ads:
Campus de Ilha Solteira
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
“Avaliação do Comportamento de Pilares de Concreto
de Alta Resistência: Simulação Numérica Utilizando o
Código de Cálculo CASTEM-2000”
Luciana Marques da Costa Jacomassi
Orientador: Profa. Dra. Mônica Pinto Barbosa
Dissertação apresentada à Faculdade de
Engenharia - UNESP – Campus de Ilha
Solteira, para obtenção do título de Mestre
em Engenharia Mecânica.
Área de Conhecimento: Mecânica dos
Sólidos
Ilha Solteira – SP
Março/2008
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
AGRADECIMENTOS
À Deus, por me fazer enxergar além das dificuldades.
À minha família, sem a qual esse trabalho não seria possível.
Aos amigos, de onde consegui apoio (e ajuda, por vezes, inesperada).
Em especial, à Professora Mônica pela confiança.
ads:
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO _________________________________________ 8
1.1. GENERALIDADES ______________________________________________________8
1.2. OBJETIVOS __________________________________________________________10
1.3. APRESENTAÇÃO ______________________________________________________11
2.
CONCRETO DE ALTA RESISTÊNCIA (CAR) _________________ 12
2.1. C
ARACTERÍSTICAS____________________________________________________12
2.2. PARÂMETROS DE COMPORTAMENTO MECÂNICO PARA O CAR _________________16
2.2.1. Model Code – MC90 CEB (1991) ________________________________ 16
2.2.2. Norma Norueguesa NS 3473 (1992) ______________________________ 18
2.2.3. ACI Committe 363 e 318 _______________________________________ 19
2.3. DUCTILIDADE DAS ESTRUTURAS EM CAR ___________________________________19
3.
PILARES DE CONCRETO DE ALTA RESISTÊNCIA_____________ 24
3.1. CAPACIDADE RESISTENTE DOS PILARES _____________________________________25
3.2. CONFINAMENTO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO ______________________27
4.
CÓDIGO CASTEM ____________________________________ 31
4.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ______________________________________33
4.2 MODELAGEM GEOMÉTRICA ____________________________________________37
4.2.1 MODELO BIDIMENSIONAL ______________________________________________38
4.3 MODELOS REOLÓGICOS _______________________________________________40
4.4 MÉTODOS INCREMENTAIS ITERATIVOS____________________________________43
5.
ANÁLISE NUMÉRICA DOS PILARES DE CONCRETO DE ALTA
RESISTÊNCIA____________________________________________ 47
5.1 MODELO DE CÁLCULO_________________________________________________48
5.2 PARÂMETROS DE ANÁLISE NUMÉRICA ____________________________________51
6. ESTUDOS DE CASOS ___________________________________ 55
6.1 AGOSTINI (1992)____________________________________________________55
6.2 PAIVA (1994) _______________________________________________________64
6.3 LIMA (1997) ________________________________________________________67
6.4 LIMA JR (2003) _____________________________________________________72
7.
CONSIDERAÇÕES FINAIS _______________________________ 76
7.1 GEOMETRIA _________________________________________________________76
7.2 CONCRETO __________________________________________________________77
7.3 T
AXA DE ARMADURA LONGITUDINAL _____________________________________77
7.4 T
AXA DE ARMADURA TRANSVERSAL ______________________________________78
7.5 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS _______________________________________78
7.6 DUCTILIDADE ________________________________________________________79
7.7 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS __________________________________79
8.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS__________________________ 81
RESUMO
JACOMASSI, L. M. C. (2007). Avaliação do Comportamento de Pilares de Concreto
Armado de Alta Resistência: Simulação Numérica Utilizando o Código de Cálculo CASTEM
2000. Ilha Solteira, 2007. 85 p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de Ilha
Solteira, Universidade Estadual Paulista.
A demanda crescente pela utilização de Concreto de Alta Resistência (CAR) torna
necessária a definição de critérios e procedimentos de análise do comportamento estrutural
desse material. Nesse sentido, este trabalho apresenta a discussão de resultados experimentais
publicados e as simulações numéricas de pilares armados de CAR submetidos à compressão
axial simples. Utilizando o Código CASTEM 2000, é feita uma modelagem numérica
bidimensional e análise via Método dos Elementos Finitos (MEF) para a reprodução dos
diagramas força-deformação obtidos experimentalmente. Após um estudo comparativo dos
parâmetros recomendados por normas internacionais de análise do comportamento estrutural
do CAR, nota-se que os resultados numéricos obtidos utilizando as especificações da Norma
Norueguesa NS 3473 são mais próximos dos experimentais. A modelagem numérica
desenvolvida é capaz de reproduzir, com certa precisão, a capacidade de carga de pilares de
diversas geometrias, taxas de armadura transversal e longitudinal, tipos de aço e resistência do
concreto variando entre 50 MPa e 90 MPa. As taxas mínimas de armadura capazes de
promoverem a ductilização dos pilares por desagregação do cobrimento são superiores a 2,5%
de armadura longitudinal e 2,0% de armadura transversal, segundo os resultados
experimentais. Comparando a esses resultados os obtidos pelas simulações, observa-se como
de comportamento dúctil os pilares com capacidade de carga obtida numericamente pelo
menos 25% maior que a força máxima teórica obtida de acordo com as recomendações da NS
3743.
Palavras-chave: Pilares, Concreto de Alta Resistência, Ductilidade, Análise Numérica,
CASTEM-2000.
ABSTRACT
JACOMASSI, L. M. C. (2007). Reinforced High-Strength Concrete Columns Behavior:
Numerical Analysis Using CASTEM 2000 Code. Ilha Solteira, 2007. 85 p. Dissertação
(Mestrado) – Escola de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista.
The increasing demand of the use of High-Strength Concrete (HSC) makes it
necessary to define criteria and procedures analysis to the structural behavior of this material.
This work presents the discussion on published experimental results and numerical
simulations of HSC reinforced columns submitted to simple axial
compression. Bidimensional numerical modeling with Finite Elements Method (FEM)
analysis were made to reproduce experimentally force-strain diagrams by using the Code
CASTEM 2000. After a comparative study on the internationally recommended HSC
structural behavior analysis standards, it may be inferred that the numerical results obtained
using specifications of the Standard Norge NS 3473 are the closest to the experimental ones.
The adopted numerical modeling could reproduce the force capacity of columns of different
shapes, transversal and longitudinal reinforcement rates, types of steel and concrete resistance
from 50 MPa to 90 MPa with some precision. The minimal reinforcement rate able to provide
columns ductility by confinement effect is higher than 2.5% longitudinal reinforcement and
2.0% transversal reinforcement, according the experimental results. Comparing these results
with the simulations, it could be considered the ductility behavior of the columns with the
numerical charge capacity at least 25% higher than the maximum teorical force obtained
according to recomendations of NS 3743.
Palavras-chave: Columns, High-Strength Concrete, Ductility, Numerical Analysis,
CASTEM-2000.
8
1. I
NTRODUÇÃO
1.1. G
ENERALIDADES
O Brasil vem vivenciando uma crescente demanda pela utilização de Concreto de Alta
Resistência (CAR) na construção civil. Edifícios mais altos, vãos livres maiores, aumento da
área útil dos pavimentos, redução do peso próprio das estruturas, utilização de menor
quantidade total de material, maior durabilidade, são exemplos de vantagens obtidas com a
utilização do CAR. Pilares dos pavimentos inferiores de edifícios altos são os elementos
estruturais que mais apresentam ganho na sua utilização, não só do ponto de vista da área útil
disponível, mas também do ponto de vista econômico pela redução do volume de concreto e
aço empregados e área de formas.
O edifício e-Tower em São Paulo detém o recorde nacional de resistência do concreto
utilizado em estruturas: 128 MPa aos 28 dias. Outros edifícios, como o Suarez Trade Center
em Salvador e o complexo Evolution Towers em Curitiba, utilizaram em suas estruturas
concreto com resistência na faixa dos 60 MPa, mesmo enquanto a Norma Brasileira NBR
9
6118:2003 – Projeto de Estruturas de Concreto: Procedimento – aplica-se apenas a concretos
convencionais com resistência mecânica de até 50 MPa.
A produção dos concretos de alta resistência não requer o emprego de materiais
exóticos nem de processos especiais. Sua fabricação está ao alcance de qualquer produtor de
concreto pré-misturado. Entretanto, conhecer mais profundamente suas propriedades
mecânicas e o comportamento de elementos estruturais fabricados com CAR permite, não
somente expandir a sua utilização como material de construção, mas também, empregá-lo
com maior confiança, resultando em projetos mais seguro e econômico. (FERRARI et al.,
1996).
Concreto de Alta Resistência é uma referência particular, quando consideradas apenas
as características relativas ao comportamento mecânico, do Concreto de Alto Desempenho
(CAD). Alterado por aditivos químicos e/ou minerais, o CAD apresenta maior fluidez, maior
resistência à flexão, módulo de elasticidade mais alto, maior durabilidade, menor
permeabilidade e, principalmente, maior resistência à compressão. O alto desempenho do
concreto também pode ser relativo à características específicas, como menor porosidade,
maior durabilidade, maior resistência ao fogo, maior resistência a ataques químicos, entre
outras.
Mehta (1996) propõe que qualquer definição de Concreto de Alto Desempenho deva
incluir o termo durabilidade sob condições de serviço. Contudo, não é a resistência do
concreto, mas a estabilidade dimensional e a não fissuração sob serviço que são os
ingredientes chave para o seu comportamento de alto desempenho.
Segundo Mehta e Monteiro (1994), as altas resistências são efeito da redução da
porosidade, da heterogeneidade e da micro-fissuração na pasta e na zona de transição, o que
leva o CAR a apresentar comportamento diferente do concreto convencional sob vários
aspectos.
Dentre as propriedades mecânicas do CAR, o comportamento frágil na ruptura é a
característica de maior relevância no estudo e dimensionamento das estruturas, sendo
necessário o embasamento em normas e publicações internacionais como o Código Modelo
CEB-FIP, Publicações dos Comitês do ACI e a Norma Norueguesa NS 3743.
O problema da baixa ductilidade em pilares de concreto de alta resistência é tão
significativo que muitas técnicas têm sido pesquisadas, como, por exemplo, a da adição de
fibras metálicas ao concreto (LIMA JÚNIOR, 2003 e OLIVEIRA, 2004) ou do confinamento
por estribos ou encamisamento da peça. Além disso, o uso do CAR também tem sido aplicado
10
não só como material constituinte do pilar, mas também como uma alternativa para o seu
reforço (TAKEUTI, 2003). Pode-se observar que a maioria dos trabalhos investiga as
situações de compressão centrada e flexo-compressão reta. No entanto, em termos práticos, a
situação mais usual à qual o pilar estará submetido será a da flexo-compressão oblíqua.
Dentro desse contexto o CAR, apesar de apresentar diversas vantagens de ordem
técnica, tem sua aplicação limitada pela falta de conhecimento científico na área de
ductilização de estruturas, sobretudo de ductilização de pilares.
1.2. OBJETIVOS
As técnicas de análise empíricas fornecem indicativos do comportamento estrutural de
um determinado elemento, mas são restritas às condições de contorno do ensaio. Já a análise
numérica é um procedimento para a interpretação do comportamento estrutural, sem, no
entanto, ter a sua comprovação prática. Entende-se que a união desses dois procedimentos
pode ser de grande valia para a geração de novos conhecimentos e a sua generalização,
também dentro de certas condições de contorno. Neste ponto, a análise numérica pode ajudar
a definir quais seriam essas condições.
O presente trabalho tem por finalidade investigar, utilizando a análise numérica, os
efeitos da conjunção dos materiais aço e concreto na deformação de pilares de CAR
submetidos a força centrada, com o objetivo de definir quais taxas de armadura conduzem à
adequada ductilização desses elementos estruturais.
Dentro desta lógica, são estudadas as influências sobre a ductilidade de pilares de
concreto armado: as taxas das armaduras transversais e longitudinais, o espaçamento entre as
armaduras transversais (estribos) e da relação base/altura da peça estrutural (efeito escala),
através da visualização e análise de curvas força-deformação obtidas pelos códigos CASTEM
2000.
Essas atividades numéricas são desenvolvidas para concretos com diferentes valores
de resistência à compressão, tendo como base experimental (comparativa), resultados de
pilares ensaiados em laboratórios de pesquisa brasileiros produzidos por Agostini (1992),
Paiva (1994), Lima (1997) e Lima Junior (2003).
11
1.3. APRESENTAÇÃO
No segundo capítulo desse trabalho é apresentado o Concreto de Alta Resistência
desde a alteração da microestrutura do material provocada pela adição de sílica ativa e
superplastificante até considerações de norma a respeito de seu comportamento mecânico.
Apresenta-se também os conceitos de ductilização de elementos estruturais de CAR
publicados na literatura internacional.
No terceiro capítulo são apresentadas as particularidades do estudo dos pilares de CAR
considerando as recomendações sobre armadura de confinamento e capacidade resistente
desses elementos estruturais e os resultados obtidos por alguns pesquisadores.
No quarto capítulo é apresentado o Código CASTEM 2000 e os modelos utilizados
para a análise dos pilares neste trabalho.
No quinto capítulo é apresentada a estrutura da análise numérica realizada, bem como
uma discussão a respeito dos resultados experimentais extraídos da literatura utilizados para a
análise.
No sexto capítulo são apresentados os resultados numéricos e as respectivas
discussões.
No sétimo capítulo são apresentadas as conclusões e discussões sobre possíveis
trabalhos futuros.
12
2. C
ONCRETO DE ALTA RESISTÊNCIA
(CAR)
2.1. CARACTERÍSTICAS
O Concreto de Alta Resistência (CAR) se desenvolveu na década de 70 pela inclusão
de sílica ativa e superplastificantes na massa básica de concreto, ambos com a capacidade de
aumentar sua resistência à compressão pela alteração da micro-estrutura do material.
Os superplastificantes conferem fluidez à pasta, o que possibilita uma menor
quantidade de água de amassamento para uma mesma trabalhabilidade do concreto fresco. A
quantidade de água utilizada dessa forma se aproxima daquela apenas necessária para a
hidratação do cimento, eliminando grande parte dos vazios deixados pela água não utilizada
nas reações de hidratação. Essa menor porosidade final eleva a resistência à compressão do
concreto endurecido.
A sílica ativa tem o efeito de ocupar os espaços intersticiais dos cristais de cimento
hidratado, devido à sua elevada finura, dando maior compacidade e menor deformabilidade ao
concreto endurecido. Em menor escala, a sílica ativa também tem efeito cimentício quando
13
hidratada, tornando-se parte sólida incorporada aos cristais que conferem resistência ao
concreto.
A alta reatividade da sílica ativa com o hidróxido de cálcio produzido na hidratação do
cimento Portland, juntamente com as baixas relações água/aglomerante, propiciadas pelos
aditivos superplastificantes, contribuem diretamente para se produzir um concreto com
elevada resistência à compressão.
O maior ganho de resistência do CAR, porém, está na influência da sílica ativa sobre a
interface pasta-agregado. Esta superfície é a região de maior fragilidade do concreto, onde
ocorrem as primeiras fissuras e por onde passam os planos de ruptura do material pela
pequena aderência entre a pasta de cimento e o agregado graúdo. Durante o processo de
mistura do concreto usual, parte da água de amassamento tem a função de dar trabalhabilidade
à massa, que se faz pela lubrificação da areia e da pedra, diminuindo o atrito entre esses
elementos. A água adsorvida na superfície dos agregados impede a perfeita aderência da pasta
criando uma zona frágil no interior do concreto.
