Download PDF
ads:
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
Mestrado em Educação Tecnológica
Iêda do Carmo Vaz
OS CONCEITOS DE LIMITE, DERIVADA E INTEGRAL EM LIVROS
DIDÁTICOS DE CÁLCULO E NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES
DE MATEMÁTICA E DE DISCIPLINAS ESPECÍFICAS EM CURSOS
DE ENGENHARIA
Belo Horizonte (MG)
2010
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Iêda do Carmo Vaz
OS CONCEITOS DE LIMITE, DERIVADA E INTEGRAL EM LIVROS
DIDÁTICOS DE CÁLCULO E NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES
DE MATEMÁTICA E DE DISCIPLINAS ESPECÍFICAS EM CURSOS
DE ENGENHARIA
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em
Educação Tecnológica do Centro Federal de
Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG,
para obtenção do título de Mestre em Educação
Tecnológica.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte (MG)
2010
ads:
Iêda do Carmo Vaz
OS CONCEITOS DE LIMITE, DERIVADA E INTEGRAL EM LIVROS
DIDÁTICOS DE CÁLCULO E NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES
DE MATEMÁTICA E DE DISCIPLINAS ESPECÍFICAS EM CURSOS
DE ENGENHARIA
______________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares
(Orientador)
______________________________________________
Profª. Drª Adriana Maria Tonini (UFOP)
___________________________________________
Profª. Drª Maria Clara Rezende Frota (PUC-MINAS)
__________________________________________
Prof. Dr. Jerônimo Coura Sobrinho (CEFET-MG)
Belo Horizonte ,23 de agosto de 2010.
Para Ilton e Iêda, meus pais,
pelo amor incondicional.
Para Gabriel e Iago, meus filhos,
por existirem em minha vida.
Agradecimentos
João Bosco Laudares.
Meu orientador. Seu cuidado constante durante toda a trajetória de meus estudos nesses
últimos 30 meses, possibilitou, não só a redação do presente trabalho, mas também o meu
crescimento enquanto profissional e principalmente enquanto pessoa.
Membros da Banca
Disponibilizaram-se para a leitura e consequente avaliação dessa dissertação, ensinando-
me a trilhar nesse caminho tão frutífero em inquietações.
Professores do Mestrado
Com competência incontestável, muito contribuíram para que me fizesse leitora, na
compreensão das entrelinhas.
Professores pesquisados.
Grande foi a receptividade de todos. Ao abrirem as portas de suas salas de aula e também
se disponibilizarem para a entrevista, muito contribuíram para que essa pesquisa se
efetivasse com veracidade e transparência
.
Coordenadores dos cursos pesquisados.
Solicitude, transparência e acolhida foram práticas constantes no exercício de suas funções.
Ao procurá-los encontrei pessoas receptivas e muito envolvidas, fornecendo e explicando
com clareza as informações necessárias. Foram grandes as contribuições oferecidas
durante o todo o processo de pesquisa.
Lorena Freitas.
Diretora do Colégio Santo Agostinho, unidade Nova Lima. Carinho, cuidado e respeito são a
tônica de sua gestão. A partir da crença no homem e em suas possibilidades de crescimento,
muito contribuiu para que a conclusão desses estudos se efetivasse.
Fernanda Araújo.
Supervisora do Colégio Santo Agostinho, unidade Nova Lima. Com seu olhar terno e
cuidadoso, acompanhou todo o desenrolar desse processo, num diálogo constante entre a
teoria e a prática.
Juliana Rodrigues.
Minha ajudante. Com seu dinamismo, manteve organizada minha casa e ajudou-me a cuidar
dos meus filhos, dando-me assim, tranquilidade para realizar minhas obrigações enquanto
estudante.
Meus irmãos, cunhadas e sobrinhos.
Paciência e entendimento foi um exercício constante na convivência de minhas ausências.
RESUMO
Esta dissertação apresenta uma pesquisa desenvolvida no Mestrado Acadêmico em
Educação Tecnológica do CEFET-MG, tendo como objeto de estudo o tratamento
dos conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral: Limite, Derivada e Integral
de uma função real. Foram determinados como parâmetros à análise desses
conceitos as abordagens numérica, algébrica e geométrica (gráfica) no tratamento
didático pelos professores de Cálculo I de disciplinas específicas, de Cursos de
Engenharia do CEFET-MG, e também foram analisados livros- texto de Cálculo.
Assim, os métodos de pesquisa foram: observação de aulas de Matemática e
disciplinas específicas de cursos de Engenharia; entrevistas semi-estruturadas com
professores das aulas observadas e outro professor; análise documental de livros de
Cálculo. O referencial teórico utilizado foi o de registro de representação semiótica
de Duval e o de conceito baseado na didática francesa, abordada por Pais. Também
foi referenciado Lévy quanto ao conhecimento por simulação da era informática. Os
resultados da pesquisa indicam que os autores de livros apresentam os conceitos de
Cálculo com bastante ênfase, utilizando as abordagens numéricas, algébricas e
geométricas (gráfica). Os professores também trabalham com os conceitos usando
as abordagens dos livros-textos, mas com a tendência à algebrização e o Cálculo
operacional.
Palavras-Chave: Ensino de Cálculo. Cursos de Engenharia. Conceitos de Limite,
Derivada e Integral. Livro-texto de Cálculo.
ABSTRACT
This dissertation presents a research carried out in the Academic Master of
Technology Education of the CEFET-MG, where the object of study was the
treatment of the basic concepts of Differential and Integral Calculus: Limit, Derivative
and Integral of a real function. It was determined as parameters to the analysis of
these concepts to approach numerical, algebraic and geometric (graphic) in the
treatment by teachers teaching in Calculus I and in specific contents of the Courses
Engineering CEFET-MG and also was analyzed textbooks of Calculus. The methods
of research were: classroom observations of mathematics and specific contents of
Engineering; semi-structured interviews with teachers of the classes observed and
other teacher; documental analysis of the Pedagogic Politic Project, of Teaching
Plane and were studied books on calculus. The theoretical framework used was the
record of semiotic representation of Duval and the concept was based at French
didactics, boarding by Pais. Lévy was also referenced as knowledge of the computer
era. The research results indicate that the authors of books present the concepts of
calculus with enough emphasis, using, numerical, algebraic and geometric (graphic),
approaches. Teachers also work with the concepts using the approaches but with the
tendency to employ algebraic formulae processes and to make operational calculus.
Key-Words: Teaching Calculus. Engineering courses. Concepts of Limit, Derivative
and Integral. Textbook Calculus.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 Estudo aritmético e geométrico do limite de uma função.........................54
FIGURA 2 Representação geométrica do estudo algébrico de uma função .............55
FIGURA 3 Interpretação geométrica de Limite..........................................................57
FIGURA 4 Representação geométrica do limite ∞−=
→
)(lim xf
ax
..............................59
FIGURA 5 Representações de uma reta tangente....................................................61
FIGURA 6 Estudos laterais do limite de uma função ................................................62
FIGURA 7 Exercícios propostos................................................................................64
FIGURA 8 Estudo aritmético do limite de uma função ..............................................65
FIGURA 9 Relação entre
ε
δ
e
na definição de Limite..........................................66
FIGURA 10 Limites obtidos graficamente .................................................................66
FIGURA 11 Representação geométrica do Teorema do Confronto..........................67
FIGURA 12 Representação geométrica de limites laterais .......................................68
FIGURA 13 Representações de limites: em uma mola.............................................69
FIGURA 14 Representação geométrica de
)1(lim
2
1
+
→
x
x
..........................................70
FIGURA 15 Representação geométrica do estudos de limite em três funções
distintas .....................................................................................................................71
FIGURA 16 Tabelas referentes aos estudos dos limites das funções da figura 14...72
FIGURA 17 Propostas de uso de calculadoras e computadores ..............................73
FIGURA 18 Interpretação geométrica de uma derivada ...........................................75
FIGURA 19 Três formas de f deixar de ser diferenciável em a .................................77
FIGURA 20 Representação geométrica da definição de limite como inclinação da
reta tangente .............................................................................................................77
FIGURA 21 Limite bilateral - o limite que define a derivada é inexistente.................80
FIGURA 22 Inclinação da reta tangente pela esquerda e pela direita - o limite que
define a derivada é inexistente..................................................................................80
FIGURA 23 Estudos de reta tangente.......................................................................83
FIGURA 24 Quando x
∆
tende a zero, as retas secantes tendem para a reta
tangente ....................................................................................................................85
FIGURA 25 Cálculo de uma superfície a partir de soma de áreas de retângulos. ....88
FIGURA 26 Cálculo de uma superfície com lado curvo a partir de soma de áreas de
retângulos..................................................................................................................90
FIGURA 27 Subdivisão dos intervalos nos retângulos..............................................93
FIGURA 28 Exercícios propostos - Enfocando conceitos .........................................94
FIGURA 29 Exercício contextualizado ......................................................................96
FIGURA 30 A (x) = Área de a até x...........................................................................97
FIGURA 31 Utilização do cálculo de área com retângulo (por falta e por excesso)
para calcular a superfície abaixo da curva ................................................................98
FIGURA 32 Cálculo por estimativa de uma região limitada por uma curva...............98
FIGURA 33 Cálculo de uma região cuja área é representada por uma Integral
Definida .....................................................................................................................99
FIGURA 34 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................134
FIGURA 35 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................135
FIGURA 36 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................136
FIGURA 37 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................137
FIGURA 38 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................138
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 Obras analisadas...................................................................................51
QUADRO 2 Definição de Limite. ...............................................................................55
QUADRO 3 Definição Precisa de Limite. ..................................................................56
QUADRO 4 Definição de assíntota vertical...............................................................59
QUADRO 5 Definição de Limites infinitos no infinito.................................................63
QUADRO 6 Definição de formal de Limite. ...............................................................65
QUADRO 7 Teorema do Confronto...........................................................................68
QUADRO 8 Definição de derivada. ...........................................................................74
QUADRO 9 Definição da derivada. ...........................................................................74
QUADRO 10 Interpretação da Derivada como inclinação da Reta Tangente. ..........75
QUADRO 11 Definição da função derivada. .............................................................78
QUADRO 12 Definição de uma função diferenciável................................................79
QUADRO 13 Definição de derivada..........................................................................81
QUADRO 14 Definição de módulo da Velocidade. ...................................................82
QUADRO 15 Definição da inclinação de uma função. ..............................................86
QUADRO 16 Definição de Derivada. ........................................................................87
QUADRO 17 Derivabilidade e Continuidade ............................................................87
QUADRO 18 Definição da área abaixo de uma determinada curva, em um plano
cartesiano..................................................................................................................89
QUADRO 19 Definição da área abaixo de uma determinada curva, em um plano
cartesiano..................................................................................................................91
QUADRO 20 Definição de antiderivada. ...................................................................92
QUADRO 21 Notação Integral. .................................................................................95
QUADRO 22 Definição de antiderivada. ...................................................................95
QUADRO 23 Definição de Integral Definida..............................................................97
QUADRO 24 Organograma do PP da Engenharia Elétrica.....................................106
QUADRO 25 Classificação pelos conteúdos da diretriz curricular: núcleo de
conteúdo básico ......................................................................................................107
QUADRO 26 Organograma do PP da Engenharia Elétrica.....................................109
QUADRO 27 Eixos de Conteúdos e Atividades: desdobramento em disciplinas....110
QUADRO 28 Carga horária da disciplina de Cálculo I na Engenharia de Computação.
................................................................................................................................111
LISTA DE SIGLAS
ABENGE- Associação Brasileira de Educação em Engenharia
ANPEd- Associação Nacional de Pesquisadores em Educação
CAS – Computer Álgebra System
CEFET-MG- Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
CNPq- Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
COBENGE- Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia
DECOM- Departamento de Computação
DFM- Departamento de Física e Matemática
EPC- Engenharia de Produção Civil
FAE-UFMG- Faculdade de Educação da Universidade Federal de Minas Gerais
PCN- Parâmetros Curriculares Nacionais
PINEM- Práticas Investigativas no Ensino de Matemática
PPP- Projetos Políticos Pedagógicos
PREPES- Programa de Especialização de Professores de Ensino Superior
PUC Minas- Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
SAC- Sistema de Álgebra por Computador
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................15
1.1 Formação e pesquisa........................................................................................15
1.2 Justificativas......................................................................................................16
1.2.1 Educação Matemática e Educação Tecnológica..............................................16
1.2.2 Ensino de Matemática......................................................................................17
1.2.3 Pilares da Matemática......................................................................................19
1.2.4 O que é conceituar? .........................................................................................19
1.2.5 O que é definição em Matemática?..................................................................20
1.2.6 Ensino de Cálculo ............................................................................................20
1.2.7 Ensino em cursos de Engenharia.....................................................................21
1.2.8 A Educação e o ensino em Engenharia ...........................................................22
1.3 Objetivos............................................................................................................23
1.3.1 Objetivo geral ...................................................................................................23
1.3.2 Objetivos específicos........................................................................................23
1.4 Metodologia e métodos de pesquisa..............................................................24
2 EDUCAÇÃO E ENSINO DE MATEMÁTICA - O CONCEITO EM FOCO ..............26
2.1 A natureza da matemática e o objeto matemático....................................26
2.2 Conhecimento e saber matemático .................................................................27
2.2.1 Conhecimento ..................................................................................................27
2.2.2 Saber matemático ............................................................................................28
2.3 A estrutura matemática....................................................................................29
2.4 Pensamento matemático ..................................................................................31
2.5 A definição e o conceito das proposições matemáticas .........................34
2.6 Educação matemática e educação tecnológica .........................................40
2.7 O ensino de cálculo na perspectiva da produção acadêmica..............43
3 O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA DE LIVROS DIDÁTICOS ............48
3.1 Limite..................................................................................................................53
3.1.1 James Stewart .................................................................................................53
3.1.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis......................................................60
3.1.3 George Thomas ..............................................................................................64
3.1.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards ......................................................................69
3.2 Derivada .............................................................................................................73
3.2.1 James Stewart..................................................................................................73
3.2.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis......................................................77
3.2.3 George Thomas ...............................................................................................80
3.2.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards ......................................................................83
3.3 Integral ...............................................................................................................88
3.3.1 James Stewart..................................................................................................88
3.3.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis......................................................91
3.3.3 George Thomas ...............................................................................................94
3.3.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards ....................................................................95
4 O ENSINO DE CÁLCULO EM CURSOS DE ENGENHARIA NA PERSPECTIVA
DE PROFESSORES DE CÁLCULO E DISCIPLINAS ESPECÍFICAS DO CURSO
................................................................................................................................100
4.1 Metodologia adotada.......................................................................................100
4.2 Metodologia científica.....................................................................................102
4.3 Métodos da pesquisa......................................................................................103
4.3.1 Instrumento para coleta de dados..................................................................103
4.4 Objetos / Sujeitos ............................................................................................104
4.5 Cursos da instituição pesquisada ................................................................104
4.5.1 Projetos Pedagógicos ( PP ) .........................................................................105
4.5.2 Plano de ensino para a disciplina de cálculo I................................................113
4.6 Observação de aula.........................................................................................115
4.6.1 Aulas de cálculo I ...........................................................................................116
4.6.2 Tratamento Conceitual de Limite de uma função...........................................117
4.6.3 Tratamento Conceitual de Derivada de uma função ......................................124
4.6.4 Tratamento Conceitual de Integral de uma Função .......................................128
4.6.5 Aulas de disciplinas específicas....................................................................131
4.7 Entrevistas.......................................................................................................139
4.7.1 Professores de Cálculo I ................................................................................139
4.7.2 Professores de Disciplinas Específicas..........................................................144
4.8 Entendimento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral.......................149
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................152
REFERÊNCIAS.......................................................................................................158
APENDICE..............................................................................................................163
APENDICE A - COM O PROFESSOR DE DISCIPLINA ESPECÍFICA..................164
APENDICE B - ENTREVISTA COM O PROFESSOR DE MATEMÁTICA.............166
ANEXO ...................................................................................................................168
ANEXO A - PLANO DE ENSINO............................................................................169
................................................................................................................................169
ANEXO B - CRONOGRAMA CEFET MG - CÁLCULO I - 2009/02........................173
ANEXO C - CÁLCULO I - ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO, 2º 2009..............175
15
1 INTRODUÇÃO
1.1 Formação e pesquisa
Ao longo de minha trajetória profissional, experienciei inúmeras situações que me
levaram a buscar fundamentos teóricos que respondessem e justificassem minhas
práticas de ensino em Matemática, entendendo que a teoria fundamenta a prática, e
a prática respalda a teoria (SAVIANI, 2000).
Treze anos após o término de minha graduação em Matemática, retornei à
universidade em busca de respostas para minhas perguntas e inquietudes, oriundas
de minhas vivências enquanto educadora. Matriculei-me então, no Programa de
Especialização de Professores de Ensino Superior (PREPES), oferecido pela
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC Minas), integrando à primeira
turma do curso de Educação Matemática oferecido por aquela instituição, em 1998.
No período entre 2001 / 2005 experienciei na PUC Minas, a docência no ensino
superior, nas disciplinas de Didática Aplicada ao Ensino da Matemática e
Instrumentação para o Ensino de Matemática, para graduandos em Matemática,
num trabalho de formação de futuros professores. Essa vivência levou-me a
vislumbrar novas possibilidades de estudos e pesquisas.
Em 2005 iniciei minha participação no grupo de estudos e pesquisas denominado
Práticas Investigativas no Ensino de Matemática (PINEM), que também integra os
trabalhos realizados pela PUC Minas. Várias leituras passaram a fazer parte de
minha rotina enquanto integrante do grupo, com estudos e reflexões contínuas sobre
ensino de Matemática aliada à prática investigativa, com a rica possibilidade de
parcerias colaborativas entre os participantes do grupo, sempre muito fecundas. O
incentivo nas participações em eventos dentro do universo de estudos da Educação
Matemática sempre foi uma constante no grupo, com debates com as líderes e
desenvolvimentos de trabalhos surgidos a partir das práticas individuais dos
integrantes, sempre à luz dos estudos teóricos praticados pelo grupo.
16
Ao iniciar o mestrado em Educação Tecnológica, no Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG), após longos diálogos com meu
orientador, vislumbrei a possibilidade de desenvolver pesquisas sobre o ensino de
Matemática, nos cursos de Engenharia. Tais estudos apresentaram-se para mim
como um novo e grande desafio.
Entender e fundamentar os processos de ensino, dos conceitos básicos de Cálculo,
em um constante diálogo entre a Educação Matemática e a Educação Tecnológica,
passaram a fazer parte de minhas inquietudes enquanto Educadora Matemática,
objeto de temáticas do Mestrado inserido no comitê de Ensino de Ciências e
Matemática.
1.2 Justificativas
1.2.1 Educação Matemática e Educação Tecnológica
Na validação ou concepção de um curso de Graduação universitária, procura-se a
formação, não apenas profissional, mas a inserção do estudante na academia,
formando-o para a profissão, mas com embasamento teórico, numa dupla
abrangência técnico/científica. Nessa perspectiva, a Matemática além de ser
requisito ao desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo do estudante, o municia
de instrumentos para o entendimento e a construção da tecnologia. A atual
sociedade do conhecimento, onde o científico está vinculado ao raciocínio causal,
organizado, sistêmico e lógico, a Matemática acontece como requisito conceitual
científico. Se, fazer ciência é matematizar os fenômenos, realizando sua leitura e
compreensão pelo raciocínio lógico-dedutivo, essência da estruturação Matemática,
a Educação Tecnológica ou para a Tecnologia, se faz numa interação estreita com a
Educação Matemática.
Nessa interação tecnológica com a matematização da realidade, a Educação
Matemática se apropria da Etnomatemática (D’AMBROSIO,1998) tomando os
17
princípios socioculturais, hoje, de uma sociedade tecnizada, e utiliza a modelagem,
segundo Bassanezi (2002) para interpretação do real e do fenômeno, através do
instrumental matemático. Isso constitui o fundamento pedagógico para a Educação
Tecnológica e Educação Matemática, que se integram no processo educacional pela
ação efetiva do educador matemático e do educador tecnológico. Ambos estão a
serviço da formação e capacitação do homem para sua inserção social no mundo do
trabalho, e sua integração cultural para viver numa sociedade impregnada da ciência
e da tecnologia.
Aliado a esses estudos espera-se do professor
a criação de um novo ambiente escolar do questionamento, encorajando o
estudante a propor soluções, explorar possibilidades, levantar hipóteses,
justificar seu raciocínio, fazer simulações, entrar em rede, analisar e
justificar resultados utilizando a Matemática como instrumental na resolução
de problemas, surgidos da construção e da criatividade em situações de
trabalho, da técnica, do econômico e do social (LAUDARES, 2004, p.294).
1.2.2 Ensino de Matemática
O ensino de Matemática, esteve durante décadas sedimentado em processos
lineares de transmissão de conhecimentos já construídos, ao longo da história das
ciências. Pesquisas se desenvolvem no campo da Educação Matemática, novas
estruturas curriculares são propostas, e novas ideias pedagógicas surgem,
desenvolvidas pelas teorias de aprendizagem.
Assistiu-se recentemente no Brasil a um debate curricular que evidenciou, a partir da
década de 1990, uma rejeição à pedagogia dos conteúdos e conduziu à elaboração
dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998), por volta da metade da mesma
década. O movimento gerou reações calorosas por parte da comunidade de
pesquisadores do país, representada, em sua maioria por educadores associados à
Associação Nacional de Pesquisadores em Educação (ANPEd).
Um ensino tradicional, pensado em termos de conteúdos disciplinares,
espelhou, ao longo dos anos, uma concepção de aprendizagem como
“acumular conteúdos”. Ao se pensar o ensino e o currículo em termos de
competências e habilidades corre-se, talvez o risco de, novamente adotar
18
uma concepção restrita do que é aprendizagem, onde “acumular conteúdos”
é apenas substituído por “acumular habilidades”.(FROTA, 2002, p.11)
Oficializa-se um discurso de estado que indica uma organização curricular, que
aponta competências globais e específicas por áreas. Nesse sentido a Matemática
pode ser vista como uma linguagem unificadora, possibilitando o desenvolvimento
de trabalhos interdisciplinares.
O objetivo é uma educação que se preocupa com a formação integral do
indivíduo, atentando para o seu papel na sociedade, que exige uma
formação científica do homem, mas que transcende uma formação apenas
de conteúdo. 'Assim, nesses parâmetros os conteúdos estão dimensionados
não só em conceitos, mas também em atitudes' (BRASIL, 1998, p. 49)
Tais procedimentos devem visar a construção de um raciocínio que englobe os
conceitos matemáticos e seus processos, que desenvolva uma postura eficiente
diante de diversas situações-problema. Deve-se exterminar a visão de procedimento
como simples metodologia para que, desta forma, a apreensão se perpetue mais
facilmente.
Entende-se hoje que conhecer é conhecer o significado (BARUFI, 1999), num
processo dialógico entre educandos e educadores, a fim de que todos possam emitir
ideias críticas sobre questões colocadas.
A postura pedagógica decorrente da concepção fenomenológica
1
privilegia
o diálogo entre sujeitos, busca o sentido que o mundo faz para o aluno,
considerando também o que do mundo das ciências dizem, dá destaque à
linguagem falada e escrita, trabalhando com a interpretação e com a
verdade como decorrente da clareza do que é intersubjetiva e
historicamente construída (BICUDO; GARNICA 2003, p.26).
Numa prática dialógica, aprender a resolver problemas matemáticos estabelece-se
como forma de aprender a resolver também os problemas da sociedade, ciente de
que soluções de problemas sociais transcendem à lógica da própria Matemática,
porque envolvem variáveis políticas e vontade cidadã.
1
Bicudo e Garnica (2003) defendem que o âmago da postura fenomenológica está na sua forma de
entender o mundo como sendo sempre e necessariamente correlato à consciência. Consciência
assumida e trabalhada como intentio, que significa, em termos simples, o ato de “entender-se a [...]”,
abarcando o percebido pela percepção. A realidade, com a qual a fenomenologia trabalha é a
realidade percebida. Percepção é vista como o encontro que se dá entre o percebido e o sujeito que
percebe.
19
"Vejo a prática curricular como o espaço privilegiado em que se viabiliza a tentativa
de conciliar um projeto emancipatório e princípios pós-modernos" (MOREIRA, 1998,
p.32).
Num processo de fazer Matemática, Ponte e Brocardo (2003) defendem que a
investigação possibilita estabelecer relações entre conceitos matemáticos, à procura
de propriedades implícitas ou subjacentes nos estudos desenvolvidos. Defendem
também que investigar é procurar conhecer o que não se sabe.
1.2.3 Pilares da Matemática
A Matemática, na sua formalidade, desenvolve-se a partir de uma lógica estrutural.
Os conceitos emergem de situações concretas e teóricas ou de fenômenos, no
cotidiano, na ciência, na tecnologia e se operacionalizam na aplicação em situações
problemas.
1.2.4 O que é conceituar?
A Filosofia da Matemática traz perguntas básicas, que nos ajudam a pensar a
questão: O que existe? O que é conhecimento? O que vale? Qual a realidade dos
objetos matemáticos? Como são conhecidos os objetos matemáticos e quais os
critérios que sustentam a veracidade das afirmações matemáticas? Os objetos e as
leis matemáticas são inventados (construídos) ou descobertos?
Conceituar exige uma ação, através de uma atividade mental, pois
não se trata de uma descoberta fruto de uma clarividência conseguida por
graça ou casuisticamente, mas a conseqüência de um árduo trabalho
mental de perseguição à verdade. Trata-se de um processo lógico que
privilegia as descrições dos objetos matemáticos e das relações e estruturas
que os unem.(BICUDO; GARNICA., 2003, p.30)
20
1.2.5 O que é definição em Matemática?
Ao pensar a definição em Matemática, busca-se a formalização de conceitos, numa
explicação precisa, isto é, busca-se dar forma ao conceito, a partir da utilização da
linguagem matemática, também entendida e explicada nos estudos da semiótica.
É necessária uma abordagem cognitiva, pois o objetivo do ensino de
matemática, em formação inicial, não é nem formar futuros matemáticos,
nem dar aos alunos instrumentos que só lhes serão eventualmente úteis
muito mais tarde, e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas
capacidades de raciocínio, de análise e de visualização. (DUVAL, 2005, p.
11).
Há uma grande variedade de representações semióticas utilizadas em Matemática, e
que possuem diferentes registros de representação. Essas representações foram
desenvolvidas, ao longo da história da humanidade, segundo a evolução do
pensamento matemático.
Muito dos bloqueios vividos por estudantes de Matemática não devem ser
procurados nos domínios dos conhecimentos dos conceitos Matemáticos, mas na
importância das representações semióticas e na grande variedade que essas
representações, utilizadas em Matemática, possuem.
1.2.6 Ensino de Cálculo
Hoje, pesquisas desenvolvidas no campo da Educação Matemática buscam
entender as estratégias de aprendizagem que os educandos desenvolvem para
aprender Matemática (FROTA, 2001). A apreensão dos conceitos matemáticos
acontece a partir de experimentações, e descrições são feitas juntamente com
conceitos anteriormente adquiridos. As construções de gráficos acontecem para
fornecer imagens visuais, que são utilizadas para verificação das afirmações e dos
teoremas estudados. Há uma tensão entre a coerência da matemática elementar e a
conseqüência da matemática formal, num movimento do descrever para o definir
(PINTO, 2001).
21
1.2.7 Ensino de Matemática em cursos de Engenharia
Em estudos desenvolvidos, Cabral e Baldino (2004) apresentam pesquisas sobre o
ensino profissional de Matemática. A partir da reforma universitária ocorrida em 1969,
aboliu-se a estrutura de cátedras e implantou-se a de departamentos e institutos
básicos, seguindo modelo vigente nos Estados Unidos, o que passou a significar um
problema no ensino da Matemática para não-matemáticos.
Com a implantação dos cursos de Pós-graduação os matemáticos centraram
esforços em suas próprias carreiras, e voltaram-se para os cursos de Bacharelado e
Licenciaturas, este último, considerado como um subproduto do primeiro.
Com isso, as disciplinas de Matemática, ministradas em outros cursos, ficaram a
cargo de professores inexperientes. Tais cursos chegaram a ser chamados como
cursos de “serviço”.
