mostra-se que as flechas de elementos
simplesmente apoiados é bem grande, em parte é verdade porque os resultados são
sempre considerando que o apoio se faz apenas através de um ponto, o que não ocorre
na prática. Há também as questões do impedimento a rotação que as nervuras podem
sofrer devido ao peso de paredes levantadas por cima delas junto ao apoio. Muitas vezes
executa-se uma argamassa (as vezes de cimento, areia e água) para uniformização da
face superior de laje que apesar de aumentar o peso próprio da laje pode também
aumentar significativamente a inércia da seção transversal. As questões levantadas
podem explicar, em parte, porque na prática algumas lajes com espessura em torno de
15 cm se apresentam com flechas compatíveis ao bom uso das mesma. De qualquer
forma são temas que devem ser investigados experimentalmente.
O exemplo 4 do capítulo 6, mesmo usando um processo relativamente simples
que permite a consideração aproximada da fissuração mostra os benifícios da
consideração de um sistema contínuo.
Finalmente a questão dos novos limites de flecha imposto pela NBR6118:2003
e os valores adotados para o valor do momento de fissuração, resistência à tração do
concreto e combinações de ações merecem para este sistema um estudo melhor e talvez
uma adapatação de valores, conforme mostra o exemplo 2 do capítulo 6 em que se
conclui para o caso dos protótipos de ROGGE (2000) as expressões da NBR6118:1980
devidamente adapatadas apresentaram resultados melhores.
7.4 Sugestões para novas pesquisas
A primeira sugestão que se faz é que é preciso agora se desenvolver uma série de
exemplos que devem ser resolvidos com as novas expressões proposta pela
NBR6118(2003), principalmente em relação ao estado de deformação excessiva, as
Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões
___________________________________________________________________________________
202
questões de cobrimento para que se possa identificar possíveis problemas ou até
modificações nas linhas de produção das fábricas de vigotas.
Mas mais importante é desenvolver um programa experimental com o objetivo
de fornecer mais parâmetros para que o engenheiro projetista conhecendo apenas o
valor da resistência característica do concreto consiga projetar com razoável segurança.
Dentro deste programa necessariamente estariam contemplados: o estudo da
fissuração de estruturas de lajes pré-fabricadas contínuas, assim como a deformação
diferida das mesmas. A questão da plastificação das seções nos apoios deveria também
merecer destaque.
Um estudo experimental interessante seria verificar a influência da largura dos
apoios das lajes em relação ao seu estado de deformação.
Finalmente seria importante “calibrar” as expressões de fissuração que
programas não lineares tipo TQS empregam para poder simular exemplos mais
próximos dos reais e até verificar se para pequenos vãos e cargas usuais os resultados de
programas mais simples e acessíveis podem ser usados com boa aproximação.
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Bibliografia
___________________________________________________________________________________
21
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MESQUITA V. V.; CARVALHO R. C.; FIGUEIREDO Filho J. R.
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MOLINA Jr. V.; CARVALHO R. C.; FIGUEIREDO Filho J. R.; FURLAN Jr. S.,
Verificação automática do estado limite de deformação excessiva de
pavimentos de concreto armado considerando a fissuração e fluência do
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Profesor Julio Ricaldoni”. Punta del Este, Uruguai. 2000
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MULTIPLUS COMPUTAÇÃO GRÁFICA. Manual do sistema CYPECAD. São Paulo,
SP. 1996.
NEVILLE, ADAM M. Propriedades do concreto. PINI, 1° edição,1982
PEIXOTO, E. M.. Os efeitos da vibração mecânica e cura controlada do concreto
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de iniciação científica - 01/06803-0, Fapesp. São Carlos, SP. 2002.
Bibliografia
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experimental do espaçamento de escoras em lajes pré-moldadas com nervuras
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fabricadas com vigotas treliçadas. SP. 2001.
FORMULÁRIO E TABELA PARA O DIMENSIONAMENTO
DE ARMADURA LONGITIDNAL DE FLEXÃO
Formulário para utilização da tabela A I.1
cdw
d
fdb
M
KMD
=
2
d
x
KX =
d
z
KZ =
Se = ε
s
> ε
yd
então
yd
d
s
fdKZ
M
A
=
FIGURA A I.1 Viga de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na
seção solicitada pelo momento de cálculo M
d
1
1
Anexo 1
________________________________________________________________________________________
213
TABELA AI.1 Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares
KMD KX KZ
ε
c
ε
s
KMD KX KZ
ε
c
ε
s
0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,0000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814
0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,0000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,0000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255
0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,0000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658
0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,0000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,0000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785
0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,0000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496
0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,0000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297
0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,0000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181
0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,0000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,0000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,0000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,0000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,0000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,0000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,0000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,0000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,0000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,0000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,0000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,0000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,0000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,0000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,0000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,0000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,0000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106
0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204
0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793
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