A Figura 2.1 apresenta o efeito da sílica ativa na vizinhança do agregado. O efeito é
potencializado pela redução de água livre com a utilização de superplastificante.
a) b) c) d)
Figura 2.1 – Representação da atuação da sílica ativa na interface agregado-pasta
Fonte: Modificado de ALMEIDA (1996)
a) Concreto fresco sem sílica ativa, com grande espaço preenchido pela água em torno do agregado
(agg), devido à exudação e ao empacotamento (packing) deficiente dos grãos de cimento (pc) na
fronteira.
14
b) Zona de transição do sistema (a), em estágio de maior maturidade, mostrando o preenchimento com
hidróxido de cálcio (CH) e silicato de cálcio hidratado (CSH), mas ainda com espaços vazios,
alguns dos quais preenchidos com materiais aciculares, provavelmente etringita.
c) Concreto fresco com microsílica (sf), cujas partículas preenchem o espaço em torno dos agregados,
ilustrados no item (a) pela água.
d) Zona de transição menos porosa, obtida com o sistema ilustrado no item (c), em estágio de maior
maturidade.
A alteração da microestrutura do CAR provocada pela introdução da sílica ativa e
utilização de superplastificante confere ao concreto muitas mudanças no seu comportamento
mecânico que não apenas ganho de resistência. A maior homogeneidade da massa também
leva a menores deformações (maior módulo de elasticidade), menor coeficiente de Poisson
para altas tensões, melhor distribuição interna das tensões, maior linearidade no diagrama
tensão-deformação, ruptura mais frágil (menor ductilidade), menor fissuração e maior
resistência à tração (ACI, 1984).
Enquanto o concreto convencional é um material altamente poroso, heterogêneo, com
regiões de clara fragilidade (interface pasta-agregado), o CAR apresenta um comportamento
mais monolítico e estável perante tensões próximas à sua resistência.
Figura 2.2 – Diagrama tensão-deformação para concreto com resistências à compressão distintas
A Figura 2.2 apresenta um diagrama comparativo de tensão-deformação do concreto
submetido à compressão para três faixas de resistência. A curva inferior, com f
ck
por volta de
15
30 MPa, é de um concreto elaborado apenas com os materiais usuais, as duas superiores são
de um concreto com adição de microssília e plastificante. Embora a evolução do
comportamento da curva pareça gradual com o aumento da resistência à compressão, trata-se
de dois materiais distintos, com algumas diferenças no comportamento mecânico.
Pode-se notar pela Figura 2.2 que materiais mais resistentes à compressão apresentam:
a) maior módulo de elasticidade (E) indicado pela parte ascendente mais íngrime;
b) maior linearidade da relação tensão-deformação subcrítica;
c) maior deformação específica para tensão máxima (ε
c
), cerca de 2‰ a 2,5 ‰ para o
concreto convencional e 3‰ para o CAR;
d) ruína mais frágil indicada pela parte descendente do gráfico.
Para o concreto convencional, Mehta e Monteiro (1994) estabelecem quatro estágios
do comportamento do concreto, em termos de micro-estrutura, enquanto submetido a um
comportamento monotônico até a ruína. Analisando o diagrama tensão x deformação esses
estágios são limitados, aproximadamente, em 30%, 50% e 75% da resistência (f’
c
). Durante o
primeiro estágio as microfissuras na interface pasta-agregado são estáveis e as deformações
são essencialmente elásticas. No segundo estágio as fissuras aumentam em tamanho e
quantidade até que no terceiro estágio surgem fissuras na matriz e a interface está
desestabilizada, levando a maior deformação a cada incremento de força. No quarto estágio
surge um processo espontâneo de interligação das fissuras pelo acúmulo de tensões ao seu
redor pela liberação da energia de deformação elástica.
No CAR as fissuras não ocorrem preferencialmente na interface pasta-agregado.
Quanto mais monolítico tende a ser o comportamento do material, mais linear, mais elástica e
de maior módulo (E) é a deformação do concreto. A ruína do CAR, então, se dá pelo
surgimento de fissuras de maneira endêmica pela matriz e pelos agregados, que se manifestam
e se propagam rapidamente. Dessa forma, é comum notar-se a ruptura dos corpos-de-prova
apresentando-se de maneira bastante abrupta e com superfícies de ruptura atravessando os
agregados.
16
2.2. PARÂMETROS DE COMPORTAMENTO MECÂNICO PARA O
CAR
As pesquisas realizadas sobre o CAR no mundo inteiro permitiram uma rápida
evolução na técnica de produção e da tecnologia dos materiais, quando comparada às normas
de cálculo de estruturas destes concretos. Algumas instituições organizaram comitês para a
reunião de informações já consolidadas e promover a atualização das normas de
dimensionamento de estruturas de concreto. Destacam-se, nesse sentido, o CEB – Comitê
Euro-Internacionale du Betón (atualmente FIB – Fédération Internacionale du Betón), o ACI
– American Concrete Institute e a Standard Norge, responsável pela normatização
norueguesa.
A Norma Norueguesa regulamenta o cálculo e construção de estruturas de concreto
com até 94 MPa de resistência à compressão, o Código Modelo CEB-FIP (1991) contempla
concretos com resistências até 80 MPa e o O ACI não apresenta limite de resistência para o
concreto.
No Brasil a norma NBR 6118:2003 aplica-se a concreto com resistência à compressão
até 50 MPa. Apresentamos a seguir uma compilação das propriedades mecânicas do CAR
apresentadas pelo ACI, CEB-FIP e NS.
2.2.1. Model Code – MC90 CEB (1991)
Aplicável para concreto com resistência entre 12 MPa e 80 MPa, aferida em corpos-
de-prova cilíndricos padrão com 15 cm x 30 cm.
- Resistência à tração
3/2
30,0
ckctk
ff = [MPa]
(2.1)
- Módulo de Elasticidade
3/14
)8(10 +=
ckec
fE
α
[MPa]
(2.2)
Sendo α
e
função do agregado utilizado, conforme a tabela 1.
17
Tabela 2.1 – Valores de αe (MC 90 CEB)
α
e
Agregado
1,2 Basalto
1,0 Quartzo
0,9 Calcáreo
0,7 Arenito
- Relação tensão-deformação
Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação aproximado para concreto segundo CEB
Aproximação do comportamento para um diagrama do tipo parábola-retângulo, onde
para o trecho parabólico (ε
c
< ε
c1
) vale a equação 2.3.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
11
285,0
c
c
c
c
cdcd
f
ε
ε
ε
ε
σ
[MPa]
(2.3)
Sendo que para f
ck
menor que 50 MPa utilizam-se os valores limites usuais de
deformação 2‰ e 3,5 ‰ para ε
c1
e ε
cu
, respectivamente. Para 50 < f
ck
≤ 80 MPa a deformação
é minorada, como mostrado na equação 2.4.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ck
cu
f
50
0035,0
ε
[com f
ck
MPa]
(2.4)
18
2.2.2. Norma Norueguesa NS 3473 (1992)
Utiliza corpos-de-prova cúbicos com 10 cm de aresta para a obtenção da resistência à
compressão. Aplica-se a concreto com resistência entre 20 e 94 MPa.
- Resistência à tração
6,0
30,0
ckctk
ff = [MPa], limitado em 4 MPa.
(2.5)
- Módulo de Elasticidade
3,0
9500
ckc
fE =
[MPa]
(2.6)
- Relação tensão-deformação
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação aproximado para concreto segundo CEB
Recomenda-se a utilização desse modelo para concreto com resistência à compressão
entre 55 MPa e 85 MPa. O comportamento da curva possui o mesmo aspecto geral do
diagrama parábola-retângulo, porém com um trecho inicial de evolução linear. A rigor, os
sinais são mantidos e a deformação por encurtamento é considerada negativa.
ccncn
E
ε
σ
= [MPa] para 06,0 <≤
−
ccncn
Ef
ε
1
6,0
)6,0(
6,0
)1(
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−+=
m
m
cn
cncn
cnccncn
fm
fE
fmE
ε
εσ
[MPa] para
cncncc
Ef6,0
0
−
≤
<
ε
ε
cncn
f−=
σ
[MPa] para
0cccu
ε
ε
ε
≤
<
(2.7)
19
Sendo considerados:
()
cncu
m
ε
ε
5,15,2 −=
cn
cn
cn
E
f
−
=
ε
cu
c
m
ε
ε
0
=
(2.8)
Para a Norma Norueguesa a resistência de cálculo f
cd
é ponderada por um coeficiente
γ
m
em função da resistência do concreto, da velocidade do carregamento e da idade do
material. Esse conceito deve ser mais discutido no Capítulo 3, quando tratar da capacidade
resistente dos pilares.
2.2.3. ACI Committe 363 e 318
O ACI considera Concreto de Alta Resistência aquele com f
ck
superior a 70 MPa,
obtido a partir de corpos-de-prova do tipo cilíndricos reduzidos de 10 cm x 20 cm.
- Resistência à tração
ckctk
ff 54,0= [MPa]
(2.9)
-Módulo de Elasticidade
5,05,1
43,0
ckcc
fwE = [MPa]
(2.10)
Sendo w
c
o peso específico do concreto dado em kg/m³.
2.3. DUCTILIDADE DAS ESTRUTURAS EM CAR
Embora o CAR apresente grandes vantagens na sua utilização, tanto no que se refere
ao seu comportamento mecânico mais estável quanto à diminuição do tamanho das peças e
redução no peso próprio das estruturas, alguns aspectos relacionados à sua resistência e
20
ductilidade têm sido alvos de preocupações no que concerne à segurança dos elementos
estruturais.
A ductilidade de uma estrutura pode ser entendida como a capacidade de se deformar
sem perda de suas propriedades resistentes, garantindo segurança à edificação. Deformações
de origem de recalques de fundações e variações de temperatura, por exemplo, são muito
freqüentes e nesses casos a estrutura deve apresentar tolerância a esses fenômenos sem que
entre em colapso.
Em ensaios de corpos-de-prova submetidos à compressão uniaxial com controle de
deformação, os concretos convencionais, ou seja, de resistência à compressão até 30 MPa,
segundo Amaral Filho (1990), podem sustentar sua capacidade resistente máxima para um
amplo intervalo de deformações enquanto que para os corpos-de-prova de CAR a diminuição
da capacidade resistente ocorre rapidamente com o aumento das deformações.
No caso dos concretos convencionais o problema da fragilidade do material é
contornado pelo uso adequado de armadura. No caso das vigas, por exemplo, a armadura
longitudinal é prescrita de tal maneira que a falha seja governada pelo aço, resultando daí uma
falha dúctil (FRANÇA e DINIZ, 2001). No caso dos pilares curtos sujeitos a forças com
pequena excentricidade, que falham em compressão, a ductilidade do pilar pode ser
aumentada a partir do detalhamento adequado das armaduras transversais de confinamento na
forma de estribos ou espirais (AGOSTINI, 1992).
Uma das principais aplicações estruturais do concreto de alta resistência é em pilares
de edifícios altos, cujo comportamento estrutural é governado pelas propriedades mecânicas
do concreto. Esse fato torna a ductilidade desses elementos estruturais bem mais sensível ao
tipo de concreto utilizado e ao seu respectivo diagrama tensão vs. deformação. Observa-se,
assim, que, quando o concreto de alta resistência é aplicado a pilares, a ductilidade desses
elementos estruturais é reduzida e sua ruptura fica caracterizada por pequenas deformações.
Deste modo, a redistribuição de esforços capazes de evitar o colapso de uma
edificação, quando da ruína de um pilar, é comprometida. Em países onde existe o risco de
abalos sísmicos, esse comportamento torna-se ainda mais preocupante, pois variações bruscas
de ações podem levar uma edificação ao colapso sem nenhum aviso prévio.
Segundo Lima Jr (2003) para solucionar este problema, diversos pesquisadores, no
Brasil e no mundo, vêm estudando o comportamento dos pilares de Concreto de Alta
Resistência, visando ao melhoramento da capacidade de absorção de energia dessas
estruturas. Entre esses estudos, destacam-se os trabalhos internacionais de Bjerkeli et alii
21
(1990), Cusson e Paultre (1994), Ibrahim e MacGregor (1996), Samaan, Mirmiran e Shahawy
(1998), Diniz e Frangopol (1998) e Razvi e Saatacioglu (1999-b). Além desses, merecem
destaque trabalhos experimentais nacionais, como, por exemplo, o de Agostini (1992), Paiva
(1994), Perdão Júnior (1994) e Fernandes (1997), todos estes desenvolvidos na Faculdade de
Engenharia Civil da UNICAMP, e Lima (1997), Queiroga (1999), Vanderlei (1999),
Guimarães (1999), Lima Júnior (2003), etc., realizados na Escola de Engenharia de São
Carlos – USP.
Para estruturas de concreto armado de alta resistência, a ductilidade final dos
elementos estruturais depende não só da ductilidade de seus materiais constituintes – concreto
e aço – mas também do dimensionamento e do detalhamento da armadura. Vários estudos
apontam uma deficiência da armadura de confinamento no caso dos pilares elaborados com
CAR quando dimensionado conforme as técnicas usuais. Dentre eles pode-se apontar os
estudos de Ahmad e Shah (1982), Martinez, Nilson e Slate (1984), ACI (1997), Diniz e
Frangopol (1997a), França e Diniz (2001).
Os conceitos de ductilidade de pilares submetidos a carregamentos centrados e
excêntricos são essencialmente distintos: pilares submetidos à foca axial excêntrica têm sua
ductilidade medida de forma análoga às vigas com uma relação entre as curvaturas ou flechas,
enquanto pilares com força centrada não possuem curvaturas, mas apenas deslocamentos ao
longo do seu eixo longitudinal, na direção do carregamento.
Cusson e Paultre (1994) relacionaram um comportamento mais ou menos dúctil à taxa
de armadura do pilar capaz de provocar um confinamento no concreto evitando o surgimento
de tensões de tração no interior do elemento, pois o efeito de Poisson ocorre no sentido de
aumentar a seção transversal do elemento submetido à compressão uniaxial. Dessa forma, a
armadura longitudinal e, sobretudo, a armadura transversal, assumem a função de conter o
concreto interior às armaduras confinado em um núcleo submetido a um estado triaxial de
tensões.
Muitos trabalhos experimentais, como os de Agostini (1992), Paiva (1994), Lima
(1997), Saatcioglu e Razvi (1998) e Queiroga, Giongo e Takeya (1999), têm buscado
encontrar taxas de armadura de confinamento do concreto para diferentes configurações
físicas e geométricas de pilares de CAR. Esta técnica de confinamento traduz-se, basicamente,
em se adotar altas taxas de armadura transversal (seja por estribos ou encamisamento por
chapas de aço ou materiais compósitos), de modo a gerar um confinamento passivo capaz de
22
controlar o processo de fissuração e a expansão lateral do concreto e, desse modo, aumentar a
ductilidade desses elementos estruturais.