Muitos dos professores que ministravam essas disciplinas estavam
completando seus Mestrados e Doutorados em Matemática e, além de
didática e pedagogicamente estarem subordinados aos departamentos de
Matemática, não tinham qualquer visão sobre como a disciplina que
ministravam se encaixaria no elenco das disciplinas profissionais de
Engenharia. Tendiam, então, a organizá-la pelo viés da prática científica
matemática, aproveitando para retomar, como professores, seus cursos de
Graduação, nem sempre bem feitos, cujos conhecimentos, agora, faziam
falta na Pós-Graduação. (CABRAL; BALDINO, 2004, p. 140)
Assim, o ensino de Matemática nos cursos de Engenharia foi se tornando cada vez
mais precário, e ainda hoje, segundo Cabral e Baldino (2004), o problema
permanece, pois os professores de Matemática, muitas vezes, não possuem uma
prática didático-pedagógica reflexiva.
Epistemologicamente, o tratamento da Matemática na escola pode ser abordado em
duas perspectivas: a primeira, como ciência, na sua autonomia, e a segunda, como
tecnologia, instrumental para a técnica, hoje construída com base científica.
O tratamento científico privilegia a abstração, com o acúmulo de dedução de
fórmulas, resolução de equações, num algebrismo restrito. As atividades escolares,
22
muitas vezes, primam pela busca de saberes teóricos e descontextualizados do
mundo do trabalho e da vida social, econômica e política.
1.2.8 A Educação e o ensino em Engenharia
A Associação Brasileira de Educação em Engenharia (ABENGE) tem dedicado
esforços para a discussão e levantamento de questões relativas aos cursos de
Engenharia quanto a temáticas emergentes como metodologia do ensino e formação
de professores, entre outras. A realização anual do Congresso Brasileiro de
Educação em Engenharia (COBENGE) contribui para estudos da atualização e
implementação de novas didáticas à luz do desenvolvimento tecnológico e científico,
seja na qualificação de professores, seja na busca de novas metodologias para as
disciplinas básicas e específicas do currículo.
Cabral e Baldino (2004) apresentam debates sobre o ensino de Matemática em
cursos de Engenharia de Sistemas Digitais, e formulam hipóteses baseadas também
em autores que apresentaram trabalhos nos COBENGES. Assim, o ensino de
Matemática para as Engenharias pode ser analisado com alguns relatos que se
seguem:
Entre as estratégias de solução apresentadas nos COBENGES destacamos
algumas que, de certo modo, são representativas de outras similares. São
elas: dar preponderância à questão metodológica na consolidação da base
conceitual dos alunos [...]; fazer uso e projetos de trabalho e de novas
tecnologias da informação e comunicação [...] (NASCIMENTO; FLEMMING;
LUZ, apud CABRAL; BALDINO, 2004, p. 143).
fazer uso de calculadoras gráficas e programas computacionais como Maple,
Matlab e outros, em salas de aula informatizadas [...]; [...], usar
metodologias alternativas de ensino, como modelagem matemática . (LINO
FRANCHI, FRID; SALLES; BALDIN; BALDIN; FERRUZZI et al., apud
CABRAL; BALDINO, 2004, p. 143).
mudar as concepções epistemológicas dos professores [...], investir na
educação que possa ser realizada a distância e na construção de ambiente
de aprendizagem [...], promover cursos de nivelamento para calouros [...].
(LODER; (MENDES FILHO et al., DZIEDZIC et al., apud CABRAL;
BALDINO, 2004, p. 143).
23
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo geral
Estudar os conceitos de limite, derivada e integral, pelos professores de Matemática
e de disciplinas específicas, em cursos de Engenharia, e pelos autores de livros-
texto de Cálculo.
1.3.2 Objetivos específicos
- Fazer uma exploração do projeto pedagógico dos cursos cujas disciplinas foram
estudadas quanto à proposta de formação profissional e científica.
- Verificar as disciplinas de Cálculo e da parte profissionalizante que mais utilizam os
conceitos de Matemática relacionados aos fenômenos físicos e da tecnologia.
- Verificar como alguns autores apresentam os conceitos de Cálculo em livros
didáticos.
- Identificar a abordagem que o professor de Matemática faz quando introduz os
conceitos básicos de Limite, Derivada e Integral: numérica, geométrica, do cotidiano,
ou a linguagem formal matemática.
- Verificar como os professores de disciplinas específicas, dos cursos de Engenharia,
utilizam estes mesmos conceitos na introdução dos saberes tecnológicos.
24
1.4 Metodologia e métodos de pesquisa
A metodologia usada foi baseada em autores que abordam o tratamento conceitual
como Duval (2003) com a representação de registros semióticos , Lévy (1993 ) que
trata do desenvolvimento do conhecimento e dos saberes com as tecnologias da
inteligência, especificamente da nossa era, denominada era de informática. Buscou-
se também em Pais (2001) parâmetros da didática francesa especificamente do
trabalho com conceitos.
Os métodos usados na pesquisa foram três:
1. Análise documental: Projetos Políticos Pedagógicos dos cursos de Engenharia
pesquisados, (PPP da Engenharia Elétrica, Engenharia de Produção Civil e
Engenharia de Computação) e o Plano de Ensino de Cálculo I, elaborado pelo
Departamento de Física e Matemática do CEFET-MG. Também foram analisados
livros-texto de Cálculo I para identificação da abordagem dos conceitos investigados.
2. Observação de aula de Cálculo I e de disciplinas específicas dos cursos já
mencionados.
3. Entrevistas semi-estruturadas com professores das aulas observadas e também
um professor que somente foi entrevistado.
1.5 Estrutura da dissertação
Esta dissertação está estruturada da seguinte forma:
O capítulo 1 compreende a Introdução na qual foi delimitado o tema, apresenta os
objetivos e discorre sobre as justificativas da pesquisa.
25
O capítulo 2 apresenta o referencial teórico relativo ao tema investigado, isto é,
educação e ensino de matemática - o conceito em foco de Limite, Derivada e
Integral, fundamento do Cálculo Diferencial e Integral I, em curso de Engenharia.
O capítulo 3 apresenta a análise de livros-texto de Cálculo no qual se buscou a
abordagem dos conceitos estudados, na perspectiva da interpretação aritmética,
geométrica e algébrica.
O capítulo 4 traz os resultados das observações de aulas e das entrevistas
efetivadas.
O capítulo 5 traz as considerações finais. Apresenta a questão principal com um
diálogo com os referenciais teóricos e os resultados obtidos da pesquisa, e aponta
novas questões.
2 EDUCAÇÃO E ENSINO DE MATEMÁTICA - O CONCEITO EM FOCO
2.1 A natureza da matemática e o objeto matemático
A etimologia da palavra Matemática é a denotação de uma ciência. A ciência do
contar e do medir. Ou seja, o conhecimento desta ciência busca o entendimento de
significados no mundo real e objetivo, no desenvolvimento do pensamento e seus
construtos que D’Ambrósio (1998) chama de “mentefato”, isto é, o produto da mente,
resultado, segundo o mesmo autor, de três componentes essenciais e básicos:
realidade, indivíduo e ação, em completa e contínua interação.
Os objetos da Matemática são revestidos da perspectiva antropológica, psicológica,
social, econômica e tecnológica, frutos da mente do homem, ser situado num espaço,
num tempo, numa cultura. A construção do conhecimento matemático visa a
expressão, a objetividade e a materialização do pensamento pela linguagem e
registros de representação semiótica. (Duval, 2003).
Mas, "
na tradição da ciência ocidental com suas raízes na Grécia Antiga, os objetos
matemáticos são concebidos como tendo existência objetiva e real, como perfeitos e
perenes". (BICUDO; GARNICA, 2001, p. 27). Segundo os mesmos autores, os
objetos assim concebidos têm a descoberta como resultado de um trabalho mental
de busca da verdade.
Na perspectiva da cognição, a Matemática, ainda conforme a concepção
explicitada, está presente no modo de entender-se a forma do raciocínio,
principalmente no modelo Kantiano e respectivos seguidores na Filosofia e
na Psicologia. (BICUDO; CARNICA, 2001, p. 29).
Descartes afirma que o objeto matemático é constituído pela ordem e medida,
explicitado nas mais diversas áreas, como da música, da astrologia, da literatura.
Desta forma, a Matemática tem uma natureza racional, isto é, um produto da razão
humana. Então, objetos matemáticos são construídos no mundo da mente.
27
Na teoria platônica, a Matemática é um ser intermediário entre o mundo das ideias e
o mundo da matéria.
2.2 Conhecimento e saber matemático
2.2.1 Conhecimento
Ora, se o conhecimento é uma descoberta, a sua construção se faz pelo pensar,
característica ontológica do homem e pela ação, numa contínua busca de relações.
Há uma elaboração de significado, isto é, da luz sobre a realidade. A compreensão
de um fato real, de um fenômeno, de uma atividade, emergindo de experiências
vividas individualmente ou no coletivo, se faz pela reflexão, pela práxis.
Conhecer é entender o significado, a explicação da realidade, que inicialmente está
contextualizada, plena de relações ou de rede de relações, rede esta dinâmica em
constante transformação e devir.
As relações são interações geradas em experiências vividas por um sujeito humano,
que as percebe e as reproduz de uma maneira sistemática ou assistemática.
Articulações são estabelecidas e as redes reconfiguradas.
Desta forma o indivíduo, numa produção de significados em rede, consegue romper
com concepções como a mecanicista da ideação da linearidade, causa e efeito, com
resultados previsíveis, em direção a novos paradigmas da complexidade, do
pensamento não linear e de novas teorias, a privilegiar diferentes modelos.
RELAÇÕES SIGNIFICADOS CONHECIMENTOS
(CONCEITOS)
28
Novas formas de estabelecer conexões aparecem entre elementos da informação
construtivas de sistemas organizados com padrões flexíveis e prontos a serem
remodelados e reconstituídos.
No ambiente altamente tecnológico, Lévy (1993) propõe o trabalho mental com as
Tecnologias da Inteligência, num mundo técnico e numa sociedade tecnológica, do
atual século. Numa metáfora com a própria rede de significações vivenciadas pelos
indivíduos, o mesmo autor cria o que denomina de “hipertexto” na passagem da
oralidade para a escrita e daí para a informática, que permite e facilita uma
complexificação e variações possíveis, conexões com processamentos das mais
diversas informações, "cada um em sua escala, os autores da comunicação ou os
elementos de uma mensagem constroem e remodelam universos de
sentidos...chamaremos estes mundos de significação de hipertextos". (LÉVY, 1993,
p. 25)
A rede de significações criadas pelo estudante inclui como personagem ativo o
professor. Este como elemento propulsor do ato mental e objetivo à conclusão da
identificação da rede de significações, tem o objetivo de apoiar o estudante para que
o mesmo, como agente de sua aprendizagem, possa organizar as informações.
Inicialmente, o conhecimento aparece desorganizado, desconexo, em múltiplas
redes. O professor se encarrega de apoiar, com as tecnologias da inteligência, o
trabalho mental do estudante, no seu universo de significações, entendendo que as
redes individuais não são disjuntas, mas se entrelaçam numa interação simbiótica do
coletivo. Portanto, o conhecimento, em relação de reciprocidade, é construído e
reelaborado individual e
coletivamente.
2.2.2 Saber matemático
Há diversas maneiras de se conceber as ideias científicas e matemáticas, que se
relacionam com diferentes aspectos da natureza do saber matemático.
29
Entender estes diferentes aspectos pode direcionar as várias abordagens
pedagógicas. Davis e Hersh (1985), citado por Pais (2001), aponta 3 (três)
tendências fundantes das concepções históricas:
- platonismo;
- formalismo;
- construtivismo.
Pais (2001) traz a explicação dessas concepções:
Na visão mais radical do “platonismo”, os objetos matemáticos são ideias
puras e acabadas, que existem em um mundo não material e distante
daquele que nos é dado pela realidade imediata [...].
Na concepção proposta pelo “formalismo”, a rigor, não se pode falar da
existência a priori dos objetos matemáticos [...].
Os construtivistas consideram matemática genuína somente o que pode ser
obtida por uma construção finita. (PAIS, 2001, p. 30)
Na prática educativa, a abordagem metodológica requer a não exclusividade de uma
dessas concepções. Assim, o trabalho do professor de Matemática é conciliar as
diversas concepções, trazendo-as para as atividades acadêmicas, diferentemente do
matemático que tenta eliminar as condições contextuais, buscando as
generalizações abstratas. A ação pedagógica do professor de Matemática é da
recontextualização, da colocação de uma situação ou um espaço, ao nível de
compreensão do estudante, para que o mesmo possa entender as relações ou as
redes de relações, que definem o saber matemático.
2.3 A estrutura matemática
A Matemática como ciência tem uma estrutura lógica organizada com os seguintes
componentes estruturantes:
30
Figura 1: Estrutura - matemática
Nas várias ciências, alguns destes componentes podem ser identificados. Em
Matemática, cada um deles pode ser explicado como:
- Axioma é uma proposição num contexto mais amplo, que se admite como
verdadeira, porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um
sistema lógico ou matemático. Um postulado também é uma proposição não
demonstrável que se admite como princípio de um sistema dedutível.
Axioma
Postulado
Convenção
Proposição
Linguagem
Conceito
Não Formalidade
Definição
Formalidade
Teorema
Demonstração
Lema
Colorário
31
- Convenção é um acordo ou pacto estabelecido dentro de uma comunidade para
decisão de um assunto específico. A linguagem é o vocabulário específico usado
numa ciência e, uma proposição é um enunciado algorítmico verbal suscetível a de
ser aceito como verdadeiro ou falso.
- Conceito é a representação de um objeto pelo pensamento, por meio de suas
características gerais. Conceituar é buscar o entendimento de estudos pretendidos a
partir de situações de não formalidade.
- Definição é a compreensão de um conceito enunciado a partir da linguagem de
uma determinada ciência. É o entendimento de estudos pretendidos a partir da
formalidade existente em determinada ciência.
- Teorema é uma proposição que para ser admitida como verdadeira necessita de
demonstração; se faz a partir de uma dedução que prova a verdade de sua
conclusão, por se apoiar em premissas admitidas como verdadeiras. Ao se organizar
uma demonstração, articula-se um lema que é o propósito que prepara a
demonstração. Colorário é a proposição que imediatamente se deduz de outra
demonstrada.
Na pesquisa que gerou esta dissertação o objeto de estudo foi o “Conceito”, um dos
componentes da Estrutura da Matemática.
2.4 Pensamento matemático
O homem é um ser constituído de matéria e espírito, cuja forma de vida se
desenvolve no meio ambiente da natureza e em relações sociais com seus
semelhantes. Com capacidade intelectual, seu trabalho de transformação da
natureza tem como mecanismo regulador o poder do pensamento conceptual, com
origem biológica num sistema nervoso central. Assim, o trabalho humano foi
chamado ação inteligente por Aristóteles, pois, o trabalho dos homens é consciente
e proposital, sendo o dos outros animais, instintivo. As atividades instintivas são
inatas e peculiares a cada espécie.
32
O pensamento, como forma de elaboração mental das ideias e construtos abstratos,
determina um sistema cognitivo de Capital a serviço da produção de bens e serviços,
com aquisição das capacidades: a faculdade de perceber, de imaginar e de
manipular.
A faculdade de “percepção” ou do reconhecimento de formas, é
caracterizada por sua grande rapidez. A percepção imediata é a habilidade
cognitiva básica. A faculdade de “imaginar”, ou de fazer simulações mentais
do mundo exterior, é um tipo particular de percepção, desencadeada por
estímulos externos. A faculdade operativa ou manipulativa é mais específica
da espécie humana que as anteriores. (LÉVY, 1993, p. 157)
Lévy (1993) discute a capacidade de manejar e remanejar o espaço ambiental como
básico da cultura, sendo o pensamento lógico ou abstrato um dos aspectos, variável
e historicamente datado e situado, isto é, da cultura. O mesmo autor define
abstração em termos das suas relações com as tecnologias intelectuais. Processos
intelectuais não se desenvolvem apenas na mente mas, com objetos e artefatos
técnicos na interioridade espacial do homem.
O homem na sua racionalidade trabalha sua arquitetura cognitiva com as memórias
de curto e de longo prazo.
Nossa atenção consciente ou nossa memória de curto prazo poderiam
processar apenas uma quantidade mínima de informação a cada vez. Na
memória de longo prazo, a informação não se encontraria empilhada ao
acaso, mas sim estruturada em redes associativas e esquemas. LÉVY
(1993, p. 153)
O pensamento como produtor de conhecimento, em ação, da forma interativa e
relacional, pode ser explorado de maneira provisória e não acabada, com auxilio da
tecnologia, para gerar um saber “por simulação”, o qual não é um conhecimento
teórico, nem uma experiência prática, nem acúmulo de uma tradição oral. (LÉVY,
1993).
A manipulação de parâmetros e a simulação de toda sorte de possibilidades das
redes de relações podem necessitar da intuição e de conjecturas, características da
realização de investigação. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003).
Esses mesmos autores determinam os momentos da realização de uma
investigação, isto é, um ensaio de acertos e erros, da experimentação do
33
levantamento de questões, conjecturas com seus testes e justificação.
O método cartesiano procura a exatidão e o encadeamento lógico como sequência
de intuições. Decorre uma relação de dedução e intuição a ser trabalhada nos
métodos didáticos, se a opção é pelo cartesiano.
O pensamento matemático no desenvolvimento curricular necessita de uma lista
completa de ideias e processos, entre eles incluindo, segundo Abrantes (2005, p. 5):
- As ideias de relação funcional e de transformação;
- A procura de regularidades e de invariantes;
- A abstração e a generalização;
- A construção de conceitos por analogia;
- A crise da intuição na exploração de situações, envolvendo objetos
matemáticos;
- A formulação de conjectura, sua demonstração ou refutação.
Desta forma, na organização curricular do processo ensino / aprendizagem da
Matemática, ideias e processos são tomados em substituição aos particularismos
técnicos, sendo cada tópico do conteúdo com abordagem das diferentes maneiras
da produção de pensamento.
Segundo Abrantes (2005), o fato de se considerar ideias e processos como
verdadeiros conteúdos não significa a rejeição dos saberes de aritmética, álgebra e
geometria, entre outros: "Não é possível ter ideias e desenvolver processos em
Matemática sem ser sobre 'qualquer coisa', e esta qualquer coisa são os temas
usuais do currículo de Matemática". (ABRANTES, 2005, p. 46).
Desta forma, há uma especificidade do pensamento quando do trabalho dos vários
ramos da Matemática.
O pensamento aritmético, com o processo de produção de significados em uma
perspectiva diferente de reconceitualização do papel da escola, considera lugar de
tematizações e de formalizações, traz a coexistência de significados matemáticos
(escola) e não matemáticos (da rua), ambos com sua legitimidade na construção do
“sentido numérico”, isto é, um conjunto de percepções e intuições, com base em
uma grande variedade de experiências com números. (LINS; GIMENEZ, 1997).
34
Historicamente, o pensamento em álgebra evidencia um desenvolvimento intelectual
da concepção retórica (apenas palavras), para a sincopada (algumas notas e
especial, em particular palavras abreviadas), e, mais tarde, à simbólica (apenas
símbolos e manipulações).
O pensamento em geometria sobretudo da exploração de espaços e figuras busca o
desenvolvimento da “visualização” e reconhecimento espacial e figural numa visão
analítica e sintética, para depois o entendimento da demonstração e do rigor, da
lógica e da formalização. (VAN HILE, Apud Nasser, 2004).
O pensamento em Cálculo Diferencial e Integral busca desenvolver o significado dos
conceitos básicos de:
- Funções: na modelagem cujo modelo é expresso matematicamente através de
equações e gráficos, pela relação de variáveis e parâmetros.
- Limites: no estudo da vizinhança de um ponto e da tendência de valores cada vez
maiores ou menores;
- Derivada: como taxa de variação nos fenômenos e interpretação do valor da
derivada, para o estudo do comportamento de uma função;
- Integral: no cálculo operacional, como antiderivada, e na interpretação geométrica,
como soma de infinitésimos, numa relação do cálculo infinitesimal e do cálculo
integral.
2.5 A definição e o conceito em matemática
Segundo Huete e Bravo (2006, p. 68), “são quatro os tipos de aprendizagem
matemática, a saber: memorização, aprendizagem algorítmica, aprendizagem de
conceitos e resolução de problemas”.
Já Laudares (1987, p. 3), traz quatro abordagens para a metodologia matemática:
Raciocínio e memorização, o ensino do essencial, a correlação dos
conceitos matemáticos com a vida real, com outras disciplinas
profissionalizantes e com a Física, especialmente, a interfase, entre os
35
próprios compartimentos da Matemática, isto é, da Álgebra e do Cálculo
com a Geometria”.
Nas duas citações são destacados os conceitos, entretanto é importante entender a
diferença da definição e do conceito. A definição se faz quando da formalização de
determinado conceito com a utilização da linguagem técnica oral e escrita, com uso
da simbologia própria e específica de cada área do conhecimento, na qual se define
uma proposição.
Assim, o conceito é trabalhado antes da definição, a qual exige uma inserção do
estudante no mundo da linguagem do conteúdo em estudo, com o uso de símbolos,
normas, códigos, padrões, registros peculiares no qual se conceitua ou se define.
Pais (2001, p. 56) destaca o conceito como, de certa forma superior, à definição:
Aprender o significado de um conceito não é permanecer na
exterioridade de uma definição, pois sua complexidade não
pode ser reduzida ao estrito espaço de uma mensagem
linguística. Definir é necessário, mas é muito menos do que
conceituar, porque o texto formal de uma definição só pode
apresentar alguns traços exteriores ao conceito. Por exemplo, a
definição de uma figura geométrica, por si só, não pode traduzir
a essência do conceito correspondente
.
O mesmo autor diferencia esses dois níveis cognitivos: "trabalhar com o desafio da
elaboração conceitual e com seu registro através de um texto formal”. (PAIS, 2001, p.
56)
Na teoria de campos conceituais de Vergnaud (1996), citado por Pais(2001) o
conceito envolve um conjunto de situações (matemáticas e não matemáticas das
várias áreas de conhecimentos) que proporcionam significados e sentidos ao
conceito, um conjunto de invariantes operatórios e um conjunto de significantes que
podem representar os conceitos ou as situações tomadas que os envolvem.
Com a aproximação da dimensão conceitual, o estudante consegue fazer a trajetória
do saber cotidiano ao saber escolar, e deste para o saber científico.
36
As situações didáticas na qual o professor envolve os estudantes são de temáticas
problematizadas da vida real, da tecnologia, de questões qualitativas dos fenômenos
em diversas áreas da Física, Química, Biologia, Economia, entre outras, trazendo o
conceito a ser estudado e, consequentemente, favorecendo as condições de acesso
ao saber escolar e científico, mas por aproximações, analogias, comparações,
imitações, levantamento de conjecturas e hipóteses, a serem justificadas mais tarde.
A partir da compreensão conceitual o estudante pode alcançar níveis satisfatórios de
generalidades e abstração, e então formular a definição.
Aprender um conceito requer um planejamento didático de situações variadas que
privilegiem o trabalho com significados ao nível sensível e perceptível do estudante.
O conceito é uma percepção via reino da sensibilidade do aprendiz situado na tarefa
de obtenção do “mentefato”, produto que é resultado da elaboração mental, não
pertencente ao mundo imediato da materialização. (D’AMBRÓSIO, 1998).
O processamento desta construção mental, pela generalização e abstração, é
muitas vezes obtido pela manipulação e operação de uma classe de objetos
materiais nos quais se internalizam os parâmetros conceituais, os quais emergem,
via compreensão de relações, interações, comparações.
Esta ação com estratégias numa dinâmica evolutiva de passos, etapas, idas e
vindas em movimento, é que Pais (2001, p. 58) denomina de “estado de devir”, no
sentido de que, no plano subjetivo, sempre é possível descortinar novos horizontes
na compreensão de um conceito.”
A abordagem multi e interdisciplinar facilita a emersão da totalidade oculta e obscura
do conceito, o qual se diversifica pelo processo racional da distinção das
características essenciais e peculiares da natureza científica de cada área.
A tecnologia, hoje de base científica, com o uso intensivo da técnica, de novos
materiais, da eletrônica, da instrumentação informática-computacional vem trazer
possibilidades, pela simulação e diversidade de recursos e abordagens operacionais,
de aproximação, de contorno, de envolvimento do conceito estudado, contribuindo
37
para a compreensão individual do “significado” embutido no corpo do conceito. A
“significação” é uma posse do indivíduo, que o professor tenta pela dimensão
experimental de processos, práticas, manipulações, modelagem, criação de
situações e estratégias, iluminar o caminho da intuição, da percepção e da
apropriação do conceito pelo estudante.
A formação do conceito requer a construção de uma rede de situações, em que o
“novo” se apresenta revestido de situações já vivenciadas e articuladas longe de um
contexto isolado.
Devemos observar ainda que a formação de um conceito não acontece
através de um único tipo de situação, da mesma forma como uma única
situação, geralmente, envolve uma diversidade de conceitos. O desafio
consiste em destacar os invariantes referentes ao conceito principal que
conduz a aprendizagem no momento considerado, articulando-os com
outros conceitos já aprendidos pelo aluno. De posse dos conceitos já
elaborados, o aluno é desafiado a compreender outras situações, onde
aparecem os novos conceitos e novos invariantes. Portanto, conclui-se que
a aprendizagem não pode ser efetuada em um contexto isolado, como se o
significado pudesse subsistir por si mesmo. (PAIS, 2001, p. 60)
A complexidade da elaboração conceitual se faz pela dificuldade do estudante de
coordenar, ao nível subjetivo de internalização, uma síntese de extensa e complexa
rede de significados com fundamentos e parâmetros a envolver a articulação de
variáveis e invariantes, que apesar da manifestação de uma dimensão social requer
uma reflexão crítica, relacional, subjetiva.
Essas considerações remetem a se considerar o referencial de “campos
conceituais”, no que se refere às características do processo de formação de
conceitos, associados à existência de classe de situações de aprendizagem.” (PAIS,
2001, p. 62).
Nesta perspectiva da elaboração do conceito, Duval (2003), pela via do trabalho com
situações, traz a necessidade da atividade matemática desenvolver uma diversidade
de registros de representação semiótica, a qual é mobilizada pela sua natureza
dinâmica operacional, de ativar, de agir, de fenômeno. Assim, segundo o mesmo
autor, a variedade de registros conduz à aprendizagem, pelas representações
mentais construídas pelo aprendiz.
38
Muitas vezes, as representações mentais não passam de representações
semióticas interiorizadas. As representações úteis ou pertinentes em
matemática são sempre representações semióticas interiorizadas em
interação com um tratamento de produção externa de representações
semióticas. (DUVAL, 2003, p. 31).
O desenvolvimento das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização
requer o funcionamento cognitivo da compreensão em matemática, base
epistemológica do trabalho com conceitos. Desta forma, a abordagem cognitiva traz
exigências de descrição, da ativação, da operação com desenvolvimento de
habilidades a permitir o estudante compreender, efetuar e controlar os processos
presentes numa situação proposta.
Para a construção de conceitos matemáticos Duval (2003) coloca duas questões
para analisar as condições e os problemas da aprendizagem em matemática:
1. Quais sistemas cognitivos são necessários mobilizar para aceder aos
objetos matemáticos e para efetuar as múltiplas transformações que
constituem os tratamentos matemáticos?
2. Esses sistemas cognitivos são os únicos a ser mobilizados por qualquer
processo de conhecimento em outros domínios científicos (geologia,
astronomia, física, biologia...) e práticos, ou, ao contrário, trata-se de
sistemas específicos, cujo desenvolvimento e cuja aquisição são próprios da
atividade matemática?. (DUVAL, 2003, p. 12).
Procura, o mesmo autor, compreender as causas das dificuldades dos alunos, desta
maneira
começaremos pela segunda questão, pois ela envolve orientações
diferentes daquelas que são postuladas nas abordagens didáticas neo ou
pós-piagetianas: não podemos nos ater a um modelo geral comum de
aquisição de conhecimentos centrado sobre a ação, as interações e os
desequilíbrios como fatores principais da construção de conceitos
matemáticos. (DUVAL, 2003, p. 12).
Duval (2003), defende que “podemos” conjecturar o seguinte : "a compreensão em
matemática supõe a coordenação de ao menos dois registros de representações
semióticas” e destaca a especificação do pensamento matemático em relação a
outros domínios do conhecimento. E, segundo Duval, tratamento
2
e conversão são
dois tipos de transformação de uma representação (operações) semiótica em outra.