Figura 2.5 – Diagrama Força – Deformação para pilares de concreto de CAR submetidos
à compressão centrada
Fonte: CUSSON e PAULTRE (1994)
Agostini (1992) e Paiva (1994), com trabalhos pioneiros no Brasil, ensaiaram pilares
sob força centrada com taxa de armadura transversal entre 1,5% e 3,0%. O primeiro analisou
o comportamento dessas taxas de armadura para pilares de seção quadrada de dimensões 8 cm
x 8 cm x 48 cm e resistência média à compressão do concreto de 73,8 MPa, onde concluiu
que taxas de armadura iguais e superiores a 1,75% apresentaram fissurações bastante visíveis
no cobrimento antes da ruína do pilar, mas o confinamento só pode ser garantido com 3,2%
de taxa de armadura longitudinal e 2,2% de armadura transversal. Paiva (1994) sugeriu
alterações na seção transversal e ensaiou pilares de dimensões 8 cm x 10 cm x 48 cm, com
resistência média do concreto de 64,7 MPa sendo que para tais pilares concluiu que taxas de
2,0% de armadura transversal ou superiores são capazes de evitar a ruptura frágil.
Lima (1997), em seus pilares ensaiados à compressão centrada, introduziu os
conceitos de taxas de armadura em relação ao núcleo confinado de concreto e de taxa mais
densa de armadura nas extremidades para evitar rupturas por tensões localizadas. Esses pilares
foram divididos em 4 séries distintas: as duas primeiras com seções quadradas de dimensões
20 cm x 20 cm x 124 cm, com taxas de armadura transversais de 1,57% e 0,51% e outras duas
séries, de dimensões 15cm x 30cm x 94 cm, com taxas de armadura transversal de 1,01% e
2,02% . Os pilares utilizaram concreto de resistência média à compressão de 86,7 MPa. Sua
23
conclusão foi a de que taxas de armadura transversal de 1,03% seriam capazes de levar os
pilares à ruptura dúctil.
Saatcioglu e Razvi (1998) estudaram pilares de dimensões 25 cm x 25 cm x 90 cm
submetidos a força centrada, com taxas de armadura transversal variando entre 0,99% e
4,59% e resistência do concreto variando entre 60 MPa e 124 MPa. Conclui que a relação
entre a taxa de armadura transversal e a resistência do concreto deve ser de no mínimo 5,0 %
para que o pilar apresente ruptura dúctil.
Alguns autores que realizaram experimentos com pilares de CAR submetidos a força
excêntrica não objetivaram avaliar taxas de armadura de confinamento eficiente. Agostini
(1992) e Lima (1997), por exemplo, discutem deformações atingidas no concreto comprimido
de seus pilares. Ibrahim e MacGregor (1996) discutem parâmetros geométricos dos pilares
para a determinação de sua força de ruína.
Outra técnica de comprovada eficiência, que também vem sendo estudada, é a adição
de fibras de aço à massa do concreto (Taerwe, 1992; Hsu e Hsu, 1994; Nataraja et alii, 1999; e
Guimarães, 1999) A utilização de fibras em materiais frágeis, buscando ganho de ductilidade,
data de tempos remotos. Contudo, aplicada ao concreto, essa técnica é bastante recente,
apresentando ainda vários problemas a serem solucionados, tais como: problemas com a
trabalhabilidade do concreto fresco e desconhecimento das taxas ideais de adição de fibras.
Quando adicionadas ao concreto, as fibras geram um tipo de “confinamento” que mantém o
concreto íntegro, mesmo para elevadas deformações, aumentando de forma considerável a
ductilidade deste material. A grande vantagem do tipo de “confinamento” gerado por essa
metodologia é que ele é imune aos efeitos da flexo-compressão. Destaca-se, no uso desta
técnica o trabalho de Lima Junior (2003) desenvolvido no Brasil.
24
3. P
ILARES DE CONCRETO DE ALTA
RESISTÊNCIA
Os pilares são peças alongadas submetidas, essencialmente, a esforços de compressão
em seu sentido longitudinal. De maneira geral, os pilares recebem esforços diretamente das
lajes e/ou vigas nele apoiadas. Dependendo de sua posição na estrutura, ou melhor, da
disposição das vigas ao seu redor, o carregamento pode apresentar pequena ou grande
excentricidades, estando menos ou mais sujeito a esforços de flexão.
A armadura longitudinal se presta a compor a resistência à compressão do pilar e a
atender as solicitações excêntricas. As barras são dispostas nas extremidades da seção
transversal para aumentar a eficiência dos esforços resistentes. A armadura transversal tem a
função de conter a flambagem da armadura longitudinal e a conseqüente perda de estabilidade
da peça. Com pequenos espaçamentos, a armadura transversal é capaz de promover o
confinamento do núcleo de concreto pela resistência às deformações transversais causadas
pelo efeito de Poisson.
A natureza dos esforços aos quais ao pilares estão submetidos leva este elemento
estrutural a ter seu comportamento mecânico mais fortemente influenciado pelas
25
características do concreto. A fragilidade do CAR em vigas é contornada pelo
dimensionamento apropriado da armadura longitudinal de modo a ter a sua ruína governada
pelo aço responsável por absorver as forças de tração. Pelo fato de os pilares não estarem, via
de regra, submetidos à tração longitudinalmente, a organização da armadura de modo a
ductilizar as deformações representa um desafio para pesquisa atual na área.
3.1. CAPACIDADE RESISTENTE DOS PILARES
A capacidade resistente teórica de um pilar usual é dada pela soma da resistência à
compressão do concreto e da resistência da armadura longitudinal, apresentada pela Equação
3.1. Essa expressão considera a distribuição uniforme de tensões na seção transversal, a não
flambagem da armadura e a solidariedade perfeita dos materiais.
()
ssscpilarcteo
AAAfF
σ
+−=
,
(3.1)
sendo, F
teo
é a máxima força teoricamente suportada pelo pilar;
f
c,pilar
é a resistência à compressão do concreto no pilar;
A
c
é a área de seção transversal do pilar;
A
s
é a área de seção transversal da armadura longitudinal e
σ
s
é a tensão da armadura longitudinal para uma deformação de 2‰.
A resistência do concreto no pilar (f
c,pilar
) difere da resistência à compressão do corpo-
de-prova por uma constante k
mod
. Essa constante é o produto das constantes k
1
, k
2
e k
3
que
representam, respectivamente, o acréscimo da resistência em longo prazo (efeito das reações
lentas de hidratação do cimento), a diferença de resistência entre o cilindro padrão e a
estrutura (efeito geométrico) e a diminuição da resistência do material sob ações de longa
duração (efeito Rüsch). Fusco (1989) resume os valores clássicos adotados para essas três
constantes: k
1
= 1,2, k
2
= 0,95 e k
3
= 0,75, cujo produto é k
mod
= 0,85 que costumeiramente
acompanha f
cd
(resistência de cálculo do concreto à compressão) nas equações de
dimensionamento de estruturas de concreto armado.
Os primeiros trabalhos com pilares de CAR notaram que a capacidade resistente
teórica dos pilares era sempre superior à capacidade resistente dos pilares experimentais
(AGOSTINI, 1992, LIMA, 1997 e QUEIROGA, 1999). Associado a esse comportamento os
26
pilares, via de regra, apresentam o destacamento prematuro do cobrimento, levando os
pesquisadores a crerem que apenas o núcleo de concreto, interior às armaduras e confinado
por estas, tinha função resistente. Dessa forma a Equação 3.1 foi modificada para a forma
apresentada na Equação 3.2, com os mesmos termos, a menos por A
nc
que representa a área de
seção transversal do pilar interior às armaduras, ou seja, a área do núcleo de concreto.
ssncpilarcteo
AAfF
σ
+=
,
(3.2)
Pesquisas posteriores discutiram outros parâmetros de resistência associados ao CAR.
Lima Jr (2003) e Oliveira (2004) ensaiaram para cada modelo de pilar, segundo seus
programas experimentais, um prisma de mesma geometria sem qualquer armadura. Dessa
forma conseguiram estabelecer uma relação entre a resistência dos cilindros de controle
(cilindro reduzido 10 cm x 20 cm) e a resistência dos prismas. O valor de
k
2
obtido pelos
autores são, respectivamente, de 0,84 para
f
ck
de 80 MPa e 0,91 para f
ck
por volta de 40 MPa.
A norma norueguesa NS 3473 E (1992) admite que
k
2
pode ser aproximado pela
Equação 3.3 para 12 <
f
cj
< 94 MPa.
(
)
2908,1ln1358,0
2
+
−=
cj
fk , com f
cj
em MPa
(3.3)
Considerando o efeito da hidratação lenta e do carregamento de longo prazo os
mesmos para o CAR e o concreto convencional, a variação de
k
2
afeta diretamente o
comportamento das estruturas em CAR. Segundo a Equação 3.3,
k
2
varia com o oposto do
logaritmo neperiano de
f
ck
. A Figura 3.1 apresenta a relação entre f
ck
e f
c,pilar
considerando k
1
e
k
3
segundo Fusco (1989) e k
2
segundo a norma norueguesa.
27
0
20
40
60
80
100
0 20406080100
fc (MPa)
fc (MPa)
fck
fc,pilar
Figura 3.1 – Relação entre a resistência do concreto (f
ck
) e a resistência do pilar (f
c,pilar
)
Lima Jr (2003) e Oliveira (2004) apresentam uma nova perspectiva para a
compreensão da resistência à compressão dos pilares armados de CAR mostrando a não-
linearidade entre
f
ck
e f
c,pilar
. Observando a Figura 3.1 podemos notar que f
c,pilar
chega a ser
quase 40% menor que
f
ck
para resistências da ordem de 80 MPa.
Essa relação entre
f
ck
e f
c,pilar
não é absoluta para qualquer arranjo de armaduras. Um
estado triaxial de tensões é gerado pelo confinamento do concreto no núcleo e pode ocasionar
um acréscimo de tensões resistentes da ordem de 20 %., segundo PROENÇA (1988).
3.2. CONFINAMENTO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO
Nos pilares, o concreto pode ser submetido a um estado tri-axial de tensões, por meio
do confinamento por armaduras transversais. Essas armaduras podem ser formadas por
estribos com pequeno espaçamento, por tubos metálicos, ou ainda por tubos de materiais
compósitos. Em todos esses casos, as armaduras transversais geram um confinamento
passivo. A elevada capacidade resistente dos pilares de CAR leva ao surgimento de tensões
transversais significativas pelo efeito de Poisson.
Para pequenas intensidades de forças, a expansão lateral do concreto é desprezível,
conseqüentemente a armadura transversal praticamente não é solicitada e o comportamento do
concreto é semelhante ao do não-confinado. Com a elevação da força para intensidades da
resistência uniaxial do material, o processo de microfissuração se intensifica, a expansão
28
lateral do material atinge o valor máximo e, então, a armadura transversal é solicitada
intensamente, confinando o concreto do elemento estrutural.
O efeito do confinamento do concreto em pilares submetidos à compressão axial traz
vários benefícios ao seu comportamento estrutural, entre os quais destaca-se a melhoria da
ductilidade do elemento estrutural, sobretudo no caso e pilares de CAR, o aumento na
resistência à compressão axial do concreto em virtude da ação das pressões laterais.
Entretanto, dependendo da forma da seção transversal, a eficiência pode ficar comprometida
em função da distribuição a pressão de confinamento.
A armadura de confinamento é, portanto, muito utilizada em pilares de concreto
armado com o objetivo de aumentar a capacidade resistente e melhorar o seu comportamento
no tocante à ductilidade. Cusson e Paultre (1992) explicam que isso acontece pelo fato de a
distribuição de tensões de confinamento longitudinalmente, entre os estribos serem em forma
de arco. Desse modo o espaçamento entre os estribos deixa um volume de concreto sem
confinamento, que pode se desprender da peça durante a aplicação da força na estrutura por
causa do gradiente interno de tensões, conforme mostra a Figura 3.2.
Figura 3.2 – Regiões de confinamento do concreto interior à armadura
Fonte: Cusson & Paultre (1994)
Pela figura anterior pode-se notar que quando o espaçamento entre os estribos for
grande, forma-se um volume de concreto sem efeito do confinamento e mais susceptível à
ruína.
29
Claeson e Gyltoft (2000) observaram por meio de ensaios de pilares de seção quadrada
que quanto menor for o espaçamento entre os estribos mais eficiente será o efeito do
confinamento, melhorando a ductilidade do pilar. Dessa forma, pode-se diminuir o diâmetro
da barra do estribo quando reduzido o espaçamento entre os mesmos.
O ACI 441 (1997), baseado nos trabalhos de Cusson e Paultre (1994) apresenta um
diagrama do comportamento de pilares de concreto de alta resistência submetidos à
compressão centrada (Figura 2.5). Neste diagrama pode-se observar que o comportamento
pós-pico dos pilares é diretamente influenciado pelo confinamento.
O ACI 441 (1997) indica que, ao contrário do que ocorre nos pilares de concreto
convencional, o cobrimento dos pilares de CAR se destacam prematuramente. Segundo Foster
et al (1998) e Foster (2001) isso se dá pelo grande volume de armadura transversal, que
interrompe a continuidade do concreto do núcleo e do cobrimento, gerando um plano
preferencial de falha, que é agravado quando o espaçamento dos estribos é pequeno.
Por outro lado, Sargin et al. (1971) sugerem que a presença de altas taxas de armadura
transversal prejudica a compactação do concreto do cobrimento e, assim, uma maior
concentração de ar e água localiza-se nesta região. Esses fatores fazem com que a resistência
do cobrimento seja inferior à do núcleo, colaborando para sua ruptura prematura.
Foster et al. (1998), por meio de análise com Elementos Finitos, mostraram que as
deformações laterais do núcleo são inferiores às do cobrimento, uma vez que a armadura
transversal impede a expansão lateral do núcleo. Esse gradiente de deformações gera tensões
de tração entre o núcleo e o cobrimento que, quando atinge a resistência à tração do concreto
ocasiona o surgimento de fissuras na interface núcleo-cobrimento, as quais ocasionam a
separação entre as duas partes. Para acontecer o destacamento do cobrimento é preciso, não só
o surgimento de fissuras, mas também outros mecanismos, como a flexão da armadura
longitudinal e a instabilidade lateral a que fica sujeito o cobrimento devido à sua alta esbeltez.
Diversos pesquisadores relatam que a tensão lateral de confinamento está diretamente
relacionada com a taxa de armadura transversal. O comportamento frágil do concreto pode ser
contornado com altas taxas de armadura de alta resistência, ductilizando o comportamento
pós-pico.
Cusson e Paultre (1992) observaram melhora tanto na ductilidade como também na
capacidade resistente dos pilares quando o espaçamento dos estribos era reduzido. O fato é
explicado uma vez que a distribuição de tensões de confinamento longitudinal, entre estribos,
30
se dá em forma de arco. Dessa maneira grande quantidade de concreto permanece não-
confinado quando o espaçamento aumenta, e o estado triaxial de tensões não se estabelece.
Carrazedo (2005) avaliou em sua tese de doutorado a influencia da forma da seção
transversal e da excentricidade da força de carregamento sobre o efeito de confinamento em
pilares de concreto encamisados com polímeros reforçados com fibras. O autor observou em
seus experimentos a ocorrência de reduções significativas dos efeitos de confinamento em
certos tipos de pilares de seção quadrada e retangular. A vertente numérica de seu trabalho
mostrou que os efeitos de segunda ordem no concreto confinado podem ser muito
importantes.
A dissertação de mestrado de Sudano (2005), também sobre confinamento de pilares
de concreto armado com fibras, mostra que a forma da seção transversal dos pilares,
quadrada, retangular e circular, com bordas arrendondados ou elípticas é fundamental para o
bom desempenho do pilar reforçado.
31
4. C
ÓDIGO CASTEM
A avaliação da ductilidade dos pilares armados de CAR é feita neste trabalho por meio
da análise numérica utilizando o código de cálculo CASTEM 2000. O programa foi
desenvolvido pela “Commissariat a l’Energie Atomic” (CEA), França, para o
desenvolvimento de pesquisas na área de mecânica das estruturas. Utiliza o Método dos
Elementos Finitos para a análise de muitos tipos de problemas, como mecânica dos
sólidos/fluidos, problemas térmicos ou eletromagnéticos. Para fins de pesquisa, o programa é
disponibilizado pela CEA no site www-cast3m.cea.fr
.
O código apresenta um sistema completo que integra não somente as funções de
cálculo propriamente ditas, mas igualmente as funções de construção do modelo e do
tratamento de resultados. Ele permite trabalhar ou tratar os problemas de mecânica das
estruturas dentro do domínio estático e dinâmico, além de permitir resolver os problemas
envolvendo não linearidade física e geométrica.
O código foi estruturado segundo uma técnica de programação orientada a objetos,
sendo possível criar objetos de diferentes tipos para definição de um único problema
(VARUM, 2003). Utiliza a linguagem de alto nível GIBIANI com uma grande quantidade de
comandos e operadores para definir e controlar o programa pela manipulação de objetos. Essa
macrolinguagem permite definir as características dos operadores usuais de análise por
32
elementos finitos pela simples instrução envolvendo comandos e operadores atuando na
entrada dos objetos para a criação de novos objetos, como se associasse “adjetivos” aos
operadores.
A característica de orientação a objetos do CASTEM o torna um código versátil e
flexível, no sentido de que pode se ajustar às especificidades de cada problema a ser
solucionado. Diferente de códigos clássicos de análise estrutural aplicável a problemas bem
definidos de estruturas, o CASTEM permite que o usuário construa seu próprio algoritmo,
acompanhe tarefa por tarefa, modifique sua seqüência, altere ou verifique as saídas após cada
passo. Ou seja, o CASTEM permite adequação às necessidades dos problemas de acordo com
as escolhas do usuário.
Os objetos são descritos por partes de informações agrupadas de acordo com
características de cada tipo de objeto. Comandos e operadores são utilizados inicialmente para
criar operações de entrada dos objetos e depois podem ser utilizados para unir objetos, dividi-
los, altera-los ou manipula-los de outras formas. A partir de então, são atribuídas
características aos objetos e definidas as condições de contorno do problema como qualidades
dos objetos, ou mesmo de partes deles.
Arêde (1997)
1
citado por Varum (2003) ilustram que para problemas complexos o uso
do CASTEM pode ser vantajoso: as seqüências de operações montadas em diferentes
segmentos de programa, utilizando a linguagem GIBIANI, podem ser associadas
posteriormente por meio de operadores, dessa forma o problema se torna a soma de pequenos
problemas bem caracterizados. O CASTEM possui alguns procedimentos usuais da análise de
estruturas pré-construídos, podendo ser utilizados pela associação de operadores à esses
objetos de biblioteca.
Uma outra particularidade do código CASTEM 2000 é possibilitar o desenvolvimento
de novos operadores de cálculo permitindo a resolução de outros tipos de problemas,
definindo, em certos casos, operadores diferentes daqueles já existentes. Esses novos
operadores podem ser desenvolvidos, testados e verificados independentes daqueles já
existentes no programa. Para isto, é necessário conhecer a estrutura dos dados contidos nos
objetos a serem tratados pelos novos operadores, assim como nos objetos comuns a todo o
programa.
1
AREDE, A. Seismic assessment of reinforced concrete freme structures with a new flexibility based
element – 1997. PhD thesis, FEUP, University of Porto, Portugal. 1997.
33
As operações são executadas pelos operadores que agem diretamente sobre um objeto
formando um argumento. As operações são feitas sobre objetos já disponíveis, contendo
informações características da análise efetuada ou de objetos específicos definidos somente a
fim de permitir a execução de uma operação requerida.
Assim, o simples fato de atribuir um nome a um número inteiro ou real permite a
geração do objeto correspondente, do tipo ENTIER (inteiro) e FLOTTANT (flutuante), nesse
caso são utilizados para efetuar operações algébricas com outros objetos.
As operações executadas sobre objetos conduzem à criação de novos objetos, sendo de
mesmo tipo ou tipo diferente do objeto operado. Assim os operadores do tipo algébrico ou o
operador ET (e) que une dois ou mais objetos são geralmente utilizados para a criação de
novos objetos do mesmo tipo que os objetos de origem.
Por outro lado, operadores mais sofisticados criam objetos de tipo diferentes. Por
exemplo o operador MODL (de modele, modelo) utiliza um objeto do tipo MAILLAGE
(malha) e de objetos do tipo MOT (palavra) podem criar um novo objeto do tipo MMODEL
contendo as referências geométricas, de formulação dos elementos finitos e comportamento
do material da estrutura analisada.
O código CASTEM 2000 utiliza os critérios de plasticidade de Drucker-Prager para o
concreto, o modelo elastoplástico perfeito para o aço e o método incremental iterativo de
Newton-Raphson. Entre os trabalhos científicos desenvolvidos com o auxílio do código de
cálculo CASTEM pode-se citar as teses de doutorado de Barbosa (1992), Varum (2003) e a
dissertação de Gamino (2003).
4.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O Método dos Elementos Finitos tem origem da adaptação de outros métodos
analíticos de cálculo: de Galerkin e de Rayleight-Ritz.
O método de Rayleight-Ritz consiste na elaboração de um funcional que descreva o
problema em todo o seu domínio e o aproxime para uma soma de equações aproximadoras,
sendo que todas elas devem satisfazer as condições de contorno reais. O novo funcional é,
então, minimizado de forma a se estabelecer o equilíbrio do sistema (um ponto de máximo,
mínimo ou inflexão). O desvio em relação a solução exata é fixado em um determinado valor
λ
.
34
O método de Galerkin não necessita de um funcional, sendo as equações diferenciais
que descrevem o problema a partida para a solução. Substituindo-as por uma soma de
equações aproximadores e sendo definidas funções ponderadoras (que fazem o resultado
convergir) e funções residuais (que representam o desvio da solução exata), garante-se que as
equações aproximadoras e as funções ponderadoras são ortogonais em seu domínio, fazendo
com que a função residual seja minimizada.
O método dos Elementos Finitos surgiu da dificuldade de se obter funções que
atendam as condições de contorno de forma consistente. O princípio de cálculo é geralmente
baseado no método de Rayleight-Ritz, sendo o domínio da integração subdividido em n
subdomínios chamados elementos finitos. Para cada elemento é montado um funcional
Π
i, tal
que o funcional que descreve o problema seja
Π
=
ΣΠ
i. O ponto de estabilização do funcional
Π
ocorre onde a sua variação tende a zero, ou melhor:
∂Π
= 0.
Quando
Π
é um funcional de deslocamento, deseja-se saber qual é a situação de
estabilidade estática da estrutura, e essa aplicação tem o nome de Método dos Elementos
Finitos, Método dos Deslocamentos, ou Método da Rigidez. Quando são estabelecidos
funcionais das tensões o princípio aplicado é o da mínima energia complementar e este é o
Método dos Elementos Finitos, Modelo das Forças ou Modelo da Flexibilidade.
A forma geral da solução do funcional é análogo à lei de Hooke, sendo
F = K.U, onde
F é o parâmetro em análise, K representa as condições de contorno e propriedades do material
e
U os parâmetros conhecidos sobre o sistema. Caso esteja-se estudando as tensões (F), K é a
rigidez do elemento e
U são as deformações sofridas. Por outro lado, sendo F as deformações
a serem conhecidas,
K é o inverso da rigidez (flexibilidade) e U são as tensões às quais o
elemento está submetido.
Quando a estrutura está discretizada em forma de malha a equação
F = K.U vale para
cada um dos elementos em seu subdomínio, com um sistema próprio de coordenadas
chamado sistema local. A Figura 4.1 mostra como está definido o sistema de coordenadas
para cada elemento.
A partir dessas considerações a solução do sistema se dá como uma soma de soluções
particulares, e os sistemas de coordenadas locais transpostos para uma sistema global de
coordenadas.
35
Figura 4.1 – Transposição da análise de um sistema global (estrutura) para o sistema local
(elemento finito)
36
Assim
F = K.U tem agora a forma {F} = [K].{U}, onde {F} e {U} são matrizes
colunas dos parâmetros nodais de tensões e deformações e [
K] é a matriz rigidez (ou
flexibilidade) do sistema.
O processo computacional de análise da estrutura possui simplificações muito
importantes, pois o processo matemático de criação dos funcionais do sistema é intrínseco no
programa utilizado. Sendo assim, podemos resumir os processos de cálculo via computador
em:
- Divisão dos domínio em elementos discretos;
- Cálculo das matrizes de rigidez e força equivalente;
- Montagem das matrizes globais de rigidez e força;
- Introdução das condições de contorno;
- Solução do sistema de equações;
- Cálculo das tensões/deformações nos elementos.
Outros métodos numéricos de solução aproximada, como o Método dos Elementos de
Contorno (MEC) ou do tipo
mesh-less se desenvolveram a partir do MEF buscando eliminar a
dificuldade em se criar uma malha consistente e representativa do problema em análise. Neste
trabalho a geração da malha de elementos finitos é feita pela discretização bidimensional de
uma seção longitudinal dos pilares, sendo o concreto representado por elementos de placa de
quatro nós e a armadura por elementos de barra de dois nós.
O Método dos Elementos Finitos possibilita a solução de problemas relacionados à
elasticidade linear ou mesmo ligados à não linearidade física, sendo que possível retratar o
espectro de deformações e tensões em materiais com comportamentos reológicos distintos. A
não-linearidade geométrica do elemento estrutural é tratada pela evolução incremental da
força aplicada e a verificação do deslocamento correspondente. Dessa forma realiza-se a
linearização da resposta tensão-deslocamento e determina-se o valor residual de força em
cada passo, reduzindo-o a zero incrementalmente.
Segundo Proença (1988) a solução de problemas não lineares solucionados via método
dos elementos finitos deve sempre seguir alguns procedimentos, descritos a seguir.
37
Uma vez adotada uma lei de plasticidade que retrata a não linearidade física do
material concreto, uma correção sobre a força incremental é introduzida utilizando
procedimentos iterativos.
Assim, para um estado de carregamento, calcula-se via Método dos Elementos Finitos
os deslocamentos e, aplicando equações de compatibilidade, as deformações e as tensões.
Utilizando a lei de plasticidade adotada corrigem-se as tensões calculadas, provocando
um estado de tensão não compatível ao ocasionado pelo carregamento. Desta forma, irá existir
uma diferença entre a força aplicada e aquela necessária para restabelecer o equilíbrio,
devendo esta diferença ser correspondente ao grau de precisão desejado.
4.2 MODELAGEM GEOMÉTRICA
As estruturas utilizadas na construção civil são elementos tridimensionais. Porém,
algumas particularidades geométricas de cada um dos elementos permitem a associação destes
a modelos geométricos biaxiais ou até mesmo uniaxiais, simplificando a compreensão e o
tratamento do seu comportamento mecânico.
As dificuldades ligadas ao equacionamento da mecânica do contínuo para se resolver
um problema de estruturas podem ser sanadas pela utilização de métodos numéricos, sendo o
método dos elementos finitos um dos mais confiáveis e um dos mais utilizados métodos de
cálculo estrutural.
A consideração, dessa forma, de um problema realmente tridimensional para um
problema bidimensional ou até mesmo unidimensional, faz necessário explorar as
particularidades geométricas da estrutura para a utilização de um modelo matemático
simplificado, resultando em modelos aproximados como a teoria geral de vigas ou de placas.
Dessa forma, pode-se utilizar elementos simples com custo operacional mínimo e que são
facilmente implantados e utilizados.
Entretanto, a vantagem econômica obtida por esse modelo aproximado deve estar
condicionada à validade da escolha e não pode ser obtida em detrimento da qualidade dos
resultados obtidos. Não é evidente prever se esta simplificação é ou não válida. Certos
problemas apresentam uma ambigüidade neste aspecto e se faz necessário passar da
experimental para a numérica a fim de quantificar a influencia da simplificação do modelo
sobre a qualidade dos resultados obtidos.
38
O problema da análise de pilares exige a principio uma modelagem tridimensional
para se poder levar em consideração os fenômenos que podem intervir no comportamento do
elemento estrutural (terceira dimensão, cobrimento, geometria dos estribos, etc). Entretanto,
esses modelos embora apresentem uma aproximação física razoável e limite às hipóteses
simplificadoras exige um grande número de elementos para se obter resultados com
credibilidade. Além disso, conduz à uma super-estimação do tamanho do problema e faz
abstração de dois fatores importantes: o econômico e o mecânico. Os demais modelos,
bidimensional e unidimensional, permitem reduzir o tamanho do problema, mas apresentam o
inconveniente de ignorar, a princípio, a natureza do comportamento e a importância de certos
parâmetros que intervêm na estrutura.
No caso dos pilares estudados neste trabalho, a analise numérica considerou um
modelo bidimensional pelo fato deste se mostrar capaz de fornecer resultados próximos
daqueles obtidos experimentalmente por alguns dos autores avaliados e, sobretudo pela
limitação imposta pelo tempo de processamento de modelos tridimensionais, já que a matriz
de rigidez da estrutura cresce com o aumento dos graus de liberdade dos nós.
A seguir descreve-se de maneira simplificada o modelo bidimensional utilizado, assim
como os tipos dos elementos finitos escolhidos.
4.2.1 MODELO BIDIMENSIONAL
O modelo bidimensional supõe que o problema se reduz ao de uma estrutura plana
submetida à uma força aplicada em seu plano, conforme Figura 4.2. A malha é discretizada no
plano médio da estrutura e utiliza elementos de placa para representar o concreto e elementos
lineares para representar as barras de aço.
Este modelo oferece a vantagem de considerar
as deformações transversais, embora
limitas a um único plano que é o do modelo da estrutura. Definiu-se trabalhar com elementos
de campo de deslocamento quadrático, com os campos de deformação e de tensões lineares.
Este tipo de elemento representa uma boa relação qualidade/custo para os cálculos elásticos,
cujas qualidades não se perdem para os cálculos lineares.
39
Figura 4.2 – Tensões planas em um elemento estrutural
A modelagem do concreto foi feita utilizando elementos isoparamétricos de placa de
quatro nós e um elemento linear a dois nós para o aço. Esses dois elementos são clássicos e
usualmente utilizados por outros autores, Figura 4.3.
Figura 4.3 – Elementos finitos de placa quadrangular de quatro nós e linear de barra de dois
nós.
Y
X
1
2
34
1
2
Y
X
σ
x
σ
x
σ
y
σ
y
40
4.3 MODELOS REOLÓGICOS
O modelo reológico utilizado para o concreto é o de Drucker-Prager e para o aço é o
elasto-plástico perfeito.
O modelo elasto-plástico perfeito considera a relação tensão-deformação linear,
conforme a Lei de Hooke apresentada na Equação 4.1, com módulo de elasticidade finito e
diferente de zero até um determinado valor de tensão, a partir da qual o módulo de
elasticidade é nulo e o material entra em regime de escoamento. A Figura 4.4 representa o
modelo reológico para o aço, onde a tensão limite entre os regimes de deformação é
σ
y
,
conhecida resistência de escoamento para determinadas ligas aço-carbono usuais na
construção civil.
ε
σ
E=
(4.1)
Figura 4.4 – Relação tensão-deformação de materiais com comportamento elasto-plástico
perfeito
41
O modelo de Drucker-Prager é uma espécie de modelo elastoplástico que possui a
peculiaridade de não possuir uma tensão única de mudança de comportamento entre o regime
elástico e o plástico, mas sim uma combinação de tensões multiaxiais que levam a este limite.