2
Há dois significados a ser atribuído à expressão “tratamento”: Um primeiro seria na maneira de abordar
determinado conceito, e a outra no sistema de representação utilizado.
39
Ele define dois tipos destas representações: tratamento (permanecendo no mesmo
sistema) e conversão (mudando de sistema, mas conservando a referência aos
mesmos objetos).
Em síntese, Duval (2003) adverte para a confusão de uma representação com o
objeto representado, "nessa perspectiva, a oposição feita muitas vezes entre a
compreensão que seria conceitual (ou puramente mental) e as representações
semióticas que seriam externas aparece como uma oposição enganadora". (DUVAL,
2003, p. 22)
Comparativamente se faz a dialética de:
Se conceituar é uma atividade de compreensão do objeto em estudo e da criação
subjetiva de significados pelo estudante, definir é manipular símbolos, registros,
sinais da linguagem específica da área de conhecimento, na qual está imersa o
objeto, o conceito em tratamento.
Reconhecer que cada área possui seus sinais de linguagem oral e escrita, a serem
codificados e decodificados no uso dos saberes inerentes ao campo cognitivo em
estudo, pode servir para definir melhor as estratégias e situações de aprendizagem.
Desta forma, não há que negar que a definição é a conquista da linguagem oral e
escrita. A não dominação de simbologia básica da linguagem é empecilho do
iniciante num espaço novo cognitivo de transitar nas rotas conceituais do objeto em
estudo.
É aconselhável a introdução paulatina de símbolos e sua linguagem oral, com o
cuidado de uma passagem não rápida do senso-comum, do coloquial para o
acadêmico, entendendo que o estudante pode desejar, pelas suas opções pessoais,
a não se dedicar a uma carreira das ciências exatas e assim, não precisa de
CONCEITO X DEFINIÇÃO
40
dominar integralmente a linguagem matemática, buscando mais o conceito.
A matematização ou o algebrismo exacerbado pode levar a uma manipulação de
registros, símbolos, fórmulas, modelos, sem a apreensão e compreensão do
conceito. A organização e composição dos métodos de ensino e da prática
educativa deveriam contemplar atividades ora no domínio conceitual, ora no domínio
da definição até que o estudante possa conviver com estes dois tratamentos
articulando-os com habilidade de modo interativo.
2.6 Educação matemática e educação tecnológica
A terminologia “Educação Tecnológica” tem interpretação diversa, se considerar a
complexidade de conceituação de educação como prática social, a se realizar em
tempo e espaço históricos determinados, com características ideológicas.
Assim, pode-se interpretar ainda “Educação para a Tecnologia”, “Educação com a
Tecnologia”, “Educação pela Tecnologia”.
Desta forma, Educação e Tecnologia são conceitos imbricados, pois educar é ação
de um sujeito no contexto das relações sociais num espaço societal histórico,
econômico, técnico-científico aonde se desenvolve a produção da técnica, e da
Tecnologia, que é um sistema de produção de artefatos e serviços, no coletivo das
organizações sociais.
Assim, ambos os conceitos são pertinentes à ação do homem na cultura, na
sociedade, na história.
O conhecimento, fruto da educação, e, a ação técnica, resultado da tecnologia,
estão em constante reciprocidade, numa relação da interdependência.
A tecnologia é um processo permanente, pois o homem produz técnica
permanentemente, sempre buscando diminuir seu esforço físico e aumentar o seu
conforto material. A técnica como resposta de uma necessidade ou demanda do
41
homem, leva, em termos de valores, a uma nova visão do mundo pelo indivíduo.
Assim,
O conceito de Educação Tecnológica prende-se, evidentemente, aos
conceitos específicos de sua expressão, mas na sua interação e integração
diz respeito ou à formação do indivíduo para viver na era tecnológica, de
uma forma mais crítica e mais humana, ou à aquisição de conhecimentos
necessários à formação profissional (tanto uma formação geral como
específica), assim como às questões mais contextuais da tecnologia,
envolvendo tanto a invenção como a inovação tecnológica. (GRINSPUN,
2001, p. 57).
Desta forma, educar tecnologicamente é formar um indivíduo reflexivo e crítico, com
trânsito numa sociedade, hoje, com velocidade crescente de produção e uso de
técnica.
Grinspun (2001, p. 58),
[...] analisa que “alguns pontos são básicos no conceito que pretendemos
estruturar para educação tecnológica, quais sejam:
- A educação é a tônica do processo evolutivo da tecnologia;
- A formação do indivíduo deve estar voltada para as condições – termos de
acesso ao conhecimento e pesquisa – de sua inserção no campo da
tecnologia, propiciando-lhe meios e ferramentas para criar tecnologias;
- A interação ciência-tecnologia se faz presente em todo seu percurso, e
para isto o comprometimento é bem maior com o processo do que com o
produto/resultado final da tecnologia;
- A construção de uma educação que não separe a tecnologia de seu
cotidiano, esclarecendo e desvelando as implicações das novas relações
sociais, em especial a formação do trabalhador;
- Desperta no indivíduo o lado humanístico da tecnologia e, por outro lado,
instigá-lo à rede de conhecimentos e saberes que a tecnologia propicia. Não
podemos valorizar a técnica em detrimento do mundo subjetivo; para tudo
há lugar, em especial para se pensar e para aprender a aprender.
Se antes a tecnologia era de base empírica, da experimentação, do ensaio
acerto/erro, da conformação, hoje, ganha uma nova base estrutural científica da
geração do modelo para construção técnica do produto, via matematização dos
processos na sociedade da informação, com uso intensivo do computador.
A matemática é o sustentáculo lógico do processamento da informação, e o
pensamento matemático é também a base para as atuais aplicações da
tecnologia da informação. De fato, todas as aplicações de um computador
podem ser vistas como uma aplicação de um modelo matemático simples
ou complexo. (SKOVSMOSE, 2001, p. 77).
42
Educação matemática versus
3
educação crítica é o tratamento
4
que Skovsmose
(2001) estabelece, desde que se entenda o conceito sociológico da Educação
Matemática, relacionando às condições do processo educacional numa sociedade
técnico / tecnológica.
Numa sociedade científica e tecnológica, em célere evolução de conhecimento, de
informação e de saberes, assiste-se uma integração das duas áreas de
conhecimento, em dialética.
Ambas são prática social de características antropológicas, históricas, sociais,
educacionais. Ambas desenvolvem habilidades e competências críticas, a serem
cultivadas no espaço das relações sociais a serem instituídas no processo formativo
do mundo do trabalho, na profissão.
Abrantes (2005) define, na constituição das relações da Matemática com a vida real,
a valorização do que denomina competências críticas,
Adaptar uma perspectiva educativa que valoriza o desenvolvimento de
competências críticas a respeito das relações da Matemática com a
realidade e que considera que estas relações fazem parte integrante da
Matemática, como ciência e como disciplina escolar, tem conseqüências ao
nível de conteúdos, dos métodos e da organização do mesmo. (ABRANTES,
2005, p. 92)
No plano sócio-político, Skovsmose (2001) interpreta a educação matemática crítica
como questão de democracia.
Há uma crescente análise quantitativa e matematizada da realidade, em todos seus
aspectos educacionais, sociais, políticos.
3
Termo utilizado pelo autor.
4
Maneira como dialoga os dois campos tratados.
EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA X EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
43
Buscou-se construir o objeto da pesquisa, a qual gerou essa dissertação, pela
análise da prática educativa de educador matemático, o professor de Cálculo I de
curso de Engenharia, e do educador tecnológico, o professor de disciplinas
específicas do mesmo curso, quanto a sua postura didática no trabalho de conceitos,
na aula de tecnologia.
2.7 O ensino de cálculo na perspectiva da produção acadêmica
O ensino de Cálculo Diferencial e Integral tem sido objeto de estudo pela academia
na perspectiva do ensino, do currículo e da aprendizagem.
No contexto internacional, a obra de Caraça (2002) “Conceitos Fundamentais de
Matemática” apresenta um estudo na forma qualitativa, com descrição reflexiva e
analítica dos conceitos fundamentais da Matemática e simplicidade máxima na
forma de exprimir, rigor máximo na forma de expor, segundo um dos vários
apresentadores da obra, que também enfatiza novo estilo de ensino de matemática
inovador de Caraça (2002), classificando ainda a obra como um “livro de cultura”.
Este estilo é do enfoque à conceituação, utilizando da linguagem retórica, sem
abuso da algebrização e fazendo o tratamento aritmético e geométrico dos conceitos,
com prioridade.
Caraça (2002) inicia com o estudo de Números com o problema da contagem e da
medida, chegando aos Limites e a questão da continuidade, passando pelo conceito
de função e infinitésimo, no que se refere ao Cálculo. Sua abordagem é descritiva
com uso da aritmética e interpretação geométrica que denomina significado
geométrico, esse sempre evidenciado. Para o conceito de Limite, parte do
comportamento de sucessão de números e de problemas do movimento. A definição
rigorosa usando a linguagem verbal tem o uso de simbologia apenas necessária
para a definição. Faz um estudo de séries quanto a seu comportamento de
convergência e traz um debate constante com o leitor, chamando-o para a
necessidade de verificar que, ao criar um conceito, o rigor vem depois da
experimentação,
44
a teoria de séries oferece-nos um dos mais flagrantes exemplos de como as
necessidades atuam como aguilhões na criação dos conceitos,
independentemente da sua ordenação lógica. Primeiro é preciso obter
resultados e, para isso, criam-se os instrumentos precisos; as preocupações
de rigor e de ordenação aparecem mais tarde. (CARAÇA, 2002, p. 262)
Dá importância ao conceito matemático de continuidade. Já no tratamento de
“infinitésimos”, antes da rigorização afirma “os conceitos intuitivos de infinitamente
pequeno e infinitamente grande foram utilizados sabiamente por alguns matemáticos
no cálculo infinitesimal e na interpretação de fenômenos físicos”. (CARAÇA, 2002, p.
297)
Outra obra de destaque é “O que é Matemática?” de Richard Courant e Herbert
Robbins (2000) que como subtítulo traz" uma abordagem elementar de métodos e
conceitos”.
No prefácio da primeira edição, Courant (1941) traz a seguinte advertência:
O ensino de Matemática tem algumas vezes degenerado em exercício
repetitivo e vazio de solução de problemas, o que pode desenvolver
capacitação formal mas não conduz a uma real compreensão ou
independência intelectual. A pesquisa matemática tem mostrado uma
tendência no sentido da superespecialização e da ênfase excessiva na
abstração. Aplicações e ligações com outros campos têm sido
negligenciadas.
Já no prefácio das segunda, terceira e quarta edições (1943, 1945, 1947), enfatiza a
compreensão em relação ao formalismo e manipulação.
Durante os últimos anos, a força dos eventos conduziram a uma crescente
demanda de informações e treinamento em Matemática. Agora, mais do que
nunca, existe o perigo de frustração e desilusão, a menos que estudantes e
professores tentem olhar para além do formalismo e da manipulação
matemática e aprender a verdadeira essência da Matemática (COURANT;
ROBBINS, 2000)
Dá um direcionamento ao leitor intitulado “como utilizar este livro” enfatizando a
compreensão e não a rotina na aprendizagem matemática.
Na introdução da obra quando define o “o que é Matemática”, traz que “se a forma
dedutiva é a meta, a intuição e a construção são pelo menos as forças propulsoras”.
Courant e Robbins (2000, p. III) afirmam que
45
a Matemática é como expressão da mente humana, reflete a vontade ativa,
a razão contemplativa, e o desejo da perfeição estética. Seus elementos
básicos são a lógica e a intuição, a análise e a construção, a generalidade e
a individualidade. (COURANT; ROBBINS, 2000, p. I).
A abrangência do conteúdo se faz desde Números, passando por construções
geométricas e chegando ao Cálculo (funções, limites, derivadas e integrais, entre
outros). Trata-se de uma extensa obra de 621 páginas, que difere de Caraça (2002)
por maior abrangência do conteúdo e ênfase não só nos conceitos, mas também
nos métodos rigorosos de dedução. Daí, sua amplitude.
Utiliza uma linguagem clara na forma descritiva de conceitos fundamentais como o
de infinito, entre outros. Enfatiza pela verbalização o detalhamento de todos os
passos das deduções, com clareza e se utiliza da geometria para facilitar a
compreensão.
Na parte do Cálculo inicia com “Limites por aproximação contínua” utilizando uma
função com sua expressão algébrica e seu gráfico. Traz observações sobre o
conceito de limite explicando a definição do mesmo por
""""
δ
ε
e
. Recorre a
história da Matemática e traz sempre os conceitos relacionados aos grandes
cientistas, como ao descrever a invenção do Cálculo referindo-se a Newton e Leibniz
mas, ressalta que "o Cálculo é produto de uma longa evolução que não foi iniciada
nem concluída por Newton e Leibniz”. (COURANT; ROBBINS, 2000, p. 481).
Ao apresentar a integral, anteriormente a derivada, à interpreta como “a área como
limite”. A derivada como inclinação. Para ênfase das definições, que trata com rigor,
reforço dos conceitos, cada capítulo tem um “suplemento” com questões
fundamentais.
No cenário brasileiro se destacam três coletâneas de artigos trabalhados por
acadêmicos: “A prática Educativa sob o olhar do professor de Cálculo”, “Educação
Matemática no Ensino Superior - Pesquisas e Debates” e “Disciplinas Matemáticas
em Cursos Superiores: Reflexões, Relatos, Propostas.”
46
Os organizadores da primeira coletânea Laudares e Lachini (2001, p. 9-10)
introduzem a obra considerando a Matemática como ciência,
A Matemática, que tem no Cálculo um de seus ramos, é colocada como
ciência básica para os cursos da área de exatas. Dizer que uma ciência é
básica significa considerá-la como linguagem, um capital cultural que deve
ser incorporado pelo estudante. Incorporar se refere ao corpo, ao fazer parte
como modo de ver os fenômenos, ao se transmutar em habitus (conforme
discutido por Pierre Bourdieu), ao se tornar um referencial teórico por meio
do qual é possível nomear, classificar e analisar as coisas e os
acontecimentos. O processo de incorporação é lento, exige investimento
pessoal de tempo e, à semelhança do bronzeamento, não pode ser feito por
procuração.
Cada capítulo apresenta resultado de pesquisa ou estudo versando sobre temas de
Cálculo, com abordagem histórica, concepções dos alunos sobre números reais, o
uso do computador, estratégias de resolução de exercícios, discussão da transição
do Cálculo para Análise Real, subsídios para explicar o fracasso de alunos em
Cálculo.
O trabalho com Cálculo, segundo os autores, serve para que o estudante incorpore
um modo sistematizado de pensar, que desenvolva a autonomia no lidar com a
ciência e seja capaz de transferir estes conhecimentos fundamentais para novas
tecnologias. Esta premissa foi propulsora de parte do método da pesquisa, ora
apresentada, de verificar como o professor de Engenharia trata o conhecimento
matemático.
Já a segunda coletânea, organizada por Frota e Nasser (2009), apoiada pela
Sociedade Brasileira de Educação Matemática, pela coleção Biblioteca do Educador
Matemático, coleção SBEM, v.5, traz pesquisas e debates acerca da Educação
Matemática no ensino superior. Os autores dos diversos capítulos trazem questões
relativas ao ensino e educação da Matemática em cursos superiores de graduação,
como: Como o aluno se relaciona com a Matemática formal? Que professor deve ser
formado e que reflexões esse professor tece à respeito de sua prática? Em que
consiste a pesquisa sobre a própria prática e seu sentido no ensino superior?
Uma terceira importante obra na Educação e Ensino de Matemática é a coletânia
intitulada “Disciplinas Matemáticas em Cursos Superiores – reflexões, relatos,
47
propostas”, editada pela PUC-RS e organizada por Helena Noronha Cury. A obra
procurou congregar professores e pesquisadores que trabalham com disciplinas
matemáticas ou estatísticas, em cursos superiores, “para apresentarem suas ideias e
relatarem suas experiências, objetivando a formação de futuros grupos de pesquisa
sobre problemas relacionados com ensino de Matemática, em cursos para profissionais
não dedicados, especificamente a essa área”, como afirma a autora-organizadora. Os
artigos versam sobre diversos temas como, por exemplo, “Modelagem Matemática em
Cursos para não-matemáticos; o ensino de Matemática em curso de Engenharia de
Sistemas Digitais; a Matemática e a estatística em cursos de graduação da área
tecnológica e gerencial, entre outros”. Assim, apresenta-se um tratamento da
Matemática como ferramenta para outras áreas do conhecimento.
A problematização da pesquisa retratada nessa dissertação perpassa por estas
questões do tratamento da Matemática na graduação, especificamente em cursos de
Engenharia.
Dissertações e teses têm sido produzidas na discussão da temática do trabalho com
o conceito e significados.
Barufi (1999), na relação do conhecimento e significado, afirma que conhecer é
conhecer o significado, pela análise e discussão com o estabelecimento de relações
e a conseqüente incorporação na rede de significações do indivíduo. Segundo a
mesma autora, quanto ao discurso do professor em sala de aula, se busca a
negociação dos significados na construção individual, coletiva e compartilhada do
conhecimento. A necessidade da introdução de conceitos surge a partir de
problemas e questionamentos levantados num trabalho de interação professor/aluno
e aluno/aluno. A linguagem, a utilização de imagens pictóricas, esquemas, desenhos,
diagramas, gráficos, são facilitadores do processo de significação e a consequente
apreensão dos conceitos.
Reis (2001) discute as relações existentes entre o rigor e a intuição no ensino de
Cálculo Diferencial e Integral e Análise Matemática na universidade. Para isso, faz
dentre outros estudos, análise de abordagens rigorosas e intuitivas de determinados
tópicos em alguns manuais didáticos de Cálculo e Análise.
48
3 O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA DE LIVROS DIDÁTICOS
Neste capítulo, pretende-se analisar o tratamento que os conceitos de limite,
derivada e integral recebem por determinados autores, em suas obras, quanto a
propostas de metodologia de ensino.
Considera-se que o livro texto não é apenas uma colocação de conteúdos, pois, este
sempre interfere na parte metodológica a ser desenvolvida pelo professor. O
conteúdo abordado nos livros, em um determinado período do curso, é o mesmo. O
que diferencia os autores é a forma de apresentação. Cada autor imprime em sua
obra uma maneira de trabalhar. A partir de então, é possível perceber a concepção
de ensino e aprendizagem trazida por cada um deles.
O livro didático, para o estudante, é um material facilitador, um objeto de
aprendizagem, um suporte e também um complemento das aulas.
Para o professor, é um roteiro precioso, constituindo-se referencial, com a finalidade
do cumprimento do Plano de Curso, que dificilmente é contemplado totalmente por
uma obra.
O livro didático mostra um caminho proposto por seu autor, para viabilizar a
sua concepção de como o conhecimento de Cálculo pode ou deve ser
construído. A rota, muitas vezes, foi inicialmente estabelecida em apostilas,
que foram sendo aprimoradas através dos cursos que o próprio autor
ministrou, para finalmente serem transformadas no livro, editado, re-editado,
num processo de aperfeiçoamento contínuo. Essa é a rota definitiva, pelo
menos até que novas modificações sejam eventualmente propostas numa
posterior edição. (BARUFI, 1999, p. 50)
Barufi (1999), em sua tese de doutorado, especifica os seguintes critérios para
analisar livros didáticos de Matemática:
- Ideias: historicamente construídas são explicitadas ou não explicitadas?
- Problematização: parte de importantes problemas, apresenta exemplos simples, ou
inicia diretamente com o conceito para depois colocar exemplos, exercícios ou
problemas?
49
- Linguagem: além do texto usual em linguagem matemática há diálogo com o
estudante, com o qual o autor apresenta possíveis caminhos e discute dificuldades
ou utiliza primordialmente a linguagem matemática?
- Visualização: Há figuras e gráficos com argumentos geométricos, ou apresenta
figuras e gráficos, mas os argumentos são algébricos para serem visualizados na
figura? Ou o texto quase não tem figuras ou não tem figura alguma?
- Argumentação: o autor busca a construção do conhecimento através de
aproximações, retornando várias vezes, sem caráter definitivo, ou o autor estabelece
um caráter definitivo para o conhecimento construído.
- Formalização / generalização: a organização do texto mostra o Cálculo em
construção, ou após a introdução de um novo conceito, parte para um esquema
revelador do Cálculo, logicamente organizado?
Reis (2001), em sua tese de doutoramento, também apresenta análise de livros
didáticos, nos estudos de Limite e Continuidade, para o ensino de Cálculo, e relata
que o livro didático expõe a plenitude dos saberes particulares do autor e, direta ou
indiretamente, sua postura e experiência enquanto docente daquela disciplina.
Reis (2001) observa os seguintes aspectos em suas análises:
- Como os autores introduzem as noções / os conceitos de Limite e Continuidade;
- O número de páginas destinadas ao desenvolvimento da teoria, dentro do total de
páginas do livro;
- A abordagem dos teoremas relativos a esses tópicos e suas demonstrações;
- Número de exercícios relativos a cada tópico e sua natureza;
- Destaque feito pelos autores na apresentação de sua obra.
A escolha do livro traz uma compatibilização entre a proposta metodológica da
instituição, do professor e do autor.
[...] um bom manual didático para o ensino de Cálculo deve conter não só
uma apresentação visual cativante e elucidativa dos conteúdos mas,
principalmente uma abordagem exploratória e problematizadora dos
conteúdos, sob a mediação das novas tecnologias. (REIS, 2001, p. 107)
50
Na pesquisa realizada privilegiamos algumas categorias de análise coincidentes com
as de Barufi (1999) e também de Reis (2001), tais como:
- A visualização na apresentação em análise de gráficos;
- A problematização;
- A contextualização dos exercícios apresentados;
- O tratamento dos conceitos pretendidos;
- A linguagem utilizada;
- A apresentação da definição formal.
Buscou-se analisar nos livros texto, o objeto da pesquisa em desenvolvimento: o
tratamento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral, nos cursos de Engenharia, a
partir das abordagens Aritméticas, Geométricas e Algébricas.
Os autores das obras analisadas apontaram uma direção para esse tratamento.
Algumas perguntas permearam as análises:
- Há um tratamento numérico? Como é feito?
- Como se apresenta a abordagem algébrica?
- E as representações geométricas, como se dão?
Procurou-se observar o diálogo estabelecido entre os três campos da Matemática:
Aritmética, Álgebra e Geometria, para um melhor entendimento de como são
trabalhados os conceitos estudados.
Os livros-texto aqui analisados foram escolhidos por serem trabalhados em cursos
de Engenharia, apesar dessas obras não serem voltadas, especificamente, para
esses cursos, mas fornecem a base para o Cálculo estudado no currículo.
Na instituição pesquisada, CEFET-MG, o livro adotado para o ensino de Cálculo I é
do autor George B. Thomas, Ross L. Finney, Maurice D. Weir e Frank R. Giordano.
51
Foram tomadas as seguintes obras:
Livro Autor Editora Edição Ano
Cálculo
. Howard Anton
. Irl Bivens
. Stephen Davis
Bookman
Companhia
Editora
8ª
2007, v. 1
Cálculo com
aplicações
. Ron Larson
. Bruce H. Edwards
LTC
Editora
6ª
2003
Cálculo
- George B. Thomas Jr
- Ross L. Finney
- Frank R. Giordano
- Maurice D. Weir
Addison Wesley
10ª
2002, v. 1
Cálculo
James Stewart
Pioneira
Thomson
Learning
5ª
2006, v. 1
Quadro 1: Obras analisadas
Fonte: Dados da pesquisa
Em todas as obras, os autores apresentam no Prefácio ou na Introdução indícios da
metodologia que foi utilizada ao longo do trabalho.
Stewart (2006) inicia discutindo Polya e a arte de ensinar a resolver problemas.
Ressalta a importância de focalizar na compreensão conceitual
5
. Para tanto, o autor
implementa o que chama de Regra de três - os tópicos são apresentados de forma
geométrica, numérica e algébrica. E insiste que é preciso ir além - busca então a
Regra de quatro - acrescenta à regra de três o ponto de vista verbal ou descritivo. O
autor, em seu diálogo com o estudante, enfatiza a importância da leitura e
compreensão de cada seção do texto, antes de iniciar as resoluções dos exercícios
propostos. Ressalta a importância de examinar as definições para entender o
significado dos termos e também cria um ícone que adverte a possibilidade de erros,
a partir de sua observação a um grande número de estudantes, num determinado
erro.
5
Stewart (2006) apresenta essa expressão no livro, em itálico, por se tratar de uma recomendação
formulada na Conferência de Tulane, 1986, onde se iniciou o atual movimento de reforma do ensino
de Cálculo. Entende-se também, nessa pesquisa, ser uma expressão “chave” metodológica.
52
Busca como meta desenvolver o pensar lógico, e consequentemente ensinar a
escrever e solucionar os exercícios de forma conexa não como uma conjunto de
equações desconexas ou fórmulas.
Ao longo de sua obra, Stewart (2006) apresenta exercícios conceituais, com dados
do mundo real.
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) afirma serem os pontos fortes de sua obra
o rigor matemático, as aplicações relevantes para as ciências e a engenharia e os
exercícios. Apresenta uma ênfase na modelagem e nas aplicações do Cálculo. Para
tanto, busca dados reais, e procura dar maior equilíbrio aos métodos gráficos,
numérico e analítico, e apresenta discussões que, segundo o autor, encorajam os
estudantes a pensar a partir dos três campos propostos. Os exercícios encontram-se
agrupados segundo os conteúdos, aplicações ou uso de tecnologias específicas, e
apresentam ícones de identificação.
Larson e Edwards (2003) afirmam procurar, na edição analisada, tornar o texto mais
acessível. Dizem formular um programa de estudos com revisões continuadas e
ênfase em aplicações práticas. Iniciam cada capítulo com um módulo que se intitula
“Estratégias para o sucesso” onde apresentam para o estudante os tópicos de
estudos previstos e suas aplicações em contextos específicos. Ao longo da obra, os
autores retomam conceitos de Álgebra obra antes de aplicá-lo a um conceito de
Cálculo. Para isso, apresentam o que chamam de “Dicas de Álgebra”, para reforçar
conceitos-chave algébricos. Apresentam “Dicas de Estudo” para casos especiais que
ampliam conceitos e ajudam os estudantes a evitar erros comuns. Afirmam manter
uma preocupação especial com a apresentação, o rigor matemático e com a clareza
da exposição.
Anton, Bivens
e Davis (2007) afirmam que para aumentar a compreensão fizeram
uma revisão cuidadosa da exposição do texto, criaram novos tipos de problemas, em
particular os exercícios de “Compreensão” e os exercícios de “Enfocando Conceitos”.
Enfatizam os “Recursos Computacionais” aplicados a exemplos e exercícios
propostos, marcados com ícones próprios. Apresentam uma proposta curricular
flexível, pois afirmam ser possível permutar livremente a ordem dos tópicos
53
apresentados para contemplar as necessidades específicas do professor. Dialogam
ao logo dos textos propostos, com notas históricas e biográficas. Afirmam que “todo
o material biográfico foi destilado de referências básicas com o objetivo de capturar
as personalidades dos grandes matemáticos e trazê-los com vida aos estudantes”.
(ANTON; BIVENS, DAVIS, 2007, p. xx. viii, ix).
Anton, Bivens, Davis (2007) buscam um equilíbrio no que denominam “correto”,
entre o rigor e a clareza e afirmam que, quando esses colidem, optam pela clareza e
defendem a importância de o estudante entender a diferença entre uma
demonstração precisa e um argumento informal.
Optou-se, a seguir, para melhor compreensão do leitor, estabelecer uma
comparação, e sempre que possível, um diálogo entre os autores, a partir dos
estudos, em separado por autor, dos conceitos pretendidos de Limite, Derivada e
Integral.
3.1 Limite
"Um limite é uma concepção peculiar e fundamental, cujo uso na prova de
proposições da Geometria Superior não pode ser suplantado por qualquer outra
combinação de hipóteses e definições". (WHEWELL apud ANTON; BIVENS, DAVIS,
2007, p. 101).
3.1.1 James Stewart
Stewart (2006), ao iniciar o capítulo, discute o significado da palavra tangente,
entendo que conhecer é conhecer o significado (BARUFI, 1999) e, a partir de então,
busca desenvolver a ideia de Limite, com os estudos da inclinação da reta tangente
e as inclinações das retas secantes. Em seguida, com estudo numérico e geométrico,
desenvolve a definição de Limite de uma função.