A Equação 4.2 apresenta a equação que define a tensão limite entre os regimes elástico e
plástico, sendo
I
1
e J
2
invariantes função da tensões atuantes, definidas pelas relações 4.3, e
k
dp
e α são constantes do material.
()
dp
kJIf −+=
21
ασ
(4.2)
c
fAIJ
'
12
3 ≤+
3211
σ
σ
σ
++=I
()()
(
)
[
]
2
13
2
32
2
212
6/1
σσσσσσ
−+−+−=J
(4.3)
Segundo LEPRETRE (1988), os modelos de deformação plástica para o concreto
devem considerar por hipótese:
a) distinção da deformação elástica e plástica,
ε = ε
e
+ ε
p
;
b) comportamento isotrópico do material;
c) princípio de ortogonalidade entre as deformações;
d) utilização de diversos critérios de plasticidade para descrição da superfície limite
elasto-plástica, a fim de descrever o comportamento do concreto submetido à qualquer estado
de tensões (compressão, tração, torção, cisalhamento).
A Figura 4.5 apresenta o limite elástico e plástico para o concreto, segundo o modelo
reológico de Drucker-Prager, num caso bidimensional de tensões, sendo
σ
i
tensões em
direções ortogonais,
f
c
a resistência à tração uniaxial do material, f’
c
a resistência à
compressão uniaxial e
f’
bc
a resistência à bicompressão do material.
42
σ
σ
c
f
1
2
f
c
f '
bc
bc
f '
c
f '
f '
c
Figura 4.5 – Limite de plastificação segundo modelo reológico de Drucker-Prager
Fonte: LEPRETRE (1988)
A resistência à bicompressão do concreto (
f
bic
), ou seja, a resistência mecânica uniaxial
do concreto (
f
ck
) alterada pela presença de uma tensão confinante, é considerada neste
trabalho como sendo 125% da resistência à compressão, pelo fato de as tensões confinantes
nos pilares serem bastante inferiores à tensão principal. PROENÇA (1988) apresenta as
relações entre a tensão principal (
σ
1
) e a tensão confinante (σ
2
) conforme apresentado na
Figura 4.6. As Equações 4.4 definem
f
bic
para três diferentes valore de relação entre a tensão
principal e a tensão confinante.
Para 0
1
2
=
σ
σ
, f
bic
= f
c
Para 5,0
1
2
=
σ
σ
, f
bic
= 1,25.f
c
Para 1
1
2
=
σ
σ
, f
bic
= 1,16.f
c
(4.4)
43
Figura 4.6 – Resistência à bicompressão do concreto segundo PROENÇA (1988)
4.4 MÉTODOS INCREMENTAIS ITERATIVOS
Nos métodos incrementais iterativos, uma correção de equilíbrio é introduzida sobre a
força incremental utilizando procedimentos iterativos, onde a correção é feita por uma matriz
de rigidez. O método de Newton-Raphson ilustrado na Figura 4.7, um dos métodos iterativos
mais difundidos, utiliza para a correção do equilíbrio uma matriz de rigidez tangente
[k]
T
calculada para cada força incremental podendo assim ocasionar tempos computacionais
longos.
44
Força
Deslocamento
i+1
F
i
F
i
D
i+1
D
[k] atualizada a cada força incremental
T
Figura 4.7 – Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson modificado utiliza uma matriz de rigidez tangente
constante para todas as iterações, conforme a Figura 4.8.
Força
Deslocamento
i+1
F
i
F
i
D
i+1
D
[k] constante em todas as forças incrementais
T
Figura 4.8 – Método de Newton-Raphson modificado
45
Este método possui uma convergência mais rápida em relação ao método precedente
pois apresenta a vantagem de dispensar o cálculo de
[k]
T
para cada iteração, reduzindo
sensivelmente o tempo de cálculo.
Segundo Cabral
2
(1992) citado por Gamino (2003) a estratégia de solução de sistemas
de equações não lineares via método incremental iterativo do tipo Newton-Raphson pode ser
resumida da forma apresentada a seguir.
Considerando:
() ()
DSFDH −=
(4.5)
sendo
F é o vetor de forças nodais externas, S é o vetor de forças nodais internas, D é
o vetor de deslocamentos nodais e
H é o vetor resultante da diferença entre esforços externos
e internos.
O primeiro passo consiste em dividir o carregamento total atuante em n partes
calculando-se desta forma a força incremental
∆
F
i
de tal forma que se possa obter o campo de
tensões e de deformações em qualquer ponto da estrutura analisada, segundo a força
incremental atuante.
O segundo passo consiste em realizar uma iteração com a força incremental calculada
por:
iii
FFF ∆+=
+1
(4.6)
O terceiro passo consiste em aplicar o processo de Newton-Raphson em
H(D)
resultando:
()
j
DD
jj
DH
D
H
DD
j
.
1
1
−
=
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−=
(4.7)
Aplicando-se a derivada parcial ao vetor de esforços residuais
H:
2
CABRAL, J. P. Sobre a integração de tensões na análise de sólidos elastoplásticos perfeitos em estado
plano de deformações. 1992. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo, Universidade São Paulo. São Paulo, 1992.
46
T
k
D
S
D
S
D
F
D
H
=
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
(4.8)
Uma vez que os esforços externos
F não são dependentes dos deslocamentos D e k
T
é
a matriz de rigidez tangente.
Assim:
()
j
DD
jj
DH
D
S
DD
j
.
1
1
−
=
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−=
(4.9)
O quarto passo consiste em recalcular a matriz de rigidez tangente para cada iteração.
O quinto passo consiste em verificar a convergência de
D
j
: caso ocorra a convergência
retorna-se ao segundo passo com novo incremento de força; caso não ocorra convergência
segundo um número de iterações pré-determinado retorna-se ao segundo passo recalculando
F
i
com
∆
F
i
modificado.
O método pode finalizar pelo uso do carregamento total atuante sobre a estrutura,
comparando a diminuição de
∆
F
i
até um limite pré-estabelecido ou por meio da comparação
entre
H e o nível de precisão desejado, significando que a estrutura entrou em colapso.
47
5. A
NÁLISE NUMÉRICA DOS PILARES
DE
CONCRETO DE ALTA RESISTÊNCIA
A análise numérica consiste no processamento computacional das informações de um
determinado problema por meio de um programa construído, com base em um modelo
adotado, e calibrado segundo resultados experimentais já obtidos. Seguindo essa idéia, o
código CASTEM 2000, apresentado no Capítulo 4, foi utilizado por ser capaz de simular o
comportamento mecânico dos pilares submetidos a forças axiais monotônicas de compressão
apresentando como resultado a curva força-deformação do elemento a partir da entrada das
características geométricas da estrutura e mecânicas dos materiais – concreto e aço.
A partir da validação do programa pela comparação de seus resultados com outros
obtidos experimentalmente, é possível utiliza-lo para a representação de pilares com
quaisquer características e prever o seu comportamento respeitadas as hipóteses e as
condições de contorno utilizadas para a criação do modelo de cálculo, sendo observado o
nível de precisão do método.
Para a calibração do modelo foram selecionados resultados experimentais obtidos por
autores brasileiros, conforme apresentados e discutidos no Capítulo 6: Agostini (1992), Paiva
(1994), Lima (1997) e Lima Junior (2003).
48
5.1 MODELO DE CÁLCULO
Considerando as propriedades geométricas de um pilar de seção transversal retangular,
adotou-se um modelo de análise bidimensional com a descrição das características
geométricas dos pilares segundo um corte longitudinal, como mostrado na Figura 5.1. A
análise bidimensional foi adotada inicialmente pela facilidade em se descrever o problema e
pela agilidade no processamento computacional quando comparados a modelos
tridimensionais. Na Figura 5.1 é apresentada a geometria de um pilar analisado. Em (a) as
características geométricas da estrutura descritas para o pilar experimental e em (b) a
discretização numérica obtida com o código CASTEM. O concreto é descrito por elementos
finitos quadrangulares de quatro nós e as barras de aço da armadura por elementos lineares de
dois nós, conforme apresentados no Capítulo 4.
Figura 5.1 – (a) Geometria do pilar experimental PL4T225 de Agostini (1992). (b) Modelo
geométrico e detalhe do pilar PL4T225 no programa CASTEM 2000.
(a)
(b)
49
A malha utilizada no modelo, de forma geral, foi definida em aproximadamente uma
centena de elementos finitos no sentido longitudinal do pilar. Foram feitas simulações com
malhas maiores e menores que esta, sem, no entanto, que os resultados se alterassem
significativamente, sendo esta definida como malha padrão. A Figura 5.1 apresenta uma
malha menos refinada a fim de se tornar mais visível a discretização.
Embora o modelo de cálculo seja bidimensional, a terceira dimensão da peça é
declarada de acordo com aquela do modelo experimental. A armadura tem a seção transversal
somada quando de planos coincidentes, por exemplo, em um modelo com estribos
retangulares, a seção transversal da linha do modelo numérico possui o dobro daquela da
barra do estribo.
O modelo considera o acoplamento do concreto e do aço em todos os nós coincidentes
entre os materiais. Dessa forma, os nós dos elementos de barra e quadrangulares coincidentes,
não se faz necessário descrever ponto a ponto de malha (nós) que os materiais devem
compartilhar.
A vinculação do pilar é descrita como sendo de apoio fixo na base, que garante
estabilidade ao modelo já que a força aplicada é uniaxial no sentido longitudinal da peça.
Figura 5.2 – (a) Diagrama de linhas de tensões transversais. (b) detalhe superior do pilar.
(a)
(b)
50
As simulações realizadas com a discretização da seção íntegra do pilar, ou seja, núcleo
e cobrimento, apresentam ruína precoce da malha dadas as tensões de tração surgidas na
interface núcleo-cobrimento. A Figura 5.2 apresenta um diagrama de isolinhas de tensão na
direção horizontal. Esse diagrama é de um modelo já sem cobrimento, mostrando as tensões
de confinamento no concreto causadas pelas armaduras e uma concentração de tensões na
região de aplicação da força.
A ruína precoce do modelo pode ser visualizada pela Figura 5.3, onde são
apresentadas as curvas força-deformação obtidas experimentalmente por LIMA (1997) na sua
série de três ensaios, em azul, e as curvas obtidas numericamente para os modelos com
cobrimento (S. cobrimento) e considerando apenas o núcleo (S. núcleo), em vermelho.
Série 2 - Lima (1997)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
P-III
S. Cobrimento
S. Núcleo
Figura 5.3 – Curvas força-deformação para um pilar de LIMA (1997). Resultados experimentais
em azul e numéricos em vermelho com (S. Cobrimento) e sem cobrimento (S. Núcleo)
Segundo OLIVEIRA (2003), as simulações numéricas podem ser realizadas
separadamente, com e sem cobrimento, e o resultado final do comportamento do pilar ser
considerado como a união do comportamento das duas curvas, como apresentado na Figura
5.4. Os modelos adotados por OLIVEIRA (2003) e LIMA JR (2004) são capazes de
representar o comportamento pós-pico do material, sendo neste trabalho reproduzido apenas o
comportamento pré-pico dos pilares.
51
Figura 5.4 – Diagrama tensão-deformação do pilar criado a partir do comportamento dos
modelos com e sem cobrimento.
Fonte: OLIVEIRA (2003)
A simulação com o cobrimento busca reproduzir o comportamento do pilar até a
ruptura do cobrimento quando o concreto desta região perde efeito estrutural. A partir deste
ponto o concreto do núcleo assume toda a capacidade resistente e as tensões de confinamento
são mais significativas, então o modelo sem cobrimento se presta a simular o comportamento
do pilar até a sua força última.
5.2 PARÂMETROS DE ANÁLISE NUMÉRICA
Conforme apresentado no Capítulo 2 deste trabalho, diferentes normas apresentam
considerações distintas a respeito do comportamento mecânico do Concreto de Alta
Resistência. A fim de se definir os parâmetros para análise numérica, foram realizadas
simulações com pilares aleatórios de cada autor selecionado utilizando os valores de módulo
de elasticidade e resistência à tração definidos pelo ACI (1998), CEB (1992) e Norma
Norueguesa (1992).
As Figuras 5.5 a 5.9 apresentam as curvas experimentais médias dos pilares e as
curvas obtidas numericamente segundo os parâmetros de cada uma das normas.
52
PL4T225 - AGOSTINI (1992)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
ACI
CEB
NS
Figura 5.5 – Resultados experimentais e numéricos para o pilar PL4T225 de AGOSTINI (1992)
P1 - AGOSTINI (1992)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 70
0
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
ACI
CEB
NS
Figura 5.6 – Resultados experimentais e numéricos para o pilar P1 de AGOSTINI (1992)
53
P810250 - PAIVA (1994)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
ACI
CEB
NS
Figura 5.7 – Resultados experimentais e numéricos para o pilar P810250 de PAIVA (1994)
Série 1 - LIMA (1997)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
ACI
CEB
NS
Figura 5.8 – Resultados experimentais e numéricos para o pilar Série 1 de LIMA (1997)
54
PN60150 - LIMA JR (2003)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 250 500 750 1000 1250 1500
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
ACI
CEB
NS
Figura 5.9 – Resultados experimentais e numéricos para o pilar Série 1 de LIMA (1997)
A partir desses resultados notamos que, via de regra, as deformações numéricas são
inferiores àquelas obtidas experimentalmente, com exceção da simulação dos ensaios de
LIMA (1997) em que as modelagens segundo os parâmetros do ACI e Norma Norueguesa
definem, respectivamente, limites inferiores e superiores de deformação do resultado
experimental. Dessa forma optou-se por utilizar os parâmetros definidos pela Norma
Norueguesa por apresentar os menores valores de módulo de elasticidade.
É ainda adotado neste trabalho coeficiente de Poisson (υ) igual a 0,2 para o concreto e
0,3 para o aço e módulo de elasticidade do aço igual a 205 GPa quando o material não é
ensaiado pelo autor do trabalho experimental.
55
6. E
STUDOS DE CASOS
Foram selecionados na literatura os modelos de pilares experimentais analisados por
Agostini (1992), Paiva (1994), Lima (1997) e Lima Junior (2003) para a realização das
simulações numéricas. Todos os trabalhos escolhidos foram desenvolvidos no Brasil pela
facilidade em se adquirir os textos completos das teses e dissertações. Os modelos analisados
abrangem uma faixa de resistência entre 40 MPa e 80 MPa e características geométricas
bastante amplas, com taxa de armadura transversal entre 0,32% e 3,0% e índice de esbeltez
entre 11,55 e 21,71. A maior parte dos trabalhos internacionais publicados tem foco na ação
de forças cíclicas com a preocupação de verificar o comportamento dos pilares de CAR
submetido a efeitos sísmicos.
6.1 AGOSTINI (1992)
Agostini (1992) desenvolveu em sua tese de doutorado um dos trabalhos pioneiros no
Brasil na pesquisa de pilares de Concreto de Alta Resistência. Analisou traços para a
produção de CAR e discutiu a ductilidade dos pilares alcançada por meio de tensões
confinantes do núcleo de concreto interior às armaduras. Obteve excelentes resultados com
armaduras helicoidais e tentou encontrar uma taxa de armadura transversal em forma de
56
estribos que pudesse reproduzir uma grande capacidade de deformação plástica. Os modelos
de pilares foram divididos em dois grandes grupos: pilares com armadura usual e pilares com
altas taxas de armadura, os primeiros com dimensões 12 cm x 12 cm x 72 cm, resistência do
concreto de 51,0 MPa a 82,6 MPa, taxa de armadura longitudinal de 0,87% e 1,73% e taxa de
armadura transversal de 0,51% e 0,88%, os últimos com dimensões de 8 cm x 8 cm x 48 cm,
resistência do concreto entre 70,4 MPa e 77,6 MPa, taxa de armadura longitudinal 4,44% e
taxa de armadura transversal entre 1,5% e 3,0%.