54
Apresenta tabelas para situar melhor o estudo gráfico e dá o seguinte exemplo:
Encontre o valor de
1
1
lim
2
1
−
−
→
x
x
x
.
Figura 1: Estudo aritmético e geométrico do limite de uma função
Fonte: Stewart (2006, p. 94)
Stewart (2006) apresenta uma aplicação para esse conceito, e desenvolve um
exemplo físico de velocidade instantânea, para estudo num ponto. Propõe novos
exercícios, alternando atividades contextualizadas em situações cotidianas e no
interior da própria Matemática.
Para o desenvolvimento da definição algébrica e apresentação da notação de Limite,
Stewart (2006) investiga o comportamento da função f(x) = x² - x + 2 para valores
próximos de 2, com apresentação da tabela e sua representação geométrica.
55
Figura 2: Representação geométrica do estudo algébrico de uma função
Fonte: Stewart (2006, p. 92)
Nas páginas 93 e 115, respectivamente, Stewart (2006) apresenta a definição formal
e a definição precisa de Limite, discorrendo entre elas uma sequência de atividades
propostas que se apresentam de forma intercalada, seja para construção de gráficos,
seja para análises de gráficos já construídos, seja de estimativas, oportunizando ao
educando desenvolver habilidades analíticas e descritivas.
Quadro 2: Definição de Limite.
Fonte: Stewart(2006, p.93)
Definição:
Escrevemos
Lxf
ax
=
→
)(lim
e dizemos “ o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L ”
se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L
quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a ( por ambos os lados de a)
mas não igual a a.
56
Quadro 3: Definição Precisa de Limite.
Fonte: Stewart(2006, p.115)
Quadro 3: Definição Precisa de Limite.
Fonte: Stewart(2006, p.115)
Definição:
Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto
possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L,
e escrevemos
Lxf
ax
=
→
)(lim
se para todo número
0
〉
ε
há um número correspondente
0
〉
δ
tal que
ε
〈− Lxf )(
sempre que
δ
〈−〈 ax0
57
A partir da definição precisa de Limite, Stewart (2006) apresenta a interpretação geométrica para uma melhor compreensão do
processo.
Figura 3: Interpretação geométrica de Limite
Fonte: Stewart (2006, p. 116)
58
Durante o diálogo que Stewart (2006) estabelece com o estudante, em exemplos
resolvidos, ele apresenta conjecturas, ora corretas, ora falsas, e justifica-as, sempre
com análises apresentadas a partir de estudos em representações geométricas.
Na página 96, o autor também sugere o uso de Computer Algebra Systems (CAS) a
fim de que o estudante possa experienciar
6
técnicas mais sofisticadas, como o
cálculo por séries infinitas, e verificar as respostas dos exercícios do capítulo.
Um momento oportuno é criado pelo autor para o desenvolvimento de uma atividade
investigativa (PONTE, 2003), pelo professor, com o uso da ferramenta
computacional, que possibilitará ao educando um melhor entendimento dos estudos
apresentados, num processo dialogado entre o livro-texto, o educador e o educando.
Numa proposta relacional, Stewart (2006) utiliza-se da função de Heaviside (função
unitária), contextualizando-a historicamente, para desenvolver os estudos de Limites
laterais.
Para os Limites infinitos, o autor usou o mesmo tratamento dos Limites finitos, com
tabelas, gráficos e a definição algébrica.
Nos Limites infinitos, o autor usa uma interpretação geométrica, definindo a reta
x = a, como assíntota vertical.
6
O termo experienciar sugere uma oportunidade de experiência, experimentação e vivência para uma
nova situação proposta.
59
Quadro 4: Definição de assíntota vertical.
Fonte: Stewart(2006, p.100)
Stewart (2006) desenvolve representações geométricas, como a indicada abaixo,
para os estudos dos Limites de uma função.
Figura 4: Representação geométrica do limite
∞−=
→
)(lim xf
ax
Fonte: Stewart, 2006, p. 100
O autor ressalva que isso não significa considerar
∞
um número, tampouco significa
que o Limite exista.
Definição:
A reta x = a é chamada
assíntota vertical
da curva y = f(x) se pelo menos
uma das seguintes condições estiver satisfeita:
∞−=∞−=∞−=
∞
=
∞
=
∞
=
+−
+−
→→
→
→→
→
)()()(
)()()(
limlimlim
limlimlim
xfxfxf
xfxfxf
axax
ax
axax
ax
60
Observa-se que, em momentos propícios, Stewart (2006) usa a linguagem
convencional ao longo de alguns exercícios propostos, como o que segue:
Explique com suas palavras o significado da proposição
5)(lim
2
=
→
xf
x
.
Nota-se nessa atividade que o autor “força” o aluno a redigir, com suas palavras,
significados matemáticos, que, para os estudos da Educação Matemática, são
fundamentais. O trabalho com produção de textos, quando acompanhado de
discussões, propicia ao aluno a oportunidade de se expressar, cria um ponto de
entrada no seu sistema cognitivo, desestabilizando-o, para que, ao restabelecer o
equilíbrio, incorpore novos conhecimentos e habilidades.
Em vários exercícios, Stewart traça o gráfico do problema proposto, e pede ao
estudante para analisá-lo e apresentar os valores do limite. Comumente encontram-
se atividades com propostas para construções de gráficos. Essa inversão propicia ao
educando desenvolver novas habilidades de análise e interpretação.
Ainda, a partir do diálogo do cálculo por conjectura
7
, o autor propõe o uso de
calculadoras e computadores, e leva o estudante a estimar valores de limites, num
cuidado constante em desenvolver no educando, a partir de vários enfoques,
habilidades descritivas.
3.1.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis
Anton, Bivens e Davis (2007) nomeiam o capítulo sobre os estudos de Limites como
“Limite e Continuidade”. Iniciam os estudos com uma abordagem intuitiva, enquanto
Stewart (2006) faz conjecturas, e ambas as obras, enfocam a continuidade.
Como Stewart (2006), Anton, Bivens e Davis (2007) iniciam com os estudos com o
problema das retas tangentes, mas não se preocupam em apresentar a etimologia
da palavra “tangente”.
7
Expressão “chave” metodológica. Grifo da pesquisadora.
61
Figura 5: Representações de uma reta tangente
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 102)
Ao longo da obra, Anton, Bivens e Davis (2007) apresentam uma seção denominada
“Enfocando Conceitos”, que agrupa exercícios de compreensão. Nesse tópico do
capítulo de Limite, eles trabalham os conceitos através da interpretação gráfica.
Enfatizam uma abordagem intuitiva
8
quando, na página 112(13-16), pedem ao
educando que “dê um palpite” sobre limite no cálculo de uma determinada função
nos pontos especificados, propondo um trabalho com as tecnologias computacionais.
Nessa mesma página, no exercício 22, os autores novamente interagem e dialogam
com o educando ao pedir que façam uma conjectura sobre limite.
Anton, Bivens e Davis (2007), fazem alusão à perspectiva aritmética para limites,
apresentam tabelas, como encontradas em Stewart (2006), com análises à esquerda
e à direita do valor para o qual se pede o limite da variável independente, o que
possibilita ao estudante uma melhor visualização, com valores bem especificados.
Assim, apresentam a definição de Limites, de um ponto de vista informal, pelas
vizinhanças laterais.
8
Grifo da pesquisadora – expressão “chave” metodológica.
62
Figura 6: Estudos laterais do limite de uma função
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 104)
63
Já para os limites infinitos, Anton, Bivens e Davis (2007, p. 125) apresentam a ideia
9
geral:
Quadro 5: Definição de Limites infinitos no infinito.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 125)
Enquanto desenvolvem esses conceitos, os autores estimulam os educandos a
buscar um recurso gráfico para gerar gráficos de funções, num quadro denominado
“domínio da tecnologia”. Como descrito em LÉVY (1996) as simulações feitas numa
tela de computador desempenham um papel de persuasão do estudante e são
facilitadores da aprendizagem.
Nos estudos dos limites infinitos, a alusão à perspectiva geométrica, não possue
muita diferença entre Anton, Bivens e Davis (2007) e Stewart (2006). Todos trazem
as assíntotas verticais.
Em suas seções de exercícios, Anton, Bivens e Davis (2007) apresentam “recortes”
ao qual denominam “enfocando conceitos”, em grupos de exercícios que são mais
conceituais.
9
Grifo da pesquisadora. Expressão chave metodológica.
Limites infinitos no infinito ( um ponto de vista informal)
Se os valores de f(x)
crescem sem cota quando
∞
+
→
x
ou
∞
−
→
x
, então escrevemos
∞+=
∞+→
)(lim xf
x
ou
∞+=
∞−→
)(lim xf
x
conforme o caso. Se os valores de f(x) decrescem sem cota quando x
∞
+
→
ou
x
∞
−
→
, então escrevemos
∞−=
∞+→
)(lim xf
x
ou
∞−=
∞−→
)(lim xf
x
64
Figura 7: Exercícios propostos
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 152)
3.1.3 George Thomas, Ross L. Finney, Maurice D. Weir, Frank R. Giordano
Assim como Anton, Bivens, Davis (2007) e Stewart (2006), para discutir o limite num
ponto, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) também aborda o estudo da reta
tangente a uma curva. Utiliza-se de um exemplo prático de termodinâmica, estuda a
variação na temperatura de uma blindagem térmica e apresenta o gráfico. A partir de
então, calcula a taxa média de variação. Concomitante a esse trabalho, na mesma
página, ele apresenta a definição geométrica de taxa de variação média, para
mostrar que a mesma é o coeficiente angular de uma reta secante à curva
representativa de uma função.
Para definir Limite, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) estuda o
comportamento de uma função perto de um ponto, apresenta o desenvolvimento de
uma tabela e seu gráfico correspondente. Só então apresenta a definição informal
de Limite, com a apresentação de alguns exercícios resolvidos.
65
Figura 8: Estudo aritmético do limite de uma função
Fonte: Thomas (2002, p. 87)
Também como Anton, Bivens, Davis (2007) e Stewart (2006), Thomas, Finney, Weir
e Giordano (2002) traz a definição precisa de Limite e em seguida a definição formal
de Limite usando episolon e delta.
Quadro 6: Definição de formal de Limite.
Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p.90)
Definição: Definição formal de limite
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x
0
, exceto talvez em x
0
.
Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a x
0
e escrevemos
Lxf
xx
=
→
)(
lim
0
,
se para cada número
0
〉
ε
existir um número correspondente
0
〉
δ
tal que, para
todos os valores de x,
εδ
〈−⇒〈−〈 Lxfxx )(0
0
.
66
Apresenta também a representação geométrica da mesma, como mostra a Figura 8
seguinte:
Figura 9: Relação entre
ε
δ
e
na definição de Limite
Fonte: Thomas (2002, p. 90)
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresenta um grupo de exercícios
nomeado “Limites Obtidos Graficamente”, em que o educando é levado a analisar, a
partir de estudo gráfico uma determinada função, para então encontrar e / ou
explicar por que eles não existem.
Figura 10: Limites obtidos graficamente
Fonte: Thomas (2002, p. 93)
67
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresenta também exercícios para serem
desenvolvidos com software, nos quais ele faz referência ao Sistema de Álgebra por
Computador (SAC), quando sugere o Mathematica, Maple ou MatLab, em sessões
especiais denominadas “Usando o Computador”, para estimativa
10
gráfica de Limites.
Thomas, ao sugerir o uso das novas tecnologias, cria um contexto para simulações
11
e modelagens (LÉVY,1996), e deixa aos educadores e educandos a oportunidade
para que as mesmas aconteçam.
Ao discutir o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Sanduíche),
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) explora representações gráficas para o
educando entender melhor a teoria a ser estudada. Figura 11.
Figura 11: Representação geométrica do Teorema do Confronto
Fonte: Thomas (2002, p. 101)
10
Grifo da pesquisadora. Expressão “chave” metodológica.
11
Grifo da pesquisadora. Expressão “chave” metodológica.
68
Quadro 7: Teorema do Confronto.
Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p.100)
Ao definir Limites laterais Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresenta o
estudo na reta e evidencia as análises necessárias a serem feitas para um melhor
entendimento nesse tópico. Figura 12
Figura 12: Representação geométrica de limites laterais
Fonte: Thomas (2002, p. 101)
Te
orema 4
Teorema do Confronto
Suponha que
)()()( xhxfxg
≤
≤
para qualquer x em um intervalo aberto contendo c,
exceto possivelmente em x = c. Suponha também que:
(
)
Lxhxg
cxcx
=
=
→→
limlim
)(
Então:
Lxf
cx
=
→
)(
lim
69
3.1.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards
Larson e Edwards (2003) buscam o entendimento do significado da palavra Limite
ao iniciar o capítulo, quando referem-se a Limite como sendo uma fronteira que, em
certas circunstâncias, não pode ser atingida ou mesmo ultrapassada. Os autores
ilustram esse conceito utilizando-se da representação de uma mola que pode ser
esticada até um determinado limite.
Figura 13: Representações de limites: em uma mola
Fonte: Larson e Edwards, 2003, p. 77
E acrescentam: Um Limite matemático se parece com o limite de uma mola. A
notação de Limite é
Lxf
cx
=
→
)(lim
.
Em seguida, contextualiza dentro da própria Matemática os estudos de Limite,
utilizando-se de representações numéricas – tabela, e gráfica.
70
Figura 14: Representação geométrica de
)1(lim
2
1
+
→
x
x
Fonte: Larson e Edwards, 2003, p. 77
Logo em seus primeiros exemplos, os autores determinam o limite de três funções,
com a construção dos gráficos correspondentes e seus estudos numéricos, atribuem
a x os mesmos valores nas tabelas e também, desenvolve estudos à esquerda e à
direita nas mesmas.
71
Figura 15: Representação geométrica do estudos de limite em três funções distintas
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 78)
72
x tende a 1. x tende a 1.
X 0,900 0,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1.100
f(x)
1,810 1980 1998 2,000 2,002 2,020 2,210
f(x)
te
nde a 2 f(x) tende a 2
x tende a 1. x tende a 1.
X 0.900 0.990 0.999 1.000 1.001 1.010 1.100
f(x)
0.900 0.990 0.999 0.000 1.001 1.010 1.100
f(x) tende a 1 f(x) tende a 1
x tende a 1. x tende a 1.
X 0.900 0.990 0.999 1.000 1.001 1.010 1.100
f(x) -1.000 -1.000 -1.000 ? 1.001 1.000 1.000
f(x) tende a 1 f(x) tende a 1
Figura 16: Tabelas referentes aos estudos dos limites das funções da figura 14.
Fonte: Larson e Edwards (2003)
Observa-se aqui que os autores não enunciam o estudo dos Limites laterais num
tópico específico, como visto em Anton, Bivens, Davis (2007), Stewart (2006) e
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002). Posteriormente Larson e Edwards (2003)
discutem Limite unilateral.
Larson e Edwards (2003) propõem o uso da calculadora e também do software
Mathematica, oportunizando que o estudante interaja com novas situações de
aprendizagem.
73
Coerente com a sua apresentação, Larson e Edwards (2003), ao iniciar os exercícios,
propõem o uso de softwares através do que eles chamam “um programa de
plotagem” e convidam o estudante a expandir e observar a região do gráfico nas
vizinhanças do ponto estudado, utilizando também as calculadoras. Essa
oportunidade representa um grande facilitador para os estudantes, levando-os a
perceber as ideias implícitas nos estudos propostos.
Figura 17: Propostas de uso de calculadoras e computadores
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 79)
Esses autores não apresentam a definição, na linguagem algébrica, de limite, com o
rigor de Stewart (2006), Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) e, Anton, Bivens,
Davis (2007).
3.2 Derivada
"O Cálculo é o melhor auxílio de que dispomos para apreciar a verdade física no mais amplo
sentido da palavra".
(FOGG apud ANTON, BIVENS e DAVIS, 2007, p. 165 )
74
3.2.1 James Stewart
Stewart (2006) descreve, em um único capítulo, o conceito de Limite e Derivada.
Utiliza-se de um processo de diálogo contínuo, em evidente recursividade. Retoma
os estudos da inclinação da reta tangente à curva e da velocidade de um objeto com
uma função posição, e, a partir deles, estabelece uma relação direta com os estudos
de Derivada.
Quadro 8: Definição de derivada.
Fonte: Stewart (2006, p.158)
Stewart (2006, p. 158) descreve:
Se escrevermos x = a + h, então h = x – a, e h tende a zero, se e somente se x
aproximar-se de a. Consequentemente, uma maneira equivalente de enunciar a
definição da Derivada, como vimos na determinação das retas tangentes, é:
Quadro 9: Definição da derivada.
Fonte: Stewart (2006, p.158)
Definição:
A
derivada de uma função f em um número a
, denotada por f’(a)
, é
h
afhaf
af
h
)()(
)('
lim
0
−
+
=
→
Se o limite existe.
ax
afxf
af
ax
−
−
=
→
)()(
)('
lim
75
O autor traz, em seguida, um exemplo resolvido para o cálculo da derivada da
função f(x) = x
2
- 8x + 9 em um número a, cujo desenvolvimento oportuniza ao
educando acompanhar o processo algébrico.
Em seguida, discute a interpretação da Derivada como a inclinação da reta tangente,
e apresenta:
Quadro 10: Interpretação da Derivada como inclinação da Reta Tangente.
Fonte: Stewart (2006, p.159)
Apresenta a interpretação geométrica de uma derivada, como definições
apresentadas anteriormente já evidenciadas.
Figura 18: Interpretação geométrica de uma derivada
Fonte: Stewart (2006, p. 159)
Retoma os estudos da função f(x) = x
2
- 8x + 9 num exemplo resolvido, mostra a
interpretação geométrica e numérica da mesma no ponto (3, - 6), nos estudos da
A reta tangente a y = f(x) em (a,f(a)) é a reta que passa em (a,f(a)), cuja inclinação é
igual a f’(a), a derivada de f em a.
76
equação da reta tangente, à parábola da mesma.
Percebe-se aqui uma inversão no processo metodológico desenvolvido pelo autor,
pois, o mesmo deixa a interpretação algébrica anteceder a numérica e a geométrica.
Segundo DUVAL(1993) é preciso propiciar ao aluno situações em que ele possa
compreender e controlar a diversidade dos processos matemáticos. Para que isso
ocorra, é interessante que desenvolvimentos numéricos e geométricos antecedam
as interpretações algébricas, por exigirem uma abstração maior.
No tópico “A Derivada como uma Função”, Stewart (2006), apresenta num exemplo,
o gráfico de uma função f qualquer, e, a partir desse gráfico, solicita que o estudante
esboce o gráfico da derivada f’. Nesse fazer, o autor estabelece um diálogo entre a
Aritmética e a Geometria, para que o estudante perceba a relação entre o
crescimento e decrescimento de uma função e sua derivada.
Em seguida, ainda no estudo de Derivada como uma função, Stewart traz uma
situação problema que envolve a taxa de crescimento populacional de um
determinado país, aplica os estudos de Limite e, com análises gráficas e suas
respectivas tabelas, calcula valores aproximados para a derivada. O autor alterna,
ao longo dos exercícios propostos, situações que se relacionam com o cotidiano e
também situações unicamente matemáticas, a serem desenvolvidas a partir de um
aprofundamento algébrico.
Numa estrutura paralela, Stewart apresenta dados históricos em momentos que
julga propício, o que enriquece o contexto de sua obra.
No decorrer dos estudos sobre funções, Stewart discute como pode uma função f
deixar de ser diferenciável em a, e apresenta três possibilidades.
77
Figura 19: Três formas de f deixar de ser diferenciável em a
Fonte: Stewart (2006, p. 172)
3.2.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis
Diferentemente de Stewart (2006), Anton, Bivens e Davis (2007) apresentam os
estudos de Derivada em um capítulo separado dos estudos de Limite. Os autores
também retomam os estudos sobre reta tangente a uma curva, no cálculo de sua
inclinação.
Figura 20: Representação geométrica da definição de limite como inclinação da reta tangente
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 166)
78
Utilizam-se de exemplos de situações cotidianas, com aplicações em cálculo de
velocidade média e velocidade instantânea, até chegarem ao estudo de taxas de
variação e suas aplicações, para então, estabelecer um elo entre Derivada e taxas
de variação.
Anton, Bivens e Davis (2007) separam as seqüências de exercícios propostos em
“exercícios de compreensão”, que visam abordar em aptidões e conceitos básicos, e
“enfocando conceitos”, que trabalham exercícios mais conceituais.
Ao iniciar os estudos de Função Derivada, Anton, Bivens e Davis (2007) dialogam
com o educando e ressaltam que o conceito de uma “derivada” é a principal
ferramenta matemática utilizada para calcular e estudar as taxas de variação.
E definem:
Quadro 11: Definição da função derivada.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p.178)
Também como Stewart (2006), Anton, Bivens e Davis (2007) apresentam em
exercício resolvido, uma função f definida por f(x) =
1
2
+x
e pedem para encontrar
sua derivada em relação a x, mas estabelecem novas analogias e, nessa mesma
atividade, propõem que o educando utilize o resultado anterior para encontrar a
equação de reta tangente a
1
2
+= xy
em x = 2.
Definição
:
A função f’ definida pela fórmula
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim
)('
0
−
+
=
→
é denominada derivada de f em relação a x. O domínio de f’ consiste em todos
os x do domínio de f para os quais existe o limite.
79
Nesse diálogo Anton, Bivens e Davis (2007) utilizam-se do pensar
12
em f’ como uma
função “que produz inclinações”, no sentido de que o valor de f’(x) em
0
xx =
é a
inclinação da reta tangente ao gráfico de f em
0
xx =
.
Anton, Bivens e Davis (2007), ao discutirem a diferenciabilidade de uma função,
introduzem a terminologia derivável.
Quadro 12: Definição de uma função diferenciável.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p.182)
Em seguida, discutem geometricamente a diferenciabilidade de uma função,
descrevendo informalmente de duas maneiras:
1) Inclinações das retas secantes – O Limite que define a Derivada não existe.
12
Grifo da pesquisadora – expressão “chave” metodológica abordada no referencial teórico.
Definição: Dizemos que uma função f é diferenciável ou derivável em x
0
se existir
o limite
(
)
h
xfhxf
xf
h
00
0
0
)(
)('
lim
−
+
=
→
Se f é diferenciável em cada ponto do intervalo aberto (a,b), então dizemos que a
função é diferenciável em (a,b) e, analogamente, em intervalos abertos da forma ( a,
+
∞
) , ( -
∞
, b) e ( -
∞
+
∞
,
). Nesse último caso dizemos que f é diferenciável em
toda a parte.
80
Figura 21: Limite bilateral - o limite que define a derivada é inexistente
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 182)
2) Pontos de tangência vertical – o Limite que define a Derivada não existe.
Figura 22: Inclinação da reta tangente pela esquerda e pela direita - o limite que define a derivada é
inexistente
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 182)
3.2.3 George Thomas, Finney, Weir e Giordano
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresentam um resumo no inicio do
capítulo 2, denominado Derivadas. Nele retoma a definição do coeficiente angular de
81
uma reta tangente como Limite dos coeficientes angulares das secantes, descrita no
capítulo 1. E afirma: “Esse Limite, chamado derivada, mede a taxa de variação de
uma função e é um dos conceitos mais importantes de Cálculo.”
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) retomam os estudos de Limites
desenvolvidos no final do capítulo 1 e dialogam com o educando, para justificar a
apresentação de técnicas mais fáceis para calcular uma Derivada: “Obter derivadas
calculando Limites pode ser demorado e difícil.”
Em seguida, apresentam a definição de Derivada.
Quadro 13: Definição de derivada.
Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p. 141)
A partir de então, apresentam exercícios resolvidos, iniciando com o
desenvolvimento algébrico, e então, apresenta sua representação geométrica. Só
depois, desenvolve um exemplo numérico.
Já nos primeiros tópicos, antes mesmo de propor ao educando que exercite a nova
teoria apresentada, introduz as regras de derivação.
Somente ao final do “bloco” de Regras e Teoremas é que Thomas, Finney, Weir e
Giordano (2002) propõe uma sequência de exercícios para o estudante experienciar
suas habilidades e entendimentos sobre o assunto proposto.
Def
inição:
Função derivada
A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f’ cujo valor de x é
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim
)('
0
−
+
=
→
desde que o limite exista.
82
- Determinando e Calculando Funções Derivadas.
- Cálculo de Derivadas.
- Coeficientes Angulares e Tangentes.
- Gráficos.
- Recuperando uma Função a partir de Sua Derivada.
- Derivadas Laterais.
- Quando uma Função Não Apresenta Derivada em um Ponto?
Observa-se, no entanto, que, entremeados aos exercícios, o autor introduz novos
estudos e conceitos sobre Derivada. Desenvolve nesse contexto uma estrutura
curricular relacional, ainda que mantenha alguns tópicos em “compartimentos”.
Nos exercícios propostos, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresenta itens
diferenciados que se intitulam: “Escrevendo para Aprender” e “Teoria e Exemplos”.
Esses tópicos dialogam com a teoria estudada e propiciam ao educando a
oportunidade de descrever com as próprias palavras o seu pensamento.
Ao apresentar os estudos de velocidade instantânea, Thomas, Finney, Weir e
Giordano (2002) nomeia de “Módulo da Velocidade”, o que Stewart nomeou
“velocidade escalar instantânea” e define:
Quadro 14: Definição de módulo da Velocidade.
Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p. 156)
Há, em algumas sessões de exercícios, um ícone “usando o computador”, que
apresenta uma sequência de exercícios propostos com o uso do mesmo.
Definição: Módulo da Velocidade
Módulo da velocidade é o valor absoluto da velocidade.
Módulo da Velocidade =
dt
ds
tv =)(
83
Ao longo do capítulo é apresentado, em situações oportunas, um ícone denominado
“Companion Website” - Um convite à pesquisa - biografias e ensaios históricos
disponibilizados no site www.aw.com/thomas_br; o que oportuniza um
enriquecimento de saberes e busca de significados
13
.
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresentam várias situações problemas
cotidianas aplicadas aos estudos de Derivadas, como por exemplo “Escolhendo
funções para ilustrar a Economia”.
3.2.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards
Larson e Edwards (2003) apresentam os estudos de Derivada no capítulo 2, com o
subtítulo: A Derivada e a Inclinação de um Gráfico.
Desenvolvem os estudos a partir da observação da reta tangente a uma curva, que
varia de um ponto para outro, e também da reta tangente a uma circunferência.
Figura 23: Estudos de reta tangente
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 108)
13
Expressão “chave” metodológica. Grifo da pesquisadora.
84
Larson e Edwards (2003) desenvolvem a ideia intuitiva de Derivada a partir da
observação da reta secante e buscam alcançar a reta tangente. Levam esse
processo até o limite, até determinar a inclinação exata da reta tangente no ponto
almejado.
85
Figura 24: Quando
x
∆
tende a zero, as retas secantes tendem para a reta tangente
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 110)
86
Larson e Edwards (2003) apresentam:
Quadro 15: Definição da inclinação de uma função.
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 110)
Larson e Edwards (2003) resolvem alguns exemplos e, ao final de cada um deles,
propõem ao educando que Tente
14
fazer uma atividade semelhante.
Os autores dialogam em alguns momentos ao longo das resoluções apresentadas:
“
É importante que o estudante compreenda
15
a diferença na forma como os
quocientes diferenciais foram montados nos Exemplos 3 e 4. (LARSON; EDWARDS,
2003, p. 110-111).
Exemplo 3 – Determinação da Inclinação pelo Processo de Limite
Determine a inclinação da curva de f(x) = x² no ponto ( - 2, 4).
Após apresentar a resolução algébrica e geométrica, passo a passo, os autores
incentivam o estudante:
14
Palavra apresentada conforme escrita no livro texto.
15
Expressão “chave” metodológica.
Definição da Inclinação de uma Função
A inclinação da função f no ponto ( x, f(x) ) é igual à inclinação da reta tangente à curva da
função f no ponto ( x, f(x) ), e é dada por
(
)
x
xfxxf
mm
xx
∆
−∆+
==
→∆→∆
)(
limlim
0
sec
0
contando que esse limite exista.
87
TENTE Determine a inclinação de f(x) = x² no ponto (2,4).
Exemplo 4 – Determinação da inclinação de uma Linha Reta
Determine a inclinação da curva de f(x) = - 2x + 4
TENTE Determine a inclinação de f(x) = 2x + 5
E apresentam:
Quadro 16: Definição de Derivada.
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 112)
Larson e Edwards (2003), ao discutirem a continuidade de uma função ressaltam:
Quadro 17: Derivabilidade e Continuidade .
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 114)
Definição de Derivada
A derivada da função f no ponto x é dada por
( )
(
)
(
)
x
xfxxf
xf
x
∆
−∆+
=
→∆
lim
0
'
contando que o limite exista. Uma função é derivável no ponto x se a derivada da função
existe no ponto x. O processo de calcular derivadas é chamado de derivação.
Derivabilidade Implica Continuidade
Se uma função é derivável no ponto x = c, a função é contínua no ponto x = c.
88
3.3 Integral
"Dai-me um ponto de apoio que eu moverei o mundo". (ARQUIMEDES apud ANTON;
BIVENS; DAVIS, p. 349)
.
Figura 25: Cálculo de uma superfície a partir de soma de áreas de retângulos.
Fonte: Stewart (2006, p. 368)
3.3.1 James Stewart
Stewart (2006), ao iniciar o capítulo de Integrais, afirma que há uma conexão entre o
Cálculo Integral e o Diferencial, que, por sua vez, está diretamente relacionado à
Derivada. Ressalta que o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona a Integral com
a Derivada, e que para a resolução de muitos problemas, isso será um facilitador.
89
Propõe o cálculo da área de uma região com um lado em curva e lembra que
trazemos sempre a ideia intuitiva do que é uma área. E, a partir de então, torna-se
necessário transformar essa ideia numa definição exata.
O autor trabalha com estimativas
16
a partir de análises gráficas em busca de uma
aproximação, na construção de retângulos em uma superfície curva. Dialoga com o
educando para que perceba que quanto maior for o número de faixas retangulares
que se conseguir colocar na região estudada, menor será o erro no final do cálculo
da superfície pesquisada, ou seja, há um Limite a ser estudado.
A partir de várias análises, Stewart (2006) define:
Quadro 18: Definição da área abaixo de uma determinada curva, em um plano cartesiano.
Fonte: Stewart (2006, p. 374)
Stewart (2006) ressalta a nomenclatura utilizada para indicar a nomenclatura de
notação somatória (notação sigma), na representação da soma de muitos termos, de
maneira mais compacta.
( ) ( ) ( ) ( )
∑
=
∆++∆+∆=∆
n
i
ni
xxfxxfxxfxxf
1
21
...
(1)
16
Grifo da pesquisadora - expressão “chave” metodológica.
Definição: A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o
limite das somas das áreas dos retângulos aproximantes:
A =
(
)
(
)
(
)
[
]
xxfxxfxxfR
n
n
n
n
∆++∆+∆=
∞→∞→
...
21
limlim
90
Figura 26: Cálculo de uma superfície com lado curvo a partir de soma de áreas de retângulos
Fonte: Stewart (2006, p. 374)
Após dialogar com o educando nos estudos de problemas de distância em situações
análogas às que esse já vivenciou no ensino básico, Stewart (2006, p. 380) mostra
que novamente os estudos de Limite irão ajudar a precisar as soluções dos mesmos
e também em estudos futuros de cálculo de comprimento de curvas, volumes de
sólidos, centros de massas e outras situações de quantidade.
Resolve uma série de exercícios e também apresenta outros para serem resolvidos,
vários de estimativa, e define:
91
Quadro 19: Definição da área abaixo de uma determinada curva, em um plano cartesiano.
Fonte: Stewart (2006, p. 380)
3.3.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis
Assim como Stewart (2006), Anton, Bivens e Davis (2007) iniciam o Capítulo
denominado Integração, discutindo o problema de área. Eles evidenciam a História
da Matemática, lembrando que os matemáticos primitivos se deparavam com muitas
dificuldades para encontrar fórmulas para a área de regiões com contornos
curvilíneos. Os autores citam Arquimedes e aproveitam a oportunidade para
apresentar sua biografia. Os autores também exploram áreas de retângulos e dizem
que embora esse método seja intuitivamente atraente, os Limites que dele resultam
somente podem ser calculados em certos casos. E, mais uma vez, eles se apóiam
na história, lembrando Newton e Leibniz, e afirmam que, de forma independente,
eles descobriram uma relação fundamental entre áreas e integrais.
A partir desse diálogo, os autores desenvolvem a ideia da antiderivada e afirmam:
"O processo de encontrar uma função a partir de sua derivada é denominado
antiderivação, e um procedimento para encontrar áreas através da antiderivação é
denominado método de antiderivação". (Anton; Bivens; Davis, 2007, p. 353-355,
grifo dos autores).
Definição de Integral Definida Se f é uma função contínua por
bxa
≤
≤
, dividimos o
intervalo [ a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais a
(
)
nabx /
−
=
∆
. Seja
(
)
(
)
bxxxax
n
==
,...,,,
210
os extremos desses subintervalos e vamos escolher os
pontos amostrais
**
2
*
1
,...,,
n
xxx
nesses subintervalos de forma que
*
i
x
está no i-ésimo
subintervalo [
ii
xx ,
1−
]. Então a integral definida de f de a para b é
( )
(
)
∫
∑
=
∞→
∆=
b
a
n
i
i
n
xxfxdxf
1
*
lim
92
Quadro 20: Definição de antiderivada.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 355)
E é no desenvolvimento dos estudos da antiderivada que Anton, Bivens e Davis
(2007), diferentemente de Stewart (2006), definem primeiramente a Integral
indefinida e apresentam vários exemplos resolvidos e seus teoremas. Estudam
curvas integrais e a integração do ponto de vista de Equações Diferenciais, e
apresentam a fórmula de integração e as propriedades da Integral indefinida.
Em seguida, os autores propõem vários exercícios ao educando, seja de
compreensão, seja enfocando conceitos.
Ao longo desses estudos, Anton, Bivens e Davis (2007), retomam a definição de
área como um Limite e estudam a área sob uma curva. Figura 27.
Definição Dizemos que uma função F é uma antiderivada de uma função f em um
dado intervalo se F’(x) = f(x) para cada x do intervalo.
93
Figura 27: Subdivisão dos intervalos nos retângulos
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 377)
Novos exercícios são propostos ao estudante para, só então, apresentarem a
definição de Integral Definida e suas propriedades.
Anton, Bivens e Davis (2007), em nova sessão de exercícios, dialogam com os
educandos, numa proposta de resgate dos conceitos trabalhados. Figura 28.
94
Figura 28: Exercícios propostos - Enfocando conceitos
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 395)
3.3.3 George Thomas, Finney, Weir e Giordano
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002), em seu capítulo denominado Integração,
traz um resumo que dialoga com a necessidade do homem em calcular taxas de
variação instantâneas. E foi a partir dessas necessidades que, ao longo da história
da humanidade, chegou-se à investigação do cálculo de áreas sob curvas, o que
acabou por levar a pesquisa ao segundo ramo principal do cálculo, o Cálculo Integral.
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p. 318) introduz, no inicio do capítulo, a
definição da Primitiva de uma Função e a partir desses estudos apresenta a notação
de Integral da seguinte maneira:
95
Quadro 21: Notação Integral.
Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p.318)
Assim como Anton, Bivens e Davis (2007), Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002)
desenvolve, primeiramente, os estudos de Integral indefinida, apresenta uma tabela
com as fórmulas, seguido de uma sequencia de exercícios resolvidos e também uma
sequência de exercícios a sem resolvidos.
Em meio a essas páginas de fórmulas, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002)
desenvolve o processo de Modelagem Matemática e seus passos a serem seguidos.
Na sequência de exercícios propostos, há aplicações que o educando poderá
experienciar o estudo de um modelo matemático. O autor segue os estudos de
Integrais estimando somas finitas, estabelecendo relações entre deslocamento e
distância percorrida, para então chegar ao estudo da soma de Riemann e às
Integrais Definidas.
3.3.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards
Larson e Edwards (2003) iniciam o capítulo denominado Integração e suas
Aplicações, com o estudo da antiderivada.
Quadro 22: Definição de antiderivada.
Quadro 22: Definição de Antiderivada.
Fonte: Larson e Edwards (2003, p.324)
(
)
(
)
∫
+= CxFdxxf
Definição de Antiderivada
Uma função F é uma antiderivada de uma função f se para qualquer x
no domínio de
f. F’(x) = f(x)
96
Imediatamente, os autores apresentam a notação de Antiderivadas e Integrais
Indefinidas, seguidas das regras básicas de integração.
Nas seqüências de exercícios propostos, Larson e Edwards (2003) intercalam
problemas relacionados ao cotidiano e problemas relacionados unicamente com a
matemática.
Figura 29: Exercício contextualizado
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 338)
Larson e Edwards (2003), somente ao iniciar os estudos das Integrais Definidas,
num tópico denominado "Área e o Teorema Fundamental do Cálculo", abordam os
estudos do cálculo de área, para um melhor entendimento dos conceitos pretendidos.
97
Quadro 23: Definição de Integral Definida.
Fonte: Larson e Edwards (2003, p.348)
Figura 30: A (x) = Área de a até x
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 349)
Em meio a todas essas representações, corre-se o risco de que toda integral
definida seja associada ao valor da área de uma região plana.
Definição de Integral Definida
Seja f uma função não-negativa e contínua no intervalo [a,b]. A área da região limitada
pela curva de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é representada por
Área =
( )
∫
b
a
dxxf
A expressão
( )
∫
b
a
dxxf
é chamada de integral definida da função f de a a b, onde a é o
limite inferior de integração e b é o limite superior de integração.
98
Figura 31: Utilização do cálculo de área com retângulo (por falta e por excesso) para calcular a
superfície abaixo da curva
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 349)
Larson e Edwards (2003) desenvolvem os estudos de Integral Definida dialogando
com atividades do tipo Análise Marginal, Cálculo do Valor Médio de uma Função,
Funções Pares e Ímpares para, então, chegarem ao cálculo de uma região limitada
por duas curvas e, após uma sequência de exercícios, abordarem a Integral Definida
como Limite de uma soma.
Figura 32: Cálculo por estimativa de uma região limitada por uma curva
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 367)
Em exercício apresentado, Larson e Edwards (2003) pedem ao estudante que
utilizem a regra do Ponto Central com n = 4 para estimarem a área da região
99
limitada pela curva da função f(x).
Figura 33: Cálculo de uma região cuja área é representada por uma Integral Definida
Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 369)
100
4 O ENSINO DE CÁLCULO EM CURSOS DE ENGENHARIA NA PERSPECTIVA
DE PROFESSORES DE CÁLCULO E DISCIPLINAS ESPECÍFICAS DO CURSO
4.1 Metodologia adotada
A metodologia de pesquisa utilizada na segunda parte buscou, principalmente, seus
parâmetros na didática da Matemática sob influência francesa, segundo Pais (2001,
p. 13), que direcionou sua obra na análise e indagação do funcionamento específico
da formação dos conceitos matemáticos, com perguntas do tipo:
- É possível planejar uma atividade de ensino, envolvendo um único
conceito matemático?
- Quais são os elementos precedentes que entram na síntese cognitiva de
um novo conceito?
Para o desenvolvimento dessas e outras questões, Pais (2001) discute concepções
dialogando com Bachelard quanto ao conceito de “obstáculos epistemológicos”, com
Vergnaud, quanto à teoria dos “campos conceituais”, com as “situações didáticas” de
Brousseau, entre outras.
Também foi um outro francês Raymond Duval, em que os parâmetros básicos da
elaboração da problematização e determinação das categorias de análise dos
resultados da pesquisa tiveram fundamentação. Duval (2003) trata do
funcionamento cognitivo implicado na atividade matemática e na aprendizagem, em
termos de registros de representação semiótica.
Existem dois tipos de transformação de representações semióticas:
- Os tratamentos são transformações de representações dentro de um
mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no
mesmo sistema de escrita ou de representação dos números: resolver uma
equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo
critérios de conexidade e de simetria.
- As conversões são transformações de representações que consistem em
mudar de registros conversando os mesmos objetos denotados: por
exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação
física. (DUVAL, 2003, p. 16)
101
Principalmente as “conversões” foram as mais utilizadas, na pesquisa desenvolvida,
quando se verificam o tratamento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral
passando do tratamento aritmético para o geométrico, com a representação gráfica,
coerentemente com Duval (2003), que questiona
"Como o aluno pode aprender a reconhecer um objeto matemático por meio de múltiplas
representações que podem ser feitas em diferentes registros de representação?" (DUVAL,
2003, p. 23 )
Também procurou-se em Pierre Lévy (1993) algum referencial pelas novas maneiras
de pensar e conviver, resultantes das novas tecnologias, emergindo, segundo o
mesmo autor, no final do século XX um tipo de conhecimento “por simulação”. A tese
defendida por este autor refere-se a uma história da própria inteligência, ou as
“tecnologias da inteligência” ao analisar a forma de pensar que depende da
oralidade, da escrita e da informática.
Pretendeu-se observar o discurso do professor, livros-texto e os recursos utilizados
no ensino, nas aulas de Matemática de cursos de Engenharia e do professor de
disciplinas específicas tecnológicas do currículo.
Também com base em estudos de pesquisadores do processo ensino /
aprendizagem de Matemática Superior e Cálculo, evidenciando Caraça (2002) e
Courant e Robbins (2000), foram estabelecido parâmetros analíticos de investigação,
pois há um forte apelo na obra destes autores, conclamando os professores para
uma inovadora prática educativa; na mudança do processo didático, com novas
situações didáticas; privilegiando o enfoque do trabalho com os conceitos e registros
semióticos (DUVAL, 2003); na análise numérica na construção de tabelas e
procedimentos, com operações aritméticas, na interpretação gráfica, na análise do
comportamento das funções (Limite, Derivada e Integral) e no registro algébrico.
102
4.2 Metodologia científica
A Educação Matemática, juntamente com a Educação Tecnológica, dialoga com as
Ciências Sociais nas pesquisas desenvolvidas em situações conjuntas de suas
áreas de conhecimento.
O presente trabalho utiliza a metodologia qualitativa para responder as questões
relativas ao tratamento dado aos conceitos básicos de Cálculo Diferencial e Integral.
Ao trabalhar com a pesquisa qualitativa, cabe ao educador matemático perceber que,
acostumado a lidar em boa parte de sua vida com as Ciências Exatas, não há
somente algoritmo a ser seguido nesse percurso, pois, as pesquisas qualitativas
englobam a idéia do subjetivo, passível de expor sensações e opiniões (BICUDO;
GARNICA 2003).
A pesquisa qualitativa desenvolve-se em um ambiente natural, acontece próximo ao
fenômeno pesquisado, descreve situações e acontecimentos, valoriza o processo,
interpreta significados atribuídos às coisas e às vidas das pessoas, e segue métodos
indutivos dos pesquisadores envolvidos (LÜDKE, 1986).
Os métodos trabalhados no decorrer dessa pesquisa consistiram, especialmente, em
observar professores em sala de aula e, após a observação, foram feitas entrevistas
semiestruturada com esses mesmos docentes, para complementação de
informações. Também foi entrevistado um professor cujas aulas não foram
observadas.
A observação foi planejada a partir do foco da investigação, delimitado pelo objeto
de estudo. Segundo Lüdke (1986, p. 26), “observação possibilita um contato pessoal
e estreito do pesquisador com o fenômeno pesquisado”.
Dessa forma, a pesquisadora, utilizando-se de aguçada sensibilidade, poderia
perceber as idéias que estão subjacentes à visão de mundo dos sujeitos
103
pesquisados, e até mesmo neutralizar, a partir de comparações feitas em seus
registros, possíveis alterações no ambiente pesquisado, ocorridas em detrimento à
sua presença no local.
A observação foi o principal método. Paralelamente às observações, foram feitas
entrevistas semi-estruturadas com os professores de Matemática e os professores
da área tecnológica, a fim de verificar como são elaborados e aplicados os materiais
didáticos utilizados no tratamento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral, nos
cursos de Engenharia. As entrevistas foram um complemento da observação.
4.3 Métodos da pesquisa
4.3.1 Instrumento para coleta de dados
O método utilizado nesta investigação compreendeu a pesquisa bibliográfica, a qual
constitui-se num "estudo sistematizado desenvolvido com base em material
publicado em livros, revistas, jornais, redes eletrônicas, isto é, material acessível ao
público em geral [...], conforme pontua Vergara (2005, p. 48). Nesse sentido,
buscou-se informações em:
1. Análise dos Projetos Políticos Pedagógicos de três cursos: Engenharia de
Produção Civil, Engenharia de Computação e Engenharia Elétrica;
2. Análise do Plano de Ensino para a disciplina de Cálculo I;
3. Análise de livro texto de Cálculo Diferencial e Integral;
4. Observação de aulas de Cálculo I e aulas de disciplinas específicas dos cursos
analisados.
5. Entrevistas semi-estruturadas com professores das disciplinas observadas.
104
4.4 Objetos / Sujeitos
O objeto de estudo foi o tratamento dado aos conceitos de Limite, Derivada e
Integral pelos autores de livros texto, pelos docentes da disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral I e de disciplinas específicas de cursos de Engenharia, quanto
as 3 (três) abordagens dos conceitos em investigação: numérica, geométrica /
gráfica e algébrica.
Os sujeitos da pesquisa foram os professores de disciplina específica e os
professores de matemática, do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas
Gerais.
4.5 Cursos da instituição pesquisada
A instituição pesquisada foi o CEFET-MG, instituição superior, que nos últimos anos,
tem expandido sua atuação em cursos superiores de bacharelado, especialmente
em Engenharia de Produção Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica,
Engenharia de Computação, Engenharia de Automação Industrial, Engenharia
Ambiental, Engenharia de Controle de Automação, Engenharia de Materiais e
Engenharia Mecatrônica.
Anteriormente, o CEFET-MG ofereceu cursos de Engenharia de Operação, curso de
graduação curta, com três anos de duração, na década de 70, do século passado.
No final dessa mesma década, esses cursos foram extintos, surgindo os cursos de
Engenharia Industrial, com cinco anos de duração, com elevada carga horária de
disciplinas com teoria e prática e também disciplinas práticas, acrescida de um
Estágio Profissional Supervisionado, com duração mínima de 360 horas. Atualmente,
os cursos de Engenharia não mais trazem o adjetivo Industrial, e sofreram uma
reformulação curricular.
105
Foram estudados, nessa pesquisa, os documentos referentes aos cursos de
Engenharia Elétrica, Engenharia da Computação e Engenharia de Produção Civil.
4.5.1 Projetos Pedagógicos (PP)
a) Engenharia Elétrica
O Projeto Político Pedagógico do curso de Engenharia Elétrica do CEFET-MG, cuja
atualização data de novembro de 2008, objetiva formar profissionais com sólida base
conceitual nos conteúdos básicos, profissionalizantes e específicos do curso.
As disciplinas são divididas em dois blocos temáticos: as tecnológicas e as básicas.
As disciplinas tecnológicas abrangem conteúdos dos seguintes campos da
Engenharia Elétrica:
- Automação e Controle de Processos;
- Sistemas de Energia Elétrica;
- Qualidade, Conservação e Eficiência de Energia;
- Sistemas Eletrônicos;
- Telecomunicações;
- Modelagem Computacional.
Os campos acima citados, tendo em vista a especificidade de cada área, envolvem
conhecimentos de Física, Química e Matemática, Computação, e da área técnica,
como Circuitos Elétricos, Eletromagnetismo, entre outros.
Dentre os itens arrolados no campo científico e tecnológico, é enfatizado:
- O desenvolvimento de uma sólida base em Matemática, Física, Circuitos
Elétricos / Eletrônicos e Eletromagnetismo, além da capacidade de inter-
relacionar e construir conhecimento a partir dessa base;
- O desenvolvimento e aplicações dos conhecimentos matemáticos,
científicos, tecnológicos e instrumentais no campo profissional;
106
- A capacidade de identificar, formular e resolver problemas relacionados à
Engenharia, quantificando e avaliando a potencialidade técnica e econômica
de tais soluções.
- O desenvolvimento e aplicações de modelos na Engenharia. (CEFET-MG,
2008b)
E outras competências na área tecnológica.
A estrutura curricular está organizada em eixos de conteúdos e atividades, a partir
dos quais são desmembradas as disciplinas e as práticas pedagógicas que
integram o currículo, como ilustra o organograma abaixo, e que integra o
documento oficial do PP da Engenharia Elétrica:
Engenharia da Computação
Quadro 24: Organograma do PP da Engenharia Elétrica.
Fonte: Projeto Pedagógico do curso de Engenharia Elétrica do CEFET-MG (2008, p.20)
Os Eixos de Conteúdos e Atividades são descritos a partir dos conteúdos e seus
desdobramentos em disciplinas.
Eixo 1 – Matemática
Objetivos: formar sólida base em Matemática, visando construção de conhecimentos
posteriores, desenvolvendo no aluno a capacidade de equacionar e resolver
EIXO DE CONTEÚDOS E ATIVIDADES:
Relaciona os eixos de conteúdos / atividades constituintes do currículo, descrevendo
os conteúdos de cada eixo e respectivas cargas horárias.
DISCIPLINAS E ATIVIDADES:
Relaciona as disciplinas com ementas / CH integrantes de cada eixo.
PLANO DE ENSINO:
Relaciona o plano de ensino de cada disciplina
107
problemas, além de dar capacidade de estudos independentes.
Classificação pelos conteúdos da diretriz curricular: núcleo de conteúdo básico.
Conteúdos Obrigatórios
Carga
horária
(horas)
Carga
horária
(horas-aula)
Créditos
Cálculo vetorial; geometria analítica;
cônicas; matrizes; sistemas lineares;
funções reais: limites, continuidade,
derivadas; funções elementares; integrais
definidas, indefinidas e impróprias;
funções de várias variáveis: derivadas
parciais, diferenciais, integrais múltiplas;
quádricas; problemas de otimização;
coordenadas polares no plano e no
espaço; campos vetoriais; simetrias;
integrais curvilíneas e de superfície;
operadores diferenciais; teoremas
integrais; séries numéricas e de funções;
transformadas integrais; equações
diferenciais ordinárias e parciais; espaços
vetoriais; transformações lineares; valores
próprios; produto interno; ortogonalidade;
formas quadráticas; diagonalização.
375 450 30
Desdobramento em disciplinas
Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
Cálculo I
Cálculo II
Cálculo III
Cálculo IV
Álgebra Linear
75
75
75
50
50
50
90
90
90
60
60
60
6
6
6
4
4
4
Quadro 25: Classificação pelos conteúdos da diretriz curricular: núcleo de conteúdo básico
Fonte: CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS, 2008b, p. 27
Também propõe disciplinas optativas da área de Matemática, e, a partir de seus
conteúdos, apresenta os desdobramentos em disciplinas e suas ementas. São elas:
- Variáveis Complexas
- Métodos Matemáticos da Engenharia A
- Tópicos Especiais em Matemática I
- Tópicos Especiais em Matemática II
108
b) Engenharia de Computação
O Projeto Pedagógico (PP) criado pelo o Departamento de Computação, (DECOM),
para curso de Engenharia da Computação, publicado em dezembro de 2008, após
ser revisado, aponta para quatro dimensões básicas, que envolvem:
a concepção de conhecimento e sua forma de aplicação e validação
(dimensão epistemológica), a visão sobre o ser humano com o qual
relacionamos e que pretendemos formar (dimensão antropológica), os
valores que são construídos e reconstruídos no processo educacional
(dimensão axiológica) e os fins aos quais o processo educacional se propõe
(dimensão teleológica). (CEFET-MG, 2008a, p. 32)
O documento afirma que, para que esses princípios sejam consolidados na prática, é
preciso que o Projeto aponte meios e ações que viabilizem as aplicações dos
mesmos.
Ao referir-se à dimensão do conhecimento, o PP dialoga com a análise da realidade
contemporânea, diversificada e em constante modificação, o que torna a ideia de
conhecimento dinâmico e com significado.
Aprender é, neste sentido, um processo intrinsecamente ligado à vida; não
é algo estocável. Implica a possibilidade de reconstrução do conhecimento
pelo aluno, passa pela pesquisa como atitude diante do mundo, pelo
desenvolvimento da autonomia do aluno e envolve o conceito de formação
da cidadania. No processo de ensino / aprendizagem não é mais possível o
modelo no qual o professor transmite o conhecimento para o aluno. Esse
processo requer a interação do sujeito com a realidade e do professor com
o aluno, implica a capacidade de interpretação do real e a possibilidade do
conflito. Aprender é um processo ambíguo que deve conduzir ao diferente,
não é uma linha de mão única; em síntese, envolve o conceito de
complexidade. O professor tem o papel de instigar o aluno a formular e
resolver o problema possibilitando, desta forma, o desenvolvimento da
capacidade de pesquisa no aluno. (CEFET-MG, 2008a, p. 32)
Desse modo, o curso de graduação em Engenharia de Computação do CEFET-MG
foi concebido, planejado e estruturado para formar um profissional que, no campo
científico e tecnológico, seja capaz, dentre outras competências de:
Desenvolver uma sólida base em Matemática, Física, Ciência da
Computação, além da capacidade de inter-relacionar e construir
109
conhecimento a partir desta base;
Desenvolver e aplicar conhecimentos lógicos, matemáticos, científicos,
tecnológicos e instrumentais no campo profissional;
Utilizar a Matemática, a Física, a Ciência da Computação, conhecimentos
de tecnologias modernas no apoio à construção de produtos ou serviços -
em software e/ou hardware – seguros, confiáveis e de relevância à
sociedade. (CEFET-MG, 2008a, p. 32)
O modelo curricular proposto pelo PP, assim como no curso de Engenharia Elétrica,
estrutura-se em Eixos de Conteúdos e Atividades, e se apresenta no formato abaixo,
como descrito no documento oficial aqui relatado.
Quadro 26: Organograma do PP da Engenharia Elétrica.
Fonte: Projeto Pedagógico do curso de Engenharia de Computação do CEFET-MG (2008, p.48)
Há 690 horas-aula de conteúdos básicos de Matemática e Física, o que
corresponde, aproximadamente 16% do currículo pleno.
Observa-se no Quadro relacionado a seguir detalhes dos Eixos de Conteúdos e
Atividades propostos, e seus respectivos desdobramentos em disciplinas.
Eixos de Conteúdos e Atividades: desdobramento em disciplinas
EIXO DE CONTEÚDOS E ATIVIDADES:
relaciona o eixo de conteúdos e atividades constituinte do currículo
descrevendo os conteúdos de cada eixo e respectiva carga horária.
DISCIPLINAS E ATIVIDADES:
relaciona as disciplinas com as respectivas ementas e cargas horárias
integrantes de cada eixo de conteúdos e atividades.
PLANO DE ENSINO:
relaciona o plano de ensino de cada disciplina ou atividade a um
certo eixo de conteúdos e atividades.
110
Eixo 1: Matemática
Conteúdos Obrigatórios
C.H.
(horas-aula)
Espaços vetoriais, subespaços, bases, dimensão; transformações lineares e
representação matricial; autovalores e autovetores; produto interno; ortonormalização;
diagonalização; formas quadráticas; aplicações; funções reais: limites, continuidade,
gráficos; derivadas e diferenciais: conceito, cálculo e aplicações; máximos e mínimos;
concavidade; funções elementares: exponencial, logaritmo, trigonométricas e inversas;
integrais definidas: conceito, teorema fundamental e aplicações; integrais indefinidas:
conceito e métodos de integração; integrais impróprias; funções reais de várias variáveis:
limites, continuidade, gráficos, níveis; derivadas parciais: conceito, cálculo, e aplicações;
coordenadas polares cilíndricas e esféricas: elementos de área e volume; integrais duplas
e triplas em coordenadas cartesianas e polares: conceito, cálculo, mudanças de
coordenadas e aplicações; campos vetoriais; gradiente, divergência e rotacional; integrais
curvilíneas e de superfície; teoremas integrais: Green, Gauss e Stokes; equações
diferenciais ordinárias de primeira ordem: resolução e aplicações; equações diferenciais
lineares de ordem superior; sistemas de equações diferenciais; transformada de Laplace e
sua aplicação em equações diferenciais; Séries numéricas e de potências; séries de Taylor
e aplicações; séries de Fourier; transformada de Fourier; equações diferenciais parciais;
equações da onda, do calor e de Laplace;equações analíticas de retas, planos e cônicas;
vetores: operações e bases; equações vetoriais de retas e planos; equações paramétricas;
álgebra de matrizes e determinantes; autovalores; sistemas lineares: resolução e
escalonamento; coordenadas polares no plano; coordenadas cilíndricas e esféricas;
superfícies quádricas: equações reduzidas (canônicas).