Observou que em todos os casos a força última resistida pelos pilares era inferior
àquela calculada usualmente pela soma das capacidades resistentes do concreto e das barras
de aço da armadura longitudinal que compunham a seção transversal do pilar. Concluiu que a
armadura utilizada segundo as recomendações normativas de então (pilares com armadura
usual) era insuficiente para evitar flambagem ou ductilizar a ruína dos pilares de CAR. A
capacidade resistente inferior à esperada se repetiu para os pilares com elevadas taxas de
armadura, agora acompanhada da observação do destacamento de parte do cobrimento pouco
antes do pilar atingir sua força última. Agostini, então, propôs que apenas o concreto interior à
armadura (núcleo) teria função estrutural nos pilares de CAR, desde que as taxas de armadura
empregadas fossem altas o suficiente para garantir o confinamento do núcleo.
Em seus modelos, mesmo com elevadas taxas de armadura transversal, não foram
observados efeitos de ductilização dos pilares tão evidentes quanto àqueles produzidos pela
armadura helicoidal. A maior deformação observada relativa à força máxima foi de 5‰,
sendo na maior parte dos resultados concentrada entre 3‰ e 4‰. O autor utilizou um
procedimento particular em seu trabalho que pode ter aumentado os valores finais de
deformações dos pilares: dois ciclos de aplicação e retirada de força de 5 tf era aplicado
imediatamente antes de se realizar o procedimento de carga até a ruína. Mesmo estando as
forças iniciais teoricamente dentro do limite elástico de deformações do concreto, nota-se uma
curvatura no trecho inicial de deformações para os resultados de Agostini, seguida de uma
evolução linear até muito próximo da ruína, o que indica um acréscimo de deformações nos
seus resultados.
O comportamento tensão-deformação de todos os seus ensaios é bastante linear, não
caracterizando efeito de ductilização por confinamento do concreto, porém o pesquisador
conclui serem necessárias taxas de armadura longitudinal e transversal não inferiores à,
respectivamente, 3,2% e 2,2%.
57
Figura 6.1 – Geometria dos pilares com armadura usual de Agostini (1992)
58
Figura 6.2 – Geometria dos pilares com armadura de confinamento de Agostini (1992)
59
A Figura 6.3 a seguir apresenta os diagramas força-deformação para os resultados
experimentais e numéricos obtidos para os pilares de Agostini (1992).
Nesses diagramas os resultados experimentais são apresentados em azul e os
resultados das simulações numéricas em vermelho. “S. Cobimento” representa a simulação
realizada com a seção longitudinal completa da peça e “S. Núcleo” a simulação considerando
apenas o núcleo.
Em todos os diagramas os resultados experimentais apresentam um salto inicial de
deformações e um comportamento bastante linear até a ruína. As simulações apresentam ruína
muito precoce do cobrimento.
As deformações obtidas com o modelo de simulação se mostraram sempre inferiores
às experimentais. Mesmo desconsiderando o salto inicial de deformações dos resultados de
Agostini, a inclinação das curvas experimentais são superiores às numéricas.
A força última numérica se apresentou superior à experimental dos três primeiros
ensaios e inferior nos ensaios de quatro a seis. Esses dois grupos diferenciam-se pela faixa de
resistência à compressão do concreto, na faixa dos 50 MPa e 70 MPa respectivamente, como
se pode ver pela Tabela 6.1. A baixa capacidade resistente dos modelos de pilares de um a três
pode ser explicada pela pequena taxa de armadura longitudinal e sua perda de estabilidade
lateral, como observado pelo próprio autor.
Os pilares P3 e P6 possuem um arranjo diferenciado da armadura transversal, como se
pode ver na Figura 6.1. O modelo bidimensional empregado neste trabalho não representa a
forma dos estribos na seção transversal dos pilares, mas apenas a quantidade de armadura
nesta seção. Mesmo assim, o comportamento geral das simulações para esses dois pilares não
se mostrou discrepante dos demais. Dessa forma, para estas taxas de armadura, a geometria
dos estribos não causou influência no comportamento mecânico do pilar.
Num segundo programa experimental, Agostini (1992) ensaiou pilares com elevadas
taxas de armadura para verificar o surgimento de tensões de confinamento no concreto e seu
efeito sobre o comportamento mecânico dos pilares. A nomenclatura utilizada pelo autor para
descrever os pilares experimentais seguia o seguinte critério: “P” para pilar, “L” para
armadura longitudinal seguido da quantidade de barras, “T” para armadura transversal
seguido da taxa utilizada. Dessa forma, PL4T200 representa um pilar com 4 barras compondo
a armadura longitudinal e taxa de armadura transversal de 2,00%. As características
geométricas desses pilares foram apresentadas na Figura 6.2.
60
P1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 100 200 300 400 500 600 700
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
S. Cobrimento
S. Núcleo
P2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
S. Cobrimento
S. Núcleo
P3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
S. Cobrimento
S. Núcleo
P4
0
1
2
3
4
5
6
0 200 400 600 800 1000
Força (kN)
Deformações (‰)
Experimental
S. Cobrimento
S. Núcleo
P5
0
1
2
3
4
5
6
0 200 400 600 800 1000
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
S. Cobrimento
S. Núcleo
P6
0
1
2
3
4
5
6
0 200 400 600 800 1000
Força (kN)
Deformação (‰)
Experimental
S. Cobrimento
S. Núcleo
Figura 6.3 – Diagramas força-deformação para os pilares de Agostini (1992) com pequenas taxas
de armadura.
61
A Figura 6.4 apresenta os resultados experimentais e numéricos para os pilares com
altas taxas de armadura de Agostini (1992). Da mesma forma que na Figura 6.2, os resultados
experimentais são apresentados em azul e os numéricos em vermelho, sendo “S. Cobrimento”
a simulação do pilar composta pelo núcleo e cobrimento e “S.Núcleo” a simulação
considerando apenas o núcleo de concreto.
O comportamento geral dos diagramas força-deformação para os pilares com altas
taxas de armadura também apresenta um salto inicial de deformações e evolução linear. Para
alguns ensaios pode-se notar uma tendência de crescimento de deformações com o mesmo
incremento de força para as etapas próximas da força última. AGOSTINI (1992) relata a clara
desagregação do cobrimento anterior à perda de capacidade resistente dos pilares.
As simulações apresentaram perda de estabilidade precoce do cobrimento, porém com
um comportamento diferente do esperado. Para taxas de armadura transversal maiores, a
relação entre a força máxima do pilar e a força que provoca a perda do cobrimento se torna
maior, como pode ser notado na Tabela 6.1. Esse comportamento pode ser compreendido
como o aumento da rigidez do núcleo causado pelo confinamento promovido pela armadura
transversal e uma conseqüente diminuição das deformações do cobrimento. Dessa forma, o
cobrimento e o núcleo agem de maneira mais monolítica para altas taxas de armadura
transversal e a desagregação do cobrimento ocorre de maneira mais repentina, enquanto que
para pilares com taxas de armadura transversal inferiores o cobrimento se mostra mais
deformável sem apresentar, no entanto, um gradiente significativo de tensões na interface
núcleo-cobrimento.
PL4T150
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PL4T175
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
Figura 6.4 – Diagramas força-deformação para os pilares com altas taxas de armadura de
AGOSTINI (1992). Resultados experimentais e numéricos.
62
PL4T200
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PL4T225
0
1
2
3
4
5
6
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PL4T250
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PL4T275
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PL4T300
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Força (kN)
Deformação(‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
Figura 6.4 cont. – Diagramas força-deformação para os pilares com altas taxas de armadura de
AGOSTINI (1992). Resultados experimentais e numéricos.
63
Para taxas de armadura maiores, pode-se notar que o comportamento força-
deformação das simulações se aproximou bastante da experimental, a menos do salto inicial
de deformações. As máximas deformações dos pilares se mantiveram em torno de 3,5‰ e das
simulações em torno de 2‰. As forças de ruína dos modelos numéricos se mostraram
bastante próximas daquelas obtidas experimentalmente.
Tabela 6.1 – Características resistentes dos pilares de Agostini (1992), forças de ruptura e
correlações.
PILAR
A
l
(cm²)
f
y
(MPa)
A
c
(cm²)
f
c
(MPa)
F
ex
p
(kN)
kmod
F
teo
(kN)
F
num
p
ilar
(kN)
F
num cob
(kN)
F
exp
F
teo
F
num
F
teo
F
num
F
exp
F
num cob
F
num pilar
P1
1,27 728 144 51,0 659 0,6836 594 680 160 1,11 1,14 1,03 0,24
P2
2,54 728 144 57,4 718 0,6667 736 760 300 0,98 1,03 1,06 0,39
P3
2,54 728 144 59,8 817 0,6617 755 800 300 1,08 1,06 0,98 0,38
P4
1,27 728 144 82,6 1303 0,6222 833 1080 420 1,57 1,30 0,83 0,39
P5
2,54 728 144 74,0 1265 0,6357 862 980 380 1,47 1,14 0,77 0,39
P6
2,54 728 144 70,4 1173 0,6417 835 940 360 1,40 1,13 0,80 0,38
PL4T150
3,14 499 36 70,4 366 0,6418 319 380 180 1,15 1,19 1,04 0,47
PL4T175
3,14 499 36 74,0 417 0,6357 326 400 180 1,28 1,23 0,96 0,45
PL4T200
3,14 499 36 76,0 447 0,6324 330 420 180 1,36 1,27 0,94 0,43
PL4T225
3,14 499 36 71,0 404 0,6407 320 380 180 1,26 1,19 0,94 0,47
PL4T250
3,14 499 36 77,0 511 0,6308 332 420 220 1,54 1,27 0,82 0,52
PL4T275
3,14 499 36 70,8 419 0,6411 320 380 200 1,31 1,19 0,91 0,53
PL4T300
3,14 499 36 77,6 468 0,6299 333 420 200 1,41 1,26 0,90 0,48
A Tabela 6.1 apresenta algumas características resistentes dos pilares, as forças de
ruína e sua correlações, na seguinte seqüência: área de armadura longitudinal da seção
transversal (
A
l
), tensão de escoamento do aço da armadura longitudinal (f
y
), área de concreto
da seção transversal do pilar (
A
c
), resistência do concreto (f
c
), força máxima experimental
(
F
exp
), k
mod
calculado segundo a recomendação de k
2
da norma norueguesa NS 3473 (discutido
no Capítulo 3), força teórica calculada de acordo com as Equações 10 e 11 (
F
teo
), força
máxima do pilar obtida de acordo com o modelo numérico (
F
num pilar
), força de fissuração do
cobrimento de acordo com o modelo numérico (
F
num cob
) e correlação entre as forças.
A partir desta tabela, nota-se que as forças experimentais se apresentaram bastante
superiores às teóricas, quando feitas as considerações de geometria da Norma Norueguesa NS
3473. Agostini (1992) havia obtido conclusão distinta ao considerar
k
mod
igual a 0,85, como
recomenda a norma brasileira NBR 6118:1978. Embora os pilares do tipo “P”, com taxas
64
usuais de armadura, fossem de dimensões maiores que os do tipo “PL4T”, com altas taxas de
armadura, não houve variação notória de comportamento na relação entre
F
exp
/F
teo
e F
num
/F
teo
comprovando a validade dos resultados para ambas as geometrias. Nota-se também que as
forças previstas de ruína dos pilares, de acordo com os modelos numéricos são tanto menores
que as experimentais quanto maiores as taxas de armadura transversal utilizadas.
6.2 PAIVA (1994)
Como prosseguimento de seu trabalho, o prof. Agostini orientou a dissertação de Paiva
(1994) na avaliação do comportamento dos pilares de CAR, com as mesmas características
dos pilares com altas taxas de armadura de Agostini (1992), porém com seção transversal
retangular. Os ensaios foram organizados em duas séries distintas pela relação entre os lados
da seção transversal dos pilares: 1,25 e 1,50, ou seja, de dimensões 8 cm x 10 cm x 48 cm e 8
cm x 12 cm x 48 cm. Para a primeira série foram adotadas taxas de armadura transversal de
1,75% a 2,75% partindo das conclusões de Agostini (1992) de que as menores taxas de
armadura a promover ductilização dos pilares foi a de 2,00%. Para a segunda série as taxas
utilizadas foram de 2,00%, 2,25% e 2,50%, buscando concentrar o conhecimento do
comportamento mecânico desses pilares em torno das taxas consideradas ótimas.
Os modelos ensaiados por Paiva (1994) seguiam a seguinte regra de nomenclatura:
“P” para pilar seguido das dimensões da seção transversal e da taxa de armadura transversal
utilizada. Dessa forma, P8-12-225 se refere ao pilar de dimensões 8 cm x 12 cm x 48 cm com
2,25% de taxa de armadura transversal. As taxas de armadura longitudinais empregadas foram
3,55% para os pilares da primeira série e 4,44% para os da segunda.
Foram selecionados apenas os pilares da segunda série para a modelagem numérica, a
fim de se verificar o comportamento das simulações segundo duas perspectivas distintas:
considerando a seção longitudinal de lado maior e lado menor com relação à seção
transversal. A Figura 6.5 apresenta as características geométricas dos pilares e a Figura 6.6 as
duas modelagens numéricas de um mesmo pilar visualizada pelo CASTEM.
65
Figura 6.5 – Geometria dos pilares de Paiva (1994) com relação 1,5 entre lados da seção
transversal.
(a)
(b)
Figura 6.6 – Visualização dos pilares de Paiva (1994) pelo CASTEM. (a) Simulação com lado
maior e (b) lado menor da seção transversal.
As simulações considerando os lados maiores e menores da seção transversal dos
pilares foram realizadas com o intuito de se verificar o comportamento dos modelos na
representação de um mesmo pilar. Para as simulações considerando o lado maior, as barras da
66
armadura longitudinal foram supostas com o dobro da área de cada barra do modelo
experimental em razão de nesta mesma seção longitudinal existir duas barras. Da mesma
forma, para as simulações considerando o lado menor, as barras de armadura longitudinal
foram consideradas com o triplo da área de seção da barra do modelo experimental.
A Figura 6.7 apresenta os diagramas força-deformação experimentais e numéricos
para os pilares descritos.
P8-12-200
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 100 200 300 400 500 600
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento lado maior
S. Núcleo lado maior
S. Cobrimento lado menor
S. Núcleo lado menor
P8-12-225
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 100 200 300 400 500 600
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento lado maior
S. Núcleo lado maior
S. Cobrimento lado menor
S. Núcleo lado menor
P8-12-250
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 100 200 300 400 500 600
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento lado maior
S. Núcleo lado maior
S. Cobrimento lado menor
S. Núcleo lado menor
Figura 6.7 – Resultados experimentais e numéricos para os pilares de Paiva (1994) com relação
1,5 entre lados da seção transversal
As simulações apresentaram o mesmo comportamento geral daquelas obtidas para os
pilares de Agostini (1992), ou seja, fissuração precoce do cobrimento com cerca de 40% da
força de ruína do pilar e deformação máxima para o pilar em torno de 2‰.
67
Com exceção dos saltos iniciais de deformação observados em alguns ensaios
experimentais, a evolução das deformações em função do incremento de força se mostrou
próximo entre os resultados experimentais e numéricos, quando observadas as inclinações das
curvas.
A modelagem segundo o lado maior dos pilares resultou na fissuração mais precoce do
cobrimento e numa capacidade resistente um pouco maior para o pilar, mais próxima da
experimental, bem como a evolução das deformações é mais paralela às curvas experimentais,
embora mais distantes.
A dispersão dos resultados experimentais, principalmente observada para o ensaio P8-
12-250, não permite concluir qual o valor das deformações finais dos pilares experimentais,
nem, portanto, qual a precisão dos resultados numéricos obtidos.
A Tabela 2 apresenta algumas características dos pilares, os resultados experimentais e
numéricos com relação à capacidade de carga observada.
Tabela 6.2 – Características resistentes dos pilares de PAIVA (1994), forças de ruína e
correlações.
PILAR
A
l
(cm²)
f
y
(MPa)
A
c
(cm²)
f
c
(MPa)
F
ex
p
(kN)
k
mod
F
teo
(kN)
F
num
p
ilar
(kN)
F
num cob
(kN)
F
exp
F
teo
F
num
F
teo
F
num
F
exp
F
num cob
F
num pilar
P8-12-
200
0,77 493 96 66,7 675 0,648 453 600 180 1,49 1,32 0,89 0,30
P8-12-
225
0,77 493 96 64,9 837 0,652 444 580 180 1,89 1,31 0,69 0,31
p8-12-
250
0,77 493 96 63,8 712 0,654 438 560 160 1,63 1,28 0,79 0,29
A partir da Tabela 6.2, pode-se notar um aumento significativo das forças
experimentais e numéricas com relação às previstas segundo as recomendações da Norma
Norueguesa NS 3743. Esse comportamento pode indicar o surgimento de tensões confinantes
tanto nos modelos experimentais quanto nos numéricos, gerando um estado de tensões no
concreto capaz de elevar a resistência do modelo de pilar.
6.3 LIMA (1997)
Lima (1997) trabalhou na sua tese de doutorado a respeito do comportamento
mecânico de pilares de Concreto de Alta Resistência submetido à compressão centrada e
excêntrica. Seu estudo teve embasamento numa grande quantidade de resultados
experimentais já publicados na literatura internacional sobre o tema: Bjerkeli, Tomaszewicz e
68
Jensen (1990), Cusson e Paultre (1994), Agostini (1992), Al-Hussaini et al. (1993), Laurent
(1989), Paiva (1994), König e Simsch (1996), Claesson et al. (1996), Attard e Foster (1996),
Azzinamini e Kebraei (1996), Ibrahim e Mac Gregor (1996) e Collins et al. (1993), todos
referenciados por Lima (1997) e que discutiam taxas de armadura de confinamento para a
promoção ductilização de pilares de CAR.
O autor inicia os trabalhos experimentais com a definição de um traço que resulte em
um concreto com resistência à compressão em torno de 90 MPa. Os modelos de pilares foram
organizados em nove ensaios distintos com três repetições cada. Apenas os quatro primeiros
foram tratados no presente trabalho por serem referentes à compressão centrada.
Figura 6.8 – Geometria dos pilares série 1 e série 2 de Lima (1997)
69
Os pilares chamados série 1 e 2 apresentavam as dimensões 20 cm x 20 cm x 120 cm
com taxa de armadura longitudinal 2,46% e taxa de armadura transversal 1,03% para o
primeiro e 0,51% para o segundo. Os pilares das séries 3 e 4 eram mais curtos e possuíam
seção transversal regular, com as dimensões 15 cm x 30 cm x 90 cm. A taxa de armadura
longitudinal utilizada foi de 2,26% e taxa de armadura transversal de 1,01% para a série 3 e
2,2% para a série 4. As Figuras 6.8 e 6.9 apresentam as características geométricas desses
pilares.
As taxas de armadura utilizadas por Lima (1997) eram inferiores àquelas sugeridas por
trabalhos experimentais anteriores para a ductilização dos pilares. Al-Hussaini et al (1993),
por exemplo, sugeria a utilização de taxas superiores a 2,5% para a armadura longitudinal e
1,8 % para a transversal para pilares de CAR com resistência à compressão por volta de 120
MPa.
Figura 6.9 – Geometria dos pilares série 3 e série 4 de Lima (1997)
O procedimento experimental utilizado pelo pesquisador era iniciado por um ciclo de
aplicação e retirada de força de intensidade de 10% da força última prevista para então serem
70
realizadas as leituras de força-deformação. Diferente dos resultados obtidos por Agostini
(1992) e Paiva (1994), esse procedimento não resultou num salto inicial de deformações.
Os pilares ensaiados por Lima (1997) foram construídos com armadura transversal
adicional nas extremidades, chamada “armadura de fretagem”, com a função de impedir a
ruína precoce dos elementos por concentração de tensões na região de aplicação de força e
apoio. Com o mesmo intuito, também foi utilizado um “encamisamento” dessas regiões com
chapas de aço.
A Figura 6.10 apresenta os resultados experimentais e numéricos obtidos para os
pilares de Lima (1997).
Série 1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
Força (kN)
Deformação(‰)
P-I
P-II
P-III
S. Cobrimento
S. Núcleo
Série 2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
P-III
S. Cobrimento
S. Núcleo
Série 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
P-III
S. Cobrimento Lado Maior
S. Núcleo Lado Maior
S. Cobrimento Lado Menor
S. Núcleo Lado Menor
Série 4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
P-III
S. Cobrimento Lado Maior
S. Núcleo Lado Maior
S. Cobrimento Lado Menor
S. Núcleo Lado Menor
Figura 6.10 – Resultados experimentais e numéricos para os pilares de LIMA (1997) submetidos
à compressão centrada
71
As simulações para os pilares das Séries 3 e 4 seguiram os procedimentos adotados na
análise numérica dos pilares de seção retangular de Paiva (1994) com a modelagem segundo
os lados maior e menor da peça com relação à seção transversal.
As simulações para os pilares de Lima (1997) apresentaram deformação muito
próxima da obtida experimentalmente, inclusive para qualquer das direções de simulação dos
pilares com seção retangular. A força última das simulações se apresentou sempre maior que
dos resultados experimentais, com exceção de P-II da série 2.
A Tabela 6.3 apresenta algumas características resistentes e as forças de ruína
experimental, numérica e teórica para os pilares das Séries 1 a 4 de Lima (1997).
Tabela 6.3 – Propriedades resistentes dos pilares de Lima (1997), forças de ruína e correlações.
PILAR
A
l
(cm²)
f
y
(MPa)
A
c
(cm²)
f
c
(MPa)
F
ex
p
(kN)
k
mod
F
teo
(kN)
F
num pilar
(kN)
F
num cob
(kN)
F
exp
F
teo
F
num
F
teo
F
num
F
exp
F
num cob
F
num pilar
Série 1
10,2 543,3 400 838 2722 0,6200 2630 3100 1400 1,03 1,18 1,14 0,45
Série 2
10,2 543,3 400 897 3080 0,6177 2768 3100 1500 1,11 1,12 1,01 0,48
Série 3
10,2 543,3 450 949 3465 0,6053 3137 4000 2200 1,10 1,28 1,15 0,55
Série 4
10,2 543,3 450 805 2753 0,6254 2818 4000 2200 0,98 1,42 1,45 0,55
As forças últimas dos pilares experimentais se mostraram muito próximas das teóricas
e as forças determinadas pelo procedimento numérico ficaram um pouco maiores. As
simulações apresentaram força de ruína tanto maior que a experimental ou teórica, quanto
menor o espaçamento entre estribos, mostrando uma tendência do modelo em ser mais
susceptível às alterações geométricas no plano da seção longitudinal em virtude da análise
bidimensional empregada.
Não foi percebida diferença no comportamento das simulações entre os pilares das
Séries 1 e 2 ou entre as Séries 3 e 4. A variação da taxa de armadura de 1,03% para 0,51% no
primeiro caso e de 1,01% para 2,2% no segundo não resultou em variação significativa da
força de ruína ou da deformação máxima dos pilares.
As simulações apresentaram força de ruína do cobrimento de cerca de 50% da
capacidade resistente do pilar. Esse fato pode ser explicado pelo pequeno espaçamento da
armadura nas extremidades dos pilares, o que levou à contenção da deformação do concreto
nessas regiões de concentração de tensões.
72
Lima (1997) notou certo nível de desagregação do cobrimento apenas em forças muito
próximas da ruptura dos pilares.
6.4 LIMA JR (2003)
Lima Jr (2003) apresenta uma análise experimental e numérica para pilares com
concreto de resistência de 60 MPa e 80 MPa com e sem adição de fibras metálicas. Seu
programa experimental era dividido em duas partes segundo a solicitação do pilar:
compressão centrada e excêntrica. Utilizando como parâmetro comparativo, foram ensaiados
pilares com concreto de resistência à compressão de 40 MPa e as taxas de armadura utilizadas
foram as recomendadas pela NBR 6118:2003. Foram utilizados para análise, neste trabalho,
os pilares submetidos à compressão centrada sem adição de fibras metálicas.
Figura 6.11 – Geometria dos pilares ensaiados em compressão simples por Lima Jr (2003)
73
A nomenclatura utilizada pelo autor para os modelos experimentais seguia a seguinte
seqüência: “P” para pilar seguido do número da repetição do ensaio, da faixa de resistência à
compressão do concreto, do espaçamento entre estribos e a taxa de adição de fibras metálicas.
Dessa forma, o pilar P160150 representa o primeiro pilar do ensaio com concreto de
resistência em torno de 60 MPa, 15 cm de espaçamento entre estribos e sem adição de fibras
metálicas.
Os pilares tinham dimensões 15 cm x 15 cm x 50 cm e taxa de armadura longitudinal
de 2,12%. Os elementos com espaçamento de 15 cm entre estribos apresentavam taxa de
armadura transversal de 0,32% enquanto aqueles com espaçamento de 5 cm, taxa de 0,96%.
As pequenas taxas de armadura utilizadas pelo autor se justificam pelo fato de o seu estudo
pretender discutir a ductilização causada aos pilares pelo efeito da adição de fibras metálicas.
A Figura 6.11 apresenta a geometria e arranjo de armadura dos pilares ensaiados por Lima Jr
(2003).
Os pilares eram curtos, com índice de esbeltez 11,6, e possuíam armadura de fretagem
na região do apoio e da aplicação da força. Dessa forma, a região de análise, onde
preferencialmente ocorreria a ruína, se apresentava sujeita à interferências das maiores taxas
de armadura das extremidades.
A Figura 6.12 apresenta os resultados experimentais e numéricos para os pilares de
Lima Jr (2003).
O procedimento de aplicação de força utilizado por Lima Jr (2003) apresentava
pequena velocidade com controle de deformações. Este método permitiu acompanhar a
evolução das deformações próximas e posteriores à força máxima suportada pelo pilar.
Embora os resultados experimentais apresentassem as deformações pós-pico dos pilares,
utilizaram-se apenas o primeiro trecho da curva força-deformação para a compatibilização
com os resultados numéricos.
Os resultados experimentais de Lima Jr (2003) se diferenciaram dos demais
notadamente pela evolução menos linear das deformações em função da força aplicada. A
deformação correspondente à força máxima se aproximou dos 3,5‰ nos resultados
experimentais, enquanto para os resultados numéricos esse valor variou com a resistência à
compressão do concreto do pilar, obtendo-se cerca de 1,5‰ para o pilar com concreto de 40
MPa, 2,0‰ para 60 MPa e 2,5 ‰ para 80 MPa.
74
PN40150
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 250 500 750 1000
Força (kN)
Deformações (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PN60150
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 250 500 750 1000 1250 1500
Força (kN)
Deformações (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PN80150
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PN6050
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 250 500 750 1000 1250 1500
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
PN8050
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Força (kN)
Deformação (‰)
P-I
P-II
S. Cobrimento
S. Núcleo
Figura 6.12 – Resultados experimentais e numéricos para os pilares de Lima Jr (2003)
submetidos à compressão centrada sem adição de fibras
75
A Tabela 6.4 apresenta informações a respeito das propriedades e forças resistentes
para os pilares.
Tabela 6.4 – Propriedades resistentes dos pilares de Lima Jr (2003), forças de ruptura e
correlações.
PILAR
A
l
(cm²)
f
y
(MPa)
A
c
(cm²)
f
c
(MPa)
F
ex
p
(kN)
k
mod
F
teo
(kN)
F
num
p
ilar
(kN)
F
num
cob
(kN)
F
exp
F
teo
F
num
F
teo
F
num
F
exp
F
num cob
F
num pilar
PN40150
4,77 598 225 43,0 995 0,702 965 950 350 1,03 0,98 0,95 0,37
PN60150
4,77 598 225 66,9 1459 0,648 1260 1500 600 1,16 1,19 1,03 0,40
PN80150
4,77 598 225 97,5 1903 0,602 1606 2100 850 1,19 1,31 1,10 0,40
PN6050
4,77 598 225 66,9 1541 0,648 1261 1500 600 1,22 1,19 0,97 0,40
PN8050
4,77 598 225 97,5 1872 0,602 1606 2100 850 1,17 1,31 1,12 0,40
De maneira similar aos resultados obtidos numericamente para os pilares de Lima
(1997), mesmo com pequenas taxas de armadura, a força de ruína do cobrimento nas
simulações foi de 40% da força máxima em função da existência da armadura de fretagem.
A relação entre as forças últimas numéricas e experimentais se aproximou bastante da
unidade. Se observados os valores das forças máximas dos ensaios nota-se que, praticamente,
não há variação dos resultados quando alterado o espaçamento entre estribos para essas taxas
de armadura transversal. Dessa forma, os valores de força teórica e numérica são os mesmo
para as duplas PN60150 – PN6050 e PN80150 – PN8050, indicando a ineficiência do
confinamento.
76
7. C
ONSIDERAÇÕES FINAIS
A análise numérica realizada neste trabalho por meio da simulação do comportamento
mecânico de pilares de Concreto de Alta Resistência, utilizando o código CASTEM-2000, se
mostrou capaz de reproduzir o efeito da conjunção entre os materiais concreto e aço para
representar de maneira qualitativa e quantitativa a resposta experimental dentro de certas
condições de aplicabilidade do código de cálculo utilizado.
Os resultados obtidos se mostraram sempre de comportamento geral próximo ao
observado experimentalmente, embora tenha resultado em deformações menores para os
modelos que as reais.
7.1 GEOMETRIA
Foram simulados pilares com geometria variando entre 15 cm x 15 cm x 50 cm, o
mais curto, até 20 cm x 20 cm x 120 cm o mais esbelto. Os diagramas força-deformação se
mostraram mais próximos dos experimentais para os pilares de Lima (1997), que
apresentavam as maiores dimensões. Os pilares de dimensões 12 x 12 x 72 cm ensaiados por
Agostini (1992) com pequenas taxas de armadura apresentaram altas deformações
77
experimentais em função da instabilidade da armadura longitudinal, conforme descrito pelo
próprio autor.
Os pilares com seção transversal retangular foram simulados segundo as duas direções
distintas de seção longitudinal da peça. Os resultados não apresentaram diferenças
significativas entre si, mas é possível observar que a simulação com relação ao menor lado se
apresentou mais deformável.