450
Desdobramento em Disciplinas
Álgebra Linear 60
Cálculo I 90
Cálculo II 90
Cálculo III 60
Cálculo IV 60
Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 90
Conteúdos Optativos
Elementos de probabilidade: variáveis aleatórias discretas e contínuas; distribuições de
probabilidades; tratamento de dados; amostragem e distribuições amostrais; estimação;
teste de hipótese e intervalo de confiança; correlação e regressão; introdução às variáveis
complexas: números e funções complexas; derivabilidade; condições de Cauchy-Riemann;
funções complexas elementares; integrais complexas; teorema de Cauchy; independência
do caminho; séries de Taylor e de Laurent; resíduos; aplicações de variáveis complexas;
temas emergentes e/ou inovadores e/ou específicos na área de “Matemática” que não
estejam abrangidos nas disciplinas regulares do curso, obrigatórias, optativas ou eletivas,
em nível e/ou amplitude suficientes aos alunos.
120
Desdobramento em Disciplinas
Estatística 60
Variáveis Complexas 60
Tópicos Especiais em Matemática A definir
Quadro 27: Eixos de Conteúdos e Atividades: desdobramento em disciplinas
Fonte: CEFET-MG, 2008a
111
Especificamente, para a disciplina de Cálculo I, tem-se a proposta:
Carga Horária Créditos Natureza
Teoria Prática Total
90 – 90
6 Obrigatória
Pré-Requisitos Co-Requisitos
Quadro 28: Carga horária da disciplina de Cálculo I na Engenharia de Computação.
Fonte: Projeto Pedagógico do curso de Engenharia da Computação do CEFET-MG (2008, p.102)
Objetivo: As disciplinas da área de matemática, vistas em seu conjunto, visam
propiciar ao aluno uma base teórico-conceitual sólida em matemática; estimular e
desenvolver o raciocínio abstrato e lógico-matemático do aluno; conhecer as funções
elementares sobre os reais e o cálculo diferencial e integral de funções reais de uma
variável.
Ementa: Funções reais: limites, continuidade, gráficos; derivadas e diferenciais:
conceito, cálculo e aplicações; máximos e mínimos; concavidade; funções
elementares: exponencial, logaritmo, trigonométricas e inversas; integrais definidas:
conceito, teorema fundamental e aplicações; integrais indefinidas: conceito e
métodos de integração; integrais impróprias.
Área De Formação DCN: Básica.
Eixo De Conteúdos E Atividades: Matemática
REFERÊNCIAS:
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3. ed. Harbra, 1994. v. 1.
PENNEY, E.D.; EDWARDS, Jr. C.H. Cálculo com geometria analítica. 4. ed.
Prentice Hall do Brasil, 1999. v. 1.
112
SIMMONS, G.F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
v. 1.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Makron
Books, 1994. v. 1.
A bibliografia indicada será complementada e mantida atualizada através da
utilização de artigos científicos de periódicos e anais de congressos, bem como de
web sites da Internet.
c) Engenharia de Produção Civil
O PPP atual do curso de Engenharia de Produção Civil (EPC) data do ano de 2003,
e está hoje em processo de reestruturação por uma equipe designada.
As premissas que norteiam o currículo proposto, além de atender às normas
estabelecidas pela legislação educacional vigente, apontam para “dar uma sólida
formação básica ao Engenheiro de Produção Civil com o fortalecimento do núcleo
básico” (CEFET-MG, 2003, p. 84).
Há um núcleo central constituído de conteúdos básicos imprescindíveis para a
formação do graduando em Engenharia de Produção Civil, que apresenta suas
características, e, de maneira geral, pode-se citar: Matemática, Probabilidade e
Estatística, Física, Química, Computação, Filosofia, Ciências Humanas, Ciências
Sociais Aplicadas, Ciências Ambientais, Língua Portuguesa, Línguas Estrangeiras
Modernas, Expressão Gráfica e Artística.
Os conteúdos do núcleo básico profissional essencial, necessários para a formação
do Engenheiro de Produção Civil, completa-se, dentre outros, com os estudos de:
Ciência dos Materiais, Mecânica, Termodinâmica aplicada, Resistência de Materiais.
113
O curso apresenta, para a disciplina de Cálculo I, 90 horas / aula, em um semestre.
4.5.2 Plano de ensino para a disciplina de cálculo I
Há, no CEFET-MG, um departamento que é responsável por cuidar da parte básica
dos currículos, denominado Departamento de Física e Matemática (DFM). É também
de sua responsabilidade organizar e alocar os professores dessas disciplinas para o
trabalho junto aos cursos de Engenharia. Dentro desse departamento é elaborado o
Plano de Ensino de Cálculo I, único para os cursos de Engenharias, que traz em
seus objetivos, referentes ao tratamento conceitual, dentre outros:
- Utilizar o conceito de função, limite e continuidade na análise de situações
práticas;
- Perceber a relação do conceito de limite com os conceitos de derivada e
de integral definida;
- Reconhecer derivadas como taxas de variação, identificando grandezas
que são definidas a partir do conceito de derivada;
- Compreender os conceitos de integral definida e de integral indefinida,
bem como sua relação, por meio do Teorema Fundamental do Cálculo;
- Conceituar e desenvolver aplicações práticas de derivadas e integrais.
- Ter consciência da importância do Cálculo Diferencial e Integral como
base para a continuidade de seus estudos.
- Entender o Cálculo como um estudo das mudanças, dos movimentos,
investigando os efeitos das pequenas mudanças (Cálculo Diferencial) e os
efeitos cumulativos das pequenas mudanças (Cálculo Integral).
- Refletir sobre o método pessoal de aquisição de conhecimento. (PLANO
DE ENSINO PARA A DISCIPLINA DE CÁLCULO I - DIRETORIA DE
GRADUAÇÃO- 2007).
Percebe-se que os cursos de Engenharia privilegiam explicitamente o trabalho dos
conceitos para os conteúdos a serem estudados, quando em seus objetivos
reconhecem sua importância, apesar desse documento não detalhar o trabalho a ser
desenvolvido com as interpretações geométricas, aritméticas e algébricas.
O Plano de Ensino para a disciplina de Cálculo I organiza-se a partir de seis
unidades. A unidade 1 propõe uma introdução ao estudo do Cálculo e retoma os
estudos de funções, com carga horária prevista para 12 horas-aula.
A unidade 2 traz os estudos de Limite e Continuidade, e enumera os seguintes
tópicos:
114
- Conceitos intuitivos e definições formais de limites
- Propriedades dos limites
- O teorema do confronto
- O limite trigonométrico básico
- Limites laterais
- Limites envolvendo o infinito
- Continuidade de funções
(DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA PLANO DE ENSINO -
CÁLCULO I - DFM, 2007)
Para esse contexto, o Plano de Ensino prevê 10 horas-aula para o trabalho a ser
desenvolvido com os conteúdos propostos, dentro dos quais o professor deverá
trabalhar os conceitos previstos e necessários, para um melhor entendimento desse
tópico do programa.
Observa-se que o Plano de Ensino, ora em questão, propõe explicitamente o
trabalho com o conceito em algumas unidades, mas, o mesmo não entra em detalhe
quanto a interpretação aritmética, geométrica e algébrica passíveis de serem
vivenciadas pelos educandos, nas unidades previstas.
A unidade 3 apresenta os estudos de Derivada e suas interpretações, e para seu
estudo o documento delimita 14 horas-aula.
- A derivada num ponto: definição e interpretações
- A derivada como função
- Propriedades das derivadas - regras de derivação
- Derivada de função composta
- Derivada de função implícita
- Derivadas das funções trigonométricas diretas
- Derivadas das funções trigonométricas inversas
- Derivadas das funções exponenciais
- Derivadas das funções logarítmicas
- Derivadas sucessivas (DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
PLANO DE ENSINO - CÁLCULO I - DFM, 2007)
Os estudos de Integrais Definidas constituem a unidade 6, cuja estrutura proposta
inicia-se com a apresentação da definição e propriedades da mesma. O Plano de
Ensino não faz menção alguma para uma abordagem dos conceitos intrínsecos a
este tópico do programa.
- Definição
- Propriedades
- O Teorema Fundamental do Cálculo
115
- Áreas de regiões planas
- Volume pelo método das seções transversas
- Volume pelo método das cascas cilíndricas
- Integrais impróprias (DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
PLANO DE ENSINO - CÁLCULO I - DFM, 2007)
A disciplina de Cálculo I está sob a responsabilidade dos professores de Matemática
e alguns com formação em Física. Dentro do currículo proposto é ministrada no
primeiro período. É na disciplina de Cálculo I que os conceitos de Limite, Derivada e
Integral são tratados, e, nessa pesquisa, constituem objetos de estudos.
4.6 Observação de aula
A Matemática é uma disciplina científica, trabalhada nos cursos de área tecnológica.
Investigar, acompanhar e entender as metodologias e estratégias utilizadas pelos
professores, segundo Tardif (2005) na maneira de ler e interpretar a classe, dos
cursos tecnológicos, bem como nas abordagens conceituais, operacionalizações
(utilização dos algoritmos) e aplicações dos conteúdos estudados, em situações que
oportunizem os educandos a entender o “querer dizer” do professor, é fundamental
para o entendimento dos processos cognitivos.
Perceber como esse profissional faz a transposição do conhecimento Matemático
(científico) para o saber tecnológico, nos cursos de Engenharia é de grande
relevância para os estudos da Educação Matemática, que se insere nos estudos da
Educação Tecnológica.
Tardif (2005) afirma que há uma forte relação entre os saberes escolares e os
saberes experienciais dos professores, no trabalho e no modo como é vivenciado e
recebe significado por ele e para ele.
Foram acompanhados quatro professores; sendo duas professoras de Matemática,
na disciplina de Cálculo I, ministrada para estudantes de Engenharia, e dois
professores de disciplinas específicas, também dos cursos de Engenharia.
116
4.6.1 Aulas de cálculo I
Foram observadas 40 horas/aula de Cálculo I, nos cursos de Engenharia de
Computação e Engenharia de Produção Civil.
A disciplina de Cálculo I pertence ao Eixo I – Matemática, descrito no Projeto Político
Pedagógico nos cursos investigados apresenta conceitos fundantes propostos no
Plano de Ensino, único para todas as Engenharias, e formação do futuro Engenheiro.
É pré-requisito para as disciplinas de Cálculo II, Cálculo III e Cálculo IV e também é
alicerce para o desenvolvimento de conceitos em estudos futuros, nas disciplinas de
Física, nas específicas.
As professoras pesquisadas possuem bacharelado e mestrado em Matemática. Uma
delas terminou no final de 2009 a formação docente oferecida pelo CEFET-MG, no
Programa Especial de Formação de Docentes. A mesma afirma, com muita
segurança, que percebe diferença em seu fazer pedagógico após o término do curso.
As professoras, aqui nomeadas como professora A e professora B, elaboraram um
Cronograma, aula por aula, para o semestre, que previa o dia para a abordagem de
cada um dos conteúdos propostos para a disciplina, os trabalhos a serem
desenvolvidos pelos alunos e também as datas das avaliações. A distribuição das
aulas foi, segundo horário apresentado pela instituição, constituída de três encontros
semanais, cada um com duração de duas aulas de 50 minutos.
De posse do cronograma, a pesquisadora observou as datas que continham os
estudos dos conceitos de Limite, Derivada e Integral, isto é, as questões básicas da
pesquisa aqui relatada, para organizar a observação das aulas.
Optou-se por fazer o relato das observações das aulas de Cálculo I, a partir do
diálogo com o Plano de Ensino proposto pelo DFM, em suas respectivas unidades.
117
4.6.2 Estudos dos conceitos de Limite de uma função
O Plano de Ensino de Cálculo I contém na Unidade 2, o conteúdo de Limite e
Continuidade, com carga horária de 10 horas-aula.
Ambas as professoras iniciaram os estudos de conceito de Limite privilegiando a
intuição. Foi utilizada a função posição de um movimento de um corpo, nos estudos
de Física, do tipo
2
00
2
)( t
a
tVstS ++=
com a sua interpretação gráfica, num tempo
determinado.
Também foi utilizado o conceito de velocidade média com a construção de uma
tabela com valores, num dado intervalo, isto é, taxa média de variação de uma
função. Foi realizado o tratamento algébrico e numérico, como é mostrado a seguir.
Uma pedra se desloca/desprende de um penhasco. Qual a velocidade média entre
os instantes t = 1s e t = 2s? Qual a velocidade no instante t = 1s?
t
S
V
m
∆
∆
=
;
2
2
1
)( tgtS =
ou
2
.8,9.
2
1
tS
t
=
ou
2
9,4)( ttS =
12
)1()2(
−
−
=
ss
V
m
sm /7,14
1
9,46,19
=
−
=
(2)
Considerou-se a velocidade média no intervalo [ 1, 1+h ] , com h pequeno.
h
shs
V
m
)1()1(
−
+
=
118
1) Tabela com tratamento numérico.
H Velocidade
1 14,7
0,1
29,10
1,0
)1()1,1(
=
−
SS
0,01
849,9
01,0
)1()01,1(
=
−
SS
0,001
8049,9
001,0
)1()001,1(
=
−
SS
2) Tratamento algébrico
h
h
h
shs
22
1.9,4)1(9,4)1()1( −+
=
−+
(3)
)2(9,4
)2(9,49,49,48,99,4
2
h
h
hh
h
hh
+=
+
=
−++
Substituindo h = 0
⇒
4,9 . 2 = 9,8
No tempo
0
t
, consideramos o intervalo [
htt
+
00
,
]
h
tht
h
tshts
2
0
2
000
9,4)(9,4)()( −+
=
−+
(4)
h
thhtt
2
0
2
0
2
0
9,49,48,99,4 −+−
)2(9,4
).2(9,4
0
0
ht
h
hth
+=
+
119
Substituindo h= 0, temos:
smttV
i
/8,9)(
0
=
Taxa média de Variação – Definição algébrica e Interpretação geométrica.
Dada a função y = f(x); a taxa média de variação de y em relação a x, no intervalo
],[
21
xx
é
12
12
)()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
(5)
x
Partiram também da interpretação geométrica pelo cálculo do coeficiente angular de
uma reta secante, determinando a razão dos acréscimos da função e do acréscimo
da variável; isto é, a razão incremental. Mostraram, então, que a velocidade média,
quando o acréscimo do tempo tende a zero, se tem o coeficiente angular de uma
reta tangente, que é o valor da derivada no ponto.
Também se utilizou a função
2
xy =
fazendo o mesmo tratamento da razão
incremental e a elaboração de uma tabela de valores.
Para a função
1
1
2
−
−
=
x
x
y
foi feito um tratamento algébrico e gráfico, sendo estudado
o ponto x = 1, no qual a função não é definida, mas tem Limite, como é mostrado no
gráfico.
Taxa média de variação é o
coeficiente angular da reta secante ao
gráfico de f(x) que liga os pontos
))(,())(,(
2211
xfxexfx
Reta tangente
Reta secante
y = f(x)
x
1
x
2
120
(6)
y
x
1
1
)(
2
−
−
==
x
x
yxf
?)(
=
xf
{
}
1
−
ℜ
=
D
x se aproxima de 1
1,1
1
)1()1(
≠+=
−
−+
xx
x
xx
Logo após essa introdução foi apresentada a notação de Limite de uma função,
como a seguir:
(7)
( )
2)1(lim
)1
)1()1(
lim
1
1
lim
11
2
1
=+=
−
−+
=
−
−
→→
→
x
x
xx
x
x
xx
x
Após essa introdução conceitual foi descrito a definição formal de limite de uma
função com
ε
e
δ
, usando o valor absoluto com dois a três exemplos.
Definição formal de Limite - apresentada no livro adotado nos cursos pesquisados da
instituição (THOMAS, 2002, p. 90).
“Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x
0
, exceto talvez em x
0
.
Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a x
0
e escrevemos
1
-1
2
o
1
121
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
(8)
se para cada número
0
〉
ε
existir um número correspondente
0
〉
δ
tal que, para
todos os valores de x, se tem:
(9)
εδ
〈−⇒〈−〈 Lxfxx )(0
0
”.
Ao apresentar a definição formal, uma das professoras foi interpelada por um aluno
com a seguinte pergunta: “Professora, é possível você construir o gráfico dessa
função para ver se entendo melhor?”. E foi prontamente atendido.
Percebe-se aqui a importância e validade do tratamento geométrico nos estudos
desenvolvidos, para um melhor entendimento dos conceitos trabalhados. Os
próprios educandos se manifestam quando, algumas vezes, falta a representação
geométrica, pois, o mesmo é um facilitador para uma melhor visualização e
acompanhamento do processo.
Como outra etapa do ensino de Limite, foram introduzidas as propriedades de Limite
das operações de funções, regras ou leis para calcular Limite, como por exemplo:
Se L, M, C e K são números reais e
Lxf
cx
=
→
)(lim
e
Mxg
cx
=
→
)(lim
, temos:
(10)
1. Regra da soma
[
]
)(lim)(lim)()(lim xgxfMLxgxf
cxcxcx →→→
+⇒+=+
2. Regra da diferença
(11)
[
]
)(lim)(lim)()(lim xgxfMLxgxf
cxcxcx →→→
−⇒−=−
122
E, a partir daí, fizeram vários exemplos com os alunos, os quais prevaleciam os
estudos algébricos.
Uma nova interpretação conceitual foi utilizada nos estudos de Limites Laterais de
um ponto. Para um melhor entendimento foram utilizados gráficos e o tratamento
algébrico, como o que se segue.
(12)
Seja a função
x
x
xf =)(
)(lim)(lim,)(lim
0
00
xfxfxf
x
xx
→
→→
⇒
+−
x
x
x
x
xf
xxx 111
limlim)(lim
→→→
==
11lim
1
=
→x
1lim
1
−=
−
→
x
x
x
〈−
≥
=
0,
0,
xx
xx
x
Gráfico
⇒
=
x
x
〈−
〉
0,
0,
x
x
x
x
x
x
⇒
〈−
〉
=
0,1
0,1
)(
x
x
xf
y
1
x
- 1
Foi provado que existem os Limites laterais, mas como são diferentes não existe
limite quando x
→
0.
Outro tratamento conceitual foi a discussão de Limite envolvendo infinito. Foi
o
〉 0 〈
o
o
( )
0
123
utilizada a função
x
y
1
=
quando x tende a zero por valores menores do que zero ( à
esquerda), por valores maiores do que zero ( à direita).
Também no estudo de Limites infinitos, as definições foram desenvolvidas com rigor
matemático, utilizando
ε
e
δ
para uma tendência da função ao infinito, quando x
tende para um valor finito, ou, quando x tende ao infinito e leva a função a tender a
um valor finito.
Alguns exercícios foram resolvidos algebricamente e, uma das professoras fez a
seguinte afirmação: “Quando, lá na frente, nós formos traçar gráficos, facilitará
muito...”, sem perceber que havia uma grande demanda dos alunos para que a
construção dos mesmos acontecesse durante todo o processo, pois se tornou claro
que, “para muitos, a visualização gráfica era um facilitador” para o entendimento dos
conceitos trabalhados.
As professoras utilizaram, para uma melhor visualização da interpretação geométrica,
o traçado de assíntotas horizontais, verticais e oblíquas para um melhor
entendimento do conceito de Limite, com o traçado do gráfico.
Um dos gráficos apresentados pelas professoras foi da função
x
ey = .
(13)
∞=
∞→
x
x
elim
0lim =
∞−→
x
x
e
124
Como se pode verificar, os professores usaram as interpretações geométricas,
algébricas e, em alguns momentos, a interpretação numérica para os estudos dos
conceitos pretendidos. Uma das professoras sempre dialogava com os estudantes
utilizando a expressão: “lembra dessa ideia?!... está clara essa ideia?!”, para
estabelecer um elo entre as várias representações e interpretações ali desenvolvidas.
4.6.3 Os estudos do conceito de Derivada de uma função
O Plano de Ensino de Cálculo I contém, na Unidade 3, o conteúdo de Derivadas,
com 14 horas-aula prevista para os estudos da mesma e, a Unidade 4, para os
estudos das aplicações das Derivadas, com previsão de 22 horas-aula.
O conceito de Derivada foi introduzido pelas professoras A e B, usando-se o
tratamento gráfico paralelamente ao algébrico, com análise dos acréscimos para
função e para variável independente, com a mesma abordagem do conceito de
Limite, e também foi dada a definição formal de continuidade.
Se f é contínua no ponto b, então
)()(lim bfxf
bx
=
→
Em seguida, a professora A resolveu com os alunos dois exercícios.
Logo após, construiu o gráfico:
125
(14)
y
A professora usou como motivação a interpretação geométrica da Derivada como
coeficiente angular da reta tangente, para o início dos estudos sobre Derivada,
(15)
isto é,
)('lim
0
0
xf
x
y
xx
=
∆
∆
→
Desde que o limite exista, tal número é chamado de Derivada de f e denotado por
)('
0
xf
.
Logo:
“Se P se desloca na direção de Q, a reta secante PQ tende à reta tangente ao ponto
P, e o valor do coeficiente angular da reta secante tende ao valor do coeficiente
angular da reta tangente". (professora B)
0
x
)(
0
hx +
h
xfhxf
m
)()(
00
sec
=
)(
0
hxf +
)(
0
xf
)(
xfy =
x
y
m
∆
∆
=
sec
126
y
x
0
x
(
hx +
0
)
Em seguida, foram introduzidas as várias notações de Derivada.
Numa outra etapa, introduziu-se a existência da Derivada, trabalhando com as
funções contínuas, e mostrou-se que nem todas as funções contínuas possuem
Derivada, isto acompanhado do tratamento algébrico e geométrico.
E foi apresentada a questão:
Todas as funções são deriváveis nos pontos de continuidade?
Não.
A proposição foi ilustrada com uma função modular e, utilizando-se a interpretação
gráfica e calculado a Derivada, usando Limite no ponto zero, como se segue:
Q
PQ é secante à curva
P
127
Interpretação gráfica:
(16)
xxf
=)(
(17)
h
h
h
fhf
fx
hh 00
lim
)0()(
lim)0('0
→→
=
−
=
⇒
= não existe, como tinha
mostrado antes.
Finalizando com vários exercícios essa etapa conceitual, foram introduzidas as
regras de derivação.
Uma importante aplicação de Derivada foi dada para o cálculo de alguns Limites,
com apresentação da regra de L’Hôpital.
As duas professoras não utilizaram tabelas numéricas para os valores da variável
independente e da função, o que talvez oportunizasse ao educando um melhor
entendimento do conceito de Derivada como limite da razão incremental.
Já comparando as aulas de Limite e Derivada, do ponto de vista conceitual, pode-se
constatar que houve interpretações, a partir de análises feitas com as construções
de gráficos e também com os estudos na álgebra. Faltou porém a interpretação
numérica, que poderia ter sido feita, por exemplo, com uma atividade investigativa
junto aos educandos, para comparar o comportamento de
x
∆
e
y
∆
, o que ajudaria a
0, ≥= xxy
0〈
−
=
x
x
y
y
x
128
entender e acompanhar melhor o desenvolvimento do processo e o consequente
entendimento conceitual. Os livros analisados apresentam este tratamento numérico.
4.6.4 Os estudos do conceito de Integral de uma Função
O Plano de Ensino de Cálculo I contém na Unidade 5, o conteúdo de Integrais
Indefinidas, com 14 horas-aula prevista para os estudos da mesma e, a Unidade 6,
para os estudos das Integrais Definidas, com previsão de 18 horas-aula de trabalho.
Enquanto o Plano de Ensino propõe o tratamento dos conceitos para os estudos de
Limites e Derivadas, antes do desenvolvimento das definições dos mesmos, para o
estudo de Integral, isso não ocorre.
O cronograma de ambas as professoras prevê a introdução de Integral pela
definição da primitiva, ou anti-derivada, ou Integral indefinida. O estudos desse
conceito foi apenas algébrico.
Ao introduzir o conceito de Integral definida, as professoras utilizaram a
interpretação gráfica. Uma delas apresentou no Power point o problema:
Como encontrar a área de uma região R acima do intervalo [ 0,1] do eixo x e abaixo
da curva
2
1 xy −=
, no primeiro quadrante. Esse exercício é apresentado no livro do
Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002), capítulo 5.
129
Tabela
Nº subintervalo
Soma
Inferior
Regra
Ponto médio
Soma
Superior
2 0,375 0,6875 0,875
4 0,53125 0,671875 0,78125
16 0,634765625 0,6669921875 0,697265625
A professora A ressalta, durante a aula, a importância das construções de gráficos, e
afirma que irá cobrar também nas provas suplementares. Logo após, a professora
desenvolve o cálculo com a somatória, como se segue:
Por excesso
Por falta
130
(18)
∑
=
=
∆=∆=
1
1
)()(
k
kk
n
k
p
xxkfxcfZS
K
nn
k
S
n
k
p
=
−=
∑
=
1
1
1
2
⇒
n
n
k
S
n
k
p
1
1
1
2
2
∑
=
−=
⇒
n
n
kn
S
n
k
p
1
1
2
22
∑
=
−
=
( )
∑
=
⇒−=
n
k
p
kn
n
S
1
22
3
1
⇒
−=
∑ ∑
= =
n
k
n
k
p
kn
n
S
1 1
22
3
1
1
(
)
++
−−=
6
32
1
23
2
3
nnn
nn
n
S
p
3
23
6
34
n
nnn
S
p
−−
=
As professoras utilizam-se dos três tratamentos: geométrico, aritmético e algébrico
para os estudos do conceito pretendido, nos registros de representação,
DUVAL(2003).
Percebe-se que, ao longo do processo, possibilidades se abrem para o uso da
tecnologia, seja uma calculadora ou uma atividade investigativa, a partir do uso de
um software; mas o mesmo não acontece.
y
x
n
1
n
2
n
k 1−
1
0
Fórmula do quadrado
∑
=
++
=
n
k
nnn
k
1
2
6
)12()1(
131
4.6.5 Aulas de disciplinas específicas
Foram acompanhadas 18 horas-aula de disciplinas específicas na formação do
Engenheiro, no trabalho de dois professores, aqui nomeados como professore C e
professor D, do curso de Engenharia Elétrica. A distribuição das aulas foi, segundo
horário apresentado pela instituição, constituída de dois encontros semanais, cada
um com duração de duas aulas de 50 minutos.
A partir da análise da matriz curricular buscou-se as disciplinas científicas, de acordo
com pesquisa de Laudares (2004) no livro Disciplinas Matemáticas em Cursos
Superiores, organizado por Cury (2004).
Ambos os professores, C e D, utilizam intensivamente a Matemática na
apresentação e discussão dos conceitos tecnológicos, seja de Transferência de
Calor, seja de Eletromagnetismo.
A prevalência é para o Cálculo Diferencial, com bastante ênfase, chegando às
Equações Diferenciais. Os conceitos de acréscimos ou incrementos são fortemente
utilizados e interpretados, sem o que não se teria o entendimento do conceito
tecnológico, ou seja, conceitos ligados à formação do futuro engenheiro.
É interessante notar que, para a introdução do conceito, o professor C utiliza alguns
gráficos (esboços de componentes do fenômeno em estudo) para se chegar aos
conceitos estudados, como no exemplo a seguir:
132
Equipamento Eletrônico de Potência
(19)
Ar
." consq
C
∀
Det
⇒
T wP
eS
30=⇒
⇒
=
80,0
ε
esse valor é fixo, depende do material.
Hipóteses: 1) Regime Permanente.
2) Toda a Potência é dissipada pelo dissipador.
3)
S
T é uniforme.
As metodologias de aula dos professores C e D eram diferenciadas. Um dos
professores desenvolvia os cálculos com maior detalhe.
O professor D utilizava, em grande parte das aulas, apresentações no power point,
com todo o conteúdo desenvolvido, o que poderia facilitar então uma interpretação
mais detalhada dos conceitos tecnológicos e também explorar um pouco mais o
tempo da aula, uma vez que todos os registros eram enviados virtualmente para os
alunos. A utilização desse recurso possibilitaria uma interação maior com os
educandos, interpretações mais detalhadas dos fenômenos físicos e também da
parte Matemática.
q” rad
P
e
= 20 W
Sorvedouro
(dissipador)
CT
º27
=
∞
CT
S
º42
=
133
O professor C desenvolvia os cálculos no quadro durante as aulas, nas resoluções
de problemas propostos, além das interpretações.Várias ilustrações eram utilizadas
mostrando, ora vetores, ora elementos de integração, quando se fazia uma integral
dupla ou tripla.
Os conceitos de Matemática utilizados foram da Matemática Superior, tais como,
gradiente, divergente, rotacional, equações diferenciais, integrais duplas e triplas,
mas com a prevalência de equações diferenciais.
É possível constatar o uso intensivo do Cálculo Diferencial a partir das anotações
feitas durante as observações das aulas. É apresentada a seguir algumas anotações
das aulas, acompanhadas pela pesquisadora:
134
Figura 34: Registro das aulas de disciplinas específicas
Fonte: Dados da pesquisa
135
Figura 35: Registro das aulas de disciplinas específicas
Fonte: Dados da pesquisa
Frente aos registros escaneados, é possível concluir que há uma utilização da
álgebra com referência aos esquemas traçados, poucos gráficos foram construídos e
uma completa ausência de tabelas numéricas.
136
Figura 36: Registro das aulas de disciplinas específicas
Fonte: Dados da pesquisa
137
Figura 37: Registro das aulas de disciplinas específicas
Fonte: Dados da pesquisa
138
Figura 38: Registro das aulas de disciplinas específicas
Fonte: Dados da pesquisa
Observa-se que o professor prepara a montagem dos Limites de integração por meio
da interpretação gráfica. Em muitos momentos, o professor apresentava os cálculos,
como mostrado no texto, mas há pouco diálogo com os educandos, o que
favoreceria uma maior interpretação e a consequente aprendizagem.
139
4.7 Entrevistas
As entrevistas foram semi-estruturadas e são complementos da observação das
aulas, para conhecimento do planejamento da aula ou das atividades desenvolvidas
quanto ao livro texto, a utilização de materiais didáticos em geral, como software de
ensino, entre outras técnicas.
Os professores, sujeitos entrevistados, foram os mesmos das aulas observadas, e
também um terceiro professor de disciplina específica que se prontificou a conceder
a entrevista para a pesquisadora e que não foi acompanhado em suas aulas.
4.7.1 Professores de Cálculo I
a) Reestruturação curricular / Plano de Ensino
Durante o processo de reestruturação curricular dos cursos de Engenharia, ocorrido
no CEFET-MG, foi trazido ao grupo de educadores a necessidade de enxugar ao
máximo os conteúdos da Matemática. Os professores do DFM participaram das
discussões e conseguiram manter o eixo de conteúdos matemáticos com suas
estruturas básicas, pois esses conceitos estruturam o ensino de Cálculo e
fundamentam outras disciplinas, como as específicas e também a Física.
Segundo a professora A:
O programa previsto é muito extenso. Fico incomodada em ensinar para o
aluno, por exemplo,
dtt
∫
3
sec
, que volta nela mesma, simplesmente com
o argumento que é importante para desenvolver o raciocínio...assim, é
preferível jogar xadrez. Não precisa de Matemática/Cálculo para
desenvolver o raciocínio.
Como o conteúdo é muito extenso (vários alunos falaram isso na avaliação,
talvez devesse focar mais em conceitos mais importantes para o futuro do
curso. Não se deve “riscar” coisas, mas talvez não aprofundar o tanto que
se aprofunda sem que os alunos tenham base. Poderia estar “gastando”
140
mais tempo fixando o conteúdo, dando exemplos mais simples, que eles
entenderiam melhor, do que fazer exercícios complexos, super elaborados,
que não fica [...]
Já a professora B defende a importância do desenvolvimento do raciocínio lógico a
partir dos estudos de Cálculo
Para o Engenheiro é fundamental saber O QUE É a Integral, O QUE É a
Derivada. Não propriamente a conta.
Depende da ênfase que é dada. Não sei se é por aí, ou pensando no geral.
O pensamento lógico que está “por trás”. Você montar um problema, você
tirar os dados de um problema. Muito disso a gente vê com aplicação no
Cálculo, aplicação nas Engenharias. Retirar um dado de um problema para
resolver aquilo. Não é simplesmente calcular uma derivada, calcular uma
integral.
[...]
O raciocínio lógico que está por trás do Cálculo, para a Engenharia, é
fundamental, nesse sentido.
Você é um antes do Cálculo e um depois do Cálculo.
As professoras relataram que a Matemática nos cursos de Engenharia compõe a
formação básica, assim como a Física.
b) Uso da Tecnologia
Para o uso das tecnologias, as professoras mostraram-se pouco a vontade com as
mesmas. A professora B afirma ter indicado um site com exercícios e suas
respectivas respostas, e também desenhos; mas os alunos não se mostraram
interessados. “Sequer olharam”.
A professora que fez o curso de formação de professores, licenciatura, oferecido
pelo CEFET, afirmou que, a partir de então, começou a “treinar” mais o uso do data
show,
fiz uma demonstração do Teorema de Pitágoras, movendo [...]. Tentei fazer
apresentações com cálculo de área, que é visual. Método de integração não
tem nada que dê para fazer desenho. Gráfico eu poderia ter levado. Na
parte final, cálculo com volume, girando...mas alguns alunos falaram mal.
Que não gostaram de aula com isso, que dorme, não conseguem
concentrar.
141
c) Livro Didático
Em relação ao livro didático adotado, Thomas, Finney, Weir e Giordano, como já foi
tratado no capítulo II, as professoras desenvolveram um trabalho dialogado com o
mesmo durante as suas aulas. Exploraram os exercícios, apontando alguns para
serem feitos extra-classe. Elas apontam os desenhos apresentados como um fator
positivo e comentam que o livro apresenta um tratamento interessante para a
Engenharia.
Mas, segundo a professora A, “algumas coisas ele coloca muito junto. Métodos de
integração deveria dividir um pouco mais”.
Para as aplicações, a professora A afirma que são pobres.
No Cálculo I as aplicações são mais pobres. Derivada
→
velocidade
(posição/tempo), velocidade instantânea. Há uma pequena relação com a
Física. Problemas de otimização – é só aplicação: Dado uma chapa de
metal, corte...monte uma caixa. Qual a caixa de volume máximo?
Não é um problema aplicado ao curso dele. É um problema aplicado. Ele
pode até usar mesmo, se precisar.
d) Conceitos x Cálculos Operacionais
Para a professora A o trabalho com os conceitos é mais importante. Ela dedica um
tempo maior para as representações gráficas, para os estudos de Limite, e um
tempo menor para a demonstração formal. Desenvolve análise nos estudos gráficos
passo a passo. Para o Teorema do valor médio diz: "Oh! Lembra daquele
colorário..??!!
A teoria está ali...não vou cobrar demonstração...mas olha aqui, o que é isso?
Vai lá, demonstra e usa [...]".
Já a professora B afirma buscar um meio termo.
Coloco questão teórica em prova, questão de cálculo mesmo. É importante,
principalmente por ser em Engenharia, que eles façam um pouco de Cálculo,
que eles tenham um pouco do manuseio do Cálculo em si. Eu acho que eu
poderia / deveria cobrar mais o conceitual do que os exercícios mesmos, o
operacional. Só que os alunos, a forma que se estuda Matemática desde o
começo, é mais operacional do que conceitual.
142
Cálculo já é complicado. Então se você dá ênfase demais só pensando no
conceito, aí a reprovação vai para 80%.
Nas representações gráficas, a professora B afirma ser importante, para que os
estudantes percebam “o que aquilo está representando”, pois irá facilitar a entender
os resultados, a luz dos teoremas estudados.
Observo que é onde os alunos tem mais dificuldades. É o entendimento
geométrico. Quando você vai pensar em volume. Dado uma região, rodar o
sólido de rotação para calcular o volume, para eles enxergarem,
descobrirem que método vai usar, e vê qual vai ser a cara do sólido que se
vai obter.
É falta de entendimento geométrico. A geometria é bem deixada de lado.
Quando você vai falar de desenho de figura, de área, de gráficos, os alunos
pedem para pular essa parte.
Na introdução do cálculo de Limite, a professora A faz a introdução graficamente:
“Tenho que aproximar. Não posso trabalhar no ponto. Vários alunos viram no ensino
médio substituir no ponto”.
Ela observa que quando os alunos começam a usar a calculadora, eles não
questionam os dados:
Tem que ensinar antes mesmo...olha, cuidado, você está achando uma
coisa que é inviável...seno de alguma coisa igual a 1,35?! Como, se ele
varia de -1 até 1 ?!
[...] Acho que é importante o estudo das funções seno e cosseno. Tem
aplicação na Engenharia. Eles tem que saber que elas são limitadas. Uso o
teorema do confronto.
A professora B ao tratar a função contínua usou o pensamento geométrico pela
visualização para um melhor entendimento dos educandos,
Sim, para continuidade é fundamental a gente pensar em Limite lateral
porque realmente aí, vemos contra exemplos:
-Ah, isso aqui é uma função contínua? Muitas vezes eu pergunto o que é
para ver o que eles vão dizer.
Aí vou pro quadro: gráfico tal...essa função é contínua? Por que?
A partir da visualização levo os alunos a perceber o que eles estavam
definindo como contínua.
Aí vai pensar nos Limites. Essa introdução é feita mais graficamente mesmo
do que pensando em números.
143
Nos estudos de Limites laterais, a professora introduz a noção de continuidade,
concomitantemente, ao relacionar graficamente, numericamente e algebricamente, o
desenvolvimento do processo, em um diálogo constante com os alunos.
O que é continuidade? A função para ser contínua ela tem que existir no
ponto. E você estuda ponto a ponto. Você começa ensinando
geometricamente, depois você extrapola...e qual é o domínio da função? O
“Thomas” coloca isso né..?! Tem que existir Limite. E os valores tem que ser
iguais... que é o passo a passo para verificar a continuidade.
Ao desenvolver os estudos dos Limites notáveis, a professora A constrói graficamente
busca o cálculo de área de um triângulo de base “seno” e altura “cosseno”, um triângulo
de base “um” e altura “tangente”.
Área. Desenho um triângulo. Um triângulo de base “seno”, altura “cosseno”.
Depois um triângulo de base 1 e altura “tangente”. E aí o setor circular está
entre eles. E uso esses para fazer em tanto de outros né.... Os de
polinômios são simplificando. E o
x
e eu deixo pra falar mais pra frente um
pouco...uso a ideia de derivada...é um número que é construído para a
inclinação “dá um”[...] é mais geométrico.
Percebe-se uma recursividade evidente no trabalho da professora, ao tratar os
conceitos de forma relacional. A professora A afirma apresentar o conceito de
Derivada praticamente junto ao de Limite. “Como encontrar a inclinação da reta
tangente? Pego uma secante. Faço o ponto caminhar para o ponto de
tangência.Vou mostrando geometricamente, e fazendo as contas junto com eles. E
para a interpretação física, seria a velocidade. Velocidade instantânea num ponto.:
y
x
V
m
∆
∆
=
; pego a velocidade média e faço o meu tempo tender a zero, e num único
ponto. Só ensino L’Hopital muito depois.”
Já a professora B alterna o trabalho de acordo com a turma:
Se perceber que a turma tem um pouco mais de facilidade de
entender...aquela coisa de você aproximar...de aproximação de um número.
Eu já fiz bastante com tabela...eu tento mudar...f(2), f(3), f(
2
1
)...
Tentei um pouco de gráfico. Tentei mesclar um pouco das informações. Não
consegui descobrir qual é o melhor não.
144
As duas professoras afirmam apresentar para a turma o conceito de Diferencial,
por ser fundamental para os estudos de Integral.
A professora A desenvolve o diálogo a partir dos estudos de aproximação linear.
Nos estudos de Integral as professoras usam como motivação o cálculo de área.
A professora B inicia retomando os estudos de área de retângulos e triângulos.
Vou modificando [...].
Pega um
2
x
, abaixo do
2
x até o eixo x.
- Ah professora, não dá fingir que ele é uma reta?
-E se agente pegar os pedaços?
E aí tem a soma de Riemann, pensando como a inversa da Derivada.
A professora A diz chamar a atenção para o erro provocado ao tentar calcular a área
abaixo de uma curva utilizando-se retângulos, até chegar à soma de Riemann.
"Observa-se a escolha do tamanho dos intervalos dos retângulos. Há um erro nas
aproximações
→
Limite. Quando a função tem antiderivada. E aí demonstro o
Teorema Fundamental do Cálculo" .
4.7.2 Professores de Disciplinas Específicas
A formação acadêmica dos professores entrevistados é basicamente a mesma.
Possuem graduação em Engenharia, mestrado em Engenharia, Doutorado em
Engenharia, sendo que um dos professores pesquisados está terminando o
doutorado em Modelagem Matemática Computacional, e o professor E possui pós-
doutorado também em Engenharia. Esses professores ministram aulas para os
cursos de Engenharia Mecânica e Engenharia Elétrica e esses cursos possuem
partes do programa, na disciplina de Transferência de Calor, que são comuns. Por
esse motivo, durante o diálogo estabelecido com esses professores, é ressaltado por
eles uma maior ou menor importância de conceitos trabalhados em determinados
cursos. Foi esclarecido a eles que a pesquisa não se restringe a um curso
determinado e sim, a cursos de Engenharia.
145
a) Matemática no currículo da Engenharia
Um dos professores entrevistados afirma que sua disciplina é muito importante para
o curso de Engenharia Mecânica. É uma das disciplinas fundamentais.
A carga horária é maior. A Elétrica tem 4 horas/aula por semana, a
mecânica está passando para 6 horas/aula por semana. Inclusive no novo
currículo da Elétrica essa matéria não existe mais. Ela foi emergida com
Mecânica dos Fluídos e é dada como Fenômeno dos Transportes, seria
uma parte de Mecânica dos Fluidos e uma parte de Transferência de Calor,
no currículo que está sendo implementado.(professor C)
Segundo o professor C, a disciplina Transferência de Calor está para a Engenharia
Mecânica assim como o Eletromagnetismo está para a Engenharia Elétrica.
O professor E, que foi apenas entrevistado, também ministra aulas na disciplina
Transferência de Calor e afirma que a mesma é uma disciplina teórica. “Não há
laboratório
.
Está previsto, mas ele não acontece. Teria alguma aplicação prática.”
Também o professor D afirma que sua disciplina é teórica e explica,
Ela tem um contexto particular porque faz muito uso de fundamentos
matemáticos de álgebra vetorial, pede a parte de integração e, de modo que,
ela tem um contexto um pouco diferenciado das demais, que a maioria das
disciplinas que os alunos fazem. Há grande uso de cálculos em circuitos e
dispositivos eletrônicos.
b) O estudo da Matemática durante o curso de graduação dos professores
entrevistados.
É consenso entre os professores entrevistados a forma que estudaram Matemática:
Basicamente era exercícios constantemente, além das aulas que a gente
tinha de Cálculo e lista de exercícios, tirar dúvidas com o professor. A gente
tinha acesso ao professor de Cálculo. Era na base de teoria e exercícios.
Apesar que a maioria dos exercícios que é visto no Cálculo são bem assim,
genéricos, sem aplicação direta. No princípio a gente fica assim treinando
como trabalhar com derivada, como era a lógica da derivada, da integral.
Talvez mais no final, quando você já tinha visto grande parte da teoria, tinha
alguns exercícios aplicados. Isso depende muito do professor. Os
professores de Cálculo são matemáticos puros, aí são muito
formais.(Professor C)
146
c) Uso de tecnologias
O professor E afirma usar tecnologias em suas aulas.
Uso um simulador. Faço algumas simulações na área de condução térmica,
na área de transferência de calor, alguns vídeos. Resolvo alguns exercícios
no Excel no cálculo de algumas funções, software para resolver equações
diferenciais - transcall - software livre, aplicado nos estudos de transferência
de calor.
O professor C que ministra a mesma disciplina que o professor E, afirma que
“poderia até usar”. Para a Engenharia Mecânica foi adquirido um software que vem
sugerido pelo livro, mas na Engenharia Elétrica, o curso que hoje ele trabalha, não
usa.
O aluno não tem tempo para se dedicar só a essa disciplina. Como não é
uma disciplina fundamental para a formação do Engenheiro Eletricista...
Como eles já usam o Mat-Lab em outras disciplinas; eu prefiro dar mais
conteúdo teórico a ficar passando softwares e eles deixarem de ver a maior
parte dos conceitos de Transferência de Calor.
Observa-se no discurso do professor que, utilizar a tecnologia em suas aulas seria
simplesmente, para o estudante, conhecer um novo software.
As novas tecnologias trazem possibilidades de, a partir de estruturas já conhecidas,
como por exemplo, um Estudo Dirigido
17
, desenvolver atividades pedagógicas como
facilitadores no processo de ensino / aprendizagem, e propiciar ao educando a
construção de novas estruturas mentais, num processo recursivo e relacional, e
também se utilizar de investigações matemáticas. Segundo Lévy (1993) a
Psicologia contemporânea usa maciçamente os modelos computacionais e de
processamento de dados fornecidos pela Informática.
Essa tecnologia devidamente utilizada poderia inclusive, ajudar a minimizar os
impactos trazidos pelo curto tempo nos estudos dos conteúdos/programa propostos
para o curso.
17
O Estudo Dirigido aqui proposto busca estabelecer um diálogo constante entre o educando e o
educador. É importante perceber a diferença entre um “Estudo Dirigido” e uma “Instrução
Programada”, descrita por Skinner. Ao pensar um Estudo Dirigido numa lógica construtivista, a partir
de um trabalho desenvolvido com as tecnologias computacionais, uma atividade Construcionista será
realizada.
147
d) Tratamento dos conceitos com a Matemática
Segundo o professor E, há uma Matemática pesada, uma Matemática robusta, que
fundamenta os estudos de sua disciplina.
Os professores procuram lembrar no decorrer das aulas, quando chega a parte que
envolve Cálculo, os conceitos fundantes necessários, apesar de não resolverem e
apenas apresentarem a solução.
[...]
O objetivo do curso não é resolver. As soluções já estão na literatura. São
soluções exatas para alguns problemas. Serve mais como ilustração. O
mais adequado para ir a fundo nessa solução seria o Mestrado. Na
Graduação fixa mais na interpretação da solução, visualização.
[...]
Não me preocupo tanto com as soluções [...] Algumas a gente usa como
caixa preta. (professor E)
Os professores declaram não se preocuparem com os cálculos. Preocupam-se em
dar ênfase às análises necessárias ao desenvolvimento dos problemas propostos.
[...] E às vezes o que a gente tem de passar para o aluno é a capacidade
crítica dele enxergar de onde está vindo, alguém programou aquilo lá.
Alguém fez.
A ideia do Engenheiro, que diferencia de um técnico, é a capacidade de
extrapolar aquilo que vê. (professor C)
Percebe-se que é intensa a busca dos professores-engenheiros em formarem
profissionais que possuam independência intelectual, que sejam pessoas capazes
de ir além do texto descrito, seja nos livros-didáticos, seja em situações-problema
reais.
Para se chegar a uma tabela, foi feito um modelo matemático, simplificou o
modelo e colocou lá. Agora tem que saber se essa simplificação que o cara
fez e gerou aquilo lá, se corresponde ao que se está aplicando. É esse tipo
de PODER que o Engenheiro tem que ter em relação ao técnico. É buscar
coisa além...
Daí que vem a noção TECNOLÓGICA. Muitos conceitos matemáticos, que
muitas vezes não tem aplicação nenhuma, descobrem que ela pode ser
usada para um determinado problema. Muitos problemas com soluções
numéricas, determinantes, matrizes, para chegar numa solução que seja
numérica, mas fisicamente consistente. É preciso deixar isso bem claro nas
aulas. (professor C)
148
e) Livro Didático
O professor C afirma que o livro adotado é clássico e é adotado em várias
universidades. Possui um rigor matemático muito bom. Em sua opinião, para o curso
de Engenharia Mecânica ele atende bem, mas para a Engenharia Elétrica é um livro
muito avançado.
O professor D trabalha com apresentações elaboradas no power point, que são
enviadas posteriormente aos alunos via e-mail, e com os registros feitos no quadro.
Já o professor E afirma que
o livro não se aprofunda tanto na questão da Matemática. Na verdade, no
modelamento matemático é a interpretação que a gente faz, essa que é a
nossa questão aqui. Tentar descobrir o que aquele modelo físico traz de
consideração, que eu posso eliminar nessa equação diferencial. A equação
da condução, ela é bem grande, então, quais as simplificações que eu
posso fazer para obter um resultado aproximado. Depois a gente interpreta.
Essa é a linha do livro.
f) Resolução dos cálculos operacionais
É consenso entre os professores entrevistados a pouca ênfase nos cálculos
operacionais.
Dependendo do exercício, procuro fazer passo a passo. Como eles estão
vendo aquilo pela primeira vez, os exercícios que eu faço na lousa eu
procuro dar o maior número de detalhes possível, para eles verem que o
negócio não surge do nada. É evidente que os cálculos eu passo, que é
simplesmente jogar numa calculadora, os valores você joga; agora, como
chegou naquela conta, eu procuro mostrar. Agora, fazer conta em sala, eu
evito. Primeiro que devido ao tempo, e segundo, se você recorre a um erro,
por falta de atenção, pode confundir o aluno. É importante você levar o
negócio mais ou menos pronto. (professor C).
Mais uma vez, observa-se uma preocupação maior com a interpretação do contexto
em que os cálculos estão inseridos.
Seria mais aos conceitos mesmos. A questão do modelo físico, transformar
em modelo matemático, resolver e interpretar esses resultados. Quando
acabo um exercício eu pergunto pra eles se entenderam o que aconteceu, o
149
que está saindo de resultado do problema e o que quer dizer aquele número.
Não é simplesmente fazer o cálculo. (professor E)
Esse mesmo professor afirma que suas aulas estão fundamentadas na prática de
resolução de problemas. Modelo físico, modelo matemático, interpretação do
fenômeno. Tem que entender o que está acontecendo.
Ainda dentro das análises e interpretações, o professor C afirma que o engenheiro
mecânico gosta muito de saber a tendência, antes mesmo de quantificar.
Foi perguntado a ele: O que é uma tendência?
Dentro de um problema, se eu aumento tal parâmetro, qual é a tendência da
resposta no final? É aumentar? É diminuir?
É esse tipo de poder...!!
Às vezes você coloca uma curva lá, genérica, pra mostrar que tal parâmetro
aumenta com tal outro...a tendência é aumentar.
Eu procuro verificar primeiro as tendências para depois colocar os números.
E você consegue inclusive entender fisicamente o que está acontecendo,
antes de colocar os números.
4.8 Entendimento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral
Para os conceitos de Limite, utiliza-se quando tem uma divisão, quando a equação é
por série, ou número muito grande, a gente usa bastante.(professor E)
"Ah, e se esse número tender para o infinito, o que você entende com essa equação?
Ah, a troca de calor vai subir muito [...].
O professor C afirma que a disciplina não proporciona tanta matemática direta,
somente algumas deduções básicas.
"No caso das aletas, para eu chegar na derivada, é uma questão de Limite, você vai
diminuindo o intervalo
x∆
para tender a zero. É o Limite da Derivada"
.
150
E afirma lembrar aos alunos a importância de estudos já vivenciados no curso.
Eu procuro, toda vez que aparece, fazê-los lembrar...isso aqui vocês viram
lá...quem precisar de maiores informações é só pegar o livro de Cálculo. O
aluno que sentir dificuldade tem que estudar pra relembrar...se não você
não consegue avançar [...]
A utilização do conceito de Derivada é frequente, afirmam os professores.
"A equação de condução é uma equação baseada na equação diferencial parcial,
então acaba caindo na derivada e precisa saber resolver a derivada". (professor E)
O conceito de Integral é mais utilizado pelo professor D, como afirmado
anteriormente. Na disciplina dos professores C e E, a frequência é menor.
E, ao final, o professor C conclui a importância de se pensar os cursos de
Engenharia como um todo, e não simplesmente, em compartimentos disciplinares.
Tem professor que defende que o engenheiro deveria dar aula de Cálculo.
Eu acho que não [...]
Eu acho que o engenheiro poderia sim dar uma aula aplicada.
-Olha, eu acabei de dar derivada para a turma, você não tem um exemplo
aplicado?
Ou uma palestra...se for...ou então uma matéria só de aplicação. Não uma
disciplina assim, mas talvez no final do curso...
Não o engenheiro dar aula...por que aí vai faltar o rigor matemático.
Para o aluno ver como é a ferramenta, qual a origem da ferramenta.
Deveria ter um fechamento para o estudante não ficar tão alienado ao que
vai ser [...]
O mesmo professor relata também a importância de um ensino com significado,
impregnado de sentido, no entendimento do que está sendo ensinado e
consequentemente naquilo que se aprende.
Eu reclamei muito quando fiz Cálculo. Hoje eu vejo que isso me ajuda muito.
Também fiz álgebra linear, que no fim das contas é Cálculo. E eu não sabia
pra quê aquilo tudo, pra quê que eu vou usar isso. Onde vai aplicar espaço
R
n
... E quando eu fui fazer mesmo o trabalho da dissertação, eu fui
trabalhar muito com método numérico de solução, e muitos métodos usam a
teoria de álgebra pra buscar a solução de um problema, uma equação não-
linear na solução. Lá no fundo, no método, ele partiu da ideia matemática, aí
eu comecei a enxergar...é aí que aparece o negócio...Quer dizer, então, às
vezes, você não está ainda preparado para vislumbrar o conhecimento...E
151
foi muito bom que eu tive aulas com matemáticos e físicos. Acho que aquele
rigor matemático te ajuda. Quando você vai olhar um livro de álgebra, ali
tem muito rigor matemático, e é preciso conhecer.
152
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para finalizar levanta-se a questão principal da pesquisa: "Como é o tratamento dos
conceitos de Limite, Derivada e Integral em cursos de Engenharia”.
Buscou-se apoio teórico em Duval (2003) com relação aos registros de
representação semiótica. Foi constatado que tanto os autores de livros de Cálculo,
como os professores de Matemática e disciplinas específicas dos cursos de
Engenharia, utilizam o que este mesmo autor denomina de “conversões”, as quais
consistem em transformações de representações com mudança de registros. Na
pesquisa estas “conversões” aconteceram na elaboração conceitual passando-se da
abordagem algébrica, para a gráfica, geométrica e numérica, esta última com a
tabela de valores.
Já o outro tipo de transformação de representação semiótica, a qual Duval (2002)
chama de “tratamento” que são transformações de representações dentro de um
mesmo sistema, também foi utilizado quando se tem o cálculo de Limite pelo
levantamento de indeterminação, com a simplificação da expressão algébrica da
função que se calcula o Limite; já na Derivada quando se muda as diversas
notações.
A interpretação gráfica, como aplicação geométrica, consiste na exploração do
pensamento geométrico da visualização para melhor compreensão do
comportamento da função, de suas propriedades e variação no seu domínio da
definição, seja uma análise discreta, por pontos isolados, ou contínua em intervalos.
A tabela de dados, com a utilização do pensamento aritmético, pode trazer uma
interpretação melhor do Limite de uma função quando a variável livre tende a um
determinado valor, ou comportamento da função na vizinhança de um ponto, ou na
tendência ao infinito com valores das variáveis independentes, ou das variações
aproximadas, os infinitésimos.
153
O uso das várias representações semióticas em interação constante proporcionou:
1. condições de diferentes interpretações,
2. possibilidade de melhor compreensão conceitual.
Quanto ao que Pais (2001) traz da aprendizagem conceitual quando distingue o
saber, mais relacionado ao aspecto evolutivo das ciências e o conhecimento, uma
produção mais perto da aprendizagem, constata-se que os professores em suas
aulas ficaram mais próximos do saber, utilizando uma didática da aula expositiva e
do tratamento da informação. Na introdução dos conceitos de Limite, Derivada e
Integral poderiam com atividades e, uso de calculadoras, levar os estudantes a
elaborar tabelas de valores na obtenção dos Limites, Derivadas ou Integrais.
Numa comparação da apresentação conceitual dos livros de Cálculo e da realização
das aulas, nota-se que os autores dos livros exploram mais a representação gráfica,
o uso da aritmética, com as tabelas de valores, do que os professores que muito
rápido chegaram a definição formal do Limite, usando
ε
e
δ
, com valor absoluto, e
as regras ou tratamento modular de intervalos; já no estudo de derivadas foram para
os cálculos algébricos sem uma exploração maior do conceito.