7.2 CONCRETO
Conforme apresentado no Capítulo 5, os critérios de definição de resistência do
concreto à tração e módulo de elasticidade definidos pela Norma Norueguesa NS 3743
conduziram à resultados numéricos mais próximos dos experimentais. Os critérios definidos
pelo ACI devem ser utilizados para resistência à compressão do concreto superiores à 94
MPa, pela limitação de aplicação da norma proposto pela própria Standard Norge.
Os resultados numéricos se apresentaram tão mais próximos dos experimentais quanto
maior a resistência do concreto, como se pode observar pelos resultados para os pilares de
Lima Jr (2003). Esse comportamento pode ser compreendido pelo comportamento mais rígido
– menor fissuração e menor coeficiente de Poisson para altas tensões – do CAR com o
aumento da resistência à compressão.
7.3 TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL
As taxas de armadura longitudinais utilizadas nas simulações variaram entre 0,87 % e
4,44%. Para as taxas menores do que 2,3% (entre as taxas de 2,26% e 2,46% utilizadas por
Lima (1997)) a capacidade resistente dos modelos experimentais dos pilares se mostrou
geralmente menor que a teórica e/ou numérica pela ocorrência da instabilidade dessa
armadura. Esta tendência foi menor nos pilares curtos e naqueles com a distribuição da
armadura transversal com menor espaçamento, como se pode observar para os resultados de
Lima (1997) e Lima Jr (2003), que apresentavam taxas de armadura longitudinal 2,12%,
2,26% e 2,46%.
78
Também foi possível notar pelos resultados, que a deformação máxima (relativa à
máxima força) cresceu com o aumento da quantidade de armadura longitudinal, tanto no
modelo experimental quanto no modelo numérico.
7.4 TAXA DE ARMADURA TRANSVERSAL
As taxas de armadura transversal dos modelos estiveram compreendidas entre 0,51% e
3,0%. O modelo numérico foi capaz de simular o efeito do confinamento provocado pelos
estribos retangulares simples utilizados nos ensaios experimentais. Não foi possível concluir
sobre o comportamento das simulações com arranjos geométricos distintos, pois os únicos
resultados experimentais utilizados com essas propriedades (P3 e P6 de Agostini (1992))
apresentavam taxas de armadura muito baixas, incapazes de promover o confinamento efetivo
do núcleo de concreto.
A variação da taxa de armadura transversal influencia significativamente a capacidade
resistente dos pilares de CAR quando comparada com as forças teóricas. O efeito confinante
das armaduras foi mais fortemente notado para taxas iguais ou superiores a 2,25%.
A fissuração do cobrimento pelo modelo numérico se dá tão mais tardiamente quanto
mais bem distribuída a armadura transversal. Esse comportamento pode ser compreendido
pela limitação da deformação do concreto, sobretudo nas regiões de aplicação de força e apoio
onde ocorrem concentrações de tensões, nos estágios iniciais de aplicação de força até o
surgimento de um gradiente de tensões suficientemente grande e distribuído para causar um
efeito de destacamento. Entende-se que para o primeiro caso o cobrimento é rompido por um
processo localizado de fissuração e para o segundo pela perda de resistência do pilar, ou pelo
menos, de parcela significativa do cobrimento. Essas observações foram possíveis, sobretudo,
para os pilares com armadura de fretagem.
7.5 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
Pode ser notado a partir dos resultados experimentais, que os diagramas força-
deformação são fortemente influenciados pelos procedimentos de ensaio utilizados pelos
autores, por exemplo, pelos procedimentos iniciais de aplicação e retirada de força no pilar
que causaram um acréscimo de deformações para os pilares de Agostini (1992) e Paiva
79
(1994); também a aplicação de força por controle de deformações e a baixa velocidade de
aplicação da força, levaram à obtenção de resultados experimentais de comportamento mais
dúctil pelo acréscimo de deformações para tensões próximas à máxima.
7.6 DUCTILIDADE
Os critérios clássicos de ductilidade a partir da avaliação da deformação plástica da
estrutura (deformação não-linear, no caso das estruturas de concreto) não são aplicáveis aos
resultados numéricos obtidos, dada a forte linearidade do diagrama tensão-deformação.
O critério de Cusson & Paultre (1994) para a quantificação da ductilidade de pilares
sujeitos à compressão centrada – evolução de tensões além da perda de estabilidade do
cobrimento – também não são aplicáveis ao conjunto de resultados obtidos neste trabalho,
dado que foi notada a fissuração do cobrimento muito mais associada à distribuição
geométrica da armadura que das taxas propriamente.
A partir da comparação entre os resultados experimentais e numéricos e das
considerações feitas pelos autores pesquisados, verifica-se que a ductilidade alcançada com as
taxas de armadura longitudinal e transversal superiores à, respectivamente, 2,5% e 2,0%, são
altas o suficiente para causar o destacamento do cobrimento. Os resultados numéricos obtidos
para esses pilares apresentavam como característica
F
num
/F
teo
maior ou igual a 1,25. Dessa
forma, considera-se o ganho de resistência do pilar associado à um estado de tensões que
permite superar a resistência prevista pela soma da resistência dos materiais isoladamente, um
critério válido de definição de quantidade de ductilidade para pilares de CAR submetidos à
compressão centrada.
7.7 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Como possibilidade de continuidade do trabalho, apresentam-se as seguintes
sugestões para trabalhos futuros:
• O Código de cálculo CASTEM-2000, embora seja um excelente programa de
análise do comportamento numérico de estruturas é um código de difícil acesso
informativo. No Brasil, sua utilização é pouco explorada, o que leva a um
público restrito de usuários. Sugere-se a utilização de outros códigos de cálculo
80
para a análise do problema de ductilidade de pilares, não somente para
confrontar os resultados numéricos obtidos, como também para explorar mais
detalhadamente os parâmetros que influenciam na ductilidade dos pilares;
• Algumas sugestões para a continuidade da pesquisa na área da análise
numérica de pilares podem ser feitas em função das observações dos resultados
da análise efetuada, como por Friaça et al. (2007), adotando-se diferentes
distribuições de armaduras, adotando diferentes tipos de seções transversais,
entre outros.
• Investigar mais detalhadamente o comportamento numérico e a influência do
cobrimento na análise dos pilares.
• Analisar o comportamento dos pilares submetidos a força excêntrica.
81
8. R
EFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ACI COMMITTEE 363 State-of-the-Art Report on High-Strength Concrete. American
Concrete Institute Journal, v. 81, p. 364-411, 1984.
ACI COMMITTEE 441 High-Strength Concrete Columns: State of The Art.
American
Concrete Institute Journal
, v. 80, p. 323-34, 1997.
AGOSTINI, L. R. S.
Pilares de Concreto de Alta Resistência. 1992. 202 f. Tese (Doutorado
em Engenharia) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo. São Paulo, 1992.
AHMAD, S. H.; SHAH, S. P. Stress-Strain Curves of Confined Concrete by Spiral
Reinforcement.
American Concrete Institute Journal, v. 79, 484-90, 1982.
ALMEIDA, I. R. Superplastificantes, sílica ativa e durabilidade dos concretos.
Téchne -
Revista de Tecnologia da Construção, v. 24, p.30-3, 1996.
AMARAL FILHO, E. M. Recuperações e aplicações em estruturas de Concreto de Alto
Desempenho. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, 2, 1990,
82
São Paulo.
Anais do 2º Simpósio EPUSP sobre estruturas de concreto v.1. São Paulo:
TecArt, 1990. p.133-172.
BARZEGAR, F.; MADDIPUDI, S. Three-Dimensional Modeling of Concrete Structures – I:
Plain Concrete.
Journal of Structural Engeneering, v. 123, p. 1339-46, 1997.
BERTERO, R. D.; BERTERO, V. V. Performance-based seismic engineering: the need for a
reliable conceptual comprehensive approach.
Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, v. 31, p. 627-52, 2002.
CARRAZEDO, R.
Mecanismos de confinamento em pilares de concreto encamisados
com polímeros reforçados com fibras submetidos à flexo-compressão. 2005. Tese
(Doutorado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos,
Universidade São Paulo. São Carlos, 2005.
CUSSON, D.; PAULTRE, P. High-Strength Concrete Columns Confined by Rectangular
Ties.
Journal of Structural Engeneering, v. 120, p. 783-804, 1994.
DINIZ, S. M. C.; FRANGOPOL, D. M. Strength and Ductility Simulation of High-Strength
Concrete Columns.
Journal of Structural Engeneering, v. 123, p. 1365-74, 1997a.
DINIZ, S. M. C.; FRANGOPOL, D. M. Reability Bases for High-Strength Concrete
Columns.
Journal of Structural Engeneering, v. 123, p. 1375-81, 1997b.
DINIZ, S. M. C.; FRANGOPOL, D. M. Análise do Comportamento Estrutural de Pilares em
Concreto de Alta Resistência. In: CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO –
IBRACON, 43, 2001, Foz do Iguaçu.
Anais do 43º Congresso Brasileiro do Concreto. Foz
do Iguaçu: 2001, CD-ROM.
FERRARI, A. A.; FLOR, J. M.; CALIXTO, J. M. Propriedades Mecânicas do Concreto de
Alto Desempenho fabricado com diversos materiais. In: INTERNATIONAL CONGRESS
ON HIGH-PERFORMANCE CONCRETE, AND PERFORMANCE AND QUALITY OF
CONCRETE STRUCTURES, Florianópolis, 1996.
Proceedings. Florianópolis, 1996.
FOSTER, S. J.; ATTARD, M. M. Experimental Tests on Eccentrically Loaded High-Strength
Concrete Columns.
American Concrete Institute Journal, v. 94, p. 295-303, 1997.
FOSTER, S. J.; LIU, J.; SHEIKH, S. A. Cover Spallering in HSC Columns loaded in
Concentric Compression.
Journal of Structural Engeneering, v. 124, p. 1431-7, 1998.
83
FRANÇA, C. M.; DINIZ, S. M. C. Análise do Comportamento Estrutural de Pilares em
Concreto de Alta Resistência. In: CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO –
IBRACON, 43, 2001, Foz do Iguaçu.
Anais do 43º Congresso Brasileiro do Concreto. Foz
do Iguaçu: 2001, CD-ROM.
GAMINO, A. L.; BARBOSA, M. P. Análise Numérica da Ductilidade de Prismas de
Concreto Armado por meio de Modelos Constitutivos Elastoplásticos. In: SIMPÓSIO EPUSP
SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, 5, 2002, São Paulo.
Anais do 5º Simpósio
EPUSP sobre estruturas de concreto. São Paulo: EPUSP, 2002. CD-ROM.
GAMINO, A. L.
Análise Numérica da Ductilidade de Vigas de Concreto Armado
Convencional e de Alto Desempenho. 2003. 122 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de
Estruturas) – Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista. Ilha
Solteira, 2003.
IBRAHIM, H. H. H.; MACGREGOR, J. G., Flexural Behavior of Laterally Reinforced High-
Strength Concrete Sections.
American Concrete Institute Journal, v. 93, p. 674-84, 1996.
JACOMASSI, L. M. C.; BARBOSA, M. P.; GAMINO, A. L. Simulação Numérica de Pilares
de CAR Armados Submetidos à Compressão Simples através do Código CASTEM-2000. In:
CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO – IBRACON, 45, 2003, Vitória.
Anais do
45º Congresso Brasileiro do Concreto. Vitória: 2003, CD-ROM.
LEPRETRE, C.
Calcul a la Ruine dês Structures en Betón Arme – Mise au Point d’un
Modele Betón en Contraintes Planes. RAPPORT DEMT 88/330. 1988. Laboratoire d’Analyse
Mécanique des Structures, Département des Etudes Mécaniques et Thermiques, Commissariat
a l’Energie Atomique.
LIMA, F. B.
Pilares de Concreto de Alto Desempenho: Fundamentos e Experimentação.
1997. 110 f. Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade São Paulo. São Carlos, 1997.
LIMA JÚNIOR, H. C.
Avaliação da ductilidade de pilares de concreto armado,
submetidos a flexo-compressão reta com e sem adição de fibras metálicas. 2003. 222 f.
Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos,
Universidade São Paulo. São Carlos, 2003.
LLOYD, N. A.; RANGAN, B. V. Studies on High-Strength Concrete Columns under
Eccentric Compression.
American Concrete Institute Journal, v. 93, p. 631-8, 1996.
84
MARQUES, S. P. C.; MARQUES, D. C. S. C. Análise Numérica Não-Linear de Pilares de
Concreto Armado sob Carga Excêntrica. In: CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO
– IBRACON, 41, 1999, Salvador.
Anais do 41º Congresso Brasileiro do Concreto.
Salvador: 1999, CD-ROM.
MARTINEZ, S.; NILSON, A. H.; SLATE, F. O. Spirally Reinforced High-Strength Concrete
Columns,
American Concrete Institute Journal, v. 81, p. 431-42, 1984.
MEHTA, P.K.; MONTEIRO, P. J. M.
Concreto: Estrutura, Propriedades e Materiais. 1ª ed.
São Paulo: Ed. Pini, 1994.
MEHTA, P. K. High performance concrete technology for the future. In: INTERNATIONAL
CONGRESS ON HIGH-PERFORMANCE CONCRETE, AND PERFORMANCE AND
QUALITY OF CONCRETE STRUCTURES, Florianópolis, 1996.
Proceedings.
Florianópolis, 1996.
OLIVEIRA, W. L. A.
Análise teórica e experimental de pilares de concreto armado sob
ação de Força Centrada com Resistência Média à Compressão do Concreto de 40 MPa.
2004. 213p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de
São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, 2004.
PAIVA, N. M. B.
Pilares de Concreto de Alta Resistência com Seção Transversal
Retangular Solicitados à Compressão Simples. 1994. 102 f. Dissertação (Mestrado em
Engenharia de Estruturas) – Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Estadual de
Campinas. Campinas, 1994.
PROENÇA, S. P. B.
Sobre modelos matemáticos do comportamento não-linear do
concreto
: análise crítica e contribuições. 1988. 259 f. Tese (Doutorado em Engenharia de
Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade São Paulo. São Carlos, 1988.
QUEIROGA, M. V. M.; GIONGO, J. S.; TAKEYA, T. Pilares de Concreto com Resistência
Média de 60 MPa Submetidos à Compressão Simples. In: CONGRESSO BRASILEIRO DO
CONCRETO – IBRACON, 41, 1999, Salvador.
Anais do 41º Congresso Brasileiro do
Concreto. Salvador: 1999, CD-ROM.
SAATCIOGLU, M.; RAZVI, S. R. High-Strength Concrete Columns with Square Sections
under Concentric Compression.
Journal of Structural Engeneering, v. 124, p. 1438-47,
1998.
85
SAMRA, R. M., Dusctitity Analysis of Confined Columns.
Journal of Structural
Engeneering, v. 116, p. 3148-61, 1990.
SUDANO, A. L.
Influencia da forma da seção transversal no confinamento de pilares de
concreto armado encamisados com PRFC (Polímero Reforçado com Fibras de
Carbono). 2005. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade São Paulo. São Carlos, 2005.
TAKEUTI, A. D.
Comportamento resistente imediato e ao longo do tempo de pilares
reforçados por meio de encamisamento com concreto de alto desempenho. 2003. 202 f.
Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos,
Universidade São Paulo. São Carlos, 2003.
VARUM, A. S. A.
Avaliação, reparação e reforço sísmico de edifícios existentes. 2003.
476 f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) – Secção Autónoma de Engenharia Civil,
Universidade de Aveiro. Aveiro, Portugal, 2003.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