Pais(2001) enfatiza que a formação do conceito não acontece através de um único
tipo de situação, daí a necessidade de uma grande exploração das interpretações
gráficas, como exploração geométrica, a elaboração de tabela de valores, com a
exploração da aritmética, e o trabalho do “tratamento” de Duval (2003) com a
exploração das diversas formas algébricas de trabalhar Limite, Derivada e Integral.
O atingir do significado, uma conquista subjetiva do estudante, só virá, segundo Pais
(2001), se houver a realização da síntese, um procedimento racional criativo.
Para Vergnaud, citado por Pais (2001), o sentido de um conceito está associado à
atividade de resolução de problemas, a qual foi trabalhada quando se trouxe o
problema das retas secantes e tangentes a uma curva, o problema de movimento na
Física, mas não foi proporcionada uma situação para o estudante intuir, levantar
conjecturas, experimentar.
154
Notou-se a intenção e a tendência dos professores em chegar rápido ao cálculo
algébrico. Assim, se privilegiam mais a definição formal e os cálculos operacionais. A
motivação conceitual ficou mais no campo de uma propedêutica da definição e do
algebrismo.
Os professores das disciplinas específicas se satisfizeram em mostrar a estruturação
algébrica dos conceitos tecnológicos, utilizaram mais a transformação dentro de um
mesmo registro, usando o “tratamento” de Duval (2003) sem uma intensiva e
demorada interpretação da Matemática com o objetivo de desvelar o qualitativo, seja
explícito ou implícito nas várias transformações algébricas.
Partindo do pressuposto que o aluno sabe os conceitos de Limite, Derivada e
Integral, o professor da disciplina específica supõe que somente a expressão
matemática do saber tecnológico, expresso como um desses conceitos matemáticos
traz, pela transposição didática, o entendimento tecnológico.
Assim, uma equação diferencial expressando um conceito não elucida, não desvela
o saber científico nela sistematizado, se não houver uma interpretação das
condições iniciais e de contorno, da lei de formação, da lei de formação e
desenvolvimento do fenômeno por ela modelado.
A “simulação” que Lévy (1993) introduz como uma tecnologia da inteligência do
desenvolvimento do pensamento na era da informática, com o aumento dos poderes
da imaginação e da intuição que pode ser explorada com uso da tecnologia,
especialmente, da calculadora e do software não foi uma técnica didática usada,
tendo-se como domínio da prática dos professores pesquisados a passagem da
informação aos estudantes pela aula expositiva.
Lévy(1993) insiste que a informática com a simulação e pela visualização é uma
tecnologia intelectual para a faculdade de imaginar, trazendo a habilidade da
resolução de problemas, a criação de modelos.
A Engenharia hoje é, na sua essência epistemológica uma ciência dos modelos, da
155
experimentação, da simulação por computador, o que Lévy (1993) mostra que a
exploração dos modelos mais complexos e em maior número pode se realizar, via
computação, mais eficiente e rápida do que os recursos da mente e da memória do
curto prazo.
As técnicas didáticas nas aulas observadas se reduziram a aulas expositivas com
apresentações dos conteúdos escritos no quadro da sala ou em slides power point.
O uso da informática proporciona ao professor um tempo maior para debate,
interação, interpretação, pois as elaborações dos cálculos ficarão a cargo da
máquina.
O uso de informática, como recurso didático, envolvendo representações algébricas,
gráficas e com tabelas, não ocorreu. Calculadoras gráficas e softwares matemáticos
tem uma grande difusão, com possibilidades crescentes de uso, segundo Borba e
Penteado (2001), para simular, modelar, experimentar, levantar conjecturas,
habilidades estas a desenvolver, na direção da aprendizagem significativa.
Evidentemente, segundo os mesmos autores, o enfoque experimental não basta, há
necessidade de teorizar e desenvolver os modelos matemáticos da linearidade, do
comportamento quadrático, exponencial, senoidal, entre outros coerentemente ao
comportamento dos fenômenos.
Em suma, se tem numa análise comparativa da didática dos livros-texto e das aulas,
quanto a uma similaridade conceitual usando a álgebra, aritmética e a geometria. Há
um ganho nos livros da exposição mais abrangente, com mais situações
matemáticas e da Física, e com sugestão do apoio da informática, inclusive citando
tipos de softwares, que podem ser usados. Há um equilíbrio na abordagem gráfica,
aritmética (tabela de valores) e a exposição algébrica. Os livros proporcionam ao
estudante uma diversidade de situações, que poderão possibilitar uma maior
aprendizagem.
156
Quanto aos professores de Cálculo falta um equilíbrio no trabalho dos conceitos e do
algebrismo na sua prática, favorecendo mais este último.
Quanto aos professores de disciplinas específicas fica reduzida a abordagem
qualitativa dos conceitos tecnológicos advindos de uma maior interpretação dos
conceitos matemáticos, implícitos nos modelos, em sua forma algébrica.
Desta forma a pesquisa teve como objetivo contribuir para a Educação Matemática
enquanto estratégias para uma aprendizagem significativa de “Conceito” e também
trouxe uma clara distinção da “Definição” e do “Conceito”.
Uma grande contribuição foi trazer à tona a importância do entendimento conceitual
do Cálculo, tanto na Educação Matemática quanto na Educação Tecnológica. A
matematização, a Modelagem Matemática e Computacional dos fenômenos da
ciência demandam uma formação conceitual sólida, na formação científica do
engenheiro, profissional da Tecnologia.
Os dados da pesquisa apontam a importância de um trabalho mais integrado entre
os professores de Cálculo (e das demais disciplinas básicas) e os professores de
disciplina específicas.
É possível perceber, comparando os dados da pesquisa, uma diferença da notação
simbólica adotada na Matemática (pelos professores e nos livros-texto analisados) e
nas disciplinas específicas. Os registros de representação semiótica dos conceitos
de Cálculo, diferem bastante, o que pode gerar conflitos e obstáculos ao
entendimento.
- Sugestões para pesquisas futuras
1. Estudar o conceito de Limite, Derivada e Integral na perspectiva da aprendizagem
dos estudantes.
2. Estudar o conceito de Limite, Derivada e Integral a partir das aplicações tanto
como Resolução de Problemas, como pela Modelagem.
157
3. Identificar estratégias usadas pelos estudantes do cálculo operacional a partir das
principais definições formais de Limites, Derivadas e Integrais, enfatizando os
registros de representação semiótica.
158
REFERÊNCIAS
ABRANTES, Paulo. Intervenções em educação matemática. Edição da
associação de professores de Matemática de Portugal, 2005.
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. Ed. Porto Alegre:
Bookman, 2007. v.1.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA (ABENGE).
Disponível em: < http://www.abenge.org.br/ > Acesso em: 22 jul. 2010.
BACHELARD, Gaston. A formação do espírito científico: contribuição para uma
psicanálise do conhecimento. Rio de Janeiro: Contraponto, 1996.
BARUFI, Maria Cristina. A construção/negociação de significados no curso
universitário inicial de cálculo diferencial e integral.1999. 184p. Tese (Doutorado
em Educação)- Universidade de São Paulo.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática.
São Paulo: Contexto,2002.
BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; GARNICA, Antonio Vicente Marafioti. Filosofia
da educação matemática. 3. ed. rev. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. 91 p.
(Tendências em educação matemática 4)
BLANCO, Maria Mercedes Garcia. A Formação inicial de professores de Matemática:
fundamentos para a definição de um curriculum. In: FIORENTINI, Dario. Formação
de professores de matemática: explorando novos caminhos com outros olhares.
Campinas: Mercado de Letras, 2003.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação
matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
BRASIL Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares
nacionais: ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias.
Brasília: MEC/SEF, 1998.
159
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática.
São Paulo: Contexto, 2002.
CABRAL, Tânia Cristina Baptista. BALDINO, Roberto Ribeiro. O ensino de
matemática em um curso de engenharia de sistemas digitais. In: CURY, Helena
(Org.) Noronha. Disciplinas matemáticas em cursos superiores: reflexões, relatos,
propostas. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2004.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa,
Portugal: Gradiva- Publicações, lda. 2002.
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS.
Departamento de Física e Matemática Plano de Ensino - Cálculo I, 2007a.
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Plano
de Ensino para a Disciplina de Cálculo I - Diretoria de Graduação, 2007b.
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Projetos
Políticos Pedagógicos/ Departamento de Computação, 2008a, p. 32.
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Projetos
Políticos Pedagógicos, Engenharia Elétrica, 2008b.
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Projetos
Políticos Pedagógicos/ Engenharia de Produção Civil, 2003.
CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA (COBENGE).
Disponível em: http://www.itarget.com.br/newclients/cobenge2009.com.br/2009/?>
Acesso em: 22 jul. 2010.
COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que é matemática: uma abordagem
elementar de métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda.
2000.
COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. Prefácio. In: COURANT, Richard;
ROBBINS, Herbert. O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e
conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda. 2000.
160
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998.
DUVAL, Raymond. Registros de representações semióticas e funcionamento
cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara
(Org.). Aprendizagem em matemática: registro de representação semiótica. São
Paulo: Papirus, 2003.
FROTA, Maria Clara Resende; NASSER, Lílian. Educação Matemática no ensino
superior: pesquisas e debates. Recife-Pernambuco: SBEM, 2009.
FROTA, Maria Clara Resende. Competências de representação e comunicação em
matemática: o papel do livro didático. In: ENCONTRO NACIONAL DE DIDÁTICA E
PRÁTICA DE ENSINO, 9, 2002. p. 1-16.
FROTA, Maria Clara Resende. Duas abordagens distintas da estratégia de
resolução de exercícios no estudo de cálculo. In: LAUDARES, João Bosco; LACHINI,
Jonas (Org.). Educação matemática: a prática educativa sob o olhar de professores
de cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, 2001.
GRINSPUN, Mírian Paura Sabrosa Zippin. (Org.). Educação tecnológica: desafios
e perspectivas. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2001.
HUETE, J. C. Sánchez; BRAVO, J. A. Fernández. O ensino da matemática:
fundamentos teóricos e bases psicopedagógicas. Porto Alegre: ARTMED, 2006.
LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro:
LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2003.
LAUDARES, João Bosco. A Matemática e a Estatística nos cursos de graduação da
área tecnológica e gerencial: um estudo de caso da PUC-Minas. In: CURY, Helena
Noronha. (Org.). Disciplinas matemáticas em cursos superiores: reflexões,
relatos, propostas. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2004.
LAUDARES, João Bosco; LACHINI, Jonas (Org.). A prática educativa sob o olhar
de professores de Cálculo. Belo Horizonte: Editora FURMAC. 2001.
LAUDARES, João Bosco. Educação matemática. Belo Horizonte: Editora CEFET-
MG, 1987.
161
LÉVY, Pierre. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da
informática. Rio de Janeiro: Editora 34, 1993.
LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra
para o século XXI. Campinas, SP: PAPIRUS, 1997.
LÜDKE, Menga. ANDRÉ, Marli E.D.A..Pesquisa em educação: abordagens
qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.
MOREIRA, Antonio Flávio B. A crise da teoria curricular crítica. In: COSTA, M.
V.(Org.). O currículo nos limiares do contemporâneo. Rio de Janeiro: DP&A,
1998, p.11-36.
NASSER, Lílian (Coord.). Geometria segundo a teoria de Van Hiele. Rio de
Janeiro: Editora da UFRJ, 2004.
NORONHA, Helena Cury(Org.). Disciplinas matemáticas em cursos superiores:
reflexões, relatos, propostas. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2004.
PAIS, Luiz Carlos. Didática da matemática: uma análise da influência francesa.
Belo Horizonte: Autêntica, 2001
PINTO, Márcia Maria Fusaro. Discutindo a transição dos cálculos para a análise real.
In: LAUDARES, João Bosco; LACHINI, Jonas (Org.). Educação matemática: a
prática educativa sob o olhar de professores de cálculo. Belo Horizonte: FUMARC,
2001.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações
matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. 151p. (Tendências
em educação matemática 7)
REIS, Frederico da Silva. A tensão entre rigor e intuição no ensino de cálculo e
análise: a visão de professores-pesquisadores e autores de livros didáticos. 2001.
Tese (Doutorado em Educação)- Faculdade de Educação, Universidade Estadual de
Campinas.
SAVIANI, Nereide. Saber Escolar, currículo e didática: problemas da unidade
conteúdo/método no processo pedagógico.Campinas, SP: Autores Associados, 2000.
162
SKOVSMOSE, Ole. Educação matemática crítica: a questão da democracia.
Campinas. SP: Papirus, 2001.
STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 2v.
v.1.
TARDIF, Maurice. LESSAR, Claude. O trabalho docente: elementos para uma
teoria da docência como profissão de interações humanas. Petrópolis, RJ: Vozes,
2005.
THOMAS, George Brinton. Cálculo. 10. Ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. v.1.
VERGARA, Sylvia Constant. Projetos e relatórios de pesquisa em administração.
6. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
163
APÊNDICE
164
APENDICE A - COM O PROFESSOR DE DISCIPLINA ESPECÍFICA
1) Qual é o seu nome?
2) Qual é a sua formação?
3) Qual o nome da sua disciplina?
4) Como você vê sua disciplina dentro do currículo da Engenharia ( ela é técnica,
prática, teórica?...)
5) Como você estudou Matemática no seu curso?
6) Qual o MÉTODO (aula expositiva, trabalho em grupo, pesquisa) que você usa
nas suas aulas?
7) Usa tecnologia ? Qual software?
8) Qual / como é a importância que você dá ao tratamento da Matemática nos
conceitos que você trabalha?
9) Em relação ao livro / autor que você utiliza:
- é ilustrado,
- é mais descritivo? ( aprofunda nas ferramentas Matemáticas)
10) Como você avalia os conceitos científicos introduzidos na sua disciplina?
Utilizando ou não a ferramenta da Matemática?
11) Você dá mais ênfase à compreensão dos conceitos ou aos cálculos
operacionais? (utiliza gráficos, faz análises dos mesmos, traça os gráficos com os
alunos).
165
12) Você faz com os alunos os cálculos ou só aponta o caminho?
13) Você faz a interpretação gráfica do fenômeno, ou estatística?
14) Como você trabalha/entende o "LIMITE", "DERIVADA" e "INTEGRAL"?
15) Dê um exemplo da sua aula em que você usou os conceitos de Limite, Derivada
e Integral.
E no livro? Você lembra de um..?!
16) No trabalho que os alunos fazem na disciplina, você exige os cálculos? Ou uma
explicação do porque da utilização daquele conceito de Matemática?
166
APÊNDICE B - ENTREVISTA COM O PROFESSOR DE MATEMÁTICA
1) Qual é o seu nome?
2) Você tem bacharelado? Licenciatura?
3) Qual o nome da sua disciplina?
4) Como você situa a matemática no curso de Engenharia?
5) Como você vê sua disciplina, no contexto do currículo de Engenharia? Fale um
pouco (opinião) sobre a Matemática.
6) Qual o método (aula expositiva, trabalho em grupo, pesquisa) que você usa nas
suas aulas?
7) Usa tecnologia? Qual software? Pode me mostrar?
8) Em relação ao livro/ autor que você utiliza:
- é ilustrado?
- é mais descritivo (aprofunda nas ferramentas Matemáticas)
9) Você apresenta / trabalha aplicações em suas aulas? Como? De que maneira?
Ou você trabalha os conceitos restritos à Matemática?
10) Você dá mais ênfase à compreensão dos conceitos aos cálculos operacionais?
(utiliza gráficos, faz análises dos mesmos, traça os gráficos com os alunos)?
11) Limite –
- Como você introduz o conceito de Limite.
167
- Você pede para o aluno calcular LIMITE?
- Como você exige esses cálculos?
- Você calcula os limites laterais?
- Como você introduz a noção de continuidade?
(algebricamente, graficamente, numericamente ).
- Como você trabalha os limites notáveis?
Derivada
- Como você introduz o conceito de derivada?
- Você faz a interpretação geométrica?
- Você faz a interpretação física?
- Estuda aplicações do comportamento de função (crescimento, decrescimento,
máximo, mínimo? )
- Taxa de variação – como você trabalha esse conceito?
- Você dá o conceito de diferencial? Resolve problemas aplicados com diferencial?
- Qual a ênfase que você dá às regras de variação?
- Você exige o cálculo de derivada pela função?
Integral (Definida)
- Como você introduz esse conceito?
- Você usa / trabalha o conceito de somatória ( com exercícios) antes de falar na
integral?
- Você faz a interpretação geométrica do cálculo de área, de volume, etc.?
- Qual a ênfase que você dá ao cálculo de integrais?
- Você trabalha a noção de infinitésimos?
168
ANEXO
169
ANEXO A - PLANO DE ENSINO
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE GRADUAÇÃO
Plano de Ensino
Campus:
I e II
–
Belo Horizonte
DISCIPLINA: CÁLCULO I CÓDIGO: 2DB003
VALIDADE: Início: Dezembro/2007
Eixo: Matemática
Carga Horária: Total: 75 horas/ 90 horas-aula Semanal: 6 aulas Créditos: 6
Modalidade: Teórica Integralização:
Classificação do Conteúdo pelas DCN: Básica
Ementa:
Funções reais: limites, continuidade, gráficos; derivadas e diferenciais: conceito,
cálculo e aplicações; máximos e mínimos; concavidade; funções elementares:
exponencial, logaritmo, trigonométricas e inversas; integrais definidas: conceito,
teorema fundamental e aplicações; integrais indefinidas: conceito e métodos de
integração; integrais impróprias.
Curso(s) Período
Engenharia de Computação 1º
Engenharia Elétrica 1º
Engenharia Mecânica 1º
Engenharia de Produção Civil 1º
Engenharia de Materiais 1º
Química Tecnológica 1º
Departamento/Coordenação: Departamento de Física e Matemática - DFM
170
INTERDISCIPLINARIEDADES
Pré-requisitos
--
Co-requisitos
--
Disciplinas para as quais é pré-requisito
Cálculo II (Engenharia de Computação, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica)
Cálculo II B (Engenharia de Produção Civil, Química Tecnológica)
Física I (Engenharia de Computação, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica
,
Engenharia de Produção Civil, Química Tecnológica)
Física Experimental A (Química Tecnológica)
Termodinâmica Química (Química Tecnológica)
Outras inter-relações desejáveis
Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
Objetivos: A disciplina deverá possibilitar ao estudante
1
Utilizar os conceitos de função, limite e continuidade na análise de situações
práticas.
2 Aplicar as funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas
inversas a problemas reais.
3
Perceber a relação do conceito de limite com os conceitos de derivada e de
integral definida.
4 Reconhecer derivadas como taxas de variação, identificando g
randezas que são
definidas a partir do conceito de derivada.
5
Aplicar técnicas de derivação em diversos contextos, tais como em problemas
de otimização e taxas relacionadas.
6 Familiarizar-se com técnicas de construção de gráficos.
7 Compreender os con
ceitos de integral definida e de integral indefinida, bem
como sua relação, por meio do Teorema Fundamental do Cálculo.
8
Calcular grandezas que são definidas como integrais definidas ou como
integrais impróprias.
9 Utilizar técnicas de integração para resolver problemas.
10
Conceituar e desenvolver aplicações práticas de derivadas e integrais.
11
Perceber que o Cálculo é instrumento indispensável para a aplicação de
técnicas de trabalho atuais em diversos campos.
12
Entender o Cálculo como um estudo
das mudanças, dos movimentos,
investigando os efeitos das pequenas mudanças (Cálculo Diferencial) e os
efeitos cumulativos das pequenas mudanças (Cálculo Integral).
13
Ter consciência da importância do Cálculo Diferencial e Integral como base para
a continuidade de seus estudos.
14
Refletir sobre o método pessoal de aquisição de conhecimento.
171
Unidades de ensino Carga-horária
(horas-aula)
1
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO CÁLCULO
Motivação ao estudo do Cálculo
Retas
Funções: definição, notação, gráficos e classificações
Funções compostas e funções inversas
Funções exponenciais e funções logarítmicas
Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas
12
2
LIMITES E CONTINUIDADE
Conceitos intuitivos e definições formais de limites
Propriedades dos limites
O teorema do confronto
O limite trigonométrico básico
Limites laterais
Limites envolvendo o infinito
Continuidade de funções
10
3
DERIVADAS
A derivada num ponto: definição e interpretações
A derivada como função
Propriedades das derivadas - regras de derivação
Derivada de função composta
Derivada de função implícita
Derivadas das funções trigonométricas diretas
Derivadas das funções trigonométricas inversas
Derivadas das funções exponenciais
Derivadas das funções logarítmicas
Derivadas sucessivas
14
4
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
A Regra de l’Hôpital
Máximos e mínimos de funções
Crescimento e decrescimento de funções
Concavidade em gráficos de funções
Traçado de gráficos de funções
O Teorema do Valor Médio
Modelagem e otimização
Incrementos e diferenciais
Linearização e Polinômio de Taylor
Taxas relacionadas
22
5
INTEGRAIS INDEFINIDAS
Definição
Propriedades
Integrais de funções elementares
Integração por substituição de variável
Integração por partes
Integração por decomposição em frações parciais
14
172
Integração por substituição trigonométrica
6
INTEGRAIS DEFINIDAS
Definição
Propriedades
O Teorema Fundamental do Cálculo
Áreas de regiões planas
Volume pelo método das seções transversas
Volume pelo método das cascas cilíndricas
Integrais impróprias
18
Total
90
Bibliografia Básica
1
WEIR, M.D., Hass, J. e GIORDANO, F.R. Cálculo (George B. Thomas Jr.), vol.
I, 11ª ed., São Paulo, Addison Wesley, 2009.
2
STEWART,J. Cálculo, vol.1, 5ª ed., São Paulo, Pioneira Thomson Learning,
2006.
Bibliografia Complementar
1
EDWARDS, C.H. e PENNEY, D.E. Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Rio
de Janeiro, Prentice-Hall, 1994.
2
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica, vol.1, 2ª ed, São Paulo,
Makron / McGraw-Hill, 1995.
3
SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica, vol.1, 1ª ed, São Paulo,
McGraw-Hill, 1988.
4
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica, vol.1, 3ª ed, São Paulo, Ed.
Harbra, 1994.
5
DIVA, M. F. e Gonçalves, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e
Integração, São Paulo, Prentice-Hall, 2007.
6
Disponível em
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/medialib/indexb.html
Acesso: 20 de outubro de 2008
173
ANEXO B - CRONOGRAMA- CÁLCULO I – ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CIVIL
2º / 2009
Aula Data Assunto
1 10/08
Aula inaugural. Apresentação. Equações da reta. Funções: definição, gráficos.
2 12/08
Funções: função composta. Função inversa. Função modular.
3 14/08
Funções exponenciais e funções logarítmicas.
4 17/08
Funções trigonométricas e trigonométricas inversas.
5 19/08
Parametrização de curvas planas.Modelagem.
6 21/08
Conceito intuitivo de limites. Definição formal de limite. Limites laterais.
7 24/08
Propriedades de limites.
8 28/08
O Teorema do Confronto. O limite trigonométrico básico.
9 31/08
Limites envolvendo o infinito.
10 02/09
Continuidade de funções.
11 04/09
Retas tangentes e derivada. A derivada como taxa de variação.
12 9/09
Regras básicas de diferenciação. Derivadas sucessivas.
13 11/09
A regra da cadeia.
14 14/09
Diferenciação implícita.
15 16/09
Derivadas das funções trigonométricas e trigonométricas básicas.
16 18/09
Derivadas das funções exponenciais e logarítmicas.
17 21/09
Aula de exercícios.
18 23/09 1ª Prova ( 30 pontos)
19 25/09
Formas indeterminadas e a regra de l’Hôpital.
20 28/09
Incrementos e diferenciais. Aproximação linear.
21 30/09
Polinômios de Taylor. Extremos de funções.
22 02/10
O Teorema do Valor Médio. Função crescente e decrescente.
23 05/10
Traçado de gráficos de funções. Concavidade.
24 07/10
Esboço de gráficos. Assíntotas horizontais e verticais.
25 09/10
Máximos e mínimos em intervalo fechados.
26 14/10
Máximos e mínimos em intervalo abertos.
27 16/10
Taxas relacionadas.
28 19/10
Integrais Indefinidas. Integrais elementares. Integração por substituição
29 21/10
Integração por partes.
30 23/10
Aula de exercícios.
31 28/10 2ª Prova ( 30 pontos)
32 30/10
Somas de Riemann e integrais definidas.
33 04/11
O Teorema Fundamental do Cálculo.
34 06/11
Substituição em integrais definidas. Áreas de regiões planas.
35 09/11
Estabelecendo fórmulas integrais: exemplos geométricos e físicos.
36 11/11
Volume pelo método das seções transversais.
37 13/11
Volume pelo método das cascas cilídricas.
38 16/11
Integrais impróprias.Integrais definidas: definição e propriedades.
39 18/11
Integrais trigonométricas.
40 20/11
Integração por partes.
41 23/11
Integração por decomposição em frações parciais.
42 25/11
Aula de exercícios.
43 27/11
Integração por substituição trigonométrica.
44 02/12
Aula de exercícios.
45 04/12 3ª Prova ( 30 pontos)
46 11/12 Prova suplementar. ( 30 pontos substituindo a menor nota)
47 16/12 Exame especial.
174
REFERÊNCIAS PRINCIPAIS
FINNEY, R.L., WEIR, M.D.; GIORDANO, F.R. Cálculo de George B. Thomas Jr.,
São Paulo, Addison Wesley, 2009. v.1.
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
v.1.
REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES
STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 2v.
v.1.
EDWARDS, C.H.; PENNEY, D.E. Cálculo com Geometria Analítica. Rio de
Janeiro: Prentice-Hall, 1994.
175
ANEXO C - CÁLCULO I - ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO, 2º 2009
Aula Data Assunto
1 10/08
Apresentação. Inspeção de conceitos. Funções: definição, gráficos.
2 12
Tipos de Funções. Função composta. Função inversa. Função modular.
3 14
Funções exponenciais e funções logarítmicas.
4 17
Funções trigonométricas e trigonométricas inversas.
5 19
Conceito intuitivo de limite. Definição formal de limite.
6 21
Propriedades de limites. Limites laterais.
7 24
O Teorema do Confronto. O limite trigonométrico básico.
8 26
Limites envolvendo o infinito.
9 28
Continuidade de funções.
10 31
Retas tangentes e a derivada. A derivada como taxa de variação.
11 02/09
Regras básicas de diferenciação. Derivadas das funções exponenciais.
12 4
Derivadas superiores. Derivadas das funções trigonométricas.
13 9
A regra da cadeia. Diferenciação implícita. Taxas relacionadas.
14 11
Derivadas das funções trigonométricas inversas.
15 14
Derivadas das funções logarítmicas. O número e como limite.
16 16
Aproximação linear. Incrementos e diferenciais.
17 18
Aula de exercícios.
18 21 1ª Avaliação
19 23
Formas indeterminadas e a regra de l’Hôpital.
20 25
Polinômios de Taylor. Extremos de funções.
21 28
O Teorema do valor médio.
22 30
Traçado de gráficos de funções. Concavidade.
23 02/10
Esboço de gráficos. Assíntotas horizontais e verticais.
24 5
Máximos e mínimos em intervalo fechado.
25 7
Máximos e mínimos em intervalo aberto.
26 9
Aula de exercícios.
27 14
Aula de exercícios.
28 16 2ª Avaliação
29 C&T 19
Integrais indefinidas. Integrais elementares.
30 C&T 21
Integração por substituição.
31 C&T 23
Integração por partes.
32 26
Integração por decomposição em frações parciais.
33 28
Aula de exercícios.
34 04/11
Integrais trigonométricas.
35 06
Integração por substituição trigonométrica.
36 09
Aula de exercícios.
37 13 3ª Avaliação
38 16
Integrais definidas: definição e propriedades.
39 18
VI Workshop da Graduação.
40 20
O Teorema Fundamental do Cálculo. Áreas de regiões planas.
41 23
Volume pelo método das seções transversas.
42 25
Volume pelo método das cascas cilíndricas.
43 27
Comprimento de curvas planas.
44 30
Integrais impróprias. Seção 8.8.
45 02/12
Aula de exercícios.
46 04/12
Aula de exercícios.
07/12 4ª Avaliação
09/12 Avaliação da Disciplina e resultado
176
11/12 Prova suplementar
18/12 Exame especial
REFERÊNCIA PRINCIPAL
FINNEY, R.L., WEIR, M.D.; GIORDANO, F.R. Cálculo de George B. Thomas Jr.,
São Paulo, Addison Wesley, 2003. v.1.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo